КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОГО...
TRANSCRIPT
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Уфимский государственный нефтяной технический университет»
Кафедра «Механика и конструирование машин»
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОГО МЕХАНИЗМА
Учебно-методическое пособие по выполнению расчетно-графической работы
по теоретической механике
УФА 2008
2
Учебно-методическое пособие составлено с учетом рабочих программ дисциплины «Теоретическая механика», преподаваемой студентам технических вузов. Оно поможет обучающимся закрепить теоретический материал и оценить свои знания по разделу теоретической механики «Кинематика твердого тела. Кинематический анализ плоского механизма». Приведены краткий теоретический материал, примеры выполнения задания, задания для самостоятельной работы и вопросы для самоконтроля.
Составители: Садыков В.А., проф., канд. техн. наук Аглиуллин М.Х., доцент, канд. техн. наук
Рецензент Загорский В.К., проф., докт. техн. наук © Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2008
3
СОДЕРЖАНИЕ Введение 4 1. Теория к разделу ППД 4 1.1 Определение и закон движения 4 1.2 Определение скоростей точек в ППД 5 1.2.1 Теорема о скорости 5 1.2.2 Следствие из теорем 6 1.2.3 Мгновенный центр скоростей 6 1.3 Определение ускорений точек в ППД 9 1.3.1 Теорема об ускорении точек 9 1.3.2 Мгновенный центр ускорения 10 2 Примеры выполнения задания 13 3 Задание для самостоятельной работы 22 4 Указания по оформлению выводов по работе 29 5 Критерии оценки выполненной работы 29 Рекомендуемая литература 30 Вопросы для самоконтроля 30 Приложение 31
4
ВВЕДЕНИЕ Целью учебно-методического пособия является оказание методической
помощи студентам, изучающим раздел «Плоско-параллельное движение твердого тела» в курсе «Теоретическая механика». Материалы по этой теме востребованы и в других разделах курса, а также в дисциплинах «Теория механизмов и машин», «Детали машин», в ряде специальных дисциплин. В данном пособии кратко дается теоретический материал с необходимыми формулами и графическими пояснениями, примеры решения типовых задач и предлагаются варианты задач для самостоятельного решения. Последние вместе с таблицей численных данных для различных вариантов могут быть использованы при выполнении расчетно-графических работ по этой теме студентами, изучающими теоретическую механику.
1 ТЕОРИЯ К РАЗДЕЛУ «ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (ППД) ТВЕРДОГО ТЕЛА»
1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ
Плоско-параллельным движением твердого тела называется такое его
движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости (рис. 1.1). То есть точки М1 и М2 тела А, например, двигаются в плоскостях Q1 и Q2, соответственно параллельных плоскости Q. Если в первоначальной момент отрезок М1М2 перпендикулярен плоскостям Q, Q1, Q2, то и при последующем движении тела он остается параллельным своему первоначальному положению и перпендикулярным к этим плоскостям, т.е. движется поступательно. Следовательно, скорости и ускорения всех точек тела, лежащих на отрезке М1М2, равны и
Рис. 1.1 одинаково направлены. Это позволяет свести изучение движение отрезка М1М2 к изучению движения точки М1 или М2 вместе с соответствующим сечением тела в плоскости (рис. 1.2).
Положение фигуры в плоскости вполне определяется положением в этой плоскости какого-нибудь отрезка, например АВ, скрепленного с фигурой. Положение отрезка будет вполне определено, если будет известно положение какой-либо точки, например А (полюс), и угла наклона (φ) отрезка к выбранной оси.
5
Тогда закон движения фигуры в плоскости может быть записан в виде
txx AA , tyy AA , t или trr AA , t . В учебной литературе показано, что
закон вращательного движения не зависит от Рис. 1.2 выбора полюса.
1.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК В ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
1.2.1 ТЕОРЕМА О СКОРОСТЯХ ТОЧЕК
Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме
скорости выбранного полюса и скорости точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.
AMrr AM ,
MAAAM
M VVdtAMd
dtrd
dtrdV
MAAM VVV (1)
или AMVV AM . Производная от вектора AM ,
постоянного по величине и переменного по направлению, численно равна скорости точки М при вращении ее
Рис. 1.3 вокруг точки А. AMVMA
Вектор AMVMA перпендикулярен отрезку АМ. Численную величину скорости точки М можно получить, если
воспользоваться теоремой косинусов cos2222
MAMMAAM VVVVV или спроецировать векторное равенство (1) на выбранные оси координат
xxx MAAM VYV , yyy MAAM VYV 22
yx MMM VVV (1′)
6
1.2.2 СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ О СКОРОСТЯХ ТОЧЕК В ППД
Из теоремы о скоростях точек плоской фигуры следует, что проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны. Это легко показывается в рассуждениях:
BAAB VVV
xxx BAAB VVV ,
так как ABVBA , то и проекция BAV на ось АХ равна нолю.
Рис. 1.4 Следовательно, xx AB VV .
1.2.3 МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР СКОРОСТЕЙ Теорема Эйлера-Шаля доказывает, что любое непоступательное
перемещение фигуры в плоскости можно осуществить поворотом вокруг некоторого неподвижного центра. В соответствии с этим легко доказывается, что при плоско-параллельном движении в каждый момент времени существует точка, неизменно связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нолю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС). В учебниках эту точку пишут с индексом V, например PV, CV. При определении положения МЦС скорость любой точки может быть записана: VV MCCM VVV , где точка СV выбрана за полюс. Поскольку это
МЦС и 0VCV , то скорость любой точки определяется как скорость
вращении вокруг мгновенного центра скоростей.
VVV MCMCCM VVVV MCVV VMCM V
VVV NCNCCN VVVV NCVV VNCN V
VVV KCKCCK VVVV KCVV VKCK V
Из рис. 1.5 видно, что мгновенный центр скоростей лежит в точке пересечения перпендикуляров, проведенных к скоростям точек, при этом всегда справедливо соотношение
KC
VNC
VMC
V
V
K
V
N
V
M . Рис. 1.5
На нижеприведенных рисунках показаны примеры определения
положения мгновенного центра скоростей и приведены формулы для расчета скоростей точек.
7
1. СV совпадает с точкой В 0BV . Шатун АВ вращается вокруг точки В
ABV
ACV A
V
AAB
2. ABV
B
V
A
BCV
ACV
3. МЦС лежит в «бесконечности»
0
AB
BA VV , AB VV
4. ABV
B
V
A
BCV
ACV
Рис. 1.6
V
B
V
A
BCV
ACV
Рис. 1.7
8
BV || AV В этом случае МЦС находится в
“бесконечности” , т.е. 0
BA VV AB VV
Рис. 1.8
222
0
RV
RV
RV
RV NMA
rRV
RV
RV BA 0
2
rRV
rV
rRV NA 0
Рис. 1.9
Формулы справедливы при отсутствии проскальзывания в точке СV.
9
AM VV MA VV
20
V
K
V
N
VV
M
KCV
NCV
OCV
MCV
20
V
N
VV
M
NCV
OCV
MCV
Рис. 1.10
1.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК В
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
1.3.1 ТЕОРЕМА ОБ УСКОРЕНИИ ТОЧЕК В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
Из выражения MAAM VVV (или AMVV AM ) путем
дифференцирования получаем
,MAAцMA
врMAA
AM
aaaaa
АМAMaa
(2)
где 22 цMA
врMAMA aaa , AMa вр
MA , AMa врMA
AMa врMA - вращательное ускорение точки М при вращении вокруг
точки А. MA
цMA VАМa ,
10
AMaцMA
2 - центростремительное ускорение точки М при вращении вокруг точки А.
Центростремительное ускорение цMAa
направлено от точки М к полюсу А. Численную величину полного ускорения можно определить, спроецировав векторное равенство (2) на выбранные оси координат:
цMA
врMAAM xxxx
aaaa цMA
врMAAM yyyy
aaaa
22yx MMM aaa (2′)
Рис. 1.11
1.3.2 МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР УСКОРЕНИЙ
В учебной литературе доказывается, что при движении фигуры в плоскости в каждый момент времени существует такая точка плоской фигуры, ускорение которой в этот момент равно нолю. Эту точку называют мгновенным центром ускорений (МЦУ). В наших рассуждениях будем обозначать ее буквой Q. Взяв эту точку за полюс, получим формулу для определения ускорения произвольной точки:
врMQ
цMQ
врMQ
цMQQM aaaaaa ,
т.к. 0Qa или Рис. 1.12
2422222 QMQMQMaaa вр
MQцMQM
24 QNaN
11
Угол, который составляет вектор ускорения точки М с линией MQ определится из соотношения:
22
QM
QMaa
tg цMQ
врMQ
2 arctg .
Т.е. у всех точек плоской фигуры этот угол одинаков. Из рис. 1.12 видно, что мгновенный центр ускорений лежит в точке пересечения линий, составляющих угол γ с соответствующими ускорениями точек.
На рис. 1.13-1.15 приведены частные случаи определения положения
мгновенного центра ускорений.
Рис. 1.13а
,0 constV RV0 , 0
,0tg 0
RVR
aaaaVCDBA
202
т. О - МЦУ
Рис. 1.13б 0 , 0
02
tg
0 AQaA 2 BQaB 2
12
Рис. 1.14а
0 , 0 2
tg
90
AaAQ
Ba
BQ
Рис. 1.14б ,0 0
42 QMaM 42 QNaN
Рис. 1.15а
0 , 0 2
tg
90 AQaA BQaB
Рис. 1.15б 0 , 0
2
tg
90 AQaA BQaB
13
2 ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ Пример 1 Вершины А и В равностороннего
треугольника ABD перемещаются соответственно по осям ОХ и OY. Известны АВ=40 см, 34AV м/с,
100Aa м/с2, 60 . Определить скорости и ускорения точек В и D треугольника в заданном положении.
Рис. 2.1
Решение: 1. Определение скоростей точек а) По теореме о скоростях точек в плоскопараллельном движении:
BAAB VVV (1) Направление и величина скорости точки А, AV известны, скорость точки
В направлена вдоль оси OY, а скорость BAV перпендикулярна стороне АВ. Строим равенство (1) (см. рис.2.2). Из точки О1, параллельно оси ОХ, вдоль
которой движется точка А, откладываем
в масштабе вектор AV . Из конца
вектора AV проводим линию MN перпендикулярно стороне треугольника АВ (60? с вертикалью), тогда пересечение линии O1K параллельно
оси OY и MN обозначит вектор BV . Полученный треугольник скоростей соответствует формуле (1). Умножив масштаб на длины векторов, получим их величины. Если рис.2.2 строится
Рис. 2.2 без соблюдения масштаба, то определение величин скоростей производится с помощью теоремы синусов:
90sin30sin60sinBABA VVV
42/3
2/13460sin30sin
AB VV м/с
82/3
13460sin30sin
ABA VV м/с
D
A O х
y
A V
1 O N А
В M
K
A V
B A V
B V
14
Поскольку ABV ABBA , то может быть определена угловая скорость вращения точки В вокруг А (или, что то же самое, угловая скорость вращения треугольника ABD).
204,0
8
ABVAB
ABDAB с-1
В данном примере не известно направление скорости точки D. Поэтому для определения скорости точки D пишем:
DAAD VVV (2); DBBD VVV (3) Аналогично (рис.2.2) делаем построение для определения скорости
точки D (рис.2.3). Линия ad перпендикулярна
стороне треугольника AD, bd перпендикулярна BD. Точка D – точка пересечения линии ad и bd определяет конец вектора, проведенного из точки О1; отрезок ad соответствует вектору
DAV , bd – вектору DBV . При известных углах можно определить величину
скорости точки D - DV .
90sin60sin30sinDAAD VVV
;
42/3
2/13460sin90sin
AD VV м/с;
Рис. 2.3 82/3
13460sin90sin
ADA VV м/с.
b) Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей.
Мгновенный центр скоростей (МЦС) звена АВ - VP находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек (см. рис. 2.4) – ( AV VAP ,
VBP оси OY, вдоль которой направлена скорость точки В), после
нахождения МЦС - VP можно написать соотношение
V
D
V
P
V
A
DPV
BPV
APV
.
Направление вращения треугольника определяем по вращению точки А вокруг точки VP (в данном случае против хода часовой стрелки).
Величина угловой скорости треугольника
A V
D A V D V
B V
1 O
B A V
15
202/34,0
3430cos
AB
VAPV A
V
A с-1
Теперь определяем величины скоростей других точек:
42,020 VB BPV м/с; 42,020 VD DPV м/с.
Векторы скоростей перпендикулярны соответствующим отрезкам VBP и VDP ,
Рис. 2.4 и направлены в сторону вращения. 2. Определение ускорений точек B и D а) Ускорение точки В определяется по формуле
BAAB aaa , врBA
цBAAB aaaa (4)
Ускорение точки А задано, т.е. известно по величине и направлению; ускорение ц
ABa направлено от точки В к точке А и вычисляется по формуле 1604,02022 ABaц
AB м/с2. Известно также, что вектор Ba направлен вдоль оси OY, т.к. точка В
движется вдоль этой оси, а вектор врABa направлен перпендикулярно линии
АВ. С учетом сказанного можно построить эти векторы (рис. 2.5а) или построить равенство (4) (рис. 2.5б) и спроецировать его на выбранные оси координат 1XB и 1YB :
D
A
B
O
y
AVх
х1
1y
a
a a
A
BABA
aB
вр ц
Рис. 2.5а
D
A
B
O х
y
A V
B V
D V P V
16
Рис. 2.5б
на ось 1XB 90cos0cos60cos30cos врBA
цBAAB aaaa ;
на ось 1YB 180cos90cos30cos120cos врBA
цBAAB aaaa ;
или 5,242866,0
210866,0
1605,010030cos
60cos
цBAA
Baaa м/с2;
6,207121866,0100130cos
BAцBA
aaa м/с2.
Оба ускорения Ba и врBAa оказались положительными. Это значит, что
предварительный выбор направления (рис. 2.5а) оказался верным. Из формулы ABa вр
BA можно определить угловое ускорение треугольника (или точки В при вращении вокруг точки А):
19,5ABa вр
BA с-1.
Направление углового ускорения определяется вектором врBAa . В данном
примере видно, что точка В, вращаясь вокруг А, ускоряется против хода часовой стрелки.
b) Ускорение точки D определяется по формуле (см. рис. 2.6) врDA
цDAaD aaaa
В этой формуле известны слагаемые правой части:
1604,02022 DAa цDA м/с2.
Этот вектор направлен от точки D к выбранному полюсу А.
Вектор врDAа перпендикулярен
отрезку AD и направлен соответственно угловому ускорению (ε) треугольника ABD. Так как и величина и направление ускорения
Рис. 2.6
D
A
B
O х
y
A a
a
a
a
A
BA
BA a B
вр
ц
D
A
B
O х
y
a
a
a
aA
DA
DAвр
ц
A
17
точки D неизвестны, то векторное равенство (5) проецируем на выбранные оси координат (OX и OY).
Получим:
2,18231,2
2116010030cos60cos вр
DAцDAaDx aaaa м/с2;
95,13405,1136060cos30cos90cos врDA
цDAADy aaaa м/с2;
Полное ускорение точки D: 2,13695,1342,18 2222 DyDxD aaa м/с2.
Направление ускорения точки D определяется с помощью направляющих косинусов:
cos α – косинус угла между осью OX и вектором ускорения:
1336,02,1362,18cos
D
Dx
aa
, 22,82
cos β - косинус угла между осью OY и вектором ускорения:
9908,02,136
95,134cos D
Dy
aa
, 78,7 .
Пример 2 Колесо I с радиусом R вращается вокруг оси, проходящей через центр
колеса перпендикулярно плоскости чертежа с угловой скоростью I и угловым ускорением I . Независимо от него на той же оси вращается кривошип ОА с угловой скоростью OA и угловым ускорением OA . Кривошип приводит в движение колесо II с радиусом r, которое катится по колесу I (рис. 2.7).
Найти BV и Ba , если R=20, r=10 см, 5I с-2, 1I с-2, 3OA с-2, 2OA с-2. Решение: Колесо I и кривошип совершают
вращательное движение, а колесо II – плоско-параллельное движение.
Найдем скорость точки В, для этого определим положение мгновенного
Рис. 2.7 центра скоростей колеса II. Чтобы найти МЦС нужно, знать направление скоростей хотя бы двух точек тела. Найдем скорость точки А, которая принадлежит колесу II и кривошипу ОА.
9010203 rROAV OAOAA см/с.
Вектор AV направлен перпендикулярно отрезку ОА в сторону вращения кривошипа (рис. 2.8).
OA
OA
II I
I
I
O A
B
90
18
В точке соприкосновения колес скорость точки колеса II должна равняться скорости точки колеса I. Обозначим эту точку буквой D. Эта точка не принадлежит кривошипу ОА. Так как движение колеса I известно, можно найти скорость точки D.
100105 RV ID см/с Вектор скорости точки D
направлен перпендикулярно радиусу OD в сторону вращения колеса I. Таким образом, нам известны скорости двух точек колеса II. Проведем перпендикуляр к скоростям в точках А и D и прямую, проходящую через концы векторов
скоростей DV и AV . Рис. 2.8 В точке пересечения этих линий и будет МЦС для колеса II. Обозначим его буквой VС . Найдем расстояние
VAC :
rACV
DCV
ACV
V
D
V
D
V
AII
;
VDVA ACVrACV ; rACrVVVAC VAADV ;
9090100
1090
AD
AV VV
rVAC см.
тогда 19090
V
AII AC
V c1 или r
VV ADII
.
Зная угловую скорость колеса II и его МЦС, найдем скорость точки В. 55,9010901 2222 rACBCV VIIVIIB см/с.
Вектор BV направлен перпендикулярно отрезку ВСV в сторону вращения колеса II.
Определим ускорение точки В. Согласно теореме, ускорение точки В определятся по формуле
BAAB aaa , где Aa - ускорение точки А, принятой за полюс;
BAa - ускорение точки В во вращательном движении, вокруг полюса А. Точка А принадлежит кривошипу ОА – движение которого известно,
тогда цA
врAA aaa , где 60302 OAa OA
врA см/с2,
27030322 OAa OAцA см/с2.
OA
II
I
O A
B
С V
V
B
D
V A
D
V
19
Вектор Aa - направлен перпендикулярно ОА, в сторону, обратную AV ,
т.к. вращение кривошипа по условию задачи замедленное. Вектор n
Aa - направлен от А к О. Вектор ц
BAврBABA aaa ;
1010122 ra IIцBA см/с2 и
направлен от точки В к полюсу А. ra II
врBA .
Для его вычисления найдем угловое ускорение II :
dtdV
rdtdV
rrVV
dtd
dtd ADADII
II
11
r – в задачах такого типа величина Рис. 2.9 постоянная, выносится за знак производной:
Radt
dVID
D ; rRadt
dVOAA
A ;
отсюда 410
302101011
rRrr
ROA
III
с-2
Знак «-» говорит о том, что колесо II вращается замедленно. Величина 40104 ra IIBA см/с2 и направлена
перпендикулярно nBAa . Полное ускорение найдем, сложив все слагаемые:
цBA
врBA
nAAB aaaaa
Направив ось АX вдоль АО, ось АY перпендикулярно АО, получим 31040270 вр
BAnABAxAxBx aaaaa см/с2
701060 цBAABAyAyBy aaaaa см/с2
8,31770310 2222 ByBxB aaa см/с2. Вектор Ba составляет с осью АХ угол α, косинус которого
975,08,312
310cos B
Bx
aa
, 14975,0arccos , а с осью AY угол β, косинус
которого: 220,08,317
70cos B
BY
aa
, 76220,0arccos
OA
OA
I
O A II
V A
II
B
a
a
a
a
A в р
A
A
A
B
x
y
ц
ц
в р
20
Пример 3 Кривошип ОА, вращаясь вокруг оси, перпендикулярной плоскости
чертежа и проходящей через точку О, приводит в движение колесо II, которое катится без скольжения по неподвижному колесу I. Найти скорость и ускорение точки В колеса II, для момента времени, кода угол 45 , если R=20 см, r=20 см, 4OA с-, 2OA с-2 (рис. 2.10).
Решение: Колесо II движется в плоскости чертежа, т.е.
совершает плоско-параллельное движение. По условию, колесо I неподвижно, значит, точка
соприкосновения колес является МЦС для колеса II. Обозначим ее как VС (эта точка не принадлежит кривошипу ОА). Скорость точки В определяется выражением
VIIB BCV и направлена перпендикулярно отрезку ВСV, в сторону вращения колеса II (рис. 2.11).
Рис. 2.10 Для определения угловой скорости II запишем выражение для скорости точки А.
rACV IIVIIA С другой стороны, точка А принадлежит кривошипу ОА. Скорость точки
А, принадлежащей кривошипу, определяется выражением 24020404 rRV OAA и направлена ОА в сторону вращения
кривошипа ОА. Из этих рассуждений следует: rRr OAII
и 12
2020404
r
rROAII
с-1
46,443222012222245cos2 222 rrrrBCV IIIIVIIB см/с
Найдем скорость точки В, используя теорему о скоростях точек плоской фигуры. Для этого примем точку А за полюс. Тогда BAAB VVV . Величина и направление скорости точки А определяются из условий движения кривошипа ОА. OAV OAA и вектор AV ОА и направлен в сторону вращения кривошипа (рис. 2.12). Скорость BAV - это скорость точки В во вращательном движении вокруг полюса А. Величина скорости 2402012 rV IIBA см/с и
Рис. 2.11 этот вектор направлен отрезку АВ в сторону вращения колеса II.
OB
A
C
O
R
O
V
I
II
r
B
A C
O O
V
I
II
II
V V
A
B
21
Чтобы сложить AV и BAV , перенесем вектор AV в конец вектора BAV . Соединяя начало вектора BAV с концом вектора AV , получим вектор BV . Из построения:
22240222402240240
45cos2
222
22BAABAAB VVVVV
46,443 см/с Определим ускорение точки В. Согласно теореме об ускорении точки
плоской фигуры, ускорение точки В можно определить из выражения
BAAB aaa , где Aa - ускорение точки А, принятой за
Рис. 2.12 полюс;
BAa - ускорение точки В во вращательном движении, вокруг полюса А. Точка А – принадлежит колесу II и кривошипу ОА, движение которого
известно, тогда nAAA aaa 120602 OAa OAA см/с2,
96060422 OAa OAnA см/с2.
Ускорение BAa (ускорение во вращательном движении) состоит из двух слагаемых: ц
BAврBABA aaa ,
где ra IIврBA
ra IIцBA 2
Найдем II по определению : A
AAIIII a
rdtdV
rrV
dtd
dtd 11
.
Подставляя числовые значения, получим 620
120
raa
II
с-2,
тогда 120106 ra IIврBA см/с2
2880201222 ra IIцBA см/с2
Ускорение точки В найдем, спроецировав все векторы уравнения цBA
врBA
nAAB aaaaa на выбранные оси координат ОХ и OY.
sincos врBA
цBA
nABx aaaa
cossin врBA
цBAABy aaaa
6,291122120
222880960 Bxa см/с2
B
A O
O
I
II
II
V V
A
B V
A B
22
3,224122120
222880120 Bya см/с2
35,36743,22416,2911 2222 ByBxB aaa см/с2
Углы, которые составляют вектор ускорения Ba с осями ОХ и OY, определим через направляющие косинусы.
79,035,36746,2911cos
В
Bx
aa
3879,0arccos
Рис. 2.13 61,035,36743,2241cos
В
By
aa
5261,0arccos
3 ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Ниже приведены условия задачи и к ним 30 вариантов различных схем
механизмов. Требуется для заданного положения механизма определить скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат. Схемы механизмов приведены на рис. 1-30. Необходимые для расчета исходные данные приведены в таблице 3.1.
Указание При определении скоростей точек необходимо воспользоваться методом
мгновенного центра скоростей, а для проверки результатов решения можно применить теорему о равенстве проекций скоростей точек на ось, проведенную через эти точки. При определении ускорений точек необходимо воспользоваться теоремой об ускорениях точек плоской фигуры, а затем методом проекций векторного уравнения на соответствующие оси координат вычислить неизвестные ускорения точек.
OA и OA - угловая скорость и угловое ускорение кривошипа ОА при заданном положении механизма;
I - угловая скорость колеса (постоянная);
AV и Aa - скорость и ускорение точки А. Качение колес происходит без скольжения.
B A
O OA
II A B
B a
a II
вр
A
A
A B
y
x
OA
вр
23
Таблица 3.1
Размеры, см Номер
вар. ОА r АВ АС OA ,
с-1 I ,
с-1 OA ,
с-1 AV ,
см/с Aa ,
см/с2 1 - 15 - 5 - - - 60 30 2 - - 30 15 - - - 10 15 3 50 10 - 5 1 0 1 - - 4 - 30 - 10 - - - 80 50 5 10 - 50 25 1 - 1 - - 6 30 15 - - 2 0 5 - - 7 - 50 - - - - - 50 100 8 20 - 60 40 2 - 4 - - 9 - - 60 25 - - - 20 10
10 40 - - 20 5 - 10 - - 11 30 20 - 10 2 1,2 0 - - 12 - - 60 20 - - - 30 30 13 40 - 40 15 2 - 6 - - 14 50 10 - 5 1 2,5 0 - - 15 5 - 40 15 1 - 2 - - 16 - - 50 20 - - - 5 10 17 20 10 - 4 3 12 0 - - 18 - - 40 30 - - - 20 10 19 35 - 55 15 2 - 3 - - 20 30 20 - 10 3 0 2 - - 21 10 - 40 15 1 - 2 - - 22 - - 40 10 - - - 40 20 23 20 10 - 5 2 0 2 - - 24 15 - - 10 4 - 8 - - 25 20 - 50 15 4 - 6 - - 26 15 - 25 15 5 - 10 - - 27 60 30 - 10 1 1 0 - - 28 30 - - 20 1 - 1 - - 29 25 - 60 40 4 - 10 - - 30 15 - 40 10 3 - 8 - -
24
25
26
27
28
29
4 УКАЗАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ ВЫВОДОВ ПО РАБОТЕ Расчетно-графическая работа выполняется на листах формата А4 в
соответствии с ГОСТ 2.105-95. Поля очерчиваются рамкой (по ГОСТ 2.104), первый лист (с рамкой) – титульный (см. ПРИЛОЖЕНИЕ), все последующие листы (с рамкой) – с указанием порядкового номера страницы. Записи ведутся на лицевой стороне. Тыльная сторона – для замечаний и ответов при защите работы.
Выполнение работы начинается с записи исходных данных. В ходе решения задачи должен быть выполнен чертеж, на котором с учетом выбранного масштаба должны быть изображены все вектора скоростей и ускорений точек и проекции векторов на каждую из осей. Чертеж должен быть аккуратным, наглядным. Решение задачи необходимо сопровождать краткими разъяснениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получены те или иные результаты), необходимо подробно излагать весь ход расчетов. В конце должны быть даны численные ответы.
Данная задача на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек можно воспользоваться либо теоремой о скоростях точек в плоском движении, либо понятием мгновенного центра скоростей. Проверить результаты определения скоростей можно с помощью следствия из теоремы о скоростях точек.
При определении ускорений точек нужно исходить из векторного равенства (2) раздела 1.3.1. В тех случаях, когда неизвестно угловое ускорение звена (пример 1), необходимо это векторное равенство спроецировать на выбранные оси координат и из полученных двух уравнений найти два неизвестных ускорения. В случаях, когда угловое ускорение может быть найдено как производная от угловой скорости (см. примеры 2,3), и все составляющие формулы 2 (раздел 1.3.1) определяются сразу, результирующее ускорение находится по формуле (2′) раздела 1.3.1.
5 КРИТЕРИИ ОЦЕНОК ВЫПОЛНЕННОЙ РАБОТЫ Оценка «отлично» выставляется при правильно выполненной расчетно-
графической работе, оформленной в соответствии с требованиями, аккуратно и без помарок.
Оценка «хорошо» выставляется при правильно выполненной расчетно-графической работе, при наличии неточностей в оформлении, исправлений в ходе решения и незначительных помарок.
Оценка «удовлетворительно» выставляется при ошибках в решении, если после проверки в работе будут исправлены все ошибки, и она будет оформлена в соответствии с требованиями.
Оценка «неудовлетворительно» выставляется во всех остальных случаях, и студенту выдается другой вариант.
30
6 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1 Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. – СПБ: Лань, 1998. – 768 с.
2 Айзенберг Т.Б. и др. Руководство к решению задач по теоретической механике / Под ред. Воронкова И.М. – М.: Высшая школа, 1968. – 419 с.
3 Сорокин В.Н. Краткий курс теоретической механики: в теории, задачах и плакатах: Учебник /УГНТУ. – М.: Интер, 2005. – 600 с.
4 Лекционный материал.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1 Какое движение твердого тела называется плоским? 2 Напишите закон плоского движения? 3 Зависят ли поступательное перемещение плоской фигуры и ее поворот
от выбора полюса? 4 Как определяется скорость любой точки плоской фигуры? 5 Покажите, что проекция скоростей точек неизменяемого отрезка на
ось, совпадающую с этим отрезком, равны между собой? 6 Какую точку плоской фигуры называют мгновенным центром
скоростей и каковы основные случаи определении его положения? 7 Что представляет собой распределение скоростей точек плоской
фигуры в данный момент? 8 Как определяется ускорение любой точки плоской фигуры? 9 Какую точку плоской фигуры называют мгновенным центром
ускорений и может ли мгновенный центр ускорений совпадать с мгновенным центром скоростей?
10 Перечислите известные Вам способы определения положения мгновенного центра скоростей?
11 Что представляет собой картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени в трех случаях:
1) 0 , 0 ; 2) 0 , 0 ; 3) 0 , 0 ? 12 Как производят определение ускорений точек и угловых ускорений
звеньев плоского механизма?
31
ПРИЛОЖЕНИЕ Уфимский государственный нефтяной технический университет
Кафедра «Механика и конструирование машин»
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОГО МЕХАНИЗМА
Расчетно-графическая работа по теоретической механике
Вариант 5
Студент гр. МЗ-07-01 _______________ Р.У. Ганиев (подпись, дата) Профессор _____________ В.А. Садыков (подпись, дата)
Уфа 2008