Введение в космологию.

Михаил Савров, PhD

24 мая 2013 г.

Предисловие

1990-е годы часто называют золотым веком космологии благодаряфундаментальным открытиям этого десятилетия. Среди них: подроб-ная карта реликтового излучения, черные дыры, гравитационное излу-чение и ускоряющееся расширение Вселенной. Таким образом, обрелапрочную экспериментальную основу картина, разработанная в трудахА.Эйнштейна, А.Фридмана, Э.Хаббла, Г.Гамова, А.Гута и других выда-ющихся ученых. В связи с этим, назрела необходимость включить эле-ментарное введение в космологию в общий курс физики.

Это пособие написано на основе лекций, прочитанных студентам 3-4курсов МФТИ в весеннем семестре 2011-12 гг. В главе 1 излагаются необ-ходимые понятия ОТО, тензорное исчисление в пособии не используется.В главах 2 и 3 изложена кинематика и динамика вселенной Робертсона-Уокера, приведен эвристический вывод уравнений Фридмана и сформу-лирована Стандартная Модель Вселенной (ΛCDM) [1]. Главы 4 и 5 по-священы Большому Взрыву, эволюции звезд и происхождению элемен-тов [1, 4]. В главе 6 обсуждаются свойства черной дыры, включая ее тер-модинамику [5]. Глава 7 посвящена инфляционной теории [1]. В главе 8изложены некоторые понятия релятивистской квантовой теории, пред-варяющие обсуждение фазовых переходов в ранней Вселенной в главе 9.Завершается пособие кратким обсуждением релятивистских струн – наи-более последовательной попытки объединения гравитации и квантовойтеории на сегодняшний день. Для лучшего усвоения материала пособиесодержит несложные задачи [1, 2].

1

Оглавление

1 Некоторые понятия ОТО. 51.1 Принцип эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Геодезическая. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Кривизна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Гравитационные волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Расширяющаяся Вселенная. 142.1 Вселенная Робертсона-Уокера. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Красное смещение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Закон Хаббла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Измерение расстояний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Стандартная модель Вселенной (ΛCDM). 223.1 Уравнения Фридмана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Решение уравнений Фридмана. . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 ΛCDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Возраст Вселенной и горизонты. . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Темная материя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Большой Взрыв. 344.1 Краткая история Вселенной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Реликтовое излучение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3 Барион-фотонное отношение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 Происхождение барионов и лептонов. . . . . . . . . . . . . . 384.5 Эра излучения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6 Первичный нуклеосинтез. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2

5 Эволюция звезд и происхождение элементов. 455.1 Развитие первичных флуктуаций. . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Нижняя граница на массу звезды. . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Верхняя граница на массу звезды. . . . . . . . . . . . . . . . 485.4 Коричневые карлики, красные гиганты и белые карлики. . 495.5 Сверхновые. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 Черная дыра. 526.1 Гравитационный коллапс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2 Координаты Шварцшильда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.3 Удаленный и падающий наблюдатели. . . . . . . . . . . . . 556.4 Свойства горизонта событий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7 Стадия раздувания (инфляция). 617.1 Проблема плоскостности Вселенной. . . . . . . . . . . . . . 617.2 Проблема горизонта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.3 Инфляция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.4 Оценка числа разворачиваний. . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5 Медленное скатывание. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8 Некоторые понятия РКТ. 698.1 Группа Пуанкаре. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.2 Некоторые понятия теории групп . . . . . . . . . . . . . . . 708.3 Элементарные частицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.4 Античастицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.5 Взаимодействия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.6 Радиационные поправки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.7 Бегущие константы связи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9 Фазовые переходы в ранней Вселенной. 819.1 Переход от КГП к барионам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829.2 Электрослабый переход. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839.3 Великое объединение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.4 МССМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10 Релятивистские струны. 8910.1 Проблема локальности в РКТ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.2 Интеграл по поверхностям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3

10.3 Замкнутая бозонная струна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.4 Гравитационный коллапс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.5 Гипотеза ландшафта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Литература 99

4

Глава 1

Некоторые понятия ОТО.

1.1 Принцип эквивалентности.Рассмотрим знаменитый мысленный эксперимент А.Эйнштейна с падаю-щим лифтом (см. Рис. 1.1). Когда лифт находится в покое или движетсяравномерно, наблюдатель в кабине испытывает обычное земное притя-жение. Когда лифт равномерно ускоряется вверх (вниз), наблюдательиспытывает увеличение (уменьшение) земного тяготения, причем, какосознал Эйнштейн, не существует экспериментального способа отличитьсостояние равномерно ускоренного движения от ситуации, когда гравита-ционное притяжение по какой-либо причине увеличилось (уменьшилось).С точки зрения наблюдателя, находящегося на Земле, дополнительнаясила тяжести в кабине лифта обусловлена фиктивной силой инерции:движущаяся с ускорением система отсчета не является инерциальной.

Таким образом, дополнительная сила тяжести является реальной длянаблюдателя в лифте (находясь в изолированной кабине, он не в состоя-нии экспериментально отличить ее от “настоящей“ силы тяжести) и фик-тивной для наблюдателя стоящего на Земле. Мы пришли к парадоксу:ведь оба наблюдателя совершенно равноправны.

Эйнштейн понял, что для разрешения парадокса необходимо ввестиновый физический принцип, получивший название принципа эквива-лентности: локально гравитация эквивалентна равномерно ускореннойсистеме отсчета. Другими словами, сила тяжести и сила инерции –это одна и та же сила. В другой формулировке принцип эквивалентно-сти гласит, что гравитационная масса и инертная масса равны.

5

Рис. 1.1: Эксперимент с лифтом.

Упражнение 1.1 Докажите, что обе формулировки равносильны.

Чтобы лучше уяснить, что силу тяжести можно всегда, по-крайнеймере, локально устранить выбором системы отсчета, рассмотрите следу-ющие ситуации.

1. В состоянии свободного падения человек не ощущает действия си-лы тяжести.

2. Космонавты внутри орбитальной станции находятся в состоянииневесомости. Гравитационное поле Земли можно обнаружить только бла-годаря тому, что оно слегка неоднородно (направлено радиально к цен-тру Земли).

3. Космонавты могут создать искусственную силу тяжести, включивдвигатели и двигаясь равноускоренно. Внутри корабля невозможно по-ставить эксперимент, который бы отличил “искусственную“ силу тяжестиот “естественного“ притяжения массивного тела.

Вышеприведенные примеры должны убедить нас, что в системе сво-бодно падающего наблюдателя гравитации нет (по-крайней мере, локаль-но). Такая система называется локальной лоренцевой системой отсче-та.

6

1.2 Геодезическая.Если свободно падающий наблюдатель не испытывает действия гравита-ции, то что же тогда гравитация? Чтобы ответить на этот вопрос, Эйн-штейну пришлось пересмотреть концепцию пространства-времени (про-странства Минковского). Коротко напомним, что понимается под этим вспециальной теории относительности. Пространство Минковского опре-деляется как пространство событий. Выбрав систему координат и ча-сы каждому событию можно приписать временную и пространственныекоординаты, (c t,x). “Расстояние“ между событиями 1 и 2 называетсяинтервалом:

(s2 − s1)2 = c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2, (1.1)

где c – скорость света. Любой инерциальный наблюдатель измерит одини тот же интервал между двумя событиями. Системы отсчета двух инер-циальных наблюдателей связаны преобразованием Лоренца.

Уравнение (1.1) определяет, так называемое, плоское пространствоМинковского. Свободное движение в таком пространстве – это равно-мерное движение по прямой. Эйнштейн предположил, что пространствособытий является плоским только локально, так что расстояние междублизкими событиями определяется формулой (1.1), но для достаточноразделенных событий это уже не так. Свободно падающий наблюдательдвижется вдоль геодезической1 в пространстве Минковского, котороеискривляется вблизи массивных тел. Вдали от гравитирующих масспространство событий плоское, и свободно падающий наблюдатель дви-жется вдоль прямой, геодезической плоского пространства.

Проиллюстрируем эту идею на простом примере – параболическимдвижении свободно падающего тела вблизи земной поверхности. Дляэтого нам понадобится выражение для интервала между двумя близ-кими событиями, так называемая, метрика:

ds2 =

(1 +

2gz

c2

)c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2. (1.2)

Здесь g - ускорение свободного падения, c скорость света, z - вертикаль-ная координата, а x, y - параллельны поверхности. Чтобы оценить на-

1Геодезической в пространстве Минковского называется кривая наибольшей дли-ны, соединяющая две точки. Для сравнения, геодезическая в Евклидовом простран-стве имеет минимальную длину. Различие обусловлено знаком минус в выражениидля интервала (1.1).

7

сколько интервал (1.2) отличается от интервала (1.1), вычислим отно-шение c2/g, имеющее размерность длины. Подстановка g = 10м/с2 иc = 3× 108 м/с дает c2/g ≈ 1016 м, т.е. примерно один световой год! Оче-видно, в окрестности планет и звезд пространство Минковского практи-чески плоское2, вот почему ньютоновская теория гравитации так хорошоработает3.

Пусть P1 = (t1, x1, z1) и P2 = (t2, x2, z2) – начальная и конечная точкитраектории тела; поскольку тело движется в плоскости, координатой yможно пренебречь (см. Рис. 1.2).

Рис. 1.2: Траектория свободно падающего тела.

Расстояние между начальной и конечной точками в пространствеМинковского дается интегралом, который вычисляется вдоль мировойлинии4 тела:

s2 − s1 =

∫ P2

P1

ds =

∫ P2

P1

(1 +

2gz

c2

)c2t2 − x2 − z2

ds, (1.3)

2Пространство Минковского заметно искривлено лишь в окрестности нейтронныхзвезд и черных дыр.

3На космологических расстояниях порядка 100 Мпс без общей теории относитель-ности все равно не обойтись!

4Напомним, что в пространстве Минковского траектория называется мировой ли-нией.

8

где t = dt/ds, x = dx/ds и z = dz/ds. Чтобы найти мировую линию макси-мальной длины нужно вычислить экстремум интеграла, т.е. приравнятьнулю его вариацию. После интегрирования по частям и отбрасываниячленов высших порядков по δt, δx, δz и zg/c2 вариация интеграла (1.3)принимает вид:

δs = 2

∫ P2

P1

(gt2 + z

)δz + xδx− c2tδt

ds. (1.4)

Отсюда экстремальная мировая линия определяется уравнениями:

t = 0, x = 0, z = −gt2. (1.5)

Эти уравнения нетрудно решить в общем виде, но проще заметить,что разница между t и s/c – временем полета, измеренным на Земле ив системе отсчета связанной с телом – пропорциональна gz/c2, т.е. пре-небрежимо мала. С этой точностью s ≈ c t и уравнения (1.5) принимаютвид обычных уравнений движения под действием силы тяжести.

Упражение 1.2 Получите общее решение уравнений (1.5) как функ-цию s, подставьте в интеграл (1.3) и убедитесь в справедливости сделан-ного в тексте предположения.

Таким образом, движение под действием силы тяжести сводится ксвободному движению в искривленном пространстве Минковского. Что-бы теория стала содержательной, необходимо указать закон управляю-щий искривлением пространства событий; в частности, почему вблизиземной поверхности интервал имеет вид (1.2).

Упражнение 1.3 (R.Feynman) Предположим, ракета покидает Зем-лю и через некоторое время возвращается в исходную точку. Часы на ра-кете будут показывать несколько другое время, чем часы оставшиеся наЗемле в точке старта. Какие часы уйдут вперед? Как должна двигатьсяракета, чтобы разница показаний часов была максимальна? Подсказка:вычисления не нужны, достаточно внимательно прочитать эту главу.

1.3 Кривизна.Локально пространство Минковского является плоским, другими слова-ми, в системе свободно падающего наблюдателя гравитации нет. Строго

9

говоря, это утверждение справедливо лишь для точечного наблюдате-ля. Два близких наблюдателя в искривленном пространстве Минковско-го двигаются по близким, но все же разным геодезическим, поэтому ихтраектории с временем расходятся. Рассмотрим простой пример.

Космонавт на орбитальной станции наблюдает за движением двухнебольших пробных тел, свободно парящих в кабине (см. Рис. 1.3). Пред-положим, что воздушные потоки и электростатические силы способныеисказить движение тел пренебрежимо малы, а также, что тела при дви-жении не натыкаются на стены кабины и другие предметы. В этом случаетела будут двигаться по близким геодезическим. В плоском пространствегеодезические параллельны, т.е. тела остаются в покое относительно другдруга. В гравитационном поле Земли геодезические расходятся.

Рис. 1.3: Измерение кривизны пространства Минковского.

Согласно ньютоновской теории гравитации уравнения движения проб-ных тел имеют вид:

xi = −GM|xi|3

xi, i = 1, 2, (1.6)

где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли и x1,2 - радиус-вектор, направленный из центра Земли к телу. Введем вектор ξ = x2−x1,описывающий относительное движение тел. Из (1.6) следует, что компо-ненты вектора ξ с точностью до членов порядка o(ξ2) удовлетворяютуравнениям:

ξx,y = −g(r)ξx,yr, ξz = +2g(r)

ξzr. (1.7)

10

Здесь g(r) - ускорение свободного падения на расстоянии r от центраЗемли. Ось z направлена по радиусу, а плоскость (x, y) перпендикулярнаему. Запишем уравнения (1.7) в матричном виде:

ξi

c2+Ri

0j0ξj = 0, где Ri

0j0 =g(r)

c2r

1 0 00 1 00 0 −2

, (1.8)

и i, j = x, y, z. Здесь и далее по повторяющимся индексам подразумева-ется суммирование.

Упражнение 1.4 Найдите численные значения компонент Ri0j0 в

формуле (1.8) вблизи земной поверхности.

Уравнения (1.8) являются частью полной системы уравнений для 4-вектора ξµ = (c t2 − c t1,x2 − x1), описывающего расхождение геодезиче-ских в пространстве Минковского. Матрица Ri

0j0 определяет шесть ком-понент5, так называемого, тензора кривизны Римана Rµ

ανβ, входящего вполную систему, который можно представить как матрицу (4×4×4×4)6.Тензор Римана определяет, как геодезические расходятся в каждой точ-ке пространства Минковского, т.е. его кривизну. Справедливо следую-щее утверждение: в плоском пространстве Минковского все компонен-ты тензора кривизны исчезают. Верно и обратное: если компонентытензора кривизны равны нулю, то пространство Минковского являет-ся плоским.

Заметим, что матрица Ri0j0 в (1.8) является бесследовой. Это не слу-

чайность, а следствие того, что кривизна вычислена в точке, где плот-ность энергии равна нулю. Теперь решим следующую задачу.

Упражнение 1.5 Рассмотрите движение двух пробных тел в неболь-шой полости внутри массивного однородного сферического тела и пока-жите, что

Ri0j0 =

4πGρ

3c2δij, (1.9)

где ρ – плотность, а δij, – символ Кронекера.

5Матрица симметрична.6Благодаря симметриям из 256 компонент тензора Римана независимы только 20.

11

Как видно из уравнений (1.8) и (1.9), след матрицы Ri0j0 пропорцио-

нален локальной плотности энергии7:

2Ri0i0 =

8πG

c4ρc2. (1.10)

Мы получили одно из десяти уравнений Эйнштейна, связывающих кри-визну пространства Минковского и локальную плотность энергии-импульсаматерии. Гравитационная постояннаяG играет роль коэффициента про-порциональности. Уравнения Эйнштейна позволяют по заданному рас-пределению материи (энергии) определить геометрию пространства Мин-ковского, т.е. построить мировую линию любого свободно падающего на-блюдателя.

Уравнения Эйнштейна сложны и не будут использоваться в этом по-собии. Мы ограничимся эвристическим выводом необходимых уравне-ний, основанном на использовании ньютоновской теории гравитации итеорем ОТО.

Все вышеизложенное должно, по-крайней мере, убедить читателя,что классическую теорию тяготения Ньютона можно сформулироватьвесьма сложным образом. Если бы дело ограничивалось только этим,в ОТО не было бы необходимости. Теперь обсудим коротко одно заме-чательное неклассическое предсказание ОТО, получившее эксперимен-тальное подтверждение в 1990-е годы.

1.4 Гравитационные волны.Из уравнений Эйнштейна следует, что даже пустое пространство, гдеотсутствует материя и энергия, может быть искривлено, причем егокривизна нестационарна. В этом случае пробные тела будут двигать-ся ускоренно без видимой причины. Как говорится, движение пробныхтел возмущается гравитационной волной. Гравитационные волны, как иэлектромагнитные, переносят энергию, импульс и момент импульса. Вприроде их источниками служат компактные звездные системы.

Обратимся к эксперименту. Попытки зарегистрировать гравитаци-онные волны непосредственно с помощью лазерных интерферометровпока безуспешны. (Например, эксперимент LIGO.) Однако, существуетнадежное косвенное свидетельство. В 1974 году была открыта двойная

7Двойка слева введена для того, чтобы правая часть имела канонический вид.

12

звездная система, состоящая из близко расположенных примерно одина-ковых нейтронных звезд (Hulse-Taylor binary). Одна из звезд являетсяпульсаром, мощным стабильным источником радиоизлучения, благода-ря чему удалось с высокой точностью определить параметры системыи отслеживать ее динамику. Наблюдения установили, что звезды посте-пенно сближаются и период вращения уменьшается со скоростью ≈ 0.08сек/год. По совокупности данных, накопленных за 30 лет, однозначноустановлено, что причиной сближения звезд является потеря энергии си-стемой за счет излучения гравитационных волн. За это открытие R. Hulseи J. Taylor были удостоены в 1993 г. нобелевской премии по физике.

Существование гравитационных волн – факт в высшей степени нетри-виальный. Он доказывает, что пространство Минковского не матема-тическая абстракция, а такой же реальный объект, что и обычнаяматерия. С другой стороны, следует подчеркнуть, что гравитационныеволны не являются особой формой материи, неким “физическим полем“.Время от времени предпринимались (и предпринимаются) попытки объ-яснить гравитацию посредством силового поля в обычном плоском про-странстве Минковского, но ни одна из них успехом не увенчалась. По-жалуй, только теория релятивистских струн (см. главу 10), наиболеепоследовательная попытка объединения ОТО и квантовой теории, про-ливает свет на природу взаимосвязи гравитации и материи, но пока онаимеет статус спекулятивной.

13

Глава 2

Расширяющаяся Вселенная.

Астрономические данные свидетельствуют, что на масштабах больших100Мрс (мегапарсек), т.е. примерно 3× 108 световых лет, Вселенная яв-ляется практически однородной и изотропной. На таких масштабах рас-пределение галактических кластеров является более-менее однородным(см. Рис. 2.1). Об однородности Вселенной на больших масштабах так-

Рис. 2.1: Вселенная на масштабах порядка 100Мпс.

же свидетельствует и реликтовое микроволновое излучение, температуракоторого T с точностью ∆T/T ∼ 10−5 одна и та же в любом направлении.

2.1 Вселенная Робертсона-Уокера.При описания динамики Вселенной на космологических масштабах еепредставляют заполненной излучением и пылевой материей, где пылин-кой служит галактический кластер. Каждый кластер гравитационно свя-зан, т.е. движение галактик внутри кластера хорошо описывается клас-

14

сической теорией Ньютона, но относительное движение кластеров имеетсвоей причиной расширение Вселенной. Смысл этого утверждения скоропрояснится.

Оказывается, требование однородности и изотропии накладывает силь-ное ограничение на возможные решения уравнений Эйнштейна. А имен-но, такое решение (метрика Робертсона-Уокера) зависит всего от однойпроизвольной функции a(t) и числового параметра K:

ds2 = c2dt2 − a2(t)

[dr2

1−Kr2+ r2dΩ2

]. (2.1)

Здесь dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2, θ и φ – полярный и азимутальный углы.Функция a(t) называется масштабным фактором. Параметр K прини-мает одно из значений −1, 0, 1. В рамках ОТО справедлива

Теорема. Метрика Робертсона-Уокера определена однозначно, еслидля всех свободно падающих наблюдателей Вселенная представляетсяоднородной и изотропной.

В нашем случае под свободно падающим наблюдателем подразуме-вается галактический кластер. Каждому кластеру приписывают безраз-мерные (сферические) координаты (r, θ, φ) и часы, измеряющие собствен-ное время кластера t. Масштабный фактор a(t) имеет размерность коор-динаты и представляет собой радиус кривизны трехмерного простран-ства, если K = −1 или K = 1. Различные значения K соответствуютследующим геометриям трехмерного пространства:

• K = +1: 3-сфера S3, которая в 4-мерном евклидовом пространстве(u, x, y, z) определяется уравнением u2 + x2 = 1;

• K = 0: плоское пространство R3;

• K = −1: 3-псевдосфера, которая в 4-мерном евклидовом простран-стве (u, x, y, z) определена уравнением u2 − x2 = 1.

От параметра K зависит конечна или бесконечна наша Вселенная. Со-временные астрономические данные не противоречат тому, что K = 0.

15

Упражнение 2.1 Докажите, что выражение в квадратных скобкахв формуле (2.1) соответствует метрике на сфере S3 (K = 1) и на псевдо-сфере (K = −1).

Упражнение 2.2 Покажите, что для сферы S3 существует поворот,который не оставляет на месте ни одну точку сферы. (Для двумернойсферы S2 это не так: любой поворот оставляет на месте, по-крайней мере,две точки.)

2.2 Красное смещение.Во вселенной с метрикой (2.1) расстояние между двумя близкими кла-стерами равно a(t)dr/

√1−Kr2. Тогда расстояние от начала координат

до удаленного кластера с координатами (r, 0, 0), измеренное наблюдате-лем в начале координат, равно

d(r, t) = a(t)

∫ r

0

dr√1−Kr2

, (2.2)

где t - собственное время этого наблюдателя (по его часам). Это рас-стояние называется собственным. Поскольку r не зависит от времени,собственная скорость кластера в точке r измеренная наблюдателем в на-чале координат есть

d(r, t) =a(t)

a(t)d(r, t) ≡ H(t)d(r, t), (2.3)

где H(t) - постоянная Хаббла. H(t) называется постоянной, посколькуменяется на масштабах порядка сотен миллионов лет. Обычно имеетсяввиду ее значение в настоящее время.

Предположим, кластер с координатой r1 излучил волновой пакет счастотой ν1 по направлению к началу координат в момент времени t1,согласно его часам (см. Рис. 2.2). Излучение достигло Земли в моментt0 > t1. (Здесь и далее индекс 0 означает величину, измеренную наблю-дателем на Земле в настоящее время.) Интервал между испусканием ипоглощением света равен нулю, поскольку свет распространяется по гео-дезической нулевой длины (ds = 0). Уравнение ds2 = 0 дает для метрикиРобертсона-Уокера (при распространении света вдоль радиуса):

dt = ±a(t)

c

dr√1−Kr2

и∫ t0

t1

dt

a(t)= −1

c

∫ 0

r1

dr√1−Kr2

, (2.4)

16

Рис. 2.2: К измерению собственного расстояния.

где знак минус выбран в соответствии с направлением распространенияизлучения.

Если излучение волнового пакета длилось промежуток времени δt1,а прибытие длится δt0, то из уравнения (2.4), правая часть которого отвремени не зависит, следует, что оба промежутка связаны соотношением:

δt0a(t0)

=δt1a(t1)

. (2.5)

Поскольку частота излучения ν ∼ 1/δt, то

ν0

ν1

=a(t1)

a(t0)≡ 1

1 + z, где z ∈ (0,∞). (2.6)

Параметр z называется космологическим красным смещением и показы-вает, насколько частота света, испущенного далекой галактикой, смести-лась к красному концу спектра, прежде чем излучение достигло Земли.

Для z 1 уравнение принимает вид ν0 ≈ ν1(1 − z), что позволяетинтерпретировать красное смещение как допплеровский сдвиг: частотаизлучения, испущенного удаляющейся галактикой, смещается в краснуюсторону спектра. Эта интерпретация не имеет места для z ∼ 1, посколькуна больших расстояниях метрика Робертсона-Уокера заметно отличает-ся от метрики плоского пространства Минковского. Правильнее будетсказать, что увеличение длины волны излучения из-за космологическо-го расширения компенсируется уменьшением частоты, чтобы скоростьсвета (локально) оставалась постоянной.

Упражнение 2.3 Во вселенной Робертсона-Уокера выстреливаетсяпуля со скоростью v. Чему стала равной скорость пули, когда Вселеннаярасширилась в (1 + z) раз? Покажите, что при v → c воспроизводитсясоотношение (2.6).

17

2.3 Закон Хаббла.Разложим масштабный фактор a(t) в ряд Тейлора t ≈ t0 (на космологи-ческом масштабе) и запишем уравнение (2.6) в виде

a(t) ≈ a0 + (t− t0)a0 = a0[1 + (t− t0)a0

a0

] ≡ a0[1 + (t− t0)H0]. (2.7)

Тогда для небольшого красного смещения получаем (см. (2.3) и (2.6)):

z = (t0 − t)H0 = H0d

c. (2.8)

Это соотношение называется законом Хаббла. В 1929 г. астроном Э.Хаббл(Edwin Hubble) опубликовал результаты наблюдений, из которых сле-довало, что смещение излучения галактики к красному концу спектрапрямо пропорционально расстоянию до нее. Хаббл интерпретировал этокак свидетельство расширения Вселенной. Значение постоянной Хабблапринятое в настоящее время1:

H0 = 71± 6км

сек ·Мпс. (2.9)

Теперь можно прояснить утверждение, сделанное в начале главы, чтодинамика галактического кластера описывается теорией тяготения Нью-тона, в то время как на расстояниях больших ∼ 100Мпс доминирует кос-мологическое расширение. Как следует из уравнений (2.8) и (2.9) космо-логическое красное смещение на расстоянии 100Мпс составляет ∼ 0.02,откуда относительная скорость кластера ∼ 0.02 c ∼ 7×103km/s. Эта ско-рость значительно превышает относительные скорости галактик внут-ри кластера v ∼ 102 ÷ 103км/сек, что и означает применимость моделиРобертсона-Уокера на масштабах v/H0 .

Упражнение 2.4 Рассмотрим две частицы темной материи, нахо-дящиеся в состоянии покоя в пустом пространстве далеко от всякой ма-терии. Предполагается, что частицы темной материи взаимодействуюттолько гравитационно и масса частицы равна 103 массы протона. Исполь-зуя значение постоянной Хаббла (2.9), оцените критическое расстояние,

1Первоначальное значение постоянной, полученное Хабблом, примерно в 7 разбольше, что было связано с несовершенством его метода определения расстояний доудаленных галактик.

18

начиная с которого частицы начнут удаляться друг от друга. Други-ми словами, определите расстояние на котором космическое расширениепобеждает ньютоновское притяжение.

2.4 Измерение расстояний.Теперь коротко обсудим астрономические методы измерений расстоянийдо звезд и галактик. Яркие звезды, используемые при измерении рассто-яний, называются первичными индикаторами расстояний. Расстояниядо звезд в окрестности солнечной системы можно измерить непосред-ственно. Измерение заключается в наблюдении за движением звезды понебесной сфере (собственное движение), обусловленное годовым движе-нием Земли вокруг солнца. Звезда и два различных положения Земли наорбите образуют треугольник с известным основанием dE и углом привершине π, который называется параллаксом (см. Рис. 2.3). Параллакс

Рис. 2.3: Измерение параллакса.

равен π = dE/d, где d – расстояние до звезды. Полагая dE равным сред-нему расстоянию между землей и солнцем (1AU) и π – одной угловойсекунде, получаем естественную единицу межзвездного расстояния рав-ную 1 парсеку (≈ 3.26 светового года).

19

Орбитальный спутник “Гиппарх“ (Hypparcos), запущенный в 1989 го-ду, специально предназначен для измерений собственных движений звездс точностью 10−3 угловой секунды (∼ 10−9 радиан). Полученные данныепозволили астрономам определить расстояния до ∼20 000 звезд в ради-усе до 100 пс от солнечной системы.

Измерение расстояний до звезд нашей галактики и за ее пределамитребует применения косвенных методов. Рассмотрим два метода, осно-ванных на следующем соотношении между абсолютной светимостью Lи видимой светимостью l:

l =L

4πd2L

. (2.10)

Здесь dL – расстояние светимости (не совпадает с собственным рассто-янием!). Видимая светимость l измеряется непосредственно: это потокэнергии, приходящий от звезды в некотором интервале частот. Для звезд,сжигающих водород и принадлежащих к так называемой главной после-довательности, существует характерное соотношение между абсолют-ной светимостью и цветом. Поэтому, если звезда принадлежит главнойпоследовательности, ее абсолютная светимость L определяется по спек-тру излучения; измеряя l, находят расстояние до звезды. Характерноесоотношение устанавливается с помощью звезд главной последователь-ности, расстояния до которых можно измерить методом параллакса.

Расстояния до объектов за пределами Млечного Пути измеряются спомощью очень ярких звезд, относящихся к классу Цефеид. СветимостьЦефеиды периодически меняется со временем и существует характернаявременная зависимость между периодом и светимостью. Чтобы полу-чить некоторое представление о точности этого метода сравним соот-ношения между светимостью Цефеиды MV и периодом P , полученныедвумя группами исследователей:

• MV = −2.76 lgP − 1.46 (Hubble Space Telescope Key Project);

• MV = −2.81 lgP − 1.43± 0.1 (Hipparcos measurement).

Как видно, оба соотношения совпадают с точностью 3%. Разумеется,применение этих соотношений к единственной Цефеиде даст гораздобольшую ошибку. Эти соотношения получены в результате усредненияпо большой выборке звезд.

На расстояниях, соответствующих красным смещениям z > 0.03, ниодна звезда не обладает достаточной яркостью, чтобы служить индика-

20

тором расстояния, поэтому используют галактики и вспышки сверхно-вых. Такие объекты называют вторичными индикаторами расстояния.Существует несколько методов измерения расстояний до ярких галак-тик. Один из них основан на использовании, так называемого, соотно-шения Тулли-Фишера (Tully-Fisher relation) между абсолютной свети-мостью галактики и скоростью ее вращения. Последняя определяетсячерез уширение линии поглощения водорода на длине волны 21 см из-заэффекта Допплера.

Сверхновые типа Ia называют стандартными свечами, поскольку ихабсолютная светимость более-менее постоянна. Типичный взрыв сверх-новой этого типа происходит в двойной системе, состоящей из белогокарлика и его компаньона из главной последовательности. Белый кар-лик постепенно поглощает вещество компаньона, его масса растет, при-ближаясь к пределу Чандрасекара, за которым следует взрыв. Это даетоснования полагать, что начальные условия взрыва сверхновой похожии абсолютная светимость сверхновых более-менее одинакова2.

2Тем, кто находит приведенные аргументы шаткими, рекомендуется читать аст-рономические статьи. Вера в “стандартные свечи“ и т.д. основана не столько на тео-ретических соображениях, сколько на экспериментальных данных.

21

Глава 3

Стандартная модель Вселенной(ΛCDM).

3.1 Уравнения Фридмана.Однородная и изотропная пылевая материя, а также излучение, опи-сывается всего двумя зависящими от времени функциями: плотностьюρ(t) и давлением p(t). Решение уравнений Эйнштейна для пылевой мате-рии приводит к метрике Робертсона-Уокера и уравнениям, связывающимa(t), ρ(t) и p(t). Впервые эти уравнения были получены АлександромФридманом в 1925 г. Приведенный ниже эвристический вывод основанна двух теоремах ОТО.

Первая теорема уже сформулирована в предыдущей главе: она гла-сит, что метрика однородной изотропной вселенной имеет вид (2.1). Втакой вселенной небольшой объем V (t) (достаточно малый, чтобы соб-ственное время t могло считаться одинаковым в каждой точке) зависит

от масштабного фактора, как V (t) =a3(t)

a30

V0. Применяя первый закон

термодинамики к выделенному объему, получаем:

0 = dE + pdV = d(ρc2V ) + pdV. (3.1)

Подстановка выражения для V (t) дает:

ρ = −3a

a

(ρ+ p/c2

), (3.2)

22

где точка означает производную по времени. Это первое из уравненийФридмана. Чтобы получить второе, воспользуемся следующей теоремойОТО:

Теорема. (G. Birkhoff) В любой системе сферически симметричнойотносительно некоторой точки метрика пустой сферы с центром в дан-ной точке является метрикой плоского пространства Минковского.

Эта теорема является аналогом классической теоремы Ньютона: силатяжести внутри пустой массивной сферы равна нулю.

Рассмотрим небольшой шар во вселенной Робертсона-Уокера радиускоторого много меньше масштабного фактора и временно уберем оттудавещество. Согласно теореме Биркгофа, пространство Минковского внут-ри пустого шара является плоским. Теперь вернем вещество обратно вшар и поместим небольшую пробную частицу на его поверхность. По-скольку метрика внутри шара является метрикой пустого пространства,движение частицы определяется законами Ньютона. В частности, сохра-няется сумма кинетической и потенциальной энергии частицы.

Рис. 3.1: К выводу второго уравнения Фридмана.

Радиус-вектор x(t), направленный из центра шара к частице, есть

x(t) =a(t)

a0

x0, (3.3)

где x0 и a0 значения в настоящий момент. Тогда кинетическая энергиячастицы:

К.Э. =1

2mx2(t) =

ma2(t)

2· x

20

a20

, (3.4)

23

Потенциальная энергия:

П.Э. = −GmM(x(t))

|x(t)|= −4π

3Gmρ(t)x2(t) = −4π

3Gmρ(t)a2(t)

x20

a20

. (3.5)

Полная энергия является константой, которая может быть записана вобщем виде, как

К.Э + П.Э. = −Kc2mx20

2a20

, (3.6)

где K принимает одно из значений, −1, 0, 1, а c – произвольная кон-станта, имеющая размерность скорости. Величину этой константы изтеории Ньютона определить уже нельзя. Если полученный результатподставить в уравнения Эйнштейна, можно убедиться, что c – это ско-рость света, а K – знак кривизны пространства Робертсона-Уокера.

Из уравнения (3.6) очевидно, что значениеK определяет, остановитсяли когда-нибудь расширение Вселенной. Если K = 0,−1, вселенная бу-дет расширяться вечно (полная энергия пробной частицы неотрицатель-на), если же K = +1 – неизбежен гравитационный коллапс: расширениекогда-нибудь прекратится и вселенная сожмется в точку. Таким образом,исходя из однородности и изотропии Вселенной, ОТО предсказывает еенестационарность.

Наконец, объединяя уравнения (3.4), (3.5) и (3.6), получаем второеуравнение Фридмана:

a2

a2+Kc2

a2=

8πG

3ρ. (3.7)

3.2 Решение уравнений Фридмана.Уравнения (3.2) и (3.7) объединяют масштабный фактор a(t), плотностьматерии/энергии ρ(t) и давление p(t). Чтобы получить решение в яв-ном виде необходимо знать уравнение состояния p(ρ), связывающее плот-ность и давление.

Согласно современным данным Вселенная заполнена холодной ма-терией, включающей в себя любые виды нерелятивистской материи, втом числе, и невидимую темную материю, горячей материей, включаю-щей излучение и релятивистские нейтрино, и темной энергией, которуюинтерпретируют как энергию вакуума. Аббревиатура ΛCDM обозначает

24

основные компоненты плотности энергии Вселенной: Λ – космологиче-ская постоянная (плотность энергии вакуума) и CDM – холодная темнаяматерия (cold dark matter).

Уравнение состояния релятивистской и нерелятивистской материи, атакже энергии вакуума записывается в общем виде, как ρc2 = wp, гдеw – безразмерная константа. Уравнение состояния и уравнение Фридма-на (3.2) линейны по ρ and p, поэтому при подстановке в (3.2) суммарнойплотности и давления, уравнение разделяется на сумму отдельных урав-нений для каждой компоненты. Как нетрудно проверить, решение этихуравнений дает

• холодная материя: p = 0, отсюда ρM = ρ0M

a30

a3(масса сохраняется, а

объем ∼ a−3);

• горячая материя: p =1

3ρ c2, отсюда ρR = ρ0

R

a40

a4(энергия претерпе-

вает красное смещение ∼ a−1, а объем ∼ a−3);

• темная энергия: p = −ρ c2, отсюда ρΛ = ρ0Λ = const (плотность энер-

гии вакуума постоянна).

Уравнение состояния вакуума, p = −ρΛc2, требует пояснения. Одно

из предсказаний квантовой теории поля заключается в том, что вакуумзаполнен виртуальными частицами, поэтому плотность энергии пусто-го пространства не обязательно равна нулю. Предположим, некий объемпустого пространства увеличился на dV . Тогда энергия этого объема уве-личилась на ρΛc

2 dV . Динамических степеней свободы в объеме не приба-вилось, а значит его энтропия осталась равной нулю. Согласно первомуначалу термодинамики, увеличение энергии в этом случае равно работес отрицательным знаком, т.е. ρV c2dV = −p dV , откуда следует уравнениесостояния.

Теперь запишем полную плотность энергии Вселенной в виде:

ρ = ρΛ + ρM + ρR = ρcrit0

(ΩΛ + ΩM

a30

a3+ ΩR

a40

a4

), (3.8)

где

ΩΛ,M,R =ρΛ,M,R

0

ρcrit0

, и ρcrit0 =3H2

0

8πG. (3.9)

25

Величина ρcrit0 называется критической плотностью. Если полная плот-ность энергии превышает ρcrit0 , Вселенная рано или поздно сожмется вточку. Если меньше или равна – будет расширяться вечно.

Упражение 3.1 Докажите это утверждение с помощью аргументованалогичных использованным при выводе (3.7).

Введем еще один параметр

ΩK = − Kc2

a20H

20

. (3.10)

Тогда уравнение (3.7) при t = t0 принимает особенно простой вид:

ΩΛ + ΩM + ΩR + ΩK = 1. (3.11)

Наконец, введем безразмерную переменную x = a/a0 = 1/(1 + z) и пере-пишем второе уравнение Фридмана (3.7) в окончательном виде:

dt =dx

H0x√

ΩΛ + ΩKx−2 + ΩMx−3 + ΩRx−4. (3.12)

3.3 ΛCDM.Судьба нашей Вселенной, т.е. зависимость от времени масштабного фак-тора, определяется уравнением (3.12), содержащим три независимых па-раметра: ΩΛ, ΩM и ΩR. Значения этих параметров, принятые в настоящеевремя, следующие: ΩΛ = 0.73(3), ΩM = 0.27(3) и ΩR = 4.75(23) × 10−5.Есть также незначительный вклад, обусловленный реликтовыми нейтри-но, оценить который достаточно трудно, оценки варьируются от 0.0009до 0.048 [10]. Сумма трех Ω-параметров равна 1.002(11), что не проти-воречит нулевой величине параметра K, т.е. наша Вселенная, вероятно,плоская.

Прежде чем вычислять возраст Вселенной и ее горизонты (см. далее),следующие из стандартных значений Ω-параметров, обсудим коротко,как их определяют. Вклад излучения ΩR находят из характеристик ре-ликтового излучения, рассматриваемого в следующей главе. ВеличиныΩΛ и ΩM можно найти с помощью разных методов, дающих согласую-щиеся результаты. Рассмотрим метод, основанный на непосредственныхастрономических наблюдениях.

26

Метод заключается в измерении расстояния светимости dL, опреде-ленного уравнением (2.10), как функции красного смещения z, что поз-воляет потом извлечь из зависимости dL(z) значения параметров ΩΛ иΩM . Согласно (2.10) абсолютная L и видимая l светимости связаны со-отношением:

l =L

4πd2L

=L

4πa20r

2(z)(1 + z)2. (3.13)

Последнее равенство получается следующим образом. Поток энергиипропорционален частоте излучения и количеству фотонов, испускаемыхв единицу времени. Поэтому поток L, излученный источником с крас-ным смещением z, достигая Земли, уменьшается в (1 + z)2 раз. Крометого, излучение, достигшее Земли, распределено по сфере радиуса рав-ного собственному расстоянию до источника, a0r(z). Удобно выразитьрадиальную координату r(z) источника через красное смещение с помо-щью (2.1) и (3.12):

r(z) = c

∫ t0

t1

dt

a(t)=

c

a0H0

∫ 1

1/(1+z)

dx

x2√

ΩΛ + ΩMx−3 + ΩRx−4. (3.14)

Здесь для простоты положено K = 0, в общем виде уравнения получа-ются довольно громоздкими.

Упражнение 3.2 Пусть ΩK = ΩR = 0, т.е. ΩΛ + ΩM = 1. Покажите,что при z 1 расстояние светимости равно:

dL ≈c

H0

[z + (ΩΛ +1

4ΩM)z2 + o(z3)]. (3.15)

Упражнение 3.3 С помощью уравнений Фридмана (3.2) и (3.7) по-кажите, что параметр замедления q0 выражается через Ω-параметрыследующим образом:

q0 ≡ −a0a0

a20

=1

2(ΩM − 2ΩΛ + 2ΩR). (3.16)

Вычислите стандартное значение параметра замедления.

В 1998 г. две независимые группы исследователей объявили резуль-таты измерений параметров ΩΛ and ΩM . Supernova Cosmology Projectизучили выборку 42 сверхновых типа Ia при 0.18 < z < 0.83, а High-z

27

Supernova Search Team изучили выборку из 16 сверхновых типа Ia при0.16 < z < 0.97 и 34 сверхновых с z 1. Результаты, полученные этимигруппами, подтвердили с уровнем достоверности 99.7%, что ΩΛ > 0, т.е.существование темной энергии. Кроме того, их результаты свидетель-ствуют о том, что Вселенная расширяется с ускорением (см. упр. 3.3).

Два других независимых метода, которые позволяют установить огра-ничения на ΩΛ и ΩM , являются косвенными. Один из них основан на ана-лизе флуктуаций реликтового излучения. Другой метод основан на мо-делировании эволюции структур (туманности, галактики, звезды), воз-никших из первичных неоднородностей барионной и темной материи.Эволюция структур зависит от Ω-параметров; последующее сравнениерезультатов моделирования с наблюдаемым распределением материи воВселенной позволяет наложить ограничения на значения этих парамет-ров. Результаты, полученные этими тремя методами, согласуются другс другом (см. Рис. 3.2).

Рис. 3.2: Результаты трех методов определения ΩΛ и ΩM [1].

3.4 Возраст Вселенной и горизонты.Возраст Вселенной можно найти, проинтегрировав уравнение (3.12) поz от бесконечности (начало расширения) до нуля (настоящее время):

tuniv0 = t(0)− t(∞) =1

H0

∫ 1

0

dx

x√

ΩΛ + ΩMx−3 + ΩRx−4. (3.17)

28

Подставив стандартные значения (здесь и ниже ΩK = 0), получим: tuniv0 =(13.7± 1.5)× 109лет.

Теперь ответим на вопрос, как далеко возможно заглянуть в прошлое.Из-за расширения Вселенной свет, пришедший от удаленного объекта,сдвигается в красную область спектра; частота света, прошедшего до-статочно большое расстояние, стремится к нулю. Расстояние, начинаяс которого прошедшие события уже невозможно наблюдать, называет-ся горизонтом причинности. Наибольшее значение координаты rcaus(t)объекта, от которого наблюдатель еще способен получить сигнал в мо-мент t, находится из уравнения:∫ t

0

cdt′

a(t′)= rcaus(t). (3.18)

Нижний предел t = 0 соответствует началу расширения. Соответствую-щее собственное расстояние (см. (2.2)) есть

dcaus(t) = a(t)rcaus(t) = a(t)

∫ t

0

cdt′

a(t′). (3.19)

Полагая t = t0 и используя (3.12), запишем последний интеграл через x,пределы интегрирования соответствуют бесконечному (начало расшире-ния) и нулевому (настоящее время) красному смещению:

dcaus(t0) =c

H0

∫ 1

0

dx

x2√

ΩΛ + ΩMx−3 + ΩRx−4. (3.20)

Стандартное значение: dcaus(t0) ≈ 15× 103Mpc.Теперь вычислим расстояние на которое мы в принципе способны уда-

литься от Земли. Из-за все ускоряющегося расширения далекие объектыдостичь нельзя: рано или поздно их скорость превысит скорость света1.Расстояние, на которое можно послать световой сигнал, называется го-ризонтом событий. Наибольшее значение координаты rev(t) объекта, откоторого наблюдатель способен получить сигнал испущенный позднеемомента t, определяется уравнением:∫ ∞

t

cdt′

a(t′)= rev(t). (3.21)

1В ОТО скорость света постоянна только локально.

29

Соответствующее собственное расстояние равно

dev(t) = a(t)rev(t) = a(t)

∫ ∞t

cdt′

a(t′). (3.22)

При t→∞ расширение определяется константой ΩΛ, поэтому масштаб-ный фактор растет, как a(t) ∼ exp(H0Ω

1/2Λ t). Отсюда

dev(∞) =c

H0Ω1/2Λ

≈ 5× 103Mpc. (3.23)

Упражнение 3.4 Положим ΩM = 0.25, ΩΛ = 0.75 и пренебрежемΩR. При каком значении красного смещения замедляющееся расширениеВселенной сменилось ускоренным? Сколько лет назад это произошло?

3.5 Темная материя.Темная материя – это загадочная субстанция, которая не участвует всильных и электромагнитных взаимодействиях, отсюда ее название –“темная“. В пользу существования темной материи говорят гравитацион-ные эффекты, которые трудно объяснить без этой гипотезы; участвуетли темная материя в слабых взаимодействиях пока неизвестно. Впервыео темной материи заговорили в 1930-е годы, когда были обнаруженыаномалии кривых вращения галактик. На рисунке 3.3 изображена зави-симость скорости от расстояния до центра галактики для водородныхоблаков, вращающихся вокруг галактики NGG 6503. Также показаныгравитационные потенциалы галактического диска, межзвездного газа итемного (невидимого) гало. Если бы вся масса галактики была сосредо-точена в светящемся веществе галактики, кривая вращения спадала бы срасстояием, как ∼ 1/

√r. Вместо этого кривая выходит на константу рав-

ную примерно ≈ 120км/сек. Кривые вращения других галактик ведутсебя аналогично. Таким образом, либо ОТО неприменима на расстояни-ях в десятки световых лет, либо масса типичной галактики, в основном,невидима. Согласно современным представлениям типичная галактикана 1/4 состоит из барионной (видимой) материи и на 3/4 из темной ма-терии. Последняя составляет гало, окружающее светящееся барионноеядро. Существуют и другие свидетельства в пользу существования тем-ной материи. Некоторые из них упомянуты ниже.

30

Рис. 3.3: Кривая вращения водородных облаков вокруг галактики NGG6503. Пунктирной кривой обозначены гравитационные потенциалы раз-личных компонент галактики [1].

• Гравитационное линзирование. Если на линии, проведенной от на-блюдателя к удаленной галактике, находится скопление темной ма-терии, можно наблюдать несколько разных изображений этой га-лактики. Скопление темной материи остается невидимым. Это яв-ление называется гравитационым линзированием. Из совокупностиподобных наблюдений получена оценка

ρM ≈1

4ρcr, ρB ≈

1

6ρM , (3.24)

где ρM - плотность холодной материи, а ρB - плотность барионной(видимой) материи.

• Вириализованные галактические кластеры. Движение галактик внекоторых кластерах является более-менее хаотическим, что поз-воляет использовать теорему вириала для оценки полной массыкластера M :

M ≈ 2〈v2〉G〈1/r〉

, (3.25)

где усреднение ведется по галактикам кластера.

• Столкновения галактик. При столкновении двух галактик, меж-звездный газ теряет энергию на электромагнитное излучение, в то

31

время как темная материя и звезды взаимодействуют только грави-тационно. Наблюдаемое распределение вещества можно объяснитьтолько с учетом темной материи.

Упражнение 3.5 Выведите формулу (3.25), используя теорию тяго-тения Ньютона.

Гипотеза темной материи позволяет объяснить вышеприведенные яв-ления с единой точки зрения, однако природа темной материи остаетсязагадочной. Другая возможность состоит в модификации ОТО, но ни од-на теория этого рода не может объяснить все наблюдаемые явления. На-пример, модифицированная динамика Ньютона (MOND) объясняет фор-му кривых вращения, но не дает объяснения гравитационному линзиро-ванию. Выяснение природы темной материи остается важнейшей про-блемой современной физики. Рассмотрим коротко наиболее очевидныхкандидатов: массивные астрофизические компактные тяжелые объекты(MACHO2) и слабо взаимодействующие массивные частицы (WIMP3).

MACHO – это, в основном, коричневые карлики и черные дыры.Несмотря на то, что эти объекты не излучают свет, их можно наблю-дать благодаря эффектам линзирования. Когда MACHO пересекает луч,идущий от яркой звезды или галактики к наблюдателю, ее изображениена короткое время искажается. Такие явления действительно наблюда-ются и их анализ позволяет оценить полную массу невидимых массив-ных объектов во Вселенной. Различные оценки дают в качестве верхнегопредела 20% от полной массы барионной материи. Поэтому в качествекандидатов на роль темной материи MACHO в настоящее время почтине рассматриваются.

Кандидаты в WIMP – это гипотетические частицы из различных рас-ширений Стандартной Модели частиц и взаимодействий. Большинствотеоретиков согласятся с тем, что WIMP – это нейтралино, самый легкийсуперсимметричный партнер бозона Хиггса. Оценка массы нейтралинолежит в пределах от 10 до нескольких тысяч масс протона [3]. Нейтрали-но не участвуют в электромагнитных и сильных взаимодействиях, онине теряют энергию, проходя через сгустки барионной материи, потомув звездах и планетах нейтралино должно быть столько же, сколько и в

2мачо3хлюпик

32

межзвездном пространстве. Однако, нейтралино участвует в слабых вза-имодействиях, а значит, изредка возможно зарегистрировать ее столкно-вение с атомным ядром. Поиски таких событий интенсивно ведутся.

Упражнение 3.6 Оцените плотность частиц темной материи в сол-нечной системе, предполагая, что масса частицы лежит в интервале от100 до 10 000 массы протона.

33

Глава 4

Большой Взрыв.

Подведем предварительные итоги. На больших масштабах Вселеннаяоднородна и изотропна. Исходя из этого, ОТО предсказывает, что еегеометрия описывается метрикой Робертсона-Уокера (2.1), где эволюциямасштабного фактора подчиняется уравениям Фридмана (3.2) и (3.7).В настоящее время Вселеннная адиабатически расширяется, поэтому впрошлом она была гораздо меньше и горячее. Более того, как доказалиС.Хоукинг и Р.Пенроуз (S. Hawking & R. Penrose), в ОТО невозможноизбавиться от сингулярностей, поэтому ОТО не позволяет проследитьисторию Вселенной до самого “начала времен“ (a → 0), можно лишьприближаться к нему1.

4.1 Краткая история Вселенной.Теория Большого Взрыва в сущности заключается в том, что расширениеВселенной началось из очень горячего и плотного состояния (a fireball).Хотя вопрос о начальных условиях расширения остается открытым, су-ществуют свидетельства в пользу того, что Большому Взрыву предше-ствовал период экспоненциально быстрого раздувания (inflation)2. Поканеизвестно какова была температура Вселенной, когда закончилась ин-фляция.

В Таблице 4.1 представлены основные этапы эволюции Вселенной отБольшого Взрыва до наших дней. В зависимости от начальной темпе-

1Аналогично абсолютному нулю температуры2подробнее об инфляции см. главу 7

34

ратуры в ранней Вселенной могли происходить фазовые переходы3, нонадежных экспериментальных данных, указывающих на это, пока нет.Поэтому таблица начинается с момента, когда нейтрино вышли из состо-яния термодинамического равновесия с остальной материей.

Таблица 4.1: Краткая история Вселенной [3]

Tемператураили энергия Возраст Эпоха

2.7K 14× 109 гг. Настоящее время4.6K 5.5× 109 гг. Начало ускоренного расширения.0.27эВ 3× 105 гг. Рекомбинация0.7эВ 8× 104 гг. Начало доминирования материи50 кэВ 5 мин. Завершение первичного нуклеосинтеза1 МэВ 1 сек Начало первичного нуклеосинтеза2.5 МэВ 0.1 сек Отделение нейтрино

4.2 Реликтовое излучение.Одним из наблюдаемых реликтов Большого Взрыва является термо-динамически равновесное космическое микроволновое излучение с тем-пературой T = 2.725 ± 0.002K, приходящее равномерно изо всех то-чек неба. Излучение было предсказано Г.Гамовым в 1948 г. и открытоА.Пензиасом и Р.Вильсоном (Arno Penzias & Robert Wilson) в 1965 г. За-пущенный в 2001г. специальный спутник Wilkinson Microwave AnisotropyProbe (WMAP) составил подробную карту температур реликтового из-лучения. Излучение обладает высокой степенью однородности, что ука-зывает на его космологическое происхождение4: измеренные флуктуацииимеют порядок всего лишь ∆T/T ∼ 10−5.

Строго говоря, реликтовое излучение не однородно: годовое движениеЗемли вокруг Солнца, движение Солнца относительно галактики, дви-

3О фазовых переходах в ранней Вселенной см. главу 94Разумеется, необходимо предварительно вычесть излучение точечных источни-

ков, т.е. звезд, галактик и т.д.

35

жение Млечного Пути относительно галактического кластера называе-мого Локальной Группой, и, наконец, движение кластера относительноизлучения приводят к так называемой дипольной анизотропии. Фотонреликтового излучения с импульсом k в системе покоя излучения име-ет импульс k′ относительно Земли. Эти импульсы связаны следующимобразом:

|k| = γ(

1 +v

ccos θ

)|k′|, (4.1)

где v - суммарная скорость Земли относительно реликтового излучения,γ = 1/

√1− v2/c2 и θ - угол между скоростью Земли и импульсом фото-

на. Число фотонов не меняется при переходе в другую систему отсчета,N(k) = N ′(k′), откуда

1

exp(hc|k|kBT

)− 1

=1

exp(hc|k′|kBT ′

)− 1

. (4.2)

Отсюда и из уравнения (4.1) получим для температуры реликтового из-лучения, зарегистрированного на Земле:

T ′ =T

γ(1 + v

ccos θ

) ≈ T(

1− v

ccos θ

), (4.3)

здесь T - температура излучения в его системе покоя. Учитывая всевышеперечисленные движения, можно определить скорость ЛокальнойГруппы относительно реликтового излучения (абсолютная система от-счета?), она равна 627± 22км/сек.

Когда Вселенная была меньше – температура реликтового излучениябыла выше. Соотношение между температурой и масштабным факторомследует из (4.2):

T0 = T (t)a(t)

a0

. (4.4)

При температуре выше TL ∼ 3000K, называемой температурой послед-него рассеяния, подавляющая часть атомов водорода в ранней вселеннойионизована: атомы и радиация образуют плазму, в которой идет обра-тимая реакция γ + H ↔ e− + p+. Когда температура опустилась до TL,Вселенная “просветлела“, т.к. большая часть барионной материи реком-бинировала в нейтральные атомы и фотоны стали распространяться по-чти без рассеяния. Согласно (4.4) TL соответствует красному смещению

36

zL ≈ 1100. При больших z Вселенная непрозрачна, на этих расстоянияхоптические инструменты уже бесполезны.

Упражнение 4.1 С помощью уравнения (3.12) оцените время, про-шедшее от Большого Взрыва до отделения излучения (zL = 1100). Указа-ние: убедитесь, что ΩΛ и ΩR можно пренебречь, так что интеграл зависиттолько от ΩM .

Упражнение 4.2 Парадокс Ольберса (впервые упомянутый Кепле-ром). В бесконечной Вселенной, куда ни смотри, взгляд неизбежно упи-рается в звезду, поэтому ночное небо должно сиять как Солнце. Предпо-ложим, светимость всех звезд одинакова и равна L, звезды равномернораспределены в расширяющейся Вселенной с плотностью n, постояннаяХаббла равна H0. Оцените яркость ночного неба B (поток энергии), по-лагая ΩM ≈ 1.

4.3 Барион-фотонное отношение.Оказывается, соотношение (4.4) между температурой Вселенной и мас-штабным фактором справедливо также и при температуре большей TL,когда излучение и барионная материя находятся в состоянии термоди-намического равновесия. Это можно показать следующим образом.

Рассмотрим нерелятивистские частицы и излучение в состоянии рав-новесия. Число барионов сохраняется, поэтому в космологии принятоопределять удельные физические величины в расчете на один барион. Сучетом этого замечания запишем первое начало термодинамики в виде:

Td(kBσ) = d

(ε

nB

)+ p d

(1

nB

). (4.5)

Здесь σ – энтропия приходящаяся на один барион, kB – постояннаяБольцмана и nB – плотность барионов. Энергия ε на один барион и дав-ление p равны:

ε = aBT4 +

3

2NnBkBT, p =

1

3aBT

4 + nBkBT. (4.6)

Здесь N – число нерелятивистских частиц на один барион (p, n, 4He, e−),а константа aB связана с постоянной Стефана-Больцмана соотношением

37

aB = 4σB/c. Подставляя (4.6) в (4.5) и интегрируя, получим выражениедля энтропии, приходящейся на один барион:

σ =4aBT

3

3nBkB+N ln

T 3/2

nBC. (4.7)

Здесь C - постоянная интегрирования.Первое слагаемое в этом выражении можно записать через плотность

фотонов nγ:4aBT

3

3nBkB=

4π4

90ζ(3)

nγnB≈ 3.6

nγnB

, (4.8)

где ζ(3) ≈ 1.2 – частное значение ζ-функции Римана. Величина отноше-ния числа барионов к числу фотонов в настоящее время

η =nBnγ≈ 6× 10−10, (4.9)

поэтому второе слагаемое в (4.7) пренебрежимо мало по сравнению с пер-вым, если, конечно, нет серьезных оснований полагать, что постояннаяC экспоненциальна велика. Поскольку энтропия σ постоянна, барион-фотонное отношение η тоже остается постоянным при расширении (по-сле рекомбинации кварков в барионы). Наконец, так как nB ∼ 1/a3 (азначит, и nγ ∼ 1/a3), температура Вселенной связана с масштабным фак-тором простым законом (4.4)5.

Упражнение 4.3 Выведите уравнение (4.7).

4.4 Происхождение барионов и лептонов.Наша Вселенная состоит преимущественно из вещества. Не существуетуказаний на то, что где-либо есть значительные скопления антивеще-ства. В противном случае, наблюдалось бы характерное аннигиляционоеизлучение из областей пространства, где обычное вещество сталкиваетсяс антивеществом. В рамках теории Большого Взрыва отсутствие анти-материи не выглядит естественным. В начале расширения, когда темпе-ратура Вселенной была очень велика, пары частица-античастица рожда-лись в изобилии благодаря термодинамическим флуктуациям. Поэтому

5Связь между временем и температурой в эпоху доминирования излучения выве-дена далее, см. уравнение (4.16)

38

естественно предположить, что расширение началось из полностью ней-трального состояния, в котором все заряды, в том числе и барионноечисло, полностью равны нулю. Если так, откуда берется наблюдаемаяантисимметрия между веществом и антивеществом?

Считается, что наблюдаемый перевес частиц образовался в началеБольшого Взрыва, скорее всего, при энергиях выше 100ГэВ. Считает-ся, что барион-фотонное отношение отношение η, которое, как мы ужеубедились, остается постоянным при расширении, несет информацию осамых ранних этапах эволюции Вселенной. А именно, на ∼ 1010 кварк-антикварковых пар существовал один лишний кварк и когда пары анни-гировали, излучив фотоны, оставшиеся кварки объединились в барионы.Этот сценарий ставит перед нами два вопроса: откуда взялась антисим-метрия между веществом и антивеществом и почему параметр η имеетнаблюдаемое значение?

На первый вопрос ответил Андрей Сахаров в 1967 г. Он выдвинултри условия (условия Сахарова), которые должны выполнятся, чтобы вовселенной, начинающей расширяться из полностью нейтрального состо-яния, могла появиться асимметрия между веществом и антивеществом.

• Существует физический процесс, нарушающий закон сохранениябарионного и лептонного числа. В отсутствие такого процесса небудет превышения числа барионов над антибарионами и электро-нов над позитронами.

• Существует процесс, нарушающий зарядовую C и комбинирован-ную CP четности6. Полностью нейтральное начальное состояниеявляется симметричным относительно операций C и CP , и еслиоператор эволюции не нарушает этих симметрий, состояние Все-ленной так и останется полностью нейтральным (число частиц =числу античастиц).

• Вселенная в процессе эволюции должна отступать от термоди-намического равновесия. Если барионное B и лептонное числа Lне сохраняются, соответствующие химические потенциалы долж-

6Операция C меняет частицы на античастицы и наоборот, а CP – это комбинацияC и оператора четности P , который меняет знаки полярных векторов, т.е. меняетнаправление импульса частицы, но не меняет ее спин.

39

ны исчезать, µB = µL = 0 7. Симметрия относительно преобразо-вания CPT (T - операция обращения времени) подразумевает, чтомассы частиц и античастиц одинаковы, mA = mA. Поэтому в тер-модинамическом равновесии B = L = 0, и снова числа частиц иантичастиц равны.

Наблюдаемое значение η остается загадкой. Тем не менее, Стандарт-ная Модель (СМ) частиц и взаимодействий, по-крайней мере, качествен-но удовлетворяет условиям Сахарова.

• В СМ существует процесс меняющий число барионов и лептонов,но сохранающий их разность, B − L. Это туннелирование междуразличными вакуумами СМ. Скорость этого процесса становитсязначительной при энергиях выше ∼ 100ГэВ, но порождаемое имзначение η ≈ 10−19 слишком мало.

• Слабое взаимодействие нарушает как зарядовую (C), так и ком-бинированную (CP ), четности. Кроме того, расширение Вселеннойсамо по себе нарушает симметрию T относительно обращения вре-мени (есть стрела времени). Поскольку CPT симметрия не нару-шается, это тоже приводит к несохранению CP .

• Во время расширения Вселенная, возможно, прошла через ряд фа-зовых переходов, например, переход от кварк-глюонной плазмы кбарионной материи. Это подразумевает отход от термодинамиче-ского равновесия: сосуществование разных фаз во время переходаозначает, что состояние неоднородно.

Упражнение 4.4 Оцените длительность эпохи в которую расшире-ние доминировалось излучением, вычислив время, прошедшее с началарасширения до момента, когда плотность энергии излучения сравняласьс плотностью энергии материи в ΛCDM.

7Химический потенциал - это величина, на которую увеличивается термодина-мический потенциал системы при добавлении одной частицы. Если число частиц несохраняется, производная термодинамического потенциала по числу частиц (хим. по-тенциал) в равновесном состоянии должна быть равна нулю.

40

4.5 Эра излучения.Как следует из уравнения Фридмана (3.7) (при условииK = 0), масштаб-ный фактор в радиационную эпоху зависит от времени, как a(t) ∼

√t.

Чтобы найти соотношение между временем и температурой в эту эпоху,заметим, что плотность энергии частиц массы m есть

ρ c2 = g

∫ε(k)

exp(ε(k)−µkBT

)± 1

d3k

(2π)3, где ε(k) = c

√h2k2 +m2c2.

(4.10)Здесь µ – химический потенциал. Знаки минус и плюс соответствуютбозонам и фермионам. Множитель g равен числу состояний с одной и тойже массой и импульсом. Например, для фотона gγ = 2 (две поляризации),gν = 2 для безмассового нейтрино каждого сорта (левополяризованноенейтрино и правополяризованное антинейтрино), и ge = 2 × 2 = 4 дляэлектрона и позитрона (по две поляризации на частицу).

Для релятивистских частиц, когда kBT mc2 и µ → 0, интегралупрощается и его вычисление дает:

gb2aBT

4 бозоны,

7

8

gf2aBT

4 фермионы. (4.11)

Объединяя уравнения (4.11), получаем полную плотность энергии реля-тивистских частиц в виде:

ρ c2 =g?2aBT

4, где g? = gb +7

8gf . (4.12)

Здесь gb и gf сумма всех g-факторов бозонов и фермионов, которые яв-ляются релятивистскими при данной температуре. Из уравнения Фрид-мана (3.7) нетрудно получить соотношение между временем и темпера-турой в эпоху доминирования излучения (K = 0):

H2 =1

4t2=

4πG

3 c2g?aBT

4,

=⇒ t =

(3 c2

16πGg?aB

)1/21

T 2≈ 1

g1/2∗

(1.8× 1010K

T

)2

. (4.13)

41

Теперь сформулируем условие, при котором заданный сорт частицперестает эффективно взаимодействовать с остальными и становитсятермодинамически независимым (отделяется). Подробные вычислениятребуют привлечения кинетической теории, однако основную идею по-нять нетрудно. Рассмотрим, например нейтрино, взаимодействующие скварками и лептонами посредством обмена векторными бозонами. Привысокой температуре и плотности скорость реакции Γ значительно пре-восходит постоянную Хаббла: Γ H, поэтому нейтрино, обмениваясьэнергией с кварками и лептонами, остаются с ними в термодинамиче-ском равновесии несмотря на расширение области взаимодейстия. Дляоценки

Γ ∼ nσv (4.14)

где n ∼ a−3 – плотность частиц, σ – сечение взаимодействия и v – от-носительная скорость. Два последних параметра примерно постоянны,поэтому

Γ ∼ 1

a3∼ 1

t3/2, (4.15)

Поскольку H ∼ t−1, скорость реакции в конце концов становится мень-ше постоянной Хаблла и удаленные области больше не в состоянии эф-фективно обмениваться энергией. Когда нейтрино или другие реляти-вистские частицы выходят из равновесия с остальными частицами, ихтемпература в дальнейшем определяется законом (4.4).

Таблица 4.2: Температурная история Вселенной [4]

kT меньше чем Частицы в равновесии g? = gb + 78gf

1 eV γ 2mec

2 ∼ 1МэВ γe+e− 2 + 78(2× 2) = 11

2

Λ ∼ 100МэВ γνeνµντe+e− 2 + 7

8(2× 3 + 4) = 43

4≈ 11

mNc2 ∼ 1ГэВ γ, лептоны, g, u, d, s 247

4≈ 62

mW c2 ∼ 100ГэВ Все частицы СМ 423

4≈ 100

Таблица 4.2 показывает, какие частицы являются релятивистскимии находятся в термодинамическом равновесии при данной энергии (тем-пературе). Вычисления с использованием методов кинетической теории

42

приводят к следующей зависимости между временем и температуройаналогичной (4.13):

t = (1÷ 2)

(1010KT

)2

сек. (4.16)

Множитель перед дробью очень слабо зависит от времени и меняетсяв пределах от 1 до 2. Эта простая формула охватывает промежуток отkBT ∼ 10МэВ до ∼ 5 лет (106 K), когда уже нельзя пренебрегать вкла-дом нерелятивистской материи.

Упражнение 4.5 В эпоху излучения, когда температура и масштаб-ный фактор равны T1 и a1, плотность энергии определяется релятивист-скими электронами, позитронами, мюонами и нейтрино. Когда темпе-ратура и масштабный фактор стали равными T2 и a2, мюоны анниги-лировали, но остальные частицы остались релятивистскими. Найдитесоотношение между T1, T2, a1 и a2.

4.6 Первичный нуклеосинтез.Астрономические данные свидетельствуют, что три четверти барионнойматерии во Вселенной – это водород, и одна четверть – гелий. Доля болеетяжелых элементов незначительна. Теория Большого Взрыва объясняетэтот факт. Прежде чем нейтрино отделились, нерелятивистские прото-ны и нейтроны находились в равновесии с релятивистскими частицамиблагодаря реакциям:

n+ νe ↔ p+ e−, n+ e+ ↔ p+ νe,

n↔ p+ e− + νe, ν + ν ↔ e+ + e− ↔ 2γ. (4.17)

При T ≈ 1010 K (≈1 сек после Взрыва) нейтрино вышли из равнове-сия и практически перестали рассеиваться на барионах8. В равновесииотношение числа протонов к числу нейтронов r определялось распреде-лением Больцмана:

r =nnnp≈ exp

(− Q

kBT

), Q = (mn −mp)c

2 ≈ 1.3МэВ. (4.18)

8Аналогично микроволновому излучению Вселенная должна быть заполнена пер-вичными нейтрино, оставшимися после Большого Взрыва, однако возможность ихдетектирования остается под вопросом.

43

В момент отделения нейтрино r ≈ 1/6. После этого число нейтронов ста-ло убывать из-за β-распада, а протоны и нейтроны стали объединятьсяв ядра дейтерия 2H в результате обратимой реакции n + p ↔ 2H + γ.Более тяжелые ядра могли образоваться только в результате тройныхстолкновений, вероятность которых была пренебрежимо мала из-за низ-кой плотности частиц.

Так продолжалось почти три минуты. Когда температура упала доT ≈ 109 K (≈ 168 сек после Взрыва) дейтерий вышел из равновесия.Именно в этот момент начался первичный нуклеосинтез, все произошлоочень быстро. Реакции шли в одном направлении, поскольку продуктыреакции обладали большей энергией связи чем дейтерий:

2H + n→ 3H + γ, 2H + p→ 3He+ γ,3H + p→ 4He+ γ, 3H + n→ 4He+ γ + e− + νe. (4.19)

Ядерный синтез остановился на 4He, первом магическом ядре. Даль-нейший синтез оказался невозможен, поскольку не существует стабиль-ных ядер с массовыми числами A = 5 и 8, а плотность частиц быласлишком низкой, чтобы реакции с участием трех и более частиц шлисо сколь-нибудь заметной скоростью. Ядра с атомными числами A = 6и A = 7 были произведены в очень малых количествах. Энергия связи6Li слишком мала, чтобы ядра не распадались при существовавшей в товремя температуре, а 7Li немедленно разрушался в результате реакцииp+ 7Li→ 4He+ 4He.

Таким образом, количество образовавшегося гелия определяется от-ношением числа нейтронов к числу протонов, которое к началу нукле-осинтеза упало до r ≈ 1/7:

Yp =4 · r/21 + r

≈ 2/7

1 + 1/7≈ 1

4. (4.20)

Предсказание относительной распространенности гелия было первым ве-сомым аргументом в пользу теории Большого Взрыва.

44

Глава 5

Эволюция звезд ипроисхождение элементов.

В результате первичного нуклеосинтеза во Вселенной образовался гелий4He – первый элемент тяжелее водорода. Остальные элементы Периоди-ческой системы образовались уже в недрах звезд, как побочный продуктих эволюции.

5.1 Развитие первичных флуктуаций.Уже в начале расширения Вселенная не была идеально однородна из-за квантовых и термодинамических флуктуаций. Когда темная материявышла из термодинамического равновесия с барионной материей1, пер-вичные неоднородности плотности темной материи начали расти. Об-ласти с большей плотностью расширялись медленнее, и когда была до-стигнута критическая плотность, начали сжиматься под действием гра-витационного притяжения (См. упр. 2.4). Барионная материя вышла изтермодинамического равновесия с излучением при z ≈ 150 (T ≈ 300K),гораздо позже последнего рассеяния, поскольку было достаточно свобод-ных электронов, чтобы барионнная материя эффективно обмениваласьэнергией с излучением. К моменту отделения барионной материи от из-лучения уже существовали сгустки холодной темной материи, к которымбарионная материя начала притягиваться и там сгущаться.

1Возможно, вместе с нейтрино, если частицы темной материи участвуют в слабомвзаимодействии.

45

В скоплениях материи с массой большей MJ ∼ 6 × 105 M⊙ (M⊙ –масса Солнца), называемой массой Джинса, барионная материя сжима-лась вместе с темной. Во время сжатия барионная материя охлаждаласьза счет испускания излучения (радиационное трение), теряла энергиюи сжималась быстрее темной, образуя протогалактики внутри облаковтемной материи, ставших невидимыми гало светящегося вещества. Всгустках с массой меньше MJ барионы из-за взаимодействия друг с дру-гом (см. ниже) не сгущались вместе с темной материей, поэтому неболь-шие скопления состоят в основном из темной материи, их можно обна-ружить посредством гравитационного линзирования.

Количественное описание эволюции первичных флуктуаций плотно-сти в галактики, звезды и черные дыры требует сложных численныхрасчетов.

Впервые проблема гравитационной неусточивости газового облака бы-ла исследована Джинсом (James Jeans) в 1902 году на основе механи-ки Ньютона. В то время не было известно ни о расширении Вселенной,ни о темной материи. Качественно, результаты его анализа заключают-ся в следующем. Предположим, область радиуса R заполнена идеаль-ным газом с плотностью ρ и скоростью звука vs. Звуку требуется времяts ∼ R/vs, чтобы пересечь эту область. Другим временным масштабомявляется время свободного падения tff ∼ 1/

√Gρ. Джинс показал, что

при ts ≤ tff небольшие флуктуации плотности сглаживаются и облакоостается стабильным. При ts ≥ tff гравитационное сжатие опережаетзвуковую волну и облако коллапсирует.

Таким образом, если размер облака превышает RJ ≥ vs/√Gρ, оно со-

жмется. Соответствующая масса MJ ∼ ρR3J называется массой Джинса.

Если включить в рассмотрение темную материю, то вывод изменится.Звуковые колебания в темной материи не распространяются, поэтомурано или поздно коллапсирует флуктуация плотности любого размера(медленнее расширение → критическая плотность → сжатие). Однакотолько для достаточно больших областей материи с массой большей

MJ =( πG

)3/2 v3s

ρ1/2M

,

где ρM – суммарная плотность барионной и темной материи, барионысжимаются вместе с темной материей, поэтому в небольших сгусткахматерии барионов мало.

46

5.2 Нижняя граница на массу звезды.Внутри сгустков темной материи барионная материя сгущалась в прото-звезды и разогревалась. Когда температура в недрах достаточно боль-шой протозвезды (состоящей на 3/4 из водорода и на 1/4 из гелия) до-статочно повысилась, начались реакции водородного синтеза:

p+ p→ 2D + e+ + ν, p+ p+ e− → 2D + ν,2D + p→ 3He+ γ, 3He+ 3He→ 4He+ p+ p, . . . (5.1)

В процессе синтеза выделяется так много энергии, что радиационное дав-ление останавливает дальнейшее сжатие звезды. Оценим нижнюю грани-цу на массу звезды, при которой возможен вышеприведенный сценарий.

Во время сжатия происходит превращение гравитационной энергиигаза в кинетическую энергию, отсюда температура

GM2

R∼Gm2

pN2

rN1/3∼Gm2

p

rN5/3 ∼ NkT =⇒ kT ∼

Gm2p

rN2/3. (5.2)

Здесь M – масса звезды, R – радиус, N – полное число барионов (дляпростоты ограничимся только протонами), mp – масса протона и r сред-нее расстояние между протонами. Давление растет до тех пор, пока недостигнет давления вырожденного электронного газа, после чего сжима-емость резко падает (жидкость почти несжимаема по сравнению с газом)и сжатие останавливается:

h2

mer2∼ kT ∼

Gm2p

rN2/3 =⇒ 1

r∼Gm2

pme

h2 N2/3. (5.3)

Отсюда, максимальная температура при фиксированном N равна:

kTmax ∼ (Gm2p)

2me

h2 N4/3. (5.4)

Ядерный синтез начинается при условии

kTmax ≥ ηα2mpc2. (5.5)

Здесь α – постоянная тонкой структуры, а η – численная константа про-порциональная вероятности туннелирования ядер через кулоновский ба-рьер. Для реакций (5.1) η ∼ 0.5. Объединяя (5.4) и (5.5), получаем ниж-нюю оценку для числа протонов в звезде:

Nmin ≥ Np

(ηα2mp

me

)3/4

≈ 0.1Np где Np =

(hc

Gm2p

)3/2

= 2.2× 1057.

(5.6)

47

Замечательно, что единица звездной структуры Np является комбинаци-ей фундаментальных констант, включая постоянную Планка!

Отсюда, нижняя граница на массу звезды:

Mmin ≈ 2× 1056mp ≈ 0.2M⊙. (5.7)

5.3 Верхняя граница на массу звезды.Как следует из (5.4) – чем больше звезда, тем выше температура ее ядра.Когда температура так велика, что радиационное давление превышаетгравитационное, лишнее вещество просто сдувается излучением. Отсю-да получается верхняя оценка на массу звезды. Давление излучения Pγменьше гравитационного, при условии

Pγ =π2(kT )4

45c3h3 ≤NkT

R3, или

1

N(kTR)3 ≤ 45c3h3

π2. (5.8)

Из (5.2) получаем

1

N(kTR)3 ∼ 1

N

(GM2

N

)3

∼ (Gm2p)

3N2. (5.9)

Вместе с уравнением (5.8) это дает:

(Gm2p)

3N2 ≤ 45c3h3

π2=⇒ Nmax ≤

√45

πNp ≈ 5× 1057. (5.10)

Отсюда получется верхняя оценка на массу звезды:

Mmax ≤ 5M⊙. (5.11)

Вышеприведенный размерный анализ очень приблизителен, но, какоказывается, дает вполне приличную оценку для массы звезды, принад-лежащей к главной последовательности:

0.2M⊙ ≤M ≤ 5M⊙. (5.12)

48

5.4 Коричневые карлики, красные гиганты ибелые карлики.

Рассмотрим типичную звезду главной последовательности. Горение во-дорода длится примерно

τH ≈(M⊙M

)2

× 1010 лет. (5.13)

Когда водород в ядре звезды исчерпан, радиационное давление пада-ет и дальнейшее гравитационное сжатие повышает температуру в цен-тре звезды. Если масса звезды меньше 0.8M⊙ достигнутой температурынедостаточно для горения гелия, такая звезда постепенно остывает истановится коричневым карликом.

Если масса звезды лежит в интервале

0.8M⊙ ≤M ≤ 3M⊙ (5.14)

температура растет, пока не начнутся реакции синтеза с участием гелия(см. (5.5), где теперь η ≈ 1):

4He+ 4He→ 8Be?, 8Be? + 4He→ 12C + 2γ, 12C + 4He→ 16O. (5.15)

Гелиевое ядро горячее внешней водородной оболочки, которая расши-ряется под действием радиационного давления. На этой стадии звездастановится красным гигантом. Горение гелия длится примерно τHe ≈105 ÷ 106 лет. Дальнейший ядерный синтез требует температур недости-жимых для звезды с массой в интервале (5.14).

Таким образом, в конце эволюции такая звезда состоит в основномиз углерода и кислорода. Гравитационное давление компенсируется дав-лением вырожденного газа релятивистских электронов. На этой стадиизвезда становится очень компактным горячим объектом, так называе-мым, белым карликом. Его радиус можно оценить, как

Nhc

r∼ GM2

R∼Gm2

p

rN5/3 =⇒ N ∼ Np, R ∼ h

mecN1/3p ≈ 3× 104км.

(5.16)В конце-концов белый карлик остывает и становится коричневым кар-ликом.

49

Энергия вырожденного электронного газа и гравитационное давле-ние пропорциональны среднему расстоянию между частицами. Следо-вательно, если масса звезда достаточно велика, одних релятивистскихэлектронов не хватит, чтобы противостоять гравитационному сжатию, икогда звезда достаточно остынет неизбежен дальнейший коллапс. Соот-ветствующая масса называется пределом Чандрасекара (SubrahmanyanChandrasekhar, 1930):

Mlim ≈ 1.45M⊙. (5.17)

5.5 Сверхновые.Звезда с массой в интервале

3M⊙ ≤M ≤ 10M⊙ (5.18)

сжимается далее. Температура в центре повышается достаточно, что-бы запустить синтез ядер углерода и кислорода, в результате которогополучается неон и магний, C, O → Ne, Mg. Соответствующие реакциидлятся всего несколько дней, так что эта стадия горения является взры-вом и в результате от звезды ничего не остается. Такое событие назы-вается сверхновой типа Ia. Как уже упоминалось, взрывы сверхновыхэтого типа используются астрономами в качестве стандартных свечей.Элементы тяжелее гелия, произведенные в процессе эволюции звезды,рассеиваются в пространстве и служат строительным материалом дляпланет.

Звезды с массамиM ≥ 10M⊙ (5.19)

достигают еще больших температур, позволяющих им завершить нук-леосинтез: C, O → Si → Ni, Co, Fe. Дальнейший синтез невозможен,поскольку железо обладает наибольшей энергией связи на нуклон. Этацепь реакций длится всего τSi ∼ 10 часов. Остатки от взрыва образуютжелезное ядро, которое в дальнейшем остывает.

Если масса железного ядра лежит в пределах 1÷ 2M⊙, давление вы-рожденного газа электронов не может противостоять гравитационномусжатию (см. (5.17)). Более того, энергия вырожденных электронов до-статочно велика, чтобы стал энергетически выгоден обратный β-распад,p+ e− → n+ ν, ведущий к нейтронизации ядра. В результате ядро кол-лапсирует, со взрывом выбрасывая в пространство внешнюю оболочку.

50

Остаток образует нейтронную звезду, в которой гравитационное сжатиекомпенсировано давлением вырожденных нейтронов. Такое событие на-зывается взрывом сверхновой типа II. Радиус нейтронной звезды оченьмал по астрономическим масштабам:

R ∼ h

mNcN1/3p ≈ 10 км. (5.20)

Нейтрино, образующиеся в процессе нейтронизации, покидают ядро втечение секунд и плотность их потока так велика, что они сдувают внеш-нюю оболочку звезды, одновременно обогащая ее нейтронами и ядрамиэлементов тяжелее железа:

ZAX + νe → Z+1

A X + e−, ZAX + n→ Z

A+1X + γ. (5.21)

Таким образом, тяжелые элементы являются побочными продуктамивзрывов сверхновых типа II. Считается, что планеты солнечной системыобразовались из остатков сверхновой, захваченных Солнцем несколькомиллиардов лет назад.

Упражнение 5.1 Оцените массу железного ядра, при которой воз-можна нейтронизация. Воспользуйтесь соотношением Q = (mn−mp)c

2 ≈1.3МэВ.

Нейтронная звезда сохраняет часть углового момента звезды-родителя,а также часть ее магнитного дипольного момента. Из-за малых разме-ров частота вращения нейтронной звезды может достигать 104 сек−1, амагнитное поле на ее поверхности – 108 Т. Обычно угол между осью вра-щения и магнитным моментом ненулевой, поэтому типичная нейтроннаязвезда является быстро вращающимся магнитным диполем – мощнымисточником электромагнитных волн. Нейтронные звезды были откры-ты именно как пульсары – небесные источники радиоизлучения оченьвысокой степени периодичности (Jocelyn Bell, 1967).

Если масса нейтронной звезды превышает 2M⊙ (в 2011 г. сообщилиоб открытии звезды с массой 2.5M⊙), ничто уже не в состоянии предот-вратить гравитационный коллапс и звезда становится черной дырой.

51

Глава 6

Черная дыра.

Простая оценка (см. (5.16)) показывает, что давление вырожденного газарелятивистских частиц не сможет противостоять гравитационному сжа-тию, если размер звезды достаточно велик. Такая звезда сожмется до то-чечных размеров, породив сингулярность в пространстве Минковского,– черную дыру. Черная дыра – достаточно старый теоретический объект.В 1916 г., вскоре после появления уравнений Эйнштейна, К.Шварцшильд(Karl Schwarzschild) нашел решение этих уравнений для случая точечноймассы (см. далее). К настоящему времени свойства черных дыр изуче-ны достаточно хорошо, хотя природа сингулярности остается загадкой.Прогресс в понимании этой проблемы важен для космологии, посколькурасширение Вселенной тоже, по-видимому, началось из сингулярности.

В 1990-е годы появились надежные экспериментальные свидетельствав пользу существования сверхмассивных черных дыр в центрах многихгалактик, включая нашу. Масса черной дыры в центре Млечного Путиоценивается в 4.3×106 M⊙. В этой главе мы обсудим некоторые свойствачерных дыр, в том числе и квантовые.

6.1 Гравитационный коллапс.Начнем с классической механики. В конце 18-го века Джон Мичел (JohnMichell) и Пьер Лаплас (Pierre Laplace) независимо рассмотрели следу-ющую задачу. Пусть имеется сферическая звезда массы M и радиусаR. Если вторая космическая скорость для этой звезды больше скорости

52

света,2GM

R≥ c2, (6.1)

то для внешнего наблюдателя она будет выглядеть абсолютно черной.Другими словами, свет не может покинуть массивный сферический объ-ект радиуса R, если

R ≤ 2GM

c2. (6.2)

Это рассуждение не учитывает релятивистские эффекты. Тем не менее,вывод остается верным и в ОТО вплоть до совпадения оценки (6.2) срадиусом Шварцшильда (см. (6.3)). Последнее, конечно, – случайность.Мы воспользуемся этим результатом для качественного описания гра-витационного коллапса искуственного модельного объекта – фотоннойсферы. Гравитационный коллапс материи, например, газо-пылевого об-лака отличается только деталями.

На рисунке 6.1 показана тонкая сферическая оболочка, образован-ная фотонами, которые движутся к началу координат. Для простотыпоказаны только два пространственных измерения, вертикальная осьсоответствует временной координате. Согласно Эйнштейну, энергия эк-вивалента массе (E = Mc2), масса гравитирует, поэтому сферическаяоболочка фотонов тоже гравитирует. После того, как фотоны пересеклисферу радиуса R (см. (6.2)) 1, собственная гравитация уже не дает имвыйти из-под этой сферы и фотоны образуют сингулярность в началекоординат в момент t = 0 (на Рис. 6.1 это вершина конуса, обращеннаявверх). Прежде чем фотоны достигают начала координат, они пересе-кают лучи, реальные или воображаемые, испущенные из начала коор-динат в разные моменты до образования сингулярности (вертикальнаяволнистая линия). Луч, испущенный до момента t0 (вершина конуса об-ращенная вниз), отклонится коллапсирующей сферой к началу коорди-нат, но в конце-концов уйдет на бесконечность. Луч, испущенный послеt0, но до t = 0, не способен преодолеть гравитацию оболочки и попа-дет в сингулярность. Наконец, лучи, испущенные из начала координатв момент t0, остановятся на сфере радиуса r = R после пересеченияколлапсирующей сферы. Эти лучи также не уходят на бесконечность,их мировые линии становятся параллельными временной оси. Они обра-зуют, так называемую, светоподобную поверхность, горизонт событий,

1Почему этот радиус должен быть больше половины длины фотона?

53

Рис. 6.1: Гравитационный коллапс сферической оболочки фотонов, ра-диально движущихся к началу координат [5].

формирование которой начинается в момент t0. Таким образом, областьпространства Минковского, оказавшаяся под горизонтом событий, недо-ступна для внешнего наблюдателя. Иногда это утверждение называютпринципом космической цензуры: удаленный наблюдатель не может ви-деть голой сингулярности. Принцип установлен Стивеном Хоукингом иРоджером Пенроузом (Stephen Hawking & Roger Penrose).

Упражнение 6.1 Оцените минимальную энергию коллапсирующейсферы фотонов с длиной волны λ необходимую для образования чернойдыры.

Упражнение 6.2 На Большом Адронном Коллайдере сталкиваютсяпучки протонов с энергией 1ТэВ. Пользуясь результатом предыдущейзадачи, оцените полную массу сталкивающихся протонов необходимуюдля образования черной дыры. Как изменится ответ, если учесть прин-цип запрета Паули и кулоновское отталкивание протонов?

54

6.2 Координаты Шварцшильда.Рассмотрим точечную массу M в пустом пространстве. В этом случаеможно получить аналитическое решение уравнений Эйнштейна и найтиметрику пространства Минковского. В системе покоя удаленного наблю-дателя (координаты Шварцшильда) метрика имеет вид

ds2 =(

1− rsr

)c2dt2 −

(1− rs

r

)−1

dr2 − r2dΩ2, rs =2GM

c2. (6.3)

Здась rs – радиус Шварцшильда. При r > rs метрика (6.3) описываетметрику тела массы M . На расстоянии r rs метрика воспроизводитньютоновскую силу тяготения с поправками ∼ o((rs/r)

2). Эйнштейн по-казал, что эти поправки обусловливают прецессию орбиты Меркурия,составляющую 43 угловые секунды за столетие.

Область r ≤ rs является весьма специальной с точки зрения удален-ного наблюдателя. Из формулы (6.3) следует, что в этой области коэф-фициент при dt2 отрицателен, а при dr2 – положителен. Для удаленногонаблюдателя время и пространство при r ≤ rs меняются местами. Дру-гими словами, “внутри“ черной дыры невозможно остановить движениек сингулярности, зато можно остановить время?!

Следует подчеркнуть, что метрика Шварцшильда (6.3) соответствуетстатической или вечной черной дыре. Настоящая черная дыра появля-ется в результате гравитационного коллапса материи и соответствующеепространство событий состоит из двух сшитых вместе частей: простран-ства с метрикой (6.3) и плоского пространства Минковского 2.

6.3 Удаленный и падающий наблюдатели.Утверждение о перемене ролей пространства и времени при r ≤ rs яв-ляется парадоксом, поскольку означает нарушение причинности с точ-ки зрения удаленного наблюдателя. Чтобы понять, что происходит вдействительности, необходим дальнейший анализ. Рассмотрим двух на-блюдателей: удаленного (УН), находящегося так далеко, что, двигаясь снебольшой скоростью по орбите вокруг черной дыры, он остается прак-тически в покое и наблюдателя, свободно падающего к центру черной

2Соответствующее построение можно найти в книге Leonard Susskind & JamesLindsey, An Introduction to BH, Information, and the String Theory Revolution.

55

дыры (ПН). Пусть R – расстояние от сингулярности до УН, и ПН на-чинает свое путешествие в черную дыру с того же расстояния. Геодези-ческая ПН в системе координат УН (т.е. в координатах Шварцшильда)описывается следующими уравнениями, зависящими от параметра:

r =R

2(1 + cos η), 0 < η < π (6.4)

ct = cτ + rs

(R

rs− 1

)1/2

η + rs ln

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(R

rs− 1

)1/2

+ tg η/2(R

rs− 1

)1/2

− tg η/2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Здесь τ – собственное время ПН:

cτ =R

2

(R

rs

)1/2

(η + sin η). (6.5)

В координатах ПН (cτ, r) никакой сингулярности при r = rs нет. Ком-поненты тензора кривизны ∼ rs/r

3 сингулярны только при r = 0. Начи-ная свое путешествие из состояния покоя, ПН достигает начала коор-

динат через конечное время равное τ =π

2

R

c

(R

rs

)1/2

согласно его часам.

Конечно, при приближении к сингулярности ПН будет уничтожен при-ливными силами, но не увидит, чтобы время и пространство поменялисьместами.

Упражнение 6.3 Пусть масса черной дыры равна 106M⊙. Пусть ПНначинает свое путешествие с расстояния, где ускорение свободного па-дения равно g = 10м/сек2. Найдите это расстояние и время, за котороеПН достигнет сингулярности согласно его часам.

С точки зрения УН падение выглядит по другому. Как следует из (6.4),когда ПН приближается к r = rs (и η приближается к π), временная коор-дината t устремляется к бесконечности. Поэтому УН никогда не увидиткак ПН пересечет r = rs. Но, может быть, ПН сумеет что-то сообщить?

Предположим УН обменивается сообщениями с ПН, посылая сигна-лы определенной частоты. По мере приближения ПН к черной дыре ин-тервалы между сигналами растут, а их частота уменьшается по закону

56

Рис. 6.2: Мировые линии УН и ПН в координатах УН [5].

∼ (1 − rs/r) из-за красного смещения в гравитационном поле чернойдыры (см. Рис. 6.2). Так что УН действительно не увидит, как ПН пе-ресекает поверхность r = rs: частота сигнала обратится в ноль. Это раз-решает парадокс с нарушением причинности при r < rs, поскольку этаобласть для УН недоступна. Поверхность r = rs называется горизонтомсобытий УН.

6.4 Свойства горизонта событий.Итак, оба наблюдателя, и УН и ПН, согласятся, что пространство Мин-ковского сингулярно, но по поводу конкретного вида сингулярности ониразойдутся. Для ПН это мировая линия r = 0, а для УН – это горизонтсобытий, двумерная светоподобная поверхность r = rs, за которую УН неможет заглянуть. (Условие r = rs определяет трехмерное многообразиев пространстве Минковского, но поскольку метрический коэффициентпри dt2 обращается в нуль при r = rs, остаются только два измерения.)Значит ли это, что область r < rs никак не влияет на УН?

В 1976 г. Вильям Унру (William Unruh) доказал удивительную тео-рему: если горизонт событий разделяет пространство Минковского на

57

две несвязанные области, A и B, то чистое квантовое состояние (энтро-пия равна нулю), определенное во всем пространстве A⊕B, в каждой изобластей A и B является, в действительности, смешанным состоянием(энтропия больше нуля). Чтобы понять, что это значит, рассмотрим рав-номерно ускоренного наблюдателя в плоском пространстве Минковского(см. Рис. 6.3). В собственной системе отсчета ускорение наблюдателя по-стоянно и равно a.

Упражнение 6.4 Покажите, что траектория равномерно ускоренно-го наблюдателя определяется уравнением

x =c2

a

√1 +

(at

c2

)2

. (6.6)

Из рисунка 6.3 видно, что для равномерно ускоренного наблюдателясуществует область пространства-времени (область III), которая являет-ся причинно несвязанной с наблюдателем. Ни один сигнал испущенныйв этой области не достигает наблюдателя и наоборот. Теперь рассмотримвиртуальную пару частица-античастица 3, такую, что ее замкнутая ми-ровая линия проходит как в области I, так и в III. Часть мировой линииприходит из абсолютного прошлого (область IV) и уходит в абсолютноебудущее (область II), так что эта часть линии соответствует траекторииреальной частицы для ускоренного наблюдателя. Следует подчеркнуть,что для наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью, никакойреальной частицы нет.

С помощью изящных рассуждений Унру доказал, что в системе от-счета ускоренного наблюдателя пространство заполнено частицами, на-ходящимися в термодинамическом равновесии при температуре

T =1

2π

ha

kBc, (6.7)

где a – ускорение наблюдателя. Эту температуру нетрудно оценить спомощью следующего рассуждения. Горизонт событий (точка в началекоординат) находится на расстоянии L ∼ c2/a позади от наблюдателя.

3Подробнее об античастицах см. в следующей главе.

58

Рис. 6.3: Равномерно ускоренный наблюдатель и мировая линия вирту-альной пары частица-античастица, часть которой проходит за горизон-том событий [5].

Излучение, испущенное с расстояния большего чем L, никогда не дого-нит ускоренного наблюдателя, хотя со временем и приблизится к немусколь угодно близко. Это расстояние и определяет размер замкнутой ми-ровой линии виртуальной пары частица-античастица, являющейся длянаблюдателя реальной частицей: античастица находится за горизонтомсобытий. Энергия частицы по порядку величины ∼ hc/L ∼ ha/c ∼ kBT .С точностью до численного коэффицента это формула (6.7).

Аналогичные рассуждения применимы и к черной дыре. В 1974 г.С.Хоукинг показал, что c точки зрения УН черная дыра излучает части-цы всех видов, спектр которых является планковским с температурой

T∞ =1

4πkB

hc

rs, (6.8)

Следовательно, поверхность r = rs не совсем черная. Более того, чемближе УН к горизонту событий (оставаясь при этом относительно негов покое, например, спускаясь по веревке), тем выше температура излуче-ния. Температура (6.8) – это температура излучения, выбравшегося изгравитационного колодца и претерпевшего красное смещение. Следуетзаметить, что ПН, приближаясь к сингулярности, не регистрирует ни-какой температуры: его система отсчета инерциальна. Таким образом,согласно Хоукингу черная дыра не вечна: излучая, она постепенно теря-

59

ет массу. Скорость испарения черной дыры можно оценить, как

dM

dt∼ T 4

∞r2s ∼

1

M4M2 ∼ 1

M2. (6.9)

Отсюда время испарения t ∼ M3. Для макроскопической черной дырыэто время чудовищно велико, тем не менее, в конце-концов черная дыраисчезнет.

Наличие температуры означает, что у черной дыры должна быть иэнтропия. В буквальном смысле, энтропия S(M) есть логарифм числамикроскопических состояний Γ(M) черной дыры, как макроскопическо-го объекта: Γ(M) ∼ exp(S(M)). Природа этих микроскопических состо-яний является предметом споров.

Упражнение 6.5 Используя соотношения dE = TdS и E = Mc2,получите формулу Хоукинга-Бекенштейна (Hawking-Bekenstein) для эн-тропии черной дыры:

S =kB4

4πr2s

l2Pl, (6.10)

где lPl ≈ 1.6 × 10−33 см – планковская длина. Покажите, что (6.10) яв-ляется верхним пределом для энтропии любой системы, заключенной всферическом объеме радиуса rs.

С точки зрения УН горизонт событий является двумерной поверхно-стью. Оказывается, его можно рассматривать как физическую мембранутолщиной ∼ lPl с весьма необычными физическими свойствами. Напри-мер, эта мембрана обладает вязкостью и электрическим сопротивлени-ем. Последнее равно 377Ω на квадрат [5]. (Напомним, что сопротивлениедвумерного проводника зависит только от его формы.)

60

Глава 7

Стадия раздувания (инфляция).

Теория Большого Взрыва согласуется с наблюдениями, однако некото-рые факты она объяснить не в состоянии. Существуют, по-крайней мере,две проблемы в наблюдательной астрономии, которые трудно понять врамках этой теории.

7.1 Проблема плоскостности Вселенной.Согласно современным данным [10] ΩΛ +ΩM +ΩR = 1.002±0.011, так чтопараметр кривизны ΩK = −K c2/a2 (где K = ±1, 0) либо очень мал, либов точности равен нулю. Однако, в прошлом ΩK должен быть еще мень-ше. Полагая, без ущерба для окончательного вывода, что расширение смомента последнего рассеяния tL, определялось, главным образом, ма-терией, получаем a ∼ t2/3. Тогда ΩK в эту эпоху связано с температуройреликтового излучения, как

ΩK ∼[d

dtt2/3]−2

∼ t2/3 ∼ a ∼ 1

T, (см. (4.4)). (7.1)

Предположим, что в настоящее время ΩK(t0) ∼ 1, тогда во время послед-него рассеяния ΩK(tL) ∼ 10−4. Полагая, что до момента tL доминировалоизлучение, так что a ∼ t1/2, получим

ΩK ∼[d

dtt1/2]−2

∼ t ∼ a2 ∼ 1

T 2. (7.2)

Тогда из ΩK(TL ∼ 104K) ∼ 10−4 следует, что во время первичного нук-леосинтеза ΩK(TBBN ∼ 1010K) ∼ 10−16.

61

Эти оценки приводят к выводу, что в момент Большого Взрыва Все-ленная была практически плоской. И хотя, чисто логически, такое на-чальное условие ничему не противоречит, оно не выглядит естествен-ным. Более привлекательным было бы найти механизм, разгладившийВселенную к моменту Взрыва.

7.2 Проблема горизонта.Согласно данным WMAP типичный размер температурной флуктуацииреликтового излучения ∆T/T ∼ 10−5, т.е. ко времени последнего рассе-яния Вселенная должна была быть полностью однородной. Естественнопредположить, что удаленные области Вселенной имели достаточно вре-мени, чтобы успеть обменяться энергией и прийти в состояние термоди-намического равновесия. Однако, ΛCDM утверждает, что это не так!

Оценим угол под которым сейчас видна область пространства, нахо-дившаяся в причинном контакте в момент tL, как отношение размерагоризонта причинности dH(tL) (см. (3.20)) в момент tL, к собственномурасстоянию dA(tL) от начала координат до поверхности последнего рас-сеяния в момент tL (см. Рис. 7.1):

θ =dH(tL)

dA(tL). (7.3)

Рис. 7.1: Угловой размер горизонта причинности.

Поверхность последнего рассеяния – это сферическая поверхность ра-диуса rL вокруг начала координат, такая, что свет, испущенный с этойповерхности, достигает начала координат к настоящему моменту; dA(tL)

62

– собственное расстояние от начала координат до этой поверхности вмомент tL. Используя соотношения (2.4) и (3.12) (K = 0), получим:

dA(tL) = aLrL = aL

∫ t0

tL

cdt

a(t)=

c aLH0a0

∫ 1

1/(1+zL)

dx√ΩΛx4 + ΩMx+ ΩR

. (7.4)

Поскольку zL ≈ 1100, ΩR ∼ 10−5 и ΩM ∼ ΩΛ ∼ 1, интеграл определяется,главным образом, членом ΩMx, так что

dA(tL) ≈ c aLH0a0

×∫ 1

1/(1+zL)

dx

Ω1/2M x1/2

≈ c

H0(1 + zL)× 2

Ω1/2M

. (7.5)

Размер горизонта tL – это наибольшее собственное расстояние, от которо-го наблюдатель еще способен получить сигнал к моменту tL (см. (3.19)):

dH(tL) = aL

∫ tL

0

cdt

a(t)=

c aLH0a0

∫ 1/(1+zL)

0

dx√ΩΛx4 + ΩMx+ ΩR

. (7.6)

Этот интеграл также определятся, в основном, ΩMx, поэтому

dH(tL) ≈ c aLH0a0

×∫ 1/(1+zL)

0

dx

Ω1/2M x1/2

≈ c

H0(1 + zL)3/2× 2

Ω1/2M

. (7.7)

В изотропной Вселенной углы не зависят от времени, и в настоящеевремя область, находившаяся в причинном контакте в момент tL, виднапод тем же углом

θ =dH(tL)

dA(tL)≈ 1√

1 + zL≈ 1.60. (7.8)

Малость этого угла называется проблемой горизонта: почему областиВселенной, которые никогда не обменивались энергией, обладают, темне менее, практически одинаковой температурой? От проблемы можноопять отмахнуться, предположив, что в момент Большого Взрыва Все-ленная была практически однородной – еще одно неестественное началь-ное условие в дополнение к предположению о плоскостности Вселенной.Более привлекательным было бы найти механизм, сделавший Вселеннуюоднородной к моменту Взрыва.

Кроме этих двух существует еще проблема монополей, которую мыобсуждать не будем.

63

Упражнение 7.1 Покажите, что во вселенной Робертсона-Уокерарасстояние светимости dL, расстояние углового диаметра dA и расстояниеdM , измеряемое по собственному движению объекта на небесной сфересвязаны соотношением

(1 + z)2dA = (1 + z)dM = dL. (7.9)

7.3 Инфляция.В 1981 г. А. Гут (Alan Guth) предложил элегантное решение проблемплоскостности и горизонта (и, одновременно, проблемы монополей). Онпредположил, что непосредственно перед Большим Взрывом расшире-ние Вселенной было экспоненциальным, т.е. плотность энергии домини-ровалась огромной космологической постоянной 1, примерно на сто по-рядков величины превышающей ее значение в настоящее время. Преждечем обсуждать физический смысл этого предположения, рассмотрим,как гипотеза раздувания (inflation) решает проблему плоскостности ипроблему горизонта.

Согласно первому уравнению Фридмана постоянная Хаббла во все-ленной, где доминирует космологическая постоянная, не зависит от вре-мени. Таким образом,

a

a≈ HI , =⇒ a(t) ≈ a?e

HI(t−t?). (7.10)

Здесь HI – постоянная Хаббла в эпоху инфляции, t? – момент началаинфляции и a? – масштабный фактор в момент t?.

Параметр кривизны в эпоху инфляции экспоненциально убывает:

|ΩK | ∼1

a2H2∼ 1

a2∼ e−2HI(t−t?) ≡ e−2N . (7.11)

Здесь N – так называемое, число разворачиваний – естественный пара-метр эволюции в эпоху инфляции2. Если к началу инфляции ΩK ∼ 1, то

1Этот термин вводится при изучении уравнений Эйнштейна, которые в данномпособии не расматриваются. Под космологической постоянной понимается плотностьэнергии любой субстанции с уравнением состояния ρ c2 = −p.

2Напомним, что плотность энергии и температура являются естественными пара-метрами эволюции в эпоху излучения.

64

в конце инфляции ΩK ∼ e−2N . Если в настоящее время ΩK ∼ 1, числоразворачиваний должно быть:

|ΩK(t0)| ∼ 1

a20H

20

∼ 1

a2IH

2I

(aIHI

a0H0

)2

∼ e−2N

(aIHI

a0H0

)2

∼ 1.

=⇒ eN ∼ aIHI

a0H0

. (7.12)

Теперь выясним сколько разворачиваний необходимо, чтобы решитьпроблему горизонта. Если Большому Взрыву предшествовала стадия ин-фляции, то размер горизонта к моменту последнего рассеяния опреде-ляется интегралом (см. (7.6)):

dH(tL) = aL

∫ tL

t?

cdt

a(t)= aL

(∫ tL

tI

+

∫ tI

t?

)cdt

a(t). (7.13)

Интеграл в (7.13) – это независящая от времени радиальная координататочки, из которой наблюдатель в начале координат еще мог получитьсигнал в момент tL. Если инфляции нет, интеграл равен (7.6) и, значит,мал. Если же Взрыву предшествовала стадия быстрого раздувания, ин-теграл определяется нижним пределом и его можно сделать сколь угоднобольшим. Другими словами, размер горизонта причинности перед Боль-шим Взрывом возрастал со временем экспоненциально. Тогда,

dH(tL) ≈ aL

∫ tI

t?

cdt

a?eHI(t−t?)≈ caLa?HI

≈ caLaIHI

eHI(tI−t?) ≡ c aLaIHI

eN . (7.14)

Расстояние углового размера dA(tL) до поверхности последнего рассея-ния определяется тем же соотношением (7.5), инфляция его не затраги-вает:

dA(tL) ≈ c aLH0a0

. (7.15)

Для того, чтобы удаленные области находились в причинном контакте(т.е. могли обмениваться энергией) к моменту последнего рассеяния,

dH(tL) ∼ dA(tL) =⇒ eN ∼ aIHI

a0H0

, (7.16)

что совпадает с числом разворачиваний (7.12) необходимым для разгла-живания Вселенной к моменту Большого Взрыва.

65

Подведем итоги: в эпоху инфляции единственная причинно связаннаяобласть пространства-времени (потому однородная и изотропная) былараздута и разглажена так, что к моменту последнего рассеяния Вселен-ная целиком находилась внутри горизонта причинности, т.е. различныеобласти Вселенной обменивались энергией и оставались в состоянии тер-модинамического равновесия, и была настолько плоской, что осталасьпочти плоской к настоящему времени.

7.4 Оценка числа разворачиваний.Оценим число разворачиваний, требуемое Стандартной моделью Вселен-ной, предполагая, что масштабный фактор и постоянная Хаббла к мо-менту Большого Взрыва те же, что и в конце инфляции. ПостояннаяХаббла наиболее сильно изменилась в эпоху излучения, откуда следуетоценка

H ≈ H0Ω1/2R

(a0

a

)2

. (7.17)

Тогда:

eN ∼ aIHI

a0H0

∼ Ω1/2R

a0

aI∼ Ω

1/2R

(ρIρ0

)1/4

(7.18)

∼ Ω1/4R

(ρ0

ρ0c

)1/4(ρIρ0

)1/4

∼(

ΩRρIρ0c

)1/4

≈ ρ1/4I

0.026 эВ.

Чтобы получить численную оценку необходимо задать плотность энер-гии ρI в момент Большого Взрыва (в конце инфляции). В Таблице 7.1представлены различные оценки числа разворачиваний в зависимости отвозможной плотности энергии.

Упражнение 7.2 Сколько требуется времени, чтобы раздуть Все-ленную от размера протона ∼ 10−13 см до мячика для пинг-понга ∼ 1 см?Предположите, что плотность энергии в момент Большого Взрыва равна[2× 1016 ГэВ]4.

7.5 Медленное скатывание.В настоящее время инфляция имеет статус теории, подтвержденной на-блюдениями, хотя детальное понимание механизма раздувания требует

66

Таблица 7.1: Число разворачиваний [1]

Нуклеосинтез [1МэВ]4 N=17Электрослабый фазовый переход [246ГэВ]4 N=34

Великое объединение [2× 1016 ГэВ]4 N=62Планковский масштаб [1019 ГэВ]4 N=68

лучшего понимания физики высоких энергий. Чтобы получить представ-ление о теории инфляции рассмотрим простейший механизм, не слишкомотличающийся от предложенного первоначально А.Гутом.

Предположим, что до Большого Взрыва основным материальнымкомпонентом Вселенной являлось вещественное скалярное поле, так на-зываемый, инфлатон.

Плотность энергии ρ(t) и давление p(t) такого поля во ВселеннойРобертсона-Уокера определяются выражениями (здесь c = 1):

ρ =1

2φ2 + V (φ), p =

1

2φ2 − V (φ). (7.19)

Подставив (7.19) в уравнения Фридмана (3.2) и (3.7), получим:

φ+ 3Hφ+ V ′(φ) = 0, H = −4πGφ2. (7.20)

Согласно (7.20) постоянная ХабблаH не зависит от времени при усло-вии φ ≈ 0. Тогда из уравнений (7.19) и второго уравнения Фридманаимеем:

ρ = −p, H2 =8πG

3V (φ). (7.21)

Первое уравнение – это уравнение состояния вакуума, а из второго сле-дует, что постоянная Хаббла пропорциональна потенциалу поля V (φ).

Рассмотрим потенциал на Рис. 7.2. Он имеет широкое почти гори-зонтальное плато с небольшим уклоном, которое резко обрывается возлезначения поля φ = φ0, где потенциал обращается в нуль. Первое из урав-нений (7.20) – это уравнение движения частицы, которой текущая вели-чина поля инфлатона служит координатой. На частицу действует силаV ′(φ), тянущая ее под уклон, и пропорциональная скорости сила трения,причем коэффициентом трения служит постоянная Хаббла. Под дей-ствием этих сил частица медленно скатывается по склону и потом резко

67

Рис. 7.2: Медленное скатывание за которым следует разогрев [1].

падает вниз. После нескольких колебаний возле положения равновесияполе инфлатона принимает значение φ = φ0, а его энергия передаетсяультрарелятивистской материи и излучению, причем во время колеба-ний возникают начальная энтропия и температура Вселенной. Корот-кий переходный период от инфляции к космологическому расширениюБольшого Взрыва получил название разогрева.

Помимо решения проблемы горизонта, проблемы плоскостности ипроблемы монополей, теория инфляции предсказывает спектр флукту-аций реликтового излучения. Согласно этой теории наблюдаемые неод-нородности реликтового излучения (∆T/T ∼ 10−5) обусловлены кван-товыми и термодинамическими флуктуациями первоначальной областиВселенной, которая была раздута к моменту Большого Взрыва. Измере-ния фона излучения с помощью орбитальных телескопов WMAP (2004) иPlanck (2013) позволили вычислить спектр флуктуаций с большой точно-стью и сравнить с теоретическим. Согласие оказывается очень хорошим.

68

Глава 8

Некоторые понятия РКТ.

Поскольку огромная плотность вещества соответствует высокой энергииρc2 ∼ E4/(hc)3, физика ранней Вселенной тесно переплетается с физикойэлементарных частиц. По этой причине введение в космологию будетнеполным без краткого обсуждения этого предмета. Ниже излагаютсянекоторые базовые понятия релятивистской квантовой теории (РКТ).

8.1 Группа Пуанкаре.Рассмотрим мысленный эксперимент. Пусть космический корабль на-ходится вдалеке от скоплений материи (Рис. 8.1). Астронавт проводитэксперименты в корабельной лаборатории и наблюдает воздействие ко-рабельных маневров на результаты экспериментов. Удаленные звездыиспользуются в качестве ориентиров. В конце-концов, астронавт уста-навливает, какие маневры не влияют на результаты экспериментов: 1)корабль остается в покое, 2) корабль перемещается на произвольное рас-стояние и останавливается, 3) корабль ускоряется, а потом двигается спостоянной скоростью и 4) корабль поворачивается и останавливается.Эти маневры можно выполнять в любой последовательности. Более того,произвольная комбинация маневров 1)–4) является одним из маневров1)–4). Говоря языком математики, следующая совокупность маневровобразует непрерывную группу преобразований системы отсчета корабля:

1. трансляции во времени, t→ t+ t0;

2. перемещения в пространстве, ~x→ ~x+ ~x0;

69

Рис. 8.1: Космический корабль вдали от гравитирующих масс.

3. преобразования Лоренца или бусты, xµ → Λµν (~v)xν , где Λµ

ν (~v) – мат-рица преобразования, зависящая от скорости буста ~v;

4. вращения, xi → Rij(~φ)xj, где Ri

j(~φ) – матрица вращения, зависящая

от углов вращения ~φ.

Эта группа называется группой Пуанкаре. Бусты и вращения сами посебе образуют группу, называемую группой Лоренца. Т.е. произвольнаякомбинация бустов и вращений является или бустом или вращением.Вращения тоже сами по себе образуют группу, называемую группой вра-щений. Т.е. произвольная комбинация вращений является вращением.

8.2 Некоторые понятия теории групп• Пусть gi – элемент некоторой группы G. Тогда:∀g1, g2 ∈ G, g1g2 = g3 ∈ G,∀g ∈ G ∃g−1 ∈ G, так что g g−1 = 1.∀g1, g2, g3 ∈ G, (g1g2)g3 = g1(g2g3).

• Пусть группа непрерывных преобразований G определена на мно-гообразии размерности N , так что каждой точке многообразия ai(i = 1, . . . , N) соответствует элемент группы. Кроме того, в окрест-ности единичного элемента группы определен набор касательных

70

Xi (i = 1, . . . , N) к многообразию, называемых генераторами. Пустьгенераторы образуют, так называемую, алгебру Ли:

[Xi, Xj] = ifijkXk, (8.1)

где компоненты антисимметричного тензора fijk называются струк-турными константами группы. Тогда произвольный элемент груп-пы можно записать в виде экспоненты:

g(a) = exp (iXiai) . (8.2)

Эта замечательная теорема была доказана шведским математикомС.Ли (Sophus Lie) в 1876 г.

• Представлением группы G называется такое линейное простран-ство R, что ∀ |i〉 ∈ R и ∀g ∈ G, g |i〉 ∈ R. Элементам группыв заданном представлении сопоставляют матрицы: g → gij, гдеgij = 〈i| g |j〉.

• Неприводимым представлением группы G называется такое линей-ное пространство Ir, что ∀ |i〉 ∈ Ir вектор g |i〉 заметает все про-странство Ir, когда g пробегает по всем элементам группы G.

• Произвольное представление R группы G является прямой сум-мой неприводимых представлений группы. Это означает следую-щее. Выбрав произвольный вектор представления |i〉 ∈ R и, дей-ствуя на него последовательно всеми элементами группы, полу-чим некоторое линейное пространство G |i〉 = Ri. Если Ri = R,то R неприводимо. В противном случае выбираем вектор |j〉 3 Ri

и повторяем процедуру, пока не исчерпаем все представление R.При этом элементам группы G в представлении R соответствуютблочно-диагональные матрицы.

8.3 Элементарные частицы.Принцип относительности заключается в утверждении, что законы фи-зики одни и те же во всех инерциальных системах отсчета, связанныхпреобразованиями Пуанкаре. Как обсуждалось выше, результаты экспе-риментов не зависят от корабельных маневров из группы Пуанкаре.

71

Сформулируем теперь принцип относительности в квантовой теории.Рассмотрим две инерциальные системы отсчета, связанные произволь-ной комбинацией временных и пространственных трансляций на t0 и ~x0,бустов ~v и поворотов ~φ. Пусть некоторое квантовое состояние в первойсистеме определяется вектором |ψ〉. То же самое состояние во второй си-стеме определяется вектором |ψ′〉, который связан с |ψ〉 преобразованиемПуанкаре U(t0, ~x0, ~v, ~φ):

|ψ′〉 = U(t0, ~x0, ~v, ~φ) |ψ〉 . (8.3)

Согласно теореме Ли:

U(t0, ~x0, ~v, ~φ) = exp

[i

h

(Ht0 + P~x0 + K~v + J~φ

)]. (8.4)

Здесь H, P, J, K – генераторы группы Пуанкаре, образующие алгебруЛи. Первые семь генераторов эрмитовы и соответствуют наблюдаемымвеличинам: H – энергия, P – импульс и J – момент импульса. Генераторыбустов K антиэрмитовы (K† = −K) и наблюдаемым не соответствуют.

В 1939 г. Ю.Вигнер (Eugene Wigner) выявил фундаментальное со-ответствие между группой Пуанкаре и элементарными частицами [6]. Аименно, Вигнер доказал, что неприводимые представления группы Пуан-каре образованы состояниями с квантовыми числами элементарной ча-стицы: собственными состояниями массового оператора M2 = H2 − P2,квадрата спина s2 = s(s + 1), тремя проекциями момента импульса P ипроекцией спина, например sz:

|M, s;p, sz〉 . (8.5)

Для неприводимого представления группы Пуанкаре преобразование (8.3)принимает вид

|M, s;p′, s′z〉 = U(t0, ~x0, ~v, ~φ) |M, s;p, sz〉 , (8.6)

т.е. импульс и проекция спина частицы меняются при переходе из однойинерциальной системы отсчета в другую.

Согласно теории групп, произвольное представление группы являет-ся суммой прямых произведений ее неприводимых представлений. При-менительно к группе Пуанкаре это значит, что ее произвольное пред-ставление имеет вид

|ψ〉 =∑

i1,i2,...,iN

ψ(i1, i2, . . . , iN) |i1; i2; . . . ; iN〉 , (8.7)

72

где ik – квантовые числа элементарной частицы. Таким образом, изпринципа относительности и квантовой теории следует, что пока про-странство Минковского можно считать плоским, т.е. считать эффектыгравитации малыми, любая физическая система является не чем иным,как совокупностью элементарных частиц. Необходимо подчеркнуть, чтов искривленном пространстве Минковского не существует однозначногоопределения элементарной частицы.

В 1939 г. М.Фирц и В.Паули (Marcus Fierz & Wolfgang Pauli) устано-вили связь между спином частицы и ее статистикой, доказав теорему освязи спина со статистикой. Теорема утверждает, что частица с целымспином (в единицах h) является бозоном, а с полуцелым - фермионом.

8.4 Античастицы.В 1928 г. П.Дирак (Paul Dirac) показал, что из релятивистской теорииэлектрона следует существование частицы той же массы и спина, что иэлектрон, но с противоположным зарядом (позитрон). Очень скоро ста-ло ясно, что это не случайность, и в релятивистской квантовой теориикаждая частица должна иметь античастицу1. Это можно доказать, исхо-дя из принципов относительности и причинности. Здесь мы ограничимсяпростой иллюстрацией этой идеи.

Рассмотрим мировую линию частицы в пространстве Минковского,изображенную на Рис. 8.2. Между точками A и A′ частица двигаетсявперед во времени со скоростью меньшей скорости света c. Между A′

и C частица двигается быстрее скорости света и наблюдать ее нельзя.Между C и C ′ частица появляется снова, ее скорость меньше чем c, но наэтом участке она движется против стрелы времени. В точке C ′ частицаснова “превышает скорость“ и исчезает. В точке B′ она появляется идвижется к B вперед во времени.

Из рисунка видно, что на временном промежутке между tC и tC′ одно-временно существуют три частицы: две двигаются вдоль стрелы време-ни и одна против. Частица, двигающаяся назад во времени, называетсяантичастицей. Простой топологический аргумент показывает, что дляпроизвольной мировой линии в каждый момент времени число частицминус число античастиц равно единице. Это значит, что в РКТ сохраня-ется заряд (если он есть), но полное число частиц, составляющих данный

1Если частица нейтральная, как фотон, она является античастицей себе самой.

73

Рис. 8.2: Мировая линия частицы в пространстве Минковского.

заряд, неопределено. Нетрудно понять, почему. Подсчет числа частиц яв-ляется измерением, а оно всегда возмущает изучаемую систему. Попыткаопределить положение частицы с точностью ∆x означает воздействие нанее с энергией ∼ hc/∆x. Когда точность превысит комптоновскую дли-ну волны частицы ∼ h/mc, энергия измерения может превратиться вдополнительные частицы. Отсюда следует, что размер петли на Рис. 8.2имеет порядок ∼ h/mc.

Таким образом, в РКТ стирается грань между частицей и квазичасти-цей: отделить электрон от виртуальных электрон-позитронных пар, во-обще говоря, невозможно. Свободному электрону соответствует плоскаяволна, делокализованная в пространстве. Попытка локализовать элек-трон неминуемо “активизирует“ электрон-позитронные пары, что приво-дит к экспериментально наблюдаемой зависимости заряда и массы элек-трона от размера области локализации.

8.5 Взаимодействия.Элементарные частицы взаимодействуют, что приводит к изменению ихквантовых чисел: энергии, импульса и спина. Из опыта известно, чтоэксперименты, проводимые в разных лабораториях, не влияют друг надруга, если лаборатории достаточно удалены. Можно показать, что РКТудовлетворяет этому условию, если взаимодействие между элементар-ными частицами является локальным событием в пространстве Мин-

74

ковского, т.е. происходит в точке. Стандартная Модель частиц и взаи-модействия относится к этому классу теорий.

В 1948 г. Р.Фейнман (Richard Feynman) придумал чрезвычайно на-глядный метод описания процессов взаимодействия электронов и фото-нов, который затем был обобщен на произвольную РКТ. Для примерарассмотрим диаграмму Фейнмана на Рис. 8.3, где изображен обмен фо-тоном между двумя электронами. Первый электрон испускает фотон вточке x1, а второй поглощает его в x2. На первый взгляд, это кажется

Рис. 8.3: Обмен виртуальным фотоном.

невозможным: свободный электрон не может ни излучить, ни поглотитьфотон. Однако, поскольку акт излучения/поглощения локализован, фо-тон нельзя считать плоской волной. Энергия и импульс фотона не под-чиняются соотношению E = c|p| (говорят, что фотон не находится намассовой оболочке). Соответствующие неопределенности энергии и им-пульса фотона есть ∆E ∼ h/(t2 − t1) и ∆p ∼ h/(x2 − x1), где (t1,x1) и(t2,x2) – координаты точек взаимодействия.

Таким образом, фотон, изображенный на диаграмме, является вир-туальным: зарегистрировать его нельзя, поскольку дисперсионное со-отношение E = c|p| не выполняется. Тем не менее, обмен виртуальнымфотоном приводит к наблюдаемому эффекту – кулоновскому взаимо-действию. Покажем это. Пусть расстояние между электронами равноr. Обмен фотоном меняет импульс электронов на величину ∆p ∼ h/r.Cила взаимодействия, обусловленная этим обменом, пропорциональна∆p/∆t, где ∆t ∼ r/c и вероятности процесса. Амплитуда вероятностииспускания/поглощения фотона равна заряду электрона в естественныхединицах:

√α =

√e2/hc ≈ 1/

√137 ∼ 0.1. Тогда:

F ∼ (√α)2 ∆p

∆t∼ e2

hc

hc

r2∼ e2

r2. (8.8)

75

Мы получили закон Кулона. Таким образом, статическое поле электри-ческого заряда можно рассматривать как облако окружающих его вир-туальных фотонов.

Рассмотрим еще один процесс – рождение электрон-позитронной па-ры в поле ядра. Фейнмановская диаграмма этого процесса в импульсномпространстве показана на Рис. 8.4. Гамма-квант с 4-импульсом pγ распа-

Рис. 8.4: Рождение пары в электрическом поле ядра.

дается на электрон с 4-импульсом pe и позитрон с 4-импульсом pγ − pe.Этому соответствует первая вершина диаграммы. Электрон находитсяна массовой оболочке, т.е. p2

e = m2e, поэтому его можно зарегистриро-

вать. Позитрон же с необходимостью является виртуальным (свободныйфотон не может распасться на пару реальных частиц), его 4-импульс ненаходится на массовой оболочке: p2

e 6= m2e. Позитрон становится реаль-

ным, только поглотив виртуальный фотон из электростатического поляядра, которое при этом получает отдачу. Это вторая вершина на диа-грамме.

Каждой диаграмме Фейнмана однозначно соответствует сложное ана-литическое выражение. В случае когда амплитуда вероятности взаимо-действия (константа связи) мала, как в квантовой электродинамике, гдеe =√α ∼ 0.1, диаграммы Фейнмана представляют собой эффективный

метод вычисления вероятностей физических процессов. Вот некоторыесвойства диаграмм в импульсном пространстве:

• в каждой вершине сохраняется 4-импульс;

• внешние линии соответствуют частицам на массовой поверхности,т.е. p2 = m2;

76

• внутренние частицы являются виртуальными (p2 6= m2); смещениес массовой оболочки на величину Q соответствует разделению ак-тов взаимодействия в пространстве Минковского на ∆x ∼ h/Q.

Упражнение 8.1 Определите насколько квадрат 4-импульса вирту-ального позитрона на Рис. 8.3 отличается от m2

e. Вычислите переданный4-импульс q2 виртуального фотона.

8.6 Радиационные поправки.На Рис. 8.5 изображен другой пример процесса с участием виртуаль-ного фотона, называемый радиационной поправкой. Электрон излучаетфотон в точке x1 и сам же поглощает его в точке x2. Квантовые числаэлектрона, изменившиеся после излучения (x1), восстанавливаются по-сле поглощения (x2). Тем не менее, такой процесс вносит вклад в массу

Рис. 8.5: Радиационная поправка к собственной энергии электрона.

электрона2 и меняет нормировку его волновой функции.Избраженный на Рис. 8.5 процесс допускает квазиклассическую ин-

терпретацию, восходящую к Вельтону [7]. Принцип неопределенности за-прещает электрическому и магнитному полям E и B быть равными нулюдаже в вакууме (нулевые флуктуации поля). Следовательно, даже сво-бодный электрон взаимодействует с флуктуирующим электромагнитнымполем. Вычислим средний квадрат флуктуации координаты электрона〈δr2〉, обусловленный этим взаимодействием. Запишем уравнение движе-ния нерелятивистского электрона:

mδr(t) = eE(t). (8.9)2Аналогичный эффект присутствует уже в классической электродинамике Макс-

велла, где точечный электрон взаимодействует с собственным полем.

77

Вакуумное состояние однородно, поэтому случайное поле поле E(t) независит от x.

Зависящие от времени случайные величины r(t) и E(t) можно запи-сать через разложение Фурье:

δr(t) =

∫ ∞−∞

δrωe−iωtdω

2π, E(t) =

∫ ∞−∞

Eωe−iωtdω

2π(8.10)

Уравнение движения (8.9) для Фурье-компонент принимает вид:

δrω =e

mω2Eω. (8.11)

Усредненная по времени величина

〈δr2〉 = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2r2(t)dt (8.12)

записывается через Фурье-компоненты электрического поля Eω3 в виде:

〈δr2〉 =( em

)2∫ ∞

0

dω

πω4〈EωE−ω〉. (8.13)

Величину 〈EωE−ω〉 определим, приравнивая классическое и кванто-вое выражения для плотности энергии электромагнитного поля. Клас-сическое выражение:

εvac =1

8π〈[E2(x, t) + B2(x, t)

]〉 =

1

4π〈E2(x, t)〉 =

1

4π2

∫ ∞0

〈EωE−ω〉dω.

(8.14)Здесь учтено, что вклад электрического и магнитного полей в плотностьэнергии одинаков. Квантовое выражение получается суммированием ну-левых энергий осцилляторов поля (каждый осциллятор соответствуетсостоянию фотона с импульсом hk и одной из двух поляризаций):

εvac = 2

∫hωk

2

d3k

(2π)3= 2

∫ ∞0

hω

2

ω2dω

2π2c3. (8.15)

Приравнивая (8.14) и (8.15), получим:

〈EωE−ω〉 = 2hω3

c3. (8.16)

3см., например, Ландау и Лифшиц, т. 2, гл. 49

78

Подставив (8.16) в (8.13), окончательно получаем:

〈δr2〉 =2

π

e2

hc

(h

mc

)2 ∫ ωmax

ωmin

dω

ω. (8.17)

Пределы интегрирования ωmax и ωmin зависят от состояния электрона.Например, для атомного электрона hωmin ∼ α2mc2. В качестве верхнегопредела следует взять hωmax ∼ mc2 – энергию, где уже нельзя ограни-читься одночастичным приближением. В этом случае√

〈δr2〉 ∼ 0.2h

mc. (8.18)

Таким образом, взаимодействие электрона с вакуумными флуктуаци-ями электромагнитного поля приводит к дополнительному “размытию“его волновой функции, что приводит к наблюдаемым эффектам, напри-мер, расщеплению по энергии состояний 2s1/2 и 2p1/2 в атоме водорода(Лэмбовский сдвиг). Обратите внимание на характерный логарифм вформуле (8.17). Такие логарифмы возникают при вычислении радиаци-онных поправок и имеют нетривиальный физический смысл, обсуждае-мый ниже.

8.7 Бегущие константы связи.В последовательной РКТ все наблюдаемые величины определены одно-значно, однако основные параметры теории, как, например, заряд и мас-са электрона, оказываются зависящими от энергии. Как и в (8.17) этазависимость логарифмическая, т.е. слабая, но она приводит к наблюдае-мым эффектам. Например, постоянная тонкой структуры α измереннаяв процессах электронного рассеяния при энергиях ∼ 1МэВ и ∼ 100ГэВравна:

α(1МэВ) ≈ 1

137, α(100ГэВ) ≈ 1

128. (8.19)

Зависимость заряда от энергии обусловлена поляризацией вакуума. По-следний можно рассматривать как диэлектрик, эффективно экраниру-ющий заряд электрона. При приближении к электрону экранированиеуменьшается и заряд возрастает. Масса электрона, наоборот, убываетна малых расстояних, что опять-таки можно интерпретировать, как эф-фект экранировки: чем дальше от электрона, тем больше энергия егоэлектрического поля, а значит и масса.

79

Можно задаться вопросом, нельзя ли избавиться от бегущих (т.е. за-висящих от энергии) параметров теории и определить наблюдаемые ве-личины в терминах фундаментальных констант, как в нерелятивистскойквантовой теории? В общем случае ответ на этот вопрос отрицателен,что является следствием стирания грани между частицей и античасти-цей в РКТ. Как и в физике конденсированного состояния, где взаимо-действие меняет массу и заряд квазичастицы по сравнению с частицей,в РКТ возникает необходимость переопределить массу и заряд части-цы, но это приходится делать, используя все те же массу и заряд – ведьдругих нет! Соответствующая нетривиальная процедура называется пе-ренормировкой.

В последовательной РКТ возможно только выразить одни наблюда-емые величины через другие, например, сечение рассеяния несколькихчастиц через сечение рассеяния двух частиц, и только. При этом выбор“фундаментального набора наблюдаемых“ условен, и определяется сооб-ражениями простоты, удобства, традиции и т.д. С точки зрения РКТодин набор ничем не лучше другого, если он позволяет однозначно опре-делить произвольную наблюдаемую.

Табличные значения фундаментальных констант, типа заряда и мас-сы электрона, измерены при вполне определенных экспериментальныхусловиях. Другие эксперименты приведут к несколько отличным значе-ниям, хотя разница и невелика, поскольку зависимость от энергии толькологарифмическая.

80

Глава 9

Фазовые переходы в раннейВселенной.

Когда закончилась стадия раздувания, энергия, заключенная в поле ин-флатона, перешла к материи и излучению – Вселенная прошла черезстадию разогрева. На сегодняшний день неизвестно до какой темпера-туры TBB разогрелась Вселенная к началу Большого Взрыва. От этогозависит, через какие фазы она, возможно, прошла в процессе расшире-ния. Данные наблюдений пока не позволяют утверждать, что фазовыепереходы в ранней Вселенной действительно были [3]. В этой главе об-суждаются следующие фазовые переходы, которые могли иметь местопри условии, что TBB была достаточно высока.

• Переход от КГП к адронам. При температуре kBTc ≈ 150МэВплазма свободных кварков и глюонов (КГП) конденсируется в ба-рионы и мезоны.

• Электрослабый переход. При температуре kBTc ≈ 100ГэВ электро-слабое взаимодействие разделяется на электромагнитное и слабое.При этом изначально безмассовые частицы приобретают массу.

• Великое объединение. Есть указания на то, что при энергиях ∼ 2 ·1016 ГэВ происходит объединение сильного, электромагнитного ислабого взаимодействий.

Теперь опишем эти переходы подробнее.

81

9.1 Переход от КГП к барионам.В отличие от констант связи электромагнитного α и слабого αw взаи-модействий, константа связи сильного взаимодействия αs возрастает намалых энергиях (с ростом расстояния). Это свойство теории называет-ся асимптотической свободой: кварки, заключенные в области ≤ 1фм,ведут себя почти как свободные частицы. На расстояниях же больших∼ 1фм константа связи уже столь велика, что картина взаимодействиякачественно меняется.

Согласно квантовой хромодинамике (КХД) физический вакуум за-полнен конденсатом виртуальных глюонов и кварков, плотность энер-гии которого равна B ≈ −200МеВ ·фм−3 (отрицательный знак означаетсвязанное состояние). Барион представлят собой три слабо взаимодей-ствующих валентных кварка, запертых в небольшом пузырьке радиусаr ∼ 1фм, из которого вытеснен конденсат (модель мешка). Таким об-разом, в этом довольно грубом приближении энергия бариона склады-вается из кинетической энергии кварков ∼ 3hc/r и объемной энергиипузырька ∼ −Br3.

Барион можно сравнить с пузырьком газа в жидкости, зародышемдругой фазы, который не схлопывается только благодаря кинетическойэнергии запертых (confined) в нем кварков. Пузырьки газообразной фазывозникают также и при нагревании за счет термодинамических флукту-аций, но тут же схлопываются под давлением конденсата. Только придостижении критической температуры, когда давление газа глюонов икварк-антикварковых пар превышает давление конденсата, газообраз-ная фаза скачком занимает весь объем, при этом выделяется скрытаятеплота перехода. Это фазовый переход первого рода.

Упражнение 9.1 Воспользуйтесь аналогией с кипящей жидкостьюи оцените температуру kTc (в МэВ) фазового перехода вакуум – плазма,для простоты, учитывая только глюоны. Вакуумный конденсат считай-те жидкостью с равной нулю энтропией. Глюон имеет две поляризации(как и фотон) и восемь цветных состояний, hc ≈ 200МеВ ·фм.

Упражнение 9.2 В условиях предыдущей задачи оцените удельнуютеплоту перехода (в единицах МеВ·фм−3).

Впервые КГП наблюдалась в экспериментах по столкновению ядер

82

золота и свинца на установке RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider)1. Прилобовом столкновении ядер, ускоренных до энергии∼ 200ГэВ на нуклон,температура в области столкновения повышается примерно до kBT ∼170МэВ. В этом месте на короткое время образуется область КГП, кото-рая расширяется, остывает до критической температуры kBTc ≈ 150МэВ,и конденсируется в адроны – главным образом, пионы – разлетающиесяв разные стороны. Анализируя распределение по импульсам образовав-шихся адронов, можно установить температуру КГП и температуру фа-зового перехода. Результаты согласуются с численными расчетами КХД.

9.2 Электрослабый переход.В таблице 9.1 перечислены фермионы первого поколения СМ вместе с ле-вым антинейтрино, существование которого подтверждается открытиемнейтринных осцилляций. При температуре выше kBTew ∼ 100ГэВ все ча-стицы Стандартной Модели безмассовые, а вместо электромагнитногои слабого взаимодействия существуют их аналоги, калибровочные взаи-модействия U(1)Y и SU(2)W

2. Электрон и нейтрино, обмениваясь тремя

Таблица 9.1: Фермионы первого поколения СМ к которым добавленостерильное антинейтрино νe. I3 – изоспин, Y – гиперзаряд и i – цвет.Черта означает античастицу. Квантовые номера фермионов второго итретьего поколений те же самые.

νe e− νe e+ ui di ui diI3 1/2 -1/2 0 0 1/2 -1/2 0 0Y -1 -1 0 2 1/3 1/3 -4/3 2/3

безмассовыми калибровочными SU(2)W бозонами, свободно превраща-ются друг в друга: бозоны имеют изоспин I3 = (1, 0,−1). ВзаимодействиеU(1)Y аналогично электромагнитному, но вместо электрического зарядафермионы характеризуются гиперзарядом Y .

1В 2005 г. результаты наблюдения были признаны официально.2К сожалению, сколько-нибудь подробное объяснение возможно только в рамках

квантовой теории поля.

83

Все частицы СМ кроме глюонов взаимодействуют с бесспиновой итоже безмассовой частицей – бозоном Хиггса. Точнее, имеется изоспино-вый дублет бозонов I3 = ±1/2 с гиперзарядом YH = 1. При температурениже Tew происходит переход, характеризуемый появлением конденса-та бозонов Хиггса. Как показывают численные расчеты, этот переходне является фазовым: все параметры меняются непрерывно3. При нуле-вой температуре плотность энергии конденсата равна 247ГэВ4 (на такихмасштабах расстояние измеряется через энергию).

Теперь, поглощая бозоны из конденсата, левая частица свободно ме-няет поляризацию на правую и наоборот4. А это значит, что частицастала массивной, поскольку масса в РКТ – это константа связи лево-го и правого состояний. За счет самодействия приобретает массу и бо-зон Хиггса; согласно результатам, полученным в 2012 г. на LHC (LargeHadron Collider), mH ≈ 125÷ 126ГэВ.

Переход характеризуется, так называемым, спонтанным нарушени-ем симметрии: ниже Tew калибровочные бозоны W±, Z0 массивны, асоответствующее им взаимодействие становится короткодействующим(rW ∼ h/MW c ∼ 10−16 см). По этой причине обмен калибровочными бо-зонами при низких энергиях становится маловероятным, откуда и на-звание слабое взаимодействие. Безмассовой остается единственная ли-нейная комбинация калибровочных бозонов – фотон. Ей соответствуетсохраняющийся электрический заряд: Q = I3+Y/2. Ввиду безмассовостифотона электромагнитное взаимодействие остается дальнодействующими ниже Tew.

Упражнение 9.3 Убедитесь, что электрические заряды частиц СМсвязаны с их изоспином и гиперзарядом формулой Q = I3 + Y/2 (см.Таблицу 9.1). У калибровочных бозонов Y = 0.

3Это аналогично тому, как при сжатии газа при постоянной температуре, вышекритической для данного вещества, невозможно увидеть переход от газообразной кжидкой фазе – свойства вещества меняются непрерывно.

4Исключением является фотон, счастливо избегающий общей участи, и глюоны,которые вовсе не взаимодействуют с бозоном Хиггса.

84

9.3 Великое объединение.Успех Стандартной модели в начале 1970-х породил надежду использо-вать идею спонтанного нарушения симметрии, чтобы объединить все тривзаимодействия – сильное, электромагнитное и слабое. Идею объедине-ния подсказала сама СМ. Напомним, что константы связи в РКТ зависятот энергии. Константы связи сильного αs и слабого αw взаимодействийуменьшаются с энергией, а электромагнитного α – растет (см. Рис. 9.1).Три кривые пересекаются примерно в одной точке при ∼ 1015 GeV. В

Рис. 9.1: Объединение электрослабого U(1)Y ×SU(2)W и сильного SU(3)взаимодействий согласно ТВО.

1970-е ошибка измерения αs была слишком большой, чтобы можно былосказать наверняка5, поэтому предположение об объединении взаимодей-ствий не противоречило экспериментальным данным.

В 1974 г. Х.Джорджи иШ.Глэшоу (Howard Georgi & Sheldon Glashow)предложили теорию, названную впоследствии Теорией Великого Объ-единения (ТВО, в оригинале – Grand Unification Theory (GUT)). Соглас-но ТВО все три константы связи равны α = 1/45 при энергии великогообъединенияM ≈ 1.1×1015 ГэВ, а на меньших энергиях расходятся из-зарадиационных поправок.

При температуре большей TGUT ∼ M происходит фазовый переходаналогичный электрослабому. Выше температуры перехода массы фер-

5На сегодняшний день уже точно установлено, что кривые не пересекаются водной точке

85

мионов (точнее, константы связи фермионов и бозона Хиггса, дающиефермионам массы ниже Tw) связаны простым соотношением:

md = me, ms = mµ, mb = mτ . (9.1)

Ниже TGUT массы частиц меняются за счет радиационных поправок.Кварки становятся тяжелее лептонов, поскольку последние не участву-ют в сильных взаимодействиях.

С теоретической точки зрения ТВО Джорджи-Глэшоу – элегантноелогическое продолжение СМ. К сожалению, теория оказалась несосто-ятельной. Массы фермионов и других параметры СМ, предсказанныеТВО, не совпадают с экспериментальными. Это можно было бы списатьна несовершенство вычислительных методов, ведь теория очень сложна.Однако десять лет спустя эксперимент окончательно опроверг теорию.На Рис. 9.2 изображен процесс, отсутствующий в СМ и предсказанный

Рис. 9.2: Распад протона на пион и позитрон.

ТВО, – распад протона на пион и позитрон, идущий с участием тяжелоговекторного бозона, масса которого порядка энергии великого объедине-ния M . Согласно ТВО время жизни протона не более τp ∼ 1029 лет. Внастоящее время экспериментально установлено, что τp ≥ 1031 лет.

Открытие осцилляций нейтрино окончательно закрыло теорию: мас-сивное нейтрино обязано существовать не только в левополяризованном,но и в правом состоянии, которому в ТВО Джорджи-Глэшоу просто нетместа. Тем не менее, попытки объединить все три взаимодействия непрекращаются. Вот еще один кандидат.

9.4 МССМСуществует нетривиальное расширение СМ: минимальная суперсиммет-ричная стандартная модель (МССМ). Обоснование этой теории довольно

86

формально и мы не будем на нем останавливаться [6]. Заметим только,что преобразование суперсимметрии превращает бозон в фермион и об-ратно и, что суперсимметричное расширение группы Пуанкаре выглядиточень логичным и естественным6.

В суперсимметричной теории каждая частица имеет партнера тойже массы, но со спином, отличающимся на 1/2. Например, у электронав МССМ имеется скалярный партнер той же массы – селектрон. Парт-нером фотона является безмассовое фотино со спином 1/2 и т.д. БозонХиггса (в МССМ их уже два) имеет партнером хиггсино со спином 1/2.Таким образом, набор частиц в МССМ более чем в два раза превышаетнабор частиц СМ.

Чтобы объяснить, куда деваются при низких энергиях суперпартнерыобычных частиц СМ, приходится нарушать суперсимметрию при какой-то большой энергии MSUSY , так чтобы массы всех суперпартнеров сталипропорциональными MSUSY . Если MSUSY ≤ 103 ТэВ, можно надеятьсяобнаружить суперпартнеров или их следы на LHC.

На сегодняшний день существует единственное косвенное указаниена то, что МССМ, возможно, имеет отношение к действительности. ВМССМ с двумя хиггсовскими супердублетами все три константы свя-зи СМ становятся в точности равными при M ≈ 2.2 × 1016 ГэВ (приэтом MSUSY M). Кроме того, МССМ предсказывает точное значе-ние sin2 θ = 0.231 – одного из параметров СМ, связывающего константысвязи g1 и g2 с зарядом электрона:

g2(Mz) sin θ = e(Mz). (9.2)

Время жизни протона в МССМ τp ≈ 2× 1031 лет, что все еще не проти-воречит экспериментальному ограничению.

МССМ также предоставляет и кандидатов на роль темной материи.Например, нейтралино – линейная комбинация из суперпартнеров бозонаХиггса и калибровочного бозона. Ее масса оценивается из космологиче-ских соображений, как∼ 100−1000ГэВ [3]. Нейтралино участвует тольков слабых взаимодействиях, поэтому на ускорителях ее можно получать внезначительных количествах, вся надежда на детекторы темной материи(например, DAMA/LIBRA).

В заключение заметим, что открытие бозона Хиггса относительнонебольшой массы 125 ÷ 126ГэВ [10] означает, что СМ на масштабах ∼

6Впрочем, то же самое можно сказать и о ТВО Джорджи-Глэшоу.

87

103 ТэВ становится непоследовательной и должна быть пересмотрена.Если нам повезет, LHC подскажет, куда двигаться дальше.

88

Глава 10

Релятивистские струны.

Введение в космологию не будет полным без упоминания о теории реля-тивистских струн. На сегодняшний день это, наверное, самая последова-тельная теория объединяющая квантовую теорию и ОТО. Заметим, чтов действительности теория струн включает в себя достаточно обширныйкласс теорий: до экспериментальной проверки, которая позволит отсе-ять лишнее, дело пока не дошло. В этой главе мы обсудим проблемулокальности, с которой сталкивается РКТ при попытке включить в неегравитацию, и некоторые свойства релятивистских струн.

10.1 Проблема локальности в РКТ.Как уже говорилось, РКТ основана на фундаментальном предположе-ние о локальности взаимодействия, этому событию соответствует точкав пространстве Минковского. В частности, локальность РКТ приводитк появлению бегущих констант связи. Однако, попытка включить в рас-смотрение гравитацию показывает, что представление о локальном собы-тии является не более чем приближением. На рисунке 10.1 изображенонелокальное событие – регистрация частицы во временном интервале∆t и в области пространства размером ∆x. Нелокальность события от-ражает реальную экспериментальную ситуацию: любое измерение имеетограниченную точность.

Событие длительности ∆t означает неопределенность энергии систе-мы ∆E ≥ h/2∆t. Физически ∆E – это энергия виртуальных частиц, вы-званных к жизни из вакуума процессом измерения. Согласно принципу

89

Рис. 10.1: Нелокальное событие в пространстве Минковского.

эквивалентности соответствующая гравитирующая масса ∆M = ∆E/c2.Если масса сконцентрирована в области меньшей соответствующего ра-диуса Шварцшильда, неизбежен гравитационный коллапс. Таким обра-зом, достаточно локализованное событие в пространстве Минковскогоколлапсирует под собственной тяжестью! Чтобы этого избежать, про-странственная протяженность события должна превышать соответству-ющий радиус Шварцшильда:

∆x ≥ 2G∆M

c2=

2G∆E

c4≥ 2G

c4

h

2∆t. (10.1)

Следовательно, для сосуществования квантовой теории и гравитациинеобходимо выполнение соотношения неопределенности между простран-ственной и временной протяженностью события:

c∆t∆x ≥ Gh

c3= l2Pl. (10.2)

Здесь lPl ∼ 10−33 см – планковская длина. Это рассуждение показывает,что РКТ не совместима с ОТО: локальная теория нестабильна. Даже вотсутствие внешних воздействий квантовые флуктуации на планковскихмасштабах ведут к гравитационному коллапсу. Поэтому теория, претен-дующая на объединение квантовой механики и ОТО, должна учиты-вать (10.2). Теперь обсудим, как это можно сделать.

10.2 Интеграл по поверхностям.Рассмотрим свободную скалярную частицу массы m. Р.Фейнман пока-

90

Рис. 10.2: Интеграл по путям в пространстве Минковского.

зал, что амплитуда вероятности зарегистрировать частицу сначала в x1,а потом в x2 представима в следующем виде. Соединим x1 и x2 произволь-ной мировой линией и сопоставим каждой линии амплитуду вероятности

exp

(imc

h

∫ x2

x1

ds

), (10.3)

где ds – собственное время частицы, а интеграл берется вдоль миро-вой линии. Показатель экспоненты в (10.3) – это классической действиерелятивистской частицы, деленное на квант действия h. Тогда ампли-туда вероятности зарегистрировать частицу сначала в x1, а потом в x2

есть сумма амплитуд (10.3) по всем мировым линиям, соединяющим этиточки (см. Рис. 10.2). Иначе говоря, формула (10.3) есть амплитуда ве-роятности того, что квантовая частица двигается из x1 в x2 по напередзаданному пути.

Заметим, что интеграл по путям с амплитудой (10.3) имеет также гео-метрическую интерпретацию. Показатель экспоненты равен длине миро-вой линии в единицах h/mc, комптоновской длины волны частицы. Ана-логичный интеграл по путям существует и для фотона. Для частицысо спином 1/2 (электрон) мировая линия проходит в суперпространствеМинковского (xµ, θµ), в котором наряду с обычными координатами xµимеются фермионные координаты θµ. Необходимо подчеркнуть, что ин-теграл по путям – не обособленная теоретическая конструкция, а эквива-лентная формулировка РКТ, перебрасывающая мост между квантовойфизикой и геометрией. В связи с этим напомним, что и ОТО являетсягеометрической формулировкой теории гравитации.

91

Попытка учесть гравитацию путем суммирования амплитуд (10.3) попутям в искривленном пространстве Минковского не работает, последо-вательную теорию построить не удается. Как мы уже видели, этому естьобъяснение: интеграл по путям является локальным объектом, посколь-ку суммирует мировые линии – последовательности точек в пространствеМинковского, а локальная РКТ и ОТО несовместимы.

Возникает естественный вопрос: возможно ли определить аналогич-ный интеграл по протяженным объектам размерности большей единицы?Например, интеграл по случайным поверхностям или объемам? Другимисловами, возможно ли обобщить (10.3) так:

exp

(i

lpP l

∫∂σ

dpσ

), (10.4)

где lPl – планковская длина и суммировать амплитуды (10.4) по гиперпо-верхностям размерности p с общей границей ∂σ? Оказывается, для p ≥ 3интеграл по гиперповерхностям определить нельзя, зато интеграл по слу-чайным поверхностям p = 2 обладает исключительно богатой математи-ческой структурой, которая является предметом интенсивного изученияс конца 1960-х годов1. На рисунке 10.3 показана случайная поверхность

Рис. 10.3: Мировой лист Σ открытой струны со вставками вершинныхоператоров Vi.

Σ (мировой лист) с границей ∂Σ со вставками вершинных операторов Vi,несущих квантовые числа частиц.

1Стоит отметить, что строгое доказательство существования интеграла (10.4) попроизвольным поверхностям (p = 2) еще предстоит найти.

92

10.3 Замкнутая бозонная струна.В качестве примера обсудим модель замкнутой бозонной струны [8].Классическое действие бозонной струны – это площадь мирового листа впространстве Минковского, заданного функциями Xµ(σα), где Xµ – ко-ордината точки на мировом листе в которую отображается точка (σ1, σ2)некой двумерной области. В общем случае мировой лист Σs1,s2,... замкну-той бозонной струны представляет собой замкнутую поверхность, в кото-рой прорезаны отверстия заданной формы s1, s2, . . .. Границы отверстийсоответствуют замкнутым струнам.

Рис. 10.4: Мировой лист, ограниченный замкнутыми струнами s1 и s2

Аналогично тому, как интеграл по всем мировым линиям, соединяю-щим точки x1 и x2, с амплитудой (10.3) определяет амплитуду вероятно-сти зарегистрировать частицу сначала в x1, а потом в x2, так и интегралпо всем мировым листам Σs1,s2, с двумя границами s1, s2, в котором каж-дый лист суммируется с амплитудой

exp

(i

l2Pl

∫Σs1,s2,

d 2Σ

)(10.5)

определяет амплитуду вероятности того, что замкнутая струна эволю-ционировала из конфигурации s1 в s2 (см. Рис. 10.4). Вытянув мировойлист в тонкую трубку диаметра ∼ lPl, и учитывая, что характерныйразмер струны в колебательном состоянии наименьшей энергии того жепорядка, мы воспроизведем интеграл по мировым линиям частиц, еслипренебрежем размером струны и диаметром трубки.

93

Собственные моды колебаний струны характеризуются квадратоммассы M2, спином s, импульсом p, и проекцией спина sz, т.е. соответ-ствуют элементарным частицам. Спектр колебательных мод струны бес-конечно большой. Важное отличие от обычной РКТ заключается в том,что если размерность пространства Минковского не равна D = 26, про-странство Гильберта состояний струны содержит состояния с отрица-тельной нормой, что приводит к несохранению вероятности в процессахрассеяния частиц2. Другими словами, замкнутая бозонная струна су-ществует только в 26-мерном пространстве Минковского.

Состояние струны с наименьшим значением массового оператора име-ет M2 < 0, что соответствует тахиону – частице двигающейся быстреескорости света. Известно, что тахионы нарушают причинность. Поэто-му долгое время теория бозонной струны считалась непоследовательной,пока в начале 2000-х не было показано, что тахионное состояние принад-лежит ложному вакууму, в то время как истинный вакуум тахиона несодержит [9].

Массы частиц из спектра состояний струны пропорциональны план-ковской массе MPl ∼ 1019 ГэВ, а значит только безмассовые состоянияM2 = 0 могут претендовать на роль элементарных частиц при низкихэнергиях. У замкнутой бозонной струны безмассовые состояния соответ-ствуют частицам со спином S = 2, 1, 0. Это аналоги гравитона, фотонаи скалярного бозона. В спектре замкнутой бозонной струны фермионовнет.

Возможно определить эффективную РКТ (в 26-мерном пространствеМинковского), содержащую только эти безмассовые частицы, котораяявляется эквивалентной теории струны в низкоэнергетичесом пределе.То есть, амплитуды рассеяния “гравитонов“, “фотонов“ и “бозонов“ эф-фективной РКТ и соответствующие амплитуды безмассовых состоянийструны совпадают при E MPl. Хотя эффективная РКТ и не соответ-ствует реальности, она является вполне узнаваемой карикатурой на нее(см. Рис. 10.5). Это теория безмассовых скалярных (S = 0) и вектор-ных (S = 1) частиц, живущих в 26-мерном пространстве-времени, с мет-рикой, которая есть классическое поле гравитонов. Уравнения Эйлера-Лагранжа для поля гравитонов это не что иное, как уравнения Эйн-штейна. В эффективной РКТ есть черные дыры и излучение Хокинга,но нет гравитационной сингулярности: при очень больших энергиях воз-

2Как говорят, нарушается унитарность теории.

94

Рис. 10.5: Карикатура Алексея Меринова [11].

буждаются высшие моды колебаний струны и эффективная РКТ большенеприменима. Струна же, будучи нелокальным объектом, несингуляр-на по построению. Таким образом, теория замкнутых бозонных струндействительно объединяет гравитацию и квантовую теорию, правда, в26-мерном пространстве и с ограниченным набором частиц.

10.4 Гравитационный коллапс.Посмотрим, как может выглядеть гравитационный коллапс, если тео-рия струн имеет отношение к действительности. Как уже обсуждалось вглаве 6, при приближении УН к горизонту событий температура неогра-ниченно возрастает, а значит небходимо выяснить, как ведут себя в этомпределе термодинамические функции струны. В отличие от РКТ гдеплотность состояний пропорциональна объему и растет с энергией постепенному закону, плотность состояний струны растет с энергией экс-поненциально. Например, для замкнутой бозонной струны

ρ(m) ∼ m−25/2 exp (4πm) , m 1, (10.6)

95

где m масса состояния в планковских единицах. Следовательно, стати-стическая сумма струны

Z(T ) =

∫ρ(m)e−m/Tdm (10.7)

расходится при температуре выше критической TH = 1/4π ≈ 0.08, назы-ваемой температурой Хагедорна (R. Hagedorn). На первый взгляд, тер-модинамика струны под угрозой. Однако, статистическая сумма (10.7)соответствует микроканоническому распределению, что соответствует вза-имодействию струны с термостатом. На это можно возразить, что струнасама является термостатом, ведь она включает в себя все пространствои материю. Как следует из (10.6), энтропия струны связана с энергиейасимптотическим соотношением:

S(E)→ 4πE, E →∞. (10.8)

Температура струны, рассматриваемой как термостат, есть

T =dE(S)

dS

E→∞→ 1

4π= TH . (10.9)

При больших энергиях теплоемкость струны стремится к бесконечности,т.к. поглощенная энергия практически не меняет ее температуру.

На рисунке 10.6 изображено состояние струны в зависимости от тем-пературы. По мере увеличения плотности энергии температура растет.При T TH флуктуации струны соответствуют безмассовым состояни-ям, т.е. элементарным частицам. Здесь работает эффективная РКТ в ис-кривленном пространстве Минковского. При приближении к TH возбуж-даются массивные состояния ∼ MPl, отдельные струны начинают сли-ваться (перколяционный переход), размывая границу между простран-ством и материей. Наконец, при T → TH остается единственная струна,и разница между пространством и материей окончательно исчезает.

10.5 Гипотеза ландшафта.Эффективная РКТ бозонной струны не содержит фермионов, поэто-му более узнаваемые “карикатуры на реальность“ получаются из супер-струн, обитающих в 10-мерном суперпространстве Минковского. (Тео-рия суперструны Лоренц-инвариантна и унитарна только при D = 10.)

96

Рис. 10.6: Струна в зависимости от температуры [5].

Если относиться к теории суперструн всерьез, необходимо объяснить ку-да деваются шесть дополнительных измерений. Пока что наиболее по-пулярна гипотеза о сворачивании этих измерений в компактное много-образие планковских размеров:

d10x = d 6y d 4x, y ∼ lPl. (10.10)

Не каждое многообразие годится для компактификации, поскольку необ-ходимо сохранение суперсимметрии пространства. Наиболее популяр-ным кандидатом является, т.н. многообразие Калаби-Яу (Calabi-Yao).Проблема только в том, чтобы выбрать нужное: число пригодных длякомпактификации многообразий Калаби-Яу оценивается как ∼ 10500!

Если удастся найти многообразие Калаби-Яу, порождающее СМ вкачестве эффективной РКТ, то это, во-первых, подтвердит притязаниятеории струн на статус физической теории, а, во-вторых, будет означатьподлинную революцию в космологии. А именно, каждая компактифи-кация соответствует некоторой Вселенной со своим набором частиц ивзаимодействий. Многообразие получающихся теорий суперструн назы-вают струнным ландшафтом, а совокупность возможных Вселенных –Мультивселенной. Практически все возможные Вселенные слишком при-митивны, чтобы в них могла возникнуть разумная жизнь. Таким обра-

97

зом, гипотеза ландшафта наполняет конкретным содержанием антроп-ный принцип: теория, описывающая нашу Вселенную, должна допускатьвозможность существование человека.

Упражнение 10.1 Рассмотрите Вселенную, в которой массы u- иd-кварков поменялись местами, а все остальные параметры “как у нас“.Какие элементы останутся в результате первичного нуклеосинтеза? Бу-дут ли в этой Вселенной звезды? А вода?

На первый взгляд, гипотеза Мультивселенной кажется настолько ото-рванной от реальности, что никаких наблюдаемых следствий иметь неможет. Однако в 2011 г. А.Старобинский и др. [12] выдвинули интерес-ную теорию, проливающую свет на загадку отличной от нуля космоло-гической постоянной Λ, которая обусловливает ускоренное расширениенашей Вселенной. Можно считать Λ плотностью энергии вакуума, новедь энергия вакуума – просто начало отсчета энергии. С какой статиэто число не равно нулю и почему оно такое маленькое?!

Согласно предложенной теории ненулевая вакуумная энергия обу-словлена существованием других вакуумов и возможностью квантово-го туннелирования между ними. Как и в квантово-механической задачепро туннелирование между двумя ямами, истинный вакуум – состояниенаименьшей энергии – отвечает делокализованному состоянию, а еслиВселенная локализована в одном из вакуумов, ее энергия немного вы-ше. Не вдаваясь в детали их достаточно сложной работы, заметим, чтоидеи, возникающие в процессе поиска “единой теории всего“, зачастуюприводят к очень интересной физике!

98

Литература

[1] S.Weinberg, Cosmology, Cambridge University Press. 2008 (имеетсярусский перевод: С.Вайнберг, Космология, URSS, 2012)

[2] А.Лайтман, В.Пресс, Р.Прайс, С.Тюкольски, Сборник задач по тео-рии относительности и гравитации, Мир, 1979

[3] Д.С.Горбунов, В.А.Рубаков, Введение в теорию ранней Вселенной:Теория горячего Большого взрыва, Издательство ЛКИ, 2008

[4] P.D.B.Collins, A.D.Martin, E.J.Squires, Particle Physics andCosmology, John Wiley & Sons, 1989 (есть в электронной биб-лиотеке физтеха)

[5] Leonard Susskind & James Lindsey, An Introduction to BH,Information, and the String Theory Revolution. (есть в электроннойбиблиотеке физтеха)

[6] S.Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vol.1, Foundations. Vol.2,Modern Applications, Vol.3, Supersymmetry, Cambridge UniversityPress. 1998 (имеется русский перевод: С.Вайнберг, Квантовая тео-рия поля, в 2-х томах, Физматлит, 2003)

[7] Тернов А.И., Введение в релятивистскую квантовую механику,МФТИ, 1991

[8] М.Грин, Д.Шварц, Э.Виттен, Теория суперструн, Мир, 1990

[9] Б.Цвибах, Начальный курс теории струн, Изд. Едиториал УРСС.2011

[10] Particle Data Group, Up-to-date Reviews on Modern Topics ofFundamental Physics, http://pdg.lbl.gov

99

[11] А.Меринов, Галерея карикатур, http://www.mk.ru/merinov/

[12] C.Kiefer, F.Queisser, A.A.Starobinsky, Cosmological constant fromdecoherence, http://arxiv.org/abs/1010.5331v2

100