Ìîñêâà Þðàéò 2016

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀУЧЕБНИК И ПРАКТИКУМ

ДЛЯ АКАДЕМИЧЕСКОГО БАКАЛАВРИАТА

Â. È. Ñêîðóáñêèé, Â. È. Ïîëÿêîâ, À. Ã. Çûêîâ

Ðåêîìåíäîâàíî Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì îòäåëîì âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ â êà÷åñòâå ó÷åáíèêà è ïðàêòèêóìà äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé, îáó÷àþùèõñÿ

ïî åñòåñòâåííîíàó÷íûì è òåõíè÷åñêèì íàïðàâëåíèÿì

Êíèãà äîñòóïíà â ýëåêòðîííîé áèáëèîòå÷íîé ñèñòåìåbiblio-online.ru

2017

УДК 510.6(075.8)ББК 22.12я73 С44

Авторы:Скорубский Владимир Иванович — доцент, кандидат технических наук, доцент кафе-

дры вычислительной техники мегафакультета компьютерных технологий и управления Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики — гл. 1 (параграфы 1.1—1.3), 2—4, 5 (параграфы 5.1—5.4), 6 (параграф 6.1);

Поляков Владимир Иванович — доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники мегафакультета компьютерных технологий и управления Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных техно-логий, механики и оптики — введение, гл. 1 (параграфы 1.4, 1.5), 5 (параграфы 5.5—5.7), 6 (параграфы 6.3—6.7), приложения 1, 2;

Зыков Анатолий Геннадьевич — доцент, кандидат технических наук, заместитель заве-дующего кафедрой информатики и прикладной математики мегафакультета компьютер-ных технологий и управления Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики — гл. 6 (параграф 6.2).

Рецензенты:Куприянов М. С. — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой вычис-

лительной техники Санкт-Петербургского государственного электротехнического универ-ситета «ЛЭТИ» имени В. И. Ульянова (Ленина);

Шалыто А. А. — доктор технических наук, професссор, заведующий кафедрой техноло-гии программирования Санкт-Петербургского национального исследовательского универ-ситета информационных технологий, механики и оптики.

С44 Скорубский, В. И.

Математическая логика : учебник и практикум для академического бакалавриата / В. И. Скорубский, В. И. Поляков, А. Г. Зыков. — М. : Издательство Юрайт, 2016. — 211 с. — Серия : Бакалавр. Академический курс.

ISBN 978-5-9916-7711-0

В учебнике предлагается широкий обзор методов постановки и решения задач в раз-личных приложениях, использующих классическую логику предикатов первого порядка. Задачи выполняются как доказательство теорем по шагам, что позволяет сформулировать интуитивное представление и доказать существование решения.

Использование языка логики позволяет понять содержание требуемых процедур и перейти к алгоритмизации. Широко трактуется интерпретация логики в различных областях. Предлагаемые упражнения и примеры иллюстрированы доказательствами, по возможности вербальными, что позволяет приобрести опыт в работе с разными зада-чами и направлениями. Полезно знакомство с другими интерпретациями, сложившимися исторически в рамках классической логики. Не всегда это строгая теория, и чаще требу-ется определение свойств новых областей и поиск подходящих методов работы с данными (фактами). Материал будет полезен для обучения бакалавриата, имеющего базовые знания в дискретной математике, алгоритмизации и программировании для понимания необходи-мости использования логики в любого рода деятельности.

Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образова-тельного стандарта высшего образования.

Для бакалавров широкого круга инженерных специальностей (проектирование вычисли-тельных систем, программирование и др.) и гуманитарных направлений, где предполагается создание и использование экспертных систем (экономика, медицина, менеджмент и др).

УДК 510.6(075.8)ББК 22.12я73

ISBN 978-5-9916-7711-0

© Скорубский В. И., Поляков В. И., Зыков А. Г., 2016

© ООО «Издательство Юрайт», 2016

Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая компания «Дельфи».

ISBN 978-5-534-01114-2

ISBN 978-5-534-01114-2

2017.

ООО «Издательство Юрайт», 2017

3

Оãлавлåíиå

Предисловие ..................................................................................... 7Введение..........................................................................................12Глава 1. Классическая логика высказываний ......................................18

1.1. Высказывания ....................................................................................................................181.2. Логические связки высказываний ..............................................................................191.3. Исчисление высказываний ...........................................................................................25

1.3.1. Интерпретация формул ......................................................................................251.3.2. Табличный метод исчисления ..........................................................................271.3.3. Метод Квайна .........................................................................................................29

1.4. Алгебра логики высказываний ....................................................................................311.4.1. Булева алгебра .......................................................................................................311.4.2. Принцип подстановки .........................................................................................321.4.3. Законы булевой алгебры ...................................................................................331.4.4. Нормальные формулы булевых функций ...................................................35

1.5. Приложения булевой алгебры .....................................................................................371.5.1. Приложения булевой алгебры в схемотехнике переключателей ........371.5.2. Функциональная цифровая схемотехника ..................................................41

Выводы .........................................................................................................................................43Задачи для самостоятельного решения ............................................................................44Контрольные вопросы и задания .........................................................................................46

Глава 2. Логика вывода в исчислении высказываний ...........................472.1. Аксиоматическая теория высказываний ..................................................................472.2. Методы логического вывода из гипотез ...................................................................49

2.2.1. Правила вывода из гипотез в логике высказываний ................................502.2.2. Методы преобразования формул с использованием правил и законов ............................................................................................................................53

Выводы .........................................................................................................................................58Задачи для самостоятельного решения ............................................................................59Контрольные вопросы и задания .........................................................................................60

Глава 3. Логика предикатов ...............................................................623.1. Исчисление одноместных предикатов ......................................................................623.2. Приложение логики предикатов в теории множеств ...........................................653.3. Многоместные предикаты .............................................................................................703.4. Формулы с кванторами ..................................................................................................713.5. Нормальные формулы с предикатами ......................................................................73Выводы .........................................................................................................................................74Задачи для самостоятельного решения ............................................................................76Контрольные вопросы и задания .........................................................................................76

4

Глава 4. Вывод в логике предикатов первого порядка ..........................784.1. Логика вывода из гипотез в теории первого порядка ..........................................784.2. Правила вывода в теории предикатов первого порядка .....................................794.3. Унификация предикатов при выводе из гипотез .................................................824.4. Алгоритм вывода из гипотез с использованием резолюции в логике

предикатов .........................................................................................................................83Выводы .........................................................................................................................................87Задачи для самостоятельного решения ............................................................................87Контрольные вопросы и задания .........................................................................................88

Глава 5. Применение логики в информатике .......................................905.1. Описание компьютерных программ в логике .........................................................905.2. Верификация (доказательство правильности) программ с помощью

математической логики ..................................................................................................925.3. Логика в теории компьютера .......................................................................................94

5.3.1. Конструирование машины умножения.........................................................955.3.2. Применение логики к верификации алгоритмов ......................................985.3.3. Конструирование микропрограммного управления в логике ........... 100

5.4. Решение задач с прямым использованием логики ............................................ 1015.4.1. Применение логики предикатов в теории графов .................................. 1015.4.2. Логическое программирование в графике ................................................ 1045.4.3. Приложение логики к вычислениям (процедурная интерпретация логических программ) .................................................................. 105

5.5. Применение логики предикатов в базах данных ................................................ 1075.6. Логическое программирование в Прологе ............................................................ 109

5.6.1. Декларативная (сентенциальная) семантика программ Пролога .... 1095.6.2. Процедурная семантика программ Пролога ............................................ 110

Выводы ...................................................................................................................................... 112Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 113Контрольные вопросы и задания ...................................................................................... 115

Глава 6. Неклассическая логика в приложениях ............................... 1166.1. Вероятностная логика ................................................................................................. 116

6.1.1. Исчисление вероятностей............................................................................... 1166.1.2. Применение преобразований вероятностной функции в функциональную схему........................................................................................... 1196.1.3. Приложения к расчету надежности систем .............................................. 120

6.2. Приложения многозначной логики в моделировании схем ........................... 1216.2.1. Временно́е моделирование цифровых схем ............................................. 1226.2.2. Четырехзначное логическое моделирование ........................................... 124

6.3. Нечеткая логика ............................................................................................................. 1286.3.1. Нечеткие множества ......................................................................................... 1296.3.2. Операции с нечеткими множествами ......................................................... 1326.3.3. Лингвистическая переменная ....................................................................... 1346.3.4. Нечеткий логический вывод .......................................................................... 1396.3.5. Практическое применение нечеткой логики ........................................... 143

6.4. Логистика ......................................................................................................................... 1456.5. Темпоральная логика ................................................................................................... 146

6.6. Интервальная логика Аллена .................................................................................... 1516.7. Философская логика .................................................................................................... 159Выводы ...................................................................................................................................... 169Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 170Контрольные вопросы и задания ...................................................................................... 172

Заключение ................................................................................... 173Рекомендуемая литература ............................................................. 176Новые издания по дисциплине «Математическая логика» и смежным дисциплинам ................................................................. 177Приложение 1. Персоналии ............................................................ 179Приложение 2. Лауреаты премии Тьюринга ..................................... 199Приложение 3. Решения задач главы 2 ............................................ 205

7

Прåäисловиå

Логика естественно входит в наше существование и во все формали-зованные науки. Как отмечено одним из наших авторитетных ученых, мир — это интегрированное информационное пространство, объединяю-щее данные (факты) и логику1. Информатика осознана как смысл всего окружающего нас мира, она позволяет в нем ориентироваться, принимая истинные решения.

В отдельных областях жизнедеятельности правильное решение опи-рается на признанные обществом или конкретным авторитетным кругом специалистов знания. Принятие конкретного решения в виде его доказа-тельства (вывода) составляет цели и содержание логики.

В данном курсе предпринимается попытка осмыслить логику как науку в рамках некоторых прикладных областей и приложений общепринятой логической теории. Полезная при этом формализация упрощает постро-ение рассуждений и демонстрирует их правильность при наличии пра-вильных предположений, аксиом и гипотез, хотя конкретные рассуждения могут быть и ложными или нечетко истинными, а вывод неубедительным, неверным, ненадежным и др.

Таким образом, есть некоторая точная математическая теория о постро-ении абстрактно правильных высказываний, но в реальном мире она истинна только в правильных условиях. Тем не менее теорию можно использовать как эталон правильных рассуждений. Далее усилия науки направлены, по существу, на демонстрацию применения теории в конкрет-ной области, где часто требуется ее коррекция.

Целью данной работы является демонстрация общей теории и ее роли в ограниченных приложениях.

Учебник включает следующие разделы общей теории, соответствующие главам.

1. Классическая логика высказываний. Этот традиционный раздел при-сутствует во всех учебниках по математической логике. В отличие от обыч-ной трактовки, в данном учебнике мы обращаем внимание на противоре-чивость определений таблицами истинности и опираемся в этих случаях на инверсное определение, что позволяет устранить противоречие в содер-жательных формулировках высказываний.

В исчислении высказываний традиционно акцентируется роль формаль-ной алгебры логики в решении задачи контроля выполнимости и общезна-чимости логических формул. Вместе с тем предполагается свойственная алгебраическим методам алгоритмическая разрешимость для относительно

1 Денисов А. А. Информационные основы управления. Л. : Энергоатомиздат, 1983.

8

простых формул. Использование графических деревьев в примерах позво-ляет дать более убедительное подтверждение их работоспособности по сравнению с символическими алгебраическими преобразованиями.

В заключение главы приведены приложения булевой алгебры. Они рас-сматриваются в традиционных задачах логического синтеза — синтез пере-ключательных и функциональных схем и минимизация. Эти задачи тради-ционно относятся к основам цифровой схемотехники интегральных схем. По этой причине в виде примеров демонстрируется фактически только постановка задачи.

2. Логика вывода в исчислении высказываний является обобщением методов алгебраических преобразований формул при доказательстве тео-рем для истинных выводов. В учебнике демонстрируется, что неопреде-ленность при выборе последовательных правил преобразования высказы-ваний не позволяет гарантировать доказательство теоремы алгебраически за конечное число шагов, хотя задача разрешима простым перебором интерпретаций в таблицах истинности. Это является примером теории, которая может быть построена в прикладной области на основе гипотез с неограниченным количеством теорем

Применение правил вывода представлено методом Девиса и Патнема и методом резолюции Робинсона.

3. Логика предикатов — традиционный раздел математической логики с обобщением формализации рассуждений с применением переменных и функций. Кванторы интерпретируются как алгебраические операции с конечным числом простых высказываний. Понятия из теории множеств используются как общие и интуитивно наглядные при интерпретации формул с предикатами. На примере применения алгебраических операций с собственными подмножествами ограниченного множества демонстриру-ются их содержательная интерпретация и применение булевой алгебры к произвольным ограниченным множествам высказываний, а также пред-лагается более понятная с позиций логики алгоритмическая интерпрета-ция логики на множествах.

4. Вывод в логике предикатов первого порядка является обобщением методов вывода в логике высказываний для применения в прикладных теориях с кванторами. Важно то, что эти формулы могут быть приведены к стандартной форме со свободными переменными и далее к ним приме-ним метод Девиса — Патнема с правилом резолюций для вывода утверж-дений из гипотез.

5. Применение логики в информатике. Логика используется в различ-ных прикладных теориях с предикатами, в частности в теории графов, про-граммировании, конструировании алгоритмов и алгоритмических машин. Интуитивное конструирование поддерживается верификацией и тестиро-ванием.

Наиболее широко известным примером использования логики в про-граммировании является технология языка Пролог, в которой задача про-граммируется на языке предикатов в виде утверждений и правил, а испол-няется с использованием линейной резолюции на множестве фактов и гипотез (логическая семантика). Применительно к базам данных задачи,

9

определяемые в Прологе, можно рассматривать как разрешимые и найти, например, при отладке отсутствующий факт, вызывающий зацикливание. Однако если некорректно сформулировано правило, то это равносильно переосмысливанию и, возможно, отказу от всей построенной теории.

Более очевидной является процедурная семантика программ Пролога, где под предикатом предполагаются процедуры, реализуемые в стандарт-ных процедурных технологиях с языками Паскаль, С++, а унификация эквивалентна передаче параметров в процедуру. При этом вряд ли целесо-образно менять синтаксис и компиляторы стандартных процедурных язы-ков программирования.

Возможность процедурной семантики логических программ демонстри-руется на простых примерах в графике и вычислениях.

Представляет интерес связь конструктивной логики с построением моделей алгоритмов в виде схем, включающих исполнительное арифме-тико-логическое устройство и управляющий конечный автомат. Эта тради-ционная неймановская вычислительная машина в деталях рассматривается и применяется в курсе «Организация ЭВМ». В данном случае представ-лена упрощенная логическая модель алгоритмической машины.

6. Неклассическая логика в приложениях. Вероятностная логика на уровне численных значений интерпретирует нечеткий смысл истин-ности (меньше, больше, максимально) в приложениях, где системы могут быть определены в классической логике. Одно из продвинутых приложе-ний — расчет надежности сложных технических систем, структура которых может быть определена в традиционной двузначной логике.

Трехзначная и четырехзначная логики позволяют интерпретировать переходные параметры в дискретных интегральных схемах алгоритмами моделирования и формулировать тесты для их контроля в процессе про-изводства и эксплуатации.

Нечеткая логика — прикладная теория предикатов, позволяющая фор-мулировать задачи управления разнообразными объектами, опираясь на общие правила логики, с использованием эвристики и известного опыта. В рамках этой теории удалось решить разнообразные традиционные задачи, которые не определяются формально уравнениями и опираются неявно на общую логику. Решение каждой задачи имеет смысл изобретения.

Темпоральная логика используется для описания свойств временны́х процессов, программируемых интуитивно и неформально. По этой причине предлагается формализация для контроля и отладки программ, которые преобразуются в модели, допускающие сравнение результатов в промежу-точных контрольных точках. Несмотря на то что решается ряд известных задач, связанных с управлением процессами, логика представляет большую сложность в широком применении.

Более прагматичной представляется интервальная логика Аллена.Логика силлогизмов исторически является классикой и сохранилась

в содержательных и философских интуитивных рассуждениях. Примене-ние классической двузначной формальной интерпретации неприемлемо, по этой причине в доказательствах формализована интуитивная теоре-тико-множественная интерпретация.

10

В приложении к учебнику приводится именной обзор известных мате-матиков, внесших вклад в формирование логики как математической науки.

Содержание учебника ориентировано на общую подготовку бакалавров широкого круга инженерных специальностей (проектирование вычисли-тельных систем, программирование и др.) и гуманитарных направлений, где предполагается создание и использование экспертных систем (эконо-мика, медицина, менеджмент и др.).

Большинство разделов предполагает компетенцию формата «знать», что и демонстрируют приложения логики, за которыми следуют конкретные технологии. Для их освоения требуется специальная профессиональная литература.

В результате изучения дисциплины студенты должны:знать• основытеории,законы,правила,используемыеприизученииобъ-

ектов курса; • методы, алгоритмы и другие способы решения прикладных задач

курса;• основныемоделитеорийисвойствамоделейвдоступныхприложе-

ниях;• методы математической логики, используемые в информатике

и вычислительной технике;уметь• формулировать,выдвигатьгипотезыопричинахвозникновениятой

или иной ситуации и вычислять, оценивать их истинность в границах рас-сматриваемых в курсе прикладных задач;

• оформлять,представлятьданные,результатыработынаязыкесим-волов (терминов, формул), введенных и используемых в курсе;

• выделятьобъектыкурсаизокружающейсреды;• изменять, дополнять, адаптировать, развивать методы, алгоритмы,

приемы, методики для решения конкретных задач;• выбиратьметоды,алгоритмы,меры,средства,модели,законы,крите-

рии для решения задач курса; • оформлять,представлятьданные,результатыработынаязыкесим-

волов (терминов, формул), введенных и используемых в курсе;• высказывать,формулировать,выдвигатьгипотезыопричинахвоз-

никновения той или иной ситуации (состояния, события), о путях (тенден-циях) ее развития и последствиях;

владеть• навыкамианализаинформациииклассификациифактов;• навыками выбора методов описания и решения задач получения

новой информации из фактов;• программированием,использованиемнаиболееблизкихкпрограм-

мированию средств описания логики алгоритмов при решении задач с при-ложением логики к алгоритмизации.

Количество источников, посвященных рассматриваемой теме, необо-зримо. В списке рекомендуемой литературы приводится небольшая их

часть, наиболее общие работы. Кроме того, большое количество полезной литературы, в том числе использованной при подготовке данного учебника, указано в подстраничных сносках.

К сожалению, во многих работах не демонстрируется общезначимость логики в жизни и практике, акцентируется сложность науки, а примеры ско-рее затрудняют понимание решения задачи. Надеемся, что в данной работе нам удалось в некоторых местах устранить эти недостатки, но нельзя охва-тить необъятное, и в этом направлении необходимо продолжать работу.

Авторы благодарны рецензентам:• доктору технических наук, профессору, заведующему кафедрой

вычислительной техники Санкт-Петербургского государственного элек-тротехнического университета «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) М. С. Куприянову, с возглавляемой им кафедрой поддерживаем долговре-менные творческие контакты;

• доктору технических наук, профессору, заведующему кафедройтехнологии программирования факультета информационных технологий и программирования Университета ИТМО А. А. Шалыто, известному своими новаторскими работами в автоматном программировании и тем-поральной логике. Его критическое отношение к устоявшимся мнениям существенно влияет и на наше.

Авторы также благодарят редактора П. А. Макарова за внимательное прочтение рукописи, ценные советы и замечания.

12

Ввåäåíиå

Мир структурирован как информационно-логическое поле, где суще-ствует бесконечное множество знаний, оказывающих влияние на окружа-ющие информационно-ориентированные элементы.

Логика — неразрывная часть информационно-логического поля, в кото-рое вписываются практически все известные теории физики, химии, био-логии, космологии и прикладные области, связанные с проектированием информационно-управляющих систем1.

Значение конкретных знаний состоит в том, что информацию восприни-мают только те элементы, которые приспособлены к восприятию (понима-нию смысла и логики) и могут принимать конкретные решения как логи-ческие следствия (реакции) на полученную информацию. Это оправдывает выделение логики как области принятия решений и управления, включаю-щей прием истинной информации приемниками и принятие решений кон-кретными системами. Таким образом, в одном поле (например, числовом) соединяются воспринятая информация (знание) и сформированная новая информация, связанная, например, с управлением или измерениями.

Логика (рассуждение, мысль, разум) имеет множество значений2. Во всех областях деятельности человека логика — это наука о законах и формах правильного рассуждения, на основе которых получают правиль-ные выводы, наука о методах познания.

1. Cвязь предметов и явлений окружающего мира. Например, логика размещения вещей и автотранспорта, логика исторического развития, логика международных отношений, логика поведения в обществе и др.

2. Наука о структуре и закономерностях правильного мышления в гуманитарной области, логика судебного разбирательства.

3. Основа конкретных математических теорий.4. Закономерности в связях и развитии мысли. Например, история раз-

вития математики или философии.Изучением процесса мышления занимаются философия, психология,

физиология. Логика и философия организуют мышление в некоторой области отно-

шений между людьми и доказывают их истинность и цели. Они формули-руют также отношение человека к окружающему миру.

Логика и психология изучают мышление как один из психических процессов, связывают их с эмоциями, волей и т.д. Они уделяют внимание

1 Денисов А. А. Информационные основы управления. 2 Давыдов С. А. Логика. Шпаргалка. URL: http://modernlib.ru/books/a_href_books_s_a_

davidov_s_a_davidov_a.

13

изучению как механизмов возникновения того или иного определенного типа мышления, так и непосредственного проявления этих типов мышле-ния на практике. Психологию интересует истинность (норма) этих типов мышления, и основным предметом исследования является их отклонение от нормы.

Логика и физиология изучают биологические механизмы как причины и следствия, которые обусловливают логически правильный образ суще-ствования.

В основе логики как науки рассматривается формализация рассужде-ний безотносительно к их содержанию. Отличают правильные (истинные) и неправильные (ложные) утверждения. Однако на практике, в конкретных областях деятельности, логика обязательно опирается на конкретное содер-жание (смысл), в котором реализуются истинность и определенные цели.

Возникновение логики как науки имело две предпосылки.Во-первых, зарождение и формирование наук. Этот процесс получает

развитие в Древней Греции с VI в. до н.э. Зарождение науки требовало исследования природы мышления как средства познания.

Во-вторых, развитие ораторского искусства. Логика должна была объ-яснить, как должна строиться убедительная (правильная) речь. Поэтому не случайно, что именно в Греции находим основателей логики — сначала философов (Сократ, Платон, Аристотель, Диоген, Протагор и др.), а затем и математиков (Фалес, Зенон, Евклид, Пифагор и др.).

Основателем логики принято считать древнегреческого философа Ари-стотеля, который изложил свои идеи в работе «Органон».

Анализ рассуждения раскрывает формально истинное содержание рас-суждения — формальную логику, логика Аристотеля связана с судебной и политической практикой.

Предметами классической формальной логики Аристотеля являются:1) основные виды бытия как отдельные понятия и определения;2) соединения и разделения видов бытия, которые выражаются в суж-

дении;3) способы рассуждений, в которых можно перейти от истины извест-

ной к истине неизвестной.Суждение является истинным, если оно соответствует действительно-

сти (фактам). Классическая логика основывается на двузначном принципе, согласно которому каждое утверждение либо истинно, либо ложно.

В Средние века (VI—XIV вв.) логика была в значительной мере подчи-нена богословию. В этот период теоретический поиск в логике развернулся вокруг проблемы объяснения общих понятий. При этом на всем протяже-нии Средних веков систематическая разработка формальной логики огра-ничивалась силлогистикой (греч. Σιλλογισtικo �ς — выводящий умозаклю-чение).

Основателем арабоязычной логики считается сирийский математик Аль-Фараби. Его логика направлена на анализ научного мышления. Аль-Фараби выделял в логике две ступени: одна охватывала представления и понятия, другая — теорию суждений, выводов и доказательств.

14

Новый этап в развитии логики (XVII в.) связан с появлением работы Ф. Бэкона «Новый Органон». Он положил начало созданию механизмов установления причинно-следственных связей в объективной реальности. Таким образом, Ф. Бэкон стал родоначальником классической индуктив-ной логики, в которой нашли отражение процессы получения новых общих знаний на основе данных, полученных путем эмпирических исследований, и их индуктивного обобщения.

В дальнейшем индуктивная логика была систематизирована и значи-тельно расширена в работах Дж. Фр. Гершеля и Дж. Ст. Милля, в труде «Система логики» подвергшего критике направления философии, согласно которым знание и поведение исходят из врожденных идей и морального чувства. «Напротив, — доказывал он, — знание имеет своим источником опыт, соединенный со способностью к ассоциации идей; моральные науки, как и науки физические, руководствуются принципом причинности».

М. И. Каринский предложил универсальную систему выводов, разделив их на две основные группы — основанные на тождестве субъектов и на тож-дестве множеств. Каринский подчеркивал независимость существующего от субъективного представления о нем, признавал объективность интел-лектуального восприятия действительности как адекватного отражения ее реальных связей и отношений.

Развитие математики (XVI—XVII вв.) повлияло на математизацию логики. Г. Лейбниц использовал для формализации логики в алгебре исчисление умозаключений.

В отличие от философии, которая является наукой о действительном мире, логика рассматривается как наука о «всех возможных мирах». Логика предлагает методы открытия и доказательства всех следствий, вытекаю-щих из заданных посылок в любой науке. Основные принципы логики, по Лейбницу, следующие:

• каждоепонятиеможетбытьсведенокфиксированномунаборупро-стых, т.е. неразделимых далее, понятий;

• сложныепонятиявыводятсяизпростыхспомощьюоперацийлоги-ческого умножения и объединения;

• наборисходныхпростыхпонятийдолженудовлетворятькритериюнепротиворечивости;

• любое истинное высказывание является предикативным в томсмысле, что оно может быть эквивалентным образом переведено в другую форму, в которой предикат уже подразумевается в субъекте;

• всякоеистинноеутвердительноепредложениеявляетсяаналитиче-ским в том смысле, что его предикат содержится в субъекте.

Таким образом, впервые предложена формализаця и арифметизаця логических операций. В сочинении «О комбинаторном искусстве» Г. Лейб-ниц предлагает основы современной математической (символической) логики, предложены начала исчисления вероятностей.

В XIX в. математическая (символическая) логика изучает символи-ческие абстракции, которые фиксируют формальную структуру логиче-ского вывода. В работах Дж. Буля, О. де Моргана, Ч. С. Пирса, Э. Шредера и Г. Фреге рассматривается логика рассуждений с использованием симво-

15

лического языка формальной логики, утверждениям присваиваются значе-ния True (истина) или False (ложь).

В середине XX в. благодаря работам К. Шеннона, Дж. Маккарти и Э. Дж. Мак-Класки классическая логика становится прикладной наукой, связанной с построением переключательных схем устройств автоматиче-ского управления. Существенный вклад в эту прикладную область логики внесен отечественными учеными А. М. Ляпуновым, В. М. Глушковым, С. В. Яблонским.

Разнообразные неклассические направления возникли с начавшейся в XX в. критикой классической логики и в многообразных приложениях, связанных с развитием вычислителельной техники и программирования.

1. Американский философ К. И. Льюис обратил внимание на пара-доксы в рассуждениях классической логики и предложил модальную логику, в которой использовались понятия «необходимость», «возмож-ность», «случайность».

2. Я. Лукасевич предложил трехзначную логику, основанную на пред-положении, что утверждения бывают истинными, ложными, возможными.

3. Нечеткая логика Л. Заде связана с численной интерпретацией логи-ческой истины в применении к сложным задачам проектирования систем различной природы — техническим, экономическим, гуманитарным и др.

4. Вероятностная логика П. С. Порецкого использует вероятностные численные оценки истинности утверждений, позволяет выполнить рас-четы надежности сложных систем, к которым неприменимы традиционные математические методы.

5. Интуиционистская логика А. Гейтинга, С. Клини, Л. Брауэра при-знает главным и единственным критерием истинности методов и результа-тов логики наглядно-содержательную убедительность (интуицию). Данное понятие заключается в двух положениях:

• интуитивномопределениивсехлогическихобъектов;• отказеотиспользованияабстракциивформеактуальнойбесконеч-

ности.Главным объектом критики интуиционистской логики стал класси-

ческий закон исключенного третьего. Возникнув в конечном множестве объектов, закон исключенного третьего впоследствии был распространен на бесконечные множества, в результате чего проверить, обладают ли все предметы определенным свойством или нет, невозможно.

Чтобы избежать парадоксов, математическое доказательство должно основываться не на логической строгости, а на интуитивной очевидности: оно достоверно при условии интуитивного понимания каждой его ступени начиная с исходных посылок и правил рассуждения. Таким образом, о при-менимости в доказательстве тех или иных законов логики в конечном счете также должна судить интуиция. Однако при этом интуиционизм не проти-вопоставляет интуицию логике, а развивает понимание логики исключи-тельно как части математики.

6. Конструктивная логика (А. Н. Колмогоров, А. А. Марков, Н. А. Шанин) предлагает правила конструирования слов в языке логики для формирова-ния вывода, предполагается, что понятие о множествах не имеет точного

16

определения и «наивная» теория множеств может быть использована только в примерах1. Если в классической логике бесконечность — завершенное понятие, то в неклассической она является потенциальной. Для конструк-тивной логики характерно индуктивное построение объектов и логико-мате-матических теорий в целом. Конструктивный метод противопоставляется аксиоматическому методу и основан на рекурсивных определениях, связан-ных с математической индукцией.

7. Н. Н. Лузин и П. А. Флоренский с принятием бесконечности в логике и теории множеств устранили множество противоречий, свойственных классической логике, при этом образовались две не признающие друг друга группы математиков2.

В прагматистской логике Ч. С. Пирса критерием истинности является практика. Одни и те же символические рассуждения могут иметь разный смысл и могут приводить к формированию новых непротиворечивых тео-рий, предполагающих практический смысл. Одним из примеров таких искусственных теорий, построенных в теории и нашедших позднейшее приложение, является неевклидова геометрия Н. И. Лобачевского. Дей-ствительно, достаточно отказаться от аксиомы параллельности прямых Евклида, как устраняется противоречие, свойственное бесконечным мно-жествам, и строится новая геометрия в пространстве.

8. В практике жизнедеятельности и организации целых отраслей хозяй-ствования и бизнеса сформировалось научное направление — логистика, в котором на основе логики устанавливаются и реализуются связи и законо-мерности управления потоками любого типа. Логистика определяется Вен-ским кружком логиков (М. Шлик, Р. Карнап, Г. Фейгль, К. Гёдель, О. Ней-рат, Ф. Вайсман и др.) и Львовско-варшавской школой логиков (А. Тарский, К. Айдукевич) как математическая логика в форме алгоритмов.

Логика играет значительную роль не только в мышлении, но и в жизни человечества.

Во-первых, интуитивное использование и знание логики повышает культуру нашего мышления, вырабатывает навык грамотно и критически мыслить.

Во-вторых, логика выполняет ряд значимых социальных функций. Познавательная функция. Логика позволяет определить верный путь

для достижения истинных знаний, а также выявить последствия, к кото-рым приводит неправильный ход рассуждения.

Мировоззренческая функция. Логика влияет на формирование челове-ческого мышления, которое, в свою очередь, определяет жизненную пози-цию человека.

Методологическая функция. Следует отметить, что законы логики играют важную роль в разработке методологий различных наук. В то же время логическая теория также является методом познания.

1 Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. 3-е изд., стер. М. : КомКнига, 2006.

2 Грэхэм Л., Кантор Ж. М. Имена бесконечности: правдивая история о религиозном мистицизме и математическом творчестве. СПб., 2011.

Идеологическая функция. Логика часто используется в идеологиче-ских целях в силу своих внутренних антагонизмов и противоречий (напри-мер, между материализмом и идеализмом, диалектикой и метафизикой).

Также важна логика и в формирования культуры человека, культуры его мышления. Неоспоримо, что логика имеет большое значение для раз-вития способности эффективно использовать средства познания. Логика помогает человеку ориентироваться в своих знаниях, систематизируя их и выбирая из информационной среды необходимые материалы. Кроме того, эта наука предоставляет определенное знание об устоявшихся прави-лах тех или иных мыслительных процедур.

Изучение логики способствует повышению интеллектуального потен-циала человека, более эффективному использованию способностей, данных человеку от природы. Логика учит человека правильному мышлению, т.е. сознательному применению законов и норм мышления. Логическое мыш-ление важно для любого человека, в любой области знания, при любом раз-мышлении.

Из этого краткого обзора следует, что логика входит во все области существования и деятельности человека.

Основания логики входят в состав фундаментальных математических дисциплин современной информатики, объединяемых с теорией множеств, теорией алгоритмов в дискретной математике1.

Широкое применение логики в разнообразных приложениях обуслов-ливает ее присутствие во введении многих литературных источников. В данном учебнике приведены некоторые редко используемые обобщения и делается попытка разделить вопросы, относящиеся к собственно логике как математической науке, и вопросы интерпретации логики в некоторых приложениях.

1 Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. М. : Техносфера, 2003.

18

Глава 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВыСКАЗыВАнИй

1.1. Высказываíия

Классическая логика условно разделяется на две теории — исчисления высказываний и исчисления предикатов. Логика высказываний по суще-ству, является частью логики предикатов, в которой методы исчисления распространяются в теоретико-множественной интерпретации на решения задач, близких к рассуждениям на естественном языке.

В книге Р. Столла1 эти разделы рассматриваются несколько в ином порядке — теория множеств, исчисление высказываний и исчисление пре-дикатов. В программах курса дискретной математики, к сожалению, теория множеств рассматривается самостоятельно, без демонстрации ее значимо-сти в других математических теориях.

В логике высказываний (proposition logic) рассуждения в вербальной (текстуальной) форме преобразуются в символическую форму, определя-ются основные законы логически правильных рассуждений. Законы позво-ляют абстрагироваться от смысла конкретных высказываний, выполнить анализ и преобразования высказываний в математической форме. Интуи-тивное правильное использование законов в конкретной, имеющей общий смысл области в содержательной форме необходимо в информационном обмене при любых общениях в повседневной деятельности.

Высказывания (propositions) предполагаются как двузначные, по смыслу как истинные (True) или ложные (False) относительно их конкретного содержания.

В логике высказываний используется символическая запись рассужде-ний на языке логики для формального анализа истинности утверждений и возможных формальных преобразований. При возвращении в текстовую форму с тем же смыслом простых высказываний рассуждения могут ока-заться более простыми и убедительными.

Простые высказывания в языке логики обозначаются элементарными формулами (буквами, атомами) — А, B, C, … . Значения (истина — True, ложь — False) простых высказываний и соответствующих символов {T, F} формально не связаны с каким-либо конкретным смыслом, но подразуме-вается, что исходный истинный смысл высказывания А = True в некото-ром контексте в содержательной форме сохраняется при любых повторных использованиях символа A в рассуждениях.

1 Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М. : Просвещение, 1968.

19

Приведем примеры простых высказываний.1. Свойства (признаки) объектов. Высказывание A = «Петров высо-

кий» истинно (T) в определенном контексте и может быть ложно (F) в дру-гом (например, в другой группе, где он низкий), а высказывание A = «5 — число» истинно в математике.

2. Отношения между объектами. Высказывание A = «Олег — брат Сер-гея» — истинное родственное отношение, но в другом контексте (например, в другой группе) ложно. Высказывание A(7, 5) = «7 больше 5» в численной математике отношение истинное, но в строю B(7, 5) = «7-й меньше 5-го» ≠ ≠ A(7, 5).

A(X, Y) = «Прямая X расположена на плоскости Y». Прямая и пло-скость — абстрактные понятия, предложенные математикой в информа-ционном поле геометрических объектов, и размещение прямой на пло-скости — абстракция, считающаяся истинной в одной теореме геометрии на плоскости, но ложной в другой — геометрии в пространстве.

3. События. Высказывание A = «Сейчас в городе идет дождь» может быть истинно в Санкт-Петербурге, но в другом городе может быть ложно.

Таким образом, символические высказывания принимают конкретные значения истинности в определенном контексте и предполагаются истин-ными.

Из простых высказываний формулируются рассуждения, которые в формальной логике рассматриваются как составные высказывания.

Возможно соединение в одном рассуждении высказываний из различ-ных событий, свойств и отношений.

Составные высказывания имеют смысл, если они являются истинными при обмене информацией между источником и приемником в некотором контексте.

Составное рассуждение «Если (3 < 5) и (5 < 7), то (3 < 7)» истинно при истинных по смыслу простых высказываниях и гарантируется законом транзитивности (когда верно, что если первое, то второе, и если второе, то третье, то верно также, что если первое, то третье). Однако рассуждение «Если (3 < 7) и (5 < 7), то (3 < 5)» не гарантировано, так как по смыслу не подчиняется закону транзитивности.

Составные высказывания на языке логики определяются логическими формулами, состоящими из атомов и символов, обозначающих логические связки.

1.2. Лоãи÷åскиå связки высказываíий

Переход от содержательной (вербальной) записи рассуждения к фор-мальной выполняется интуитивно с выделением логических связок и пред-положением, что высказывания-условия в связках правильных рассуж-дений всегда истинны. Если условие нарушается, то связки изменяются, теряется смысл рассуждений — они становятся ложными, противоречи-выми или бессмысленными.

Связки, представленные специальными символами, могут обозначать операции. При этом составные высказывания записываются в виде матема-

20

тических формул, к которым возможно применение формальных алгебра-ических методов преобразования, и их истинность сохраняется при сохра-нении истинности простых высказываний.

В данной главе основное внимание уделяется логике рассуждений с использованием алгебраических преобразований, эквивалентных неко-торым очевидным содержательным логическим рассуждениям. В дальней-шем эти преобразования будут обобщены в главе, посвященной алгебре логики.

Истинный смысл составных высказываний в алгебре логики формально и однозначно определяется таблицами истинности. В таблице истинности перечисляются все возможные наборы аргументов и значения функции на этих наборах. Строки упорядочиваются по возрастанию двоичных набо-ров аргументов. Таким образом, первая строка содержит нулевой набор, а последняя — единичный с десятичным значением 2n - 1, где n — число аргументов функции.

Рассмотрим основные операции.1. Унарная связка отрицание (НЕ, ¬). В высказываниях с частицей (приставкой) НЕ считаем истинным

высказывание с инверсным свойством, отношением, событием:A ¬А

T F

F T

Если выказывание A истинно (T), то ¬А ложно (F).В языке логики используются символические определения связки

НЕ (¬) и атомов A.Формула символической логики: F = ¬А.Пример: забастовка продолжается (A) и забастовка не продолжается

(¬А), или забастовка закончилась (А) и забастовка продолжается (¬А), или забастовка не продолжается (¬А) и забастовка не закончилась (А).

Смысл этих предложений относительно A и (¬А) не меняется. В символических обозначениях первых двух предложений может быть

выбрано любое значение истинности для символа A. Но в последнем явно предполагается инверсное значение (¬А). Таким образом, если в опреде-ленном контексте встречается явное отрицание события А, отношения или свойства, то необходимо выделять его со значением истинности и с отри-цанием (¬А).

Предполагается, что любому высказыванию А соответсвует единствен-ное с инверсным смыслом высказывание (¬А), и наоборот.

В дальнейшем для обозначения логического смысла используется дво-ичное кодирование (T, F) ~ (1, 0) и таблица истинности может быть запи-сана как

A ¬А

1 0

0 1

21

Если переход от естественной записи W к формальной записи ¬W проще выполнить в инверсной форме, то можно вернуться к прямой форме инвер-сией W = ¬(¬W). Это утверждение рассматривается как закон двойного отрицания на множестве высказываний.

Высказывание A разрешимо, если можно определить по смыслу его отрицание ¬A.

Бинарные связки в символических обозначениях {&, ∨, ~, →}, из кото-рых {&, ∨} — также алгебраические операции, определяются следующими таблицами истинности.

2. Конъюнкция (И, &):А В Ф = A & В

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Содержательно связка определяется высказыванием: «Составное выска-зывание (F = A & B) истинно (T) тогда, когда А истинно И В истинно (T), иначе ложно (F)».

Двойственное высказывание: «Опровержение, что A или B ложны» (¬F = = ¬(A & B) = ¬A ∨ ¬B).

Таким образом, в составном вербальном высказывании без явного использования связки НЕ всегда подразумевается истинность конъюнкции (Т) и предполагается в символической записи F = A & B.

Однако согласно таблице истинности значения аргументов и функции могут быть ложными. Такие функции называют выполнимыми. Также в инверсной двойственной записи ¬F = ¬A ∨ ¬B высказывания ¬F, ¬A, ¬B предполагаются истинными.

В естественном языке связка И может явно отсутствовать, вместо нее могут использоваться противопоставление (A — число четное, но B — число отрицательное) и элементы синтаксиса: запятые, скобки, несколько под-лежащих или прилагательных. В текстах программ C++ аналогом является оператор

Ф = А & B

для типов данных bool и char.F = (A & B) , ¬F = ¬A ∨ ¬B — выполнимые функции, они могут прини-

мать различные значения с различными наборами значений переменных.К сожалению, переход от содержательной записи к формальной затруд-

нителен. Кроме синтаксиса необходимо учитывать контекст, для которого нет совместимых в языке логики средств формальной записи.

Проверять любую функцию на выполнимость, перебирая все комби-нации значений переменных, — громоздкий метод в приложениях. Таким образом, можем ошибаться, и в записи появится под символом & другая функция. Очевидно, это повлечет за собой дальнейшие ошибки в рассуж-дениях.