ИНФОРМАТИКА (ИНФОРМАЦИОННЫЕ...
TRANSCRIPT
УТВЕРЖДАЮ
УТВЕРЖДАЮ
Ректор университета
__________ О.Н. Федонин
«___» __________ 2014 г.
ИНФОРМАТИКА (ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ)
ПОЛУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ
ДЛЯ ТАБЛИЧНО (ТОЧЕЧНО) ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ
МЕТОДАМИ АППРОКСИМАЦИИ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ
В MATHCAD
Методические указания
к выполнению лабораторной работы № 18
для студентов очной формы обучения
по всем техническим направлениям подготовки
(квалификация «бакалавр»)
Брянск 2014
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Брянский государственный технический университет
УДК 004.9; 519.6
Информатика (информационные технологии). Получе-
ние математической зависимости для таблично (точеч-
но) заданной функции методами аппроксимации и ин-
терполяции в MATHCAD: [Электронный ресурс]: ме-
тод. указания к выполнению лабораторной работы №
18 для студентов очной формы очной формы обучения по всем тех-
ническим направлениям подготовки (квалификация «бакалавр»). –
Брянск: БГТУ, 2014. –20 с.
Разработал Зернин М.В., канд. техн. наук, доц.
Рекомендовано кафедрой «Информатика и программное
обеспечение» (протокол № 7 от 05.06.14)
3
1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ
При решении многих технических задач требуется получить
функциональную зависимость одной величины от другой. В редких
случаях удается такую зависимость получить аналитически. Значи-
тельно чаще выполняются экспериментальные исследования техни-
ческого объекта. При этом задают некоторое значение управляющего
параметра (значение аргумента x) и измеряют соответствующее зна-
чение выходного (исследуемого) параметра (значение функции y). В
таких случаях результатами экспериментов являются значения вели-
чины yi при некоторых значениях аргумента xi, где i=0,1,2,…n. Мож-
но сказать, что функция задана таблично. Если эти значения отобра-
зим на координатной плоскости x-y, то получим систему точек (т.е.
можно сказать, что функция задана точечно). Однако для последую-
щих исследований необходимо получить функциональную зависи-
мость y(x), по которой можно было бы с некоторой точностью опре-
делить значение y при любом значении аргумента x. Плучение такой
зависимости в вычислительной математике называется решением за-
дачи приближения (аппроксимации) таблично (точечно) заданной
функции. Теория решения таких задач изложена во многих учебниках
по вычислительной математике, например в [1].
Один из самых распространенных способов аппроксимации
функций – интерполяция. Он используется, когда основная информа-
ция о приближаемой функции дается в виде таблицы ее значений, а
табличные значения имеют незначительные погрешности (точность
эксперимента достаточно высока). В результате решения задачи ин-
терполяции линия, соответствующая интерполирующей функции бу-
дет обязательно проходить через все точки исходных данных. В этом
случае точки являются узлами интерполяции. Насколько значительны
будут отклонения значений построенной интрполирующей функции
от экспериментальных значений в других точках, не обсуждается. Из
всех возможных вариантов интерполяции рассмотрим только интер-
поляцию многочленом (полиномом).
Цель лабораторной работы заключается в приобретении практи-
ческих навыков в построении аппроксимирующих и интерполирую-
щих функций с применением возможностей программы MATHCAD.
4
Задачи лабораторной работы:
1. Уяснить основные положения методов аппроксимации и ин-
терполяции.
2. Построить два вида интерполирующих зависимостей для
набора данных (десяти точек) – кусочно-линейную и полиномиаль-
ную (9-й степени).
3. Выполнить расчеты значений по этим интерполирующим за-
висимостям для значений аргумента, не совпадающих с узлами ин-
терполяции.
3. Построить аппроксимирующие зависимости (двумя функция-
ми) стандартными средствами MATHCAD.
4. Получить количественные характеристика качества двух по-
лученных аппроксимирующих зависимостей.
5. Выполнить расчеты значений по этим аппроксимирующим
зависимостям для значений аргумента, не совпадающих с исходными
значениями аргумента.
Продолжительность лабораторной работы – 4 часа, из них:
а) изучение методических указаний – 2 часа (самостоятельная
работа студентов);
б) выполнение лабораторной работы – 2 часа;
2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Общие сведения о применении численных методов в задаче
аппроксимации и интерполяции точечно (таблично) заданной
функции
Пусть функция xfy определена на заданном отрезке ];[ ba .
Известны значения функции ii xfy в отдельных точках ix
( ni ...,,1,0 ) этого отрезка. Вычисление значений этой функции в дру-
гих точках отрезка ];[ ba либо очень трудоемко, либо вообще невоз-
можно. В таких условиях обычно стараются получить приближенную
зависимость вместо функции xf , которой можно было бы восполь-
зоваться для вычисления приближенных значений функции в других
точках отрезка ];[ ba . Под приближением функции xf на отрезке
];[ ba понимается некоторая другая функция x , определенная на
этом отрезке ];[ ba , значения которой достаточно близки к соответ-
ствующим значениям функции xf , xxf . Методы решения
5
такой задачи относятся к категории численных методов, или методов
вычислительной математики.
При интерполяции от приближения требуется, чтобы оно имело
ту же таблицу значений, что и приближаемая функция
ii xfx , ni ...,,1,0 .
Это условие называется условием интерполяции. Функция x ,
удовлетворяющая условиям интерполяции, называется интерполя-
ционной, а точки nxxxx ...,,,, 210 узлами интерполяции.
Чаще всего в качестве интерполяционных функций выбирают
алгебраические многочлены, так как их значения вычисляются проще
всего. Таким образом решается следующая задача определяется ал-
гебраический многочлен n-й степени
)(xPnn
nxaxaxaa ...2210 , (1)
удовлетворяющий условиям интерполяции
nixfxP iin ...,,1,0),()( .
Алгебраический многочлен, удовлетворяющий этим условиям,
называется интерполяционным многочленом (ИМ). Геометрический
смысл интерполяции состоит в том, что графики функции xfy и
интерполяционного многочлена )(xPy n должны проходить через
все табличные точки ),( ii yx , ( ni ...,,1,0 ). На рис. 1а эти точки выделе-
ны. Именно это условие должно обеспечить близость графиков этих
функций на отрезке ];[ ba , чтобы можно было использовать интерпо-
ляционный многочлен )(xPn в качестве приближения для функции
xf .
Заметим, что степень ИМ связана с количеством узлов интерпо-
ляции. Для построения ИМ n-й степени необходим n+1 узел интерпо-
ляции, так как в формуле (1) имеется n+1 коэффициент, подлежащий
определению.
Интуитивно понятно, что если табличных точек ),( ii yx будет
много и они будут расположены густо, то графики функции xfy
и интерполяционного многочлена )(xPy n будут расположены
близко друг к другу. . Учитывая, что интерполяция применяется при
высокой точности получения значений функции, можно полагать, что
6
в целом интерполирующая полиномиальная функция )(xPn будет до-
статочно близка к истинной функции xf .
а) б)
Рис. 1. Графическая интерпретация принципа построения интерполяционного
полинома (а) и аппроксимирующей линии (б) для точечно заданной функции
Существует несколько вариантов записи ИМ: в традиционной
форме (1), в форме Лагранжа и в форме Ньютона. Причем последние
два варианта можно преобразовать к традиционной форме записи (1).
Однако чтобы уменьшить общую трудоемкость вычислений (на этапе
получения коэффициентов ИМ и на этапе вычисления по получен-
ным ИМ значений функции при любом заданном значении аргумен-
та), рациональнее применять ту или иную форму записи ИМ. Если
использовать ИМ в традиционной форме записи (1), то для определе-
ния коэффициентов ia необходимо формировать и решать систему
алгебраических уравнений, т. е. трудоемкость получения коэффици-
ентов большая, но сама формула ИМ (1) очень простая. При построе-
нии ИМ в форме Лагранжа коэффициенты вычисляются очень про-
сто, но формула ИМ громоздкая и расчеты по ней достаточно трудо-
емкие. ИМ в форме Ньютона является формулой более сложной, чем
формула ИМ (1), но проще, чем формула ИМ в форме Лагранжа. Од-
нако при определении коэффициентов ИМ Ньютона требуется вы-
числить так называемые «разделенные разности» по достаточно про-
стым формулам. В зависимости от количества узлов интерполяции и
количества последующих вычислений по формуле ИМ рациональным
может оказаться любой из трех перечисленных вариантов форм запи-
си ИМ. Мы будем использовать вариант применения ИМ в традици-
онной форме (1), реализованный в программе MATHCAD.
7
Можно построить один ИМ для всего интервала определения
таблично заданной функции. В этом случае степень ИМ на единицу
меньше количества несовпадающих узлов интерполяции. Можно по-
строить также кусочную интерполяционную зависимость, разделив
все количество узлов на группы. В пределах каждого такого участка
интерполяции получают ИМ степенью на единицу меньше количе-
ства узлов интерполяции в этой группе. Если в группу включить 2 уз-
ла, то получится ИМ первой степени (прямая линия). Такая интерпо-
ляция называется кусочно-линейной
Кроме построения интерполяционных зависимостей, можно
строить аппроксимирующие зависимости на основе различных функ-
циональных взаимосвязей между двумя рассматриваемыми величи-
нами. Обычно в этом случае количество неизвестных параметров вы-
бранной функции значительно меньше количества пар значений в ис-
ходной таблице. Очевидно, что в этом случае возможно бесконечно
большое количество сочетаний значений параметров аппроксимиру-
ющей функции. Необходимо выбирать такие значения параметров,
которые в максимальной степени обеспечивали бы близость аппрок-
симирующей функции к исходным табличным значениям. Часто
применяют критерии квадратичного приближения, а именно, подби-
рают такие значения параметров аппроксимирующей функции, чтобы
сумма квадратов отклонений (разницы вычисленных по ней значений
и значений из таблицы) была минимальной
m
iii xyxy1
2min)()( . Этот принцип лежит в основе метода
наименьших квадратов.
Принцип проведения аппроксимирующей линии для точечно за-
данной функции показан на рис. 1б. Обычно задача аппроксимации
решается в три этапа. На первом этапе выбираются возможные типы
аппроксимирующих функций. На втором этапе определяются их па-
раметры (подбираются такими, чтобы сумма квадратов отклонений
m
i
iy1
2
была минимальна). Далее оценивается качество аппрокси-
маций по значению величины
m
i
iy1
2
или определяются другие кри-
терии близости, взаимосвязанные с этим критерием. Из всех возмож-
ных вариантов аппроксимирующих функций в итоге выбирается
8
лучший (для которого величина
m
i
iy1
2
меньшая). Если
m
i
iy1
2
=0, то
получаем частный случай аппроксимации – интерполяцию.
Более подробно общая схема метода наименьших квадратов из-
ложена во многих учебниках по численным методам и вычислитель-
ной математике, например в [3]. Там же приведен вывод формул для
вычисления коэффициентов многих типов аппроксимирующих функ-
ций, например, для вычисления коэффициентов полинома по форму-
ле (1). Если используют частный вариант полиномиальной линей-
ную функцию xx 10)( , то говорят о линейной аппроксимации
функции xabx )( . Приведены также результаты поиска
наилучшего среднеквадратического приближения в некоторых двух-
параметрических семействах нелинейных функций [3]. На практике
нередко приходится подбирать не только линейные, но и нелинейные
зависимости. Чаще всего отыскиваются зависимости видов [1]
bxay
1;
bxa
xy
; b
xay
1; xbeay ; bxay ; bxay ln .
Каждая из этих зависимостей определяет двухпараметрическое
семейство нелинейных функций с параметрами a и b. Использован
метод наименьших квадратов для подбора наилучшего приближения
в каждом из этих семейств и приведены соответствующие формулы
для коэффициентов [1].
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
И АППРОКСИМАЦИИ В MATHCAD
3.1. Постановка задачи и представление исходных данных
для таблично (точечно) заданной функции в MATHCAD
Рассмотрим решение задач интерполяции и аппроксимации для
набора их десяти точек, приведенного в табл. 1. Таблица 1
Исходные данные для аппроксимации
x 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 20,2 7,84 5,94 4,01 3,77 4,23 3,38 3,03 3,04 3,15
Требуется построить кусочно-линейную и полиномиальную (де-
вятой степени) интерполирующие функции.
9
В качестве аппроксимирующих функций необходимо использо-
вать:
полином 3-й степени;
степенную функцию.
Кроме того, необходимо выполнить расчеты значений функции
по интерполирующим и аппроксимирующим формулам при некото-
рых значениях аргумента, не совпадающих с его значениями из таб-
лицы 1. Эти значения аргумента: 1,3; 2,6; 4,4; 5,9; 7,1; 8,75.
Исходные данные, содержащиеся в табл. 1 отобразим в
MATHCAD в виде таблицы значений x и y, отдельных векторов зна-
чений x и y и соответствующего набора точек на плоскости x-y. Для
этого зададим таблицу с именем «Точки» как матрицу размерами
10˟2 (рис. 2а) и заполним ее данными из табл 1 (рис. 2б).
а) б)
Рис. 2. Задание таблицы значений: назначение размеров массива (а)
и заполненный массив значений (б)
Далее из массива «Точки» выделяются отдельно вектора значе-
ний x и y (рис. 3) с применением процедуры выделения столбцов из
матрицы (рис. 3а). Напоминаем, что в MATHCAD по умолчанию ну-
мерация индексов массива начинается с нуля, если это не переопре-
делено с использованием параметра ORIGIN. Оба этих вектора рас-
крыты для проверки правильности операции выделения столбцов и
фрагменты их показаны на рис. 3б.
Далее (рис. 4) строится диаграмма, в которой по оси аргументов
отложены значения из вектора x, а по вертикальной оси – значения
функции из вектора y. Причем первоначально (рис. 4) эта диаграмма
представляется как непрерывная линия. Для преобразования диа-
граммы к системе точек (именно таким образом задана исходная ин-
10
формация) следует навести курсор на любую часть линии и на по-
явившейся панели кликнуть на строке «Формат» – рис. 4.
а) б)
Рис. 3. Выделение из таблицы значений векторов x и y (а) и проверка
правильности этого действия (б)
11
Рис. 4. Построение диаграммы на основе значений векторов x и y
На появившейся панели «Форматирование выбранного графика»
необходимо выделить закладку «Трассировка» (рис. 5) и на ней
назначить для кривой 1 параметры «Символ», «Ширина символа» и
отсутствие линии в столбце «Линия». Тогда на диаграмме будет вид-
на только система точек (рис. 5). (В более ранних версиях MATHCAD
в столбце «Линия» необходимо выбрать вариант «Точки»). Таким об-
разом получили табличное и точечное представление исходных дан-
ных (рис. 6).
12
Рис. 5. Преобразование диаграммы в виду «система точек x и y»
Рис. 6. Табличное и точечное представление исходных данных
13
3.2. Реализация в MATHCAD кусочно-линейной
и полиномиальной интерполяции
Следующие действия требуют нанесения на диаграмму (рис. 6)
еще нескольких линий, интерполирующих и аппроксимирующих си-
стему точек. Для этого задается дискретная переменная xx (рис. 7),
изменяющаяся от первого значения x0 до последнего значения x9 с
шагом 0,1. Для этого используется (рис 7) кнопка выбора элемента
вектора x по индексу и кнопка задания диапазона значений перемен-
ной.
Рис. 7. Назначение дискретной переменной xx с шагом 0,1
Для реализации кусочно-линейной интерпорляции в MATHCAD
имеется процедура «linterp(x,y,xx)», аргументами которой являются
система точек (xi,yi) и дискретные переменные xx. Результаты такой
интерполяции приведены на рис. 8. Видно, что исходные точки
соединяются участками прямых линий.
Рис. 8. Кусочно-линейная интерполяция точечных исходных данных
14
Для реализации представления точечных данных полино-
миальной функцией в MATHCAD имеется процедура
«regress(x,y,n)». Причем если в общем случае строится аппрокси-
мирующая зависимость, то при выполнении одного из условий
интерполяции полином становитсмя интерполирующим. Напомним,
что степень ИМ связана с количеством узлов интерполяции. Для по-
строения ИМ n-й степени необходим n+1 узел интерполяции, т. к. в
формуле (1) имеется n+1 коэффициент, подлежащий определению.
Учитывая, что задано 10 точек, то интерполирующий должен быть 9-
й степени. Результаты применения процедуры «regress» содержатся в
векторе z, причем начиная с 3-го компонента (напоминаем, что
индексация компонентов массивов в MATHCAD начинается с 0) в
этом векторе содержатся значения коэффициентов полинома (1).
Напомним, что задача определения коэффициентов полинома
сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с
плохо обусловленной матрицей. Для обеспечения требуемой
точности желательно при программировании формулы (1)
удерживать как можно больше значащих цифр. Поэтому на рис. 9
коэффициенты полинома выбираем как компоненты вектора z, а не
как численные значения из показанной на рис 9 таблицы.
Рис. 9. Кусочно-линейная и полиномиальная (9-й степени) интерполяция
точечных исходных данных
15
В результате получили полином, график которого проходит
через все узлы интерполяции (рис. 9). Там же приведены значения
функции для заданных значений аргумента, не совпадающих с
исходными табличными. Расчеты выполнены по кусочно-линейной
интерполирующей функции «linterp» и по интерполирующей
формуле для полинома 9-й степени. Видно, что различия начинают
проявляться на последних участках. Причина этого – плохая
обусловленность решения задачи полиномиальной интерполяции. По
этой причине в других программах допускается полиномиальная
интерполяция при меньших значениях степени полинома. Например,
при решении этой же задачи в EXCEL мы видели, что предельно до-
пустима 6-я степень полиномиальной интерполяции.
Также на рис. 9 в правом нижнем углу приведен другой (более
компактный) вариант записи полинома 9-й степени через знак суммы
по переменной i. Подсчитаны значения функции по этой полиноми-
альной формуле для нескольких значений аргумента из ряда задан-
ных. Этот фрагмент вычислений очерчен красным прямоугольником.
Видно, что оба варианта запрограммированной формулы полинома
дают одинаковые результаты.
3.2. Реализация в MATHCAD аппроксимации полиномиальной
и другими функциями
Для аппроксимации точечных данных полиномиальной
функцией в MATHCAD используется процедура «regress(x,y,n)».
Выполнение этих действий мало отличается от построения
интерполирующего полинома (рис. 9). Только при обращении к
процедуры «regress(x,y,3)» назначаем степень полинома 3 и
соответственно формула для полинома третьей степени короче (рис.
10). Далее оценивается качество этой аппроксимации по значению
величины
m
i
iy1
2
. Эта величина на рис. 10 обозначена идентифика-
тором SKOpol3 и принимает значение 21.096. Для ее вычисления ис-
пользуется кнопка суммирования по индексу i=0,1,2…9 c палитры
математических операций.
16
Рис. 10. Аппроксимация исходных точек полиномом третьей степени
Для аппроксимации в MATHCAD могут быть использованы
многие функции и соответствующие процедуры. Полный список их
содержится в справочной системе MATHCAD. Приведем некоторые
варианты:
процедура «line(x,y)» для определения коэффициентов A и B
линейной функции вида BxAxf ;
процедура «lnfit(x,y)» для определения коэффициентов A и B
логарифмической функции вида BxAxf ln ;
процедура «expfit(x,y,g)» для определения коэффициентов A,
B и C экспоненциальной функции вида CAexf Bx ;
процедура «pwrfit(x,y,g)» для определения коэффициентов A,
B и C степенной функции вида CAxxf B .
Данные процедуры (кроме процедуры линейной аппроксима-
ции) выполняют итерационный алгоритм получения коэффициентов
A, B и C, а именно в списке параметров этих процедур кроме исход-
ных векторов x и y требуется задать начальное приближение коэффи-
циентов, содержащихся в векторе. Значения вектора начальных при-
ближений коэффициентов задается произвольно, но не для всех
начальных приближений решение будет найдено. В таком случае
следует попытаться повторно решить задачу с другими значениями
начальных приближений.
17
Применение процедуры «pwrfit» для определения коэффициен-
тов A, B и C степенной функции вида CAxxf B показано на рис.
11. Задается вектор g начальных приближений. Далее определяется
Koef=pwrfit(x,y,g) и в результате в массиве Koef содержатся уточнен-
ные значения коэффициентов A, B и C. Далее программируется непо-
средственно формула CAxxf B и график этой функции отоб-
ражается на диаграмме (рис. 11).
Рис. 11. Результаты аппроксимации исходных точек двумя
функциями (полиномом 2-й степени и степенной функцией)
18
Далее оценивается качество степенной аппроксимации по зна-
чению величины
m
i
iy1
2
. Эта величина на рис. 11 обозначена иден-
тификатором SKOf и принимает значение 1.129. То есть точность
степенной аппроксимирующей зависимости примерно в 18 раз выше
точности аппроксимации полиномом 2-й степени.
Ниже диаграммы на рис. 11 приведены результаты расчетов по
этим двум аппроксимирующим зависимостям при значениях аргу-
мента, не совпадающих с исходными табличными значениями.
Аналогично (рис. 12) применяется процедура «expfit(x,y,g)» для
определения коэффициентов A, B и C экспоненциальной функции ви-
да CAexf Bx . Применение процедуры «lnfit(x,y)» для опреде-
ления коэффициентов A и B логарифмической функции вида
BxAxf ln не требует задания вектора начальных приближений
значений этих двух коэффициентов.
19
Рис. 12. Результаты аппроксимации исходных точек двумя
функциями (экспоненциальной и логарифмической)
20
4. ЗАДАНИЕ К РАБОТЕ
В соответствии с приведенными теоретическими сведениями
усвоить основы решения задач интерполирования и аппроксимирова-
ния таблично (точечно) заданной функции построить аппроксимиру-
ющие и интерполирующие функции с применением программы
MATHCAD.
5. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Уяснить основные положения методов аппроксимации и ин-
терполяции.
2. Построить два вида интерполирующих зависимостей для
набора данных (десяти точек) – кусочно-линейную и полиномиаль-
ную (9-й степени) по примеру, приведенному в разделе 3.1. Исход-
ную таблицу значений x и y преподаватель выдает непосредственно
перед выполнением работы.
3. Выполнить расчеты значений по этим интерполирующим за-
висимостям для значений аргумента, не совпадающих с узлами ин-
терполяции. Вектор значений x преподаватель выдает непосредствен-
но перед выполнением работы.
3. Построить аппроксимирующие зависимости (двумя функция-
ми) стандартными средствами MATHCAD. Вид функций преподава-
тель выдает непосредственно перед выполнением работы.
4. Получить количественные характеристика качества двух по-
лученных аппроксимирующих зависимостей и сформулировать за-
ключений – какая из двух аппроксимация лучше.
5. Выполнить расчеты значений по этим аппроксимирующим
зависимостям для значений аргумента, не совпадающих с исходными
значениями аргумента.
6. ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ
Отчёт о лабораторной работе не оформляется. Преподавателю
предъявляются результаты работы на мониторе компьютера. Устно
формулируются выводы по результатам работы.
21
7. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что такое интерполяция таблично (точечно) заданной функ-
ции?
2. Как соответствуют степень интерполирующего полинома
(многочлена) и количество точек исходных данных?
3. Что такое аппроксимация таблично (точечно) заданной функ-
ции?
4. Что является количественной характеристикой качества ап-
проксимирующей функции?
5. Какие этапы можно выделить при построении качественной
аппроксимирующей функции?
6. Чем различаются графики интерполирующей и аппроксими-
рующей функции для одних и тех же исходных данных?
7. Объяснить процедуру получения аппроксимирующих зави-
симостей с применением программы MATHCAD.
8. Объяснить процедуру получения интерполирующих зависи-
мостей с применением программы MATHCAD.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Трубников, С.В. Вычислительная математика: учеб. пособие /
С.В.Трубников, Б.В. Порошин. – Брянск: БГТУ, 2005. – 396 с.
2. Воскобойников, Ю.Е.Основы вычислений и программирова-
ния в пакете MATHCAD/ Ю.Е.Воскобойников, А.Ф.Задорожный,
Л.А.Литвинов, Ю.Г.Черный. – Новосибирск, Новосибирский архи-
тектурно-строительный университет, 2012 – 212 с.
3. Программирование в среде MathCAD: учеб.-метод. пособие
для бакалавров инженерных и физических специальностей / сост. В.
К. Толстых. – Донецк: ДонНУ, 2010. – 128 с.
Информатика (информационные технологии). Получение мате-
матической зависимости для таблично (точечно) заданной функции
методами аппроксимации и интерполяции в MATHCAD: [Электрон-
ный ресурс]: метод. указания к выполнению лабораторной работы №
18 для студентов очной формы очной формы обучения по всем тех-
ническим направлениям подготовки (квалификация «бакалавр»)
МИХАИЛ ВИКТОРОВИЧ ЗЕРНИН
Научный редактор А.А.Азарченков
Редактор издательства Л.Н. Мажугина
Компьютерный набор М.В.Зернин
Темплан 2014 г., п. 357.
Подписано в печать Формат 6084 116 Бумага офсетная. Офсетная
печать. Усл. печ. л. 1,16. Уч.-изд. л. 1,16. Тираж 1 экз. Заказ Бесплатно
Издательство Брянского государственного технического университета.
241035, Брянск, бульвар им. 50 лет Октября, 7, тел. 58-82-49
Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16