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OBJETIVOS Definir renta. Clasificar las rentas. Identificar los distintos momentos de una renta. Demostrar fórmulas principales y derivadas. Resolver situaciones problemáticas.

CONTENIDOS Las rentas. Definición. Cuota. Momento de iniciación. Momento de finalización. Valuación

de una renta. Momento de valuación. Clasificación de las rentas. Rentas ciertas a interés compuesto anticipadas con cuotas constantes. Diferencia de

tiempo. La época de valuación coincide con la finalización de la renta (t=n). La imposiciónvencida. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La imposición adelantada. Fórmulaprincipal. Fórmulas derivadas. Rentas ciertas temporarias anticipadas con valuación antesde la finalización de pagos (t<n). Renta temporaria anticipada vencida con valuación antesde la finalización de pagos. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Renta temporariaanticipada adelantada con valuación antes de la finalización de pagos. Fórmula principal.Fórmulas derivadas. Rentas ciertas temporarias anticipadas con valuación después de lafinalización de pagos (t>n). Renta temporaria anticipada vencida con valuación después dela finalización de pagos. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Renta temporariaanticipada adelantada con valuación después de la finalización de pagos. Fórmulaprincipal. Fórmulas derivadas. Rentas ciertas perpetuas anticipadas. Diferencia de tiempo.La renta cierta perpetua anticipada vencida. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Larenta cierta perpetua anticipada adelantada. Fórmula principal. Fórmulas derivadas.

La renta cierta inmediata o amortización. La renta temporaria inmediata o amortizaciónvencida. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La renta temporaria inmediata oamortización adelantada. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La renta cierta perpetuainmediata. La renta perpetua inmediata vencida. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Larenta perpetua inmediata adelantada. Fórmula principal. Fórmulas derivadas.

Las rentas ciertas temporarias Diferidas. La renta cierta temporaria diferida vencida.Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La renta cierta temporaria diferida adelantada.Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Las rentas ciertas perpetuas diferidas. La rentacierta perpetua diferida vencida. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. La renta ciertaperpetua diferida adelantada. Fórmula principal. Fórmulas derivadas.

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LAS RENTAS

RENTA (Definición)Se llama renta a toda sucesión de capitales financieros que tienen la finalidad de formar un capital futuro,cancelar una deuda, etc.

Así por ejemplo son rentas las siguientes sucesiones de capitales financieros:

Una serie de capitales financieros depositados con el objeto de formar un capital futuro (cuentade ahorro).

Una serie de sumas de pagos con la finalidad de cancelar una deuda (préstamo). Una serie de pagos en forma periódica para abonar un bien por haberlo comprado en forma

financiada. Las sucesiones de pagos de un seguro de vida.

CUOTA (Definición)Cada uno de los términos que integran la sucesión capitales financieros se llama cuota. Esto significaque si formamos un capital en una caja de ahorro, cada uno de los depósitos se llama cuota y sicompramos un bien a crédito u obtenemos un préstamo, cada uno de los pagos periódicos se llamacuota.-

Teniendo en cuenta las características de las cuotas, estas se pueden clasificar en:

a) Según su valuación: Las cuotas se pueden valuar siguiendo una ley simple o siguiendo una leycompuesta.

b) Según su valor: constantes si todas son del mismo valor, caso contrario se dice que sonvariables.

c) Según su época de pago: vencidas, si se pagan al final de cada período; y adelantadas, si sepagan al inicio de los mismos.

MOMENTO DE INICIACIÓN (Concepto)El momento de iniciación de una renta, es el momento en el tiempo en el que se da inicio a la sucesiónde capitales financieros, o sea la época en la que se paga o se deposita la primera cuota.

MOMENTO DE FINALIZACIÓN (Concepto)El momento de finalización de una renta, es el momento en el tiempo que se da por finalizado lasucesión de capitales financieros, o sea la época en la que se paga o se deposita la última cuota.

VALUACIÓN DE UNA RENTA (Concepto)Todas las cuotas que forman la sucesión de capitales financieros, deben tomar un valor general en algúnmomento en el tiempo. Este valor se llama “valuación de la renta” y dicha valuación depende del objetivoque tenga la renta.

Por ejemplo si las cuotas que se pagan son para cancelar una deuda, la valuación de la renta es alinicio de la misma, ya que de antemano sabemos el total que debemos.

Si por el contrario, las cuotas que se depositan son para formar un capital, por supuesto que elvalor de la renta será al final de la operación, o sea cuando deposite la última cuota y se conozcan losintereses ganados.

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MOMENTO DE VALUACIÓN (Concepto)El momento de valuación es el momento en el tiempo en que se valúa una renta.

CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS

Para poder estudiar las rentas o sucesiones de capitales financieros, y debido a su diversidad defunciones, se las puede clasificar en:

En función de la duracióna. Temporarias: Una renta se dice que es temporaria si su duración es limitada, o sea que se

considera que el número de períodos es fijo.b. Perpetuas: Una renta se dice que es perpetua si su duración es ilimitada, o sea que se considera

que el número de períodos tiende al infinito.

En función de su condicionamientoa. Cierta: Una renta se dice que es cierta si su duración no está subordinada a algún acontecimiento.

Estas rentas son las más comunes, como por ejemplo los préstamos, las compras financiadas, losahorros en cuotas, etc.

b. Incierta: Una renta se dice que es incierta cuando su duración depende de algún acontecimiento,como por ejemplo un seguro de vida, un sistema de ahorro y préstamos, etc.

En función de las cuotasa. Constantes: Si las cuotas no varían.b. Variables: Si las cuotas varían.c. Vencidas: Si las cuotas se pagan o se depositan al final de cada período.d. Adelantadas: Si las cuotas se pagan o se depositan al inicio de cada período.

En función de su capitalizacióna. A Interés simple: valuadas con un régimen de ley simple.b. A Interés compuesto: valuada con un régimen de ley compuesta.

En función de su valuacióna. Anticipadas: Una renta se dice que es anticipada cuando el momento de iniciación es anterior a la

valuación de la misma.b. Inmediatas: Una renta se dice que es inmediata cuando la valuación de la misma coincide con el

momento de iniciación.c. Diferidas: Una renta se dice que es diferida cuando el momento de iniciación es posterior a la

valuación de la renta.

NOTALas rentas que se estudiarán en este libro son las RENTAS CIERTAS A INTERÉS COMPUESTO,TEMPORARIAS O PERPÉTUAS, dentro de ellas LAS INMEDIATAS, DIFERIDAS Y ANTICIPADAS.

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LAS RENTAS TEMPORARIAS CIERTAS A INTERÉS COMPUESTOANTICIPADAS CON CUOTAS CONSTANTES

Como por definición, son aquellas en donde la iniciación de la misma es anterior a la época devaluación.

Ahora, ésta renta se la debe estudiar con respecto a la diferencia de tiempo entre la valuación y lafinalización de la misma.

DIFERENCIA DE TIEMPO (Definición)En la renta anticipada, se llama diferencia de tiempo a los períodos existentes entre la época devaluación y la finalización de la renta y se la representa con la “t”.

LA ÉPOCA DE VALUACIÓN COINCIDE CON LA FINALIZACIÓN DE LA RENTA (t = n)

En este caso, justo en la finalización de la renta se valúan la sucesión de capitales financieros,estos explica con el siguiente gráfico:

Toda renta donde la sucesión de capitales financieros donde la valuación coincide con el momentode finalización, se llama IMPOSICIÓN o valor final de la renta.

En esta renta, la sucesión de capitales financieros se capitalizan, o sea que en cada período segenera un monto cuyo capital inicial es la cuota (C), o sea:

niCCn )1.('

IMPOSICIÓN VENCIDA

Como se sabe, toda renta donde las cuotas se abonan o se depositan al final de cada período, sedice que es vencida.

Ahora, cada capital financiero es un monto donde por cada período se capitaliza la cuota. Paraexplicar correctamente y deducir la fórmula de la imposición vencida, hacemos el siguiente gráfico:

MI Períodos MF=MV1º 2º 3º ………………… n-1 N

Momento deIniciación

Momento deFinalización

n períodos

Se efectúan los depósitos

Momento devaluación

2

3

2

1

..(1 ).(1 )..............(1 ).(1 ).(1 )

n

n

n

CC iC i

C iC iC i

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Observamos que para el primer período, la cuota que se paga al final del mismo y se capitalizapor los n-1 períodos restantes hasta la valuación, o sea:

11 ' .(1 )nC C i

Para el final del segundo período, la cuota se capitaliza por n-2 períodos, entonces el monto es:

22 ' .(1 )nC C i

Para el final del tercer período, la cuota se capitaliza para n-3 períodos, entonces el monto es:

33 ' .(1 )nC C i

Cuando llegamos al final del período n-2, observamos que la cuota se capitaliza por dos períodosmás, o sea que el monto es:

22 )1.(' iCCn

Por supuesto, para el final del período n-1, la cuota se capitaliza por un solo período, entonces elmonto es:

)1.('1 iCCn

Y cuando llegamos al final del último período, la cuota no tiene tiempo para capitalizarse, o seaque el monto es:

CCiCCn 1.)1.(' 0

Ahora, la suma de todos estos capitales financieros constituyen la renta o la Imposición que ladenotamos con S(C,n.i) (imposición vencida de cuota C, períodos n y tasa i), o sea:

'''...''),,( 12321 CnCCCCCinCS nn

Que es lo mismo, aplicando la propiedad conmutativa de la adición:

'''...'''),,( 12321 CCCCCCninCS nn

Reemplazando por las expresiones anteriormente determinadas, queda:

2 2 1( , , ) .(1 ) .(1 ) ... .(1 ) .(1 )n nS C n i C C i C i C i C i

Sacando factor común la cuota, se tiene:

nininiiiCinCS )1(1)1(2)1(...2)1()1(1),,(

Pero como 1+i>0 entonces la progresión formada con los términos de la serie que está en elcorchete es creciente y como cada uno de los términos difiere del anterior en una cantidad igual a 1+i(razón de la serie o de la progresión), entonces ésta es una progresión geométrica creciente.

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Ahora, en toda progresión geométrica creciente de “n” elementos, donde “a1” es el primer término y“q” es la razón, su suma está dada por:

11.1

qqaSn

Entonces para nuestra serie, el primer término es 1 y reemplazando queda:

111)1(·),,(

iiCinCSn

Y cancelando se llega a la fórmula para calcular la imposición vencida de cuota constante:

iiCinCSn 1)1(·),,(

Por ejemplo:Una persona deposita al finalizar cada bimestre $386,20 durante 3 años ¿Cuál el total de dinero

obtenido si se le aplicó el 25% anual de interés?

DatosCapitalización: bimestral y compuestaC=$386,20 bimestral y vencidaR=25% anual R=25%:6 bimestral R=4,16% bimestral i=0,0416T=3 años n=3x6 bimestres n=18

IncógnitaS(C,n,i)=?

Calculamos la imposición vencida usando la fórmula últimamente demostrada:

0416,01)0416,01(·20,386$),,(1)1(·),,(

18

inCS

iiCinCSn

17,057.10$),,( inCS

FÓRMULAS DERIVADAS DE LA IMPOSICIÓN VENCIDA

Para obtener las fórmulas derivadas de la imposición vencida, basta con despejarlas de la fórmulaprincipal para su cálculo.

LA CUOTA VENCIDA EN LA IMPOSICIÓN

Partiendo de la fórmula principal, o sea:

iiCinCSn 1)1(·),,(

7

Despejando la cuota, queda:

( , , )(1 ) 1n

S C n i iCi

Por ejemplo:Una persona quiere formar un capital de $7.530 y para ello elige una entidad financiera que otorga

el 30% anual de interés y de acuerdo a sus cálculos, dichos depósitos los debe hacer por un año y medio¿Cuál es el valor de la cuota vencida que debe depositar esta persona?

DatosCapitalización: mensual y compuestaS(C,n,i)=$7.530R=30% anual R=30%:12 mensual R=2,5% mensual i=0,025T=1,5 años n=1,5x12 n=18IncógnitaC=? vencida

Para calcular la cuota vencida de la imposición, usamos la fórmula que se demostró últimamente:

37,336$1)025,01(

025,0530.7$1)1(),,(

18

CCi

iinCSC n

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA IMPOSICIÓN VENCIDA

Si partimos de la fórmula principal:

iiCinCSn 1)1(·),,(

Pasamos la cuota y la tasa del denominador al primer miembro:

1)1(),,(

niC

iinCS

Pasamos el -1 al primer miembro y sacamos común denominador y queda:

CCiinCSi n

),,()1(

Tomamos logaritmo en ambos miembros y se tiene:

CCiinCSi n

),,(log)1log(

Aplicando las propiedades de los logaritmos, tenemos:

CCiinCSin log)),,(log()1log(

8

Ahora despejamos el número de períodos y se llega a la fórmula deseada:

log( ( , , ) ) loglog(1 )

S C n i i C Cni

Por ejemplo:¿Cuántos meses se debe depositar al final de los mismos $250,60 para reunir un capital de

$10.289,44 sabiendo que la entidad financiera otorga el 25% anual de interés?

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$250,60 vencidaS(C,n,i)=$10.289,44R=25% anual R=25%:12 mensual R=2,08% mensual i=0,0208

Incógnitan=?

Para calcular los períodos hacemos:

)0208,01log(60,250$log)60,250$0208,044,289.10log($

)1log(log)),,(log(

n

iCCiinCSn

Calculando, queda:

mesesn 98,29

Lo que significa que 29 cuotas serán de $250,60; y una más que se la calcula haciendo el siguienterazonamiento:

xmesesmes

98,060,250$1

Donde:

58,245$98,060,250$ x

IMPOSICIÓN ADELANTADA

Para la imposición vencida nosotros hemos visto que las cuotas se depositan al final de cadaperíodo. Ahora en la imposición adelantada estudiaremos el caso en el que las cuotas se depositan alinicio de cada período.

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Como se sabe, cada capital financiero es un monto cuyo capital inicial es la cuota que se capitalizapor los períodos según sea el período de la cuota. Para ello haremos el siguiente gráfico:

MI Períodos MF=MV1º 2º 3º ……………….. n-1 n

n

n

n

n

iCiCiCiC

iCiC

)1.()1.()1.()1.(............)1.()1.(

1

2

3

2

Al inicio del primer período, la cuota se capitaliza por “n” períodos, por lo tanto el monto es:

niCC )1.('1

Al inicio del segundo período, la cuota se capitaliza por “n-1” períodos, por lo tanto el monto es:

12 )1.(' niCC

Al inicio del tercer período, la cuota se capitaliza por “n-2” períodos, por lo tanto el monto es:

23 )1.(' niCC

Al inicio del cuarto período, la cuota se capitaliza por “n-3” períodos, por lo tanto el monto es:

34 )1.(' niCC

Y así llegamos al inicio del penúltimo período, donde la cuota se capitaliza por dos períodos y elmonto es:

21 )1.(' iCCn

Hasta llegar al último período, donde la cuota todavía se capitaliza por un solo período y el montoes:

)1.(' iCCn

Ahora, la suma de todos estos capitales financieros constituyen la renta o la Imposición que ladenotamos con S’(C,n.i) (imposición adelantada de cuota C, períodos n y tasa i), o sea:

'''...''),,(' 12321 CnCCCCCinCS nn

10

Que es lo mismo aplicando la propiedad conmutativa de la adición:

'''...'''),,(' 12321 CCCCCCninCS nn

Reemplazando por las expresiones anteriormente determinadas, queda:

nnn iCiCiCiCiCinCS )1.()1.()1.(...)1.()1.(),,(' 122

Y sacando factor común la cuota, queda:

nnn iiiiiCinCS )1()1()1(...)1()1(.),,(' 122

Pero como 1+i>0 entonces la progresión formada con los términos de la serie que está en elcorchete es creciente y como cada uno de los términos difiere del anterior en una cantidad igual a 1+i(razón de la serie o de la progresión), entonces ésta es una progresión geométrica creciente.

Ahora, en toda progresión geométrica creciente de “n” elementos, donde “a1” es el primer término y“q” es la razón, su suma está dada por:

11.1

qqaSn

Entonces para nuestra serie, el primer término es (1+i) y reemplazando queda:

111)1()·1.(),,('

iiiCinCSn

Y cancelando se llega a la fórmula para calcular la imposición vencida de cuota constante:

iiiCinCSn 1)1()·1.(),,('

Si comparamos las fórmulas de la imposición vencida y adelantada, observamos que la segundatiene una capitalización más y esto es debido a que se adelanta el pago de la cuota un período.-Por ejemplo:

Una persona deposita al inicio de cada bimestre $386,20 durante 3 años ¿Cuál el total de dineroobtenido si se le aplicó el 25% anual de interés?

DatosCapitalización: bimestral y compuestaC=$386,20 bimestral y adelantadaR=25% anual R=25%:6 bimestral R=4,16% bimestral i=0,0416T=3 años n=3x6 bimestres n=18IncógnitaS’(C,n,i)=?

Calculamos la imposición vencida usando la fórmula últimamente demostrada:

0416,01)0416,01()·0416,01.(20,386$),,('1)1()·1.(),,('

18

inCS

iiiCinCSn

11

O sea:22,476.10$),,(' inCS

FÓRMULAS DERIVADAS DE LA IMPOSICIÓN ADELANTADA

Para obtener las fórmulas derivadas de la imposición adelantada, basta con despejarlas de lafórmula principal para su cálculo.

LA CUOTA ADELANTADA EN LA IMPOSICIÓN


iiiCinCSn 1)1()·1.(),,('

Despejando la cuota, queda:

1)1().1(

),,('nii

iinCSC

Por ejemplo:Una persona quiere formar un capital de $7.530 y para ello elige una entidad financiera que otorga

el 30% anual de interés y de acuerdo a sus cálculos, dichos depósitos los debe hacer por un año y medio¿Cuál es el valor de la cuota adelantada que debe depositar esta persona?

DatosCapitalización: mensual y compuestaS’(C,n,i)=$7.530R=30% anual R=30%:12 mensual R=2,5% mensual i=0,025T=1,5 años n=1,5x12 n=18

IncógnitaC=? adelantadaPara calcular la cuota adelantada de la imposición, usamos la fórmula que se demostró últimamente:

16,328$118)025,01().025,01(

025,0530.7$

1)1().1(

),,('

CC

nii

iinCSC

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA IMPOSICIÓN ADELANTADA

Si partimos de la fórmula principal:

iiiCinCSn 1)1()·1.(),,('

Pasamos la cuota, 1+i y la tasa del denominador al primer miembro:

1)1()1.(),,('

niiCiinCS

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Pasamos el -1 al primer miembro y sacamos común denominador, queda:

)1.()1.(),,(')1(

iCiCiinCSi n

Tomamos logaritmo en ambos miembros, se tiene:

)1.()1.(),,('log)1log(

iCiCiinCSi n

Aplicando las propiedades de los logaritmos, tenemos:

)1.(log)1.(),,('log)1log( iCiCiinCSin

Ahora despejamos el número de períodos y se llega a la fórmula deseada:

log '( , , ) .(1 ) log .(1 )log(1 )

S C n i i C i C in

i

Por ejemplo:¿Cuántos meses se debe depositar al inicio de los mismos $250,60 para reunir un capital de

$10.289,44 sabiendo que la entidad financiera otorga el 25% anual de interés?

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$250,60 adelantadaS’(C,n,i)=$10.289,44R=25% anual R=25%:12 mensual R=2,08% mensual i=0,0208

Incógnitan=?

Para calcular los períodos hacemos:

)1log(

)1.(log)1.(),,('logi

iCiCiinCSn

Reemplazando por sus valores, se tiene:

)0208,01log(

)0208,01.(60,250$log)0208,01.(60,250$0208,044,289.10$log

n

Lo que significa que:

mesesn 29

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PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una persona quiere formar un capital de $7.500 en 9 meses, otorgando la entidad financiera el 3%bimestral de interés. ¿Cuál es la cuota adelantada que debe depositar ésta persona?

2. Una persona desea vende una propiedad y recibe como anticipo $10.000 y tiene dos ofertas por elresto: la primera consiste en 60 pagos al final de cada mes de $500; y la segunda en 50 pagos alinicio de cada mes de $550 ¿qué oferta le conviene más si el interés aplicado es del 1,5% mensual?

3. Un inversionista ahorra $200 cada inicio de mes y quiere llegar formar un capital de $10.600 ¿quétiempo necesita realizar los ahorros si la entidad financiera otorga el 24% anual de interés?

4. Resolver el problema anterior con cuotas vencidas.5. Un inversionista ahorra al inicio de cada mes $150 durante 2 años, ganando un interés mensual del

1,03%. A los 18 meses retira $2.500 ¿Cuál es el saldo que le quedó?6. Un inversionista deposita al final de cada bimestre una cuota la que al cabo de 2 años generará una

imposición de $3.852 ¿Si el interés es del 25% anual, cuál es el valor de la cuota depositada?7. Se debe reunir $30.000 en 10 meses. Para ello se puede depositar al final de cada mes la suma de

$1.500 con el 5% mensual de interés. Además estaré en condiciones de realizar dos depósitosextras uno a los 4 meses de $5.000 y otro a los 7 meses. ¿Cuál será el valor de este últimodepósito?

8. Una persona necesita formar un capital de $25.000, contando para ello con $230 por mes. Si laentidad financiera otorga el 20% anual de interés, se pide calcular:a. El tiempo que se necesita si el depósito es al inicio de cada período.b. El tiempo que se necesita si el depósito es al final de cada período.

9. Un inversionista deposita al inicio de cada mes $150 durante 5 meses con el 5% bimestral deinterés, luego decide depositar $120 al final de cada mes y durante 8 meses con el 5,5% bimestralde interés. Se pide:a. El total obtenido.b. Si en el segundo caso, la cuota sería de $140, ¿qué tiempo necesitaría para obtener la misma

imposición?c. Si depositaría $140 vencido ¿Qué tiempo necesitaría para obtener el total del punto a)?

10. Se depositan $365,50 al inicio de cada mes durante un año y medio con 30% anual de interés.Luego lo coloca al mismo capital en un plazo fijo de 7 meses con el 12% semestral de interés ¿Cuáles el monto se obtiene?

11. Resolver el problema del punto anterior si los depósitos de realizan al final de cada mes.12. Una persona obtuvo al final de las operaciones financieras $32.589,45. Se sabe que inicialmente

hizo depósitos bimestrales vencidos durante 2 años con el 1,2% mensual de interés. Al finalizar esteplazo, colocó toda la imposición obtenida a plazo fijo durante 3 meses con capitalización compuesta,mensual y con 2% mensual de interés ¿Cuál es el valor de las cuotas depositadas?

13. Resolver el problema anterior si las cuotas fueran adelantadas.14. Se depositan mensualmente y en forma adelantada $132,44 y se quiere formar un capital de

$7.895,40 ¿Qué tiempo se deben realizar los depósitos para obtener dicho capital si se le aplica el3% bimestral de interés?

15. Una persona obtiene después de un año de depósitos mensuales y adelantados la suma de $9.730.¿Si la entidad financiera otorga el 15% anual de interés, cuál es el valor de la cuota?

16. Resolver el problema anterior con una cuota vencida.

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RENTAS CIERTAS TEMPORARIAS ANTICIPADAS CON VALUACIÓN ANTES DE LAÉPOCA DE FINALIZACIÓN DE LOS PAGOS (t<n)

Por definición, las rentas anticipadas, son aquellas en donde la iniciación de las mismas esanterior a la época de valuación.

Ahora, esta renta se la debe estudiar con respecto a la diferencia de tiempo entre la valuación yla finalización de la renta.


En este caso en particular, la valuación es anterior a la época de finalización de la renta y paraestudiarla podemos hacer el siguiente diagrama:

Esto significa que durante los “n” períodos se realizan depósitos hasta que finaliza la renta (hastaallí es una imposición), luego hay “t” períodos donde esta imposición se actualiza hasta llegar a la épocade valuación. Teniendo en cuenta este razonamiento se pueden obtener las fórmulas para la rentaanticipada con valuación anterior a la época de finalización.

RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON VALUACIÓN ANTES DE LA ÉPOCADE FINALIZACIÓN DE PAGOS (t<n)

De acuerdo al razonamiento realizado anteriormente, durante los “n” períodos se forma unaimposición y que en este caso es vencida. Luego esa imposición se actualiza por “t” períodos, lo quesignifica matemáticamente que:

tiinCStinCS)1(),,(),,,(

Reemplazando por la fórmula de la imposición, se tiene la de la renta temporaria vencida convaluación antes de la época de finalización:

t

n

iiiCtinCS)1.(1)1(·),,,(




n períodos

Se efectúan depósitos

Se actualiza por tperíodos

15

Que es lo mismo que:

tn

iiiCtinCS

)1·(1)1(·),,,(

Donde S(C,n,i,-t) es la renta temporaria anticipada vencida con cuota “C”, tasa “i”, “n” períodos,valuada “t” períodos antes de la finalización de la misma.

Por ejemploSe realizan 11depósitos de $150 al final de cada mes con el 25% anual de interés y se quiere

saber cuál será la renta de las 11 cuotas en la cuota 8.

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$150 vencidaR=25% anual R=25%:12 mensual R=2,08% mensual i=0,0208T=11 meses n=11t=3 (ya que 11 – 8 =3)

IncógnitaS(C,n,i,-t)=?

Para calcular esta renta hacemos:

3

11

)0208,01.(0208,01)0208,01(·150$),,,(

)1.(1)1(·),,,(

tinCSiiiCtinCS t

n

Y resolviendo, se tiene:

12,723.1$),,,( tinCS

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CONVALUACIÓN ANTES DE LA FINALIZACIÓN DE PAGOS (t<n)

Para obtener las fórmulas derivadas de la renta temporaria anticipada vencida con valuaciónantes de la finalización de la misma, se debe tener en cuenta la fórmula principal, o sea:

t

n

iiiCtinCS)1.(1)1(·),,,(

ó tn

iiiCtinCS

)1·(1)1(·),,,(

LA CUOTA VENCIDA EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA CON t<n


t

n

iiiCtinCS)1.(1)1(·),,,(

16

Pasando factores y divisores y obtenemos la fórmula para calcular la cuota:

1)1()1(),,,(

n

t

iiitinCSC

Por ejemplo:Durante 14 meses se hicieron depósitos vencidos en una entidad financiera. Faltando 4 meses

para el último depósito, se obtiene una renta de $2.300,55. ¿Cuál será el valor de cada depósito si laentidad financiera otorga el 5% cuatrimestral de interés?DatosCapitalización: mensual y compuestaT=14 meses n=14t=4S(C,n,i,-t)=$2.300,55R=5% cuatrimestral R=5%:4 mensual R=1,25% mensual i=0,0125

IncógnitaC=?

Calculamos la cuota vencida de esta renta de la siguiente forma:

1)0125,01()0125,01(0125,055,300.2$

1)1()1(),,,(

14

4

Ci

iitinCSC n

t

Resolviendo obtenemos el valor de dicha cuota:

10,159$C

EL NÚMERO EN LA PERÍODOS DE LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON t<n


t

n

iiiCtinCS)1.(1)1(·),,,(

Pasamos al primer miembro la cuota, la tasa, la potencia “t” del binomio 1+i, se tiene:

1)1()1(),,,(

nt

iC

iitinCS

Pasando el -1 y sacando común denominador, queda:

CCiitinCSi

tn

)1(),,,()1(

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Ahora tomamos logaritmo en ambos miembros, o sea:

CCiitinCSi

tn

)1(),,,(log)1log(

Aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

CCtiitinCSin log)1(),,,(log)1log(

Y despejando el número de períodos se obtiene la fórmula deseada:

)1log(

log)1(),,,(log

i

CCtiitinCSn

Por ejemplo:¿Durante qué tiempo se deben hacer los depósitos vencidos de $158,45 para que faltando 3

meses se obtenga una renta de $1.895,52; sabiendo que el banco otorga el 6% cuatrimestral de interés?

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$158,45 vencidat=3 mesesS(C,n,i,-t)=$1.895,52R=6% cuatrimestral R=6%:4 mensual R=1,5% mensual i=0,015

Incógnitan=?

Calculamos el número de períodos usando la fórmula demostrada últimamente, o sea:

)1log(

log)1(),,,(log

i

CCtiitinCSn

Reemplazando, queda:

)015,01log(45,158$log)45,158$)015,01(015,052,895.1log($ 3

n

Resolviendo, se tiene la respuesta:

mesesn 55,11

Esto significa que 11 cuotas que se pagan son de $158,45 y una más de:

15,87$55,045,158$ C

18

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON t<n


t

n

iiiCtinCS)1.(1)1(·),,,(

Pasamos la potencia “t” del binomio 1+i al primer miembro y la renta al segundo, o sea:

),,,(.

1)1(.)1(

tinCSi

niCti

Ahora tomamos logaritmos en ambos miembros, queda:

),,,(.

1)1(.log)1log(

tinCSi

niCti


),,,(loglog1)1(loglog)1log(. tinCSiniCit

Despejando la diferencia de tiempo se llega a la fórmula deseada:

)1log(

),,,(loglog1)1(loglog

i

tinCSiniCt

Por ejemplo:Se desea saber qué tiempo antes de la última cuota bimestral vencida de $255,30 se debe valuar

la renta para obtener $3.600; sabiendo que la institución financiera otorga el 24% anual de interés si losdepósitos se hacen durante 2 años.

DatosCapitalización: bimestral y compuestaC=$255,30 vencidaS(C,n,i,-t)=$3.600T=2 años n=2x6 bimestres n=12 bimestresR=24% anual R=24%:6 bimestral R=4% bimestral i=0,04

Incógnitat=?

19

Calculamos la diferencia de tiempo con:

)1log(

),,,(loglog1)1(loglog

i

tinCSiniCt


)04,01log(

600.3$log04,0log112)04,01(log30,255$log

t

Resolviendo, se tiene:

bimestrest 59,1

RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON VALUACIÓN ANTES DE LAÉPOCA DE FINALIZACIÓN DE PAGOS (t<n)

De acuerdo al razonamiento realizado anteriormente, durante los “n” períodos se forma unaimposición y que en este caso es adelantada. Luego esa imposición se actualiza por “t” períodos, lo quesignifica matemáticamente que:

tiinCStinCS)1(),,('),,,('

Reemplazando por la fórmula de la imposición, se tiene la de la renta temporaria adelantada convaluación antes de la época de finalización:

t

n

iiiiCtinCS)1.(1)1()·1.(),,,('


tn

iiiCtinCS

1)1·(1)1(·),,,('

Donde S’(C,n,i,-t) es la renta temporaria anticipada adelantada con cuota “C”, tasa “i”, “n” períodos,valuada en “t” períodos antes de la finalización de la misma.

Por ejemploSe realizan 11 depósitos de $150 al inicio de cada mes con el 25% anual de interés y se quiere

saber cuál será la renta de las 11 cuotas en la cuota 8.

20

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$150 adelantadaR=25% anual R=25%:12 mensual R=2,08% mensual i=0,0208T=11 meses n=11t=3 (ya que 11 – 8 =3)

IncógnitaS’(C,n,i,-t)=?


t

n

iiiiCtinCS)1.(1)1()·1.(),,,('

3

11

)0208,01.(0208,01)0208,01()·0208,01.(150$),,,(

tinCS


02,759.1$),,,( tinCS

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADACON VALUACIÓN ANTES DE LA FINALIZACIÓN DE PAGOS (t<n)

Para obtener las fórmulas derivadas de la renta temporaria anticipada adelantada con valuaciónantes de la finalización de la misma, se debe tener en cuenta la fórmula principal, o sea:

t

n

iiiiCtinCS)1.(1)1()·1.(),,,('

ó tn

iiiCtinCS

1)1·(1)1(·),,,('

LA CUOTA ADELANTADA EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA CON t<n


t

n

iiiiCtinCS)1.(1)1()·1.(),,,('

Pasando factores y divisores y obtenemos la fórmula para calcular la cuota:

1)1().1(

)1(),,,('nii

tiitinCSC

21

Por ejemplo:Durante 14 meses se hicieron depósitos adelantados en una entidad financiera. Faltando 4 meses

para el último depósito, se obtiene una renta de $2.300,55. ¿Cuál será el valor de cada depósito si laentidad financiera otorga el 5% cuatrimestral de interés?

DatosCapitalización: mensual y compuestaT=14 meses n=14t=4S’(C,n,i,-t)=$2.300,55R=5% cuatrimestral R=5%:4 mensual R=1,25% mensual i=0,0125

IncógnitaC=?

Calculamos la cuota adelantada de esta renta de la siguiente forma:

114)0125,01().0125,01(

4)0125,01(0125,055,300.2$

1)1().1(

)1(),,,(' Cnii

tiitinCSC

Resolviendo obtenemos el valor de dicha cuota:

14,157$C

EL NÚMERO EN LA PERÍODOS DE LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CONt<n


t

n

iiiiCtinCS)1.(1)1()·1.(),,,('

Pasamos al primer miembro la cuota, 1+i, la tasa, la potencia “t” del binomio 1+i, se tiene:

1)1()1.(

)1(),,,('

n

t

iiC

iitinCS

Pasando el -1 y sacando común denominador, queda:

)1.()1.()1(),,,(')1(

iCiCiitinCSi

tn


)1.()1.()1(),,,('log)1log(

iCiCiitinCSi

tn

22


)1log(log)1.()1(),,,('log)1log( iCiCiitinCSin t

Y despejando el número de períodos se obtiene la fórmula deseada:

)1log(

)1log(log)1.()1(),,,('log

i

iCiCtiitinCSn

Por ejemplo:¿Durante qué tiempo se deben hacer los depósitos adelantados de $158,45 para que faltando 3

meses se obtenga una renta de $1.895,52; sabiendo que el banco otorga el 6% cuatrimestral de interés?

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$158,45 adelantadat=3 mesesS(C,n,i,-t)=$1.895,52R=6% cuatrimestral R=6%:4 mensual R=1,5% mensual i=0,015

Incógnitan=?

Calculamos el número de períodos usando la fórmula demostrada últimamente, o sea:

)1log(

)1log(log)1.()1(),,,('log

i

iCiCtiitinCSn


)015,01log(

)015,01log(45,158$log)015,01.(45,158$3)015,01(015,052,895.1$log

n

Resolviendo, se tiene la respuesta:

mesesn 39,11

Esto significa que 11 cuotas son de $458,45 y una más de:

80,61$39,045,158$ C

23

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON t<n


t

n

iiiiCtinCS)1.(1)1()·1.(),,,('

Pasamos la potencia “t” del binomio 1+i al primer miembro y la renta al segundo, o sea:

),,,('.

1)1().1.()1(

tinCSi

niiCti

Ahora tomamos logaritmos en ambos miembros, queda:

),,,('.

1)1().1.(log)1log(

tinCSi

niiCti


),,,('loglog1)1(log)1log(log)1log(. tinCSiniiCit

Despejando la diferencia de tiempo se llega a la fórmula deseada:

)1log(

),,,('loglog1)1(log)1log(log

i

tinCSiniiCt

Por ejemplo:Se desea saber qué tiempo antes de la última cuota bimestral adelantada de $255,30 se debe

valuar la renta para obtener $3.600; sabiendo que la institución financiera otorga el 24% anual de interéssi los depósitos se hacen durante 2 años.

DatosCapitalización: bimestral y compuestaC=$255,30 adelantadaS(C,n,i,-t)=$3.600T=2 años n=2x6 bimestres n=12 bimestresR=24% anual R=24%:6 bimestral R=4% bimestral i=0,04

Incógnitat=?


)1log(

),,,('loglog1)1(log)1log(log

i

tinCSiniiCt

24


)04,01log(

600.3$log04,0log112)04,01(log)04,01log(30,255$log

t


bimestrest 62,2


1. Una persona deposita al final de cada bimestre $205,20 con el 3% trimestral de interés. Se quieresaber la renta que se obtendrá con 24 depósitos pero en el depósito 15.-

2. Resolver el problema anterior pero con cuota adelantada.3. ¿Cuál será la cuota mensual adelantada que tendrá que depositar una persona durante 2 años si

quiere tener una renta, con respecto a todos los depósitos, de $3.520,31 faltando 6 meses para lafinalización de la misma y con un interés anual del 26%?

4. Resolver el problema anterior pero con cuota vencida.5. ¿Cuántas cuotas bimestrales vencidas de $100 se deben depositar un inversionista si quiere

obtener una renta, de todos los depósitos, de $2.564 valuada 6 meses antes de la finalización de lamisma y con un interés semestral del 14%?

6. Resolver el problema anterior pero para cuotas adelantadas.7. Un inversionista deposita al final de los 30 meses la suma de $120, otorgando el banco el 6%

trimestral de interés, obteniendo una renta de $3.620,47 de todos los depósitos, pero valuada antesdel vencimiento. ¿Cuál será la diferencia de tiempo?

8. Resolver el problema anterior pero con cuota adelantada.9. Una persona deposita al final de cada mes y durante 1 año la suma de $130,45 con un interés del

3% bimestral. Se quiere saber:a. La renta de todos los depósitos a la cuota 8b. La renta de todos los depósitos a la cuota 10c. La renta al finalizar los depósitos.

10. Resolver el problema anterior pero con cuota adelantada.

LAS RENTAS TEMPORARIAS CIERTAS ANTICIPADAS CON VALUACIÓN POSTERIOR ALA ÉPOCA DE FINALIZACIÓN DE LA MISMA (t>n)

Por definición, las rentas anticipadas, son aquellas en donde la iniciación de la misma es anteriora la época de valuación.

Ahora, esta renta se la debe estudiar con respecto a la diferencia de tiempo entre la valuación yla finalización de la renta.

25


En este caso en particular, la valuación es posterior a la época de finalización de la renta y paraestudiarla podemos hacer el siguiente diagrama:

Esto significa que durante los “n” períodos se realizan depósitos o pagos hasta que finaliza la renta(hasta allí es una imposición), luego hay “t” períodos donde esta imposición se capitaliza hasta llegar a laépoca de valuación. Teniendo en cuenta este razonamiento se pueden obtener las fórmulas para la rentaanticipada con valuación posterior a la época de finalización.

RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON VALUACIÓN DESPUÉS DE LAÉPOCA DE FINALIZACIÓN DE PAGOS (t>n)

De acuerdo al razonamiento realizado anteriormente, durante los “n” períodos se forma unaimposición y que en este caso es vencida. Luego esa imposición se capitaliza por “t” períodos más, loque significa matemáticamente que:

tiinCStinCS )1(),,(),,,(

Reemplazando por la fórmula de la imposición, se tiene la de la renta temporaria vencida convaluación después de la época de finalización:

tn

iiiCtinCS )1·(1)1(·),,,(

Donde S(C,n,i,t) es la renta temporaria anticipada vencida con cuota “C”, tasa “i”, “n” períodos,valuada en “t” períodos después de la finalización de la misma.




n períodos


No se efectúandepósitos pero se

capitaliza

26

Por ejemplo:Una persona deposita al final de cada mes $250 durante un año con el 3% bimestral de interés.

Calcular cuál será el total obtenido si lo retira del depósito 4 meses después de haber pagado odepositado la última cuota.

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$250 vencidaT=1 año n=1x12 meses n=12R=3% bimestral R=3%:2 mensual R=1,5% mensual i=0,015t=4

IncógnitaS(C,n,i,t)=?Para calcular esta renta hacemos:

412

)015,01·(015,0)015,01(·250$),,,()1·(1)1(·),,,(

tinCSi

iiCtinCS tn

Resolviendo:37,460.3$),,,( tinCS

LAS FORMULAS DERIVADAS DE LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CONt>n

Partiendo de la fórmula principal de la renta temporaria anticipada vencida con t>n, podemosdespejar y obtener las fórmulas derivadas.-

LA CUOTA VENCIDA EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA CON t>n

Partimos de la fórmula principal, o sea:

tn

iiiCtinCS )1·(1)1(·),,,(

Hacemos un pasaje de factores y divisores, queda:

1)1(.)1(

),,,(niti

itinCSC

Por ejemplo:Una persona deposita al final de cada bimestre y durante 2 años, una cierta suma de dinero, el

cual después de 5 bimestres del último depósito obtiene una suma de $5.389,44. ¿Cuál es el valor decada depósito si la entidad financiera otorga el 8% cuatrimestral de interés?

DatosCapitalización: bimestral y compuestaT=2 años n=2x6 bimestres n=12t=5S(C,n,i,t)=$5.389,44R=8% cuatrimestral R=8%:2 bimestral R=4% bimestral i=0,04

27

IncógnitaC=?

Para calcular la cuota en este problema, usamos la fórmula demostrada últimamente, o sea:

81.294$112)02,01(.5)02,01(

02,044,389.5$

1)1(.)1(

),,,(

CC

niti

itinCSC

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON t>n


tn

iiiCtinCS )1·(1)1(·),,,(

Pasamos la cuota, la tasa y la potencia “t” del binomio 1+i, se tiene:

1)1()1.(),,,(

nt iiCitinCS

Pasamos ahora el -1, sacamos común denominador, se tiene:

t

tn

iCiCitinCSi

)1.()1.().,,,()1(

Y tomando logaritmo en ambos miembros, queda:

t

tn

iCiCitinCSi

)1.()1.().,,,(log)1log(

Y aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

)1log(.log)1.().,,,(log)1log(. itCiCitinCSin t

Ahora despejamos el número de períodos:

)1log(

)1log(.log)1.().,,,(log

i

itCtiCitinCSn

Por ejemplo:Una persona deposita al final de cada mes $420. Una vez terminado los depósitos, retira un total

de $3.256,44 después de 4 meses ¿Cuál es el valor de cada depósito si la institución financiera otorga el25% anual de interés?

28

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$420 vencidaS(C,n,i,t)=$3.256,44t=4R=25% anual R=25%:12 mensual R=2,08% mensual i=0,0208

Incógnitan=?

Para calcular el número de períodos, hacemos:

)1log(

)1log(.log)1.().,,,(log

i

itCtiCitinCSn

Reemplazando por los valores, tenemos:

)0208,01log(

)0208,01log(.4420$log4)0208,01.(420$0208,044,256.3$log

n

Y resolviendo:

mesesn 73,6

Esto significa que durante 6 meses las cuotas serán de $420, pero existe un período más donde la cuotaserá:

60,306$73,0420$ C

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA VENCIDA CON t>n

Nuevamente, partimos de la fórmula principal, o sea:

tn

iiiCtinCS )1·(1)1(·),,,(

Hacemos un pasaje de factores y divisores despejando la potencia “t” de 1+i, se tiene:

1)1(.

),,,()1(tiC

itinCSti

Tomamos logaritmo en ambos miembros, o sea:

1)1(.

),,,(log)1log(niC

itinCSti

29


1)1(logloglog),,,(log)1log(. niCitinCSit

Y despejando la diferencia de tiempo, llegamos a la fórmula deseada:

)1log(

1)1(logloglog),,,(log

i

niCitinCSt

Por ejemplo:Durante 2 años una persona deposito al final de cada mes $120 ¿Después de qué tiempo de

haber hecho el último depósito, debe retirar el dinero si quiere tener $6.322,15, sabiendo que la entidadfinanciera otorga el 26% anual de interés?

DatosCapitalización: mensual y compuestaT=2 años n=2x24 meses n=48C=$120 vencidaS(C,n,i,t)=$6.322,15R=26% anual R=26%:12 mensual R=2,16% mensual i=0,0216

Incógnitat=?Calculamos la diferencia de tiempo, o sea:

)1log(

1)1(logloglog),,,(log

i

niCitinCSt

Reemplazamos y se tiene:

)0216,01log(

124)0216,01(log120$log0216,0log15,322.6$log

t

O sea que:

mesest 67,24

RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON VALUACIÓN POSTERIOR A LAÉPOCA DE FINALIZACIÓN DE PAGOS (t>n)

De acuerdo al razonamiento realizado anteriormente, durante los “n” períodos se forma unaimposición y que en este caso es adelantada. Luego esa imposición se capitaliza por “t” períodos más, loque significa matemáticamente que:

tiinCStinCS )1(),,('),,,('

30

Reemplazando la imposición, tenemos la fórmula deseada:

tn

iiiiCtinCS )1·(1)1()·1(),,,('

Donde S’(C,n,i,t) es la renta temporaria anticipada adelantada con cuota “C”, tasa “i”, “n” períodos,valuada en “t” períodos después de la finalización de la misma.

Por ejemplo:Una persona deposita al inicio de cada mes $250 durante un año con el 3% bimestral de interés.

Calcular cuál será el total obtenido si lo retira del depósito 4 meses después de haber pagado odepositado la última cuota.

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$250 adelantadaT=1 año n=1x12 meses n=12R=3% bimestral R=3%:2 mensual R=1,5% mensual i=0,015t=4IncógnitaS’(C,n,i,t)=?


tn

iiiiCtinCS )1·(1)1()·1.(),,,('

412

)015,01·(015,0)015,01()·015,01.(250$),,,('

tinCS

Resolviendo:

27,512.3$),,,(' tinCS

LAS FORMULAS DERIVADAS DE LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADACON t>n

Partiendo de la fórmula principal de la renta anticipada adelantada con t>n, podemos despejar yobtener las fórmulas derivadas.-

LA CUOTA ADELANTADA EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA CON t>n

Partimos de la fórmula principal, o sea:

tn

iiiiCtinCS )1·(1)1()·1.(),,,('

31

Hacemos un pasaje de factores y divisores y aplicamos producto de potencias de igual base,queda:

1)1(.1)1(

),,,('niti

itinCSC

Por ejemplo:Una persona deposita al inicio de cada bimestre y durante 2 años, una cierta suma de dinero, el

cual después de 5 bimestres del último depósito obtiene una suma de $5.389,44. ¿Cuál es el valor decada depósito si la entidad financiera otorga el 8% cuatrimestral de interés?

DatosCapitalización: bimestral y compuestaT=2 años n=2x6 bimestres n=12t=5S’(C,n,i,t)=$5.389,44R=8% cuatrimestral R=8%:2 bimestral R=4% bimestral i=0,04

IncógnitaC=?

Para calcular la cuota en este problema, usamos la fórmula demostrada últimamente, o sea:

47,283$112)02,01(.15)02,01(

02,044,389.5$

1)1(.1)1(

),,,('

CC

niti

itinCSC

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON t>n


tn

iiiiCtinCS )1·(1)1()·1.(),,,('

Pasamos la cuota, el binomio 1+i, la tasa y la potencia “t” del binomio 1+i y aplicamos potencia deotra potencia, se tiene:

1)1()1.(),,,('1

nt iiC

itinCS

Pasamos ahora el -1 y sacamos común denominador, se llega a:

1

1

)1.()1.().,,,(')1(

t

tn

iCiCitinCSi

Y tomando logaritmo en ambos miembros, queda:

1

1

)1.()1.().,,,('log)1log(

t

tn

iCiCitinCSi

32


)1log().1(log1)1.().,,,('log)1log(. itCtiCitinCSin

Ahora despejamos el número de períodos:

)1log(

)1log().1(log1)1.().,,,('log

i

itCtiCitinCSn

Por ejemplo:Una persona deposita al inicio de cada mes $420. Una vez terminado los depósitos, retira un total

de $3.256,44 después de 4 meses ¿Cuál es el valor de cada depósito si la institución financiera otorga el25% anual de interés?

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$420 adelantadaS’(C,n,i,t)=$3.256,44t=4R=25% anual R=25%:12 mensual R=2,08% mensual i=0,0208

Incógnitan=?

Para calcular el número de períodos, hacemos:

)1log(

)1log().1(log1)1.().,,,('log

i

itCtiCitinCSn

Reemplazando por los valores, tenemos:

)0208,01log(

)0208,01log().14(420$log14)0208,01.(420$0208,044,256.3$log

n

Y resolviendo:

mesesn 60,6

Esto significa que 6 cuotas serán de $420, una más de:

252$60,0420$ C

33

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA TEMPORARIA ANTICIPADA ADELANTADA CON t>n

Nuevamente, partimos de la fórmula principal, o sea:

tn

iiiiCtinCS )1·(1)1()·1.(),,,('

Hacemos un pasaje de factores y divisores despejando la potencia “t” de 1+i, se tiene:

1)1().1.(

),,,(')1(tiiC

itinCSti

Tomamos logaritmo en ambos miembros, o sea:

1)1().1.(

),,,('log)1log(niiC

itinCSti


1)1(log)1log(loglog),,,('log)1log(. niiCitinCSit

Y despejando la diferencia de tiempo, llegamos a la fórmula deseada:

)1log(

1)1(log)1log(loglog),,,('log

i

niiCitinCSt

Por ejemplo:Durante 2 años una persona deposito al inicio de cada mes $120 ¿Después de qué tiempo de

haber hecho el último depósito, debe retirar el dinero si quiere tener $6.322,15, sabiendo que la entidadfinanciera otorga el 26% anual de interés?

DatosCapitalización: mensual y compuestaT=2 años n=2x24 meses n=48C=$120 adelantadaS’(C,n,i,t)=$6.322,15R=26% anual R=26%:12 mensual R=2,16% mensual i=0,0216Incógnitat=?

Calculamos la diferencia de tiempo, o sea:

)1log(

1)1(log)1log(loglog),,,('log

i

niiCitinCSt

34

Reemplazamos y se tiene:

)0216,01log(

124)0216,01(log)0216,01log(120$log0216,0log15,322.6$log

t

O sea que:

mesest 67,23


1. ¿Durante qué tiempo se deben hacer un depósito mensual vencido de $130 para obtener una rentade $2.340, sabiendo que se valúan 7 meses después del último depósito, otorgando la entidadfinanciera el 30% anual de interés?

2. Resolver el problema anterior con cuota adelantada.3. ¿Cuál será el total que retira una persona después de 8 meses del último depósito mensual

adelantado de $230, sabiendo que lo hizo durante un año y medio, pagando la institución financierael 7% trimestral de interés?

4. Resolver el problema anterior con depósitos vencidos.5. ¿Qué cuota se tendrá que depositar trimestralmente y vencida durante 2 años si se quiere obtener

$3.560 después de 9 trimestres de haberse depositado la última, sabiendo que la entidad financieraotorga el 8% cuatrimestral de interés?

6. Resolver el problema anterior con cuota adelantada.7. ¿Después de qué tiempo de haberse depositado la última cuota vencida de $150 mensual, se puede

obtener $4.218, si se sabe que la entidad financiera otorga el 8% semestral de interés y si losdepósitos se hicieron durante un año y medio?

8. Resolver el problema anterior con cuota adelantada.9. El Señor Julio Castro deposita en forma mensual y vencida $162 durante 10 meses. Luego de la

última cuota, deja su capital en el banco por 6 meses más otorgando dicha institución financiera el25% anual de interés. Se pide:a. El total de dinero retirado al final de los tiempos antes mencionados.b. Si éste luego lo presta para ser devueltos en 10 meses más ¿Cuál será la ganancia obtenida si

cobra el 30% anual de interés y con capitalización mensual y compuesta?c. Ese total obtenido lo vuelve a prestar por 5 meses y lo documenta con el 10% de interés

compuesto y trimestral y capitalización mensual. ¿Cuánto le devolverán al final del plazoestipulado?

d. Si el deudor paga el documento 2 meses antes de su vencimiento sufre un descuento comercialcompuesto del 1,5% mensual con actualización mensual y compuesta. ¿Cuál será el descuentorealizado y el valor devuelto?

10. Una persona deposita en forma mensual y adelantada $204 durante un año y medio otorgando lainstitución financiera el 4% trimestral de interés. Después de 7 meses del último depósito lo retira.Se pide:a. El total de dinero retirado al final de los tiempos estipulados.b. El total de dinero que le devolvieron después de 5 meses de haber prestado dicha suma con el

3% mensual de interés y con capitalización simple y mensual.c. Después de esta última operación financiera, toma la mitad y lo coloca en un plazo fijo de 60

días con el 30% anual de interés y capitalización mensual y compuesta ¿Cuál es la gananciaobtenida y el total de dinero devuelto?

d. La otra mitad lo presta con el 5% bimestral de interés para ser devuelto en 10 meses,documentándolo con una cláusula del 1,5% mensual de descuento comercial compuesto. ¿Cuáles el valor nominal del documento?

35

e. El deudor abona la deuda 3 meses antes de su vencimiento ¿Cuál es el valor que devuelve y eldescuento realizado?

11. Después de 5 meses del último depósito mensual vencido, una inversionista retira de un banco$4.532,66. Si se sabe que la entidad financiera otorga el 3% bimestral de interés. Se pide:a. El valor de las 23 cuotas depositadas.b. El dinero obtenido en la cuota 20.c. El dinero que retiraría si lo dejara 2 meses más.

RENTAS CIERTAS PERPETUAS ANTICIPADAS

Por definición, las rentas anticipadas, son aquellas en donde la iniciación de las mismas esanterior a la época de valuación.

Para las rentas ciertas anticipadas, existen tres casos diferentes: La valuación coincida con la terminación de la renta: este caso no es compatible con las rentas

perpetuas, ya que éstas últimas no tienen finalización. La valuación es posterior a la finalización de la renta: este caso tampoco es posible por la misma

razón anterior. La valuación es anterior a la finalización de la renta: este caso es posible en las rentas

anticipadas ya que n, o sea que t<n.-

Para estudiar esta renta analizamos la siguiente gráfica:

Desde el momento de iniciación, se realizan depósitos por infinitos períodos, pero la valuación sehace en el período “t”, por lo tanto, desde la iniciación hasta la valuación existe una capitalización poresos “t” períodos

DIFERENCIA DE TIEMPO (Definición)En la renta anticipada perpetua, se llama diferencia de tiempo a los períodos existentes entre la épocade iniciación y la época de valuación y se la representa con la “t”.


InfinitosPeríodos


∞ Períodos


Se capitaliza por tperíodos

36

LA RENTA CIERTA PERPETUA ANTICIPADA VENCIDA

Demostramos esta renta partiendo de la idea que en el momento de valuación se inicia la renta,que luego se capitaliza en los “t” períodos, o sea:

Períodos1º 2º 3º ………… n-1 n n+1 …..

........)1(

)1(

)1(

..........)1(

)1(

1

1

1

3

2

n

n

n

iCiCiC

iCiCiC

Al final del período t+1, la cuota se actualiza por un período, o sea:

iCVt

11

Al final del período t+2, la cuota se actualiza por dos períodos, o sea:

22 )1( iCVt

Al final del período t+3, la cuota se actualiza por tres períodos, o sea:

33 )1( iCVt

Así seguimos hasta el final del período t+n-1, donde la cuota se actualiza por n-1 períodos, o sea:

11 )1( nnt i

CV

37

Seguimos hasta el período t+n, donde la cuota se actualiza por n períodos, o sea:

ntn iCV)1(

En el final del período t+n+1, la cuota se actualiza por n+1 períodos, o sea:

11 )1( nnt i

CV

Así seguimos por infinitos períodos, siendo la suma de estos capitales financieros la renta, la quedenotando con S(C,,i), o sea:

...

)1()1()1(...

)1()1(1.)1(),,( 1132 nnnt

iC

iC

iC

iC

iC

iCiiCS

Y sacando factor común la cuota (C), queda:

...11

11

11...

11

11

11..)1(),,(

1132 nnnt

iiiiiiCiiCS

Teniendo en cuenta que cualquier serie geométrica decreciente de términos infinitos y de razón“q”, primer término “a1”, su suma está dado por:

qqaSn

n

11·lim 1

Lo que está en el corchete es una serie infinita decreciente de razóni11

, cuya suma está dada

por lo siguiente:

i

ii

CiiCS

n

n

t

111

111

·11lim..)1(),,(

Y aplicando las propiedades de los límites, se tiene:

i

ii

CiiCS

n

nt

111

11lim1

·11..)1(),,(

38

Ahora, como:

011lim1

110

n

n ii

Por lo que:

ii

CiiCS t

111

01·11..)1(),,(

Ahora sacamos común denominador 1+i, o sea:

iii

CiiCS t

111

1·11..)1(),,(

Ahora, cancelando 1 y -1 queda:

iii

CiiCS t

1

1·11..)1(),,(

Y simplificando el 1+i, se tiene la fórmula que permite calcular la renta perpetua anticipadavencida, o sea:

tii

CiCS )1·(1·),,(

Por ejemplo:Una persona deposita de por vida $120 al final de cada mes con una tasa del 5% trimestral de

interés. Si los depósitos se valúan al 8º mes de haber iniciado los depósitos, ¿Cuál será la renta queobtendrá?

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$120 vencidaR=5% trimestral R=1,66% mensual i=0,0166t=8

IncógnitaS(C,,i)=?

Para calcular esta renta usamos la fórmula últimamente demostrada:

8)0166,01·(0166,01·120$),,()1·(1·),,( iCSi

iCiCS t

91,217.8$),,( iCS

39

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA PERPETUA ANTICIPADA VENCIDA

Para obtener las fórmulas derivadas, tenemos que despejarlas de la fórmula principal, o sea:

tii

CiCS )1·(1·),,(

LA CUOTA VENCIDA EN LA RENTA PERPETUA ANTICIPADA

Pasando la tasa y la potencia “t” de 1+i, se tiene la fórmula para calcular la cuota vencida en larenta anticipada:

( , , )1 t

S C i iCi

Por ejemplo:Una persona desea saber cuál será la cuota vencida mensual que tendrá que depositar si quiere

obtener una renta de $7.532,55, valuada 10 meses después de la primera cuota y sabiendo que laentidad financiera otorga el 3% bimestral de interés.

DatosCapitalización: mensual y compuestaS(C,,i)=$7.532,55t=10 mesesR=3% bimestral R=1,5% mensual i=0,015

IncógnitaC=?

La cuota vencida que pide el problema se la calcula con la última fórmula demostrada, o sea:

36,97$)015,01(015,055,532.7$

)1(),,(

10

CCiiiCSC t

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA PERPETUA ANTICIPADA VENCIDA


tii

CiCS )1·(1·),,(

Pasamos la cuota y la tasa al primer miembro, queda:

CiiCSi t

),,()1(

Y tomando logaritmo en ambos miembros, se tiene:

CiiCSi t

),,(log)1log(

40

Ahora aplicamos las propiedades de los logaritmos, o sea:

CiiCSit loglog),,(log)1log(.

Despejando la diferencia de tiempo, queda la fórmula deseada:

log ( , , ) log loglog(1 )

S C i i Cti

Por ejemplo:¿Cuál será la cantidad de meses, desde la iniciación, que se debe valuar una renta de $7.520,79,

sabiendo que los depósitos mensuales y vencidos de $140,10 y la institución financiera otorga el 5%cuatrimestral de interés?

DatosCapitalización: mensual y compuestaS(C,,i)=$16.678,97C=$140,10 vencidaR=5% cuatrimestral R=5%:4 R=1,25 i=0,0125

Incógnitat=?

Calculamos la diferencia de tiempo de la siguiente forma:

)0125,01log(10,140$log0125,0log97,678.16$log

)1log(loglog),,(log

t

iCiiCSt

Resolviendo se tiene:

mesest 12,32

41

LA RENTA CIERTA PERPETUA ANTICIPADA ADELANTADA

Para poder demostrar la fórmula recurriremos al siguiente gráfico:

MI Períodos1º 2º 3º ………… n-1 n n+1 …..

.........)1(

)1(

)1(

..........)1(

1

1

2

2

n

n

n

iCiCiC

iCiCC

Demostramos esta renta partiendo de la idea que en el momento de valuación se inicia la renta,que luego se capitaliza en los “t” períodos, o sea:

Al inicio del período t+1, la cuota no se actualiza, o sea:

CVt 1

Al inicio del período t+2, la cuota se actualiza por un período, o sea:

iCVt

12

Al inicio del período t+3, la cuota se actualiza por dos períodos, o sea:

23 )1( iCVt

Así seguimos hasta el inicio del período t+n-1, donde la cuota se actualiza por n-2 períodos, o sea:

21 )1( nnt i

CV

42

Seguimos hasta el inicio del período t+n, donde la cuota se actualiza por n-1 períodos, o sea:

1)1( nnt i

CV

En el inicio del período t+n+1, la cuota se actualiza por n períodos, o sea:

nnt iCV)1(1

Así seguimos por infinitos períodos donde la suma de estos capitales financieros constituyen larenta, la que denotando con S’(C,,i), o sea:

...

)1()1()1(...

)1()1(1.)1(),,(' 1232 nnnt

iC

iC

iC

iC

iC

iCCiiCS

Y sacando factor común la cuota (C), queda:

...11

11

11...

11

11

111..)1(),,('

1232 nnnt

iiiiiiCiiCS

Teniendo en cuenta que cualquier serie geométrica decreciente de términos infinitos y de razón“q”, primer término “a1”, su suma está dado por:

qqaSn

n

11·lim 1

Lo que está en el corchete es una serie infinita decreciente de razóni11

, cuya suma está dada

por lo siguiente:

i

iCiiCS

n

n

t

111

111

·1lim..)1(),,('

Y aplicando las propiedades de los límites, se tiene:

i

iCiiCS

n

nt

111

11lim1

..)1(),,('

43

Ahora, como:

011lim1

110

n

n ii

Por lo que:

i

CiiCS t

111

01..)1(),,('

Ahora sacamos común denominador 1+i, o sea:

ii

CiiCS t

111

1..)1(),,('

Ahora, cancelando 1 y -1 queda:

ii

CiiCS t

1

1..)1(),,('

Y resolviendo la fracción compleja, se tiene la fórmula que permite calcular la renta perpetuaanticipada adelantada, o sea:

tiiiCiCS )1·(1)·1.(),,('

Por ejemplo:Una persona deposita de por vida $120 al inicio de cada mes con una tasa del 5% trimestral de

interés. Si los depósitos se valúan al 8º mes de haber iniciado los depósitos, ¿Cuál será la renta queobtendrá?

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$120 adelantadaR=5% trimestral R=1,66% mensual i=0,0166t=8

IncógnitaS(C,,i)=?

Para calcular esta renta usamos la fórmula últimamente demostrada:

8)0166,01·(0166,01)·0166,01.(120$),,(')1·(1)·1.(),,(' iCSi

iiCiCS t

44


87,354.8$),,(' iCS

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA PERPETUA ANTICIPADA ADELANTADA

Para obtener las fórmulas derivadas, tenemos que despejarlas de la fórmula principal, o sea:

tiiiCiCS )1·(1)·1.(),,('

LA CUOTA ADELANTADA EN LA RENTA PERPETUA ANTICIPADA

Pasando la tasa, la potencia “t” de 1+i y 1+i, se tiene la fórmula para calcular la cuota adelantadaen la renta anticipada:

'( , , )(1 ).(1 )tS C i iCi i

Por ejemplo:Una persona desea saber cuál será la cuota adelantada mensual que tendrá que depositar si

quiere obtener una renta de $7.532,55, valuada 10 meses después de la primera cuota, sabiendo que laentidad financiera otorga el 3% bimestral de interés.

DatosCapitalización: mensual y compuestaS’(C,,i)=$7.532,55t=10 mesesR=3% bimestral R=1,5% mensual i=0,015

IncógnitaC=?

La cuota adelantada que pide el problema se la calcula con la última fórmula demostrada, o sea:

92,95$)015,01).(015,01(

015,055,532.7$)1).(1(),,('

10

CCiiiiCSC t

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA PERPETUA ANTICIPADA ADELANTADA


tiiiCiCS )1·(1)·1.(),,('

Pasamos la cuota, 1+i y la tasa al primer miembro, queda:

)1.(),,(')1(iCiiCSi t

45

Y tomando logaritmo en ambos miembros, se tiene:

)1.(),,('log)1log(iCiiCSi t

Ahora aplicamos las propiedades de los logaritmos, o sea:

)1log(loglog),,('log)1log(. iCiiCSit

Despejando la diferencia de tiempo, queda la fórmula deseada:

log '( , , ) log log log(1 )log(1 )

S C i i C iti

Por ejemplo:¿Cuál será la cantidad de meses, desde la iniciación, que se debe valuar una renta de $7.520,79,

sabiendo que los depósitos son mensuales y adelantados de $140,10 y la institución financiera otorga el5% cuatrimestral de interés?

DatosCapitalización: mensual y compuestaS’(C,,i)=$ 16.678,97C=$140,10 adelantadaR=5% cuatrimestral R=5%:4 R=1,25 i=0,0125

Incógnitat=?

Calculamos la diferencia de tiempo de la siguiente forma:

)1log()1log(loglog),,('log

iiCiiCSt

O sea que:

)0125,01log()0125,01log(10,140$log0125,0log97,678.16$log

t

Resolviendo se tiene:mesest 33


1. Se depositan al inicio de cada mes y de por vida la suma de $58,30 con el 5% trimestral. Se quieresaber la renta de todos los depósitos después de 2 años.

2. Resolver el problema anterior pero con cuota vencida.3. ¿Cuál será la cuota vencida mensual que tendrá que depositar en forma permanente una persona

que quiere obtener una renta del total de depósitos de $3.520 a los 3 años del inicio, sabiendo queel interés ganado es del 30% anual?

4. Resolver el problema anterior pero con cuota adelantada.5. ¿Después de qué tiempo una persona, que deposita permanentemente $198 mensual y vencida,

obtendrá una renta de $15.500 sabiendo que gana de intereses el 8% semestral?

46

6. Resolver el problema anterior pero con cuota adelantada.

LA RENTA CIERTA INMEDIATA

De acuerdo a lo estudiado, una renta es inmediata si la valuación coincide con la iniciación depagos. Por supuesto, las rentas inmediatas o Amortizaciones, pueden ser con cuotas vencidas oadelantadas.

Ahora, se llama amortización al procedimiento financiero que permite extinguir una deuda.Con el siguiente gráfico, visualizaremos como se valúa la renta inmediata:

Como la valuación se realiza al inicio de la renta, significa que todas las cuotas se actualizan; yteniendo en cuenta que la actualización de capitales se calcula con el factor correspondiente, o sea:

niCV)1(

LA RENTA TEMPORARIA INMEDIATA O AMORTIZACIÓN VENCIDA

Para poder demostrar la fórmula de la amortización vencida, recurriremos al siguiente gráfico:

MI=MV Períodos MF1º 2º 3º ………… n-1 n




n períodos


Se actualiza

2

3

1

1

(1 )

(1 )..........

(1 )

(1 )

n

n

CiCiCi

CiCi

47

Al final del período 1, la cuota se actualiza por un período, o sea:

iCV

11

Al final del período 2, la cuota se actualiza por dos períodos, o sea:

22 )1( iCV

Al final del período 3, la cuota se actualiza por tres períodos, o sea:

33 )1( iCV

Y Así seguimos hasta el final del penúltimo período, donde la cuota se actualiza por n – 1períodos, o sea:

11 )1( nn i

CV

Hasta llegar al último período, donde la cuota se actualiza por “n” períodos, o sea:

nn iCV)1(

Ahora, como sabemos, la renta es la suma de todos los capitales financieros y para el caso de laamortización vencida la denotaremos con V(C,n,i), por lo tanto:

nn VVVVVinCV 1321 ...),,(Y reemplazando, se tiene:

nn iC

iC

iC

iC

iCinCV

)1()1(...

)1()1(1),,( 132

Sacando factor común “C”, queda:

nn

iiiiiCinCV

11

11...

11

11

11.),,(

132

Ahora, lo que está en el corchete es una serie geométrica finita decreciente de razón

i11

.

48

En toda serie geométrica finita decreciente de razón q y primer término a1, la suma de todos lostérminos está dada por la siguiente fórmula:

qqaSn

11·1

Reemplazando, se tiene:

i

ii

CinCV

n

111

111

·11·),,(


iii

iCinCV

n

111)1(11

·11.),,(

Cancelando el 1 y el -1 y sacando común denominador, queda:

iiii

iCinCV

n

n

1

)1(1)1(

·11·),,(

Simplificando 1+i y resolviendo la fracción compleja se llega a la fórmula para calcular laamortización vencida:

n

n

iiiCinCV)1.(1)1(·),,(

Por ejemplo:Una persona adquiere un préstamo en un banco quien le cobra 24 cuotas mensuales vencidas de

$186,45, con el 25% anual de interés ¿Cuál es el valor del crédito?DatosCapitalización: mensual y compuestaT=24 meses n=24C=$186,45 vencidaR=25% anual R=25%:12 mensual R=2,08% mensual i=0,0208

IncógnitaV(C,n,i)=?

49

Con esta fórmula calculamos el valor a amortizar o valor real de la deuda, o sea:

24

24

)0208,01.(0208,01)0208,01(·45,186$),,(

)1.(1)1(·),,(

inCViiiCinCV n

n

44,493.3$),,( inCV

FÓRMULAS DERIVADAS DE LA AMORTIZACIÓN VENCIDA

Para obtener las fórmulas derivadas de la amortización vencida, debemos tener en cuenta lafórmula principal y luego despejar las deseadas, o sea:

n

n

iiiCinCV)1.(1)1(·),,(

LA CUOTA VENCIDA EN LA AMORTIZACIÓN

Partiendo de la fórmula principal de la amortización vencida, despejamos la cuota, queda:

1)1()1(),,(

n

n

iiiinCVC

Por ejemplo:Una persona adquiere un crédito de $2.500 para ser devuelto en 24 cuotas mensuales vencidas.

Si el interés que cobra el banco es del 23% anual ¿Cuál será el valor de la cuota?

DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,n,i)=$2.500T=24 meses n=24R=23% anual R=23%:12 mensual R=1,19% mensual i=0,019

IncógnitaC=?

Como la cuota que se quiere calcular es vencida, entonces hacemos:

93,130$1)019,01()019,01(019,0500.2$

1)1()1(),,(

24

24

CCi

iiinCVC n

n

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA AMORTIZACIÓN VENCIDA

Partiendo de la fórmula principal de la amortización vencida, o sea:

n

n

iiiCinCV)1.(1)1(·),,(

Pasamos la tasa y la cuota al primer miembro:

n

n

ii

CiinCV

)1(1)1(),,(

50

Distribuimos el denominador, lo que queda:

nn

n

iii

CiinCV

)1(1

)1()1(),,(

Simplificamos y hacemos un pasaje de términos:

CiinCV

i n

),,(1)1(1

Sacamos común denominador, se tiene:

CiinCVC

i n

),,()1(1

Elevando a la -1 ambos miembros y tenemos:

iincVCCi n

),,()1(


iinCVCCi n

),,(log)1log(

Aplicamos las propiedades de los logaritmos, queda:

)),,(log(log)1log( iinCVCCin Despejamos el número de períodos, se tiene:

log log( ( , , ) )log(1 )

C C V C n i ini

Por ejemplo:Una persona obtiene un crédito de $1.500 el que lo devolverá con cuotas mensuales vencidas de

$98,30. Si el banco cobra el 10% cuatrimestral de interés ¿cuál es el número de cuotas que tendrá quepagar?DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,n,i)=$1.500C=$98,30 vencidasR=10% cuatrimestral R=10%:4 mensual R=2,5% mensual i=0,025Incógnitan=?

51

Para calcular el número de períodos o de cuotas mensuales, hacemos:

)1log()),,(log(log

iiinCVCCn

)025,01log()025,0500.1$30,98log($30,98$log

n

Resolviendo:

mesesn 46,19

Para este caso esos 0,46 meses corresponden a la cuota 20 de menos valor. Para ello hacemos elsiguiente razonamiento:

xmesesmes

46,030,98$1

O sea que la cuota 20 será:

218,45$146,030,98$

mes

mesesx

LA RENTA TEMPORARIA INMEDIATA O AMORTIZACIÓN ADELANTADA

Como la valuación se realiza al inicio de la renta, significa que todas las cuotas se actualizan, porlo consiguiente usamos el factor correspondiente en esta demostración.

Para poder demostrar la fórmula de la amortización adelantada, recurriremos al siguiente gráfico:

MI=MV Períodos MF1º 2º 3º ………… n-1 n

n

n

iCiC

iCiCC

)1(

)1(

..........)1(

1

1

2

52

Al inicio del período 1, la cuota no se actualiza, o sea:

CV 1

Al inicio del período 2, la cuota se actualiza por un período, o sea:

iCV

12

Al inicio del período 3, la cuota se actualiza por dos períodos, o sea:

23 )1( iCV

Y Así seguimos hasta el inicio del penúltimo período, donde la cuota se actualiza por n–2períodos, o sea:

21 )1( nn i

CV

Hasta llegar al último período, donde la cuota se actualiza por n-1 períodos, o sea:

1)1( nn i

CV

Ahora, como sabemos, la renta es la suma de todos los capitales financieros y para el caso de laamortización adelantada la denotaremos con V’(C,n,i), por lo tanto:

nn VVVVVinCV 1321 ...),,('

Y reemplazando, se tiene:

122 )1()1(...

)1(1),,('

nn i

CiC

iC

iCCinCV


122

11

11...

11

111.),,('

nn

iiiiCinCV

Ahora, lo que está en el corchete es una serie geométrica finita decreciente de razón:

i11

53

En toda serie geométrica finita decreciente de razón q y primer término a1, la suma de todos lostérminos está dada por la siguiente fórmula:

qqaSn

11·1


i

iCinCV

n

111

111

·1·),,('


iiiCinCVn

111)1(11

·),,('


iiii

CinCVn

n

1

)1(1)1(

·),,('

Simplificando 1+i y resolviendo la fracción compleja se llega a la fórmula para calcular laamortización adelantada:

n

n

iiiiCinCV)1.(1)1()·1.(),,('

Por ejemplo:Una persona adquiere un préstamo en un banco quien le cobra 24 cuotas mensuales adelantadas

de $186,45, con el 25% anual de interés ¿Cuál es el valor del crédito?

DatosCapitalización: mensual y compuestaT=24 meses n=24C=$186,45 adelantadaR=25% anual R=25%:12 mensual R=2,08% mensual i=0,0208

IncógnitaV’(C,n,i)=?

54

Con esta fórmula calculamos el valor a amortizar o valor real de la deuda, o sea:

n

n

iiiiCinCV)1.(1)1()·1.(),,('

24

24

)0208,01.(0208,01)0208,01()·0208,01.(45,186$),,('

inCV

Resolviendo:

22,566.3$),,(' inCV

FÓRMULAS DERIVADAS DE LA AMORTIZACIÓN ADELANTADA

Para obtener las fórmulas derivadas de la amortización adelantada, debemos tener en cuenta lafórmula principal y luego despejar las deseadas, o sea:

n

n

iiiiCinCV)1.(1)1()·1.(),,('

LA CUOTA ADELANTADA EN LA AMORTIZACIÓN

Partiendo de la fórmula principal de la amortización adelantada, despejamos la cuota, queda:

1)1()1(

)1(),,(nii

niiinCVC

Por ejemplo:Una persona adquiere un crédito de $2.500 para ser devuelto en 24 cuotas mensuales

adelantadas. Si el interés que cobra el banco es del 23% anual ¿Cuál será el valor de la cuota?

DatosCapitalización: mensual y compuestaV’(C,n,i)=$2.500T=24 meses n=24R=23% anual R=23%:12 mensual R=1,19% mensual i=0,019

IncógnitaC=?

Como la cuota que se quiere calcular es adelantada, entonces hacemos:

47,128$124)019,01()019,01(

24)019,01(019,0500.2$

1)1()1(

)1(),,('

CC

nii

niiinCVC

55

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA AMORTIZACIÓN ADELANTADA

Partiendo de la fórmula principal de la amortización vencida, o sea:

n

n

iiiiCinCV)1.(1)1()·1.(),,('

Pasamos la tasa, 1+i y la cuota al primer miembro:

n

n

ii

iCiinCV

)1(1)1(

)1(),,('

Distribuimos el denominador, lo que queda:

nn

n

iii

iCiinCV

)1(1

)1()1(

)1(),,('

Simplificamos y hacemos un pasaje de términos:

)1(),,('1

)1(1

iCiinCV

i n

Sacamos común denominador, se tiene:

)1(),,(')1(

)1(1

iCiinCViC

i n

Elevando a la -1 ambos miembros y tenemos:

iincViCiCi n

),,(')1(

)1()1(


iinCViCiCi n

),,(')1(

)1(log)1log(

Aplicamos las propiedades de los logaritmos, queda:

)),,(')1(log()1log(log)1log( iinCViCiCin

Despejamos el número de períodos, se tiene:

log log(1 ) log( (1 ) '( , , ) )log(1 )

C i C i V C n i ini

56

Por ejemplo:Una persona obtiene un crédito de $1.500 el que lo devolverá con cuotas mensuales adelantadas

de $98,30. Si el banco cobra el 10% cuatrimestral de interés ¿cuál es el número de cuotas que tendráque pagar?

DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,n,i)=$1.500C=$98,30 adelantadaR=10% cuatrimestral R=10%:4 mensual R=2,5% mensual i=0,025

Incógnitan=?

Para calcular el número de períodos o de cuotas mensuales, hacemos:

)1log()),,(')1(log()1log(log

iiinCViCiCn


)025,01log()025,0500.1$)025,01(30,98log($)025,01log(30,98$log

n

Resolviendo:

mesesn 85,18

Y haciendo el mismo razonamiento que para las amortizaciones vencidas, se tiene que las cuotas que sepagan son 19, pero 18 de ellas de $98,30 y la otra se calcula con:

555,83$85,030,98$ x


1. Un empresario obtiene un crédito bancario del $20.000 con el 3% bimestral de interés y cuotasvencidas y para ser devueltos en 4 años. Se quiere saber:a. El valor de cada cuota.b. Paga deudas con el 50% del crédito y el resto lo coloca en un plazo fijo de 90 días con el 1,2%

mensual de interés y capitalización mensual y compuesta. ¿Cuál será el total de dinero queretira cumplido el plazo y cuál es la ganancia obtenida?

c. Con parte de este monto paga un documento de $7.000; 40 días antes de su vencimiento conun descuento comercial simple del 3% mensual. ¿Cuánto pagó por el documento? ¿Quécantidad de dinero le queda todavía al empresario?

d. Por último paga una deuda de $5.300 que tiene un interés por mora del 2% mensual, siendodicha mora de 6 meses, con capitalización mensual y compuesta. ¿Le alcanza el dinero quetiene para pagar el total de la deuda?

2. Una persona que adquirió un crédito bancario y paga 24 cuotas mensuales adelantadas de $96,30,con un interés mensual del 1,21%, ¿cuál es el valor del crédito obtenido?

3. Resolver el problema anterior con cuota vencida.4. ¿Qué tiempo dispone un empresario que obtiene un crédito bancario de $58.000 si paga por dicho

crédito $560,87 al inicio de cada mes y con el 1% bimestral de interés?

57

5. Resolver el problema anterior pero si la cuota es vencida.6. Una persona compra un automóvil cuyo costo es de $35.200, entregado como anticipo $14.000 y el

resto lo financia con el 30% anual de interés y cuotas vencidas. Si tiene 3 años para terminar depagar la deuda ¿Cuál es el valor de cuota?

7. Resolver el problema anterior con cuota adelantada.8. Se tiene una deuda de $820 para ser cancelada con cuotas mensuales vencidas de $89,30. Si el

interés que se le aplica es del 5% trimestral, ¿Cuántas cuotas mensuales debo pagar?9. Resolver el problema anterior usando cuotas adelantadas.10. Para saldar una deuda se deben pagar 21 cuotas mensuales adelantadas de $98,50 con un interés

del 40% anual. Si se quiere mermar el valor de la cuota a $80, ¿cuántas cuotas se debe pagar?11. Una empresa adquiere una máquina por la entrega $20.000 al contado, se firma un documento de

$5.200 cuyo vencimiento es a 90 días con el 3% mensual y capitalización mensual y simple y elresto lo financia en 15 cuotas iguales y vencidas de $630,56 con el mismo interés ¿Cuál es el valorreal de la máquina?

12. Una persona tiene una deuda de $5.800, por la que firma un documento cuyo valor nominal es de$2.500 con vencimiento a 120 días y una cláusula de descuento comercial compuesto por adelantodel 2% mensual y el resto lo paga con una financiación de 24 meses vencidos con el 30% anual deinterés. Se pide:a. El valor que se paga del documento si lo descuenta 2 meses antes de su vencimiento.b. El valor de la deuda que cancela con el documentoc. El valor de cada cuota.

13. Una persona adquiere un préstamo de $3.000 para ser pagado en 24 cuotas adelantadas con el 7%trimestral de interés. Se pide:a. El valor de la cuota.b. ¿Cuál sería el valor de la cuota, mermara el interés en 0,5 puntos y si además la misma sería

vencida?14. Para cancelar una deuda de $30.000 me comprometí a pagar 30 cuotas adelantadas con el 5%

bimestral de interés. Se pide:a. El valor de la cuota.b. El valor de la cuota si son 20 y si se me comunica que el interés subió en un punto por bimestre.

15. Tengo un capital de $7.000 el que lo coloco en un plazo fijo de 6 meses con el 10% semestral deinterés y capitalización mensual y compuesta. Luego de retirar el monto completo, lo presto con el12% semestral de interés, el que se me lo devolverá en 20 cuotas mensuales y adelantadas. ¿Cuáles el valor de dicha cuota?

16. Resolver el problema anterior pero con cuotas vencidas.17. Resolver el problema 15. con el plazo fijo con un interés del 7% trimestral y capitalización mensual y

simple.18. Una persona obtiene un bien cuyo precio es de $7.500 pagando la mitad con un documento con un

interés mensual del 2% y capitalización simple y con vencimiento en 120 días y la otra mitadfinanciada con cuotas mensuales vencidas de $105,87 y con el 8% trimestral de interés. Se pide:a. El valor nominal del documento.b. La cantidad de cuotas a pagar.

19. Se solicita un crédito en el Banco que cobra el 35% anual de interés. Por dicho crédito se pagan 36cuotas mensuales vencidas de $309,98 ¿cuál es el valor del crédito?

20. Resolver el problema anterior con cuotas adelantadas.21. Se adquiere un electrodoméstico por el que se paga un anticipo de $150 y 12 cuotas mensuales y

vencidas de $150. Si el interés que se cobra por la deuda es del 30% anual, ¿cuál es el valor delelectrodoméstico?

22. Para saldar una deuda se tiene dos opciones de pago:a. Pagar 10 cuotas mensuales y vencidas de $210 con el 7% trimestral de interés.b. Entregar $800 contado y el resto en 10 cuotas mensuales y vencidas de $130 y con el mismo

interés.¿Qué opción me conviene para pagar la deuda?

23. Se obtiene un crédito bancario de $7.500 con el 30% anual de interés y cuotas mensuales yvencidas y pagaderas en 3 años. La cuarta parte de este monto lo utilizo para saldar una deudaatrasada en 8 meses por la que me cobraron 2% mensual de interés y capitalización mensual y

58

simple. La mitad del monto total de préstamo lo invierto en la copra de una maquinaria con la quepago un tercio de su valor y el resto es financiado en tres años con el 3% bimestral de interés ycuotas mensuales y adelantadas. El resto del crédito lo deposito en un plazo fijo de 120 días concapitalización mensual y compuesta y con un interés del 5% trimestral. Se pide:a. El valor de la cuota del crédito.b. El valor real de la deuda que se cancela.c. El costo real de la máquina adquirida y el valor de cada cuota a pagar por ella.d. La ganancia obtenida por el plazo fijo y el total retirado vencido el plazo.

24. Se compra un inmueble cuyo costo es de $32.000 por el que se paga $10.000 al contado y el restose lo paga el mes siguiente con un crédito adquirido en un banco que cobra el 32% anual de interésy cuotas mensuales y adelantadas. ¿Cuál será el valor de la cuota bancaria si se necesitan 4 añospara saldar la deuda?

LA RENTA CIERTA PERPETUA INMEDIATA

De acuerdo a lo estudiado anteriormente, una renta es inmediata si la valuación coincide con lainiciación de pagos. Por supuesto, las rentas inmediatas, pueden ser con cuotas vencidas o adelantadas.

Con el siguiente gráfico, visualizaremos como se valúa la renta inmediata:

LA RENTA PERPETUA INMEDIATA VENCIDA

Como la valuación se realiza al inicio de la renta, significa que todas las cuotas se actualizan paratal fin; y teniendo en cuenta que la actualización de capitales se calcula con el factor correspondiente, osea:

niCV)1(


InfinitosPeríodos


∞ Períodos


Se actualiza

59

Para poder demostrar la fórmula de la renta perpetua inmediata vencida, recurriremos al siguientegráfico:

Al final del período 1, la cuota se actualiza por un período, o sea:

iCV

11

Al final del período 2, la cuota se actualiza por dos períodos, o sea:

22 )1( iCV

Al final del período 3, la cuota se actualiza por tres períodos, o sea:

33 )1( iCV

Y Así seguimos hasta el final del período n-1, donde la cuota se actualiza por n – 1 períodos, osea:

11 )1( nn i

CV

Hasta llegar al período “n”, donde la cuota se actualiza por “n” períodos, o sea:

nn iCV)1(

MI=MV Períodos1º 2º 3º ………… n-1 n n+1 …

2

3

1

1

1

(1 )

(1 )..........

(1 )

(1 )

(1 )...........

n

n

n

CiCiCi

CiCiCi

60

Al final del período n+1, la cuota se actualiza por n+1 período, o sea

11 )1( nn i

CV

Y así seguimos por infinitos períodos.

Ahora, como sabemos, la renta es la suma de todos los capitales financieros y para el caso de larenta inmediata vencida la denotaremos con V(C,,i), por lo tanto:

......),,( 11321 nnn VVVVVViCV


...)1()1()1(

...)1()1(1

),,( 1132

nnn iC

iC

iC

iC

iC

iCiCV


...11

11

11...

11

11

11.),,(

1132 nnn

iiiiiiCiCV

Ahora, lo que está en el corchete es una serie geométrica infinita decreciente de razóni11

.

En toda serie geométrica infinita decreciente de razón q y primer término a1, la suma de todos lostérminos está dada por la siguiente fórmula:

qqaSn

n

11·lim 1


i

ii

CiCV

n

n

111

111

·11·lim),,(


iii

iCiCV

n

n

11111lim1

·11.),,(

61

Como:

011lim0

110

n

n ii


iii

CiCV

1

1·11·),,(

Simplificando 1+i se llega a la fórmula para calcular la renta perpetua inmediata vencida:

iCiCV ),,(

Por ejemplo:Calcular el valor de una renta inmediata perpetua si la cuota que se paga es mensual y vencida de

$32,15, sabiendo que se tiene un interés del 5% bimestral.

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$32,15 vencidaR=5% bimestral R=5%:2 mensual R=2,5% mensual i=0,025

IncógnitaV(C,,i)=?

Calculamos la renta inmediata perpetua con:

286.1$),,(025,015,32$),,(),,( iCViCV

iCiCV

FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA PERPETUA INMEDIATA VENCIDA

Para obtener las fórmulas derivadas, basta despejarlas de la fórmula principal, o sea:

iCiCV ),,(

LA CUOTA VENCIDA EN LA RENTA PERPETUA INMEDIATA

Partiendo de la fórmula principal, despejamos la cuota, se tiene:

( , , )C V C i i

Por ejemplo:Calcular la cuota mensual vencida para obtener una renta perpetua inmediata de $2.800, sabiendo

que se le aplica el 4% trimestral de interés.

62

DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,,i)=$2.800R=4% trimestral R=4%:3 mensual R=1,33% mensual i=0,0133

IncógnitaC=?

Calculamos la cuota con:

33,37$0133,0800.2$),,( CCiiCVC

LA RAZÓN EN LA RENTA PERPETUA INMEDIATA VENCIDA

Al igual que la cuota, para demostrar la razón partimos de la fórmula principal despejando la tasa,para luego multiplicarla por el 100% y obtener la razón, o sea:

( , , )Ci

V C i

Ahora, teniendo en cuenta que:

%100%100

iRRi

Por ejemplo:¿Qué tanto por ciento se le debe aplicar a una cuota mensual vencida de $58,23 para poder

obtener una renta perpetua inmediata de $2.654,12?

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$58,23 vencidaV(C,,i)=$2.654,12IncógnitaR=?

Usamos la fórmula demostrada anteriormente para poder calcular la tasa, o sea:

0219,012,654.2$23,58$

),,(

ii

iCVCi

Ahora, la razón se calcula con:

mensualRRiR %19,2%1000219,0%100

63

LA RENTA PERPETUA INMEDIATA ADELANTADA

Como la valuación se realiza al inicio de la renta, significa que todas las cuotas se actualizan paratal fin; y teniendo en cuenta que la actualización de capitales se calcula con el factor correspondiente, osea:

niCV)1(

Para poder demostrar la fórmula de la renta perpetua inmediata adelantada, recurriremos alsiguiente gráfico:

Al inicio del período 1, la cuota no se actualiza, o sea:

CV 1

Al inicio del período 2, la cuota se actualiza por un período, o sea:

iCV

12

Al inicio del período 3, la cuota se actualiza por dos períodos, o sea:

23 )1( iCV

MI=MV Períodos1º 2º 3º ………… n-1 n n+1 …

2

2

1

1

(1 )..........

(1 )

(1 )

(1 )...........

n

n

n

CCi

Ci

CiCiCi

64

Y Así seguimos hasta el inicio del período n – 1, donde la cuota se actualiza por n – 2 períodos, osea:

21 )1( nn i

CV

Hasta llegar al período “n”, donde la cuota se actualiza por n – 1 períodos, o sea:

1)1( nn i

CV

Al inicio del período n+1, la cuota se actualiza por “n” período, o sea

nn iCV)1(1

Y así seguimos por infinitos períodos.

Ahora, como sabemos, la renta es la suma de todos los capitales financieros y para el caso de larenta inmediata adelantada la denotaremos con V’(C,,i), por lo tanto:

......),,(' 11321 nnn VVVVVViCV


...)1()1()1(

...)1(1

),,(' 122

nnn iC

iC

iC

iC

iCCiCV


...11

11

11...

11

111.),,('

122 nnn

iiiiiCiCV

Ahora, lo que está en el corchete es una serie geométrica infinita decreciente de razóni11

.

En toda serie geométrica infinita decreciente de razón q y primer término a1, la suma de todos lostérminos está dada por la siguiente fórmula:

qqaSn

n

11·lim 1

65


i

iCiCV

n

n

111

111

·1lim.),,('


iiiCiCV

n

n

11111lim1

·),,('

Como:

011lim0

110

n

n ii


ii

CiCV

1

1·),,('

Resolviendo la fracción compleja se llega a la fórmula para calcular la renta perpetua inmediataadelantada:

iiCiCV 1)1.(),,('

Por ejemplo:Calcular el valor de una renta inmediata perpetua si la cuota que se paga es mensual y adelantada

de $32,15, sabiendo que se tiene un interés del 5% bimestral.

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$32,15 adelantadaR=5% bimestral R=5%:2 mensual R=2,5% mensual i=0,025

IncógnitaV(C,,i)=?

Calculamos la renta inmediata perpetua con:

025,01)·025,01.(15,32$),,('1)·1.(),,(' iCV

iiCiCV

66

15,318.1$),,(' iCV

FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA PERPETUA INMEDIATA ADELANTADA

Para obtener las fórmulas derivadas, basta despejarlas de la fórmula principal, o sea:

iiCiCV 1)·1.(),,('

LA CUOTA ADELANTADA EN LA RENTA PERPETUA INMEDIATA

Partiendo de la fórmula principal, despejamos la cuota, se tiene:

iiiCVC

1

),,('

Por ejemplo:Calcular la cuota mensual adelantada para obtener una renta perpetua inmediata de $2.800,

sabiendo que se le aplica el 4% trimestral de interés.

DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,,i)=$2.800R=4% trimestral R=4%:3 mensual R=1,33% mensual i=0,0133

IncógnitaC=?

Calculamos la cuota con:

84,36$0133,010133,0800.2$

1),,('

CCiiiCVC

LA RAZÓN EN LA RENTA PERPETUA INMEDIATA ADELANTADA

Al igual que la cuota, para demostrar la razón partimos de la fórmula principal despejando la tasa,para luego multiplicarla por el 100% y obtener la razón, o sea:

CiCV

ii ),,('1

Distribuimos el denominador y simplificamos, o sea:

CiCV

i),,('11

67

Pasamos el 1 al segundo miembros y sacamos común denominador, o sea:

CCiCV

i

),,('1

Despejando la tasa, queda:

'( , , )Ci

V C i C

Ahora, teniendo en cuenta que:

%100%100

iRRi

Por ejemplo:¿Qué tanto por ciento se le debe aplicar a una cuota mensual adelantada de $58,23 para poder

obtener una renta perpetua inmediata de $2.654,12?

DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$58,23 adelantadaV(C,,i)=$2.654,12

IncógnitaR=?

Usamos la fórmula demostrada anteriormente para poder calcular la tasa, o sea:

0224,023,58$12,654.2$

23,58$),,('

iiCiCV

Ci

Ahora, la razón se calcula con:

mensualRRiR %24,2%1000224,0%100


1. Calcular la renta perpetua inmediata que se obtendrá con cuotas bimestrales adelantadas de $12,40con un interés del 30% anual.

2. Resolver el problema anterior con cuotas vencidas.3. ¿Cuál será la cuota mensual vencida que se tendrá que pagar si se quiere obtener una renta

perpetua inmediata $2.930,55 con un interés mensual del 3%?4. Resolver el problema 3. con cuota adelantada.5. Calcular el tanto por ciento que se le debe aplicar a las cuotas mensuales adelantadas de $62,72

para formar una renta perpetua inmediata de $5.231,87.6. Resolver el problema anterior con cuota vencida.

68

7. Se dispone mensualmente de $120. De este monto se paga una cuota mensual vencida de $42,30con el 6% bimestral de interés y el resto se paga una cuota bimestral adelantada con el 18% anualde interés. Se pide:a. El valor de las rentas perpetuas inmediatas en cada caso.b. Si los valores de las cuotas se cambiarían, ¿Cuál sería el valor de cada renta perpetua

inmediata?

RENTAS CIERTAS TEMPORARIAS DIFERIDAS

Por definición, las rentas diferidas, son aquellas en donde la valuación es anterior a la iniciaciónde pagos.

DIFERENCIA DE TIEMPO (Definición)En la renta diferida, se llama diferencia de tiempo a los períodos existentes entre la época de valuación yla iniciación de la renta y se la representa con la “t”.

De acuerdo a lo anteriormente dicho, la explicación de la renta temporaria diferida se da con elsiguiente gráfico:

En esta renta, si la iniciación coincidiera con la época de valuación estaríamos en presencia deuna amortización, lo que significa que la renta temporaria diferida es la amortización actualizada por “t”períodos.

RENTA CIERTA TEMPORARIA DIFERIDA VENCIDA

De acuerdo a lo anteriormente dicho, la renta cierta temporaria diferida vencida es la amortizaciónvencida actualizada por “t” períodos y se la representa con V(C,n,i,-t), o sea:

tiniCVtinCV)1(),,(),,,(




∞ períodos


Se actualizaSe actualiza por t

períodos

69

Reemplazando la amortización, queda:

nt

n

iiiiCtinCV

)1.()1.(1)1(·),,,(


tn

n

iiiCtinCV

)1.(1)1(·),,,(

Por ejemplo:Un empresario adquiere un crédito de fomento en un banco y debe pagar 50 cuotas mensuales

vencidas de $950 cada una, sabiendo que la institución financiera cobra el 30% anual de interés y condos años de gracia. ¿Cuál es el total que debe pagar?

DatosCapitalización: mensual y compuestaT=50 meses n=50C=$950 vencidaR=30% anual R=30%:12 mensual R=2,5% mensual i=0,025t=24 meses

IncógnitaV(C,n,i,-t)=?

Calculamos la renta con:

2450

50

)025,01(1)025,01(·950$),,,(

)1.(1)1(·),,,(

tinCViiiCtinCV tn

n

25,993.10$),,,( tinCV

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA TEMPORARIA DIFERIDA VENCIDA

Para obtener las fórmulas derivadas de la renta temporaria diferida vencida, debemos partir de lafórmula principal y de allí despejar la correspondiente, o sea:

tn

n

iiiCtinCV

)1.(1)1(·),,,(

70

LA CUOTA VENCIDA EN LA RENTA TEMPORARIA DIFERIDA

Despejando de la fórmula principal, obtenemos la cuota vencida en esta renta, o sea:

1)1()1(),,,(

n

tn

iiitinCVC

Por ejemplo:Se adquiere un crédito de $9.000 para ser cancelado en 3 años en cuotas vencidas, con 6 meses

de gracia. Si la institución financiera cobra el 35% anual de interés, ¿Cuál es el valor de la cuota?

DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,n,i,-t)=$9.000T=3 años n=36t=6R=35% anual R=35%:12 mensual R=2,91% mensual i=0,0291

IncógnitaC=?

Calculamos la cuota con la última fórmula demostrada, o sea:

1)0921,01()0291,01(0291,0000.9$

1)1()1(),,,(

36

636

Ci

iitinCVC n

tn

Y resolviendo se obtiene el valor de la cuota:

77,483$C

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA RENTA TEMPORARIA DIFERIDA VENCIDA


tn

n

iiiCtinCV

)1.(1)1(·),,,(

Pasamos la cuota, i.(1+i)t y distribuyendo el denominador, queda:

nn

nt

iii

CiitinCV

)1(1

)1()1()1.().,,,(

Simplificando, se tiene:

n

t

iCiitinCV

)1(11)1.().,,,(

71

Haciendo un pasaje de términos y sacando común denominador, queda:

CiitinCVC

i

t

n

)1.().,,,()1(1

Despejando (1+i)n, se tiene:

tn

iitinCVCCi

)1.().,,,()1(

Ahora tomamos logaritmo en ambos miembros, queda:

tn

iitinCVCCi

)1.().,,,(log)1log(


tiitinCVCCin )1.().,,,(loglog)1log(.

Y despejando el número de períodos se llega a la fórmula que buscamos:

)1log(

)1.().,,,(loglogi

iitinCVCCnt

Por ejemplo:Se adquiere un préstamo de $5.300 para ser devueltos en cuotas mensuales y vencidas de

$190,50 y con una gracia de 7 meses cobrando la entidad financiera el 7% trimestral de interés. ¿Cuálserá el número de cuotas a pagar?

DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,n,i,-t)=$5.300C=$190,50t=7 mesesR=7% trimestral R=7%:3 mensual R=2,33% mensual i=0,0233Incógnitan=?

Calculamos el número de períodos con la fórmula demostrada últimamente, o sea:

)1log(

)1.().,,,(loglog

i

tiitinCVCCn

72


)0233,01log(

7)0233,01(0233,0300.5$50,190$log50,190$log

n

Resolviendo:

mesesn 40,62

Esto significa que se abonan 62 cuotas de $190,50 y una de:

20,76$40,050,190$ C

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA TEMPORIA DIFERIDA VENCIDA


tn

n

iiiCtinCV

)1.(1)1(·),,,(

Despejamos (1+i)t, queda:

),,,(.)1.(1)1(·)1(tinCVii

iCi n

nt

Tomando logaritmos en ambos miembros, se tiene:

),,,(.)1.(1)1(·log)1log(tinCVii

iCi n

nt

Y aplicando las propiedades de los logaritmos, queda:

),,,(.)1.(log1)1(loglog)1log(. tinCVniiniCit

Y despejando la diferencia de tiempo, llegamos a la fórmula deseada, o sea:

)1log(

),,,(.)1.(log1)1(loglog

i

tinCVniiniCt

Por ejemplo:Se adquiere un crédito de $3.200 al que lo tenemos que pagar en 4 años con cuotas mensuales

vencidas de $110,30 con un interés mensual del 1,32% ¿Qué tiempo debe pasar de que se obtuvo elcrédito hasta que se paga la primera cuota?DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,n,i,-t)=$3.200

73

T=4 años n=12x4 años n=48 mesesC=$110,30 vencidaR=1,32% mensual i=0,0132

Incógnitat=?

Calculamos la diferencia de tiempo con la fórmula demostrada últimamente:

)1log(

),,,(.)1.(log1)1(loglog

i

tinCVniiniCt


)0132,01log(

200.3.$48)0132,01.(0132,0log148)0132,01(log30,110$log

t

Resolviendo, queda:

mesest 15,15

RENTA CIERTA TEMPORARIA DIFERIDA ADELANTADA

De acuerdo a lo anteriormente dicho, la renta cierta temporaria diferida adelantada es laamortización adelantada actualizada por “t” períodos y se la representa con V’(C,n,i,-t), o sea:

tiniCVtinCV)1(),,('),,,('

Reemplazando la amortización, queda:

nt

n

iiiiiCtinCV

)1.()1.(1)1()·1.(),,,('


tn

n

iiiiCtinCV

)1.(1)1()·1.(),,,('

Por ejemplo:Un empresario adquiere un crédito de fomento en un banco y debe pagar 50 cuotas mensuales

adelantadas de $950 cada una, sabiendo que la institución financiera cobra el 30% anual de interés ycon dos años de gracia. ¿Cuál es el total que debe pagar?

74

DatosCapitalización: mensual y compuestaT=50 meses n=50C=$950 adelantadaR=30% anual R=30%:12 mensual R=2,5% mensual i=0,025t=24 meses

IncógnitaV’(C,n,i,-t)=?

Calculamos la renta con:

2450

50

)025,01(1)025,01()·025,01.(950$),,,('

)1.(1)1()·1.(),,,('

tinCViiiiCtinCV tn

n


20,269.15$),,,(' tinCV

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA TEMPORARIA DIFERIDA ADELANTADA

Para obtener las fórmulas derivadas de la renta temporaria diferida adelantada, debemos partir dela fórmula principal y de allí despejar la correspondiente, o sea:

tn

n

iiiiCtinCV

)1.(1)1()·1.(),,,('

LA CUOTA ADELANTADA EN LA RENTA TEMPORARIA DIFERIDA

Despejando de la fórmula principal, obtenemos la cuota adelantada en esta renta, o sea:

1)1()1()1(),,,('

n

tn

iiiitinCVC

Por ejemplo:Se adquiere un crédito de $9.000 para ser cancelado en 3 años en cuotas adelantadas, con 6

meses de gracia. Si la institución financiera cobra el 35% anual de interés, ¿Cuál es el valor de la cuota?

DatosCapitalización: mensual y compuestaV’(C,n,i,-t)=$9.000T=3 años n=36t=6R=35% anual R=35%:12 mensual R=2,91% mensual i=0,0291IncógnitaC=?

75

Calculamos la cuota con la última fórmula demostrada, o sea:

136)0921,01()0291,01(

)0291,01(0291,0000.9$

1)1()1(

)1(),,,(' 636

Cnii

iitinCVCtn

Y resolviendo se obtiene el valor de la cuota:

06,470$C

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN LA RENTA TEMPORARIA DIFERIDA ADELANTADA


tn

n

iiiiCtinCV

)1.(1)1()·1.(),,,('

Pasamos la cuota, i.(1+i)t y distribuyendo el denominador, queda:

nn

nt

iii

iCiitinCV

)1(1

)1()1(

)1.()1.().,,,('

Simplificando, se tiene:

n

t

iiCiitinCV

)1(11

)1.()1.().,,,('

Haciendo un pasaje de términos y sacando común denominador, queda:

)1.()1.().,,,(')1.(

)1(1

iCiitinCViC

i

t

n

Despejando (1+i)n, se tiene:

tn

iitinCViCiCi

)1.().,,,(')1.()1.()1(

Ahora tomamos logaritmo en ambos miembros, queda:

tn

iitinCViCiCi

)1.().,,,(')1.()1.(log)1log(


tiitinCViCiCin )1.().,,,(')1.(log)1log(log)1log(.

76

Y despejando el número de períodos se llega a la fórmula que buscamos:

)1log(

)1.().,,,(')1.(log)1log(log

i

tiitinCViCiCn

Por ejemplo:Se adquiere un préstamo de $5.300 para ser devueltos en cuotas mensuales y adelantadas de

$190,50 y con una gracia de 7 meses cobrando la entidad financiera el 7% trimestral de interés. ¿Cuálserá el número de cuotas a pagar?

DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,n,i,-t)=$5.300C=$190,50t=7 mesesR=7% trimestral R=7%:3 mensual R=2,33% mensual i=0,0233

Incógnitan=?

Calculamos el número de períodos con la fórmula demostrada últimamente, o sea:

)1log(

)1.().,,,(')1.(log)1log(log

i

tiitinCViCiCn


)0233,01log(

7)0233,01(0233,0300.5$)0233,01(50,190$log)0233,01log(50,190$log

n

Resolviendo:

mesesn 33,59

Esto significa que se abonarán 59 cuotas de $190,50 y una de:

87,62$33,050,190$ C

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA TEMPORIA DIFERIDA ADELANTADA


tn

n

iiiiCtinCV

)1.(1)1()·1.(),,,('

77

Despejamos (1+i)t, queda:

),,,('.)1.(1)1()·1.()1(tinCVii

iiCi n

nt

Tomando logaritmos en ambos miembros, se tiene:

),,,('.)1.(1)1()·1.(log)1log(tinCVii

iiCi n

nt

Y aplicando las propiedades de los logaritmos, queda:

),,,('.)1.(log1)1(log)1log(log)1log(. tinCVniiniiCit

Y despejando la diferencia de tiempo, llegamos a la fórmula deseada, o sea:

)1log(

),,,('.)1.(log1)1(log)1log(log

i

tinCVniiniiCt

Por ejemplo:Se adquiere un crédito de $3.200 al que lo tenemos que pagar en 4 años con cuotas mensuales

adelantadas de $110,30 con un interés mensual del 1,32% ¿Qué tiempo debe pasar de que se obtuvo elcrédito hasta que se paga la primera cuota?

DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,n,i,-t)=$3.200T=4 años n=12x4 años n=48 mesesC=$110,30 adelantadaR=1,32% mensual i=0,0132

Incógnitat=?

Calculamos la diferencia de tiempo con la fórmula demostrada últimamente:

)1log(

),,,('.)1.(log1)1(log)1log(log

i

tinCVniiniiCt


)0132,01log(

200.3.$48)0132,01.(0132,0log148)0132,01(log)0132,01log(30,110$log

t

78

Resolviendo, queda:

mesest 15,16


1. Se obtiene un préstamo de fomento de $42.000 con un año de gracia para pagarlo con 50 cuotasmensuales vencidas con el 32% de interés anual ¿Cuál será el valor de la cuota a pagar?

2. Resolver el problema anterior pero para cuota adelantada.3. Un empresario dispone de $1.300 mensualmente para pagar como cuota adelantada durante 4 años

para un crédito con la finalidad crear una pequeña industria de dulces, solicitando 2 años de gracia.Si el banco, por esta línea de crédito cobra el 21% anual de interés ¿Cuál será el posible crédito quesolicitará el empresario?

4. Resolver el problema anterior pero con cuota vencida.5. Un empresario solicita un crédito de fomento de $50.000 para ser devuelto en cuotas mensuales de

$1.532, otorgándole la entidad financiera 5 años de gracia, con el 15% anual de interés. Se pide:a. El número de períodos que tendrá que utilizar el empresario para pagar el crédito si la cuota es

vencida.b. El número de períodos que tendrá que utilizar el empresario para pagar el crédito si la cuota es

adelantada.c. El número de períodos que tendrá que utilizar el empresario para pagar el crédito si la cuota es

adelantada y sin el tiempo de gracia.d. El número de períodos que tendrá que utilizar el empresario para pagar el crédito si la cuota es

vencida y sin el tiempo de gracia.e. La primera inversión que hace el empresario es comprar una caldera por la que paga un

adelanto de $20.000 y el resto lo financia en 36 meses con cuotas vencidas de $530,45 y con el1,2% mensual de interés ¿Cuál es el valor contado de la caldera?

f. Compra una tamizadora por la que da un adelanto de $5.000 y el resto lo financia con 24 cuotasadelantadas de $420, otorgándole el acreedor 6 meses de gracia en el pago y cobrándole el1,12% mensual de interés ¿Cuál es el precio contado de la máquina adquirida? ¿Cuánto pagarárealmente por ella?

g. Compra insumos varios dando como adelanto $2.500 y el resto firma un documento de $1.000,con una cláusula de descuento comercial compuesto mensual del 1,1% ¿cuánto pagará por eldocumento si lo cancela 3 meses antes de su vencimiento?

h. Hasta realizar las otras inversiones, el resto del dinero obtenido por el crédito, lo coloca en unplazo fijo de 8 meses con el 24% anual de interés y capitalización mensual y compuesta¿Cuánto retirará del banco vencido el plazo?

6. Se adquiere una maquinaria para una fábrica la que se la paga totalmente en 36 cuotas mensualesy vencidas de $320,87 debiendo iniciar el pago un tiempo después de haberla retirado y con el 32%anual de interés y sabiendo que la deuda asciende a $3.300 ¿Cuál es el tiempo de gracia queotorgó la empresa vendedora?

7. Resolver el problema anterior pero con cuota adelantada.8. El 5 de diciembre se adquiere un préstamo de $5.320 en un banco, el que se lo comenzará a pagar

el 5 de junio del año siguiente y en 24 cuotas mensuales adelantadas. ¿Cuál será el valor de lacuota si el banco cobra el 28% anual de interés?

9. Resolver el problema anterior con cuota vencida.10. Se obtiene un préstamo de fomento en un banco el que cobra el 21% anual de interés y se debe

pagar por él 24 cuotas iguales vencidas de $120,32 y con un año de gracia. Se pide:a. El valor del crédito obtenido.b. Si el 50% de lo extraído se lo usa para pagar el anticipo de una máquina y el resto se lo debe

pagar con 12 cuotas mensuales vencidas de $200 con el 30% anual de interés ¿Cuál es el valorcontado de la máquina?

c. Con el otro 50% también lo usa para anticipo en la adquisición de otra máquina y por el resto,que es el mismo monto, se firma un documento con una cláusula de descuento comercial

79

simple del 0,5% mensual. Si se levanta el documento 3 meses antes de su vencimiento¿Cuánto será el valor a pagar por el mismo.

LAS RENTAS CIERTAS PERPETUAS DIFERIDAS

Como se sabe, una renta es diferida si la valuación es anterior al momento de iniciación. Para elcaso de la renta perpetua, el número de períodos tiende al infinito.

DIFERENCIA DE TIEMPO (Definición)En la renta diferida, se llama diferencia de tiempo a los períodos existentes entre la época de valuación yla iniciación de la renta y se la representa con la “t”.

Para estudiar esta renta, haremos un gráfico que represente a este tipo de renta:

Como se observa, si la iniciación coincidiría con la valuación, estaríamos en presencia de unarenta cierta perpetua inmediata, pero en este caso, esta renta se actualizaría por “t” períodos.-

LAS RENTAS PERPETUAS DIFERIDAS VENCIDAS

De acuerdo a lo dicho anteriormente, la renta perpetua diferida vencida representada por V(C,,i,-t), es la renta perpetua inmediata vencida actualizada por “t” períodos, lo que matemáticamente significaque:

tiiCVtiCV)1(),,(),,,(

Reemplazando se tiene:

tiiCtiCV)1.(

),,,(


InfinitosPeríodos


∞ períodos


Se actualizaSe actualiza por t

períodos

80

Por ejemplo:Se quiere saber el valor de una renta perpetua diferida si las cuotas son mensuales y vencidas de

$25,60, sabiendo que se obtiene un interés del 6% trimestral y con la iniciación de los pagos a 10 mesesde la valuación.DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$25,60 vencidaR=6% trimestral R=6%:3 mensual R=2% mensual i=0,02t=6 meses

IncógnitaV(C,,i,-t)=?

Calculamos la renta, o sea:

05,050.1$),,,()02,01.(02,0

60,25$),,()1.(

),,,( 10

tiCVtiCViiCtiCV t

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA PERPETUA DIFERIDA VENCIDA

Para obtener las fórmulas derivadas de esta renta debemos despejarlas de la fórmula principal, osea:

tiiCtiCV)1.(

),,,(

LA CUOTA VENCIDA EN LA RENTA PERPETUA DIFERIDA VENCIDA

Despejando de la fórmula principal, obtenemos la cuota, o sea:

( , , ) 1 tC V C i t i i

Por ejemplo:Se quiere saber cuál es el valor de la cuota mensual vencida, si se quiere obtener una renta

perpetua diferida de $1.500 con el 7% trimestral de interés y con 7 meses de diferencia entre lavaluación y la iniciación de los pagos.

DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,,i,-t)=$1.500R=7% trimestral R=7%:3 mensual R=2,33% mensual i=0,0233t=7 meses

IncógnitaC=?

Calculamos la cuota vencida con:

13,41$)0233,01(0233,0500.1$)1(),,,( 7 CCiitiCVC t

81

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA PERPETUA DIFERIDA VENCIDA


tiiCtiCV)1.(

),,,(

Despejamos (1+i)t al primer miembro y la renta al segundo, o sea:

itiCVCi t

),,,()1(

Ahora, tomamos logaritmo en ambos miembros, queda:

itiCVCi t

),,,(log)1log(

Aplicamos las propiedades de los logaritmos, o sea:

itiCVCit log),,,(loglog)1log( Y por último, despejamos la diferencia de tiempo y se llega a la fórmula deseada:

log log ( , , , ) loglog(1 )

C V C i t iti

Por ejemplo:Calcular la diferencia de tiempo que tendrá que haber, si se quiere obtener una renta de $2.000

con el 5% bimestral de interés y una cuota mensual y vencida de $62,25.

DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,,i,-t)=$2.000R=5% bimestral R=5%:2 mensual R=2,5% mensual i=0,025C=62,25 vencida

Incógnitat=?


)1log(log),,,(loglog

iitiCVCt

Reemplazamos, queda:

mesestt 87,8)025,01log(

025,0log000.2$log25,62$log

82

LAS RENTAS PERPETUAS DIFERIDAS ADELANTADAS

De acuerdo a lo dicho anteriormente, la renta perpetua diferida adelantada representada porV’(C,,i,-t), es la renta perpetua inmediata adelantada actualizada por “t” períodos, lo quematemáticamente significa que:

tiiCVtiCV)1(),,('),,,('

Reemplazando se tiene:

tiiiCtiCV)1.()1.(),,,('


1)1.(),,,(' tii

CtiCV

Por ejemplo:Se quiere saber el valor de una renta perpetua diferida si las cuotas son mensuales y adelantadas

de $25,60, sabiendo que se obtiene un interés del 6% trimestral y con la iniciación de los pagos a 10meses de la valuación.DatosCapitalización: mensual y compuestaC=$25,60 adelantadaR=6% trimestral R=6%:3 mensual R=2% mensual i=0,02t=6 meses

IncógnitaV’(C,,i,-t)=?

Calculamos la renta, o sea:

05,071.1$),,,(')02,01.(02,0

60,25$),,(')1.(

),,,(' 1101

tiCVtiCViiCtiCV t

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DE LA RENTA PERPETUA DIFERIDA ADELANTADA

Para obtener las fórmulas derivadas de esta renta debemos despejarlas de la fórmula principal, osea:

1)1.(),,,(' tii

CtiCV

83

LA CUOTA ADELANTADA EN LA RENTA PERPETUA DIFERIDA ADELANTADA

Despejando de la fórmula principal, obtenemos la cuota, o sea:

1'( , , , ) 1 tC V C i t i i

Por ejemplo:Se quiere saber cuál es el valor de la cuota mensual adelantada, si se quiere obtener una renta

perpetua diferida de $1.500 con el 7% trimestral de interés y con 7 meses de diferencia entre lavaluación y la iniciación de los pagos.

DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,,i,-t)=$1.500R=7% trimestral R=7%:3 mensual R=2,33% mensual i=0,0233t=7 meses

IncógnitaC=?

Calculamos la cuota adelantada con:

19,40$)0233,01(0233,0500.1$)1(),,,(' 171 CCiitiCVC t

LA DIFERENCIA DE TIEMPO EN LA RENTA PERPETUA DIFERIDA ADELANTADA


tiiiCtiCV)1.()1.(),,,('

Despejamos (1+i)t al primer miembro y la renta al segundo, o sea:

itiCViCi t

),,,(')1()1(

Ahora, tomamos logaritmo en ambos miembros, queda:

itiCViCi t

),,,(')1(log)1log(

Aplicamos las propiedades de los logaritmos, o sea:

itiCViCit log),,,('log)1log(log)1log(

84

Y por último, despejamos la diferencia de tiempo, se llega a la fórmula deseada:

log log(1 ) log '( , , , ) loglog(1 )

C i V C i t iti

Por ejemplo:Calcular la diferencia de tiempo que tendrá que haber, si se quiere obtener una renta de $2.000

con el 5% bimestral de interés y una cuota mensual y adelantada de $62,25.

DatosCapitalización: mensual y compuestaV(C,,i,-t)=$2.000R=5% bimestral R=5%:2 mensual R=2,5% mensual i=0,025C=$62,25 adelantada

Incógnitat=?


)1log(log),,,('log)1log(log

iitiCViCt

Reemplazamos, queda:

mesestt 87,9)025,01log(

025,0log000.2$log)025,01log(25,62$log


1. Calcular la renta perpetua diferida que se obtendrá con cuotas mensuales vencidas de $320,31;sabiendo que se gana un interés semestral del 9% y se inician los pagos a 8 meses de la valuación.

2. Resolver el problema anterior con cuota adelantada.3. Calcular la cuota mensual vencida que se debe pagar para obtener una renta perpetua diferida de

$2.800, sabiendo que se gana el 10% cuatrimestral de interés y se inician los pagos a los 14 mesesde valuada la renta.-

4. Resolver el problema anterior para cuotas adelantadas.5. Determinar el tiempo que debe pasar desde la valuación a la iniciación para que cuotas mensuales

adelantadas de $45,30 generen una renta perpetua diferida de $2.930,85; sabiendo que se gana uninterés mensual del 1%.

6. Resolver el problema anterior para cuotas vencidas.

objetivos -...

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