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「システム計測工学」
サンプルページ
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i
はじめに
新たな機械を創る際や，機械の性能を向上させる際には，機械の形状や動きを正しく測ることが大切です．これにより，寸法精度が高く高機能な機械を創ることができます．また， 知能ロボットの運動などを精確に測ると，ロボットの最適な動作が確保できます．さらに，実験において，力学現象を高精度に測定し分析すると，現象の本質が解明できます．このように，計測では，測定対象物の物理量を精確に測定する方法を確立し， 測定
結果を詳細に分析して，測定物の特徴を明らかにするため，高精度な計測方法から信号処理までの機能を集合したシステム化が求められます．つまり，測定量の検出，変換，拡大，伝送や分析と記録などの系統的な計測が必要となります．さらに，近年の計測器の進歩により，高精度な測定結果が容易に得られるようにな
りました．しかし，計測における確かな専門知識をもたないと，間違った結果を正しいと判断し，大きな失敗につながります．本書は，正しく計測するための基礎から実践までを，やさしく説明しています．ま
ず，計測法の要点の説明があります．ついで，計測法の特長と注意事項があります．さらに，詳しい説明が要所に加えてあります．これより，初学者が失敗しないための計測の基礎を学ぶことができ，実践に役立つ
測定法も理解できます．本書を学習することで，JABEE (日本技術者教育認定機構)の機械および機械関連
分野での「情報と計測・制御」の主要分野の内容1)を学べます．本書の長期にわたる執筆中に，研究室の多くの学部学生と大学院生が，計測実験の
研究を通して，資料や結果を残してくれました．特に大学院院生の小野里直樹君と岡田賢二君ならびに柳沢大君（(株)ミツバ）には，各章にわたり図面作成や内容の読み合わせに協力してくれました．感謝です．本書により，計測工学を初めて学ぶ人から，計測に従事する人までの理解を助け，
実際の計測に役立てば，著者らの幸いと感じます．その学びを究めた結果により，多くの人々の幸せに関わるならば，さらなる喜びと感じます．最後に，執筆者の一人である永井は，本書の完成を待ちわびていた母と，研究と教
育に集中させてくれた妻の淳子と息子達に重ねて感謝です．
2011年 6月 執筆者 永井健一・丸山真一
1) 機械および機械関連分野における主要分野「情報と計測・制御」基本キーワード：計測基礎論と基本的な量の測定法，個別キーワード：単位と標準，不確かさと精度，電気/電子回路，信号変換，測定用センサ，信号処理，データ解析，動特性測定，周波数応答．
ii
本書の概要と特長
本書は，工学系大学や工業高等専門学校などの機械工学の専門基礎を学ぶ学生を対象としている．計測工学に関する知識を初歩から学び，実際の計測方法に役立てるために，つぎのように工夫されている．
本書の構成
1. 具体的な計測方法と測定のための演算式を学ぶ．⬇
2. 計測法の基礎と注意すべきポイントを学ぶ．⬇
3. 例題や問題で理解を深めよう．
特に，計測の知識を深めるべき大切な箇所に関しては，注意点，特長などポイントをわかりやすくまとめている．また，計測のための詳しい内容を マークのついたコラムで説明している．さらに，例題を解いてその内容を理解してほしい．これらを通して，計測の適用範囲や測定精度の向上について深く理解できる．
各章の内容はつぎのように構成されている．第 1章では，計測の目的とシステム化，計測と測定，単位と標準や次元を示し，測定値の有効桁数について説明する．第 2章では，計測で用いる基本法則を説明する．まず，距離の計測，力の計測，ひずみと応力の計測，動きの計測，温度の計測と流れの計測の基本法則を説明する．精確な計測法のための長所や注意事項も示す．第 3章では，計測における電気回路や演算回路を説明する．計測信号が増幅されて，測定精度が向上する．さらに，数値演算処理のためのディジタル信号変換の方法を説明する．第 2章と第 3章は計測の基礎なので，よく学んでほしい．第 4章では，各種の測定センサを説明する．位置の測定をはじめ，変形と力の測定，動きと音の測定，温度と流れの測定のための測定センサを扱う．これらの基本的な機能ならびに使用上の注意を説明する．第 5章では，測定量に含まれる不確かさの種類や評価について説明する．ここでは，第１章の測定量の評価と併せて読んでほしい．第 6章では，計測信号の分析法として，最小二乗法と周波数分析を説明する．測定
本書の概要と特長 iii
値を分析して，初めて測定対象の本質が明らかにされる．さらに，動的応答の分析法や騒音の表示法を紹介する．この章で基礎を学び，第 7章の，システム計測の実践に至る．第 7章では，システム計測の実践方法を説明する．系統的で機能を集合した計測を
行う際の具体的な注意事項が説明される．動的応答の計測において，環境整備の方法ならびに正しい結果を得る分析法が説明される．
さらに詳しい内容を学びたい場合には，巻末の参考書籍や文献を参照してほしい．
iv
目 次
第 1章 計測のはじめに 11.1 計測の役割とシステム化 .................................................................. 1
1.2 計測と測定 .................................................................................... 2
1.2.1 直接測定と間接測定 ...................................................................... 2
1.2.2 測定量の検出 .............................................................................. 4
1.3 単位と標準 .................................................................................... 5
1.3.1 基本量 ...................................................................................... 5
1.3.2 組立量 ...................................................................................... 7
1.3.3 倍数と分数 ................................................................................ 9
1.4 単位と次元 .................................................................................. 10
1.5 測定量の表示 ............................................................................... 11
1.5.1 有効桁数 ................................................................................. 11
1.5.2 有効桁数の向上 ......................................................................... 12
1.5.3 演算における有効桁数 ................................................................. 13
演習問題 1 ......................................................................................... 15
第 2章 計測のための基本法則 162.1 長さの計測 .................................................................................. 16
2.1.1 機構的拡大 .............................................................................. 16
2.1.2 光学的拡大 .............................................................................. 20
2.2 力の計測 ..................................................................................... 24
2.3 ひずみと応力の計測 ...................................................................... 25
2.3.1 一軸方向のひずみと応力の関係 ...................................................... 25
2.3.2 はりの曲げ変形による計測 ........................................................... 28
2.4 動きの計測 .................................................................................. 31
2.4.1 運動の法則 .............................................................................. 31
2.4.2 加速度計の周期応答 .................................................................... 32
2.4.3 加速度計の周波数応答特性 ........................................................... 34
2.5 温度の計測 .................................................................................. 35
2.5.1 物体の体積変化を用いた温度の計測 ................................................. 35
2.5.2 気体の圧力変化を用いた温度の計測 ................................................. 36
2.5.3 電磁波の放射を用いた温度の計測 ................................................... 36
目 次 v
2.6 流れの計測 .................................................................................. 38
2.6.1 流れの基礎的法則 ...................................................................... 38
2.6.2 圧力の計測 .............................................................................. 40
2.6.3 流速の計測 .............................................................................. 41
2.6.4 流量の計測 .............................................................................. 42
演習問題 2 ......................................................................................... 44
第 3章 計測のための電気回路 463.1 電気素子と回路の基本特性 ............................................................. 46
3.1.1 抵抗器 .................................................................................... 46
3.1.2 コンデンサ .............................................................................. 47
3.1.3 誘導コイル .............................................................................. 48
3.1.4 キルヒホッフの法則 .................................................................... 48
3.1.5 ホイートストンブリッジ回路 ......................................................... 49
3.2 演算回路 ..................................................................................... 51
3.2.1 増幅回路 ................................................................................. 51
3.2.2 積分回路 ................................................................................. 56
3.2.3 微分回路 ................................................................................. 57
3.3 ディジタル量への変換 ................................................................... 58
3.3.1 アナログ量とディジタル量 ........................................................... 59
3.3.2 ディジタル量の表現 .................................................................... 59
3.3.3 アナログ/ディジタル変換 ............................................................. 61
3.3.4 A/D変換器 ............................................................................. 63
演習問題 3 ......................................................................................... 64
第 4章 測定用センサ 654.1 位置のセンサ ............................................................................... 65
4.1.1 ポテンショメータ ...................................................................... 65
4.1.2 ディジタルスケール .................................................................... 66
4.2 ひずみと応力のセンサ ................................................................... 68
4.2.1 ひずみゲージ ............................................................................ 68
4.3 力のセンサ .................................................................................. 71
4.3.1 ロードセル .............................................................................. 71
4.3.2 圧電型力センサ ......................................................................... 72
4.4 変位のセンサ ............................................................................... 73
4.4.1 渦電流変位センサ ...................................................................... 73
vi 目 次
4.4.2 レーザ変位センサ ...................................................................... 74
4.5 加速度と音のセンサ ...................................................................... 76
4.5.1 加速度センサ ............................................................................ 76
4.5.2 マイクロホン ............................................................................ 77
4.6 温度のセンサ ............................................................................... 79
4.6.1 抵抗温度計 .............................................................................. 79
4.6.2 熱電対 .................................................................................... 81
4.7 流れのセンサ ............................................................................... 83
4.7.1 熱線流速計 .............................................................................. 83
4.7.2 電磁流量計 .............................................................................. 84
演習問題 4 ......................................................................................... 86
第 5章 不確かさと精度 875.1 不確かさの種類 ............................................................................ 87
5.1.1 偶然的不確かさ ......................................................................... 87
5.1.2 系統的不確かさ ......................................................................... 88
5.1.3 人為的な不確かさ ...................................................................... 89
5.2 不確かさの評価 ............................................................................ 89
5.2.1 偶然的な量の平均と標準不確かさ ................................................... 90
5.2.2 試料集団の平均と最確な試料標準不確かさ ......................................... 92
5.2.3 誤差の公理 .............................................................................. 93
5.2.4 測定精度 ................................................................................. 95
5.3 組立量における不確かさの伝播 ....................................................... 95
演習問題 5 ......................................................................................... 99
第 6章 計測信号の分析 1016.1 最小二乗法による関数近似 ............................................................ 101
6.1.1 べき級数近似 ........................................................................... 101
6.1.2 線形近似 ................................................................................ 103
6.2 周波数分析 ................................................................................. 105
6.2.1 フーリエ級数 ........................................................................... 106
6.2.2 振動数成分の表示 ..................................................................... 107
6.2.3 離散フーリエ級数 ..................................................................... 110
6.2.4 ディジタル周波数分析 ................................................................ 111
6.2.5 ディジタル周波数分析での誤りと改善法 .......................................... 112
6.2.6 時間・周波数分析 ..................................................................... 116
目 次 vii
6.3 騒音の表示 ................................................................................. 116
6.3.1 音の性質 ................................................................................ 117
6.3.2 音の表現 ................................................................................ 118
演習問題 6 ........................................................................................ 120
第 7章 システム計測の実践 1227.1 薄肉はりによる荷重センサ・変位センサの試作 ................................. 122
7.1.1 荷重・変位センサの設計 ............................................................. 122
7.1.2 製作における計測法 ................................................................... 124
7.2 荷重・変位センサの静特性 ............................................................ 124
7.2.1 静特性の計測方法 ..................................................................... 124
7.2.2 荷重・変位センサの静特性曲線 ..................................................... 124
7.3 加速度センサの動特性 .................................................................. 125
7.3.1 動特性計測の装置と方法 ............................................................. 125
7.3.2 加速度センサの周波数応答 .......................................................... 126
7.4 計測環境の整備 ........................................................................... 127
7.4.1 振動試験環境の整備 ................................................................... 127
7.4.2 電磁気的な整備 ........................................................................ 127
7.5 正しい計測のための留意事項 ......................................................... 129
演習問題の解答 130
参考文献 134
索 引 136
コラム目次
アンペアとオームの話 ...................................................................... 15
パスカルとニュートンの話 ................................................................ 45
ガウスの話 .................................................................................... 100
フーリエの話 ................................................................................. 121
1
1 計測のはじめに
機械工学を学ぶ主な目的は，高機能な機械製品を創り，人々に豊かな環境を提供することにある．この目的の一つに計測工学があり，その主な目的は，物体や現象を正しく計測する方法を確立し，高精度な測定値を得ることにある．さらに，力学の諸現象の特徴を明らかにすることにある．計測結果の知見は工業製品開発への新たな資料となり，さらなる学術の発展に寄与することになるだろう．
1.1 計測の役割とシステム化
計測の役割は，たとえば，携帯ナビやカーナビなどのナビゲーションシステム (system
of navigation)で説明できる．カーナビつまり自動車航行支援では，車の現在位置や目的地への最短経路が，GPS衛星による位置情報で瞬時にわかる．なお，GPS (global
positioning system)全地球測位システムとは，複数の衛星と地上局からの電波信号により，現在位置が測定できる機能である．このGPS機能を発展させると，車の自動運転が可能となる．まず，図 1.1のように，高精度なGPS位置情報により，車は精確な
テレビカメラ
超音波，赤外線信号
GPS衛星
図 1.1 カーナビによる車の自動運転
2 第 1章 計測のはじめに
現在位置や運転情報を得る．さらに，車内のテレビカメラで運転視野を確保し，超音波距離センサで車間距離を測定する．前方に障害物が現れると車の運動を自動制御し，回避や緊急停止などを行う．これらの測定値は，物理法則や数学の関係式に基づき求められる．たとえば，距離センサ (sensor)は車間距離の物理量を検出し，電気信号に変換する．連続した電気信号は増幅回路で拡大され，ディジタル信号に変換される．ディジタル信号は通信機能により計算機に伝送される．計算機では，信号を分析して記録し，表示する．これらの測定量を基に機械の運動制御が行われる．このような系統的な計測機能の集合をシステム計測 (systematic instrumentation)とよぶこととし，システム計測の関係を図1.2に示す．
物理量 変換 拡大 検出 伝送 分析 記録
図 1.2 システム計測の関係
1.2 計測と測定
計測 (instrumentation)は，測定結果を得る具体的方法の究明である．つまり「物体や現象を定量的に得る方法の解明とその実行」を意味する．測定 (measurement)は，具体的な量を得る作業である．つまり「目的の物体や現象の量を基準 (basis)量と比較し，符号と数値で表すこと」を意味する．量 (quantity)は，物体や物質ならびに現象の大きさを示し，一般に，物理量 (physical
quantity) とよばれる．特に，物体の変形量や運動の状態量を力学量 (dynamical
quantity)とよぶ．なお，質 (quality)は，物体の種類を示す．
1.2.1 直接測定と間接測定測定方法は直接測定 (direct measurement)と間接測定 (indirect measurement)に分類できる．直接測定は，被測定物の量を基準量と直接比較して決定する方法である．一方，間接測定は，法則に基づく換算式と他の物理量を用いて，被測定物の量を間接的に求める方法である．一例として，物体の質量を図 1.3 のような天秤ばかりとばね秤で計測してみる．
( 1 ) 直接測定天秤ばかり (beam balance, steelyard)による質量測定では，図 1.3 (a)のように，ナイフエッジ a で支持された長さ 2L [m]の対称な天秤棒 b と天秤皿 c と d を用いる．初期のつり合い状態を確かめた上で，被測定物の未知質量M [kg]を皿 c に載せ，基準質量mi (i = 1, 2, · · · ) [kg]をもつ分銅を皿 d に載せる．指示針 e が目盛りの中心で
1.2 計測と測定 3
SmigiMg
c d
(a) 天秤による質量測定 (b) ばね秤による質量測定
ab
LL
e-KU
Mg
U
図 1.3 直接測定と間接測定
落ち着くと力のモーメントのつり合い状態となり，次式が成立する．
MgL−∑i
migL = 0 =⇒ M =∑i
mi (i = 1, 2, · · · ) (1.1)
式 (1.1)で，重力加速度 gや竿の長さ Lは互いに消去され，未知質量M [kg]が基準質量Mi の総和で，直接に測定できる．直接測定では，つぎの長所がある．
• 高精度な測定法であり，基準量の有効桁数に応じた精度が得られる．直接測定では，つぎの注意が必要である．
• つり合い状態を得るまでに長い時間を要するため，即応性に欠ける．直接測定法は，つり合い位置，つまり零 (れい)の位置で求められるため零位法 (null
method)ともよばれる．
( 2 ) 間接測定ばね秤 (spring balance)による質量測定法では，図 1.3(b)のように，ばね秤に被測
定物の質量M [kg]を下げると，重力加速度 g [m/s2]の下で重力Mg [N]が生じる．ばねの変位量 U [m]に応じて，復元力 −KU [N]が発生する．なお，K [N/m]は，ばね定数である．式 (1.2)に示す力のつり合い式から，未知質量M [kg]は，ばね定数K
[N/m]，重力加速度 g [m/s2]と変位 U [m]から，間接的に測定される．
Mg −KU = 0 =⇒ M =
(K
g
)U (1.2)
この測定方法は，ばねの変位，つまり「かたより」で定められるため，偏位法 (deflection
method)ともよばれる．
4 第 1章 計測のはじめに
間接測定では，つぎの長所がある．
• 測定値が短時間で得られるため，動きの速い応答の計測に有用である．• 測定値に対応した信号が得られるため，計測の自動化が容易にできる．間接測定では，つぎの注意が必要である．
• 測定値の精度が計測で用いる物理量に依存するため，較正1)(校正：calibration)
が必要である．
1.2.2 測定量の検出計測の方法を大別すると，非接触型測定 (non-contacting measurement)と接触型測定 (contacting measurement)がある．
( 1 ) 非接触型測定非接触型測定は，被測定物の測定量を光学や電磁気の法則を利用したセンサなどで，非接触で検出する方法である．図 1.4(a)のように，固定した座標系を定め，原点 oからの被測定物の距離 S や周期変位 D cosΩtなどの信号を測定する．なお，Ω は角振動数，tは時間である．
to
U
Ub=D cos Wt
M
CK
o
t
S
D
U=S+D cos Wt
(a) 非接触型検出 (b) 接触型検出
図 1.4 測定量の検出
( 2 ) 接触型測定接触型測定は，図 1.4(b)のように被測定物に測定用センサを直接取り付け，測定量を法則に基づいて信号に変換して検出する方法である．測定用センサには，ひずみセンサや加速度センサなどがある．
1) 測定機械など標準試料を用いて正しい結果を示すように調整すること．
1.3 単位と標準 5
1.3 単位と標準
物理量は数値と単位で表現される．単位 (unit)は，量を定めるための基準 (basis)を示す．単位決定のための方法や装置を総称して標準 (standard)とよぶ．国際的規格の下で，現在は国際単位 (Systeme International d’Unites：仏語，International System
of Units：英語)つまり SI単位が用いられている．SI単位は，つぎに示す基本量の単位，組立量の単位と倍量や分量の接頭語で構成される．単位の記号は，量を示す数値の後に併記される．本書では，文字で示した物理量の単位記号を括弧 [ ]の中に示す．物理量は基本量 (fundamental quantity)と組立量 (derived quantity)に分けられ，
つぎに示す．
1.3.1 基本量基本量は，物理量を定める最小の量を意味し，その単位は基本単位 (fundamental
unit)とよばれる．基本量の単位には，長さ，質量，時間，電流，温度，物質量と光度の 7種類がある．基本量を表 1.1に示す．表では，基本量の単位記号，単位名称と次元 (dimension)の記号を示す．なお，次元記号は量の性質を表す．つぎに，各基本量の標準を説明する．
表 1.1 基本量の SI単位
基本量 単位記号 単位の名称 次元記号
長さ；length m メートル；meter L
質量；mass kg キログラム；kilogram M
時間；time s 秒；second T
電流；current A アンペア；ampere I
温度；temperature K ケルビン；kelvin Θ
物質量；amount of substance mol モル；mole N
光度；luminous intensity cd カンデラ；candela J
( 1 ) 長さ メートル長さは，空間内の二点間を結ぶ距離である．長さ 1メートル (m：meter)の標準は，
光が真空中を 299 792 458分の 1秒 (s)間に進む距離として定められる．従来，長さ 1
[m]は「地球の子午線を通る北極から赤道までの長さの 1× 107分の 1に等しい」と定めていた．その長さの規格はフランスの国民会議で 1791年に定められた．なお，メートルの名称はギリシア語の「測る」に由来している．
16
2 計測のための基本法則
計測に関する諸法測を正しく用いると，精度の高い測定値が得られる．ここでは，長さの計測，力と変形の計測，動きの計測，熱と流れの計測の基本法則を説明する．さらに，計測を行う際の長所や注意事項を述べる．
物理量 変換 拡大 検出 伝送 分析 記録
2.1 長さの計測
長さなどの測定値の有効桁数をあげるには，測長器の最小目盛幅を細分し，読み取り精度を高めればよい．しかし，実際に目盛りを細分するには限界がある．ここでは，機構や光学における幾何学的関係 (geometrical relation)を利用して，測長器の目盛幅を拡大し，計測精度を高める方法を説明する．
2.1.1 機構的拡大測長器の目盛幅を機構的に拡大する方法を説明する．
( 1 ) 本尺と副尺による測長物差しの本尺に副尺 (vernier)を併用すると，測定値を読取る桁数が向上できる．図
2.1(a)のノギスで説明する．まず，本尺の目盛幅 u [mm]を仮に分割数Nv で細分し，細分目盛幅 d = u/Nv を考える．しかし，細分目盛線は有限な幅をもつため，本尺目盛の間に刻めない．そのため，細分目盛幅の一目盛分が移動した際に，本尺目盛と合致するように，副尺目盛の幅 vを拡大して決定する．副尺目盛幅は v = pu− d (p：整数)で与えられる．本尺と副尺の目盛が合致した際の測定物の長さ L [mm]は，次式で定められる．
L = mu+ nd = mu+ n(pu− v) (m,n：整数) (2.1)
2.1 長さの計測 17
0 10 20 30 40 50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2v=4u-2d=3.90[mm]
3v=6u-3d=5.85[mm]
0 1v=2u-d=1.95[mm]
d=0.05[mm]u=1.00[mm]0 1 2
(b)(a)
4 6
2d
3d
d
o ba
図 2.1 ノギスの主尺と副尺
式 (2.1)で，muは，長さ L [mm]を本尺目盛幅 u [mm]で測った際の長さ L � muである．第二項の nd = nu/Nv は，細分目盛幅 dの n倍であり，これより，本尺目盛と細分目盛を用いて，所要な有効桁数が確保される．
例題 2.1 ノギスの測定精度
図 2.1(b)のように，ノギスの本尺目盛幅 u = 1.00 mmを分割数Nv = 20で分けた細分目盛幅は d = u/Nv = 0.05 mmとなる．副尺目盛幅 v = 2u− dをとして，具体的な測定値を求めてみよう．図 2.1 (b)で，dと vを三角形 oabの辺 oa
と辺 obに対応させて，機構的拡大の関係を考え，(a) 細分目盛幅 dに対する副尺目盛幅 v の拡大率 v/dを求めてみよう．さらに，(b) 副尺が dと 2dと移動した場合に，副尺目盛が本尺目盛に合致する，副尺目盛幅を確かめてみよう．
解答 (a)v
d= 39
(b) d と 2d に対応し 1.95と 3.90 mmを得る．
( 2 ) ねじの利用による測長ねじ (screw)は，らせん状の溝を切った円形軸と円孔で構成される．溝の傾斜角が小
さい細目ねじを用いると，軸方向の微小な変位量に対し，ねじには，大きな回転角が生じる．さらに，ねじ部に太い円筒を付加し，その周上に目盛を刻む．これより，微小変位量は機構的に拡大されて読み取れる．マイクロメータ (micrometer-caliper)は，ねじ機構に本尺と副尺を備えた測長器である．図 2.2 (a)に示すフレーム先端のアンビル (anvil)と，細目ねじをもつスピンドル (spindle)先端で被測定物を挟む．図 2.2
18 第 2章 計測のための基本法則
(a) (b)
20
フレーム
アンビル めねじ
スリーブ
スピンドル
シンブル
ラチェットストップ
スリーブ目盛
基準線
シンブル目盛
副尺
10 0.500[mm]20
30 08642
0
(c)
p = 0.500 [mm]
0
10
20
30
40
50
d=10[mm]
図 2.2 マイクロメータによる測長
(b)のように，フレームに結合されたスリーブ (sleeve)上に，本尺の基準線 (reference
line)とスリーブ目盛 (sleeve graduation)の線が刻まれる．スピンドルに直結された円筒状のシンブル (thimble)上に，副尺のシンブル目盛 (thimble graduation)の線が刻まれる．被測定物の長さは本尺目盛と副尺目盛で読み取られる．なお，シンブルの末端には，測定力を一定に保つラチェットストップ (latched stop)の機構がある．つぎに，マイクロメータの読取り精度を求める．スピンドルの細目ねじのピッチ p
が p = 0.500 mmの場合．シンブルを一回転させると，スピンドルは距離 0.500 × 1
mmの量を移動する．図 2.2 (c)のように，シンブル外周には，目盛数 Nr = 50のシンブル目盛が刻まれる．これより，シンブル目盛の一目盛の回転で，スピンドルの移動量 dはつぎのようになる．
d = p1
Nr= 0.500
1
50= 10× 10−3 mm = 10 µm (2.2)
これより，10 µmまでの測定ができる．特定な機種では，図 2.2 (b)のように，シンブル目盛の一目盛 10 µmに対して，スリーブ上に 1/10の精度をもつ副尺目盛が刻んである．これより，1 µm の精度が得られる．この種の測長器は直読マイクロメータとよばれる．
例題 2.2 マイクロメータによる測定
図 2.2 (b)の目盛りから，被測定物 L [mm]の長さを読み取ってみよう．
解答 長さ Lはスリーブ目盛により 12 mmと 12.5 mmの間にある．ついで，シンブル目盛から L = 12.23 mmとなる．さらに，目測で 1 µmの桁数を読み取り，L = 12.230
mmの測定値を得る．
2.1 長さの計測 19
( 3 ) 歯車の利用による測長歯車機構を用いた測長器に，ダイヤルゲージ (dial-gauge)がある．被測定物の長さ
は，直進スピンドルの移動量で検出する．その移動量はラックとピニオン型の歯車で回転角に変換する．大径の歯車のわずかな回転で，小径の歯車は大きく回転する．小径歯車に付いた指示針で移動量を拡大表示できる．ダイヤルゲージには，最小単位 0.2 µmで，1ないし 2 mmの変位を計測する機種
や，10 µm刻みで，5ないし 10 mmを測る機種などがある．
( 4 ) 測長精度の向上測長器の機構に応じて，測定精度が向上できる．これはアッベの原理 (Abbe’s
principle)とよばれる．つまり，被測長物の二点を結ぶ軸線に，物差しの軸線を一致させる計測法を選ぶと，測定精度が向上できる．この原理をノギスとマイクロメータによる測長で確かめてみる．図 2.3 (a)のよう
に，ノギスによる測長では，被測定物の軸線は本尺から距離Dにある．
S
S cos q em=S(1-cos q)
S
シンブル目盛
スライダ D
en
本尺
(a) ノギス (b) マイクロメータ
q
q
q
図 2.3 測長器における不確かさ
測定力がスライダに加わると，本尺とスライダ間のすき間により，スライダは傾き，角度 θによる寸法読み取りの偏位 en が発生し，式 (2.3)で示される．
en = D tan θ = D
[θ +
1
3θ3 + · · ·
]� Dθ (θ � 1) (2.3)
式 (2.3)をテイラー展開で近似すると，ノギスでの偏位 enは，距離Dと角度 θに比例する．一方，マイクロメータによる計測では，被測長物と物差し目盛りの軸線は一致する．
図 2.3 (b)のように，スピンドルの傾きに応じて，寸法読み取りの偏位 em が生じる．スピンドル先端からシンブル目盛りまでの長さ S と傾き角 θにより，偏位 em はつぎのようになる．
em = S [1− cos θ] = S
[1−
(1− 1
2θ2 + · · ·
)]� S
θ2
2(θ � 1) (2.4)
101
6 計測信号の分析
物理現象の測定値を正しく分析して，初めてその特徴が明らかにされる．ここでは，測定値を関数形で最適に近似する最小二乗法を示す．ついで，周期時間波形の周波数分析法や騒音の表示について説明する．
物理量 変換 拡大検出 伝送 分析 記録
6.1 最小二乗法による関数近似
最小二乗法 (least square method)は，一連の測定値を関数形で最適に近似する方法である．この方法は，ガウスにより考案された．
6.1.1 べき級数近似非接触変位計で，測定対象物の変位Dn [mm]と出力電圧 Vn [V] (n = 1, 2, · · · , N)の
関係を測定した．その測定値を図 6.1に黒丸で示す．変位が小さい範囲では，出力電圧は変位に比例し，ほぼ直線の式で近似できる．これは，線形近似 (linear approximation)
とよばれる．測定範囲を広げると，変位計の特性から，測定値は比例関係から離れてくる．その際には，べき級数を用いた近似式が必要となる．これは非線形近似 (nonlinear
approximation)とよばれる．変位Dnと電圧 Vnの代表値を，それぞれDrefと Vrefとし，自変数 xn = Dn/Dref と従属変数 yn = Vn/Vref として基準化する．これより，つぎの測定値の組を得る．
(xn, yn) (n = 1, 2, · · · , N) (6.1)
測定値の集合が線形関係をもつ場合，つぎの一次式で仮定する．
y = a0 + xa1 (6.2)
ただし，a0 と a1 は未定係数である．一般に，測定値が非線形関係をもつ場合，次式のべき級数近似が用いられる．
102 第 6章 計測信号の分析
0 1 2 30
1
0.5
Vn
[V]
Dn [mm]
線形近似
非線形近似
:測定値
図 6.1 非接触変位計の出力特性
y = a0 + xa1 + x2a2 + · · ·+ xP aP =
P∑q=0
xqaq (6.3)
未定係数 aq (q = 0, 1, 2, · · · , P )は最小二乗法で定められる．つまり，測定値と近似式との残差の二乗平均を係数 ap (p = 0, 1, 2, · · · , P )で偏微分して 0とおく．これより，未定係数を求めるための，つぎの連立一次方程式を得る．
P∑q=0
Bpqaq = Cp (p = 0, 1, 2, · · · , P ) (6.4)
ただし，上式の係数 Bpq と Cp は既知の測定値で定まり，次式で示される．
Bpq =
N∑n=1
xpnx
qn
Cp =N∑
n=1
xpnyn
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(6.5)
式 (6.4)の方程式を解いて，係数 aq (q = 0, 1, 2, · · · , P )が定められる．
測定値のべき級数近似式の導出について
式 (6.1)の測定値 (xn, yn) (n = 1, 2, · · · , N)を，べき級数で近似し，最小二乗近似により未定係数 aq (q = 0, 1, 2, · · · , P )に関する条件式を求めてみる．式 (6.3)のべき級数のxに，測定値 xn を代入し，yn とし，次式を得る．
yn =P∑
q=0
xqnaq (6.6)
この yn から測定値 yn までの残差 rn = yn − yn は，つぎのようになる．
rn = yn − yn = yn −P∑
q=0
xqnaq (6.7)
6.1 最小二乗法による関数近似 103
残差の二乗平均つまり分散を E(a0, a1, · · · , aP )と置くと，次式で示される．
E(a0, a1, · · · , aP ) =1
N
N∑n=1
r2n
=1
N
N∑n=1
(yn −
P∑q=0
xqnaq
)2
(6.8)
上式が最小値をもつために，E を未定係数 ap (p = 0, 1, 2, · · · , P )でそれぞれ偏微分して0とおく．これより，つぎの条件式を得る．
∂E
∂ap= 0 (p = 0, 1, 2, · · · , P ) (6.9)
上式の演算を実行すると，つぎのようになる．
∂E
∂ap=
2
N
N∑n=1
(yn −
P∑q=0
xqnaq
)∂
∂ap
(yn −
P∑q=0
xqnaq
)
=2
N
N∑n=1
(yn −
P∑q=0
xqnaq
)(−
P∑q=0
xqnδpq
)
= − 2
N
N∑n=1
(yn −
P∑q=0
xqnaq
)xpn
= − 2
N
N∑n=1
xpnyn +
2
N
P∑q=0
(N∑
n=1
xpnx
qn
)aq
= 0 (p = 0, 1, 2, · · · , P ) (6.10)
なお，δpq はクロネッカのデルタ記号で (p = q → δpq = 1, p=\ q → δpq = 0)となる．これより，前出の式 (6.4)，(6.5)の連立一次方程式が得られる．
6.1.2 線形近似測定値 (xn, yn) (n = 1, 2, · · · , N)が線形関係にある場合，この関係を式 (6.2)の一
次式 y = a0 + xa1 で近似する．未定係数 a0 と a1 を定める条件式として，式 (6.4)で(p, q = 0, 1)とした，つぎの連立一次方程式が得られる．
B00a0 +B01a1 = C0
B10a0 +B11a1 = C1
⎫⎬⎭ (6.11)
上式の各係数 B00, B01, B10, B11, C0, C1 は，測定値より次式の値となる．
104 第 6章 計測信号の分析
B00 =
N∑n=1
1 = N
B01 = B10 =
N∑n=1
xn
B11 =
N∑n=1
x2n
C0 =
N∑n=1
yn
C1 =
N∑n=1
xnyn
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(6.12)
式 (6.11)の式を解いて，係数 a0と a1 は，つぎのように定まる．
a0 =C0B11 − C1B01
B00B11 −B01B10
a1 =C1B00 − C0B10
B00B11 −B01B10
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ (6.13)
式 (6.13)を式 (6.2)に代入すると，線形の近似式が決定できる．
例題 6.1 線形の較正式
図 6.1の測定範囲を Dref = 1.50 mmと Vref = 0.500 Vに限定し，一次式で測定値 (Dn, Vn) (n = 1, 2, · · · , 5)を近似してみよう．入力変数 xn = Dn/Drefと出力変数 yn = Vn/Vref (n = 1, 2, · · · , 5)を基準化し，その値は表 6.1に示される．
解答 表 6.1の測定値 (xn, yn) (n = 1, 2, · · · , 5)から式 (6.11)の各係数 B00, B01, B10,
B11, C0, C1 の値を求め，式 (6.13)に代入すると，a0 = −0.0729と a1 = +1.09を得る．なお，測定値に対する計算では，有効桁数は一桁増やしてある．これより，変位D [mm]
に対する出力電圧 V [V]の近似式を得る．
Vn
Vref= −0.0729 + 1.09
(D
Dref
)(6.14)
上式は較正式 (equation of caliblation)ともよばれ，結果を図 6.1の中に実線で示す．一次式からの測定値の最確な試料標準不確かさは，次式で与えられる．
u =
√√√√ 1
N − 1
N∑n=1
[yn − (a0 + xna1)]2 (6.15)
6.2 周波数分析 105
表 6.1 非接触変位計の測定値と最小二乗法の係数
n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 B00 = N N = 5
xn 0.2007 0.4000 0.5987 0.8000 1.000B01
B10
}=
N∑n=1
xn 2.9994
x2n 0.04027 0.1600 0.3584 0.6400 1.000 B11 =
N∑n=1
x2n 2.1987
yn 0.1440 0.3620 0.5840 0.8000 1.014 C0 =N∑
n=1yn 2.9040
xnyn 0.02890 0.1448 0.3496 0.6400 1.014 C1 =N∑
n=1xnyn 2.1773
図 6.1における変位の測定範囲をD = 3.0 mm (N = 10)まで広げると，出力電圧に非線形性が現れる．Dref = 3.00 mm と Vref = 1.000 Vで測定値を基準化し，式 (6.3)を三次式 (p = 0, 1, 2, 3)で近似する．式 (6.4)を解くと，次式を得る．
V
Vref= a0 + a1x+ a2x
2 + a3x3, x =
D
Dref
a0 = −0.0420, a1 = 1.13, a2 = −5.15× 10−3, a3 = −0.124
⎫⎪⎬⎪⎭ (6.16)
結果は図 6.1に破線で示した非線形近似で表される．三次のべき級数は，測定値をよく近似できる．
最小二乗近似による較正式を用いると，つぎの特長が得られる．
• 最確な測定値を示す計算式が得られる．• 入出力に非線形特性をもつセンサや測定器でも，高次のべき級数近似により，広い測定範囲の計算式が得られる．
一方，較正式を用いる際，つぎの注意が必要である．
• 非線形特性をもつ測定器に対し，一次式の較正式を用いると，測定範囲を越えると，測定精度が低下する．
• 非線形性を含む較正式に，動的応答の正弦波状波形を代入させると，出力結果の波形には，基本調波成分の他に，高調波成分の波形が現れる．
6.2 周波数分析
一般の周期波形は三角級数 (trigonometric series)で近似できる．この級数はフーリエ級数1)(Fourier series)とよばれる．まず，フーリエ係数の求め方を示す．ついで，
1) 波形をフーリエ級数で表すと，振動系における，主要な振動数，振幅や位相の関係が明らかにできる．
システム計測工学 © 永井健一・丸山真一 2011
2011 年 6 月 30 日 第 1 版第 1 刷発行 【本書の無断転載を禁ず】2013 年 2 月 15 日 第 1 版第 2 刷発行
著 者 永井健一・丸山真一発 行 者 森北博巳発 行 所 森北出版株式会社
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Printed in Japan／ ISBN978-4-627-66691-7
著 者 略 歴永井 健一（ながい・けんいち） 1967 年 国立平工業高等専門学校（現，福島高専）機械工学科卒業 1970 年 茨城大学工学部精密工学科卒業 1976 年 東北大学大学院工学研究科機械工学専攻博士課程修了 工学博士（東北大学） 1976 年 群馬大学工業短期大学部機械工学科講師 1977 年 群馬大学工業短期大学部機械工学科助教授 1989 年 群馬大学工学部機械システム工学科助教授 1990 年 米国コーネル大学文部省在外研究員 1991 年 独国ダルムシュタット工科大学文部省在外研究員 1991 年 ポーランド科学アカデミー基礎工学研究所文部省在外研究員 1996 年 群馬大学工学部機械システム工学科教授 2007 年 群馬大学大学院工学研究科機械システム工学専攻教授 2012 年 群馬大学名誉教授 現在に至る主 要 著 書技術者のための振動と防振技術（アイピーシー，1990，共著），ダイナミクスのシステム解析（森北出版，2000，単著），シェルの振動と座屈ハンドブック（日本機械学会編，技報堂出版，2003，共著），機械工学便覧 基礎編α2機械力学（日本機械学会，2004，共著），JSMEテキストシリーズ 振動学（日本機械学会，2005，共著），非線形系のダイナミクス（日本機械学会編，コロナ社，2007，共著）
丸山 真一（まるやま・しんいち） 1997 年 慶應義塾大学理工学部機械工学科卒業 2002 年 慶應義塾大学大学院理工学研究科機械工学専攻後期博士課程修了 博士（工学） （慶應義塾大学） 2002 年 群馬大学工学部機械システム工学科助手 2007 年 群馬大学大学院工学研究科機械システム工学専攻助教 2008 年 群馬大学大学院工学研究科准教授 2013 年 群馬大学大学院理工学研究院准教授 現在に至る
編集担当 塚田真弓（森北出版）編集責任 水垣偉三夫（森北出版）組 版 アベリー印 刷 エーヴィスシステムズ製 本 協栄製本