最大不全...

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第３８卷　第８期

２０１５年８月

计　　算　　机　　学　　报

ＣＨＩＮＥＳＥＪＯＵＲＮＡＬＯＦＣＯＭＰＵＴＥＲＳ

Ｖｏｌ．３８Ｎｏ．８

Ａｕｇ．２０１５

　

收稿日期：２０１３１２０５；最终修改稿收到日期：２０１５０１０７．本课题得到国家自然科学基金（６１０７００１９）、教育部博士点基金（２００９０１３１１１０００９）和

山东省自然科学基金（ＺＲ２０１２ＦＺ００２）资助．咸爱勇，男，１９８６年生，硕士研究生，主要研究方向为算法设计与分析、软件工程．Ｅｍａｉｌ：

ｘｉａｎａｉｙｏｎｇ＠ｍｓｎ．ｃｏｍ．朱大铭，男，博士，教授，研究领域为算法设计与分析、生物信息学．

最大不全犽满足问题的局部搜索近似算法

咸爱勇　　朱大铭（山东大学计算机科学技术学院　济南　２５０１０１）

摘　要　合取范式可满足与最大可满足问题是理论计算机科学的核心问题．最大不全满足问题是最大可满足问题

的一般化．限制每个子句均含有犽（２）个字母的最大不全满足问题又称为最大不全犽满足问题．最大不全满足问

题的算法进展，以解答该类问题的半定规划松弛法最具代表性．关于最大不全２满足、３满足和４满足问题，目前性

能最好的近似算法分别由Ｇｏｅｍａｎｓ与Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ、Ｚｗｉｃｋ、Ｋａｒｌｏｆｆ与Ｚｗｉｃｋ给出，近似性能比分别为１．１３９（１／０．８７８）、

１．１００４７（１／０．９０８７）和８／７．当犽５时，最大不全犽满足问题的近似算法则未曾见到．文中给出了一个解答最大不全

犽满足问题的局部搜索算法，近似性能比可达到２犽－１／（２犽－１－１），犽２；进一步将该方法推广到解答由不少于犽个

字母的子句构成的最大不全犽满足问题，近似性能比亦可达到２犽－１／（２犽－１－１）．利用解答最大不全犽满足问题的近

似算法，给出了解答最大犽可满足问题的新近似算法，近似性能比可达到２犽／（２犽－１）．文中最后证明了若Ｐ≠ＮＰ，

则犽４的最大不全犽满足问题不能近似到小于２犽－１／（２犽－１－１），从而说明文中解答最大不全犽满足问题的算法近

似性能比是最优的．

关键词　局部搜索；算法；近似性能比；合取范式；可满足性

中图法分类号ＴＰ３０１　　　犇犗犐号１０．１１８９７／ＳＰ．Ｊ．１０１６．２０１５．０１５６１

犜犺犲犔狅犮犪犾犛犲犪狉犮犺犃狆狆狉狅狓犻犿犪狋犻狅狀犃犾犵狅狉犻狋犺犿狊犳狅狉犕犪狓犻犿狌犿犖狅狋犃犾犾犈狇狌犪犾

犽犛犪狋犻狊犳犻犪犫犻犾犻狋狔犘狉狅犫犾犲犿狊

ＸＩＡＮＡｉＹｏｎｇ　ＺＨＵＤａＭｉｎｇ（犛犮犺狅狅犾狅犳犆狅犿狆狌狋犲狉犛犮犻犲狀犮犲犪狀犱犜犲犮犺狀狅犾狅犵狔，犛犺犪狀犱狅狀犵犝狀犻狏犲狉狊犻狋狔，犑犻狀犪狀　２５０１０１）

犃犫狊狋狉犪犮狋　Ｔｈｅｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍａｓｗｅｌｌａｓｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｏｆｃｏｎｊｕｎｃｔｉｖｅ

ｎｏｒｍｆｏｒｍｓａｒｅｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｃｏｍｐｕｔｅｒｓｃｉｅｎｃｅ．Ｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ

ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｉｓａｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅｍａｘｉｍｕｍ

ｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｉｓｎａｍｅｄｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ犽ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍ，ｉｆ

ｅａｃｈｃｌａｕｓｅｏｆｉｔｓｉｎｓｔａｎｃｅｃｏｎｔａｉｎｓ犽（２）ｌｉｔｅｒａｌｓ．Ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｒｅｌａｘａｔｉｏｎｉｓｔｈｅ

ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙｕｓｅｄａｌｓｏｔｈｅｍｏｓｔｔｙｐｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙ

ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｏｏｕｒｋｎｏｗｌｅｄｇｅａｔｐｒｅｓｅｎｔ，ｔｈｅｂｅｓｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ２，３

ａｎｄ４ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｓｃｏｍｅｆｒｏｍｔｈｅｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｒｅｌａｘａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｇｉｖｅｎ

ｂｙＧｏｅｍａｎｓａｎｄＷｉｌｌｉａｍｓｏｎ，Ｚｗｉｃｋ，ＫａｒｌｏｆｆａｎｄＺｗｉｃｋ，ｗｉｔｈｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓ１．１３９（１／０．８７８），

１．１００４７（１／０．９０８７）ａｎｄ８／７ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｗｈｅｎ犽５，ｗｅｈａｖｅｎｏｔｓｅｅｎａｎｙａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ

ａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ犽ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｐｒｏｐｏｓｅａｌｏｃａｌ

ｓｅａｒｃｈａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ犽ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎ

ａｃｈｉｅｖｅｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｒａｔｉｏ２犽－１／（２犽－１－１）ｆｏｒ犽２．Ｗｅｅｘｔｅｎｄｔｈｅｍｅｔｈｏｄｔｏｐｒｏｐｏｓｅａｌｏｃａｌ

ｓｅａｒｃｈａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｖｅｒｓｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ犽ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙ

ｐｒｏｂｌｅｍ，ｗｉｔｈｅａｃｈｃｌａｕｓｅｃｏｎｔａｉｎｉｎｇａｔｌｅａｓｔ犽ｌｉｔｅｒａｌｓ．Ｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｓｔｉｌｌａｃｈｉｅｖｅｔｈｅ

ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｒａｔｉｏ２犽－１／（２犽－１－１）．Ｕｓｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｖｅｒｓｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｘｉｍｕｍ

ｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ犽ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍ，ｗｅｐｒｏｐｏｓｅａｎｅｗ２犽／（２犽－１）ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒ

ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｖｅｒｓｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｘｉｍｕｍ犽ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｈａｔｉｆＰ≠ＮＰ，

ｔｈｅｎｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ犽ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｃａｎｎｏｔｂｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄｗｉｔｈｉｎ２犽－１／

（２犽－１－１）ｆｏｒ犽４．Ｔｈｉｓｉｍｐｌｉｅｓｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｒａｔｉｏｏｆｏｕｒａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｔｈｅｍａｘｉｍｕｍ

ｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ犽ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｉｓｏｐｔｉｍａｌ．

犓犲狔狑狅狉犱狊　ｌｏｃａｌｓｅａｒｃｈ；ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｒａｔｉｏ；ｃｏｎｊｕｎｃｔｉｖｅｎｏｒｍａｌｆｏｒｍ；ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙ

１　引　言

合取范式可满足问题（简称ＳＡＴ）是理论计算

机科学的核心问题．合取范式最大可满足问题（简称

ＭａｘＳＡＴ）是ＳＡＴ问题的优化形式，要求根据给定

布尔变量字母组成的子句集合，计算布尔变量赋值，

使满足的子句（Ｃｌａｕｓｅ）数目达到最大．早在１９７１年，

ＭａｘＳＡＴ就被证明为ＮＰＨａｒｄ［１２］．最大不全满足

问题是最大可满足问题的一般化［３］，要求根据给定

布尔变量字母组成的子句集合，计算布尔变量赋值，

使满足且不全满足的子句数目达到最大．最大不全

满足问题简称为ＭａｘＮＡＥＳＡＴ，当然也是ＮＰ

Ｈａｒｄ问题［４］．ＭａｘＮＡＥＳＡＴ也可看作最大割问题

及最大集合分割问题的一般化［３，５］．

若每个子句含有固定数目的布尔变量字母，则

ＭａｘＳＡＴ和ＭａｘＮＡＥＳＡＴ演变为它们的一类重

要子问题，这类子问题的算法与复杂性研究同样吸

引了许多学者的研究兴趣．本文将每个子句含有犽

个布尔变量字母的ＭａｘＳＡＴ子问题称为Ｍａｘ犽

ＳＡＴ；将每个子句含有不多于犽个布尔变量字母的

ＭａｘＳＡＴ子问题称为Ｍａｘ［犽］ＳＡＴ；将每个子句

含有不少于犽个布尔变量字母的ＭａｘＳＡＴ子问题

称为Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ．类似地，将每个子句含有犽个

布尔变量字母的ＭａｘＮＡＥＳＡＴ子问题称为Ｍａｘ

ＮＡＥ犽ＳＡＴ；将每个子句含有不多于犽个布尔变量

字母的ＭａｘＮＡＥＳＡＴ子问题称为ＭａｘＮＡＥ［犽］

ＳＡＴ；将每个子句含有不少于犽个布尔变量字母的

ＭａｘＮＡＥＳＡＴ子问题称为ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ．

Ｊｏｈｎｓｏｎ［６］于１９７４年最先设计出近似性能比为

２的ＭａｘＳＡＴ问题近似算法，并设计出近似性能比

为２犽／（２犽－１）的Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ问题近似算法．为

每个布尔变量以１／２概率随机赋值犜／犉的简单方

法，也可使解答Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ的平均近似性能比

达到２犽／（２犽－１）［７］．Ｙａｎｎａｋａｋｉｓ

［８］于１９９４年给出解

答ＭａｘＳＡＴ问题的随机算法，其平均近似性能比

为４／３．Ｇｏｅｍａｎｓ与Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ［９］利用线性规划

松弛法，给出一个更简单的随机近似算法，近似性能

比仍为４／３，１９９５年，他们采用半定规划松弛法将

解答Ｍａｘ［２］ＳＡＴ问题的近似性能比改进到

１．１３９［１０］，该方法修改后用于解答ＭａｘＳＡＴ问题，

近似性能比为１．３２［９］．Ａｓａｎｏ与Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ重新分

析了Ｇｏｅｍａｎｓ和Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ的４／３近似算法，利用

Ｆｅｉｇｅ和Ｇｏｅｍａｎｓ［１１］给出的解答Ｍａｘ［２］ＳＡＴ与

Ｋａｒｌｏｆｆ和Ｚｗｉｃｋ［１２］给出的解答Ｍａｘ［３］ＳＡＴ的半

定规划松弛法，将解答ＭａｘＳＡＴ问题的近似性能

比改进为１．２７５［１３］．

最大不全满足问题的半定规划松弛法，代表了该

问题算法研究的主要进展．解答ＭａｘＮＡＥ２ＳＡＴ

的半定规划松弛法可由Ｇｏｅｍａｎｓ和Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ［１０］

解答Ｍａｘ［２］ＳＡＴ的半定规划松弛法直接得到，近

似性能比为１．１３９；解答ＭａｘＮＡＥ４ＳＡＴ的半定规

划松弛法则可由Ｋａｒｌｏｆｆ与Ｚｗｉｃｋ［１２］解答Ｍａｘ［３］

ＳＡＴ的半定规划松弛法直接得到，近似性能比为

８／７．Ａｎｄｅｒｓｓｏｎ和Ｅｎｇｅｂｒｅｔｓｅｎ于１９９８年给出解

答ＭａｘＮＡＥＳＡＴ的半定规划松弛法，近似性能比

为１．３８１２（１／０．７２４０）［１４］．Ｈａｎ、Ｙｅ与Ｚｈａｎｇ

［５］利用

被称作外部旋转（ＯｕｔｗａｒｄＲｏｔａｔｉｏｎ）的取整技术将

Ａｎｄｅｒｓｓｏｎ和Ｅｎｇｅｂｒｅｔｓｅｎ的算法的近似性能比加

强为１．３３３５（１／０．７４９９）．Ｚｗｉｃｋ［１５］于１９９９年进一步

利用半定规划松弛法和外部旋转取整技术给出Ｍａｘ

ＮＡＥＳＡＴ问题猜测近似性能比为１．２５３６（１／０．７９７７）

的近似算法，并给出ＭａｘＮＡＥ３ＳＡＴ近似性能比

为１．１００４７（１／０．９０８７）的近似算法．２００６年，Ａｂｉｄｏｒ

和Ｂｅｒｋｏｖｉｔｃｈ等人将解答ＭａｘＮＡＥＳＡＴ的猜测

近似性能比改进为１．２０７９（１／０．８２７９），并将解答

ＭａｘＳＡＴ的（无猜测）近似性能比改进为１．２５５０２［３］

（１／０．７９６８）．所谓猜测近似性能比，是指在文献［１５］

中给出的一个猜测概率表达式成立时，算法所能够

达到的近似性能比．当犽５时，目前未见任何解答

２６５１计　　算　　机　　学　　报２０１５年

ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ的半定规划松弛法．

虽然半定规划松弛法解答最大可满足与最大不

全满足问题获得了求解性能的全面提高，求解Ｍａｘ

［３］ＳＡＴ的近似性能比甚至已经达到极限值．然而

半定规划松弛法所耗费的运行时间尚不令人满意．

因为半定规划松弛法所给出的近似性能比还须经历

去随机过程才能准确地达到，目前去随机的时间复

杂性仍是一个指数很大的多项式函数，一般不低于

犗（狀３０）［１６］．

局部搜索是解答ＮＰＨａｒｄ优化问题的典型方

法，解答ＳＡＴ问题的局部搜索算法也不少见．我们

所知的ＳＡＴ问题局部搜索算法有ＧＳＡＴ［１７１８］、

ＷＳＡＴ［１９］、ＮＳＡＴ

［２０］、ＴＳＡＴ［２１２２］、ＳＤＦ

［２３］等．目前，

局部搜索仍然是人们在实际ＳＡＴ求解中最常使用

的方法［２４］．目前尚无研究结果用于分析这些在实践

中表现优越的局部搜索算法的性能．２０１０年，朱大

铭等人［２５］给出Ｍａｘ３ＳＡＴ问题的局部搜索近似算

法，近似性能比可达到８／７，算法可推广到解答

Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ，近似性能比为２犽＋２２犽＋１

．该算法用于

解答ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ［２６］，近似性能比可达到

犽＋１犽．另外，Ｈａｓｔａｄ

［２７］曾证明：若Ｐ≠ＮＰ，则犽３

的Ｍａｘ犽ＳＡＴ不能多项式时间近似到小于２犽／

（２犽－１），犽３．文献［２５］的算法用于解答犽４的

Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ，达到的近似性能比与Ｈａｓｔａｄ给出

的解答该问题拒绝达到的近似性能比上界仍有较

大差距．

１９９４年，Ｋｈａｎｎａ等人［２８］提出所谓盲目的

（ａｎｏｎｙｍｏｕｓ）局部搜索算法，用于解答Ｍａｘ犽ＳＡＴ

问题，其近似性能比为２犽／（２犽－１）．该算法解答

Ｍａｘ犽ＳＡＴ，近似性能比已经达到Ｈａｓｔａｄ关于解

答Ｍａｘ犽ＳＡＴ拒绝达到的近似性能比上界．然而

该方法并不能简单地推广到解答Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ．

２０００年，Ｄａｎｔｓｉｎ等人［２９］给出一个解答犽ＳＡＴ的局

部搜索精确算法，时间复杂性为（２－２／（犽＋１））狀．

本文讨论ＭａｘＮＡＥＳＡＴ问题的局部搜索求

解方法．首先给出解答ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ问题的一

个局部搜索算法，算法近似性能比可达到２犽－１

２犽－１－１；

再将解答ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ的局部搜索方法，推广

到解答ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ问题，近似性能比也可

达到２犽－１

２犽－１－１；然后利用解答ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ的

算法，给出解答Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ的一个新算法，近似

性能比达到２犽

２犽－１．Ｋｈａｎｎａ等人的局部搜索算法解

答Ｍａｘ犽ＳＡＴ也可以达到同样近似性能比，但不

能解答Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ问题实例．本文算法则可直

接用于解答Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ问题实例．本文最后证

明当犽４时，ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ不能多项式时间近

似到小于２犽－１

２犽－１－１．

２　最大不全犽满足问题的局部搜索

一个布尔变量狌对应两个字母狌和狌－，分别称

为狌的正变量字母和反变量字母．给予布尔变量狌

赋值后，其字母也相应得到确定的布尔值，本文我们

并不区分布尔变量赋值与布尔变量字母赋值的

不同．

一个子句是若干布尔变量字母的集合．设犆狋＝

｛狓［１］，狓［２］，…，狓［犽］｝为一个子句，其中狓［１］，…，

狓［犽］为布尔变量字母，若赋值函数犪（·）使得

犪（狓［１］）∨…∨犪（狓［犽］）＝犜，则称犆狋是满足的；若

犪（狓［１］）∨…∨犪（狓［犽］）＝犜且犪（狓［１］）∧…∧

犪（狓［犽］）＝犜，则称犆狋是全满足的；若犪（狓［１］）∨…∨

犪（狓［犽］）＝犜，且犪（狓［１］）∧…∧犪（狓［犽］）＝犉，则称

犆狋是不全满足的；若犪（狓［１］）∨…∨犪（狓［犽］）＝犉，

则犆狋为不满足的．最大不全犽满足问题由布尔变量

集与犽个字母的子句集给定，欲寻求每个布尔变量

的真值指派，使给定子句集中不全满足的子句数目

达到最大．布尔变量的真值指派也称为布尔变量的

赋值（函数）．最大不全犽满足问题可形式化为：

实例：布尔变量集合犝＝｛狌１，…，狌狀｝，子句集合

犆＝｛犆１，…，犆犿｝，每个子句均含有犽个布尔变量字

母．子句犆狋可表示为犆狋＝｛狓［狋，１］，狓［狋，２］，…，

狓［狋，犽］｝，其中，１狋犿，狓［狋，犾］∈｛狌１，…，狌狀，

狌－１，…，狌－狀｝，１犾犽．

目标：求犝中布尔变量的赋值函数犪：犝→

｛犜，犉｝，最大化犆中不全满足子句的数目．

该问题即为ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ．若求解目标修

改为寻求犝的赋值函数，使犆中满足的子句数目达

到最大，则问题变为Ｍａｘ犽ＳＡＴ．

ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ是Ｍａｘ犽ＳＡＴ的一般化，

或可将Ｍａｘ犽ＳＡＴ看作ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ的子问

题，这是因为可将任一Ｍａｘ犽ＳＡＴ实例变换为一

个ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ实例，并使两个实例有对应等

价的赋值函数．变换方法如下：

３６５１８期咸爱勇等：最大不全犽满足问题的局部搜索近似算法

设〈犝，犆〉是任一Ｍａｘ犽ＳＡＴ实例，增加一个

布尔变量狅，得到犝′＝犝∪｛狅｝；在每个犆的子句中

添加布尔变量字母狅，得到犆′．即设犆狋＝｛狓［狋，１］，

狓［狋，２］，…，狓［狋，犽］｝∈犆，则犆′狋＝｛狓［狋，１］，狓［狋，２］，…，

狓［狋，犽］，狅｝，犆′＝｛犆′狋｜犆狋∈犆｝．将〈犝′，犆′〉视为一个

ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ实例，设犪（犝′）为犝′的赋值函

数，若犪（狓［狋，１］），犪（狓［狋，２］），…，犪（狓［狋，犽］），犪（狅）

使得犆′狋不全满足，当且仅当犪（狓［狋，１］）犪（狅），

犪（狓［狋，２］）犪（狅），…，犪（狓［狋，犽］）犪（狅）使犆狋满足，

其中“”表示异或运算．因此犪（犝′）使得犆′中不全

满足的子句数目为犕，当且仅当犪（狌１）犪（狅），

犪（狌２）犪（狅），…，犪（狌狀）犪（狅）使犆中满足的子句数

目也为犕．

因此任一Ｍａｘ犽ＳＡＴ实例等价于一个每个子

句均含有一个公共字母（例如狅）的ＭａｘＮＡＥ（犽＋１）

ＳＡＴ实例．

本节，每个子句均含有犽个布尔变量字母．因一

个子句若同时含有一个布尔变量的正变量字母和反

变量字母，则该子句总是不全满足的，也是满足的，

所以本文总假设每个子句不同时含有一个布尔变量

的两个字母．

２１　算法及其性能

定义１．　给定犝的赋值函数犪（犝），若子句犆狋

含有布尔变量字母狌犼，且犪（狌犼）＝犜，或犆狋含有布尔

变量字母狌－犼且犪（狌犼）＝犉，称犆狋被犪（狌犼）满足或被狌犼

满足；若子句犆狋含有布尔变量字母狌犼且犪（狌犼）＝犉，

或犆狋含有布尔变量字母狌－犼且犪（狌犼）＝犜，称犆狋不被

犪（狌犼）满足或不被狌犼满足．将犆狋被犪（狌犼）满足简记为

犪（犆狋，狌犼）＝犜，犆狋不被犪（狌犼）满足简记为犪（犆狋，狌犼）＝犉．

定义２．　给定犝的赋值函数犪（犝），犆狋∈犆．若

犆狋中有犻个布尔变量字母赋值为犜，０犻犽，另外

犽－犻个字母赋值为犉，则称犆狋关于犪（犝）是犻满足的．

一个子句是０满足的，则为不满足的．一个子

句是犽满足的，则为全满足的．由犪（犝）为犝中布尔

变量赋值后，设犛犻表示犆中所有犻满足的子句集

合；再设犆［犻，犼］表示犻满足，且被狌犼满足的子句集

合；犖［犻，犼］表示犻满足，且不被狌犼满足的子句集合，

即犆［犻，犼］＝｛犆狋｜犆狋∈犛犻，犪（犆狋，狌犼）＝犜｝，犖［犻，犼］＝

｛犆狋｜犆狋∈犛犻，犪（犆狋，狌犼）＝犉｝．

因每个子句不同时含有狌犼和狌－犼，所以若将狌犼的

赋值取反，则犆［犻，犼］中的子句均由犻满足变为（犻－１）

满足，０＜犻犽；而犖［犻，犼］中的子句均由犻满足变为

（犻＋１）满足，０犻＜犽．

任给犝的赋值函数犪（犝），则犆中不全满足的

子句数目为｜犛１｜＋…＋｜犛犽－１｜．解答ＭａｘＮＡＥ犽

ＳＡＴ的局部搜索方法需要首先确定一个目标函数，

然后利用如下方法，获得布尔变量的赋值：随机为布

尔变量赋初值，然后选择一个布尔变量，将其赋值取

反，使目标函数值增大，重复该操作直到不能选择布

尔变量，其赋值取反可使目标函数值增大为止．将该

方法称为一位跳变局部搜索．若直接采用｜犛１｜＋…＋

｜犛犽－１｜做为目标函数，我们并不知道算法能否达到

所期望的性能．Ｋｈａｎｎａ等人［２８］关于Ｍａｘ犽ＳＡＴ

的局部搜索算法以｜犛１｜，…，｜犛犽｜的加权和作为目标

函数．我们同样建立一个由｜犛０｜，｜犛１｜，…，｜犛犽｜的加

权和构成的目标函数，一般地表示为

犉＝α０犛０＋α１犛１＋…＋α犽－１犛犽－１＋α犽｜犛犽｜（１）

我们期望利用一位跳变的局部搜索使目标函数

犉最大化，从而使犉达到局部最大时，｜犛１｜＋…＋

｜犛犽－１｜得到不小于（２犽－１－１）（｜犛０｜＋｜犛犽｜）的取值．

在给出系数α１，…，α犽－１的取值之前，先讨论选择赋

值取反的布尔变量应满足的条件．

任意选择狌犼，将其赋值取反，由犻满足变为（犻－１）

满足的子句使犉获得增量：（α犻－１－α犻）｜犆［犻，犼］｜，

１犻犽；由犻满足变为（犻＋１）满足的子句使犉获

得增量：（α犻＋１－α犻）｜犖［犻，犼］｜，０犻犽－１．所以犉

因狌犼赋值取反而产生的增量为

Δ犉＝∑犽

犻＝１

（α犻－１－α犻）｜犆［犻，犼］｜＋

∑犽－１

犻＝０

（α犻＋１－α犻）｜犖［犻，犼］｜（２）

如果存在一个布尔变量，其赋值取反使得

Δ犉＞０，则将该变量的赋值取反就可增大犉的取值．

下面给出求解ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ的局部搜索算法，

并将算法命名为算法１：ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ（犝，犆）．

在算法描述中，犪（狌犼）表示将布尔变量狌犼由赋值函数

犪（·）给予的布尔值取反得到的布尔值．

算法１．　ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ（犝，犆）．

１．随机为犝中布尔变量赋值，得到犪（犝）；

２．Ｗｈｉｌｅ（存在狌犼，使∑犽

犻＝１

（α犻－１－α犻）｜犆［犻，犼］｜＋

∑犽－１

犻＝０

（α犻＋１－α犻）犖［犻，犼］＞０）ｄｏ

３．　犪（狌犼）←犪（狌犼）；

４．Ｅｎｄｗｈｉｌｅ

５．Ｒｅｔｕｒｎ犪（犝）

现在需要给出目标函数犉中｜犛犻｜前的系数α犻的

取值．在函数犉中，犛０，犛犽中的子句是不满足和全满

足的，所以取α０＝α犽＝０．其他系数α犻（１犻犽）由下

４６５１计　　算　　机　　学　　报２０１５年

述递推关系给出，其中犽２．

α犻＝

０，犻＝０

α犻－１＋

２犽－１－１－∑犻－１

犼＝１（）犽犼

（犽－犻＋１）犽

犻（）－１

，１犻烅

烄

烆

犽（３）

先证明由式（３）给出的系数α犻满足对称性质．从

而说明由式（３）计算得到的α犽＝０．

性质１．　若０犻犽，则α犻＝α犽－犻．

证明．　由式（３），可以知道

α犻－α犻－１＝

２犽－１－１－∑犻－１


（犽－犻＋１）犽

犻（）－１

（４）

另外，

α犽－犻－α犽－（犻－１）＝－

２犽－１－１－ ∑犽－犻＋１－１


（犽－（犽－犻＋１）＋１）犽

犽－犻（）＋１－１

＝－

２犽－１－１－∑犽－ｉ


犻犽

犽－（）犻

＝－

２犽－１－１－∑犽－犻


（犽－犻＋１）犽

犻（）－１

＝

２犽－１－１－∑犻－１


（犽－犻＋１）犽

犻（）－１

（５）

所以，

α犻－α犻－１＝α犽－犻－α犽－（犻－１）（６）

当犽为偶数时，设γ＝犽２＝犽２，由式（６）可以得

到αγ－αγ－１＝αγ－αγ＋１，所以αγ－１＝αγ＋１．依此类推，

由αγ－犼＝αγ＋犼和式（６）可以得到αγ－犼－１＝αγ＋犼＋１，１

犼犽２－１．

当犽为奇数时，设γ＝犽２＝犽＋１２．那么

　αγ－αγ－１＝

２犽－１－１－∑γ－１


（犽－γ＋１）犽

γ（）－１

＝

２犽－１－１－１（）犽＋…＋

γ－１（）（）犽

（犽－γ＋１）犽

γ（）－１

＝

２犽－１－１－２犽－０（）犽－２犽（）－１

（犽－γ＋１）犽

γ（）－１

＝０（７）

所以αγ＝αγ－１．由此利用式（６）可依次推得

αγ－犼－１＝αγ＋犼，０犼犽－１２．

综上，对于满足０犻犽的犻，总有α犻＝α犽－犻．

引理１．任给犝的赋值函数犪（犝），则有

∑狀

犼＝１

｜犆［犻，犼］｜＝犻犛犻，∑狀

犼＝１

｜犖［犻，犼］｜＝（犽－犻）｜犛犻｜．

证明．　设犆狋＝｛狓［狋，１］，狓狋，［］２，…，狓［狋，犽］｝∈

犛犻．不失一般性假设犪（狓［狋，１］）＝犪（狓［狋，２］）＝

犪（狓［狋，犻］）＝犜．

将｛狓［狋，１］，…，狓［狋，犻］｝中某一个字母的赋值取

反，犆狋会由犻满足变为（犻－１）满足，设狓［狋，狔］∈

｛狌犼狔，狌－犼狔｝，１狔犻，则犆狋∈犆［犻，犼狔］．但对于狓

｛犼狔｜１狔犻｝，犆狋犆［犻，狓］，即犆狋出现在犻个且恰好

犻个集合犆［犻，犼］中，所以∑狀

犼＝１

｜犆［犻，犼］｜＝犻犛犻．而当

｛狓狋，犻［］＋１，…，狓［狋，犽］｝中某个布尔变量字母赋值

取反时，犆狋会由犻满足变为（犻＋１）满足，设狓［狋，狔］∈

｛狌犼狔，狌　－犼狔｝，犻＋１狔犽，则犆狋∈犖［犻，犼狔］．但对于任意

狓｛犼狔｜犻＋１狔犽｝，犆狋犖［犻，狓］，所以犆狋恰好出现

在犽－犻个犖［犻，犼］中，即∑狀

犼＝１

｜犖［犻，犼］｜＝（犽－犻）｜犛犻｜．

证毕．

引理２．　设算法１结束时得到犝的赋值函数

犪（犝），犛犻为由犪（犝）为犝中布尔变量赋值所产生的

犻满足的子句集合，则｜犛１｜＋…＋｜犛犽－１｜（２犽－１－１）

（｜犛０｜＋｜犛犽｜）．

证明．　当算法结束时，任意布尔变量狌犼赋值

取反，１犼狀，目标函数犉数值均不再增加．那么

对于每个犼＝１，２，…，狀，总有

∑犽

犻＝１

（α犻－１－α犻）犆［犻，犼］＋∑犽－１

犻＝０

（α犻＋１－α犻）犖［犻，犼］０（８）

将式（８）的狀个不等式左右分别相加，得到

∑狀

犼＝１∑犽

犻＝１

（α犻－１－α犻）犆［犻，犼］＋

∑狀

犼＝１∑犽－１

犻＝０

（α犻＋１－α犻）犖［犻，犼］＝

∑犽

犻＝１∑狀

犼＝１

（α犻－１－α犻）犆［犻，犼］＋

∑犽－１

犻＝０∑狀

犼＝１

（α犻＋１－α犻）犖［犻，犼］０（９）

５６５１８期咸爱勇等：最大不全犽满足问题的局部搜索近似算法

由引理１，将∑狀

犼＝１

｜犆［犻，犼］｜＝犻犛犻和∑狀

犼＝１

｜犖［犻，犼］｜＝

（犽－犻）犛犻代入式（９），得到

犽α１犛０＋∑犽－１

犻＝１

［（α犻－１－α犻）犻＋（α犻＋１－α犻）（犽－犻）］犛犻＋

犽α犽－１犛犽０（１０）

由α犻－α犻－１＝

２犽－１－１－∑犻－１


（犽－犻＋１）犽

犻（）－１

，α０＝０得α１＝

２犽－１－１

犽．由性质１得到α犽－１＝

２犽－１－１

犽，α犽＝０．所以，

　犽α１犛０＋犽α犽－１犛犽＝犽α１（犛０＋犛犽）

＝（２犽－１－１）（犛０＋犛犽）（１１）

于是不等式（１０）变为

－∑犽－１

犻＝１

［（α犻－１－α犻）犻＋（α犻＋１－α犻）（犽－犻）］犛犻

（２犽－１－１）（犛０＋犛犽）（１２）

还需要说明不等式（１２）左边恰好为｜犛１｜＋

｜犛２｜＋…＋｜犛犽－１｜，为此，只需证明（α犻－１－α犻）犻＋

（α犻＋１－α犻）（犽－犻）＝－１，１犻犽－１．事实上，

（α犻－１－α犻）犻＋（α犻＋１－α犻）（犽－犻）

＝－

２犽－１－１－∑犻－１


（犽－犻＋１）犽

犻（）－１

犻＋

２犽－１－１－∑犻


（犽－犻）（）犽犻（犽－犻）

＝－

２犽－１－１－∑犻－１


（）犽犻＋

２犽－１－１－∑犻


（）犽犻

＝－（）（）

犽

犻

犽

犻

＝－１（１３）

综上所述，命题得证．证毕．

因犆＝犛０∪犛１∪…∪犛犽－１∪犛犽，由引理２可得

｜犛１｜＋…＋｜犛犽－１｜２犽－１－１

２犽－１｜犆｜．所以算法１解答

犽２的ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ任意实例，总有近似性能

比为２犽－１

２犽－１－１．

当犽＝２，３时，算法１的近似性能比分别为２，

４

３，并不好于Ｇｏｅｍａｎｓ、Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ

［１０］及Ｚｗｉｃｋ［１５］

给出的半定规划松弛法．当犽＝４时，算法１的近似

性能比与Ｋａｒｌｏｆｆ、Ｚｗｉｃｋ［１２］的半定规划松弛法所达

到的近似性能比相同．当犽５时，目前未见有确定

近似性能比的ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ求解算法．Ｚｗｉｃｋ

曾在文献［１５］中指出，半定规划松弛法用于解答犽５

的ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ问题，显得十分困难．本文算

法弥补了这一不足．

２２　算法的时间复杂性

设｜犝｜＝狀，｜犆｜＝犿．给定一个犝的赋值函数

犪（犝），判定一个子句属于集合犛１，…，犛犽中的哪一

个，需要犗（犽）时间．判定一个子句属于哪些犆［犻，犼］，

１犻犽，１犼狀及哪些犖［犻，犼］，０犻犽－１，１

犼狀，也需要犗（犽）时间．因此子句集合犆［犻，犼］，

犖［犻，犼］和犛犻可在犗（犽犿）时间内得到．找到一个布尔

变量狌犼，１犼狀，满足Δ犉＞０，需要犗（犽狀）时间．

因此算法１的一个Ｗｈｉｌｅ循环所花费的时间为

犗（犽（犿＋狀））．

算法１中Ｗｈｉｌｅ循环的执行次数必然受到目标

函数犉中的｜犛犻｜前面系数α犻的影响．当犽＝２，３，…，

９时，分别按照式（３）计算α犻，将α犻的数值列在表１

中．由式（３）不难知道，α犻是犽的指数函数，但仅与犽

有关，与ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ实例中的布尔变量与子

句数目无关．

表１　目标函数中参量α犻的取值

犽 α１ α２ α３ α４ α５ α６ α７ α８ α９

２１

２０

３１１０

４７

４２

７

４０

５３７

２

７

２３０

６３１

６６

３７

６６

３１

６０

７９３１

３

３４

３

３４

３

３１

３９０

８１２７

８１８

４４５

２４

５６

３

４４５

２４１８

１２７

８０

９８５

３

１２７

４

３９１

１２

１９７

６

１９７

６

３９１

１２

１２７

４

８５

３０

因目标函数犉中每个系数α犻均以分数形式给

出，所以α犻的任何取值误差均可使算法１的近似性能

比不能达到２犽－１

２犽－１－１．若要保证算法１的近似性能比

总能达到２犽－１

２犽－１－１，可将每个参量α犻均乘以一个正整

数β，使β·α犻被放大为正整数，１犻犽－１．当犽较

小时，这种系数的整数倍放大对于算法的时间复杂性

影响不大．如当犽＝８时，每个α犻乘以２４，则均变为正

整数，其中２４α４＝４４８为最大．此时有０犉４４８犿，

因此算法１的Ｗｈｉｌｅ循环最多执行４４８犿次，由此

可知，算法１的时间复杂性为犗（４４８×８犿（犿＋狀））．

６６５１计　　算　　机　　学　　报２０１５年

下面默认β（犽）为将βα１，…，βα犽－１均放大为整数，且

取值最小的正整数，显然β（犽）α犽／２是β（犽）α１，…，

β（犽）α犽－１中的最大者，且是犽的指数函数．我们计算

了犽２６的所有目标函数的系数，将犽取值１０～２６

时，β（犽）的数值列在表２中．因α犽／２２犽－１，所以，

β（犽）α犽／２２犽－１

β（犽），数值最大．

表２　将α犻放大为整数需要放大的倍数β（犽）

犽 β（犽）犽 β（犽）犽 β（犽）

１０３０１６１６８０２２６９３０

１１１５１７８４０２３３４６５

１２６０１８１２６０２４２７７２０

１３３０１９６３０２５１３８６０

１４２１０２０１２６０２６９００９０

１５１０５２１６３０

下面给出β（犽）上界的一个估计值．

性质２．　设β（犽）＝ｍｉｎ｛β｜βα犻为正整数，１犻

犽－１｝，其中α犻由式（３）给定，０犻犽，则当犽６时，

β（犽）犽／２！．

证明．若犽为偶数，则犽（）０＋

犽（）１＋…＋犽

犽２

烄

烆

烌

烎－１＋

１

２

犽

犽／（）２＝２犽－１．将式（３）中的α犻－１移到等号左边，将

（）犽犾＝犽（犽－１）…（犽－犾＋１）

犾！代入该式右边的分数

表达式中，可将（α犻－α犻－１）的表达式整理成一个分

数和与另一个整数乘积的形式，即（α犻－α犻－１）＝

犖·犕，其中

犖＝１

犻！＋…＋

（犽－犻）… 犽－犽２（）＋２

犽２（）－１！

熿

燀

＋

（犽－犻）… 犽－犽２（）＋１

２犽（）２

燄

燅！

，１犻犽／２，

犕按照如下方式取值：若犻＝１，则犕＝１；若犻２，则

犕＝（犻－１）！．考察犖的表达式最后一个分数项，因

犽６，所以若犻＝１或犻＝２，则该分数项的分子部分

（犽－犻）…（犽－犽／２＋１）总能被２整除；若犻３，则犕＝

（犻－１）！可以被２整除．由此可知，（犽／２）！（α犻－α犻－１）

必为整数．由α０＝０及性质１立即得到，（犽／２）！α犻为

整数，１犻犽．因β（犽）是满足β（犽）α犻为整数的最小

正整数，１犻犽－１，所以β（犽）（犽／２）！．

若犽为奇数，则犽（）０＋

犽（）１＋…＋犽

犽－１２

烄

烆

烌

烎－１

＋

犽

犽－１烄

烆

烌

烎２

＝２犽－１．类似于犽为偶数时的讨论，有（α犻－

α犻－１）＝犖·犕，其中，

犖＝１

犻！＋…＋

（犽－犻）… 犽－犽－１２（）＋２

犽－１２（）－１！

熿

燀

＋

（犽－犻）… 犽－犽－１２（）＋１

犽－１（）２

燄

燅！

，１犻犽－１２，

犕取值方式如下：若犻＝１，则犕＝１；若犻２，则犕＝

（犻－１）！．由此可知，（（犽－１）／２）！（α犻－α犻－１）必为整

数．由α０＝０及性质１立即得到，犽－１（）２

！α犻为整数，

１犻犽．所以β（犽）犽－１（）２

！．

当犽＝８时，β（犽）＝２４＝４！，由性质２给出的上

界等于表１中实际计算出的上界．另外表２中的

β（犽）取值远小于性质２给出的上界．

定理１．　算法１解答任意ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ

实例的近似性能比均不大于２犽－１

２犽－１－１．时间复杂性为

犗（β（犽）２犽－１犽（犿＋狀）犿）．其中狀，犿分别为布尔变量

数目和子句数目，当犽６时，β（犽）犽／２！．

在实际ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ求解中，一般并不需

要将犉中的系数α犻转化为整数，可直接采用小数来

表示α犻并计算犉的数值．我们采用６４位浮点数来

表示每个系数α犻，以Ｊａｖａ程序实现算法１，随机产生

ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ实例，在各种笔记本及台式机电

脑上进行了实际求解测试．在针对犽４０的随机

ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ实例的求解测试中，我们从未遇

到算法１的求解性能大于２犽－１

２犽－１－１的情况．分别取

犽＝４，５，１６，１９，２８，２９，利用算法１的Ｊａｖａ程序，将

在以酷睿Ｕ９４００为中央处理器的笔记本电脑上实

际求解的运行时间列在表３中．表３给出的测试结

果中，最大和最小运行时间分别为随机产生的２０个

实例的求解时间的最大者和最小者．

表３　算法１的实际运行时间（｜犝｜、｜犆｜表示布尔变量数目和

子句数目；犕犪狓、犕犻狀分别表示算法求解２０个实例的

最大和最小运行时间，犃狏犲狉为平均运行时间）

犽｜犝｜｜犆｜Ａｖｅｒ／ｍｓＭｉｎ／ｍｓＭａｘ／ｍｓ

４２０００３５０００８６２７７８２６３３１００６３７

５２０００３５０００９２３１５８３７４２１００９３９

１６５００２００００３１６４４２８１１２３９８４７

１９２００６００００２３９１３１７７６９３３２２８

２８２００６００００２９６８７１９０１７３７２８１

２９３００６００００６２５３５４８５４８７２９４７

７６５１８期咸爱勇等：最大不全犽满足问题的局部搜索近似算法

实际测试表明，直接采用浮点数表示目标函数

犉中的系数α犻，并不影响算法１的求解性能．然而算

法１仅适合于犽为小常数时的ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ

求解，如犽４０．

３　一般最大不全犽满足问题的局部搜索

若ＭａｘＮＡＥＳＡＴ实例不仅含有犽个字母的

子句，也含有多于犽个字母的子句，则问题演变为更

一般的最大不全犽满足问题，即ＭａｘＮＡＥ（犽）

ＳＡＴ．第２节给出的算法并不能直接用于解答Ｍａｘ

ＮＡＥ（犽）ＳＡＴ实例．下面考虑推广算法１，使之能

够解答ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ．

ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ问题的求解目标与Ｍａｘ

ＮＡＥ犽ＳＡＴ的求解目标相同，实例为：布尔变量集

合犝＝｛狌１，…，狌狀｝，子句集合犆＝｛犆１，…，犆犿｝，子句

犆狋＝｛狓［狋，１］，…，狓［狋，犽狋］｝，其中狓［狋，犼］∈｛狌１，…，

狌狀｝∪｛狌－１，…，狌

－狀｝，１狋犿，１犼犽狋，犽狋犽．

由于ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ实例中，每个子句的

布尔变量字母数并不相等，所以需要进一步区分犆

中犻满足但所含字母总数不同的子句集合．

给定布尔变量赋值犪（犝），设犛［犫，犻］表示含有犫

个布尔变量字母，且为犻满足的子句集合；犆［犫，犻，犼］

表示含有犫个布尔变量字母，为犻满足，且被狌犼满足

的子句集合；犖［犫，犻，犼］表示含有犫个布尔变量字

母，为犻满足且不被狌犼满足的子句集合．

设ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ的子句集合犆中，每个

子句最多含有犽ｍａｘ个字母，则犆中子句可含有

犽，…，犽ｍａｘ个字母．欲增大犆中不全满足的子句数

目，考虑利用局部搜索盲目地最大化如下目标函数：

犌＝∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

（α犫，１犛犫，［］１＋…＋α犫，犫－１犛犫，犫［］－１）

（１４）

目标函数犌是犉的推广．分别考虑犆中含有

犽，…，犽ｍａｘ个字母的子句集合，依照式（１）选择解答

ＭａｘＮＡＥ犫ＳＡＴ实例的目标函数，犽犫犽ｍａｘ，将

这些目标函数相加即得到式（１４）．类似于式（３）中α犻

的取值，目标函数犌中各个系数取值如下：

　α犫，犻＝

０，犻＝０

α犫，犻－１＋

２犫－１－１－∑犻－１

犼＝１（）犫犼

（犫－犻＋１）犫

犻（）－１

，１犻烅

烄

烆

犫（１５）

由性质１可知式（１５）给出的α犫，犻满足α犫，犻＝α犫，犫－犻，

０犻犫．给定犝的赋值函数犪（犝），将布尔变量狌犼的

赋值取反，犛［犫，犻］中的子句只可能变为犛［犫，犻＋１］或

者犛［犫，犻－１］中的子句，不会变为犛［犫′，·］中的子

句，犫≠犫′．所以，由犻满足变为（犻－１）满足的子句

导致犌产生增量：∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

（α犫，犻－１－α犫，犻）犆［犫，犻，犼］，１

犻犽；由犻满足变为（犻＋１）满足的子句导致犌产生

增量：∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

（α犫，犻＋１－α犫，犻）｜犖［犫，犻，犼］｜，０犻犽－１．于

是犌因狌犼赋值取反所产生的增量为

Δ犌＝∑

犽ｍａｘ

犫＝犽∑犫

犻＝１

（α犫，犻－１－α犫，犻）犆［犫，犻，犼］＋

∑

犽ｍａｘ

犫＝犽∑犫－１

犻＝０

（α犫，犻＋１－α犫，犻）犖［犫，犻，犼］

＝∑

犽ｍａｘ

犫＝犽∑犫

犻＝１

（α犫，犻－１－α犫，犻）犆［犫，犻，犼］｛＋

∑犫－１

犻＝０

（α犫，犻＋１－α犫，犻）犖［犫，犻，犼｝］（１６）

因此解答ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ的局部搜索步

骤与算法１完全相同，只需将Ｗｈｉｌｅ循环中狌犼赋值

取反的条件修改为Δ犌＞０即可，其中Δ犌的计算公

式由式（１６）给出．当算法运行结束时，任意布尔变量

狌犼赋值取反，总有Δ犌０．即

∑

犽ｍａｘ

犫＝犽∑犫

犻＝１

（α犫，犻－１－α犫，犻）犆［犫，犻，犼］（＋

∑犫－１

犻＝０

（α犫，犻＋１－α犫，犻）犖［犫，犻，犼）］０，１犼狀（１７）

将算法１中狌犼赋值取反条件修改为Δ犌＞０，并

将赋值取反条件修改后的算法重新命名为算法２：

ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ（犝，犆）．

引理３．　任给布尔变量赋值函数犪（犝），则有

∑狀

犼＝１

｜犆［犫，犻，犼］｜＝犻犛［犫，犻］，∑狀

犼＝１

｜犖［犫，犻，犼］｜＝

（犫－犻）｜犛［犫，犻］｜．

证明．　设犆中含有犫个布尔变量字母的子句

集合为犛［犫］，则有犛［犫］＝犛［犫，０］∪犛［犫，１］∪…∪

犛［犫，犫］，任意布尔变量赋值取反，犛［犫］保持不变．由

引理１可知该引理成立．证毕．

引理４．　设算法结束时得到布尔变量赋值

犪（犝），则∑

犽ｍａｘ


犻＝１

｜犛［犫，犻］｜∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

（２犫－１－１）（犛［犫，０］＋

犛［犫，犫］）．

证明．　当算法结束时，将任意布尔变量狌犼赋值

取反，目标函数犌取值均不增加．那么就有式（１７）

８６５１计　　算　　机　　学　　报２０１５年

成立．将式（１７）的狀个不等式左右分别相加，得到

∑狀

犼＝１∑

犽ｍａｘ

犫＝犽∑犫

犻＝１

（α犫，犻－１－α犫，犻）犆［犫，犻，犼］（｛＋

∑犫－１

犻＝０

（α犫，犻＋１－α犫，犻）犖［犫，犻，犼）｝］＝

∑

犽ｍａｘ

犫＝犽∑犫

犻＝１

（α犫，犻－１－α犫，犻）∑狀

犼＝１

犆［犫，犻，犼］（＋

∑犫－１

犻＝０

（α犫，犻＋１－α犫，犻）∑狀

犼＝１

犖［犫，犻，犼）］０（１８）

由引理３，将∑狀

犼＝１

｜犆［犫，犻，犼］｜＝犻犛［犫，犻］，

∑狀

犼＝１

｜犖［犫，犻，犼］｜＝（犫－犻）｜犛［犫，犻］｜代入式（１８）得到

∑

犽ｍａｘ

犫＝

｛犽

犫α犫，１犛［犫，０］＋犫α犫，犫－１犛［犫，犫］＋

∑犫－１

犻＝１

［（α犫，犻－１－α犫，犻）犻＋（α犫，犻＋１－α犫，犻）（犫－犻）］犛［犫，犻｝］０

（１９）

由式（１５）可知，α犫，１＝２犫－１－１

犫，再由性质１得

α犫，犫－１＝２犫－１－１

犫．由式（１５）还可得到

（α犫，犻－１－α犫，犻）＝－

２犫－１－１－∑犻－１


（犫－犻＋１）犫

犻（）－１

，１犻犫－１（２０）

（α犫，犻＋１－α犫，犻）＝

２犫－１－１－∑犻


（犫－犻）（）犫犻，１犻犫－１（２１）

由式（２０）、（２１）可推得（α犫，犻－１－α犫，犻）犻＋（α犫，犻＋１－

α犫，犻）（犫－犻）＝－１．将α犫，１＝α犫，犫－１＝２犫－１－１

犫和（α犫，犻－１－

α犫，犻）犻＋（α犫，犻＋１－α犫，犻）（犫－犻）＝－１代入式（１９），整理

后即得到

　　∑

犽ｍａｘ


犻＝１

｜犛［犫，犻］｜

　　∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

（２犫－１－１）（犛［犫，０］＋犛［犫，犫］）（２２）

命题得证．证毕．

已知ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ实例中的子句集合

为犆，则｜犆｜＝∑

犽ｍａｘ

犫＝犽∑犫

犻＝０

｜犛［犫，犻］｜．所以由引理４可得到

∑

犽ｍａｘ


犻＝１

｜犛［犫，犻］｜２犽－１

２犽－１－１｜犆｜，即算法２的近似性

能比为２犽－１

２犽－１－１．算法２的时间复杂性可由算法１的

时间复杂性推得．

定理２．　算法２解答ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ实

例的近似性能比不大于２犽－１

２犽－１－１．时间复杂性为

犗 ∑

犽ｍａｘ

犫＝犽β（犫）２

犫－１犫（犿＋狀）（）犿．其中狀，犿分别表示布

尔变量数目和子句数目，β（犫）犫／２！．

例如，若一个ＭａｘＮＡＥ（４）ＳＡＴ实例含有４个字

母和５个字母的子句，则利用算法２解答该实例的目

标函数应为７４｜犛［４，１］｜＋２｜犛［４，２］｜＋

７

４｜犛［４，３］｜＋

３｜犛［５，１］｜＋７

２｜犛［５，２］｜＋

７

２｜犛［５，３］｜＋３｜犛［５，４］｜，

若将每个系数均放大为整数，则目标函数为７｜犛［４，

１］｜＋８｜犛［４，２］｜＋７｜犛［４，３］｜＋１２｜犛［５，１］｜＋１４｜

犛［５，２］｜＋１４｜犛［５，３］｜＋１２｜犛［５，４］｜．布尔变量狌犼

赋值取反的条件应为－７｜犆［４，１，犼］｜－２｜犆［４，２，犼］｜＋

２｜犆［４，３，犼］｜＋７｜犆［４，４，犼］｜＋７｜犖［４，０，犼］｜＋

２｜犖［４，１，犼］｜－７｜犖［４，２，犼］｜－２｜犖［４，３，犼］｜－

１２｜犆［５，１，犼］｜－２｜犆［５，２，犼］｜＋２｜犆［５，４，犼］｜＋

１２｜犆［５，５，犼］｜＋１２｜犖［５，０，犼］｜＋２｜犖［５，１，犼］｜－

２｜犖［５，３，犼］｜－１２｜犖［５，４，犼］｜＞０．

分别取３组ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ实例，第１组

含有４字母和５字母子句；第２组含有５字母、６字

母和８字母子句；第３组含有７、１０、１１字母子句，以

Ｊａｖａ编程实现该算法，采用６４位浮点数表示目标

函数中的系数α犫，犻，将在Ｕ９４００笔记本电脑上的实

际求解运行时间列在表４中．

表４　犕犪狓犖犃犈（犽）犛犃犜实际求解运行时间（犕犪狓、犕犻狀分别

表示算法求解２０个随机生成实例的最大和最小运行时间）

犽｜犝｜｜犆｜Ｍａｘ／ｍｓＭｉｎ／ｍｓ

４，５１０００２００００１３４９８７１０２７１１

５，６，８１０００１５０００１３９３８６９１５８８

７，１０，１１５００１２０００４５２９１６００６１

４　解答犕犪狓（犽）犛犃犜的新近似算法

Ｋｈａｎｎａ等人［２８］给出了解答Ｍａｘ犽ＳＡＴ的局

部搜索算法，近似性能比为２犽

２犽－１．但该算法并不能

用于解答一般最大犽可满足问题．本节我们利用解

答ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ的局部搜索算法解答一般

最大犽可满足问题．一般最大犽可满足问题简记为

Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ．

Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ的实例与ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ

９６５１８期咸爱勇等：最大不全犽满足问题的局部搜索近似算法

的实例相同，求解目标则为：寻求犝中布尔变量的

赋值犪：犝→｛犜，犉｝，最大化｜｛犆狋：犪（狓［狋，１］）∨…∨

犪（狓［狋，犽狋］）＝犜｝｜．

任一Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ实例亦可看作ＭａｘＮＡＥ

（犽）ＳＡＴ实例．所以算法２可用于解答Ｍａｘ（犽）

ＳＡＴ实例．然而这样做还不能保证算法的近似性能

比达到２犽

２犽－１．下面我们说明，只需将Ｍａｘ（犽）

ＳＡＴ实例作为ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ实例以算法２

求解，再将得到的解加以改造，即为原Ｍａｘ（犽）

ＳＡＴ实例的近似性能比为２犽

２犽－１的解．

任给Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ实例，以式（１４）做目标函

数，利用算法２，可给出一个犝的赋值函数犪（犝）．由

引理４，赋值函数犪（犝）使得

∑

犽ｍａｘ


犻＝１

犛［犫，犻］（２犽－１－１）∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

（犛［犫，０］＋犛［犫，犫］）

　　（２犽－２）ｍｉｎ∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

｜犛［犫，０］｜，∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

｜犛［犫，犫］｛｝｜（２３）

若∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

｜犛［犫，犫］｜∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

｜犛［犫，０］｜，则

∑

犽ｍａｘ

犫＝犽∑犫

犻＝１

｜犛［犫，犻］｜（２犽－１）∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

｜犛［犫，０］｜（２４）

否则，式（２４）未必成立．然而可以利用将所有布尔变

量赋值取反，使∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

｜犛［犫，犫］｜∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

｜犛［犫，０］｜得以成

立．由此给出解答Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ问题的算法如下．

算法３．　Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ（犝，犆）．

／／犝为布尔变量集合，犆为子句集合

１．调用ＭａｘＮＡＥ（犽）ＳＡＴ（犝，犆），得到犪（犝）；

２．Ｉｆ ∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

犛［犫，犫］∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

犛［犫，０（）］

　　　ｔｈｅｎ犪′（犝）←犪（犝）；

３．Ｅｌｓｅ犪′（犝）←犪－（犝）；

４．Ｅｎｄｉｆ

５．Ｒｅｔｕｒｎ犪′（犝）

在算法３中，犪－（犝）表示将犝中每个布尔变量

由犪（·）赋予的布尔值取反，得到的犝的赋值函数．

引理５．　设算法３返回布尔变量赋值犪′（犝），

犛［犫，犻］表示以赋值函数犪′（犝）为犝中布尔变量赋

值后，犆中含有犫个字母且为犻满足的子句集合．则

∑

犽ｍａｘ

犫＝犽∑犫

犻＝１

｜犛［犫，犻］｜２犽－１

２犽｜犆｜．

证明．　为更确切地表达赋值函数对犆中犻满

足子句集合的影响，再设犛［犳（·），犫，犻］表示以赋值

函数犳（犝）为犝中布尔变量赋值后，犆中含有犫个

字母且为犻满足的子句集合，因此有犛［犫，犻］＝

犛［犪′（·），犫，犻］．若犪′（犝）＝犪（犝），由引理４知式（２３）

成立．若犪′（犝）＝犪　－（犝），则犛［犫，犻］＝犛［犪　－（·），犫，犻］＝

犛［犪（·），犫，犫－犻］，０犻犫，所以，

∑

犽ｍａｘ


犻＝１

｜犛［犫，犻］｜＝∑

犽ｍａｘ


犻＝１

｜犛［犪（·），犫，犻］｜（２５）

同理，

∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

（犛［犫，０］＋犛［犫，犫］）＝

∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

（犛［犪（·），犫，０］＋犛［犪（·），犫，犫］（２６）

所以式（２３）仍然成立．另外由算法３可知，无论

犪′（犝）＝犪（犝）还是犪′（犝）＝犪　－（犝），总有

∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

犛［犫，犫］∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

犛［犫，０］（２７）

所以，由式（２３）和（２７）可得到

∑

犽ｍａｘ

犫＝犽∑犫

犻＝１

｜犛［犫，犻］｜＞（２犽－１）∑

犽ｍａｘ

犫＝犽

｜犛［犫，０］｜（２８）

因∑

犽ｍａｘ

犫＝犽∑犫

犻＝０

｜犛［犫，犻］｜＝｜犆｜，所以，

∑

犽ｍａｘ

犫＝犽∑犫

犻＝１

｜犛［犫，犻］｜＞２犽－１

２犽｜犆（２９）

引理得证．证毕．

算法３与算法２的时间复杂性相同．因此有如

下定理．

定理３．　算法３解答任意Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ实

例的近似性能比不大于２犽

２犽－１，时间复杂性为

犗∑

犽ｍａｘ

犫＝犽β（犫）２

犫－１犫（犿＋狀）（）犿．其中狀，犿分别表示布

尔变量数目和子句数目，β（犫）犫／２！．

５　最大不全犽满足问题的近似计算

复杂性

Ｈａｓｔａｄ［２７］曾证明，对于任意犽３，不存在解答

Ｍａｘ犽ＳＡＴ的多项式时间算法，近似性能比小于

２犽

２犽－１，除非Ｐ＝ＮＰ．我们利用该结果证明，对于任

意犽４，不存在解答ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ的多项式时

间算法，近似性能小于２犽－１

２犽－１－１．即有如下定理．

定理４．　对于任意犽４，不存在解答Ｍａｘ

ＮＡＥ犽ＳＡＴ的多项式时间算法，近似性能达到

２犽－１

２犽－１－１－ε，除非Ｐ＝ＮＰ．

０７５１计　　算　　机　　学　　报２０１５年

证明．　将Ｍａｘ犾ＳＡＴ问题归约到ＭａｘＮＡＥ

犽ＳＡＴ，犽＝犾＋１．设犾３，〈犝，犆〉是Ｍａｘ犾ＳＡＴ的任

一实例，构造ＭａｘＮＡＥ（犾＋１）ＳＡＴ实例〈犝′，犆′〉

如下．

犝′包含犝的所有布尔变量，仅比犝多一个布尔

变量狅，即设犝＝｛狌１，…，狌狀｝，则犝′＝｛狌１，…，狌狀，狅｝．

将犆中每个子句均增加布尔变量字母狅，形成犆′的

子句．即设犆＝｛犆１，…，犆犿｝，其中犆狋＝（狓［狋，１］，…，

狓［狋，犾］），则对应每个犆狋，构造一个子句犇狋＝（狓［狋，１］，…，

狓［狋，犾］，狅），１狋犿，而犆′＝｛犇１，…，犇犿｝．

设有犝的真值指派犪（狌１），…，犪（狌狀），使犆中犕

个子句满足．为狅赋值犪（狅）＝犉，则犪（狌１），…，犪（狌狀）

与犪（狅）必然使犆′中恰好犕个子句不全满足．这是

因为若犪（狌１），…，犪（狌狀）使犆狋满足，则其中必有一个

布尔变量字母取值为犜，又犪（狅）＝犉，所以犇狋是不

全满足的；若犪（狌１），…，犪（狌狀）使犆狋不满足，又因

犪（狅）＝犉，所以犇狋也是不满足的．

另一方面设有犝′的真值指派犪（狌１），…，犪（狌狀），

犪（狅）使犆′中犕个子句不全满足，则犪（狌１）犪（狅），…，

犪（狌狀）犪（狅）必然使犆中恰好犕个子句满足．理由

如下：

若犪（狅）＝犉，则犆′中不存在全满足的子句，且

犪（狌犻）犪（狅）＝犪（狌犻），１犻狀．若犪（狌１），…，犪（狌狀），

犪（狅）使犇狋不全满足，则犇狋必有一个布尔变量字母

狓［狋，·］取值为犜，所以犪（狓［狋，·］）使犆狋满足．若

犪（狌１），…，犪（狌狀），犪（狅）使犇狋不满足，则犆狋中每个字

母狓［狋，·］均取值犉，所以犆狋也是不满足的．

若犪（狅）＝犜，则犆′中不存在不满足的子句，且

犪（狌犻）犪（狅）＝犪（狌犻），１犻狀．若犪（狌１），…，犪（狌狀），

犪（狅）使犇狋不全满足，则犇狋必有一个布尔变量字母狓［狋，·］

取值为犉，所以犪（狓［狋，·］）使犆狋满足．若犪（狌１），…，

犪（狌狀），犪（狅）使犇狋全满足，则犪（狓［狋，１］），…，犪（狓［狋，犾］）

使犆狋不满足．

因此，若存在犝的真值指派，使犆中犕个子句

满足，当且仅当存在犝′的真值指派，使犆′中犕个子

句不全满足．设犗犘犜（犝，犆）与犗犘犜（犝′，犆′）分别为

犆和犆′中最多可满足的和最多能够不全满足的子

句数目，则犗犘犜（犝，犆）＝犗犘犜（犝′，犆′）．

若存在解答ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ的多项式时间

算法犃，对于任意ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ实例〈犝′，犆′〉，

总能得到犝′的真值指派犪（犝′），使犆′中不全满足的

子句数目达到犃（犝′，犆′）２犽－１－１

２犽－１－（）ε犗犘犜（犝′，

犆′），则由犪（狌１）犪（狅），…，犪（狌狀）犪（狅）为犝中布

尔变量赋值，可使犆中满足的子句数目同样为

犃（犝′，犆′）２犽－１－１

２犽－１－（）ε犗犘犜（犝，犆），与Ｈａｓｔａｄ

的结论矛盾．证毕．

定理４说明本文解答ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ的算

法所达到的近似性能比，当犽４时是最优的．

６　结束语

本文给出ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ问题的局部搜索

算法，近似性能比为２犽－１

２犽－１－１．进一步给出Ｍａｘ

ＮＡＥ（犽）ＳＡＴ问题的局部搜索算法，近似性能比

亦为２犽－１

２犽－１－１．本文算法可用于解答Ｍａｘ（犽）ＳＡＴ

问题，近似性能比可达到２犽

２犽－１．本文最后证明对于

任意犽４，不存在解答ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ的多项式

时间算法，近似性能小于２犽－１

２犽－１－１．因而说明本文算

法１解答ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ所能达到的近似性能

比是最优的，犽４．

本文算法的时间复杂性仍是犽的指数函数，可

认为是关于犽的参数化算法．能否设计出解答最大

不全犽满足问题以及最大犽可满足问题的局部搜索

算法，使其时间复杂性既是布尔变量个数及子句个

数的多项式函数，又是关于犽的多项式函数，仍是十

分有趣的问题．本文将算法目标函数中系数放大为

整数时，给出了放大倍数β（犽）的上界，然而这个

β（犽）的上界的估计值距离实际计算得到的数值仍有

较大差距．给出一个目标函数系数放大倍数更紧密

的上界，有助于更确切地分析算法的时间复杂性，仍

然值得进一步研究．

参考文献

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犡犐犃犖犃犻犢狅狀犵，ｂｏｒｎｉｎ１９８６，Ｍ．Ｓ．

ｃａｎｄｉｄａｔｅ．Ｈｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｔｅｒｅｓｔｓｉｎｃｌｕｄｅ

ａｌｇｏｒｉｔｈｍｄｅｓｉｇｎａｎｄａｎａｌｙｓｉｓ，ｓｏｆｔｗａｒｅ

ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．

犣犎犝犇犪犕犻狀犵，Ｐｈ．Ｄ．，ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ，Ｐｈ．Ｄ．ｓｕｐｅｒｖｉｓｏｒ．

Ｈｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｔｅｒｅｓｔｓｉｎｃｌｕｄｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｄｅｓｉｇｎａｎｄａｎａｌｙｓｉｓ，

ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｍｏｌｅｃｕｌａｒｂｉｏｌｏｇｙ．

２７５１计　　算　　机　　学　　报２０１５年

犅犪犮犽犵狉狅狌狀犱

Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｖｏｌｖｅｓｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓａｎｄｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｏｆ

ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｓｆｏｒｃｏｎｊｕｎｃｔｉｖｅｎｏｒｍｆｏｒｍｓ．Ｗｅｆｏｃｕｓ

ｏｎｌｏｃａｌｓｅａｒｃｈａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ

ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｓ，ａｎｄｅｖａｌｕａｔｅｔｈｅｉｒｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓ．

Ｔｈｅｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｉｓｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｐｒｏｂｌｅｍｉｎｔｈｅｏ

ｒｅｔｉｃａｌｃｏｍｐｕｔｅｒｓｃｉｅｎｃｅ．Ｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍ

（ＭａｘＳＡＴ）ｉｓｔｈｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｖｅｒｓｉｏｎｏｆｔｈｅｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙ

ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍ

（ＭａｘＮＡＥＳＡＴ）ｉｓａｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆＭａｘＳＡＴ．Ｌｏｃａｌ

ｓｅａｒｃｈｈａｓｂｅｅｎｔｅｓｔｉｆｉｅｄｔｏｂｅｖｅｒｙｅｆｆｅｃｔｉｖｅｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅ

ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅｒｅａｒｅｒａｒｅｒｅｌａｔｅｄ

ｒｅｓｕｌｔｓｆｏｒｔｈｅｌｏｃａｌｓｅａｒｃｈｍｅｔｈｏｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ

ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｓ．ＭａｘＮＡＥＳＡＴｉｓｎａｍｅｄＭａｘＮＡＥ

犽ＳＡＴｉｆｅａｃｈｃｌａｕｓｅｉｎｉｔｓｉｎｓｔａｎｃｅｃｏｎｔａｉｎｓ犽（２）ｌｉｔｅｒａｌｓ．

Ｔｏｏｕｒｋｎｏｗｌｅｄｇｅ，ｔｈｅｌａｔｅｓｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｃａｐｐｒｏａｃｈｅｓｆｏｒｔｈｅ

ｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙａｒｅｔｈｅｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅ

ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｒｅｌａｘａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆＡｖｉｄｏｒｅｔａｌｔｏｓｏｌｖｅ

ＭａｘＮＡＥＳＡＴ，ｗｈｉｃｈｃａｎａｃｈｉｅｖｅｔｈｅｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅｄｐｅｒｆｏｒｍ

ａｎｃｅｒａｔｉｏ１．２０７９（＝１／０．８２７９）．Ｔｈｅｂｅｓｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒ

ｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ２，３ａｎｄ４ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｓ

ｃｏｍｅｆｒｏｍｔｈｅｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｒｅｌａｘａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓ

ｇｉｖｅｎｂｙＧｏｅｍａｎｓａｎｄＷｉｌｌｉａｍｓｏｎ，Ｚｗｉｃｋ，ＫａｒｌｏｆｆａｎｄＺｗｉｃｋ，

ｗｉｔｈｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓ１．１３９（１／０．８７８），１．１００４７（１／０．９０８７）

ａｎｄ８／７ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｂｕｔｗｈｅｎ犽５，ｔｈｅｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅ

ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｒｅｌａｘａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｂｅｃｏｍｅｓｖｅｒｙｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏ

ｓｏｌｖｅＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ．Ｚｗｉｃｋａｌｓｏｅｘｐｒｅｓｓｅｄｔｈｅｓａｍｅ

ｖｉｅｗｐｏｉｎｔｉｎｈｉｓｐａｐｅｒｆｏｒｕｓｉｎｇｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ

ｒｅｌａｘａｔｉｏｎｔｏｓｏｌｖｅＭａｘＮＡＥ３ＳＡＴ．

Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｆｉｒｓｔｐｒｏｐｏｓｅａｌｏｃａｌｓｅａｒｃｈａｌｇｏｒｉｔｈｍ

ｔｏｓｏｌｖｅＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ．Ｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎａｃｈｉｅｖｅｔｈｅ

ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｒａｔｉｏ２犽－１／（２犽－１－１）ｆｏｒ犽２．Ｒｅｌａｔｉｖｅｔｏｔｈｉｓ

ｒｅｓｕｌｔ，ｗｅｈａｖｅｎｏｔｓｅｅｎａｎｙａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒ

ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴｗｉｔｈ犽５．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｗｅｆｏｌｌｏｗｔｈｅｉｄｅａ

ｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴｔｏｐｒｏｐｏｓｅａｌｏｃａｌｓｅａｒｃｈ

ａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｖｅｒｓｉｏｎｏｆＭａｘＮＡＥ

犽ＳＡＴｗｈｉｃｈｈａｓｃｌａｕｓｅｓｅａｃｈｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ犽ｏｒｍｏｒｅｌｉｔｅｒａｌｓ．

Ｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｓｔｉｌｌａｃｈｉｅｖｅｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｒａｔｉｏ２犽－１／

（２犽－１－１）．Ｔｈｅｅｘｔｅｎｓｉｏｎｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｒｏｍｓｏｌｖｉｎｇ

ＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴｔｏｓｏｌｖｉｎｇｉｔｓｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｖｅｒｓｉｏｎｉｓｎｏｎ

ｔｒｉｖｉａｌ，ｂｅｃａｕｓｅｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴｃａｎｎｏｔ

ｂｅｄｉｒｅｃｔｌｙｕｓｅｄｆｏｒｉｔｓｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｖｅｒｓｉｏｎ．Ｕｓｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄ

ｆｏｒｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｖｅｒｓｉｏｎｏｆＭａｘＮＡＥ犽ＳＡＴ，ｗｅｐｒｏｐｏｓｅ

ａｎｅｗ２犽／（２犽－１）ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ

ｖｅｒｓｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｘｉｍｕｍ犽ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍ（Ｍａｘ犽

ＳＡＴ）ｗｈｉｃｈｈａｓｃｌａｕｓｅｓｅａｃｈｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ犽ｏｒｍｏｒｅｌｉｔｅｒａｌｓ．

Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｈａｔｉｆＰ≠ＮＰ，ｔｈｅｎｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌ

ｅｑｕａｌ犽ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｃａｎｎｏｔｂｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄｗｉｔｈｉｎ

２犽－１／（２犽－１－１）ｆｏｒ犽４．Ｔｈｉｓｉｍｐｌｉｅｓｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｒａｔｉｏ

ｏｆｏｕｒａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｎｏｔａｌｌｅｑｕａｌ犽ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙ

ｐｒｏｂｌｅｍｉｓｏｐｔｉｍａｌ，ｗｈｅｎ犽４．

ＴｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ

ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａ（６１０７００１９）．Ｔｈｉｓｐｒｏｊｅｃｔａｉｍｓａｔａｃｌａｓｓ

ｏｆｐｒｏｂｌｅｍｓｏｎｇｅｎｏｍｅｃｏｍｐａｒａｔｉｏｎｓａｎｄｏｔｈｅｒａｒｅａｓｔｏ

ｄｅｓｉｇｎａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ｌｏｃａｌｓｅａｒｃｈｉｓｔｈｅｈｅａｖｙ

ｐｏｉｎｔｉｎｏｕｒｒｅｓｅａｒｃｈｆｏｒｄｅｓｉｇｎｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ

ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｏｕｒｐｒｏｊｅｃｔｎｅｅｄｓｔｏｔｒｙｅｖｅｒｙ

ｅｆｆｏｒｔｔｏｍｉｎｉｍｉｚｅｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｒａｔｉｏ，ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｍａｋｅ

ｓｕｒｅｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｇｉｖｅｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｗｅｈａｖｅ

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