КАМЧАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ...

Государственный комитет Российской Федерации по рыболовству

Камчатский государственный технический университет

Кафедра физики

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

Лабораторный практикум по физике

Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно-методическим центром в качестве учебного пособия

для студентов вузов региона

Петропавловск-Камчатский 2003

2

УДК 535.076.8 ББК 22.3 И19

В авторской редакции

Рецензенты:

Г.П. Исаев, кандидат физико-математических наук, доцент

А.Н. Шулюпин, кандидат технических наук, доцент

Ю.И. Филатов, кандидат педагогических наук, доцент

Иваницкая Ж.Ф.

И19 Электромагнитные колебания. Квантовая теория излу-чения. Лабораторный практикум по физике.– Петропав-ловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2003. – 144 с.

Лабораторный практикум по электромагнитным колебаниям

и квантовой теории излучения составлен в соответствии с требо-ваниями к обязательному минимуму содержания основной обра-зовательной программы подготовки специалиста государствен-ного образовательного стандарта высшего профессионального образования и предназначен для студентов и курсантов техниче-ских специальностей.

Учебное пособие рассмотрено и одобрено на заседании ка-федры физики 10.06.02 г., протокол N 10.

УДК 535.076.8

ББК 22.3

© КамчатГТУ, 2003 © Иваницкая Ж.Ф., 2003

3

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

4

Физика. Лабораторный практикум

ВВЕДЕНИЕ

Понятие об электромагнитных колебаниях, методах их создания и способах наблюдения

Колебаниями вообще называют такие изменения состояния

системы, при которых параметры состояния меняются по пе-риодическому или почти периодическому закону.

Например, механическое колебание – это периодическое сме-щение тела от положения равновесия, при котором периодически меняется смещение х, скорость v, ускорение а, кинетическая и по-тенциальная энергии Wk и Wp. Т.е. x(t)= x(t+nT), v(t)= v(t+nT), и т.д. Здесь Т – период или время полного колеба-ния, n – число колебаний.

Колебания величины x называются гармоническими, если она меняется со временем t по закону

x=A cos (ωt+ϕo), где A – амплитуда, или наибольшее значение величины x, ϕ=(ωt+ϕo) – фаза колебаний, или аргумент функции косинуса, опре-деляющий в момент времени t значение колеблющейся величины,

ϕo – начальная фаза, ω=T2π

– циклическая или круговая частота ко-

лебаний, связанная с линейной частотой ν соотношением: ω = 2πν,

отсюда число колебаний в единицу времени ν = T1

.

Если колебания происходят без внешних воздействий, только за счет единовременного отклонения системы от устойчивого рав-новесия, то их называют свободными или собственными. Если же колебания происходят под воздействием внешнего периодиче-ского воздействия, то их называют вынужденными.

В колебательных контурах, содержащих резистор сопротив-лением R, конденсатор емкостью С и катушку индуктивности L, могут происходить электромагнитные колебания. Электромаг-нитные колебания – это колебания электрических величин: заряда q на обкладках конденсатора, напряженности Е электрического

5

Введение. Электромагнитные колебания

поля между обкладками конденсатора, напряжения U между ними, энергии электрического поля Wе внутри конденсатора, и магнит-ных величин: силы тока I, а значит и магнитной индукции B, энер-гии Wm магнитного поля в катушке индуктивности. Электриче-ские и магнитные колебания взаимообусловлены, поэтому называются электромагнитными. Возникают электромагнитные колебания благодаря явлению самоиндукции, т.е. возникновению ЭДС индукции (электродвижущей силы индукции) в проводниках при изменении тока в них. Мгновенное значение ЭДС индукции

εi = –LdtdI . Здесь L – индуктивность катушки, величина, числен-

но равная электродвижущей силе индукции, возникающей при скорости изменения тока, равной 1А/с.

В идеальном колебательном контуре, где сопротивление R = 0 (рис. 1), т.е. сверхпроводящем контуре, могут происходить свобод-ные незатухающие электромагнитные колебания.

Рис. 1

При единовременном заряде конденсатора заряд q со време-нем t на его обкладках будет меняться по закону

q = qm cos (ωot + α),

где qm – амплитуда заряда, ωo – собственная частота, равная

ωo=LC1

, α – начальная фаза. Такие колебания незатухающие.

В реальном колебательном контуре с сопротивлением R ≠ 0 колебания амплитуды А заряда затухают по экспоненциальному закону

6


q=qm t

2LR

−e cos (ωt+β),

Здесь А = qm t

2LR

e− уменьшается по экспоненциальному за-

кону, ω-частота этих затухающих колебаний, равная 22

o γω −ω = , γ – коэффициент затухания, равный γ = 2LR

,

e – основание натурального логарифма (число, равное 2,7), β – начальная фаза колебаний.

С помощью лампового триода или полупроводникового тран-зистора можно создать генератор незатухающих электромагнит-ных колебаний, в котором убыль заряда пополняется автоматиче-ски за счет триода или транзистора, включающих в определенные моменты времени источник питания.

Рис. 2

С выхода такого генератора можно снять периодически ме-

няющееся напряжение по гармоническому закону:

U = Uo cos(2πνt + ϕ),

7


где Uo – амплитудное значение напряжения, регулируется ручкой «регулировка выхода», ν – линейная частота, регулируется тумблером шкалы частот с помощью переменных индуктивности или емкости колебательного контура, являющегося основой такого генератора.

Внешний вид одного из таких генераторов приведен на рисун-ке 2.

Здесь 1 – тумблер «Сеть», 2 – множитель частот, 3 – ручка шкалы частот, 4 – регулятор выходного напряжения, 5 – шкала на-пряжений, 6 – вольтметр, 7 и 8 – выходные клеммы напряжений.

Зависимость напряжения от времени можно визуально наблю-дать на экране осциллографа с помощью электронного луча.

Рис. 3

Электронный осциллограф – прибор, предназначенный для исследования формы кривых периодических колебаний на-пряжения от времени. Внешняя панель электронного осцилло-графа типа С1-73 изображена на рисунке 4. Данный осциллограф работает в диапазоне частот от 0 до 5 МГц , позволяет измерять

8


амплитуды колебаний в диапазоне от 0,02 до 120 В и импульсы длительностью от 0,2⋅10-6 до 0,5 секунд.

Основной частью осциллографа является электронно-лучевая трубка (рис. 4).

Рис. 4

Электронно-лучевая трубка состоит из стеклянного баллона,

из которого выкачан воздух до давления 10-6 мм ртутного столба. Внутрь трубки впаян ряд электродов. Спираль 1 подогревает катод 2. В результате термоэлектронной эмиссии электроны ускоряются электрическим полем порядка 103 Вольт, приложенным между управляющим катодом 3 и первым анодом 4. Второй анод 5 слу-жит для фокусировки электронного пучка, попадающего на флуо-ресцирующий экран 8. Ручкой «фокусировка» на панели осцилло-графа можно получить на экране трубки яркую точку. Тумблерами ↔ можно перемещать пятно по осям «х» и «y». Кроме того, в электронно-лучевой трубке имеются по две пары металлических пластин 6 и 7.

Если на какую-нибудь пару пластин подать напряжение, то электронный луч отклонится от своего направления, притягиваясь к положительно заряженной пластине и отталкиваясь от отрица-тельно заряженной пластины.

Если исследуемое переменное напряжение Uy = Uosinωt, где Uo его амплитудное значение, подать на вертикально отклоняю-щие пластины 6, то электронный луч будет совершать вертикаль-ные колебания с частотой ν = ω/2π, а световое пятно на

9


экране повторять их вдоль оси «y».

При малых частотах глаз успевает следить за этими колебаниями (на рисунке 5 условные точки по вертика-ли), при больших – на экране будет видна неподвижная вертикальная линия. Размах этой линии зависит от ам-плитуды колебаний, выстав-ляется тумблером потенцио-метра (V/дел) (рис. 3).

Для получения раз-вертки этих колебаний подают одновременно импульсное напря-жение на горизонтально отклоняющие пластины, меняющееся по линейному закону, Ux = kt, где k – константа, а t – время. При этом Ux = kt для nT < t < (n+1)T;

Рис. 5

Ux=0 для t= nТ; Ux=0 для t= (n+1)Т.

Под действием этого напряжения в пределах одного периода на участке (1 – 2) (рис. 6) пятно на экране ос-циллографа будет равномерно пе-ремещаться слева направо. Резуль-тирующая траектория луча пред-ставляет зависимость исследуемо-го напряжения от времени (рис. 5).

Рис. 6 Дей-ствительно, подставив t = Ux/k в уравнение Uy = Uo sinωt, имеем Uy = Uo sinω(Ux/k) – уравне-ние синусоиды, вычерченной электронным лучом на экране трубки в определенном масштабе.

Если по истечении времени, равного периоду исследуе-мого колебания, напряжение на горизонтально отклоняющих пластинах Ux скачком падает до 0 (участок 2–3), то световое пят-


10

но скачком возвращается в исходное положение. Если напряжение Ux вновь возрастает по тому же закону (участок 3–4), то на экране осциллографа снова воспроизводится синусоида (рис. 5).

Таким образом, для получения развертки исследуемого на-пряжения во времени, на пластины необходимо подать «пилооб-разное» напряжение (рис. 6), причем, периоды пилообразного и исследуемого напряжения должны совпадать. Если период развер-тывающего пилообразного напряжения кратен периоду исследуе-мого, например больше его, то на экране получится изображение нескольких полных колебаний. При неравенстве и некратности периодов кривая на экране будет двигаться.

Источником пилообразного напряжения является генератор развертки. При ручной регулировке поддерживать строгое равен-ство частот напряжений Ux и Uy трудно, поэтому осциллографы снабжаются автоматическим устройством для синхрониза-ции пилообразного напряжения с исследуемым. Порядок ра-боты с электронным осциллографом дан в его техническом описании на с. 22.

На осциллографе С1-73 Вы можете не только наблюдать, но и измерять:

1) полный размах переменного напряжения; 2) переменное напряжение с постоянной составляющей; 3) частоту напряжения.

11

Электромагнитные колебания

Лабораторная работа 3к

Сравнение шкал звуковых генераторов по фигурам Лиссажу

Приборы и принадлежности: звуковой генератор ГЗ-123, зву-ковой генератор ГЗ-109, осциллограф С1-73.

Цель работы: знакомство со звуковым генератором, осцилло-графом, освоение теории по сложению взаимно перпендикулярных колебаний, сравнение частотных шкал генераторов.

1. Понятие о звуковом генераторе

Генератор сигналов низкочастотный представляет собой ис-точник синусоидального напряжения U на фиксированных линей-ных частотах ν с фиксированными амплитудами напряжения Uо. Т.е. с выхода генератора можно снять переменное напряжение, меняющееся по закону U = Uоsin ωt, где ω – циклическая частота, равная 2πν. На рис. 1 показан внешний вид генератора ГЗ-109.

Рис. 1

12


Диапазон частот от 20 до 200000 Гц, диапазон амплитуд 0-15 В. Амплитуда напряжения регулируется ручкой «Амплиту-да», частота – ручкой «Частота» при определенном множителе частоты.

Целью настоящей лабораторной работы является сравнение частотных шкал двух генераторов с помощью осциллографа.

2. Понятие об электронном осциллографе

Электронный осциллограф типа С1-73 (внешняя панель изо-бражена на рис. 2) – лабораторный прибор, предназначенный для исследования формы кривых периодических колебаний напряжения во времени в диапазоне частот от 0 до 5 МГц путем визуального наблюдения и измерения их амплитуд в диапазоне от 0,02 до 120 В и длительностей импульсов в интервалах от 0,2⋅10-6 до 0,5 с. Ампли-туду напряжения меняете тумблером V/дел, при этом одна большая клетка по оси ординат соответствует указателю тумблера. Времен-ная шкала расположена по оси абсцисс (тумблеры ms/дел и μs/дел).

Рис. 2

Основной частью осциллографа является электронно-лучевая трубка (рис. 3).

13


Рис. 3

Электронно-лучевая трубка состоит из стеклянного баллона, из которого откачан воздух до давления 10-6 мм рт. столба. Внутрь трубки впаян ряд электродов. Источником электронов служит ка-тод 2, подогреваемый спиралью 1. Катод находится внутри цилин-дра 3, являющегося управляющим электродом. В основании ци-линдра сделано отверстие для пропускания узкого электронного пучка.

Вследствие термоэлектронной эмиссии катод испускает элек-троны, которые ускоряются в промежутке катод – первый анод 4 напряжением порядка 103 Вольт. Электроны попадают на флуо-ресцирующий экран 8, вызывая его свечение. Подводя отрица-тельный потенциал к цилиндру, можно уменьшать количество электронов, проходящих через его отверстие, а следовательно, и яркость пятна на экране. Для этого служит ручка «яркость» на внешней панели (рис. 2).

Второй анод 5, потенциал которого выше первого, служит для фокусировки электронного пучка. Ручкой «Фокус» на внешней панели осциллографа можно получить на экране трубки яркую точку.

Кроме того, в электроннолучевой трубке имеются две пары металлических пластин 6 и 7.

Если на какую-нибудь пару пластин (например, вход у) по-дать напряжение, то электронный луч отклонится от своего на-правления, притягиваясь к положительно заряженной пластине и отталкиваясь от отрицательно заряженной пластины. Если иссле-дуемое переменное напряжение Uу= Uоу sin ωt подать на горизон-тально отклоняющие пластины 6, то электронный луч будет со-вершать горизонтальные колебания с частотой ν = ω/2π, а световое пятно на экране повторять их вдоль оси «х» согласно уравнению

х = a sin ωt (1).

14


Здесь х – смещение светового пятна от положения равновесия на экране, a – амплитуда смещения, ωt – фаза колебаний в любой момент времени t.

При частотах ν порядка 1 – 4 Гц эти колебания видны на экра-не, так как глаз успевает следить за ходом пятна, а при более вы-соких частотах – на экране будет видна неподвижная горизонталь-ная линия. Размах этой линии, т.е. амплитуду а, можно менять ручкой «Выход» генератора.

Если теперь отключить вход х, а на вход у, т.е. на вертикально отклоняющие пластины, подать напряжение той же частоты, но другой амплитуды, и сдвинутое по фазе на δ, при этом Uу= Uоу sin(ωt – δ), то световое пятно будет колебаться вслед за напряжением вдоль горизонтали в соответствии с формулой

у = в sin (ωt – δ) (2). При одновременной подаче напряжений на оба входа наблю-

даются замкнутые траектории, в общем случае называемые фигу-рами Лиссажу, вид которых зависит от амплитуд, частот и раз-ностей фаз складываемых взаимно перпендикулярных колебаний.

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковых частот

Чтобы выяснить характер результирующей траектории в слу-

чае одинаковых частот, решим совместно уравнения (1) и (2), ис-ключив из них время t. Из уравнения (2)

δ⋅ω−δ sintcoscos⋅ω= tsinbу (3).

Подставляя сюда sinaxt =ω и учитывая, что

cos tsin2 ω−1t =ω , имеем:

δ⋅−−δ sinax1 2

2

⋅= cosax

by (4).

Отсюда

δ⋅−−= sinax

1 2

2

δ⋅− cosax

by

.

15


Возводя в квадрат обе части равенства и учитывая, что , получаем уравнение наклонного эллипса: 1cossin 22 =δ+δ

δ2sin=δ−+ 2

2

2

2

cosabxy2

by

ax (5).

Т.е. электронный луч описывает эллипс в прямоугольнике со сторонами 2а по оси x и 2b по оси y (рис. 4).

y 2b x

2а

Рис. 4

Вид эллипса зависит от разности фаз δ. При δ = 90о имеем каноническое уравнение эллипса

1ay

bx

2

2

2

2

=+ .

При изменении разности фаз в меньшую или большую сторо-ну эллипс поворачивается налево или направо, одновременно су-жаясь и вырождаясь в прямую (рис. 5).

Рис. 5

у

х

16


При δ = 0 (фазы совпадают) by

ax= и x

aby = . Эллипс вы-

рождается в прямую линию, расположенную в 1 – 3 четверти. То же происходит и при δ = 180о, колебания происходят в противофа-зе, луч будет колебаться по прямой во 2 - 4 четвертях.

Если амплитуды колебаний а и b равны (а = b = R), то при раз-ностях фаз 90 и 270о эллипс вырождается в окружность радиуса R, но в одном случае луч обегает окружность по часовой стрелке, в другом – против.

4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

кратных частот

Пусть теперь складываются два взаимно перпендикулярных колебания одинаковых амплитуд а, но частот, отличающихся как 1:2, заданных уравнениями:

х = a sin ωt х = a sin 2ωt

Учитывая, что sin 2β = 2 sin β⋅cos β, имеем уравнение сложной

функции 2

2

ax1x2y −±= , так как корень квадратный имеет два

значения. Это уравнение фигуры, похожей на «восьмерку», или двойной эллипс в квадрате со стороной 2а (рис. 6).

Вы можете построить эту фигуру, задавая значения х от 0 до а с шагом ± 0, 2 а.

При кратности частот 1 : 3 получается фигура, похожая на трой-ной эллипс (рис. 7), и так далее.

17


Рис. 7

При демонстрации с помощью осциллографа можно увидеть,

что эллипсы медленно перемещаются. Это происходит из-за того, что частоты складываемых колебаний слегка отличаются, что эк-вивалентно различию фаз. Плавно меняя частоту одного из генера-торов при стабильной частоте другого генератора, можно «Отло-вить» момент, когда эллипсы не будут перемещаться.

Если входы от генераторов поменять местами, картинки 6 и 7 поворачиваются на 900. На рис. 9 приведена схема подключения выводов от генераторов к осциллографу.

5. Схема лабораторной установки Синусоидальное напряжение подается на вход х электронного

осциллографа типа С1-73 с выхода генератора ГЗ-123, а на вход у – с генератора ГЗ-109. Генератор ГЗ-123 позволяет получать сиг-нал частот от 0,1 Гц до 299 кГц, а генератор 109 – только начиная с 20 Гц.

Рис. 9.

18


6. Порядок выполнения работы

1. Включите осциллограф в сеть. Ручками «Фокус» и «Яркость» добейтесь минимальной и отчетливой формы пятна на экране.

Ручками регулировок смещения луча поместите луч в центр экрана осциллографа. Включите генератор ГЗ-123 (рис. 10).

Рис. 10

Проверьте контакты. Выставьте на тумблере 5 «Hz» , а на

тумблере 4 – «1». Вы должны увидеть, как электронный луч со-вершает колебательное движение вдоль оси х с частотой 1 Гц. На-блюдайте его движение при частотах 2, 3, 4 и т.д. Установите 20 Гц. Отключите генератор.

2. Включите генератор ГЗ-109 (рис. 1). Установите множителем частоту 20 Гц. Ручкой установите нужную амплитуду. Вклю-чите второй генератор. Ручкой частоты подстраивайтесь до полу-чения устойчивого эллипса. Вы получили соотношение частот 1:1. Посмотрите, как меняется форма эллипса при изменении амплитуд входных напряжений. Зарисуйте фигуры в таблицу измерений. 3. Повторите те же измерения при увеличении частот в 10 и в 100 раз одновременно на обоих генераторах.

19


4. Измените частоту на одном из генераторов, чтобы соблюдалось соотношение частот 1:2. Получите устойчивое изображение двой-ного эллипса. Зарисуйте фигуру. Пронаблюдайте за фигурой при соотношении частот 2:1. То же самое проделайте на других часто-тах. 5. Повторите измерения для соотношений частот 1:3, 3:1. 6. Повторите измерения для соотношений частот 2:3, 3:2.

7. Таблица результатов измерений №п/п входы часто-

ты соотно-шения частот

фигура (различные амплитуды)

фигура (одинаковые амплитуды)

1 х 1:1 у

2 х 1:2

у 3 х 2:1

у

4

х 1:3 у

5

х 3:1 у

6

х 2:3

у 7

х 3:2

у

20


8. Контрольные вопросы

1. Что такое электронный осциллограф? 2. Какова роль пластин в электроннолучевой трубке? 3. Что дает на выходе звуковой генератор? 4. Какова траектория луча на экране осциллографа при участии его в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой часто-ты? Докажите это аналитически. 5. Какова траектория луча на экране осциллографа при участии его в двух взаимно перпендикулярных колебаниях при соотношении частот 1:2, 2:1? Докажите это аналитически. 6. Почему не удается получить неподвижные фигуры Лиссажу на данной лабораторной установке? 7. Как с помощью фигур Лиссажу можно сравнить частотные шка-лы двух генераторов?

9. ЛИТЕРАТУРА

1. [2], с.265-267. 2. [1], с.303-304. 3. [5], с.388-391.

21

Электромагнитные колебания ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 12К

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

КОЛЕБАНИЙ Приборы и принадлежности: колебательный контур, вибро-

преобразователь, осциллограф С1-73, омметр. Цель работы: изучение параметров электромагнитных коле-

баний и их характеристик в реальном колебательном контуре, оп-ределение логарифмического декремента затухания колебаний, измерение критического сопротивления.

I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 1.1 Свободные электромагнитные колебания в LC – контуре

В идеальном колебательном контуре, содержащем только кон-денсатор ёмкости C и катушку индуктивности L, в котором сопро-тивление равно нулю (таким может быть сверхпроводящий кон-тур), могут происходить свободные электромагнитные колебания.

Электромагнитными колебаниями считаются колебания элек-трических и магнитных величин: заряда q на обкладках конденса-тора, напряженности электрического поля Е конденсатора, U – напряжения между его обкладками, а также силы тока I и величи-ны магнитной индукции B в катушке. Сила тока и магнитная ин-дукция являются магнитными величинами.

Величины q, E, U, I, B периодически меняются со временем, следовательно: q(t) = q(t +nT), E(t) = E(t +nT), U(t) = U(t +nT), I(t) = I(t +nT), B(t) = B(t +nT), где Т – период колебаний, n≥1. Период колебаний – это время, в течение которого величина, полностью изменив свое значение, возвращается к первоначальному значению.

22


Рассмотрим закон изменения электрических и магнитных ве-личин в контуре (без сопротивления), первоначально присоеди-ненном к батарее ε с помощью ключа К (рис. 1).

Рис. 1

Зафиксируем момент времени t = 0, когда верхняя пластина

конденсатора зарядилась отрицательно зарядом -qо ,а нижняя по-ложительным зарядом +qо . Отключим батарею ε и проследим мысленно за процессами, происходящими в LC -контуре.

В момент отключения батареи конденсатор разряжается, по катушке L пойдет нарастающий ток Iосн. В каждый момент време-ни разность потенциалов на обкладках конденсатора

CqU = , где

q – меняющийся заряд, фиксированный для данного момента вре-мени, будет равна электродвижущей силе самоиндукции εsi (э.д.с.) самоиндукции, которая нарастает вследствие нарастания основно-го тока. Эта э.д.с. вызовет индукционный ток Isi , направленный против основного тока.

В момент времени, когда конденсатор полностью разрядится (q = 0, U = 0), сила тока в катушке достигнет максимального зна-чения Iо , вокруг катушки возникнет магнитное поле с максималь-ным значением индукции Во . Затем эта сила тока будет умень-шаться из-за перезарядки конденсатора. Когда ток уменьшится до нуля, на нижней пластине накопится заряд -qо, а на верхней +qо.

Затем конденсатор вновь начнет разряжаться, причём ток в цепи пойдет в противоположном направлении.

23


Процессы разрядки и зарядки конденсатора, а следовательно, возникновения и исчезновения магнитного поля, повторяются пе-риодически.

В данном контуре возникают, так называемые, свободные электромагнитные колебания, т.е.. колебания величин напря-женностей электрических и магнитных полей, сопровождаю-щиеся перекачкой энергии из электрического поля в магнит-ное и обратно.

Определим период этих колебаний, учтя, что в любой момент времени разность потенциалов UС на обкладках конденсатора рав-на э.д.с. самоиндукции εsi .

Uc = εsi , или dtdIL

CqUc −== (1).

Так как сила тока dtdqI = , то, подставляя в (1), имеем диффе-

ренциальное уравнение для свободных колебаний заряда

0qLC1

dtqd2

2=+ (2).

Обозначая LC1

= 0ωω0 , где имеет размерность с-1, через

циклическую частоту, окончательно имеем:

0qωdt

qd 2о2

2=+ (3).

Покажем подстановкой, что решением этого уравнения явля-ются гармонические функции вида

q = qо cos (ωоt + ϕ) (4), или

q = qо sin (ωоt + ϕ) (5), где ϕ – константа, называемая начальной фазой колебаний.

Убедимся в этом хотя бы для функции (4). Первая производная заряда по времени

)tsin(ωω ооо ϕ+qdtdq

−= (6)

24


а вторая ( )ϕ+tωcosωq о2оо−=

dtqd2

2 (7).

Подставим значение заряда (4), его вторую производную (7) в уравнение его свободных колебаний (3).

( ) ( ) 0tωcos оо =+ ϕqωtωcosωq 2оо

2оо ++− ϕ ; 0≡ 0.

Следовательно, формула (4), а то же можно показать и для (5), подтверждает, что заряд конденсатора изменяется (осциллирует)

по закону гармонической функции. Сила тока dtdq

=I , как видно из

(6), также меняется по закону гармонической функции

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

2πtωcos о ϕ=+−= ItωsinωqI оооо ϕ (8),

но его колебания отстают по фазе на 2π

по отношению к колеба-

ниям заряда. Графики колебаний заряда и силы тока в соответствии с фор-

мулами (4) и (8), имеют вид незатухающих гармонических функ-ций (рис. 2).

Рис. 2

25


Амплитуды тока (Iо) и заряда (qо) в таких идеальных колеба-ниях не изменяются. На рисунке показаны зависимости заряда от времени и силы тока от фазы. Величина временного периода (Т) соответствует сдвигу по фазе на 2π. В данном случае отставание по фазе тока на π/2 соответствует отставанию по времени на чет-верть периода (Т/4).

Частота этих колебаний зависит от параметров контура

L и C, т.е. LC1 LC2π

ω2πTо

о ==ωо = , а период их , опре-

деляется по формуле Томсона. Здесь ωо называется еще собственной частотой электромаг-

нитных колебаний. Полная энергия этих колебаний равна сумме электрической

энергии конденсатора 2CqW

2

e = и магнитной энергии катушки

2LIW

2

m = , ⇒ 2

LI2Cq 22

полн. +=W .

Подставляя сюда значение заряда q = qо cos (ωоt + ϕ), силы

тока I = – qоωоsin(ωоt + ϕ) и, учитывая, что LC1ω2

о = , получаем,

что полная энергия в таком идеальном контуре сохраняется посто-янной в любой момент времени, так как амплитуды заряда и силы тока не меняются.

( ) ( ) const2Cq2о ==ϕtωsin

2Lωqtωcos

2CqW о

22о

2о

о2

2о

полн. +++= ϕ

Такие колебания называются незатухающими.

1.2. Затухающие электромагнитные колебания в L, C, R контуре

Рассмотренные выше незатухающие колебания могут проис-ходить в сверхпроводящем контуре. Любая реальная цепь облада-ет активным сопротивлением R, поэтому часть энергии, запасен-ная первоначально в контуре, будет превращаться в тепловую энергию, и колебания будут затухать. Убедимся в этом, применяя к контуру L,C,R (рис. 3), такие же рассуждения, что и

26


Рис. 3

для идеального контура. Зарядим конденсатор, а затем быстро пере-ключим ключ К в положение 2. Теперь уже в любой момент време-ни сумма напряжений UС на конденсаторе, UR на сопротивлении, будет равна электродвижущей силе самоиндукции (εsi). Это же сле-дует из второго правила Кирхгофа:

UС + UR = εsi (9)

или, dtdILIR

Cq

−=+ (10)

Подставляя dtdqI = и 2

2

dtqd

dtdI

= , и деля всё на L, имеем:

0qLC1

dtdq

LR

=+dt

qd2

2+ (11)

дифференциальное уравнение колебаний заряда в L,C,R – контуре.

Обозначая LC1ω2

о = , знакомый нам квадрат собственной

частоты, и 2γLR= , где γ – коэффициент затухания, равный

2LRγ = , окончательно имеем:

0qωdtdq2γ 2

o =+dt

qd2

2+ (12)

27


Уравнение (12) – это однородное дифференциальное уравне-ние второго порядка. Решение его ищем в виде функции:

q(t) = Z(t)⋅ e -γ t (13), где е – основание натурального логарифма, а Z(t) необходимо най-

ти подстановкой (13), а также dtdq

и 2

2

dtqd

в уравнение (12). Не по-

считаем за труд взять производные заряда по времени:

первую γtγt ZeγedtdZ −− ⋅−

dtdq

= (14),

и вторую

tγ

tγ2tγ ZeγedtdZ

⋅

⋅−⋅− +

2tγtγ2

2

tγγt2

2

2

2

ZeγedtdZ2γe

dtZd

γedtdZγe

dtZd

dtqd

−⋅−⋅−

⋅−−

+−=

−−= (15).

Подставим (13), (14), (15) в уравнение (12) и сократим на е – γt.

0ZωZγ2 2о

2 =+−dtdZγ2Zγ

dtdZγ2

dtZd 22

2

++− .

После приведения подобных членов имеем дифференциальное

уравнение для нахождения Z(t):

( ) 0Z γωZ 2202 =−+

dtd2

(16)

220 γωω −=Обозначая – как циклическую частоту реаль-

ных колебаний, видим, что они происходят с частотой меньше соб-ственной, так как на сопротивлении теряется часть энергии.

Окончательно, уравнение (16) для нахождения Z(t) похоже на уравнение свободных колебаний (3), решение которого мы уже имели

0Zωdt

Zd 22

2=+ (17)

28


Решением уравнения (17) является гармоническая функция в случае, если ωо>γ, т.е. при малом затухании,

Z(t) = qо cos (ωt + α) (18) где qо – амплитудное значение функции Z, а α – начальная фаза колебаний заряда.

Подставляя в (13), окончательно имеем: q(t) = qо e -γt cos (ωt + α) (19).

Из (19) видим, что амплитуда колебаний заряда A= qоe -γt не по-стоянна во времени, имеет вид затухающей экспоненты (рис. 4).

Рис. 4

Быстрота спадания амплитуды определяется величиной коэф-

фициента затухания γ, и оказывается тем больше, чем больше со-противление резистора R. Катушки же большой индуктивности не дают колебаниям затухать так быстро.

Если затухание не слишком велико, то колебания можно рас-сматривать как гармонические, на которые накладывается затуха-ние амплитуды, происходящее по закону A= qоe -γt (рис. 5). Уменьшение амплитуды заряда на рисунке указано штриховыми линиями.

Рис. 5

29


Проанализируем некоторые особенности затухающих ко-лебаний.

Как было показано, частота колебаний ω меньше собственной:

4LR

LC1γωω

222

0 −=−= (20), а

величина заряда периодически уменьшается по экспоненциально-му закону (рис. 5).

⎟⎟

⎠

⎞+− αt

4LR

LC1 2t

2LR

о ⎜⎜

⎝

⎛=

−coseqq(t) (21)

Колебания пропадают при условии ω=0, то есть, при сопро-тивлениях R, больше критического, определяемого по формуле

CL2R кр. = (22)

Если R = Rкр., период

4LR

LC1

2π2

−=T обращается в

бесконечность, т.е. движение зарядов перестаёт быть периодиче-ским. Процесс становится апериодическим, не колебательным. Та-ким образом, критическое сопротивление R – то, при котором прекращаются колебания в контуре. Если сопротивление R столь велико, что оно больше критического

LC1

4LR2

f , то решение (21) теряет силу, так как частота ω стано-

вится мнимой величиной. В данной работе требуется определить критическое со-

противление, для этого в установке имеется переменный рези-стор R, сопротивление которого можно регулировать и сле-дить за установлением апериодического режима.

Затухание в контуре характеризуется логарифмическим дек-рементом затухания δ, который определяется как натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний, взятых через пери-од (рис. 6), т.е.

30


Рис. 6

δT)A(t

A(t)ln+

= (23)

Так как амплитуда заряда А(t) = qо e -γ t, где 2LRγ = , то

δ Tγeq

eqT)γ(t

о

tγо ⋅=+−

⋅−

ln= . Значит, логарифмический декремент ко-

лебаний может быть рассчитан теоретически:

2LRTδ = (24)

Чем меньше логарифмический декремент затухания, тем выше

добротность контура Q, определяемая как δπ

=Q , или

RT2LQ π

= (25)

Рассмотрим физический смысл добротности (при малом зату-хании).

Энергия Wo, запасенная в контуре в начале цикла, равна 2Cq2о ,

а через период – T2γ2о e

2Cq ⋅− . За цикл теряется энергия ΔW, рав-

ная:

( )Q2πWT2γW oo ≈⋅e1WΔW T2γ

o ≈−= ⋅− .

31


Таким образом, добротность контура равна ΔW2π

WQ o= .

Добротность контура определяет, во сколько раз энергия, за-пасённая в контуре, превосходит среднюю потерю энергии за промежуток времени, в течение которого фаза колебания меня-ется на 2π радиан.

В работе требуется измерить период колебаний, критиче-ское сопротивление контура, построить зависимость логариф-мического декремента затухания от сопротивления контура, а также установить зависимость добротности контура от его со-противления.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

2.1. Описание схемы эксперимента В лабораторной работе для исследования затухающих колеба-

ний в колебательном контуре используется универсальный лабора-торный стенд, который является источником постоянного напряже-ния "+15В", "+5В" и переменного напряжения "7,5 В". В лабораторном стенде предусмотрена сменная плата. Все необходи-мые измерения осуществляются с помощью омметра и осциллогра-фа C1-73, внешняя панель которого показана на рисунке 7.

32


Рис. 7 Здесь ручкой V/дел. меняется цена деления амплитуды напря-

жения на оси ординат, а ручкой ms/дел. – меняется цена деления временной оси. Указатели позволяют перемещать изображение в плоскости экрана.

Принципиальная схема сменной платы приведена на рисунке 8.

Рис. 8

Внешний вид платы с расположением на ней элементов схемы

приведен рис. 9. 7

33


Рис. 9

Здесь L – катушка индуктивностью 1,2 мГн. С1 , С2 – два кон-денсатора емкостями по 5800 πФ. Их можно включать раздельно и

34

параллельно с помощью ключа К. Rо – резистор, сопротивлением 300 Ом, необходимый для ограничения тока в цепи, R – перемен-ный резистор, с помощью которого можно изменять активное со-противление контура.

Для подачи напряжения в контур служит вибропреобразова-тель ВП, состоящий из катушки Р (рис.8) и подвижного упругого контакта К3, который зависит от направления тока в обмотке реле, и замыкается либо с контактом К1, включая постоянное напряже-ние "+15В", либо с контактом К2, который обрезает это напряже-ние. С выхода вибропреобразователя можно снять импульсное на-пряжение с периодом То = 0,02 с (периодом переменного тока) (рис. 10).

Рис. 10

В этом Вы можете убедиться, присоединив вход осциллографа

к точкам "8" и "7" при работающем вибропреобразователе (ключ Кп должен быть замкнут). Электронный луч прочертит на экране кривую импульсного напряжения.

Если теперь подать это напряжение в колебательный контур, то в момент его роста происходит зарядка конденсатора, в проме-жутках же между импульсами возникают затухающие колебания напряжения (рис. 11).

35


Рис. 11

Эти затухающие колебания можно наблюдать на экране ос-

циллографа, подключенного к колебательному контуру через гнезда "5" и "7".

2.2 Методика проведения эксперимента

а) Период колебаний измеряют с помощью осциллографа. При

подключении осциллографа к точкам "5" и "7" на экране видны затухающие колебания напряжения. Подбором делителей напря-жения и времени можно добиться устойчивого изображения ос-циллограммы. При этом 5 маленьких делений на временной оси

соответствуют указателю делms или

делμs . Для увеличения точности

измерений периода следует измерить длительность (по временной оси) 5-10 полных колебаний и разделить ее на полное число коле-баний.

б).Измерение логарифмического декремента затухания вы-полняется путем вычисления логарифмов отношений амплитуд двух последующих колебаний. Величины амплитуд находятся в маленьких делениях шкалы по оси ординат осциллограммы.

в) Измерение активного сопротивления выполняется оммет-ром при отключенном питании. Для этого омметр подключают к гнездам "6" и "7" сменной платы предварительно нажав на кнопку «сеть».

36


2.3. Выполнение измерений

Упражнение 1 Наблюдение импульсного напряжения.

Включите сеть, сменную плату и осциллограф. Подключите

общую шину осциллографа к точке "7", а вход "у" к точке "8" и замкните ключ Кп. Наблюдайте осциллограмму импульсного на-пряжения при разных ценах деления временной оси 1, 2, 5 μS/дел.

Упражнение 2 Измерение периода затухающих колебаний

Перекиньте вход "у" осциллографа на точку "5". Наблюдайте

осциллограммы затухающих колебаний при разных ценах деления временной шкалы: 0,5; 0,2; 0,1; 50; 20 μS/дел.

Наблюдайте как меняется период колебаний при включении одной ёмкости, двух параллельных (ключ К). Амплитуду сигнала можете менять тумблером V/дел.

Установите минимальное значение сопротивления R и из-мерьте период по осциллограмме, наблюдая не менее 5 колеба-ний для ёмкости С1 = 6800 πФ и двух емкостей С2= 13600 πФ. Проверьте соответствие измеренной величины периода, получен-ного экспериментально (Тэксп. 1,2) и периода, рассчитанного по формуле Томсона (Трасч. 1,2)

LC2πTрасч. = Индуктивность катушки 1,2 мГн.

Упражнение 3 Измерение критического сопротивления

Наблюдайте осциллограмму затухающих колебаний для одной

из емкостей. Увеличивайте сопротивление R до установления апе-риодического режима (затухающие колебания исчезают). От-ключите питание. Измерьте омметром критическое сопротивле-

37


CL2Rкр.расч. =ние Rкр.эксп.. Сравните его с . Для большей точно-

сти результаты получите для трех шкал 50 μS/дел., 20 μS/дел., 10μS/дел.

Упражнение 4 Изучение зависимости логарифмического декремента

затухания от сопротивления

Для какого-то фиксированного сопротивления R и ёмкости С наблюдайте осциллограмму затухающих колебаний. Вы получите зависимость напряжения U от времени t .

t

Рис. 11 Сдвигая ее по экрану тумблером " ", определите ам-плитуды не менее 5 – 6 колебаний (А1, А2, .... А3) в маленьких де-лениях шкалы.

Рассчитайте логарифмический декремент затухания:

T)A(t)A(tln

i

i

+δi = , т.е.: ;

2

11 ln=

AAδ ;

3

22 A

Alnδ = … .δ

Вычислите среднее значение δср. для данного R. 4

54 A

Aln=

Не забудьте измерить R при отключенной плате!

То же самое проделайте для пяти – семи значений R.

38


Постройте график зависимости логарифмического декремента затухания от величины сопротивления δ (R ). Сравните с теорети-ческой зависимостью (24).

Определите добротности контуров по формуле δπ

=Q для

контуров с различными сопротивлениями R и постройте график зависимости добротности от величины сопротивления Q (R ).

Таблица измерений зависимости логарифмического декремента затухания от сопротивления

№ п/п

R1=… Oм R2=… Oм R5=… Oм Аi

(дел) δ1 i=

)Tit(A

)it(A

+ln

Аi (дел)

δ2 i=

)Tit(A

)it(A

+ln

Аi (дел) δn i=

)Tit(A

)it(Aln

+

1

2

3

4

5

Декремент δ1 ср=…

δ2 ср=…

δn ср=…

Добротность

Q1=… Q2=… Qn=…

39


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что подразумевается под электромагнитными колебаниями? 2. В чем состоит явление самоиндукции? 3. Поясните механизм возникновения электромагнитных колеба-

ний? 4. Чем отличаются свободные колебания от затухающих? 5. Какое сопротивление называется критическим? 6. Что такое логарифмический декремент затухания колебаний?

Как он зависит от сопротивления? 7. Зачем в колебательный контур включен вибропреобразователь? 8. Докажите, что в L, R,C – контуре колебания заряда происходят

по закону q = qое -γ t cos (ωоt + ϕ). 9. Что такое добротность колебательного контура с позиций энер-гии?

ЛИТЕРАТУРА

1. [6], с.256-259. 2. [1], с.268-271. 3. [3], с.402-407. 4. [6], с.261-262. 5. [5], с.310-317

40


ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7К

Определение добротности колебательного контура по резонансу напряжений

Приборы и принадлежности: генератор переменной эдс, ко-

лебательный контур с набором различных емкостей С, резисторов R, катушек индуктивности L, микроамперметр μА.

Теоретическая часть

1. Понятие о вынужденных колебаниях в колебательном контуре. Добротность контура

Цепь, содержащая резистор сопротивлением R , конденсатор

емкости C и катушку индуктивности L, называется колебатель-ным контуром. Если колебательный контур подсоединить к гене-

ратору,

являющемуся источником переменной электродвижущей силы (эдс), то в контуре возникнут вынужденные электромагнитные колебания с линейной частотой ν, равной частоте вынуждаю-щей переменной эдс. Электромагнитные колебания – это коле-бания заряда, электрического поля в конденсаторе, тока в конту-ре, а значит, и магнитного поля в катушке.

На рисунке 1 изображен колебательный контур, подключен-ный к генератору переменного напряжения, где ε – переменная эдс, снимаемая с выхода генератора, εо- амплитуда эдс, которую

41


можно менять ручкой В «регулировка выхода», ω- циклическая частота, равная ω=2πν. Выходную частоту ν можно менять руч-кой частот Ч с диапазонами ×1, ×10, ×100, ×1000.

CLρ =Величина имеет размерность Ом и называется ха-

рактеристическим сопротивлением колебательного контура. От-ношение характеристического сопротивления ρ к омическому R обозначается Q и называется добротностью колебательного кон-тура.

CL

R1

RρQ == (1).

Если подаваемая в контур эдс меняется со временем по зако-

ну ε=εocos ωt, то сила тока в контуре будет изменяться также по гармоническому закону с той же частотой ω, т.е.

I=Io cos (ωt + ϕ) (2). Амплитуда тока Io и начальная фаза ϕ будут зависеть не толь-

ко от амплитуды и частоты эдс, но и от параметров контура L,C,R, следовательно, будут определяться добротностью Q коле-бательного контура.

Добротность Q определяет отношение величины напряжения на катушке индуктивности, или конденсаторе к амплитуде эдс при резонансе, т.е.

Q=0

C

0

L UUε

=ε

(3).

Амплитудные значения напряжений на катушке и конденса-торе при резонансе напряжений при резонансе могут во много раз превышать амплитудное значение эдс.

Эти зависимости можно показать, применяя второе правило Кирхгофа к данному колебательному контуру и решая дифферен-циальное уравнение вынужденных колебаний, как показано в при-ложении к работе.

Возможен для данных целей и примененный здесь метод векторных диаграмм. Покажем его.

42


2. Геометрический способ представления колебаний Рассмотрим этот метод на примере уравнения гармонических

колебаний точки вдоль оси х x =A cos (ωt + α) (4)

В уравнении (3): х – смещение точки вдоль оси х, A – амплитуда смещения, (ωt + α) – фаза, ω – циклическая частота, α – началь-ная фаза. Оказывается, колеблющуюся величину х можно пред-ставить геометрически.

Для этого выберем произвольно ось х (рис. 2).

Рис. 2

Из точки О отложим вектор Аr

, равный по величине амплиту-де смещения А, под углом, равным начальной фазе α . Тогда для времени t=0 величина проекции вектора А

rна ось х будет равна

xо =Acos α. Пусть теперь вектор Аrвращается против часовой

стрелки относительно точки О и за время t повернется на угол ωt. Новая проекция вектора А

r на ось х в этот момент времени будет

равна x =A cos (ωt + α). Т.е. колебание геометрически может быть представлено

вектором, длина которого равна амплитуде А, отложенным под углом, равным начальной фазе α, и вращающимся против часовой стрелки с угловой скоростью ω.

Этот метод можно использовать и для колебаний напряжений в колебательном контуре на резисторе R, конденсаторе C и ка-тушке индуктивности L. Если частота колебаний одна и та же, то

43


характеристики результирующего колебания (амплитуду и на-чальную фазу) можно найти по правилам сложения векторов.

3. Резистор в цепи переменного тока.

Векторная диаграмма напряжения на резисторе В такой простой цепи (рис. 3)

Рис. 3

сила тока Rε

RεI 0== cos ωt =I0 cos ωt колеблется в фазе с

приложенным напряжением. Колебания напряжения на рези-сторе

UR= I0 R cos ωt (5) также совпадают по фазе с колебаниями напряжения на вы-ходе источника эдс. Так как начальная фаза этих колебаний равна нулю, геометрически UR изображается вектором, дли-ной I0R, направленным вдоль оси х (рис. 4).

Рис. 4

4. Конденсатор в цепи переменного тока. Векторная диаграмма напряжения на конденсаторе Теперь в цепи с источником переменной эдс присутствует

только конденсатор емкостью С (рис. 5).

44


Рис. 5

По второму правилу Кирхгофа ε=UC. Напряжение на конден-

саторе UC = Cq

. Отсюда 0εCq= cos ωt, и q=ε0C cos ωt. Тогда сила

тока в контуре

I= )2πωCcos(ωtε0 −ωCsinωtε

dtdq

0 =−= )2πt cos(ωI0 −= .

Здесь I0 – амплитудное значение тока, равное ε0 ωC. По закону Ома

I0

C

, где величина RC =0

Rε

= ωС1

называется емкостным сопро-

тивлением. Тогда колебания напряжения на конденсаторе

UC )2πtcos(ω

ωCI

о0 −IR C == (6)

отстают от колебаний напряжения в цепи по фазе на 2π

.

На векторной диаграмме такое колебание изобразится векто-

ром, равным по величине ωCI0 , расположенным под углом

α=2π

− к оси х (рис. 6).

45


Рис. 6

5. Катушка индуктивности в цепи переменного тока. Векторная диаграмма напряжения на катушке

Рис. 7

Теперь в цепи переменный ток от переменной эдс вызывает

появление эдс самоиндукции εsi dtdIL−= , где L – индуктивность

катушки. По второму правилу Кирхгофа ε = εsi , или

ε0 cos ωt dtdIL−= → ( )dt t cos

Lε0 ω−=dI ,

а сила тока

( ) ( )tsinLωεdt 0 ω−= tcos

LεI

t

0

0 ω−= ∫ .

46


Так как, – sin ωt = cos (ωt + 2π

), то сила тока I=Lωε 0 cos (ωt +

2π

),

а амплитудное значение тока I0=Lωε 0 . Обозначая индуктивное со-

противление RL=Lω, имеем для напряжения на катушке значение

UL=I0 Lω cos (ωt + 2π

) (7)

Отсюда видим, что напряжение на катушке индуктивности опере-

жает напряжение в цепи по фазе на 2π

. Амплитудное значение

этого напряжения UL=I0 Lω. Векторная диаграмма этого напряже-ния представлена на рисунке 8.

Рис. 8

Сопоставляя рис. 8 с рис. 7, видим, что колебания напря-

жений на катушке и на конденсаторе происходят в противо-фазе.

4. Вынужденные электромагнитные колебания в по-следовательном R, C, L – контуре. Диаграмма на-пряжений

Рассмотрим колебательный контур, в котором действует вы-

нуждающая переменная эдс (рис. 9).

47


Рис. 9

∑ ∑По второму правилу Кирхгофа = Uε , или сумма элек-тродвижущих сил в замкнутом контуре равна сумме падений на-пряжения на отдельных его участках. Поэтому ε=UR +UC +UL . Представим результирующее колебание, пользуясь векторной диа-граммой, предположив для простоты, что UL > UC, хотя может быть и иначе. На рисунке 10 под углом равным нулю к оси х рас-положен вектор, модуль которого UR =I0R. Вектора, длины кото-

рых UL = I0 Lω и UC =ωCI0 показаны во взаимно перпендикуляр-

ных направлениях. Результирующая амплитуда напряжения на катушке и конденсаторе(UC – UL) изображена отрезкомI0(Lω –

)ωC1

. Тогда амплитуда эдс εо=IoZ, где Z полное сопротивление

цепи переменному току, должна быть геометрической суммой ам-плитуд напряжения на резисторе, катушке и конденсаторе, что и показано на векторной диаграмме.

Рис. 10

48


Т.е. (εо)2 = I0 2 R2 + I0

2(Lω – )ωC1 2, откуда амплитудное значение

тока I02

о

ωC1Lω

ε

⎟⎠⎞−

=2R ⎜

⎝⎛+

(8)

определяется амплитудой эдс и полным сопротивлением цепи Z, называемым импедансом. По закону Ома

I0 Zεо= ,

где

Z2

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

ωC1Lω= R (9).

Здесь (Lω – ωС1

) – это реактивное сопротивление цепи перемен-

ному току в отличие от R – активного. Отсюда можно сделать вы-вод, что ток в такой цепи совершает вынужденные колебания согласно уравнению ( )= + ϕωtcosII o , той же частоты, что и частота вынуждающей эдс, с амплитудой I0 и с начальной фазой ϕ, определяемой, согласно рисунку 10, из условия

RωC1Lω ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= tg ϕ (10)

Особый случай возникает, когда амплитуда напряжения на ка-тушке индуктивности UL = I0 Lω совпадает с амплитудой напря-

жения на конденсаторе UC =ωCI0

, находясь при этом в противофазе

с ней. Тогда индуктивное сопротивление совпадет с емкостным,

т.е. Lω=ωC1

. Это произойдет при частоте ω =LC1

, равной соб-

ственной частоте ωo. При этом полное сопротивление цепи пере-

49


менному току будет обусловлено только активным R, и амплиту-

да тока I0 Rεо= резко возрастет.

Резкое возрастание амплитуды силы тока при совпадении частоты вынуждающей эдс с собственной частотой колеба-ний в контуре называется электрическим резонансом.

На рисунке 11 показано резкое возрастание амплитуды силы тока (I0) при совпадении частоты вынуждающей эдс с собственной частотой колебаний в контуре, т.е. при ω=ωо.

При

час-то-тах внешне

й эдс (ω<<ωо

) много

меньших и (ω>>ωо

) много больших собственной, амплитуда тока мала, так как пре-валируют или индуктивное или емкостное сопротивления, а при частоте внешней эдс, совпадающей с собственной частотой контура, реактивное сопротивление контура становится рав-ным нулю, и амплитуда тока резко возрастает.

I

Рассмотренный выше резонанс в последовательном колеба-тельном контуре называется резонансом напряжений. При этом из-за высокой амплитуды тока амплитуды напряжений на катушке и конденсаторе могут оказаться значительно выше амплитуды эдс,

I0

ω ω=ωo

50


что является опасным явлением, приводя обмотки к перегоранию, а конденсаторы к пробою.

При резонансной частоте напряжение на катушке, равное на-пряжению на конденсаторе, определяется как UL= UC= Qεо. Если добротность контура превышает 1, то при резонансной часто-те напряжения на катушке и на конденсаторе превышают ам-плитуду эдс в Q раз.

Целью настоящей работы является определение добротности

колебательного контура по резонансной кривой оmax o

о

νν

II

от

(рис. 12), где Io – амплитуда тока при частоте ν, близкой к резо-нансной, Io max – амплитуда тока при частоте ν=νо , т.е. , в резонан-се.

Тогда при резонансной частоте ,1I

I

max o

о = и оνν

=1. Контура

с различными добротностями будут иметь различную ширину, проходить через точки (1,1) (рис. 12).

7. Идея определения добротности колебательного контура

Оказывается, добротность колебательного контура можно оп-

ределить по резонансным кривым оmax o

о

νν

II

от .

Покажем, что добротность контура можно опреде-

лить по отношению оνν . Действительно,

22 ωL

ωC1

R

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

max o

о

RI

I= (11)

51


Найдем вначале зависимость о

ω

max o

о

ωII

от , помня, что ωо=LC1

.

Для этого представим выражение

ω 20

22

LωLωС1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2202 ωωω

L =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2

0

20

ωω

ωω

2

0

02

ωω

ωω

LCL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

0

0

ωω

ωω

CL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

222

2

Qω

CRLR⎜⎜⎝

⎛2

0

0 Rωω

ω=⎟⎟

⎠

⎞−=

2

0

0

ωω

ωω

⎟⎟⎠

⎞−⎜⎜

⎝

⎛. Из (1)

CL

R1 , поQ = -

этому,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞−

02

0

ννF

νν

⎜⎜⎝

⎛+

=02

max o

о

νν

Q1

1I

I (12).

Т.е. отношение амплитуды тока Io к Io max – амплитуде тока в резонансе, является функцией отношения частоты колебаний то-ка к частоте его при резонансе, и различно при разных добротно-стях системы Q.

Графическая зависимость оmax o

о

νν

II

от называется резо-

нансной кривой. На рисунке 12 представлены резонансные кривые для двух различных добротностей.

52


1 omax

o

II

оνν

1

Рис. 12

Чем меньше активное сопротивление R, тем больше доброт-

ность Q, тем уже резонансная кривая, тем уже диапазон частот внешнего генератора, в котором амплитуды вынужденных колеба-ний в контуре значительны.

По резонансной кривой можно определить добротность кон-тура. Из формулы 12 видно, что если

Q 1νν

νν

0

0 =⎟⎟⎠

⎞

⎝−⎜⎜

⎛ (13),

то 2

1I

max o

о =I

=0,7. Т.е. добротность Q можно определить из

графика (рис. 13) на уровне отношений токов 0.7 по величине оνν

.

Из формулы 13 имеем:

Q=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

0

0

νν

νν

1 (14).

53


1 omax

o

II

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 ν

oνν≤νо ν≥νо

Рис. 13 Знаменатель можно представить иначе:

( )( )0

00

νννννν +−

=0

220

0

0

νννν

νν

νν

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− .

Вблизи резонанса ν≈νо , ( ν+νо) ≈ 2νо, а ( νо -ν) =Δν<<νо , тогда добротность

Q=ν2Δоν (15),

что и является рабочей формулой для определения доброт-ности контура.

Для этого на графике (рис. 13) оmax o

о

νν

II

от на уровне отно-

шения токов 0,7 по оси абсцисс измеряют ширину резонансной

кривой оν

2Δν, а затем единицу (1) делят на полученное значение.

oν

2 νΔ

54


Колебательные контура являются главнейшими элементами в радиосистемах оперативной передачи информации. Во входных цепях радиоприемников, телевизоров контура по резонансу позво-ляют выбрать из многочисленных колебаний электромагнитные колебания нужных частот. Вращая ручку настройки радиоприем-ника, мы плавно меняем емкость входного контура, при переклю-чении диапазона, меняется индуктивность, тем самым меняется собственная частота контура. Если собственная частота контура совпадет с частотой пришедшей волны, резко растет сила тока, Вы сможете настроить приемник на определенную станцию. Следую-щие контуры с помощью индуктивной связи установлены в даль-нейших каскадах усиления токов или напряжений данной часто-ты.

Из формулы (15) видно, что добротность контура тем выше, чем уже резонансная кривая. Это значит, что чем выше доброт-ность контура, тем уже полоса пропускания. Тем меньше час-тот, соседних с собственной, будет усилено, тем меньше меша-ют данной станции колебания, близкие по частоте к принимаемым.


Внешний вид установки изображен на рис. 14

Рис. 14

55


Генератор ГЗ-33 позволяет ручкой «регулировка выхода» ме-нять величину выходного напряжения, а ручкой «частота» с по-мощью множителя – частоту его ν от 20 Гц до 200 кГц. В уста-новке имеется одна катушка индуктивности L=0,1 Гн и 11 конденсаторов различных емкостей, указанных на установке, по-зволяющих образовывать колебательные контура с различными собственными частотами νо. Добротность контуров Q определяет-

ся теоретически по формуле (1) CL

R1Q = , а эксперимен-

тально – по формуле (15) из снятых резонансных кривых

оmax o

о

νν

II

от . Амплитудные значения вынужденных колебаний

тока в контуре измеряются микроамперметром μА. Чтобы снимать резонансные кривые для данных R,C,L, Вы

должны предварительно рассчитать резонансную частоту по

формуле νо =LC

1π2

. Выясните у преподавателя параметры

R,C,L контуров, с которыми Вам предстоит работать. Выставьте эти данные на установке.

9. Порядок выполнения измерений

1. Включите генератор в сеть, а затем и тумблер «Вкл» генерато-

ра. Включите необходимый диапазон частот, например, для частоты 30 кГц диапазон х1000. Выставьте частоту чуть ниже расчетной резонансной.

2. Переключателем «R1, R2» включите в контур первое сопро-тивление R, заданное преподавателем.

Вращая ручку «регулировка выхода» генератора, следите за показаниями микроамперметра μА. Если микроамперметр начинает зашкаливать, уменьшайте выходное напряжение. Од-новременно постепенно изменяйте частоту напряжения, следя за показаниями микроамперметра. Вы увидите по микроам-перметру, что показания его начнут возрастать по мере при-ближения частоты ν к собственной νо. «Отловите» резонанс,

56


подстраиваясь как со стороны меньших, так и со стороны больших частот, т.е. найдите ту частоту νо, при которой ам-плитудное значение тока будет наибольшим, равным Io max. Ручкой «регулировка выхода» установите Io max равным 100

μА. Тогда для частоты ν=νо отношение 0max

0

II будет равно 1.

Значение частоты ν внесите в таблицу на уровень «1»(клеточка со звездой ∗).

3. Уровню 0.9 соответствует ток 90 μА , уровню 0.8 – ток 80 μА, уровню 0.7 – ток 70 μА и так далее. Ручкой частот установите эти токи и измерьте эти частоты, вначале для частот внешней эдс, меньше резонансной (ν≤νо), затем для частот, больше ре-зонансной (ν≥νо), результаты внесите в таблицу.

4. Повторите измерения по пунктам 2-3 с той же электроемко-стью, но с другим сопротивлением.

5. Проведите те же измерения для другой электроемкости. Для всех замеров Вам понадобятся четыре таблицы.

10. Таблица результатов измерений R=….Oм; С=….Ф.

Io/Io max 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

ν≤νo

∗

ν≥νo

∗

1≤νν

o

1≥νν

o

57


11. Обработка результатов измерений

1) Рассчитайте 1≤оνν

по верхней строчке для ν≤νо и по

нижней для ν νо. ≥

2) Постройте резонансные кривые оmax o

о

II

ννот , подобрав

подходящий масштаб по обеим осям. 3) На уровне 0.7 по ширине резонансной кривой рассчитайте

добротности контуров Q, пользуясь формулой (15), а затем сравните их с теоретическими, рассчитанными по формуле (1).

4) Расположите четыре измеренных добротности в ряд в по-рядке возрастания и объясните причину возрастания доб-ротности на каждом шаге.


1. Какая система называется колебательным контуром? 2. Что колеблется в колебательном контуре? 3. Какие колебания называются вынужденными? Как они

возбуждаются? С какой частотой? 4. Какая частота называется собственной? По какой формуле

рассчитывается частота собственных колебаний в контуре? 5. Как составить векторную диаграмму напряжений в после-

довательном колебательном контуре? 6. В чем заключается явление резонанса? При каких условиях

возникает резонанс? 7. Почему рассмотренный в последовательном колебатель-

ном контуре резонанс называется резонансом напряжений? 8. Почему, при непрерывно поступающей энергии от источ-

ника, не происходит резкого роста тока при частотах внешней эдс, не совпадающих с собственной частотой в контуре?

58

9. Что такое добротность контура? Что определяет доброт-ность в обмотках генераторов при резонансе?

10. Как измерить добротность контура по резонансной кри-вой?

59


ПРИЛОЖЕНИЕ к лабораторной работе 7к

В методическом пособии рассматривался векторный метод

определения силы тока при вынужденных колебаниях в колеба-тельном контуре. Ниже приводится традиционный метод состав-ления дифференциального уравнения вынужденных электромаг-нитных колебаний и его решения.

Рассмотрим последовательный колебательный контур (рис. 9), в котором действует переменная эдс, величина которой ε меняется со временем по закону:

ε=εocos ωt (1) где εo – амплитудное значение эдс, ω – циклическая частота,

связанная с линейной частотой ω=2πν. Эта переменная эдс «заставит» колебаться заряд, а значит, и

все остальные электромагнитные величины, с той же частотой ω. В контуре возникнут вынужденные электромагнитные колебания. Заряд q будет периодически изменяться по закону

q=Аcos(ωt + ϕ) (2) где А – амплитуда этих вынужденных колебаний заряда, а ϕ – их начальная фаза. Силу тока I можно будет найти, так как она равна

I= Adtdq

−= ωsin (ωt + ϕ) = Аωcos(ωt + ϕ +π/2) (3)

Здесь амплитуда тока Iо= Аω (4) Для нахождения амплитуды заряда А и начальной фазы ϕ

вынужденных колебаний применим к нашему контуру второе пра-вило Кирхгофа: сумма действующих электродвижущих сил равна сумме падений напряжений на отдельных участках цепи, или ∑εk=∑ Ik ⋅ Rk . (5)

В контуре действуют две электродвижущие силы: вынуждаю-

щая ε=εocosωt и э.д.с. самоиндукции εsi = dtdIL− , поэтому сумма

э.д.с. ∑εk = εocos ωt dtdIL− .

60


Правая часть уравнения (5) состоит из падения напряжения на

конденсаторе Uc= Cq и на сопротивлении UR=IR.

Подставляя эти значения в уравнение (5), имеем:

εocos ωt dtdIL− =

Cq + IR (6)

Так как сила тока I= dtdq

, а 2

2

dtqd

dtdI

= , то, подстановка в

уравнение (6) дает дифференциальное уравнение для вынужденных колебаний заряда

2

2

dtqdL + R

dtdq

+Cq = εocos ωt (7)

Это неоднородное уравнение второго порядка, решение кото-рого qобщее состоит из суммы решений однородного уравнения и неоднородного.

q общее= q однор. + q неоднор.. (8)

q однор=qmexp( t2LR )cos (ωt +δ) (9),

это решение для затухающих колебаний, происходящих с частотой 22

o γωω −= , меньшей собственной частоты ωо, γ=2LR

- коэф-

фициент затухания, qmexp( t2LR ) –амплитуда затухающих ко-

лебаний, уменьшающаяся со временем по экспоненциальному за-кону, δ – их начальная фаза. Это слагаемое q однор влияет на начальной стадии установления колебаний, за-тем амплитуда А вынужденных колебаний заряда и тока будет оп-ределяться величиной амплитудного значения э.д.с. (εo), ее часто-той ω и параметрами контура L, C и R. Покажем это, решив уравнение (7).

Решение уравнения (7) ищем в виде

q=Аcos(ωt + ϕ) (2)

61


Чтобы определить амплитуду А и начальную фазу ϕ колеба-ний заряда, учтем, что

Adtdq

−= ωsin (ωt + ϕ) (10), а Adt

qd2

2

−= ω2cos(ωt + ϕ) (11)

Здесь dtdq

- это сила тока I c амплитудой Io= Aω.

Подставляя (2), (10), (11) в уравнение (7), имеем:

LA− ω2cos(ωt+ ϕ) A− Rωsin (ωt + ϕ)+С1 Аcos(ωt + ϕ) =εocos

ωt . Деля на Aω и вынося за скобки cos(ωt + ϕ) , получаем три-

гонометрическое уравнение:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −LωωС1 cos(ωt + ϕ) -R sin (ωt + ϕ) =

Аωεо

cos ωt (12)

Чтобы найти амплитуду и начальную фазу, необходимо восполь-зоваться тригонометрическими формулами: sin(α+β)=sinα cosβ + sinβ cosα и cos(α – β)=cosα cosβ – sinα sin β.

⎟⎠⎞ω⎜

⎝⎛ −LωС1 cos ωt сosϕ – ⎟

⎠⎞

⎝−Lω

ωС1

⎜⎛ sin ωt sinϕ – Rsin ωt

cos ϕ – Rcos ωt sinϕ =Аωεо

cos ωt (13)

Это тригонометрическое уравнение с одновременно меняю-щимися со временем синусом и косинусом. Оно справедливо, если сумма коэффициентов при sin ωt и при cos ωt слева и справа одинакова. Учтем это. Коэффициенты при sin ωt:

- ⎟⎠⎞

⎝Lω

ωС⎜⎛ −

1 sin ϕ – R cos ϕ =Аωεо (14)

Коэффициенты при cos ωt:

62


⎟⎠⎞

⎝Lω

ωС⎜⎛ −

1 сosϕ – R sinϕ = 0 (15)

Эту систему уравнений можно решить относительно ам-

плитуды А, если возвести в квадрат левые и правые части (14) и (15), а результат сложить. Учитывая при этом, что (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2 -2ab+b2, sin2α+ cos2α=1 ,имеем:

⎟⎠⎞−

ωС1

⎜⎝⎛Lω 2 + R2 = 22

2о

ωАε

(16)

Из уравнения (16) амплитуда колебаний заряда

A=2

2

o

ωC1Lω

/ωε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+R

(17)

а амплитуда колебаний тока Io , равная Aω, как видим, зависит не только от амплитуды эдс εo и сопротивления R, но и от соотноше-

ния между величинами Lω и ωС1 , называемыми соответственно,

индуктивным RL=Lω и емкостным RC=ωС1

сопротивлениями:

Io=2

2

o

ωC1Lω

ε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+R

(18)

Здесь Z=2

2

ωC1Lω ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+R называется полным сопротивлени-

ем цепи или импедансом Подставляя в (10), имеем для силы тока значение

I= Adtdq

−= ωsin (ωt + ϕ)= Iocos(ωt + ϕ+2π ), откуда видим, что

колебания тока отстают от колебаний напряжения(заряда) по

63


фазе на 2π .

Если считать, что мгновенное значение силы переменного то-ка I одинаково во всей цепи, то знак « – » в знаменателе формулы (18), может означать только, что напряжения на катушке и

конденсаторе, равные UL=I⋅Lω UC=I⋅ωC1

, колеблются в про-

тивофазах. Особый случай возникает, если UL = UC. Это происходит при

так называемой резонансной частоте ω, определяемой из условия

Lω=ωC1 , откуда ω=

LC1 , а эта частота равна собственной.

Из формулы (18) следует, что амплитуда силы тока резко воз-растет и будет определяться амплитудой эдс εo и активным сопро-тивлением цепи R,

Io= Rоε (21)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных ко-лебаний тока при совпадении частоты вынуждающей эдс с собственной частотой электромагнитных колебаний в конту-ре, называется электрическим резонансом.

13. ЛИТЕРАТУРА

1. [3], с.412-416. 2. [4], с.270-279. 3. [5], с.317-325.

64


ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 14к

ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕГРИРУЮЩЕЙ И

ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЙ RC – ЦЕПЕЙ

Цель работы: изучение зависимостей напряжения и силы тока от времени в цепях, содержащих RC-элементы, определение постоянной времени дифференцирующей цепи.

Приборы и принадлежности: универсальный лаборатор-ный стенд, осциллограф, омметр, сменная плата, соединительные провода со штекерами.

1. ПОНЯТИЕ О ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЙ И ИНТЕГРИРУЮЩЕЙ RC-ЦЕПЯХ

Дифференцирующая RC-цепь – это та цепь, в которой выход-

ное напряжение, снимаемое с резистора R, определяется произ-водной по времени от входного, поданного через конденсатор С,

т.е. dt

dURCU вх.вых.R = , (рис. 1).

Рис. 1

В интегрирующей RC-цепи входное напряжение

dtdURCU вых.

вх. = , поэтому выходное напряжение, снимаемое с

65


конденсатора, определяется как интеграл от входного,

∫= dtURC1

вх.вых.CU , (рис. 2).

Рис. 2

Рассмотрим, при каких условиях это происходит в RC-цепях. Для этого найдем, как меняются напряжения на резисторе и кон-денсаторе при изменении входного напряжения со временем.

Пусть на вход RC-цепи подается прямоугольный импульс на-пряжения с периодом Т (рис. 3, а). Рассмотрим случай низких час-тот, когда постоянная времени τ<<T, т.е. конденсатор успевает зарядиться и разрядиться до наступления нового импульса входно-го напряжения.

Рис. 3

66


На переднем крае этого импульса (участок 1-2) происходит нарастание напряжения, на фронте (3-4) – спад напряжения. Рас-смотрим, как ведет себя RC-цепь при нарастании напряжения. Конденсатор сразу же начнет заряжаться, в цепи пойдет ток, кото-рый по мере накопления заряда будет уменьшаться и станет рав-ным нулю, когда входное напряжение станет равным ε.

В любой момент времени, по второму правилу Кирхгофа,

входное напряжение Uвх.=UR +UC , или Uвх.= CqIR + (1)

Подставляя силу тока dtdqI = в (1), имеем дифференциальное

уравнение, в котором связаны меняющийся заряд q и время t :

Uвх.= Cq

dtdqR + (2)

Разделяя переменные q и t, имеем:

RCdt

CUqdq

вх.

−=−

(3)

Уравнение 3 – это уравнение первого порядка с разделенными переменными q и t. Проинтегрируем его левые и правые части. Т.е.

∫ ∫−= dtRC1

CUdq

вх.−q (4).

Здесь нижний предел интегрирования определим так: при t=0, q=0, верхний предел – текущий:

q

0∫−=t

0вх.

dtRC1

CUdq

∫ −

q

0 q ⇒ ln ⎢q – CUвх. ⎢

t

0

RC1

−= . t

Отсюда, ln RC

tCU

q1вх.

−=⎟⎟⎠

⎞−⎜⎜ (5).

⎝

⎛

Потенцируя (5), имеем : RCt

вх.

eCU

q1

−=− , откуда заряд

67


на конденсаторе ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−RC

t

вх. e1CUq (6).

Полученное выражение показывает, что заряд q на конденсаторе возрастает от нуля при t=0 до максимального значения q=Cε в те-

чение какого-то времени. Напряжение на конденсаторе CqUC =

также растет со временем по экспоненциальному закону от 0 до ε,

согласно выражению, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−RC

t

.вхC e1UU (7)

(рис. 3, а – заряд), что видно на рис. 4.

Рис. 4

Величина τ =RC называется постоянной времени цепи. По-стоянная времени характеризует промежуток времени, в те-чение которого напряжение на конденсаторе, а значит и заряд, достигает (1 – е-1), или 63% своего максимального значения. Та-ким образом, величина τ =RC характеризует скорость зарядки конденсатора.

Напряжение на резисторе UR = Uвх – UC (8)

и, следовательно, URRC

t

.вх eU−

= (9), убывает по экспоненциальному закону от ε до нуля (рис. 3, а – за-ряд).

Рассмотрим теперь процессы при резком уменьшении входно-го импульса до нуля (рис. 3, а, участок 3-4).

Теперь баланс напряжений UC +UR = 0 (10), или

CqIR + =0⇒

dtdqR

Cq

−= . Разделяя переменные, получаем

68


dtRC1

qdq

−= . Интегрируем полученное дифференциальное урав-

нение первого порядка с разделенными переменными q и t.

∫−t

0

dtRC1

∫ =q

q qdq

0

, откуда tRC1

qqln

0

−= . Потенцируя полученное

выражение, имеем убывание заряда, а, следовательно, и напряже-ния на конденсаторе, по экспоненциальному закону:

RCt

0eqq−

= (11),

RCt

C eCqU

−ε== (12),

где ε=Cq0 (рис.3, б-разряд).

В то же время напряжение на резисторе

RCt

CR eU−

ε−=−=U (13) растет по экспоненциальному закону от -ε до нуля (рис. 3, с, раз-ряд).

Рассмотрим, при каких условиях RC-цепь может дифферен-цировать или интегрировать входное напряжение.

Дифференцирующая цепочка

Пусть на вход цепочки (рис. 1) подано входное напряжение, Uвх., меняющееся со временем. При R<<RC напряжение на рези-сторе UR<<UC – напряжения на конденсаторе, поэтому Uвх≈ UC. Тогда напряжение на резисторе

UR=IR=dt

dURCdt

dU .вхC ≈RCdtdqR = (рис. 3). Поэтому такая цепь

дифференцирует входное напряжение.

69


Интегрирующая цепочка При R>>RC напряжение на резисторе UR>>UC, отсюда UR≈ Uвх.

Так как .вхC U

dtdURCR ==U , то dtU

RC1

.вхC =dU . Поэтому,

∫ dtU .вх=RC1UC (рис. 5).

С конденсатора можно снять интегрированное напряжение по отношению к входному.

Рис.5

Целью настоящей работы является измерение постоянной

времени разряда τ =RC в дифференцирующей цепи.

2. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ИЗМЕРЕНИЙ

Принципиальная схема эксперимента приведена на рис.6.

Здесь ε – батарея, К – условный ключ.

70


Рис. 6

В положении 1 ключа К конденсатор С заряжается, на его

верхней обкладке накапливается отрицательный заряд, при этом через резистор R течет ток, который создает на нем отрицательное падение напряжения.

При переключении ключа К в положение 2, конденсатор на-чинает разряжаться через тот же резистор, но полярность напря-жения на резисторе меняется на обратную.

На рисунках 3 и 5 приведены соответствующие временные за-висимости напряжений на сопротивлении (UR) и на емкости (UC) для дифференцирующей и интегрирующей цепочек. Если постоянная времени τ <<T, где T-время переключения им-пульса напряжения, конденсатор успевает зарядиться и разря-диться, и на экране осциллографа можно наблюдать как осцилло-грамму UR (t), так и осциллограмму UC(t), если переключать напряжение от батареи автоматически помощью специального реле-геркона, с частотой переменного тока 50 Гц, т.е. с периодом T=0,02 с.

По осциллограммам разряда можно найти постоянную времени τэксп. для дифференцирующей цепочки (рис.3,б и с), сравнить ее с расчетной τрасч., что и является целью настоя-щей лабораторной работы.

3. Описание сменной платы

Принципиальная схема сменной платы приведена на рис.7. В отличие от схемы рис. 6, в качестве ключей К1 и К2 используются быстродействующие электромагнитные реле-герконы. На их об-

71


мотки через диоды Д1 и Д2, включенные в противоположных на-правлениях, подается переменное напряжение 6,3 В частотой 50 Гц.

Токи через обмотки Р1 и Р2 протекают в разные полупериоды переменного напряжения. Поэтому в каждый момент времени мо-жет быть замкнут только один ключ. При замыкании К1 конденса-тор заряжается через резисторы R1 и R4, а при замыкании К2, раз-ряжается через переменное сопротивление R.

Рис. 7

Тумблер Т1 служит для подключения к общей шине или рези-

стора (положение П1) или конденсатора (положение П2), что со-ответствует или схемам рис. 1 (дифференцирующая цепочка П2) или рис. 2 (интегрирующая цепочка П1).

Внешний вид сменной платы приведен на рис. 8.

72


Рис. 8

Выводы 6, 2 и 1 служат для проверки герконов К1 и К2.

4. Выполнение измерений (методика определения

постоянной времени)

Определение постоянной времени разряда удобно осуществ-лять, снимая зависимость напряжения на конденсаторе и резисторе от времени по осциллограмме разряда U(t), которая в зависимости от работы герконов К1 и К2, может иметь вид или 9(а), или 9(б).

Рис. 9

Рисунок 9а соответствует разряду на конденсаторе, рис. 9б-разряду на резисторе. При этом, в первом случае на экране осцил-лографа должна наблюдаться осциллограмма, соответствующая

уравнению 12 ( τ−

=t

0eUU ) и рис. 9а, во втором случае уравнению


73

13 ( τ−

−=t

0eUU ) и рис. 9б. Здесь τ =RC и есть постоянная време-ни разряда. Обозначим уравнение

τ−

=t

0eUU (14)

(а) (б)

Рис. 10 Для определения τ прологарифмируем левую и правую части

(14):

τt

UU(t)ln

o−= , или

τt

UU(t)ln

0= (15), где U0 – значение

напряжения в момент времени t=0. Определяя по осциллограмме U(t) в разные моменты времени и, строя график зависимости

0UU(t)ln как функцию времени t, (рис. 10 б), можно по котангенсу

угла наклона линейной функции определить постоянную времени разряда τэксп.

Экспериментальное значение τэксп. сравните с расчетным τрасч.=RC. Величину сопротивления резистора R можно опреде-лить омметром между точками 3 и 4 сменной платы при отклю-ченной плате. Значение емкости С дано на плате. То же самое можно сделать и для осциллограммы разряда на резисторе.

74


5. ВЫПОЛНЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ 1) Подключите вход осциллографа «y» к выводам «4 – 5» пла-

ты (рис. 7). Переключатель Т1 поставьте в положение П2. Для схемы, приведенной на рис.1 зарисуйте осциллограмму

разряда напряжения UС(t) (рис. 10 а). Напряжение можно брать в маленьких делениях шкалы, так как в дальнейшем Вы будете брать отношения напряжений. Цену деления временной шкалы определите по делителю времени осциллографа. Постройте ли-

нейную функцию 0U

U(t)ln от t. Оцените по ней τэкспер. Измените

параметры R в сторону уменьшения τ и в сторону увеличения τ. Зарисуйте соответствующие осциллограммы. Постройте зависи-мость τ от R, определив τэксп, как описано в пункте «выполнение измерений», для 5-ти разных значений сопротивления R. Сравните с τтеор = RC. Сопротивление R измеряйте при отключенной плате омметром между клеммами 3 и 4.

2) Перекиньте вход осциллографа к выводам «3 – 4» платы. Зарисуйте осциллограмму UR (t) (рис. 9 б). Вновь постройте

линейную функцию 0U

U(t)ln от t. Оцените по этому графику вели-

чину τэксп . Измените параметры R в сторону увеличения и в сто-рону уменьшения τ. Зарисуйте соответствующие осциллограммы. Постройте графики зависимости τ от R, определив τэксп., как опи-сано в пункте «выполнение измерений», для 5 разных значений сопротивления R. Сравните с τтеор = RC так же, как и в случае сня-тия напряжения с конденсатора, измерьте сопротивление R.

75


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Почему для R>>RC цепь называется интегрирующей?

2. Почему для R<<RC цепь называется дифференцирующей?

3. Что такое постоянная времени? 4. Поясните, почему при разряде и в дифференцирующей цепи и в интегрирующей цепи напряжение и на конденсаторе и на сопро-тивлении меняется в зависимости от времени по закону

τt

oeUU−

= , где τ =RC ? 5. Какова роль герконов К1 и К2 ?

Л И Т Е Р А Т У Р А 1. [7], с. 120. 2. [4], с. 133-136.

76

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

77

Введение. Квантовая теория излучения

Введение Идеи квантования энергии и других физических

величин

В 1861-73 годах Джемс Клерк Максвелл, опираясь на гипотезу о взаимосвязи переменных электрического и магнитного полей, создал систему уравнений для электродинамики, названную его именем. Из этих уравнений было получено важное решение о су-ществовании электромагнитных волн. Электромагнитная волна – это процесс распространения колебаний электрического и магнитного полей в пространстве. Из уравнений Максвелла сле-довало, что электромагнитные волны в вакууме и воздухе распро-страняются со скоростью света с=3⋅108 м/c. Это позволило Мак-свеллу сделать вывод о том, что свет тоже является электромагнитной волной. Тепловое излучение нагретых тел (по классической электромагнитной теории) может считаться набором электромагнитных волн различной длины λ, непрерывно излучае-мых атомами нагретого тела – осцилляторами. Однако, попытки Д. Рэлея и Д. Джинса в 1900г. объяснить закон теплового излуче-ния, открытый Й. Стефаном и Л. Больцманом, привели к парадок-су, называемому “ультрафиолетовой катастрофой”.

И только Макс Планк в 1900г., не зная еще устройства атома, теоретически объяснил законы теплового излучения, получив пре-красное совпадение с экспериментальными данными. Для этого он выдвинул совершенно новую квантовую гипотезу излучения ос-цилляторов.

По гипотезе Планка осциллятор излучает энергию не не-прерывно, а порциями – квантами с энергией каждого ε=hν, 2 hν, 3 hν, ..., или кратными ε. Здесь h – постоянная, названная по-стоянной Планка, равная h=6,62⋅10-34 Дж⋅c , ν – частота, связанная с длиной волны λ и скоростью света с соотношением ν=с/λ.

В 1905г. А. Эйнштейн применил квантовую гипотезу Планка для поглощения излучения веществом, объяснив законы внеш-него фотоэффекта, которые классическая электродинамика не смогла объяснить.

78


В начале ХХ века идеи квантования энергии распространи-лись на квантование других физических величин.

Так для объяснения устойчивости атомов Н. Бору пришлось выдвинуть постулат квантования орбитального момента им-пульса электрона в атоме водорода Рмех. L =nh/2π. Здесь n – глав-ное квантовое число, принимающее дискретный ряд значений : n=1,2,3,...∞ . Отсюда следовал и дискретный набор энергий элек-трона, и дискретность спектров излучения, экспериментально ус-тановленные еще в прошлом веке.

Но теория Бора, сохранившая ядерную модель атома, экспе-риментально доказанную Э. Резерфордом, не смогла объяснить различную интенсивность спектральных линий излучения, а также не могла ответить на вопрос, почему момент импульса элек-трона дискретен. Теория не учитывала волновых свойств элек-трона.

В 1924г. Луи де Бройль “приписал” электрону волновые свойства (длину волны де Бройля), а Эрвин Шредингер в 1926г. предложил так называемое уравнение Шредингера, учитываю-щее и корпускулярные и волновые свойства микрочастиц.

Из решения уравнения Шредингера для электрона в атоме во-дорода следовало, что дискретными (квантованными) являются энергия электрона, орбитальный механический момент и про-екция магнитного момента на ось z, совпадающую с направле-нием внешнего магнитного поля. Рассмотрим подробнее эти ве-личины.

1)Энергия электрона принимает дискретный ряд значений при различных n:

εn= 2n6,13−эВ, где эВ =1,6⋅10-19 Дж , а n может иметь ряд дис-

кретных значений, равных 1,2,3,…,∞. 2)Орбитальный механический момент PL также квантован:

)1l(l2h

+⋅π

PL= , здесь l – орбитальное квантовое число, прини-

мающее дискретный ряд значений: l=0,1,2, ..., (n – 1). Состояния с l=0 называются s – состояниями, l=1 – р-

состояниями, l=2 – d-состояниями, l=3 – f-состояниями, l=4 – g-состояниями, l=5 – h-состояниями.

79

Введение. Квантовая теория излучения

3)Проекция орбитального магнитного момента электрона Lz на ось z, совпадающую с направлением вектора индукции магнит-ного поля, также дискретна:

Lz= m2h⋅

π±l .

, здесь m – магнитное квантовое число, равное m=0,

±1, ±2, ... Всего различных состояний у электрона в атоме может быть: а) с различными магнитными квантовыми числами m возмож-

но (2l + 1) состояний; б) с различными магнитными квантовыми числами m и раз-

личными орбитальными квантовыми числами l возможно

=n2 состояний. )1l2(1n

0l+∑

−

=

В 1925г. В. Паули выдвинул гипотезу о существовании чет-

вертого квантового числа, характеризующего собственный маг-нитный момент электрона Pms, равный

Pms= s2h⋅

π, где s – спиновое квантовое число или спин электро-

на, способный принимать 2 дискретных значения s=±21

.

Следовательно, электрон в атоме способен иметь N=2n2 раз-личных состояний с различными квантовыми числами n, l, m, s.

Состояния с одинаковыми n , т.е. энергетическими уровнями, выделяются в слои энергий для многоэлектронных атомов.

При n=1 квантовые числа l=0, m=0, s=±21

, это так называе-

мый К-слой, содержащий N=2 , т.е. 2 электрона с противополож-ными спинами.

При n=2 квантовые числа l=0, 1; m=0,±1; s=±21

, это так на-

зываемый L-слой, содержащий N=8 электронов в различных со-стояниях, так как у них различны l, m, s.

80


При n=3 квантовые числа l = 0, 1, 2; m = 0, ±1, ±2; s = ±21

, это

так называемый M-слой, содержащий N=18 электронов в различных состояниях. В N-слое содержится 32 электрона, а в О-слое – 50 электронов.

Энергетическое состояние электрона обозначается цифрой и буквой. Цифра определяется главным квантовым числом n, т.е. энергетическим уровнем, а буква – орбитальным квантовым чис-лом l, т.е. орбитальным механическим моментом.

Например, состояние 1S означает, что n=1; l=0. Состояние 2Р означает для n=2; l=1 и так далее. Состояния с большими n обла-дают более высокими значениями энергии (более высокие уровни энергии).

В дальнейшем была введена систематика заполнения элек-тронных состояний в многоэлектронных атомах, которая позволи-ла объяснить периодичность химических и физических свойств атомов, спектральный состав не только видимого излучения, ин-фракрасного, ультрафиолетового, но и рентгеновского излучений.

Идеи квантования энергии применены к твердым телам, к их контактам, на базе чего была создана современная квантовая элек-троника.

В дальнейшем на идеях квантования создана стройная система классификации элементарных частиц, предсказано существование новых частиц, открыты эти частицы.

81

Квантовая теория излучения

Лабораторная работа 1А

Изучение зависимости силы фототока

в полупроводнике от длины волны падающего света

Цель работы: изучение внутреннего фотоэффекта в полупро-

водниках. Приборы и принадлежности: лампа накаливания, монохрома-

тор, фоторезистор, оптический пирометр ОППИР.

1. Теоретическая часть

Понятие о внутреннем фотоэффекте и его характеристиках

Внутренним или фоторезистивным фотоэффектом назы-

вается явление увеличения электропроводности полупроводников под действием электромагнитного излучения. Впервые наблюда-лось У. Смитом (США) у Se (селена) в 1873г.

Рассмотрим собственные полупроводники. К ним относятся химически чистые элементы IV, V и VI групп Периодической системы элементов Менделеева, например Ge, Si, As, Se, и их соединения InSb, GaAs и другие оксиды, сульфиды, селениды, а также сплавы элементов различных групп. При температурах, близких к абсолютному нулю их электроны связаны, полупровод-ники ведут себя как изоляторы, с повышением температуры элек-троны становятся свободными и электропроводность полупровод-ников повышается.

С позиций зонной теории валентная зона энергий собственных полупроводников полностью заполнена электронами, ширина за-прещенной зоны невелика (ΔWзапр. ≈ kT), здесь k – постоянная

82


Больцмана, равная 1,38⋅10-23 ДжК , Т – комнатная температура

(рис. 1а).

Под действием световых квантов с энергией hν (h – постоян-ная Планка, равная 6,62⋅10-34 Дж⋅ с, ν – частота) электроны “вы-рываются” и перебрасываются в свободную зону, при этом одно-временно возрастает и число электронов в этой зоне и число дырок в валентной зоне.

В примесных n – полупроводниках (рис. 1б) электроны под действием квантов забрасываются с донорных уровней “d” в сво-бодную зону (электронная проводимость), а в примесных p – по-лупроводниках электроны забрасываются на акцепторные уровни “а” (рис.1 в), таким образом, растет количество свободных дырок (дырочная примесная фотопроводимость). Эта концентрационная фотопроводимость возникает только при возбуждении достаточно

коротковолновым излучением (λ=νc

, здесь λ- длина волны, с –

скорость света), когда энергии квантов достаточно для преодоле-ния ширины запрещенной зоны (собственная электропровод-ность), или расстояния между одной из зон и примесным уровнем (примесная фотопроводимость). Так как при активации образу-ется одновременно и электрон и дырка, то энергия, затраченная

83


на образование пары носителей тока, должна делиться на две равные части.

Т.е. фотопроводимость возбуждается только тогда, когда энергия кванта hν ≥ ΔWзапр. для собственных полупроводни-ков, или hν ≥ ΔWп. для примесных полупроводников. Для внутреннего фотоэффекта, как и для внешнего, можно ввести понятие “красной” или “длинноволновой” границы фото-эффекта. Это та минимальная частота νк (максимальная дли-на волны λк), с которой начинается фотопроводимость полу-проводника. Частота νк (длина волны λк) называются еще порогом фотоэффекта.

Для собственных полупроводников λк=зW

chΔ

. Для при-

месных – λк=пW

chΔ

. Для примесных полупроводников порог

фотоэффекта приходится на инфракрасную область спектра, для собственных – на видимую.

При увеличении числа фотонов с энергией hν ≥ ΔWзапр число электронно-дырочных пар увеличивается.

Процесс образования свободных носителей под действием света называется генерацией свободных носителей. Введем по-нятие темпа генерации G, который определяется процессами взаимодействия излучения с полупроводником.

Интенсивность монохроматического света I на глубине х связана с интенсивностью I0 у поверхности полупроводника за-коном Бугера I(x)=I0⋅e -αx , где α – линейный коэффициент погло-щения света, различный для разных частот.

Количество световой энергии, поглощаемой за 1 сек единицей толщины dx, будет равно

dI = – Iαdx. Тогда энергия, поглощаемая единицей объема за 1 сек, равна

=dxdI

αI.

84


Отношение ναh

I определяет число поглощенных квантов. Чис-

ло же электронно-дырочных пар, образующихся в единичном объ-еме за 1 сек фотонами с энергией hν, называется темпом генера-ции G.

Величина G=ν

βαh

I. Здесь β – коэффициент пропорциональ-

ности, называемый квантовым выходом. Если R – коэффициент отражения света от поверхности по-

лупроводника, то скорость генерации светом электронно-дырочных пар на расстоянии х от освещаемой поверхности

G = xe)R α−⋅0

h1(Iν−αβ

, или G = x0 ehc

)R1(I α−⋅λα −β

,

где с – скорость света в вакууме, равная 3⋅108 мс

.

Таким образом, при заданных α, β, R, скорость генерации электронно-дырочных пар по глубине полупроводника различна и сильно зависит от коэффициента поглощения α. Отсюда, разли-чен и фототок, возникающий в фоторезисторе, при подаче на него напряжения.

Типичный вид спектрального распределения фототока (зави-симости фототока Iф от длины волны λ) приведен на рисунке 2. Здесь штриховой линией показана кривая спектрального распре-деления коэффициента поглощения α.

При ν<νк ( λ>λк) энергии света недостаточно для образования носителей. С уменьшением длины волны кванты глубже проника-ют в вещество, из-за чего увеличивается поглощение. По мере увеличения α, уменьшается глубина генерации электронно- дырочных пар. Рождение носителей происходит в тонком припо-верхностном слое, так как в глубине большую роль начинают иг-рать процессы рекомбинации носителей.

85


Если скорость рекомбинации мала, фототок при уменьшении

длины волны (при увеличении энергии кванта hν) увеличивается, достигает максимума Iф max. При дальнейшем увеличении частоты (уменьшении длины волны) световые кванты проникают глубже, коэффициент поглощения увеличивается, возрастает вероят-ность рекомбинации электронов с дырками, фототок уменьша-ется и перестает зависеть от частоты. Электрически нейтральные связанные состояния электрона и дырки, называются экситонами. Экситонное поглощение света не сопровождается ростом фотото-ка. Значение энергии кванта света со стороны длинноволнового края поглощения, соответствующее приведенному фототоку

50= ,I

I

maxф

ф , позволяет оценить ширину запрещенной зоны энер-

гии полупроводникового материала, из которого изготовлен фото-резистор. Для этого на графике находят длину волны λ, а затем и величину кванта энергии

ε= пWhcΔ≈

λ (1)

86


2. Схема экспериментальной установки

Установка состоит из излучателя – лампы накаливания L с ре-

гулируемой реостатом R температурой накала. Лампа помещена перед входной щелью 5 монохроматора М , позволяющего с по-мощью стеклянной призмы менять длину световой волны, попа-дающей на фоторезистор Ф, наглухо прикрепленный к выходной щели 6 монохроматора . Микроамперметр μА в цепи фоторезисто-ра позволяет измерять фототок, а линза 7 фокусирует изображение источника на входную щель монохроматора. Над входной и вы-ходной щелями монохроматора расположены барабанчики для раскрытия щелей.

Основной частью монохроматора является стеклянная диспер-гирующая призма 1, установленная на столике 2, поворачиваю-щемся с помощью рычага 3 вращением барабана 4. Вращать ба-рабан следует винтом 5. Призма разлагает свет в спектр различных длин волн. На барабане нанесены деления с ценой 2делград для градуировки монохроматора по спектру. В данной ра-

боте градуировать монохроматор по спектру нет необходимо-сти, к установке прилагается градуировочная кривая (зависи-мость n-делений барабана от длины волны λ падающего света). Ток через фотосопротивление измеряется микроамперметром А.

87


Температура нити накала лампы определяется с помощью пиро-метра ОППИР-9, схема работы которого приведена на рис. 4.

Здесь 1 – фотометрическая лампа, яркость которой сравнива-ется с яркостью осветительной лампы L, 2 – окуляр, 3, 4 – объек-тив, 5 -монохроматический светофильтр, R – реостат, с помощью которого можно менять накал нити фотометрической лампы, А – амперметр, отградуированный в градусах.

Внешний вид пирометра показан на рисунке 5. Здесь 1 – поворотное кольцо реостата R, позволяющее менять

ток в цепи фотометрической лампы, а значит температуру ее нака-ла, 2 – трубка окуляра, куда смотрит глаз наблюдателя, 3 – головка для введения красного светофильтра, 4 – шкала в градусах Цель-сия.

Рис. 4 Рис. 5

При пользовании красным светофильтром температуру опре-деляют по верхней шкале. Шкала прибора градуирована по излу-чению абсолютно черного тела. Если излучающее тело не является черным, то пирометр показывает температуру Тν такого черного тела, яркость которого одинакова с яркостью данного тела. Темпе-ратура Тν называется яркостной температурой данного тела.


88


1. Внимательно изучают установку, определяют, где находит-

ся фотосопротивление, где питающий его выпрямитель, как включается осветительная лампа, разбираются с ценой деления монохроматора.

2. Включают осветительную лампу с помощью ее выпрями-

теля, выставляя потенциометр в одно из положений, заданных преподавателем. Помечают это положение. Придвигают лампу вплотную к объективу монохроматора, чтобы свет попадал на его щель. Включают питание фотосопротивления. Оно находится под столом.

3. С помощью барабана монохроматора (рис. 3) быстро, не

фиксируя, изменяют длины волн падающего света, дойдя до тако-го деления барабана, при котором микроамперметр покажет мак-симум. Если прибор зашкаливает, уменьшают ширину выходной щели. Если показания прибора меньше 100 μА, увеличивают ши-рину щели, или выходное напряжение, подаваемое на лампу.

4. Выставляют деления барабана по значениям фототока вна-

чале через 10 μА, а вблизи максимума – через 1 μА, при переходе через максимум измерения повторяются до полного спада фотото-ка. Результаты измерений заносят в рабочую таблицу.

5. Не меняя положения приборов, потенциометром уменьша-

ют температуру (ручку потенциометра поворачивают влево на не-сколько мм). Фиксируют положение ручки, так как к нему Вы еще вернетесь при определении температуры источника. Повторяют все измерения пункта 4 для температуры источника Т2, очень внимательно следя за максимумом тока.

Число замеров составляет не менее 30-40, поэтому возможно

Вам понадобится не одна таблица. Длина волны λ в ( Ангстре-мах) определяется по

0

Аградуировочной кривой.

89


2. Рабочая таблица N п/п 1 2 3 ... N

Iф

(μА) 10 20 30

Т1 n (дел)

λ(А )

о

T2 n (дел)

λ ( ) А

о

6. Пирометром определяют вначале температуру Т2 , а затем,

переведя потенциометр в первое положение, и температуру Т1 . Для измерения температуры поворачивают осветительную

лампу на себя. Устанавливают пирометр против нее, включают его в сеть, глядя в окуляр, наводят изображение фотометрической лампы на лампу накаливания. Головкой 3 (рис. 5) вводят в поле зрения красный светофильтр, пропускающий узкую полосу спек-тра с длиной волны λ=6,5⋅10 -7 м. С помощью реостата пирометра (кольцо 1) добиваются того, чтобы верхняя часть нити лампочки исчезла на фоне исследуемого объекта (рис.6 –верно). После этого по верхней шкале определяют температуру.

Рис. 6

Если наблюдаемое тело абсолютно черное, найденная темпе-ратура Тν была бы его истинной. Но Тν – это температура такого абсолютно черного тела, которое имеет в наблюдаемом участке спектра Δν яркость, такую же, что и яркость нити электролампы, температура которой равна Т. Температура Тν называется ярко-

90


стной температурой. Истинная температура Т находится по фор-муле

Т= 2

2

10432,1BlnТ10432

−ν

−

⋅+⋅⋅

Т,1

ν ⋅⋅λК (2)

Коэффициент В для вольфрама в области температур от 900 до 2000о С равен 0,45, λ=6,5⋅10 -7 м.

4. Обработка результатов измерений

1. Находят по градуировочной кривой длины волн λ, соответ-ствующие делениям барабана n. На миллиметровке строят кри-вые IФ (λ) для двух температур. Вблизи длинноволновой границы

на уровне 5,0I

I

maxф

ф = , определяют длину волны λ, затем по фор-

муле (1)рассчитывают величину запрещенной энергии Wз. 2. Пользуясь формулой (2) рассчитывают истинные темпе-

ратуры Т1 и Т2.


1. Какие вещества называются полупроводниками? 2. В чем состоит суть собственной проводимости? примесных

n- и p- проводимостей? 3. В чем состоит явление внешнего фотоэффекта? внутренне-

го фотоэффекта? 4. Что такое красная или длинноволновая граница внутренне-

го фотоэффекта? 5. Как меняется интенсивность монохроматического света с

глубиной? 6. Что такое квантовый выход? 7. Что такое рекомбинация? Что такое экситон? 8. Поясните ход полученных на эксперименте кривых. 9. Поясните суть бесконтактного измерения температуры

лампы.

91


10. Почему фототок с уменьшением длины волны растет, дос-тигает максимума, а затем уменьшается?

11. Где применяются фоторезисторы?

ЛИТЕРАТУРА 1. [1], с.451-452. 2. [8], с.242-250 3. [9], с.413-416 4. [8], с.242-250 5. [10], с.433-436 6. [11], с.366-370

92

Физика. Лабораторный практикум ГРАДУИРОВОЧНАЯ КРИВАЯ МОНОХРОМАТОРА

93


ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5А

Определение первых потенциалов

возбуждения атомов Цель работы: знакомство с экспериментальным доказательст-

вом идеи дискретного поглощения энергии атомами Приборы и принадлежности: установка для определения пер-

вых потенциалов.

1. Теоретическая часть. Понятие о первых потенциалах возбуждения атомов

По полуквантовой – полуклассической теории Н.Бора атом может обладать дискретным рядом значений энергии εn (дис-кретным спектром энергии), изображенным на рисунке 1 в виде уровней энергии. Чисто квантовая теория Э. Шредингера подтвер-дила возможность для атомов обладать дискретным набором энер-гетических уровней.

Рис. 1

Здесь ε1 – энергия основного невозбужденного состояния

электрона в атоме, ε2 , ε3 , ..., εn – энергии возбужденных состоя-

94


ний электронов, т.е. состояний с более высокой энергией, которые возникают у атомов при поглощении ими энергии.

Так как энергия состояний у атомов меняется дискретно, то атомы могут поглощать только дискретные порции энергии, соот-ветствующие переходам между низшими и более высокими энер-гетическими уровнями.

Опыты Франка – Герца доказывают дискретность поглоще-ния энергии атомами. В этих опытах возбуждение атомов иссле-дуемого вещества производится за счет столкновений их с элек-тронами, излучаемыми раскаленным катодом К тиратрона, заполненного парами вещества при давлении порядка долей мил-лиметра ртутного столба (рис. 2).

Электроны, ускоряемые напряжением Ua , приложенным меж-ду анодом и катодом лампы, начнут двигаться к аноду, создавая ток Ia, увеличивающийся с ростом напряжения. При этом электро-ны будут соударяться с атомами вещества, заполняющего баллон лампы. В зависимости от энергии электрона соударение с атомом может быть упругим или неупругим. Рассмотрим оба случая (рис. 3) для центрального удара.

Упругий центральный удар Масса электрона во много раз меньше массы атома m << М.

Запишем закон сохранения энергии. Сумма кинетических энергий до и после удара постоянна.

Закон сохранения энергии:

ε = 2

mv20 =

2Мv

2mv 2

221 + (1)

95


здесь v0 – скорость электрона до соударения, v1 – его скорость по-сле удара, v2 – скорость атома после удара, ε – суммарная энер-гия электрона и атома в любой момент времени.

Разность энергий электрона до и после удара:

Δε = ε – 2

Мv2

mv 22

21 = (2)

Тогда относительная убыль энергии электрона

20

21

vv1−=

εεΔ

(3)

При абсолютно упругом ударе ⎢v1⎢≈ ⎢v0⎢, тогда ,0≈εεΔ

т.е. энергия электрона при упругом ударе практически ме-няться не будет.

Неупругий центральный удар

При таком ударе электрон полностью передает энергию атому. Но это происходит не с каждым электроном, а только с таким, энергии которого достаточно для перевода атома из невозбужден-ного с энергией (ε1) в первое возбужденное состояние (ε2). При этом разность потенциалов, пройдя которую электрон осуще-ствляет неупругий удар с атомом, называется критическим потенциалом атома.

Критический потенциал перехода атома из невозбужден-ного в первое возбужденное состояние, называется первым по-тенциалом возбуждения атома.

2. Идея определения первого потенциала

возбуждения атомов

Для определения первого потенциала возбуждения атомов вы-бран триод, заполненный аргоном при давлении нескольких долей мм ртутного столба (рис. 4).

96


Рис. 4

С помощью батареи накала Бн катод К нагревается. Его нагрев регулируется резистором R. Горячий катод испускает электроны. От батареи Ба с помощью потенциометра Ra подается напряжение Ua между анодом и катодом. Точно также от батареи Бс с помо-щью потенциометра Rс подается напряжение Uс между катодом и сеткой. Но напряжение Ua < Uс, поэтому достигают анода только самые быстрые электроны.

Расположение электродов в лампе и давление газа в ней подобраны так, что между сеткой и анодом соударений элек-тронов с атомами почти нет, соударения происходят в про-странстве между катодом и сеткой.

Если соударения упругие, электроны не теряют энергию, дос-тигают анода и при повышении сеточного напряжения Uс растет и анодный ток Ia (рис. 5, участок 0А).

Рис. 5

97


При неупругих соударениях (напряжение ≈ ϕо) электроны теряют энергию и оседают на сетке, в результате анодный ток уменьшается (участок АО1). Участок уменьшения тока растянут из-за различных скоростей электронов. Далее с ростом сеточного напряжения растет и энергия электронов. Когда электроны приоб-ретают энергию, превышающую энергию поглощения, удары вновь становятся упругими, ток вновь возрастает (участок О1А1). При напряжении U=2ϕо электрон на пути катод-анод может дваж-ды претерпеть соударения с атомами, вследствие чего, сила тока вновь уменьшится.. Возможны и трехкратные потери энергии и т.д. Тогда на кривой Ia = Ia (Uс) будут наблюдаться максимумы при напряжениях ϕо, ϕ1, ϕ2, ... , кратных первому потенциалу возбуждения атомов. В дальнейшем процесс повторяется, что и доказывает квантовый механизм поглощения энергии атомами.

На рисунке 6 показан внешний вид установки.

Рис. 6.

Здесь на внешнюю панель выведена только ручка потенцио-

метра RС, позволяющая регулировать напряжение на сетке Uc, из-меряемое вольтметром Vc от 0 до 100 Вольт. Микроамперметр μА регистрирует ток через лампу.

98



1. Тумблером «Вкл» включите установку на прогрев в течение 20 минут. Потенциометр выведите на минимум напряжения.

2. После прогрева начинайте снимать значения анодного тока в зависимости от сеточного напряжения, меняя последнее на 1 Вольт. Значение тока снимайте через 20-30 секунд после уста-новки напряжения.

3. Результаты измерений занесите в таблицу. 4. По данным постройте график зависимости анодного тока Ia от

сеточного напряжения Uc.

4. Таблица результатов измерений

5.Контрольные вопросы

1. Сформулируйте второй постулат Бора. 2. Докажите, что при абсолютно упругом ударе электрона об атом

энергия электрона практически не меняется. 3. Что такое потенциал? Что называется первым потенциалом

возбуждения атома? 4. Поясните идею определения первого потенциала возбуждения

на данной установке. 5. Какие основные выводы можно сделать из полученного Вами

графика? 6. Литература

1. [8], с. 61-63 3. [1], с. 389-390 4. [12], с. 265-270

99



Изучение спектра излучения атомарного водорода

Цель работы: изучение “механизма” излучения атомов водо-рода, измерение видимых длин волн в серии Бальмера.

Приборы и принадлежности: водородная и неоновая спек-тральные трубки, ртутная лампа ПРК с блоком питания, моно-хроматор УМ-2.

1. Теоретическая часть. Строение атома водорода по теории Бора-Резерфорда.

Атом водорода – самый легкий химический элемент, содержит

ядро-протон (р) (масса покоя 1,672⋅10-27 кг, обладает положитель-ным зарядом q, равным элементарному заряду е=1,6⋅10-19 Кл) и один электрон (е) ( масса покоя 9,11⋅10-31 кг, обладает отрицатель-ным зарядом -q, равным элементарному заряду). В обычном со-стоянии атомы водорода энергию не излучают, излучение проис-ходит при возбуждении атомов при высоких температурах или в сильных электрических полях. Если собрать водород в спектраль-ную трубку (рис. 1), представляющую из себя капилляр с впаян-ными электродами, то при подаче на нее высокого напряжения, можно увидеть свечение лилового света .

Этот свет сложный, проходя через трехгранную призму, он

разлагается на четыре дискретных линии видимого диапазона: Нα –

100


ярко-красную, Нβ – зелено-голубую, Нγ – синюю и Нδ – фиолето-вую. Существует еще много линий инфракрасного и ультрафиоле-тового диапазона, но только эти четыре, так называемой серии Бальмера, принадлежат к видимому спектру излучения атомарно-го водорода. Спектр излучения – это набор длин волн. Целью настоящей работы является определение этих длин волн.

Спектр излучения атомарного водорода впервые был объяснен Нильсом Бором в 1913 году на основе ядерной модели атома водо-рода Эрнста Резерфорда. По этой модели (рис. 2) электрон, имею-щий заряд е, обладающий массой m, вращается со скоростью v по окружности радиуса r вокруг положительно заряженного ядра – протона, иначе он упадет на ядро, так как между электроном и протоном действует кулоновская сила притяжения.

Рис. 2

По второму закону Ньютона ∑ = amF rr, здесь для вращаю-

щегося электрона суммарной силой является kFr

– сила кулонов-ского притяжения электрона к протону, равная по величине

2

2

rekFk ⋅= , где 2

2

КлмH ⋅9109k ⋅= . При постоянной величине

скорости вращения электрона ускорение здесь нормальное

ran

2υ= . Поэтому

r

mr

ke 2

2

2 υ= (1),

это так называемое условие Резерфорда, из которого следует:

22 kerm =υ (2) Согласно классической электродинамике, электрон при та-

ком ускоренном движении излучает энергию и в течение 10-8 се-кунды должен упасть на ядро, т.е. атом Резерфорда, по классиче-ской электродинамике, права на существование не должен иметь.


101

Однако атомы водорода устойчивы, в обычном состоянии энергию не излучают, излучают при возбуждении в сильных электриче-ских полях и при высоких температурах. Причем, спектр излуче-ния представляет из себя дискретный набор длин волн λ, подчи-няющийся, так называемым, сериальным формулам:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22

111kn

Rλ

, где R – постоянная Ридберга, равная

R=1,0968⋅1071м , n и k – целые числа, причем n < k.

Чтобы объяснить, почему это происходит, Нильс Бор выдви-нул три постулата. Первый постулат

Электроны в атомах водорода могут двигаться не по лю-бым орбитам, а только по орбитам вполне определенного ра-диуса, так называемым, стационарным или разрешенным, на которых электрон не излучает энергию. На стационарной орби-

те момент импульса электрона кратен π2h

, где h – постоянная

Планка, равная 6,62⋅10-34 Дж⋅с, т.е.

πυ

2hnrm = (3)

Выражение (3) и есть математическая формулировка пер-вого постулата Бора. Здесь n – так называемое, главное квантовое число, принимающее дискретный ряд значений n = 1, 2, 3, 4, ..., ∞

. Обозначая π2h

=h

hnrm

, имеем:

υ = (4)

Второй постулат


102

Находясь на стадать только опреде

ционарной орбите, электрон может обла-

= U + T причем , U =

ленным дискретным значением энергии, называемым уровнем энергии. Покажем это.

Полная энергия ε электрона в атоме водорода равна сумме его потенциальной энергии U притяжения к ядру и кинетической энергии Т.

ε , , а 2

rek− .

2

2υmT =

Здесь 2109Кл

k ⋅= .

Следо =

29 мH ⋅

вательно, ε2

22 υmrek +− (5).

Зна йти, решив совм тно у внени (4),

чения υ и r можно на ес ра я (2) и(4). Деля (2) на имеем дискретные значения скорости электро-на:

hn=υ (6)

Подставив это значение в чим и для радиус -ционарных

ke2

(4) , полу ов ста орбит также дискретные значения

mker 2= (7)

Подстановка (6) и (7) в (5) электрона

n 22h

дает значения полной энергии в атоме водорода

εn= 222 hn− (8)

Учитывая ачения e, h , по

энер

42emk

m, k, лучаем дискретные значения зн

гии εn 2

эВ613 )(,− (9),

где эВ =1,6 ⋅10-19 Дж. n

=

103


Таким образом, согласно теории Бора – Резерфорда, электро-ны в атомах водорода могут иметь лишь дискретные значения

энергии εn . Знак “ − ” показывает, что это энергия притяжения. Значение полной энергии электрона на данной разрешенной орбите называется уровнем энергии атома. Уровни энергии атома водорода в электрон-Вольтах (эВ) приведены на рис. 3.

Рис. 3

Движение электронов на разрешенных орбитах (по теории Бо-

ра-Резерфорда) не сопровождается излучением или поглощением энергии. В обычном состоянии электрон находится на самом низ-ком уровне энергии, что соответствует квантовому числу n=1, энергии – 13,6 эВ. Это состояние называется основ-ным. Все остальные – возбужденными. Третий постулат

Излучение или поглощение энергии атомом происходит только при переходе электрона с одной стационарной орбиты

с энергией εn на другую орбиту с энергией εk, причем, квант

104


энергии hνnk, излучаемый или поглощаемый при таком пере-ходе, равен

hνnk = εn – εk (10). Здесь νnk – частота кванта энергии, связанная с длиной волны λ

соотношением νnk

nk

cλ

= , где с – скорость света в вакууме, равная

3⋅108 мс

n

.

Как же возникает спектр излучения ?

Если энергия электрона на n-ной орбите ε2nэВ613 (,−

=

k

) , а

на k-той ε2kэ(6,13−

=)В , то, подставляя эти значения в выраже-

ние (10), имеем сериальную формулу для расчета длин волн спек-тральных линий атома водорода, излученных или поглощенных при переходе с k – ной орбиты на n – тую

Rnk

=λ1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 22

11kn

(11),

где R – постоянная Ридберга, равная 1,0963⋅107 м-1.Формула (11) была получена Бором теоретически.

“Механизм” излучения атомарного водорода по Бору – Резер-форду таков. В обычных условиях электроны разных атомов на-ходятся в основном невозбужденном состоянии (n=1). При возбу-ждении электроны приобретают энергию, переходя на более высокие возбужденные уровни, соответствующие (n=2, 3, 4, ...). В возбужденном состоянии электрон пребывает небольшое время ∼10-8 секунды, затем излучает энергию в виде квантов определен-ной длины, переходя на более низкие уровни. На рисунке 4 гори-зонтальными линиями условно изображены уровни энергии воз-бужденных атомов водорода, а вертикальными стрелками обозначены переходы с более высоких уровней на низшие, соот-ветствующие спектральным линиям, возникающим при их излуче-нии.

105


Рис. 4

Все переходы с более высоких уровней на первый дают серию

линий Лаймана в ультрафиолетовом диапазоне, все переходы с более высоких уровней на третий, четвертый и так далее уровни, дают серии Пашена, Брекета, Пфунда и так далее в инфракрасном диапазоне.

Переходы с более высоких уровней на второй дают серию спектральных линий Бальмера, из которой только четыре ли-нии Hα, Hβ, Hγ и Hδ попадают в видимый диапазон.

Эти длины волн были вначале определены экспериментально, а швейцарский физик И. Бальмер подобрал эмпирическую форму-лу для их определения, называемую формулой Бальмера.

RH

=1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 22

121

n (12)

Здесь символом “H” обозначаются длины волн, излучаемые

при переходе с более высоких уровней энергии (n>2) на второй, R – постоянная Ридберга. Теоретически рассчитанные Бором (фор-

106


мула 11) длины волн прекрасно совпали с экспериментальными данными.

Hα = 6562,793 – ярко-красная линия, возникающая при пе-реходе электрона с третьего уровня на второй, рассчитывается по формуле:

Ао

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22 3

1211 R

α

Ао

H (13)

Hβ = 4861,327 – зелено-голубая линия, возникающая при переходе электрона с четвертого уровня на второй,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22 4

1211 R

β

Ао

H (14)

Hγ = 4340,466 – синяя линия, возникающая при переходе электрона с пятого уровня на второй,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22 5

1211 R

Hγ

Ао

(15)

и Hδ = 4101,733 – фиолетовая линия, возникающая при переходе электрона с шестого уровня на второй,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22 6

1211 R

Hδ

Ао

(16)

Здесь – Ангстрем = 10-10 м. Теория Бора была интуитивной, так как не объясняла, почему

электрон на стационарной орбите обладает дискретным значением момента импульса, и не объясняла различную интенсивность излучаемых линий спектра. Луи де Бройль приписал электрону волновые свойства, считая что электрон – это частица-волна с

длиной λ де Бройля = υmh

, и пояснил, что на стационарной орбите

электрон-волна не излучает, так как эта волна является стоячей. Это значит, что на орбите длиной 2πr должно укладываться целое

107


число длин волн де Бройля. Т.е. 2πr = nλ де Бройля, значит

πυ

2hnrm =

Ао

, что соответствует первому постулату Бора.

Эрвин Шредингер учел волновые свойства электрона в своем волновом уравнении и получил значения для энергий электро-на, совпадающие со значениями, полученными Бором. Различ-ная интенсивность линий излучения была объяснена различными вероятностями перехода электрона с одного уровня на другой.

Целью настоящей лабораторной работы является экспе-риментальное определение длин волн Hα, Hβ, Hγ, Hδ,

также определение постоянной Ридберга R по формулам (13), (14), (15), (16) и сравнение этих величин с теоретическими.

2. Идея эксперимента

Для измерения длин волн спектральных линий излучения в

работе используется стеклянно – призменный монохроматор – УМ-2, предназначенный для спектральных исследований в диапа-

зоне от 3800 до 10000 (рис. 5).

Рис. 5

Здесь УМ-2 – монохроматор , Об – объектив, направленный на водородную трубку, помещенную в гнездо К-12, Ок – окуляр, в который можно увидеть раздельно спектральные линии на чер-ном фоне: ярко-красную Hα, зелено-голубую Hβ, синюю Hγ и фио-летовую Hδ . Положение линий может быть зафиксировано враще-нием ручки барабана Б, при котором треугольник Т в поле зрения окуляра попадает на центр линии. Отсчет линии делается по указа-телю делений на барабане в градусах (no) с ценой деления


108

2г адделр

. Длины волн находятся по градуировочной кривой мо-

нохроматора n (λ), которая предварительно снимается по из-вестным спектрам неоновой (в красном диапазоне) и ртутно-кварцевой (в синем и фиолетовом диапазонах) ламп.

Значения длин волн спектральных линий, даваемых этими лампами с указанием их относительной яркости (самая большая яркость – 10, наименьшая -1) приведены в таблицах 1а и 1б.

3. Описание экспериментальной установки

В состав прибора входят следующие основные части (Рис. 6).

1 – блок питания, 2 – оптическая скамья, с установленными на ней монохроматором М, гнездом 6 для водородной и неоновой спек-тральных трубок, а также гнездом 7 для ртутно-кварцевой лампы.

Рис. 6

109


Основной частью монохроматора является сложная стеклян-ная призма 3, установленная на поворотном столике 4, который вращается вокруг вертикальной оси при помощи микрометриче-ского винта с отсчетным барабаном Б. На барабан нанесена винто-вая дорожка с градусными делениями. Вдоль дорожки скользит указатель барабана 5. При вращении барабана призма поворачи-вается, в центре поля зрения появляются различные участки спек-тра. Изображение входной щели рассматривается через окуляр Ок, в фокальной плоскости которого расположен треугольный указатель Т.

Спектрометр УМ-2 относится к числу точных приборов. Он требует бережного и аккуратного отношения.

При подготовке прибора к наблюдениям особое внимание следует обращать на тщательную фокусировку с тем, чтобы указа-тель Т и спектральные линии имели четкие, ясные границы. Фо-кусировка производится в следующем порядке: перемещая окуляр, следует получить резкое изображение острия указателя Т. Вращая винт барабана, необходимо навести указатель Т на спектральную линию. Если спектральные линии широкие, микрометриче-ским винтом объектива следует сузить линии, особенно при наблюдении спектра неона. Для наблюдения самых слабых ли-ний в крайней фиолетовой области щель приходится несколько расширять. Глаз лучше замечает слабые линии в движении, поэто-му при наблюдении удобно слегка поворачивать барабан в обе стороны от среднего положения.


а) ГРАДУИРОВКА СПЕКТРОМЕТРА

Приступая к работе, убедитесь вначале, что тумблер (1 – сеть рис. 6) выключен, осторожно вставьте водородную трубку в гнездо 6, если ее там нет. Включите питание (тумблер сеть), затем тумблер К-12 на блоке питания.

Посмотрите на характерную окраску излучения водорода. Этот лиловый цвет немонохроматичен, он включает в себя четыре видимых глазом ярко-красную, зелено-голубую, синюю и фиоле-товую монохроматические линии, которые Вы можете увидеть,

110


глядя в окуляр монохроматора Ок (рис. 5 и 6), при вращении призмы с помощью барабана Б. Выключите сеть.

Так как непосредственное значение длины волны в Ангстре-мах по монохроматору снять невозможно, проводится предвари-тельная градуировка монохроматора по известным спектрам неоновой и ртутной ламп. Таблицы известных спектральных ли-ний, даваемых этими лампами, приведены на страницах 37 и 38. Ознакомьтесь с ними

Красная линия ртути в излучении ртутной лампы ПРК-4 очень слаба, поэтому для градуировки прибора в красной части

спектра пользуются неоновой лампой, спектр которой богат красными линиями различных оттенков. В дальнейшем по градуи-ровочной кривой Вы сможете определить и длины волн серии Бальмера для водорода.

Для снятия градуировочной кривой по спектру неона вставьте неоновую трубку в гнездо 6 и включите вначале тумблер сеть, а затем К-12.

Начинать измерения лучше от сине-зеленой линии спектра не-она, последовательно совмещая острие с линиями желтого и крас-ного спектра. Самая яркая линия в своем спектре имеет относи-тельную яркость 10.

Если Вы заметили между сине-зеленой (относительная яр-кость5) и зеленой (относительная яркость 10) одну зеленую линию – это зеленая (5), если между ними две линии – то это зеленые (5) и (3) линии; и только если между ними три линии – то третья – это

линия с относительной яркостью 2, с длиной волны 5031 . По-

сле желтой линии (10) с длиной волны 5852 рекомендуется по-следовательно совмещать острие указателя с

Ао

Ао

красно-оранжевыми и остальными линиями красного диапазона, так как не всякий глаз способен их различить.

Если в зеленом диапазоне Вы не видите линий с относитель-ной яркостью (2), значит, Вы их не идентифицируете и в красно-оранжевом, ярко-красном диапазонах. Будьте внимательны.

После того, как Вы закончили снимать спектр неона, перехо-дите к спектру ртути. Отключите К-12, откройте крышку гнезда 6, перекрывающую свет от ртутной лампы, осторожно снимите спек-тральную трубку.

111


ВНИМАНИЕ!

Ртутная лампа – прибор высокого давления, включается на 1-2

минуты. Поэтому рекомендуется вначале совместить острие Т со спектральной линией, затем выключить лампу, и только тогда проводить измерения по барабану.

Включите тумблер ДРШ. Если лампа не зажглась, нажмите на кнопку Пуск.

Здесь начинайте измерения с желтой (относительная яркость

10, длина волны λ=5790 ), Вы увидите ее вблизи другой жел-той. Затем найдите остальные линии зеленого и синего диапазо-нов. Обязательно найдите и фиолетовые линии 1 и 2, это позволит Вам определить водородные линии Hβ, Hγ и Hδ по градуировоч-ной кривой.

Ао

о

Результаты измерений занесите в таблицы 1а и 1б.

Таблица 1а Спектр ртутной лампы ПРК-4

Линия Относи-тельная яркость

(визуально)

λ(А )

Деления барабана

Желтая 10 5791 Желтая 8 5770 Зеленая 10 5461 Голубая 1 4916

Фиолетово- синяя

8 4358

Фиолетовая 1 4078 Фиолетовая 2 4047

112


Таблица 1б Спектр неоновой лампы

Линия Относительная яркость

(визуально)

λ(А ) о


Красная

1 3 5 5 5

6717 6678 6599 6532 6506

Ярко-красная 10 10 5 2 8 3 5

6402 6383 6334 6305 6266 6217 6164

Красно-оранжевая

5 3 4 2 2

6143 6096 6074 6030 5676

Оранжевая 3 4

5944 5882

Желтая 10 3

5853 5764

Зеленая 10 5 3 2

5401 5341 5331 5031

Сине-зеленая 5 4827

113

Квантовая теория излучения Градуировочную кривую следует строить в крупном масштабе

на листе миллиметровой бумаги, по оси абсцисс откладывая гра-дусные деления барабана, по оси ординат – длины волн соответст-вующих линий в Ангстремах. Масштаб выбирайте самостоятель-но, исходя из размеров миллиметровки. За нулевую точку по оси

ординат следует брать 4000 , максимальное значение 6750 . Продумайте масштаб и для шкалы абсцисс, где Вы отложите деле-ния барабана. Точки наносите карандашом. Иногда при построе-нии графика некоторые экспериментальные точки оказываются смещенными от плавной кривой. Чаще такие “выбросы” свиде-тельствуют о неверной расшифровке наблюдаемой картины спек-тральных линий, к этому необходимо отнестись внимательно. Проведите плавную кривую с учетом всех «выбросов».

Ао

Ао

б) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИН ВОЛН СЕРИИ БАЛЬМЕРА

При отключенной сети вставьте водородную трубку в гнездо

6. Следует отметить, что в спектре водородной трубки наряду с линиями атомного спектра наблюдается спектр молекулярного водорода. Это ряд частых полос.

Поэтому начинать поиск нужных линий необходимо с наибо-лее интенсивной ярко-красной линии Hα . Вторая линия Hβ – зеле-но-голубая. В промежутке между Hα и Hβ располагаются не-сколько красно-желтых и зеленых сравнительно слабых молекулярных полос.

Третья линия Hγ – фиолетово-синяя. Перед ней расположены две слабые размазанные молекулярные полосы синего цвета. Чет-вертая линия Hδ – фиолетовая. Ее удается найти в излучении лишь некоторых экземпляров водородных трубок. Измерьте эти длины волн в делениях барабана. Результаты изме-рений внесите в таблицу 2.

114

Физика. Лабораторный практикум Таблица 2 Спектр водородной лампы

Л и н и и водорода


nо

Экспериме- нтальные значения длин волн

λ ( ) Ао

Экспер. значен. R(м-1)

Rсредн

(м-1)

Hα ярко-красная

Hβ зелено-голубая

Hγ синяя

Hδ слабо фиоле-

товая

По градуировочной кривой определите значения длин волн

Hα, Hβ, Hγ и Hδ в Ангстремах, а затем и экспериментальное значе-ние постоянной Ридберга R. Сравните эти значения с теоретиче-скими.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Каково строение атома водорода по теории Резерфорда? 2. Почему Бору пришлось ввести свои постулаты? 3. Сформулируйте постулаты Бора. 4. Объясните “механизм” излучения энергии атомом водорода. 5. Выведите формулу полной энергии электрона в атоме. 6. Выведите формулу Бальмера для ярко красной линии Hα. 7. Каковы затруднения теории Бора-Резерфорда? Что не было уч-

тено в этой теории?

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. [10], с.427-431 2. [8], с. с. 51 – 54, 66 – 68, 103 – 108.

115



Изучение законов теплового излучения тел

Цель работы: знакомство с законами теплового излучения тел. Приборы и принадлежности: установка для изучения законов те-плового излучения тела и некоторыми методами их проверки.


1. Тепловое излучение тел и его характеристики

Электромагнитное излучение, возбуждаемое за счет энер-гии теплового движения атомов и молекул при нагревании тел, называется тепловым. Набор длин волн, излучаемых нагретым телом, называется спектром излучения. Существует исторически сложившееся деление спектра излучения на области: УФ-ультрафиолетовую с длинами волн λ от 0,2 до 0,33 мкм, видимую (0,38-0,76 мкм) и три инфракрасные (ИК)- ближ-нюю, среднюю и длинноволновую (0,76-2,5; 2,5-25; 25-1000 мкм).

Излучение УФ, видимой и ближней ИК-областей обусловлено квантовыми переходами внешних электронов в атомах, излучаю-щих при каждом переходе квант энергии ε=hν, или кратный ему; здесь h – постоянная Планка, равная Дж⋅сек, ν-частота ,

связанная с длиной волны λ соотношением ν=

6 62 10 34, ⋅ −

λс , где с – скорость

света в вакууме. Излучение средневолнового и длинноволнового ИК – диапазонов связано с колебательными и вращательными пе-реходами в кристаллической решетке тела.

Тепловое излучение тел является равновесным. Если излуча-тель поместить в идеально отражающую оболочку, то с течением времени в системе установится состояние термодинамического равновесия.

Тело излучает в единицу времени столько же энергии, сколько поглощает при отражении от оболочки. При этом температу-ра тела остается неизменной.

116


Введем некоторые характеристики излучающей поверхности.

Т

1)Энергетическая светимость или лучеиспускательная способ-ность тела R .

R Т – это энергия, излучаемая с единицы поверхности тела в единицу времени при температуре Т во всем диапазоне длин волн λ от 0 до ∞, или частот ν от 0 до ∞. То есть,

R Т =StW

[ ]TR

(1),

где W – энергия, S – площадь излучающей поверхности, t – время.

Размерность =с

Дж⋅м 2

2T

T,λ

T,ν

T,rλ T,ν

T,rλ

, т.е. Вт/м . R – это интегральная лу-

чеиспускательная способность, так как она включает в себя излу-чение всех длин волн. 2) Спектральная плотность энергетической светимости r или

r .

Спектральная плотность энергетической светимости – это энергия, излучаемая с единицы поверхности в единицу времени при данной температуре в диапазоне длин волн от λ до λ + dλ.

Оказывается, что при данной температуре на равные интерва-лы длин волн dλ во всем их диапазоне от 0 до ∞ (частот от 0 до ∞) с единицы площади и в единицу времени излучается раз-личная величина энергии или r .

Из рисунка 1 заметна неравномерность распределения излу-чаемой энергии по длинам волн для данной температуры Т. Спектральная плотность лучеиспускательной способности (заштрихованная площадь) различна для разных длин волн.

117

Квантовая теория излучения Максимум излучения r приходится на длину max Т,λ

оволны λ .

Рис. 1

Так для куска железа, нагретого до 100-200 К, максимум излу-

чения приходится на ИК – диапазон. При более высоких темпера-турах вначале тело светится красным светом, затем при дальней-шем увеличении температуры, максимум излучения приходится на более высокие частоты (менее длинные волны λ 0 ). В спектре по-являются желтые линии, а затем зеленые и синие, что приводит к более яркому свечению. Так как

ν=λc ,то r = rT,λ T,ν λ

νdd

T,λ T,ν, т.е. r = r 2

c (2) λ

Энергетическая светимость R и спектральная плотность энергетической светимости связаны между собой:

Т

T,rλ

Т dr0

Т,∫∞

λ

Т ∫∞

ν0

Т,r

Т

T,λ

R = λ (3)

Из выражения (3) следует, что

R = dν (4)

Т.е. энергетическая светимость R соответствует площади под кривой r (рис.1), так как включает все длины волн от 0 до ∞.

118

Введем некоторые характеристики поглощающей по-верхности.


1) Спектральная плотность лучепоглощающей способности тела α Т,λ или α Т,ν .

Спектральная плотность лучепоглощающей способно-сти тела равна доле поглощенной энергии в падающей при данной температуре, как в заданном диапазоне длин волн от λ до λ+dλ, так и в соответствующем диапазоне частот от ν до ν+dν .

α =Т,λТпад.,

Тпогл.,

dWdW

λ

λ

Т,λ

Т

Т0

∞

∫ Т,λ

Т Т

(5)

Следует отметить, что α является – безразмерной величиной. 2) Коэффициент поглощения тела α .

α = α dλ (6)

Из выражения (6) следует, что , коэффициент поглощения тела равен доле поглощенной энергии в падающей во всем диапа-зоне длин волн от 0 до ∞. Так и во всем диапазоне соответст-вующих частот от 0 до ∞.

Тело, способное поглощать при любой температуре все па-дающее на него излучение, называется абсолютно черным телом (АЧТ). Для АЧТ тела α =1. Для серого тела 0<α <1. Абсо-лютно черных тел в природе не существует, однако можно создать его модель в виде зачерненной полости с отверстием в 0,1 диамет-ра (рис. 2), которое поглощает практически все попавшее в отвер-стие излучение.

Такая “модель” может быть нагрета, излучение из отверстия может считаться излучением абсолютно черного тела.

119


Законы излучения АЧТ были установлены в конце Х1Х века

на основе термо- и электродинамики при анализе эксперименталь-ных данных.

ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО

ЧЕРНОГО ТЕЛА а) Закон Кирхгофа

Отношение спектральных лучеизлучающих и лучепогло-щающих способностей всех тел не зависит от их природы, а только от длины волны (частоты) и температуры Т, и чис-ленно равняется спектральной плотности лучеизлучающей способности абсолютно черного тела при тех же длинах волн λ и температуре Т.

⎟⎟⎠

⎞

T,

T⎜⎜⎝

⎛

αλ

λ ,rпервого тела = ⎟

⎟⎠

⎞

⎝

⎛

αλ

λ

T,

T,r⎜⎜ второго тела = ⋅⋅⋅

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

αλ

λ

T,

T,r

Т,

АЧТ = rλ,Т АЧТ .

Так как α λ абсолютно черного тела =1, то ⎟⎟⎠

⎞

⎝

⎛

αλ

λ

Т,

Т,r

T,rλ

⎜⎜ серого

тела= абсолютно черного тела. Из этого закона следует, что природа излучения всех тел оди-

накова, не зависит от химического состава тел.

120


Спектральная плотность лучеиспускательной способности любого тела может быть определена через спектральную плот-ность лучеиспускательной способности абсолютно черного тела.

Т.е. T,

Т,r

λ

λ

α T,rλ

T,rλ

Т

серого тела равно абсолютно черного тела. Ве-

личину абсолютно черного тела называют функцией Кирхго-фа.

Из закона Кирхгофа следует, что наиболее интенсивно излу-чают те тела, которые по отношению к данному излучению обла-дают и наибольшей поглощающей способностью. Кроме того, не-трудно заметить, что энергетическая светимость серого тела при данной температуре меньше энергетической светимости абсолют-но черного тела.

Rт серого тела = αT серого тела ⋅ R т абсолютно черного тела.

б) Закон Стефана-Больцмана

Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной тем-пературы.

R = σT4 (7) Здесь σ = 5,668⋅ 10-8 Вт/(м2⋅К4) – так называемая, постоянная

Стефана-Больцмана.

в) Закон смещения Вина

Длина волны λо, на которую приходится максимум спек-тральной плотности лучеиспускательной способности абсолют-но черного тела, обратно пропорциональна абсолютной темпе-ратуре тела.

λо = а/T (8),

где а – первая постоянная Вина, равная 2,898⋅10-3 м⋅К.

121


Это видно из эмпирических кривых распределения излучаемой энергии по длинам волн в спектре излучения АЧТ при различ-

ных температурах (рис. 3).

Рис. 3

г) Закон Вина для максимальной спектральной плотно-сти лучеиспускательной способности абсолютно черного тела

Из рисунка 3 видно, что максимальные значения спектральной плотности лучеиспускательной способности r с ростом температуры растут. Вин показал, что

max T,λ

max T,λ r = b⋅Т5 (9), т.е. максимальное значение спектральной плотности лучеиспуска-тельной способности абсолютно черного тела прямо пропорцио-нально температуре в пятой степени.

122


Выражение (9) и есть второй закон Вина. Здесь b – вторая постоянная Вина, равная 1,3⋅10-5 Вт/(м2⋅К5).

Законы Стефана-Больцмана и Вина были установлены экспе-риментально, а затем, после введения в 1900 году Максом План-ком гипотезы о квантовом характере излучения, выведены им тео-ретически, причем расчетные постоянные σ Стефана-Больцмана, а и b Вина, совпали с экспериментальными с высокой степе-нью точности.

Целью настоящей работы является количественная проверка закона Стефана-Больцмана и двух законов Вина, для чего необхо-димо построение функции Кирхгофа, т.е. зависимости от λ при трех фиксированных значениях температур.

T,rλ

T,λ T

Устройство лабораторной установки

Лабораторная установка “Экспериментальное изучение зако-

нов теплового излучения” предназначена для измерения в относи-тельных единицах спектральной ( r ) и интегральной (R ) лу-чеиспускательных способностей нихромовой спирали при трех фиксированных температурах: Т1=900 К, Т2=740 К и Т3=630 К. Внешний вид установки приведен на рисунке 4.

Рис. 4

(а)

(б)

123


Установка состоит из оптического блока, устройства регист-рации и блока питания.

На рисунке а – (вид спереди): 1 – ручка барабана блока фильт-ров; 2 – прозрачный кожух; 3 – кнопка МОДУЛЯТОР; 4 – кнопка ДИАПАЗОН; 5- светодиодный цифровой индикатор; 6 – кнопка температуры Т3; 7- кнопка Т2; 8 – кнопка Т1; 9 – зеркало; 10 – ин-фракрасный узкополосный фильтр; 11 – электродвигатель модуля-тора; 12 – барабан блока фильтров; 13 – кнопка СЕТЬ; 14 – сиг-нальные светодиоды; 15 – корпус.

На рисунке б – (вид сзади): 1 – держатель предохранителя; 2 – крышка; 3 – разъем для подключения сетевого кабеля; 4 – клемма заземления; 5 – фотоприемник.

Принцип действия установки заключается в измерении энер-гии, излучаемой нихромовой спиралью, в узком спектральном диапазоне при фиксированных температурах излучателя. Спек-тральная селекция на различных участках спектра излучения осу-ществляется набором оптических ИК-фильтров (инфракрасных) с узкой полосой пропускания от 0,01 до 0,05 мкм.

На рисунке 5 изображена структурная схема установки. Ос-новные элементы установки:

излучатель (позиция 4); модулятор (поз. 5); блок ИК-фильтров (поз.3); отражатель (поз. 1); фотоприемник (поз. 2); УОАС (поз. 8); вольтметр цифровой (поз. 9); источник тока (поз.6); блок питания (поз. 7).

Рис. 5

124


Излучатель (4) имеет форму полого цилиндра, изготовленного путем намотки нихромовой проволоки способом виток к витку,

предназначен для создания потока излучения. Модулятор (5) изготовлен в виде цилиндрического стакана с

равномерно расположенными по окружности окнами прямоуголь-ной формы, предназначен для периодического прерывания потока излучения, создаваемого излучателем. Вращение модулятора осу-ществляется двигателем постоянного тока.

Оптические узкополосные ИК – фильтры (3) размещены на восьмигранном цилиндрическом барабане и предназначены для монохроматизации потока ИК- излучения. Установка фильтра в рабочее положение осуществляется поворотом барабана на фикси-рованный угол. Ему соответствуют положения фильтров 1 – 7 для длин волн 2,1; 2,5; 3,2; 3,9; 4,5; 6,2; 8,4 мкм. Рабочий диапазон длин волн при измерении интегральной лучеиспускательной спо-собности (окошко 8) − от 2 до 20 мкм.

На фотоприемнике (2) строится изображение излучателя с помощью сферического вогнутого зеркала отражателя (1).

Пироприемник МГ- 30 размещен в защитном корпусе и предназначен для преобразования промодулированного ИК- излу-чения в переменный электрический сигнал (напряжение).

УОАС – устройство обработки аналоговых сигналов (8) предназначено для преобразования поступающего с выхода пиро-приемника переменного напряжения в постоянное.

Цифровой вольтметр (9) предназначен для преобразования электрического сигнала на выходе УОАС в цифровую форму и отображения его величины на трехразрядном цифровом светоди-одном индикаторе.

Блок питания (7) осуществляет стабилизацию выходных на-пряжений и питание всех электронных устройств.

Источник тока (6) осуществляет питание излучателя.

На данной установке можно снять напряжения U , соответствующие спектральной плотности лучеис-

пускательной способности , для трех разных темпе-ратур излучателя, а также напряжения U Т , соответ-

Т,λ

T,rλ

125


ствующие интегральной светимости тела R Т , начиная с наименьшей температуры Т3. ИДЕЯ ПРОВЕРКИ ЗАКОНОВ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

а) Закон Стефана-Больцмана

Для 8-го окошка снимите напряжения UТ экспериментальные, соответствующие интегральной светимости тела RТ= σT4, для трех различных температур. Сравните отношения напряжений с отно-шениями температур в четвертой степени. б) Закон смещения Вина

Снимите экспериментальные зависимости напряжений Uλ,Т, соответствующие спектральным плотностям лучеизлучательной способности, для трех различных температур и постройте графики Uλ,Т (λ). По графикам найдите λ01, λ02 и λ03 –длины волн, на ко-торые приходятся максимумы спектральной плотности лучеизлу-чательной способности. Помня, что длина волны обратно пропор-циональна температуре, найдите отношения длин волн и соответствующих температур.

в) Закон Вина для максимальной спектральной плотно-сти лучеиспускательной способности

Из графиков Uλ,Т (λ). найдите Uλ,Тmax., соответствующие r . Помня, что максимальная спектральная плотность про-

порциональна температуре в пятой степени, найдите отношения U и сравните их с отношениями соответствующих темпе-ратур в пятой степени.

maxТ, λ

maxТ, λ

ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Перед включением установки в сеть корпус ее должен быть

надежно заземлен путем соединения клеммы заземления с общей шиной. Проверьте!

Кнопки МОДУЛЯТОР и СЕТЬ должны находиться в отжа-том (выключенном) положении. Кнопка ДИАПАЗОН должна

126


находиться в отжатом положении (ДИАПАЗОН ×1). Т должна находиться во включенном положении, а Т 2 и Т 1 в отжатом. Положение барабана блока светофильтров произвольное.

3

В Н И М А Н И Е!

ПОВОРОТ БАРАБАНА СВЕТОФИЛЬТРОВ МОЖЕТ ПРОИСХОДИТЬ ТОЛЬКО В НАПРАВЛЕНИИ СТРЕЛКИ!

1. Включите установку в сеть. Нажмите кнопку СЕТЬ. Долж-

ны загореться сигнальные светодиоды, расположенные рядом с кнопками СЕТЬ, ДИАПАЗОН (×1) и Т . На трехразрядном све-товом индикаторе должна высветиться комбинация 0,00 или 0,01. Подождите 15 мин, необходимых для прогревания уста-новки. Посмотрите, какой установлен светофильтр. С него можно начинать измерения.

3

Т,λ

2 3

2. Нажмите кнопку МОДУЛЯТОР. Должен загореться свето-диод, расположенный рядом с этой кнопкой. На индикаторе долж-на высветиться цифра, отличная от 0,00. Если на светодиодном индикаторе высвечивается комбинация 1,0 (после запятой цифры не светятся), следует нажать кнопку ДИАПАЗОН. При этом заго-рается светодиод рядом с символом 2, а светодиод 1 гаснет. По-казания индикатора в этом случае должны быть увеличены в три раза.

Сняв измеренные напряжения (U′ ) для всех окошек, изме-

ните температуру на Т .После пятиминутного прогрева повтори-те измерения. То же проделайте для температуры Т 1 .Измеренные значения внесите в таблицу. Учтите, что Вы начинаете измерения с самой низкой температуры, затем переходите к более высоким:

2

Т 1 = 900 К ; Т = 740 К ; Т = 630 К

127


Таблица измерений

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Так как светофильтры пропускают только β% излучения, где β – максимальный коэффициент пропускания данного свето-

фильтра, рассчитайте U = U′ ×Т,λ Т,λ β100

Т,λ

Т, T,rλ Т Т

0

, т.е. напряжения, соот-

ветствующие спектральным плотностям лучеиспускательной способности излучателя, приходящимся на различные диапазоны длин волн от λ до λ+dλ. Результаты внесите в таблицу.

2. Постройте графики U от λ для трех различных темпера-тур излучателя, помня, что

U λ ∼ , а U ∼ R . 3. Для проверки закона смещения Вина найдите из графиков

длины волн λ , для трех различных температур, а затем сравните отношения длин волн с соответствующими отношениями темпера-тур:

128


;2

1

ТТ

01

02 ≈λλ

;3

2

ТТ

02

03 ≈λλ

.ТТ

3

1

01

03 ≈λλ

4. Для проверки закона Вина для максимума спектральной плотности лучеиспускательной способности найдите из графиков U для трех различных температур, а затем сравните отно-шения их с отношениями соответствующих температур в пятой степени:

Т,λ 1max

;TT

5

2

1

2maxT,

1maxT,⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

λ

λ

UU

;TT

5

3

1

3maxT,

1maxT,⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

λ

λ

UU

.TT

UU

5

3

2

3maxT,

2maxT,⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

λ

λ

5. Для проверки закона Стефана-Больцмана найдите отноше-

ния напряжений, соответствующих отношениям энергетических светимостей, и сопоставьте их с отношениями температур в чет-вертой степени:

;TT

UU

4

2

1

2T

1T⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈ ;

TT

UU

4

3

1

3T

1T⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈ .

TT

UU

4

3

2

3T

2T⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы

1. Какова природа теплового излучения? 2. Что такое энергетическая светимость тела? Спектральная

плотность энергетической светимости? 3. Какое тело называется абсолютно черным? серым? 4. Каково распределение энергии в спектре АЧТ? 5. Из каких соображений выводится закон Стефана-

Больцмана? Законы Вина? 6. Как “влияет” коэффициент пропускания светофильтра β на

выходящее после фильтра излучение? 7. Поясните идею проверки закона Стефана-Больцмана, зако-

нов Вина. Л И Т Е Р А Т У Р А

1. [14], с. 730-740. 2. [15], с. 29-42.

129


П Р И Л О Ж Е Н И Е

1. Функция Кирхгофа и “ультрафиолетовая катастро-фа”. Квантовая гипотеза и формула Планка

По классической теории Максвелла атомы нагретого тела можно уподобить набору колеблющихся зарядов-осцилляторов, каждый из которых имеет энергию kT. Здесь k – постоянная Больцмана.

Число осцилляторов Релей считал пропорциональным ν ⋅Δν для каждого интервала частот. Релеем и Джинсом была вы-ведена формула для спектральной плотности лучеиспускательной способности абсолютно черного тела, носящая название формулы Релея-Джинса

2

>ε<⋅πν

=ν 2

2

T, c2r (10),

где с – скорость света, <ε> – средняя энергия осциллятора. Считая, что осциллятор излучает непрерывно, можно, ис-

пользуя статистику Больцмана, найти среднюю энергию одного осциллятора.

<ε>=

∫

∫∞

∞

0

0

βε−

βε−

ε

εε

de

de = –

βdd ln ∫ =

∞βε

0

-e εdβd

d ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β1

Т,ν

= kT.

Таким образом, r = 2

2

c2πν

Т,ν

Т ∞→ν∫∞

ν0

Т, dr

⋅ kT (11)

Формула Релея – Джинса правильно описывает поведение функции r при малых частотах, но для больших частот фор-мула неверна, так как приводит к, так называемой, “ультрафиоле-товой катастрофе”. Действительно,

R = .

Для преодоления трудностей Макс Планк в 1900 г. выдвинул гипотезу о том, что осцилляторы в атомах излучающего тела могут

130


излучать энергию не любую, а дискретными порциями – квантами величиной ε , 2ε , 3ε ... 0 0 0

Теперь для нахождения <ε> применим не интегрирование, а суммирование .

<ε>=

∑

∑∞

=

εβ−

∞

=

εβ−ε

0n

00

0n

n

e

enn

o

⋅βd

d ln∑ = -

∞

=

εβ−

0n

0neβd

d ln

oe11βε−

= 1e o

o

−ε

. βε

Подставив это выражение в (10), получим

r = Т,ν 2

2

c2πν

⋅

1ekT

oo

ε (12) ε

о

Т

−Квант энергии Планк принял равным ε = hν, где h – посто-

янная, названная в его честь постоянной Планка. Отсюда оконча-тельно функция Кирхгофа имеет вид:

r = ,ν

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

νπν

1ec

h2

kTh

2

3

Т ∫∞

ν ν0

Т, dr

(13)

и называется формулой Планка. При низких частотах hν << kТ, и формула Планка переходит в формулу Релея – Джинса.

2. Вывод закона Стефана – Больцмана

Так как R = , то введя замену х = hν/kТ, по

лучим ν=kТх/h и dν = kТdх/h. При прежних пределах интегрирования имеем:

R =Т 3

4T2

4

hck2π

∫∞

−0x

3

1ex

dx = σТ 4 , так как ∫∞

−0x

3

1ex

= 6,56, а σ

= 6,56⋅ 32hck2π 4

. Расчетная σ совпадает с экспериментальной.

131


Вывод закона смещения Вина

Чтобы найти длину волны, на которую приходится максимум спектральной плотности лучеиспускательной способности, необ-ходимо исследовать функцию r на экстремум. Т,λ

Вначале учтем, что ν=с/λ , после подстановки в (13) полу-чим значение

r =Т,λ 5

2hc2λπ

⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−λ 1e

1

kThc

(14).

Введя замену переменных х=hc/λkT, получим

r = Т,х 34

555

chxTk2π

⋅)1e(

1x − ( )=

1eАxx

5

−5 5 4 3

(15).

Здесь А = 2πk Т / h c . Исследуем эту функцию на экстремум. ( )

dxdr T,x = 0;

dxdr T,x = ( )0xx=

2x

x5x4

1eeАx1eАx5

−

−−

0

0ex)1 00 x0

x =−−

0x 0

= 0

при х=х . Здесь достаточно чтобы числитель равнялся нулю.

e(5 ; (16)

Полученное трансцендентное уравнение можно решить при-

ближенно. Так как значению соответствует длина волны λ , на которую приходится максимум спектральной плотности лучеис-пускательной способности ( )kT/hcx 00 λ= , то для случая боль-

ших частот (малых λ) >> 1 и x ≈5 . При точном решении = 4,95.

0xe 0

0x

0Отсюда λ = hc/4,95kT = а/T, что и требовалось доказать. Здесь а – первая постоянная Вина. Расчетная константа прекрас-но совпала с полученной экспериментально.

132


4. Вывод закона Вина для максимальной спектральной плотности лучеиспускательной способности r maxТ,λ

Подставляя в (15) = 4,95 и А, имеем для r = bT ,

где b – вторая постоянная Вина. 0x maxТ,λ

5

Таким образом, введя квантовый механизм излучения, Макс Планк теоретически подтвердил экспериментально полученные законы теплового излучения.

133



Изучение гелий-неонового лазера и дифракции Фраунгофера на мелких частицах

Цель работы: знакомство с принципом действия и устройст-

вом оптического квантового генератора (газового лазера), а также определение с его помощью размера мелких сферических частиц.

Приборы и принадлежности: гелий-неоновый лазер, препарат ликоподия (споры травы плауна), экран.


1. Лазер. Понятие о среде с инверсной заселенностью уровней энергии

Естественные источники света дают широкие пучки света, ко-

торый неполяризован, немонохроматичен и некогерентен. У поля-ризованного света вектор напряженности электрического поля совершает колебания упорядоченно (линейно поляризованный – в одной плоскости). Монохроматичный свет – это свет одной длины волны, а когерентным излучением называется согласованное излу-чение, для которого разность фаз отдельных волн постоянна во времени. В 1960 г. американский физик Али Джаван изобрел га-зовый лазер – устройство, дающее узконаправленный пучок ли-нейно поляризованного монохроматичного когерентного света.

Согласно квантовой теории свет представляет из себя поток квантов (мельчайших порций энергии) – фотонов, энергия каждого ε=hν, Здесь h – постоянная Планка, равная 6,62⋅10 -34 Дж⋅с, ν – частота, связанная с длиной волны λ соотношением ν=с/λ, с – ско-рость света. Длины волн оптических фотонов, т.е. фотонов, вос-принимаемых человеческим глазом, заключены в узком диапазоне от λ=3,8⋅10–7 м для фиолетовой области до 7,6⋅10-7 м для красной области оптического спектра.

Если на обычное вещество падает свет, то атомы и молекулы среды поглощают его тоже квантами. Пусть Io – интенсивность падающей волны (интенсивность – это энергия, попадающая в

134


единицу времени на единицу площади), то при прохождении света на любую глубину вещества dx, оказывается, что доля поглощен-

ной энергии к падающей I

dI пропорциональна величине dx. Т.е.

IdI

∼ dx. Чтобы поставить знак “=”, введем коэффициент погло-

щения вещества αν,Т , зависящий от частоты и температуры, зна-ком “-” учтем, что с увеличением толщины вещества интенсив-ность уменьшается.

IdI

= – αν,Т dx . Интегрируя в пределах от 0 до х, имеем:

∫∫ να−=x

oT,

I

I

dxI

dI

”

, откуда I = Ioe-αx.

Это закон Бугера, согласно которому с увеличением толщины вещества интенсивность света экспоненциально уменьшается. И такая среда является нормальной. Такая среда подчиняется нор-мальному распределению Больцмана частиц по энергиям.

Т.е. n = noe kTε

− . Здесь no – число частиц с энергией равной

нулю, n – число частиц с энергией, равной ε, k – постоянная Больцмана, Т – температура.

Так как падающая энергия уходит на возбуждение электронов, то в такой среде количество электронов n1 c меньшей энергией ε1 будет всегда больше количества электронов n2 c большей энергией ε2. Поэтому такая среда будет только поглощать падающее излу-чение. Генерировать падающее излучение способна среда с ин-версной заселенностью уровней энергии, или среда с отрицатель-ным коэффициентом поглощения. Излученные такой средой кванты создадут узкий пучок поляризованного монохроматичного и когерентного излучения.

Оказалось, что смесь инертных газов гелия и неона при элек-трическом разряде является средой с инверсной заселенностью возбужденных уровней энергии. В обычных условиях два электро-на гелия находятся в состоянии 1S, а десять электронов неона


135

имеют уровни энергии, характеризуемые состояниями 1S, 2S, 2P. При возбуждении атомов электрическим разрядом у гелия появ-ляются возбужденные уровни более высокой энергии 2S, 3S..., 2P..., а у неона 3S, 4S..., 3P... .

гелий неон Рис. 1

На рисунке 1 приведены значения этих возбужденных уровней энергии в электрон-Вольтах, причем, оказалось, что возбужденные уровни 2S гелия совпадают с возбужденными уровнями 4S и 5S неона. Получилась среда с инверсной заселенностью уровней. Для генерации фотонов такой средой необходимо несколько условий, обеспечивающих обратную связь между излучаемым потоком и вынужденным излучением атомов рабочего вещества.

2. Спонтанное и стимулированное излучение 3.

При поглощении фотона атом переходит в возбужденное со-стояние. На рисунке 1 эти переходы показаны штрихованными стрелками с низких энергетических уровней на более высокие. В возбужденном состоянии атом находится 10-8 секунды, после чего испускает фотон, переходя на более низкий энергетический уровень. Энергия испущенного фотона равна разности энергий тех уровней, между которыми произошел переход электрона

hν = εn – εk (1), здесь n>k.

136


Процесс излучения может быть как спонтанным (самопроиз-вольным), так и стимулированным (индуцированным). Спонтан-ное излучение происходит без воздействия на атом и обусловлено лишь неустойчивостью его возбужденного состояния из-за взаи-модействия его электронов с вакуумом. Физический вакуум не является абсолютной пустотой, представляет собой состояние ма-терии с наименьшей энергией. В таком состоянии минимальна энергия электромагнитного поля. Взаимодействуя с возбужденным атомом, это поле может отобрать у атома энергию в виде спонтан-но испущенного фотона. Различные электроны различных атомов спонтанно излучают независимо друг от друга фотоны различных частот, распространяющиеся в различных направлениях. У этих фотонов колебания векторов E

r ориентированы произвольно, по-

этому такие фотоны не поляризованы и не когерентны. Если возбужденные атомы облучить электромагнитной вол-

ной частоты ν, для которой выполняется равенство (1) только для одного из электронных переходов (например, переходов 5S – 2P), то такие атомы могут дать излучение (стимулированное), в кото-ром точно совпадает состояние испущенного фотона с со-стоянием стимулирующего фотона. Оба фотона имеют одина-ковые частоты (длины волн), значит, это излучение монохроматично, фотоны имеют одинаковые фазы, следователь-но, это излучение когерентно, а так как одинаково направление колебаний векторов E

r, значит, это излучение поляризовано.

Кроме того, оба фотона имеют одинаковое направление движения, поэтому можно получить узконаправленные пучки когерентных фотонов большой интенсивности.

Процесс стимуляции возбужденных атомов с помощью облу-чения называется оптической накачкой.

3. Принцип когерентного усиления излучения

Поместим смесь атомов гелия и неона (в простейшем случае)

между двумя плоскими зеркалами, одно из которых частично про-зрачно для генерируемого света, второе полностью отражает его (рис. 2). Здесь G – генератор напряжения для возбуждения атомов гелия и неона. С помощью генератора непрерывно пополняются


137

возбужденные уровни 4S, 5S, 3P (рис. 1), т.е. в среде создается ин-версная заселенность уровней. Пустые кружочки (рис. 2) – это невозбужденные атомы, заштрихованные – возбужденные атомы

Рис. 2

Испущенная в результате спонтанного перехода (например, 5S – 3P) световая волна усиливается за счет вынужденного испуска-ния при прохождении ее через рабочее вещество. Это происходит следующим образом. Квант света, попадая на возбужденный атом, индуцирует новый квант, летящий в том же направлении. Два кванта индуцируют четыре кванта, те – восемь и так далее. Дойдя до зеркала, свет отразится и снова пройдет рабочее вещество, уси-ливая генерацию света, затем отразится от другого зеркала и так далее.

Рис. 3

138


Кванты света, попавшие на невозбужденные атомы (изобра-жены штрихованными векторами), в дальнейшей генерации света не участвуют.

Коэффициент отражения зеркал должен быть таким, чтобы при одном проходе волны между зеркалами на полупрозрачное зеркало вернулась световая энергия не меньшая, чем в предыду-щем случае. Кванты не должны “мешать” друг другу, поэтому зер-кала имеют искривленную поверхность(рис. 4).

Рис. 4

Энергия света будет нарастать от прохода к проходу, только в

этом случае возможна генерация света. Бурный лавинообразный рост плотности излучения происходит уже в первые моменты раз-ряда: кванты света проходя многократно пространство между зер-калами, за счет соударений с атомами гелия продолжают попол-нять убыль заселенности возбужденных уровней атомов неона.

В непрерывном режиме устанавливается равновесие. Часть света, дошедшая до полупрозрачного зеркала, при определенной интенсивности пучка пройдет через него, и будет излучена лазе-ром или оптическим квантовым генератором.

Аббревиатура слова “лазер” происходит от начальных букв Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, что в пере-воде означает усиление видимого света с помощью стимулирован-ного излучения.

Используемый в данной работе гелий-неоновый лазер излуча-

ет непрерывно на длине волны 6328 (красный свет), Ао

огде А (Ангстрем) – 10-10 м.

Настоящая работа преследует несколько целей: 1) знакомство с идеями генерации монохроматич-

ного поляризованного когерентного излучения;

139


2) проверка поляризованности этого излучения; 3) определение угла расходимости лазерного пуч-

ка; 4) определение размеров мелких сферических

частиц при дифракции когерентного излучения лазера на них.

Порядок включения лазера

Внешний вид лазера и блока питания приведен на рис. 5

Рис. 5

1. Перед включением блока питания выключатель “Вкл” по-

ставьте в нижнее (отжатое) положение. 2. Включите вилку сетевого шнура стабилизатора в сетевую ро-

зетку. 3. Переведите выключатель “Вкл” в верхнее (нажатое) положе-

ние. Подождите 30 секунд, затем нажмите кнопку “Запуск”. Вы увидите луч лазера. Лазер включен. Дайте прогреться уста-новке 3-4 минуты, после чего выполняйте измерения.

4. После завершения работы ручку “Вкл” верните в отжатое по-ложение, вилку сетевого шнура выдерните из розетки.

ВНИМАНИЕ! При включении и выключении установ-

ки, блок питания, подводящий кабель и лампа находятся под напряжением от 5 до 8 килоВольт. При выполнении работы остерегайтесь попадания в глаза прямого лазер-ного излучения!

140


Порядок выполнения работы

Упражнение 1. Чтобы убедиться в поляризованности лазер-ного излучения, необходимо вспомнить закон Малюса

I = Io cos2 α , где Io – интенсивность поляризованного света, I – интенсивность света, прошедшего через анализатор, а α – угол между плоско-стями поляризации поляризатора и анализатора. Если изучаемое излучение не поляризовано, то при вращении анализатора интен-сивность света меняться не будет. Если излучение поляризовано, при вращении анализатора вокруг своей оси будет периодически меняться интенсивность света по закону квадрата косинуса.

Чтобы убедиться в этом, установите на оптической скамье между лазером и экраном насадку с поляроидом. Вращением по-ляроида убедитесь в поляризованности лазерного излучения.

Упражнение 2. Определение угла расходимости лазер-ного пучка производится согласно рисунку 6.

Рис. 6

1. На расстоянии l1 равном 15-20 см от выходного окна лазера

расположите экран с закрепленным на нем листом бумаги. 2. Между лазером и экраном поставьте поляроид. Вращением по-

ляроида ослабьте излучение до такой степени, чтобы на бумаге были отчетливо видны границы светового пятна.

3. Кончиком остро отточенного карандаша отметьте диаметр све-тового пятна. Эту операцию проделайте не менее 3 раз, пере-мещая бумагу по экрану (экран не сдвигайте). Сняв бумагу, из-мерьте с помощью штангенциркуля диаметр d1 пятна и определите его среднее значение.

141


4. Переместите экран на возможно большее расстояние l2 и, по-вторив все операции пункта 3, измерьте диаметр d2 .

5. Для малых углов ϕ находим (рис. 6)

12

12

ll2

d2

d

2 −

−=

ϕ , или 12

12

lldd

−−

=ϕ (рад).

По этой формуле найдите угол расходимости ϕ в радианах, ре-зультаты занесите в таблицу 1.

Таблица 1

N п/п

d1 (м)

l1 (м)

d2 (м)

l2 (м)

ϕn (рад)

ϕ (рад)

1 2 3

Упражнение 3. Нахождение диаметра малых частиц

ликоподия по дифракции Фраунгофера на них Монохроматичный, хорошо коллимируемый пространственно

когерентный световой пучок лазерного излучения позволяет на-блюдать дифракцию света на сферических частицах малого диа-метра (порядка 1-2 мкм), а также определить их диаметр с высокой степенью точности. В качестве таких частиц выбраны споры тра-вы плаун (споры ликоподия), часто встречающиеся в камчатском лесу. Схема наблюдения дифракции Фраунгофера от ликоподия приведена на рис. 7.

Рис. 7

142


Излучение от лазера (длина волны 6,328⋅10-7 м) падает на сфериче-ские частицы радиуса r , дифрагирует на них и дает дифракцион-ную картину на экране, расположенном на расстоянии L от частиц. На экране возникает периодическое распределение интенсивности света в виде концентрических колец – дифракционных максиму-мов и минимумов освещенности (рис. 8). Освещенность максиму-мов убывает к периферии. В центре экрана всегда наблюдается дифракционный максимум, соответствующий половине действия

первой открытой зоны Френеля от всех частиц. На рисунке по оси ординат отложены интенсивности I в ди-

фракционных максимумах, а по оси абсцисс произведения радиу-са частицы на синусы угловых радиусов, под которыми видны светлые и темные кольца

II

Рис. 8

. Угловые радиусы темных колец подчиняются условиям:

sin ϕ1=0,61rλ ; sin ϕ3=1,12

rλ ; sin ϕ5=1,62 λ ;... (2),

r

143


где λ – длина волны света, продифрагировавшего на частице ра-диуса r. Угловые радиусы светлых колец также зависят от соот-ношения длины волны и радиуса частицы:

sin ϕ0=0; sin ϕ2=0,81rλ ; sin ϕ4=1,33 λ (3)

rЕсли измерить диаметр k-го темного или светлого кольца dk и

расстояние от пластины с порошком ликоподия L, то для малых углов (рис. 7)

sin ϕk =tg ϕk =L2

dk .

Тогда, используя условия (2) и (3) , имеем для данного k значение rk – радиуса малых частиц ликоподия:

rk=k

k

dLc2 λ (4),

где сk- коэффициент для разного вида колец. Формула 4 является рабочей для определения радиуса мелких частиц ликоподия.

Результаты измерений занесите в таблицу 2.

Таблица 2 k-

номер коль- ца

ck dk (м)

rk (м) σ=

)1)r 2

k

−n(nr( −Σ

δ= 100rσ

%

1 0,61 2 0,81 3 1,12 4 1,33 5 1,62

r (м)

144


Контрольные вопросы

1. Каковы основные свойства лазерного излучения? 2. Чем отличается спонтанное излучение от вынужденного? 3. В чем заключается когерентное усиление излучения вещест-

вом? 4. Рассмотрите принцип создания среды с инверсной заселенно-

стью уровней энергии в гелий-неоновом лазере. 5. Зачем в лазере нужна система зеркал? 6. Почему периодически меняется интенсивность лазерного пучка

при вращении насадки с поляроидом. 7. Объясните суть дифракции Фраунгофера на круглых частицах.

Литература 1. [8], с. 167-175. 2. [1], с. 351-352, 355-357, 430-432.

145

Электромагнитный колебания

ЛИТЕРАТУРА

1. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2000. 2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая

школа, 1989. 3. Курс физики / Под ред. проф. В.Н. Лозовского, т.1,– Санкт-

Петербург, изд. «Лана», 2001. 4. Джанколи Д., Физика, т.2,– М. : Мир, 1989. 5. Савельев И.В., Курс общей физики, т.2., – М.: Наука, 1998. 6. Руководство к лабораторным работам по физике /Под ред.

Гольдина Л.Л.– М.: Наука, 1973. 7. Новиков П.Н., Кауфман В.Я., Толчеев О.В., Ярочкина Г.В.,

Шапкина Е.В., Задачник по электротехнике, – М: издатель-ский центр «Академия», 1998.

8. Савельев И.В. Курс общей физики, книга 5. – М: Наука, Физматлит, 1998.

9. Калитиевский Н.И.. Волновая оптика. – М.: Высшая школа, 1995.

10. Кортнев А.В., Рублев Ю.В., Куценко А.Н. Практикум по фи-зике. – М.: Высшая школа, 1965.

11. Евграфова Н.Н., Каган В.Л.. Руководство к лаборатор-ным работам по физике. – М.: Высшая школа, 1970.

12. Лабораторный практикум по физике. / Под ред. Барсуко- ва К.А. и Уханова Ю.И. – Москва, Высшая школа, 1988.

13. Савельев И.В. Курс общей физики, т.3.–М.: Высшая школа, 1989 г.

14. Ландсберг Г.С. Оптика, – М.: Наука, 1976 г. 15. Курс физики / Под ред. проф. Лозовского В.Н., т.2,– Санкт-

Петербург, изд. «Лана», 2001.

146


СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение. Понятие об электромагнитных колебаниях, методах их создания и способах наблюдения …………………………………………………. 4 2. Лабораторная работа 3к. Сравнение шкал звуковых генераторов по фигурам Лиссажу ……………..11 3. Лабораторная работа 12к. Изучение затухающих электромагнитных колебаний ……………….21 4. Лабораторная работа 7к. Определение добротности колебательного контура по резонансу напряжений………………………………………39 5. Приложение к лабораторной работе 7к ………………...57 6 .Лабораторная работа 14к. Изучение дифференцирующей и интегрирующей RC-цепей……………………………………………………..62 7. Квантовая теория излучения. Введение.

Идеи квантования энергии и других величин……………………………………………75 8. Лабораторная работа 1А. Изучение зависимости силы фототока в полупроводнике от длины волны падающего света……………………….79 9. Лабораторная работа 5А. Определение первых потенциалов возбуждения атомов ...……………91 10. Лабораторная работа 6А. Изучение спектра излучения атомарного водорода……..…………...97 11. Лабораторная работа 7А. Изучение законов теплового излучения тел…………………………113 11. Приложение к лабораторной работе 7А………...……127 12. Лабораторная работа 9А. Изучение

гелий-неонового лазера и дифракции Фраунгофера на мелких частицах……………….……. 131 14. Литература……………………………………………….143

147

Учебное пособие

Иваницкая Жанна Федоровна

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

Лабораторный практикум по физике

В авторской редакции

Компьютерный набор, верстка Иваницкая Ж.Ф., Янович А.В.

Лицензия ИД № 02187 от 30.06.00 г. Подписано в печать 26.02.2003 г. Формат 61*86/16. Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman

Авт. л. 7,28. Уч.-изд. л. 7,73. Усл. печ.л. 8,97 Тираж 5 экз. Заказ № 56

Редакционно-издательский отдел

Камчатского государственного технического университета

Отпечатано полиграфическим участком РИО КамчатГТУ 683003 г. Петропавловск-Камчатский, ул. Ключевская, 35

КАМЧАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ...

Documents