Tanım aralığının alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonlara, parçalı fonksiyonlar denir.

ÖRNEK: f:R R, f(x) =

f1(x) , x1 ≤ x ≤ x2

f2(x) , x < x1 v x > x2 ise

fonksiyonu parçalı bir fonksiyon olup x = x1, ve x = x2 noktalarıtanım aralıklarının uç noktalarıdır ve bu noktalara fonksiyonun kritik noktaları denir.

Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken, tanım aralığının her alt aralığındaki farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonların grafikleriayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir.

ÖRNEK :

f: R R , f (x) =

x2 + 2x , x < 1 ise

0 , x = 1 ise

-x + 2 , x > 1 ise

fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM :

1. y = x2 + 2x parabolünün (-∞, 1) aralığına karşılık gelen kısmı çizilir.2. ( 1,0 ) noktası işaretlenir.3. y = - x + 2 doğrusunun (1, +∞ ) aralığına karşılık gelen kısmı alınır. Böylece f parçalı fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur.

3

2

1

0-1

-1

-2

1 2

A ⊂ R , B ⊂ R olmak üzere f : A → B ye

= f (x) = f(x) =-f (x) , f(x) < 0 ise

f (x) , f(x) ≥ 0 ise

Şeklinde tanımlı fonksiyona, mutlak değer fonksiyonu denir.

(x)f 2

f(x) ≥ 0 olduğundan, f(x) fonksiyonunun görüntükümesi R+ ∪ {0} dır.

f(x) de f(x) = 0 denkleminin reel köklerine kritik noktalar denir. f(x) fonksiyonunun grafiği bu noktalarda kırılma ya da kıvrılma yapar.

f(x) in tanımlanabilmesi için, f (x) in işareti bilinmelidir.

f : A B, | f | (x) = | f (x) | =

-f (x), f (x) < 0 ise

f (x), f (x) ≥ 0 ise dir.

Bu tanıma göre mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirkenaşağıdaki adımlar izlenir.

1. y = f (x) in grafiği çizilir.(x, f (x) ) noktalarının x eksenine göre simetriği (x , -f (x) ) olduğundan2. f (x) < 0 olduğu kısımların (x ekseninin altında kalan parçaların ) x eksenine göre simetriği alınır.3. f (x) 0 olduğu kısımlarda |f (x) | = f(x) olduğundan , fonksiyonun grafiği aynen kalır.Böylece, | f(x) | grafiği çizilmiş olur.

ÖRNEK :

f : R R , f (x) = | 4-2x | fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM :

Önce mutlak değer içinin işareti incelenir: 4 – 2x = 0 ⇒ x = 2

x -∞ 2 + ∞

4-2x + -

f (x) = | 4- 2x | =

4-2x , x ≤ 2 ise

2x- 4 , 2 < x ise

4

0 2 x

y

R →R , y = f (x) fonksiyonu verilsin ;

y = sgn f (x) =

-1 , f (x) < 0 ise,0 , f (x) = 0 ise,1 , f (x) >0 ise,

biçiminde tanımlanan fonksiyona, f ‘in işaret (signum) fonksiyonu denir.

sgn f (x) fonksiyonu sadece –1 , 0 , 1 değerlerini alabilir. O halde sgn f (x) fonksiyonunun görüntü kümesi; {-1,0,1} dir. sgn f (x) in tanımlanabilmesi için f (x) in işareti bilinmelidir.

sgn f (x) fonksiyonunda, f (x) = 0 denkleminin köklerine,kritik noktalar denir. İşaret fonksiyonu bu kritik noktalarda sıçramayapar.

ÖRNEK : sgn (x2-3x) = - 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM :

x2 – 3x fonksiyonunu negatif yapan değerler kümesi bulunmalıdır.

x2- 3x < 0 ⇒ x (x-3) < 0

x (x-3) = 0 ⇒ x = 0 v x = 3

x -∞ 0 3 +∞

x2-3x +_

+

o halde çözüm kümesi Ç = ( 0 , 3 ) bulunur.

y = sgn f (x) in grafiği çizilirken aşağıdaki aşamalar izlenir.

1. f (x) fonksiyonunun grafiği çizilir.2. f (x) fonksiyonunun grafiğinin; x ekseni üstünde kalan kısımlar için, y =1 doğ. çizlr. x ekseni altında kalan kısımlar için, y = -1 doğ. çizlr. x eksenini kestiği noktalar için, y = 0 işaretlenir

ÖRNEK:

f : [ -∏ , ∏ ] R , f (x) = sgn ( sin x) ile tanımlı fonksiyonun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM :

Fonksiyonla ilgili grafik ve tablo aşağıdaki gibi çizilir.

x -∏ 0 ∏

sin x - +

f (x) -1 1 -∏ 0 ∏

1

-1

x

y

x ∈R olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya, x in tam kısmı denir. Ve bu sembolü ile gösterilir. Yani;[x]

a ∈ Z olmak üzere a ≤ x < a+1 ⇔ = a dır.[x]

ÖRNEK :

f: R R , f(x) = fonksiyonu veriliyor. f(-1)görüntüsünü bulunuz.

2x-1 5[ ]

ÇÖZÜM :

f(x) = ⇒ f (-1) =

= = -1 dir.

2x-1 5[ ] 2(-1) -1

5[ ]

-3 5[ ]

x, y ∈ R , x+y ≥ x + y dir.[ ] [ ] [ ]x, y ∈ R+ , x .y ≥ x . y dir.[ ] [ ] [ ]

x, y ∈ R , x = y ise | x-y | < 1 dir. [ ] [ ]

[ ]-x = -x , x ∈ Z ise

- x -1 , x ∈ R – Z ise[ ]

f: A ⊂ R Z , f (x) = g (x) in grafiğini çizerken şu aşamalarizlenir.

[ ]

1. Aralık uzunluğu belirlenir.2. Tanım aralığı aralık uzunluğuna göre ve uç noktalar aralık uzunluğunun tam katı olacak biçimde bölünür.3. Her aralıktaki f (x) = g (x) ‘ler belirlenip, grafik çizilir.[ ]

ÖRNEK :

f : [-6 , 5] R , f (x) = grafiğini çiziniz.[ ]X3

ÇÖZÜM :

1. Aralık uzunluğu 1 3 tür. Buna göre, uç noktalar 3 ün tam

sayı katı olacak biçim de tanım aralığı bölünür.2. [-6 , 5] aralığını bölerek f (x) i parçalı fonksiyon biçimde tanımlayalım.

-6 -3 0 3 5

-1

-2

1-6 ≤ x ≤ -3 ⇒ = -2

-3 ≤ x ≤ 0 ⇒ = -1

0 ≤ x ≤ 3 ⇒ = 0

3 ≤ x ≤ 5 ⇒ = 1

[ ]X3

[ ]X3

[ ]X3

[ ]X3