有限密度格子qcd lattice qcd at finite density–phys.rev. d82, 054502, 2010...
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有限密度格子QCDLattice QCD at Finite Density
ゼロからの格子QCD入門 -- 有限バリオン密度系の研究を目指して --
素核宇宙融合 レクチャーシリーズ」第9回
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N
NN
N
NNN N
Q QQ
Q
Fodor-Katz
Multi-ParameterReweighting + Taylor Expansion
DOS
Im µ
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Lattice QCD
1st Principles Calculation
Sound Base for Hadron/Quark Systems at finite Temperature and Density
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Origin of the Sign-Problem in Lattice QCD Simulation
at finite Density
4
Oh, Monte CarloSimulations arenot Possible ?
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5
QCD at finite density
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6
For
Real
(in general)
Complex
Complex Sign Problem
For
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In Monte Carlo simulation, configurations are generated according to the Probability:
Monte Carlo Simulationsvery difficult !
: Complex
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�O� =�
DUO det �e�SG
�DU det �e�SG
det � = | det �|ei�
�O� =�
DUO| det �|ei�e�SG
�DU | det �|e�SG
��
DU | det �|e�SG
�DU | det �|ei�e�SG
=�Oei��| det |
�ei��| det |
8
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�| det �(µ)|2e�SG =
�det �(µ) det�(µ)�e�SG
=�
det �(µ) det�(�µ)e�SG
=�
det �(µu) det�(µd)e�SG
µu = µ, µd = �µ
µ >m�
2u d̄
π 凝縮の恐怖
9
Phase Quench = Finite-Isospin
�
�
��
����
��
���
�
ならば を外場がいくらでも作ってしまう
�+ µ
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QCD In-Equality
10
(Cauchy-Schwarz)
Propagators
のPropagators
Do you have enough Time ?
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11
Any MesonPropagators( ) pi Meson
Propagators( )
Other Meson
is lightest.
This does not hold for
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12
=
格子の上では
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13
化学ポテンシャルはどこに入る
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符号問題のオリジン
14
Wilson Fermions
KS(Staggered) Fermions
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15
Hopping Parameter 展開or
Large Mass 展開消えないのは閉ループになる項
依存性を持つ最低次は
両方の寄与
: Polyakov Loop
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符号問題が無い場合もあります
16
え、本当?
考えればすぐ分かるよ
最終解決ではないけど
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1.虚数化学ポテンシャル
2.カラーSU(2)
3.アイソベクトル型(finite iso-spin)
符号問題が無い場合
(Phase Quench)17
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18
有限密度QCDはFodor-Katzが解決したって聞いたけど
Multi-Parameter Reweightingの誤解と真実?
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Towards large density QCDWhat is a real Obstacle ?
mRe
Im
0Eigen Value Distribution
Multi-parameter Re-weighting by Fodor-Katz
測度 Reweighting Factor
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When µ increases
Eigen Value Distribution
Re
Im
0 mμ Conjugate Gradient to
calculate
does not converge(Imaginary chemical Potential calculation does not have this problem.)
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All full QCD update algorithms require Fodor-Katz algorithm does not calculate , but evaluate
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Reweigh'ng factor
Re [ln R] v.s. Im[ln R]
T/Tpc=0.95 T/Tpc=1.1
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テーラー展開法• アイデアはシンプル
–有限のµで計算できないのなら、µ=0でテーラー展開
– QCD-TARO: Phys. Rev. D65 (2002) 054501 Screening Mass– Swansea-Bielefeld: Phys. Rev. D66, 074507 (2002) EoS
f(µ) = f(0) + µf �(0) +12µ2f ��(0) + · · ·
+!"
#$%
&+!"
#$%
&+=4
4
2
204
)(T
cT
ccTp µµµ
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Taylor coefficients(c2 & c4)
clover-Wilson + RG-gauge(Nf=2)Volume : 8^3x4 quark mass : mps/mV ~ 0.8Configurations : HMC at mu=0
11 K steps including ( therm. as 3-5K)
Eigen values : 400 configs.
"WHOT" : WHOT QCD, Ejiri et al., PRD82, 014508 (2010).
For staggered, see e.g. Allton et al., PRD71, 054508 ('05)
Nagata, Nakamura, JHEP 1204 (2012) 092
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• MC simulations in mu^2<0 region and analytic continuation
Real(Sign Problem ) Imag.(MC OK )
AnalyIc conInuaIon
Imaginary chemical poten'al
limitaIon
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27
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他の攻め方は?
28
統計力学で何か教わったっけ?
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Canonical Approach• Miller and Redlich
–Phys. Rev. D35 (1987) 2524• A.Hasenfratz and Toussaint
– Nucl.Phys.B371 (1992) 539• Engels, Kaczmarek, Karsch and Laermann
– Nucl.Phys. B558 (1999) 307 (hep-lat/9903030)– hep-lat/9905022
• Forcrand and Kratochvila– Nucl. Phys. B (P.S.) 153 (2006) 62 (hep-lat/0602024)
• A.Li, Meng, Alexandru, K-F. Liu–PoS LAT2008:032 and 178 (arXiv:0810.2349, arXiv:
0811.2112),–Phys.Rev. D82, 054502, 2010 (arXiv:1005.4158)29
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Fugacity Expansion of
• Fugacity expansion
For details, see Nagata-Nakamura Phys.Rev.D82:094027,2010
det �(µ)
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ZGC(µ) =�
Zn�n
Calcula'on of Zn
Simulation Setupclover-Wilson + RG-gauge(Nf=2)Volume : 8^3x4 quark mass : mps/mV ~ 0.8Configurations : HMC at mu=0Eigen values : 400 configs.
13年6月27日木曜日
![Page 32: 有限密度格子QCD Lattice QCD at Finite Density–Phys.Rev. D82, 054502, 2010 (arXiv:1005.4158)29 13年6月27日木曜日 Fugacity Expansion of • Fugacity expansion For details,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081616/5fe964c52b10de0ae4700948/html5/thumbnails/32.jpg)
Canonical par''on func'on Z(n)
• n-‐dep of the distribu'on depends on the temperature– low T : exp(-‐ a |n|)–high T : Gaussian –broadening : increase of effec've d.o.f. at high T– large fluctua'on of Im[Zn] at low T : severity of sign problem
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Density of State
• Gocksch– Phys. Rev. Lett. 61 (1988) 2054.
• Anagnostopoulos and Nishimura– Phys.Rev. D66 (2002) 106008 (hep-th/0108041)
• Fodor, Katz and Schmidt– JHEP0703:121,2007 (hep-lat/0701022)
33
現在(近似やモデルを使わずに)もっとも大きな密度まで到達
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DOS Simplest Case
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(Density of State)
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DOS 一般形Muroya, Nonaka, Takaishi, AN, PTP,10, (2003) 615
(hep-lat/0306031) Sec.5.5
35
任意 !(*)
(*)g(U)として、行列式の近似形を取ることもできるかもしれない。
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DOS 位相を選ぶと (Gocksch)
36
の位相
ここに留まってMCここに留まってMC・・・
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DOS: Plaq.を選んだケース
37 90
100
110
120
130
140
150
160
170
0 50 100 150 200 250 300 350 400
µq [MeV]
! [MeV] multiparameter reweighting
DOS method, am=0.05
DOS method, am=0.03
Z.Fodor, S.Katz, C. SchmidtJHEP0703:121,2007 hep-lat/0701022
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Complex Langevin• Parisi
– Phys. Lett. 131B (1983),393• Klauder
– Phys. Rev. A29 (1984),2036• Klauder and Petersen
– J. Stat.Phys., 39 (1985),53• Karsch and Wyld
– Phys. Rev. Lett. 21(1985),2242• Ambjørn and Yang
– Phys. Lett. B165, (1985)140• Matsui and A.N
– Phys. Lett. B194 (1987),262• Aarts and Stamatescu
– JHEP 0809:018,2008 (arXiv:0807.1597) 38
13年6月27日木曜日
![Page 39: 有限密度格子QCD Lattice QCD at Finite Density–Phys.Rev. D82, 054502, 2010 (arXiv:1005.4158)29 13年6月27日木曜日 Fugacity Expansion of • Fugacity expansion For details,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081616/5fe964c52b10de0ae4700948/html5/thumbnails/39.jpg)
基本的なアイデア
39
正準量子化 経路積分 確率過程量子化(Stochastic Quantization)
どこにも確率は現れない!Sが複素数でもこの方程式は解ける(但し裏にはFokker-Planck方程式が)
: 量子ノイズ
:仮想時間
問題点:Run-Away Solutions, Wrong Convergence
13年6月27日木曜日
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40
Aarts and Stamatescu JHEP 0809:018,2008 (arXiv:0807.1597)
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.05
0.1
0.15
Poly
akov
loop
<P><P-1>
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
6
8
10
12
densityできた!?なぜ?Adaptive step size ?本当?モデルが簡単?(Hopping展開)
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![Page 41: 有限密度格子QCD Lattice QCD at Finite Density–Phys.Rev. D82, 054502, 2010 (arXiv:1005.4158)29 13年6月27日木曜日 Fugacity Expansion of • Fugacity expansion For details,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081616/5fe964c52b10de0ae4700948/html5/thumbnails/41.jpg)
Color SU(2)
符号問題が無い理論 MC可能 閉じ込め/非閉じ込め相を持つ メソンと中間子の区別はつかない 有限密度場の理論の非摂動的振る舞いを調べる実験場 理論的な解析(強結合、ランダム行列、カイラル摂動、PNJL、・・・)と合わせると、現実への情報も– 何がSU(2)固有で、何がそうでないか 41
13年6月27日木曜日
![Page 42: 有限密度格子QCD Lattice QCD at Finite Density–Phys.Rev. D82, 054502, 2010 (arXiv:1005.4158)29 13年6月27日木曜日 Fugacity Expansion of • Fugacity expansion For details,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081616/5fe964c52b10de0ae4700948/html5/thumbnails/42.jpg)
�µI µR
�n�
Z = C0 + C2(�2 + ��2) + C4(�4 + ��4)
�n� = ��
��Z =
2C2(�2 � ��2) + 4C4(�4 � ��4)C0 + C2(�2 + ��2) + C4(�4 + ��4)42
虚数mu領域 実数mu領域
境
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![Page 43: 有限密度格子QCD Lattice QCD at Finite Density–Phys.Rev. D82, 054502, 2010 (arXiv:1005.4158)29 13年6月27日木曜日 Fugacity Expansion of • Fugacity expansion For details,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081616/5fe964c52b10de0ae4700948/html5/thumbnails/43.jpg)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.5
1.0
1.5
2.0
mass
!�=0.160
q"�5q
q"��q
a
Muroya, A.N. and NonakaPhys.Lett. B551 (2003) 305(hep-lat/0211010)
43
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.5
1.0
1.5
2.0
µ�a
mass
!�=0.160
Pseudo-scalar
Vector
13年6月27日木曜日
![Page 44: 有限密度格子QCD Lattice QCD at Finite Density–Phys.Rev. D82, 054502, 2010 (arXiv:1005.4158)29 13年6月27日木曜日 Fugacity Expansion of • Fugacity expansion For details,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081616/5fe964c52b10de0ae4700948/html5/thumbnails/44.jpg)
Hands, Sitch and SkullerudPhys.Lett. B662, (2008)405(arXiv:0710.1966)
44
di-quark sourceの強さ
13年6月27日木曜日