oe 2 zbirka zadataka s rješenjima.pdf
DESCRIPTION
Zadatci za OE2 na TVZ-u,sadrži postupak rješavanja,jako korisni zadatci za učenje metoda rješavanja električnih shema.Sva prava zadržava autor.TRANSCRIPT
-
Veselko Tomljenovi
OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 2
ZBIRKA RJEENJA
Udbenici Tehnikog veleuilita u Zagrebu Manualia polytechnici studiorum Zagrabiensis
Zagreb, 2009. godine
i
1998
-
ii
Manualia polytechnici studiorum Zagrabiensis (Udbenici Tehnikog veleuilita u Zagrebu)
Recenzenti:
Prof. dr. sc. Kemal Hot, dipl. ing. Prof. dr. sc. Stjepan tefanko, dipl. ing. Prof. dr. sc. Zvonimir Valkovi, dipl. ing.
Crtei i prijepis:
Nikola Vodopijak i Matija Cvetkovi
Objavljivanje ovih skripata odobrilo je Struno vijee Tehnikog veleuilita u Zagrebu Odlukom br. 767-4/09 od 20. sijenja 2009. godine.
-
iii
PREDGOVOR
Izlaskom udbenika Osnove Elektrotehnike II profesora dr.sc. Branislava Kuzmanovia, koji osim rijeenih primjera sadri i niz zadataka za vjebu, pokazala se potreba da te zadatke rijeim. Naime, na konzultacije su mi dolazili studenti koji bi negdje u izradi zadataka zapeli i traili bi pomo. Da ne bih vie puta rjeavao uvijek iznova iste zadatke, uinilo mi se da je bolje da ih rijeim sve. Takva rjeenja u rukopisu sam dao kolegama asistentima da ih pogledaju i ukau na eventualne greke. Meutim, interes studenata je bio tako velik da je ta prva verzija rjeenja procurila i od tada se puno kopirala i koristila. U meuvremenu sam neka rjeenja popravio i ispravio uoene greke, te sam ovu zbirku rjeenja koristio na auditornim vjebama.
Mislim da e ova zbirka rjeenja olakati mnogim studentima svladavanje gradiva, jer je korisno imati uvid u to kako je mogue pristupiti pojedinim problemima. Ne tvrdim da su svi zadaci rijeeni na najbolji mogui i najelegantniji nain. Stoga pozivam studente da ove zadatke pokuaju rijeiti i nekako drugaije, svojim vlastitim pristupom. Rado bih da mi takve primjere, kao i mjesta gdje mi se potkrala eventualna pogreka, poalju elektronikom potom na adresu [email protected] . Kad se ovi zadaci koriste na auditornim vjebama za ilustraciju gradiva, onda uz ovaj tekst treba jo mnogo toga komentirati i objasniti, to nije moglo biti napisano u rjeenjima radi preglednosti i saetosti. Potrebno je npr. raspraviti neke druge mogunosti rjeavanja pojedinog zadatka. Stoga ovu zbirku rjeenja ne bi bilo dobro shvatiti kao ispriku za nepohaanje auditornih vjebi.
Jako je vano da rad studenata ne zastane tek na prouavanju tuih (i ovih mojih) rjeenja. Neophodno je da se osposobe samostalno rjeavati zadatke odgovarajue teine i sloenosti. U tome e im pomoi i druge zbirke zadataka koje preporuujem u literaturi.
Treba istai da su ovoj publikaciji svojim radom na predmetu doprinijeli i drugi sadanji i prijanji djelatnici ove ustanove svojim zadacima na pismenim ispitima.
Zahvaljujem se recenzentima prof. dr. sc. Kemalu Hotu, prof. dr. sc. Stjepanu tefanku i prof. dr. sc. Zvonimiru Valkoviu koji su mi dali vrlo korisne prijedloge i savjete. Ugodna mi je dunost zahvaliti se studentima Nikoli Vodopijku i Matiji Cvetkoviu koji su vrlo uspjeno pripremili slike i prepisali tekst.
Zagreb, 2009.
Mr. sc. Veselko Tomljenovi
-
iv
Sadraj:
1. Osnovni zakoni, elementi i parametri elektrinih krugova 1
2. Rjeavanje mrea u vremenskoj domeni 13
3. Prikazivanje sinusnih veliina pomou fazora 25
4. Rjeavanje mrea u frekvencijskoj domeni pomou fazora 33
5. Elektrina snaga 41
6. Metode pretvorbe. Fazorski, topografski i locus dijagrami 43
7. Rezonancija 59
8. Metode i teoremi linearnih elektrinih mrea 68
9. Viefazni sustav izmjeninih struja 83
10. Proraun mrea s nesinusnim periodikim valnim oblicima 92
11. Linearne mree izmjenine struje s meuinduktivnim vezama 106
12. Mree izmjenine struje s feromagnetskim elementima 124
Literatura 133
-
1
1. Osnovni zakoni, elementi i parametri elektrinih krugova
1.1. Kroz otpor R = 10 tee struja valnog oblika kao na slici. Odredite napon u, snagu p, radnu snagu P te efektivnu i srednju vrijednost struje.
a) 10 t ms
50105 === Riu V 250550 === iup W
b) 31 t ms
00
=
=
pu
====DT
sr DIdtITI
000 67,153
11 A
=====DT
DIIDIdtIT
I0
020
20
2 887,23151 A
WRIP
=== 3,8310887,2 22
1.2. Kroz otpor R = 10 tee struja valnog oblika kao na slici. Odredite napon u, snagu p, radnu snagu P te efektivnu i srednju ispravljenu vrijednost struje.
t [ms]
i [A]
0 1 2 3 4 T
-3
1
a) 30
-
2
1.3. Otpor R = 10 prikljuen je na napon valnog oblika kao na slici. Odredite struju i, snagu p, srednju snagu P te efektivnu i srednju ispravljenu vrijednost struje.
a) 100 < t ms
ttu 33 10101010
=
=
V
tRui 100== A
253 1010010 tttiup === W
b) 2010 t ms
302000301010
203 +=+
=
ttu V
3200 +== tRui A
( )22 320010 +== tRip W
c) 3020 t ms
30103 = tu V
3100 == tRui A
( )22 310010 == tRip W
5,0210151
103021
0
3
3 =
==
T
sr dtiTI A
( ) =
++
==
T
dtttdttdtiT
I0
10
0
105,1
10
24243
222 2
2
9120010410103021
+++
=
++
=
246424646
43
105,1
10
234
10
0
34
3
10910600101034105,191025,260010375,310
34
31010
10151
92
12003
1043
1010151 2
2
2
tttt
+++
=
2222222
2 1091061034105,13105,1310
35,13
3101
105,11
==
++= 3,0
3196
34
35,13
31
5,11
57735,031
==I A
Na drugi nain: 57735,03
13
===mII A
=== 3,31033,02RIP W
-
3
1.4. Na kapacitet C = 50 F prikljuen je napon valnog oblika kao na slici. Odredite struju i, trenutnu snagu p i energiju wC.
u [V]
t[ms]10 20 30
10
-10
40
a) 100
-
4
1.5. Na kapacitet C = 60 F prikljuen je napon valnog oblika kao na slici. Odredite valni oblik struje i, trenutnu snagu p i energiju wC .
u [V]
t [ms]1 2 3
1
0
a) 10
-
5
1.6. Na induktivitet L = 1 mH prikljuen je napon valnog oblika kao na slici. Odredite valni oblik struje i, trenutnu snagu p i energiju wL.
u [V]
t[ms]10 20 30
10
-10
400
a) 100
-
6
1.7. Paralelni spoj otpora R = 5 i kapaciteta C = 400 F prikljuen je na napon valnog oblika kao na slici. Odredite sve struje ( iR, iC, i), radnu snagu izvora P i maksimalnu energiju na kapacitetu C.
u [V]
t [ms]0 2 4 6
5
a) 20 < t ms
ttu 25001025
3 =
=
V
tt
RuiR 5005
2500=== A
1250010400 6 === dt
duCi CC A
1500 +=+= tiii CR A
b) 42 t ms
5=u V
155
===
RuiR A
0=Ci A 1=i A
c) 64 t ms
152500 += tu V
35005
152500+=
+== t
t
RuiR A
1)2500(10400 6 === dt
duCi CC A
2500 += ti A
52
10400252
62
max=
==
CuwC mJ
( ) ( ) =
+++==
T ms
ms
ms
ms
ms
RR dttdtdttTdti
TI
0
6
4
24
2
22
0
222 3500150011
=
+
=
+= 5,0002,03001,0
1061002,0
350021 3
2
0
32
mst
TA2
=== 7,255,02RIP R W
-
7
1.8. Na paralelni spoj otpora R = 10 i induktiviteta L = 10 mH prikljuen je napon valnog oblika kao na slici. Odredite sve struje ( iR, iL, i ), radnu snagu izvora P i maksimalnu energiju na induktivitetu L.
-100
100
u [V]
t [ms]0 2 4 6 8
40
-
8
a) 20
-
9
a) 10
-
10
( ) 1134 201010210001,0 KKuC +=+== 101 = K 10102 4 = tuC V
( ) 30002,0 =Cu V
c) 42
-
11
1.11. Kroz serijski RC spoj tee struja valnog oblika kao na slici. Ako je R = 10 , C = 0,1 mF i uC(0) = 0, odredite napone uR i uC , radnu snagu izvora P i efektivnu vrijednost struje.
10 20
i [A]
t [ms]
10
-10
T = 10 ms
a) 100
-
12
1.12. Kroz serijski RL spoj tee struja valnog oblika kao na slici. Ako je R = 10 i L = 4 mH, odredite napone uR i uL , radnu snagu izvora P , efektivnu i srednju vrijednost struje, te faktor oblika.
T = 20 ms
a) 100
-
13
2. Rjeavanje mrea u vremenskoj domeni
2.1. Serijski spoj otpora R = 1000 i kapaciteta C = 10 F prikljuuje se u trenutku t = 0 na istosmjerni naponski izvor E = 100 V. Ako je kapacitet prethodno posjedovao naboj Q0 = 1000 C, polariteta prema slici, odredite struju i, napon na kapacitetu uC i otporu uR.
1001010
5
30
0 ===
CQU V
2,01000
10010000 =
+=
+=
RUEI A
01,0101010 253 ==== CR s
tt
eeIi 1000 2,0
== A
tR eRiu
100200 == V t
RC euEu100200100 == V
2.2. Serijski spoj otpora R = 1000 i kapaciteta C = 10 F prikljuuje se u trenutku t = 0 na izvor E1 = 100V, a zatim se nakon jedne vremenske konstante kruga t1 = sklopka prebaci u poloaj 2 na izvor E2 = 200V, prema slici. Odredite struju i te napone uR i uC.
01,0101010 253 ==== RC s
a)
-
14
t
uC [V]100
-200
63,21
0,01
2.3. U zadatku 2.2. odredite utroenu energiju izvora 1 i izvora 2 za vrijeme prijelazne pojave.
a)
-
15
i [A]C u [V]R
2 200
t
u [V]C50
-150
t
2.5. Odredite uC , iC i nacrtajte njihove grafove nakon iskljuivanja prekidaa P , prema slici. Zadano je: E = 100 V, R1 = 30 , R2 = 20 , C = 50 F.
402030
2010021
20 =+
=
+=
RRREU V
5,1105030 61 === CR ms
( ) =
+=
+= tt
t
C eeeUEUu6,6666,666
00 60100160401 V
=
=
=tt
t
C eeeRUEi 6,6666,6661
0 230
40100 A
2.6. Odredite struju i koja potee od trenutka ukljuenja prekidaa P i izraunajte ukupne gubitke koji nastaju u strujnom krugu prema slici. Kapacitet C1 = 10 mF nabijen je nabojem Q10 = 10 mC, C2 = 20 F nije nabijen, a R = 10 .
-
16
110101010
3
3
1
1010 =
==
CQU V
96,1921
21=
+
=
CCCCC F
501011096,1910 6 === RC s
1,010110
0 === RUI A
tei 50101,0 = A
52
110102
232101
10 =
=
=
UCW mJ
998,010201010
101063
310
12 =+
==
ukCQU V
98,42
998,010102
232121
1 =
==
UCW mJ
96,92
998,010202
262122
2 =
==
UCW J
98,92110 == WWWW J
ili ( ) 98,9101098,910020
1,01010 60 0 0
100202501022==
===
tt
R edtedtRiW J
2.7. Svitak otpora R = 3 i induktiviteta L = 0,6 H prikljuuje se na izvor istosmjernog napona. U kom e trenutku struja iznositi 50 % svoje stacionarne vrijednosti? Kolika je energija izvora E = 100V utroena kroz to vrijeme na Jouleove gubitke, a kolika na uspostavljanje magnetskog polja?
512,0
36,0
====
RL
s
== 3,33REI A
( ) 2/12
1
1
==
t
eRE
RE
ti
-
17
15221 te= 12 15 = te
ln/5,015 = te 6931,05 1 = t 1386,01 =t s
( ) ( )
=
== 3,83
23,33
26,0
2
2
12
1tLi
tWL J
( ) =
+=
==
dteeR
ERdteRERdtitW
t ttt t t
R
11 1
0
222
0 02
22
1 211
=
+
=
+=
111 11
0
2t
01
2
0 0
2
0
2
21
122
tttt t tt t
eetREdtedtedt
RE
43,45122,012,021386,0
31001
212 2,0
1386,022,0
1386,022
1
2 11
=
+=
+=
eeeetRE tt J
2.8. U strujnom krugu, prema slici, tee stacionarna struja. Ako se sklopka P u trenutku t0 = 0 zatvori i nakon t1 = 2 s ponovo otvori, odredite struju izvora od trenutka t0 = 0 pa nadalje i prikaite je grafiki. Zadano je: E = 10 V, R = 1 , L = 2 H, R1 = 2 .
310
2110
1
=
+=
+=
RREI A
101
101 === R
EI A
212
===
RL
a s
=
t
eREi 1
a) 20 t
( ) tttta eeeeRE
Ii a 5,05,05,03
20103
20320
3101
13102
31013
2
=+=
+=
+= A
( ) 547,73
2010 25,01 ==etia A
b) t2
5,11
32
1
==
+=
RRL
b s
214,43
10547,7 ==I A
( )25,1214,43
10
+= tb ei A
i [A]
t [S]
103
10
-
18
2.9. Odredite sve struje u zadanoj mrei, prema slici, od trenutka ukljuivanja prekidaa P pa nadalje i prikaite ih u vremenskoj ovisnosti. Zadano je: E = 110 V, R1 = 30 , R2 = 20 , L = 0,12 H.
R1
R2+
- E
i1
i2i3
L
P
+
-ET
RT
i3
L
2,22030
11021
0 =+=
+=
RREI A 44202,2202 === RIU V TE=
== 1221 RRRT
01,01212,0
===
TRL
s100
1=
=== 6,330
110'
1REI A
( ) ( )tttT
T eeeREi 1001003 16,3112
441
==
=
A
tei 1002 2,2
= A
=+=+=
tt eeiii 100100321 6,36,32,2 te 10064,16,3
= A
i1
i2
i3
i [A]3,6
I =2,20
t
2.10. U mrei, prema slici, odredite struju kroz induktivitet od trenutka ukljuivanja prekidaa P, pa nadalje. Zadano: E = 26 V, R = 2 , R1 = 1 , R2 = 8 , L = 0,12 H.
=+=+= 6,282121 RRRRT
04615,06,2
12,0===
TRL
s66,21
1=
8,2082
8262
2=
+=
+=
RRREET V
=
=
=
ttt
T
TL eeeR
Ei 6,216,21 1816,28,201 A
-
19
2.11. Odredite vrijednost induktiviteta L , prema slici, tako da struja izvora bude konstantna od trenutka ukljuivanja prekidaa P pa nadalje. Zadano je: E = 100 V, R = 50 , C = 1 F.
C
t
C eREi
=
=
L
t
L eREi 1
.constREi ==
RCRL
CL ==
5,21050 622 === CRL mH
2.12. Odredite struje u svim granama zadane mree, prema slici, od trenutka zatvaranja prekidaa P. Koliki su napon i energija na induktivitetu L u trenutku t = 0, a koliki na kapacitetu C u trenutku =t ? Zadano je: R = R1 = 30 , L = 0,5 H, C = 50 F, E = 120 V.
( )11
1 RLCRCL iiiiii =+=
( ) 112 RidtdiLRiE RLL ++=
( ) ( ) == dtdCdtiiCdtiCRi RLCR //113 11 1 1111 11 RRLRRL
iidtdCRii
dtdCRii +==
12
2
11 111
11Ri
dtdi
Ldt
idCLRiRi
dtdCRRE R
RRRR ++++=
( ) ( ) ERRiidtdLCRRi
dtdCLR RRR =+++ 112
2
1 111
( ) 0605,01050301050305,0 6226 =+++ pp 060545,0105,7 24 =++ pp
3924,7127,1351
11 === pp ms
R
C
+
-
E
R
L
P
iL iC
-
20
691,1139,5912
22 === pp ms
pLpR iARREi ==+
= 21
1
221 21 ++=
tt
L eAeAi ( ) 2121 220 AAAAiL ==++=+
za t = 0+ : 01 =Ru V , 60=Ru V 60= Lu V dtdiL L=
( ) 1205,0
600==
dtdiL A/s
21
22
11
11
tt
L eAeAdtdi
+
=
( ) 12002
2
1
1==
AAdt
diL
21
122
2
2
1
2 120
== AAA
39,7691,11069,139,7120120
3
21
212
=
=
A
12 2630893,0 AA ==
22631,02631,0 21 +=
tt
L eei A
2121 6,15559,3510691,1
2631,01039,7
2631,033
tttt
L eeeedtdi
+=
+
=
( ) =
=
dtdiLRiE
Ri LLR
1
121
=
+
+=
21211
6,15559,355,03022631,02631,0120301
tttt
R eeeei
2121 593,259315,022631,02631,04 tttt
eeee
++= A
211
33,233,02 tt
R eei
+= A
=++==
21211
33006,233006,022631,02631,02 tttt
RLC eeeeiii
21 06697,206697,0 tt
C eei
+= A ( ) 600 =Lu V
( ) 20 =Li A ( ) ( ) 125,02
200
22
=
=
=Li
w LL J
( ) 60=Cu V ( ) ( ) 09,010506021
21 622
=== Cuw CC J
-
21
2.13. Serijski spoj otpora R = 10 i induktiviteta L = 0,1 H, prikljuen je na sinusnu EMS e = 10 sin (500t) V. Odredite struju ukljuenja.
euu RL =+
eiRdtdiL =+
0=+ RLp
1001,0
10===
LRp
01,01 ==p
s
ELIm
I .Rm
LIm
E
I .Rm
( ) +=+= tIAeiii mt
ps sin
( ) ( ) tEtRItLIiRdtdiL mmss sinsincos =+++
( ) 01 =+ ss RidtdiL
( ) ( ) ( ) tEtRItLI mm sinsincos2 =+ , ( ) ( )+= 90sincos tt
( )==
===
==
65,78510
1,0500cos
sin0sincos201
RL
tg
RILIt mm
( ) [ ] mm ERLIt =+= pi cossin222
( ) ( ) ( ) ( )+++= 90cos22 22 ttLIRILIE mmm
( ) ( ) 1961,099,5010
1,05001010
2222222
==
+=
+=+=
LREIRLI mm
A
( ) ( ) 19231,0069,78sin1961,00 0100 ==+= AAei
( ) ( ) tetti 1001923,069,78500sin1961,0 += A
2.14. Serijski spoj otpora R = 100 i kapaciteta C = 20 F, prikljuen je na EMS e = 100 sin (500t + 30) V. Odredite struju ukljuenja.
-
22
== 1001C
X C
( ) edtdi
CdtdiR
dtd
eiRuidtC C
=+=++1/01
01 =+C
Rp
RCp 1=
5001002,010201001 6 ===== RC
p s
( ) += tIii ms sin eiRidt
Cip =+
1
( ) ( ) ( )+=+ 30sinsincos tEtRItC
Imm
m
( ) ( ) ( )+=++ 30sinsin90sin tEtRItC
Imm
m
za ( ) ( ) 030sin30cos30030 =++==+
mm RIC
Itt
( )( ) ( ) 130
1
30cos30sin
=+==
=
+
+
tg
RC
CRII
m
m
==+ 754530
( ) ( )2
222
190cos2
+=+++
=
CRIttRI
CIRI
CIE mmmmmm
707,02100
100
10205001100
100
12
62
22
==
+
=
+
=
CR
EI mm
A
( ) 183,0683,05,05,0100
5,010030sin75sin707,00 0500 =====+= AR
EeAi m
( ) teti 500183,075sin707,0 += A
-
23
2.15. Serijski spoj RLC ( R = 100 , L = 0,1 H i C = 100 F) prikljuen je na EMS e = 100 cos (1000t) V. Odredite struju ukljuenja.
=++ dtd
eidtC
RidtdiL /1
dtde
Ci
dtdiR
dtidL =++2
2
( ) += tIii ms cos
( )( )
sin90cos90sincos
=+
+=
slobodni odziv:
012 =++C
RpLp
010100
11001,0 62
=
++
pp
7,1121873,81702,112
111 ==== msp
p
3,8871127,113,887
222 ==== msp
p
prisilni odziv:
( ) ( ) ( ) tEtRItC
ItLI mmm
coscossinsin =++
0sincoscos:2
=++=
pi mmm RICI
LItza
mmm IICLRI :/1cossin
=
==
==
=
99,419,0100
10101011,010
1
cos
sin 6233
tgR
CL
ERIC
ILItza mmm =+= cossinsin:0
[ ] ERIC
LI mm =++
90sinsin1
( )2
2222
2 190cos121
+=+
++
=
CLRIRI
CLIIR
CLIE mmmmm
-
24
7433,054,134
100
10101011,010100
100
1623
322
2
==
+
=
+
=
CLR
EIm
A
( ) ( ) 5525,0099,41cos7433,00 2103,887207,1121 ==++= AAeAeAi
( ) ( ) ttptptm eAeAteAeAtIi 3,88727,112121 99,41cos7433,0cos 21 ++=++=
( ) ( ) ( ) tt eAeAtdtdi 3,887
27,112
1 3,8877,11299,41sin10007433,0
++=
( ) ( ) 321 101,01003,8877,11299,41sin3,7430 ====
LE
AAdtdi m
( ) 3,497103,8875525,07,112 322 = AA
( ) 5525,07,1123,497103,8877,112 32 =A
0162,05687,0 12 == AA
( ) tt eeti 3,8877,112 5687,00162,099,411000cos7433,0 += A
-
25
3. Prikazivanje sinusnih veliina pomou fazora
3.1. Napiite sljedee kompleksne brojeve u eksponencijalnom obliku: a) 3 + j4; b) 3 - j4 ; c) -3 - j4 ;d) -3 + j4; e) 0,048 - j0,153 ; f) 0,0171 + j0,047 .
=+=+ 13,535344343) 22 arctgja
=
+= 13,535344343) 22 arctgjb
=
= 87,126534543) arctgjc
=
=+ 87,12653
4543) arctgjd
= 582,7216035,0153,0048,0) je =+ 007,7005001,0047,00171,0) jf
3.2. Napiite sljedee kompleksne brojeve u Kartezijevu obliku: 303,12)a ; 16053)b ; 4525)c ; 11586)d ; 2005,0)e ; 260013,0)f ; 190156,0)g ; 181200)h .
( ) ( )jjja +=+=+= 315,615,6652,1030sin30cos3,12303,12) 127,18803,4916053) jb +=
678,17678,174525) jc =
942,77345,3611586) jd = 01710,004698,02005,0) je =
01280,0002257,0260013,0) jf = 027089,015363,0190156,0) jg +=
49048,39695,199181200) jh = 3.3. Odredite sumu i razliku sljedeih kompleksnih brojeva : 241,5310) ja ++ ;
( )289010) jb + ; ( ) 4264) jjc ++ ; ( )824583,2) jd ; ( ) + 13507,755) je ; ( )611,535) jf .
10102486241,5310) jjjja +=+++=++ ( ) 882810289010) jjjjb +=+=+
( ) 224264) jjjc =++ ( ) 108222824583,2) jjjjd =++=
-
26
( ) ( ) 0555513507,755) =++=+ jjje ( ) ( ) 246143611,535) jjjjf +=++=
3.4. Odredite umnoak sljedeih izraza: ( )( )4123) jja ; ( )( )jjb + 11) ; ( )342) jjc ; ( )( )66) jjd ; ( ) + 1,53564) je ; ( )29010) jf ;
23101,5310)g .
( )( ) 1456,109866,1496,751231,469,33605,34123) jjja === ( )( ) 2902452135211) jjjb ===+
( ) 8613,531087,365902342) jjjc +=== ( )( ) 363666) 2 == jjjd ( ) 23679,176055,361,53569,123211,71,53564) jje +===+
( ) ( ) 2021029010) == jjjf 151,50515,861,3010023101,5310) jg +==
3.5. Odredite kvocijent sljedeih izraza:
2284) j
ja
+
; 3425) j
jb
+ ;
43105) j
jc
+
; 43
10) jd + ; 303225) j
je ;
621288,6) jf +
;
( ) +
305433025) jg ; ( ) 3
2
10:2386
1)pij
ejjh
+.
3143,108162,345828,2
43,63944,82284) jj
ja ==
=
+
28,004,1195077,187,365199,158385,5
3425) jj
jb ==
=
+
2157,116236,213,535
43,6318,1143
105) jjj
c ==
=
+
6,12,113,53213,535
1043
10) jjd ===+
122,5373,1105303,54522
6015223035) jj
je +==
=
938,0551,056,59088,156,71324,6
1288,662
1288,6) jjf ==
=
+
-
27
( ) 1196,09928,087,6113,535605
305433025
) jjg +==
=
+
( ) 01973,003018,018,3303605,01201013,531069,33605,3
120108623) jj
jh +==
=
+
3.6. Odredite sljedee izraze: */,*,*,* + AAAAAAAA , ako je 43) jAa =
;
=
3010) Ab ; 35,2)pij
eAc
= .
( )( ) 25434343) 22 =+=+ jja 64343 =++ jj 84343 jjj =
96,028,026,106113,53513,535
4343 jj
j==
=
+
10030103010) =b
32,1730103010 =+
10566,8566,830103010 jjj ==
=
601
30103010
5,2165,225,1165,225,1605,2605,2 =++=+ jj
33,4165,225,1165,225,1605,26065,2 jjj ==
=
1201605,2605,2
3.7. Odredite sljedei izraz:
+
BA
BA ako je: =+=
3020,510) BjAa ;
81,26) jBjAb +==
; ==
705,4510) BAc ; 10,5) jBjAd ==
10,10) jBAe ==
.
25,6605,2605,2) =c
-
28
=
=
+
=
+++
797,27174,7768,28167,31565,566,223
1532,27565,566,223
1032,175103020565,2618,11) jjja
=
=
++
84,23531,560,402195,9
44,6499,508126
87,82062,843,18324,6) jjb
3613,173,614,327,5368,14
1155077,11781,8
115507,471,107,707,7
7054510) jjjjc +==
=
+
=
+++
10901090550
105105) jjj
jjd ==
=
+
( )=
=
=
4507,745142,14
9010045210
10010101010) jj
je
3.8. Napiite fazore sljedeih funkcija:
=
3sin100) pi tia ; ( )+= 180sin200) tub ; ( )= 90sin210) tec ;
( )+= 120sin52) tid ; ( )+= 240sin102) tie ; tif sin2) = .
==60
2100
;2~) jtj eIeIia
==180
2200
;2~) jtj eUeUub
==9010;2~) jtj eEeEec
==1205;2~) jtj eIeIid
==24010;2~) jtj eIeIie
==
01;2~) IeIif tj
3.9. Odredite struju 21 iii += ako je:
+=
32
sin521pi
ti ,
+=
34
sin522pi
ti .
33,45,212051 jI +==
-
29
33,45,224052 jI ==
( )pi ==+ tiII sin25521 3.10. Odredite: 321 eeee ++= , ako je
==
32
sin2220,sin2220 21pi
tete ,
+=
32
sin22203pi
te .
2201 =
E
52,1901101202202 jE ==
52,1901101202203 jE +==
0,0321 ==++
eEEE
3.11. Odredite 21 uuu += ako je ( )+= 30sin101 tu , ( )= 45cos102 tu .
5355,31237,6302
101 jU +==
( ) ( )+=+= 45sin109045sin102 ttu 5545
210
2 jU +==
=+=+
5,3702,145355,81237,1121 jUU
( ) ( ) Vttu +=+= 5,37sin83,195,37sin202,14
3.12. Odredite 21 iii = ako je )45sin(2 01 += ti , a )45cos(2 02 = ti .
01 45|1=I
)45sin(2)9045sin(2 0002 +=+= tti 0
2 45|1=I 21 iii = =0
-
30
3.13. Zadana je frekvencija i fazor struje. Napiite struju u vremenskom obliku:
a) = 100 rad/s, 030|10=I A b) = 300 rad/s, 045|2=I A c) = 400 rad/s, 045|3=I A d) = 500 rad/s, 32 jI =
A
e) = 600 rad/s, 32 jI =
A. Rjeenja:
a) )30100sin(210 0+= ti A b) )45300sin(22 0+= ti A c) )45400sin(23 0+= ti A d) )31,56500sin(2605,3 0= ti A e) )31,236600sin(1,5 0+= ti A
3.14. Zadano je )30200sin(10 0= ti A. Odredite pomou rotirajueg fazora derivaciju
dtdi
i integral idt .
mI
=10 030| A j mI = 200 090| .10 00 60|200030| =
dtdi
= 2000 )60200sin( 0+t A/s
00
0
12005.0902003010
=
=
jIm
)240200sin(05,0 0 += tidt As
3.15. Zadan je napon )6
314sin(2202 pi+= tu V. Odredite struju u realnom obliku i fazorskom obliku: a) otpora R = 10 ; b) induktiviteta L = 3 mH i c) kapaciteta C = 3 mF. Fazore napona i struja prikaite grafiki.
030|220=U V; === 9425,0103314 3LX L
=
==
061,1103314
113C
X C
00
30|2210
30|220===
RUIR A
-
31
U
RI
000
0
60|2
1,33060|4,23390|9425,0
30|220===
LI A
000
0
120|2
2,293120|3,20790|061,1
30|220==
=
CI A
U
LI
30
120
U
CI
3.16. Zadana je struja )6
1000sin(102 pi= ti A. Odredite pomou fazora napon na: a) otporu R = 10 ; b) induktivitetu L = 10 mH; c) kapacitetu C = 0,1 mF i nacrtajte fazorski
dijagram struje i napona.
=
30|10I A; === 101010 23LX L ;
=
==
10101011
43CX C
;
030|1001030|10 === RIU R V 060|10030|1090|10 === IjXU LL V
0120|10030|1090|10 === IjXU CC V
-
32
3.17. Odredite trenutnu snagu, radnu i jalovu snagu te trenutnu energiju u zadatku 3.15 i nacrtajte sve trenutne veliine.
)(sin um tUu += ; )sin( im tIi +=
[ ])cos()cos(2
)sin()sin(
iuiumm
iumm
ttttIU
ttIUiup
++++
=
=++==
[ ])22cos(cos itIUp ++= ( iiiiu 2+=++ )
a) 0=R [ ] [ ])60628cos(14840)6003142cos(0cos22220 +=++== ttiup RR
4840=P W ; RIUQ sin0 == [ ] =+=+== )60628sin(
62848404840)60628cos(48404840 ttdttdtpw RR
)60628sin(707,74840 += tt J
b) = 90L [ ]=+== )120902cos(90cos4,233220 tiup LL [ ] === )302cos(51354)302cos(051354 tt )1502cos(51354 += t 0=P 51354=Q var
[ ] 7,122)60sin(1,33010321)0(
21)0( 232 === LL iLw J
=++=++=+= 111 )1502sin(62851354)1502cos(51354)( KtKdttKdttpw LL
1)1502sin(77,81 Kt ++= 7,122)0( =Lw 7,81150sin77,817,1221 ==K J
7,81)1502sin(77,81 ++= twL J c) = 90C [ ])240902cos()90cos(3,207220 +== tiup CC
[ ] =+=+= )1502cos(45616)1502cos(045616 ttpC )302cos(45616 = t
3,36)30sin2220(10321
21)0( 232 === UCwC J
222 )302sin(62845616)302cos(45616 KtKdttKdtpw CC +=+=+= =
2)302sin(64,72 Kt += J 62,72)30sin(64,723,362 ==K J J62,72)302sin(64,72 += twC
===
90|45616120|3,20730|220*IUS VA 45616jS =
VA 0=P ; 45616=Q var
-
33
4. Rjeavanje mrea u frekvencijskoj domeni pomou fazora
4.1. Serijski spoj R = 60 i L = 0,08 H prikljuen je na EMS e = 20 sin (1000t-3pi ) V. Odredite
struju izvora i sve napone, te ih prikaite pomou fazorskog dijagrama.
e
+
R
L
i
-113
-60
E
LU
I
RU
==
60|14,1460|2
20E V
80108010 33 === LX L
1008060 2222 =+=+= LXRZ
=== 13,536080
arctgR
Xarctg L
=
13,53|100Z
=
==
13,113|21,013,53|10060|14,14
Z
EI A
===
13,113|266013,113|21,0RIU R V
===
13,23|2890|8013,113|21,0LL jXIU V
-
34
4.2. Kroz serijski spoj R = 8 i L = 60 mH tee struja )30100sin(102 += ti A. Odredite sve napone.
=
30|10I A === 606,0100LX L
=
87,36|10Z ==
87,66|100ZIE V ===
30|80830|10RIU R V ===
120|6090|630|10LL jXIU V
4.3. Na serijskom spoju R = 10 i C = 31,9 F prikljuen je napon U = 127 V. Odredite I, Z i tg u sluaju da je: a) 501 =f Hz i b) 5002 =f Hz.
a) 501 =f Hz b) 5002 =f Hz
78,99109,31502
116 =
==piC
X C 978,9109,3150021
6 =
=pi
CX
28,10078,9910 2222 =+=+= CXRZ 127,14978,91022
=+=Z
=
=
= 28,8410
78,99arctg
RX
arctg C == 938,4410
978,9arctg
=
28,84|28,100Z = 938,44|127,14Z
=
==
28,84|266,128,84|28,100
127
Z
UI A =
==
938,44|9938,44|127,14
127
Z
UI A
-
35
4.4. U serijskom spoju R = 5 i 10=LX poznat je napon 10=RU V. Odredite sve ostale napone i struje te ih prikaite fazorski.
U
+
R
XL
i 63,43
I
RU
LU
U
25
10===
RU
I R A
2090|102 jjXIU LL ===
V
51043,63|36,222010 ==+=+= jUUU LR V
4.5. U serijskom RLC spoju izmjereni su naponi 8=RU V; 92=CU V i 98=LU V. Odredite ukupni napon U i fazni kut spoja te nacrtajte fazorski dijagram.
+
R
L
i
C
LU
CU
I
RU
U
10)9298(8)( 2222 =+=+= CLR UUUU V
''11'523687,368
9298==
=
= arctgU
UUarctg
R
CL
-
36
4.6. U mrei prema slici zadano je =
0|120E V, L = 25 mH, C = 50 F. Pri frekvenciji 400= rad/s, struja prethodi EMS za kut 63,4. Odredite R i napone na svakom elementu.
+
-
R L
CE
101025400 3 === LX L
501050400
116 =
==C
X C
RXX
tg CL
== 2
2025010
2=
=
=CL XXR
72,44)( 22 =+= CL XXRZ
683,272,44
120===
ZEI A
67,5320683,2 === RIU R V 83,26== LL XIU V 16,134== CC XIU V
4.7. Kroz serijski spoj = 2R , = 4LX i = 6CX tee struja 5=I A. Odredite napone na svim elementima i napon na ulazu.
U R
U L
UU C
1025 === RIUR V 2045 === LL XIU V 3065 === CC XIU V
210)3020(10)( 2222 =+=+= CLR UUUU V
-
37
4.8. Pretvorite serijske = 47,3SR i = 56,6sLX u ekvivalentni paralelni spoj. o
o
o
o
=+=+= 421,756,647,3 2222sLss
XRZ ;
L
s
s
jBGjZ
Y
==
==
==
1191,0063,0
12,62|1347,012,62|421,7
11
=== 12,6247,356,6
arctgR
Xarctg
s
sLs ; === 87,15063,0
11G
Rp
=
12,62|421,7sZ ; === 3955,81191,011
LLp B
X
4.9. Paralelni spoj = 60R i 08,0=L H prikljuen je na EMS )3
1000sin(20 pi= te V. Odredite sve struje, admitanciju i fazni pomak napona i struja.
=
60|2
20E V
)3
1000sin(33,0 pi==
tReiR A
204124,011785,060|2357,0 jAI R == A === 8008,0103LX L
088388,0153093,0150|176777,090|802
60|20 jjXEI
L
L ==
==
A
==+=
87,9629463,029251,0035242,0 jIII LR A
=+== 87,3687,9660iu
-
38
====
87,36|30208,00125,0601,0801
60111 jj
Xj
RY
L
S
===
87,96|29463,087,36|30208,060|2
20YEI A
4.10. Paralelni spoj = 10R i 9,31=C F prikljuen je na napon 127=U V. Odredite Y ,fazni kut i sve struje u sluaju kad je: a) 501 =f Hz i b) 5002 =f Hz.
a) 501 =f Hz : =
==
10078,99109,31502
116piC
X C
=+=+=
7106,5|1005,001,01,011 jX
jR
YC
S
= 7106,5
27,17,127106,5|7633,127106,5|1005,0127 jYUI +==== A 7,12=
RI A ; =
90|27,1CI A
b) 5002 =f Hz :
==
10109,315002
116piC
X C
=+=+=
45|21,01,01,011 jX
jR
YC
S
= 45
7,127,1245|21,0127 jYUI +=== A 7,12=
RI A ; 7,12jI C =
A
-
39
4.11. Kroz paralelni RLC spoj teku struje AI R 8= , AI L 10= i .4 AIC = Odredite struju izvora, zatim L i C ako je = 10R i Hzf 50= . Nacrtajte fazorski dijagram.
==
87,36|1068 jI A ; )87,36314sin(210 = ti A ===
0|80108RIE R V ; te 314sin280= V
=
==
890|1090|1
0|80L
L
IjEX ; 465,25
3148
===
LXL mH
=
=
=
2090|490|1
0|80C
CIj
EX ; 15,15920314
11=
==
CXC
F
4.12. U spoju prema slici zadan je otpor = 41R i izmjerene su efektivne vrijednosti struja 201 =I A , 152 =I A i 30=I A . Odredite R i LX .
R1R X L
I
1I
2I
1
1I
2I
I
U
6041542 ===
IU V === 32060
11 I
UZ
==
+=
+=
336,36580,030152
2030152
cos222
2
21
222
IIIII
77,1716,24336,36|30 jI == A === 72,62|2077,1716,921 jIII A
-
40
jBGjU
IY ==
==
29626,01527,060
72,62|2011 S
== 545,61G
R ; == 375,31B
X L
4.13. Kroz serijski spoj nepoznatih elemenata tee struja )45100sin(82,2 = ti A, pri emu je napon na vanjskim prikljunicama )45100sin(282 += tu V. Odredite nepoznate elemente.
=
45|82,2mI A = 45|282mU V
==
==
10090|10045|82,2
45|282 jI
UZm
m
1100100100 =====
LL
XLLX H
0=R
4.14. Na impedanciju
Z prikljuen je napon =
80|100U V, pri emu tee struja = 30|10I A. Odredite: ,,, XRZ
.
jXRjI
UZ +=+==
==
66,7428,650|1030|1080|100
4.15. Serijski spoj = 6R i 8=L mH prikljuen je na EMS )3010cos(2100 3 = te V. Pomou fazora odredite struju i sve napone.
+
R
L
=
===
=+=+=
===
13,53|10
13,5368
1086
8108102222
33
Z
arctgR
Xarctg
XRZ
LX
L
L
L
=
==
13,83|1013,53|1030|100
Z
EI A
60610 === RIU R V
80810 === LL XIU V
-
41
5. Elektrina snaga
5.1. Odredite trokut snage u primjerima 4.1 do 4.7.
(4.1) 8006001,53|10001,53|100|100* jIES +==== VA jQP +=
(4.2) 8006001,53|10001,53|100|100* jIES ==== VA jQP +=
(4.3) 8006001,53|10000|101,53|100* jIES +==== VA jQP +=
(4.4) 48,1264,1687,36|8,2087,36|08,20|10* jIES +==== VA jQP +=
(4.5) 2505015,26|5605,26|6,50|100* jIES ==== VA jQP +=
(4.6) 88,5416,93830|108315|25,845|
2255
* jIES +====
VA jQP +=
(4.7) 88,5416,93830|108315|25,845|
2255
* jIES +====
VA jQP +=
5.2. Odredite trokut snage u zadacima 4.12 i 4.13.
(4.12) 10661450336,36|1800336,36|3060* jIUS +==== VA
(4.13) 62,39790|62,39745|282,245|
2282 jS ===
VA
5.3. Odredite trokut snage u zadatku 4.14.
=
80|100U V =
30|10I A 7668,64250|100030|1080|100* jIUS +==== VA
5.4. Odredite trokut snage u zadatku 4.15.
=
30|100E V =
13,83|10I A 80060013,53|100013,83|1030|100* jIES +==== VA
-
42
5.5. Odredite impedanciju
Z i struju
I ako je poznata prividna snaga 4=S kVA , faktor snage 8,0cos = (kap) i napon =
30|220U V .
== 87,368,0arccos
=
87,36|4000S VA * = IU
==
==
87,6|18,1887,6|18,1830|220
87,36|4000* I
U
SI A
=
==
87,36|1,1287,6|18,18
30|220I
UZ
5.6. Odredite impedanciju na kojoj je izmjereno 200=U V 10; =I A i 8,0cos = (ind).
==
===
87,368,0arccos
2010200
I
UZ =
87,36|20Z
5.7. U zadatku 5.6 prikljuen je paralelno impedanciji kapacitet C tako da je izvrena korekcija faktora snage koji iznosi 95,0'cos = . Odredite jalovu snagu koju je preuzeo kapacitet.
jQPjIUS +=+====
1200160087,36|200087,36|100|200* 2,1684
95,01600
'cos' ===
PS VA
88,52516002,1684)'(' 2222 === PSQ var 11,67488,5251200' === QQQC var
5.8. Na naponski izvor EMS =
30|100E V unutarnje impedancije += 860 jZ spojite takvo troilo impedancije
Z da se na njemu troi maksimalna snaga. Odredite parametre troila i maksimalnu snagu P.
==
86* jZZ T
=
== 6,41664
1004
2
0
2
REP W
-
43
6. Metode pretvorbe. Fazorski, topografski i locus dijagrami
6.1. Odredite ulaznu impedanciju u shemi na slici, ako je = 5000 rad/s, 4,0,2,5,0 321 ==== LRRR mH i 25=C F.
R1
R2 R3
L CuZ
=== 2104,0105 33LX L
=
==
81025105
1163C
X C
25,025,045|3535,045|22
122
11 jjY ===+=
S
1176,002941,096,75|12126,096,75|246,8
182
12 jjY +====
S
==+=
346,25|30917,01323,027941,021 jYYY p S
+==
==
3846,1923,235,25|2344,335,25|30917,0
11 jY
Zp
p
+=+=
3846,1423,35,0 jZZ pu
6.2. U shemi na slici odredite ulaznu impedanciju ako je: L = 2 H, C = 0,33 F, R = 1 k, = 1000 rad/s.
-
44
22103 === LX L k
03,31033,010
1163 =
==C
X C k
7688,006,4
122,303,303,1
)03,3(03,1)(||)(12 jjjjjjjXXXjZ CCL =
=
==
k
==+
556,37|2614,17688,0112 jRZ k
==
=
=
=
3,52|97299,025,75|92859,3
55,127|822,37992,31
55,127|822,303,37688,01
)03,3(556,37|2614,113 jjj
jZ
76988,059498,0 j= k
=+=+
188,64|3664,12301,159498,013 jjXZ L k
=
=
++
=
62,74|83207,056,79|284,3188,154|7329,2
22301,1595498,02188,64|3664,1
jjj
Z u k
6.3. Odredite abZ
u shemi na slici: a) kada su prikljunice c-d otvorene; b) kada su prikljunice c-d kratko spojene. Zadano: = 1000 rad/s, 5021 == LL mH, 101 =C F, 202 =C F.
(serijska rezonancija)
=
==
=
==
===
50102010
11
100101010
1150105010
632
2
631
1
33
CX
CX
LX
C
C
L
==
==
50
0)(||)()2
1211
jjXZ
jXXXjZa
Lab
CCLa
-
45
1L
2C1C
2L
(paralelna rezonancija) ====
500) 1 jjXZZYb Labpp
6.4 U shemi na slici odredite struju
I , radnu snagu P izvora. Zadano: =
0|200E V, +=
1721131 jZ , =
2406002 jZ , +=
2002603 jZ , +=
2402004 jZ , =
2001405 jZ , =
8006Z .
E
1Z
2Z
3Z
4Z
5Z
6Z
I
==
=
=
=+++=++=
3,1333.9355|75,1621200
80055|13,2441200800200140200260
65
653
jZ
ZZZ
jjZZZZ
a
+==
=
=
3,1333,17357,37|68,2181200
80057,37|32863 jZ
ZZZ b
==
=
=
2066,6343,17|73,661200
55|13,24457,37|32853 jZ
ZZZ c
==++=+
=+=++=+
85,7|6,7806,1063,7732406003,1333,17320|12,3126,1063,2932402003,1333,93
2
4
jjjZZ
jjjZZ
b
a
-
46
+=
==
=
++
=++=
4833,223
13,12|4,2286,1066
13,12|2436626,1063,2936,1063,773
20|12,31285,7|6,780)(||)( 42j
jjZZZZZ abp
=+=++++=++=
57,26|2,4472004002066,63483,2231721131 jjjjZZZZ cp
=
==
57,26|447,057,26|2,447
200
Z
EI A
408057,26|44,8957,26|447,0200* jIES +==== VA 80= P W
6.5. U shemi na slici zadano je =
30|100U V, = 60|31Z , ,52 =R = 403R , = 30CX i = 2LX . Nacrtajte topografski dijagram i odredite napon abU
.
069,01724,08,21|186,08,21|385,5
125
12 jjY ===+=
S
012,0016,087,36|02,087,36|50
13040
13 jjY ====
S
==+=
82,16|1968,005697,01884,032 jYYY p S
+==
==
470,1863,482,16|080,582,16|19684,0
11 jY
Zp
p
=+=+++=+=
59,32|552,7068,43629,647,1863,46,25,160|3 jjjZZ p
6,0227,13594,2|241,1359,32|552,7
30|100 jZ
UI ==
==
A
-
47
47,33398,214,57|722,3960|3594,2|241,1360|31 jIU +==== V
=+=+==
23,14|27,6753,16205,6547,33398,2150602,861 jjjUUU p V
6487,1402,12572,7|521,128,21|186,023,14|27,6722 jYUI p ==== A
047,184487,0098,51|3453,187,36|02,023,14|27,6733 jYUI p +==== A
244,801,62572,7|56,625572,7|512,12522 jIU ==== V
806,24297,3428,82|024,25223 jjIU +=== V
878,41793,33098,51|812,5340098,51|3453,14034 jIU +==== V
345,25408,31902,38|359,4090|3035 jIU === V
==++==
27,119|49,57151,50111,28345,25408,31806,24297,353 jjjUUU ab V 24
= UU
U
1U
2U
4U
5U
abU
3U
-
48
6.6. Koliki napon pokazuje voltmetar u shemi na slici, ako je ( )+= 90sin230 te V? Zadano je: .2020,60,10,30 2121 ===== LCC XiXXRR
===+
=+=
IIIUU
jjZ2154
2
;00
02020
=
==
901309030
1REI A
===
0|2090|2090|1)20(4 jIU V ===
180|2090|2090|1205 jIU V 205 == UUV V
6.7. Koje vrijednosti pokazuju instrumenti na slici? Zadano je =
30|100E V, ,5 =R = 5LX i .5,2 =CX
==
=
55,25,12
5,25)5,2(5 jjjj
jjZ p
==
45|2555 jZ
=
==
75|14,1445|25
30|100Z
EI A
===
15|71,7090|575|14,14pV ZIU V
1000514,14cos 22 ==== RIIUPW W
-
49
6.8. Odredite induktivitet L u shemi na slici, pod uvjetom da EMS ( )+= 60sin2202 te V prethodi struji izvora i za 30.
Zadano: f = 50 Hz, R = 150 , C = 33 F.
+
-
R
LC
e
i
3141002 === pipi f rad/s =
==
46,961033314
116C
X C
=
60|220E V
=
=
=
=
74,32|10607,574,32|34,178
146,96150
11 32 jjXRY C
S
32 10)03,3716,4(
+= jY S
33
3
3
3
3321
1
10716,4/57735,010716,4
11003,3)30(
/10716,4
11003,330
30|3060|
)11003,3(10716,4
11
=
=
==
===
+=+=
==
L
L
L
LL
Xtg
tgXarctg
YEYEYEI
XjYYY
XjjXY
33 10723,211003,3 =LX
LXX
L
L
==
=+=
73,173
107558,510723,21003,31 333
553,0314
73,173==L H
-
50
6.9. U shemi na slici odredite C tako da, uz poznati R, napon
2U prethodi naponu
1U za 90.
1U
2U
R R
C C
RC
CXR
XRXR
RR
XR
RXj
RXR
U
U
RUIRIU
RUXj
RXRI
RXRXjRU
IR
RXRXjjRXRIRIR
jXRjXRU
IR
jXRIIjXRIRIRIjXRU
C
CC
C
CC
CCCC
CCCCC
CC
C
110
/0
3
33
222)(
2)2(0
)(
2222
22
22
2
22
2
1
2222
222
2
22
1
2
222
221
2121
211
===
==
=
=
==
=
=
=
=
=+=
=
-
51
6.10. U shemi prema slici odredite trokut snage na impedancijama 1
Z , 2
Z i na strujnom izvoru, ako je zadano: =
60|61Z , = 75|82Z i = 30|30I A.
===
90|1860|630|3101 ZIU V ===
105|2475|830|3202 ZIU V
77,462760|5430|390|18*011 jIUS +==== VA 55,6963,1875|7230|3105|24*022 jIUS +==== VA
=+=
6,68|12532,11663,450 jS VA
6.11. U shemi na slici odredite vrijednosti svih struja i trokut snage izvora. Zadano: R = 2,68 , R1 = 10 , = 352R , XC = 10 , XL = 5 , =
30|25E V, f = 50 Hz.
R1 R2
R
+
X LX CE
-
I
1I
2I
05,005,045|07071,045|14,14
11010
11 jjY +====
S
05,00866,030|1,030|101
5351
2 jjY ===+=
S
=
0|1366,0pY S =+==
1032,7 pp ZRZZ
-
52
=
=
30|5,210
30|25I A ===
30|7,668,230|5,2RIU R V
===
30|3,1830|7,630|25Rp UEU V ===
75|294,145|07071,030|3,1811 YUI p A 83,130|1,030|3,1822 === YUI p A
5,6230|5,230|25* === IES VA
6.12. U zadanoj shemi na slici odredite impedanciju
Z tako da kroz nju tee struja AI =
0|1 . Zadano: =
30|10E V , R = XC = 5 , R1 = 10 .
145|25
45|25
45|25550|1
21
2
2
2
+
=+=
==
===
===
ZIII
Z
Z
UI
jjXRZ
ZZZIU
R
p
C
p
=
=
+
+=
++
+=
=+
=++=+=
+=
+
==
43,78|315,2565,26|2361,2
105|1764,52
53397,111110566,8
1030|10)145|2(30|101045|2
1045|2145|2510
1
111
jj
jjZ
Z
ZZUUE
ZZIRU
pR
RR
-
53
6.13. U shemi na slici zadano je: =
90|2100E V, R = XL = XC =10 . Nacrtajte topografski dijagram i odredite napone
32U i
24U .
R
X L X CE
X L
R
1U
2U
3U
4U
5U
pU
32U
24U
05,005,045|07071,045|210
1101010
11 jjY ===+=
S
05,005,045|07071,045|210
11010
12 jjY +====
S
1,0=
pY S =
10pZ
=+=+=
452101010 jjXZZ Lp
=
=
45|1045|210
90|1002I A
71,7071,70135|10090|1045|101 jjXIU L +====
V
=+=+==
45|10071,7071,7071,7071,7021001 jjjUEU p V 071,745|07071,045|10011 === YUI p A 071,745|07071,045|10022 jYUI p === A
71,7090|10071,713 jjXIU L ===
V
71,7010071,712 ===
RIU V
71,7010071,724 jjRIU ===
V
( ) 71,7010071,7)(25 ===
jjjXIU C V
-
54
==
45|100132 UU V =
90|71,7024U V
6.14. U shemi prema slici zadano je: R1 = 10 , XC = 4 , a otpor R je promjenjiv. Odredite takav otpor R da je fazni pomak izmeu struje i napona 45.
+
-
RR1
X CE
I
rjeenjenijeRR
RR
RXXRRR
RXRRXR
RXRXR
XXR
RR
XRXj
XRR
RY
XRjXR
RjXRjXR
jXRREI
jXRREjXRE
REI
CC
CC
CC
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
CC
==
=+
=++
=++
++
=
++
++
++=
+
++=
+
+
+=
+=
+=
12''2'
024100)(
)(/1
1
111
)11(
211
211
22
122
22221
22221
2211
11
6.15. Na tri troila, prikljuena paralelno na mreu, izmjereni su sljedei podaci: a) S1 = 1500 VA, cos 1 = 0,8 (ind), b) S2 = 2000 VA, cos 2 = 0,6 (kap), c) S3 = 2500 VA, cos 3 = 0,9 (ind). Izraunajte trokut ukupne snage, kao i faktor snage.
a) 12008,01500cos;87,36 1111 ==== SP W 9006,01500sin;6,0sin 1111 ==== SQ var
b) 12006,02000cos;13,53 2222 ==== SP W ( ) 16008,02000sin;8,0sin 2222 ==== SQ var
c) 22509,02500cos;84,25 3333 ==== SP W 7,10894359,02500sin;4359,0sin 3333 ==== SQ var
4650321 =++= PPPP W 72,389321 =++= QQQQ var
=+=
79,4|3,4666jQPS VA 9965,0cos =
-
55
6.16. U nekom pogonu izmjerena je prividna snaga S1 = 10 kVA i cos 1 = 0,8 (ind). Nakon prikljuenja elektrinih grijalica (cos 2 = 1), novi faktor snage iznosi cos = 0,9 . Odredite radnu snagu prikljuenih grijalica.
1 |
S1
P1
P2
P2
Q1 Q1S |
6,0sin87,36
1
1
=
=
88,010cos 4111 === SP kW 66,010sin 4111 === SQ kvar
PQ
tg 1'
84,25'9,0'cos
=
==
45,1238884,25
106'
31
=
==
tgtgQP
W 21 PP +=
45,438810845,12388 32 ==P W
6.17. U pogonu je izmjerena prividna snaga S =10 kVA, a nakon prikljuenja sinkronog motora prividne snage S1 = 1,5 kVA i cos 1 = 0,65 (kap) , izmjeren je faktor snage cos = 0,9 (ind). Odredite faktor snage (cos ) prethodnog optereenja S =10 kVA.
=+
==
==
3,75'842,25'9,0'cos
458,4965,0cos
1
11
01075,97'257,7613,75cos'15002'150010
3,75cos'2
62'
2281
2'21
2
=
+=
+=
SSSS
SSSSS
8,10274'=S VA
97565,01500cos 111 === SP W 9,1139)76,0(1500sin 111 === SQ var
1
|
S1
Q
S |
1
Q
S
Q|
P|PP
92479.08,10274'cos'' === SP W
3,82729753,9247' 1 === PPP W
68,447843588,08,10274'sin'' === SQ var
58,56189,113968,4478' 1 =+== QQQ var
=+=
184,34|104jQPS VA
8272,0cos =
-
56
6.18. Transformator prividne snage S = 30 kVA optereen je troilom prividne snage 30 kVA i cos = 0,75 (ind). Nakon kompenzacije pomou kondenzatorske baterije, faktor snage iznosi 9,0'cos = (ind).
a) Odredite jalovu snagu koju je preuzela kondenzatorska baterija. b) Kojom se dodatnom snagom faktora snage cos 1 = 1 smije opteretiti transformator
nakon kompenzacije?
6614,0sin41,41 ==
4843,0'84,25' == tg
198436614,01030sin 3 === SQ var
2250075,01030cos 3 === SP W a)
2,108974843,022500'''' ==== tgPQPQ
tg var
89461089719843' === QQQC var b) 279502,10897)1030('' 22322 === QSP W
85,54502250027950' ==PP W
6.19. U shemi na slici vatmetri pokazuju: P1 = 208 W, P2 = 160 W. Ako je R = 12 i E = 120 V, odredite kut impedancije
Z .
4816020821 == PP W 1222 == IRI
2412482
=== II A
=
=== 68,02120
208'cos'cos 11 EI
PIEP
5756,0'926,29' == tg
-
57
E
R
Z
1W 2W
|
S |
QS
P2 P1
P
Q
733,1195756,0208'' 11
==== tgPQtgPQ
var
=
===
8,36
74833,0160
733,1192
PQ
tg
6.20. U mrei na slici odredite: otpor R, napone UL i UC, ako je zadano: =
0|100E V, =
18|II A, = 400 rad/s, R1 = 30 , L = 225 mH i C = 50 F.
E
R R1
L CI
XI
+=
==
=
=
==+=
=
=
=
==
=
==
===
4,142,19
87,36|2487,36|6041,0
187,36|6041,0
025,0301
025,05090)(
13011
501050400
1190225,0400
21
2
11
6
j
Z
jYYY
jjXXjY
RY
CX
LX
p
p
CL
C
L
=
==+
=
++=+=
12,252,1918
4,14182,19
4,144,142,19
tgRtg
Rtg
jRRZZ p
=+=
18|6,464,1432,44 jZ
-
58
=
==
18|146,218|6,460|100
Z
EI A
===
87,18|5,5187,362418|146,2pp ZIU V ===
3,71|287,190|025,087,18|5,512YUI pX A ===
87,18|9,11590|903,71|287,1LXL jXIU V ===
1,161|4,6490|503,71|287,1)( CXC jXIU V
6.21. Na transformator nominalne snage 22=nS kVA prikljueno je troilo prividne snage 15=S kVA i faktora snage .7,0cos =
a) Kolika se maksimalna snaga istog omskog troila smije prikljuiti? b) Kolika se snaga istog omskog troila smije prikljuiti da faktor snage iznosi 8,0'cos = ?
22=nS kVA
15=S kVA 712,105,1057,45|15 jS +== kVA jQP += 7,0cos =
a)
Q
S
P
S n
Pa
==
=
++=
5,10712,1022
)(
22
22
222
PQSPQPPS
na
an
716,8= kW
b)
== 87,36'8,0'cos
bPPQ
tg+
='
783,35,1087,36
712,10'
=
==
tgP
tgQPb kW
-
59
7. Rezonancija
7.1. U mrei, prema slici nastaje rezonancija pri frekvenciji = 5000 rad/s, pri emu su instrumenti izmjerili sljedee vrijednosti: UV = 30 V, IA = 225 mA, IA1 = 625 mA. Odredite RLC i nacrtajte topografski dijagram.
R
E C
L
CI
I
E
RULU
CI
LI
5831,0225,0625,0 2222 === III LC A
CIEXC
C
145,515831,030
====
887,345,51105
13 =
=C F
LL
LL
C
jXRjZIEZ
II
tg
+=+=====
=
===
78,4428,179,68|4848625,030
9,68
5915,2225,05831,0
96,810578,4478,44 3 =
====
LLXLLX mH
7.2. U shemi prema slici struja i napon izvora su u rezonanciji pri f = 60 Hz, pri emu vatmetar pokazuje 100 W. Zadano je: R = 16 i XL = 12 . Odredite kapacitet C i struje.
3771202 === pipi f rad/s =+=+=
87,36|2012162 jjXRZ L 03,004,087,36|05,02 jY ==
S
03,004,021 jCjYYY +=+=
58,79377
03,003,00 ====
=
CCYIm F
-
60
C
E
R
L
CI
I
E
CI
LI
5,216
1002====
RPIRIP LL A
287,36cos5,2coscos ==== LL
IIII A
5,187,36sin5,2sinsin ==== LCL
C IIII A
7.3. Shema na slici je u rezonanciji. Poznati su snaga P = 80 W te struje I = 4 A i IL = 5 A. Odredite R, XL i XC.
C
E
R
L
CI
I
E
CI
LI
==== 2,3580
222
LL I
PRRIP
3162522 === III LC A
===
=
====
4,287,362,3
87,368,054
cos
tgtgRXRX
tg
II
L
L
L
===
===
==
=+=+=
6,63
20203
90|90|3)(0|2087,36|487,36|5
87,36|44,22,3
CC
CCC
LL
LL
XX
XjXI
ZIE
jjXRZ
-
61
7.4. U shemi na slici nastaje rezonancija pri frekvenciji f = 400 Hz. Ako je zadano E = 50 V, R1 = R2 = 20 i C = 10 F, odredite L i struju iC.
E
R1 R2C
L
27,25138002 === pipi f rad/s
0251327,0101027,2513 6 == C S
=+=+=
687,26|05596,00251327,005,012
jCjR
Y p S
LXZI
jXjjXZRZjZ
YZ
Lm
LLp
p
p
p
===
=
=++=++=
=
=
==
025,80
966,35025,8966,1520
025,8966,15
687,26|869,17687,26|05596,0
11
1
1932,327,2513
025,8==L mH
39,1966,350|50
=
==
Z
EI A
===
687,26|84,24687,26|869,170|39,1pp ZIU V
==
=
31,63|6244,090|02513,0687,26|84,24C
pC jX
UI A
)31,6327,2513sin(883,0 += tiC A
-
62
7.5. U shemi na slici zadano je e = sin 105t V, R = 10 , L = 0,4 mH i C1 = 0,1 F. Odredite C2 tako da mrea bude u rezonanciji. Kolika je pri tome radna snaga?
+
-E
C1 C1
R
L
7071,002
1==
E V
=== 40104,010 35LX L
=
==
100101,010
1165
11 C
X C
=+=+=
9,75231,4140101 jjXRZ L
02353,010882,596,75024253,01 3
1
1 jZ
Y ===
S
CjjYYY p +=+=
02353,010882,5 321 S
02353,00 ==
CYI pm S
29,2351002353,0
5 ==C nF 1353,0221 =+= CCC F
94,210882,57071,0 322 === pYEP mW
7.6. U shemi na slici zadano je e = 21 2 sin 103t V, R1 = 10 , R2 = 40 , L = 100 mH. Odredite C takav da mrea bude u rezonanciji. Koliki je tada napon UL?
=
021E V 310= rad/s
=== 1001,0103LX L
-
63
====
8,21026926,001,0025,0100
140111
2
SjjX
jR
YL
p S
+==
793,13483,348,21139,37 jZ p
=++=+=
483,44793,13483,34101 CCp XjjjXZRZ
CXZI Cm
1793,130 ===
5,72793,1310
113 =
==
CXC
F
4721,00483,44
021=
==
Z
EI A
===
8,21533,178,21139,374721,0pL ZIU V
7.7. U shemi na slici, koja je u rezonanciji pri frekvenciji f = 400 Hz, poznato je da je snaga na otporu R1 tri puta manja od snage na otporu R2, dok je snaga izvora P = 1024 W. Zadano je R1 = R2 = 100 . Odredite L, C i EMS e.
27,251340022 === pipi f rad/s 1024=P W
32
1PP =
PPP =+ 21
3/3 2
2=+ PPP
PPP 33 22 =+ PP 34 2 =
768102475,043
2 === PP W ; 25632
1 ==PP W
6,1100256
1
1===
RPI A
R2
-jXCZC
IC IL
ICIL
I
UP E
-
64
7713,2100768
2
2===
RPIC A
26274,26,17713,2 2222 === III CL A
==== 736,544142,16,1
26274,2 II
tg L
==== 42,1414142,110022
tgRXRX
tg CC
8135,242,14127,2513
11=
==
CXC
F
===
736,542,17342,1411002 jjXRZ CC
===
0480736,542,173736,547713,2CCp ZIU V
4,8427,2513
132,21290132,2129026274,2
0480====
==
L
L
PL
XLI
UjX mH
6404801006,11 =+=+=
pURIE V ( )te 7,2513sin1,905= V
7.8. U shemi na slici poznato je e = 64 sin 2000t V, i = 5 sin 2000t A i R = 8 . Odredite L i C te nacrtajte fazorski dijagram.
+
-e
W
C
L
*
RiC
iL*
i
iC
iC
Ei
1602
52
64=== EIP W 4721,4
81602
====RPIRI LL A
7386,22
254721,4 222 === III LC A
R
X LZ
-
65
==
== 761,3779057,044721,42
5cos
LII
LtgtgRX L ==== 19677,6761,378
098,3200019677,6
===
LXL mH
=+=
761,37119,10LL jXRZ
===
02548,45731,37119,10761,374721,4LLp ZIU V
( ) == 90907386,2 CCC XXjI
== 525,167386,22548,45
CX
26,30525,162000
11=
==
CXC
F
7.9. U shemi na slici odredite frekvenciju naponskog izvora pri kojoj je snaga na otporu R maksimalna. Zadano: Em = 100 V, Ru = 10 , L = 2 mH, C = 0,88 F i R = 40 .
tEe m sin=
RIP 2=
( ) ( )22 CLu XXRREI
++=
fLCLC
pi 2836,2388,0102
1113
2==
===
7937,32836,23
==
pif Hz
0= CL XXZIP
CL
1=
-
66
7.10. Odredite impedanciju
1Z u shemi na slici tako da vatmetar pokazuje maksimalnu snagu. Zadano: R2 = 8 , X2 = 6 , R3 = 12 , X3 = 5 i E = 110 V. Nacrtajte fazorski dijagram.
06,008,087,361,068
1122
2 jjjXRY ==+=+=
S
0296,0071,06,22077,0512
1133
3 jjXjRY +====
S
==+=
39,11154,00304,0151,031 jYYY p S
+===
2818,1364,6387,11492,61 jY
Zp
p
=+=
2818,111 jZZZZ p
7.11. U mrei na slici odredite C tako da napon i struja budu u fazi. Zadano: R = 10 , L = 20 mH, f = 223 Hz.
15,140122322 === pipi f rad/s
-
67
=== 023,28102015,1401 3LX L
==
9003568,011LX
jY S
222 1010
1010
1011
C
C
C
C
CC XXj
XjXj
XjXjRY ++
=
+
+
=
=
21
+= YYY p ; 0Im =
pY
( )2222 10/110 CLLCC XX
XXX
+=+
2210 CLC XXX +=
0100023,282 =+ CC XX
95,29826,2315,1401
11826,231
1 1 =
===C
C XCX
F
17,01971,415,1401
111971,42
2 2 =
===C
C XCX
mF
301 = CC F
-
68
8. Metode i teoremi linearnih elektrinih mrea
8.1. Odredite radnu i jalovu snagu u shemi na slici. Zadano: R1 = 2 , R2 = 10 , R3 = 5 , R4 = 2 , R5 = 10 , X1 = 2 , X2 = 5 , X3 = 2 ,
=
0101E V, =
3052E V, =
90103E V.
( ) ( ) 1055371 321 =+
IjIjI ( ) ( ) ( ) =++ 15052231252 321 jIjIIj ( ) ( ) ( ) =+ 90102172253 321 jIjII ( ) ( ) 24,04,34,04,0 321 jjIjII ++=
( ) ( ) ( ) 105524,04,34,04,03731 323322 =
+++++
IjIjIjIIjIj
+=+
++
+
= 223 06,20246177,049,6199696,04,7204,34
4,7201416 IIj
jjjI
( ) ( ) 271,642345,306,20246177,049,6199696,04,04,03 221 jIjII +
++=
+=
684,4272425,1764,5472797,0 2I
( ) ( )+++
+
312684,4272425,1764,5472797,09052 22 jII
=
++
150506,20246177,049,6199696,013582843,2 2I
=
02,530931,02I A 18203,04284,002,530931,01505*222 jIUS +===
VA
=
53,416656,11I A 043,114688,1253,416656,110*111 jIUS +===
VA
=
54,60981,03I A 825,45416,854,60981,09010*333 jIUS ===
VA
4,66,20 jS +=
VA
-
69
8.2. U shemi na slici odredite sve struje grana i radnu snagu mree. Zadano: R1 = R2 = R3 = 3 , X1 = X3 = 3 , X2 = 1,5, =
061E V, =
9062E V.
+
-E1
+
-E2
R1X1 X2R2
X3 R3
0
I1 I3I4 I5
I2
a)
1) ( ) ( ) 2903606333 221 jIjIjjI aaa =
==+
A
2) ( ) 05,15,1333 21 =+++
jjIIj aa ( ) 05,15,423 1 =+
jjIj a 3:/0933 1 =++
jIj a jjIj a =
/311
jI a =
31
jjjIII aaa =+==
323213 A
jII aa ==
45 A
-
70
b) rezonancija
==
= bb IjjI 45 66
133
33 1121 =
====
jj
jIjb
bbb A
133
31
3 =
=
=
jj
jIb
b A
superponiranjem a) + b) dobivamo:
===+=
56,2624,2213111 jjIII ba A
222 jII a ==
A
==+=+=
56,20624,2213333 jjIII ba A
0444 =+=+=
jjIII ba A
jjjIII ba 2555 ==+=
A
( ) ( ) 2434043252422 =++=++= IIIP W
-
71
8.3. U shemi na slici odredite struje svih grana. Zadano: R1 = R2 = 10 , R3 = 5 , X1 = X3 = 10 , X2 = 5 , =
010I A, =
010E V.
R1
X1 R2
R3
E
+ -
I1
I2
I3
I0
I4
X2
X3
1 2
0
( ) 1101010
11 21 =
+
jj
( )1010
101010
155
11010
2 21 jjjjj
=
++
++
( ) += 9010/14521,0901,01 12 +=
901045212
( ) 5,05,04349,1815811,090104521,02 11 jj =
++
1,01,010
4524525
1 j==
05,005,020
45245210
1 j+==
=+=+++ 4349,1815811,005,015,005,005,01,01,01,0 jjjj
5,05,013525,02
452452
1 j===
-
72
( ) 5,05,05,15,01,02,01,01 jjjj =++
518054522,0
13522,02,0
11 ==
=
+=
jj V
====
10135251045218051045212 jjj 551055 jjj =+ V
5,0105
101
1 ==
=
I A
5,01805,09010
9059010
55510
214 ==
=
++=
=
jjI A
145254525
552
2 =
=
+
=
jI A
5,01805,045210
135254521055
10105510
101010 2
3 ==
=
+=
++=
=
jj
jjI A
8.4. U mrei na slici odredite struje svih grana i radnu snagu svih izvora. Zadano: e = -100 2 cos 104 t V, i0 = 10 2 sin 104 t A, R = 10 , L = 4 mH, C = 2,5 F.
( ) ( )=+= 90sin210090sin2100 tte 100 =
I A ( ) cos90sin =+
10090100 jE ==
V 410= rad/s
4104 == LX L mH = 40
64 105,21011
==
CX C
= 40
(1) ( ) 1002 01 jRIXjRI L =+
3143.108162,3435,6372,444542,141
40201001010
1 jjjI ==
=
+
=
A
-
73
(2) ( ) 1002 02 jRIXjRI C =+
31565,71162,343,6372,47
13542,1414020100100
2 jjjI ==
=
=
A
63131213 jjjIII =+=+=
A
====
74,1644,113111031014 jjIII A
==+=+=
26,154,113111031025 jjIII A
60090690100*3 ===
IESe W
( ) 2201031131145540 =++=
=+=
jjRIIRIRIU V
22000100220*000 ===
IUSi W
-
74
8.5. U mrei na slici odredite EMS 2
E tako da je struja grane 1
I = 0.
Zadano: =
0501E V; R1 = 5 ; R2 = 10 ; R3 = 2 ; X1 = 5 ; X2 = X3 = 4 .
+ -E1 R1
R2
+
-E2
R3
X1
X2 X3
12
3
0
I1=0
( ) 5100501 32 jII =
( ) ( ) 24122 322 =
IjIE konturne struje
( ) ( )jII ++= 2203 32 ( ) ( )35,0051 32 =
IjI
( ) ( ) ( )jIIji += 21031 33 ( ) += 32210 Ij
5,25,24525,2452
254522
103 jI ===
=
A
( ) 25,125,15135225,15905,04525,251 2 jI =+=+=
== 25,175,3 j
25,175,3 j= = 435,18958,3 A
( ) ( ) == 5,25,22435,1865,12435,18958,32 2 jE 5587,3650 j+= ==+= 54,3501,432535553040 jjj V
-
75
8.6. U mrei na slici odredite napon ABU
.
Zadano: R1 = R2 = 2 ; X1 = 5 , X2 = 10 ; X3 = 4 ; =
0100I A.
==+
310
1550
105105 jjjjjj
22059,0132353,004,592572,004,598873,3
1
3102
11 j
jY ==
=
+=
S
2,01,0435,6322361,0435,63472,4
142
12 jjY ===+=
S
==+=
08,614805,0420588,0232353,021 jYYY S
==
08,61081,21
YZ
===
08,6181,2008,61081,20100 ZIU p V
191,035,504,235273,504,592572,008,6181,2011 jYUI p +====
A
191,065,4353,26533,4435,6322361,008,6181,2022 jYUI p ====
A
83,17635,004,92842,17903
1004,23527,53
101 jjIA +====
V
598,187643,065,8761,18904353,26533,442 jjIB +====
V
===
3,1516,177,04,1 jU BAAB V
-
76
8.7. U mrei na slici idealni voltmetar mjeri napon UV = 400 V kad je sklopka u poloaju 1. Koliku struju mjeri idealni ampermetar kada je preklopka u poloaju 2? Kolike su efektivne vrijednosti struja I1, I2 i EMS E? Zadano: R1 = R2 = R3 = R4 = X1 = X2 = X3 = X4 = 10 .
+ -E
V
A
R1
R2
R3 R4
1
2S
X1
X2 X3 X4
I
I1I2
400=TE V
====
4521,01,01,01010
11 j
jY S
=+=+=
4521,01,01,01010
12 j
jY S
+===
554525452
101 jZ
===
554525452
102 jZ
=++=+=
10555521 jjZZZT
05,005,045205,0452
21,045210
11010
13 jjY ====+=
S
05,005,045205,0452
21,045210
11010
14 jjY +=====
S
1,005,005,005,005,043 =++=+=
jjYYYp S =
10pZ
201010
400=
+=
+=
PT
TA
ZZ
EI A 2001020 === PAP ZIU V
-
77
210205,020031 === YUI p A
210205,020042 === YUI p A
=
=
+= EEj
EI 45205,0452101010
'
=
=
= EEjEI 45205,0
452101010''
++
( ) ==
==
451451205,010'''1010''10'400 EIIII
( ) === EjEjjE 90414,125,07071,07071,07071,07071,025,0 400=
E V
8.8. U shemi na slici zadano je: R1 = 5 , R2 = 4 , R3 = 3,1 , X3 = 3,5 , X4 = 5 , R5 = 6 , =
0|301E V, = 0|202E V. Odredite radnu snagu na otporu R3. Kolika bi morala biti impedancija 333 ''' jXRZ +=
da bi otpor R'3 troio maksimalnu snagu? Kolika je ta snaga?
=+=+
=
+
++
=+=
4,24525,21024
45259025
6464
55555) 521 j
jRRjRZa T
+=++= 5,29,44,25,25,2 jj
=
=
+
+=
+
+=
12452590150
664
20555
305
52
24
41
1 jjRRREXjjXR
EET
1531215151245215 jj +=+== V
-
78
=
=
+++
+=
++=
82,415297,187,3610
69,78297,155,31,35,29,4
153
33jj
jXjRZ
EIT
T A
254,71,35297,1 2323 === RIP W
==
5,29,4') *3 jZZb T
5,29,45,29,4153
'3
max jjj
ZZ
EIT
T
++
+=
+=
=
= 69,785609,19,42
69,78297,15A
94,119,45609,1' 232maxmax3 === RIP W
8.9. U shemi na slici odredite impedanciju
Z tako da se na njoj troi maksimalna snaga. Kolika je ta snaga? Zadano: R1 = 20 , R2 = 12 , X1 = 16 , X2 =10 , X3 = 16 , =
01001E V,
70702 jE +=
V , =
050I A.
+
-
R1
E1
i0
+-E2
R2
X1
X2
X3
Z
( )=+
=+
=++
=
10565,267771,35
13,5340010
163232024010
161220161220 jjj
jjjjZT
+=+=+= 5101051010565,2618,11 jjjj
==
510*
jZZ T
-
79
+
-
R1
E1
i0
+-
R2
X1
X3
EX2
20
-j16
j10
100 0o
70+j70 V12
5 0o
II
ET
(a)
(b)
25,15,2565,267951,2565,267771,35
100161220
100' jjI +===+=
A
( ) 25,15,21632
1001612
1161220
1612205'' jjjjjI +=
=
+
=
A
( ) ( )( ) =+++=++
+=
707016125,2570701612''' jjjjjIIET
=+=++= 71,6172,17120170707050100 jjj V
=
=
+=
71,65586,820
71,6172,171
ZZ
EIT
T A
5,732105586,8 22 === RIP W
8.10. U shemi prema slici odredite struju I primjenom a) Theveninova teorema, b) Nortonova teorema, c) teorema recipronosti.
Zadano: R1 = R4 = 2 , R2 = 3 , X2 = 4 , X3 = 2 , X4 = 3 ,
Z = 5+j , =
30|100E V.
+==
=
+
=
+
=
jjjj
XjRXjRZa 145
222
45224
2222)
31
311
=
+
=
++
=
++
=
31,56606,31
13,5351
321
43111
44222 jjXjRXjRY
==++=+= 07077,0273846,023077,015385,016,012,031,5627735,013,532,0 jjj= 49,14282843,0 S
+==
8846,0423,349,145355,32 jZ
superpozicija
-
80
=+=+=
078,2380777,48846,1423,421 jZZZT
=+=+++=+=
02,178547,98846,24231,958846,1423,4 jjjZZZ Tuk
=
=
+
=
+=
75225452230100
2230100
'
31 jjXREI A
( ) ( ) =
=
++
=
++=
69,18612,1931,11099,5
301004323
30100''
2442 jXXjRREI A
( ) ==+= 31,5660555,369,18612,1990275225''' 443 XjRIXjIET ==+== 862,243,121632,43008,563,183,6862,3771,7015250 jjj
= 69,63735,27 V
=
==
71,808144,202,178547,969,63735,27
uk
T
Z
EI A
b) =+=++=+=
+=
+=
16,062,016,012,05,013,532,05,013,535
15,043
121
1 jjjY
= 47,1464031,0 S
=+=
+=+
+
=
31,5627735,05,031,5660555,3
15,032
122
jjjjY
==+= 111,78746789,073077,0153846,023077,0153846,05,0 jjj S
-
81
ZT Z
I
Ik
==
==
39024,05122,147,1456174,147,1464031,0
11
1
1 jY
Z
+==
==
31034,127587,0111,78339066,1111,78746789,0
11
2
2 jY
Z
=+=+=
23,270109,29201,078807,1' 21 jZZZu
=
==
23,577285,4923,270109,2
30100
'u
iZ
EI A
===
7,71663,7747,1456174,123,577285,4911 ZIU i V
===
88,20589,66111,78339066,123,577285,4922 ZIU i V
9464,4723955,1457,185326,1513,535
7,71663,77
22
12 jjXR
UI ==
=
=
A
704681,10047159,1543,3546638,1831,56606,3
88,205898,66
44
24 jjXR
UI ==
=
+=
A
==++=+=
75828,53232,0704681,10047159,159464,4723955,1442 jjjIIIk
= 79,867673,5 A
=
=
+=
73,80814,202,178547,908,2380777,4
79,86673,571
ZZZ
ZZIIT
Tk A
-
82
c)
=
===
02,4714744,1002,178547,9
3010002,178547,9)
uk
iukZ
EIZa A
===
02,23506,1445202,4714744,1011 ZIU i V
===
53,328763,3549,145355,302,4714744,1022 ZIU i V
947,9201413,084,88949,931,56606,353,328763,35
44
24 jjXR
UI ==
=
+=
A
1709,725292,002,921753,7902
02,23506,14
3
13 jjX
UI ==
==
A
==++==
71,80813,27761,245433,01709,725292,0947,9201413,034 jjjIII A
-
83
9. Viefazni sustav izmjeninih struja
9.1. Odredite sve struje i snagu trofaznog troila spojenog u zvijezdu a) s nulvodiem ( R0 = 0 ) i b) bez nulvodia. Zadano: otpori faza R1 = 50 ; R2 = R3 = 100 i fazni napon VU f =
0|2201 simetrinog trofaznog sustava EMS.
a) 00 =R ===
04,450
0220
1
11 R
UI A
905,11,11202,2100
1202202
22 jR
UI ==
==
A
905,11,11202,2100
1202203
33 jR
UI +==
==
A
=+=++=
02,2905,11,1905,11,14,43210 jjIIII A
19361002,22504,4 22323222121 =+=++= RIRIRIP W
b) =0R =
=
++
+
+
=
05504,002,2
1001
1001
501
100120220
100120220
50220
0'0U V
1655502200'010'10 ===
UUU V 3,31 =
I A
555,190110551202200'020'20 ===
jUUU
== 88,13004,2525,190165 j V
===
1,22952,21305204,22
'202 R
UI A
=+===
88,13004,252555,190110551202200'030'30 jUUU V
==
13152,23
'303
RUI A
1815210052,2503,3 223232
221
21 =+=++= RIRIRIP W
-
84
9.2. Trofazno troilo prema slici spojeno je na simetrini sustav EMS faznog napona Uf = 100 V. Odredite pokazivanje vatmetra ako je =
90|101Z , =
60|102Z , =
30|103Z .
= 30310013U
1
2
3
=
==
180106010120100
2
22
Z
UI A
1500150cos103100cos213 === IUPW W
9.3. U shemi na slici odredite to pokazuju instrumenti ako je: +=
431 jZ , +=
862 jZ , +=
16123 jZ i linijski napon Ul = 173 V.
Z1
Z3 Z2
01
W1
W3
W2
A
**
**
**
2
3
0
1 1
23
1
3
2
161213,532013,535
100
1
11 j
Z
UI ==
==
A
1200320212
11 === RIP W
19615,1982,913,1731013,5310120100
2
22 j
Z
UI ==
==
A 60061022222 === RIP W
598,49641,187,66513,5320
120100
3
33 j
Z
UI +==
==
A 30012523233 === RIP W
==++=
2,7223,13598,12036,43210 jIIII A 23,130 = I A
-
85
9.4. U shemi na slici zadano je: R = 30 , XC = 30 , =
60|30Z i linijski napon Ul = 420 V. Odredite sve struje.
14901490300420
1212 jXj
UIC
==
=
=
A
124,1271201430
1204202323 jR
UI ==
==
A
124,12760146030120420
3131 j
Z
UI +==
==
A
===
165247,7124,1271431121 jjIII A
===
255046,2714124,12712232 jjIII A
=+++==
6028124,127124,12723313 jjIII A
9.5. U shemi na slici odredite to pokazuju vatmetri i izraunajte ukupnu radnu snagu sustava. Zadano: R = 30 , XC = 30 , =
60|30Z i linijski napon Ul = 420 V.
( ) 215216560cos247,7420cos1131 === IUPW W ( ) 10972255120cos046,27420cos2232 === IUPW W
882021 =+= WW PPP W
-
86
9.6. Na nesimetrinom trofaznom troilu, prema slici, koje je prikljueno na simetrini generator Ul = 380 V dolo je do prekida u fazi CB. Ako su u tom sluaju linijske struje IB = IC = 1 A, a snaga na troilu iznosi P = 100 W, treba odrediti R, X1, X2.
=
=
==
901900380
90 11 XXUII ABABB A = 3801X
==== 1001
1002
2
ACAC I
PRRIP
ACAC
ACC XjRXjRUII 160380
22
=
+
=
+==
A
===+== 6,366100380380 2222222
2 RZXXRZ ACAC
== 74,7422 RX
arctg
=== 74,13474,746060 2AC
moemo izraunati struje:
71,0704,074,134174,74601 jIC ===
A
====
4,112849,171,1704,071,0704,0 jjjIII CBA A
-
87
9.7. Koji napon pokazuje voltmetar na slici? Zadano: Ul = 380 V, R = XC.
==
= 451 RX
tg
22 212 RRZ ==
==
4520380
12
1212 RZ
UI
329190380 22 ==a V 1,5193 =+= baU A V
9.8. Odredite linijske i fazne struje, te fazne napone na troilu prema slici, koje je prikljueno na simetrini sustav EMS Ul = 230 V. Zadano: +=
5,05,0 jZV , +=
6,64,8 jZ , =
023012U V.
ZV
ZV
ZV
I1
I2
I3
1
2
3Z
ZZ
1
3
2
==
457071,04525,0VZ
=+=+++=+=+==
2894,392638,47,23,32,28,25,05,0'2,28,23
' jjjZZZjZZ Vf
=
==
2894,69144,312894,392638,43
3023011
fZ
UI A
=
==
2894,189144,312894,392638,415079,1322
2
fZ
UI A
-
88
=
==
7106,50144,312894,392638,49079,1323
3fZ
UI A
334,579277,94457071,03,69144,313079,132' 111 jZIU V ===
V
5413,53119,97457071,03,189144,3115079,132' 222 jZIU V ===
V
878,110191,2457071,071,50144,319079,132' 333 jZIU V +===
V
==
131,108,192'' 21'2'1 U V =
==
29,3998,17157,38683,10131,108,192
'2'1'2'1
Z
UI A
==
13,12108,192'' 32'3'2 U V =
==
71,20098,17157,38683,10
13,12108,192'3'2
'3'2Z
UI A
==
87,11808,192'' 13'1'3 U V =
==
71,8098,17157,38683,10
87,11808,192'1'3
'1'3Z
UI A
9.9. Odredite linijski napon simetrinog izvora EMS ako idealni ampermetar u shemi na slici pokazuje IA = 2,7 A. Zadano: R1 = 10 , XL1 = XC1 = 50 , R2 = XL2 = XC2 = 100 .
U1
U3
U2
0
0
=
01 UU
=
1202 UU
=
1203 UU
=+
=
+=
11100
10010010010
21
21
RRRRZB
==
=
901001005010050100 jjj
jjZ A
=+
=
10050100
10050 jjjjjZC
=
+
++=
01,01001101,0
9001,0120100111209001,0
0'0jj
UUUU
-
89
( )( )72966,042127,0
12084254,0005,01066,80956,0055,001,011
100 3
jUUjjjU
=
==++=
( ) ( ) =+=== 175,275976,172966,042127,172966,042127,00'01'10 UjUjUUUUU V ===
12015746,012084254,01200'02'20 UUUUUU V
( ) ( ) ( ) =+=+== 595687,107873,072966,04217,086602,05,00'03'30 jUjUjUUUU
= 825,925976,1U V
( )02839,001458,018,117032,09050
18,276,1'1 jUU
UI +==
=
( )013636,0007873,0120015746,010
12015746,0'2 jUU
UI ==
=
( )0015747,0031913,0825,2032,09050
825,926,1'3 jUU
UI +==
=
[ ] 7,291,5901887,0016328,00094624,0''' 321 =+=++
UjUIII A
07,143018871,0
7,2==U V 8,2473 == UU l V
9.10. Ako se u shemi na slici umjesto ampermetra stavi idealni voltmetar, odredite njegovo pokazivanje, ako je Ul = 380 V, a ostali su podaci dani u zadatku 9.9.
V
1
2
3
XC1R1 XL1 XL2 R2 XC2
=
039,2191U V
=
12039,2192U V
=
12039,2193U V
jjY 02,05011
==
S
1,012 =
Y S
jjY 02,05013
=
=
S
01,010021
jjY ==
S
1,022 =
Y S
01,023 jY =
S
=
+
++=
02,01,002,09002,012011,0120102,01
39,2190'0 jjj
U
( ) ( ) ==++= 566,03268,039,2191,01732,0866,05,02,039,219 jjj == 12039,1431206539,039,219 V
-
90
=
++
++=
01,001,001,09001,0120101,0120101,0
39,2190''0 jjj
U
( ) ( ) === 366,2366,139,2195,0866,0866,005,039,219 jjjj
== 12039,599120732,239,219 V
===
12045612039,14312039,5990'00''0 UUUV V
9.11. Trofazni simetrini asinkroni motor snage P = 3,5 kW i cos = 0,6 prikljuen je na trofaznu mreu Ul = 220 V i f = 50 Hz. Odredite kapacitet C prema slici, tako da se faktor snage povisi na cos ' = 0,8.
== 6,11663PPf W
== 3,16,0cos tg 75,0'8,0'cos == tg
tgPQ
f=
== 5,1555tgPQ f var
f
C
PQQ
tg ='
875'== tgPQQ fc
=== 5,6808755,1555875QQC var
CQUX
XUQ
C
lC
C
lC
1118,715,680
220222=====
76,44
118,711
==
C F
9.12. Odredite snagu koju mjeri vatmetar u shemi na slici, ako ampermetar pokazuje IA = 20 A, a XC = XL = 3 , R = 10 3 . Izvor je simetrian.
-
91
[ ]==
+=
++
+=
60222
12001
113
21
0fff
LC
A
UE
R
UUR
Xj
RXj
R
RE
RE
U
[ ] ==+=+==
3020
3023
3101205,01
1202
001
1fff
ff
A UUR
UR
UU
RUEI A
=
=
=
3032903
12020
2f
f
L
A UU
XjUI A
+=+=
30322021ff
A
UUIII
20338675,0 =fU
054,59=fU V 34,201310054,59 22
===R
UP fW W
9.13. Metodom dvaju vatmetara na simetrinom troilu prema slici, izmjereno je P1 = 100 W i P2 = 500 W. Odredite: a) snagu trofaznog troila, b) faktor snage.
600) 21 =+= PPPa W = 11,49
50010050010033)
21
21
+
=
+
=
PPPP
tgb 655,0cos =
-
92
10. Proraun mrea s nesinusnim periodikim valnim oblicima
10.1 Serijski spoj RC prikljuen je na napon koji sadri prvi, trei i peti harmonik, ija je efektivna vrijednost U = 120 V. Odredite RC elemente ako je: P = 175 W, = 3140 rad/s, i = 5sint +3sin3t +sin5t A.
=====++=
+
+
= 10
5,171755,17
21925
21
23
25
2
2222
IPR
RPI
5;
31 1
51
31XXXX
CX ===
221
21111 /XRIZIU +==
223
23333 /XRIZIU +==
225
25555 /XRIZIU +==
( )
++
+++=++
259
2122
5
2122
32
122
125
23
21
XRIXRIXRIUUU
( ) 2125232122523212 259120 XIIIRIII
+++++=
( )CIII
RIIIX
117,31
2251125
1005,17120
259
120 225
232
1
225
23
21
2
1 ==++
=
++
++=
217,1017,313140
1=
=C F
10.2. Serijski RL spoj prikljuen je na napon e = 100 + 100 sin 1000t V. Odredite efektivne vrijednosti napona i struje ako je R = 30 , L = 40 mH.
47,1222
1001002
2=
+=E V
=== 40104010 331 LX
=+= 504030 221Z
301000
0 == REI A
2502
1001
11 =
==
ZEI A 621,32
30100 2
=+
=I A
-
93
10.3. U zadatku 10.2. odredite radnu i jalovu snagu izvora.
=== 3,39330621,3 22RIP W 80402121 === XIQ var
10.4. Odredite struju iL u shemi na slici, ako je i t t0 10 30 2 15 2 2= + +sin sin A, == 11
CR
, = 5,0L .
i0 RR C
L
a) n = 0: 52
100 ==LI A
b) n = 1: =+=+=
45|2111 jX
jR
YC
p S
==
5,05,045|22
1 jZ p
=+=+=
5,05,05,05,0' 11 jjZjXZ pL
103130
31
5,15,0
5,015,01
11 ====+
=
UZ V 205,0
10
'1
11 ===
Z
UI L A
c) n = 2: = 12LX , =+=+=
435,63|236,22112
2 jX
jR
YC
p S
= 5,02CX , ==
4,02,0435,63|44721,02 jZ p =+=+=+=
565,71|6324,06,02,04,02,01' 222 jjjZjXZ pL
=
=
++
=
+
=
45|4714,0565,26|34164,1565,71|6324,0
6,02,01565,71|6324,01
'
'
2
22 jZR
ZRZ
==
45|071,745|4714,0152U V
=
==
565,26|18,11565,71|6324,0
45|071,7'2
22
Z
UI L A
ukupno: )565,262sin(218,11sin2205 ++= ttiL A
-
94
10.5. U zadatku 10.4. odredite efektivnu vrijednost struje i0 i radnu snagu izvora.
35153010 2220 =++=I A
a) 50211020 ==P W
b) 1001
100'
21
1 === RUP W
==
45|2220111 pLp ZIU V
2001
2100''
21
1 =
==
RU
P p W 300''' 111 =+= PPP W
c) 501
071,7'
222
2 === RUP W
590|5435,63|44721,0565,26|18,11221 jZIU PLp ==== V 25
125
''
22
2 === RU
P p W 752 =P W
ukupno: 4257530050210 =++=++= PPPP W
10.6. U shemi na slici odredite snagu na otporu R = 5 . Zadano: i01 = 2 2 sin 100t A, i02 =10 2 sin (200t + 53) A, e = 60 sin 150t V, 1,021 == LL H, = 151R , =102R .
10i
i02
L1
L2
R
R1 R2
e
su