números complejos sucesiones series- funciones de una y varias variables

EJERCICIOS RESUELTOS:

Números Complejos

Matemáticas 1

1

Elena Álvarez Sáiz

Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Universidad de Cantabria

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ejercicios: Números Complejos Ingeniería de Telecomunicación

Fundamentos Matemáticos I

2

Interpretación geométrica de la suma y el producto

1 Si 1z y 2z son complejos, ¿qué representa el número 1 2

2

z z+. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos

1 2z zλ µ+ si λ y µ son reales y verifican 1λ µ+ = ?

Solución:

Gráficamente el afijo del número complejo

1 2 1 2 1 2

2 2 2

z z x x y yi

+ + += +

representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo del número

complejo 1 2z z+

• Los puntos de la forma 1 2z zλ µ+ son los puntos de la recta

( ) ( )1 2 1 2 1 2 11z z z z z z zλ µ µ µ µ+ = − + = + −

es decir, la recta que pasa por 1z y cuyo vector director es 2 1z z− .

2 Demuéstrese que si los puntos 1z , 2z , 3z son los vértices de un triángulo equilátero, entonces:

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z+ + = + +

3 1

2 1

arg( )

3 13 1 3arg( )

2 1 2 1

i z zi

i z z

z z ez ze

z z z z e

π−

−

−−= =

− −

( )

( )

1 2

3 1

arg1 21 2 3

arg3 2 3 2

i z zi

i z z

z z ez ze

z z z z e

π−

−

−−= =

− −

ya que

( ) ( )3 1 2 1arg arg3

z z z zπ

− = − +

Profesora: Elena Álvarez Sáiz S

Ingeniería de Telecomunicación

Fundamentos Matemáticos I Ejercicios: Números Complejos

3

( ) ( )3 2 1 2arg arg3

z z z zπ

− + = −

Por lo tanto,

3 1 1 2 2 2 23 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 1 2

2 1 3 2

z z z zz z z z z z z z z z z z z

z z z z

− −= ⇒ − − + = − − + ⇒

− −

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z⇒ + + = + +

Veamos si es cierto o no el recíproco, es decir, veamos si es cierto que dados 1z , 2z , 3z son

los tres diferentes verificando 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z+ + = + + entonces forman un

triángulo equilátero.

Se realiza la traslación del triangulo llevando zo al origen: *1z z z= − . Los números son

ahora:

{ } { }* *2 1 3 1 2 30, , 0, ,z z z z z z− − =

Entonces, la igualdad 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z+ + = + + se transforma en

* * *2 *22 3 2 3z z z z= +

despejando

( )

*3

*2 * * *2 * * *2 *23 2 3 2 3 2 2 2

10 4

2resolvemosla ecuaciónde segundo

grado en z

z z z z z z z z− + = ⇒ = + − ⇒

( )* * * * *3 2 2 3 2

1 1 13 3

2 2 2z z i z z z i

⇒ = ± ⇒ = ±

Esto significa que *3z es *

2z girado 3

π radianes (60 grados) y como

1 13 1

2 2i± = se tiene

que * *3 2z z= . Por lo tanto, { }* *

2 30, ,z z forman un triángulo equilátero lo que significa que

{ } { }* *1 2 1 2 1 1 1 2 3, , , ,z z z z z z z z z+ + − = .

3 Un triangulo equilátero tiene su centro en el origen y un vértice en el punto (1,0). Determinar los otros

dos vértices.




4

Los ángulos que forman dos lados de un triángulo equilátero son de 3

π radianes, luego hay que

avanzar 2

2 3 3

π π π+ = . Por lo tanto, como uno de los vértices es 2

1 1 iz e π= = , se tiene que

2 22 3 3

2

2 2 1 3cos

3 3 2 2

i iiz e e e isen iπ π

π π π −= = = + = +

2 2 42 3 3 3

3

4 4 1 3cos

3 3 2 3

i i iiz e e e e isen iπ π π

π π π −= = = + = −

son los otros dos. En forma binómica

3 31 1(1, 0), , , ,2 22 2

− − −

Otra forma: Podía haberse resuelto el problema observando si los afijos de 1z , 2z , 3z forman

un triángulo equilátero entonces

1 2 3z z z= =

y el ángulo entre 10z��

y 20z��

es el mismo que entre 20z��

y 30z��

y el mismo que entre 20z��

y

10z��

. Por esta razón los tres vértices son las tres raíces cúbicas de la unidad. En efecto,

22 4

3 03 3 31 2 31 0,1,2 , ,

ki i iie k z e z e z e

ππ π

= = ⇒ = = =

Coordenadas complejas conjugadas

4 Hállese la ecuación de la circunferencia

2 2( ) 2 2 0a x y bx cy d+ + + + =

en función de las coordenadas complejas conjugadas (es decir, en función de z y de su conjugado)

Sea z x iy= + y z x iy= − entonces

22 2

2 2

z z z zx y x y z z z

i

+ −= = + = =

Sustituyendo en la ecuación dada de la circunferencia




5

( ) 2 2 0 02 2

z z z za z z b c d az z bz bz ciz ciz d

i

+ − + + + = ⇔ + + − + + = ⇔

( ) ( ) 0azz z b ci z b ci d⇔ + − + + + =

Módulo

5 Indicar si es correcto o falso el enunciado siguiente, razonando la respuesta:

Sean 1 2,z z ∈ � de módulo 1, entonces

1 2 1 22z z z z+ = ⇔ =

⇒ Como 1 2,z z ∈ � de módulo 1, llamando ( )1arg zφ = y ( )2arg zψ = en forma

exponencial serán 1iz e φ= y 2

iz e ψ= . Luego,

( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z z z+ = + + = + + =

1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 12z z z z z z z z z z z z= + + + = + +

En consecuencia,

( )1 2 2 11 2 1 2 2 1 1 22 2 4 1 Re 1

2

z z z zz z z z z z z z

++ = ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = ⇔

( )( ) ( )Re 1 cos 1 2ie kφ ψ

φ ψ φ ψ π−

⇔ = ⇔ − = ⇔ = +

y, por tanto, como 1iz e φ= y 2

iz e ψ= la última afirmación es lo mismo que decir,

1 2z z= .

⇐ La implicación en el sentido ⇐ es trivial ya que

si 1 2z z= entonces 1 2 12z z z+ = , y, por tanto 1 2 12 2z z z+ = =

Otra forma.- También puede realizarse la demostración simplemente operando en forma

binómica. Teniendo en cuenta que 1z y 2z son de módulo unidad su representación es




6

1 2cos cosz isen z isenφ φ ψ ψ= + = +

se cumplirá

( ) ( )2 2

1 22 cos cosz z sen senφ ψ φ ψ= + = + + +

operando,

2 2 2 22 cos cos 2 cos cos 2sen sen sen senφ ψ φ ψ φ ψ φ ψ= + + + + + =

( ) ( )2 2 cos cos 2 1 cossen senφ ψ φ ψ φ ψ= + + = + −

Luego,

( )2

1 2 1 22 4 1 cosz z z z φ ψ= + ⇔ = + ⇔ = − ⇔

1 2

1 2

1

2 2por hipótesisz z

k k z zϕ ψ π ϕ ψ π

= =

⇔ − = ⇔ = + ⇔ =

y, por tanto 1 2z z= .

6 Dos números complejos no nulos son tales que 1 2 1 2z z z z+ = − . Probar que 1

2

z

zes imaginario.

Método 1.- Por hipótesis,

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z+ = − ⇔ + = − ⇔

( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z⇔ + + = − − ⇔

1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2z z z z z z z z z z z z z z z z⇔ + + + = − − + ⇔

( ) ( )1 2 2 1 1 22 0 Re 0z z z z z z⇔ + = ⇔ =

luego

( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 12 2 1

2 21 1 1 1 1

Re Im Imz z i z z z zz z zi

z z z z z

+= = =

donde se ha aplicado que ( )1 2Re 0z z = y, por tanto, 1

2

z

zes imaginario.




7

Método 2.- Sea

1 2z a bi z c di= + = +

( )( )( )( )

2

2 2 2 2 2 21

( )(1)

ca db i da cbc di a biz ca db da cbi

z a bi a bi a b a b a b

+ + −+ − + −= = = +

+ − + + +

Por otro lado, por hipótesis

1 2 1 2z z z z+ = −

luego,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2( ) ( ) ( )a c i b d a c i b d a c b d a c b d+ + + = − + − ⇔ + + + = − + − ⇔

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2a c ac b d bd a c ac b d bd⇔ + + + + + = + − + + − ⇔

4 4ac bd ac bd⇔ = − ⇔ = −

Finalmente, sustituyendo en (1)

2

2 21

z da cbi

z a b

−=

+

que demuestra que es un número imaginario puro.

7 Calcular el valor de a y b para que 3 2

4 3

b ai

i

−

− sea real y de módulo unidad

Operando

(3 2 )(4 3 ) 12 8 9 6 12 6 9 8

(4 3 )(4 3 ) 16 9 25 25

b ai i b ai bi a b a b az i

i i

− + − + + + −= = = +

− + +

• Si se quiere que sea real

9 8 80 9 8 0

25 9

b a ab a b

−= ⇒ − = ⇒ =

• Si además es de módulo uno

12 6 96 21 12 6 25 6 25

25 9 3

b a ab a a a

+= ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =




8

Luego, los valores pedidos son

2 4

3 3a b= =

Lugares geométricos

8 Describir los conjuntos de puntos del plano determinados por las siguientes ecuaciones

(a) 2 1z i− ≤

Sea z a bi= + entonces 2 ( 2)z i a b i− = + − , se cumplirá

2 2 2 22 1 ( 2) 1 ( 2) 1z i a b a b− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤

El conjunto buscado es el interior del círculo de centro (0,2) y radio 1.

(b) 2 3z z− > −

Seaz x iy= + entonces 2 ( 2)z x iy− = − + y 3 ( 3)z x iy− = − + , sus módulos

2 2 2 22 ( 2) 3 ( 3)z x y z x y− = − + − = − +

y por tanto,

2 2 2 22 3 ( 2) ( 3)z z x y x y− > − ⇔ − + > − + ⇔

2 2 2 2 54 4 9 6 2 52

x x y x x y x x⇔ + − + > + − + ⇔ > ⇔ >

La solución es el conjunto

{ }/ 5 / 2, ,R x i y x x y= + > ∈ ℜ

(c) 1 3 10z z− + + =

Forma 1: Por definición de elipse se trata de una elipse de focos los puntos 1 y =3 y semieje

mayor 5




9

Forma 2: Sea z x iy= + , entonces 1 ( 1)z x iy− = − + , 3 ( 3)z x iy+ = + + , luego

( ) ( )2 22 21 3 10 1 3 10z z x y x y− + + = ⇔ − + + + + =

Pasando una de las raíces al segundo miembro y elevando al cuadrado

( ) ( )2

2 22 21 10 3x y x y

− + = − + +

( )22 2 2 2 21 2 100 ( 3) 20 3x x y x y x y+ − + = + + + − + +

( )2 28 108 20 3x x y− − = − + +

( )2 22 27 5 3x x y+ = + +

Elevando nuevamente al cuadrado,

( ) ( )( )2 2 22 27 25 3x x y+ = + +

2 2 2 2 2 24 27 108 25( 3) 25( 9 6 )x x x y x x y+ + = + + = + + +

2 221 42 25 504x x y+ + =

Completando cuadrados

2 221( 2 ) 25 504x x y+ + =

( )2 221 ( 1) 1 25 504x y+ − + =

2 221( 1) 25 525x y+ + =

Se trata de la elipse

2 22 2

2

( 1) ( 1)1 1

525 525 21521 25

x xy y+ ++ = ⇔ + =

(d) 4z z >

Sea z x iy= + , z x iy= − entonces

( )( )22 24 4 2z z x iy x iy x y z z> ⇔ + − = + = > ⇔ >

Luego 4z z > es la región del plano exterior de la circunferencia de centro (0,0) y radio 2.




10

(e) 3 4z i− =

Sea z x iy= + , 3 ( 3)z i x i y− = + − entonces

2 23 4 ( 3) 16z i x y− = ⇔ + − =

Se trata de la circunferencia de centro (0,3) = 3i y radio 4.

(f) 1, Im 0z z< >

Se trata del conjunto

{ }2 2/ 1 , 0x iy x y y+ + < >

es decir, del interior del semicírculo superior de radio 1.

(g) 2

2 1z z+ =

Sea z x iy= + , z x iy= − , entonces

64 2 4 2 2

6

1 31 1 0

2

i

i

eiz z z z z

e

π

π−

± + = ⇔ − + = ⇔ = =

Luego:

12

6

12

12

6

12

i

i

i

i

i

i

ee

ez

ee

e

π

π

ππ

π

π

ππ

+

−

−

− +

= = =

9 Consideremos el número complejo:

1

2 cosz x iy

t isent= + =

+ +

Probar que cuando “t” varia en los numeros reales, z se mueve sobre la circunferencia cuyo diámetro es el

segmento que uno los puntos (1/3,0),(1,0).




11

Calculamos en primer lugar la expresión de x y de y en función de t . Multiplicando por el

conjugado del denominador

1(2 cos )

(2 cos )(2 cos )

t isent

t isent t isent

+ −=

+ + + −

2 2 2 2

2 cos 2 cos

5 4 cos 5 4 cos(2 cos ) 4 cos 4 cos t

t sent t senti i

t tt sen t t t sen

+ += − = −

+ ++ + + +

Luego

2 cos

5 4 cos 5 4 cos

t sentx y

t t

+ −= =

+ +

Para comprobar que ( ),x y está en la circunferencia de centro ( ),a b y radio r basta verificar

que ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = . En nuestro caso ( )

2, , 0

3a b

= y

1

3r = . Es evidente que

cualquier punto de la forma

2 cos,

5 4 cos 5 4 cos

t sent

t t

+ − + +

cumple la ecuación de la circunferencia. En efecto,

2 222 2 cos 2

3 5 4 cos 3 5 4 cos

t sentx y

t t

+ − − + = − + = + +

( )

( )

22

2 2

6 3 cos 10 8 cos

(5 4 cos )9 5 4 cos

t t sen t

tt

+ − −= + =

++

( )

( )

2 2 2 2

2 2

4 5 cos 9 16 25 cos 40 cos 9

9(5 4 cos )9 5 4 cos

t sen t t t sen t

tt

− − + + + += = =

++

22

2

25 16 cos 40 cos 1 1

9 39(5 4 cos )

t t

t

+ + = = = +




12

Potencias de exponente natural

10 Escribir en forma binómica el complejo:

1 cos

1 cos

nx isenx

zx isenx

+ + = + −

Método 1.- Sea

1 1 cos 12 2

ix ix ix ixe e e ez x isenx i

i

− −+ −= + + = + + =

2 21 11 1

2 2

ix ixix

ix ix

e ee

e e

+ −= + + = +

1 1 cos 12 2

ix ix ix ixe e e ez x isenx i

i

− −+ −= + − = + − =

2 21 11 1

2 2

ix ixix

ix ix

e ee

e e

−+ −= + − = +

Por lo tanto,

( )( )

1

1

11

1 1

nn n ix ixixinx

ix ix

e ez ez e

e ez

−

−

+ + = = = = + +

Método 2.- Sea

1 11 cos 1 cosz x isenx z x isenx= + + = + −

entonces

1 11 1

11 1 1

n n nn

n nn

z zz zz

z z z z

= = =

Si consideramos que en forma exponencial la expresión de 1z es ireθse tiene

( ) ( )2 22

1 1 1

2 2 2

1 1

cos cos2 2nn n nn

n n n nn

z z r isen r n isen nzz

r r rz z

θ θ θ θ + + = = = =




13

Simplificando,

cos2 2z n isen nθ θ= +

Para obtener la expresión en función de x se considera que

2

2

1 cos 1 cos

1 cos 1 cos 2 2(1 cos )

senx x x x xarctg arctg arctg arctg tg

x xxθ

− − = = = = = + ++

donde se ha utilizado

2 21 cos 2 1 cos 2 cos2 2

x xx sen x− = + =

Por lo tanto,

1

1

cos2 2 cos

n

zz n isen n nx isen nx

zθ θ

= = + = +

11 Sabiendo que 1

2cosz tz

+ = , t ∈ � , z ∈ � , hallar lo más simplificado posible 1n

nz

z+

Se tiene que

( )2 212 cos 1 2 cos 2 cos 1 0z t z z t z t z

z+ = ⇒ + = ⇒ − + = ⇒

2 21(2cos 4 cos 4 cos cos 1 cos

2z t t t t t isent⇒ = ± − = ± − = ±

Por lo tanto, cosnz nt isennt= ± . Por otro lado,

2 2

1 1 cos 1cos cos

cos cos n

t isentt sent tn sentn

z t isent t sen t z= = = ⇒ =

± +

∓∓ ∓

La expresión que nos piden simplificar será

1 1cos cos 2 cosn n

n nz nt isennt nt isennt z nt

z z+ = ± + ⇒ + =∓




14

Raíces enésimas

12 Calcular 61 3z i= −

Calculando su módulo y argumento

( )

1 3 2

3arg

1 3

r z

z arctgπ

φ

= = + =

−= = = −

se tiene que sus raíces sextas son:

236

6 2 0,1,2, 3, 4,5kkz k

π π− += =

13 (a) Demuestre que la suma de las raíces n-ésimas de la unidad es cero.

(b) Demuestre que el producto de las raíces n- enésimas de la unidad es 1 ó –1.

(a) Las raíces n- enésimas de la unidad son de la forma:

2

0,1,..., 1k

in

kz e k n

π

= = −

Por tanto,

2 2 4 11 12

0 0

1nn n

i i i in n n n

k

k k

z e e e e

κπ π ππ

−− −

= =

= = + + + +∑ ∑ …

Esto es la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón 2ine

π

y

primer termino 1, es decir,

1 2

20

10

1

n i

kikn

ez

e

π

π

−

=

−= =

−

∑

(b) Considerando ahora el producto,

1

0

22 4 12 4 11 0 ... 22

0

1 * * * .... *

n

k

nnn i ki i ii i inn n nn n n

kk

z e e e e e

ππ ππ π ππ

−

=

− − − + + + +

=

∑= = =∏




15

como, 1

0

( 1)

2

n

k

n nk

−

=

−=∑ se tiene

1( 1)

0

1

1

nn i

kk

si n parz e

si n imparπ

−+

=

−= =

∏

Logaritmos complejos

14 De entre todas las raíces n-ésimas del complejo 1 3i+ . ¿Hay alguna raíz cuyo logaritmo principal sea

real?

Calculamos en primer lugar 1 3n i+ . Por definición, n z son los números complejos

• de módulo: n r

• de argumento: 2

n

φ κπ+con 0,1,2,...( 1)k n= − ;

En este caso 1 3z i= + , luego

( )2

1 3 2r = + =

33 21 1 3

2

arctg arctgπ

φ = = = .

Por tanto, 1 3n

i+ tendrá

• por módulo: 2n

• por argumento: 2

3n

π κπ+con 0,1,2,...( 1)k n= −

es decir,

23

2k

n

n

kz π π+= con 0,1,2,...( 1)k n= −

2 23 32 cosn

k

k kz isen

n n

π ππ π − + + = +

con 0,1,2,...( 1)k n= −




16

Teniendo en cuenta que el logaritmo principal de kz es

( )log ln argk k kz z i z= +

se cumplirá que

( )log arg 0k kz z∈ ⇔ =�

es decir,

2 13 30 2 03 2 6

kk k

n

π πππ π

π

−+= ⇔ + = ⇔ = = −

Como los valores posibles de k son 0,1,2,...( 1)n − entonces la pregunta planteada sobre si

hay alguna raíz cuyo logaritmo principal sea real tiene por respuesta que no existe ninguna

raíz cuyo logaritmo principal sea real.

15 Calcular el siguiente número complejo: 2 1log

1

iz

i i

+ = −

Como

(1 )(1 )1

1 (1 )(1 )

i iii

i i i

+ ++= =

− − +

log 22

i k iπ

π = +

El valor pedido es:

2log 4z i k ki

π π= = + ∈ �

16 Dado loga bi ω+ = siendo ω tal que 1 3i

ω

+ es real y el módulo de ω es la unidad. Hallar a bi+ .

Se considera c diω = + cumpliendo 2 2 2 1c dω = + = . Se cumplirá que




17

1 31

ri

ω

ω

= ∈ ⇔ + =

�( )( )( )( )

2 2

1 3

1 3 1 3

1

c di ir

i i

c d

+ − = ∈ ⇔ + − + =

�

( ) ( )2 2

2 2

3 33 0

4 11

c d i c dc dr

c dc d

+ + − + − + = = ∈ ℜ ⇔ ⇔ ⇔ + = + =

1 2

1 3 1 3 1 3

2 2 2 2 2 2c d i iω ω⇔ = ± = ± ⇔ = + = − −

Luego

23

21log ln 2 ´ ´ , 0,1

6

ki

e k k i k Z k

π π

πω π π

+ = = + + ∈ =

2 232

2log ln 2 ´ ´ , 0,13

ki

e k k i k k

π π

πω π π

− + = = − + + ∈ =

�

Observación: Puede ser interesante considerar la expresión de ω de la forma:

cosite t isentω = = + ya que al tener módulo uno quedará perfectamente determinado si se

conoce ( )arg tω = .

17 (a) Escribir la forma binómica y exponencial el número complejo 1 2

xiz

i=

+ dando x = (numero de

lista del alumno en clase) + 1000

(b) Calcular log log1 2

xiz

i

= +

Supongamos que 121 1000 1121x = + =

( )( )( )

1121 4*28 1 1 2 2 2 1

1 2 3 31 2 1 2 1 2 1 2 1 2

i ii i i iz i

i i i i i

+ − += = = = = = +

++ + + + −

En forma exponencial z se expresará




18

221 2 1 3

3 3 3 33133

23

i

z

z e ya que

arctg

φ

φ

= + = = = =

Calculamos su logaritmo

2 1log log log

3 31 2

xiz i

i

= = + = +

3 1ln 2

3 2i arctg k kπ = + + ∈

�

La rama principal se obtiene para 0k =

3 1log ln

3 2z i arctg

= +

Potencias complejas

18 Sea “z” un número complejo de representación binómica z = a + bi y consideramos la potencia ( )1zi+ .

Se pide, para cada una de las condiciones siguientes el conjunto de todos los complejos que la cumplen y un

ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )log 2 2log 1 log 1 41x iy k iz z i x iy i

i e e eπ π+ + ++ + +

+ = = = =

( ) log 2 2log 2 2 44

y x k ix y ke e k

πππ π

+ + − + = ∈ �

A - Que la potencia tenga algún valor real.

log 2 2 0 log 2 2 ´ ´4 4

sen y x k y x k k kπ π

π π π + + = ⇔ + + = ∈

�




19

´ log 2, ´

24

k yx k k

k

π

ππ

−⇔ = ∈

+

�

Basta dar valores a y, k y k´para obtener x. En esos casos z x i y= + verificara que su

potencia tiene algún valor real.

B – Que la potencia tenga resultado único.

Si x es entero, 0y = el resultado es único.

log 2 cos4 4

x x xe isen

π π +

C – Que la potencia tenga sólo un número finito de resultados

Si /x p q= e 0y = sólo hay q resultados correspondientes a 0,1,2,..., 1k q= − .

D – Que la potencia tenga todos los resultados con el mismo modulo

log 2 24 0

x y k

e cte y

ππ

− + = ⇒ =

E – Que la potencia tenga todos los resultados con el mismo argumento.

log 2 24

y x k cte xπ

π + + = ⇔ ∈

�

19 Calcular 2 2log (1 )i i− +

Aplicando la definición

( )( )

2 2

ln 2 2log(1 ) 4log (1 )log(2 2 ) ln2 2 2 '

4

i

k iii

i k i

π π

π π−

+ +++ = = =

− −+ +

( ) ( )

( ) ( )22

2 2 2 2 2 '4 4

2 2 2 '4

m k i m k i

m k

π ππ π

π π

−+ + − + =−+ +




20

siendo , ´k k ∈ �

Polinomios

20 Hallar los números complejos z tales que

2

2 2 9 0z z z z+ + − + =

Sea z a bi= + debemos encontrar a y b de forma que:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 9 0a bi a bi a bi a bi+ + − + + − − + = ⇔

2 2 2 22 2 2 4 2 9 0a b abi a b abi bi⇔ − + + − − + + = ⇔

2 22 2 3 3 9 0

(3 3 9) ( 2 2 ) 02 2 0

a ba b i ab b

ab b

− + =− + + − + = ⇔ − + =

Se distinguen dos casos:

Caso 1: 0b = , entonces por la primera ecuación 2 3a = − , esto es absurdo pues a y b son

números reales.

Caso 2: 0b ≠ , entonces 1a = + , y sustituyendo en la primera ecuación

23 12 2b b− − ⇒ = ±

Luego los números complejos son:

1 21 2 1 2z i z i= + + = + −

21 ¿Cuántas raíces tienen los polinomios? ¿Puedes decir algo sobre el número de raíces reales? ¿Por qué?

(a) ( ) 5 2( ) 2 2 3 2p x i x x i= + + +

5 raíces en � . No se puede decir nada sobre las reales porque ( )p x no es un polinomio con

coeficientes en � .




21

(b) 7 6( ) 2 3 2p x x x= + +

7 raíces en � . Tiene al menos una real por ser el grado impar.

(c) 5 2( ) 3 3 2p x x x= + +

5 raíces en � . Tiene al menos una real por ser grado impar.

(d) 7 6( ) 3 ( 2 2 ) 2p x x i x= + + +

7 raíces en � . No se puede decir nada sobre las reales porque ( )p x no es un polinomio con

coeficientes en � .

22 Si ( )F z es un polinomio con coeficientes reales y ( )2 3 1F i i+ = − ¿a qué es igual ( )2 3F i− . ¿Queda

determinada ( )F a bi− conociendo ( )F a bi+ , si los coeficientes de ( )F z no son todos reales?

a) Sea 0 1( ) .... 0nn n

F z a a z a z a= + + + ≠ , entonces como sus coeficientes son reales

( )0 1 0 1( ) ... ... ( )n nn nF z a a z a z a a z a z F z= + + + = + + + =

luego,

(2 3 ) (2 3 ) 1 1F i F i i i− = − = − = +

b) En el caso de que los coeficientes de ( )F z no sean todos reales no se determina el

valor de ( )F a bi− conocido el de ( )F a bi+ . Por ejemplo, en el caso de 2( )F z iz=

2(2 3 ) (2 3 ) (4 12 9) ( 5 12 ) 12 5F i i i i i i i i+ = + = + − = − + = − −

2(2 3 ) (2 3 ) (4 12 9) ( 5 12 ) 12 5F i i i i i i i i− = − = − − = − − = −

23 Hallar la relación que deben verificar los coeficientes a , b , c , d reales para que las raíces de la ecuación

2 ( ) ( ) 0z a bi c di+ + + + =

tengan el mismo argumento.

Sean 1z , 2z las raíces. Expresándolas en forma exponencial serán




22

1 1

2 2

i

i

z e

z e

θ

θ

ρ

ρ

=

=

Como,

2 21 2 1 2 1 2( )( ) ( ) ( ) ( )z z z z z z z z z z z a bi z c di− − = − + + = + + + +

se cumple que 1 2z z c di= + y ( )1 2z z a bi+ = − + . Por lo tanto,

21 2 1 2* iz z c di e c diθρ ρ= + ⇒ = +

1 2 1 21 2

1 2

( )( )

( )

ii

z z ee a bi

z z a bi

θθ

ρ ρρ ρ

+ = + ⇒ + = − −+ = − +

luego,

( )( )

1 2

1 2

1 2

1 2

cos2

2

cos

c

sen d

a

sen b

ρ ρ θ

ρ ρ θ

ρ ρ θ

ρ ρ θ

= = + = − + = −

De donde,

2d b

tg tgc a

θ θ= =

de relacionar la tangente del ángulo doble con la tangente se encontrará la relación entre los

coeficientes. Como

2 2 2

2 2 cos 22

cos2 cos 1

sen sen tgtg

sen tg

θ θ θ θθ

θ θ θ θ= = =

− −

Entonces 2 2 2

2

2 21

b

d aba

c b a ba

= =−−

La relación buscada es

2 2

2 22

d absi a b

c a b= ≠

−

Nota: Si en la solución de algún ejercicio crees que hay algún error ponte en contacto con la

profesora para su corrección.

RESUMEN TEORÍA:

Sucesiones y Series

Matemáticas 1

1





Teoría: Sucesiones y Series Ingeniería de Telecomunicación


2

SUCESIONES EN �

Prerrequisitos:

− Desigualdades de números reales

− Conceptos generales de funciones: dominio, cotas, crecimiento, …

− Conocimiento de las propiedades de las funciones elementales: polinómicas,

racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y del valor

absoluto.

− Cálculo de límites, indeterminaciones y regla de L’Hopital

− Cálculo de derivadas y estudio del crecimiento de una función

− Métodos de demostración: inducción y reducción al absurdo.

Objetivos:

1. Tener claros los siguientes conceptos:

• Qué es una sucesión

• Sucesión acotada, sucesión monótona, sucesión

convergente/divergente/oscilante

• Relación entre acotación, monotonía y convergencia de una sucesión

• Propiedades de los límites de sucesiones

• Órdenes de magnitud de una sucesión:

o Sucesiones del mismo orden

o Sucesiones equivalentes

o Sucesión de orden superior/inferior

2. Saber hacer:

• Estudiar la convergencia de una sucesión



Fundamentos Matemáticos I Teoría: Sucesiones y Series

3

o Técnicas de límites

o Regla del sándwich o Teorema del encaje

o El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un

infinitésimo

o Sucesiones recursivas

• Determinar el orden de magnitud de una sucesión

• Comparar el orden de infinitud de una sucesión

DEFINICIONES BÁSICAS

Dos sucesiones { }na y { }nb son iguales si n na b= para todo n ∈ � .

Una sucesión admite una representación en la recta real y en el plano:

Sucesiones monótonas

Definiciones:

A) Una sucesión ( )na se denomina monótona creciente si verifica:

1 2 3 na a a a≤ ≤ ≤ ≤ ≤… …




4

esto es si se cumple 1n na a n+≤ ∀ ∈ �

Si verifica 1n na a n+< ∀ ∈ � , se llama estrictamente creciente.

B) Análogamente, una sucesión ( )na se denomina monótona decreciente si se

cumple

1n na a n+≥ ∀ ∈ �

Si verifica 1n na a n+> ∀ ∈ � , se llama estrictamente decreciente.

C) Una sucesión se denomina monótona si es monótona creciente o monótona

decreciente.

Applet Laboratorio Sucesiones

Ejemplos :

• La sucesión -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es monótona.

• La sucesión de término general ( 1)n

na

n

−= tampoco es monótona.

• La sucesión de término general na n= es monótona creciente y también

estrictamente creciente.

• La sucesión –1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es monótona creciente, pero no es


• La sucesión de término general 2na n= − es monótona decreciente y es

también estrictamente decreciente.




5

• La sucesión 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,

2 2 3 4 4 5 6 6 7… es monótona decreciente, sin embargo

no es estrictamente decreciente.

Nota práctica:

− En algunos casos, para probar que una sucesión es monótona creciente

resulta útil probar que 1 0n na a n+ − ≥ ∀ ∈ � y para sucesiones de

términos positivos también se puede demostrar probando que se cumple:

− 1 1n

n

an

a

+ ≥ ∀ ∈ �

− Análogamente, para las sucesiones monótonas decrecientes se probará que

1 0n na a n+ − ≤ ∀ ∈ � , o bien, si es de términos positivos, que verifica

− 1 1n

n

an

a

+ ≤ ∀ ∈ �

− Teniendo en cuenta que una sucesión es una aplicación de los números

naturales en los reales, para ciertas sucesiones, se puede utilizar técnicas

de cálculo diferencial para estudiar la monotonía. Bastará considerar la

función resultado de cambiar n por x en el término general de la sucesión.

Si ( )na f n= y ( )' 0f x > (respectivamente ( )' 0f x < ) para ox n>

entonces na es creciente (respectivamente) para ox n> .




6


Sucesiones acotadas.

A) Decimos que un número real k es cota superior de la sucesión ( )na si verifica

na k n≤ ∀ ∈ �

Se denomina supremo a la menor de las cotas superiores. Si el supremo es un

término de la sucesión se denomina máximo.

Análogamente, dicho número k será cota inferior de la sucesión ( )na si verifica

nk a n≤ ∀ ∈ �

Llamamos ínfimo a la mayor de las cotas inferiores. Si el ínfimo es un término de

la sucesión se denomina mínimo.

B) Una sucesión ( )na decimos que está acotada superiormente si tiene alguna

cota superior. De forma análoga, diremos que la sucesión está acotada

inferiormente si tiene alguna cota inferior.




7

C) Una sucesión ( )na decimos que es acotada si está acotada superior e

inferiormente.


LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

Decimos que el límite de una sucesión ( )na es L, y lo escribimos así

limn n

a L→∞ =

o también

na L→




8

si es posible conseguir que na L− sea tan pequeño como queramos, sin más que

asignarle a n valores tan grandes como sea necesario. Es decir,

0lim 0n n o n

a L existe N tal que a L n Nε ε→∞ = ⇔ ∀ > ∈ − < ∀ >�

La definición anterior significa que si queremos que los términos de la sucesión se

alejen de L una distancia menor que ε , lo podemos conseguir para todos los

términos posteriores a un cierto número natural N0. Cuanto más pequeño sea ε

más grande habrá que tomar el valor de N0.

La definición anterior se lee “ límite cuando n tiende a infinito dena igual a L”.

También se puede escribir

limna L=

pues n sólo puede tender a infinito.

Las sucesiones que tienen límite se denominan convergentes.





9

Sucesiones divergentes:

La sucesión ( )na tiende a infinito ( )∞ si cualquiera que sea el número real k fijado,

por grande que este sea, podemos conseguir que los términos de la sucesión superen

dicho valor sin más que tomar valores de n mayores que un número natural N0.

Simbólicamente esto puede escribirse así

0 0limn n n

a k N tal que a k n N→∞ = ∞ ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ > ∀ >� �


La sucesión ( )na tiende a menos infinito ( )−∞ si cualquiera que sea el número real k

fijado, por grande que este sea, podemos conseguir que los términos de la sucesión

sean menores que –k, sin más que tomar valores de n mayores que un número

natural N0. Simbólicamente esto puede escribirse así

0 0limn n n

a k N tal que a k n N→∞ = −∞ ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ < − ∀ >� �




10

Unicidad del límite: Si la sucesión ( )na tiene límite, finito o no, este es único.

Demostración:

Sea ( )na una sucesión convergente y supongamos que tiene dos límites L1 y L

2,

siendo L1 < L

2. A partir de un cierto valor n

0, todos los términos de la

sucesión deben pertenecer, simultáneamente, a los entornos

1 1 2 2( , ) ( , )L L y L Lε ε ε ε− + − +

lo cual es imposible en cuanto tomemos valores 2 1

2

L Lε

−≤ .

Sucesiones oscilantes

Existen otras sucesiones que no tienen límite, pero tampoco tienden a infinito ni a

menos infinito. Veamos algunos casos

Ejemplos : La sucesión cuyos primeros términos son los siguientes

1 1 11, , 3, , 5, , 7,...

2 4 6

Esta sucesión no es convergente, pero tampoco tiende a ∞ ni a −∞ . Los

términos impares se hacen infinitamente grandes a medida que n crece. Sin

embargo, los términos pares tienden a 0, para n suficientemente grande. Se dice

que esta sucesión no tiene límite o bien que su carácter es oscilante.

Ejemplos : La sucesión de término general ( 1)nna n= − ⋅ , cuyos primeros términos

son:




11

-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,...

Los términos de esta sucesión tampoco se acercan a un número concreto.

Tienden a ∞ los términos pares y tienden a −∞ los términos impares. Por

tanto, tampoco tiene límite.

Como conclusión, las sucesiones de los dos ejemplos anteriores se denominan

oscilantes.

Resumen: Las sucesiones se clasifican según la existencia o no de límite en los

siguientes tipos:

Convergentes

tienden a un número finito L

No convergentes

⌠tienden a ∞

Divergentes

tienden a -∞

Oscilantes

Propiedades de los límites: Si lim nn

a a→∞

= , y lim nn

a a→∞

= con ,a b ∈ � se cumplen las

siguientes propiedades:

(1) lim nn

a a→∞

= (2) ( )lim nn

a aλ λ→∞

=

(3) ( )lim n nn

a b ab→∞

= (4) lim 0n

nn

a asi b

b b→∞= ≠




12

(5) ( )lim nb bn

na a

→∞= siempre que 00ba ≠ .

Indeterminaciones: ∞ − ∞ 0

0

∞∞

0∞ 1∞ 00 0∞

Teorema (Acotación): Toda sucesión (an) convergente es acotada.

Demostración:

Para demostrar que una sucesión está acotada, tenemos que demostrar que

está acotada superior e inferiormente.

Si la sucesión (an) es convergente, tomamos ε =1, entonces todos los términos

de la sucesión pertenecen, a partir de uno de ellos, al entorno (L- ε , L+ ε ); en

consecuencia. Consideramos el valor más pequeño de los términos de la

sucesión que no están en ese intervalo y de L- ε Si llamamos m a ese valor

todos los términos de la sucesión serán mayores que m.

Consideramos M el valor más grande de los términos de la sucesión que no

están en el intervalo (L- ε , L+ ε ) y el valor L- ε , es fácil ver que todos los

términos de la sucesión son menores que M.

En conclusión, la sucesión (an) está acotada, ya que hemos encontrado una

cota inferior (m) y una cota superior (M) de dicha sucesión.

Observación: El recíproco del teorema anterior no es cierto: la sucesión 1, 2, 1, 2, 1,

2,... es acotada y, sin embargo, no es convergente.




13

Teorema (Weierstrass): Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Toda

sucesión monótona y no acotada es divergente.

Convergente ⇒ Acotada

Divergente ⇒ No acotada

(No son ciertos los recíprocos)

Convergente ⇐ Acotada y Monótona

Divergente ⇐ No acotada y Monótona

(No son ciertos los recíprocos)

Número e

El número e es un número irracional de gran importancia en matemáticas

superiores. Podemos definirlo como el límite de la sucesión 1

1n

n

+ .

Puede probarse que esta sucesión es monótona y acotada por lo que aplicando el

teorema de Weierstrass se concluye que es convergente. El valor al que converge

es el número e.

Se trata de un número irracional cuyas diez primeras cifras decimales son:

2’7182818284…

CÁLCULO DE LÍMITES

Propiedades de los límites de sucesiones reales

Si lim nn

a a→∞

= , y lim nn

a a→∞

= con ,a b ∈ � se cumplen las siguientes propiedades:




14

(1) lim nn

a a→∞

= (2) ( )lim nn

a aλ λ→∞

=

(3) ( )lim n nn

a b ab→∞

= (4) lim 0n

nn

a asi b

b b→∞= ≠

(5) ( )lim nb bn

na a

→∞= siempre que 00ba ≠ .

Indeterminaciones

∞ − ∞ 0

0

∞∞

0∞ 1∞ 00 0∞

Criterios de comparación

Teorema del encaje: Sean { }1n n

a∞

=y { }

1n nb

∞

= dos sucesiones convergentes al mismo

número real L entonces si se tiene otra sucesión { }1n n

x∞

= verificando

n n na x b≤ ≤ para todo índice n salvo un número finito (es decir para todo n a partir

de un cierto índice N) entonces la sucesión { }1n n

x∞

= también converge a L.

Teorema: Si { }1n n

a∞

=es una sucesión divergente a infinito y para todo índice n salvo

un número finito se verifica n na b≤ entonces { }1n n

b∞

= también es divergente a

infinito.

Infinitésimos e infinitos equivalentes

Definición (Infinitésimo).- Se dice que na es un infinitésimo si lim 0nn

a→∞

=

Definición (Infinito).- Se dice que na es un infinito si lim nn

a→∞

= ±∞




15

PROPIEDADES DE LOS INFINITÉSIMOS

1) La suma de un número finito de infinitésimos es un infinitésimo.

2) Se verifica lim 0 lim 0n n n n

a a→∞ →∞= ⇔ = .

3) Si ( )na es un infinitésimo y ( )nb es una sucesión acotada superiormente en

valor absoluto, entonces, la sucesión producto de ambas ( )n na b⋅ es convergente y

se cumple

lim 0n n n

a b→∞ ⋅ =

Definición (Sucesiones del mismo orden y asintóticamente equivalentes).-

- Se dice que na y nb infinitésimos (infinitos) son del mismo orden si

lim n

nn

ak

b→∞= con { }0k ∈ −� .

- En el caso particular de que k=1 se dicen asintóticamente equivalentes.

Notación.- Cuando na y nb infinitésimos (infinitos) son del mismo orden se

escribe ( )n na b= Ο .

PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN.- El límite de una sucesión convergente o

divergente no se altera al sustituir uno de sus factores o divisores por otro

asintóticamente equivalente.




16

INFINITESIMOS EQUIVALENTES INFINITOS EQUIVALENTES: Si n → ∞

( )1 log 1n n na entonces a a→ ≈ − ! 2n nn e n nπ−≈

(Fórmula de Stirling)

( )0 log 1n n na entonces a a→ + ≈ 1

1 1...p p pp p o pa n a n a n a a n−

−+ + + + ≈

( ) log0 1n a

a entonces an

> − ≈ ( ) (11 1log ... logp p p

p p o pa n a n a n a a n−

−+ + + + ≈

0n n na entonces sena a→ ≈ 1

1 2 31

kk k k k n

nk

++ + + + ≈

+…

0n n na entonces tg a a→ ≈

0n n n na entonces a arcsena arctg a→ ≈ ≈

2

0 1 cos2n

n n

aa entonces a→ − ≈

Definición (Infinitésimos e infinitos de orden superior).- Se dice que na es un

infinitésimo de orden superior respecto de nb ó que nb es un infinito de orden

superior respecto de na , según se trate de infinitésimos o infinitos, si

lim 0n

nn

a

b→∞= .

Potencial-exponencial

Factorial

Exponencial

Potencial

Logaritmo

a nn ⋅

(a>0)

n!

bn

(b>1)

nc

(c>0)

(log

q n)p

(q>1, p>0)

Tabla.- El orden de los infinitos disminuye de izquierda a derecha




17

CRITERIO DE STOLZ

Si

• { }1n n

a∞

=y { }

1n nb

∞

= son infinitésimos siendo monótona

• ó { }1n n

b∞

= es divergente

En el caso de que exista el siguiente límite 1

1

lim n n

nn n

a a

b b

−

→∞−

−

− entonces:

1

1

lim limn n n

n nn n n

a a a

b b b

−

→∞ →∞−

−=

−

Consecuencias:

• 1 2 ...lim limn

nn n

a a aa

n→∞ →∞

+ + += (Criterio de la media aritmética)

• 1 2lim ... limnn n

n na a a a

→∞ →∞= (Criterio de la media geométrica)

Límites de expresiones racionales

Si se trata de una sucesión cociente entre expresiones polinómicas, así 1 2

0 1 2

1 20 1 2

p p pp

n q q qq

a n a n a n aa

b n b n b n b

− −

− −

+ + + +=

+ + + +

…

…

se resuelve dividiendo numerador y denominador por nk , siendo k el grado del

polinomio de menor grado. En resumen, se cumple que:

• Si p>q, limn na→∞ = ±∞ (depende de los signos de a0 y b

0)

• Si p=q, 0

0

limn n

aa

b→∞ =

• Si p < q, lim 0n na→∞ =




18

Esta regla dice que el valor del límite lo marca el término de mayor grado de ambos

polinomios.

Límites de expresiones irracionales

Se resuelven multiplicando y dividiendo por la expresión radical “conjugada”.

Límites de la forma 0 0, 0 , 1∞∞

Para calcular este tipo de límites se puede tomar logaritmos, de tal forma

que:

lim logloglim lim n nn n n n

b ab b an

n na e e →∞

→∞ →∞= =

Observación: En el caso particular de que la indeterminación sea del tipo 1∞ se

cumple que lim 1nn

a→∞

= y lim nn

b→∞

= ∞ luego,

( )lim log lim 1lim n n n n

n n nb a b ab

nn

a e e→∞ →∞−

→∞= =




19

SERIES EN �

Prerrequisitos:

− Conceptos sobre sucesiones vistos en el tema anterior

− Cálculo de primitivas inmediatas

Objetivos:

1. Tener claros los siguientes conceptos:

• Serie y suma parcial enésima

• Convergencia, divergencia de una serie

• Orden de magnitud de la suma parcial enésima

• Suma aproximada de una serie

2. Saber hacer:

• Reconocer las series geométricas y determinar su carácter

• Reconocer las series armónica generalizada y determinar su carácter

• Estudiar la convergencia de series de términos positivos mediante los

criterios del cociente y de la raiz

• Estudiar la convergencia de series alternadas con el criterio de Leibniz

• Estudiar la convergencia de series de términos cualesquiera mediante la

convergencia absoluta

• Hallar la suma aproximada de una serie con una cota del error prefijada




20

Sumas infinitas

Ejemplo 1: Imagina un cuadrado de lado unidad y considera la suma de las áreas

coloreadas

1 1 1....

2 4 8+ + +

¿A la vista de la figura cuál crees que es el valor de su suma?

Ejemplo 2: ¿Cuánto es el área de color amarillo?




21

También puedes pensar en el área de los triángulos naranjas del dibujo siguiente:

Ejemplo 3: Imagina el número 1 / 3 se escribe en forma decimal periódico como

1 / 3 0,3=� donde se entiende que el 3 se repite infinitas veces. Es decir,

1 / 3 0, 3 0,03 0, 003 0,0003 ....= + + + +

que abreviadamente podemos poner como:

( )1

1 / 3 3 0,1n

n

∞

=

= ⋅ ∑

pero, ¿qué significa exactamente la suma infinita? Está claro que no podemos sumar

infinitos números. Esta expresión significa que si se suma más y más términos, la

suma se va aproximando cada vez más a 1 / 3 .

Definiciones

Dada una sucesión infinita de números reales { }na se define:

1 21

... ...n n

n

a a a a

∞

=

= + + + +∑

Su suma parcial n-ésima es:

1 2 ...n nS a a a= + + +




22

Consideramos la sucesión de sus sumas parciales: { }1n n

S∞

=se tendrá:

� Si { }1n n

S∞

= es convergente entonces la serie

1n

n

a

∞

=∑ es convergente.

Además

1

limn n

nn

a S S

∞

→∞=

= =∑

Se dirá entonces que S es la suma de la serie.

� Si { }1n n

S∞

= es divergente entonces la serie

1n

n

a

∞

=∑ es divergente

� Si { }1n n

S∞

= es oscilante entonces la serie

1n

n

a

∞

=∑ es oscilante.

El resto n-ésimo de la serie 1n

n

a

∞

=∑ es:

1 21

...n n n n k

k

R a a a

∞

+ + +=

= + + = ∑

Es fácil ver que:

1k n n

k

a S R

∞

=

= +∑

Propiedades de las series

Propiedad 1: Si a una serie se la suprime o añade un número finito de términos su

carácter no se ve alterado.




23

Propiedad 2: Si 1n

n

a

∞

=∑ y

1n

n

b

∞

=∑ son convergentes y convergen respectivamente a los

números reales A y B entonces:

� ( )1 1 1n n n n

n n n

a b a b A B

∞ ∞ ∞

= = =

± = ± = ±∑ ∑ ∑

� 1 1n n

n n

a b A B

∞ ∞

= =

= ⋅ ∑ ∑ observar que ( )

1 1 1n n n n

n n n

a b a b

∞ ∞ ∞

= = =

≠ ∑ ∑ ∑

� ( )1 1

n nn n

a a Aλ λ λ

∞ ∞

= =

= =∑ ∑

Propiedad 3 (Condición necesaria de convergencia): Si 1n

n

a

∞

=∑ es convergente

entonces lim 0nn

a→∞

= .

IMPORTANTE.- Se trata de una condición necesaria pero no suficiente. La serie

0

1

n n

∞

=∑ cumple la condición necesaria de convergencia y, sin embargo, es divergente.

SERIES NOTABLES

• Serie geométrica: 0

0n

n

ar a

∞

=

≠∑ . Se cumple:

Si 1r < la serie converge y además 0 1

n

n

aar

r

∞

=

=−∑ . En

general 1

k

n

n k

a rar

r

∞

=

=−∑ .

Si 1r > la serie diverge.




24

• Serie armónica generalizada: 1

10

pn

pn

∞

=

>∑ . Se cumple:

Si 0 1p< ≤ la serie diverge

Si 1p > la serie converge.

CONVERGENCIA DE SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS

Una serie de términos no negativos o bien converge o bien diverge ya que la sucesión

de sus sumas parciales es monótona.

�1 1n n n n

no negativo

s S a S+ += + ≥

Suma parcial n-ésima

• En general para una función continua f decreciente y positiva en )1, ∞ se

verifica

( ) ( ) ( ) ( )11 1

1n nn

k

f x dx f k f f x dx=

< < +∑∫ ∫




25

Por lo tanto la sucesión ( )1

n

k

f k=

∑ verifica que

( ) ( ) ( ) ( )11 1

1n nn

k

f x dx f k f f x dx=

< < +∑∫ ∫

• Si la función es continua, creciente y positiva en )1, ∞ se verifica

( ) ( ) ( ) ( )11 1

n nn

k

f x dx f k f x dx f n=

< < +∑∫ ∫

Criterio integral

Si f es positiva, continua y decreciente para 1x ≥ y ( )na f n= entonces:

( )11n

k

f x dx y a

∞ ∞

=∑∫

tienen el mismo carácter.

Criterio de comparación

Si 1n

n

a

∞

=∑ , y

1n

n

b

∞

=∑ son series de términos positivos verificando

n na b≤ para todo n ∈ � salvo un número finito

entonces:

(a) Si 1n

n

b

∞

=∑ es convergente entonces

1n

n

a

∞

=∑ también es convergente

(b) Si 1n

n

a

∞

=∑ es divergente entonces

1n

n

b

∞

=∑ también es divergente.




26

Criterios de comparación por paso al límite

Se consideran las series 1n

n

a

∞

=∑ y

1n

n

b

∞

=∑ . Entonces

(a) Si 0

lim n

nn

a

bλ

→∞

= ≠ ∞ ambas series tienen el mismo carácter

(b) Si lim 0n

nn

a

b→∞= y la serie

1n

n

b

∞

=∑ es convergente entonces

1n

n

a

∞

=∑ es

convergente.

(c) Si lim n

nn

a

b→∞= ∞ y la serie

1n

n

b

∞

=∑ es divergente entonces

1n

n

a

∞

=∑ es

divergente.

Criterio del cociente: Se considera la serie 1n

n

a

∞

=∑ cumpliendo

1

lim n

nn

aL

a→∞ −

= ó 1lim n

nn

aL

a

+

→∞=

entonces si

(a) Si 1L < la serie 1n

n

a

∞

=∑ es convergente

(b) Si 1L > la serie 1n

n

a

∞

=∑ es divergente

Criterio de la raíz: Se considera la serie 1n

n

a

∞

=∑ cumpliendo lim n

nn

a L→∞

= entonces si

(c) Si 1L < la serie 1n

n

a

∞

=∑ es convergente

(d) Si 1L > la serie 1n

n

a

∞

=∑ es divergente




27

SUMA APROXIMADA: SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS

Supongamos que tenemos la serie 1n

n

a

∞

=∑ de la que conocemos que es convergente pero

no sabemos obtener el valor exacto de la suma. Entonces si sustituimos el valor de la

suma S por la suma parcial n-ésima Sn se nos plantean dos problemas:

(a) ¿Qué error cometo cuando utilizo la aproximación

1 2 ...n nS S a a a≈ = + + + ?

(b) ¿Cuántos términos tengo que considerar para que la diferencia entre S

y Sn sea menor que un cierto valor, es decir,

nS S valor− <

Ambas cuestiones quedan resueltas si consigo acotar el resto n-ésimo:

1 2 ... cotan n nR a a+ += + + <

Encontrada una cota se tendrá resuelto el problema (a) si bien esta cota debe

elegirse de forma adecuada. Para el segundo problema dado el error permitido

bastará encontrar el índice n que verifica la siguiente relación:

1 2 ... cota errorn n nR a a+ += + + < <

Es importante hacer notar que la cota dependerá de n y además que debe elegirse

con cuidado para que no sea una acotación excesiva que no nos dé ninguna

información.




28

Estimación del error por el criterio integral

Supongamos que ( ) nf n a= para todo n natural, donde f es una función continua,

decreciente y positiva en el intervalo )1, ∞ . Supongamos que ( )1

limn

nf x dx

→∞ ∫ existe y

es finito. Entonces el resto de la serie 1n

n

a

∞

=∑ cumple que:

( )1

0 limk

n nk

k n n

R a f x dx

∞

→∞= +

≤ = ≤∑ ∫

SERIES ALTERNADAS

Son de la forma

( ) ( )11 2

1

1 .... 0n

n nn

a a a a

∞−

=

− = − + >∑

TEOREMA DE LEIBNIZ: La serie alternada ( ) 1

1

1n

nn

a

∞−

=

−∑ ( )0na > converge si

(a) la sucesión { }1n n

a∞

= es monótona decreciente

(b) se verifica lim 0nn

a→∞

= .

Estimación del error de sustituir la suma de la serie por la suma parcial enésima:

Supongamos que se tiene la serie alternada ( ) 1

1

1n

nn

a

∞−

=

−∑ ( )0na >

convergente verificando




29

(a) la sucesión { }1n n

a∞

= es monótona decreciente

(b) lim 0nn

a→∞

= .

Entonces el resto n-ésimo es

( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2 31 1 ... 1 ...

n n n

n n n n n n nR S S a a a a a+

+ + + + += − = − + − + = − − + +

como la sucesión es monótona decreciente el valor absoluto del resto n-ésimo

es:

( ) ( )1 2 3 1 2 3 4 5

0 0

... ...n n n n n n n n nR a a a a a a a a+ + + + + + + +

≥ ≥

= − − + = − − − −��

es decir,

1n nR a +<

Obsérvese que este error será:

• por exceso si el primer término despreciado es negativo

• por defecto si el primer término despreciado es positivo.

Series de términos cualesquiera

Una serie de términos cualesquiera, 1n

n

a

∞

=∑ , es absolutamente convergente si es

convergente la serie de sus valores absolutos, es decir, si 1n

n

a

∞


TEOREMA: Si una serie es absolutamente convergente entonces es convergente.




30

Si una serie es convergente pero no es absolutamente convergente se dice

condicionalmente convergente.

Nota: Si detectas algún error o errata ponte en contacto con la profesora para su corrección.


Sucesiones numéricas

Matemáticas 1

1





Ejercicios: Sucesiones numéricas Ingeniería de Telecomunicación


2

Sucesiones monótonas y sucesiones acotadas

1 Sucesiones monótonas: ejemplos

• La sucesión -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es monótona.

• La sucesión de término general ( 1)n

na

n

−= tampoco es monótona.

• La sucesión de término general na n= es monótona creciente y también


• La sucesión –1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es monótona creciente, pero no es


• La sucesión de término general 2na n= − es monótona decreciente y es

también estrictamente decreciente.

• La sucesión 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,

2 2 3 4 4 5 6 6 7… es monótona decreciente, sin embargo

no es estrictamente decreciente.

2 Estudiar la monotonía de las siguientes sucesiones:

2 1n

na

n

−=

8

1 2n

nb

n=

+

3

1n

nc

n=

+

3

1nd

n=

Solución:

a) Vamos a probar que los términos de esta sucesión verifican

1 0n n

a a n+ − > ∀ ∈ � , es decir que se trata de una sucesión monótona


1

2 2

2( 1) 1 2 1 2 1 2 1

1 1(2 1) ( 1)(2 1) 2 2 1 1

0( 1) ( 1) ( 1)

n n

n n n na a

n n n n

n n n n n n n n

n n n n n n

+

+ − − + −− = − = − =

+ ++ ⋅ − + − + − − +

= = = >+ ⋅ + ⋅ + ⋅



Fundamentos Matemáticos I Ejercicios: Sucesiones numéricas

3

el carácter positivo del anterior cociente está garantizado porque n es un

número natural.

b) En este caso vamos a demostrar que 1n nb b n+≤ ∀ ∈ � , con lo cual la

sucesión será monótona creciente.

1

2 2

8 ( 1)8

1 2 1 2 ( 1)8 8 8

1 2 1 2 28 16 16 8 8 16 16 0 8

n n

nnb b

n n

n n

n n

n n n n n n

+

⋅ +≤ ⇔ ≤ ⇔

+ + ⋅ ++

⇔ ≤ ⇔+ + +

⇔ + + ≤ + + + ⇔ ≤

lo cual es siempre cierto.

c) La sucesión dada es creciente, ya que 1n nc c n+≤ ∀ ∈ Ν , pues

1

2 2

3 ( 1)3 3 3 3

1 ( 1) 1 1 2

3 6 3 3 3 3 0 3

n n

nn n nc c

n n n n

n n n n n

+

⋅ + +≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔

+ + + + +

⇔ + ≤ + + + ⇔ ≤

la expresión última a la cual hemos llegado es siempre cierta, luego la

desigualdad inicial también lo es.

d) En este caso demostraremos que 1n nd d n+> ∀ ∈ � , es decir que la sucesión

es monótona estrictamente decreciente.

3 31 3 3

1 1( 1)

( 1)n nd d n n

n n+> ⇔ > ⇔ + >

+

esta desigualdad es cierta para cualquier número natural, luego se cumple

siempre.

3 Convergencia, divergencia: ejemplos




4

1. La sucesión cuyos primeros términos son los siguientes

1 1 11, , 3, , 5, , 7,...

2 4 6

Esta sucesión no es convergente, pero tampoco tiende a ∞ ni a −∞ . Los términos

impares se hacen infinitamente grandes a medida que n crece. Sin embargo, los

términos pares tienden a 0, para n suficientemente grande. Se dice que esta sucesión

no tiene límite o bien que su carácter es oscilante.

2. La sucesión de término general ( 1)nna n= − ⋅ , cuyos primeros términos son:

-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,...

Los términos de esta sucesión tampoco se acercan a un número concreto. Tienden a

∞ los términos pares y tienden a −∞ los términos impares. Por tanto, tampoco

tiene límite, son oscilantes.

4 Monotonía y acotación de

11

n

n

+

El término general de esta sucesión es una expresión indeterminada del tipo 1∞ ,

luego no es evidente que sea convergente. Se trata de una sucesión de números reales

positivos.

• Comprobamos en primer lugar que la sucesión es creciente.

Por aplicación de la fórmula del binomio de Newton, tenemos




5

2

2

1 1 1 11 ...

0 1 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 ...

2! !

1 1 1 1 22 1 ... 1 1

2! !

n

n n

n

n n n na

nn n n n

n n n n n n n

n n n

n n n

= + = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − +

= + + + + =⋅ ⋅

= + ⋅ − + + ⋅ − ⋅ −

11

n

n n

− ⋅ ⋅ ⋅ −

la expresión de an consta de n sumandos. El término siguiente se expresará así

1

1 1 1 1 2 12 1 ... 1 1 1

2! 1 ! 1 1 11 1 2

1 1 1( 1)! 1 1 1

n

na

n n n n n

n

n n n n

+

− = + ⋅ − + + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − + + + + + + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − + + + +

Esta expresión consta de n+1 sumandos. Como los sumandos de an+1 son

mayores que sus correspondientes de an, salvo el primero que es igual, resulta

que

an < a

n+1 n∀ ∈ �

luego la sucesión an es creciente.

• Vamos a comprobar ahora que la sucesión está acotada. Consideramos

para ello las siguientes expresiones:

1 1 1 1 22 1 1 1 ...

2! 3!1 1 2 1

1 1 1!

nan n n

n

n n n n

= + ⋅ − + ⋅ − ⋅ − + + − + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −

1 1 12 ...

2! 3! !nb

n= + + + +

2 1

1 1 12 ...

2 2 2n n

progresion geometrica

c−

= + + + +��

Comparándolas término a término resulta que, a partir de n = 3, se verifica:

1

12 3

2n n n n

a b c−

< < < = −




6

es decir, 2 3na< < ,

luego la sucesión an está acotada. Se puede asegurar, por tanto, que la sucesión

de término general 1

1

n

nan

= + es convergente, estando su límite

comprendido entre 2 y 3. A este límite se le designa con el nombre de número

e. Se trata de un número irracional cuyas diez primeras cifras decimales son:

e ≈ 2’7182818284

5 Se considera para cada número natural n ∈ � la ecuación:

6 2 13 5

2 2n x − =

y se define para cada natural n ∈ � el número na como la suma de las raíces

positivas de esta ecuación. Se pide: encontrar el supremo, ínfimo, máximo y

mínimo del conjunto formado por los números reales na , es decir, el conjunto

{ }/n

a n ∈ �

Solución (Curso 03-04)

Para cada número natural n consideramos la ecuación 6 2 13 5

2 2n x − = . Las

raíces de esta ecuación son los valores x que cumplen:

6 2 13 5

2 2n x − = ó 6 2 13 5

2 2n x

− − =

Nota: En este paso aplico la definición de valor absoluto. Si el valor absoluto

de A es 5/2 es porque A es 5/2 ó A es –5/2. También podría haber elevado

al cuadrado y resolver la ecuación pero me quedaría de grado cuatro y habría

que realizar más cálculos.




7

� Resolviendo 6 2 6 2 2

6 3

13 5 9 39

2 2n x n x x x

n n− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±


3 3

13 5 4 24

2 2n x n x x x

n n

− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

Para cada n la suma de las raíces positivas de la ecuación 6 2 13 5

2 2n x − = es

3 3

3 2

n n+ .

El conjunto para el que hay que calcular el supremo, ínfimo, máximo y

mínimo es 3

5/A n

n

= ∈

� se cumple que el supremo es 5 y el ínfimo es 0.

Como el supremo está en el conjunto (para n=1) se trata del máximo pero el

ínfimo no es mínimo porque no es un elemento del conjunto A.

Cálculo de límites: Definición

6 Demostrar, según la definición de límite, que se verifica: 1

lim 0 , 1n ncon r

r→∞ = > . ¿Qué

sucede si r < 1?

- Supongamos r>1. Según la definición de límite, hay que encontrar la

expresión de n0 para cada 0ε > , tal que 0

10

nsi n n

rε− < > .

1log

1 1 1 10 log log( )

log( )n

n nr n r n

rr r

ε

ε ε

ε ε

− < ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⋅ ⇔ <

pues hemos supuesto desde el principio que r > 1, luego log (r) > 0. Así pues, si

tomamos 0

1log

log( )n

r

ε

= se cumple

10

nrε− <




8

• Si r < 1, será log (r) < 0. Como ε es muy pequeño, verifica ε < 1, es

decir log( ε )< 0, luego 1

log log( )εε

= − > 0.

Teniendo en cuenta que siempre es n > 0, nunca puede ser

1log log( )n rε

< ⋅ , puesto que n. log (r) será siempre negativo, mientras

que 1

logε

es positivo. Por lo tanto, si r<1 la sucesión no puede tender a

cero.

7 Demostrar, aplicando la definición de límite, que se verifican los siguientes límites:

(a) 1

lim 12n

n

n→∞

+=

−

(b) 22 1

lim 2( 1)( 2)

n

n

n n→∞

−=

+ +

(c) 3 3

2

(2 1) (2 1)lim 8

3 1n

n n

n→∞

+ − −=

+

Solución

(a) Se trata de ver que

0 0

10 , 1

2

nexiste n de forma que si n n

nε ε

+∀ > − < >

−

Observamos que

1 3 3 11 2 2

2 2

nn n

n nε ε

ε ε

+− < ⇔ < ⇔ < − ⇔ + <

− −

Luego fijado 0ε > basta tomar 0

12n E

ε

= + para que se cumpla la definición

de límite.




9

Nota.- E(x) denota la parte entera de x.

(b) Calcularemos la diferencia 22 1

2( 1)( 2)

n

n n

−−

+ + y la haremos menor que ε .

2

2 2 2

6( 1)2 1 6 5 6 52

( 1)( 2) 3 2 3 2 3 2

nn n n

n n n n n n n n

+− − − +− = = <

+ + + + + + + +

Como

2

6( 1) 6( 1) 6

( 1)( 2) ( 2)3 2

n n

n n nn n

+ += =

+ + ++ +

Si hacemos 6 6 6

2 2( 2)

n nn

ε

ε ε

< ⇔ < + ⇔ > −+

Cualquiera que sea el valor de ε , tomando 0

62n E

ε

= − , se puede asegurar que

si n > n0 entonces

22 12

( 1)( 2)

n

n nε

−− <

+ +

(c) Operando como en el apartado anterior,

3 3

2

3 2 3 2

2

2

2 2 2 2 2

(2 1) (2 1)8

3 1

8 12 6 1 (8 12 6 1)8

3 1

24 2 6 6 6 28

3 1 3 1 3 1 3

n n

n

n n n n n n

n

n

n n n n n

+ − −− =

+

+ + + − − + −= − =

+

+ −= − = = < =

+ + +

Como ha de ser 2

2

2 2 2n n

nε

ε ε

< ⇒ < ⇒ >

Entonces, cualquiera que sea el valor de L, tomando 0

2n E

ε

= , se puede

asegurar que

si n > n0 entonces

3 3

2

(2 1) (2 1)8

3 1

n n

nε

+ − −− <

+




10

Sucesiones recurrentes

8 Estudiar la convergencia de la sucesión recurrente dada por

( )

1

231

1

4 2n n

a

a a n+

=

= + ≥

Solución: (Curso 03-04)

Applet Laboratorio Sucesiones Recurrentes

Es fácil ver que 0 na≤ , veamos que 2na ≤ . Lo probaremos por inducción.

• Para n=1 , 1 1 2a = ≤

• Supuesto que 2na ≤ debemos probar que 1 2na + ≤ .

Como por hipótesis de inducción se tiene que 2na ≤ se cumplirá:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 233 3

14 4 4 4 8 4 8 4 2n n n n n

a a a a a+≤ ⇒ + ≤ + = ⇒ + ≤ ⇒ = + ≤




11

Veamos ahora que la sucesión es monótona decreciente. Es fácil ver que:

( ) ( ) ( )2 2 33

1 4 4n n n n n na a a a a a+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2

20

4 0 2 2 0

nn

n n n n n

aa

a a a a a

≤≤

⇔ − − ≤ ⇔ − + + ≤��

La última desigualdad es trivialmente cierta ya que anteriormente hemos

probado 0 2na≤ ≤ . Luego se cumple 1n na a+ ≥ .

Por el teorema de Weierstrass al ser una sucesión monótona y acotada es

convergente.

9 Dada la sucesión 1 1a = y 1

12

3n

n

a na −

= ≥−

, demostrar que

(a) ( )2

3 1 0n na a− + ≤ para todo número natural

(b) la sucesión { }1n n

a∞

= es convergente y calcular su límite.

Applet Laboratorio Sucesiones recurrentes




12

Solución:

(a) Demostramos por inducción la desigualdad ( )2

3 1 0n na a− + ≤ .

� Para 1n = hay que probar: ( )2

1 13 1 0a a− + ≤ . Como 1 1a = la

desigualdad es cierta: ( )2

1 3 * 1 1 1 0− + = − ≤ .

� Supongamos que ( )2

3 1 0n na a− + ≤ y probemos ahora que:

( )2

1 13 1 0n na a+ +− + ≤ . Se tiene que:

( )2

2

1 1

1 13 1 0 3 1 0

3 3n n

n n

a aa a

+ +

− + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ − −

( )

( ) ( )

( )

2

2 2

1 3 3 31 31 0 0

33 3

n n

nn n

a a

aa a

− − + −⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ⇔

−− −

( )

( )

( )

( )

2 2

2 2

1 9 3 9 6 1 30 0

3 3

n n n n n

n n

a a a a a

a a

− + + − + − +⇔ ≤ ⇔ ≤

− −

En la última expresión el numerador es menor o igual a cero (por

hipótesis de inducción) y el denominador es positivo (por ser un

cuadrado). Por lo tanto, supuesto ( )2

3 1 0n na a− + ≤ la última

desigualdad es cierta y se cumple:

( )2

1 13 1 0n na a+ +− + ≤ .

(b) Para ver que es convergente intentaremos ver si es monótona y

acotada.

Dando valores a n (n=1, n=2, n=3...) parece que es monótona decreciente.

En el caso de que lo fuera estaría acotada superiormente por el primer

término. Veamos si son ciertas estas impresiones.

� Acotada.




13

Vamos a probar que 0 1na< ≤ . Lo haremos por inducción.

� 10 1a< ≤ ya que 0 1 1< ≤

� Veamos que si 0 1na< ≤ entonces 10 1na +< ≤

Entonces suponiendo 0 1na< ≤ se tiene que 1 0na− ≤ − < .

Sumando 3 a ambos miembros:

1 1 12 3 3

3 3 2n

n

aa

< − < ⇔ < <−

Luego, 10 1na +< ≤

� Monotonía: Vamos a probar que es monótona decreciente, es decir, si

para todo número natural 1n na a+ ≤ :

para nuestra sucesión hay que demostrar que 1

3 n

n

aa

≤−

Como

( ) ( )2

3 0

11 3 3 1 0

3n

n n n n n

na

a a a a aa

− >

≤ ⇔ ≤ − ⇔ − + ≤−

y la última equivalencia es cierta por el apartado (a) se cumple

1

3 n

n

aa

≤−

Por el teorema de Weierstrass al ser una sucesión monótona y acotada es

convergente. Si llamamos L al límite de la sucesión na se tendrá que :

1 1

1 1lim lim

3 3 limnn definición n propiedades

n nde la sucesión de los límites n

aa a→∞ →∞

− −→∞

= =− −

en consecuencia el punto L buscado tiene que cumplir




14

( )1

3 13

L L LL

= ⇔ − =−

es decir será una raíz del polinomio:

( ) 23 1 3 1 0x x x x− = ⇔ − + =

Resolviendo

3 9 4 3 5

2 2x

± − ±= =

De las dos raíces el valor de L es 3 5

2L

−= que es menor que 1. (Observar

que la sucesión es monótona decreciente y el primer término es menor que 1).

10 Dada la sucesión 1 12 2 2n n

a a a n−= = ≥ , demostrar que la sucesión { }1n n

a∞

= es

convergente y calcular su límite.

Observa que ( )1/2

1/2 1/2 1/41 22, 2 2 2 2 2 2a a= = = ⋅ = ⋅




15

( )

1 11

2 21 1 1 1... 11/2

1/2 1/2 1/4 1/2 1/4 1/8 2 4 2 23 2

exp

min

min 1/21/2

2 2 2 2 .... 2 2

n

n

nEl onentees una suma den tér os deuna progresióngeométrica deprimer tér oy razón

a a a

−

+ + + −+ + += = = = =

Por lo tanto,

1 11 1 112 22 2 lim

11 11122lim lim 2 2 2 2

nn

n

nn n

a

→∞

− − − −

→∞ →∞

= = = =

11 Dada la sucesión { }1n n

a∞

= en donde

1 7a = ( )

2

1

2,

2

n

n

n

aa n

a+

+= ∈

+�

Se pide:

� Probar que 1,n

a n≥ ∀ ∈ �

� Demostrar que { }1n n

a∞

= es convergente y calcular su límite.




16

Applet Laboratorio Sucesiones Recurrentes

Solución: (Parcial I 2003)

(a) Solución: Veamos que 1,n

a n≥ ∀ ∈ � por inducción.

• Se verifica para 1n = ya que 1 7 1a = ≥

• Suponiendo que 1na ≥ veamos si ( )

2

1

21

2

n

n

n

aa

a+

+= ≥

+. Se tiene

que,

( ) ( )2 2

1

2 21 1 1

2 2

n n

n

n n

a aa

a a+

+ +≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔

+ +

( ) ( )2

12 2 1 0

n

n n n na

por hipotesisde inducción

a a a a≥

⇔ + ≥ + ⇔ − ≥

(b) Veamos si es monótona. Como 2

1 2

7 2 517, 7

7 2 9a a

+= = = <

+ intentaremos

ver si es monótona decreciente,

( )2

1

2

2

n

n n n

n

aa a a

a+

+≤ ⇔ ≤ ⇔

+




17

( )( ) ( ) ( ) ( )

22 2 22

2 22

n

n n n nelevando

nal cuadrado porser cantidades

positivas

aa a a a

a

+⇔ ≤ ⇔ + ≤ + ⇔

+

( ) ( ) ( )3 2 2

2 2 1n n n na a a a

⇔ ≤ + ⇔ ≤ +

Esta última desigualdad es cierta ya que 1 na≤ . Por lo tanto es monótona

decreciente.

Como la sucesión es monótona y acotada es convergente. Llamando

lim nn

L a→∞

= se tendrá que:

2 222 2

2 2

L LL L

L L

+ += ⇔ = ⇔

+ +

( )( )3 2 2 2

0

2 2 1 2 2 0 1L L L L L L L

≠

⇔ + = + ⇔ − + + = ⇔ =��

12 (1) Dada la sucesión { }na definida por 1

.1

1

4 1n n

a

a n a n−

= = + >

se pide probar por

inducción que n∀ ∈ � , 22 2n

a n n− <

(2) A partir de la sucesión anterior se define la sucesión 22

nn

ab

n= . Estudiar la acotación de

{ }nb y calcular su límite.

Solución: Febrero 2003

(1) La sucesión { }na es una sucesión recurrente y la sucesión 22

nn

ab

n= se calcula

a partir de { }na . Los primeros términos de ambas son:

{ }1, 9, 21, 37, ...n

a =

1 9 21 37, , , ,...

2 8 18 32nb

=




18

Se pide demostrar la desigualdad por inducción:

� n = 1. Se cumple que: 1 2 1 2a − = <

� Veamos que si: 22 2n

a n n− < , entonces

21 2( 1) 2( 1)

na n n+ − + < +

Se cumple que:

2 2 21 2( 1) 4 4 2 4 2 2 2

n n na n n a n n a n+ − + = + + − − − = − + ≤

22 2 2 2 2( 1)n

Hipotesisde inducción

a n n n≤ − + < + = +

Luego, se puede concluir que:

n∀ ∈ � , 22 2n

a n n− <

(2) De la desigualdad se deduce (por definición de valor absoluto):

2 22 2 2 2nn n a n n− < < +

Dividiendo los tres miembros por 2n2

2

1 11 1

2

na

n nn− < < + ,

de donde

1 10 1 1 2

nb

n n≤ − < < + ≤

Por tanto la sucesión { }nb está acotada inferiormente por 0 y superiormente por 2.

Además, teniendo en cuenta que 1

lim 1 1n n→∞

− = y

1lim 1 1

n n→∞

+ = , por la

regla del encaje, lim 1nn

b→∞

= .




19

Cálculo de límites: Propiedades

13 Siendo 1 2 33 , 3 3 , 3 3 3a a a= = = , etc. Calcular limn n

a→∞

Observamos los términos de la sucesión:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 4 2 4 2 4 8 2 4 81 2 33 ; 3 3 3 ; 3 3 3 3 ;...a a a

+ + += = ⋅ = = ⋅ ⋅ =

1 1 1 1...

2 4 8 23n

na

+ + + +

=

Sumamos los términos de la progresión geométrica que aparece en el exponente.

1 1 1

1 1 1 1 12 22... 12 4 8 12 21

2

n

n n

⋅ −

+ + + + = = −

−

de modo que 1

123n

na

−

=

y tomando el límite, 1

12lim lim 3 3n

n n na

−

→∞ →∞= =

Cálculo de límites: Teorema del encaje

14 Calcular el siguiente límite: 2 2 2

...1 2

n

n n na

n n n n= + + +

+ + +




20

Calcular el límite de la sucesión que tiene por término general

2 2 2 21 2 3n

n n n na

n n n n n= + + + +

+ + + +…

Solución: Construimos dos sucesiones para compararlas con la sucesión anterior,

cuyos términos generales son

2

2 2 2 2 2n

n n n n nb n

n n n n n n n n n n= + + + = ⋅ =

+ + + + +…

y

2

2 2 2 2 21 1 1 1 1n

n n n n nc n

n n n n n= + + + = ⋅ =

+ + + + +…

observamos que se verifica n n nb a c< < para todo n, además

2

2lim lim 1n n n

nb

n n→∞ →∞= =

+

y

2

2lim lim 1

1n n n

nc

n→∞ →∞= =

+

como lim lim 1n n n n

b c→∞ →∞= = , también será

2 2 2 2lim lim 1

1 2 2n n n

n n n na

n n n n n→∞ →∞= + + + + =

+ + + +…

15 (a) Demuestra que para todo número natural se cumple:

( )

( )

2 1

2

2 !2

!

n n

n n

−

≤

(b) Estudia la convergencia de la siguiente sucesión ( )

( )2

2 !

!n

na

n

=

(a) Vamos a probar la desigualdad ( )

( )

2 1

2

2 !2

!

n n

n n

−

≤ por inducción.




21

• Para n=1, es cierta ya que ( )

( )2

2 !2

1 1!≤

• Supuesta la desigualdad cierta para n, ( )

( )

2 1

2

2 !2

!

n n

n n

−

≤ , veamos que es

cierta para n+1, es decir, que se cumple

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

2 1 1 2 1

2 2

2 1 ! 2 2 !2 2

1 11 ! 1 !

n nn n

n nn n

+ − ++ +≤ ⇔ ≤

+ ++ +

Se tiene que

( )

( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )2 1

2

22 1 2 1 2

2. .2 !

2 ( 1)!

2 !4

! 4 2 ! 1 2 2 2 !2 2 2

1 1 1 ! 1 ! 1 !n

n n

multiplicandoH Iy dividiendon

n por n

n

nn

n n n n n n

n n n n n n−

+ −

≤ +

+⋅= ≤ = =

+ + + + +

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )

( )( )2 2 22 2 1

2 2 2 2 ! 2 2 2 1 2 ! 2 2 !

1 ! 1 ! 1 !n n

n n n n n n n

n n n< +

+ + + += ≤ =

+ + +

Luego, hemos probado ( )

( )( )

2 1

2

2 2 !2

1 1 !

n n

n n

+ +≤

+ +

(b) Para estudiar la convergencia de la sucesión ( )

( )2

2 !

!n

na

n

= basta darse cuenta que

( )

( )

2 1

2

2 !2

!

n n

n n

−

≤ y que 2 12

limn

n n

−

→∞= ∞

Por lo que la sucesión ( )

( )2

2 !

!n

na

n

= es divergente.




22

Cálculo de límites

16 Obtener ( )2 2limn n n n→∞ − + .

Multiplicando y dividiendo por el “conjugado”, resulta una expresión más sencilla,

cuyo límite es inmediato

( )( )( )

( )

( )

( )

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

lim lim

( )lim lim lim

1 1lim

211 1

n n

n n n

n

n n n n n nn n n

n n n

nn n n n n

n n n n n n n n n

n n n

n

→∞ →∞

→∞ →∞ →∞

→∞

− + + +− + = =

+ +

−− + −= = = =

+ + + ++ +

−= = −

+ +

17 Hallar el límite de la sucesión 23log cos ( 5)

2n

na n

n

+ = ⋅ + +.

Tomando el límite

2

cotinf 1, 1

3lim lim log cos ( 5) 0

2n n n

funcion a adainitesimo dentro de

na n

n→∞ →∞

−

+ = ⋅ + = +

��

18

Hallar el límite de la sucesión

6 3

2

1 18 log 1

2

2 2(2 5 ) cos

6 3

n

n senn n

an

n nn

π

⋅ + ⋅ =

−+ ⋅

+

.




23

Aplicando equivalencias, tenemos

36 3 6

2 2

6

4 6

2 6

1 1 1 18 log 1 8

2 2lim lim lim

2 2 2(2 5 ) cos (2 5 ) cos

6 3 68

2 8lim lim 4

1(2 ) cos (4 )

3 2

n n n n

n n

n sen nn n n n

an n

n n n nn n

n

n n

n n

π π

π

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = = =

−+ ⋅ + ⋅

+

= = =

⋅ ⋅

19 Utilizando comparación de infinitos calcular los siguientes límites:

23

300

5

5(2 )! 3

lim , lim , lim ,( 1)! 3

2

lim( og )

n

n

n n nn

n

nn

n n

n

l n

→∞ →∞ →∞

→∞

= ∞ = ∞ = ∞

+

= ∞

3 3

2

200

0 ' 5 0 ' 5 2lim , lim 0 , lim 0 ,

2000 3 5

2 2

4lim 0

1'2

n

n n nn n

n n

n n

n

n

→∞ →∞ →∞

→∞

= ∞ = =

⋅=

20 Hallar el límite de la sucesión

2 1

22 4lim

2 1

n

nn

n

n

+

→∞

+ −.

Solución:

El límite es una indeterminación de la forma 1∞ , se resuelve así




24

2 22

2 2

2

1 1 1 5lim 1 12 2 2 2 1

5 5 5 5 5lim lim 42 (2 1) 54 2 4

2 4 5lim lim 1

2 1 2 1

n

n n

n nn

nn n nn n

n n

n n n n

ne

n n

e e e e

→∞

→∞ →∞

+ + + ⋅ + − −→∞ →∞

+ +

⋅ − −

+ = + = = − −

= = = =

21 Hallar el límite de la sucesión 21

3n

n

na

n

+=

+

Solución: Suponemos que limn nL a→∞= y tomamos logaritmos

2 2

2

1 1 1 1log ( ) log lim lim log lim log

3 3 2 3

1 1 1 2 2lim 1 lim lim 0

2 3 2 3 2 6

n nn n n

n n n

n n nL

n n n n

n

n n n n n n

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

+ + + = = = ⋅ = + + + + − − = ⋅ − = ⋅ = = + + +

0 1L e= =

22 Hallar el límite de la sucesión

13 2

5 3

n

n

n

nb

n

+ − = −

También en este caso, resulta más sencillo explicar el cálculo tomando

logaritmos. Sea limn nL b→∞=

1 13 2 3 2log ( ) log lim im log

5 3 5 3

3 2 2im log im log

1 5 3 1 32

im log1 3

n n

n n

n n

n n

n

n nL l

n n

n n n nl l

n n n n

nl

n

+ +

→∞ →∞

→∞ →∞

→∞

− − = = = − −

− − = ⋅ = ⋅ = + − + − = ⋅+

2log

3

=

2log

3 2

3L e

= =




25

23 Hallar el límite de la sucesión 3

3 1

5 2

n

n

nc

n

− − − = +

Supongamos que limn nL c→∞= . Tomando logaritmos

3 33 1 3 1

log ( ) log lim lim log5 2 5 2

3 1 3lim ( 3) log lim ( ) log

5 2 5

n n

n n

n n

n nL

n n

nn n

n

− − − −

→∞ →∞

→∞ →∞

− − = = = + + − = − − ⋅ = − ⋅ = ∞ +

L e∞= = ∞

24 Hallar el límite de la sucesión ( )2lim 2n

n n n n→∞ + −

La expresión de la base es una indeterminación del tipo ∞ − ∞ , que

resolvemos multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada

( ) ( )( )

2 2

2

2

2

2 2lim 2 lim

2

2 2lim lim 1

22 1 1

n n

n n

n n n n n nn n n

n n n

n

n n n

n

→∞ →∞

→∞ →∞

+ − ⋅ + ++ − = =

+ +

= = =+ + + +

luego se trata de una indeterminación del tipo 1∞ , que resolvemos utilizando

el número e, así

( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )

2 2

2 2

2 2

1lim1

lim 2 11 (1 )2 2 ( 1)

lim log 2 lim 2 12

2 ( 1) 2 ( 1)lim

lim 2 ( 1) 2 ( 1)

1

2

lim 2

1

n n

n

n

nnn

n n n n n

n n n n n n n n n

n

n n n n n nn

n n n n n n n

n n n e e

e e

e e ee

→∞ →∞

→∞

→∞

−− →∞ ⋅ →∞ + + + + + +

⋅ + − ⋅ + − −

→∞

+ − + + + +⋅

⋅ + − + + + +

−

+ − = = =

= = =

= = = =




26

25 Demostrar que na y log(1 )n nb a= + son equivalentes para 0na → . Encontrar una sucesión

equivalente a ( )log 1a na+ para cuando 0na → .

Solución:

Para ver que na y log(1 )n nb a= + son equivalentes basta ver que:

log(1 )lim 1n

nn

a

a→∞

+=

Se tiene que:

( )1/ 1/log(1 )lim lim log(1 ) log lim (1 ) log 1n na an

n nn n n

n

aa a e

a→∞ →∞ →∞

+= + = + = =

Por definición, loga b c= si y solamente si ca b= . Tomando en esta

expresión logaritmo neperiano,

loglog log

log

bc a b c

a= ⇒ =

Por lo tanto, por definición,

( )( )log 1

log 1log

n

a n

aa

a

++ =

Como ( )log 1 n na a+ ≈ cuando na es un infinitésimo, se tendrá que:

( )log 1log

na n

aa

a+ ≈

26 Dadas las sucesiones 2

1 11 ; 1n na b

n n= + = + establecer si son o no del mismo orden las

siguientes parejas de sucesiones:




27

( ) ( ) 2 2

1 1( ) ( ) log log

n n n n

n n

n n

a a y b b a y b

c y d a y ba b

Sol.- (a) Sí (b) Sí (c) Sí (d) No.

IMPORTANTE: Aunque para estas dos sucesiones logn

a y logn

b no sean

equivalentes para la lista de infinitésimos equivalentes dada en el resumen teórico sí

se verifica que si na y nb son equivalentes también lo son logn

a y logn

b




Series numéricas

Matemáticas 1

1





Ejercicios: Series numéricas Ingeniería de Telecomunicación


2

1 Calcular la suma de las siguientes series:

(a) 2 3 4

1 1 1 1 14 ... ...

2 2 2 2 2nπ+ − + + + + + (b)

3 21

3 2

3 2n

n

n n n

∞

=

+

+ +∑

Solución:

(a) 2

1

1 24 42 1

12

π π+ − + = +−

(b) Descomponiendo en fracciones simples

3 2

3 2 1 1 2

1 23 2

n

n n nn n n

+= + −

+ ++ +

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 21 ... ... ...

2 3 2 3 1 3 4 1 21 1 1 2 2 1 2

1 22 2 1 1 2 1 2

nSn n n n n n

n n n n n

= + + + + + + + + + − + + + + + = + + + = + + + − + = − − + + + + +

1 2lim 2 2

1 2nS

n n→∞

= − − = + +

2 Dada la serie

1n

n

∞

=∑ . Se pide:

• Determina su carácter

• Encuentra una sucesión sencilla del mismo orden que la sucesión de sus sumas parciales.

Justificar los pasos seguidos.

• Demuestra que la sucesión obtenida en el apartado anterior es del mismo orden que su suma

parcial n-ésima.



Fundamentos Matemáticos I Ejercicios: Series numéricas

3

Indicación: Utilizar que si la función es creciente y positiva en )1, ∞ se verifica

( ) ( ) ( ) ( )11 1

n nn

k


< < +∑∫ ∫

Forma 1:

En general para una función f decreciente y positiva en ( )1,∞ la sucesión ( )1

n

k

f k=∑ es

del mismo orden que ( )1

n

f x dx∫ .

Si la función f es creciente se verifica

( ) ( ) ( ) ( )11 1

n nn

k


< < +∑∫ ∫

En este caso ( )f x x= es creciente por lo que:

( ) ( )3/2 3/2 1/2

11 1

2 21

3 3

n nn

k

n xdx S n k xdx n n n=

− = < = < + = +∑∫ ∫

Como el infinito 3/2n es de orden superior a 1/2n se tiene que:

( ) 3/22

3S n n≈

En efecto,

( )( )3/2 3/23/23/2

3 1 2 3 ... 3lim lim lim

2 1 2 13

n n Stolz n

S n n n

n n nn→∞ →∞ →∞

+ + + += =

− −

( )( )( )

3/23/2

33

13

lim2 1Multiplicando n

por el conjugado

n n n

n n→∞

+ −= =

− −

( )( ) 2

3/2

3/22 1/2

3 3 2 2

11 1

13 3lim lim 1

2 23 3 1 3 3 1n Dividiendo npor n

n n n n

n n n n n n→∞ →∞

+ + + − = = =

− − + − − +




4

Luego son asintóticamente equivalentes.

Forma 2:

Basta considerar la equivalencia:

1

1 2 3 ...1

kk k k k n

nk

++ + + + ≈

+

En nuestro caso 1

2k = .

3 Determinar la suma parcial enésima que permite calcular

( )31

1

2 1n n

∞

= +∑ con un error menor

que 210−

Solución:

Consideramos la serie ( )3/2

1

1

2 1n

S

n

∞

=

=+

∑ que es convergente (por comparación con la

serie armónica generalizada: 1

1p

n n

∞

=∑ con p=3/2>1) y nS la suma parcial n-ésima de

la serie.

Teniendo en cuenta que ( )( )3/2

1

2 1f x

x

=+

es decreciente y positiva en )1, ∞ se

cumple

( ) ( )( ) ( )

3/2 3/21

1 1... lim

2 3 2 5

h

nh

k n n

S S f k f x dx

n n

∞

→∞= +

− = + + = ≤+ +

∑ ∫

Como




5

( )( ) ( ) ( )3/2

1 1 1 1lim lim lim

2 1 2 1 2 12 1

h h

h h hn n

f x dx dxh n nx

→∞ →∞ →∞

= = − + =

+ + + + ∫ ∫

Por lo tanto, el error al considerar como suma de la serie la suma parcial n-ésima

está acotado por

1

2 1nerror S S

n= − ≤

+

Si queremos ahora que este error sea menor que una centésima basta encontrar el

valor de n cumpliendo: 4

2

1 1 999910 2 1

2102 1n n

n< ⇔ < + ⇔ <

+. Basta tomar

entonces los 5000 primeros sumandos

( )

5000

5000 3/21

1

2 1n

S S

n=

≈ =+

∑

4 Utilizando el criterio integral demuestra que la serie

1

n

n

r

∞

=∑ es convergente para valores

0 1r< < .

Solución:

Vamos a acotar la sucesión de sumas parciales por dos sucesiones convergentes.

En este caso la función ( ) 1x

f xr

= es positiva y decreciente en ( )1,∞ .

En primer lugar observamos que la serie solo puede ser convergente o

divergente ya que se trata de una serie de términos positivos. Utilizando el

criterio integral se tiene la siguiente acotación

21 1

1 1 1 1 1 1...

n n

nx n xdx S dx

r rr r r r≤ = + + + ≤ +∫ ∫

Como




6

( )1 1

1 1 1 1 1

log loglog

nn

x x ndx

r r rr r r r

− −= = +∫

se cumple que la suma parcial n-ésima está acotada

( ) ( )2

1 1 1 1 1 1 1...

log loglog lognn n nS

r r r r rr r r r r r

− −+ ≤ = + + + ≤ +

Como tanto la cota superior como la cota inferior son sucesiones convergentes

la sucesión de sumas parciales también lo será y por lo tanto la serie 1

1n

n r

∞

=∑ es

convergente.

5 (a) Determinar el carácter de las siguientes series:

(i) 1

1

3 nn e

∞

=∑ (ii)

( )( )1 2n

Ch n

Ch n

∞

=∑

(b) Calcular el valor exacto de la serie 2 3

11

2

9

n

nn

∞ +

+=∑

(c) Determinar el número de términos que es necesario considerar para obtener el valor

aproximado de 2 3

11

2

9

n

nn

∞ +

+=∑ con un error menor que 0.01

Solución:

(a) Teniendo en cuenta

1 1

1 1 1

33

n

nn ne e

∞ ∞

= =

= ∑ ∑

la serie es geométrica de razón 1

1re

= < , luego es convergente.

Para la segunda serie se tiene en cuenta la expresión de Ch(n) en función de la

exponencial:




7

( )( )

( )2

2 3

2 2 4 4 41 1 1 1 1

2

11

22 1 1 1

2

nn n

n n n nn

n n n n nn n n n n

n

ee ee eCh n e ee

Ch n e e e e e

e

−∞ ∞ ∞ ∞ ∞

−= = = = =

+++ +

= = = =+ + + +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Comparamos esta serie con 1

1n

n e

∞

=∑ y como el límite

3 4 2

4 4

1lim : lim 1

1 1

n n n n

n n nn n

e e e e

e e e→∞ →∞

+ + = = + +

es distinto de cero y de infinito ambas series tienen el mismo carácter, es decir,

convergentes.

(a) Como la serie es geométrica el valor de la suma es:

2 3

11 1

42 8 4 8 329

9 9 9 4 459 19

nn

nn n

∞ ∞+

+= =

= = = −

∑ ∑

(b) Teniendo en cuenta que ( ) 8 4

9 9

x

f x =

es continua, decreciente y positiva

en )1, ∞ y llamando ( ) 8 4

9 9

n

na f n = =

se tiene que:

1 2

4 4

8 4 8 9 8 9...

9 9 9 4 9 9log log

9 4

x n

x

n n n

n

n

R a a dx

∞

∞

+ +

= + + ≤ = =

∫

Basta encontrar n cumpliendo:

1

4

8 9 80 910

9 9 9 4log 9 og

4 4

n

n

l

−

< ⇔ <

Dando valores se ve que bastaría considerar n=3 para conseguir obtener el

valor de la serie con el error considerado. El valor aproximado será:




8

2 3

3 2 3

8 4 4 4 42560.6487

9 9 65619 9S

= + + = ≈

6 (a) Demostrar que: 2

1 1 1 1...

3 15 35 2 14 1

nn

nn+ + + + = ∀ ∈

+−�

(b) Determinar el valor de 2

1

1

4 1n n

∞

= −∑

Solución:

(a) Demostramos la igualdad por inducción

Para n=1 la igualdad es cierta: 1 1

3 2 1 1=

⋅ +

Suponiendo cierta para n veamos si se cumple:

( ) ( )2 2

1 1 1 1 1 1...

3 15 35 2 1 14 1 4 1 1

n

nn n

++ + + + + =

+ +− + −

Por hipótesis de inducción:

( ) ( )2 2 2

2 1

1 1 1 1 1 1...

3 15 35 2 14 1 4 1 1 4 1 1n

n

n

nn n n

=+

+ + + + + = ++− + − + −��

Operando:

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )( )( )

2

2

1 1

2 1 2 1 2 1 2 34 1 1

2 3 1 1 2 12 3 1 1

2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3

n n

n n n nn

n n n nn n n

n n n n n n n

+ = + =+ + + ++ −

+ + + ++ + += = = =

+ + + + + + +

(b) La serie es convergente por comparación con la serie armónica generalizada

21

1

n n

∞

=∑ . Para calcular el valor tenemos en cuenta el apartado (a):

2

1 1 1 1...

3 15 35 2 14 1n

nS

nn= + + + + =

+−




9

1lim lim

2 1 2nn n

nS

n→∞ →∞= =

+

Luego, 2

1

1 1

24 1n n

∞

=

=−

∑

7 Sea { }1n n

a∞

= una sucesión de números reales monótona creciente.

(a) Demostrar que la sucesión de término general nS

n es también monótona creciente

siendo 1 2 ...n nS a a a= + + + .

(b) Si además 1n

n

a

∞

=∑ es convergente, calcular lim n

n

S

n→∞, siendo 1 2 ...n nS a a a= + + + .

Solución:

(a) Se quiere probar

( ) ( ) ( )11 11 1

1n n

n n n n n

S

n

SS n nS S n n S a

n

++ +< ⇔ + < ⇔ + < +

+

1 1 2 1...n n n nS na a a a na+ +⇔ < ⇔ + + + <

Esta última desigualdad es cierta ya que 1 1,...,k na a para k n+< = por ser

{ }1n n

a∞

=monótona creciente

(b) Aplicando el criterio de Stolz se tiene que ( )

1lim lim lim1

n n n

nn n n

S S Sa

n n n

−

→∞ →∞ →∞

−= =

− −

que es cero ya que 1n

n

a

∞


8 Estudiar el carácter de la serie en función del parámetro a ∈ �

1

1a

n

n senn

∞

=

∑

Solución:




10

El término general es :

1

1 1 1a an aa n sen n

n n n −

= ≈ =

Aplicando el criterio de comparación por paso al límite se concluye que:

• Si 1 1a− ≤ la serie es divergente

• Si 1 1a− < la serie es convergente

9 Estudiar el carácter de la serie siguiente en función de los posibles valores de x

( )( )1

02 5

n

nn

xx

n n x

∞

=

>+ +

∑

Solución:

Como x es mayor que cero se trata de una serie de términos positivos con término

general

( )( )2 5

n

n n

xa

n n x=

+ +

Aplicando el criterio del cociente:

( )( )

( )( )

( )( )( )( )

1

11

3 1 5 2lim lim lim

5 3 1 5

2 5

n

nn

nn n nn

n

x

n n x x n n xa x

a n n xx

n n x

+

++

→∞ →∞ →∞

+ + + + += = =

+ + +

+ +

se concluye que:

• Si 5x < la serie es convergente

• Si 5x > la serie es divergente

• Si x=5 la serie es:

( )( ) ( )( )1 1

5 1

22 5

n

nn n n n xn n x

∞ ∞

= =

=+ ++ +

∑ ∑




11

que es convergente por comparación con la serie armónica generalizada para p=2:

( )( ) ( )( )1 1

5 1

22 5

n

nn n n n xn n x

∞ ∞

= =

=+ ++ +

∑ ∑

10 Estudiar la convergencia absoluta y condicional de la serie:

( )1

1,1

n

nn

xa x a

n a

∞

=

> ≠+

∑

Solución:

Se trata de una serie que para valores de x positivos es de términos positivos y para

valores de x negativos es de términos negativos. Estud¡amos por ello la convergencia

absoluta mediante el criterio de la raíz:

( ) ( )lim lim

1 1

n

nn nn n n

x xL

n a n a→∞ →∞= =

+ +

como

( )1

( (log ) log )

lim 1 lim lim 1nnn nn

n n n

atomar tomararimtos arimtos

n a n a a→∞ →∞ →∞

= =

+ = + =��

se tiene que: x

La

=

• si x a< , la serie es convergente

• Si x a> , la serie es divergente

11 Estudiar la convergencia de la serie




12

( )2 2

2

1

12 1

4

11 cosn

n senn

n

∞

=

− −

∑

Solución:

El término general de la serie es

( )2 2

2

12 1

4

11 cos

n

n senn

a

n

− =

−

que es equivalente a ( ) ( )

22

2 22

2 4

12 1

2 14

16 21

2!

n

nn nn

bn

n

− − = =

⋅

ya que

2

2 2

1

1 1 11 cos

24 4

nsen

nn n

≈ − ≈

Por lo tanto la serie no es convergente ya que el término general de la serie no

tiende a cero (condición necesaria de convergencia). Como además es una serie de

términos positivos es divergente.

12 (a) Calcular el siguiente límite: 2 2 2

1 1 1lim ...

1 4 2 4 4n n n n n→∞

+ + + + + +

(b) Estudiar el carácter de la serie:

2 2 21

1 1 1...

1 4 2 4 4n n n n n

∞

=

+ + + + + +∑

Solución:

(a) Se cumple que:

2 2 2 2 2

1 1 1...

4 1 4 2 4 4 1 4

n n

n n n n n n n≤ + + + ≤

+ + + + +




13

Por otro lado

2

2

1lim

241

lim21 4

n

n

n

n nn

n

→∞

→∞

=+

=+

Luego, aplicando el teorema del encaje

2 2 2

1 1 1 1lim ...

21 4 2 4 4n n n n n→∞

+ + + = + + +

(b) Como el término general no tiende a cero la serie no es convergente. Por ser una

serie de términos positivos al no ser convergente debe ser divergente.

13 Determinar el carácter de las siguientes series:

(1) 3

11

2

3

n

nn

∞ +

−=∑ (2)

1

2 9log

7n

n

n

∞

=

+ +∑ (3) 2

21

2 5

3 8n

nsen

n

∞

=

+ +∑

Solución:

• La serie (a) es una serie geométrica de razón 2/3<1, luego es convergente.

3 4 5 6

1 21

2 2 2 2...

33 3 3

n

n on

∞ +

−=

= + + +∑

• La serie 1

2 9log

7n

n

n

∞

=

+ +∑ es una serie de términos positivos ya que 2 9

17

n

n

+>

+

cuyo término general no tiende a cero (condición necesaria de convergencia):

( )2 9og log 2

7n n

na l

n →∞

+ = → +

Se trata entonces de una serie divergente.

• La serie 2

21

2 5

3 8n

nsen

n

∞

=

+ +∑ es una serie de términos positivos, teniendo en

cuenta además que

2 22

2 2 2

2 5 2 5 2 4

33 8 3 8 9

n nsen

nn n n

+ + ≈ ≈ = + +




14

la serie tiene el mismo carácter que 2

1

1

n n

∞

=∑ (criterio de comparación por paso

al límite) se trata de una serie convergente.

14 Determinar el carácter de las siguientes series:

(1) ( )

( )22

1

log

n

n n n

∞

=

−∑ (2)

( )3

1

1

1

n

n n

∞

=

−

+∑

Solución:

• La serie ( )

( )22

1

log

n

n n n

∞

=

−∑ es una serie alternada convergente por el criterio de

Leibnitz:

o ( )2

1lim lim 0

logn

n na

n n→∞ →∞= =

o { }na es monótona decreciente:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22

2 2 log

1 1log 1 log 1

log1 log 1 el aritmoes una funcióncreciente

n n n nn nn n

< ⇔ < + ++ +

Estudiamos ahora la convergencia absoluta, es decir, la convergencia de la serie:

( )22

1

logn n n

∞

=∑ . Como ( ) ( )2 2log 2 logn n n≤ se tiene que

( ) ( )2 2

1 1

log log 2n n n≤

⋅

y, por el criterio de comparación es convergente. Luego la serie es absolutamente

convergente.

• La serie ( )3

1

1

1

n

n n

∞

=

−

+∑ es una serie alternada convergente por el criterio de

Leibnitz:

o 3

1lim lim 0

1n

n na

n→∞ →∞= =

+




15

o { }na es monótona decreciente:

( )3 3

33

1 11 2

1 1 1n n

n n< ⇔ + < +

+ + +

Estudiamos ahora la convergencia absoluta, es decir, la convergencia de la serie:

31

1

1n n

∞

= +∑ . Como

3 1/3

1 1

1 nn≈

+

por el criterio de comparación es divergente. Luego la serie no converge

absolutamente.

15 Calcular el carácter de las siguientes series:

(a) 1

1 1

n

senn n

∞

=∑ (b)

( )1

1

1 11 ...

2

n

n

n

∞

=

−

+ + +∑

Solución.-

(a) Convergente por comparación con 2

1

1

n n

∞

=∑ .

(b) Convergente por Leibniz 1

1 11 ...

2

na

n

=+ + +

es monótona decreciente y

tiende a cero porque en el denominador se tiene la suma parcial enésima de la

serie armónica.

16 Estudia el carácter de las siguientes series. Justifica adecuadamente las respuestas.

(a) 1

1,

an

n na

n

∞

=

+ −∈∑ � (b)

2

21

2 1log

2n

n n

n n

∞

=

+ + +∑




16

Solución:

(a) En primer lugar analizamos la condición necesaria de convergencia. Cuando n

tiende a infinito el numerador presenta una indeterminación luego el término

general de la serie lo escribimos como

( )( )( ) ( )

1 11 1

1 1n a a a

n n n nn na

n n n n n n n

+ − + ++ −= = =

+ + + +

El denominador es un infinito del mismo orden que 1

2a

an n n+

= (ver *)

� En el caso de que 1 1

02 2

a a−

+ ≤ ⇒ ≤ el término general no tiende a

cero luego la serie, por ser de términos positivos al no converger, será

divergente.

� En el caso de que 1

2a

−> el término general tiende a cero.

Comparando con la serie 1

12

1

ann

∞

+=∑ se tiene que como:

( ) 1

2

1

2

1

2

1 1lim lim lim 0,

1 21 11 1a

a

n

an n dividiendo n

por na

a n

n n n

nn

+

+

→∞ →∞ →∞

+

= = = ≠ ∞ + + + +

(*)

aplicando el criterio de comparación por paso al límite las series

1

1a

n

n n

n

∞

=

+ −∑ y 1

12

1

ann

∞

+=∑ tienen el mismo carácter.




17

Como la segunda serie es la armónica generalizada se tiene que:

� Para 0 1p< ≤ la serie 1

1p

n n

∞

=∑ es divergente. Luego la serie

11

2

1

ann

∞

+=∑ es divergente si

10 1

2a< + ≤ . En consecuencia para

1 1

2 2a

−< ≤ la serie

1

1a

n

n n

n

∞

=

+ −∑ es divergente.

� Para 1p < la serie 1

1p

n n

∞

=∑ es convergente. Luego la serie

11

2

1

ann

∞

+=∑ es convergente si

11

2a< + . Concluimos que para

1

2a< la serie

1

1a

n

n n

n

∞

=

+ −∑ es convergente.

17

Estudiar la convergencia de la serie 1

2a

n

nsen

n

π

∞

=

∑ para 1a = y 2a = .

Solución:

Observar que ( )( )1 1

12

2 1

n

a an n

nsen

n n

π

∞ ∞

= =

− =

−∑ ∑ . Es convergente por Leibniz.

18 Se considera la sucesión ( )( )1 2

n n

na

n n b=

+ + con b ∈ � . Se pide:

a) Estudiar la convergencia de la serie 1n

n

a

∞

=∑

b) Encontrar el valor de la suma 1n

n

a

∞

=∑ para 1b = .

c) Consideramos Sn la suma parcial n-ésima de la serie

1n

n

a

∞

=∑ para 1b = . Sin obtener la




18

expresión exacta de Sn encontrar una sucesión equivalente y demostrar que la expresión

obtenida realmente es equivalente a Sn.

Solución:

(a) Por el criterio del cociente

( )( )

( )( )

( )( )

1 2

1

1

2 3 1 1lim lim lim

3

1 2

n

n

n n nn

n

n

n n b na

a n b n n b

n n b

+

+

→∞ →∞ →∞

+

+ + += = =

+

+ +

• si 1b > la serie converge absolutamente y por tanto es convergente.

• Si 1b < la serie no converge porque el término general no tiende a

cero, ya que:

( )( ) 2

1

1 2 n n

n

n n b n b≈

+ +

y por comparación de infinitos

( )( )

21 /lim lim

1 2 n nn n

nn

n n b b→∞ →∞= = ∞

+ +

el término general tiende a infinito.

• Para b=-1 la serie es convergente por Leibniz. Para

• b=1 la serie es divergente comparándola con la serie 1

1

n n

∞

=∑ .

(b)

• Para b=1 es divergente comparándola con la serie 1

1

n n

∞

=∑ por lo tanto la

suma de la serie es infinito.




19

(c) Por el criterio integral ( ) ( )2 2

1

2 2log log

1 1n

n nK S K

n n

+ + + ≤ ≤ + + + donde K y K1

son constantes. Por lo tanto,

( )( )

22

log log1

n

nS n

n

+ ≅ + �

19 Dada la serie

2

1

( 1) , 0, 0,n n

n

n

a ba b

n

∞

=

− > >∑ estudiar su convergencia y convergencia absoluta

según los valores de a y b.

Solución:

(a) Convergencia absoluta

Se trata de estudiar la convergencia de la serie 2

1

, 0, 0n n

n

a ba b

n

∞

=

> >∑ . Puesto que

esta serie es de términos positivos, se puede estudiar aplicando el criterio de la

raíz,

2

1/lim lim

n n nn

nn n

a b ab

n n→∞ →∞= =

0 si 0 1 convergente

si 1 divergente

si 0 1, convergente

si 1 si 1, divergente

si 1 ?

b

b

a

a b a

a

< < ⇒∞ > ⇒ < < = ⇒ > =

En el caso 1a b= = , se obtiene la serie armónica 1

1

n n

∞

=∑ , que es divergente.

Por tanto la serie es absolutamente convergente para los valores

{ } { }0, 0 1 1, 0 1a b b a> < < ∪ = < < .

b) Convergencia




20

Para los valores de a y b para los que la serie es absolutamente convergente, la

serie alternada es convergente. Se trata de estudiar, por tanto los demás casos.

• b = 1, a = 1. Se obtiene las serie1

1( 1)n

n n

∞

=

−∑ , que es convergente ya que la

sucesión 1

n

es decreciente y convergente a 0 (Criterio de Leibnitz).

• b = 1, a > 1 . Se obtiene las serie ( 1)n

n a

n−∑ , que no es convergente ya que

la sucesión ( 1)n

n a

n

− es oscilante y por tanto no se cumple la condición

necesaria de convergencia.

• b > 1, la serie no es convergente por la misma razón que en el caso anterior.

Por tanto la serie es convergente para los valores

{ } { }0, 0 1 1, 0 1a b b a> < < ∪ = < ≤

20 Estudiar la convergencia y convergencia absoluta de la serie

1

cosn

an

x

n

∞

=∑ con 0, ,x aπ ∈ ∈ �

según los valores de x y a.

Solución:

Se trata de una serie de términos que según los valores de x puede ser de

términos positivos o alternada. Por ello estudiamos la convergencia absoluta y

aplicamos el criterio de la raiz para la serie de los valores absolutos:

cos 1lim cos lim cos

n

na n an n

xx x

n n→∞ →∞= = a∀ ∈ �

por tanto




21

• La serie converge absolutamente (y por tanto es convergente) para

valores tales que que cos 1x < , es decir,

cos 1x < ; (0, )x π∈

Los casos 0x = y x π= hay que estudiarlos por separado

• 0x = , se obtiene la serie 1

1a

n n

∞

=∑ que por ser una serie armónica es

convergente si a>1

divergente si a 1

≤

• x π= , se obtiene la serie 1

( 1)n

an n

∞

=

−∑ , serie alternada. Estudiamos según

los diferentes valores de a ∈ �

o Si 0a < , /∃( 1)

limn

an n→∞

− ya que �

0

lim ( 1)n a

na

n−→∞ − >

− = ±∞

o Si 0a = , { }( 1)1,1, 1,1,...

n

an

− = − − luego lim

n→∞/∃

En estos casos no se verifica la condición necesaria de convergencia

por lo que la serie no es convergente.

o Si 0a > , la sucesión 1an

es decreciente y tiende a cero por lo que,

según el criterio de Leibnitz, la serie 1

( 1)n

an n

∞

=

−∑ es convergente.

Luego,

convergente si a 0

a 0no convergente

> ≤

21 Se considera para cada número natural n ∈ � la ecuación:

6 2 13 5

2 2n x − =




22

y se define para cada natural n ∈ � el número na como la suma de las raíces positivas de esta

ecuación. Se pide:

Apartado 1.- Encontrar el supremo, ínfimo, máximo y mínimo del conjunto formado por

los números reales na , es decir, el conjunto

{ }/na n ∈ �

Apartado 2.- Calcular la suma aproximada de la serie 1n

n

a

∞

=∑ con un error menor que una

décima.

Solución:

Apartado 1:

Para cada número natural n consideramos la ecuación 6 2 13 5

2 2n x − = . Las raíces de

esta ecuación son los valores x que cumplen:

6 2 13 5

2 2n x − = ó 6 2 13 5

2 2n x − − =

Nota: En este paso aplico la definición de valor absoluto. Si el valor absoluto

de A es 5/2 es porque A es 5/2 ó A es –5/2. También podría haber elevado al

cuadrado y resolver la ecuación pero me quedaría de grado cuatro y habría que

realizar más cálculos.


6 3

13 5 9 39

2 2n x n x x x

n n− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±


3 3

13 5 4 24

2 2n x n x x x

n n

− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±




23

Para cada n la suma de las raíces positivas de la ecuación 6 2 13 5

2 2n x − = es

3 3

3 2

n n+ .

El conjunto para el que hay que calcular el supremo, ínfimo, máximo y mínimo es

3

5/A n

n

= ∈ � se cumple que el supremo es 5 y el ínfimo es 0. Como el supremo

está en el conjunto (para n=1) se trata del máximo pero el ínfimo no es mínimo

porque no es un elemento del conjunto A.

Apartado 2:

Consideramos la serie 3

1

5

n

Sn

∞

=

= ∑ que es convergente (es una serie armónica

generalizada 1

5p

n n

∞

=∑ con p=3>1) y nS la suma parcial n-ésima de la serie.

Teniendo en cuenta que ( )3

5f x

x= es decreciente y positiva en )1, ∞ se cumple

( ) ( )( ) ( )

3 31

5 5... lim

1 2

h

nh

k n n

S S f k f x dx

n n

∞

→∞= +

− = + + = ≤+ +

∑ ∫

Como

( )3 2 2 2

5 5 5 5lim lim lim

2 2 2

h h

h h hn n

f x dx dxx h n n→∞ →∞ →∞

= = − + =

∫ ∫


está acotado por

2

5

2nerror S S

n= − ≤

Si queremos ahora que este error sea menor que una décima basta encontrar el valor

de n cumpliendo: 2

2

5 125

102n

n≤ ⇔ ≤ . Basta tomar entonces los cinco primeros

sumandos




24

3 3 3 3

5 5 5 5 5

1 2 3 4 5S ≈ + + + +

22

Hallar los valores de a ∈ � para los que la serie ( )2

2

1

21

3

n

nn

aa sen

n∞

=

+ +∑ sea convergente. Dar la

solución en términos de intervalos justificando la respuesta.

Solución:

Por el criterio del cociente

( )

( )( )

( )

( )

( )( )

2

22 2

2 2

2 2

21 2

2

23 1 21lim lim 1 2 332 3

1 13 1 1

n

n

nn n

n

a aasen

an anL a

aa asen

nn

−→∞ →∞

−

+ + + ++= = = < ⇔ + < + − + − +

Luego la serie es absolutamente convergente, y por lo tanto, convergente siempre que

( )2 3 2 3, 2 3a a+ < ⇔ ∈ − − − +

En los casos en los que ( )22

1 2 33

aa

+> ⇔ + > el término general no tiende a

cero luego no es convergente.

Estudiamos los valores de a en los que el criterio del cociente nos da duda.

Caso 1: 2 3a = − − , la serie es:

( ) ( )2 2

2 2

21 1 1

2 3 2 32 3 2 3

1 1 2 3

3 3 1

n n

n nn n n

sen senn n

senn

∞ ∞ ∞

= = =

− − − − − − + − + + − − = = + ∑ ∑ ∑




25

Como 2 2 2

2 3 2 3 1

1 1sen

n n n

− − − − ≈ ≈ + + la serie

21

2 3

1n

senn

∞

=

− − + ∑ es convergente por

comparación con la serie armónica generalizada.

Caso 2: 2 3a = − + , la serie es:

( ) ( )2 2

2 2

21 1 1

2 3 2 32 3 2 3

1 1 2 3

3 3 1

n n

n nn n n

sen senn n

senn

∞ ∞ ∞

= = =

− + − + − + + + + − + = = + ∑ ∑ ∑

Como 2 2 2

2 3 2 3 1

1 1sen

n n n

− + − + ≈ ≈ + + la serie

21

2 3

1n

senn

∞

=

− + + ∑ es convergente por

comparación con la serie armónica generalizada.

Luego el conjunto donde la serie es convergente es el intervalo 2 3, 2 3 − − − + .

23 (a) ¿Es convergente la serie 3 3

1

sen

cosn

n

n n

∞

= +∑ ? Justificar adecuadamente la respuesta.

(b) Determinar la suma parcial enésima que permite calcular

( )31

1

2 1n n

∞

= +∑ con un error menor

que 210−

Solución:

(a) Se tiene que:

3

3 3 3

3 3 3 3 31 cos1 cos

1 11

cos cos 1nn n n

sennn

n n n n n − ≤ − ≤ +

≤ ≤ ≠+ + −

La serie 3

1

1

1n n

∞

= −∑ es convergente por ser del mismo tipo que la serie

3/21

1

n n

∞

=∑ ya

que:




26

3/23

3

3/2

1

1lim lim 11 1n n

nn

n

n

→∞ →∞

− = =−

Por lo tanto, la serie dada es absolutamente convergente y por lo tanto es

convergente.

(b) Consideramos la serie ( )3/2

1

1

2 1n

S

n

∞

=

=+

∑ que es convergente (por comparación

con la serie armónica generalizada: 1

1p

n n

∞

=∑ con p=3/2>1) y nS la suma parcial n-

ésima de la serie.

Teniendo en cuenta que ( )( )3/2

1

2 1f x

x

=+

es decreciente y positiva en )1, ∞ se

cumple

( ) ( )( ) ( )

3/2 3/21

1 1... lim

2 3 2 5

h

nh

k n n

S S f k f x dx

n n

∞

→∞= +

− = + + = ≤+ +

∑ ∫

Como

( )( ) ( ) ( )3/2

1 1 1 1lim lim lim

2 1 2 1 2 12 1

h h

h h hn n

f x dx dxh n nx

→∞ →∞ →∞

= = − + =

+ + + + ∫ ∫


está acotado por

1

2 1nerror S S

n= − ≤

+

Si queremos ahora que este error sea menor que una centésima basta encontrar el

valor de n cumpliendo: 4

2

1 1 999910 2 1

2102 1n n

n< ⇔ < + ⇔ <

+. Basta tomar

entonces los 5000 primeros sumandos

( )

5000

5000 3/21

1

2 1n

S S

n=

≈ =+

∑




27

24 Se considera la serie de números reales ( )1 2

n

n

xx

n n

∞

=

∈+∑ � . Se pide:

(a) Estudiar para qué valores de x es convergente dicha serie

(b) Calcular su suma para x=1.

Solución:

(a) Como x es un número real estudiamos en primer lugar la convergencia

absoluta, es decir la convergencia de la serie de los valores absolutos

( )1 2

n

n

xx

n n

∞

=

∈+∑ �

Aplicando a esta última serie el criterio del cociente:

( )( )

( )

( )( )( )

1

21 3lim lim

1 3

2

n

nn n

x

x n nn nx

n nx

n n

+

→∞ →∞

++ += =

+ +

+

Si 1x < La serie ( )1 2

n

n

x

n n

∞

= +∑ converge absolutamente y por lo tanto es

convergente

Si 1x > La serie ( )1 2

n

n

x

n n

∞

= +∑ diverge absolutamente. Sin embargo el término

general no tiende a cero:

( )1

lim12

n

n

si xx

No existe si xn n→∞

∞ >= < −+

por lo tanto la serie ( )1 2

n

n

x

n n

∞

= +∑ no es convergente.




28

Si x=1 , La serie ( )1

1

2n n n

∞

= +∑ es convergente por el criterio de comparación por paso

al límite sin más que compararla con 2

1

1

n n

∞

=∑

Si x=-1 , La serie ( )( )1

1

2

n

n n n

∞

=

−

+∑ es convergente por el criterio de Leibniz (la sucesión

( )1

2na

n n=

+ es monótona decreciente y tiende a cero).

(b) Calculamos la suma para x=1, es decir, el valor de ( )1

1

2n n n

∞

= +∑ .

Descomponiendo el término general de la serie en fracciones simples:

( )1 1 1

,2 2 2 2

n

A Ba con A B

n n n n

−= = + = =

+ +

La suma parcial n-ésima es:

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 1 ... ...

2 2 3 4 2 3 4 1 2n nS a a a

n n n n

= + + + = + + + + + − + + + + + = + +

1 1 1 1 11

2 2 2 1 2n n

= + − + + +

Luego

1 1 1 1 1 1 1 3lim 1 1

2 2 2 1 2 2 2 4n n n→∞

+ − + = + = + +

y entonces

( )1

1 3

2 4n n n

∞

=

=+∑






29

RESUMEN TEORÍA:

Funciones de una variable

Matemáticas 1

1





Teoría: Funciones de una variable Ingeniería de Telecomunicación


2

Objetivos:

� Conocer la definición de derivada y su interpretación geométrica.

� Calcular derivadas de funciones elementales utilizando las siguientes

técnicas:

o Reglas de derivación (derivada de una suma, producto, cociente).

o Derivada de la función compuesta: Regla de la cadena

o Derivada de la función inversa.

o Derivada de funciones implícitas.

o Derivada de funciones en paramétricas

o Derivada enésima.

� Comprender la aproximación local que proporciona los polinomios de

Taylor

o Encontrar polinomios de Taylor para funciones derivables

o Utilizar el resto de Lagrange para estimar la precisión de la

aproximación.

o Estudiar localmente una función (determinación de extremos)

� Comprender la aproximación global que proporcionan las series de Taylor

o Calcular el campo de convergencia de una serie de potencias

o Desarrollar una función en serie de potencias.

Isaac Newton G.W. Leibnitz



Fundamentos Matemáticos I Teoría: Funciones una variable

3

DERIVADA: DEFINICIÓN

La expresión

( ) ( )f x x f x

x

+∆ −

∆

que es la fórmula de la pendiente de la secante a la gráfica de la función f que

une los puntos ( )( ),x x f x x+∆ +∆ y ( )( ),x f x , se llama el cociente

incremental de f.

f(x+ x)-f(x)∆

∆x

x+ x∆x

f(x+ x)∆

f(x)

La derivada de f en un punto x es el límite del cociente incremental,

( ) ( )0

limx

f x x f x

x∆ →

+∆ −

∆

La derivada representa la pendiente de la tangente a la gráfica de f en el punto

( )( ),x f x . Se representa por ( )´f x ó dy

dx ó df

dx




4

f(x+ x)-f(x)∆

∆x

x+ x∆x

f(x+ x)∆

f(x)

α

α

( ) ( )

0limx

f x x f xtg

xα

∆ →

+∆ −=

∆

TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

Regla del producto por una constante ( ) ( )'

' ,a f x af x a = ∈ �

Regla de la suma ( ) ( ) ( ) ( )'

' 'f x g x f x g x + = +

Regla del producto ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'

' 'f x g x f x g x f x g x = +

Regla del cociente ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

'

2

' 'g x f x f x g xf x

g x g x

− =

Derivada de la función compuesta: Regla de la cadena

Si ( )y f u= es derivable en u y ( )u g x= es derivable en x , entonces la función

compuesta ( )( ) ( )( )y f g x f g x= =� es derivable en x y

( ) ( ) ( )( ) ( )´ ´ ´f g x f g x g x=�

o también ( )dy d df duf g x

dx dx du dx = =




5

x

f(g(x))

g f

g(x)

Derivada de la función inversa

Si f es una aplicación inyectiva y derivable en ox y además ( )' 0

of x ≠ entonces la

función inversa, 1f − , también es derivable en ( )o oy f x= y además

( ) ( ) ( )'

1 1

'o

o

f yf x

− =

x

x

f f-1

f(x)

Derivada enésima

Si ( )y f x= es derivable en un dominio D queda definida la función derivada:

( )' :

'

f D

x f x

→

→

�

si esta función ( )'y f x= a su vez es derivable se puede calcular su derivada,

( ) ( )' 'y f x= , que recibe el nombre de derivada segunda. Se denota,




6

( )2

2''

d yf x

dx=

Este proceso puede continuar y se tendría la derivada de orden n o derivada n-

ésima que consistiría en derivar la función n veces. Si la función es ( )y f x= se

denotará: ( )(n

n

n

d yf x

dx=

FÓRMULA DE LEIBNIZ.- Si f y g son derivables hasta el orden n entonces la

función ( ) ( ) ( )h x f x g x= es derivable hasta el orden n y además

( ) ( ) ( )(( nnh x f g x= ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( 1 ( 1 ' (' ...0 1 1

n n n nn n n nf x g x f x g x f x g x f x g x

n n

− − = + + + + −

RECTA TANGENTE. APROXIMACIÓN LINEAL

Definición (Diferencial).- Sea ( )y f x= una función derivable en un intervalo

abierto que contiene al número x ,

- La diferencial de x es igual al incremento de x, x dx∆ =

- La diferencial de y se define como ( )'dy f x dx=

La diferencial de y para un incremento de x, dx, corresponde el incremento

de la ordenada de la recta tangente correspondiente a ese incremento.




7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5

0

5

10

15

20

25

y=f(x)

(xo,f(xo)

(xo+h,f(xo+h)

Recta tangente

Diferencial

h

∆y=f(xo+h)-f(xo)

alfa

dy

Aproximación lineal: Consideremos la gráfica de una función ( )y f x= derivable en

x c= . Si dibujamos la tangente en el punto ( )( ),c f c vemos que, para un intervalo

pequeño de x , centrado en c , los valores de la función casi coinciden con las

ordenadas de los puntos de la curva. Por esta razón llamamos a la ecuación de la

tangente a la gráfica de f en el punto x c= una linealización de la función en ese

punto.

Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta tangente en el punto ( )( ),c f c tiene

por pendiente ( )´f c se tendrá que su ecuación es:

L(x)=f(c)+f´(c)(x-c)

f(c)L(x)-f(c)=f´(c)(x-c)

( ) ( )( ) ( ) ( )( )´ ´y f c f c x c y f c f c x c− = − ⇔ = + −




8

y se llama a ( ) ( ) ( )( )´L x f c f c x c= + − la linealización de f en c

POLINOMIOS DE TAYLOR

Supongamos que ( )f x es una función derivable n veces en el punto x=a. Se define

el polinomio de Taylor de grado n correspondiente a la función f en el punto x=a

como

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

(

0'' (

2

;!'

...1! 2! !

kn

k

nk

nn

f aT f x a x a

k

f a f a f af a x a x a x a

n

=

= − =

= + − + − + + −

∑

En el caso en que a=0 el polinomio se llama de MacLaurin.

Veamos algunas propiedades que nos permitirán obtener polinomios de Taylor a

partir de otros conocidos

Sean f y g funciones que admiten polinomio de Taylor hasta el grado n en el

punto a entonces se cumplen las propiedades siguientes:

• Linealidad: ( ) ( ) ( ); ; ;n n nT f g a T f a T f aα β α β+ = +

• Derivación, integración: ( ) ( )1; ' ';

n nT f a T f a

− =

• Otras operaciones: Se puede obtener el desarrollo de productos y cocientes de

funciones a partir del desarrollo de cada una de las involucradas.




9

Definición (Resto n-ésimo de Taylor).- Sea f una función para la que existe

( );nT f x a . Se define el resto n-ésimo de Taylor correspondiente a la función f en el

punto x=a, y lo escribiremos ( );nR f x a como

( ) ( ) ( ); ;n n

R f x a f x T f x a = −

La expresión ( ) ( ); ;n nT f x a R f x a + se llama fórmula de Taylor de f(x) de grado

n en el punto x=a.

En las proximidades del punto x=a se verifica no sólo que el resto n-ésimo es

pequeño (infinitésimo) sino que se hace pequeño en comparación con ( )nx a− (es un

infinitésimo de orden superior a ( )nx a− para x=a). Esto se expresa en el siguiente

resultado

TEOREMA DE TAYLOR: Si f es derivable n veces en el punto x=a y ( );nR f x a

es su correspondiente resto de Taylor entonces

( )( )

;lim 0

n

nx a

R f x a

x a→

=−

EXPRESIONES DEL RESTO: Sea f es una función derivable (n+1) veces en un

intervalo abierto I, que contenga al punto x=a. Si ( );nR f x a es el resto n-ésimo de

Taylor correspondiente a la función f en el punto x=a entonces:

(1) Resto de Cauchy

( ) ( )( ) ( )( 1

;!

nn

n

f tR f x a x t x a

n

+

= − −

siendo t un punto intermedio entre a y x.




10

(2) Resto de Lagrange

( ) ( )( ) ( )

( 11

;1 !

nn

n

f tR f x a x a

n

++ = − +

siendo t un punto intermedio entre a y x.

(3) Resto Integral

( ) ( )( )( 1

;!

nxn

n

a

f tR f x a x t dt

n

+

= − ∫

definido si la derivada (n+1) de f es integrable en el intervalo I.

POLINOMIOS DE TAYLOR: APLICACIONES

• Cálculo de valores aproximados (ver hoja 10)

• Cálculo de límites indeterminados

• Estudio local de una función: Determinar máximos y mínimos

Cálculo de límites indeterminados

En el cálculo de límites de funciones surgen las mismas indeterminaciones que

en el caso de sucesiones y se aplican las mismas técnicas para su resolución.

Definición (Infinitésimo).- Llamaremos infinitésimo para x tendiendo a xo a

cualquier función que tienda a cero. Es decir, ( )xϕ es un infinitésimo para x=xo si

( )lim 0o

x xxϕ

→=




11

PROPOSICION.-

(a) La suma, diferencia y producto de infinitésimos es un infinitésimo.

(b) El producto de un infinitésimo por una función acotada en un entorno de xo

es un infinitésimo.

Definición (Infinitésimos del mismo orden, orden superior y orden inferior).- Se dice

que

� ( )xϕ y ( )xµ son dos infinitésimos del mismo orden para o

x x= si

( )( )

lim 0,o

x x

xcon

x

ϕλ λ λ

µ→= ≠ ≠∞

En este caso se escribe ( ) ( )( )x O xϕ µ= .

� ( )xϕ y ( )xµ on equivalentes para o

x x= si ( )( )

lim 1o

x x

x

x

ϕ

µ→=

� ( )xϕ es de orden superior a ( )xµ para o

x x= si ( )( )

lim 0o

x x

x

x

ϕ

µ→= . En este

caso se escribe ( ) ( )( )x o xϕ µ=

Definición (Infinitésimos de orden p).- Decimos que un infinitésimo es de orden p

para o

x x= si ( ) ( )pox O x xϕ

= − es decir, si

( )( )

lim 0,o

px x

o

x

x x

ϕλ λ λ

→= ≠ ≠ ∞

−

PROPOSICION.- El orden de un infinitésimo no varía al sumarle o restarle otro de

orden superior.




12

Consideremos ahora ( )xϕ un infinitésimo de orden p para o

x x= , esto significa

que

( )( )

lim 0,o

px x

o

x

x x

ϕλ λ λ

→= ≠ ≠ ∞

−

En este caso se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p p p p

o o o ox x x o x x x x x o x xϕ λ ϕ λ

− − = − ⇔ = − + −

Entonces al término ( )pox xλ − se le llama parte principal del infinitésimo

( )xϕ para ox x= .

PRINCIPIO DE SUSTITUCION.- Si en una expresión de un límite se sustituye un

factor o divisor por su parte principal o por otro equivalente el valor del límite no se

ve alterado.

IMPORTANTE: Cuando los infinitésimos aparezcan como sumandos la sustitución

de un infinitésimo por otro equivalente puede conducir en general a errores

Tabla de equivalencias

(1) Si 0x → entonces senx x≈

(2) Si 0x → entonces 2

1 cos2x

x− ≈

(3) Si 0x → entonces tgx x≈

(4) Si 0x → entonces ( )log 1 x x+ ≈

(5) Si 0x → entonces ( ) ( )log 1 0k kx x k+ ≈ >




13

(6) Si 0x → entonces 1 logxa x a− ≈

(7) Si 0x → entonces arcsenx x≈

(8) Si 0x → entonces arctgx x≈

(9) Si 0x → entonces ( )1 1ax ax+ ≈ +

(10) Si 0x → entonces ( ) término de menor gradonP x ≈

Definición (Infinitos).- Llamaremos infinito para x tendiendo a ox a cualquier

función ( )xω que tienda a infinito. Es decir, ( )xω es un infinito para o

x x= si

( )limo

x xxω

→=∞

OBSERVACION.- Todo lo visto anteriormente para infinitésimos puede aplicarse a

infinitos teniendo en cuenta que si ( )xω es un infinito para o

x x= entonces

( ) ( ) o

1es un infinitésimo para x=xx

xϕ

ω=

es un infinitésimo. En particular, la sustitución de infinitos en la expresión de

un límite se rige por las mismas reglas que las de los infinitésimos.

Definición (Infinitos de orden inferior, superior).- Se dice que ( )xω y ( )xτ dos

infinitos para o

x x= se dice que:

� ( )xω es un infinito de orden inferior a ( )xτ para ox x= si

( )( )

lim 0o

x x

x

x

ω

τ→=

� ( )xω es un infinito de orden superior a ( )xτ para ox x= si

( )( )

limo

x x

x

x

ω

τ→= ∞




14

� ( )xω es un infinito del mismo orden que ( )xτ para ox x= si

( )( )

lim 0,o

x x

x

x

ωλ λ λ

τ→= ≠ ≠ ∞

En el caso particular de que λ entonces se dice que son equivalentes.

Definición (Infinito de orden p).- Decimos que un infinito ( )xω para ox x= es de

orden p si

( )

( )

lim 0,1o

x x

p

o

x

x x

ωλ λ λ

→= ≠ ≠∞

−

continuación, se dan en la tabla los denominados órdenes fundamentales de

infinitud. Según se avance de izquierda a derecha en las columnas los órdenes van

decreciendo.

Potencial -

Exponencial

Exponencial Potencial Logaritmo

0

axx

a >

1

xb

b >

0

cx

c > ( )log

1 0

p

qx

q p> >

APLICANDO POLINOMIOS DE TAYLOR

Sea ( )y f x= una función que es infinitésimo para x=a que tiene todas sus

derivadas nulas hasta el orden k-1 en el punto a y que ( )( 0kf a ≠ , entonces se

cumplirá:

( ) ( )( ) ( )(

!

kk kf a

f x x a o x ak

= − + −




15

de lo que se deduce que el orden del infinitésimo ( )y f x= para x=a es k y su parte

principal es ( )(

!

kf a

k.

Estudio local de una función

Consideremos una función ( )y f x= con derivadas hasta el orden n+1 en el punto

a. Se cumple que:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )(

2''' ...

2! !

nn nf a f a

f x f a f a x a x a x a o x an

− = − + − + + − + −

Supongamos que ( ) ( ) ( )( 1' '' ... 0nf a f a f a−= = = = , entonces

• Si n es par y ( )( 0nf a > entonces en el punto “a” la función tiene un mínimo

local

• Si n es par y ( )( 0nf a < entonces en el punto “a” la función tiene un máximo

local

• Si n es impar en el punto “a” hay un punto de inflexión.

SERIES DE POTENCIAS. SERIES DE TAYLOR

Una expresión de la forma

( ) ( ) ( )2

1 20

...n

o nn

a a x a a x a a x a∞

=

+ − + − + = −∑

Recibe el nombre de serie de potencias centrada en el punto a. Una serie de

potencias puede ser interpretada como una función de x




16

( ) ( )0

n

nn

f x a x a∞

=

= −∑

Convergencia de una serie de potencias

El dominio de la función ( ) ( )0

n

nn

f x a x a∞

=

= −∑ será el conjunto de valores de x

donde la serie converge y el valor de ( )f x será precisamente la suma de la serie.

Nota: Es evidente que la serie converge en el punto a

( ) ( )0

n

n on

f a a a a a∞

=

= − =∑

TEOREMA DE ABEL.

Se considera la serie ( )0

n

nn

a x a∞

=

−∑ . Entonces se cumple una y solo una de las

afirmaciones siguientes:

(a) La serie converge solo en a

(b) Existe un número 0R > de forma que la serie converge en x a R− < y no

converge en x a R− >

(c) La serie converge para todo x ∈ �

Puede decirse que la serie converge siempre en un intervalo de la forma

( ),a R a R− + considerando que en el caso (a) el valor de R es cero y en el caso (c)

el valor de R es infinito. Al número R se le llama radio de convergencia y al

intervalo ( ),a R a R− + intervalo de convergencia. Es importante notar que el

teorema no dice nada sobre la convergencia en los extremos de dicho intervalo.




17

TEOREMA.

Si la función viene definida por una serie de potencias ( )0

n

nn

a x a∞

=

−∑ . Entonces se

cumple una y solo una de las afirmaciones siguientes:

(a) La serie converge solo en a

(b) Existe un número 0R > de forma que la serie converge en x a R− < y no

converge en x a R− >

(c) La serie converge para todo x ∈ �

TEOREMA.

Si la función f viene definida por una serie de potencias ( )0

n

nn

a x a∞

=

−∑ con radio de

convergencia 0R > entonces

(a) f es continua en todo punto interior al intervalo de convergencia.

(b) f es derivable en el intervalo de convergencia y su derivada ( )'f x puede

obtenerse mediante la derivación término a término: ( ) ( ) 1

1

'n

nn

f x na x a∞ −

=

= −∑

siendo el radio de convergencia de esta serie también R.

(c) f es integrable en el intervalo de convergencia y, además, se puede integrar

término a término:

( ) ( ) ( ) 1

0 0 1

n nn

nn n

af x dx a x a dx x a k

n

∞ ∞ +

= =

= − = − + +∑ ∑∫ ∫

siendo el radio de convergencia de esta serie también R.




18

Desarrollo de una función en serie de potencias

Ahora analizamos el problema de encontrar el desarrollo en serie de potencias de una

función ( )f x analizando qué condiciones debe cumplir ( )f x para que pueda

encontrarse una serie de potencias ( )0

n

nn

a x a∞

=

−∑ que converja a ( )f x .

Recordemos ahora el Teorema de Taylor que permitía expresar el valor de una

función mediante su polinomio de Taylor.

FÓRMULA DE TAYLOR: Si la función f es derivable n+1 veces en un intervalo

( ),a R a R− + entonces

( ) ( ) ( );n n

f x T f a R x= +

siendo ( ) ( )( )(

0

;!

kn

k

nk

f aT f a x a

k=

= −∑ el polinomio de Taylor de grado n de f

en el punto a y Rn el resto del polinomio que cumple:

( )( )

lim 0n

nx a

R x

x a→

=−

Considerando la expresión de Lagrange del resto se tendrá:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ( 11

0 ! 1 !

k nn

k n

k

f a f cf x x a x a

k n

++

=

= − + −+

∑

con c un punto intermedio entre a y x.

TEOREMA: Si la función f es infinitamente derivable en un intervalo I abierto

centrado en a y si ( )nR x es el resto de la fórmula de Taylor entonces:

( ) ( )( ) ( )(

0

lim 0!

nn

nnn

f af x x a R x

n

∞

→∞=

= − ⇔ =∑




19

La serie ( )( )

(

0 !

nn

n

f ax a

n

∞

=

−∑ se llama Serie de Taylor de la función ( )f x .

Importante: Puede probarse que si existe una constante 0k > de forma que

( )(nf x k≤ para todo 0n ≥ , x I∈

entonces

( ) ( )( )(

0 !

nn

n

f af x x a

n

∞

=

= −∑

Ejemplos: Teniendo en cuenta los últimos resultados se pueden obtener los siguientes

desarrollos en serie de Taylor de algunas funciones elementales:

2

0

1 ...! 1! 2!

nx

n

x x xe x

n

∞

=

= = + + + <∞∑

( ) ( ) ( )2 1 3 5

0

1 ...3! 5!2 1 !

nn

n

x x xsen x x x

n

+∞

=

= − = − + − <∞+

∑

( ) ( ) ( )2 2 4

0

cos 1 1 ...2! 4 !2 !

nn

n

x x xx x

n

∞

=

= − = − + − <∞∑

2

0

11 ... 1

1n

n

x x x xx

∞

=

= = + + + <− ∑

( ) 2

0

11 1 ... 1

1

nn

n

x x x xx

∞

=

= − = − + − <+ ∑

( ) ( )( ) ( ) ( ) 2

0

1 2 ... 1 11 1 ... 1

! 2!

kn

n

k k k k n k kx x kx x x

n

∞

=

− − − + −+ = = + + + <∑




20

Teniendo en cuenta la dificultad de encontrar la derivada enésima para muchas

funciones y de probar que el resto enésimo tiende a cero cuando n tiende a infinito es

frecuente, para encontrar el desarrollo de una función en serie de potencias, utilizar

funciones de las que ya se conoce su desarrollo y luego integrar, derivar o realizar

operaciones algebraicas como se indican en el siguiente resultado:

Si ( )0

n

nn

f x a x∞

=

=∑ y ( )0

n

nn

g x b x∞

=

=∑ en ( ),R R− entonces

• ( ) ( ) ( )0

n

n nn

f x g x a b x∞

=

± = ±∑ en ( ),R R−

• ( )0

n n

nn

f kx a k x∞

=

=∑ en ,R R

k k

−

• ( )0

k nk

nn

f x a x∞

=

=∑ en ( ),k kR R− siendo k>0

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Una ecuación de la forma ( ), 0F x y = define a la variable y como función x

( ( )y f x= ) en un cierto dominio D si se verifica que para todo x en D existe un

único y de forma que ( ), 0F x y = .

Cuando, para este tipo de funciones no se pueda despejar la variable y

explícitamente en términos de x , y se quiere obtener la derivada, dy

dx , se procede

de la siguiente forma:

1. Se deriva ambos miembros de la expresión con respecto a x,

aplicando la regla de la cadena sabiendo que y es función de

x , es decir, ( )y y x= .




21

2. Se despeja la expresión dy

dx.

En general, el valor obtenido para dy

dx es

derivar la función F respecto a x considerando y como constante

derivar la función F respecto a considerando como constantedy

dx y x= −

DERIVACIÓN PARAMÉTRICA

En algunas ocasiones la ecuación de una curva no está dada en la forma ( )y f x= ó

( ), 0F x y = sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos de una

misma variable.

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones 2 2

1

x t t

y t

= − = + con t ∈ � .

Se tiene que a cada valor de t le corresponde un punto (x,y) del plano. En el ejemplo

anterior, la siguiente tabla de valores:

t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x 24 15 8 3 0 -1 0 3 8 15

y -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente manera:




22

En general, las ecuaciones ( )( )

x g t

y h t

= = , con g, h funciones continuas en un intervalo

real I, reciben el nombre de ecuaciones paramétricas o representación paramétrica de

una curva en el plano XY. La gráfica de las ecuaciones paramétricas está dada por el

conjunto de puntos del plano XY, que se obtiene cuando t, que recibe el nombre de

parámetro, toma todos sus valores posibles en el dominio I.

TEOREMA: Sean ( ) ( ),g t h t funciones derivables en un intervalo (c, d). Supongamos

que g tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde

( )' 0g t ≠ , las ecuaciones ( )( )

x g t

y h t

= =implican que existe una función derivable f tal

que ( )y f x= , y además

( )( )'

'

dyh tdy dt

dx dx g t

dt

= =

Nota: Si detectas algún error o errata ponte en contacto con la profesora para su

corrección.


Funciones de una variable

Matemáticas 1

1





Ejercicios: Funciones una variable Ingeniería de Telecomunicación


2

1 En el siguiente gráfico se considera una función ( )y f x= . Representa la derivada en el

punto x, el incremento de ( )y f x= para un incremento de x, x∆ , y la diferencial de

( )y f x= en x para x∆ . Calcula estos dos valores para xy x= en el punto 2x = .

f(x+ x)-f(x)∆

∆x

x+ x∆x

f(x+ x)∆

f(x)

α

α

Solución:

log logxx y x x y= → =

Derivando implícitamente

( ) ( )'

log ' log 1 ' log 1xx yx y y x y x x

x y+ = → = + → = +

Para x=2

( ) ( )2' 2 2 log2 1y = +

( )22 log2 1dy x= + ∆

2 Deduce la derivada de la función y arcsenx=

Solución:

Sea y arcsenx= entonces



Fundamentos Matemáticos I Ejercicios: Funciones una variable

3

seny x=

Derivando respecto a x:

( )2 2

1 1 1cos ' 1 '

cos 1 1y y y

y sen y x= ⇒ = = =

− −

3 Hallar la derivada enésima de ( ) ( ) ( )2 cos 2f x sen x x= en x=0 (utilizar fórmula del seno del

ángulo doble)

Solución:

Teniendo en cuenta que: ( ) ( ) ( ) ( )1

2 cos 2 42

f x sen x x sen x= = se tiene:

( ) ( )' 2 cos 4f x x=

( ) ( )'' 2 4 4f x sen x= − ⋅

( ) ( )2''' 2 4 cos 4f x x= − ⋅

( ) ( )32 4 4ivf x sen x= ⋅

Luego, para todo 1n ≥

( ) ( ) ( )(2 2 11 2 4 4nn nf x sen x−= − ⋅

( ) ( ) ( )1(2 1 2 21 2 4 cos 4

nn nf x x+− −= − ⋅

Otra forma: Teniendo en cuenta que:

( )cos2

senπ

α α

= +

se tiene que:

( ) ( )' 2 cos 4 2 42

f x x sen xπ = = +

( )'' 2 4 cos 4 2 4 42 2 2

f x x sen xπ π π = ⋅ + = ⋅ ⋅ + +

( ) 2 2''' 2 4 cos 4 2 2 4 4 32 2

f x x sen xπ π = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅




4

…

-

Fórmula que se demuestra por inducción sobre n.

4 Se considera la ecuación: 2

2 3

24 6

d y dyx x y x

dxdx− + =

y se realiza el cambio tx e= . Escribir la ecuación después de haber realizado el cambio

considerando la variable y dependiente de t .

Solución:

Se tiene el siguiente árbol de dependencia:

y-----x-----t

Aplicando la regla de la cadena:

tdy dy dx dy dye

dt dx dt dx dt

−= ⇒ = (1)

Aplicando nuevamente la regla de la cadena derivando respecto de x sabiendo

que

x-----t

2 2

2 2

log1 t

t t t t

t xdt

edx x

d y d dy d dy dt dy d ye e e e

dx dx dt dt dx dtdx d t

−

− − − −

=

= =

= = = − + (2)

Sustituyendo en la ecuación dada:




5

2

2 2 2 3

24 6t t t t t tdy d y dy

e e e e e y edt dtd t

− − − − + − + =

2

3

24 6 tdy d y dy

y edt dtd t

− + − + =

2

3

25 6 td y dy

y edtd t

− + =

5 Sea ( ) ( )g x f senx= , sabiendo que ( )' 0 0f = calcular ( )'g π . Comprueba además el

resultado obtenido para una función f concreta.

Solución:

Aplicando la regla de la cadena,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' cos ' ' cos ' 0 1 0g x f senx x g f sen fπ π π= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ − =

Por ejemplo, podemos considerar ( ) ( ) ( ) ( )22f x x g x f senx senx= ⇒ = =

Se tendría para este ejemplo ( ) ( )( ) ( )' 2 cos ' 2 cos 0g x senx x g senπ π π= ⇒ = ⋅ =

6 Dada la curva 2 2 2 6 6 0x y x y+ − + + = , se pide representarla y calcular la recta tangente y

normal a dicha curva en el punto P( )2, 3 3− + .

Solución:

Completando cuadrados

( ) ( )22 22 2 22 6 6 2 6 1 1 66 3 9x y x y x yx y yx++ − + + = − + + = − − −+ ++

Se tiene que




6

( ) ( )2 22 2 2 6 6 0 1 3 4x y x y x y+ − + + = ⇔ − + + =

luego la curva es una circunferencia centrada en el punto (1, -3) y de radio 2.

Para calcular la pendiente de la recta tangente calculamos la derivada en el

punto P. Derivando implícitamente:

2 22 2 ' 2 6 ' 0 '

2 6

xx yy y y

y

−+ − + = ⇔ = −

+

en el punto P

( )2 2 2 1

'2 3 3 6 3

Py⋅ −

= − = −− + +

la ecuación de la recta tangente es:

( ) ( )1

3 3 23

y x= − + − −

y la de la recta normal

( ) ( )3 3 3 2y x= − + + −

-3 -2 -1 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y

P

recta tangenterecta normal




7

7 Un punto P se mueve sobre la parábola 2x y= situada en el primer cuadrante de forma

que su coordenada x está aumentando a razón de 5 cm/seg. Calcular la velocidad a la que

el punto P se aleja del origen cuando x=9.

Solución:

Se trata de un problema de razón de cambio relacionadas. La función

distancia de un punto situado en las coordenadas (x, y) al origen es:

( ) ( ) ( )2 2d t x t y t= +

Si el punto (x, y) está en la parábola 2x y= será:

( ) ( ) ( )2d t x t x t= +




8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

x=y2

y(t)

x(t)

d(t)

La velocidad a la que se aleja del origen aplicando la regla de la cadena es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1/2

21' 2 ' '

2d t x t x t x t x t x t

−= + ⋅ +

En el instante en que x=9 y teniendo en cuenta que ( )' 5 /x t cm seg= se

concluye que la velocidad a la que el punto P se aleja del origen es:

( ) ( )1/2

21 95 959 9 2 9 5 5

2 2 90 6 10

−+ ⋅ ⋅ + = =

8 Determina el punto de corte de la recta tangente a la gráfica de ( ) logxf x x= en el punto x=e

con el eje X.




9

Utilizando la regla de la cadena (derivación logarítmica)

( ) ( ) ( )( )( )

2log' 2 log

log log logxf x x

f x x xf x x

= = ⇒ =

( ) log 2 log' x xf x x

x= ( ) log 2 log

' 2e ef e e

e= =

luego la recta tangente es:

( )2y e x e− = −

que corta al eje X en el punto ( )0 2 , 02 2

e ee x e x

− = − ⇔ =

9 En una empresa la fuerza laboral L se mide en horas-trabajador y es una función del

tiempo, ( )L f t= . Sea ( )M g t= la producción media por persona. Suponga que la

producción Q está dada por el producto LM. En cierto momento la fuerza laboral L está

creciendo a un ritmo de 4% anual y la producción media está creciendo a una razón de

5% al año. Encontrar la razón de cambio de la producción total cuando Q=10.

Solución:

Datos del problema:

( ) ( )Q LM f t g t= =

0 ' 04

0 ' 05

dLL

dtdM

Mdt

= ⋅

= ⋅

Se pide:




10

dQ dL dMM L

dt dt dt= ⋅ + ⋅

10

0 ' 04 0 ' 05 0 ' 09 0 ' 09 0,9Q

dQL M L M L M Q

dt =

= ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

10 Calcular dy

dx suponiendo que y(x) está dada implícitamente por la ecuación arctgyx yChx= .

Solución:

Tomando logaritmos a ambos lados de la expresión:

arctgyx yChx=

se obtiene

( )1log log

2arctgy logx y Chx⋅ = +

Derivando implícitamente respecto de x:

2

' log '

21

y x arctgy y Shx

x y Chxy+ = +

+

Reagrupando los términos en y’:

2

' log '

21

y x y Shx arctgy

y Chx xy− = −

+

Despejando y’

( )22

2 1'

2 log 1

y ydy xThx arctgyy

dx x y x y

+−= = ⋅

− −




11

Nota: El ejercicio se puede resolver derivando respecto de x a ambos lados de

la igualdad implícitamente:

( ) ( )arctgyd dx yChx

dx dx=

• Derivación implícita del término de la izquierda:

( )( )( ) log logarctgyh x x h x arctgy x= = ⋅

( )( ) 2

' ' 1log

1

h x yx arctgy

h x xy= ⋅ + ⋅

+

( )2

' 1' log

1

arctgy yh x x x arctgy

xy

= ⋅ + ⋅ +

• Derivando implícitamente el término de la derecha:

1'

2y Chx y Shx

y⋅ ⋅ + ⋅

Entonces se tendrá:

2

' 1 1log '

1 2

arctgy yx x arctgy y Chx y Shx

xy y

⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ +

Despejando y’:

2

log 1'

1 2

arctgyarctgy x arctgy x

y x Chx y Shxxy y

⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − +

2

'log 1

1 2

arctgy

arctgy

arctgy xy Shx

xyx

x Chxy y

⋅⋅ −

=

⋅ − ⋅+

Operando se puede llegar al resultado:




12

( )22

2 1'

2 log 1

y ydy xThx arctgyy

dx x y x y

+−= = ⋅

− −

11 Un depósito de agua es cónico, con el vértice hacia arriba, y tiene 40 m. de alto y 20 m.

de radio en la base. El depósito se llena a 380 / minm . ¿A qué velocidad se eleva el nivel

de agua cuando la profundidad del agua es de 12 m.?

Nota: El volumen de un cono de altura h y radio de la base r es: 21

3V r hπ= ⋅ ⋅

Solución:

En cualquier instante de tiempo el volumen V es

( )2 21 120 40 40

3 3V r hπ π= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

donde r y h son funciones del tiempo. Además estás dos funciones están

relacionadas de la manera siguiente:

40 20 40

40 2

hr

h r

−= =

−

h

40

20

r 40-

h




13

En consecuencia el volumen en un instante t es:

( )( )

3

2401 1

20 403 3 4

h tV t π π

− = ⋅ ⋅ − ⋅

Derivando respecto de t en ambos lados de la igualdad

( )23

403 4

dV dhh t

dt dtπ = ⋅ − ⋅

En el instante en el que h=12 m el deposito se llena a 380 / minm luego,

2 2080 40 12 0 '13 / min

4 49

dh dhm

dt dt

π

π

= ⋅ − ⇒ = ≈

Ejemplo: ( ) ( ) ( )2 2log 1f x sen x x= + +

Polinomio de Taylor de grado 1 (recta tangente) en x=0

( )( )1 , 0 0T f x =




14

Polinomio de Taylor de grado 2:

( )( ) 22 , 0 2T f x x=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 22 22 ,0 , 0 0f x x R f x R f x x para x= + = Ο =




15

Polinomio de Taylor de grado 4:

( )( ) 2 44

1, 0 2

2T f x x x= −

( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 4 44 4

12 , 0 , 0 0

2f x x x R f x R f x x para x= − + = Ο =




16

12 Se considera la función ( )1

1f x

x=

+

(a) Calcula una estimación del error de la aproximación de ( )1

1f x

x=

+ por su

polinomio de Taylor de grado 2 en el punto 0a = cuando x pertenece al intervalo

10

2x≤ ≤

(b) Calcula para esta función la diferencial en 0a = e 0.5x∆ = . Haz un bosquejo de esta

función y representa el valor obtenido.

(c) ¿Puedes dar una cota del error que se comete al aproximar 2

3por 1?

Solución




17

(a) Consideramos la función ( )1

1f x

x=

+ derivando

( ) ( ) ( )1/2

1 0 1f x x f−

= + =

( ) ( ) ( )3/21 1

' 1 ' 02 2

f x x f−− −

= + =

( ) ( ) ( )5/2

2

1 3 3'' 1 '' 0

42f x x f

−⋅= + =

El polinomio de Taylor de grado 2 es:

( )( ) 22

1 3, 0 1

2 8T f x x x= − +

Utilizando el resto de Lagrange el error es

( ) ( )( )( )

( )'''

7/23 32 3

1 3 5;0 1 intermedio 0

3! 2 3!

f cf x T f x x c x c punto a y a x

⋅ ⋅− = = +

Si 1

02

x≤ ≤ el error una estimación del error es

( )

( ) ( )7/2 7/2

37/2 3

71

02

1 1 1

1 1 1

5 5 1 51

16 16 2 2c x

c x

x c

c x

− −

−

≤ ≤ ≤

≤ + ≤ +

+ ≤ + ≤

+ = ≤

(b) La diferencial es:

( )1

' 0 0,5 0,252

dy f x−

= ∆ = ⋅ = −




18

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y=f(x)

(xo,f(xo)

(xo+h,f(xo+h)

Recta tangente

Diferencial

h

∆y=f(xo+h)-f(xo)

alfa

dy

Para que se vea mejor la gráfica corresponde a un incremento de valor 3.

(c) Se está pidiendo calcular una cota del error de sustituir 1 1 2

2 311

2

f = =

+

por ( )0 1f = . Es decir acotar y∆ que sabemos que para incrementos pequeños se

puede aproximar por la diferencial, luego, 0.25y∆ ≈ .

Otra forma es utilizar el resto de Lagrange

( )( )'1 1

0 02 1! 2

f cy f f x con c

∆ = − = < <

es decir,

( ) ( )3/21 1 1

0 1 02 2 2

f f c x con c− − = − + < <

Por el mismo razonamiento que antes

( ) ( )3/21 1 1 1

0 1 0,252 2 2 2

f f c x− − = − + ≤ ⋅ =

13 Sea ( ) ( )log 1f x x x= + . Se pide:

(a) Escribir la fórmula de Taylor para f(x) en x=0 de orden n con el resto de

Lagrange.




19

(b) Dar una cota del error al aproximar 1 11log

10 10

mediante el polinomio de Taylor

de grado 3.

Solución:

(a)

( ) ( )log 1f x x x= +

En primer lugar calculamos la derivada n-ésima.

Método 1: Calculamos las derivadas sucesivas

( ) ( )' log 11

xf x x

x= + +

+

( )( )

( )( ) ( )

1 2

2

11'' 1 1

1 1

x xf x x x

x x

− −+ −= + = + + +

+ +

( ) ( )( ) ( )( )2 3

''' 1 1 2 1f x x x− −

= − + + − +

( ) ( )( )( ) ( )( )( )3 4

1 2 1 2 3 1ivf x x x− −

= − − + + − − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( 1 2 ! 1 1 1 ! 1

n n n nnf x n x n x− − −

= − − + + − − + =

�

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1 2 !11 2 !

1 1 1

nn

n n n

x n n xnn

x x x

+ − − + −

= − − + = + + +

( ) ( ) ( )( 0 1 2 !nnf n n= − −

( ) ( )( )

( 0 12

! 1

nnfn

n n

−= ≥

−

Método 2: Aplicando la fórmula de Leibniz




20

( ) ( ) ( )( ( 1( log 1 log 1

0 1

n nnn n

f x x x x− = + + +

Calculamos entonces la derivada n-ésima de ( ) ( )log 1g x x= +

( ) ( )11

' 11

g x xx

−= = +

+

( ) ( )( )2

'' 1 1g x x−

= − +

( ) ( )( )( )3

''' 1 2 1g x x−

= − − +

( ) ( ) ( ) ( )1( 1 1 ! 1 2

n nng x n x n+ −

= − − + ≥

�

En el origen ( )' 0 1g = , ( ) ( ) ( )1( 0 1 1 ! 2

nng n n+

= − − ≥

Nota: En esta última expresión si consideramos n=1 se obtiene la derivada

primera en el origen por lo que puede considerarse válida para

( ) ( ) ( )1( 0 1 1 ! 1

nng n n+

= − − ≥

Por lo tanto,

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

1

(

1

1 1 ! 1 2 !

1 1

1 2 ! 1 2 !1 1

1 1

n n

n

n n

n n

n n

n nf x x n

x x

n n x nx n n x

x x

+

−

− − − −= + =

+ +

− − − − += − − + + =

+ +

( ) ( ) ( )( 0 1 2 !nnf n n= − −

( ) ( )( )

( 0 12

! 1

nnfn

n n

−= ≥

−

La fórmula de Taylor será:

( )( ) ( )

( )

( 12 1

1log 1 ... 0

1 1 !

n n

n nf t

x x x x x con t entre y xn n

++

−+ = + + +

− +




21

Como

( )( ) ( ) ( )

( )

1

( 1

1

1 1 ! 1

1

n

n

n

n x nf x

x

+

+

+

− − + +=

+

el resto es:

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1( 11 1

1

1 1

1 ! 1 1

nn

n nn n

f t t nR x x

n n n t

+++ +

+

− + += =

+ + +

Apartado (b) Si consideramos 1

10x = la aproximación por este polinomio es

( )11 1 1 1log 1 ...

10 10 100 1 10

n n

n

− + ≈ + + −

cometiéndose por error,

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

1 1 1 10

10 101 1

n n

n n

t nError R con t entre y

n n t

+ +

+

− + + = = + +

Una cota del error para n=3 es:

( ) ( )

( )

4 4

4

4 5

1 4 1

1012 1

1 1 41 14 0

10 1012 10 12 10

tError

t

t

− + = ≤ + ≤ + = < < ⋅ ⋅

Donde se ha tenido en cuenta que:

� Si ( )1 1 41

0 4 410 10 10

t t< < ⇒ + < + =

� Si ( )1 11

0 1 110 10

t t< < ⇒ < + < ⇒

( )( )

44

4 4

11 1 11 1 1

10 11 1

10

t

t

⇒ < + < ⇒ < < +




22

Por lo tanto una cota del error podría ser: 5

41

12 10Error ≤

⋅

14 Considera la función ( ) 1f x x x= + .

(a) Determina la expresión del resto n-ésimo del polinomio de Taylor de la función en

x=0

(b) Determina el grado del polinomio de Taylor de la función ( )f x en x=0 que permite

aproximar 2 con un error menor que una décima.

Solución:

(a) Aplicando la fórmula de Leibniz para obtener la derivada n-ésima de

( ) 1f x x x= +

Se tiene que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/2( ( ( 1 1 1

0 1n n n

n nf x xg x g x siendo g x x x−

= + = + = +

Por inducción puede probarse que

( )

( ) ( )( )

( )( )

2 1

2(

1

2

1 1 3 ... 2 31 2

21

1 12

nn

nn

nx n

g x

x n

− −

−

− ⋅ ⋅ ⋅ − + ≥= − + =

Podemos considerar que la derivada

( )( ) ( )

( )2 1

( 21 1 3 ... 2 3

12

nn

n

n

ng x x n

− − − ⋅ ⋅ ⋅ −

= + ∈ �

tomando como convenio que en la fórmula anterior se tomará

( ) ( )1 3 ... 2 3 1 2 3 1n si n⋅ ⋅ ⋅ − ≡ − <

Luego,




23

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1 1

(

2 1 2 31

1 1 3 5... 2 3 1 1 3 5... 2 5

2 1 2 1

n n

n

n nn n

n nf x x n

x x

+ +

− −−

− ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ −= +

+ +

La expresión del resto n-ésimo es:

( )( )

( )

( 11,

1 !

n

nn

f tR f x x

n

++=

+ con t un punto intermedio entre 0 y x

sustituyendo

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1( 1 11

2 1 2 11

1 1 3 5... 2 1 1 1 3 5... 2 3

1 ! 1 !2 1 2 1

n nn nn

n nn n

f t n n xx t n

n nt t

+ ++ ++

+ −+

− ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ −

= + + + + +

con t un punto intermedio entre 0 y x.

(b) Se tiene que ( )1 2f = luego se trata de determinar el valor de n de forma

que

( )( )

( )

( 11 1

,1 11 ! 10

n

nn

f tR f

n

++= <

+ siendo t un punto intermedio a 0 y a 1.

Se tiene, aplicando la desigualdad triangular,

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 1

2 1 2 11

1 1 3 5... 2 1 1 1 3 5... 2 31,1

1 !2 1 2 1

n n

nn nn n

n nR f t n

nt t

+ +

+ −+

− ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ −= + ≤

++ +

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )1 2 1 2 1

1 3 5... 2 1 1 3 5... 2 3 1

1 ! 2 1 !21 1n nn n

n n nt

n nt t+ + −

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅≤ +

+ ⋅ ++ +

siendo t un punto intermedio a 0 y a 1.

Como ( ) ( )0 1 1 1 2 1 1 2kk kt t t si k es natural< < ⇒ < + < ⇒ < + <




24

( )( )

11 1 1 2 1

1

kk k

kt si k es natural

t

⇒ = < + < ⇒ <

+

Luego,

( )( )

( )

( )

( )1

1 3 5... 2 1 1 3 5... 2 3,1

1 ! 2 1 !2n n n

n n nR f

n n+

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅≤ +

+ ⋅ +

Para resolver el problema basta encontrar el número n que hace que:

( )

( )

( )

( )1

1 3 5... 2 1 1 3 5... 2 3 1

101 ! 2 1 !2n n

n n n

n n+

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅+ ≤

+ ⋅ +

Dando valores a n vemos que se cumple para n=3, es decir,

( )3 4 3

1 3 5 1 3 3 1,1

104!2 4 !2R f

⋅ ⋅ ⋅ ⋅≤ + ≤

y el polinomio que se ha de tomar es de grado 3.

15 Calcular mediante el polinomio de Taylor con un error menor que una décima el valor

de 3 2

1

e Representar de forma aproximada la gráfica de la función y del polinomio de

Taylor obtenido en el apartado anterior.

Solución:

(a) Observamos que 2/3

3 2

1e

e

−= . Una posibilidad para hacer el ejercicio es

tomar como función ( ) xf x e= . El punto donde desarrollaremos será a=0 y

el punto donde aproximaremos la función por el polinomio de Taylor será

2

3x = −

Como

( ) ( )( ( 0 1n x nf x e n f n= ∀ ∈ ⇒ = ∀ ∈� �

es sencillo ver que la fórmula de Taylor es




25

( ) ( )2

1 ... ,2! !

n

n

x xf x x R f x

n= + + + + +

donde ( )( )

1

,1 !

t n

n

e xR f x

n

+

=+

siendo t un punto intermedio a 0 y a “x”

Haciendo 2

3x = − se tiene que el error al sustituir 2/32

3f e− − =

por el

polinomio de Taylor de grado n en el punto –2/3 es

( )

12

2 3,

3 1 !

n

t

n

e

R fn

+ − − = + siendo

20

3t− < <

Como

( ) ( ) ( )0

1 1

1

120

31

2 21

2 3 3 2,

3 1 ! 1 ! 3 1 !t

n n

tn

n nt

e e

e

R fn n n

+ +

+

+− < <

⇒ < =

− ⋅ − = ≤ = + + +

Hay que encontrar el valor de n que hace

( )( )

11 1

1

2 110 2 3 1 !

103 1 !

nn n

nn

n

++ +

+< ⇔ ⋅ < +

+ (I)

ya que así se tendrá:

( )

1

1

2 2 1,

3 103 1 !

n

n nR f

n

+

+

− ≤ < +

Dando valores a n en la desigualdad (I)

2 21 10 2 3 2!n NO= ⇒ ⋅ < ⋅

3 32 10 2 3 3!n SI= ⇒ ⋅ < ⋅

Luego el polinomio buscado es el segundo

2

2/3

3 2

2

1 2 3 2 2 51 1

3 2! 3 9 9e

e

−

− −= ≅ + + = − + =




26

16 La fórmula de Machin

1 1 14

4 5 239arctg arctgπ = −

puede usarse para aproximar los valores de π . Utilizar el desarrollo de Taylor de la

función ( )arctg x hasta tercer orden y la fórmula de Machin para calcular el valor de π .

Dar una cota para el error de la aproximación justificando adecuadamente la respuesta.

Nota: En el caso de cálculos finales se puede dejar indicada la operación.

Solución:

Se considera la función ( ) ( ) 0f x arctg x a= =

Las derivadas necesarias son:

( ) ( )2

1' ' 0 1

1f x f

x= =

+

( )( )

( )2

2

2'' '' 0 0

1

xf x f

x

−= =

+

( )( )

( )2

32

6 2''' ''' 0 2

1

xf x f

x

−= = −

+

( )( )

( )

3

42

24

1

ivx x

f x

x

−=

+

El polinomio de Taylor en a=0 es: 33

1

3P x x= −

El error:




27

( ) ( )( )

( )3

34 43 3 2

24

4! 1

t tf x P x R x x x x

t

−− = = ≤ +

+ (*)

siendo t un punto intermedio entre 0 y x.

El valor aproximado es:

3 3

1 1 1 1 535939703216 4 16 4 3.1406

5 239 5 239 1706489875arctg arctg P Pπ

= − ≈ − = ≈

y una estimación del error es:

3 4 3 4

1 1 1 1 1 1 1853013731809436986416 4 0.0053248

5 239 34799686937056311718755 5 239 239error

≤ + + + = ≈

Luego: 3.1406 0.0053248π = ±

Observación: En la acotación (*) se ha utilizado la desigualdad triangular.

Podía haberse obtenido otra cota por ejemplo, considerando la

función ( )( )

3

21

t tg t

t

−=

+ y observando que es creciente en el intervalo [0, 1/5].

Para valores de x en este intervalo se podrá acotar:

( )( )

( )3

21

t tg t g x

t

−= ≤

+ 0 t x< <

En este caso, para valores de x en el intervalo [0, 1/5] se tendrá:

( ) ( )( )

( )( )

3 5 2

43 3 2 2

1

1 1

x x x xf x P x R x

x x

− −− = ≤ =

+ +




28

De esta manera para x=1/5, x=1/239

( )

23

3 3 3 4 5 2

2

1 1

1 1 1 1 5 1 5 15

5 5 5 5 1 5 5 5 115

arctg P f P R

− − − = − = ≤ = + +

( )

3 3

23

3 4 5 2

2

1 1 1 1

239 239 239 2391 1

239 1 239 1239

1 239 239 239 11239

arctg P f P

R

− = − =

−−

= ≤ = + +

17 (a) Calcular la derivada enésima de la función ( ) ( )( )5log 1f x x= − .

(b) Calcular el conjunto de números reales x de manera que el polinomio de MacLaurin

de ( ) ( )( )5log 1f x x= − de grado 3 permita aproximar f(x) con un error menor que 410−

(c) Calcular de forma aproximada el valor de ( )5log 1'1 con la aproximación de la

ordenada de la recta tangente dando una estimación del error

Solución:

(a) Derivando

( ) ( )( ) ( ) ( )5

log 1 5 log 1 0 0f x x x f= − = − → =

( ) ( ) ( )15

' 5 1 ' 0 51

f x x fx

−−= = − − → = −

−

( ) ( ) ( ) ( )'

1 2'' 5 1 5 1 '' 0 5f x x x f

− − = − − = − − → = −

( ) ( ) ( )3

''' 5 2 1 ''' 0 10f x x f−

= − ⋅ − → = −

…

( ) ( ) ( ) ( )( (5 1 ! 1 0 5 !nn nf x n x f n

−= − ⋅ − ⋅ − → = − ⋅




29

(a) El polinomio de Taylor de grado 3 es:

( )( )

2 3 4

4

5 5 55

2 3 4 1f x x x x x

t

−= − − − +

− siendo t intermedio a 0 y x:

Para que ( )( )

4 43 4

510

4 1error f x T x

t

−−= − = <

− basta que:

Si x>0. Como el logaritmo solo está definido para valores positivos se

tiene que se deberá cumplir: 1 0 1x x− > ⇔ < . Por lo tanto

supondremos que 0 1x< <

Entonces 0<t<x<1 0<1-x<1-t<1 como

( ) ( )

4

4 4

4 4

5 5 5

4 14 1 4 1

xerror x x

xt x

− = < = ⋅ −− −

Basta hacer 4 4 4

4 14

0 1

5 4 10 410 10

4 1 1 5 1 5x

x x xA

x x x

−− −

< <

⋅ < ⇔ < ⇔ < ⋅ = − − −

Es decir,

( )11 1

x AA x x A x

x A< ⇔ < − ⇔ <

− +

Si x<0 entonces x<t<0 1<1-t<1-x como

( )4 4

4

5 5

44 1error x x

t

−= <

−

Basta hacer 4

4 4 4 145 4 10 4

10 104 5 5x x x

−− −⋅

< ⇔ < ⇔ < ⋅




30

(b) Si se aproxima por la recta tangente:

( )( )( )

5 2

2

5log 1 5

2 1x x x

t

− = − −−

con t intermedio entre 0 y x

Se tiene que:

( )( ) ( )( )5 5log 1'1 log 1 1'1 1 0 '1x x x= − ⇔ = − ⇔ = −

Luego

( ) ( )( )

( )2

2

55 log 1'1 5 0 '1 0 '1

2 1 t

= − ⋅ − − −−

con t intermedio entre 0 y -0’1

El valor aproximado es:

( )5 log 1'1 0 ' 5≈

y una cota del error:

( )( )

( )2

2 0 '1 00 0 '11 1 1'11

11

5 5 105 log 1'1 0 ' 5 0 ' 01

22 1 ttt

t

error

t

−

− < < <− < < − < < −

⋅= − = <

−

18 Sea ( ) ( )log 1f x x x= + . Se pide:

(a) Escribir la fórmula de Taylor para f(x) en x=0 de orden n con el resto de Lagrange.

(b) Dar una cota del error al aproximar 1 11log

10 10

mediante el polinomio de Taylor de

grado 3.

Solución:

Apartado (a)

( ) ( )log 1f x x x= +




31

En primer lugar calculamos la derivada n-ésima.

Método 1: Calculamos las derivadas sucesivas

( ) ( )' log 11

xf x x

x= + +

+

( )( )

( )( ) ( )

1 2

2

11'' 1 1

1 1

x xf x x x

x x

− −+ −= + = + + +

+ +

( ) ( )( ) ( )( )2 3

''' 1 1 2 1f x x x− −

= − + + − +

( ) ( )( )( ) ( )( )( )3 4

1 2 1 2 3 1ivf x x x− −

= − − + + − − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( 1 2 ! 1 1 1 ! 1

n n n nnf x n x n x− − −

= − − + + − − + =

�

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1 2 !11 2 !

1 1 1

nn

n n n

x n n xnn

x x x

+ − − + −

= − − + = + + +

( ) ( ) ( )( 0 1 2 !nnf n n= − −

( ) ( )( )

( 0 12

! 1

nnfn

n n

−= ≥

−

Método 2: Aplicando la fórmula de Leibniz

( ) ( ) ( )( ( 1( log 1 log 1

0 1

n nnn n

f x x x x− = + + +

Calculamos entonces la derivada n-ésima de ( ) ( )log 1g x x= +

( ) ( )11

' 11

g x xx

−= = +

+

( ) ( )( )2

'' 1 1g x x−

= − +

( ) ( )( )( )3

''' 1 2 1g x x−

= − − +




32

( ) ( ) ( ) ( )1( 1 1 ! 1 2

n nng x n x n+ −

= − − + ≥

�

En el origen ( )' 0 1g = , ( ) ( ) ( )1( 0 1 1 ! 2

nng n n+

= − − ≥

Nota: En esta última expresión si consideramos n=1 se obtiene la derivada

primera en el origen por lo que puede considerarse válida para

( ) ( ) ( )1( 0 1 1 ! 1

nng n n+

= − − ≥

Por lo tanto,

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

1

(

1

1 1 ! 1 2 !

1 1

1 2 ! 1 2 !1 1

1 1

n n

n

n n

n n

n n

n nf x x n

x x

n n x nx n n x

x x

+

−

− − − −= + =

+ +

− − − − += − − + + =

+ +

( ) ( ) ( )( 0 1 2 !nnf n n= − −

( ) ( )( )

( 0 12

! 1

nnfn

n n

−= ≥

−

La fórmula de Taylor será:

( )( ) ( )

( )

( 12 1

1log 1 ... 0

1 1 !

n n

n nf t

x x x x x con t entre y xn n

++

−+ = + + +

− +

Como

( )( ) ( ) ( )

( )

1

( 1

1

1 1 ! 1

1

n

n

n

n x nf x

x

+

+

+

− − + +=

+

el resto es:

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1( 11 1

1

1 1

1 ! 1 1

nn

n nn n

f t t nR x x

n n n t

+++ +

+

− + += =

+ + +




33

Apartado (b) Si consideramos 1

10x = la aproximación por este polinomio es

( )11 1 1 1log 1 ...

10 10 100 1 10

n n

n

− + ≈ + + −

cometiéndose por error,

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

1 1 1 10

10 101 1

n n

n n

t nError R con t entre y

n n t

+ +

+

− + + = = + +

Una cota del error para n=3 es:

( ) ( )

( )

4 4

4

4 5

1 4 1

1012 1

1 1 41 14 0

10 1012 10 12 10

tError

t

t

− + = ≤ + ≤ + = < < ⋅ ⋅

Donde se ha tenido en cuenta que:

� Si ( )1 1 41

0 4 410 10 10

t t< < ⇒ + < + =

� Si ( )1 11

0 1 110 10

t t< < ⇒ < + < ⇒

( )( )

44

4 4

11 1 11 1 1

10 11 1

10

t

t

⇒ < + < ⇒ < < +

Por lo tanto una cota del error podría ser: 5

41

12 10Error ≤

⋅

19 Encuentra un infinitésimo equivalente a la función ( ) senx xf x e e= − en x=0

Solución:




34

Utilizando polinomios de Taylor analizamos el orden de la primera derivada no nula

en x=0. Se tiene que:

( ) ( )' cos ' 0 0x senxf x e e x f= − ⇒ =

( ) ( )2'' cos '' 0 0x senx senxf x e e x e senx f= − + ⇒ =

( )( )

3''' cos 2 cos cos cos

''' 1 1 0

x senx senx senx senxf x e e x e xsenx e senx x e x

f

= − + + +

⇒ = ≠

Aplicando la fórmula de Taylor:

( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 3

3 3

' 0 '' 0 ''' 0 10

1! 2! 3! 6

f f ff x f x x x R x R= + + + + = +

donde el resto es un infinitésimo de orden superior a tres. Por lo tanto f(x) es un

infinitésimo de orden 3.

Polinomio de Taylor ( ) ( )sen xxf x e e= −

Polinomio de Taylor de grado 5 en x=0

( )( ) 3 4 55

1 1 3, 0

6 6 40T f x x x x= + +




35

20 Calcular la parte principal de los infinitésimos:

(a) arctg2

xx (b) cossenx x x−

Solución:

Polinomio de Taylor: Apartado (a) ( )2

xf x xarctg

=


( )( ) 2 44

1 14 , 0

2 24T f x x= −




36

Polinomio de Taylor: Apartado (b) ( ) cosf x senx x x= −


( )( ) 3 55

1 14 ,0

3 30T f x x= −




37

21 Utilizando polinomios de Taylor calcular los siguientes límites:

(a) ( )

20

arctg12lim8cos sen2x

xx

x x→

= (b) ( )0

sen cos 2lim

1 cos 3x

x x x

x x→

−=

− ( )

0lim 1

x

xx

ec

e senx→=

+

Solución:

Función ( )( )( )

2cos 2

xarctgxf x

x sen x

=

El polinomio de Taylor en x=0 es:




38

� Función: ( )1 2

xf x xarctg=

� Función: ( ) ( )( )2

2 cos( ) 2f x x sen x=

�




39

Función ( )( )

cos

1 cos

senx x xf x

x x

−=

−




40

� Función: ( )1 cosf x senx x x= −

� Función: ( ) ( )2 1 cosf x x x= −




41

Función ( )senx

f xx

=

( )0

0 lim 1x

senxf

x→= =

Las derivadas son:

( )2

cos s'

x x enxf x

x

−= ( )

( ) ( )0

0 0' 0 lim 0

h

f f ff

h→

+ −= =

( )2 3

cos' 2 2

senx x senxf x

x x x= − − + ( )

( ) ( )0

' 0 ' 0'' 0 lim

h

f f ff

h→

+ −=

( )2 3 4

cos cos''' 3 6 6

x senx x senxf x

x x x x= − + + −

El polinomio de Taylor de orden 2 es 22

11

6T x= −




42



RESUMEN TEORÍA:

Funciones de varias variables

Matemáticas 1

1





Teoría: Funciones varias variable Ingeniería de Telecomunicación


2

Objetivos

1. Comprensión del concepto de límite, continuidad y diferenciabilidad de una

función de dos variables.

2. Conocimiento del concepto de derivada parcial de una función de dos

variables y comprensión de su interpretación geométrica.

3. Destreza en el cálculo de derivadas y diferenciales.

Contenidos

1. Derivadas direccionales. Derivadas parciales.

2. Diferencial. Regla de la cadena y derivación implícita.

3. Gradiente. Plano tangente.

4. Extremos de funciones de varias variables.

Ejemplos de funciones de varias variables

• Dados dos números cualesquiera x e y, su media aritmética es el número

comprendido entre ambos es decir ( ),2

x yf x y

+= . En general si se tienen n

números su media aritmética es: ( ) 1 21 2

..., ,..., n

n

x x xf x x x

n

+ + +=

• Dados dos números positivos x e y, su media geométrica es el número

comprendido entre ambos es decir ( ),f x y xy= . En general si se tienen n

números su media geométrica es: ( )1 2 1 2, ,..., ...nn nf x x x x x x=

• Un sistema de fiabilidad (o bien en circuitos eléctricos) funciona (la corriente

pasa) si hay algún camino activado para ir des el principio (A) hasta el final

(B) del sistema (circuito). Así pues, en una estructura en serie como ésta:

La función de varias variables que describe el sistema es: ( )1 2 3 4 1 2 3 4, , ,f x x x x x x x x= ,

donde el componente i funciona si 1ix = y no lo hace si 0ix = . De este modo, el



Fundamentos Matemáticos I Teoría: Funciones varias variables

3

sistema funciona si los cuatro componentes lo hacen es decir, si

1 2 3 4 1x x x x= = = = . En caso de que alguno de los componentes no funcione 0ix =

la corriente no pasa de A a B.

Un sistema paralelo como por ejemplo:

Se puede describir mediante la función de varias variables:

( ) ( )( )( )( )1 2 3 4 5 1 2 3 4, , . . 1 1 1 1 1f x x x x x x x x x= − − − − −

• Un sistema estéreo hi-fi tiene los cinco componentes que presentamos a

continuación: (1) amplificador, (2) sintonizador de FM, (3) sintetizador de

onda media, (4) altavoz A y (5) altavoz B. Se considera que el sistema

funciona si podemos obtener sonido por medio de la FM o bien mediante la

onda media. La función que modeliza este sistema es:

( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5, , . . 1 1 1 1 1 1f x x x x x x x x x x = − − − − − −

Esta es una representación esquemática del sistema

Funciones de dos variables

Una función real de dos variables, f , no es más que una correspondencia que

asigna a cada pareja ( ),x y de números reales otro número real único ( ),f x y .




4

Se define el dominio de la función f como el conjunto de pares reales en los

que la función está definida. El rango es el conjunto de números reales dado

por

( ){ }Im / ,f z x y D= ∈ ∈�

Ejemplos:

Consideremos las siguientes funciones y determinemos su dominio:

1) ( ), 2 3 4h x y x y= − +

Es el semiplano inferior determinado por la recta 2x−−−−3y+4=0

incluyendo los puntos de la recta

2) ( ) ( ), log 4 5f x y x y= + −

Se trata del semiplano superior determinado por la recta

4x+y−−−−5=0 sin incluir los puntos de la recta

3) ( )1

, ,2 3 4 6

g x y zx y z

=− + −

Se trata de la región del espacio determinada por el plano

2x−−−−3y+4z=6 que queda del otro lado del origen sin incluir los

puntos del plano.

4) ( ) ( )2 2, , log 1K x y z x y= − −

Consta del interior de la circunferencia x2+y2=1 sin incluir la

frontera.

5) ( ) 2 2, , 4T x y z x y= + −

Son todos los puntos del plano externos a la circunferencia x2+y2=4.

6) ( ) ( )2 2 2, , log 4Q x y z x y z= − − −




5

Es el interior de la esfera con centro en el origen y radio 4 sin

incluir los puntos de la esfera.

La gráfica de una función de dos variables ( ),z f x y= es la representación en el

espacio 3� de todas las combinaciones posibles de valores (x, y, z) siendo z la

imagen de (x, y) por la función f.

Como no es sencillo representar una función de dos variables, ya que su gráfica es

una superficie en R3, pueden usarse conjuntos bidimensionales para obtener

información tridimensional a través de los conceptos de trazas y de curvas de nivel.

Dada una superficie S en R3 y un plano P cualquiera, la traza de S determinada por

P se define como la curva obtenida de S∩∩∩∩P.

Las trazas más utilizadas además de las curvas de nivel para el análisis de

una superficie son los planos coordenados x=0 y y=0 ó planos paralelos a

ellos x=c y y=c.

Curvas de nivel

Para una función de dos variables, ( ),z f x y= , la curva de nivel para z k= es el

conjunto de todos los pares de valores (x, y) tales que su imagen es el valor k .




6

-2

-1

0

1

-2

-1

0

1

0

2

4

6

8

Lineas de contorno

Ejemplo: Observa las curvas de nivel de ( )2 2

2 2,

x yf x y xy

x y

−=

+ en las figuras siguientes.




7




8

Superficies de nivel

Para el caso de funciones de tres variables, como ya lo comentamos, es imposible

hacer su gráfica por lo que siguiendo la idea anterior buscamos obtener información

de un conjunto de dimensión cuatro a partir de conjuntos tridimensionales, las

superficies de nivel, que son una generalización de las curvas de nivel por lo que

podemos dar la siguiente definición:

Dada la función w=f(x,y,z), sus superficies de nivel se definen como los conjuntos

S={(x,y,z)/ f(x,y,z)=c}

Observa que los conjuntos definidos son superficies y al igual que para las curvas de

nivel, una función de tres variables tiene un número infinito de superficies de nivel

por lo que en la práctica (otra vez) sólo se toman algunas que sean representativas.

Así como las curvas de nivel sirven para señalar los puntos con la misma altitud,

misma presión, etc., las superficies de nivel también tienen aplicaciones físicas.

Por ejemplo, si V(x,y,z) representa el voltaje (o potencial) de un campo eléctrico en

el punto (x,y,z), entonces las superficies de nivel V(x,y,z)=c se dicen superficies

equipotenciales y representan a todos los puntos en el espacio con el mismo

potencial.

Por otra parte, cualquier gráfica de una función z=f(x,y), es una superficie de nivel,

basta considerar g(x,y,z)=z−f(x,y) y entonces la superficie de nivel g(x,y,z)=0 es la

gráfica de z=f(x,y). Es por esto que a las gráficas de este tipo de funciones o de las

ecuaciones de tres variables se les llama superficies.




9

Para trazar una superficie de nivel se usan sus trazas con planos de la forma x=c,

y=c y z=c.

Las superficies de nivel más importantes son las llamadas superficies cuadráticas y

es muy conveniente que las repases en cualquier libro de Geometría Analítica o de

Cálculo. Dichas superficies son elipsoides, conos elípticos, paraboloides elípticos,

paraboloides hiperbólicos, hiperboloides de uno y dos mantos, cilindros (o sábanas)

elípticos, parabólicos e hiperbólicos.




10

Ecuaciones

paramétricas Ecuaciones implícitas Gráfica

Plano 1 1

2 2

3 3

o

o

o

x x ua vb

y y ua vb

z z ua vb

= + +

= + +

= + +

0Ax By Cz D+ + + =

Cilindro

cosx r u

y rsenu

z v

=

=

=

2 2 2x y r+ =



Ecuaciones


Cono

(recto de sección

circular)

cosx u v

y usenv

z u

=

=

=

2 2 2z x y= +

Esfera (centrado en

(0,0,0) y radio r

cos

cos

x r sen u v

y r sen u senv

z r u

=

=

=

2 2 2 2x y z r+ + =




12

Ecuaciones


Elipsoide

cos

cos

x a sen u v

y b sen u senv

z c u

=

=

=

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ + =

Paraboloide

(de sección circular) 2

osx u c v

y u senv

z u

=

=

=

2 2z x y= +



Ecuaciones


Hiperboloide osx Chu c v

y Shu senv

z Shu

=

=

=

2 2 2 1z x y= + −




14

Derivada direccional

Definición (Dirección).- Una dirección en 2� es cualquier vector de norma 1.

Su u es una dirección en el plano entonces se puede expresar como ( )cos ,u senϕ ϕ=

siendo φ el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las X.

Definición (Derivada direccional en un punto): Sea f una función de dos variables y

u una dirección. Se define la derivada direccional de f en el punto ( ),ox a b en la

dirección de u como el valor del siguiente límite en el caso de que exista:

( ) ( )( ) ( )'

0lim

o o

u o u ot

f x tu f xD f x f x

t→

+ −= =

X

Y

Z

z = f (x, y)

αϕ

(a, b)

′ z ϕ( )(a,b)

= tgα

En el caso de que ( )cos ,u senφ φ= la derivada direccional se puede expresar

como:

( ) ( )( ) ( )'

0

cos , ,lim

u o u ot

f a t b tsen f a bD f x f x

t

φ φ

→

+ + −= =




15

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: es la pendiente de la recta tangente a

la curva intersección de la superficie con el plano vertical que contiene a la

dirección dada.

Derivada parcial

Las derivadas parciales son derivadas direccionales según las direcciones ( )1 1,0e = y

( )2 0,1e = representan la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus

variables independientes manteniendo constantes las demás. Este proceso es conocido

con el nombre de derivación parcial.

Definición (Derivadas parciales).- Si ( ),z f x y= es una función de dos variables se

define la derivada parcial de f en el punto ( ),a b

� con respecto a x como

( )( ) ( )'

0

, ,, lim

xx

f a x b f a bf a b

x∆ →

+ ∆ −=

∆

� con respecto a y como

( )( ) ( )'

0

, ,, limy

y

f a b y f a bf a b

y∆ →

+ ∆ −=

∆

siempre que los límites anteriores existan.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA de las derivadas parciales.- Las

derivadas parciales no son más que derivadas de una función de una variable:

la función cuya gráfica se obtiene como intersección de la superficie con los

planos verticales x a= , y b= en los casos de derivada parcial en la

dirección de y y en la dirección de x , respectivamente.




16

X

z = f (x, y)

Y

Z

a

(a, b)

b

β

x = a

X

Y

Z

a

b

(a, b)α

z = f (x, y)

yb

∂z

∂x

(a,b)

= tgα

∂z

∂y

(a,b)

= tgβ

Interpretación de la derivada Parcial respecto a x y respecto a y

NOTACIÓN: Para hacer referencia a la derivada parcial de la función ( ),z f x y=

respecto a la variable x e y se suelen utilizar las siguientes notaciones:




17

( ) ( ) ( )' ', , ,x x

zf a b a b z a b

x

∂= =

∂ ( ) ( ) ( )' ', , ,y y

zf a b a b z a b

y

∂= =

∂

Ejemplo:

DERIVADA PARCIAL 2 2z x y= + Punto: ( )1,1P ( )0,1u =

�

1x =

DERIVADA PARCIAL 2 2z x y= + Punto: ( )1,1P ( )1, 0u =

�

1y =

DERIVADA DIRECCIONAL

2 2z x y= + Punto: ( )1,1P 1 1

,2 2

u =

�




18

IMPORTANTE:

• Una función de dos variables puede ser continua en un punto y no ser

derivable parcialmente en él.

• La existencia de derivadas parciales para las funciones de varias variables no

implica la continuidad de la función en el punto.

DERIVADAS PARCIALES de segundo orden:

( ) ( )( ) ( )' '2

'' '2 0

, ,, , lim

xx

x x

xxx

z x x y z x yx zz x y f x y

x x xx ∆ →

+ ∆ − ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∆∂

( ) ( )( ) ( )' '2

''

0

, ,, , lim

xy

x x

xyy

z x y y z x yx zz x y f x y

y x x y y∆ →

+ ∆ − ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∆

( ) ( )( ) ( )' '2

''2 0

, ,, , lim

yy

y y

yyy

z x y y z x yz zz x y f x y

y y yy ∆ →

+ ∆ − ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∆∂

( ) ( )( ) ( )' '2

''

0

, ,, , lim

yx

y y

yxx

z x x y z x yx zz x y f x y

x y y x x∆ →

+ ∆ − ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∆

TEOREMA DE SCHWARZ.- Sea ( ),z f x y= es una función de dos variables. Si se

verifica que existen , , , ,x y xy yx

f f f f f y además xyf es continua en una región

abierta D entonces se cumple que en dicha región se da la igualdad de las

derivadas cruzadas de segundo orden.

Funciones diferenciables. Diferencial de una función de dos variables

Definición (Diferenciable y diferencial).- Sea ( ),z f x y= una función definida y

acotada en un dominio D al cual pertenece ( ),ox a b= y que tiene derivadas parciales

en dicho punto. Se dice que es diferenciable en ox si el incremento total:

( ) ( ), ,z f a x b y f a b∆ = + ∆ + ∆ −




19

correspondiente a los incrementos arbitrarios de x∆ e y∆ se puede expresar como

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

, , ,f f

z a b x a b y x y x yx y

ε∂ ∂

∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆∂ ∂

cumpliendo que:

( ) ( )( )

, 0,0lim , 0

x yx yε

∆ ∆ →∆ ∆ =

A la parte lineal en x∆ e y∆ se le llama diferencial de ( ),z f x y= en ( ),ox a b= y se

le denota,

z zdz dx dy

x y

∂ ∂= +

∂ ∂.

TEOREMA (Condición necesaria de diferenciabilidad).- Si la función ( ),z f x y= es

diferenciable en el punto ( ),a b entonces es continua en ( ),a b .

TEOREMA.- Si la función ( ),z f x y= y una o las dos derivadas parciales primeras

son continuas en un entorno del punto ( ),a b entonces la función es

diferenciable en dicho punto.

Plano tangente. Aproximación de la función por la diferencial

Sea S una superficie de ecuación z=f(x,y) diferenciable en (a,b) se puede

calcular el plano tangente a la superficie en el punto P(a, b, f(a,b)) como el

plano que pasa por P y sus vectores directores son los directores de las rectas:

( ) ( )

1

, ,

x a t

r y b

fz f a b a b t

x

= +≡ = ∂ = + ⋅ ∂

( ) ( )

2

, ,

x a

r y b t

fz f a b a b t

y

=≡ = + ∂ = + ⋅ ∂




20

( )1 1, 0, ,f

v a bx

∂ = ∂ ( )2 0,1, ,

fv a b

y

∂ = ∂

Por lo tanto un vector normal al plano tangente es:

( )

( )

( ) ( )1 0 , , ,

0 1 ,

i j k

f f fn a b a b i a b j k

x x yf

a by

∂ ∂ ∂= = + − ⋅

∂ ∂ ∂∂

∂

� � �

La ecuación del plano tangente es entonces:

( ) ( )( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , 1 0f f

x y z a b f a b a b a bx y

∂ ∂ − − = ∂ ∂

( )( ) ( )( ) ( )( ), , , 0f f

a b x a a b y b z f a bx y

∂ ∂− + − − − =

∂ ∂

( ) ( )( ) ( )( ), , ,f f

z f a b a b x a a b y bx y

∂ ∂= + − + −

∂ ∂

Si f es diferenciable

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,f f

z f a x b y f a b a b x a b yx y

∂ ∂∆ = + ∆ + ∆ − ≈ ∆ + ∆

∂ ∂

para ( ) ( ), 0, 0x y∆ ∆ →




21

Relación entre la diferenciabilidad y la derivada direccional

TEOREMA: Si una función es diferenciable existe la derivada direccional en

cualquier dirección.

TEOREMA.- Si ( ),z f x y= es una función diferenciable en ( ),a b entonces la

derivada direccional de f en la dirección del vector unitario ( )cos ,u senφ φ= es

( ) ( ) ( ), , cos ,u x yD f a b f a b f a b senφ φ= +

Gradiente

Definición.- Si ( ),z f x y= es una función de dos variables se define el gradiente de

f en el punto ( ),ox a b= como el vector:




22

( ) ( ) ( ), , ,x y

f a b f a b f a b∇ = +i j

PROPIEDADES DEL GRADIENTE: Sea f una función diferenciable en el punto

( ),a b . Se cumplen las siguientes propiedades:

(a) Si el gradiente de f en ( ),a b es el vector nulo entonces la derivada direccional

de f en cualquier dirección es cero.

(b) La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por ( ),f x y∇ . El valor

máximo de la derivada direccional es ( ),f x y∇ .

(c) La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por ( ),f x y−∇ . El valor

mínimo de la derivada direccional es ( ),f x y− ∇ .

(d) El vector gradiente es normal a las curvas de nivel.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

1

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

45

55

56

6

6

6

7

7 7

Curvas de nivel de la superficie 2 2z x y= +




23

Regla de la cadena

REGLA DE LA CADENA.- Sea ( ),z f x y= una función definida en un dominio D

siendo cada una de las variables x e y una función de la variable t

( ) ( ) 1, ,o

x t y t t t tφ ψ= = < <

Si en el punto t existen las derivadas

( )'dx

tdt

φ= ( )'dy

tdt

ψ=

y para cada una de las variables ( ) ( ),x t y tφ ψ= = la función ( ),z f x y= es

diferenciable entonces se tiene:

dz z dx z dy

dt x dt y dt

∂ ∂= +

∂ ∂

DERIVACIÓN COMPUESTA DE DOS VARIABLES.- Sea ( ),z f x y= una

función definida en un dominio D siendo cada una de las variables x e y una

función de dos variables u y v

( ) ( ), , ,x u v y u vφ ψ= =




24

Si en el punto ( ),u v existen las derivadas parciales continuas

, , ,x x y y

u v u v

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

y en el punto ( ),x y la función es diferenciable entonces se tiene:

z z x z y

u x u y v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Derivación implícita

TEOREMA FUNCION IMPLÍCITA: Sea la ecuación ( ), 0F x y = . Dicha ecuación

define en un entorno del punto ( ),P a b a la variable y como función implícita de x ,

es decir, ( )y f x= si:

� El punto ( ),a b pertenece a la curva de ecuación ( ), 0F x y =

� Las derivadas parciales ( )' ,xF x y y ( )' ,yF x y son funciones continuas en un

entorno del punto ( ),a b

� ( )' , 0yF x y ≠

NOTA: En el caso de que se cumplan los dos primeros puntos y el tercero se

sustituya por ( )' , 0xF x y ≠ entonces es la x la que se define como función

implícita de y , es decir, ( )x h y= .




25

En trazo continuo: En trazo discontinuo:

( )22 2 2 2x y x y+ = − ( )

22 2 2x y xy+ =

TEOREMA.- Si la ecuación ( ), 0F x y = define a y como función derivable de

x entonces:

( )( )

( ),

, , 0,

x

y

y

F x ydyF x y

dx F x y= − ≠

Demostración: Basta derivar ( ), 0F x y = respecto a x aplicando la regla de la

cadena:

0x y

dyF F

dx+ =

TEOREMA FUNCION IMPLÍCITA: Sea la ecuación ( ), , 0F x y z = . Dicha ecuación

define en un entorno del punto ( ), ,P a b c a la variable z como función

implícita de x e y es decir, ( ),z f x y= si:

� El punto ( ), ,a b c pertenece a la superficie de ecuación ( ), , 0F x y z =

� Las derivadas parciales ( )' , ,xF x y z , ( )' , ,yF x y z y ( )' , ,zF x y z son funciones

continuas en un entorno del punto ( ), ,a b c

� ( )' , , 0zF a b c ≠




26

TEOREMA.- Si la ecuación ( ), , 0F x y z = define a z como función diferenciable

de x e y entonces:

( )( )

( ), ,

, , , 0, ,

x

z

z

F x y zzF x y z

x F x y z

∂= − ≠

∂

( )

( )( )

, ,, , , 0

, ,y

z

z

F x y zzF x y z

y F x y z

∂= − ≠

∂

Superficie implícita de ecuación: 1xy yz zx y− − − =

OTROS EJEMPLOS:

( )2

2 2 2 2 1z x y+ + − =

( )( )2 2 2 20.8 log 0.8 0.3z z x y− + = +




27

Superficies implícitas: Plano tangente: Sea S una superficie de ecuación

( ), ,F x y z C= y sea Po un punto de S donde F es diferenciable. La ecuación del

plano tangente a S en ( ), ,o o o oP x y z es:

( )( ) ( )( ) ( )( ), , , , , , 0x o o o o x o o o o z o o o oF x y z x x F x y z y y F x y z z z− + − + − =

y las ecuaciones paramétricas de la recta normal a S en ( ), ,o o o oP x y z son

( )( )( )

, ,

, ,

, ,

o x o o o

o y o o o

o z o o o

x x F x y z t

y y F x y z t

z z F x y z t

= + ⋅ = + ⋅ = + ⋅

siempre y cuando no sean simultáneamente cero todas las derivadas parciales en el

punto.

Fórmula de Taylor

En este apartado generalizamos la fórmula de Taylor vista para funciones de una

variable. Como es sabido si ( )y f x= es una función de una variable con derivadas

de cualquier orden en un entorno del punto x a= , la fórmula de Taylor en este

punto viene dada por:

( ) ( )2 2 2 2 2 25 2 0x y x z y x y z z y z x xy xz yz− + + + + + + + + =




28

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( )(

2''' ...

2 ! !

nn

n

f a f af x f a f a x a x a x a R

n= + − + − + + − +

donde nR es un infinitésimo de orden superior a ( )n

x a− , es decir,

( )lim 0n

nx a

R

x a→

=−

Utilizando la expresión del resto de Lagrange se tiene que

( )( )

( )( 1

1

1 !

nn

n

f cR x a

n

++

= −+

siendo c un punto intermedio entre a y x .

La generalización de la fórmula anterior para una función de dos variables,

( ),z f x y= , que admite derivadas parciales de cualquier orden en un entorno de

( ),a b viene dada por1:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )2 2

2

, , , ,

1, , 2 ,

2!

x y

xx yy xy

f x y f a b f a b x a f a b y b

f a b x a f a b y b f a b x a y b R

= + − + − +

+ − + − + − − +

donde 2R es un infinitésimo verificando:

( ) ( ) ( )

22, ,

lim 0,x y a b

R

x a y b→

=− −

Haciendo

x a x x a x= + ∆ ⇔ − = ∆

y b y y b y= + ∆ ⇔ − = ∆

1 Con objeto de no complicar la notación se ha considerado únicamente la fórmula de Taylor

de orden 2 pudiendo generalizarse fácilmente a cualquier orden.




29

la expresión de la fórmula de Taylor es:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )2 2

2

, , , ,

1, , 2 ,

2!

x y

xx yy xy

f a x b y f a b f a b x f a b y

f a b x f a b y f a b x y R

+ ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ +

+ ∆ + ∆ + ∆ ∆ +

Esta expresión puede escribirse de la manera siguiente:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

,

,

1,

2

o

T

o o o o o o

x a x b y

x a b

f x f x f x x x x x Hf x x x R

= + ∆ + ∆

=

= + ∇ − + − ⋅ ⋅ − +

�

��

� ��

donde

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2

2 2

2

o oxx o xy o

o

yx o yy oo o

f fx x f x f xy xxHf x

f f f x f xx xx y y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

��

��

��

se llama matriz hessiana. El término entre corchetes se le denomina diferencial

segunda y escribiendo ,dx x dy y= ∆ = ∆ se tendrá:

( ) ( ) ( )2 2 2, , 2 ,xx yy xyd f f a b dx f a b dy f a b dxdy= + + =

( )( ) ( )( ) ( ), ,

, ,xx xy

xy yy

f a b f a b dxdx dy

f a b f a b dy

=

Definición de extremos. Puntos críticos

Definición (Extremos absolutos).- Sea ( ),z f x y= una función definida en una región

D y sea ( ),a b D∈ se dice que

(a) ( ),f a b es un valor máximo absoluto de f en D si

( ) ( ) ( ), , ,f a b f x y x y D≥ ∀ ∈

(b) ( ),f a b es un valor mínimo absoluto de f en D si

( ) ( ) ( ), , ,f a b f x y x y D≤ ∀ ∈




30

Definición (Extremos relativos).- Sea ( ),z f x y= una función definida en una región

D y sea ( ),a b D∈ se dice que

(a) ( ),f a b es un valor máximo relativo de f en D si existe un entorno B ( ),a b tal

que

( ) ( ) ( ), , ,f a b f x y x y B≥ ∀ ∈

(b) ( ),f a b es un valor mínimo relativo de f en D si existe un entorno B ( ),a b

tal que

( ) ( ) ( ), , ,f a b f x y x y B≤ ∀ ∈




31

TEOREMA DE WEIERSTRASS.- Si ( ),z f x y= una función continua en un

subconjunto de D de 2� acotado y que contiene a su frontera entonces la función f

tiene máximo y mínimo en D .

Definición (Punto crítico).- Sea ( ),z f x y= una función definida en una región D y

sea ( ),a b D∈ se dice que es un punto crítico si se cumple una de las afirmaciones

siguientes:

(1) ( ),a b está situado en el contorno de D. A estos puntos se les llama puntos

frontera.

(2) ( ) ( ), , 0x yf a b f a b= = , es decir, ( ), 0f a b∇ = . A estos puntos se les llama

estacionarios.




32

(3) no existe ( ) ( ), ,x yf a b ó f a b . A estos puntos se les llama singulares.

TEOREMA.- Si ( ),f a b es un extremo relativo de f en una región abierta de D

entonces el punto ( ),a b es un punto crítico de f .

Condición necesaria para la existencia de extremo de funciones diferenciables

TEOREMA.- Sea ( ),z f x y= una función diferenciable en D. Es condición necesaria

para la existencia de un extremo relativo de f en ( ),a b D∈ que se verifique

( ) ( ), , 0x yf a b f a b= =




33

IMPORTANTE.- Es condición necesaria pero no suficiente. Basta tomar como

ejemplo la función ( ) 2 2,f x y y x= − que cumple que ( )0,0 es un punto estacionario y

sin embargo no es extremo relativo (ni máximo ni mínimo).

En efecto, se cumple

( ) ( ), 2 0, 0 0x xf x y x f= − → =

( ) ( ), 2 0, 0 0y yf x y y f= → =

y sin embargo el punto (0,0) no es ni máximo ni mínimo.

( )0, 0 0f = ( ) 2, 0 0f x x= − < ( ) 20, 0f y y= >

Luego en todo entorno del punto (0, 0) existen puntos (x, y) cumpliendo

( ) ( ), 0, 0f x y f> y puntos (x, y) cumpliendo ( ) ( ), 0, 0f x y f< . La siguiente imagen

muestra la gráfica de la función




34

Cálculo de los extremos relativos de una función de dos variables z=f(x,y)

Teniendo en cuenta la fórmula de Taylor

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )2 2

2

, , , ,

1, , 2 ,

2!

x y

xx yy xy

f a x b y f a b f a b x f a b y


+ ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ +

+ ∆ + ∆ + ∆ ∆ +

si (a, b) es un punto cumpliendo ( ) ( ), , 0x yf a b f a b= = se tendrá que:

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )2 2

2

, ,

1, , 2 ,

2! xx yy xy

f a x b y f a b


+ ∆ + ∆ − =

+ ∆ + ∆ + ∆ ∆ +

Considerando x∆ e x∆ suficientemente pequeños se cumple que:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )2 2

, ,

, , 2 ,xx yy xy

signo f a x b y f a b

signo f a b x f a b y f a b x y

+ ∆ + ∆ − =

= ∆ + ∆ + ∆ ∆

y como

( ) ( ) ( )2 2 2, , 2 ,xx yy xyd f f a b dx f a b dy f a b dxdy= + + =

( )( ) ( )( ) ( ), ,

, ,xx xy

xy yy

f a b f a b dxdx dy

f a b f a b dy

=




35

se trata de determinar el signo de la diferencial segunda o equivalentemente si la

matriz hessiana es definida positiva o negativa

Método práctico: Los pasos a seguir son:

(1) Cálculo de los puntos críticos como solución del sistema

( )( ), 0

, 0x

y

f x y

f x y

= =

(b) Si (a, b) es un punto crítico el estudio del hessiano

( ) ( )( ) ( ), ,

, ,xx xy

yx yy

f a b f a bH

f a b f a b=

nos permitirá concluir:

( ) ( )( ) ( )

( )

0 , 0 ,

0 , 0 ,

0 ,

xx

xx

H f a b a b mínimo relativo

H f a b a b máximo relativo

H a b punto de silla

> > ⇒

> < ⇒

< ⇒

Cálculo de los extremos relativos de una función de n variables

Los pasos a seguir son:

(1) Cálculo de los puntos críticos como solución del sistema




36

( )( )

( )

1

2

1 2

1 2

1 2

, ,..., 0

, ,..., 0

....................................

, ,..., 0n

x n

x n

x n

f x x x

f x x x

f x x x

= = =

(2) Si (a1, a

2,...,a

n) es un punto crítico construimos

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n n n

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

f f f

f f fd f

f f f

=

� si 2d f es definida positiva el punto (a1, a

2,...,a

n) es un mínimo

relativo

� si 2d f es definida negativa entonces el punto (a1, a

2,...,a

n) es

un máximo relativo

� si 2d f no es definida ni semidefinida en el punto de

coordenadas (a1, a

2,...,a

n) no hay punto extremo.

� si 2d f es semidefinida no puede afirmarse nada y hay que

recurrir a la definición.

Sea

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

=

se definen las submatrices siguientes obtenidas a

partir de la matriz A

( )11 12 13

11 121 1 2 3 21 22 23

21 2231 31 33

11 12 1

21 22 2

1 2

, , ,... ,

...

...

... ... ... ...

...

n

nn

n n nn

a a aa a

A a A A a a aa a

a a a

a a a

a a aA A

a a a

= = = = =

Llamamos ( )detn nA∆ = y estudiamos el signo de estos determinantes:

1 2 3, , ,..., n ∆ ∆ ∆ ∆ , entonces:




37

• [+,+,+,+,…,+] MÍNIMO RELATIVO

• [+, - ,+, - ,…] MÁXIMO RELATIVO

Extremos condicionados

Hasta este momento se han calculado los extremos locales de funciones cuyas

variables no están ligadas por ninguna condición. Sin embargo, muchos

problemas de optimización presentan restricciones o condiciones que debe

verificar la solución.

Un extremo (máximo o mínimo) de la función ( ),f x y cuando ( ),x y está sobre una

curva del plano contenida en el dominio de f , cuya ecuación es ( ), 0g x y = , se dice

que es un extremo condicionado a la condición o restricción ( ), 0g x y = .

Por ejemplo:




38

El método de Lagrangei2 permite hallar analíticamente los puntos extremos

condicionados de una función suave, es decir, con derivadas parciales continuas.

Sea F(x,y) la función objetivo. Supongamos que (x,y) están condicionadas

por la ecuación g(x,y) = K. Las funciones F y g son suaves.

TEOREMA (Método de Lagrange para funciones de dos variables y una condición).-

Sean f y g dos funciones con derivadas parciales continuas tal que f tiene un

máximo o mínimo sujeto a la restricción dada por ( ), 0g x y = entonces dicho

extremo se producirá en uno de los puntos críticos de la función F dada por

( ) ( ) ( ), , , ,F x y f x y g x yλ λ= +

Al número λλλλ (lambda) se le llama "multiplicador de Lagrange".

OBSERVACIÓN.- Según este teorema, los extremos libres de F coinciden con los

extremos condicionados de f .

2 El método lo realizó uno de los matemáticos más grandes del siglo XVIII, Joseph Lagrange,

cuando tenía 19 años.




39

Para analizar si el punto crítico ( ), , oa b λ obtenido del sistema

( )

0 0

0 0

0 , 0

x x x

y y y

F f g

F f g

F g x yλ

λ

λ

= + = = ⇒ + = = =

es máximo o mínimo se analiza el signo de la diferencial segunda de F en el

punto ( ),a b

( )( )

2 2 2

,2

xx yy xy a bsigno d F signo F dx F dy F dxdy= + +

estando ligadas dx y dy por la condición:

Nota: Si detectas algún error o errata ponte en contacto con la profesora para su

corrección.

0x yg dx g dy+ =


Funciones de varias variables

Matemáticas 1

1





Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación


2

1 Dada las superficies

(1) 2 2z x y= + (2) 2 2

4 9

x zy = −

Se pide:

(a) Representar las trazas

(b) Obtener las curvas de nivel

(c) Realizar un bosquejo de su gráfica

Se trata de un paraboloide

Al cortar por planos x=cte: Parábolas 2z cte y= +



Fundamentos Matemáticos I Ejercicios: Func. varias variables

3

Al cortar por planos y=cte: Parábolas 2z x cte= +




4

Al cortar por planos z=cte (curvas de nivel): Circunferencias ( )2 2 0Cte x y Cte= + >




5

(2) Se trata de un hiperboloide

Curvas x=cte: Parábolas 2

9

zy Cte= −




6

Curvas y=cte: Hipérbolas 2 2

4 9

x zCte = −

Curvas: z=cte: Parábolas 2

4

xy Cte= −

2 Representar el dominio de la función ( ) 2 2,

x y

x yf x y x y e

+

−= −




7

El dominio es el conjunto de los puntos ( ) ( )( ){ }2, / . 0,Domf x y x y x y x y= ∈ − + ≥ ≠�

es decir, los puntos del plano comprendidos entre las rectas x=y, x=-y salvo los de la recta

x=y, gráficamente

3 Se considera la función ( ) ( )( ), 2 3xy xf x y e sen x y

yπ= + + + . Calcular

f

x

∂

∂,

f

y

∂

∂,

2

2

f

x

∂

∂,

2 f

x y

∂

∂ ∂, ( )0,1xf ,

( )2, 1yf − , ( )0,1xxf , ( )2, 1xyf − .

Solución:

( )( )1

2 cos 2 3xyfye x y

x yπ π

∂= + + +

∂

( )( )2

3 cos 2 3xyf xxe x y

y yπ π

∂= − + +

∂

( ) ( )( )2 222

2 2 3xyfy e sen x y

xπ π

∂= − +

∂

( )( )2

22

16 2 3xy xyf

e xye sen x yx y y

π π∂

= + − − +∂ ∂

( ) ( )0,1 1 1 2 cos 3 2 2xf π π π= + + = −

4 Dada la función

4 4

3 3( , )0

xy x yx y

f x y x yx y

− ≠ −= + = −

a) Hallar ( )0,0xf y ( )0, 0yf

b) Calcule ( ),xf x y y ( ),yf x y

c) Es ( ) ( )0, 0 0, 0xy yxf f= ?




8

Solución:

0

(0 , 0) (0, 0)) (0, 0) limx

h

f h fa f

h→

+ −=

4 4

3 3

40 0

(0 )0 (0 ) 00

(0 ) 0 0lim lim 0h h

h h

h

h h→ →

+ − +−

+ += = =

04 4

3 3

0

40

(0, 0 ) (0, 0)(0, 0) lim

0(0 ) 0 (0 )0

0 (0 ) lim

0 lim 0

yh

h

h

f h ff

hh h

h

h

h

→

→

→

+ −=

+ − +−

+ +=

= =

b) Supongamos ahora que ( ),x y con x y≠ − , entonces

4 3 3 3 4 4 2

3 3 2

( 4 )( ) ( )(3 )

( )x

y x y x y xy x y xf

x y

− + − −=

+

3 4 3 3 4 4 2

3 3 2

(4 )( ) ( )(3 )

( )y

xy x x y xy x y yf

x y

− + − −=

+

En los puntos ( ),a a− se tendrá:

0

( , ) ( , )( , ) limx

h

f a h a f a af a a

h→

+ − − −− =




9

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 4

3 3 4 4

3 30 0

0

lim limh h

a h a a h a

a h a a h a a h a

h h a h a→ →

+ − − + −−

+ + − + − − + −= =

+ + −

Como el numerador tiende a 52a y el denominador a cero este límite no existe para 0a ≠ .

c) (0, 0)f

y x

∂ ∂ ∂ ∂

4 3 3 3 4 4

3 3 2

7

7

(0, 0 ) (0, 0)(0, 0) (0, 0) lim

((0 ) 4.0 .( (0 ) ) (0(0 ) 0 (0 ))(0)lim

(0 (0 ) )

lim 1

x x x

h o

h o

h o

f f h ff

y x y h

h o h h h

h

hh

h

→

→

→

∂ + −∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂

+ − + + − + − +=

+ +

= =

(0, 0)f

x y

∂ ∂ ∂ ∂

3 4 3 3 4 4

3 3 2

7

7

(0 , 0) (0, 0)(0, 0) (0, 0) lim

(4(0 )0 (0 ) ).((0 ) 0 ((0 )0 (0 ) 0)(0)lim

(0 (0 ) )

lim 1

y y y

h o

h o

h o

f f h ff

x y x h

h h h h h

h

hh

h

→

→

→

∂ + − ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂

+ − + + + − + − +=

+ +

−= = −

Luego no se verifica que fxy(0,0)=fyx(0,0).

5 El precio de un piso P en función de la superficie S y de la calidad de los materiales C viene dado por una

función ( ),P S C . ¿Es razonable que 0P

C

∂>

∂? ¿Es razonable que 0?

P

S

∂<

∂

Solución:

Si 0P

C

∂>

∂ significa que a mayor calidad de los materiales aumenta el precio de la

vivienda. Parece razonable.




10

Si 0P

S

∂<

∂ significaría que al aumentar la superficie del piso el precio disminuiría.

Esto no parece lógico.

Funciones diferenciables. Diferencial de una función de dos variables

6 Sea 2 2( , )f x y x y= + pruebe que es diferenciable en (0,0)

Solución:

Forma 1.- Utilizando la definición

a) h 0

(0 , 0) (0, 0)(0, 0) lim

f h ff

x h→

+ −∂=

∂

2 2

h 0 h 0

(0 ) 0 lim lim 0

h h

h h→ →

+ −= = =

b) (0, 0) 0 f

y

∂=

∂ (análogo al apartado a) ya que la función es simétrica)

( ) ( ) ( )2 2

) f (0, 0) ( , ) (0, 0) (0, 0). (0, 0) ( , )f f

c x y f x y x y x yx y

ε∂ ∂

+ ∆ ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆∂ ∂




11

Entonces

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 22 2

2 2

( , ) 0 0 0 ( , )

( , )

f x y x y x y x y

x yx y x y

x y

ε

ε

∆ ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆ ⇒

∆ + ∆∆ ∆ = = ∆ + ∆

∆ + ∆

Veamos si ( )( , ) 0,0

lim ( , ) 0x y

x yε∆ ∆ →

∆ ∆ =

Utilizando coordenadas polares:

( )( , ) 0,0 00,2

lim ( , ) lim 0x y

x yρϕ π

ε ρ∆ ∆ → →

∈

∆ ∆ = =

Luego la función es diferenciable.

Forma 2.-

Como en todos los puntos del plano existen las derivadas parciales y además son

continuas la función es diferenciable en todo ( ) 2,x y ∈ � . En particular en el (0, 0).

7 Considere la función f(x,y) dada por:

2 2, ( , ) (0, 0)

( , )0, ( , ) (0, 0)

xyx y

f x y x yx y

≠= + =

a) Halle ( )0,0f

x

∂

∂ y ( )0,0

f

y

∂

∂

b) ¿Es f(x,y) diferenciable en (0,0)?

c) ¿Qué puede concluir de (a) y (b) respecto a la diferenciabilidad de la función?




12

Solución:

a) Calculamos las derivadas parciales en el origen

0

(0 , 0) (0, 0)(0, 0) lim

h

f h ff

x h→

+ −∂=

∂

2 2

30 0

(0 ) 00

(0 ) 0 0lim lim 0h h

h

h

h h→ →

+ −−

+ += = =

0

(0, 0 ) (0, 0)(0, 0) lim

h

f h ff

y h→

+ −∂=

∂

2 2

30 0

0.(0 )0

0 (0 ) 0lim lim 0h h

h

h

h h→ →

+−

+ += = =

b) Usemos la definición de diferenciabilidad:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 22 2

2 2

(0, 0) ( , ) (0, 0) (0, 0) (0, 0) ( , ) , luego:

.

.( , ) ( , ) entonces ( , )

f ff x y f x y x y x y

x yx y

x yf x y x y x y x y

x y

ε

ε ε

∂ ∂+ ∆ ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆

∂ ∂∆ ∆

∆ ∆∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ =

∆ + ∆

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

2 2

32 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2 2

.

.lim lim

x y x y

x y

x y x y

x y x y∆ ∆ → ∆ ∆ →

∆ ∆

∆ + ∆ ∆ ∆⇒ =

∆ + ∆ ∆ + ∆

,




13

pero calculando los límites radiales:

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )3 3( , ) (0,0) 02 2 2 22 2

. .lim lim

x y xy m x

x y x m x

x y x m x∆ ∆ → ∆ →∆ = ∆

∆ ∆ ∆ ⋅ ∆= =

∆ + ∆ ∆ + ⋅ ∆

( )30 2 2

lim

1x

m

x m∆ →

=

∆ +

nos damos cuenta que no existe este límite. Por lo tanto, la función dada, no es

diferenciable en el (0,0)

c) Podemos concluir que el hecho de que las derivadas parciales existan en el (0,0) no

asegura diferenciabilidad en el punto

8 Sea la función

2

4 2,( , ) (0, 0)

( , )0, ( , ) (0, 0)

x yx y

f x y x yx y

≠= + =

1. Halle ( , ) y ( , )f fx y x y

x y

∂ ∂

∂ ∂

2. ¿En qué direcciones v existe (0, 0) vDf ?

3. ¿Es f(x,y) diferenciable en (0,0)?




14

Solución:

a) Si ( ) ( ) ( )( )

3 5

24 2

2 2, 0, 0 ,

f xy x yx y x y

x x y

∂ −≠ ⇒ =

∂ +

Si (x,y) = (0,0), entonces

2

4 2

50 0 0

(0 ) .00

(0 ,0) (0, 0) (0 ) 0 0(0, 0) lim lim lim 0

h h h

h

f h f hf

x h h h→ → →

+−

+ − + +∂= = = =

∂

Así:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

3 5

24 2

2 2 si x,y 0, 0

,

0 Si x,y 0,0

xy x yfx y x y

x

− ≠∂ = +∂ =

Análogamente ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

6 2 2

24 2 si x,y 0,0

,

0 Si x,y 0,0

x x yfx y x y

y

− ≠∂ = +∂ =

( PRUÉBELO ¡!!!)

b) Sea ( , )v a b=�

tal que ||v||=1

( ) ( )

02

4 4 2 2

0 0 03 22 3 2 2

4 4 2 2 3 4 2 2 4 2 20 0 0

((0, 0) ) (0, 0)(0, 0) lim

( ) 0 ( , )lim lim lim

( )lim lim lim

t

t t t

t t t

f tv ff

v tat bt

f tv f at bt a t b t

t t tt a ba bt a b a

bt a t b t t a t b a t b

→

→ → →

→ → →

+ −∂= =

∂

− += = =

= = = =+ + +

�

�

siempre que b sea distinto de cero.

En el caso de que b sea cero el vector v será (1, 0) y por lo tanto

( )0

4

0 0 0

((0, 0) 1, 0 ) (0, 0)(0, 0) lim

0( ,0) 00lim lim lim 0

t

t t t

f t ff

v t

f t t

t t t

→

→ → →

+ −∂= =

∂

+= = = =

Podemos concluir que la función posee derivadas direccionales en (0,0) en cualquier

dirección.




15

c) Para saber si f (x,y) es diferenciable en (0,0), resulta más sencillo en este caso,

analizar primero la continuidad en (0,0). Veamos si existe ( , ) (0,0)

lim ( , )x y

f x y→

: tomemos el

camino 2y mx=

2

2 2 2

4 2 4 2 4 2 2( , ) (0,0) 0 0lim lim lim

1 1x y x xy mx

x y x mx m m

x y x m x m m→ → →=

= = =+ + + +

Como el límite depende de m (de la parábola) se puede concluir que f(x,y) no es

continua en (0,0) y en consecuencia, f(x,y) no es diferenciable en (0,0).

Notar que la existencia de derivadas parciales y derivadas direccionales no implica

diferenciabilidad.

9 Estudia la diferenciabilidad de la siguiente función

( )( ) ( )

( ) ( )2 2

, 0, 0,

0 , 0, 0

xysi x y

f x y x ysi x y

≠= + =




16

Solución:

(a) Calculamos inicialmente las derivadas parciales en el origen:

( )( ) ( )

0 0

, 0 0, 0 0 00, 0 lim lim 0

x x

f x ff

x x x∆ → ∆ →

∆ −∂ −= = =

∂ ∆ ∆

por simetría de la función ( )0, 0 0f

y

∂=

∂.

Utilizamos la definición para ver si es

diferenciable. La función será diferenciable

si

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2, 0,0

, 0, 0 0, 0 0,0lim 0

x y

f ff x y f x y

x y

x y∆ ∆ →

∂ ∂∆ ∆ − − ⋅ ∆ − ⋅ ∆

∂ ∂=

∆ + ∆

Se tiene que

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2, 0,0

2 22 2, 0,0 , 0,0

, 0, 0 0, 0 0,0lim

,lim lim

x y

x y x y

f ff x y f x y

x y

x y

x yf x y

x yx y

∆ ∆ →

∆ ∆ → ∆ ∆ →

∂ ∂∆ ∆ − − ⋅ ∆ − ⋅ ∆

∂ ∂=

∆ + ∆

∆ ⋅ ∆∆ ∆= =

∆ + ∆∆ + ∆

Este último límite no tiende a cero

(basta calcular los límites radiales o pasar

a coordenadas polares).

Por lo tanto la función no es diferenciable en el origen.




17

Relación entre la diferencial y la derivada direccional. Gradiente.

10 El conjunto de los puntos (x, y) con 0 5x≤ ≤ , 0 5y≤ ≤ es un cuadrado colocado en el primer

cuadrante del plano XY. Supongamos que se caliente ese cuadrado de tal manera que

( ) 2 2,T x y x y= + es la temperatura en el punto P(x, y). ¿En qué sentido se establecerá el flujo de

calor en el punto ( )2,5oP ?

Indicación: El flujo de calor en la región está dado por una función vectorial ( ),C x y

porque su valor en cada punto depende de las coordenadas de éste. Sabemos por física

que ( ),C x y será perpendicular a las curvas isotermas ( ),T x y c= donde c es

constante. El gradiente y todos sus múltiplos verifican esta condición. En esta

situación nos dice la física que C K T= − ∇ donde K es una constante positiva

(llamada conductividad térmica). Nótese que la razón del signo negativo es que el

calor fluye desde puntos de mayor temperatura a puntos de menor temperatura.




18

Solución:

Como ( )3,4 25T = el punto P está en la isoterma ( ), 25T x y = , que es un cuadrante

de la circunferencia 2 2 25x y+ = . Sabemos que el flujo de calor en ( )2,5oP es

o oC K T= − ∇ .

Como 2 2T xi y j∇ = +� �

se tiene que 6 8oT i j∇ = +� �

. Así el flujo de calor en Po es:

( )6 8oC K i j= − +� �

. Como la conductividad térmica es positiva se puede afirmar que

el calor fluye en Po en el sentido del vector unitario:

( )( ) ( )

2 2

6 8 3 4

5 56 8

i ju i j

− += = − −

− + −

� �

� � �

11 Hallar a y b para que la derivada direccional máxima de la función ( )cos 0ax bye x y z+ + − = en el punto

( )0,0 sea 3 2 en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante

Solución.-

La función ( )cosax byz e x y+= + es continua por ser composición de funciones

continuas y es diferenciable por ser las derivadas parciales continuas en todo 2� :

( ) ( )' cosax by ax byx

fz ae x y e sen x y

x+ +∂

= = + − +∂

( ) ( )' cosax by ax byy

fz be x y e sen x y

y+ +∂

= = + − +∂

Esto significa que la derivada direccional en un punto siguiendo una dirección se

puede obtener como el producto escalar de la dirección por el gradiente en el punto

considerado.

( ) ( )0, 0 0,0 , 3 2uD f f u= ∇ =

Por otro lado el gradiente nos marca la dirección donde la derivada direccional es

máxima que en este caso es además la bisectriz del primer cuadrante luego en este

caso:




19

( )0, 0 3 2f∇ = ( )

( )1 2 2

0, 0 ,0, 0 2 2

u ff

= ∇ = ∇

Calculando el gradiente en el origen:

( )0,0f ai b j∇ = +� �

se tiene que cumplir que:

2 2 3 2a b+ = 2 2

, ,2 23 2 3 2

a bu a b

= = ⇒ =

Por lo tanto, resolviendo el sistema formado por estas dos ecuaciones:

3a b= =

Determinar, si es posible, un vector unitario u� de modo que la derivada direccional de la

función ( )1

, ,xy

f x y zz

−= en el punto (1, 1, 1) y en la dirección de u

� sea 2 .

Puntuación: 10 puntos

En el punto (1, 1, 1) la función f es diferenciable por tener derivadas parciales primeras

continuas, luego la derivada direccional es:

( ) ( )1,1,1 1,1,1 , 2uD f f u= ∇ =�

( ) ( ) ( )

2

1

1,1,1 1 1,1,1 1 1,1,1 0

f y f x f xy

x z y z z zf f f

x y z

∂ ∂ ∂ −= − = − = −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= − = − =∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )1,1,1 1, 1, 0 , , , 2uD f a b c= − − =

Se trata de resolver el sistema:




20

( )22 2 2 2 2

22

1 1 2 2 2 2 1 0

b aa b

a b c c a a a NO

= − −− − = ⇒ + + = = − − − = − + <

Que no tiene solución. Luego no es posible encontrar el vector pedido.

12 De una función ( ),z f x y= diferenciable en todo 2� se sabe que el plano tangente a ( ),f x y en el punto

(1, 2) es: 2 3 4 1x y z+ + = . ¿Se puede calcular con estos datos la derivada direccional de f en la

dirección que une el punto (1, 2) con el punto (3,4)? Justificar la respuesta.

La dirección en la que nos piden calcular la derivada direccional es:

( ) ( )1 1

3 1, 4 2 2,2 ,2 2

vv u

v

= − − = ⇒ = =

Como el plano tangente en el punto (1, 2) es

1 3 12 3 4 1

2 4 4x y z x y z+ + = ⇔ + + = (I)

que corresponde a la ecuación

( )( ) ( )( ) ( )1,2 1 1,2 2 1,2f f

x y z fx y

∂ ∂− + − = −

∂ ∂ (II)

se tiene que cumplir que

( ) ( )1 3

1,2 1,22 4

f f

x y

∂ − ∂ −= =

∂ ∂

sin más que igualar los coeficientes en las dos expresiones (I) y (II)

Luego la derivada direccional pedida es:

( )( ) ( ) ( )1 3 1 1 5 5 2

, 1,2 1,2 , 1,2 , , , ,2 4 82 2 4 2

u

f fD f u

x y

∂ ∂ − − − = = − = = ∂ ∂

13 Sea 2:f A ⊂ →� � definida por




21

( )( ) ( )

( ) ( )

3

2 2, 0, 0

, 20 , 0, 0

xx y

f x y x y xyx y

≠= − − =

A) Dibujar el conjunto de puntos del plano donde f no está definida.

B) Calcular el límite direccional de la función en el origen a lo largo de la curva: 2y x x= +

C) Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de f en el origen

D) Calcular los valores de ( )0,0xf y ( )0, 0xyf

E) Determinar en el punto P (2,-1) el valor de la derivada en una dirección que forma 60º con el eje

OX positivo.

Solución:

A) f(x, y) no está definida en aquellos puntos que anulen el denominador

2 22 2 2 2 8

2 0 2 022

xx x xx y xy y xy x y

x

− ± + − − = ⇔ + − = ⇔ = = −

Es decir, la función f no está definida sobre las rectas y = x e y = -2x.

B) El límite pedido es:

( ) ( )( )

( ) ( )2

3

2, 0,0 0 2 2 2lim , lim

2x y xy x x

xf x y

x x x x x x→ →

= +

= =

− + − +




22

( ) ( )

3 3

2 2 4 3 2 3 4 30 0lim lim 1

2 2x x

x x

x x x x x x x x→ →= =

− + + − + +

C) Si calculamos los límites radiales:

( ) ( )( )

( ) ( )

3

2 2, 0,0 0 02

1, 2

lim , lim lim 022x y x x

y mxm

x xf x y

m mx mx x mx→ → →=≠ −

= = =− −− −

Vemos que la función no es continua en el origen ya que aunque todos tienen el mismo valor

no coincide con el límite según la dirección del apartado b)-

Por no ser continua, tampoco puede ser diferenciable, ya que toda función diferenciable en

un punto debe ser continua en él.

D) Calculamos las derivadas parciales pedidas:

( )( ) ( )

3

2'

0 0

, 0 0, 0 120,0 lim lim2x

t t

tf t f tf

t t→ →

−= = =

Para calcular

( )( ) ( )''

0

, 0 0, 00, 0 lim y y

yxt

f t ff

t→

−=

debemos calcular primero ( )' 0,0yf y ( )' , 0yf t :

• ( )( ) ( )'

0 0

0, 0, 0 0 00, 0 lim lim 0y

t t

f t ff

t t→ →

− −= = =

• ( )

( )

( )

( )( ) ( )

3 3'

2 22 2 2 2

2 2( , ) , 0, 0

2 2y

x y x x y xf x y si x y

x y xy x y xy

− − − += = ≠

− − − −

• ( )( )

4

22

1' , 0

42y

xf t

x

⇒ = =

Ahora,

( )( ) ( )'

0 0

10' , 0 ' 0, 0 40, 0 lim limy y

yxt t

f t ff

t t→ →

−−= = = ±∞




23

luego no existe ( )'' 0, 0yxf

E) En P (2,-1), f(x, y) es diferenciable, ya que se trata de una función racional con

denominador no nulo.

Podemos por tanto calcular, ( ) ( )2, 1 2, 1 ,u

D f f u− = ∇ −�

�

• Calculemos ( )2, 1f∇ −

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

34 2 2 3

2 22 2 2 2

5 3

22 3 2' , ' ,

2 2

8 2 22 3 4 2 2 4' 2, 1 ' 2, 1 0

81 9 81

x y

x y

x y xx x y x yf x y f x y

x y xy x y xy

f f

+− −= =

− − − −

− +− ⋅ + ⋅− = = − = =

• 1 3

cos , ,3 3 2 2

u senπ π = =

�

luego, ( )4 1 3 2

2, 1 , 0 , ,9 2 2 9u

D f − = =

�

Nota: También se puede recurrir a la definición de derivada direccional, pero lleva más

operaciones.

14 Se considera la función real de dos variables

( )( ) ( )

( ) ( )

3 3

2 2, 0, 0

,0 , 0, 0

x ysi x y

f x y x ysi x y

+ ≠= + =

(a) Estudia, mediante la definición, para qué vectores unitarios u existe la derivada direccional de f en el

origen, ( )0,0uD f . Calcula dicha derivada direccional.

(b) ¿Cuánto vale el gradiente de f en el origen?

(c) Estudia la diferenciabilidad en el origen

(d) A partir del valor obtenido en (a) calcula el valor máximo de ( )0,0uD f , y la dirección u de forma

que ( )0,0uD f es máxima.




24

Solución:

(a) Se considera el vector unitario ( )cos ,u senϕ ϕ= utilizando la definición

( )( ) ( )

0

cos , 0, 00, 0 limu

t

f t tsen fD f

t

ϕ ϕ

→

−= =

( )3 3 3

2 3 3

0

cos0

lim cost

t sen

t sent

ϕ ϕ

ϕ ϕ→

+−

= = +

(b) ( ) ( ) ( )0,0 0,0 0, 0f f

f i ix y

∂ ∂∇ = +

∂ ∂

� �

Calculamos las derivadas parciales

( )( ) ( )

3

2

0 0 0

0,0 0, 00, 0 lim lim lim 1

t t t

tf t ff tt

x t t t→ → →

−−∂

= = = =∂

( )( ) ( )

3

2

0 0 0

00, 0, 00,0 lim lim lim1 1

t t t

tf t ff t

y t t→ → →

+−∂

= = = =∂

Por lo tanto, ( )0,0f i j∇ = +� �

.




25

(c) La función no es diferenciable en el origen porque en caso de ser diferenciable se

tendría que

( ) ( )0, 0 0,0 , , cos cosuD f f u i j i sen j senϕ ϕ ϕ ϕ= ∇ = + + = +� � � �

y por el apartado (a) la derivada direccional es ( ) 3 30, 0 cosuD f senϕ ϕ= + .

(d) La derivada direccional ( ) 3 30, 0 cosuD f senϕ ϕ= + es una función de ϕ ,

( ) 3 3cosh senϕ ϕ ϕ= + , que es derivable, por lo tanto, el valor más grande se alcanzará

cuando

( )( )

2 2' 3 cos 3 cos

3 cos cos 0

h sen sen

sen sen

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

= − + =

= − + =

( )

1 2

3 4

5 6

0 0

3' 0 cos 0

2 25

cos4 4

sen

h

sen

ϕ ϕ ϕ π

π πϕ ϕ ϕ ϕ

π πϕ ϕ ϕ ϕ

= ⇒ = == ⇔ = ⇒ = = = ⇒ = =

Como

( ) ( ) ( )( )

2 2'' 3 cos cos 3 cos

3 cos cos

h sen sen sen

sen sen

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

= − + − − +

+ +

se tiene que los máximos y mínimos relativos son:

( )

( )

5'' 0 0, '' 0, '' 0

2 43

'' 0, '' 0, '' 04 2

h h h MAXIMO

h h h MINIMO

π π

π ππ

< < < > > >

El máximo absoluto es en la dirección del eje positivo de las X o de las Y

( ) ( ) ( )cos 0, 0 1,0 cos , 0,12 2

u sen ó u senπ π = = = =




26

0 1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0

0.5

1

φ

cos(φ)3+sin(φ)3

La representación de la función es:

15 Se considera la función:

( )( )

( ) ( )

( ) ( )2 2

, 0, 0,

0 , 0, 0

xsen xysi x y

f x y x ysi x y

≠= + =

Se pide:

(a) Estudiar la continuidad de f en todo punto del plano.

(b) Calcular f

x

∂

∂ y

f

y

∂

∂ en todo 2�




27

(c) Estudiar la derivada direccional de f en el origen en cualquier dirección

(d) ¿Es f diferenciable en el origen?

Solución:

(a) En los puntos del plano distintos del origen la función es continua por ser cociente de

funciones continuas con denominador no nulo.

En el origen estudiamos el siguiente límite:

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )2

2 2 2, 0,0 , 0,0 00,2

cos coslim , lim lim

x y x y

sen senx sen xyf x y

x y ρϕ π

ρ ϕ ρ ϕ ϕ

ρ→ → → ∈

⋅= = =

+

( )( )

22

0 00 0,2 0,2

cos coslim lim cos 0 0,0

sensi

sensen f

α α ρ ρα ϕ π ϕ π

ϕ ρ ϕ ϕρ ϕ ϕ

ρ → → → ∈ ∈

= = = =�

donde en el último límite se ha utilizado que el producto de un infinitésimo por una función

acotada es cero.

Por lo tanto la función es continua en todo 2�

(b) Las derivadas parciales en puntos distintos del origen son:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

2 2

22 2

2 2 2

22 2

cos 2

cos 2

sen xy xy xy x y x xsen xyf

x x y

x xy x y y xsen xyf

y x y

+ + −∂ =

∂ +

+ −∂ =∂ +

En el origen:

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

2

0 0 0

2

0 0 0

000 ,0 0,0 0

0, 0 lim lim lim 0

0 000,0 0,0 0

0,0 lim lim lim 0

t t t

t t t

t sen

f t ff tx t t t

sen

f t ff ty t t t

→ → →

→ → →

⋅−

+ −∂= = =

∂⋅

−+ −∂

= = =∂




28

Por lo tanto las derivadas parciales de primer orden existen en todo 2�

(c) Calculamos la derivada direccional en cualquier dirección ( )cos ,u senϕ ϕ=�

utilizando

la definición:

( )( ) ( )

0

0 cos , 0 0, 00, 0 limu

t

f t tsen fD f

t

ϕ ϕ

→

+ + −= =

( ) ( )2

2

2 2 2 22 2

0 0

cos cos cos cos0 0coslim lim cost t

t sen t sent t sen

t t sent sen

t t

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

→ →

⋅ ⋅⋅ ⋅−

−+= = =

Luego, la derivada direccional de la función f en el origen en la dirección ( )cos ,u senϕ ϕ=�

es

( ) 20,0 cosuD f senϕ ϕ=

(d)

Método 1: La función no es diferenciable en el origen porque la derivada direccional en el

origen no es el producto escalar del gradiente en el origen por la dirección.

Método 2: Utilizando la definición de diferenciabilidad:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2, 0,0 , 0,0

, 0, 0 0 0lim lim

x y x y

x sen x y

f x y f x y x y

x y x y∆ ∆ → ∆ ∆ →

∆ ⋅ ∆ ⋅ ∆

∆ ∆ − −∆ ⋅ − ∆ ⋅ ∆ + ∆= =

∆ + ∆ ∆ + ∆

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

3 22

3/2 3, 0,0 0 02 20,2 0,2

coslim lim lim cos

x y

x sen x y sensen

x yρ ρϕ π ϕ π

ρ ϕ ϕϕ ϕ

ρ∆ ∆ → → → ∈ ∈

∆ ⋅ ∆ ⋅ ∆ ⋅= = = ⋅

∆ + ∆

Como el último límite no existe por depender de ϕ , el límite no es cero y en consecuencia la

función no es diferenciable en el origen.

16 Sea 2:f →� � definida de la forma: ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

1, 0, 0

,1 , 0, 0

x yesi x y

f x y x ysi x y

+ − ≠= + =

Se pide:

(a) Continuidad en (0,0)




29

(b) Diferenciabilidad en (0,0)

(a) Continuidad en (0,0)

( ) ( ))

( )2 2 2

2 22 2 2, 0,0 0 1 log0,2

1 1lim lim 1 0,0

x y

x y e e

e ef

x y ρ

ρ

ρ ρϕ π

ρ

+

→ → − ≈∈

− −= = =

+

Nota: En el último límite se puede aplicar también L’Hopital

2 2

20 0

1 2lim lim 1

2

e eρ ρ

ρ ρ

ρ

ρρ→ →

−= =


( )( ) ( )

( )

( )

2

2

0 0

11

0 , 0 0, 00,0 lim lim

x

xx x

e

f x f xf

x x

∆

∆ → ∆ →

−−

+ ∆ − ∆= = =

∆ ∆

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )

2 2 222

3 20 ' 0 0 ' 0

1 2 2 42 2lim lim lim lim 0

3 33

x x xx

x L Hopital x x L Hopital x

e x x e x x ee

xx x

∆ ∆ ∆∆

∆ → ∆ → ∆ → ∆ →

− − ∆ ∆ − ∆ ∆−= = = = =

∆∆ ∆

Por simetría ( )0,0 0yf = .

Vemos si es diferenciable comprobando si se cumple:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2, 0,0

, 0, 0 0, 0 0,0lim 0

x y

f ff x y f x y

x y

x y∆ ∆ →

∂ ∂∆ ∆ − − ⋅ ∆ − ⋅ ∆

∂ ∂=

∆ + ∆

Como




30

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) )

2 2

22 22

32 2, 0,0 00,2

11 0 0

1lim lim 0

x y

x y

ex y

x y e

x y

ρ

ρϕ π

ρ

ρ

∆ + ∆

∆ ∆ → →∈

−− − ⋅ ∆ − ⋅ ∆

∆ + ∆ − −= =

∆ + ∆

la función es diferenciable en el origen.

Nota: Este último límite es el mismo que el de cálculo de la derivada parcial.

17 Dada la función ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2, 0, 0

,0 , 0, 0

x ysi x y

f x y x ysi x y

≠= + =

(a) Estudiar la continuidad y diferenciabilidad en 2� (10 puntos)

(b) Calcular la derivada direccional en el punto (0, 0) según el vector ( )1,1v =�

, el vector ( )1, 0u =�

y

el vector ( )0,1u =�

. (5 puntos)

Solución:

(a) Continuidad en (0,0).

( ) ( )( )

( ) ( ) �

2 3 22

2 2 2, 0,0 , 0,0 0 0cotinf0,2 0,2

coslim , lim lim lim cos 0

x y x ya adoinitésimo

x y senf x y sen

x y ρ ρϕ π ϕ π

ρ ϕ ϕρ ϕ ϕ

ρ→ → → → ∈ ∈

⋅= = = ⋅ =

+��

como el valor del límite coincide con el valor de la función en el punto es una función continua

en el origen.

En el resto de puntos (x,y) distintos de (0,0) la función es continua por ser cociente de

funciones continuas con denominador no nulo en dichos puntos.


En los puntos (x, y) distintos del origen la función tiene derivadas parciales




31

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 3

2 22 2 2 2

2 2 2 2 4 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2, , 0, 0

2, , 0, 0

x

y

xy x y x y x x y xyf x y si x y

x y x y

x x y x y y x x yf x y si x y

x y x y

+ − ⋅ += = ≠

+ +

+ − ⋅ −= = ≠

+ +

y además son continuas por ser cociente de funciones continuas con la función del

denominador no nula en estos puntos (el denominador solo se anula si (x, y)=(0,0)). Por lo

tanto la función f es diferenciable en todos los puntos distintos del origen.

En el origen

( )( ) ( )

0 0

, 0 0, 0 0 00,0 lim lim 0x

x x

f x ff

x x∆ → ∆ →

∆ − −= = =

∆ ∆

( )( ) ( )

0 0

0, 0, 0 0 00, 0 lim lim 0y

y y

f y ff

y x∆ → ∆ →

∆ − −= = =

∆ ∆

Utilizando la definición vemos si es diferenciable:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

2 2 2 2, 0,0 , 0,0

, 0, 0 0, 0 0, 0lim limx y

x y x y

x y

f x y f f x f y x y

x y x y∆ ∆ → ∆ ∆ →

∆ ∆

∆ ∆ − − ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ∆ + ∆= =

∆ + ∆ ∆ + ∆

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )22 3 2

1 3, 0,0 012 2 0,22

coslim lim

x y

senx y

x y

ρϕ π

ρ ϕ ϕ

ρ∆ ∆ → →+ ∈

∆ ∆= =

∆ + ∆

Que depende de ϕ , luego la función no es diferenciable en el origen.

Nota: También se puede calcular el límite por radiales y ver que depende de la pendiente de la

recta por la que nos aproximemos al origen.

(b) Derivadas direccionales:

Al no ser la función diferenciable no es válida la expresión ( ) ( )0, 0 0, 0 ,uD f f u= ∇�

por lo

que debemos aplicar la definición de derivada direccional

( )1 1

1,1 ,2 2

vv u

v

= → = =

��

�

luego:




32

( )( )

0

1 10 , 0 0, 0

2 20, 0 limu t

f t t f

D ft→

+ + − = =�

2

32 2

2

0 0

1 1

2 2

1 1 2 212 2lim lim

2 2t t

t t

t

t tt

t t→ →

+ = = =

La derivada direccional en la dirección (1, 0) es la derivada parcial respecto a x y la derivada

direccional en la dirección (0, 1) es la derivada parcial respecto a y calculadas anteriormente y

cuyo valor en ambos casos es cero.

Plano tangente

18 De una función ( ),z f x y= diferenciable en todo 2� se sabe que el plano tangente a ( ),f x y en el punto

(1, 2) es: 2 3 4 1x y z+ + = . ¿Se puede calcular con estos datos la derivada direccional de f en la dirección

que une el punto (1, 2) con el punto (3,4)? Justificar la respuesta.

La dirección en la que nos piden calcular la derivada direccional es:

( ) ( )1 1

3 1, 4 2 2,2 ,2 2

vv u

v

= − − = ⇒ = =

Como el plano tangente en el punto (1, 2) es

1 3 12 3 4 1

2 4 4x y z x y z+ + = ⇔ + + = (I)

que corresponde a la ecuación

( )( ) ( )( ) ( )1,2 1 1,2 2 1,2f f

x y z fx y

∂ ∂− + − = −

∂ ∂ (II)

se tiene que cumplir que




33

( ) ( )1 3

1,2 1,22 4

f f

x y

∂ − ∂ −= =

∂ ∂

sin más que igualar los coeficientes en las dos expresiones (I) y (II)

Luego la derivada direccional pedida es:

( )( ) ( ) ( )1 3 1 1 5 5 2

, 1,2 1,2 , 1,2 , , , ,2 4 82 2 4 2

u

f fD f u

x y

∂ ∂ − − − = = − = = ∂ ∂

Regla de la cadena. Derivación compuesta.

19

Sea 4 2 3 xu x y y z

yϕ = + +

donde

2

2

1 t

t

x rse

y rs e

z r s sent

−

= + = =

Calcular u

s

∂

∂ cuando 2, 1, 0r s t= = = sabiendo que

3' 12

ϕ = −

Solución.-

u u x u y u z

s x s y s z s

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

3 4 3 2 2 22

14 ' 2 ' 2 3t tx x xx y re x yz rse y z r sent

y y y yϕ ϕ −

− = + + + + + +

Para r=2, s=1, t=0 se tiene que x=3, y=2, z=0. Sustituyendo estos valores en la

expresión anterior, así como 3

' 12

ϕ = −

, resulta que 758u

s

∂=

∂

20 Considerando cos ,x r y rsenϕ ϕ= = transformar 2z

r ϕ

∂

∂ ∂ utilizando coordenadas cartesianas, es decir,

expresar 2z

r ϕ

∂

∂ ∂ en función de z , x e y y sus derivadas parciales.




34

Solución:

Aplicando la regla de la cadena, teniendo en cuenta que cos ,x r y rsenϕ ϕ= =

(inversamente 2 2r x y= + , y

arctgx

ϕ =

) se puede escribir,

2 2 2 2cos

z z x z y z z z x z ysen

r x r y r x y x yx y x yϕ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ +

( ) ( ) ( )cosz z x z y z z z z

rsen r y xx y x y x y

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = − + = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Derivando ahora respecto de r teniendo en cuenta que x e y dependen de r y ϕ

�

2

llamamosz

A

z z A x A y

r r x r y r

ϕ

ϕ ϕ

∂=∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2

2 22 2 2 2

z z z x z z z yy x y x

y x y x x yx yx y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + + − − + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ +

2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

1xy z z z z x y zx y

y x x yy xx y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ = − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + +

21 Dada ( )( ) ( ), , ,u g x h x y y f t= = , calcular la razón de cambio (derivada) de u respecto de t.

Solución.-

Llamamos ( ),m h x y= , entonces el esquema de dependencia es

x

u x

m

y t

Luego aplicando la regla de la cadena

r

x

y

ϕ




35

u u m dy

t m y dt

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂

): Utilizar la regla de la cadena para probar

(a) h

x

∂

∂siendo ( ) ( )( ), , ,h x y f x u x y= . Poner además un ejemplo de función h (6 puntos).

Solución:

( ) ( )( ), , ,h f f u

h x y f x u x yx x u x

∂ ∂ ∂ ∂= = +

∂ ∂ ∂ ∂

Por ejemplo

( )

( ) ( )( )

2 2

2 2 2

2

,

( , )

, , ,

2 2 2 2 2 2

u u x y xy

f x u x u

h x y f x u x y x x y

h f f ux uy x xyy x xy

x x u x

= =

= +

= = +

∂ ∂ ∂ ∂= + = + = + = +

∂ ∂ ∂ ∂

(b) Calcular dy

dt siendo ( ) ( )( )2 (2)y h x f x g x g= = + + , ( )x sen t= . Poner además un

ejemplo de función h (7 puntos).

Llamamos ( )2 (2)u x g x g= + + entonces:

Y----u----x----t

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )2' 2 ' cos ' 2 2 ' cosdy dy du dx

f u x g x t f sen t g sent g sent g sent tdt du dx dt= = + ⋅ = + + +

Ejemplo: ( ) 2f u u= , ( ) xg x e=

( ) ( )

( ) ( )

22 2

222 21

x

sent

y h x x e e

y h t sen t e e

= = + +

= = + +

22 Calcular la expresión de las derivadas parciales respecto a “x” y a “y” de la función:

( ) ( ) ( ) ( )( )2 ,f g x h y g x h yω = +




36

Considerando que g y h son funciones derivables y que f es una función diferenciable.

Se trata de calcular las derivadas parciales de ( ),f u vω = siendo

( ) ( ) ( ) ( )2u g x h y v g x h y= + =

Aplicando la regla de la cadena:

( ) ( ) ( )2' 2 'u v

g x x g x h yx u x v x u v

ω ω ω ω ω∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )' 'u v

h y g x h yy u y v y u v

ω ω ω ω ω∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

23 La temperatura de una placa viene dada por ( )2 2

1,

1

yT x y

x y

−=+

(a) ¿En qué dirección tendríamos que desplazarnos desde el punto (1,1) para que la temperatura

decrezca lo más rápidamente posible? Justificar la respuesta.

(b) ¿En qué dirección desde el mismo punto la variación de la temperatura es ¼? Justificar la

respuesta.

(c) Dada la curva en paramétricas ( ) ( )cos ,1t t sentϕ = + calcular el vector tangente a la curva en

t=0.

(d) Calcular ( ) ( )' 0T ϕ . ¿Qué representa dicho valor?

Solución:

(a) Las derivadas parciales de T son

( )( )

( )( )

( )

2 2 2 2

2 22 2 2 2

1 2 1 2, ,

1 1

y xyT T x y x yx y x y

x yx y x y

−∂ ∂ − − += − = −

∂ ∂+ +

La dirección para que la temperatura decrezca lo más rápidamente es el vector

( )( )

1,1

1,1

Tu

T

∇= −

∇




37

Calculando el gradiente en el punto (1,1)

( ) ( ) ( )1

1,1 1,1 , 1,1 0,2

T TT

x y

∂ ∂ ∇ = = − ∂ ∂

luego

( )0,1u =

(b) Como la función es diferenciable se trata de encontrar el vector ( )cos ,v senϕ ϕ= de

manera que

( )( ) ( ) ( )1

, 1,1 1,1 , cos ,4vD f T senϕ ϕ= ∇ =

1 1 4

2 4 2 6 6 2 6

sensen ó

ϕ π π π πϕ ϕ ϕ− = ⇔ = − ⇔ = − = − − = −

(c) El vector tangente a la curva en t=0 es

( ) ( ) ( ) ( )' , cos ' 0 0,1t sent tϕ ϕ= − ⇒ =

(d) Se tiene que ( )( ) ( )( )T t T tϕ ϕ= y por lo tanto esta función evalúa la temperatura

en los puntos de la curva dada en paramétricas. ( ) ( )' 0T ϕ calcula la variación de la

temperatura respecto al parámetro t en el punto de la curva

( ) ( ) ( )0 cos 0,1 0 1,1senϕ = + = .

La dependencia de las variables es: T=T(x,y) con x=x(t)=cost, y=y(t)=1+sent

x t

T

y t

Aplicando la regla de la cadena

( )

( )( )

( )

2 2 2 2

2 22 2 2 2

1 2 1 2cos

1 1

y xydT T dx T dy x y x ysent t

dt x dt y dt x y x y

−∂ ∂ − + −= + = − − +∂ ∂ + +

Sustituyendo t=0, x=cos0=1, y=sen0=0 se tiene que

( ) ( )' 0 1T ϕ = −




38

Derivación implícita

24 Dada ( ) 2 2 2, , 2 1F x y z x y z xy z= + + + + − , se pide:

A) determinar si ( ), , 0F x y z = define en el punto P (0,-1,0) a z como función implícita de x e y, es

decir, z = f(x, y)

B) Encontrar las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función z=f(x,y) en el punto

(0,-1)

C) Hallar en (0,-1) el valor de dz y 2d z cuando dx = dy = 0.2.

SOLUCION:

A) ( ), , 0F x y z = define a z = f(x, y) en un entorno de P (0,-1,0) si

• El punto P es un punto de la superficie, es decir, F (0,-1,0) = 0. En efecto,

F (0,-1,0) = 1 -1 = 0

• , ,Fx Fy Fz son continuas en un entorno de P. Es evidente ya que

( ), , 2xF x y z x y= +

( ), , 2yF x y z y x= +




39

( ), , 2 2zF x y z z= +

son funciones polinómicas

• ( )0, 1, 0 0zF − ≠ . Como ( ), , 2 2zF x y z z= + se tiene

( )0, 1, 0 2 0 2 2zF − = ⋅ + =

B) Para calcular las derivadas parciales de primer orden derivamos implícitamente la función

( ), , 0F x y z = :

Respecto a x:

(1) 2

2 2 2 02 2x x x

x yx z z y z z

z

++ + + = ⇒ = −

+

Respecto a y:

(2) 2

2 2 2 02 2y y y

y xy z z x z z

z

++ + + = ⇒ = −

+

Para calcular las derivadas de segundo orden basta derivar (1) y (2) respecto a x e y

nuevamente:

( )2

2 22 2 2 2 0

2 2x

x x xx xx xx

zz z zz z z

z

++ + + = ⇒ = −

+

2 12 2 1 2 0

2 2y x

y x xy xy xy

z zz z zz z z

z

++ + + = ⇒ = −

+

2 12 2 1 2 0

2 2x y

x y yx yx yx

z zz z zz z z

z

++ + + = ⇒ = −

+

( )2

2 22 2 2 2 0

2 2y

y y yy yy yy

zz z zz z z

z

++ + + = ⇒ = −

+

Sustituyendo en (x, y)=(0, -1) (con z=0) se tendrá.

( )1

0, 12xz − = ( )

20, 1 1

2yz − = =

( )

12 2

4 50, 1

2 4xxz

+ − = − = −




40

( ) ( )

12 1 1

20, 1 1 0, 12xy yxz z

⋅ ⋅ +− = − = − = −

( )2 2 1

0, 1 22yyz+ ⋅

− = − = −

C) Para calcular la diferencial:

( ) ( )1

0,2 1 0,2 0.32x ydz z dx z dy= + = + =

( ) ( ) ( ) ( )

2 222 2 2

2

5 1 1 12 2 1 2

4 5 5 51 21 21

0.214 4 * 255

xx xy yyd z z dx z dxdy z dy= + + = − + − + − =

− −= = = −

TESTS

25 Supongamos que estamos sobre el punto P( 1, 5, 8)− en una colina cuya ecuación es

2 274 7 4z x xy y= − − − . El eje Y señala hacia el norte y el eje X hacia el este, y las distancias

se miden en metros.

(a) Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el

noroeste

(b) Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el

suroeste

(c) Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el

noreste

(d) Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el sureste

Solución.-

Se tiene que:

N

S

E O NE

SE

NO

SO




41

( 1, 5, 8)− verifica la ecuación 2 274 7 4z x xy y= − − − (está en la colina).

Además

( )2 7 1,5 2 35 33z z

x yx x

∂ ∂= − − ⇒ − = − = −

∂ ∂

( )7 8 1,5 7 40 33z z

x yy y

∂ ∂= − − ⇒ − = − = −

∂ ∂

Luego la dirección donde hay máxima pendiente es:

( )( )

1,5 1 1,

1,5 2 2

f

f

∇ − − − = ∇ −

26 Sea ( ),f x y , una función continua con derivadas parciales primeras y segundas continuas en todo 2� , tal

que su polinomio de Taylor de orden 2 desarrollado en el punto (1, -1) es

( ) ( ) ( ) ( )( )2 , 2 1 2 1 6 1 1P x y x y x y= + − − + + − +

Entonces la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (1, -1, 2) es:

( ) ( )2 1 2 1z x y= + − − +

(a) Falso, el plano tangente tiene como ecuación ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 6 1 1z x y x y= + − − + + − +

(b) Falso, pues no podemos calcular la ecuación del plano tangente con los datos del problema.

(c) Falso, pues no podemos determinar si el punto (1,-1,2) pertenece a la gráfica de f.

(d) Verdadero, ya que ( ) ( ) ( )1, 1 2, 1, 1 1, 2f f− = ∇ − = − .

Solución: (d) Por definición el polinomio de Taylor de grado 2 con derivadas parciales

primeras y segundas continuas en todo 2� (se cumple por tanto las hipótesis del teorema de

Shwartz: xy yxf f= )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

2

2 2 22 2

2 2

, 1, 1 1, 1 1 1, 1 1

11, 1 1 1, 1 1 1 1, 1 1

2!

f fP x y f x y

x y

f f fx x y y

x yx y

∂ ∂= − + − − + − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − − + − − + + − + ∂ ∂∂ ∂




42

Además por tener las derivadas parciales primeras continuas en el punto (1, -1) es

diferenciable, y en consecuencia se puede calcular el plano tangente a la función en el punto

(1, -1, f(1,-1))=(1, -1, 2)

27 Sea ( ),f x y , una función con derivadas parciales primeras nulas en el punto (1, 1). Determina la

afirmación correcta.

(a) Por tener derivadas parciales en el punto (1, 1) existe la derivada direccional de f en el punto (1, 1)

en cualquier dirección.

(b) Por tener derivadas parciales en el punto (1, 1) es diferenciable en el punto (1, 1)

(c) Por tener derivadas parciales en el punto (1, 1) no se puede concluir que es continua en el punto

(1, 1)

(e) La ecuación del plano tangente a la función f en el punto (1, 1) es un plano horizontal. .

Solución (c).

Se han visto en clase ejemplos de la falsedad de las afirmaciones (a), (b), (d) y de la certeza de

la afirmación (c).

28 Sea ( )22 1, , zw f x y z x ye += = donde 2x t t= + , 2 1y t= + , 5 2z t= + , entonces se verifica para t=0

que:

( )0 0dw

dt=

(a) Verdadero, aplicando la regla de la cadena tenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0, 0, 0 0 0,0, 0 0 0,0, 0 0 0 1 0 0 0 0 0dw f dx f dy f dz

dt x dt y dt z dt

∂ ∂ ∂= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∂ ∂ ∂

(b) Verdadero, pues aplicando la regla de la cadena tenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0,1,2 0 0,1,2 0 0,1,2 0 0 1 0 0 0 0 0dw f dx f dy f dz

dt x dt y dt z dt

∂ ∂ ∂= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∂ ∂ ∂

(c) Falso, ya que w no es diferenciable en t=0 y por lo tanto no podemos aplicar la regla de la cadena.

(f) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta..

Solución (b) Para t=0 se tiene x=0, y=1, z=2. Es aplicación inmediata de la regla de la

cadena.




43

29 Sea ( ) ( ), 1z f x y arctg x y= = + + utilizando la diferencial un valor aproximado de:

( )1 0 '1 0 '1z arctg= + + es:

(a)

( )

1

21

102

4 1 1 2 10

π −

−

+

+ + ⋅

(b)

( )

1

21

1021 1 2 10

−

−+ + ⋅

(c) 1104

π −+

(g) Ninguna de las anteriores

Solución: (c) Basta tener en cuenta que:

( ) ( ) ( ) ( )0 '1, 0 '1 0, 0 0 '1 0, 0 0 '1 0, 0x yz f f f f∆ = − ≈ ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( ) ( )0 '1, 0 '1 0, 0 0 '1 0,0 0 '1 0,0x yf f f f≈ + ⋅ + ⋅

Como

( ) ( )0, 0 14

f arctgπ

= =

( )( )

( )( )

2 2

1 1, ,

1 1 1 1x yf x y f x y

x y x y= =+ + + + + +

Se tiene que:

( )0 '1

1 0 '1 2 24 2

arctgπ

+ ⋅ ≈ + ⋅

30 Sea ( )2 2

2 2

4 2 5,

2 2 8 9

x y y xz f x y

x y x y

+ + − += =

+ − + + se puede afirmar que los límites radiales de la función f en el

punto (1,-2):

(a) no existen

(b) son todos iguales y valen cero.

(c) son todos iguales y valen 5/9

(h) dependen de la pendiente de la recta que se considere.

Solución (d)

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

222 2

2 2 2, 1, 2 1 22 1

2 1 4 2 1 2 54 2 5lim lim

2 2 8 9 2 2 1 2 8 2 1 9x y xy m x

x m x m x xx y y x

x y x y x m x x m x→ − →+ = −

+ − + − + − + − − ++ + − += =

+ − + + + − + − − + − + − +




44

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 2

21 2 2

4 1 4 1 8 4 1 2 5lim

8 2 1 8 1 2 16 8 1 9x

x m x m x m x x

x m x m x x m x→

+ + − − − − + − − += =

+ + − − − − − + − +

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 22 2 2 2

2 2 2 21 12 2 2

1 1 2 1 1 1lim lim

1 22 1 2 1 1 2 1x x

x m x x x m x m

mx m x x x m x→ →

+ − + − − + − += = =

++ − − + − + −

31 Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto (1, 2) siendo C la curva intersección de la

superficie dada por ( ) 2 2,z f x y x y= = − y el plano x=1.

(a) { 1, 2 , 3 4x y zλ λ= = + = − −

(b) { 1 , 2, 3 2x y zλ λ= + = = − +

(c) { 1, 2 , 3x y zλ= = + = −

(d) ninguna de las anteriores

Solución (a): Se trata de la ecuación que pasa por el punto (1, 2, f(1,2))=(1,2,-3) y tiene

como pendiente la derivada parcial ( )1,0yf . Un vector director de esta recta es

( )( )0,1, 1,2yv f=�

, la recta es:

{ 1, 2 , 3 4x y zλ λ= = + = − −

Ya que ( ), 2yf x y y= −

32 Sea ( ),z f x y= una función continua y con derivadas parciales continuas en el punto (1, 2) entonces si

( )1,2 1f

x

∂=

∂, ( )1,2 1

f

y

∂= −

∂ entonces

(a) la dirección de máximo crecimiento de la función en ese punto es la norma del

gradiente.

(b) si desde el punto (1, 2) nos vamos en la dirección del eje y positivo el valor de z

aumenta

(c) sea S el plano tangente a la superficie dada por ( ),z f x y= en el punto

( )( )1,2, ,f a b , entonces un vector normal a S en el punto ( )( )1,2, ,f a b es

( )1, 1,1n = − −��

(d) ninguna de las anteriores.




45

Solución:

Un vector normal al plano tangente a la superficie dada por ( ),z f x y= en el punto

( )( )1,2, ,f a b es:

( ) ( ) ( )1,2 , 1,2 , 1 1,1, 1f f

x y

∂ ∂ − = − ∂ ∂

El vector ( )1, 1,1n = − −��

es proporcional al anterior.

33 Supongamos que f es continua y tiene derivadas parciales continuas. Supongamos también que tiene

derivada direccional máxima igual a 50 en P(1, 2), que se alcanza en la dirección de P a Q(3,-4).

Utilizando esta información calcula ( )1,2f∇

(a) ( )1 3

1,2 ,10 10

f ∇ = −

(b) ( )1,2 50f∇ =

(c) ( )50 150

1,2 ,10 10

f ∇ = −


Solución

Como f es continua y tiene derivadas parciales continuas entonces es diferenciable en

P. Por esta razón la derivada direccional se puede calcular como el producto escalar de

la dirección y el vector gradiente. Además la derivada direccional máxima se alcanza

en la dirección del gradiente

( ) ( )( )

( )1

1,2 1,2 50 1,21,2uD f f u f

f= ∇ = = ∇

∇

El vector que une el punto P y Q es: ( )2, 6PQ = −��

Un vector unitario en esa dirección es: 1 3

,10 10

u = −

.

Por lo tanto, ( ) ( )50 150

1,2 1,2 ,10 10

f f u ∇ = ∇ = −




46

34 Sea C la curva de nivel que pasa por P(1, 1) de ( ) 2 2,z f x y x y= = + . Determina la pendiente en P(1,1)

de la tangente a la curva C.

(a) -1

(b) 0

(c) 1


Solución:

La curva C es la curva de nivel 2 2K x y= + para valor de ( ) ( ) ( )2 2

1,1 1 1 2K f= = + = , es

decir, es la curva,

2 22 x y= +

Derivando implícitamente,

0 2 2 'x yy= +

en el punto (1, 1) la derivada es:

' 1x

yy

−= = −

Sea ( )z f u= una función derivable, y

ux

= entonces la expresión z z

x y xyx y

∂ ∂+ +

∂ ∂ es

(a) ' yfx

(b) xy

(c) no se puede calcular si no se conoce la función f


Solución:

Llamamos y

ux

= , entonces la dependencia de variables es

xz u

y−−−

Aplicando la regla de la cadena




47

2

z dz u dz y

x du x du x

∂ ∂ − = = ∂ ∂

1z dz u dz

y du y du x

∂ ∂ = = ∂ ∂

Sustituyendo,

0z z y dz y dz

x yx y x du x du

∂ ∂ − + = + = ∂ ∂

35 Dada 2z x y xy= + en el punto (1, 2) un vector perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por el

punto (1,2) es

(a) (6,2)

(b) Paralelo al eje X

(c) Paralelo al eje Y

(d) Bisectriz del primer cuadrante

(e) Ninguna de las anteriores

Sol.- (a)

36 Sea ( )( )z f x g y= ⋅ siendo f una función no constante. Si 0z z

xx y

∂ ∂+ =

∂ ∂ entonces

(a) ( ) ( )'g y g y=

(b) ( )x g y=

(c) ( ) ( )'g y g y=

(f) Ninguna de las anteriores

Sol.- (a)

37 Se considera la función ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 3

2 2, 0, 0

,0 , 0, 0

x ysi x y

f x y x ysi x y

+ == + =

La derivada direccional de f en (0,0) siendo la dirección ( )cos ,u senϕ ϕ=�

es

(a) 3 3cos senϕ ϕ+ (b) cos senϕ ϕ+

(b) 0 (d) Ninguna de las anteriores




48

Sol.- (a)

38 Sea ( )

( ) ( )

( ) ( )

3

2 2

4, 0, 0

,0 , 0, 0

xsi x y

f x y x ysi x y

== + =

. Elige la respuesta correcta:

(a) ( ),f x y es continua en (0,0) ya que todos los límites direccionales por y=mx son 0

(b) ( ),f x y es continua en (0,0) porque existen ( )0,0f

x

∂

∂ y ( )0,0

f

y

∂

∂

(c) ( ),f x y no es continua en (0,0) porque aunque existen ( )0,0f

x

∂

∂ y ( )0,0

f

y

∂

∂ no coinciden

(d) ( ),f x y es continua en (0,0) porque para todo 0ε > existe 0δ > tal que 2 2x y δ+ < entonces

3

2 2

4x

x yδ<

+

(e) Ninguna de las anteriores

Sol.- (d)

39 Sea ( )

( ) ( )

( ) ( )

3

2 2

4, 0, 0

,0 , 0, 0

xsi x y

f x y x ysi x y

== + =


(a) ( ),f x y no es diferenciable en (0,0) ya que ( ) ( )0, 0 0,0f f

x y

∂ ∂≠

∂ ∂

(b) La derivada parcial de f respecto de x no es continua en (0,0)

(c) Es diferenciable en (0, 0) porque la derivada parcial de f respecto de x es continua en (0,0)

(f) Ninguna de las anteriores

Sol.- (b)

40 Sea ( )

( ) ( )

( ) ( )

3

2 2

4, 0, 0

,0 , 0, 0

xsi x y

f x y x ysi x y

== + =


(a) ( )0, 0 0xyf =

(b) Se cumple ( ) ( )0, 0 0, 0xy yxf f=




49

(c) No existe ( )0, 0xyf

(d) Ninguna de las anteriores

Sol.- (a)

41 El plano tangente a la superficie gráfica de ( )

( ) ( )

( ) ( )2 2

, 0, 0,

0 , 0, 0

xysi x y

f x y x ysi x y

== + =

(a) No puede determinarse con la información dada

(b) El plano tangente no se puede calcular porque la función f no es diferenciable

(c) Es el plano z=0


Sol.-.

42 Si cortamos la superficie gráfica de la función ( ) 2,z f x y xy x= = + por el plano y=2 se obtiene una curva

cuya pendiente en el punto (1, 2, 3) es

(a) z

x

∂

∂

(b) z

y

∂

∂

(c) ( )0,0uD f siendo 1 2

,5 5

u =

�

(g) Ninguna de las anteriores

Sol.- (a)

43 Sea f una función continua en todo punto de 2� tal que para cualquier ( ) 2,x y ∈ � se tiene que

( ) ( )2, 1 2 , 2 2f x y xy x y∇ = + + + . Entonces se verifica que f es diferenciable en todo punto de 2� y

además el valor máximo de la derivada direccional de f en el punto (0,0) se alcanza en la dirección del

vector ( )1,2v =�

(a) Falso, de las hipótesis del enunciado no podemos deducir que f sea una función




50

diferenciable.

(b) Falso, aunque f es diferenciable, sin embargo

(1,2) (0,8)(0,0) (0,0).(1.2) (1.2).(1.2) 5 (0,0) 6f f f= ∇ = = < = ya que

(0,8) (0,0) (0,0).(8,0) (1, 2).(0,8) 16f f= ∇ = = (c) Verdadero, f es diferenciable pues existen las derivadas parciales de f y son funciones

continuas en todo R2. Además como ( ) ( )0,0 1,2f∇ = , entonces vD f alcanza su valor

máximo cuando ( )1,2v =�


Sol.- (c)

44 Sea ( ) 2 2,z f x y x y= = + donde u vx e += e 2y u v= + . Entonces se verifica que para u=0 y v=0 las

derivadas parciales de z son ( ) ( )0,0 2 0,0 2z z

yu v

∂ ∂= =

∂ ∂

(a) Falso, pues aplicando la regla de la cadena ( ) ( )0,0 0,0 0z z

u v

∂ ∂= =

∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0 0,0 0, 0 0, 0 0,0 0z f x f y

u x u y u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0 0, 0 0,0 0, 0 0,0 0z f x f y

v x v y v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(b) Falso, ya que no podemos aplicar la regla de la cadena ya que no existe ( )0,0z

u

∂

∂

(c) Verdadero, aplicando la regla de la cadena:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0 1, 0 0,0 1,0 0, 0 2 1 0 0 2z f x f y

u x u y u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = ⋅ + ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, 0 1,0 0,0 1,0 0,0 2 1 0 1 2z f x f y

v x v y v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = ⋅ + ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂




números complejos sucesiones series- funciones de una y varias variables

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