o ensino e a aprendizagem da função exponencial por meio
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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
SANDRA REGINA MASSARENTI GOULART
PRODUÇÃO DIDÁTICO- PEDAGÓGICA
O ENSINO E A APRENDIZAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
MARINGÁ
2016
SANDRA REGINA MASSARENTI GOULART
O ENSINO E A APRENDIZAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Produção Didático Pedagógica apresentada à Coordenação do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, em convênio com a Universidade Estadual de Maringá, como requisito para o desenvolvimento das atividades propostas para o período de 20016/2017, sob a orientação do Professor Doutor Marcelo Carlos de Proença.
MARINGÁ 2016
FICHA DE IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
Título:O ensino e a aprendizagem da função exponencial por meio da resolução de problemas
Autor: Sandra Regina Massarenti Goulart
Disciplina/Área: Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização:
Colégio Estadual Paiçandu - Ensino Fundamental, Médio, Normal e Profissional.
Município da escola: Paiçandu – PR
Núcleo Regional de Educação: Maringá – PR
Professor Orientador: Marcelo Carlos de Proença
Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Maringá – UEM
Relação Interdisciplinar:
Resumo: A resolução de problemas é uma estratégia didática fundamental para o desenvolvimento intelectual do aluno. Em sala de aula, porém, constatamos um uso exagerado de regras e resoluções mediante procedimentos padronizados, desinteressantes e que pouco desenvolvem a criatividade e a autonomia dos educandos, voltadas à compreensão de Matemática. Diante dessa situação, buscamos responder aos seguintes problemas: quais as dificuldades apresentadas pelos alunos do 1º ano do Ensino Médio no momento de resolver situações-problema, envolvendo o conteúdo de função exponencial? O trabalho em sala de aula, por meio de resolução de problemas, auxilia a desenvolver a compreensão do conteúdo de função exponencial? Elaboramos e pretendemos desenvolver em sala de aula uma Unidade Didática com base em um ensino em que a situação-problema é o ponto de partida. Para tanto, amparamo-nos em uma análise do processo de resolução no uso de função exponencial. Com isso, visamos demonstrar a relevância da abordagem de resolução de problemas que propusemos como estratégia didática para o ensino da matemática, com a finalidade de ampliar e/ou desenvolver a compreensão
dos alunos em relação ao conteúdo de função exponencial.
Palavras-chave: Resolução de Problemas; Estratégias; Matemática.
Formato do Material Didático: Unidade Didática
Público: Alunos do Primeiro Ano do Ensino Médio
1 APRESENTAÇÃO
Em nosso país o ensino da matemática ainda é marcado pelos altos
índices de retenção, pela formulação precoce de conceitos, pela excessiva
preocupação do treino de habilidades e mecanização de processos sem
compreensão.
Na prática profissional, observamos que muitas vezes, ao utilizarem as
fórmulas para a resolução de um problema, os estudantes não conseguem
entender como chegaram àquele resultado; simplesmente aplicam um
procedimento de uma regra estabelecida pelo professor em sala de aula.O
mesmo não é diferente quando o estudo é sobre função exponencial, e uma
alternativa viável para desenvolver o tema é usar como estratégia a resolução de
problemas, porque é uma maneira de o aluno ter a possibilidade de desenvolver
atitudes de analisar, questionar e construir o seu conhecimento sobre esse
conteúdo. Nesse contexto, buscamos responder aos seguintes problemas: Quais
as dificuldades apresentadas pelos alunos do 1ºano do Ensino Médio no
momento de resolver situações-problema, envolvendo o conteúdo de função
exponencial? O trabalho em sala de aula por meio da resolução de problemas
ajuda a desenvolver a compreensão do conteúdo de função exponencial?
Ao propor situações-problemas o professor tem a função de estimular os
alunos a testarem diferentes estratégias de resolução, de maneira que utilizem
seus conhecimentos científicos adquiridos,o raciocínio lógico e a criatividade.
Para que tal situação se formalize, cabe ao docente propiciar um ambiente de
aprendizagem, no qual o educando tenha oportunidade de pensar nos problemas
e compreendê-los, isto é, elaborar e executar um plano para resolução dos
mesmos.
Nesse sentido, essa atividade didática se materializou na modalidade de
Unidade Didática, discutida e elaborada na segunda etapa do PDE/2016 da
Secretaria de Educação do Estado do Paraná, apresenta atividades relacionadas
à resolução de problemas envolvendo função exponencial, elaboradas com a
orientação do professor Dr. Marcelo Carlos de Proença, da Universidade Estadual
de Maringá-UEM.
Assim, nesta Unidade temos como objetivo geral analisar a compreensão
dos alunos do 1º ano do Ensino Médio sobre o conteúdo de função exponencial
por meio da abordagem da resolução de problemas.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
As Diretrizes Curriculares de Educação Básica de Matemática do Estado
do Paraná (2008, p.48) tem por finalidade “um ensino que possibilite aos
estudantes análises, discussões, conjecturas de conceitos e formulação de
ideias”. Trata-se, portanto, de evidenciar os processos de pensamentos e de
aprendizagem dos conteúdos matemáticos pelos alunos. Dessa forma, os
educandos explicitam seus processos de pensamento, sendo conscientes do
modo de utilizá-los na resolução de problemas.
Ainda conforme as Diretrizes Curriculares de Educação Básica do Estado
do Paraná, os conteúdos devem ser abordados por meio de tendências
metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática docente, e
apontamos como uma das alternativas metodológicas a Resolução de Problemas.
Por meio dessa metodologia, o processo de ensino aprendizagem torna-se mais
dinâmico, pois as diferentes formas de resolução de problemas oportunizam o
estabelecimento de conexões matemáticas e de comunicação.
2.1 O que é um problema?
Muitas vezes, o que parece ser um problema para uma pessoa não o é
para outra; diante disso, indagamos: o que leva as pessoas a pensar o que é ou
não um problema?
Segundo Chi e Glaser (1992, p. 252), “um problema é uma situação na qual
você está tentando alcançar algum objetivo e deve encontrar um meio de chegar
lá”. Os meios, ou seja, a estratégia utilizada para chegar ao fim dependerá do
conhecimento, da criatividade, da experiência acumulada do indivíduo que está
diante da situação.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais definem o problema matemático
como: [...] uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la. (BRASIL, 1998, p. 41).
É a partir da resolução de problemas que os alunos avançam em sua
aprendizagem, podendo despertar o gosto pelo trabalho mental, desafiar a
curiosidade e descobrir o prazer na busca da solução.
Em consonância com Echeverría e Pozo (1998), a diferença que o
problema teria em relação a um exercício seria a tomada de decisões sobre a
sequência de passos a serem seguidos. Para estes autores, “um problema se
diferencia de um exercício na medida em que, neste último, dispomos e utilizamos
mecanismos que nos levam, de forma imediata, à solução” (ECHEVERRÍA;
POZO, 1998, p. 18).
É importante compreendermos que os conteúdos básicos de Matemática
devem ser trabalhados a partir de problemas, e estes devem ser utilizados como
um desafio à reflexão dos alunos, evitando-se o uso de problemas-modelo, uma
vez que resolver problema implica no domínio que os alunos possuem dos
conteúdos adquiridos e do raciocínio lógico.
Destacamos que o ensino da Matemática tem sido concebido como algo
complexo e desestimulante para muitos alunos pela própria forma de como os
professores dessa disciplina veem a Matemática, como uma ciência pronta que
reúne axiomas, teoremas e fórmulas que podem ser desinteressantes para os
alunos. Dessa forma, o ensino passa a ser mecânico e pouco do que é ensinado
é realmente retido pelos alunos. Assim, muitos alunos não são capazes de aplicar
os conceitos e habilidades em seu cotidiano porque não foram levados à
compreensão desses conhecimentos.
De modo geral, os conteúdos matemáticos são fixados por meio de
problemas caracterizados como meros exercícios, não permitindo aos alunos a
identificação de importantes características que se repetem no processo de
resolução, criando, dessa forma, procedimentos padronizados a serem repetidos
em situações similares.
2.2 O processo de resolução de problemas
Em relação ao ensino de como resolver problemas, Echeverría e Pozo
(1998) destacam que [...] ensinar a resolver problemas não consiste somente em dotar os alunos de habilidades e estratégias eficazes, mas também em criar neles o hábito e a atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual deve ser encontrada uma resposta não é uma questão de somente ensinar a resolver problemas, mas também de ensinar a propor problemas para si mesmo, a transformar a realidade em um problema que mereça ser questionado e estudado (ECHEVERRÌA; POZO, 1998, p. 14-15).
Chi e Glaser (1992) acentua que a solução de problemas é uma habilidade
cognitiva complexa que caracteriza uma das atividades humanas mais
inteligentes. Adquirimos informações sobre o mundo e as organizamos em
estruturas de conhecimento sobre objetos, eventos, pessoas e nós mesmos que
são armazenados em nossa memória. A experiência e o conhecimento trazidos à
situação pelo indivíduo determinam se uma solução será alcançada e como isso
ocorre. As estratégias usadas dependem da atenção dos indicadores perceptuais,
dos objetivos subobjetivos mantidos na memória e da descoberta dos padrões
sequenciais dos movimentos corretos.Portanto, o papel do professor de
matemática, como educador, é acompanhar e questionar os alunos para saber se
houve entendimento, auxiliando-os diante das dificuldades que se apresentarem.
Mayer (1992 apud ECHEVERRÍA, 1998) assinala que a compreensão do
enunciado matemático é o primeiro passo para a sua resolução, e salienta que
precisamos traduzir a linguagem expressa em informações matemáticas, o que
requer três tipos de representação do problema já referidos além da verificação de
conhecimentos linguísticos, semânticos e esquemáticos. Para o autor, esses
conhecimentos ajudam o solucionador a compreender a tarefa, permitindo o
registro da sua representação em termos matemáticos e a elaboração de um
plano para a resolução.O conhecimento linguístico é a compreensão do conteúdo
do enunciado expresso em língua materna. O semântico caracteriza-se pelo
conhecimento dos fatos, auxiliando a compreensão e a resolução do problema à
medida que completamos a informação cotidiana. Por fim, o conhecimento
esquemático é aquele que nos informa sobre qual tipo de problema estamos
resolvendo, ou seja, quais dados são úteis, quais podem ser descartados e quais
ações são necessárias para obtermos a resolução.
Após a compreensão do problema, temos o estabelecimento de um plano
ou, de forma mais direta, a formulação de uma estratégia. Sobre essa etapa,
Musser e Shaughnessy (1997, p. 188) enfatizam que “o currículo de matemática
deveria dar maior ênfase na resolução de problemas e discutir mais as estratégias
usadas”.
Com a finalidade de ajudar no ensino de resolução de problemas, Musser e
Shaughnessy (1997, p. 189-198) sugerem cinco estratégias usadas em sala de
aula: a) Tentativa e erro: esse método se resume em aplicar as operações de acordo com os dados do problema. Ex: o aluno tentará várias possibilidades de métodos até chegar a uma solução; b) Padrões: generaliza a partir de casos particulares dos problemas para se chegar à solução; c) Resolver um problema mais simples: pode envolver a resolução de um caso particular de um problema, ou um recuo temporário de um problema complicado para uma versão resumida; d) Trabalhar em sentido inverso: parte do objetivo, ou do que deve ser provado, e não dos dados; e) Simulação: compreende em preparar e realizar um experimento, coletar dados e tomar uma decisão baseada em uma análise de dados. Essas cinco estratégias de resolução de problemas podem ser ensinadas em qualquer programa de matemática, uma vez que na contemporaneidade é necessário que as pessoas saibam usar uma gama de estratégias para solucionar os problemas. Reiteramos que todas as etapas apresentadas são importantes, e para que haja um bom entendimento por parte dos alunos o enunciado verbal do problema precisa ficar bem esclarecido.
2.3 A importância da resolução de problemas no ensino de Matemática
Geralmente, os professores de matemática creem que ao ensinarem a
matemática vinculada à resolução de problemas podem trazer o cotidiano dos
estudantes para a sala de aula, por conseguinte, utilizam a abordagem intuitiva e
conceitual. Assim, desenvolvem o raciocínio lógico dos estudantes, evidenciando
a contextualização, o que estimula e os conscientiza do motivo do processo de
resolução.
Esse pensamento é condizente com o que postula os Parâmetros
Curriculares Nacionais:
o fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas a partir de determinadas informações, a analisar problemas abertos – que admitem diferentes respostas em função de certas condições – evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos (BRASIL, 1998, p. 42).
Nesse sentido, a utilização da resolução de problemas na prática educativa
da Matemática deve merecer atenção por parte de todos os professores dessa
disciplina. O trabalho docente torna possível envolver o os
alunos em situações da vida real, motivando-os para o desenvolvimento do modo
de pensar matemático.
Segundo Dante (2003), trabalhar com resolução de problemas é importante
porque motiva os alunos a pensar por si mesmos, a levantar hipóteses e a tentar
resolvê-los. Entendemos que os problemas matemáticos agem como um estímulo
para tirar os alunos da passividade na aula, levando-os a exercer uma
participação ativa, em que é possível o desenvolvimento da autonomia, de que se
sentem capazes de resolver.
A resolução de problemas é uma importante contribuição para o processo
de ensino aprendizagem da Matemática, pois cria no aluno a capacidade de
desenvolver o pensamento matemático, não se restringindo a exercícios rotineiros
desinteressantes que valorizam o aprendizado por reprodução ou imitação.
2.4 A abordagem da resolução de problemas em sala de aula
A abordagem da resolução de problemas auxilia o aluno a tomar suas
próprias decisões e a fazer uso dos dispositivos didáticos fornecidos pelo
professor. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998),
[...] a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las (BRASIL, 1998, p. 40).
O papel dos professores nesse processo é realizar as devidas intervenções
no sentido de buscar, juntamente com os alunos, a solução de uma situação que,
a princípio, não está no enunciado do problema.Os alunos, por seu turno, devem
contribuir com seus conhecimentos prévios; o professor deverá ajudá-los com
seus conhecimentos, sempre observando os objetivos que pretende atingir com
aquela situação proposta.
Desse modo, é importante ressaltar que o professor que pretende trabalhar
com a abordagem da Resolução de Problemas em sala de aula precisa estar
consciente de que não será fácil. Esse trabalho exigirá grande empenho,
paciência, planejamento e dedicação por parte dele.
Salientamos que durante o tempo em que essa abordagem de ensino
estiver sendo realizada é importante que o professor analise os procedimentos
utilizados e os caminhos tomados pelos alunos. Essa observação servirá para
saber se o aluno compreendeu o problema ou não.
Proença (2015), ao abordar a resolução de problemas para favorecer a
compreensão do ensino de frações a futuras professora de Pedagogia,
estabeleceu quatro ações:
a) Problema como ponto de partida: refere-se ao uso de problema como ponto de partida para introduzir o tópico/ assunto a ser abordado;
b) Permitir aos alunos expor suas estratégias: possibilita aos alunos a resolverem sozinhos o problema, expondo assim, suas estratégias de resolução. O objetivo é o de evitar a apresentação direta de algoritmos específicos;
c) Discutir as estratégias dos alunos: corresponde a proporcionar uma discussão das estratégias/caminhos de resolução dos alunos, o que, de modo geral leva em consideração avaliar como desenvolveram as etapas do processo de resolução;
d) Articular as estratégias dos alunos ao conteúdo: implica no uso das estratégias dos alunos como base para articular ao novo conteúdo [...] favorecendo assim, sua compreensão (PROENÇA, 2015, p. 745).
Destacamos que a abordagem da Resolução de Problemas permite lidar de
maneira lúcida e consciente com o conteúdo a ser ministrado em sala de aula.
Os alunos devem contribuir com seus conhecimentos prévios e o professor deve
ajudá-los com seus conhecimentos, sempre observando os objetivos que
pretende atingir com a situação proposta.
3 UNIDADE DIDÁTICA
Propusemos uma Produção Didático-Metodológica na modalidade de
Unidade Didática tendo como base o referencial teórico sobre o Ensino de
Matemática por meio da resolução de problemas. Tal Unidade deverá ser
desenvolvida com os alunos do 1º Ano do Ensino Médio do Colégio Estadual
Paiçandu - Ensino Fundamental, Médio, Normal e Profissional, sendo o conteúdo
abordado o de Função Exponencial.
As aulas a serem desenvolvidas seguem as seguintes sequências de
atividades: Aula 1 - Resolução de uma situação problema; Aula 2 - Fórmula
matemática; Aula 3 - Revisão de potências e suas propriedades; Aula 4 -
Pesquisa sobre a bebida kefir; Aula 5 - Função exponencial; Aula 6 - Situações
Problemas; Aula 7 - Avaliação.
3.1 Aula 1 – Resolução de uma situação problema (05h/aula)
Objetivo: Interpretar o problema e encontrar estratégias para resolver.
Nessa aula, a professora fará a introdução com um problema:
Os alunos do 1ºAno do Ensino Médio do Colégio Paiçandu, pretendem fabricar 8 litros da bebida Kefir. Sabemos que para um litro de água filtrada são necessários 60 ml de grãos de Kefir. Qual é a quantidade necessária de grãos para fabricar essa quantidade de bebida?
Logo após, a sala será dividida em grupos para solucionar o problema
proposto. Além disso, irão fazer troca de informações e criar situações para
chegar a uma solução. A professora será a mediadora entre os grupos dos
alunos, onde estes farão registros nos cadernos para em seguida exporem suas
estratégias utilizadas na resolução do problema.
Segue abaixo as possíveis estratégias que poderão ser utilizadas pelos alunos:
1ª Estratégia: Tentativas e erros
Litros ml Litros ml
1x60= 60 5x60=300
2x60= 120 6x60=360
3x60= 180 7x60=420
4x60= 240 8x60=480
R: Serão necessários 480 ml de grãos de Kefir, para fabricar 8 litros de bebida.
2ª Estratégia: Algoritmo
8 x 60 = 480
R: Serão necessários 480 ml de grãos de kefir.
3ª Estratégia: Regra de Três
Água (l) Grãos (ml)
1 60 8 X
X = 8 x 60
X = 480 ml
R: Serão necessários 480 ml de grãos.
Em seguida, será proposta outra condição: “vimos que para fabricar 8 litros
da bebida Kefir, foram necessários 480 ml de grãos, então quantos dias serão
necessários para fabricar essa quantidade”?
1ª Estratégia: Tentativas e erros
Se de imediato temos 60ml, significa que para o seguinte teremos 120 ml.
Então, o segundo momento dividido pelo primeiro é igual a 2.
60 x 2 = 120 240 x 2 = 480
120 x 2 = 240
R: O tempo necessário para atingir 480 ml é de três dias.
2ª Estratégia: Tabela
Dias (d) Volume (ml)
0 60
1 120
2 240
3 480 R: O tempo necessário para atingir 480 ml é de três dias.
3.2 Aula 2 - Fórmula matemática (02h/aula)
Objetivo: Obter uma fórmula matemática a partir de uma tabela.
Será pedido para que os alunos observem e analisem a sequência formada
pelos números da tabela da aula anterior, de maneira que perguntaremos se
existe alguma relação matemática entre esses números. A princípio esperamos
que estes percebam que os números da tabela podem ser elevados a um
expoente. O professor proporcionará um clima de busca, exploração e descoberta
entre os alunos, deixando claro que o mais importante que obter a resposta
correta é pensar e trabalhar no problema o tempo que for necessário para
resolvê-lo. Diante disso, o professor percorrerá as carteiras, enquanto os alunos
trabalham, ajudando-os com dicas sem contar como se chega à solução. Caso os
alunos não consigam chegar à fórmula: Vn = x 60, o professor ajudará por 2n
meio da tabela, assim:
Dias (d) Volume (ml)
0 60
1 120
2 240
3 480
=1x60=6020 =2x60=12021 =4x60=24022 =8x60=48023
Então: Vn = x 602n R: O tempo necessário para atingir 480 ml é de três dias.
3.3 Aula 3 - Revisão de Potências e suas propriedades (04h/aula)
Objetivo: Efetuar as operações de potenciação e radiciação
Após a obtenção da expressão matemática será feita a apresentação do conteúdo de função exponencial, explicando aos alunos que tal expressão refere-se a esse conteúdo. Outrossim, será feito uma revisão das potências e suas propriedades.
a) Potências de expoente natural ● . . ( )4
1 3 = 41
41
41 = 1
64
● − ) (− ).(− ) 25 ( 5 2 = 5 5 =
● ) (√ 7 1 = √ 7
● − ).(− ).(− ) (− )1 3 = ( 1 1 1 = − 1
● (− ).(− ).(− ).(− ) (− )2
3 4 = 23
23
23
23 = 16
81
1ª Propriedade: . a aa m n = m + n
2ª Propriedade: se a ≠0 e ma na m = a m − n > n
3ª Propriedade: a . b( a . b ) m = m m
4ª Propriedade: ) ( b a
m =
b ma m
se b≠0
5ª Propriedade: (a ) m n = a m . n
Exemplos:
● . 5 5 52 3 = 2 + 3 = 5 5
●
8 38 5
= 8 5 − 3 = 8 2
● 8 . 9) 8 . 9( 2 = 2 2
● 7 )( : 3 2 = ( )3
7 2 =3 27 2
● 3(3 ) 4 2
= 4 . 2 = 3 8
b) Potência de expoente inteiro negativo
Dizemos que é o inverso de a −n = 1a n a −n a n
Exemplos
● 5 −2 = 15 2 = 1
25
● ) 1.(4
3 −1 = 431 = 3
4 = 34
● − 7 −2 = 1
(−7) 2 = 149
c) Potência de expoente racional
⇔b e b≥0√n a = b n = a
O símbolo é conhecido como radical√
é o radicando e é o índicea n
Exemplos:
● pois 4 6√16 = 4 2 = 1
● , pois 3 7√3 27 = 3 3 = 2
● , pois 0√4 0 = 0 4 = 0
● , pois 2 024√10 1024 = 2 10 = 1
● − , pois − 7 √3 − 72 = 3 − 33 = 2
1ª Propriedade: .√n a . b = √n a √n b
2ª Propriedade: se b ≠0 √n ba = √n b
√n a
3ª Propriedade: (√n a ) m = √n a m
4ª Propriedade: √n √p a = √n . p a
5ª Propriedade: √n . pa m . p = √n a m
apq = √q a p
Exemplos:
● 792
= √9 7 2
● ( )31 −5
3
= √5 ( ) 31 −3 = √5 3 3 = √5 27
● ) (√ 11 32
= √3( ) √11 2 = √3 11
1 ) Resolva as propriedades das potências
a) (− ) − ).(− ).(− ).(− ) 6 2 4 = ( 2 2 2 2 = 1
b) 30 = 1
c) . . .( )41 4 = 4
141
41
41 = 1
256
d) 0 10 = 0
e) ( ) ) 98 −2 = (8
9 2 = 6481
f) (3 ) 29 2 3= 36 = 7
g) (5.2) ) −2 = 10−2 = ( 110
2 = 1100
h) 5 . 5 8 125 3 4 = 57 = 7
i) 2 2 2128129
= 1 9 − 8 = 1 1 = 1
j) 5 21
= √5
k) 5 −63
= √6 5 −3 = √6 ( ) 51 3 = √6 1
125
l) 100 −21
= √100 −1 = √ 1100 = 1
10
m) 64−31
= √3 64 −1 = √3 164 = 4
1
n) (0, ) ) ) ) 4 −2 = ( 410
−2 = (52 −2 = (2
5 2 = 425
o) ) (√5 −2 = 1( ) √5 2 = 5
1
2 ) Calcule o valor de x, sendo
x = 3 . 5−2(−2)³+2
1
x = − 2125
3 ) Calcule o valor das expressões
a) (5 ) 2 + 1 2
b) ( ) 21 + 1 −1
c) ) .( ) (√3 2 √3 4
d) (3 ) 2 − 1 3
e) ( ) 32 + 6
1 2
f) (0, ) 0, ) 1 2 : ( 1 3
g) 3 . 9 −4
3.4 Aula 4 - Pesquisa sobre a bebida Kefir (03h/aula)
Objetivo: Conhecer os benefícios que o Kefir proporciona a saúde.
Com base no problema do Kefir que foi resolvido, os alunos farão uma pesquisa no laboratório de informática sobre os benefícios do Kefir de água, sua história e como consumi-lo.
A professora deverá respeitar a iniciativa dos alunos e se necessário ajudá-los a encontrar o site para a pesquisa. Os alunos irão fazer um texto sobre o assunto enfatizando os tópicos mais relevantes como:
- O que é; - Qual é sua origem; - O que ele contém; - Modo de usá-lo e os benefícios.
Em seguida a professora e os alunos farão uma discussão sobre o assunto e a exposição dos textos.
3.5 Aula 5 - Função exponencial (08h/aula)
Objetivo: Reconhecer uma função exponencial, determinar o domínio, contradomínio, imagem e ler e interpretar tabelas.
Nesta aula a professora apresentará aos alunos a função exponencial.
Chamamos função exponencial toda função definida por →Rf : R *+ (x)f = ax
ou , com e y = ax a > 0 ≠1.a
Exemplos
● (x) = 5 f x ● (x) )f = (5
1 x ● (x) ,f = 0 4x ● (x) f = 72x ● (x) )f = (√6
x
Notamos, na definição, que e Essas restrições são necessárias, pois, a > 0 ≠1.a
caso contrário, não seria possível caracterizar uma função exponencial, como
veremos a seguir:
1º Caso: a < 0
A função não é definida em . Supondo que e (x)f = ax R a = − 8 .x = 21
(x) − ) f = ( 8 1/2 = √− 8
∉ R. √− 8
2º Caso: a = 0
A função também não se define em . Supondo que e (x)f = ax R a = 0 x = − 5
(Potência de expoente inteiro negativo e base zero)(x) f = 0−5
3º Caso: a = 1
A função seria uma função constante. Supondo que (x)f = ax a = 1
e x = √2
(Função constante)(x) f = 1√2 = 1
Veja agora a construção dos gráficos de duas funções exponenciais.
(x) f = 2x
Atribuímos alguns valores à x
e obtemos os valores correspondentes de .(x)f
x f(x)
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8
2−2 = ( )21 2 = 4
1
) )2−1 = (21 1 = (2
1
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
Dom = R
Im = R *+
Analisando o gráfico, verificamos que, quando os valores de aumentam,os x
correspondentes valores de também aumentam. Isso ocorre porque a base (x)f a
é maior que 1 ( ), ou seja, . Portanto, a função é crescente.a > 1 a = 2 (x) f = 2
● (x) g = ( )21 x
x f(x)
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 0,5
2 0,25
³( )21 −3 = 2 = 8
( )21 −2 = 22 = 4
( )21 −1 = 21 = 2
( )21 0 = 1
( )21 1 = 2
1
( )21 2 = 4
1
Dom = R
Im = R *+
Analisando o gráfico, verificamos que, quando os valores de aumentam, os x
correspondentes valores de diminuem. Isso ocorre porque a base está entre (x)g
0 e ( ). Portanto, a função é decrescente.1 a = 21 (x) g = ( )2
1 x
Exemplos:
● está entre e , portanto é decrescente.(x) ) →g g = (51 x 0 1
● é decrescente.(x) 0, ) →hh = ( 4 x ● é maior que , portanto é crescente.(x) ) →ii = (√3
x1
A função exponencial tem algumas características como:
● A curva da função passa pelo ponto ((x)f = ax , ).0 1
● O seu domínio é o conjunto dos reais R.D = ● A função é crescente para a base maior que (a 1 ).a > 1
● A função é decrescente para a base maior que zero e menor que (a 1).a < 0 < 1
Após o conceito sobre função exponencial, a professora apresentará aos alunos como se resolve as equações exponenciais.
Vejam:
● 73x = 2
● 2x + 3 = 8
● 4 )6 = (8
1 x − 12
Estas equações, na qual a incógnita aparece no expoente, é chamada de
equação exponencial.
Uma maneira de resolver equações exponenciais é reduzirmos dois membros da equação a potências de mesma base. Para isso, utilizamos as propriedades das potências vistas anteriormente.
Podemos resolver a equação
● 73x = 2
potências de mesma base→3x = 33
x = 3
3}S = {
● 2x + 3 = 8
potências de mesma base→2x + 3 = 23
x + 3 = 3
x = 3 − 3
x = 0
0}S = {
● 4 )6 = (81 x−12
potências de mesma base→82 = 8−x+12
2 2 = − x + 1
2 x = 1 − 2
0x = 1
10}S = {
● )(31 x = √27
3 ) 7 ( −1 x= 2 2
1
3 )3−x = ( 3 21
potências de mesma base→3−x = 323
− x = 23
x = − 23 − } S = { 2
3
● .2 4x + 4 x = 5
.2 22x + 4 x − 5 = 0
Escrevendo 2x = y
y y2 + 4 − 5 = 0
a = 1
b = 4
c = − 5
.a.c Δ = b2 − 4
.1.(− ) Δ = 42 − 4 5
= 366 0Δ = 1 + 2
y = 2.a− b ± √Δ
y = 2.1−4 ± √36
y = 2−4±6
y′ = 2−4 + 6 = 2
2 = 1
y′′ = 2−4 − 6 = − 2
10 = − 5
C.A
2x = y
2x = 1
2x = 20
x = 0
2x = y
2x = − 5
(não existe real que satisfaça essa equação) x
Portanto 0}S = {
● 0.3 9x − 1 x = − 9
Inicialmente, escrevemos com potências de mesma base
3 ) 0.3( 2 x− 1 x + 9 = 0
Fazendo:
, essa substituição chega a uma equação do 2 grau.3x = y
3 ) 0.3 ( x 2 − 1 x + 9 = 0
0y y2 − 1 + 9 = 0
a = 1
− 0 b = 1
c = 9
.a.c Δ = b2 − 4
− 0) .1.9 Δ = ( 1 2 − 4
00 6 Δ = 1 − 3
4Δ = 6
y = 2.a− b ± √Δ
y = 2.110 ± √64
y = 210 ± 8
y′ = 210 + 8 = 2
18 = 9
y′′ = 210 − 8 = 2
2 = 1
Voltando a igualdade , substituímos os valores de obtidos e determinamos 3x = y y
a solução da equação exponencial.
Para y′
3x = y
3x = 9
3x = 32
x = 2
Para y′′
3x = y
3x = 1
3x = 30
x = 0
0, }S = { 2
● 24 5x−1 − 5x+3 = − 6
Escrevemos a equação de outra maneira
.5 − .5 24 5x −1 5x 3 = − 6
. .125 24 5x 51 − 5x = − 6
Fazendo na equação: 5x = y
. .125 24 y 51 − y = − 6
y 25y 24 51 − 1 = − 6
25y 120 y − 6 = − 3
24y 120 − 6 = − 3
y = 5
Voltando a igualdade , substituímos o valor de obtido e determinamos a 5x = y y
solução da equação exponencial.
Para , temos: y = 5
5x = 51
x = 1 1}S = {
Exercícios
1 ) Resolva as equações
a) 2 x−9 = 624
11}S = {
b) 7 9.7 2 x+1 − 4 x−2 = 4
1}S = {
c) 9 .3 2 x + 3 x−1 = 1
1}S = {
d) 3 6 x+1 + 3x = 3
2}S = {
e) .5 5 − 6 x + 2 x = − 5
0, }S = { 1
3.6 Aula 6- Situações Problemas (08h/aula)
Objetivo: Resolver situações problemas contextualizadas fazendo usa da
função exponencial.
A atividade dessa aula será a retomada do problema referente a aula 1,
onde o professor irá analisar as resoluções dos alunos, com base nas quatro
ações propostas por Proença (2015):
1) Problema como ponto de partida:
Se para fabricar litros da bebida Kefir foram necessários de 8 80 ml4
grãos, quantos dias serão necessários para obter essa quantidade?
2) Permitir aos alunos expor suas estratégias:
A sala será dividida em grupos, propiciando a necessária troca de
informações entre os alunos, procurando encontrar estratégias de resolução.
Seguem algumas possíveis estratégias encontradas pelos alunos:
1ª Estratégia: Tentativas e erros
Se de imediato temos 60ml, significa que para o seguinte teremos 120 ml.
Então, o segundo momento dividido pelo primeiro é igual a 2.
60 x 2 = 120
120 x 2 = 240
240 x 3 = 480
R: O tempo necessário para atingir 480 ml é de três dias.
2ª Estratégia: Tabela
Dias ( d) Volume (ml)
0 60
1 120
2 240
3 480
R: O tempo necessário para atingir 480 ml é de três dias.
3) Discutir as estratégias dos alunos:
Os grupos irão relatar para a turma quais foram as estratégias utilizadas e
o professor fará um mapeamento das estratégias obtidas pelos alunos.
4) Articular as estratégias dos alunos ao conteúdo:
Após os grupos terem relatados para a turma quais foram as estratégias
utilizadas, o professor será o mediador dessa discussão e fará uma nova
abordagem para a solução fazendo a articulação ao conteúdo de exponenciais.A
partir da tabela construída na segunda estratégia, os alunos irão fazer o gráfico da
função bem como o domínio e o conjunto imagem.
Dom = R
Im = R *+
Em seguida, será apresentado aos alunos atividades para resolvê-las
utilizando os conhecimentos específicos de função exponencial.
Atividades
1 ) Os alunos do 1 ano do Colégio Estadual Paiçandu irão preparar a bebida Kefir.
Sendo 40 alunos dessa turma qual é a quantidade necessária de bebida que terão
que preparar, sabendo que cada alunos receberá da bebida Kefir?00 ml1
Seguem algumas possíveis estratégias encontrada pelos alunos:
1ª Estratégia: Tentativas e erros
1 aluno 100 ml→
2 alunos 200 ml→
3 alunos 300 ml→
⋮ ⋮
10 alunos 1 l→
⋮ ⋮
40 alunos 4 l→
R: Então será necessário da bebida Kefir, ou seja, litros. 000 ml4 4
2ª Estratégia: Regra de três
1 aluno → 100 ml
40 alunos x→
.x 0 . 1001 = 4
ou litros 000 ml x = 4 4
R: Serão necessários 4 litros da bebida Kefir.
3ª Estratégia: Tabela
Alunos Quantidade bebida (ml)
1 100
2 200
3 300
⋮ ⋮
40 4 000
R: Serão necessários ou seja, litros da bebida Kefir. 000 ml,4 4
2 ) Para preparar quatro litros de Kefir, qual a quantidade necessária de grãos de Kefir?
1ª Estratégia: Tabela
Litros (l) Grãos(ml)
1 60
2 120
3 180
4 240 R: Serão necessários de grãos de Kefir para fazer litros da bebida Kefir.00 ml2 4
2ª Estratégia: Regra de três
Litros( ) Grãos(l lm
1 → 100 ml
4 x→
.x 0 . 601 = 4
40mlx = 2
R: Serão necessários de grãos de Kefir.40 ml2
3 ) Quantos dias serão necessários para produzir de grãos de Kefir?40 ml2
1ª Estratégia: Tentativas e erros
Se de imediato temos para o seguinte teremos Então 0 ml,6 20 ml.1
segundo momento dividido pelo primeiro é .2
Assim:
0 . 2 206 = 1
20. 2 401 = 2
R: O tempo necessário para atingir é de dois dias.40 ml2
2ª Estratégia: Tabela
Dias(d) Volume(ml)
0 60
1 120
2 240 R: O tempo necessário para atingir é de dois dias.40 ml2
Dom = R
Im = R *+
3.7 Aula 7 - Avaliação (02h/aula)
Objetivo: Avaliar as estratégias utilizadas pelos alunos nas resoluções de situações problemas.
Para avaliar a compreensão dos alunos no que diz respeito à abordagem
da resolução de problemas, foi montada uma avaliação contendo quatro situações
problemas, para avaliar os conhecimentos adquiridos pelos alunos no uso das
estratégias utilizadas pelos mesmos.
1) Em uma região litorânea, a população de uma espécie de algas tem
crescido de modo que a área da superfície coberta por elas aumenta 75%
a cada ano, em relação à área coberta no ano anterior. Atualmente, a área
da superfície coberta pelas algas é de, aproximadamente, 4.000 .m 2
Suponha que esse crescimento seja mantido.Determine a área coberta
pelas algas daqui a um, dois, três, quatro e cinco anos, contados a partir
dessa data, qual é a lei da função que representa a área ( ) em que a y ,m2
população de algas ocupará daqui a anos e faça o gráfico da função x
obtida. ( Matemática Ciência e Aplicações - p 149).
2) Quando o número de componentes de uma colônia de bactérias dobra, a
nova colônia mantêm as mesmas características da anterior, duplicando
em número no mesmo período de tempo que a original. Sabendo que
determinada colônia, iniciada por uma única bactéria, dobra seu número a
cada 20 minutos, quantas bactérias existirão após 2 horas e 40 minutos?
(Conexões com a Matemática - p 207).
3) Um imóvel localizado em Maringá (PR) possui hoje uma avaliação de
R$30.000,00. O proprietário percebe que a cada ano que passa, o imóvel
valoriza 10% do seu valor do ano anterior, devido ao aumento do bairro
onde esse imóvel está localizado. Ele começa a fazer alguns cálculos
matemáticos para analisar a possibilidade de vender esse imóvel daqui
alguns anos e ganhar mais dinheiro com isso. Assim, qual é a valorização
desse imóvel em um período de 6 anos?
4) Uma cultura, inicialmente com 100 bactérias, reproduzem-se em
condições ideias. Suponha que, por divisão celular, cada bactéria dessa
cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora. Qual é a
população dessa cultura após horas do instante inicial? ( Matemática
Completa - p 229).
Resoluções
1ª Estratégia: Tabela
Ano (a) Área ( )m2
1 4000 + 0,75 . 4000 = 4000 + 3000 = 7000
2 7000 + 0,75 . 7000 = 7000 + 3250 = 12250
3 12250 + 0,75 . 12250 = 12250 + 9187,5 = 21437,5
4 21437,5 + 0,75 . 21437,5 = 21437,5 + 16078,125 = 37515,6
5 37515,6 + 0,75 . 37515,6 = 37515,6 + 28136,7 = 65652,3 R= A área coberta será de 65652,3 m2
2ª Estratégia: Fórmula
(x) 4000 . 1, 5 f = 7 x
000 . 1, 0004 70 = 4
000 . 1, 5 0004 7 1 = 7
000 . 1, 5 22504 7 2 = 1
000 . 1, 5 1437,4 7 3 = 2 5
000 . 1, 5 7515,4 7 4 = 3 6
R= A área coberta será de 65652,3 000 . 1, 5 5652,4 7 5 = 6 3 m2
3ª Estratégia: Gráfico
Dom = R
Im = R *+
R= A área coberta será de 65652,3 m2
2) 1ª Estratégia: Tentativa e erro
Após um período de 20 minutos, teremos 2 = 2¹ bactérias. Após dois
períodos de 20 minutos, teremos bactérias. Então após 2 horas e 40 4 = 22
minutos, ou seja, oito períodos de 20 minutos, teremos bactérias.56 2 = 28
R= Após 2 horas e 40 minutos irá existir 256 bactérias.
2ª Estratégia: Fórmula
Após períodos de 20 minutos, o número de bactérias será dado porx n .n = 2x
2 horas e 40 minutos = 160 minutos = 8 períodos de 20 minutos
n = 28
bactérias56 n = 2
R= Após 2 horas e 40 minutos irá existir 256 bactérias.
3ª Estratégia: Gráfico
Dom = R
Im = R *+
2x
n
21
2
22
4
23
8
24
16
25
32
26
64
27
128
28
256
R= Após 2 horas e 40 minutos irá existir 256 bactérias
3) 1ª Estratégia: Tabela
Tempo(anos) Valor(R$)
0 30.000
1 30.000 + 0,10 . 30.000 = 30.000 + 3.000 = 33.000
2 33.000 + 0,10 . 33.000 = 33.000 + 3.300 = 36.300
3 36.300 + 0,10 . 36.300 = 36.300 + 3.630 = 39.930
4 39.930 + 0,10 . 39.930 = 39.930 + 3.993 = 43.923
5 43.923 + 0,10 . 43.923 = 43.923 + 4.392,3 = 48.315,3 R= No período de 6 anos, o terreno passará a ter o valor de R$ 48.315,30.
2ª Estratégia:
(t) 0000 . 1,V = 3 1t
(t) 0000 . 1,V = 3 15
(t) 0000 . 1, 1051 V = 3 6
(t) $ 48315, V = R 3
R= No período de 6 anos, o terreno passará a ter o valor de R$ 48.315,30.
4 ) 1ª Estratégia: Tentativa e erro
No instante inicial, temos 100 bactérias.Uma hora depois, teremos: 100 . 2
= 200 bactérias.Decorrida mais uma hora (após 2 horas do instante inicial), a
população será de (100 . 2) . 2 = 100 . 4 = 400 bactérias.Decorrida outra uma hora
(após 3 horas do instante inicial), a população será de (100 . 2) . 2 . 2 = 100 . 8 =
800 bactérias. E assim por diante.
R= Após 3 horas, teremos 800 bactérias.
2ª Estratégia: Fórmula
Depois de horas, teremos uma população igual a n P 00 . 2 .1 n
00 . 2P = 1 n
00 . 2P = 1 3
00 . 8P = 1
00P = 8
R= Após 3 horas, teremos 800 bactérias.
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