o caráter vetorial da luz impedância do vácuo - if.ufrj.brphsr/opt_12/aula2.pdf · ggg vetor de...
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Óptica 2007O caráter vetorial da luz
Impedância do vácuo
Equações de onda e solução de onda plana:
22
2 2
1 UU
v t∂
∇ =∂
Onda plana ( ) ( )k.r
0r,i t
U t U eω−=
( ) ( )k.r k.ri t i te i e
tω ωω− −∂
= −∂
Derivada temporal
Derivada espacial
( ) ( )k.r k.ri t i t
xe ik ex
ω ω− −∂=
∂( ) ( )k.r k.ri t i t
e ik eω ω− −→ ∇ =
it
ω∂→−
∂ik∇→
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Impedância do vácuo
Equações de onda e solução de onda plana:
HE
tμ ∂
∇ × = −∂
EH
tε ∂∇ × = −∂
. 0E∇ = . 0H∇ =
k E Hμ ω× = k H Eεω× = − . 0k E = . 0k H =
H E v Ekεω ε= =
usando /v kω=
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Impedância do vácuo
Equações de onda e solução de onda plana:
H E v Ekεω ε= =
0 0
000 0
0 0
1cv
n n
n n nZ
ε ε εμ ε
εε μμ εε ε
= = =
= = =
0
nH E
Z= 0
00
Zμε
= → Impedância do vácuo
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Vetor de Poynting
Teorema de Poynting: Taxa de fluxo de energia S→
S E H= ×
Vetor de Poynting para ondas planas
( )0 cos .E E k r tω= − ( )0 cos .H H k r tω= −
( )20 0 cos .S E H k r tω= × −
Valor médio:
0 0
1ˆ
2k
S E H I I nk
= × = =
Irradiância: 2
0 0 00
12 2
nI E H E
Z= =
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização linear
Ondas planas
( )0 exp .E E i k r tω= − ( )0 exp .H H i k r tω= −
0 0 constantesereaisE e H → Polarização linear
Polarização Campo elétrico
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização linear
Polarizadores
Polarizadores por birrefringênciaDivisor de feixes
H
V
H
V
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização linear
Polarizadores
Polarizadores por absorção ou dicroísmo
H
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização linear
Polarizadores
Campo e intensidade transmitida
0 costE E θ= 20 costI I θ=
Luz não polarizada constantetI→ =
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização parcial
pol
pol unpol
IP
I I= →
+ Grau de polarização
Intensidade
max min
max min
I IP
I I−
=+
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização por espalhamento
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização circular
0 cos( )xE E kz tω= −
0 sin( )yE E kz tω= −
Representação real
0ˆ ˆcos( ) sin( )E E kz t i kz t jω ω⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦
0ˆ ˆexp ( ) exp ( )
2E E i kz t i i kz t j
πω ω⎡ ⎤= − + − ±⎢ ⎥⎣ ⎦
Representação complexa
( )0ˆ ˆ exp ( )E E i i j i kz tω⎡ ⎤= ± −⎣ ⎦
Direita(-i)
Esquerda(+i)
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização elíptica
0cos( )x xE E kz tω= −
0sin( )y yE E kz tω= −
0 0ˆ ˆcos( ) sin( )x yE E kz t i E kz t jω ω= − + −
Representação real
Representação complexa
0 exp ( )E E i kz tω= −
0 0x yE E≠
0 00ˆ ˆ
x yE iE i jE= +
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Placas de onda
Luz incidentenão polarizada
Polarizador linear
Eixo de transmissão a 450
Luz polarizadalinearmente
Placa de λ/4Eixo rápido – n2
Eixo lento – n1
E
Luz polarizadacircular à esquerda
1 2n d n dδ = −
Placa de λ/4Placa de atraso δ odem zero
Placa de λ/4 – δ= λ/4
( )0
1 24d
n nλ
=−
Placa de λ/2 – δ= λ/2
( )0
1 22d
n nλ
=−
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Matrizes de Jones
0 00ˆ ˆ
x yE iE i jE≠ +
Representação geral
com0 0,x yE E
complexos 0 0 0, yx ii
x x yE E e E e φφ=
Vetor de Jones
00
0 0
x
y
ixx
iy y
E eE
E E e
φ
φ
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Alguns estados de polarizaçãoA -> amplitude do campo
10
A⎡ ⎤
→⎢ ⎥⎣ ⎦
Linear na direção x
01
A⎡ ⎤
→⎢ ⎥⎣ ⎦
Linear na direção y
11
A⎡ ⎤
→⎢ ⎥⎣ ⎦
Linear na direção +4501
Ai⎡ ⎤
→⎢ ⎥⎣ ⎦
Circular esquerda
1A
i⎡ ⎤
→⎢ ⎥−⎣ ⎦Circular direita
11
A⎡ ⎤
→⎢ ⎥⎣ ⎦
Linear na direção +450
Não normalizadas
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Matrizes de Jones
As matrizes representam dispositivos ópticos
Polarizadorlinear
Eixo de transmissão horizontal-x
Eixo de transmissão vertical-y
Eixo de transmissão a +/-450
1 00 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦0 00 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦1 11
2 1 1±⎡ ⎤
⎢ ⎥±⎣ ⎦
Placa λ/4
Eixo rápido horizontal-x
Eixo rápido vertical-y
Eixo rápido a +/-450
1 00 i⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦1 00 i⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦11
2 1i
i±⎡ ⎤
⎢ ⎥±⎣ ⎦
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Matrizes de Jones
As matrizes representam dispositivos ópticos
Placa λ/2Eixo rápido na horizontal ou vertical
1 00 1⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
Polarizador circular
Direita
Esquerda
112 1
ii
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
112 1
ii
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Placa de faseisotrópica de fase(φ) 0
0
i
i
e
e
φ
φ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Placa de fasegeral
0
0
x
y
i
i
e
e
φ
φ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Matrizes de Jones
Algumas operações
Superposição coerente de campos com polarizações diferentes
1 1 1 1 2 12
0 0i i i i+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Superposição de circular adireita e circular a esquerda
Propagação através de um dispositivo óptico
''
a b A Ac d B B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Propagação através de vários dispositivos ópticos
2 2 1 1
2 2 1 1
'...
'n n
n n
a b a b a b A Ac d c d c d B B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Matrizes de Jones
Algumas operações
Exemplo: Polarização linear a 450 incidente em uma placa deλ/4 e saindo polarizada circular a esquerda
1 0 1 10 1i i⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Observações:1 - Válido para ondas planas2 – Não há representação para luz não polarizada
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarizações ortogonais
Definição:1 2 0E E∗⋅ =
Em termos dos vetores de Jones 1 2
1 2
,A A
B B⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 2 1 2 0A A B B∗ ∗→ + =
Exemplos:
1 00 1
e⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 1e
i i⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 12
ei i⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
linear
circular
elíptica
Obs: Permite expansão em qualquer base
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Autovetores de uma matriz de Jones
Definição:a b A Ac d B B
λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Interpretação: Os autovetores correspondem aos estados de polarização que não são alterados pelo dispositivo.
Exemplo: placa de λ/4
1 00 i⎡ ⎤
→⎢ ⎥⎣ ⎦
Auto-vetores e auto-valores
1com 1
0λ⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦
0com
1iλ⎡ ⎤
=⎢ ⎥⎣ ⎦
Para pol. linear x ou y, não há atenuação, mas há uma fase relativa.
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Reflexão e refração em uma
interface plana
exp ( )i k r tω⋅ −
exp ( ´ )i k r tω⋅ −
exp ( " )i k r tω⋅ −
Onda incidente
Onda refletida
Onda refratada
Condição de contorno: ´ "k r k r k r⋅ = ⋅ = ⋅ na interface
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Reflexão e refração em uma
superfície plana
´ ´ "k sen k sen k senθ θ φ= =
´k k= → mesmo meio
´θ θ= → lei da reflexão
2 2
1 1
" / " / "/ /
n nk v c v senk v c v n sen n
ω θω φ
= = = → =
lei de Snell
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Condições de contorno
2 12 1 12ˆˆ ˆS
V
S v n S v nv ndS
v dV v v hV S
⋅ = =
∇ ⋅ =
Δ ⋅ − Δ ⋅
∇Δ = ⋅∇ ⋅ Δ
∫
∫
( ) ( )12 2 10lim ˆh
h v n v v→
∇ ⋅ = ⋅ −
2 1ˆ ˆ
ˆˆ
v t l v t l
v N l h
v dl
v N d
Γ
ΔΣ
⋅ Δ − ⋅⋅ = =
∇
Δ
∇× ⋅ Δ× ⋅ Σ =
∫
∫
( ) ( )12 2 10lim ˆh
h v n v v→
∇× = × −
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Condições de contorno
( ) ( )12 2 10lim ˆh
h v n v v→
∇ ⋅ = ⋅ − ( ) ( )12 2 10lim ˆh
h v n v v→
∇× = × −
( )0 0
lim limh h
hB
Et
h→ →
∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝
× −∂ ⎠
∇
( )0 00
lim limh h
DB h
th μ
→ →
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝
∂∇
∂ ⎠×( ) ( )
0 0lim li. 0mh h
Dh h→ →
=∇
( ) ( )0 0
lim li. 0mh h
Bh h→ →
=∇
( )12 2 1ˆ 0n E E× − = ( )12 2 1ˆ 0n B B⋅ − =
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Fórmula de Fresnel
1 1 1cosˆ ˆ ˆu sen x yθ θ= −
1 1 1´ cosˆ ˆ ˆu sen x yθ θ= +
2 2 2cosˆ ˆ ˆu sen x yθ θ= −
1 1 0 1exp ( ) exp ( )ˆi i n k u rϕ = ⋅
1 1 0 1exp ( ´ ) exp ( ´ )ˆi i n k u rϕ = ⋅
2 2 0 2exp ( ) exp ( )ˆi i n k u rϕ = ⋅
1 1 0 1 1exp ( ) exp ( cos )i in k x sen yϕ θ θ= −
1 1 0 1 1exp ( ´ ) exp ( cos )i in k x sen yϕ θ θ= +
2 2 0 2 2exp ( ) exp ( cos )i in k x sen yϕ θ θ= −
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Fórmula de Fresnel
( ) ( )( )
1 1 1
1
´1 1 1 1 1
´1
1
11
cosˆ´ ˆ ˆ
cos ˆ´ ˆ
i i i
i
E A e e z B e x sen y
e
A
B x sen y
ϕ ϕ ϕ
ϕ
θ θ
θ θ
= + + + +
− +
( )1 12 2 2 2 2cosˆ ˆ ˆi iE A e z B e x sen yϕ ϕ θ θ= + +
( ){ }1 1 1 1´ ´1 1 1 1 11
11
1´ˆ ˆ ˆ´ ´ˆ ˆi i i iB A e u z e u z B e e z
vA Bϕ ϕ ϕ ϕ= × + × + +
1ˆB u E
v= ×
( )2 22 2 2 2
2
1ˆ ˆ ˆi iB A e u z B e z
vϕ ϕ= × +
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Fórmula de Fresnel
12 ˆn y= − 1 0 2 0| |ˆ ˆy yy E y E= =× = ×
1 0 2 0| |ˆ ˆy yy B y B= =× = ×
Aplicação das condições de contorno
1 1 2´0 0 0| | |i i i
y y ye e eϕ ϕ ϕ= = == =
Usando
1 1 0 1 1exp ( ) exp ( cos )i in k x sen yϕ θ θ= −
1 1 0 1 1exp ( ´ ) exp ( cos )i in k x sen yϕ θ θ= +
2 2 0 2 2exp ( ) exp ( cos )i in k x sen yϕ θ θ= −
1 1 2 2n sen n senθ θ=
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Fórmula de Fresnel
1 1 2´A A A+ =
Chega-se a
( )1 1 1 2 2´ cos cosB B Bθ θ− =
1 1 1cosˆ ˆ ˆ ˆu z x sen yθ θ× = − −
1 1 1´ cosˆ ˆ ˆ ˆu z x sen yθ θ× = + −
2 2 2cosˆ ˆ ˆ ˆu z x sen yθ θ× = − −
( )1 1 21 2
1 1´B B B
v v+ =
( )1 1 1 2 21 2
1 1´ cos cosA A A
v vθ θ− =
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Fórmula de Fresnel
Amplitudes de reflexão1
1
AR
A⊥ ≡1
//1
BR
B≡
2
1
AT
A⊥ ≡ 2//
1
BT
B≡ Amplitudes de transmissão
Resolver os sistemas
1 1 2´A A A+ =
1 21 1 2
2 1
cos´
cosv
A A Av
θθ
− = 21 1 2
1
cos´
cosB B B
θθ
− =
11 1 2
2
´v
B B Bv
+ =
Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Fórmula de Fresnel
( )( )
1 2
1 2
senR
senθ θθ θ⊥
−= −
+( )( )
1 2//
1 2
tgR
tgθ θθ θ
−=
+
Para incidência normal1 2 0θ θ= =
//
11
nR R
n ⊥
−= = −
+