Modelando una epidemia zombie4 modelos basados en la cultura popular zombie

O’Bryan Cárdenas Andaur

Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemática

11 de diciembre de 2018

Introducción

Motivación: ¿Por qué modelar una epidemia zombie?

I Los zombies son uno de los monstruos más populares.I Una epidemia zombie tiene la mayoría de las características de

una epidemia real.I Uso de diversas herramientas matemáticas: Estadística, Sistemas

Dinámicos, etc.I Como herramienta de divulgación.

Modelo 1: Lo básico

Hipótesis

I Los humanos susceptibles nacen a una tasa constante y puedenmorir tanto por un ataque zombie como por causas naturales.

I Los muertos pueden revivir convertidos en zombies.I Lo humanos susceptibles pueden transformarse en zombies

mediante la transmisión de la enfermedad luego de unencuentro con uno de estos. Esta transformación es inmediata.

I Los zombies pueden ser asesinados por los humanos.I Los zombies no se atacan entre ellos.

Ecuaciones

El modelo que cumple con las hipótesis hipótesis anteriores es:

X1 :

dSdt = π − βSZ − δSdZdt = βSZ + ρR−αSZdRdt = δS +αSZ − ρR

donde S es la población susceptible, Z es la población zombie y R sonlos removidos. Por lo tanto S,Z,R ∈R+

0 . Y todos los parámetros sonpositivos.

Parámetros

I π : representa la tasa de nacimientos de población susceptible.I α : representa la probabilidad de que un susceptible gane un

combate contra un zombie y lo mate.I β : representa la probabilidad de que un susceptible pierda un

combate contra un zombie y sea contagiado.I δ : representa la tasa de muerte natural de los susceptibles.I ρ : representa la probabilidad de que un removido regrese como

zombie.

Análisis

Notamos que S ′ +Z ′ +R′ = π y por lo tanto S +Z +R→∞ cuandot→∞ siempre y cuando π , 0.

Se puede asumir que el brote de zombies ocurre en una escalapequeña de tiempo, es posible ignorar los nacimientos y muertesnaturales, es decir π = δ = 0 y luego realizar el análisis estándar.

Análisis

Se iguala cada ecuación del sistema de EDOs a 0 en vías de encontrarlos puntos de equilibrio:

dSdt = −βSZ = 0dZdt = βSZ + ρR−αSZ = 0dRdt = αSZ − ρR = 0

De la primera ecuación se tiene que S = 0 o Z = 0:

(a) Si S = 0 entonces R = 0 y se tiene el equilibrio ’Doomsday’: (0, Z̄,0).

(b) Si Z = 0 entonces R = 0 y se tiene un equilibrio libre deenfermedad: (N,0,0), donde N es el total de la población libre deenfermedad.

Análisis

Calculando la matriz Jacobiana jacobiana de X1:

J(S,Z,R) =

−βZ −βS 0(β −α)Z (β −α)S ραZ αS −ρ

y evaluando los puntos de equilibrio se concluye que para cualquiercombinación de parámetros:

(a) El equilibrio ’Doomsday’, (0, Z̄,0), es estable.

(b) El equilibrio libre de enfermedad, (N,0,0), es inestable.

Simulaciones(S0,Z0,R0) = (1,0,0) y (α,β,ρ) = (0,005;0,095;0,0001)

Figura: Equilibrio libre de enfermedad

Simulaciones(S0,Z0,R0) = (0,9999,0,0001,0) y (α,β,ρ) = (0,005;0,095;0,0001)

Figura: Equilibrio Doomsday (1)

Simulaciones

(S0,Z0,R0) = (0,99999;0,00001;0) y (α,β,ρ) = (0,25;0,75;0,0025)

Figura: Equilibrio Doomsday (2)

Modelo 2: Zombies más’Reales’

Hipótesis

I Mismas hipótesis del primer modelo excepto la conversióninmediata humano-zombie.

I Susceptibles pasan a infectados y luego a zombies.I Infectados también pueden morir por causas naturales.

Ecuaciones

El modelo que cumple con las hipótesis hipótesis anteriores es:

X2 :

dSdt = π − βSZ − δSdIdt = βSZ −µI − δIdZdt = µI + ρR−αSZdRdt = δS + δI +αSZ − ρR

donde S es la población susceptible, I es la población infectada perono convertida, Z es la población zombie y R son los removidos. Por lotanto S,I,Z,R ∈R+

0 . Y todos los parámetros son positivos.

Parámetros

I π : representa la tasa de nacimientos de población susceptible.I α : representa la probabilidad de que un susceptible gane un

combate contra un zombie y lo mate.I β : representa la probabilidad de que un susceptible pierda un

combate contra un zombie y sea infectado.I δ : representa la tasa de muerte natural de los susceptibles e

infectados.I ρ : representa la probabilidad de que un removido regrese como

zombie.I µ : representa la probabilidad de que un infectado se transforme

en zombie.

Análisis

Se realiza el mismo supuesto que en el primer modelo e igualan todaslas ecuaciones a cero:

dSdt = −βSZ = 0dIdt = βSZ −µI = 0dZdt = µI + ρR−αSZ = 0dRdt = αSZ − ρR = 0

De la primera ecuación se tiene que S = 0 o Z = 0:(a) Si S = 0 entonces R = I = 0 y se tiene un nuevo equilibrio’Doomsday’: (0,0, Z̄,0).(b) Si Z = 0 entonces R = I = 0 y se tiene un equilibrio libre deenfermedad: (N,0,0,0).

Análisis

Calculando la matriz Jacobiana jacobiana de X2:

J(S,I,Z,R) =

−βZ 0 −βS 0βZ −µ βS 0−αZ µ −αS ραZ 0 αS −ρ

y evaluando los puntos de equilibrio se concluye que para cualquiercombinación de parámetros:

(a) El equilibrio ’Doomsday’, (0,0, Z̄,0), es estable.

(b) El equilibrio libre de enfermedad, (N,0,0,0), es inestable.

Simulaciones(S0, I0,Z0,R0) = (1,0,0,0) y (α,β,ρ,µ) = (0,25;0,75;0,0005;0,005)

Figura: Equilibrio libre de enfermedad

Simulaciones(S0, I0,Z0,R0) = (0,9999;0;0,0001;0) y(α,β,ρ,µ) = (0,25;0,75;0,0005;0,005)

Figura: Equilibrio doomsday.

Modelo 2.1: Cuarentena

Hipótesis

I Mismas hipótesis del segundo modelo.I Se incorpora una nueva población ’Cuarentena’.I Solo infectados o zombies pasan a estado de cuarentena.I Los individuos que intentan escapar del área de cuarentena son

asesinados y pasan a ser removidos.I De igual forma, estos removidos pueden revivir como zombies.

Ecuaciones

El modelo que cumple con las hipótesis hipótesis anteriores es:

X3 :

dSdt = π − βSZ − δSdIdt = βSZ −µI − δI −κIdZdt = µI + ρR−αSZ − σZdRdt = δS + δI +αSZ − ρR+γQdQdt = κI + σZ −γQ

donde S es la población susceptible, I es la población infectada perono convertida, Z es la población zombie, R son los removidos y Q esla población en cuarentena. Por lo tanto S,I,Z,R,Q ∈R+

0 . Y todos losparámetros son positivos.

Parámetros

I π : representa la tasa de nacimientos de población susceptible.I α : representa la probabilidad de que un susceptible gane un

combate contra un zombie y lo mate.I β : representa la probabilidad de que un susceptible pierda un

combate contra un zombie y sea infectado.I δ : representa la tasa de muerte natural de los susceptibles e

infectados.I ρ : representa la probabilidad de que un removido regrese como

zombie.I µ : representa la probabilidad de que un infectado se transforme

en zombie.I κ : representa la tasa de infectados que pasan a cuarentena.I σ : representa la tasa de zombies que pasan a cuarentena.I γ : representa la probabilidad de que alguien en cuarentena

intente escapar.

Análisis

Se realiza el mismo supuesto que en el primer modelo e igualan todaslas ecuaciones a cero:

dSdt = −βSZ = 0dIdt = βSZ −µI −κI = 0dZdt = µI + ρR−αSZ − σZ = 0dRdt = αSZ − ρR+γQ = 0dQdt = κI + σZ −γQ = 0

Análisis

De la primera ecuación se tiene que S = 0 o Z = 0:

(a) Si S = 0 entonces I = 0 y la tercera, cuarta y quinta ecuaciónquedan como sigue:

ρR = σZρR = γQγQ = σZ

por lo que R = σρZ y Q = σ

γZ y se tiene el equilibrio: (0,0, Z̄,σρZ̄,σγZ̄).

(b) Si Z = 0 entonces R = I =Q = 0 y se tiene un equilibrio libre deenfermedad: (N,0,0,0,0).

Análisis

Se calcula la matriz Jacobiana jacobiana de X3:

J(S,I,Z,R,Q) =

−βZ 0 −βS 0 0βZ −µ−κ βS 0 0−αZ µ −αS − σ ρ 0αZ 0 αS −ρ γ0 κ σ 0 −γ

y evalúan los puntos de equilibrio para determinar los valorespropios. En este caso el análisis se vuelve más complicado para elequilibrio libre de enfermedad, no así para el el equilibrio Doomsdayque sigue siendo estable.

Análisis

Para el equilibrio libre de enfermedad se obtiene el siguientepolinomio característico:

P (λ) = λ(λ(µ+κ+λ)[λ2 +λ(αN + σ + ρ+γ) + (αNγ + σ (ρ+γ) + ργ)]−βN [λ2µ+λ(µρ+µγ − ρκ) + ρ(µγ − ρκ)]) = λP4(λ)

P4(λ) es un polinomio de grado 4 con factor de λ4 igual a 1 por ende:

lı́mλ→−∞

= +∞ y lı́mλ→+∞

= +∞

Su término libre es −βNρ(µγ − ρκ), si este término es siemprenegativo, entonces corta al eje Y en la parte negativa y por lo tantopodemos asegurar que al menos una de sus soluciones tiene partereal positiva.

Esto llevaría a conlcuir que el equilibrio es siempre inestable,análogamente a los otros modelos.

Análisis

Para asegurar lo anterior, requerimos que:

−βNρ(µγ − ρκ) < 0⇔ µγ − ρκ > 0⇔ µγ > ρκ⇔µγ

ρκ> 1

Esto no siempre es cierto.

Segunda alternativa de análisis: número básico de reproducción de lainfección R0.

Análisis

Se propone utilizar el ’Método de Siguiente Generación’ el cualdefine R0 como el radio espectral de un producto de dos matrices F yV −1 definidas a continuación:

F =

0 βN 00 0 00 0 0

y V =

µ+κ 0 0−ρ αN + σ 0−κ −σ γ

donde F es la matriz de nuevas infecciones y V es la matriz detransferencia entre las poblaciones I,Z,Q.

Así, se obtiene R0 = βNµ(µ+κ)(αN+σ ) .

Para grandes poblaciones, un buen R0 podría aproximarse por βµα(µ+κ) .

Simulaciones(S0, I0,Z0,R0,Q0) = (0,99999;0;0,0001;0;0) y

(α,β,ρ,µ,κ,σ ,γ) = (0,25;0,75;0,0005;0,005;0,025;0,01;0,05)

R0 ∼0,75 ∗ 0,005

0,25 ∗ (0,005 + 0,025)= 0,5

Figura: Simulación 1

Simulaciones(S0, I0,Z0,R0,Q0) = (0,99999;0;0,0001;0;0) y

(α,β,ρ,µ,κ,σ ,γ) = (0,25;0,75;0,0005;0,005;0,0025;0,001;0,05)

R0 ∼0,75 ∗ 0,005

0,25 ∗ (0,005 + 0,0025)= 2

Figura: Simulación 2

Simulaciones(S0, I0,Z0,R0,Q0) = (0,99999;0;0,0001;0;0) y

(α,β,ρ,µ,κ,σ ,γ) = (0,1;0,9;0,005;0,05;0,001;0,00001;0,5)

R0 ∼0,8 ∗ 0,005

0,2 ∗ (0,005 + 0,01)= 1,3

Figura: Simulación 3

Modelo 2.2: Una cura hasido hallada!

Hipótesis

I Mismas hipótesis del segundo modelo.I La cura regresa a los zombies a su forma humana original,

independientemente de como hayan sido convertidos enzombies.

I Una vez curados, los humanos se vuelven susceptiblesnuevamente, es decir, pueden volver a ser infectados.

Ecuaciones

El modelo que cumple con las hipótesis anteriores es:

X4 :

dSdt = π − βSZ − δS + cZdIdt = βSZ −µI − δIdZdt = µI + ρR−αSZ − cZdRdt = δS + δI +αSZ − ρR

donde S es la población susceptible, I es la población infectada perono convertida, Z es la población zombie y R son los removidos. Por lotanto S,I,Z,R ∈R+

0 . Y todos los parámetros son positivos.

Parámetros

I π : representa la tasa de nacimientos de población susceptible.I α : representa la probabilidad de que un susceptible gane un

combate contra un zombie y lo mate.I β : representa la probabilidad de que un susceptible pierda un

combate contra un zombie y sea infectado.I δ : representa la tasa de muerte natural de los susceptibles e

infectados.I ρ : representa la probabilidad de que un removido regrese como

zombie.I µ : representa la probabilidad de que un infectado se transforme

en zombie.I c : representa la tasa de zombies a los que se les aplica la cura.

Análisis

Se realiza el mismo supuesto que en el primer modelo e igualan todaslas ecuaciones a cero:

dSdt = −βSZ + cZ = 0dIdt = βSZ −µI = 0dZdt = µI + ρR−αSZ − cZ = 0dRdt = αSZ − ρR = 0

Análisis

De la primera ecuación se tiene que Z = 0 o S = c/β:

(a) Si Z = 0 entonces R = I = 0 y se tiene el equilibrio libre deenfermedad: (N,0,0,0).(b) Si S = c/β entonces es posible sustituir este término en las demásecuaciones para determinar el equilibrio endémico:

cZ = µIµI + ρR = (αcβ + c)Zαcβ Z = ρR

Dejando I,R en función de Z, se obtiene el equilibrio ( cβ ,cµ Z̄, Z̄,

αcβρ Z̄).

Análisis

Calculando la matriz Jacobiana jacobiana de X4:

J(S,I,Z,R) =

−βZ 0 −βS + c 0βZ −µ βS 0−αZ µ −αS − c ραZ 0 αS −ρ

y evaluando los puntos de equilibrio se tienen los siguientespolinomios carácterísticos

(a) (N,0,0,0):P (λ) = λ[λ3 +λ2(c+ρ+αN +µ)+λ(cρ+µ(c+ρ+αN )−βNµ)+µρ(c−βN )]

(b) ( cβ ,cµ Z̄, Z̄,

αcβρ Z̄):

P (λ) = λ(βZ̄ +λ)[λ2 +λ(ρ+ αcβ +µ+ c) + αcµ

β + cρ+µρ]

Análisis

Así, para

(a) (N,0,0,0): se tiene que λ1 = 0. Además, se puede establecer que siµρ(c − βN ) < 0 entonces existe un valor propio positivo y por lo tantoel equilibrio es inestable.

(b) ( cβ ,cµ Z̄, Z̄,

αcβρ Z̄): se tienen λ1 = 0, λ2 = −βZ̄ y

λ3,4 = 12 [−(ρ+ αc

β +µ+ c)±√

(ρ+ αcβ +µ+ c)2 − 4(αcµβ + cρ+µρ)].

En caso que el argumento de la raíz sea positivo, se tiene que λ3,4 < 0,en caso contrario, los valores propios son complejos conjugados perocon parte real negativa y por ende el equilibrio es siempre estable.

Simulaciones(S0, I0,Z0,R0) = (0,9999;0;0,0001;0) y

(α,β,ρ,µ,c) = (0,005;0,095;0,0001;0,005;0,01)

Figura: Simulación 1

Simulaciones(S0, I0,Z0,R0) = (0,9999;0;0,0001;0) y

(α,β,ρ,µ,c) = (0,005;0,095;0,0001;0,005;0,05)

Figura: Simulación 2.

Extensiones posibles

I En estos modelos no hay muertos definitivos.I Los zombies matan humanos.I Los humanos pueden ser clasificados según su experiencia en

combate o uso de armas de fuego.

Gracias por su atención