o peraciones 2 transporte profesor: pablo diez bennewitz ingeniería comercial - u.c.v
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OPERACIONES 2Transporte
OPERACIONES 2Transporte
Profesor: Pablo Diez BennewitzIngeniería Comercial - U.C.V.
Profesor: Pablo Diez BennewitzIngeniería Comercial - U.C.V.
ORGANIZACION
RESULTADOS
ORGANIZACION PARA LA CONVERSIONORGANIZACION PARA LA CONVERSION
• DISEÑO DE PUESTOS DE TRABAJO• ESTANDARES DE PRODUCCION / OPERACIONES• MEDICION DEL TRABAJO• ADMINISTRACION DE PROYECTOS
SISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE OPERACIONES - EL MODELO
Tomado y adaptado de “Administración de Producción y las Operaciones”. Adam y Ebert
PLANIFICACION
INSUMOS
M
PLANIFICACIONPLANIFICACION (DISEÑO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION:• ESTRATEGIAS DE OPERACION• PREDICCION (PRONOSTICOS)• ALTERNATIVAS DISEÑO PRODUCTOS/PROCESOS• CAPACIDAD DE OPERACIONES• PLANEACION UBICACION INSTALACIONES• PLANEACION DISTRIBUCION FISICA
PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSIONPROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION• PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA• PROGRAMACION OPERACIONES
SEGUIMIENTO PRODUCTOS
CONTROLCONTROL• CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION• CONTROL DE INVENTARIO• PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES• ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD• CONTROL DE CALIDAD
CONTROL
RETROALIMENTACION
PROCESO de CONVERSION
MODELOS
MODELOS
MODELOSMM
• Productos• Servicios• Información
M
MODELO DE TRANSPORTE
Plantea que hay ciertas fuentes (F) abastecedoras de determinados destinos (D) receptores, donde hay que transportar cierta cantidad de recursos productivos (naturales, intermedios o finales) desde las fuentes hacia los destinos
FUENTESOferta
Capacidad de producciónProveedores
Plantas de producciónAlmacenes mayoristas
DESTINOSDemanda
Capacidad de ventaPlantas de producciónAlmacenes mayoristas
Tiendas minoristas
MODELO DE TRANSPORTE
Se desea determinar la distribución óptima de los recursos productivos, lo que implica establecer la
combinación de distribución de fuentes a destinos, que tenga el mínimo costo asociado
F1
F3
F2
Fn
D1
D2
D3
Dm
MODELO DE TRANSPORTE
Lo anterior se obtiene mediante el mínimo costo de transporte, lo que requiere considerar los costos unitarios de transporte desde cada fuente hacia cada destino
Se construye un modelo de transporte que, es un caso particular del método simplex
F.O. : Mín Z = n m
i=1 j=1
Cij Xij
• Cij : Costo unitario de transporte desde la fuente i hasta el destino j
• Xij : Unidades a trans-portar desde la fuente i hasta el destino j
i jCij
MODELO DE TRANSPORTE
F.O. : Mín Z = n m
i=1 j=1
Cij Xij i jCij
s.a. :
i=1
j=1
n
m
Xij
Xij
=
=
Qdemandada
Qofrecida
Xij > 0
A
i,j
ALGORITMO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
F1
F2
F3
F4
D1 D2 D3 D4
TOTAL
TOTAL
X1j
X2j
X3j
X4j
Xi1 Xi2 Xi3 Xi4
CijXij
ALGORITMO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
F1
F2
F3
F4
D1 D2 D3 D4
TOTAL
TOTAL
X1j
X2j
X3j
X4j
Xi1 Xi2 Xi3 Xi4
X23
C21
C11
C31
C41
C12
C22
C32
C42 C43
C33
C23
C13 C14
C24
C34
C44
X33
X43 X44X42X41
X34X32X31
X24X22X21
X14X13X12X11
XijCij C23
X236
175
Significa que el costo unitario de transporte desde la fuente 2 al destino 3 es de $6
A su vez, el número de unidades a transportar desde la fuente 2 al destino 3 es de 175
SIGNIFICADO DE CADA CUADRO
ALGORITMO DE TRANSPORTE
Es el valor total producido en los orígenes (Qofrecida) y es también el valor total demandado por los destinos (Qdemandada)
Qdemandada
Qofrecida
==
XimXi3Xi2Xi1
+
++++
+++
.......
....... XnjX3jX2jX1j
Necesariamente: Qdemandada Qofrecida=
ALGORITMO DE TRANSPORTE
Si Qdemandada Qofrecida, entonces significa que falta en el cuadro una columna o fila, la que representa las holguras existentes
=
=
Si Qdemandada Qofrecida
Holguras
Exceso de Oferta
Exceso de Demanda
Qdemandada Qofrecida
Qdemandada Qofrecida>
<
Holguras
VARIABLES DE HOLGURA
Cuando no se cumple la condición necesaria del modelo de transporte (Qofrecida = Qdemandada), se incorporan variables de holgura (o exceso), a través de la creación una columna adicional o una fila adicional en el cuadro
Se asume que el costo unitario de transporte para la columna adicional o fila adicional es cero, ya que las variables de holgura o exceso no forman parte de la función objetivo de optimización
VARIABLES DE HOLGURA
Dependiendo si se trata de un exceso de oferta (Qofrecida > Qdemandada), o de un exceso de demanda (Qdemandada > Qofrecida), las variables de holgura (o exceso) que se añaden, a través de la creación una columna adicional o una fila adicional en el cuadro, representan diferentes casos
Cada caso de variables de holgura o exceso, con su posible columna adicional o fila adicional, se identifica a partir del contexto de cada situación particular
EXCESO DE OFERTA
Qofrecida QdemandadaCapacidad
Ociosa>Si
Se crea una columna adicional en el cuadro, que representa a las unidades a no producir
Qofrecida Qdemandada Acumulación de Inventario>Si
Se crea una columna adicional en el cuadro, que corresponde a la acumulación de inventario
Casos Posibles:
Casos Posibles:
EXCESO DE DEMANDA
Si Qofrecida Qdemandada<Desacumulación
de Inventario
Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la desacumulación de inventario
Si Qofrecida Qdemandada<Demanda No Satisfecha
Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la demanda no satisfecha
Qofrecida Qdemandada Producción en Turno Extra<Si
Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la producción en turno extra
(sobretiempo)
Casos Posibles:
EXCESO DE DEMANDA
EJEMPLO
Una compañía manufacturera dispone de 3 fábricas con diferentes capacidades y costos de transporte para el destino de sus 4 almacenes. La información pertinente se muestra en la tabla:
Costo Unitario de Transporte a cada Almacén CapacidadPlanta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades)
1 23 18 21 25 6502 21 24 23 18 6003 18 21 27 23 700
Demanda 300 450 500 600
Para resolver se arma un cuadro simplex
METODOLOGIA DEL SIMPLEX
1) Se arma el tableau inicial
5) Se realizan tantas iteraciones como sean necesarias hasta encontrar la solución óptima
4) Si no es la solución óptima, se itera hallando una nueva solución factible, para verificar si la nueva solución factible es o no es óptima
3) Evaluar si la solución factible es o no es óptima
2) El tableau inicial otorga la 1ª solución factible
METODOS PARA LOGRAR LA 1ª SOLUCION FACTIBLE
• Esquina Nor-Oeste• Vogel
Ambos mecanismos no garantizan la optimalidad inmediata, solo garantizan la factibilidad
Iteraciones: Si la solución básica no es óptima, se deben reasignar recursos, mediante el criterio de la minimización de los costos, lo que implica realizar iteraciones al cuadro
METODO ESQUINA NOR-OESTE
Asigna el máximo número de unidades a transportar en la celda ubicada en la esquina nor-oeste del cuadro tableau
Luego, se asigna el máximo número de unidades a transportar en la celda aledaña correspondiente, según las restricciones de demanda en los destinos y las restricciones de oferta en las fuentes
METODO ESQUINA NOR-OESTE
Si en principio, la asignación de la esquina nor-oeste es una restricción de demanda, entonces no es posible asignar hacia abajo en el tableau y se asigna hacia el lado
Mientras que, si la asignación inicial es una restricción de oferta, entonces no es posible asignar hacia el lado en el tableau y se asigna hacia abajo
Así sucesivamente, se completa el cuadro tableau, de acuerdo al criterio recientemente descrito
METODO ESQUINA NOR-OESTE
En general:
Si no se puede asignar más por restricción de demanda
Si no se puede asignar más por restricción de oferta
Se completa hacia el lado
Se completa hacia abajo
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
300 350
100 500
Inven.
0
600
600500300 450 18501950100
100
Qofrecida Qdemandada>Como Acumulación de Inventario
18 21 27 23 0
21 24 23 18 0
DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
El problema de transporte es una aplicación de la programación lineal, para el caso específico de variables de decisión bidimensionales (Xij, con dos subíndices: ij)
La programación lineal se concibe y comprende, a partir de conceptos geométricos y un sistema de ecuaciones lineales (que en el caso del modelo de transporte: Qofrecida = Qdemandada)
Los conceptos geométricos implican el uso de espacios vectoriales, con determinada dimensión
DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
La dimensión es el rango del espacio vectorial, que representa la cantidad de componentes requerida
en la base o vector de variables básicas ( XJ )
Si se cumple con el rango establecido, entonces el conjunto de ecuaciones (restricciones) del sistema cumple la condición de linealidad: o sea, todas las restricciones son linealmente independientes (l.i.)
La condición de linealidad o restricciones linealmente independientes, es condición ineludible para aplicar la metodología del simplex
DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
Programación Lineal con variables de decisión
unidimensionales (caso Xi)
Programación Lineal con variables de decisión
bidimensionales (caso Xij)
Rango = m
Rango = m + n - 1
Donde m es el número de restricciones l.i.
Donde: • m es el número de columnas del tableau• n es el número de filas del tableau
Existe cuando en la solución básica hay al menos una variable cuyo valor es igual a cero
Cuando la solución es óptima y a la vez degenerada, entonces hay múltiples soluciones óptimas: 2, 3, 4 o quizás infinitas soluciones
La solución degenerada no implica dificultad para el problema de programación lineal, es simplemente un caso particular
SOLUCION DEGENERADA
Número de Variables Básicas m + n - 1=
m: Número de columnas en el tableau (destinos)
n : Número de filas en el tableau (fuentes)
Si Variablesbásicas < ( m + n - 1 )
Existe solución
degenerada
SOLUCION DEGENERADA
SOLUCION DEGENERADA
Para completar una base con solución degenerada, se ingresan tantos valores ceros como sean necesarios para completar el rango (dimensión) requerido por el espacio vectorial
Cuando se ingresa uno o más valores ceros, no se hace en cualquiera celda vacía al azar
El o los valores ceros, deben ingresarse tal que se disponga una base linealmente independiente (l.i.)
EJEMPLO DE TRANSPORTE
( m + n - 1 ) = 7
Sin embargo, en la asignación inicial del método de la esquina nor-oeste, solo hay 6 variables básicas (celdas ocupadas)
Por lo tanto, existe una solución degenerada. Luego, debe ingresarse un valor cero para completar la base de iteración
Ingresa XP3A2 = 0 Pudo ser también en otras celdas vacías
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
300 350
100 500
Inven.
0
600
600500300 450 19501950100
1000
XJ1 = (XP1A1,XP1A2,XP2A2,XP2A3,XP3A2,XP3A4,XP3INV)
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
BASE LINEALMENTE INDEPENDIENTE (L.I.)
Una base es linealmente independiente cuando permite realizar la verificación de la condición de optimalidad para cada variable no básica (celda vacía en el tableau)
Aquello acontece cuando se forma un único lazo alrededor de cada una de las variables no básicas, determinando para cada una de éstas, si realizan o no realizan aporte a la minimización de costos del problema
BUSQUEDA DE SOLUCION OPTIMA
Se realiza un análisis de sensibilidad, calculando los precios sombra de cada una de las variables no básicas (celdas vacías en el algoritmo de transporte), para saber si es que hay algún ahorro respecto del costo total (valor de la función objetivo z) de la reciente iteración
Variables básicas ( XJ ): Están en el tableau y
toman un valor, que en general es mayor que cero
Variables no básicas ( XJ ): No están en el tableau
(celdas vacías) y necesariamente valen cero
VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
Permite comprobar si una solución básica factible es o no es óptima, evaluando el precio sombra o costo marginal asociado al transporte o envío de una unidad en cada variable no básica o celda desocupada en el tableau
Verificar la condición de optimalidad se efectúa por medio de la formación de “lazos”, alrededor de cada variable no básica
Lazos: Son los caminos que se forman dentro del tableau, alrededor de las celdas no básicas y, que se cierran mediante movimientos exclusiva y alternadamente, horizontales y verticales
Por ejemplo:
El primer vértice del lazo es una celda no básica, la cual también es el último vértice, cerrando el lazo. Los demás vértices del lazo necesariamente son variables o celdas básicas
VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
El costo marginal referido a la verificación de la optimalidad, se obtiene a través de los mismos costos unitarios presentes en las celdas del lazo, según la transferencia de unidades asignadas que exista en cada celda del lazo:
Si la celda del lazo recibe unidades
en la transferencia
Se suma el costo unitario de la celda para la verificación
Si la celda del lazo entrega unidades
en la transferencia
Se resta el costo unitario de la celda para la verificación
VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
En el ejemplo, para la celda P2A1 (planta 2 y almacén 1) se tiene:
300
100
350
Alm.1 Alm.2
Planta 1
Planta 2
+21 -24
-23 +18
CMg = +21 -24 +18 -23 = - 8
Hay un Ahorro Marginal, es el concepto de
precio sombra
VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
PRECIO - SOMBRA
Es cuánto varía la función objetivo respecto del cambio en una unidad de una de sus variables componentes
La verificación de optimalidad requiere obtener el precio sombra de todas las celdas vacías, para lo cual se necesita formar los lazos respectivos
Una base linealmente independiente garantiza un único lazo alrededor de cada una de las variables no básicas
CONDICION DE OPTIMALIDAD
Si ij 0 , ij XJ A> Solución óptima
La solución factible es óptima cuando no existe posibilidad alguna de ahorro marginal, lo que ocurre cuando todos los precios sombra son mayores o iguales a cero
Si ij 0 ,ij XJ < Solución no
es óptima
E
CONDICION DE OPTIMALIDAD
Mientras exista al menos un precio sombra menor que cero en las celdas no básicas de las iteraciones del tableau, entonces su solución factible no es óptima, por lo que entonces deben continuarse las iteraciones
Si hay dos o más precios sombra menores a cero, se determina que ingresa a la base la variable no básica que origina el precio sombra más negativo
ITERACIONES
Cuando hay ahorro marginal, lo máximo que se
transfiere hacia la celda no básica, es el mínimo
de las celdas que entregan unidades en la
transferencia, para así conservar la condición
de factibilidadXij > 0
A
i,j
Cada vez que se realiza una iteración (reasignación de unidades), a continuación se necesita volver a calcular los precios sombra, hasta verificar que se alcanza la solución óptima
CONCEPTO DE LA GRAN “M”
En caso de que no se pueda o no se desee almacenar o asignar unidades, el método de transporte define un costo unitario de transporte igual a “M”, que representa un costo marginal infinito, que en el tableau se expresa de la siguiente manera:
Si CMg = 8 M
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823
18
21 25
650
600
700
500
Inven.
0
600
600500300 450 19501950100
1000
Se deben calcular todos los precios sombra
-8
300 350
100
= + 21 - 24 + 18 - 23 = - 8 P2A1
21 24 23 18 0
0232721
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
300
Inven.
0
600
600500300 450 100
1000
-8
= + 21 - 18 + 24 - 23 = + 4
+4350
100 500
P1A3
21 24 23 18 0
023272118
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
300
100 500
Inven.
0
600500300 450 100
100
-8
= + 25 - 18 + 21 - 23 = + 5
+5+4350
0 600
P1A4
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823
2318 21
21
27
25
650
600
700
300
100 500
Inven.
0
600500300 450 100
0
-8
= + 0 - 18 + 21 - 0 = + 3
+5+4350
0 600 100
+3
P1INV
21 24 23 18 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
300
100 500
Inven.
0
600500300 450 100
-8
= + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8
+5+4350
0 100
+3
600
-8
P2A4
21 24 23 18 0
023272118
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
300
100 500
Inven.
0
600500300 450 100
-8
= + 0 - 24 + 21 - 0 = - 3
+5+4350
0 100
+3
600
-8 -3
P2INV
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
500
Inven.
0
600500300 450 100
= No Existe
+5+4350
0 100
+3
600
-8 -3
Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2
-8
300
100
E
P3A1
018232421
23 0272118
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
= No Existe
+5+4350
100
+3
600
-8 -3
Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2
-8
300
500100
0
EE
P3A3
018232421
23 0272118
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
350
100600
-8-8
300
500100
0
P2A4
018232421
23 0272118
= + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8
EJEMPLO DE TRANSPORTERevisión del lazo para la iteración correspondiente:
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
350
100
300
500
Entra XP2A4
XJ2 = (XP1A1,XP1A2,XP2A3,XP2A4,XP3A2,XP3A4,XP3INV)
Unidades Transferir = 100
100
0 600
y Sale XP2A2.
100
100 500
018232421
021 27 2318
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
350
100500
300
500
100
Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración:
100
-4
-8 -1
0 +8
+5
+5
+3
21 24 23 018
18 21 27 23 0
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
350
100500
300
500
100
Revisión del lazo para la iteración correspondiente:
100
-8
21 24 23 018
18 21 27 23 0
P3A1 = + 18 - 23 + 18 - 21 = - 8
EJEMPLO DE TRANSPORTE
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
21 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
100500
500
Entra XP3A1
XJ3 = (XP1A1,XP1A2,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)
100
Unidades Transferir = 100y Sale XP3A2.
300 350
100100
4502001823
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
450
100500
200
500
100
Cálculo de los Precios Sombra para 3ª iteración:
100
-12
+8 -1
+8 +16
-3
+5
-5
21 24 23 018
18 21 27 23 0
21
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
450
100500
200
500
100
100
-12
21 24 23 018
18 21 27 23 0
21
Revisión del lazo para la iteración correspondiente:
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P1A3 = + 21 - 23 + 18 – 23 + 18 - 23 = - 12
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
450
100
Entra XP1A3
XJ4 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)
Unidades Transferir = 200y Sale XP1A1.
200
100 500
100500
200
300 300
30030021 24 23 18 0
18 21 27 23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 21 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
450
100300
200
300
300
Cálculo de los Precios Sombra para 4ª iteración:
300
+12
-4 -1
+8 +4
+9
+5
+7
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
23
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 21 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
450
100300
200
300
300
300
-4
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
23
Revisión del lazo para la iteración correspondiente:
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P3A2 = + 21 - 18 + 21 – 23 + 18 - 23 = - 4
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
100300
Entra XP3A2
XJ4 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2,XP3INV)
Transferir = 300y Salen XP2A3 y XP3A4.
300
450 200
300 300
300
600
500150
021 24 23 18 0
18 21 27 23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
DesdeHacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
1823 21 25
650
600
700
Inven.
0
600500300 450 100
150
100
500
300300
Cálculo de los Precios Sombra para 5ª iteración:
600
+8
+4+3
+9 +3
0
Se halló la solución óptima, que es degenerada
E E E018232421
18 21 27 23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Solución Óptima del Ejercicio:
XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)
XP1A2
XP1A3
XP2A3
XP2A4
XP3A1
XP3A2
XP3INV
= 300
= 300
= 100
= 150
= 500
= 600
= 0
Z = (150*18) + (500*21) + (0*23) + (600*18) + + (300*18) + (300*21) + (0*100)
Z = Costo Total = $ 35.700
La solución no es única, pues
es una solución degenerada ij > 0
A
i,j XJ
EJEMPLO
Problema resuelto el método de esquina nor-oeste:
Costo Unitario de Transporte a cada Almacén CapacidadPlanta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades)
1 23 18 21 25 6502 21 24 23 18 6003 18 21 27 23 700
Demanda 300 450 500 600
Considere que los costos unitarios de producción son de $18, $25 y $10 para las plantas 1, 2 y 3 respectivamente. Por política de la empresa, no se permite almacenar inventario en las plantas 1 y 2. Plantee como problema de programación lineal y encuentre la asignación óptima por método Vogel
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Cada vez que se plantea un problema de programación lineal, se procede cumpliendo las siguientes etapas:
1.- Comprensión del problema (lectura en detalle)
2.- Definición de las variables de decisión
3.- Descripción de la función objetivo
4.- Identificación de las restricciones del problema
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
En un problema de transporte, las variables de decisión contemplan todas las combinaciones posibles de flujos de distribución física, a transferir desde las fuentes hacia los destinos
Resulta imprescindible definir las variables de decisión. Si no se definen las variables de decisión, entonces es imposible determinar qué significan las
denominaciones Xij que, a continuación, se
describen en la función objetivo y las restricciones
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Las restricciones incluyen un conjunto de restricciones de oferta (una por cada fuente) y otro conjunto de restricciones de demanda (una por cada destino), sin olvidar la condición de no negatividad
Se define como función objetivo la minimización de los costos de transporte asociados a la red de distribución física
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Generalmente de ambos conjuntos de restricciones (oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades ( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que depende del contraste entre oferta total y demanda total. Caso exceso de oferta:
Oferta total
Demanda total>
Si
>< =
Restricciones OfertaRestricciones Demanda
<=
Situación válida tanto para acumulación de inventario como capacidad ociosa (unidades a no producir)
Generalmente de ambos conjuntos de restricciones (oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades ( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que depende del contraste entre oferta total y demanda total. Caso exceso de demanda:
Oferta total
Oferta total
Demanda total
Demanda total
<
Si
Si
>< =
Restricciones OfertaRestricciones Demanda
Restricciones OfertaRestricciones Demanda
<=
< >=
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Situación válida para caso de demanda no satisfecha
Situación válida para los casos de desacumulación de inventario y de producción en turno extra
El ejemplo considera dos categorías de costos, por lo que se deben sumar los costos unitarios de producción con los costos unitarios de transporte
La tabla de costos para plantear el problema de programación lineal queda así:
INVA4A3A1 A2
P1 41 36 39 43 MP2 46 49 48 43 MP3 28 31 37 33 10
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Sea Xij: Número de unidades a transportar desde
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
la fuente i-ésima hacia el destino j-ésimo
donde: i = { planta 1, planta 2, planta 3 }
j = { almacén 1, almacén 2, almacén 3, almacén 4 }
Función objetivo: Minimizar Z
Mín Z = 41XP1A1 + 36XP1A2 + 39XP1A3 + 43XP1A4 +
46XP2A1 + 49XP2A2 + 48XP2A3 + 43XP2A4 +
28XP3A1 + 31XP3A2 + 37XP3A3 + 33XP3A4
(producción + transporte)
Para el ejemplo planteado:
Costo Unitario de Transporte a cada Almacén CapacidadPlanta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades)
1 23 18 21 25 6502 21 24 23 18 6003 18 21 27 23 700
Demanda 300 450 500 600
Oferta total = 1950Demanda total = 1850
Hay un exceso de oferta
Luego, se plantean: Restricciones OfertaRestricciones Demanda
<=
• •
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
s.a. XP1A1 + XP1A2 + XP1A3 + XP1A4 650
Restricciones de Oferta:
XP2A1 + XP2A2 + XP2A3 + XP2A4 600
XP3A1 + XP3A2 + XP3A3 + XP3A4 700
Restricciones de Demanda:
<<<
s.a. XP1A1 + XP2A1 + XP3A1 300
XP1A2 + XP2A2 + XP3A2 450
XP1A3 + XP2A3 + XP3A3 500
XP1A4 + XP2A4 + XP3A4 600
====
Restricciones de No Negatividad: Xij 0> , ij
A
METODO DE VOGEL
Selecciona las diferencias de ahorros más altas y luego asigna el máximo número de recursos productivos en la celda con el mínimo costo unitario, según las restricciones de oferta y de demanda
Utiliza conceptos matemáticos y de cálculo avanzado: calcula un gradiente moviéndose por la mayor pendiente, asignando unidades en las celdas con el menor costo marginal
Vogel es más inteligente y rápido que la esquina noroeste, pero tampoco garantiza la optimalidad
Gradiente: g(x) =zx i
zy j+
> >
ETAPAS DEL METODO VOGEL
1) Calcular las diferencias entre los dos costos unitarios más bajos para cada fila y para cada columna, en el tableau
3) Se elimina la fila o columna que copa su oferta total o demanda total, respectivamente, por efecto de la asignación reciente
2) Se escoge la mayor de las diferencias y se ubica en tal fila o columna (según sea el caso), la celda con el menor costo unitario, asignándole el máximo número de unidades posible
ETAPAS DEL METODO VOGEL
4) Se reinicia sucesivamente desde la etapa 1), recalculando las diferencias entre los dos costos unitarios más bajos para cada fila y para cada columna, seleccionando la mayor de tales diferencias, para identificar en dicha máxima diferencia la celda con el menor costo unitario y asignar en dicha celda el máximo número de unidades posibles, según las restricciones de oferta y de demanda. Esta etapa sigue hasta que ya no se obtiene diferencia alguna en el tableau
5) Se asignan las celdas restantes en forma manual
Al resolver el problema de transporte, sólo se consideran los costos diferenciales, por lo que si bien se deben sumar los costos unitarios de producción con los costos unitarios de transporte, es posible reducir la tabla de costos según:
INVA4A3A1 A2
Como sólo interesan los costos diferenciales, podría trabajarse
INVA1 A2 A3 A4
P1 31 26 29 33 MP2 36 39 38 33 MP3 18 21 27 23 0
P1 41 36 39 43 MP2 46 49 48 43 MP3 28 31 37 33 10
EJEMPLO DE TRANSPORTE
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P.1
P.3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Ofta
P.2
Dda
650
600
700
Inven
600500300 450 100
513
18
3
3
102 M
100
1ª asignación: en la celda con menor costo de la mayor de las diferencias de mínimos costos
23272118
36 39 38 33 M
31 26 29 33 M
0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P.1
P.3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Ofta
38P.2
Dda
39
2631
33
2318
36
21
29
27
33650
600
700
InvenM
M
600500300 450 100
0
5
3
3
3
102 M
100
13
300
1ª asignación: XP3A3 = 1002ª asignación: XP3A1 = 300
.... y así se completa sucesivamente
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P.1
P.3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Ofta
P.2
Dda
33650
600
700
InvenM
600500300 450 100
3
3
18
13 5 2 10 M
100
*
300
*10
300 *
13 9 013
450
*
4
9
200 *300 300
3936
31 26 29
18 21 27
38 33 M
023
5
23
EJEMPLO DE TRANSPORTE
1ª asignación: XP3INV = 100, gradiente columna INV = M
2ª asignación: XP3A1 = 300, gradiente columna A1 = 13
3ª asignación: XP3A4 = 300, gradiente columna A4 = 10
4ª asignación: XP1A2 = 450, gradiente columna A2 = 13
5ª asignación: XP1A3 = 200, gradiente columna A3 = 9
6ª asignación: XP2A3 = 300
7ª asignación: XP2A4 = 300
Así, Vogel determina la 1ª solución básica factible, sin embargo falta verificar la condición de optima-lidad e iterar vía simplex si es que es necesario
Asignación manual
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
2631
33
18
36
21
29 33650
600
700
InvenM
M
600500300 450 100
0100300 300
450 2003839
30030027 23
Entra XP3A2
XJ1 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)
+12
+8 +4
-4 -1
+9 +M
+M
De acuerdo al cálculo de los precios sombraTransferir = 300y salen XP2A3 y XP3A4.
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
36650
600
700
Inven
M
600500300 450 100100300
3839300 300
300300
600
Hay solución degenerada, ingresa XP2A2 = 0
0
XJ2 = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2,XP3INV)
2118 27 23 0
450 20050015033
292631 M33
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
31
18
36
21
650
600
700
Inven
M
600500300 450 100
0100300 300
150 5003839
600027 23
+8+3
Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración:
+8EE
Ya que ij > 0 A
i,j XJLa solución es óptima
33
332926+13
M+M
E
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Solución óptima del ejemplo:
XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)
XP1A2
XP1A3
XP2A2XP2A4
XP3A1
XP3A2
XP3INV
= 300
= 300
= 100
= 150
= 500
= 600
= 0
Z = (150*36) + (500*39) + (0*69) + (600*43) + + (300*28) + (300*31) + (100*10)
Z = Costo Total = $ 69.400
La solución no es única, pues
es una solución degenerada ij > 0
A
i,j XJ
(producción + transporte)