números naturales .en la expresión 5 x 9 + 9 x 7 + 9 x 2, el 9 es un factor común. ... una...

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  • 1

    Nmeros naturales

    El conjunto de los nmeros naturales se representa por la letra , y

    est formado por:

    N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

    Los nmeros naturales sirven para contar los elementos de un

    conjunto (nmero cardinal). O bien para expresar la posicin u orden que

    ocupa un elemento en un conjunto (nmero ordinal).

    Los nmeros naturales estn ordenados, lo que nos permite

    comparar dos nmeros naturales:

    7 > 2; 5 es mayor que 3.

    2 < 7; 3 es menor que 5.

    Los nmeros naturales son ilimitados, si a un nmero natural le

    sumamos 1, obtenemos otro nmero natural.

    Representacin de los nmeros naturales

    Los nmeros naturales se pueden representar en una recta ordenados

    de menor a mayor.

    En una recta sealamos un punto, que marcamos con el nmero cero. A

    la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a

    mayor los nmeros naturales: 1, 2, 3...

  • 2

    Operaciones con nmeros naturales Suma de nmeros naturales

    a + b = c

    Los trminos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

    Propiedades de la suma

    1. La suma de nmeros naturales es una operacin Interna:

    a + b (la suma de dos o ms nmeros naturales da otro nmero natural?

    2. Asociativa:

    (a + b) + c = a + (b + c)

    3. Conmutativa:

    a + b = b + a

    4. Elemento neutro:

    a + 0 = a

    Factores comunes

    En una suma de varios sumandos, se llama factor comn a cualquier factor que pertenezca a todos y cada uno de los sumandos.

    As, en la suma 3 x 5 + 7 x 5, el nmero 5 es un factor comn.

    En la expresin 5 x 9 + 9 x 7 + 9 x 2, el 9 es un factor comn.

    En la operacin 7 x 5 + 7 x 3 + 5 x 4, no hay ningn factor comn.

    En una suma de varios sumandos en la que haya algn factor comn, se llama sacar factor comn a aplicar la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.

  • 3

    Resta de nmeros naturales

    a - b = c Los trminos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

    Propiedades de la resta

    1. No es una operacin interna

    2. No es Conmutativa.

    Multiplicacin de nmeros naturales

    a b = c

    Los trminos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

    Propiedades de la multiplicacin

    1. Interna:

    a b

    2. Asociativa:

  • 4

    (a b) c = a (b c)

    3. Conmutativa:

    a b = b a

    4. Elemento neutro:

    a 1 = a

    5. Distributiva:

    a (b + c) = a b + a c

    6. Sacar factor comn:

    a b + a c = a (b + c)

    Divisin de nmeros naturales

    D : d = c Los trminos que intervienen en un divisin se

    llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

    Propiedades de la divisin

    1. Divisin exacta

    D = d c

    2. Divisin entera

    D = d c + r

    3. No es una operacin interna

    4. No es Conmutativa.

    5. Cero dividido entre cualquier nmero da cero.

    6. No se puede dividir por 0.

    Prioridades en las operaciones

    1.Efectuar las operaciones entre parntesis, corchetes y llaves..

    2.Calcular las potencias y races.

    3.Efectuar los productos y cocientes.

  • 5

    4.Realizar las sumas y restas.

    Potencia de nmeros naturales

    Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

    5*5*5*5=54

    Los elementos que constituyen una potencia son:

    La base de la potencia es el nmero que multiplicamos por s mismo, en este caso el 5.

    El exponente de una potencia indica el nmero de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.

    Propiedades de las potencias de nmeros naturales

    Un nmero elevado a 0 es igual a 1

    50=1

    Un nmero elevado a 1 es igual a s mismo

    51=5

    Producto de potencias con la misma base

    Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

    35*33=38

    Divisin de potencias con la misma base

    Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

  • 6

    Potencia de una potencia

    Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

    (45)3=415

    Producto de potencias con el mismo exponente

    Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

    53*33=(5*3)3

    Cociente de potencias con el mismo exponente

    Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

    53:33=(5:3)3

    Ejercicios:

  • 7

    Nmeros enteros

    El conjunto de los nmeros enteros est formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

    = {...5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

    Se dividen en tres partes: enteros positivos o nmeros naturales, enteros negativos y cero.

    Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los nmeros naturales son un subconjunto de los nmeros enteros.

    Valor absoluto de un nmero entero

    El valor absoluto de un nmero entero es el nmero natural que resulta al suprimir su signo.

    |a| = a

    |a| = a

  • 8

    Criterios para ordenar los nmeros enteros

    1. Todo nmero negativo es menor que cero.

    7 < 0

    2. Todo nmero positivo es mayor que cero.

    7 > 0

    3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

    7 > 10 |7| < |10|

    4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

    10 > 7 |10| > |7|

    Operaciones con nmeros enteros Suma de nmeros enteros

    1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo comn.

    3 + 5 = 8

    (3) + (5) = 8

    2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del nmero de mayor valor absoluto.

    3 + 5 = 2

    3 + (5) = 2

  • 9

    Propiedades de la suma de nmeros enteros

    1. Interna:

    a + b

    3 + (5)

    2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

    (2 + 3) + ( 5) = 2 + [3 + ( 5)]

    5 5 = 2 + ( 2)

    0 = 0

    3. Conmutativa: a + b = b + a

    2 + ( 5) = ( 5) + 2

    3 = 3

    4. Elemento neutro: a + 0 = a

    (5) + 0 = 5

    5. Elemento opuesto a + (-a) = 0

    5 + (5) = 0

    (5) = 5

    Resta de nmeros enteros La diferencia de los nmeros enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

    a - b = a + (-b)

    7 5 = 2

    7 (5) = 7 + 5 = 12

  • 10

    Propiedades de la resta de nmeros enteros

    1. Interna:

    a b

    10 (5)

    2. No es Conmutativa: a - b b a

    5 2 2 5

    Multiplicacin de nmeros enteros

    La multiplicacin de varios nmeros enteros es otro nmero entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicacin de la regla de los signos.

    Regla de los signos

    2 5 = 10

    (2) (5) = 10

    2 (5) = 10

    (2) 5 = 10

  • 11

    Propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros

    1. Interna:

    a b

    2 (5)

    2. Asociativa: (a b) c = a (b c)

    (2 3) (5) = 2 [(3 (5)]

    6 (5) = 2 (15)

    -30 = -30

    3. Conmutativa:

    a b = b a

    2 (5) = (5) 2

    -10 = -10

    4. Elemento neutro:

    a 1 = a

    (5) 1 = (5)

    5. Distributiva:

    a (b + c) = a b + a c

    (2) (3 + 5) = (2) 3 + (2) 5

    (2) 8 =- 6 10

    -16 = -16

    6. Sacar factor comn:

    a b + a c = a (b + c)

    (2) 3 + (2) 5 = (2) (3 + 5)

  • 12

    Divisin de nmeros enteros

    La divisin de dos nmeros enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicacin de la regla de los signos.

    10 : 5 = 2

    (10) : (5) = 2

    10 : (5) = 2

    (10) : 5 = 2

    Propiedades de la divisin de nmeros enteros

    1. No es una operacin interna:

    (2) : 6

    2. No es Conmutativo: a : b b : a

    6 : (2) (2) : 6

    Potencia de nmeros enteros

    La potencia de exponente natural de un nmero entero es otro nmero entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicacin de las siguientes reglas:

    1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

    2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

    Propiedades a0 = 1

    a1 = a

    am a n = am+n

    (2)5 (2)2 = (2)5+2 = (2)7 = 128

  • 13

    am : a n = am n

    (2)5 : (2)2 = (2)5 - 2 = (2)3 = 8

    (am)n = am n

    [(2)3]2 = (2)6 = 64

    an b n = (a b) n

    (2)3 (3)3 = (6) 3 = 216

    an : b n = (a : b) n

    (6)3 : 3 3 = (2)3 = 8

    Potencias de exponente entero negativo

    Raz cuadrada de un nmero entero

    Las races cuadradas de nmeros enteros tienen dos signos: positivo y negativo.

    El radicando es siempre un nmero positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado nmero.

  • 14

    Operaciones combinadas con nmeros enteros

    Prioridades en las operaciones

    1.Efectuar las operaciones entre parntesis, corchetes y llaves..

    2.Calcular las potencias y races.

    3.Efectuar los productos y cocientes.

    4.Realizar las