obsah prezentace
DESCRIPTION
ŘÍZENÍ JAKOSTI A SPOLEHLIVOSTI Pavel Fuchs David Vališ Josef Chudoba Jan Kamenický Jaroslav Zajíček. Obsah prezentace. Charakteristiky jednotlivých metod v teorii spolehlivosti Matematický popis Markovských procesů Markovské procesy ve spolehlivosti Řešení Markovských procesů. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/1.jpg)
ŘÍZENÍ JAKOSTIA SPOLEHLIVOSTI
Pavel Fuchs David Vališ
Josef ChudobaJan KamenickýJaroslav Zajíček
![Page 2: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/2.jpg)
Obsah prezentace• Charakteristiky jednotlivých metod v teorii spolehlivosti• Matematický popis Markovských procesů• Markovské procesy ve spolehlivosti• Řešení Markovských procesů
![Page 3: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/3.jpg)
z ... metoda je způsobilá nz ... metoda není způsobilá nebo vhodná
Charakteristiky nejpoužívanějších metod ve spolehlivosti
![Page 4: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/4.jpg)
Použití metody • Markovova analýza (MA) je metoda, pomocí které lze zjistit
dynamické parametry pohotovosti a bezporuchovosti systému.• Metoda je popsána v normě ČSN IEC 1165.• MA se využívá u systémů se složitou strategií údržby. Je to
například (příklady jsou uváděny na dvou jednotkách):– Prioritní údržba - při poruše se opraví vždy první a potom až druhá
komponenta.– Různé doby do obnovy - při poruše komponenty 1 a následně
komponenty 2 je jiná doba opravy než při poruše komponenty 2 a následně komponenty 1.
– Pravidelné údržbové zásahy - každý týden se komponenta zkoumá zda nevznikne v blízké budoucnosti porucha.
• Metoda je značně obtížná na přípravu a vypracování, proto se doporučuje, aby zpracovatel analýzy prozkoumal, zda místo Markovovy analýzy není vhodnější využít metody FTA (Analýza stromu poruchových stavů) nebo RBD (Analýza blokového diagramu bezporuchovosti).
![Page 5: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/5.jpg)
Odlišení MA od metody RBD a FTA• Metoda RBD umožňuje zjistit parametry pohotovosti a
bezporuchovosti celé komponenty a následně matematicky analyzovat celý systém.
• Metoda FTA je rozšířením metody RBD o možnost zjistit parametry pohotovosti a bezporuchovosti i některé funkce, která může přecházet mezi jednotlivými komponentami.
• Metody FTA, RBD umožňují modelovat pouze poruchu/obnovu a ne částečnou degradaci komponenty.
• Markovovu analýzu využíváme pro složitější strategie údržby.• Metody FTA, RBD mají výhodu, že je možné modelovat i jiné než
exponenciální rozdělení jednotlivých funkčních bloků. MA toto neumožňuje.
• Metoda RBD je specifikována blokovým diagramem, metoda FTA stromem poruch a metoda MA je charakteristická přechodovým diagramem stavů.
![Page 6: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/6.jpg)
Hod mincí
• Dva možné výsledky pokusu– padne orel nebo panna– každý pokus padne se stejnou pravděpodobností P=0,5
• Při opakování pokusu s vracením mince zpět do osudí se pravděpodobnost nezmění.
• Jaká je pravděpodobnost, že když padne orel, že v následujícím pokusu padne znova orel?
5,05,0
5,05,0
orel
pannaorelpannaP
![Page 7: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/7.jpg)
Markovské procesy
• Pro Markovský řetězec platí:– Stav systému v okamžiku tn je závislý pouze
na stavu v okamžiku tn-1.
– Řetězec je popsán podmíněnými pravděpodobnostmi, které vyjadřují: byl-li v okamžiku tn-1 systém ve stavu jn-1, bude v okamžiku tn ve stavu jn.
– Tyto pravděpodobnosti se nazývají pravděpo-dobnosti přechodu.
![Page 8: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/8.jpg)
Hod kostkou
• Šest možných výsledků pokusu 1 až 6
• Jaká je pravděpodobnost, když padne 1, v následujícím pokusu padne znova 1?
167,0167,0167,0167,0167,0167,0
167,0167,0167,0167,0167,0167,0
167,0167,0167,0167,0167,0167,0
167,0167,0167,0167,0167,0167,0
167,0167,0167,0167,0167,0167,0
167,0167,0167,0167,0167,0167,0
6
5
4
3
2
1654321P
![Page 9: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/9.jpg)
Pravděpodobnost nejvyššího vzdělání
• 3 možné výsledky nejvyššího ukončeného vzdělání základní, střední, vysoké školství
• Jaká je pravděpodobnost, když otec má ukončený některý druh vzdělání, že syn/dcera bude mít ukončený nějaký druh vzdělání?
8,01,01,0
2,07,01,0
2,03,05,0
vysoké
stredni
zakladnivysstrzakP
![Page 10: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/10.jpg)
Pravděpodobnost nejvyššího vzdělání
• 1. generace vzdělání základní• Pravděpodobnost, že 2. generace má vzdělání
střední– P=0,3
• Pravděpodobnost, že 3. generace má vzdělání vysoké– P=0,5*0,2+0,3*0,2+0,2*0,8=0,1+0,06+0,16– P=0,32
![Page 11: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/11.jpg)
Pravděpodobnost nejvyššího vzdělání
8,01,01,0
2,07,01,0
2,03,05,0
P
68,018,014,0
32,054,014,0
32,038,03,02P
)()1( xPpxp
)()2( xPPpxp
)()( xpPnxp n
5,033,017,0
5,033,017,0
5,033,017,0nP
![Page 12: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/12.jpg)
Pravděpodobnost ukončení vzdělání
• Matice P udává pravděpodobnost přechodu mezi jednotlivými náhodnými výsledky pokusu.
• Vektor p udává pravděpodobnost jednotlivých výsledků náhodného pokusu.
• Umocňování matice P se získá vektor p, který v tomto příkladě znamená pravděpodobnost ukončení vzdělání po n-té generaci.
![Page 13: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/13.jpg)
Příklad absorpčního stavu
• Absorpční stav je možný výsledek, který když padne, může padnout dále již jen stejný výsledek.
• Například modelování poruchy u neopravovaného výrobku – výrobek, který je v poruše bude vždy v poruše
100
2,07,01,0
2,03,05,0
P
100
36,052,012,0
36,036,028,02P
100
100
100nP
![Page 14: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/14.jpg)
Příklad se spojitým časem
• V předcházejících příkladech se jednalo o modely s diskrétními kroky. Každý diskrétní krok lze nahradit určitým časovým úsekem.– Př. Den lze rozdělit na jednotlivé okamžiky.
• Rozdělení na jednotlivé okamžiky lze provést limitním přechodem, kde časový okamžik t se blíží 0.
• V případech, kde je potřeba spojitý čas, lze využít intenzit přechodů.
• Platí pro malé t pij=ijt
• Pravděpodobnost přechodu mezi jednotlivými stavy lze vypočítat jako součin intenzity přechodu a času.
![Page 15: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/15.jpg)
Základní definice• Markovovy procesy lze užít pro model s diskrétním stavem a
spojitým časem– Např. studium n součástek v čase.– Existují modely i se spojitým/diskrétním stavem a
spojitým/diskrétním časem.
• Komponenta - Součástka nebo soubor součástek, které pracují jako jediná entita.
• Funkční stav - Stav systému, ve kterém systém vykonává požadovanou funkci.
• Nefunkční stav - Stav systému, ve kterém systém nevykonává požadovanou funkci.
![Page 16: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/16.jpg)
Základní definice
![Page 17: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/17.jpg)
Základní definice• Stav - Stav systému je určitá kombinace stavů komponent.• Přechod - Změna z jednoho stavu do jiného, která je obvykle
výsledkem poruchy nebo obnovy.• Pravděpodobnost přechodu mezi stavy - Pravděpodobnost
přechodu mezi jedním stavem a jiným stavem za čas t.• Počáteční stav - Stav systému v čase t = 0.• Absorpční stav - Stav, ze kterého nejsou možné žádné přechody,
jakmile se do něho přejde.• Obnovitelný systém - Systém obsahující komponenty, které mohou
mít poruchu a potom mohou být obnoveny do svého funkčního stavu, aniž by způsobily poruchu systému.
![Page 18: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/18.jpg)
Značky a zkratky• Každý stav v přechodovém diagramu je reprezentován kroužkem
nebo obdélníkem.• Popis stavů se umísťuje uvnitř značky stavu.• Šipka přechodu vyznačuje směr přechodu jako výsledek poruchy
nebo obnovy.• Intenzity obnov/poruch se píší u šipky přechodu.
• Intenzita poruch mezi stavem x a y - xyt)
• Intenzita obnov mezi stavem x a y - xyt)
![Page 19: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/19.jpg)
Druhy úloh• Metodou MA je možné řešit úlohy bezporuchovosti i pohotovosti.• Úlohy bezporuchovosti můžeme dále rozdělit na úlohy:
– Po poruše se neprovádí žádný opravný zásah.
– Po poruše systému se systém dále neopravuje, při poruše na jednotlivých komponentách se jednotlivé komponenty opravují.
• Úlohy pro výpočet bezporuchovosti mají vždy alespoň jeden absorpční stav - stav ze kterého nejdou žádné přechody.
• V úlohách pohotovosti se celý systém může opravovat. V modelu nesmí být žádný absorpční stav.
![Page 20: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/20.jpg)
Ukazatele• Pohotovosti
– Funkce okamžité pohotovosti A(t)– Funkce okamžité nepohotovosti U(t)– Střední doba do poruchy součástky MTBF– Střední doba do obnovy součástky MTTR
• Bezporuchovosti
– Pravděpodobnost bezporuchového provozu R(t1,t2)
– Střední doba do poruchy součástky MTBF– Okamžitá intenzita poruch
![Page 21: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/21.jpg)
Pravidla konstrukce diagramu• Každý stav se má identifikovat značkou, která umožňuje, aby se
analytik v postupu jednoznačně odkazoval na tento stav. Identifikátorem je obvykle písmeno nebo číslo.
• Pro srozumitelnost diagramu přechodů mezi stavy je vhodné do značky zahrnout popis stavů buď přímo, nebo pomocí odkazu na seznam vysvětlivek. Jestliže se používá popis, požaduje se identifikátor stavu umístit do kroužku/obdélníku v blízkosti značky stavu.
• Stavy se mají uspořádat tak, aby stav umístěný nejvíce vlevo byl plně funkční stav a stav (stavy) vpravo byl (byly) nefunkční stav (stavy) systému. Relativní pozice mezilehlých stavů mají být takové, aby byl přechod zleva doprava výsledkem poruchy a aby se dosáhlo přechodu zprava doleva opravou nebo obnovou. Z praktických důvodů může existovat přechod od pravého okraje k levému okraji pokud to nevede ke zvýšení počtu křížení čar přechodů.
• Stavy systému odpovídající stejnému počtu nefunkčních jednotek mají být svisle zarovnány.
![Page 22: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/22.jpg)
Pravidla konstrukce diagramu
![Page 23: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/23.jpg)
• Přechody mezi stavy se mají vyznačit čarami se šipkami propojujícími určité stavy. Čára se šipkou vpravo představuje poruchu a čára se šipkou vlevo představuje obnovu. Jestliže je možné dosáhnout přechodu mezi dvěma stavy jak poruchou, tak obnovou, potom se mají tyto určité stavy propojit jedinou čarou se šipkami na obou koncích.
• Šipky na čarách představujících přechody se mají označit návěštími s odpovídajícími intenzitami přechodů. To je možné provést buď přímo vyznačením těchto intenzit nebo pomocí odkazu na jejich seznam.
• Pokud je to možné, má každý přechod spojovat pouze sousední značky stavu. Jestliže porucha ze stejné příčiny uvádí do nepoužitelného stavu dvě nebo více jednotek, smí se některý stav obejít.
Pravidla konstrukce diagramu
![Page 24: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/24.jpg)
• Analytik musí zajistit, aby budoucí chování systému záviselo pouze na přítomném stavu systému a ne na způsobu, jakým se systém do tohoto stavu dostal. Tato podmínka se musí zajistit, aby byl diagram přechodů bez paměti dokonce i tehdy, když reálný systém paměť má.
• Intenzity poruch a intenzity obnov u všech jednotek v analyzovaném systému musí být konstantní v čase. Předpoklad konstantní intenzity obnov je třeba ověřit nebo udat podmínky za jakých byl předpoklad splněn.
Pravidla konstrukce diagramu
![Page 25: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/25.jpg)
Systém s jednou jednotkou• Systém s jednou komponentou, stav 0 plně funkční, stav 1 nefunkční stav
• Tento přechodový diagram se nahrazuje pro zjednodušení schématu na:
• Systém s degradovaným stavem. Stav 0 plně funkční stav, stav 1 částečně poruchový stav, stav 2 poruchový stav.
0 1
0 1
1
1
2
2
plně funkčnístav
degradovanýstav
nefunkční stav(absorpční stav)
0 1P01(t)P10(t)
Funkční stav Nefunkční stav
![Page 26: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/26.jpg)
Příklad s více jednotkami• Pravidla vytvoření přechodového diagramu
– Systém se rozdělí na jednotlivé komponenty např. metodou RBD.
– Zjistí se zálohování mezi jednotlivými komponentami z metody RBD.
– Každé komponentě se přiřadí nejhorší možný následek poruchy.– Definují se všechny možné následky poruch na komponentě.– Pro každou komponentu se vytvoří porucha. Na každém
poruchovém stavu se zjistí intenzita poruch do dalších možných stavů a intenzita obnov do ostatních stavů.
– Na každém stavu, který označuje poruchu jedné komponenty, modelujeme poruchu další komponenty. Pro každé poruchy 2 komponent zjistíme intenzitu poruch do dalších stavů a intenzitu obnov.
– Postupuje dále až do vytvoření celého přechodového diagramu.
![Page 27: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/27.jpg)
Příklad s více jednotkami
• Paralelní zálohování jednotky 1 součástkami 1a, 1b.• Při poruše jednotky 2, 3, 4 dojde k poruše systému.• Při poruše jednotky 1a nebo 1b systém není v poruše.• Existují 3 možné typy stavů
– Bezporuchový stav– Degradovaný stav– Poruchový stav systému
![Page 28: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/28.jpg)
Systém s více jednotkami• Porucha na komponentě 2, 3, 4
porouchá celý systém – dále nemůže vzniknout další porucha.
• Je porucha na komponentě 1a– Porucha komponenty 1b –
porucha celého systému– Porucha komponenty 2,3,4 –
porucha celého systému
• Obdobně pro komponentu 1b
• Zadáme pro všechny přechody intenzity poruch.
• Snažíme se zjednodušit schéma. Zde je možné sloučit komponenty 2, 3 a 4.
![Page 29: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/29.jpg)
Příklad systému se dvěma jednotkami• Mějme elektrickou síť, která napájí systém. Při výpadku elektrické
sítě je v systému záložní akumulátor, který je schopen po dobu 10 hodin systém napájet. Akumulátor se nabije za 4 hodiny. Intenzita poruch záložního akumulátoru je 10-4h-1. Intenzita oprav záložního akumulátoru je 10-2h-1.
Elektrická síť má střední dobu do výpadku 1000h a průměrný výpadek trvá 1 hodinu. Vytvořte přechodový diagram pro výpočet pohotovosti celého napájení.
• Systém má 2 funkční bloky – akumulátor, el. síť.• Systém je paralelně zálohován.• Porucha jednoho funkčního bloku nevyvolá poruchu celého
systému. Porucha obou funkčních bloků vyvolá poruchu celého systému. Budou tedy 3 úrovně stavů – stav bez poruchy, stav s výpadkem 1 zdroje, stav s výpadkem obou zdrojů.
![Page 30: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/30.jpg)
Příklad systému se dvěma jednotkami
![Page 31: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/31.jpg)
• El. síť 0,001h-1 =1h-1
• Akumulátor 0,0001h-1 =0,01h-1
• Stav 0 – el. síť i akumulátor jsou v pořádku0,001h-1 0,0001h-1
• Stav 1 – el. síť má výpadek =1h-1 0,1h-1 0,0001h-1
• Stav 2 – akumulátor je v poruše=0,01h-1 0,001h-1
• Stav 3 – v poruše nejdříve el. síť, akumulátor se vybije=1h-1 =0,01h-1
• Stav 4 – v poruše nejdříve akumulátor, el. síť jako druhá42h =0,01h-1
Příklad systému se dvěma jednotkami
![Page 32: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/32.jpg)
Příklad: Modelování počtu poruch• Pomocí Markovských procesů lze řešit počet poruch v určitém časovém
úseku
• Jednotlivé stavy označují počet poruch komponenty. Stav 0 znamená, že bylo 0 poruch na zařízení, stav 1 byla jedna porucha atd.
• Výsledkem modelování je určení pravděpodobnosti, že za čas t bylo právě n poruch.
• Speciální případ modelování Poissonova rozdělení.
![Page 33: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/33.jpg)
Matematické řešení systému
• Systém s jednou komponentou
• Do pole aij zapisujeme intenzitu přechodu ze stavu i do stavu j. Prvky na diagonále dopočítáváme tak, aby součet intenzit v řádku dal 0.
• Řešení pomocí soustavy lin. dif. rovnic 1. řádu.
A
t
tP
tP
tP
aaaa
aa
aaaa
aaaa
aaaaa
ttP
ttP
ttP
k
kkkkk
kii
k
k
kj
k
)(
.
.
)(
)(
...
.......
.....
.......
...
...
..
)(
.
.
)(
)(
2
1
321
1
3332313
2322212
11312111
2
1
![Page 34: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/34.jpg)
Sestavení rovnic• P(t+t)=A(t)P(t)t)
– Součin AP je vektorový součin– Získáme soustavu lin. dif. rovnic– Počáteční podmínky zadáváme každému stavu, součet musí
být 1. Obvykle stav, který je plně funkční má poč. podm. rovné 1 a ostatní stavy jsou nulové
– Soustavu řešíme obvykle numericky– Řešení např. Eulerovou metodou, metody Runge-Kutta,
metoda Monte Carlo
![Page 35: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/35.jpg)
Příklad s více jednotkami pokrač.• Sestavíme soustavu diferenciálních rovnic. Intenzita =10-6h-1
– 1. sloupec stav 0– 2. sloupec stav 1a– 3. sloupec stav 1b – 4. sloupec stav 234:
• Počáteční podmínky:
• Řešení:
0
0
0
1
)0(
)0(
)0(
)0(
4
3
2
1
P
P
P
P
t [h]
STAV
0 1a 1b 234
0 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000
5000 0,9753 0,0049 0,0049 0,0149
10000 0,9512 0,0096 0,0096 0,0295
15000 0,9277 0,0141 0,0141 0,0440
20000 0,9048 0,0185 0,0185 0,0582
25000 0,8825 0,0226 0,0226 0,0723
t [h]
STAV
0 1a 1b 234
30000 0,8607 0,0266 0,0266 0,0861
35000 0,8395 0,0304 0,0304 0,0997
40000 0,8187 0,0341 0,0341 0,1131
45000 0,7985 0,0376 0,0376 0,1263
50000 0,7788 0,0409 0,0409 0,1393
t
tP
tP
tP
tP
ttP
ttP
ttP
ttP
)(
)(
)(
)(
1000
3300
3030
35
)(
)(
)(
)(
4
3
2
1
4
3
2
1
![Page 36: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/36.jpg)
Příklad kompresorové stanice
![Page 37: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/37.jpg)
Závěr a použití• Markovovy procesy používáme pro modelování
– Opravovaných systémů– Zálohovaných systémů– Systémů, které nemají konstantní intenzitu poruch/oprav– Prioritních zálohování– Pravidelné údržby
• Výhody– Možnost modelování složitějších modelů než pomocí RBD, FTA– Dynamické výsledky R(t), A(t)
• Nevýhody– Složitá příprava metody, při řešení nutná numerická matematika
![Page 38: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/38.jpg)
PoděkováníTento text pro výuku byl vytvořen s podporou ESF
v rámci projektu: „Inovace a realizace bakalářského oboru Informatika a logistika
v souladu s požadavky průmyslu a veřejné správy“, číslo projektu CZ.04.1.03/3.2.15.3/0442.
![Page 39: Obsah prezentace](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062301/568144c1550346895db18c27/html5/thumbnails/39.jpg)
Děkuji Vám za pozornost.