oblig

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23- 1

McGraw-Hill/Irwin

Notions de base sur les

obligations


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McGraw-Hill/Irwin

Topics Covered

Real and Nominal Rates of Interest

The Term Structure and YTM (Yield To Maturity = rendement lchance)

How Interest Rate Changes Affect Bond Prices

Explaining the Term Structure


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Classical Theory of Interest Rates (Economics)

developed by Irving Fisher

Nominal Interest Rate = The rate you actually pay when you

borrow money

Real Interest Rate = The theoretical rate you pay when you

borrow money, as determined by supply and demand

Supply

Demand

$ Qty

r

Real r



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Nominal r = Real r + expected inflation

Real r is theoretically somewhat stable

Inflation is a large variable

Q: Why do we care?

A: This theory allows us to understand the Term Structure of Interest Rates.



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Taux actuariel brut (TAB) lmission : cest le TRI de linvestissement (= taux qui annule la VAN de lopration) pour le souscripteur qui achterait toutes les obligations lmission et les conserverait toutes jusqu lchance. (= cot actuariel du financement pour lmetteur, avant impts et hors frais dmission)

Soit Ft, le flux de liquidits gnrs par lemprunt (lobligation) chaque priode t (on supposera ici que t : anne)

F0 : flux initial = - VE (flux ngatif pour le souscripteur) F1 : premier coupon = RN VN F1 = F2 = F3 == FT-1 = F FT : dernier coupon et remboursement in fine de lobligation =

(RN VN) + VR ou F + VR

5

Le taux actuariel brut lmission

(TAB)


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McGraw-Hill/Irwin

Le TAB lmission est le taux qui galise la somme des flux actualiss gnrs par lobligation la valeur dmission de lobligation :

VE = F1/(1+TAB) + F2/(1+TAB)2 +

F3/(1+TAB)3 + + FT/(1+TAB)

T

VAN0 = -VE + F1/(1+TAB) + F2/(1+TAB)2

+ F3/(1+TAB)3 + + FT/(1+TAB)

T = 0**Point de vue du prteur. Il faut inverser les signes si lon se

place du point de vue de lemprunteur

6


(TAB)


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McGraw-Hill/Irwin7

2 3

1

1 1 1 1

1

1 1

1 11

1 1

NE T

TN

E t Tt

NE T T

F VF F FV

TAB TAB TAB TAB

VV F

TAB TAB

VV F

TAB TAB TAB


(TAB)


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McGraw-Hill/Irwin8

0 1 2 3 4 5 6 3

0

VE

VN + coupon

terminalEchancier de flux (point de vue du

prteur)

Coupons : RN

VN

..


(TAB)


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Calcul du TAB

Exemple : une entreprise met au pair des obligations remboursables in fine au terme de 10 ans. Le taux nominal est gal 5%.

La squence de flux dont le TRI est le TAB scrit alors :

{- 1 000, + 50/(1,05), + 50/(1,05)2, ,1050/(1,05)10 }

Ou encore : 1 000 = 50/(1,05) + 50/(1,05)2 + + 1050/(1,05)10

Ou encore : VAN = - 1 000 + 50/(1,05) + 50/(1,05)2 + + 1050/(1,05)10 = 0

Variante : Supposons que la valeur dmission soit de 950 , la valeur nominale et la valeur de remboursement tant gales 1 000 (mission au-dessous du pair)

La squence de flux scrit alors :

{- 950, + 50/(1,0567), + 50/(1,0567)2, ,1050/(1,0567)10 }

Ou encore : 950 = 50/(1,0567) + 50/(1,0567)2 + + 1050/(1,0567)10

Ou encore : VAN = - 950 + 50/(1,0567) + 50/(1,0567)2 + + 1050/(1,0567)10 = 0

NB : dans ce cas, le TAB est suprieur au taux nominal

Que se passerait-il si lobligation tait mise au-dessus du pair ?

9

Voir slide

suivant pour le

calcul du TAB


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McGraw-Hill/Irwin10

Le calcul sous EXCEL est trs simple : entrez tous les flux, sans oublier F0 ! Puis tapez la fonction TRI=. Une parenthse souvre : slectionnez alors la colonne des flux, fermez la parenthse et cliquez : le rsultat apparat. Ici : 5,67%

A dfaut dEXCEL ou dune fonction ddie sur une calculatrice, on peut procder par essais et erreurs successifs et obtenir une valeur approche (qui nous suffira).

Priode Flux

0 -950

1 50

2 50

3 50

4 50

5 50

6 50

7 50

8 50

9 50

10 1050

TRI 5,67%

Calcul du TAB


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Valeur de march de lobligation

Valeur de march et taux dintrt : la valeur de march de lobligation la date (t) est gale

la valeur actualise de la squence des flux

(coupons et remboursement) calcule sur la

base dun taux dactualisation gal au taux

dintrt en vigueur sur le march la date

(t) pour les obligations de mme risque et de

mme dure

11

Il ne sagit donc plus du TAB lmission (contractuel et invariable, sauf clause

particulire), mais du taux actuariel de

march (non contractuel sauf clause

particulire, et variable)


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McGraw-Hill/Irwin

V0,R0= F1/(1+R0) + F2/(1+R0)2 + +FT/(1+R0)

T

Vt= Ft+1/(1+Rt) + Ft+2/(1+Rt)2 + +FT/(1+Rt)

T

Vt =[(Coupon/Rt ) (1 1/(1+Rt)T)]+[Valeur

nominale/(1+Rt)T]

Rt = taux de rentabilit lchance (TRET) ( yield to maturity ) pour un investisseur

qui conserverait le titre jusqu son

chance

(NOTA BENE : en t = 0, TAB = TRET)

12

Valeur de la squence des flux actualise en t au taux du march Rt



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McGraw-Hill/Irwin13

1 1 ou 1

1 1

Nt t T T

t t t

VP V F

R R R

Hypothses : flux F constants (coupons invariables), valeur de

remboursement gale la valeur nominale VN


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McGraw-Hill/Irwin

La valeur dune obligation une fois mise varie ensuite pour deux raisons :

1) leffet du temps : avec le temps qui passe,

lchance se rapproche et la valeur actuelle des

flux futurs restants change mcaniquement

2) la variation possible (probable) du taux

dintrt sur le march : le taux de rendement

lchance varie en fonction de lvolution

des taux dintrt sur le march.

14



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McGraw-Hill/Irwin

Exemple (fichier EXCEL): si la vente de lobligation sur le march secondaire a lieu entre le versement de deux coupons, le calcul de la valeur de march de lobligation est le suivant :

Supposons que nous soyons la premire anne et que la vente ait lieu 127 jours avant le paiement du premier coupon (le 26 aot), soit une fraction danne courue (d) gale (N 127)/N, o N est le nombre exact de jours dans lanne

Supposons N = 365 : d = (365 127)/ 365 = 0,652. (En dautres termes, 0,652 fraction danne depuis le paiement du prcdent coupon)

Le jour de la vente de lobligation sur le march, le taux de march pour des obligations de mme dure et de mme risque est de 10%. La valeur du titre est alors gale :

V0+d= (1,10)0,652 [100/1,10 + 100/1,102++ 1100/1,1030]=

1064,1

15


Effet du temps


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Exemple (voir fichier EXCEL) : une entreprise met au pair une obligation dont le nominal est 1 000 . Le taux nominal est de 10% et la dure de 30 ans. Le coupon est annuel. En t = 0 (au moment de lmission), la valeur de march de lobligation est gale 1 000 :

V0 = 100/1,10 + 100/1,102 + 100/1,103 ++ 1100/1,1030 = 1 000

------------------------------------------------------------

Immdiatement aprs lmission de cet emprunt obligataire, le taux pour des obligations de mme chance et de mme risque tombe 5%. Cette obligation vaut alors sur le march :

V0+ = 100/1,05 + 100/1,052 + 100/1,053 ++ 1100/1,0530 = 1 768,6

Si le taux diminue 5%, la valeur de march de lobligation augmente

Si le taux augmente 15%, la valeur de march de lobligation diminue : V0+ = 100/1,15 + 100/1,15

2 + 100/1,153 ++ 1100/1,1530

= 671,7

16

Valeur de march de lobligation -

Effet dune variation du taux de march

Les investisseurs sont disposs payer plus de 1 000 pour l obligation prcdemment mise qui dlivre un coupon de 100 quand pour 1 000 ils ne peuvent dsormais obtenir quun coupon de 50

Les investisseurs ne sont pas disposs payer 1 000 pour une obligation dlivrant un coupon de 100 quand pour 1 000 ils peuvent obtenir un coupon de 150


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Term Structure and Yield To Maturity

2

1 2

1 1 1

1 1 1N

N

PVr r r

The Term Structure can be reflected in using various

r terms for different time periods

: taux dintrt au comptant (spot rate) dun investissement un an

2r1r

: taux dintrt au comptant (spot rate) dun investissement 2 ans


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Yield to Maturity / Le rendement lchance

Plutt que dactualiser chacun des cash flows un taux dintrt diffrent, on peut trouver un seul taux dactualisation qui produit la mme valeur actuelle. On lappelle rendement lchance ou taux de rendement actuariel (TRA) :

2 2

1 2

1 1 1 1 1 1

1 11 1 1 1N N

Nr TRAr r TRA TRA


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23.2.1 : Le rendement l'chance

Obligation

Coupon- chance

Cours Taux de rendement (TRA)

A 5 %N+5 85,21% 8,78%

B 10 %N+5 105,43% 8,62%



Question : ces deux obligations ont la

mme date dchance, mais elles nont pas le mme taux de rendement actuariel. Est-ce normal ? (= la

cotation de ces obligations est-elle

correcte ?)


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Oblig.

Coupon -

chance FM0

FM

1

FM

2

FM

3

FM

4 FM5

Rendement

lchance

A 5 %N+5 852,11 50 50 50 50 1 050 8,78%

B 10 %N+5 1054,29 100 100 100 100 1 100 8,62%




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A B C

1 Cash Flows Obligation A Obligation B

2 CF0 -852,11 -1054,29

3 CF1 50 100

4 CF2 50 100

5 CF3 50 100

6 CF4 50 100

7 CF5 1050 1100

8 TRI ou TRA 8,78% 8,62%



=TRI(B2:B7) =TRI(C2:C7)


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McGraw-Hill/Irwin

Tableau 24.1 : Dterminer la valeur actuelle de deux obligations lorsque les taux

dintrt long terme sont plus levs que les taux dintrt court terme

Calculs de valeur actuelle

5 %N+5 10 %N+5

Priode Taux dintrt Flux VA au taux rt Flux VA au taux rt

T =1 r1 = 0,05 50 47,62 100 95,24

T =2 r2 = 0,06 50 44,50 100 89,00

T =3 r3 = 0,07 50 40,81 100 81,63

T =4 r4 = 0,08 50 36,75 100 73,50

T =5 r5 = 0,09 1 050 682,43 1 100 714,92

Totaux 852,11 1 054,29


Le TRA plus lev de lobligation 5% sexplique par le fait que les taux long terme sont plus levs que les taux court terme



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Pourquoi le titre 5% a-t-il un meilleur rendement

lchance ? Parce que pour chaque investi dans ce titre, on reoit un cash-flow relativement plus faible (que le

lobligation 10%) pendant les 4 premires annes et un rendement relativement plus lev la dernire anne. En

ce sens, le titre 5% reprsente un investissement plus

long terme que celui 10%. Son plus fort rendement

lchance reflte le fait que le taux long terme est plus lev (ici) qu court terme


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Taux d'intrt Obligation 1 an coupon 5% Obligation 10 ans coupon 5% Obligation 30 ans coupon 5%

0 105 150 250

1 103,960396 137,885218 203,230833

2 102,941176 126,947755 167,189367

3 101,941748 117,060406 139,200883

4 100,961538 108,110896 117,292033

5 100 100 100

6 99,0566038 92,6399129 86,2351688

7 98,1308411 85,9528369 75,1819176

8 97,2222222 79,8697558 66,22665

9 96,3302752 74,3293692 58,9053838

10 95,4545455 69,2771645 52,8654277

How Interest Rates Changes Affect Bond

Prices


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Evolution du prix des obligations en fonction du taux

d'intrt

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10

Taux d'intrt (en %)

Co

urs

de

s o

bli

ga

tio

ns

, e

n %

de

la v

ale

ur

no

min

ale

Obligation 1 an

coupon 5%

Obligation 10 ans

coupon 5%

Obligation 30 ans

coupon 5%


Prices

Les obligations long

terme sont plus sensibles

aux variations de taux

dintrt


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La duration dune obligation

1 2 31 2 3...

VA CF VA CF VA CFDuration

V V V

V : valeur (actuelle) du titre

VA(CFt) : valeur actuelle des flux montaires (cash flows) de la

priode t

Duration : dure de vie moyenne pondre dune obligation (dlai moyen de versements des cash flows)


Prices


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Une obligation zro-coupon ne donne lieu qu un seul versement la date T.

Une obligation couponne dlivre des revenus tous les ans jusqu la date T.

Ont-elle la mme dure ? Dune point de vue financier NON !


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McGraw-Hill/Irwin



Prices

Anne Flux tVA (FMt)

4,9%

Proportion de la

valeur totale

[VA(FMt) / Vt]

Proportion de la

valeur totale

multiplie par le

temps

1 68,75 65,54 0,060 0,060

2 68,75 62,48 0,058 0,115

3 68,75 59,56 0,055 0,165

4 68,75 56,78 0,052 0,209

5 1068,75 841,39 0,775 3,875

Somme = 1

V = 1085,74 Duration = 4,424

annes

Obligation A


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Le dlai moyen de versement (duration) est de 4,424 annes alors que lchance est 5 ans.

Supposez une obligation 4,625% arrivant chance (maturit) galement dans 5 ans. Dans la

mesure o les coupons des 4 prochaines annes

reprsentent une proportion plus faible dans la

valeur totale de lobligation compars ceux de

lobligation 6,875%, EN CE SENS, lobligation

4,625% est plus longue que lobligation

6,875%


23- 31

McGraw-Hill/Irwin

Anne Flux tVA (FMt)

4,9%

Proportion de la

valeur totale

[VA(FMt) / Vt]

Proportion de la

valeur totale

multiplie par le

temps

1 46,25 44,09 0,045 0,045

2 46,25 42,03 0,043 0,085

3 46,25 40,07 0,041 0,122

4 46,25 38,20 0,039 0,155

5 1046,25 823,68 0,834 4,168

Somme = 1

V = 988,06 Duration = 4,574

annes



Prices

Obligation B


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PricesBond volatility / La sensibilit dune obligation

Obligation A Obligation B

6,875 %N+5 4,625 %N+5

Nouveau cours Variation Nouveau cours Variation

Le rendement baisse de 0,5 % 1 108,96 2,14% 1 009,91 2,21%

Le rendement augmente de 0,5 % 1 063,16 -2,08% 966,81 -2,15%

Diffrence (sensibilit) 4,22% 4,36%

Comment volue la VA

de chacune de ces

deux obligations

lorsque les taux

changent ?


23- 33

McGraw-Hill/Irwin



Sensibilit =

Duration

1 + Taux de rendement actuariel

La sensibilit est exprime en %

Ainsi la sensibilit de lobligation A calcule de cette manire est gale : 4, 424/(1,049) = 4,22% le rsultat

obtenu par diffrence dans le slide prcdent !


23- 34

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Taux d'intrt

Cours d'une obligation 30 ans

coupon 5% exprim en % du

nominal Duration Sensibilit

0 250

1 203,23

2 167,19

3 139,20

4 117,29

5 100,00 16,14 15,37

6 86,24

7 75,18

8 66,23

9 58,91

10 52,87




23- 35

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A



Cours d'une obligation 30 ans coupon 5% exprim en % du nominal

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10

Taux d'intrt

Co

urs

de

l'o

blig

ati

on

, e

n %

de

la

va

leu

r n

om

ina

le

Cours d'une obligation

30 ans coupon 5%

exprim en % du

nominalA

La sensibilit mesure leffet probable dune variation du taux dintrt sur la valeur de lobligation. Cest la pente de la courbe reprsentative de lvolution du cours de lobligation en fonction du taux dintrt. Par exemple, une obligation 30 ans au taux fixe de

5% prsente une sensibilit de 15,4% lorsque le

taux dintrt est de 5%. En ce point (A), la variation du prix (cours) reprsente 15,4 fois

la variation du taux dintrt. La sensibilit augmente mesure que le taux diminue et

diminue mesure que le taux augmente


23- 36

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What Determines the Shape of the TS?

1 - Unbiased Expectations Theory

2 - Liquidity Premium Theory

3 - Market Segmentation Hypothesis

Term Structure & Capital Budgeting

CF should be discounted using Term Structure info

Since the spot rate incorporates all forward rates, then you should use the spot rate that equals the term of your project.



23- 37

McGraw-Hill/Irwin

Spot Rate - The actual interest rate today (t=0)

Forward Rate - The interest rate, fixed today, on a loan made

in the future at a fixed time.

Future Rate - The spot rate that is expected in the future

Yield To Maturity (YTM) - The IRR on an interest bearing

instrument

YTM (r)

Year

1981

1987 & Normal

1976

1 5 10 20 30



23- 38

McGraw-Hill/Irwin

r1 : taux dintrt au comptant (spot) des emprunts dEtat franais 1 an

r2 : taux dintrt au comptant (spot) des emprunts dEtat franais 2 ans

rN : taux dintrt au comptant (spot) des emprunts dEtat franais N ans

Exemple : Supposons que les taux spot actuels soient :

r1 = 2,7%

r2 = 2,8%

1 euro investi pour 1 an au taux r1 devient 1,027 au bout dun an

1 euro investi pour 2 ans au taux r2 devient (1,028)2 au bout de 2 ans =

1,0568

La diffrence (1,0568 1,027) correspond une augmentation de 2,9%.

Cest ce quon obtient en supplment pour investir pour 2 ans au lieu dun.

On lappelle taux dintrt terme (forward).

Cest le taux un an dans un an. On le note f2



23- 39

McGraw-Hill/Irwin

Il est donc quivalent dun point de vue financier de placer aujourdhui deux ans au taux r2 ou de placer un an au taux r1 et de rinvestir dans un an pour une anne supplmentaire au taux f2. On doit donc avoir :

2

2 1 2

2

2

2

1

2

2

1 1 1

1d'o : 1

1

1 0,0281 0,029 ou 2,9%

1 0,027

r r f

rf

r

f



23- 40

McGraw-Hill/Irwin


The Expectations Theory / La thorie des anticipations

1r2 : taux dintrt anticip dans un an pour une dette arrivant

chance dans 2 ans (cest--dire le taux au comptant un an dans un

an tel quon lanticipe aujourdhui).

On peut investir 2 ans de deux

manires : (a) investir directement

dans un titre 2 ans ou (b) investir

dans 2 titres successifs 1 an.

Selon la thorie des anticipations,

lquilibre des marchs de capitaux les revenus anticips des

deux stratgies doivent tre gaux.

En dautres termes, le taux dintrt terme (f2) doit tre gal au taux dintrt au comptant anticip (1r2)


23- 41

McGraw-Hill/Irwin

Si des investisseurs supportent un risque

supplmentaire lorsquils dtiennent des

obligations long terme (rappel : les oblig. long

terme et duration leve sont plus volatiles que

les titres court terme), ils demanderont une

compensation sous la forme dun taux plus lev.

Le taux terme devrait donc tre plus lev que le

taux au comptant anticip. La diffrence sappelle

prime de liquidit.

The Liquidity Preference Theory



23- 42

McGraw-Hill/Irwin


Explication par la segmentation des

marchs


23- 43

McGraw-Hill/Irwin

Lide fondamentale est quil existe une relation entre les taux (une structure) telle

que les niveaux et les variations de taux (et

de prix des obligations) sont troitement lis

les uns aux autres.


23- 44

McGraw-Hill/Irwin


Tableau 23.3 : Hypothses pour chacun des trois titres dtat. On remarque que les

fluctuations les plus importantes correspondent au titre la plus forte duration. Nous ne

savons pas ce que vaut le titre moyen terme ; nous devrons ltablir partir de ses

variations de prix suite une augmentation ou une diminution des taux dintrt.

Variation de prix

Prix de

dpart

Si le taux

dintrt

augmente

Si le taux

dintrt

diminue

Valeur

finale

Bon du Trsor (court terme) 98 + 2 + 2 100

Obligation moyen terme ? 6,5 + 10 ?

Obligation long terme 105 15 + 18

90 ou

123

Relations entre obligations

Solution par la construction dun portefeuille obligataire qui reproduit la variation de valeur de lobligation moyen terme


23- 45

McGraw-Hill/Irwin

1. Lhypothse est que le taux court terme est SANS RISQUE et CERTAIN et est de +2%.

2. Le rendement des deux obligations dpendra de lvolution des taux dintrt.

3. On envisage deux possibilits : une forte hausse ou une forte baisse

des taux (moyen/long).

4. On part de 100 (hypothse). 5. En plaant la moiti sur le titre court terme et lautre moiti sur le titre

long terme quelle est la variation de la valeur du portefeuille ?

6. Rep.1 : 0,52 + (0,5(-15)) = - 6,5 (on reproduit ainsi la variation de la valeur de lobligation moyen terme en cas daugmentation des taux)

7. Rep.2 : 0,52 + (0,5(+18)) = +10 (on reproduit ainsi la variation de la valeur de lobligation moyen terme en cas de baisse des taux).

8. Puisque ce portefeuille a exactement les mmes rsultats que lobligation moyen terme, ces deux actifs doivent avoir le mme prix !

9. Quel prix aujourdhui ? 0,598 + (0,5(105)) = 101,5 10. Quel prix demain ? 101,5 6,5 = 95 si les taux augmentent et 101,5 + 10=

111,5 si les taux diminuent


23- 46

McGraw-Hill/Irwin

Rponse :

Valeur finale

Dbours

initial

Si le taux dintrt

augmente

Si le taux

dintrt

diminue

Portefeuille quivalent de bon du

Trsor et de titre long terme

(0,5 x 98) +

(0,5 x

105) =

101,5

(0,5 x 100) + (0,5 x

90) = 95

(0,5 x 100) + (0,5

x 123) =

111,5

Obligation moyen terme 101,5 101,5 6,5 = 95 101,5 +10 =111,5


Relations entre obligations

On observe que les variations de valeur du portefeuille sont les mmes que

celles dune obligation moyen terme. Ds lors le portefeuille et lobligation moyen terme doivent avoir la mme valeur


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Quelques exercises OBLIG


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CH 2 (23) _ Exercice 1


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CH 2 (23)_ Exercice 1 SOL


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(si vous le pouvez)



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CH 2 (23) _ Exercice 2 SOL


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Le taux d'intrt au comptant pour un an est r1 = 6 %,

et le taux terme d'un prt un an remboursable

dans deux ans est f2 = 6,4 %.

De mme, f3 = 7,1 %, f4 = 7,3 % et f5 = 8,2%

Quels sont les taux au comptant r2, r3, r4 et r5 ?

Si la thorie des anticipations est respecte, que

pouvez-vous dire des taux d'intrt futurs anticips ?



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oblig

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