Міністерство освіти і науки України

Запорізький національний університет

ФАТЄЄВА ЮЛІЯ ОЛЕКСАНДРІВНА

УДК 539.3

НЕЛІНІЙНА ДИНАМІКА КОНСТРУКЦІЙ

ІЗ ФУНКЦІОНАЛЬНО-ГРАДІЄНТНИХ МАТЕРІАЛІВ

З ПАРАМЕТРАМИ, ЗАЛЕЖНИМИ ВІД ЧАСУ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Запоріжжя – 2017

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Запорізькому національному університеті Міністерства

освіти і науки України

Науковий керівник доктор технічних наук, професор,

Грищак Віктор Захарович,

Запорізький національний університет,

завідувач кафедри прикладної математики і механіки,

Заслужений діяч науки і техніки України

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Пожуєв Володимир Іванович,

Запорізький національний технічний університет,

професор кафедри механіки;

доктор фізико-математичних наук, професор

Черняков Юрій Абрамович,

Дніпровський національний університет

імені Олеся Гончара, професор кафедри теоретичної

та комп’ютерної механіки

Захист відбудеться «3» листопада 2017 року о 15.00 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради К 17.051.06 при Запорізькому національному

університеті (69066, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Запорізького національного

університету (69066, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66).

Автореферат розісланий «29» вересня 2017 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Н. О. Кондрат’єва

1

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У різних галузях народного господарства України,

зокрема у конструкціях нової техніки, в якості відповідальних силових елементів

використовуються тонкостінні конструкції зі змінними параметрами за

координатами і часом та зовнішнього навантаження, у тому числі багатошарові

пластини і оболонки обертання із функціонально-градієнтних матеріалів із змінними

у часі параметрами На етапі створення конструкцій нової техніки принциповим

моментом є наявність аналітичних залежностей для оцінки впливу параметрів

досліджуваної системи та зовнішнього навантаження на її динамічну поведінку при

заданому характері зовнішнього навантаження. Це стосується неоднорідних

конструкцій будівельної промисловості, машинобудування, аерокосмічної техніки.

Особлива увага при цьому привертається до нелінійних задач динаміки. Розв’язки

вказаних задач зводяться до необхідності інтегрування сингулярних

диференціальних рівнянь із змінними коефіцієнтами та їх систем. Подібні рівняння,

як правило, не можуть бути розв’язані точно. Тому на практиці використовуються

різні наближені методи: при малих значеннях параметра – асимптотичні підходи, за

межами малості – чисельні методи. При цьому, як правило, інтервал зміни

параметра, на якому можливе застосовування асимптотичного або чисельного

методу, залишається невизначеним. У механіці деформівного твердого тіла

недостатньо вивченими є проблеми, що пов’язані з дослідженням нелінійної

динаміки конструкцій із функціонально-градієнтних матеріалів, особливо з

параметрами, які залежать від часу. Як показали дослідження останніх років,

гібридні асимптотичні методи, зокрема метод збурення та ВКБ-Гальоркін (ВКБ-Г),

дозволяє будувати досить точне наближення незалежно від величини параметра при

старшій похідній. У цьому зв’язку актуальним з точки зору механіки деформівного

твердого тіла є дослідження нелінійних динамічних процесів у пологих оболонках із

функціонально-градієнтних матеріалів за умови залежності товщини оболонки від

часу на основі подальшої розробки і застосуванню гібридних аналітико-чисельних

підходів. Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота

виконувалась відповідно до «Тематичного плану НДР, які виконуються в межах основного робочого часу викладачів» Запорізького національного університету на 2014-2016 рр. за темою «Гібридні аналітико-чисельні методи розв’язку актуальних задач неоднорідного середовища» (№ ДР 0114U002656), а також відповідно до «Тематичного плану НДР, що фінансуються за рахунок коштів бюджету МОН України ДВНЗ «ЗНУ» на 2015-2016 рр. «Математичне моделювання конструкцій неоднорідної структури на базі сучасних інформаційних технологій» (№ ДР 0115U000761).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є застосування сучасних

наближених гібридних аналітичних підходів до розв’язку актуальних проблем

механіки неоднорідного середовища, зокрема конструкцій із суттєвою нелінійністю,

а також поведінки пологих оболонок із функціонально-градієнтних матеріалів

(ФГМ) зі змінною у часі товщиною, початковими недосконалостями і зовнішнім

навантаженням, залежним від часу.

2

Досягнення мети роботи передбачає вирішення таких завдань:

– розробка і опис етапів побудови гібридного ВКБ-Гальоркін розв’язку

задачі динаміки конструкцій із суттєвою нелінійністю;

– алгоритм наближеного аналітичного розв’язку задачі нелінійної динаміки

пологої оболонки із ФГМ з товщиною, залежною від часу;

– постановка задачі і аналіз впливу характеру початкових недосконалостей

на динамічну поведінку пологої пружної ФГМ оболонки;

– аналіз впливу характеристик функціонально-градієнтних матеріалів на

поведінку конструкцій при комбінованому статико-динамічному зовнішньому

навантаженні;

– оцінка точності розв’язків, одержаних з використанням гібридного ВКБ-

Гальоркін методу, на ряді тестових задач.

Об’єктом дослідження є нелінійні динамічні процеси в пологих оболонках,

виконаних з функціонально-градієнтних матеріалів і товщиною, залежною від часу.

Предметом дослідження є наближені аналітичні розв’язки задач нелінійної

динаміки функціонально-градієнтних оболонок, які зводяться до сингулярних

нелінійних диференціальних рівнянь із змінними коефіцієнтами.

Методи дослідження. Запропоновані у дисертаційній роботі наближені

аналітичні розв’язки базуються на використанні гібридних асимптотичних підходів,

зокрема методів збурення, фазних інтегралів (метод ВКБ) та застосуванні методу

ортогоналізації Гальоркіна для отримання наближених аналітичних розв’язків, які

порівнюються із даними прямого чисельного інтегрування основних рівнянь

досліджуваних процесів у ФГМ оболонках.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше на

базі асимптотичного підходу із застосуванням гібридного асимптотичного методу

надано нові наближені аналітичні розв’язки прикладних задач нелінійної динаміки

пологих оболонкових конструкцій із функціонально-градієнтних матеріалів і

змінною за часом товщиною, які описуються сингулярними диференціальними

рівняннями зі змінними коефіцієнтами та їх системами. При застосуванні

гібридного ВКБ-Гальоркін методу дістала подальший розвиток ідея поєднання

запропонованих наближених аналітичних розв’язків на базі асимптотичних підходів

із чисельними алгоритмами. Таким чином, були одержані нові і удосконалені відомі

аналітичні розв’язки досліджених задач механіки деформівного твердого тіла

стосовно характеру зміни параметрів конструкцій і зовнішнього навантаження від

часу. Здобуті наближені аналітичні розв’язки можуть бути застосовані в інших

напрямах механіки деформівного твердого тіла.

Практичне значення одержаних результатів. Запропоновані нові наближені

аналітичні розв’язки актуальних задач нелінійної динаміки ФГМ конструкцій із

змінними за часом параметрами і зовнішнього навантаження, зокрема пологих

оболонок змінної за часом товщиною, на базі співставлення результатів розрахунку

із прямими чисельними методами, можуть бути рекомендовані для практичного

використання при проектуванні конструкцій нової техніки. Результати дослідження

використані при виконанні робіт за держбюджетною темою Міністерства освіти і

науки України, впроваджені у практику державного підприємства «Конструкторське

3

бюро «Південне» ім. М. К. Янгеля» (м. Дніпро) та навчальний процес Запорізького

національного університету.

Особистий внесок здобувача. Конкретний особистий внесок автора полягає в

формальній побудові і чисельній реалізації гібридного асимптотичного розв’язку

крайових задач, а саме: [1] – динаміка ФГМ пологої оболонки зі змінними за часом

параметрами; [2] – вплив температурного навантаження на динамічну поведінку

циліндричної ФГМ оболонки; [3] – дослідження впливу зовнішнього періодичного

навантаження на динамічну поведінку пружних ФГМ оболонок; [4, 5] – вплив

характеру зміни товщини у часі та початкових недосконалостей на динамічні

характеристики конструкцій із ФГМ; [6] – нелінійної динаміки ФГМ пологої

оболонки при дії статичних зусиль; [7-10] – аналітико-чисельні розв’язки.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційного

дослідження доповідалися та обговорювалися на:

– міжнародній конференції «4-the International Conference of Nonlinear

Dynamics ND-KhPI 2013» (м. Севастополь, 2013р.);

– Ⅵ міжнародній науково-технічній конференції «Актуальні проблеми

прикладної механіки та міцності конструкцій» (м. Запоріжжя, 2015);

– міжнародному конгресі «ECCOMAS Congress 2016, European Congress on

Computational Methods in Applied Sciences and Engineering» (м. Кріт, Греція, 2016);

– міжнародній конференції «5-th International Conference of Nonlinear

Dynamics ND- KhPI 2016» (м. Харків, 2016);

– міжнародній конференції «7-th International Conference on Mechanics and

Materials in Design» (м. Альбуфера, Португалія, 2017);

– розширеному науковому семінарі кафедри прикладної математики і

механіки Запорізького національного університету.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи в повній мірі викладені

у 10 наукових працях, серед них 1 монографія [2], 1 стаття у періодичному

закордонному виданні [1], 4 статті у виданнях, що включено до Переліку наукових

фахових видань України в галузі фізико-математичних наук [3-6], 4 тези доповіді

наукових конференцій [7-10], з них 1 праця включена до міжнародної

наукометричної бази даних SCOPUS [8].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із анотації,

вступу, 4 розділів, що містять 78 рисунків і 4 таблиці, висновків, списку

використаних джерел із 180 найменувань (на 18 сторінках) та 5 додатків. Загальний

обсяг дисертації становить 154 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертаційної роботи подано загальну характеристику роботи,

обґрунтовано актуальність теми дослідження, окреслено її зв’язок з науковими

програмами, сформульовано мету і завдання дослідження, охарактеризовано

наукову новизну, достовірність і практичну значимість отриманих у роботі

результатів, подано інформацію про публікації за темою роботи та особистий внесок

здобувача, апробацію результатів дисертації, її структуру та обсяг.

4

У першому розділі на основі аналізу літературних джерел, опублікованих як у

вітчизняній так і закордонній журналах, надано аналітичний огляд сучасного стану і

висвітлено передумови виникнення проблем дослідження за темою дисертації,

обґрунтовано необхідність їх подальшого вивчення та розв’язку. Відзначено, що

суттєвий вклад у розробку теорій та методів дослідження механіки конструкцій,

елементами яких є пластини і оболонки обертання, був зроблений такими вченими,

як Н. А. Алфутов, С. О. Амбарцумян, Л. В. Андрєєв, І. В. Андріанов, В. Л. Бідерман,

В. В. Болотін, А. Т. Василенко, В. З. Власов, А. С. Вольмір, Ю. С. Воробьев,

К. З. Галімов, К. Г. Головко, А. Г. Горшков, Е. І. Григолюк, Я. М. Григоренко,

О. Я. Григоренко, В. З. Грищак, В. С. Гудрамович, О. М. Гузь, А. П. Дзюба,

Л. Г. Донелл, В. В. Кабанов, Б. Я. Кантор, І. А. Кийко, М. О. Кільчевський,

В. А. Крисько, В. Д. Кубенко, Л. В. Курпа, П. З. Луговий, М. В. Марчук,

В. М. Мельник, В. Ф. Мейш, Х. М. Муштарі, А. Найфе, Ю. В. Немировський,

В. В. Новицький, В. В. Новожилов, П. М. Огібалов, В. І. Пожуєв, В. П. Пошивалов,

І. М. Преображенський, О. О. Расказов, В. Л. Рвачов, Е. Рейснер, В. І. Сторожев,

С. П. Тимошенко, Г. Н. Тимченко, А. П. Філіппов, Ю. А. Черняков, П. П. Чулков та

іншими науковцями. Що стосується оболонок, виконаних із функціонально-

градієнтних матеріалів, слід відмітити публікації V. T. T. Anh, R. Ansari, D. H. Bich,

S. Chi, J. T. Drake, N. Duc, F. Erdogan, F. A. Fazzolari, E. Ghorbani, I. F. Golpayegani,

H. Haddadpour, D. Hashempoor, W. M. K. Helal, H. H. Ibrahim, Z. H. Jin, M. Koizumi,

I. Kreja, Q. Li, C. T. Loy, H. M. Navazi, H. S. Shen, J. Yang, Z. Yaping, M. A.Yazdi.

Застосування гібридних асимптотичних методів дослідження відзначається у

роботах І. В. Андріанова, О. А. Ганілової, В. З. Грищака, О. М Дмитрієвої, Л. І.

Маневіча, C. M. Andersen, J. F. Geer, C. R. Steele та інших вітчизняних і

закордонних авторів.

Наведений огляд сучасного стану проблеми нелінійних коливань пологих

ФГМ оболонок свідчить про те, що з точки зору аналітичних методів дослідження

не достатньо повно освітлені підходи асимптотичного аналізу, особливо для

конструкцій, параметри яких залежать від часу. Тут необхідні застосування і

вдосконалення існуючих асимптотичних методів розв’язку нелінійних задач

стосовно ФГМ конструкцій оболонкового типу. Тому дисертаційне дослідження

спрямоване на вирішення цих питань в межах актуальної проблеми, яка пов’язана із

розробкою наближеного аналітичного підходу на базі гібридного асимптотичного

методу до аналізу нелінійної динаміки пологих ФГМ оболонок з параметрами,

залежними від часу.

У другому розділі надано опис і застосування асимптотичного підходу до

вирішення задачі нелінійної динаміки конструкцій із суттєвою нелінійністю,

зокрема у випадку, коли нелінійна складова у базовому сингулярному

диференціальному рівнянні задачі може бути у цілій, або дробовій степені. Як

свідчить огляд сучасного стану проблеми, значна кількість нелінійних задач

динаміки систем із змінними у часі параметрами можуть бути отримані

наближеними аналітичними розв’язками на базі гібридних асимптотичних підходів і

служать в якості еталонних для подальшого ефективного впровадження чисельних

методів.

5

Застосований гібридний асимптотичний метод ілюструється на розв’язку

нелінійного неоднорідного диференціального рівняння із змінними коефіцієнтами:

2 , , , ,T x a x T c x T x b x G T x (1)

де , – скалярні параметри асимптотичного розвинення;

, ,a x , ,c x ,b x – диференційовані функції;

G T – нелінійна функція степені m;

x – задана функція.

Розв’язок отримується при фіксованих початкових чи граничних умовах. На

першому кроці розв’язок T x за методом збурення за параметром

представляється у формі:

2

0 1 ...T x T x T x T x . (2)

З урахуванням (2), прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях

параметру у рівнянні (1), отримується система зв’язаних неоднорідних

сингулярних лінійних диференціальних рівнянь із змінними коефіцієнтами:

0 2

0 0 0: , , ,T x a x T c x T x (3)

1 2

1 1 1 0: , , .T x a x T c x T b x G T (4)

Рівняння (3) переписується у формі:

0 0 0, ,T x a x T c x T x , (5)

де 2

,a

a

2

,b

b

2

.

Із застосуванням ВКБ-наближення

0 0

0 0 1 1

WKB p pT T x T x T x T x , (6)

кінцевий результат розв’язку за методами збурень і фазних інтегралів має вигляд:

1 1 0

2 2 0

sin ,

cos , ,

WKBT x E x I x с c x b x G T

I x с c x b x G T

(7)

де 1

12I x Q x dx ,

2,

aa

2,

bb

2

, exp ,

2

aE x dx

6

0

1

coscos

exp exp2 2

I x b x G TI x xc x dx dx

a adxI x dxI x

,

0

2

sinsin

exp exp2 2

I x b x G TI x xc x dx dx

a adxI x dxI x

.

Гібридний асимптотичний розв’язок із застосуванням принципу

ортогональності Гальоркіна представляється у вигляді знайдених функцій із новими

невідомими амплітудами 0 :

0 0, exp ,Hu x dx (8)

22

0 0 0 0 ,R Q x (9)

2 2 2

0 1 0 1 0,2

Q b Q aI I

(10)

де 3

21.iQ x dx I

Для амплітуд 0 отримуються наступні співвідношення:

2

01,2 23 3

2 2

1.

4 4

b b

a a

Q b Q a Q b Q a

iQ x dx iQ x dx

(11)

Результат три крокового гібридного асимптотичного розв’язку початкового

неоднорідного нелінійного сингулярного диференціального рівняння із змінними

коефіцієнтами для функції HT x визначається за формою:

1

2

0 1 1 0

0 2 2 0

sin , ,

cos , , ,

H H

H

T x E x I x c c x b x G T

I x c c x b x G T

(12)

де 1,2

1 2

0 .HI x Q x dx

Порівняння наближених аналітичних розв’язків із прямим чисельним

інтегруванням нелінійного неоднорідного рівняння та вплив степеня нелінійності у

ряді випадків основного рівняння і заданих початкових умов надані на рис. 1, 2.

7

а) б)

Рисунок 1 – Залежність наближеного аналітичного розв’язку від степеня

нелінійності рівняння (а) та порівняння чисельного і наближеного аналітичного

розв’язків для дрібного степеня нелінійності рівняння (б)

а) б)

Рисунок 2 – Залежність степеня нелінійності у наближеному аналітичному розв’язку

(а), розв’язок нелінійної неоднорідної задачі в залежності від параметру (б)

У третьому розділі розглядається наближений аналітичний розв’язок

нелінійної задачі динаміки пологої оболонки із функціонально-градієнтного

матеріалу на основі методу збурень і ВКБ-наближення. Особлива увага приділяється

дослідженню впливу властивостей матеріалу, який оцінюється за напрямком

товщини у відповідності до розподілу за степеневим законом з точки зору об’єму

матеріалу. Нелінійні залежності деформації – переміщення базуються на теорії

Кармана. Приймаючи до уваги сили інерції і певні початкові умови, проблема

зводиться до сингулярного нелінійного диференціального рівняння другого порядку

із змінними за часом коефіцієнтами. Передбачається, що оболонка шарнірно

закріплена на кінцях, знаходиться під дією зовнішнього тиску 0q t і стискаючих

зусиль 0 ,r t 0p t . Вважається, що модуль пружності E t і масова щільність t

змінюються по товщині, коефіцієнт Пуассона є величиною постійною v z , а

товщина оболонки є функцією часу h t . Об’ємні фракції металу та кераміки ,mV cV

знаходяться за степеневим законом:

8

1,m cV V (13)

2,

2

k

c

z h tV

h t

(14)

де k – показник фракцій компонентів матеріалу ( 0k ).

Модуль пружності, масова щільність і коефіцієнт Пуассона для даного об’єкту

надаються за наступними залежностями:

2,

2

k

m m c c m c m

z h tE z E V E V E E E

h t

(15)

2,

2

k

m m c c m c m

z h tz V V

h t

(16)

,v z const (17)

де індекс m відповідає металу;

c – кераміці.

З урахуванням початкових недосконалостей у геометричній формі серединної

поверхні пологої оболонки отримується наступна систему диференціальних рівнянь:

2 2

0 0

1 22 2

1 2 1

2 22 2 2 2 2 2

0 0 0

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1

0,

w w w wk k

E t x x

w w w w w w

x x x x x x x x

(18)

22 2 21 3 2

1 02 21 2 1 21

2 2 2 2 2 2

2 1 02 2 2 2 2 2

2 1 1 2 1 2

21

.

E t E t E tw ww w

t x x x xE t v

w wk k q

x x x x x x

(19)

Застосовується процедура Бубнова-Гальоркіна і вважається, що функції

початкових недосконалостей і нормального переміщення задовольняють умовам

шарнірного опору оболонки у формі:

1 20 1 2 0, sin sin ,

m x n xw x x f

a b

(20)

де 0f – задана амплітуда початкових недосконалостей;

9

m , n – півхвилі у напрямку 1,x 2.x

Функція деформування має наступну форму:

1 21 2, , sin sin ,

m x n xw x x t f t

a b

(21)

зовнішнє рівномірне навантаження задається у виді:

0 sin .q t Q t (22)

Основне рівняння нелінійної динаміки зводиться до виду:

2 2 2 4 2 2 2221 1 21 3 2

1 022 42 2 2 21

2 2 2 2

1 1 2 2 2

0 022 2 2 2

2 2 4

2 21

02 24 2 2 2

1

162

3

512 16 sin.

19

m n E t k n k mE t E t E tff t f

t aE t v m n

E t mn k n k mf t f f t f t f

a m n

E t m n Q t tf t f t f

mn ta m n

(23)

Спростивши рівняння (23), отримується сингулярне диференціальне рівняння

другого порядку (на відміну від існуючих) із змінними за часом коефіцієнтами:

22 2

0 2 3 0 12

2 3 2

2 3 0 0 0 2 0

1 2

3 .

d ff t f A t A t f A t

dt

f t A t f t A t Q t A t f A t f

(24)

Рівняння (31) представляється у формі:

2

2 2 3

1 2 3 02,

d fB t f t B t f t B t f t Q t

dt (25)

при цьому коефіцієнти рівняння мають наступний вигляд:

0 0 1 1 2 2 3 3 2 1

2

1 0 2 3 0 1 2 2 3 3

2

0 0 0 0 2 0 1 1

; ; ; ; ,

3 11 2 ; ; ,

; ,

A t t A t t A t t A t t

B t f A t A t f A t B t A t B t A t

Q t Q t A t f A t f E t E h t

(26)

10

де , – параметри розвинення відповідно до методів фазних інтегралів та

збурення.

Загальний розв’язок нелінійної неоднорідної проблеми на базі двочленної

апроксимації за методом ВКБ набуває наступний вигляд:

0 1 1 1 2 2

1 1 2 2

0,25

1 1 1 1 2 2 2

sin cos

sin cos

sin cos ,

f t t t K t c c t K t c c t

K t d d t K t d d t

B t K t c c t d t K t c c t d t

(27)

де перша складова у дужках відповідає за власні коливання системи, друга – за

вимушені, а третя – за нелінійну складову досліджуваного рівняння. Коефіцієнти 1d ,

2d знаходяться за допомогою методу варіації довільних сталих:

2 3

2 0 3 0 0

1 0,25

cos,

B t t B t t Q t K td t dt

B t

(28)

2 3

2 0 3 0 0

2 0.25

1

sin.

B t t B t t Q t K td t dt

B t

(29)

Порівняння аналітичного і чисельного розв’язків для неоднорідної нелінійної,

лінійної неоднорідної та лінійної однорідної проблеми наведено на рис. 3.

Рисунок 3 – Порівняння аналітичного та чисельного розв’язків для неідеальної

оболонки (нелінійна неоднорідна, лінійна неоднорідна та однорідна задача)

Вплив параметру зміні товщини на динамічну поведінку недосконалої ФГМ

пологої оболонки представлений на рис. 4.

11

Рисунок 4 – Вплив параметру зміни товщини на динамічну поведінку недосконалої

ФГМ оболонки

Характер нелінійного динамічного процесу недосконалої оболонки змінної за

часом товщини по лінійному закону та вимушені коливання недосконалої пологої

ФГМ оболонки при статичному зовнішньому навантаженні відображено на рис. 5.

а) б)

Рисунок 5 – Характер нелінійного динамічного процесу недосконалої оболонки

змінної за часом товщини (а), вимушені коливання неідеальної пологої ФГМ

оболонки при статичному навантаженні (б)

Відносна похибка ВКБ-розв’язків (за двома членами розвинення) складає до 5

відсотків у порівнянні із прямим чисельним розв’язком.

Четвертий розділ дисертації присвячений знаходженню наближеного

аналітичного розв’язку задачі про нелінійні коливання сферичних пологих оболонок

з функціонально градієнтних матеріалів з товщиною, що залежить від часу, в умовах

температурного навантаження. Дається порівняння результатів прямого чисельного

інтегрування основного рівняння проблеми із запропонованим наближеним

аналітичним розв’язком.

Загальні властивості функціонально градієнтної оболонки з залежними від

часу параметрами, беруться у формі:

2 2; ,

2 2

k k

m c m m c m

z h t z h tE z E E E z p

h t h t

(30)

12

2 2; ,

2 2

k k

m c m m c m

z h t z h tz K z K K K

h t h t

(31)

,v z v const (32)

де 0r – радіус основи оболонки;

R – радіус кривизни;

H – величина підйому пологої сферичної оболонки;

Залежність між об’ємними частками металу і кераміки відповідають

степеневому закону (13), (14).

Розглядається сферична функціонально-градієнтна оболонка, яка визначена в

координатній системі , , z , де та розташовані в меридіональному та

окружному напрямку, вісь z направлена перпендикулярно до серединної поверхні,

позитивно всередину. Радіус паралельних кіл оболонки визначається як sinr R

рис. 6:

Рисунок 6 – Сферична оболонка з залежною від часу товщиною

Компоненти деформації оболонки , ,r r засновані на теорії Кармана та в

будь-якій точці оболонки пов’язані з деформацією серединної поверхні 0 0 0, ,r r

та зміною кривизн і поворотів , ,r r :

0 2 2 0 2

, , , ,2 ; 2,r r rw u r w R w r u w R w

0

, ,,,r rr

r v r u r w w r (33)

2 2

, , , , ,; ; ,r rr r r rw w r w r w r w r

де u , v , w переміщення точок серединної поверхні за меридіональним,

окружним і радіальним напрямками.

Відповідно до (33) рівняння сумісності має вид:

0 0 2 0 0 2 2

, , ,2 2 2, ,

1 1 1 1 1,r r r r r r rr r

r r wr r r r R

(34)

13

де 2 2

2 2 2

1 1

r r r r

– є оператор Лапласа.

Вважається, що температура навколишнього середовища рівномірно зростає з

початкового значення іT до кінцевого значення fT і зміна температури f iT T T .

Температурний параметр m може бути представлений:

.1 2 1

m cm cm m cm cmm m m

E E EE Th t

k k

(35)

Основне нелінійне неоднорідне диференціальне рівняння задачі із змінними у

часі коефіцієнтами зводиться до виду:

* 2 2 3

7.

1 8

t t t t

mt

h t w t e t a t b t w t c t w t d t w

q tf t w t g t

h t n

(36)

Враховуються початкові умови у формі:

0

0,

0 1.

t

dw t

dt

w

. (37)

Основне рівняння задачі нелінійної динаміки сферичної оболонки змінної у

часі товщини представляються у формі:

0 0 1 ,t t tw t w t A t w t w t N t Q t (38)

де – малий параметр;

Гібридний асимптотичний розв’язок рівняння (38) може бути представлений

як:

2 3

0 0

1

2 3

0 0

2

cossin cos

sincos sin ,

t t t

t t t

Q t k t e t w t D t w tw t k t s k t dt

k t k t

Q t k t e t w t D t w tk t s dt k t dt

k t k t

(39)

1 2 4

0

; 0,04, 1; 0,5.t

rk t A t dt n

r (40)

14

Враховуючи початкові умови, отримуються аналітичні вирази для констант 1,s

2s :

1 1

2

1 1 2

1sin2 0 1 tan 0 0

2

1 10 cos 0 0 0 ,

0 0

s k k

kk k

(41)

2

2 1 2 1 1

2

1 1 2

tan 01 tan 0 0 0 sin 0 1 tan 0 0 0

0

tan 01 1sin 2 0 0 sin 0 0 0 .

2 2 0

ks k k k

k

kk k

k

(42)

Порівняння чисельних та аналітичних розв’язків для динаміки сферичної

оболонки з ФГМ з урахуванням температури наведено на рис. 7, 8.

Рисунок 7 – Залежність амплітуди коливань оболонки від параметру температурного

навантаження

Рисунок 8 – Порівняння чисельних та аналітичних розв’язків для вільних коливань

ФГМ циліндричної оболонки в умовах температурного поля

15

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв’язано важливу науково задачу, що полягає у

розробці та застосуванні обґрунтованого ефективного аналітико-чисельного методу

на базі гібридного асимптотичного підходу до аналізу нелінійної динаміки пологих

ФГМ оболонок із параметрами, залежними від часу. Основними науковими

результатами дослідження вважаються:

– вперше побудовано наближений аналітичний розв’язок нелінійних задач

динаміки систем із суттєвою нелінійністю на базі гібридних асимптотичних

підходів. Наведені порівняння прямих чисельних інтегрувань вихідного рівняння з

наближеним аналітичним розв’язком для лінійної неоднорідної та нелінійної задач.

Зіставлення розв’язків із різним степенем нелінійності показало, що застосований

гібридний асимптотичний підхід може бути досить ефективним. У випадку дрібного

степеня нелінійності для досліджуваного типу рівнянь на відміну від

запропонованого наближеного аналітичного підходу чисельний метод інтегрування

дозволяє отримати розв’язок лише у початковому інтервалі незалежної змінної;

– набув подальшого розвитку математичний апарат застосування

асимптотичних методів до розв’язку задачі нелінійної динаміки ідеальних

двошарових ФГМ оболонок при заданих крайових і початкових умовах на основі

методу збурень, ВКБ-апроксимації (у одному та двох наближеннях) та принципу

ортогональності Бубнова-Гальоркіна. Для заданих параметрів оболонки і

зовнішнього навантаження запропоновані наближені аналітичні розв’язки, які

досить задовільно корелюються із результатами прямого чисельного інтегрування

початкових сингулярних нелінійних неоднорідних диференційних рівнянь зі

змінними у часі коефіцієнтами. В деяких випадках ВКБ-апроксимації у першому

наближенні можуть дати достатню відповідність до розв’язку практичних задач;

– вперше надано аналіз впливу геометричних недосконалостей у формі

серединної поверхні та статичних зусиль на нелінійну динаміку досліджуваних

пологих оболонок змінної у часі товщини;

– досліджено вплив зовнішнього навантаження, залежного від часу, на

динамічну поведінку ФГМ пологих оболонкових конструкцій;

– вперше розв’язано задачу про нелінійні коливання пологої сферичної ФГМ

оболонки з товщиною, що залежить від часу, при термомеханічному зовнішньому

навантаженні;

– сформульовано ряд нових механічних ефектів, які базуються на аналізі

чисельних даних динаміки пологих оболонок, з урахуванням впливу змінної за

часом товщини;

– надано оцінку похибки аналітичного розв’язку, отриманого із

застосуванням методу фазних інтегралів (ВКБ-наближення).

16

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Праці, в яких опубліковані основні наукові результати

1. Gristchak V. Z., Fatieieva Yu. A. Asymptotic analysis for nonlinear dynamic

problem of functionally-graded shallow shells with time dependent thickness.

International journal of mechanical engineering and information technology. 2017.

Vol. 5, N 5. P. 1605–1611.

2. Gristchak V. Z., Gristchak D. D., Fatieieva Yu. A. Hybrid asymptotic methods

theory and applications. Zaporizhzhya: Zaporizhzhya National University, 2016. 108 p.

3. Фатєєва Ю. О. Вплив періодичного зовнішнього навантаження на

коливання ФГМ пологих оболонкових конструкцій зі змінною за часом товщиною.

Вісник Запорізького національного університету. Фізико-математичні науки. 2016.

№ 1. С. 251–256.

4. Gristchak V. Z., Fatieieva Yu. Nonlinear dynamic analysis of functionally

graded shallow shell with time dependent parameters under static loading. Вісник

Запорізького національного університету. Фізико-математичні науки. 2016. № 2.

P.60–68.

5. Грищак В. З., Фатеева Ю. А. Влияние начальных несовершенств на

нелинейное динамиское поведение оболочечных кончтрукций из функционально-

градиентных материалов переменной во времени толщины. Вісник Запорізького

національного університету. Фізико-математичні науки. 2015. № 3. С. 58–66.

6. Gristchak V. Z., Fatieieva Yu. A. An approximate nonlinear dynamic problem

solution of functionally graded material shallow shell structure with in time thickness

variation. Вісник Запорізького національного університету. Фізико-математичні

науки. 2014. № 2. P. 24–31.

Праці апробаційного характеру

7. Gristchak V. Z., Fatieieva Yu. An approximate analytical solution of vibration

problem for imperfect shell with time dependent thickness under static loading.

Proceedings of the 5th International conference nonlinear dynamics dedicated to the 90th

anniversary of academician V. L. Rvachev (Kharkov, Ukraine, September 27-30, 2016).

2016. Vol. 1. P. 298–303.

8. Gristchak V. Z., Fatieieva Yu. An approximate analytical solution for nonlinear

FGM shell structure with variable in time parameters. Proceedings of the ECCOMAS

Congress 2016, VII European Congress on Computational Methods in Applied Sciences

and Engineering, Crete Island (Greece, June 5-10, 2016). 2016. Vol. 4(4). P. 8654–8664

(SCOPUS).

9. Gristchak V. Z., Fatieieva Yu. Effective analytical approach to an approximate

solution of dynamic problems of structures with significant nonlinearities. Proceedings of

the 4th

International conference “Nonlinear dynamics” (ND-KhPI2013) (Sevastopol,

Ukraine, June 19-22, 2013). Sevastopol, 2013. P. 40–46.

10. Fatieieva Yu., Gristchak V. Z. An approximate analytical approach for nonlinear

thermodynamic problem of FGM shallow spherical shells with time dependent parameters.

Proceedings of the 7th International Conference on Mechanics and Materials in Design

(Albufeira, Portugal. June 11–15). P. 1199–1110.

17

АНОТАЦІЯ

Фатєєва Ю. О. Нелінійна динаміка тонкостінних конструкцій із

функціонально-градієнтних матеріалів з параметрами, залежними від часу. –

На правах рукопису.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних

наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла (фізико-

математичні науки). – Запорізький національний університет Міністерства освіти і

науки України, Запоріжжя, 2017.

Ця дисертаційна робота присвячена одержанню наближених аналітичних

розв’язків задач, пов’язаних із динамічними процесами у функціонально

градієнтних пологих оболонках (ФГМ) із застосуванням методу фазних інтегралів та

гібридного (ВКБ-Г) методу. Вперше розв’язано ряд актуальних задач нелінійної

динаміки недосконалих ФГМ оболонкових конструкцій із змінними за часом

параметрами в умовах впливу статико-динамічного і температурного зовнішнього

навантаження.

На базі поєднання методів збурень та фазних інтегралів одержано наближений

аналітичний розв’язок нелінійних сингулярних диференціальних рівнянь зі

змінними коефіцієнтами та значним степенем нелінійності. Показано, що

застосований гібридний асимптотичний підхід може бути досить ефективним для

розв’язку нелінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами та

суттєвим степенем нелінійності. Запропоновано розв’язок задачі про вимушені

коливання пологої оболонки зі змінною за лінійним законом у часі товщиною і

періодичною функцією зовнішнього навантаження. Для заданих параметрів

оболонки і зовнішнього навантаження запропоновані наближені аналітичні

розв’язки задовільно корелюються із результатами прямого чисельного інтегрування

початкових сингулярних нелінійних рівнянь зі змінними у часі коефіцієнтами. В

деяких випадках ВКБ-апроксимації у одному наближенні можуть дати достатню

відповідність до розв’язку практичних задач.

Надано наближений аналітичний розв’язок задачі про нелінійні коливання

сферичної пологої оболонки, виготовленої із функціонально градієнтних матеріалів

з товщиною, що залежить від часу, при термомеханічному зовнішньому

навантаженні. Дається порівняння результатів чисельного інтегрування основного

рівняння проблеми із запропонованим наближеним аналітичним розв’язком.

Ключові слова: полога оболонка, змінна у часі товщина, функціонально-

градієнтні матеріали, нелінійна динаміка, гібридні асимптотичні методи, наближені

аналітичні розв’язки, чисельні розв’язки.

18

АННОТАЦИЯ

Фатеева Ю. А. Нелинейная динамика тонкостенных конструкций из

функционально-градиентных материалов с параметрами, зависимыми от

времени. – На правах рукописи.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических

наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела (физико-

математические науки). – Запорожский национальный университет Министерства

образования и науки Украины, Запорожье, 2017.

Диссертационная работа посвящена получению приближенных аналитических

решений задач, связанных с динамическими процессами в функционально-

градиентных пологих оболочках с применением метода возмущений и гибридных

(ВКБ-Г) метода.

Впервые решен ряд актуальных задач нелинейной динамики несовершенных

ФГМ оболочечных конструкций с переменными по времени параметрами при

воздействии статико-динамической и температурной внешней нагрузки. На

конкретных решениях показано, что для различных объектов исследования и

характера изменения параметров, предложенный подход с применением

компьютерной алгебры обеспечивает достаточное соответствие известным

приближенным аналитическим и прямыми численными решениями.

На базе сочетания методов возмущений и фазовых интегралов получено

приближенное аналитическое решение нелинейных неоднородных сингулярных

дифференциальных уравнений с переменными во времени коэффициентами со

значительной степенью нелинейности. Приведенные сравнения прямых численных

интегрирований исходного уравнения с приближенным аналитическим решением

для линейной неоднородной и нелинейной задач. Сопоставлены решения для

различной степени нелинейности. Показано, что примененный гибридный

асимптотический подход может быть весьма эффективным для решения

нелинейных неоднородных дифференциальных уравнений с переменными во

времени коэффициентами и существенной степенью нелинейности.

В работе предложено решение задачи о вынужденных колебаниях пологой

оболочки с изменяемой по линейному закону во времени толщиной и

периодической функцией внешней нагрузки. Предоставлен численный анализ

вынужденных колебаний для оболочки с заданными параметрами жесткости.

Предложено приближенное аналитическое решение задачи о вынужденных

колебаниях геометрически нелинейной ФГМ несовершенной пологой оболочки с

толщиной, зависящей от времени, на основе метода возмущений, ВКБ-

аппроксимации (в одном и двух приближениях) и принципа ортогональности

Бубнова-Галеркина. Для заданных параметров оболочки и внешней нагрузки

предложены приближенные аналитические решения, которые достаточно

удовлетворительно коррелируются с результатами прямого численного

интегрирования начальных сингулярных нелинейных неоднородных уравнений с

переменными во времени коэффициентами. В некоторых случаях ВКБ-

аппроксимации в одном приближении могут дать достаточное соответствие с

решением практических задач.

19

Предложено приближенное аналитическое решение задачи о нелинейных

колебаниях сферической пологой оболочки, изготовленной из функционально

градиентных материалов с толщиной, зависит от времени, при термомеханической

внешней нагрузке.

Впервые на основе асимптотического подхода с применением гибридного

ВКБ-Галеркин метода предоставлены новые приближенные аналитические решения

прикладных задач нелинейной динамики конструкций из функционально-

градиентных материалов и переменной по времени толщиной, которые

описываются сингулярными нелинейными неоднородными дифференциальными

уравнениями с переменными во времени коэффициентами и их системами. Во время

применение гибридного ВКБ-Галеркин метода получила дальнейшее развитие идея

сочетания предложенных приближенных аналитических решений на базе

асимптотических подходов с существующими многочисленными программными

обеспечениями. Полученные новые и усовершенствованные известные

аналитические решения задач механики деформируемого твердого тела

относительно характера изменения параметров конструкций и внешней нагрузки во

времени, которые могут быть применены в других направлениях механики

деформируемого твердого тела, в частности при проектировании конструкций новой

техники.

Ключевые слова: пологая оболочка, переменная во времени толщина,

функционально-градиентные материалы, нелинейная динамика, гибридные

асимптотические методы, приближенные аналитические решения, численные

решения.

ABSTRACT

Fatieieva Yu. O. Nonlinear dynamics of thin-walled structures made of

functionally graded materials with variable in time parameters. – Manuscript.

Thesis for degree of Candidate of Physical-Mathematical Science on Speciality

01.02.04 – Mechanics of deformable solids (physics and mathematics). – Zaporizhzhia

National University of Ministry of Education and Science of Ukraine, Zaporizhzhie, 2017.

This thesis is devoted to obtaining the approximate analytical solutions of nonlinear

analysis of dynamic processes in functionally graded shallow shells (FGM) on the base of

combination of perturbation, phase integrals and hybrid methods for nonlinear dynamics

of imperfect FGM shell structures with variable in time parameters and influence of

external dynamic and temperature loads.

For some proposed solutions it is shown that discussed problems an approximate

analytical approach on the basis of computer algebra gives a good enough correlation to

analytical and numerical solutions. Comparison between direct numerical integration of

governing equation with approximate analytical solution for nonhomogeneous linear and

nonlinear problems are given. It is shown that analytical approach on the basis of hybrid

asymptotic methods can be effective for solution of nonlinear differential equations with

variable coefficients and different degree of nonlinearity.

Solutions of nonlinear dynamic shallow shell with time dependent thickness and

periodically external load are presented. An approximate analytical solution of nonlinear

20

oscillations shallow spherical shell made of functionally graded materials with time

depending thickness under external temperature and mechanical loading is discussed. The

material properties of the shell are changing in thickness direction according to a power

law distribution. The governing nonlinear differential equations with variable in time

coefficients which describes the effect of temperature on the dynamic behavior of the shell

is solved by hybrid asymptotic approach based on perturbation and phase integrals method

(WKB). Comparison between results of numerical integration of the governing equation

with the proposed approximate analytical solution are given.

Key words: shallow shell, variable in time thickness, functionally graded materials,

nonlinear dynamics, hybrid asymptotic methods, approximate analytical solutions,

numerical solutions.