МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФАКУЛЬТЕТ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

Ж.Л.Мальцева, С.В.Мальцева, М.В.Фокин

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - III семестр

Приложения дифференциальных уравнений в естественных науках

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Новосибирск2013

Предлагаемое учебное пособие является изложением основ курса диф-ференциальных уравнений, читаемого на факультете естественных наук(биология) в рамках курса математического анализа.

В пособии излагаются элементы теории дифференциальных уравне-ний первого порядка, линейных дифференциальных уравнений и системвысших порядков, теории устойчивости, уравнений в частных производ-ных, а также приведены примеры приложений теории дифференциаль-ных уравнений к задачам химии и биологии.

Учебное пособие содержит теоретический материал по курсу диффе-ренциальных уравнений, излагаемый на лекциях студентам ФЕН НГУ(специальность "биология") в течение третьего семестра второго курса.Наряду с теоретическим материалом предложено большое число нагляд-ных примеров и иллюстраций. Данный материал является последней ча-стью единого курса, читаемого на ФЕН в течение трех семестров.

Предназначено для студентов 2 курса ФЕН НГУ, а также студентовдругих нематематических специальностей и преподавателей математи-ческого анализа на непрофильных факультетах.

Пособие разработано в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ

c⃝Новосибирский государственный университет2013 г.

Содержание

Введение 6

1 Дифференциальные уравнения первого порядка 9

2 Уравнения с разделяющимися переменными 11

3 Однородные уравнения 13

4 Линейные уравнения первого порядка 174.1 Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Уравнения в полных дифференциалах 195.1 Интегрирующий множитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Теорема существования и единственности решения зада-чи Коши 22

7 Дифференциальные уравнения высших порядков 287.1 Линейные однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Основные свойства линейных однородных уравнений . . . 29

8 Линейные однородные уравнения второго порядка с по-стоянными коэффициентами 33

9 Свойства решений линейных однородных уравнений n-гопорядка 389.1 Структура общего решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.2 Линейные неоднородные уравнения n-го порядка . . . . . . 44

10 Линейные однородные уравнения n-го порядка с посто-янными коэффициентами 45

11 Линейные неоднородные уравнения n-го порядка 4811.1 Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с посто-

янными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

12 Дифференциальное уравнение свободных колебаний 5812.1 Вынужденные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3

13 Системы дифференциальных уравнений 65

14 Линейные системы дифференциальных уравнений 6714.1 Общие свойства линейных систем . . . . . . . . . . . . . . 68

15 Линейная зависимость вектор-функций 69

16 Общее решение линейной системы 7116.1 Построение частного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

17 Системы уравнений с постоянными коэффициентами 73

18 Интегрирование дифференциальных уравнений с помо-щью степенных рядов 8218.1 Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами 8218.2 Уравнение колебания маятника . . . . . . . . . . . . . . . . 84

19 Краевые задачи 86

20 Устойчивость решений систем дифференциальных урав-нений 9020.1 Устойчивость тривиального решения однородной системы

второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9120.2 Устойчивость по линейному приближению . . . . . . . . . 101

21 Квазилинейные дифференциальные уравнения в частныхпроизводных первого порядка 110

22 Применение дифференциальных уравнений для описа-ния развития популяций 11722.1 Развитие изолированной популяции

(модель Ферхюльста) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.2 Развитие двух видов в условиях конкуренции за источники

существования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12222.3 Развитие популяций хищник–жертва . . . . . . . . . . . . . 125

22.3.1 Модель Вольтерра — Лотка . . . . . . . . . . . . . . 12522.3.2 Модель Холлинга — Теннера . . . . . . . . . . . . . 131

23 Волновое уравнение 13123.1 Метод разделения переменных . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4

23.2 Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения 137

24 Дифференциальные уравнения химической кинетики. За-коны сохранения 139

25 Математическая модель хроматографа 14525.1 Задача о поглощении газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14825.2 Равновесная сорбция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15125.3 Разделение смеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

26 Уравнение распространения тепла 159

5

Введение

Дифференциальные уравнения описывают многие природные процессы— распространение тепла, волновые движения, развитие биологическихпопуляций, колебания маятника и так далее. Дифференциальные урав-нения — основной аппарат математического моделирования. Как пра-вило, математическое моделирование происходит следующим образом.При изучении явления выделяют те факторы, которые существенно вли-яют на процесс, а второстепенными факторами пренебрегают. С учетомэтого строится математическая модель явления, записанная с помощьюдифференциальных уравнений. Решая построенные дифференциальныеуравнения, получают искомые закономерности.

Пусть y = f(x) отражает количественную сторону некоторого явле-ния. Часто, описывая это явление, невозможно сразу установить y(x), ноиногда можно установить связь между x, y, y ..., y(n). Эта связь называ-ется дифференциальным уравнением.

Будем в дальнейшем рассматривать следующие вопросы.

1. Существование решений обыкновенных дифференциальных урав-нений (решение может не существовать, например, если рассматри-вать уравнение (y′)2 + 1 = 0).

2. Построение явной формулы для решений (это не всегда удается).

3. Построение приближенных решений (как правило, в окрестностиначальных данных).

4. Дополнительная информация — как из множества решений выде-лить решение с заданными начальными условиями.

5. Если решение не находится в явном виде, как тем не менее хотябы предсказать и описать некоторые его свойства, например, устой-чивость положения равновесия (качественное исследование диффе-ренциальных уравнений).

Пример. Тело массы m падает вниз с некоторой высоты. Определитьзакон изменения скорости v(t), если на тело действуют сила тяже-сти и сила сопротивления F , пропорциональная скорости тела v с ко-эффициентом k. При этом предполагается, что коэффициент зависитот формы тела, его поверхности (шероховатости), плотности возду-ха и других величин.

6

Рис. 1: Схема движения

Решение. Изобразим силы, действующие на тело. Из второго законаНьютона F = ma получаем соотношение

mg − kv = mv,

которое является дифференциальным уравнением. Это уравнение опи-сывает движение некоторых типов парашютов.

Определение. Решить дифференциальное уравнение — значит найтифункцию, которая тождественно ему удовлетворяет. Таких функцийбесконечное множество.

Можно проверить, что функция

v = Ce−km t +

mg

k

удовлетворяет этому дифференциальному уравнению при любых значе-ниях постоянной C.

Для того, чтобы из множества всех функций выделить нужное реше-ние, нужно воспользоваться начальными условиями. В данном случаеизвестно начальное значение скорости (возможно, равное нулю). То естьискомая функция должна быть такой, чтобы при t = 0 выполнялосьусловие v(0) = v0. Подставим эти значения в формулу для v(t). Тогдаполучим

v0 = C +mg

k.

ОтсюдаC =

(v0 −

mg

k

).

В итоге искомая зависимость

v(t) =(v0 −

mg

k

)e−

ktm +

mg

k. (0.1)

7

Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и задан-ному начальному условию. При t → +∞ скорость v(t) стремится к зна-чению

mg

kнезависимо от значения v0.

Рассмотрим частный случай, когда нет сопротивления воздуха, тоесть k = 0. Это соответствует или тому, что воздуха нет, или тому, чтотело очень обтекаемо. Возможные методы решения:

1. Сразу подставить k = 0 в исходное уравнение. Тогда оно упростится,

mv = mg,

отсюда следуетv = v0 + gt.

2. Предельный переход в (0.1). Трудность этого предельного переходав том, что в формуле (0.1) коэффициент k стоит в знаменателе.Чтобы преодолеть эту сложность, разложим экспоненту по формулеТейлора,

e−ktm = 1− kt

m+k2t2

2m2− ...

Тогда

v =(v0 −

mg

k

)(1− kt

m+k2t2

2m2− ...

)+mg

k.

Предельный переход дает искомое выражение v = v0 + gt.

В данном случае мы рассматривали дифференциальное уравнение,связывающее v(t) и ее производную. Независимая переменная t не вхо-дила в уравнение. Встречаются более сложные уравнения

F (x, y(x), y′(x), y′′(x), ..., y(n)(x)) = 0

или системы дифференциальных уравненийx′ = F1(x, y, t),y′ = F2(x, y, t).

Мы будем также изучать так называемые уравнения в частных произ-водных

a(x, y, z)∂z

∂x+ b(x, y, z)

∂z

∂y= c(x, y, z),

где искомая функция z(x, y) зависит от двух переменных.

8

1 Дифференциальные уравнения первого порядка

Соотношение видаF (x, y, y′) = 0

называется дифференциальным уравнением первого порядка. Например,

y′ + xy − x2 = 0, y′2 + y − 1 = 0.

Если уравнение имеет вид

y′ = f(x, y), (1.1)

то оно называется уравнением, разрешенным относительно производной.Важно: Уравнения первого порядка делятся на несколько типов. Для

успешного решения уравнения необходимо выяснить, к какому типу онопринадлежит. Это определяет метод решения.

Рассмотрим уравнение (1.1) для функции y(x). Пусть правая частьзадана в некоторой области D ⊂ R2, в точке (x, y) ∈ D вычисляемзначение f(x, y), это есть значение производной y′, то есть геометри-чески — тангенс угла наклона касательной к графику функции y(x) вточке (x, y). Рассматривая функцию f(x, y) на всей области D, получимсистему черточек (отрезков касательных). По ним можно приблизитель-но восстановить множество искомых функций y(x).

Определение. Это семейство графиков функций называется инте-гральными кривыми уравнения y′ = f(x, y).

Определение. Уравнение

y′ = f(x, y)с начальным условием y(x0) = y0 (1.2)

называется задачей Коши.

Теорема. Если в уравнении (1.1) правая часть f(x, y) и ее производнаяfy(x, y) непрерывны в D, (x0, y0) ∈ D, то существует единственное реше-ние этого уравнения y = y(x) такое, что y(x0) = y0. Геометрически этосоответствует тому, что существует единственная функция y(x), графиккоторой проходит через точку (x0, y0).

Определение. Общим решением уравнения (1.1) называется функцияy(x;C), которая удовлетворяет условиям:

1. Для любого значения C она тождественно удовлетворяет диффе-ренциальному уравнению.

9

Рис. 2: Интегральная кривая в окрестности точки (x0, y0)

2. Для любых начальных данных (x0, y0) можно найти такое значе-ние постоянной C = C0, что y0 = y(x;C0) будет удовлетворятьэтому начальному условию. При этом начальные данные должнылежать в области, где выполнены условия теоремы существова-ния и единственности.

Пример. Пусть дано дифференциальное уравнение

y′ = 3y3/2

с начальными условиями y(0) = 0.Решением этого дифференциального уравнения будут, например, функ-

цииy1(x) ≡ 0,y2(x) = x3,

y3(x) =

x3, x > 0,0, x ≤ 0.

Имеем пример неединственности решения дифференциального уравне-ния с начальным условием.

Если уравнение записано как

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0, (1.3)

то говорят, что оно записано в симметрической форме. Это соответствуетуравнению

y′ = −M(x, y)

N(x, y),

10

разрешенному относительно производной. В уравнении (1.3) величины x

и y равноправны и можно искать его решение как в виде y(x), так и x(y)и даже в неявной форме F (x, y) = 0.

2 Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение видаy′ = f(x)g(y)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

1. Если g(y) = 0, то уравнение приводится к

dy

dx= f(x) · g(y), dy

g(y)= f(x)dx,

что есть равенство двух дифференциалов. То есть функции отлича-ются на константу C,∫

dy

g(y)=

∫f(x)dx+ C.

2. Если в некоторых точках y1, y2, ..., yn функция g(y) = 0, то каж-дой точке соответствует набор частных решений y1(x) ≡ y1, y2(x) ≡y2, ..., yn(x) ≡ yn. Это проверяется непосредственной подстановкойв исходное уравнение.

3. Уравнение вида y′ = f(ax+by) сводится к уравнению с разделяющи-мися переменными заменой z = ax + by. При этом для проведениязамены переменных (x, y(x)) → (x, z(x)) в уравнение необходимоподставить выражение dy через dz и dx.

Пример. Дано уравнение

y′ = p(x)y.

1. y = 0. Разделяем переменные,

dy

y= p(x)dx,∫

dy

y=

∫p(x)dx,

11

ln |y| =∫p(x)dx+ C,

|y| = C1e∫p(x)dx, C1 = eC > 0, (2.1)

y = Ce∫p(x)dx. (2.2)

В силу того, что произвольная постоянная C может принимать какположительные, так и отрицательные значения, можно опуститьзнак модуля в формуле (2.1).

2. y = 0. Непосредственной подстановкой в исходное уравнение убеж-даемся, что это решение. Однако это решение может быть полученоиз общей формулы (2.2) при C = 0.

Пример.y′ = αy,

dy

y= αdx, ln |y| = αx+ C,

|y| = eαx+C = eC · eαx, eC > 0.

Переобозначая eC = C и опуская знак модуля, считая, что C принимаетуже любые значения, получаем

y = Ceαx.

Пример.y′ = 1 + y2,∫

dy

1 + y2=

∫dx, arctg y = x+ C,

y = tg(x+ C).

Пример.xdx+ ydy = 0,∫

ydy = −∫xdx,

y2

2= −x

2

2+ C, x2 + y2 = C.

Получили семейство интегральных кривых — концентрические окруж-ности с центром в начале координат.

12

3 Однородные уравнения

Определение. Функция f(x, y) называется однородной степени α, еслидля всех положительных k и x2 + y2 = 0 выполнено равенство

f(kx, ky) = kαf(x, y).

Примеры.f1(x, y) =

3√x2 + y2,

f2(x, y) = 2xy − y2,

f3(x, y) =x2 − y2

xy.

Определение. Уравнение, записанное в симметрической форме (1.3),где M(x, y) и N(x, y) — функции одной степени однородности, называ-ется однородным дифференциальным уравнением.

Преобразуем уравнение,

dy

dx= −M(x, y)

N(x, y)= −

M(x, |x| y|x|)

N(x, |x| y|x|)

= −|x|αM(±1,± y

|x|)

|x|αN(±1,± y|x|)

≡ f(y/x).

Таким образом, однородное уравнение может быть записано в виде

y′ = f(y/x).

Сделаем замену y = tx. Заметим, что в исходном уравнении перемен-ными были (x, y(x)), в преобразованном уравнении переменные будут(x, t(x)), y′ = t′(x)x+ t(x).

Уравнение приводится к виду

t′x+ t = f(t), t′x = f(t)− t,

dt

f(t)− t=dx

x, (3.1)

то есть преобразовалось к уравнению с разделяющимися переменными.Таким образом, такая замена в однородном уравнении приводит к урав-нению с разделяющимися переменными. Возможно, в процессе преоб-разований было потеряно решение f(t) = t. Проинтегрируем уравнение(3.1), после этого вернемся к исходным переменным (x, y).

13

Пример. Решить уравнение

y′ =y

x+ tg

y

x. D(f) : x = 0,

y

x= π/2 + πk, k ∈ Z.

Сделаем замену y = tx.

xt′ + t = t+ tg t,

xt′ = tg t.

1) tg t = 0 ⇒ t(x) ≡ πk, k ∈ Z,

2)

∫cos tdt

sin t=

∫dx

x,

ln | sin t| = ln |x|+ C,

| sin t| = C1|x|, sin t = Cx.

Решения t(x) ≡ πk соответствуют C = 0. Его в ответе отдельно приво-дить не нужно. Возвращаясь к исходным переменным, получаем решениев виде

siny

x= Cx.

Если однородное уравнение записано в симметрической форме, тоупомянутая замена (dy = tdx+ xdt) приводит уравнение к виду

M(x, tx)dx+N(x, tx)(tdx+ xdt) = 0.

Полученное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменны-ми.

Пример.(x2 + y2)dx+ xydy = 0,

y = tx⇒(x2 + t2x2)dx+ xtx(tdx+ xdt) = 0,

dx(x2 + t2x2 + t2x2) + dt · x3t = 0,

dx · x2(1 + 2t2) + x3tdt = 0.

Делим на x2, учтем при записи ответа, что x(t) ≡ 0 является решениемисходного уравнения.

(1 + 2t2)dx+ xtdt = 0.

14

Получили уравнение с разделяющимися переменными.∫dx

x= −

∫tdt

1 + 2t2,

− lnCx =1

4ln(2t2 + 1),

2t2 + 1 = Cx4, C = x4(1 + 2(y/x)2),

Ответ получается в неявном виде:

C = x4 + 2x2y2.

Пусть дано уравнение

dy

dx=

ax+ by + c

a1x+ b1y + c1.

Очевидно, что оно будет однородным при c = c1 = 0. Пусть они одно-временно не равны нулю. Сделаем замену x = u + x0, y = v + y0 с поканеопределенными x0, y0. Получим

dv

du=

a(u+ x0) + b(v + y0) + c

a1(u+ x0) + b1(v + y0) + c1=

au+ bv + (ax0 + by0 + c)

a1u+ b1v + (a1x0 + b1y0 + c1),

группируя в числителе и знаменателе слагаемые при u и v. Выборомпараметров x0, y0 иногда можно добиться, что свободные члены в чис-лителе и знаменателе будут равны нулю, то есть уравнение станет од-нородным. Для этого нужно решить систему линейных алгебраическихуравнений

ax0 + by0 + c = 0,a1x0 + b1y0 + c1 = 0.

Графически каждое уравнение этой системы задает прямую на плоско-сти (x, y). Решение системы — точка пересечения этих прямых. Еслипрямые непараллельны, то эта точка существует и единственна. Ее ко-ординаты и есть искомые параметры замены (x0, y0).

Если прямые не пересекаются, то есть параллельны, тогда

ax+ by = k(a1x+ b1y).

В этом случае можно сделать замену z = ax + by, это приведет к урав-нению с разделяющимися переменными.

15

Рис. 3: Замена переменных (x, y) → (u, v)

Аналогично решается уравнение вида

dy

dx= f

(ax+ by + c

a1x+ b1y + c1

),

где f — дифференцируемая функция.

Пример.

y′ =x+ y − 3

x− y − 1.

Решаем систему x+ y − 3 = 0,x− y − 1 = 0,

Получаем x = 2, y = 1. Новые переменные u = x − 2, v = y − 1, du =dx, dv = dy. Уравнение приводится к

dv

du=

(u+ 2) + (v + 1)− 3

(u+ 2)− (v − 1)− 1=u+ v

u− v,

то есть привелось к однородному. Сделаем теперь замену v = tu, dv =tdu+ udt.

(tdu+ udt)(u− tu) = (u+ tu)du,

du(tu− t2u− u− tu) = udt(tu− u).

Это уравнение с разделяющимися переменными, которое легко решается.

Пример.

y′ =2x+ y − 1

4x+ 2y + 5.

16

Прямые 2x+y−1 = 0 и 4x+2y+5 = 0 параллельны. Замена z = 2x+yприводит к уравнению с разделяющимися переменными

z′ − 2 =z − 1

2z + 5.

4 Линейные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется урав-нение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной,

y′ + p(x)y = q(x). (4.1)

Если q(x) ≡ 0, то линейное уравнение называется однородным.Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

ищется в два этапа.

1. Решаем однородное уравнение, соответствующее исходному, y′+p(x)y =0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общим ре-шением будет функция

y0(x) = Ce−∫p(x)dx.

2. Выбираем какое-нибудь частное решение y(x) исходного неоднород-ного уравнения. Его можно, например, искать методом вариациипроизвольной постоянной. Он состоит в том, что частное решениенеоднородного уравнения ищется в том же виде, что и найденноеобщее решение однородного уравнения, но с множителем C(x), за-висящим от x,

y(x) = C(x)e−∫p(x)dx.

Подставляя эту формулу в исходное уравнение (4.1), получим урав-нение для C(x),

C ′(x)y0(x) + C(x)y′0(x) + C(x)p(x)y0(x) = q(x).

В силу того, что y0(x) является решением однородного уравнения,имеем

C ′(x)y0(x) = q(x),

где y0(x) = e−∫p(x)dx. Это соотношение дает функцию C(x) и, таким

образом, частное решение y(x).

17

Замечание. Частное решение определяется неоднозначно.Общее решение исходного уравнения есть сумма общего решения од-

нородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения,

y(x) = y0(x) + y(x).

Пример.y′ − y ctg x = 2x sinx.

Решаем однородное уравнение

y′ = y ctg x,

dy

dx= y ctg x,

dy

y=

cosx

sinxdx,

lnCy = ln | sinx|,y = Celn | sinx| = C| sinx| = C sinx.

Таким образом, общее решение однородного уравнения есть

y0(x) = C sinx.

Методом вариации произвольной постоянной находим частное решениенеоднородного уравнения. Ищем частное решение y(x) в виде

y(x) = C(x) sinx.

Подстановка в исходное уравнение дает

C ′(x) sin x+ C(x) cos x− C(x) sin xcosx

sinx= 2x sinx,

C ′(x) = 2x, C(x) = x2, y(x) = x2 sinx.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения есть

y(x) = y0(x) + y(x) = C sinx+ x2 sinx.

Пример.y′(2x+ y3) = y.

Это уравнение не является линейным относительно y. Перепишем его всимметрической форме

(2x+ y3)dy = ydx.

18

Легко видеть, что это уравнение будет линейным относительно x. Можнопереписать его в виде

ydx

dy= 2x+ y3.

Решая однородное уравнение yx′ = 2x, находим x0(y) = Cy2. Частноерешение неоднородного уравнения также ищем методом вариации по-стоянной, x = C(y)y2. Подстановка в исходное уравнение приводит кC(y) = y, то есть получаем

x(y) = Cy2 + y · y2 = Cy2 + y3.

Отметим, что частное решение тоже многочлен третьей степени, каки правая часть.

4.1 Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

y′(x) + p(x)y = f(x)yα, α = 0, α = 1.

Поделим уравнение на yα. Обозначая z(x) = y1−α, z′ = (1 − α)y′/yα,получим

z′

1− α+ p(x)z = f(x).

Получили линейное уравнение первого порядка.

Пример.

y′ − y

2x=x2

2y.

Это уравнение Бернулли с α = −1. Домножая на 2y и делая заменуz = y2, получим линейное уравнение первого порядка

z′ − z

x= x2,

которое может быть решено вышеприведенным способом.

5 Уравнения в полных дифференциалах

Пусть дано уравнение в симметрической форме

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0.

19

Если найдется такая функция U(x, y), что для заданных функцийM(x, y), N(x, y) выполнены равенства M(x, y) = ∂U

∂x , N(x, y) = ∂U∂y , то

уравнение запишется в виде

∂U

∂xdx+

∂U

∂ydy = 0,

dU(x, y) = 0.

Такая функция U(x, y) называется потенциалом. Тогда решение уравне-ния запишется в виде неявного соотношения U(x, y) = const, а исходноеуравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Необхо-димо выяснить при каких условиях на функции M(x, y), N(x, y) суще-ствует потенциал.

Запишем выражение полного дифференциала для функции двух пе-ременных

dU(x, y) =∂U

∂xdx+

∂U

∂ydy.

Поскольку dx и dy произвольны, то должны выполняться соотношения

M(x, y) =∂U

∂x,N(x, y) =

∂U

∂y

Дифференцируя первое из них по y, а второе по x, получаем

My =

(∂U

∂x

)y

=∂2U

∂y∂x, Nx =

(∂U

∂y

)x

=∂2U

∂x∂y.

Из условия равенства смешанных производных получаем, что для суще-ствования потенциала необходимо выполнение равенства

∂M(x, y)

∂y=∂N(x, y)

∂x.

Можно показать, что это условие является и достаточным (для одно-связных областей).

Пусть есть уравнение в полных дифференциалах. Построим его ре-шение.

1. Так как M(x, y) = ∂U(x,y)∂x , интегрируя, получаем

U(x, y) =

∫M(x, y)dx+ φ(y)

с произвольной функцией φ(y).

20

2. Дифференцируя по y и приравнивая полученное выражение кN(x, y),находим соотношение на φ(y). Решение записывается в видеU(x, y) = C. Отметим, что потенциал всегда определяется с точ-ностью до постоянного слагаемого.

Пример. Решить уравнение

(x+ y − 1)dx+ (x− y3 + 3)dy = 0.

Здесь M(x, y) = x + y − 1, N(x, y) = x − y3 + 3,My = 1 = Nx, то естьуравнение является уравнением в полных дифференциалах. Вычислимпотенциал

U(x, y) =

∫M(x, y)dx = x2/2 + xy − x+ φ(y).

Дифференцируя полученное выражение по y и приравнивая к известнойфункции N(x, y), получим

x+ φ′(y) = x− y3 + 3, φ′(y) = −y3 + 3.

Отсюда

φ(y) = −y4/4 + 3y, U(x, y) = x2/2 + xy − x− y4/4 + 3y.

Тогда решение можно записать в виде

x2/2 + xy − x− y4/4 + 3y = C.

Можно построить решение следующим способом.1. То же самое.2*. Интегрируем N(x, y), вспоминая, что это производная ∂U/∂y.Сравнивая слагаемые в полученных интегралах, получаем искомое

выражение для потенциала.

Пример. Для разобранного выше примера 2* дает

U(x, y) =

∫(x− y3 + 3)dy = xy − y4/4 + 3y + ψ(x).

Отсюда, сравнивая выражения, получаем

φ(y) = −y4/4 + 3y, ψ(x) = x2/2− x.

Иногда удается построить решение, выделяя в исходном симметриче-ском уравнении интегрируемые комбинации.

21

Пример.(x+ y + 1/x)dx+ (x+ cos y)dy = 0,

xdx+ dx/x+ (ydx+ xdy) + cos ydy = d(x2/2 + ln |x|+ xy + sin y) = 0,

тогда решение этого уравнения есть

x2/2 + ln |x|+ xy + sin y = C.

5.1 Интегрирующий множитель

Иногда удается подобрать такую функцию µ(x, y), что при домножениина нее исходного уравнения (1.3) оно преобразуется в уравнение в полныхдифференциалах. Такая функция называется интегрирующим множи-телем. При этом должно выполняться соотношение (µ(x, y)M(x, y))y =(µ(x, y)N(x, y))x. В общем случае это уравнение гораздо более сложное,чем исходное (содержит две независимые переменные и называется урав-нением в частных производных). Однако в некоторых случаях интегри-рующий множитель легко находится.

Пусть µ зависит только от x, µ = µ(x). Тогда уравнение для интегри-рующего множителя приводится к виду

(µ(x)M(x, y))y = (µ(x)N(x, y))x,

µMy = µ′N + µNx,

µ(My −Nx) = µ′N,

µ′

µ=My −Nx

N.

Так как левая часть есть функция только от x, то для того, чтобыµ = µ(x), необходимо

My −Nx

N= F (x).

Аналогично рассматривается случай µ = µ(y).

6 Теорема существования и единственности реше-ния задачи Коши

Пусть дано дифференциальное уравнение

y′ = f(x.y) (6.1)

22

с начальным условиемy(x0) = y0. (6.2)

f(x, y) определена в прямоугольнике

Π = (x, y)||x− x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b .

Определение. Говорят, что функция f(x, y) удовлетворяет в Π усло-вию Липшица по переменной y, если существует число N (постояннаяЛипшица) такое, что при любом выборе точек (x, y1) ∈ Π, (x, y2) ∈ Πвыполнено неравенство

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ N |y1 − y2|.

Утверждение. Если существует ограниченная в Π производная fy, |fy| ≤N, то условие Липшица выполнено.Доказательство. По теореме Лагранжа о конечных приращениях име-ем

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤∣∣∣∣∂f∂y (x, ξ)(y1 − y2)

∣∣∣∣ ≤ N |y1 − y2|, y1 < ξ < y2.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.Пусть для задачи Коши (6.1)–(6.2) известно, что

1. f(x, y) определена и непрерывна в Π. Тогда по теореме Вейерштрас-са о непрерывной функции существует число M такое, что

|f(x, y)| ≤M для всех (x, y) ∈ Π.

2. f(x, y) удовлетворяет условию Липшица по y в прямоугольнике Π.

Положим h = min(a, b/M). Тогда для |x − x0| < h существует решениезадачи Коши (6.1)–(6.2), которое определяется единственным образом.

Укажем один из способов построения приближенного решения, так на-зываемый метод ломаных. Функция f(x, y) определяется из уравнения(6.1), то есть в каждой точке (x, y) ∈ Π задан угол наклона интеграль-ной кривой к оси Ox . Пусть ∆ — шаг по x, x1 = x0 + ∆. На прямой(касательной к интегральной кривой в точке (x0, y0), tgα0 = f(x0, y0))берем точку

y1 = y0 +∆ · tgα0 = y0 +∆ · f(x0, y0).

23

Рис. 4: Окрестность точки (x0, y0)

Рис. 5: Приближенное построение интегральной кривой

Аналогично строим

x2 = x1 +∆ = x0 + 2∆, y2 = y1 +∆ · f(x1, y1)

и так далее.На k-м шаге получаем

xk+1 = xk +∆ = x0 + (k + 1)∆, yk+1 = yk +∆ · f(xk, yk).

таким образом, построили точки ломаной, приближающей нашу инте-гральную кривую. Аналогично строим точки влево от начальной точ-ки (x0, y0). Это простой и наглядный способ построения приближенногорешения задачи Коши. Отметим, что чем меньше шаг ∆, тем точнеепостроенная ломаная описывает решение задачи Коши.

Пусть y(x) — решение задачи Коши (6.1)–(6.2). Подставляя его в урав-нение, получаем верное равенство.

y′(x) = f(x, y(x).

24

Проинтегрируем его в пределах от 0 до произвольного значения x,x∫

x0

y′(ξ)dξ =

x∫x0

f(ξ, y(ξ))dξ,

y(x)− y(x0) =

x∫x0

f(ξ, y(ξ))dξ.

Учитывая, что y(x0) = y0, получаем

y(x) = y0 +

x∫x0

f(ξ, y(ξ))dξ, |x− x0| < h. (6.3)

Полученное соотношение называют интегральным уравнением. ЗадачаКоши (6.1)–(6.2) ему эквивалентна.

Будем строить последовательные приближения по правилу

y0(x) ≡ y0,

y1(x) = y0 +

x∫x0

f(ξ, y0(ξ))dξ,

y2(x) = y0 +

x∫x0

f(ξ, y1(ξ))dξ, ...

yn(x) = y0 +

x∫x0

f(ξ, yn−1(ξ))dξ.

Построенные таким образом функции yk(x) определены и непрерывныпри |x−x0| < h, их графики не выходят из прямоугольника Π. Докажемэто индукцией по n. Функция y0(x) определена и непрерывна при |x −x0| ≤ a (и тем более при |x− x0| < h),

|y1(x)− y0| =

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

f(ξ, y0(ξ))dξ

∣∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∣

x∫x0

|f(ξ, y0(ξ))|dξ

∣∣∣∣∣∣ ≤≤M

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

dξ

∣∣∣∣∣∣ ≤M |x− x0| ≤Mh ≤Mb

m= b,

25

следовательно, график y1(x) не выходит из Π.Пусть данное утверждение верно для yn−1, то есть при |x − x0| ≤ h

график функции yn−1 не выходит из Π, и функция непрерывна. При та-ких x определена и непрерывна функция f(x, yn−1(x)), следовательно,определена и непрерывна yn(x) (по построению). Докажем, что ограни-чено

|yn(x)− y0| =

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

f(ξ, yn−1)dξ

∣∣∣∣∣∣ ≤x∫

x0

|f(ξ, yn−1)|dξ ≤

≤M |x− x0| ≤ b,

Далее, докажем равномерную сходимость последовательности yn(x). Рас-смотрим ряд

y0(x) + (y1(x)− y0(x)) + (y2(x)− y1(x)) + ...+ (yn(x)− yn−1(x)) + ...

yn(x) = Sn(x) — его частичная сумма. Оценим члены этого ряда:

|y1 − y0| ≤M |x− x0| ≤Mh,

|y2 − y1| ≤

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

f(ξ, y1)− f(ξ, y0)dξ

∣∣∣∣∣∣ ≤ N

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

(y1 − y0)dξ

∣∣∣∣∣∣ ≤≤MN

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

(ξ − ξ0)dξ

∣∣∣∣∣∣ =MN(x− x0)

2

2≤MN

h2

2!,

..................

|yn − yn−1| ≤MNn−1 (x− x0)n

n!≤MNn−1h

n

n!.

Таким образом, построили мажорантный числовой ряд

|y0|+Mh+ ...+MNn−1hn

n!+ ...

Исследуем его сходимость. Воспользуемся признаком Даламбера,

limn→∞

an+1

an= lim

n→∞

MNnhn+1n!

(n+ 1)!MNhn= lim

n→∞

Nh

n+ 1= 0 < 1,

то есть мажорантный числовой ряд сходится.Для функциональных рядов применим признак Вейерштрасса. Ес-

ли функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом, тоон равномерно сходится. Таким образом, yn ⇒ y, то есть

26

1. ∃ limn→∞

= y(x);

2. y(x) — непрерывная функция (как предел равномерно сходящегосяряда).

Осталось доказать, что график y(x) не выходит за пределы прямоуголь-ника Π при |x− x0| ≤ h и является решением интегрального уравнения(6.3).

Так как ∀n выполняется |yn(x)−y0| ≤ b при |x−x0| ≤ h, то (предель-ный переход в неравенстве) выполнено неравенство

|y(x)− y0| ≤ b.

Докажем, что

limn→∞

x∫x0

f(ξ, yn(ξ))dξ =

x∫x0

f(ξ, y(ξ))dξ :

yn ⇒ yn при|x− x0| ≤ h⇔∀ε > 0∃N ;∀n > N, ∀|x− x0| ≤ h

выполнено |yn(x)− y(x)| < ε.∣∣∣∣∣∣x∫

x0

f(ξ, yn)dξ −x∫

x0

f(ξ, y)dξ

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

x∫x0

f(ξ, yn)− f(ξ, y)dξ

∣∣∣∣∣∣ ≤N

∣∣∣∣∣∣x∫

x0

|yn − y|dξ

∣∣∣∣∣∣ ≤ Nε|x− x0| ≤ Lεh→ 0

при ε→ 0. Таким образом,

yn(x) = y0 +

x∫x0

f(ξ, yn−1(ξ))dξ ⇒ y(x) = y0 +

x∫x0

f(ξ, y(ξ))dξ.

Докажем единственность решения задачи Коши. Пусть есть другоерешение y(x) такое, что y(x0) = y0. Будем считать, что значения x, гдеy(x) = y(x), лежат правее точки x0. Пусть ε > 0, причем в областиx0 ≤ x ≤ x0 + ε не везде y(x) = y(x), тогда обозначим

max[x0,x0+ε]

|y − y| = θ > 0.

27

Пусть x∗ — точка, где это значение θ достигается.

θ = |y(x∗)| ≤x∗∫

x0

|f(x, y)−f(x, y)|dx ≤ N

x∗∫x0

|y−y| dx ≤ N

x0+ε∫x0

θdx = Nεθ,

то есть θ ≤ Nεθ, следовательно, ε ≥ 1/N. Но по предположению ε скольугодно мало. Таким образом, получили противоречие со сделанным пред-положением, значит, не существует такого x∗, что |y(x∗) − y(x∗)| = θ.Теорема доказана.

7 Дифференциальные уравнения высших порядков

В общем виде дифференциальное уравнение порядка n записывается внеявной форме в виде

F (x, y, y′, ..., y(n)) = 0

или в виде, разрешенном относительно производной,

y(n) = f(x, y, y′, ..., y(n−1)). (7.1)

Для такого уравнения имеет место теорема существования и единствен-ности.

Теорема (без доказательства). Е сли в уравнении (7.1) правая частьf и ее производные по y, y′, ..., y(n−1) непрерывны в некоторой области,содержащей значения y0, y

(1)0 , y

(2)0 , ..., y

(n−1)0 , то существует единственное

решение уравнения (7.1) с начальными условиями

y(x0) = y0, y′(x0) = y

(1)0 , ..., y(n−1)(x0) = y

(n−1)0 .

В частности, для уравнения

y′′ = f(x, y, y′)

начальные условия (данные Коши) ставятся следующим образом: y(x0) =y0, y

′(x0) = y10. Геометрически это соответствует тому, что требуется най-ти решение уравнения (7.1), проходящее через данную точку (x0, y0) иимеющее в этой точке угол наклона, соответствующий y10.

Из приведенной теоремы следует, что решение существует и един-ственно. Если задавать разные значения производной y10(x0) при фикси-рованных y0, то получим бесконечное множество интегральных кривых,соответствующих разным углам наклона.

28

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-гопорядка называется такая функция y = φ(x;C1, ..., Cn), что

1. Эта функция удовлетворяет уравнению (7.1) для любого наборапостоянных C1, ...Cn.

2. При заданных начальных условиях y0, y(1)0 , ..., y

(n−1)0 можно подо-

брать соответствующие постоянные (при условии, что началь-ные данные лежат в области, где правая часть удовлетворяетусловиям теоремы существования и единственности), такие, чтоφ(x;C1, ..., Cn) будет решением задачи Коши.

Определение. Всякая функция, полученная из общего решения приконкретных значениях постоянных C1, ..., Cn, называется частным ре-шением (7.1). График частного решения называется интегральной кри-вой.

7.1 Линейные однородные уравнения

Определение. Дифференциальное уравнение вида

an(x)y(n) + an−1(x)y

(n−1) + ...+ a1(x)y′ + a0(x)y = f(x)

называется линейным.Здесь ai(x) и f(x) — заданные функции от x или постоянные, при-

чем an(x) = 0 нигде в области, где рассматривается уравнение. Далее врассуждениях предположим, что an(x) ≡ 1 и ai(x) (i = 1, ..., n), f(x) —непрерывны.

Определение. Если f(x) ≡ 0, то уравнение называется однородным.

7.2 Основные свойства линейных однородных уравнений

Рассмотрим на примере уравнения второго порядка.

y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0. (7.2)

Теорема. Если y1(x) и y2(x) — решения уравнения (7.2), то их линейнаякомбинация C1y1(x) + C2y2(x) — тоже решение (7.2).

29

Определение. Два решения линейного однородного уравнения (7.2) на-зываются линейно зависимыми, если существуют такие постоянныеC1 и C2, C2

1 + C22 = 0, что

C1y1(x) + C2y2(x) ≡ 0.

Напротив, они называются линейно независимыми, если это равен-ство выполнено только при C1 = C2 = 0.

Определение. Определитель вида

W (x) =

∣∣∣∣∣ y1(x) y2(x)

y′1(x) y′2(x)

∣∣∣∣∣ (7.3)

называется определителем Вронского (или вронскианом) для функцийy1(x) и y2(x).

Теорема. Если y1(x) и y2(x) — линейно зависимы на [a, b] то W (x) ≡ 0на [a, b].Доказательство. Пусть y1(x) и y2(x) — линейно зависимы. Это значит,что y2(x) = λy1(x), x ∈ [a, b]. Следовательно,

W (x) =

∣∣∣∣∣ y1(x) λy1(x)

y′1(x) λy′1(x)

∣∣∣∣∣ = 0.

Теорема . Если для решений (7.2) с непрерывными коэффициентамиW (x0) = 0 для некоторого x0 из [a, b], то W (x) = 0 для любого x из[a, b].Доказательство. Имеем

y′′1 + a1(x)y′1 + a0(x)y1 = 0,

y′′2 + a1(x)y′2 + a0(x)y2 = 0.

Умножая первое уравнение на y2, второе на y1 и вычитая, получаем

y′′1y2 − y′′2y1 + a1(y′1y2 − y′2y1) = 0.

Вычислим W ′(x):W (x) = y1y

′2 − y2y

′1,

W ′(x) = y′1y′2 + y1y

′′2 − (y′2y

′1 + y2y

′′1),

то есть получаемW ′(x) = −a1W (x).

30

Это линейное однородное уравнение первого порядка. Решая его, полу-чим

dW

W= −a1(x)dx,

lnW

C= −

x∫x0

a1(x)dx,

W (x) = Ce−

x∫x0

a1(x) dx

. (7.4)

По условиюW (x0) = Ce0 = C = 0.

Тогда W (x) = 0, поскольку показательная функция нигде не равна 0, апостоянная C не равна нулю по условию теоремы.

Замечание. Попутно получаем, что если W (x0) = 0, то W (x) ≡ 0.

Теорема. Если y1(x) и y2(x) — линейно независимые решения (7.2) дляx ∈ [a, b], то W (x) = 0 нигде на [a, b].Доказательство. От противного. Пусть W (x) = 0 в некоторой точкеx0 отрезка [a, b]. Тогда по предыдущей теореме определитель равен нулювсюду на [a, b], то есть

y1y′2 − y′1y2 = 0.

Рассмотрим точки, где y1 = 0. Тогда

y1y′2 − y2y

′1

y21= 0,

(y2y1

)′= 0,

то есть y2 = λy1 в точках, где y1 = 0.

Теорема . Если y1(x) и y2(x) — линейно независимые решения, то ихлинейная комбинация C1y1(x) +C2y2(x) есть общее решение этого урав-нения.Доказательство.

1. При любом выборе C1, C2 указанная функция будет решением.2. Докажем, что для любых начальных условий

y(x0) = y0, y′(x0) = y10 (7.5)

31

можно подобрать постоянные C1 и C2 так, что y(x) удовлетворяет этимначальным условиям.

Из (7.5) следует, что y0 = C1y1(x0) + C2y2(x0),

y10 = C1y′1(x0) + C2y

′2(x0).

Это неоднородная система линейных уравнений для определения по-стоянных C1 и C2. Ее определитель W (x0) = 0 в силу линейной незави-симости y1(x) и y2(x). Значит, эта система имеет единственное решениеC1, C2.

Теорема. Если известно одно частное решение (7.2), то можно понизитьпорядок этого уравнения.Доказательство. Пусть дано уравнение

y′′ + a1y′ + a0(x)y = 0

и известно y1(x) — его частное решение. Из доказательства вышеизло-женной теоремы следует, что

y′2y1 − y2y′1 = Ce−

∫a1(x)dx.

Так как y1 известно, то это уравнение первого порядка для y2(x). Делимна y21.

y′2y1 − y2y′1

y21=C

y21e−

∫a1(x)dx,(

y2y1

)′=C

y21e−

∫a1(x)dx,

y2y1

=

∫ (C

y21e−

∫a1(x)dx

)dx+ C1.

Так как ищем какое-нибудь частное решение, то можно принять C1 =0, C = 1. Получим

y2 = y1

∫e−

∫a1(x)dx

y21dx.

Очевидно, построенная система функций линейно независима, так как

y2y1

=

∫e−

∫a1(x)dx

y21dx = const.

32

Общее решение имеет вид

y = C1y1 + C2y2 = C1y1 + C2y1

∫e−

∫a1(x)dx

y21dx.

Пример.

y′′ +1

xy′ − 1

x2y = 0.

У этого уравнения есть частное решение

y1 = x,

что проверяется непосредственной подстановкой. Ищем второе решение,понизив предложенным способом порядок уравнения,(

y2y1

)′=C

x2e−∫ dxx =

C

x2e− lnx =

c

x2elnx

−1

=c

x21

x=C

x3.

y2y1

=

∫C

x3dx = − 1

2x2,

если, как и ранее, примем C = 1, то второе решение

y2 = − 1

2x2y1 = − x

2x2= − 1

2x.

Подставим найденное y2(x) в уравнение, при этом y′1 =1

2x2 , y′′2 = − 1

x3 .Получим тождество.

8 Линейные однородные уравнения второго порядкас постоянными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение

y′′ + py′ + qy = 0, p = const, q = const, p ∈ R, q ∈ R. (8.1)

По доказанной ранее теореме для нахождения общего решения необ-ходимо найти два линейно независимых решения. Попытаемся искатьчастное решение этого уравнения в виде

y = eλx,

гдеλ = const,

33

подставляя эту функцию в уравнение (8.1) (при этом y′ = λeλx, y′′ =λ2eλx) получим

eλx(λ2 + λp+ q) = 0.

Так как ни при каких λ множитель eλx = 0, сокращая на этот множитель,получим алгебраическое уравнение для определения чисел λ

λ2 + λp+ q = 0. (8.2)

Определение.Уравнение (8.2) называется характеристическим урав-нением для дифференциального уравнения (8.1).

Вычисляя числа λi, i = 1, 2, из (8.2), получим частные решения диф-ференциального уравнения (8.1) в виде eλix.

Так как в данном случае характеристическое уравнение является квад-ратным, возможны следующие варианты.

1. λ1 = λ2, λi ∈ R. Тогда получаем, что функции eλ1x и eλ2x являютсярешениями исходного дифференциального уравнения (8.1).

Очевидно, что эти функции линейно независимы, следовательно,составляют фундаментальную систему решений исходного диффе-ренциального уравнения второго порядка.

Тогда его общее решение есть двухпараметрическое семейство функ-ций

y = C1eλ1x + C2e

λ2x.

Пример.y′′ + y′ − 2y = 0.

Составляем характеристическое уравнение

λ2 + λ− 2 = 0.

λ1 = 1, λ2 = −2,

y = C1ex + C2e

−2x.

2. Корни характеристического уравнения — комплексно-сопряженные,λ1,2 = α± iβ.

Строим частное решение

y1(x) = eλ1x = e(α+iβ)x = eαxeiβx =

34

= eαx(cos(βx) + i sin(βx)

)= u+ iv.

Проводя аналогичные действия с y2(x) = eλ2x, получаем

y2 = eαx(cos(βx)− i sin(βx)

)= u− iv,

то есть y1(x) и y2(x) — комплексные функции действительного ар-гумента, удовлетворяющие дифференциальному уравнению.Подставим частное решение y1(x) в уравнение.

(u(x) + iv(x))′′ + p(u(x) + iv(x))′ + q(u(x) + iv(x)) ≡ 0,

(u′′(x) + pu′(x) + qu(x)) + i(v′′(x) + pv′(x) + qv(x)) ≡ 0

— тождество, следовательно, действительная и мнимая части выра-жения равны нулю, то есть действительные функции u(x) и v(x) —решения исходного уравнения.Таким образом, решениями уравнения (8.1) при комплексно-сопряженныхλ будут вещественные функции

eαx cos(βx), eαx sin(βx).

В силу их линейной независимости они составляют фундаменталь-ную систему решений, так что общее решение уравнения (8.1) запи-шется в виде

y = C1eαx cos(βx) + C2e

αx sin(βx).

Пример. Найти общее решение уравнения

y′′ + 2y′ + 5y = 0

и решение задачи Коши с начальными условиями

y(0) = 0, y′(0) = 1.

Выписываем характеристическое уравнение

λ2 + 2λ+ 5 = 0.

Его корни — λ1 = −1 − 2i, λ2 = −1 + 2i. Тогда фундаментальнаясистема решений — функции

e−x cos(2x), e−x sin(2x),

35

А общее решение есть

y = e−x(C1 cos(2x) + C2 sin(2x)). (8.3)

Перейдем к решению задачи Коши. Подставляя начальное условиеy(0) = 0 в общее решение, получим

0 = e0(C1 cos(0) + C2 sin(0)) = C1.

Продифференцируем общее решение (8.3)) и подставим в него вто-рое условие Коши:

y′(x) = −e−x(C1 cos(2x)+C2 sin(2x))+e−x(−2C1 sin(2x)+2C2 cos(2x)) =

= e−x((C2 − 2C1) sin(2x) + (C1 + 2C2) cos(2x)),

1 = y′(0) = e0(C2 − 0) sin 0 + (0 + 2C2) cos 0) = 2C2.

Таким образом,C1 = 0, C2 = 1/2.

Следовательно, решением задачи Коши будет (8.3) при C1 = 0 иC2 = 1/2, то есть функция

y(x) =1

2e−2x sin(2x).

На рисунке представлен ее график.

Рис. 6: Решение задачи Коши

3. Пусть квадратное уравнение имеет кратный корень, λ1 = λ2 = λ ∈R.

36

Тогда y1 = eλx — решение исходного дифференциального уравнения.Будем искать второе линейно независимое решение в виде

y2(x) = u(x)eλx.

Тогда

y′2(x) = u′(x)eλx + u(x)λeλx = eλx(u′(x) + λu(x)),

y′′2(x) = λeλx(u′(x) + λu(x)) + eλx(u′′(x) + λu′(x)).

Подстановка в (8.1) дает

0 = λeλx(u′(x)+λu(x))+eλx(u′′(x)+λu′(x)+peλx(u′(x)+λu(x))+qu(x)λx =

= eλx(u′′(x) + u′(x)(λ+ λ+ p) + u(x)(λ2 + λp+ q)

)= u′′(x)eλx,

(здесь учтено, что λ — кратный корень квадратного уравнения λ2+λp + q = 0, поэтому λ = −p/2), то есть u′′(x) = 0. Тогда u(x) =Ax+B. Например, можно взять u(x) = x. Тогда фундаментальнойсистемой решений дифференциального уравнения будут функции

y1(x) = eλx, y2(x) = xeλx.

Отметим, что второе решение уравнения можно искать по формулеОстроградского — Лиувилля (7.4),

y2y1

=Ce−

∫pdx

y21, p = const, y1 = eλx.

y2y1

= Ce−px(e−λx)2 = Ce−2λx−px = Ce−x(p+2λ) = Ce0 = C,

y2y1

= Cx+ C1, y2 = (Cx + c1)y1 = (Cx+ C1)eλx.

Упражнение. Доказать линейную независимость функций eλx, xeλx.

Пример. Решить уравнение

y′′ − 4y′ + 4y = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид

λ2 − 4λ+ 4 = 0, λ1,2 = 2,

фундаментальная система решений —

y1 = e2x, y2 = xe2x.

Общее решениеy = C1e

2x + C2xe2x.

37

9 Свойства решений линейных однородных уравне-ний n-го порядка

Рассмотрим уравнение

y(n) + an−1(x)y(n−1) + ...+ a1(x)y

′ + a0(x)y = 0. (9.1)

Теорема. Пусть y1(x) и y2(x) — решения уравнения (9.1). Тогда их ли-нейная комбинация

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

тоже является решением уравнения (9.1).Доказательство. Очевидно в силу линейности оператора левой частиуравнения.

Следствие. Любая линейная комбинация решенийn∑0

Ciyi(x)

уравнения (9.1) тоже является его решением.Таким образом, множество решений линейного однородного уравне-

ния n-го порядка является линейным пространством. Возникает есте-ственный вопрос — какова его размерность? Как строить его базис?

Определение. Система функций y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется ли-нейно зависимой на промежутке, x ∈ [a, b], если существуют такиепостоянные C1, C2, ..., Cn, одновременно не равные нулю, что для любо-го x ∈ [a, b] выполнено тождество

C1y1(x) + C2y2(x) + ...+ Cnyn(x) ≡ 0. (9.2)

Если это тождество справедливо только для постоянных C1 = C2 =... = Cn = 0, то система функций называется линейно независимой.

Пример.

1. Рассмотрим набор функций

y1(x) = ex, y2(x) = e2x, y3(x) = 2ex.

Очевидно, что2y1 + 0 · y2 − 1 · y3 ≡ 0,

таким образом, эта система функций линейно зависима.

38

2. Пусть y1 = 1, y2 = x. Тогда равенство (9.2) примет вид

C1 + C2x = 0.

Оно выполняется при всех x только тогда, когда C1 = C2 = 0. Такимобразом, рассматриваемая система функций линейно независима.

3. Рассмотрим систему функций

1, x, x2, x3, ...xn.

Если не все C1, ..., Cn равны нулю, то равенство (9.2) выполнено неболее, чем в n точках — корнях соответствующего многочлена. Та-ким образом, система функций 1, x, x2, x3, ...xn линейно независима.

4. Пусть дана система функций

ek1x, ek2x, ..., eknx,

где все числа k1, k2, ..., kn различные. Попробуем подобрать посто-янные Ci, i = 1, ..., n, чтоб было выполнено равенство (9.2).

Не ограничивая общности, можно считать, что Cn = 0. Делим по-лученное равенство на ek1x.

Дифференцируя по x, получим аналогичное равенство, но с мень-шим числом слагаемых. Продолжая этот процесс аналогичным об-разом, в итоге получим

Cn(kn − k1)(kn − k2)...(kn − kn−1)e(kn−kn−1)x = 0.

Но равенство нулю не может быть выполнено, так как ki = kj, i = j.Следовательно, исходная система функций линейно независима.

5. Рассмотрим систему функций

y1 = sin kx, y2 = cos kx.

Она линейно независима. Предположим обратное. Тогда выполненодля всех x

C1 sin kx+ C2 cos kx = 0.

Дифференцируя это соотношение по x, получим однородную систе-му линейных алгебраических уравнений для определения постоян-ных C1, C2,

C1 sin kx+ C2 cos kx = 0,

39

kC1 cos kx− kC2 sin kx = 0.

Определитель этой системы∣∣∣∣ sin kx cos kxcos kx − sin kx

∣∣∣∣ = − sin2 kx− cos2 kx = −1 = 0.

Следовательно, система имеет только тривиальное решение, то естьфункции sin kx, cos kx линейно независимы.

Определение. Пусть дана система функций y1(x), y2(x), ..., yn(x). Опре-делитель квадратной матрицы

W (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1(x) y2(x) ... yn(x)

y′1(x) y′2(x) ... y′n(x)

... ... ... ...

y(n−1)1 (x) y

(n−1)2 (x) ... y

(n−1)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣называется определителем Вронского.

Теорема. Пусть y1(x), y2(x), ..., yn(x) — линейно зависимая система функ-ций на [a, b] и существуют производные всех функций до (n−1) порядка.Тогда W (x) ≡ 0.Доказательство.

Так как система функций линейно зависима, то для всех x ∈ [a, b]выполнено равенство (9.2).

Дифференцируя это равенство (n − 1) раз, получим однородную си-стему линейных алгебраических уравнений относительно Ci, i = 1, ..., n.

C1y1(x) + C2y2(x) + ...+ Cnyn(x) = 0,

C1y′1(x) + C2y

′2(x) + ...+ Cny

′n(x) = 0,

............

C1y(n−1)1 (x) + C2y

(n−1)2 (x) + ...+ Cny

(n−1)n (x) = 0.

(9.3)

Так как по условию теоремы система функций линейно зависима, тоу системы (9.3) есть нетривиальное решение. Следовательно, определи-тель системы равен нулю. Выписывая его, убеждаемся, что это и естьопределитель Вронского для системы функций y1(x), y2(x), ..., yn(x).

Замечание. Если W (x) = 0 хотя бы в одной точке x ∈ [a, b], то системафункций линейно независима на [a, b].

40

Теорема. Пусть дана система функций y1(x), y2(x), ...yn(x). Известно,что

1. Эти функции линейно независимы на [a, b].

2. Являются решениями дифференциального уравнения (9.1).

Тогда W (x) = 0 ∀x ∈ [a, b].Доказательство. Проведем доказательство методом от противного. Пустьв некоторой точке x0 выполнено равенство W (x0) = 0.

Выберем постоянные Ci как нетривиальное решение системы

C1y1(x0) + C2y2(x0) + ...+ Cnyn(x0) = 0,

C1y′1(x0) + C2y

′2(x0) + ...+ Cny

′n(0) = 0,

............

C1y(n−1)1 (x0) + C2y

(n−1)2 (x0) + ...+ Cny

(n−1)n (x0) = 0.

(9.4)

Рассмотрим функцию

y = C1y1(x) + C2y2(x) + ...+ Cnyn(x).

Эта функция является решением уравнения (9.1) и удовлетворяет нуле-вым начальным данным,

y(x0) = y′(x0) = ... = y(n−1)(x0) = 0.

По теореме существования и единственности задача Коши для (9.1) снулевым начальным условием имеет единственное решение y ≡ 0, сле-довательно,

y =n∑

i=0

Ciyi(x) ≡ 0, x ∈ [a, b],

то есть функции y1(x), y2(x), ...yn(x) линейно зависимы. Получили про-тиворечие с предположением, то есть такой точки x0, что W (x0) = 0, несуществует. Таким образом, W (x) = 0 для любых x ∈ [a, b].

Замечание. Если функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) не являются решениямиодного и того же уравнения (9.1), то теорема не верна.

Пример. Рассмотрим функции

y1(x) =

(x− 1)2, 0 ≤ x ≤ 1,

0, 1 < x ≤ 2,

41

Рис. 7: График функции y1(x)

y2(x) =

0, 0 ≤ x ≤ 1,

(x− 1)2, 1 < x ≤ 2.

Рис. 8: График функции y1(x)

Вычислим вронскиан системы функций на [0,1] и [1,2];

W (x)

∣∣∣∣∣[0,1]

=

∣∣∣∣∣ (x− 1)2 0

2(x− 1) 0

∣∣∣∣∣ = 0, W (x)

∣∣∣∣∣[1,2]

=

∣∣∣∣∣ 0 (x− 1)2

0 2(x− 1)

∣∣∣∣∣ = 0.

Непосредственное вычисление показывает, что функции линейно неза-висимы. Действительно, имеем:

C1y1 + C2y2 =

C1(x− 1)2 + C2 · 0, 0 ≤ x ≤ 1,

C1 · 0 + C2(x− 1)2, 1 < x ≤ 2.

Приравнивая линейную комбинацию функций к нулю при x = 0 и x = 2,отсюда получаем C1 = 0, C2 = 0.

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что эти функцииявляются решениями дифференциального уравнения

y′′ − 2

(x− 1)2y = 0.

42

Однако коэффициент при y(x) не является непрерывным в точке x = 1,то есть в окрестности этой точки не выполнены условия теоремы суще-ствования и единственности. В частности, решением этого дифференци-ального уравнения с начальными условиями y(1) = 0, y′(1) = 0 яв-ляются функции y(x) ≡ 0 и y(x) = (x − 1)2, из частей которых и былпостроен данный пример.

9.1 Структура общего решения

Теорема. Если y1(x), ..., yn(x) — линейно независимые на [a, b] решениялинейного уравнения n-го порядка с непрерывными коэффициентами, тофункция

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ...+ Cnyn(x)

— его общее решение, то есть

1. y(x) — решение уравнения,

2. любое решение этого уравнения представимо в таком виде при со-ответствующем выборе произвольных постоянных C1, ..., Cn.

Доказательство.1. Очевидно в силу линейности оператора уравнения.2. Пусть y = y(x) — решение уравнения Ln[y] = 0. Положим

y(x0) = y0, y′(x0) = y

(1)0 , ..., y(n−1)(x0) = y

(n−1)0 .

Для чисел y0, y(1)0 , ..., y

(n−1)0 составим систему

C1y1(x0) + C2y2(x0) + ...+ Cnyn(x0) = y0,

C1y′1(x0) + C2y

′2(x0) + ...+ Cny

′n(x0) = y

(1)0 ,

............................

C1y(n−1)1 (x0) + C2y

(n−1)2 (x0) + ...+ Cny

(n−1)n (x0) = y

(n−1)0 .

Определитель этой системы есть

W (x0) = 0

по условию теоремы (так как система функций y1(x), y2(x), ..., yn(x) ли-нейно независима на [a, b]). Тогда существует набор чисел C1, C2, ..., Cn

— решение этой системы. Таким образом, функция

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ...+ Cnyn(x)

43

является решением уравнения Ln[y] = 0 с заданными начальными усло-виями.

На основании теоремы существования и единственности решения по-лучаем y(x) = y(x), x ∈ [a, b], что доказывает теорему.

Таким образом, для построения общего решения однородного уравне-ния (9.1) достаточно найти какие-нибудь n линейно независимых реше-ний и составить их линейную комбинацию

Следствие. Максимальное число линейно независимых решений одно-родного уравнения равно его порядку, то есть размерность пространстварешений уравнения (9.1) есть n.

Проиллюстрируем это утверждение на примере уравнения второго по-рядка.

Пусть для x ∈ R дано уравнение

y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0. (9.5)

Задавая данные Коши y(0) = 1, y′(0) = 0, получим решение y1(x).Если изменить данные, задав y(0) = 0, y′(0) = 1, решением соответ-

ствующей задачи Коши для уравнения (9.5) будет функция y2(x). По-лученные функции y1(x) и y2(x) — линейно независимы. Действительно,выписывая соотношение C1y1(x) + C2y2(x) = 0 в точке x = 0, получимC1 = 0. Аналогично, дифференцируя и подставляя в него x = 0, получимC1y

′1(0) + C2y

′2(0) = 0, то есть C2 = 0.

Тогда общее решение уравнения (9.5) есть

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x),

любое решение уравнения (9.5) выражается через найденные y1(x) иy2(x), то есть третьего решения (9.5), линейно независимого с y1 и y2,не существует.

9.2 Линейные неоднородные уравнения n-го порядка

Если для линейного однородного уравнения n-го порядка найдены n ли-нейно независимых решений, то общее решение неоднородного уравнения

y(n) + an−1(x)y(n−1) + ...+ a1(x)y

′ + a0(x)y ≡ L[y(x)] = f(x) (9.6)

может быть найдено по формуле

y(x) =n∑

i=1

Ciyi(x) + y(x) ≡ y0(x) + y(x), (9.7)

44

где y0(x) — общее решение соответствующего однородного уравнения, аy(x) — любое частное решение неоднородного уравнения.

В самом деле, в силу линейности оператора уравнения Ln[y]

Ln[y] = Ln[y] +n∑

i=1

CiL[yi] = f(x) +n∑1

0 = f(x),

то есть такая функция y(x) является решением неоднородного уравне-ния.

С другой стороны, если функция y(x) — решение неоднородного урав-нения (9.6), то

Ln[y − y] = Ln[y]− Ln[y] = f(x)− f(x) = 0,

то есть функция y(x) − y(x) является решением соответствующего од-нородного уравнения, и существуют такие постоянные Ci, i = 1, ..., n,что

y(x)− y(x) =n∑

i=1

Ciyi(x).

Это равенство доказывает утверждение (9.7).

10 Линейные однородные уравнения n-го порядка спостоянными коэффициентами

Определение.Уравнение вида

y(n)+an−1y(n−1)+...+a1y

′+a0y = 0, ai = const, i = 0, 1, ..., n−1 (10.1)

— линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффи-циентами.

Для того, чтобы решить уравнение (10.1), нужно найти его n линейнонезависимых решений (фундаментальную систему решений, далее ФСР),тогда общим решением будет

y0 = C1y1(x) + C2y2(x) + ...+ Cnyn(x). (10.2)

с произвольными постоянными Ci, y = 1, ..., n (n-параметрическое семей-ство решений).

45

Аналогично приведенному выше случаю для n=2 ищем частное ре-шение уравнения (10.1) в виде y = eλx, подстановка в (10.1) дает харак-теристическое уравнение, которое запишем в виде

χn(λ) = λn + an−1λn−1 + ...+ a1λ+ a0 = 0.

Известно, что многочлен степени n имеет ровно n корней с учетом ихкратности, то есть

χn(λ) =n∏

j=1

(λ− λj).

Лемма. Функция yi = eλix, где χ(λi) = 0, есть решение уравнения (10.1).Доказательство. Прямой подстановкой yi(x) = eλix в уравнение (10.1),при этом производные

y(k)i = λki e

λix,

убеждаемся, что

L[yi] = eλix∑i

akλki = eλixχ(λi) = 0.

Ранее было доказано, что функции eλ1x, eλ2x, ..., eλnx линейно незави-симы, если λi = λj. Следовательно, если характеристическое уравнениеимеет n различных корней (вещественных или комплексных), то тем са-мым искомые n линейно независимых функций найдены. Они и состав-ляют фундаментальную систему решений уравнения (10.1).

Таким образом, функции eλ1x, eλ2x, ..., eλnx есть фундаментальная си-стема решений уравнения (10.1), тогда его общее решение имеет вид

y0 =n∑0

Cieλix.

Случай 1.1. Если все собственные числа λi, i = 1, ..., n — вещественныеи различные, тогда ФСР имеет вид eλ1x, eλ2x, ..., eλnx.

Случай 1.2. Пусть среди собственных чисел есть комплексное чис-ло λ1 = α + iβ. Тогда по теореме алгебры о корнях полинома с ве-щественными коэффициентами в множестве собственных чисел есть икомплексно-сопряженное число λ2 = α−iβ, то есть среди решений (10.1)есть z1,2 = ex(α±iβ). Воспользуемся леммой о том, что вещественная и

46

мнимая части комплексного решения есть решения, получаем, что вме-сто функций z1,2 в ФСР можно включить элементы

y1 = eαx cos βx, y2 = eαx sin βx.

Случай 2. Среди λi есть кратное. В таком случае этому собственномучислу λ1 кратности k сопоставим k функций

eλ1x, xeλ1x, ..., xk−1eλ1x.

Покажем, что все эти функции являются решениями уравнения (10.1).Действительно, в этом случае

χ(λ) = (λ− λ1)kχ1(λ), χ1(λ1) = 0.

Очевидно, чтоL[y1] = eλ1xχ(λ1) = 0.

Возьмем функцию y2 = xeλ1x. Вычислим ее производные.

y′2 =(xeλ1x

)′= eλ1x + λ1xe

λ1x,

y′′2 = 2λ1eλ1x + λ21xe

λ1x,

...............................

y(n)2 = nλ1e

λ1x + λn1xeλ1x.

ТогдаL[y2] = eλ1x (xχ(λ1) + χ′(λ1)) = 0.

Далее доказательство по индукции. Если для yp−1 утверждение верно,то есть L[yp−1] = 0, то для yp получаем

L[yp] = eλ1x(xp−1χ(λ1) + xp−2χ′(λ1x) + ...+ xχ(p−2)(λ1) + χ(p−1)(λ1)

)= 0,

поскольку корень λ1 кратности k обращает в нуль как саму функциюχ(λ1), так и ее производные до порядка (k − 1) включительно.

Остается доказать, что функции eλ1x, xeλ1x, ..., xk−1eλ1x линейно неза-висимы. Это утверждение предлагается доказать в качестве упражнения.

47

11 Линейные неоднородные уравнения n-го порядка

Рассмотрим уравнение

L[y] ≡ y(n) + an−1(x)y(n−1) + ...+ a1(x)y

′ + a0(x)y = f(x), (11.1)

здесь ai = ai(x), f(x) — непрерывные на [a, b] функции.Свойства решений уравнения (11.1).

1. Пусть y1(x) — частное решение неоднородного уравнения (11.1),y2(x) — общее решение соответствующего однородного уравнения.

Тогда y1(x) + y2(x) — общее решение неоднородного уравнения.

2. Пусть имеем m уравнений вида

L[y(x)] = fα(x), α = 1, ...,m

и yα(x) — решение соответствующего уравнения с правой частьюfα(x), L[yα(x)] = fα(x).

Тогда линейная комбинация

y =m∑

α=1

Dαyα (11.2)

есть решение уравнения

L[y] =m∑

α=1

Dαfα.

3. Если уравнение L[y] = U(x) + iV (x) с вещественными коэффи-циентами и вещественными функциями U(x), V (x) имеет решениеy = u(x) + iv(x), то

L[u] = U, L[v] = V.

Доказательство. Утверждение следует очевидным образом из линей-ности левой части уравнения.

В предыдущем параграфе было показано, что общее решение одно-родного уравнения есть линейная комбинация элементов фундаменталь-ной системы решений. Таким образом, для построения общего решениянеоднородного уравнения в соответствии с формулой (9.7) необходимо

48

каким-то образом построить частное решение неоднородного уравнения.Например, можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема (метод вариации произвольных постоянных). Пустьy1(x), y2(x), ..., yn(x) — фундаментальная система решений линейного од-нородного уравнения L[y] = 0. Тогда частное решение неоднородногоуравнения можно искать в виде

y =n∑1

Ck(x)yk(x),

где функции Ck(x) такие, что производные C ′k(x) удовлетворяют неко-

торой системе линейных уравнений.Доказательство. Определим C ′

k(x) оптимальным образом. Пусть част-

ное решение представлено в виде y =n∑1Ck(x)yk(x). Продифференциру-

ем это соотношение n раз и, накладывая некоторые условия, подставимрезультат дифференцирования в исходное уравнение n-го порядка (11.1).Результат вычисления производных и соответствующих условий, накла-дываемых на искомые функции, представим в виде таблицы.

шаг производная требуем тогда производная...

1 y′ =∑

Cky′k +

∑C ′kyk

∑C ′kyk = 0 y′ =

∑Cky

′k

2 y′′ =∑

Cky′′k +

∑C ′ky

′k

∑C ′ky

′k = 0 y′′ =

∑Cky

′′k

... ... ... ...

(n− 1) y(n−1) =∑

Cky(n−1)k +

∑C ′ky

(n−2)k

∑C ′ky

(n−2)k = 0 y(n−1) =

∑Cky

(n−1)k

.... что получается из уравнения (11.1)

(n) y(n) =∑

Cky(n)k +

∑C ′ky

(n−1)k

∑C ′ky

(n−1)k = f(x)

Эти условия (колонка "требуем") в совокупности с соотношением, по-лученным при их подстановке в исходное неоднородное уравнение, даютнеоднородную систему линейных алгебраических уравнений для опреде-

49

ления C ′k(x).

C ′1y1 + C ′

2y2 + ...+ C ′nyn = 0,

C ′1y

′1 + C ′

2y′2 + ...+ C ′

ny′n = 0,

.....................................

C ′1y

(n−1)1 + C ′

2y(n−1)2 + ...+ C ′

ny(n−1)n = f(x).

Определитель этой системы есть вронскиан функций

W [y1, y2, ..., yn](x) = 0

по свойству линейно независимых функций. Таким образом, системаимеет единственное решение C ′

1(x), C′2(x), ..., C

′n(x). Сами функции Ck(x)

находятся интегрированием после того, как определеныC ′

1(x), C′2(x), ..., C

′n(x).

11.1 Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с посто-янными коэффициентами

Уравнение (9.6) при ai = const, i = 0, ..., n−1 есть предмет исследованияэтого пункта. В соответствии с формулой (9.7), для построения реше-ния этого уравнения необходимо построить общее решение однородногоуравнения и частное решение неоднородного уравнения.

Метод построения y(x), y(x) = y0(x) + y(x) (общего решения неод-нородного уравнения) рассмотрен в параграфе 9.2. Кратко он состоит вследующем.

1. Выписываем характеристическое уравнение, оно будет иметь вид

λn + an−1λn−1 + ...a1λ+ a0 = 0, (11.3)

находим его корни λ1, λ2, ..., λn.

2. Строим фундаментальную систему решений однородного уравне-ния. Ее структура зависит от типа собственных чисел λ.

(a) Если все собственные числа вещественные и различные, λi =λj, i = j, то фундаментальная система решений состоит из функ-ций

y1 = eλ1x, y2 = eλ2x, ..., yn = eλnx,

и тогда общее решение уравнения (9.6) представимо в виде

y = C1eλ1x + C2e

λ2x + ...+ Cneλnx. (11.4)

50

(b) Если среди собственных чисел уравнения есть λ — кратное идействительное, которое имеет кратность k, то этому собствен-ному числу соответствуют k решений, которые можно строитьследующим образом:

y1 = eλx, y2 = xeλx, ..., yk = xk−1eλx,

Тогда часть общего решения, соответствующая кратному соб-ственному числу λ , есть

y = C1eλx + C2xe

λx + ...+ Ckxk−1eλx. (11.5)

(c) Если все коэффициенты уравнения вещественны и соответству-ющее характеристическое уравнение имеет комплексный кореньλ1 = α + iβ, то число λ2 = α − iβ также является корнемхарактеристического уравнения. Тогда общее решение уравне-ния можно записать в вещественном виде. Построим часть ре-шения, соответствующую паре комплексно-сопряженных чиселλ1,2 = α± iβ ,

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(α−iβ)x =

= eαx(C1(cos βx+ i sin βx) + C2(cos βx− i sin βx)

)=

= eαx(cos βx(C1 + C2) + i(C1 − C2) sin βx)

)=

= Aeαx cos βx+Beαx sin βx.

Если пара комплексно-сопряженных чисел имеет кратность k,то

y = Pk−1eαx cos βx+Qk−1e

αx sin βx,

где P,Q — многочлены от x степени k − 1 с произвольнымикоэффициентами.

3. Строим частное решение неоднородного уравнения. Возможны сле-дующие способы построения частного решения. (Отметим, однако,что этими способами не исчерпываются все методы нахождения y.Если, например, из физических соображений известен общий видрешения, можно этим воспользоваться.)

(a) Можно использовать метод вариации произвольных постоян-ных, описанный в предыдущем разделе. Рассмотрим его на при-мере уравнения второго порядка.

51

Пример.

y′′ + y =1

cosx.

Выписываем характеристическое уравнение

λ2 + 1 = 0

и находим его корниλ = ±i.

В качестве фундаментальной системы решений однородного урав-нения y′′ + y = 0 можно взять функции

y1 = cos x, y2 = sinx.

Тогда общее решение однородного уравнения

y = C1 cosx+ C2 sinx.

Применяя метод вариации произвольных постоянных, для C ′1, C

′2

выписываем системуC ′

1 cosx+ C ′2 sinx = 0,

−C ′1 sinx+ C ′

2 cosx =1

cosx.

ОтсюдаC ′

2 = 0, C ′1 = tg x,

то естьC1 = ln | cosx|+ C0

1 , C2 = x+ C02 .

Тогда общее решение неоднородного уравнения есть

y = C1 cosx+ C2 sinx+ cosx ln | cosx|+ x sinx.

Нужно отметить, что метод вариации произвольных постоян-ных универсален, однако в некоторых случаях интегрированиене всегда возможно, а иногда приводит к неоптимальным ре-зультатам. Поэтому в некоторых случаях возможно применитьследующий способ нахождения частного решения.

(b) Если правая часть уравнения имеет специальный вид,

f(x) = aeλ0x,

52

это дает возможность определить вид частного решения и ис-кать его методом неопределенных коэффициентов.1. Пусть λ0 не является корнем характеристического уравнения(11.3). Тогда частное решение уравнения (11.1) есть

y = Aeλ0x

с неопределенной (пока) постоянной A. Проверим это утвержде-ние непосредственной подстановкой.

y′ = Aλ0eλ0x, y′′ = Aλ20e

λ0x, ..., y(n) = Aλn0eλ0x.

Подстановка в уравнение приводит к

Aχ(λ0)eλ0x = aeλ0x,

сокращая на ненулевой множитель eλ0x, получаем

Aχ(λ0) = a,

то есть неопределенная ранее постоянная равна

A =a

χ(λ0).

Замечание. Эта формула не требует запоминания, она лишь ил-люстрирует алгоритм нахождения коэффициента.

Пример.y′′ + y = e2x,

Характеристическое уравнение

λ2 + 1 = 0,

имеет корни λ = ±i, тогда общее решение однородного уравнения

y0 = C1 cosx+ C2 sinx.

Ищем частное решение y(x) в виде правой части, λ = 2 — не кореньхарактеристического уравнения,

y(x) = Ae2x.

53

Подставляя частное решение в таком виде в уравнение,

4Ae2x + Ae2x = e2x,

сокращая на неравный нулю множитель e2x, получим

5A = 1, A = 1/5.

Таким образом,y = e2x/5,

y = y0 + y = C1 cosx+ C2 sinx+e2x

5.

Пример.y′′ + y = cos 2x.

Используя обращение формулы Эйлера, получим

cos 2x =e2ix

2+e−2ix

2,

то есть cos 2x есть сумма экспонент с комплексным показателем. Отме-тим этот важный факт для дальнейших рассуждений.

Тогда в соответствии с (11.2) ищем частное решение в виде суммы,каждое слагаемое которой отвечает своей правой части. Получаем

y = Ae2ix +Be−2ix = A(cos 2x+ i sin 2x) +B(cos 2x− i sin 2x) =

= (A+B) cos 2x+ (A−B)i sin 2x.

Таким образом,

y =M cos 2x+Ni sin 2x, где M = A+B,N = A−B.

Отметим, что если в правой части стоит sin kx или cos kx, то частноерешение нужно искать в виде линейной комбинации и sin kx, и cos kx.

Лемма. Если правая часть представлена в виде квазиполинома, то естьпроизведения многочлена на экспоненту, f(x) = eγxPm(x), то частноерешение можно искать в виде

y = xseγxQm(x), (11.6)

где s — кратность γ как корня характеристического уравнения χ(λ) = 0,то есть s = 0, если γ — не корень характеристического уравнения и s = k,если γ — корень уравнения кратности k.

54

Частный случай. Пусть уравнение имеет вид

y(n) + an−1y(n−1) + ...+ a1y

′ + a0y = Ps(x),

Ps(x) = Asxs + ...+ A0.

Если a0 = 0, то есть χ(0) = 0, то существует частное решение диффе-ренциального уравнения в виде многочлена степени s,

y = B0xs +B1x

s−1 + ...+Bs.

Приведем алгоритм вычисления коэффициентов частного решения. Дляэтого подставим решение y и его производные

y′ = B0sxs−1 +B1x

s−2(s− 1) + ...+Bs−1,

y′′ = B0s(s− 1)xs−2 +B1(s− 1)(s− 2)xs−3 + ...+Bs−2,

..........................

y(n) = B0s!

в неоднородное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковыхстепенях x,

xs : anB0 = A0, B0 = A0/an,

xs−1 : anB1 + san−1B0 = A1, B1 =An−san−1B0

an,

xs−2 : anB2 + (s− 1)an−1B1 + s(s− 1)an−2B0 = A2, B1 =An−san−1B0

an,

... ...

x0 : anBs + ... = As.

Таким образом, коэффициенты частного решения могут быть опреде-лены из полученной системы.

Обобщая сказанное, можно сформулировать следующее утверждение.

Лемма. Пусть правая часть линейного неоднородного уравнения с по-стоянными коэффициентами имеет вид

f(x) = eαx(Pm(x) cos βx+Qm sin βx

).

Тогда, если комплексное число γ = α + iβ не является корнем характе-ристического уравнения, частное решение имеет вид

y = eαx(Tm(x) cos βx+Rm sin βx

),

55

иy = xkeαx

(Tm(x) cos βx+Rm sin βx

),

если число α+ iβ есть корень характеристического уравнения кратностиk.Доказательство. Основано на представлении функций cos βx и sin βxпо формулам Эйлера

cos βx =eiβx + e−iβx

2, sin βx =

eiβx − e−iβx

2.

Таким образом, правая часть есть

f(x) = e(α+iβ)x

(P

2+Q

2i

)+e(α−iβ)x

(P

2− Q

2i

)= e(α+iβ)xA(x)+e(α−iβ)xB(x).

A(x), B(x) — многочлены, имеющие степень, равную максимальной изстепеней многочленов P (x) и Q(x).

Из рассуждений леммы следует, что мы должны определить, являетсяли комплексное число γ = α±iβ корнем характеристического уравнения.Отсюда очевидно следует, что

1. если γ — не корень уравнения, то

y = u(x)eαx cos βx+ v(x)eαx sin βx. (11.7)

2. если γ — корень уравнения кратности s, то

y = xs(u(x)eαx cos βx+ v(x)eαx sin βx

). (11.8)

Здесь u(x), v(x) — многочлены с неопределенными коэффициента-ми, их степень равна степени A(x) и B(x).

Замечание. Конструкции (11.7) и (11.8) верны и в случае P ≡ 0 (илиQ ≡ 0), что соответствует правой части f(x) = eαxPm(x) cos βx (илиf(x) = eαxQm(x) sin βx). В этом случае решение также ищется в виде(11.7) или (11.8), то есть содержит и cos βx, и sin βx.

Пример. Решить уравнение

y′′ + 2y′ + 5y = 2 cos x.

Характеристическое уравнение имеет вид

λ2 + 2λ+ 5 = 0,

56

его корни —λ = −1± 2i,

то есть общее решение однородного уравнения —

y0 = e−x(C1 cos 2x+ C2 sin 2x).

Так как в правой части присутствует cosx, это соответствует показателюэкспоненты

γ = ±i.Числа γ не являются корнями характеристического уравнения. Такимобразом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

y = A cosx+B sinx

с неопределенными коэффициентами A и B. Дифференцируя это выра-жение и подставляя вычисленные

y′ = −A sinx+B cosx,

иy′′ = −A cosx−B sinx

в неоднородное уравнение, получим соотношение

−A cosx−B sinx+ 2(−A sinx+ S cosx) + 5(A cosx+B sinx) = 2 cosx,(11.9)

которое выполнено при любых значениях x. Воспользуемся тем, чтофункции sinx и cosx являются линейно независимыми. Собирая коэф-фициенты в (11.9) при sinx и cosx и приравнивая коэффициенты в левойи правой частях соотношения, получим

cosx(−A+ 2B + 5A) + sin x(−B − 2A+ 5B) = 2 cosx,

то есть имеем систему уравнений для определения A и B,2B + 4A = 2,

−2A+ 4B = 0.

Отсюда A = 2/5, B = 1/5, то есть частное решение

y =2

5cosx+

1

5sinx,

57

и общее решение исходного уравнения

y = C1 cos 2x+ C2 sin 2x+2

5cosx+

1

5sinx.

Пример. Решить уравнение

y′′ + 4y = cos 2x.

Применяя вышеописанный метод, получим

λ2 + 4 = 0, λ = ±2i,

y0 = C1 cos 2x+ C2 sin 2x.

Здесь показатель γ экспоненты в правой части есть ±2i, это корень ха-рактеристического уравнения. Тогда частное решение приобретает мно-житель x и имеет вид

y = x(A cos 2x+B sin 2x).

Аналогично предыдущему примеру, дифференцируем y и подставляем внеоднородное уравнение,

y′ = x(−2A sin 2x+ 2B cos 2x) + A cos 2x+B sin 2x.

y′′ = −2A sin 2x+2B cos 2x+(−2A sin 2x+2B cos 2x)+x(−4A cos 2x−4B sin 2x) =

= −4A sin 2x+ 4B cos 2x− 4x(A cos 2x+B sin 2x).

Отсюда−4A sin 2x+ 4B cos 2x = cos 2x,

A = 0, B = 1/4,

y =x

4sin 2x,

y = C1 cos 2x+ C2 sin 2x+x

4sin 2x.

12 Дифференциальное уравнение свободных коле-баний

Уравнение, описывающее колебательную систему типа представленнойна рис. 9, есть

y′′ + py′ + qy = 0, y = y(t).

58

Рис. 9: Схема пружинного маятника

Здесь y(t) — отклонение тела (материальной точки) от положения равно-весия, p — коэффициент сопротивления среды, q — жесткость пружины,p ≥ 0, q > 0.

Характеристическое уравнение

λ2 + pλ+ q = 0

имеет корни

λ1,2 = −p2±√p2

4− q.

Рассмотрим различные случаи корней этого уравнения.1. p2

4 > q, то есть сила сопротивления велика по сравнению с жестко-стью.

Тогда λ1,2 < 0. Этот результат можно получить из теоремы Виета,λ1λ2 = q > 0, значит, корни одного знака. Их сумма λ1 + λ2 = −p < 0,значит, они оба отрицательны. Общее решение есть

10 20 30 40 50

t

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

y

Рис. 10: Колебания маятника, q = 1, p = 2.5

59

y = C1eλ1t + C2e

λ2t.

Оба показателя экспоненты отрицательны, при возрастании времени tотклонение резко убывает (рис. 10).

2. p2

4 = q,тогда характеристическое уравнение имеет кратный кореньλ1,2 = p2/4, общее решение есть

y = (C1 + C2t)e−pt/2.

Оно также стремится к нулю с ростом времени.3. p = 0, то есть нет силы сопротивления. Характеристическое урав-

нениеλ2 + q = 0

имеет комплексно-сопряженные корни

λ1,2 = ±i√q,что дает общее решение

y(t) = C1 cos√qt+ C2 sin

√qt.

Используя метод введения фиктивного угла, получаем

y =√C2

1 + C22

(C1√

C21 + C2

2

cos√qt+

C2√C2

1 + C22

sin√qt

)=

=√C2

1 + C22 sin(

√qt+ φ0) = A sin(

√qt+ φ0),

где

sinφ0 =C1√

C21 + C2

2

, cosφ0 =C2√

C21 + C2

2

,

следовательно, тело совершает гармонические колебания с периодом T =2π/

√q, амплитудой A =

√C2

1 + C22 и начальной фазой φ0.

4. Пусть

p = 0,p2

4< q.

Уравнение имеет комплексно-сопряженные корни

λ1,2 = α± iβ,

при этом α = −p2 , β =

√q − p2

4 . Общее решение имеет вид

y = eαt(C1 cos βt+ C2 sin βt) = Aeαt sin(βt+ φ0).

Так как амплитудный множитель есть экспонента с отрицательным по-казателем α, то колебания со временем затухают (функция sin βt моду-лируется функцией eαt) (рис. 11).

60

10 20 30 40 50

t

-0.5

0.5

1.0

1.5

y

Рис. 11: Колебания маятника, q = 0.26, p = 0.2

12.1 Вынужденные колебания

Если к колеблющемуся телу приложена внешняя сила f , зависящая отвремени, то уравнение приобретет вид

y′′ + py′ + qy = f(t).

Пусть внешняя сила периодична по времени,

f(t) = a sinωt.

Рассмотрим различные соотношения параметров.1. Пусть p = 0, p2/4 < q. Как уже было показано,

y0(t) = Aeαt sin(βt+ φ0).

здесь A, φ0 — произвольные постоянные (решение уравнения второго по-рядка есть двухпараметрическое семейство функций). Частное решениеимеет вид

y =M cosωt+N sinωt.

Читателю предлагается вычислить постоянные частного решения M иN .

С известными постояннымиM иN , используя приведенное ранее пра-вило нахождения частного решения в виде квазиполинома, y можно за-писать в виде

y = C sin(ωt+ φ∗).

Тогда общее решение есть

y = Aeαt sin(βt+ φ0) + C sin(ωt+ φ∗).

61

Так как α < 0 и с ростом t множитель eαt быстро стремится к нулю, товторое слагаемое с какого-то момента времени станет главным. То естьвне зависимости от амплитуды приложенной силы колебания тела будутпроисходить с частотой внешней силы ω — вынужденные колебания. За-висимости амплитуды колебаний от времени при различных значенияхпараметров приведены на рисунках 12–14.

10 20 30 40 50

t

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

y

Рис. 12: Колебания маятника, q = 0.26, p = 0.2, a = 0.3, ω = 1

10 20 30 40 50

t

-2

-1

1

2

3

4

5

y

Рис. 13: Колебания маятника, q = 0.26, p = 0.2, a = 1, ω = 5

Если при этих же условиях p = 0, что соответствует отсутствию со-противления, q = β2 > 0, то уравнение примет вид

y′′ + qy = a sinωt,

общее решение однородного уравнения

y0 = C1 cos βt+ C2 sin βt.

Возможны случаи1. β = ω. Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид

Y =M cosωt+N sinωt.

62

50 100 150 200

t

-4

-2

2

4

y

Рис. 14: Колебания маятника, q = 0.26, p = 0.2, a = 1, ω = 0.05

(Упражнение. Вычислить M и N .)Тогда y = y0+y — сумма двух синусоид. Некоторые возможные случаи

приведены на рисунках 15–16.

20 40 60 80 100

t

-4

-2

2

4

y

Рис. 15: Колебания маятника без трения

20 40 60 80 100

t

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

y

Рис. 16: Колебания маятника без трения

2. Интересен случай β = ω. Тогда частное решение ищем в виде

y = t(M cosωt+N sinωt).

Вычисляя производные и подставляя в неоднородное уравнение, полу-

63

чимy′ =M cosωt+N sinωt+ t(−ωM sinωt+Nω cosωt),

y′′ = −Mω sinωt+Nω cosωt+ (−ωM sinωt+Nω cosωt)+

+t(−ω2M sinωt−Nω2 sinωt),

то есть

−Mω sinωt+Nω cosωt+ (−ωM sinωt+Nω cosωt)+

+t(−ω2M cosωt− ω2N sinωt) + β2t(M cosωt+N sinωt) = a sinωt,

−Mω sinωt+Nω cosωt+ (−ωM sinωt+Nω cosωt) = a sinωt,−2ωM = a,

2ωN = 0,

M = − a

2ω,N = 0.

То есть частное решение

y = − a

2βt cosωt.

Тогда общее решение

y = A sin(βt+ φ0)−a

2βt cosωt.

Первое слагаемое ограничено, второе резко растет с увеличением време-ни. Наблюдается резонанс (рис. 17).

10 20 30 40 50

t

-20

-10

10

20

y

Рис. 17: Колебания маятника, явление резонанса: q = 1, p = 0, a = 1, ω = 1

64

13 Системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему

x′1 = f1(t, x1, ..., xn),

x′2 = f2(t, x1, ..., xn),

........

x′n = fn(t, x1, ..., xn),

(13.1)

для определения n неизвестных функций x1(t), x2(t), ..., xn(t).

Определение. Если, как в данном случае, производные x′i(t) выраженыявно через независимую переменную t и искомые функции, то системазаписана в нормальной форме по Коши.

С введением вектор-функций

X(t) =

x1(t)

x2(t)

...

xn(t)

система запишется в виде

X ′ = F (t,X) =

f1(t, x1, ..., xn)

f2(t, x1, ..., xn)

..............

fn(t, x1, ..., xn)

Пример. Система

x′1 = −x2,

x′2 = x1,

имеет частное решение x1 = cos t, x2 = sin t, что проверяется непосред-ственной подстановкой. В трехмерном пространстве интегральная кри-вая представлена на рис. 18.

Это винтовая линия, выходящая из точки (1,0). Проекция интеграль-ной кривой на плоскость (x1, x2) называется траекторией системы и вданном случае представляет собой окружность x21 + x22 = 1.

65

Рис. 18: Интегральная кривая в фазовом пространстве. Проекция на фазовую плос-кость

Кроме приведенного, есть еще решение

x1 ≡ 0, x2 ≡ 0,

то есть ось Ot тоже является интегральной кривой.

Определение. Если правая часть системы явно не зависит от t, тосистема называется автономной.

Тогда система принимает вид

x′1 = f1(x1, ..., xn),

x′2 = f2(x1, ..., xn),

........

x′n = fn(x1, ..., xn),

илиX ′ = F (X).

Определим вектор

F (X) =

f1(x1, ..., xn),

f2(x1, ..., xn),

...

fn(x1, ..., xn)

.

66

Решение X(t) описывает траекторию движения точки в n-мерном про-странстве, причем вектор скорости X ′ в момент прохождения точки че-рез (x1, x2, ..., xn) совпадает с F (X).

Определение. Пространство размерности n, состоящее из точек(x1, x2, ..., xn), в котором решения представляются в виде траекторий,называется фазовым пространством. Траектории при этом есть фа-зовые траектории, компоненты вектора F (X) — фазовые скорости.

Для системы дифференциальных уравнений, записанной в нормаль-ной форме по Коши, справедлива

Теорема (существования и единственности решения).. Пусть ко-ординатные функции F (t,X) определены, непрерывны и имеют непре-

рывные частные производные по координатам (x1, ..., xn) вида∂fk∂xj

(k, j =

1, 2, ..., n) в параллелепипеде

Π = (t, x1, ..., xn) : |t− t0| ≤ a, |xj − x0j | ≤ b, j = 1, 2, ..., n.

Тогда на некотором промежутке |t − t0| < h существует решение X(t)задачи Коши (13.1) с начальными условиями xi(t0) = x0i , i = 1, ..., n,которое определяется единственным образом.

14 Линейные системы дифференциальных уравне-ний

Рассмотрим линейную систему в нормальной формеdx1dt

= a11(t)x1 + ...+ a1n(t)xn + f1(t),

...dxndt

= an1(t)x1 + ...+ ann(t)xn + fn(t),

(14.1)

или в векторной записи

X = A(t)X + F, (14.2)

где

X =

x1...xn

, F =

f1...fn

, A =

a11 . . . a1n... . . . ...an1 . . . ann,

67

aij ∈ R, fi — непрерывны на a < t < b. Здесь точкой обозначено диффе-ренцирование по времени.

Так как будут рассматриваться как вещественные решения, так и ком-плексные, приведем некоторые факты.

Лемма 1.. Если A(t) — вещественная матрица, то

1. Вещественная и мнимая части любого комплексного решения систе-мы X = A(t)X — ее вещественные решения, X(t) = U(t) + iV (t).

2. Если F (t) = g(t) + ih(t), то U и V — решения систем

U = AU + g, V = AV + h (14.3)

3. Справедливо обратное. Если U, V — решения , то X = U + iV —решение с F = g + ih.

Доказательство. 2) Пусть (U + iV )′ = A(U + iV ) + (g + ih).Отделяем вещественную и мнимую части, получаем 3).При g = h = 0 из 2) следует 1).Умножая в 3) второе соотношение на i, вместе в первым получаем 3).

Теорема существования и единственности.. Для любого начальногоусловия X(t) = X0 система имеет единственное решение. Все ее решенияпродолжаются на весь интервал (a, b).

14.1 Общие свойства линейных систем

Определение. Если F (t) = 0, то система называется однородной.Перенесем слагаемое AX в левую часть уравнения (14.2), запишем

систему в видеL[X] = f,

L— линейный оператор, f,X — элементы линейного пространства непре-рывных (X — непрерывно дифференцируемых) n-мерных вектор-функцийна (a, b). Оператор L обладает следующими свойствами:

L[u+ v] = L[u] + L[v]; L[γu] = γL[u]

для любых u, v из линейного пространства, γ = const.Таким образом получаем, что если X1, ..., Xk — решения L[X] = 0,

γ1, ..., γk — числа, то X1+X2, X1−X2, γ1X1+ ...+γkX

k — тоже решенияоднородного уравнения.

68

Если X1, ..., Xk — решения неоднородной системы L[X i] = F i, то X =γ1X

1 + ...+ γkXk — решение системы

L[X] = γ1F1 + ...+ γkF

k.

В частности, если Lu = 0, Lv = f , то L[u+ v] = f . Если Lv1 = f, Lv2 =f , то L[v1 − v2] = 0. То есть сумма решений линейного однородногоуравнения и линейного неоднородного уравнения — решение неоднород-ного, разность решений неоднородного уравнения — решение однородно-го уравнения.

Эти свойства справедливы как для линейных систем, так и для ли-нейных уравнений.

15 Линейная зависимость вектор-функций

Вектор-функцииX1(t), ..., Xk(t) называются линейно зависимыми на (a, b),если существуют такие постоянные C1, ..., Ck, не равные нулю одновре-менно , что для любого t ∈ (a, b) выполнено равенство

C1X1(t) + ...+ CkX

k(t) ≡ 0.

Вектор-функции называются линейно независимыми, если это равен-ство выполнено только при C1 = ... = Ck = 0.

Понятие линейной зависимости вектор-функций на множестве, содер-жащем более одной точки, отличается от известного из алгебры понятиялинейной зависимости векторов. Если вектор-функции X1(t), ..., Xk(t)линейно зависимы на множестве M , то ∀t ∈ M их значения — линейнозависимые вектора. Обратное неверно.

Пример. X1 =

(11

), X2 =

(t

t

)∀t — линейно зависимые вектора:

при t = t1 (фиксированное число) C1X1(t1) + C2X

2(t1) = 0, если C1 =t1, C2 = −1. Но как вектор- функции они линейно независимые, так какпри постоянных C1, C2 равенство C1 · 1 +C1 · t ≡ 0, ∀t ∈ (a, b) возможнотолько при C1 = C2 ≡ 0.

Пусть вектор-функция Xk(t) =

Xk1

....Xk

n

.

Определение. Определителем Вронского для вектор-функций

X1(t), X2(t), ..., Xn(t)

69

называется

W (t) =∣∣(X1

)..(Xn)∣∣ =

∣∣∣∣∣∣ X1

1

....X1

n

X21

....X2

n

...

Xn1

....Xn

n

∣∣∣∣∣∣ .Лемма . Если вектор-функции X1(t), ..., Xn(t) линейно зависимы, тоW (t) ≡ 0.Доказательство. Столбцы линейно зависимы, следовательно, опреде-литель равен нулю.

Следствие. Если W (t0) = 0 в некоторой точке t0, то вектор-функцииX1(t), ..., Xn(t) линейно независимы.

Лемма. Если вектор-функции X1(t), ..., Xn(t) — решения системы X =A(t)X с переменной матрицей A(t) и W (t) = 0 хотя бы при одном зна-чении t, то эти вектор-функции линейно зависимы и W (t) ≡ 0.Доказательство. ПустьW (t1) = 0, следовательно, столбцыX1(t), ..., Xn(t)линейно зависимы, то есть существуют C1, ..., Cn, не все равные нулю, что

C1X1(t1) + ...+ CnX

n(t1) = 0.

С этими C1, ..., Cn составим вектор-функцию

X(t) = C1X1(t) + ...+ CnX

n(t). (15.1)

Она является решением системы

X = A(t)X

с начальным условием X(t1) = 0. Кроме того, этому же уравнению сначальным условием Z(t1) = 0 удовлетворяет функция Z(t) ≡ 0. По тео-реме единственности X(t) ≡ Z(t) ≡ 0. Следовательно вектор-функцияиз (15.1) тождественно равна нулю, то есть X1(t), ..., Xn(t) — линейнозависимы.

Замечание. Для вектор-функций, не являющихся решениями, это утвер-ждение неверно. В частности, для

X1(t) =

(11

), X2(t) =

(tt

)W ≡ 0, а они линейно независимы.

70

16 Общее решение линейной системы

Определение. Фундаментальной системой решений для системы

X = AX

называется любые n ее линейно независимых решений.Покажем, что фундаментальная система решений существует. Возь-

мем произвольное значение t0 ∈ [a, b] и n линейно независимых векторов

b1, b2, ..., bn ∈ Rn.

Пусть X1(t), X2(t), ..., Xn(t) — решения системы

X = A(t)X

с соответствующими начальными условиями

Xj(t0) = bj, j = 1, ..., n.

Эти вектор-функции линейно независимы, так как при t = t0 их значенияесть линейно независимые вектора b1, b2, ..., bn, следовательно,

C1 = C2 = ... = Cn = 0.

Определение. Общим решением системы дифференциальных уравне-ний называется множество вектор-функций, содержащее все решенияэтой системы (и только их).

Теорема. Пусть X1(t), X2(t), ..., Xn(t) — n линейно независимых реше-ний однородной системы

X = A(t)X. (16.1)

Тогда общее решение системы есть линейная комбинация

X(t) = C1X1(t) + C2X

2(t) + ...+ CnXn(t), (16.2)

где C1, ..., Cn — произвольные постоянные.Доказательство. В силу свойств линейной системы вектор-функцияX(t) является решением системы для любых значений постоянных C1, ..., Cn.Покажем, что любое решение системы (16.1) содержится в (16.2).

71

Выберем произвольное t0 ∈ (a, b). Так как вектор-функцииX1(t), X2(t), ..., Xn(t) линейно независимы, то W (t0) = 0. Расписав век-тор X(t0) по координатам, имеем

x1(t0) = C1X11(t0) + ...+ CnX

n1 (t0),

x2(t0) = C1X12(t0) + ...+ CnX

n2 (t0),

..............

xn(t0) = C1X1n(t0) + ...+ CnX

nn(t0).

Так как W (t0) = 0 — определитель неоднородной системы, то посто-янные C1, ..., Cn определяются единственным образом.

С этими постоянными C1, ..., Cn для X(t) при t = t0 справедливо ра-венство из условия теоремы. Обе части этого равенства — решения систе-мы (16.1) с начальными данными xi(t0) = x0i . По теореме существованияи единственности они совпадают для любого значения t.

Таким образом, множество решений системы является n-мерным ли-нейным пространством. Базисом при этом является любая фундамен-тальная система решений.

Теорема. Общее решение неоднородной системы

X = A(t)X(t) + F (t) (16.3)

естьX(t) = X0(t) + X(t),

где

X0(t) =n∑

k=1

CkXk(t)

— общее решение однородной системы, X(t) — частное решение неодно-родной системы.

Берем произвольные начальные данные. Тогда

X(t0) =n∑

k=1

CkXk(t0) + X(t0).

Приравнивая к начальному вектору X0, в силу W = 0 единственнымобразом находим C1, ..., Cn.

72

16.1 Построение частного решения

Частное решение X может быть построено, например, методом вариациипроизвольных постоянных. Пусть общее решение линейной однороднойсистемы X0(t) найдено в виде

X0 =n∑

k=1

CkXk(t).

Частное решение ищем в виде

X =n∑

k=1

Ck(t)Xk(t).

Подставляя X в неоднородную систему (16.3), имеемn∑

k=1

C ′kX

k +n∑

k=1

CkXk = A

(n∑

k=1

CkXk

)+ F,

n∑k=1

C ′kX

k +n∑

k=1

Ck

(Xk − AXk

)= F,

n∑k=1

C ′kX

k = F.

Это неоднородная система n уравнений относительно C ′k(t),

C ′1X

11 + C ′

2X21 + ...+ C ′

nXn1 = f1(t),

....................

C ′1X

1n + C ′

2X2n + ...+ C ′

nXnn = fn(t).

В силу неравенства нулю определителя системыW величины C ′k опре-

деляются единственным образом для каждого t. Интегрируя полученныевыражения, получаем Ck(t).

17 Системы уравнений с постоянными коэффициен-тами

Рассмотрим системуdX

dt= A ·X, aij = const. (17.1)

73

Здесь A = (aij) — постоянная матрица, X(t) — искомый вектор.Методом исключения неизвестных эту систему можно свести к одно-

му уравнению. Однако этот метод практически применим только длядостаточно простых систем.

Пример. x = y + t

y = x− 2et.

Выражаем из второго уравнения y = x − t, подставляем в первое урав-нение,

x− 1 = x− 2et.

Решение этого уравнения с постоянными коэффициентами

x = C1et + C2e

−t − tet − 1,

тогдаy = x− t = C1e

t − C2e−t − (t+ 1)et − 1.

В общем случае все же рекомендуется решать систему непосредствен-но, не сводя ее к уравнению.

Лемма. Вектор-функция

X = Qeλt, Q =

q1q2...qn

, (17.2)

гдеQ— комплексный вектор, есть решение системы (17.1) тогда и толькотогда, если λ есть собственное число, а Q — собственный вектор матрицысистемы.Доказательство. Продифференцируем выражение (17.2) и подставимX и X в систему (17.1),

X = λQeλt,

λQeλt = AQeλt,

eλt(A− λE)Q = 0. (17.3)

Так как вектор Q ненулевой, то

det(A− λE) = 0,

74

то есть λ является собственным числом матрицы A. Тогда из (17.3) сле-дует, что Q есть собственный вектор, соответствующий этому собствен-ному числу.

Из этой леммы следует алгоритм построения ФСР и, соответственно,общего решения линейной системы как линейной комбинации построен-ных элементов ФСР.

Находим все собственные числа матрицы системы. Функции из ФСРстроятся в зависимости от вида и кратности собственных чисел.

1. Пусть все собственные числа λj (j = 1, ..., n) матрицы A веществен-ные и различные,

λi = λj, при i = j.

Тогда, как известно из курса высшей алгебры, существует n линейнонезависимых собственных векторов Qj. Искомую систему n линейнонезависимых функций можно строить по формуле

Xk = Qkeλkt, k = 1, 2, ..., n. (17.4)

2. Среди собственных чисел λj есть комплексные. Из линейной алгеб-ры известно, что если у матрицы с вещественными коэффициентамиесть комплексное собственное число λ = α+iβ, то число α−iβ тожеесть собственное число матрицы, причем Q2 = Q∗

1. Действительно,пусть AQ1 = λ1Q1. Применим операцию комплексного сопряжения,

(AQ1)∗ = (λ1Q1)

∗,

AQ∗1 = λ2Q

∗1.

Следовательно, можно выбрать

Q2 = Q∗1.

Таким образом, рассмотрим, как строить собственные функции, со-ответствующие паре комплексно-сопряженных собственных чисел.Как и ранее, строим решение, соответствующее собственному числуλ = α+ iβ и собственному вектору Q1 = u+ iv, u ∈ Rn, v ∈ Rn.,

z1 = Q1eλ1t = (u+ iv)e(α+iβ)t = eαt(cos βt+ i sin βt)(u+ iv) =

= eαt((u cos βt− v sin βt) + i(v cos βt+ u sin βt)).

75

Отделяя вещественную и мнимую части, получим две вещественныевектор-функции, соответствующие паре комплексно-сопряженныхсобственных чисел,

X1 = eαt(u cos βt− v sin βt),

X2 = eαt(v cos βt+ u sin βt).

Пример. Рассмотрим системуx1 = x1 − 5x2,

x2 = 2x1 − x2.

Выписываем матрицу системы

A =

(1 −5

2 −1

)

и вычисляем собственные числа,

|A− λE| =

∣∣∣∣∣ 1− λ −5

2 −1− λ

∣∣∣∣∣ = λ2 + 9 = 0, λ = ±3i.

Строим собственный вектор, соответствующий собственному числуλ = 3i. (

1− 3i −5

2 −1− 3i

)(u

v

)= 0,

(1− 3i)u− 5v = 0,

2v + (−1− 3i)v = 0.

Можно взять в качестве собственного вектор с координатамиu = 5, v = (1− 3i). Решение, соответствующее λ = 3i, есть

e3it

(5

1− 3i

)=

(5(cos 3t+ i sin 3t)

(1− 3i)(cos 3t+ i sin 3t)

)=

=

(5 cos 3t

cos 3t+ 3 sin 3t

)+ i

(5 sin 3t

−3 cos 3t+ sin 3t

).

76

Отделяя вещественную и мнимую части, получим два элемента ФСР

X1 =

(5 cos 3t

cos 3t+ 3 sin 3t

), X2 =

(5 sin 3t

−3 cos 3t+ sin 3t

).

Тогда общее решение системы есть

X = C1X1+C2X

2 = C1

(5 cos 3t

cos 3t+ 3 sin 3t

)+C2

(5 sin 3t

−3 cos 3t+ sin 3t

)=

=

(5C1 cos 3t+ 5C2 sin 3t

C1(cos 3t+ 3 sin 3t) + C2(−3 cos 3t+ sin 3t)

).

3. Кратные вещественные собственные числа. Рассмотрим эту ситуа-цию на простом примере

Пример. А. Дана система y′1 = y1,y′2 = y2.

Матрица системы

A =

(1 00 1

)имеет собственные числа λ1 = λ2 = 1. Вычисляем собственные век-тора (

0 00 0

)(uv

)= 0,

u · 0 + v · 0 = 0,

u · 0 + v · 0 = 0.

Таким образом, для этой матрицы существует два (имеется в видунезависимых!) собственных вектора(

10

)и(

01

),

и общее решение исходной системы имеет вид(y1y2

)= C1e

x

(10

)+ C2e

x

(01

)=

(C1e

x

C2ex

).

77

Пример. В. Пусть дана системаy′1 = y1 + y2,y′2 = y2.

Матрица системы

A =

(1 10 1

).

Как и ранее, собственные числа есть λ1 = λ2 = 1 но собственныйвектор в данном случае единственный,(

0 10 0

)(uv

)= 0,

u · 0 + v · 1 = 0,

u · 0 + v · 0 = 0,(10

).

Таким образом, количество линейно независимых собственных век-торов зависит не только от кратности собственного числа.

Лемма. Число линейно независимых собственных векторов равно(n− r), где n — порядок матрицы, r — ранг матрицы (A− λE).

Действительно, в примере А

A− λE =

(0 00 0

), r = 0,

в примере В —

A− λE =

(0 10 0

), r = 1.

Итак, если число линейно независимых собственных векторов сов-падает с кратностью собственного числа λ, то формула для постро-ения ФСР та же, что и в случае простых собственных чисел, то есть(17.4).

Если собственных векторов меньше, чем k, то часть решения, соот-ветствующую этому кратному собственному числу, можно строить

78

по формуле, аналогичной случаю кратных корней для уравнения спостоянными коэффициентами,

Y =

a0 + a1x+ ...+ ak−1xk−1

...................b0 + b1x...+ bk−1x

k−1

eλx.

Здесь коэффициенты вектора в правой части — полиномы степени(k − 1) с неопределенными (пока) коэффициентами. Всего этих ко-эффициентов n · (k − 1), независимы же из них только k (это естькратность собственного числа), а остальные через них выражаются.

В случае примера В имеемy1 = (a0 + a1x)e

x,

y2 = (b0 + b1x)ex.

Подстановка этого решения в исходную систему дает(a0 + a1x) + a1 = (a0 + a1x) + (b0 + b1x),

(b0 + b1x) + b1 = (b0 + b1x).

Приравнивая коэффициенты при степенях x , имеемa1 = b0,

b1 = 0.

Можно взять в качестве независимых постоянных a0, b0, тогда общеерешение есть

y1 = (a0 + b0x)ex,

y2 = b0ex.

Отметим, что в качестве произвольных постоянных можно быловзять другие константы.

Однако уже в случае трех уравнений этот способ не очень удобен вприменении вследствие его громоздкости. Приведем более удобныйальтернативный способ.

4. Кратные вещественные собственные числа (еще один способ постро-ения элементов ФСР).

79

Для этого строим цепочку присоединенных векторов a1, a2, ..., ak,соответствующих кратному числу λ.

a1 — собственный вектор,

Aa1 = λa1,

Aa2 = λa2 + a1,

a2 — первый присоединенный вектор;

Aa3 = λa3 + a2

a3— второй присоединенный вектор,

..................

Aak = λak + ak−1

ak— (k − 1)-й присоединенный вектор.

Тогда элементы фундаментальной системы решений могут быть по-строены по формулам

Y 1 = eλxa1,

Y 2 = eλx( x1!a1 + a2

),

Y 3 = eλx(x2

2!a1 +

x

1!a2 + a3

),

...............

Y k = eλx(

xk−1

(k − 1)!a1 +

xk−2

(k − 2)1!a2 + ...+ xak−1 + ak

).

Покажем, что эти вектор-функции есть решения исходной системы.Подставим в исходное уравнение вектор-функцию Y2,

λeλx( x1!a1 + a2

)+ eλxa1 = eλxA(xa1 + a2) =

= eλx(xAa1 + a2) = eλx(xλa1 + λa2 + a1).

Сокращая на ненулевой множитель eλx, получаем тождество.

Для следующих элементов ФСР доказательство проводится по ин-дукции.

80

Вернемся к примеру В. В данном случае собственному вектору со-ответствует единственный присоединенный вектор,(

0 1

0 0

)(u

v

)=

(1

0

),

(u

v

)=

(0

1

),

и фундаментальная система решений есть

Y 1 =

(1

0

)ex,

Y 2 =

(x

(1

0

)+

(0

1

))ex = ex

(x

1

),

то есть общее решение —

Y = C1ex

(1

0

)+ C2e

x

(x

1

)=

(C1e

x + C2xex

C2ex

),

как и было построено ранее.Кроме того, можно, как и было упомянуто ранее, свести систему кодному уравнению. Или, воспользовавшись тем, что второе уравне-ние содержит только переменную y2, решить отдельно второе урав-нение,

y2 = Cex,

подставить найденную переменную y2 в первое уравнение и полу-чить аналогичный результат.

В завершение раздела приведем два факта.

Теорема . Фундаментальная система решений в произвольном случаесобственных чисел строится как комбинация формул для ФСР, соответ-ствующих рассмотренным ранее случаям.

Теорема. Неоднородную систему линейных уравнений с постояннымикоэффициентами можно решать, например, методом вариации произ-вольных постоянных. Если вектор правой части системы есть квазипо-лином Pme

γx, то частное решение может быть найдено в виде

Y = Qm+seγx,

81

аналогичном случаю специальной правой части для линейного уравне-ния n-го порядка с постоянными коэффициентами.

18 Интегрирование дифференциальных уравненийс помощью степенных рядов

18.1 Уравнение второго порядка с переменными коэффици-ентами

Предположим, дано дифференциальное уравнение второго порядка с пе-ременными коэффициентами

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x). (18.1)

Пусть функции, входящие в уравнение, представимы в виде сходящихсяпри |x| < R степенных рядов,

p(x) =∞∑n=0

anxn, q(x) =

∞∑n=0

bnxn, f(x) =

∞∑n=0

cnxn,

и для уравнения (18.1) поставлена задача Коши

y(0) = y0, y′(0) = y1.

Справедлива

Теорема Коши — Ковалевской.. Если функции p(x), q(x), f(x) зада-ны суммой рядов, сходящихся при |x| < R, то на некотором промежутке|x| < h решение уравнения y(x) является суммой сходящегося степенно-го ряда,

y(x) =∞∑n=0

dnxn. (18.2)

Наша задача — определить коэффициенты ряда dn.Поскольку степенной ряд сходится равномерно и абсолютно, он до-

пускает почленное дифференцирование, причем

∞∑n=0

(y′n) =

( ∞∑n=0

yn

)′

.

Почленно дифференцируя ряд (18.2), подставляем его и результатдифференцирования в уравнение (18.1). Приравнивая коэффициенты при

82

степенях x, определяем коэффициенты dn. Рассмотрим этот алгоритм напростом примере.

Пример. Дано уравнение

y′′ + xy′ + y = 0.

Ищем его решение в виде

y(x) =∞∑n=0

dnxn.

Дифференцируя по x, получаем

y′(x) =∞∑n=1

ndnxn−1, y′′(x) =

∞∑n=2

n(n− 1)dnxn−2.

Подстановка в уравнение дает∞∑n=2

n(n− 1)dnxn−2 +

∞∑n=1

ndnxn +

∞∑n=0

dnxn = 0.

Приравнивая коэффициенты при степенях x, получаем

x0 : d0 + 2 · 1 · d2 = 0,

x1 : d1 + d1 + 3 · 2 · d3 = 0,

..............,

следовательно,d1 + 3d3 = 0,

........................................

xk : dk + kdk + (k + 2)(k + 1)dk+2 = 0,

то естьdk + (k + 2)dk+2 = 0.

83

Величины d0 и d1 можно пока оставить произвольными, остальныекоэффициенты через них выражаются,

d2 = −d02, d3 = −d1

3,

d4 = −d24

=d02 · 4

, d5 = −d35

=d13 · 5

,

........................... ............................

d2k = (−1)kd0

2 · 4 · ... · 2k= d2k+1 = (−1)k

d13 · 5 · ... · (2k + 1)

=

=(−1)kd0(2k)!!

=(−1)kd1(2k + 1)!!

.

Здесь использованы общепринятые обозначения

(2k)!! = 2 · 4 · ... · 2k, (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 · ... · (2k + 1).

Выберем d0 = 1, d1 = 0. Тогда получим одно из решений уравнения

y1 = 1− x2

2+x4

4!!− x6

6!!+ ....

Если теперь взять d0 = 0, d1 = 1, получим другое решение

y2 = x− x3

3!!+x5

5!!− x7

7!!+ ....

Вычислим вронскиан W (0) для функций y1 и y2,

W (0) = det

∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2

∣∣∣∣ = 1,

то есть функции y1 и y2 линейно независимы. Таким образом, с помо-щью степенных рядов построена ФСР уравнения. Отметим, что общеерешение уравнения в элементарных функциях не выражается.

18.2 Уравнение колебания маятника

При изучении колебательных явлений возникает следующее уравнение:

y′′ + ky = f(x).

Пусть f(x) — 2π-периодическая функция.

84

Разложим правую часть в ряд Фурье

f(x) = a0 +∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx).

Логично искать решение в виде такого же ряда,

y(x) = α0 +∞∑n=1

(αn cosnx+ βn sinnx).

При этом предполагается, что это ряды можно почленно дифференци-ровать.

Вычислим y′(x) и y′′(x),

y′(x) =∞∑n=1

n(−αn sinnx+ βn cosnx),

y′′(x) =∞∑n=1

−n2(αn cosnx+ βn sinnx),

подстановка в уравнение дает∞∑n=1

−n2(αn cosnx+ βn sinnx) + k(αn cosnx+ βn sinnx)

+ kα0 =

= a0 +∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx),

kα0 +∞∑n=1

(k − n2)αn cosnx+ (k − n2)βn sinnx

=

= a0 +∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx).

приравнивая коэффициенты при sinnx и cosnx, получаем цепочку ра-венств

kα0 = a0, (k − n2)αn = an, (k − n2)βn = bn,

то естьαn =

ank − n2

, βn =bn

k − n2,

k = 0, k = n2.

Отсюда следует, что для того, чтобы коэффициенты αn, βn определя-лись однозначно, необходимо, чтобы k не являлось квадратом никакогоцелого числа. В противном случае это означает, что правая часть содер-жит слагаемые, соответствующие резонансу.

85

19 Краевые задачи

Как было показано ранее, уравнение второго порядка

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (19.1)

имеет бесконечное множество решений. Для того, чтоб из этого множе-ства выделить единственное решение, задают данные Коши

y(x0) = y0, y′(x0) = y1.

Рассматривая уравнение на отрезке [a, b], имеем значения искомойфункции на границе, y(a) = A, y(b) = B. Таким образом, для получе-ния этого же решения можно было задавать не данные Коши, а краевыеусловия

y(a) = A, y(b) = B.

Рис. 19: Постановка краевых условий

(не координату y0 и скорость y1 в начальный момент времени x0, а зна-чения координаты в разные моменты времени). Аналогично, можно за-давать скорость точки в разные моменты времени, y′(a) = v1, y

′(b) = v2,или даже следующие краевые условия:

α1y(a) + β1y′(a) = γ1,

α2y(b) + β2y′(b) = γ2.

(19.2)

Определение. Уравнение (19.1) с краевыми условиями (19.2) называ-ется краевой задачей.

Как было показано, для задачи Коши есть теорема существования иединственности решения. Для краевой задачи (19.1)—(19.2) такого факта

86

не существует. Как существование, так и единственность решения зави-сит от конкретной ситуации. Проиллюстрируем это на примерах.

Пример. Рассмотрим уравнение

y′′ + y = 0, x ∈ [0, π]

с краевыми условиями y(0) = 0,

y(π) = 1.(19.3)

Как известно, общее решение уравнения есть

y(x) = C1 cosx+ C2 sinx.

Подставляя краевые условия, получаем

x = 0 : y(0) = C1 = 0,

x = π : y(π) = C2 sinπ = 0.

Таким образом, для любых значений C2 будем иметь y(π) = 0. Дляпоставленных краевых условий решения задачи не существует.

Пример. Рассмотрим то же самое уравнение на отрезке [0, π], но краевыеусловия возьмем в виде

y(0) = A,

y(π) = B.(19.4)

Подставляя краевые условия в общее решение, имеем

x = 0 : y(0) = C1 = A,

x = π : y(π) = A cos π + C2 sin π = A cos π = B,

то есть для существования решения необходимо

A = −B.

При этом C2 — любое число. Таким образом, решение уравнения стакими краевыми условиями будет существовать, но не будет единствен-ным.

Если же условие A = −B не выполнено, то решения не существует.Изменим промежуток. Будем рассматривать уравнение на отрезке

[0, 1] с аналогичными условиями (19.4).

87

Подставляя краевые условия в общее решение, получим

x = 0 : C1 = A,

x = π : A cos 1 + C2 sin 1 = B,

C2 =A cos 1−B

sin 1,

y(x) = A cosx+A cos 1−B

sin 1sinx.

Таким образом, решение определено единственным образом для любыхзначений A и B.

Пример. Рассмотрим уравнение

y′′ + αy = 0 (19.5)

на отрезке [0, A] с краевыми условиямиy(0) = 0,

y(A) = 0.(19.6)

Очевидно, что такая краевая задача для любого α имеет тривиаль-ное решение y(x) ≡ 0. Исследуем, при каких значениях параметра α

существует ненулевое решение y(x).

1. α = 0. Соответственно, уравнение упрощается до

y′′ = 0,

его характеристическое уравнение имеет вид

λ2 = 0,

λ = 0 — кратный корень. Соответственно, общее решение есть ли-нейная функция

y = C1x+ C2.

С учетом краевых условий C1 = C2 = 0, следовательно, y(x) ≡ 0.

2. α < 0. Обозначим для определенности α = −µ2 . Характеристиче-ское уравнение есть

λ2 − µ2 = 0, λ = ±µ,

88

что дает фундаментальную систему решений

y1 = eµx, y2 = e−µx

и общее решениеy = C1e

µx + C2e−µx.

Аналогично, с учетом краевых условий имеемy(0) = C1 + C2 = 0,

y(A) = C1eµA + C2e

−µA = 0.

Так как определитель этой однородной линейной алгебраическойсистемы есть ∣∣∣∣∣ 1 1

eµA e−µA

∣∣∣∣∣ = eµA − e−µA = 0,

то ее решение C1 = C2 = 0 — только тривиальное решение.

3. α = µ2 > 0. Характеристическое уравнение

λ2 + µ2 = 0

дает корниλ = ±iµ

и общее решение

y(x) = C1 cosµx+ C2 sinµx.

С учетом краевые условий получаем

x = 0 : C1 = 0,

x = A : y(A) = C2 sinµA = 0.

Отсюда вывод:

(a) Если sinµA = 0, то с необходимостью C2 = 0, что дает толькотривиальное решение y ≡ 0.

(b) Если sinµA = 0, то константа C2 может быть любой. Это дает

ненулевое решение µA = πk, µ =πk

A, при этом

αk =π2k2

λ2,

89

где k — любое натуральное число.Таким образом, имеем целую последовательность значений па-раметра α, при которых задача (19.5) имеет ненулевое решение.Эта задача (определение собственных чисел и соответствующихим решений) называется задачей Штурма — Лиувилля.

20 Устойчивость решений систем дифференциаль-ных уравнений

В механике устойчивость есть способность системы сохранять текущеесостояние при наличии внешних воздействий. Понятие устойчивости мож-но легко проиллюстрировать на наглядном физическом опыте. На при-веденном рисунке шарик A устойчив, то есть возвращается к своему ис-ходному состоянию при малых отклонениях от положения равновесия.Шарик B находится в неустойчивом положении равновесия, то есть лю-бые малые отклонения ведут к кардинальным изменениям положенияшарика. Для исследования устойчивости решений дифференциальныхуравнений важно знать условия, при которых малое изменение началь-ных данных влечет малое изменение решения.

Рис. 20: Положения равновесия

Пусть некоторое явление описывается системой дифференциальныхуравнений

dyidx

= fi(x, y1, y2, ..., yn), i = 1, ..., n (20.1)

с начальными условиями

yi(x0) = yi0, i = 1, ..., n. (20.2)

Условия (20.2) обычно является результатом измерений, следователь-но, получены с некоторой точностью, обусловленной как погрешностьюприбора, так и человеческим фактором.

90

Если сколько угодно малые изменения начальных данных способнысильно изменить решение, то это решение не имеет никакого значения идаже приближенно не может описать явление.

Пример.y′ = αy, y(0) = 0,

следовательно y ≡ 0 — решение задачи Коши. Берем близкое к нулюначальное значение y(0) = δ, которое возникло вследствие, например,погрешности измерений. Тогда вместо тождественного нуля получаемрешение

y(x) = δeαx.

При больших x при α > 0 решение стремится к бесконечности. Призначении параметра α = 0 — остается на том же расстоянии от нуля, апри значении параметра α < 0 — приближается к нулевому решению.

Определение. Решение Y0(x) задачи Коши (20.1)–(20.2) называетсяустойчивым по Ляпунову, если ∀ε > 0 существует δ > 0 такое, чтопри любом выборе начальных данных

Y (x0) = Y0, (20.3)

таких, что∣∣∣Y0 − Y0

∣∣∣ < δ, выполнены условия

1. Решение Y (x) задачи Коши (20.1) с начальным условием (20.3) су-ществует для всех x ≥ x0,

2. Для всех x ≥ x0 выполнено неравенство∣∣∣Y (x)− Y (x)

∣∣∣ < ε.

Определение. Если, помимо этого, выполнено условие

limx→∞

∣∣∣Y (x)− Y (x)∣∣∣ = 0,

то решение называется асимптотически устойчивым.

20.1 Устойчивость тривиального решения однородной систе-мы второго порядка

Определение. Система видаx = f(x, y),y = g(x, y)

(20.4)

91

называется автономной.Название определено тем, что решение само управляет своим изме-

нением, так как x и y не зависят от t, а зависят только от положениясистемы в данный момент времени — от x и y.

Определение. Точка (x0, y0) такая, что f(x0, y0) = g(x0, y0) = 0, на-зывается положением равновесия, или точкой покоя системы (в этомслучае x = y = 0.)

Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решенияавтономной системы можно свести к исследованию на устойчивость ну-левого решения некоторой другой системы. Для этого сделаем заменуz1 = x− x0, z2 = y− y0. Следовательно, важный частный случай, требу-ющий внимания — исследование на устойчивость нулевого решения.

Еще более частный, но тем не менее важный вариант — исследованиеустойчивости нулевого решения линейной системы.

Пусть дана автономная система линейных дифференциальных урав-нений

x = a11x+ a12y,y = a21x+ a22y.

(20.5)

Отметим, что (0,0) — точка покоя системы. Используя теорию решениялинейных систем, изложенную ранее, эту систему можно решить в явномвиде. Для этого находим собственные числа матрицы системы, соответ-ствующие им собственные вектора и по ним строим фундаментальнуюсистему решений и общее решение. Рассмотрим качественно различныеслучаи построения ФСР.

1. Пусть собственные числа матрицы системы λ1, λ2 — вещественныеи различны. Тогда им соответствуют два линейно независимых соб-ственных вектора v1 и v2, и ФСР может быть построена по форму-лам (

xy

)1

= v1eλ1t,

(xy

)2

= v2eλ2t.

Общее решение определяется формулой(xy

)= C1v1e

λ1t + C2v2eλ2t. (20.6)

Вид фазовых кривых в окрестности точки x = y = 0 зависит от знаковλi.

92

1) λ1 < 0, λ2 < 0. Тогда eλit → 0, t→ ∞,

limt→∞

x(t) = limt→∞

y(t) = 0.

Решение асимптотически устойчиво.

Пример. x = −2x,y = −4y.

(20.7)

λ1 = −2, λ2 = −4. Можно вычислить собственные вектора и строитьФСР.

Но можно решить и проще. В данной ситуации уравнения независимы,каждое из них можно решить отдельно. Получаем

x(t) = C1e−2t, y(t) = C2e

−4t, (20.8)

постоянные C1 и C2 определяются начальными данными системы.Каждое соотношение в (20.8) задает поверхность в пространстве (t, x, y).

Пересечение этих поверхностей (см. рис.21) — кривая в трехмерном про-странстве.

Рис. 21:

Рисунок в трехмерном пространстве показывает, что с ростом времениточка приближается к оси t, то есть расстояние от точки на кривой дооси времени уменьшается. Решение асимптотически устойчиво.

93

Проекция этой кривой на плоскость (x, y) есть кривая, заданная па-раметрически. При этом параметр t можно легко исключить,

y = Cx2.

При различных значениях начальных данных, а значит, и постоянныхC1 и C2, получаем семейство парабол, изображенное на рисунке. Стрел-ки обозначают движение по кривой с ростом параметра t и ставятся всоответствии с системой. Направление стрелок определяет устойчивостьнулевого решения системы. В данном случае решение устойчиво. Такойтип точки покоя называется устойчивым узлом.

Рис. 22: Устойчивый узел

Замечание. Далеко не всегда можно разрешить автономную систему. Од-нако, дифференциальные уравнения траекторий можно записать, не ре-шая ее. Поделив одно уравнение (20.4) на другое, получаем

y

x=dy

dx=g(x, y)

f(x, y)= в случае линейной системы =

a21x+ a22y

a11x+ a12y.

В случае примера 1

dy

dx=

−4y

−2x=

2y

x.

Интегрируя, получаем искомое семейство парабол

y = Cx2.

94

Осталось на кривых семейства прорисовать стрелки в силу системы исделать вывод об асимптотической устойчивости.

2) λ1 > 0, λ2 > 0. Тогда экспоненциальные множители eλit → ∞при t → ∞ и точки из δ-окрестности в течением времени удаляются надостаточно большое расстояние от начала координат.

Для иллюстрации этого случая приведем аналогичный пример.x = 2x,y = 4y.

(20.9)

Уравнение траекторий совершенно идентичное,

dy

dx=

4y

2x=

2y

x,

но направление стрелок противоположное. Это означает, что все точкииз δ-окрестности с течением времени удаляются от точки (0, 0). Такойтип точки покоя называется неустойчивым узлом (рис. 23).

Рис. 23: Неустойчивый узел

Приведенная система также легко решается в явном виде, получаем

x(t) = C1e2t, y(t) = C2e

4t.

Поверхности и их линия пересечения приведены на рисунке 24.3) λ1 · λ2 < 0 (разные знаки). Так как одно собственное число больше

нуля, следовательно в (20.6) есть слагаемое, бесконечно растущее при

95

Рис. 24:

t → ∞. Тип точки покоя — седло. Вид фазовых кривых рассмотрим напримере.

Пример. x = 2x,y = −2y.

(20.10)

Собственные числаλ1 = 2, λ2 = −2.

Выпишем уравнение фазовых кривых,

dy

dx=

−2y

2x=

−yx.

Интегрируя, имеемdy

y= −dx

x,

ln y = lnC

x,

xy = C.

Это есть семейство гипербол. Вне зависимости от того, в какую сторонупо гиперболе движется точка, она уходит из δ-окрестности точки (0, 0).Таким образом, седло всегда неустойчиво.

96

Рис. 25: Седло

2. λ1 = λ2 ∈ R — кратные собственные числа. Если число собственныхвекторов меньше кратности собственного числа (в данном случае этосоответствует тому, что имеется только один собственный вектор), торешение имеет вид (

x

y

)=

((a+ bt)eλt

(c+ dt)eλt

), (20.11)

в котором только две постоянные независимы, а остальные две через нихвыражаются. Напомним, что решение в этом случае может быть такжепостроено через собственные и присоединенные вектора. Вид решенияпри этом остается таким же.

Рассмотрим разные значения собственных чисел.а) λ < 0. Тогда, очевидно, величина eλt → 0. Слагаемое teλt также

убывает при больших значениях t, так что нулевое решение являетсяасимптотически устойчивым.

б) При значении собственного числа λ > 0 обе эти величины неогра-ниченно растут с ростом t, так что нулевое решение неустойчиво.

Обобщая эти варианты, получаем, что в случае кратных собственныхчисел точка покоя есть узел — устойчивый или неустойчивый.

Пример. x = x,

y = y.

97

Собственные числаλ1 = λ2 = 1.

Решение системы очевидно, x = C1et, y = C2e

t. Выпишем уравнениефазовых кривых,

dy

dx=y

x.

Интегрируя, имеемdy

y=dx

x,

y = Cx.

Стрелки на фазовых кривых ставятся в силу системы.

Рис. 26: Неустойчивый узел

3. λ1,2 = α ± iβ. Система, матрица которой имеет такие комплексно-сопряженные корни, путем замены переменных может быть приведена квиду

u′ = αu+ βv,

v′ = −βu+ αv.(20.12)

Перейдем к полярным координатам (ρ, φ),ρ(x) =

√u2(x) + v2(x),

φ(x) = arctgu(x)

v(x).

98

Если построено решение u(x), v(x), то по ним вычисляются ρ, φ. Вы-числим значение производной

ρ′(x) = (√u2 + v2)′ =

uu′ + vv′√u2 + v2

=u2α+ uββv − vβu+ αv2√

u2 + v2=

= α√u2 + v2 = αρ.

Здесь производные u′ = u′(x) и v′ = v′(x) взяты в силу системы. Анало-гично вычисляем

φ′(x) =(arctg

u

v

)′=

1

1 + v2/u2· v

′u− u′v

u2=

=1

1 + v2/u2−βu2 + αuv − αuv − βv2

u2=

1

u2 + v2(−βu2 − βv2) = −β.

Таким образом, в полярных координатах движение точки задается си-стемой

ρ′ = αρ,

φ′ = −β.Решение этой системы

ρ(x) = ρ0eαx, φ(x) = φ0 − βx.

Пусть для определенности β < 0, тогда угол φ возрастает с ростом x,движение точки происходит против часовой стрелки.

1. Если при этом α > 0, то радиус-вектор точки с возрастанием xувеличивается. Точка движется по спирали, удаляясь от начала ко-ординат. Это неустойчивый фокус (рис. 27).

2. Если при этом α < 0, то радиус-вектор точки с возрастанием xуменьшается. Движение также происходит по спирали, но с возрас-танием x точка асимптотически приближается к началу координат.Такой тип точки покоя называется устойчивый фокус.

3. α = 0, то радиус-вектор точки остается неизменным. Точка дви-жется по окружности радиуса ρ0. Этот тип точки покоя называетсяцентр. В общем случае фазовые кривые представляют собой эллип-сы.

99

Рис. 27: Неустойчивый фокус

Проиллюстрируем эту ситуацию на примере.x = −y,y = 2x.

(20.13)

Вычислим собственные числа,∣∣∣∣ 0− λ −12 0− λ

∣∣∣∣ = λ2 + 2, λ = ±i√2.

Рис. 28: Центр

Траектории системы описываются дифференциальным уравнением

dy

dx= −2x

y,

100

ydy + 2xdx = 0, d

(y2

2+ x2

)= 0.

Таким образом, уравнение семейства траекторий — эллипсы (рис. 28)

y2

2+ x2 = C.

Суммируя вышесказанное, получаем следующий результат. Для авто-номной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянны-ми коэффициентами имеют место следующие утверждения.Теорема 1.. Если для собственных чисел матрицы системы все Reλi < 0,i = 1, ..., n, то нулевое решение системы асимптотически устойчиво.Теорема 2.. Если хотя бы для одного собственного числа Reλi > 0, тонулевое решение системы неустойчиво.

Если собственные числа матрицы системы таковы, что Reλi ≤ 0,i = 1, ..., n, но среди собственных чисел есть такие, которые лежат намнимой оси, то определенный ответ об устойчивости нулевого решениядать нельзя.

20.2 Устойчивость по линейному приближению

Рассмотрим автономную систему n уравнений

Y ′ = F (Y )

(правая часть явно не зависит от x),

y′1 = f1(y1, ..., yn),

y′2 = f2(y1, ..., yn),

..............

y′n = fn(y1, ..., yn),

(20.14)

Определение. Стационарная точка (точка покоя) системы (20.14) —такое постоянное решение

Y (x) ≡ Y0 =

y01

y02

...

y0n

, y0i = const,

101

чтоf1(y

01, ..., y

0n) = f2(y

01, ..., y

0n) = ... = fn(y

01, ..., y

0n) = 0.

Таким образом, координаты точки покоя Y0 находятся из системы

f1(y01, ..., y

0n) = 0,

f2(y01, ..., y

0n) = 0,

.............

fn(y01, ..., y

0n) = 0.

(20.15)

Пример. Рассмотрим автономную системуy′1 = y1 − y2 + y21 + y22,

y′2 = y1 + y2 − y22.(20.16)

Очевидно, у этой системы есть тривиальное решение y1 = y2 = 0.Для определения других постоянных решений ищем точки покоя систе-мы (20.16). Для этого выписываем соотношения (20.15).

y1 − y2 + y21 + y22 = 0,

y1 + y2 − y22 = 0.(20.17)

Складывая уравнения системы (20.17), имеем

2y1 + y21 = 0,

y1 = 0, y1 = −2.

Подставляя величину y1 = 0 во второе уравнение системы (20.17),получим

y2 − y22 = 0,

y2 − 0, y2 = 1.

Подстановка y1 = −2 во второе уравнение системы (20.17) приводитк соотношению

y22 − y2 + 2 = 0,

не имеющему вещественных корней.Таким образом, исходная система имеет две точки покоя — (0,0) и

(0,1).

102

Будем рассматривать поведение решения автономной системы (20.14)вблизи точек покоя. Пусть правые части системы f1, ..., fn имеют непре-рывные частные производные до второго порядка,

Y0 =

y01

y02

...

y0n

— точка покоя системы. Разложим функции fi в окрестности точки Y0по формуле Тейлора

f1(y1, y2, ..., yn) = f1(y01, y

02, ..., y

0n) +

n∑j=1

∂f1∂yj

(y01, y02, ..., y

0n)(yj − y0j ) +O(ρ2),

......................

fn(y1, y2, ..., yn) = fn(y01, y

02, ..., y

0n)+

n∑j=1

∂fn∂yj

(y01, y02, ..., y

0n)(yj − y0j )+O(ρ

2),

ρ = ∥Y − Y0∥.Пренебрегаем слагаемыми O(ρ2), введем новые переменные

zj = yj − y0j , Z =

z1z2...zn

.

Тогда для вектор-функции Z(x) получаем систему дифференциальныхуравнений

Z ′ = AZ. (20.18)

Матрица правой части этой системы постоянная, состоит из значенийчастных производных функций f1(y1, y2, ..., yn), f2(y1, y2, ..., yn), ...,

fn(y1, y2, ..., yn) в точке покоя Y0, то есть коэффициенты матрицы вычис-ляются в точке (покоя), в окрестности которой функции правой частиразложили по формуле Тейлора.

Определение. Система линейных дифференциальных уравнений с по-стоянными коэффициентами (20.18) есть система первого приближе-ния для (20.4).

103

Эта система получена линеаризацией исходной системы (20.4) вблизиточки покоя Y0. Линеаризация вблизи другой точки покоя (а мы пока-зали, что таких точек может быть несколько), дает другую линейнуюсистему с другими свойствами.

Изучая линеаризованную систему (20.18), можно исследовать поведе-ние решения исходной автономной системы (20.4). СправедливаТеорема об устойчивости по первому приближению. Пусть Y0 —точка покоя автономной системы Y ′ = F (Y ). Рассмотрим систему перво-го приближения Z ′ = AZ, где A — матрица Якоби, вычисленная в точкеY0,

A =

∂f1∂y1

(y01, y02, ..., y

0n) ...

∂f1∂yn

(y01, y02, ..., y

0n)

... ... ...

∂fn∂y1

(y01, y02, ..., y

0n) ...

∂fn∂yn

(y01, y02, ..., y

0n)

. (20.19)

Пусть λ1, ..., λn — корни характеристического уравнения det(A−λE) = 0.Тогда

1. Если Reλi < 0 для всех i = 1, ..., n, то точка покоя исходной системыасимптотически устойчива,

2. Если среди корней существует λ∗ такой, что Reλ∗ > 0, то это стаци-онарное решение неустойчиво,

3. Если есть λj на мнимой оси в плоскости комплексных λ, Reλj = 0, тооднозначный ответ об устойчивости исходной нелинейной системыдать невозможно.

Для рассмотренной выше системы (20.16) было найдено две точкипокоя: (0, 0), (0, 1).

Вычислим матрицу Якоби (20.19) в общем виде,

A =

∂f1∂y1

∂f1∂y2

∂f2∂y1

∂f2∂y2

=

1 + 2y1 −1 + 2y2

1 1− 2y2

. (20.20)

Вычислим матрицу (20.20) в точке покоя (0, 0), получаем

A1 =

1 −1

1 1

,

104

тогда λ1,2 = 1± i, следовательно, решение линейной системы с матрицейA1, а вместе с ним и решение исходной системы (20.16) неустойчиво.

В точке покоя (0, 1) матрица линейной части есть

A2 =

1 1

1 −1

,

тогда λ1,2 = ±√2, что также дает неустойчивость решения как линейной,

так и исходной систем.Картина фазовых кривых в окрестности точек покоя приведена на

рисунке.

Рис. 29: Фазовые кривые в окрестности точек покоя: (0,0) — неустойчивый фокус,(0,1) — седло

Пример. В зависимости от параметров a и b исследуем на устойчи-вость нулевое решение автономной системы

y′1 = eay1 − tg by2 − 1,

y′2 = by2 − y1.(20.21)

Легко проверить, что (0, 0) есть решение системы (20.21). Спрашивает-ся, при каких значениях (a, b) нулевое решение будет устойчиво. Вычис-лим матрицу Якоби в точке покоя (0,0),

A =

aeay1 − b

cos2 by2

−1 b

(0,0)

=

(a −b

−1 b

).

105

Вычислим собственные числа матрицы линеаризованной системы,∣∣∣∣∣ a− λ −b

−1 b− λ

∣∣∣∣∣ = (a− λ)(b− λ)− b = λ2 − (a+ b)λ+ (ab− b) = 0.

По теореме Виета λ1λ2 = ab− b < 0,

λ1 + λ2 = a+ b < 0.

Пример. Исследовать устойчивость тривиального решения системы y′1 = −y2 − y71,

y′2 = y1 − y32.

Матрица линейной части системы

A =

0 −1

1 0

с собственными числами λ1,2 = ±i, так что линейное приближение недает определенного ответа на вопрос об устойчивости.

Нужно дополнительное исследование. Возьмем близкие к нулю на-чальные данные y1

y2

.

Исходная нелинейная система с этими начальными данными дает реше-ние

Y (x) =

y1(x)

y2(x)

,

отличное от нулевого.Устойчивость тривиального решения означает, что ∀ε > 0 существует

такое δ > 0, что если начальные данные различаются меньше, чем на δ,то при всех x ≥ x0 решение Y (x) существует и для таких x выполняетсянеравенство √

y21(x) + y22(x) < ε для x ≥ x0.

Посмотрим, как будет изменяться при увеличении x квадрат рассто-яния от точки до начала координат.

106

ОбозначимW (y1, y2) = y21 + y22 = φ(x),

где yi = yi(x) — некоторые дифференцируемые функции, которые опре-деляются из автономной системы.

Вычислим производную от функции φ(x),

φ′(x) = 2y1(x)y′1(x) + 2y2(x)y

′2(x).

В силу системы возьмем значения производных y′1(x), y′2(x). Тогда полу-чим, что

φ′(x) = 2y1(−y2 − y71) + 2y2(y1 − y32) = −2y81 − 2y42 < 0.

То есть φ′(x) < 0 ∀x, и φ(x) < φ(0)

y21(x) + y22(x) < y21 + y22.

Таким образом, получили, что функция φ(x) убывающая, то есть еслиточка в начальный момент времени находилась в круге радиуса δ с цен-тром в точке (0,0), то она там и остается для всех значений переменнойx ≥ x0. Геометрически функция φ(x) при этом имеет смысл расстоянияот текущей точки до оси x (рис. 30).

Рис. 30: Изменение по времени функции φ(x)

Изменим систему. Будем теперь рассматривать устойчивость нулевогорешения для y′1 = −y2 − y71,

y′2 = 2y1 − y32.

107

Тогда введенная нами ранее функция расстояния φ(x) не поможет выяс-нить вопрос устойчивости. Возьмем W = 2y21 + y22 — некоторая вспомо-гательная функция, которая тоже имеет смысл расстояния. Вычислимпроизводную по x на некотором решении y1(x), y2(x),

dW

dx=∂W

∂y1y′1 +

∂W

∂y2y′2 = 4y1(−y2 − y71) + 2y2(2y1 − y32) = −4y81 − 2y42 < 0.

Ситуация, аналогичная предыдущему случаю. Таким образом, нуле-вое решение системы устойчиво.

Рассмотрим общий случай. Пусть Y0 = 0 — точка покоя системы

Y ′ = F (Y ).

Определение. Функция W (y1, ..., yn) называется функцией Ляпуновадля системы Y ′ = F (Y ) вблизи точки покоя Y0, если

1. W — определена, непрерывна и имеет непрерывные производныепервого порядка в некотором шаре |Y | < h,

2. W (Y ) ≥ 0, W (Y ) = 0 тогда и только тогда, если Y = 0.

3. для любого решения Y (x) системы производная функции W (Y (x)),вычисленная в силу системы, меньше либо равна нулю, то есть

W ′ =n∑

j=1

∂W

∂yjy′j =

n∑j=1

∂W

∂yjfj(y1, y2, ..., yn) ≤ 0.

Отметим, что для вычисления производной решение системы знатьне нужно.

Справедлива

Теорема 1.. Если в окрестности решения Y0 существует функция Ляпу-нова, то это стационарное решение устойчиво.

Теорема об асимптотической устойчивости. Пусть выполнены усло-вия теоремы 1 с заменой условия (3) на

dW

dx≤ −v(Y ) < 0.

Тогда решение Y0 асимптотически устойчиво.

108

Таким образом, если исследование устойчивости решения по первомуприближению не дает определенного ответа, можно строить функциюЛяпунова. Однако можно воспользоваться и другими способами. Рас-смотрим следующую систему.

Пример. x = y + x√x2 + y2,

y = −x+ y√x2 + y2.

(20.22)

Преобразуем систему. Домножая первое уравнение на y, а второе на −xи складывая, в результате имеем

xy − xy = x2 + y2,

Аналогично, домножая первое уравнение на x , а второе на y и склады-вая, получим

xx+ yy = (x2 + y2)3/2.

С введением новых переменных (полярных координат)

r =√x2 + y2, φ = arctg

y

x,

так что

r =xx+ yy√x2 + y2

, φ =1

1 + y2/x2· yx− xy

x2=yx− xy

x2 + y2,

система преобразуется к виду φ = −1,r = r2,

что дает решениеφ = −t+ C1.

Заметим, что r с ростом t растет, так как производная по времени rвсегда положительна. Решим это уравнение. Имеем

dr

r2= dt,

−1

r= t+ C2,

r = − 1

t+ C2.

109

Если задано начальное условие r(0) = r0, то C2 = −1/r0,

r = − 1

t− 1/r0=

r01− r0t

→ ∞, t→ r−10 ,

то есть расстояние не просто растет с ростом времени, а бесконечно уве-личивается при конечном значении t0 = 1

r0. Решение разрушается.

Рис. 31: Фазовые кривые

Фазовый портрет этот системы приведен на рис. 31.

21 Квазилинейные дифференциальные уравнения вчастных производных первого порядка

Рассмотрим уравнение

P (x, y, z)∂z

∂x+Q(x, y, z)

∂z

∂y= R(x, y, z), (21.1)

здесь коэффициенты P,Q,R — произвольные функции от переменных(x, y, z).

Отметим, что частные производные искомой функции входят в урав-нение линейным образом, сама же неизвестная функция z(x, y) входитпроизвольно.

Предположим, что

110

1. функции P,Q,R непрерывны и имеют непрерывные частные произ-водные в некоторой области Ω.

2. P,Q,R таковы, что все они одновременно не обращаются в ноль, тоесть P 2 +Q2 +R2 = 0.

Рассмотрим пример уравнения в частных производных.∂z

∂x= 0.

Его решением будет любая функция z = φ(y). Таким образом, в отли-чие от обыкновенных дифференциальных уравнений, где в решение вхо-дит одна или несколько произвольных постоянных, в случае уравненийс частными производными произвол гораздо шире — в решение входитпроизвольная функция.

Пусть z(x, y) — решение уравнения (21.1).Тогда z = z(x, y) в пространстве трех переменных (x, y, z) задает по-

верхность S с нормалью N = (−zx,−zy, 1)Рассмотрим в пространстве (x, y, z) векторное поле с координатами

F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).

Тогда исходное уравнение (21.1) можно переписать в виде

N · F = 0.

Так как векторN ненулевой, то выполнено условиеN⊥F , то есть векторF лежит в касательной плоскости к искомой поверхности. Таким обра-зом, в каждой точке поверхности S вектор (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))является касательным вектором к поверхности (рис. 32).

Значит, решение уравнения (21.1) с геометрической точки зрения пред-полагает построение поверхности, в каждой точке которой вектор F яв-ляется касательным.

Основная идея построения решения — выяснить, из каких линий со-стоит поверхность S и как их строить.

Рассмотрим вспомогательную систему трех обыкновенных дифферен-циальных уравнений в области Ω,

dx

dt= P (x, y, z),

dy

dt= Q(x, y, z),

dz

dt= R(x, y, z),

(21.2)

111

Рис. 32: Искомая поверхность

x(t), y(t), z(t) — решение этой системы. Пусть при t = 0 задано

x = x0, y = y0, z = z0.

Теорема . Пусть z = φ(x, y) — решение уравнения (21.1). Пусть приt = 0 точка с координатами (x0, y0, z0) лежит на поверхности S. Тогда,если (x(t), y(t), z(t)) — решение системы (21.2), то точка с координатами(x(t), y(t), z(t)) ∈ S для всех t > 0.Доказательство. Пусть (x(t), y(t), z(t)) — решение системы (21.2). Рас-смотрим задачу Коши

dx

dt= P (x, y, φ(x, y)) = P1(x, y),

dy

dt= Q(x, y, φ(x, y)) = Q1(x, y)

(21.3)

с начальными условиями x(0) = x0, y(0) = y0. Пусть x(t), y(t) —решение этой задачи Коши. Возьмем z(t) = φ(x(t), y(t)). По построениюточка (x, y, z) ∈ S. Покажем, что (x, y, z) является решением исходнойсистемы.

Так как (x0, y0, z0) ∈ S по условию теоремы, то z0 = φ(x0, y0), то естьполучаем

z(0) = z0.

112

Покажем, что (x, y, z) является решением системы (21.2). Подстановкав систему дает

dx

dt= P (x, y, φ(x, y)) = P (x, y, z),

dy

dt= Q(x, y, φ(x, y)) = Q(x, y, z),

dz

dt=

d

dtφ(x(t), y(t)) = φxxt+φyyt = φxP (x, y, φ)+φyQ(x, y, φ) = R(x, y, φ),

так как φ(x, y) — решение исходной системы.Итак, при вычислении мы использовали тот факт, что φ(x, y) — ре-

шение уравнения (21.1).(x, y, z) и (x, y, z) — решения задачи Коши (21.3). По теореме суще-

ствования и единственности они совпадают. Теорема доказана.Исключим из системы (21.2) параметр t, то есть запишем систему в

симметричной форме.

dx

P (x, y, z)=

dy

Q(x, y, z)=

dz

R(x, y, z).

Это есть два обыкновенных дифференциальных уравнения. Интегрируяих, получаем два первых интеграла

F1(x, y, z) = C1,

F2(x, y, z) = C2.

Пересечение этих семейств поверхностей дает двухпараметрическое се-мейство линий — характеристик системы (21.1). Зададим семейство ре-шений, задав произвольную функцию от этих постоянных

Φ(C1, C2) = 0,

то естьΦ(F1(x, y, z), F2(x, y, z)) = 0,

Это и есть общее решение уравнения в частных производных. Из этогосоотношения иногда можно явным образом выразить z = z(x, y).

Пример.zx − zy = 1.

Уравнения характеристик

dx

1=dy

−1=dz

1.

113

Интегрирование дает

dx+ dy = 0, dz + dy = 0,

x+ y = C1, z + y = C2,

то есть характеристики этого уравнения — два семейства плоскостей. Ихпересечения — прямые линии.

Общее решение можно записать в виде

Φ(x+ y, z + y)) = 0,

или, так как искомая функция входит только в один из первых интегра-лов, решение можно записать в явном виде

z + y = φ(x+ y), z = −y + φ(x+ y)

с произвольной функцией φ одного переменного.Проверим, что это действительно есть решение исходного уравнения

при любом выборе функции φ, у которой существует производная φ′.

∂z

∂x= φ′ · 1, ∂z

∂y= −1 + φ′ · 1,

то есть zx − zy = 1.

0

Рис. 33: Искомая поверхность

Пусть теперь при y = 0 задана функция z = φ(x).

114

Значения φ есть постоянная величина вдоль x+y = C. Таким образом,получаем поверхность типа «шифера» с прямолинейными образующими(рис.33).

Пример.

x∂z

∂y− y

∂z

∂x= 0.

Характеристики задаются системой дифференциальных уравнений

dx

−y=dy

x=dz

0.

Решение этой системы — два первых интеграла

x2 + y2 = C1, z = C2.

Общее решение уравнения —

Φ(x2 + y2, z) = 0,

илиz = φ(x2 + y2).

Так как z зависит только от x2 + y2, расстояния точки до оси Oz, то этоесть поверхность вращения с осью z.

Вид поверхности вращения определяется выбором функции φ.Поставим начальные условия. Зададим линию, через которую прохо-

дит искомая поверхность. Уравнение линии в трехмерном пространствеможно задать либо параметрически,

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [α, β),

либо как пересечение двух поверхностей

L :

φ1(x, y, z) = 0,

φ2(x, y, z) = 0.

1. Для определения пока произвольной функции φ зададим условие

L :

x+ y = 0,

z = y2.

115

Тогда подстановка в общее решение дает

y2 = φ(2y2),

то естьφ(t) = t/2.

Тогда решение уравнения — поверхность

z = φ(x2 + y2) =x2 + y2

2,

эллиптический параболоид (рис. 34).

Рис. 34: Эллиптический параболоид

2. Зададим другие начальные условия,

L :

z = 1,

x2 + y2 = 3.

Тогда подстановка в общее z = φ(x2 + y2) решение дает

1 = φ(3),

функция φ однозначно не определяется. Можно привести множе-ство примеров функций, что φ(3) = 1 (рис. 35).

116

1

3

Рис. 35:

3. Попробуем задать начальные условия следующим образом:

L :

z = x,

x2 + y2 = 1.

Подстановка в общее решение дает

x = φ(1),

то есть функция φ не может быть определена.

Таким образом, видим, что линию, через которую должна проходитьповерхность, нельзя задавать произвольным образом. Она не должнабыть характеристикой и касательной к ней. Касательный вектор к линииL не должен быть пропорционален вектору F = (P,Q,R) ни в однойточке. Легко проверить, что в случаях 2–3 это условие нарушено.

22 Применение дифференциальных уравнений дляописания развития популяций

Популяцию определяют как группу организмов одного вида, занимаю-щую конкретное пространство (ареал) и функционирующую как частьбиотического сообщества. Основной признак популяции как функцио-нальной единицы эволюции — вероятность обмена генетической инфор-мацией, которая существенно выше, чем средняя внутривидовая.

Популяция представляет собой форму существования вида, обеспе-чивающую приспособленность его к конкретным условиям среды обита-ния, включая взаимоотношения с другими видами. Наиболее близким

117

по значению к популяции является известное из курса истории понятие"племя".

Основными экологическими характеристиками популяции являются

1. Величина популяции по занимаемому пространству (ареалу) и почисленности особей;

2. Структура популяции — возрастная, половая, пространственная;

3. Динамика популяции — изменение признаков с течением времени.

Популяция обладает многими признаками, которые характеризуют еекак целое: численность, рождаемость, смертность, возрастной и половойсостав, характер распределения в пределах ареала.

Численность популяции (число особей на единицу площади или объё-ма) никогда не бывает произвольной и постоянной в течение длительно-го времени, и изменяется в пределах определенного диапазона, согласноправилу Ю. Одума: существуют определённые верхние и нижние преде-лы численности популяции, которые соблюдаются в природе в условияхстабильности среды обитания.

Зависимость численности популяции от среды обитания устанавли-вает правило К.Фридерихса (1927): регулирование численности популя-ции есть результат комплекса воздействий абиотической и биотическойсреды в местообитании вида. Видовую способность к размножению приотсутствии ограничений со стороны среды характеризует биотическийпотенциал популяции.

В данных конкретных условиях живые организмы стремятся макси-мально реализовать свой биотический потенциал, то есть в каждой по-пуляции имеется тенденция к образованию теоретически максимальновозможного количества новых особей.

22.1 Развитие изолированной популяции(модель Ферхюльста)

Пусть x(t) — численность некоторой популяции. Предположим, что x(t)есть непрерывно дифференцируемая функция.

Простейшая модель изолированной популяции строится следующимобразом.

Пусть ∆x— приращение популяции за промежуток времени ∆t. Пред-полагается, что число рождений и число смертей пропорционально чис-

118

ленности популяции в данный момент времени,

Nрожд. = αx, Nсм. = −βx, α > 0, β > 0.

Тогда приращение популяции

∆x = x(t+∆t)− x(x) = [αx(t)− βx(t)]∆t = (α− β)x(t)∆t.

Поделив обе части этого соотношения на ∆t, переходя к пределу при∆t → 0 , получаем простейшее дифференциальное уравнение развитияпопуляции

x′ = εx, ε = α− β.

Естественно поставить для этого уравнения задачу Коши, задав числен-ность популяции в начальный момент времени,

x(0) = x0.

Тогда численность популяции в момент времени t описывается фор-мулой

x(t) = x0eεt.

Графики этой функции в зависимости от параметра ε представленына рис. 36.

Рис. 36: Численность популяции от времени для различных значений параметра a

Это описание достаточно просто, но не соответствует естественнойситуации, так как в соответствии с этой математической моделью допус-кается неограниченный рост популяции, что противоречит реальности.Усовершенствуем модель, введя в рассмотрение внутривидовую конку-ренцию.

119

Любая конкуренция есть взаимодействие между ее особями. Посколь-ку число взаимодействий пропорционально x2, то в правой части появит-ся слагаемое −γx2. Знак минус соответствует тому, что внутривидоваяконкуренция способствует уменьшению численности популяции. Такимобразом, усовершенствованное уравнение будет иметь вид

x′ = εx− γx2

и может быть решено одним из указанных в первой главе способов ре-шения дифференциальных уравнений первого порядка.

Однако приведем метод исследования свойств решения без его явноговыписывания. Найдем точки покоя этого уравнения.

εx− γx2 = 0,

x1 = 0 — соответствует тому, что популяции нет. x2 = ε/γ — стационар-ное решение. Обозначим

ε

γ= h > 0.

Теорема.

1. Если x(0) = x0 > 0, то x(t) > 0 для всех значений t.

2. Если x(0) = x0 > h, то x(t) > h для всех значений t.

3. Если x(0) = x0 < h, то x(t) < h для всех значений t.

Доказательство. 1. Пусть x0 > 0, но при значении t = t1 > 0 имеемx(t1) ≤ 0. Тогда на отрезке [0, t1] функция x(t) меняет знак. По теоремеБольцано — Коши о промежуточном значении существует хотя бы одинмомент времени t∗, 0 < t∗ ≤ t1, что x(t∗) = 0. Среди всех таких t∗выберем наименьшее. Тогда для 0 < t < t∗ выполнено неравенство x(t) >0. Получаем задачу Коши для определения функции x(t), x′ = εx− γx2,

x(t∗) = 0.(22.1)

Исходная функция x(t) — решение этой задачи Коши. Но помимофункции x(t), у этой задачи Коши есть еще тривиальное решение, x(t) ≡0, отличное от x(t). В силу теоремы существования и единственностиэти решения совпадают. Тогда возникает противоречие с начальными

120

данными x(0) = x0 > 0. Таким образом, предположение, что существуетмомент времени, где x(t1) ≤ 0 — неверно.

2. Аналогично. В доказательстве следует лишь заменить 0 на h.

Следствие. Таким образом, решение этой математической модели обла-дает следующими свойствами.

Если начальная численность популяции x0 взята в пределах от 0 доh, то 0 < x(t) < h для всех значений t.

Если начальное значение x0 > h, то x(t) > h для всех последующихзначений t.

Далее, вычислим производную

x′(t) = x(ε− γx) = γx(h− x).

Если 0 < x0 < h, то, как было показано, 0 < x(t) < h, следовательно,x′(t) > 0 и функция x(t) возрастает при всех значениях t.

Если x0 > h, то x(t) > h, следовательно, x′(t) < 0, функция x(t) вездеубывающая.

Вычислим значение второй производной,

(x′(t))′ = (γhx−γx2)′ = γhx′−2γxx′ = γx′(h−2x) = γx(h−xγ)(h−2x).

Таким образом, при x < h/2 имеем x′′ > 0 и функция выпукла вниз, приx > h/2 значение второй производной x′′ < 0 и функция выпукла вверх.

Рис. 37: Модель популяции в условиях внутривидовой конкуренции

Если начальные данные таковы, что x0 > h, то таким же способомможно показать, что x′(t) < 0 и x′′(t) > 0, то есть для всех значений tфункция убывающая и выпукла вниз.

Схематическое поведение функции x(t) представлено на рис. 37.

121

22.2 Развитие двух видов в условиях конкуренции за источ-ники существования

Конкуренция — тип биотических взаимоотношений, при котором орга-низмы или виды соперничают между собой в потреблении одних и техже, обычно ограниченных, ресурсов. Ресурсы могут быть как пищевого,так и другого рода: наличие мест для выведения потомства, укрытий ит. д. В случае конкуренции присутствие другого организма или вида, содной стороны, неблагоприятно для каждого из них, так как часть необ-ходимых ресурсов используется соседом, с другой — это есть одно изпроявлений сопротивления среды. Конкуренцию подразделяют на внут-ривидовую и межвидовую.

Пусть имеется две популяции, которые используют для жизни ана-логичные ресурсы. В условиях неограниченности жизненных ресурсов(отсутствия как внутривидовой, так и межвидовой конкуренции) урав-нения численности популяций имеют вид

x′ = ε1x,

y′ = ε2y.

Введем в рассмотрение конкуренцию. Предположим, что жизненныхресурсов в единицу времени обе популяции потребляют в количествеλ1x+λ2y. Соответственно, в уравнения популяций с отрицательным зна-ком войдут слагаемые γ1x(λ1x+λ2y), γ2y(λ1x+λ2y). Эти поправки учи-тывают как внутривидовую, так и межвидовую конкуренцию.

То есть окончательно система примет видx′ = ε1x− γ1x(λ1x+ λ2y),

y′ = ε2y − γ2y(λ1x+ λ2y).

Как частный случай, при отсутствии одного из видов получаем уравне-ние (22.1) из предыдущего раздела.

Для упрощения анализа системы будем предполагать, чтоλ1 = λ2 = 1.

Тогда система упростится доx′ = ε1x− γ1x(x+ y),

y′ = ε2y − γ2y(x+ y).(22.2)

Найдем точки покоя этой системы.

x(ε1 − γ1(x+ y)) = 0,

122

y(ε2 − γ2(x+ y)) = 0,x+ y =

ε1γ1,

x+ y =ε2γ2.

Таким образом, система (22.2) имеет точки покоя

(0, 0),

(0,ε2γ2

),

(ε1γ1, 0

).

Если выполнено соотношениеε1γ1

=ε2γ2

= α, то точки покоя заполняют

отрезок прямой в плоскости (x, y) от точки(0,ε2γ2

)до точки (

ε1γ1, 0

).

Без доказательства приведем следующее

Утверждение.

1. Если x(0) = x0 > 0, y(0) = y0 > 0, то x(t) > 0, y(t) > 0 для всех t,

2. При любом выборе начальных данных (x0, y0) существует такаяпостоянная M , что x(t) < M, y(t) < M для всех значений T .

Преобразуем уравнения,x′

x= ε1 − γ1(x+ y),

y′

y= ε2 − γ2(x+ y).

(22.3)

Далее, домножим первое уравнение системы (22.3) на γ2, второе на γ1 ивычтем. В итоге имеем

γ2x′

x− γ1

y′

y= ε1γ2 − ε2γ1.

Интегрируя по t от 0 до текущего значения t, получаемt∫

0

(γ2x′

x− γ1

y′

y

)dt = t(ε1γ2 − ε2γ1),

123

[γ2 lnx(t)− γ1 ln y(t)]

∣∣∣∣t0

= t(ε1γ2 − ε2γ1),

lnxγ2

yγ1− ln

xγ20yγ10

= t(ε1γ2 − ε2γ1),

xγ2

yγ1=xγ20yγ10

et(ε1γ2−ε2γ1). (22.4)

Это есть закон сохранения для системы развития популяций. Такимобразом, численности популяций не могут меняться произвольным обра-зом, они связаны этим соотношением.

Проанализируем полученный результат. Перепишем закон сохраненияв виде

xγ2 = C(x0, y0)yγ1et(ε1γ2−ε2γ1).

Рассмотрим ситуацию

ε1γ2 − ε2γ1 < 0,

ε1γ1<ε2γ2. (22.5)

Тогда экспоненциальный множитель в правой части стремится к нулю сростом t, как следствие, при t→ ∞

xγ2 < M(x0, y0)γ1Cet(ε1γ2−ε2γ1) → 0,

то есть популяция x(t) вымирает. Проследим, что станет со второй по-пуляцией.

y′ = ε2y − γ2(x+ y)y.

Если x(t) → 0 при больших значениях t, то

y(t) → h2ε2γ2.

Соотношение (22.5) означает, что второй вид (y(t)) сильнее в конкурен-ции, тогда как первый вид вымирает, второй стабилизируется. Противо-положная ситуация рассматривается аналогично.

Особый случай —ε1γ1

=ε2γ2.

Тогдаet(ε1γ2−ε2γ1) = 1,

124

закон сохранения принимает форму

xγ2 = C(x0, y0)yγ1,

x = C1yγ1/γ2.

Рис. 38: Два вида в борьбе за источники существования. Закон сохранения и отрезокточек покоя

Фазовые кривые — степенные кривые соответствующей степени, вы-пуклые вверх или вниз в зависимости от значения γ1/γ2. С ростом вре-мени положение системы движется к состоянию равновесия, конкретнойточке на отрезке AB. В зависимости от начальных данных задачи (на-чальных численностей популяций) находимся на фиксированной фазо-вой кривой в плоскости (x, y), по которой с ростом времени приходим наотрезок AB (рис. 38).

22.3 Развитие популяций хищник–жертва

22.3.1 Модель Вольтерра — Лотка

Рассмотрим математическую модель развития популяций двух видов.Одна из них — хищники, другая — их добыча. Пусть x(t) — численностьпопуляции жертв, y(t) — численность популяции хищников. Будем пред-полагать, что хищники в отсутствие жертв нежизнеспособны, жертвы жебез хищников процветают. Эти предположения находят математическоевыражение в следующей системе:

x′ = ε1x− γ1xy,

y′ = −ε2y + γ2xy.(22.6)

125

Для определенности будем считать, что все коэффициенты системы по-ложительны. Разные знаки перед вторыми слагаемыми свидетельствуюто том, что встреча между хищником и жертвой идет на пользу популя-ции хищников, тогда как популяция жертв терпит убытки. Отметим, чтосистема (22.6) не учитывает внутривидовой конкуренции.

Найдем стационарные точки системы,ε1x− γ1xy = 0,

−ε2y + γ2xy = 0,x(ε1 − γ1y) = 0,

−y(ε2 − γ2x) = 0,

y =ε1γ1, x =

ε2γ2.

Мы здесь не рассматриваем точку покоя с нулевыми координатами ввидуее несодержательности.

Справедливо утверждение.

Лемма (без доказательства).. Если в начальный момент времени вы-полнено x(0) > 0, y(0) > 0, то x(t) > 0, y(t) > 0 для всех значенийвремени t.

Преобразуем систему (22.6),x′

x= ε1 − γ1y,

y′

y= −ε2 + γ2x.

(22.7)

Умножая первое уравнение системы (22.7) на ε2, второе на ε1 и склады-вая, получим

ε2x′

x+ ε1

y′

y= ε1γ2x− ε2γ1y. (22.8)

Теперь действуем другим путем. Домножаем первое уравнение систе-мы (22.6) на γ2, второе на γ1 и складывая, получим

γ2x′ + γ1y

′ = ε1γ2x− ε2γ1y. (22.9)

Таким образом, выражения в правых частях (22.8) и (22.9) совпадают.Тогда

ε2x′

x+ ε1

y′

y= γ2x

′ + γ1y′.

126

Интегрируя по t от 0 до t, имеемt∫

0

(ε2x′

x+ ε1

y′

y

)dt =

t∫0

(γ2x′ + γ1y

′) dt,

(ε2 lnx+ ε1 ln y

)∣∣∣t0= (γ2x+ γ1y)

∣∣t0.

Пусть заданы начальные численности популяций

x(0) = x0, y(0) = y0.

Тогда(ε2 lnx(t)+ε1 ln y(t)

)−(ε2 lnx0+ε1 ln y0

)= (γ2x(t)+γ1y(t))−(γ2x0+γ1y0),

или, группируя слагаемые, зависящие от времени, в левой части уравне-ния, получаем(

ε2 lnx(t) + ε1 ln y(t))− (γ2x(t) + γ1y(t)) = C(x0, y0),

Рис. 39: График функции f(x)g(y)

ln(xε2yε1

)− ln eγ2xeγ1y = C(x0, y0),

xε2

eγ2x· y

ε1

eγ1y= C(x0, y0),

C(x0, y0) определяется начальными данными задачи. Левая часть по-следнего соотношения есть произведение функций одного переменного.

127

Функции f(x) =xε2

eγ2xи g(y) =

yε1

eγ1yпринимают максимальные значения

при x = ε2/γ2 и y = ε1/γ1 соответственно.Произведение функций f(x)g(y) имеет максимум в точке (ε2/γ2, ε1/γ1)

(рис. 39).

Рис. 40: Фазовый портрет

Линии уровня функции двух переменных — замкнутые кривые, окру-жающие точку (ε2/γ2, ε1/γ1). Траектории системы совпадают с этимилиниями уровня.

05

1015

20

0

5

10

0

5

10

Рис. 41: Интегральная кривая системы (22.6)

Траектории системы представлены на рис. 40.

128

2 4 6 8 10

0.5

1.0

1.5

2.0

Рис. 42: Зависимость численности популяций от времени

Интересно, что если уменьшить число хищников в момент их мини-мума, то переходим на более длинную линию уровня, что соответствуетбольшему максимуму популяции жертв в соответствующий момент вре-мени. Аналогично, если добавить жертв в тот момент, когда их числен-ность мала, то переходим на более внутреннюю линию уровня, котораясоответствует меньшему разбросу значений численности популяции.

2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

Рис. 43: Фазовая кривая системы хищник-жертва в условиях внутривидовой конку-ренции

На рисунках также представлены интегральная кривая системы урав-нений (22.6) (рис. (41)) и численности популяций хищников и жертв взависимости от времени (рис. 42).

Отметим, что если в системе (22.6) учесть внутривидовую конкурен-цию, то к правой части добавятся слагаемые δ1x2, δ2y2 соответственно,

x′ = ε1x− γ1xy − δ1x2,

y′ = −ε2y + γ2xy − δ2y2.

(22.10)

129

такая система уже более сложна для анализа. Фазовые кривые и решениесистемы приведены на рисунках 43-45.

0

5

10 0

5

10

0

5

10

15

20

Рис. 44: Интегральная кривая системы хищник-жертва в условиях внутривидовойконкуренции

5 10 15 20 25 30

2

4

6

8

10

12

Рис. 45: Зависимость численности популяций хищников и жертв в условиях внутри-видовой конкуренции

130

22.3.2 Модель Холлинга — Теннера

Отметим, однако, явные недостатки системы Вольтерра — Лотка. Сла-гаемые γ2xy в правой части второго уравнения системы (22.6) означаютколичество жертв, съедаемых в популяции хищников численностью y(t).При этом хищник ест тем больше, чем больше жертв вокруг и пределаего прожорливости нет. Более разумным представляется предположение,что существует верхний предел коэффициента хищничества, то есть чтохищник перестает истреблять жертв, когда насыщается. Это достигаетсязаменой коэффициента прожорливости γ2x на, например, коэффициентвида wx

D+x . Схематическое поведение такой функции приведено на рисун-ке 46.

Рис. 46: Зависимость аппетита хищников от времени. На бесконечности наступаетнасыщение

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

Рис. 47: Фазовые кривые системы хищник-жертва для модели Холлинга — Теннера

131

Итак, усовершенствованная таким образом система имеет видx′ = ε1x− δ1x

2 − wxy

D + x,

y′ = −ε2y −δ2y

2

x.

Анализ этой системы показывает, что в данном случае существуетпредельный цикл, к которому асимптотически стремятся траектории иснаружи цикла, и изнутри (рис. 47).

23 Волновое уравнение

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной)среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия меж-ду частицами это колебание будет распространяться в среде от частицык частице с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебанийв пространстве называется волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаютсяволной в поступательное движение, они лишь совершают колебания око-ло своих положений равновесия. В зависимости от направления колеба-ний частиц по отношению к направлению, в котором распространяетсяволна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волнечастицы среды колеблются вдоль направления распространения волны.В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпен-дикулярных к направлению распространения волны. Упругие попереч-ные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлениемсдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникнове-ние только продольных волн. В твердой среде возможно возникновениекак продольных, так и поперечных волн.

Волновое уравнение является одной из наиболее распространенныхматематических моделей в физике. Оно описывает почти все разновид-ности малых колебании в распределённых механических системах (про-дольные звуковые колебания в газе, жидкости, твёрдом теле; поперечныеколебания в струнах и т. п.). Ему удовлетворяют компоненты электро-магнитных векторов и потенциалов, и, следовательно, многие электро-магнитные явления (от квазистатики до оптики) в той или иной мереобъясняются свойствами его решений.

В многомерном случае как следствие второго закона Ньютона одно-родное волновое уравнение записывается в виде

132

∆u =1

v2∂2u

∂t2,

u = u(X, t), X = (x1, ..., xn), v — фазовая скорость,

∆u =∂2u

∂x21+∂2u

∂x22+ ...+

∂2u

∂x2n.

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

∂2u

∂t2= v2∆u+ f(X, t),

где f = f(X, t) — некая заданная функция внешнего воздействия (внеш-ней силы).

В одномерном случае уравнение называется также уравнением коле-бания струны или уравнением продольных колебаний стержня и запи-сывается в виде

utt = a2uxx. (23.1)

Здесь предполагается, что струна занимает отрезок [0, l].

Рис. 48: Струна, закрепленная на концах

Для уравнения (23.1) поставим граничные условия

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0,

что соответствует тому, что концы струны закреплены. (Вместо этихусловий можно задавать, например, условия

ux(0, t) = 0, ux(l, t) = 0,

что соответствует свободному скольжению концов струны по прямымx = 0, x = l или условия фиксации одного конца и скольжения другого).

Помимо граничных условий, зададим начальные условия

u(x, 0) = φ(x) (23.2)

133

— начальное отклонение струны от положения равновесия и начальнуюскорость точек струны

ut(x, 0) = ψ(x). (23.3)

Далее для упрощения вычислений будем считать, что ψ(x) ≡ 0, тоесть струну в начальный момент оттянули от положения равновесия иотпустили с нулевой скоростью.

23.1 Метод разделения переменных

Решение уравнения (23.1) будем искать в виде

u(x, y) = X(x) · T (t).

Подстановка в уравнение дает

X ′′T =1

a2T ′′X,

то естьX ′′(x)

X(x)=

1

a2· T

′′(t)

T (t). (23.4)

Это соотношение должно быть выполнено для любого x из [0, l] и любогоt ≥ 0.

Так как левая часть (23.5) есть функция только от x, а правая —функция только от t, то

X ′′

X=

1

a2· T

′′

T= −λ = const. (23.5)

Таким образом, получаем систему двух обыкновенных дифференциаль-ных уравнений

X ′′(x) + λX(x) = 0,

T ′′(t) + a2λT (t) = 0.

Граничные условия преобразуются к

u(x, 0) = X(0)T (t) = 0,

u(x, l) = X(l)T (t) = 0,

то естьX(0) = X(l) = 0, (23.6)

134

иначе T (t) ≡ 0, то есть u(x, t) ≡ 0 — тривиальный случай, не заслужи-вающий рассмотрения.

Граничные условия (23.6) накладывают дополнительные ограниченияна функцию X(x). На функцию T (t) никаких дополнительных условийне получаем.

Таким образом, для определения функции X(x) имеем следующуюкраевую задачу:

X ′′(x) + λX(x) = 0,

X(0) = X(l) = 0.(23.7)

Это есть задача Штурма — Лиувилля (задача на собственные значения).Требуется найти такие значения параметра λ, при которых существу-

ет нетривиальное решение задачи (23.7), а также найти эти решения.

Определение. Такие значения λ называются собственными значени-ями задачи (23.7), а соответствующие им нетривиальные решения —собственными функциями задачи.

Рассмотрим возможные значения параметра λ.

1. λ = −ω2 < 0. Тогда уравнение (23.7) имеет вид

X ′′ = ω2X,

его общее решение —

X = C1eωx + C2e

−ωx.

С учетом граничных условий

X(0) = X(l) = 0

получаемX(0) = C1 + C2 = 0,

X(l) = C1eωl + C2e

−ωl = 0,

то естьC1 = C2 = 0, X(x) ≡ 0.

2. λ = 0, тогдаX ′′ = 0

и общее решениеX(x) = C1x+ C2

135

дает с учетом краевых условий

X(0) = X(l) = 0

только тривиальное решение

X ≡ 0.

3. λ = ω2 > 0. Уравнение преобразуется к

X ′′ = −ω2X,

X = C1 cosωx+ C2 sinωx.

Граничные условия дают

X(0) = C1 = 0,

X(l) = C1 cosωl + C2 sinωl = C2 sinωl = 0.

Чтобы постоянная C2 была отлична от нуля, необходимо выполнениеусловия

sinωl = 0,

то естьωl = πn, ω =

πn

l,

λ = ω2 =π2n2

l2.

Тогда имеем последовательность решений (собственных функций)

X(x) = C sinxπn

l,

соответствующих собственным значениям

λn =π2n2

l2.

С этими значениями λ теперь решаем уравнение для функции T (t)

T ′′(t) + a2π2n2

l2T (t) = 0.

Его решение —

Tn = An cos(πnlat)+Bn sin

(πnlat).

136

Таким образом, имеем последовательность решений исходного уравнения

un(x, t) = Tn(t)Xn(x) =(An cos

(πnlat)+Bn sin

(πnlat))

sinπn

lx.

В силу линейности и однородности уравнения (23.1) его общее решениеесть линейная комбинация решений un(x, y),

u(x, t) =∞∑n=1

un(x, t) (23.8)

с произвольными постоянными An, Bn. Эти постоянные будем опреде-лять из начальных условий. Положим в общем решении t = 0. Имеем

u(x, 0) =∞∑n=1

An cos(πnlat)sin

πn

lx =

∞∑n=1

An sinπn

lx = φ(x).

Выражение в правой части соответствует разложению в ряд Фурьенечетной функции φ(x). Напомним, что эта функция задана на отрезке[0, l]. Продолжая функцию на полуинтервал [−l, 0) нечетным образом,имеем

An =1

l

l∫−l

φ(x) sinπnx

ldx.

Таким образом, определены коэффициенты An.Коэффициенты Bn определяются из второго начального условия. В

нашем случае (ψ ≡ 0) Bn = 0. Подставляя An, Bn в выражение (23.8),получаем необходимое решение.

23.2 Решение начально-краевой задачи для волнового урав-нения

Зададим начальное отклонение струны функцией

φ(x) =

2u0x

l, 0 ≤ x ≤ l/2,

2u0 −2u0x

l, l/2 < x ≤ l.

Тогда вычисления дают

An =1

l

l∫−l

φ(x) sinπnx

ldx =

2

l

l∫0

φ(x) sinπnx

ldx =

137

=2

l

l/2∫0

2u0x

lsin

πnx

ldx+

2

l

l/2∫0

(2u0 −

2u0x

l

)sin

πnx

ldx =

=2u0π2n2

(−πn cos nπ

2+ 2 sin

nπ

2

)+

2u0π2n2

(nπ cos

nπ

2+ 2 sin

nπ

2− 2 sin

nπ

2

)=

=8u0π2n2

sinnπ

2=

0, n = 2k,

8u0π2(2k + 1)2

(−1)k, n = 2k + 1.

Тогда решение волнового уравнения есть

u(x, t) =∞∑k=1

sin(2k + 1)π

lx · 8u0(−1)k

π2(2k + 1)2cos

aπ

lt(2k + 1).

Последовательные положения струны с ростом времени представленына серии рисунков. Здесь взяты 7 первых слагаемых ряда Фурье.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.02

0.04

0.06

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0002

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-0.002

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-0.04

-0.02

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-0.06

-0.04

-0.02

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

138

24 Дифференциальные уравнения химической ки-нетики. Законы сохранения

Представление о составе вещества — одно из концептуальных понятийдля химии как естественной науки. Закон постоянства состава химиче-ских соединений обосновал английский исследователь Д. Дальтон в сво-ем законе кратных отношений: “Любое определенное химически чистоесоединение независимо от способа его получения состоит из одних и техже химических элементов, причем отношения их масс постоянны, а от-носительные числа их атомов выражаются целыми числами”. Закон по-стоянства состава вещества использовал Менделеев при разработке пе-риодической системы — постоянство состава соединений, которые мо-жет образовывать данный элемент, следует из его положения в таблицеМенделеева. Постоянство состава химических соединений обусловленофизической природой химических связей, объединяющих атомы в од-ну квантово-механическую систему — молекулу. Использование строгихнаучных принципов относительно состава вещества позволяет развиватьпонятие химической реакции как процесса образования новых химиче-ских соединений. В химической реакции участвуют исходные вещества,которых реагируют между собой и в процессе времени, возможно, подвлиянием каких-либо факторов, превращаются в новые вещества, ко-торые называются продуктами реакции. Из закона постоянства состававещества следует постоянство не только состава молекул продукта реак-ций, но и постоянство количественных соотношений исходных веществ.В уравнении химической реакции используется закон сохранения веще-ства, открытый независимо М.В.Ломоносовым и А.Л.Лавуазье. В мате-матическом выражении закон — масса данного элемента в левой частиравенства равна массе этого же элемента в правой части равенства сучетом стехиометрических коэффициентов.

Пусть имеется n химических веществ Aj, j = 1, ..., n (реагентов ипродуктов реакций). Предположим, что эти вещества задействованы вm простейших химических реакциях, схематически описываемых соот-ношениями

n∑j=1

αijAj k+ik−i

n∑j=1

βijAj, (24.1)

здесь αij ≥ 0, βij ≥ 0 — целые числа, стехиометрические коэффициен-

139

ты. Обозначим xj(t) — концентрация вещества Aj в момент времени t.Рассмотрим гипотетические реакции

2A1 + A2 k+1k−1A3,

4A2 + A3 k+2k−2A1 + A4.

Значок k+ik−i

обозначает, что реакция идет как в прямом, так и в обрат-ном направлении, при этом k±i — константа скорости реакции. Обозначимwi — скорость реакции,

wi = w+i − w−

i ,

здесь w±i — скорости прямой и обратной реакций соответственно. Со-

гласно закону действующих масс скорость элементарной химической ре-акции пропорциональна произведению концентраций реагентов в степе-нях, равных стехиометрическим коэффициентам в уравнении реакции,то есть

w+i = k+i x

αi1

1 xαi2

2 ...xαinn ,

w−i = k−i x

βi1

1 xβi2

2 ...xβinn .

Для примера рассматриваемых гипотетических реакций

w1 = w+1 − w−

1 = k+1 x21x2 − k−1 x3,

w2 = w+2 − w−

2 = k+2 x42x3 − k−2 x1x4.

Введем в рассмотрение вектор концентраций

X =

x1(t)

x2(t)

...

xn(t)

и матрицу Γ = (γij) размера m×n, где коэффициенты определяются поформулам

γij = βij − αij.

В нашем случае

Γ =

(−2 −1 1 0

1 −4 −1 1

).

140

С введением вектора скоростей реакций

w =

w1

w2

...

wn

уравнения для концентраций могут быть записаны в виде

X ′ = Γ∗w, (24.2)

где Γ∗ — транспонированная матрица Γ,

Γ∗ =

−2 1

−1 −4

1 −1

0 1

.

Уравнение (24.2), расписанное по координатам, дает систему

x′1 = −2w1 + w2,

x′2 = −w1 − 4w2,

x′3 = w1 − w2,

x′4 = w2.

Если реактор является открытым, то в этой системе дифференциальныхуравнений появляется правая часть, то есть система принимает вид

x′1 = −2w1 + w2 + f1(t),

x′2 = −w1 − 4w2 + f2(t),

x′3 = w1 − w2 + f3(t),

x′4 = w2 + f4(t).

Предположим, что химические реакции задаются схемой (24.1) и ве-щество Aj имеет молекулярную массу Mj. Тогда для этих реакций дол-жен быть выполнен закон сохранения массы

141

n∑j=1

αijMj =n∑

j=1

βijMj, i = 1, ...,m,

то есть

m∑j=1

(βij − αij)Mj =m∑j=1

γijMj = 0,

или с введением вектора

M =

M1

M2

...

Mn

,

получаем векторное уравнение

ΓM = 0m,

где 0m — нулевой вектор-столбец длины m. Таким образом, получаемm соотношений, выражающих законы сохранения. Применим к этомувекторному соотношению операцию транспонирования с учетом свойства

(AB)∗ = B∗A∗,

M ∗Γ∗ = 0m,

где 0m — вектор-строка длины m.Домножим векторное соотношение (24.2) слева на M ∗, тогда

M∗ ·X ′ = M ∗ · Γ∗ · w = 0m · w = 0. (24.3)

То есть

M1x′1 +M2x

′2 + ...+Mnx

′n = 0,

таким образом, (M1x1(t) +M2x2(t) + ...+Mnxn(t)

)′= 0,

142

то естьM1x1(t) +M2x2(t) + ...+Mnxn(t) = const. (24.4)

Если число реакций меньше числа реагирующих веществ, то систе-ма (24.3) имеет бесконечно много решений. Поскольку концентрации ве-ществ x1(t), x2(t), ..., xn(t) — неотрицательные величины, а соотношение(24.4) задает гиперплоскость в Rn, то множество возможных состоянийсистемы — кривая в этой плоскости. Для случая n = 3 имеем симплекс.

Найдем точки покоя автономной системы. Точка детального равно-весия x0j — такое решение системы дифференциальных уравнений, чтоw+

i = w−i , это есть набор таких концентраций веществ, для которых лю-

бая реакция находится в равновесии. Тогда получаем соотношения

k+i xαi1

1 ...xαinn = k−i x

βi1

1 ...xβinn , i = 1, ...,m.

Введем новые переменные yj = ln xj. Логарифмируя предыдущие со-отношения, получаем m линейных уравнений для определения точек по-коя,

ln k+i + αi1y1 + ...+ αinyn = ln k−i + βi1y1 + ...+ βinyn,

или

lnk+ik−i

=n∑

j=1

γijyi, i = 1, ...,m.

Далее можно рассматривать вопросы разрешимости этой системы ли-нейных уравнений.Пример. Рассмотрим процесс окисления угарного газа, в результатекоторого образуется углекислый газ CO2. Данная реакция является об-ратимой — идет как процесс образования углекислого газа, так и процессего распада на угарный газ и кислород. Механизм реакции определяетсяследующим уравнением

2CO +O2 2CO2.

Предположим, реакция протекает в постоянной объеме. Обозначим z1 —концентрация угарного газа CO, z2 — концентрация кислорода O2, z3 —концентрация углекислого газа CO2.

Выписывая соотношения сохранения вещества, получаем следующиеравенства: Для кислорода —

z1 + 2z2 + z3 = const, (24.5)

143

для углерода —z1 + z3 = const. (24.6)

Как следствие,2z1 + 2z2 + 2z3 = const.

Эта постоянная определяется из начальных концентраций. Последнеесоотношение описывает плоскость в пространстве R3, на которой ле-жат возможные значений концентраций. Дополняя это соотношение ра-венством (24.6), которое в трехмерном пространстве описывает плос-кость, параллельную координатной оси z2, получим прямую, описыва-ющую возможные состояния системы (рис. 49).

0

Рис. 49: Прямая возможных состояний системы

Далее, пусть реакция протекает при постоянной температуре, ai, i =1, 2 — константы скорости прямой и обратной реакций соответственно.Согласно закону действующих масс скорость реакции определяется кон-центрациями реагирующих веществ в степенях, равных их стехиометри-ческим коэффициентам, то есть имеем

ω1 = a1z21z2,

ω2 = a2z23.

144

Таким образом, для концентраций получаем систему дифференциаль-ных уравнений

z1 = −2a1z21z2 + 2a2z

23,

z2 = −a1z21z2 + a2z32,

z3 = 2a1z21z2 − 2a2z

23.

(24.7)

В общем случае эта система является нелинейной. Ее устойчивостьможно исследовать описанными ранее способами. Решение можно стро-ить, например, численными или полуаналитическими методами.

25 Математическая модель хроматографа

Адсорбция (от лат. ad — на, при и sorbeo — поглощаю), поглощение ве-щества из газообразной среды или раствора поверхностным слоем жид-кости или твёрдого тела. Например, если поместить в водный растворуксусной кислоты кусочек угля, то произойдёт адсорбция — количествокислоты в растворе уменьшится, молекулы кислоты сконцентрируютсяна поверхности угля. Адсорбция и абсорбция — поглощение в объёме те-ла, объединяются общим термином сорбция. Явление адсорбции сталоизучаться со второй половины 18 в. (Шееле, 1773), хотя несомненно, чтов практической деятельности человечества адсорбция использовалась снезапамятных времён. Учение об адсорбции является частью более об-щей теории многокомпонентных гетерогенных систем, основы которойзаложены У. Гиббсом (1876). Явление адсорбции тесно связано с особы-ми свойствами вещества в поверхностном слое. например, молекулы, ле-жащие на поверхности раздела фаз жидкость — пар, втягиваются внутрьжидкости, т. к. испытывают большее притяжение со стороны молекул,находящихся в объёме жидкости, чем со стороны молекул пара, кон-центрация которых во много раз меньше концентрации жидкости. Этовнутреннее притяжение заставляет поверхность сокращаться и количе-ственно характеризуется поверхностным натяжением. По той же при-чине молекулы какого-либо другого вещества, оказавшиеся вблизи по-верхности, притянутся к ней и произойдёт адсорбция. После адсорбциивнутреннее притяжение частично компенсируется притяжением со сторо-ны адсорбционного слоя и поверхностное натяжение уменьшается. Гиббсвывел формулу, связывающую значение адсорбции с изменением поверх-ностного натяжения. Те вещества, адсорбция которых сильно уменьшаетповерхностное натяжение, принято называть поверхностно-активными.

145

Вещество, на поверхности которого происходит адсорбция, называет-ся адсорбентом, а поглощаемое из объёмной фазы — адсорбатом. В зави-симости от характера взаимодействия между молекулой адсорбата и ад-сорбентом адсорбцию принято подразделять на физическую адсорбциюи хемосорбцию. Менее прочная физическая адсорбция не сопровожда-ется существенными изменениями молекул адсорбата. Она обусловленасилами межмолекулярного взаимодействия, которые связывают молеку-лы в жидкостях и некоторых кристаллах и проявляются в поведениисильно сжатых газов. При хемосорбции молекулы адсорбата и адсор-бента образуют химические соединения. Часто адсорбция обусловленаи физическими, и химическими силами, поэтому не существует чёткойграницы между физикой адсорбции и хемосорбцией.

С ростом концентрации или давления адсорбата в объёме увеличи-вается частота попаданий молекул адсорбата на поверхность адсорбен-та; пропорционально ей возрастает скорость адсорбции и увеличиваетсяравновесное количество адсорбированных молекул. Кривые зависимостиравновесной адсорбции от концентрации или давления адсорбата при по-стоянной температуре называются изотермами адсорбции.

Если адсорбат покрывает поверхность слоем толщиной в одну моле-кулу, адсорбция называется мономолекулярной. Простейшая изотермамономолекулярной адсорбции представляет собой прямую линию, вы-ходящую из начала координат, где на оси абсцисс отложено давлениеадсорбата, а на оси ординат степень заполнения поверхности, т. е. доляповерхности, покрытая адсорбированными молекулами. Эта зависимостьназывается изотермой Генри.

Уравнение Генри справедливо при очень низких степенях заполнениядля однородной поверхности. По мере увеличения степени заполнениявсё большую роль начинает играть взаимодействие между адсорбиро-ванными молекулами и интенсивность их поверхностной подвижности.Если молекулы адсорбата притягиваются друг к другу, то каждая вновьадсорбирующаяся молекула будет испытывать притяжение и адсорбатаи молекул, адсорбированных ранее. Поэтому по мере заполнения поверх-ности силы, удерживающие адсорбированную молекулу, будут увеличи-ваться и условия для адсорбции будут всё более и более благоприятными.В этом случае с ростом давления изотерма всё круче и круче идёт вверх(см. рис. 50, кривую 1).

Однако по мере заполнения поверхности вновь адсорбирующимисямолекулами становится всё труднее найти свободное (не занятое други-

146

1

2

3

Рис. 50: Схема движения

ми молекулами адсорбата) место на поверхности. Поэтому с увеличениемдавления рост адсорбции замедляется и степень покрытия стремится кпостоянному значению, равному единице (см. кривую 2, которая харак-терна при отсутствии взаимного притяжения молекул адсорбата). Еслидействуют оба эти фактора, то получаются вогнуто-выпуклые изотермы(см. кривую 3).

Хроматография — динамический сорбционный метод разделения ианализа смесей веществ, а также изучения физико-химических свойстввеществ. Метод основан на распределении веществ между двумя фазами— неподвижной (твердая фаза или жидкость, связанная на инертномносителе) и подвижной (газовая или жидкая фаза, элюент). Названиеметода связано с первыми экспериментами по хроматографии, в ходекоторых разработчик метода Михаил Цвет разделял ярко окрашенныерастительные пигменты.

Хроматография есть метод разделения смесей веществ или частиц,основанный на различиях в скоростях их перемещения в системе несме-шивающихся и движущихся относительно друг друга фаз.

Основным конструктивным элементом хроматографов являются ко-лонки — трубки, заполненные неподвижной фазой, по которым во времявыполнения анализа движется подвижная фаза и исследуемый образец.Именно в колонке происходит разделение компонентов исследуемой сме-си.

147

25.1 Задача о поглощении газа

Математически задачи о поглощении газа формулируется следующимобразом.

Введем обозначения: a(x, t) — количество газа, поглощенное едини-цей объема сорбента, u(x, t) — концентрация газа, находящегося в порахсорбента в слое x.

Закон сохранения количества вещества

∂

∂t

x2∫x1

(a+ u)dx = −νu|x2x1.

Уравнение кинетики сорбции

∂a

∂t= β(u− y)

зависит от свойств сорбента. В этом уравнении β — кинетический ко-эффициент, y — концентрация газа, находящегося в “равновесии” с сор-бированным количеством газа. Величины a и y связаны соотношениемa = f(y), определяемым свойством сорбента.

Функция a = f(y) называется изотермой сорбции. Для моделирова-ния процесса часто используются следующие функции.

1) Зависимостьf(y) =

y

u0 + py

называется изотермой Ленгмюра. Эта зависимость справедлива для мо-номолекулярной адсорбции на однородной поверхности, если можно пре-небречь притяжением молекул адсорбата между собой и их подвижно-стью вдоль поверхности.

2) Линейная функция f(y) =1

γy называется изотермой Генри, вели-

чина1

γ— коэффициент Генри, зависит главным образом от температуры

и характера взаимодействия адсорбент – адсорбат.В случае изотермы Генри уравнения сорбции дают систему

−νux = ut + at,

at = β(u− γa)(25.1)

148

с условиямиa(x, 0) = 0,

u(x, 0) = 0,

u(0, t) = u0.

Последнее условие задает концентрацию газа на входе.В этой системе величина ut определяет расход газа на повышение кон-

центрации в порах сорбента, это значение мало по сравнению с at (расходгаза на увеличение сорбированного количества газа). Пренебрегая вели-чиной ut, приходим к задаче

−νux = at,

at = β(u− γa),

a(x, 0) = 0,

u(0, t) = u0.

В этой системе можно исключить функцию a(x, t). Для этого дифферен-цируем первое равенство по t, учитываем второе и приходим к

−νuxt = βut − βγat = βut − βνγuu,

илиuxt +

β

νut + βγux = 0.

Подставляя в первое уравнение системы t = 0, получаем

−νux(x, 0) = βu(x, 0).

Используя последнее условие

u(0, t) = u0,

имеемu(x, 0) = u0e

−βν x.

Таким образом, в случае изотермы Генри начально-краевая задачадля концентрации примет вид

uxt +β

νut + βγux = 0,

u(x, 0) = u0e−β

ν x,

u(0, t) = u0.

149

Характеристиками уравнения сорбции являются линииx = const,

t = const.

Отметим, что для уравнения сорбции задано начальное условие u(x, 0)и граничное условие u(0, t) — условия на характеристиках. Однако, этоименно тот случай, когда можно задавать условия на характеристикахразных семейств — данные переносятся характеристиками другого се-мейства. Такой тип задачи называется задача Гурса (задача с условиямина характеристиках).

Аналогично получается системаaxt +

β

νat + βγax = 0,

a(x, 0) = 0,

a(0, t) =u0γ

(1− e−βγt

).

Такая задача встречается при сушке воздушным потоком, прогрева-нии трубы потоком воды и других аналогичных процессах.

Первое равенство в системе можно получить другим способом. Введемновые переменные

τ = t− x

ν,

ξ = x,так что

t = τ +x

ν,

x = ξ.

При этом t0 =x

νсоответствует моменту прихода газовоздушной смеси в

точку с координатой x.Производные преобразуются следующим образом:

ux = uξ −1

νuτ ,

∂

∂t=

∂

∂τ.

Тогда система (25.1) преобразуется к−νuξ = aτ ,

aτ = β(u− γa)

150

с начальными условиями u(x, 0) = 0,

ut(x, 0) = 0.

25.2 Равновесная сорбция

Итак, в общем случае задача о сорбции газа описывается уравнением

−νux =∂

∂t(a+ u)

и уравнением кинетики сорбции

∂a

∂t= β(u− y).

Здесь a(x, t) — количество газа, поглощенное единицей сорбента, u(x, t) —концентрация газа, находящегося в порах сорбента в слое x. Изотермасорбции описывается функцией a = f(y). Будем искать такое решение,что at ≈ 0, что соответствует равновесной сорбции. Тогда уравнение ки-нетики сорбции дает соотношение

u = y.

Первое уравнение задачи о сорбции газа приводится к

−νux =∂

∂t(u+ f(u)),

или, далее,ut + f ′ut + νux = 0,

ut(1 + f ′) + νux = 0.

Уравнения характеристик системы есть

dt

1 + f ′=dx

ν=du

0.

Необходимо найти два первых интеграла. Используя первое равенство,получаем

dx

dt=

ν

1 + f ′. (25.2)

Отсюда вычисляем один из первых интегралов u = C1.

151

Пусть свойства сорбента описываются изотермой Ленгмюра,

f =Γu

1 + u,

отсюда

f ′ =Γ

(1 + u)2.

Используем уже найденный первый интеграл, тогда формула (25.2)дает

dx

dt=

ν

1 + Γ(1+C1)2

= C2.

Тогда второй первый интеграл есть

x− C2(u)t = C3,

или, подставляя выражение для C2,

x− ν

1 + Γ(1+u)2

t =ν(1 + u)2

(1 + u)2 + Γ.

Тогда общее решение исходного уравнения в частных производныхимеет вид

F (u, x− C2(u)t) = 0.

В этом случае искомую функцию удается выписать в более простом виде,а именно

u = ϕ(x− c(u)t).

Пусть к данному ранее дифференциальному уравнению в частныхпроизводных добавлено начальное условие, то есть необходимо решитьзадачу Коши. Для данной задачи условие Коши имеет смысл начальногораспределения. Пусть начальное условие записано в виде

u|t=0 = u0(x).

Подстановка t = 0 в найденное ранее общее решение дифференциаль-ного уравнения дает равенство, из которого требуется найти вид функ-ции ϕ, а именно

ϕ(x) = u0(x).

Таким образом, решение задачи Коши имеет вид

u = u0(x− c(u)t) = u0

(x− νt

1 + Γ(1+u)2

).

152

Пример. Рассмотрим более общий случай. Пусть дана задача Кошиut + c(u)ux = 0,

u(x, 0) = c−1(ax+ b).

Система характеристик для дифференциального уравнения записы-вается следующим образом:

dt

1=

dx

c(u)=du

0.

Для записи общего решения необходимо найти два первых интеграла.Из правой части записанной системы получаем первый интеграл

u = C1.

Из первого равенства с учетом найденного первого интеграла имеем

dt =dx

c(C1),

отсюда получаем второй первый интеграл

x− c(C1)t = C2.

Используя найденные первые интегралы, записываем общее решение

F (u, x− c(C1)t) = 0,

или в явном видеu = f(x− c(C1)t).

Подставляем начальное условие в общее решение,

u(x, 0) = f(x) = c−1(ax+ b).

Из этого соотношения определяем

f(x) = c−1(ax+ b).

Таким образом, решение задачи Коши есть функция

u(x, t) = c−1(a(x− c(u)t) + b).

Применяя к обеим частям последнего равенства функцию c, получаем

c(u) = a(x− c(u)t) + b,

153

c(u)(1 + at) = ax+ b,

c(u) =ax+ b

1 + at.

Тогда получаем решение в явном виде

u = c−1

(ax+ b

1 + at

).

Решение такого вида обладает особенностью, называемой градиент-ной катастрофой. А именно, при некоторых конечных значениях t реше-ние уходит на бесконечность. Такая ситуация возникает при a < 0. Тогда

решение существует только до момента времени t = −1

a.

25.3 Разделение смеси

Рассмотрим процесс равновесной сорбции смеси, состоящей из двух ком-понент. Уравнения кинетики сорбции в этом случае будут

∂u1∂t

+∂f1∂u1

∂u1∂t

+∂f1∂u2

∂u2∂t

+ ν∂u1∂x

= 0,

∂u2∂t

+∂f2∂u1

∂u1∂t

+∂f2∂u2

∂u2∂t

+ ν∂u2∂x

= 0,

здесь fi(u1, u2) — изотермы сорбции. Обозначим искомое векторное поле

u =

(u1u2

), матрицу системы

A =

∂f1∂u1

∂f1∂u2

∂f2∂u1

∂f2∂u2

.

Тогда исходная система может быть записана в векторной форме

ut + Aut + νux = 0,

или(I + A)ut = −νux,ut = −ν(I + A)−1ux.

Обозначив, C(u) = ν(I + A)−1, перепишем систему в виде

ut + C(u)ux = 0.

154

Пусть v = ut + Cux. Вычислим

vt − Cvx = utt + Cuxt − Cuxt − C2uxx = utt − C2uxx.

Таким образом, система vt − Cvx = 0,ut + Cux = v

сводится к волновому уравнению

utt − C2uxx = 0.

Волновое уравнение хорошо известно, в частности, его характеристи-ками являются линии x± Ct = c1. Решение переносится вдоль характе-ристик.

Выпишем матрицу системы(−C 00 C

),

ее собственные числа λ = ±C.

Определение. Характеристики системы — кривые в плоскости (x, t)

такие, чтоdx

dt= C(x, t), где C — собственные числа матрицы C.

В нашем случае надо искать собственные числа матрицы ν(I +A)−1.Из линейной алгебры известно, что если λj — собственные числа матри-цы A, то собственные числа матрицы ν(I + A)−1 выражаются через λjпо формуле

Cj =ν

1 + λj.

Для разделения смеси на составляющие необходимо, чтобы Cj бы-ли различными и действительными. Величины Cj являются скоростямидвижения соответствующих компонент. Эти необходимые условия на ве-личины Cj определяются видом матрицы A, которая в свою очередьопределяется функцией f .

Физическим путем добиться разности скоростей компонент можноили подобрав другой, более подходящий сорбент, или каким-то образомдоработав имеющийся. Возможно это сделать, добавив в сорбент приме-си, изменив его структуру или давление в приборе.

В реальных процессах одно уравнение может быть описано изотермойГенри, а второе — изотермой Ленгмюра.

155

Рассмотрим процесс разделения двухкомпонентной смеси в случае,когда оба уравнения описываются изотермами Генри. Пусть

f1 =1

γ1u1, f2 =

1

γ2u2.

Тогда

I + A =

1 +1

γ10

0 1 +1

γ2

.

Если коэффициенты Генри γ1 = γ2, то собственные числа этой матрицыбудут различными и вещественными.

Таким образом, скорость прохождения j-й компоненты равнаν

1 + λj,

где λj — собственные числа матрицы Якоби. Следовательно, скоростьфронта компонента может быть на равна ν. Примером таких разницскоростей могут служить звуковые волны и волны потока транспорта.

В случае (m = 2) изотермы Ленгмюра скорость будет зависеть отu1, u2, то есть от концентрации компонент в данный момент в данномместе.

Покажем, что скорости будут различны и в случае изотерм Ленгмюра.Пусть

f1 =Γ1u1

1 + u1 + u2, f2 =

Γ2u21 + u1 + u2

(0 < Γ1 < Γ2).

Обозначим p = 1 + u1 + u2. Вычислим производную∂f

∂u:

∂f1∂u1

=Γ1p− Γ1u1

(1 + u1 + u2)2=

Γ1(p− u1)

p2,

∂f1∂u2

= −Γ1u1p2

,∂f2∂u1

= −Γ2u2p2

,

∂f2∂u2

=Γ2(p− u2)

p2.

Γ1(p− u1)

p2−Γ1u1

p2

−Γ2u2p2

Γ2(p− u2)

p2

.

156

Вычислим собственные числа матрицы,

det

(∂f

∂u− λI

)=

∣∣∣∣∣∣∣∣Γ1(p− u1)

p2− λ −Γ1u1

p2

−Γ2u2p2

Γ2(p− u2)

p2− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= p−4

∣∣∣∣∣ Γ1(p− u1)− λp2 −Γ1u1

−Γ2u2 Γ2(p− u2)− λp2

∣∣∣∣∣ == p−4

((Γ1(p− u1)− λp2)(Γ2(p− u2)− λp2)− Γ1Γ2u1u2

)=

= p−4((Γ1p− λp2 − Γ1u1)(Γ2p− λp2 − Γ2u2)− Γ1Γ2u1u2

)=

= p−4(Γ1p−λp2)(Γ2p−λp2)(1− Γ1u1

Γ1p− λp2− Γ2u2

Γ2p− λp2

)(Γ1 − λp)(Γ2 − λp)

p2

Покажем, что множитель (Γ1 − λp)(Γ2 − λp) не может быть равен

нулю, то есть λ∗i =Γi

p.

Вычислим

det

(∂f

∂u− Γ1

p

)= det

Γ1

p− Γ1u1

p2− Γ1

p−Γ1u1

p2

−Γ2u2p2

Γ2

p− Γ2u2

p2− Γ1

p

=

=1

p4

∣∣∣∣∣ −Γ1u1 −Γ1u1

−Γ2u2 (Γ2 − Γ1)p− Γ2u2

∣∣∣∣∣ == −Γ1u1

p4((Γ2 − Γ1)p− Γ2u2 + Γ2u2) =

= −Γ1u1(Γ2 − Γ1)

p3= 0

при u1 = 0, 0 < Γ1 < Γ2. То естьΓ1

pне может быть собственным числом.

Аналогично,Γ2

pне может быть собственным числом. Таким образом,

собственные числа матрицы∂f

∂uдаются корнями уравнения F (λ) = 1,

где

F (λ) =Γ1u1

Γ1p− λp2+

Γ2u2Γ2p− λp2

.

157

Рассмотрим свойства функции F (λ). Легко получить следующие свой-ства.

F (λ) → 0 при λ→ ±∞.

Значения λ = λ∗1,2 — вертикальные асимптоты,

limλ→λ∗

1±0F (λ) =

Γ2u2

Γ2p− p2 Γ1

p

+ lim

λ→Γ1

p±0

Γ1u1

p2(Γ1

p − λ) = ∓∞.

F ′(λ) = p2(

Γ1u1(Γ1p− p2λ)2

+Γ2u2

(Γ2p− p2λ)2

)> 0, ∀λ (u1, u2 > 0)

F (0) =Γ1u1Γ1p

+Γ2u2Γ2p

=u1 + u2

p=

u1 + u21 + u1 + u2

,

0 < F (0) < 1

Схематическое поведение функции F (λ) представлено на рис. 51.

Рис. 51: Поведение функции F (λ)

158

Таким образом, однозначно вычисляются значения λ1, λ2. С ними вы-числяются собственные числа матрицы A — скорости фронтов компо-нент по формуле

Cj =ν

1 + λj, j = 1, 2.

Таким образом, скорости движения компонент вычисляются одно-значно, при этом, очевидно, Cj < ν, j = 1, 2; C1 = C2. Физически этоозначает, что, одновременно втекая в трубу, разные компоненты дости-гают конца колонки в разное время.

26 Уравнение распространения тепла

Процесс распространения тепла в пространстве может быть описан тем-пературой u(x, y, z, t), где x, y, z — пространственные координаты, t —время. Если температура в некоторой области не является постоянной,то возникают тепловые потоки, направленные от точек с более высокойтемпературой к точкам с менее высокой температурой.

Лемма. Пусть функция f(x) = f(x1, ..., xn) определена и непрерывнав некоторой области из Rn и известно, что для любой области Ω1 ∈ Ωвыполнено условие

∫Ω1

f(x)dx = 0, тогда f(x) ≡ 0 в Ω.

Доказательство. Пусть выполнено условие леммы, то есть∫Ω1

f(x)dx =

0. Предположим противное: то есть пусть существует такая точка x0 ∈Ω1 такая, что f(x0) = ε > 0. Тогда по теореме о сохранении знака суще-ствует такой шар B(x0, R), что во всем этом шаре f(x) > ε/2. Тогда∫

B(x0,R)

f(x)dx >ε

2|B(x0, R)| > 0,

здесь |B(x0, R)| — объем n-мерного шара. Получили противоречие с усло-вием леммы. Таким образом, лемма доказана.

Для вывода уравнения теплопроводности рассмотрим область Ω ⊂ R3.Обозначим границу области ∂Ω = F . Предполагаем, что тело однороднои изотропно. В этом случае распространение тепла во все стороны идетс одинаковой скоростью.

Введем в рассмотрение вектор-градиент

∇u(x, y, z, t) =(∂u

∂x,∂u

∂y,∂u

∂z

).

159

Пусть элемент поверхности ∆S имеет внешнюю нормаль

n = (cosα, cos β, cos γ).

Тогда за время ∆t через поверхность ∆S пройдет поток тепла

∆Q = −k∂u∂n

|∆S|∆t,

то есть∂Q

∂t= −k∂u

∂n|∆S|,

где∂u

∂n— производная по данному направлению. Внутри области Ω вы-

берем произвольную подобласть Ω1. Вычислим общее изменение количе-ства энергии за период времени от момента t1 до момента t2

∆Q =

∫∫∫Ω1

γu(x, y, z, t2)dxdydz −∫∫∫Ω1

γu(x, y, z, t1)dxdydz.

Отметим, что

u(x, y, z, t2)− u(x, y, z, t1) =

t2∫t1

∂u

∂t(x, y, z, t)dt,

тогда количество тепла, поглощенного телом,

∆Q1 =

∫∫∫Ω1

γ t2∫t1

∂u

∂t(x, y, z, t)dt

dxdydz =

=

t2∫t1

∫∫∫Ω1

γ∂u

∂t(x, y, z, t)dxdydz

dt.

Количество тепла, выделившееся в ходе реакции,

∆Q2 =t2∫t1

(∫∫S1

−k∂u∂ndS

)dt =

=t2∫t1

(−k∫∫S1

(∂u

∂xcosα +

∂u

∂ycos β +

∂u

∂zcos γ

)dS

)dt =

=t2∫t1

(−k∫∫S1

(P cosα+Q cos β +R cos γ) dS

)dt.

160

Так как

div(∇u) = ∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z=∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2,

то, используя формулу Гаусса —Остроградского, получим

∆Q2 =

t2∫t1

−k∫∫∫Ω1

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)dxdydz

dt

∆Q = ∆Q1 −∆Q2,

то есть,

t2∫t1

(∫∫∫Ω

γ∂u

∂tdxdydz

)dt =

t2∫t1

(∫∫∫Ω

f(x, y, z, t)dxdydz

)dt

+t2∫t1

(∫∫∫Ω

k

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)dxdydz

)dt

Таким образом,

t2∫t1

∫∫∫Ω

(γ∂u

∂t− k

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)− f(x, y, z, t)

)dxdydz

dt =

=

t2∫t1

Φ(t)dt = 0

для фиксированной области Ω1. В силу доказанной ранее леммыΦ(t) ≡ 0. Таким образом,

∂u

∂t= a2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)+ f(x, y, z, t).

Здесь a2 =k

γ.

Это есть уравнение теплопроводности для трехмерного тела.Рассмотрим постановку основных начально-краевых задач для урав-

нения теплопроводности в случае одномерного стержня.

161

1. На границе стержня x = 0 задана температура,

u(0, t) = µ(t),

где µ(t) — функция, заданная на отрезке [t0, t1] — промежуток вре-мени, в течение которого рассматривается процесс.

2. На конце x = l задано значение производной

∂u

∂x(l, t) = ν(t).

Это условие получается, если задана величина теплового потокаQ(l, t), протекающего через торцевую поверхность стержня,

Q(l, t) = −k∂u∂x

(l, t).

Отсюда∂u

∂x(l, t) = ν(t),

где

ν(t) = −Q(l, t)k

.

3. При x = l задана линейная комбинация производной и функции,

∂u

∂x= −λ (u(l, t)− θ(t)) .

Это граничное условие соответствует теплообмену на поверхноститела с окружающей средой с известной температурой θ(t). Анало-гично можно задавать граничные условия для x = 0.

Рассмотрим метод решения уравнения теплопроводности для одно-мерного случая в следующей постановке

∂u

∂t= a2

∂2u

∂x2. (26.1)

Начальное распределение температуры

u(x, 0) = φ(x), x ∈ [0, π], (26.2)

u(0, t) = u(π, t) = 0, (26.3)

162

что соответствует поддержанию нулевой температуры на концах стерж-ня. Воспользуемся методом Фурье разделения переменных. Будем искатьрешение уравнения u(x, t) в виде

u(x, t) = X(x)T (t). (26.4)

Подстановка в уравнение (26.1) дает

X(x)T ′(t) = a2X ′′(x)T (t),

илиT ′(t)

a2T (t)=X ′′(x)

X(x).

Так как в левой части равенства стоит функция только от t, а в правой— только от x, а это равенство должно быть выполнено при любых t ∈[t1, t2] x ∈ [0, π], то

T ′(t)

a2T (t)=X ′′(x)

X(x)= λ = const.

Преобразуем граничные условия. Соотношения (26.3) с учетом формулы(26.4) дают

X(0) = X(π) = 0.

Таким образом получаем задачу Штурма — Лиувилля для функцииX(x)

X ′′(x)− λX(x) = 0,

X(0) = 0,

X(π) = 0.

(26.5)

Нетривиальное решение этой задачи существует для значений параметраλ,

λn = −n2,тогда соответствующие собственные функции

Xn(x) = sinnx.

Далее, для функции T (t) имеем уравнение

T ′(t) = λa2T (t),

которое с учетом найденных собственных числе λn преобразуется к

T ′(t) = −n2a2T (t).

163

Решения этого уравнения — последовательность функций

Tn(t) = Cne−n2a2t.

Таким образом, решениями уравнения теплопроводности (26.1) будутфункции

un(x, t) = Cne−n2a2t sinnx,

то есть

u(x, t) =∞∑n=1

Cne−n2a2t sinnx.

Итак, получили решение в виде ряда с коэффициентами, которые будутопределяться из начального условия (26.2). Подстановка t = 0 дает

u(x, 0) =∞∑n=1

Cn sinnx = φ(x).

Последнее равенство можно рассматривать как разложение в ряд Фурьенечетной на отрезке [−π, π] функции φ(x). При этом коэффициенты

Cn =1

π

π∫−π

φ(x) sinnxdx =2

π

π∫0

φ(x) sinnxdx,

так как функция φ(x) в силу условия φ(0) = 0 (26.3) может быть продол-жена нечетным образом. С вычисленными коэффициентами Cn решениеуравнения (26.1) выражается формулой

u(x, t) =∞∑n=1

2

π

π∫0

φ(x) sinnxdx

e−n2a2t sinnx.

164

Список литературы

[1] Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. ЛКИ, 2008 г.

[2] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.М.: Наука, 1977.

[3] Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.,Наука, 1985.

[4] Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений.Едиториал УРСС, 2007 г.

[5] Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.Либроком, 2009 г.

[6] Гильдерман Ю.И. Лекции по высшей математике для биологов. Но-восибирск: Наука, 1974.

[7] Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравне-ния. Качественная теория с приложениями. М., Мир, 1986.

[8] Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравне-ний их приложения к газовой динамике. М.: Наука.

[9] Концепции современного естествознания

165