Ölçme bilgisi ders notlar o · geometri, bir bölgeyi (birkaç kenti) yada bir ülkeyi kapsayan...

KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ

Yayın No: 428

ÖLÇME BĐLGĐSĐ

Ders Notları

Yrd. Doç.Dr. Orhan KURT

KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ Mühendislik Fakültesi

Harita Mühendisliği Bölümü Öğretim Üyesi

2012 Kocaeli

Ölçme Bilgisi Ders Notlar O.KURT

2 / 60

ÖNSÖZ Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği uzmanlık alanının Anabilim Dallarından birisi olan Ölçme Tekniği; temel ölçü aletleri, bu aletler ile gerçekleştirilen ölçme yöntemlerini ve bu aletler ile elde edilen ölçülerin değerlendirilmesi konularını kapsamaktadır. Ölçme Bilgisi yada Topografya dersleri altında Ölçme Tekniği Ana Bilim dalının konuları tamamı yada bir bölümü işlenmektedir. Küçük alanları kapsayan çalışmalarda düzlem geometri, bir kenti kapsayan çalışmalarda küresel geometri, bir bölgeyi (birkaç kenti) yada bir ülkeyi kapsayan çalışmalarda elipsoit geometrisinden yararlanılır. 2006 yılından beri Asım Kocabıyık Meslek Yüksekokulu Đnşaat Bölümü, Đnşaat Teknolojileri’nde Ölçme Bilgisi ve güncellenmiş adıyla Topografya dersinden başarılı olan öğrencilerin, temel ölçme ve değerlendirme tekniklerini kullanabilmesi ön görülmüştür. Bu bağlamda, öğrencilerin;

� Temel trigonometrik bağıntıları ve temel üçgen çözümlerini kullanabilmesi, � Temel ödevleri kullanabilmesi, � Uygulamada kullanılan koordinat ve yükseklik bilgilerini kavraması, � Yatay konum belirleme yöntemlerini (prizmatik alım, kutupsal alım) kullanabilmesi, � Düşey konum belirleme yöntemlerini (geometrik, trigonometrik, barometrik) kullanabilmesi � Alan ve hacim hesapları yapabilmesi,

amaçlanmaktadır. Ders notlarının gözden geçirilmesi ve Asım KOCABIYIK Meslek Yüksekokulu’nda ders notu olarak bastırılması konularında beni cesaretlendiren ve yardımlarını esirgemeyen Đnşaat Teknolojileri Bölüm Başkanı Yrd.Doç Dr. Önder EKĐNCĐ’ye sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Öğrencilerimize ve meslektaşlarımıza yararlı olması en büyük dileğimdir.

Orhan KURT 2012


3 / 60

Đçindekiler ÖNSÖZ ................................................................................................................................................2 Đçindekiler ............................................................................................................................................3 0. Giriş..................................................................................................................................................4 1. Noktaların Đşaretlenmesi ................................................................................................................10

1.1. Geçici Đşaretler ........................................................................................................................10 1.2. Kalıcı Đşaretler.........................................................................................................................11

2. Konum Belirlemede Kullanılan Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri.........................................12 2.1. Uzunluk Kavramı ve Uzunlukların Ölçülmesi: ......................................................................12 2.2. Açı Kavramı ve Açıların Ölçülmesi: ......................................................................................13 2.3. Yükseklik Kavramı ve Yüksekliklerin Ölçülmesi ..................................................................18

3. Yatay Konum Bilgilerinin Elde Edilmesi ......................................................................................19 3.1. Yatay Konum Bilgileri arasındaki dönüşümler: .....................................................................19 3.2. Yan Nokta (Prizmatik Alım) Hesabı :.....................................................................................19 3.2. Kutupsal Alım.........................................................................................................................22

4. Düşey Konum Bilgilerinin Elde Edilmesi .....................................................................................24 4.1. Kullanılan Alet-Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri ...........................................................24 4.2. Geometrik Nivelman:..............................................................................................................24 4.3. Trigonometrik Nivelman: .......................................................................................................26 4.4. Barometrik Yükseklik Ölçüsü:................................................................................................27 4.5. Yüzey Nivelmanı ....................................................................................................................28

5. Alan Hesapları................................................................................................................................30 5.1 Düzgün Geometrik Şekillerin Alanları ....................................................................................30 5.2 Çokgenlerde Alan Hesapları: ...................................................................................................32

6. Hacim Hesapları.............................................................................................................................35 6.1. Plankote (Kotlu Plan) Çıkarılması ..........................................................................................36

7. Üç Boyutlu Konum Bilgilerinin Elde Edilmesi .............................................................................36 7.1. Kullanılan Alet-Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri ...........................................................36

8. Kaynaklar .......................................................................................................................................37 Ek 1. Trigonometri .............................................................................................................................38 Ek 2. Temel ödevler ...........................................................................................................................39 Ek 3. Arazi Uygulaması Örnekleri.....................................................................................................40 Ek 4. Haftalık Ödevler .......................................................................................................................57


4 / 60

0. Giriş Konum belirleme üç ana bölüme ayrılır.

1. Yatay konum belirleme: Bu yöntemde; noktalar arası yatay bağıl ilişkiler yatay açı ve yatay kenar ölçülerinden elde edilir. Yeni noktaların mutlak konumları, yatay referans sisteminde mutlak konumları bilinen dayanak noktaları ile sağlanır.

2. Düşey konum belirleme : Bu yöntemde; noktalar arası düşey bağıl ilişkiler yükseklik farkı, düşey

açı - yatay kenar ya da düşey açı - eğik kenar ölçülerinden elde edilir. Yeni noktaların yükseklikleri, yükseklik referans sisteminde mutlak yükseklikleri bilinen dayanak noktaları ile sağlanır.

3. Üç boyutlu konum belirleme: Üç boyutlu konum belirmede noktalar arası bağıl ilişkiler eğik

uzunluklar, düşey açılar ve yatay açılar elde edilir. Bu işlem iki farklı şekilde gerçekleştirilebilir. Birincisi üç boyutlu konum bilgilerinin ayrı ayrı düşünülerek elde edildiği yöntemlerdir (yatay+düşey). Đkincisi ise üç boyutlu bağıl konumların aynı anda belirlenebileceği bir referans sistemin ile sağlanır. Bağıl ilişkiler belirlendikten sonra noktaların konumları referans sistemindeki konumları bilinen dayanak noktaları ile sağlanır.

Dönel elipsoit: Büyük yarı ekseni a ve küçük yarı çapı b yarıçaplı bir elipsin eksenleri biri etrafında döndürülmesi ile elde edilen Geoit: Karaların altında devam ettiği düşünülen durgun deniz yüzeyinin oluşturduğu yüzeye verilen addır. Bu yüzeyin biçimini, büyük çoğunlukla Dünyayı oluşturan farklı yoğunluktaki kitlerin dağılımı ve dünyanın kendi ekseni etrafında dönmesi oluşmaktadır. Pürüzsüz bir patatese benzeyen Geoit yaklaşık olarak 1/300 oranında basıklığı olan bir dönel elipsoide benzemektedir. Datum: Kelime anlamı başlangıç yeri ya da referans noktası anlamına gelen datum; jeodezi kullanılan ölçme sistemlerine göre iki ana bölüme ayrılır. Yatay datum düşey datum. Düşey datum: Düşey datum Geoittir. Mühendislik projelerindeki yükseklikler bu datuma göre belirlenir. Yatay datum: Düşey datum olan Geoit üzerinde yatay konum belirlemek çok güçtür. Bunun yerine Geoidi iyi temsil eden, matematik yüzeyi kolay tanımlanan ve üzerinde matematik modellemelerin daha kolay kurulduğu bir dönel elipsoit seçilir. Yatay datum belirleme, bu dönel elipsoidin yere uygun bir şekilde yerleştirilmesi işlemidir (Şekil-1)

Tablo 1. Dünyada yaygın olarak kullanılan Dönel Elipsoit parametreleri (GPS:Global Positioning System)

Elipsoit a (m) b (m) Açıklama Hayford (ED50) 6378388 6356911.94613 Europe Datum 1950, Uluslar arası elipsoit

GRS80 6378137 6356752.31414 Geodedic Referans System 1980, ABD WGS84 6378137 6356752.31425 World Geodedic System 1884, GPS Bessel 6377397.15508 6356078.96290 Almanyada Kullanılır

Krassowsky 6378245 6356863.01877 Doğu Bloku Ülkelerinde Kulanılır UTM (Universal Transversal Merkator) Projeksiyonu: Uygulamada kullanılan yatay koordinatlar bu projeksiyona göre hesaplanırlar. UTM projeksiyonı benzerlik koruma özelliği olan yatık konumlu silindirik projeksiyon türüdür. Dönel elipsoit (yaklaşık Geoit yada deniz yüzeyi) üzerine indirgenen ölçüler yada mutlak konum bilgileri, bir düzlem yüzey olan projeksiyon yüzeyine aktarılırlar.

X,Y,Z Kartezyen koordinatlar ϕ, λ, h Jeodezik (elipsoidal koordinatlar) koordinatlar x, y UTM (Universal Transversal Mercator) Projeksiyon koordinatları H Ortometrik yükseklik (Geoit’ten olan yükseklik) h Elipsoit yüksekliği (Referans Elipsoidinden olan yükseklik) N Geoit yükseklikleri (ondilasyonları, dalgalanmaları)


5 / 60

H = h + N (X,Y,Z) →→→→ (ϕϕϕϕ,λλλλ,h) →→→→ (x,y,h) (x,y,h) →→→→ (ϕϕϕϕ,λλλλ,h) →→→→ (X,Y,Z)

Not : Uygulamada (x,y,H) konum bilgileri kullanılır. Şekil 1. Kartezyen koordinatlar (X, Y, Z) ile elipsoidal koordinatlar (ϕϕϕϕ, λλλλ, h) ve UTM projeksiyon koordinatları (x, y)

arasındaki ilişki. “(*)” ; *’ın projeksiyonu anlamında kullanılmıştır. Z ekseni: Yerin dönme eksenine paralel XY düzlemi: Greenwich meridyen düzlemine paralel Y ekseni: Sağ el koordinat sistemini tamamlayacak şekilde XY düzlemine dik a: Ekvatordaki yarıçap b: yerin dönme eksenindeki yarı çap. a) (X,Y,Z) →→→→ (ϕϕϕϕ,λλλλ,h) Dönüşüm Yinelemeli ya da doğrudan olmak üzere iki çözüm yöntemi kullanılır. Aşağıda doğrudan çözüm bağıntıları verilmiştir. Yinelemeli çözüm için (Hofman-Wellenhof vd., 1997; Seeber, 1993; Leick, 1999) kaynaklarından yararlanılabilir.

2

22

a

bae

−=

2

22

b

bae

−=′

2/3 2sine1

)e1(aM

ϕ−

−=

ϕ+ϕ=

2222

2

sinbcosa

aN =

ϕ−

−2sine1

)e1(a 22 YXp +=

=bp

Zaarctant

′+

=ϕtcos

tsinbeZarctan

3

3

=λ

X

Yarctan

ϕ+ϕ−

ϕ=

2222

2

sinbcosa

a

cos

ph

b) (ϕϕϕϕ,λλλλ,h) →→→→ (X,Y,Z) Dönüşüm

ϕ+ϕ=

2222

2

sinbcosa

aN =

ϕ−

−2sine1

)e1(a

λϕ+= coscos)hN(X λϕ+= sincos)hN(Y ϕ+= sin)hNa

b(Z

2

2

xi

(ϕϕϕϕi)

yi

(λλλλ0)

//x x (Kuzey)

(λλλλi)

y (Doğu)

γγγγ

(Pi)

Ekvator

λλλλi

λλλλ0

Yi

Xi

Pi

Y

hi

Zi

Z

X

Geoit Hi

Ni

ϕϕϕϕi

Gre

enw

ich

Ekvator

b

a


6 / 60

c) (ϕϕϕϕ,λλλλ) →→→→ (x,y) Dönüşüm L = λ-λ0 t = tanϕ ηηηη = (a2–b2)(cosϕ/b)2 N = a2/b/(1+η)1/2 n = (a–b)/(a+b) b1 = (a+b)( 1/2 + n

2/8 + n4/128 ) b2 = –3n / 2 + 9n

3/16 – 3n5/32 b3 = 15n

2 / 16 – 15n4 / 32 b4 = –35n

3 / 48 + 105n5 / 256 b5 = 315n

4 / 512

x = b1 ( ϕ + b2 sin(2ϕ) + b3 sin(4ϕ) + b4 sin(6ϕ) + b5 sin(8ϕ) ) + (L cosϕ)2 t N / 2 + (L cosϕ)4 ( 5 − t2 + 9η + 4η2 ) / 24

+ (L cosϕ)6 ( 61 – 58t2 + t4 + 270η - 330t2η ) / 720 + (L cosϕ)8 ( 1385 – 3111t2 + 543t4 – t6 ) / 40320 + ...

y = N L cosϕ + (L cosϕ)3( 1 – t2 + η ) / 6 + (L cosϕ)5( 5 – 18t2 + t4 + 14η – 58t2η ) / 120 + (L cosϕ)7( 61 – 479t2 + 179t4 – t6 ) / 5040 + ...

d) (x,y) →→→→ (ϕϕϕϕ,λλλλ) Dönüşüm n = (a − b) / (a + b) b1 = (a+b)( 1/2 + n

2/8 + n4/128 )

b2 = 3/2 η – 27/32 η3 + 269/512 η5

b3 = 21/16 η2 – 55/32 η4

b4 = 151/96 n3 + 417/128 η5

b5 = 1097/512 η4

ϕϕϕϕ0 = x/b1 + b2 sin(2x/b1) + b3sin(4x/b1) + b4sin(6x/b1) + b5sin(8x/b1)

t = tanϕ0

ηηηη = (a2–b2)(cosϕ0/b)2

N = a2/b/(1+η)1/2 ϕϕϕϕ = ϕ0

+ t(y/N)2( –1 – η )/2 + t(y/N)4( 5 + 3t2 + 6η – 6t2η – 3η2 – 9t2η2 )/24

+ t(y/N)6(–61 – 90t2 - 45t4 – 107η + 162t2η + 45t4η )/720 + t(y/N)8( 1385 + 3633t2 + 4095t4 + 1575t6 )/40320 + ...

λλλλ = λ0 + y / (N cosϕ0 )

+ (y/N)3(–1 – 2t2 − η)/(6cosϕ0)

+ (y/N)5( 5 + 28t2 + 24t4 + 6η + 8t2η )/(120cosϕ0)

+ (y/N)7(–61 – 662t2 – 1320t4 – 720t6 )/(5040cosϕ0) + ...


7 / 60

Ülkemizde kullanılan datum türleri. (http://www.hgk.mil.tr/urunler/jeodezikurunler.asp)

CĐNSĐ ŞEKLĐ ADEDĐ ÖZELLĐKLERĐ

Türkiye Ulusal Temel

Nirengi Ağı

Noktaları

449215

904 adet I inci Derece,3311 adet II nci Derece, 95000 3 üncü Derece ve 350000 4 üncü Derece nokta ihtiva etmektedir. 307 adet I ve I inci Derece nirengi noktasında Astronomi ölçüsü yapılmıştır.

Türkiye Ulusal Düşey

Kontrol (TUDKA)

Ağı Noktaları (Nivelman

)

25451 19197 adet I inci Derece ve 6254 adet II nci Derece nokta ihtiva etmektedir.

Türkiye Ulusal Deniz

Seviyesi Đzleme Sistemi

(TUDES)

11 Tamamlanan 2 Planlanan

Đskenderun,Erdemli,Antalya II, Bodrum II, Mentes/Izmir, Erdek, Marmara Ereglisi, Đgneada, Amasra, Sinop and Trabzon II siteleri tamamlandı.

Türkiye Ulusal

Temel GPS Ağı

(TUTGA) Noktaları

594

Türkiye geneline 15-70 km aralıklar ile homojen olarak dağılmış, her noktasında 3 boyutlu konum ve hızları belirli olan 594 noktadan oluşan ağdır.

Türkiye Ulusal

Sabit GPS Đstasyonları

Ağı (TUSAGA)

15 Faal 9 Planlanan

Türkiye genelinde dağılmış noktalarda 365 gün 24 saat kesintisiz olarak jeodezik ve jeodinamik amaçlar doğrultusunda uydu bilgileri toplayan sabit GPS istasyonlarından oluşan bir ağdır..

Türkiye Temel

Gravite Ağı (TTGA) Noktaları

66258

55 adet I inci Derece, 13 adet mutlak gravite, 3940 adet II nci Derece ve 62250 adet sıklaştırma noktası ihtiva etmektedir

Türkiye Ulusal

Manyetik Ağı

Noktaları

2085 85 adet seküler nokta ve 2000 adet sıklaştırma noktası ihtiva etmektedir.


8 / 60

TANIMLAR (http://www.hgk.mil.tr/urunler/jeodezikurunler.asp)

Jeodezi : Yeryuvarının şekil, boyut ve gravite alanı ile zamana bağlı değişimlerinin üç boyutlu bir koordinat sisteminde tanımlanmasını amaçlayan bir bilim dalıdır.

Jeoid : Durgun okyanus yüzeyi ile özdeş olan ve karaların altında da devam eden eşpotansiyelli bir yüzeydir.

Jeoid Yüksekliği : Bir noktadan geçen çekül eğrisinin jeoidi kestiği nokta ile kullanılan elipsoid arasındaki yükseklik farkıdır. Diğer bir ifade ile elipsoid yüksekliği ile ortometrik yükseklik arasındaki farktır.

Gravite : Yeryüzündeki bir cismi etkileyen; yerçekimi kuvveti ve yerin dönmesinden kaynaklanan merkezkaç kuvvetlerinin bileşkesidir.

Ortometrik Yükseklik : Bir noktanın çekül eğrisi boyunca jeoide olan uzaklığına o noktanın ortometrik yüksekliği denir.

Nivelman : Noktalar arasındaki yükseklik farkının ölçme yöntemidir.

GPS : ABD Savunma Dairesi (DoD) tarafından işletilen; dünyanın her hangi bir yerinde konum, hız ve zaman belirleyen, 24 (+3 yedek) uydudan oluşan bir radyo navigasyon uydu sistemidir. Jeodezik GPS uygulaması; GPS verilerinden, faz ve kod bilgileri kullanılarak en az iki jeodezik alıcı ile toplanan verilerden nokta koordinatı ve koordinat farkları belirlenir.

DGPS (Diferansiyel GPS) : GPS ölçülerine çeşitli etkenlerden kaynaklanan hataları gidermek için Diferansiyel GPS düzeltmesi uygulanarak yapılan konumlama türüdür.

Ülke Temel Jeodezik Ağları : Ülkemizin bütününü kapsayan, yeryüzüne uygun aralılarla işaretlenen, konumları ve gravite değeri bilinen noktaların oluşturduğu ağlardır. Ülkemizde TUTGA, TUSAGA, TUDKA, TTGA, TUDES, Manyetik Ağ ve TUD-54 mevcut olup bunlar aşağıda açıklanmaktadır.

TUTGA (Türkiye Ulusal Temel GPS Ağı) : WGS-84 koordinat sisteminde, 1998.0 zaman noktasında, her noktasında enlem, boylam, elipsoid yüksekliği, ortometrik yükseklik ve jeoid yüksekliği bilinen,15-70 km. aralıklı 594 noktadan oluşan ağdır.

TUSAGA (Türkiye Ulusal Sabit GPS Đstastasyonları Ağı) : Jeodezik ve jeodinamik amaçlarla kullanmak ve Diferansiyel GPS (DGPS) hizmeti sunmak için, sürekli GPS verisi toplayan, Türkiye geneline dağılmış sabit GPS noktalarından oluşan bir ağdır.

TUDKA (Türkiye Ulusal Düşey Kontrol (Nivelman) Ağı) : Ülke boyutunda karayolları boyunca 1-2 km. aralıklarla işaretlenen ve ortometrik yükseklikleri bilinen noktaların oluşturduğu ağdır.

TTGA (Türkiye Temel Gravite Ağı) : Jeodezik, jeofizik ve jeodinamik amaçlı çalışmalarda kullanılan, yüksek doğrulukla gravite değeri bilinen, ülke genelinde 66258 noktadan oluşan ağdır.

TUDES (Türkiye Ulusal Deniz Seviyesi Đzleme Sistemi) : Düşey Kontrol Ağının başlangıcını (Düşey Datum) belirlemek amacıyla işletilen 1 veri merkezi ve 11 mareograf istasyonundan oluşan ağdır.

Manyetik Ağı : Ülke boyutunda 50-100 km. aralıklı işaretlenen ve manyetik alan parametreleri ile zamanla değişiminin bilindiği noktalardan oluşan ağdır.

Yatay Kontrol (Nirengi) Ağı (Türkiye Ulusal Datumu-1954 (TUD-54) ) : Ülke bütününü kapsayan, yeryüzüne 15-40 km. aralıklarla işaretlenen, açı ve kenar ölçüleri ile enlem ve boylamları hesaplanan noktaların oluşturduğu ağdır.


9 / 60

Şekil-2. 3o Dilimlik UTM Prokseyonunda pafta bölümlemesi ve isimlendirmesi. (Hazırlayan: Erdinç Örsan ÜNAL).


10 / 60

1. Noktaların Đşaretlenmesi Çalışma bölgesinde alımı yada aplikasyonu yapılacak olan bölgede arazi çalışmaları sırasında kullanılacak olan nokta işaretleme türleridir. Geçici ve kalıcı olmak üzere iki türlü işaretleme yapılır (Şekil-4,5). Đstikşaf: Alımın en uygun şekilde gerçekleştirilebilmesi, sabit noktaların alımı yapılacak noktaları ve birbirlerini iyi görebilmeleri için arazide dolaşılarak önceden sabit nokta yerlerinin belirlenmesi işlemine denir. Sözgelimi; Nirengi Đstikşafı, Poligon Đstikşafı yada Rs Đstikşafı. Kanava: Sabit noktaların birbirlerine göre konumlarını ve ölçme planı gösteren krokilere denir. Sözgelimi; Nirengi Kanavası, Poligon Kanavası yada Rs Kanavası (Şekil-3).

Şekil 3. Nirengi, Poligon ve Rs(Referans Seviyesi) Kanavaları.

1.1. Geçici Đşaretler Jalon : Arazide noktaların geçici olarak işaretlenmesinde, doğrultuya girme, dik inme ve dik çıkma işlemlerinde kullanılan, 2 veya 3 m uzunluğunda, 3-4cm çapında bir ucunda demir çarık bulunan, fırınlanmış ağaç yada demir borudan yapılmış basit bir alettir (Şekil-4a). Jalon Sehpası : Jalonun geçebileceği demir bir çembere bağlanmış üç ayaktan oluşan 70-80cm boyunda bir düzenektir (Şekil-4b). (a) (b) (c) (d)

Şekil 4. Jalon, jalon sehpası, çekül ve fiş.

N2

N11 N3

N10

N1

P.11

N2 P.1

N1

P.2

P.3 P.4

P.6 P.5

P.7

P.8 P.9

P.10

P.14

P.12 P.13

P.1

P.2

Rs.1

Rs.2


11 / 60

Çekül (Şakul) : Bir ipe asılmış alt ucu sivri bir ağırlıktan ibarettir. Çekül sarkıtıldığında ipin doğrultusunun ağırlığın sivri ucundan geçmesi gerekir (Şekil-4c). Fiş : Bir ucu halka şeklinde kıvrılmış ipe asılmış alt ucu sivri bir ağırlıktan ibarettir (Şekil-4d). 1.2. Kalıcı Đşaretler Demir Çivi yada Boru : 10-20cm uzunluğunda 2-3cm kalınlığında daire kesitli demir çiviler yada borulardır. Genellikle meskun alanlarda yada sert zeminlerde (asfalt, beton, ..vb.) kullanılan zemin tesisleridir. kör poligonların işaretlenmesinde ve küçük bölgesel çalışmalarda kullanılır (Şekil-5a,5b). Tahta kazık : 20-25cm uzunluğunda 3-5cm kalınlığında kare kesitli ahşap kazık. Kazığın toprak üstünde kalan bölümünde karenin köşegenlerinin kesişim ine çivi çakılarak kullanılan zemin tesisidir. Genellikle kör poligonların işaretlenmesinde ve küçük bölgesel çalışmalarda kullanılır (Şekil-5c). Beton Zemin : 30-70cm uzunluğunda dar kısmı 20-30cm ve geniş kısmı 30-40cm arasında değişen büyük çoğunlu toprak altında kalan beton zemin tesisleridir. Genellikle meskun olmayan alanlarda yada yumuşak zeminlerde kullanılan zemin tesisleridir. Nirengi, Rs ve poligon noktalarının işaretlenmesinde kullanılırlar (Şekil-5d). Pilye : 120-140cm'si zemin dışında kalan, genişliği 30-40cm arasında değişen ve yerinde inşaa edilen beton zemin tesisleridir. Genellikle meskun olmayan alanlarda yada yumuşak zeminlerde kullanılan zemin tesisleridir. Nirengi noktalarının işaretlenmesinde kullanılırlar (Şekil-5e). Rs Duvar Tesisi: Genellikle resmi bina, cami duvarı yada okul duvarlarına takılan tesislerdir. Yaklaşık 5-7cm kalınlığında 10-15cm uzunluğundadır. Rs noktaları işaretlenmesinde kullanılırlar (Şekil-5f).

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Şekil 5. Demir çivi, demir boru, ağaç kazık ve beton zemin, pilye, Rs duvar tesisi.

{Poligon: Beton, boru, demir çivi ve ağaç kazık, Nireng : Pilye, zemin tesisi, Rs(Referans Seviyesi): Zemin tesisi, duvar çivisi }


12 / 60

2. Konum Belirlemede Kullanılan Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri 2.1. Uzunluk Kavramı ve Uzunlukların Ölçülmesi: ☯ ÇŞM (Çelik Şerit Metre) ☯ EUÖ (Elektronik Uzunluk Ölçer) ☯ Optik (baz lataları ve yatay açı yardımıyla)

a) ÇŞM: Uygun bir kuvvetle (genellikle ~10kg) gerdirilen ÇŞM yatay düzleme paralel hale getirilerek uzunluk okunması ile elde edilir. Uzun mesafelerde ÇŞM doğrultuya sokulduktan sonra, basamaklı ölçme yöntemine göre parça parça uzunlukların toplamı sonucu elde edilir (Şekil 6).

Şekil 6. Çelik Şerit Metre ile yatay uzunluların elde edilmesi. b) Optik:Genellikle bir baz latasının (2m) iki ucu gerçekleştirilen yatay doğrultu gözlemleri elde edilir (Şekil 7). Baz latası yatay konumlu yada düşey konumlu (klasik takeometrik alımda) olabilir.

α = r2 - r1 S2

b

2tg =

α den

2gcot

2

bS

α= olur. b=2m alınırsa

2gcotS

α= m olur.

Şekil 7. Optik uzunluk ölçüsü.

c) EUÖ: Elektronik takeometre ile yatay doğrultular (r), eğik uzunluklar (E) ve düşey açılar (Z) doğrudan ölçülebilen büyüklüklerdir. Yatay uzunluklar (S), eğik uzunluklar (e) ve bu eğik uzunluklara ait düşey açı (Z) ölçüleri ile elde edilirler (Şekil 8).

Şekil 8. Elektronik Tekeometre ile yatay ve düşey uzunluların elde edilmesi.

EZ

S

S = E sinZ

E

cos

Z

A

B

A

a

S = a + b +c

b c

B

b 2

r1

αααα

A

B r2

αααα S

b 2

b 2

A

Z

B

E

S

S = E sinZ

E

cos

Z


13 / 60

2.2. Açı Kavramı ve Açıların Ölçülmesi: a) Açı kavramı Çekül eğrisi:Yerçekimi ve merkez kaç kuvvetinin etkisiyle oluşan, bulunduğu noktada Geoide dik olan ve uzantısı ağırlık merkezinden geçen çekül doğrultusudur. Çekül eğrisi, ölçme sistemlerimiz ile fiziksel yeryüzü arasında ilişki kurabildiğimiz tek olgudur (Şekil-9). Başucu (Zenit) : Çekül eğrisini dış uzaya uzanan doğrultusu (Şekil-9). Ayak ucu (Nadir): Çekül eğrisinin yerin merkezine uzanan doğrultusu (Şekil-9). Yatay açı (ααααi=ri-r0): Alet kurulan noktanın yatay düzleminde ölçülen açılardır. Yatay açı doğrudan ölçülmez. Đki doğrultunun farkı ile saat ibresi yönünde elde edilen açıdır (Şekil-9). Düşey açı (Baş ucu açısı) ( Z ): Durulan ve bakılan noktayı içinde bulunduran ve yatay düzleme dik düşey düzlemde bulunan düşey açı, başucu noktası ile dürbünün yöneltme ekseni arasındaki açıdır. Doğrudan ölçülebilen bir açıdır (Şekil-9).

Şekil 9. Doğrudan ölçülebilen ve doğrudan ölçülemeyen açı türleri (AA’:Çekül doğrultusu). Eğim açısı ( δδδδ=ππππ/2−−−−Z ): Düşey açı ile aynı düzlemde bulunan ve π/2−Z bağıntısı ile hesaplayabileceğimiz eğim açısı, düşey düzlemde yer alır. Doğrudan ölçülebilir yada düşey açılardan elde edilebilir(Şekil-9). Uzay açı ( γγγγ ): Üç boyutlu uzaydaki iki doğrultu arasındaki açıdır. Doğrudan ölçülemeyen uzay açı bileşenleri olan yatay ve düşey açı aracılığı ile hesaplanabilir (Şekil-9). ☯ Doğrudan Ölçülebilen büyüklükler Zi (i=1,2) : Düşey açı: Teodolitler ile ölçülürler ri (i=1,2) : Yatay doğrultu: Teodolitler ile ölçülürler δδδδi (i=1,2) : Eğim açıları (i=1,2): Klizimetre ile ölçülürler ☯ Đlk ölçülerin doğrusal fonksiyonları ile türetilebilen büyüklükler αααα = r2 −−−−r1 : Yatay açı: iki yatay doğrultu farkı δδδδi = ππππ/2 −−−− Zi (i=1,2) : Eğim açıları: (i=1,2) Klizimetre ile ölçülürler γγγγ : Uzay açı: Üç boyutlu uzayda iki doğrultunu kesişimi ile elde edilen açı cosγγγγ = cosZ1 cosZ2 + sinZ1 sinZ2 cosαααα Küresel trigonometride kenar kosinüs teoreminden

Z2

αααα

P2

P1

A’

A

Z1

δδδδ1

δδδδ2

r1

r2

Yatay Eksen Düzlemi

γγγγ


14 / 60

b) Teodolitlerin genel yapısı ve eksenleri Yatay doğrultu ve düşey açı ölçülerinde kullanılan aletlere teodolit denir.

Şekil 10. Teodolitin temel yapısı ve ana eksenleri. Bir Teodolitin doğru olarak çalışabilmesi için gerekli olan eksen koşulları ve eksen hatalarının giderilmesi: 1) DD’ ⊥ AA’ : Düzeç eksen hatası: Düzeç ekseni asal eksene dik olmalı: Ölçe yöntem ile giderilemez, alet kullanılmadan önce bu hata giderilmelidir. Bu hatayı gidermek için; aletin silindirik düzeci düzeçlenir ve alet asal eksen etrafında 200g döndürülür. Silindirik düzeç kaymış ise alette düzeç eksen hatası var demektir. Hatanın yarısı üç ayak vidalarından diğer yarısı ise silindirik düzeç ayar vidasından giderilir. Düzeç eksen hatası kontrolü tekrarlanır. Hata var ise yukarıdaki işlemleler silindirik düzeç hatası giderilene kadar tekrarlanır. 2) MM’ ⊥ AA’ : Yöneltme eksen hatası (Yatay Kolimasyon): Yatay eksen asal eksene dik olmalı, aletin üretimi sırasında fabrikada giderilmelidir. 3) YY’ ⊥ MM’ : Yatay eksen hatası (Düşey Kolimasyon): Yöneltme ekseni yatay eksene dik olmalı, dürbünün her iki durumunda yapılan ölçüler ile giderilir. c) Dürbünler

- Mercekler • Yakınsak mercekler • Iraksak mercekler

- Büyütme - Görüş alanı

A’

Düzeç ekseni

SĐLĐNDĐRĐK DÜZEÇ

Yöneltme ya da Nişan (Kolimasyon) ekseni

Asal eksen

A

FENKLAJ

Yatay (muylu) ekseni

YATAY AÇI DAĐRESĐ

Üç ayaklar

M’

Y’

M

Y

D

D’ DÜRBÜN

DÜŞEY AÇI DAĐRESĐ


15 / 60

d) Düzeçler

- Silindirik düzeçler • Silindirik düzecin duyarığı • Silindirik düzeç hatası ve giderilmesi

- Küresel düzeçler e) Teodolitlerde eksen hataları ve giderilmesi

- Yatay kolimasyon - Düşey kolimasyon - Đndeks Hatası

Açı okuma yeteneklerine Göre Teodolitlere Verilen Genel Đsimler T1 (Takeometreler): Detay ve ayrıntı nokta ölçümlerinde kullanılan; doğrultu ve düşey açı ölçülerini virgülden sonra 2. ya da 3. basamağa kadar doğrudan okuyabilen aletlerdir.

a) Optik uzunluk ölçüsü b) Okuma düzenleri c) Takeometre ölçüsü ve hesabı

T2: Tamamlayıcı, yardımcı (Üçüncü, dördüncü ve dizi) nirengi ve poligon ölçümlerinde kullanılan; doğrultu ve düşey açı ölçülerini virgülden sonra 4. basamağa kadar doğrudan okuyabilen aletlerdir.

a) Okuma düzenleri b) Yatay-düşey açı ölçüsü ve hesabı:

T3: Ana (birinci ve ikinci derece) nirengi ölçümlerinde kullanılan; dürbün büyütmesi oldukça iyi olan, doğrultu ve düşey açı ölçülerini virgülden sonra 5. basamağa kadar doğrudan okuyabilen aletlerdir.

a) Okuma düzenleri b) Açı ölçüsü ve hesabı

T4 (Evrensel teodolit): Astronomik ölçümlerde kullanılan; dürbün büyütmesi oldukça iyi olan, doğrultu ve düşey açı ölçülerini virgülden sonra 5. basamağa kadar doğrudan okuyabilen aletlerdir. Jiroskop: Genel yapısı teodolitlere benzeyen üzerine eklenen jiroskop adı verilen donanım yardımı ile gözlemciyi kendi coğrafi meridyenine sokmaya yarayan ve böylece gözlemcinin ölçtüğü kenarın manyetik kuzeyle yaptığı açıyı doğrudan ölçebilmeyi sağlayan aletlerdir. a) Yatay Açı Ölçme Yöntemleri: a.1) Bir Tam Dizi (Silsile) Açı Ölçme Yöntemi: ☯ Bu açı ölçme yönteminde kaç dizi gözlem yapılacak ise başlangıç doğrultuları 200g/n (n:dizi sayısı)

kadar kaydırılır. Örneğin 5 dizi yapılacak olan bir açı ölçüsünde 200g/5=40g her bir dizi başlangıçları arsındaki fark yaklaşık 40g olmalıdır. Başlangıç doğrultuları ~0.__ , ~40.__ , ~80.__ , ~120.__ , ~160.__ şeklinde alınır. Bu seçimin hatası bölümleme hatasını azaltmak ve bir önceki açı okumalarından etkilenmemek için yapılır.

☯ Alet birinci doğrultuya yönlendirilir. Saat ibresi yönünde ikinci, üçüncü ve sonuncu noktalara doğrultu

okumaları yapılır. Alet ikinci duruma alınarak; son noktadan saat ibresinin tersi yönünde hareket edilerek birinci noktaya ulaşılır. Böylece bir tam dizi tamamlanmış olur. 5 dizi ölçülecek is bu işlem beş kez aynı şekilde tekrarlanır.

☯ Bu ölçme yöntemi sonunda; aletin yatay-düşey kolimasyon, bölümleme ve sürüklenme hatalarının etkileri ölçülerden arındırılmış ya da azaltılmış olur.


16 / 60

Uygulama 1: Đki tam dizi yatay açı ölçüsü ve hesabı. n=2 olduğundan iki tam dizinin başlangıç doğrultuları arasındaki fark 200g/2 ~ 100g olur. αααα=r2−r1=42.0811g

ββββ=r3−r2=64.0756g

Tam dizi yatay açı ölçüsü ve hesabı tablosu.

Doğrultular (g) Dizi No

DN BN I. Durum II.Durum

(I+II) 2

Sıfıra Đndirgeme

Ortalama (g)

1 A 1 2 3

0.2573 42.3368 106.4124

200.2585 242.3400 306.4147

0.2579 42.3384 106.4136

0.0000 42.0805 106.1557

0.0000 42.0811 106.1567

65 132 99 62 78 2 A 1

2 3

100.6885 141.7680 206.8435

300.6861 341.7700 6.8462

100.6873 141.7690 206.8449

0.0000 41.0817 106.1576

00 23 12 93

a.2) Đki Yarım Dizi (Silsile) Açı Ölçme Yöntemi: ☯ Bu açı ölçme yönteminde birinci dizinin ilk yarımı herhangi bir başlangıç doğrultusu ile başlar ve tam

dizi açı ölçüsünün birinci yarımına (I. durumuna) benzer şekilde saat ibresi yönünde son noktaya kadar olan bütün doğrultular ölçülür.

☯ Alet ikinci duruma alınır, birinci ölçümün etkisinde kalmamak için başlangıç doğrultusu birkaç grad(gon) kaydırılır. Tekrar birinci noktadan başlanarak saat ibresi yönünde son noktaya kadar olan bütün doğrultular ölçülür. Böylece iki yarım dizi (=1 tam dizi) yatay açı ölçümü gerçekleştirilmiş demektir. Benzer şekilde yarım dizi ölçü sayıları artırılarak hesaplanan doğrultu ve açıların güvenirlikleri artırılabilir.

☯ Bu ölçme yöntemi sonunda; aletin yatay-düşey kolimasyon arındırılmış ya da azaltılmış olur. Uygulama 2: Bir önceki uygulamanın şekline göre (DN: A ve BN: 1, 2 ve 3 ) dört yarım (iki tam) dizi yatay açı ölçüsü ve hesabı. αααα=r2−r1=42.0811g

ββββ=r3−r2=64.0756g

4 yarım (= 2 tam dizi) yatay açı ölçüsü ve hesabı tablosu.

Doğrultu (g) Sıfıra Đndirgeme Dizi No

DN BN I. Durum II.Durum I.Durum II.Durum

(I+II) 2

Ortalama (g)

1 A 1 2 3

0.2573 42.3368

106.4124

200.2585 242.3400 306.4147

0.0000 42.0795

106.1551

0.0000 42.0815

106.1562

0.0000 42.0805

106.1557

0.0000 41.0804

106.1559 65 32 46 77 62 63

2 A 1 2 3

20.6885 62.7680

126.8435

220.6891 262.7700 326.8462

0.0000 42.0795

106.1550

0.0000 42.0809

106.1571

0.0000 41.0802

106.1561

00 53 45 80 63

αααα

r2 r3

A

1

2

3

r1

ββββ

αααα

r2 r3

A

1

2

3

r1

ββββ


17 / 60

b)Düşey Açı Ölçüsü Hesabı: Düşey açılar; ister elektronik ister mekanik olsun teodolitlerin düşey açı dairelerinden okunur. Teodolitten kaynaklanan ve düşey açılara doğrudan etki yapan en önemli hata kaynağı gösterge hatasıdır. Gösterge Hatası ve Giderilmesi: Đndeks hatası aletin düşey açı dairesinin 0’nın aletin asal ekseniyle çakışmamasından kaynaklanır. Bu hatayı gidermek için iki durumda açı ölçüsü yapılır. Đndeks hatası olmayan bir alette her iki durumda ölçülen açıların toplamı 400g olmalıdır. Düşey açı ölçebilen her tür alette farklı büyüklükte olmak üzere bu hataya rastlanır. Aynı noktaya her iki durumda ölçülen açıların toplamı 400g dan farkının yarısı indeks hatasının ölçü hata sınırları içerisindeki değerini verir (Şekil-11).

Şekil 11. Düşey açı gösterge hatası (εεεε). ZI ve ZII Ölçülen I. ve II. durum düşey açıları. ZI+εεεε ve ZII+εεεε Đndeks hatası giderilmiş I. ve II. durum düşey açıları. Şekilden (ZI+εεεε)+(ZII+εεεε)=400g olduğu kolayca görülmektedir. Ölçülen büyüklükler eşitliğin bir tarafına toplanır ve eşitlik düzenlenirse indeks hatası aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır.

2

)ZZ(400 IIIg +−

=ε Düşey açı indeks hatası

Uygulama 3: Đki tam dizi düşey açı ölçüsü ve hesabı. Tam dizi düşey açı ölçü ve hesabı tablosu. Dizi No

DN BN Aletin Durumu

ZI (g) ZII(g)

εεεε(g) ZI+εεεε (g) ZII+εεεε (g)

Ortalama Z(g)

1 A B I II

110.230 289.880

−−−−0.055 −−−−0.055

110.175 289.825

110.200 289.800

400.110 −−−−0.110 400.000 400.000

2 A B I II

110.300 289.850

−−−−0.075 −−−−0.075

110.255 289.775

400.150 −−−−0.150 400.000

Z

A

B

0g

100g

200g

300g

ZI+εεεε ZI

0g

100g

200g

300g

ZII+εεεε ZII


18 / 60

2.3. Yükseklik Kavramı ve Yüksekliklerin Ölçülmesi Jeodezide kullanılan yükseklikler, referans sitemleri ve bunların arasındaki ilişkiler Şekil-12’de gösterilmiştir.

H Ortometrik yükseklik (Geoit’den olan yükseklik) h Elipsoit yüksekliği (Referans Elipsoidinden olan yükseklik) N Geoit yükseklikleri (ondilasyonları, dalgalanmaları) g , i Geri ve ileri okumalar

H = h – N Jeodezi biliminde yükseklik bilgileri üç şekilde belirlenir ve bu yükseklik ölçüleri incelikleri ile birlikte aşağıda verilmiştir. ☯ Geometrik nivelman ( ±1mm ~ ±1cm ) ☯ Trigonometrik nivelman ( ±1cm ~ ±1dm ) ☯ Barometrik nivelman ( ±1m ~ ±3m )

Şekil 12. Ortometrik ( Hk ), elipsoit ( hk ), geoit ( Nk ) yükseklikleri ( k = A, B ) ve ölçülebilen büyüklük ( ∆∆∆∆H=g −−−−i ). Noktalar arası yükseklik farkı nivelman düzleminden yararlanarak aşağıdaki gibi ölçülür. Nokta yükseklikleri ise yüksekliği bilinen noktalardan ve ölçülen yükseklik farklarından yararlanarak hesaplanır.

∆H = HB−HA = g −i HB = HA + ∆H

Nivelman düzlemi : HA + g = HB + i Geometrik nivelmanda : g ve i doğrudan ölçülür. Trigonometrik nivelmanda : g = a + S cotg Z = a + E cos Z hesaplanır ve i doğrudan ölçülür.

A

B

HA

hA

hB

HB

NB NA

Yeryüzü

Geoit

Referans Elipsoidi

g i

Nivelman düzlemi

∆∆∆∆H


19 / 60

3. Yatay Konum Bilgilerinin Elde Edilmesi ϕϕϕϕ, λλλλ : Referans elipsoidi üzerindeki koordinatlar, x, y : Projeksiyon (harita) düzlemindeki koordinatlar. Geçerli konum bilgileri olan bu bilgiler dilim numarası ile kullanılır. Dilim numarası dilim orta meridyeni ile anılır. UTM projeksiyon koordinatları 3 ve 6 derecelik dilimlere ayrılarak gerçekleştirilir.

☯ Kocaeli’nin λλλλ0=3o lik dilim orta meridyeni değeri 30o (Mühendislik projelerinde).

☯ Kocaeli’nin λλλλ0=6o lik dilim orta meridyeni değeri 27o (1/25000 ölçekli haritalarda).

3.1. Yatay Konum Bilgileri arasındaki dönüşümler: Dilim orta meridyenin boylamı (λ0), referans elipsoit parametreleri (a,b), jeodezik enlem, boylam (ϕ, λ) ve projekisyon koordinatları (x,y) olmak üzere; yatay konum bilgileri arasındaki dönüşümler Giriş bölümünde verilen bağıntılarla sağlanır.

( λλλλ0, a,b, ϕϕϕϕ, λλλλ ) ↔↔↔↔ ( λλλλ0, a,b, x, y ) Noktalar arası yatay ilişkiler yatay uzunluk ve yatay açı ölçüleri ile gerçekleştirilir. 3.2. Yan Nokta (Prizmatik Alım) Hesabı :

Verilenler (yA, xA) (yB, xB)

A Noktasının koordinatları B Noktasının koordinatları

Ölçülenler si hi

Dik ayak uzunluğu Dik boy uzunluğu (gidiş yönünün sol tarafı için (−h) alınır

Şekil 13.Yan nokta hesabı.

s2

h2

s2 sin(AB)

(AB)

0.00

sB

s1

h1

B

h2 cos(AB)

A

s 2 c

os(A

B)

h2 si

n(A

B)

s 1 c

os(A

B)

(AB)

h1 si

n(A

B)

h1 cos(AB) s1 sin(AB)

y1 yA

xA

x1

y2 x2

(AB)

1

2


20 / 60

Tablo 2. Yan nokta hesabı.

Çözüm Ölçü yönünün sağdaki noktalar için Ölçü yönünün solundaki noktalar için

y1 = yA + s1 sin(AB) + h1 cos(AB)

x1 = xA + s1 cos(AB) −−−− h1 sin(AB)

y2 = yA + s2 sin(AB) −−−− h2 cos(AB)

x2 = xA + s2 cos(AB) + h2 sin(AB)

yi = yA + sin(AB) si + cos(AB) hi

xi = xA + cos(AB) si − sin(AB) hi yi = yA + sin(AB) si + cos(AB) (−−−−hi) xi = xA + cos(AB) si − sin(AB) (−−−−hi)

k=Bs

AB αααα=sin(AB)=

AB

yy AB − k=

Bs

AB ββββ=cos(AB)=

AB

xx AB −

AFĐN : Verilen koordinatlara göre sadece dik ayaklarını düzelten yan nokta hesabı

a = k αααα =B

AB

s

yy − b = ββββ =

AB

xx AB − c = k αααα =

B

AB

s

xx − d = ββββ =

AB

yy AB −

yi = yA + a si + b hi

xi = xA + c si − d hi yi = yA + a si + b (−hi) xi = xA + c si − d (−hi)

BENZERLĐK:Verilen koordinatlara göre dik ayak ve dik boylarını düzelten yan nokta hesabı

a = k αααα =B

AB

s

yy − b = k ββββ =

B

AB

s

xx −

yi = yA + a si + b hi

xi = xA + b si − a hi yi = yA + a si + b (−hi) xi = xA + b si − a (−hi)

Tablo 3. Prizmatik (dik ya da ortogonal) alımda yada yan nokta hesabında BENZERLĐK hesap tablosu.

a =(yB−−−−yA)/sB b=(xB−−−−xA)/sB yi = yA+a si +b hi xi = xA+b si−−−−a hi NN si (m) hi (m) (m) (m) A 0.00 0.00 ya xa B sB 0.00 yb xb 1 s1 h1 y1 x1 2 s2 h2 y2 x2

LLLL L L L L n sn hn yn xn

Uygulama 4: A ve B nokta koordinatları, yanda verilen ölçü krokisindeki dik ayak (si) ve dik boy (hi) ölçülerinden yararlanarak 1, 2, 3 nolu noktaların koordinatlarını AFĐN ve BENZERLĐK’le göre hesaplayınız. AFĐN: yi = yA + a si + b hi xi = xA + c si - d hi AB= 60.03m a= 0.9250 b= 0.3810 c= 0.3812 d= 0.9245 NN si (m) hi (m) yi (m) xi (m) A 0.00 0.00 16.00 15.43 B 60.00 0.00 70.50 38.30 1 15.00 −8.90 26.48 29.38

2 21.10 11.10 39.75 13.21

3 40.60 −18.20 46.62 47.73

A

B

0.00

15.00 8.90

11.10

21.10

35.00 18.20

5.60

60.00

1

2

3 40.60


21 / 60

BENZERLĐK: yi = yA + a * si + b * hi xi = xA + b * si - a * hi AB= 60.03 a= 0.9083 b= 0.3812 NN si (m) hi (m) yi (m) xi (m) A 0.00 0.00 16.00 15.43 B 60.00 0.00 70.50 38.30 1 15.00 −8.90 26.23 29.23

2 21.10 11.10 39.40 13.39

3 40.60 −18.20 46.94 47.44

Ödev 1: A ve B nokta koordinatları, yanda verilen ölçü krokisindeki dik ayak (si) ve dik boy (hi) ölçülerinden yararlanarak 1, 2, 3 nolu noktaların koordinatlarını benzerliğe göre hesaplayınız. AB= ds= AB −sB = a = b= NN si (m) hi (m) yi (m) xi (m) A 2050.23 1110.75 B 1910.96 1202.17 1

2

3

21.43

B

0.00

62.27 1

2

3

89.95

99.70

166.67

19.53

A


22 / 60

3.2. Kutupsal Alım

Verilenler Şekil-14 (yA, xA) (yB, xB)

A Noktasının koordinatları B Noktasının koordinatları

Ölçülenler Şekil-14 ri ei Zi

Yatay doğrultular Eğik uzunluklar Düşey açılar

Şekil 14. Kutupsal alım ölçüsü.

Çözüm Tablo-4

ααααi=ri−r0 (Ai)=αi+(AB) Si=ei sinZi yi=yA+Sisin(Ai) xi=xA+Sicos(Ai)

Başlangıçtan olan yatay açılar A noktasından i noktasına açıklık açısı Yatay uzunluklar i noktasının yi koordinatı i noktasının xi koordinatı

Tablo 4. Kutupsal alımda hesap tablosu.

DN BN ri [g] ααααi [g] (Ai) [g] Si [m] yi [m] xi [m]

A B r0 α0 (AB) S0 yB xB

1 r1 α1 (A1) S1 y1 x1

2 r2 α2 (A2) S2 y2 x2

L L L L L L L n rn αn (An) Sn yn xn

ααααn

r2

rn

S0

αααα1 αααα2

(AB)

B

A

1

2 n

r0

r1 S1

S2

Sn


23 / 60

Uygulama 5: Aşağıda verilenlerden yararlanarak 1 ve 2 noktaları arasındaki uzunluğu (x) bulunuz. AB ve x kenarı paralel olup olmadığını kontrol ediniz. 1. Yol: 1A2 üçgeninde kosinüs teoreminden yararlanarak çözüm. α = α2−α1 = 15.20g

α−+= cosSS2SSx 2121

21 =60.89m

2. Yol: xA=xB=0 ve AB doğrusu x ekseni kabul edilirse, αi açıları açıklık açıları olur. 1 ve 2 nolu noktaların koordinatları; yi = Si sinαi xi = Si cosαi bağıntılarından hesaplanır. DN BN ααααi(g) (Ai)(g) Si(m) yi(m) xi(m)

A B 0.00 0.00 ── ── ── 1 41.50 41.50 129.46 78.54 102.91 2 56.70 56.70 73.16 56.88 46.01

212

212 )xx()yy(x12 −+−== = 60.88m

−

−=

12

12

xx

yyarctg)21( = 23.1558g

(21) ≠ (AB) olduğundan x kenarı AB kenarına paralel değildir. Uygulama 6: Verilenlerden yararlanarak 1 ve 2 noktaları arasındaki uzunluğu hesaplayınız. Verilenler:

NN yi (m) xi (m) A B C

0.00 100.00 0.00

0.00 0.00

180.00

DN BN ααααi (g) Si (m) B A

1 12.13 67.68

-- 72.36

C A 2

213.64 194.21

-- 72.36

Đstenen: x=?

Çözüm:

DN BN ααααi (g) Si (m) ααααi (g) Semt (g) yi (m) xi (m) B A

1 12.13 67.68

-- 72.36

0.00 55.25

300.00 355.35

-- 53.22

-- 55.21

C A 2

213.64 194.21

-- 72.36

0.00 380.57

200.00 180.57

-- 19.71

-- 118.72

2

122

12 )xx()yy(x12 −+−== = 71.81m

S2 A

B

αααα1

αααα2

1

2

S1

x=?

x

ααααi (g) Si (m) 41.50 56.70

129.46 73.16

S2

C

αααα1

αααα2

2 x=?

1

A B

S1


24 / 60

4. Düşey Konum Bilgilerinin Elde Edilmesi Jeodezide kullanılan yükseklikler, referans sitemleri ve bunların arasındaki ilişkiler Şekil-12’de gösterilmiştir. 4.1. Kullanılan Alet-Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri

Noktadan noktaya yükseklik taşıma işlemine nivelman denir. Uygulamada üç farklı yükseklik taşıma yöntemi kullanılır. Bu ölçme yöntemleri duyarlıkları ile birlikte aşağıda verilmiştir.

a) Geometrik Nivelman (±1mm ~ ±1cm): Nivo-mira donanımı kullanılarak noktalar arası ortometrik yükseklik farkları elde edilir. Duyarlı yükseklik bilgisine ihtiyaç duyulan mühendislik projelerinde kullanılır.

b) Trigonometrik Nivelman (±1cm ~ ±1dm): Açı ve uzunluk ölçülerinden yararlanarak trigonometrik bağıntılarla elipsoit yükseklik farkları elde edilir. Bu yöntemin, genellikle duyarlığının (inceliğinin) yeterli görüldüğü mühendislik projelerinde ya da geometrik nivelman ile erişilemeyen dağlık bölgelerde …vb. kullanılır.

b) Barometrik Nivelman (±1m ~ ±3m): Yükseklik ile basıncın düşmesi ilkesinden yararlanılarak noktaların denizden olan yükseklikleri hesaplanır. Genellikle çok kaba yükseklik bilgisi elde etme işlemlerinde kullanılır. Genellikle proje hazırlık aşamalarında kaba yükseklik bilgisi elde etmek için kullanılır.

4.2. Geometrik Nivelman: Geometrik nivelman işlemi nivolarla gerçekleştirilir. Nivoların genel yapısı ve eksenleri aşağıdaki Şekil … de, gösterilmiştir.

Şekil 15. Bir nivonun genel yapısı ve eksenleri

(AA’:Asal eksen, YY’:Yöneltme ekseni, DD’:Düzeç ekseni, KK’:Küresel Düzeç ekseni)

Eksen Koşulları:

1. AA’ ⊥ DD’ 2. AA’ ⊥ YY’ 3. AA’ // KK’ 4. Kıllar şebekesinin yatay kılı nivonun yatay düzlemine paralel olmalı.

Nivolarda yöneltme ekseninin (YY’) asal eksene (AA’) dikliğini sağlayan düzeneğe kompansatör denir. Bu tür nivolara kompansatörlü nivolar denir ve bu nivolarda silindirik düzeç bulunmaz. Uygulamada bu tür nivolar yaygın olarak kulanılır. Tarihsel gelişim açısından nivo çeşitleri aşağıdaki gibi sıralanabilir. ☯ Sabit dürbünlü nivolar ☯ Fenklajlı nivolar ☯ Tersinir Nivolar ☯ Kompasatörlü nivolar.

Y

D D'

Y'

A

A’

K

K’


25 / 60

Geometrik Nivelman Ölçü ve Hesabı:

Geometrik nivelmanın genel yapısı, ölçüsü, hesabı ve hesap kontrolleri aşağıdaki Şekil-16 ve Tablo-5’de gösterilmiştir.

Şekil 16. Geometrik nivelman.

Tablo-5 Nivelman ölçü ve hesap çizelgesi.

NĐVELMAN ÖLÇÜSÜ VE HESABI Şehir veya Kasaba Adı: KocaeliKocaeliKocaeliKocaeli / Hereke / Hereke / Hereke / Hereke Sayfa No : 11111111

Okumalar (mm)

Đstasyon

No.

Ara

Uzaklıklar G O Đ

G−−−−Đ (mm)

±±±±

Kot (m)

A g1 HA

B g2 i1 ∆HAB=g1-i1 HB=HA+∆HAB C o2 ∆HBC=g2-o2 HC=HB+∆HBC D g3 i2 ∆HBD=g2-i2

∆HCD=o2-i2 HD=HB+∆HBD HD=HC+∆HCD

E i3 ∆HDE=g3-i3 HE=HD+∆HDE Σg Σo Σi Σ∆H = ∆∆∆∆HAE HE

−Σi −HA ∆∆∆∆HAE ∆∆∆∆HAE

Uygulama 6: 155.710m kotlu Rs noktasından başlayan ve mira okuma değerleri aşağıda verilen geometrik nivelman değerlerini nivelman karnesine işleyiniz ve gerekli hesaplamayı (kotlamayı) yapınız. Çözüm:

Okumalar [mm] Đstasyon No.

Ara Uzaklıklar G O Đ

G−−−−Đ [m]

Kot [m]

Rs 1645 155 710 A 0960 3650 −−−−2.005 153 705

B 2735 2743 −−−−1.783 151 922

C 3520 3175 −−−−0.440 151 482

D 0065 3.455 154 937

8860 9633 -0.773 154 937 −−−−9633 −−−−155 710

−−−−0733 -0 773

E A

B C

D

1 2

3 g1 i1

g2 o2 i2

g3 i3

1

2 3 4

1645 3650

0960 2743 2735 3175

3520 0065 Rs

A

B C

D


26 / 60

4.3. Trigonometrik Nivelman: Trigonometrik yükseklik ölçüsü; düşey açı, yatay yada eğik uzunluklar ölçülerek yapılır. Trigonometrik yükseklik ölçüsü bağıntıları; düşey açı/yatay uzaklık ve düşey açı/eğik uzunluk ölçüleri için ayrı arı çıkarılmıştır. Trigonometrik nivelman, trigonometrik yükseklik ölçüsünün ardışık yapılan halidir.

Şekil 17. Trigonometrik yükseklik ölçüsü.

Aşağıdaki alt başlıklarda elde edilen bağıntıların son terimleri dışındakiler Şekil-17’den kolayca türetilebilir. Son terim; yerin küreselliğinin ve refraksyon (ışığın atmosferde kırılması ve düz bir yol izlemesi) hatasının toplam etkisi bağıntılara doğrudan eklenmiştir. Ayrıntılı bilgi için kaynaklar bölümünde verilen Ölçme Bilgisi kitaplarından yararlanılabilir. ☯ Düşey açı ve yatay mesafe (Teodolit ve ÇŞM) :

Kısa kenarlı noktalar arasında kullanılır (0-500m), 300m’den sonra küresellik ve refraksiyon etkisi kesinlikle göz önünde bulundurulmalıdır. Yatay uzaklık A ve B noktalarının yatay koordinatlarından da hesaplanabilir.

HB = HA + a + S cotgZ − i + R2

k1− S2

= HA + a + Ztan

S − i +

R2

k1− S2

Bu bağıntıda geçen R ölçme bölgesine ait Gauss eğrilik yarıçapı ve k refraksyon katsayısıdır. Ülkemizde refraksyon katsayısı k = 1/8 = 0.125 ve Gauss eğrilik yarıçapı yerine R=6370km alınabilir. ☯ (Düşey açı ve eğik uzunluk (Elektronik Takeometre):

HB = HA + a + E cosZ − i + R2

k1− (E sinZ) 2

Uygulama 8: Yüksekliği bilinen bir A noktasından B noktasına yükseklik taşımak amacı ile aşağıdaki düşey açı gözlemleri gerçekleştirilmiş, bu ölçüler alet ve işaret yükseklikleri ile birlikte aşağıdaki tabloda sunulmuştur. Yatay konum bilgileri ve A noktasının yüksekliği de verildiğine göre;

Verilenler Ölçülenler

NN yi (m) xi (m) Hi(m) DN BN ZI (g) ZII(g)

A B

16.12 370.72

13.45 437.16

64.256 ?

A (a=1.55)

B (i=0.00)

99.2246 300.7610

a

i E Z

S

E sinZ

E

cos

Z

A

B

∆∆∆∆H

HA


27 / 60

a) Đndeks hatasını (εεεε) hesaplayarak, indeks hatası giderilmiş düşey açıları, b) Refraksyon ve küresellik düzeltmelerinin toplam etkisini (k=0.125 ve R=6370km alınız), c) B noktasının yüksekliğini, d) Đndeks hatası, refraksyon ve küresellik etkileri göz ardı edilseydi B noktasının yüksekliğinde yapılacak

olan hata miktarını, e) A ve B noktaları arsındaki uzay uzunluğu,

hesaplayınız. Çözüm:

2AB

2AB )xx()yy(S −+−= =552.51m

a) εεεε = 2

)ZZ(400 III +− = 0.0072g

DN BN ZI (g) ZII(g)

εεεε(g) ZI +εεεε(g) ZII+εεεε(g)

A B 99.2246 300.7610

0.0072 0.0072

99.2318 300.7682

399.9856 0.0144 400.000

ρρρρg = π

g200 ~ 63.6620g

E = Zsin

S = 552.55m

δδδδ1 = gρ

εE =

6620.63

0072.0552.55 = −0.06m Đndeks hatasının yüksekliğe etkisi.

b) δδδδ2 = km12740

875.0S2 =

km12740

875.0 (0.55251km)*(552.51m) = 0.02m

c) HB = HA + a + )Ztan(

S

ε+ − i + δ2 = 64.25+1.55+ 6.67−0.00 + 0.02 = 72.49m

HB’ = HA + a + )Ztan(

S − i + δ2 = 64.25+1.55+6.73−0.00 + 0.02 = 72.55m

δδδδ1 = HB − HB’ = −−−−0.06m

d) dHB = δ1 + δ2 = −0.06m + 0.02m = 0.04m

e) D= 2AB

2AB

2AB )HH()xx()yy( −+−+− = 2

AB2 )HH(S −+ =552.57m

4.4. Barometrik Yükseklik Ölçüsü: Bir noktanın denizden yüksekliği (H); barometre ile mmHg biriminde ölçülen basınç (B) ve Co cinsinden ölçülen ısı (t) değerine göre düzenlenmiş olan aşağıdaki bağıntı ile metre birimli olarak hesaplanır.

H = 18464 (1 + 0.0037 t ) (log760 − logB ) � metre Uygulama 9: 21 oC sıcaklıkta 748.5 mmHg basınç değeri okunan noktanın yüksekliğini hesaplayınız.

H = 18464*(1 + 0.0037*21 ) (log760 − log748.5 ) = 138m

99.2246

99.2318

εεεε

δδδδ1 E

a

D

A

B

S

∆∆∆∆H


28 / 60

4.5. Yüzey Nivelmanı Genellikle hacim hesapları ya da plankote (kotlu plan) yapımı sırasında araziye dağılmış olan noktaların yüksekliklerinin ölçülmesi ve hesaplanması işlemine yüzey nivelmanı denir (Şekil-18). Genellikle geometrik nivelman yöntemi kullanılan bu yöntem, diğer yükseklik belirleme yöntemleriyle de gerçekleştirilebilir. Alet kurulduktan sonra yüksekliği bilinen bir noktaya (Rs) bakılarak geri okuma (g) yapılır. Rs noktasının yüksekliğine geri okuması eklenerek nivelman düzlemi yüksekliği (gözleme düzlemi yüksekliği, alet yüksekliği) bulunur (Tablo-6).

Tablo 6. Yüzey nivelman ölçüsü ve hesap tablosu.

NĐVELMAN ÖLÇÜSÜ VE HESABI Şehir veya Kasaba Adı: KocaeliKocaeliKocaeliKocaeli / Hereke / Hereke / Hereke / Hereke Sayfa No : …………

Okumalar (mm)

Đstasyon

No.

Ara

Uzaklıklar G O Đ

G−−−−Đ (mm)

±±±±

Kot (m)

Rs g1 HGD=HRs+g1 HRs

A o1 (Göz.Düz.) HA=HGD−o1 B o2 HB=HGD−o2

C o3 HC=HGD−o3

D i1 HD=HGD−i1

ΣΣΣΣgggg ΣΣΣΣ(o+i)(o+i)(o+i)(o+i) 4*HGD ΣΣΣΣHHHH

4*HGD−−−−ΣΣΣΣ(o+i)(o+i)(o+i)(o+i)

Diğer noktaların yükseklikleri bu noktalara yapılan orta (ara) (o) okumalar ile belirlenir. Alet kaldırılmadan önce okunan son okuma ileri (i) okuma olarak kaydedilir. Son okuma bilinen bir noktaya bakılarak yapılırsa nivelman düzleminin yüksekliği tekrar belirlenerek kontrolü yapılmış olur.

Şekil 18. Yüzey nivelman ölçüsü.

HR

s+g 1

HA

Referans Düzlemi yA

HRs

A

B

D

o2

g1

i1

o3

o1

C

Rs

xA


29 / 60

Uygulama: Yukarıdaki şekilde verilen yüzey nivelmanın da aşağıdaki okumalar yapılmıştır. A, B, C ve D noktalarının yüksekliklerini hesaplayınız.

NĐVELMAN ÖLÇÜSÜ VE HESABI Şehir veya Kasaba Adı: KocaeliKocaeliKocaeliKocaeli / Hereke / Hereke / Hereke / Hereke Sayfa No : …………

Okumalar (mm)

Đstasyon

No.

Ara

Uzaklıklar G O Đ

G−−−−Đ (mm)

±±±±

Kot (m)

Rs 3126 67.50167.50167.50167.501 64.37564.37564.37564.375

A 2986 (Göz.Düz.) 64.515

B 2533 64.968

C 1906 65.595

D 2342 65.159

ΣΣΣΣg=g=g=g= 3126 ΣΣΣΣ(o+i)=(o+i)=(o+i)=(o+i)= 9767 4444*HHHHGDGDGDGD====4*67.501 ΣΣΣΣHHHH=260.237

4444*HHHHGDGDGDGD −−−−ΣΣΣΣ(o+i)=(o+i)=(o+i)=(o+i)= 260.237

2533

3126

2986

2342

1906

A

B C

D

Rs


30 / 60

5. Alan Hesapları Düzgün olmayan şekillerin alanları, alan bağıntıları bilinen düzgün şekillere bölünerek gerçekleştirilir. 5.1 Düzgün Geometrik Şekillerin Alanları a) Herhangi Bir Üçgenin Alanı Herhangi bir üçgen için alan hesaplama bağıntılarının yaygın olarak kullanılanlarının birkaç tanesi aşağıdaki tabloda verilmiştir. Daha ayrıntılı bilgi için (Şerbetçi ve Atasoy, 1994) kaynağından yararlanılabilir. Herhangi bir üçgenin tanımlayabilmek için biri kenar olmak koşulu ile en az üç elemana ihtiyaç vardır. Özel üçgenler herhangi üçgenin koşullu özel durumları olduğundan, koşul sayısı kadar bilinmeyen azalır. Örneğin ikizkenar ve dik üçgende bilinmeyen sayısı biri kenar olmak koşulu ile iki, eşkenar üçgende ise bilinmeyen sayısı bir kenardır. Herhangi bir üçgen için verilen bağıntılar özel durumlar içinde geçerlidir.

Şekil 19. Herhangi bir üçgenin, içine ve dışına çizilebilen çemberler.

Tablo 7. Herhangi bir üçgende alan bağıntıları

Verilenler Alan (F) Verilenler Alan (F)

a, ha 2

1 a ha a, β, γ

)cot(cot2

a 2

γ+β

b, hb 2

1 b hb b, α, γ

)cot(cot2

b2

γ+α

c, hc 2

1 c, hc c, α, β

)cot(cot2

c2

β+α

a, b, γ 2

1 a b sinγ a, b, c, R

R4

cba

a, c, β 2

1 a c sinβ α, β, γ, R 2 R

2 sinα sinβ sinγ

b, c, α 2

1 b c sinα

a, b, c Heron Bağıntısı

)cu()bu()au(u −−−

2u = a + b + c b) Herhangi Bir Dörtgenin Alanı Herhangi bir dörgen için alan hesaplama bağıntılarının yaygın olarak kullanılanlarının birkaç tanesi aşağıdaki tabloda verilmiştir. Daha ayrıntılı bilgi için (Şerbetçi ve Atasoy, 1994) kaynağından yararlanılabilir.

αααα

ββββ γγγγ r

R ha

a

b c


31 / 60

Şekil 20. Herhangi bir dörtgende ölçülebilen büyüklükler.

Tablo 8. Herhangi bir dörtgende alan bağıntıları

Verilenler Alan (F)

m, n, ω 2

1m n sinω

a, b, c, d, ω 4

1( b2+d2−a2−c2 ) tanω

a, b, d, α, β 2

1{ a b sinα + a d sinβ − b d sin(α+β) }

a, c, α, β, γ, δ 2

1

β+α cotcot

a 2

+

δ+γ cotcot

c2

c) Dairenin Alanı R yarıçaplı dairenin alanı: F = π R2 α açısına ile oluşan daire diliminin alanı.

Fα = g

g

400

α π R2=

o

o

400

α π R2 =

2

α)

R2

αααα

ββββ

γγγγ δδδδ

ωωωω

m n

a

d

c

b

R αααα


32 / 60

5.2 Çokgenlerde Alan Hesapları: Düzgün olmayan şekillerin alanları, alan bağıntıları bilinen düzgün şekillere bölünerek gerçekleştirilir. Eğrisel alanlar, bu alanı iyi tanımlayan düzgün şekillere bölünerek hesaplanır. a) Düzgün Şekillere Bölerek Alan Hesapları: Uygulama 10: Aşağıdaki prizmatik alım krokisindeki ABCDEFGH çokgeninin alanı, prizmatik alım ölçülerine uygun olan yamuk ve üçgen alanlarının toplamaları ya da farkları şeklinde elde edilir. Verilenler: Prizmatik ölçü krokisi. Çözüm:

20.3/22 = (3.9-x)/x � x = 2.03 � 11.00+2.03 = 13.03m x/(11.6-x) = 11.5/20� x = 4.6 � 74.4+4.6 = 81.00m

ya da

X = ( hG*sH + hH*sG )/( hG + hH ) = 13.03 m Y = ( hD*sC + hC*sD )/( hC + hD ) = 81.00 m

2F= 20.3*3.90+(20.3+53.7)*22.7+(53.7+34)*23.9+(34+20)*27.5−8.00*20 +4.34*11.5+(11.5+35)*19.70+(35+45)*13.5+(45+22)*32.2−2.03*22 2F = 9300.48 m9300.48 m9300.48 m9300.48 m2222 F = 4650.28 m4650.28 m4650.28 m4650.28 m2222

A

B

C

D

E

F

G H 11.00

100.00

0.00

22.00

14.90 20.30

37.60 53.70

34.00

43.20 45.00

35.00 56.70

61.50

11.50

20.00

76.40

89.00

X=13.03

Y=81.00


33 / 60

b) Koordinatlarla Alan Hesabı:

Alanı bulunacak şekil, düzgün şekillerin alanlarından yararlanarak belirlenir. Düzgün şekillerin alan bağıntıları koordinatlarla ilişkilendirilerek, düzenlenirse Gauss ve Cross yöntemlerinin alan bağıntılarına ulaşılır.

Gauss Yöntemi: Bu yöntemde koordinat sistemindeki noktalardan oluşan kapalı poligonlardan oluşan alan yamuk alanlarının toplamı ve farkı şeklinde düşünülerek aşağıdaki bağıntılar uygulanır (Şekil-21).

Şekil 21. Yamuk alanlarından yararlanarak Gauss Alan Hesabı. F = A(1, 2, x2, x1 ) + A(2, 3, x3, x2) − A(1, 3, x3, x1 ) =(y1+y2)(x2−x1)/2+(y2+y3)(x3−x2)/2−(y1+y3)(x3−x1)/2 2F =(y1+y2)(x2−x1) + (y2+y3)(x3−x2) − (y1+y3)(x3−x1)

Eşitliğin sağ tarafı açılıp düzenlenirse aşağıdaki Gauss alan formülüne ulaşılır.

2F = y1(x2−−−−x3) + y2(x3−−−−x1) + y3(x1−−−−x2) = x1(y2−−−−y3) + x2(y3−−−−y1) + x3(y1−−−−y2) Cross Yöntemi: Gauss Alan Hesap bağıntıları uygun şekilde düzenlenirse Cross yöntemi ile alan hesabına ulaşılır. Burada Cross yönteminin (ve Gauss yönteminin) başka bir yoldan elde edilişi gösterilecektir.

Şekil 22. Dikdörtgen ve üçgen alanlarından yararlanarak Cross Alan Hesabı. F = A(A,B,C,1) − A(A,2,1) − A(2,B,3) − A(1,3,C) F =(y2−y1)(x3−x1) − (y2−y1)(x2−x1)/2 − (y2−y3)(x3−x2)/2 − (y3−y1)(x3−x1)/2 Eşitliğin sağ tarafı açılıp düzenlenirse aşağıdaki Cross alan formülüne ulaşılır.

2F = (y1 x2 + y2x3 + y3x1 ) −−−−( x1y2 + x2y3 + x3y1 ) = | ΣΣΣΣykxk+1 −−−− ΣΣΣΣxkyk+1|

Not: Gauss ve Cross yöntemleriyle alan hesaplanırken, koordinatların sıralanmasına dikkat edilmelidir. Bir noktadan başlayarak herhangi bir yöne doğru alanı çevreleyen hiç bir noktayı atlamadan aynı noktanın da düşülmelidir. Aynı nokta koordinatları tekrar yazılmalıdır.

y3

x1 x2

1

2

3

x3

y1

y2

x2 −−−−x1 x3 −−−−x2

x3 −−−−x2

F

NN x y

1 x1 y1

2 x2 y2

3 x3 y3

1 x1 y1

2 x2 y2

NN x y

1 x1 y1

2 x2 y2

3 x3 y3

1 x1 y1

2 x2 y2

NN x y

1 x1 y1

2 x2 y2

3 x3 y3

1 x1 y1

y2

y1 1

x1

2

3

x3

F

A B

C


34 / 60

Uygulama : Aşağıdaki dikdörtgenin alanını Gauss ve Cross yöntemine göre hesaplayınız. a) Gauss Yöntemi ile Alan Hesabı 2F = 4(10-5)+4(10-5)+2(5-10)+2(5-10) = 20 +20 -10 −10 = 20m2 F = 10m2 2F = 5(4-2)+10(2-4)+10(2-4)+5(4-2) = 10 -20 -20 +10 = −20m2 F = -10m2 b) Cross Yöntemi ile Alan Hesabı 2F = (5*4+5*4+10*2+10*2)-(2*5+4*10+4*10+2*5) = (20 +20 +20 +20)-(10 +40 +40 +10) = (80) -(100) = -20 F = -10m2 Uygulama 11: Prizmatik ölçü krokisi ile alımı yapılan parselin alanını Cross yöntemine göre hesaplayınız.

NN s[m] h[m] A 37.60 −53.70 B 61.50 −34.00 C 89.00 −20.00 D 76.40 11.50

E 56.70 35.00

F 43.20 45.00

G 11.00 22.00

H 14.90 −20.30 A 37.60 −53.70

Σyixi+1 = 3667.57 m3667.57 m3667.57 m3667.57 m2222

Σxiyi+1 = ----5632.98 m5632.98 m5632.98 m5632.98 m2222

2F = Σyixi+1 + Σxiyi+1 = 9300.55 m9300.55 m9300.55 m9300.55 m2222 F = 4650.28 m4650.28 m4650.28 m4650.28 m2222 Ödev 2: Prizmatik ölçü krokisi ile alımı yapılan parselin alanını Gauss yöntemine göre hesaplanması.

4

2

5 10

(5,4)

A

(5,2)

(10,4)

(10,2)

D

C B

NN x y

A 5 2

B 5 4

C 10 4

D 10 2

A 5 2

B 5 4

NN x y

A 5 2

B 5 4

C 10 4

D 10 2

A 5 2

B 5 4

NN x y

A 5 2

B 5 4

C 10 4

D 10 2

A 5 2


35 / 60

6. Hacim Hesapları Dolgu yada yarma hacmini belirlemek için hesaplanması gereken noktaların yatay koordinatları herhangi bir yöntemle belirlenir. Yükseklikler ile duyarlı çalışmalar için geometrik nivelman ile belirlenir. Yatay koordinatlar ile taban alanı belirlenir. Noktaların hesaplanan yüksekliklerin ortalaması alınır. Yükseklik ortalaması ile taban alanı çarpılarak referans yüksekliğe göre hacim belirlenmiş olur. Bu hesaplama biçimi ortalama bir hacim değeri verir.

Şekil 23. Arazinin uygun üçgenlere bölünmesi.

Burada dikkat edilmesi gereken seçilen noktaların arazinin karakteristik yapısını yeterince yansıtacak şekilde seçilmelidir. Daha sonra noktalar arazinin topoğrafik yüzeyini en iyi şekilde yansıtacak biçimde üçgenlere ayrılır (Şekil-23). Üçgenlerin taban alanları yatay konum bilgilerinden hesaplanır ve üçgeni oluşturan noktaların yüksekliklerinin ortalamasının alınır. Tabanları üçgen olan prizmaların hacimleri ayrı ayrı üçgen alanları ve yükseklik ortalamaları ile çarpılarak bulunur. Toplam hacim üçgen prizmaların toplamıdır.

Đki dolgu ya da iki kazı arasındaki hacim, farklı zamanlarda ölçülen ve belirli bir referansa göre yukarıdaki şekilde hesaplanan iki hacmin farkı ile bulunur.

Uygulama 12: Şekildeki noktalara yüzey nivelmanı yapılmış ve yükseklikleri hesaplanarak aşağıdaki tabloda prizmatik alım değerleri ile birlikte aşağıdaki tabloda verilmiştir. 50 referans kotuna göre oluşan hacmi hesaplayınız.

Çözüm 1: Yaklaşık Çözüm. SN NN s[m] h[m] H[m] H-50[m]

1 A 37.60 −53.70 55.000 5.000

2 B 61.50 −34.00 54.120 4.120

3 C 89.00 −20.00 55.346 5.346

4 D 76.40 11.50 53.416 3.416

5 E 56.70 35.00 56.000 6.000

6 F 43.20 45.00 51.900 1.900

7 G 11.00 22.00 55.640 5.640

8 H 14.90 −20.30 52.000 2.000

Çözüm 2: Arazinin karakteristik özelliğine göre çözüm. SN Üçgen Alanı[m2] Hort[m] Hacim[m3]

1 ABH 622.7250 3.7067 2308.2550

2 BCD 521.3250 4.2940 2238.5700

3 BDH 1162.2150 3.1787 3694.3330

4 DEF 60.1250 3.7720 226.7915

5 DFH 1558.0050 2.4387 3799.5070

6 FGH 725.8800 3.1800 2308.2980

Toplam 4650.275 14575.7500

F = 4650.28 m2 Hort = 54.178 m Href = 50.000 m Hort = 4.178 Hacim = F*Hort = 19428.87 m3

Referans Düzlemi

HA

yA

A

xA

B

C

D

E

F

G

H


36 / 60

6.1. Plankote (Kotlu Plan) Çıkarılması Uygulama hacim hesabında kullanılan en yaygın yöntemlerden biriside; genellikle 1*1m2 alanlardan oluşan karelaj ağının köşe noktalarına yapılan yükseklik ölçmeler ile hacim hesaplama ilkesine dayanan plankote ya da kotlu plan alım işlemidir.

Şekil 23. Plankote Çıkarılması. Hacim hesabı taban alanı 1m2 olan dikdörtgen prizmaların hacimleri toplamı şeklinde gerçekleştirilir. Farklı zamanda gerçekleştirilen iki plankote alımı ile yarma ya da dolgu hacimleri de fark alınarak bulunur (Şekil) 7. Üç Boyutlu Konum Bilgilerinin Elde Edilmesi Konum Bilgileri Arasındaki Dönüşümler

(X,Y,Z)WGS84 →→→→ (ϕϕϕϕ,λλλλ) WGS84 →→→→ (x,y) WGS84 ve H=h WGS84-N WGS84 (x,y) WGS84 →→→→ (x,y) ED50

h WGS84 →→→→ HTUDKA

TUDKA: Türkiye Ulusal Düşey Konum Ağı 7.1. Kullanılan Alet-Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri ☯ Yersel ölçülerle (yatay açı, düşey doğrultu ve eğik uzunluk ölçüleri yardımı ile) ☯ GPS (Global Positioning System) → { (X,Y,Z)WGS84 ve (∆X, ∆Y, ∆Z)WGS84 } ☯ SLR (Satelite Laser Ranging) → { (X,Y,Z)ITRF ve (∆X, ∆Y, ∆Z)ITRF } ☯ VLBI (Very Long Base Interferometer) → { (X,Y,Z)ITRF ve (∆X, ∆Y, ∆Z)ITRF }

HA

yA

A

xA

B

C

D

E

F

G

H


37 / 60

8. Kaynaklar Aydın, Ö. (1978), Jeodezide Elektronik Uzunluk Ölçüsü ve Ölçme Aletleri, ĐDMMA. Aydın, Ö. (1984), Ölçme Bilgisi I, YTÜ, MF, Đstanbul. Banger, G. ve Şen, K. (1994), Sayısal Nivolar (Digital Levels), MMF, Fak. Yay. No: 1994/8, Trabzon, 1994. Bonford, (), Geodesy Hofmann-Wellenhof, B., Lichtenegger, H. And Collins, J. (1997), Global Positioning System, Theory and Practice, Fourth Edition, ISBN 0-387-82477-4. Irvine, W. (1988), Surveying for Construction, Third Edition, McGRAW-HILL Book Company, London. Koç, Đ., (1998), Ölçme Bilgisi I, YTÜ, Đnşaat Fak., Đstanbul, 1998. Leick, A. (1999), GPS Satellite Surveying Second Edition, ISBN 0-471-30626-6. Orman, M., Özen, H. Ve Öksüzoğlu, H. (1978) Ölçme Bilgisi ( Topoğrafya), MEB, Devlet Kitapları, Ankara, 1978. Orhan KURT (2006) Aplikasyon, Ders Notları, KOÜ, Đhsaniye MYO, Kocaeli. Özbenli, E. ve Tüdeş, T., (1986) Ölçme Bilgisi Pratik Jeodezi, KTÜ, MMF, Trabzon, 1986. Rüeger, J.M., (1989), Electronic Distance Measurements, Third Totally Revised Edition, Springer-Werlag, Newyork. Seeber, G. (), Satellite Geodesy, Songu, C., (1981), Ölçme Bilgisi, Cilt 2, Ankara, 1981. Şen, K. (1995), Teodolit ve Nivolar Kullanımları ve Eksen Hatalarının Düzeltilmesi, Ders Notları, KTÜ, MMF, Ders Notları No: 43, Trabzon. Muzaffer ŞERBETÇĐ ve Veysel ATASOY (1994), Jeodezik Hesap, Đkinci Baskı, KTÜ, MMF, Genel Yayın No:153, Fakülte Yayın No: 44, Trabzon. User, F. (1986), Temel Fizik, Dalgalar, Geometrik ve Fizik Optik, Demsan Kitapçılık A.Ş., Đstabbul. Uzel, T. (), Açı Okumasında Çakıştırma Düzeni Açı Bölüm Hatalarının Konyrolu Modern Dürbünler, YTÜ, FBE.


38 / 60

Ek 1. Trigonometri

S

acos =α

S

bsin =α

αα

=αα

==αcos

sin

cosS

sinS

a

btg

α=

αα

=αα

==αtg

1

sin

cos

sinS

Sco

b

agcot 222 baS +=

αααα+ββββ=100g αααα+ββββ=200g sinα=cosβ tgα=cotgβ

sinα=sinβ cosα=−cosβ tgα=−tgβ cotgα=−cotgβ

sin(−α)=−sinα cos(−α)=cosα

1sincos 22 =α+α βα±βα=β±α sincoscossin)sin(

βαβα=β±α sinsincoscos)cos( m

)2cos1(2

1sin 2 α−=α )2cos1(

2

1cos2 α+=α

2

2cos1

2sin

α−=

α

2

2cos1

2cos

α+=

α

2cos

2sin2sinsin

β−αβ+α=β+α

2cos

2cos2coscos

β−αβ+α=β+α

2sin

2cos2sinsin

β−αβ+α=β−α

2sin

2sin2coscos

β−αβ+α−=β−α

Sinüs Teoremi Kosinüs Teoremi

R2sin

c

sin

b

sin

a=

γ=

β=

α

a2= b2+ c2−2bc cosα b2= a2+ c2−2ac cosβ c2= a2+ b2−2ab cosγ

I. Öklid Teoremi (αααα=ππππ/2) II. Öklid Teoremi (αααα=ππππ/2) b2 = p a c2 = q a

h2 = p q

Projeksiyon Teoremi Tanjant Teoremi (Neper Bağıntısı)

a = b cosγ + c cosβ

β−α

β+α

=−+

2tg

2tg

ba

ba

Tales Bağıntısı Çemberde Temel Aksiyomlar Açı dönüşümleri

π==

Radyan

180

Derece

200

Gradog

RadyanGrad gρ= RadyanDerece oρ=

ππππ====ρρρρ

gg 200

ππππ

====ρρρρo

o 180

b=

S s

inαα αα

a=S cosαααα

S

αααα

1

1

αααα 1

0g

sinαααα

cos αα αα

cotg

αα αα

tgαααα

100g

200g

300g

p=b cosγγγγ q=c cosββββ

R

αααα

γγγγ ββββ C B

A

b c h

a

α = 2β = 2γ ϕ=100g

R R αααα

ββββ γγγγ

ϕϕϕϕ

A

B

C

D E

A

B

E D

C

DE

BE

CE

AE

CD

AB==


39 / 60

Ek 2. Temel ödevler

Herhangi bir koordinat sisteminde, koordinat hesaplarında karşılaşılan dört temel ödev aşağıda verilmiştir.

1. temel ödev : Koordinat taşıma.

Verilenler Đstenenler Çözüm (yA, xA) (yB,xB) yB = yA + AB sin(AB)

(AB), AB xB = xA + AB cos(AB)

2. temel ödev : Kenar ve semt hesaplama.

Verilenler Đstenenler Çözüm

(yA, xA) (AB) (AB) = arctan

−

−

AB

AB

xx

yy

(yB, xB) AB ( ) ( )2AB

2AB xxyyAB −+−=

3. temel ödev : Đki kenar arsındaki açıyı hesaplama.

Verilenler Đstenenler Çözüm

(yA, xA) α (AB) = arctan

−

−

AB

AB

xx

yy

(yB, xB) (AC) = arctan

−

−

AC

AC

xx

yy

(yC, xC) α = (AC) – (AB)

4. temel ödev : Semt taşıma.

Verilenler Đstenenler Çözüm Koşul (AB) (BC) (BC) = (AB) + β + π (AB) + β ≤ π

β (BC) = (AB) + β − π (AB) + β ≥ π

Açıklık Açısının Bölgelere Göre Đncelenmesi

Şekil Birim çemberde bölgelere göre

α

α=α

k

kk

cos

sinarctan ( k=I, II, III, VI ).

ββββ A

B

C

(BC)

(AB)

αααα A

C

B

AB

A

yA yB

xB

xA

B

(AB)

sin(AB)

y

x

cos(

AB

)

yB– yA

xB – x

A

y

ααααI

ααααII

ααααIII

ααααIV

x

c

osαα αα

I

sinααααI

1

( + ) ( + )

( + ) ( −−−− )

( −−−− ) ( −−−− )

( −−−− ) ( + )

Bölge (∆∆∆∆y) (∆∆∆∆x)

Açıklık Açısı

I ( + ) ( + )

αI

II ( + ) ( − )

αII + π

III ( − ) ( − )

αIII + π

IV ( − ) ( + )

αIV + 2π


40 / 60

Ek 3. Arazi Uygulaması Örnekleri Arazi Uygulaması 1: 09.05.2006 / Birinci Öğretim Yatay Açı arazi ölçümleri ve ölçü krokisi.

DN BN I II I Sıfır II Sıfır (I+II)/2 Açıklama T1 1 375.00 174.99 0.00 0.00 0.00 Bina Köşesi 2 51.81 251.79 76.81 76.80 76.81 Paratonel 3 85.26 285.28 110.26 110.29 110.28 Vinç 4 148.66 348.66 173.66 173.67 173.67 Trafo T2 1 248.7231 48.7391 0.0000 0.0000 0.0000 Bina Köşesi 2 329.6763 129.6878 80.9532 80.9487 80.9510 Paratonel 3 358.7455 158.7668 110.0224 110.0277 110.0251 Vinç 4 21.9871 221.9984 173.2640 173.2593 173.2617 Trafo

Elk 1 399.9455 199.9280 0.0000 0.0000 0.0000 Bina Köşesi 2 78.9490 278.9325 79.0035 79.0045 79.0040 Paratonel 3 110.2425 310.2217 110.2970 110.2937 110.2954 Vinç 4 173.5395 373.5270 173.5940 173.5990 173.5965 Trafo

T2 Elktrnk T1

1

2

3

4

Güzel Sanatlar


41 / 60

Arazi Uygulaması 2: 09.05.2006 / Đkinci Öğretim Yatay ve Düşey açı arazi ölçümleri ve ölçü krokisi.

Yatay Doğrultu (g) Düşey Açı (g) DN BN

I II I II

S (m)

Açıklama

P1 A 389.91 189.91 90.50 309.47 Paratonelin Ucu

(T1) B 91.72 291.72 95.45 304.51 Trafonun Ucu

a=1.44 P2 148.17 348.17 105.10 294.87 19.60 Poligon Noktası

P2 P1 331.2670 131.2806 104.2178 295.7031 19.60 Poligon Noktası

(T2) A 365.5828 165.5956 91.8698 308.0333 Paratonelin Ucu

a=1.46 B 74.3886 274.4004 95.3940 304.5170 Trafonun Ucu

Çözüm: P1 ve P2 doğrultusu y koordinat elseni ve P1 noktası yatay ve düşey başlangıç noktası olara,k seçilirse; koordinatlar aşağıdaki gibi olur. Bu koordinatlar ve ölçülerden yararlanarak A ve B noktalarının yatay koordinatları ve yükseklikleri bu sisteme gore hesaplanır.

NN y (m) x (m) h (m)

P1 0.00 0.00 0.00

P2 19.60 0.00 -0.14

1. Yatay Konum Bilgilerinin Hesaplanması

DN BN I II I Sıfır II

Sıfır (I+II)/2

P1 A 389.91 189.91 0.00 0.00 0.00

(T1) B 91.72 291.72 101.81 101.81 101.81

P2 148.17 348.17 158.26 158.26 158.26

P2 P1 331.2670 131.2806 0.00 0.00 0.0000

(T2) A 365.5828 165.5956 34.32 34.32 34.3154

B 74.3886 274.4004 143.12 143.12 143.1207

AP1P2 üçgeninde sinus teoremi

S=19.60 αααα=158.26g ββββ=34.32g a1 =S sinβ / sin(α+β) = 86.52m a2 =S sinα / sin(α+β) = 102.76m (P1,A)=100+(400-α)= 341.74g (P2,A)=300+β = 334.32g yA = yP1 + a1 sin(P1,A) = -68.58m xA = xP1 + a1 cos(P1,A) = 52.75m yA = yP2 + a2 sin(P2,A) = -68.59m xA = xP2 + a2 cos(P2,A) = 52.75m BP2P1 üçgeninde sinus teoremi

S =19.60 ϕϕϕϕ=56.45g θθθθ=143.12 b1 = S sinθ / sin(θ+ϕ) = 2261.25m b2 = S sinϕ / sin(θ+ϕ) = 2248.91m (P1,B) = 100-ϕ = 43.55g (P2,B) = 300+θ = 43.12g yB = yP1 + b1 sin(P1,B) = 1429.02m yB = yP2 + b2 sin(P2,B) = 1429.02m xB = xP1 + b1 cos(P1,B) = 1752.47m xB = xP2 + b2 cos(P2,B) = 1752.46m

P1 P2

A

B

x

y

S P1 P2

A

B

x

y

a1

θθθθ ββββ αααα ϕϕϕϕ

a2

b1

b2


42 / 60

2.Trigonometrik Yükseklik Belirleme:

DN BN I II k Zij=I+k Sij(m) Hj(m) Hort(m)

P1 A 90.50 309.47 0.0150 90.5150 86.52 14.43 14.43

(T1) B 95.45 304.51 0.0200 95.4700 2261.25 162.97 163.02

a=1.44 P2 105.10 294.87 0.0150 105.1150 19.60 -0.14 -0.14

P2 A 91.8698 308.0333 0.0485 91.9183 102.76 14.43

(T2) B 95.3940 304.5170 0.0445 95.4385 2248.91 163.08

a=1.46 P1 104.2178 295.7031 0.0395 104.2574 19.60 0.15

i=DN ve j=BN Hj = Hi + ai + Sij/tan(Zij) + 0.875Sij

2/(2R) 3.Üç Boyutlu Konum Bilgileri:

NN y (m) x (m) h (m)

P1 0.00 0.00 0.00

P2 19.60 0.00 -0.14

A -68.58 52.75 14.50

B 1429.02 1752.47 163.09

∆∆∆∆AB 1497.60 1699.72 148.59

Yatay AB Uzaklığı = ( 1497.602 + 1497.602 )1/2 = 2265.36m Paratonel Đle Trafonun Üst Noktaları Arsındaki Uzay Uzunluk Eğik AB Uzaklığı = ( 2265.362 + 148.592 )1/2 = 2270.23m

Ek Şekil 1. Noktaların ve ölçülerin üçboyutlu krokisi.

P1

P2

a

a

B

A

ZA ZB ZP2

ZP1

ZA ZB

rA rB

rP2 rA rB rP1

2270.23m2270.23m2270.23m2270.23m

2265.36m2265.36m2265.36m2265.36m

2265.36m2265.36m2265.36m2265.36m 148.59m148.59m148.59m148.59m

19.60m19.60m19.60m19.60m


43 / 60

Arazi Uygulaması 3: 16.05.2006 / Birinci Öğretim Geometrik Nivelman Arazi ölçümleri.

ORHAN, SERHAT Alper, Mine, Mehmet

NN G [mm]

O [mm]

İ [mm]

dH [m]

H [m]

NN G [mm]

O [mm]

İ [mm]

dH [m]

H [m]

1 1655 11.655 10.000 1 1213 10.000 2 1392 10.263 2 1253 950 0.263 10.263 3 1419 10.236 3 1058 1280 -0.027 10.236 4 1458 10.197

4 1090 -0.032 10.204

Sinan, Musa, Rahmi Perihan, Tuğba, Ender

NN G [mm]

O [mm]

İ [mm]

dH [m]

H [m]

NN G [mm]

O [mm]

İ [mm]

dH [m]

H [m]

1 1415 10.000 4 1140 10.197 2 1404 1151 0.264 10.264 3 1425 1105 0.035 10.232 3 1109 1434 -0.030 10.234 2 1106 1400 0.025 10.257 4 1143 -0.034 10.200

1 1381 -0.275 9.982

Derya, Esra, Tuğba Erkan, Aytekin, Yasin

NN G [mm]

O [mm]

İ [mm]

dH [m]

H [m]

NN G [mm]

O [mm]

İ [mm]

dH [m]

H [m]

1 1380 10.000 4 1090 10.197 2 1430 1117 0.263 10.263 3 1399 1055 0.035 10.232 3 1130 1458 -0.028 10.235 2 1021 1382 0.017 10.249 4 1178 -0.048 10.187

1 1286 -0.265 9.984

Erhan, Selçuk, Ferdi Ayten, Gökşen, Ümit, Kabil

NN G [mm]

O [mm]

İ [mm]

dH [m]

H [m]

NN G [mm]

O [mm]

İ [mm]

dH [m]

H [m]

1 1280 10.000 1 1213 10.000

2 1370 1019 0.261 10.261 2 1253 950 0.263 10.263

3 1199 1398 -0.028 10.233 3 1058 1280 -0.027 10.236

4 1240 -0.041 10.192

4 1090 -0.032 10.204


44 / 60

Arazi Uygulaması 4: Birinci öğretim (07-05-2008). Yatay Doğrulrular:

Ortalama = {I+II−200g}/2 Ortalama < 0g ise Ortalama=Ortalama+400g

Düşey Açılar:

k = { 400g−(ZI+ZII) } / 2

YATAY AÇI ÖLÇMELERĐ

DN BN I.Durum II.Durum Ortalama Sfr.Ind. DiziOrt S [m]

A B 72.250 272.228 72.239 0.000 0.000 60.815 1.470 C 188.596 388.582 188.589 116.350 116.339

B 0.380 200.346 0.363 0.000

C 116.690 316.690 116.690 116.327

B C 0.004 199.984 399.994 0.000 0.000 1.400 A 81.300 281.294 81.297 81.303 81.307 60.815

C 0.004 199.994 399.999 0.000

B 81.312 281.308 81.310 81.311

DÜŞEY AÇI ÖLÇMELERĐ

DN BN ZI[g] ZII[g] k [g] ZI+k [g]

Z [g] S [m]

A B 101.412 298.668 -0.040 101.372 101.382 60.815 1.470 C 96.864 303.208 -0.036 96.828 96.817

B 101.422 298.638 -0.030 101.392

C 96.838 303.228 -0.033 96.805

B C 96.998 303.092 -0.045 96.953 96.949

1.400 A 101.706 298.358 -0.032 101.674 101.678 60.815

C 96.974 303.086 -0.030 96.944

A 101.714 298.350 -0.032 101.682

aB

B

A

aA

C

ZBC

ZBA

ZAB

ZAC

c

rBC

rBA rAC rAB

ββββ αααα

a

b

A

B

C


45 / 60

Arazi Uygulaması 5: Đkinci öğretim (07-05-2008). Yatay Doğrulrular:

Ortalama = { I+II−200g } / 2 Ortalama < 0g ise Ortalama=Ortalama+400g

Düşey Açılar:

k = { 400g−(ZI+ZII) } / 2

YATAY AÇI ÖLÇMELERĐ DN BN I.Durum II.Durum Ortalama Sfr.Ind. DiziOrt S [m]

A B 35.994 235.998 35.996 0.000 0.000 60.780 1.366 C 152.350 352.350 152.350 116.354 116.362

B 206.274 6.248 206.261 0.000

C 322.620 122.640 322.630 116.369

B C 119.650 319.626 119.638 0.000 0.000

1.370 A 200.940 0.940 200.940 81.302 81.314 60.780

C 132.030 332.060 132.045 0.000

A 213.374 13.368 213.371 81.326

DÜŞEY AÇI ÖLÇMELERĐ

DN BN ZI[g] ZII[g] k [g] ZI+k [g] Z [g] S [m]

A B 101.238 298.822 -0.030 101.208 101.192 60.780 1.366 C 96.928 303.138 -0.033 96.895 96.877

B 101.208 298.856 -0.032 101.176

C 96.894 303.178 -0.036 96.858

B C 96.924 303.128 -0.026 96.898 96.910

1.370 A 101.702 298.356 -0.029 101.673 101.688 60.780

B 96.940 303.096 -0.018 96.922

C 101.732 298.328 -0.030 101.702

aB

B

A

aA

C

ZBC

ZBA

ZAB

ZAC

c

rBC

rBA rAC rAB

ββββ αααα

a

b

A

B

C


46 / 60

ÇÖZÜM (Birinci Öğretim) :

α = 116.339g

β = 81.307g

c = 60.815m

a = c / sin(α+β) * sinα = 1590.85m b = c / sin(α+β) * sinβ = 1574.32m

HA =100.00m aA =1.470m aB =1.400m c = 60.815m c = 60.815m ZAB = 101.382

g ZBA = 101.678g

HB = HA + aA + c/tanZAB + 0.4375/6370000 * c2 = 100.15m

HB = HA –{ aB + c/tanZBA + 0.4375/6370000 * c2}= 100.20m

HB =100.18m aA = 1.470m aB = 1.400m b = 1574.32m a = 1590.85m ZAC = 96.817

g ZBC = 96.949g

HC = HA + aA + b / tanZAC + 0.4375/6370000 * b2 = 180.43m

HC = HB + aB + a / tanZBC + 0.4375/6370000 * a2 = 177.89m

HC =179.16m ÇÖZÜM (Đkinci Öğretim) :

α = 116.362g

β = 81.314g

c = 60.780m

a = c / sin(α+β) * sinα = 1610.29m b = c / sin(α+β) * sinβ = 1593.77m

HA =100.00m aA =1.366m aB =1.370m c = 60.780m c = 60.780m ZAB = 101.192

g ZBA = 101.688g

HB = HA + aA + c/tanZAB + 0.4375/6370000 * c2 = 100.23m

HB = HA –{ aB + c/tanZBA + 0.4375/6370000 * c2}= 100.24m

HB =100.23m aA = 1.366m aB = 1.370m b = 1593.77m a = 1610.29m ZAC = 96.877

g ZBC = 96.910g

HC = HA + aA + b / tanZAC + 0.4375/6370000 * b2 = 179.80m

HC = HB + aB + a / tanZBC + 0.4375/6370000 * a2 = 179.83m

Ölçm

e Bilgisi D

ers Notlar

O.K

UR

T

47 / 60

Arazi U

ygulam

ası 5: Yatay ve düşey konum

bilgilerinin hesaplanması (02-04-2009).

Ölçü

Krok

isi

P1

P2

P3

P4

1

2 34 5

6

78

90

100

110

120

90

100

110

120

130

140

150

1. Y

AT

AY

KO

NU

M B

ĐLG

ĐLE

RĐN

ĐN H

ES

AP

LA

NM

AS

I 1.1. P

oligon H

esabı

NN

βββ β [g]

ααα α[g]

S[m]

y[m]

x[m]

y[m]

x[m]

P1

100.000 100.000 100.000 100.000

100.0000 43.221

P2

97.6592

143.221 100.000 143.221 100.000

397.6592 10.528

P3 105.9800

142.834 110.521 142.830 110.530

303.6392 40.798

P4 106.6169

102.103 112.852 102.096 112.870

210.2561 13.048

P1

100.010

99.973 100.000 100.000

-0.003

0.009

0.000

0.000

N

N

y[m]

x[m

] H

[m]

P1

1

00

.000

1

00

.000

1

00

.000

P

2

14

3.2

21

1

00

.000

100.3

62

P3

142.8

30 110.5

30 102.4

48

P4

102.0

96 112.8

70 102.6

32

Ölçm

e Bilgisi D

ers Notlar

O.K

UR

T

48 / 60

1.2. Prizm

atik (O

rtogonal) A

lım H

esabı

N

N

s[m

] h

[m]

y[m]

x[m

]

P1

0.00

0.00

100.00 100.00

a=

0.9

998

P2

43.23

0.00

143.22 100.00

b=

0.0

000

1

2.0

2

-4.0

7

102.0

2

104.0

7

2

41.1

3

-1.7

8

141.1

2

101.7

8

N

N

s[m

] h

[m]

y[m]

x[m

]

P3

0.00

0.00

142.83 110.53

a=

0.0

370

P2

10.56

0.00

143.22 100.00

b=

-0

.9971

4

1.9

5

4.5

4

138.3

8

108.4

2

3

2.2

3

1.5

8

141.3

4

108.2

5

2

8.6

5

2.0

4

141.1

2

101.8

3

N

N

s[m

] h

[m]

y[m]

x[m

]

P4

0.00

0.00

102.10 112.87

a=

0.9

979

P3

40.82

0.00

142.83 110.53

b=

-0

.0573

8

0.2

7

2.3

6

102.2

3

110.5

0

7

3.3

0

2.3

6

105.2

5

110.3

3

6

3.3

0

0.9

3

105.3

4

111.7

5

5

36.4

7

0.9

1

138.4

4

109.8

7

4

36.4

7

2.3

5

138.3

5

108.4

3

3

39.4

0

2.3

6

141.2

8

108.2

6

N

N

s[m

] h

[m]

y[m]

x[m

]

P1

0.00

0.00

100.00 100.00

a=

0.1

606

P4

13.05

0.00

102.10 112.87

b=

0.9

862

1

4.3

0

1.3

3

102.0

0

104.0

3

8

10.7

5

0.5

4

102.2

6

110.5

1

2. DÜ

ŞE

Y K

ON

UM

BĐL

GĐL

ER

ĐNĐN

HE

SA

PL

AN

MA

SI

2.1. Geom

etrik N

ivelman

I.Öğ

retim

NN

G

İ

DH

H

P1

1363

100.0

00

P2

3013

1001

0.3

62

100.3

62

P3

1525

944

2.0

69

102.4

31

P4

615

1341

0.1

84

102.6

15

P1

3247

-2.6

32

99.9

83

6516

6533

-17

II.Ö

ğre

tim

NN

G

İ

DH

H

P1

1324

100.0

00

P2

2944

962

0.3

62

100.3

62

P3

1484

858

2.0

86

102.4

48

P4

535

1300

0.1

84

102.6

32

P1

3166

-2.6

31

100.0

01

6287

6286

1

Ölç

me

Bil

gisi

Der

s N

otla

r O

.KU

RT

49 / 60

Y

atay

ve

Dü

şey

Açı

Ölç

üsü

ve

Hes

abı,

Tri

gon

omet

rik

Yü

kse

kli

k H

esab

ı

I.Ö

ĞR

ETĐM

Yata

y D

oğru

ltu [g

] Đn

dirg

eme

[g]

Düş

ey A

çı [g

]

Ale

t ve

Đşar

et

Ken

ar Ö

lçül

eri

Trig

onom

etrik

DN

B

N

I II

I II

(I+II)

/2

Ort

alam

a I

II k

[g]

z [g

] z o

rt [g

] a

[m]

i [m

] E

[m]

S [m

] D

H [m

] H

[m]

P2

P1

205.218

5.204

0.0

00

0.0

00

0.0

000

0.0

000

102.680

297.313

0.0

035

102.6

83

5

102.6

81

8 1.463 0.000

43.2

21

-0.3

59

100.0

03

P

3

302.882

102.878

97.6

64

97.6

74

97.6

690

97.6

593

95.847

304.151

0.0

010

95.8

480

95.8

478 1.463 0.000

10.5

28

2.1

51

102.5

13

P2

P1

237.850

37.832

0.0

00

0.0

00

0.0

000

102.677

297.317

0.0

030

102.6

80

0

P

3

335.491

135.490

97.6

41

97.6

58

97.6

495

95.841

304.146

0.0

065

95.8

475

P4

P3

341.799

141.794

0.0

00

0.0

00

0.0

000

0.0

000

102.555

297.448

-0.0

01

5

102.5

53

5

102.5

52

5 1.437 0.000

40.7

98

-0.2

00

102.4

32

P

1

48.420

248.409

106.6

21

106.6

15

106.6

18

0

106.6

17

0

119.277

280.720

0.0

015

119.2

78

5

119.2

79

0 1.437 0.000

0.0

00

1.4

37

104.0

69

P4

P3

341.800

141.800

0.0

00

0.0

00

0.0

000

102.548

297.445

0.0

035

102.5

51

5

P

1

48.420

248.412

106.6

20

106.6

12

106.6

16

0

119.279

280.720

0.0

005

119.2

79

5

II.

ÖĞ

RET

ĐM

Yata

y D

oğru

ltu [g

] Đn

dirg

eme

[g]

Düş

ey A

çı [g

]

DN

B

N

I II

I II

(I+II)

/2

Ort

alam

a I

II k

[g]

z [g

] z o

rt [g

] a

[m]

i [m

] E

[m]

S [m

] D

H [m

] H

[m]

P1

P4

315.3726 115.3722

0.0

00

0.0

00

0.0

000

0.0

000

93.3670

306.6382

-0.0

02

6

93.3

644

93.3

650 1.484 0.215 13.119

13.0

48

2.6

34

102.6

34

P

2

5.1170 205.1152

89.7

44

89.7

43

89.7

437

89.7

440

100.7024

299.3052

-0.0

03

8

100.6

98

6

100.6

98

7 1.484 0.648 43.224

43.2

21

0.3

62

100.3

62

P1

P4

113.4480 313.4466

0.0

00

0.0

00

0.0

000

93.3678

306.6368

-0.0

02

3

93.3

655

P

2

203.1928

3.1902

89.7

45

89.7

44

89.7

442

100.7014

299.3040

-0.0

02

7

100.6

98

7

P3

P2

381.5214 181.5228

0.0

00

0.0

00

0.0

000

0.0

000

121.0298

278.9764

-0.0

03

1

121.0

26

7

121.0

26

1 1.533 0.000 11.130

10.5

28

-2.0

76

100.3

72

P

4

87.5004 287.5032

105.9

79

105.9

80

105.9

79

7

105.9

80

1

102.0824

297.9206

-0.0

01

5

102.0

80

9

102.0

79

7 1.533 0.000 40.820

40.7

98

0.2

00

102.6

48

P3

P2

394.8700 194.8696

0.0

00

0.0

00

0.0

000

121.0274

278.9764

-0.0

01

9

121.0

25

5

P

4

100.8514 300.8490

105.9

81

105.9

79

105.9

80

4

102.0826

297.9258

-0.0

04

2

102.0

78

4

Kon

trol

40

0.00

04

50 / 60

Đl : KOCAELİ Đlçe : KÖRFEZ Mahalle (veya Köy) : HEREKE Sayfa No : 1

P.No. Tesisin cinsi : Çivi Y : 100.05 m X : 100.00 m H : 10.000 m

P1

Durum krokisi Röper ölçü çizelgesi


P2



P3


POLĐGON RÖPER ÇĐZELGESĐ

P2

GSF-Müzik

2.59 5.12

4.18

GSF-Müzik

P1

4.51

3.63

2.13 P2 P1

P3 P4

GSF-Müzik

Kantin

AKMYO

P2 P1

P3 P4

GSF-Müzik

Kantin

AKMYO

P2 P1

P3 P4

GSF-Müzik

Kantin

AKMYO

P3

GSF-Müzik

2.06

2.99

4.50

51 / 60

Đl : KOCA

ELİ

Đlçe : KÖRFEZ

M

ahalle (veya Köy) : H

EREKE

S

ayfa No : 2

P.N

o. T

esisin cinsi : Çivi Y : 102.35 m

X : 113.55 m

H : 10.688 m

P4

Duru

m k

rokis

i R

öper ö

lçü ç

izelg

esi

P.N

o. T

esisin cinsi :……

……

… Y

:……

……

.. X :…

……

……

…. H

:……

……

Duru

m k

rokis

i R

öper ö

lçü ç

izelg

esi

P.N

o. T

esisin cinsi :……

……

… Y

:……

……

.. X :…

……

……

…. H

:……

……

D

uru

m k

rokis

i R

öper ö

lçü ç

izelg

esi

PO

LĐG

ON

RÖ

PE

R Ç

ĐZE

LG

ES

Đ

P2

P1

P3

P4

GSF-M

üzik

Kantin

AKM

YO

P4

GSF-M

üzik

1.30 3.10

3.65

AKĐ201 Ölçme Bilgisi Ders Notlar

52 / 60

52 / 60

"Şehir veya Kasaba Adı: KOCAELİ / HEREKE Pafta No: 15 Sayfa No: 1

Ölçen : Şemsettin YILDIRIM Kontrol Eden : Orhan KURT Tersimatı Yapan : Mustafa ŞEN Tersimatı Kontrol Eden : Orhan KURT Dik Adedi : 12

Ölçü Krokisi

2 3 4 5 6

7

1

8

9 10

11 12

0.00

4.45

5.25

20.65

18.48

39.16

-33.12-

-6.41-

-1.42- -2.98-

-6.3

8-

-1.4

1-

-2.97-

0.00

1.71 4.16 4.

51 4.22

4.22

4.34

4.34

4.47

5.12

40.88

23.38

20.22

43.36

6.18

7.00

40.3

7

3.11

2.99

0.00

40.6

4

37.3

5

1.26

4.2 6

2.71

1.30

1.61

3.10

P1

P4 P3

P2

GSF-Müzik

13.69 13

.80

9.48

10

.71

3.6 4.5


53 / 60

53 / 60

NĐVELMAN ÖLÇÜSÜ VE HESABI

Şehir veya Kasaba Adı : KOCAELİ / HEREKE Sayfa No : 1

Đstasyon

Ara

Okumalar (mm)

G-Đ (mm)

Kot

Đstasyon

Ara

Okumalar (mm)

G-Đ (mm)

Kot

No. Uzaklıklar G O Đ ±±±± (m) No. Uzaklıklar G O Đ ±±±± (m)

I. Öğretim I. Öğretim

P1 1420 10 000 P1 1386 10 000

P2 3137 1205 0215 10 215 1 1261 0125 10 125 P3 1540 0892 2245 12 460 6 1015 0246 10 371 P4 0425 1311 0229 12 689 P2 1171 -0156 10 215

P1 3114 -2689 10 000

[G]= 6522 [İ]= 6522 0 000 P2 3472 10 215

6 3301 0171 10 386 [∆∆∆∆H]= [G]-[İ]= 0000 [∆∆∆∆H]= 0000 7 1542 1759 12 145

8 0942 0600 12 745

9 1215 -0273 12 472 P3 1228 -0013 12 459

P3 1525 12 459

I. Öğr. II. Öğr. Ortala ma 9 1514 0011 12 470 P1 10 000 10 1372 0142 12 612 P2 10 215 +10 215 =10 215 P4 1298 0074 12 686

P3 10 460 +12 459 =10 460

P4 12 689 +12 686 =10 688 P4 0734 12 686

10 0800 -0066 12 620 11 0659 0141 12 761

12 1064 -0405 12 356

1 3288 -2224 10 132 P1 3413 -0125 10 007 [G]= 7117 [İ]= 7110 0 007

[∆∆∆∆H]= [G]-[İ]= 0007 [∆∆∆∆H]= 0007


54 / 60

54 / 60

ĐL : KOCAELİ

ĐLÇE : HEREKE Sayfa No : 1

KÖY :………………. Dilim Ekseni : 30°°°°

Nok.

Koordineler Kot Değeri (Deniz seviyesinden)

Zemin Tesis

Pafta

(Rs) olan nirengi ve

No. Hesap Clt.Sy.

Y (m) X (m) Nivel. Df. Sy.

H (m) Cinsi No. poligonlar-tahdit harici noktalar, düşünceler.

P1 100 05 100 00 1 10 000 Ç 15 10.000 P2 143 30 97 15 1 10 215 Ç 15 10.215 P3 142 90 110 85 1 10 460 Ç 15 10.460 P4 102 35 113 55 1 10 688 Ç 15 10.688

Yazan : Şemsettin YILDIRIM Kontrol eden : Orhan KURT

Tarih : 22-04-2010

POLĐGON KOORDĐNAT ÖZET ÇĐZELGESĐ


55 / 60

55 / 60

Prizmatik Alım Hesabı

9

P1

P2

P3

P4

1 2 34 5

6

78

10

1112

90

100

110

120

90

100

110

120

130

140

150

Poligon Özet Çizelgesi NN y[m] x[m] H[m] P1 100.05 100.00 10.000 P2 143.30 97.15 10.215

P3 142.90 110.85 102.448

P4 102.35 113.55 102.632

NN s[m] h[m] y[m] x[m]

P1 0.00 0.00 100.05 100.00 a= 0.9975

P2 43.36 0.00 143.30 97.15 b= -0.0657

1 1.71 -4.16 102.03 104.04

2 6.18 -4.22 106.49 103.80

3 7.00 -4.22 107.31 103.75

4 20.22 -4.34 120.50 103.00

5 23.38 -4.34 123.66 102.79

6 40.88 -4.47 141.12 101.77

NN s[m] h[m] y[m] x[m]

P3 0.00 0.00 142.90 110.85

P4 40.64 0.00 102.35 113.55 a= -0.9978

7 1.26 -2.71 141.46 108.23 b= 0.0664

8 4.26 -2.71 138.47 108.43

9 4.26 -1.30 138.56 109.84

10 37.35 -1.61 105.53 111.72

11 37.35 -3.03 105.43 110.31

12 40.37 -3.10 102.41 110.44


56 / 60

56 / 60

ALAN ve HACĐM HESAPLARI Yukarıda yatay ve düşey konumları belli olan parsel ve poligon noktalarından yararlanarak, parsel alanına eşit tabanlı 5.000 m kotuna kadar olan yaklaşık kazı miktarını hesaplanması. Alan Hesaplar:

52065.96 50918.91 1147.05 573.52

F1 = A(P1, P2, P3, P4) = (52065.96-50918.91)/2 = 1147.05/2 = 573.52 m2

F2 = A(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ) = (152904.59-152305.47)/2 = 599.12/2 = 299.56 m2 Yükseklik Ortalamalarının Hesabı:

H1 = (HP1+HP2+HP3+HP4)/4 =41.363/4=10.341 m

H2 = (H1+H6+H7+H8+H9+H10+H11+H12)/12 = 95.595/8 = 11.949 m Hacim Hesabı: V1 = F1 H1 = 5930.77m3 V2 = F2 5 = 1497.80m3

∆∆∆∆V= 4432.97


57 / 60

57 / 60

Ek 4. Haftalık Ödevler 1. Verilenlerden yararlanarak 1, 2, 3 numaralı noktaların koordinatlarını tablo üzerinde hesaplayınız. xA = 41.76m , yA= 23.35m xB =154.15m, yB=115.98m k=0(yada B), 1, 2, 3

DN BN (k)

rk [g]

ααααk=rk−−−−r0 [g]

Sk [m]

(Ak)=(AB)+ααααk

[g] Xk=XA+Sk*cos(Ak)

[m] Yk=YA+Sk*sin(Ak)

[m] A B(0) 212.93 ─ 154.15 115.98

1 295.49 167.47

2 380.30 121.94

3 387.68 80.78

2. θθθθ=173g, λλλλ=182g , a=135m, b=270m, c=256m olduğuna

göre ϕϕϕϕ, γγγγ açılarını ve x uzunluğunu hesaplayınız.

Sinüs Teoremi Kosinüs Teoremi

R2sin

c

sin

b

sin

a=

γ=

β=

α

a2= b2+ c2−2bc cosα b2= a2+ c2−2ac cosβ c2= a2+ b2−2ab cosγ

3. Verilenlerden yararlanarak 1, 2, 3 numaralı noktaların koordinatlarını tablo üzerinde hesaplayınız. xA = 16.76m yA= 12.34m xB = 35.13m yB= 64.63m

NN si (m) hi (m) xi (m) yi (m) A B 1

2

3

xi = xA + c * si −−−− d * hi yi = yA + a * si + b * hi

AB =

B

AB

s

yya

−= =

AB

xxb AB −

= =

B

AB

s

xxc

−= =

AB

yyd AB −

= =

b

ϕϕϕϕ

λλλλ a

c θθθθ

γγγγ

x 3

1 2

4

B

0.00

15.00

A

8.90

11.10 21.10

35.00 18.20 5.60

60.00

1

2

3

r1

B

A

1

2 3

r0

S1

S2

S3

r2

r3


58 / 60

58 / 60

4. Verilenlerden yararlanarak 1, 2, 3 numaralı noktaların koordinatlarını tablo üzerinde hesaplayınız. xA = 16.76m yA= 12.34m xB = 35.13m yB= 64.63m

NN si [m] hi [m] yi [m] xi [m] A B 1

2

3

xi = xA + b * si −−−− a * hi yi = yA + a * si + b * hi 5. Yandaki şekilde AC ve BD doğrularının kesim noktasındaki θθθθ açısını ve AD ve BC kenarlarının uzunluklarını hesaplayınız.

NN x [m] y [m] A 203.48 6.27

B 210.25 201.88

C 17.38 45.66

D 20.48 172.66

6. Yandaki ölçü krokisinde verilenlerden yararlanarak ABCDE beşgeninin alanını bulunuz.

7. Birbirlerine doğrudan görüşü olmayan A ve B noktalarından C noktasına düşey açı gözlemleri yapılmıştır. Noktaların yatay konumları ve ölçü değerleri aşağıda verildiğine göre A ve B noktaları arasındaki eğimi bulunuz.

NN Y [m] X [m] DN BN Z [g]

A 10.00 10.00 A C 104.56

B 90.00 30.00 a=1.30m i=0.00

C 50.00 120.00 B C 94.88 a=1.50m i=0.00

A

ZA ZB

B

C

aA

aB

SAB

∆∆∆∆HAB

AB =

B

AB

s

yya

−= =

A

AB

s

xxb

−= =

1

2

3

0.00

15.00

A

8.90

11.10 21.10

38.56 18.20

60.00 B

B

80.00

0.00

19.34 4.57

70.00 10.00

39.00

30.00

5.00

12.00 56.00

30.00

A

C

D

E

θθθθ

D

B A

C


59 / 60

59 / 60

8. Dik kenarları 15m ve 16m olan dik üçgen şeklinde bir parselde kazı yapılmaktadır. Kazıdan önce ve kazıdan sonra üçgenin (A, B, C) köşelerinde gerçekleştirilen geometrik nivelman ölçüleri aşağıda verildiğine göre, bu üçgen alanı üzerinde kazılan hacim ne kadardır?.

NN g

[mm] o

[mm] i

[mm] ∆∆∆∆H [m]

H [m]

Rs 1110 10.000

A 1392 B 1419 C 1458 Rs 2746 10.000

A 2100 B 2516 C 3255

9. Bir kulenin boyunu hesaplayabilmek için, uzaktaki bir noktadan (A) kulenin çatısına (B) ve zeminine (C) düşey açı gözlemleri yapılmıştır. Noktaların yatay konumları ve ölçü değerleri aşağıda verildiğine göre, kulenin yüksekliğini (h) bulunuz.

NN y [m] x [m] DN BN Z [g] A 10.00 10.00 A B 90.00

B ve C 5.36 300.00 C 102.35

a=1.50 i=0.00

10. Verilenlerden yararlanarak 1 ve 2 noktaları arasındaki uzunluğu (S) hesaplayınız.

NN yi [m] xi [m] DN BN θθθθi [g] Si[m] A 3.35 4.36 B A 0.00 B 100.00 10.00 1 67.00 70.00

C 5.00 100.00 C A 0.00 1 2 380.00 85.00

2

h=?

A

ZC

B

a

ZB

C

S2

C

θθθθ1

θθθθ2

2 S=?

1

A B

S1


60 / 60

60 / 60

11. A noktasından B ve C noktasına yatay doğrultu (r) ve sadece C noktasına düşey açı (Z) ve eğik uzunluk (E) ölçüleri yapılmıştır. A ve B noktalarının üç boyutlu konum bilgileri de verildiğine göre C noktasının üç boyutlu (yC, xC, HC) konum bilgilerini hesaplayınız.

NN(k) yk [m] xk [m] Hk [m] A 150.00 50.00 15.00

B 90.00 −30.00 30.00

C ? ? ?

DN BN r [g] Z [g] E [m] A B 0.00 ─ ─

a=1.40m C i=1.00m

232.73 95.26 213.08

12. Yüksekliği HRs=25.246m olan bir Rs noktasına dayalı olarak gerçekleştirilen geometrik nivelman ölçülerinin şekli aşağıda verilmiştir. Şekil üzerinde verilen mira okumalarını karneye işleyerek, A, B, C ve D noktalarının yüksekliklerini hesaplayınız.

NN g

[mm] i

[mm] ∆∆∆∆H [m]

H [m]

A

B

Rs C

D

1300

0900 0800 1124

2013

1576

2000 2524

B

A

C Z

E

a

i

S=E sinZ

S

E c

osZ

r0

rk

Ölçme bilgisi ders notlar o · geometri, bir bölgeyi (birkaç kenti) yada bir ülkeyi kapsayan...

Documents