1

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

ALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI

ALGEBRA VA GEOMETRIYA KAFEDRASI

« DISKRET МАТЕМАТIКА ВА МАТЕМАТIК МАNTIQ» fanidan o’quv-uslubiy

M A J M U A

5460100 – matematika yo’nalishi kunduzgi bo’lim bakalavriat bosqichi talabalari uchun

SAMARQAND-2010

2

ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС

ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ

Руйхатга олинди

№________________

2008 йил “___” ____

Ўзбекистон Республикаси Олий ва ўрта махсус таълим вазирининг 2008 йил “____” _________даги “____”-сонли буйруғи билан тасдиқланган

ДИСКРЕТ МАТЕМАТИКА ВА МАТЕМАТИК МАНТИҚ фанининг

ЎҚУВ ДАСТУРИ

Билим соҳаси: 400000 – Фан Таълим соҳаси: 460000 – Математика ва статистика Таълим йўналиши: 5460100 – Математика

Тошкент – 2008

3

Фаннинг ўқув дастури Олий ва ўрта махсус, касб-ҳунар таълими ўқув-

методик бирлашмалари фаолиятини мувофиқлаштирувчи кенгашнинг 2008 йил «20» августдаги №4 – сон мажлис баёни билан маъқулланган. Фаннинг ўқув дастури Ўзбекистон Миллий Университетида ишлаб чиқилди. Тузувчилар:

Дадажонов Р.Н. - Физика-математика фанлари номзоди, доцент

Ибрагимов Ф.Н. - “Алгебра ва функционал анализ” кафедраси ассистенти

Тақризчилар:

Юнусов А.С. - Тошкент давлат педагогика университети доценти, физика - математика фанлари номзоди.

Эгамбердиев O. - Физика-математика фанлари номзоди, доцент

4

Фаннинг ўқув дастури Ўзбекистон Миллий Университети Илмий-

муслубий кенгашида тавсия қилинган (2008 йилдаги 27 июндаги «9» - сонли баённома)

5

Кириш

Математикада дискрет математика ва математик мантиқ фанининг тутган ўрни беқиёс ва ушбу фан математиканнг асоси хисобланади.

Дискрет математика ва математик мантик фанида тўпламлар назарияси элементлари, муносабатлар, бинар муносабатлар, мулоҳазалар алгебраси, буль функциялари, Пост теоремалари, мулоҳазалар ҳисоби, исбот тушунчаси, “теорема” тушунчаси, предикатлар мантиқи, биринчи тартибли тил, биринчи тартибли назария, талқин ва модел тушунчалари ва уларга оид бўлган масалалар кўрилади.

Алгоритмлар назарияси ва программалаш технологиялари курси Дискрет математика ва математик мантиқнинг бевосита давомидир. Бундан ташқари курс барча информатикавий фанлар билан боғланган. Курс мос таълим йўналиши бакалаврларини тайёрлашда етакчи ўрин тутади.

Ўқув фанининг мақсади ва вазифалари

Мазкур курс мақсади талабаларда дискрет ва мантиқий фикрлаш

қобилиятини ривожлантириш, ҳамда математик кибернетика асосларини ўргатишдан иборатдир.Фаннинг вазифаси эса, талабаларга дискрет математика ва математик мантиқ асосларини бериш, олган назарий билимларини амалиётга қўллай билишга ўргатишдан ва оқибат натижада уларни абстракт фикрлаш маданиятини юксак поғоналарга кўтаришдан иборатдир.

Бошқарилувчи системаларни ўрганувчи функционал системалар назарияси ва математик мантиқ элементлари билан таништириш курснинг асосий вазифасидир.

Фан бўйича талабаларнинг билим, кўникма ва малакасига

қўйиладиган талаблар

« Дискрет математика ва математик мантиқ» ўқув фанини ўзлаштириш жараёнида амалга ошириладиган масалалар доирасида бакалавр:

- математикада дискрет математика ва математик мантиқ фанининг тутган ўрни ва унинг ривожланиш тарихий этаплари, тўпламлар ва улар устида амаллар, муносабатлар, мулоҳазалар, буль функциялари, аксиоматик назария, мулоҳазалар ҳисоби, биринчи тартибли назария, кванторлар, предикатлар мантиқи, предикатлар ҳисоби ҳақида билиши керак;

- тўпламлар устида амаллар бажариш, ростлик жадвалидан фойдаланиш, формулаларни мукаммал нормал шаклга келтириш, назариялар қуриш кўникмаларига эга бўлиши керак;

- тўпламлар назарияси, мантикий фикрлаш принциплари, формулаларнинг нормал шаклларига келтириш, “исбот”ларни қуриш,

6

тўлиқликни аниқлаш, назариянинг зиддиятсизлигини кўрсатиш малакасига эга бўлиши керак;

-

Фаннинг ўқув режадаги бошқа фанлар билан ўзаро боғлиқлиги ва услубий жиҳатдан узвий кетма-кетлиги

Математикада дискрет математика ва математик мантиқ фанининг

тутган ўрни беқиёс. Кўпгина математик объектларни ўрганишда, аввало уларга мос келадиган математик моделлар тузиб олинади. Замонавий компьютерларни дастурлашда ва ахборот технологияларининг назарий асосларида дискрет математика ва математик мантиқ методлари кенг қўлланилади.

Дискрет математика ва математик мантиқ фани математиканинг бошқа бўлимларидан фойдаланади ва аксинча. Масалан, равшанки математик анализ, геометрия ва алгебра, алгоритмлар назарияси билан чамбарчас боғланган.

Фаннинг ишлаб чиқаришдаги ўрни

Мазкур дастурга кўра ушбу фан доирасида кўплаб модель масалалар

ўрганиладики, бу мазкур фанни чуқур ўрганган ҳар бир бакалавр олган билим ва кўникмаларини илмий-тадқиқот ишларида, ахборот технологиялари масалаларини ҳал қилишда, шунингдек, таьлим тизимида самарали фойдаланиши имконини беради.

Фанни ўқитишда замонавий ахборот ва

педагогик технологиялар Дискрет математика ва математик мантиқ курсини ўқитиш маъруза,

амалий машғулотлар, семинар машгулотлари ва мустақил таълим кўринишида олиб бориш билан бирга ўқитишнинг илғор ва замонавий усулларидан фойдаланиш, янги информацион-педагогик технологияларни тадбиқ қилиш муҳим ахамиятга эга. Чунончи, ушбу фанни ўқитиш жараёнида янги математик дастурлар Maple, Mathcad ва мавжуд электрон дарсликлар, вебсайтлардан фойдаланилади.

Асосий қисм

Фаннинг назарий машғулотлари мазмуни

Дискрет математика ва математик мантик фанига кириш. Унинг фанда ва амалиётда тутган ўрни.

7

Тўпламлар назарияси Тўпламлар ва улар устида амаллар. Муносабатлар. Бинар

муносабатлар. Махсус бинар муносабатлар.Эквивалентлик муносабати. Тартибланган тупламлар.

Мулоҳазалар алгебраси Алфавит. Сўз. Мантиқий боғловчилар. Формула. +исмий формула.

Формулаларнинг тенг кучлилиги. Чинлилик жадвали. Мулохазалар алгебраси формуласининг нормал шакллари.

Буль функциялари

Уларнинг берилиш усуллари. Буль функциялари сони. Эркли ва боғлик ўзгарувчилар. Элементар буль функциялари. Формула тушунчаси. Функцияларни формулалар кўринишда ифодалаш. Суперпозиция тушунчаси. Формулаларнинг эквивалентлиги. Элементар функцияларнинг хоссалари. Иккиламчи функциялар. Иккиламчилик принципи. Буль функцияларининг ўзгарувчилар бўйича ёйилмаси. Мукаммал дизъюнктив нормал форма. Мукаммал конъюнктив нормал форма. Жегалкин кўпҳади. Функциялар системасининг тўлиқлиги ва ёпиқлиги. Ёпилма. Бир системанинг тўлиқлигини бошқа тўлиқ система орқали ўрнатиш. Тўлиқ системага мисоллар. Муҳим ёпиқ синфлар. Константаларни сақловчи функциялар синфи. Ўз-ўзига кушма функциялар синфи. Монотон функциялар синфи. Чизиқли функциялар синфи. Максимал синфлар. Пост теоремалари.

Аксиоматик назария

Хисоб тушунчаси. Мулоҳазалар ҳисоби. Келтириб чикариш. Исбот тушунчаси. Исботланувчи формула таърифи. Теорема тушунчаси.Мулоҳазалар ҳисобининг аксиомалари. Дедукция теоремаси. Умумлашган дедукция теоремаси. Конъюкцияни киритиш қоидаси. Дизъюнкцияни киритиш қоидаси. Шартларнинг ўрин алмаштириш қонуни. Шартларни бирлаштириш қонуни. Шартларни ажратиш қонуни.Ҳосилавий келтириб чиқариш қоидалари. Бир вақтда ўрнига қўйиш қоидаси. Мураккаб хулоса қоидаси. Силлогизм қоидаси. Контрпозиция қоидаси. Икки марталик инкорни тушириш қоидаси.

Формулаларнинг монотонлиги тушунчаси. Мантиқий амалларнинг монотонлиги ҳақидаги теоремалар. Формулаларнинг эквивалентлиги. Эквивалентлик ҳақидаги теорема. Мулоҳазалар ҳисобининг зиддиятли эмаслиги. Мулоҳазалар ҳисобининг тўлиқлиги.Мулоҳазалар ҳисоби аксиомалари системасининг эркинлиги.

Предикатлар мантиқи

Предикат (мантиқий функция) тушунчаси. Предметлар соҳаси. Ўзгармас предметлар ва ўзгарувчи мулоҳазалар. Элементар формулалар.

8

Предикатларнинг қийматлари.Кванторлар. Умумийлик квантори. Мавжудлик квантори. Предикатлар макнтикининг алфавити. Терм тушунчаси. Формула таърифи. Формула қиймати. Тенг кучли формулалар. Асосий тенг кучли формулалар. Бажарилувчи формулалар. Умумқийматли формулалар. Айнан чин формула. Айнан ёлғон формула. Мантиқ қонуни. Умумқийматли ва бажарилувчи формулалар ҳақидаги теоремалар. Предикатлар мантиқи формуласининг нормал шакли. Формуланинг деярли нормал шакли. Формуланинг нормал шакли.Ечилиш муаммоси. Чекли соҳаларда ечилиш муаммоси. Ёпиқ формула. Формуланинг умумий ёпилиши. Формуланинг мавжудлигини ёпиш. Таркибида бир турдаги квантор амали қатнашган нормал шаклдаги формулалар учун ечилиш муаммоси.

Аксиоматик предикатлар ҳисоби

Предикатлар ҳисобининг аксиомалари системаси. Умумийлик ва мавжудлик кванторларини киритиш қоидаси. Ечилиш, зиддиятсизлик, тўлиқлилик ва эркинлик муаммолари.

Биринчи тартибли назария

Мантиқий аксиомалар. Хос аксиомалар. Келтириб чиқариш қоидалари. Хулоса қоидаси. Умумлаштириш қоидаси. Исботлаш тушунчаси. Теорема. Назария тилининг талкини (интерпретацияси). Берилган интерпретацияда формулаларнинг чинлик қийматлари. Формулаларнинг бажарилувчанлиги. Назариянинг модели. Изоморфизм.Биринчи тартибли назарияда ечилиш, зиддиятсизлик ва тўлиқлик муаммолари.

Амалий машғулотларини ташкил этиш

бўйича кўрсатма ва тавсиялар

Амалий машғулотларни ўтказишдан мақсад маьруза материаллари бўйича талабалар билим ва кўникмаларини чуқурлаштириш ва кенгайтишдан иборатдир.Шу мақсадда ҳамма мавзуларга доир ва етарли миқдордаги масалалар ечиш назарда тутилади. Семинар машғулотларида эътибор тегишли мавзуларни талабалар мустақил ўрганиб, маъруза қилишга тайёрланиш, мавзуни таҳлил қилиб фикрлаш ва нотиқлик қобилиятини оширишга йўналтирилади.

Амалий машғулотларнинг тахминий тавсия этиладиган мавзулари: 1. Тўпламлар устида амаллар. Тўплам Булеани. Декарт кўпайтма.

Муносабатлар ва функциялар. Тартиб муносабати турлари. 2. Мулоҳаза тушунчаси. Ростлик жадваллари. 3. Пропозиционал форма тушунчаси. Тавтология тушунчаси. 4. Мантиқий натижалар ва мантиқий эквивалентликлар. 5. Дизьюнктив ва Коньюнктив нормал формалар. Мукаммал дизьюнктив

ва коньюнктив формалар.

9

6. Ростлик ёки Буль функциялари. Элементар функциялар. 7. Умумий формал аксиоматик назария. Формал аксиоматик назарияларда

келтириб чиқариш, теорема тушунчалари. 8. Умумий формал аксиоматик назарияларнинг ҳоссалари. 9. Мулоҳазалар алгебраси учун L формал аксиоматик назария. 10. Дедукция теоремаси. L даги келтириб чиқаришлар. 11. Гёделнинг тўлиқлик ҳақидаги теоремаси ва ундан келиб чиқадиган

натижалар. 12. Предикатлар ва улар устида амаллар. Умумийлик ва мавжудлик

кванторлари. 13. Бажарилувчи ва айнан рост (тавтология) предикатлар. Предикатлар

алгебрасида формула тушунчаси. 14. Баъзибир формулаларнинг эквивалентлигини кўрсатиш. 15. Предикатлар алгебрасидаги мантиқий қонунлар. 16. Предикатлар алгебраси учун формал аксиоматик назария символлари,

формула тушунчаси. 17. Предмет ўзгарувчисининг формулаларга боғлиқли ва боғлиқсиз

киришлари. Термнинг берилган формула учун эркли ёки эрксиз эканлигини аниқлаш.

18. Интерпретация ва модель тушунчалари. 19. Биринчи тартибли назария. 20. Баъзибир метатеоремалар.

Мустақил ишни ташкил этишнинг

шакли ва мазмуни

Талабаларга алгебра ва сонлар назарияси фанидан мустақил ишларни қуйидагича ташкил қилинади:Амалий машғулотларга тайёргарлик;Уй вазифаларини бажариш; Назарий билимларни ўзлаштириш; Семинар машғулотларида маъруза қилишга тайёрланиш; Мустақил иш учун мўлжалланган назарий ва амалий билим мавзуларини ўзлаштириш.

Мустақил ишларнинг тавсия этиладиган мавзулари: 1. Буль функциялари. Элементар буль функциялари. 2. Функцияларни формулалар кўринишда ифодалаш. 3. Формулаларнинг эквивалентлиги. 4. Иккиламчи функциялар. Иккиламчилик принципи. 5. Функциялар системасининг тўлиқлиги ва ёпиқлиги. 6. Константа сақловчи функциялар синфи. 7. Ўз-ўзига иккиламчи функциялар синфи. 8. Монотон функциялар синфи. 9. Чизиқли функциялар синфи. 10. Функциялар системаси тўлиқлигининг зарурий ва етарли шарти. 11. Минималлаш операцияси.

10

12. Исботланувчи формула. 13. Ҳосилавий келтириб чиқариш қоидалари. 14. Дедукция теоремаси. Умумлашган дедукция теоремаси. 15. Мантиқий амалларнинг монотонлиги ҳақидаги теоремалар. 16. Эквивалентлик ҳақидаги теорема. 17. Мулоҳазалар алгебраси ва мулоҳазалар ҳисоби орасидаги боғланиш. 18. Мулоҳазалар ҳисобининг зиддиятли эмаслиги. 19. Мулоҳазалар ҳисобининг тўлиқлиги. 20. Мулоҳазалар ҳисоби аксиомалари системасининг эркинлиги. 21. Предикат (мантиқий функция). Бир ўринли предикат. Кўп ўринли

предикат. 22. Предикатлар мантиқи формуласининг нормал шакли. 23. Бажарилувчи формулалар. Умумқийматли формулалар. Айнан чин

формула. Айнан ёлғон формула. 24. Мантиқ қонуни. Умумқийматли ва бажарилувчи формулалар ҳақидаги

теоремалар. 25. Ечилиш муаммоси. 26. Аксиоматик предикатлар ҳисоби. Предикатлар ҳисобининг

аксиомалари системаси. Умумийлик ва мавжудлик кванторларини киритиш қоидаси.

27. Ечилиш, зиддиятсизлик, тўлиқлилик ва эркинлик муаммолари. 28. Биринчи тартибли тил. Мантиқий аксиомалар. Хос аксиомалар.

Келтириб чиқариш қоидалари. Исботлаш тушунчаси. Теорема. 29. Назария тилининг интерпретацияси. Назариянинг модели.

Изоморфизм. 30. Биринчи тартибли назарияда ечилиш, зиддиятсизлик ва тўлиқлик

муаммолари.

Дастурнинг информацион-услубий таъминоти

Фанни ўқитиш жараёнида ўргатувчи дастурлардан, шунингдек Maple, MathCad, Mathlab ва бошқа дастурлар тўпламларидан фойдаланилади. Замонавий педагогик ва информацион технологиялар методлари қўлланилади.

Фойдаланиладиган асосий дарсликлар ва ўқув

қўлланмалар рўйхати

Асосий дарсликлар ва ўқув қўлланмалар 1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984 2. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1986.

11

3. Тураев Х.Т., Математик мантик ва дискрет математика.- Т., Укитувчи,2003.

4. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физ.-мат. литература, 1995.

Қўшимча адабиётлар

1. Тухтасинов М., Дискрет математика ва математик мантик.- Т.,

Университет, 2005. 2. Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс

математической логики. М.: МГУ, 1991. 3. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по дискретной

математике. - М.: Наука. -1969. 4. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М.: Наука, 1987. 5. Клини С. К. Математическая логика. М.: Мир, 1973 6. Partee B., ter Meulen A., Wall R. Mathematical Methods in Linguistics.

Dordrecht: Reidel, 1989. 7. Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. – М.: Наука, 1972. 8. Мальцев А. И. Алгебраические системў. – М.: Наука, 1970. 9. http://dimacs.rutgers.edu/ 10. http://epubs.siam.org/sam-bin/dbq/toclist/SIDMA 11. http://www.vsppub.com/journals/jn-DisMatApp.html 12. http://www.uni-bonn.de/logic/world.html 13. http://www.math.uni-bonn.de/people/logic/ 14. http://www.math.uu.se/logik/logic-server/ 15. http://dmoz.org/Science/Math/Logic/

12

«Tasdiqlayman» O’quv ishlari bo’yicha rektor muovini prof. Soleev A.S «____»__________2010 yil

Mexanika-matematika fakulteti Algebra va geometriya kafedrasi

5 460100 MATEMATIKA fanlari bakalavri ixtisosligi

“DISKRET MATEMATIKA VA MATEMATIK MANTIQ” FANI BO’YICHA

I SH CH I D A S T U R

2010-2011 o’quv yili

Ma’ruzalar – 20 soat Amaliy mashg’ulotlar – 22 soat Mustaqil ish – 50 soat Jami – 92 soat.

Samarqand - 2010

Fanning ishci oquv dasturi “ 5460100 – matematika” ta’lim yo’nalishi o’quv rejasi va “Diskret matematika va matematik mantiq” va matematik mantiq” fani o’quv dasturiga muvofiq ishlab chiqildi.

13

Tuzuvchi: Ro’zimuradov H. Taqrizchi: Ergashev V. Fanning ishci oquv dasturi mexanika-matematika fakul’teti o’quv – uslubiy

kengashining 2010 yil 30 avgustdagi 1-son majlisida muhokama etiladi va ma’qullanadi.

O’quv – uslubiy kengash raisi: dots. E.Sattorov

Fanning ishci oquv dasturi mexanika-matematika fakul’teti ilmiy kengashining 2010 yil 30 avgustdagi 1-son qarori bilan tasdiqlandi.

Ilmiy kengash raisi: H.Qurbonov

Kafedra mudiri: 2010 yil “____”______ _________dots.X.X.Ruzimuradov (imzo)

14

“Diskret matematika va matematik mantiq” va matematik mantiq” o’quv predmeti bo’yicha

D A S T U R

Kirish Matematik mantiq fanining asosiy maqsadiga matematikaning eng muhim

tushunchalaridan isbot, teorema, keltirib chiqarish tushunchalarini formal aksiomatik nazariya asosida o`quvchilarga etkazib berish kiradi. Bundan tashqari, matematik mantiq fani o`quvchilarni to`g’ri mulohaza yurgizishga o`rgatadi.

Fanning asosiy vazifasi talabalarga bilim berish bilan birga ularning abstrakt fikrlash qobiliyatini kuchaytirishga yo`naltirilgan.

Matematik mantiq va Diskret matematika va matematik mantiq” fani elektron - hisoblash mashinalari, matematik naliz, algebra va geometriya fanlari bilan uzviy bog’langandir.

Ushbu fanning mutaxassis tayyorlashda tutgan o`rni beqiyosdir, chunki bu fanni chuqur o`rgangan talaba to`g’ri fikrlash qobiliyatiga ega bo`libgina qolmay, balki mantiqiy qonunlarni amaliyotga qo`llay bilishi bilan ham ajralib turadi.

Ushbu fanda to`plamlar nazariyasi, mulohazalar algebrasi, aksiomatik nazariyalar, predikatlar hisobi, birinchi tartibli nazariya va Diskret matematika va matematik mantiq” ning asosiy teoremasi bo`lgan post teoremasi va undan kelib chiqadigan natijalar beriladi.

Ma’ruza mavzulari

To`plamlar nazariyasi. To`plam. To`plam ustida bajariladigan amallar.

To`plam Buleani. Dekart ko`paytma. Munosabatlar va funktsiyalar. Tartib munosabatlar turlari.

Mulohazalar algebrasi. Mulohaza tushunchasi. Rostlik jadvallari. Propozitsional forma tushunchasi. Tavtologiya tushunchasi. Tavtologiya haqida teoremalar. Mantiqiy natijalar va tez-tez uchrab turadigan mantiqiy ekvivalentlar. Diz'yunktiv va Kon'yuktiv normal formalar. Mukammal diz'yunktiv va kon'yuktiv formalar. Rostlik yoki Bul' funktsiyalari. Elementar funktsiyalar. Superpozitsiya tushunchasi. Yopilma va to`liqlik tushunchalar, ular orasidagi munosabatlar. Post teoremasi va undan kelib chiqadigan natijalar.

Predikatlar algebrasi. Predikat tushunchasi. Ular ustida bajariladigan amallar. Umumiylik va mavjudlik kvantorlar. Bajariluvchi va aynan rost (tavtologiya) predikatlar. Predikatlar algebrasida formula tushunchasi. Interpretatsiya va model' tushunchalari. Ba`zi bir formulalarning ekvivalentligini ko`rsatish. Predikatlar algebrasidagi mantiqiy qonunlar.

Aksiomatik nazariya. Umumiy formal aksiomatik nazariya tushunchasi. Formal aksiomatik nazariyalarda keltirib chikarish, teorema tushunchalari. Umumiy formal aksiomatik nazariyalarning ba`zibir xossalari. Muloxazalar algebrasi uchun L formal aksiomatik nazariya. Deduktsiya teoremasi. L dagi ba`zibir keltirib chikarishlar. Gyodelning tuliklik xakidagi teoremasi va undan kelib chikadigan natijalar.

15

Predikatlar algebrasi uchun formal aksiomatik nazariya. Predikatlar algebrasi uchun formal aksiomatik nazariya simvollari, formula tushunchasi. Predmet uzgaruvchisining formulalarga boglikli va bokliqsiz kirishlari. Termning berilgan formula uchun erkli yoki erksiz ekanligini aniklash. Interpretatsiya va model' tushunchalari. Birinchi tartibli nazariya. Misollar. Ba`zibir metateoremalar. Zid bulmagan formal aksiomatik nazariyalar uchun ularning modellari mavjudligi xakidagi teorema. Undan kelib chikadigan natijalar.

Amaliy mashg’ulotlar mavzulari Tuplamlar ustida amallar. Tuplam Buleani. Dekart kupaytma. Munosabatlar

va funktsiyalar. Tartib munosabati turlari. Muloxaza tushunchasi. Rostlik jadvallari. Propozitsional forma tushunchasi. Tavtologiya tushunchasi. Mantikiy natijalar va mantiliy ekvivalentliklar. Diz'yunktiv va Kon'yunktiv normal formalar. Mukammal diz'yunktiv va kon'yunktiv formalar. Rostlik yoki Bul' funktsiyalari. Elementar funktsiyalar. Predikatlar va ular ustida amallar. Umumiylik va mavjudlik kvantorlari. Bajariluvchi va aynan rost (tavtologiya) predikatlar. Predikatlar algebrasida formula, tushunchasi. Interpretatsiya va model' tushunchalari. Ba`zibir formulalarning ekvivalentligini kursatish. Predikatlar algebrasidagi mantikiy konunlar. Umumiy formal aksiomatik nazariya. Formal aksiomatik nazariyalarda keltirib chikarish, teorema tushunchalari. Umumiy formal aksiomatik nazariyalarning xossalari. Muloxazalar algebrasi uchun L formal aksiomatik nazariya. duktsiya teoremasi. L dagi keltirib chikarishlar. Gyodel-ng tuliklik xakidagi teoremasi va undan kelib chikadigan natijalar. Predikatlar algebrasi uchun formal aksiomatik nazaya simvollari, formula tushunchasi. Predmet o`zgaruvchisining formulalarga boglikli va bogliksiz kirishlari. Termning berilgan formula uchun erkli yoki erksiz ekanligini aniklash. Interpretatsiya va model' tushunchalari. Birinchi tartibli nazariya. Ba`zibir metateoremalar.

Mustaqil ta’lim mavzulari Amaliy mashg’ulotlarga nazariy tayyorgarlik ko’rish. To’plamlar ustida amallarning xossalari. Dekart ko’paytmaning xossalari. Maxsus binar munosabatlar. Qisman tartib munosabati. Muloxazaviy formalar. Bir necha o’zgaruvchili formulalar uchun rostlik jadvali. Mantiqiy amallarning to’liq sistemalari. Mukammal konyuktiv normal formalar. Mulohazalar algebrasi formulalarning ba’zi tatbiqlari. Predikatlarga misollar. Interpretasiya. Predikatlar algebrasi formulalarining teng kuchliligi. Har xil mulohazalarni predikatlar algebrasi tilida ifoda etish. Ba’zi bir teoremalarning isbotlarini qurish. Deduksiya teoremasining natijasi. Gyodelning to’liqlik haqidagi teoremasidan kelib chiqadigan natijalar. Predikatlar algebrasi uchun aksiomalar sistemasi. Predmet o’zgaruvchilarning formulalarda bog’liqli va bog’liqsiz qatnashishlari. Termlar. Termlarga misollar.

16

Darsliklar va o’quv qo’llanmalar ro’yxati Asosiy

1. E.Mendelson. Vvedeniye a matematicheskuyu logiku. M. “Nauka”1984 g. 320 b.

2. Yu.L.Yershov, Ye.A.Palyutin. Matematicheskaya logika. M. “Nauka”1979 g. 320 b.

3. T.Yoqubov, S.Kalinbekov. matematik mantiq elementlari. T. “O’qituvchi” 1996 y. 270 bet.

4. I.A.Lavrov, L.L.Maksimova. zadachi po teorii mnojestv, matematicheskoy logiki i teorii algoritmov. M. “Nauka”1984 g. 223 b.

DISKRET MATEMATIKA VA MATEMATIK MANTIQ” FANI

BO”YICHA Mavzularning mashg’ulot turlari bo’yicha soatlarda taqsimlanishi

№

Mavzuning nomi va uning mazmuni m

a’ru

za

Am

aliy

m

ashg

ulot

Mus

taqi

l is

h

1 2 3 4 6 1 1. To’plamlar nazariyasi. 2 To’plam. To’plam ustida bajariladigan

amallari. To’plam Buleani. Dekart ko’paytma.

2 2 4

3 Munosabatlar va funksiyalar. Tartib munoasabatlar turlari.

2 2

4 2. Mulohazalar algebrasi 5 Mulohaza tushunchasi. Rostlik jadvallari.

Propozitsional forma tushunchasi. Tavtologiya tushunchasi. Tavtologiya haqida teoremalar.

2 2 4

6 Mantiqiy natijalar va tez-tez uchrab turadigan mantiqiy ekvivalentliklar

2 2 2

7 Dizyunktiv va konyuktiv normal formalar. Mukammal dizyunktiv va konyuktiv normal formalar.

2 2 4

8 Rostlik yoki Bul funksiyalari. Elementar funksiyalar. Superpozitsiya tushunchasi.

1 1 2

9 Yopilma va to’liqlik tushunchalari, ular orasidagi munosabatlar. Post teoremasi va undan kelib chiqadigan natijalar.

1 1 4

3 3. Predikatlar algebrasi 11 Predikat tushunchasi. Ular ustida

bajariladigan amallar. Umumiylik va 2 2 2

17

mavjudlik kvantorlari. Bajariluvchi va aynan rost predikatlar

12 Predikatlar algebrasida formula tushunchasi. Interpretatsiya va model tushunchalari.

1 2 2

13 Ba’zi bir formulalarning ekvivalentligini ko’rsatish. Predikatlar algebrasida mantiqiy qonunlar.

1 2 2

4 4. Aksiomatik nazariya. 14 Umumiy formal aksiomatik nazariya

tushunchasi. Formal aksiomatik nazariyada keltirib chiqarish va teorema tushunchalari.

1 2 2

16 Umumiy formal aksiomatik nazariyalarning ba’zi bir xossalari. Mulohazalar algebrasi uchun L formal aksiomatik nazariya..

1 2

17 Deduksiya teoremasi 1 2 4 18 L dagi ba’zi bir keltirib chiqarishlar.

Gyodelning to’liqlik haqidagi teoremasi va undan kelib chiqadigan natijalar.

1 2

19 5. Predikatlar algebrasi uchun formal aksiomatik nazariya

20 Predikatlar algebrasi uchun formal aksiomatik nazariya simvollari, formula tushunchasi. Predmet o’zgaruvchilarning formulalarga bog’liqli va bog’liqsiz kirishlari. Termning berilgan formula uchun erkli yoki erksiz ekanligini aniqlash.

1 2

21 Interpretatsiya va model nushunchalari.. 2 22 Birinchi tartibli nazariya . Misollar. Ba’zi bir

metateoremalar. 1 4

23 Zid bo’lmagan formal aksiomatik nazariya uchun ularning modellari mavjudligi haqidagi teorema. Undan kelib chiqadigan natijalar.

4

Jami 20 22 50

18

DISKRET MATEMATIKA VA MATEMATIK MANTIQ” FANI BO’YICHA

REYTING NAZORATLARI GRAFIGI

Ishchi o’quv

dasturidagi mavzular

tartib raqami

(qo’shimcha topshiriq mazmuni)

Umumiy soat Baholash turi

Nazorat shakli

Bali

Muddati (hafta )

Ma’

ruza

Am

aliy

m

ashg

’ulo

t La

bora

toriy

a M

usta

qil i

sh

Jam

i

Max.

ball

Sar. ball

1 – modul. 1-17 20 22 JB Yozma 35 Har

hafta

1-17 20 22 OB Yozma 35 Jadval bo’yicha

Joryi va oraliq nazoratlar yig’indisidan saralash bali

70 39

1 - 17 YaB Yozma, og’zaki

30 jadval bo’yicha

JAMI: 20 22 100 55

JNlar uchun ajratilgan maksimal ballning taqsimlanishi: (maks 35) № 35 1-JB

(17) 2-JB (18)

1 Dars jarayonida amaliy ishlarni bajara olishiga

10 5 5

2 Joriy yozma ishlar 10 5 5 3 Yozma uy vazifasi 8 4 4 4 Mustaqil ta’lim (referat, ijodiy ish, hisobot,

taqdimot) 7 3 4

ONlar uchun ajratilgan maksimal ballning taqsimlanishi: (maks 35) № Oraliq yozma ishi 35 1-ОB (35) 1 Nazariy savol -1 8 8 2 Nazariy savol-2 8 8 3 3-misol 6 6 4 4-misol 6 6 5 Mustaqil ta’lim (referat, ijodiy ish, hisobot,

taqdimot yoki yozma ish savoli) 7 7

19

YaN uchun ajratilgan maksimal ballning taqsimlanishi: (maks 15) № Yakuniy yozma ish yoki

og’zaki so’rov 30

1 Nazariy savol- 1 6 2 Nazariy savol -2 6 3 3-misol 6 4 4-misol 6

Izoh: Qisqa joriy yozma ishlar, darsdagi fa’olligi uchun, yozma uy vazifalari uchun va og’zaki savol javoblar uchun olgan ballarning o’rtachasi jurnallarga qayd etiladi.

DISKRET MATEMATIKA VA MATEMATIK MANTIQ” FANIldan

talabalar bilimini baholash mezonlari

1. Talabalarningbilim, ko’nikma va malaka darajalari

100 ballik shkala bilan o’lchanadi. Miqdoriy ko’rsatkich Sifat ko’rsatkich

86 -100 ball «a’lo» 71-85 ball «yaxshi» 56- 70 ball «qoniqarli» 47 – 55 ball «qoniqarsiz» 0 – 46 ball «yomon»

2. Nazoratlar turlari, soni va shakli

№ Nazorat turi

soni Nazorat shakli Maksimal ball

Saralash ball

O’tkazish vaqti

JN ON YaN

2 1 1

Og’zaki,yozma,test Og’zaki,yozma,test Yozma,og’zaki, test

45 40 15

25 22 9

Jadval bo’yicha

3. Og’zaki va yozma nazorat natijalarini baholash mezonlari

«a’lo» baho (86, 100)ball qo’yiladi: Munosabatlar va funksiyalarning asosyi xossalarini bilishi va ularni qo’llay

olishi kerak. Tartib munoasabatlarning turlarini bilishi va misollar keltira olishi kerak. Propozitsional forma tushunchasiga ega bo’lishi, Tavtologiya haqida teoremalarni isbotlay olishi kerak. Mantiqiy natijalar va mantiqiy ekvivalentliklarni isbot qila olish va ularni formulalarni soddalashtirishda qullay bilish. Formulalarni dizyunktiv va konyuktiv normal formalarini topa olishi, Mukammal dizyunktiv va konyuktiv normal formalarga keltira olishi kerak. Rostlik yoki Bul funksiyalarini, elementar funksiyalar, funksiyalar superpozitsiyasi tushunchalariga ega bo’lishi kerak. Yopilma va to’liqlik

20

tushunchalarini, ular orasidagi munosabatlarni bilishi. Post teoremasi va undan kelib chiqadigan natijalarni bilishi kerak. Predikat tushunchasi. Ular ustida bajariladigan amallar. Umumiylik va mavjudlik kvantorlari. Bajariluvchi va aynan rost predikatlar,Predikatlar algebrasida formula tushunchasi. Interpretatsiya va model tushunchalariga ega bo’lishi lozim. Ba’zi bir formulalarning ekvivalentligini ko’rsata olishi, predikatlar algebrasida mantiqiy qonunlarning isbotini bilishi lozim. Umumiy formal aksiomatik nazariya tushunchasiga, Formal aksiomatik nazariyada keltirib chiqarish va teorema tushunchalariga ega bo’lishi kerak. Umumiy formal aksiomatik nazariyalarning ba’zi bir xossalarinin isbotlay olishi. Mulohazalar algebrasi uchun L formal aksiomatik nazariya tushunchasiga ega bo’lishs kerak Deduksiya teoremasining isbotlay olishi, L dagi ba’zi bir keltirib chiqarishlarni, Gyodelning to’liqlik haqidagi teoremasi va undan kelib chiqadigan natijalarni bilishi kerak. Predikatlar algebrasi uchun formal aksiomatik nazariya simvollari, formula tushunchasi. Predmet o’zgaruvchilarning formulalarga bog’liqli va bog’liqsiz kirishlari. Termning berilgan formula uchun erkli yoki erksiz ekanligini aniqlash. Interpretatsiya va model nushunchalari.. Birinchi tartibli nazariya . Misollar. Ba’zi bir metateoremalar.

Zid bo’lmagan formal aksiomatik nazariya uchun ularning modellari mavjudligi haqidagi teorema. Undan kelib chiqadigan natijalarni bilishi lozim.

«yaxshi» baho (71, 85) ball qo’yiladi: Munosabatlar va funksiyalarning asosyi xossalarini bilishi va ularni qo’llay

olishi kerak. Tartib munoasabatlarning turlarini bilishi va misollar keltira olishi kerak. Propozitsional forma tushunchasiga ega bo’lishi, Tavtologiya haqida teoremalarni isbotlay olishi kerak. Mantiqiy natijalar va mantiqiy ekvivalentliklarni isbot qila olish va ularni formulalarni soddalashtirishda qullay bilish. Formulalarni dizyunktiv va konyuktiv normal formalarini topa olishi, Mukammal dizyunktiv va konyuktiv normal formalarga keltira olishi kerak. Rostlik yoki Bul funksiyalarini, elementar funksiyalar, funksiyalar superpozitsiyasi tushunchalariga ega bo’lishi kerak. Predikat tushunchasi. Ular ustida bajariladigan amallar. Umumiylik va mavjudlik kvantorlari. Bajariluvchi va aynan rost predikatlar,Predikatlar algebrasida formula tushunchasi. Interpretatsiya va model tushunchalariga ega bo’lishi lozim. Ba’zi bir formulalarning ekvivalentligini ko’rsata olishi, predikatlar algebrasida mantiqiy qonunlarni bilishi lozim. Umumiy formal aksiomatik nazariya tushunchasiga, Formal aksiomatik nazariyada keltirib chiqarish va teorema tushunchalariga ega bo’lishi kerak. Deduksiya teoremasining isbotlay olishi, L dagi ba’zi bir keltirib chiqarishlarni, Gyodelning to’liqlik haqidagi teoremasi va undan kelib chiqadigan natijalarni bilishi kerak.

21

«qoniqarli» baho (55, 70) ball qo’yiladi: Munosabatlar va funksiyalarning asosyi xossalarini bilishi va ularni qo’llay

olishi kerak. Propozitsional forma tushunchasiga ega bo’lishi, Tavtologiya haqida teoremalarni bilishi kerak. Mantiqiy natijalar va mantiqiy ekvivalentliklarni formulalarni soddalashtirishda qullay bilish. Formulalarni dizyunktiv va konyuktiv normal formalarini topa olishi kerak. Predikat tushunchasi. Ular ustida bajariladigan amallar. Umumiylik va mavjudlik kvantorlari. Bajariluvchi va aynan rost predikatlar,Predikatlar algebrasida formula tushunchasini bilishi lozim. Umumiy formal aksiomatik nazariya tushunchasiga kerak. Deduksiya teoremasini bilishi kerak.

«qoniqarsiz» baho (0, 55) ball qo’yiladi: Kafedra tomonidan ishlab chiqilgan “minimal talablar” bajara olmasa.

4. Bilim, ko’nikma va malaka darajalarini o’lchash

bo’yicha umumiy tavsiyalar

1. Nazorat uchun ajratilgan maksimal ballni topshiriqlar soniga bo’lib, xar bir topshiriqlar uchun maksimal ballni aniqlash.

2. Eng yaxshi bajarilgan ishni namuna (etalon) sifatida tanlab olish. 3. o’lchov birligini shartli ravishda aniqlab olish. 4. Ko’chirmachilik va o’zaro yordam kabi subyektiv holatlarni e’tiborga olish. 5. Baholash jarayonida nisbiylik prinsipiga amal qilish. 6. Baholash jarayonida obyektivlik prinsipiga amal qilish. 7. Tushunchalarni ta’rifi bo’yicha aniqlay olish darajasini tekshirish. 8. Tasdiqlar shartlarining bajarilishini tekshira olish darajasini aniqlash. 9. Tasdiqlarni inkorlovchi (rad etuvchi) misollar keltira olishini tekshirish. 10. O’zlashtirilgan BKMlarni takroriy bal olishlariga yo’l quymaslik.

Miqdoriy ko’rsatkichlarning chegaraviy ballarini (46. 47. 55. 56. 70. 71. 85. 86) aniqroq o’lchashga harakat qilish

22

МАЪРУЗАЛАР

КИРИШ

Математик мантиқ, математикага оид исботларни ўрганадиган ва математика фанини асослайдиган ҳозирги кундаги изланишларда ҳал қилувчи рол ўйнайди, у барча математикага оид фанлар системасига кириб боради, унинг базасида математика фани-қатъий мантиқан қурилиши мумкин бўлади, яъни зиддиятга эга бўлмайди.

Математикага ва физикага тааллуқли изланишлар жараёни шундай нозик тушунчаларни ўрганишни, айрим муаммоларни ҳал этишни, таҳлил қилишни талаб этадики, уларни фақат математик мантиқ ёрдамидагина ҳал этиш мумкин. Инсоният кўп вақтлардан бери ўзи учун нафақат оғир жисмоний меҳнатни, балки ақлий меҳнатларни ҳам бажара олувчи асбоб ва машиналарни яратишга интилиб келди. Ҳозирги кундалик ҳаётимизнинг кўп тармоқларига кириб, яқиндан ёрдам бераётган электрон ҳисоблаш машиналари (ЭҲМ) инсониятни ўша орзуларининг рўёбга чиқишидир. Бу машиналарни барпо этилишида математик мантиқнинг хизмати беқиёсдир. Математик мантиқ автоматлаштиришнинг асосигина бўлиб қолмай балки, у «Одам мия фаолиятини давом эттирувчи машиналарни яратишда хизмат қиладиган, автоматиканинг олий бўлими-кибернетикани ривожланиши учун ҳам асос бўлиб хизмат қилади». Юқорида зикр қилинган мулоҳазалар, математик мантиқни, ҳозирги кундаги фанлар орасида салмоқли ўрин эгаллашидан далолат беради. Мантиқ (логика) алоҳида фан сифатида эрамиздан аввалги IV асрда вужудга келган. Унинг асосчиси-юнон файласуфи Аристотелдир (эрамиздан олдинги 384-322 йиллар). У мантиқий (логик) таълимотларни баъзи тарқоқ бўлакларини бир системага келтирган бўлиб, у ҳозиргача формал мантиқ сифатида сақланиб келмоқда.

Немис файласуфи Кант XVIII асрнинг охирида шундай деган эди: «Аристотель замонидан бери мантиқ назарий жиҳатдан деярли ривожланмади, ва афтидан унинг интиҳоси ҳам шу бўлса керак».

XVII асрдан бошлаб фанларнинг гуркираб ривожланиши бошланди, айниқса математикада марказий ўринни ўзгарувчи миқдорлар таҳлили эгаллади.

Ўзгарувчи миқдорлар таҳлили фан ва техниканинг барча соҳаларида кескин бурилишлар ясади.

Олий математика майдонга келди. Унинг асосчилари - Декарт, Паскаль, Ньютон, Лейбниц ва уларнинг

давомчилари математиканинг келгуси ривожи учун Аристотель мантиқининг етарли эмаслигини аниқ сезадилар.

Формал мантиқни янгилаш ва тўлдириш учун изланишлар бошланади.

23

Мантиқни реформа қилиш мумкинлигини аниқлаш, немис олими, улуғ математик Готфрид Вильгельм Лейбницниг (1646-1716) хизматидир. Унда болалик йилларидаёқ, ҳар бир асосий тушунчасини алоҳида белгилаш символига эга бўлган янги фанни яратиш зарурияти ва мумкинлиги ғояси туғилди. «Бу символлар учун, уларни бирлаштирадиган қоидаларни жорий қилмоқ керак ва у ҳолда худди математикадагига ўхшаш ҳар қандай муҳокама бирор ҳисоб кўринишини олади». Лейбницнинг фикрича, мантиқ, «ҳисоблаш санъати» бўлиши, олимлар ва файласуфларнинг тортишувлари хотиржам ҳисоблашлар билан ҳал этилиши керак.

Бир юз эллик йилдан кейин Лейбниц ғоялари, яна чех математиги Больцано (1781-1848) томонидан изҳор этилди, лекин Больцанони бошқа илғор ғоялари католик черкови томонидан иғвогорона ҳисоблангани каби, унинг бу қарашлари ҳам ҳаётлик пайтида рўёбга чиқмади.

XIX асрда Ирландиялик математик Джордж Буль (1815-1864) илмий ишларида Лейбницнинг ғоялари қисман рўёбга чиқа бошлади.

Дж. Буль ўзининг «Математик таҳлил мантиқи» (1847) ва «Тафаккур

қонунлари» илмий ишларида биринчи марта «Мантиқ алгебраси» (кўпинча «Буль алгебраси» дейилади) ни баён этади. У шундай алгебрани яратдики, унда ҳарфлар мулоҳазаларни англатиб, оддий алгебрадаги барча қонун-қоидалар янги алгебрада ўз кучини сақлайди. Шундай қилиб, бизнинг барча фикрларимиз мулоҳазалардан ва муҳокамалардан иборат бўладиган бу янги алгебра, мантиқ алгебраси номини олади.

Математик мантиқнинг асосчиси Дж. Буль меҳнатларини

замондошлари ва бизнинг давримиздаги олимлар юқори баҳоладилар. «Дж. Буль шундай беқиёс реформани амалга оширдики, унинг қилган ишларини, ҳатто Аристотель замонасидан ҳозиргача бўлган вақт ичида мантиқдан қилинган ишларга таққослаш камлик қилган бўлур эди». (Джевонс), «Дж. Буль Аристотелдан кейин мантиқнинг ривожланишига жуда катта ҳисса қўшди» (файласуф Спенсер). «Тоза математика Буль томонидан унинг «Фикрлаш қонунлари» ишида очиб берилган» (Бертран Рассел).

Булнинг ҳақиқатан ҳам мураккаб ва тўла ниҳоясига етказилмаган математик ифодалаши ва символикаси дастлаб файласуфларни ўзига жалб қилади.

Буль алгебрасини, худди Лобачевский геометрияси каби, аниқ бир мақсадга эга бўлмаган, фақат тасаввурдаги нарса деб ҳисобладилар.

XIX аср охирига келиб, математикада, математиканинг асосий тушунчаларини асослашда катта қийинчиликлар туғилди.

Мураккаб масалаларни асослашда формал мантиқни етарли эмаслиги сезилиб қолди.

Немис математиги Готлиб Фреге (1848-1925) XIX асрнинг охирларида арифметикани, математик мантиқ ёрдамида асослашдек мураккаб масалага қўл урди ва шу билан янги мантиқнинг келгуси тадқиқи учун йўл очиб берди.

24

Италиялик математик Джузеппе Пеано (1858-1932) бу ишни математиканинг кенг тармоқларида ва бошқа фанларда амалга оширди.

Россияда математик мантиқ масалалари билан Қозон Университетининг астроном-кузатувчиси Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907) шуғулланди. У 1887 ва 1888 йилларда Россияда биринчи бўлиб, Қозон Университетида математик мантиқ бўйича лекциялар ўқиди. П.С. Порецкийнинг илмий ишларида, математик мантиқнинг аввалги ривожланишига танқидий таҳлил берилган.

XIX асрнинг математикларидан, математик мантиқ бўйича Д. Грассман (1815-1905) (таниқли математик Герман Грассманнинг укаси), Э. Шредер (1853-1901) ва бошқалар эътиборга сазовор илмий ишлар қилдилар.

XIX асрнинг бошларида, математик мантиқ жуда кўп математикларнинг диққатини жалб этади. Уни йирик немис математиги Д. Гильберт (1862-1943), инглиз файласуфи ва мантиқ олими Бертран Рассел (1872-1970) ва Уайтхед (1861-1947) кабилар ривожлантирдилар.

Ҳозирги кунда, ғарбда математик мантиқнинг энг йирик вакилларидан бири Курт Гёдель ҳисобланади.

Рус математикларидан математик мантиқнинг ривожланишига И.И. Жегалкин (1860-1947), П.С. Новиков (1901-1975) ва А.А. Марковлар (1903-1979) ўзларининг салмоқли ҳиссаларини қўшдилар.

25

1§. Мулоҳазалар алгебраси.

Мулоҳаза тушунчаси. Мулоҳаза тушунчаси математикадаги бошланғич тушунчалардан бири ҳисобланади.

Математик мантиқда, мулоҳаза деб, рост ёки ёлғонлиги ҳақида гапириш мумкин бўлган ҳар қандай дарак гапга айтилади.

1. Сўроқ ва ундов гаплар мулоҳаза ҳисобланмайдилар. Масалан, «Соли мактабга келасанми?», «Яшасин янги йил!» гаплари мулоҳаза ҳисобланмайдилар.

2. Баъзи гапларнинг рост ёки ёлғонлигини бир қийматли аниқлаш мумкин эмас. Масалан: «Лолахон чиройли қиз», «Ромсозлик қийин касб», «Бугун ҳаво яхши эмас» каби гапларни келтириш мумкин. Бу гапларни рост ёки ёлғонлигини субъектив сабабларга кўра аниқлаш мумкин эмас. 3. Шундай гаплар ҳам борки, бу гапларнинг таркибида қандайдир объектларнинг умумий номлари-номаълумлар иштирок этади. Масалан, «x сон y сонга бўлинади», «x рационал сон», «sinxcosx0», «sinx

21 », «x Норин

туманининг маркази», «x281», «x қиз y қизнинг дугонаси», «z бугун 60 кг пахта терди». Аниқки, бу гапларни мулоҳаза дея олмаймиз, чунки уларнинг рост ёки ёлғонлигини аниқлашда, гап таркибидаги номаълумлар ҳалақит беради. Аммо, бу гаплар таркибидаги номаълумларни бирор тўпламнинг элементлари билан алмаштирсак, улар рост ёки ёлғон мулоҳазаларга айланиши мумкин. Масалан, биринчи мисолда x ва y ўзгарувчиларга маълум бир бутун сонларни, иккинчи мисолда x ўрнига рационал сонларни, учинчи мисолда x ўрнига ҳақиқий сонларни, тўртинчи мисолда ҳам ҳақиқий сонларни, бешинчи мисолда x ўрнига туман марказлари номларини, олтинчи мисолда x ўрнига натурал сонларни, еттинчи мисолда x ва y лар ўрнига қизлар номларини, саккизинчи мисолда z ўрнига одамларни номларини қўйилганда рост ёки ёлғон мулоҳазаларни ҳосил қиламиз.

Шундай қилиб, юқорида кўрсатилган уч типга кирувчи гаплар ҳам

мулоҳаза ҳисобланмайдилар. Бундан сўнг мулоҳазаларни лотин алфавитининг катта A, B, C, ...

ҳарфлари билан белгилаймиз. Агар бизга A ва B мулоҳазалари берилган бўлса, улардан «ва», «ёки», «агар ... бўлса, у ҳолда ... бўлади», «шу ҳолда ва фақат шу ҳолда» боғловчилари, ҳамда «эмас» юкламаси ёрдамида янги мулоҳазаларни ҳосил қилишимиз мумкин. Мулоҳазалар ўртасидаги

26

мантиқий боғловчиларни мулоҳазалар устида бажариладиган мантиқий амаллар (операциялар) деб қараш мумкин.

Агар қаралаётган мулоҳаза, камида иккита мулоҳазага бўлинмаса, яъни

юқорида келтирилган мантиқий амаллар воситасида камида иккита мулоҳаза орқали ифодаланмаса, у ҳолда бундай мулоҳазани элементар мулоҳаза дейилади.

Масалан, «Ёмғир ёғди», «6 туб сон», «sin00», «4>1», «Бир йил ўн

икки ойдан иборат» мулоҳазалари элементар, «Агар тўртбурчакнинг қарама-қарши томонлари тенг бўлса, у ҳолда бу тўртбурчак параллелограммдир», «Агар 2>3 бўлса, у ҳолда Лондон шаҳри Германиянинг пойтахтидир» мулоҳазалари эса мураккаб мулоҳазалардир.

Мулоҳазалар мантиғида мулоҳазаларни мазмунига ёки маъносига кўра

қаралмасдан, фақат уни ростлиги ёки ёлғонлигини ҳисобга олиб фикр юритилади.

Агар бирор A элементар мулоҳаза рост бўлса, унинг ростлик қиймати-

«Рост», ёлғон бўлса, унинг ростлик қиймати- «Ёлғон» қийматни қабул қилади деб, мос равишда А мулоҳазанинг ростлик қийматларини P (1) ва Ё (0) ҳарфлари (рақамлари) билан белгилаймиз. Мураккаб мулоҳазанинг ростлик қиймати, уни таркибига кирувчи элементар мулоҳазаларнинг ростлик қийматларидан фойдаланиб аниқланади.

Мулоҳазанинг инкори 1-таъриф: A мулоҳаза рост бўлганда ёлғон, ёлғон бўлганда рост бўладиган мулоҳазага, A мулоҳазанинг инкори дейилади.

A мулоҳазанинг инкорини A ёки A билан белгиланади ва уни «A эмас» деб ўқилади. A мулоҳаза «3 сони 432 сонининг бўлувчисидир» бўлса, у ҳолда A мулоҳаза «3 сони 432 сонини бўлувчиси эмас» бўлади. Мулоҳазани инкорининг ростлик қиймати жадвали қуйидагича ифодаланади:

A

A

Р Ё

27

Ё Р

Мулоҳазаларнинг дизъюнкцияси A ва B элементар мулоҳазаларни «ёки» боғловчиси билан бирлаштириб,

A ва B мулоҳазаларнинг дизъюнкцияси дейиладиган янги мулоҳазага эга бўламиз.

2-таъриф: A ва B мулоҳазалардан камида биттаси рост бўлганда ва

фақат шу ҳолда рост бўладиган мулоҳазага, A ва B мулоҳазаларнинг дизъюнкцияси дейилади ва уни AB кўринишда белгиланади.

AB мулоҳазани «A ёки B», «A дизъюнкция B» деб ўқилади. Масалан, «21>3» ва «216» элементар мулоҳазалардан «21>3 ёки

216» мулоҳазани ҳосил қилайлик. Кўриш қийин эмаски, бу дизъюнкция рост, чунки унинг таркибига кирувчи «21>3» элементар мулоҳаза ростдир.

«Қуёш ойнинг атрофида айланади ёки 24 сони 0 сонига бўлинади» мулоҳазаси ёлғондир, негаки, бу мулоҳазаларни ташкил этувчи мулоҳазаларнинг иккаласи ҳам ёлғондир.

Мулоҳазалар дизъюнкциясининг ростлик қийматлари жадвали қуйидагича аниқланади.

A B A B Р Р Р Р Ё Р Ё Р Р Ё Ё Ё

Мулоҳазаларнинг конъюнкцияси A ва B элементар мулоҳазалар бўлсин. Уларни « ва » боғловчиси билан бирлаштириб, A ва B мулоҳазаларнинг конъюнкцияси дейиладиган янги мулоҳазага эга бўламиз. Уни қуйидагича таърифлаш мумкин. 3-таъриф: A ва B мулоҳазалар бир вақтда рост бўлганда ва фақат шу ҳолда рост бўладиган мулоҳазага A ҳамда B мулоҳазаларнинг конъюнкцияси дейилади ва уни AB кўринишида белгиланади.

28

Мулоҳазалар конъюнкциясини яна мантиқий кўпайтма ҳам дейилиб, уни кўпинча AB (ёки AB) кўринишда белгиланади, «» белги ўрнига эса, баъзан «&» белги ҳам қўлланилади. A ва B мулоҳазаларнинг конъюнкциясини «A ва B» ёки «A конъюнкция B» деб ўқилади.

A ва B мулоҳазаларни конъюнкциясининг ростлик қийматлари

жадвалини, таърифга кўра қуйидагича ифодалаш мумкин:

A B A B Р Р Р Р Ё Ё Ё Р Ё Ё Ё Ё

Мулоҳазаларнинг импликацияси

4-Таъриф: A мулоҳаза рост, B мулоҳаза ёлғон бўлганда ва фақат шу ҳолда ёлғон бўладиган мулоҳаза, A ва B мулоҳазаларнинг импликацияси дейилади ва уни AB кўринишда белгиланади. A ва B мулоҳазаларнинг импликацияси «агар A бўлса, у ҳолда B бўлади» ёки «A мулоҳазадан B мулоҳаза келиб чиқади» ёки «A импликация B» деб ўқилади. A импликация B дейилганда, A мулоҳаза-импликациянинг шарти, B мулоҳазага эса унинг хулосаси дейилади.

A мулоҳаза: -«Кеча якшанба эди», B мулоҳаза эса «Мен ишда

бўлмадим» бўлсин. Бу вазиятда «Aгар кеча якшанба бўлса, у ҳолда мен ишда бўлмадим» мураккаб мулоҳазанинг формаси «Aгар A бўлса, у ҳолда B бўлади» кўринишига эга бўлади. Таърифга кўра A ва B мулоҳазаларни импликациясининг ростлик қийматлари жадвали қуйидагича бўлади.

A B AB Р Р Р Р Ё Ё Ё Р Р Ё Ё Р

AB импликацияда A ва B мулоҳазаларни ўрнини алмаштириб BA импликацияга эга бўламиз.

29

BA импликация AB импликацияга тескари импликация дейилади.

Ростлик жадваллари ёрдамида, AB импликацияни ростлигидан ҳар доим ҳам унга тескари бўлган BA импликациянинг ростлиги келиб чиқавермаслигини текшириб кўриш қийин эмас.

Мулоҳазаларнинг эквиваленцияси 5-таъриф: A ва B мулоҳазалар бир хил қиймат қабул қилгандагина рост бўлиб, қолган барча ҳолларда ёлғон бўладиган мулоҳазага A ва B мулоҳазаларнинг эквиваленцияси дейилади ва уни AB кўринишда белгиланади. A ва B мулоҳазаларнинг эквиваленциясини «A эквивалент B» ёки «A мулоҳазаларнинг бажарилиши учун B мулоҳазанинг бажарилиши зарур ва етарлидир», «A бажарилган ҳолда ва фақат шу ҳолда B бажарилади» деб ўқилади.

A ва B мулоҳазаларнинг эквиваленцияси учун, ростлик қийматлари жадвали қуйидагичадир:

A B A B

ч Ч Ч Ч Ё Ё Ё Ч Ё Ё Ё ч

Айнан рост, айнан ёлғон ва бажарилувчи мулоҳазалар.

nAAAF ,...,, 21 мулоҳаза, таркибига фақат nAAA ,...,, 21 элементар мулоҳазалар кирган ихтиёрий мураккаб мулоҳаза бўлсин. Юқоридан маълумки, ҳар бир элементар мулоҳаза «рост» ёки «ёлғон» қийматни қабул қилади. Мураккаб мулоҳазага кирган ҳар бир элементар мулоҳазани Р ёки Ё символ билан алмаштирсак, nAAA ,...,, 21 элементар мулоҳазаларнинг

30

қийматларидан тузилган, ҳамда Р ва Ё символларидан ташкил топган набор ҳосил бўлади. Бундай наборни умумий ҳолда ),...,,( 21 n кўринишда белгилаймиз ва уни nAAA ,...,, 21 элементар мулоҳазалар қийматларининг набори деймиз.

Равшанки, бунда i, i{1,,n} символ Р ёки Ё қийматларидан фақат биттасини қабул қилади. Одатда (Р,Р,...,Р) наборни «биринчи», (Ё,Ё,...,Ё) наборни эса «охирги» набор дейилади. Яна шуни ҳам айтиш керакки, бу наборлардаги символлар сони nAAAF ,...,, 21 мураккаб мулоҳазадаги элементар мулоҳазалар сонига тенг бўлиб биз қараётган ҳолда, символларнинг сони n натурал сонига тенгдир. Бу n сонига наборнинг узунлиги дейилади. n дона символдан ташкил топган иккита наборни бир-биридан фарқлаш мақсадида, наборларнинг тенглиги тушунчасини киритамиз.

),...,,( 21 n набор ),...,,( 21 n наборга,

nn ,...,, 2211 бўлган ҳолда ва фақат шу ҳолда тенг дейилади. 6-таъриф: Мураккаб мулоҳаза ўзининг таркибига кирувчи элементар

мулоҳазаларнинг қабул қилиши мумкин бўлган барча қийматлари наборларида рост бўлса, у ҳолда айнан рост мулоҳаза ёки тавтология дейилади.

Равшанки, АAАAABBA ,7, мулоҳазалар

тавтологиялардир. BABA )( мураккаб мулоҳаза ҳам тавтологиядир. 7-таъриф: Мураккаб мулоҳаза, ўзининг таркибига кирувчи элементар

мулоҳазаларни қабул қилиши мумкин бўлган қийматлари наборларидан камида биттасида рост қийматни қабул қилса, уни бажарилувчи мулоҳаза дейилади.

8-таъриф: Мураккаб мулоҳаза ўзининг таркибига кирувчи элементар

мулоҳазаларнинг қабул қилиши мумкин бўлган барча қийматлари наборларида ёлғон бўлса, уни айнан ёлғон ёки зиддиятли дейилади.

Мулоҳазалар алгебрасининг формулалари

31

A, B, C, символлар элементар мулоҳазаларни билдирсин. Уларни ҳар бири рост ёки ёлғон қийматни қабул қилиши мумкин бўлган ўзгарувчи сифатида қараш мумкин. Одатда бу ўзгарувчилар пропозиционал ўзгарувчилар дейилади, шунингдек уларни элементар формулалар ҳам деб юритилади. Мулоҳазалар алгебрасининг асосий тушунчаларидан бири формула тушунчаси бўлиб, уларни қуриш учун юқорида келтирилган ўзгарувчи символлардан ташқари логик (мантиқий) амал белгилари

,,, , ҳамда (,) чап ва ўнг қавслардан фойдаланамиз. Формула тушунчасини қуйидагича таърифлаймиз.

Таъриф: 1. Ҳар бир пропозиционал ўзгарувчи формуладир. 2. Aгар / ва G символлар формула бўлсалар, у ҳолда

)(),(),(),( GFGFGFGF , / ифодалар ҳам формулалардир. 3. Мулоҳазалар алгебрасининг формулалари фақат 1-ва 2-пунктлар ёрдамида ҳосил килинади.

1-мисол: ))(( FBA ифода формуладир.

2- мисол: AB ифода формула эмас, чунки бу формулада ташқи қавслар етишмайди.

Тенг кучли формулалар ва тенг кучли алмаштиришлар Мулоҳазалар алгебрасининг ихтиёрий формуласи ўзининг ростлик

жадвали билан характерланади.

1-мисол. CBA 7 формулага ушбу ростлик жадвали мос келади.

A B С C7 CB 7 CBA 7 Р Р Р Ё Ё Ё Р Р Ё Р Р Р Р Ё Р Ё Ё Ё Р Ё Ё Р Ё Ё Ё Р Р Ё Ё Р Ё Р Ё Р Р Р Ё Ё Р Ё Ё Р Ё Ё Ё Р Ё Р

Таъриф. Агар мулоҳазалар алгебрасининг nAAAF ,...211 ва

nAAAF ,...212 формулалари пропозиционал ўзгарувчилар мос

32

қийматларининг барча наборларида бир хил қиймат қабул қилсалар, бу формулаларни тенг кучли формулалар дейилади.

nAAAF ,...211 ва nAAAF ,...212 формулаларни тенг кучли эканлигини

nAAAF ,...211 nAAAF ,...212 кўринишда ёзилади. Таърифга кўра 1- ва 2- мисоллардаги формулалар тенг кучлидир, яъни

CABACBA 777 . Мантиқий амалларнинг таърифидан фойдаланиб баъзи тенг

кучлиликларни бевосита исботлаш мумкин, масалан;

,ABBA ,ABBA AA 77 , AA7 Ё, AA7 Р

муносабатлар ўринлидир. Таърифга кўра, формулаларнинг тенг кучли эканлигини аниқлашнинг

умумий усули қуйидагича;

Ҳар бир формула учун ростлик жадвали тузилади, пропозиционал ўзгарувчиларнинг бир хил наборларида формулаларнинг қабул қиладиган қийматлари солиштирилади, агар наборларнинг барча мос комбинацияларида формулаларнинг қийматлари бир хил бўлса, бу формулалар тенг кучли бўлади.

+уйидаги тенгкучлиликлар, мулоҳазалар логикасининг асосий тенг

кучлиликлари ҳисобланадилар.

1. ABBA / конъюкциянинг ўрин алмашувчанлиги / . 2. ABBA / дизъюнкциянинг ўрин алмашувчанлиги / . 3. CBACBA / конъюнкциянинг ассоциативлиги / . 4. CBACBA / дизъюнкциянинг ассоциативлиги / . 5. CABACBA / дизъюнкциянинг конъюнкцияга

нисбатан дистрибутивлиги / . 6. CABACBA / конъюнкциянинг дизъюнкцияга

нисбатан дистрибутивлиги / . 7. AAA / конъюнкциянинг идемпотентлиги / . 8. AAA / дизъюнкциянинг идемпотентлиги / . 9. APA .

10. РPA . 11. ЁЁA .

12. AЁA .

33

13. ЁAA 7 . 14 PAA 7 . 15. BABA 777 / де Морган тенгкучлиликлари / . 16. BABA 777 / де Морган тенгкучлиликлари / . 17. BABA 7 / импликациянинг инкор ва конъюнкция билан

ифодаланиши / . 18. AA 77 / қўш инкор тенгкучлилиги / . 19. ABBABA .

Кўрилган тенг кучлиликларнинг ҳар бирининг ўринли эканлигини

ростлик жадвалларини тузиш ёрдамида исботлаш мумкин. Бу тенг кучлиликлар ёрдамида, берилган формулага тенг кучли формулаларни ҳосил қилиш, берилган формулаларнинг тенг кучлилигини аниқлаш, формулаларни соддароқ кўринишга келтириш, ҳамда берилган формулани айнан рост, айнан ёлғон, бажарилувчи эканлигини аниқлаш мумкин.

Биз мулоҳазалар алгебрасида формула тушунчасини киритишда мулоҳазалар тўпламидан олинган ҳар қандай элементар мулоҳазага бирор пропозиционал ўзгарувчини мос қўйган эдик. Шу муносабат билан аввал таърифларини келтирганимиз, айнан рост, айнан ёлғон ва бажарилувчи мулоҳазаларни, формула тушунчасини қўллаб, мос равишда айнан рост формула, айнан ёлғон формула, бажарилувчи формула тушунчалари билан бир хил тушунчалар деб қараймиз. Шунингдек, формула тушунчаси ёрдамида таърифлаганимизда тенг кучли формулалар тушунчасини ҳам тенг кучли мулоҳазалар тушунчаси билан бир хил деб ҳисоблаймиз. Умуман мулоҳазалар алгебрасида мулоҳазалар алгебрасининг формуласи деганда қандайдир мулоҳазани назарда тутамиз.

Ҳар қандай мулоҳазага бирор формула мос келиши ва формулалар учун

кўриб чиқилган тенг кучлиликларни ҳисобга олиб, мулоҳазалар учун ҳам тенг кучлиликларни қўллаш мумкин, яъни мулоҳазани бошқа бирор тенг кучли мулоҳазага алмаштириш, берилган мулоҳазаларни тенг кучлилигини аниқлаш, мураккаб мулоҳазани айнан рост ёки айнан ёлғон эканлигини аниқлаш мумкин.

Мулоҳазалар алгебрасида ечилиш проблемаси.

нормал формалар

Биз юқорида кўрдикки, мулоҳазалар алгебрасининг ҳар қандай фомуласи ё айнан рост (тавтология), ё айнан ёлғон (зиддиятли), ё бажарилувчи бўлар экан.

34

Берилган формуланинг юқорида айтилган синфлардан қай бирига тегишли бўлишини аниқлаш масаласи муҳим аҳамиятга эга бўлиб, бу масала мулоҳазалар алгебрасида ечилиш проблемаси номи билан аталади.

Биз юқорида ҳар қандай формула учун бу масалани ҳал қилиш усулларидан бири бўлган жадвал усули билан танишдик. Бу усул жуда содда ва равшан бўлишига қарамай, айрим ноқулайликларга эгадир. Масалан, тўрт пропозиционал ўзгарувчили формулани текшириш учун 24 яъни 16 сатрга эга бўлган жадвал тузишга, n ўзгарувчили формулани текшириш учун эса, 2n

сатрга эга бўлган жадвал тузишга тўғри келади. Бундай жадвални тузиб, натижани аниқлаш, амалий жиҳатдан равшанки бир мунча қийинчилик туғдиради. Табиий, шу муносабат билан бу масалани ҳал этишни бошқа, аввалги усулидан фарқли усули бормикан деган савол туғилади. +уйида бу саволга формулаларнинг «нормал формаси» тушунчаси жавоб беради.

Келтирилган формула.

1-таъриф: Агар формуланинг таркибида мантиқий амаллардан фақат конъюнкция, дизъюнкция ва инкор амалларигина қатнашган бўлиб, инкор амали фақат пропозиционал ўзгарувчиларгагина тегишли бўлса, бундай формула келтирилган формула дейилади.

Дизъюнктив ва конъюнктив нормал формалар

Бундан кейин, ёзувни янада соддалаштириш мақсадида, мулоҳазанинг қиймати ростлигини ифодаловчи Р ўрнига 1 рақамидан, ёлғон қийматини ифодаловчи Ё ўрнига 0 рақамидан фойдаланамиз. Баъзи ҳолларда эса, AB фoрмулани AB кўринишда ёзамиз, ҳамда A, A формулалар учун ушбу белгилашни киритамиз:

былса агар былса агар

0,71,

AA

A

яъни, AAAA 7, 01 деб ҳисоблаймиз.

2-таъриф: n ,...,, 21 ўзгарувчиларнинг ҳар бири 0 ёки 1 қийматларни қабул қилганларида

)1(,...22

11

niii iAAA nn

формулага элементар конъюнкция дейилади.

35

3-таъриф: n ,...,, 21 ўзгарувчиларнинг ҳар бири 0 ва 1

қийматларни қабул қилганларида

)1(,...22

11

niii iAAA nn

формулага элементар дизъюнкция дейилади.

6-таъриф: Элементар дизъюнкцияларнинг ҳар қандай конъюнкциясидан ташкил топган формула конъюнктив нормал форма (КНФ) ёки коньюктив нормал формадаги формула дейилади.

Мукаммал дизъюнктив ва мукаммал конъюнктив нормал формалар.

7-таъриф: Ҳар бир пропозиционал ўзгарувчининг ё ўзи, ё инкори бир мартадан ортиқ қатнашмаган элементар конъюнкция тўғри элементар конъюнкция дейилади.

Мисоллар: Таърифга кўра DCBABABAA 7,7,, формулалар

тўғри элементар конъюнкциялардир. DDCBBAA ,7 формулалар эса, элементар конъюнкциялар бўлгани ҳолда, тўғри элементар конъюнкциялар эмас, чунки AA 7 элементар конъюнкцияда A ўзгарувчи ўзининг инкори билан, BBCDD формулада эса B, D пропозиционал ўзгарувчилар икки мартадан қатнашмоқда.

8-таъриф: Ҳар бир пропозиционал ўзгарувчининг ё ўзи ё инкори бир

мартадан ортиқ қатнашмаган элементар дизъюнкция тўғри элементар дизъюнкция дейилади.

9-таъриф: nAAA ,....,, 21 пропозиционал ўзгарувчилардан ташкил

топган тўғри элементар конъюнкцияда, ҳар бир ўзгарувчи роса бир марта қатнашган бўлса, бу тўғри элементар конъюнкция, nAAA ,....,, 21 пропозиционал ўзгарувчиларга нисбатан тўлиқ элементар конъюнкция дейилади.

10-таъриф: nAAA ,....,, 21 пропозиционал ўзгарувчиларда ташкил

топган тўғри элементар дизъюнкцияда, ҳар бир ўзгарувчи роса бир марта

36

қатнашган бўлса, бу тўғри элементар дизъюнкция nAAA ,....,, 21 пропозиционал ўзгарувчиларга нисбатан тўлиқ элементар дизъюнкция дейилади.

11-таъриф: Мулоҳазалар алгебрасининг nAAA ,....,, 21 пропозиционал

ўзгарувчилардан ташкил топган ),.....,,( 21 nAAAF формуласининг мукаммал дизъюнктив нормал форма (МДНФ) си деб, шу формуланинг таркибида бир хил элементар конъюнкциялар бўлмаган, ҳамда барча элементар конъюнкциялари nAAA ,....,, 21 ўзгарувчиларга нисбатан тўғри, тўлиқ бўлган ДНФ сига айтилади.

Таърифга биноан, айнан ёлғон формула учун МДНФ мавжуд эмас,

чунки агар унинг учун МДНФ мавжуд бўладиган бўлса, бундай МДНФнинг таркибидаги ҳар бир қўшилувчи элементар конъюнкция айнан ёлғон бўлмоғи лозим. Буни бўлиши МДНФ таркибидаги элементар конъюнкцияларда пропозиционал ўзгарувчининг ҳам ўзи, ҳам инкорини қатнашишини тақозо қилади. Бу ҳолат формула учун МДНФ таърифидаги в) пунктни бажарилмаслигини билдиради.

12-таъриф. Мулоҳазалар алгебрасининг nAAA ,....,, 21 пропозиционал ўзгарувчилардан ташкил топган ),.....,,( 21 nAAAF формуласининг мукаммал конъюнктив нормал форма (МКНФ) си деб, шу формуланинг таркибида бир хил элементар дизъюнкциялар бўлмаган, ҳамда барча элементар дизъюнкциялари nAAA ,....,, 21 ўзгарувчиларига нисбатан тўғри ва тўлиқ бўлган КНФ сига айтилади.

1-теорема: Мулоҳазалар мантиқининг айнон ёлғон бўлмаган ҳар

қандай ),....,,( 21 nAAAF формуласи ягона МДНФга тенг кучлидир.

1-натижа: Тенг кучли формулалар бир хил МДНФ га эга бўлади. 2-натижа: Таркибида n та ҳар хил ўзгарувчилар қатнашган формула

айнан рост бўлиши учун унинг МДНФ си роса 2n та ҳар хил тўлиқ конъюнкциялар дизъюнкциясидан иборат бўлиши зарур ва етарлидир.

3-натижа: Мулоҳазалар алгебрасини ҳар қандай формуласининг

инкори, шу формула МДНФ сига кирмайдиган тўлиқ конъюнкцияларнинг ва фақат шуларнинг дизъюнкциясидан иборатдир.

37

Мулоҳазалар алгебрасини формулалари МКНФ си учун ҳам худди

юқоридаги каби ушбу теореманинг ўринли бўлишини кўрсатиш мумкин. 2-теорема: Мулоҳазалар алгебрасининг айнан рост бўлмаган ҳар

қандай ),....,,( 21 nAAAF формуласи ягона МКНФ га тенг кучлидир.

1-натижа: Тенг кучли формулалар бир хил МКНФ га эга бўлади.

2-натижа: Таркибида n та ҳар хил ўзгарувчилар қатнашган формула айнан ёлғон бўлиши учун унинг МКНФ си 2n та ҳар хил тўлиқ элементар дизъюнкцияларнинг конъюнкциясидан иборат бўлиши зарур ва етарлидир. 3-натижа: Мулоҳазалар алгебрасининг ҳар қандай формуласининг инкори шу формула МКНФ сига кирмаган тўлиқ элементар дизъюнкцияларнинг ва фақат шуларнинг конъюнкциясидан иборат бўлади. Юқорида келтирилган теоремалар ва уларнинг натижалари ёрдамида мулоҳазалар алгебрасининг ҳар қандай формуласини айнан рост, айнан ёлғон ёки бажарилувчи формула бўлишини ростлик жадвалидан фойдаланмай аниқлаш мумкин. Шунингдек, берилган қийматлар наборларига кўра мулоҳазалар алгебрасининг формуласини тузиш мумкин.

Умуман, мулоҳазалар алгебрасиининг кўпгина масалаларини мукаммал нормал формалар ёрдамида осон ҳал қилиш мумкин.

2§. Теоремалар

Теорема ва унинг исботи. Ҳар қандай математик назарияда қаралаётган объектни асосий

хоссалари, бу объект ҳақидаги тушунчаларнинг мазмунини ташкил этади. Ана шу хоссаларнинг бир қисми қаралаётган тушунчаларни таърифлашга ажратилади. Мазкур объект ҳақида етарлича тасаввурга эга бўлиш мақсадида, унинг бошқа хоссаларини ҳам ўрганилади. Тушунчанинг бошланғич хоссалари исботсиз қабул қилинадиган аксиомаларда очиб берилади.

Масалан, геометриянинг «нуқта», «тўғри чизиқ» каби бошланғич тушунчаларининг хоссалари қуйидаги аксиомаларда киритилган:

38

1. Тўғри чизиқ қандай бўлишидан қатъий назар, унда ётувчи ва унда ётмайдиган нуқта мавжуд.

2. Ҳар қандай икки нуқтадан тўғри чизиқ ўтказиш мумкин ва фақат битта.

Биз бу ерда берилган тушунчани баъзи хоссаларини очиб берувчи

аксиомаларни келтирдик. Умуман олганда, исталган математик назарияни аниқловчи аксиомалар системаси, асосий тушунчаларни хоссаларини очиб бериб уни таърифини ифодалайди. Бу таърифлар, аксиомалар системаси ёрдамида берилган дейиладилар.

Масалан, группалар назариясини қарайлик. Бу назария учун қуйидаги

аксиомалар, аксиомалар системаси хизматини ўташ билан бирга, группа тушунчасининг таърифи ҳамдир.

Агар A тўпламда «» бинар амал аниқланган бўлиб,

1. «» амал ассоциатив: x,y,zA, (xу) zx(yz). 2. A тўплам «» амалга нисбатан нейтрал (бирлик) e элементга эга: xA, eA, xeexx. 3. A тўпламнинг ҳар бир x элементи учун симметрик (тескари) x-1 элемент мавжуд: xA, x-1A, x x-1 x-1x e. шартлар (аксиомалар) ўринли бўлса, у ҳолда A тўпламни «» амалга нисбатан группа ташкил этади дейилади.

Ҳар қандай теорема ҳам тузилиши жиҳатдан асосан икки қисмдан иборат бўлиши

мумкин бўлиб, бу қисмлар теореманинг шарти ва хулосасидир. Теореманинг шарт

қисмини A, хулоса қисмини B ва у ҳолда сўзини «» логик амал белгиси билан

алмаштириб, уни AB импликация кўринишида ифодалаш мумкин. Шундай қилиб, баъзи

теоремаларнинг умумий ифодаланиши «Агар A бўлса, у ҳолда B бўлади» кўринишида

бўлади.

Тўғри ва тескари теорема. BA теорема, ихтиёрий теорема бўлсин. Буни одатда тўғри теорема деб юритилади.

BA теорема BA теоремага тескари бўлган теорема дейилади.

39

Бундан кўринадики, тўғри теоремага тескари теорема, тўғри теореманинг шарт ва хулоса қисмларининг ўринларини алмаштириш билан ҳосил қилинар экан.

Масалан, «Агар иккита қўшилувчиларнинг ҳар бири жуфт сон бўлса, у

ҳолда уларнинг йиғиндиси ҳам жуфт сондир» деган теоремани қарайлик. Бунда, A: - «Иккита қўшилувчиларнинг ҳар бири жуфт сон, B: - «Қўшилувчиларнинг йиғиндиси ҳам жуфт сондир». У ҳолда бу теоремага тескари бўлган теорема-«Агар иккита қўшилувчиларнинг йиғиндиси жуфт сон бўлса, у ҳолда қўшилувчиларнинг ҳар бири жуфт сондир» кўринишида бўлади. Кўриб турибмизки бу мисолда тўғри теорема ўринли, лекин унга тескари бўлган теорема ўринли эмас. Бундан, умуман олганда тўғри теорема ўринли бўлгани ҳолда, тескари теорема ҳар доим ҳам ўринли бўлавермаслиги келиб чиқади. Бунинг сабабини тўғри теоремани ифодаловчи BA импликация ва тескари теоремани ифодаловчи BA импликация, импликация таърифига кўра ҳар доим тенг кучли бўлавермаслигидан осонгина тушуниш мумкин.

Тўғри теоремага қарама-қарши теорема. BA кўринишдаги теоремага қарама-қарши теорема деб, AB кўринишдаги теоремага айтилади:

Масалан, BA :-«Агар тўртбурчак параллелограмм бўлса, унинг

диагоналлари кесишиш нуқтасида тенг иккига бўлинади» каби ифодаланган теорема бўлса, унга қарама-қарши теорема AB: -«агар тўртбурчак параллелограмм бўлмаса, у ҳолда унинг диагоналлари кесишиш нуқтасида ўзаро тенг бўлакларга бўлинмайди» деган мулоҳазадан иборат бўлади.

Тескари теоремага қарама-қарши теорема Тўғри теорема AB формула билан аниқланса, унга тескари теорема BA формула билан, унга қарама-қарши теорема эса AB формула билан аниқланар эди. BA тескари теоремага қарама-қарши теорема деб, BA формула билан аниқланадиган теоремага айтилади.

Масалан, тўғри теорема:-«Агар учбурчакнинг барча томонлари тенг

бўлса, унинг барча бурчаклари ҳам тенгдир» бўлсин. Унинг шарт қисми A:-«Учбурчакнинг барча томонлари тенг», хулоса қисми B:-«Учбурчакнинг барча бурчаклари тенг» мулоҳаза бўлиб, у AB формула билан ифодаланади.

40

Унга тескари теорема: BA-«Агар учбурчакнинг барча бурчаклари тенг бўлса, унинг томонлари ҳам тенгдир».

Тескари теоремага қарама-қарши теорема: BA-«Агар учбурчакнинг барча бурчаклари тенг бўлмаса, унинг томонлари ҳам ўзаро тенг эмас» бўлади.

Зарурий ва етарли шартлар

Тўғри ва тескари теоремалар тушунчалари билан «зарур», «етарли» ва «зарур ва етарли» сўзларининг қўлланилиши яқин боғлиқдир. AB теорема ўринли бўлган вазиятда B мулоҳазани A мулоҳаза учун зарурий шарт дейилади, A мулоҳазани эса B мулоҳаза учун етарли шарт дейилади.

Бу сўзларнинг мазмунига эътибор берсак, хақиқатан ҳам, импликация

таърифига кўра AB рост бўлганда A нинг ростлигидан B нинг ростлиги бевосита келиб чиқади, яъни бу вазиятда B нинг рост бўлиши зарур.

Шунингдек, B мулоҳаза рост бўлиши учун A мулоҳазанинг рост

бўлиши етарлидир, негаки AB ва A лар рост бўлганда, импликация таърифига асосан B мулохаза ёлғон бўла олмайди.

Агар теорема таркибида «зарур ва етарли» сўзлари қатнашса, у ҳолда

теоремани исботлари зарурий шартни ва етарли шартни исботлашлардан ташкил топади. Бошқача қилиб айтганда, тўғри ва унга тескари теоремаларни алоҳида-алоҳида исботланади, негаки илгари кўриб ўтганимиздек улардан бирининг ростлигидан, иккинчисининг ростлиги ҳар доим ҳам келиб чиқавермайди.

Баъзи ҳолларда теоремаларда «зарурий ва етарли» сўзлари ўрнига «шу

ҳолда ва фақат шу ҳолда», «шунда ва фақат шунда», «агар ва фақат агар» сўзларини ҳам ишлатилади.

3§. Мулоҳазалар ҳисоби.

Мулоҳазалар ҳисоби ва унинг аксиомалари

41

Мулоҳазалар ҳисоби учун формал аксиоматик L назарияни қуйидагича киритамиз: -L назариянинг символлари ,, (,) ва Ai ҳарфлардан иборат, бунда i натурал сон бўлиб , биз , ларни примитив боғловчилар, Ai ларни эса пропозиционал ҳарфлар деб юритамиз. - L назарияда формула тушунчасини қуйидагича аниқланади:

(а) Ҳар бир пропозиционал ҳарф формуладир. (б) Агар A ва B лар формулалар бўлсалар, у ҳолда

(A), (AB) лар формулалардир. (Кейинги ўринларда ташқи қавсларни ташлаб ёзишга келишилади). (в) Ифода, агар у (а) ва (б) пунктлар ёрдамида ҳосил қилинган бўлса ва фақат шу

ҳолда формуладир.

- A, B, C лар қандай формулалар бўлишларидан қатъий-назар, қуйидаги формулалар L нинг аксиомаларидир . (A1) A(BA). (A2) (A(BC))((AB)(AC)). (A3) (BA)((BA)B).

- L да ягона келтириб чиқариш қоидаси modus ponens (MP) дан иборат

бўлиб, у қуйидагича ифодаланади :

B формула A ва AB формулаларнинг бевосита натижасидир.

Биз кўрамизки, чексиз кўп аксиомалар системаси, бор йўғи учта аксиомалар схемаси билан берилмоқда ва ҳар қандай формуланинг аксиома ёки аксиома эмаслигини аниқлаш ҳеч қандай қийинчилик туғдирмайди, бу каби аксиомалаштирилган назариялар эффектив аксиомалаштирилган назариялар дейилади.

Формулаларни қисқароқ ёзиш мақсадида яна , ,

боғловчиларни қуйидаги таърифлар билан берамиз;

(D1) (AB) ифода (AB) ни билдиради. (D2) (AB) ифода AB ни билдиради. (D3) AB ифода (AB)(BA) ни билдиради.

42

L назариянинг формулалари учун исбот тушунчасини қуйидаги таъриф ёрдамида киритамиз.

Таъриф: L назариянинг A формуласи агар L нинг формулаларидан

тузилган шундай A1,...,An кетма-кетлик мавжуд бўлиб, бунда ҳар-бир Ai, i{1,...,n}, ёки аксиома, ёки ўзидан олдинги формулаларнинг MP хулоса қилиш қоидаси бўйича натижасидан иборат бўлса ва An формула A формуланинг ўзидан иборат бўлса L назарияда келтириб чиқарилувчи ёки исботга эга дейилади, A1,...,An формулалар кетма-кетлиги эса A формуланинг L даги исботи дейилади. Исботга эга бўлган формула теорема дейилади.

n сонига исбот узунлиги дейилади.

Агар A формула L нинг теоремаси бўлса, биз бу ҳолатни ├A каби ёзамиз.

Масалан: ├((AB)A)B ёзув ((AB)A)B формуланинг мулоҳазалар ҳисобида исботга эга эканлигини, яъни теорема эканлигини билдиради.

1-мисол: AA формуланинг мулоҳазалар ҳисобида исботга эга эканлигин кўрсатинг. Бунда A мулоҳазалар ҳисобининг ихтиёрий формуласи.

Ечилиши: Исбот кетма-кетлигини қурамиз: (1) (A ((B A)A))((A(BA))(AA)). (A2 аксиома). (2) (A ((B A)A). (A1 аксиома). (3) (A(BA))(AA). ((1), (2) дан MP бўйича). (4) (A(BA)). (A1 аксиома). (5) AA. ((3), (4) дан MP бўйича). Шундай қилиб биз AA формула учун таърифда айтилган исбот кетма-кетлигини қура олдик. Бу кетма-кетлик (1), (2), (3), (4), (5) формулалар кетма-кетлигидан иборат. Бу ерда исбот узунлиги n5 га тенг.

L назариянинг формулаларидан ташкил топган бирор тўплам берилган бўлсин. Бу формулалар тўпламидан келтириб чиқарилувчанлик тушунчаси қуйидагича аниқланади.

Таъриф; L назариянинг A формуласи AAn бўладиган A1,...,An формулалар кетма-кетлиги мавжуд бўлиб, бунда i{1,...,n}да ҳар бир Ai ёки L нинг аксиомаси, ёки нинг формуласи, ёки ўзидан олдинги формулалардан келтириб чиқариш қоидалари ёрдамида келтириб чиқарилган

43

бўлганда ва фақат шу ҳолда нинг формулаларининг натижаси ёки дан келтириб чиқарилган дейилади.

n сонига исбот узунлиги дейилади. Бу A1,...,An кетма-кетлик A нинг даги исботи дейилади. Бу ҳолда

нинг формулалари гипотезалар дейилади. A формула дан келиб чиқади, дейиш ўрнига ├A ёзувдан фойдаланамиз.

Агар чекли бўлса {B1,...,Bn}├A ёзув ўрнига B1,B2,...,Bn ├A ёзувдан фойдаланамиз.

Масалан; A, B, A(BC)├ C ёзув C формуланинг L назарияда {A,B,A(BC)} формулалар тўпламидан келтириб чиқарилишини, шу формулаларнинг натижаси ёки шу тўпламда исботга эга эканини билдиради. Бу исботни A, B, A(BC) гипотезалардаги исбот деб айтишимиз мумкин.

Мулоҳазалар ҳисобида дедукция теоремаси.

Теорема; Aгар формулалар тўплами бўлиб, A, B лар формулалар бўлсалар ва , A├ B бўлса, у ҳолда ├AB дир. Хусусан, агар A├B бўлса, у ҳолда ├AB дир.

Мулоҳазалар ҳисобининг тўлалиги.

Биз L назарияда берилган формула учун унинг шу назарияда исботланувчи бўлиш ёки бўлмаслиги масаласини ҳал килиш учун бу формуланинг исбот кетма-кетлигини қуришимиз лозим бўлади. Шунга кўра берилган формула учун исбот кетма-кетлигини умуман олганда қуриб бўладими ёки йўқми деган саволга олдиндан жавоб бера олиш, ҳатто шу исботни кандай килиб қуриш керак, деган савол очиқ қолган тақдирда ҳам, нафақат бизнинг L назариямиз, балки ҳар кандай аксиоматик назария учун муҳим масаладир. Бу масала мулоҳазалар ҳисобида тўлалик муаммоси деб юритилади. Биз бу масалани қуйидаги теоремаларда ойдинлаштирамиз.

1-теорема: L назариянинг ҳар кандай теоремаси мулоҳазалар алгебрасининг айнан рост формуласидир.

44

Мулоҳазалар ҳисобининг зиддиятсизлиги

Масала L назарияда бир вақтнинг ўзида ҳам ўзи, ҳам инкори теорема бўла оладиган формуланинг бор ёки йўқлиги билан боғлиқ. Бу масала тўлалик хақидаги теоремаларга асосланиб қийинчиликсиз ҳал килиниши мумкин. Хақиқатан ҳам, агар L назарияда ҳам A нинг ўзи, ҳам A исботга эга бўладиган A формула мавжуд деб ҳисоб килсак, бу ҳолат хозиргина исбот қилинган теоремага асосан мулоҳазалар алгебрасида ҳам ўзи, ҳам инкори айнан рост бўладиган A формуланинг мавжудлигига олиб келган бўлар эди. Бироқ, мулоҳазалар алгебрасида биз олдинги бўлимларда кўрганимиздек бундай формула йўқ. Иккинчи томондан, мулоҳазалар ҳисобида бир вақтнинг ўзида ҳам A, ҳам A теорема бўладиган A формуланинг мавжуд бўлиши юкоридаги 6-мисолдаги ├A(AB) тасдиққа асосан B формуланинг ва демак, L нинг ихтиёрий формуласининг L да теорема эканлигига олиб келган бўлар эди.

Мулоҳазалар ҳисоби аксиомаларининг эрклилиги. Аксиоматик назариядаги аксиомаларнинг эрклилик тушунчаси назария учун танланган аксиомалар системаси ичидан ҳеч қайси аксиома қолган аксиомалардан шу назариядаги келтириб чиқариш қоидалари бўйича келтириб чиқарилмаслигини англатади.

Бизнинг L назариямиз-мулоҳазалар ҳисобининг аксиомалари системаси учун ушбу теорема ўринли: Теорема: Мулоҳазалар алгебрасининг аксиомалари системаси эрклидир.

Аксиоматик назарияда бирор аксиоманинг шу назариянинг бошқа аксиомаларидан келтириб чиқариб бўлмаслигини назариянинг келтириб чиқариш қоидаларининг хусусиятларидан келиб чиққан ҳолда ўрнатиш мумкин. Масалан, Евклид геометрияси аксиомалардан параллеллик аксиомасининг бошқа аксиомалардан келтириб чиқариб бўлмаслигини аниқлаш масаласининг ечилиши узоқ тарихий даврни, Лобачевский томонидан ноевклид геометрияни яратилишигача бўлган даврни, босиб ўтди. Шундай қилиб биз келтирган L мулоҳазалар ҳисобидан иборат формал аксиоматик назария зиддиятсиз, тўла, эркли аксиомалар системаси асосида қурилган назария экан.

45

А л г е б р а ва г е о м е т р и я к а ф е д р а с и

Дискрет математика ва математик мантиқ курси бўйича

Мустақил ишлар

(1-курс, 2-семестр)

Тузувчи: Рузимурадов Х.Х.

Самарқанд – 2010

46

X.Х.Рузимурадов. Дискрет математика ва математик мантиқ курси бўйича мустақил ишлар. Ўқув қўлланмаси. – Самарқанд, СамДУ нашри, 2005 йил __- бет.

Алгебра сонлар назарияси курси бўйича ушбу мустақил ишлари

бакалаврлар тайёрлаш ДТС бўйича тайёрланган бўлиб, у механика-математика факультетининг 1 ва 2 курс талабалари учун мўлжалланган. Мустақил ишларида дискрет математика ва математик мантиқ курсининг барча бўлимларига доир мисол ва масалалар келтирилган. Ушбу мустақил ишлари Алгебра ва геометрия кафедраси мажлисининг 2005 йил __ ноябридаги № 3 сонли қарори билан нашрга тавсия этилган.

МУСТАҚИЛ ИШЛАРНИ БАЖАРИШ ҚОИДАЛАРИ 1. Талабалар ҳар бўлимга оид барча топшириқларни қўйидаги

тартибда бажаришади: 2. Ҳар бир талаба ўз гуруҳ журналидаги рақамига мос келадиган

топшириқни бажаради. Масалан, 1 мисолдаги 1)-топшириқни гуруҳ журналида фамилияси 1-ўринда турган талаба, 2)-

47

топшириқни гуруҳ журналида фамилияси 2-ўринда турган талаба, 3)- топшириқни гуруҳ журналида фамилияси 3-ўринда турган талаба бажаради ва ҳоказо шу тартибда барча талабалар ўз топшириқларини бажаришади. Агар мисолдаги топшириқлар талабалар сонидан кам бўлса, навбатдаги талаба яна 1)-топшириқдан бошлайди. Агар мисол битта топшириқдан иборат бўлса, уни ҳамма талабалар бажаришади.

3. Ҳар бир топшириқ ечилиш йўли тўлиқ кўрсатилган, қайси формула ёки теоремаларга асосланганлиги тўлиқ ёритилган ҳолда бажарилади.

4. Ҳар бир мустақил иш талабанинг аниқ фамилияси, исми, шарифи, курси ва гуруҳи кўрсатилган алоҳида дафтарда бажарилади ва амалиёт ўқитувчисига кўрсатилган муддатларда топширилади. Лозим бўлган ҳолларда ўқитувчи талабадан баъзи мисолларнинг ишланиш йўлини оғзаки сўраши мумкин.

5. Ҳар бир талаба ўз рақамига тўғри келадиган бита мавзу буйича реферат тайёрлаб, ўқитувчига топшириш керак.

6. Мустақил ишида қуйидаги белгилашлар ишлатилган: & - коньюнкция амали; v –дизьюнкция амали; → - импликация амали; ↔ - эквиваленция амали; x – x нинг инкори; xvy – қавснинг инкори.

├ - чиқарилувчилик белгиси

№ 1 – Мустақил иш

Мулоҳазалар ва улар устида мантиқий амаллар

1. Қуйидаги формулаларнинг чинлик жадвалларини тузинг:

1.1. A≡(x&y)vz;

1.2. A≡x&y→( y vx→z);

1.3. A≡( x→y)→(xvy&z);

1.4. A≡(xvz)&( y →(u→ x ));

1.5. A≡(x&y)→x;

1.6. A≡x→(xvy);

1.7. A≡(x→y)→( y → x );

48

1.8. A≡(x→y)&(x→ y )→ x ;

1.9. A≡(x↔y)&(xvy);

1.10. A≡(x→y)&(y→z)→(z→x);

1.11. A≡(x→y)&(y→z)→(x→z);

1.12. A≡(y↔z)&(xvz);

1.13. A≡z&y→(y v z→x);

2. Қуйидаги формулаларни коньюнктив нормал шаклга келтиринг:

2.1. A≡ (z→x)→( (yvz) →x);

2.2. A≡ (yvz))&x)v(xy)&((x ;

2.3. A≡ (yvz))&(x →((x&(y)vz);

2.4. A≡(x&y→y&z)→((x→y)→(z→y));

2.5. A≡( y)&(x → x )& )yy)&((x ;

2.6. A≡(xv z )→y&z;

2.7. A≡( x →z)→|( y → x );

3. Қуйидаги формулаларни дизьюнктив нормал шаклга келтиринг:

3.1. A≡( x → y )→((y&z)→(x&z));

3.2. A≡((x→y)→ x )→(x→(y&x));

3.3. A≡ )xy)&((x & )yy)&((x ;

3.4. A≡( y)&(x → x )&|((x&y)→ y );

3.5. A≡(xv z )→y&z;

3.6. A≡( x →z)→ xy ;

3.7. A≡(x&y→y&z)→((x→y)→(z→y));

4. Қуйидаги формулаларни такомил коньюнктив нормал шаклга келтиринг:

1. A≡( x → y )→((y&z)→(x&z));

2. A≡((x→y)→ x )→(x→(y&x));

49

3. A≡(( yx & )→ x )&(( yx & )→ y );

4. A≡(( yx & )→ x )&(( yx & )→ y );

5. A≡(xv z )→y&z;

6. A≡( x →z)→( y → x );

7. A≡(x&y→y&z)→((x→y)→(z→y));

5. Қуйидаги формулаларни такомил дизьюнктив нормал шаклга келтиринг:

5.1 A≡ (z→x)→(( xvz )→x);

5.2 A≡(( yx & )→x)v(x&(yvz));

5.3 A≡( xvzx (& ))→((x&(y)vz);

5.4 A≡(x&y→y&z)→((x→y)→(z→y));

5.5 A≡(( yx & )→ x )&(( yx & )→ y );

5.6 A≡(xv z )→y&z;

5.7 A≡( x →z)→|( y → x );

6. Формулаларнинг айнан чинлик ёки айнан ёлғонлик аломатларидан

фойдаланиб, қуйидаги формулаларнинг айнан чин, айнан ёлғон ёки

бажарилувчи эканлигини кўрсатинг:

6.1. A≡( yx & )↔( x v(x&y));

6.2. A≡(x↔y)&((x& y )v( x &y));

6.3. A≡(x&y)→(x→ y );

6.4. A≡(x→y)→( y → x );

50

6.5. A≡( y → x )→(x→y);

6.6. A≡(x→y)&(x→ y )→ x ;

6.7. A≡(x→(y→z))→((x→y)→(x→z));

6.8. A≡(z→x)→((z→y)→(z→(x&y)));

6.9. A≡(x→z)→((y→z)→((xvy)→z));

6.10. A≡(x→(y→z))→(x&y→z);

6.11. A≡(x&y→z)→(x→(y→z));

7. Қуйидаги формулаларда тенг кучли формулалардан фойдаланиб,

импликация ва эквиваленцияни коньюнкция ва дизьюнкция орқали

ифодаланг, сўнгра ҳосил бўлган формулага мос реле-контакт схемани тузинг:

7.1 A≡(x&y)vz;

7.2 A≡x&y→( y vx→z);

7.3 A≡( x→y)→(xvy&z);

7.4 A≡(xvz)&( y →(u→ x ));

7.5 A≡(x&y)→x;

7.6 A≡x→(xvy);

7.7 A≡(x→y)→( y → x );

7.8 A≡(x→y)&(x→ y )→ x ;

7.9 A≡(x↔y)&(xvy);

7.10 A≡(x→y)&(y→z)→(z→x);

7.11 A≡(x→y)&(y→z)→(x→z);

7.12 A≡(y↔z)&(xvz);

7.13 A≡z&y→(y v z→x);

51

№ 2 – Мустақил иш

Мулоҳазалар ҳисоби

1. Ўрнига қўйиш қоидасидан фойдаланиб қуйидаги формулаларнинг

чиқарилувчи эканлигини исботланг:

1.1. ├ (A→B)&B→B;

1.2. ├ A&B→A&BvC;

1.3. ├ ( A→B)→((C→B)→( AvC→B));

1.4. ├ ( AvB )→(AvB);

1.5. ├ ((A&B)→(C→B&C))→((A&B→C)→(A&B→B&C));

1.6. ├ (A→B)→((A→B)v(B&C));

1.7. ├ ((A&B)→(C&D))→( ( DC & )→| (A&B));

1.8. ├ (C→AvB)→((C→BvA)→(C→(AvB)&(BvA));

1.9. ├ (A→B)→((A→B)v(C→D));

1.10. ├ (C→D)→((A→B)v(C→D));

1.11. ├ (A→C)&(B→D)→(A→C);

1.12. ├ (A→C)&(B→D)→(B→D);

1.13. ├ ((A→B)→C)→((C→D)→C)→((A→B)v(C→D)→C);

2. Ўрнига қўйиш қоидасидан ва хулосага келиш қоидасидан фойдаланиб

қуйидаги формулаларнинг чиқарилувчи эканлигини исботланг:

2.1. ├ BvB→B;

2.2. ├ C&D→D&C;

2.3. ├ B→B&B;

2.4. ├ CvD→DvC;

2.5. ├ (A→B)→(A→A);

52

2.6. ├ A→ A ;

2.7. ├ ( AvB )→ A ;

2.8. ├ ( AvB )→ B ;

3. Ҳосилавий чиқариш қоидаларидан фойдаланиб, қуйидаги

формулаларнинг чиқарилувчи эканлигини исботланг:

3.1. ├ AvB →( BA & );

3.2. ├ (A→B)→(A→AvB);

3.3. ├ (A→B)→(A→A);

3.4. ├ (A→B)& B → A ;

3.5. ├ A& A→B;

3.6. ├ BA & →( AvB );

3.7. ├ (B→B)→( B → B );

3.8. ├ B → B ;

4. H формулалар тўпламидан берилган формулани чиқарилувчи эканлигини

исботланг:

1. H={A}├ B→A;

2. H={A→B, B→C} ├ A→C;

3. H={A→C} ├ C → A ;

4. H={A→B, B } ├ A ;

5. H={A, A→B} ├ B;

6. H={A→B} ├ A&C→B&C;

7. H={A→B} ├ (C→A)→(C→B);

8. H={A→B} ├ (B→C)→(A→C);

9. H={A→(B→C)} ├ B→(A→C);

10. H={A→B} ├ AvC→BvC;

5. Дедукция ва умумлашган дедукция теоремаларидан фойдаланиб,

қуйидаги қонунларни исботланг:

1. ├ (x→(y→z))→(y→(x→z));

2. ├ (x→(y→z))→(x&y→z));

53

3. ├ (x&y→z))→(x→(y→z));

4. ├ x→( x →y);

5. ├ xv x ;

6. ├ yx & →( xvy ).

6. M={1,2,3,…,30} тўпламда қуйидаги предикатлар берилган:

A(x): “x сони 5 га бўлинмайди”;

B(x): “х – жуфт сон”;

С(х): “х – туб сон”;

D(x): “x сони 3 га каррали сон”.

Қуйидаги предикатларнинг чинлик тўпламларини топинг:

6.1. A(x)&B(x)→D(x);

6.2. C(x)&D(x)→B(x);

6.3. B (x)&D(x);

6.4. A(x)& D (x);

6.5. B (x)& D (x);

6.6. A(x)vB(x)vD(x);

6.7. D(x))→C (x);

6.8. A(x)&C(x)→ D (x);

6.9. A(x)&D(x)→ C (x);

6.10. C(x)→A(x);

6.11. A(x)→B(x);

Дискрет математикадан ва математик мантиқ фанидан реферат мавзулари

1. Тьюринг машиналари

2. Марковнинг нормал алгоритмлари

3. Ечилмайдиган алгоритмик проблемалар

4. Геделнинг тўлиқсизлик теоремаси

5. Алгебра, анализ ва гнеометриядан математик назрияларга мисоллар

6. Ечиладиган ва саналадиган тўпламлар

54

7. Ҳисобланадиган функциялар. Қисмий рекурсив ва умумий рекурсив

фнукциялар.

8. Аксиоматик мулоҳазалар ҳисобининг муаммолари

9. Биринчи тартибли назария

10. Предикатлар ҳисобининг зиддиятсизлиги

11. Натурал сонлар назарияси

12. Алгоритм тушунчаси ва унинг хоссалари

13. Терма ва формулалар

14. Предикатлар ҳисобининг аксиоматик тузилиши

15. Назария тилининг интерпретацияси

16. Тартибланган ва қисмий тартибланган тўрламлар

17. Тартиб муносабатлар

18. Акслантиришлар ва муносабатлар.

TESTLAR

Тўпламлар назарияси ва Мулоҳазалар алгебраси

1. 3,2,1A ва 5,4B тупламнинг декар купайтмаси нечта элементдан иборат. а) 6; б) 2; с) 4; д) 5; 2. 2,1A ва 4,3B тупламнинг декарт купайтмаси кайси элементга карашли. а) (1,3) б) (3,4) с) (1,2) д) (4,2)

55

3. 2,1A ва 4,3B тупламнинг декарт купайтмаси кайси элементга карашли эмас. а) (2,1) б) (1,3) с) (1,4) д) (2,3) 4. 3,2,1A ва 4,3B тупламларнинг бирлашмаси топилсин. а) 4,3,2,1 б) 5,4,3,2,1 с) 3,2,1 д) 4,3 5. 4,3,2,1A ва 6,5,4B тупламларнинг кесишмаси топилсин. а) 4 б) 6 с) 4,2 д) 6. 6,4,2A ва 7,6,5,4B тупламларнинг айирмаси топилсин. а) 2 б) 4,2 с) д) 7,6 7. 2,1A , 4,3B ва 5,4С тупламларнинг бирлашмаси топилсин. а) 5,4,3,2,1 б) 4,3,2,1 с) д) 5,4 8. 2,1A , 4,3B ва 5,4С тупламларнинг кесишмаси топилсин. а)

56

б) 2 с) 4 д) 5 9. Куйидаги муносабатларнинг кайси бири нотугри. а) ABBA б) ABBA с) A д) ABBA 10. Куйидаги муносабатларнинг кайси бири тугри. а) BA б) ABBA с) CBAСBA д) AA 11.Конъюкция амалига кайси богловчи мос келади. а) ва б) ёки с) лекин. д) аммо 12. Дизъюнкция амалига кайси богловчи мос келади. а) ёки б) аммо с) лекин д) ва 13. Мантикий амалларнинг сони нечта. а) 15 б) 4 с)3 д)1 14. Учта узгарувчи мулохаза биргаликда нечта хар хил кийматлар сатрларини кабул килади. а) 18 б) 6 с) 3 д) 1

57

15.п – та узгарувчи мулохаза биргаликда нечта хар хил кийматлар сатрларини кабул килади. а) n2 б) 3 п с) п д)2 п 16. Куйидаги формулаларни кайси бири айнан чин. а) yxP б) xxP с) xxP д) yxP 17. Куйидаги формулаларни кайси бири айнан ёлгон. а) xxP б) xxP с) yxxP д) yxP 18. Куйидаги формулаларни кайси бири нотугри. а) yxyx б) zyxzyx с) zyxzyx д) zyzxzyx 19. zyxP нормал конъюнктив шаклини топинг. а) zyxzyxzxP б) zyxP с) zyxP д) yxP 20. yxyxP нинг нормал дизъюнктив шаклини топинг. а) yxyxP б) yxyxP с) yxyxP д) yxyxxP 21. zyxyxP формулани соддалаштиринг. а) yxP

58

б) zyxP с) zyxP д) zyxP 22. xzyxP формулани дизъюнктив шаклга келтиринг. а) zxyxP б) zyyxP с) zyxP д) yyxP 23. Айнан чин формулани курсатинг. а) yyxxP б) xyxP с) yyxP д) xyxP 24. Айнан ёлгон формулани курсатинг. а) zyxxxP б) zyyxP с) zyxxxP д) zyxP 25. zyxP формулани такомил нормал конюктив шаклга келтиринг. а) zyxzyxzyxP б) zyxzyxP с) zxyxP д) zyyxP

Мулоҳазалар ҳисоби

1. Қуйидаги формулалардан қайсилари мулоҳазалар ҳисобининг I гуруҳ аксиомаларидан бири ҳисобланади: a) )( ABA ; b) )( BAA ; c) )( ABB ; d) )( AAA .

59

2. Қуйидаги формулалардан қайсилари мулоҳазалар ҳисобининг I гуруҳ аксиомаларидан бири ҳисобланади:

a) ))()(())(( CABACBA ; b) ))()(())(( CABAABA ; c) ))()(())(( CABACBB ; d) ))()(())(( BACACBA .

3. Қуйидаги формулалардан қайсилари мулоҳазалар ҳисобининг II гуруҳ аксиомаларидан бири ҳисобланади: a) ABA ; b) ABB ; c) AAA ; d) BBB .

4. Қуйидаги формулалардан қайсилари мулоҳазалар ҳисобининг II гуруҳ

аксиомаларидан бири ҳисобланади: a) BBA ; b) ABB ; c) AAA ; d) BBB .

5. Қуйидаги формулалардан қайсилари мулоҳазалар ҳисобининг II гуруҳ аксиомаларидан бири ҳисобланади: a) ))()(()( CBAСABA ; b) ))()(()( CBAСACA ; c) ))()(()( CBABABA ; d) ))()(()( CAAСABA .

6. Қуйидаги формулалардан қайсилари мулоҳазалар ҳисобининг III гуруҳ аксиомаларидан бири ҳисобланади: a) BAA ; b) AAA ; c) BBB ; d) CBA .

7. Қуйидаги формулалардан қайсилари мулоҳазалар ҳисобининг III гуруҳ аксиомаларидан бири ҳисобланади: a) BAB ; b) AAA ; c) BBB ; d) CBA .

8. Қуйидаги формулалардан қайсилари мулоҳазалар ҳисобининг III гуруҳ аксиомаларидан бири ҳисобланади: a) ))()(()( CBAСBCA ; b) ))()(()( CBAСBBA ; c) ))()(()( CBAСBCB ; d) ))()(()( BBAСBCA .

60

9. Қуйидаги формулалардан қайсилари мулоҳазалар ҳисобининг IV гуруҳ аксиомаларидан бири ҳисобланади: a) )()( ABBA ; b) )()( ABAA ; c) )()( AABA ; d) )()( ABAB ;

10. Қуйидаги формулалардан қайсилари мулоҳазалар ҳисобининг IV гуруҳ

аксиомаларидан бири ҳисобланади: a) AA ; b) BA ; c) AA ; d) AB ; 11. Қуйидаги формулалардан қайсилари мулоҳазалар ҳисобининг IV гуруҳ

аксиомаларидан бири ҳисобланади: a) AA ; b) BA ; c) AA ; d) AB ;

12. Ўрнига қўйиш қоидасини кўрсатинг: a) x пропозиционал ўзгарувчи B ихтиёрий формула бўлсин. У ҳолда

)(xA формулада унга кирган x ўзгарувчини B формула билан алмаштириш натижасида ҳосил қилинган )(BA формула чиқарилувчи бўлади.

b) x пропозиционал ўзгарувчи A ихтиёрий формула бўлсин. У ҳолда )(xA формулада унга кирган x ўзгарувчини B формула билан

алмаштириш натижасида ҳосил қилинган )(BA формула чиқарилувчи бўлмайди.

c) x пропозиционал ўзгарувчи A ихтиёрий формула бўлсин. У ҳолда )(xA формулада унга кирган x ўзгарувчини B формула билан

алмаштириш натижасида ҳосил қилинган )(BA формула чиқарилувчи бўлади.

d) x пропозиционал ўзгарувчи B ихтиёрий формула бўлсин. У ҳолда )(xA формуланинг ихтиёрий қисмини B формула билан

алмаштириш натижасида ҳосил қилинган )(BA формула чиқарилувчи бўлади.

13. Хулосага келиш қоидасини кўрсатинг: a) Агар A ва BA формулалар чиқарилувчи бўлса, B формула ҳам

чиқарилувчи бўлади; b) Агар A ва BA формулалардан камида бири чиқарилувчи бўлса, B

формула ҳам чиқарилувчи бўлади; c) Агар A ва BA формулалар ихтиёрий бўлганда ҳам B формула

ҳам чиқарилувчи бўлади;

61

d) B формуланинг чиқарилувчи эканлиги A ва BA формулаларнинг чиқарилувчи эканлигига боғлиқ эмас;

14. Мулоҳазалар ҳисобининг қуйидаги таърифларидан тўғрисини кўрсатинг: a) Агар A ва B лар формулалар бўлса, )(),(),(),( ABABABA лар

ҳам формулалар бўлади. b) Агар A ва B лар формулалар бўлса, )(),(),(),( AСABABA лар

ҳам формулалар бўлади. c) Агар A ва B лар формулалар бўлса, )(),(),(),( CBABABA лар

ҳам формулалар бўлади d) Агар A ва B лар формулалар бўлса, уларнинг ихтиёрий

комбинациялари ҳам формулалар бўлади. 15. Силлогизм қоидасини кўрсатинг:

a) BA ва CB формулалардан CA формула чиқарилади; b) BA ва CB формулалардан CA формула чиқарилмайди; c) BA ва AB формулалардан CA формула чиқарилади; d) CA ва CB формулалардан BA формула чиқарилади;

16. Шартларнинг ўрнини алмаштириш қоидасини кўрсатинг: a) Агар )( CBA формула чиқарилувчи бўлса, )( CAB формула

ҳам чиқарилувчи бўлади. b) Агар )( CBA формула чиқарилувчи бўлса, )( BAC формула

ҳам чиқарилувчи бўлади. c) Агар )( CBA формула чиқарилувчи бўлса, )( ACB формула

ҳам чиқарилувчи бўлади. d) Агар )( ABC формула чиқарилувчи бўлса, )( CAB формула

ҳам чиқарилувчи бўлади. 17. Коньюнкцияни киритиш қоидасини кўрсатинг:

a) Агар A ва B лар формулалар чиқарилувчи бўлса, BA формула ҳам чиқарилувчи бўлади.

b) Агар A ва B лар формулалар чиқарилувчи бўлса, BA формула ҳам чиқарилувчи бўлмайди.

c) Агар A ва B лар формулалар чиқарилувчи бўлса, BA формула ҳам чиқарилувчи бўлади.

d) Агар A ва B лар формулалар чиқарилувчи бўлса, BA формула ҳам чиқарилувчи бўлади.