oberflächenintegeale für physiker

Dr. Hempel Mathematische Grundlagen Oberflchenintegral - 6 -

Oberflchenintegral Gnstige Voraussetzung fr eine erfolgreiche Berechnung des Oberflchenintegrals ist eine Parameterdarstellung der Flche. Parameterdarstellung einer Flche Vorstellung: Ein ebenes Flchenstck D wird stetig zu einem Flchenstck S im Raum verformt.

Dabei geht der Punkt (u,v) D ber in den Flchenpunkt (x(u,v); y(u,v); z(u,v)) S mit dem Ortsvektor [ ]),(),,(),,(),( vuzvuyvuxvur =r . Das heit, der Punkt auf der Flche besitzt rumliche Koordinaten (x,y,z), wird aber ber die Parameter (u,v) gewissermaen adressiert.

Die Abbildung ),(),( vurvu

r mit den Komponenten x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v) heit Pa-

rameterdarstellung von S. Die beiden unabhngigen Vernderlichen u und v heien Parameter, Parameterbereich ist D. Hlt man in der Parameterdarstellung des Ortsvektors [ ]),(),,(),,(),( vuzvuyvuxvur =r einen der Parameter konstant, werden die Parameterlinien u = u0 und v = v0 auf der Oberflche dargestellt.

Nun lassen sich entlang der Parameterlinien die Tangentenvektoren durch Differenzieren (partielle Ableitungen) bestimmen.


),(),( 0000 vuruvuru

rr

=

),(),( 0000 vurvvurv

rr

=

sind damit die Tangentenvektoren an die Parameterlinien u = u0 und v = v0 im Punkt ),( 00 vur

r.

Beide Vektoren spannen eine Tangentialebene an S im Punkt ),( 00 vur

r auf - vorausgesetzt, sie sind linear unab-

hngig. Das Kreuzprodukt ),(),( 0000 vurvur vu steht senkrecht auf beiden Tangentenvektoren, also senk-recht auf der Tangentialebene . Der entsprechende Einheitsvektor ),( 00 vun

r in dieser Richtung heit

Flchennormale im Punkt. Flcheninhalt einer gekrmmten Flche Den Inhalt einer gekrmmten Flche wird in 3 Schritten berechnet:

Zerlegung der Flche in Elemente, Approximation der Elemente durch (kleine) Parallelogramme, Summation und Grenzbergang.

Hierzu wird die eben dargestellte Parameterdarstellung der Flche bentigt. 1. Schritt: Zerlegung in Elemente

Die durch ),( vuxx = , ),( vuyy = , ),( vuzz = gegebene Flche wird, wie oben zu sehen, durch die Parameterlinien in Flchenelemente zerlegt.

2. Schritt: Approximation

Das von den vier Parameterlinien u = u0, u = u0 + Du, v = v0, v = v0 + Dv eingeschlossene Flchenelement wird durch ein Parallelogramm DS in der Tangentialebene genhert. Das Paral-lelogramm wird durch die Vektoren uru D

r und vrvD

r gebildet.

Der Flcheninhalt des Parallelogramms erhlt man aus dem Kreuzprodukt:

vurrvrurS vuvu DD=DD=Drrrr

.


3. Schritt: Summenbildung und Grenzbergang

Wird die Flche in die Elemente DSi zerlegt, ergibt sich als Approximation fr den Flcheninhalt

=

DD=D++D+D@n

iiiviiun vuvurvurSSSS

121 ),(),(...

rr .

Bei stndiger Verfeinerung der Flchenelemente erhlt man den genauen Wert des Flchenin-halts:

=

DD=

n

iiiviiun

vuvurvurS1

),(),(limrr

.

Damit ergibt sich der gesuchte Flcheninhalt der gekrmmten Oberflche zu

Beispiel:

Zu bestimmen ist die Oberflche eines hyperbolischen

Paraboloids 22 xyz -= , der von einem Zylinder 122 =+ yx

ausgeschnitten wird. Wie oben angegeben berfhrt man die Darstellung in die gnstig zu bearbeitende Parameterform: Mit xyu +=2 und xyv -=2 ergibt sich

[ ]uvvuvuvur 4,,),( +-=r mit 2122 + vu

Unter Verwendung der oben abgeleiteten Formel fr die Oberflche:

=

D

dudvvr

ur

Srr

mit dem Parameterbereich D ergeben sich

[ ] [ ] [ ]2,44,44;4,1,1;4,1,1 vuvuvr

ur

uvr

vur

---=

-=

=

rrrr

1)(8222 ++=

vu

vr

ur

rr

Fr die gesuchte Oberflche ergibt sich

-

-

--

++=2

21

221

21

21

22

2

2

1)(82

u

u

dudvvuS

Ein bergang zu Polarkoordinaten erweist sich als sinnvoll.

=D

vu dudvvurvurS ),(),(rr


pjj

j

20;sin

221

0;cos

=

=

rv

rru

33,5)1125(6

)18(241

4

182

221

0

23

2

2

0

221

0

2

-=

+=

+=

pp

jp

r

rdrdrS

Oberflchenintegral einer skalaren Funktion Neben der Berechnung des Flcheninhalts teils recht kompliziert geformter Oberflchen lsst sich der Formalismus des Oberflchenintegrals auch zur Lsung anderer Aufgabenstellungen nutzen. Beispiele dafr: - Masse einer gekrmmten Folie mit inhomogener Dichte, - Oberflchenladung eines Krpers - Moment und Schwerpunkt eines gewlbten Blechs - Flssigkeitsstrom oder Wrmestrom durch gekrmmte Oberflchen. Dazu wird auf der Oberflche eine Belegungsfunktion f(x, y, z) definiert. Diese ordnet jedem Flchen-punkt (x, y, z) S einen Wert (z.B. der Dichte) zu. Eine konstante Belegungsfunktion f(x, y, z) = const. = c fhrt zu dem Trivialergebnis der Gesamtbelegung der Oberflche cS. Ist jedoch f(x, y, z) variabel, so ermittelt man die Gesamtbelegung mittels Integration: 1. Schritt: Zerlegung in Elemente

Wie bereits bei der Berechnung von Flcheninhalten mittels Oberflchenintegral gezeigt, wird die Oberflche in Elemente DS1.DSn zerlegt.

2. Schritt: Approximation

Die Belegungsfunktion wird nherungsweise fr jede Teilflchen DSi konstant angenommen. Fr jede Teilflche DSi am Punkt (xi, yi, zi) Si wird fi = f(xi, yi, zi) angenommen. Das ergibt den Nherungswert fiDSi fr die Belegung des Elements DSi und als Approximation der Gesamtbelegung M die Summe nn SfSfSfM D++D+D ...2211 .

3. Schritt: Summenbildung und Grenzbergang

Versucht man sich dem genauen Wert zu nhern, gilt es, die Flchenelemente gegen Null gehen zu lassen (bzw. n ). Damit kann die Belegungsfunktion dann tatschlich als konstant in je-dem Flchenelement angenommen werden. Die Gesamtbelegung erhlt man zu )...(lim 11 nn

nSfSfM D++D=

.

Die rechte Seite entspricht der bekannten Formulierung des Integrals: S

fdS ,


also ist =S

fdSM .

Die praktische Berechnung dieses Flchenintegrals erfordert eine geeignete Darstellung von S. Berechnung Vorausgesetzt die Flche S ist in Parameterdarstellung (wie oben gezeigt) gegeben, so erfolgt die Berechnung durch Zerlegung der Flche durch das oben bereits dargestellte Netz von Parameterli-nien. Wie auch oben schon gezeigt gilt:

vuvurvurS iiviiu DD@D ),(),(rr

.

Damit ergibt sich fr die Gesamtbelegung wobei D der Parameterbereich ist. Zusammengefasst: Die Gesamtbelegung der Oberflche ergibt sich aus der Integration von dSzyxfdM ),,(= , wobei

unter dudvvr

ur

dS

=rr

verstanden wird.

Integrationsbereich ist dabei der Parameterbereich D der Parameter u und v.

Beispiel:

Ist eine Flche S mit Masse einer bekannten Verteilung ( ),,( zyxr ) belegt, so gilt dSzyxdm ),,(r=

Die Gesamtmasse lt sich berechnen:

=S

dSzyxm ),,(r

In gleicher Weise lt sich z.B. die Gesamtladung einer geladenen Flche bei bekannter Verteilung ermitteln.

Zur Ausfhrung der Berechnung empfiehlt es sich, das oben gezeigte Schema zu nutzen:

- Parameterdarstellung

- Ableitung und Flchennormale berechnen

- Integrationsgrenzen festlegen

- Integration ausfhren.

=D

vu dudvvurvurvuzvuyvuxfM ),(),()),(),,(),,((rr


Flu durch eine Flche Wir wollen die betrachtete Flche wie schon bisher durch den Normalenvektor ),,( zyxn

r charakteri-

sieren. Ein solcher Normalenvektor sollte in jedem Punkt der Flche definiert sein. Wird nun diese Flche S von einem Vektorfeld (z.B. einer Strmung mit bekannter Geschwindigkeits-verteilung) durchsetzt, lsst sich an jedem Punkt der Oberfl-che das Skalarprodukt aus Geschwindigkeitsvektor und Nor-malenvektor bestimmen: ),,(),,( zyxnzyxvnv

rrrr=

Damit erhlt man eine auf der gesamten Flche S definierte skalare Funktion. Das Flchenintegral dieser Funktion

S

dSnv )(rr

wird als Fluss oder Vektorfluss von v

r durch S bezeichnet.

Im Beispiel unserer stationren Strmung stellt das Integral das pro Zeiteinheit die Flche durchstr-mende Flssigkeitsvolumen dar. Das ist leicht nachzuvollziehen das Skalarprodukt nv

rr lsst sich

als Hhe eines Quaders verstehen, dS als dessen Grundflche. Das Volumen hat also eine Dimen-sion [Flche Geschwindigkeit], was bei einer stationren Strmung gleichzeitig [Volumen / Zeit] ist. Berechnung Zur Berechnung des Flusses whlen wir wieder die Parameterdarstellung des Ortsvektors r

r und

damit der Flche S ),();,();,( vuzzvuyyvuxx === Diese Parameterdarstellung sollte so gewhlt sein, da an allen Stellen der Flche

0

=vr

ur

rr vurr

rr gilt.

Der Einheitsvektor ),,( zyxn

r ergibt sich dann zu

vu

vu

rrrr

zyxn rrrrr

=),,(

Und der gesuchte Flu des Vektorfeldes v

r durch die Flche S ist

[ ] dudvrrvdudvrrrrrr

vdSnvD

vuvuD vu

vu

S

=

= rrrrr

rrrr

rrr,,)(


dabei bezeichnet [ ]vu rrvrrr

,, das Spatprodukt des Vektors vr

und der Tangentenvektoren vu rrrr

, . Sonderfall Der Graph ),( yxhz = hat die Parameterdarstellung [ ]),(,,),,( yxhyxzyxr =r . Damit ergibt sich fr den Fluss des Feldes v

r durch die Flche S in Richtung der positiven z-Achse:

[ ]

+--=

=

=

Dyx

Dy

x

Dyx

S

dxdyvhvhv

dxdyhhvvv

dxdyrrvdSnv

)(

10

01det

,,)(

321

321

rrrrr

Beispiel

Der Fluss des Feldes [ ]0,2,3 xyv =r

durch das ebene Rechteck xyz203

32

6 --= im Bereich 41;52 yx

betrgt in Richtung der positiven z-Achse

=

+

--

-

4

1

5

2 8417

032

2203

3 dxdyxy

oberflächenintegeale für physiker

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