ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ6 Задача 10. Для формулы l{x&(xoy)...

Министерство образования и науки Российской Федерации

Д.В. Опарин

ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Часть II. Совершенные нормальные формы, приложение алгебры логики к релейно-контактным схемам, решение логических задач

Электронное текстовое издание

Учебно-методическое пособие для студентов всех форм обучения направлений подготовки 02.03.02 – Фундаментальная информатика и информационные технологии и 09.03.03 – Прикладная информатика

Научный редактор: доц., канд. техн. наук В.Г. Томашевич

Подготовлено кафедрой интеллектуальных информационных технологий

Представлены краткие теоретические сведения и задачи из раздела курса, посвященного алгебре логики. Все задачи снабжены ответами и решениями.

Екатеринбург 2015

2

СОДЕРЖАНИЕ

5. СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ .................................................. 3

Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 6

6. ПРИЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ К РЕЛЕЙНО-КОНТАКТНЫМ

СХЕМАМ .............................................................................................................. 8

Задачи для самостоятельного решения .......................................................... 10

7. РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ............................................................... 14

Задачи для самостоятельного решения .......................................................... 15

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ........................................................................................ 17

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .................................................................. 32

3

5. СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Теоретическая часть. Формулу

nn xxxfxxxf &...&&&)1,...,1,1(),...,,( 2121

...&&...&&&)0,...,1,1( 121 nn xxxxf

nn xxxxf &&...&&&)0,...,0,0( 121

можно преобразовать к формуле, обладающей свойствами совершенства,

т.е. содержащей только различные логические слагаемые, причем в каждое ло-

гическое слагаемое формулы должны входить все переменные функции

),...,,( 21 nxxxf , и при этом ни в одно логическое слагаемое формулы не должны

входить одновременно переменная и ее отрицание или одна и та же переменная

дважды.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы называется равно-

сильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию конъюнкций пере-

менных или их отрицаний (элементарных конъюнкций).

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) формулы

называется ДНФ этой формулы, обладающая свойствами совершенства.

СДНФ формулы можно получить либо из таблицы истинности (см. раз-

дел 4), либо с помощью равносильных преобразований.

Алгоритм получения СДНФ формулы с помощью равносильных преобра-

зований:

1) получить любую ДНФ формулы;

2) если в ДНФ формулы имеется слагаемое K, не содержащее ix , его за-

менить на )(& ii xxK ;

3) если в ДНФ формулы имеется два одинаковых слагаемых K, то одно из

них отбросить, т.к. KKK ;

4) если в некоторое слагаемое K в ДНФ формулы переменная ix входит

дважды, то одну из них отбросить, т.к. iii xxx & ;

4

5) если некоторое слагаемое K в ДНФ формулы содержит конъюнкцию

ii xx & , то это слагаемое отбросить, т.к. в этом случае 0K .

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы называется равно-

сильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию дизъюнкций пере-

менных или их отрицаний (элементарных дизъюнкций).

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) формулы

называется КНФ этой формулы, содержащая только различные элементарные

дизъюнкции, причем в каждую элементарную дизъюнкцию формулы должны

входить все переменные функции ),...,,( 21 nxxxf , и при этом ни в одну элемен-

тарную дизъюнкцию формулы не должны входить одновременно переменная и

ее отрицание или одна и та же переменная дважды.

СКНФ формулы можно получить либо из таблицы истинности, используя

закон двойственности ( LСДНФLСКНФ ), либо с помощью равносильных

преобразований.

Алгоритм получения СКНФ формулы с помощью равносильных преобра-

зований:

1) получить любую КНФ формулы;

2) если в КНФ формулы имеется элементарная дизъюнкция D, не содер-

жащая ix , ее заменить на ii xxD & ;

3) если в КНФ формулы имеется две одинаковых элементарных дизъ-

юнкции D, то одну из них отбросить, т.к. DDD & ;

4) если в некоторую элементарную дизъюнкцию D в КНФ формулы пе-

ременная ix входит дважды, то одну из них отбросить, т.к. iii xxx ;

5) если некоторая элементарная дизъюнкция D в КНФ формулы содержит

высказывание вида ii xx , то эту элементарную дизъюнкцию отбросить, т.к. в

этом случае 1D .

Проблема разрешимости – задача, определяющая тождественную истин-

ность, тождественную ложность или выполнимость данной формулы.

5

Проблема разрешимости в алгебре логики разрешима, т.к. для каждой

формулы может быть записана таблица истинности, которая и дает ответ на по-

ставленный вопрос.

Другой способ решения проблемы разрешимости основан на приведении

формулы L к нормальном формам и использовании критериев истинности и

ложности, позволяющих определить, является ли данная формула тождествен-

но истинной или тождественно ложной. В случае если формула L не является

ни тождественно истинной, ни тождественно ложной, автоматически решается

вопрос о ее выполнимости.

Критерий истинности: для того чтобы формула алгебры логики была

тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы любая элементарная

дизъюнкция, входящая в ее КНФ, содержала переменную и ее отрицание.

Критерий ложности: для того чтобы формула алгебры логики была тож-

дественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы любая элементарная

конъюнкция, входящая в ее ДНФ, содержала переменную и ее отрицание.

Задача 9. Для формулы )(& yxxL найти СДНФ путем использо-

вания равносильных преобразований и таблицы истинности.

Решение. Выполним равносильные преобразования. В результате по-

лучим:

LСДНФyxyxxxyxxyxxL &&&)(&)(& .

Составим таблицу истинности:

x y yx )(& yxx

1 1 1 1

1 0 0 0

0 1 1 0

0 0 1 0

Из таблицы истинности следует: yxLСДНФ & .

6

Задача 10. Для формулы )(& yxxL найти СКНФ путем исполь-

зования равносильных преобразований и таблицы истинности.

Решение. Выполним равносильные преобразования. В результате по-

лучим:

)(&)&()(&)(& yxyyxyxxyxxL

LСКНФyxyxyx )(&)(&)( .

Составим таблицу истинности:

x y )(& yxx )(& yxx

1 1 1 0

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 1

С помощью таблицы истинности получим:

yxyxyxLСДНФLСКНФ &&&

)(&)(&)(&&&&& yxyxyxyxyxyx

)(&)(&)( yxyxyx .

Задачи для самостоятельного решения

5.1. Найти СДНФ для тождественно истинной формулы, содержащей:

1) одну переменную; 2) две переменных.

5.2. Найти СКНФ для тождественно ложной формулы, содержащей:

1) одну переменную; 2) две переменных.

5.3. Для основных логических операций найти: 1) СДНФ; 2) СКНФ.

5.4. Придать более простой вид формулам, имеющим следующие совер-

шенные нормальные формы:

1) yxyxyx &&& ;

2) )(&)(&)( yxyxyx ;

7

3) zyxzyxzyx &&&&&& ;

4) zyxzyxzyxzyxzyx &&&&&&&&&& .

5.5. Для следующих формул найти СДНФ и СКНФ путем использования

равносильных преобразований и таблиц истинности.

1) zyzxL & ;

2) xyzxL ;

3) )( xyyxL ;

4) )&&(& yxzyxL ;

5) zzyxyxL ;

6) )()( zyxzyxL .

5.6. Используя критерии тождественной истинности и тождественной

ложности, установить, к какому классу относятся следующие формулы:

1) zyxL ;

2) )( xyyxL ;

3) yyxyxL & ;

4) xzyzyxL &)&( .

8

6. ПРИЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ К РЕЛЕЙНО-

КОНТАКТНЫМ СХЕМАМ

Теоретическая часть. Релейно-контактная схема представляет собой

схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключа-

телей, соединяющих их проводников, входов в схему и выходов из нее.

В релейно-контактной схеме любой переключатель имеет только два со-

стояния: замкнутое и разомкнутое.

Простейшая схема состоит из одного переключателя X, одного входа и

одного выхода. Переключателю X ставится в соответствие высказывание

x – «Переключатель X замкнут». Если x истинно, то схема проводит электриче-

ский ток, в противном случае – не проводит. Если принимать во внимание

только значение высказывания, то любому высказыванию x можно поставить в

соответствие следующую двухполюсную релейно-контактную схему

.

Отрицание высказывания x будем изображать двухполюсной схемой

.

Конъюнкцию двух высказываний x и y можно представить двухполюсной

схемой с последовательным соединением переключателей X и Y

,

а дизъюнкцию – двухполюсной схемой с их параллельным соединением

.

X

Y

Y X

X

X

9

Любая формула алгебры логики может быть представлена в нормальной

форме, следовательно, любой формуле алгебры логики можно поставить в со-

ответствие некоторую релейно-контактную схему, и наоборот, каждой релейно-

контактной схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгеб-

ры логики.

Задача 11. Составить релейно-контактную схему, соответствующую

формуле yxzy & .

Решение. Упростим формулу:

zyxyxzyyxzyyxzy && .

Релейно-контактная схема, соответствующая данной формуле, будет

иметь следующий вид:

.

Задача 12. Упростить релейно-контактную схему:

.

Решение. Составим формулу, соответствующую данной схеме, и упро-

стим ее:

Y Z

Z

Y Z

X

X Y

X

Y

Z

10

zyzyyxzyzyxzyx &&)(&&&&&&

zyxzyzx &)(&& .

Упрощенная схема выглядит следующим образом:

.


6.1. Составить релейно-контактные схемы, соответствующие:

1) импликации yx ;

2) эквивалентности yx .

6.2. Составить релейно-контактные схемы, соответствующие следующим

формулам:

1) xxx ;

2) )(&)( yzzx ;

3) )()(&)( xyzyxz .

6.3. Построить релейно-контактные схемы, соответствующие ),,( zyxfi ,

если известно, что:

1) 1)1,0,1()0,1,1( 11 ff ;

2) 1)0,1,0()1,0,1()1,1,1( 222 fff ;

3) 1)0,0,0()0,1,0()1,1,0()0,0,1( 3333 ffff ;

остальные значения функции ),,( zyxfi равны нулю.

6.4. Упростить следующие релейно-контактные схемы:

1)

;

Y

Z

X

Y

X Y

Z

X

Z

11

2)

;

3)

.

6.5. Доказать равносильность следующих релейно-контактных схем:

1)

Z

X

Z

X

Y

Z

Y

Z

X

Z

X

Z

Y

Y

Y Z

Z

X

X

Y

Y

Z

Y

X

X Z

12

и

;

2)

и

;

X

X

Z

Y

Y

X

Z

X

Z

Y

Z

X

Z

Z

Z

Z

X

X

13

3)

и

.

Z Y

X Y

X

Y Z

Y

14

7. РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Теоретическая часть. Условие логической задачи записывается в ви-

де формулы алгебры логики. Формула путем равносильных преобразований

упрощается. Полученный вид формулы, как правило, дает ответы на постав-

ленные в задаче вопросы.

Задача 13. Вспоминая итоги прошедшего чемпионата по футболу, пять

болельщиков договорились до следующего:

«Спартак» занял третье место, а «Зенит» – четвертое;

ЦСКА был первым, а «Торпедо» – третьим;

«Локомотив» был вторым, а «Торпедо» – пятым;

«Локомотив» занял третье место, а «Зенит» – шестое;

«Спартак» был вторым, а «Рубин» – третьим.

Оказалось, что каждый болельщик в одном из двух своих высказываниях

ошибся. Как закончился чемпионат по футболу?

Решение. Обозначим высказывания болельщиков в виде ix , где x –

название команды, i – занятое ей место. Так как в каждой паре высказываний

одно истинно, а другое ложно, то, очевидно, будут истинными дизъюнкции

этих высказываний:

13263523143 rszltltczs .

Истинной будет и конъюнкция этих дизъюнкций, т.е.

1)(&)(&)(&)(&)( 3263523143 rszltltczsL .

Выполним равносильные преобразования, учитывая, что одна и та же ко-

манда не может занять в чемпионате разные места, а две различные команды не

могут занять одно и то же место. В результате получим:

)(&)(&)(&)(&)( 3263523143 rszltltczsL

32512164436333 &&&(&)&&&&( tltclczzzlzssl

512143633253 &&(&)0&&0()(&)& tclczlzsrstt

15

4336326333232 &&&&&&()(&)0& zrlzsszsrrstl

&)&&000()&&&(&)&& 432325121432 zlstltclczls

43221325121 &&&&)&&&(& zlslctltclc

4332254321 &&&&&&&& ztlsltzlsc

1&&&&0&&&&0 5432154321 tzlsctzlsc .

Отсюда следует: на первом месте – ЦСКА; на втором – «Спартак»; на

третьем – «Локомотив»; на четвертом – «Зенит»; на пятом – «Торпедо». «Ру-

бин» занял шестое место.


7.1. Три студента из Уральского федерального университета (УрФУ),

Уральского государственного лесотехнического университета (УГЛТУ) и Рос-

сийского государственного профессионально-педагогического университета

(РГППУ) приняли участие в олимпиаде по математической логике. На вопрос о

месте учебы, они дали следующие ответы:

Волков: «Я учусь в УрФУ, а Зайцев – в УГЛТУ»;

Зайцев: «Волков учится в РГППУ, а я – в УрФУ»;

Медведев: «Я учусь в УрФУ, а Зайцев – в РГППУ».

Оказалось, что в ответах каждого из них одно утверждение верно, а дру-

гое ложно. В каком вузе учится каждый из студентов?

7.2. Два студента Карасёв и Ершов заявили:

Карасёв: «Я был на лекции по математической логике»;

Ершов: «Я видел Карасёва в библиотеке».

Выяснилось, что:

если Карасёв солгал, то солгал и Ершов, и Карасёв был на лекции

по математической логике;

16

если Карасёв сказал правду, то он был на лекции или Ершов сказал

неправду.

Был ли Карасёв на лекции по математической логике?

7.3. Известно, что:

если экзамен по математической логике сдал Блохин, то и Комаров

сдал;

если экзамен сдал Комаров, то Муравьёв сдал, или Блохин не сдал;

если Слепнёв не сдал экзамен, то Блохин сдал, а Муравьёв не сдал;

если экзамен сдал Слепнёв, то и Блохин сдал.

Кто из четырех студентов сдал экзамен по математической логике?

7.4. По подозрению в совершении преступления были задержаны три че-

ловека: Березовский, Ольховский и Сосновский. Один из них был мошенником,

другой – политиком, третий – известным журналистом. Во время следствия

мошенник всегда лгал, политик в одном случае говорил правду, а в другом –

ложь, журналист всегда говорил только правду.

В частности, они утверждали:

Березовский: «Я не совершал преступления, преступник – Соснов-

ский»;

Ольховский: «Преступник – Березовский, Сосновский невиновен»;

Сосновский: «Ольховский – не преступник, преступление совершил я».

Определить, кто совершил преступление, и кто является мошенником,

политиком и журналистом. Известно, что преступник – один.

17

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

5.1. Составим таблицы истинности, из которых найдем требуемые СДНФ.

1)

x )(1 xL

1 1

0 1

xxLСДНФ 1 ;

2)

x y ),(2 yxL

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 1

yxyxyxyxLСДНФ &&&&2 .

5.2. Составим таблицы истинности, из которых, используя закон двой-

ственности, найдем требуемые СКНФ.

1)

x )(1 xL )(1 xL

1 0 1

1 0 1

xxxxLСДНФLСКНФ &11 ;

2)

x y )(2 xL )(2 xL

1 1 0 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 1

18

yxyxyxyxLСДНФLСКНФ &&&&22

)(&)(&)(&)( yxyxyxyx .

5.3. 1) СДНФ:

xx , yxyx && , yxyxyxyx &&& ,

yxyxyxyx &&& , yxyxyx && ,

2) СКНФ:

xx , )(&)(&)(& yxyxyxyx , yxyx ,

yxyx , )(&)( yxyxyx .

5.4. Выполним равносильные преобразования. В результате получим:

1) yxxyxyyxyxyxyx &&)(&&&&

yxyxxx )(&)( ;

2) )&(&)()(&)(&)( yyxyxyxyxyx

yxyxxxxyx &&&&)( ;

3) )&&&(&&&&&&& yxyxyxzzyxzyxzyx

)(&)(&)&(&)&)(&(& yxxxzyxxzyxyyxz

)(& yxz ;

4) zyxzyxzyxzyxzyx &&&&&&&&&&

zyxzyzyzyzyx &&)&&&&(&

zyxzzyzzyx &&))(&)(&(&

zyxxzyxyyx &&&&)1&1&(&

zyxzyxzyxxx &)&(&1)&(&)( .

5.5. Подвергнем указанные формулы равносильным преобразованиям,

приведя их сначала к ДНФ, а затем к КНФ. От ДНФ перейдем к СДНФ, а от

КНФ – к СДНФ. Составим таблицы истинности для формул L и L . По ним

также найдем СДНФ и СКНФ.

1) LДНФzyzxzyzxzyzxL &&&& ,

19

zyxxzyyxzyzxLДНФ &&)(&)(&&&

zyxzyxzyxzyx &&&&&&&&

LСДНФzyxzyxzyx &&&&&& .

Таблица истинности:

x y z z zx zy & L L

1 1 1 0 1 1 1 0

1 1 0 1 1 0 0 1

1 0 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

0 1 1 0 0 1 1 0

0 1 0 1 1 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 1 0 0 1

zyxzyxyxLСДНФ &&&&&& .

LКНФyxzzyzxzyzxL )(&&&& ,

&)()&(&)&&()(& zyxzzyxzyyxxyxzLКНФ

)(&)(&)(&)(&)(& zyxzyxzyxzyxzyx

)(&)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyxzyx

LСКНФ .


zyxzyxzyxzyxzyxLСКНФ &&&&&&&&&&

)(&)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyxzyx

)(&)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyxzyx .

2) xyzxxyzxxyzxL

LДНФzxyxyxzx &&&& ,

zyyxzzyxzxyxLДНФ &)(&)(&&&&

LСДНФzyxzyxzyxzyx &&&&&&&& .

20


x y z x y zx xy xy L L

1 1 1 0 0 1 1 0 0 1

1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

1 0 1 0 1 1 0 1 1 0

1 0 0 0 1 1 0 1 1 0

0 1 1 1 0 1 1 0 0 1

0 1 0 1 0 0 1 0 1 0

0 0 1 1 1 1 1 0 0 1

0 0 0 1 1 0 1 0 1 0

zyxzyxzyxzyxLСДНФ &&&&&&&& .

)(&)(&)(&)(&& zyyxzxxxzxyxxyzxL

LКНФzyyxzx )(&)(&)( ,

&)&(&)&()(&)(&)( zzyxzyyxzyyxzxLКНФ

&)(&)(&)(&)()&(& zyxzyxzyxzyxzyxx

&)(&)(&)()(&)(& zyxzyxzyxzyxzyx

LСКНФzyx )(& .


zyxzyxzyxzyxLСКНФ &&&&&&&&

)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyx

)(&)(&)(&)( zyxzyxzyxzyx .

3) xyyxxyyxxyyxL )(

LДНФyxyx & ,

yxxyyxyxyxyxLДНФ &)()(&&&

yxyxyxyxyx &&&&&

LСДНФyxyxyx &&& .

21


x y yx xy L L

1 1 1 1 1 0

1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1

0 0 1 1 1 0

yxyxyxLСДНФ &&& .

yxyxxyyxxyyxL &)(

LСКНФyx .


yxyxLСКНФ & .

4) )&(&)&&(&)&&(& yxzyxyxzyxyxzyxL

LДНФzxyxyx &&& ,

)(&&)(&&&&& zzyxzzyxzxyxyxLДНФ

zyxzyxzyxzyxzyxzyyx &&&&&&&&&&&)(&

LСДНФzyxzyxzyxzyxzyx &&&&&&&&&&


x y z zy & yx & yxzy && L L

1 1 1 1 1 1 1 0

1 1 0 0 1 1 1 0

1 0 1 0 0 1 1 0

1 0 0 0 0 1 1 0

0 1 1 1 0 0 0 1

0 1 0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 1 0 1

22


)(&&&&)&&(& zyyxzxyxyxyxzyxL

LКНФxx 1& ,

&)(&)(&)(&& zyxzyxzyxzzyyxxLКНФ

LСКНФzyx )(& .





5) zzyxyxzzyxyxL

zzyxyxzzyxyx &&&

zzyxyxzzyxyx &&)(&)(

zzyxyxzzyxyx &)&(&)(

zzyxyxzzyxyx &)&(&&)&(

zzyxyxzzyxyx &)&)((&)&&(

zzyyxzzyyxxx &)&(&)&&(

LДНФzzyzxzzyxzzyyyx &&&)(&)(&)( ,

zyxxzyyxzzyzxLДНФ &&)(&)(&&&

zyxzyxzyxzyxzyyxx &&&&&&&&&)(&)(

zyxzyxzyxzyxzyxzyx &&&&&&&&&&&&

LСДНФzyxzyx &&&& .


23

x y z yx xyx yxyx zyxyx L L

1 1 1 1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 0 1 1 0 1

1 0 1 0 1 1 0 1 0

1 0 0 0 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 0 1 1 0

0 1 0 1 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 1 0 1 0

0 0 0 1 1 1 1 0 1


LКНФzzzxzzyzxzzyxyxL &&& ,

&)(&)(&)(&& zyxzyxzyxzyyxxzLКНФ

LСКНФzyx )(& .





6) zyxzyxzyxzyxL )()(

zyzxyxzyzxyxzyzxyx &&&

zyyzxxzxzyzxyx &&&&&&)(

LДНФzyzyx && ,

)(&&)(&&&& zzyxxzyxzyzyxLДНФ

zyxzyxzyxzyxzyyxx &&&&&&&&&)(&)(

zyxzyxzyxzyxzyx &&&&&&&&&&


LСДНФ .


24

x y z yx xz zy )( xzyx L L

1 1 1 1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 1 1 1 1 0

1 0 1 0 0 0 1 0 1

1 0 0 0 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 0

0 1 0 1 1 1 1 1 0

0 0 1 1 1 0 1 0 1

0 0 0 1 1 1 1 1 0

zyxzyxzyxzyxLСДНФ &&&&&&&&

zyxzyx &&&& .

LКНФzyzyzyxzyxzyxL &&)()( ,

LСКНФzyxzyxzyxxzyLКНФ )(&)(& .


)(&)(&&&& zyxzyxzyxzyxLСКНФ

)(&)( zyxzyx .

5.6. Приведем формулу к ДНФ. Если в полученной ДНФ каждая элемен-

тарная конъюнкция не содержит переменную и ее отрицание, то данная форму-

ла не является тождественно ложной. Следовательно, она либо тождественно

истинная, либо выполнимая. Преобразуем ее к КНФ. Если в полученной КНФ

каждая элементарная дизъюнкция также не содержит переменную и ее отрица-

ние, то рассматриваемая формула не является и тождественно истинной. Отсю-

да следует, что формула является выполнимой.

1) LДНФzyxzyxzyxL & – формула не является

тождественно ложной.

LКНФzyzxzyxzyxL )(&)(& – формула не являет-

ся и тождественно истинной, следовательно, она – выполнимая.

2) xyyxxyyxxyyxL )(

25

LДНФyxyx & – формула не является тождественно ложной.

LКНФyxyxyxxyyxL &)( – формула не являет-

ся и тождественно истинной, следовательно, она – выполнимая.

3) yyxyxyyxyxyyxyxL &&&

LДНФyyxyx && – формула – не тождественно ложная.

yxyyyxyxyyxyxL &&&&

LКНФyxyyyx )(&)( – формула не является и тождественно

истинной, следовательно, она – выполнимая.

4) xzyzyxxzyzyxL &)&(&)&(

xzyzyxxzyzyx &&&)&(&&)&(

LДНФzxyxzyxxzyzyx &&)(&&)(&)&( – формула

не является тождественно ложной.

LКНФzyxxzyzyxL )(&&)&( – формула не является и

тождественно истинной, следовательно, она – выполнимая.

6.1. Выполним равносильные преобразования, после чего составим ре-

лейно-контактные схемы.

1) yxyx

2) )(&)()(&)( yxyxxyyxyx

yxyxyyyxyxxx &&&&&&

Y

X

Y X

X Y

26

6.2. Упростим формулы с помощью равносильных преобразований, затем

составим релейно-контактные схемы.

1) xxxxxxxxxxxxx

2) )(&)()(&)()(&)( zyzxyzzxyzzx

3) xyzyxzxyzyxz )(&)()()(&)(

yxzyzxyxzyzxyxzyzx &&)(&)(

11)(&)()(&)( yxzyzxzyyyzxxx

6.3. Запишем аналитические выражения, упростим их, после чего соста-

вим релейно-контактные схемы.

1) )&&(&&&&&1 zyzyxzyxzyxf

)(&)(&)(&)(&)(&)(& zyzyxzzzyzyyyx

2) zyxzyyxzyxzyxzyxf &&&)(&&&&&&&2

zyxzx &&&

X

Y

Z

X

Z

Z Z

X

Y Y

Z Y

X Z

X

27

3) zyxzyxzyxzyxf &&&&&&&&3

zyyxzzyxzyxx &&)(&&&&)(

6.4. Запишем формулы алгебры логики, соответствующие приведенным

релейно-контактным схемам, упростим формулы с помощью равносильных

преобразований, после этого составим релейно-контактные схемы, соответ-

ствующие упрощенным формулам.

1) )&&&(&)(&)&(&)( zzzyxyxzzyxyx

000&&&&&&&&&)( zyyxzyxxzyxyx

2) zzzyzxzyzxzzyzxzyx &&&&&&)(&&)(

yxzzyxzyzyzzx )(&0&&)(&

3) zyzxzyxzyxzyx &&&&)(&

zyxzyzyx &&&

Y

Y Z

X

X

Y

X

Z

Y

28

6.5. Запишем формулы алгебры логики, соответствующие каждой паре

релейно-контактных схем, докажем их равносильность.

1) zyxzyxzyxzyxL &&&&&&&&1 ,

zyxyxL &)(&2 .

zyxzyxzyxzyxL &&&&&&&&1


zyxxzyyxzzyx &&)(&)(&)(&&

2&)(&&&& Lzyxyxzyzxyx .

2) zzyzzxzxxL &)(&)()(&1 ,

zzxxL &2 .

zzzzxxzzyzzxzxxL &&&)(&)()(&1

2& Lzzxx .

3) zyzyxyxL &&&&1 ,

yL 2 .

)&(&&&&&1 zzxxyzyzyxyxL

21&)(&))(&)((& Lyyzzxyzzxxxy .

7.1. Обозначим высказывания студентов в виде ix , где x – первая буква

фамилии студента, i – вуз, в котором он учится (f – УрФУ, l – УГЛТУ,

p – РГППУ). Так как в каждой паре высказываний одно истинно, а другое лож-

но, то, очевидно, будут истинными дизъюнкции этих высказываний:

1pffplf

zmzvzv .

Но тогда истинной будет и конъюнкция этих дизъюнкций, т.е.

1)(&)(&)( pffplf

zmzvzvL .

29

Выполним равносильные преобразования, учитывая, что один и тот же

студент не может учиться в двух вузах, а два различных студента не могут

учиться в одном вузе. В результате получим:

lpffpfpffplf

zvzvvvzmzvzvL &&&()(&)(&)(

)(&)0&00()(&)&pflppffl

zmzvzmzz

1&&0&&&&&& lpflpfplplpf

zvmzvmzzvzvm .

Отсюда следует ответ на вопрос о месте учебы каждого из студентов:

Медведев учится в УрФУ, Волков – в РГППУ, Зайцев – в УГЛТУ.

7.2. Введем обозначения высказываний: k – Карасёв был на лекции по ма-

тематической логике, b – Ершов видел Карасёва в библиотеке.

Из условия задачи следует:

1& bkkkbk .

Но тогда истинной будет и конъюнкция этих импликаций, т.е.

1)(&)&( bkkkbkL .

Выполним равносильные преобразования, в результате получим:

)(&)&()(&)&( bkkkbkbkkkbkL

11&)&( kkbk

Отсюда следует, что Карасёв был на лекции по математической логике.

7.3. Введем обозначения высказываний: b – Блохин сдал экзамен по ма-

тематической логике; k – Комаров сдал экзамен по математической логике; m –

Муравьёв сдал экзамен по математической логике; s – Слепнёв сдал экзамен по

математической логике.

Из условия задачи следует:

1& bsmbsmbkkb .

Но тогда истинной будет и конъюнкция этих импликаций, т.е.

1)(&)&(&)(&)( bsmbsmbkkbL .

Выполним равносильные преобразования, в результате получим:

)(&)&(&)(&)( bsmbsmbkkbL

30

)(&)&(&)(&)( bsmbsmbkkb

)(&)(&)(&)(&)( sbsmsbmkbkb

)(&)&(&))(&( smssbmkkb

)(&&)&()(&&)&&( smbmkbsmbmkkkb

)(&&&)(&)&&&( smmkbsmmkbbb

1&&&&&&&&& smkbsmkbmmkb .

Отсюда следует, что экзамен по математической логике сдали все четыре

студента.

7.4. Введем обозначения высказываний: b – преступник – Березовский;

o – преступник – Ольховский; s – преступник – Сосновский. Тогда утверждения

задержанных, можно записать в виде следующих конъюнкций:

sb & , sb & , so & ,

из которых по условию задачи две ложны, а одна истинна.

Формула, представляющая собой дизъюнкцию этих конъюнкций

sosbsbL &&& .

является выполнимой, поэтому рассмотрим ее таблицу истинности и проанали-

зируем все случаи, когда 1L .

Таблица истинности формулы L имеет следующий вид:

b o s b o s sb & sb & so & L

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 1 0 1

0 1 1 1 0 0 1 0 0 1

0 1 0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 1 0 1 0 1 1

0 0 0 1 1 1 0 0 0 0

Из таблицы истинности видно, что 1L в пяти из восьми вариантов.

31

Вариант 7 сразу исключается из рассмотрения, т.к. в нем оказываются ис-

тинными две конъюнкции, что противоречит условию задачи. В вариантах 2, 3

и 5 истинными являются по два высказывания b и o, b и s, o и s соответственно,

что также противоречит условию задачи, т.к. известно, что преступник один.

Отсюда следует, что всем требованиям условия задачи отвечает только один

вариант – 4, т.е. преступник – Березовский.

Он – известный мошенник, т.к. оба его высказывания b и s ложны; оба

высказывания Ольховского b и s – истинны, он – известный журналист; у

Сосновского первое высказывание o ложно, второе s – истинно, он – политик.

32

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гиндикин, С.Г. Алгебра логики в задачах / С.Г. Гиндикин. – М. :

Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. – 288 с.

2. Замятин, А.П. Математическая логика : учеб. пособие / А.П. Замя-

тин. – Екатеринбург : Изд-во Урал ун-та, 2004. – 140 с.

3. Лавров, И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и

теории алгоритмов : учеб. изд. / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. – 5-е изд. –

М. : Физматлит, 2004. – 256 с.

4. Лихтарников, Л.М. Математическая логика : учеб. пособие для вузов /

Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачёва. – 4-е изд. – СПб. : Лань, 2009. – 288 с.

Учебное электронное текстовое издание

Опарин Дмитрий Всеволодович

ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Часть II. Совершенные нормальные формы, приложение

алгебры логики к релейно-контактным схемам,

решение логических задач

Редактор Н.В. Лутова.

Компьютерная верстка авторская.

Рекомендовано Методическим советом ФГОАУ ВПО УрФУ

Разрешено к публикации 08.06.2015

Электронный формат – pdf

Объем 1,69 уч.-изд. л.

620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

ЦНОТ ИТОО УрФУ

ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ6 Задача 10. Для формулы l{x&(xoy)...

Documents