Ôåäåðàëüíîå àãåíòñòâî ïî îáðàçîâàíèþÃîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå

âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ"Ïåíçåíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò"

Ë.Í.Äîìíèí

ÝËÅÌÅÍÒÛÒÅÎÐÈÈ ÃÐÀÔÎÂ

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

ÏåíçàÈçäàòåëüñòâî

Ïåíçåíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãîóíèâåðñèòåòà

2007

ÓÄÊ 519.1Ä66

Ð å ö å í ç å í ò û :Êàôåäðà "Åñòåñòâåííî-íàó÷íûå äèñöèïëèíû"

ÃÎÓÂÏÎ "Ðîññèéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòèííîâàöèîííûõ òåõíîëîãèé è ïðåäïðèíèìàòåëüñòâà"

(Ïåíçåíñêèé ôèëèàë)Êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,äîöåíò êàôåäðû "Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà"

ÃÎÓÂÏÎ "Âñåðîñèéñêèé çàî÷íûé ôèíàíñîâî-ýêîíîìè÷åñêèé èíñòèòóò"Þ.Í. Çàâàðîâñêèé

Äîìíèí, Ë. Í.Ä66 Ýëåìåíòû òåîðèè ãðàôîâ: ó÷åá. ïîñîáèå /Ë.Í.Äîìíèí. � Ïåíçà:

Èçä-âî Ïåíç. ãîñ. óí-òà, 2007. � 144 ñ.: 75 èë., 13 òàáë., áèáëèîãð.18 íàçâ.

Êíèãà ïîñâÿùåíà òåîðèè ãðàôîâ è ñîñòîèò èç ïÿòè ðàçäåëîâ.  ïåð-âîì äàíû îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ òåîðèè ãðàôîâ, ðàññìîòðåíûâèäû ãðàôîâ è ñïîñîáû èõ îïèñàíèÿ. Âòîðîé ðàçäåë ïîñâÿùåí âîïðîñó îñâÿçíîñòè îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ. Âàæíåéøèé âèä ãðàôîâ � äåðåâüÿðàññìîòðåí â òðåòüåì ðàçäåëå. Ðàçîáðàíû çàäà÷è îïèñàíèÿ è ïåðåñ÷åòàäåðåâüåâ, à òàêæå çàäà÷à î êðàò÷àéøåì îñòîâå. ×åòâåðòûé ðàçäåë ïî-ñâÿùåí âîïðîñàì ïåðåñ÷åòà è ïåðå÷èñëåíèÿ ïóòåé â ãðàôàõ. Çäåñü æåïðèâåäåíû ðàçëè÷íûå âàðèàíòû çàäà÷è î êðàò÷àéøåì ïóòè è àëãîðèò-ìû åå ðåøåíèÿ.  ïÿòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûå,ýéëåðîâû è ãàìèëüòîíîâû öèêëû. Ðàçáèðàþòñÿ óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿè àëãîðèòìû ïîèñêà òàêèõ öèêëîâ â ãðàôå.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå "Âûñøàÿ è ïðèêëàäíàÿìàòåìàòèêà" ïî ìàòåðèàëàì êóðñà ëåêöèé ïî òåîðèè ãðàôîâ, ÷èòàåìîãîàâòîðîì äëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòè "Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà" è ìî-æåò áûòü èñïîëüçîâàíî ñòóäåíòàìè äðóãèõ ñïåöèàëüíîñòåé ïðè èçó÷åíèèñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçäåëîâ äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè.

ÓÄÊ 519.1

c© Äîìíèí Ë. Í., 2007c© Èçäàòåëüñòâî Ïåíçåíñêîãî

ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, 2007

ÏðåäèñëîâèåÒåîðèÿ ãðàôîâ � ðàçäåë äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè, ðàññìàò-

ðèâþùèé ìíîæåñòâà ñ çàäàííûìè íà íèõ îòíîøåíèÿìè ìåæäóýëåìåíòàìè. Îáúåêòû òàêîãî ðîäà ìîãóò áûòü íàãëÿäíî ïðåä-ñòàâëåíû ââèäå ðèñóíêîâ, ñîñòîÿùèõ èç òî÷åê, êðóæî÷êîâ èëèèíûõ ôèãóð, ñîåäèíåííûõ ëèíèÿìè. Ïðè ýòîì òî÷êè ñîîòâåò-ñòâóþò ýëåìåíòàì ìíîæåñòâà, à ëèíèè îòðàæàþò ñâÿçè (îòíî-øåíèÿ) ìåæäó íèìè. Ïîäîáíûå ðèñóíêè îáû÷íî è íàçûâàþòãðàôàìè, õîòÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ïîíÿòèå øèðå, à ðèñóíîê �ëèøü îäíà èç ôîðì ïðåäñòàâëåíèÿ ãðàôà.

Cõåìû ðàçëè÷íûõ êîììóíèêàöèé, ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, õè-ìè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé, áëîê-ñõåìû êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàìì,ñõåìû ñâÿçåé ìåæäó ëþäüìè è ãðóïïàìè ëþäåé ôàêòè÷åñêèÿâëÿþòñÿ ãðàôàìè. Ñ ïîìîùüþ ãðàôîâ ëåãêî è ïðîñòî ôîð-ìóëèðóåòñÿ áîëüøèíñòâî çàäà÷, â êîòîðûõ ôèãóðèðóþò äèñ-êðåòíûå îáúåêòû è ïðîöåññû.

Ââåäåíèå òåðìèíà "ãðàô" ïðèïèñûâàåòñÿ èçâåñòíîìó âåí-ãåðñêîìó ìàòåìàòèêó Ä.Ê�åíèãó (1884�1944) àâòîðó îäíîé èçïåðâûõ êíèã ïî òåîðèè ãðàôîâ (1936 ã.). Îäíàêî èìåþòñÿ èáîëåå ðàííèå ðàáîòû (ñòàòüè êàê ñàìîãî Ê�åíèãà, òàê è äðóãèõàâòîðîâ), ãäå èñïîëüçóåòñÿ ýòî íàçâàíèå.

Ïîÿâëåíèå ÝÂÌ, ðàçâèòèå ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, ìàøèí-íîé ìàòåìàòèêè, òåîðèè èíôîðìàöèè, èññëåäîâàíèÿ îïåðàöèé,áèîëîãèè, ìàòåìàòè÷åñêîé ëèíãâèñòèêè è äðóãèõ äèñöèïëèí,ïðèâåëî ê ðîñòó ÷èñëà çàäà÷, ãäå, â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîãîàíàëèçà íåïðåðûâíûõ âåëè÷èí, íà ïåðâûé ïëàí âûõîäÿò ðàñ-ñóæäåíèÿ è ïîñòðîåíèÿ äèñêðåòíî-êîìáèíàòîðíîãî õàðàêòåðà.Êàê ðåçóëüòàò òåîðèÿ ãðàôîâ ñòàëà îäíîé èç ñóùåñòâåííûõ÷àñòåé ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ìíîãèõ íàó÷íûõ äèñöèïëèíè âîøëà â ó÷åáíûå ïðîãðàììû âóçîâ.

 íåáîëüøîé ïî îáúåìó êíèãå íåâîçìîæíî îõâàòèòü âñþïðîáëåìàòèêó òåîðèè.  ðåçóëüòàòå æåñòêîãî îòáîðà áûëè âû-áðàíû òåìû, êàñàþùèåñÿ ñâÿçíîñòè, ïîèñêà ïóòåé è öèêëîâ âãðàôàõ, à òàêæå äåðåâüåâ � îäíîãî èç íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå-÷àþùèõñÿ â ïðèëîæåíèÿõ âèäîâ ãðàôîâ.

3

Êàê è â ëþáîé íàó÷íîé äèñöèïëèíå, ìíîãèå ïîíÿòèÿ, õà-ðàêòåðèñòèêè, òåîðåìû è àëãîðèòìû òåîðèè ãðàôîâ íîñÿò èìå-íà ëþäåé, âíåñøèõ âêëàä â å�å ñòàíîâëåíèå è ðàçâèòèå. Ïîëåç-íî è ñïðàâåäëèâî, ÷òîáû èçó÷àþùèé ïðåäñòàâëÿë, êòî è êîãäàïîëîæèë ñâîé "êèðïè÷èê" â çäàíèå íàóêè. Íèæå äàíû î÷åíüêðàòêèå ñâåäåíèÿ î òåõ, ÷üè èìåíà åñòü íà ñòðàíèöàõ ïîñîáèÿ.

Ë.Ýéëåð (1707�1783) � âåëèêèé øâåéöàðñêèé, íåìåöêèé èðîññèéñêèé ìàòåìàòèê.

Ó. Ãàìèëüòîí (1805�1865) � èðëàíäñêèé ìàòåìàòèê, ôèçèêè ìåõàíèê.

À.Êýëè (1821�1895) � àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê êîòîðûé èñ-ñëåäîâàë äåðåâüÿ â ñâÿçè ñ õèìè÷åñêèìè ñòðóêòóðíûìè ôîð-ìóëàìè.

Ã.Êèðõãîô (1824�1887) � âûäàþùèéñÿ íåìåöêèé ôèçèê.Ðàçðàáîòàë òåîðèþ äåðåâüåâ äëÿ àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öå-ïåé.

Ä.Ïîéà (1887�1985) � èçâåñòíûé âåíãåðñêèé, øâåéöàðñêèéè àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê. Ïðåäëîæèë ìåòîä, ïîçâîëÿþùèéðåøàòü çàäà÷è ïîäñ÷åòà ðàçëè÷íûõ âèäîâ ãðàôîâ.

Õ.Ïðþôåð (1896�1934) � íåìåöêèé ìàòåìàòèê.Î.Îðå (1899�1968) � âèäíûé íîðâåæñêèé ìàòåìàòèê.Õ.Óèòíè (1907�1989) � èçâåñòíûé àìåðèêàíñêèé ìàòåìà-

òèê, ðàáîòàâøèé â îáëàñòè òåîðèè ãðàôîâ è òîïîëîãèè.Ð.Ïðèì (1921) � àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê, ÷üå èìÿ íîñèò

îäèí èç àëãîðèòìîâ ïîñòðîåíèÿ êðàò÷àéøåãî îñòîâà ãðàôà.Ã.Äèðàê (1925�1984) � èçâåñòíûé äàòñêèé ìàòåìàòèê.Ä.Êðàñêàë (1928) � àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê. Àâòîð îä-

íîèìåííîãî àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ êðàò÷àéøåãî îñòîâà ãðàôà.Ý.Äåéêñòðà (1930�2002) � ãîëëàíäñêèé ó÷�åíûé, âíåñøèé

áîëüøîé âêëàä â ðàçâèòèå òåîðèè è ïðàêòèêè ïðîãðàììèðî-âàíèÿ. Àâòîð àëãîðèòìà ïîèñêà êðàò÷àéøåãî ïóòè â ãðàôå.

Äëÿ ïîíèìàíèÿ è óñâîåíèÿ ìàòåðèàëà ïîñîáèÿ äîñòàòî÷íîâëàäåòü íà÷àëüíûìè ñâåäåíèÿìè èç òåîðèè ìíîæåñòâ, ëèíåé-íîé àëãåáðû è êîìáèíàòîðèêè.

4

1. Ââåäåíèå1.1. Îïðåäåëåíèå ãðàôàÒåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå îïðåäåëåíèå ãðàôà.Ïóñòü

V � íåïóñòîå ìíîæåñòâî, íàïðèìåð {v1, v2, v3, v4, v5}. Çàïè-øåì ìíîæåñòâî âñåõ åãî äâóõýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ V (2).Äëÿ íàøåãî ïðèìåðà ýòî ìíîæåñòâî

V (2) = {{v1, v2}, {v1, v3}, {v1, v4}, {v1, v5},{v2, v3}, {v2, v4}, {v2, v5},

{v3, v4}, {v3, v5},{v4, v5}} .

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíî íåêîòîðîå E ⊆ V (2), íàïðèìåð,E = {{v1, v2}, {v1, v3}, {v1, v4},

{v2, v3}, {v2, v5},{v3, v4},

{v4, v5}} .Ïàðó 〈V,E〉 íàçûâàþò íåîðèåíòèðîâàííûì ãðàôîì G, â êî-òîðîì V ýòî ìíîæåñòâî âåðøèí, à E � ìíîæåñòâî ðåáåð, ÿâ-ëÿþùååñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà V (2).

 áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå ýòî îïðåäåëåíèå îáû÷íî ôîð-ìóëèðóåòñÿ òàê: ïàðà 〈V, E〉 íàçûâàåòñÿ íåîðèåíòèðîâàííûìãðàôîì, åñëè V � íåïóñòîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ, íàçûâàåìûõâåðøèíàìè, à E � ìíîæåñòâî íåóïîðÿäî÷åííûõ ïàð ðàçëè÷-íûõ ýëåìåíòîâ èç V, íàçûâàåìûõ ðåáðàìè.

Ïðè çàïèñè ðàçëè÷íûõ ñîîòíîøåíèé â òåîðèè ãðàôîâ ïîëü-çóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿìè V G èëè V (G) äëÿ ìíîæåñòâà âåðøèíè EG èëè E(G) äëÿ ìíîæåñòâà ðåáåð ãðàôà G .

Íàãëÿäíûì ñïîñîáîì ïðåäñòàâëåíèÿ ãðàôà ÿâëÿåòñÿ ðèñó-íîê (äèàãðàììà), íà êîòîðîì âåðøèíû èçîáðàæàþòñÿ òî÷êà-ìè, êðóæî÷êàìè èëè äðóãèìè ôèãóðêàìè, à ðåáðà � ëèíèÿìè,ñîåäèíÿþùèìè èçîáðàæåíèÿ âåðøèí ðåáåðíîé ïàðû.1 Ôîðìà

1Èíîãäà ãðàôîì íàçûâàþò èìåííî òàêîé ðèñóíîê (äèàãðàììó).

5

è ðàçìåðû èçîáðàæåíèÿ çíà÷åíèÿ íå èìåþò. Âàæíî òîëüêî,÷òîáû îíî ñîîòâåòñòâîâàëî ìíîæåñòâàì V è E . Íà ðèñ. 1.1äàíû âàðèàíòû òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âûøåîïèñàííîãî ãðàôà.

sv1

sv2

sv3

sv4

sv5

ZZZBBBBB

�����

���B

BB

Ðèñ. 1.1

sv1

sv2

sv3

sv4

sv5

���

@@@

���

sv1 sv2

sv3

sv4

sv5

@@@@@

AAAAA

��

���

sv1 sv2

sv3

sv4

sv5�

��

���

Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ñóùåñòâåííîå ðàçëè÷èå èçîáðàæåíèéè âìåñòå ñ òåì ïîëíîå ñîîòâåòñòâèå äðóã äðóãó è îïèñàíèþãðàôà íà ñòð. 5.

Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ãðàôà è åãî ýëåìåíòîâ.Äâå âåðøèíû, îáðàçóþùèå ðåáðî {vi, vj}, íàçûâàþò åãî êîí-öàìè, à ïðî ðåáðî ãîâîðÿò, ÷òî îíî ñîåäèíÿåò vi è vj. Ãîâîðÿòòàêæå, ÷òî âåðøèíû vi è vj ñìåæíû. Ñìåæíûìè íàçûâàþò èðåáðà ñ îáùåé âåðøèíîé. Ïðî ðåáðî è âåðøèíó, êîòîðàÿ ÿâëÿ-åòñÿ åãî êîíöîì, ãîâîðÿò, ÷òî îíè èíöèäåíòíû. Òàê, íàïðèìåð,â ãðàôå íà ðèñ. 1.1 âåðøèíû v1 è v2 ñìåæíû, à âåðøèíû v3

è v5 íå ñìåæíû. Ðåáðà {v1, v2} è {v1, v3} ñìåæíû, à ðåáðà{v4, v5} è {v2, v3} íå ñìåæíû. Íàêîíåö, âåðøèíà v3 è ðåáðî{v2, v3} èíöèäåíòíû.

×èñëî ðåáåð, èíöèäåíòíûõ âåðøèíå v, îïðåäåëÿåò ñòå-ïåíü âåðøèíû, êîòîðàÿ îáîçíà÷àåòñÿ deg v. Òàê, â ãðàôå íàðèñ. 1.1 deg v1= deg v2= deg v3= deg v4=3, à deg v5=2. Âåðøè-íó v íàçûâàþò èçîëèðîâàííîé, åñëè deg v=0, è êîíöåâîé, åñëèdeg v=1. Ðåáðî, èíöèäåíòíîå êîíöåâîé âåðøèíå, òàêæå íàçû-âàþò êîíöåâûì. Ñïèñîê ñòåïåíåé âñåõ âåðøèí íàçûâàþò ñòå-ïåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ãðàôà.

Ìíîæåñòâî âåðøèí, ñìåæíûõ ñ âåðøèíîé v , îáîçíà÷àþòêàê adj v. Íàïðèìåð, â ãðàôå íà ðèñ. 1.1 adj v1 = {v2, v3, v4}.

Âàæíåéøèìè êîëè÷åñòâåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ãðàôàÿâëÿþòñÿ: ÷èñëî âåðøèí n=|V |, îïðåäåëÿþùåå ïîðÿäîê ãðà-ôà, è ÷èñëî ðåáåð m=|E|. Ãðàô ñ n âåðøèíàìè è m ðåáðàìèíàçûâàåòñÿ (n,m)-ãðàôîì.

6

Èñòîðè÷åñêè ïåðâîé òåîðåìîé òåîðèè ãðàôîâ ÿâëåòñÿ óòâåð-æäåíèå, ïðèíàäëåæàùåå Ýéëåðó è ñâÿçûâàþùåå êîëè÷åñòâîðåáåð, âåðøèí è èõ ñòåïåíåé.

Òåîðåìà 1.1 Ñóììà ñòåïåíåé âåðøèí (n,m)-ãðàôà ðàâíàóäâîåííîìó ÷èñëó åãî ðåáåð:

n∑i=1

deg vi = 2|E| = 2m .¤ Äîêàçàòåëüñòâî òðèâèàëüíî: ïîñêîëüêó ëþáîå ðåáðî èíöè-äåíòíî äâóì âåðøèíàì, â ñóììå ñòåïåíåé âñåõ âåðøèí ãðàôàêàæäîå ðåáðî ó÷èòûâàåòñÿ äâàæäû. ¢

Ñ ë å ä ñ ò â è å.  ëþáîì ãðàôå ÷èñëî âåðøèí íå÷åòíîéñòåïåíè ÷åòíî. ¤ Ïóñòü V1 è V2 � ìíîæåñòâà âåðøèí ÷åòíîéè íå÷åòíîé ñòåïåíè ñîîòâåòñòâåííî. Î÷åâèäíî,÷òî

∑v∈V1

deg v +∑v∈V2

deg v = 2m .

Èìååì äâà ñëàãàåìûõ, ñóììà êîòîðûõ ÷åòíîå ÷èñëî. Ïåðâîåñëàãàåìîå ÷åòíî (êàê ñóììà ÷åòíûõ ÷èñåë). Çíà÷èò, âòîðîåòàêæå äîëæíî áûòü ÷åòíûì, à ýòî ïðè ñóììèðîâàíèè íå÷åò-íûõ ÷èñåë âîçìîæíî, åñëè òîëüêî èõ êîëè÷åñòâî ÷åòíî. ¢

Èçîìîðôèçì ãðàôîâ. Îáðàòèìñÿ âíîâü ê ðèñ. 1.1, ãäåïðåäñòàâëåíû ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ èçîáðàæåíèÿ îäíîãî è òîãîæå ãðàôà. Çàäà÷à ðèñóíêà � ïîêàçàòü ìíîæåñòâåííîñòü îáðà-çîâ ïðè ãðàôè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ãðàôà. Ìîæíî ïîñòàâèòüäðóãóþ, â íåêîòîðîì ñìûñëå îáðàòíóþ çàäà÷ó. Èìåþòñÿ èçîá-ðàæåíèÿ ãðàôîâ îäíîãî ïîðÿäêà ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì ðåáåð.Íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü, ðàçíûå ýòî ãðàôû èëè îäèí, òîëüêîïî-ðàçíîìó èçîáðàæåííûé. ×òîáû ðàçëè÷àòü ïîäîáíûå ñèòó-àöèè, èñïîëüçóþò ïîíÿòèå èçîìîðôèçìà.

Èçîìîðôèçìîì íàçûâàþò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåò-ñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè âåðøèí äâóõ ãðàôîâ G1 è G2, ñî-õðàíÿþùåå îòíîøåíèå ñìåæíîñòè, à ñàìè ãðàôû íàçûâàþòèçîìîðôíûìè. Îòîáðàæàÿ ýòî, ïèøóò: G1

∼=G2 èëè G1=G2.

Èçîìîðôíîñòü ãðàôîâ íà ðèñ. 1.1 óñòàíîâèòü äîâîëüíî ïðî-ñòî. Äîñòàòî÷íî ñîñòàâèòü ñïèñêè âåðøèí âñåõ ãðàôîâ, óêà-çàâ äëÿ êàæäîé èç íèõ âñåõ åå "ñîñåäîê" (ìíîæåñòâî adj v ).Ñðàâíèâ ñïèñêè, ëåãêî óáåäèòüñÿ â èõ èäåíòè÷íîñòè � ãðàôû

7

èçîìîðôíû.  äàííîì ñëó÷àå ãðàôû äåéñòâèòåëüíî èçîìîðô-íû, ïðè÷åì èõ ýêâèâàëåíòíûå âåðøèíû îáîçíà÷åíû (ïðîíóìå-ðîâàíû) îäèíàêîâî. Çàäà÷à óñëîæíÿåòñÿ, åñëè ýêâèâàëåíòíûåâåðøèíû ãðàôîâ èìåþò ðàçíûå íîìåðà.  êà÷åñòâå ïðèìåðàìîæíî ïðèâåñòè äâà èçîìîðôíûõ ãðàôà G1 è G2 , èçîáðàæåí-íûå íà ðèñ. 1.2. Äëÿ íèõ îïèñàííóþ âûøå ïðîöåäóðó ðàáîòû

G1

sv1

sv2

sv3

sv4

sv5

cccc

BBBBB####sv6

sv7

sv8 sv9

sv10

BBBBBc

ccc ####����� ��

JJ

XX

G2

Ðèñ. 1.2

sv1 sv2 sv3

sv10

sv9

sv4sv5

sv8s

v7

sv6

@@

AAAA

��

����

@@

��

������

G3

sv1 sv2 sv3

sv10

sv9

sv4sv5

sv8sv7

sv6

@@��

QQQQQQ

@@

��

AAAA

����

ñî ñïèñêàìè ïðèäåòñÿ ïîâòîðÿòü íåîäíîêðàòíî, êàæäûé ðàçìåíÿÿ íóìåðàöèþ âåðøèí îäíîãî èç ãðàôîâ, ïîêà íå áóäåò îá-íàðóæåí èçîìîðôèçì, ò. å. ïîëó÷åíû èäåíòè÷íûå ñïèñêè âåð-øèí.  ëó÷øåì ñëó÷àå ôàêò èçîìîðôíîñòè ãðàôîâ ìîæíîóñòàíîâèòü ñ ïåðâîé ïîïûòêè, â õóäøåì ïîòðåáóåòñÿ ïðîâå-ðèòü 10! âàðèàíòîâ íóìåðàöèè âåðøèí. Äîêàçàòü íåèçîìîðô-íîñòü ãðàôîâ G1 è G3 ìîæíî, òîëüêî âûïîëíèâ âñå ïðîâåðêè.Ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü èõ êîëè÷åñòâî ìîæíî, åñëè èñïîëüçî-âàòü èíâàðèàíòû.

Èíâàðèàíòîì íàçûâàþò íåêîòîðóþ õàðàêòåðèñòèêó ãðàôàG, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò îäíî è òî æå çíà÷åíèå äëÿ ëþáîãî ãðà-ôà, èçîìîðôíîãî G.

Èíâàðèàíòàìè ÿâëÿþòñÿ: ÷èñëî âåðøèí è ÷èñëî ðåáåð ãðà-ôà, ÷èñëî âåðøèí ÷åòíîé è íå÷åòíîé ñòåïåíè, ñòåïåííàÿ ïîñëå-äîâàòåëüíîñòü è äðóãèå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.  êà÷åñòâåèíâàðèàíòîâ ìîãóò âûñòóïàòü ñâîéñòâà è îñîáåííîñòè ãðàôà(ñâÿçíîñòü, äâóäîëüíîñòü, íàëè÷èå èëè îòñóòñòâèå öèêëîâ èò. ï.), ðàññìàòðèâàåìûå äàëåå.

Àíàëèç ãðàôîâ íà èçîìîðôíîñòü öåëåñîîáðàçíî íà÷èíàòüñî ñðàâíåíèèÿ çíà÷åíèé íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà èíâàðèàíòîâ,ïåðåõîäÿ îò ïðîñòûõ êî âñå áîëåå ñëîæíûì è òðóäîåìêèì.

8

È òîëüêî åñëè âûáðàííàÿ ñèñòåìà èíâàðèàíòîâ íå ïîçâîëè-ëà óñòàíîâèòü íåèçîìîðôíîñòü ãðàôîâ, ñëåäóåò ïðèñòóïàòü êïåðåáîðó. Ïðè ýòîì êîëè÷åñòâî ïåðåáèðàåìûõ âàðèàíòîâ íó-ìåðàöèè âåðøèí ìîæåò îêàçàòüñÿ ñóùåñòâåííî ìåíüøèì. Åñ-ëè, íàïðèìåð, ïðè ñîâïàäåíèè ñòåïåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéäâóõ ãðàôîâ â êàæäîì èç íèõ åñòü îäíà âåðøèíà ñòåïåíè d,îáîçíà÷åííàÿ â ïåðâîì ãðàôå êàê v5, òî èç âñåõ âîçìîæíûõíóìåðàöèé âåðøèí âòîðîãî ãðàôà ñëåäóåò ðàññìîòðåòü òîëüêîòå, â êîòîðûõ âåðøèíà ýòîé ñòåïåíè èìååò òîò æå íîìåð.

Ê ñîæàëåíèþ, ïîêà íå èçâåñòíà (âîçìîæíî è íå ñóùåñòâó-åò) ñèñòåìà èíâàðèàíòîâ, ïîçâîëÿþùàÿ ðåøàòü çàäà÷ó èçî-ìîðôèçìà äëÿ âñåõ âèäîâ ãðàôîâ.

Êîëè÷åñòâî ãðàôîâ. Îïðåäåëèì ÷èñëî ãðàôîâ ïîðÿäêàn. ßñíî, ÷òî íà ìíîæåñòâå èç n âåðøèí ìîæíî îáðàçîâàòü C2

nðàçëè÷íûõ íåóïîðÿäî÷åííûõ ïàð, ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåì âîç-ìîæíûì ðåáðàì ãðàôà. Ïîýòîìó ëþáîìó n-âåðøèííîìó ãðà-ôó ìîæíî ñîîïîñòàâèòü C2

n-ðàçðÿäíûé äâîè÷íûé êîä, êàæäûéðàçðÿä êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîìó ðåáðó: åñëè ðàç-ðÿä ðàâåí 1, ãðàô ñîäåðæèò ýòî ðåáðî, åñëè 0 � íå ñîäåðæèò.Ñëåäîâàòåëüíî, êîëè÷åñòâî ãðàôîâ ïîðÿäêà n ìîæíî îïðåäå-ëèòü êàê ln=2C2

n . Ïðè n=10 èìååì l10=2C210 , ÷òî ñîñòàâëÿåò

âíóøèòåëüíóþ âåëè÷èíó 245 èëè '3, 518 · 1013. Îäíàêî, åñ-ëè íå ó÷èòûâàòü ðàçìåòêó âåðøèí, êîòîðàÿ ïðèíöèïèàëüíîãîçíà÷åíèÿ íå èìååò, à ëèøü ïîçâîëÿåò îïèñàòü ñâÿçè ìåæäó âåð-øèíàìè, íå âñå ýòè ãðàôû ðàçëè÷íû. Íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò

G1

Ðèñ. 1.3

sv1 sv2

sv3

G2

sv1 sv2

sv3

G3

sv1 sv2

sv3

@@

G4

sv1 sv2

sv3

G5

sv1 sv2

sv3

@@

G6

sv1 sv2

sv3

G7

sv1 sv2

sv3

@@

G8

sv1 sv2

sv3

@@

l3=2C23=8 òðåõâåðøèííûõ ãðàôîâ. Âñå îíè ïðåäñòàâëåíû íà

ðèñ. 1.3. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ôàêòè÷åñêè åñòü ëèøü ÷åòûðåðàçëè÷íûõ òðåõâåðøèííûõ ãðàôà, ïîñêîëüêó G2

∼=G3∼=G4 è

G5∼=G6

∼=G7 è, åñëè óáðàòü ìåòêè âåðøèí, ðàçëè÷èÿ ìåæäó

9

ãðàôàìè â ýòèõ òðîéêàõ èñ÷åçíóò. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ïîÿâ-ëåíèå òàêîãî ïîíÿòèÿ êàê íåïîìå÷åííûé (àáñòðàêòíûé) ãðàô,â îòëè÷èå îò ïîìå÷åííîãî (èìåþùåãî ìåòêè âåðøèí). ßñíî,÷òî ëþáîé íåïîìå÷åííûé ãðàô ïðåäñòàâëÿåò ìíîæåñòâî èçî-ìîðôíûõ ïîìå÷åííûõ ãðàôîâ.

Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ êîëè÷åñòâà íåïîìå÷åííûõ ãðàôîâ gn

ñóùåñòâåííî ñëîæíåå çàäà÷è î êîëè÷åñòâå ïîìå÷åííûõ.  [2]ïðèâåäåíû äàííûå î ÷èñëå íåïîìå÷åííûõ ãðàôîâ äî 24-ãî ïî-ðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî. Òàê, ÷èñëî ãðàôîâ ñ äåñÿòüþ âåðøèíàìèg10=12 005 168. Ýòà âåëè÷èíà íà øåñòü ïîðÿäêîâ ìåíüøå, ÷åìl10, íî âñå åùå âåñüìà çíà÷èòåëüíà.

Ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî ïðîñòàÿ ôîðìóëà Ïîéà, äàþùàÿàñèìïòîòè÷åñêóþ îöåíêó ÷èñëà íåïîìå÷åííûõ ãðàôîâ:

gn ∼ 2C2n/n!

Ñîãëàñíî ôîðìóëå êîëè÷åñòâî íåïîìå÷åííûõ ãðàôîâ ïðèáëè-çèòåëüíî â n! ðàç ìåíüøå êîëè÷åñòâà ïîìå÷åííûõ. Äåéñòâè-òåëüíî, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ (íî íå âñåãäà) ðàçìåòêó âåð-øèí íåïîìå÷åííîãî ãðàôà ìîæíî âûïîëíèòü n! ñïîñîáàìè.Ïðè ìàëûõ n ôîðìóëà "íå ðàáîòàåò". Òàê, äëÿ n=4 ïîëó÷àåì2C2

4/4!=8/3, òîãäà êàê èìååòñÿ 11 ÷åòûðåõâåðøèííûõ ãðàôîâ,ò. å. íàëèöî ÷åòûðåõêðàòíîå çàíèæåíèå èõ ÷èñëà. Ïðè n=10ôîðìóëà äàåò 9 696 000, ÷òî óæå â 1,238 ìåíüøå ôàêòè÷åñêî-ãî ÷èñëà 12 005 168, íî îøèáêà åùå ñóùåñòâåííà. Ïðè n=12ïîëó÷àåì ∼1, 54 · 1011, âìåñòî ∼1, 65 · 1011, ò. å. â 1,072 ðàçàìåíüøå. Íàêîíåö, ïðè n=15 ðàçíèöà ñîêðàùàåòñÿ äî îäíîãîïðîöåíòà.

1.2. ÏîäãðàôûÃðàô G′(V ′, E ′) íàçûâàþò ïîäãðàôîì ãðàôà G(V, E), åñëè

V ′⊆V è E ′⊆E , ïðè÷åì òàêèå, ÷òî ðåáðî {v, u} ñîäåðæèòñÿ âE ′ òîëüêî òîãäà, êîãäà v∈V ′ è u∈V ′ .  ñâîþ î÷åðåäü, ãðàôG ïî îòíîøåíèþ ê ñâîåìó ïîäãðàôó G′ ÿâëÿåòñÿ íàäãðàôîì.

Îñòîâíûì íàçûâàþò ïîäãðàô G′(V,E ′), âêëþ÷àþùèé âñåáÿ âñå âåðøèíû íàäãðàôà G(V, E).  êà÷åñòâå ïðèìåðà íà

10

ðèñ. 1.4 ïîêàçàíû âñå îñòîâíûå ïîäãðàôû ãðàôà G. Êàê ñëå-äóåò èç ðèñ. 1.4, ëþáîé îñòîâíûé ïîäãðàô G(V, E ′) ãðàôà

G

Ðèñ. 1.4

sv1 sv2

sv3

sv4

@@

sv1 sv2

sv3

sv4

@@

sv1 sv2

sv3

sv4

sv1 sv2

sv3

sv4

@@

sv1 sv2

sv3

sv4

sv1 sv2

sv3

sv4

sv1 sv2

sv3

sv4

@@

sv1 sv2

sv3

sv4

G(V, E) ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå óäàëåíèÿ ïîäìíîæåñòâà E\E ′ ðå-áåð íàäãðàôà. Êîëè÷åñòâî îñòîâíûõ ïîäãðàôîâ ïîìå÷åííîãî(n,m)-ãðàôà ðàâíî

∑mk=0 Ck

m = 2m, ãäå ñëàãàåìûå Ckm îïðå-

äåëÿþò ÷èñëî ðàçëè÷íûõ îñòîâíûõ ïîäãðàôîâ, èìåþùèõ kðåáåð êàæäûé.

Ïîäãðàôû äðóãîãî òèïà ïîëó÷àþòñÿ, åñëè âûáðàòü íåêîòî-ðîå ïîäìíîæåñòâî V ′ âåðøèí íàäãðàôà è ïðèñîåäèíèòü ê íèìâñå ðåáðà, îáå êîíå÷íûå âåðøèíû êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò V ′.Ýòî âåðøèííî-ïîðîæäåííûå ïîäãðàôû. Íà ðèñ. 1.5 èçîáðàæå-íû âñå ïîäãðàôû ýòîãî òèïà äëÿ ãðàôà G. Ëåãêî óáåäèòüñÿ,

G

Ðèñ. 1.5

sv1 sv2

sv3

sv4

@@

sv1 sv2

sv3

sv4

sv1 sv2 sv1

sv3

@@

sv1

sv4

sv2

sv3

sv2

sv4

sv3

sv4

sv1 sv2

sv3

@@

sv1 sv2

sv4

sv1

sv3

sv4

@@

sv2

sv3

sv4

÷òî ëþáîé âåðøèííî-ïîðîæäåííûé ïîäãðàô G(V ′, E ′) ãðàôàG(V, E) ìîæíî ïîëó÷èòü ïóòåì óäàëåíèÿ ïîäìíîæåñòâà V \V ′âåðøèí è âñåõ èíöèäåíòíûõ èì ðåáåð íàäãðàôà. Êîëè÷åñòâîâåðøèííî-ïîðîæäåííûõ ïîäãðàôîâ ðàâíî

∑nk=1 Ck

n = 2n − 1.Ñëàãàåìîå Ck

n ýòîé ñóììû óêàçûâàåò ÷èñëî âåðøèííî-ïîðîæ-äåííûõ ïîäãðàôîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò k âåðøèí.

Íàêîíåö, ðåáåðíî-ïîðîæäåííûì áóäåì íàçûâàòü ïîäãðàôG(V ′, E ′), ïîëó÷åííûé íà îñíîâå ïðîèçâîëüíî âûáðàííîãî ïîä-

11

ìíîæåñòâà E ′ ðåáåð íàäãðàôà, ïðè÷åì ìíîæåñòâî V ′ âåðøèíïîäãðàôà ñîñòàâëÿþò êîíöû òîëüêî ýòèõ ðåáåð. Âñå ðåáåðíî-ïîðîæäåííûå ïîäãðàôû ãðàôà G èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1.6.

G

Ðèñ. 1.6

sv1 sv2

sv3

sv4

@@

sv1

sv3

sv4

@@

sv2

sv3

sv4

sv1 sv2

sv3

@@ s

v3

sv4

sv2

sv3

sv1

sv3

@@

Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîé ðåáåðíî-ïîðîæäåííûé ïîäãðàôG(V ′, E ′) ãðàôà G(V,E) ìîæíî ñôîðìèðîâàòü, åñëè â íàä-ãðàôå ñíà÷àëà óäàëèòü ïîäìíîæåñòâî ðåáåð E\E ′, à ïîòîìâ ïîëó÷èâøåìñÿ îñòîâíîì ïîäãðàôå óäàëèòü âñå èçîëèðîâàí-íûå âåðøèíû. Âñåãî èìååòñÿ

∑mk=1 Ck

m = 2m − 1 ðåáåðíî-ïîðîæäåííûõ ïîäãðàôîâ (n,m)-ãðàôà.

Ñðàâíèâ ðèñ. 1.5 è ðèñ. 1.6, ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ãðàôàr rrr@@ ìíîæåñòâî ðåáåðíî-ïîðîæäåííûõ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæå-

ñòâîì âåðøèííî-ïîðîæäåííûõ ïîäãðàôîâ, íî ýòî ñêîðåå èñ-êëþ÷åíèå, ÷åì ïðàâèëî. Áîëåå òèïè÷íûì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé,êîãäà ýòè ìíîæåñòâà ïîäãðàôîâ ëèøü ïåðåñåêàþòñÿ.  ýòîìëåãêî óáåäèòüñÿ, ïîñòðîèâ ìíîæåñòâà ðåáåðíî- è âåðøèííî-ïîðîæäåííûõ ïîäãðàôîâ, íàïðèìåð äëÿ ãðàôîâ: r r

r@@ , r rrr@@ , r r

rr@@ .Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ îñòîâíûõ, âåðøèííî- è ðåáåðíî-

ïîðîæäåííûõ ïîäãðàôîâ â îáùåì ñëó÷àå íå ïîêðûâàåò âñåìíîæåñòâî ïîäãðàôîâ ãðàôà. Òàê ãðàô r

rr , ñîñòîÿùèé èçîäíîãî ðåáðà è èçîëèðîâàííîé âåðøèíû, ÿâëÿÿñü ïîäãðàôîìãðàôà r r

rr@@ , íå îòíîñèòñÿ íè ê îäíîìó èç óêàçàííûõ òèïîâ.Ïðèâåäåííàÿ â äàííîì ðàçäåëå òåðìèíîëîãèÿ â îñíîâíîì

ñîîòâåòñòâóåò ïðèíÿòîé â [1, 8, 12].  äðóãèõ èñòî÷íèêàõ [6, 11]èñïîëüçóþòñÿ òåðìèíû ÷àñòü ãðàôà, ñóãðàô è ïîäãðàô, ïðè÷åì÷àñòüþ ãðàôà íàçûâàþò ïîäãðàô, ñóãðàôîì � îñòîâíûé ïîä-ãðàô, à ïîäãðàôîì � âåðøèííî-ïîðîæäåííûé ïîäãðàô.

12

1.3. Âèäû ãðàôîâÎáðàòèìñÿ ê ðèñ. 1.7, çàèìñòâîâàííîìó (ñ íåáîëüøèìè èç-

ìåíåíèÿìè è äîïîëíåíèÿìè) èç êíèãè [1]. Çäåñü ïðåäñòàâëåíûâñå âîçìîæíûå àáñòðàêòíûå ãðàôû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.

G1

O4

s s

ss

G2s s

ss@@@

G3s s

ss@@@���

G4s s

ss���

Ðèñ. 1.7

G5s s

ss�

��

G6s s

ss@@@

G7

P4

s s

ss

G8

C4

s s

ssG9s s

ss@@@

G10s s

ss�

��

G11

K4

s s

ss@@@���

Íåñâÿçíûå è ñâÿçíûå ãðàôû. Î÷åâèäíî, ÷òî èçîáðà-æåííûå íà ðèñ. 1.7 ãðàôû ìîæíî ïîäåëèòü íà äâå ãðóïïû(ðàçãðàíè÷åíû øòðèõîâîé ëèíèåé): íåñâÿçíûå (G1 � G5 ) èñâÿçíûå (G6 � G11 ).

Ãðàô íåñâÿçåí, åñëè ìíîæåñòâî åãî âåðøèí ðàñïàäàåòñÿ íàäâà (èëè áîëåå) íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâà, òàêèõ, ÷òîíåò íè îäíîãî ðåáðà, êîíöû êîòîðîãî ïðèíàäëåæàò ðàçíûìïîäìíîæåñòâàì.Èíûìè ñëîâàìè, íåñâÿçíûé ãðàô ñîñòîèò èçäâóõ è áîëåå ÷àñòåé, íå ñîåäèíåííûõ ðåáðàìè. Ýòè ÷àñòè íà-çûâàþòñÿ êîìïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè. Òàê, íà ðèñ. 1.7 ãðàô G1

èìååò ÷åòûðå êîìïîíåíòû, G2 � òðè êîìïîíåíòû, G3, G4 èG5 äâå, à îñòàëüíûå ãðàôû îäíó êîìïîíåíòó.

Ñðåäè íåñâÿçíûõ ãðàôîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 1.7, îñîáîåïîëîæåíèå çàíèìàåò G1, âîîáùå íå èìåþùèé ðåáåð è íàçûâà-åìûé ïóñòûì. Äëÿ òàêèõ ãðàôîâ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà-÷åíèå On, ãäå n � ÷èñëî âåðøèí.

Ñðåäè ñâÿçíûõ ãðàôîâ G6 �G11 òàêæå ìîæíî âûäåëèòüãðàô G11, èìååþùèé ìàêñèìàëüíîå äëÿ ãðàôà ÷åòâåðòîãî ïî-

13

ðÿäêà ÷èñëî ðåáåð. Ýòî òàê íàçûâàåìûé ïîëíûé ãðàô. Äëÿ òà-êèõ ãðàôîâ ïðèíÿòî îáîçíà÷åíèå Kn . ßñíî, ÷òî ÷èñëî ðåáåðâ ïîëíîì ãðàôå ðàâíî êîëè÷åñòâó äâóõýëåìåíòíûõ ïîäìíî-æåñòâ ìíîæåñòâà V, ïîýòîìó èìååì |E(Kn)|=C2

n = n(n−1)2

.

Äåðåâüÿ è öåïè. Ñâÿçíûå ãðàôû ñ ìèíèìàëüíûì êîëè-÷åñòâîì ðåáåð ( |EG|=n−1) îáðàçóþò êëàññ òàê íàçûâàåìûõäåðåâüåâ.  íàøåì ïðèìåðå ýòî G6 è G7. Ðàññìîòðåíèþ äå-ðåâüåâ ïîñâÿùåí ðàçä. 3 ïîñîáèÿ. Çäåñü æå îòìåòèì îáîçíà-÷åííûé íà ðèñ. 1.7 êàê P4 ãðàô G7, ÿâëÿþùèéñÿ ÷àñòíûìñëó÷àåì äåðåâà è íàçûâàåìûé ïðîñòîé öåïüþ.

Âîîáùå öåïü � ýòî ÷åðåäóþùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåð-øèí è ðåáåð (v0, e1, v1, e2, v2, . . . , vk−1, ek, vk), ãäå vi−1 è vi ÿâ-ëÿþòñÿ êîíöàìè ðåáðà ei.  êîìïàêòíîé ôîðìå ýòà çàïèñüâûãëÿäèò òàê: (v0, v1, . . . , vk−1, vk) èëè (e1, e2, . . . , ek−1, ek). Âîòëè÷èå îò ïðîñòîé öåïü îáùåãî âèäà ìîæåò ñîäåðæàòü ïî-âòîðÿþùèåñÿ âåðøèíû. Íàïðèìåð, â ãðàôå íà ðèñ. 1.1 (v1, v2,v5, v4, v3) � ïðîñòàÿ öåïü, à (v1, v2, v5, v4, v1, v3) � öåïü. Îáû÷-íî öåïü ðàññìàòðèâàåòñÿ íå êàê ñàìîñòîÿòåëüíûé ãðàô, à êàê÷àñòü íåêîòîðîãî ãðàôà. Äëèíîé öåïè íàçûâàþò êîëè÷åñòâîñîñòàâëÿþùèõ åå ðåáåð. ßñíî, ÷òî äëèíà ïðîñòîé öåïè íå ìî-æåò ïðåâûøàòü ÷èñëà âåðøèí ñîäåðæàùåãî åå ãðàôà, à äëèíàöåïè îáùåãî âèäà � ÷èñëà ðåáåð ýòîãî ãðàôà.

Ïîíÿòèå öåïè øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèè ãðàôîâ. Íà-ïðèìåð, ñâÿçíûé ãðàô ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ãðàô, â êîòîðîìëþáàÿ ïàðà âåðøèí ñîåäèíåíà õîòÿ áû îäíîé öåïüþ.

Öèêëû. Öèêëîì (ïðîñòûì öèêëîì) íàçûâàåòñÿ çàìêíó-òàÿ öåïü (ïðîñòàÿ öåïü). Ïðèìåðîì ïðîñòîãî öèêëà ÿâëÿåòñÿãðàô G8. Ãðàô, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ïðîñòîé öèêë, îáîçíà-÷àåòñÿ êàê Cn. Êàê è â ñëó÷àå öåïåé, èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåòðàññìîòðåíèå öèêëîâ êàê ÷àñòåé íåêîòîðîãî ãðàôà.

Äîïîëíèòåëüíûå ãðàôû. Ðàññìîòðèì ïàðû ãðàôîâ:G1 è G11, G2 è G10, G3 è G8, G4 è G9, G5 è G6. Åñëè â êàæ-äîé èç íèõ èçîáðàæåíèå îäíîãî èç ãðàôîâ "íàëîæèòü" îïðå-äåëåííûì îáðàçîì íà èçîáðàæåíèå äðóãîãî, òî ïîëó÷èòñÿ ïîë-íûé ãðàô, ò. å. îäèí ãðàô äîïîëíÿåò äðóãîé äî K4 . Ýòî ïàðûâçàèìíî äîïîëíèòåëüíûõ ãðàôîâ. Âîîáùå äîïîëíåíèåì ãðàôà

14

G íàçûâàåòñÿ ãðàô G, èìåþùèé òî æå ìíîæåñòâî âåðøèí, âêîòîðîì ëþáûå äâå âåðøèíû ñìåæíû, åñëè îíè íå ñìåæíû âG, è íå ñìåæíû, åñëè îíè ñìåæíû â G. Èíûìè ñëîâàìè, â ãðà-ôàõ G è G îòíîøåíèÿ ñìåæíîñòè ëþáîé ïàðû âåðøèí ïðî-òèâîïîëîæíû. Îñîáîå ìåñòî ñðåäè ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 1.7ãðàôîâ çàíèìàåò G7. Ýòî òàê íàçûâàåìûé ñàìîäîïîëíèòåëü-íûé ãðàô, ÿâëÿþùèéñÿ ñâîèì ñîáñòâåííûì äîïîëíåíèåì, â ÷åìíåòðóäíî óáåäèòüñÿ, åñëè èçîáðàçèòü åãî êàê r r

rr@@�� . Äëÿ ñàìîäî-ïîëíèòåëüíûõ ãðàôîâ ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî G=G, òîãäàêàê â îáùåì ñëó÷àå G=G.

Ðåãóëÿðíûå ãðàôû. Äëÿ ãðàôîâ G1, G3, G8, G11 õàðàê-òåðíûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â êàæäîì èç íèõ âñå âåðøèíû èìåþòîäèíàêîâûå ñòåïåíè. Òàêèå ãðàôû íàçûâàþò ðåãóëÿðíûìè èëèîäíîðîäíûìè. Íà ðèñ. 1.8 ïðèâåäåíû ïðèìåðû ðåãóëÿðíûõ âî-ñìèâåðøèííûõ ãðàôîâ òðåòüåé, ÷åòâåðòîé è ïÿòîé ñòåïåíåé.

G1 d=3s s s s

s s s s

Ðèñ. 1.8

d=4G2s s s s

s s s s@@@���

@@@���

d=5G3s s s s

s s s s@@@�

��@@@�

��@@@���

Îòìåòèì, ÷òî ãðàôû òðåòüåé ñòåïåíè íàçûâàþò êóáè÷åñêè-ìè. Ýòî ãðàôû G11 íà ðèñ. 1.7 è G1 íà ðèñ. 1.8. Î÷åâèäíî,÷òî ÷èñëî ðåáåð â ðåãóëÿðíîì ãðàôå ñòåïåíè d ðàâíî m=1

2nd .

Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ïðè íå÷åòíîì ÷èñëå âåðøèí ðåãóëÿðíûéãðàô ìîæåò èìåòü òîëüêî ÷åòíóþ ñòåïåíü, à ïðè íå÷åòíîé ñòå-ïåíè òîëüêî ÷åòíîå ÷èñëî âåðøèí. Ïýòîìó ëþáîé êóáè÷åñêèéãðàô èìååò ÷åòíîå ÷èñëî âåðøèí.

Äâóäîëüíûå ãðàôû. Çàâåðøàÿ îáçîð ãðàôîâ, ïðåäñòàâ-ëåííûõ íà ðèñ. 1.7, îõàðàêòåðèçóåì êëàññ äâóäîëüíûõ ãðàôîâ.

Ãðàô íàçûâàåòñÿ äâóäîëüíûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ðàç-áèåíèå ìíîæåñòâà åãî âåðøèí V íà äâà ïîäìíîæåñòâà (äâåäîëè) V1 è V2 , ÷òî êîíöû ëþáîãî ðåáðà ïðèíàäëåæàò ðàçíûìïîäìíîæåñòâàì. Ñðåäè ãðàôîâ íà ðèñ. 1.7 ïîä îïðåäåëåíèåäâóäîëüíîãî ïîäïàäàþò ãðàôû G1 � G4 , G6 è G7 , ïðè÷åìîäíîçíà÷íîå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà âåðøèí íà äîëè âîçìîæ-

15

íî òîëüêî äëÿ ñâÿçíûõ ãðàôîâ G6 è G7. Íà ðèñ. 1.9 äàíûáîëåå íàãëÿäíûå ïðèìåðû äâóäîëüíûõ ãðàôîâ2. Íåñìîòðÿ íàî÷åâèäíîå íåñõîäñòâî èçîáðàæåíèé, G1 è G2 èçîìîðôíû, ò. å.ýòî ôàêòè÷åñêè îäèí è òîò æå ãðàô, ÷òî ëåãêî ïðîâåðèòü.

∼

G1

tv1 tv2 tv3 tv4

dv5

dv6

dv7

dv8

AAAAA

@@@@@

�����

@@@@@

���

��

AAAAA

���

��

�����

Ðèñ. 1.9G2

dv5 tv1

dv7

tv3

tv2 dv6

tv4

dv8

@@ ��

@@��

∼

G3

tv1 tv2 tv3

dv4

dv5

dv6

AAAAA

@@@@@

�����

AAAAA

��

���

�����

G4

tv1

tv2tv3

dv4

dv5

dv6

JJJJJ

����HHHH

Òî æå ñàìîå îòíîñèòñÿ ê ïàðå G3 è G4. Êðîìå òîãî, çäåñüêàæäàÿ âåðøèíà îäíîé äîëè {v1, v2, v3} ñìåæíà ñ êàæäîé âåð-øèíîé äðóãîé äîëè {v4, v5, v6}. Òàêèå ãðàôû íàçûâàþò ïîë-íûìè äâóäîëüíûìè è îáîçíà÷àþò â îáùåì ñëó÷àå Kn1,n2 , ãäån1=|V1|, n2=|V2|. Î÷åâèäíî, ÷òî |E(Kn1,n2)|=n1n2.

Ñóùåñòâóåò ïðîñòîé ñïîñîá ðàñïîçíàâàíèÿ äâóäîëüíîñòèãðàôà, îñíîâàííûé íà ñëåäóþùåé òåîðåìå Ê�åíèãà.

Òåîðåìà 1.2 Ãðàô ÿâëÿåòñÿ äâóäîëüíûì, òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà îí íå ñîäåðæèò öèêëîâ íå÷åòíîé äëèíû.

¤Â îñíîâó äîêàçàòåëüñòâà (è àëãîðèòìà ðàñïîçíàâàíèÿ)ìîæåò áûòü ïîëîæåíà ñëåäóþùàÿ ïðîöåäóðà ðàçìåòêè ãðàôà.Âûáèðàåì íåêîòîðóþ âåðøèíó v è ïîìå÷àåì åå çíàêîì "+ ".Äàëåå äëÿ êàæäîé ïîìå÷åííîé íà ïðåäûäóùåì øàãå âåðøèíûv îòûñêèâàåì âñå åå ñîñåäíèå âåðøèíû è ïîìå÷àåì èõ ïðîòè-âîïîëîæíûì çíàêîì. Ïðîäîëæàåì ýòó îïåðàöèþ äî òåõ ïîð,ïîêà íå áóäåò ïîëó÷åí îäèí èç äâóõ âîçìîæíûõ ðåçóëüòàòîâ:

à) âñå âåðøèíû ãðàôà îêàæóòñÿ ïîìå÷åííûìè áåç êàêèõ-ëèáî êîëëèçèé, ò. å. ìåòêè ëþáîé âåðøèíû ñî ñòîðîíû å�å ñî-ñåäåé ñîâïàäàþò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå öåïè, ñîåäèíÿþùèåëþáóþ âåðøèíó ãðàôà ñ v, ñîñòîÿò òîëüêî èç ÷åòíîãî èëèòîëüêî èç íå÷åòíîãî ÷èñëà äóã è, çíà÷èò, â ñîâîêóïíîñòè îá-ðàçóþò öèêëû ÷åòíîé äëèíû. Âìåñòå ñ òåì ñîãëàñîâàííîñòü

2Âåðøèíû, îòíîñÿùèåñÿ ê ðàçíûì äîëÿì, èçîáðàæåíû ïî-ðàçíîìó.

16

ìåòîê âñåõ âåðøèí ñâèäåòåëüñòâóåò î âîçìîæíîñòè "äâóäîëü-íîãî ðàçáèåíèÿ" ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà (ñîáñòâåííî ðàñïðå-äåëåíèå çíàêîâ è îïðåäåëÿåò ýòî ðàçáèåíèå);

á) âîçíèêíåò ñèòóàöèÿ, êîãäà íåêòîðàÿ âåðøèíà u îêàæåò-ñÿ ïîìå÷åííîé çíàêîì "+ " ñî ñòîðîíû îäíîé ñîñåäíåé âåðøè-íû è çíàêîì "− " ñî ñòîðîíû äðóãîé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â ãðàôååñòü äâå ïðîñòûå öåïè, ñîåäèíÿþùèå v è u, îäíà èç êîòîðûõñîñòîèò èç ÷åòíîãî ÷èñëà äóã, à äðóãàÿ � èç íå÷åòíîãî, â ñî-âîêóïíîñòè îáðàçóþùèå öèêë íå÷åòíîé äëèíû. Âìåñòå ñ òåì,ðàçíûå çíàêè ó âåðøèíû u íå ïîçâîëÿþò âûïîëíèòü "äâó-äîëüíîå ðàçáèåíèå" ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà. ¢

Ðèñ. 1.10

u

s eu

e s

����

EEEE

�������

AAAAAAA

AA���

��@@@

!!!!aaaa

e s 3 2

e s 3 2

e s 3 2

HHHHHH

AAAAAA

���

����

�����

HHHHHH���

����

�����

HHHHHH

AAAAAA

HHHHHH

���

���

Àíàëîãè÷íî äâóäîëüíûì îïðåäåëÿþòñÿ òðåõ-, ÷åòûðåõ- è,âîîáùå, k -äîëüíûå ãðàôû. Íà ðèñ. 1.10 äàíû ïðèìåðû òðåõ- è÷åòûðåõäîëüíîãî ãðàôîâ 3. Ê ñîæàëåíèþ, ïðîñòûõ êðèòåðèåââûÿâëåíèÿ k -äîëüíîñòè ãðàôà ïðè k>2 íå ñóùåñòâóåò.

Ìóëüòè- è ïñåâäîãðàôû. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ñîâî-êóïíîñòü ðåáåð ãðàôà ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì. Ïîýòîìó ñìåæ-íûå âåðøèíû ñîåäèíÿåò òîëüêî îäíî ðåáðî. Åñëè äîïóñòèòüêðàòíûå (ïàðàëëåëüíûå)ðåáðà, òî ïîëó÷èì ìóëü-òèãðàô. Èíûìè ñëîâàìè,ìóëüòèãðàô ýòî ïàðà 〈V, E〉,ãäå V � ìíîæåñòâî âåðøèí,à E � ñåìåéñòâî ðåáåð. Íà-êîíåö, åñëè íàðÿäó ñ êðàò-íûìè ðàçðåøèòü ðåáðà, ñâÿ- Ðèñ. 1.11

G1

sv1

sv2

sv3

sv4

sv5

��

@@

��

G2

sv1

±°²¯

sv2±°²¯¹¸

º·

sv3

sv4

sv5

��

@@

��

çûâàþùèå âåðøèíó ñàìó ñ ñîáîé (ïåòëè), òî ïîëó÷èì ïñåâäî-ãðàô. Ìóëüòèãðàô G1 è ïñåâäîãðàô G2 ïîêàçàíû íà ðèñ. 1.11.

3Âåðøèíû, îòíîñÿùèåñÿ ê ðàçíûì äîëÿì, èçîáðàæåíû ïî-ðàçíîìó.

17

1.4. Ìàòðèöû ãðàôîâÌàòðèöà ñìåæíîñòè. Îïðåäåëèì ìàòðèöó ñìåæíîñòè

êàê ñèììåòðè÷íóþ êâàäðàòíóþ ìàòðèöó A=[ai,j] ïîðÿäêà n,â êîòîðîé ýëåìåíò ai,j ðàâåí 1, åñëè â ãðàôå åñòü ðåáðî {vi, vj},ò. å. vi è vj ñìåæíû, è 0, åñëè òàêîãî ðåáðà íåò.

Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî∑n

j=1 ai,j=d(vi) ïðè ëþáîì i,∑ni=1 ai,j=d(vj) ïðè ëþáîì j è

∑ni=1

∑nj=1 ai,j=2m, ò. å. êîëè-

÷åñòâî åäèíèö â ëþáîé ñòðîêå èëè ñòîëáöå ìàòðèöû ñìåæíî-ñòè ðàâíî ñòåïåíè ñîòâåòñòâóþùåé âåðøèíû ãðàôà, à îáùååêîëè÷åñòâî åäèíèö ðàâíî óäâîåííîìó ÷èñëó åãî ðåáåð.

 êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 1.12 ïðèâåäåíû ãðàô G, åãîìàòðèöà ñìåæíîñòè A è ñòåïåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü deg vi.

Ðèñ. 1.12

G

sv1

sv2

sv3

sv4

sv5

ZZZBBBBB

�����

���B

BB

v1 v2 v3 v4 v5 deg vi

A =

v1

v2

v3

v4

v5

0 1 1 1 01 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 0 10 0 0 1 0

33341

Îõàðàêòåðèçóåì ìàòðèöû ñìåæíîñòè íåêîòîðûõ âèäîâ ãðà-ôîâ. Ìàòðèöà ñìåæíîñòè ïóñòîãî ãðàôà On ñîñòîèò èç îä-íèõ íóëåé, ò. å. A(On)=0n . Ìàòðèöà ñìåæíîñòè ïîëíîãî ãðà-ôà Kn ñîñòîèò èç îäíèõ åäèíèö, êðîìå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåí-òîâ, êîòîðûå ðàâíû 0. Çàïèøåì ýòî êàê A(Kn)=1n−In. Åñëèãðàô íåñâÿçåí è èìååò s êîìïîíåíò, òî, ïåðåñòàâëÿÿ ñòðîêèè ñòîëáöû, åãî ìàòðèöó ñìåæíîñòè ìîæíî ïðèâåñòè ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó:

A =

A11 0 . . . 0

0 A22 . . . 0...

... . . . ...0 0 . . . Ass

,

ãäå êàæäûé äèàãîíàëüíûé áëîê Aii ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ñìåæ-íîñòè êîìïîíåíòû si .  ñëó÷àå k -äîëüíîãî ãðàôà ìàòðèöà

18

ñìåæíîñòè ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê áëî÷íîìó âèäó, êîãäà ïîãëàâíîé äèàãîíàëè èäóò òîëüêî "íóëåâûå" áëîêè:

A =

0 A12 . . . A1k

A21 0 . . . A2k...

... . . . ...Ak1 Ak2 . . . 0

.

Áëîêè Aij, ãäå i6=j, ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïðèâåäåííûå4ìàòðèöû ñìåæíîñòè äâóäîëüíûõ âåðøèííî-ïîðîæäåííûõ ïîä-ãðàôîâ k -äîëüíîãî ãðàôà, îáðàçîâàííûõ âåðøèíàìè i è jäîëåé, ïðè÷åì Aij=Aji

T .  êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 1.13 äàíòðåõäîëüíûé ãðàô G ñ äîëÿìè {v1, v2}, {v3, v4, v5}, {v6, v7} èåãî ìàòðèöà ñìåæíîñòè A .

Ðèñ. 1.13

G

sv1

sv2

sv3 sv4 sv5

sv6

sv7������

����

�����

���

!!!!

!!!!

PPPPPPPPP

cccccccc

QQQQQ

AAA

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

A =

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

0 0 0 1 0 1 10 0 1 0 1 0 10 1 0 0 0 0 11 0 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 01 0 0 1 1 0 01 1 1 0 0 0 0

Ñâîåîáðàçíûì àíàëîãîì ìàòðèöû ñìåæíîñòè ÿâëÿåòñÿ ìàò-ðèöà Êèðõãîôà K=[ki,j], îïðåäåëÿåìàÿ êàê êâàäðàòíàÿ ìàòðè-öà ïîðÿäêà n, ýëåìåíòû êîòîðîé

ki,j=

{ −1, åñëè âåðøèíû vi è vj ñìåæíû,0, åñëè âåðøèíû vi è vj íå ñìåæíû,

deg vi, åñëè i=j.

Câÿçü ìåæäó ìàòðèöåé ñìåæíîñòè A è ìàòðèöåé ÊèðõãîôàK èìååò âèä K=D−A, ãäå D= diag(deg v1, deg v2, . . . , deg vn),ò. å. ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé, äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâ-íû ñòåïåíÿì ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèí. Âàæíàÿ îñîáåííîñòüìàòðèöû Êèðõãîôà (êàê è ëþáîé äðóãîé ìàòðèöû, ó êîòîðîé

4Â ïðèâåäåííîé ìàòðèöå ñìåæíîñòè äâóäîëüíîãî ãðàôà ñòðîêè ñîîò-âåòñòâóþò âåðøèíàì îäíîé äîëè, à ñòîëáöû � âåðøèíàì äðóãîé

19

ñóììà ýëåìåíòîâ êàæäîé ñòðîêè è êàæäîãî ñòîëáöà ðàâíà íó-ëþ) ñîñòîèò â òîì, ÷òî àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ âñåõ ýëå-ìåíòîâ ìàòðèöû ðàâíû ìåæäó ñîáîé.

Ïîñêîëüêó èçîìîðôíûå ãðàôû ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü ðàçìåò-êîé (íóìåðàöèåé) âåðøèí ñîîòâåòñòâóþùåãî àáñòðàêòíîãî ãðà-ôà, ÿñíî, ÷òî èõ ìàòðèöû ñìåæíîñòè (ìàòðèöû Êèðõãîôà)ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû îäíà èç äðóãîé ïóòåì íåêîòîðîé ïåðå-ñòàíîâêè ñòðîê è ñòîëáöîâ.

Ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè. Îïðåäåëèì ìàòðèöó èíöè-äåíòíîñòè ãðàôà êàê ïðÿìîóãîëüíóþ ìàòðèöó B=[bi,j] ðàç-ìåðà n×m, â êîòîðîé ýëåìåíò bi,j ðàâåí 1, åñëè âåðøèíà vi

èíöèäåíòíà ðåáðó ej, è 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ñòðîêè ìàò-ðèöû B íàçûâàþò âåêòîðàìè èíöèäåíòíîñòè è îáîçíà÷àþòêàê Bi. Íà ðèñ. 1.14 èçîáðàæåí òîò æå ãðàô G , ÷òî è íàðèñ. 1.12, è ïðèâåäåíà åãî ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè B.

Ðèñ. 1.14

G

sv1

sv2

sv3

sv4

sv5

ZZZBBBBB

�����

���B

BB

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

B =

v1

v2

v3

v4

v5

1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 1 0 00 1 0 1 0 1 00 0 1 0 1 1 10 0 0 0 0 0 1

=

B1

B2

B3

B4

B5

Êàê ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ, îáùåå êîëè÷åñòâî åäèíèö âìàòðèöå èíöèäåíòíîñòè ðàâíî óäâîåííîìó ÷èñëó ðåáåð ãðà-ôà, êîëè÷åñòâî åäèíèö â ëþáîé ñòðîêå ðàâíî ñòåïåíè ñîîò-âåòñòâóþùåé âåðøèíû, à ñòîëáöû ñîäåðæàò ïî äâå åäèíèöû.Ïîýòîìó ìåæäó ñòðîêàìè ìàòðèöû ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ çàâè-ñèìîñòü: ýëåìåíòû ëþáîé ñòðîêè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ñëî-æåíèåì îäíîèìåííûõ ýëåìåíòîâ îñòàëüíûõ ñòðîê ïî ìîäóëþ2. Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå âåêòîðà èíöèäåíòíîñòè, ìîæíî çàïèñàòüBi=(

∑Bj) (mod 2), ãäå 1≤j≤ n è j 6=i. Òàê, äëÿ ïðèâåäåííîé

âûøå ìàòðèöû èìååì: B1=B2⊕B3⊕B4⊕B5= [1, 0, 0, 1, 1, 0, 0]⊕⊕[0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]⊕[0, 0, 1, 0, 1, 1, 1]⊕[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]=[1, 1, 1, 0, 0, 0, 0] .

Ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè íåñâÿçíîãî ãðàôà, êàê è ìàòðèöàñìåæíîñòè, ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìóâèäó, ãäå êàæäûé äèàãîíàëüíûé áëîê ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé èí-öèäåíòíîñòè íåêîòîðîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè.

20

Ïîñêîëüêó â ãðàôå îòñóòñòâóþò ïàðàëëåëüíûå ðåáðà, òîñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáîé ïàðû âåêòîðîâ èíöèäåíòíîñòèBiBj ðàâíî åäèíèöå, åñëè âåðøèíû vi è vj ñìåæíû, è íó-ëþ, åñëè ýòè âåðøèíû íåñìåæíû. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâåäå-íèå BBT äîëæíî ñîâïàäàòü ñ ìàòðèöåé ñìåæíîñòè ãðàôà çàèñêëþ÷åíèåì äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ðàâíû ñòå-ïåíÿì ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèí. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöàñìåæíîñòè è ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè ãðàôà ñâÿçàíû ñîîòíî-øåíèåì A=BBT−D , ãäå D= diag(deg v1, deg v2, . . . , deg vn) .

Ïðèìåíèòåëüíî ê ìàòðèöàì èíöèäåíòíîñòè èçîìîðôíûõãðàôîâ òàêæå ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî îíè ìîãóòáûòü ïîëó÷åíû îäíà èç äðóãîé ïóòåì íåêîòîðîé ïåðåñòàíîâêèñòðîê è ñòîëáöîâ.

Êðîìå ðàññìîòðåííûõ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ãðàôîâ èñïîëü-çóþò è äðóãèå ìàòðèöû. Íåêîòîðûå èç íèõ îïèñàíû â ñëåäó-þùèõ ðàçäåëàõ.

Ñïèñêè. Ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ çàäà÷ íàðÿäó ñ ìàòðèöàìèäëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ãðàôîâ èñïîëüçóþò ñïèñîê ðåáåð (ñïèñîêèíöèäåíòíîñòè) è ñïèñîê âåðøèí (ñïèñîê ñìåæíîñòè). Òàê,äëÿ ãðàôà íà ðèñ. 1.14 ýòè ñïèñêè èìåþò âèä:

Ñïèñîê ðåáåðe1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

v1 v1 v1 v2 v2 v3 v4v2 v3 v4 v3 v4 v4 v5

Ñïèñîê âåðøèív1 v2, v3, v4

v2 v1, v3, v4

v3 v1, v2, v4

v4 v1, v2, v3, v5

v5 v2

.

 ñïèñêå ðåáåð êàæäîå ðåáðî ïðåäñòàâëåíî ïàðîé êîíöå-âûõ âåðøèí, à â ñïèñêå ñìåæíîñòè äëÿ êàæäîé âåðøèíû óêà-çàíû âñå ñìåæíûå ñ íåé. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñïèñîê ðåáåðÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíîé çàïèñüþ ìàòðèöû èíöèäåíòíîñòè, åñëèâ êàæäîì ñòîëáöå çàìåíèòü îáå åäèíèöû îáîçíà÷åíèåì ñîîò-âåòñòâóþùèõ âåðøèí (ñòðîê), à íóëè îòáðîñèòü. Àíàëîãè÷íîèç ìàòðèöû ñìåæíîñòè ìîæíî ïîëó÷èòü ñïèñîê âåðøèí, åñëèåäèíèöû â êàæäîé ñòðîêå çàìåíèòü îáîçíà÷åíèåì ñîîòâåòñòâó-þùåé âåðøèíû (ñòîëáöà) è îòáðîñèòü íóëè.

21

1.5. Äèàìåòð, ðàäèóñ è öåíòð ãðàôàÏóñòü v è w ëþáûå äâå âåðøèíû ñâÿçíîãî ãðàôà G . Íà-

çîâåì ðàññòîÿíèåì ìåæäó v è w äëèíó ñàìîé êîðîòêîé öå-ïè, ñîåäèíÿþùåé ýòè âåðøèíû, è îáîçíà÷èì êàê d(v, w). Òî-ãäà êàæäàÿ âåðøèíà ãðàôà v ìîæåò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíàâåëè÷èíîé e(v)= max

w∈Vd(v, w), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ýêñöåíòðè-

ñèòåòîì. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ãðàôå G2 íà ðèñ. 1.9ýêñöåíòðèñèòåò âñåõ âåðøèí ðàâåí òðåì, òîãäà êàê â ãðàôåíà ðèñ. 1.14 èìååì: e(v1)=e(v2)=e(v3)=e(v5)=2, e(v4)=1. Î÷å-âèäíî, ÷òî â ïîëíîì ãðàôå âñå âåðøèíû èìåþò ýêñöåíòðèñèòåòðàâíûé 1, à â ïðîñòîì öèêëå � [n/2].

Ìàêñèìàëüíûé ýêñöåíòðèñèòåò d(G)= maxv∈V

e(v) íîñèò íà-çâàíèå äèàìåòðà ãðàôà, à ìèíèìàëüíûé r(G)= min

v∈Ve(v) � ðà-

äèóñà ãðàôà G . Äèàìåòð ãðàôà íà ðèñ. 1.14 ðàâåí äâóì, ðà-äèóñ � åäèíèöå, à â ãðàôå G2 íà ðèñ. 1.9 è äèàìåòð è ðàäèóñðàâíû òðåì. Â ïîëíîì ãðàôå èìååì d(Kn)=r(Kn)=1, à â ïðî-ñòîì öèêëå � d(Cn)=r(Cn)=[n/2].

Äëÿ ëþáîãî ãðàôà ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå r(G)≤d(G).

Âåðøèíà v íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíîé, åñëè e(v)=r(G). Âãðàôå íà ðèñ. 1.14 öåíòðàëüíîé ÿâëÿåòñÿ v4. Ãðàô ìîæåòèìåòü íåñêîëüêî òàêèõ âåðøèí, à â íåêîòîðûõ ãðàôàõ âñå âåð-øèíû îêàçûâàþòñÿ öåíòðàëüíûìè, íàïðèìåð êàê â ãðàôàõ íàðèñ. 1.9.  ïðîñòîé öåïè ïðè íå÷åòíîì ÷èñëå âåðøèí òîëü-êî îäíà ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíîé, à ïðè ÷åòíîì èõ ÷èñëå òàêèõâåðøèí äâå.  ïîëíîì ãðàôå öåíòðàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âñå âåð-øèíû. Òî æå ñàìîå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ïðîñòîãî öèêëà. Ìíî-æåñòâî âñåõ öåíòðàëüíûõ âåðøèí íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ãðàôà.

Ïîíÿòèÿ öåíòðàëüíîé âåðøèíû è öåíòðà ãðàôà ïîÿâèëèñüâ ñâÿçè ñ çàäà÷àìè îïòèìàëüíîãî ðàçìåùåíèÿ ïóíêòîâ ìàñ-ñîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, òàêèõ êàê áîëüíèöû, ïîæàðíûå ÷àñòè,ïóíêòû îõðàíû îáùåñòâåííîãî ïîðÿäêà è ò. ï., êîãäà âàæíîìèíèìèçèðîâàòü íàèáîëüøåå ðàññòîÿíèå îò ëþáîé òî÷êè íåêî-òîðîé ñåòè äî áëèæàéøåãî ïóíêòà îáñëóæèâàíèÿ.

22

1.6. Îðèåíòèðîâàííûå ãðàôûÍàðÿäó ñ íåîðèåíòèðîâàííûìè â òåîðèè ãðàôîâ ðàññìàò-

ðèâàþòñÿ îðèåíòèðîâàííûå ãðàôû, èëè îðãðàôû.Òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå îïðåäåëåíèå îðãðàôà.

Ïóñòü V � íåïóñòîå ìíîæåñòâî, íàïðèìåð, {v1, v2, v3, v4, v5}. Çà-ïèøåì åãî äåêàðòîâ êâàäðàò V 2=V×V. Äëÿ íàøåãî ïðèìåðàýòî ìíîæåñòâî âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð âèäà (vi, vj), i, j=1, 5 :

V 2 = {(v1, v1) , (v1, v2) , (v1, v3) , (v1, v4), (v1, v5) ,(v2, v1) , (v2, v2) , (v2, v3) , (v2, v4) , (v2, v5) ,(v3, v1) , (v3, v2) , (v3, v3) , (v3, v4) , (v3, v5) ,(v4, v1) , (v4, v2) , (v4, v3) , (v4, v4) , (v4, v5) ,(v5, v1) , (v5, v2) , (v5, v3) , (v5, v4) , (v5, v5)} .

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíî íåêîòîðîå A ⊆ V 2, íàïðèìåð,A={(v1, v2), (v1, v3), (v2, v5), (v3, v2), (v4, v1), (v4, v3), (v5, v4)}. 5

Ïàðó 〈V,A〉 íàçûâàþò îðèåíòèðîâàííûì ãðàôîì G , â êî-òîðîì V � ìíîæåñòâî âåðøèí, A � ìíîæåñòâî äóã, ÿâëÿþùå-åñÿ ïîäìíîæåñòâîì V 2. Îêîí÷àòåëüíî ñôîðìóëèðóåì îïðåäå-ëåíèå òàê: ïàðà 〈V, A〉 íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì ãðàôîì,åñëè V � íåïóñòîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ, íàçûâàåìûõ âåðøè-íàìè, A � ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð ðàçëè÷íûõ ýëåìåí-òîâ èç V, íàçûâàåìûõ äóãàìè. Òîãäà äëÿ íàøåãî ïðèìåðà èìå-åì G(V, A)=〈{v1, v2, v3, v4, v5}, {(v1, v2), (v1, v3), (v2, v5), (v3, v2),(v4, v1), (v4, v3), (v5, v4)}〉, ãäå (vi, vj) � äó-ãà, ó êîòîðîé vi � íà÷àëüíàÿ, à vj � êî-íå÷íàÿ âåðøèíû. Èçîáðàæåíèå ýòîãî ãðàôàïðèâåäåíî íà ðèñ. 1.15. Î÷åâèäíî, ÷òî ìíî-æåñòâî äóã, ñîåäèíÿþùèõ ýëåìåíòû ìíîæå-ñòâà âåðøèí, îòîáðàæàåò ýòî ìíîæåñòâî ñà-ìî â ñåáÿ. Ïîýòîìó îðãðàô ìîæíî ðàñ- Ðèñ. 1.15

sv1

sv2

sv3sv4

sv5

ZZZ~

������BBBBBN����

�

-BBBN

ñìàòðèâàòü êàê ïàðó 〈V, Γ〉, ãäå Γ � îòîáðàæåíèå, çàäàííîåíà ìíîæåñòâå V. Äëÿ ãðàôà íà ðèñ. 1.15 èìååì

Γ(v1) = {v2, v3}, Γ(v2) = {v5}, Γ(v3) = {v2},Γ(v4) = {v1, v3}, Γ(v5) = {v4}.

5 çàïèñè äëÿ V 2 ýëåìåíòû èíîæåñòâà A ïîä÷åðêíóòû.

23

Ïîñêîëüêó Γ(vi) îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ âåðøèí âñåõäóã, èñõîäÿùèõ èç vi, òî ÷åðåç Γ−1(vi) åñòåñòâåííî îáîçíà÷èòüìíîæåñòâî íà÷àëüíûõ âåðøèí âñåõ äóã, âõîäÿùèõ â vi. Òîãäàîïèñàíèå ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 1.15, ìîæåò áûòü âû-ïîëíåíî òàê:

Γ−1(v1) = {v4}, Γ−1(v2) = {v1, v3}, Γ−1(v3) = {v1, v4},Γ−1(v4) = {v5}, Γ−1(v5) = {v2}.Î êîëè÷åñòâå îðãðàôîâ. Ëþáîìó ïðîñòîìó ãðàôó G

ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå îðãðàô, ïðèäàâ êàæäîìó ðåá-ðó îäíó èç äâóõ âîçìîæíûõ îðèåíòàöèé. Âñåãî èìååòñÿ 2m

ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ îðèåíòàöèè ìíîæåñòâà èç m ðåáåð, ò. å.èç îäíîãî ïðîñòîãî ïîìå÷åííîãî ãðàôà â îáùåì ñëó÷àå ìîæ-íî ïîëó÷èòü 2m îðèåíòèðîâàííûõ. Êðîìå òîãî, âìåñòî îäíîéäóãè ìîæíî âçÿòü äâå ïàðàëëåëüíûå ñ ïðîòèâîïîëîæíîé îðè-åíòàöèåé. Âàðüèðóÿ êîëè÷åñòâî ïàð ïàðàëëåëüíûõ äóã è âûáè-ðàÿ èõ â ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèÿõ, ïîëó÷àåì äîïîëíèòåëüíîå èâåñüìà ñóùåñòâåííîå ðàñøèðåíèå ÷èñëà ãðàôîâ, ïðîèçâîäíûõîò ãðàôà G.

Õàðàêòåðèñòèêè îðãðàôîâ. Ïðè îïèñàíèè îðãðàôîâèñïîëüçóþò òå æå ïîíÿòèÿ, òåðìèíû è õàðàêòåðèñòèêè, ÷òî èäëÿ íåîðèåíòðîâàííûõ ãðàôîâ, íî åñòü è ñâîÿ ñïåöèôèêà, îáó-ñëîâëåííàÿ íàëè÷èåì îðèåíòàöèè äóã. Íàïðèìåð, äëÿ îðãðà-ôîâ ñîõðàíÿþòñÿ ïîíÿòèÿ ñìåæíîñòè è èíöèäåíòíîñòè, îïðå-äåëåííûå â ðàçä. 1.1, íî íàðÿäó ñ òàêîé õàðàêòåðèñòèêîé, êàêñòåïåíü âåðøèíû deg v, èñïîëüçóþò åùå äâå: ïîëóñòåïåíü èñ-õîäà � ÷èñëî èñõîäÿùèõ èç v äóã deg+v=|Γ(v)| è ïîëóñòå-ïåíü çàõîäà � ÷èñëî âõîäÿùèõ â v äóã deg−v=|Γ−1(v)| , ñâÿ-çàííûå î÷åâèäíûìè ñîîòíîøåíèÿìè deg v= deg+v+ deg−v è∑n

i=1 deg−vi=∑n

i=1 deg+vi=|A|=m , ãäå m � ÷èñëî äóã â ãðàôå.Íåêîòîðûå ñïåöèôè÷åñêèå ïîíÿòèÿ è õàðàêòåðèñòèêè îðãðà-ôîâ ðàññìîòðåíû â ïîñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ.

Ìàòðèöû îðãðàôîâ. Ìàòðèöà ñìåæíîñòè îðãðàôàîïðåäåëÿåòñÿ êàê êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A=[ai,j] ïîðÿäêà n , âêîòîðîé ýëåìåíò ai,j ðàâåí 1, åñëè â ãðàôå åñòü äóãà (vi, vj) , è0, åñëè òàêîé äóãè íåò.  êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 1.16 ïðåä-

24

ñòàâëåíû îðãðàô G , åãî ìàòðèöà ñìåæíîñòè A è äâå ñòåïåí-íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè deg+vi è deg−vi .

Ðèñ. 1.16

sv1sv2

sv3sv4

sv5

sv6

s]

+�

-O

-

�O

qI

v1 v2 v3 v4 v5 v6 deg+vi

A =

v1

v2

v3

v4

v5

v6

0 1 0 1 0 01 0 1 0 0 00 1 0 1 0 00 0 1 0 0 01 0 0 0 0 10 0 0 1 1 0

222122

deg−vi 2 2 2 3 1 1

Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò (ïðèìåð ïîäòâåðæäàåò ýòî), ÷òî:� â îáùåì ñëó÷àå ìàòðèöà íå ñèììåòðè÷íà, òàê êàê íàëè-

÷èå äóãè (vi, vj) ñîâñåì íå îçíà÷àåò, ÷òî â ãðàôå ïðèñóòñòâóåòòàêæå è îáðàòíàÿ äóãà (vj, vi) ;

� êîëè÷åñòâî åäèíèö â ëþáîé ñòðîêå ðàâíî ïîëóñòåïåíèèñõîäà ñîòâåòñòâóþùåé âåðøèíû:

∑nj=1 ai,j= deg+vi, i=1, n ;

� êîëè÷åñòâî åäèíèö â ëþáîì ñòîëáöå ðàâíî ïîëóñòåïåíèçàõîäà ñîòâåòñòâóþùåé âåðøèíû:

∑ni=1 ai,j= deg−vj, j=1, n ;

� îáùåå êîëè÷åñòâî åäèíèö â ìàòðèöå ðàâíî ÷èñëó äóã âãðàôå:

∑ni=1

∑nj=1 ai,j = m.

Ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè îðãðàôà îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðÿ-ìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà B=[bi,j] ðàçìåðà n×m, â êîòîðîé

bi,j=

{1 , åñëè vi ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíîé âåðøèíîé äóãè aj;

−1 , åñëè vi ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé âåðøèíîé äóãè aj;0 , åñëè âåðøèíà vi è äóãà aj íå èíöèäåíòíû.

 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè,íàïðèìåð äëÿ ãðàôà íà ðèñ. 1.16, èìååò âèä:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11

B =

v1

v2

v3

v4

v5

v6

1 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 00 −1 1 0 1 −1 0 0 0 0 00 0 −1 −1 0 1 1 0 0 0 0

−1 0 0 1 0 0 −1 0 −1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −10 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 1

25

Ñâîéñòâà ìàòðèö èíöèäåíòíîñòè îðãðàôà è íåîðãðàôàïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâû, õîòÿ åñòü è îòëè÷èÿ. Òàê, â ñëó÷àåîðãðàôà õàðàêòåð çàâèñèìîñòè ñòðîê ìàòðèöû èíöèäåíòíîñòèñòðîãî ëèíåéíûé: âåêòîð èíöèäåííîñòè ëþáîé âåðøèíû ðàâåíñóììå âåêòîðîâ èíöèäåíòíîñòè îñòàëüíûõ âåðøèí, âçÿòîé cïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì.

Íàðÿäó ñ ìàòðèöàìè äëÿ îïèñàíèÿ îðãðàôîâ èñïîëüçóþòñÿè ñïèñêè. Ôàêòè÷åñêè ïàðû 〈V, Γ〉 , 〈V, Γ−〉 è ÿâëÿþòñÿ ñîîò-âåòñòâåííî ïðÿìûì è èíâåðòèðîâàííûì ñïèñêàìè âåðøèí. Âñïèñêå äóã äîëæíà áûòü îòðàæåíà èõ îðèåíòàöèÿ.

Âèäû îðãðàôîâ. Êàê è ïðîñòûå ãðàôû, îðèåíòèðîâàí-íûå ìîãóò áûòü ñâÿçíûìè è íåñâÿçíûìè, ïîëíûìè, k -äîëüíû-ìè, ðåãóëÿðíûìè è ò. ï. Ñóùåñòâóþò îðèåíòèðîâàííûå àíà-ëîãè öåïåé, öèêëîâ, äåðåâüåâ. Òèïè÷íûì ïðèìåðîì ïîäîáíîéàíàëîãèè ÿâëÿþòñÿ òàê íàçûâàåìûå òóðíèðû � îðèåíòèðîâàí-íûå ãðàôû, â êîòîðûõ êàæäàÿ ïàðà âåðøèí ñîåäèíåíà òîëüêîîäíîé äóãîé. Ëþáîé òóðíèð ïîëó÷àåòñÿ èç ïðîñòîãî ïîëíîãîãðàôà, åñëè êàæäîìó åãî ðåáðó äàòü íåêîòîðóþ îðèåíòàöèþ.Íàçâàíèå ýòîãî âèäà ãðàôîâ îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî îíè ïîçâî-ëÿþò íàãëÿäíî îòîáðàçèòü ðåçóëüòàòû ëþáîãî ñîðåâíîâàíèÿ,êîãäà êàæäûé ó÷àñòíèê äîëæåí âñòðåòèòüñÿ ñî âñåìè îñòàëü-íûìè è çàïðåùåíû íè÷üè, íàïðèìåð, êàê â áîëüøîì òåííèñåèëè â âîëåéáîëå. Ïðè ýòîì ó÷àñòíèêàì ñîîòâåòñòâóþò âåðøè-íû, à ðåçóëüòàòàì âñòðå÷ � äóãè, íàïðàâëåííûå îò ïîáåäèòåëÿê ïîáåæäåííîìó. Íà ðèñ. 1.17 èçîáðàæåíû âñå íåïîìå÷åí-íûå

Ðèñ. 1.17T1

s s

sss

6

����

-@@@I

?

-

T2

s st

sss

6

����

-@@@I 6-

T3

s st

ss6

����6

�

-@@@R

T4

s s

ss6

����6

�

�@@@R

òóðíèðû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Îïèøåì íåêîòîðûå ñâîéñòâà òóð-íèðîâ.  ëþáîì òóðíèðå ìîæåò áûòü íå áîëåå îäíîé âåðøèíûs ñ íóëåâîé ïîëóñòåïåíüþ çàõîäà è íå áîëåå îäíîé âåðøèíût ñ íóëåâîé ïîëóñòåïåíþ èñõîäà, íàçûâàåìûõ ñîîòâåòñòâåííîèñòîêîì è ñòîêîì. Äåéñòâèòåëüíî, íàëè÷èå, íàïðèìåð, äâóõ

26

èñòîêîâ îçíà÷àåò, ÷òî â íåêîòîðîì ðåàëüíîì òóðíèðå åñòü äâààáñîëþòíûõ ïîáåäèòåëÿ. Ïðèñóòñòâèå ñòîêà èëè èñòîêà ñóùå-ñòâåííî ñîêðàùàåò êîëè÷åñòâî öèêëîâ â ãðàôå, òàê êàê òàêèåâåðøèíû íå ìîãóò ïðèíàäëåæàòü íè îäíîìó öèêëó. Ïîýòîìó÷èñëî öèêëîâ â òóðíèðå T (n), èìåþùåì, êàê ãðàôû T1 è T3

íà ðèñ. 1.17, ñòîê èëè èñòîê, ðàâíî ÷èñëó öèêëîâ â òóðíèðåT (n−1), ïîëó÷àþùåìñÿ ïðè óäàëåíèè èç T (n) ñòîêà (èñòîêà)è âñåõ èíöèäåíòíûõ åìó äóã. Ïðîäåëàâ ïîäîáíóþ îïåðàöèþñ ãðàôàìè T1 è T3, óáåæäàåìñÿ, ÷òî "îñòàòîê" èìååò îäèíöèêë. Íàêîíåö, â òóðíèðå, èìåþùåì, êàê ãðàô T2, è èñòîê sè ñòîê t, ÷èñëî öèêëîâ òî æå, ÷òî è â òóðíèðå, ïîëó÷åííîìïîñëå óäàëåíèÿ s è t.

 ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ àöèêëè÷åñêèå îðãðàôû,ò. å. îðãðàôû, íå ñîäåðæàøèå öèêëîâ. Îäèí òàêîé ãðàô åñòüè íà ðèñ. 1.17 � ýòî T2. Áîëåå íàãëÿäíûå ïðèìåðû äàíû íàðèñ. 1.18. Ïîíÿòíî, ÷òî ëþáîé ãðàô ýòîãî âèäà äîëæåí èìåòü

Ðèñ. 1.18V0 V1 V2

V3 V4 V5

G1

sv3

sv6

sv4

sv7

sv8

sv5

sv10

sv9

sv2

sv1

����*

����

HHHHjJJJJJJ

JJJJJJ

�

����*

HHHHHHHHj

R

-AAAAAAAAU

�����

-

6

-����

����

���1

����

����

����

@@@@R

�

�����

R- -

G2 sv1 sv2 sv4

sv5sv3

sv7

sv6

sv8

sv9

-@@@@R? ?

-

� -

?

?

? -

���� ?-

ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ñòîê è îäèí èñòîê. Åñëè ê òîìó æåðàçìåòêà âåðøèí ãðàôà òàêîâà, ÷òî äëÿ ëþáîé äóãè (vi, vj)ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå i<j, òî ãîâîðÿò, ÷òî ãðàô òîïîëî-ãè÷åñêè îòñîðòèðîâàí. Ýòî çíà÷èò, ÷òî, åñëè âåðøèíû ãðà-ôà îòîáðàæàþò ïðîìåæóòî÷íûå öåëè ïðè âûïîëíåíèè íåêî-òîðîãî êîìïëåêñà ðàáîò, à äóãè � äåéñòâèÿ, íàïðàâëåííûå íàäîñòèæåíèå ýòèõ öåëåé, òî òîïîëîãè÷åñêàÿ ñîðòèðîâêà îïðå-äåëÿåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äîñòèæåíèÿ öåëåé. Òàê, èç äâóõãðàôîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 1.18, G2 îòñîðòèðîâàí, à G1 �íåò. Îäíàêî ãðàô G1 î÷åíü ïðîñòî ñîðòèðóåòñÿ, åñëè ó÷åñòü

27

îò÷åòëèâî âûðàæåíîå ðàçáèåíèå åãî âåðøèí íà ïîäìíîæåñòâàV0, V1, . . . , V5, òàêîå, ÷òî íà÷àëüíàÿ âåðøèíà ëþáîé äóãè ïðè-íàäëåæèò ïîäìíîæåñòâó ñ ìåíüøèì èíäåêñîì ïî ñðàâíåíèþñ êîíå÷íîé âåðøèíîé. Äîñòàòî÷íî ïðîíóìåðîâàòü ñïåðâà âåð-øèíû ïåðâîãî ïîäìíîæåñòâà, ïîòîì âòîðîãî, òðåòüåãî è ò. ä.Ïðè ýòîì âíóòðè ïîäìíîæåñòâà ïîðÿäîê ïðîèçâîëüíûé, à ýòîçíà÷èò, ÷òî ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî âàðèàíòîâ òàêîé ðàçìåòêè.

Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à òîïîëîãè÷åñêîé ñîðòèðîâêè ñâîäèò-ñÿ ê îòûñêàíèþ ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà V íàïîäìíîæåñòâà Vi (íàçûâàåìûå óðîâíÿìè, ñëîÿìè, ÿðóñàìè),òàêèå, ÷òî åñëè âåðøèíà ïðèíàäëåæèò ïîäìíîæåñòâó Vi, òîëþáàÿ ñëåäóþùàÿ çà íåé âõîäèò â ïîäìíîæåñòâî, èíäåêñ êîòî-ðîãî áîëüøå i. Èíûìè ñëîâàìè, íà ìíîæåñòâå âåðøèí íåîáõî-äèìî íàéòè ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ, íàçûâàåìóþ ïîðÿäêîâîé ôóíê-öèåé ãðàôà, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Ïóñòü G(V, Γ−1) � àöèêëè÷åñêèé îðãðàô, è íàéäåíû ñëå-äóþùèå íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà V :

V0 = {v | v ∈ V & Γ−1(v) = ∅ };V1 = {v | v ∈ V−V0 & Γ−1(v) ⊂ V0 };V2 = {v | v ∈ V−(V0∪V1) & Γ−1(v) ⊂ (V0∪V1) };. . . . . .

Vr = {v | v ∈ V−r−1⋃j=0

Vj & Γ−1(v) ⊂r−1⋃j=0

Vj },

ãäå Vr òàêîâî, ÷òî Γ(v)=∅ äëÿ âñåõ v∈Vr. Ïîðÿäêîâàÿ ôóíê-öèÿ ãðàôà O(v), îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå âåðøèí, ñîïî-ñòàâëÿåò êàæäîé èç íèõ ÷èñëî, ðàâíîå çíà÷åíèþ èíäåêñà ïîä-ìíîæåñòâà Vk, ýëåìåíòîì êîòîðîãî ýòà âåðøèíà ÿâëÿåòñÿ, ò. å.åñëè vi∈Vk, òî O(vi)=k.

 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèâåäåííûìè ñîîòíîøåíèÿìè äëÿ ïî-ëó÷åíèÿ íåîáõîäèìîãî ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà V íà ïîäìíîæå-ñòâà V0, V1, . . . , Vr ñëåäóåò ïîâòîðíî âûïîëíÿòü ïðîöåäóðó ïî-èñêà âåðøèí, ó êîòîðûõ Γ−1(v)=∅, ñíà÷àëà â çàäàííîì ãðà-ôå, ïîòîì â ãðàôå, ïîëó÷åííîì èç çàäàííîãî ïóòåì óäàëåíèÿâåðøèí, íàéäåííûõ íà ïåðâîé èòåðàöèè, çàòåì â ãðàôå, ïîëó-÷åííîì ïóòåì óäàëåíèÿ âåðøèí, íàéäåííûõ íà ïåðâûõ äâóõèòåðàöèÿõ, è ò. ä., ïîêà íå áóäóò îáðàáîòàíû âñå âåðøèíû.

28

Ïîêàæåì íà ïðèìåðå ñïîñîá îòûñêàíèÿ ïîðÿäêîâîé ôóíê-öèè, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè ìàòðèöû ñìåæíîñòè è èç-âåñòíûé êàê àëãîðèòì Äåìóêðîíà.

Ïóñòü ãðàô G è åãî ìàòðèöà ñìåæíîñòè A âûãëÿäÿò, êàêïîêàçàíî íà ðèñ. 1.19. Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî åäèíèö â êàæäîìñòîëáöå ìàòðèöû è çàïèøåì íàéäåííûå çíà÷åíèÿ â ïåðâîé

Ðèñ. 1.19

G

sv1 sv2 sv3

sv4

sv5

sv6

sv7

sv8

sv9

sv10

�@@@R@@@

���������

�

HHHH

HHY

?

�

�

�������

�Y

�O

����������

���������

����

�����1

����

�����

AAAAAAK

�������

�������

������

1

?

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10

A=

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 1 1 0 00 1 0 0 1 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 1 0 0 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 1 0

ñòðîêå òàáë. 1.1. Çàôèêñèðóåì â ñòîëáöå Vi âåðøèíû v3, v6 ñíóëåâîé ñóììîé è îòìåòèì òðåòüþ è øåñòóþ ñòðîêè ìàòðè-öû. Âíîâü ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî åäèíèö â ñòîëáöàõ, íå ó÷èòûâàÿ

Òàáëèöà 1.1Èòå-ðàöèè v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 Vi

1 3 3 0 2 3 0 2 2 3 2 V0={v3, v6}2 3 3 0 3 0 0 3 2 V1={v4, v7, v8}3 3 1 0 2 0 V2={v5, v10}4 2 1 0 V3={v9}5 1 0 V4={v2}6 0 V5={v1}

O(vi) 5 4 0 1 2 0 1 1 3 2

ïðè ýòîì ñîäåðæèìîå îòìå÷åíûõ ñòðîê. Ðåçóëüòàòû çàïèøåìâî âòîðîé ñòðîêå òàáëèöû, îïóñêàÿ íóëè, ïîëó÷åííûå íà ïåð-âîì øàãå.  ñòîëáåö Vi çàíîñèì âåðøèíû ñ íóëåâîé ñóììîév4, v7, v8 è îòìå÷àåì â ìàòðèöå ñîîòâåòñòâóþùèå ñòðîêè. Ïî-âòîðÿåì îïèñàííûå äåéñòâèÿ, ïîêà íå áóäóò îáðàáîòàíû âñåâåðøèíû. Äëÿ çàâåðøåíèÿ ïðîöåññà òðåáóåòñÿ åùå ÷åòûðå èòå-ðàöèè (ñì. òàáë. 1.1).  ðåçóëüòàòå ïîñëåäíèé ñòîëáåö òàáëèöû

29

äàåò èñêîìîå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà G íà ïîä-ìíîæåñòâà V0, V1, . . . , V5, à ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà � ïîðÿäêîâóþôóíêöèþ. Èçîáðàæåíèå ðàññìàòðèâàåìîãî ãðàôà, îòðàæàþ-ùåå ïîëó÷åííîå ðàçáèåíèå, äàíî íà ðèñ 1.18 (ñì. ãðàô G1 ).

1.7. Ìàðøðóòû, öåïè è ïðîñòûå öåïè ðàçä. 1.3 äàíû ïîíÿòèÿ öåïè è ïðîñòîé öåïè, êàê ÷åðå-

äóþùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåðøèí è ðåáåð, ïðè÷åì â öåïèïîïàðíî ðàçëè÷íû âñå ðåáðà, à â ïðîñòîé öåïè � âñå âåðøèíû.Ìàðøðóò îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, çà èñêëþ÷åíèåì îãðàíè÷åíèéíà ïîâòîðåíèå âåðøèí è ðåáåð: äîïóñêàåòñÿ ïîâòîðåíèå êàêâåðøèí, òàê è ðåáåð. Òàêèì îáðàçîì, èìååì òðèàäó, îòíîøå-íèÿ ìåæäó ýëåìåíòàìè êîòîðîé ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñõåìîé:

Ìàðøðóò Öåïü Ïðîñòàÿ öåïü .

Ïðèìåíèòåëüíî ê îðèåíòèðîâàííûì ãðàôàì ñóùåñòâóþòàíàëîãè÷íûå ïîíÿòèÿ: îðèåíòèðîâàííûé ìàðøðóò (îðìàðø-ðóò), îðèåíòèðîâàííàÿ öåïü (îðöåïü) è îðèåíòèðîâàííàÿ ïðî-ñòàÿ öåïü (ïðîñòàÿ îðöåïü). Äëÿ ïîñëåäíåé ÷àñòî èñïîëü-çóåòñÿ äðóãîé áîëåå êîðîòêèé òåðìèí ïóòü.

Ïðè ðàññìîòðåíèè îðãðàôîâ èñïîëüçóþò òàêæå ïîíÿòèÿ:ïîëóìàðøðóò, ïîëóöåïü è ïîëóïóòü, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ îòñîòâåòñòâóþùèõ èì îðìàðøðóòà, îðöåïè è ïóòè òåì, ÷òî äî-ïóñêàþòñÿ ðàçíîíàïðàâëåííûå äóãè. Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü äóã (v1, v2), (v3, v2), (v3, v4) îïðåäåëÿåò ïîëóïóòü ñ íà-÷àëüíîé âåðøèíîé v1 è êîíå÷íîé âåðøèíîé v4.

Ïðèâåäåííàÿ òåðìèíîëîãèÿ â îñíîâíîì ñîîòâåòñòâóåò ïðè-íÿòîé, íàïðèìåð â [1]. Âîîáùå æå äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ïîíÿ-òèé èñïîëüçóþò è äðóãèå òåðìèíû.

 äàëüíåéøåì ñëîâî îðèåíòèðîâàííûé ïðèìåíèòåëüíî êìàðøðóòó èëè öåïè áóäåì îïóñêàòü, åñëè èç êîíòåêñòà ÿñíî, îêàêîì ãðàôå èäåò ðå÷ü.

30

2. Ñâÿçíîñòü â îðãðàôàõ2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÃîâîðÿò, ÷òî âåðøèíà w äîñòèæèìà èç âåðøèíû v, åñëè

ñóùåñòâóåò ïóòü (v, . . ., w). Åñëè ïðè ýòîì v äîñòèæèìà èçw, òî î âåðøèíàõ ãîâîðÿò, ÷òî îíè âçàèìíî äîñòèæèìû.

Îðãðàô íàçûâàåòñÿ ñèëüíî ñâÿçíûì èëè ñèëüíûì, åñëèëþáûå äâå âåðøèíû â íåì âçàèìíî äîñòèæèìû. Ïðèìåð ñèëü-íîãî îðãðàôà ïðèâåäåí íà ðèñ. 2.1,a. Ïîñêîëüêó â ãðàôå èìå-åòñÿ îðöèêë (v1, v4, v2, v3, v5, v1), âêëþ÷àþùèé âñå âåðøèíû,òî ëþáûå äâå èç íèõ âçàèìíî äîñòèæèìû.

sv1

sv2

sv3sv4

sv5

�����

ZZZ}

��� Q

QQQk

����3

���>

-

à

sv1

sv2

sv3sv4

sv5

�

+

ZZZ~

������BBBBBN����

-

���>

-BBBN

áÐèñ. 2.1

sv1

sv2

sv3sv4

sv5

�

+

ZZZ~

������

BBBBBM

����

�

���>

-BBBN

â

Îðãðàô íàçûâàåòñÿ îäíîñòîðîííå ñâÿçíûì èëè îäíîñòî-ðîííèì, åñëè â ëþáîé ïàðå åãî âåðøèí õîòÿ áû îäíà äîñòèæè-ìà èç äðóãîé. Ïðèìåð îäíîñòîðîííåãî ãðàôà äàí íà ðèñ. 2.1,á. ýòîì ãðàôå åñòü îðöèêë (v1, v3, v4, v1, v2, v1), âêëþ÷àþùèé÷åòûðå âåðøèíû. Âñå îíè âçàèìíî äîñòèæèìû.  îòëè÷èå îòýòèõ âåðøèí v5 èìååò íóëåâóþ ïîëóñòåïåíü çàõîäà, à ýòî çíà-÷èò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïóòåé, âåäóùèõ â v5. Âìåñòå ñ òåì èçv5 äîñòèæèìà ëþáàÿ èç ÷åòûðåõ îñòàëüíûõ âåðøèí.

Îðãðàô íàçûâàåòñÿ ñëàáî ñâÿçíûì èëè ñëàáûì, åñëè â íåìëþáûå äâå âåðøèíû ñîåäèíåíû ïîëóïóòåì.  îòëè÷èå îò ïó-òè, êîãäà âñå äóãè îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíû (îò íà÷àëüíîéâåðøèíû ïóòè ê êîíå÷íîé) â ïîëóïóòè ìîãóò áûòü è ïðîòèâî-ïîëîæíî íàïðàâëåííûå äóãè. Ïðèìåð ñëàáî ñâÿçíîãî îðãðàôàïðèâåäåí íà ðèñ. 2.1,â. Î÷åâèäíî, ÷òî â ãðàôå íåò ïóòè ìåæäóâåðøèíàìè v3 è v5, íî ñóùåñòâóåò ïîëóïóòü, ñîñòîÿùèé èçäâóõ ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûõ äóã (v3, v4) è (v5, v4).

31

2.2. Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòèÄëÿ îðãðàôà îïðåäåëåíû òðè òèïà êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè:

ñèëüíàÿ êîìïîíåíòà � ìàêñèìàëüíûé ñèëüíûé ïîäãðàô, îäíî-ñòîðîííÿÿ êîìïîíåíòà � ìàêñèìàëüíûé îäíîñòîðîííèé ïîä-ãðàô è ñëàáàÿ êîìïîíåíòà � ìàêñèìàëüíûé ñëàáûé ïîäãðàô.

Ïîíÿòèå ñèëüíîé êîìïîíåíòû èëëþñòðèðóåò ðèñ. 2.2. Ãðàô

G

G1

sv1 sv2

sv3

sv4

-

?

����

6

G

sv1 sv2

sv3

sv4

-

?

����

6 HHHY����

sv5

sv6

sv7

sv8

���@@R?��@@I

G2

sv5

sv6

sv7

sv8

���@@R?��@@I

G′1

sv1 sv2

sv4

-���

6

G′′1

sv1 sv2

sv3

sv4

-

?�

6

G′2

sv5

sv6

sv7

sv8

���@@R��@@I

G′′2

sv5

sv6

sv8

���

?@@I

Ðèñ. 2.2

G , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îäíîñòîðîííå ñâÿçíûì, ñîäåðæèò øåñòüñèëüíûõ ïîäãðàôîâ G1, G

′1, G

′′1, G2, G

′2, G

′′2, èç êîòîðûõ òîëüêî

äâà G1 è G2 ÿâëÿþòñÿ ñèëüíûìè êîìïîíåíòàìè.Àíàëîãè÷íî èëëþñòðèðóåòñÿ ïîíÿòèå îäíîñòîðîííåé êîì-

ïîíåíòû.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îíîñòîðîííÿÿ êîìïîíåí-òà ñîâïàäàåò ñ ñàìèì ãðàôîì. Åñëè æå ñìåíèòü, íàïðèìåð,îðèåíòàöèþ äóãè (v4, v1) íà ïðîòèâîïîëîæíóþ, òî ïîëó÷èìñëàáîñâÿçíûé ãðàô ñ äâóìÿ îäíîñòîðîííèìè êîìïîíåíòàìè,îäíà èç êîòîðûõ îáðàçîâàíà âåðøèíàìè v1 � v4, à äðóãàÿ � âåð-øèíàìè v2 � v8. Êàê ïîêàçûâàåò ýòîò ïðèìåð, îäíîñòîðîííèåêîìïîíåíòû ãðàôà â îòëè÷èå îò ñèëüíûõ ìîãóò èìåòü îáùèåâåðøèíû.

Ñëàáàÿ êîìïîíåíòà ýêâèâàëåíòíà êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè.Ïîäîáíî ñèëüíûì êîìïîíåíòàì ñëàáûå êîìïîíåíòû íå ìîãóòèìåòü îáùèõ âåðøèí.

32

2.3. Êîíäåíñàöèÿ îðãðàôàÍà îñíîâå ñèëüíûõ êîìïîíåíò îïðåäåëÿåòñÿ åùå îäèí âèä

ãðàôîâ � ãðàô êîíäåíñàöèè. Ïóñòü S1, S2, . . . , Sk � ñèëüíûåêîìïîíåíòû ãðàôà G(V, E). Êîíäåíñàöèåé ãðàôà G íàçûâà-åòñÿ ãðàô G∗(V ∗, E∗), êàæäàÿ âåðøèíà êîòîðîãî v∗i ïðåäñòàâ-ëÿåò ìíîæåñòâî âåðøèí ñîîòâåòñòâóþùåé ñèëüíîé êîìïîíåí-òû Si ãðàôà G, à äóãà (v∗i , v

∗j ) ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà

E∗, åñëè â ãðàôå G åñòü ïî êðàéíåé ìåðå îäíà äóãà, èäóùàÿîò íåêîòîðîé âåðøèíû êîìïîíåíòû Si ê îäíîé èç âåðøèí êîì-ïîíåíòû Sj. Ïðèìåð îðãðàôà G, èìåþùåãî ÷åòûðå ñèëüíûõêîìïîíåíòû S1 �S4, è åãî êîíäåíñàöèè G∗ äàí íà ðèñ. 2.3.

G

sv1 sv2 sv3

sv4sv5

sv6 sv7

sv8

sv9

sv10

-

?

I

?

@@@@R

��

���

@@@@R-

@@@@R

@@@@R

��

��

� -

R

����

6

� �

6G∗

sv∗1

S1={v1,v2} sv∗2

{v3}=S2

sv∗3S3={v4,v5,v8,v9}

sv∗4{v6,v7,v10}=S4

?

@@@@@R

��

��

�� ?�

Ðèñ. 2.3

ßñíî, ÷òî ãðàô êîíäåíñàöèè G∗ íå ìîæåò ñîäåðæàòü öèê-ëîâ, òàê êàê âñå âåðøèíû ëþáîãî öèêëà âçàèìíî äîñòèæèìûè çíà÷èò ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîé ñèëüíîé êîìïîíåíòå, à ýòîïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ êîíäåíñàöèè.

2.4. Îòûñêàíèå ñèëüíûõ êîìïîíåíòÏóñòü R(v) � ìíîæåñòâî âåðøèí (n,m) -ãðàôà, äîñòèæè-

ìûõ èç âåðøèíû v. Òîãäà, ïîñêîëüêó Γ(v) ÿâëÿåòñÿ ìíîæå-ñòâîì âåðøèí, äîñòèæèìûõ èç v ñ èñïîëüçîâàíèåì ïóòåé äëè-íû 1, Γ2(v) � ìíîæåñòâîì âåðøèí, äîñòèæèìûõ èç v ñ èñ-ïîëüçîâàíèåì ïóòåé äëèíû 2, Γ3(v) � ñ èñïîëüçîâàíèåì ïóòåéäëèíû 3 è ò. ä., òî R(v) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

R(v) = {v} ∪ Γ(v) ∪ Γ2(v) ∪ . . . ∪ Γp(v) .

33

Îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ñëå-âà íàïðàâî äî òåõ ïîð, ïîêà ìíîæåñòâî R(v) íå ïåðåñòàíåòóâåëè÷èâàòüñÿ. Êîëè÷åñòâî îïåðàöèé çàâèñèò îò ãðàôà, íî,î÷åâèäíî, ÷òî p<n .

Îáîáùàÿ, ìîæíî ãîâîðèòü î ìíîæåñòâå âåðøèí R(X), äî-ñòèæèìûõ (â ñîâîêóïíîñòè) íå èç åäèíñòâåííîé âåðøèíû, àèç öåëîé ãðóïïû âåðøèí X⊂V, è îïðåäåëÿòü R(X) êàê

R(X) =⋃v∈X

R(v) .

Ïóñòü Q(v) � ìíîæåñòâî âåðøèí (n,m)-ãðàôà, èç êîòî-ðûõ äîñòèãàåòñÿ âåðøèíà v. Òîãäà, ïîñêîëüêó Γ−1(v) � ìíî-æåñòâî âåðøèí, èç êîòîðûõ v äîñòèãàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåìïóòåé äëèíû 1, Γ−2(v) � ìíîæåñòâî âåðøèí, èç êîòîðûõ väîñòèãàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïóòåé äëèíû 2, Γ−3(v) � ñ èñ-ïîëüçîâàíèåì ïóòåé äëèíû 3 è ò. ä., òî Q(v) ìîæíî ïðåäñòà-âèòü â âèäå

Q(v) = {v} ∪ Γ−1(v) ∪ Γ−2(v) ∪ . . . ∪ Γ−p(v) .

Çäåñü îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ, êàê è â ïðåäûäó-ùåì ñëó÷àå, ïîñëåäîâàòåëüíî ñëåâà íàïðàâî äî òåõ ïîð, ïîêàìíîæåñòâî Q(v) íå ïåðåñòàíåò óâåëè÷èâàòüñÿ, à ÷èñëî ýòèõîïåðàöèé p<n .

 êà÷åñòâå îáúåêòà, äîñòèæèìîãî èç äðóãèõ âåðøèí, ìîæ-íî ðàññìàòðèâàòü íå åäèíñòâåííóþ âåðøèíó, à öåëóþ ãðóïïóâåðøèí X⊂V. Òîãäà ïîëó÷àåì ìíîæåñòâî

Q(X) =⋃v∈X

Q(v) .

Åñëè R(v) � ýòî ìíîæåñòâî âåðøèí, äîñòèæèìûõ èç v,à Q(w) � ìíîæåñòâî âåðøèí, èç êîòîðûõ äîñòèæèìà w, òîR(v) ∩ Q(w) ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âåðøèí, ïðèíàäëåæàùèõâñåì ïóòÿì, èäóùèì èç v â w.  òîì ñëó÷àå, êîãäà v=w, ïå-ðåñå÷åíèå R(v)∩Q(v) îïðåäåëÿåò ìíîæåñòâî (âêëþ÷àÿ v ) âçà-èìíî äîñòèæèìûõ âåðøèí è, ñëåäîâàòåëüíî, íåêîòîðóþ ñèëü-íóþ êîìïîíåíòó ãðàôà.

34

Ñ ó÷åòîì èçëîæåííîãî, ìîæíî ïðåäëîæèòü ñëåäóþùóþ ïðî-öåäóðó îòûñêàíèÿ âñåõ ñèëüíûõ êîìïîíåíò ãðàôà G(V, Γ) :

1. Ôîðìèðóåì îïèñàíèå ãðàôà â âèäå Γ+(vi) è Γ−(vi)äëÿ âñåõ vi ∈ V.

2. Âûáèðàåì íåêîòîðóþ âåðøèíó v è íàõîäèì R(v) è Q(v).

3. Ïîëó÷àåì V S = R(v) ∩Q(v). Âåðøèííî-ïîðîæäåííûéíà ìíîæåñòâå âåðøèí V S ïîäãðàô ãðàôà G ïðåäñòàâ-ëÿåò ñèëüíóþ êîìïîíåíòó.

4. Åñëè ìíîæåñòâî V−VS ïóñòî, òî âñå ñèëüíûå êîìïî-íåíòû íàéäåíû, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñòðîèì âåðøèííî-ïîðîæäåííûé ïîäãðàô íà V−VS è ïåðåõîäèì ê ï. 1.

Ðàçáåðåì ïðèìåð íà èñïîëüçîâàíèå îïèñàííîãî ïîäõîäà.Íàéäåì ñèëüíûå êîìïîíåíòû ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 2.4.

rv1 rv2 rv3

rv6

rv5

rv4

R�

-JJJJJ

-

?-�

6

�

Ðèñ 2.4

Îïèñàíèÿ ãðàôà ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðÿìîãî è îáðàòíîãîîòîáðàæåíèé âûãëÿäÿò òàê:Γ(v1) = {v2, v3, v5}, Γ(v2) = {v3}, Γ(v3) = {v4},Γ(v4) = {v3}, Γ(v5) = {v4, v6}, Γ(v6) = {v1, v2};Γ−1(v1) = {v6}, Γ−1(v2) = {v1, v6}, Γ−1(v3) = {v1, v2, v4},Γ−1(v4) = {v3, v5}, Γ−1(v5) = {v1}, Γ−1(v6) = {v5}.

Íàõîäèì ìíîæåñòâà R(v), Q(v) è R(v) ∩Q(v) äëÿ ïðîèç-âîëüíî âûáðàííîé âåðøèíû, íàïðèìåð äëÿ v1 :R(v1) = {v1} ∪ {v2, v3, v5} ∪ {v3, v4, v6} = {v1, v2, v3, v4, v5, v6},Q(v1) = {v1} ∪ {v6} ∪ {v5} = {v1, v5, v6},VS1 = R(v1)∩Q(v1) = {v1, v5, v6} � ìíîæåñòâî âåðøèí ïåðâîéñèëüíîé êîìïîíåíòû ãðàôà.

35

Ìíîæåñòâî âåðøèí, íå îòíîñÿùèõñÿ ê íàéäåííîé ñèëüíîéêîìïîíåíòå, ðàâíî ðàçíîñòè V−VS1={v2, v3, v4}. Îïèñàíèå ñî-îòâåòñòâóþùåãî âåðøèííî-ïîðîæäåííîãî ïîäãðàôà èìååò âèä:Γ(v2) = {v3}, Γ(v3) = {v4}, Γ(v4) = {v3};Γ−1(v2) = ∅, Γ−1(v3) = {v2}, Γ−1(v4) = {v3},

Äëÿ ïîèñêà ñëåäóþùåé ñèëüíîé êîìïîíåíòû âîçüìåì îäíóèç åãî âåðøèí, íàïðèìåð v2 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì:R(v2) = {v2} ∪ {v3} ∪ {v4} = {v2, v3, v4}, Q(v2) = {v2},VS2 = R(v2) ∩ Q(v2) = {v2} � åäèíñòâåííàÿ âåðøèíà, âõîäÿ-ùàÿ âî âòîðóþ ñèëüíóþ êîìïîíåíòó.

Äàëåå âåäåì ïîèñê íà ìíîæåñòâå V−VS1−VS2={v3, v4}. Âðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì:R(v3) = {v3} ∪ {v4} = {v3, v4}, Q(v3) = {v3} ∪ {v4} = {v3, v4},VS3 = R(v3)∩Q(v3) = {v3, v4} � âåðøèíû òðåòüåé è ïîñëåäíåéñèëüíîé êîìïîíåíòû ãðàôà.

2.5. Ìàòðèöû äîñòèæèìîñòåéÎïðåäåëèì ìàòðèöó (ïðÿìûõ) äîñòèæèìîñòåé R = [rij]

êàê êâàäðàòíóþ (0,1)-ìàòðèöó ïîðÿäêà |G|, â êîòîðîé rij=1,åñëè âåðøèíà vj äîñòèæèìà èç vi, è rij=0 � â ïðîòèâíîìñëó÷àå. Ïîñêîëüêó êàæäàÿ âåðøèíà äîñòèæèìà èç ñàìîé ñåáÿ,äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû â R ðàâíû 1.

Ìàòðèöà äîñòèæèìîñòåé ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñëåäóþùèìñïîñîáîì. Îòûñêèâàåì ìíîæåñòâà R(vi) äëÿ âñåõ âåðøèí ãðà-ôà è ïîëàãàåì rij=1, åñëè vj∈R(vi), è rij=0 � â ïðîòèâíîìñëó÷àå. Äëÿ ïðèìåðà èç ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà èìååì:R(v1) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6},R(v2) = {v2, v3, v4},R(v3) = {v3, v4},R(v4) = {v3, v4},R(v5) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6},R(v6) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6},

=⇒ R =

1 1 1 1 1 10 1 1 1 0 00 0 1 1 0 00 0 1 1 0 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

.

36

Ìàòðèöó îáðàòíûõ äîñòèæèìîñòåé Q=[qij] îïðåäåëèìêàê êâàäðàòíóþ (0,1)-ìàòðèöó ïîðÿäêà |G| , â êîòîðîé qij=1,åñëè âåðøèíà vi äîñòèæèìà èç vj, è qij=0 � â ïðîòèâíîìñëó÷àå. Äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû â Q, êàê è â R, ðàâíû 1.

Ìàòðèöà Q ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà òåì æå ñïîñîáîì, ÷òî èìàòðèöà R. Èùåì ìíîæåñòâà Q(vi) äëÿ âñåõ âåðøèí ãðàôà èïîëàãàåì qij=1, åñëè vj∈Q(vi), è qij=0 � â ïðîòèâíîì ñëó÷àå:

Q(v1) = {v1, v5, v6},Q(v2) = {v1, v2, v5, v6},Q(v3) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6},Q(v4) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6},Q(v5) = {v1, v5, v6},Q(v6) = {v1, v5, v6},

=⇒ Q =

1 0 0 0 1 11 1 0 0 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 0 0 0 1 11 0 0 0 1 1

.

Îäíàêî èç îïðåäåëåíèé ÿñíî, ÷òî ñòîëáåö vi â ìàòðèöå Qñîâïàäàåò ñî ñòðîêîé vi â ìàòðèöå R, ïîýòîìó Q = RT .

Ïðîöåäóðà îòûñêàíèÿ ñèëüíûõ êîìïîíåíò ìîæåò áûòü ñäå-ëàíà áîëåå íàãëÿäíîé è ýôôåêòèâíîé, åñëè èñïîëüçîâàòü ââå-äåííûå âûøå ìàòðèöû è îïåðàöèþ èõ ïîýëåìåíòíîãî óìíîæå-íèÿ ⊗ . Ìàòðèöà R⊗Q íåñåò èíôîðìàöèþ îáî âñåõ ñèëüíûõêîìïîíåíòàõ ãðàôà:

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v1 v5 v6 v2 v3 v4

R⊗Q =

v1

v2

v3

v4

v5

v6

1 0 0 0 1 10 1 0 0 0 00 0 1 1 0 00 0 1 1 0 01 0 0 0 1 11 0 0 0 1 1

∼

v1

v5

v6

v2

v3

v4

1 1 1 0 0 01 1 1 0 0 01 1 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1

.

Äåéñòâèòåëüíî, ñòðîêà vi ñîäåðæèò åäèíèöû â òåõ ñòîëá-öàõ vj , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå âçàèìíîé äîñòè-æèìîñòè ñ vi è êîòîðûå íàðÿäó ñ vi âõîäÿò â ñîñòàâ îäíîéè òîé æå ñèëüíîé êîìïîíåíòû. ßñíî, ÷òî ñòðîêè (è ñòîëáöû)ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíàì îäíîé è òîé æå ñèëüíîéêîìïîíåíòû, äîëæíû áûòü èäåíòè÷íû. Ïîýòîìó ïóòåì ïåðå-ñòàíîâêè ñòðîê è ñòîëáöîâ ìàòðèöó R⊗Q ìîæíî ïðèâåñòè êáëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó, êîãäà êàæäàÿ äèàãîíàëüíàÿ ïîä-

37

ìàòðèöà ñîîòâåòñòâóåò ñèëüíîé êîìïîíåíòå è ñîñòîèò èç îäíèõåäèíèö, à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû � íóëè.

2.6. Ïîëó÷åíèå ìàòðèöû äîñòèæèìîñòåéÅñòåñòâåííûìè êîëè÷åñòâåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè äîñòè-

æèìîñòè ÿâëÿþòñÿ äëèíû ïóòåé ìåæäó âåðøèíàìè Ïðè ýòîììàòðèöó ñìåæíîñòè A ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ìàòðèöó äîñòè-æèìîñòè ïðè äëèíå ïóòåé 1, à ìàòðèöó A2=A×A=[a

(2)ij ], ãäå

a(2)ij =

n∨k=1

aikakj, êàê ìàòðèöó äîñòèæèìîñòè ïðè äëèíå ïóòåé 2(çäåñü è äàëåå ìàòðèöà A ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê áóëåâñêàÿ).Ñîîòâåòñòâåííî ìàòðèöû A3,A4,A5 è ò. ä. ìîæíî ðàññìàòðè-âàòü êàê ìàòðèöû äîñòèæèìîñòè ïðè äëèíå ïóòåé 3, 4, 5 è ò. ä.

Îïðåäåëèì îãðàíè÷åííóþ äîñòèæèìîñòü êàê äîñòèæè-ìîñòü ïðè äëèíå ïóòåé íå áîëåå ÷åì q. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàò-ðèöà íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé îãðàíè÷åííîé äîñòèæèìîñòè Rq.Î÷åâèäíî, ÷òî R1=A+I, ãäå ”+” � áóëåâñêîå ñëîæåíèå,I � åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, àíàëîãè÷íî R2=R1+A2=I+A+A2==(I+A)2=R2

1 è âîîáùå Rq=I+A+A2+ . . . +Aq=(I+A)q=Rq1.

Âìåñòî ïîñëåäîâàòåëüíîãî âû÷èñëåíèÿ R2,R3, . . . ,Rq ýêîíî-ìè÷íåå ïîëó÷àòü R2,R4,R8 è ò. ä., èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå:

R2l

1 =R2(l−1)

1 R2(l−1)

1 ,

ãäå l=1, 2, 3, . . . Âîçâåäåíèå â êâàäðàò ïîâòîðÿåòñÿ, ïîêà íåáóäåò ïîëó÷åíî Rq. Åñëè q íå ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ äâîéêè, ïî-òðåáóåòñÿ ðÿä äîïîëíèòåëüíûõ óìíîæåíèé. Íàïðèìåð, ìàò-ðèöà R7 ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà òàê: R7 = R4×R2×R1 == R4

1×R21×R1.  òîì ñëó÷àå, êîãäà òðåáóåòñÿ îòûñêàòü ìàò-

ðèöó äîñòèæèìîñòè, âîçâåäåíèå â êâàäðàò ñëåäóåò âûïîëíÿòü,ïîêà ðåçóëüòàò îïåðàöèè íå ïåðåñòàíåò èçìåíÿòüñÿ.

Áîëåå ýôôåêòèâíîå ðåøåíèå çàäà÷è îñíîâàíî íà èñïîëü-çîâàíèè òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ. Ãðàô íàçûâàåòñÿ òðàíçè-òèâíûì, åñëè ïðè íàëè÷èè äóã âèäà (vi, vk) è (vk, vj) â íåìîáÿçàòåëüíî åñòü è äóãà âèäà (vi, vj). Ïðèìåð òðàíçèòèâíîãîãðàôà äàí íà ðèñ. 2.5. Òðàíçèòèâíûì çàìûêàíèåì ãðàôà G

38

íàçûâàþò òðàíçèòèâíûé ãðàô Gtc, ïîëó÷åííûé ïóòåì äîáàâ-ëåíèÿ ê G ìèíèìàëüíîãî êîëè÷åñòâà äóã, íåîáõîäèìîãî äëÿîáåñïå÷åíèÿ òðàíçèòèâíîñòè. Èç îïðå-äåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè â òðàíçèòèâ-íîì ãðàôå èìååòñÿ öåïü, ñâÿçûâàþùàÿâåðøèíó v ñ âåðøèíîé w , òî ñóùåñòâó-åò òàêæå è äóãà (v, w). Ïîýòîìó, åñ-ëè Gtc ÿâëÿåòñÿ ãðàôîì òðàíçèòèâíî-ãî çàìûêàíèÿ ãðàôà G, òî åãî ìàòðè-öà ñìåæíîñòè ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñìàòðèöåé äîñòèæèìîñòè ãðàôà G, îò- Ðèñ. 2.5

sv1

sv2

sv3

sv4

sv5

BBBBBN

�����

ZZZ}

���

��

���+

µ´¶³-

k-

µ´¶³-

���>

QQQQQs

BBBN

ëè÷àÿñü òîëüêî ýëåìåíòàìè ãëàâíîé äèàãîíàëè, ñîîòâåòñòâó-þùèìè îäíîâåðøèííûì ñèëüíûì êîìïîíåíòàì6 G. Ñëåäîâà-òåëüíî, äëÿ íàõîæäåíèÿ R ìîæíî èñïîëüçîâàòü àëãîðèòìûîòûñêàíèÿ òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ. Ðàññìîòðèì îäèí èç òà-êèõ àëãîðèòìîâ.

2.7. Àëãîðèòì ÓîðøîëëàÏóñòü G0 � îðãðàô ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí v1, v2, . . . , vn.

Àëãîðèòì Óîðøîëëà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüãðàôîâ Gi , i=1, 2, . . ., n , òàêèõ, ÷òî Gi−1 ÿâëÿåòñÿ ïîäãðà-ôîì Gi , ïðè÷åì Gn ýòî ãðàô òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ G0 .Ãðàô Gi ïîëó÷àåòñÿ èç Gi−1 ïîñëå îáðàáîòêè âåðøèíû vi âñîîòâåòñòâèè ñî ñõåìîé, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 2.6.

svj1

svj2

svi

svk1

svk2

W

�-

-

ZZZZ~

����>����>

ZZZZ~

Ðèñ. 2.6

Ïóñòü, íàïðèìåð, â ãðàôå Gi−1

ñóùåñòâóþò äóãè (vj1, vi) è (vj2, vi),âõîäÿùèå â âåðøèíó vi, è äóãè(vi, vk1) è (vi, vk2), âûõîäÿùèå èçíåå. Òîãäà ïðè îáðàáîòêå âåðøèíûvi êàæäàÿ ïàðà äóã (îäíà âõîäÿùàÿ,äðóãàÿ èñõîäÿùàÿ) "ïîðîæäàåò" òðå-òüþ äóãó, êîòîðàÿ ñîåäèíÿåò íà÷àëîïåðâîé äóãè ïàðû ñ êîíöîì âòîðîé

äóãè.  ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñóíêå ãðàô äîáàâëÿþòñÿ ÷åòû-ðå äóãè (vj1, vk1) , (vj1, vk2) , (vj2, vk1) è (vj2, vk2), èçîáðàæåíûå

6Â ìàòðèöå ñìåæíîñòè ãðàôà Gtc ýòè ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ.

39

ïóíêòèðîì. Ãðàô, ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ïîäîáíîé îáðà-áîòêè âåðøèíû vi, îáîçíà÷àåòñÿ Gi.

Äàäèì ôîðìàëüíîå îïèñàíèå àëãîðèòìà. Ïóñòü A � ìàò-ðèöà ñìåæíîñòè ãðàôà, A∗ = [aji] � ìàòðèöà ñìåæíîñòè òðàí-çèòèâíîãî çàìûêàíèÿ. Òîãäà çàïèñü àëãîðèòìà âûãëÿäèò òàê:begin { � Ó Î Ð Ø Î Ë Ë � }

A∗ := A { Èíèöèàëèçàöèÿ A∗ }for i := 1 to n do { Ïåðåáîð ñòîëáöîâ â A∗ }

for j := 1 to n do { Ïåðåáîð ñòðîê â A∗ }if a∗ji = 1 then { Åñëè åñòü äóãà (vj , vi), òî }

for k := 1 to n do { "ïðèáàâèòü" â A∗ }a∗jk := a∗jk ∨ a∗ik { ñòðîêó i ê ñòðîêå j }

end { � Ó Î Ð Ø Î Ë Ë � }

Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ ïîðÿäîêîáðàáîòêè ýëåìåíòîâ A∗ ïî ñòîëáöàì. Ýòî åñòåñòâåííîå ñëåä-ñòâèå òîãî, ÷òî îáðàáîòêà íîâîé âåðøèíû íå íà÷íåòñÿ, ïîêà íåïåðåáåðóòñÿ âñå äóãè, âõîäÿùèå â î÷åðåäíóþ âåðøèíó, ïðè÷åìïîðÿäîê ýòîãî ïåðåáîðà ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíûì.

Êàê ñëåäóåò èç ïðèâåäåííîãî îïèñàíèÿ, àëãîðèòì îáåñïå-÷èâàåò ïîëó÷åíèå òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ âñåãî çà îäèí ïðî-õîä (ïðîñìîòð) âåðøèí ãðàôà. Ñóùåñòâåííûì äîñòîèíñòâîìÿâëÿåòñÿ è òî, ÷òî ðåçóëüòàò ôîðìèðóåòñÿ ïóòåì ïðåîáðàçî-âàíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A∗ áåç èñïîëüçîâàíèÿ âñïîìîãà-òåëüíûõ äàííûõ, ò. å. àëãîðèòì "ðàáîòàåò íà ìåñòå".

Ðèñ. 2.7

G

sv1 sv2

sv3

sv4

-�

��� -

v1 v2 v3 v4

A=

v1

v2

v3

v4

0 1 0 00 0 0 10 0 0 00 0 1 0

v1 v2 v3 v4

R=

v1

v2

v3

v4

1 1 1 10 1 1 10 0 1 00 0 1 1

 êà÷åñòâå ïðèìåðà íàéäåì òðàíçèòèâíîå çàìûêàíèå äëÿãðàôà G ñ ìàòðèöåé ñìåæíîñòè A è ìàòðèöåé äîñòèæè-ìîñòè7 R, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ 2.7. Ïðèìåíÿÿ àëãîðèòì

7Ìàòðèöà äîñòèæèìîñòè ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïî ãðàôó.

40

Óîðøîëëà, ïîëó÷èì ñëåäóþùèé ðÿä ìàòðèö, èëëþñòðèðóþ-ùèé ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ ìàòðèöû òðàíçèòèâíîãî çàìûêà-íèÿ A∗:

0 1 0 00 0 0 10 0 0 00 0 1 0

⇒

0 1 0 10 0 0 10 0 0 00 0 1 0

⇒

0 1 0 10 0 0 10 0 0 00 0 1 0

⇒

0 1 1 10 0 1 10 0 0 00 0 1 0

.

A(G1) A(G2) A(G3) A(G4)

Ñîîòâåòñòóþùèå èì ãðàôû èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2.8.

sv1 sv2

sv3

sv4

-���� -

G1

Ðèñ. 2.8

sv1 sv2

sv3

sv4

-

?

��

�� -

G2

sv1 sv2

sv3

sv4

-

?

��

�� -

G3

sv1 sv2

sv3

sv4

-@@@@R? ?

��

�� -

G4

Ïîñëåäíèé èç ýòèõ ãðàôîâ G4 ÿâëÿåòñÿ ãðàôîì òðàíçèòèâ-íîãî çàìûêàíèÿ äëÿ ãðàôà íà ðèñ. 2.7. Òåïåðü, ÷òîáû ïîëó÷èòüìàòðèöó äîñòèæèìîñòè, äîñòàòî÷íî ðàññòàâèòü íåäîñòàþùèååäèíèöû íà ãëàâíîé äèàãîíàëè â ìàòðèöå A∗(G)=A(G4) .

2.8. Áàçà ãðàôàÁàçîé íàçûâàþò ìíîæåñòâî âåðøèí, èç êîòîðîãî äîñòèæè-

ìû âñå âåðøèíû ãðàôà, ïðè÷åì â áàçå íåò ïîäìíîæåñòâ, îá-ëàäàþùèõ òàêèì æå ñâîéñòâîì äîñòèæèìîñòè.

Ôîðìàëüíî áàçó ãðàôà G(V, Γ) ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ìíî-æåñòâî B⊂V, òàêîå, ÷òî R(B)=V, à ∀(B′⊂B) R(B′) 6=V.

Èòàê, áàçà óäîâëåòâîðÿåò äâóì óñëîâèÿì:� êàæäàÿ âåðøèíà ãðàôà äîñòèæèìà, ïî êðàéíåé ìåðå, èç

îäíîé âåðøèíû áàçû;� â áàçå íåò âåðøèí, äîñòèæèìûõ èç äðóãèõ âåðøèí áàçû.Ïîýòîìó ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî â àöèêëè÷åñêîì ãðàôå ñó-

ùåñòâóåò òîëüêî îäíà áàçà. Îíà ñîñòîèò èç âñåõ âåðøèí ñ ïîëó-

41

ñòåïåíüþ çàõîäà, ðàâíîé 0, è ëåãêî îòûñêèâàåòñÿ. Íàïðèìåð,â ãðàôå íà ðèñ. 2.6 áàçà ñîñòîèò èç äâóõ âåðøèí vj1 è vj2 , àâ ãðàôå íà ðèñ. 2.7 � èç îäíîé âåðøèíû v1.

Èç âûøåïðèâåäåííûõ óñëîâèé ñëåäóåò òàêæå, ÷òî â áàçåíå ìîæåò áûòü äâóõ âåðøèí, ïðèíàäëåæàùèõ îäíîé è òîéæå ñèëüíîé êîìïîíåíòå. Ïîýòîìó, åñëè ãðàô ñîäåðæèò öèê-ëû, è, ñëåäîâàòåëüíî, õîòÿ áû îäíó ñèëüíóþ êîìïîíåíòó, ïðè-÷åì ýòà êîìïîíåíòà îáðàçóåò âåðøèíó êîíäåíñàöèè, ó êîòîðîédeg−v∗=0, òî â ãðàôå åñòü íåñêîëüêî áàç. Ýòî ñëåäñòâèå òîãî,÷òî â áàçó ìîæíî âêëþ÷èòü ëþáóþ (íî òîëüêî îäíó!) âåðøèíóòàêîé êîìïîíåíòû. Íàïðèìåð, â ãðàôå G íà ðèñ. 2.2 áàçó êîí-äåíñàöèè îáðàçóåò ñèëüíàÿ êîìïîíåíòà {v5, v6, v7, v8}, çíà÷èòèìååòñÿ ÷åòûðå îäíîâåðøèííûõ áàçû: {v5}, {v6}, {v7} è {v8}. îáùåì æå ñëó÷àå ÷èñëî áàç ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ÷èñåë âåð-øèí â ñèëüíûõ êîìïîíåíòàõ, îáðàçóþùèõ áàçó êîíäåíñàöèè.

Ñ ó÷åòîì èçëîæåííîãî ïîèñê áàç â îðãðàôå ìîæíî ïðîâî-äèòü â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå:

1. Íàéòè âñå ñèëüíûå êîìïîíåíòû ãðàôà.2. Ïîñòðîèòü åãî êîíäåíñàöèþ.3. Íàéòè áàçó êîíäåíñàöèè.4. Èç êàæäîé ñèëüíîé êîìïîíåíòû, îáðàçóþùåé âåðøèíó

áàçû êîíäåíñàöèè, âçÿòü ïî îäíîé âåðøèíå.

42

3. ÄåðåâüÿÄåðåâüÿ ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûì, íî î÷åíü âàæíûì âèäîì ãðà-

ôîâ. Ñ èõ ïîìîùüþ ëåãêî îïèñûâàåòñÿ ñòðóêòóðà ñàìûõ ðàç-ëè÷íûõ îáúåêòîâ: îðãàíèçàöèé è ó÷ðåæäåíèé, êíèã è äîêóìåí-òîâ, ìàòåìàòè÷åñêèõ ôîðìóë, õèìè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé, êîì-ïüþòåðíûõ ôàéëîâûõ ñèñòåì, ïðîãðàìì è ìíîãîå äðóãîå.

Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïåðâûì ïîíÿòèå äåðåâà èñïîëüçîâàë Êèðõ-ãîô â 1847ã. ïðè èññëåäîâàíèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. Ñïóñòÿäåñÿòèëåòèå Êýëè ââåë òåðìèí "äåðåâî" ïðè èçó÷åíèè ñòðóê-òóðû óãëåâîäîðîäíûõ ñîåäèíåíèé è ïîëó÷èë ïåðâûå âàæíûåðåçóëüòàòû â ýòîì ðàçäåëå òåîðèè ãðàôîâ.

3.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÍåîðèåíòèðîâàííûå äåðåâüÿ. Íà ðèñ. 3.1 äàíû òðè

èçîáðàæåíÿ îäíîãî è òîãî æå íåîðèåíòèðîâàííîãî äåðåâà. Íàè-áîëåå ñîîòâåòñòâóåò íàçâàíèþ âàðèàíò â, íî îáû÷íî ïðè èçîáðà-

sv1 rv2

rv3 sv4 sv5

sv6 sv7

sv8 sv9 sv10

sv11

sv12

�� ����

@@ @@@@ ��

a

sv4

sv2 sv3 sv9

sv7 sv1 sv6 sv11

sv5

sv10

sv8

sv12

���

QQQ���BBB

���BBB

���BBB

á

sv4

sv2sv3

sv9

sv7sv1

sv6sv11

sv5 sv10

sv8 sv12

��@@

HHH

���

@@ ��

@@ ��

âÐèñ. 3.1

æåíèè äåðåâüåâ èñïîëüçóþò âàðèàíòû à è á. Èç ðèñóíêà ñòà-íîâÿòñÿ ïîíÿòíûìè òåðìèíû êîðåíü è ëèñò, óïîòðåáëÿåìûåïðè ðàññìîòðåíèè ïîäîáíûõ ãðàôîâ. Ëèñòîì (âèñÿ÷åé âåðøè-íîé ) íàçûâàþò âåðøèíó, ñòåïåíü êîòîðîé ðàâíà 1, åñëè îíà íåðàññìàòðèâàåòñÿ êàê êîðåíü.  êà÷åñòâå êîðíÿ â íåîðèåíòèðî-âàííîì äåðåâå ìîæíî ïðèíÿòü ëþáóþ âåðøèíó.

Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ýêâèâàëåíòíûõ îïðåäåëåíèé íåîðè-åíòèðîâàííîãî äåðåâà, êàæäîå èç êîòîðûõ îòðàæàåò ðàçëè÷-íûå ñâîéñòâà ïîñëåäíåãî. Ïðèâåäåì íåêîòîðûå èç íèõ:

43

1) Äåðåâî � ýòî ñâÿçíûé ãðàô áåç öèêëîâ.2) Äåðåâî � ýòî ãðàô, â êîòîðîì ëþáàÿ ïàðà âåðøèí ñâÿ-

çàíà åäèíñòâåííîé öåïüþ. ¤ Äåéñòâèòåëüíî, íàëè÷èåäâóõ è áîëåå öåïåé, ñîåäèíÿþùèõ íåêîòîðóþ ïàðó âåð-øèí, îçíà÷àåò ïðèñóòñòâèå öèêëîâ, îáðàçîâàííûõ íåñîâ-ïàäàþùèìè ÷àñòÿìè òàêèõ öåïåé. ¢

3) Äåðåâî � ýòî ñâÿçíûé ãðàô, èìåþùèé n âåðøèí è n−1ðåáåð. ¤ Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óñòàíàâëèâàåìñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðè n=1, 2, 3. Äîïó-ñòèì, ÷òî îíî âåðíî äëÿ äåðåâà ñ n−1 âåðøèíàìè, èðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà äåðåâî T èìååò n âåðøèí.Åñëè â íåì óäàëèòü ëþáîå ðåáðî, òî â ñèëó óòâåðæäåíèÿ2, ïîëó÷èì äâà äåðåâà ñ n1≤(n−1) è n2≤(n−1) âåðøè-íàìè. Ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ ÷èñëî ðåáåð âíèõ n1−1 è n2−1 ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó T ñîäåðæèò[(n1−1)+(n2−1)]+1=n1+n2−1=n−1 ðåáåð. ¢

Åñòåñòâåííûì ðàñøèðåíèåì ïîíÿòèÿ äåðåâà ÿâëÿåòñÿëåñ � íåñâÿçíûé ãðàô, âñå êîìïîíåíòû êîòîðîãî � äåðåâüÿ.

Ëþáîìó ñâÿçíîìó ãðàôó ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèåíåêîòîðîå äåðåâî, íàçûâàåìîå îñòîâíûì äåðåâîì, èëè îñòî-âîì ýòîãî ãðàôà. Îñòîâ ãðàôà � ýòî åãî ìèíèìàëüíûé ñâÿç-íûé îñòîâíûé ïîäãðàô.  îáùåì ñëó÷àå ãðàô ìîæåò èìåòüíåñêîëüêî îñòîâîâ.  êà÷åñòâå ïðìåðà íà ðèñ. 3.2,à ïðåäñòàâ-ëåí íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô è âñå åãî îñòîâû (ðèñ. 3.2,á,â,ã ).

sv1

sv2

sv3

sv4sv5

@@���

à

sv1

sv2

sv3

sv4sv5

@@

á

sv1

sv2

sv3

sv4sv5

@@�

��

â

sv1

sv2

sv3

sv4sv5

@@�

��

ãÐèñ. 3.2

Àíàëîãè÷íî, ëþáîìó íåñâÿçíîìó ãðàôó ìîæíî ïîñòàâèòüâ ñîîòâåòñòâèå îñòîâíûé ëåñ � ìàêñèìàëüíûé îñòîâíûé ïîä-ãðàô, íå ñîäåðæàùèé öèêëîâ.

44

Îðèåíòèðîâàííûå äåðåâüÿ. Îðèåíòèðîâàííîå äåðå�âî � ýòî ãðàô, â êîòîðîì ïîëóñòåïåíü çàõîäà ó îäíîé âåðøè-íû, íàçûâàåìîé êîðíåì, ðàâíà íóëþ, à ó îñòàëüíûõ � åäèíèöå.Íà ðèñ. 3.3,à,á,â èçáðàæåíû òðè îðèåíòèðîâàííûõ äåðåâà.

sv1 sv2

sv3 sv4 sv5

sv6 sv7

sv8 sv9 sv10

sv11

sv12

��� ��?

�

?���@@R@@I

��@@I -

a

sv4

sv2 sv3 sv9

sv7 sv1 sv6 sv11

sv5

sv10

sv8

sv12

���+ ?

QQQs

? ?��� BBBN

��� BBBN

��� BBBN

á

sv4

sv2sv3

sv9

sv7sv1

sv6sv11

sv5 sv10

sv8 sv12

���@@I66

HHHY 6��

�*

@@I ���

@@I ���

âÐèñ. 3.3

È õîòÿ ïî êîíôèãóðàöèè îíè èäåíòè÷íû (åñëè íå ó÷èòûâàòüîðèåíòàöèþ äóã) ñîîòâåòñòâóþùèì èçîáðàæåíèÿì îäíîãî èòîãî æå äåðåâà íà ðèñ. 3.1,à,á,â, ýòî ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûå äå-ðåâüÿ óæå ïîòîìó, ÷òî ó íèõ ðàçíûå êîðíè: v2, v4, v9. Íåêîòî-

sv1

sv2

sv3

sv4sv5

@@@R

�� @@R�

?

���

6

-à

sv1

sv2

sv3

sv4sv5

�� @@R

?

���

á

sv1

sv2

sv3

sv4sv5

@@@R

@@R��

��

â

sv1

sv2

sv3

sv4sv5

@@R�

��

6

-ã

Ðèñ. 3.4ðûå ñâÿçíûå îðãðàôû òàêæå èìååþò îñòîâû. Íà ðèñ. 3.4,à äàíïðèìåð òàêîãî ãðàôà è ïîêàçàíû òðè åãî îñòîâà (ðèñ. 3.4,á,â,ã ).

G1 G2

rv1

rv2

rv3

rv4rv5

@@@@R

�� @@R�

?�����6

-

rv1

rv2

rv3

rv4rv5

rv6

�� @@R66

-@@I@@I��

Ðèñ. 3.5Ãðàôû, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 3.5, îñòîâà íå èìåþò. Â ãðà-

ôå G1 åñòü äâå âåðøèíû ñ íóëåâîé ïîëóñòåïåíüþ çàõîäà v2

45

è v5, ÷òî íàõîäèòñÿ â ÿâíîì ïðîòèâîðå÷èè ñ îïðåäåëåíèåìîðäåðåâà.  ãðàôå G2 òàêàÿ âåðøèíà îäíà � v2, íî èç íååíåò ïóòåé â âåðøèíû v4, v5, v6. Îáùèì äëÿ G1 è G2 ÿâëÿåòñÿòî, ÷òî îáà îíè ñëàáîñâÿçíûå, à òàêèå ãðàôû íå ìîãóò èìåòüîðèåíòèðîâàííîãî îñòîâà.

3.2. Îïèñàíèå äåðåâüåâÌàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå. Äåðåâî, êàê è ëþáîé äðó-

ãîé ãðàô, ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ìàòðèö.  êà÷åñòâå ïðè-ìåðà íèæå ïðèâåäåíû ìàòðèöû ñìåæíîñòè A è èíöèäåíòíî-ñòè B äëÿ îðäåðåâà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.4,ã :

v1 v2 v3 v4 v5 a1 a2 a3 a4

A =

v1

v2

v3

v4

v5

0 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 10 0 0 0 01 0 0 1 0

B =

v1

v2

v3

v4

v5

0 0 −1 01 0 0 0

−1 1 0 00 0 0 −10 −1 1 1

.

Îòìåòèì îñîáåííîñòè òàêèõ ìàòðèö äëÿ äåðåâüåâ.Îòíîøåíèå ÷èñëà ðåáåð äåðåâà ê ÷èñëó åãî âåðøèí, ðàâíîå

(n−1)/n, ìèíèìàëüíî äëÿ ñâÿçíîãî ãðàôà, ïîýòîìó ìàòðèöàñìåæíîñòè äåðåâà âåñüìà ðàçðåæåíà (ñîîòíîøåíèå åäèíèö èíóëåé â íåé ðàâíî (n−1):(n2−n+1)≈1/n äëÿ îðèåíòèðîâàííîãîäåðåâà è 2(n−1):(n2−2n+2)≈2/n äëÿ íåîðèåíòèðîâàííîãî).

Ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè äåðåâà èìååò ðàçìåð n×(n−1), ò.å. áëèçêà ê êâàäðàòíîé, à ôàêòè÷åñêè òàêîâîé è ÿâëÿåòñÿ, åñ-ëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå åå èçáûòî÷íîñòü ïî ñòðîêàì. Äåéñòâè-òåëüíî, óäàëèâ ëþáóþ ñòðîêó, ïîëó÷àåì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó,ïî-ïðåæíåìó ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóþùóþ ãðàô.

Åùå îäíà îñîáåííîñòü ìàòðèöû èíöèäåíòíîñòè, êîòîðàÿáóäåò èñïîëüçîâàíà äàëåå, çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóòåìïåðåóïîðÿäî÷åíèÿ ñòðîê è ñòîëáöîâ ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòèëþáîãî äåðåâà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê íèæíåé òðàïåöèåâèä-íîé ìàòðèöå, êîãäà îäíà èç åäèíèö ñòîëáöà i íàõîäèòñÿ âñòðîêå i , à äðóãàÿ � â îäíîé èç íèæåëåæàùèõ ñòðîê.  êà-÷åñòâå îáîñíîâàíèÿ ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòüñëåäóþùèé àëãîðèòì.

46

¤ Ïóñòü T � çàäàííîå äåðåâî. Âûáèðàåì ëþáóþ âèñÿ÷óþâåðøèíó v è ïðèñâèâàåì åé (è èíöèäåíòíîìó ðåáðó) íîìåð 1.Çàòåì ðàññìàòðèâàåì äåðåâî8 T1=T−v è âûïîëíÿåì ñ íèì òóæå îïåðàöèþ. Òåïåðü óæå äðóãàÿ âèñÿ÷àÿ âåðøèíà u ïîëó÷àåòâìåñòå ñ èíöèäåíòíûì åé ðåáðîì íîìåð 2. Íà ñëåäóþùåì øà-ãå èìååì äåðåâî T2=T1−u è ò.ä. Îäíîâðåìåííî ñ îáðàáîòêîéâåðøèí è ðåáåð ôîðìèðóåì ñòîëáöû ìàòðèöû èíöèäåíòíîñòè.Âûáðàííîé âåðøèíå ñîîòâåòñòâóåò åäèíèöà íà ãëàâíîé äèàãî-íàëè. Âòîðàÿ (íèæåëåæàùàÿ) åäèíèöà â ñòîëáöå ïîÿâëÿåòñÿ,êîãäà ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåðøèíà äåðåâà T, ñòàâøàÿ âèñÿ÷åé,âûáèðàåòñÿ íà î÷åðåäíîì øàãå. Ïðîöåññ çàâåðøàåòñÿ çà n−1øàãîâ, ïðè÷åì íà ïîñëåäíåì øàãå äåðåâî Tn−1 ñîñòîèò èç îä-íîãî ðåáðà, êîíöû êîòîðîãî ïîëó÷àþò íîìåðà n−1 è n. ¢

 êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 3.6 äàíû äâà âàðèàíòà íóìåðà-öèè îäíîãî è òîãî æå ãðàôà: íà ðèñ. 3.6,à � ïåðâîíà÷àëüíàÿ,

sv3 sv4

sv2 sv1 sv5

sv7

sv6

���

AAA���

à

su2 su3

su1 su7 su4

su5

su6

���

AAA���

áÐèñ. 3.6

à íà ðèñ. 3.6,á � íóìåðàöèÿ, ïîëó÷åííàÿ îïèñàííûì ñïîñîáîì.Ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòðèöû èíöèäåíòíîñòè ïðèâåäåíû íèæå:

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e1 e4 e2 e5 e6 e3

Bà =

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

1 1 1 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 1 0 00 1 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 1 0 1 10 0 0 0 0 1

Bá =

u1(v2)u2(v3)u3(v4)u4(v5)u5(v7)u6(v6)u7(v1)

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 1 1 11 0 1 0 0 1

Ôàêòè÷åñêè, äëÿ ïîëó÷åíèÿ Bá â ìàòðèöå Bà âûïîëíåíà ïå-ðåñòàíîâêà ñòðîê ïî ñõåìå: 1→7, 2→1, 3→2, 4→3, 5→4, 7→5è ïåðåñòàíîâêà ñòîëáöîâ ïî ñõåìå: 2→3, 3→6, 4→2, 5→4, 6→5.

8Çäåñü è äàëåå çàïèñü T1=T−v îçíà÷àåò, ÷òî äåðåâî T1 ïîëó÷åíîïóòåì óäàëåíèÿ âåðøèíû v è èíöèäåíòíîãî åé ðåáðà â äåðåâå T.

47

Òåïåðü ðàññìîòðèì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó (Bá)−7, êîòîðàÿïîëó÷àåòñÿ, åñëè óäàëèòü ñåäüìóþ ñòðîêó ìàòðèöû Bá. Îïðå-äåëèòåëü ýòîé ìàòðèöû ðàâåí 1. Ñåäüìàÿ ñòðîêà Bá ñîîò-âåòñòâóåò ïåðâîé ñòðîêå Bà, ïîýòîìó îðåäåëèòåëü ìàòðèöû(Bà)−1, ïîëó÷åííîé ïðè âû÷åðêèâàíèè ïåðâîé ñòðîêè â Bà,(ñ ó÷åòîì ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê ñòðîê è ñòîëáöîâ) ðàâåí −1.

ßñíî, ÷òî âûøåîïèñàííàÿ ïîöåäóðà ïîçâîëÿåò, âûáðàâ íåêî-òîðóþ âåðøèíó, ïîëó÷èòü òàêîé âàðèàíò íóìåðàöèè, êîãäà ýòàâåðøèíà èìååò ìàêñèìàëüíûé íîìåð, à ìàòðèöà èíöèäåíòíî-ñòè ãðàôà (ïîñëå óäàëåíèÿ ïîñëåäíåé ñòðîêè, ñîîòâåòñòâóþ-ùåé âûáðàííîé âåðøèíå) îêàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíîé ñ åäèíè-öàìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè è îïðåäåëèòåëåì ðàâíûì 1. Ïî-ýòîìó óäàëåíèå ëþáîé ñòðîêè ìàòðèöû èíöèäåíòíîñòè äåðåâàïîðîæäàåò êâàäðàòíóþ ìàòðèöó ñ îïðåäåëèòåëåì ðàâíûì +1èëè −1, à ýòî çíà÷èò, ÷òî ëþáîé ìèíîð ïîðÿäêà n−1 ìàòðè-öû èíöèäåíòíîñòè äåðåâà ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ðàâåí 1.

Êîä Ïðþôåðà. Êàæäîå äåðåâî, èìåþùåå n âåðøèí,ìîæåò áûòü îäíîçíà÷íî îïèñàíî ÷èñëîâûì êîäîì, ñîäåðæà-ùèì n−2 ýëåìåíòîâ è íàçûâàåìûì êîäîì Ïðþôåðà.

Àëãîðèòì ïîëó÷åíèÿ êîäà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü âåð-øèíû äåðåâà ïîìå÷åíû (ïðîíóìåðîâàíû) ÷èñëàìè îò 1 äî n.Îòûñêèâàåì âåðøèíó ñòåïåíè 1 ñ íàèìåíüøèì íîìåðîì è âêëþ-÷àåì â êîä íîìåð ñìåæíîé ñ íåé âåðøèíû, ïîñëå ÷åãî óäàëÿåìíàéäåííóþ âåðøèíó (âìåñòå ñ ðåáðîì). Ñ ïîëó÷èâøèìñÿ ïîä-ãðàôîì âûïîëíÿåì òó æå îïåðàöèþ, ïîâòîðÿÿ åå, ïîêà íå îñ-

s3 s4

s2 s1 s5s7

s6

���

AAA���

a

s3 s4

s1 s5s7

s6

���

AAA���

á

s4

s1 s5s7

s6

���

AAA���

âÐèñ. 3.7

s1 s5s7

s6

AAA���

ã

s5s7

s6

���

ä

òàíåòñÿ òîëüêî îäíî ðåáðî. Ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ êîäà îòðà-æàåò ðèñ. 3.7. Íîìåð âåðøèíû, óäàëÿåìîé íà î÷åðåäíîì øàãå,çàêëþ÷åí â ðàìêó.  çàäàííîì ãðàôå (ðèñ. 3.7,à) ñðåäè âåð-øèí åäèíè÷íîé ñòåïåíè ìèíèìàëüíûé íîìåð ó âåðøèíû 2. Ñ

48

íåé ñìåæíà âåðøèíà 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâàÿ öèôðà êîäàÏðþôåðà ðàâíà 1. Óäàëÿÿ âåðøèíó 2, ïîëó÷èì ãðàô, èçîáðà-æåííûé íà ðèñ. 3.7,á.  ýòîì ãðàôå ñðåäè âåðøèí åäèíè÷íîéñòåïåíè ìèíèìàëüíûé íîìåð ó âåøèíû 3, ïîýòîìó âòîðàÿ öèô-ðà êîäà � 4. Âûïîëíèâ åùå òðè èòåðàöèè, êîòîðûì ñîîòâåò-ñòâóò ãðàôû, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 3.7,â,ã,ä, ïîëó÷èì äåðåâî,ñîñòîÿùåå èç åäèíñòâåííîãî ðåáðà {7; 6} . Ïðîöåññ çàâåðøåí.

Ðåçóëüòàòû ïðîäåëàííûõ øàãîâ ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 3.1,ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà êîòîðîé ñîäåðæèò èñêîìûé êîä � 14166.

Òàáëèöà 3.1Èòåðàöèÿ 1 2 3 4 5Ãðàô íà ðèñ. 3.7 à á â ã äÌèíèìàëüíûé íîìåð âåðøèíû 2 3 4 1 5Óäàëÿåìîå ðåáðî {1;2} {4;3} {1;4} {6;1} {6;5}Ýëåìåíò êîäà Ïðþôåðà 1 4 1 6 6

Àëãîðèòì âîññòàíîâëåíèÿ äåðåâà, ïðåäñòàâëåííîãî êîäîìÏðþôåðà, ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùåé ñïèñîê ðåáåð.

Íàçîâåì àíòèêîäîì óïîðÿäî÷åííóþ ïî âîçðàñòàíèþ ïîñëå-äîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ âåðøèí, íå âîøåäøèõ â êîä Ïðþôåðà.Äëÿ ðàññìîòðåííîãî ïðèìåðà àíòèêîä ðàâåí 2357.

Äåðåâî ñòðîèòñÿ ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî äîáàâëåíèÿ ðå-áåð. Î÷åðåäíîå äîáàâëÿåìîå ðåáðî, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî, îáðàçó-åòñÿ ïàðîé âåðøèí, íîìåðà êîòîðûõ ñòîÿò ïåðâûìè â ñòðîêåêîäà è â ñòðîêå àíòèêîäà. Ïîñëå ýòîãî èñïîëüçîâàííûå ýëåìåí-òû ñòðîê âû÷åðêèâàþòñÿ. Åñëè íîìåð, âû÷åðêíóòûé èç ñòðî-êè êîäà, íå ñîäåðæèòñÿ ñðåäè îñòàâøèõñÿ â íåé ýëåìåíòîâ,åãî ñëåäóåò äîáàâèòü ê ñòðîêå àíòèêîäà, íå íàðóøàÿ åå óïîðÿ-äî÷åííîñòü. Îïèñàííûå äåéñòâèÿ ïîâòîðÿþòñÿ ñ "îñòàòêàìè"ñòðîê êîäà è àíòèêîäà, ïîêà íå áóäóò âû÷åðêíóòû âñå ýëåìåí-òû ïåðâîé èç íèõ. Ïðè ýòîì ñòðîêà àíòèêîäà áóäåò ñîäåðæàòüäâà ýëåìåíòà, îïðåäåëÿþùèõ ïîñëåäíåå ðåáðî, êîòîðîå ñëåäó-åò äîáàâèòü ê ôîðìèðóåìîìó ñïèñêó.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìñïèñîê èç n−1 ðåáåð, ñîîòâåòñòâóþùèé äåðåâó, çàäàííîìó êî-äîì Ïðþôåðà.

49

 êà÷åñòâå ïðèìåðà âûïîëíèì âîññòàíîâëåíèå äåðåâà ïîêîäó 14166. Ñîîòâåòñòâóþùèé àíòèêîä, êàê óæå áûëî ïîêà-çàíî âûøå, ðàâåí 2357. Ïîýòîìó ïåðâîå ðåáðî äåðåâà áóäåò{1; 2}. Âû÷åðêèâàÿ 1 è 2, ïîëó÷àåì 4166 â ñòðîêå êîäà è 357 âñòðîêå àíòèêîäà. Íà ñëåäóþùåé èòåðàöèè âû÷åðêèâàåì ïàðó{4; 3} è âêëþ÷àåì â ñòðîêó àíòèêîäà 4 è ò.ä. Ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü èòåðàöèé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà òàáë. 3.2.

Òàáëèöà 3.2Èòåðàöèÿ 1 2 3 4 5 6Ñòðîêà êîäà 61 64 61 66 66

62 3 5 763 5 7

Ñòðîêà àíòèêîäà 64 5 761 5 7

65 76 7

Äîáàâëÿåìîå ðåáðî {1;2} {4;3} {1;4} {6;1} {6;5} {6;7}

Àíàëèçèðóÿ ñïèñîê ðåáåð, óáåæäàåìñÿ, ÷òî ïîëó÷åíî èñ-õîäíîå äåðåâî. Îòìåòèì, ÷òî ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ðåáåð òîòæå, ÷òî è â ïðåäûäóùåé òàáëèöå.

3.3. Çàäà÷è ñ äåðåâüÿìè3.3.1. Ïåðå÷èñëåíèå îñòîâíûõ äåðåâüåâ

Ïóñòü G ÿâëÿåòñÿ (n,m)-ãðàôîì ñ ìàòðèöåé èíöèäåíòíî-ñòè B è òðåáóåòñÿ ïåðå÷èñëèòü âñå åãî îñòîâû. Î÷åâèäíî, ÷òîìíîæåñòâî îñòîâîâ ýòî � íåêîòîðàÿ ÷àñòü ìíîæåñòâà îñòîâ-íûõ ïîäãðàôîâ ãðàôà G, èìåþùèõ n−1 ðåáåð. Ìàòðèöû èí-öèäåíòíîñòè âñåõ ýòèõ ïîäãðàôîâ ëåãêî ìîãóò áûòü ïîëó÷åíûèç ìàòðèöû B. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáàÿ ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿèç n−1 ðàçëè÷íûõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû B, îïèñûâàåò íåêîòî-ðûé (n, n−1)-ãðàô, ÿâëÿþùèéñÿ ïî îòíîøåíèþ ê G îñòîâ-íûì ïîäãðàôîì. ×òîáû âûÿñíèòü, îñòîâ ýòîò ïîäãðàô èëè íåò,âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì êðèòåðèåì.

50

Åñëè (n, n−1)-ãðàô ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì, òî ìîäóëü ëþáî-ãî ìèíîðà n−1 ïîðÿäêà ìàòðèöû èíöèäåíòíîñòè ñîîòâåò-ñòâóþùåãî îðãðàôà ðàâåí 1 è ðàâåí 0, åñëè ãðàô íå ÿâëÿåòñÿäåðåâîì.

Ïîä ñîîòâåòñòâóþùèì îðãðàôîì äëÿ íåêîòîðîãî íåîðè-åíòèðîâàííîãî ãðàôà áóäåì ïîíèìàòü îðãðàô, ïîëó÷åííûé ïó-òåì ïðèäàíèÿ ïðîèçâîëüíîé îðèåíòàöèè ðåáðàì ýòîãî ãðàôà(äîñòàòî÷íî â êàæäîì ñòîëáöå ìàòðèöû èíöèäåíòíîñòè îäíîéèç åäèíèö ïðèïèñàòü çíàê "�"). Ïåðâàÿ ÷àñòü ïðèâåäåííîãîóòâåðæäåíèÿ, êàñàþùàÿñÿ äåðåâà, ôàêòè÷åñêè áûëà äîêàçàíàâ ðàçä. 3.2 (ñì. ñòð. 48.). Äîêàæåì âòîðóþ ÷àñòü.

¤ Ïóñòü (n, n−1)-ãðàô íå ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì è, çíà÷èò,íåñâÿçåí. Òîãäà åãî ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè ñîñòîèò èç íåñêîëü-êèõ íåçàâèñèìûõ áëîêîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ìàòðèöû èí-öèäåíòíîñòè êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Òî æå ñàìîå îòíîñèòñÿ èê ìàòðèöå èíöèäåíòíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî îðãðàôà. Êðîìåòîãî, ñòðîêè ýòîé ìàòðèöû ëèíåéíî çàâèñèìû, ïðè÷åì, ïî-ñêîëüêó ãðàô íåñâÿçíûé, òàêàÿ çàâèñèìîñòü ñóùåñòâóåò â êàæ-äîé ãðóïïå ñòðîê, îïèñûâàþùåé òó èëè èíóþ êîìïîíåíòó ñâÿç-íîñòè. Óäàëèâ íåêîòîðóþ ñòðîêó ìàòðèöû, ïîëó÷èì êâàäðàò-íóþ ïîäìàòðèöó ïîðÿäêà n−1, îïðåäåëèòåëü êîòîðîé ðàâåí 0.Äåéñòâèòåëüíî, óäàëåíèå îäíîé ñòðîêè ìîæåò óñòðàíèòü ëè-íåéíóþ çàâèñèìîñòü òîëüêî äëÿ ñòðîê, îòíîñÿùèõñÿ ëèøü êîäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè. Ñòðîêè, îïðåäåëÿþùèå îñòàëü-íûå êîìïîíåíòû îcòàþòñÿ ïî-ïðåæíåìó ëèíåéíî çàâèñèìûìè.Ïîýòîìó ëþáîé ìèíîð n−1 ïîðÿäêà â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó-÷àå ðàâåí 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. ¢

 ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûì ïðîöåññ ïîëó÷åíèÿ (ïåðå-÷èñëåíèÿ) âñåõ îñòîâîâ ãðàôà G(n, m), ïðåäñòàâëåííîãî ìàò-ðèöåé èíöèäåíòíîñòè, ìîæíî îðãàíèçîâàòü ñëåäóþùèì îáðà-çîì. Ïîñëåäîâàòåëüíî ôîðìèðóþòñÿ ñî÷åòàíèÿ èç m ïî n−1ñòîëáöîâ çàäàííîé ìàòðèöû, êîòîðûå îáðàçóþò ìàòðèöû èí-öèäåíòíîñòè (n−1)-ðåáåðíûõ îñòîâíûõ ïîäãðàôîâ ãðàôà G.Äëÿ êàæäîé òàêîé ìàòðèöû ïîñëå îáðàáîòêè âñåõ åå ñòîëá-öîâ (îäíîé èç äâóõ åäèíèö ñòîëáöà ïðèïèñûâàåòñÿ çíàê "�")ïîäñ÷èòûâàåòñÿ çíà÷åíèå ëþáîãî ìèíîðà n−1 ïîðÿäêà. Åñëèïîëó÷àåòñÿ +1 èëè �1, òî ñîîòâåòñòâóþùèé îñòîâíûé ïîäãðàô

51

ÿâëÿåòñÿ îñòîâîì ãðàôà G(n,m) è åãî ìàòðèöà çàïîìèíàåò-ñÿ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîäãðàô íå îñòîâ è åãî ìàòðèöà íåó÷èòûâàåòñÿ. Ïðîöåññ çàâåðøàåòñÿ ïîñëå ïåðåáîðà âñåõ Cn−1

mñî÷åòàíèé ñòîëáöîâ ìàòðèöû èíöèäåíòíîñòè.

Âìåñòî ìàòðèöû èíöèäåíòíîñòè ìîæíî ñðàçó âçÿòü ìàò-ðèöó B−i ðàçìåðà (n−1)×m , ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ìàòðè-öó èíöèäåíòíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî îðãðàôà ñ óäàëåííîé i-éñòðîêîé, è âû÷èñëÿòü âñå åå ìèíîðû ïîðÿäêà n−1 .

 êà÷åñòâå ïðèìåðà ïîëó÷èì âñå îñòîâû ãðàôà G, èçîáðà-æåííîãî íà ðèñ. 3.8 è èìåþùåãî ìàòðèöó èíöèäåíòíîñòè B.

sv1 sv2

sv3sv4

e1

e2 e3

����

e4

e5

G

Ðèñ. 3.8

e1 e2 e3 e4 e5

B =

v1

v2

v3

v4

1 1 0 0 01 0 1 1 00 0 0 1 10 1 1 0 1

Íèæå ïðèâåäåíà ìàòðèöà B−1 è âñå åå ìèíîðû òðåòüåãîïîðÿäêà (èõ ÷èñëî ðàâíî C3

5=10 ):e1 e2 e3 e4 e5 e1 e2 e3 e1 e2 e4

B−1=v2

v3

v4

[−1 0 1 1 00 0 0 −1 10 −1 −1 0 −1

],

∣∣∣∣∣−1 0 1

0 0 00−1−1

∣∣∣∣∣ =0 ,∣∣∣∣∣−1 0 1

0 0−10−1 0

∣∣∣∣∣ =1 ,M1 M2

e1 e2 e5∣∣∣∣∣−1 0 0

0 0 10−1−1

∣∣∣∣∣ =− 1,

M3

e2 e3 e4∣∣∣∣∣0 1 10 0−1

−1−1 0

∣∣∣∣∣ =1,

M7

e1 e3 e4∣∣∣∣∣−1 1 1

0 0−10−1 0

∣∣∣∣∣ =1,

M4

e2 e3 e5∣∣∣∣∣0 1 00 0 1

−1−1−1

∣∣∣∣∣ =− 1,

M8

e1 e3 e5∣∣∣∣∣−1 1 0

0 0 10−1−1

∣∣∣∣∣ =− 1,

M5

e2 e4 e5∣∣∣∣∣0 1 00−1 1

−1 0−1

∣∣∣∣∣ =− 1,

M9

e1 e4 e5∣∣∣∣∣−1 1 0

0−1 10 0−1

∣∣∣∣∣ =− 1,

M6

e3 e4 e5∣∣∣∣∣1 1 00−1 1

−1 0−1

∣∣∣∣∣ =0.

M10

Ìèíîðû M1 è M10 ðàâíû 0, çíà÷èò, îñòîâíûå ïîäãðà-ôû, îáðàçîâàííûå ìíîæåñòâàìè ðåáåð {e1, e2, e3} è {e3, e4, e5},îñòîâàìè íå ÿâëÿþòñÿ, òîãäà êàê ïîäãðàôû, îïðåäåëÿåìûå ìè-

52

íîðàìè M2 �M9, � îñòîâû. Ýòî íàãëÿäíî ïîäòâåðæäàåò èðèñ. 3.9, ãäå ïðåäñòàâëåíû âñå òðåõðåáåðíûå îñòîâíûå ïîäãðà-ôû ðàññìàòðèâàåìîãî ãðàôà è çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ èì

sv1 sv2

sv3sv4

e1

e2

��

��e3

M1=0

sv1 sv2

sv3sv4

e1

e2 e4

M2=1

sv1 sv2

sv3sv4

e1

e2

e5

M3=− 1

sv1 sv2

sv3sv4

e1

e4

��

��e3

M4=1

sv1 sv2

sv3sv4

e1

����

e3

e5

M5=− 1

sv1 sv2

sv3sv4

e1

e4

e5

M6=− 1

sv1 sv2

sv3sv4

e2 e4

��

��e3

M7=1

sv1 sv2

sv3sv4

e2

��

��e3

e5

M8=− 1

sv1 sv2

sv3sv4

e2 e4

e5

M9=− 1

sv1 sv2

sv3sv4

e4

����

e3

e5

M10=0

Ðèñ. 3.9

ìèíîðîâ òðåòüåãî ïîðÿäêà ìàòðèöû B−1. Òîëüêî âîñåìü èçäåñÿòè ïîäãðàôîâ ÿâëÿþòñÿ îñòîâàìè, è èìåííî äëÿ íèõ àá-ñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ìèíîðà ðàâíà 1.

3.3.2. Ïåðåñ÷åò îñòîâíûõ äåðåâüåâ

Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà îñòîâíûõ äåðåâüåâ ãðàôà åñòå-ñòâåííûì îáðàçîì ðåøàåòñÿ â ïðîöåññå ïåðå÷èñëåíèÿ îñòîâîâ.Îäíàêî, åñëè òðåáóåòñÿ çíàòü òîëüêî êîëè÷åñòâî îñòîâîâ, àïîëó÷àòü ñàìè îñòîâû íåò íåîáõîäèìîñòè, èçëîæåííûé âûøåïîäõîä íå ðàöèîíàëåí.

Ýôôåêòèâíîå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ìîæíî ïî-ëó÷èòü íà îñíîâå òåîðåìû Áèíå�Êîøè äëÿ îïðåäåëèòåëÿ ïðî-èçâåäåíèÿ äâóõ ìàòðèö, êîòîðàÿ ôîðìóëèðóåòñÿ òàê.

Òåîðåìà 3.1 Åñëè P ìàòðèöà ïîðÿäêà n×m, à Q ìàò-ðèöà ïîðÿäêà m×n, ãäå n≤m, òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöûPQ ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé êàæäîãî ìèíîðà ïîðÿäêà nìàòðèöû P íà ñîîòâåòñòâóþùèé ìèíîð ìàòðèöû Q.

Ñîîòâåòñòâóþùèì äëÿ ìèíîðà ïîðÿäêà n ìàòðèöû P, îá-ðàçîâàííîãî åå ñòîëáöàìè i1, i2, . . . , in, ÿâëÿåòñÿ ìèíîð òîãî

53

æå ïîðÿäêà ìàòðèöû Q, îáðàçîâàííûé ñòðîêàìè i1, i2, . . . , inýòîé ìàòðèöû.

Ïóñòü, íàïðèìåð, P=[

1 3 −1−2 0 1

]è Q=

[ 2 −11 1

−1 0

], òî-

ãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Áèíå-Êîøè èìååì:

|PQ|=∣∣∣ 1 3−2 0

∣∣∣ ·∣∣∣2 −11 1

∣∣∣+∣∣∣ 1 −1−2 1

∣∣∣ ·∣∣∣ 2 −1−1 0

∣∣∣+∣∣∣3 −10 1

∣∣∣ ·∣∣∣ 1 1−1 0

∣∣∣ =22.

Ïåðåìíîæèâ ìàòðèöû íåïîñðåäñòâåííî, ïîëó÷èì:

PQ=[

1 3 −1−2 0 1

]·[ 2 −1

1 1−1 0

]=

[6 2

−5 2

]è, çíà÷èò, |PQ|=22 .

Åñëè Q=PT , òî â ñèëó ðàâåíñòâà ñîîòâåòñòâóþùèõ ìèíî-ðîâ ìàòðèö-ñîìíîæèòåëåé èìååì:

|PPT |=M21+M2

2+ . . . +M2Cn

m,

ãäå ñïðàâà îò çíàêà ðàâåíñòâà ñòîèò ñóììà êâàäðàòîâ âñåõìèíîðîâ ïîðÿäêà n ìàòðèöû P. Ýòî ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü,÷òî îïðåäåëèòåëü êâàäðàòà ìàòðèöû ïîðÿäêà n×m, ãäå n≤m,ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ âñåõ åå ìèíîðîâ ïîðÿäêà n. Ñëåäîâà-òåëüíî, â òîì ñëó÷àå, êîãäà ëþáîé ìèíîð ïîðÿäêà n â ìàòðèöåïðèíèìàåò îäíî èç òðåõ çíà÷åíèé: �1, 0 èëè 1, îïðåäåëèòåëüêâàäðàòà ìàòðèöû îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì ÷èñëó íåíóëåâûõ ìè-íîðîâ. Èç ýòîãî, â ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò, ÷òî âìåñòî ïåðåáîðàìèíîðîâ ìàòðèöû B−i äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÷èñëà îñòîâîâ ãðàôàäîñòàòî÷íî ïîäñ÷èòàòü îïðåäåëèòåëü |B−i×B

T

−i|.Íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.8, èìååì:

∣∣∣B−1×BT

−1

∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

[−1 0 1 1 00 0 0 −1 10 −1 −1 0 −1

]×

−1 0 0

0 0 −11 0 −11 −1 00 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣3 −1 −1

−1 2 −1−1 −1 3

∣∣∣∣ =8 ,

÷òî ñîâïàäàåò ñ êîëè÷åñòâîì îñòîâîâ, íàéäåííûì ðàíåå.

54

Ïîñêîëüêó îïðåäåëèòåëü |B−i×BT

−i| ðàâåí àëãåáðàè÷åñêî-ìó äîïîëíåíèþ ýëåìåíòà ki,i ìàòðèöû Êèðõãîôà, òî â ñèëóñâîéñòâà ïîñëåäíåé9 ðåøåíèå çàäà÷è î ÷èñëå îñòîâîâ â îêîí÷à-òåëüíîì âèäå ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî â âèäå ñëåäóþùåéòåîðåìû, èçâåñòíîé êàê ìàòðè÷íàÿ òåîðåìà î äåðåâüÿõ, èëèòåîðåìà Êèðõãîôà.

Òåîðåìà 3.2 ×èñëî îñòîâíûõ äåðåâüåâ ñâÿçíîãî ãðàôà ïî-ðÿäêà n≥2 ðàâíî àëãåáðàè÷åñêîìó äîïîëíåíèþ ëþáîãî ýëåìåí-òà ìàòðèöû Êèðõãîôà.

Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà îñòîâîâïîëíîãî ãðàôà Kn.  ýòîì ñëó÷àå ìàòðèöà Êèðõãîôà (ïîðÿä-êà n) è àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå ëþáîãî åå äèàãîíàëüíîãîýëåìåíòà (ïîðÿäêà n−1) âûãëÿäÿò òàê:

K(Kn)=

n−1 −1 . . . −1−1 n−1 . . . −1...

... . . . ...−1 −1 . . . n−1

, Ai,i=

∣∣∣∣∣∣∣

n−1 −1 . . . −1−1 n−1 . . . −1...

... . . . ...−1 −1 . . . n−1

∣∣∣∣∣∣∣.

Âû÷òÿ ïåðâóþ ñòðî÷êó îïðåäåëèòåëÿ èç âñåõ íèæåëåæà-ùèõ è ïðèáàâèâ ê ïåðâîìó ñòîëáöó îñòàëüíûå n−2, ïîëó÷èì:

Ai,i=

∣∣∣∣∣∣∣

n−1 −1 . . . −1−n n . . . 0...

... . . . ...−n 0 . . . n

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 . . . −10 n . . . 0...

... . . . ...0 0 . . . n

∣∣∣∣∣∣∣=nn−2.

Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî îñòîâîâ ïîëíîãî ãðàôà Kn ðàâíînn−2, à ïîñêîëüêó îñòîâû ïîëíîãî ïîìå÷åííîãî ãðàôà ñîñòàâ-ëÿþò âñå ìíîæåñòâî ïîìå÷åííûõ äåðåâüåâ ñ n âåðøèíàìè, òîñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà Êýëè.

Òåîðåìà 3.3 ×èñëî ðàçëè÷íûõ ïîìå÷åííûõ äåðåâüåâ ñ nâåðøèíàìè ðàâíî nn−2.

Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæåò áûòü ëåãêî ïîëó÷åí íà îñíîâå êî-äà Ïðþôåðà. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ëþáîå äåðåâî, èìåþ-ùåå n âåðøèí, ïîìå÷åííûõ ÷èñëàìè îò 1 äî n , îäíîçíà÷íî

9Ðàâåíñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé ýëåìåíòîâ ìàòðèöû.

55

îïèñûâàåòñÿ (n−2) -ðàçðÿäíûì êîäîì, êàæäûé ðàçðÿä êîòî-ðîãî ìîæåò ïðèíèìàòü íåêîòîðîå, âïîëíå îïðåäåëåííîå çíà÷å-íèå èç ìíîæåñòâà {1, 2, . . ., n}, è íàîáîðîò, êàæäîìó (n−2) -ðàçðÿäíîìó êîäó, ñîñòàâëåííîìó íà îñíîâå ÷èñåë èç óêàçàí-íîãî ìíîæåñòâà, ñîîòâåòñòâóåò êîíêðåòíîå äåðåâî, òî îáùåå÷èñëî äåðåâüåâ äîëæíî áûòü ðàâíî nn−2.

3.4. Çàäà÷à î êðàò÷àéøåì îñòîâå ãðàôàÏóñòü G � ñâÿçíûé íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô, êàæäîìó

ðåáðó êîòîðîãî ïðèïèñàí íåêîòîðûé âåñ ci,j > 0 . Òðåáóåòñÿñðåäè âñåõ îñòîâîâ ãðàôà íàéòè ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ñ ìè-íèìàëüíîé ñóììîé âåñîâ ðåáåð. Õîòÿ â ðåàëüíîé ñèñòåìå, êî-òîðàÿ îïèñûâàåòñÿ ãðàôîì, âåñ ðåáðà ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòüñòîèìîñòè, òðóäîåìêîñòè, ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè è ò. ï., âòåîðèè ãðàôîâ ÷àùå èñïîëüçóþò òåðìèí "äëèíà ðåáðà", à ñà-ìà çàäà÷à òðàêòóåòñÿ êàê çàäà÷à îòûcêàíèÿ îñòîâà ñ íàèìåíü-øåé ñóììîé äëèí ñîñòàâëÿþùèõ åãî ðåáåð, èëè êðàòêî, îñòîâàíàèìåíüøåé äëèíû (êðàò÷àéøåãî îñòîâà). Ýòî îäíà èç íàè-áîëåå ïðîñòûõ êëàññè÷åñêèõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷ òåîðèèãðàôîâ, êîòîðàÿ ñ÷èòàåòñÿ ïîëíîñòüþ ðåøåííîé.  íàñòîÿùåìðàçäåëå ðàññìîòðèì äâà íàèáîëåå èçâåñòíûõ àëãîðèòìà îòûñ-êàíèÿ êðàò÷àéøåãî îñòîâà.

3.4.1. Àëãîðèòì Êðàñêàëà

Îïèñàíèå àëãîðèòìà. Â îñíîâó àëãîðèòìà ïîëîæåíà ïðî-ñòàÿ è èíòóèòèâíî ÿñíàÿ èäåÿ: ñòðîèòü îñòîâ èç íàèáîëåå "êî-ðîòêèõ" ðåáåð, íå äîïóñêàÿ ïðè ýòîì îáðàçîâàíèÿ öèêëîâ.

Ïðè âûïîëíåíèè àëãîðèòìà ôîðìèðóåòñÿ ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü ãðàôîâ G1, G2, . . . , Gi, . . . , Gn−1, ãäå G1 � îñòîâíûé ïîä-ãðàô, ñîäåðæàùèé îäíî (ñàìîå êîðîòêîå) ðåáðî ãðàôà; G2 �îñòîâíûé ïîäãðàô, ñîäåðæàùèé äâà (ñàìûõ êîðîòêèõ) ðåáðàãðàôà; Gi � ëåñ, ñîäåðæàùèé i ñàìûõ êîðîòêèõ ðåáåð, íåîáðàçóþùèõ öèêëîâ; Gn−1 � èñêîìûé êðàò÷àéøèé îñòîâ.

Ïóñòü ãðàô ïðåäñòàâëåí ñïèñêîì ðåáåð, ïðåäâàðèòåëüíîóïîðÿäî÷åííûì ïî âîçðàñòàíèþ èõ âåñîâ.

56

Ïðîöåññ íà÷èíàåòñÿ ñ ñàìîãî êîðîòêîãî ðåáðà eêð, êîòîðîåîáÿçàòåëüíî äîëæíî âîéòè â êðàò÷àéøèé îñòîâ. Ïðåäïîëîæèâîáðàòíîå, ìû ñðàçó ïðèõîäèì ê ïðîòâîðå÷èþ. Äåéñòâèòåëüíî,ïóñòü T � êðàò÷àéøèé îñòîâ, íå ñîäåðæàùèé eêð. ßñíî, ÷òî âãðàôå T+eêð åñòü öèêë. Óäàëèâ ëþáîå ïðèíàäëåæàùåå öèêëóðåáðî, îòëè÷íîå îò eêð, ïîëó÷àåì îñòîâ, áîëåå êîðîòêèé ÷åì Tè ñîäåðæàùèé eêð. Ñëåäîâàòåëüíî ïåðâîå ðåáðî ñïèñêà âñåãäàâêëþ÷àåòñÿ â îñòîâ, îáðàçóÿ íà÷àëüíûé ôðàãìåíò áóäóùåãîîñòîâà ïîä íîìåðîì 1.

Ïîñêîëüêó â ãðàôå íåò ïàðàëëåëüíûõ ðåáåð, ïðèñîåäèíå-íèå ê îñòîâó âòîðîãî ðåáðà íå ìîæåò ïðèâåñòè ê ïîÿâëåíèþöèêëà. Ïîýòîìó âòîðîå ïî äëèíå ðåáðî òàêæå äîëæíî âõîäèòüâ îñòîâ. Îíî ìîæåò ëèáî "ïðèìêíóòü" ê óæå ñóùåñòâóþùå-ìó ôðàãìåíòó ëèáî äàñò íà÷àëî íîâîìó (ïîêà îäíîðåáåðíîìó)ôðàãìåíòó ïîä íîìåðîì 2.

Äëÿ îñòàëüíûõ ðåáåð íåîáõîäèì àíàëèç íà ïðåäìåò âêëþ-÷åíèÿ èëè íåâêëþ÷åíèÿ â îñòîâ. Ïðè ýòîì âîçìîæíû ñëåäóþ-ùèå ÷åòûðå âàðèàíòà:

à) êîíöû ðåáðà íå ïðèíàäëåæàò íè îäíîìó ôðàãìåíòó. Ðåá-ðî äîëæíî áûòü âêëþ÷åíî â îñòîâ, îáðàçóÿ ïðè ýòîì íî-âûé ôðàãìåíò, êîòîðîìó ñëåäóåò ïðèñâîèòü î÷åðåäíîéíîìåð;

á) òîëüêî îäèí èç êîíöîâ ðåáðà ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìóôðàãìåíòó. Ðåáðî âêëþ÷àåòñÿ â îñòîâ, ïðèñîåäèíÿñü êýòîìó ôðàãìåíòó;

â) êîíöû ðåáðà ïðèíàäëåæàò ðàçíûì ôðàãìåíòàì. Ïðèâêëþ÷åíèè ðåáðà â îñòîâ ïðîèñõîäèò îáúåäèíåíèå ýòèõôðàãìåíòîâ. "Íîâûé" ôðàãìåíò ïîëó÷àåò ìåíüøèé èçíîìåðîâ îáúåäèíÿåìûõ ôðàãìåíòîâ;

ã) êîíöû ðåáðà ïðèíàäëåæàò îäíîìó ôðàãìåíòó. Ðåáðî íåëü-çÿ âêëþ÷àòü â îñòîâ, òàê êàê ýòî ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþöèêëà.

Ïîñòðîåíèå îñòîâà çàâåðøèòñÿ ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ ê íåìón−1 ðåáåð. Ê ýòîìó ìîìåíòó âñå ôðàãìåíòû îáúåäèíÿòñÿ âîäèí. Åñëè æå ýòîãî íå ïðîèñõîäèò, õîòÿ âñå m ðåáåð ãðàôàïðîñìîòðåíû, à îñòîâ ñîäåðæèò ìåíåå ÷åì n−1 ðåáåð, òî ýòîçíà÷èò, ÷òî ãðàô íåñâÿçíûé.

57

Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè êðàò÷àéøèéîñòîâ ãðàôà G ñ ìàòðèöåé âåñîâ C, ïîêàçàííûõ íà ðèñ. 3.10.Ýëåìåíò ci,j=∞, åñëè âåðøèíû vi è vj íå ñâÿçàíû ðåáðîì.

Ðèñ. 3.10

G

sv1 sv2 sv3

sv4 sv5

sv6 sv7

sv8

sv9

sv10

���

@@@

���

@@@

���

@@@

���

���

���

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10

C=

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

∞ 34 ∞ 7 2 38 ∞ ∞ ∞ ∞34 ∞ 5 ∞ 30 ∞ 22 ∞ ∞ ∞∞ 5 ∞ ∞ ∞ 25 17 ∞ ∞ ∞7 ∞ ∞ ∞ 3 ∞ ∞ 13 23 ∞2 30 ∞ 3 ∞ 20 ∞ 10 ∞ ∞38 ∞ 25 ∞ 20 ∞ ∞ ∞ 14 14∞ 22 17 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 35∞ ∞ ∞ 13 10 ∞ ∞ ∞ 23 ∞∞ ∞ ∞ 23 ∞ 14 ∞ 23 ∞ 8∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 14 35 ∞ 8 ∞

Ñîçäàåì óïîðÿäî÷åííûé ñïèñîê ðåáåð â âèäå òàáë. 3.3, ãäåñòîëáöû e , a , b , lab ñîäåðæàò ñîîòâåòñòâåííî íîìåðà, ìåòêèêîíöîâ è äëèíû ðåáåð. Äâà ïîñëåäíèõ ñòîëáöà çàïîëíÿþòñÿ âïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ êðàò÷àéøåãî îñòîâà.  ñòîëáöå Ti îòðà-æàåòñÿ ïðîöåññ ñîçäàíèÿ, èçìåíåíèÿ è îáúåäèíåíèÿ ôðàãìåí-òîâ îñòîâà, à â ñòîëáöå V Ti ôèêñèðóþòñÿ ìíîæåñòâà âåðøèí,ïðèíàäëåæàùèõ ðàçëè÷íûì ôðàãìåíòàì îñòîâà.

 ñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìîì ôîðìèðóåì ïåðâûé ôðàã-ìåíò T1 èç ðåáðà e1={v1, v5} (ñì. ñòîëáåö Ti ). Ìíîæåñòâî âåð-øèí, îòíîñÿùèõñÿ ê T1, ôèêñèðóåì â ïåðâîé ñòðîêå ñòîëáöàV Ti . Ðåáðî e2={v4, v5} èìååò îáùèé ýëåìåíò ñ ìíîæåñòâîìV T1. Ïîýòîìó ïðèñîåäèíèì åãî ê ôðàãìåíòó T1, êîððåêòè-ðóÿ ìíîæåñòâî V T1, êîòîðîå òåïåðü ñîäåðæèò v1, v4, v5. Êîí-öû òðåòüåãî ðåáðà íå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó V T1 , ïîýòîìóñîçäàåì âòîðîé ôðàãìåíò T2 íà îñíîâå òðåòüåãî ðåáðà. Äëÿíåãî V T2 = {v2, v3}. ×åòâåðòîå ðåáðî ïðîïóñêàåì, òàê êàêîáå åãî âåðøèíû ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè V T1, à ïÿòîå ðåáðîäàåò íà÷àëî òðåòüåìó ôðàãìåíòó, è ò. ä. Ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿîñòîâà çàâåðøàåòñÿ íà ïÿòíàäöàòîì ðåáðå, êîòîðîå îáúåäè-íÿåò äâà îñòàâøèåñÿ ôðàãìåíòà. Íà ðèñ. 3.11 ïðåäñòàâëåíûøåñòü èç ïÿòíàäöàòè ýòàïîâ ïîñòðîåíèÿ îñòîâà. ×èñëî â âåðõ-íåì ëåâîì óãëó êàæäîé "êàðòèíêè" ñîîòâåòñòâóåò òàáëè÷íîìóíîìåðó àíàëèçèðóåìîãî ðåáðà (íîìåðó èòåðàöèè).

58

Òàáëèöà 3.3e a b lab Ti V Ti

1 v1 v5 2 T1 := {v1, v5} {v1, v5}2 v4 v5 3 T1 := T1 + {v4, v5} {v1, v4, v5}3 v2 v3 5 T2 := {v2, v3} {v2, v3}4 v1 v4 7 � �5 v9 v10 8 T3 := {v9, v10} {v9, v10}6 v5 v8 10 T1 := T1 + {v5, v8} {v1, v4, v5, v8}7 v4 v8 13 � �8 v6 v10 14 T3 := T3 + {v6, v10} {v6, v9, v10}9 v6 v9 14 � �

10 v3 v7 17 T2 := T2 + {v3, v7} {v2, v3, v7}11 v5 v6 20 T1 := T1 + T3; T3\ {v1, v4, v5, v6,8 , v9, v10}12 v2 v7 22 � �13 v8 v9 23 � �14 v4 v9 23 � �15 v6 v3 25 T1 := T1 + T2; T2\ {v1, v2, v3, v4, v5,

v6, v7, v8, v9, v10}. . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 ÀT1

T2

rv1 rv2 rv3

rv4 rv5

rv6 rv7

rv8

rv9

rv10

6 ÀT2T1

T3

rv1 rv2 rv3

rv4 rv5

rv6 rv7

rv8

rv9

rv10

���

À8T2T1

T3

rv1 rv2 rv3

rv4 rv5

rv6 rv7

rv8

rv9

rv10

���

10 ÀT2T1

T3

rv1 rv2 rv3

rv4 rv5

rv6 rv7

rv8

rv9

rv10

���

11 ÀT2T1

rv1 rv2 rv3

rv4 rv5

rv6 rv7

rv8

rv9

rv10

���

Ðèñ. 3.11

15 ÀT1

rv1 rv2 rv3

rv4 rv5

rv6 rv7

rv8

rv9

rv10

���

���

59

Îáîñíîâàíèå àëãîðèòìà. Ïóñòü TK � îñòîâíîå äåðå-âî, ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Êðàñêàëà, à TS � êðàò-÷àéøèé îñòîâ. Ñîñòàâèì óïîðÿäî÷åííûé ñïèñîê ðåáåð ãðàôà,îòîáðàçèâ âõîæäåíèå èëè íåâõîæäåíèå ðåáðà â TK è TS çíà-êîì + èëè − , êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.12. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîó ðåáåð ñ e1 ïî ei−1 âêëþ÷èòåëüíî çíàêè äëÿ TK è TS èäåí-

TK

TS

e1

+

+

e2

+

+

e3

+

+

e4

−

−e5

+

+

. . .

. . .

. . .

ei

+

−. . .

. . .

. . .

ek

−

+

. . .

. . .

. . .

Ðèñ. 3.12

òè÷íû, à ïåðâîå íåñîâïàäåíèå èìååò ìåñòî äëÿ ei. Õàðàêòåðíåñîâïàäåíèÿ ìîæåò áûòü ±ei èëè ∓ei. Âåðõíèé çíàê ñîîò-âåòñòâóåò âõîæäåíèþ (èëè íåâõîæäåíèþ) ðåáðà ei â TK , àíèæíèé � â TS. Äîïóñòèì, ÷òî ñî÷åòàíèå çíàêîâ èìååò âèä∓ei. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ðåáðî ei âõîäèò â TS è íå âõîäèò âTK . Ïîñêîëüêó â ñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìîì Êðàñêàëà î÷å-ðåäíîå ðåáðî ïðîïóñêàåòñÿ, åñëè îíî îáðàçóåò öèêë ñ ïðåä-øåñòâóþùèìè ðåáðàìè, ñðåäè ðåáåð TS åãî òàêæå áûòü íåìîæåò. Òàêèì îáðàçîì, åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ñî÷åòàíèåìçíàêîâ (ïðè ïåðâîì íåñîâïàäåíèè) ìîæåò áûòü ±ei, ò. å. ðåá-ðî ei ïðèñóòñòâóåò â TK è îòñóòñòâóåò â TS. Ïóñòü êîíöàìèýòîãî ðåáðà ÿâëÿþòñÿ âåðøèíû a è b. Ïîñêîëüêó TS ÿâëÿ-åòñÿ äåðåâîì, â íåì äîëæíà ñóùåñòâîâàòü åäèíñòâåííàÿ öåïü,ñîåäèíÿþùàÿ a è b. Ñðåäè çâåíüåâ ýòîé öåïè èìååòñÿ, ïîêðàéíåé ìåðå, îäíî ðåáðî, íå âõîäÿùåå â TK (â ïðîòèâíîìñëó÷àå â TK åñòü öèêë, ÷òî íåâîçìîæíî). Îáîçíà÷èì ýòî ðåá-ðî ek.  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óïîðÿäî÷åííûõ ðåáåð ek ìîæåòíàõîäèòüñÿ òîëüêî "ñïðàâà" îò ei, à ýòî çíà÷èò, ÷òî äëèíàei íå áîëüøå, ÷åì äëèíà ek. Ïåðåñòðîèì TS, óäàëèâ èç íåãîek è âêëþ÷èâ ei.  ñèëó ïîðÿäêà ñëåäîâàíèÿ ðåáåð ýòà ïåðå-ñòðîéêà íå ìîæåò óäëèíèòü îñòîâ, à áîëåå êîðîòêèé ÷åì TS

îñòîâ ïîëó÷èòü íåâîçìîæíî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ei è ek èìåþòîäèíàêîâóþ äëèíó.  ðåçóëüòàòå ïåðåñòðîéêè âìåñòî TS ïî-ëó÷åí îñòîâ T ′

S, òàêæå ÿâëÿþùèéñÿ êðàò÷àéøèì, â êîòîðîì

60

áîëüøå ðåáåð, ñîâïàäàþùèõ ñ ðåáðàìè TK . Ïîâòîðÿÿ îïèñàí-íóþ ïðîöåäóðó äëÿ TK è T ′

S, çàòåì äëÿ TK è T ′′S è ò. ä.,

ïîëó÷àåì êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êðàò÷àéøèõ îñòîâîâ,ñõîäÿùóþñÿ ê TK .

Ôîðìàëèçîâàííàÿ çàïèñü àëãîðèòìà. Ââåäåì ñëåäó-þùèå îáîçíà÷åíèÿ:

1, 2, . . . , n � ÷èñëîâûå ìåòêè âåðøèí ãðàôà;i � ñ÷åò÷èê ðåáåð ãðàôà;k � ñ÷åò÷èê ðåáåð îñòîâà;E � ñïèñîê ðåáåð ãðàôà, óïîðÿäî÷åííûõ ïî äëèíå. Êàæ-

äàÿ ñòðîêà ñïèñêà ñîñòîèò èç ïàðû ei,1 è ei,2, ÿâëÿ-þùèõñÿ ÷èñëîâûìè ìåòêàìè êîíöîâ i -ãî ðåáðà;

t � íîìåð ôðàãìåíòà îñòîâà;S � ñïèñîê ïðèíàäëåæíîñòè âåðøèí ãðàôà ôðàãìåíòàì

îñòîâà. Çíà÷åíèå sj ðàâíî íîìåðó ôðàãìåíòà, êîòî-ðîìó íà òåêóùåé èòåðàöèè ïðèíàäëåæèò âåðøèíà j.Ïåðâîíà÷àëüíî âñå ýëåìåíòû ñïèñêà ðàâíû íóëþ. Ïîçàâåðøåíèè ðàáîòû àëãîðèòìà âñå ýëåìåíòû S ðàâ-íû åäèíèöå. Äëÿ ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðèìåðà äè-íàìèêà èçìåíåíèÿ ñïèñêà îòðàæåíà â òàáë. 3.4. Íàèòåðàöèÿõ 4, 7, 9, 12 � 14 ñîñòîÿíèå ñïèñêà íå ìåíÿ-åò ñÿ, òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ðåáðà íå ìîãóò áûòüâêëþ÷åíû â îñòîâ.

Òàáëèöà 3.4Èòåðàöèÿ(ðåáðî) s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10

Ôðàãìåíòûîñòîâà

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 �1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 T1:={1; 5}2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 T1:=T1 + {4; 5}3 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 T2:={2; 3}5 1 2 2 1 1 0 0 0 3 3 T3:={9; 10}6 1 2 2 1 1 0 0 1 3 3 T1:=T1 + {5; 8}8 1 2 2 1 1 3 0 1 3 3 T3:=T3 + {6; 10}10 1 2 2 1 1 3 2 1 1 1 T2:=T2 + {3; 7}11 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 T1:=T1 + T3; T3\15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T1:=T1 + T2; T2\

61

Ñ èñïîëüçîâàíèåì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé çàïèñü àëãîðèò-ìà ïðèíèìàåò âèä:begin { � Ê Ð À Ñ Ê À Ë � }

i := 1; t := 1; k := 1; { Ôîðìèðîâàòü ïåðâûé ôðàãìåíò îñòîâà }se1,1 := t; se1,2 := t; { íà îñíîâå êðàò÷àéøåãî ðåáðà ãðàôà }output(i); { è íàïå÷àòàòü íîìåð ðåáðà. }while (k<(n−1)) & (i<m) do

i := i+1; { Ïåðåéòè ê ñëåäóþùåìó ðåáðó. }if (sei,1=0) & (sei,2=0) { Åñëè ðåáðî íå èìååò îáùèõ }

{ âåðøèí íè ñ îäíèì èç ôðàãìåíòîâ, }

then

k := k+1; { âêëþ÷èòü ðåáðî â îñòîâ, }t := t+1; { ñîçäàâ }sei,2 := t; sei,1 := t; { íîâûé ôðàãìåíò, }output(i); { è íàïå÷àòàòü íîìåð ðåáðà. }

elseif (sei,1=0) & (sei,2 6=0) { Åñëè ðåáðî èìååò îáùóþ }

{ âåðøèíó ñ îäíèì èç ôðàãìåíòîâ, òî }

then{

k := k+1; { âêëþ÷èòü ðåáðî â îñòîâ, }ssi,1 := sei,2 ; { ïðèñîåäèíèâ åãî ê ôðàãìåíòó, }output(i); { è íàïå÷àòàòü íîìåð ðåáðà. }

elseif (sei,1 6=0) & (ssi,2=0) { Åñëè ðåáðî èìååò îáùóþ }

{ âåðøèíó ñ îäíèì èç ôðàãìåíòîâ, òî }

then{

k := k+1; { âêëþ÷èòü ðåáðî â îñòîâ, }sei,2 := sei,1 ; { ïðèñîåäèíèâ åãî ê ôðàãìåíòó, }output(i); { è íàïå÷àòàòü íîìåð ðåáðà. }

elseif (sei,1 6=0) & (sei,2 6=0)& (sei,1 6=sei,2) { Åñëè êîíöû ðåáðà }

{ ïðèíàäëåæàò ðàçíûì ôðàãìåíòàì, }

then

k := k+1; { âêëþ÷èòü ðåáðî â îñòîâ, }for j := 1 to n do { îáúåäèíèâ ôðàãìåíòû }{

if sj=max(sei,1 , sei,2) { ïîä ìåíüøèì }then sj := min(sei,1 , sei,2); { íîìåðîì, }

output(i); { è íàïå÷àòàòü íîìåð ðåáðà. }else { Êîíöû ðåáðà ïðèíàäëåæàò îäíîìó ôðàãìåíòó }

{ Íå âêëþ÷àòü ðåáðî â îñòîâ. }if k = (n− 1)then output ('Ïîëó÷åíî êðàò÷àéøåå îñòîâíîå äåðåâî.' )else output ('Ïîëó÷åí êðàò÷àéøèé îñòîâíûé ëåñ.' )

end. { � Ê Ð À Ñ Ê À Ë � }

62

Îöåíèì òðóäîåìêîñòü ïðèâåäåííîãî âàðèàíòà ðåàëèçàöèèàëãîðèòìà Êðàñêàëà ïðèìåíèòåëüíî ê (n, m) -ãðàôó.

 õóäøåì ñëó÷àå (ñàìîå äëèííîå ðåáðî ïðèíàäëåæèò êðàò-÷àéøåìó îñòîâó) âíåøíèé öèêë ïåðåáîðà ðåáåð ãðàôà äîë-æåí ïîâòîðèòüñÿ m−1 ðàç. Êðîìå òîãî, â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäàâêëþ÷åíèå ðåáðà ïðèâîäèò ê îáúåäèíåíèþ äâóõ ôðàãìåíòîâáóäóùåãî îñòîâà, äîëæíà áûòü âûïîëíåíà ïðîöåäóðà îáúåäè-íåíèÿ ìíîæåñòâ èõ âåðøèí. ×èñëî ïîâòîðåíèé ñîîòâåòñòâóþ-ùåãî öèêëà ðàâíî n. Ó÷èòûâàÿ âñå ýòî, ìîæíî óòâåðæäàòü,÷òî òðóäîåìêîñòü àëãîðèòìà íå õóæå ÷åì O(mn). Ýòî âåñü-ìà çàâûøåííàÿ îöåíêà, ïîñêîëüêó äàëåêî íå âñåãäà ðåáðî ñìàêñèìàëüíûì âåñîì âõîäèò â îñòîâ, è ñîâñåì íå îáÿçàòåëüíî,÷òî âêëþ÷åíèå î÷åðåäíîãî ðåáðà äîëæíî ïðèâîäèòü ê ñëèÿ-íèþ íåêîòîðîé ïàðû ôðàãìåíòîâ.

 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî àëãîðèòì ïðåäïîëàãàåò óïîðÿ-äî÷åííîñòü ñïèñêà ðåáåð, à ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, òðåáóåò âû-ïîëíåíèÿ åùå ïîðÿäêà O(m log2 m) îïåðàöèé. Ïðè äîñòàòî÷-íî áîëüøîì m èìåííî ýòà ñîñòàâëÿþùàÿ ïðîöåññà ïîëó÷åíèÿêðàò÷àéøåãî îñòîâà ìîæåò îêàçàòüñÿ îñíîâíîé â îáùåì áà-ëàíñå òðóäîåìêîñòè.

3.4.2. Àëãîðèòì Ïðèìà

Îïèñàíèå àëãîðèòìà.  îòëè÷èå îò àëãîðèòìà Êðàñ-êàëà, àëãîðèòì Ïðèìà îáåñïå÷èâàåò ïîñòðîåíèå îñòîâà ãðàôàG(V, E), çàäàííîãî ñïèñêîì ðåáåð, ïóòåì íàðàùèâàíèÿ åäèí-ñòâåííîãî äðåâîâèäíîãî ôðàãìåíòà T (V T,ET ), êîòîðûé âíà-÷àëå âîîáùå íå èìååò ðåáåð è ñîñòîèò èç îäíîé ïðîèçâîëüíîâûáðàííîé âåðøèíû ãðàôà. Íà êàæäîé èòåðàöèè ê ôðàãìåí-òó äîáàâëÿåòñÿ ñàìîå êîðîòêîå ðåáðî èç ÷èñëà ðåáåð, ó êî-òîðûõ îäíà èç êîíöîâûõ âåðøèí vi óæå âêëþ÷åíà â ñòðîÿ-ùèéñÿ îñòîâ, à äðóãàÿ vj åùå íåò, ò. å. ETk:=ETk−1+{vi, vj} èV Tk:=V Tk−1+vj, ãäå vi∈V Tk−1, vj 6∈V Tk−1, à ci,j ìèíèìàëüíî.Ïðîöåññ çàêàí÷èâàåòñÿ ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ ê T n−1 ðåáåð.Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûïîëíåíèè àëãîðèòìà ôîðìèðóåòñÿ ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòü äåðåâüåâ: T0, T1, . . . , Tn−1, ãäå T0=〈{v}, ∅〉,à Tn−1 � êðàò÷àéøèé îñòîâ. Åñëè ñïèñîê óïîðÿäî÷åí ïî âîç-

63

ðàñòàíèþ âåñîâ ðåáåð, òî âêëþ÷åíèþ â îñòîâ íà î÷åðåäíîéèòåðàöèè ïîäëåæèò ïåðâîå îò íà÷àëà ñïèñêà ðåáðî {vi, vj},îòâå÷àþùåå óêàçàííîìó âûøå óñëîâèþ.

Ïîñòðîåíèå îñòîâà äëÿ ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.10,èëëþñòðèðóåò òàáë. 3.5, àíàëîãè÷íàÿ òàáë. 3.3.

Òàáëèöà 3.5e a b lab Ti V Ti i

T0=〈{v1}, ∅〉 {v1}1 v1 v5 2 T1 := T0 + {v1, v5} {v1, v5} 12 v4 v5 3 T2 := T1 + {v4, v5} {v1, v4, v5} 2

3 v2 v3 5 T8 := T7 + {v2, v3} {v1, v2, v3, v4, v5,v6, v8, v9, v10} 8

4 v1 v4 7 � �5 v9 v10 8 T6 := T5 + {v9, v10} {v1, v4, v5, v6, v8, v9, v10} 66 v5 v8 10 T3 := T2 + {v5, v8} {v1, v4, v5, v8} 37 v4 v8 13 � �8 v6 v10 14 T5 := T4 + {v6, v10} {v1, v4, v5, v6, v8, v10} 59 v6 v9 14 � �

10 v3 v7 17 T9 := T8 + {v3, v7} {v1, v2, v3, v4, v5,v6, v7, v8, v9, v10} 9

11 v5 v6 20 T4 := T3 + {v5, v6} {v1, v4, v5, v6, v8} 412 v2 v7 22 � �13 v8 v9 23 � �14 v4 v9 23 � �15 v6 v3 25 T7 := T6 + {v3, v6}; {v1, v3, v4, v5, v6, v8, v10} 7. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Çäåñü ñîäåðæèìîå ñòîëáöà Ti ïîêàçûâàåò, êàê ðàñòåò åäèí-ñòâåííûé äðåâîâèäíûé ôðàãìåíò ôîðìèðóåìîãî îñòîâà, ñòîë-áåö V Ti îòðàæàåò ðîñò ìíîæåñòâà âåðøèí, ïðèíàäëåæàùèõýòîìó ôðàãìåíòó, à íîìåð èòåðàöèè, íà êîòîðîé ðåáðî âêëþ-÷àåòñÿ â îñòîâ, óêàçàí â ñòîëáöå i .

Ïóñòü íà÷àëüíûé ôðàãìåíò ñîñòîèò èç âåðøèíû v1. Àíà-ëèç ïåðâîãî ðåáðà ñïèñêà ïîêàçûâàåò, ÷òî îíî îòâå÷àåò óñëî-âèþ âêëþ÷åíèÿ â îñòîâ. Ïîëó÷åííîå äåðåâî èìååò äâå âåð-øèíû v1 è v5. Ïðîâåðÿÿ âòîðîå ðåáðî, óáåæäàåìñÿ, ÷òî åãîòàêæå ñëåäóåò âêëþ÷èòü â îñòîâ. Íîâûé ôðàãìåíò ñîäåðæèò

64

óæå òðè âåðøèíû V T2={v1, v4, v5}. Òðåòüå ðåáðî ïîêà ïðîïóñ-êàåì, òàê êàê íè v2 íè v3 íå ïðèíàäëåæàò V T2. Òî æå ñàìîåìîæíî ñêàçàòü è î ïÿòîì ðåáðå. Îáà êîíöà ÷åòâåðòîãî ðåáðà,íàîáîðîò, ïðèíàäëåæàò V T2, çíà÷èò, åãî âêëþ÷åíèå ïðèâåäåòê ïîÿâëåíèþ öèêëà, ÷òî íåäîïóñòèìî. È òîëüêî øåñòîå ðåáðîîòâå÷àåò óñëîâèþ íà âêëþ÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå òðå-òüåé èòåðàöèè ïîëó÷àåì äåðåâî T3, ñîñòîÿùåå èç òðåõ ðåáåð,ò. å. ET3={{v1, v5}, {v4, v5}, {v5, v8}}. Íà ÷åòâåðòîé èòåðàöèè êäåðåâó äîáàâëÿåòñÿ îäèííàäöàòîå ðåáðî, íà ïÿòîé � âîñüìîåè ò. ä. Ïîñòðîåíèå îñòîâà çàâåðøàåòñÿ íà äåâÿòîé èòåðàöèèïðèñîåäèíåíèåì äåñÿòîãî ðåáðà. Íà ðèñ. 3.13 ïðåäñòàâëåíû

3 ÀT3

rv1 rv2 rv3

rv4 rv5

rv6 rv7

rv8

rv9

rv10

���

5 ÀT5

rv1 rv2 rv3

rv4 rv5

rv6 rv7

rv8

rv9

rv10

���

6 ÀT6

rv1 rv2 rv3

rv4 rv5

rv6 rv7

rv8

rv9

rv10

���

7 ÀT7

rv1 rv2 rv3

rv4 rv5

rv6 rv7

rv8

rv9

rv10

���

���

8 ÀT8

rv1 rv2 rv3

rv4 rv5

rv6 rv7

rv8

rv9

rv10

���

���

Ðèñ. 3.13

9 ÀT9

rv1 rv2 rv3

rv4 rv5

rv6 rv7

rv8

rv9

rv10

���

���

îòäåëüíûå ýòàïû îïèñàííîãî ïðîöåññà. ×èñëî â âåðõíåì óãëóêàæäîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâóåò èòåðàöèè, íà êîòîðîéïîëó÷åí èçîáðàæåííûé ôðàãìåíò.

Ôîðìàëèçîâàííàÿ çàïèñü àëãîðèòìà. Ââåäåì ñëåäó-þùèå îáîçíà÷åíèÿ:

1, 2, . . . , n � ìåòêè âåðøèíû ãðàôà;i � ñ÷åò÷èê ðåáåð ãðàôà;k � ñ÷åò÷èê âåðøèí ãðàôà è ñ÷åò÷èê èòåðàöèé;E � ñïèñîê ðåáåð ãðàôà, óïîðÿäî÷åííûõ ïî äëèíå. Êàæ-

äàÿ ñòðîêà ñïèñêà ñîñòîèò èç ïàðû ei,1 è ei,2, ÿâëÿ-þùèõñÿ ìåòêàìè êîíöîâ i -ãî ðåáðà;

65

S � ñïèñîê ïðèíàäëåæíîñòè âåðøèí ãðàôà ôîðìèðóå-ìîìó ôðàãìåíòó îñòîâà. Åñëè ê òåêóùåé èòåðàöèèâåðøèíà j óæå âêëþ÷åíà â îñòîâ, òî sj=1, èíà-÷å sj=.0 Ïåðâîíà÷àëüíî âñå ýëåìåíòû ñïèñêà ðàâíûíóëþ, êðîìå ýëåìåíòà, ñîîòâåòñòâóþùåãî íà÷àëüíîéâåðøèíå. Ïî çàâåðøåíèè ðàáîòû àëãîðèòìà âñå ýëå-ìåíòû S ðàâíû åäèíèöå. Äëÿ ðàññìîòðåííîãî âû-øå ïðèìåðà äèíàìèêà èçìåíåíèÿ ñïèñêà îòðàæåíàâ òàáë. 3.6.

Òàáëèöà 3.6Èòåðàöèÿ(ðåáðî) s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10

Ôðàãìåíòûîñòîâà

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T0=〈{v1}, ∅〉1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 T1:=T0 + {1; 5}2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 T2:=T1 + {4; 5}3 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 T3:=T2 + {5; 8}4 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 T4:=T3 + {5; 6}5 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 T5:=T4 + {6; 9}6 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 T6:=T5 + {3; 6}7 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 T7:=T6 + {3; 2}8 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 T8:=T7 + {2; 3}9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T9:=T8 + {3; 7}

Ñ èñïîëüçîâàíèåì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé çàïèñü àëãîðèò-ìà ïðèíèìàåò âèä:begin { � Ï Ð È Ì � }for k := 1 to n do sk := 0; { Èíèöèàëèçàöèÿ ñïèñêà S }s1 := 1; { Íà÷àòü ïîñòðîåíèå îñòîâà ñ âåðøèíû v1 }for k := 1 to n−1 do { Öèêë ôîðìèðîâàíèÿ îñòîâà }

i := 1;while sei,1=sei,2do i := i+1; { Ïîèñê âêëþ÷àåìîãî ðåáðà. }sei,1 :=1; sei,2 :=1; {Ðåáðî íàéäåíî, âêëþ÷èòü åãî â îñòîâ }output(i); { è íàïå÷àòàòü íîìåð. }

end. { � Ï Ð È Ì � }

Îöåíèâàÿ, êàê è ðàíåå, ïî ìàêñèìóìó òðóäîåìêîñòü ýòîãîâàðèàíòà àëãîðèòìà Ïðèìà, óáåæäàåìñÿ, ÷òî åå ïîðÿäîê ðàâåíO(nm) áåç ó÷åòà òðóäîåìêîñòè ñîðòèðîâêè ñïèñêà ðåáåð.

66

Ðàññìîòðèì åùå îäèí âàðèàíò ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà, îñíî-âàííûé íà òåõíèêå ïîìåòîê âåðøèí, íå òðåáóþùèé ïðåäâàðè-òåëüíîé ñîðòèðîâêè ðåáåð è èñïîëüçóþùèé ìàòðèöó âåñîâ C.Ïîêàæåì ýòó òåõíèêó íà ïðèìåðå ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íàðèñ. 3.10. Ìàòðèöà âåñîâ ýòîãî ãðàôà èìååò âèä:

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10

C =

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

∞ 34 ∞ 7 2 38 ∞ ∞ ∞ ∞34 ∞ 5 ∞ 30 ∞ 22 ∞ ∞ ∞∞ 5 ∞ ∞ ∞ 25 17 ∞ ∞ ∞7 ∞ ∞ ∞ 3 ∞ ∞ 13 23 ∞2 30 ∞ 3 ∞ 20 ∞ 10 ∞ ∞38 ∞ 25 ∞ 20 ∞ ∞ ∞ 14 14∞ 22 17 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 35∞ ∞ ∞ 13 10 ∞ ∞ ∞ 23 ∞∞ ∞ ∞ 23 ∞ 14 ∞ 23 ∞ 8∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 14 35 ∞ 8 ∞

.

Ïðîöåññ ïîëó÷åíèÿ îñòîâà îòîáðàæåí â òàáë. 3.7. Ñòîëáöûòàáëèöû ñîäåðæàò ÷èñëîâûå ïîìåòêè (âð�åìåííûå è ïîñòîÿí-íûå), ïðèñâàèâàåìûå âåðøèíàì ïðè âûïîëíåíèè àëãîðèòìà.

Òàáëèöà 3.7Èòåðà-öèè v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 p

1 34 ∞ 7 2 38 ∞ ∞ ∞ ∞ v1

2 30 ∞ 3 20 ∞ 10 ∞ ∞ v5

3 30 ∞ 20 ∞ 10 23 ∞ v4

4 30 ∞ 20 ∞ 23 ∞ v8

5 30 25 ∞ 14 14 v6

6 30 25 ∞ 8 v9

7 30 25 35 v10

8 5 17 v3

9 17 v2

6v1 6v1 6v1 v1 6v1 6v1 6v1 6v1 6v1pred 6v5 v6 v5 v5 6v10 v5 6v4 6v6

v3 v3 v6 v9

Çíà÷åíèå ïîìåòêè ëþáîé âåðøèíû vi, åùå íå âêëþ÷åííîéâ îñòîâ, ðàâíî äëèíå ðåáðà, ñâÿçûâàþùåãî vi ñ áëèæàéøåéâåðøèíîé, óæå âîøåäøåé â îñòîâ. Íà êàæäîé èòåðàöèè â îñòîâ

67

âêëþ÷àåòñÿ âåðøèíà ñ ìèíèìàëüíîé âðåìåííîé ïîìåòêîé, êî-òîðàÿ â äàëüíåéøåì óæå íå ìåíÿåòñÿ (â òàáëèöå âûäåëåíàøðèôòîì). Ñàìà âåðøèíà ñ÷èòàåòñÿ ïîñòîÿííî ïîìå÷åííîé èôèêñèðóåòñÿ â ñòîëáöå p òàáëèöû. Ïîñëå ýòîãî ïðîèçâîäèòñÿïåðåñ÷åò âðåìåííûõ ïîìåòîê âñåõ âåðøèí, ñîñåäíèõ ñ ïîñëåä-íåé ïîñòîÿííî ïîìå÷åííîé âåðøèíîé, ïî ôîðìóëå:

l(vi) = min[l(vi), cp,i],

ãäå l(vi) � ïîìåòêà âåðøèíû vi; p � ïîñëåäíÿÿ ïîñòîÿí-íî ïîìå÷åííàÿ âåðøèíà. Åñëè l(vi) ìåíÿåò çíà÷åíèå (óìåíü-øàåòñÿ), ñëåäóåò ñêîððåêòèðîâàòü ñîäåðæèìîå ñòðîêè pred âñòîëáöå vi, çàìåíèâ ïðåæíåå çíà÷åíèå íà çíà÷åíèå p.

Ïóñòü T0 ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîé âåðøèíû v1. Ðàññìàò-ðèâàÿ íà ïåðâîé èòåðàöèè v1 êàê ïîñëåäíþ ïîñòîÿííî ïîìå-÷åííóþ, çàíîñèì åå â ñòîëáåö p ïåðâîé ñòðîêè. Èñïîëüçóÿìàòðèöó C, ïðèñâàèâàåì âñåì îñòàëüíûì âåðøèíàì âðåìåí-íûå ïîìåòêè l(vi)=c1,i. Ãîâîðÿò, ÷òî âåðøèíû ïîëó÷èëè ñâîèïîìåòêè èç v1. Ôèêñèðóåì ýòî â ïîñëåäíåé ñòðîêå òàá-ëèöû � ñòðîêå "âåðøèí-ïðåäøåñòâåííèö", îáîçíà÷åííîé êàêpred. Çàòåì îòûñêèâàåì ìèíèìàëüíóþ âðåìåííóþ ïîìåòêó. Âíàøåì ïðèìåðå ýòî ïîìåòêà âåðøèíû v5, ðàâíàÿ 2. Äàëåå ñ÷è-òàåì íàéäåííóþ ïîìåòêó ïîñòîÿííîé, à âåðøèíó v5 ïîñòîÿííîïîìå÷åííîé, çàïèñûâàåì åå â ñòîëáåö p è âêëþ÷àåì â ôîðìè-ðóåìûé îñòîâ ðåáðî {v5, v1}. Îòìåòèì, ÷òî âåñ âêëþ÷àåìîãîðåáðà ðàâåí çíà÷åíèþ íàéäåííîé ïîìåòêè.

Íà ñëåäóþùåé èòåðàöèè ïåðåñ÷èòûâàåì âðåìåííûå ïîìåò-êè ïî ôîðìóëå l(vi)= min[l(vi), c5,i]. Ïðè ýòîì, åñëè çíà÷åíèåïîìåòêè l(vi) ìåíÿåòñÿ (óìåíüøàåòñÿ), êîððåêòèðóåì è çíà÷å-íèå â ïîñëåäíåé ñòðîêå ñòîëáöà vi, çàìåíÿÿ åãî òåêóùèì çíà-÷åíèåì p=v5. Ïîñêîëüêó èçìåíÿþòñÿ l(v2), l(v4), l(v6) è l(v8),ñëåäóåò ñêîððåêòèðîâàòü ñîäåðæèìîå 2, 4, 6 è 8 ñòîëáöîâ ïî-ñëåäíåé ñòðîêè, çàìåíèâ åãî íà v5. Âíîâü îòûñêèâàåì ìè-íèìàëüíóþ âðåìåííóþ ïîìåòêó. Òåïåðü ýòî l(v4)=3, êîòîðàÿñòàíîâèòñÿ ïîñòîÿííîé. Ñîîòâåòñòâåííî ïîñëåäíåé ïîñòîÿííîïîìå÷åííîé âåðøèíîé p ñòàíîâèòñÿ v4, à â îñòîâ âêëþ÷àåòñÿðåáðî {v4, v5}.

68

Íà òðåòüåé èòåðàöèè ïîñëå ïåðåñ÷åòà âðåìåííûõ ïîìåòîê,ïðè÷åì èçìåíÿåòñÿ òîëüêî ïîìåòêà l(v9), ìèíèìàëüíîé îêà-çûâàåòñÿ ïîìåòêà âåðøèíû v8, è â îñòîâ âêëþ÷àåòñÿ ðåáðî{v8, v5}. Âòîðàÿ âåðøèíà ðåáåðíîé ïàðû áåðåòñÿ èç ïîñëåäíåéñòðîêè âîñüìîãî ñòîëáöà.

Íà ÷åòâåðòîé èòåðàöèè (çíà÷åíèÿ âñåõ ïîìåòîê ñîõðàíÿ-þòñÿ) ìèíèìàëüíîé îêàçûâàåòñÿ ïîìåòêà l(v6)=20, íà ïÿòîé(èçìåíÿþòñÿ l(v3) è l(v9) ) ìèíèìàëüíà l(v9)=14 è ò. ä. Ïðî-öåññ çàâåðøàåòñÿ íà äåâÿòîé èòåðàöèè ïîñëå òîãî, êàê âñå âåð-øèíû ïîëó÷àþò ïîñòîÿííûå ïîìåòêè (ñì. òàáë. 3.6).

 èòîãå ïîëó÷àåì ñïèñîê ðåáåð, îáðàçóþùèõ êðàò÷àéøèéîñòîâ: {v2, v3}, {v3, v6}, {v4, v5}, {v5, v1},{v6, v5},{v7, v3},{v8, v5},{v9, v6},{v10, v9}. Ïåðâàÿ âåðøèíà ïàðû áåðåòñÿ èç çàãîëîâêàñòîëáöà, à âòîðàÿ èç ïîñëåäíåé ñòðîêè òîãî æå ñòîëáöà. Ðå-çóëüòàò ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò îñòîâó íà ðèñ. 3.13(9). Äëèíàíàéäåííîãî îñòîâà ðàâíà ñóììå âñåõ ïîñòîÿííûõ ïîìåòîê, êî-òîðûå, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, ðàâíû âåñàì ðåáåð, âîøåäøèõ âîñòîâ.

Ñòðîêà âåðøèí-ïðåäøåñòâåííèö pred ìîæåò áûòü ñôîð-ìèðîâàíà è ïîñëå òîãî, êàê âñå âåðøèíû ïîëó÷àò ïîñòîÿííûåïîìåòêè. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî â êàæäîì ñòîëáöå òàáëèöûíàéòè ñàìóþ âåðõíþþ ñòðî÷êó ñ ìèíèìàëüíîé ïîìåòêîé. Çíà-÷åíèå predi ñîäåðæèòñÿ â ñòîëáöå p ýòîé ñòðîêè.

 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî òðóäîåìêîñòü ðàññìîòðåííîãîâàðèàíòà ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà Ïðèìà èìååò ïîðÿäîê O(n2).Äåéñòâèòåëüíî, ÷èñëî èòåðàöèé âíåøíåãî öèêëà ðàâíî n−1ïðè÷åì íà êàæäîé èòåðàöèè ñëåäóåò îáðàáîòàòü ñòðîêó ìàò-ðèöû C.

69

4. Ïóòè è ìàðøðóòû â ãðàôàõÑóùåñòâóåò áîëüøîå ðàçíîîáðàçèå çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïó-

òÿìè è ìàðøðóòàìè â ãðàôå, íà÷èíàÿ îò ñòàíäàðòíûõ çàäà÷íà ñóùåñòâîâàíèå, ïåðåñ÷åò è ïåðå÷èñëåíèå è êîí÷àÿ çàäà÷à-ìè ïîèñêà ïóòåé, îòâå÷àþùèõ îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèÿì. Òà-êèìè òðåáîâàíèÿìè ìîãóò áûòü: òðåáîâàíèÿ ìàêñèìàëüíîñòè(ìèíèìàëüíîñòè) äëèíû, ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè èëè íàäåæ-íîñòè ïóòè; òðåáîâàíèÿ ê ìíîæåñòâó âåðøèí (ðåáåð), ïðèíàä-ëåæàùèõ (íå ïðèíàäëåæàùèõ) ïóòè, è ò. ï. Ïðè ýòîì ñàìè ãðà-ôû ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà, íàïðèìåð, áûòü èëè íåáûòü îðèåíòèðîâàííûìè, öèêëè÷åñêèìè, âçâåøåííûìè è ò. ä.Íàêîíåö, îäèí è òîò æå ãðàô ìîæåò áûòü îïèñàí ïî-ðàçíîìó.Ïîýòîìó äàæå îäíà è òà æå çàäà÷à äëÿ ðàçëè÷íûõ ïî ñâîèìõàðàêòåðèñòèêàì è ñïîñîáó îïèñàíèÿ ãðàôîâ ìîæåò ðåøàòüñÿïî-ðàçíîìó.

4.1. Ñóùåñòâîâàíèå ïóòåéÝòà çàäà÷à ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å íà äîñòèæèìîñòü â îðãðà-

ôå, ðåøåíèå êîòîðîé ðàññìîòðåíî â ðàçä. 2. Äåéñòâèòåëüíî,ìàòðèöà äîñòèæèìîñòè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò íàëè÷èå èëèîòñóòñòâèå ïóòè äëÿ ëþáîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðû âåðøèí. Ïî-ýòîìó îãðàíè÷èìñÿ ïðèìåðîì.

Íà ðèñ. 4.1 èçîáðàæåíû ãðàô G è åãî ìàòðèöà äîñòèæè-ìîñòè R , ïîëó÷åííàÿ îäíèì èç ðàíåå ðññìîòðåííûõ ñïîñîáîâ.

ra rb rc

rd

re

-����6

?

�

�

@@@R

@@@I

����

Ðèñ. 4.1

G

a b c d e

R =

abcde

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1

.

Ïðîñòàÿ ïðîâåðêà óáåæäàåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ïàðû âåðøèíâ ãðàôå èìååòñÿ õîòÿ áû îäèí ïóòü. Èìåííî ýòî è ñëåäóåò èçïðèâåäåííîé ìàòðèöû, ïîñêîëüêó âñå åå ýëåìåíòû ðàâíû 1.

70

4.2. Ïåðåñ÷åò ìàðøðóòîâ è ïóòåéÏóñòü Γ(vi) � ìíîæåñòâî âåðøèí, ÿâëÿþùèõñÿ êîíöàìè

äóã, âûõîäÿùèõ èç vi, à Γ−1(vj) � ìíîæåñòâî âåðøèí, ÿâ-ëÿþùèõñÿ íà÷àëàìè äóã, âõîäÿùèõ â vj. Òîãäà ïåðåñå÷åíèåΓ(vi)∩Γ−1(vj) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî ïðîìåæóòî÷íûõâåðøèí, ïðèíàäëåæàùèõ öåïÿì äëèíîé â äâå äóãè ìåæäó vi

è vj, à |Γ(vi)∩Γ−1(vj)| � ÷èñëî òàêèõ öåïåé. Ïîñêîëüêó åäè-íè÷íûå ýëåìåíòû i - ñòðîêè ìàòðèöû ñìåæíîñòè ñîîòâåòñòâó-þò ýëåìåíòàì ìíîæåñòâà Γ(vi) , à åäèíè÷íûå ýëåìåíòûj - ñòîëáöà ýòîé ìàòðèöû � ýëåìåíòàì ìíîæåñòâà Γ−1(vj), òî|Γ(vi)∩Γ−1(vj)|=

∑nk=1 aikakj. Òî æå ñàìîå ñëåäóåò èç àíàëèçà

ñõåì íà ðèñ. 4.2, ãäå ïðåäñòàâëåíû âñå âîçìîæíûå êîìáèíàöèè

aikakj=0

avi vk vjs s saik=0 akj=0

ávi vk vjs s - saik=0 akj=1

âvi vk vjs - s saik=1 akj=0

ã aikakj=1vi vk vjs - s - saik=1 akj=1

äóãè íåò

-äóãà åñòü

Ðèñ 4.2

ñóùåñòâîâàíèÿ äóã, îáðàçóþùèõ öåïü äëèíû 2 èç vi â vj ñïðîìåæóòî÷íîé âåðøèíîé vk, à òàêæå çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâó-þùèõ ýëåìåíòîâ aik è akj ìàòðèöû ñìåæíîñòè. Åñëè èìåþòìåñòî ñëó÷àè à, á èëè â, öåïü îòñóòñòâóåò è ñîîòâåòñòâóþùååñëàãàåìîå ñóììû

∑nk=1 aikakj ðàâíî íóëþ.  ñëó÷àå ã öåïü

ñóùåñòâóåò, à ïðîèçâåäåíèå aikakj=1 è, ñëåäîâàòåëüíî, äàåòñâîé âêëàä â óêàçàííóþ ñóììó.

Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà öåïåé (ìàðøðó-òîâ) äëèíû 2 ìåæäó âñåìè ïàðàìè âåðøèí ãðàôà ìîæåò áûòüðåøåíà ïðîñòûì âîçâåäåíèåì â êâàäðàò åãî ìàòðèöû ñìåæíî-ñòè. Àíàëîãè÷íî, êîëè÷åñòâî ìàðøðóòîâ äëèíû 3 ìîæåò áûòüïîëó÷åíî èç ìàòðèöû A3 è âîîáùå êîëè÷åñòâî ìàðøðóòîâäëèíû l ìåæäó âåðøèíàìè vi è vj ðàâíî ýëåìåíòó a

(l)ij ìàò-

ðèöû Al. Íàêîíåö, êîëè÷åñòâî ìàðøðóòîâ äëèíû íå áîëåå p

71

ìåæäó âñåìè ïàðàìè âåðøèí îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà

A+A2+ . . . +Ap =

p∑

l=1

Al.

 êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì ðåøåíèå çàäà÷è ïåðåñ÷åòàìàðøðóòîâ ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 4.1 ïðè l=1, 2, 3, 4.Èíôîðìàöèþ î ïóòÿõ â îäíó äóãó íåñåò ìàòðèöà ñìåæíîñòèA, îñòàëüíûå òðè ìàòðèöû ïîëó÷àåì ïðîñòûì óìíîæåíèåì:

a b c d e a b c d e

A =

abcde

0 1 0 1 00 0 0 1 10 1 0 0 10 0 1 0 01 0 1 0 0

, A2 =

abcde

0 0 1 1 11 0 2 0 01 0 1 1 10 1 0 0 10 2 0 1 1

,

a b c d e a b c d e

A3 =

abcde

1 1 2 0 10 3 0 1 21 2 2 1 11 0 1 1 11 0 2 2 2

, A4 =

abcde

1 3 1 2 32 0 3 3 31 3 2 3 41 2 2 1 12 3 4 1 2

.

Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ïî èçîáðàæåíèþ ãðàôà óáåæ-äàåìñÿ, ÷òî, íàïðèìåð, ìåæäó âåðøèíàìè c è e åñòü� 1 ìàðøðóò (ïóòü) äëèíû 2: (c, b, e) ;� 1 ìàðøðóò äëèíû 3: (c, e, c, e) ;� 4 ìàðøðóòà (öåïè) äëèíû 4: (c, b, e, c, e), (c, b, d, c, e),

(c, e, a, b, e), (c, e, c, b, e) ;à ìåæäó e è c åñòü� 2 ìàðøðóòà äëèíû 3: (e, c, e, c), (e, a, d, c) (ïóòü);� 4 ìàðøðóòà äëèíû 4: (e, c, b, e, c), (e, a, b, d, c) (ïóòü),

(e, a, b, e, c) (öåïü), (e, c, b, d, c (öåïü).Ýòî ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèÿì ýëåìåíòîâ a

(l)ce è a

(l)ec

(âûäåëåíû øðèôòîì è ïîä÷åðêíóòû) ìàòðèö A2,A3,A4. Êñîæàëåíèþ, îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëî ìàðøðóòîâ, ñâÿçûâàþùèõ ïà-ðó âåðøèí, à íå ÷èñëî ïóòåé, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò íàèáîëü-øèé èíòåðåñ. Êîëè÷åñòâî ïóòåé ìîæíî îïðåäåëèòü, åñëè íàéòèâñå ìàðøðóòû è îòáðîñèòü òå èç íèõ, ãäå åñòü ïîâòîðÿþùèå-

72

ñÿ ôðàãìåíòû, ò. å. íåîáõîäèìî ðåøàòü çàäà÷ó ïåðå÷èñëåíèÿìàðøðóòîâ. Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ýòîé çàäà÷å, îòìåòèì äâàôàêòà, êàñàþùèõñÿ çàäà÷è ïåðåñ÷åòà:

1. Îòëè÷íûå îò íóëÿ äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèö óêà-çûâàþò íà ïðèñóòñòâèå â ãðàôå ñîîòâåòñòâóþùåãî êîëè÷åñòâàöèêëîâ äëèíû l. Íàïðèìåð, â ìàòðèöå A3 äèàãîíàëüíûé ýëå-ìåíò a

(3)bb =3. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â ãðàôå åñòü òðè öèêëà äëèíû

3, âêëþ÷àþùèå âåðøèíó b. Íåïîñðåäñòâåííî ïî ðèñ. 4.1 íàõî-äèì: (b, d, c, b) , (b, e, c, b) è (b, e, a, b).

2. Ïîñêîëüêó äëèíà ïóòè â ãðàôå íå ìîæåò ïðåâûøàòün−1, íå èìååò ñìûñëà âîçâîäèòü A â áîëåå âûñîêóþ ñòåïåíü.

4.3. Ïåðå÷èñëåíèå ìàðøðóòîâ è ïóòåéÌàòðè÷íûé ïîäõîä, èñïîëüçîâàííûé â ïðåäûäóùèõ ðàçäå-

ëàõ, ëåãêî àäàïòèðóåòñÿ ê çàäà÷å î ïåðå÷èñëåíèè ìàðøðóòîâ.Ïóñòü P(l) � ìàòðèöà âñåõ ìàðøðóòîâ c l ïðîìåæóòî÷-

íûìè âåðøèíàìè (äëèíû l+1 ), ýëåìåíòû êîòîðîé îïðåäåëÿ-þòñÿ êàê p

(l)ij =

∑qk=1 vk1vk2 . . . vkl

, ãäå vklýòî l-ÿ ïî ïîðÿäêó

ïðîìåæóòî÷íàÿ âåðøèíà ìàðøðóòà, ñâÿçûâàþùåãî vi è vj, àq� êîëè÷åñòâî òàêèõ ìàðøðóòîâ. Åñëè ìàðøðóòîâ äëèíû l+1

ìåæäó vi è vj íåò, òî p(l)ij =0. Ñëàãàåìûå vk1vk2 . . . vkl

ïðåä-ñòàâëÿþò ñîáîé "ïðîèçâåäåíèÿ" âåðøèí, ëåæàùèõ íà íåêîòî-ðîì ìàðøðóòå ìåæäó vi è vj. Èõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêðàçìåùåíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èëè ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåí-òîâ ïî l â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ìàðøðóò ïóòåì èëèíåò. Íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà íà ðèñ. 4.1 p

(3)cd =bea+eab+ecb è, çíà-

÷èò, èç vi â vj åñòü òðè ìàðøðóòà: (c, b, e, a, d) , (c, e, a, b, d) è(c, e, c, b, d), äâà èç êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ïóòÿìè, òàê êàê íå ñî-äåðæàò ïîâòîðÿþùèõñÿ âåðøèí.  íàëè÷èè óêàçàííûõ ìàðø-ðóòîâ ëåãêî óáåäèòüñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïî ãðàôó, à èõ êîëè-÷åñòâî ðàâíî çíà÷åíèþ ýëåìåíòà a

(4)cd â ìàòðèöå A4. Êðîìå

P(l), èñïîëüçóåì âñïîìîãàòåëüíóþ ìàòðèöó P′, â êîòîðîé ýëå-ìåíò p′ij ðàâåí vj, åñëè â ãðàôå åñòü äóãà (vi, vj), è 0, åñëè

73

äóãà îòñóòñòâóåò. Ïîñêîëüêó j - ñòîëáåö ìàòðèöû P(l−1) îò-ðàæàåò âñå ìàðøðóòû äëèíû l, ñ íà÷àëîì â vk, ãäå k=1, n,è êîíöîì â vj, à i - ñòðîêà ìàòðèöû P′ � êîíöû âñåõ äóãâèäà (vi, vk), ãäå k=1, n, òî ñóììà

∑nk=1 p′ikp

(l−1)kj îòðàæàåò

âñå ìàðøðóòû èç vi â vj äëèíû l+1. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðè-öà ìàðøðóòîâ P(l) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà êàê P′×P(l−1), ïðèýòîì ñîìíîæèòåëè â ïðîèçâåäåíèÿõ íå ïåðåóïîðÿäî÷èâàþòñÿè íå èñïîëüçóåòñÿ ñòåïåííàÿ çàïèñü ïîâòîðÿþùèõñÿ ñîìíîæè-òåëåé, ÷òîáû íå ïîòåðÿòü èíôîðìàöèþ î ïîðÿäêå ñëåäîâàíèÿâåðøèí. Òàêèì îáðàçîì ìîæåò áûòü ñôîðìèðîâàí ðÿä ìàò-ðèö P(1),P(2),P(3), . . . ,P(q−1), â ñîâîêóïíîñòè îïðåäåëÿþùèõâñå ìàðøðóòû äëèíû ≤ q äëÿ ëþáîé ïàðû âåðøèí.

 êà÷åñòâå ïðèìåðà âûïîëíèì ðàñ÷åòû äëÿ ãðàôà, ïðåä-ñòàâëåííîãî íà ðèñ. 4.1, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ:

P(1) = P′ ×P(0); P(2) = P′ ×P(1); P(3) = P′ ×P(2),

ãäå â êà÷åñòâå ìàòðèöû P(0) (ïóòè áåç ïðîìåæóòî÷íûõ âåð-øèí) ñëåäóåò âçÿòü ìàòðèöó ñìåæíîñòè ãðàôà A. ÌàòðèöàP′ ïîëó÷àåòñÿ, åñëè â ìàòðèöå ñìåæíîñòè åäèíèöû ïåðâîãîñòîëáöà çàìåíèòü áóêâîé a, åäèíèöû âòîðîãî ñòîëáöà � áóê-âîé b, òðåòüåãî � áóêâîé c è ò. ä.  ðåçóëüòàòå èìååì:

a b c d e a b c d e

P′ =

abcde

0 b 0 d 00 0 0 d e0 b 0 0 e0 0 c 0 0a 0 c 0 0

, P(0) = A =

abcde

0 1 0 1 00 0 0 1 10 1 0 0 10 0 1 0 01 0 1 0 0

.

Ïîñëå ïåðâîãî óìíîæåíèÿ ïîëó÷àåì ìàòðèöó P(1) :a b c d e

P(1) = P′×P(0) =

a

b

c

d

e

0 0 d b b

e 0 d+e 0 0e 0 e b b

0 c 0 0 c

0 a+c 0 a c

,

74

ïîñëå âòîðîãî óìíîæåíèÿ � ìàòðèöó P(2) :a b c d e

P(2)=P′×P(1)=

a

b

c

d

e

be dc bd+be 0 dc

0 ea+dc+ec 0 ea dc+ec

be ea+ec bd+be ea ec

ce 0 ce cb cb

ce 0 ad+ce ab+cb ab+cb

.

Íàêîíåö, ìàòðèöà P(3)=P′×P(2) ïðèíèìàåò âèä:a b c d e

ab

c

d

e

dce bea+bdc+bec dce bea+dcb dcb+bdc+bec

dce+ece 0 ead+dce+ece eab+dcb+ecb eab+dcb+ecb

ece bea+bdc+bec ead+ece bea+eab+ecbeab+ecb++bdc+bec

cbe cea+cec cbd+cbe cea cec

abe+cbe cea+adc+cecabd+cbd++abe+cbe

cea adc+cec

.

Êàê âèäíî èç ïðèìåðà, óæå ïðè íåáîëüøèõ çíà÷åíèÿõ lìàòðèöû ìîãóò áûòü âåñüìà ãðîìîçäêèìè. Îäíàêî, åñëè öåëüïîèñêà � ïóòè, îáúåì âû÷èñëåíèé ìîæíî ñóùåñòâåííî óìåíü-øèòü, îòáðàñûâàÿ ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîâòîðÿþùèìèñÿ âåðøèíà-ìè. Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå l≤(n−2), òàê êàê ïóòüâ ãðàôå íå ìîæåò ñîäåðæàòü áîëåå ÷åì n−2 ïðîìåæóòî÷íûõâåðøèí 10. Êðîìå òîãî, ñ óâåëè÷åíèåì äëèíû êîëè÷åñòâî ïóòåéâ îáùåì ñëó÷àå äîëæíî ñîêðàùàòüñÿ.

4.4. Çàäà÷è î êðàò÷àéøèõ ïóòÿõÁîëüøèíñòâî çàäà÷ ýòîãî âèäà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê

ðàñøèðåíèå, îáîáùåíèå èëè ìîäèôèêàöèþ ñëåäóþùåé çàäà÷è. ãðàôå G ñ ìàòðèöåé âåñîâ C=[ci,j] òðåáóåòñÿ íàéòè

ïóòü ìåæäó çàäàííîé ïàðîé âåðøèí s è t, ó êîòîðîãî ñóììà10 ñëó÷àå çàìêíóòîãî ïóòè (êîíòóðà) l=n−1 .

75

âåñîâ ñîñòàâëÿþùèõ åãî äóã (ðåáåð) ìèíèìàëüíà. Çäåñü s èt ÿâëþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé âåðøèíàìè.Òàêîå ðàçëè÷èå â îáîçíà÷åíèÿõ êîíöåâûõ âåðøèí ïóòè íåîá-õîäèìî äëÿ îðãðàôîâ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå, â îòëè÷èå îòïðîñòûõ ãðàôîâ, êðàò÷àéøèå (s, t)- è (t, s)-ïóòè ðàçëè÷íû.

Ïîíÿòíî, ÷òî ëþáîé ó÷àñòîê êðàò÷àéøåãî ïóòè ñàì ÿâëÿ-åòñÿ êðàò÷àéøèì ïóòåì ìåæäó ïàðîé åãî êîíöåâûõ âåðøèí.Çíà÷èò, åñëè íàéäåí êðàò÷àéøèé (s, t) -ïóòü, ïðîìåæóòî÷íûåâåðøèíû êîòîðîãî îáðàçóþò ìíîæåñòâî V ′ , òî ôàêòè÷åñêèðåøåíà çàäà÷à îòûñêàíèÿ êðàò÷àéøèõ ïóòåé èç s âî âñå âåð-øèíû V ′ . Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ñëåäóþùååîáîáùåíèå ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå çàäà÷è.

Íàéòè êðàò÷àéøèå ïóòè ìåæäó çàäàííîé íà÷àëüíîé âåð-øèíîé s è âñåìè îñòàëüíûìè âåðøèíàìè ãðàôà.Íàêîíåö, â ñàìîé øèðîêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷à âûãëÿäèò òàê:íàéòè êðàò÷àéøèå ïóòè ìåæäó âñåìè âåðøèíàìè ãðàôà.

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî îïðåäåëÿþùèì â ïðèâåäåííûõ ôîð-ìóëèðîâêàõ ÿâëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî ïàð êîíöåâûõ âåðøèí, äëÿêîòîðûõ ñëåäóåò íàéòè êðàò÷àéøèé ïóòü: â ïåðâîé çàäà÷å ýòîîäíà ïàðà, âî âòîðîé n−1 ïàð, à â òðåòüåé � C2

n ïàð (äëÿïðîñòîãî ãðàôà) èëè 2C2

n (äëÿ îðèåíòèðîâàííîãî).Åùå îäíà ðàçíîâèäíîñòü çàäà÷è âîçíèêàåò, êîãäà äëÿ íåêî-

òîðîé ïàðû âåðøèí êðîìå êðàò÷àéøåãî òðåáóåòñÿ íàéòè åùåk−1 ïóòåé, äëèíû êîòîðûõ ñîñòàâëÿþò íåóáûâàþùóþ ÷èñëî-âóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Lêð1

≤Lêð2≤ . . .≤Lêðk . Ýòà çàäà÷à èç-

âåñòíà êàê çàäà÷à ïîèñêà k êðàò÷àéøèõ ïóòåé ìåæäó äâóìÿçàäàííûìè âåðøèíàìè.

 îáùåì ñëó÷àå ýëåìåíòû ìàòðèöû C ìîãóò áûòü ðàç-íûõ çíàêîâ. Íàëè÷èå îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ñðåäè ýëåìåí-òîâ ci,j óñëîæíÿåò ðåøåíèå çàäà÷è ïîèñêà êðàò÷àéøèõ ïóòåé.Çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ åùå áîëåå ñëîæíîé, åñëè â ãðàôå ïðèñóò-ñòâóþò öèêëû ñ îòðèöàòåëüíûì ñóììàðíûì âåñîì. Íàîáîðîò,åñëè âûïîëíÿåòñÿ òàê íàçûâàåìîå "ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà":ci,j≤ci,k+ck,j, òî çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííî ïðîùå è ôàê-òè÷åñêè ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê çàäà÷à ïîèñêà êðàò÷àé-øåãî ïóòè â ãðàôå ñ ðåáðàìè (äóãàìè) åäèíè÷íîé äëèíû.

76

4.4.1. Ãðàôû ñ äóãàìè åäèíè÷íîé äëèíû

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà âåñà âñåõ äóã (ðåáåð) ãðàôà îäè-íàêîâû. Íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ ëþáîéäóãè (ðåáðà) ci,j=1. Ýôôåêòèâíîå ðåøåíèå çàäà÷è ïîëó÷àåòñÿñ ïîìîùüþ ïðîñòîé ïðîöåäóðû, â ðåçóëüòàòå êîòîðîé êàæäàÿîáðàáîòàííàÿ âåðøèíà ïîëó÷àåò ïîìåòêó, ðàâíóþ ðàññòîÿíèþîò s. Ïðîöåññ íà÷èíàåòñÿ ñ òîãî, ÷òî âñå v∈Γ(s) ïîëó÷àþòïîìåòêó, ðàâíóþ åäèíèöå. Íà âòîðîé èòåðàöèè âñå v∈Γ2(s)ïîìå÷àþòñÿ äâîéêîé, çàòåì âñå v∈Γ3(s) ïîìå÷àþòñÿ òðîéêîé,è âîîáùå íà i èòåðàöèè äëÿ âñåõ v∈Γi(s) èìååì l(v)=i. Ïðî-öåññ çàâåðøàåòñÿ, êîãäà ïîìå÷åííîé îêàçûâàåòñÿ âåðøèíà t.Îïèñàííàÿ ïðîöåäóðà ðàññòàíîâêè ïîìåòîê íàçûâàåòñÿ ïîèñ-êîì â øèðèíó. Ðàññìîòðèì ðåàëèçàöèþ òàêîãî âèäà ïîèñêàíà ïðèìåðå. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè êðàò÷àéøèé ïóòü ìåæäóâåðøèíàìè v5 è v7 â ãðàôå, ïðåäñòàâëåííîì íà ðèñ. 4.3,à.

Ðèñ. 4.3à á

sv1

(1)

sv2

(2)

sv3

(4)

sv4

(5)

sv5

(0)

sv6

(3)

sv7

(6)

sv8

(3)

sv9

(2)

sv10

(5)

sv11

(4)

@@@@@@

����

��

6

�������

����

��

AAAAAA-

�

6

g

g

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11

v1 1 1 1v2 1 1v3 1 1 1v4 1 1 1 1v5 1v6 1 1 1v7 1 1v8 1 1 1v9 1 1 1v10 1 1 1v11 1 1l(vi) 1 2 4 5 0 3 6 3 2 5 4

Äëÿ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçóåì ìàòðèöó ñìåæíîñòè ãðàôà, äî-ïîëíèâ åå ñòðîêîé l(vi) äëÿ ïîìåòîê âåðøèí, êàê ïîêàçàíîíà ðèñ. 4.3,á. Ñðàçó ïîìåòèì âåðøèíó v5 íóëåâûì çíà÷åíèåì.Íà ïåðâîé èòåðàöèè, ïðîñìàòðèâàÿ ïÿòóþ ñòðîêó ìàòðèöû,íàõîäèì åäèíèöó â ïåðâîì ñòîëáöå. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîìåò-êà ïåðâîé âåðøèíû l(v1)=1. Íà âòîðîé èòåðàöèè ïðîñìàò-

77

ðèâàåì ïåðâóþ ñòðîêó ìàòðèöû. Çäåñü åäèíèöû ñîäåðæàòñÿâî âòîðîì, ïÿòîì è äåâÿòîì ñòîëáöàõ. Ïÿòàÿ âåðøèíà óæåïîìå÷åíà, ïîýòîìó ïîìå÷àåì òîëüêî v2 è v9, çàïèñûâàÿ âîâñïîìîãàòåëüíîé ñòðîêå äâîéêè â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîëáöàõ.Íà òðåòüåé èòåðàöèè àíàëèçèðóåì âòîðóþ è äåâÿòóþ ñòðîêèìàòðèöû.  ðåçóëüòàòå ïîìåòêó 3 ïîëó÷àþò v8 è v6. Ïðî-äîëæàÿ ïðîöåññ, â èòîãå ïîëó÷àåì ñîâîêóïíîñòü ïîìåòîê, êàêíà ðèñ. 4.3,á. Ïîñêîëüêó v7 èìååò ïîìåòêó 6, äëèíà èñêîìî-ãî êðàò÷àéøåãî ïóòè ðàâíà 6. Îñòàåòñÿ íàéòè ñàì ïóòü, ò. å.ìíîæåñòâî ñîñòàâëÿþùèõ åãî äóã (ðåáåð), èëè ÷òî òîæå ñàìîå,ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîõîäèìûõ âåðøèí.

Ïîèñê íà÷èíàåì ñ v7. Áóäåì ïåðåõîäèòü îò âåðøèíû ê âåð-øèíå, òàê ÷òîáû ïîìåòêà êàæäûé ðàç óìåíüøàëàñü íà åäèíè-öó, ïîêà íå äîñòèãíåì âåðøèíû v5, ïðè÷åì îáðàáîòêó âûïîë-íÿåì ïî ñòîëáöû ìàòðèöû.  ñåäüìîì ñòîëáöå èìååòñÿ òîëü-êî îäíà åäèíèöà â ÷åòâåðòîé ñòðîêå. Çíà÷èò, ïðåäïîñëåäíåéâåðøèíîé ïóòè ÿâëÿåòñÿ v4 ñ ïîìåòêîé 5.  ÷åòâåðòîì ñòîëá-öå åäèíèöû íàõîäÿòñÿ â òðåòüåé, ñåäüìîé è äåñÿòîé ñòðîêàõ.Ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíû èìåþò ïîìåòêè l(v3)=4, l(v7)=6,l(v10)=5. Èç íèõ ïîäõîäÿùåé ÿâëÿåòñÿ òîëüêî v3. Ýòî è åñòüòðåòüÿ îò êîíöà âåðøèíà ïóòè. Ñîäåðæèìîå òðåòüåãî ñòîëá-öà óêàçûâàåò íà âåðøèíû v4 è v6. Ïî çíà÷åíèþ ïîìåòêè( l(v4)=5, l(v6)=3 ) ïîäõîäèò òîëüêî v6. Äåéñòâóÿ àíàëîãè÷-íûì îáðàçîì, íàõîäèì åùå äâå ïðîìåæóòî÷íûå âåðøèíû ïóòèv9 è v1. Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì, ÷òî êðàò÷àéøèé ïóòü èç v5

â v7 ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíû v1, v9, v6, v3, v4.

Àëãîðèòì Ëè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ ïîèñêàâ øèðèíó ðàññìîòðèì çàäà÷ó òðàññèðîâêè ïå÷àòíûõ ïëàò, ÿâ-ëÿþùèõñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ëþáîé ñîâðåìåííîé ýëåêòðîííîéàïïàðàòóðû. Ïå÷àòíàÿ ïëàòà � ýòî òîíêàÿ (1,5�2ìì) æåñò-êàÿ ïëàñòèíà èç ýëåêòðîèçîëÿöèîííîãî ìàòåðèàëà, íà êîòî-ðîé óñòàíàâëèâàþòñÿ èíòåãðàëüíûå ñõåìû, òðàíçèñòîðû, äèî-äû, êîíäåíñàòîðû è ò. ï. Ýëåêòðè÷åñêîå ñîåäèíåíèå âñåõ ýòèõýëåìåíòîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîâîäíèêîâ, ïðåäñòàâ-ëÿþùèõ ñîáîé òîí÷àéøèå óçêèå ìåòàëëè÷åñêèå ïîëîñêè, íà-íåñåííûå ïî îïðåäåëåííîé òåõíîëîãèè íà ïîâåðõíîñòü ïëà-òû. Ñðåäè ïðî÷èõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷ ïðè ïðîåêòèðîâà-íèè ïå÷àòíûõ ïëàò âàæíîå ìåñòî çàíèìàåò çàäà÷à îòûñêàíèÿ

78

âàðèàíòà ðàçìåùåíèÿ ïðîâîäíèêîâ, îòâå÷àþùåãî ðÿäó òðåáî-âàíèé (îòñóòñòâèå ïåðåñå÷åíåèé, îãðàíè÷åíèå ìàêñèìàëüíîéäëèíû ïðîâîäíèêîâ, ìèíèìàëüíîñòü èõ ñóììàðíîé äëèíû èò. ï.), èçâåñòíàÿ êàê çàäà÷à òðàññèðîâêè. Ìíîãèå ïðàêòè÷å-ñêèå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è â ñâîåé îñíîâå èìåþòêëàññè÷åñêèé àëãîðèòì Ëè, íàçâàííûé òàê ïî èìåíè àâòîðàè ïîçâîëÿþùèé íàéòè êðàò÷àéøèé ïóòü ìåæäó äâóìÿ ÿ÷åé-êàìè ïðÿìîóãîëüíîé êîîðäèíàòíîé ñåòêè.

Ïóñòü ôðàãìåíò íåêîòîðîé ïå÷àòíîé ïëàòû ïðåäñòàâëåíñåòêîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 4.4. Îòäåëüíûå ÿ÷åéêè (íà ðè-ñóíêå çàøòðèõîâàíû) çàíÿòû óæå ïðîòðàññèðîâàííûìè ïðî-âîäíèêàìè è ïîýòîìó íå ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ. Íåîáõîäèìî

Ðèñ. 4.4a

1 s©1

t©

1

á

12345

s©123 4

5

45

5t©

2 1 2 3 4 5

ñîåäèíèòü ÿ÷åéêè s è t êðàò÷àéøåé ëîìàíîé ëèíèåé, çàäà-þùåé òðàññó áóäóùåãî ïðîâîäíèêà è ñîñòîÿùåé èç ãîðèçîí-òàëüíûõ è âåðòèêàëüíûõ îòðåçêîâ, ïðîõîäÿùèõ ïî ñâîáîäíûìÿ÷åéêàì ñåòêè. Âíà÷àëå âñå ñâîáîäíûå ÿ÷åéêè ïóñòû. Ïðîöåññíà÷èíàåòñÿ ñ òîãî, ÷òî â ñâîáîäíûå ÿ÷åéêè, ñìåæíûå ñ s, çà-ïèñûâàþòñÿ åäèíèöû, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.4,à. Äàëåå â ïó-ñòûå ÿ÷åéêè, ïðèìûêàþùèå ê ÿ÷åéêàì ñ åäèíèöàìè, ïèøóòñÿäâîéêè. Íà òðåòüåé èòåðàöèè îöèôðîâàííàÿ îáëàñòü ñåòêè îá-ðàìëÿåòñÿ òðîéêàìè, çàòåì � ÷åòâåðêàìè è ò. ä. Ïîñëå ïÿòîéèòåðàöèè ïîëó÷àåì ðàçìåòêó êàê íà ðèñ. 4.4,á. Ñìåíà ðàçìåò-êè îò èòåðàöèè ê èòåðàöèè íàïîìèíàåò ðàñïðîñòðàíåíèå âîë-íû, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî âûñîòà âîëíîâîãî ôðîíòà ïî

79

ìåðå óäàëåíèÿ îò íà÷àëüíîé òî÷êè s íå óáûâàåò, à ðàñòåò11.Ïðîöåññ çàâåðøàåòñÿ, êîãäà ôðîíò äîñòèãàåò ÿ÷åéêè t. Ñîîò-âåòñòâóþùàÿ ðàçìåòêà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 4.5,a. Êîíôèãóðàöèÿ

Ðèñ. 4.5a

1234567

s©123 4

5

456567

67

78

810910t©

891011

2 1 2 3 4 5 6 7

8 9 8 9 10 11

á

1 2 3 4 5 6 7 812345678

1234567

s©123 4

5

456567

67

78

810910t©1166

¾¾¾¾6 666

¾¾?

?¾¾666

891011

2 1 2 3 4 5 6 7

8 9 8 9 10 11

ñàìîé òðàññû äëÿ ïðîâîäíèêà âûÿâëÿåòñÿ ïðè äâèæåíèè ïîÿ÷åéêàì ñåòêè, åñëè, íà÷èíàÿ ñ ÿ÷åéêè t, ïåðåõîäèòü ê ñîñåä-íåé ñ ìåíüøèì çíà÷åíèåì ïîìåòêè, ïîêà íå áóäåò äîñòèãíóòàÿ÷åéêà s. Ýòà îïåðàöèÿ îòîáðàæåíà íà ðèñ. 4.5,á, èç êîòîðîãîïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âàðèàíòû êðàò÷àéøèõ ïóòåé èç s â t :

s©�(1;2)�(1;3)�(1;4)�(2;4)�(3;4)� (3, 5)(4; 4)�(4;5)�(4;6)�(4;7)�(5;7)� t©;

s©�(3;2)�(4;2)�(5;2)�(5;3)�(5;4)�(4;4)�(4;5)�(4;6)�(4;7)�(5;7)� t©,ãäå â êðóãëûõ ñêîáêàõ óêàçàíû êîîðäèíàòû ÿ÷ååê â ñîîòâåò-ñòâèè ñ íóìåðàöèåé ñòðîê è ñòîëáöîâ ñåòêè íà ðèñ. 4.5,á. Ïðàê-òè÷åñêè âàðèàíò, èñïîëüçóþùèé êëåòêó (3;5), íå öåëåñîîáðà-çåí, òàê êàê ñîäåðæèò áîëüøå óãëîâ è, çíà÷èò, ìåíåå íàäåæåí.

rrrrrrrr

rrrrr

s

trr

rrrrrrrr

rrrrr

rrrrr

rrrrrrrr

r r r r r r r r

r r r r r r r rÐèñ. 4.6

e

e

 êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîé èëëþñòðà-öèè ê ðàññìîòðåííîìó ïðèìåðó íà ðèñ. 4.6èçîáðàæåí ãðàô, ñîîòâåòñòâóþùèé ïå÷àò-íîé ïëàòå: êàæäàÿ ñâîáîäíàÿ êëåòêà ïðåä-ñòàâëåíà âåðøèíîé, à ôàêò ñîñåäñòâà êëå-òîê (ïî ãîðèçîíòàëè è âåðòèêàëè) îòîáðà-æåí ðåáðîì.

11Ïîýòîìó àëãîðèòì íàçûâàþò òàêæå âîëíîâûì.

80

Ïóñòü Fr1 � ìíîæåñòâî êëåòîê (âåðøèí ãðàôà), îáðàçóþ-ùèõ ôðîíò âîëíû íà òåêóùåé èòåðàöèè; Fr2 � ôðîíò âîëíûíà ñëåäóþùåé èòåðàöèè. Òîãäà ôîðìàëèçîâàííîå îïèñàíèå àë-ãîðèòìà èìååò âèä:begin { � Â Î Ë Í Î Â Î É À Ë Ã Î Ð È Ò Ì � }

for v∈V do l(v):=∞ ; {Ïîìåòèòü âñå âåðøèíû êàê ñâîáîäíûå}l(s) := 0 ; Fr1 := adj s ; {Ñôîðìèðîâàòü íà÷àëüíûé ôðîíò è}for v∈Fr1 do l(v) := 1 ; {ïîìåòèòü åãî âåðøèíû åäèíèöàìè.}while l(t)=∞ do {Ïîêà ôðîíò âîëíû íå äîñòèã âåðøèíû t }

Fr2 := ∅;for v∈Fr1 do {äëÿ êàæäîé âåðøèíû òåêóùåãî ôðîíòà}

for w∈ adj v do {ïðîâåðèòü âñå ñîñåäíèå âåðøèíû}

if l(w)=∞ {è åñëè íàéäåòñÿ ñâîáîäíàÿ}then{

l(w) := l(v)+1; {âêëþ÷èòü åå âî âíîâü}Fr2 := Fr2+{w}; {ôîðìèðóåìûé ôðîíò.}

Fr1 := Fr2

end. { � Â Î Ë Í Î Â Î É À Ë Ã Î Ð È Ò Ì � }

4.4.2. Ãðàôû ñî âçâåøåííûìè äóãàìè (ðåáðàìè)

Êðàò÷àéøèå ïóòè è â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî íàõîäèòü ñ ïî-ìîùüþ âîëíîâîãî àëãîðèòìà. Ïóñòü r � íàèáîëüøèé îáùèéäåëèòåëü âåñîâ ðåáåð (äóã) ãðàôà G. Ïðåîáðàçóåì ãðàô, çà-ìåíèâ êàæäîå èç ðåáåð {vi, vj} ïðîñòîé öåïüþ, ñîñòîÿùåé èçci,j/r ðåáåð åäèíè÷íîé äëèíû. ßñíî, ÷òî â ïîëó÷åííîì ïðèýòîì ãðàôå G′ ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿòñÿ ìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøå-íèÿ, õàðàêòåðèçóþùèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó âåðøèíàìè ãðàôàG. Âìåñòå ñ òåì G′ � ýòî ãðàô ñ ðåáðàìè (äóãàìè) åäèíè÷-íîé äëèíû, äëÿ êîòîðîãî çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïî îïèñàííîé âû-øå ñõåìå. Î÷åâèäíûé íåäîñòàòîê òàêîãî ïîäõîäà � âûñîêàÿòðóäîåìêîñòü èç-çà áîëüøîé ðàçìåðíîñòè ãðàôà G′. Äåéñòâè-òåëüíî ÷èñëî âåðøèí (è ðåáåð) â ïîñëåäíåì áîëüøå, ÷åì âãðàôå G íà âåëè÷èíó, ðàâíóþ 1

r

∑{vi,vj}∈E

ci,j−m. Ïîýòîìó èñïîëü-

çóþò áîëåå ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ çàäà÷è. Äâà èçíèõ � àëãîðèòìû Äåéêñòðû è Ôëîéäà ðàññìîòðåíû íèæå.

81

Àëãîðèòì Äåéêñòðû. Ýòîò àëãîðèòì ïîçâîëÿåò íàéòèêðàò÷àéøèé ïóòü ìåæäó íåêîòîðîé âåðøèíîé s è îñòàëüíû-ìè âåðøèíàìè ïðè óñëîâèè, ÷òî â ãðàôå íåò äóã (ðåáåð) ñîòðèöàòåëüíûì âåñîì. Ðàññìîòðèì îñíîâíóþ èäåþ àëãîðèòìàíà ïðèìåðå ãðàôà G ìàòðèöåé âåñîâ12 C , ïðåäñòàâëåííûõ íàðèñ. 4.7, âçÿâ â êà÷åñòâå s âåðøèíó v5.

sv1 sv2 sv3

sv4 sv5

sv6

sv7

sv8

sv9

sv10

?

� -

?

?

AAAAU

6

����� ?

Ðèñ. 4.7

G

@@@@R

R

��

��

@@@@R�

����

� -�����- -A

AAAK

-

I

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10

C=

v1v2v3v4v5v6v7v8v9

v10

3 19 1110 7 19 22

135 3

5 14 20 29 232 8

48

7 69

Âûäåëèì âñå âåðøèíû vi∈Γ(v5) è ïðèïèøåì èì ÷èñëîâûåìåòêè l(vi), ðàâíûå âåñàì äóã (v5, vi), êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.8(âåñà ïðîñòàâëåíû îêîëî äóã, à ìåòêè � îêîëî âåðøèí è çà-

sv2

(5)min=sv3

(14)

sv4

(20) sv5

0 ∗sv6

(29)

sv8(23)

Ðèñ. 4.8

65

������

14

� 29 -

23������

20

êëþ÷åíû â êðóãëûå ñêîáêè). Î÷å-âèäíî, ÷òî êðàò÷àéøèé ïóòü äîv2 ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîé äó-ãè (v5, v2), à åãî äëèíà l(v2)=5.Çàôèêñèðóåì ýòó âåðøèíó è áó-äåì ñ÷èòàòü åå ìåòêó ïîñòîÿí-íîé. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ v2 çàäà-÷à ðåøåíà. Îòíîñèòåëüíî îñòàëü-íûõ ÷åòûðåõ âåðøèí ìîæíî ëèøüóòâåðæäàòü, ÷òî äëèíû êðàò÷àé-øèõ ïóòåé äî íèõ íå ïðåâîñ-õîäÿò çíà÷åíèé l(vi). Ïîýòîìóñîîòâåòñòâóþùèå ìåòêè ïîêà ñ÷è-

òàåì âðåìåííûìè.  äàëüíåéøåì, ÷òîáû ðàçëè÷àòü ïîñòîÿí-íûå è âðåìåííûå ìåòêè, ïîñòîÿííûå áóäåì çàêëþ÷àòü â ðàìêó.

12Ïóñòûå êëåòêè â ìàòðèöå îçíà÷àþò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèõ äóã â ãðà-ôå íåò. Ìîæíî ñ÷èòàòü òàêæå, ÷òî äóãè åñòü è êàæäàÿ èìååò âåñ ∞ .

82

Âûäåëèì âñå âåðøèíû vi∈Γ(v2)={v1, v3, v4, v6} è ðàññìîò-ðèì äóãè (v2, vi) (èçîáðàæåíû íà ðèñ. 4.9 òîíêèìè ëèíèÿìè).Ïîñêîëüêó l(v2)+c(v2, v3)<l(v3), "îáõîäíîé" ïóòü (v5, v2, v3)êîðî÷å, ÷åì "ïðÿìîé" (v2, v3) ,ïîýòîìó çà íîâîå çíà÷åíèåìåòêè l(v3) ïðèìåì ñóììól(v2)+c(v2, v3)=12. Àíàëîãè÷-íîé ïðîâåðêîé óñòàíàâëèâàåì,÷òî ïðÿìîé ïóòü (v5, v4) êî-ðî÷å, ÷åì îáõîäíîé (v5, v2, v4),ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèå ìåòêèl(v4) ñîõðàíÿåòñÿ ïðåæíèì.Äëÿ âåðøèíû v6, êàê è äëÿv3, ìåòêà êîððåêòèðóåòñÿ èïðèíèìàåò çíà÷åíèå 27. Êðîìåâåðøèí v3, v4 è v6, äîcòèæèìûõèç v5 íåïîñðåäñòâåííî, åñòü

sv1

(15)sv2

5 ∗

sv3

(12)min=

sv4

(20) sv5

0

sv6

(27)

sv8(23)

6

������

������

������

��� ---������

������

������

Ðèñ. 4.9

10 7

19 22

¾ -¡

¡¡

¡¡ª

@@

@@@R

åùå îäíà âåðøèíà v1, åäèíñòâåííûé ïóòü ê êîòîðîé ëåæèò÷åðåç ïîñòîÿííî ïîìå÷åííóþ v2. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå çíà÷åíèÿìåòêè äëÿ íåå åñòåñòâåííî âçÿòü ñóììó l(v2)+c(v2, v1). Áóäåì

sv1

(15)min=sv2

5sv3

12 ∗

sv4

(20) sv5

0

sv6

(25)

sv8(23)

��� ---�����

�����

��

���

@@@@@R

@@@@@R

@@@@@R

6

������

������

������

��� ---������

������

������

Ðèñ. 4.10

13

?

ãîâîðèòü, ÷òî òåïåðü ìåòêèl(v1), l(v3) è l(v6) ïîëó÷åíû èçâåðøèíû v2. Èç ïÿòè âðåìåí-íûõ ìåòîê ìèíèìàëüíîé ÿâëÿ-åòñÿ l(v3)=12, êîòîðàÿ è îïðå-äåëÿåò äëèíó êðàò÷àéøåãî ïó-òè äî v3. Òàê êàê ìåòêà ïî-ëó÷åíà èç v2, ïóòü èìååò âèä(v5, v2, v3). Òàêèì îáðàçîì, çà-äà÷à ðåøåíà è äëÿ v3, êîòî-ðàÿ ñòàíîâèòñÿ ïîñòîÿííî ïî-ìå÷åííîé. Ýòîò ôàêò îòðàæåííà ðèñ. 4.10. Êðîìå óæå ðàñ-ñìîòðåííûõ äóã, èçîáðàæåíà è

åäèíñòâåííàÿ äóãà, âûõîäÿùàÿ èç v3. Íàëè÷èå ýòîé äóãè òðå-áóåò ïåðåñ÷åòà ìåòêè l(v6). Òàê êàê l(v3)+c(v3, v6)<27, çà íî-âîå çíà÷åíèå l(v6) ïðèìåì ñóììó l(v3)+c(v3, v6)=25. Ìèíè-ìàëüíîé ñðåäè âðåìåííûõ ìåòîê ÿâëÿåòñÿ l(v1)=15. Ýòî çíà-

83

÷èò, ÷òî âûÿâëåí êðàò÷àéøèé ïóòü (v5, v2, v1), à ìåòêà âåðøè-íû v1 ñòàíîâèòñÿ ïîñòîÿííîé. Ïîñëåäóþùèå äåéñòâèÿ âûïîë-íÿþòñÿ àíàëîãè÷íî. Äëÿ v1, êàê ïîñëåäíåé ïîñòîÿííî ïîìå-÷åííîé, íàõîäèì ìíîæåñòâî âåðøèí Γ(v1)={v4, v5, v7} è àíàëè-

sv1

15 ∗

sv2

5sv3

12

sv4

(18)min= sv5

0

sv6

(25)

sv7

(25)sv8 (23)

???

��� ---���

��

��

���

��

���

@@@@@R

@@@@@R

@@@@@R

6

������

������

������

��� ---������

������

������

Ðèñ. 4.11

319

11

@@

@@@R?

R

?

çèðóåì èõ ìåòêè, ïðèíèìàÿ âîâíèìàíèå äëèíû äóã, ñâÿçûâà-þùèõ v1 ñ ýòèìè âåðøèíàìè.Òàê êàê l(v1)+c(v1, v4)<l(v4),ìåòêà âåðøèíû v4 êîððåêòè-ðóåòñÿ, ñòàíîâÿñü ðàâíîé 18.Ó âåðøèíû v5 ìåòêà ïîñòî-ÿííàÿ è ïîýòîìó íå ìåíÿ-åòñÿ. Íàêîíåö, v7, äî ýòîãîíå ðàññìàòðèâàâøàÿñÿ, ïîëó-÷àåò íà÷àëüíóþ ìåòêó, ðàâíóþl(v1)+c(v1, v7)=25. Ãðàô, îòðà-æàþùèé ñèòóàöèþ, ïðåäñòàâ-ëåí íà ðèñ. 4.11. Çäåñü ìèíè-

ìàëüíîé âðåìåííîé ìåòêîé îêàçûâàåòñÿ d(v4)=18. Òåïåðüâåðøèíà v4 ñòàíîâèòñÿ ïîñòîÿííî ïîìå÷åííîé. Òàê êàê ñâîþìåòêó îíà ïîëó÷èëà èç v1, êðàò÷àéøèé ïóòü ê íåé ñîñòîèòèç êðàò÷àéøåãî ïóòè äî v1 è äóãè (v1, v4) è âûãëÿäèò êàê(v5, v2, v1, v4), à åãî äëèíà ðàâíà 18.

Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ïðîäîëæàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà êî-íå÷íàÿ âåðøèíà èñêîìîãî êðàò÷àéøåãî ïóòè íå ñòàíåò ïîñòî-ÿííî ïîìå÷åííîé. Åñëè æå òðåáóåòñÿ íàéòè êðàò÷àéøèå ïóòèäî âñåõ âåðøèí, èòåðàöèè âûïîëíÿþòñÿ, ïîêà âñå âåðøèíû íåïîëó÷àò ïîñòîÿííûå ìåòêè.

Îáðàáîòêó äàííûõ â ñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìîì öåëåñîîá-ðàçíî îôîðìëÿòü â âèäå òàáëèöû (ñì. òàáë. 4.2), ñòðîêè êîòî-ðîé ñîîòâåòñòâóþò èòåðàöèÿì, à ñòîëáöû � âåðøèíàì ãðàôàè îòðàæàþò ïðîöåññ èçìåíåíèÿ èõ âðåìåííûõ ìåòîê âïëîòüäî ìîìåíòà, ïîêà âðåìåííàÿ ìåòêà íå ñòàíåò ïîñòîÿííîé. Äâàäîïîëíèòåëüíûõ ñòîëáöà òàáëèöû p è l(p) íóæíû, ÷òîáû çà-ôèêñèðîâàòü âåðøèíó, êîòîðàÿ ñòàíîâèòñÿ ïîñòîÿííî ïîìå-÷åííîé íà î÷åðåäíîé èòåðàöèè, è äëèíó êðàò÷àéøåãî ïóòè äîýòîé âåðøèíû.

84

 òàáë. 4.2 ñîäåðæàòñÿ ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ðàçîáðàí-íîãî âûøå ïðèìåðà. Ïîêàæåì, êàê îíà çàïîëíÿåòñÿ.

Òàáëèöà 4.2Èòåðàöèè

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 p l(p)

1 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ v5 02 ∞ 5 14 20 29 ∞ 23 ∞ ∞ v2 53 15 12 20 27 ∞ 23 ∞ ∞ v3 124 15 20 25 ∞ 23 ∞ ∞ v1 155 18 25 25 23 ∞ ∞ v4 186 25 23 21 ∞ ∞ v8 217 25 23 29 ∞ v7 238 25 29 ∞ v6 259 27 33 v9 2710 33 v10 33

pred v2 v5 v2 v1 v5 v3 v4 v4 v6 v6

Íà ïåðâîé èòåðàöèè ïîëàãàåì âðåìåííûå ìåòêè äëÿ âñåõâåðøèí, êðîìå íà÷àëüíîé, ðàâíûìè ∞, à äëÿ íà÷àëüíîé � 0.Ïîñëåäíåé ïîñòîÿííî ïîìå÷åííîé ñ÷èòàåì âåðøèíó v5, à ååìåòêó ðàâíîé 0.

Íà âòîðîé èòåðàöèè, èñïîëüçóÿ ìàòðèöó C, íàõîäèì âñåâåðøèíû ìíîæåñòâà Γ(v5) è ïåðåñ÷èòûâàåì èõ âðåìåííûå ìåò-êè ïî ôîðìóëå l(vi)= min{l(vi), l(p)+c(p, vi)}. Ñðåäè âðåìåí-íûõ ìåòîê èùåì ìèíèìàëüíóþ. Ýòî ìåòêà âåðøèíû v2, òå-ïåðü åå ñ÷èòàåì ïîñòîÿííî ïîìå÷åííîé.

Íà òðåòüåé èòåðàöèè íàõîäèì âåðøèíû ìíîæåñòâà Γ(v2)è ïåðåñ÷èòûâàåì èõ âðåìåííûå ìåòêè. Ñðåäè âñåõ âðåìåííûõâíîâü èùåì ìèíèìàëüíóþ ìåòêó. Íà ýòîé èòåðàöèè ïîñòîÿííîïîìå÷åííîé ñòàíîâèòñÿ âåðøèíà v3, è ò. ä.

Ïðîöåññ çàêàí÷èâàåòñÿ íà äåñÿòîé èòåðàöèè, êîãäà ïîñòî-ÿííóþ ìåòêó ïîëó÷àåò v10. Ðåçóëüòàòû � äëèíû êðàò÷àéøèõïóòåé � ñîäåðæàòñÿ â äâóõ ïîñëåäíèõ ñòîëáöàõ òàáëèöû.

×òîáû íàõîäèòü ñàìè ïóòè, ñôîðìèðóåì åùå îäíó ñòðî÷-êó òàáëèöû � pred, â êîòîðîé äëÿ êàæäîé âåðøèíû ãðàôàóêàçàíà åå ïðåäøåñòâåííèöà íà êðàò÷àéøåì ïóòè. Ñ ýòîé öå-ëüþ â êàæäîì ñòîëáöå îòûñêèâàåì ñàìóþ íèæíþþ ñòðîêó ñïðåäïîñëåäíèì çíà÷åíèåì ìåòêè. Íàïðèìåð, â ïåðâîì ñòîëá-

85

öå ýòî âòîðàÿ ñòðîêà, â âîñüìîì � ïÿòàÿ. Èñêîìàÿ âåðøèíà-ïðåäøåñòâåííèöà ñîäåðæèòñÿ â ñòîëáöå p íàéäåííîé ñòðî-êè. Äëÿ v1 ýòî âåðøèíà v2, à äëÿ v8 � âåðøèíà v4. Òå-ïåðü äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñàìîãî ïóòè äîñòàòî÷íî çàïèñàòü öå-ïî÷êó âåðøèí-ïðåäøåñòâåííèö, íà÷èíàÿ ñ êîíå÷íîé âåðøèíû.Òàê, äëÿ v10 èìååì: pred(v10)=v6, pred(v6)=v3, pred(v3)=v2

è pred(v2)=v5. Ýòî çíà÷èò, ÷òî êðàò÷àéøèé ïóòü ìåæäó v5 èv10 èìååò âèä (v5, v2, v3, v6, v10).

Ôîðìàëèçîâàííàÿ çàïèñü àëãîðèòìà Äåéêñòðû, â êîòîðîéèñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ:

p � ïîñëåäíÿÿ ïîñòîÿííî ïîìå÷åííàÿ âåðøèíà;l � ìàññèâ ÷èñëîâûõ ìåòîê âåðøèí (äëèí ïóòåé);pred � ìàññèâ ïðåäøåñòâóþùèõ âåðøèí 13;post � ìàññèâ ïðèçíàêà ïîñòîÿíîé ìåòêè âåðøèíû;v∗ � âåðøèíà ñ ìèíèìàëüíîé âðåìåííîé ìåòêîé;

ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ñëåäóþùåì âèäå:begin { � À Ë Ã Î Ð È Ò Ì Ä Å É Ê Ñ Ò Ð Û � }

p := s { s � ïîñëåäíÿÿ ïîñòîÿííî ïîìå÷åííàÿ âåðøèíà }for v∈V do { Èíèöèàëèçèðîâàòü : }{

l(v) := ∞ { ìàññèâ ÷èñëîâûõ ìåòîê âåðøèí, }pred(v) := v { ìàññèâ ïðåäøåñòâóþùèõ âåðøèí, }post(v) := 0 { ìàññèâ ïðèçíàêà ïîñòîÿííîé ìåòêè. }

l(p) := 0post(p) := 1whle p 6=t do { Ïîêà t íå ñòàíåò ïîñòîÿííî ïîìå÷åííîé, }

for v∈Γ(p) do { äëÿ âñåõ âåðøèí ìíîæåñòâà Γ(p), }if l(p)+cpv < l(v) {ìåòêè êîòîðûõ > l(p)+cpv, }then { âûïîëíèòü êîððåêöèþ }{

l(v) := l(p)+cpv { ñàìîé ìåòêè }pred(v) := p { è ïðåäøåñòâóþùåé âåðøèíû }

Íàéòè v∗ { Íàéòè ìèíèìàëüíóþ âðåìåííóþ ìåòêó }p := v∗ { è äàëåå ñ÷èòàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ }post(p) := 1 { âåðøèíó ïîñòîÿííî ïîìå÷åííîé }

output (l,pred ) { Âûâîä ìàññèâîâ l è pred }end. { � À Ë Ã Î Ð È Ò Ì Ä Å É Ê Ñ Ò Ð Û � }

13Ôîðìèðóåòñÿ ïàðàëëåëüíî ñ ìàññèâîì d. Çíà÷åíèå pred(vi) êîððåê-òèðóåòñÿ ïðè êàæäîì èçìåíåíèè l(vi), ïðèíèìàÿ çíà÷åíèå, ðàâíîå p .

86

Àëãîðèòì Ôëîéäà. Ýòîò àëãîðèòì îáåñïå÷èâàåò ðåøå-íèå çàäà÷è îòûñêàíèÿ êðàò÷àéøèõ ïóòåé äëÿ âñåõ C2

n íåóïî-ðÿäî÷åíûõ ïàð âåðøèí ïðîñòîãî ãðàôà è âñåõ 2C2

n óïîðÿäî÷å-íûõ ïàð âåðøèí îðãðàôà äàæå ïðè íàëè÷èè äóã (ðåáåð) ñ îò-ðèöàòåëüíûì âåñîì. Åäèíñòâåííûì óñëîâèåì ÿâëÿåòñÿ îòñóò-ñòâèå â ãðàôå êîíòóðîâ (öèêëîâ) ñ ñóììàðíûì îòðèöàòåëüíûìâåñîì. Áîëåå òîãî, àëãîðèòì ïîçâîëÿåò âûÿâèòü ýòè êîíòóðû.

Ïðîíóìåðóåì âåðøèíû ãðàôà ÷èñëàìè 1, 2,...,n è îáîçíà-÷èì ÷åðåç d

(m)ij äëèíó êðàò÷àéøåãî ïóòè èç âåðøèíû i â

âåðøèíó j, êîòîðûé ìîæåò ñîäåðæàòü â êà÷åñòâå ïðîìåæó-òî÷íûõ ëþáîå ïîäìíîæåñòâî òîëüêî ïåðâûõ m âåðøèí. Åñëèìåæäó i è j íåò ïóòè òàêîãî òèïà, ïîëàãàåì d

(m)ij =∞. Åñòå-

ñòâåííî òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè îòñóòñòâèè â ãðàôå êîíòóðîâîòðèöàòåëüíîãî âåñà âñå d

(m)ii =0 ïðè ëþáîì m. Òåïåðü ýëå-

ìåíò cij ìàòðèöû C ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äëèíó êðàò-÷àéøåãî ïóòè èç i â j áåç ïðîìåæóòî÷íûõ âåðøèí, è îáîçíà-÷àòü d

(0)ij , à äëèíó êðàò÷àéøåãî ïóòè ìåæäó i è j (áåç îãðà-

íè÷åíèé íà ïðîìåæóòî÷íûå âåðøèíû) îáîçíà÷àòü êàê d(n)ij .

Ïóñòü D(m) � êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Ïðè m=0îíà ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé C è çàïèñûâàåòñÿ êàê D(0). Íà-÷èíàÿ ñ D(0), ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Ôëîéäà ôîðìèðóåòñÿðÿä ìàòðèö D(1),D(2),...,D(n), ïîñëåäíÿÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿèñêîìîé ìàòðèöåé äëèí êðàò÷àéøèõ ïóòåé ìåæäó âñåìè ïà-ðàìè âåðøèí. Àëãîðèòì Ôëîéäà, êàê è àëãîðèòì Óîðøîëëà,"ðàáîòàåò íà ìåñòå", ò. å. íå òðåáóåòñÿ õðàíèòü âñå ìàòðèöûD(m). Êàæäàÿ ïîñëåäóþùàÿ ìàòðèöà â ýòîì ðÿäó ïîëó÷àåòñÿèç ïðåäûäóùåé ñ ïîìîùüþ ïðîñòîãî ñîîòíîøåíèÿ:

d(m)ij = min{d(m−1)

ij , d(m−1)im +d

(m−1)mj },

â îñíîâå êîòîðîãî ëåæèò ñëåäóþùåå, ïðàêòè÷åñêè î÷åâèäíîåïîëîæåíèå. Äëèíà êðàò÷àéøåãî ïóòè èç âåðøèíû i â âåðøèíój, èñïîëüçóþùåãî â êà÷åñòâå ïðîìåæóòî÷íûõ òîëüêî ïåðâûåm âåðøèí, íå ìîæåò áûòü áîëüøå äëèíû êðàò÷àéøåãî ïóòè èçi â j, èñïîëüçóþùåãî â êà÷åñòâå ïðîìåæóòî÷íûõ òîëüêî ïåð-âûå m−1 âåðøèí, è íå áîëåå ñóììû äëèí äâóõ êðàò÷àéøèõ

87

ïóòåé èç i â m è èç m â j, â êîòîðûõ ïðîìåæóòî÷íûìè ìî-ãóò áûòü ëèøü ïåðâûå m−1 âåðøèí. Ðàñ÷åòíîå ñîîòíîøåíèåñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ, êîãäà m ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíîé èëèêîíå÷íîé âåðøèíîé ðàññìàòðèâàåìîãî ïóòè. Òîãäà èìååì:

d(m)im = d

(m−1)im , d

(m)mj = d

(m−1)mj .

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî m -ÿ ñòðîêà è m -é ñòîëáåö íå ìåíÿþòñÿ ïðèïåðåõîäå îò ìàòðèöû D(m−1) ê ìàòðèöå D(m) è ïîýòîìó ìîãóòíå ïåðåñ÷èòûâàòüñÿ. Åñëè çàðàíèå èçâåñòíî, ÷òî â ãðàôå íåòêîíòóðîâ îòðèöàòåëüíîãî âåñà, òî è äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòûìàòðèö òàêæå ìîæíî íå ïåðåñ÷èòûâàòü. Îòìå÷åííûå ôàêòûïîçâîëÿþò óòâåðæäàòü, ÷òî òðóäîåìêîñòü âû÷èñëåíèÿ ëþáîéèç ìàòðèö D(m) ïðîïîðöèîíàëüíà n2−3n+2. Ó÷èòûâàÿ, ÷òîäëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòà òðåáóåòñÿ n èòåðàöèé, â öåëîì òðó-äîåìêîñòü àëãîðèòìà ìîæíî îöåíèòü êàê O(n3).

 êà÷åñòâå ïðèìåðà íàéäåì ìàòðèöó äëèí êðàò÷àéøèõ ïó-òåé ìåæäó âñåìè ïàðàìè âåðøèí äëÿ ãðàôà G, èçîáðàæåííî-ãî íà ðèñ. 4.12 è èìåþùåãî ìàòðèöó âåñîâ C. Ïîëàãàÿ D(0)=C,

sv1 sv2

sv3

sv4

-@@@@R?��

6

�

�

Ðèñ. 4.12

G D(0)=C=

0 5 10 ∞∞ 0 3 13∞ ∞ 0 87 15 20 0

, D(1)=

0 5 10 ∞∞ 0 3 13∞ ∞ 0 87 12 17 0

,

D(2)=

0 5 8 18∞ 0 3 13∞ ∞ 0 87 12 15 0

, D(3)=

0 5 8 16∞ 0 3 11∞ ∞ 0 87 12 15 0

, D(4)=

0 5 8 1618 0 3 1115 20 0 87 12 15 0

.

ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Ôëîéäà ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì ìàò-ðèöû: D(1), D(2), D(3), D(4), ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 4.12, ïðè-÷åì D(4) è åñòü èñêîìàÿ ìàòðèöà äëèí êðàò÷àéøèõ ïóòåé.

 êàæäîé ìàòðèöå âûäåëåíû m -é ñòîëáåö è m -ÿ ñòðî-êà, íå ïîäëåæàùèå ïåðåñ÷åòó íà ñîîòâåòñòâóþùåé èòåðàöèè.

88

Ïîñêîëüêó âåñà âñåõ äóã íå îòðèöàòåëüíû, äèàãîíàëüíûå ýëå-ìåíòû ìàòðèö ïîñòîÿííû è ðàâíû íóëþ. Êðîìå òîãî,

åñëè d(m−1)im = ∞ , òî d

(m)ij = d

(m−1)ij äëÿ âñåõ j è

åñëè d(m−1)mj = ∞ , òî d

(m)ij = d

(m−1)ij äëÿ âñåõ i .

Èíûìè ñëîâàìè, åñëè i ýëåìåíò âûäåëåííîãî ñòîëáöà ðà-âåí ∞, òî âñå ýëåìåíòû i ñòðîêè íà òåêóùåé èòåðàöèè íå èç-ìåíÿþòñÿ. Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ âûäå-ëåííîé ñòðîêè. Ó÷åò ïðèâåäåííûõ ñîîòíîøåíèé ïîçâîëÿåò ñî-êðàòèòü îáúåì âû÷èñëåíèé íà íà÷àëüíûõ èòåðàöèÿõ, îñîáåííîäëÿ ðàçðåæåííûõ ãðàôîâ. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðå.Âòîðîé è òðåòèé ýëåìåíòû ïåðâîãî ñòîëáöà, à òàêæå ÷åòâåð-òûé ýëåìåíò ïåðâîé ñòðîêè ìàòðèöû D(0) ðàâíû ∞ .Ïîýòîìó, êðîìå ïåðâîãî ñòîëáöà è ïåðâîé ñòðîêè, ïðè ïåðå-õîäå ê D(1) ñîõðàíÿþò ñâîå çíà÷åíèå ýëåìåíòû âòîðîé è òðå-òüåé ñòðîê, à òàêæå ýëåìåíòû ÷åòâåðòîãî ñòîëáöà. Ïåðåñ÷åòóïîäëåæàò14 ëèøü d

(0)4,2=15 è d

(0)4,3=20. ×òîáû ïîëó÷èòü, íàïðè-

ìåð, d(1)4,2, äîñòàòî÷íî ñëîæèòü d

(0)1,2=5 è d

(0)1,4=7, êîòîðûå íàõî-

äÿòñÿ â ïåðâîé ñòðîêå è ïåðâîì ñòîëáöå íà ïîçèöèÿõ, ñîîòâåò-ñòâóþùèõ ïåðåñ÷èòûâàåìîìó ýëåìåíòó, ñðàâíèòü íàéäåííóþñóììó ñ d

(0)4,2 è âûáðàòü íàèìåíüøåå èç äâóõ ÷èñåë. Ïîëó÷àåì

d(1)4,2=12. Òî÷íî òàê æå ðåøàåòñÿ çàäà÷à è äëÿ d

(1)4,3=17. Íåòðóä-

íî óáåäèòüñÿ, ÷òî íà âòîðîé èòåðàöèè ñëåäóåò âû÷èñëÿòü òîëü-êî d

(2)1,3, d

(2)1,4 è d

(2)4,3, à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöà D(2)

"íàñëåäóåò" îò D(1). Äåéñòâèòåëüíî, âòîðàÿ ñòðîêà è âòîðîéñòîëáåö íå èçìåíÿþòñÿ ïîòîìó, ÷òî m=2, à ïåðâûé ñòîëáåö èòðåòüÿ ñòðîêà � â ñèëó ïðèâåäåííûõ âûøå ñîîòíîøåíèé. Âñåòðè íàçâàííûõ ýëåìåíòà ïîëó÷àþò íîâûå çíà÷åíèÿ, ðàâ-íûå ñîîòâåòñòâåííî 8, 18 è 15. Íà òðåòüåé èòåðàöèè ñ÷èòàþòñÿd

(3)1,4 è d

(3)2,4, à íà ÷åòâåðòîé � d

(4)1,2 , d

(4)1,3 , d

(4)2,3 , d

(4)2,1 , d

(4)3,1 , d

(4)3,2, ïðè-

÷åì èç ýòèõ øåñòè òðè ïåðâûå ñîõðàíÿþò ïðåæíèå çíà÷åíèÿ.Åñëè ãðàô èìååò äóãè ñ îòðèöàòåëüíûì âåñîì, öåëåñîîá-

ðàçíî íàðÿäó ñ îñòàëüíûìè ïåðåñ÷èòûâàòü è äèàãîíàëüíûå14Ýëåìåíòû, ïîäëåæàùèå ïåðåñ÷åòó, â ìàòðèöàõ ïîä÷åðêíóòû.

89

ýëåìåíòû ìàòðèö D(m). Ïîÿâëåíèå íà íåêîòîðîé èòåðàöèèîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ìàòðèöû ïî-êàçûâàåò, ÷òî â ãðàôå åñòü êîíòóð (öèêë) ñ îòðèöàòåëüíûìâåñîì.  ýòîì ñëó÷àå äàëüíåéøèå âû÷èñëåíèÿ òåðÿþò ñìûñë,òàê êàê â ïîäîáíûõ ñèòóàöèÿõ àëãîðèòì "íå ðàáîòàåò".

Êðîìå äëèíû, äëÿ êàæäîãî êðàò÷àéøåãî ïóòè íåîáõîäè-ìî îïðåäåëèòü è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âõîäÿùèõ â íåãî âåð-øèí. Ñ ýòîé öåëüþ îäíîâðåìåííî ñ ìàòðèöåé D(m) ôîðìèðó-åòñÿ ìàòðèöà "âåðøèí-ïðåäøåñòâåííèö" P(m). Ýëåìåíò p

(m)i,j

ýòîé ìàòðöû óêàçûâàåò ïðåäïîñëåäíþþ âåðøèíó êðàò÷àéøå-ãî (i, j) -ïóòè, êîòîðûé ìîæåò ñîäåðæàòü â êà÷åñòâå ïðîìåæó-òî÷íûõ òîëüêî ïåðâûå m âåðøèí ãðàôà. Âíà÷àëå äëÿ âñåõ i èj ïîëàãàåì p

(0)i,j =i, åñëè cij 6=∞, è p

(0)i,j =0 � â ïðîòèâíîì ñëó-

÷àå. Äàëåå íà êàæäîé èòåðàöèè ìàòðèöà P(m) ïåðåñ÷èòûâà-åòñÿ îäíîâðåìåííî ñ ìàòðèöåé D(m) ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ

p(m)i,j =

{p

(m−1)m,j , åñëè d

(m−1)i,j > d

(m−1)i,m + d

(m−1)m,j ,

p(m−1)i,j � â ïðîòèâíîì ñëó÷àå .

Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíò ìàòðèöû P(m) êîððåêòèðóåòñÿ ïðèêàæäîì èçìåíåíèè ñîîòâåòñòâóþùåãî ýëåìåíòà ìàòðèöû D(m).Äëÿ íàøåãî ïðèìåðà èìååì ñëåäóþùèé ðÿä ìàòðèö:

P(0) P(1) P(2) P(3) P(4)

0 1 1 00 0 2 20 0 3 34 4 4 0

,

0 1 1 00 0 2 20 0 0 34 1 1 0

,

0 1 2 20 0 2 20 0 0 34 1 2 0

,

0 1 2 30 0 2 30 0 0 34 1 2 0

,

0 1 2 34 0 2 34 1 0 34 1 2 0

,

ãäå ïîä÷åðêíóòû ýëåìåíòû, êîòîðûå íà î÷åðåäíîé èòåðàöèèïîëó÷àþò íîâûå çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, êàê áûëî ïîêàçàíî ðà-íåå, íà ïåðâîé èòåðàöèè â ìàòðèöå D èçìåíèëèñü ýëåìåí-òû d4,2 è d4,3. Ïîýòîìó ñîãëàñíî ñ ïðèâåäåííîìó âûøå ñî-îòíîøåíèþ ýëåìåíòû p4,2 è p4,3 ìàòðèöû P ïîëó÷àþò íî-âûå çíà÷åíèÿ, ðàâíûå p1,2 è p1,3 ñîîòâåòñòâåííî. È âîîáùå,íà m-é èòåðàöèè èçìåíÿþùèéñÿ ýëåìåíò ìàòðèöû ïîëó÷àåòçíà÷åíèå, ðàâíîå ýëåìåíòó, íàõîäÿùåìóñÿ â òîì æå ñòîëáöå íà

90

m -é ïîçèöèè. Ïîñëåäíÿÿ èç ïîëó÷åííûõ ìàòðèö P(4) ïîçâîëÿ-åò ñôîðìèðîâàòü êðàò÷àéøèé ïóòü äëÿ ëþáîé ïàðû âåðøèí.Ïóñòü, íàïðèìåð, ýòî 1 è 4, ïðè÷åì 1 � íà÷àëüíàÿ, à 4 � êîíå÷-íàÿ âåðøèíû. Ýëåìåíò p

(4)1,4=3, ò. å. ïðåäïîñëåäíåé âåðøèíîé

ïóòè ÿâëÿåòñÿ âåðøèíà 3.  ñâîþ î÷åðåäü, åé ïðåäøåñòâóåòâåðøèíà 2, òàê êàê p

(4)1,3=2. Íàêîíåö, p

(4)1,2=1. Ñëåäîâàòåëüíî,

(1,2,3,4) � êðàò÷àéøèé (1;4)-ïóòü. Êàê ñëåäóåò èç ìàòðèöûD(4), äëèíà ýòîãî ïóòè ðàâíà d

(4)1,4=16. Ïóñòü òåïåðü 4 � íà-

÷àëüíàÿ âåðøèíà ïóòè, à 1 � êîíå÷íàÿ. Òàê êàê p(4)4,1=4, ò. å.

ïðåäïîñëåäíÿÿ âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ íà÷àëüíîé, êðàò÷àéøèé(4;1)-ïóòü ñîñòîèò èç äóãè, ñâÿçûâàþùåé 4 è 1.

Ñ èñïîëüçîâàíèåì ââåäåííûõ ðàíåå îáîçíà÷åíèé ôîðìàëè-çîâàííîå îïèñàíèå àëãîðèòìà Ôëîéäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê:begin { � À Ë Ã Î Ð È Ò Ì Ô Ë Î É Ä À � }for i := 1 to n do { Ôîðìèðîâàíèå }

for j := 1 to n do { íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé }{di,j := ci,j ; { ýëåìåíòîâ }if cij=∞ then pij=0 else pij=i; { ìàòðèö }

dii := 0; { D è P }for m := 1 to n do { Çàäàíèå ÷èñëà ïðîìåæóòî÷íûõ âåðøèí }

for i := 1 to n do { Ïåðåáîð ñòðîê ìàòðèöû D }

if (i 6=m)&(di,m 6=∞)then

for j := 1 to n do{Ïåðåáîð ñòîëáöîâ ìàòðèöû D}

if (j 6=m)&(dm,j 6=∞)then

if dij > dim+dmj { Åñëè ïóòü ÷åðåç }then{ âåðøèíó m êîðî÷å, êîððåêòèðîâàòü }{

dij := dim+dmj ; { äëèíó ïóòè è }pij := pmj ; { ïðåäïîñëåäíþþ âåðøèíó. }

for i := 1 to n do{if dii < 0 then Ïðåêðàòèòü ïðîöåññ;{ Â ãðàôå îáíàðóæåí öèêë îòðèöàòåëüíîãî âåñà. }

output (D,P ) { Âûâîä ìàòðèö D è P }end. { � À Ë Ã Î Ð È Ò Ì Ô Ë Î É Ä À � }

91

4.4.3. Àöèêëè÷åñêèå îðãðàôû

Êðàò÷àéøèé ïóòü. Çàäà÷à îòûñêàíèÿ êðàò÷àéøåãî ïó-òè â àöèêëè÷åñêîì îðãðàôå âïîëíå ìîæåò áûòü ðåøåíà ñ ïî-ìîùüþ àëãîðèòìà Äåéêñòðû. Îäíàêî ñóùåñòâóåò áîëåå ýêîíî-ìè÷íûé ñïîñîá, èñïîëüçóþùèé ñïåöèôèêó òàêèõ ãðàôîâ.

Ïóñòü â àöèêëè÷åñêîì îðãðàôå ñ ìàòðèöåé âåñîâ [ci,j] âåð-øèíû ïðîíóìåðîâàíû òàê, ÷òî äëÿ ëþáîé äóãè (vi, vj) âûïîë-íÿåòñÿ îòíîøåíèå i<j, ò. å. äóãà âñåãäà íàïðàâëåíà îò âåð-øèíû ñ ìåíüøèì èíäåêñîì (íîìåðîì) ê âåðøèíå ñ áîëüøèìèíäåêñîì (íîìåðîì). Ïîäîáíàÿ íóìåðàöèÿ âñåãäà ìîæåò áûòüâûïîëíåíà íà îñíîâå ïîðÿäêîâîé ôóíêöèè ãðàôà. Íå íàðóøàÿîáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èìååòñÿ òîëüêî îäíà âåðøèíà sñ íóëåâîé ïîëóñòåïåíüþ çàõîäà è îäíà âåðøèíà t ñ íóëåâîéïîëóñòåïåíüþ èñõîäà, íàçûâàåìûå ñîîòâåòñòâåííî èñòîêîì èñòîêîì. Òðåáóåòñÿ íàéòè êðàò÷àéøèé ïóòü èç s â t. Êàê è âñëó÷àå àëãîðèòìà Äåéêñòðû, ôàêòè÷åñêè îòûñêèâàþòñÿ êðàò-÷àéøèå ïóòè äî âñåõ âåðøèí ãðàôà.

Äëèíà êðàò÷àéøåãî ïóòè l(vj) äî âåðøèíû vj ëåãêî íàõî-äèòñÿ, åñëè èçâåñòíû äëèíû êðàò÷àéøèõ ïóòåé äî âñåõ âåðøèívi∈Γ−(vj), ò. å. âåðøèí, ÿâëÿþùèõñÿ íà÷àëàìè äóã, âõîäÿùèõâ âåðøèíy vj. Î÷åâèäíî, ÷òî

l(vj) = minvi∈Γ−(vj)

[l(vi)+ci,j] ,

ïðè÷åì |Γ−(vj)|<j, òàê êàê ïðè èñïîëüçóåìîé ñèñòåìå íóìå-ðàöèè âåðøèí ÷èñëî âõîäÿùèõ äóã äëÿ ëþáîé âåðøèíû âñåãäàìåíüøå, ÷åì åå èíäåêñ (íîìåð).

Ïîëàãàÿ l(s)=l(v1)=0, íà ïåðâîé èòåðàöèè ïîëó÷àåì, ÷òîl(v2)=l(v1)+c1,2=c1,2, òàê êàê âåðøèíà v2 ìîæåò èìåòü ëèøüîäíó âõîäÿùóþ äóãó. Íà âòîðîé èòåðàöèè ïîëó÷àåì l(v3) ==minvi∈Γ−(v3)

[l(vi)+ci,3] (íå áîëåå äâóõ âõîäÿùèõ äóã). Çàòåì l(v4)=

=minvi∈Γ−(v4)

[l(vi)+ci,4] (íå áîëåå òðåõ âõîäÿùèõ äóã) è ò. ä., ïîêàíå áóäåò ïîëó÷åíà äëèíà êðàò÷àéøåãî ïóòè äëÿ s .

Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè äëèíó êðàò-÷àéøåãî ïóòè ìåæäó âåðøèíàìè v1 (èñòîê) è v13 (ñòîê) â

92

àöèêëè÷åñêîì ãðàôå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 4.13. Íåòðóäíîóáåäèòüñÿ, ÷òî íóìåðàöèÿ âåðøèí ãðàôà ÿâëÿåòñÿ "ïðàâèëü-íîé" â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå.

sv11 sv12 sv13

sv9 sv8 sv4 sv10

sv5 sv6 sv2 sv7

sv3

sv1

-19

12-

-14

@@@@I

15617

�13

@@@@I

21

-18

68

63

611

@@@@I

8614

�16

-9

630

6

30

���������

26

�����11

@@@@I

1967

�����5

� 10

Ðèñ. 4.13

Ïðîöåññ âû÷èñëåíèé ìîæíî âûïîëíèòü íåïîñðåäñòâåííîïî ðèñóíêó, ïðèíÿâ l(v1)=0, è äàëåå ïåðåõîäÿ îò âåðøèíûê âåðøèíå. Ïðè ýòîì ñîâñåì íå îáÿçàòåëüíî ñîáëþäàòü î÷å-ðåäíîñòü îáðàáîòêè âåðøèí ñòðîãî â ñîîòâåòñòâèè ñ èõ íóìå-ðàöèåé. Äëÿ äàííîãî ãðàôà âïîëíå äîïóñòèì, íàïðèìåð, è òà-êîé ïîðÿäîê: v1, v3, v5, v2, v7, v4, v10, v6, v8, v9, v11, v12, v13. Âàæ-íî òîëüêî, ÷òîáû ê ìîìåíòó îáðàáîòêè î÷åðåäíîé âåðøèíûâñå åå "ïðåäøåñòâåííèöû" áûëè îáðàáîòàíû. Òîãäà â ëþáîìñëó÷àå ðåçóëüòàò (çíà÷åíèÿ ïîìåòîê âåðøèí) áóäåò òàêèì, êàêïîêàçàíî íà ðèñ. 4.14,à, ïðè÷åì ïîìåòêà v13 ðàâíà 44.

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ òðàññû êðàò÷àéøåãî ïóòè ñëåäóåò âûïîë-íèòü ïðîöåäóðó "îáðàòíîãî õîäà". Ñïåðâà îòûñêèâàåòñÿ ïðåä-øåñòâåííèöà äëÿ v13, ëåæàùàÿ íà èñêîìîì êðàò÷àéøåì ïóòè.Ýòî îäíà èç òðåõ âåðøèí v10 , v11 , v12 , à èìåííî òà, äëÿ êîòî-ðîé âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå l(v13)−l(vi)=ci,13, ãäå vi∈{v10,v11, v12}. Òàêîé âåðøèíîé ÿâëÿåòñÿ v12. Äëÿ íåå òàêæå èùåò-ñÿ âåðøèíà-ïðåäøåñòâåííèöà, ëåæàùàÿ íà êðàò÷àéøåì ïóòè.Èç òðåõ âîçìîæíûõ v4 , v8 è v11 òàêîâîé îêàçûâàåòñÿ v8. Â

93

ñâîþ î÷åðåäü, ýòîé âåðøèíå ïðåäøåñòâóåò v2 , à åé � v1. Çà-ïèñûâàÿ íàéäåííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â îáðàòíîì ïîðÿäêå,ïîëó÷àåì ñîáñòâåííî ñàì êðàò÷àéøèé ïóòü (v1, v2, v8, v12, v13).Íà ðèñ. 4.14,à ñîñòàâëÿþùèå åãî äóãè èçîáðàæåíû æèðíûìèëèíèÿìè.

Ïðîöåññ îáðàòíîãî õîäà ìîæíî óïðîñòèòü, åñëè ó÷åñòü, ÷òîâåðøèíà v13 ïîëó÷èëà ñâîþ ïîìåòêó èç v12, êîòîðàÿ, â ñâîþî÷åðåäü, ïîëó÷èëà ïîìåòêó èç v8, è ò. ä. Ïîýòîìó íà ýòàïåïðÿìîãî õîäà öåëåñîîáðàçíî íàðÿäó ñ ïðèñâîåíèåì ïîìåòêèî÷åðåäíîé âåðøèíå äîïîëíèòåëüíî îòìå÷àòü è òó âåðøèíó, èçêîòîðîé ýòà ïîìåòêà ïîëó÷åíà. Òîãäà íà ýòàïå îáðàòíîãî õîäàîñòàåòñÿ òîëüêî ïðîéòè îò ñòîêà ê èñòîêó, äâèãàÿñü ëèøü ïîýòèì äîïîëíèòåëüíî îòìå÷åííûì âåðøèíàì.

Çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü è íå ïðèáåãàÿ ê èçîáðàæåíèþ ãðà-ôà. Òåõíèêà ïîëó÷åíèÿ ïîìåòîê âåðøèí íåïîñðåäñòâåííî ïîìàòðèöå âåñîâ C äàíà íà ðèñ. 4.14,á. Êàê è ðàíåå, âåðøè-íû äîëæíû áûòü ïðîíóìåðîâàíû òàê, ÷òîáû äëÿ ëþáîé äóãè(vi, vj) âûïîëíÿëîñü îòíîøåíèå i<j. Îòìåòèì, ÷òî ìàòðèöàâ ýòîì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ âåðõíåé òðåóãîëüíîé. Íåçàïîëíåí-íûå ïîçèöèè îçíà÷àþò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèõ äóã â ãðàôå íåò,èëè äóãè åñòü, íî èõ âåñ ðàâåí ∞. Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèéöåëåñîîáðàçíî ðàçìåùàòü íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, ò. å. ñ÷èòàòü,÷òî cii=l(vi). Íà ðèñ. 4.14,á ýòè ýëåìåíòû âûäåëåíû æèðíûìøðèôòîì è çàêëþ÷åíû â ðàìêó. Ñëåâà ïðèâåäåí ðàñ÷åò çíà-÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî äèàãîíàëüíîãî ýëåìåíòà. Íàïðèìåð,â äåâÿòîì ñòîëáöå ìàòðèöû åñòü òðè "íå ïóñòûõ" çíà÷åíèÿc3,9=26, c5,9=3 è c8,9=13. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñóùåñòâóþò òðè äó-ãè, âõîäÿùèå â v9, íà÷àëüíûå âåðøèíû êîòîðûõ èìåþò ïîìåò-êè 15 l(v3)=10, l(v5)=19 è l(v8)=13.  ýòîì ñëó÷àå ðàñ÷åòíîåñîîòíîøåíèå âûãëÿäèò òàê: min[26+10; 3+19; 13+13]=21, ò. å.ïîìåòêà v9 ðàâíà 21. Î÷åâèäíî, ÷òî âåðøèíîé-ïðåäøåñòâåí-íèöåé ÿâëÿåòñÿ v5, ïîýòîìó äîïîëíèòåëüíî ïîìå÷àåì çâåçäî÷-êîé ýëåìåíò c5,9. Ïîäîáíûì îáðàçîì îáðàáàòûâàåì âñå ñòîëá-öû ìàòðèöû, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî. Íà ýòàïå îáðàòíîãî õîäàïîðÿäîê ïðîñìîòðà ñòîëáöîâ ìåíÿåòñÿ íà îáðàòíûé. Îòûñ-êèâàåì ïîìå÷åííûé çâåçäî÷êîé ýëåìåíò ïîñëåäíåãî ñòîëáöà.

15Ñì. ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû c3,3 , c5,5 è c8,8 .

94

Ñòðîêà, â êîòîðîé îí íàõîäèòñÿ, îïðåäåëÿåò ïðåäïîñëåäíþþâåðøèíó êðàò÷àéøåãî ïóòè.  ñòîëáöå, ñîîòâåòñòâóþùåì ýòîéâåðøèíå, âíîâü èùåì ïîìå÷åííûé ýëåìåíò � ïîëó÷àåì òðåòüþ

s(37) s(30) s(44)

s(22) s(13) s(19) s(37)

s(19) s(7) s(5) s(14)

s(10)

s(0)

-19

12--

14 --

@@

@@I 15 61766

¾ 13 @@

@@I 21-18

68

63 611@

@@@I 8

@@

@@I

@@

@@I 614¾ 16 -9

630

6

30

¢¢¢¢¢¢¢¢

26

¡¡

¡¡µ11@

@@@I 19 67

¡¡

¡¡µ5

¡¡

¡¡µ

¡¡

¡¡µ

¾ 10

Ðèñ. 4.14

à

á

min[14+5]=min[19;11+10]=

min[7; 16+5]=min[9+5]=

min[8+5; 11+7]=min[26+10; 3+19; 13+13]=

min[18+19; 30+14]=min[30+10; 15+22]=

min[21+19; 17+13; 19+37]=min[8+37; 12+37; 14+30]=

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13

v1 0 5∗ 10∗ 19∗ 7∗

v2 5 14∗ 16 9∗ 8∗

v3 10 11 26 30v4 19 18∗ 21v5 19 3∗

v6 7 11v7 14 30v8 13 13 17∗

v9 22 15∗

v10 37 8v11 37 19 12v12 30 14∗

v13 44

(îò êîíöà) âåðøèíó êðàò÷àéøåãî ïóòè è ò. ä., ïîêà ïîìå÷åí-íûì íå îêàæåòñÿ ýëåìåíò â ïåðâîé ñòðîêå ìàòðèöû.

95

 ôîðìàëèçîâàííîé çàïèñè (ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàíåå ââå-äåííûõ îáîçíà÷åíèé) ðàññìîòðåííûé àëãîðèòì âûãëÿäèò òàê:begin { � Àëãîðèòì ïîèñêà êðàò÷àéøåãî � }

{ � ïóòè â àöèêëè÷åñêîì îðãðàôå � }l(v1) := 0;for j := 2 to n do

Íàéòè v∗i ∈Γ−(vj), äëÿ êîòîðîé l(v∗i )+ci,j ìèíèìàëüíî;l(vj) := l(v∗i )+c∗i,j ;pred(vj) := v∗i ;

output{l(vn)};v := vn;while v 6=v1 do{

v → ñòåê;v := pred(v);

output{v1, ñîäåðæèìîå ñòåêà};{ � Àëãîðèòì ïîèñêà êðàò÷àéøåãî � }

end. { � ïóòè â àöèêëè÷åñêîì îðãðàôå � }Î÷åâèäíî, ÷òî òðóäîåìêîñòü ïåðâîãî ýòàïà ðàâíà O(m),

ïîñêîëüêó íåîáõîäèìî ïðîñìîòðåòü âñå ðåáðà, à òðóäîåìêîñòüâòîðîãî � O(n), òàê êàê, â õóäøåì ñëó÷àå, êðàò÷àéøèé ïóòüìîæåò âêëþ÷àòü âñå âåðøèíû ãðàôà.

Êðèòè÷åñêèé ïóòü. Àöèêëè÷åñêèå îðãðàôû ÿâëÿþòñÿíàãëÿäíûì ñðåäñòâîì îòîáðàæåíèÿ âçàèìîñâÿçåé è ïîðÿäêàñëåäîâàíèÿ ýòàïîâ ñëîæíûõ äîëãîâðåìåííûõ ïðîåêòîâ, òàêèõêàê ñòðîèòåëüñòâî êðóïíûõ ñîîðóæåíèé, ïðîâåäåíèå øèðîêî-ìàñøòàáíûõ íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèõ ðàáîò è ò. ï.

Ïóñòü êàæäàÿ äóãà ãðàôà îòîáðàæàåò îïðåäåëåííóþ ðàáî-òó ïðè âûïîëíåíèè íåêîòîðîãî ïðîåêòà, à âåñ äóãè óêàçûâàåòïðîäîëæèòåëüíîñòü ýòîé ðàáîòû. Òîãäà âåðøèíû ãðàôà ìîæ-íî ðàññìàòðèâàòü êàê ñîáûòèÿ, ñîñòîÿùèå â çàâåðøåíèè îäíèõðàáîò (âõîäÿùèå äóãè) è íà÷àëå äðóãèõ (èñõîäÿùèå äóãè). Ïðèýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íè îäíà "èñõîäÿùàÿ" ðàáîòà íå ìî-æåò íà÷àòüñÿ, ïîêà íå áóäóò çàâåðøåíû âñå "âõîäÿùèå".

Ïðè òàêîé èíòåðïðåòàöèè ãðàô íà ðèñ. 4.13 âïîëíå ìî-æåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñåòåâîé ãðàôèê íåêîòîðîãî ïðîåêòà.Ïðè ýòîì åñòåñòâåííî âîçíèêàåò çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ íàèáîëååðàííèõ ñðîêîâ åãî çàâåðøåíèÿ. ßñíî, ÷òî ìèíèìàëüíîå âðåìÿ

96

âûïîëíåíèÿ ïðîåêòà ðàâíî ñàìîìó äëèííîìó ïóòè ìåæäó íà-÷àëüíîé è êîíå÷íîé âåðøèíàìè. Ýòîò ïóòü íàçûâàþò êðèòè-÷åñêèì. Ìåòîä îòûñêàíèÿ òàêîãî ïóòè òîò æå, ÷òî è â çàäà÷å

s(60) s(79) s(93)

s(45) s(32) s(19) s(44)

s(21) s(21) s(5) s(14)

s(10)

s(0)

-14---19

--

@@

@@I 15@

@@@I

@@

@@I

¾ 13¾¾

61166

¾ 16¾¾

¡¡

¡¡µ5

¡¡

¡¡µ

¡¡

¡¡µ

12-

617@

@@@I 21

-18

68

63@

@@@I 8 614

-9

630

6

30

¢¢¢¢¢¢¢¢

26

¡¡

¡¡µ11@

@@@I 19 67

¾ 10

Ðèñ. 4.15

à

á Îñíîâíîåðàñ÷åòíîå

ñîîòíîøåíèå︷ ︸︸ ︷l(vj)= max

vi∈Γ−(vj)[l(vi)+ci,j ], j=2, 13

Êðèòè÷åñêèé ïóòü︷ ︸︸ ︷v1−v2−v6−v8−v9−v11−v12−v13 l(v13) =

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13

v1 0 5∗ 10∗ 19 7v2 5 14∗ 16∗ 9∗ 8v3 10 11∗ 26 30v4 19 18 21v5 21 3v6 21 11∗

v7 14 30∗

v8 32 13∗ 17v9 45 15∗

v10 44 8v11 60 19∗ 12v12 79 14∗

v13 93

î êðàò÷àéøåì ïóòè, òîëüêî â îñíîâíîì ðàñ÷åòíîì ñîîòíîøå-íèè âìåñòî ìèíèìóìà èùåòñÿ ìàêñèìóì. Íà ðèñ. 4.15,à,á ïðè-âåäåíî ðåøåíèå çàäà÷è î êðèòè÷åñêîì ïóòè äëÿ ðàññìàòðèâà-åìîãî ãðàôà. Êðèòè÷åñêèé ïóòü âûäåëåí æèðíûìè ëèíèÿìè.

97

5. Öèêëû5.1. Ôóíäàìåíòàëüíûå öèêëû è ðàçðåçûÁóäåì ïðåäñòàâëÿòü öèêëû (n, m)-ãðàôà â âèäå m -ðàçðÿä-

íûõ äâîè÷íûõ êîäîâ, â êîòîðûõ ðàçðÿä j ðàâåí 1, åñëè ðåá-ðî ej ïðèíàäëåæèò öèêëó, è 0, åñëè ðåáðî öèêëó íå ïðèíàä-ëåæèò. Ïóñòü, íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ðåáåð íåêîòîðîãî ãðàôàE={e1, e2, . . . , e10}, è â ãðàôå åñòü öèêë (e1, e2, e6, e9, e8, e4), òî-ãäà ñîîòâåòñòâóþùèé êîä çàïèøåòñÿ êàê C=1101010110 .

 îáùåì ñëó÷àå ãðàô ìîæåò ñîäåðæàòü ìíîæåñòâî öèêëîâ.Òàê, â ãðàôå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 5.1, ñóùåñòâóåò øåñòü

s s s s

s s s s

e1 e2 e3

e4 e5 e6 e7

e8 e9 e10

²±

¯°C1

²±

¯°C2

²±

¯°C3

º

¹

·

¸AAC4

¶

µ

³

´AAC5

Â

Á

¿

ÀAAC6

Ðèñ. 5.1

öèêëîâ C1 − C6. Îäíàêî îíè íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, ïî-ñêîëüêó ëþáîé èç ýòèõ öèêëîâ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàêñóïåðïîçèöèÿ äðóãèõ (ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè ïîðàçðÿäíîãî ñëî-æåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîäîâ ïî ìîäóëþ äâà), â ÷àñòíîñòè,öèêë C6=C1⊕C2⊕C3, öèêë C4=C1⊕C2 è öèêë C5=C2⊕C3. Âýòèõ ïðèìåðàõ öèêëû C1, C2 è C3 âûñòóïàþò êàê "ïîëíîå"ìíîæåñòâî íåçàâèñèìûõ öèêëîâ, òàê êàê íà èõ îñíîâå ìîæ-íî ïîëó÷èòü ëþáîé èç îñòàëüíûõ öèêëîâ ãðàôà. Ñðåäè òàêèõìíîæåñòâ íåçàâèñèìûõ öèêëîâ âûäåëÿþò ìíîæåñòâà ôóíäà-ìåíòàëüíûõ (áàçèñíûõ) öèêëîâ16.

Ìíîæåñòâîì ôóíäàìåíòàëüíûõ öèêëîâ ãðàôà îòíîñèòåëü-íî îñòîâà T ýòîãî ãðàôà ïðèíÿòî íàçûâàòü ìíîæåñòâî öèê-ëîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ïîëó÷àåòñÿ ïðè äîáàâëåíèè ê T íåêî-òîðîãî ðåáðà ãðàôà, íå ïðèíàäëåæàùåãî T.

Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ôóíäà-ìåíòàëüíûõ öèêëîâ íå çàâèñèò îò âûáðàííîãî îñòîâà è âñå-

16Ãîâîðÿò òàêæå "ôóíäàìåíòàëüíîå (áàçèñíîå) ìíîæåñòâî öèêëîâ".

98

ãäà ðàâíà ν=m−n+1. Ýòî öèêëîìàòè÷åñêîå ÷èñëî � îäíà èçâàæíåéøèõ õàðàêòåðèñòèê ãðàôà. ßñíî òàêæå, ÷òî âñå öèê-ëû òàêîãî ìíîæåñòâà íåçàâèñèìû, ïîñêîëüêó êàæäûé èç íèõñîäåðæèò ðåáðî, ïðèíàäëåæàùåå òîëüêî ýòîìó öèêëó.

 êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 5.2 ïðåäñòàâëåíû âñå ôóíäà-ìåíòàëüíûå öèêëû ãðàôà îòíîñèòåëüíî îñòîâà, îáðàçîâàííî-ãî ðåáðàìè e5, e6, e7, e8, e9 (âûäåëåíû æèðíûìè ëèíèÿìè). Íàðèñ. 5.3 ïîêàçàíî ïîëíîå ìíîæåñòâî íåçàâèñèìûõ öèêëîâ òîãî

s

s s

s s s

JJJJ

e5

JJJJ

e5

e6e6

e7

e7

e8e8 e9e9

­­

­­

e1

­­

­­

e2

JJ

JJ

e3

JJ

JJ

e4­

­­ Φ2

­­­

¹¸

º·Φ1

µ´¶³Φ3

¹¸

º·Φ4

Ðèñ. 5.2

s

s s

s s s

JJ

JJ

e5

e6

­­

­­

e7

e8 e9

­­

­­

e1

­­

­­

e2

JJ

JJ

e3

JJ

JJ

e4

¹¸

º·C1

¹¸

º·C2 ¹¸

º·C3

¹¸

º·C4

Ðèñ. 5.3

æå ãðàôà, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ôóíäàìåíòàëüíûõöèêëîâ, òàê êàê íåò ñîîòâåòñòâóþùåãî îñòîâà17.

Îïèñàíèå ôóíäàìåíòàëüíûõ öèêëîâ óäîáíî âûïîëíÿòü ââèäå ìàòðèöû Φ = [φij], ñòðîêè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò öèê-ëàì, à ñòîëáöû � ðåáðàì, ïðè÷åì φij ðàâíî 1, åñëè ej ïðèíàä-ëåæèò öèêëó Φi, èëè 0, åñëè íå ïðèíàäëåæèò. Êàíîíè÷åñêàÿôîðìà çàïèñè ìàòðèöû ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî ïðî-íóìåðîâàòü ñíà÷àëà âñå íåîñòîâíûå ðåáðà, à çàòåì îñòîâíûå,êàê íà ðèñ 5.2.  ýòîì ñëó÷àå ìàòðèöà âûãëÿäèò òàê:

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9

Φ =

Φ1

Φ2

Φ3

Φ4

1 0 0 0 1 1 0 0 00 1 0 0 0 1 1 1 00 0 1 0 0 1 1 0 00 0 0 1 0 0 1 0 1

,

èëè ñîêðàùåííî Φ=(Iν |Φ′), ãäå Iν � åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïî-ðÿäêà ν, à Φ′ � ìàòðèöà ðàçìåðà ν×(n−1), îïðåäåëÿþùàÿ,êàêèå ðåáðà îñòîâà ïðèíàäëåæàò ñîîòâåòñòâóþùåìó öèêëó.

17Öèêë C3 íå ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ïóòåì ñóïåðïîçèöèè C1, C2, C4, èïîýòîìó íåçàâèñèì.

99

Ñ ïîíÿòèåì öèêëà òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå ðàçðåçà � ìíîæå-ñòâà ðåáåð S, óäàëåíèå êîòîðûõ ïðèâîäèò ê íåñâÿçíîìó ãðà-ôó. Ïðèìåðû ðàçðåçîâ äàíû íà ðèñ. 5.4,a,á � ýòî ìíîæåñòâàðåáåð, ïåðåñåêàåìûõ ëèíèÿìè S ,S1 − S6.

s s s

s s s

e1 e2

e3 e4 e5

e6 e7

S

µ ´S²

Ðèñ. 5.4à

s s s

s s s

e1 e2

e3 e4 e5

e6 e7

!S1± °S2

"S3

ÃS4#

S5

² ¯ S6

á

Ðàçðåç íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì èëè ïðàâèëüíûì, åñëè íèêàêîååãî ñîáñòâåííîå ïîäìíîæåñòâî íå ÿâëÿåòñÿ ðàçðåçîì. Èíûìèñëîâàìè, ïðîñòîé ðàçðåç ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì ðàçðåçîì èâñåãäà ðàçáèâàåò ãðàô íà äâå êîìïîíåíòû. Íåêîòîðîå ìíîæå-ñòâî ïðîñòûõ ðàçðåçîâ ãðàôà ïîêàçàíî íà ðèñ. 5.4,á :

S1 = {e1, e3} , S2 = {e1, e2, e4} , S3 = {e2, e5} ,S4 = {e3, e6} , S5 = {e4, e6, e7} , S6 = {e5, e7} .

Ðàçðåç S={e1, e5, e6, e7} íà ðèñ. 5.4,à ïðîñòûì íå ÿâëÿåòñÿ,òàê êàê ñîñòîèò èç äâóõ ïðîñòûõ {e1, e6} è {e5, e7} .

Ïî àíàëîãèè ñ öèêëàìè áóäåì îïèñûâàòü ðàçðåçû m-ðàç-ðÿäíûìè äâîè÷íûìè êîäàìè, â êîòîðûõ ðàçðÿä j ðàâåí 1,åñëè ðåáðî ej ïðèíàäëåæèò ðàçðåçó, è 0, åñëè íå ïðèíàäëåæèò. ýòîì ñëó÷àå îïèñàíèå ðàçðåçîâ S1 − S6 èìååò âèä:

S1 = 1010000 , S2 = 1101000 , S3 = 0100100 ,S4 = 0010010 , S5 = 0001011 , S6 = 0000101 .

Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî êîä ëþáîãî èç ýòèõ øåñòè ðàçðåçîâ ìîæåòáûòü ïîëó÷åí êàê ñóììà îñòàëüíûõ ïÿòè ïî ìîäóëþ 2, ò. å. ðàç-ðåçû S1−S6 çàâèñèìû. Åñëè æå îãðàíè÷èòüñÿ ëþáûìè ïÿòüþèç íèõ, òî ïîëó÷èì ìíîæåñòâî ïðîñòûõ íåçàâèñèìûõ ðàçðå-çîâ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî ñôîðìèðîâàòü ëþáîé ðàçðåçâ ãðàôå. Òàê, ðàçðåç S íà ðèñ. 5.4,a ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêñóììó S=S2⊕S3⊕S5.

Ñðåäè ìíîæåñòâ íåçàâèñèìûõ ðàçðåçîâ âûäåëÿþò ìíîæå-ñòâà ôóíäàìåíòàëüíûõ (áàçèñíûõ) ðàçðåçîâ.

100

Ìíîæåñòâîì ôóíäàìåíòàëüíûõ ðàçðåçîâ ãðàôà îòíîñèòåëü-íî íåêîòîðîãî îñòîâà T ýòîãî ãðàôà íàçûâàþò ìíîæåñòâîïðîñòûõ ðàçðåçîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîäåðæèò òîëüêî îä-íî ðåáðî, ïðèíàäëåæàùåå T.

Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ôóíäà-ìåíòàëüíûõ ðàçðåçîâ íå çàâèñèò îò âûáðàííîãî îñòîâà è ðàâ-íà ρ=n−1. Ýòî êîöèêëîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà. Òàêîå íà-çâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî íàðÿäó ñ òåðìèíîì "ôóíäàìåí-òàëüíûé ðàçðåç" èñïîëüçóþò è òåðìèí "êîöèêë", ïîä÷åðêèâàÿýòèì ñâÿçü ôóíäàìåíòàëüíûõ öèêëîâ è ðàçðåçîâ.

Îïèñàíèå ôóíäàìåíòàëüíûõ ðàçðåçîâ óäîáíî âûïîëíÿòü ââèäå ìàòðèöû S=[sij], ñòðîêè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò ðàçðå-çàì, à ñòîëáöû � ðåáðàì, ïðè÷åì sij ðàâíî 1, åñëè ej ïðèíàä-ëåæèò ðàçðåçó Si, èëè 0, åñëè íå ïðèíàäëåæèò. Êàíîíè÷åñêàÿôîðìà çàïèñè ìàòðèöû ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ïðîíóìåðîâàòü ñíà-÷àëà âñå íåîñòîâíûå ðåáðà, à çàòåì îñòîâíûå. Òîãäà ìàòðèöàôóíäàìåíòàëüíûõ ðàçðåçîâ ãðàôà íà ðèñ. 5.5,à âûãëÿäèò êàê

s

s s

s s s

JJJJe5

JJJJe6

e7

e8 e9

­­

­­

e1

­­

­­e2

JJ

JJe3

JJ

JJe4

­ ª

º·

©­ ª

e4

S1

S2

S3

S4 S5

Ðèñ. 5.5à á

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9

S =

S1

S2

S3

S4

S5

1 0 0 0 1 0 0 0 01 1 1 0 0 1 0 0 00 1 1 1 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 0 1

íà ðèñ. 5.5,á, èëè ñîêðàùåííî S=(S′|Iρ), ãäå Iρ � åäèíè÷-íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà ρ, îïðåäåëÿþùàÿ, êàêîå ðåáðî îñòîâàïðèíàäëåæèò ðàçðåçó, à S′ � ìàòðèöà ðàçìåðà ρ×ν.

Óñòàíîâèì ñâÿçü ìàòðèö Φ è S. ×èñëî îáùèõ ðåáåð ëþáî-ãî öèêëà è ëþáîãî ðàçðåçà ìîæåò áûòü òîëüêî ÷åòíûì (â òîì÷èñëå è íóëåâûì), à ýòî çíà÷èò, ÷òî êîëè÷åñòâî åäèíèö, ñòîÿ-ùèõ íà îäèíàêîâûõ ïîçèöèÿõ â ñòðîêå i ìàòðèöû Φ è â ñòðî-êå j ìàòðèöû S, ÷åòíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ΦST ≡ 0 (mod 2).Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå áëî÷íóþ

101

ñòðóêòóðó Φ è S, òî, ïî ïðàâèëàì óìíîæåíèÿ áëî÷íûõ ìàò-ðèö, ìîæíî çàïèñàòüΦST =(Iν |Φ′)(S′|Iρ)

T =(Iν |Φ′)

(S′T

IρT

)=IνS

′T +Φ′Iρ=S′T +Φ′,

ãäå Iν è Iρ � åäèíè÷íûå ìàòðèöû ïîðÿäêà ν è ρ ñîîòâåò-ñòâåííî, à îïåðàöèè âûïîëíÿþòñÿ ïî ìîäóëþ 2. Ó÷èòûâàÿ,÷òî ΦST ≡ 0 (mod 2), èìååì S′T +Φ′=0, îòêóäà ñëåäóåò,÷òî S′T =Φ′, òàê êàê ñëîæåíèå âåäåòñÿ ïî ìîäóëþ 2.

5.2. Ýéëåðîâû öèêëû5.2.1. Îïðåäåëåíèå è óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ

Ýéëåðîâ öèêë ýòî ïðîñòîé öèêë, ñîäåðæàùèé âñå ðåáðà ñâÿç-íîãî íåîðèåíòèðîâàííîãî ìóëüòèãðàôà. Ïðîñòóþ öåïü, ïðîõî-äÿùóþ ÷åðåç âñå ðåáðà, íàçûâàþò ýéëåðîâîé öåïüþ. Ãðàô, âêîòîðîì åñòü ýéëåðîâ öèêë, íàçûâàåòñÿ ýéëåðîâûì, à ãðàô,ñîäåðæàùèé ýéëåðîâó öåïü � ïîëóýéëåðîâûì.

rv1 rv2

rv6 rv5

rv4

rv3

@@@

�� ���

@@��@@

G1

rv1 rv2

rv5

rv4

rv3

@@@

���

@@��

G2

Ðèñ. 5.6

rv1 rv2

rv4

rv3

@@@

���

G3

Ñðåäè ãðàôîâ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 5.6, ãðàô G1 ÿâ-ëÿåòñÿ ýéëåðîâûì, òàê êàê â íåì åñòü öèêë, ñîäåðæàùèé âñåðåáðà, íàïðèìåð, (v1, v2, v3, v4, v1, v3, v5, v2, v4, v6, v1); â ãðàôåG2 ïîäîáíûé öèêë îòñóòñòâóåò, íî åñòü ýéëåðîâà öåïü, íàïðè-ìåð (v1, v2, v3, v4, v1, v3, v5, v2, v4), ïîýòîìó ãðàô G2 ïîëóýéëå-ðîâ; íàêîíåö, ãðàô G3 íå ýéëåðîâ è íå ïîëóýéëåðîâ: â íåì íåòñîîòâåòñòâóþùåãî öèêëà èëè öåïè.

Ñâîèì íàçâàíèåì ðàñìàòðèâàåìûå çäåñü öèêëû îáÿçàíûÝéëåðó, êîòîðûé óñòàíîâèë ïðîñòîé ïðèçíàê ñóùåñòâîâàíèÿòàêèõ öèêëîâ â ãðàôå, ðåøèâ çíàìåíèòóþ â ñâîå âðåìÿ çàäà÷óî ê�åíèãñáåðãñêèõ ìîñòàõ. Ñàìà çàäà÷à ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.Ñåìü ìîñòîâ â òîãäàøíåì Ê�åíèãñáåðãå (íûíå Êàëèíèíãðàä)

102

ñîåäèíÿëè áåðåãà ðåêè Ïðåãåëü, à òàêæå äâà îñòðîâà íà íåé,â ñîîòâåòñòâèè ñî ñõåìîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 5.6,a. Ñïðà-øèâàåòñÿ, ìîæíî ëè, âûéäÿ èç íåêîòîðîãî ïóíêòà â ãîðîäå,âåðíóòüñÿ îáðàòíî, ïðîéäÿ îäèí ðàç ïî êàæäîìó ìîñòó?

A

B

C

D

Ðèñ. 5.7à á

GrA

rB

rC

rD

PPPPPPPP

³³³³³³³³®­

©ª

®­

©ª

à

Äàäèì ãðàôîâîå ïðåäñòàâëåíèå ñõåìû íà ðèñ. 5.7,à, îòîá-ðàçèâ ÷åòûðå ó÷àñòêà ñóøè A,B,C,D, ðàçäåëåííûå ðåêîé, ÷å-òûðüìÿ âåðøèíàìè A,B, C, D, à ñåìü ìîñòîâ, ñâÿçûâàþùèõýòè ó÷àñòêè, ñåìüþ ðåáðàìè ìóëüòèãðàôà G, êàê ïîêàçàíî íàðèñ. 5.7,á. Ïðè òàêîì ïðåäñòàâëåíèè çàäà÷ó î ê�åíèãñáåðãñêèõìîñòàõ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü èíà÷å: åñòü ëè â ãðàôå G öèêë,ñîäåðæàùèé âñå åãî ðåáðà?  äàííîì ñëó÷àå îòâåò îòðèöàòå-ëåí â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäóþùåé òåîðåìîé, íîñÿùåé òàêæåèìÿ Ýéëåðà.

Òåîðåìà 5.1 Ñâÿçíûé íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô ñîäåð�æèò ýéëåðîâ öèêë òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñòåïåíè âñåõåãî âåðøèí ÷åòíû.

¤ Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ãðàô ñîäåæèò ýéëåðîâ öèêë. Ïî-ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé âåðøèíå ñ÷åò÷èê ñ íóëåâûìíà÷àëüíûì çíà÷åíèåì. Îáîéäåì öèêë, íà÷èíàÿ ñ ïðîèçâîëü-íîãî ðåáðà è óâåëè÷èâàÿ íà 2 ñîäåðæèìîå ñ÷åò÷èêà âåðøèíûïðè êàæäîì åå ïðîõîæäåíèè, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò èñïîëüçîâà-íèþ äâóõ î÷åðåäíûõ èíöèäåíòíûõ âåðøèíå ðåáåð. Î÷åâèäíî,÷òî ïî îêîí÷àíèè îáõîäà, êîãäà âñå ðåáðà èñïîëüçîâàíû, ñ÷åò-÷èêè áóäóò ñîäåðæàòü ñòåïåíè âåðøèí, êîòîðûå ïðè âûøåóêà-çàííîì ïðèðàùåíèè ìîãóò èìåòü òîëüêî ÷åòíûå çíà÷åíèÿ.

Äîñòàòî÷íîñòü.Ïóñòü ñòåïåíè âñåõ âåðøèí ãðàôà G(V,E)÷åòíû. Òàêîé ãðàô ÿâëÿåòñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, äâóñâÿçíûì è,ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæèò öèêë. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ öèêëà ïðîèç-âîëüíî âûáåðåì îäíó èç âåðøèí. Ïóñòü ýòî áóäåò v1. Ïåðåéäåìïî íåêîòîðîìó ðåáðó â ñìåæíóþ âåðøèíó, ïîìåòèâ ðåáðî êàê

103

èñïîëüçîâàííîå. Áóäåì ïîâòîðÿòü ýòó îïåðàöèþ, êàæäûé ðàçâûáèðàÿ íîâîå ðåáðî, ïîêà íå îêàæåìñÿ â èñõîäíîé âåðøèíåv1. Îáîçíà÷èì íàéäåííûé öèêë êàê C1. Åñëè C1 âêëþ÷àåòâñå ðåáðà ãðàôà G, òî ýòî è áóäåò òðåáóåìûé ýéëåðîâ öèêë. ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàññìîòðèì ãðàô G1(V, E−EC1), ïîëó-÷àþùèéñÿ ïðè óäàëåíèè èç G âñåõ ðåáåð, îòíîñÿùèõñÿ ê C1.Ýòîò ãðàô ìîæåò áûòü êàê ñâÿçíûì, òàê è íåñâÿçíûì, íî ëþ-áàÿ åãî êîìïîíåíòà â ñèëó ñâÿçíîñòè G èìååò õîòÿ áû îäíóîáùóþ âåðøèíó ñ ãðàôîì C1. Òàê êàê êàæäàÿ âåðøèíà â Gè C1 èìååò ÷åòíóþ ñòåïåíü, òî è â G1 ñòåïåíè âñåõ âåðøèíäîëæíû áûòü ÷åòíûìè. Ïóñòü v2 îáùàÿ âåðøèíà G1 è C1, íåÿâëÿþùàÿñÿ èçîëèðîâàííîé â ãðàôå G1. Íàéäåì â G1 öèêë,ñîäåðæàùèé ýòó âåðøèíó, è îáîçíà÷èì åãî êàê C2. Îáúåäè-íèì öèêëû C1 è C2, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 5.8. Åñëè öèêë

sv1 ssv2

ss

sss

-@@R���@@R

��@

@I���

6

Ðèñ. 5.8

C1 C2

C1 = v1→ . . .→v2→ . . .→v1

C2 = v2→ . . .→v2

C1∪C2 = v1→ . . .→v2︸ ︷︷ ︸C′1

→ . . .→ v2→ . . .→v1︸ ︷︷ ︸C′′1

C2︷ ︸︸ ︷

C1∪C2 ýéëåðîâ, òî ïðîöåññ çàâåðøåí.  ïðîòèâíîì ñëó÷àåñëåäóåò ïåðåéòè ê ðàññìîòðåíèþ ãðàôà G2(V, E−EC1−EC2),îòûñêàòü â íåì öèêë C3, êîòîðûé ñëåäóåò îáúåäèíèòü ñ C1 èC2 è ò. ä. Òàê êàê êàæäûé ðàç êîëè÷åñòâî íåèñïîëüçîâàííûõðåáåð óìåíüøàåòñÿ, òî îïèñàííûé ïðîöåññ êîíå÷åí è äîëæåíçàêîí÷èòüñÿ ïîñòðîåíèåì ýéëåðîâà öèêëà. ¢

Àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà äëÿ îðãðàôîâ ôîðìóëèðóåòñÿ òàê:Òåîðåìà 5.2 Ñâÿçíûé îðèåíòèðîâàííûé ãðàô ñîäåðæèò

ýéëåðîâ îðöèêë (îðöåïü) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîëó-ñòåïåíè èñõîäà è ïîëóñòåïåíè çàõîäà âñåõ âåðøèí óäîâëå-òâîðÿþò óñëîâèÿì:deg+ v = deg− v ∀v ∈ V � â ñëó÷àå îðöèêëà;deg+ v = deg− v ∀v 6= (u èëè w) èdeg+ u = deg− u+1, deg− w = deg+ w+1 � â ñëó÷àå îðöåïè,ãäå u � íà÷àëüíàÿ, w � êîíå÷íàÿ âåðøèíû öåïè.

104

5.2.2. Àëãîðèòì ïîèñêà ýéëåðîâà öèêëà

Ñóùåñòâóåò î÷åíü ïðîñòàÿ è íàãëÿäíàÿ ïðîöåäóðà îòûñ-êàíèÿ ýéëåðîâà öèêëà, èçâåñòíàÿ êàê àëãîðèòì Ôë�åðè, êîòî-ðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé âåðøè-íû, ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì "èäåì" ïî ñìåæíûì ðåáðàì ãðàôà,óäàëÿÿ ïðîéäåííîå ðåáðî è âåðøèíó, ñòàâøóþ ïîñëå óäàëå-íèÿ ðåáðà èçîëèðîâàííîé. Íå ïðîõîäèì ïî ðåáðó, åñëè ïîñëååãî óäàëåíèÿ ãðàô ñòàíîâèòñÿ íåñâÿçíûì. Íåòðóäíî ïîêàçàòü,÷òî ïðîöåññ çàâåðøàåòñÿ ïîñëå îáõîäà (óäàëåíèÿ) âñåõ ðåáåð,à çíà÷èò, è âåðøèí ãðàôà, è îáÿçàòåëüíî â èñõîäíîé âåðøèíå,ñòåïåíü êîòîðîé ê ýòîìó ìîìåíòó ñòàíîâèòñÿ íóëåâîé. Îòìå-òèì, ÷òî êàæäàÿ âåðøèíà (â îòëè÷èå îò ðåáåð, ïðîõîäèìûõ îä-íîêðàòíî), âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò áûòü ïðîéäåíà íåîäíîêðàò-íî, òî÷íåå � deg vi/2 ðàç. Ïîðÿäîê, â êîòîðîì áûëè ïðîéäåíûðåáðà, îïðåäåëÿåò êîíôèãóðàöèþ íàéäåííîãî öèêëà.

Ïóñòü, íàïðèìåð, òðåáóåòñÿ íàéòè ýéëåðîâ öèêë â ãðàôå,ïðåäñòàâëåííîì íà ðèñ. 5.9,à. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé

rv1 rv2

rv3 rv4 rv5

rv6

rv7

����

@@@@��@@

@@��

a

rv1 1

45

6

rv2

rv3 rv4

23 rv5

rv6

rv7

-¡¡ª

¡¡ª

6@@R@@R�

�@@

@@��

áÐèñ. 5.9

rv1 rv2

rv3 rv4rv5

rv6

rv7

-¡¡ª

¡¡ª

6@@R@@R ¡¡µ

@@I

?¾@@I¡¡µ

â

óáåæäàåìñÿ, ÷òî ñòåïåíè âñåõ âåðøèí ÷åòíû, ò. å. ãðàô ýéëå-ðîâ.  êà÷åñòâå íà÷àëüíîé âåðøèíû âûáåðåì v1. Íà ïåðâîéèòåðàöèè ïåðåéäåì â âåðøèíó v2 è óäàëèì ðåáðî {v1, v2} 18.Íà âòîðîé èòåðàöèè ïåðåéäåì â âåðøèíó v4 è óäàëèì ðåá-ðî {v2, v4}, íà òðåòüåé � â v6, óäàëèâ {v4, v6}, çàòåì âíîâüïîïàäàåì â v1, ïîòîì åùå ðàç â v4 è, íàêîíåö, â v7 . Òî,÷òî ïîëó÷èòñÿ ïîñëå ýòîãî, ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 5.9,á. Âåðøè-íà v4 îêàçàëàñü èçîëèðîâàííîé è ìîæåò áûòü óäàëåíà. Ðåá-ðî {v7, v6} ñòàëî ìîñòîì. Ïîýòîìó äîïóñòèì ïåðåõîä òîëüêî âv2 èëè â v5. Ïåðåéäåì â âåðøèíó v5, óäàëèâ ðåáðî {v7, v5},

18Óäàëåííûå ðåáðà ïðîíóìåðîâàíû è îòîîáðàæåíû òîíêèìè ëèíèÿìèñî ñòðåëêàìè, ïîêàçûâàþùèìè íàïðàâëåíèå îáõîäà.

105

êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.5.9,â. Òåïåðü "îñòàòîê" ãðàôà � ïðîñòàÿöåïü (v5, v2, v7, v6, v3, v1), ñëåäîâàòåëüíî, äàëüíåéøèå ïåðåõî-äû îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî. Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì (v1, v2, v4,v6, v1, v4, v7, v5, v2, v7, v6, v3, v1) � ýéëåðîâ öèêë.

Âûøåîïèñàííàÿ ïðîöåäóðà ïîèñêà ýéëåðîâà öèêëà îðèåí-òèðîâàíà ãëàâíûì îáðàçîì íà ðàáîòó ñ èçîáðàæåíèåì ãðàôà èèäåàëüíî ïîäõîäèò äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷-ãîëîâîëîìîê òèïà "íà-ðèñîâàòü ãðàô (êàðòèíêó), íå îòðûâàÿ êàðàíäàø îò áóìàãè èíå ïîâòîðÿÿ ëèíèé". Åñëè æå ãðàô çàäàí èíà÷å, íàïðèìåð âìàòðè÷íîé ôîðìå, èëè â âèäå ñïèñêà, òî, ÷òîáû óñòàíîâèòü, íåÿâëÿåòñÿ ëè î÷åðåäíîå âûáèðàåìîå ðåáðî ìîñòîì (íå ïðèáåãàÿê èçîáðàæåíèþ), òðåáóþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå îïåðàöèè. Ïîýòî-ìó äëÿ êîìïüþòåðíîé ðåàëèçàöèè ëó÷øå ïîäõîäèò àëãîðèòì,îñíîâàííûé íà ïðîöåäóðå, èñïîëüçîâàííîé ïðè äîêàçàòåëüñòâåòåîðåìû 5.1, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì ïåðâîíà÷àëüíî íàéäåí-íûé öèêë ïîñëåäîâàòåëüíî ðàñøèðÿåòñÿ çà ñ÷åò îáúåäèíåíèÿñ äðóãèìè öèêëàìè, ïîêà íå áóäóò çàäåéñòâîâàíû âñå ðåáðà.Ôîðìàëèçîâàííàÿ çàïèñü àëãîðèòìà èìååò âèä:begin { � Ý É Ë Å Ð � }

select v∈V ; { Âûáðàòü ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó }v→S; { è çàíåñòè â ñòåê. }while S 6=∅ do { Ïîêà ñòåê íå ïóñò, âûïîëíÿòü äåéñòâèÿ: }

if Γ(s1)6=∅ { åñëè îêðóæåíèå âåðøèíû s1, }{ íàõîäÿùåéñÿ â âåðõóøêå ñòåêà, íå ïóñòî, }

{ òî }

then

select u∈Γ(s1); { âûáðàòü îäíó èç åå }u→S; { "ñîñåäîê" è çàíåñòè â ñòåê, }Γ(s1) := Γ(s1)−{u}; { à çàòåì óäàëèòü }Γ(u) := Γ(u)−{s1} { ïðîéäåííîå ðåáðî; }

{ èíà÷å }

else{

S→v; { ïîëó÷èòü èç ñòåêà }output(v) { è âûâåñòè î÷åðåäíóþ }

{ âåðøèíó öèêëà. }end. { � Ý É Ë Å Ð � }Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ãðàô çàäàí ñïèñêîì âåðøèí (ñïèñêîì

ñìåæíîñòè), à â êà÷åñòâå îñíîâíîé ðàáî÷åé ñòðóêòóðû äàí-íûõ, ïîçâîëÿþùåé ëåãêî çàôèêñèðîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüïðîõîæäåíèÿ âåðøèí, èñïîëüçîâàí ñòåê S.

106

Ðàññìîòðèì ðàáîòó àëãîðèòìà íà ïðèìåðå. Ïóñòü òðåáóåò-ñÿ íàéòè ýéëåðîâ öèêë äëÿ ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 5.10è çàäàííîãî ñïèñêàìè ñìåæíîñòè. Ôàêòè÷åñêè ìû èìååì ìóëü-

sv1 sv2

sv3

sv4

��

@@

Ðèñ. 5.10

v1 : v2, v2

v2 : v1, v1, v3, v4

v3 : v2, v4

v4 : v2, v3

òèãðàô, ïîýòîìó ñïèñêè äëÿ âåðøèí v1 è v2 ñîäåðæàò ïî-âòîðÿþùèåñÿ ýëåìåíòû, îòðàæàÿ íàëè÷èå ïàðàëëåëüíûõ ðå-áåð. Âûáåðåì â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé âåðøèíó v1 è çàíåñåì ååâ ñòåê. Äàëüíåéøèå äåéñòâèÿ îòðàæåíû â òàáë. 5.1 è 5.2.

Òàáëèöà 5.1Èòå-ðà-öèÿ

Ñòåê S← Óäàëÿåìîåðåáðî S→

Èòå-ðà-öèÿ

Ñòåê S→1 v1 v2 {v1, v2} − 7 v1v2v3v4v2 v2

2 v1v2 v1 {v2, v1} − 8 v1v2v3v4 v43 v1v2v1 − − v1 9 v1v2v3 v3

4 v1v2 v3 {v2, v3} − 10 v1v2 v2

5 v1v2v3 v4 {v3, v4} − 11 v1 v1

6 v1v2v3v4 v2 {v4, v2} − ∅ −Òàáëèöà 5.2

Èòå-ðà-öèÿ

1 2 3 4 5 6 7

v1 : 6v2, v2 6v2 ∅ ∅ ∅ ∅ ∅v2 : 6v1, v1, v3, v4 6v1, v3, v4 v3, v4 6v3, v4 v4 6v4 ∅v3 : v2, v4 v2, v4 v2, v4 6v2, v4 6v4 ∅ ∅v4 : v2, v3 v2, v3 v2, v3 v2, v3 v2, 6v3 6v2 ∅Â òàáë. 5.1 ïðåäñòàâëåíû îïåðàöèè ñî ñòåêîì, à â òàáë. 5.2

ïîêàçàíî, êàê èçìåíÿþòñÿ ñïèñêè âåðøèí îò èòåðàöèè ê èòå-ðàöèè (ñòîëáöû) ïî ìåðå óäàëåíèÿ ðåáåð.

Ñíà÷àëà â âåðøèíå ñòåêà íàõîäèòñÿ v1. Ïîýòîìó â ñïèñêåñìåæíîñòè äëÿ v1 ïðîèçâîëüíî âûáèðàåì íåêîòîðóþ âåðøè-

107

íó (â äàííîì ñëó÷àå ýòî ìîæåò áûòü òîëüêî v2 ) è çàíîñèìåå â ñòåê. Óäàëÿåì ïðîéäåííîå ðåáðî {v1, v2}. Äëÿ ýòîãî èçñïèñêà ñìåæíîñòè äëÿ v1 èñêëþ÷àåì âåðøèíó v2, à èç ñïèñ-êà ñìåæíîñòè äëÿ v2 âåðøèíó v1. Òåïåðü ñîñòîÿíèå ñòåêà ñî-îòâåòñòâóåò âòîðîé ñòðîêå òàáë. 5.1, à âèä ñïèñêà ñìåæíîñòè� âòîðîìó ñòîëáöó òàáë. 5.2. Íà âòîðîé èòåðàöèè â âåðøèíåñòåêà ñîäåðæèòñÿ v2. Òåïåðü âûáèðàåì âåðøèíó èç òåêóùå-ãî ñïèñêà ñìåæíîñòè äëÿ v2 (ñì. âòîðîé ñòîëáåö òàáë. 5.2).Ïóñòü ýòî áóäåò âåðøèíà v1. Çàíåñåì åå â ñòåê è óäàëèì ðåá-ðî {v2, v1}.  ðåçóëüòàòå íîâîå ñîñòîÿíèå ñòåêà ñîîòâåòñòâóåòòðåòüåé ñòðîêå òàáë. 5.1, à âèä ñïèñêà ñìåæíîñòè � òðåòüå-ìó ñòîëáöó òàáë. 5.2. Íà òðåòüåé èòåðàöèè ñïèñîê ñìåæíîñòèäëÿ âåðøèíû v1, íàõîäÿùåéñÿ â âåðõóøêå ñòåêà, îêàçàëñÿ ïó-ñòûì. Âûòàëêèâàåì åå èç ñòåêà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ãðàôåíàéäåí öèêë, ñîäåðæàùèé âñå ðåáðà, èíöèäåíòíûå v1, íî íåÿâëÿþùèéñÿ ýéëåðîâûì.

Íà òðåõ ïîñëåäóþùèõ èòåðàöèÿõ â ñòåê çàíîñÿòñÿ âåðøèíûv3, v4, v2, à èç ñïèñêîâ ñìåæíîñòè óäàëÿþòñÿ âñå îñòàâøèåñÿýëåìåíòû. Òàêèì îáðàçîì, ê íà÷àëó ñåäüìîé èòåðàöèè ñîäåð-æèìîå ñòåêà âûãëÿäèò òàê: v1, v2, v3, v4, v2, ïðè÷åì âåðøèíåñîîòâåòñòâóåò ñàìûé ïðàâûé ýëåìåíò v2. Òàê êàê âñå ñïèñêèñìåæíîñòè òåïåðü ïóñòû, â òå÷åíèå ïîñëåäíèõ ïÿòè èòåðàöèé(7 � 11) âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî âûòàëêèâàíèå âåðøèí èç ñòåêà.Ñïèñîê âñåõ âåðøèí, âûäàííûõ èç ñòåêà (â ïîðÿäêå âûäà÷è),èìååò âèä (v1,v2,v4,v3,v2,v1) è, êàê íåòðóäíî çàìåòèòü, ñîîò-âåòñòâóåò ýéëåðîâó öèêëó äàííîãî ãðàôà.

 ýòîì ãðàôå åñòü åùå îäèí ýéëåðîâ öèêë (v1,v2,v3,v4,v2,v1).ßñíî, ÷òî ëþáûå äâà òàêèõ öèêëà îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãàòîëüêî ïîðÿäêîì îáõîäà ðåáåð.

5.2.3. Î êîëè÷åñòâå ýéëåðîâûõ ãðàôîâ

Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ýéëåðîâûõ ãðàôîâ ÿâëÿåòñÿ äî-ñòàòî÷íî ñëîæíîé. Ðàññìîòðåíèþ ýòîé, à òàêæå äðóãèõ çà-äà÷ ïåðåñ÷åòà è ïåðå÷èñëåíèÿ ãðàôîâ ïîñâÿùåíà ðàáîòà [4].Çäåñü îãðàíè÷èìñÿ òåîðåìîé, õàðàêòåðèçóþùåé äîëþ ýéëåðî-âûõ ãðàôîâ â îáùåì ÷èñëå ïðîñòûõ ïîìå÷åííûõ ãðàôîâ.

108

Òåîðåìà 5.3 Ïî÷òè âñå ãðàôû íå ÿâëÿþòñÿ ýéëåðîâûìè.¤ Ïóñòü G(n) � ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ ïîìå÷åííûõ ãðà-

ôîâ ïîðÿäêà n , à G÷(n) � ìíîæåñòâî âñåõ ãðàôîâ èç G(n) , íåèìåþùèõ âåðøèí íå÷åòíîé ñòåïåíè.

Ëþáîé ãðàô èç G÷(n) ìîæíî ïîëó÷èòü, äîáàâëÿÿ ê íåêî-òîðîìó ãðàôó èç G(n−1) åùå îäíó âåðøèíó è ñîåäèíÿÿ ååñî âñåìè âåðøèíàìè íå÷åòíîé ñòåïåíè (åñëè òàêîâûå èìåþò-ñÿ), ïîýòîìó |G÷(n)|<|G(n−1)| . Òàê êàê ìíîæåñòâî ýéëåðî-âûõ ãðàôîâ Gý(n) ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì G÷(n) , çàïèøåì|Gý(n)|<|G(n−1)| . Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà |G(n)|è ó÷èòûâàÿ, ÷òî |G(n)|=2C(n,2) è |G(n−1)|=2C(n−1,2) , ïîëó÷èì|Gý(n)|/|G(n)| < 2C(n−1,2)−C(n,2) . Óïðîñòèâ ïîêàçàòåëü ñòåïåíèC(n−1, 2)− C(n, 2) = (n−1)!

2!(n−3)!− n!

2!(n−2)!= (n−1)(n−2)

2− n(n−1)

2=

= −(n−1) , îêî÷àòåëüíî èìååì, ÷òî |Gý(n)|/|G(n)| < 2−(n−1) ,à ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n→∞ , lim

n→∞|Gý(n)|/|G(n)|=0 . Ýòî

çíà÷èò, ÷òî ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷èñëà âåðøèí, âîáùåì ÷èñëå ãðàôîâ äîëÿ ýéëåðîâûõ ñòàíîâèòñÿ èñ÷åçàþùåìàëîé, ò. å. |Gý(n)| = o|G(n)| . ¢

5.2.4. Çàäà÷à ïî÷òàëüîíà

Ïóñòü G � ñâÿçíûé ãðàô, èìåþùèé k âåðøèí íå÷åòíîéñòåïåíè è çàäàííûé ìàòðèöåé âåñîâ ðåáåð. Òðåáóåòñÿ íàéòèêðàò÷àéøèé çàìêíóòûé ìàðøðóò, ïðîõîäÿùèé ïî âñåì ðåáðàìãðàôà.  êà÷åñòâå ïðèëîæåíèé, ãäå ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ ðå-øåíèå ýòîé èëè ñõîäíîé çàäà÷è, ìîæíî óêàçàòü êîíòðîëü ðàç-ëè÷íûõ êîììóíèêàöèîííûõ ñåòåé (äîðîæíûõ, ýëåêòðè÷åñêèõ,ãàçîâûõ è ò. ï.), êîãäà íåîáõîäèìî ïðîâåðÿòü âñå ïðîòÿæåííûåêîìïîíåíòû ñåòè.  ëèòåðàòóðå ïî òåîðèè ãðàôîâ ñôîðìóëè-ðîâàííàÿ âûøå çàäà÷à íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé ïî÷òàëüîíà. Ïî-ñëåäíåìó äàëåêî íå áåçðàçëè÷íî çíàíèå íàèáîëåå êîðîòêîãîçàìêíóòîãî ìàðøðóòà îáõîäà âñåõ óëèö ñâîåãî ó÷àñòêà (èëèíåêîòîðîãî èõ ïîäìíîæåñòâà). Àíàëîãè÷íàÿ çàäà÷à ñòîèò èïåðåä êóðüåðîì áîëüøîãî ó÷ðåæäåíèÿ, äîñòàâëÿþùèì äîêó-ìåíòû îò îäíîãî "èñòî÷íèêà" ê ðàçëè÷íûì ïîëó÷àòåëÿì.

109

Ïîêàæåì, êàê ìîæíî ðåøèòü ðàññìàòðèâàåìóþ çàäà÷ó. ßñ-íî, ÷òî â ãðàôå ñóùåñòâóþò k(k−1)/2 êðàò÷àéøèõ ïðîñòûõöåïåé, ñâÿçûâàþùèõ âñå ïàðû âåðøèí íå÷åòíîé ñòåïåíè. Âû-áåðåì èç íèõ k/2 öåïåé, òàêèõ, ÷òî

à) íèêàêèå äâå íå èìåþò îäèíàêîâûõ êîíå÷íûõ âåðøèí;á) ñóììàðíàÿ äëèíà âñåõ ýòèõ öåïåé ìèíèìàëüíà.Çàìåòèì, ÷òî âûáðàííûå öåïè íå ìîãóò èìåòü îáùèõ ðåáåð,

êàê íà ðèñ. 5.11, ÷òî ïðîòèâîðå÷èëî áû ïóíêòó á. Äåéñòâè-òåëüíî, åñëè öåïü (v1, . . . , v2) èìååò îáùåå ðåáðî e ñ öåïüþ(v3, . . . , v4), òî, óäàëèâ ýòî ðåáðî, ïîëó÷èì äâå öåïè, ñâÿçûâà-þùèõ v1 ñ v3 è v2 ñ v4, ñóììàðíàÿ äëèíà êîòîðûõ ìåíüøå,

sv1 ss s

ssv2

sv3 s ss

sv4

@@ �

�e

HH

HH��

��HH

Ðèñ. 5.11

÷åì ó äâóõ ïåðâûõ, íà âåëè÷èíó,ðàâíóþ óäâîåííîìó âåñó ðåáðàe. Ïðîäóáëèðóåì ðåáðà âñåõ âû-áðàííûõ öåïåé â ãðàôå G.  ðå-çóëüòàòå ïîëó÷èì ýéëåðîâ ìóëü-òèãðàô G′, â êîòîðîì íåòðóäíîíàéòè ýéëåðîâ öèêë. Ýòîò öèêë

è îïðåäåëÿåò èñêîìûé ìàðøðóò, îòëè÷àÿñü îò íåãî òåì, ÷òîâìåñòî îáõîäà äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ðåáåð â ãðàôå G′ äâàæäûïðîõîäèò ïî ñîîòâåòñòâóþùåìó ðåáðó â ãðàôå G. Î÷åâèäíî,÷òî äëèíà ìàðøðóòà ðàâíà ñóììå äëèí ðåáåð G′.

G

sv1 sv2 sv3

sv4 s v5 sv6

sv7

sv8

sv9

7

6@@@@

47

����3

1��

��

9 3

29

5����

6 3@@@@4

����

26

4 3

Ðèñ. 5.12G′

sv1 sv2 sv3

sv4 s v5 sv6

sv7

sv8

sv9

@@@@

��

��

��

��

��

��

@@@@

��

��

Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè "ìàðøðóò ïî-÷òàëüîíà" â ãðàôå G, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 5.12 (âåñà ðåáåðïðîñòàâëåíû íà ðèñóíêå). Èìåþòñÿ ÷åòûðå âåðøèíû íå÷åòíîéñòåïåíè v1, v3, v7 è v9, èç êîòîðûõ ìîæíî ñîñòàâèòü C2

4=6

110

ðàçëè÷íûõ ïàð. Íàéäåì êðàò÷àéøóþ öåïü äëÿ êàæäîé ïàðû.Ñ ýòîé öåëüþ ñîñòàâèì ìàòðèöó âåñîâ ãðàôà è, èñïîëüçóÿ àë-ãîðèòì Ôëîéäà, ïîëó÷èì ìàòðèöó D(9) äëèí êðàò÷àéøèõ ïó-òåé (öåïåé) ìåæäó âñåìè âåðøèíàìè19. Âûäåëèì èç íå�å ïîä-ìàòðèöó D

(9)1,3,7,9, îáðàçîâàííóþ ñòðîêàìè è ñòîëáöàìè ñ íîìå-

ðàìè 1, 3, 7 è 9. Ýòî ìàòðèöà äëèí âñåõ êðàò÷àéøèõ öåïåé,ñâÿçûâàþùèõ òîëüêî âåðøèíû íå÷åòíîé ñòåïåíè â ðàññìàòðè-âàåìîì ãðàôå. Îáå ìàòðèöû D(9) è D

(9)1,3,7,9 ïðèâåäåíû íèæå:

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9

D(9)=

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8v9

0 5 12 6 4 9 10 7 85 0 7 3 1 6 7 4 5

12 7 0 10 8 3 9 5 86 3 10 0 2 7 8 5 64 1 8 2 0 5 6 3 49 6 3 7 5 0 6 2 5

10 7 9 8 6 6 0 4 77 4 5 5 3 2 4 0 38 5 8 6 4 5 7 3 0

,

v1 v3 v7 v9

D(9)1,3,7,9=

v1

v3

v7v9

0 12 10 812 0 9 810 9 0 78 8 7 0

.

Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ìàòðèöó D(9)1,3,7,9 , ñëåäóåò âûáðàòü ïà-

ðó öåïåé, îòâå÷àþùèõ ïðèâåäåííûì ðàíåå óñëîâèÿì. Èìååòñÿâñåãî òðè âàðèàíòà îáðàçîâàíèÿ òàêèõ ïàð öåïåé, ïðåäñòàâ-ëåííûå â òàáë. 5.3. Ïîýòîìó çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïóòåì ïðîñòîãîïåðåáîðà.

Òàáëèöà 5.3Ïàðàöåïåé Öåïü Äëèíà Öåïü Äëèíà Îáùàÿ

äëèíà1 v1 − v3 12 v7 − v9 7 12+7=192 v1 − v7 10 v3 − v9 8 10+8=183 v1 − v9 8 v3 − v7 9 8+9=17

Êàê ñëåäóåò èç òàáëèöû, íàèëó÷øèì ÿâëÿåòñÿ âàðèàíò 3.Cëåäîâàòåëüíî, äóáëèðîâàíèþ ïîäëåæàò ðåáðà, îáðàçóþùèåêðàò÷àéøèå öåïè èç v1 â v9 è èç v3 â v7. Íåïîñðåäñòâåí-íî ïî ðèñ. 5.12 ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî ýòî öåïè (v1, v5, v9) è

19 îáùåì ñëó÷àå, êðîìå D(n), íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü è ìàòðèöóâåðøèí-ïðåäøåñòâåííèö P(n) (ñì. ðàçä. 4).

111

(v3, v6, v8, v7). Ïîñëå äóáëèðîâàíèÿ ïÿòè âõîäÿùèõ â íèõ ðåáåðïîëó÷àåì ýéëåðîâ ìóëüòèãðàô G′, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 5.12.Èñïîëüçóÿ, àëãîðèòì Ôë�åðè, íàõîäèì ñëåäóþùèé âàðèàíò ýé-ëåðîâà öèêëà â ãðàôå G′ : (v1, v2, v3, v6, v3, v5, v2, v4, v1, v5, v4, v7,v8, v7, v5, v6, v9, v8, v6, v8, v5, v9, v5, v1), êîòîðûé îäíîâðåìåííî ÿâ-ëÿåòñÿ è êðàò÷àéøèì çàìêíóòûì ìàðøðóòîì ïî÷òàëüîíà âãðàôå G ïðè óñëîâèè, ÷òî ðåáðà {v1,v5},{v5,v9},{v3,v6},{v6,v8},{v7, v8} îáõîäÿòñÿ äâàæäû.

 ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ãðàô ñîäåðæàë òîëüêî ÷åòûðåâåðøèíû íå÷åòíîé ñòåïåíè. Ïîýòîìó ïîèñê îïòèìóìà ïîòðå-áîâàë àíàëèçà âñåãî òðåõ âàðèàíòîâ ðåøåíèÿ. Ïðè á�îëüøåì÷èñëå âåðøèí êîëè÷åñòâî âàðèàíòîâ áûñòðî âîçðàñòàåò. Òàê,åñëè k=6, òî ñóùåñòâóåò C2

6=15 ðàçëè÷íûõ êðàò÷àéøèõ öå-ïåé, ñâÿçûâàþùèõ ïàðû âåðøèí íå÷åòíîé ñòåïåíè. Ïðè ýòîì÷èñëî âîçìîæíûõ êîìáèíàöèé ïî òðè öåïè ñ ðàçëè÷íûìè êîí-öåâûìè âåðøèíàìè ðàâíî 15. Åñëè k=8, òî ÷èñëî âîçìîæ-íûõ êîìáèíàöèé ñîñòàâëÿåò 105, ïðè÷åì êàæäàÿ âêëþ÷àåòâ ñåáÿ ïî ÷åòûðå öåïè.  îáùåì æå ñëó÷àå êîëè÷åñòâî êîì-áèíàöèé, êîòîðûå ïðèäåòñÿ àíàëèçèðîâàòü, îïðåäåëÿåòñÿ êàê3·5·7. . .(k−1), ãäå k � ÷èñëî âåðøèí íå÷åòíîé ñòåïåíè. Òàêèìîáðàçîì, ôàêòè÷åñêè ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü ñàìîñòîÿòåëüíóþ çà-äà÷ó, ýêâèâàëåíòíóþ çàäà÷å îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî ïàðîñî÷å-òàíèÿ20 ìèíèìàëüíîãî âåñà â ïîëíîì ãðàôå ñ ÷åòíûì ÷èñëîìâåðøèí.

5.3. Ãàìèëüòîíîâû öèêëû5.3.1. Îïðåäåëåíèå è óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ

Ãàìèëüòîíîâûì íàçûâàþò ïðîñòîé öèêë, âêëþ÷àþùèéâñå âåðøèíû ñâÿçíîãî íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà. Àíàëîãè÷-íî îïðåäåëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâ êîíòóð äëÿ îðãðàôà. Ãðàô (îð-ãðàô), â êîòîðîì åñòü ãàìèëüòîíîâ öèêë (êîíòóð), íîñèò íà-çûâàíèå ãàìèëüòîíîâà.

20Ïàðîñî÷åòàíèåì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ðåáåð ãðàôà, âûáðàííûõ òàê,÷òî íèêàêèå äâà èç íèõ íå ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè.

112

Ñëîâî "ãàìèëüòîíîâ" â ýòèõ îïðåäåëåíèÿõ ÿâëÿåòñÿ ïðîèç-âîäíûì îò èìåíè Ó. Ãàìèëüòîíà , ïðåäëîæèâøåãî ñëåäóþùóþèãðó ïîä íàçâàíèåì "Êðóãîñâåòíîå ïóòåøåñòâèå". Êàæäîé èçäâàäöàòè âåðøèí äîäåêàýäðà ïðèïèñàíî íàçâàíèå îäíîãî èçãîðîäîâ ìèðà. Òðåáóåòñÿ, ïåðåõîäÿ ïî ðåáðàì äîäåêàýäðà îòîäíîãî ãîðîäà ê äðóãîìó è ïîñåòèâ êàæäûé èç íèõ òîëüêîîäèí ðàç, îêàçàòüñÿ â èñõîäíîé òî÷êå. Î÷åâèäíî, ÷òî çàäà-÷à ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ â ãðàôå äîäåêàýäðà (ãðàô G1 íàðèñ. 5.13) ïðîñòîãî öèêëà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç âñå âåðøèíû.

G1

rr

rr

rr

rrr

r rr

rrr rrrrr

G2

Ðèñ. 5.13

r

r r r

r r r

JJJJJJ

JJJ

JJJ

G3

r rr

rr

rr ��@@

 ãðàôå G2, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 5.13, ãàìèëüòîíîâ öèêëîòñóòñòâóåò, íî èìååòñÿ ïðîñòàÿ öåïü, âêëþ÷àþùàÿ âñå âåðøè-íû. Òàêóþ öåïü íàçûâàþò ãàìèëüòîíîâîé öåïüþ, à ñîäåðæà-ùèé å�å ãðàô � ïîëóãàìèëüòîíîâûì. Íàêîíåö, â ãðàôå G3 íàòîì æå ðèñóíêå íå ñóùåñòâóåò íè ãàìèëüòîíîâîé öåïè, íè òåìáîëåå, ãàìèëüòîíîâà öèêëà.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ãðàôíåãàìèëüòîíîâ.

Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó ïëàíèðîâàíèÿ, õàðàêòåð-íóþ äëÿ õèìè÷åñêîé ïðîìûøëåííîñòè. Èìååòñÿ åäèíñòâåííûéêîìïëåêñ àïïàðàòóðû èëè ðåàêòîð, íà êîòîðîì ìîæíî ïðîèç-âîäèòü n ðàçëè÷íûõ âèäîâ ïðîäóêöèè vi, ïðè÷åì â ëþáîéìîìåíò âðåìåíè ïðîèçâîäèòñÿ òîëüêî îäèí âèä. Ïðè ïåðåõî-äå ê ïðîèçâîäñòâó äðóãîãî âèäà â çàâèñèìîñòè îò êîíêðåòíî-ãî ñî÷åòàíèÿ ïðåäøåñòâóþùåãî è ïîñëåäóþùåãî âèäîâ ëèáîòðåáóåòñÿ ïîäãîòîâêà àïïàðàòóðû (íàñòðîéêà, î÷èñòêà, îõëà-æäåíèå è ò. ï.), ëèáî íå òðåáóåòñÿ. Ïðîäóêòû ïðîèçâîäÿòñÿ âíåïðåðûâíîì öèêëå, òàê ÷òî ïîñëå ïðîèçâîäñòâà â çàäàííûõêîëè÷åñòâàõ âñåõ n âèäîâ ïðîöåññ ïîâòîðÿåòñÿ. Åñòåñòâåííîâîçíèêàåò âîïðîñ î òîì, ñóùåñòâóåò ëè öèêëè÷åñêàÿ ïîñëåäî-âàòåëüíîñòü ïðîèçâîäñòâà n ïðîäóêòîâ, âîîáùå íå òðåáóþùàÿîñòàíîâîê äëÿ ïîäãîòîâêè àïïàðàòóðû.

113

Ïóñòü G � îðãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò ïðî-äóêòàì vi è vj, à äóãè (vi, vj) îòðàæàþò òîò ôàêò, ÷òî ïðî-äóêò vj ìîæåò ïðîèçâîäèòüñÿ ïîñëå vi áåç îñòàíîâêè àïïàðà-òóðû. Òåïåðü îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ çàâèñèò îò òîãî,ñóùåñòâóåò ëè â ãðàôå ãàìèëüòîíîâ êîíòóð èëè íå ñóùåñòâóåò.

Ñðàâíèâàÿ îïðåäåëåíèÿ ýéëåðîâà è ãàìèëüòîíîâà öèêëîâ,íåëüçÿ íå çàìåòèòü èõ ñóùåñòâåííîå ñõîäñòâî.  ïåðâîì ñëó÷àåíàêëàäûâàåòñÿ òðåáîâàíèå îäíîêðàòíîãî ïðîõîæäåíèÿ êàæäî-ãî ðåáðà ãðàôà (âåðøèíû ìîæíî ïðîõîäèòü íåîäíîêðàòíî), àâî âòîðîì � òðåáîâàíèå îäíîêðàòíîãî ïðîõîæäåíèÿ êàæäîéâåðøèíû. È ïîñêîëüêó äëÿ ýéëåðîâûõ öèêëîâ èìååòñÿ âåñüìàïðîñòîå íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ,åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü (â ñèëó îòìå÷åííîãî ñõîäñòâà), ÷òîè äëÿ ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ åñòü ïîäîáíûé êðèòåðèé. Îä-íàêî òàêîé êðèòåðèé íå íàéäåí.  íàñòîÿùåå âðåìÿ èçâåñòíîíåñêîëüêî óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ. Îä-íî èç íèõ óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà Îðå.

Òåîðåìà 5.4 Åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû {v, w} íåñìåæíûõ âåð-øèí ãðàôà G ïîðÿäêà n≥3 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî deg v++ deg w ≥ n , òî G � ãàìèëüòîíîâ ãðàô.

¤ Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåãàìèëüòîíîâ ãðàô G(V, E),â êîòîðîì äëÿ ëþáîé ïàðû íåñìåæíûõ âåðøèí âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî deg v + deg w ≥ n . Áóäåì äîáàâëÿòü ê ãðàôó íî-âûå âåðøèíû, ñîåäèíÿÿ êàæäóþ èç íèõ ñ êàæäîé âåðøèíîéG, äî òåõ ïîð, ïîêà ïîëó÷àþùèéñÿ ïðè ýòîì ãðàô G′(V ′, E ′)íå ñòàíåò ãàìèëüòîíîâûì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç k ìèíèìàëüíîåêîëè÷åñòâî òàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ âåðøèí.

Ïóñòü (v, p, w, . . . , v) � ãàìèëüòîíîâ öèêë â ãðàôå G′, ãäåv, w ∈ V, à p � îäíà èç äîáàâëåííûõ âåðøèí. Çàìåòèì, ÷òîâåðøèíû v è w íå ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè íè â G′, íè òåì áî-ëåå, â G (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ïðè óêàçàííîé ñòðóêòóðå öèê-ëà âåðøèíà p íå íóæíà, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþî ìèíèìàëüíîñòè k ). Áîëåå òîãî, ëþáàÿ âåðøèíà w′∈ adj wíå ìîæåò ñëåäîâàòü çà âåðøèíîé v′∈ adj v, ïîòîìó ÷òî â ýòîìñëó÷àå öèêë ïðèíèìàåò âèä (v, p, w, . . . , v′, w′, . . . , v), è òîãäàîïÿòü âåðøèíà p îêàçûâàåòñÿ ëèøíåé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëèôðàãìåíò w, . . . , v′ "ïåðåâåðíóòü" v′, . . . , w , òî öèêë ìîæíî

114

îðãàíèçîâàòü òàê: (v, v′, . . . , w, w′, . . . , v), íå èñïîëüçóÿ p. Òà-êèì îáðàçîì, â ãàìèëüòîíîâîì öèêëå ãðàôà G′ íå ìîæåò áûòüôðàãìåíòîâ v′, w′, ò. å. çà êàæäîé âåðøèíîé, ñìåæíîé ñ v,äîëæíà ñëåäîâàòü âåðøèíà, íå ñìåæíàÿ ñ w. Ýòî âîçìîæ-íî ïðè óñëîâèè, ÷òî |adj w|≥ deg v, ãäå adj w � ìíîæåñòâîâåðøèí, íå ñìåæíûõ ñ w. Êîëè÷åñòâî òàêèõ âåðøèí â ãðàôåG′, î÷åâèäíî, ðàâíî n+k− deg w. Ïîýòîìó ïðèâåäåííîå óñëî-âèå ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: n+k− deg w≥ deg v, èëè, ñîáèðàÿñòåïåíè â ïðàâîé ÷àñòè, n+k≥ deg w+ deg v. Ïðè ïîñòðîåíèèãðàôà G′ ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû ãðàôà G óâåëè÷èëàñüíà k, çíà÷èò ïðèìåíèòåëüíî ê G íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèän+k≥ deg w+ deg v+2k, à ñ ó÷åòîì èñõîäíîãî ïðåäïîëîæåíèÿdeg v+ deg w≥n, èìååì n+k ≥ n+2k. Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâîóäîâëåòâîðÿåòñÿ ëèøü ïðè k=0. Ïîýòîìó G′=G è, ñëåäîâà-òåëüíî, èñõîäíûé ãðàô ãàìèëüòîíîâ. ¢

Èç äîêàçàííîé òåîðåìû âûòåêàåò òåîðåìà Äèðàêà:Òåîðåìà 5.5 Åñëè äëÿ ëþáîé âåðøèíû v ãðàôà G ïîðÿä-

êà n>3 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî deg v≥n/2, òî G � ãàìèëü-òîíîâ ãðàô.

Ê ñîæàëåíèþ, ýôôåêòèâíîñòü ïðèâåäåííûõ â îáåèõ òåî-ðåìàõ êðèòåðèåâ îñòàâëÿåò æåëàòü ëó÷øåãî. Äåéñòâèòåëüíî,òàê êàê ñóììà ñòåïåíåé âñåõ âåðøèí ãðàôà ðàâíà óäâîåííî-ìó ÷èñëó åãî ðåáåð, òî î÷åâèäíî, ÷òî â ãàìèëüòîíîâîì ãðà-ôå, îòâå÷àþùåì óñëîâèÿì ïîñëåäíåé òåîðåìû, äîëæíî áûòüíå ìåíåå n2/4 ðåáåð.  ÷àñòíîñòè, ïðè n=20 ýòî ñîñòàâëÿåò100 ðåáåð. Îäíàêî ãðàô ñ òàêèì êîëè÷åñòâîì âåðøèí ìîæåòáûòü ãàìèëüòîíîâûì è ïðè ñóùåñòâåííî ìåíüøåì ÷èñëå ðå-áåð. Íàïðèìåð, â ãðàôå G1 íà ðèñ. 5.13, òàêæå èìåþùåì äâà-äöàòü âåðøèí, âñåãî òðèäöàòü ðåáåð, è ñòåïåíè âñåõ åãî âåð-øèí ðàâíû òðåì (à íå äåñÿòè, êàê òîãî òðåáóåò òåîðåìà), íîîí ãàìèëüòîíîâ. Åùå áîëåå ðàçèòåëüíûì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿïðîñòîé öèêë C20, â êîòîðîì òîëüêî äâàäöàòü ðåáåð, à ñòåïå-íè âåðøèí ðàâíû äâóì. Íåñêîëüêî óòðèðóÿ ñóòü äåëà, ìîæíîñêàçàòü: äàííûå êðèòåðèè îòðàæàþò òîò î÷åâèäíûé ôàêò, ÷òîïðè îäíîì è òîì æå ÷èñëå âåðøèí ÷åì áîëüøå â ãðàôå ðåáåð,òåì âûøå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí ãàìèëüòîíîâ.

115

Íèçêàÿ ýôôåêòèâíîñòü ïîäîáíûõ êðèòåðèåâ, ïî-âèäèìîìó,îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ãðàíèöà ìåæäó ãàìèëüòîíîâûìè è íåãà-ìèëüòîíîâûìè ãðàôàìè îïðåäåëÿåòñÿ íå òîëüêî âåëè÷èíîéåãî ñâÿçíîñòè, êîòîðàÿ âî ìíîãîì îïðåäåëÿåòñÿ ñòåïåíÿìè âåð-øèí, íî è äðóãèìè ñòðóêòóðíûìè îñîáåííîñòÿìè ãðàôà. Íà-ãëÿäíûì ïîäòâåðæäåíèåì ýòîãî ìîæåò ñëóæèòü ñëåäóþùàÿòåîðåìà, ÿâëÿþùàÿñÿ îäíèì èç íàèáîëåå ýôôåêòèâíûõ êðè-òåðèåâ, êàñàþùèõñÿ ãàìèëüòîíîâûõ ãðàôîâ.

Òåîðåìà 5.6 Ëþáîé 4-ñâÿçíûé21 ïëàíàðíûé22 ãðàô ÿâëÿ-åòñÿ ãàìèëüòîíîâûì.

 ïëàíå ðàññìîòðåíèÿ âîïðîñà î êðèòåðèÿõ ãàìèëüòîíî-âîñòè íåñêîëüêî "óòåøàåò" ôàêò, äåêëàðèðóåìûé ñëåäóþùåéòåîðåìîé, êîòîðàÿ îòðàæàåò òèïè÷íûé ñëó÷àé.

Òåîðåìà 5.7 Ïî÷òè âñå ãðàôû ãàìèëüòîíîâû.Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñ ðîñòîì ÷èñëà âåðøèí äîëÿ ãàìèëüòîíî-

âûõ ãðàôîâ óâåëè÷èâàåòñÿ, ñòðåìÿñü â ïðåäåëå ê 1. Òàê, èç 34ãðàôîâ, èìåþùèõ 5 âåðøèí, òîëüêî 8 ãàìèëüòîíîâûõ (23,5%),òîãäà êàê ñðåäè 156 ãðàôîâ ñ 6 âåðøèíàìè èõ óæå 48 (30,8%).

5.3.2. Ìåòîäû ïîèñêà ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ

 îñíîâå ýòèõ ìåòîäîâ ëåæèò òîò èëè èíîé ñïîñîá ðåàëèçà-öèè ïåðåáîðà ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ öåïåé. Íàèáîëåå ïðîñòûì,íî âìåñòå ñ òåì è íàèáîëåå òðóäîåìêèì ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðåøå-íèå, êîãäà ïîñëå âûáîðà âåðøèíû víà÷ ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàç-ëè÷íûå ïåðåñòàíîâêè èç ìíîæåñòâà îñòàëüíûõ n−1 âåðøèíè äëÿ êàæäîé ïðîâåðÿåòñÿ íàëè÷èå â ãðàôå ñîîòâåòñòâóþùåéãàìèëüòîíîâîé öåïè. Åñëè òàêàÿ öåïü åñòü è ïîñëåäíÿÿ âåðøè-íà öåïè ñâÿçàíà ñ víà÷, íàéäåí ãàìèëüòîíîâ öèêë. Î÷åâèäíî,÷òî â õóäøåì ñëó÷àå ïðè ýòîì ìåòîäå ïîòðåáóåòñÿ ñôîðìèðî-âàòü âñå (n−1)! ïåðåñòàíîâîê, ïðè÷åì áîëüøàÿ ÷àñòü ðàáîòû

21Ñâÿçíîñòü (ðåáåðíàÿ) îïðåäåëÿåòñÿ êàê íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ðå-áåð, óäàëåíèå êîòîðûõ ïðèâîäèò ê íåñâÿçíîìó ãðàôó.

22Ïëàíàðíûì íàçûâàåòñÿ ãðàô, êîòîðûé ìîæåò áûòü èçîáðàæåí íàïëîñêîñòè òàê, ÷òî íèêàêèå äâà ðåáðà íå ïåðåñåêàþòñÿ.

116

îêàçûâàåòñÿ ïðîäåëàííîé âïóñòóþ. Íà ïðàêòèêå ïðèìåíÿþòìåòîäû ÷àñòè÷íîãî ïåðåáîðà, â îñíîâå êîòîðûõ ëåæàò ðàçëè÷-íûå êðèòåðèè, ïîçâîëÿþùèå èñêëþ÷èòü ðàñìîòðåíèå âàðèàí-òîâ öåïåé, îòñóòñòâóþùèõ â çàäàííîì ãðàôå. Ðàññìîòðèì äâàòàêèõ ìåòîäà, äåìîíñòðèðóþùèõ ðàçíûå ïîäõîäû ê ïîèñêó ãà-ìèëüòîíîâûõ öèêëîâ.

Àëãåáðàè÷åñêèé ìåòîä.  ðàçä. 4.3 áûëà ââåäåíà ìàò-ðèöà âñåõ ìàðøðóòîâ ñ l ïðîìåæóòî÷íûìè âåðøèíàìè äëÿâñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð âåðøèí ãðàôà, îáîçíà÷åííàÿ êàêP(l) è îïðåäåëÿåìàÿ ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ

P(l)=P′×P(l−1),

ãäå l=1, 2, . . . , â êà÷åñòâå P(0) áåðåòñÿ ìàòðèöà ñìåæíîñòèãðàôà, à P′ ïîëó÷àåòñÿ èç òîé æå ìàòðèöû ñìåæíîñòè, åñ-ëè â êàæäîì åå ñòîëáöå åäèíèöû çàìåíèòü ìåòêîé âåðøèíû,ñîîòâåòñòâóþùåé ñòîëáöó.

Î÷åâèäíî, ÷òî ìàòðèöó âñåõ ãàìèëüòîíîâûõ öåïåé ãðàôàìîæíî ïîëó÷èòü, èñêëþ÷èâ èç ìàòðèöû P(n−2) ïðîèçâåäåíèÿñ ïîâòîðÿþùèìèñÿ ñîìíîæèòåëÿìè (ñ÷èòàÿ è êîíå÷íûå âåð-øèíû öåïåé). Äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû îáðàáîòàííîé òàêèìîáðàçîì ìàòðèöû P(n−2) â ñîâîêóïíîñòè îïèñûâàþò âñå ïðî-ñòûå öèêëû ãðàôà, ñîäåðæàùèå n−1 âåðøèí, à äèàãîíàëü-íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû P(n−1) ïîñëå àíàëîãè÷íîé îáðàáîòêèäàþò âñå ïðîñòûå öèêëû ãðàôà, âêëþ÷àþùèå n âåðøèí, ò. å.ãàìèëüòîíîâû öèêëû, ïðè÷åì ëþáîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíòîòðàæàåò âñå öèêëû. Ýòî çíà÷èò, ÷òî âìåñòî ìàòðèöû P(n−1)

äîñòàòî÷íî ñôîðìèðîâàòü òîëüêî îäèí èç åå ñòîëáöîâ, ñîîò-âåòñòâóþùèé ïðîèçâîëüíî âûáðàííîé âåðøèíå v. Èñêîìûéðåçóëüòàò ñîäåðæèòñÿ â ñòðîêå v íàéäåííîãî ñòîëáöà.

Äëÿ âû÷èñëåíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèå

P(l)v = P′ ×P(l−1)

v ,

ãäå l=1, 2, . . . , (n−1), à P(l)v � ñòîëáåö ìàòðèöû P(l), ñîîò-

âåòñòâóþùèé âåðøèíå v.  êà÷åñòâå P(0)v ñëåäóåò ïðèíÿòü

ñòîëáåö v ìàòðèöû ñìåæíîñòè ãðàôà.

117

Ðàáîòà òîëüêî ñ îäíèì ñòîëáöîì ìàòðèöû P(l)v ïîçâîëÿ-

åò â n ðàç óìåíüøèòü òðóäîåìêîñòü âû÷èñëåíèé. Ïîñëåäíÿÿ,îäíàêî, è â ýòîì ñëó÷àå îñòàåòñÿ âåñüìà ñóùåñòâåííîé O(n3).

Äîïîëíèòåëüíûé âûèãðûø ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè íà êàæ-äîì øàãå ïîñëå ïîëó÷åíèÿ î÷åðåäíîãî ñòîëáöà P

(l)v èñêëþ÷àòü

èç íåãî ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîâòîðÿþùèìèñÿ ñîìíîæèòåëÿìè, àòàêæå ïðîèçâåäåíèÿ, â êîòîðûõ õîòü îäèí èç ýëåìåíòîâ ñîâïà-äàåò ñ êîíöåâîé âåðøèíîé ñîîòâåòñòâóþùåé öåïè. Êðîìå òîãî,öåëåñîîáðàçíî "îáíóëÿòü" è äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ñòîëáöà,òàê êàê ïîñëåäíèé îòðàæàåò ëèøü öèêëû äëèíû (l+1)<n, ñî-äåðæàùèå âåðøèíó v.

 êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ïðèìåíåíèå îïèñàííîãî ìåòîäà ðå-øèì çàäà÷ó ïîèñêà ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ â ãðàôå G ñ ìàòðè-öåé ñìåæíîñòè A, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 5.14. Ïóñòü v =a.

Ðèñ. 5.14

G

sa sb sc

sd

se

sf

- -

?

�

?6

�

�����

�����

-

6

������

����

�����

����

����*

a b c d e f

A =

abcdef

0 1 0 0 0 00 0 1 0 1 01 0 0 1 0 00 0 1 0 0 10 0 1 1 0 01 1 1 0 0 0

Òîãäà P(0)a � ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû ñìåæíîñòè, à ìàòðèöà

P′ ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû ñìåæíîñòè, êàê îïèñàíî ðàíåå:

a b c d e f

P′ =

abcdef

0 b 0 0 0 00 0 c 0 e 0a 0 0 d 0 00 0 c 0 0 f0 0 c d 0 0a b c 0 0 0

, P(0)a =

001001

.

 äàííîì ãðàôå øåñòü âåðøèí. Ïîýòîìó ðåøåíèå ïîëó÷èì çàïÿòü èòåðàöèé. Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ïðèâåäåíû íèæå:

118

1) P′P(0)a =

0c0fcc

= P(1)a ; 2) P′P(1)

a =

abcdef

bcecdffcdfbc

, P(2)

a =

0ecdffcdfbc

;

3) P′P(2)a =

abcdef

beccdf + edf

dfccdf + fbccdf + dfcbec + cdf

, P(3)

a =

0cdf + edf

0fbc

cdf + dfcbec

;

4) P′P(3)a =

abcdef

0ecdf + edfc

dfbcfbecdfbc

bcdf + bedf

, P(4)

a =

0ecdf + edfc

0fbecdfbc0

;

5) P′P(4)a =

abcdef

becdf + bedfcedfbcdfbec

0dfbec

becdf + bedfc

, P(5)

a =

becdf + bedfc00000

.

Çäåñü ïîä÷åðêíóòû ýëåìåíòû, ïîäëåæàùèå óäàëåíèþ ïå-ðåä âûïîëíåíèåì ñëåäóþùåé èòåðàöèè. Ýòî äèàãîíàëüíûå ýëå-ìåíòû ïðîìåæóòî÷íûõ ñòîëáöîâ è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîâòîðàìèâåðøèí. Äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ïîñëåäíåãî ñòîëáöà ñîäåðæèòäâà ïðîèçâåäåíèÿ âåðøèí. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ðàññìàòðèâà-åìîì ãðàôå åñòü äâà ãàìèëüòîíîâûõ öèêëà: (a,b,e,c,d,f,a) è(a,b,e,d,f,c,a), ÷òî ëåãêî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî íà ãðàôå.

Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïåðåáîðà.  ïðîòèâîïîëîæ-íîñòü àëãåáðàè÷åñêîìó ìåòîäó, êîãäà îäíîâðåìåííî ôîðìè-ðóþòñÿ âñå öåïè, ýòîò ìåòîä ïðåäïîëàãàåò èõ ïîñëåäîâàòåëü-íîå ïîñòðîåíèå. Íà êàæäîì øàãå "íàðàùèâàåòñÿ" òîëüêî îäíàöåïü ïóòåì äîáàâëåíèÿ äóãè, ñâÿçûâàþùåé åå ïîñëåäíþþ âåð-øèíó ñ îäíîé èç ñìåæíûõ, åùå íå âêëþ÷åííûõ â öåïü. Î÷åâèä-

119

íî, ÷òî ýòîò ïðîöåññ êîíå÷åí â ñèëó óêàçàííîãî îãðàíè÷åíèÿè êîíå÷íîãî ÷èñëà âåðøèí ãðàôà è çàâåðøàåòñÿ, êîãäà òàêîåíàðàùèâàíèå ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì. Åñëè ê ìîìåíòó îñòà-íîâà öåïü ñîäåðæèò âñå âåðøèíû ãðàôà, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ãàìèëü-òîíîâîé, îñòàåòñÿ âûÿñíèòü, åñòü ëè äóãà, ñîåäèíÿþùàÿ êîíåööåïè ñ åå íà÷àëîì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå èìååì ïðîñòóþ öåïü,êîòîðàÿ íå ìîæåò áûòü äàæå ÷àñòüþ ãàìèëüòîíîâà öèêëà.

Ïóñòü a � íà÷àëüíàÿ, v � êîíå÷íàÿ âåðøèíû ñôîðìèðî-âàííîé öåïè, à P � ìíîæåñòâî âåðøèí, âîøåäøèõ â öåïü. Òî-ãäà âàðèàíòû çàâåðøåíèÿ îïèñàííîãî ïðîöåññà âûãëÿäÿò òàê:

à) |P |=n è a∈Γ(v) � íàéäåí ãàìèëüòîíîâ öèêë;á) |P |=n è a/∈Γ(v) � íàéäåíà ãàìèëüòîíîâà öåïü;â) |P |<n è Γ(v)⊆P � ïîëó÷åíà ïðîñòàÿ öåïü äëèíû |P |−1 ,

êîòîðàÿ íå ìîæåò áûòü ïðîäëåíà.Åñëè òðåáóåòñÿ íàéòè ëèøü îäèí ãàìèëüòîíîâ öèêë, òî â

ñëó÷àå (à) çàäà÷ó ìîæíî ñ÷èòàòü ðåøåííîé. Åñëè æå èùóòñÿâñå öèêëû, à òàêæå â ñëó÷àÿõ (á) è (â), íåîáõîäèìî âåðíóòüñÿ êïðåäïîñëåäíåé âåðøèíå íàéäåííîé öåïè u=Pred(v), îòìåòèâïðè ýòîì âåðøèíó v êàê "ïðîçîíäèðîâàííóþ" èç âåðøèíû uè óäàëèâ åå èç P. Òåïåðü â êà÷åñòâå êîíå÷íîé âåðøèíû ñëå-äóåò ðàññìàòðèâàòü âåðøèíó u è ïîïûòàòüñÿ ïðîäëèòü öåïü,âûáðàâ îäíó èç âåðøèí ìíîæåñòâà Γ(u), èñêëþ÷àÿ âåðøè-íû, ñîäåðæàùèåñÿ â P, è âåðøèíû, ïðîçîíäèðîâàííûå èç u.Åñëè æå ìíîæåñòâî Γ(u)−P−"ïðîçîíäèðîâàííûå èç u " îêà-çûâàåòñÿ ïóñòûì, ñëåäóåò âûïîëíèòü âîçâðàò ê ïðåäïîñëåäíåéâåðøèíå òåêóùåé öåïè, ò. å. ê âåðøèíå w=Pred(u), èñêëþ÷èâïðè ýòîì u èç ìíîæåñòâà P è ñíÿâ ïîìåòêó "ïðîçîíäèðîâà-íà" ñî âñåõ âåðøèí ìíîæåñòâà Γ(u)−P.  ïðîöåññå îáðàáîòêèòåêóùàÿ öåïü ìåíÿåòñÿ íà êàæäîì øàãå, óäëèíÿÿñü èëè óêî-ðà÷èâàÿñü, ïðè÷åì åå ïðîìåæóòî÷íûå ñîñòîÿíèÿ ñîîòâåòñòâó-þò âñåì ïðîñòûì öåïÿì ãðàôà, íà÷èíàþùèìñÿ â âåðøèíå a.Ïåðåáîð çàâåðøàåòñÿ, êîãäà ïðîçîíäèðîâàííûìè îêàçûâàþò-ñÿ âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà Γ(a). Ê ýòîìó ìîìåíòó äîëæíûáûòü âûÿâëåíû âñå ãàìèëüòîíîâû öèêëû ãðàôà.

Ïîêàæåì íà ïðèìåðå, êàê "ðàáîòàåò" ðàññìàòðèâàåìûé ìå-òîä. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì ãðàô G èç ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà,

120

ïðîäóáëèðîâàâ åãî íà ðèñ. 5.15, è äîïîëíèâ (âìåñòî ìàòðèöûñìåæíîñòè) ñïèñêîì ñìåæíîñòè Γ. Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿáóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâà P è Γ(vi) êàê óïîðÿäî÷åí-

Ðèñ. 5.15

G

sa sb sc

sd

se

sf

- -

?

�

?6

�����

�����

-

6

�����

����

����

����

���*

Γ =

Γ(a) = {b},Γ(b) = {c, e},Γ(c) = {a, d},Γ(d) = {c, f},Γ(e) = {c, d},Γ(f) = {a, b, c}.

íûå, à ðåçóëüòàòû ïðåîáðàçîâàíèÿ öåïè ïî øàãàì çàíîñèòü âòàáëèöó.  êà÷åñòâå èñõîäíîé îïÿòü áåðåì âåðøèíó a. Ïîýòî-ìó âíà÷àëå ìíîæåñòâî P={a}. Ôèêñèðóåì ýòî â ïåðâîé ñòðîêåòàáë. 5.4. Èìååòñÿ åäèíñòâåííàÿ âåðøèíà, íåïîñðåäñòâåííî

Òàáëèöà 5.4Èòå-ðà-öèÿ

ÖåïüÈòå-ðà-öèÿ

ÖåïüÈòå-ðà-öèÿ

ÖåïüÈòå-ðà-öèÿ

Öåïü

1 a 8 a, b 15 a, b, e 22 a, b, e, d2 a, b 9 a, b, e 16 a, b, e, d 23 a, b, e3 a, b, c 10 a, b, e, c 17 a, b, e, d, c 24 a, b4 a, b, c, d 11 a, b, e, c, d 18 a, b, e, d 25 a5 a, b, c, d, f 12 a,b, e, c,d, f 19 a, b, e, d, f6 a, b, c, d 13 a, b, e, c, d 20 a,b, e,d, f , c7 a, b, c 14 a, b, e, c 21 a, b, e, d, f

äîñòóïíàÿ èç a. Ýòî � âåðøèíà b. Ïîýòîìó âêëþ÷àåì åå âôîðìèðóåìóþ öåïü. Ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâî P ïðèíèìàåòâèä {a, b}.23 Òåïåðü ïûòàåìñÿ íàðàñòèòü öåïü îò âåðøèíû b.Èç íåå, êàê ïîêàçûâàåò ñïèñîê ñìåæíîñòè, âûõîäÿò äâå äóãè(b, c) è (b, e), è îáå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû, òàê êàê íè îä-íà èç âåðøèí c è e íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó P. Âûáèðàåìïåðâóþ èç íèõ c è âêëþ÷àåì â P, ïîëó÷àÿ ïîñëå ýòîãî öåïü(a, b, c). Íà òðåòüåì øàãå èìååì Γ(c)={a, d}, íî ïåðâàÿ â ýòîì

23Çäåñü è äàëåå P îòîæäåñòâëÿåì ñ ôîðìèðóåìîé öåïüþ.

121

ñïèñêå âåðøèíà a∈P, ïîýòîìó áåðåì âòîðóþ � d, ñ ðåçóëüòà-òîì P={a, b, c, d}. Íà ÷åòâåðòîì øàãå, ïîñòóïàÿ àíàëîãè÷íî,äîáàâëÿåì âåðøèíó f, è öåïü ïðèíèìàåò âèä (a, b, c, d, f).

Äàëüíåéøåå íàðàùèâàíèå ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì, òàêêàê âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà Γ(f) óæå ñîäåðæàòñÿ â ñôîðìè-ðîâàííîé öåïè. Ïîýòîìó âîçâðàùàåìñÿ ê âåðøèíå d è âíîâüàíàëèçèðóåì åå ñïèñîê ñìåæíîñòè Γ(d)={c, f}. Çäåñü c∈P, àâåðøèíà f òîëüêî ÷òî ïðîçîíäèðîâàíà, è çíà÷èò, "êàíäèäà-òîâ" äëÿ ïðèñîåäèíåíèÿ ê öåïè íåò. Èñêëþ÷àåì d è âîçâðà-ùàåìñÿ ê âåðøèíå c. Ñ íåé ñèòóàöèÿ ïîâòîðÿåòñÿ, ïîýòîìóïîñëå ñåäüìîé èòåðàöèè öåïü ñîêðàùàåòñÿ äî äâóõ âåðøèí èïðèíèìàåò âèä (a, b), ïðè÷åì âåðøèíà c ïîìå÷åíà êàê ïðî-çîíäèðîâàííàÿ èç b. Ñïèñîê ñìåæíîñòè âåðøèíû b ñîäåðæèòâåðøèíû c è e, èç êîòîðûõ òîëüêî e íå ïðîçîíäèðîâàíà èçb è íå ñîäåðæèòñÿ â òåêóùåé öåïè. Ïîýòîìó ñëåäóåò ïåðåé-òè ê âåðøèíå e. Íà äåâÿòîì øàãå èç äâóõ ïîäõîäÿùèõ âåð-øèí Γ(e)={c, d} âûáèðàåì c, ïîñëå ÷åãî öåïü âûãëÿäèò êàê(a, b, e, c). Åùå äâå èòåðàöèè (10 è 11) ïðîäëåâàþò öåïü äî ãà-ìèëüòîíîâîé, êîòîðàÿ èìååò âèä (a, b, e, c, d, f), è ïîñêîëüêó âãðàôå åñòü äóãà (f, a), ïîëó÷àåì ïåðâûé ãàìèëüòîíîâ öèêë.

Äàëåå ñëåäóþò èòåðàöèè, ñîêðàùàþùèå öåïü äî òåõ ïîð,ïîêà â ñïèñêå ñìåæíîñòè ïîñëåäíåé âåðøèíû íå íàéäåòñÿ ïîä-õîäÿùåãî ïðîäîëæåíèÿ. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ íàñòóïàåò íà øàãå 15,êîãäà öåïü ïðèíèìàåò âèä (a, b, e). Èç äâóõ âåðøèí ìíîæåñòâàΓ(e) îäíà åùå íå èñïîëüçîâàíà. Ýòî âåðøèíà d . Âûáðàâ åå,â èòîãå ïîñëå øàãà 19 ïîëó÷àåì åùå îäíó ãàìèëüòîíîâó öåïü(a, b, e, d, f, c) è ñîîòâåòñòâóþùèé öèêë, òàê êàê â ãðàôå åñòüäóãà (c, a).

Äàëüíåéøèå äåéñòâèÿ ïðèâîäÿò òîëüêî ê ñîêðàùåíèþ öå-ïè. Ïðîöåññ çàâåðøàåòñÿ íà øàãå 25, êîãäà â öåïè îñòàåòñÿòîëüêî èñõîäíàÿ âåðøèíà a. Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíîèìååì äâà öèêëà: (a, b, e, c, d, f, a) è (a, b, e, d, f, c, a), ÷òî ñîâ-ïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì àëãåáðàè÷åñêèì ñïîñîáîì.

Ôîðìàëèçîâàííîå îïèñàíèå ðàññìîòðåííîãî ñïîñîáà ïîèñ-êà ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ, â êîòîðîì:

P � ìíîæåñòâî âåðøèí, âêëþ÷åííûõ â ôîðìèðóåìóþ öåïü;Predu � âåðøèíà, ïðåäøåñòâóþùàÿ âåðøèíå u â öåïè;

122

Wu � ìíîæåñòâî âåðøèí, "ïðîçîíäèðîâàííûõ" èç u ;víà÷ � èñõîäíàÿ âåðøèíà ïðè ïîèñêå öèêëîâ;v � ïîñëåäíÿÿ âåðøèíà òåêóùåé öåïè,

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå:begin { � Ã À Ì È Ë Ü Ò Î Í � }

for u ∈ V do { Âíà÷àëå äëÿ êàæäîé âåðøèíû ãðàôà u }{Wu := ∅; { ìíîæåñòâî ïðîçîíäèðîâàííûõ èç u ïóñòî; }Predu := u; { â êà÷åñòâå ïðåäøåñòâóþùåé ïðèíÿòà u. }

v := víà÷; { Çà ïîñëåäíþþ âåðøèíó öåïè âçÿòà èñõîäíàÿ, }P := {v}; { ò. å. âíà÷àëå öåïü ñîñòîèò èç îäíîé âåðøèíû. }while P 6= ∅ do { Âûïîëíÿòü, ïîêà P íå ïóñòî: }

if Γ(v)−P−Wv 6= ∅ { Åñòü âîçìîæíîñòü ïðîäëèòü öåïü? }{ "äà" }

then

select u ∈ Γ(v)−P−Wv; { Âûáðàòü âåðøèíó u; }P := P+{u}; { âêëþ÷èòü â öåïü; }Predu := v; { òåïåðü v ïðåäøåñòâóåò u; }v := u; { äàëåå ñ÷èòàòü u ïîñëåäíåé â öåïè. }if (P=V )and(víà÷∈Γ(v))

then

{ íàéäåí ãàìèëüòîíîâ öèêë }while Predu 6=∅ do { Âûâîä ñïèñêà }{

output(u); { âåðøèí öåïè, }u:=Predu; { íà÷èíàÿ }

output(u); { ñ êîíå÷íîé. }{ "íåò" }

else

P :=P−{v}; { Èñêëþ÷èòü ïîñëåäíþþ âåðøèíó; }Wv := ∅; { "îïóñòîøèòü" ìíîæåñòâî âåðøèí, }

{ ïðîçîíäèðîâàííûõ èç v; }u := Predv; { u � ïðåäïîñëåäíÿÿ âåðøèíà; }Wu := Wu+{v}; { v ïðîçîíäèðîâàíà èç u; }v := u; { äàëåå ñ÷èòàòü u ïîñëåäíåé â öåïè. }

end. { � Ã À Ì È Ë Ü Ò Î Í � }Âûÿâëåíèå íåãàìèëüòîíîâîñòè ãðàôà. Â îáùåì ñëó-

÷àå óñòàíîâèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ãðàô ãàìèëüòîíîâûì, êàê óæåáûëî ïîêàçàíî â 5.3.1, äîñòàòî÷íî ñëîæíî. Îäíàêî â íåêîòî-ðûõ ñëó÷àÿõ íåãàìèëüòîíîâîñòü ìîæíî âûÿâèòü, íå ïðèáåãàÿê òðóäîåìêèì àëãîðèòìàì. Ðàññìîòðèì ïðèìåðû, èëëþñòðè-ðóþùèå ïðîñòûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Ïóñòü òðåáóåò-ñÿ îïðåäåëèòü õàðàêòåð ãðàôîâ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 5.16.

123

Ãðàô G1 èìååò ñåìü âåðøèí. Çíà÷èò, ñîîòâåòñòâóþùèé ãà-ìèëüòîíîâ öèêë äîëæåí ñîñòîÿòü èç ñåìè ðåáåð, ò. å. èìåòüäëèíó, ðàâíóþ ñåìè. Íî, èç ðèñ. 5.16 âèäíî, ÷òî ãðàô G1 äâó-äîëüíûé è ïîýòîìó (â ñèëó òåîðåìû 1.2) ìîæåò ñîäåðæàòü

Ðèñ. 5.16G1

rr r

r

r r r

CCCCCC

����

BBBB

@@@@

��

��

����

BBBB

������

G2

r r rr r r

r r rr r r

r rr r r

r r rr r r

r r rr r r

������������

������������

������������������������������������

©©©©©©©©

©©©©

òîëüêî öèêëû ÷åòíîé äëèíû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ãðàô íåãà-ìèëüòîíîâ. Îáîáùàÿ, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ëþáîé äâóäîëü-íûé ãðàô ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì âåðøèí íå ìîæåò áûòü ãà-ìèëüòîíîâûì. Òàêèì îáðàçîì, ðåøàÿ çàäà÷ó âûÿâëåíèÿ íåãà-ìèëüòîíîâîñòè äëÿ ãðàôà ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì âåðøèí, öåëåñî-îáðàçíî ïðîâåðèòü åãî íà äâóäîëüíîñòü, èñïîëüçóÿ àëãîðèòì,èçëîæåííûé â ðàçä. 1.3.

Îòìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå äâóäîëüíîñòü ãðàôà (â îò-ëè÷èå îò ãðàôà G1, ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñ. 5.16) íå âñåãäàî÷åâèäíà. Òàê, ãðàô G2 íà ðèñ. 5.16 òàêæå äâóäîëüíûé, íî÷òîáû óñòàíîâèòü ýòî, òðåáóþòñÿ íåêîòîðûå óñèëèÿ.

Ïåðåéäåì ê àíàëèçó ãðàôà G2 , èçîáðàæåíèå êîòîðîãî íàðèñ. 5.16 ñîâìåùåíî ñ òðåõìåðíûì êóáîì òàê, ÷òî âåðøèíûãðàôà ñîâàäàþò ñ ñåðåäèíàìè ãðàíåé è ðåáåð êóáà, à òàêæå ñåãî âåðøèíàìè.  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî ãðàô óëî-æåí íà íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè.  äàííîì ñëó÷àå ýòî ïîâåðõ-íîñòü êóáà. Ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî ãðàô G2 èìååò 26 âåðøèí è48 ðåáåð. Òàê êàê ÷èñëî âåðøèí ÷åòíî, âûøåîïèñàííûé ïðèåìçäåñü íåïðèåìëåì. Ïîñòóïèì èíà÷å, íî ïðåäâàðèòåëüíî ââå-äåì ïîíÿòèå íåçàâèñèìîãî ìíîæåñòâà âåðøèí, ïîä êîòîðûìñëåäóåò ïîíèìàòü ëþáîå ìíîæåñòâî âåðøèí, òàêèõ, ÷òî íèêà-êèå äâå èç íèõ íå ñìåæíû. Íåçàâèñèìîå ìíîæåñòâî íàçûâà-åòñÿ ìàêñèìàëüíûì, åñëè îíî íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîä-

124

ìíîæåñòâîì íåêîòîðîãî íåçàâèñèìîãî ìíîæåñòâà âåðøèí. Âãðàôå G2 åñòü äâà òàêèõ ìíîæåñòâà. Îäíî èç íèõ V1 âêëþ-÷àåò âñå âåðøèíû, íàõîäÿùèåñÿ â ñåðåäèíå ðåáåð êóáà, äðóãîåV2 ñîñòîèò èç âåðøèí, ñîâïàäàþùèõ ñ âåðøèíàìè êóáà è ñå-ðåäèíàìè åãî ãðàíåé. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî V1. Êàæäàÿ èçâõîäÿùèõ â íåãî âåðøèí èíöèäåíòíà ÷åòûðåì ðåáðàì, èç êî-òîðûõ òîëüêî äâà ìîãóò ïðèíàäëåæàòü ãàìèëüòîíîâó öèêëó.Òàê êàê |V1|=12, òî îáùåå ÷èñëî ðåáåð, íå âõîäÿùèõ â öèêëòîëüêî ïî ìíîæåñòâó V1, ðàâíî 24. Îñòàâøèõñÿ 24 ðåáåð èç 48íå äîñòàòî÷íî äëÿ îðãàíèçàöèè ãàìèëüòîíîâà öèêëà, êîòîðûéâ äàííîì ãðàôå äîëæåí áû (ïî ÷èñëó âåðøèí) èìåòü äëèíó26. À ýòî çíà÷èò, ÷òî ãðàô G2 íåãàìèëüòîíîâ.

Îðèãèíàëüíûé ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷è, èñïîëüçóþùèé îñî-áåííîñòè ñòðóêòóðû ãðàôà, ïðåäëîæèë Þ.Í.Çàâàðîâñêèé24.

Ðèñ. 5.17

t[0;0;2] t[0;1;2] t[0;2;2]t[1;0;2] t t

[1;2;2]t[2;0;2] t tt[0;0;1] t[0;1;1] t[0;2;1]

t tt[2;0;1] t t

t[0;0;0] t[0;1;0] t[0;2;0]t t t

[1;2;0]t[2;0;0]

t[2;1;0]

t[2;2;0]

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

©©©©©-©©©©©

6

©©©©©©©©¼

©©©©©

x

y

z

Ñâÿæåì ñ êóáîì, íà êîòîðîì óëîæåí ðàññìàòðèâàåìûé ãðàô,äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì, ñîîò-âåòñòâóþùèì ðåáðó ãðàôà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 5.17. Òîãäàêàæäîé âåðøèíå ìîæíî ïðèïèñàòü ÷èñëîâóþ ïîìåòêó, ðàâíóþñóììå åå êîîðäèíàò. ßñíî, ÷òî ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé âåðøè-íû â äðóãóþ, ñìåæíóþ ñ íåé, çíà÷åíèå ïîìåòêè óâåëè÷èâàåò-ñÿ èëè óìåíüøàåòñÿ íà åäèíèöó, ñòàíîâÿñü ëèáî ÷åòíûì, ëèáî

24Äîöåíò êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè Âñåðîññèéñêîãî çàî÷íîãîôèíàíñîâî-ýêîíîìè÷åñêîãî èíñòèòóòà.

125

íå÷åòíûì. Ïðè òàêîì õàðàêòåðå ÷åðåäîâàíèÿ â ãàìèëüòîíî-âîì öèêëå íà 26 âåðøèí äîëæíî áûòü 13 âåðøèí ñ ÷åòíûìè è13 ñ íå÷åòíûìè ïîìåòêàìè. Îäíàêî ïðîñòîé ïîäñ÷åò ïîêàçû-âàåò, ÷òî â ãðàôå 14 "÷åòíûõ" è 12 "íå÷åòíûõ" âåðøèí, ò. å.ãàìèëüòîíîâà öèêëà áûòü íå ìîæåò.

Åñëè èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå äâóäîëüíîñòè, ìîæíî äàòü èáîëåå ïðîñòîå îáîñíîâàíèå ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà. Ïîñêîëü-êó ãðàô äâóäîëüíûé, ëþáîé öèêë â íåì, â òîì ÷èñëå è ãàìèëü-òîíîâ, äîëæåí ñîäåðæàòü ÷åòíîå ÷èñëî âåðøèí ïðè ñòðîãîì÷åðåäîâàíèè ïî èõ ïðèíàäëåæíîñòè ê ðàçíûì äîëÿì. Ñëåäî-âàòåëüíî, äëÿ ãàìèëüòîíîâîñòè ãðàôà íåîáõîäèìî, ÷òîáû äîëèèìåëè ðàâíîå ÷èñëî âåðøèí.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ýòî íåòàê, çíà÷èò, ãðàô íåãàìèëüòîíîâ.

Âûøåèçëîæåííîå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ëþ-áîé äâóäîëüíûé ãðàô ñ ÷åòíûì ÷èñëîì âåðøèí ìîæåò áûòüãàìèëüòîíîâûì òîëüêî ïðè ðàâåíñòâå åãî äîëåé.

5.4. Çàäà÷à êîììèâîÿæ�åðàÒàê íàçûâàåòñÿ øèðîêî èçâåñòíàÿ êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à èñ-

ñëåäîâàíèÿ îïåðàöèé, êîòîðàÿ â ãðàôîâîé èíòåðïðåòàöèè ôîð-ìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èìååòñÿ ïîëíûé ãðàô (îð-ãðàô), çàäàííûé ìàòðèöåé âåñîâ C. Òðåáóåòñÿ íàéòè ãàìèëü-òîíîâ öèêë ñ ìèíèìàëüíîé ñóììîé ñîñòàâëÿþùèõ åãî ðåáåð(äóã). Åñëè òðàêòîâàòü âåñ ðåáðà ci,j≥0 êàê ðàññòîÿíèå ìåæ-äó âåðøèíàìè vi è vj , òî çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â îòûñêàíèèêðàò÷àéøåãî ãàìèëüòîíîâà öèêëà.

 ëèòåðàòóðå ïî èññëåäîâàíèþ îïåðàöèé ÷àñòî ïðèâîäèò-ñÿ ñëåäóþùàÿ ôîðìóëèðîâêà, îïðåäåëèâøàÿ íàçâàíèå çàäà÷è.Êîììèâîÿæ�åð (àãåíò ïî ñáûòó) äîëæåí ïîñåòèòü n ãîðîäîâ,íà÷èíàÿ ñ îäíîãî èç íèõ, è âåðíóòüñÿ â èñõîäíûé ïóíêò, ïî-áûâàâ â êàæäîì òîëüêî îäèí ðàç. Äëÿ ëþáîé ïàðû ãîðîäîâvi è vj èçâåñòíî ðàññòîÿíèå (âðåìÿ èëè ñòîèìîñòü ïåðååçäà,ïåðåëåòà) ci,j . Êàêèì äîëæåí áûòü êðàò÷àéøèé (íàèáîëåå äå-øåâûé) ìàðøðóò êîììèâîÿæ�åðà?

126

5.4.1. Ïðèìåíåíèå è ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è

Íà ïðàêòèêå ñ ýòîé îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷åé è ðàçëè÷-íûìè åå ìîäèôèêàöèÿìè ïîñòîÿííî ñòàëêèâàþòñÿ ôèðìû èàãåíòñòâà, çàíèìàþùèåñÿ äîñòàâêîé ãðóçîâ. Åùå îäíà îáëàñòüïðèìåíåíèÿ � ýòî ïëàíèðîâàíèå ïðîèçâîäñòâà n ðàçëè÷íûõïðîäóêòîâ íà åäèíñòâåííîì êîìïëåêòå òåõíîëîãè÷åñêîãî îáî-ðóäîâàíèÿ (ñì. ðàçä. 5.3.1). Åñëè ci,j � ýòî âðåìÿ íà ïåðåíà-ëàäêó îáîðóäîâàíèÿ ïðè ïåðåõîäå ê ïðîèçâîäñòâó ïðîäóêòà vj

ïîñëå ïðîäóêòà vi, òî íàèëó÷øèé ïî âðåìåíè ïîðÿäîê ïðîèç-âîäñòâà âñåõ n ïðîäóêòîâ îïðåäåëÿåòñÿ êðàò÷àéøèì ãàìèëü-òîíîâûì öèêëîì â ñîîòâåòñòâóþùåì ïîëíîì ãðàôå.

Íàãëÿäíûé ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ çàäà÷è êîììèâîÿæ�åðà ïðè-âåäåí â [12]. Ïðè ïðîèçâîäñòâå ïå÷àòíûõ ïëàò íåîáõîäèìî ñäå-ëàòü áîëüøîå êîëè÷åñòâî îòâåðñòèé â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ïëà-òû. Àâòîìàòè÷åñêèé ñâåðëèëüíûé ñòàíîê, âûïîëíÿþùèé ýòóîïåðàöèþ, äîëæåí íàðÿäó ñ ñîáñòâåííî ñâåðëåíèåì âûïîëíÿòüïîçèöèîíèðîâàíèå ñâåðëà (ïëàòû). Âðåìåíí�ûå çàòðàòû íà ýòîäåéñòâèå íåïîñðåäñòâåííî çàâèñÿò îò ïîðÿäêà îáõîäà âûøå-óêàçàííûõ òî÷åê. Ìèíèìèçèðîâàòü îáùåå âðåìÿ âûïîëíåíèÿïîäîáíîé îáðàáîòêè ïëàòû ìîæíî çà ñ÷åò âûáîðà îïòèìàëü-íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáõîäà òî÷åê ñâåðëåíèÿ, ò. å. ïåðåäíàìè çàäà÷à êîììèâîÿæ�åðà.

Íåñìîòðÿ íà ïðîñòîòó ôîðìóëèðîâêè, çàäà÷à îêàçûâàåòñÿâåñüìà ñëîæíîé. Ýòî îäíà èç îïòèìèçàöèîííûõ êîìáèíàòîð-íûõ çàäà÷, äëÿ êîòîðûõ ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû íåèçâåñòíû.Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê åå ðåøåíèþ.

Ïðîñòåéøèé ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ïåðåáîðå âñåõ âàðèàí-òîâ, ãîäèòñÿ ëèøü äëÿ ãðàôîâ ìàëîé ðàçìåðíîñòè. Òàê, ïðè÷èñëå âåðøèí n=6, íåîáõîäèìî ñôîðìèðîâàòü (n−1)!=5!=120ïåðåñòàíîâîê, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåò íåêîòîðûé ãà-ìèëüòîíîâ öèêë, ïîäñ÷èòàòü, èñïîëüçóÿ ìàòðèöó âåñîâ, äëèíóâñåõ ýòèõ öèêëîâ è âûáðàòü èç íèõ îïòèìàëüíûé(å).

Áîëåå ïðîäóêòèâåí ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ÷àñòè÷íîì ïå-ðåáîðå, êîãäà íà îñíîâå íåêîòîðûõ êðèòåðèåâ îòáðàñûâàþòñÿçàâåäîìî áåñïåðñïåêòèâíûå âàðèàíòû. Èìåííî òàêîé ïîäõîäðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà âåòâåé è ãðàíèö.

127

5.4.2. Ìåòîä âåòâåé è ãðàíèö

Ïðèíöèï âåòâëåíèÿ. Ðàññìîòðåíèå áóäåì âåñòè ïðèìå-íèòåëüíî ê îðèåíòèðîâàííûì ãðàôàì.  ïîëíîì îðãðàôå èìå-åòñÿ ìíîæåñòâî S0 ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ ðàçëè÷íîé äëèíû.Íàñ èíòåðåñóåò öèêë ìèíèìàëüíîé äëèíû. Äëÿ íà÷àëà íàéäåìíèæíþþ ãðàíèöó ýòîé âåëè÷èíû, ò. å. òàêîå çíà÷åíèå, ìåíüøåêîòîðîãî äëèíà ãàìèëüòîíîâà öèêëà â çàäàííîì ãðàôå íå ìî-æåò áûòü íè ïðè êàêèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ. Ñîîòâåòñòâóþùóþïðîöåäóðó ðàññìîòðèì ïîçäíåå, à ïîêà ïîëàãàåì, ÷òî îöåí-êà íèæíåé ãðàíèöû L0 íàéäåíà. Îïèñûâàåìûé äàëåå ïðîöåññäëÿ ÷åòûðåõâåðøèííîãî ãðàôà G íà ðèñ. 5.18 ìîæíî ïðåä-ñòàâèòü â âèäå áèíàðíîãî äåðåâà T, ïðèâåäåííîãî çäåñü æå.

tv1 tv2

tv3

tv4

-

?

]

s

Y

��

6

�

�

^G

Ðèñ. 5.18

T ±°²¯

L0

S0������

HHHHHH±°²¯

L1

S1(v1, v2)

���

@@@

±°²¯

L3

S3(v3, v4)

��AA

±°²¯

±°²¯

L5

L6

S5(v2, v3) S6 (v2, v3)

��CC

±°²¯

±°²¯

L7 L8

S7 S8

±°²¯

L4

S4 (v3, v4)

±°²¯S2 (v1, v2)

L2

```````````

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `±°²¯

±°²¯

S9 S10

L9 L10

Ìûñëåííî ðàçîáúåì ìíîæåñòâî âñåõ öèêëîâ íà äâà íåïå-ðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâà, èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå êðèòåðèÿâõîæäåíèå â öèêë íåêîòîðîé äóãè, íàïðèìåð (v1, v2). ÏóñòüS1 � ïîäìíîæåñòâî ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ, ñîäåðæàùèõ äó-ãó (v1, v2), à S2 � ïîäìíîæåñòâî öèêëîâ, íå ñîäåðæàùèõ ýòóäóãó. Äëÿ êàæäîãî ïîäìíîæåñòâà íàõîäèì íèæíþþ ãðàíèöóäëèíû ìèíèìàëüíîãî öèêëà. Ïóñòü ýòî áóäóò L1 è L2 ñî-îòâåòñòâåííî, ïðè÷åì L1<L2. Âûáèðàåì ïîäìíîæåñòâî S1 ñìåíüøåé íèæíåé ãðàíèöåé è ðàçáèâàåì åãî íà äâà íåïåðåñå-

128

êàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâà S3 è S4, íî óæå íà îñíîâå äðóãîéäóãè, íàïðèìåð (v3, v4). Çàòåì íàõîäèì íèæíèå ãðàíèöû L3

è L4 äëÿ ýòèõ äâóõ ïîäìíîæåñòâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî L3<L4

è L3<L2. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ðàçáèåíèþ ïîäëåæèò ïîäìíîæå-ñòâî S3. Èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîé öåëè äóãó (v2, v3), ïîëó÷àåìS5 è S6 ñ íèæíèìè ãðàíèöàìè L5 è L6 ñîîòâåòñòâåííî. Íà-êîíåö, åñëè L5 ìåíüøå, ÷åì L6, L4 è L2, ðàçáèåíèå ìíîæå-ñòâà S5 ïî äóãå (v4, v1) äàåò ïîäìíîæåñòâà S7 è S8, èç êî-òîðûõ ïåðâîå ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî ãàìèëüòîíîâà öèêëà(v1, v2, v3, v4), ïðè÷åì íèæíÿÿ ãðàíèöà L7 åñòü äëèíà ýòîãîöèêëà. Ïîäìíîæåñòâî S8 ïóñòî, òàê êàê â ÷åòûðåõâåðøèí-íîì ãðàôå íå ìîæåò áûòü ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ, ñîäåðæàùèõäóãè (v1, v2), (v2, v3), (v3, v4) è íå ñîäåðæàùèõ äóãó (v4, v1). Âêà÷åñòâå íèæíåé ãðàíèöû äëÿ S8 ïîëîæèì ∞. Íà ýòîì ïðî-öåññ âåòâëåíèÿ äåðåâà ìîæíî ñ÷èòàòü çàêîí÷åííûì ïðè óñëî-âèè, ÷òî L7 ìåíüøå íèæíèõ ãðàíèö âñåõ ïîäìíîæåñòâ, ñîîò-âåòñòâóþùèõ ëèñòüÿì äåðåâà, (L2, L4, L6, L8).  ðàçáèðàåìîìïðèìåðå ïî îòíîøåíèþ ê S6

25 è S8 ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿàâòîìàòè÷åñêè (L6=L8=∞), òîãäà êàê S4 è S2 âïîëíå ìîãóòèìåòü íèæíèå ãðàíèöû, íå ïðåâûøàþùèå L7. Åñëè íàïðè-ìåð L2≤L7, òî ïðîöåññ âåòâëåíèÿ ñëåäóåò ïðîäîëæèòü, êàêïîêàçàíî íà ðèñóíêå ïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè. È âïîëíå ìîæåòîêàçàòüñÿ, ÷òî îïòèìàëüíîå ðåøåíèå îêàæåòñÿ íà ýòîì ïóòè.Íî â ëþáîì ñëó÷àå ïðîöåññ çàâåðøàåòñÿ, êîãäà ïîäìíîæåñòâîñ ìèíèìàëüíîé íèæíåé ãðàíèöåé ñîêðàòèòñÿ äî îäíîãî öèêëà.

Îöåíêà íèæíåé ãðàíèöû. Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê ñïîñî-áó îöåíêè íèæíåé ãðàíèöû äëèíû ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ. Èñ-ïîëüçóåì òîò ôàêò, ÷òî åñëè ê ýëåìåíòàì ñòðîêè i ìàòðèöûC ïðèáàâèòü èëè îòíÿòü íåêîòîðîå ÷èñëî αi, òî äëèíà âñåõãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ ñîîòâåòñòâåííî óâåëè÷èòñÿ èëè óìåíü-øèòñÿ íà ýòó âåëè÷èíó. Äåéñòâèòåëüíî, ýëåìåíòû ñòðîêè iîïðåäåëÿþò äëèíû âñåõ äóã, âûõîäÿùèõ èç âåðøèíû vi, è ïî-

25Âîîáùå â ïîëíîì îðãðàôå ñ ÷åòûðìÿ âåðøèíàìè ëþáàÿ äóãà îïðå-äåëÿåò äâà ðàçëè÷íûõ ãàìèëüòîíîâà öèêëà, ò. å. â íàøåì ñëó÷àå ìíîæå-ñòâî S1 ñîñòîèò âñåãî èç äâóõ öèêëîâ. Áîëåå òîãî, â òàêîì ãðàôå ëþáîéãàìèëüòîíîâ öèêë îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ äóãàìè. Ïîýòîìó ìíî-æåñòâî S3 ñîäåðæèò îäèí öèêë, âêëþ÷àþùèé äóãè (v1, v2) è (v3, v4), àýòî çíà÷èò, ÷òî è S4 òàêæå ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî öèêëà, à S6 ïóñòî.

129

ñêîëüêó ëþáîé ãàìèëüòîíîâ öèêë îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò îäíó(è òîëüêî îäíó) èç ýòèõ äóã, åãî äëèíà èçìåíèòñÿ íà âåëè÷èíóαi. ßñíî, ÷òî ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó öèêëàìè ïî äëèíåñîõðàíÿòñÿ, ò. å. ñàìûé êîðîòêèé òàêîâûì è îñòàíåòñÿ. Òî÷íîòàêèå æå ðàññóæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû è äëÿ ñòîëáöà j ìàòðè-öû âåñîâ, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî ðå÷ü èäåò îáî âñåõ äóãàõ,âõîäÿùèõ â âåðøèíó vj.

Ïóñòü αi= min{ci,j}, j=1, n � ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò ñòðî-êè i ìàòðèöû C. Ïðåîáðàçóåì ìàòðèöó ïóòåì âû÷èòàíèÿèç ýëåìåíòîâ êàæäîé ñòðîêè ñîîòâåòñòâóþùåãî ìèíèìàëüíî-ãî ýëåìåíòà ýòîé ñòðîêè, ïîëîæèâ ci,j=ci,j−αi, j=1, n. Òàêàÿîïåðàöèÿ íîñèò íàçâàíèå ðåäóêöèè ìàòðèöû ïî ñòðîêàì.Î÷å-âèäíî, ÷òî ïîñëå åå âûïîëíåíèÿ êàæäàÿ ñòðîêà äîëæíà ñîäåð-æàòü õîòÿ áû ïî îäíîìó íóëåâîìó ýëåìåíòó.

Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàöèÿ ðåäóêöèèìàòðèöû ïî ñòîëáöàì. Íàõîäÿòñÿ ìèíèìàëüíûå ýëåìåíòû ïîñòîëáöàì βj= min{ci,j}, i=1, n, ïîñëå ÷åãî âûïîëíÿåòñÿ ïðå-îáðàçîâàíèå ci,j=ci,j−βj, i=1, n ïî âñåì ñòîëáöàì ìàòðèöû. Âðåçóëüòàòå â êàæäîì ñòîëáöå ïîÿâèòñÿ õîòÿ áû îäèí íóëåâîéýëåìåíò.

Ïîíÿòíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå ïîëíîé ðåäóêöèè âåñîâîé ìàò-ðèöû êàê ïî ñòðîêàì, òàê è ïî ñòîëáöàì, äëèíû âñåõ ãàìèëü-òîíîâûõ öèêëîâ â ãðàôå äîëæíû óìåíüøèòüñÿ íà âåëè÷èíó∆=

∑ni=1 αi+

∑nj=1 βj. Ýòà âåëè÷èíà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ

êàê áåçóñëîâíàÿ íèæíÿÿ ãðàíèöà äëèíû êðàò÷àéøåãî ãàìèëü-òîíîâà öèêëà â ïîëíîì îðãðàôå.

Ïîêàæåì, êàê îïðåäåëÿåòñÿ íèæíÿÿ ãðàíèöà ìíîæåñòâàãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå îíè ñîäåðæàòíåêîòîðóþ äóãó, íàïðèìåð (vi, vj). Òàê êàê ëþáàÿ âåðøèíà âöèêëå ìîæåò èìåòü òîëüêî îäíó âõîäÿùóþ è îäíó âûõîäÿùóþäóãó, èñïîëüçîâàíèå (vi, vj) ôàêòè÷åñêè íàêëàäûâàåò çàïðåòíà âêëþ÷åíèå îñòàëüíûõ äóã, âûõîäÿùèõ èç vi è âõîäÿùèõâ vj. Çàïðåòèòü èñïîëüçîâàíèå ýòèõ äóã ìîæíî, èñêëþ÷èâ èçâåñîâîé ìàòðèöû ñòðîêó i è ñòîëáåö j. Êðîìå òîãî, íåîáõî-äèìî çàïðåòèòü èñïîëüçîâàíèå äóãè (vj, vi), êîòîðàÿ îáðàçóåòöèêë ñ (vi, vj). Ñ ýòîé öåëüþ äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü cj,i=∞.

130

Ðåäóêöèÿ ïðåîáðàçîâàííîé òàêèì îáðàçîì ìàòðèöû ïîçâîëÿ-åò ïîëó÷èòü íèæíþþ ãðàíèöó ìíîæåñòâà öèêëîâ, ñîäåðæàùèõäóãó (vi, vj).

Íèæíÿÿ ãðàíèöà äëÿ ìíîæåñòâà ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ,íå ñîäåðæàùèõ (vi, vj), ïîëó÷àåòñÿ ïóòåì ðåäóêöèè âåñîâîéìàòðèöû, â êîòîðîé ýëåìåíò ci,j ïîëàãàåì ðàâíûì ∞.

Íàêîíåö, äóãó, ïî êîòîðîé ïðîèñõîäèò ðàçáèåíèå î÷åðåä-íîãî ðàññìàòðèâàåìîãî ïîäìíîæåñòâà ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ,(ñì. áèíàðíîå äåðåâî íà ðèñ. 5.18) öåëåñîîáðàçíî âûáèðàòüèç ÷èñëà òåõ, âåñà êîòîðûõ â ðåäóöèðîâàííîé ìàòðèöå îêà-çàëèñü íóëåâûìè. Âî-ïåðâûõ, ýòî íàèáîëåå êîðîòêèå äóãè è,âî-âòîðûõ, îíè ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè åñòåñòâåííîé (âîçìîæíîäàæå öèêëè÷åñêîé) ñòðóêòóðû â ãðàôå, èìåþùåé ìèíèìàëü-íóþ äëèíó. Îäíàêî êîëè÷åñòâî òàêèõ äóã äîâîëüíî âåëèêî,íå ìåíåå ÷èñëà âåðøèí â ãðàôå. Çàäà÷à âûáîðà ìîæåò áûòüðåøåíà ïóòåì îöåíêè äëÿ êàæäîé èç íèõ "øòðàôà" (ïîòåðü)çà íåâêëþ÷åíèå äóãè â ãàìèëüòîíîâ öèêë. Ïóñòü, íàïðèìåð,(vi, vj) îäíà èç äóã ñ íóëåâûì âåñîì, íå âêëþ÷åííàÿ â öèêë.Çíà÷èò, â öèêëå èìååòñÿ îðöåïü, ñâÿçûâàþùàÿ âåðøèíó vi ñvj. Íà÷àëüíîé äóãîé ýòîé öåïè äîëæíà áûòü îäíà èç äóã, âû-õîäÿùèõ èç vi è îòëè÷íàÿ îò (vi, vj), à êîíå÷íîé � îäíà èç äóã,âõîäÿùèõ â vj è òàêæå îòëè÷íàÿ îò (vi, vj). Íà ñóììó âåñîâýòèõ äóã â ðåäóöèðîâàííîé ìàòðèöå è ïðîèçîéäåò óäëèíåíèåöèêëà ïðè îòêàçå îò èñïîëüçîâàíèÿ äóãè (vi, vj). Îáîçíà÷èììèíèìàëüíûé ýëåìåíò i ñòðîêè (íå ñ÷èòàÿ ci,j ) êàê Ai, àìèíèìàëüíûé ýëåìåíò j ñòîëáöà (òàêæå íå ñ÷èòàÿ ci,j ) êàêBj. Íàçîâåì øòðàôîì çà íåèñïîëüçîâàíèå äóãè (vi, vj) ñóììóφi,j=Ai+Bj. Ìàêñèìàëüíûé èç øòðàôîâ ïî ìíîæåñòâó "íó-ëåâûõ" äóã ðåäóöèðîâàííîé ìàòðèöû îïðåäåëÿåò òó èç íèõ,ïî êîòîðîé öåëåñîîáðàçíî âûïîëíÿòü äàëüíåéøåå ðàçáèåíèåî÷åðåäíîãî ïîäìíîæåñòâà öèêëîâ.

Ïðèìåð. Ðàçáåðåì ïðèìåð íà ïðèìåíåíèå îïèñàííîãî âà-ðèàíòà ðåàëèçàöèè ìåòîäà âåòâåé è ãðàíèö. Ïóñòü ãðàô çàäàíìàòðèöåé âåñîâ, íà ðèñ. 5.19,à.26 Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó îñîáîé

26Íå îáÿçàòåëüíî, ÷òîáû ìàòðèöà áûëà ñèììåòðè÷íîé, õîòÿ ýòî ïðåä-ñòàâëÿåòñÿ íàèáîëåå åñòåñòâåííûì ïðè òðàêòîâêå âåñîâ äóã êàê ðàññòîÿ-íèé. Ðàññìàòðèâàåìûé àëãîðèòì äàåò ðåøåíèå â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå.

131

ðîëè "íóëåâûõ" äóã â êà÷åñòâå çíà÷åíèÿ äëÿ äèàãîíàëüíûõýëåìåíòîâ ìàòðèöû âìåñòî íóëÿ èñïîëüçóåòñÿ ∞.

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 ∞ 3 93 13 33 9v2 4 ∞ 77 42 21 16v3 45 17 ∞ 36 16 28v4 39 90 80 ∞ 56 7v5 28 46 88 33 ∞ 25v6 3 88 18 46 92 ∞

v1 v2 v3 v4 v5 v6 αi Ai

v1 ∞ 0 75 2 30 6 3 2v2 0 ∞ 58 30 17 12 4 12v3 29 1 ∞ 12 0 12 16 1v4 32 83 58 ∞ 49 0 7 32v5 3 21 48 0 ∞ 0 25 3v6 0 85 0 35 89 ∞ 3 0βj 0 0 15 8 0 0 ∆=81Bj 0 1 48 2 17 0 φ6,3=48

à áÐèñ. 5.19

Âûïîëíèâ ðåäóêöèþ ïî ñòðîêàì è ïî ñòîëáöàì, ïîëó÷à-åì ìàòðèöó, ïîêàçàííóþ íà ðèñ. 5.19,á. Òàì æå ïðåäñòàâëå-íû ñòîëáåö αi è ñòðîêà βj, èñïîëüçîâàííûå ïðè ðåäóêöèè.Ñóììèðóÿ èõ ñîäåðæèìîå, íàõîäèì íà÷àëüíóþ îöåíêó íèæíåéãðàíèöû äëèíû ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ L0=∆=81. Äëÿ êàæ-äîé "íóëåâîé" äóãè ïîëó÷åííîé ìàòðèöû îòûñêèâàåì ñîñòàâ-ëÿþùèå øòðàôà φi,j=Ai+Bj è çàïèñûâàåì èõ â ñòîëáåö Ai èñòðîêó Bj. Ìàêñèìàëüíûé øòðàô φ6,3=A6+B3=48 ñîîòâåò-ñòâóåò äóãå (v6, v3). Ïîýòîìó èìåííî åå öåëåñîîáðàçíî âçÿòüâ êà÷åñòâå îñíîâû ïðè ðàçáèåíèè ìíîæåñòâà ãàìèëüòîíîâûõöèêëîâ íà äâà ïîäìíîæåñòâà S(v6, v3) è S(v6, v3), òàêèõ, ÷òîâñå öèêëû ïåðâîãî ñîäåðæàò óêàçàííóþ äóãó, âñå öèêëû âòîðî-ãî åå íå ñîäåðæàò. Ýòèì ïîäìíîæåñòâàì ñîîòâåòñòâóþò ìàòðè-öû íà ðèñ. 5.20,à,â. Ïåðâàÿ ïîëó÷åíà ïóòåì âû÷åðêèâàíèÿ øå-ñòîé ñòðîêè è òðåòüåãî ñòîëáöà â ìàòðèöå íà ðèñ. 5.19,á. Êðî-ìå òîãî, ýëåìåíò c3,6 ïðèíÿò ðàâíûì ∞, ÷òîáû çàáëîêèðî-âàòü èñïîëüçîâàíèå äóãè (v3, v6), îáðàçóþùåé öèêë ñ (v6, v3).Âòîðàÿ ìàòðèöà (â) ïîëó÷àåòñÿ, åñëè â ìàòðèöå íà ðèñ. 5.19,áçíà÷åíèå ýëåìåíòà c6,3 ïîëîæèòü ðàâíûì ∞, çàïðåùàÿ òåìñàìûì èñïîëüçîâàíèå äóãè (v6, v3).

Íèæíÿÿ ãðàíèöà äëèíû öèêëîâ ïîäìíîæåñòâà S(v6, v3),î÷åâèäíî, ðàâíà L2=L0+φ6,3=81+48=129, ò. å. ïî ñðàâíåíèþ

132

ñ íàéäåííîé íèæíåé ãðàíèöåé äëèíû âñåõ öèêëîâ âîçðàñòàåòíà âåëè÷èíó φ6,3 êàê "ïëàòà" çà íåèñïîëüçîâàíèå äóãè (v6, v3).

S(v6, v3) S(v6, v3)

v1 v2 v4 v5 v6

v1 ∞ 0 2 30 6v2 0 ∞ 30 17 12v3 29 1 12 0 12

∞v4 32 83 ∞ 49 0v5 3 21 0 ∞ 0

L1=L0+∆=81

v1 v2 v4 v5 v6 αi Aj

v1 ∞ 0 2 30 6 0 2v2 0 ∞ 30 17 12 0 12v3 29 1 12 0 ∞ 0 1v4 32 83 ∞ 49 0 0 32v5 3 21 0 ∞ 0 0 0βj 0 0 0 0 0 0Bj 3 1 2 17 0 32

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 ∞ 0 75 2 30 6v2 0 ∞ 58 30 17 12v3 29 1 ∞ 12 0 12v4 32 83 58 ∞ 49 0v5 3 21 48 0 ∞ 0v6 0 85 ∞ 35 89 ∞

L2=L0+φ6,3=129

à á âÐèñ. 5.20

×òîáû îïðåäåëèòü L1 � íèæíþþ ãðàíèöó äëèíû öèêëîâïîäìíîæåñòâà S(v6, v3), íåîáõîäèìî ïðîâåñòè ðåäóêöèþ ìàò-ðèöû, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 5.20,à. Ëþáàÿ ñòðîêà è ñòîë-áåö ýòîé ìàòðèöû ñîäåðæàò íóëåâîå çíà÷åíèå, ñëåäîâàòåëüíî,ðåäóöèðîâàííàÿ ìàòðèöà èäåíòè÷íà èñõîäíîé.  ýòîì ñëó÷àå∆=

∑αi+

∑βj=0 (ñì. ðèñ. 5.20,á ). Ïîýòîìó íèæíÿÿ ãðàíèöà

äëÿ ïîäìíîæåñòâà S(v6, v3) ñîâïàäàåò ñ ðàíåå íàéäåííîé íèæ-íåé ãðàíèöåé äëÿ âñåãî ìíîæåñòâà ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ,ò. å. ðàâíà 81. Ñðàâíèâàÿ íèæíèå ãðàíèöû îáîèõ ïîäìíîæåñòâ,óáåæäàåìñÿ, ÷òî äëÿ S(v6, v3) îíà íèæå. Çíà÷èò, ðàçáèåíèþïîäëåæèò èìåííî ýòî ïîäìíîæåñòâî. Ðåçóëüòàòû ïîèñêà äó-ãè, ïî êîòîðîé ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü ðàçáèåíèå, ïðåäñòàâëåíûíà ðèñ. 5.20,á. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå øòðàôà φ4,6=32 óêà-çûâàåò íà äóãó (v4, v6). Ïîýòîìó ðàçáèâàåì S(v6, v3) íà äâàïîäìíîæåñòâà, îäíî èç êîòîðûõ � S(v4, v6) ñîñòîèò èç öèê-ëîâ, ñîäåðæàùèõ äóãó (v4, v6), öèêëû äðóãîãî � S(v4, v6) ýòîéäóãè íå ñîäåðæàò. Íàçâàííûì ïîäìíîæåñòâàì ñîîòâåòñòâóþòìàòðèöû íà ðèñ. 5.21,à,â. Ïåðâàÿ ïîëó÷àåòñÿ, åñëè óäàëèòüñòðîêó v4 è ñòîëáåö v6 ìàòðèöû íà ðèñ. 5.20. Ýòî ñîîòâåò-ñòâóåò âêëþ÷åíèþ â öèêë äóãè (v4, v6), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ôîð-ìèðóåòñÿ îðöåïü (v4, v6, v3). ×òîáû íå äîïóñòèòü îáðàçîâàíèÿ

133

òðåõâåðøèííîãî öèêëà (v4, v6, v3, v4), ñëåäóåò çàáëîêèðîâàòüèñïîëüçîâàíèå îáðàòíîé äóãè (v3, v4). Ïîýòîìó c3,4 ïîëàãàåìðàâíûì ∞ . Âòîðàÿ ìàòðèöà (â) ïîëó÷àåòñÿ, åñëè â ìàòðèöåíà ðèñ. 5.20,á çíà÷åíèå ýëåìåíòà c4,6 ïîëîæèòü ðàâíûì ∞,çàïðåùàÿ òåì ñàìûì èñïîëüçîâàíèå äóãè (v4, v6).

S(v4, v6) S(v4, v6)

v1 v2 v4 v5

v1 ∞ 0 2 30v2 0 ∞ 30 17v3 29 1 12

∞ 0v5 3 21 0 ∞L3=L1+∆=81

v1 v2 v4 v5 αi Ai

v1 ∞ 0 2 30 0 2v2 0 ∞ 30 17 0 17v3 29 1 ∞ 0 0 1v5 3 21 0 ∞ 0 3βj 0 0 0 0 0Bj 3 1 2 17 20

v1 v2 v4 v5 v6

v1 ∞ 0 2 30 6v2 0 ∞ 30 17 12v3 29 1 12 0 ∞v4 32 83 ∞ 49 ∞v5 3 21 0 ∞ 0

L4=L1+φ4,6=113

à á âÐèñ. 5.21

Íèæíÿÿ ãðàíèöà äëèíû öèêëîâ ïîäìíîæåñòâà S(v4, v6),ò. å. öèêëîâ, ñîäåðæàùèõ (v6, v3) è íå ñîäåðæàùèõ (v4, v6),ðàâíà ñóììå íèæíåé ãðàíèöû ïîäìíîæåñòâà S(v6, v3) è øòðà-ôà φ4,6 çà íåèñïîëüçîâàíèå (v4, v6) : L4=L1+φ4,6=81+32=113.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íèæíåé ãðàíèöû ïîäìíîæåñòâà S(v4, v6),â êîòîðîì âñå öèêëû ñîäåðæàò (v4, v6) è (v6, v3), ðåäóöèðóåììàòðèöó, ïðåäñòàâëåííóþ íà ðèñ. 5.21,à. È çäåñü ðåäóöèðî-âàííàÿ ìàòðèöà èäåíòè÷íà èñõîäíîé (ñì. ðèñ. 5.21,á). Ïîýòî-ìó íèæíÿÿ ãðàíèöà L3 ïîäìíîæåñòâà S(v4, v6) ñîâïàäàåò ñðàíåå íàéäåííîé íèæíåé ãðàíèöåé äëÿ S(v6, v3) è ðàâíà 81.Ýòî ìåíüøå, ÷åì íèæíÿÿ ãðàíèöà L4 äëÿ S(v4, v6) è íèæ-íÿÿ ãðàíèöà L2 äëÿ S(v6, v3). Çíà÷èò, ðàçáèåíèþ ïîäëåæèòS(v4, v6). Ðåçóëüòàòû ïîèñêà äóãè, ïî êîòîðîé ñëåäóåò ïðîèç-âîäèòü ðàçáèåíèå, ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5.21,á. Ìàêñèìàëüíîåçíà÷åíèå øòðàôà φ2,1=20 óêàçûâàåò íà äóãó (v2, v1). Ðàçáèâà-åì S(v4, v6) íà äâà ïîäìíîæåñòâà S(v2, v1) è S(v2, v1). Ïåðâîåñîñòîèò èç öèêëîâ, ñîäåðæàùèõ äóãó (v2, v1), öèêëû âòîðîãîýòîé äóãè íå ñîäåðæàò. Óêàçàííûì ïîäìíîæåñòâàì ñîîòâåò-ñòâóþò ìàòðèöû íà ðèñ. 5.22,à,â. Ìàòðèöà à ïîëó÷àåòñÿ, åñëè

134

óäàëèòü ñòðîêó v2 è ñòîëáåö v1 èç ìàòðèöû íà ðèñ. 5.21,á, àýëåìåíò c1,2 ïîëîæèòü ðàâíûì ∞, ÷òîáû èñêëþ÷èòü îáðàò-íóþ äóãó (v1, v2). Ìàòðèöà â ïîëó÷àåòñÿ, åñëè â ìàòðèöå íàðèñ. 5.21,á ýëåìåíò c2,1 ïîëîæèòü ðàâíûì ∞, çàïðåùàÿ òåìñàìûì èñïîëüçîâàíèå äóãè (v2, v1).

S(v2, v1) S(v2, v1)

v2 v4 v5

v10∞ 2 30

v3 1 ∞ 0v5 21 0 ∞L5=L3+∆=84

v2 v4 v5 αi Ai

v1 ∞ 0 28 2 28v3 0 ∞ 0 0 0v5 20 0 ∞ 0 20βj 1 0 0 3Bj 20 0 28 28

v1 v2 v4 v5

v1 ∞ 0 2 30v2 ∞ ∞ 30 17v3 29 1 ∞ 0v5 3 21 0 ∞

L6=L3+φ2,1=101

à á âÐèñ. 5.22

Íèæíÿÿ ãðàíèöà L6 ïîäìíîæåñòâà S(v2, v1) íàõîäèòñÿ êàêñóììà íèæíåé ãðàíèöû L3 äëÿ S(v4, v6) è øòðàôà φ2,1 çàíåèñïîëüçîâàíèå äóãè (v2, v1) : L6=81+20=101.

×òîáû íàéòè íèæíþþ ãðàíèöó L5 ïîäìíîæåñòâà S(v2, v1),ñëåäóåò âûïîëíèòü ðåäóêöèþ ìàòðèöû à. Ðåçóëüòàò ýòîé îïå-ðàöèè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 5.22,á. Ïàðàìåòð ∆=

∑αi+

∑βj â

äàííîì ñëó÷àå ðàâåí 3. Ïîýòîìó íèæíÿÿ ãðàíèöà äëÿ S(v2, v1)èìååò çíà÷åíèå L5=L3+∆=81+3=84.

Òàê êàê L5 ìåíüøå, ÷åì íèæíèå ãðàíèöû L6, L4 è L2 ïîä-ìíîæåñòâ S(v2, v1) ,S(v4, v6) è S(v6, v3) ñîîòâåòñòâåííî, òî î÷å-ðåäíîìó ðàçáèåíèþ ïîäëåæèò S(v2, v1).

Èñïîëüçóÿ ðåäóöèðîâàííóþ ìàòðèöó, ïðåäñòàâëåííóþ íàðèñ. 5.22,á, íàõîäèì, ÷òî ìàêñèìàëüíûé ñóììàðíûé øòðàôφ1,4=A1+B4=28+0=28 ñîîòâåòñòâóåò äóãå (v1, v4). Ðàçáèåíèåìíîæåñòâà S(v2, v1) ïî ýòîé äóãå ïîðîæäàåò åùå äâà ïîäìíî-æåñòâà S(v1, v4) è S(v1, v4). Ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòðèöû ïðåä-ñòàâëåíû íà ðèñ. 5.23,à,â.

Ïåðâàÿ ìàòðèöà (à) ïîëó÷åíà èç ìàòðèöû íà ðèñ. 5.22,á ïó-òåì óäàëåíèÿ ñòðîêè v1 è ñòîëáöà v4. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó

135

äóãà (v1, v4) ñîâìåñòíî ñ ðàíåå âûáðàííûìè äóãàìè îáðàçóåòîðöåïü (v2, v1, v4, v6, v3), íåîáõîäèìî çàïðåòèòü èñïîëüçîâàíèåäóãè (v3, v2), çàìûêàþùåé ýòó öåïü. Ïîëàãàåì c3,2=∞.

Âòîðàÿ ìàòðèöà (â) ïîëó÷àåòñÿ, åñëè â ìàòðèöå, ïðåäñòàâ-ëåííîé íà ðèñ. 5.22,á, ïðèíÿòü c1,4=∞, ÷òîáû çàáëîêèðîâàòüèñïîëüçîâàíèå äóãè (v1, v4).

Íèæíèå ãðàíèöû äëÿ ïîäìíîæåñòâ S(v1, v4) è S(v1, v4)ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû L7=104 è L8=112, ïðè÷åì äëÿ îòûñ-êàíèÿ L7 âûïîëíåíà ðåäóêöèÿ (ñì. ðèñ. 5.23,á) ìàòðèöû íàðèñ. 5.23,à.

S(v1, v4) S(v1, v4)

v2 v5

v30∞ 0

v5 20 ∞L7=L5+∆=104

v2 v5 αi A

v3 ∞ 0 0 ∞v5 0 ∞ 20 ∞βj 0 0 20B ∞ ∞ ∞

v2 v4 v5

v1 ∞ ∞ 28v3 0 ∞ 0v5 20 0 ∞

L8=L5+φ1,4=112

à á âÐèñ. 5.23

Ñîäåðæèìîå ìàòðèöû íà ðèñ. 5.23,á óêàçûâàåò íà åäèí-ñòâåííóþ âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ãàìèëüòîíîâà öèêëà íà îñíî-âå ñôîðìèðîâàííîé ê äàííîìó ìîìåíòó öåïè (v2, v1, v4, v6, v3).Ýòî èñïîëüçîâàíèå "íóëåâûõ" äóã (v3, v5) è (v5, v2).  ðåçóëü-òàòå èìååì ãàìèëüòîíîâ öèêë (v2, v1, v4, v6, v3, v5, v2), äëèíàêîòîðîãî ðàâíà L7, ò. å. 104. Íà ôîíå çíà÷åíèé âåñîâ äóã, ñî-äåðæàùèõñÿ â èñõîäíîé ìàòðèöå (ñì. ðèñ. 5.19,à), ïîëó÷åííûéðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿåòñÿ î÷åíü õîðîøèì, îäíàêî óòâåðæäàòü,÷òî ýòî êðàò÷àéøèé öèêë, ïîêà íåëüçÿ. Äåéñòâèòåëüíî, íèæ-íÿÿ ãðàíèöà L6, äëÿ ìíîæåñòâà S(v2, v1)

27 èìååò çíà÷åíèå 101(ñì. ðèñ. 5.22,â), à ýòî ìåíüøå, ÷åì äëèíà íàéäåííîãî ãàìèëü-òîíîâà öèêëà. Ïîýòîìó âïîëíå âîçìîæíî, ÷òî ñðåäè öèêëîâýòîãî ìíîæåñòâà åñòü öèêë ìåíüøåé, ÷åì L7, èëè ðàâíîé äëè-íû. Ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìî ïðîäîëæèòü ïðîöåññ ðàçáèå-

27Ìíîæåñòâî ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ, ñîäåðæàùèõ äóãè (v4, v6) è(v6, v3), íî íå ñîäåðæàùèõ äóãó (v2, v1).

136

S(v2, v1)

v1 v2 v4 v5

v1 ∞ 0 2 30v2 ∞ ∞ 30 17v3 29 1 ∞ 0v5 3 21 0 ∞

L6=L3+∆=101

v1 v2 v4 v5 αi A

v1 ∞ 0 2 30 0 2v2 ∞ ∞ 13 0 17 13v3 26 1 ∞ 0 0 1

¡¡ª @@R

-

v5 0 21 0 ∞ 0 0βj 3 0 0 0 20B 26 1 2 0 26

S(v5, v1) S(v5, v1)

v2 v4 v5

v1 0 2 30∞

v2 ∞ 13 0v3 1 ∞ 0

L9=L6+∆=103

v2 v4 v5 αi A

v1 0 0 ∞ 0 0v2 ∞ 11 0 0 11

¡¡ª @@R

-

v3 1 ∞ 0 0 1βj 0 2 0 2B 1 11 0 11

v1 v2 v4 v5

v1 ∞ 0 2 30v2 ∞ ∞ 13 0v3 26 1 ∞ 0v5 ∞ 21 0 ∞

L10=L6+φ5,1=127

S(v1, v4) S(v1, v4)v2 v5

v2 ∞ 0v3 1 0

∞

L11=L9+∆=104

v2 v5 αi A

v2 ∞ 0 0 ∞-

v3 0 ∞ 1 ∞βj 0 0 1B ∞ ∞ ∞

v2 v4 v5

v1 0 ∞ ∞v2 ∞ 11 0v3 1 ∞ 0

L12=L9+φ1,4=114

Ðèñ. 5.24

íèÿ, íà÷èíàÿ ñ ìíîæåñòâà S(v2, v1), êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 5.24.Ðåçóëüòàòû ïðîäåëàííûõ îïåðàöèé ñâèäåòåëüñòâóþò î íàëè-÷èè ìíîæåñòâà ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ28 S(v1, v4) ñ íèæíåéãðàíèöåé L11=104, âêëþ÷àþùèõ äóãè (v6, v3), (v4, v6), (v5, v1),(v1, v4), êîòîðûå â ñîâîêóïíîñòè îáðàçóþò îðöåïü (v5, v1, v4, v6,v3). Ïîñêîëüêó ðåäóöèðîâàííàÿ ìàòðèöà äëÿ S(v1, v4) ñîäåð-æèò äâå "íóëåâûõ" äóãè (v2, v5) è (v3, v2), çàìûêàþùèõ ýòó

28 äàííîì ñëó÷àå ýòî ìíîæåñòâî ñîñòîèò ëèøü èç îäíîãî öèêëà.

137

öåïü â ãàìèëüòîíîâ öèêë (v2, v5, v1, v4, v6, v3, v2), äëèíà ïîñëåä-íåãî ðàâíà L11=104.

Áèíàðíîå äåðåâî, îòðàæàþùåå âñå âûïîëíÿâøèåñÿ ðàçáèå-íèÿ ìíîæåñòâà ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ ðàññìàòðèâàåìîãî ãðà-ôà, èçîáðàæåíî íà ðèñ. 5.25. Äâå êîíöåâûå âåðøèíû äåðåâà,

Ðèñ. 5.25

Êðàò÷àéøèå ãàìèëüòîíîâû öèêëû

Âñå ãàìèëüòîíîâû öèêëûHHj

Ãàìèëüòîíîâû öèêëû,ñîäåðæàùèå äóãè (v6, v3) è(v4, v6) , íî íå ñîäåðæàùèåäóãó (v2, v1).@

@R

±°²¯QQQQ

L0=81

±°²¯QQQQ

6;3L1=81

±°²¯```````````

4;6L3=81

±°²¯QQQQ

2;1L5=84

±°²¯1;4L7=104z }| {

(1; 4)(4; 6)(6; 3)(3; 5)(5; 2)(2; 1)

±°²¯6;3 L2=129

±°²¯4;6 L4=113

±°²¯1;4 L8=112

L6=101

±°²¯QQQQ

2;1

±°²¯

QQQQ

5;1L9=103

±°²¯1;4L11=104z }| {

(1; 4)(4; 6)(6; 3)(3; 2)(2; 5)(5; 1)

±°²¯5;1 L10=127

±°²¯1;4 L12=114

èìåþùèå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå íèæíåé ãðàíèöû, îïðåäåëÿþòîïòèìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è.  äàííîì ãðàôå ñóùåñòâóþò äâàêðàò÷àéøèõ ãàìèëüòîíîâûõ öèêëà, äëèíà êîòîðûõ ðàâíà 104.

138

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. Õàðàðè, Ô. Òåîðèÿ ãðàôîâ /Ô. Õàðàðè. � Ì. : Ìèð, 1973. � 300 ñ.2. Áåëîâ, Â. Â. Òåîðèÿ ãðàôîâ: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âòóçîâ /Â. Â. Áåëîâ,

Å. Ì. Âîðîáúåâ, Â. Å. Øàòàëîâ. � Ì. : Âûñø. øê., 1976. � 392 ñ.3. Óèëñîí, Ð. Ââåäåíèå â òåîðèþ ãðàôîâ /Ð. Óèëñîí. � Ì. : Ìèð, 1977.

� 207 ñ.4. Õàðàðè, Ô. Ïåðå÷èñëåíèå ãðàôîâ /Ô. Õàðàðè, Ý. Ïàëìåð. � Ì. :

Ìèð, 1977. � 324 ñ.5. Êðèñòîôèäåñ, Í. Òåîðèÿ ãðàôîâ. Àëãîðèòìè÷åñêèé ïîäõîä /Í. Êðè-

ñòîôèäåñ. � Ì. : Ìèð, 1978. � 432 ñ.6. Îðå, Î. Òåîðèÿ ãðàôîâ /Î. Îðå. � Ì. : Íàóêà, 1980. � 336 ñ.7. Ðåéíãîëüä, Ý. Êîìáèíàòîðíûå àëãîðèòìû. Òåîðèÿ è ïðàêòèêà /

Ý. Ðåéíãîëüä, Þ. Íèâåðãåëüò, Í. Äåî. � Ì. : Ìèð, 1980. � 476 ñ.8. Ñâàìè, Ì. Ãðàôû, ñåòè è àëãîðèòìû/Ì. Ñâàìè, Ê. Òõóëàñèðà-

ìàí. � Ì. : Ìèð, 1984. � 454 ñ.9. Åâñòèãíååâ, Â.À. Ïðèìåíåíèå òåîðèè ãðàôîâ â ïðîãðàììèðîâàíèè /

Â. À. Åâñòèãíååâ. � Ì. : Íàóêà, 1985. � 352 ñ.10. Ìàéíèêà, Ý. Àëãîðèòìû îïòèìèçàöèè íà ñåòÿõ è ãðàôàõ /Ý. Ìàé-

íèêà. � Ì. : Ìèð, 1985. � 323 ñ.11. Çûêîâ, À. À. Îñíîâû òåîðèè ãðàôîâ /À. À. Çûêîâ. � Ì. : Íàóêà,

1987. � 384 ñ.12. Ëåêöèè ïî òåîðèè ãðàôîâ / Â. À. Åìåëè÷åâ, Î. È. Ìåëüíèêîâ,

Â. È. Ñàðâàíîâ, Ð. È. Òûøêåâè÷. � Ì. : Íàóêà, 1990. � 384 ñ.13. Ðîìàíîâñêèé, È. Â. Äèñêðåòíûé àíàëèç: ó÷åá. ïîñîáèå /È. Â. Ðî-

ìàíîâñêèé. � ÑÏá. : Íåâñêèé äèàëåêò, 2000. � 240 ñ.14. Àõî, À. Ñòðóêòóðû äàííûõ è àëãîðèòìû / À. Àõî, Äæ. Õîïêðîôò,

Äæ. Óëüìàí. � Ì. : Èçäàòåëüñêèé äîì "Âèëüÿìñ", 2001. � 384 ñ.15. Íîâèêîâ, Ô. À. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ïðîãðàììèñòîâ /

Ô. À. Íîâèêîâ. � ÑÏá. : Ïèòåð, 2001. � 301 ñ.16. Èâàíîâ, Á. Í. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà. Àëãîðèòìû è ïðîãðàììû:

ó÷åá. ïîñîáèå / Á. Í. Èâàíîâ. � Ì. : Ëàáîðàòîðèÿ Áàçîâûõ Çíàíèé, 2002.� 288 ñ.

17. Ñýäæâèê, Ð. Ôóíäàìåíòàëüíûå àëãîðèòìû íà Ñ. Àëãîðèòìû íàãðàôàõ / Ð. Ñýäæâèê. � ÑÏá : ÎÎÎ "ÄèàÑîôòÞÏ", 2003. � 480 ñ.

18. Îêóëîâ, Ñ.Ì. Ïðîãðàììèðîâàíèå â àëãîðèòìàõ / Ñ. Ì. Îêóëîâ. �Ì. : ÁÈÍÎÌ. Ëàáîðàòîðèÿ áàçîâûõ çíàíèé, 2006. � 383 ñ.

139

Óêàçàòåëü îáîçíà÷åíèéG � ãðàôG � äîïîëíèòåëüíûé ãðàô

G∗ � ãðàô êîíäåíñàöèèG � ãðàô òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ

On � ïóñòîé ãðàôCn � öèêëPn � öåïüKn � ïîëíûé ãðàô

Kn1,n2 � ïîëíûé äâóäîëüíûé ãðàôTn � äåðåâîT � òóðíèðV � ìíîæåñòâî âåðøèíE � ìíîæåñòâî ðåáåðA � ìíîæåñòâî äóã

v, u, w � âåðøèíûe, {v, u} � ðåáðàa, (v, u) � äóãè

n � ÷èñëî âåðøèím � ÷èñëî ðåáåð (äóã)

Ìàòðèöà:A � ñìåæíîñòèB � èíöèäåíòíîñòèC � âåñîâ ðåáåð (äóã)R � ïðÿìûõ äîñòèæèìîñòåéQ � îáðàòíûõ äîñòèæèìîñòåéD � ðàññòîÿíèéK � ÊèðõãîôàS �ôóíäàìåíòàëüíûõ ðàçðåçîâΦ � ôóíäàìåíòàëüíûõ öèêëîâ

adj v � îêðóæåíèå âåðøèíû vd(v, u) � ðàññòîÿíèå ìåæäó âåðøèíàìè v è udeg v � ñòåïåíü âåðøèíû v

deg+ v � ïîëóñòåïåíü èñõîäà âåðøèíû vdeg− v � ïîëóñòåïåíü çàõîäà âåðøèíû vΓ+(v) � ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ âåðøèí äóã, âûõîäÿùèõ èç âåðøèíû vΓ−(v) � ìíîæåñòâî íà÷àëüíûõ âåðøèí äóã, âõîäÿùèõ â âåðøèíó v

l(v) � ìåòêà âåðøèíû ve(v) � ýêñöåíòðèñèòåò âåðøèíû vr(G) � ðàäèóñ ãðàôà Gd(G) � äèàìåòð ãðàôà Gν(G) � öèêëîìàòè÷åñêîå ÷èñëî (ðàíã) ãðàôà Gρ(G) � êîöèêëîìàòè÷åñêîå ÷èñëî (ðàíã) ãðàôà G

140

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëüÀáñòðàêòíûé ãðàô, 10àëãîðèòì:� Äåéêñòðû, 82� Äåìóêðîíà, 29� Êðàñêàëà, 56� Ëè, 79� Ïðèìà, 63� Óîðøîëëà, 39� Ôë�åðè, 105� Ôëîéäà, 87àöèêëè÷åñêèé îðãðàô, 27

Áàçà ãðàôà, 41

Âåêòîð èíöèäåíòíîñòè, 20âåðøèííî-ïîðîæäåííûé

ïîäãðàô, 11âîëíîâîé àëãîðèòì, 80, 81

Ãàìèëüòîíîâ:� ãðàô, 112� êîíòóð, 112� öèêë, 112ãàìèëüòîíîâà öåïü, 113ãðàô êîíäåíñàöèè, 33

Äâóäîëüíûé ãðàô, 15äåðåâî, 14, 44äèàìåòð ãðàôà, 22äëèíà öåïè, 14äîïîëíèòåëüíûé ãðàô, 14

Çàäà÷à:� êîììèâîÿæ�åðà, 126� ïî÷òàëüîíà, 109� òðàññèðîâêè, 78

Èçîìîðôèçì, 7èíâàðèàíò, 8

k �äîëüíûé ãðàô, 17êîä Ïðþôåðà, 48

êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè, 13, 32êîöèêë, 101êîöèêëîìàòè÷åñêîå ÷èñëî, 101êðèòè÷åñêèé ïóòü, 96êóáè÷åñêèé ãðàô, 15

Ìàðøðóò, 30ìàòðèöa:� (ïðÿìûõ) äîñòèæèìîñòåé, 36� èíöèäåíòíîñòè, 20� èíöèäåíòíîñòè îðãðàôà, 25� Êèðõãîôà, 19� îáðàòíûõ äîñòèæèìîñòåé, 37� ñìåæíîñòè, 18� ñìåæíîñòè îðãðàôà, 24ìàòðè÷íàÿ òåîðåìà

î äåðåâüÿõ, 55ìåòîä âåòâåé è ãðàíèö, 128ìíîæåñòâî:� áàçèñíûõ ðàçðåçîâ, 100� áàçèñíûõ öèêëîâ, 98� ôóíäàìåíòàëüíûõ

ðàçðåçîâ, 100� ôóíäàìåíòàëüíûõ öèêëîâ, 98ìóëüòèãðàô, 17

Íàäãðàô, 10íåçàâèñèìîå ìíîæåñòâî

âåðøèí, 124íåîðèåíòèðîâàííîå äåðåâî, 43íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô, 5íåïîìå÷åííûé ãðàô, 10íåñâÿçíûé ãðàô, 13

Îãðàíè÷åííàÿ äîñòèæèìîñòü, 38îäíîðîäíûé ãðàô, 15îäíîñòîðîííå ñâÿçíûé ãðàô, 31îäíîñòîðîííÿÿ êîìïîíåíòà, 32îðèåíòèðîâàííàÿ ïðîñòàÿ

öåïü, 30îðèåíòèðîâàííàÿ öåïü, 30îðèåíòèðîâàííîå äåðåâî, 45

141

îðèåíòèðîâàííûé ãðàô, 23îðèåíòèðîâàííûé ìàðøðóò, 30îðìàðøðóò, 30îðöåïü, 30îñòîâ, 44îñòîâíîå äåðåâî, 44îñòîâíûé ëåñ, 44îñòîâíûé ïîäãðàô, 10

Ïîäãðàô, 10ïîèñê â øèðèíó, 77ïîëíûé ãðàô, 14ïîëíûé äâóäîëüíûé ãðàô, 16ïîëóãàìèëüòîíîâ ãðàô, 113ïîëóìàðøðóò, 30ïîëóïóòü, 30ïîëóñòåïåíü çàõîäà, 24ïîëóñòåïåíü èñõîäà, 24ïîëóöåïü, 30ïîëóýéëåðîâ ãðàô, 102ïîðÿäêîâàÿ ôóíêöèÿ ãðàôà, 28ïîðÿäîê ãðàôà, 6ïðàâèëüíûé ðàçðåç, 100ïðîñòàÿ îðöåïü, 30ïðîñòàÿ öåïü, 14ïðîñòîé ðàçðåç, 100ïðîñòîé öèêë, 14ïñåâäîãðàô, 17ïóñòîé ãðàô, 13ïóòü, 30

Ðàäèóñ ãðàôà, 22ðàçðåç, 100ðàññòîÿíèå ìåæäó âåðøèíàìè, 22ðåáåðíî-ïîðîæäåííûé ïîäãðàô, 11ðåãóëÿðíûé ãðàô, 15ðåäóêöèÿ ìàòðèöû, 130

Ñàìîäîïîëíèòåëüíûé ãðàô, 15ñâÿçíûé ãðàô, 13, 14ñèëüíàÿ êîìïîíåíòà, 32ñèëüíî ñâÿçíûé ãðàô, 31ñëàáàÿ êîìïîíåíòà, 32ñëàáî ñâÿçíûé ãðàô, 31ñïèñîê âåðøèí, 21ñïèñîê ðåáåð, 21

ñòåïåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, 6ñòåïåíü âåðøèíû, 6ñóãðàô, 12

Òåîðåìà:� Áèíå�Êîøè, 53� Äèðàêà, 115� Ê�åíèãà, 16� Êèðõãîôà, 55� Êýëè, 55� Îðå, 114� Ýéëåðà î ñóììå ñòåïåíåé âåð-

øèí ãðàôà, 7� Ýéëåðà î ñóùåñòâîâàíèè ýéëå-

ðîâà öèêëà â ãðàôå, 103òîïîëîãè÷åñêàÿ ñîðòèðîâêà, 27òðàíçèòèâíîå çàìûêàíèå

ãðàôà, 39òðàíçèòèâíûé ãðàô, 38òóðíèð, 26

Ôîðìóëà Ïîéà, 10

Öåíòð ãðàôà, 22öåíòðàëüíàÿ âåðøèíà, 22öåïü, 14öèêë, 14öèêëîìàòè÷åñêîå ÷èñëî, 99

×àñòü ãðàôà, 12

Ýéëåðîâ ãðàô, 102ýéëåðîâ öèêë, 102ýéëåðîâà öåïü, 102ýêñöåíòðèñèòåò âåðøèíû, 22

142

ÑîäåðæàíèåÏðåäèñëîâèå 3

1. Ââåäåíèå 51.1. Îïðåäåëåíèå ãðàôà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Ïîäãðàôû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Âèäû ãðàôîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Ìàòðèöû ãðàôîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5. Äèàìåòð, ðàäèóñ è öåíòð ãðàôà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6. Îðèåíòèðîâàííûå ãðàôû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7. Ìàðøðóòû, öåïè è ïðîñòûå öåïè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2. Ñâÿçíîñòü â îðãðàôàõ 312.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3. Êîíäåíñàöèÿ îðãðàôà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4. Îòûñêàíèå ñèëüíûõ êîìïîíåíò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5. Ìàòðèöû äîñòèæèìîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6. Ïîëó÷åíèå ìàòðèöû äîñòèæèìîñòåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7. Àëãîðèòì Óîðøîëëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.8. Áàçà ãðàôà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Äåðåâüÿ 433.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2. Îïèñàíèå äåðåâüåâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3. Çàäà÷è ñ äåðåâüÿìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.1. Ïåðå÷èñëåíèå îñòîâíûõ äåðåâüåâ . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.2. Ïåðåñ÷åò îñòîâíûõ äåðåâüåâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4. Çàäà÷à î êðàò÷àéøåì îñòîâå ãðàôà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.1. Àëãîðèòì Êðàñêàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.2. Àëãîðèòì Ïðèìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

143

4. Ïóòè è ìàðøðóòû â ãðàôàõ 704.1. Ñóùåñòâîâàíèå ïóòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2. Ïåðåñ÷åò ìàðøðóòîâ è ïóòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3. Ïåðå÷èñëåíèå ìàðøðóòîâ è ïóòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4. Çàäà÷è î êðàò÷àéøèõ ïóòÿõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4.1. Ãðàôû ñ äóãàìè åäèíè÷íîé äëèíû . . . . . . . . . . . . . 774.4.2. Ãðàôû ñî âçâåøåííûìè äóãàìè (ðåáðàìè) . . . . . 814.4.3. Àöèêëè÷åñêèå îðãðàôû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5. Öèêëû 985.1. Ôóíäàìåíòàëüíûå öèêëû è ðàçðåçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.2. Ýéëåðîâû öèêëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2.1. Îïðåäåëåíèå è óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ . . . . . . . . . 1025.2.2. Àëãîðèòì ïîèñêà ýéëåðîâà öèêëà . . . . . . . . . . . . . . 1055.2.3. Î êîëè÷åñòâå ýéëåðîâûõ ãðàôîâ . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.4. Çàäà÷à ïî÷òàëüîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.3. Ãàìèëüòîíîâû öèêëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3.1. Îïðåäåëåíèå è óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ . . . . . . . . . 1125.3.2. Ìåòîäû ïîèñêà ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ . . . . . . . . . 116

5.4. Çàäà÷à êîììèâîÿæ�åðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.4.1. Ïðèìåíåíèå è ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è . . . . . . . . . 1275.4.2. Ìåòîä âåòâåé è ãðàíèö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Óêàçàòåëü îáîçíà÷åíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

144