numeriČna analiza kavitacije v toku okoli valjaste …
TRANSCRIPT
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO
Primož SKERBIŠ
NUMERIČNA ANALIZA KAVITACIJE V TOKU
OKOLI VALJASTE OVIRE
Diplomsko delo
Univerzitetnega študijskega programa 1.stopnje
Strojništvo
Maribor, September 2014
NUMERIČNA ANALIZA KAVITACIJE V TOKU
OKOLI VALJASTE OVIRE
Diplomsko delo
Študent: Primož Skerbiš
Študijski program: Univerzitetni študijski program strojništvo 1.stopnje
Strojništvo
Smer: Energetsko procesno in okoljsko strojništvo
Mentor: doc.dr. Ignacijo Biluš
Somentor: red.prof.dr. Brane Širok
Maribor, september 2014
V
I Z J A V A
Podpisani Primož Skerbiš izjavljam, da:
je bilo predloženo diplomsko delo opravljeno samostojno pod mentorstvom doc. dr.
Ignacija Biluša in somentorstvom red. prof. dr Braneta Široka;
predloženo diplomsko delo v celoti ali v delih ni bilo predloženo za pridobitev
kakršnekoli izobrazbe na drugi fakulteti ali univerzi;
soglašam z javno dostopnostjo diplomskega dela v Knjižnici tehniških fakultet
Univerze v Mariboru.
Maribor, __________________ Podpis: __________________________
VII
ZAHVALA
Zahvaljujem se mentorju doc.dr. Ignaciju Bilušu
in somentorju red.prof.dr Branetu Široku za pomoč in
vodenje pri opravljanju diplomskega dela.
Posebna zahvala velja staršem, ki so mi
omogočili študij.
IX
NUMERIČNA ANALIZA KAVITACIJE V TOKU OKOLI VALJASTE
OVIRE
Ključne besede: kavitacija, numerična simulacija, homogeni dvofazni model
UDK: [519.6+004.94]:532.528(043.2)
POVZETEK
V diplomskem delu so predstavljeni rezultati numerične simulacije in podana njihova
primerjava za tri različne kavitacijske obratovalne režime. Podatki za primerjavo numeričnih
rezultatov izhajajo iz predhodno opravljenega eksperimenta na laboratorijski merilni progi.
Primerjava temelji na vizualni primerjavi kavitacijskih oblakov, tlačnih polj in nihanja tlaka za
oviro. Podrobneje smo si ogledali tudi hitrostno polje v brazdi, kjer smo zaznali nastanek
Karmanove vrtinčne strukture. Za simulacijo tokovnih razmer in kavitacije je bil uporabljen
programski paket Ansys CFX 14.
Ugotovitve kažejo zadovoljivo ujemanje numeričnih in eksperimentalnih rezultatov.
Za natančnejšo kvantitativno primerjavo bi bilo začeto delo smiselno nadaljevati v smeri
izboljšanja prenosne enačbe homogenega modela ali pa z uporabo zahtevnejših npr. dvo-
enačbnih modelov.
XI
NUMERICAL ANALYSIS OF CAVITATION ON BLUFF BODY
Key words: cavitation, numerical simulation, homogeneus two-phase model
UDK: [519.6+004.94]:532.528(043.2)
ABSTRACT
This thesis presents the results of numerical simulation and the comparison for three different
operating regimes of cavitation. Input data for simulation of cavitation had already existed and
were derived from a previously performed experiment on cavitation station. The comparison is
based on a visual comparison of cavitation clouds, pressure fields and pressure fluctuations
behind the bluff body. We closely examined the velocity field in the groove, where we detected
the formation of Karmana vortex street. Software package Ansys CFX 14 was used for
simulation of flow conditions and cavitation.
The findings show satisfactory match between numerical and experimental results.
For a more detailed quantitative comparison it would make sense to continue the work in
the direction of improving the transmission equation of homogeny model or by using more
complex two equation models.
XIII
Kazalo
1 UVOD ................................................................................................................. - 1 -
1.1 OPIS SPLOŠNEGA PODROČJA DIPLOMSKEGA DELA .......................................... - 1 -
1.2 OPREDELITEV DIPLOMSKEGA DELA ................................................................ - 2 -
1.3 STRUKTURA DIPLOMSKEGA DELA .................................................................. - 3 -
2 TEORETIČNE OSNOVE ................................................................................ - 4 -
2.1 OPIS KAVITACIJE ............................................................................................ - 4 -
2.2 VZROKI ZA NASTANEK KAVITACIJE ................................................................ - 5 -
2.3 OSNOVNI PARAMETRI ZA OPIS KAVITACIJSKEGA STANJA ............................... - 6 -
2.3.1 Hidravlični parametri ............................................................................... - 6 -
2.3.2 Lastnosti tekočine ..................................................................................... - 7 -
2.3.3 Kvaliteta tekočine ..................................................................................... - 7 -
2.4 OBLIKE KAVITACIJE V POVEZAVI S KAVITACIJSKIM ŠTEVILOM ....................... - 7 -
2.5 UČINKI KAVITACIJE...................................................................................... - 10 -
2.5.1 Mehanski učinki kavitacije..................................................................... - 10 -
2.5.2 Erozijski učinki ...................................................................................... - 10 -
2.5.3 Akustični učinki ..................................................................................... - 10 -
2.5.4 Ostali učinki kavitacije ........................................................................... - 10 -
2.5.5 Praktična uporaba učinkov kavitacije .................................................... - 10 -
2.6 RAST IN KOLAPS MEHURČKA ........................................................................ - 11 -
2.7 KAVITACIJSKE POŠKODBE ............................................................................ - 13 -
2.8 EKSPERIMENTALNA PROGA .......................................................................... - 14 -
2.9 RAČUNALNIŠKA DINAMIKA TEKOČIN ........................................................... - 15 -
2.9.1 Zakon ohranitve mase ............................................................................ - 16 -
2.9.2 Zakon ohranitve gibalne količine ........................................................... - 16 -
2.9.3 Zakon tečenja – konstitutivni model ...................................................... - 17 -
2.9.4 Navier-Stokesove enačbe ....................................................................... - 17 -
XIV
2.9.5 Reynoldsove enačbe ............................................................................... - 18 -
2.9.6 Turbulentni modeli ................................................................................. - 18 -
2.9.7 Modeli na osnovi turbulentne viskoznosti ............................................. - 19 -
2.9.8 Standardni k-휀 model ............................................................................. - 19 -
2.9.9 Turbulentna viskoznost .......................................................................... - 20 -
2.9.10 Večfazni model ..................................................................................... - 21 -
2.9.11 Kavitacijski model ................................................................................ - 21 -
3 NUMERIČNI PRERAČUN MODELA ........................................................ - 23 -
3.1 GEOMETRIJA KANALA .................................................................................. - 23 -
3.2 MREŽENJE KANALA ..................................................................................... - 24 -
3.3 ROBNI POGOJI .............................................................................................. - 25 -
3.3.1 Parametri nestacionarnega izračuna ....................................................... - 28 -
3.3.2 Snovske lastnosti .................................................................................... - 29 -
3.4 REZULTATI................................................................................................... - 29 -
3.4.1 Primerjava kavitacijskih oblakov ........................................................... - 29 -
3.4.2 Porazdelitev tlaka ................................................................................... - 31 -
3.4.3 Pulzacije tlaka v tokovni brazdi ............................................................. - 33 -
3.4.4 Karmanova vrtinčna steza ...................................................................... - 34 -
4 DISKUSIJA ..................................................................................................... - 39 -
5 SKLEP .............................................................................................................. - 40 -
SEZNAM UPORABLJENIH VIROV ................................................................... - 41 -
XVI
UPORABLJENI SIMBOLI
𝐴0-kontrolna površina
𝐶𝑐-empirična konstanta
𝐶𝑒- empirična konstanta
𝑐𝑝- specifična toplota pri konstantnem tlaku
𝐶𝜇- konstantna turbulentnega modela k-휀
𝐶1𝜀- konstantna turbulentnega modela k-휀
𝐶2𝜀-konstantna turbulentnega modela k-휀
𝑐0 - hitrost toka v referenčni točki
�⃗�- sila
�⃗�𝑆 – površinske sile
�⃗�𝑉 – volumske sile
f-frekvenca
𝑓𝑚𝑖- gostota masne sile
𝑓𝑝- masni delež pare
𝑓𝑝𝑙- masni delež neraztopljenih plinov
k- povprečna turbulentna kinetična energija
𝐿- karakteristična dolžina
𝑀-Molska masa
�̇�- masni pretok
𝑛-konstanta politrope
𝑛𝑗,𝑖-enotska normala
𝑝 - tlak
𝑝∞-tlak v prostem toku
XVII
𝑝∞∗ - tlak v prostem toku po skočni spremembi
𝑝𝑚𝑎𝑥- največji tlak
𝑝𝑚𝑖𝑛- minimum statičnega tlaka
𝑝𝑝 - uparjalni tlak pare
𝑝𝑝 - uparjalni tlak tekočine
𝑝𝑝𝑙 - parcialni tlak v mehurčku
𝑝0 - tlak v referenčni točki
𝑝𝑝𝑙,0-začetni parcialni tlak plina
𝑅-polmer mehurčka
𝑅0-začetni polmer mehurčka
𝑅𝑐-izvorni člen
𝑅𝑒-izvorni člen
T - temperatura
𝑇0-temperatura v referenčni točki
𝑇∞-temperatura v prostem toki
t-čas
𝑡0 – nihajni čas
�̂�- karakteristična hitrost
𝑉-volumen
𝑉0- kontrolni volumen
�̅�- povprečna hitrost
�⃑�-vektor hitrosti
�⃗�𝑚- vektor hitrosti mešanice
XVIII
𝛼𝑘- inverzno efektivno Prandtlovo število;
𝛼- prostorninski delež pare in plina
Γ- kinemtaična difuzivnost
𝛾-površinska napetost
𝛿𝑖𝑗-kroneckerjeva delta funkcija;
휀�̇�𝑗- tenzor deformacijskih hitrosti;
휀- disipacijska hitrost turbulentne kinetične energije
𝜂- dinamična viskoznost
𝜇𝑘- dinamična viskoznost kapljevine;
𝜇𝑝-dinamična viskoznost pare
𝜇-dinamična viskoznost
𝜌𝑘-gostota kapljevine
𝜌𝑚- gostota mešanice
𝜌𝑝- gostota parne faze
𝜎𝑖𝑗- napetostni tenzor
𝜎- kavitacijsko število
𝜎𝑘- konstantna turbulentnega modela k-휀
𝜎𝜀- konstantna turbulentnega modela k-휀
𝜏̅-tenzor turbulentnih napetosti
𝜏𝑖𝑗- tenzor viskoznih turbulentih napetosti
𝜐𝑘-kinematična viskoznost kapljevine
XIX
UPORABLJENE KRATICE
CFD – Computinal fluid dynamics
Kr – kritična točka vode
RDT – računalniška dinamika tekočin
Tr – trojna točka vode
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 1 -
1 UVOD
1.1 Opis splošnega področja diplomskega dela
Kavitacija je pojav, ki negativno vpliva na obratovalne lastnosti hidravličnih strojev in pogosto
krajša njihovo življenjsko dobo. Pomeni spremembo agregatnega stanja tekočine, kjer se
tekočina zaradi lokalnega padca tlaka upari. V toku se pojavijo parni mehurčki, ki nato v
območju visokih tlakov implodirajo in pri tem ustvarjajo močne udarne valove, ki vodijo do
erodiranja materiala in okvar posameznih delov v turbinskih strojih. Posledice kavitacije je tako
moč opaziti predvsem na sesalnih straneh lopatic in na obodu rotorja turbinskih strojev. Da
stroj deluje pod vplivom kavitacije, iz prakse navadno sklepamo iz značilnega treskajočega
zvok in povečanih vibracij, ki spremljajo njegovo delovanje.
Kavitacija predstavlja izredno zapleten inženirski in fizikalni problem, katerega
simuliranje je bilo dolgo časa omejeno le na eksperimentalno delo. V praksi je to omogočeno z
različnimi empiričnimi metodami. Šele z razvojem numeričnih metod, ter računalniške in
programske opreme je bilo možno z zadovoljivo natančnostjo kavitacijske strukture preučevati
tudi virtualno. Tako si lahko v zadnjem času pri preučevanju razmer v režimu kavitacije veliko
pomagamo z računalniško dinamiko tekočin (CFD- Computational Fluid Dynamics). S to
metodo dobimo relativno hitro in poceni, glede na eksperiment, zadovoljive rezultate, ki služijo
kot osnovna analiza procesa, oz. dobimo smernice, ki nato služijo kot primerjava z
eksperimentalnimi podatki.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 2 -
1.2 Opredelitev diplomskega dela
Tema diplomske naloge izhaja iz že prehodno narejene raziskave. Na laboratorijski merilni
progi so se opravile različne meritve pulzacij in fluktacij tlaka z namenom spoznavanja in čim
boljšega nadzora kavitacije. Eksperimentalni del se je izvajal na inštitutu KGH-Godovič [2].
Cilj naloge bo, simulirati potek kavitacije na tej isti merilni progi. S pomočjo
komercialnega računalniškega programskega paketa bomo simulirali tok tekočine okoli valjaste
ovire eksperimentalne merilne proge. Uporabljen bo homogeni dvofazni prenosni kavitacijski
model. Ker se simulacija izvaja na podlagi laboratorijskega eksperimenta so obratovalni režimi,
ki bodo analizirani že znani. Rezultat diplome bo tako primerjava eksperimentalnih in
numeričnih rezultatov.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 3 -
1.3 Struktura diplomskega dela
V uvodu je predstavljeno splošno področje diplomskega dela.
V drugem poglavju so podane teoretične osnove fizikalnega nastanka kavitacije in
računalniške dinamike tekočin. Skozi poglavja sledi najprej opis kavitacije in njenih učinkov,
pri čemer so podane osnovne enačbe. Pri računalniški dinamiki tekočin so naprej predstavljeni
osnovni ohranitveni zakoni in vodilne enačbe, nato sledi opis uporabljenega turbulentnega in
kavitacijskega modela.
Sledi poglavje z opisom numeričnega modela, kjer podrobneje opišemo geometrijo,
mreženje in robne pogoje numerične simulacije. Na koncu tega poglavja sledi predstavitev in
opis rezultatov.
Četrto poglavje kritično ovrednoti rezultate numerične analize in podaja možnosti
nadaljnjega raziskovalnega dela.
Zadnjo poglavje predstavlja sklep, kjer se celotno diplomsko delo logično zaključi z
kratkim pregledom in oceno celotnega opravljenega dela.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 4 -
2 TEORETIČNE OSNOVE
V nadaljevanju bodo podana nekatera osnovna teoretična fizikalna pojasnila, ki se nanašajo na
opis same kavitacije, njene vzroke, vrste in posledice, povzeta po znanstvenem delu [4] .
2.1 Opis kavitacije
Kavitacija je proces, ki opisuje spremembo agregatnega stanja kapljevine, kjer se kapljevina
preobrazi iz kapljevite v parno fazo in nazaj. Glavni vzrok zato je lokalno zmanjšanje tlaka, pri
čemer temperatura medija ostaja približno konstantna. Proces lahko primerjamo z vrenjem, kjer
je sprememba stanja posledica dviga temperature ob približno konstantnem tlaku. Oba procesa
sta prikazana na sliki 2.1 v p-T in p-v diagramu [4].
Slika 2.1: Kavitacija in vrenje v v p-T in p-v diagramu [4]
Kratici Tr in Kr na grafu označujeta trojno točko vode ( T=273,16 K in p=611,73 Pa) oz.
kritično točko (T=647,09 K in p=22,05 MPa). Če se najprej osredotočimo na točko A na grafu,
ki se nahaja v območju kapljevite faze, ugotovimo, da lahko dosežemo uparjanje na dva načina
in sicer z povečanjem temperature, pri tem preidemo iz točke A v B. To preobrazbo imenujemo
vrenje. Lahko pa se iz točke A pomaknemo navpično navzdol, tako da zmanjšamo tlak ob
A-B vrenje A-C kavitacija
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 5 -
konstantni temperaturi in se premaknemo v točko C. To preobrazbo imenujemo kavitacija. Ker
kavitcija pomeni tudi obraten proces se krog zaključi ko tlak po uparjanju zopet doseže
približno začetno vrednost. Vrednosti nasičenja vodne pare lahko za različne temperature
odčitamo, napr. iz Strojniškega priročnika [4].
Pri obeh pojavih pride do izločanja pare in plinov, ki so raztopljeni v kapljevini v obliki
mehurčkov. V zadnji stopnji razvoja kavitacijskega mehurčka, ki jo imenujemo tudi faza
kolapsa oziroma implozije, se tlak lokalno močno poveča. Pri tem se nastali kavitacijski
mehurček sesede sam vase. Tlačni val, ki pri tem nastane ob trdnih stenah erodira material z
trdnih sten in v daljšem časovnem obdobju vodi do nepopravljivih poškodb strojnih delov.
Izhajajoč iz tega je zato ta del še posebej zanimiv za raziskave [4].
2.2 Vzroki za nastanek kavitacije
Glede na vzrok zaradi katerega nastane, ločimo štiri vrste kavitacije [4]:
Hidrodinamična kavitacija - povzroči jo geometrija obtekajočega telesa (profil,
lopatica rotorja, propeler)
Akustična kavitacija - povzročijo jo zvočni valovi, ki se širijo po tekočini
Optična kavitacija - povzročijo jo napr. laserska svetloba
Kavitacija delcev - povzročijo jo drugi elementarni delci, na primer fotoni
Hidrodinamična in akustična kavitacija imata za turbinske stroje največji pomen. Njun
nastanek je posledica napetosti v kapljevini, medtem, ko sta ostali dve v glavnem posledica
lokalno dovedene energije [4].
Kavitacijo v najosnovnejši obliki definiramo z,
𝑝𝑚𝑖𝑛 = 𝑝𝑝 (2.1)
kar pomeni, da mora biti minimum statičnega tlaka (𝑝min ) enak uparjalnemu tlaku pare
(𝑝𝑝) [4].
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 6 -
2.3 Osnovni parametri za opis kavitacijskega stanja
Na kavitacijo vplivajo številni različni parametri, s katerimi opišemo razvoj, vrsto in obnašanje
kaviticije. Delimo jih v tri skupine [4]:
hidravlični parametri,
parametre, ki podajo lastnosti tekočine,
parametre, ki podajo kvaliteto tekočine,
2.3.1 Hidravlični parametri
V to skupino razvrstimo lastnosti toka kot na primer hitrost, fluktacije hitrosti, tlak, fluktacije
tlaka in geometrični parametri potopljenih teles, kot so oblika, orientacija in hrapavost [4].
Hidravlične parametre lahko opišemo z kavitacijskim številom, s katerim povežemo tlak
v referenčni točki (𝑝0) v sistemu z uparjalnim tlakom (𝑝𝑝) tekočine in hitrostjo toka tekočine
v referenčni točki [4]:
𝜎 =𝑝0−𝑝𝑝(𝑇)
𝜌𝑐02
2
(2.2)
Kavitacijsko število je univerzalni parameter s katerim določimo vrednosti za posamezno
skupino podobnih kavitacijskih pogojev. Z njim lahko opišemo pogoje glede na tok tekočine
brez kavitacije, z začetno stopnjo kavitacije in v različnih razvojnih fazah kavitacije. V
splošnem velja, da se z zmanjševanjem kavitacijskega števila veča verjetnost za nastanek
kavitacije oz. pomeni, da se s tem povečuje že prisotna kavitacija. Analogno je tudi za
povečevanje, kjer se seveda verjetnost zmanjšuje. V literaturi zasledimo, da kavitacja pri
zmanjševanju tlaka nastopi pri nekem določnem kavitacijskem številu, ki ga imenujemo tudi
kritično ali začetno kavitacijsko število. Dosežemo ga pri nekem kritičnem tlaku, ki ni enak
parnemu tlaku tekočine in je odvisen še od številnih drugih parametrov. Potrebno je tudi
poudariti, da se kavitacijski števili pri prehajanju iz kavitacijskega ( 𝜎𝑖) nazaj v nekavitacijsko
stanje razlikujeta(𝜎𝑑). Ponavadi je vrednost 𝜎𝑖 večja [4] [10].
Izrazit vpliv na nastanek kavitacije pa poleg zmanjševanja hitrosti in statičnega tlaka
predstavljajo še geometrični parametri in hrapavost. Pri geometriji telesa na povečanje vplivajo
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 7 -
predvsem ostri robovi, vpadni kot in orientacija. Hrapavost pridobiva na pomenu z večanjem
Redynoldsovih števil in deluje kot povzročitelj kavitacijskih jeder, kjer se iz tekočine začnejo
izločati v njej raztopljeni plini [4] [10].
2.3.2 Lastnosti tekočine
Stanje tekočine je v splošnem podano z termičnimi in kaloričnimi veličinami stanja. Tako
moramo poleg tlaka, gostote, temperature, notranje energije, entalpije, … še nujno poznati
kalorične, mehanske, snovne in toplotne lastnosti tekočin. Te lastnosti so: viskoznost, uparjalni
tlak, površinska napetost, specifično izobarno in izohorno toploto, topnost plinov, koeficient
difuzivnosti, toplotno prevodnost v tekočini in pari [4] [11].
Pomembnejše vlogo pri razvoju kavitacije imata predvsem znižanje viskoznosti in
zviševanje uparjalnega tlaka. Oba sta odvisna od temperature. Zviševanje temperature vpliva
na znižanje viskoznosti pri kapljevinah in povečanje pri plinih. Prav tako se z temperaturo
povečuje parni tlak in s tem možnost kavitiranja [4] [11].
2.3.3 Kvaliteta tekočine
Sem štejemo količino raztopljenih in neraztopljenih plinov, porazdelitve velikosti mehurčkov,
koncentracije mehurčkov, natezno obremenitev delcev in kavitacijska občutljivost [4].
V tekočini neraztopljeni plini, ki jih po navadi najdemo v obliki mehurčkov ali pa tudi
drugi trdni delci kot napr. pesek, rja, alge delujejo kot kavitacijska jedra in povzročajo rast
mehurčkov. V vodi raztopljeni plin je po navadi zrak, ki sproža rast mehurčkov in povečuje
kavitacijo [4].
2.4 Oblike kavitacije v povezavi s kavitacijskim številom
Na sliki 2.2 je prikazan razvoj kavitacije na osamljenem profilu z vpadnim kotom 𝜑 = 6° in
hitrostjo tekočine 15𝑚
𝑠. V sistemu se pojavi začetno stanje kavitacije ob zmanjšanju tlaka, kjer
tok iz enofaznega preide v dvofazni tok in se ob vpadnem robu profila pojavijo prvi mehurčki
[4].
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 8 -
Slika 2.2: Začetna kavitacija 𝜎=3,5 [4]
Če tlak v sistemu še naprej zmanjšujemo preide začetna kavitacija v stanje razvite
kavitacije, ki je na spodnji sliki prikazana v obliki potujočih strnjenih parnih oblakov [4].
Slika 2.3: Razvita kavitacija 𝜎=2 [4]
Naslednjo fazo kavitacije imenujemo superkavitacija. Nastopi takrat, ko plinasta faza
preseže telo na katerem se pojavlja. Po navadi jo dosežemo v laboratorijih med preizkusi na
merilni progi, medtem ko je v praksi možna napr. v toku okoli torpeda. Za njo je značilna ostra
meja med kapljevito in plinasto fazo [4].
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 9 -
Slika 2.4: Superkavitacija 𝜎=0,3 [4]
Po prenehanju kavitacije oz. ob prehodu iz kavitarajočega nazaj v nekavitarajoči tok
nastopi stanje končne kavitacije. Kot že rečeno, pa se tlaka (kavitacijski števili) začetne in
končne kavitacije ne ujemata. Ponavadi je tlak končne kavitacije višji [4].
Na podlagi meritev je možno za posamezno hidrodinamično telo narisati diagrame, ki
določajo tip kavitacije glede na določene parametre. V spodnjem diagramu je prikazen primer
obtekanja profila iz zgornjih primerov. Kot neodvisna spremenljivka je prikazan napadni kot 𝜑
v odvisnosti od kavitacijskega števila 𝜎 [4].
Slika 2.5: Pojavne oblike kavitacije za osamljeni profil [4]
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 10 -
2.5 Učinki kavitacije
Poznamo različne učinke kavitacije: mehanske, erozijske, akustične… V splošnem velja, da so
nezaželjeni, saj povzročajo erozijo površin, prekomerni hrup in vibracije ter hidrodinamične
izgube. Obstajajo pa tudi izjeme, kjer prisotnosti kavitacije pripisujemo pozitivne učinke saj z
njimi omogočimo ali izboljšamo kak proces. To izkoriščamo na področju čiščenja, medicine in
mešanja [4].
2.5.1 Mehanski učinki kavitacije
Vplivajo predvsem na spremembe kinematike toka in vibracij turbinskih strojev. Njihov vpliv
opazimo v zmanjšanjem pretoku skozi notranje tokovodnike in izgubi tlačne višine pri črpalkah.
To lahko vodi do tega da črpalka deluje izven svoje obratovalne točke [4].
2.5.2 Erozijski učinki
Kavitacija v bližini površnin na katerih nastaja povzroča odnašanje materiala. To je posledica
kolapsa mehurčka ob katerem nastane mikrocurek, ki trči ob površino in s tem povzroči lokalne
napetosti v materialu kar na dolgi rok vodi v njegovo obrabo [4].
2.5.3 Akustični učinki
Povezujemo jih z nastajanjem hrupa, ki spremljajo kolaps mehurčka. Pri tem nastane tlačni val,
ki potuje skozi tekočino. Sestavljen je iz različnih frekvenc, od zelo nizkih velikostnega reda
nekaj 100 Hz pa vse do ultrazvočnih. Praviloma se z večanjem kavitacije zvišuje tudi raven
hrupa, ki doseže maksimum pri razviti kavitaciji. Pri nadaljnjem povečevanju pa se zaradi
dušenja hrup začne zmanjševati [4].
2.5.4 Ostali učinki kavitacije
Med ostale učinke štejemo zvišanje temperature v fazi kolapsa, luminiscenca in elektrokemični,
ki povzročajo korozijo materiala [4].
2.5.5 Praktična uporaba učinkov kavitacije
Danes kavitacijo uporabljamo za številne namene [4]:
Medicina: litotripsije (za razbijanje ledvičnih kamnov)
Čiščenje: imlodiranje mehurčkov v bližini sten odstranjuje nečistoče
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 11 -
Optimizacija procesov: optimizacija mešanja v prehrambeni industirji,
fermacevtski industriji, pri izdelavi barv in emulzij, pri vbrizgavanju goriva v
motorjih
2.6 Rast in kolaps mehurčka
Popis stanja dinamike mehurčka je zelo kompliciran proces, saj je potrebno upoštevati mnoge
različne parametre, od količine raztopljenih plinov, prevoda toplote in viskoznsti do stisljivosti
in prenosa snovi. Ena izmed ključnih vlog razvoja kavitacije predstavljata fazi rasti in kolapsa
mehurčka [4].
Pri izpeljavi enačb najprej predpostavimo politropno spremembo plina v mehurčku:
𝑝 ∙ 𝑉𝑛 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. (2.3)
Na kar ob upoštevanju volumna krogle izpeljemo [4],
𝑝𝑝𝑙 = 𝑝𝑝𝑙,0 (𝑅0
𝑅)
3𝑛
(2.4)
ki nam podaja povezavo med parcialnim tlakom plina (𝑝𝑝𝑙) in začetnim parcialnim
(𝑝𝑝𝑙,0) preko njunih premerov in konstante politrope. Pri nadaljnjem koraku izhajamo iz
posplošene oblike Rayleigh-Plessetove enačbe za mehurček, kjer upoštevamo konstantno
temperaturo, tako da lahko zanemarimo nekatere člene in dobimo enačbo v obliki [4]:
𝑝𝑝(𝑇∞)−𝑝∞(𝑡)
𝜌𝑘+
𝑝𝑝𝑙
𝜌𝑘(
𝑅0
𝑅)
3𝑛
= 𝑅�̈� +3
2�̇�2 +
4𝜐𝑘�̇�
𝑅+
2𝛾
𝜌𝑘𝑅 (2.5)
Zgornja enačba predstavlja difrencialno enačbo drugega reda, katera rešitev je funkcija
R(t), ki nam pove da je odziv kavitacijskih mehurčkov na tlačno motnjo močno odvisen od
njihove velikosti. Na podlagi zgornjih enačb, za premer jedra in enačbe stanja plina, lahko sedaj
določimo tlak in temperaturo ob kolapsu mehurčka [4]:
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 12 -
𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝑝𝑝𝑙,0 [(𝑛−1)(𝑝∞
∗ −𝑝𝑝−𝑝𝑝𝑙,𝑜+3𝛾
𝑅0
𝑝𝑝𝑙,0]
𝑛
𝑛−1
(2.6)
𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑇0 [(𝑛−1)(𝑝∞
∗ −𝑝𝑝−𝑝𝑝𝑙,𝑜+3𝛾
𝑅0
𝑝𝑝𝑙,0] (2.7)
Iz zgornje poenostavljene Rayleigh-Plessetove enačbe lahko določimo tudi čas kolapsa
mehurčka. Tudi tukaj še dodatno zanemarimo nekatere manj pomembne vplive kot sta napr.
vsebnost plinov v mehurčku in površinsko napetost. Po kolapsi je premer mehurčka enak nič,
hitrost kolapsa pa neskončna. Ob upoštevanju tega dobimo čas kolapsa od 𝑅 = 𝑅0 do 𝑅 = 0
[4].
𝑡𝑘𝑜𝑙 = 0915√𝜌𝑘𝑅0
2
𝑝∞∗ −𝑝𝑝
(2.8)
Čas ocenjen z to enačbo je le približen in uporaben v inženirski praksi. V enačbi nismo
upoštevali nekaj pomembnih dejavnikov, kot je stisljivost, spremembe oblike mehurčka in
predpostavka o izotermnem stanji. Plini v mehurčki se namreč v fazi kolapsa močno segrejejo,
ker je prenos toplote v okolico prepočasen [4].
Zgornje enačbe ponazarjajo nekatere parametre v fazi kolapsa. Ko kavitacijski mehurček
raste iz majhnega jedra v večkratnik svoje začetne velikosti se njegov kolaps začne pri nekem
maksimalnem radiju (𝑅𝑚𝑎𝑥). V mehurčku je neki izredno majhen parcialni tlak plina. V
tipičnem kavitacijskem toku se premer mehurčka poveča za red 100 krat, glede na začetno
vrednost. Posledično pa zaradi tega, tlak v mehurčki pade, če je ta na začetki znašal 1 bar, bo
ob pričetku faze kolapsa njegova vrednost 10−6 bar. Če k temu dodamo še padec tlaka okolice
na 0,1 bar dobimo iz zgornjih enačb približne rezultate o tlakih in temperaturah med kolapsom.
Maksimalni generirani tlak bi znašal okrog 1010 bar in temperatura 4 ∙ 104 višja od okoliške.
Kljub temu da tu niso upoštevani nekateri pomembni faktorji v zvezi z difuzijo plina preko sten
mehurčka in stisljivosti tekočine, nam primer nazorno pokaže potencial visokih tlakov in
temperaturo, ki se sprostita med kolapsom in povzročata udarne valove ter hrup [3].
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 13 -
Če lahko v predhodnih fazah vpliv temperature zanemarimo, pa tega v zadnji fazi kolapsa
ne moremo storiti. Izračun vrednosti tlaka in temperature v mehurčku so dokaj visoki vendar je
potrebno poudariti, da so tudi njihovi časi zelo kratki (reda milisekund) in da lahko zaradi tega
predpostavimo, da se nekondenzirajoči plin v mehurčku obnaša adiabatno. Tako so različni
avtorji ocenili različne vrednosti tlaka in temperature v mehurčku. Tako se nekatere vrednosti
tlaka in temperature v centru napr. 6700 𝐾 in 848 bar (Tomita in Shima) [3].
Pomembno vlogo igra tudi oblika mehurčka, ki v realnem svetu ne ohranja vedno
krogelne oblike. Nastanek nesimetrije je posledica spreminjanja tlačenega polja okrog
mehurčka, medtem ko ta v mehurčku ostaja približno enakomerno porazdeljen [4].
2.7 Kavitacijske poškodbe
Verjetno je ena izmed največjih težav, ki jih povzroča kavitacija odnašanje materiala, ki ga
povzroča kavitacijski mehurček ob svojem kolapsu v bližini trdne površine. Zaradi zahtevnosti
problema, ki je kombinacija med nestacionarnim tokom in reakcijo delca materiala ob steni, je
še vedno predmet številnih raziskav. V prejšnjem poglavju smo pokazali kako silovite so
razmere do kolapsa, kjer se lokalno ustvarijo visoko amplitudni valovi in mikrocurki. Ti
povzročijo v materialu napetosti. Če se to ponavlja dlje časa, povzroči poškodbe na površini in
odnašanje materiala, ki nastopi v obliki odcepitve majhnih delčkov. Površino, ki je bila na udaru
kavitacije zlahka prepoznamo po značilnem hrapavem, nazobčano kristalnem videzu. V
povezavi s korozijo proces kavitacije na jeklenih in železnih materialih še pospešuje poškodbe
materiala [3].
Slika 2.6: Kavitacijska erozija na lopatici črpalke [3]
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 14 -
2.8 Eksperimentalna proga
Diplomska naloga temelji na eksperimentalni progi, kjer so bile prehodno že izvedene meritve.
Merilna proga se nahaja na Inštitutu Hidrija Godovič. Shema uporabljene merilne proge je
prikazana na spodnji sliki:
Slika 2.7: Shema merilne proge [2]
S stališča opazovanja pojava, je najpomembnejši del merilne proge kavitacijski tunel, kjer
se preučujejo vplivi kavitacije na posamezne elemente hidravličnih strojev. Sestavljen je iz
jeklenega ohišja, na katerega je privijačeno pleksi steklo, da lahko proces tudi vizualiziramo
[10].
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 15 -
Slika 2.8: Kavitacijski tunel [10]
Na vsaki strani kavitacijskega tunela sta nameščena dva zaporna ventila, ki preprečujeta
odtekanje vode ob posegih. Pri določenih meritvah je potrebno v sistemu doseči podtlak, pri
tem si pomagamo z vakuumsko črpalko. Ta je preko tripotnega ventila povezana z atmosfero
in rezervoarjem. Osnovna naloga rezervoarja je razplinjenje vode, saj ta zaradi kavitacije
vsebuje povečano količino plinov, ki se morajo izločiti. Služi pa tudi za umiritev vode, ki priteče
iz tlačnega cevovoda, da lahko zagotovimo čimbolj konstantne pogoje. V merilni progi so
nameščena tudi razna tlačna zaznavala, termometri in merilnik pretoka. Uporaba zaznaval in
njihova postavitev v kavitacijskem tunelu je odvisna od problema in vrste raziskave [10] [2].
V kavitacijski postaji se je nahajalo približno 1𝑚3 vode. Vodo je po sistemu gnala
radialna črpalka. Voda v naprej ni bila prečiščena ampak je bila uporabljena navadna voda iz
pipe. Parametri za oceno kvaliteto vode niso bili izmerjeni. Delavni tlak v sistemu se zagotavlja
z vakuumsko črpalko skozi tripotni ventil [2].
2.9 Računalniška dinamika tekočin
Namen diplomske naloge predstavlja računalniška simulacija toka okrog valjaste ovire v
kavitacijskem tunelu iz prejšnjega primera. Na začetku bodo podane nekatere teoretične osnove
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 16 -
računalniške dinamike tekočin in njihove enačbe, v nadaljevanju pa sledi konkreten opis
problema in njegovo reševanje.
Računalniška dinamika tekočin (RDT) oz. v angleščin Computational fluid
dynamice(CFD) predstavlja pomembno vejo inženirskih znanosti. Ukvarja se z reševanjem
zahtevnih inženirskih problemov iz področja prenosnih pojavov (prenosa gibalne količine,
snovi in toplote). Za razliko od klasičnih analitičnih postopkov, ki so tukaj praktično nemogoči
se reševanja problema loteva numerično. Osnova modeliranja je sistem ohranitvenih zakonov
mase, gibalne količine, snovi in toplote v diferencialni obliki. Najosnovnejša obliko teh
zakonov predstavljajo Navier-Stokes enačbe, s katerimi opisujemo laminarni in turbulentni tok.
Rezultat računanja so vrednosti odvisnih spremenljivk v posameznih točkah računskega
območja [5].
2.9.1 Zakon ohranitve mase
Masa sistema je konstantna, na podlagi tega izpeljemo zakon ohranitve mase sistema. Če
napišemo enačbo za kontrolni volumen 𝑉0 in kontrolno površino, dobimo naslednjo integralsko
obliko [11],
𝜕
𝜕𝑡∫
𝑉0 𝜌 𝑑𝑉 + ∫
𝐴0𝜌�⃑� 𝑑𝐴 = 0 (2.9)
ki pravi da sprememba mase v kontrolnem volumnu enaka pretoku preko kontrolnih
površin. Z Gaussovim stavkom lahko površinski integral spremenimo v volumskega in dobimo
diferencialno obliko zakona [11],
𝜕𝜌
𝜕𝑡+
𝜕𝜌𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑗= 0 (2.10)
ki je poznana tudi pod imenom kontinuitetna enačba [11].
2.9.2 Zakon ohranitve gibalne količine
Rezultirajoča sila okolice, ki deluje na kontrolni volumen je enaka časovni spremembi gibalne
količine v kontrolnem volumni in njenemu dotoku preko kontrolnih površin [11].
�⃗� = ∫𝑉0
𝜕(𝑣𝑖 𝜌)
𝜕𝑡 𝑑𝑉 + ∫
𝐴0 𝑣𝑖𝑛𝑗 𝑣𝑗𝜌 𝑑𝐴 (2.11)
Rezultanto zunanjih sil podamo kot vsoto površinskih in volumskih sil [11].
�⃗� = �⃗�𝑉 + �⃗�𝑆 = ∫𝑉0
𝑓𝑚𝑖 𝜌 𝑑𝑉 + ∫𝐴0
𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗𝑑𝐴 (2.12)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 17 -
Če zgornji enačbi med seboj povežemo dobimo [11],
∫𝑉0
𝑓𝑚𝑖 𝜌 𝑑𝑉 + ∫𝐴0
𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗𝑑𝐴 = ∫𝑉0
𝜕(𝑣𝑖 𝜌)
𝜕𝑡 𝑑𝑉 + ∫
𝐴0 𝜌𝑣𝑖𝑛𝑗 𝑣𝑗 𝑑𝐴 (2.13)
dobimo integralsko obliko zakona ohranitve gibalne količine, ki jo lahko ob uporabi
Gaussovega izreka pretvorimo v diferenicalno [11].
𝜌𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑡+ 𝜌𝑣𝑗
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗= 𝜌𝑓𝑚𝑖 +
𝜕𝜎𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑗 (2.14)
2.9.3 Zakon tečenja – konstitutivni model
Z zakoni tečenja ali kot jih imenujemo tudi drugače konstitutivnimi modeli povezujemo
funkcijsko odvisnost med napetostnim tenzorejm 𝜎𝑖𝑗 oziroma viskoznim napetostnim
tenzorjem 𝜏𝑖𝑗[11],
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜏𝑖𝑗 (2.15)
in hitrostnim deformacijskim tenzorjem 휀�̇�𝑗 [11].
휀�̇�𝑗 =1
2(
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗+
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖) (2.16)
Stisljivo viskozno newtonsko tekočino podamo z enačbo [11],
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜏𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜂휀�̇�𝑗 −2
3𝜂휀�̇�𝑘𝛿𝑖𝑗 (2.17)
kjer je 𝛿𝑖𝑗kroneckerjeva delta funkcija in 휀�̇�𝑘 = 𝑑𝑖𝑣 �⃗� [11].
2.9.4 Navier-Stokesove enačbe
Dinamiko realne nestacionarne viskozne tekočine opišemo z Navier-Stokesovimi enačbami,
kjer poleg zunanjih sil upoštevamo še viskozne sile. Izpeljemo jih iz upoštevanja zakonov
tečenja 2.9.3 in gibalne enačbe [11].
𝜌𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑡+ 𝜌𝑣𝑗
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗= 𝜌𝑓𝑚𝑖 +
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑖+ 𝜂
𝜕
𝜕𝑥𝑗(
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗+
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖) (2.18)
Zgornja enačba predstavlja tenzorski zapis Navier-Stoksevih enačb. Če sistemu
priključimo še kontinuitetno in energijsko enačbo dobimo tako imenovani sistem Navier-
Stokesovih enačb, ki predstavlja nelinearni sistem, parcialnih diferencialnih enačb osnovnih
zakonov [11].
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 18 -
Zgornja enačba je napisana v nekonzervativni obliki, če upoštevamo še [11],
𝑣𝑗𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗=
𝜕
𝜕𝑥𝑗(𝑣𝑗𝑣𝑖) − 𝑣𝑖
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑗=
𝜕
𝜕𝑥𝑗(𝑣𝑖𝑣𝑗) (2.19)
jo lahko zapišemo v konzervativni obliki, ki je v mnogih primerih bolj primerna za
uporabo [11],
𝜌𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑡+ 𝜌
𝜕
𝜕𝑥𝑗(𝑣𝑗𝑣𝑖) = 𝜌𝑓𝑚𝑖 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑖+ 𝜂
𝜕
𝜕𝑥𝑗(
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗+
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖) (2.20)
2.9.5 Reynoldsove enačbe
Z Navier-Stokesovimi enačbami popišemo laminarni kot tudi turbulentni tok, vendar pa je v
praski zaradi velikosti sistema direktno reševanje enačb neprimerno. Pri tem si pomagamo z
rešitvami za časovno povprečne vrednosti toka tekočine. Pri povprečenju enačbe iz prejšnjega
poglavja lahko zapišemo tenzorski zapis kot [11]:
𝜌𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑡+ 𝜌
𝜕
𝜕𝑥𝑗(�̅�𝑗�̅�𝑖) = 𝜌𝑓𝑚𝑖 −
𝜕�̅�
𝜕𝑥𝑖+ 𝜂
𝜕
𝜕𝑥𝑗(
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑥𝑗+
𝜕�̅�𝑗
𝜕𝑥𝑖) − 𝜌0
𝜕
𝜕𝑥𝑗(𝑣𝑖
,𝑣𝑗,̅̅ ̅̅ ̅) (2.21)
Enačba predstavlja Reynoldsove enačbe turbulentnega toka newtonske nestisljive za
časovno povprečne vrednosti veličin toka. Od Navier-Stokesovih enačb se razlikujejo za člen
turbulentnih napetosti [11],
𝜏̅ = −𝜌0(𝑣𝑖,𝑣𝑗
,̅̅ ̅̅ ̅) (2.22)
Reynoldsov tenzor turbulentnih napetosti je simetričen, tako da ima šest neodvisnih
komponent. Sistem poleg osnovnih časovno povprečenih veličin tokovnega polja vsebuje
komponente turbulentnih napetosti, da je sistem rešljiv potrebujemo dodatne enačbe oz. zveze
v obliki turbulentnih modelov, s katerimi sistem Reynoldsovi sistem enačb končamo oz.
sklenemo [11].
2.9.6 Turbulentni modeli
Turbulentni modeli povezujejo Reynoldsove napetosti s srednjimi vrednostnimi toka tekočine.
Predstavlja sistem parcialnih diferencialnih enačb s katerimi opisujemo vpliv turbulence na
časovno povprečne vrednosti toka. Poznamo več vrst turbulentnih modelov, ki jih delimo na
podlagi števila dodanih enačb, na modele ničtega reda, enoenačbne, dvoenačbne in modele
Reynoldsovih napetostih [11].
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 19 -
2.9.7 Modeli na osnovi turbulentne viskoznosti
Pri tej metodi izrazimo turbulentne napetosti (−𝜌0(𝑣𝑖,𝑣𝑗
,̅̅ ̅̅ ̅) iz Boussinsequeovo apriksimacijo
[11],
−𝜌0𝑣𝑖,𝑣𝑗
,̅̅ ̅̅ ̅ = 𝜌0𝜈𝑇 (𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑥𝑗+
𝜕�̅�𝑗
𝜕𝑥𝑖) −
2
3𝛿𝑖𝑗𝑘 (2.23)
kjer je k povprečna turbulentna kinetična energija turbulentnih fluktacij [11],
𝑘 =1
2𝑣𝑖
,𝑣𝑗,̅̅ ̅̅ ̅ (2.24)
in 𝜈𝑇 turbulentna viskoznost [11].
𝜈𝑇 = (𝜂𝑡
𝜌) (2.25)
Zadnji člen v enačbi 2
3𝛿𝑖𝑗𝑘 pomeni razširitev Boussinsequeove hipoteze, ki se poistoveti
s tlakom in ga prištejemo statičnemu tlaku. Z upoštevanje zgornjih odvisnosti pa lahko sistem
Reynoldsovih enačb zapišemo kot [11],
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑥𝑖= 0 (2.26)
𝐷�̅�𝑖
𝐷𝑡=
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑡+
𝜕�̅�𝑖�̅�𝑗
𝜕𝑥𝑗= 𝑓𝑚𝑖 −
1
𝜌0
𝜕�̅�
𝜕𝑥𝑖+ [𝜈𝑒 (
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑥𝑗+
𝜕�̅�𝑗
𝜕𝑥𝑖)] (2.27)
neznanka �̅� = (�̅� +2
3𝜌0𝑘) predstavlja modificiran tlak in 𝜈𝑒 = (𝜈0 + 𝜈𝑡) dejansko
viskoznost. Pogoj za veljavnost modela je izotropija turbulence, ker jo podamo s skalarno
veličino turbulentne viskoznosti 𝜂𝑡. Za anizotropno turbulenco primer ni primeren [11].
2.9.8 Standardni k-휀 model
Je najpomembnejši in najbolj razširjen dvoenačbni model. Spremenljivka k je turbulentna
kinetična energija, 휀 pa pomeni disipacijo hitrosti turbulentne kinetične energije. Model je v
literaturi pogosto uporabljen za simulacijo kavitirajočih tokov. Karakteristične veličine
definiramo z [11]:
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 20 -
Karakteristična hitrost
�̂� = √𝑘 (2.28)
Karakteristična dolžina
𝐿 = 𝐶𝜇𝑘3/2
𝜀 (2.29)
Turbulentna viskoznost
𝜈𝑡 = 𝐶𝜇𝑘2
𝜀 (2.30)
Disipacijska hitrost turbulentne kinetične energije
휀 = 𝜈0
𝜕𝑣𝑖, 𝑣𝑗
,̅̅ ̅̅ ̅̅
𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑗 (2.31)
Disipacijska hitrost turbulentne kinetične energije podaja spremembo turbulentne energije toka
v toplotno. Pri določanju veličin k in 휀 uporabimo dodatni parcialni diferencialni enačbi, ki
vsebujeta nove empirične konstante in funkcije, npr. za k [11],
𝜕𝑘
𝜕𝑡+ �̃�𝑖
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑖=
𝜕
𝜕𝑥𝑖[(𝜈0 +
𝜈𝑡
𝜎𝑘)
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑖] + 𝑃 − 휀 (2.32)
in za 휀 [11],
𝜕𝜀
𝜕𝑡+ �̅�𝑖
𝜕𝜀
𝜕𝑥𝑖=
𝜕
𝜕𝑥𝑖[(𝜈0 +
𝜈𝑡
𝜎𝜀)
𝜕𝜀
𝜕𝑥𝑖] + 𝐶1𝜀
𝜀
𝑘𝑃 − 𝐶2𝜀
𝜀2
𝑘 (2.33)
Konstante modela so: 𝐶𝜇 = 0.09, 𝜎𝑘 = 1.0, 𝜎𝜀 = 1.3, 𝐶1𝜀 = 1.44, 𝐶2𝜀 = 1,92
2.9.9 Turbulentna viskoznost
V nekaterih primerih simuliranja kavitacije je potrebno upoštevati popravek turbulentne
viskoznosti z namenom izboljšanja simulacije. V območju z velikim odstotkom parne faze
spremenimo izračunano turbulentno viskoznost [4].
𝜇𝑡 = 𝑓(𝑝) ∙ 𝐶𝜇 ∙𝑘2
𝜖 (2.34)
Kjer je 𝑓(𝑝) funkcija gostote in konstante n [4].
𝑓(𝑝) = 𝜌𝑝 +𝜌−𝜌𝑝
(𝜌𝑘−𝜌𝑝)𝑛 (2.35)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 21 -
2.9.10 Večfazni model
Poznamo različne pristope modeliranja večfaznih tokov. Večina metod, ki modelira kavitacijo
obravnava dvofazni tok kot enofazni - parno kapljeviti tok mešanice, lahko pa obe fazi
modeliramo neodvisni ena od druge (napr. tok v šobi) [4].
2.9.10.1 Homogeni tok mešanice
Za stanje kavitacije je značilno, da se pojavi pri večjih hitrostih, pri tem lahko predpostavimo,
da ni zdrsa med posameznima fazama. Tukaj obravnavamo kavitirajoči tok, ki je mešanica
kapljevine in pare kot enofazni tok mešanice. Lastnosti posamezne faze priključimo k lastnosti
enofazne mešanice. Lastnosti podamo kot funkcije lokalnega deleža posamezne faze 𝛼 [4] [1].
𝛼 =𝑃𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑟𝑛𝑖𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑣 𝑐𝑒𝑙𝑖𝑐𝑖
𝑃𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑟𝑛𝑖𝑛 𝑐𝑒𝑙𝑖𝑐𝑒 (2.36)
Lastnosti mešanice, kot sta gostota in viskoznost definiramo s prostorskim deležem pare
𝛼, z modelom, ki ga je predlagal BAN-KOFF. Za gostoto [4][ 1],
𝜌 = 𝛼𝜌𝑝 + (1 − 𝛼)𝜌𝑘 (2.37)
in za viskoznost,
𝜇 = 𝛼𝜇𝑝 + (1 − 𝛼)𝜇𝑘 (2.38)
Ko obravnavamo dvofazni tok s homogenim pristopom poleg kontinuitetne enačbe in
ohranitve gibalne količine, kjer upoštevamo lastnosti mešanice (𝜌𝑚 , 𝑣𝑚,𝜇𝑚), računamo še
enačbo ohranitve deleža faze [4] [1],
𝜕
𝜕𝑡(𝛼𝑘𝜌𝑘) + 𝛻(𝛼𝑘𝜌𝑘�⃗�𝑚) = �̇� (2.39)
ta se od modela do modela nekoliko razlikuje v osnovi pa je za vse enaka [4] [1].
2.9.11 Kavitacijski model
Uporabljen je bil kavitacijski model iz komercialnega programa, ki temelji na transportni
Rayleigh-Plessetovi enačbi. Model temelji na prenosu prostorninskega (masnega) deleža
kapljevite (parne) faze. Metoda upošteva vpliv časa na transport mase preko empiričnih enačb
za izvorni člen. Prednost se izkaže tudi v modeliranju vpliva notranjih sil na kavitacijske
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 22 -
strukture, ki se kažejo pri podaljševanju, odcepitvah in odnašanju mehurčkov. Pri določanju
gostote izhajamo iz enačbe iz prejšnjega poglavja, s to razliko da namesto prostorninskega,
uporabimo masni delež f [4],
1
𝜌=
𝑓𝑝
𝜌𝑝+
1−𝑓𝑝
𝜌𝑘 (2.40)
masni delež pare dobimo iz transportne enačbe [4],
𝜕
𝜕𝑡(𝑓𝑝𝜌𝑚) + 𝛻(𝑓𝑝𝜌𝑚�⃗�) = 𝛻(Γ𝛻𝑓𝑝) + 𝑅𝑒 − 𝑅𝑐 (2.41)
izvorna člena podajata nastajanje (uparjanje kapljevine) in ponor (kondenzacijo pare).
Člena sta odvisna od tokovnih razmer (hitrosti in statičnega tlaka) in lastnosti tekočine (gostota
kapljevina in pare, uparjalnega tlaka in površinske napetosti). Izpeljemo jo iz Rayleigh-
Plessetove enačbe ob zanemarjanju nekaterih členov višjega reda [4].
𝑅𝑒 = 𝐶𝑒 ∙√𝑘
𝛾∙ 𝜌𝑘 ∙ 𝜌𝑝 ∙ (1 − 𝑓𝑝 − 𝑓𝑝𝑙), ko je 𝑝 < 𝑝𝑝 (2.42)
𝑅𝑐 = 𝐶𝑐 ∙√𝑘
𝛾∙ 𝜌𝑘
2 ∙ √2(𝑝−𝑝𝑝)
3∙𝜌𝑘 ∙ 𝑓𝑝, ko je 𝑝 > 𝑝𝑝 (2.43)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 23 -
3 NUMERIČNI PRERAČUN MODELA
3.1 Geometrija kanala
Da povečamo možnosti za nastanek kavitacije moramo zadovoljiti nekaterim fizikalnim
pogojem. Izhajajoč iz najpreprostejše energijske (Bernullijeve) enačbe vidimo, da moramo ob
želji po zmanjšanju tlaka v sistemu povečati hitrost. To storimo tako, da na določenem mestu v
sistemu zmanjšamo presek z vgradnjo ovire. V primeru eksperimenta izvedenega v laboratoriju
v Godoviči je ovira dolga 670 mm in široka 50 mm. Širina ovire je enaka širni kavitacijskega
kanala, to pa zato, da se izognemo špranjski kavitaciji. Na vsaki strani je radij velikosti 200
mm, ki skrbi za enakomeren prehod tekočine med presekoma. Na zgornji površini ovire se
nahaja valjasto telo, ki služi za intenzivnejšo kavitacijo. Premer ovire je 16 mm njena višina je
enaka višini testnega dela, kar je 10mm. Valjasta ovira je bila izdelana iz trde gume [2] [10].
Slika 3.1: 3D model ovire
670
50
D16
10
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 24 -
Pravo geometrijo oz. tokovni prostor za numerično domeno dobimo, ko od testnega dela
kavitacijskega kanala odštejemo volumen ovire. Grobe mere zunanjega dela kavitacijskega
tunela znašajo 800 × 50 × 100.
Slika 3.2: Tokovni prostor za numerično domeno
3.2 Mreženje kanala
Z računsko mrežo izbrano geometrijo definiramo in jo diskretiziramo. Numerična mreža mora
čim bolj natančno opisati geometrijo, saj ima ključen pomen za potek simulacije. Kvaliteta
mreže neposredno vpliva tudi na rezultate. Zato ji je pri simulaciji smiselno posvetiti nekoliko
več pozornosti. Z zahtevno geometrijo z veliko detajli se poveča njena kompleksnost kot tudi
njen čas izgradnje in njena končna velikost oz. število elementov. Poleg geometrije in računske
mreže pa je za dobre rezultate potreben tudi dober numerični model. Z večanjem mreže linearno
rastejo zahteve po večji računalniški zmogljivosti, zato se je potrebno pri generiranju mreže
prilagajati tudi zunanjim dejavnikom in včasih upoštevati številne kompromise. Natančnost
800
50
100
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 25 -
reševanja numeričnih enačb je odvisna od števila elementov oz. od števila vozlišč mreže v
katerih s programom iščemo rešitve, po navadi večje mreže rezultirajo tudi k boljšim rešitvam.
Ker kot že rečeno velike mreže zahtevajo veliko računalniško moč, temu pa se po navadi
poskušamo izogniti na ta način, da gosteje zamrežimo le lokalna območja, kjer predvidevamo,
da se bodo za naš proces odvijale nekatere pomembne spremembe. To so navadno območja
velikih prostorskih in časovnih gradientov reševalnih veličin [9].
V obravnavanem primeru smo za mreženje uporabili program Ansys in sicer smo to storili
kar z sistemskim orodjem Mesh. Uporabljene so bile standardne nastavitve, s popravkom da so
bile nastavljene največje in najmanjše velikosti elementov. Za popis stanja v bližini sten je bila
uporabljena funkcija »Infaltion«.
Za potrebe simulacije so bile s testirane tri različne računske mreže, rezultati so zbrani v
spodnji tabeli.
Tabela 3.1 : Primerjava mrež
Št. Elementov Št. vozlišč Hitrost na izstopu
(m/s)
Mreža 1 211230 67896 1,15
Mreža 2 458349 135787 1,09
Mreža 3 545457 158273 1,10
Mreža 4 740780 208969 1,08
Za voljo boljšega popisa dogajanja in omejene računalniške moči, smo se na koncu
vseeno odločili za mrežo številka 4, saj smo predvidevali, da bodo v simulaciji prisotne
spremembe na manjši skali.
3.3 Robni pogoji
Pri določanju robnih pogojev smo izhajali iz treh osnovnih računskih točk, ki so bile določene
na merilni progi v kavitacijskem tunelu. Izvedena je bila časovno odvisna oz. nestacionarna
simulacija.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 26 -
Na podlagi drugih izkušenj raziskovalcev kavitacije je bil uporabljen popravek
turbulentne viskoznosti. To smo naredili tako, da smo v izračunu upoštevali teoretične izraze
za turbulentno viskoznost, ki so bili predstavljeni v poglavju 2.9.9. Za vrednost konstante n je
bila uporabljena vrednost 10 [2]. Po tem so se rezultati izboljšali in možna je bila primerjava
numeričnih rezultatov z eksperimentalnimi. Uporabljen je bil homogeni kavitacijski model.
Vzgona pri simulaciji nismo upoštevali.
Za boljši nadzor procesa med računanjem je bila izbrana točka (na sliki nadzorna točka),
kjer se je tekom simulacije spremljal potek tlaka, ki bi moral za oviro drastično pasti in pulzirati.
Slika 3.3: Domena z označenimi robnimi pogoji
Za vstopni robni pogoj je bil uporabljen tip »Inlet«, predpisana je bila hitrost iz spodnjih
obratovalnih točk. Ker pa imamo opravka z dvofaznim modelom je bilo potrebno predpisati še
vstopna deleža vodne in parne faze. Za izstop je bil uporabljen tip »Outlet«, predpisan je bil
statčni tlak.
Vstop
Nadzorna točka
Izstop
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 27 -
Eksperimentalne točke za katere je bil model preračun se nahajajo v spodnji tabeli:
Tabela 3.2: Obratovalne točke
Pri čemer smo kavitacijsko število izračunali iz enačbe 2.3.1 in upoštevali tlak nasičenja
vode pri 25℃, ki znaša 3166 Pa [7].
Iz volumskega pretoka je bilo potrebno za potrebe simulacije izračunati hitrost na vstopu
v kanal, ki ji dobimo iz spodnje enačbe,
𝑣 =�̇�
𝐴 [
𝑚
𝑠] (3.1)
�̇�- Volumski pretok
𝐴- površina
Obratovala točka 1 Obratovalna točka 2 Obratovalna točka 3
Referenčni tlak
[bar] 1,5 1,44 1,4
Volumski
pretok [𝑚3
𝑠]
5,5 ∙ 10−3 5,44 ∙ 10−3 5,42 ∙ 10−3
Hitrost[𝑚
𝑠] 1,1 1,09 1,08
Kavitacijsko
število- 𝜎 1,31 1,26 1,22
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 28 -
3.3.1 Parametri nestacionarnega izračuna
V spodnji tabeli 3.3 so podani parametri ne – stacionarnega izračuna, ki smo jih uporabili
pri nastavitvah:
Tabela 3.4 : Parametri časovno odvisne simulacije
Parameter časovne simulacije Vrednost
Časovnik korak 0,005 s
Število iteracij znotraj časovnega koraka 25
Ciljni ostanek 5 ∙ 10−4
Na spodnji sliki 3.4 je prikazan potek konvergiranja posameznih veličin med računanjem:
Slika 3.4 : Diagram konvergence
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 29 -
3.3.2 Snovske lastnosti
Kot medija, ki sta sodelovala v analizi sta bila voda in vodna para pri 25℃. Njune osnovne
lastnosti so zbrane v spodnjih tabelah:
Tabela 3.5: Uporabljene snovske lastnosti
Lastnost
Snov
Voda Vodna para
𝑇𝑟𝑒𝑓 [℃] 25 25
𝑀 [kg/kmol] 18,02 18,02
𝜌 [kg/𝑚3] 997 0,02308
𝑐𝑝 [J/kgK] 4181,7 1911,6
𝜂 [kg/ms] 8,89 ∙ 10−4 9,86∙ 10−6
3.4 Rezultati
V nadaljevanju so primerjani režimi kavitacije različne intenzitete.
3.4.1 Primerjava kavitacijskih oblakov
V tabeli 3.6 na slikah a – f je podana vizualna primerjava kavitacijskih oblakov. Iz slike pa tudi
iz simulacije je ravidno, da je točka 3, točka v kateri je kavitacija najintenzivnejša, saj je
vrednost kavitacijskega števila najnižja (𝜎 = 1,22). Pri simulaciji se kavitacijski oblak začne
približno na eni tretjini gledano od začetka ovire. Postopno se začenja debeliti. Največjo
debelino doseže nekoliko za oviro in znaša okrog 3,5 cm. V dolžino ocenimo oblak približno
na 4,8 cm. Najbolj intenzivna kavitacija se pojavi neposredno na površini čepa, kjer vidimo da
je tudi največji volumski delež pare (93%), od katere se oblak odtrga in potuje zopet v območje
visokega tlaka, kjer implodira. Če sedaj to primerjamo s sliko iz eksperimenta in upoštevamo
premer čepa, ki nam v tem primeru služi kot referenca, vidimo, da se dolžini oblaka še kar
dobro ujemata medtem, ko pa je širina oblika nekoliko prevelika. Po konturah vidimo, da je
delež pare na sliki 3a, ki je obarvana z najbolj svetlo barvo že zelo majhen, nekje med 9 in 18%.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 30 -
Iz navedenega sledi, da vizualna primerjava ni najbolj primerna, saj iz fotografije težko
razberemo volumske deleže.
V obratovalni točki 2 ( pri 𝜎 = 1,26) je v primerjavi z ostalima obratovalnima točkama
prišlo do srednje intenzivne kavitacije. Tudi po primerjavi kavitacijskih števil se točka nahaja
nekje na polovici, kavitacijski oblak pa je še relativno velik. Če zopet ocenimo dolžino oblaka
vidimo, da je nekoliko krajša, kot iz prehodnega primera in znaša okrog 4 cm. Debelina ostaja
približno enaka. Dokaj opazna je razlika za oviro, kjer vidimo, da para ne objame več celotne
ovire, ampak se znotraj oblaka pojavi žep kjer pare ni. Vidimo, da je v eksperimentalnem
primeru ta žep dosti manj očiten. Simulacija pokaže, da v njem samo voda, medtem ko
fotografija pokaže tam še na videz dokaj velik delež pare. Največji delež pare se pojavi ob
stenah čepa in znaša 93%.
V zadnji obratovalni točki ( 𝜎 = 1,31) je kavitacija najmanj intenzivna. Kavitacija se
pojavi le ob stenah čepa, pa še to v dokaj majhni meri. Iz simulacije je razvidno, da prihaja do
trganja kavitacijskega oblaka, ki se tvori ob steni in nato potuje skupaj s tokom do implozije.
Tukaj znaša največji volumski delež pare 92%.
Tabela 3.6: Vizualna primerjava kavitacijskih oblakov
Kavitacijsko
število
CFX Eksperiment
𝜎=
1,2
2
a)
b)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 31 -
𝜎=
1,2
6
c)
d)
𝜎=
1,3
1
e)
f)
3.4.2 Porazdelitev tlaka
Na slikah 3.5 do 3.7, je prikazana porazdelitev absolutnega tlaka vzdolž geometrije.
Vidimo, da na začetku (gledano od leve proti desni), ko voda naleti na oviro in se presek zooži
pride do spremembe tlaka. Tlak pada do valjaste ovire, kjer kot posledica zastojnega tlaka,
absolutni tlak zopet naraste. Za oviro tlak pade na tlak nasičenja, ki je v našem primeru v najnižji
točki enkak 3166 Pa. V tem delu pride do kavitacije. Zatem se tlak zopet začne postopno
dvigovati. Vrednsoti tlakov v posmeznih primerih so razvidne iz legende.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 32 -
Slika 3.5: Porazdelitev tlaka v obratovalni točki 3
Slika 3.6: Porazdelitev tlaka v obratovalni točki 2
Slika 3.7: Porazdelitev tlaka v obratovalni točki 1
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 33 -
3.4.3 Pulzacije tlaka v tokovni brazdi
Kavitacijo v fazi kolapsa oblaka oz. mehurčka spremljajo tlačne pulzacije. V ta namen
smo med časovno odvisnim izračunom spremljali vrednost tlaka v točki za valjasto oviro
(koordinate točke x = 0.395, y = 0.095, z = 0.025, glede na izhodiščni koordinatni sistem). Na
sliki 3.8 je razvidno, da je frekvenca pulzacij tlaka enaka 20 Hz, kar se ujema z velikostnim
razredom merjenih pulzacij v [2].
𝑓 =1
𝑡0=
1
0,05= 20 𝐻𝑧 (3.2)
Slika 3.8: Tlačne pulzacije v tokovni brazdi za valjasto oviro
0,05 s
s
0,05 s
s
0,05 s
s
0,05 s
s
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 34 -
3.4.4 Karmanova vrtinčna steza
Porazdelitev hitrosti po domeni lahko prikažemo na različne načine. V nadaljevanju smo pod
drobnogled vzeli tokovno dogajanje za oviro. Pričakovano se v sistemu pojavijo veliki gradienti
hitrosti v brazdi, kjer intenziteta turbulence velika. Enako velja za območje na koncu domene,
pri ponovni razširitvi kanala.
V primeru obratovalne točke 3 (𝜎 = 1,22), kjer je bila kavitacija najintenzivnejša, se za
oviro pojavijo vrtinci, ki ustrezajo Karmanovi vrtinčni sledi. V tabeli 3.7 je po časovnih korakih
prikazano vektorsko polje hitrosti za obratovalno točko z največjo hitrostjo oz. Reynoldsovim
številom (Re =190889) v časovnem intervalu 0,2 s.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 35 -
Tabela 3.7: Časovni prikaz slik karmanovega vrtinca
t =0,00s
t =0,005s
t =0,01s
t =0,02s
t =0,03s
t =0,04s
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 36 -
t =0,05s
t =0,06s
t =0,07s
t =0,08s
t =0,09s
t =0,1s
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 37 -
t =0,11s
t =0,12s
t =0,13s
t =0,14s
t =0,15s
t =0,16s
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 38 -
t =0,17s
t =0,18s
t =0,19s
t =0,2s
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 39 -
4 DISKUSIJA
Tok kavitacije je bil z numeričnim modelom preračun za tri različne obratovalne točke, za
katere smo že imeli na voljo eksperimentalne vrednosti. Te točke so se med seboj razlikovale
po vrednostih hitrosti in referenčnih tlakih. S tem smo dobili tri različna kavitacijska števila, na
podlagi katerih vrednosti smo nato pričakovali tudi tri različno intenzivne kavitacije. To je
simulacija tudi potrdila. Dobili smo tri različne kavitacijske oblake, ki smo jih vizualno
primerjali s slikami iz eksperimenta.
Ugotovili smo, da je mogoča le kvalitativna primerjava rezultatov. Zaradi poenostavljenega
homogenega transportnega modela namreč ni mogoča podrobnejša in kvantitativna primerjava.
Razlog za to so empirični parametri s katerimi se modelira faza uparjanja in implozije
kavitacijskih mehurčkov in so odvisni od posameznega tokovnega primera. Modifikacija
turbulentne viskoznosti se je izkazala za učinkovito saj so bile izračunane dolžine oblakov
primerljive z eksperimentalno dobljenimi.
Numerični preračun oz. programsko orodje Ansys CFX se je izkazalo za učinkovito orodje pri
iskanju osnovnih smernic analiziranja procesa, vendar pa je potrebno za podrobnejšo analizo
še vedno uporabiti eksperiment. V bodoče bi bilo pametno izboljšati prenosno enačbo ali pa
uporabiti dvoenačbni model z upoštevanjem interakcije med obema faza, ki v domeni nastopata
in nato primerjati rezultate z rezultati te simulacije in eksperimentom.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 40 -
5 SKLEP
Izvedena numerična analiza kavitacije v kavitacijskem tunelu je bila narejena za tri različne
obratovalne točke v katerih smo kvalitativno primerjali velikosti kavitacijskih oblakov, tlačno
polje in nihanje tlaka za oviro.
Rezultati časovno odvisne simulacije so pokazali zadovoljivo ujemanje med simulacijo in
eksperimentom. Za natančnejšo oz. kvantitativno primerjavo rezultatov numerične analize z
eksperimentom bi bilo nujno izboljšati matematično – fizikalni model.
Programsko orodje Ansys CFX se je izkazalo kot učinkovito orodje za osnovni študij
kavitacije. Na takšen način lahko relativno hitro in poceni pridemo do zadovoljivih rezultatov.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 41 -
SEZNAM UPORABLJENIH VIROV
[1] Bachert Rudolf, Dular Matevž, Stoffel Bernard. Časovno odvisna simulacija,
vizualizacija in meritve kavitacije z metodo PIV-LIF na različnih osamljenih profilih.
Strojniški Vestnik, (2005), vol.51, no.1, str.13-27.
[2] Biluš Ignacijo, Bombek Gorazd, Cenčič Tine, Hočevar Marko,Petkovšek Martin, Širok
Brane. The experimetal Analysis of cavitating structure Fluctuations and pressure
pulsations in the cavitation station. Strojniški vestnik, (2014), vol.60, no.3, str.147-157.
[3] Brennen E.Christopher. Cavitation and Bubble Dynamics. New York, Oxford: Oxford
University Press, 1995.
[4] Dular Matevž, Stoffel Bernard, Širok Brane. Kavitacija, prvi natis. Ljubljana: i2 družba
za založništvo, izobraževanje in raziskovanje d.o.o, 2006.
[5] Hriberšek Matjaž, Škerget Leopold. Računalniška dinamika tekočin [svetovni splet].
Maribor: Fakulteta za strojništvo, 2005, Dostopno preko: http://iepoi.uni-
mb.si/hribersek/Stud_gradivo/cfd-temp.pdf [12.8.2014].
[6] Karman vortex street [svetovni splet]. Wikipedia The Free Encyclopedia. Dostopna na:
http://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1rm%C3%A1n_vortex_street[12.8.2014].
[7] Kraut Bojan. Krautov strojniški priročnik, 15 slovenska izdaja/ izdajo pripravila Jože
Puhar, Jože Stropnik. Ljubljana: Littera picta, 2011.
[8] Razvrstitev turbostrojev in osnove mehanike tekočin[svetovni splet], Turbolab Ljubljana.
Dostopna na: http://lab.fs.uni-lj.si/lvts/datoteke/crpalke%20predavanja%20skripta.pdf
[12.8.2014].
[9] Rojc Grega. Numerična analiza obratovalnih karakteristik aksialnega ventilatorja z
lopaticami, vpetimi v pesto na obodu rotorja: diplomsko delo. Maribor: Fakulteta za
Strojništvo, februar 2014.
[10] Rudolf Jan. Vpliv vgradnje zaznaval pri diagnostiki v turbinskih strojih: diplomska
naloga. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo, avgust 2011.
[11] Škerget Leopold. Mehanika tekočin. V Mariboru: Tehniška fakulteta Maribor in v
Ljubljani Fakulteta za strojništvo, 1994.
[12] Von Karmanova vrtinčna steza [svetovni splet]. Shrani.si. Dostopna na:
http://shrani.si/files/vonkarman1070v.pdf [12.8.2014].