LAS PALMAS DE GRAN CANARIA, A 2 DE NOVIEMBRE DEL 2011.

WLADIMIRO A. RODRGUEZ SUREZ AITOR RODRGUEZ RAMREZ

AUTODIDACTAS EN PATRONES MATEMTICOS E INFORMTICA. Contacto: aitor1886@hotmail.comCopyright (C) 2011 Wladimiro A. Rodrguez, Aitor Rodrguez. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.3 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License".

MOTIVO DE LA EXPOSICION: Presentacin de las conclusiones de serios y rigurosos trabajos analticos sobre los nmeros primos, en los que pretendemos demostrar, que todo nmero par mayor que 2, se representa como la suma de dos nmeros primos (conjetura de Goldbach). As mismo intentaremos demostrar, que las parejas de nmeros primos gemelos son infinitas. Con respecto a la hiptesis de Riemann, nos limitaremos a exponer las similitudes tan extraordinarias que existen entre los ceros no triviales de esta y los que emanan del patrn de las sumas de dos nmeros primos, que es el que hemos utilizado en esta exposicin, dejando que sean los expertos en dicha hiptesis, los que juzguen dichas similitudes. Tambin intentaremos explicar durante la exposicin, como funciona la estructura del patrn de las sumas de dos nmeros primos.

INTRODUCION Hemos concluido, entre otras cosas que veremos segn se vaya avanzando en la exposicin, que: -Todo nmero primo se repite exactamente la misma cantidad de veces y en el mismo orden, dentro del patrn de las sumas de dos nmeros primos, es decir, cuando afirmamos que todo nmero par, se puede representar como la suma de dos nmeros primos, esas sumas llevan un orden perfecto. Dicha conclusin nos ha permitido estructurar un patrn infinito para todas y cada una de las sumas de dos nmeros primos, el cual se expresa de diferentes formas, por lo que podramos calificarlo de macropatrn. Estas son sus expresiones: geomtrico, secuencial, numrico y binario. Estos calificativos no son los nicos con los que se expresa, tambin se le puede denominar como dual, y esta dualidad se extiende a todos y cada uno de los nmeros primos, creando una simetra perfecta entre las dos partes del patrn, por lo que podramos definirlo como un patrn trivial pero al mismo tiempo muy profundo. Podremos ver por qu suceden algunas cosas que conocemos de los nmeros primos y la similitud tan extraordinaria que existe entre estos y el comportamiento de la materia a niveles cunticos.

EXPOSICIN Tras realizar profundos trabajos estadsticos que nos confirmaban que efectivamente la conjetura de Goldbach se cumple para todos y cada uno de los nmeros pares, ramos concientes de que no eran lo suficientemente contundentes, por lo que precisbamos saber exactamente, la cantidad de veces que un nmeros primo se repeta dentro del juego de las sumas, y en que orden, suponiendo que lo hubiera. Para ello, procedimos a crear una especie de cdigo binario infinito para todos y cada uno de los nmeros primos impares, en donde representamos con un 1 el lugar donde hay nmeros primos, y con un cero donde no, y he aqu una muestra de los resultados.

Figura 1

Como podemos ver, el orden que siguen las secuencias (a partir de ahora SC(x), donde x siempre es un nmero primo) para cada nmero, es el mismo que contiene la serie de los nmeros primos dentro de la serie de los nmeros impares, por lo que estos se secuencian a s mismos, son autosuficientes para convertir el desorden en un orden perfecto, armonioso e infinito. El siguiente paso al que haba que proceder era dar su valor real a las SC(x), como indica la siguiente figura, y colocar una lnea recta paralela a las SC(x), respetando las distancias del patrn, la cual llamaremos A y en ella representamos a todos los nmeros pares y el 0. Hay que destacar, que ese orden de cada una de las SC(x), se cumple siempre para cualquier nmero primo, y eso sucede porque es el resultado de sumarles a dichos nmeros, + 3, +5, +7, +11

Figura 2

Al comprobar que efectivamente todas y cada una de las sumas de dos nmeros primos que componen un nmero par, se representaban en el patrn en su lugar exacto, procedimos a terminar la geometra bsica del patrn, en la figura 3 vemos una muestra.

Figura 3

Como podemos comprobar, la lnea (0) es el eje del patrn, y es infinita, las distancia entre todas y cada una de las sumas se anulan en dicha lnea. Los nmeros primos que coinciden en la lnea (0) representan una pareja de dos nmeros primos iguales, por lo que sus distancias tambin se anulan en dicha lnea, provocando que el espacio que ocupan los nmeros primos de la lnea (0), contengan un cero trivial. Estos valores son diferentes al resto por varios motivos, la distancia entre ambos sumandos (pareja) es cero, son las nicas parejas que por ser sus valores idnticos ocupan el mismo espacio dentro del patrn, lo que provoca que el nmero de sumandos sea impar para los nmeros pares que tengan como un nmero primo. Son los nicos valores que no pueden intercambiar la posicin con su pareja (como veremos), y a nivel geomtrico son los nicos nmeros primos que se pueden encontrar en el eje central de todas las estructuras que podamos crear en la simetra del patrn. De todas las lneas rectas que emanan de cero, la lnea (0) es la nica que atraviesa el patrn, pasando por todos y cada uno de los nmeros primos y en su orden natural, y lo que es ms importante, esa lnea es la frontera que permite la dualidad y simetra del patrn, extendindolas a todos y cada uno de los nmeros primos (como veremos). Por lo tanto los nmeros primos que se encuentran en la lnea (0), contienen ceros triviales. Las lneas SC(x) son las secuencias binarias con su valor secuencial para todos los nmeros primos. Emanan de la lnea B y son infinitas. Las lneas T (x) son las secuencias con su valor real, nacen en A, son infinitas y cada una de ellas representa a la serie de los nmeros primos

Las lneas R son especiales por su increble semejanza con los patrones de los ceros no triviales de la hiptesis de Riemann y las matrices aleatorias de los niveles de energa de los tomos (como veremos). Es la lnea recta donde se encuentran todas y cada una de las sumas de dos nmeros primos para un nmero par determinado (podemos comprobar que todo nmero primo se encuentra en una de estas lneas rectas). Los ceros que se encuentran en ellas (con relacin a la anulacin de sus distancias) son especiales, digamos de momento, que su ubicacin en el patrn no es tan trivial, por lo que a partir de ahora todos los nmeros primos que se encuentren en la lnea (0) los consideraremos como los ceros triviales con relacin a los que se encuentran en las lneas R , a estos ltimos los llamaremos ceros no triviales.

La longitudes de dichas lneas son iguales a la longitud que hay entre el valor par que la representa y el nmero par 6 (que es el nmero par que representa al nmero primo impar de menor valor). Dichas lneas siempre forman un triangulo rectngulo regular con la parte anterior del patrn, y su rea la denominaremos AA. Las secuencias SC(x) y T(x) que pasan por el principio y el final de una lnea R siempre se cruzan en la lnea (0), como vemos en la figura 3, formando un triangulo con la lnea R , el cual denominaremos AB y es equivalente a AA en forma y tamao. Si tomamos como ejemplo la lnea R para el valor par 34 (figura 3) veremos que, el valor ms alto que se encuentra en sus parejas es 31, por lo que todas las parejas que se encuentran en AA conforman valores entre 3 y 31, pero en esa rea no se encuentran todas las posibilidades, faltan parejas que tienen sus dos valores en el rango 3 y 31, y son todas las que sumando sus dos partes, el resultado es mayor que 34. Todas y cada una de ellas se encuentran en AB, por lo que podemos afirmar que, las lneas R se encuentran siempre en del rea donde se encuentran todas las parejas para un rango de valores determinado. Dicha lnea siempre se cruza con la lnea (0), justo donde esta vale el valor par que la representa.

Si ponemos nuestra atencin en las reas AC y AD como se indican en la figura 3, es fcil observar que los valores que se encuentran en AC son los mismos que los que estn en las reas AA y AB, y en AD se encuentran los nuevos valores. Si repetimos el proceso con el nuevo triangulo rectngulo regular que se ha formado con las 4 reas, ser lo mismo siempre. Eso quiere decir que cuando buscamos todas las sumas de dos nmeros primos para un nmero par determinado (34), el mayor nmero primo de sus parejas es 31, por lo tanto si conocemos la serie de los nmeros primos hasta el valor 31, inevitablemente nos est diciendo donde hay parejas en un rango que siempre es justo el doble de la distancia entre el inicio del patrn (nmero par 6) y el valor par a buscar. En el caso del 34, nos estar dando parejas hasta el nmero par 62, que es justo el doble de la distancia que hay entre 6 y 34. Como comprobaremos, en el rango entre el 34 y 62 todava nos quedan otras parejas por descubrir, pero no tenemos que buscarlas una a una, es suficiente con restarle 3 a todos los nmeros pares, si el resultado es primo, no tenemos ms que colocar las secuencias SC(x) y T(x) en el lugar correspondiente.

Hay otra forma trivial de encontrar las sumas para un nmero par determinado. En la SC(3) hasta el nmero par 38, tenemos un rango de la serie de los nmeros primos dentro de la serie de los nmeros impares, si colocamos el mismo rango en dos lneas paralelas, tendremos dos imgenes paralelas iguales del mismo rango. Si colocamos una de las dos lneas al inverso de la otra (como vemos en la figura 4), comprobaremos que ya no coinciden en el mismo lugar, ni los nmeros primos, ni los espacios vacos, a excepcin de unos pocos, pues bien, esos pocos nmeros primos que coinciden en el mismo lugar de las dos lneas iguales, pero inversas, son siempre, el componente de una suma de dos nmeros primos para un nmero par determinado, en este caso el 38. Se puede comprobar que el resultado es equivalente a R para el valor par 38

Figura 4

Hay que destacar, que la cantidad de nmeros primos que necesitan las SC(x), desde que nacen en B, hasta alcanzar la lnea (0), siguen el orden de los nmeros naturales. Por ejemplo, la cantidad de valores que necesita SC(3) desde que nace en B hasta la lnea (0) es 1, SC(5) tiene 2, SC(7) tiene 3, SC(11) tiene 4, y as sucesivamente con todas y cada una de las SC(x). Esto ltimo parece decirnos que los espacios vacos entre dos nmeros primos, parecen llevar algn tipo de orden (como veremos).

Por otro lado, la distancia de cualquier nmero primo al siguiente, es siempre igual a la distancia de dicho nmero, en la secuencia siguiente, a la lnea (0). Por ejemplo, la distancia de 7 a 11 en la SC(7) es la misma que la del 7 de SC(11) hasta (0). P1 P2 = P1 (0).

Por qu decimos que este patrn es dual?

Por ejemplo, la suma 7+43 para el valor par 50 (figura 5). El lugar donde se encuentra ubicado el 7, vemos que su valor segn T(43) es 7, pero segn SC(7) es 43, por lo que el lugar donde se ubica el 7, vale 7 y 43 al mismo tiempo. Lo mismo pasa con su pareja, el lugar donde se ubica el 43, vale 43 y 7 al mismo tiempo. Esto sucede para cualquier pareja del patrn, y es algo que tiene mucho que ver con los ceros no triviales de las lneas R . Como se observa, emanan dos T(x) de A y dos SC(x) de B, las dos secuencias de menor valor, T(7) y SC(7), siempre se cruzan en un punto de (0), y ese punto est justo donde las dos secuencias y la lnea (0) tienen el mismo valor (7). Las secuencias de mayor valor ( T(43) y SC(43) ) siempre se cruzan con las de menor valor en la misma R y como se observa, los valores que se cruzan no son iguales (7, 43), an as, ocupan el mismo espacio en R para el valor par 50, o sea, las dos secuencias de mayor valor, anulan sus distancias con las secuencias de menor valor en una lnea recta y los puntos de la recta donde se encuentran dichos valores, son simtricos, adems podemos ver que el valor de esa lnea recta es del valor par que la representa, en este caso del nmero par 50. Teniendo en cuenta lo anterior, tenemos que: 50 / 2 = 25, por lo tanto, 7 y 43 se encuentran a la misma distancia de 25, que es justo el valor de (0) para R = 25, por lo tanto el nmero natural 25, se encuentra en la distancia entre dos nmeros primos, 7 y 43, que anulan sus distancias en R = 25. T(43) y SC(43) siempre se cruzan en (0) justo donde esta vale el doble de la distancia que hay entre el cero trivial (7) y el valor de R (25), o sea, donde (0) vale 43, formando una estructura regular perfecta.

Figura 5

Esta dualidad es la que provoca la simetra de las dos partes del patrn an cuando sus valores son distintos, pero no solo eso, al ser duales las parejas (no confundir con gemelos), podran intercambiar su valor sin daar la estructura del patrn. Ejemplo, si le intercambiamos los valores a 7 y 43, obviamente algo ha cambiado, el patrn no es el mismo, pero no se rompe, el eje principal permanece intacto, la expresin total de los valores tambin y las distancias de cada punto del patrn con el eje principal se mantiene sin cambios, lo que permite que se siga manteniendo la simetra de las dos partes. No solo se pueden intercambiar los valores de una pareja sin romper la simetra del patrn, sino de grupos y secuencias, abriendo un abanico infinito de posibilidades. Da la impresin de que dependiendo de los cambios secuenciales que hagamos, el patrn se convertir en una cosa u otra. Posiblemente puedan existir combinaciones de secuencias destructivas. Una secuencia destructiva es cualquiera que no respete la relacin que hay entre los valores y su posicin, tambin lo son aquellas que, an respetando lo anterior, les da el mismo valor a las partes de una pareja que no se encuentre en la lnea (0) (estas parejas son x+y y+x, nunca sus partes sern x+x y+y), y en general todas las que rompen la simetra del patrn. Cabe destacar que no importa la distancia a la que se encuentren los componentes de una pareja, si le cambiamos el estado de su valor a uno de los dos, el estado del otro cambiar instantneamente, pero eso es un campo abierto que queda por estudiar.

Por qu decimos que los patrones que emanan de la lnea R , tienen una similitud tan extraordinaria con los patrones de los ceros no triviales de la hiptesis de Riemann?

Es sabido que tanto la conjetura de Goldbach, como la hiptesis de Riemann, conforman dos problemas que estn relacionados con la distribucin de los nmeros primos, de hecho ambos pertenecen al VIII problema de los 23 que plante el seor Hilbert. Ese es el motivo por lo que queremos destacar las similitudes que existen entre este ltimo y el patrn de las sumas de dos nmeros primos, como veremos en las siguientes figuras.

Como hemos comprobado, la lnea (0) contiene ceros triviales y la lnea R , ceros no triviales. Los ceros triviales estn colocados en los puntos donde se cruzan las secuencias SC(x) y T(x). Podemos comprobar que los valores que se cruzan son iguales, y como consecuencia, sus distancias con la lnea y entre ellos, es cero, pues ambos tienen el mismo valor que la lnea (0) en ese punto.

En el caso de la lnea R , todos los valores de las secuencias que se cruzan en ella son distintos, y la distancia de estos a la lnea, no es cero (como vimos en la figura anterior), pero an as ocupan el mismo espacio, dando lugar a un cero no trivial. El seor Riemann hace exactamente lo mismo en su funcin zeta, busca los puntos donde se cruzan dos valores distintos, uno real y otro imaginario, dndose cuenta que las distancias entre los puntos donde se cruzan dichos valores (nmeros complejos), tienen una relacin directa con los nmeros primos, y que todos ellos se encuentran en una lnea recta, adems esa lnea tiene como valor real , y los ceros triviales de la funcin zeta tambin se forman con dos valores iguales. Sabemos que la lnea R se encuentra en del rea donde estn todas las posibilidades de parejas para un rango determinado (figura 3), pero no solo eso, adems dicha lnea vale la suma de los dos valores que se cruzan formando el cero no trivial, dicho desde el punto de vista del patrn de las sumas de dos nmeros primos, la lnea R , vale del valor par que la representa. Como se aprecia en la figura siguiente, la lnea R (en color negro) para el par 50, = 25, por lo que en este caso, R = 25, en azul las t(x) correspondientes con sus valores reales y en rojo las SC(x) correspondientes con sus valores secuenciales.

Figura 6

Patrn de las sumas de dos nmeros primos para el nmero par 50. En la figura siguiente comprobaremos como hemos extrado este patrn.

En las figuras 7, 8 y 9 comparamos los patrones de la lnea R con los de la hiptesis de Riemann y los de las matrices aleatorias de los valores de energa de los tomos.

Figura 7

Como podemos observar en la figura 7, hemos relacionado el patrn de las sumas de dos nmeros primos con los de los ceros no triviales de la hiptesis de Riemann, podemos comprobar que tanto uno como otro hacen lo mismo, buscan el punto en donde se cruzan dos valores distintos, para encontrar los ceros no triviales, y los ceros triviales en ambas, se encuentran justo en los puntos donde se encuentran dos valores iguales, y dichos valores siempre se muestran en lneas rectas, que son justo, las que permiten la simetra de los patrones. Como podemos comprobar, todos los ceros no triviales de ambas se encuentran en una lnea recta, y dicha lnea recta vale en ambos casos, siendo la lnea (0) para uno y la lnea y para el otro, las fronteras que provocan la simetra del patrn. Adems se observa en el patrn de las sumas de dos nmeros primos, que las distancias entre los ceros triviales para el valor par 50, son equivalentes a las distancias entre los ceros no triviales que se encuentran en cada una de las partes de la simetra de dicha R .

A modo de dato, decir que es trivial afirmar que lo que estudiamos aqu son patrones de distancias entre nmeros primos, pero no solo porque lo que vemos en el patrn sean todos nmeros primos, sino por la relacin que tienen las distancias con estos. Ejemplo, si multiplicamos o dividimos todos los valores del patrn (incluido los nmeros pares), por un valor dado, obtendremos un patrn equivalente, pero sin nmeros primos. Si lo dividiramos o multiplicramos por un nmero complejo, obtendramos un patrn de dichos nmeros, que tambin seria equivalente, de hecho se podra hacer esta exposicin con nmeros complejos, claro que seria muy complicado y no por la cantidad de decimales, que tambin, sino por el espacio que ocupan dichos nmeros. Hemos querido resaltar este dato, por ser los nmeros complejos, los que utiliza el seor Riemann en su funcin zeta.

Figura 8

Como podemos comprobar en la imagen anterior, hemos extrado de Internet algunos patrones aleatorios para compararlos con la figura siguiente, en la cual hemos expuesto los patrones de las lneas R del patrn de las sumas de dos nmeros primos. Dichos patrones han sido estructurados a una escala en la cual se pueden diferenciar las parejas de nmeros primos gemelos.

Figura 9

Y 1786________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

V 1788________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

X 1790________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

Y 1804________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

V 1806________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

X 1808________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

Y 2002________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

V 2004________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

X 2006________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _

(Para ver correctamente la imagen, se recomienda usar un zoom bastante alto)

Obviamente son rangos diferentes a los de la figura 8. De momento, solo decir de estos patrones que: las R V son las que ms sumas contienen; las parejas de gemelos, cuando aparecen, lo hacen en dichas lneas, a excepcin de la pareja de gemelos 3, 5 (y su pareja correspondiente en la simetra del patrn), que cuando se muestran, lo hacen en R Y como vemos en el nmero par 2002 de la figura anterior. Las lneas R X nunca tendrn parejas de nmeros primos gemelos, tambin decir, que los 3 tipos de R que existen, Y, V y X, se diferencian ntidamente las unas de las otras, y no solo por las parejas de nmeros primos gemelos (como veremos). Dicho esto, hay que decir que la cantidad de parejas de nmeros primos gemelos que se muestran siempre en las R son escasas, siendo esta caracterstica compartida con los patrones de los ceros no triviales de la funcin zeta.

Por qu afirmamos que todo nmero par se representa como la suma de dos nmeros primos? (conjetura de Goldbach)

Existen como mnimo dos maneras de enfocar el problema, La primera se puede entender fcilmente, su algoritmo es similar a la criba de Eratstenes para encontrar nmeros primos (aunque no igual). A pesar de su simpleza, este algoritmo nos revela como funciona parte de la estructura del patrn. La segunda manera de enfocarlo, podramos decir que es ms formal.

Como vemos en la figura 10, SC(3) es la primera SC(x), y la lnea que la representa es paralela a la lnea A, que es donde se encuentran todos los nmeros pares. Es trivial que cada uno de estos ltimos que coincide con un valor de SC(3), contiene una suma de dos nmeros primos, y exactamente pasa lo mismo con todas y cada una de las infinitas SC(x), por consiguiente, si anulamos todos los nmeros pares que coinciden con SC(3) y sucesivamente vamos anulando todos los que coinciden con el resto de SC(x), comprobamos que no solo desaparecen todos los valores pares, sino que estos, entre ms alto es su valor, ms cantidad de parejas contienen, siendo los nmeros pares mltiplos de seis los que tienen mayor nmero de parejas con diferencia. Dicha diferencia va creciendo segn avanza el valor de los nmeros pares (como veremos).

Figura 10

Figura 11

Figura 12

La cantidad de nmeros pares que se anulan con cada SC(x) es infinita, y la cantidad de nmeros pares consecutivos que se anulan para una SC(x) o un rango de ellas es cada vez mayor. Por ejemplo, cuando anulamos los nmeros pares que coinciden con la SC(3), hemos anulado infinitos nmeros pares, pero solo 3 consecutivos, hasta el valor par 10 (como vemos en la figura 11).Cuando incluimos SC(5) volvemos a anular otra cantidad infinita de nmeros pares, pero los nmeros pares consecutivos que se anulan son hasta el valor par 28 (figura 12), para SC (7) la cantidad de nmeros pares consecutivos anulados son hasta el valor 96: Para las 10 primeras SC(x), hasta el nmero primo 31, se han anulado los nmeros pares consecutivos hasta el valor 554.

SC(x) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300

N Primo 73 127 179 233 283 353 419 467 547 1.229 1.993

Nmeros pares consecutivos anulados 2.640 5.370 43.530 63.272 63.272 194.426 503.220 503.220 1.077.420 187.852.860 >2.100.000.000

Hemos decidido incluir los datos anteriores a ltima hora, por lo que los nmeros pares consecutivos anulados para las 300 primeras SC(x), no nos ha dado tiempo de acabarla, pero segn nuestros datos, la cantidad de nmeros pares consecutivos para dicha cantidad de SC(x) se encuentra entre 10 y 13 mil millones, con un margen de error de 3 mil millones arriba o abajo. De momento, solo podemos afirmar que dicha cantidad de valores consecutivos para dicho rango es > 2.100.000.000.

Como vemos, la cantidad de nmeros pares consecutivos eliminados para una cantidad pequea de SC(x) no es muy grande, pero desde que llega a las 100 primeras SC(x) (la secuencia del centsimo nmero primo), los nmeros pares consecutivos anulados empiezan a ser exageradamente grandes. Cuando le hayamos aadido una cantidad relativamente corta (dentro del infinito de los nmeros primos) de SC(x), por ejemplo 1.000.000, la cantidad de dgitos que tendr el ltimo nmero par consecutivo, ser mucho mayor que 1018 y cada vez sern ms los nmeros pares consecutivos que se anulan.

Cuando se le aade una SC(x) determinada, desde que nace en B hasta que elimina el primer valor par, est aadiendo sumas constantemente a los pares ya eliminados. Por ejemplo, cuando hemos introducido SC(7) (como vemos en la siguiente figura ), el primer nmero par que elimina es el 30 y elimina nmeros pares consecutivos hasta el valor par 96 (destacados ambos con una lnea verdes). Los nmeros 7 anteriores al que coincide con el nmero par 30 siempre se dividen en tres tipos: 1 (azul), los que se encuentran entre B y (0) (que nos dan el segundo sumando en la simetra del patrn de los nmeros pares ya anulados), 2 (amarillo), el valor que se encuentra justo en (0) (que no necesita de otro valor para formar pareja), y 3 (rojo), los valores que se encuentran entre (0) y el valor que anula el primer nmero par, en este caso el valor que coincide con el nmero par 30 (que van aadiendo el primer sumando de nuevas sumas constantemente a los pares ya eliminados). Los nmeros que se encuentran entre el primer nmero par anulado y el ltimo par consecutivo (entre el 30 y el 96, en color marrn), no solo aadirn nmeros pares consecutivos, sino que tambin aadirn sumas a los valores pares anulados que se encuentren en ese rango. Los valores posteriores al ltimo nmero par consecutivo (96) (malva), van preparando el terreno para las siguientes SC(x), anulando infinitos nmeros pares al mismo tiempo que aaden sumas a los valores ya anulados.

El hecho de que todas las SC(x), hasta encontrar el primer valor par que anular, estn aadiendo constantemente sumas y parejas en la simetra del patrn a los nmeros pares ya anulados, viene a demostrar que, las cantidades de sumas de dos nmeros primos que representan a todos los nmeros pares, solo tienen una opcin, crecer sin dejar un solo valor par sin sumas de dos nmeros primos, o sea, no solo todos los nmeros pares contienen dichas sumas, sino que entre ms avanzamos, ms cantidad de estas contienen.

Figura 13

El motivo por el que se anula una cantidad tan exagerada de nmeros pares (como dijimos) es porque, cuando aadimos una cantidad x de SC(x), no solo se anulan los nmeros pares consecutivos, adems cada SC(x) elimina infinitos nmeros pares, por lo que entre ms alto es el valor de SC(x), ms cantidad de ellas habrn pasado antes eliminando infinitos nmeros pares. Ejemplo (figura 14), la SC(31) cuando nace en B, vemos que antes que ella ya han pasado 9 SC(x), por lo que el ultimo valor par consecutivo que anula, es el 554, mientras que la SC(7), solo tiene dos SC(x) que han pasado antes que ella, por lo que la cantidad de nmeros pares consecutivos ser hasta el valor par 96. Eso explica por qu hasta el nmero par 10.000, existen casi 500.000 sumas en todo el patrn, y hasta el nmero par 100.000, ms de 25.000.000, por lo tanto, entre ms grande es el nmero primo que representa SC(x), ms alejado estar el primer nmero par a anular, por consiguiente, ms cantidad de sumas aadir a los pares ya anulados y ms parejas en la simetra del patrn, y entre ms lejos est el primer nmero a anular, ms lejos est el ltimo nmero par consecutivo que anula una SC(x), o un rango de ellas.

Como vemos en la figura 14, cuando la cantidad de nmeros pares consecutivos anulados por una SC(x), es igual a los de la SC(x) anterior, es porque el siguiente nmero par a eliminar, tiene como valor ms pequeo de sus parejas, un nmero de valor superior a dicha SC(x). Ejemplo, el nmero 98 (destacado con una lnea verde) tiene como valor ms pequeo de sus parejas el 19, por lo que las SC(7, 11, 13, 17), anularn la misma cantidad de nmeros pares consecutivos, sin embargo, las SC(11, 13, 17), destacadas en rojo, seguirn aadiendo sumas a los nmeros pares ya anulados. Las SC(x) de valor superior a 17 tambin seguirn aadiendo sumas y parejas en la simetra del patrn a los mismos pares consecutivos ya anulados hasta llegar a la R que representa el nmero par 98, provocando que las cantidades de sumas para nmeros pares muy grandes, sean enormes.

Figura 14

Como ya vimos al principio de la exposicin, la cantidad de nmeros primos que necesita una SC(x) determinada desde que nace en B, hasta alcanzar (0), siguen el orden de los nmeros naturales (como vemos a la izquierda de la figura 14), por lo tanto, los valores que se encuentran entre B y (0) para cualquier SC(x) (que son los que nos dan las parejas en la simetra del patrn para los pares ya anulados), crecen siempre en el orden de los nmeros naturales. Por lo tanto este tipo de nmeros nunca dejaran ni un solo nmero par consecutivo sin las correspondientes parejas en la simetra del patrn.

Entonces tenemos que:

Cuando introducimos una SC(x) o un rango de ellas, siempre anula una cantidad x de nmeros pares consecutivos. Al aumentar los valores de SC(x), aumentan tambin la cantidad de nmeros pares consecutivos anulados, siendo cada vez ms grande dicha cantidad, por lo que el primer nmero par a anular se encontrar cada vez ms distante (menos en el caso que explicamos en la figura anterior).

Desde que nace una SC(x) hasta que anula el primer nmero par, los valores que se encuentran en ese rango se diferencian en 3 tipos, dos de ellos aaden constantemente sumas a los valores pares ya anulados y el otro aade parejas en la simetra del patrn para dichos valores ya anulados.

Los valores que se encuentran entre el primer nmero par anulado y el ltimo par consecutivo para una SC(x) o un rango de ellas, anulan pares consecutivos y aaden sumas a los valores pares ya eliminados.

Los nmeros de las SC(x) posteriores al ltimo nmero par consecutivo, anulan infinitos valores pares, al mismo tiempo que va aadiendo sumas a los nmeros pares ya anulados.

Los valores que nos dan las parejas en la simetra del patrn para los nmeros pares ya anulados, crecen siguiendo el orden de los nmeros naturales, no permitiendo que se quede ni un solo sumando sin su pareja en la simetra del patrn, por lo tanto, las cantidades de sumas para un rango determinado, siempre son mayores que la de un rango inferior o viceversa, y eso es posible porque como vimos antes, las cantidades de sumas solo tienen una opcin, crecer.

Adems, todas las SC(x) posteriores a una o un rango de ellas, seguirn aadiendo sumandos y parejas en la simetra del patrn (como vimos en la figura 14).

Tambin tenemos que, los nmeros naturales que contienen todas las SC(x), son exactamente los mismos nmeros naturales que contienen todas y cada una de las sumas del patrn, por lo que al paso de las SC(x), no queda ni una sola posibilidad de supervivencia para ningn nmero par.

A la vista de los hechos, estamos en condiciones de afirmar que,todo nmero par se puede representar, como la suma de dos nmeros primos (mnimo). Donde:

P + P = 4, 6, 8, 10, 12; por lo tanto

(P + P = 4, 6, 8, 10, 12) =

En la criba de Eratstenes, despus de eliminar los nmeros pares, empezamos a introducirle las secuencias del 3, 5, 7, 11 y estas obviamente son los mltiplos de dichos nmeros, por lo que, en un rango determinado, entre ms pequea es la secuencia, ms cantidad de nmeros elimina y entre ms grande, menos. Las SC(x) siempre son iguales, por lo que es trivial que al principio anulen pocos nmeros si los comparamos con la criba de Eratstenes, pero segn vamos avanzando, llega un momento en que ambas habrn anulado aproximadamente la misma cantidad de nmeros (si el rango es lo suficiente grande), y a partir de ah, las SC(x) irn eliminando cantidades cada vez ms exageradas. Sin embargo, la cantidad de valores consecutivos eliminados por las SC(x), es superior a los consecutivos de la criba de Eratstenes desde el principio.

Otra manera de explicar lo mismo es colocar todas las SC(x) en una misma lnea, primero colocamos la SC(5) encima de SC(3), despus la SC(7) encima de SC(3), y as sucesivamente, como comprobaremos, los resultados son exactamente los mismos que los de los hechos anteriores.

Como hemos visto, lo anterior es una manera de demostrar que todos los nmeros pares se representan como una suma de dos nmeros primos (mnimo), pero como dijimos, esta forma de enfocarlo, solo nos revela una parte del funcionamiento de la estructura real y subyacente que contiene este macropatrn. La siguiente forma de enfocar el problema, nos revela el funcionamiento de otra parte de dicha estructura subyacente, la ms bsica y posiblemente la ms importante.

Otra manera de enfocar el mismo problema (conjetura de Goldbach).

Si nos fijamos en la figura 14 o en cualquiera de ellas, podemos comprobar que afirmar que todo nmero par se representa como la suma de dos nmeros primos, es equivalente a afirmar que, todo nmero natural mayor que 1, se encuentra en la distancia entre dos nmeros primos.

Antes que nada hay que decir que, para hacer esta demostracin, hemos dividido la lnea que representa a todos los nmeros primos dentro de la serie de los nmeros impares, en otras 3 lneas, a las cuales les hemos dado los valores F, G y H (figura 18), y en ellas hemos representado dos series de nmeros naturales en cada una, f 1 y f 2 para la lnea F, g1 y g2 para la lnea G, y h1 y h2 para la lnea H, como iremos viendo durante la exposicin.

Si tenemos en cuenta la serie de los nmeros primos dentro de la serie de los nmeros impares, y sabemos que los mltiplos de 3 nunca contienen nmeros primos, sabemos que cada 3 nmeros impares nunca hay nmeros primos, por lo que se crea una secuencia de, no hay primos, 2 posibles primos, no hay primos, 2 posibles primos como vemos en la siguiente figura, y como podemos comprobar, a las tres secuencias que se repiten siempre, les hemos dado los valores Y, V y X, donde V es el espacio vaco de la SC(3), y X e Y los posibles lugares donde pueden haber nmeros primos de dicha SC(x).

Figura 15

Cuando hemos analizado dicha secuencia, comprobamos que exista un patrn ntido de los espacios vacos (V), como vemos en la siguiente figura.

Figura 16

Hemos resaltado en color los 3 tipos de R que se repiten siempre, las cuales corresponden a Y, V y X de la SC(3).

Lo primero que se distingue es que en las lneas R que se encuentran en V (R V a partir de ahora), solo contienen un espacio vaco, mientras que las lneas R representadas por X e Y (R X, y R Y, respectivamente), se reparten los infinitos espacios vacos, del resto de SC(x). Como vemos, las lneas R V son las nicas coincidentes con los nmeros pares mltiplos de 6, el resto de secuencias distribuyen sus infinitos espacios vacos entre los nmeros pares mltiplos de 6(+2) y mltiplos de 6(+4), o sea, entre X e Y. Esto demuestra que las lneas R V contienen una cantidad de parejas superior al resto, y que segn van creciendo los valores, ms se acenta dicha diferencia. Esto no es lo nico que expresa este patrn, cuando lo analizamos en profundidad, nos damos cuenta que las lneas R X y R Y, tambin tienen una diferenciacin bastante ntida con respecto a sus parejas. Todos los nmeros de las distintas parejas de R X, pertenecen a la serie 7 + 6 + 6 + 6 y, los nmeros de las parejas de R Y, pertenecen a la serie 5 + 6 + 6 + 6 , (a excepcin, en ambos casos del, 3 y su compaero de simetra) combinndose las dos series en R V, donde precisamente nunca hay 3. Cabe destacar que en las lneas R V, son las nicas que contienen parejas de nmeros primos gemelos, a excepcin de la pareja de gemelos 3, 5, y su compaera en la simetra del patrn, que solo aparece (cuando lo hace) en R Y (como veremos). Por lo tanto, todo nmero primo mayor que 7, -5 o -7, es mltiplo de 6 y dependiendo si es -5 o -7, el nmero primo pertenecer a f1 o h1, como veremos, o lo que es equivalente, todo nmero primo + - 1, es mltiplo de seis. Hay que destacar que, los lugares que ocupan los espacios vacos para R Y, V y X, son equivalentes con los espacios que ocupan las series f1, g1 y h1, pero a la inversa (como veremos).

Tambin decir que la lnea (0) (destacada en rojo en la figura anterior) es infinita, atraviesa el patrn pasando por los espacios vacos de todas las SC(x), observndose que dichos espacios son equivalentes a los espacios que ocupan los nmeros primos dentro de la serie de los nmeros impares.

Figura 17

Como vemos en la figura 17, Y, V y X de la SC(3), representan los 3 tipos de lneas R que existen con respecto al tipo de distancias entre sus parejas, y en este caso, sus nmeros pares son 46, 48 y 50.

Las lneas R V, R Y y R X, representan tres tipos de patrones aleatorios perfectamente identificables segn el orden de sus parejas. Es como si la lnea de la serie de los nmeros primos dentro de la serie de los nmeros impares, tuviera que atravesar un prisma para revelarnos sus secretos. Al hacerlo, por el otro lado, saldran las varias lneas en las que se descompone. En concreto, las lneas que emanan del prisma son 3, las cuales identificamos como F, G y H respectivamente (figura 18).

Figura 18

Antes que nada hay que decir que, los espacios que ocupan los nmeros primos que vemos en la figura anterior, estn en las series f1, g1 y h 1 (como veremos), y son equivalentes a los espacios vacos de las R Y, V y X en el patrn de los espacios vacos, pero a la inversa. Figura 16. A simple vista destacan algunos aspectos de las tres lneas. En G solo aparece el 3, y en F y H aparecen el resto de nmeros primos, ms o menos repartidos equitativamente. Otro aspecto a destacar es la forma en la que se distribuyen los nmeros primos. A simple vista aunque siguen siendo aleatorios (aunque ya no lo son tanto), en la lnea H todos estn dentro de la serie 5+6+6+6+6( h1), y en la lnea F, todos estn dentro de la serie 7+6+6+6+6(f1), como ya nos indicaban los datos anteriores. Antes de seguir, hay que decir que la conjetura de Goldbach permite la suma de dos nmeros primos iguales, por lo tanto, es trivial que todo nmero primo se encuentra en la distancia entre dos nmeros primos, porque como es lgico todos estn a la misma distancia de si mismo, por lo que todo nmero par que tenga como un nmero primo, contiene, como mnimo, una suma de dos nmeros primos. An as, hemos querido analizar si todo nmero primo mayor que 3, se encuentra en la distancia entre dos nmeros primos, de diferente valor.

Como se puede observar en la siguiente figura, ningn nmero natural de la serie f1, se encuentra en la distancia entre dos nmeros naturales de la serie h1 y viceversa. Eso es debido a que dichas series en si mismas no se encuentran a la distancia la una de la otra, lo que explica por qu dichas series salen en diferentes tipos de lneas R . Por lo tanto, nunca vamos a encontrar un nmero natural de cualquiera de las dos series, que se encuentre en la distancia entre dos nmeros primos de la otra serie.

Figura 19

Tampoco existe un nmero natural de dichas series, que se encuentre en la distancia entre dos nmeros naturales de diferentes series, uno en f1 y otro en h1, o viceversa. Sin embargo, todo nmero natural que se encuentra en dichas series, se encuentran en la distancia entre dos nmeros naturales de su misma serie, a excepcin del 5 y el 7 como vemos en la siguiente figura, lo que nos permite aplicar lo siguiente.

Figura 20

Solo hemos colocado las lneas hasta el valor 43, porque si ponemos ms, no se distinguiran las unas de otras.

Sabemos que todos los nmeros primos que se encuentran en F, pertenecen a f1, por lo tanto, si estudiamos esta serie completa, sin diferenciar los nmeros primos de los no primos, como en la figura anterior, veramos que todo nmero natural de la serie, mayor que 7, se encuentra en la distancia entre dos de sus compaeros, y la cantidad de veces que un solo nmero est en la distancia entre dos de sus compaeros, crece con relacin al tamao del patrn en un orden perfecto. Por ejemplo, para el nmero 13, que es el 2 nmero de f1, tenemos que est en de una pareja de compaeros, para el 3 nmero de la serie est en de 2, el 4 de 3, el 5 de 4, el 6 de 5, el 7 de 6 y as siempre. Entonces tenemos, que de lo que se trata realmente, no es intentar saber cuantas distancias se cumplen en un rango determinado, sino cuantas dejan de cumplirse despus de restarles tantas parejas como nmeros no primos hay en el rango, teniendo en cuenta (como vemos en la figura 21), que cada vez que coinciden dos nmeros no primos en la misma pareja se anula una sola distancia. El resto correspondiente es la cantidad mnima (como veremos) de sumas para un valor par determinado. Siempre hay un resto, claro que pudiera darse el caso de que este fuera = 0. Por ejemplo, segn lo dicho podemos saber que el nmero 100 de la serie f1 el 601, que en este caso coincide que es primo, le corresponden 99 parejas de distancias, como el nmero 601 es del nmero par 1202, significa que dicho nmero par, tiene 99 sumas cuando no le hemos quitado las parejas con uno o dos nmeros no primos al rango. De la misma forma, el nmero 1.000.000 de la serie f1, el 6.000.001, que en este caso coincide que no es primo, tendr 999.999 parejas de distancia, como el nmero 6.000.001 es del nmero par 12.000.002, significa que dicho nmero par contiene 999.999 sumas cuando no le hemos quitado dichas parejas al rango. Hemos afirmado que siempre se da un resto mnimo de distancias en cualquier rango a comparar, y hemos demostrado en la figura 10, que a las cantidades mnimas de sumas, solo les queda una opcin, crecer, pero porqu decimos que dichas cantidades de sumas son cantidades mnimas?, como podemos saber que hay ms?. Si cogemos como ejemplo el nmero par 62 (contiene 3 sumas de nmeros primos), vemos que tiene como , el nmero natural 31, que es el 5 nmero de la serie f1 (figura 22), por lo que segn lo dicho anteriormente, se encuentra en de dos de sus compaeros en 4 ocasiones Al restarle la cantidad de parejas correspondiente (ejemplo, entre 7 y 55 hay 3 nmeros no primos, 25, 49 y 55), tenemos que, 4-3=1), y como no hay una pareja que contenga dos nmeros no primos, 1 es la cantidad mnima de sumas para el nmero 62.

Figura 21

Figura 22

Bien, para que el 62 adquiera la cantidad de sumas que le faltan, existen dos condiciones adicionales. La primera se explica de la manera siguiente: las series f1 y h1 comienzan en 7 y 5 respectivamente, por lo que el 3 queda excluido al encontrarse en la lnea G. Las series que se encuentran en dicha lnea (g1 y g2) se encuentran en la distancia entre f1 y h1 (como veremos), por lo que existe la posibilidad de que el 3, que es el nico nmero primo de G, pueda ser el componente de una pareja de suma de 2 nmeros primos, y esa condicin se cumple siempre que al restarle 3 al nmero par correspondiente, el resultado es un nmero primo y, por consiguiente, se encuentre en f1 o h1. Este es el motivo por el que el nmero 3 siempre aparece (cuando lo hace), en las lneas R X e Y, que son las que contienen dichas series. Cada vez que esto sucede se aadir una distancia ms a la cantidad mnima, por lo que al 62 se le aade una distancia, 3 + 59. La segunda condicin se da siempre que el nmero par es un nmero primo, como ese es el caso del 62 se le aadir otra distancia (suma), 31 +31, ya que as lo permite la conjetura de Goldbach. Por lo tanto, existen dos maneras de aadirles distancias (sumas) a la cantidad mnima de estas, la primera cada vez que la lnea R contiene un 3, y la segunda cada vez que del nmero par sea un nmero primo. Un dato importante es que cada una de estas condiciones anteriores para aadir sumas, solo pueden aadir una distancia (suma), por lo que sabemos que todo nmero par que contenga 3 o ms sumas, su cantidad mnima es >= 1, lo que nos indica, como no poda ser de otra manera (como veremos), que los nicos nmeros naturales, que su cantidad mnima de distancias pueden ser = 0, se encuentran entre los nmeros naturales de menor valor de cualquier rango. Al analizar lo anterior para intentar saber la cantidad de nmeros pares que su cantidad mnima de sumas es = 0 (si los hay), cuales y por qu, hemos obtenido los siguientes resultados. Efectivamente, existen cuatro nmeros pares que su cantidad mnima de sumas es = 0. Como no poda ser de otra manera, todos estn entre los nmeros pares de menor valor, en concreto, estos son el 6, 8, 10 y 14, nmeros que sus , son los nmeros naturales 3, 4, 5 y 7. Dichos nmeros se distribuyen entre las lneas F, G y H, pero claro, existe alguna explicacin que relacione estos nmeros, dicindonos el porqu son los nicos con resto = 0? La respuesta es un si rotundo. Si ponemos nuestra atencin en f1, f2, g1, g2 y h1, h2 (figura 23), comprobaremos que los primeros nmeros de dichas series, son el 3, 4, 5, 6, 7 y 8 (entre crculos rojos), y que de ellos el 3, 4, 5 y 7 (entre doble crculo), son los nicos que no tienen un nmero primo de valor inferior dentro de sus lneas F, G y H para poder comparar, mientras que el 6 y el 8, tienen el 3 y el 5 respectivamente como nmeros primos de menor valor dentro de sus lneas (G y H) correspondientes, por lo tanto el 3, 4, 5 y 7, tienen que tirar de las condiciones adicionales, para adquirir sus distancias entre dos nmeros primos. Tambin hay que decir que los nmeros naturales mltiplos de 3 (que son de los nmeros pares mltiplos de 6), nunca tiran de las condiciones adicionales para adquirir una distancia, y decir que el nmero 4 est incluido, por no ser considerado el nmero 1 como nmero primo, si lo fuera, los nicos nmeros con resto mnimo = 0, serian el 1, 3 y 5.

Figura 23

Los nmeros en verde representan la serie donde se encuentran los nmeros primos (f1, g1, y h1), y en azul las series restantes (f2, g2, y h2).

Por lo que, cuando le quitamos a la serie f1 las parejas que contienen uno o dos nmeros no primos, las parejas que quedan son las distancias mnimas. Los nmeros grandes no corren riesgo de quedarse sin distancias, pues son inmensas la cantidad de ellas que tienen, he inmenso el rango donde comparar, pero los nmeros de menor valor si tienen riesgo, y entre ms pequeo ms riesgo, pues ms corto es el rango donde comparar. Por suerte dichos nmeros han quedado demostrados. Un detalle a tener en cuenta es que, los nmeros no primos que se encuentran en f1 y h1, son pocos si los comparamos con los no primos de la serie de los nmeros primos dentro de la serie de los nmeros impares, y los nmeros primos que hay en la serie f1 y h1 son muchos, si le hacemos la misma comparacin. Entonces tenemos que, las bases de las series f1 y h1, para cualquier rango, son siempre la misma, por lo que las parejas que contienen uno o dos nmeros no primos sern cada vez ms numerosas, pero la cantidad de nmeros primos tambin sigue creciendo, por lo que la cantidad de dichos nmeros para un rango determinado, siempre es >= que cualquier rango anterior. Los restos mnimos de distancias que quedan despus de haberle restado las parejas correspondientes, solo tienen una opcin, crecer segn vaya creciendo el rango (como vimos en la figura 13), en un orden cojo, pues les faltan sus hermanos los impares no primos, pero siempre ascendentemente, y a grandes rangos, podemos afirmar que las cantidades mnimas de distancias (sumas), forman una lnea recta, como veremos en la figura 36 y 39, o sea, a esas escalas no se les nota la cojera. Pero claro, conociendo los nmeros primos, siempre habr alguien que diga, quin me dice dice que ms adelante donde la imaginacin se pierde, no me encontrar con un espacio vaco entre dos nmeros primos lo suficientemente grande como para que no se cumpla lo anterior?. Bien, sabemos que esos espacios vacos son cada vez ms grandes segn vamos avanzando en la serie de los nmeros primos dentro de la serie de los nmeros impares, pero tambin sabemos que el espacio vaco ms grande para un rango determinado (que siempre empiezan desde el principio del patrn), es cada vez ms pequeo si los comparamos con el tamao del propio rango, y como el tamao de este es siempre el margen que tenemos para comparar si un nmero se encuentra en la distancia entre otros dos, obviamente, independientemente de los espacios vacos, cada vez hay ms nmeros primos con los que comparar. Donde ms riesgo hay, es donde est el espacio vaco ms grande comparndolo con el tamao del rango, y ese lugar es el rango de los nmeros pares entre 6 y 12. Como vemos en la siguiente figura, en la SC(3), el espacio vaco ms grande, que en este caso coincide que es el nico, es un 25% el tamao del rango entre 6 y 12 (el siguiente espacio, mayor que este, se encuentra entre el rango del 6 al 30, y el siguiente, del 6 al 98), ese tanto por ciento alcanzar valores inferiores a 1 muy rpido (0,x) segn vayamos avanzando, y entre ms grande es el rango, ms pequeo es el tanto por ciento. Nos gusta mucho el smil de que, cuando el espacio vaco ms grande entre dos

nmeros primos tiene el tamao del dimetro del sol, el tamao del rango, es como el dimetro de la galaxia (el tamao de los nmeros, estaran a la misma escala que los que vemos en la pantalla). Figura 24

Como podemos comprobar, R V para el valor par 12, se encuentra en medio de los nicos nmeros pares que tienen su cantidad mnima de sumas = 0 (6, 8, 10 y 14), por lo que es la primera R que no tira de las condiciones adicionales para adquirir su nica suma, teniendo un riesgo enorme de quedarse sin ella, al ser muy escaso el rango donde comparar.

Por lo tanto, aunque no sea relevante para la demostracin de la conjetura de Goldbach, todos los nmeros primos, se encuentran en la distancia, entre dos nmeros primos de distinto valor, a excepcin del 2 y el 3, que solo se encuentran en la distancia entre si mismos, pero lo que realmente nos interesa, es ver si el resto de nmeros naturales mayores que 1, lo estn. Cuando seguimos analizando las lneas F, G y H, nos damos cuenta de algunas trivialidades que desde nuestro punto de vista son muy importantes. Como vemos en la siguiente figura, los nmeros no primos de las series f1 y h1, se les puede aplicar lo mismo que en el caso anterior, con la excepcin, de que al no ser primos, al sumar dichos nmeros consigo mismo, obviamente no nos da una suma de dos nmeros primos, por lo que tenemos que, todos los nmeros naturales de f1 y h1, se encuentran en la distancia entre dos nmeros primos.

Figura 25

Como vemos en la siguiente figura, otra trivialidad segn lo expuesto anteriormente, es que todo nmero natural que se encuentra en la serie 4 + 6 + 6 + 6(f2) para la lnea F, se encuentran en la distancia entre dos nmeros primos (a excepcin del 4) y todo nmero natural que se encuentre en la serie 8 + 6 + 6 + 6(h2) para la lnea H tambin, y esto sucede porque como podemos observar, toda la serie f2 al completo, se encuentra a la distancia de la serie f1, y viceversa, y toda la serie h2 se encuentra a la distancia de la serie h1 y viceversa, por lo que podemos aplicarle lo anterior. Si volvemos a repetir el proceso, comprobaramos que de lo que se trata, como antes y como siempre, es de saber cuantas quedan y no cuantas hay, corriendo el nico riesgo, como siempre, los nmeros ms pequeos. Por lo tanto, todo nmero natural que se encuentra en F y H, se encuentran en la distancia entre dos nmeros primos.

Figura 26

Ya solo nos queda saber si los nmeros naturales mltiplos de 3 se encuentran en la distancia entre dos nmeros primos y estos estn todos en la lnea G, justo la que no tiene nmeros primos a excepcin del 3. Esos nmeros se distribuyen en dos series, 3 + 6 + 6+ 6 (g1), y 6 + 6 + 6 + 6 (g2). Como podemos comprobar, estas series son las que representan a los nmeros pares mltiplos de seis del patrn principal, y por lo tanto, del patrn de los espacios vacos, y lo que nos dicen esos patrones, es que precisamente estos nmeros, son los que ms sumas de dos nmeros primos contienen. La lnea G al no tener nmeros primos a excepcin del 3, no queda ms remedio que compararla con f1 y h1. Si observamos las siguientes figuras, nos damos cuenta que el 3 y sus mltiplos ocupan un lugar privilegiado, su colocacin natural dentro del patrn hace que sean un puente perfecto entre las series f1 y h1 y en ambas direcciones. Si hacemos lo mismo que antes y comparamos cualquiera de las dos series de G, con las series donde se encuentran los nmeros primos (f1 y h1), veremos que el 2 nmero de la serie g1 (el 9 en la figura 27), se encuentra en la distancia entre dos nmeros naturales (uno de f1 y otro de h1), en 2 ocasiones, el 3 est en en 4 ocasiones, el 4 en 6, el 5 en 8, el 6 en 10, y as siempre, y para la serie g2, el 1 nmero (6 en la figura 28) de la serie est en la distancia en 1 ocasin, el 2 en 3 ocasiones, el 3 en 5, el 4 en 7, el 5 en 9 , el 6 en 11, por lo que no hay que preguntarse cuantas sumas hay, sino cuantas dejan de haber cuando hacemos desaparecer la cantidad de parejas que contienen uno o dos nmeros no primos.

Como podemos observar, las distancias para estos nmeros crecen de dos en dos, el doble que los anteriores, y como en el caso anterior, donde nico puede haber un resto = 0 es en los nmeros ms pequeos pero, viendo que los mltiplos de 3 contienen el doble de distancias entre dos nmeros, explica por que los nmeros pares mltiplos de 6 son los que ms sumas de dos nmeros primos contienen con diferencia, y esa diferencia se acenta segn vamos avanzando en el patrn,

Figura 27

Figura 28

Como podemos comprobar hemos hecho lo mismo que en la figura 20. Solo hemos colocado las lneas hasta el 33 y el 30 respectivamente, si pusiramos ms, no distinguiramos las lneas.

Por lo tanto, todo nmero natural mayor que 1, se encuentra en la distancia, entre dos nmeros primos, lo que es equivalente a afirmar que, todo nmero par se representa como la suma de dos nmeros primos. Por lo que tenemos exactamente el mismo resultado que en la otra manera de enfocar el problema: Donde: P + P = 4, 6, 8, 10, 12; por lo tanto (P + P = 4, 6, 8, 10, 12) =

Como vemos, este enfoque del problema, nos revela como funciona otra parte de la estructura del patrn, y en el problema siguiente, veremos como funciona otra buena parte de dicha estructura, la cual es algo ms que muy interesante.

Por qu decimos que las parejas de nmeros primos gemelos, son infinitas?

En la figura 29 hemos emparejado SC(5,11) y SC(19,31) a modo de ejemplo. Este tipo de parejas de SC(x) se caracterizan porque la distancia entre sus dos componentes es siempre 6 o uno de sus mltiplos. Las lneas transversales que unen las dos SC(x) nos indican los puntos en donde coinciden dos nmeros de la misma lnea R , uno de cada secuencia (a partir de ahora nmeros coincidentes = NC, y para diferenciar este tipo de NC con otros que veremos ms adelante, lo denominaremos NC1). Como podemos comprobar, al ser coincidentes esos nmeros, los espacios vacos V en las parejas de SC(x), tambin lo son, por lo que esos NC1 solo pueden ocurrir cuando coinciden los valores de ambas SC(x) en X o Y. y las distancias entre todos los NC1 de cualquier pareja de SC(x), pueden tener el valor de cualquier nmero par, siendo la cantidad de NC1 infinita, pues las secuencias que la estructuran lo son. Los NC1, dependiendo de las distancias entre sus parejas de SC(x), se mostrarn siempre en R V o X, tambin en R V o Y. Ejemplo, todos los NC1 para la pareja de SC(5, 11) (que la distancia entre ellas es 6), se muestran en R V o R Y, mientras que todos los NC1 de la pareja de SC(19, 31) (que la distancia entre ellas es doce), hacen su aparicin en R V o R X.

Figura 29 (NC1)

En la figura 30, hemos hecho exactamente lo mismo pero con parejas de SC(x) que la distancia entre ellas no es 6 ni uno de sus mltiplos (a partir de ahora NC2). Al analizarlas se ve muy ntido que son distintas a las anteriores. Como vemos, dependiendo de las distancias que hayan entre la parejas de dos SC(x), los NC2 siempre llevan el orden de aparicin en X, Y o en Y, X de sus respectivas SC(x) indistintamente, y sus V nunca son coincidentes. En el caso de que las dos SC(x) compongan una pareja de nmeros primos gemelos, ejemplo, SC (17, 19), el orden de sus NC2 es Y, X, (Y para el pequeo y X para el grande), y las distancias entre todos los NC2 es siempre 6 o mltiplo de este. Hay un detalle muy especial (como veremos) y es que en este tipo de parejas de SC(x), los primeros NC2 (destacados en color verde) aparecen siempre en R Y, mientras que el resto de NC2 se encuentran todas en R V. Como podemos comprobar, las R que ms cantidad de NC contienen son las R V. De esta manera, las distancias que existen entre los NC de cualquier tipo de parejas de SC(x), expresan patrones infinitos que se pueden diferenciar entre ellos por la distancia entre sus SC(x), observndose que mantienen la misma relacin con f1, g1 y h1 que mantienen las R , siendo estos patrones muy similares a los que emanan de ellas y con los cuales se encuentran perfectamente entrelazados, al igual que con el patrn de los espacios vacos.

Figura 30 (NC2)

Como consecuencia de todo lo dicho anteriormente, al ser cada NC parte de una lnea R , toda pareja de SC(x) que represente una pareja de nmeros primos gemelos, formarn parejas de dichos nmeros en las R correspondientes. Por ejemplo, con SC(29,31), las NC2 obtenidas, forman todas, parejas de nmeros primos gemelos en sus respectivas R .

Cuando analizamos las parejas de nmeros primos gemelos de dichas lneas, vemos que uno de los dos componentes de los nmeros primos gemelos pertenece a f1 y el otro a h1, pero existe una sola excepcin que hace coincidir un componente de G con uno de H, y es obvio que esa excepcin es la pareja de gemelos 3 y 5, pues el 3 es el nico nmero primo de G, y 5 el nico nmero primo que puede formar pareja de gemelos con l. Vemos en la siguiente figura el lugar que ocupan las parejas de nmeros primos gemelos 3 y 5 dentro de sus correspondientes R .

Figura 31

Como hemos visto anteriormente, la lnea G, que es donde estn todos los mltiplos de 3, es la que hace de puente entre F y H, y ese es otro motivo por el que todas y cada una de las parejas de nmeros primos gemelos a excepcin del 3 y 5 y su pareja correspondiente en la simetra del patrn, se encuentran en las lneas R V, y como es lgico, la pareja de gemelos 3 y 5 solo puede estar en las lneas R Y, porque son las que contienen la serie 5 + 6 + 6 + 6 (h1), ya que en las lneas R X, nunca hab