（付録）「コヒーレント状態（２）」

1. 定義：コヒーレント状態2. エネルギー固有状態3. 位相確定状態4. 位相揺らぎ5. 明るい（暗い）コヒーレント状態6. 補足：導出手順

暫定版修正・加筆の可能性あり

８０4－1

付録（８０３、８０４）のアプローチ：コヒーレント状態（coherent state）

1. コヒーレント状態での直交位相振幅揺らぎがガウス分布で記述できることを調和振動子側から考察する。2. 前回はハイゼンベルグ描像（時間陽）、今回はシュレーディンガー描像（時間陽）を採用する。3. 位相を直接測定することは難しい（不可？）から、位相演算子は本来、非エルミート扱いが妥当かもしれない。4. ペグ−バーネットの表式（the Pegg-.Barnett phase operator）では位相演算子をエルミート扱いする。5. 位相演算子の特徴から光子のボゾン性、位相と光子数間の不確定性を垣間見る。6. 虚数単位「ｉ」を使用する。

８０4－2

今回採用する描像

( ) ( ) ( )

0

int

†

,

ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ, , ,

2

i t i t

explicit

d ibbt i be He

V dtb

− − − = − − =

K r K r

KrE e

進行波電場演算子Ｅ：ハイゼンベルグ描像で時間陽（explicit）：コヒーレント状態（自由振動）のため消滅演算子は時間不変

( ) ( ) ( ), int

†

0

0ˆ ˆˆ

, , 0,2

ˆˆi t i t

explicit i ada

t eV dt

a He

− − − = − − = =

K r K r

KE r e

目的：コヒーレント状態を消滅演算子で記述したい！（相互作用無、自由振動扱いが可能）

今回採用する描像：消滅演算子が時間不変となるシュレーディンガー描像（時間陽）消滅（生成）演算子：時間不変状態ベクトル：シュレーディンガー方程式に従って時間発展する。但し、自由振動のみ扱う。

前回採用した描像：消滅演算子が時間不変となるハイゼンベルグ描像（時間陽）自由振動：消滅（生成）演算子、状態ベクトルが共に時間不変の状況を扱う。

自由振動に限定：シュレーディンガー描像で時間陽（explicit）

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

†

,

0

0

†

,2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ1

,2

i t i tt i e e

V

di t

a a

H H a atdt

− − − = − −

= = +

K r K r

Kr eE

注意：シュレーディンガー描像の進行波電場演算子Ｅは時間陽、消滅演算子ａは時間不変。お詫び：束縛振動におけるシュレーディンガー描像については説明省略

８０4－3

定義：コヒーレント状態（１）

2

直交位相振幅：コヒーレント状態

1a

2a

調和振動子：コヒーレント状態

q

p1

2 =

1

2 =

1

q

q

p

縦軸：運動量

横軸：位置

2a

1 1a = q q=

p

直交位相振幅a1を測定する確率：P(a1）簡単のためi=1のみに限定

( )( )

2

1 1

222

1 12

1e

2

a

iP a a

−−

= = =

調和振動子を位置ｑで観測する確率：P(q）簡単のため位置ｑのみに限定

( )( )

2

222

2

1e

2

q q

P q q

−−

= =

2q

m

=

2p

m =

８０4－4

復習：ハイゼンベルグ描像（調和振動子：自由振動）消滅（生成）演算子、状態ベクトルが共に時間不変

21

2

0

1 2

ˆ , e!

n

n

a nn

i

−

=

= =

= +

光子数状態：photon number state

α（複素数）：消滅演算子はエルミート演算子ではない

定義：コヒーレント状態（２）

2

直交位相振幅：コヒーレント状態

1a

2a

1

2 =

1

2 =

1

2a

1 1a =

定義：シュレーディンガー描像（調和振動子：自由振動）消滅（生成）演算子は時間不変、状態ベクトルは時間発展注意：状態ベクトルは時間陽ではない。

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

0 1 2 0 0

,

cos sin

i t i t

i t

t e e

t e t i t t i t

− + − +

− +

→ =

= = + = − − −

( ) ( ) ( ) ( )( )21

2

0

ˆ , e!

n

n

ta t t t t n

n

−

=

= =

コヒーレント状態：消滅演算子の瞬時的固有状態

８０4－5

定義：コヒーレント状態（３）

調和振動子を位置ｑ、時刻ｔで観測する確率：P(q）揺らぎの中央値（ガウス分布の平均値）が時間変化（振動）

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( ) ( )

( )( )

2

2

2

2

22

2

0

1

2

0

0 0

0

2

12

2

0

1, e

2

cos

e!

,

Re cos

e!

q q

n

n

i t

n

n

P q t q t

q q t

tt n

n

t e

t t

tq t q n

n

−−

−

=

− +

−

=

= →

= −

=

= =

= −

=

イメージ：調和振動子の振る舞い

( )0 cosq q t = −

q

ガウス分布揺らぎ

2q

m

=

ややこしいかな：調和振動子のコヒーレント状態• 揺らぎながら正弦波上に振動しているが、揺らぎの大きさ

は常に一定である状態がコヒーレント状態• 説明省略：スクイーズド状態（揺らぎの大きさが周期的に

変化する。振幅・位相スクイージング）

次頁：調和振動子のエネルギー固有状態

揺らぎの中央値（ガウス分布の平均値）が時間変化（振動）

( )n q q n =

８０4－6

エネルギー固有状態（１）

調和振動子：時間に依存しないシュレーディンガー方程式（参照：802）

( ) ( ) ( )2 2

2 2

2

1

2 2q m q q E q

m q

− + =

エネルギー固有状態

( ) ( )2

2

,!2

n n n n

n n

q q E q n N H e

mq q N

n

−

= = =

= = =

エルミート多項式：the Hermite polynomials

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2

0 1 2

1

1, , 1,...

nn

n n

dH e e

d

H H H

−= −

= = = −

3 2 1 0 1 2 3

1

2

3

4

0,1,2,...

1

2nE n=

= +

0n =

1n =

2n =

( )2 2

n q q n =

お詫び：式導出は省略します。注意：真空場揺らぎ（n=0）はガウス分布参考文献：砂川重信「量子力学Ⅰ」p.90、岩波書店

村上雅人「なるほど量子力学Ⅱ、第５章、p.72M.O.Scully, M.S.Zubairy: Quantum Optics, p53

真空場揺らぎ

エネルギー固有状態（２）

真空場揺らぎ：確率密度関数（波動関数の絶対値自乗）

( ) ( )2

22 2

2

2

2 2 2 2 2

0 0 0 0

22

2

0

1

22

m mq

q q

q

m

q q E q N H e

me e

e

mv

−

= −= −

−

= = =

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

=

( )

2

22 2 2

02

1,

22

q

q

q

q

q em

−

= =

調和振動子：真空場

p

q

2q

m

=

2p

m =

真空場揺らぎ 確率密度関数：波動関数の絶対値自乗

• 真空場：ガウス関数• 平均値：零（真空場なのであたりまえ！）• 分散値：

2

2q

m

=

真空場：ｎ＝０

８０4－7

エネルギー固有状態（３）

再確認：直交位相振幅演算子

直交位相振幅揺らぎ（真空場）：辻褄は合っているようです。

• 今回、シュレーディンガー描像（時間陽） （エネルギー固有状態：シュレーディンガー方程式の解）を利用して求めた。• 真空場揺らぎの分散値は、前回、ハイゼンベルグ描像（時間陽）を利用して求めた。• 両者は同じ結果を与える。

お詫び：運動量ｐに対する真空場揺らぎの計算は割愛します。

1 0 0

2 2ˆ ˆ

mq a q

m m

= → =

書換：真空場揺らぎ

2 2

2 2

1

ˆ0 02

12ˆ0 0

2 4

q qm

am m

=

→ = = =

直交位相振幅：真空場

1a

2a

1

2 =

1

2 =

0

2 2

1

1ˆ0 0

4a = =

８０4－8

以後、ハイゼンベルグ描像、自由振動を採用、演算子、状態ベクトルはともに時間不変。但し、演算子（時間陽）は許す。

８０4－9

ポンチ絵：様々な状態

2

コヒーレント状態

1a

2a

1

2 =

1

2 =

1

2a

2

位相確定状態（位相スクイーズド状態）

1a

2a

1

2a

0 =

光子数確定状態

2n =

2a

1a

2 0n =

説明省略：振幅スクイーズド状態

2

1a

2a

1

2a

2 1

m

22

3

=

位相確定状態（１）

位相確定状態：位相演算子の固有状態お詫び：とりあえず、天下り的に与えます。注意：位相演算子も状態ベクトルも時間不変

ˆ

0

ˆ

1e

1

m

m

ii

m m m m m

Min

m

n

e e

nM

=

= =

=+

８０4－10

0一例：M=15

13m =2

1M

=

+

コヒーレント状態：

1a

2a

1

2a

1 1a =

2

位相確定状態：

1a

2a

1

2a

m

2 0 =

強度揺らぎが大きそう！位相を完璧に確定するためにはMが無限大？m

М：最大光子数

位相を完璧に確定することは不可

2

位相揺らぎ

2 0

８０4－11

位相確定状態：位相演算子の固有状態

ˆ

0

ˆ

1e

1

m

m

ii

m m m m m

Min

m

n

e e

nM

=

= =

=+

0

ˆ

1e

1

m

Min

m

m

n n n n

nM

−

=

=

=+

光子数確定状態：数演算子（number operator）の固有状態正規直交した完全系：a complete set of orthonormal states

位相確定状態（２）

光子数確定状態：位相分布に偏りがない。（位相を確定できない。）

• 位相を確定できない。数演算子と位相演算子は非可換であることが予測できる。• これからは数演算子と位相演算子に対する不確定性積を調べる。

位相確定状態：光子数分布に偏りがない。（光子数を確定できない。）

• 光子一個に位相φmを与えている（全ての光子が同位相を持つ、見分けがつかない：ボゾン性）

210 e 1 e 2 ... e ...

1

m m mi i in

m nM

= + + + + + +

0 1 2

0 1 2

1e e e ... e ...

1

min inin in

mnM

= + + + + + +

ˆˆ, 0n

８０4－12

位相確定状態（３）

光子数確定状態：位相確定状態で展開

0

0

1e ,

1

m

Min

m m

m

n mM

−

=

= − =+

• 位相は離散値であるが、Mが無限大の極限で連続値。（全ての位相を定義可）• 光子数確定状態（Fock state）では「どの位相確定状態」も同じ確率で生起するの

で位相不確定である。

• 位相揺らぎは

• 光子数確定状態では位相揺らぎは光子数に依存しない。• 真空場は光子数零の光子数確定状態なので、真空場位相揺らぎも同じ。

22 2 21ˆ

2 3m mn n d

−= = =

位相確定状態：光子数確定状態で展開

0

1 2 1e ,

11

m

Min

m

n

nM MM

=

= = → =++

• 荒っぽい表現であるが、位相測定は最大光子数Мで決まる高々「Δφ程度の精度」である。• 光子一個しか位相測定に利用できない場合、位相測定器の測定精度はどんなに頑張っても「 π 」程度。• 説明省略：ハイゼンベルグ限界とオーダー的に同じ。• 位相確定状態では「どの光子数確定状態」も同じ確率で生起するので光子数不確定である。• 数演算子と位相演算子は非可換であることが予測できる。

参考：ハイゼンベルグ限界 （Heisenberg limit）

ˆˆ, 0n

0一例：M=15

13m =

2

1M

=

+

特徴：位相確定状態（１）

注意：主な性質のみ取り上げる。

0

0

1e

1

2

1

m

Min

m

n

m

If nM

mthen

M

=

=+

→ = ++

直交関係：完全に区別できる二つの位相確定状態

８０4－13

0一例：M=15

13m =

2

1M

=

+

( )( )( )

( )

( )( )

0

0

0

0

'

0 0

' 0 0

1

0

0 0

0 0

1' e e

1

1 1 1 ee 0

1 1 1 e

1 2 1,2,..., 0 2

2 2,

1 1

m

m

m

m

M Min in

m

n n

i MMin

in

m m

m m

n nM

M M

M m m M

mm

M M

−

= =

− + −− −

− −=

=+

−= = =

+ + −

+ − = = → −

= + → − = =+ +

８０4－14

特徴：位相確定状態（２）

ペグ−バーネットの表式： the Pegg-Barnett phase operator

ˆ

0

0

ˆ

1 2, e ,

11

1

m m

Mi ini

m m m m

n

i

mIf e e n

MM

nthen e n

M

=

= = = +++

−→ =

( )

( )

1

0

n

n

=

位相演算子：Left rotate of 光子数確定状態

ˆ

0 , 1 , 2 ,..., , 0 , 1 ,..., 1ieM M M

⎯⎯→ −

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ

0

0 1

1

1

1

0

1

1 1e 0 e

1 1

1e e 1

1

1e e e e 1 e

1

m m

m m

m m m m m

M Min ini i i i

m

n n

Mi i n

n

Mi iM i i n i

m

n

e e n e e nM M

M nM

M nM

− −

= =

− − −

=

− − − − − −

=

− = = +

+ +

= + −

+

= + − = −

+

位相揺らぎ：コヒーレント状態（１）

確率密度関数：変数＝位相

( )

( ) ( )

( )( )

2

2

2 2

2

11 22

0 0 0

1 1'

2 22 '

0 ' 0

'

'

0 ' 0

1 ee e e

1 ! 1 !

e ee e

1 ! 1 '!

ee

1 ! '!

mm

m m

m

nnM Minin

m

n n n

n nM M

in in

m m m

n n

n nM M

i n n

n n

n nM n M n

M n M n

M n n

−− − −−

= = =

− −

− − −

= =

+−− −

= =

= =

+ +

= =+ +

=+

( )( )

( )

2 '2 '

0 ' 0

1 2

ee

1 ! '!

exp

m

n nM M

i n n

m

n nM n n

i i

+−− −

= =

=+

= = +

確認：計算手順

８０4－15

2

直交位相振幅：コヒーレント状態

1a

2a

1

m

測定結果

位相揺らぎ：コヒーレント状態（２）

指数部に虚数：確率密度関数が複素数のように見える！

( )( ) ( )

2 '2 '

0 ' 0

ee , exp

1 ! '!

m

n nM M

i n n

m

n n

iM n n

+−− −

= =

= =+

書換：確率密度関数は実数

( )( )

( )( ) ( )( )

2 2 2

2

2 2

0 ' 0 ' 0 ' '

' 2

'

' 0 0

' '

' '

' '

e e e 1e e

1 1 ! 1 1! '!

e ee e

1 1! '! ! '!

m

m m

M M M M M

n n n n n n n n

n n nM M

i n n

n n n

n n n nM M

i n n i n n

n n n n

M M n M Mn n

M Mn n n n

= = = =

+− − −− −

= = =

+ +− −− − − − −

= + +

= = =+ + + +

=+ +

( )( )

2'2

'

e1 2cos '

1 1 ! '!

n nM

m m

n n

n nM M n n

+ −

= + − − + +

ヒント：計算手順

８０4－16

注意：位相θではなくφで表現

位相揺らぎ：コヒーレント状態（３）

ペグ−バーネットの表式：Ｍが無限大であれば完全系

( )( )

( )( ) ( )

2

2 2

'2 '

0 0 ' 0

' 2

' '

0 ' 0 0

ee

1 ! '!

e elim e 1 1

1 1 !! '!

m

m

n nM M M

i n n

m

m n n

n n nM M M

i n n n n

Mn n n

M n n

MM M nn n

+−− −

= = =

+− −− − =

→= = =

=+

→ ⎯⎯⎯→ + =+ +

近似：明るいコヒーレント状態

( )

( )

22 22

2

22

0

22exp 2

1

2exp 2

2 2

1 1

m m

m m

M

m m m m

M

d

md

M M

→

− − +

− −

= + → = ⎯⎯⎯→+ +

1 M

近似：ガウス分布

参照：導出手順（１）

８０4－17

明るいコヒーレント状態（１）

確率密度関数：変数＝位相

( ) ( ) ( )( )

22 2

22exp

1

2

2 2exp 2 exp

12

4

i m

m mMP

=

− ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − = −

注意：ガウス分布の分散値

位相揺らぎ

( )2

2 2 2

2

1 1ˆ ˆ ˆ44

= = = − = =

光子数揺らぎ：参照803

( )2 22 2 2ˆ ˆ ˆ

n n n n = = = − = =

平均光子数

光子数と位相の不確定積は一定：明るいコヒーレント状態

2 2 2 1ˆ ˆˆ ˆ1 ,4

n n i = → = → =

８０4－18

注意：ガウス分布の中央値（平均値）

交換関係：参照804-23

位相：平均値 揺らぎ コヒーレント状態

８０4－19

位相揺らぎ：揺らぎの中央値（平均値）はφ

1a

2a

2 2

2

1ˆ

4

1tan

2

=

= =

1

2 =

半径

1 ie

⎯⎯⎯

2

コヒーレント状態

1a

2a

2 2

1,2

1ˆ

4a =

1

2 =

1

2 =

1

物理量：直交位相振幅は無次元数（dimensionless number）

明るいコヒーレント状態（２）

青色：直交位相振幅揺らぎ

整合性：位相揺らぎと直交位相振幅揺らぎ

+ −

←明るいコヒーレント状態であれば、簡単に直交位相振幅揺らぎから位相揺らぎを見積もることが可能。但し、絶対値αはコヒーレント状態に対する振幅（平均値）、σは振幅揺らぎであり、σφは位相揺らぎ

, ie =

暗いコヒーレント状態

確率密度関数：位相

( ) ( ) ( )exp

1

11 2 cos

2

i

m mMP

= ⎯⎯⎯⎯⎯→ + −

平均値：位相

( )

( ) ( )

22 2 2

2

2

ˆ ˆ ˆ

43

m m md P

+

− +

= = = −

= −

= −

2 2 2ˆ2 2 02 2ˆ ˆˆ ˆ1 4 , 0?

3

n nn n

= = = ⎯⎯⎯⎯⎯→ = − ⎯⎯⎯→

８０4－20

( )

ˆ ˆ

m m md P

+

− +

=

= =

分散値：位相

注意：積分範囲は平均値がφになるように選ぶ。

参照：導出手順（２）

参照：導出手順（４）参照：導出手順（３）

光子数と位相の不確定積：暗いコヒーレント状態

平均光子数

交換関係が破綻？位相演算子の限界を垣間見る。

８０4－21

別解：明るいコヒーレント状態（１）

簡略化：明るいコヒーレント状態

0

1

ie

== ⎯⎯⎯→ =

直交位相振幅

1a

2a

赤色：実数

1a

2a

直交位相振幅：揺らぎ演算子

1 1 2 2

1 2

1 2

2 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ, 0

ˆ ˆ0, 0

1 1ˆ ˆ,

4 4

a a a a

a a

a a

a a

= + =

= =

= =

= =

2ˆ a

光子数：揺らぎ演算子

2ˆ ˆ,n n = + =

μ：平均光子数

８０4－22

別解：明るいコヒーレント状態（２）

参照：803

( )

2 21 2

22 2 2 2

1 2 1 2

1ˆ ˆ

2 2 41 2 2

2 2

1 2 2 1 2

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2

1ˆ ˆ ˆ ˆ2

2

ˆ1 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 , ,2 2

a a

a a n a a n

a a a n

nn a a a a a

= =

+ = + → + + = + +

→ + + = + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

= + = → =

交換関係：commutation relation

1 1

2 2

1

2

ˆ ˆ

1 2 1 2ˆ ˆ

ˆˆ

ˆ ˆ2ˆ ˆ ˆˆ , 0

ˆ ˆ ˆ ˆ, ,2 2

ˆ ˆˆ ˆ, ,

a a

a a

na

n n n

a

i ia a a a

n i n i

= +

=

=

= +

= + =

= ⎯⎯⎯⎯→ =

⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→

８０4－23

別解：明るいコヒーレント状態（３）

直交位相振幅：コヒーレント状態

2 2

1 2

1 1ˆ ˆ,

4 4a a = =

2

2 2

1 2 1 2 1 2

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

2 2 16

ia a a a a a = → = =

コヒーレント状態：明るい暗い、真空場に関わらず直交位相振幅最小不確定状態となる。

直交位相振幅：明るいコヒーレント状態

1 2

ˆ ˆˆ ,2 2 2 221 2

1 1ˆˆ ˆ ˆ16 4

na a

a a n

=

= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

2

2 2 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ,2 4

n i n n → =

コヒーレント状態：光子数ー位相最小不確定状態となる。明るいほど「よい近似」となる。

８０4－24

補足：導出手順（１）

参照：804-17

( )2

2 2222exp 2

1m m

M

− − +

( ) ( ) ( )

( )

( )

2

2 2

22

2

22

2 22

2

2

1 '

2

0 ' 0

11

2 22

exp

0 0

1

2

4

2

e 1e

! 2

1e e '

1 '!

ee 1e e

!1 ! 1

1 1e e

1 2

m

m m

m

x

n

nMin

m

n n

n nM M

i in in

n n

x

ix

n

n nM n

nM n M

M

−

−−

−−

= =

− −

= − − − −

= =

−−

−

=

+

⎯⎯⎯⎯⎯→ =

+ +

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +

( )dx

−

−

要所のみ記述

参照：803ｎ：離散値、ｘ：連続値

８０4－25

補足：導出手順（１）

続き

( )

( )( ) ( )

( )

22

2

2

22

2

1

42 2

22

4

2

ex

e e

p exp4

exp1 1

44 4

4 exp

m m

i t

m

x

ix

v

m

vt e dtv

dx

v

−

−

= −

−−

− −

− =

− = −

− ⎯⎯⎯⎯→ −

= − −

( )

( )( )

22

2 2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

e 1e

4

! 2

1 1

1e

2

ex

n

m

x

n

ixdx

M

−

−−

−−

− −

−

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +

前頁

ｎ：離散値、ｘ：連続値

８０4－26

( )

( )

( )

( )

( )

1

2

22 2

2

1

22 2

22

2

1

2 22 2

2 22 2

2

22

1 14 exp

1 2

4 41exp

1 2

22 exp

1

22 exp

1

22exp 2

1

m

m

m m

m m

m

M

M

M

M

M

= − −

+

= − −

+

− − +

− − +

= − − +

補足：導出手順（１）

続き

８０4－27

( ) ( ) ( )exp

1

11 2 cos

2

i

m mMP

= ⎯⎯⎯⎯⎯→ + −

補足：導出手順（2）

参照：804-20

要所のみ記述

( )

( ) ( )

( ) ( )

22

2

2

2

2

2

2

2

1 '

2

0 ' 0

1

2exp

0

2

e 1e

! 2

1e e '

1 '!

ee

1 !

11 e Ο

1

m

m

m

xn

nMin

m

n n

nM

i in

n

i

n

n nM n

M n

M

−− −

−−

= =

−

= − −

=

− −

=

+

⎯⎯⎯⎯⎯→+

+ + +

８０4－28

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

1

2 exp

1 11 e 1 e

1 1

11 e e

1

1 e e1 2

1 2

1 2 11 2 cos 1 2 cos

1 1 2

11 2 cos

2

m m

m m

m m

m

i i

m m

i i

i i

m m

dM

m m

i

m m

M M

M

M

M M

d

P

+ − − −

+ − − −

+ − − −

+

=

= + + + +

+ + +

+= +

+

= + − = + − + +

⎯⎯⎯⎯→ + −

= ( )1

11 2 cos

2mM

⎯⎯⎯⎯⎯→ + −

補足：導出手順（2）

続き

８０4－29

補足：導出手順（3）

( ) ( ) ( )1ˆ ˆ , 1 2 cos

2m m m m md P P

+

− + = = = = + −

参照：804-20

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

11 2 cos 0

2

0

11 2 cos

2

cos2

mm

m m m

m m m m m m m

m

m m

m m

md

d P

d P d P d

d d

−

+= −

− +

+ + +

− + − + − +

+ +

− + − +

+ =

⎯⎯⎯⎯→ − =

= = + −

= + −

( )m m md P

+

− +=

注意：積分範囲は平均値がφになるように選ぶ。 被積分項：奇関数

８０4－30

補足：導出手順（４）

( ) ( )2

22 43

m m md P

+

− += − = −

参照：804-20

要所のみ記述

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2

3 2

2

2 2

11 2 cos

2

11 2 cos

2

11 2 cos

2

1 1cos 2 4 4

2 2 3 3

m m

m m m

m m m m

m m

m m m m m

m

m

P

d P d

d

d d

+ +

− + − +

= −

−

− −

= + −

− = − + −

⎯⎯⎯⎯→ +

= + = − = −

参照：次頁

８０4－31

補足：導出手順（４）

続き：部分積分

( ) ( )

2

0

2 cos

sin 2 cos 2 sin

2 cos 4 cos 4

m m m

m m m m m

m m m m

d

−

− −−

−

= − − + −

= = = −