numericka matematika original

A. Zolić

NUMERIČKA

MATEMATIKA

I

BEOGRAD

Dr Arif Zoli ć Matematički fakultet, Beograd

NUMERIČKA MATEMATIKA I

Izdavač: Matematički fakultet, Beograd

Za izdavača: dr Miodrag Mateljević

Izdavački odbor: dr Zoran Kadelburg dr Gojko Kalajdžić dr Trajko Angelov dr Smilja Lazarević–Milanović dr Gordana Pavlović–Lažetić

Recenzenti: dr Boško Jovanović dr Ljubomir Protić

Priprema za štampu, tehničko ureñenje i crteži Amir Zolić, Aleksandar Savić i autor

Naslovna strana: autor

Štampa: DENFAS, Tuzla Za štampariju: S. Hasanović

Tiraž: 300 primeraka

CIP – Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd ????????

Zolić, Arif Numerička matematika I A. (Arif) Zoli ć – 1. izdanje – Beograd Matematički fakultet, Beograd, Studentski trg 16 2008. – 6 + 374 str. : graf. prikaz; 24 cm Bibliografija: str. 373–374

ISBN: 978–86–7589–068–3

Objavljivanje i upotrebu ovog udžbenika je odobrilo Naučno–nastavno veće Matematičkog fakulteta u Beogradu u decembru 2007. godine

© 2008 Matematički fakultet, Beograd

Sva prava zadržana. Nijedan deo ove publikacije ne može biti reprodukovan niti smešten u sistem za pretraživanje ili transmitovanje u bilo kom obliku, elektronski, fotokopiranjem ili na neki drugi način, bez pismene dozvole autora.

U spomen mojim dragim roditeljima

P R E D G O V O R

Užbenik Numerička matematike I je napisan na osnovu predavanja koja sam držao duži niz godina na Prirodno–matematičkom fakultetu, odnosno Matematičkom fakultetu u Beogradu iz predmeta: Numerička analiza, Numerička analiza I, Numerička analiza II, Numeričke metode i Uvod u numeričku matematiku. Namenjen je prvenstveno studentima matematike, a verujem da može biti od koristi i studentima drugih fakulteta na kojima se izučava numerička matematika.

Osnovni tekst udžbenika je podeljen na šest delova koji su numerisani brojevima od I do VI, a ovi delovi na manje celine. Izlaganje je ilustrovano detaljno rešenim primerima. Verujem da ovo doprinosi jednostavnijem i bržem razumevanju.

Recenzenti, dr Boško Jovanović i dr Ljubomir Protić, su pažljivo pregledali rukopis i svojim blagovremenim i dobronamernim primedbama i sugestijama moj napor učinili lakšim, a rezultat lepšim. Zbog toga im se i na ovom mestu zahvaljujem.

I pored uloženog velikog truda i želje da udžbenik bude bez grešaka, svestan sam da zbog prirode sadržaja knjige i velikog obima računanja to u potpunosti nije moguće postići. Zbog toga, svakom ko dobronamerno ukaže na eventualne propuste unapred se zahvaljujem.

A. Zolić

S A D R Ž A J

I RAČUNANJE S PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA................................... 1 0. Uvodne napomene ..................................................................................................1 1. Pojam približnog broja i izvori grešaka u rezultatima računanja ...........................5 2. Apsolutna, relativna, procentualna i promilna greška približnog broja .................7 3. Značajne i sigurne cifre približnog broja................................................................9 4. Zaokrugljivanje brojeva. Tačne cifre približnog broja.........................................11 5. Veza izmeñu granice relativne greške približnog broja

i broja njegovih sigurnih cifara.............................................................................13 6. Opšta formula za grešku približne vrednosti funkcije..........................................15 7. Greška zbira i razlike ............................................................................................17 8. Greška proizvoda i broj njegovih sigurnih cifara .................................................20 9. Greška količnika i broj njegovih sigurnih cifara ..................................................22 10. Greška stepena i korena ........................................................................................24 11. Metoda granica .....................................................................................................26 12. Inverzni problem ocene greške.............................................................................28

II INTERPOLACIJA FUNKCIJA............................................................... 31 0. Uvodne napomene ................................................................................................31 1. Opšti zadatak interpolacije....................................................................................32 2. Lagranžev interpolacioni polinom........................................................................35 3. Ocena greške interpolacije....................................................................................37 4. Konačne razlike funkcija ......................................................................................39 5. Prvi Njutnov interpolacioni polinom....................................................................45 6. Drugi Njutnov interpolacioni polinom .................................................................47 7. Tablica centralnih razlika......................................................................................49 8. Gausove interpolacione formule...........................................................................50 9. Stirlingova interpolaciona formula .......................................................................54 10. Beselova interpolaciona formula ..........................................................................56 11. Inverzna interpolacija ...........................................................................................60 12. Inverzija reda ........................................................................................................65 13. Trigonometrijski interpolacioni polinomi.............................................................68 14. Podeljene (količničke) razlike funkcija ................................................................69 15. Njutnovi interpolacioni polinomi s podeljenim razlikama...................................74 16. Konvergencija interpolacionog procesa ...............................................................76 17. Ermitov interpolacioni polinom............................................................................78 18. Inverzne podeljene razlike i interpolacija funkcija

verižnim racionalnim izrazima .............................................................................82 19. Splajn–interpolacija ..............................................................................................85 20. Interpolacija funkcija više nezavisnih promenljivih.............................................91 21. Napomene o tačnosti interpolacije........................................................................97

III NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INTEGRACIJA ............................................................ 101

0. Uvodne napomene ..............................................................................................101 1. Numeričko diferenciranje ...................................................................................101 2. Numeričko diferenciranje funkcija više nezavisnih promenljivih......................104 3. Numerička integracija.........................................................................................107 4. Njutn–Kotesove kvadraturne formule ................................................................109 5. Trapezna kvadraturna formula............................................................................115 6. Simpsonova kvadraturna formula.......................................................................118 7. Njutn–Kotesove formule viših redova................................................................124 8. Njutn–Kotesove kvadraturne formule otvorenog tipa ........................................127 9. Čebišovljeva kvadraturna formula......................................................................128 10. Gausova kvadraturna formula.............................................................................132 11. Kvadraturna formula Lobatoa.............................................................................138 12. Rungeov princip približne ocene greške numeričke integracije.........................140 13. Ričardsonova metoda ekstrapolacije ..................................................................142 14. Rombergova metoda ...........................................................................................145 15. Izračunavanje približnih vrednosti nesvojstvenih integrala ...............................152 16. Ojler–Maklorenova kvadraturna formula ...........................................................160 17. Konvergencija kvadraturnih procesa ..................................................................167 18. Optimizacija kvadraturnih formula.....................................................................173 19. Numeričko izračunavanje višestrukih integrala..................................................175

IV NUMERIČKE METODE REŠAVANJA ALGEBARSKIH I TRANSCENDENTNIH JEDNAČINA I NJIHOVIH SISTEMA ......... 181

0. Uvodne napomene ..............................................................................................181 1. Lokalizacija rešenja ............................................................................................182 2. Metoda polovljenja odsečka ...............................................................................186 3. Metoda sečice......................................................................................................188 4. Njutnova metoda.................................................................................................195 5. Modifikacije Njutnove metode ...........................................................................201 6. Kombinovana metoda sečice i tangente .............................................................203 7. Metoda iteracije ..................................................................................................205 8. Pojam reda konvergencije i konstrukcija iterativnih metoda višeg reda............215 9. Njutnova metoda za rešavanje sistema nelinearnih

algebarskih i transcendentnih jednačina .............................................................219 10. Metoda iteracije za rešavanje sistema nelinearnih

algebarskih i transcendentnih jednačina .............................................................224 11. Dovoljni uslovi konvergencije metode iteracije .................................................232 12. Zajdelova metoda................................................................................................236 13. Opšta svojstva algebarskih jednačina. Granice korena ......................................238 14. Broj realnih rešenja algebarske jednačine ..........................................................245 15. Metoda Lobačevski–Grefea za slučaj realnih različitih rešenja .........................248 16. Metoda Lobačevski–Grefea za slučaj para konjugovano–kompleksnih rešenja255 17. Bernulijeva metoda .............................................................................................258

V NUMERIČKE METODE REŠAVANJA SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA............................................................ 261

0. Uvodne napomene ..............................................................................................261 1. Gausova metoda – shema jedinstvenog deljenja ................................................262 2. Gausova metoda – shema s izborom glavnog elementa .....................................267 3. Žordanova shema................................................................................................268 4. Gausova metoda – kompaktna shema.................................................................269 5. Izračunavanje determinanata ..............................................................................271 6. Istovremeno rešavanje više sistema linearnih algebarskih jednačina.

Izračunavanje inverznih matrica.........................................................................273 7. Metoda kvadratnih korena ..................................................................................279 8. Metoda ortogonalizacije .....................................................................................281 9. Metoda konjugovanih gradijenata ......................................................................285 10. Metoda najstrmijeg spuštanja .............................................................................289 11. Metoda iteracije ..................................................................................................291 12. Zajdelova metoda................................................................................................299 13. Optimizacija brzine konvergencije iterativnih procesa ......................................307 14. Ocena greške približnog rešenja sistema linearnih algebarskih jednačina.........309 15. Mera uslovljenosti matrica i sistema linearnih algebarskih jednačina ...............311 16. Metoda relaksacije ..............................................................................................316 17. Metoda najmanjih kvadrata ................................................................................318

VI NUMERIČKE METODE REŠAVANJA PROBLEMA SOPSTVENIH VREDNOSTI I SOPSTVENIH VEKTORA MATRICA...................... 321

0. O problemu sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora matrica.........................321 1. Metoda Danilevskog ...........................................................................................323 2. Metoda Krilova ...................................................................................................329 3. Metoda Leverjea .................................................................................................337 4. Jedna modifikacija metode Leverjea ..................................................................340 5. Metoda interpolacije ...........................................................................................343 6. Iterativna metoda za rešavanje potpunog problema

sopstvenih vrednosti matrica ..............................................................................346 7. Metoda proizvoljnog vektora..............................................................................349 8. Metoda tragova ...................................................................................................353 9. Metoda skalarnih proizvoda................................................................................356 10. Metoda iscrpljivanja ...........................................................................................358 11. Nalaženje druge sopstvene vrednosti i odgovarajućeg sopstvenog vektora.......360 12. Nalaženje sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora

pozitivno definitne i simetrične matrice .............................................................362 13. Metoda redukcije problema sopstvenih vrednosti matrica .................................365 14. Geršgorinova teorema.........................................................................................368 15. LR i QR algoritam ..............................................................................................368

L I T E R A T U R A.................................................................................... 373

1

I RAČUNANJE S PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA

0. UVODNE NAPOMENE

U mnogim oblastima savremene nauke i tehnike sve češće se dolazi do ma-tematičkih zadataka čija se tačna rešenja ne mogu dobiti klasičnim mate-matičkim metodama (obično je pri tom dokazana egzistencija i jedinstvenost rešenja tih zadataka) ili se pak mogu dobiti, ali su pri tom toliko komplikovana da se praktično ne mogu upotrebiti. Broj takvih zadataka je porastao naročito u poslednje vreme zbog velikog i brzog razvoja nauke i tehnike. Prirodno je što se, zbog toga, postavio problem izgradnje efikasnih metoda za nalaženje približnih rešenja takvih zadataka. S druge strane, veliki napreci u nauci i tehnici omogućili su konstruisanje novih, izvanrednih sredstava za računanje. Zbog toga su se postavili zadaci uporeñivanja, revidiranja i sistematizacije već postojećih i izgradnje novih metoda radi efikasnog korišćenja tih sredstava.

Navedeni razlozi su doveli do nastanka jedne posebne oblasti matematike, čiji je zadatak razrada metoda koje dovode do brojčanih rezultata, rešenja, razli-čitih zadataka analize, algebre, verovatnoće, statistike, geometrije itd. Ta oblast se naziva numeričkom matematikom.

Dakle, šta je numerička matematika? Šta je predmet proučavanja numeričke matematike? Koje su njene metode? Odgovoriti na ova pitanja nije jednostavno. Jedan od razloga je, svakako, nemogućnost potpune i disjunktne klasifikacije nauka uopšte, pa i matematičkih nauka. Poznato je da je dijapazon primene matematike vrlo širok, pa je s tim povezano preplitanje matematike i drugih nauka. Slično, u samoj matematici pojedine oblasti se preklapaju u odreñenom smislu, pa samim tim nije moguće precizno odrediti predmete proučavanja pojedinih matematičkih disciplina. Može se jedino sigurno reći da postoji samo jedna matematika koju čine pojedine matematičke discipline koje se prepliću i u pogledu oblasti i u pogledu metoda proučavanja. Numerička matematika ima kao oblast proučavanja celu matematiku i njene primene. Ona razvija sopstvenu teoriju i razrañuje sopstvene metode. Bitna karakteristika tih metoda je, po pravilu, rezultat u obliku broja. Često koristimo i termin numerička analiza, gde nikako ne treba imati u vidu samo numeričke metode rešavanja zadataka klasične matematičke analize. Naprotiv, pre bi se moglo govoriti o numeričkim metodama analize, numeričkim metodama linearne algebre, numeričkim metodama nelinearne algebre, numeričkim metodama geometrije, numeričkim metodama statistike,...

Najčešći zadaci numeričke matematike ili numeričke analize u širem smislu su: aproksimacija skupova i funkcija u funkcionalnim prostorima i razrada racionalnih algoritama i metoda rešavanja zadataka. Dakle, u numeričkoj analizi važni su: teorijski aspekt – razvoj odgovarajućih metoda i primenjeni aspekt – veza s praktičnim zadacima uz korišćenje savremene računske tehnike.

2

U samoj primeni matematike bitan značaj ima konstruisanje matematičkog modela posmatrane pojave i procesa. Tako, na primer, ako treba proučiti kretanje rakete ili veštačkog satelita, onda se problem malo uprosti i sastavi se diferencijalna jednačina kretanja, pa se proučavanje svodi na proučavanje te diferencijalne jednačine. Samim postavljanjem tog matematičkog modela dolazi do približnosti čiji uticaj na rezultat treba ispitati. Metode proučavanja matematičkih modela su, po pravilu, numeričke metode.

Analiza matematičkih modela uključuje u sebe: izučavanje odreñenog zadatka, izbor modela, obrada ulaznih informacija, numeričko rešavanje matematičkog zadatka koji nastaje kod ispitivanja modela, proučavanje i primena dobijenih rezultata. Pri tome je vrlo bitno koliko rezultati dobijeni na osnovu matematičkog modela verno odgovaraju stvarnoj proučavanoj pojavi ili proučavanom procesu.

Isticanje rezultata u obliku broja ne treba shvatiti suviše isključivo. Nekada su pogodnije analitičke metode za nalaženje približnih rešenja nekih zadataka, a često su elementi zadatka i rezultati funkcije (jednog ili više argumenata), sku-povi funkcija itd. Ipak, zbog velike primene elektronskih računara prirodno je istaći rezultat u obliku broja kao karakteristiku numeričke matematike uzimajući u obzir prethodno rečeno.

Navedimo jedan primer koji će ilustrovati razliku izmeñu teorijskog i nu-meričkog, praktičnog rešavanja jednog istog zadatka.

Primer 1. Neka treba rešiti sistem linearnih nehomogenih algebarskih jed-načina

(1)

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

... ,

... ,

... .

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =⋮

Sistem jednačina (1) može se zapisati u sažetom, matričnom obliku (2) AX B= , gde je

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

, ,

n

n

n nn n nn

a a a x ba a a x b

A X B

x ba a a

= = =

…

…

⋮ ⋮⋮

…

.

Pretpostavimo da je determinanta matrice sistema det 0D A= ≠ , tj. pret-postavimo da sistem jednačina ima jedinstveno rešenje. Ako obe strane

matrične jednačine (2) pomnožimo sleva inverznom matricom 1A− , dobićemo rešenje sistema jednačina u vrlo jednostavnom, sažetom obliku

(3) BAX 1−= . Kao što znamo, možemo koristiti dobro poznate Kramerove formule

(G. Cramer, 1704–1752)

3

(4) ( 1, )kk

Dx k n

D= = ,

gde su kD determinante nepoznatih kx , 1,k n= . Sa gledišta algebre zadatak je rešen lako, elegantno i efikasno nezavisno od toga koliko je n. Sa gledišta numeričke matematike, za veliko n, metoda je toliko komplikovana da se prak-tično ne može primenjivati. Potreban broj operacija, množenja i deljenja, kod

primene Kramerovih formula (4) je 2( ) ( 1) !Q n n n n= − + ; na primer za n = 8 je Q(8) = 2 540 168, a za n = 10 je Q(10) = 359 251 210 ili oko 360 miliona operacija.

Upotrebljena simbolika u (3) i (4) u teorijskom smislu predstavlja veliki uspeh, ali je jasno da obrasci nisu praktični sa stanovišta numeričke matematike.

Numerička matematika, kao samostalna matematička disciplina, datira, slo-bodnije rečeno, s kraja XIX i od početka XX veka. Dakle, numerička matematika je relativno mlada nauka, što je tačno, ali samo u tom smislu da je veliki i brzi razvoj numeričke matematike vezan za poslednjih pedesetak godina. Meñutim, numerička matematika je prisutna od samih istorijskih početaka razvoja matematike. Usporen razvoj numeričke matematike u početku je posledica niskog stepena razvoja sredstava za računanje. U prvo vreme on je bio vezan za voñenje blagajničkih knjiga, izračunavanje površina i zapremina, navigaciju itd., tj. bitno je bilo rešavati jednostavne zadatke aritmetike, algebre i geometrije. U početku računska sredstva su bili prsti na rukama ili prsti na rukama i nogama, a kasnije računaljke različitih vrsta. Početni podaci su sadržavali malo cifara, a izračunavanja su bila tačna, bez zaokrugljivanja.

Sledeća, druga etapa u razvoju numeričke matematike je povezana s Njut-nom (Isaac Newton, 1642–1727). U tom periodu rešavani su problemi astrono-mije, geodezije, mehanike itd. svoñenjem, obično, na diferencijalne jednačine ili na sisteme algebarskih jednačina. Izračunavanja su vršena sa zaokrugljivanjem brojeva, a često je zahtevana visoka tačnost rezultata. Uz detaljno razrañene tablice vrednosti elementarnih funkcija i računska sredstva ovog perioda su usa-vršena. To su, pre svega, aritmometar, logaritmar itd., a pri kraju ovog perioda pojavljuju se različiti tipovi tastaturnih mašina sa elektromotorom. Ipak, brzina rada tih mašina je bila mala, pa su računanja trajala nedeljama, mesecima pa čak i godinama. To je, razume se, iscrpljivalo matematičare do te mere da oni pone-kad nisu imali snage da publikuju već dobijene rezultate (pa su zbog toga neki od tadašnjih rezultata ostali zaboravljeni). Radi ilustracije prethodno rečenog navedimo jedan poznati primer. Posle višemesečnog računanja engleski astronom i direktor Opservatorije u Kembridžu Adams Džon Kauč (Adams John Cauch, 1819–1892) je pomoću nepravilnosti u Uranovom kretanju odredio 1845. godine putanju, čak i približan položaj meñu zvezdama, do tada nepoznate (osme) planete Sunčevog sistema – kasnije nazvane Neptun. Meñutim, rezultat ovog dugotrajnog i teškog posla nije saopštio godinu dana, a ni eksperimentalno potvrdio, pa je slava za otkriće Neptuna sledeće godine pripala francuskom astronomu Leverjeu (Laverrier, 1811–1877).

4

Treći period razvoja numeričke matematike vezuje se za 1911. godinu i publikovanje prvog kursa posvećenog isključivo numeričkim metodama. Autor je Krilov (A. N. Krylov, 1863–1945), a naslov kursa je „Predavanja o približnim računanjima“. Od tada, a naročito posle Drugog svetskog rata (kada su konstruisani, u prvo vreme za vojne potrebe, prvi elektronski računari) dolazi do brzog razvoja numeričke matematike koja nalazi primene u različitim oblastima nauke, tehnike i svakodnevne prakse.

Hilbertovo (David Hilbert, 1862–1943) otkriće funkcionalnih prostora posebno je intenziviralo razvoj numeričke matematike. Hilbertovi prostori imaju značajnu primenu, naročito u zadacima teorijske fizike. Uopšte, ideja funkcionalnih prostora je jedna od najplodotvornijih ideja u numeričkoj matematici.

U numeričkoj matematici najčešće se srećemo sa zadacima koji se mogu zapisati u sledećem obliku

(5) )(xfy = ,

gde x i y pripadaju respektivno prostorima 1A i 2A , a )(xf je neka zadata funk-cija. Zadatak je da se za dato x odredi odgovarajuće y ili obratno, da se za dato y odredi odgovarajuće x. Metodama „teorijske“ matematike najčešće se ne može rešiti zadatak (5), pa se tada pribegava metodama numeričke matematike.

Najčešća metoda numeričke matematike za rešavanje zadatka (5) je da se prostori 1A i 2A i funkcija f zamene nekim drugim, u odreñenom smislu jedno-

stavnijim prostorima *1A i *

2A i drugom, jednostavnijom funkcijom *f . Prema tome, u opštem slučaju zadatak (5) se zamenjuje jednostavnijim zadatkom

(5*) *)(** xfy = ,

gde x* i y* pripadaju respektivno prostorima *1A i *2A . Osnovni zahtevi kod za-

mene zadatka (5) zadatkom (5*) su: da se zadatak (5*) lakše rešava nego zadatak (5) i da su rešenja y* i y (odnosno x* i x) bliska u nekom smislu. Bliskost ili rastojanje d(y*, y) (odnosno d(x*, x)) rešenja y* i y (odnosno x* i x) definiše se na različite načine, u zavisnosti od toga o kojim se prostorima radi. Napomenimo da se, ponekad, ne zamenjuju sve tri komponente 1A , 2A i f

zadatka (5) odgovarajućim komponentama *1A , *

2A i *f već samo neka od njih.

Unutrašnja karakteristika numeričke matematike je da je u njoj od bitnog značaja procenjivanje tačnosti dobijenih rezultata. Raznovrsni su uzroci koji uslovljavaju greške rešenja, ali se kao najčešći mogu istaći sledeći:

a) netačni početni podaci (dobijeni eksperimentima; iracionalni brojevi π,

e, 2 itd., koji se moraju zameniti približnim vrednostima),

b) zamena zadatka (5) odgovarajućim zadatkom (5*). Prirodno je da će se rešenje zadatka (5*) razlikovati od tačnog rešenja zadatka (5),

c) u procesu rešavanja zadatka (5*) često dolazi do povećanja broja cifara tako da se mora pristupiti odbacivanju izvesnih cifara u rezultatu računanja.

5

Greške koje odgovaraju navedenim uzrocima nazivaju se respektivno:

a) neotklonjiva greška,

b) greška metode,

c) računska greška.

U prvom delu ovog kursa razmatraće se neotklonjive i računske greške, a greške metode će se tretirati kasnije zajedno s odgovarajućim metodama.

1. POJAM PRIBLIŽNOG BROJA I IZVORI GREŠAKA U REZULTATIMA RA ČUNANJA

Šta je približan broj? Odgovoriti na ovo pitanje nije jednostavno, kao što nije jednostavno odgovoriti na sledeća pitanja: Šta je broj?, Šta je skup?, Šta je tačka? i tako dalje. U literaturi se, ponegde, susrećemo s pokušajima uvoñenja pojma približnog broja, odnosno definisanja približnog broja. Meñutim, u tim definicijama prisutna je izvesna neodreñenost. Tako, na primer, ako se kaže: Približnim brojem x* naziva se broj koji se neznatno razlikuje od tačne vrednosti broja x. Nedostatak je očigledan. Šta znači „neznatno se razlikuje“? „Neznatno se razlikuje“ je vrlo relativno. Ponekad je mala razlika izmeñu x* i x, sa stanovišta primene u praksi, prihvatljiva a ponekad nije, ponekad je velika razlika izmeñu x* i x, opet sa stanovišta primene u praksi, prihvatljiva a ponekad nije. Mogu se postaviti i pitanja: Šta je mala razlika?, Šta je velika razlika?

Reći ćemo da je približan broj jedan od osnovnih, polaznih pojmova ma-tematike, dakle, ne definišemo ga! Meñutim, predstavu o približnom broju možemo stvoriti, recimo, nizom primera iz svakodnevne delatnosti čoveka, zatim iz nauke i tehnike, gde se približni brojevi pojavljuju kao podaci ili kao rezultati računanja. Navedimo nekoliko primera.

Primer 1. Na fudbalskoj utakmici, derbiju mesnih rivala, bilo je 35000 gledalaca, izveštavali su mediji: novine, radio, televizija.

Šta znači podatak: 35000 gledalaca? Da li je tačno bilo 35000 gledalaca na stadionu? Da li je to bilo moguće utvrditi?

Razume se, broj 35000 gledalaca se razlikuje od tačnog broja prisutnih gledalaca. Tačan broj prisutnih gledalaca nije moguće utvrditi. Ako bi se zaklju-čivalo na osnovu broja prodatih karata, to ne bi bilo pouzdano: neko je kupio kartu a nije došao na stadion, neko nije kupio kartu ali je ušao na stadion jer je na kapiji stajao njegov poznanik. Svaki klub ima i svoje verne simpatizere koji imaju tzv. pretplatničke karte. Koliko je takvih gledalaca došlo? Naravno, to nije poznato. Ako bismo brojali posetioce prilikom ulaska, opet ne bismo mogli tvrditi da smo došli do tačnog broja.

Dakle, podatak 35000 gledalaca je približan. Jedino možemo reći, na pri-mer, da nije bilo više od 35500 ni manje od 34500 gledalaca.

6

Primer 2. Neka treba odrediti ubrzanje Zemljine teže g pomoću matema-tičkog klatna, tj. pomoću obrasca

2

2

4 lg

T

π= ,

onda ćemo izmeriti dužinu l i period oscilovanja T. Uvrstiti dobijene vrednosti l i T i broj π, pa izračunati g. Izračunata vrednost g je približna. Naime, nije moguće tačno odrediti veličine l i T, a umesto tačnog broja π, koji ima beskonačno mnogo decimala, moramo uzeti vrednost s konačno mnogo decimala.

Primer 3. Neka treba izračunati dijagonalu kvadrata d stranice a = 4.

Iskoristićemo dobro poznat obrazac 2d a= . Ako bi stranica a bila tačno odreñena, dijagonalu d ne bismo mogli tačno izračunati jer u obrascu učestvuje

iracionalan broj 2 .

Primer 4. Iracionalni broj 2 može biti izračunat koristeći činjenicu da je

11

1 2lim lim 2.

2n nn n

n

x xx−→∞ →∞ −

= + =

Meñutim, praktično je nemoguće dobiti tačnu vrednost broja 2 zato što se radi o jednom beskonačnom procesu.

Primer 5. Ako treba izračunati proizvod

258.14736 · 0.1112229

koristeći, na primer, džepni kalkulator – „digitron“ koji ima osam mesta, onda ćemo morati odbaciti izvestan broj cifara na kraju rezultata („digitron“ to sam „uradi“). Dobićemo 28.711898, a tačan rezultat je 28.711898006544.

Ovim primerima upravo smo i ilustrovali izvore grešaka u rezultatima računanja:

– polazni podaci su eksperimentalne prirode (dobijeni ekspe-rimentom: brojanjem, merenjem, ...),

– u procesu računanja pojavljuju se iracionalni brojevi kao što su:

2 , π, ...

– primenjena metoda daje tačan rezultat tek posle beskonačno mnogo ponavljanja odreñenog računskog procesa,

– već kod najjednostavnijih računskih operacija broj cifara se toliko poveća da ih nije moguće „smestiti“ u mašinu za računanje,

– najzad, početne greške se prenose s operacije na operaciju i pri tome se transformišu, akumuliraju i pojavljuju se nove greške.

7

2. APSOLUTNA, RELATIVNA, PROCENTUALNA I PROMILNA GREŠKA PRIBLIŽNOG BROJA

Jedan od osnovnih zadataka u numeričkoj matematici je davanje matema-tičke karakteristike tačnosti približnog broja. Ovaj zadatak se sastoji u uvoñenju pojma tačnosti približnog broja, odnosno u definisanju grešaka približnog broja.

Označimo sa x tačan a sa x* njemu približan broj. Prirodno se postavlja problem ocene stvarno učinjene greške ako umesto tačnog broja x uzmemo njegovu približnu vrednost x*, tj. problem ocene razlike *x x∆ = − , ocena stvarne greške. Veličina *x x∆ = − je stvarna greška.

Definicija 1. Apsolutna greška, u oznaci *x∆ , približnog broja x* je apso-lutna vrednost razlike tačnog broja x i njemu približnog broja x*, tj. (1) * | *|x x x∆ = − .

Kako tačan broj x u velikom broju slučajeva nije poznat, to se samim tim ni apsolutna greška *x∆ ne može izračunati. Zbog toga uvodimo pojam granice apsolutne greške.

Definicija 2. Granica apsolutne greške približnog broja x* naziva se svaki broj Ax* koji nije manji od apsolutne greške, tj. (2) * | *| *x x x Ax∆ = − ≤ .

Iz (2) dobijamo *** AxxxAx ≤−≤− ,

ili (3) **** AxxxAxx +≤≤− , što se, radi kratkoće, najčešće zapisuje u sledećem obliku

** Axxx ±= .

Primedba 1. Pojam granice apsolutne greške, uveden prethodnom defini-cijom, je neprecizan. Naime, svaki broj veći od (na neki način utvrñene) granice apsolutne greške može se uzeti u svojstvu granice apsolutne greške. Isto tako, izmeñu brojeva *x∆ i Ax* postoji beskonačno mnogo brojeva i svaki od njih, saglasno definiciji, može biti uzet za granicu apsolutne greške. Nepreciznost se prevazilazi u praksi na sledeći način; u svojstvu granice apsolutne greške bira se što je moguće manja vrednost, a da bude dovoljno jednostavnog oblika, na pri-

mer m101⋅ ili k102

1 ⋅ ili ω 10k⋅ , 1ω0 ≤< .

Primer 1. Ako umesto tačnog broja e = 2.718281828... uzmemo približnu vrednost e* = 2.72, izračunati apsolutnu grešku i granicu apsolutne greške.

Rešenje. Apsolutna greška je * | *| |2.718281828... 2.72| 0.01718171...e e e∆ = − = − =

za granicu apsolutne greške možemo uzeti: Ae* = 0.0018, jer je * 0.001718171... 0.0018e∆ = < ili Ae* = 0.002, jer je * 0.001718171... 0.002e∆ = < .

8

Meñutim, najčešće se uzima:

2102

1005.0* −⋅==Ae ili 210101.0* −⋅==Ae .

Primedba 2. Ponegde se u literaturi granica apsolutne greške naziva gor-njom granicom apsolutne greške, a ponegde, kratko, apsolutnom greškom. Ovaj drugi naziv je praktičniji – kraći je, a u numeričkoj matematici skoro isključivo se radi s granicom apsolutne greške.

Primedba 3. Apsolutna greška, odnosno granica apsolutne greške, je di-menzionisana veličina (istih dimenzija kao i veličine x i x*).

Definicija 3. Relativna greška približnog broja x*, u oznaci *xδ , je količnik apsolutne greške tog približnog broja i apsolutne vrednosti tačnog broja, tj.

(4) *

* ( 0)| |

xx x

x

∆δ = ≠ .

Kako apsolutna greška u velikom broju slučajeva nije poznata, to se samim tim ni relativna greška *xδ ne može izračunati. Zbog toga uvodimo pojam granice relativne greške.

Definicija 4. Granica relativne greške približnog broja x* naziva se svaki broj Rx* koji nije manji od relativne greške, tj.

(5) *

* *| |

xx Rx

x

∆δ = ≤ .

Primedba 1'. Nepreciznost ove definicije se prevazilazi, analogno kao u slučaju granice apsolutne greške, biranjem što je moguće manjeg broja i dovoljno jednostavnog oblika.

Primedba 4. Budući da tačna vrednost x, po pravilu, nije poznata, to u definicijama 3 i 4 umesto x uzimamo x*. Dakle,

(4') *

* , ( * 0)| *|

xx x

x

∆δ = ≠

i

(5') *

* *| *|

xx Rx

x

∆δ = ≤

Primer 2. Ako je tačan broj π = 3.1415926... a približan π* = 3.14, izra-čunati relativnu grešku i granicu relativne greške.

Rešenje. Relativna greška je π* | 3.1415926... 3.14 |

π* 0.000507...|π*| 3.14

∆ −δ = = = ;

za granicu relativne greške možemo uzeti:

Rπ* = 0.000508, jer je π* 0.000507... 0.000508δ = <

9

ili Rπ* = 0.00051, jer je π* 0.000507... 0.00051δ = < .

Meñutim, najčešće se uzima:

Rπ* = 0.0006 ili Rπ* = 0.001 ili Rπ* = 0.005 = 2110

2−⋅ .

Primedba 2'. Ponegde se u literaturi granica relativne greške naziva gor-njom granicom relativne greške, a ponegde, kratko, relativnom greškom. Ovaj drugi naziv je praktičniji – kraći je, a u numeričkoj matematici skoro isključivo se radi s granicom relativne greške.

Primedba 3'. Relativna greška, odnosno granica relativne greške je (za ra-zliku od apsolutne) nedimenzionisana veličina.

Primedba 5. Kako je * *

* ( * 0)| *| | *|

x Axx x

x x

∆δ = ≤ ≠ ,

to se može uzeti *

* ( * 0)| *|

AxRx x

x= ≠ .

Zbog praktičnih potreba definišu se procentualna i promilna greška kao i njihove granice. Dakle,

% * 100 *P x x= ⋅δ – procentualna greška,

% * 100 *P x x= ⋅ δ – granica procentualne greške,

‰ * 1000 *P x x= ⋅δ – promilna greška,

‰ * 1000 *P x Rx= ⋅ – granica promilne greške.

3. ZNAČAJNE I SIGURNE CIFRE PRIBLIŽNOG BROJA

Poznato je da se svaki realan broj x zapisan u dekadnom sistemu računanja može predstaviti u obliku

(1) 1 1 11 2 1( 10 10 10 10 10 )n n n k n k n m

k k mx a a a a a− − + − − ++= ± + + + + + + +⋯ ⋯ ⋯ ,

gde su 0,1, 2,..., 9ia ∈ , ...,3,2,1=i , cifre broja x, 01 ≠a , Zn∈ , Nk ∈ , Nm∈ . U numeričkoj matematici, kao što je ranije rečeno, imamo posla češće s

približnim brojevima. Približni brojevi imaju, po pravilu, konačan broj cifara. Odgovarajući približan broj x* može se predstaviti u obliku

(2) 1 1 11 2 1* ( 10 10 10 10 10 )n n n k n k n m

k k mx a a a a a− − + − − ++= ± + + + + + +⋯ ⋯ .

Primer 1. a) Tačan broj e = 2.718281828... se može predstaviti u obliku 0 1 2 3 4 5 62 10 7 10 1 10 8 10 2 10 8 10 1 10e − − − − − −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋯ ,

a odgovarajući približan broj e* = 2.72 u obliku 210 102107102* −− ⋅+⋅+⋅=e ;

10

b) Tačan broj π = 3.1415926... se može predstaviti u obliku 0 1 2 3 4 5 6π 3 10 1 10 4 10 1 10 5 10 9 10 2 10− − − − − −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋯

a odgovarajući približan broj π* = 3.14 u obliku 210 104101103π* −− ⋅+⋅+⋅= ;

c) tačan broj 2197

70.87096...31

x = = se može predstaviti u obliku

1 0 1 2 3 4 57 10 0 10 8 10 7 10 0 10 9 10 6 10x − − − − −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋯

a odgovarajući približan broj x* = 70.87 u obliku 2101 107108100107 −− ⋅+⋅+⋅+⋅=x .

Uvedimo sledeće pojmove koji se odnose na cifre približnog broja (2).

Definicija 1. Cifra ai približnog broja x* naziva se značajnom (ponegde, vrednosnom) cifrom, ako je ona različita od nule ili je nula izmeñu cifara razli-čitih od nule ili predstavlja sačuvanu dekadnu jedinicu uzetu u obzir.

Primer 2. Približan broj 0210032000.0*1 =x ima devet značajnih cifara i

to su: 2, 1, 3, 2, zatim dve nule izmeñu 21 i 32 i tri nule na kraju broja.

Brojevi 0210032000.0*1 =x i 0210032.0*

2 =x bitno se razlikuju u numeri-

čkoj matematici; naime, podrazumeva se da je 10*1 10−=Ax (ili 1010

2

1 −⋅ ) a

7*2 10−=Ax (ili 710

2

1 −⋅ ), pa je *2x , očigledno, dosta netačniji približan broj.

Definicija 2. Značajna cifra ka približnog broja x* naziva se sigurnom

(ponegde, pouzdanom) cifrom u „ω smislu“, ako je

(3) 110ω* +−⋅≤ knAx , 1ω0 ≤< .

Za ω = 1 cifra ka je sigurna u širem, a za 2

1ω = u užem smislu.

Cifre koje nisu sigurne nazivamo sumnjivim (ponegde, nepouzdanim) ci-frama.

Očigledno, ako je ka sigurna cifra, onda su sigurne i sve značajne cifre is-pred nje: 121 ,...,, aaak− .

Primer 3. Dati su brojevi x = 23.458 i x* = 23.456. Odrediti broj sigurnih cifara približnog broja x* u užem i širem smislu.

Rešenje. Kako je

21* |23.458 23.456| 0.002 0.005 10 *

2x Ax−∆ = − = < = ⋅ = ,

to iz

112 102

110

2

1 +−− ⋅≤⋅ k

11

dobijamo k = 4. Dakle, približan broj x* ima četiri sigurne cifre u užem (pa

samim tim i u širem, jer je 22 101102

1 −− ⋅≤⋅ ) smislu. To su cifre: 2, 3, 4 i 5.

Primer 4. Dati su brojevi x = 10 i x* = 9.999. Odrediti broj sigurnih cifara u širem smislu približnog broja x*.

Rešenje. Kako je 3* | *| |10 9.999| 0.001 1 10 *x x x Ax−∆ = − = − = = ⋅ = ,

to iz 3 0 11 10 1 10 k− − +⋅ ≤ ⋅

dobijamo k = 4. Dakle, približan broj x* ima četiri sigurne cifare u širem smislu. To su cifre: 9, 9, 9 i 9. Lako se primećuje da, iako približan broj x* ima (relativno) velik broj sigurnih cifara, nijedna od tih cifara se ne poklapa ni sa jednom cifrom tačnog broja. Zato nikako ne smemo mešati pojam sigurne cifre s pojmom tačne (prave, istinite) cifre nekog broja.

4. ZAOKRUGLJIVANJE BROJEVA. TA ČNE CIFRE PRIBLIŽNOG BROJA

Vrlo često umesto brojeva s beskonačno mnogo ili konačno mnogo cifara moramo uzeti brojeve s manje cifara, tj. moramo odbaciti jednu ili više posled-njih cifara. To odbacivanje se ne vrši proizvoljno. To se čini tako da učinjena greška bude što je moguće manja, pa se odbacivanje prema tom principu zove zaokrugljivanje brojeva, a nastala greška je greška zaokrugljivanja.

Neka je dat (tačan ili približan) broj

(1) 1 1 11 2 1( 10 10 10 10 10 )n n n k n k n m

k k mx a a a a a− − + − − ++= ± + + + + + + +⋯ ⋯ ⋯ ,

koji ima više od m cifara. Treba ga zameniti brojem koji ima m cifara. Kako je 1 1 1 1

1 2 1 210 10 10 | | 10 10 ( 1)10n n n m n n n mm ma a a x a a a− − + − − ++ + + ≤ ≤ + + + +⋯ ⋯ ,

to će se pri realizaciji tog postupka dobiti broj x* koji će biti

(2) 1 11 2* ( 10 10 10 )n n n m

mx a a a− − += ± + + +⋯ ,

ili

(3) 1 11 2* ( 10 10 ( 1)10 )n n n m

mx a a a− − += ± + + + +⋯ .

Postavlja se pitanje: Kada će rezultat zaokrugljivanja biti broj x* zapisan u obliku (2), a kada u obliku (3)? Imajući u vidu prirodan zahtev da rezultat za-okrugljivanja ima što je moguće manju apsolutnu grešku, jasan je odgovor na postavljeno pitanje. Zaokrugljivanje treba da je takvo da bude

(4) 1102

1|*| +−⋅≤− mnxx ,

tj. da su sve cifre zaokrugljenog broja x* sigurne u užem smislu. Prema tome, mogu se razlikovati tri slučaja:

12

1) 1 11 2

110 10 10

2n m n m n m

m ma a− − − − ++ ++ + < ⋅⋯ ,

2) 1 11 2

110 10 10

2n m n m n m

m ma a− − − − ++ ++ + > ⋅⋯ ,

3) 1 11 2

110 10 10

2n m n m n m

m ma a− − − − ++ ++ + = ⋅⋯ .

Očigledno je da u prvom slučaju pri zaokrugljivanju broj x* mora biti zapi-san u obliku (2), u drugom slučaju u obliku (3), a u trećem slučaju se može uzeti (2) ili (3), ali se iz praktičnih razloga koristi tzv. pravilo parne cifre; ako je ma parna cifra uzima se zapis (2) a u protivnom zapis (3).

Saglasno svemu rečenom sada možemo eksplicitno zapisati pravila zaokru-gljivanja brojeva:

(I) Ako je prva od odbačenih cifara (cifra 1+ma ) manja od 5, onda zadržane cifre ostaju nepromenjene; kaže se – ne vrši se popravka;

(II) Ako je prva od odbačenih cifara (cifra 1+ma ) veća od 5, onda poslednju

zadržanu cifru (cifru ma ) povećavamo za 1; kaže se – vrši se popravka;

(III) Ako je prva od odbačenih cifara (cifra 1+ma ) jednaka 5, a ostale koje

dolaze posle nje nisu sve nule, onda poslednju zadržanu cifru (cifru ma ) pove-ćavamo za 1, tj. vrši se popravka;

(IV) Ako je prva od odbačenih cifara (cifra 1+ma ) jednaka 5, a ostale koje

dolaze posle nje su sve nule, onda važi pravilo parne cifre, tj. ako je ma parna,

ne vrši se popravka a ako je ma neparna cifra, vrši se popravka. Kratko, u oba slučaja dobija se paran broj!

Logično bi bilo i odgovarajuće pravilo neparne cifre, ali ne i praktično!

Primer 1. Broj x = 2.3451472 zaokrugliti na šest, pet,... decimala.

Rešenje. Redom dobijamo:

345147.2* =x , 61| *| |2.345147 2.345147| 0.0000002 10

2x x −− = − = < ,

53451.2* =x , 51| *| |2.345147 2.34515| 0.0000028 10

2x x −− = − = < ,

3451.2* =x , 41| *| |2.345147 2.3451| 0.0000422 10

2x x −− = − = < ,

•

= 534.2*x , 31| *| |2.345147 2.345| 0.0001472 10

2x x

•−− = − = < ,

53.2* =x , 21| *| |2.345147 2.35| 0.0048528 10

2x x −− = − = < , itd.

Napomena 1. U prethodnom primeru koristili smo posebne oznake za cifru

5:5 je petica nastala od 4 dodavanjem jedinice – „slaba“ 5, a •

5 je petica iza koje je bilo značajnih cifara različitih od nule – „jaka“ 5!

13

Postavimo sada sledeći problem: Kolika je ukupna greška kada zaokruglju-jemo jedan približan broj koji ima tačno m značajnih cifara?

Neka je dat približan broj

(5) 1 2 11 2 1* ( 10 10 10 10 )n n n m n m

m mx a a a a− − + − +−= ± + + + +⋯ ,

pri čemu je, kao što smo videli,

1102

1* +−⋅≤ mnAx .

Ako x* zaokruglimo na (m–1)–nu cifru, onda se dobija 1 2

1 2 1** ( 10 10 10 )n n n mmx a a b− − +

−= ± + + +⋯ ,

gde je 11 −− = mm ab ili 111 += −− mm ab . Apsolutna greška Ax** može se proceniti na sledeći način

2

1 2 1 1 2

1| **| | * * **| | *| | **| * 10

21 1 1

10 10 10 (1 10) 5.5 10 1 10 .2 2 2

n m

n m n m n m n m n m

x x x x x x x x x x Ax − +

− + − + − + − + − +

− = − + − ≤ − + − ≤ + ≤

≤ + = + = ⋅ < ⋅

Dakle, rezultujući broj ima (m–1)–nu cifru sigurnu u širem smislu.

Napomena 2. Svi navedeni rezultati mogu se realizovati ako se uzme za osnovu pozicionog sistema računanja ma koji prirodan broj N ≥ 2, tj. ako se broj zapisuje u obliku

1 11 2( )n n n m

mx a N a N a N− − += ± + + + +⋯ ⋯ , Nai <≤0 , 01 ≠a .

Sada možemo definisati pojam tačne ili istinite cifre približnog broja.

Definicija 1. Sigurna cifra približnog broja (i sve sigurne cifre ispred nje) je tačna ili istinita ako ostaje nepromenjena posle odbacivanja sumnjivih cifara i izvršenog zaokrugljivanja.

Primer 2. Ako je x = 26.837 a x* = 26.84, onda je

21* |26.837 26.84| 0.003 0.005 10 *

2x Ax−∆ = − = < = = ,

pa su sve cifre približnog broja 26.84 sigurne a tačne su prve tri: 2, 6 i 8.

5. VEZA IZME ðU GRANICE RELATIVNE GREŠKE PRIBLIŽNOG BROJA I BROJA NJEGOVIH SIGURNIH CIFARA

Granica apsolutne greške približnog broja

(1) 1 1 11 2* ( 10 10 10 10 )n n n k n m

k mx a a a a− − + − += ± + + + + +⋯ ⋯ , 01 ≠a ,

kod kojeg je ka poslednja sigurna cifra, tj. kod kojeg je

(2) 110ω* +−⋅≤ knAx , 1ω0 ≤< , je povezana s brojem sigurnih cifara, upravo, relacijom (2).

14

U kakvoj zavisnosti su broj sigurnih cifara približnog broja x* i njegova granica relativne greške Rx*? Jasno je da je

(3) ω 10 *n k Ax−⋅ <

(u protivnom bi poslednja sigurna cifra bila 1+ka ). Iz (2) i (3) imamo

(4) 1ω 10 * ω 10n k n kAx− − +⋅ < ≤ ⋅ ,

odnosno 1ω 10 * ω 10

| *| | *| | *|

n k n kAx

x x x

− − +⋅ ⋅< ≤ , 0* ≠x ,

ili 1

1 11 1

ω 10 ω 10*

| 10 10 | | 10 10 |

n k n k

n n k n n kk k

Rxa a a a

− − +

− + − +⋅ ⋅< ≤

+ + + + + +⋯ ⋯ ⋯ ⋯,

pa je

n

kn

n

kn

aRx

a 10

10ω*

10)1(

10ω

1

1

1 ⋅⋅≤<

⋅+⋅ +−−

,

ili

(5) 1

11 10

ω*

10)1(

ω−⋅

≤<⋅+ kk a

Rxa

.

Približno se uzima da je (što je prilično gruba ocena)

(6) 1

1 10

ω* −⋅

≈ka

Rx ,

gde je 1a prva sigurna cifra, k je broj sigurnih cifara približnog broja x* a

0 < ω ≤ 1.

Primer 1. Neka je dat približan broj x* = 0.44721 i granica relativne greške Rx* = 0.000002. Odrediti broj sigurnih cifara u užem smislu.

Rešenje. Kako je

1104

5.0000002.0

10)14(

5.0−⋅

≤<⋅+ kk

,

tj.

)1(6 108

110210

10

1 −−−− ⋅≤⋅<⋅ kk ,

odnosno

65505 102108

50210

8

100102101 +−+−+−+− ⋅<⋅⋅=⋅≤⋅<⋅ kkkk

biće –k + 5 ≤ 0, tj. k ≥ 5 i 0 < – k + 6, tj. k < 6. Dakle, k = 5, pa x* ima pet sigurnih cifara u užem smislu.

Primer 2. Kolika je granica relativne greške približnog broja x* = 5.169, ako su sve njegove cifre sigurne u užem smislu?

15

Rešenje. Po formuli (6) za ω = 0.5, 51 =a i k = 4 imamo

%01.00001.010

1

105

5.0*

414===

⋅≈ −Rx .

Na potpuno isti način za ω = 1 imali bismo

%02.00002.05000

1

105

5.0*

14===

⋅≈ −Rx .

Primetimo da smo granicu relativne greške mogli izračunati koristeći for-mulu

**

| *|

AxRx

x= .

Dakle,

0001.00000967.0169.5

105.0*

3

≈=⋅=−

Rx

i

0002.00001934.0169.5

101*

3

≈=⋅=−

Rx .

6. OPŠTA FORMULA ZA GREŠKU PRIBLIŽNE VREDNOSTI FUNKCIJE

Neka je data funkcija 1 2( , , ..., )ny f x x x= , definisana u nekoj oblasti

svojih nezavisno promenljivih 1 2, , ..., nx x x . Pretpostavimo da su nepoznate

tačne vrednosti promenljivih 1 2, , ..., nx x x , a da su umesto njih poznate približne

vrednosti * * *1 2, , ..., nx x x , kao i njihove stvarne greške *

iii xx −=∆ , apsolutne

greške * *| |i i ix x x∆ = − i granice apsolutnih grešaka *iAx , ni ,1= . Centralni

problem je ocena greške kada se umesto tačne vrednosti ),...,,( 21 nxxxff =

uzme približna vrednost funkcije * * *1 2* ( , , ..., )nf f x x x= , tj. ocena razlike

*ff −=∆ , ocena stvarne greške.

Definicija 1. Apsolutna greška približne vrednosti funkcije, u oznaci *f∆ , je

* * *1 2 1 2* | ( , ,..., ) ( , ,..., )| | *|n nf f x x x f x x x f f∆ = − ≡ − .

Definicija 2. Granica apsolutne greške približne vrednosti funkcije je svaki broj *Af koji nije manji od apsolutne greške funkcije, tj.

* | *| *f f f Af∆ = − ≤ .

16

Definicija 3. Relativna greška približne vrednosti funkcije, u oznaci δ *f , je

*δ *

| *|

ff

f

∆= )0*( ≠f .

Definicija 4. Granica relativne greške približne vrednosti funkcije je svaki broj *Rf koji nije manji od relativne greške funkcije, tj.

** *

| *|

ff Rf

f

∆δ = ≤ .

Pretpostavimo da je data funkcija ),...,,( 21 nxxxfy = diferencijabilna po

svim argumentima. Neka su poznate stvarne greške *iii xx −=∆ , apsolutne gre-

ške || **iii xxx −=∆ i granice apsolutnih grešaka *

iAx promenljivih ix , ni ,1= . Na osnovu Tejlorove formule za funkcije više nezavisno promenljivih imamo

* * *1 2 1 2

* * * * * *1 1 2 2 1 2

* * *1 2 1 2

1 2

* ( , , ..., ) ( , , ..., )

( , , ..., ) ( , , ..., )

1( , , ..., )

1!

n n

n n n

n nn

f f f x x x f x x x

f x x x f x x x

f f ff x x x

x x x

∆ = − = − == + ∆ + ∆ + ∆ − = ∂ ∂ ∂= + ∆ + ∆ + + ∆ + ∂ ∂ ∂

⋯

* * *1 2 1 2

1 2 1 21 2

ε( , , ..., ) ( , , ..., )

1ε( , , ..., ),

1!

n n

n nn

f x x x

f f f

x x x

+ ∆ ∆ ∆ − =

∂ ∂ ∂= ∆ + ∆ + + ∆ + ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ⋯

gde je )...,,,(' **2

*1 nx

i

xxxfx

fi

=∂∂

a 0)...,,,(ε 21 →∆∆∆ n kada 0→∆ i , ni ,1= .

Ako su stvarne greške i∆ , ni ,1= , dovoljno male veličine, onda se ostatak

)...,,,(ε 21 n∆∆∆ može zanemariti, pa je stvarna greška približne vrednosti funkcije

(1) 1

*n

ii i

ff f f df

x=

∂∆ = − = ∆ ≈ = ∆∂∑ .

Kako je

*

1 1 1

| *|n n n

i i ii i ii i i

f f ff f x

x x x= = =

∂ ∂ ∂− ≈ ∆ ≤ ⋅ ∆ = ∆

∂ ∂ ∂∑ ∑ ∑ ,

to je apsolutna greška približne vrednosti funkcije jednaka

(2) *

1

*n

ii i

ff x

x=

∂∆ = ⋅ ∆∂∑ ,

što predstavlja opštu formulu za apsolutnu grešku približne vrednosti funkcije.

17

Kako je

* *

1 1

*n n

i ii ii i

f ff x Ax

x x= =

∂ ∂∆ = ∆ ≤∂ ∂∑ ∑ ,

to je granica apsolutne greške približne vrednosti funkcije jednaka

(3) *

1

*n

ii i

fAf Ax

x=

∂=∂∑ ,

što predstavlja opštu formulu za granicu apsolutne greške približne vrednosti funkcije.

Relativna greška približne vrednosti funkcije je

(4)

* *

1 1

* *

1

* 1δ * ln *

| *| | *|

ln * δ ,

n n

i ii ii i

n

i ii i

f ff x f x

f f x x

x f xx

= =

=

∆ ∂ ∂= = ∆ = ∆ =∂ ∂

∂=∂

∑ ∑

∑

a granica relativne greške je

(5) * * *

1 1

* ln * ln *n n

i i ii ii i

Rf f Ax x f Rxx x= =

∂ ∂= =∂ ∂∑ ∑ .

7. GREŠKA ZBIRA I RAZLIKE

Neka je data funkcija nn xxxSxxxf +++== ⋯2121 )...,,,( . Pretposta-

vimo da su nepoznate tačne vrednosti sabiraka nxxx ...,,, 21 a da su umesto njih

poznate približne vrednosti **2

*1 ...,,, nxxx kao i njihove stvarne greške

*iii xx −=∆ , apsolutne greške *

ix∆ i granice apsolutnih grešaka *iAx , ni ,1= .

Potrebno je oceniti grešku kada se umesto tačnih uzmu približne vrednosti sabi-raka.

Teorema 1. Apsolutna greška zbira konačnog broja približnih brojeva je jednaka zbiru apsolutnih grešaka sabiraka.

Dokaz. Kako je 1=∂∂

ix

S, ni ,1= , to je na osnovu opšte formule za grešku

(6.2) približne vrednosti funkcije

(1) * *

1 1

* | *|n n

i ii ii

SS S S x x

x= =

∂∆ = − = ∆ = ∆∂∑ ∑ .

Primedba 1. Teorema se može dokazati direktnim korišćenjem definicije apsolutne greške. Zaista,

* * *

1 2 1 2

* * *1 1 2 2

* | *| |( ) ( )|

|( ) ( ) ( )|

n n

n n

S S S x x x x x x

x x x x x x

∆ = − = + + + − + + + =

= − + − + + − ≤

⋯ ⋯

⋯

18

* * * * * *1 1 2 2 1 2| | | | | ) |n n nx x x x x x x x x≤ − + − + + − = ∆ + ∆ + + ∆⋯ ⋯ .

pa možemo uzeti * * *1 2* nS x x x∆ = ∆ + ∆ + + ∆⋯ .

Teorema 2. Granica apsolutne greške zbira konačnog broja približnih bro-jeva je jednaka zbiru granica apsolutnih grešaka sabiraka.

Dokaz. Neposrednom primenom formule (6.3) dobijamo

(2) *

1

*n

ii

AS Ax=

=∑ .

Sada, po definiciji, nalazimo relativnu grešku zbira i granicu relativne gre-ške zbira. Dakle,

*δ *

| *|

SS

S

∆= i *

*| *|

ASRS

S= , 0* ≠S .

Iz formule (1), odnosno (2), sledi da apsolutna greška, odnosno granica ap-solutne greške, zbira ne može biti manja od apsolutne greške, odnosno granice apsolutne greške, najnetačnijeg sabirka. Drugim rečima, tačnost rezultata je ograničena tačnošću najnetačnijeg podatka.

Pri sabiranju približnih brojeva različite tačnosti koriste se sledeća, prakti-čna pravila:

1) uoče se sabirci (jedan ili njih više) s najvećom apsolutnom greškom, odnosno najvećom granicom apsolutne greške;

2) ostali sabirci se zaokrugle tako da bi imali jednu, dve ili, reñe, tri cifre više od najnetačnijeg sabirka (to su zaštitne cifre);

3) sada se saberu svi brojevi; 4) dobijeni rezultat se zaokrugli.

Primer 1. Izračunati S* = 2.1723 + 8.45 + 0.00042 + 35.4 + 7.25 + 121.2 + 0.0232 + 0.634 + 0.0773. Sve značajne cifre su sigurne u užem smislu.

Rešenje. Najnetačniji sabirci su 35.4 i 121.2, pa ćemo ostale sabirke uzeti sa po dve decimale (jedna je zaštitna). Zaokrugljujući rezultat sabiranja 175.20 na jednu decimalu (dakle, odbacujući zaštitnu) dobijamo

S* = 175.2 Procenimo ukupnu grešku. Zbir granica apsolutnih grešaka je

.1106055.0)1010

10101010101010(2

1

43

41215241

=++

+++++++=∆

−−

−−−−−−−

Dalje, zbir stvarnih grešaka zaokrugljivanja sabiraka je

,00722.0)08.00773.0(

)63.0634.0()02.00232.0()2.1212.121()25.725.7(

)4.354.35()00.000042.0()45.845.8()17.21723.2(2

=−++−+−+−+−++−+−+−+−=∆

02.175

80.0

36.0

20.0

2.121

52.7

4.35

00.0

54.8

71.2

19

a greška zaokrugljivanja rezultata je 00.03 =∆ . Ukupna greška je +∆=∆ 1

2.01178255.032 <=∆+∆+ , pa je traženi zbir jednak 175.2 ± 0.2.

Neka je data funkcija 2121 ),( xxxxR −= . Ocenimo grešku =−=∆ *RR

)()( *2

*121 xxxx −−−= .

Teorema 3. Apsolutna greška razlike jednaka je zbiru apsolutnih grešaka umanjenika i umanjioca.

Dokaz. Kako je

11

=∂∂x

R i

2

1R

x

∂ = −∂

,

to je na osnovu formule (6.2)

(3) * * * *1 2 1 2

1 2

*R R

R x x x xx x

∂ ∂∆ = ∆ + ∆ = ∆ + ∆∂ ∂

.

Teorema 4. Granica apsolutne greške razlike jednaka je zbiru granica ap-solutnih grešaka umanjenika i umanjioca, tj.

(4) *2

*1* AxAxAR += .

Dokaz je, zaista, jednostavan. Na osnovu svega rečenog možemo zaključiti sledeće: Apsolutna greška

(granica apsolutne greške) algebarskog zbira konačnog broja približnih brojeva jednaka je zbiru apsolutnih grešaka (granica apsolutnih grešaka) sabiraka, tj.

(5) **2

*1

**2

*1 )( nn xxxxxx ∆++∆+∆=±±±∆ ⋯⋯

i

(6) **2

*1

**2

*1 )( nn AxAxAxxxxA +++=±±± ⋯⋯ .

Razmotrimo sledeće primere.

Primer 2. Izračunati 201.2 −=d na tri sigurne cifre u užem smislu. Rešenje. Kako je

000001.0417745.101.2 ±= i

000001.0414214.12 ±= , to je

000002.0003531.0201.2 ±=− , tj.

3 52.01 2 3.53 10 0.2 10− −− = ⋅ ± ⋅ . Meñutim, taj isti rezultat se može dobiti ako se stavi

31053.383.2

01.0

41.142.1

01.0

201.2

01.0201.2 −⋅==

+=

+=− .

Očigledno, kod oduzimanja bliskih brojeva može doći do gubljenja tačnosti. Da bi se to izbeglo, potrebno je računsku shemu izmeniti.

20

Primer 3. Izračunati )80( f i )1( f , ako je xxf cos1)( −= .

Rešenje. Iz tablica nalazimo 000005.017365.080cos ±= , pa je =)80( f 000005.082635.0000005.0)17365.01( ±=±−= ; relativna greška je

%0006.0000006.082635.0

000005.0 == .

Slično, 000005.099985.01cos ±= , pa je ±−=−= )99985.01(1cos1)1( f 000005.000015.0000005.0 ±=± ; relativna greška je

%303333.000015.0

000005.0 ≈= … .

Dakle, kod oduzimanja bliskih brojeva dolazi do gubljenja sigurnih cifara a relativne greške su velike.

8. GREŠKA PROIZVODA I BROJ NJEGOVIH SIGURNIH CIFARA

Za izračunavanje apsolutne greške i granice apsolutne greške proizvoda

nn xxxPxxxf ⋅⋅⋅== ...)...,,,( 2121 mogu se izvesti odgovarajuće formule. Te formule su složenog oblika. Na primer, ako proizvod ima dva faktora, onda je

* * * *2 1 1 2* | | | |P x x x x∆ = ⋅∆ + ⋅∆ i * * * *

2 1 1 2* | | | |AP x Ax x Ax= + , u slučaju tri faktora imali bismo

* * * * * * * * *2 3 1 1 3 2 1 2 3* | | | | | |P x x x x x x x x x∆ = ⋅∆ + ⋅∆ + ⋅∆ , itd.

Mnogo je jednostavnije prvo izračunati relativnu grešku, odnosno, granicu relativne greške, pa zatim koristiti formule

* | *| δ *P P P∆ = i * | *| *AP P RP= . Radi toga ćemo izvesti formule za relativnu grešku δP* i granicu relativne

greške RP* proizvoda P*.

Teorema 1. Relativna greška proizvoda konačnog broja približnih brojeva različitih od nule jednaka je zbiru relativnih grešaka tih brojeva.

Dokaz. Neka su 0* >ix , ni ,1= . Logaritmovanjem izraza * * *1 2* nP x x x= ⋅ ⋅ ⋅⋯

dobijamo * * *1 2ln * ln ln ln nP x x x= + + +⋯ pa je na osnovu (7.1)

* * *1 2(ln *) (ln ) (ln ) (ln )nP x x x∆ = ∆ + ∆ + + ∆⋯ .

Koristeći činjenicu da je ||

|ln|)(lnu

uudu

∆=≈∆ dobijamo

** *1 2

* * *1 2

*

| * | | | | | | |n

n

xx xP

P x x x

∆∆ ∆∆ = + + +⋯ ,

ili

21

(1) * * *1 2* nP x x xδ = δ + δ + + δ⋯ .

Znak |·| smo pisali jer formula (1) važi i kada nije 0ix > za svako ni ,1= . Dakle, relativna greška proizvoda jednaka je zbiru relativnih grešaka fak-

tora. Na potpuno isti način dobijamo

(2) * * *1 2* nRP Rx Rx Rx= + + +⋯ .

Primer 1. Izračunati proizvod približnih brojeva 38.9*1 =x i 678.25*

2 =x i

odrediti njegove sigurne cifre ako su sve cifre brojeva *1x i *

2x sigurne u užem smislu.

Rešenje. Kako je 005.0*1 =Ax i 0005.0*

2 =Ax , to je

0005525.0678.25

0005.0

38.9

005.0* *

2*1 =+=+= RxRxRP .

Kako je 85964.240* *2

*1 =⋅= xxP , to je

01240.85964 0.0005525 0.13 0.5 10 *

2AP⋅ = < = ⋅ = ,

pa uzimamo P* = 241, gde su sve cifre sigurne u užem smislu. Razmotrimo zadatak nalaženja broja sigurnih cifara proizvoda približnih

brojeva. Neka su u dekadnom sistemu faktori sledećeg oblika:

(3) 1* 10 10i in ni i ix a b −= + +⋯ ),1( ni = ,

gde su ia prve značajne cifre približnih brojeva *ix . Neka svaki faktor *

ix ima bar k (k > 1) značajnih cifara. Kako je na osnovu formule (5.6)

1*

10

ω−≈

ki

ia

Rx , 1ω0 ≤< ,

to je

(4) 1

1 2

1 1 1 1* ω

10

k

n

RPa a a

− = + + +

⋯ .

Ako je, na primer, n ≤ 10, onda je

1 2

1 1 110

na a a+ + + ≤⋯ ,

pa je 2

10

1ω*

−

=k

RP .

Dakle, ako je broj faktora n ≤ 10, onda za odreñivanje proizvoda na k sigurnih cifara svaki faktor treba uzeti s jednom ili dvema „zaštitnim” ciframa više.

22

Primer 2. Odrediti granicu relativne greške i broj sigurnih cifara proizvoda P* = 84.76 · 7.436, gde su sve cifre sigurne u užem smislu.

Rešenje. Kako oba faktora imaju po četiri sigurne cifre u užem smislu, to je k = 4 i ω = 0.5, pa je po formuli (4)

4 1 331 1 1 1 1

* 0.5 0.1339... 108 7 10 10 2

RP−

− = + ⋅ = ⋅ < ⋅

,

pa proizvod ima tri sigurne cifre u užem smislu.

Proverimo prethodni zaključak na sledeći način. Kako je P* = 630.27536 i 3 1630.27536 0.1339... 10 0.084... 0.1 1 10− −⋅ ⋅ = < = ⋅ , to je P* = 630.3 ± 0.1, tj.

sve četiri cifre su sigurne u širem smislu, odnosno, prve tri su sigurne u užem smislu.

Posmatrajmo sada proizvod ** xnP ⋅= , gde je n tačan a x* približan broj. Tada ćemo imati

* | *| | *| *P nx nx n x x n x∆ = − = − = ∆ i

* *δ * δ *

| *| | *|

P n xP x

P nx

∆ ∆= = = , 0≠n , 0* ≠x .

Dakle, relativna greška se ne menja a apsolutna se uvećava n puta.

Pri množenju približnih brojeva s različitim brojem značajnih cifara koriste se sledeća, praktična pravila:

1) brojeve treba zaokrugliti tako da svaki od njih sadrži jednu ili dve zna-čajne cifre više od broja sigurnih cifara najnetačnijeg podatka;

2) u rezultatu zadržati onoliko sigurnih cifara koliko sigurnih cifara ima najnetačniji faktor ili, možda, jednu sigurnu cifru više.

9. GREŠKA KOLI ČNIKA I BROJ NJEGOVIH SIGURNIH CIFARA

Teorema 1. Relativna greška količnika približnih brojeva jednaka je zbiru relativnih grešaka deljenika i delioca.

Dokaz. Neka su 1x i 2x tačni a *1x i *

2x odgovarajući približni brojevi. Pretpostavimo da su pozitivni. Potrebno je oceniti apsolutnu grešku i granicu

apsolutne greške količnika. Logaritmovanjem izraza *2

*1 /* xxQ = dobijamo

*2

*1 lnln*ln xxQ −= ,

pa je na osnovu (7.3)

)(ln)(ln*)(ln *2

*1 xxQ ∆+∆=∆ .

23

Koristeći činjenicu da je ||

|ln|)(lnu

uudu

∆=≈∆ dobijamo

* *1 2

* *1 2

*

| *| | | | |

x xQ

Q x x

∆ ∆∆ = +

ili

(1) *2

*1 δδ*δ xxQ += ,

što je i trebalo dokazati.

Na potpuno isti način dobijamo

(2) *2

*1* RxRxRQ += .

Primer 1. Izračunati količnik približnih brojeva 12.27*1 =x i 42.19*

2 =x , ako su sve cifre deljenika i delioca sigurne u užem smislu.

Rešenje. Granice relativnih grešaka su 0001843.012.27/005.0*1 ==Rx i

0002574.042.19/005.0*2 ==Rx . Granica relativne greške količnika je

0004417.00002574.00001843.0* =+=RQ .

Kako je 27.12

* 1.396498...19.42

Q = = , to je

*001.0...0006168.0|*|* AQRQQ =<=⋅ ,

pa uzimamo Q* = 1.396, gde su sve cifre sigurne u širem smislu.

Ako bi cifre datih približnih brojeva bile sigurne u širem smislu, onda bismo imali RQ* = 0.01/27.12 + 0.01/19.42 = 0.0008836... i

2| * | * 0.00123... 0.005 0.5 10 *Q RQ AQ−⋅ = < = ⋅ = ,

pa bismo uzeli Q* = 1.40, gde su sve cifre sigurne u užem smislu.

Razume se, mogli smo uzeti 2102.0002.0* −⋅==AQ i rekli bismo da su

cifre rezultata 1.40 sigurne u „smislu ω = 0.2“.

Razmotrimo sada zadatak nalaženja broja sigurnih cifara količnika pribli-žnih brojeva.

Neka su u dekadnom sistemu računanja dati približni brojevi

(3) 1 1 1*1 1 110 10n nx a b −= + +⋯ i 2 2 1*

2 2 210 10n nx a b −= + +⋯ ,

gde svaki od njih ima bar k (k > 1) sigurnih cifara. Kako je na osnovu formule (5.6)

11

*1

10

ω−≈

kaRx i

12

*2

10

ω−≈

kaRx , 1ω0 ≤< ,

to je

24

(4)

+= −

211

11

10

ω*

aaRQ

k.

Primer 2. Izračunati količnik približnih brojeva 49.327 i 3.45 i odrediti koliko ima sigurnih cifara ako deljenik i delilac imaju sve cifre sigurne u širem smislu.

Rešenje. Kako deljenik ima pet a delilac tri sigurne cifre, to ćemo deljenik zaokrugliti na četiri cifre (jedna je zaštitna):

3.14...298.1445.3

33.49* ===Q ,

jer rezultat ne može imati više od tri značajne cifre. Dalje, ω = 1, 41 =a , 32 =a i 3=k (manje tačan podatak ima tri sigurne

cifre), pa je

22213

101106.010...583.03

1

4

1

10

1* −−−

− ⋅<⋅≈⋅=

+=RQ ,

tj. rezultat ima dve (može biti i više, dakle, tri) sigurne cifre. Proverimo to na sledeći način. Kako je

* | *| * 14.298... 0.0583... 0.083... 0.1AQ Q RQ= ⋅ = ⋅ = < ,

to je Q* = 14.3 ± 0.1. Naravno, umesto grube ocene RQ* = 0.00583... mogli smo uzeti precizniju

ocenu RQ* = 0.001/49.327 + 0.01/3.45 = 0.0029187..., pa bismo dobili

05.0...0417.0*|*|* <=⋅= RQQAQ i 05.03.14* ±=AQ .

Na osnovu (4) možemo formulisati sledeća pravila: 1) ako je 21 ≥a i 22 ≥a , onda količnik ima (k–1)–nu sigurnu cifru (može

biti i k sigurnih cifara); 2) ako je 11 =a i 12 =a , onda količnik ima (k–2)–e sigurne cifre (može biti

i (k–1)–nu sigurnu cifru). Nepreciznost ovih pravila je posledica činjenice da je ocena (5.6) dosta

gruba.

10. GREŠKA STEPENA I KORENA

Teorema 1. Relativna greška k–tog stepena približnog broja je k puta veća od relativne greške samog broja.

Dokaz. Neka je kxy = i kxy ** = , gde je x tačan a x* približan broj a k prirodan broj. Koristeći činjenicu da je

* * * * *ky x x x x= = ⋅ ⋅ ⋅⋯ ,

gde imamo k jednakih faktora, imamo na osnovu (8.1)

25

(1) *δ*δ*δ xkxy k ⋅== ,


Iz (1) sledi da kod stepena približnog broja *kx u rezultatu treba zadržati onoliko sigurnih cifara koliko ima približan broj x*.

Primer 1. Ako je dužina ivice kocke a* = 5.67 cm, * 0.005a∆ = cm, izra-čunati zapreminu kocke, apsolutnu i relativnu grešku i broj sigurnih cifara rezultata.

Rešenje. Zapremina je 3 3 3 3* * 5.67 cm 182.284... cmV a= = = .

Prvo računamo relativnu grešku

0.005 cmδ * 0.000881...

5.67 cma = =

δ * 3 δ * 0.00264...V a= ⋅ = Sada je

01* * δ * 0.4812... 0.5 10

2V V V∆ = ⋅ = < = ⋅ ,

pa uzimamo V* = 182, gde su sve tri cifre sigurne u užem smislu.

Teorema 2. Relativna greška k–tog korena približnog broja je k puta manja od relativne greške samog broja.

Dokaz. Neka je k xy ** = , tada je * * kx y= . Prema tome, δ * δ *x k y= ⋅ ,

odnosno

(2) 1

δ * δ *y xk

= tj., ( ) 1δ x* δ *k x

k= ,


Iz (2) sledi da kod korena približnog broja k x* u rezultatu treba zadržati onoliko sigurnih cifara koliko sigurnih cifara ima približan broj x*.

Primer 2. Izračunati dužinu stranice kvadrata, apsolutnu i relativnu grešku i broj sigurnih cifara stranice ako je površina kvadrata P* = 16.45 cm2 s tačnošću 0.01 cm2.

Rešenje. Kako je cm...0558.4cm45.16** === Pa , to primenom formule (2) nalazimo

1 1 0.01δ * δ * 0.0003... 0.03...%

2 2 16.45a P= = ⋅ = = .

Dalje, 2102.0002.0...0012.0...0003.0...0558.4* −⋅=<=⋅=∆a .

26

Dakle, a* = 4.06, 2102.0* −⋅=∆a , tj. )002.006.4( ±=a cm i sve tri cifre

su sigurne u „smislu ω = 0.2“.

11. METODA GRANICA

Ocena greške približne vrednosti )...,,,(* **2

*1 nxxxff = zadate funkcije

)...,,,( 21 nxxxff = korišćenjem opštih formula (6.2), (6.3), (6.4) ili (6.5) je zasnovana na približnoj jednakosti

1

*n

ii i

ff f f df

x=

∂∆ = − = ∆ ≈ = ∆∂∑ ,

odnosno na pretpostavci da su stvarne greške *iii xx −=∆ , ),1( ni = dovoljno

male i da se veličina (ostatak) 2 2 2

2 21 2 1 1 22 2

1 21

2

11

1ε( , , ..., ) 2

2!

2

n nn

n nn n

f f f

x xx x

f

x x −−

∂ ∂ ∂∆ ∆ ∆ = ∆ + + ∆ + ∆ ∆ + + ∂ ∂∂ ∂

∂+ ∆ ∆ +∂ ∂

⋯ ⋯

⋯

može zanemariti. Dakle, ocena je približna i ne može se tvrditi da je apsolutno pouzdana u svakom slučaju. Meñutim, njena primena je potpuno opravdana jer je nepouzdanost zaista zanemarljiva.

Ponekad je potrebno odrediti tačne i pouzdane granice približne vrednosti funkcije ako su poznate granice u kojima se nalaze vrednosti argumenata. Jedan jednostavan način rešavanja ovog zadatka je tzv. metoda granica.

Neka je

(1) )...,,,( 21 nxxxff =

neprekidno diferencijabilna i monotona funkcija po svakom argumentu ix ,

ni ,1= . Za to je dovoljno pretpostaviti da su izvodi ix

f

∂∂

, ni ,1= , konstantnog

znaka u posmatranoj oblasti D promene argumenata. Pretpostavimo da je

(2) iii xxx << , ),1( ni =

i da paralelepiped odreñen dvostrukim nejednakostima (2) pripada oblasti D.

Neka je funkcija f monotono rastuća po svim argumentima. Tada je

(3) 1 2 1 21 2( , , ..., ) ( , , ..., ) ( , , ..., )n nnf f x x x f x x x f x x x f= < < = ,

ili kraće f f f< < ,

27

pa uzimamo

(4) 1

* ( )2

f f f= +

i pri tome je

(5) 1

* | * | | * | | * | | | *2

f f f f f f f f f Af∆ = − ≤ − = − = − = .

Ako je funkcija f monotono opadajuća po svim argumentima ili monotono rastuća po nekim a po ostalim argumentima monotono opadajuća, onda se odgovarajući analogni zaključci jednostavno izvode.

Primer 1. Izračunati približnu vrednost funkcije 23

22

21321 /)(),,( xxxxxxf +=

i granicu apsolutne greške ako je: 001.0987.31 ±=x , 001.0876.42 ±=x i

001.0765.53 ±=x .

Rešenje. U oblasti

766.5764.5;877.4875.4;988.3986.3|),,( 321321 <<<<<< xxxxxx

funkcija f je monotono rastuća po 1x i 2x a monotono opadajuća po 3x .

(Razume se, pouzdanost ovog zaključka treba korektno dokazati: 01

>∂∂x

f,

02

>∂∂x

f i 0

3

<∂∂x

f.) Saglasno metodi granica računamo:

2 2

31 2 2

3.986 4.875( , , ) 1.1927

5.766f f x x x

+= = = ,

2 2

1 2 3 2

3.988 4.877( , , ) 1.1946...

5.764f f x x x

+= = = ,

1* ( ) 1.19365...

2f f f= + = i ...0009.0* =Af , pa uzimamo da je 194.1* =f i

001.0* =Af .

Radi poreñenja rezultata, ocene greške rezultata i obima računanja izraču-najmo *f i *Af na drugi način. Kako je

...2399.0765.5

987.32222

3

1

1

=⋅==∂∂

x

x

x

f, ...2934.0

765.5

876.42222

3

2

2

=⋅==∂∂

x

x

x

f

...4141.0765.5

)876.4987.3(2)(22

22

33

22

21

3

−=+⋅−=+−=∂∂

x

xx

x

f,

28

to redom računamo:

...0009474.0001.0...)4141.0...2934.0...2399.0(* =⋅++=Af ,

pa možemo uzeti 001.0* =Af ; ...1936.1765.5/)876.4987.3(* 222 =+=f , odnosno uzimamo da je 194.1* =f . Dakle, dobijamo isti rezultat 194.1* =f i

001.0* =Af .

Primer 2. Ako su koeficijenti kvadratne jednačine 22.78 0.60 1.29 0x x+ − =

približni brojevi sa sigurnim ciframa u užem smislu, izračunati njeno veće rešenje.

Rešenje. Kao što znamo, rešenje kvadratne jednačine 2 0ax bx c+ + =

se nalazi primenom formule 2

1,2

4

2

b b acx

a

− −= ∓.

Dakle, imamo funkcije 2

1

4( , , )

2

b b acf a b c

a

− − −= i 2

2

4( , , )

2

b b acf a b c

a

− + −= .

Primenimo metodu granica. U našem slučaju imamo: 2.775 < a < 2.785, 0.595 < b < 0.605 i –1.295 < c < –1.285; koristićemo funkciju 2( , , )f a b c , dakle

2 4

2

b b acx

a

− + −= .

Saglasno metodi granica računamo: 2 24 0.595 0.605 4 2.785 ( 1.295)

0.585780...2 2 2.775

b b acx

a

− + − − + − ⋅ ⋅ −= = =

⋅,

2 24 0.605 0.595 4 2.775 ( 1.285)0.577789...

2 2 2.785

b b acx

a

− + − − + − ⋅ ⋅ −= = =

⋅,

21 1| | 0.00399... 0.005 10 *

2 2x x Ax−− = < = ⋅ = ,

1* ( ) 0.5817...

2x x x= + = ,

dakle, * 0.58x = i * 0.005Ax = .

12. INVERZNI PROBLEM OCENE GREŠKE

U praksi se vrlo često pojavljuje i sledeći zadatak: Kolike moraju biti granice apsolutnih grešaka argumenata da granica apsolutne greške funkcije ne bi bila veća od unapred zadatog broja. Ovaj zadatak, zadatak odreñivanja potrebne tačnosti argumenata radi obezbeñivanja zadate tačnosti rezultata zove

29

se inverzni ili obratni problem ocene greške. Dakle, treba odrediti **

2*1 ...,,, nAxAxAx da bi bilo

(1) * * *1 2

1 2

εnn

f f fAx Ax Ax

x x x

∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + + ⋅ ≤∂ ∂ ∂

⋯ ,

gde je ε (ε > 0) unapred zadata tačnost rezultata. Za n = 1 iz (1) se dobija

ε*1

1

≤⋅∂∂

Axx

f,

pa je

1

*1

ε

x

fAx

∂∂

≤ .

Za n > 1 zadatak je, očigledno, neodreñen; imamo samo jednu linearnu

nejednačinu a n nepoznatih: **2

*1 ...,,, nAxAxAx . Neodreñenost eliminišemo

postavljanjem dodatnih uslova. Najčešće se postupa na jedan od sledećih načina.

Ako pretpostavimo da je

(2) **2

2

*1

1

... nn

Axx

fAx

x

fAx

x

f ⋅∂∂==⋅

∂∂=⋅

∂∂

,

onda imamo tzv. princip jednakih doprinosa. Iz (1), uzimajući u obzir (2), dobijamo

(3) * εi

i

Axf

nx

≤∂⋅∂

, ni ,1= .

Ako su nxxx ...,,, 21 veličine iste prirode (recimo, dužine), merene istim jedinicama, onda se može pretpostaviti da je

(4) **2

*1 ... nAxAxAx === ;

tada imamo tzv. princip jednakih granica apsolutnih grešaka. Iz (1), uzimajući u obzir (4), dobijamo

(5) *

1

εi

n

j j

Axf

x=

≤∂∂∑

, ni ,1= .

Moguće je uzeti da je

(6) * * *1 2 ... ( λ)nRx Rx Rx= = = = , tj.

** *1 2

* * *1 2

... ( λ)| | | | | |

n

n

AxAx Ax

x x x= = = = ,

30

tada imamo tzv. princip jednakih granica relativnih grešaka. Iz (1), uzimajući u obzir (6), dobijamo

ε||λ...||λ||λ **2

2

*1

1

≤∂∂++

∂∂+

∂∂

nn

xx

fx

x

fx

x

f,

odnosno

*

1

ελ

| |n

ii i

fx

x=

≤∂ ⋅∂∑

,

pa je *

**

1

ε

| |j

nj

ii i

Ax

x fx

x=

≤∂ ⋅∂∑

,

i na kraju

(7) *

*

*

1

ε | |jj n

ii i

xAx

fx

x=

⋅≤

∂ ⋅∂∑

, nj ,1= .

Primer 1. Poluprečnik osnove uspravnog valjka je jr 3* ≈ a visina jH 8* ≈ . Odrediti granice apsolutnih grešaka *Ar , *AH , πA da bi granica

apsolutne greške približne vrednosti zapremine bila najviše jednaka 301.0 j .

Rešenje. Kako je zapremina valjka HrV π2= , to imamo funkciju ),π,( HrVV = , dakle funkciju od tri argumenta. Stavljajući 3* ≈r , 8* ≈H i

14.3*π ≈ dobijamo:

72.150π2 ==∂∂

Hrr

V, 72π

2 ==∂∂

HrV

i 26.28π2 ==∂∂

rH

V,

pa na osnovu formule (3) imamo:

...0000221.072.1503

01.0* =

⋅≤Ar , pa ćemo uzeti * 0.00002Ar j= ;

0.01π* 0.0000462...

3 72A ≤ =

⋅, pa ćemo uzeti π* 0.00004A = , π* 3.1416= ;

...0001179.026.283

01.0* =

⋅≤AH , pa ćemo uzeti * 0.0001AH j= .

31

II INTERPOLACIJA FUNKCIJA

0. UVODNE NAPOMENE

U matematici i njenim primenama vrlo česti su zadaci sledećeg oblika:

a) Poznate su vrednosti )(...,),(),( 10 nxfxfxf neke funkcije )(xfy = ,

gde ],[ baxi ∈ , ni ,0= , Nn∈ i konačan je broj, a nije poznat analitički oblik funkcije )(xf . Potrebno je izračunati približne vrednosti funkcije )(xf za

vrednosti argumenta x koje su različite od datih vrednosti ix .

b) Poznate su vrednosti )(...,),(),( 10 nxfxfxf neke funkcije )(xfy = ,

gde [ , ]ix a b∈ , ni ,0= , Nn∈ i konačan je broj, a poznat je analitički oblik funkcije )(xf ali je vrlo komplikovan. Potrebno je izračunati približne vrednosti funkcije )(xf za vrednosti argumenta x koje su različite od datih

vrednosti ix .

Zadaci a) i b) pojavljuju se u nastavi matematike već u srednjoj školi. Podsetimo se jednog takvog zadatka. Dobro su nam poznate logaritamske tablice, tablice prirodnih vrednosti trigonometrijskih funkcija, itd. U ovim tablicama se nalaze vrednosti funkcija samo za izvesne vrednosti argumenta i to ne tačno već samo približno s odreñenim brojem sigurnih cifara. Tako, na primer, u logaritamskim tablicama čije mantise imaju pet decimala dati su logaritmi brojeva od 1 do 10909. Postavlja se zadatak izračunavanja vrednosti logaritama za vrednosti argumenta kojih nema u tablicama, i to pomoću onih vrednosti koje se nalaze u tablicama.

Ako treba izračunati vrednost funkcije )(xf za neko x, nxxx <<0 , ixx ≠ onda se taj zadatak zove interpolacija (interpoler = umetnuti, franc.). Prema tome, reč interpolacija označavaće postupak nalaženja vrednosti neke funkcije

)(xfy = za ],[ bax∈ i 1+<< ii xxx , 1,0 −= ni , na osnovu tabele

x 0x 1x ... ix ... nx

)(xf )( 0xf )( 1xf ... )( ixf ... )( nxf

Ako treba izračunati vrednost funkcije ( )f x za neko 0xx < ili nxx > , onda se zadatak zove ekstrapolacija.

Zadatak interpolacije i zadatak ekstrapolacije se rešavaju na isti način. Zbog toga ćemo u oba slučaja koristiti termin interpolacija, naravno ako ne postoji poseban razlog za isticanje o kojem se zadatku radi.

32

1. OPŠTI ZADATAK INTERPOLACIJE

Zadatak interpolacije se sastoji u sledećem. Umesto poznate funkcije )(xfy = , zadate tablično ili analitičkim izrazom (ako se izračuna odreñen broj

vrednosti te funkcije, ona se i u ovom slučaju može smatrati zadatom tablično),

treba konstruisati jednostavniju funkciju )...,,,;( 10 naaaxF , gde su ia ),0( ni = neki parametri, pomoću koje se mogu lakše nalaziti vrednosti funkcije )(xf . Te vrednosti se nalaze približno ali s potrebnom tačnošću. Pri tome se zahteva da su zadovoljeni uslovi

(1) )()...,,,;( 10 jnj xfaaaxF = , nj ,0= .

Uslovi (1) se koriste za odreñivanje parametara ia ),0( ni = . Kao što se vidi postavlja se sledeći zadatak. Neka je na segmentu [а, b]

zadata mreža (2) ......ω 10 bxxxxa ni =<<<<<== i na njoj vrednosti funkcije )(xf :

(3) nnii yxfyxfyxfyxf ==== )(...,,)(...,,)(,)( 1100 .

Treba konstruisati funkciju 0 1( ; , , ..., )nF x a a a koja se poklapa sa funkcijom

)(xf u tačkama ix , ),0( ni = – čvorovima mreže ω , tj.

(4) ini yaaaxF =)...,,,;( 10 , ),0( ni = . Ovako formulisan zadatak interpolacije može imati jedinstveno rešenje,

imati konačno ili beskonačno mnogo rešenja ili nemati rešenje. Zbog toga se postavljaju dodatni uslovi. Prirodno je zahtevati da funkcija )...,,,;( 10 naaaxF

u ostalim tačkama ],[ bax∈ , ixx ≠ , ni ,0= , dobro aproksimira funkciju )(xf , dakle da bude

(5) ε|)...,,,;()(| 10 ≤− naaaxFxf ,

gde je 0ε > dopustiva greška aproksimacije. Nejednakost (5) se može geometrijski interpretirati kao na sl. 1. Ako je ε manje, onda je aproksimacija tačnija, bolja.

Prirodno je, takoñe, zahtevati da je funkcija F (koju, inače, zovemo inter-polacionom funkcijom) jednostavna za računanje.

Ako interpolaciona funkcija F nelinearno zavisi od neodreñenih

parametara naaa ...,,, 10 , onda je nazivamo nelinearnom interpolacionom

funkcijom (u tom slučaju nalaženje parametara naaa ...,,, 10 iz uslova (4) je najčešće vrlo teško), a ukoliko F zavisi linearno od neodreñenih parametara

x

y

0 a x= 0 x1 x2 xn–1 x bn=

f x( ) + ε

f x( ) – ε

f x( )

Sl. 1

33

naaa ...,,, 10 , tada se radi o linearnoj interpolacionoj funkciji. U ovom kratkom kursu će se razmatrati samo linearne interpolacione funkcije koje se, po pravilu, traže u obliku uopštenog polinoma, tj. u obliku

(6) 0 10

( ; , , ..., ) ( )n

n k kk

F x a a a a g x=

= ∑ ,

gde su funkcije )(xgk zadate i linearno nezavisne (u protivnom bi se broj

članova u zbiru i broj parametara mogao smanjiti), a naaa ...,,, 10 neodreñeni koeficijenti. Iz (4), imajući u vidu (6), se dobija

(7) 0

( )n

k k i ik

a g x y=

=∑ , ni ,0= ,

tj. dobija se sistem od (n + 1)–ne jednačine za odreñivanje (n + 1)–nog koe-

ficijenta ia , ),0( ni = . Ako je sistem funkcija )(xgk tako izabran da je za

proizvoljan izbor čvorova bxxxa n =<<<= ...10 različita od nule determi-nanta sistema (7), tj.

0

)()()(

)()()(

)()()(

)(

10

11110

00100

≠=

nnnn

n

n

xgxgxg

xgxgxg

xgxgxg

gD

⋯

⋮

⋯

⋯

,

i ako su zadate vrednosti iy , ),0( ni = , onda su sistemom (7) jednoznačno

odreñeni koeficijenti ia , ),0( ni = , odnosno, jednoznačno je odreñena interpo-laciona funkcija (6).

Za linearno nezavisne funkcije )(xgk najčešće se biraju: stepene funkcije: nxxx ...,,,,1 2 – tada je interpolaciona funkcija

nnnn xaxaxaaxPaaaxF ++++=≡ ⋯

221010 )()...,,,;( ,

dakle, algebarski polinom stepena n; trigonometrijske funkcije: 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ..., sin nx, cos nx – tada je interpolaciona funkcija

,sincos

sincos)(),...,,,,,;( 1101100

nxbnxa

xbxaaxTbababaxF

nn

nnn

++++++=≡ ⋯

dakle, trigonometrijski polinom stepena n; eksponencijalne funkcije: ,,,1 qxpx ee

..., txe , gde su p, q, ..., t različite konstante, i tako dalje.

Radi lakšeg računanja u praksi se najčešće koriste algebarski polinomi; dakle, interpolacionu funkciju (6) tražićemo u obliku

(8) 0 10

( ; , , ..., ) ( )n

kn n k

k

F x a a a P x a x=

≡ = ∑ ,

gde se koeficijenti, saglasno uslovu (4), odnosno (7), dobijaju iz sistema

34

linearnih algebarskih jednačina

(9)

20 1 0 2 0 0 0

20 1 1 2 1 1 1

20 1 2

,

,

.

nn

nn

nn n n n n

a a x a x a x y

a a x a x a x y

a a x a x a x y

+ + + + =+ + + + =

+ + + + =

⋯

⋯

⋮

⋯

Determinanta sistema (9) 2

0 0 0

21 1 1

2

1

1

1

n

n

nn n n

x x x

x x xD

x x x

=

⋯

⋯

⋮

⋯

je Vandermondova (A. T. Wandermonde, 1735–1796) determinanta, i njena vrednost je

0

( ) 0k mn k m

D x x≥ > ≥

= − ≠∏ ,

jer su čvorovi ix , ),0( ni = meñusobno različiti. Dakle, interpolacioni polinom (8) postoji i jedinstven je, ali postoji mnogo formi zapisivanja tog polinoma. Svaka od tih formi nosi poseban naziv, pa imamo: I i II Njutnov interpolacioni polinom, I i II Gausov interpolacioni polinom, Beselov interpolacioni polinom, itd; svaki od njih ima izvesne pogodnosti u numeričkom smislu u nekim situacijama.

Posebno je značajno pitanje ocene greške aproksimacije

(10) )()( xPxf n≈ .

Da je aproksimacija (10) uopšte moguća opravdavaju sledeće teoreme, koje je dao Vajerštras (K. Weierstrass, 1815–1897) 1855. god.

Teorema 1. Ako je ],[)( baCxf ∈ , onda za proizvoljno maleno ε > 0

postoji takav polinom )(xPn da za svako ],[ bax∈ važi sledeća nejednakost

ε|)()(| <− xPxf n .

Teorema 2. Ako je ]π2,0[)( Cxf ∈ i periodična s periodom 2π, onda za

proizvoljno maleno ε > 0 postoji takav trigonometrijski polinom )(xTn da za

svako x ∈ (–∞, ∞) važi nejednakost

ε|)()(| <− xTxf n . Dokazi ovih teorema mogu se naći, na primer, u knjizi: I. S. Berezin, N. P.

Židkov – Numerička analiza, Naučna knjiga, Beograd, 1963.

Osnovna pitanja teorije interpolacije su: 1) pogodno formiranje interpolacionog polinoma za zadati izbor sistema

linearno nezavisnih funkcija )(xgk ;

35

2) nalaženje ocene greške aproksimacije )...,,,;()( 10 naaaxFxf ≈ ; 3) optimalan izbor čvorova interpolacije u smislu minimizacije greške

interpolacije; 4) analiza uticaja grešaka približnih vrednosti funkcije u čvorovima

interpolacije; 5) ispitivanje konvergencije niza interpolacionih polinoma ka funkciji )(xf kada broj čvorova interpolacije neograničeno raste.

2. LAGRANŽEV INTERPOLACIONI POLINOM

Neka je na segmentu [a, b] zadato n + 1 različitih čvorova: nxxx ...,,, 10 i

neka su )( ii xfy = , ni ,0= , vrednosti funkcije )(xfy = u tim čvorovima.

Treba konstruisati interpolacioni polinom )(xLn , stepena ne većeg od n, takav da je

(1) iin yxL =)( , ni ,0= .

Dakle, traži se polinom )(xLn koji prolazi kroz tačke ),( iii yxM , ni ,0= . Postavljeni zadatak se može rešiti na sledeći način. Konstruišimo, prvo, pomoćni polinom )(xpi n–tog stepena koji je jednak nuli za jxx = , ij ≠ , a

jednak jedinici za ixx = , tj.

(2)

=≠

==,,1

,0δ)(

ij

ijxp ijji

gde je ijδ Kronekerov (L. Kronecker, 1823–1891) simbol. Dakle, treba

konstruisati polinom )(xpi koji se anulira u n tačaka: nii xxxxx ...,,,...,,, 1110 +− . Kako je polinom svojim nulama odreñen do na konstantan faktor, to je

(3) )())(())(()( 1110 niiii xxxxxxxxxxCxp −−−−−= +− ⋯⋯ ,

gde je iC konstanta. Stavimo li ixx = u (3), dobićemo

)())(())(()(1 1110 niiiiiiiiii xxxxxxxxxxCxp −−−−−== +− ⋯⋯ ,

odnosno

)())(())((

1

1110 niiiiiiii xxxxxxxxxx

C−−−−−

=+− ⋯⋯

,

pa je

(4) )())(())((

)())(())(()(

1110

1110

niiiiiii

niii xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxp

−−−−−−−−−−

=+−

+−

⋯⋯

⋯⋯.

Traženi interpolacioni polinom ima oblik

(5) 0

( ) ( )n

n i ii

L x p x y=

= ⋅∑ .

36

Očigledno je da je polinom )(xLn stepena ne višeg od n; zbog uslova (2) je

0

( ) ( ) ( )n

n j i j i j j j ji

L x p x y p x y y=

= ⋅ = ⋅ =∑ , nj ,0= ,

tj. ispunjen je uslov (1), odnosno, polinom )(xLn prolazi kroz sve tačke

),( iii yxM , ni ,0= . Uvrstimo li (4) u (5), dobićemo

(6) 0 1 1 1

0 0 1 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

ni i n

n ii i i i i i i i n

x x x x x x x x x xL x y

x x x x x x x x x x− +

= − +

− − − − −= ⋅

− − − − −∑⋯ ⋯

⋯ ⋯.

Ovaj interpolacioni polinom se zove Lagranžev (L. J. Lagrange, 1736– 1813) interpolacioni polinom.

Lagranžev interpolacioni polinom (6) može se zapisati u kraćem, „konden-zovanijem“ obliku. Da bismo to učinili, uvedimo oznaku

(7) 0 11( ) ( )( ) ( ) ( )i nnx x x x x x x x x+ = − − − −∏ ⋯ ⋯ .

Diferencirajući (7) po x i stavljajući ixx = dobijamo

(8) 0 1 1 11' ( ) ( )( ) ( )( ) ( )i i i i i i i i nn

x x x x x x x x x x x− ++ = − − − − −∏ ⋯ ⋯ .

Uvrstimo li (7) i (8) u formulu (6), dobićemo

1

01

( )( )

'( ) ( )

nin

n ii

i in

xL x y

x x x

+

=+

= ⋅−

∏∑

∏,

ili

(9) 1

01

( ) ( )'( ) ( )

ni

n ni

i in

yL x x

x x x+

=+

= ⋅−

∑∏∏

.

Dokažimo još i jedinstvenost Lagranževog interpolacionog polinoma. Pret-

postavimo suprotno, tj. neka je )(~

xLn polinom različit od polinoma )(xLn , ste-pena ne višeg od n i takav da je

iin yxL =)(~

, ni ,0= . Tada polinom

)(~

)()( xLxLxQ nnn −=

ima stepen ne viši od n i anulira se u n + 1 tački: nxxx ...,,, 10 , a to je moguće

ako i samo ako je 0)( ≡xQn , tj. )(~

)( xLxL nn ≡ .

Primer 1. Funkcija )(xfy = je zadata tabelom

x 0 1 2 4 y 1 4 13 73

a) Naći Lagranžev interpolacioni polinom )(3 xL . b) Izračunati približnu vrednost funkcije )(xf za x = 3.

37

Rešenje. a) Traženi interpolacioni polinom je

+⋅−−−−−−+⋅

−−−−−−= 4

)4)(21)(01(

)4)(2)(0(1

)40)(20)(10(

)4)(2)(1()(3 x

xxxxxxxL

73)24)(14)(04(

)2)(1)(0(13

)42)(12)(02(

)4)(1)(0( ⋅−−−−−−+⋅

−−−−−−+ xxxxxx

,

ili, posle sreñivanja,

12)( 33 ++= xxxL .

b) 34)3()3( 3 =≈ Lf .

3. OCENA GREŠKE INTERPOLACIJE

Interpolacioni polinom )(xLn , ako su sva računanja tačna, poklapa se s

funkcijom )(xf u čvorovima interpolacije: nxxx ...,,, 10 . Za vrednosti argu-

menta x, različite od čvorova, )(xLn i )(xf u opštem slučaju se razlikuju. (Izuzetak je kada je funkcija )(xf polinom čiji stepen nije viši od n; tada je

)()( xfxLn = , ali taj slučaj nije od posebnog interesa za numeričku matema-tiku.) Ako bi se broj čvorova povećavao, onda bi bilo prirodno očekivati da interpolacioni polinom sve bolje aproksimira datu funkciju. Meñutim, u opštem slučaju to nije tako. Kada broj čvorova neograničeno raste, onda interpolacioni polinom prelazi u beskonačni red, nazovimo ga interpolacionim redom. Pitanje konvergencije takvog reda je dosta složeno. (Može se desiti da red divergira ili konvergira ka nekoj funkciji koja je različita od )(xf ili, pod odreñenim uslovima, ka )(xf .)

Dakle, opravdano se postavlja pitanje ocene greške

(1) )()()( xLxfxR nn −= .

Kako su vrednosti iy funkcije )(xfy = približne, to se javlja dopunska greška. Osim toga, u procesu računanja zbog grešaka zaokrugljivanja javlja se nova greška. Prva greška, greška )(xRn , je greška metode, druga je neotklo-njiva greška a treća je greška zaokrugljivanja. Ovde ćemo proučiti grešku metode, koja se, ponekad, naziva ostatkom interpolacije.

Postupak nalaženja izraza za )(xRn je sličan postupku nalaženja ostatka Tejlorove formule. Poñimo, dakle, od pomoćne funkcije

(2) )()())((

)())(()()()(

10

10 xRxxxxxx

xzxzxzzLzfzF n

n

nn ⋅

−−−−−−−−=

⋯

⋯,

gde je z realna promenljiva, x neka fiksirana vrednost u ],[ 0 nxx , različita od ix ,

ni ,0= . Pretpostavimo da je ],[)( 01

nn xxCxf +∈ ; tada je, očigledno, i

],[)( 01

nn xxCxF +∈ . Može se primetiti da se funkcija )(xF anulira u n + 2

38

tačke: xxxx n,...,,, 10 . Ove tačke odreñuju n + 1 podsegment segmenta ],[ 0 nxx . Primenivši na svakom od tih podsegmenata Rolovu (M. Rolle, 1652–1719) teoremu zaključujemo da funkcija )(' zF ima najmanje n + 1 nulu u ],[ 0 nxx . Primenivši na analogan način Rolovu teoremu redom na )(' zF , )(" zF , ...,

)()1( zF n+ zaključujemo da )()1( zF n+ ima bar jednu nulu u ],[ 0 nxx ; neka je

),(ξ 0 nxxz ∈= i 0)ξ()1( =+nF . Osim toga,

)!1()]())([( 101

1

+=−−−+

+

nxzxzxzdz

dnn

n

⋯ .

Na taj način se dobija

(3) )()())((

)!1()()(

10

)1()1( xRxxxxxx

nzfzF n

n

nn ⋅−−−

+−= ++

⋯.

Stavivši z = ξ u (3) dobija se

)()())((

)!1()ξ(0

10

)1( xRxxxxxx

nf n

n

n ⋅−−−

+−= +

⋯,

odakle je

(4) )())(()!1(

)ξ()( 10

)1(

n

n

n xxxxxxn

fxR −−−

+=

+

⋯ , ),(ξ 0 nxx∈

ili ( 1)

1

(ξ)( ) ( )

( 1)!

n

n n

fR x x

n

+

+=+ ∏ , ),(ξ 0 nxx∈ ,

gde je

0 11( ) ( )( ) ( )nnx x x x x x x+ = − − −∏ ⋯ .

Ako je moguće naći maksimum (n + 1)–vog izvoda funkcije )(xf na

],[ 0 nxx , tj.

1)1( |)(|max +

+ ≤ nn Mxf , ],[ 0 nxxx∈ ,

onda se iz (4) dobija

(5) ( 1) 1

1| ( )| | ( ) ( )| ( )

( 1)!n n

n n n

MR x f x L x x

n+ +

+= − ≤+ ∏ .

Lako se uočavaju dva bitna nedostatka dobijene formule: a) Nekada je funkcija )(xf zadata tablično (njen analitički izraz nije poznat), pa nije moguće

naći )()1( xf n+ , samim tim nije moguće proceniti )(xRn ; b) Često se zna analitički izraz za funkciju )(xf i on je veoma komplikovan. Nalaženje izvoda takvih funkcija je mukotrpan posao, često praktično i nemoguć, naročito za veliko n. Dakle, opet je zaključak isti – praktično je nemoguće proceniti grešku

)(xRn .

39

Dakle, dobijena formula za grešku (4), odnosno (5), ima teorijsku vrednost; ona dobija praktičnu vrednost tek nalaženjem jednostavnije ocene izvoda

)()1( xf n+ za ],[ 0 nxxx∈ .

Primer 1. Funkcija )1/(1 2xy += je zadata tablicom

x 0.00 0.10 0.30 0.50 y 1.00 0.99 0.92 0.80

Naći Lagranžev interpolacioni polinom L3 (x) i proceniti grešku.

Rešenje. Traženi interpolacioni polinom je

,80.0)3.05.0)(1.05.0)(0.05.0(

)3.0)(1.0)(0.0(92.0

)5.03.0)(1.03.0)(0.03.0(

)5.0)(1.0)(0.0(

99.0)5.01.0)(3.01.0)(0.01.0(

)5.0)(3.0)(0.0(00.1

)5.00.0)(3.00.0)(1.00.0(

)5.0)(3.0)(1.0()(3

⋅−−−

−−−+⋅−−−

−−−+

+⋅−−−

−−−+⋅

−−−−−−

=

xxxxxx

xxxxxxxL

ili, posle sreñivanja, 1240

1

12

5)( 23

3 +−−= xxxxL .

Ocenimo grešku. Da bismo izbegli neposredno izračunavanje četvrtog izvoda, iskoristićemo činjenicu da je

2 ( ) ( 1) 1 π[1/(1 )] [arctg ] !cos sin( 1)

2k k kx x k A k A+ + + = = ⋅ + +

,

gde je A = arc tg x. Na taj način imamo za x ∈ [0.0,0.5]

2 (4) 5 π|1/(1 ) | max 4!cos sin 5 4!

2x A A

+ = ⋅ + =

pa je

|)5.0)(3.0)(1.0(|!4

!4|)(| 3 −−−≤ xxxxxR , ]5.0,0.0[∈x .

4. KONAČNE RAZLIKE FUNKCIJA

Neka je data mreža ekvidistantnih tačaka, čvorova, argumenta x: 0x ,

hxx += 01 , hxhxx 2012 +=+= , ..., ihxxi += 0 , ..., gde je priraštaj argumenta

x ili korak const.1 =−= + ii xxh i 0≠h (i = 0, 1, 2, ...). Neka su poznate

vrednosti )( ii xfy = funkcije )(xfy = u čvorovima ix , i = 0, 1, 2, ... Konačne razlike prvog reda funkcije )(xf su:

010 yyy −=∆ , 121 yyy −=∆ , ..., iii yyy −=∆ +1 , ...;

Konačne razlike drugog reda funkcije )(xf su:

0102 yyy ∆−∆=∆ , 121

2 yyy ∆−∆=∆ , ..., iii yyy ∆−∆=∆ +12 , ... ;

40

Uopšte, konačne razlike n–tog reda funkcije )(xf su:

01

11

0 yyy nnn −− ∆−∆=∆ , 11

21

1 yyy nnn −− ∆−∆=∆ , ..., in

in

in yyy 1

11 −

+− ∆−∆=∆ , ...

Navedimo neke osobine konačnih razlika: a) Ako je )()()( xvxuxf += , onda je vuvu ∆+∆=+∆ )( ; b) Ako je )()( xukxf ⋅= , gde je k konstanta, onda je ukku ∆=∆ )( ;

c) )()( yyy mnnmnm ∆∆=∆=∆∆ + , gde su m i n celi nenegativni brojevi, pri

čemu po definiciji stavljamo yy =∆0 .

d) Ako je )()( xPxf n= – polinom n–tog stepena, onda je )(xPn∆ polinom (n – 1)–vog stepena.

Dokaz ove činjenice je zaista jednostavan. Naime, po definiciji imamo

12

11

011

10

11

10

][

])()()([)()()(

−−−

−−

−−

+++=++++−

−+++++++=−+=∆

nnn

nnnn

nnnn

nnn

bxbxbaxaxaxa

ahxahxahxaxPhxPxP

⋯⋯

⋯

gde je 00 ahnb ⋅⋅= ; Analogno zaključujemo:

23

12

02 )()()( −

−− +++=∆−+∆=∆ nnn

nnn cxcxcxPhxPxP ⋯ ,

gde je 02

00 )1()1( ahnnbhnc ⋅−=⋅⋅−= ;

34

13

0223 )()()( −

−− +++=∆−+∆=∆ nnn

nnn dxdxdxPhxPxP ⋯ ,

gde je 03

00 )2)(1()2( ahnnnchnd ⋅−−=⋅⋅−= ;

i na kraju 0!)( ahnxP nn

n =∆ ; za k > n, 0)( =∆ xPnk .

Dakle, n–te razlike polinoma n–tog stepena su konstantne, a razlike višeg reda od n su jednake nuli.

Teorema 1. Ako je ],[)( niin xxCxf +∈ , onda postoji takva tačka

),(ξ nii xx +∈ da je

(1) )ξ()(nni

ni

n fhyf =∆=∆ , Nn∈ .

Dokaz. Formula (1) se može dokazati metodom matematičke indukcije. Ovde nećemo izvoditi kompletan dokaz. Samo ćemo proveriti tvrñenje teoreme za n = 1 i n = 2.

Zaista, za n = 1 imamo )ξ('fhyi ⋅=∆ ili

)ξ(')()()( 111 fxxxfxfyyyf iiiiiiii ⋅−=−=−=∆=∆ +++ , ),(ξ 1+∈ ii xx , a to je, očigledno, Lagranževa teorema, primenjena na funkciju )(xf na segme-

ntu ],[ 1+ii xx . Dokažimo formulu (1) i za n = 2. Uvedimo, najpre, oznaku

(2) )()()( xfhxfxg −+= . Sada imamo

),()()()()]()([

]()([)()(

1

1111212

iiiiii

iiiiiiiii

xghxgxgxgxfhxf

xfhxffffffff

−+=−=−+−−−+=−−−=∆−∆=∆

+

++++++

41

pa je prema Lagranževoj teoremi

(3) )ξ('22 ghyf ii ⋅=∆=∆ , ),(ξ1 hxx ii +∈ .

Dalje je prema (2) )ξ(')ξ(')ξ(' 111 fhfg −+= ,

pa relacija (3) posle još jedne primene Lagranževe teoreme postaje

)]ξ("[)]ξ(')ξ('[ 1122 fhhfhfhyf ii ⋅=−+=∆=∆

i definitivno

(4) )ξ("222 fhyf ii ⋅=∆=∆ , )ξ,ξ(ξ 11 h+∈ , tj. ),(ξ 2+∈ ii xx .

Za n > 2 tvrñenje teoreme se analogno dokazuje, pa se na osnovu principa matematičke indukcije zaključuje da (1) važi za svako Nn∈ .

Iz formule (1) dobijamo

n

nn

h

xff

)()ξ()( ∆= ;

prelaskom na limes kada 0→h imamo

n

n

h

n

h

xfxf

)(lim)(

0

)( ∆=→

,

a odavde važnu približnu jednakost

(5) n

nn

h

xfxf

)()()( ∆≈ .

Konačne razlike je pogodno smestiti u tablicu; tablice mogu biti dijagonalne

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y ... x0 y0 ∆y0

x1 y1 ∆2y0 ∆y1 ∆3y0

x2 y2 ∆2y1 ∆4y0 ... ∆y2 ∆3y1

x3 y3 ∆2y2 ∆4y1 ... ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

i horizontalne (donje i gornje).

Primer 1. Sastaviti dijagonalnu tablicu konačnih razlika za funkciju

789)( 23 +++= xxxxf na odsečku [0, 1] uzimajući korak h = 0.2; vrednosti

funkcije izračunati s tačnošću 4102

1ε −⋅= .

Rešenje. Tablica konačnih razlika je

42

x y ∆y ∆2y ∆3y 0.0 7.0000

1.9680 0.2 8.9860 7680

2.7360 480 0.4 11.7040 8160

3.5520 480 0.6 15.2560 8640

4.4160 480 0.8 19.6720 9120

5.3280 1.0 25.0000

Kod sastavljanja tablica konačnih razlika mogu se napraviti tzv. omaške. Razmotrimo problem uticaja omaške, njeno prostiranje u tablicama, otkrivanje i otklanjanje. Neka smo umesto vrednosti iy omaškom uzeli vrednost ε+iy , gde je ii yy −+= )ε(ε . Veoma lako se može uočiti zakonitost prostiranja omaške.

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y ... ⋮ ⋮

xi – 4 yi – 4 ⋮ ∆yi – 4 ⋮

xi – 3 yi – 3 ∆2yi – 4 ⋮ ∆yi – 3 ∆3yi – 4 ⋮

xi – 2 yi – 2 ∆2yi – 3 ∆4yi – 4 + ε ... ∆yi – 2 ∆3yi – 3 + ε

xi – 1 yi – 1 ∆2yi – 2 + ε ∆4yi – 3 – 4ε ... ∆yi – 1 + ε ∆3yi – 2 – 3ε

xi yi + ε ∆2yi – 1 – 2ε ∆4yi – 2 + 6ε ∆yi – ε ∆3yi – 1 + 3ε

xi + 1 yi + 1 ∆2yi + ε ∆4yi – 1 – 4ε ∆yi + 1 ∆3yi – ε

xi + 2 yi + 2 ∆2yi + 1 ∆4yi + ε ∆yi + 2 ∆3yi + 1 ⋮

xi + 3 yi + 3 ∆2yi + 2 ⋮ ∆yi + 3 ⋮

xi + 4 yi + 4 ⋮ ⋮ ⋮

Na osnovu te zakonitosti ona se može otkriti i otkloniti. Posmatrajmo dijagonalnu tablicu. Iz tablice se vidi da se omaška širi „lepezasto“ i da su koeficijenti uz ε u koloni yk∆ , ustvari, binomni koeficijenti binoma kba )( − , k = 0, 1, 2, ... Može se primetiti da se omaška ne može otkriti sabiranjem kolone

yk∆ , k = 1, 2, 3, ..., jer se uticaji ε−na potiru. Meñutim, u kolonama parnih

43

razlika najveći uticaj omaške ε je upravo u onom horizontalnom redu gde je omaška učinjena. Koristeći ovu činjenicu i činjenicu da se očekuje da se razlike dovoljno visokog reda neznatno razlikuju, omaška se može otkriti, izračunati i otkloniti.

Primer 2. U sledećoj tablici vrednosti funkcije )(xfy =

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y 1.00000 1.05127 1.10517 1.16203 1.22140 1.28403 1.34986 1.41907 1.49182

učinjena je omaška. Otkriti i otkloniti omašku.


x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y 0.0 1.00000

5127 0.1 1.05127 263

5390 33 0.2 1.10517 296 –78 –4ε

5686 –45 0.3 1.16203 251 120 +6ε

5937 75 0.4 1.22140 326 –81 –4ε

6263 –6 0.5 1.28403 320 24 +ε

6583 18 0.6 1.34986 338 –2

6921 16 0.7 1.41907 354

7275 0.8 1.49182

Uočavamo „nepravilno“ ponašanje četvrtih razlika; najizrazitije odstupanje od očekivanih razlika je u redu x = 0.3 – dakle, umesto vrednosti 3y upisana je

omaškom vrednost 16203.1ε3 =+y . Sada redom nalazimo: očekivana razlika četvrtog reda (srednja vrednost) je

554 103105

2248112078 −− ⋅−≈⋅−+−+−=∆ y ;

dalje imamo (izostavljajući faktor 510− ):

1ε4378 −−=− , 19ε1 = , 2ε63120 +−= , 20ε2 = ,

3ε4381 −−=− , 20ε3 = , 4ε324 +−= , 27ε4 = , pa uzimamo

55 1022104

27202019ε −− ⋅=⋅+++= ,

tj. ispravljena vrednost je 16181.13 =y .

44

Kod primena tablica konačnih razlika bitno je da one budu korektne. U čemu se sastoji korektnost tablica konačnih razlika?

Polazeći od činjenica da je svaku neprekidnu funkciju )(xf na odsečku

[a, b] moguće aproksimirati polinomom )(xPn tako da na tom odsečku za

0ε > , proizvoljno maleno i unapred zadato, važi nejednakost ε|)()(| <− xPxf n

i da su konačne razlike n–tog reda polinoma )(xPn konstantne a višeg reda od n jednake nuli možemo zaključiti da su konačne razlike neprekidne funkcije )(xf s povećanjem njihovog reda sve manje i manje. S druge strane, ako su vrednosti

)( ii xfy = , ],[ baxi ∈ , ni ,0= , funkcije )(xf izračunati s tačnostima iε , tj.

ako je gornja granica apsolutne greške tih vrednosti jednaka ==≤≤

ε|ε|max0

ini

k−⋅= 102

1, onda je gornja granica apsolutnih grešaka konačnih razlika:

prvog reda kkk −−− ⋅⋅=⋅+⋅ 102

1210

2

110

2

1,

drugog reda kkk −−− ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅ 102

1210

2

1210

2

12 2 ,

trećeg reda k−⋅⋅ 102

123 , ...,

m–tog reda km −⋅⋅ 102

12 , ...

Dakle, s povećanjem reda konačnih razlika uticaj početnih grešaka je sve veći i veći.

Znači da su konačne razlike sve manje i manje a uticaj početnih grešaka je sve veći i veći. Ako se dogodi da je bar za neko i

kmi

my −⋅⋅<∆ 102

12|| ,

tj. ako je bar neka izračunata konačna razlika m–tog reda manja od maksimalno moguće greške te razlike, onda su tablice konačnih razlika od razlika tog reda pa dalje nekorektne. Naravno, ne mogu se koristiti nekorektne konačne razlike.

Primer 3. Ispitati korektnost tablice konačnih razlika funkcije )(xf zadate sledećom tablicom

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 y 0.69315 0.74440 0.79814 0.85436 0.91302 0.97408

Rešenje.

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y ∆5y 0.0 0.69315

0.05125 0.1 0.74440 0.00249

45

0.05374 –0.00001 0.2 0.79814 0.00248 –0.00003

0.05622 –0.00004 0.00003 0.3 0.85436 0.00244 0.00000

0.5866 –0.00004 0.4 0.91302 0.00340

0.6106 0.5 0.97408

granica greške

5102

1 −⋅ 5102

12 −⋅⋅ 52 10

2

12 −⋅⋅ 53 10

2

12 −⋅⋅ 54 10

2

12 −⋅⋅ 55 10

2

12 −⋅⋅

Očigledno, konačne razlike trećeg i višeg reda ne možemo koristiti; izraču-nate vrednosti su manje od maksimalno moguće akumulirane greške.

5. PRVI NJUTNOV INTERPOLACIONI POLINOM

Neka su )( ii xfy = zadate vrednosti funkcije )(xfy = u ekvidistantnim

čvorovima interpolacije ix , ni ,0= . Treba naći interpolacioni polinom )(xPn koji zadovoljava uslove

(1) iinni yxPaaaxF =≡ )()...,,,;( 10 , ni ,0= ,

tj. koji prolazi kroz tačke ),( iii yxM , ni ,0= . Potražimo interpolacioni polinom u sledećem obliku

(2) ).())((

))(()()(

110

102010

−−−−+++−−+−+=

nn

n

xxxxxxa

xxxxaxxaaxP

⋯

⋯

Saglasno ranije rečenom redom dobijamo za ixx = , i = 0, 1, 2, ..., n:

0000 )(: axPyxx n === , pa je 00 ya = ;

)()(: 0110111 xxaaxPyxx n −+=== , pa je h

y

h

yya

!1001

1∆=−= ;

))(()()(: 120220210222 xxxxaxxaaxPyxx n −−+−+=== , 20

2

2 !2 h

ya

∆= ;

analogno dobijamo

30

3

3 !3 h

ya

∆= , 40

4

4 !4 h

ya

∆= , ..., i

i

i hi

ya

!0∆= , ...,

n

n

n hn

ya

!0∆= .

Zamenom ovih vrednosti u (2) dobijamo

(3)

),())()((!

))((!2

)(!1

)(

12100

1020

2

00

0

−−−−−∆+

++−−∆+−∆+=

nn

n

n

xxxxxxxxhn

y

xxxxh

yxx

h

yyxP

⋯

⋯

što nazivamo prvi Njutnov interpolacioni polinom za ekvidistantne čvorove.

46

Ako u (3) uvedemo smenu

(4) uh

xx =− 0 ili huxx += 0 ,

dobićemo

(5) )1()1(!

)1(!2!1

)()( 002

000 +−−

∆++−

∆+

∆==+ + nuuu

n

yuu

yu

yyuPhuxP

n

nn ⋯⋯ ,

što je najčešći oblik zapisivanja prvog Njutnovog interpolacionog polinoma. Ponekad se zapisuje i u obliku

002

01

00

0 210)( y

n

uy

uy

uy

uhuxP n

n ∆

++∆

+∆

+∆

=+ ⋯ .

Iz samog izvoñenja sledi da je stepen polinoma najviše n i da je polinom jedinstven. Nije teško primetiti da interpolacioni polinom )(xPn prelazi u Tejlorov polinom kada 01 →=−+ hxx ii ; dakle, prvi Njutnov interpolacioni polinom (3), odnosno (5), pogodno je koristiti oko tačke 0xx = – u početku tablica: interpolaciju unapred i za ekstrapolaciju za 0xx < – ekstrapolaciju unazad.

Greška prvog Njutnovog interpolacionog polinoma se dobija iz opšte formule za grešku interpolacije:

(6) )()1()!1(

)ξ()()(

)1(1

0 nuuun

fhuRhuxR

nn

nn −−+

==+++

⋯ , ),(ξ 0 nxx∈ ,h

xxu 0−= ,

ili

(6') )()1()!1(

)()( 01

0 nuuun

yuRhuxR

n

nn −−+

∆≈=++

⋯ .

Primer 1. Konstruisati prvi Njutnov interpolacioni polinom za funkciju )(xfy = zadatu sledećom tablicom

x 0 1 2 3 4 y 2.00000 2.08008 2.15443 2.22398 2.28943

Izračunati približnu vrednost )5.0(f . Proceniti grešku )()( 3 xPxf − .


x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y 0 2.00000 8008 1 2.08008 –573 7435 93 2 2.15443 –480 –23 6955 70 3 2.22398 –410 6545 4 2.28943

47

Interpolacioni polinom je

),3)(2)(1(!4

00023.0

)2)(1(!3

00093.0)1(

!2

00573.0

!1

08008.000000.2)(4

−−−−+

+−−+−−++=

uuuu

uuuuuuuP

gde je xx

u =−=1

0.

Približna vrednost je 04082.2)5.0()5.0( 4 =≈ Pf . Greška je

xxxxy

xPxfxR =−−−∆≈−= |)3)(2)(1(|!4

|||)()(||)(| 0

4

33

|)3)(2)(1(|!4

00023.0 −−−= xxxx .

6. DRUGI NJUTNOV INTERPOLACIONI POLINOM

Neka su )( ii xfy = zadate vrednosti funkcije )(xfy = u ekvidistantnim

čvorovima interpolacije ix , ni ,0= . Treba naći interpolacioni polinom )(xPn koji zadovoljava uslove

(1) iinni yxPaaaxF =≡ )()...,,,;( 10 , ni ,0= ,

tj. koji prolazi kroz tačke ),( iii yxM , ni ,0= . Potražimo interpolacioni polinom u sledećem obliku

(2) ).())((

))(()()(

11

1210

xxxxxxa

xxxxaxxaaxP

nnn

nnnn

−−−+++−−+−+=

−

−

⋯

⋯

Analogno izvoñenju prvog Njutnovog interpolacionog polinoma dobijamo redom za ixx = , i = n, n – 1, ..., 1, 0:

0)(: axPyxx nnnn === , pa je nya =0 ;

)()(: 110111 nnnnnn xxaaxPyxx −+=== −−−− , pa je h

y

h

yya nnn

!111

1−− ∆=−= ;

dalje dobijamo

22

2

2!2 h

ya n−∆= , 3

33

3 !3 h

ya n−∆= , ...,

iin

i

i hi

ya

!−∆= , ...,

n

n

n hn

ya

!0∆= .

Zamenom ovih vrednosti u (2) dobijamo

(3)

),())((!

))((!2

)(!1

)(

110

122

21

xxxxxxhn

y

xxxxh

yxx

h

yyxP

nnn

n

nnn

nn

nn

−−−∆+

++−−∆+−∆+=

−

−−−

⋯

⋯

što nazivamo drugi Njutnov interpolacioni polinom za ekvidistantne čvorove.

48

Ako u (3) uvedemo smenu

(4) vh

xx n =− ili hvxx n +=

dobićemo

(5) )1()1(!

)1(!2!1

)()( 022

10 −++

∆+++

∆+

∆+==+ −− nvvv

n

yvv

yv

yyvPhuxP

nnn

nnn ⋯⋯

što je najčešći oblik zapisivanja drugog Njutnovog interpolacionog polinoma. Iz samog izvoñenja sledi da je stepen polinoma najviše jednak n i da je

polinom jedinstven. Greška drugog Njutnovog interpolacionog polinoma se dobija iz opšte

formule za grešku interpolacije:

(6) )()1()!1(

)ξ()()(

)1(1

0 nvvvn

fhvRhvxR

nn

nn +++

==+++

⋯ , ),(ξ 0 nxx∈ , h

xxv n−

= ,

ili

(6') )()1()!1(

)()( 01

0 nvvvn

yvRhvxR

n

nn +++

∆≈=++

⋯ .

Primer 1. Konstruisati drugi Njutnov interpolacioni polinom za funkciju )(xfy = zadatu sledećom tablicom

x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 y 3.00000 4.25000 6.00000 8.25000 11.00000


x y ∆y ∆2y ∆3y 0.0 3.00000

1.25000 0.5 4.25000 0.50000

1.75000 0 1.0 6.00000 0.50000

2.25000 0 1.5 8.25000 0.50000

2.75000 2.0 11.00000

Interpolacioni polinom je

)1(!2

50000.0

!1

75000.200000.11)(2 +++= vvvvP , 0.42

5.0

0.2 −=−= xx

v ,


00000.300000.200000.1)( 22 ++= xxxP .

Drugi Njutnov interpolacioni polinom se koristi za interpolaciju na kraju tablica – interpolaciju unazad i za ekstrapolaciju za nxx > – ekstrapolaciju unapred.

49

Uporeñivanjem Njutnovih interpolacionih polinoma i Lagranževog interpo-lacionog polinoma može se zaključiti sledeće. Lagranžev interpolacioni polinom se sastoji od sabiraka koji su, posebno posmatrani, polinomi n–tog stepena, pa samim tim su ravnopravni. Prema tome, ne može se unapred odba-citi neki od njih. U Njutnove interpolacione formule ulaze polinomi sve viših stepena pri čemu su koeficijenti uz njih konačne razlike (koje se u praksi najčešće brzo smanjuju) podeljene faktorijelima. Zbog toga se mogu odbaciti oni sabirci čiji su koeficijenti sasvim mali. Koristeći se ovim često se mogu računati meñuvrednosti funkcije pomoću jednostavnijih i „kraćih“ interpola-cionih formula.

Osim toga, ako se poveća broj čvorova interpolacije, onda se kod Njutnovih interpolacionih formula dodaje jedan sabirak ili više sabiraka a prethodno izračunati se ne menjaju. Kod Lagranževe interpolacione formule to nije slučaj; ako se poveća broj čvorova interpolacije, onda ceo posao treba ponovo uraditi.

Napomenimo, na kraju, da su ovde izvedene Njutnove interpolacione formule za ekvidistantne čvorove a Lagranževa za neekvidistantne čvorove. Moguće je izvesti Njutnove interpolacione formule za neekvidistantne čvorove a Lagranževu za ekvidistantne čvorove. Meñutim, uočene prednosti i nedostaci se ne menjaju.

7. TABLICA CENTRALNIH RAZLIKA

Njutnove interpolacione formule koriste, kao što smo videli, tablične vred-nosti funkcije koje se nalaze samo s jedne strane izabrane vrednosti funkcije: prva Njutnova interpolaciona formula koristi vrednosti na početku tablice:

...,,, 210 yyy , a druga na kraju tablice: ...,,, 21 −− nnn yyy Dakle, one su na neki način „jednostrane“ i to predstavlja njihov nedostatak. U mnogim slučajevima pokazuju se korisnijim interpolacione formule koje koriste vrednosti funkcije s obe strane izabrane početne vrednosti funkcije. Najčešće se koriste konačne razlike iz tablice konačnih razlika koje se nalaze u vrsti u kojoj se nalazi izabrana početna, nulta vrednost funkcije i konačne razlike iznad ili ispod te vrste ili i iznad i ispod te vrste.

Radi izvoñenja odgovarajućih interpolacionih formula napravićemo tzv. tablicu centralnih razlika.

Neka je funkcija )(xfy = zadata svojim vrednostima )( ii xfy = u jednako

razmaknutim čvorovima ihxxi += 0 , i = 0, ±1, ±2,..., ±n, korak h je konstantan,

različit od nule. Konačne razlike (v. tablicu): 1−∆y , 0y∆ , 12

−∆ y , 23

−∆ y , 13

−∆ y ,

24

−∆ y ,... su centralne razlike.

50

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y ∆5y ∆6y ... ⋮ ⋮

x–4 y–4 ⋮ ∆y–4 ⋮

x–3 y–3 ∆2y–4 ⋮ ∆y–3 ∆3y–4 ⋮

x–2 y–2 ∆2y–3 ∆4y–4 ⋮ ∆y–2 ∆3y–3 ∆5y–4 ⋮

x–1 y–1 ∆2y–2 ∆4y–3 ∆6y–4 ∆y– 1 ∆3y–2 ∆5y–3

x0 y0 ∆2y– 1 ∆4y–2 ∆6y–3 ∆y0 ∆3y–1 ∆5y–2

x1 y1 ∆2y0 ∆4y–1 ∆6y–2 ... ∆y1 ∆3y0 ∆5y–1 ⋮

x2 y2 ∆2y1 ∆4y0 ⋮ ∆y2 ∆3y1 ⋮

x3 y3 ∆2y2 ⋮ ∆y3 ⋮

x4 y4 ⋮ ⋮ ⋮

Odgovarajuće interpolacione formule se zovu interpolacione formule sa centralnim razlikama. Najčešće se koriste: Gausove interpolacione formule, Stirlingova i Beselova interpolaciona formula.

8. GAUSOVE INTERPOLACIONE FORMULE

Neka je funkcija )(xfy = zadata svojim vrednostima )( ii xfy = u

jednako razmaknutim čvorovima ihxxi += 0 , i = 0, ±1, ±2, ..., ±n, korak h je konstantan, različit od nule. Treba konstruisati interpolacioni polinom )(xP , stepena ≤ 2n, takav da bude

(1) ii yxP =)( , ni ±±±= ...,,2,1,0 .

Potražimo interpolacioni polinom u sledećem obliku

(2)

).)(())()(()(

)())()(()(

))()()((

))()((

))(()()(

110112

1101112

21014

1013

102010

nnnn

nnn

xxxxxxxxxxxxa

xxxxxxxxxxa

xxxxxxxxa

xxxxxxa

xxxxaxxaaxP

−−−−−−++−−−−−+

++−−−−++−−−+

+−−+−+=

−−+−

−−+−−

−

−

⋯⋯

⋯⋯

⋯

51

Koeficijente ia , ni 2,0= , odreñujemo na uobičajeni način, dakle, iz

uslova (1).

Na taj način dobijamo

00 ya = , h

ya

!10

1∆= , 2

12

2 !2 h

ya −∆= , 3

13

3 !3 h

ya −∆= , 4

24

4 !4 h

ya −∆= , ...,

121

12

12 )!12( −+−

−

− −∆= n

nn

n hn

ya ,

nn

n

n hn

ya 2

2

2 )!2(−∆= .

Ako uvedemo novu promenljivu smenom

uh

xx =− 0 ,

dobićemo

(3)

),]()1([)2)(1()!2(

])1([)2)(1()!12(

)2)(1(!5

)2)(1(!4

)1(!3

)1(!2!1

)(

2222222

222222112

222225

2224

2213

12

000

nunuuuun

y

nuuuun

y

uuuy

uuuy

uuy

uuy

uy

yhuxP

nn

nn

−−−−−∆

+

+−−−−−

∆+

++−−∆+−−∆+

+−∆+−∆+∆

+=+

−

+−−

−−

−−

⋯

⋯

⋯

(G1)

što predstavlja prvu Gausovu interpolacionu formulu ili Gausovu interpolacionu formulu za interpolaciju unapred. Primetimo da ona sadrži centralne razlike

x0 y0 ∆2y–1 ∆4y–2 ∆6y–3 ∆y0 ∆3y–1 ∆5y–2 ...

Ako potražimo interpolacionu formulu u sledećem obliku

(4)

),())()(()(

)())()(()(

))()()((

))()((

))(()()(

11012

1101112

10124

1013

012010

−−−

−−+−−

−−

−

−

−−−−−++−−−−−+

++−−−−++−−−+

+−−+−+=

nnn

nnn

xxxxxxxxxxa

xxxxxxxxxxa

xxxxxxxxa

xxxxxxa

xxxxaxxaaxP

⋯⋯

⋯⋯

⋯

na analogan način, koristeći uslov (1), dobijamo drugu Gausovu interpolacionu formulu ili Gausovu interpolacionu formulu za interpolaciju unazad

52

(5)

],)1([)2)(1()()!2(

])1([)1)(1()!12(

)2)(1(!5

)1()2(!4

)1(!3

)1(!2!1

)(

2222222

22222212

222235

2224

2223

12

100

−−−−+∆

+

+−−−−−

∆+

++−−∆

+−+∆+

+−∆++∆+∆+=+

−

−−

−−

−−−

nuuuunun

y

nuuuun

y

uuuy

uuuy

uuy

uuy

uy

yhuxP

nn

nn

⋯

⋯

⋯

(G2)

h

xxu 0−= .

Primetimo da ona sadrži centralne razlike

∆y–1 ∆3y–2 ∆5y–3 ...

x0 y0 ∆2y–1 ∆4y–2 ∆6y–3

Primer 1. Funkcija y = f (x) je zadata tablicom

x 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 )(xf 0.778801 0.770974 0.763074 0.755104 0.747067 0.738968 0.730811

Izračunati )532.0(f .

Rešenje. Sastavimo tablicu konačnih, centralnih razlika.

x y ∆y ∆2y ∆3y 0.50 0.778801

–7827 0.51 0.770974 –73

–7900 3 0.52 0.763074 –70

–7970 3 0.53 0.755104 –67

–8037 5 0.54 0.747067 –62

–8099 4 0.55 0.738968 –58

–8157 0.56 0.730811

Kako je x = 0.532 najbliže vrednosti 0.53, to uzimamo da je x0 = 0.53, pa je

2.001.0

53.0532.00 =−=−=h

xxu .

53

Na osnovu formule G1 (u tablici podvučene vrednosti) nalazimo

.753502.000000.0000005.0001607.0755104.0

)12.0(2.0!3

000005.0)12.0(2.0

!2

000067.0

2.0!1

008037.0755107.0)532.0()532.0(

22

=−+−=

=−⋅⋅−+−⋅⋅−+

+⋅−+=≈ Pf

Na osnovu formule G2 (u tablici isprekidano podvučene vrednosti) nala-zimo

.753502.000000.0000008.0001594.0755104.0

)12.0(2.0!3

000003.0)12.0(2.0

!2

000067.0

2.0!1

007970.0755107.0)532.0()532.0(

22

=−−−=

=−⋅⋅−++⋅⋅−+

+⋅−+=≈ Pf

U sledećoj tabeli centralnih razlika naznačene su vrednosti koje se koriste u Gausovim interpolacionim formulama: G1, G2 i G3.

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y ∆5y ∆6y ⋮ ⋮

x–4 y–4 ∆y–4

x–3 y–3 ∆2y–4 ∆y–3 ∆3y–4

x–2 y–2 ∆2y–3 ∆4y–4 ∆y–2 ∆3y–3 ∆5y–4

x–1 y–1 ∆2y–2 ∆4y–3 ∆6y–4 ∆y– 1 ∆3y–2 ∆5y–3 G2

x0 y0 ∆2y– 1 ∆4y–2 ∆6y–3 ∆y0 ∆3y–1 ∆5y–2 G1

x1 y1 ∆2y0 ∆4y–1 ∆6y–2 ∆y1 ∆3y0 ∆5y–1 G3

x2 y2 ∆2y1 ∆4y0 ∆6y–1 ∆y2 ∆3y1 ∆5y–0

x3 y3 ∆2y2 ∆4y1 ∆y3 ∆3y2

x4 y4 ∆2y3 ∆y4

x5 y5 ⋮ ⋮

Radi izvoñenja Beselove interpolacione formule biće nam potrebna i Gausova interpolaciona formula za interpolaciju unazad ali kada se uzmu početne vrednosti 1xx = i 1yy = , odnosno kada se koriste centralne razlike

54

∆y0 ∆3y–1 ∆5y–2 ...

x1 y1 ∆2y0 ∆4y–1 ∆6y–2

Dakle, treća Gausova interpolaciona formula je

(6)

⋯+∆−−−+∆−−+

+∆−−+∆

−+∆−+=

−−

−

!5)3)(2)(1(

!4)2)(1(

!3)2)(1(

!2)1()1(

25

214

2

13

02

01

yuuuu

yuuu

yuuu

yuuyuyy

(G3)

Napomena. Maksimalno moguća greška konačnih razlika trećeg reda je

663 104102

12 −− ⋅=⋅⋅ , pa razlike trećeg reda manje od maksimalno moguće

greške nije korektno koristiti. U prethodnom primeru poslednji sabirci su jednaki –0.000000 i nisu uticali na izračunatu vrednost!

9. STIRLINGOVA INTERPOLACIONA FORMULA

Ako uzmemo aritmetičku sredinu prve i druge Gausove interpolacione formule (G1 i G2), dobićemo Stirlingovu interpolacionu formulu

(1)

3 32 2 221 0 2 1

0 1

5 52 2 2 2 2 2 24 3 2

2

2 2 2 2 26

3

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1( 1)

2

( 1 )( )

2 2 3! 2

( 1 ) ( 1 )( 2 )

4! 5! 2

( 1 )( 2 )

6!

( 1 )( 2 )( 3 ) [ ( 1) ]

(2 1)!

2

(

n nn n

y y y yu u uP u y u y

y yu u u u uy

u u uy

u u u u u n

n

y y

u u

− − −−

− −−

−

− −− − −

∆ + ∆ ∆ + ∆−= + + ∆ + ⋅ +

∆ + ∆− − −+ ∆ + ⋅ +

− −+ ∆ + +

− − − − −+ ⋅−

∆ + ∆⋅ +

+

⋯

⋯

2 2 2 2 2 2 221 )( 2 )( 3 ) [ ( 1) ]

,(2 )!

nn

u u u ny

n −− − − − − ∆⋯

gde je h

xxu 0−= .

Stirlingova formula koristi razlike u tablici u redu u kojem se nalaze 0x i redu iznad i redu ispod njega.

55

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y ∆5y ∆6y ∆7y ∆8y ⋮ ⋮

x–4 y–4 ∆y–4

x–3 y–3 ∆2y–4 ∆y–3 ∆3y–4

x–2 y–2 ∆2y–3 ∆4y–4 ∆y–2 ∆3y–3 ∆5y–4

x–1 y–1 ∆2y–2 ∆4y–3 ∆6y–4 ∆∆∆∆y– 1 ∆∆∆∆3y–2 ∆∆∆∆5y–3 ∆∆∆∆7y–4

x0 y0 ∆∆∆∆2y– 1 ∆∆∆∆4y–2 ∆∆∆∆6y–3 ∆∆∆∆8y–4 ∆∆∆∆y0 ∆∆∆∆3y–1 ∆∆∆∆5y–2 ∆∆∆∆7y–3

x1 y1 ∆2y0 ∆4y–1 ∆6y–2 ∆8y–3 ∆y1 ∆3y0 ∆5y–1 ∆7y–2

x2 y2 ∆2y1 ∆4y0 ∆6y–1 ∆y2 ∆3y1 ∆5y–0

x3 y3 ∆2y2 ∆4y1 ∆y3 ∆3y2

x4 y4 ∆2y3 ∆y4

x5 y5 ⋮ ⋮

Greška Stirlingove interpolacione formule je:

)()3)(2)(1()!12(

)ξ( 2222222)12(12

nuuuuun

fhR

nn

n −−−−+

=++

⋯ , ],[ξ nn xx−∈ ,

)()3)(2)(1()!12(2

222222212

112

nuuuuun

yyR n

nn

n

n −−−−+

∆+∆= −

+−−

+

⋯ .

Primer 1. Data je tablica vrednosti integrala verovatnoće (v. tablicu)

∫−=

xt dtexf

0

2

π

2)(

za ekvidistantne vrednosti x. Izračunati vrednost integrala za x = 0.5437. Rešenje. Tablica konačnih razlika je

x )(xf )(xf∆ )(2 xf∆ )(3 xf∆ )(4 xf∆

0.51 0.5292437 86550

0.52 0.5378987 –896 85654 –7

0.53 0.5464641 –903 0 84751 –7

56

0.54 0.5549392 –910 0 83841 –7

0.55 0.5633233 –917 1 82924 –6

0.56 0.5716157 –923 82001

0.57 0.5798158

Razlike )(4 xf∆ ne mogu se koristiti – razlike su manje od akumulirane greške zaokrugljivanja.

Ovde je 37.001.0

0037.0

01.0

54.05437.00 ==−=−

=h

xxu .

Primenom Stirlingove interpolacione formule (1) nalazimo

7

2 27 7

(84751 83841)(0.5437) 0.5549392 0.37 10

2

(0.37) 0.37 (0.37 1) ( 7 7)( 910) 10 10

2 2 60.5549392 0.00311895 0.00000623 0.000000040.5580520.

f −

− −

+= + ⋅ ⋅ +

⋅ − − −+ − ⋅ + ⋅ =

= + − + ==

Može se pokazati da su sve cifre sigurne.

10. BESELOVA INTERPOLACIONA FORMULA

Beselova interpolaciona formula se dobija pomoću druge Gausove interpolacione formule.

Neka je funkcija )(xfy = zadata svojim vrednostima )( ii xfy = u 2n + 2

jednako razmaknuta čvora: 111011 ,,...,,,,...,,, +−−+−− nnnnn xxxxxxxx . Uzmimo

za početne vrednosti 0x i 0y i iskoristimo čvorove: ...,,,,...,,, 1011 xxxxx nn −+−−

nn xx ,1− , i napišimo drugu Gausovu interpolacionu formulu (G2)

(1)

2 32 21 1 2

0

2 142 2 2 2 2 22

22 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( 1) ( 1 )1! 2! 3!

( 2) ( 1 ) ( 1 )( 2 )4! (2 1)!

[ ( 1) ] ( ) ( 1 )( 2 ) [ ( 1) ].(2 )!

nn

nn

y y yP u y u u u u

yyu u u u u u

ny

u n u n u u u u nn

− − −

−−−

−

∆ ∆ ∆= + + + + − +

∆∆+ + − + + − −−

∆− − + + − − − −

⋯ ⋯

⋯

Uzmimo sada za početne vrednosti 1x i 1y i iskoristimo čvorove: ...,,1+−nx

1101 ,...,,,, +− nn xxxxx . Tada je

57

11001 −=−+−

=−u

h

xxxx

h

xx,

i pri tome odgovarajući indeksi svih konačnih razlika u formuli (1) se povećavaju za 1. Dakle, ako u formuli (1) zamenimo u sa u – 1, a indekse svih konačnih razlika povećamo za 1, dobićemo treću Gausovu interpolacionu formulu (G3)

(2)

).]()1([)1()!2(

))(1(

])2([)1()!12(

)2)(1(!4

)2)(1(!3

)1(!2

)1(!1

)(

222212

2222112

214

13

02

01

nunuuun

ynunu

nuuun

yuuu

y

uuuy

uuy

uy

yuP

nn

nn

−−−−∆

+−+−⋅

⋅−−−−

∆++−−∆+

+−−∆+−∆

+−∆

+=

+−

+−−

−

−

⋯

⋯⋯

Ako uzmemo aritmetičku sredinu formule (2) i formule

),]()1([)2)(1()!2(

])1([)2)(1()!12(

)2)(1(!4

)1(!3

)1(!2!1

)(

2222222

222222112

2224

2213

12

00

nunuuuun

y

nuuuun

y

uuuy

uuy

uuy

uy

yuP

nn

nn

−−−−−∆

+

+−−⋅−−−

∆++

+−−∆+−∆+−∆+∆

+=

−

+−−

−−−

⋯

⋯

dakle, ako uzmemo aritmetičku sredinu Gausovih interpolacionih formula G3 i G1, dobićemo Beselovu interpolacionu formulu

2 2 130 1 1 0 21

0 12

24 42 152 1 2

2

6 62 23 2

2 22 21

( )( 1)( 1)( ) ( )

2 2! 2 3!( )( 1)( 2)( 1)( 2)

4! 2 5!( 1)( 4)( 3)

6! 2( 1)( 4) ( )( 1)

(2 )! 2

n nn n

u u uy y y yu uP u u y y

u u u uy yu u uy

y yu u u u

y yu u u u n u n

n

−−

− −−

− −

− − +

− −+ ∆ + ∆−= + − ∆ + + ∆ +

− − −∆ + ∆− −+ + ∆ +

∆ + ∆− − −+ + +

∆ + ∆− − − + −+

⋯

⋯

2 212 12( )( 1)( 4) ( )( 1)

.(2 1)!

nn

u u u u u n u ny

n+

−

+

− − − − + −+ ∆

+⋯

Beselova interpolaciona formula za 2

1=u je jednostavna

2 2 4 40 1 0 1 1 0 2 11 3

2 2 8 2 128 2

x x y y y y y yP − − −+ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ = − + −

58

6 6 2 223 2 1

2

5 [1 3 5 (2 1)]( 1) .

1024 2 22 (2 )!

n nn n n

n

y y y yn

n− − − − +∆ + ∆ ∆ + ∆⋅ ⋅ −− + + − ⋯

⋯

i koristi se za interpolaciju u središtu intervala ),( 10 xx .

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y ∆5y ∆6y ∆7y ∆8y ⋮ ⋮

x–4 y–4 ∆y–4

x–3 y–3 ∆2y–4 ∆y–3 ∆3y–4

x–2 y–2 ∆2y–3 ∆4y–4 ∆y–2 ∆3y–3 ∆5y–4

x–1 y–1 ∆2y–2 ∆4y–3 ∆6y–4 ∆y– 1 ∆3y–2 ∆5y–3 ∆7y–4

x0 y0 ∆∆∆∆2y– 1 ∆∆∆∆4y–2 ∆∆∆∆6y–3 ∆∆∆∆8y–4 – – – ∆∆∆∆y0 – – – ∆∆∆∆3y–1 – – – ∆∆∆∆5y–2 – – – ∆∆∆∆7y–3 – – –

x1 y1 ∆∆∆∆2y0 ∆∆∆∆4y–1 ∆∆∆∆6y–2 ∆∆∆∆8y–3 ∆y1 ∆3y0 ∆5y–1 ∆7y–2

x2 y2 ∆2y1 ∆4y0 ∆6y–1 ∆y2 ∆3y1 ∆5y–0

x3 y3 ∆2y2 ∆4y1 ∆y3 ∆3y2

x4 y4 ∆2y3 ∆y4

x5 y5 ⋮ ⋮

Iz načina izvoñenja zaključuje se da Beselova interpolaciona formula predstavlja interpolacioni polinom koji se poklapa s funkcijom )(xf u 2n + 2 tačke.

Greška Beselove interpolacione formule je

),(ξ),1)()(()2)(1)(1()!22(

)(1

)22(22

+−

++

∈−−+−−+−+

= nn

nn

n xxnununuuuuun

fhR ⋯

ξ

ili

)1)()(()2)(1)(1()!12(2

121

12

−−+−−+−+

∆+∆= −

+−−

+

nununuuuuun

yyR n

nn

n

n ⋯ .

Praktično uputstvo je: za 25.0|| ≤u koristi se Stirlingova a za 0.25 0.75u≤ ≤ Beselova interpolaciona formula.

59

Primer 1. Data je tablica vrednosti funkcije )(xfy = (v. tablicu). Izraču-nati )7489.1(f .


x xe− ∆ ∆2 ∆3 ∆4 1.72 0.1790661479

–17817379 1.73 0.1772844100 177285

–17640094 –1762 1.74 0.1755204006 175523 +13

–17464571 –1749 1.75 0.1737739435 173774 +22

–17290797 –1727 1.76 0.1720448638 172047 +15

–17118750 –1712 1.77 0.1703329988 170335

–16948415 1.78 0.1686381473

Ovde je 89.001.0

74.17489.1 =−=u i 39.02

1 =−u , pa je

10

2 210

2 210 10

0.1755204006 0.1737739435(1.7489) 0.39( 17464571) 10

2

0.39 0.25 175523 173774 0.39 0.2510 0.39

2 2 6

(0.39 0.25)(0.39 2.25) 13 22( 1749) 10 10

24 20.17464717205

f −

−

− −

+= + − ⋅ +

− + − + ⋅ + ⋅

− − + ⋅ − ⋅ + ⋅ =

= 0.00068111827 0.00000085490

0.00000000111 0.00000000001;

− − ++ +1739652000.0)7489.1( =f .

Primer 2. U sledećoj tabeli date su vrednosti eliptičkog integrala

∫Φ

Φ−

Φ=Φ0

221 sin1

)(d

F

za ekvidistantne vrednosti Φ . Izračunati )5.23( °F . (v. tablicu)

Φ )(ΦF ∆F ∆2F ∆3F ∆4F 21° 0.370634373

17070778 22° 0.388705151 59002

18129780 2707

60

23° 0.406834931 61709 4 18191489 2711

24° 0.425026420 64420 –7 18255909 2704

25° 0.443282329 67124 18323033

26° 0.461605362

Vrednost 23.5° se nalazi u središtu intervala (23°, 24°), tj. =+=2

10 xxu

°=°+°= 5.232

2423, pa primenom odgovarajuće Beselove interpolacione

formule nalazimo

>.415922792.0

0000078831.04159306755.02

000000007.0000000004.0

128

32

000064420.0000061709.0

8

1

2

425026420.0406834931.0)5.23(

=

=−=−⋅+

++⋅−+=°F

11. INVERZNA INTERPOLACIJA

Neka je funkcija )(xfy = zadata tablično

x 0x 1x 2x ... nx

y 0y 1y 2y ... ny

Postupak nalaženja argumenta x koji odgovara zadatoj vrednosti y funkcije )(xfy = , koja nije data u tablici, naziva se inverzna ili obratna interpolacija.

Postoji više načina za rešavanje ovog zadatka.

Neka su čvorovi interpolacije ekvidistantni: ihxxi += 0 , ni ,0= , h je različito od nule i konstantno. Pretpostavimo da je funkcija )(xfy = monotona

i da se zadata vrednost y* nalazi izmeñu 0y i 1y . Zamenjujući y* u prvom Njut-novom interpolacionom polinomu dobija se

)1()1(!

)1(!2!1

* 002

00 +−−

∆++−

∆+

∆+= nuuu

n

yuu

yu

yyy

n

⋯⋯

odakle je

(1)

+−−∆++−∆

∆−

∆−= )1()1(

!)1(

!2

1* 002

00

0 nuuun

yuu

y

yy

yyu

n

……

61

( 00 ≠∆y zbog monotonosti funkcije )(xfy = ), što možemo zapisati na sledeći način

(2) )(uFu = ,

gde je

+−−∆++−∆

∆−

∆−= )1()1(

!)1(

!2

1*)( 00

2

00

0 nuuun

yuu

y

yy

yyuF

n

…… .

Sada se formira niz uzastopnih aproksimacija (iteracija): ...,,, )2()1()0( uuu

...,)(mu uzimajući za prvu, početnu aproksimaciju

0

0)0( *

y

yyu

∆−=

i primenjujući metodu iteracije

(3) )( )()1( mm uFu =+ , …,2,1,0=m

Ako je ],[)( )1( baCxF n+∈ , h dovoljno malo i [a, b] sadrži sve čvorove interpolacije, onda iterativni proces (3) konvergira, tj. postoji

uu m

m=

∞→

)(lim ,

gde je u tražena vrednost, odnosno huxx += 0 . (O metodi iteracije i uslovu konvergencije detaljnije će biti reči u IV delu.)

Praktično se iterativni postupak produžava sve dok se ne poklope dve uzastopne aproksimacije na potreban broj dekadnih znakova, tj. dok se u granicama zadate tačnosti ne postigne da je

)1()( −= kk uu ;

tada se stavi da je )(kuu ≈ ili )(

0* khuxx += .

Ako se zadata vrednost y* nalazi pri kraju tablice, onda se na potpuno ana-logan način dobija odgovarajuće x* korišćenjem drugog Njutnovog interpola-cionog polinoma.

Ako se zadata vrednost y* nalazi u sredini tablice, onda se na potpuno analogan način dobija odgovarajuće x* korišćenjem tzv. interpolacionih formula sa centralnim razlikama: Gausovih, Stirlingove, Beselove, ...

Zadatak inverzne interpolacije u slučaju neekvidistantnih vrednosti argumenta: nxxx ...,,, 10 se može rešiti primenom Langraževe interpolacione formule. Za to je dovoljno uzeti y za nezavisnu promenljivu a x posmatrati kao funkciju od y, tj. )(ygx = . Naravno, potrebno je pretpostaviti postojanje inverzne funkcije. Dakle, zadatak inverzne interpolacije rešavamo primenom formule

62

(4) 1

0 1

( )

( ) ( )

nn

ii i n i

yx x

y y y+

= +

Π= ⋅

′− Π∑ ,

gde je

1 0 1( ) ( ) ( ) ( )n ny y y y y y y+Π = − − −⋯ .

Primer 1. U sledećoj tablici date su vrednosti funkcije )(xf

x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 y 0.36788 0.30119 0.24660 0.20190 0.16530

Naći onu vrednost x za koju je 31664.0)( =xf .

Rešenje. Čvorovi su jednako razmaknuti, funkcija je monotono opadajuća i 36788.00 =y , y* = 0.31664, 30119.01 =y . Sastavimo tablicu konačnih razlika.

Koristićemo prvi Njutnov interpolacioni polinom.

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y 1.0 0.36788

–6669 1.2 0.30119 1210

–5459 –221 1.4 0.24660 989 42

–4470 –179 1.6 0.20190 810

–3660 1.8 0.16530

Redom računamo:

76833.006669.0

36788.031664.0)0( =−

−=u , 15367.1)0(0

)0( =+= huxx ;

⋅−+−⋅⋅⋅

−−=

!3

00221.0)176833.0(76833.0

!2

01210.0

06669.0

176833.0)1(u

⋅−⋅⋅+−−⋅⋅ )176833.0(76833.0!4

00042.0)276833.0()176833.0(76883.0

itd. ,15017.1,75084.0)]376833.0()276833.0( )1(0

)1( =+==−−⋅ huxx Na kraju se dobija: x* = 1.15.

Primer 2. U tabeli date su vrednosti integrala verovatnoće

∫−=Φ

xx dxex

0

2

)/2()( π

(v. tabelu). Za koje x je 5.0)( =Φ x ?

Rešenje. Ovde je bolje primeniti interpolacionu formulu sa centralnim razlikama.

63

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y 0.45 0.4754818

91737 0.46 0.4846555 –840

90897 –11 0.47 0.4937452 –851 1

90046 –10 0.48 0.5027498 –861 2

89185 –8 0.49 0.5116683 –869

88316 0.50 0.5204999

Tražena vrednost x* se nalazi izmeñu 0.47 i 0.48. (Ako bismo primenili linearnu interpolaciju, dobili bismo * 0.476946x ≈ .) Primenićemo Beselovu interpola-cionu formulu

132

10

21

2

02110

!3

)1()(

2!2

)1()(

2 −− ∆

−−+∆+∆−+∆−++= y

uuuyyuuyu

yyy ,

gde je 01.0

47.0−= xu a y = 0.5. Ako stavimo vu =−

2

1, imaćemo

),0000010.0(6

)25.0(

)0000856.0(2

)25.0(0090046.04982475.05.0

2

2

−−+

+−−++=

vv

vv

odnosno

)0000185.0()25.0()004753.0()25.0(194623.0 22 −−−−−−= vvvv .

Neka je 194623.0)0( =v . Tada je

−−−−= )004753.0(]25.0)194623.0[(194623.0 2)1(v

.193614.0000001.0001008.0194623.0

)0000185.0(]25.0)194623.0[(194623.0 2

=−−=−−−

Na isti način dobijamo

193612.0000001.00010101.0194623.0)2( =−−=v .

Kako je )1()2( vv = , to je v = 0.693612 i x* = 0.47 + 0.01 · 0.693612 = 0.4769361.

Inverzna interpolacija se može primeniti za rešavanje jednačine 0)( =xf . Za to je dovoljno sastaviti tablicu vrednosti funkcije )(xfy = u okolini nule funkcije )(xf , pa primeniti inverznu interpolaciju za y = 0.

64

Primer 3. Rešiti jednačinu 01sh =−+ xx .

Rešenje. Grafičkom metodom nala-zimo da data jednačina ima samo jedno rešenje i da to rešenje pripada intervalu (0, 1) (sl. 2). Zaista, ako je

1sh)( −+= xxxf , onda je

01)0( <−=f i 0...1752.1)1( >=f i 01ch)(' >+= xxf za ]1,0[∈x .

Kako je 0...021.0)5.0( >=f i 0...189.0)4.0( <−=f to rešenje )5.0,4.0(* ∈x . Tabelirajmo funkciju )(xf na odsečku [0.4, 0.5] korakom h = 0.02.

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y 0.40 –0.189248

0.041705 0.42 –0.147543 0.000173

0.041878 0.000009 0.44 –0.105665 0.000182 0.000000

0.042060 0.000009 0.46 –0.063605 0.000191 0.0000–2

0.042251 0.000007 0.48 –0.021354 0.000198

0.042449 0.50 –0.021095

Koristićemo drugi Njutnov interpolacioni polinom do konačnih razlika tre-ćeg reda, zaključno (razlike četvrtog i višeg reda nije korektno koristiti – aku-mulirana greška zaokrugljivanja je veća od samih razlika). Dakle,

)2)(1(!3

)1(!2!1

23

32

45 ++∆++∆+∆+= vvv

yvv

yv

yyy ,

gde je 02.0

5.05 −=−= x

h

xxv . Imamo

++++−−= )2)(1(6

000007.0)1(

2

000198.0

042449.0

1

042449.0

021095.00vvvvvv .

Uzmimo 496949.0042449.0

021095.00)0( −=−=v , tj. 490061.002.05.0 )0()0( =+= vx .

Dalje, redom računamo

++−⋅−⋅

−−= )1496349.0()496949.0(2

000198.0

042449.0

1496949.0)1(v

x

y

00

1

1x*

y x = – + 1y x = sh

Sl. 2

65

=

+−⋅+−⋅−⋅+ )2496949.0()1496949.0()496949.0(6

000007.0

=−−−−= )000000438.0000024749.0(042449.0

1496949.0

496356.0000593.0496949.0 −=+−= , (1) (1)0.5 0.02 0.490073x v= + ⋅ = .

++−⋅−⋅

−−= )1496356.0()496356.0(2

000198.0

042449.0

1496949.0)2(v

=

+−⋅+−⋅−⋅+ )2496356.0()1496356.0()496356.0(6

000007.0

=−−−−= )000000438.0000024748.0(042449.0

1496349.0

496356.0000593.0496949.0 −=+−= , (2) (2)0.5 0.02 0.490073x v= + ⋅ = . Dakle, x* ≈ 0.49007.

12. INVERZIJA REDA

Jedna od najčešće primenjivanih metoda za rešavanje zadatka inverzne interpolacije je inverzija reda. Skoro sve interpolacione formule su oblika poli-noma, a polinom je specijalan slučaj Maklorenovog (C. Maclaurin, 1698–1746) reda

(1) ⋯⋯ +++++= nnxaxaxaay 2

210 . Inverzija reda je opštiji problem od problema inverzne interpolacije. Kada

je red (1) konvergentan, onda je moguće izvršiti inverziju reda. Iz (1) za x = 0 imamo da je 0ay = , pa je

(2) 00 =− ay ,

i zbog toga x možemo tražiti u obliku Tejlorovog reda

(3) ⋯⋯ +

−++

−+

−+

−+=

n

n a

ayc

a

ayc

a

ayc

a

ayccx

1

0

3

1

03

2

1

02

1

010 ,

01 ≠a , gde su ...,...,,,, 210 ncccc za sada neodreñeni koeficijenti. Red (1) je

ureñen po stepenima x a red (3) po stepenima 1

0

a

ay −, što je saglasno s uslovom

(2); deljenje koeficijentom 1a je izvršeno kako bi se kasnije lakše odreñivali

koeficijenti ...,...,,,, 210 ncccc Kada se u red (1) umesto x stavi njegova vrednost prema (3), dobiće se

+

+

−+

−+

−++= ⋯

3

1

03

2

1

02

1

01010 a

ayc

a

ayc

a

ayccaay

66

+

+

−+

−+

−++

23

1

03

2

1

02

1

0102 ⋯

a

ayc

a

ayc

a

aycca

⋯⋯ +

+

−+

−+

−++

33

1

03

2

1

02

1

0103 a

ayc

a

ayc

a

aycca

ili

+

+

−+

−+

−+=

−⋯

3

1

03

2

1

02

1

010

1

0

a

ayc

a

ayc

a

aycc

a

ay

(4) +

+

−+

−+

−++

23

1

03

2

1

02

1

010

1

2 ⋯a

ayc

a

ayc

a

aycc

a

a

⋯⋯ +

+

−+

−+

−++

33

1

03

2

1

02

1

010

1

3

a

ayc

a

ayc

a

aycc

a

a

Uporeñujući koeficijente uz odgovarajuće stepene 1

0

a

ay − dobijamo redom:

00 =c ,

11 =c ,

1

22 a

ac −= ,

(5) 2

1

2

1

33 2

+−=

a

a

a

ac ,

3

1

221

32

1

44 55

−

+−=

a

a

a

aa

a

ac ,

2 42

5 3 2 32 4 25 2 3

1 1 11 1

6 3 21 14a a a aa a a

ca a aa a

= − + + − +

,

5

1

241

332

2

31

2324

22

21

4352

1

66 4284287

−

+

+−

++−=

a

a

a

aa

a

aaaa

a

aaaa

a

ac

i tako dalje.

Kako se primenjuje metoda inverzije reda? Pokažimo na primeru prve Nju-tnove interpolacione formule uzimajući prvih pet sabiraka:

2 30 0 0

0 ( 1) ( 1)( 2)1! 2! 3!

y y yy y u u u u u u

∆ ∆ ∆= + + − + − − +

67

40 ( 1)( 2)( 3)

4!

yu u u u

∆+ − − −

Napišimo formulu u sledećem obliku

.2446

2411

32432

404

304

03

204

03

02

04

03

02

00

uy

uyy

uyyy

uyyy

yyy

∆+

∆−

∆+

+

∆+

∆−

∆+

∆−

∆+

∆−∆+=

Očigledno je:

(6)

.24

,46

,24

1132

,432

,

04

4

04

03

3

04

03

02

2

04

03

02

01

00

ya

yya

yyya

yyyya

ya

∆=

∆−∆=

∆+∆−∆=

∆−∆+∆−∆=

=

Koristeći vrednosti (6) izračunavamo koeficijente ic prema obrascima (5) i na taj način dobijamo traženu vrednost u, odnosno x.

Primer 1. Metodom inverzije reda naći vrednost x koja odgovara vrednosti y = 1.70757, ako je funkcija )(xfy = zadata tablicom

x 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 y 1.69897 1.71600 1.73239 1.74819 1.76343 1.77815


x y ∆y ∆2y ∆3y 5.0 1.69897

1703 5.2 1.71600 –64

1639 5 5.4 1.73239 –59

1580 3 5.6 1.74819 –56

1524 4 5.8 1.76343 –52

1472 6.0 1.77815

(Razlike četvrtog reda ne možemo uzeti! Zašto?) Prvo izračunavamo:

68

69897.10 =a ,

017367.03

00005.0

2

00064.001703.01 =+−−=a ,

00034500.02

00005.0

2

00064.02 −=−−=a ,

0000083333.06

00005.03 ==a ; dakle

32 0000083333.000034500.0017367.069897.1 uuuy +−+= ,

gde je 2.0

0.5−= xu . Dalje imamo:

019865.0017367.0

00034500.02 =−−=c ;

00030943.0367.17

34500.02

017367.0

0000083333.02

3 =

−+−=c ,

49519.0017367.0

)69897.170757.1()(

1

0 =−=−a

ay,

pa je

50010.0)49519.0(00030943.0)49519.0(019865.049519.0 32 =⋅+⋅+=u

i, na kraju,

10002.550010.02.00.50 =⋅+=+= huxx ,

odnosno, traženo x = 5.100.

13. TRIGONOMETRIJSKI INTERPOLACIONI POLINOMI

Ako je funkcija )(xfy = periodična, onda se primenjuju trigonometrijske interpolacione formule. Najčešće se koriste Gausova i Ermitova trigonome-trijska interpolaciona formula.

Gausova trigonometrijska interpolaciona formula glasi

1 2

0

0 1 0 2 0

0 2

1

1 0 1 2 1

1 1 1sin ( )sin ( ) sin ( )

2 2 21 1 1

sin ( )sin ( ) sin ( )2 2 2

1 1 1sin ( )sin ( ) sin ( )

2 2 21 1 1

sin ( )sin ( ) sin ( )2 2 2

n

n

n

n

x x x x x xy y

x x x x x x

x x x x x xy

x x x x x x

− − −= +

− − −

− − −+ +

− − −

⋯

⋯

⋯

⋯

69

0 1 1

0 1 1

1 1 1sin ( )sin ( ) sin ( )

2 2 2 .1 1 1

sin ( )sin ( ) sin ( )2 2 2

n

n

n n n n

x x x x x xy

x x x x x x

−

−

− − −+ +

− − −

⋯

⋯

⋯

Ermitova trigonometrijska interpolaciona formula glasi

1 20

0 1 0 2 0

0 21

1 0 1 2 1

0 1 1

0 1 1

sin( )sin( ) sin( )

sin( )sin( ) sin( )sin( )sin( ) sin( )

sin( )sin( ) sin( )sin( )sin( ) sin( )

.sin( )sin( ) sin( )

n

n

n

n

nn

n n n n

x x x x x xy y

x x x x x xx x x x x x

yx x x x x x

x x x x x xy

x x x x x x−

−

− − −= +

− − −− − −

+ +− − −

− − −+ +

− − −

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯⋯

⋯

Primer 1. Funkcija )(xf je zadata tablicom

x 0.4 0.5 0.7 0.8 )(xf 0.0977 0.0088 –0.1577 –0.2192

Primenom Ermitove trigonometrijske formule izračunati )6.0(f . Rešenje.

sin(0.1)sin( 0.1) sin( 0.2)(0.6) 0.0977

sin( 0.1)sin( 0.3) sin( 0.4)

sin(0.2)sin( 0.1) sin( 0.2)0.0088

sin(0.1)sin( 0.2) sin( 0.3)

sin(0.2)sin(0.1) sin( 0.2)( 0.1577)

sin(0.3)sin(0.2) sin( 0.1)

si

f− ⋅ −= ⋅ +

− − ⋅ −− ⋅ −+ ⋅ +− ⋅ −

⋅ −+ ⋅ − +⋅ −

+ n(0.2)sin(0.1) sin( 0.1)( 0.2192)

sin(0.4)sin(0.3) sin(0.1)

⋅ − ⋅ − =⋅

0.01684 0.00592 0.10601 0.03778 0.0792.= − + − + = −

14. PODELJENE (KOLIČNIČKE) RAZLIKE FUNKCIJA

Pretpostavka da su čvorovi interpolacije jednako razmaknuti – ekvidis-tantni sužava oblast primene mnogih interpolacionih formula s konačnim razlikama. Naime, podaci dobijeni eksperimentalnim putem najčešće nisu ekvidistantni. Radi toga ćemo, na odreñen način, uopštiti pojam konačnih razlika uvodeći podeljene ili količničke razlike – razlike s promenljivim korakom i izvesti interpolacione formule s takvim razlikama.

Neka je funkcija ( )y f x= zadata tabličnim vrednostima ( )i iy f x= , 0,i n= , gde su [ , ]ix a b∈ , 0,i n= , nejednako razmaknuti čvorovi, dakle,

1 0i i i ix x x h+∆ = − = ≠ , 0, 1i n= − ,

i ih nisu jednaki meñu sobom.

70

Podeljene razlike prvog reda su:

ii

ii

xx

yy

−−

+

+

1

1 , 1,0 −= ni ,

što ćemo obeležavati na sledeće načine: 1[ , ]i if x x+ ili 1[ , ]i ix x+ ili ),(δ 1+ii xx ili, kratko, 1δ (čita se: malo delta jedan). Tako imamo, na primer:

01

0110 ),(δ

xx

yyxx

−−= ,

12

1221 ),(δ

xx

yyxx

−−= , ...

Podeljene razlike drugog reda su:

ii

iiii

xx

xxxx

−−

+

+++

2

121 ),(δ),(δ, 2,0 −= ni ,

što ćemo obeležavati na sledeće načine: 1 2[ , , ]i i if x x x+ + ili 1 2[ , , ]i i ix x x+ + ili

),,(δ 21 ++ iii xxx ili, kratko, 2δ (čita se: malo delta dva). Tako imamo, na primer:

02

1021210

),(δ),(δ),,(δ

xx

xxxxxxx

−−

= , 13

2132321

),(δ),(δ),,(δ

xx

xxxxxxx

−−

= , ...

Uopšte, podeljene razlike k–tog reda su:

iki

kiiikiii

xx

xxxxxx

−−

+

−+++++ )...,,,(δ)...,,,(δ 1121 , kni −= ,0 ,

što ćemo obeležavati na sledeće načine: [ , ..., ]i i kf x x+ ili [ , ..., ]i i kx x+ ili

)...,,,(δ 1 kiii xxx ++ ili, kratko, kδ (čita se: malo delta ka). Podeljene razlike se obično zapisuju u obliku tablice podeljenih razlika, i

na taj način se postiže preglednost. Tablice su sledećeg oblika, analogno tablicama konačnih razlika.

x y 1δ 2δ ... nδ x0 y0 δ(x0, x1)

x1 y1 δ(x0, x1, x2) δ(x1, x2)

x2 y2 δ(x1, x2, x3) δ(x2, x3)

x3 y3 δ(x2, x3, x4) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ δ(x0, x1, x2, ..., xn)

xn–3 yn–3 δ(xn–4, xn–3, xn–2) δ(xn–3, xn–2)

xn–2 yn–2 δ(xn–3, xn–2, xn–1) δ(xn–2, xn–1)

xn–1 yn–1 δ(xn–2, xn–1, xn) δ(xn–1, xn)

xn yn

71

Primer 1. Sastaviti tablicu podeljenih razlika za funkciju )(xfy = zadatu tablično

x 0.00 0.20 0.35 0.40 0.50 0.54 y 1.000000 1.408000 1.742875 1.864000 2.125000 2.237464

Rešenje.

x y 1δ 2δ 3δ 4δ

0.00 1.000000 2.040000

0.20 1.408000 0.550000 2.232500 1.000000

0.35 1.742875 0.950000 0.000000 2.422500 1.000000

0.40 1.864000 1.250000 0.000000 2.610000 1.000000

0.50 2.125000 1.440000 2.811600

0.54 2.237464

Navedimo neke osobine podeljenih razlika:

1) Podeljene razlike zbira funkcija jednake su zbiru podeljenih razlika sabiraka.

2) Podeljene razlike razlike funkcija jednake su razlici podeljenih razlika umanjenika i umanjioca.

3) Konstantan faktor se može izvući ispred podeljene razlike.

4) Podeljene razlike su simetrične funkcije svojih argumenata, tj.

...)...,,,,(δ

)...,,,,(δ)...,,,,(δ

12

2121

====

+++

++++++

kiiii

kiiiikiiii

xxxx

xxxxxxxx

Važe i sledeće leme.

Lema 1. Ako je )(xPy n= polinom n–tog stepena, onda su podeljene razlike prvog reda polinomi (n–1)–tog stepena.

Dokaz. Na osnovu Bezuovog stava imamo )()()()( 1 innin xPxPxxxP +⋅−= − ,

a odavde je

)()()(

1 xPxx

xPxPn

i

inn−=

−−

,

tj. 1 1[ , ] δ( , ) ( )n i nP x x x x P x−= = .

Posledica 1. Podeljene razlike n–tog reda polinoma n–tog stepena )(xPn

su konstantne, tj. CxxxxP nn =− ]...,,,,[ 110 , C = const.

72

Posledica 2. Podeljene razlike m–tog reda, gde je m > n, polinoma n–tog stepena )(xPn su jednake nuli. Zaista, razlika (n + 1)–vog reda je

1 0 10 1

[ , , ..., ] [ , , ..., ][ , , , ..., ] 0n n n n

n nn n

P x x x P x x x C CP x x x x

x x x x−− −= = =

− −

i sve razlike reda višeg od (n + 1)–vog su, očigledno, jednake nuli.

Lema 2. Podeljena razlika k–tog reda je

+−−−

=+++

++ )())(()...,,,(

211

kiiiiii

ikiii xxxxxx

yxxx

…δ

++−−−

++++++

+ ⋯⋯ )())(( 1211

1

kiiiiii

i

xxxxxx

y

)())(( 111 −+++++

+

−−−+

kikiikiii

ki

xxxxxx

y

⋯.

Dokaz se izvodi metodom matematičke indukcije po k i može se naći, na primer, u knjizi: J. S. Berezin, N. P. Židkov – Numerička analiza, Beograd, 1963, str. 81.

Pretpostavimo da su čvorovi interpolacije nxxx ...,,, 10 jednako razmak-

nuti, tj. pretpostavimo da je hxx ii =−+1 , h – konstantno. Nañimo vezu izmeñu konačnih i podeljenih razlika. Radi toga posmatraćemo tablice konačnih razlika

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y

x0 y0

y1 – y0

x0 + h y1 y2 – 2y1 + y0

y2 – y1 y3 – 3y2 + 3y1 – y0

x0 + 2h y2 y3 – 2y2 + y1 y4 – 4y3 + 6y2 – 4y1 + y0

y3 – y2 y4 – 3y3 + 3y2 – y1

x0 + 3h y3 y4 – 2y3 + y2 y5 – 4y4 + 6y3 – 4y2 + y1

y4 – y3 y5 – 3y4 + 3y3 – y2

x0 + 4h y4 y5 – 2y4 + y3 y6 – 4y5 + 6y4 – 4y3 + y2

y5 – y4 y6 – 3y5 + 3y4 – y3

x0 + 5h y5 y6 – 2y5 + y4

y6 – y5

x0 + 6h y6

i tablicu podeljenih razlika s konstantnim korakom h

73

x y 1δ 2δ 3δ 4δ x0 y0

h

yy 01 −

x0 + h y1 hh

yyy

⋅+−

2

2 012

h

yy 12 −

hhh

yyyy

⋅⋅−+−

23

33 0123

x0 + 2h y2 hh

yyy

⋅+−

2

2 123 hhhh

yyyyy

⋅⋅⋅+−+−

234

464 01234

h

yy 23 −

hhh

yyyy

⋅⋅++−

23

33 1234

x0 + 3h y3 hh

yyy

⋅+−

2

2 234 hhhh

yyyyy

⋅⋅⋅+−+−

234

464 12345

h

yy 34 −

hhh

yyyy

⋅⋅−+−

23

33 2345

x0 + 4h y4 hh

yyy

⋅+−

2

2 345 hhhh

yyyyy

⋅⋅⋅+−+−

234

464 23456

h

yy 45 −

hhh

yyyy

⋅⋅−+−

23

33 3456

x0 + 5h y5 hh

yyy

⋅+−

2

2 456

h

yy 56 −

x0 + 6h y6

Na osnovu prethodnih tablica zaključujemo da je:

h

y

h

yyxxhxxy 001

100001 ),(δ),(δδ

∆=

−==+= ,

h

yy 1

11δ

∆= , ...;

20

2012

21000002

!22

2),,(δ)2,,(δ

h

y

hh

yyyxxxhxhxxy

∆=

⋅+−

==++= δ ,

h

yy

!21

2

12 ∆=δ , ...

==+++= ),,,(δ)3,2,,(δδ 3210000003 xxxxhxhxhxxy

30

3

20123

!3!23

33

h

y

hh

yyyy ∆=⋅

−+−= , 31

3

13

!3δ

h

yy

∆= , ...;

==++++= ),,,,(δ)4,3,2,,(δδ 432100000004 xxxxxhxhxhxhxxy

40

4

301234

!4!34

464

h

y

hh

yyyyy ∆=⋅

+−+−= , 41

4

14

!4δ

h

yy

∆= , ...;

i, u opštem slučaju, važi

74

nk

n

kkkkkn

hn

ynhxhxhxxy

!)...,,2,,(δδ

∆=+++= , ...,2,1,0=k

15. NJUTNOVI INTERPOLACIONI POLINOMI S PODELJENIM RAZLIKAMA

Neka je funkcija )(xfy = zadata tablicom

x 0x 1x 2x ... ix ... nx

y 0y 1y 2y ... iy ... ny

pri čemu su čvorovi interpolacije ],[ baxi ∈ , ni ,0= , meñu sobom različiti. Njutnovi interpolacioni polinomi, a takoñe i drugi interpolacioni polinomi s podeljenim razlikama, mogu se jednostavno napisati koristeći relaciju izmeñu podeljenih i konačnih razlika

nk

n

kkkkkn

hn

ynhxhxhxxy

!),,2,,(

∆=+++= …δδ , ...,2,1,0=k ,

što prepuštamo čitaocu. Ovde ćemo izvesti samo I Njutnov interpolacioni poli-nom na nešto drugačiji način. Neka je )(xLn Lagranžev interpolacioni polinom

n–tog stepena, dakle, in yxL =)( , ni ,0= . Podeljene razlike (n + 1)–vog reda

polinoma )(xLn je, kao što je poznato, su

(1) 0]...,,,,,[ 210 ≡nn xxxxxL . Na osnovu definicije podeljenih razlika imamo

00

0

( ) ( )[ , ]n n

n

L x L xL x x

x x

−=

−,

a odavde je

(2) 0 0 0( ) ( ) [ , ]( )n n nL x L x L x x x x= + − ,

i analogno iz

0 1 1 0 1 20 1

[ , , , ..., ] [ , , , ..., ][ , , , ..., ]

( )n k n k

n kk

L x x x x L x x x xL x x x x

x x− −

=−

imamo =− ]...,,,,[ 110 kn xxxxL

(3) 0 1 0 1 2[ , , ..., ] [ , , , , ..., ]( )n k n k kL x x x L x x x x x x x+ − ,

nk ,1= . Koristeći formulu (3) iz formule (2) dobijamo

0 0 0( ) ( ) [ , ] ( )n n nL x L x L x x x x= + ⋅ − =

0 0 1 0 1 1 0( ) [ , ] [ , , ]( ) ( )n n nL x L x x L x x x x x x x= + + − ⋅ − =

0 0 1 0 0 1 0 1( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )n n nL x L x x x x L x x x x x x x= + − + − − =

75

++−+= ],,[)](,[)( 2100100 xxxLxxxxLxL nnn

0 1 2 2 0 1[ , , , ]( )( )( )nL x x x x x x x x x x+ − − − =

+−−+−+= ))(](,,[)](,[)( 102100100 xxxxxxxLxxxxLxL nnn

0 1 2 0 1 2[ , , , ]( )( )( )nL x x x x x x x x x x+ − − − =

+−−+−+== ))(](,,[)](,[)(... 102100100 xxxxxxxLxxxxLxL nnn

+−−−+ − )())(](...,,,[ 11010 nnn xxxxxxxxxL ⋯

0 1 0 1[ , , , ..., ]( )( ) ( ).n n nL x x x x x x x x x x+ − − −⋯

Meñutim, 0 1[ , , , ..., ] 0n nL x x x x ≡ , pa imamo

(4) 0 0 1 0 0 1 2 0 1

0 1 0 1 1

( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )[ , , ..., ]( )( ) ( ),

n n n n

n n n

L x L x L x x x x L x x x x x x xL x x x x x x x x x−

= + − + − − ++ − − −⋯

što predstavlja prvi Njutnov interpolacioni polinom s podeljenim razlikama.

Greška formule (4) je

(5) )())(()!1(

)ξ()()()( 10

)1(

n

n

nn xxxxxxn

fxLxfxR −−−

+=−=

+

⋯ , ],[ξ ba∈ .

Primer 1. Naći prvi Njutnov interpolacioni polinom za funkciju )(xfy = zadatu tabelom

x –1 0 2 3 5 6 y 2 4 26 58 194 310

Rešenje. Napravimo tablicu podeljenih razlika

i xi yi 1δ 2δ 3δ 4δ 0 –1 2 2 1 0 3 3 11 1 2 2 26 7 0 32 1 3 3 58 12 0 68 1 4 5 194 16 116 5 6 310

Kako su podeljene razlike četvrtog reda jednake nuli, to je interpolacioni polinom polinom trećeg stepena. Dakle,

=−−+⋅+−++++= )2)(0)(1(1)0)(1(3)1(22)( xxxxxxxLn

32234 xxx +++= .

76

Drugi Njutnov interpolacioni polinom s podeljenim razlikama je

).())(](...,,,,[

))(](,,[],[)()(

11210

1121

xxxxxxxxxxL

xxxxxxxLxxLxLxL

nnnn

nnnnnnnnnnnn

−−−++−−++=

−

−−−−

⋯

Primer 2. Sastaviti drugi Njutnov interpolacioni polinom za funkciju zadatu tablicom

x –2 –1 0 1 2 y –257 –8 27 100 463

Rešenje. Tablica podeljenih razlika je

i xi yi 1δ 2δ 3δ 4δ 0 –2 –257 249 1 –1 –8 –107 35 42 2 0 27 19 0 73 42 3 1 100 145 363 4 2 463

pa je )(xLn = 463 + 363·(x – 2) + 145·(x – 2)(x – 1) + 42·(x – 2)(x – 1)(x – 0) = = 27 + 12x + 19x2 + 42x3.

U oba primera razlike četvrtog reda su jednake nuli, naravno, i razlike višeg reda od četiri su jednake nuli, pa su interpolacioni polinomi polinomi četvrtog stepena. Kako je rešenje zadatka jednoznačno, to nije bitno koja se interpolaciona formula koristi. Meñutim, ako bismo tražili interpolacioni polinom stepena < 3, onda je značajno koja bi se interpolaciona formula koristila. Koja će se formula koristiti, to zavisi, kao što znamo, od toga gde se nalazi vrednost x za koju treba izračunati vrednost )(xf . Ako je ta vrednost u početku tablice, koristiće se prva Njutnova interpolaciona formula, ako je ta vrednost na kraju tablice, koristiće se druga Njutnova interpolaciona formula, a ako je vrednost x u sredini tablice, onda će se koristiti neka od interpolacionih formula sa centralnim razlikama.

16. KONVERGENCIJA INTERPOLACIONOG PROCESA

Neka je funkcija )(xf aproksimirana interpolacionim polinomom )(xLn

na segmentu interpolacije [a, b]. U čvorovima interpolacije ],[ baxi ∈ je

)()( iin xfxL = , ni ,0= . Opšta formula za grešku interpolacije za ],[ bax∈ i

ixx ≠ , ni ,0= , je

77

( 1)

1

(ξ)( ) ( ) ( ) ( )

( 1)!

n

n n n

fR x f x L x x

n

+

+= − =+ ∏ ,

gde je )())(()( 101 nn xxxxxxx −−−=Π + ⋯ , ],[)(ξξ bax ∈= a ],[)( 1 baCxf n+∈ .

Ocena greške )(xRn je povezana s ocenom |)(|max )1( xf n+ za ],[ bax∈ . To je ponekad vrlo teško učiniti, a kada je funkcija zadata tablično, onda to i nije moguće. Zbog toga je vrlo važno sledeće pitanje: ako izaberemo vrlo velik broj čvorova interpolacije, da li odgovarajući interpolacioni polinom dovoljno dobro aproksimira funkciju )(xf ? Drugim rečima, postavlja se problem konver-gencije interpolacionog procesa. Ako broj čvorova neograničeno raste, onda umesto interpolacionog polinoma imamo beskonačni red kojeg možemo nazvati interpolacionim redom. Naravno, prvo pitanje je: Da li dobijeni interpolacioni red konvergira?

Neka je dat sledeći sistem čvorova interpolacije:

⋮

…

⋮

;,,,

;,,

;,

;

)()(2

)(1

)(0

)2(2

)2(1

)2(0

)1(1

)1(0

)0(0

nn

nnn xxxx

xxx

xx

x

pri čemu svi čvorovi ],[)( bax ki ∈ , i = 0, 1, 2, ..., k = 0, 1, 2, ... Formirajmo niz

interpolacionih polinoma, na primer, Lagranževih interpolacionih polinoma )(xLn , n = 0, 1, 2, ...

Reći ćemo: Interpolacioni proces se naziva konvergentnim ako je

(1) )()(lim xfxLnn

=∞→

, ],[ bax∈ .

Interpolacioni proces je ravnomerno konvergentan ako (1) ravnomerno konvergira na segmentu [a, b].

Na prvi pogled mogli bismo zaključiti da s povećavanjem broja n čvorova interpolacije, čvorovi sve gušće i gušće ispunjavaju segment [a, b] tako da se u proizvoljnom njegovom delu, počevši od nekog n, nalazi bar jedan čvor i da je to neka „garancija“ ravnomerne konvergencije. Ali to, ipak, nije tako. Može se desiti da niz )(xLn , kada ∞→n , uopšte ne konvergira, da konvergira ka nekoj funkciji )(xg koja je različita od funkcije )(xf , a samo pod odreñenim uslovima konvergira ka funkciji )(xf . Tako, na primer, niz Lagranževih inter-

polacionih polinoma )(xLn formiranih za funkciju ||)( xxf = na segmentu [–1, 1] pomoću ekvidistantnih čvorova interpolacije kada ∞→n ne konvergira ka funkciji )(xf ni u jednoj tački intervala (–1, 1).

78

Pitanje konvergencije interpolacionog procesa (1) rešava sledeća teorema.

Teorema. Neka je )(xf cela funkcija. Niz interpolacionih polinoma

)(xLn , formiranih za funkciju )(xf za proizvoljan izbor čvorova interpolacije, ravnomerno konvergira ka funkciji )(xf , ],[ bax∈ .

Dokaz videti u knjizi: J. S. Berezin, N. P. Židkov – Numerička analiza, Beograd, 1963, str. 124.

Inače, funkcija )(xf se naziva celom funkcijom ako se ona može prikazati u obliku stepenog reda

⋯⋯ +−++−+−+= nn xxaxxaxxaaxf )()()()( 0

202010 ,

koji konvergira za svako ],[ bax∈ . Dakle, )(xf ima izvode proizvoljnog reda.

17. ERMITOV INTERPOLACIONI POLINOM

Neka je funkcija ],[)( 22 baCxf n+∈ i neka su ],[ baxi ∈ , ni ,0= , čvorovi

interpolacije. Neka su zadate vrednosti funkcije )( ii xfy = i vrednosti prvog

izvoda ( )i iy f x′ ′= , ni ,0= , u čvorovima interpolacije. Interpolacioni polinom

)(xPm koji zadovoljava uslove

(1) iim yxP =)( , iim yxP ′=′ )( , ni ,0= ,

naziva se Ermitov interpolacioni polinom. Kako u (1) imamo 2n + 2 uslova, ste-pen polinoma )(xPm je m ≤ 2n + 1. Dakle, formirajmo polinom )(12 xP n+ koji zadovoljava uslove

(2) iin yxP =+ )(12 , iin yxP ′=′ + )(12 , ni ,0= .

Jedan od načina rešavanja postavljenog zadatka je analogan načinu na koji smo odredili Lagranžev interpolacioni polinom. Dakle, formirajmo pomoćne polinome )(xui i )(xvi stepena 2n + 1 takve da su ispunjeni uslovi

≠=

==,,0

,,1δ)(

ji

jixu ijji ; 0)( =ji xv ,

0)( =′ ji xu ;

≠=

==′.,0

,,1δ)(

ji

jixv ijji

Polinom

2 10 0

( ) ( ) ( )n n

n i i i ii i

P x u x y v x y+= =

′= +∑ ∑

zadovoljava uslove (2). Slično kao i kod Lagranževog interpolacionog polinoma nalazimo da je:

79

,)]()[()(

,)]([)])((21[)(2

2

xpxxxv

xpxxxpxu

iii

iiiii

−=

⋅−′−=

gde je

)())(())((

)())(())(()(

1110

1110

niiiiiii

niii xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxp

−−−−−−−−−−=

+−

+−

……

…….

Dakle, traženi interpolacioni polinom je

(3) 2 22 1

0 0

( ) [1 2 ( )( )] [ ( )] ( )[ ( )]n n

n i i i i i i i ii i

P x p x x x p x y x x p x y+= =

′ ′= − − ⋅ + −∑ ∑ .

Drugi način nalaženja Ermitovog interpolacionog polinoma je metoda neodreñenih koeficijenata. Naime, ako interpolacioni polinom potražimo u obliku

(4) 1212

221012 )( +

++ ++++= nnn xcxcxccxP ⋯ ,

onda iz uslova (2) dobijamo sistem od (2n + 2)–ve linearne jednačine po nepoznatima – neodreñenim koeficijentima: 12210 ...,,,, +ncccc . Naravno, rešava-njem tog sistema jednačina dolazimo do interpolacionog polinoma (4). Razume se, za veliko n obim računanja je velik, pa je prvi način nešto jednostavniji.

Primer 1. Naći Ermitov interpolacioni polinom za funkciju zadatu tablicom

x 0 1 y 8 90 y’ 8 156

Rešenje. Polinom je najviše trećeg stepena. Prvo nalazimo =−−=

10

1)(0

xxp

)1( −−= x i xx

xp =−−=

01

0)(1 . Koristeći formulu (3) imamo

+⋅⋅−⋅⋅−+⋅−−⋅−−−= 90][)]1(121[8)]1([)]0)(1(21[)( 223 xxxxxP

+−⋅+=⋅⋅−+⋅−−⋅−+ 212 )1()21(8156][)1(8)]1([)0( xxxxxx

=−⋅+−⋅+−⋅+ )1(156)1(8)23(90 222 xxxxxx

=−++−++−+−= 23232323 150156816827018082416 xxxxxxxxx

,88740 23 +++⋅= xxx

što znači da je tražena funkcija polinom drugog stepena: 22 7488)( xxxP ++=

Ermitov polinom se može izvesti i u opštijem slučaju zahtevajući da budu ispunjeni uslovi:

iim yxP =)( , iim yxP ′=′ )( , )()( )(...,,)( kii

kmiim yxPyxP =′′=′′ , ni ,0= , 1≥k .

80

Primer 2. Naći Ermitov interpolacioni polinom za funkciju zadatu tablicom

x –1 0 y 69 24 y' –94 4 y" 98

Rešenje. Primenimo metodu neodreñenih koeficijenata. Interpolacioni poli-nom je najviše četvrtog stepena. Dakle, tražimo polinom

44

33

22104 )( xcxcxcxccxP ++++= ,

Izračunajmo izvode:

.1262)(

,432)(2

4324

34

23214

xcxccxP

xcxcxccxP

++=′′

+++=′

Na osnovu uslova zadatka imamo:

1−=x : 69)1()1()1()1( 44

33

2210 =−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+ ccccc ,

94)1(4)1(3)1(2 34

2321 −=−⋅+−⋅+−⋅+ cccc ,

0=x : 240000 44

33

2210 =⋅+⋅+⋅+⋅+ ccccc ,

4040302 34

2321 =⋅+⋅+⋅+ cccc ,

98012062 2432 =⋅+⋅+ ccc .

Odavde dobijamo: 240 =c , 41 =c , 492 =c , 03 =c , 04 =c . Rešenje je, dakle,

22 49424)( xxxP ++= .

Primer 3. Naći Ermitov interpolacioni polinom za funkciju )(xf na osnovu podataka datih u sledećoj tablici

x –1 0 2 )(xf 0 –7 3 )(' xf –8 –5 55 )(" xf 10

Rešenje. Traženi polinom je najviše šestog stepena; potražićemo ga u obliku

)()2)(0)(1()()( 326 xHxxxxLxH ⋅−−++= ,

gde je )(2 xL Lagranžev interpolacioni polinom koji se dobija na osnovu poda-taka

x –1 0 2 )(xf 0 –7 3

a )(3 xH za sada neodreñen polinom najviše trećeg stepena. Dakle,

81

7343)02)(12(

)0)(1()7(

)20)(10(

)2)(1(0

)21)(01(

)2)(0()( 2

2 −−=⋅−+−++−⋅

−+−++⋅

−−−−−−= xx

xxxxxxxL ,

pa je

)()2)(0)(1(734)( 32

6 xHxxxxxxH ⋅−−++−−= .

Diferenciranjem poslednje jednakosti nalazimo

),()2)(0)(1(

)()1()()2)(1()()2(38)(

3

3336

xHxxx

xHxxxHxxxHxxxxH

′⋅−−+++⋅++⋅−++⋅−+−=′

odnosno 2

6 3 3( ) 8 3 (3 2 2) ( ) ( 1)( 0)( 2) ( )H x x x x H x x x x H x′ ′= − + − − ⋅ + + − − ⋅ . Dalje imamo:

za x = –1 je )1(311)1( 36 −⋅+−=−′ HH , )1(3118 3 −⋅+−=− H , 1)1(3 =−H ,

za x = 0 je )0(23)0( 36 HH ⋅−−=′ , )0(235 3H⋅−−=− , 1)0(3 =H ,

za x = 2 je )2(613)2( 36 HH ⋅+=′ , )2(61355 3H⋅+= , 7)2(3 =H .

Diferencirajmo još jednom. 2

6 3 3 3( ) 8 (6 2) ( ) (3 2 2) ( ) ( 1)( 0)( 2) ( )H x x H x x x H x x x x H x′′ ′ ′′= + − ⋅ + − − ⋅ + + − − .

za x = 0 je 6 3 3(0) 8 2 (0) 4 (0)H H H′′ ′= − ⋅ − ⋅ , 310 8 2 1 4 (0)H ′= − ⋅ − ⋅ , 3(0) 1H ′ = − .

Sada imamo tabelu

x –1 0 2 )(3 xH 1 1 7

)(3 xH ′ –1

pa je

3 2 0( ) ( ) ( 1)( 0)( 2) ( )H x x x x x H x= + + − − ⋅L , 03 )( axH = , 0a – konstanta

22

( 0)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 0)( ) 1 1 7 1

( 1 0)( 1 2) (0 1)(0 2) (2 1)(2 0)

x x x x x xx x x

− − + − + −= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + +− − − − + − + −

L .

)()2()1(1)( 02

3 xHxxxxxxH ⋅−⋅⋅++++= ,

0)2()1()()223(12)( 02

3 ⋅−⋅⋅++⋅−−++=′ xxxxHxxxxH ,

za x = 0 je )0(21)0( 03 HH −=′ , )0(211 0H−=− , 1)0(0 =H .

11)2()1(1)( 323 +−=⋅−⋅⋅++++= xxxxxxxxH .

Na kraju dobijamo 2 3 2 3

6( ) 4 3 7 ( 2 ) ( 1)H x x x x x x x x= − − + − − ⋅ − + =

75523 23456 −−++−−= xxxxxx .

Izračunajmo grešku

(5) )()()( 1212 xPxfxR nn ++ −= .

Ermitove interpolacione formule (3).

82

Posmatrajmo pomoćnu funkciju

(6) 2

10

101212 )())((

)())(()]()([)]()([)(

−−−−−−⋅−−−=Φ ++

n

nnn xxxxxx

xzxzxzxPxfzPzfz

…

…,

gde realna promenljiva ],[ baz∈ a x je fiksirana vrednost u ],[ 0 nxx , ixx ≠ , i

ni ,0= . Funkcija )(zΦ ima 2n + 3 nule računajući i njihovu višestrukost:

nxxx ...,,, 10 su dvostruke nule (2n + 2 nule) a x je jednostruka nula. Dalje, kako

],[)( 22 baCxf n+∈ , to je i ],[)( 22 baCz n+∈Φ .

Očigledno, na funkciju )(zΦ se može primeniti Rolova teorema na svakom odsečku izmeñu dve susedne nule. Na taj način zaključujemo da funkcija )(zΦ′ ima bar 2n + 2 nule. Dalje, na funkciju )(zΦ′ se može primeniti

Rolova teorema na svakom odsečku izmeñu dve susedne nule funkcije )(zΦ′ ,

pa funkcija )(zΦ ′′ ima bar 2n + 1 nulu, pa, analogno, funkcija )(zΦ ′′′ ima bar

2n nula, ..., )()22( zn+Φ ima bar jednu nulu u [a, b]. Dakle, postoji ],[ξ ba∈

takva da je 0)ξ()22( =Φ +n . Sada imamo

210

12)22()22(

)]())([(

)!22()]()([]0)([)(

nn

nn

xxxxxx

nxPxfzfz

−−−+⋅−−−=Φ +

++

⋯

pa je za z = ξ

210

12)22(

)]())([(

)!22()]()([]0)ξ([0

nn

n

xxxxxx

nxPxff

−−−+⋅−−−= +

+

⋯

i

210

)22(

1212 )]())([()!22(

)ξ()()()( n

n

nn xxxxxxn

fxPxfxR −−−

+=−=

+

++ ⋯ ,

odnosno

21

)22(

1212 )]([)!22(

)ξ()()()( x

n

fxPxfxR n

n

nn +

+

++ Π+

=−= , ],[ξ 0 nxx∈ .

18. INVERZNE PODELJENE RAZLIKE I INTERPOLACIJA FUNKCIJA VERIŽNIM RACIONALNIM IZRAZIMA

U nizu slučajeva veća tačnost aproksimacije funkcija može se postići kori-šćenjem interpolacionih racionalnih funkcija. Ideja interpolacije prekidnih funk-cija racionalnim funkcijama dovela je do konstrukcije interpolacionih formula u obliku racionalnih funkcija

(1) m

m

kk

m

k

xbxbxbb

xaxaxaa

xQ

xPxR

++++++++

==⋯

⋯2

210

2210

)(

)()( .

(Jedan od prvih radova koji je posvećen ovom pitanju je: T.N. Thiele–Interpola-

83

tionsrechnung, Leipzig, 1909.)

Neka je funkcija )(xfy = zadata tablicom

x 0x 1x 2x ... nx

)(xf )( 0xf )( 1xf )( 2xf ... )( nxf

pri čemu su čvorovi meñu sobom različiti. Konstruišimo niz funkcija:

(2)

0

0 01 0

0 0 0 0

12 0 1

1 0 1 0 1

23 0 1 2

2 0 1 2 0 1 2

10 1 1

1 0 1 2 1 0 1

( ) ( ),

[ , ] ,( ) ( ) ( ) ( )

[ , , ] ,[ , ] [ , ]

[ , , , ] ,[ , , ] [ , , ]

[ , , ..., , ][ , , ..., , ] [ , , ...,

kk k

k k k k

x f xx x x x

x xx x f x f x

x xx x x

x x x xx x

x x x xx x x x x x

x xx x x x

x x x x x x x−

−− − − −

Φ =− −

Φ = =Φ − Φ −

−Φ =Φ − Φ

−Φ =Φ − Φ

−Φ =

Φ − Φ

⋮

2 1

., ]kx −

Ako ovde stavimo kxx = , dobićemo

(3) 10 1 1

1 0 1 2 1 0 1 2 1

[ , , ..., , ][ , , ..., , ] [ , , ..., , ]

k kk k k

k k k k k k

x xx x x x

x x x x x x x x−

−− − − − −

−Φ =

Φ − Φ,

nk ,1= .

Izraz ],[ 101 xxΦ naziva se inverzna podeljena razlika prvog reda funkcije

)(xf za vrednosti argumenta 0x i 1x ; izraz ],,[ 2102 xxxΦ naziva se inverzna

podeljena razlika drugog reda funkcije )(xf za vrednosti argumenta

...,,, 210 xxx ; izraz ]...,,,[ 10 nn xxxΦ naziva se inverzna podeljena razlika n–tog

reda za vrednosti argumenta nxxx ...,,, 10 .

Inverzne podeljene razlike ćemo zapisivati u obliku sledeće tabele.

x )(xf Φ1 Φ2 Φ3 ... Φn

x0 )( 0xf

x1 )( 1xf Φ1[x0, x1]

x2 )( 2xf Φ1[x0, x2] Φ2[x0, x1, x2]

x3 )( 3xf Φ1[x0, x3] Φ2[x0, x1, x3] Φ3[x0, x1, x2, x3]

x4 )( 4xf Φ1[x0, x4] Φ2[x0, x1, x4] Φ3[x0, x1, x2, x4]

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

xn )( nxf Φ1[x0, xn] Φ2[x0, x1, xn] Φ3[x0, x1, x2, xn] Φn[x0, x1, …, xn–1, xn]

84

Primer 1. Napisati tablicu inverznih podeljenih razlika za funkciju zadatu tablično

x 0 1 2 3 4

)(xf 1 2

3

7

13

34

73

209

501

Rešenje.

x )(xf Φ1 Φ2 Φ3 Φn 0 1

1 2

3 2

2 7

13

3

7 3

3 34

73

13

34

4

13 4

4 209

501

73

209

21

73

5

21 5

Inverzna podeljena razlika (3) je, očigledno, simetrična funkcija po vred-nostima argumenta 1−kx i kx , tj.

],...,,,[],...,,,[ 110110 −− Φ=Φ kkkkk xxxxxxxx , a, uopšte govoreći, nije simetrična po ostalim vrednostima argumenta.

Iz formula (2) dobijamo

(4)

00 0 0

1 0

00 0

11 0 1

2 0 1

00 0 0 0

11 0 1

22 0 1 2

3 0 1 2

0

11 0 1

22 0 1 2

3 0 1 2 3

1

0

( ) ( ) ( )[ , ]

( )[ , ]

[ , , ]

( ) ( )[ , ]

[ , , ][ , , , ]

[ , ][ , , ]

[ , , , ]

[ ,

n

n

x xf x x x

x xx x

xx x

x xx x x

x xx x

x xx x

x xx x x

x x x x

x xx x

x xx x

x x xx x x x

x x

x

−

−= Φ = Φ + =

Φ−= Φ + =

−Φ +Φ

−= Φ + = Φ +−Φ + −Φ +

Φ−+ −Φ + −Φ + Φ +

−+Φ

⋱

11 0

.

..., , ][ , ..., , ]

nn n

n n

x xx x

x x x−+

−+Φ

Izraz na desnoj strani jednakosti (4) nazvaćemo verižni racionalni izraz. Ako je brojilac kxx − jednog od parcijalnih razlomaka – jedne od alki veriga jednak nuli, onda je, naravno, taj razlomak jednak nuli i svi sledeći parcijalni razlomci su jednaki nuli. Prema tome, ako u (4) umesto x uvrstimo vrednosti

85

nxxx ...,,, 10 , vrednost leve strane te jednakosti su )(...,),(),( 10 nxfxfxf . Zbog toga, ako na desnoj strani jednakosti (4) odbacimo poslednji parcijalni razlomak, dobićemo racionalnu funkciju koja se poklapa s funkcijom )(xf u

tačkama: nxxx ...,,, 10

(5)

00 0

11 0 1

22 0 1 2

3 0 1 2 31

0 1

( ) .[ , ]

[ , , ][ , , , ]

[ , ..., , ]n

n n n

x xx

x xx x

x xx x x

x x x xx x

x x x−

−

−Φ + −Φ + −Φ +Φ +

−+Φ

⋱

Ako verižni racionalni izraz (5) sredimo svodeći ga na jednostavan racio-nalan izraz, dobićemo racionalnu funkciju oblika (1) za aproksimaciju funkcije

)(xf .

Primer 2. Aproksimirati funkciju )(xf iz prvog primera racionalnom funkcijom.

Rešenje. Koristeći dobijenu tablicu nalazimo

.6532

65739

53

4

23

12

01)()(

2

2

++++=

−+

−+

−+

−+=≈xx

xx

xx

xx

xRxf

19. SPLAJN–INTERPOLACIJA

Ako funkciju )(xf aproksimiramo interpolacionim polinomom )(xLn stepena n, onda je učinjena greška

)()!1(

)ξ()()()( 1

)1(

xn

fxLxfxR n

n

nn +

+

Π+

=−= ,

gde je ],[)(ξξ bax ∈= a )())(()( 101 nn xxxxxxx −−−=Π + ⋯ . U čvorovima

interpolacije ],[ baxi ∈ je )()( iin xfxL = , ni ,0= . Da bi greška interpolacije bila manja, tj. da bi aproksimacija bila tačnija, nije dovoljno povećati broj čvo-rova interpolacije. S povećavanjem broja čvorova interpolacije, tj. s povećava-njem stepena interpolacionog polinoma povećava se broj računskih operacija, pa očekivano povećanje tačnosti se ne postiže zbog velike akumulacije grešaka zaokrugljivanja. Osim toga, za beskonačan niz interpolacionih polinoma važi

,

lim ( ) ( ), ( ) ( ),

( ), ako je ( ) cela funkcija.n

nL x g x g x f x

f x f x→∞

∞= ≠

86

Jedan od načina povećanja tačnosti aproksimacije je tzv. splajn–interpola-cija. Nestrogo govoreći, splajn–interpolacija se sastoji u konstruisanju interpola-cionih polinoma ne visokog stepena na pododsečcima odsečka interpolacije [a, b].

Odreñenosti radi posmatrajmo aproksimaciju funkcije )(xfy = na odsečku

[0, 1]. Podelimo odsečak [0, 1] na delove – pododsečke ],[ 10 xx , ],[ 21 xx , ...,

],[ 1 nn xx − tačkama 10 1210 =<<<<<= − nn xxxxx ⋯ . Označimo ovu podelu sa ∆.

Definicija . Sledeću funkciju

(1)

1 10 11 1 1

0 1 1

0 1 1

( ) , 0 ,

( , ) ( ) , ,

( ) , 1,

mm m

m mim i i im i i

mnm n n nm n

P x a a x a x x x

S f x P x a a x a x x x x

P x a a x a x x x

∆ −

−

= + + + ≤ ≤= = + + + ≤ ≤ = + + + ≤ ≤

⋯

⋮

⋯

⋮

⋯

koja zadovoljava uslove neprekidnosti izvoda zaključno do (m – 1)–vog reda u tačkama 121 ...,,, −nxxx , tj. koja zadovoljava uslove

(2) )()( )(,1

)(i

kmii

kim xPxP += , 1,0 −= mk , 1, 1i n= − ,

nazivamo splajnom m–tog reda.

Dakle, na svakom pododsečku ],[ 1 ii xx − funkciju )(xf aproksimiramo po-

linomom m–tog stepena, a u unutrašnjim tačkama podele 121 ...,,, −nxxx zahteva se glatkost odreñenog reda.

Kako odrediti nepoznate koeficijente ija ? Primetimo da u (1) imamo

n(m + 1) nepoznatu ija ( ni ,1= , mj ,0= ). Na osnovu (2) imamo (n – 1) · m

linearnih algebarskih jednačina. Kako je n(m + 1) – (n – 1) · m = n + m > 0, to je broj nepoznatih veći od broja jednačina. Ova neodreñenost se koristi za postavljanje nekih drugih, dodatnih uslova, na primer, može se zahtevati

odreñena „bliskost“ funkcija ),( xfSm∆ i )(xf .

Razmotrimo prvo slučaj m = 1, tj. razmotrimo aproksimaciju funkcije

)(xf linearnim splajnom ),(1 xfS∆ . Broj nepoznatih je 2n. Dakle, treba

konstruisati splajn ),(1 xfS∆ koji se poklapa s funkcijom )(xf u čvorovima

interpolacije nxxx ...,,, 21 . Na taj način dobijamo sledeći sistem jednačina

,,1),()(

,,1),()(

1

111

nixfxP

nixfxP

iii

iii

==

== −−

odnosno

87

(3) .,1),()(

,,1),()(

101

111011

nixfxaaxP

nixfxaaxP

iiiiii

iiiiii

==+=

==+= −−−

Iz sistema (3) nalazimo

.,1,)(

,)()(

1110

1

11

nixaxfa

xx

xfxfa

iiii

ii

iii

=−=

−−=

−−

−

−

Dakle,

(4)

11 10 11 1

21 20 21 1 21

1 0 1 1

( ) , 0 ,

( ) , ,( , )

( ) , 1.n n n n

P x a a x x x

P x a a x x x xS f x

P x a a x x x

∆

−

= + ≤ ≤ = + ≤ ≤= = + ≤ ≤

⋮

Očigledno, funkcija )(xf je aproksimirana izlomljenom linijom koja spaja

tačke ),( ii yx , ni ,0= .

Linearni splajn ),(1 xfS∆ se dobija i razmatranjem sledećeg varijacionog

zadatka. Posmatrajmo skup 1S neprekidnih i deo po deo diferencijabilnih funk-cija )(xs koje zadovoljavaju uslove

)()( ii xfxs = , ni ,0= , 1

21

0

( ) [ ( )]I s s x dx′= < ∞∫ .

Treba naći takvu funkciju 11 )( Sxs ∈ za koju se dostiže

(5) )(inf 11

sISs∈

.

Ojlerova jednačina za posmatrani funkcional ima oblik 0)( =′′ xs , što znači

da je )(1 xs linearna funkcija na svakom odsečku ],[ 1 ii xx − i, prema tome,

),()( 11 xfSxs ∆= .

Primer 1. Konstruisati linearni splajn S∆1( f , x) za funkciju zadatu tablicom

x 0 0.25 0.75 1 )(xf 0.00 0.25 2.25 4.00

Rešenje. Splajn je oblika

11 10 111

21 20 21

31 30 31

( ) , 0 0.25,

( , ) ( ) , 0.25 0.75,

( ) , 0.75 1.

P x a a x x

S f x P x a a x x

P x a a x x∆

= + ≤ ≤= = + ≤ ≤ = + ≤ ≤

Koeficijente ija , 3,1=i , 1,0=j , nalazimo iz sledećeg sistema jednačina

88

10 11

10 11

20 11

20 21

0 0,

0.25 0.25,

0.25 0.25,

0.75 2.25,

a a

a a

a a

a a

+ ⋅ =+ ⋅ =+ ⋅ =+ ⋅ =

30 31

30 31

0.75 2.25,

1 4.00.

a a

a a

+ ⋅ =+ ⋅ =

Odavde dobijamo:

10 0a = , 11 1.00a = , 20 0.75a = − , 21 4.00a = , 30 3.00a = − , 31 7.00a = .

Dakle,

1

1.00 , 0 0.25,

( , ) 0.75 4.00 , 0.25 0.75,

3.00 7.00 , 0.75 1.

x x

S f x x x

x x∆

≤ ≤= − + ≤ ≤− + ≤ ≤

Napomena. Uzimanje odsečka [0, 1] nije nikakvo ograničenje.

Primer 2. Na odsečku [1, 4] aproksimirati funkciju lny x= linearnim splajnom deleći odsečak na dva pododsečka dužine 1.5.

Izračunajmo vrednosti funkcije u čvorovima 0 1x = , 1 2.5x = , 3 4x = .

x 1 2.5 4 ln x 0.000000 0.916291 1.386294


11 10 111

21 20 21

( ) , 1 2.5,(ln , )

( ) , 2.5 4.

P x a a x xS x x

P x a a x x∆= + ≤ ≤

= = + ≤ ≤

Odgovarajući sistem jednačina je

10 11

10 11

20 21

20 22

1 0.000000,

50.916291,

25

0.916291,24 1.386294.

a a

a a

a a

a a

+ ⋅ =

+ ⋅ =

+ ⋅ =

+ ⋅ =

Odavde nalazimo: 10a = – 0.610861, 11a = 0.610861, 20a = 0.132953,

21a = 0.313335. Dakle,

1 0.610861 0.610861 , 1 2.5,(ln , )

0.132953 0.313335 , 2.5 4.

x xS x x

x x∆− + ≤ ≤

= + ≤ ≤

89

Najčešće se primenjuje kubni splajn – dovoljno dobro aproksimira funkciju a nije komplikovan. Dakle, razmotrimo aproksimaciju funkcije ( )f x kubnim splajnom

(6)

2 313 10 11 12 13 1

2 33 23 20 21 22 33 1 2

2 33 0 1 2 3 1

( ) , 0 ,

( ) , ,( , )

( ) , 1.n n n n n n

P x a a x a x a x x x

P x a a x a x a x x x xS f x

P x a a x a x a x x x

∆

−

= + + + ≤ ≤

= + + + ≤ ≤= = + + + ≤ ≤

⋮

Broj nepoznatih koeficijenata ija u (6) je, očigledno, 4n. U čvorovima

interpolacije moraju biti ispunjeni uslovi:

(7) 3 1 1

3

( ) ( ),

( ) ( ), 1, ,

i i i

i i i

P x f x

P x f x i n

− −=

= =

što daje 2n jednačina. Zahteva se neprekidnost prvog i drugog izvoda, tj. zahteva se glatkost linije uključujući i unutrašnje čvorove, dakle, zahteva se

(8) 3 1,3

3 1,3

( ) ( ),

( ) ( ), 1, 1,

i i i i

i i i i

P x P x

P x P x i n

+

+

′ ′=

′′ ′′= = −

što daje 2n – 2 jednačine. Sada ukupno imamo 2n + 2n – 2 = 4n – 2 jednačine. Još dva uslova – dve jednačine dobijamo iz prirodnog zahteva da krivina grafika u krajnjim čvorovima bude jednaka nuli, tj. da bude

(9) 13 0 3( ) 0, ( ) 0n nP x P x′′ ′′= = .

Očigledno, (7), (8) i (9) odreñuju sistem od 4n jednačina s 4n nepoznatih.

Napomena. Umesto uslova (9) mogu se postavljati i drugačiji uslovi.

Kubni splajn 3 ( , )S f x∆ se dobija razmatranjem sledećeg varijacionog zada-

tka. Posmatrajmo skup 2S neprekidnih i dva puta deo po deo neprekidno difere-ncijabilnih funkcija ( )s x koje zadovoljavaju uslove

12

20

( ) ( ), 0, , ( ) [ ( )]i is x f x i n I s s x dx′′= = = < ∞∫ .

Treba naći takvu funkciju 2 2( )s x S∈ za koju se dostiže

22inf ( )

s SI s

∈.

Rešenje postavljenog zadatka je upravo kubni splajn koji zadovoljava us-love

13 0 3( ) 0, ( ) 0n nP x P x′′ ′′= = .

90

Primer 3. Konstruisati kubni splajn 3 ( , )S f x∆ za funkciju zadatu tablicom

x 0 0.5 1 )(xf 1.000 3.375 16.000


2 313 10 11 12 133

2 323 20 21 22 23

( ) , 0 0.5,( , )

( ) , 0.5 1.

P x a a x a x a x xS f x

P x a a x a x a x x∆

= + + + ≤ ≤= = + + + ≤ ≤

Odgovarajući sistem jednačina je

2 313 10 11 12 13(0) 1.000 : 0 0 0 1.000,P a a a a= + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

2 313 10 11 12 13(0.5) 3.375: 0.5 0.5 0.5 3.375,P a a a a= + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

2 323 20 21 22 23(0.5) 3.375: 0.5 0.5 0.5 3.375,P a a a a= + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

2 323 20 21 22 23(1) 16.000 : 1 1 1 16.000,P a a a a= + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

2 213 23 11 12 13 21 232 23

13 23 12 13 22 23

13 12 13

23 22 23

(0.5) (0.5) : 2 0.5 3 0.5 0 2 0.5 3 0.5 ,

(0.5) (0.5) : 2 6 0.5 2 6 0.5,

(0) 0 : 2 6 0 0,

(1) 0 : 2 6 1 0.

P P a a a a a

P P a a a a

P a a

P a a

′ ′= + ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ + ⋅′′ ′′= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

′′ = ⋅ + ⋅ =′′ = ⋅ + ⋅ =

Rešavanjem ovog sistema jednačina dobijamo: a10 = 1, 11

6

19a = − ,

12 0a = , 13

385

19a = , 20

113

19a = , 21

579

19a = − , 22

1155

19a = , 23

385

19a = − .

Traženi splajn je

3

3

2 3

6 3851 , 0 0.5,

19 19( , )113 579 1155 385

, 0.5 1.19 19 19 19

x x xS f x

x x x x∆

− + ≤ ≤= − + − ≤ ≤

Primer 4. Dve paralelne željezničke pruge treba povezati spojnicom (vidi sliku) tako da u tačkama spajanja A(0, 0) i B(4, 2) i tački P(2, 1) kroz koju treba da proñe spojnica ne bude lomova, tj. da krivina bude neprekidna. Izvršiti spajanje koristeći kvadratni splajn.

A(0,0)

P(2,1)

B(4,2)

Sl. 3

91


212 10 11 122

222 20 21 22

( ) , 0 2,( , )

( ) , 2 4.

P x a a x a x xS f x

P x a a x a x x∆

= + + ≤ ≤= = + + ≤ ≤

Odgovarajući sistem jednačina je 2

12 10 11 12

212 10 11 12

222 20 21 22

222 20 21 22

12 11 12

22 21 22

(0) 0 : 0 0 0,

(2) 1: 2 2 1,

(2) 1: 2 2 1,

(4) 2 : 4 4 2,

(0) 0 : 2 0 0,

(4) 0 : 2 4 0.

P a a a

P a a a

P a a a

P a a a

P a a

P a a

= + ⋅ + ⋅ =

= + ⋅ + ⋅ =

= + ⋅ + ⋅ =

= + ⋅ + ⋅ =′ = + ⋅ =′ = + ⋅ =

Odavde dobijamo: 10 0a = , 11 0a = , 12

1

4a = , 20 2a = − , 21 2a = , 22

1

4a = −

Dakle,

2

2

2

1, 0 2,

4( , )1

2 2 , 2 4.4

x xS f x

x x x∆

≤ ≤= − + − ≤ ≤

U tački P(2, 1) treba da bude 12 22(2) (2)P P′ ′= . Zaista,

2 2

2 2

1 11, 2 2 1

4 4x x

x x x= =

′ ′ = − + − =

.

Napomenimo da, saglasno definiciji splajna, uslov 12 22(2) (2)P P′ ′= treba uzeti prilikom formiranja odgovarajućeg sistema jednačina. Meñutim, iz prakti-čnih razloga ovde smo uzeli uslove: 12(0) 0P′ = i 22(4) 0P′ = .

20. INTERPOLACIJA FUNKCIJA VIŠE NEZAVISNIH PROMENLJIVIH

Interpolaciju funkcija više nezavisnih promenljivih izložićemo na primeru interpolacije funkcije dveju nezavisnih promenljivih ( , )z f x y= .

Neka je u oblasti [a, b] × [c, d] zadata mreža

(1) 0 1 0 1ω ( , ); , i j n mx y a x x x b c y y y d= = < < < = = < < < =… …

i na njoj vrednosti funkcije ( , )z f x y= : ( , )ij i jz f x y= , 0,i n= , 0,j m= .

Radi preglednosti sastavimo sledeću tablicu (tablicu s dva ulaza: x i y).

92

x y

x0 x1 x2 ... xi ... xn

y0 z00 z10 z20 ... zi0 ... zn0 y1 z01 z11 z21 ... zi1 ... zn1 y2 z02 z12 z22 ... zi2 ... zn2

(2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ yj z0j z1j z2j ... zij ... znj ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ym z0m z1m z2m ... zim ... znm

Zadatak interpolacije se sastoji u sledećem:

a) Treba konstruisati takvu funkciju 00 10 01( , ; , , , ..., )nmF x y a a a a koja se

poklapa sa funkcijom ( , )f x y u tačkama ( , )i jx y 0,i n= , 0,j m= – čvoro-

vima mreže (1), tj.

(3) 00 10 01( , ; , , , ..., ) ( , )i j nm i jF x y a a a a f x y= , 0,i n= , 0,j m= .

b) Nalaženju vrednosti funkcije ( , )z f x y= za x x= , ix x≠ , y y= ,

jy y≠ , tj. nalaženju vrednosti ( , )z f x y= .

Zadatak pod a) može imati jedinstveno rešenje, imati konačno mnogo ili beskonačno mnogo rešenja ili nemati rešenje. Zbog toga se postavljaju dodatni uslovi. Prirodno je zahtevati da funkcija F u ostalim tačkama oblasti [a, b] × [c, d] dobro aproksimira funkciju f, dakle da bude

(4) 00 10 01| ( , ; , , , ..., ) ( , ) | εnmF x y a a a a f x y− < ,

gde je ε > 0 dopustiva greška aproksimacije.

Ovde ćemo detaljnije razmatrati zadatak pod b).

Jedan od načina rešavanja ovog zadatka je višestruka uzastopna primena interpolacije funkcija jedne nezavisne promenljive.

Pretpostavimo da je

0i xx x ih= + , 1 const.x i i ih x x x+= − = ∆ =

i

0j yy y jh= + , 1 const.y j j jh y y y+= − = ∆ =

tj. pretpostavimo da su čvorovi „jednako razmaknuti“. Neka je jy y= ,

0,j m= . Primenom interpolacije funkcije jedne nezavisne promenljive na

funkciju ( ) ( , )j jf x f x y= nalazimo vrednost ( ) ( , )j jf x f x y= , 0,j m= , pa,

zatim, na funkciju ( ) ( , )if y f x y= nalazimo ( , )z f x y= .

Redosled interpolacije može biti i obrnut – prvo po y pa zatim po x.

93

Primer 1. Funkcija ( , )z f x y= je zadata tablicom

x y

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.00 0.123000 0.138625 0.248000 0.544875 1.123000 0.50 0.373000 0.451125 0.748000 1.357375 2.373000 1.00 1.123000 1.263625 1.748000 2.669875 4.123000

Izračunati (0.2, 0.3)f .

Rešenje. Redom računamo primenjujući prvu Njutnovu interpolacionu formulu s konačnim razlikama.

x ( , 0.00)f x ∆f ∆2f ∆3f ∆4f 0.00 0.123000

0.015625 0.25 0.138625 0.093750

109375 0.093750 0.50 0.248000 0.187500 0.000000

296875 0.093750 0.75 0.544875 0.281250

578125 1.00 1.123000

0 0.2 0.000.8

0.25

x xu

h

− −= = =

0.015625 0.093750(0.2, 0.00) 0.123000 0.8 0.8 ( 0.2)

1! 2!0.09375

0.8 ( 0.2) ( 1.2) 0.131000.3!

f = + ⋅ + ⋅ ⋅ − +

+ ⋅ ⋅ − ⋅ − =

x ( , 0.50)f x ∆f ∆2f ∆3f ∆4f 0.00 0.373000

0.078125 0.25 0.451125 0.218750

296875 0.093750 0.50 0.748000 312500 0.000000

609375 93750 0.75 1.357375 406250

1.015625 1.00 2.373000

0.078125 0.218750(0.2, 0.50) 0.373000 0.8 0.8 ( 0.2)

1! 2!0.093750

0.8 ( 0.2) ( 1.2) 0.421000.3!

f = + ⋅ + ⋅ ⋅ − +

+ ⋅ ⋅ − ⋅ − =

94

x ( ,1.00)f x ∆f ∆2f ∆3f ∆4f 0.00 1.123000

0.140625 0.25 1.263625 0.343750

484375 0.093750 0.50 1.748000 437500 0.000000

921875 93750 0.75 2.669875 531250

1.453125 1.00 4.123000

0.140625 0.343750(0.2,1.00) 1.123000 0.8 0.8 ( 0.2)

1! 2!0.093750

0.8 ( 0.2) ( 1.2) 1.211000.3!

f = + ⋅ + ⋅ ⋅ − +

+ ⋅ ⋅ − ⋅ − =

y (0.2, )f y ∆f ∆2f

0.00 0.131000 0.290000

0.50 0.421000 0.500000 0.790000

1.00 1.211000

0 0.3 0.000.6

0.50

y yu

h

− −= = =

0.290000 0.500000(0.2, 0.3) 0.131000 0.6 0.6 ( 0.4) 0.245000

1! 2!f = + ⋅ + ⋅ ⋅ − = .

Drugi način rešavanja postavljenog zadatka je primena odgovarajućih interpolacionih formula za funkcije dveju nezavisnih promenljivih. Radi toga je potrebno uvesti konačne razlike:

1,x ij i j ijz z z+∆ = − , , 1y ij i j ijz z z+∆ = −

su konačne razlike prvog reda. Dalje imamo

( ) ( )k l k l l kk l k l k l l k

ij ij ij ijx y x y y xz z z z+ +∆ = ∆ = ∆ ∆ = ∆ ∆

gde je 0 0ij ijz z+∆ = . Na primer,

2 22 1 2 2

, 1

2, 1 1, 1 , 1 2, 1,

( ) ( )

( 2 ) ( 2 ).

ij y ij i j ijx x

i j i j i j i j i j ij

z z z z

z z z z z z

++

+ + + + + + +

∆ = ∆ ∆ = ∆ − =

= − + − − +

Interpolaciona formula, analogna prvoj Njutnovoj interpolacionoj formuli za funkcije jedne nezavisne promenljive, je oblika

95

(5)

00 10 0 01 0 20 0 1

11 0 0 02 0 1

30 0 1 2 21 0 1 0

12 0 0 1 03 0 1 2

( , ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

P x y a a x x a y y a x x x x

a x x y y a y y y y

a x x x x x x a x x x x y y

a x x y y y y a y y y y y y

= + − + − + − − ++ − − + − − ++ − − − + − − − ++ − − − + − − − +⋯

Koeficijente u (5) odreñujemo iz uslova

(6) ( , ) ( , )i j i jP x y f x y= , 0,1, 2,...i = ; 0,1, 2,...j =

Koristeći tablicu (2) redom dobijamo:

00 00a z= , 1 0

0010

x

za

h

+∆= ,

0 100

01y

za

h

+∆=

2 000

20 2

1

2! x

za

h

+∆= ,

1 100

11x y

za

h h

+∆= ,

0 200

02 2

1

2! y

za

h

+∆= , ...

Interpolaciona formula glasi:

(7)

1 0 0 100 00

00 0 0

2 0 1 100 00

0 1 0 02

0 2 3 000 00

0 1 0 1 22 32

2 100

0 12

1( , ) ( ) ( )

1!

1( )( ) 2 ( )( )

2!

1( )( ) ( )( )( )

3!

3 ( )( )(

x y

x yx

y

x y

z zP x y z x x y y

h h

z zx x x x x x y y

h hh

z zy y y y x x x x x x

h h

zx x x x

h h

+ +

+ +

+ +

+

∆ ∆= + − + − +

∆ ∆+ − − + − − +

∆ ∆+ − − + − − − +

∆+ − −

1 200

0 2

0 300

0 1 23

) 3

( )( )( )

x u

y

zy y

h h

zy y y y y y

h

+

+

∆− + +

∆+ − − − +

⋯

Ako uvedemo oznake: 0

x

x xp

h

−= , 0

y

y yq

h

−= , onda možemo zapisati:

(7')

1 0 0 1 2 00 0 00 00 00 00

1 1 0 200 00

3 0 2 100 00

1 2 0 300 00

1 1( , ) ( 1)

1! 2!

2 ( 1)

1( 1)( 2) 3 ( 1)

3!

3 ( 1) ( 1)( 2)

x yP x h p y h q z p z q z p p z

pq z q q z

p p p z p p q z

pq q z q q q z

+ + +

+ +

+ +

+ +

+ + = + ∆ + ∆ + − ∆ +

+ ∆ + − ∆ +

+ − − ∆ + − ∆ +

+ − ∆ + − − ∆ + ⋯

96

Primer 2. Koristeći interpolacionu formulu (7), odnosno (7'), izračunati (0.2,1.1)f ako je funkcija ( , )f x y zadata tablicom

x y

0.0 0.5 1.0

1.0 1.000 1.750 3.000 1.2 1.440 2.290 3.640 1.4 1.960 2.910 4.360

Rešenje. Označimo: 0 0.0x = i 0 1.0y = . Napravimo tablice konačnih razlika:

x ( ,1.0)f x ∆1+0zi0 ∆2+0zi0 x ( ,1.2)f x ∆1+0zi0 ∆2+0zi1 0.0 1.000 0.0 1.440

0.750 0.850 0.5 1.750 0.500 0.5 2.290 0.500

1.250 1.350 1.0 3.000 1.0 3.640

x ( ,1.4)f x ∆1+0zi2 ∆2+0zi2 y (0.0, )f y ∆0+1z0j ∆0+2z0j

0.0 1.960 1.0 1.000 0.950 0.440

0.5 2.910 0.500 1.2 1.440 0.080 1.450 0.520

1.0 4.360 1.4 1.960

y (0.5, )f y ∆0+1z1j ∆0+2z1j y (1.0, )f y ∆0+1z2j ∆0+2z2j 1.0 1.750 1.0 3.000

0.540 0.640 1.2 2.290 0.080 1.2 3.640 0.080

0.620 0.720 1.4 2.910 1.4 4.360

„Mešovita“ razlika je: 1 1 1 0 1 0

00 01 00

0 1 0 110 00

0.850 0.750 0.100,

0.540 0.440 0.100.

z z z

z z

+ + +

+ +

∆ = ∆ − ∆ = − =

= ∆ − ∆ = − =

Kako je 0 0.2 0.00.4

0.5x

x xp

h

− −= = = i 0 1.1 1.00.5

0.2y

y yq

h

− −= = = , to je

(0.2,1.1) (0.2,1.1) 1.000 0.4 0.750 0.5 0.440

1[0.4 ( 0.6) 0.500 2 0.4 0.5 0.100

20.5( 0.5) 0.080] 1.470.

f P≈ = + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

+ − ⋅ = >

97

21. NAPOMENE O TAČNOSTI INTERPOLACIJE

Formulisani zadatak interpolacije nekada se naziva interpolacija u užem smislu. Meñutim, u numeričkoj praksi i primenama u drugim naukama i tehnici često se sreće zadatak koji se sastoji u tome da se nañe (ili nañu) vrednost (ili vrednosti) neke funkcije ( )f x ali za tačku (ili tačke) koja je van segmenta [a, b]. Takav zadatak, kao što smo rekli, zove se ekstrapolacija. Metoda rešavanja ovog zadatka je potpuno ista kao kod rešavanja zadatka interpolacije. U principu to se realizuje korišćenjem prve (oko 0x ) i druge (oko nx ) Njutnove interpolacione formule. Meñutim, ukoliko se udaljavamo od krajeva tablice, tačnost se smanjuje. Navedimo jedan primer.

Primer 1. Neka treba interpolirati funkciju ( )f x i neka su čvorovi inter-

polacije 0 0x = , 1 1x = , 2 2x = , 3 3x = i 4 4x = . Analizirajmo grešku (5)

4

(ξ)( ) ( 1)( 2)( 3)( 4)

5!

fR x x x x x x= − − − −

Ako je (5)5| ( ) |f x M≤ za [0, 4]x∈ , onda greška zavisi od polinoma

5( ) ( 1)( 2)( 3)( 4)x x x x x xΠ = − − − − .

Ovaj polinom je prikazan na sl. 4. Očigledno je da je maksimalna greška u intervalu (x1, x3) manja nego u intervalima (x0, x1) i (x3, x4). Takoñe, vidi se da

5( )xΠ vrlo brzo raste za x > 4 i x < 0; na primer, za x = 4.5 je 5(4.5)Π = 29.53

a za 5x = je 5(5) 120Π = ; za 0.5x = − imamo da je 5( 0.5)Π − = –29.53125.

0

y

x1 2 3 4

Π5( )x

Sl. 4

98

Ako je zadata funkcija ( )f x , odsečak interpolacije [a, b] koji sadrži

čvorove interpolacije i stepen n interpolacionog polinoma ( )nP x , onda se greška

interpolacije ( ) ( ) ( )n nR x f x P x= − može zapisati u sledećem obliku

1( ) ( )n nR x K x+= ⋅ Π ,

gde je 1 0 1( ) ( )( ) ( )n nx x x x x x x+Π = − − −⋯ . Dakle, greška u ovim zadatim uslovima zavisi od izbora čvorova interpolacije. Sada se postavlja sledeći

zadatak: Kako treba izabrati čvorove interpolacije ix , 0,i n= , da bi greška interpolacije bila minimalna? Pokazano je da je za čvorove interpolacije najbolje uzeti nule Čebišovljevog (П. Л. Чебышёв, 1821–1894) polinoma.

Čebišovljev polinom ( )nT x se definiše na sledeći način:

0( ) 1T x = , 1( )T x x= , 1 1( ) 2 ( ) ( )n n nT x x T x T x+ −= ⋅ − , 1,2,3,...n =

Navedimo nekoliko prvih Čebišovljevih polinoma:

0

1

22

33

4 24

5 35

( ) 1,

( ) ,

( ) 2 1,

( ) 4 3 ,

( ) 8 8 1,

( ) 16 20 5 , ...

T x

T x x

T x x

T x x x

T x x x

T x x x x

==

= −

= −

= − +

= − +

Može se primetiti sledeće:

1) koeficijent uz nx polinoma ( )nT x je jednak 12n− , 1n ≥ ;

2) 2 ( )nT x su parne funkcije;

3) 2 1( )nT x+ su neparne funkcije;

4) za | | 1x ≤ je | ( ) | 1nT x ≤ .

Dokažimo osobinu 4). Ako u trigonometrijski identitet cos(( 1) ) 2 cos cos cos(( 1) )n X X nX n X+ = ⋅ ⋅ − −

stavimo arccosX x= , onda ćemo dobiti

cos(( 1)arccos ) 2 cos( arccos ) cos(( 1)arccos )n x x n x n x+ = ⋅ ⋅ ⋅ − − ,

pa možemo zaključiti da funkcija cos( arccos )n x⋅ zadovoljava istu diferencnu

jednačinu kao i ( )nT x . Kako je još i:

0cos(0 arccos ) 1 ( )x T x⋅ = ≡ , 1cos(1 arccos ) ( )x x T x⋅ = ≡

to je

( ) cos( arccos )nT x n x= ⋅ , 0,1, 2, ...n =

Sada je jednostavno zaključiti da važi osobina 4).

99

Rekurentna relacija, diferencna jednačina,

1 1( ) 2 ( ) ( )n n nT x x T x T x+ −= ⋅ − , 0,1, 2, ...n = ima karakterističnu jednačinu

2 2 1xλ = λ − , a odavde je

21,2 1x xλ = ± − .

Za | | 1x ≠ imamo da je 1 2λ ≠ λ , pa je opšte rešenje diferencne jednačine

1 1 2 2( ) n nnT x C C= ⋅ λ + ⋅ λ , 0,1, 2, ...n = ,

gde su C1 i C2 proizvoljne konstante. Iz početnih uslova 0( ) 1T x = i 1( )T x x=

nalazimo 1 2

1

2C C= = , pa je

( ) ( )2 21( ) 1 1

2

n n

nT x x x x x = + − + − −

, 0,1, 2, ...n = ,

što je još jedan mogući način zadavanja Čebišovljevih polinoma. Iz jednačine

( ) cos( arccos ) 0nT x n x≡ ⋅ =

dobijamo nule: 2 1

cos2k

kx

n

+= π , 0,1, ..., 1k n= − .

Tačke ekstremuma na segmentu [–1, 1] su one tačke za koje je | ( ) | 1nT x = , dakle:

( ) cosk

kx

n= π , 0,k n=

i pri tome je

( )( ) cos π ( 1)kn kT x k= = − .

Polinom 1( ) 2 ( )n n

n nT x T x x−= ⋅ = +⋯ za [ 1,1]x∈ − najmanje odstupa od nule.

Teorema. Ako je ( ) nnP x x= +⋯ , onda je

1

[ 1,1] [ 1,1]max | ( )| max | ( )| 2n

n nx x

P x T x −

∈ − ∈ −≥ = , 1n ≥ .

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da je 1max | ( )| max | ( )| 2n

n nP x T x −< = , [ 1,1]x∈ − .

Posmatrajmo razliku

( ) ( ) ( )n nQ x T x P x= − ;

100

očigledno je stepen polinoma ( )Q x najviše jednak n – 1 i pri tome je

1( ) ( ) ( )sign( ( ) ( )) sign(( 1) 2 ( )) ( 1)k n k

n k n k n kT x P x P x−− = − ⋅ − = − , 0,k n=

jer je 1( )( ) 2 n

n kP x −< za svako k. Na taj način imamo da polinom ( )Q x izmeñu

svake dve uzastopne tačke ( )kx i ( 1)kx + menja znak, odnosno, izmeñu ( )kx i

( 1)kx + ima bar jednu nulu. Dakle, polinom Q ima bar n nula, a to je protivu-

rečno, jer polinom Q ima najviše n – 1 nulu. Drugim rečima, mora biti

1max | ( )| max | ( )| 2nn nP x T x −≥ = , [ 1,1]x∈ − .

Na taj način zaključujemo sledeće: od svih polinoma n–tog stepena koji

imaju uz nx koeficijent 1 najmanje odstupa od nule na segmentu [–1, 1] Čebiš-ovljev polinom ( )nT x .

Ako posmatramo odsečak [a, b], onda je odgovarajući polinom

2 ( ) 2n

nn

x b aT x

b a b a

− + = + − − ⋯

i

[ , ] 1 2 ( )( ) 2

2

na b n n

n n

b a x b aT x T x

b a−− − + = ⋅ ⋅ = + −

⋯

Dakle, važi

[ , ] 1 2

[ , ] [ , ]max | ( )| max | ( )| ( ) 2a b n n

n nx a b x a b

P x T x b a −

∈ ∈≥ = − ⋅ ,

gde je ( ) nnP x x= +⋯ proizvoljan polinom.

Nule polinoma [ , ] ( )a bnT x su

2 1cos

2 2 2k

b a b a kx

n

+ − += + ⋅ π , 0, 1k n= − .

Greška interpolacije je

11| ( )| | ( ) ( )| 2

( 1)! 4

nn

n n

M b aR x f x P x

n

++ − = − ≤ ⋅ +

gde je ( 1)1

[ , ]max | ( ) |n

nx a b

M f x++ ∈

= .

101

III NUMERI ČKO DIFERENCIRANJE I NUMERI ČKA INTEGRACIJA

0. UVODNE NAPOMENE

Diferenciranje i integracija su vrlo česti zadaci matematičke analize. Me-ñutim, u mnogim praktičnim zadacima funkcija ( )y f x= je zadata tablično ili je analitički izraz ( )f x jako komplikovan, pa je nalaženje izvoda nemoguće ili vrlo teško. Slično je i u slučaju nalaženja integrala, a poznato je da postoje i takve elementarne funkcije ( )f x čija primitivna funkcija ( )F x nije

elementarna funkcija. Na primer, 2xe− ,

sinx

x, ... Osim toga, nije redak slučaj da

u izrazu ( )f x figurišu približni brojevi – podaci dobijeni na eksperimentalan način, pa tačno izračunavanje izvoda i integrala nije moguće. Zbog svega ovoga pribegava se metodama za približno diferenciranje i približnu integraciju.

1. NUMERIČKO DIFERENCIRANJE

Jedan od mogućih načina rešavanja zadatka numeričkog diferenciranja sa-stoji se u sledećem. Na uočenom odsečku [a, b] funkcija ( )f x se zameni, apro-

ksimira interpolacionim polinomom ( )nP x , a zatim se stavi da je

(1) '( ) ( )nf x P x′≈ , a x b≤ ≤ .

Na analogan način se postupa i u slučaju nalaženja izvoda viših redova. Ako je funkcija ( )f x dovoljno glatka i ako su rastojanja izmeñu čvorova

dovoljno mala, može se očekivati da se ( )f x′ i ( )nP x′ ne razlikuju mnogo na

odsečku [a, b]. Ako je greška interpolacionog polinoma ( )nP x jednaka

(2) ( ) ( ) ( )n nR x f x P x= − ,

onda će greška diferenciranja biti (3) ( ) ( ) ( ) ( )n n nr x R x f x P x′ ′ ′= = − .

Neka je funkcija ( )y f x= zadata na skupu ekvidistantnih tačaka ix

( 0, )i n= odsečka [a, b], tj. neka su date vrednosti funkcije ( ) ( 0, )i iy f x i n= = .

Za nalaženje približnih vrednosti izvoda: ( )y f x′ ′= , ( )y f x′′ ′′= ,... na uočenom odsečku [a, b] najpre funkciju ( )y f x= zamenjujemo, aproksimiramo odgo-varajućim interpolacionim polinomom. Neka je to, primera radi, prvi Njutnov interpolacioni polinom

102

2 30 0 0

0 ( 1) ( 1)( 2) ...1! 2! 3!

y y yy y u u u u u u

∆ ∆ ∆= + + − + − − + , 0x x

uh

−=

Kako je 1

( )dy dy du dy

y xdx du dx h du

′ = = ⋅ = ⋅ ,

to će biti

(4)

2 320 0

0

43 20

1( ) (2 1) (3 6 2)

2 6

(2 9 11 3) .12

y yy x y u u u

h

yu u u

∆ ∆′ = ∆ + − + − + +

∆+ − + − +

…

Dalje je ( ) ( ) 1 ( )

( )d y d y du d y

y xdx du dx h du

′ ′ ′′′ = = ⋅ = ⋅ ,

pa se iz (4) dobija

(5) 4

2 3 200 02

1( ) ( 1) (6 18 11) ...

12

yy x y y u u u

h

∆′′ = ∆ + ∆ − + − + +

.

Na analogan način se mogu približno izračunati izvodi proizvoljnog reda funkcije ( )y f x= .

Postupak za približno nalaženje vrednosti izvoda korišćenjem drugog Njutnovog interpolacionog polinoma je identičan opisanom, a što se tiče Lagranževog interpolacionog polinoma izvodi se nalaze direktno.

Primer 1. Funkcija ( )y f x= je zadata tablicom

x 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y 1.58365 1.68662 1.79744 1.91650 2.04424

Izračunati: a) '(0.40)f i ''(0.40)f ; b) '(0.42)f ; c) '(0.59)f .


x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y 0.40 1.58365

10297 0.45 1.68662 785

11082 39 0.50 1.79744 824 –3

11906 36 0.55 1.91650 860

12774 0.60 2.04424

a) 0( )/ (0.40 0.40)/0.05 0u x x h= − = − = ; primenom prve Njutnove inter-polacione formule dobijamo:

103

1 0.00785 0.00039 0.00003'(0.40) 0.10297 1.98365

0.05 2 3 4f

− = − + − =

;

2

1 11''(0.40) 0.00785 0.00039 ( 0.00003) 2.97300

120.05f

= − + − =

.

b) 0( ) / (0.42 0.40) / 0.05 0.4u x x h= − = − = , pa primenom prve Njutnove interpolacione formule dobijamo:

21 0.00785 0.00039'(0.42) 0.10297 (2 0.4 1) (3 0.4

0.05 2 6f

= + ⋅ − + ⋅ −

3 20.000036 0.4 2) (2 0.4 9 0.4 11 0.4 3) 2.04380

12

− − ⋅ + + ⋅ − ⋅ + ⋅ − =

.

c) Ovde koristimo drugu Njutnovu interpolacionu formulu:

2 322 3

1

1'( ) (2 1) (3 6 2)

2 6n n

n

y yy x y v v v

h− −

− ∆ ∆

= ∆ + + + + + +

43 24 (2 9 11 3)

12ny

v v v− ∆+ + + + +

⋯ , nx x

vh

−= .

Kako je u konkretnom slučaju (0.59 0.60) / 0.05 0.2v = − = − , to je

2

3 2

1 0.00860 0.00036'(0.59) 0.12774 (2 ( 0.2) 1) (3 ( 0.2)

0.05 2 6

0.000036 ( 0.2) 2) (2 ( 0.2) 9 ( 0.2) 11 ( 0.2) 3)

12

2.60745.

f= + ⋅ − + + ⋅ − +

− + ⋅ − + + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + =

=

Kod primene formula za numeričko diferenciranje susrećemo se s dva oprečna zahteva: da bi greška aproksimacije funkcije ( )y f x= interpolacionim

polinomom ( )nP x bila manja, korak h treba smanjiti, a smanjenje koraka h dovodi do povećanja uticaja grešaka polaznih podataka i grešaka zaokruglji-vanja (zbog deljenja malom vrednošću h). Zbog toga se opravdano postavlja pitanje izbora optimalne vrednosti 0h koraka h. Razmotrimo ovo pitanje na jednom primeru.

Primer 2. Ako su vrednosti ( )i iy f x= funkcije ( )y f x= zadate s

tačnošću εi ( 0, )i n= i ako je 20( ) [ , ]nf x C x x∈ , pri čemu je ispunjen uslov

2| ( )|f x M′′ ≤ < ∞ , naći optimalnu vrednost 0h koraka h za numeričko diferen-ciranje pomoću formule

104

0 1 00

( ) ( )'( )

y f x f xf x

h h

∆ −≈ = .

Rešenje. Kako je

201 0 0

'( ) ''(ξ)( ) ( ) ( )

1! 2!

f x ff x f x h f x h h= + = + + , 0 1ξ ( , )x x∈ ,

to je

1 00

( ) ( ) ''(ξ)( )

2!

f x f x ff x h

h

−′ = − ,

tj. greška metode je

1

''(ξ)( )

2!

fr h h= − , 0 1ξ ( , )x x∈ ,

pa je 1 2| ( )|2

hr h M≤ . Kako su vrednosti 0y i 1y zadate s tačnošću 0ε i 1ε , res-

pektivno, to možemo uzeti 0 1ε max(ε ,ε )= , pa je greška zaokrugljivanja

0 12

2( )r h

h h

ε + ε ε= ≤ ,

Ukupna greška je

1 2 2

2| ( )| | ( )| | ( )| ( )

2

hr h r h r h M g h

h

ε≤ + ≤ + = .

Treba naći vrednost 0h koraka h za koju je ( )g h minimalno (sl. 1). Redom računamo:

2 2

1 2( )

2g h M

h

ε′ = − ; ( ) 0g h′ = ;

02

2hM

ε= – optimalna vrednost koraka h;

0 2min | ( ) ( )| 2g h g h M− = ε .

Dakle, optimalna vrednost 0h koraka h je

02

2hM

ε= ,

a najmanja greška je

22 Mε ⋅ .

2. NUMERIČKO DIFERENCIRANJE FUNKCIJA VIŠE NEZAVISNIH PROMENLJIVIH

Numeričko diferenciranje funkcija više nezavisnih promenljivih razmotri-ćemo na primeru funkcije dveju nezavisnih promenljivih ( , )z f x y= . Neka su

0

g h( )

h

g h( )

M2h2

2eh

g h( )0

h0

2M2

e=

Sl. 1

105

zadate vrednosti ( , )ij i jz f x y= funkcije ( , )z f x y= u čvorovima pravougaone

mreže

0 0( , ); , 0, , , 0, i j i x j yx y x x ih i n y y jh j mω = = + = = + = .

Zadatak numeričkog diferenciranja može se rešiti, analogno rešavanju zadatka numeričkog diferenciranja funkcije jedne nezavisne promenljive, polazeći od odgovarajuće interpolacione formule. Pokažimo to na primeru primene prve Njutnove interpolacione formule s konačnim razlikama. Dakle, poñimo od interpolacione formule

1 0 0 1 2 0 1 100 00 00 00 00

0 2 3 0 2 100 00 00

1 2 0 300 00

1 1( 1) 2

1! 2!1

( 1) ( 1)( 2) 3 ( 1)3!

3 ( 1) ( 1)( 2) ,

z z p z q z p p z pq z

q q z p p p z p p q z

pq q z q q q z

+ + + +

+ + +

+ +

= + ∆ + ∆ + − ∆ + ∆ +

+ − ∆ + − − ∆ + − ∆ +

+ − ∆ + − − ∆ + ⋯

gde je 0

x

x xp

h

−= , 0

y

y yq

h

−= i 00 00k l

k l k lx y

z z+ +∆ = ∆ .

Kako je 1

x

z z dp z

x p dx h p

∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂

i 1

y

z z dq z

y q dy h q

∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂

, to je

(1)

1 0 2 0 1 100 00 00

2 3 000

2 1 2 1 200 00

1 1(2 1) 2

2!1

(3 6 2)3!(6 3 ) (3 3) ,

x

zz p z q z

x h

p p z

pq q z q z

+ + +

+

+ +

∂ = ∆ + − ∆ + ∆ + ∂

+ − + ∆ +

+ − ∆ + − ∆ + ⋯

(2)

0 1 1 1 0 200 00 00

2 2 100

1 2 2 0 300 00

1 12 (2 1)

2!1

(3 3)3!

(6 3 ) (3 6 2) .

y

zz p z q z

y h

p z

pq p z q q z

+ + +

+

+ +

∂ = ∆ + ∆ + − ∆ + ∂

+ − ∆ +

+ − ∆ + − + ∆ + ⋯

Na potpuno isti način se računaju izvodi višeg reda.

Primer 1. Funkcija ( , )z f x y= zadata je tablicom

x y

0.0 0.2 0.4 0.6

0.0 0.000 1.080 4.320 9.720 0.3 3.780 5.580 9.540 15.660 0.6 15.120 17.640 22.320 29.160

Izračunati z

x

∂∂

i z

y

∂∂

za x = 0.1 i y = 0.2.

106

Rešenje. Formirajmo sledeće tablice konačnih razlika:

x ( , 0.0)f x ∆1+0zi0 ∆2+0zi0 ∆3+0zi0 0.0 0.000

1.080 0.2 1.080 2.160

3.240 0.000 0.4 4.320 2.160

5.400 0.6 9.720

x ( , 0.3)f x ∆1+0zi0 ∆2+0zi0 ∆3+0zi0 0.0 3.780

1.800 0.2 5.580 2.160

3.960 0.000 0.4 9.540 2.160

6.120 0.6 15.660

x ( , 0.6)f x ∆1+0zi0 ∆2+0zi0 ∆3+0zi0 0.0 15.120

2.520 0.2 17.640 2.160

4.680 0.000 0.4 22.320 2.160

6.840 0.6 29.160

y (0.0, )f y ∆0+1z1j ∆0+2z1j y (0.2, )f y ∆0+1z2j ∆0+2z2j

0.0 0.000 0.0 1.080 3.780 4.500

0.3 3.780 7.560 0.3 5.580 7.560 11.340 12.060

0.6 15.120 0.6 17.640 y (0.4, )f y ∆0+1z1j ∆0+2z1j y (0.6, )f y ∆0+1z2j ∆0+2z2j

0.0 4.320 0.0 9.720 5.220 5.940

0.3 9.540 7.560 0.3 15.660 7.560 12.780 13.50

0.6 22.320 0.6 29.160

107

Dalje računamo:

1 1 1 0 1 000 01 00

0 1 0 110 00

1 2 0 2 0 200 10 00

2 1 2 0 2 000 01 00

1.800 1.080 0.720

4.500 3.780,

7.560 7.560 0.000,

2.160 2.160 0.000

z z z

z z

z z z

z z z

+ + +

+ +

+ + +

+ + +

∆ = ∆ − ∆ = − = == ∆ − ∆ = −

∆ = ∆ − ∆ = − =∆ = ∆ − ∆ = − =

Kako je

0 0.1 0.0 1

0.2 2x

x xp

h

− −= = = i 0 0.2 0.0 2

0.3 3y

y yq

h

− −= = = ,

to primenom formula (1) i (2) nalazimo:

0.1, 0.2

1 1 1 21.080 2 1 2.160 2 0.720

0.2 2 2 31

1.56 7.800,0.2

x y

z

x = =

∂ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ∂

= ⋅ =

0.1, 0.2

1 1 1 23.780 2 0.720 2 1 7.560

0.3 2 2 3

15.400 18.000.

0.3

x y

z

y = =

∂ = + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = ∂

= ⋅ =

3. NUMERIČKA INTEGRACIJA

Neka treba izračunati integral

(1) ( )b

a

I f x dx= ∫ .

Nalaženje vrednosti integrala (1) naziva se mehanička kvadratura ili, kraće, kvadratura (u slučaju dvostrukog integrala – mehanička kubatura ili, kraće, kubatura). Izračunavanje odreñenog integrala (1) na osnovu niza poznatih, izra-

čunatih vrednosti ( )i iy f x= , gde čvorovi [ , ]ix a b∈ , 0,i n= , podintegralne funkcije ili integranda ( )f x naziva se približna ili numerička integracija.

Mogu se konstruisati različite formule za približno nalaženje integrala (1) – kvadraturne formule. Najčešće se te formule dobijaju na sledeći način. Funkcija

( )f x se zameni (na odsečku [a, b] ili na njegovim delovima) drugom, od nje jednostavnijom funkcijom ( )F x , koja je u nekom smislu bliska funkciji ( )f x . Na primer, zahteva se da se funkcije ( )F x i ( )f x poklapaju u čvorovima, tj.

zahteva se da je ( ) ( )i iF x f x= 0,i n= . U svojstvu funkcije ( )F x uzimaju se ili algebarski polinomi ili trigonometrijski polinomi ili racionalne funkcije, itd, što najčešće zavisi od zadatka. Ako je interval integracije konačan i ( )f x na njemu nema singulariteta, onda se može postići visoka tačnost sa polinomima relativno niskog stepena. U protivnom se zadatak komplikuje.

108

Kvadraturne formule su najčešće sledećeg oblika

(2) 0

( ) ( )b n

k kka

I f x dx A f x=

= ≈ ∑∫ , [ , ]kx a b∈ ,

gde se kA nazivaju koeficijentima a kx čvorovima kvadraturne formule. Prirod-

no, 0

( )n

k kk

A f x=∑ se naziva kvadraturnom sumom. Očigledno je da (2) sadrži

2n + 3 parametara: n, kA i kx ( 0,k n= ) i oni se biraju tako da bi formula (2) davala što je moguće tačnije rezultate pri integraciji funkcija odreñene klase. Smisao parametra n je očigledan: što je veće n, to se po pravilu može dostići veća tačnost odgovarajućim izborom kA i kx . Prema tome, smatraćemo da je n

fiksirano i razmotrićemo zadatak izbora kA i kx (nekada ni kx ne možemo

birati, na primer ako je podintegralna funkcija data tablično, onda su kx

fiksirani, pa se mogu birati samo kA ).

Neka su čvorovi kx ( 0,k n= ) kvadraturne formule (2) na bilo koji način

izabrani. Pozabavimo se pitanjem odreñivanja koeficijenata kA .

Konstruišimo interpolacioni polinom ( )nL x za funkciju ( )f x sa

čvorovima kx ( 0,k n= ). Dakle,

1

0 1

( )( ) ( )

( ) ( )

nn

n kk k n k

xL x f x

x x x+

= +

Π=

′− Π∑ ,

gde je 1 0 1( ) ( )( ) ( )n nx x x x x x x+Π = − − −⋯ . Sada imamo

(3) ( ) ( ) ( )n nf x L x R x= + .

Zamenom (3) u (1) dobija se

( ) ( ) ( )b b b

n na a a

I f x dx L x dx R x dx= = +∫ ∫ ∫ .

Imajući u vidu (2) imamo

1

0 1

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

b b bnn

n kk k n ka a a

xI f x dx L x dx f x dx

x x x+

= +

Π= ≈ =

′− Π∑∫ ∫ ∫ ,

dakle

(4) 0

( ) ( )b n

k kka

f x dx A f x=

≈ ∑∫ ,

gde se koeficijenti kvadraturne formule računaju po formuli

(5) 1

1

( )

( ) ( )

bn

kk n ka

xA dx

x x x+

+

Π=

′− Π∫ , 0,k n= .

Primetimo da za dati raspored čvorova koeficijenti kA ne zavise od funkcije ( )f x .

109

Greška kvadraturne formule (4) je

(6) ( 1)

1

( )( ) ( ) ( )

( 1)!

b b n

n n na a

fR f R x dx x dx

n

+

+ξ= = Π

+∫ ∫ ,

a odavde je

(7) 11| ( )| | ( )|

( 1)!

bn

n na

MR f x dx

n+

+≤ Π+ ∫ ,

gde je ( 1)1| ( )|n

nf x M++≤ < ∞ , [ , ]x a b∈ .

Ako je ( ) ( )mf x P x= i m ≤ n, onda je ( ) 0nR x ≡ .

Ako su granice integracije a i b ujedno i čvorovi kvadraturne formule, onda je kvadraturna formula (4) zatvorenog tipa a u suprotnom slučaju je otvorenog tipa.

4. NJUTN–KOTESOVE KVADRATURNE FORMULE


(1) ( )b

a

I f x dx= ∫ .

Neka su čvorovi 0 1, , ..., nx x x , ekvidistantni, tj. neka je interval integracije podeljen na n jednakih delova dužine

b ah

n

−= ,

odnosno, neka su tačke kx a kh= + ( 0, )k n= čvorovi interpolacije. Tada je kvadraturna formula

0

( ) ( )b n

k kka

I f x dx A f x=

= ≈ ∑∫

sledećeg oblika

(2) 0

( ) ( ) ( )b n

nk

ka

I f x dx b a C f a kh=

= ≈ − +∑∫ ,

gde je

(3) 1

1

( )1

( ) ( )

bn k nk

na

A xC dx

b a b a x a kh a kh+

+

Π= =

′− − − − Π +∫ ,

a

1( ) ( )( )( 2 ) ( )n x x a x a h x a h x a nh+Π = − − − − − − −⋯ .

Ako uvedemo smenu x a th= + (0 ≤ t ≤ n), onda se dobija: 1

1 1( ) ( ) ( 1) ( ),( ),

nn nx a th h t t t n

x a kh th kh h t k

++ +Π = Π + = − −

− − = − = −⋯

110

1 0 1 1( ) ( ) ( )( ) ( )

( 1) !( )!,n k k k k k k n

n k n

a th x x x x x x x x

h k n k+ − +

−′Π + = − − − − =

= − ⋅ ⋅ −⋯ ⋯

pa je 1

0

1 ( 1) ( )

( )( 1) !( )!

n nnk n k n

h t t t nC h dt

b a h t k h k n k

+

−− −=

− − − ⋅ −∫⋯

ili

(4) 0

( 1) ( 1) ( )

!( )!

nn knk

h t t t nC dt

b a k n k t k

−− − −= ⋅− − −∫

…, 0,k n= .

Na taj način dobijamo kvadraturne formule

(5) 0

( ) ( ) ( )b n

nk

ka

f x dx b a C f a kh=

≈ − +∑∫

sa čvorovima: 0a x= , 1 0 , ...x x h= + , 0 , ...,k nx x kh x b= + = i koeficijentima

(6) 0

1 ( 1) ( 1) ( )

!( )!

nn knk

t t t nC dt

n k n k t k

−− − −= ⋅− −∫

⋯, 0,k n= ,

koje se nazivaju Njutn–Kotesovim (Roger Cotes, 1682–1716) kvadraturnim for-mulama.

Dokazuje se da je: 1) 0

1n

nk

k

C=

=∑ i 2) n nk n kC C −= .

Budući da koeficijenti nkC ne zavise od funkcije ( )f x a zavise samo od k i

n, možemo ih izračunati i napraviti tablicu koeficijenata:

k n

0 1 2 3 ...

1 001 00002 2 001 0004 00006 3 001 0003 00008 4 007 0032 0012 00090 5 019 0075 0050 00288 6 041 0216 0027 0272 00840 7 751 3577 1323 2989 17280 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ... ⋮

U poslednjoj koloni tablice su imenioci koeficijenata, a zbog

simetričnosti koeficijenata uneti su samo koeficijenti sa indeksom 2

nk ≤ .

Za različite vrednosti n dobijaju se različite Njutn–Kotesove kvadraturne formule, a neke od njih zbog specifičnog značenja češće se koriste i nose posebne nazive.

Ako u relaciji ( ) ( ) ( )n nf x L x R x= + umesto Lagranževog interpolacionog polinoma

111

1

0 1

( )( ) ( )

( ) ( )

nn

n kk k n k

xL x f x

x x x+

= +

Π=

′− Π∑ ,

1 0 1( ) ( )( ) ( )n nx x x x x x x+Π = − − −⋯ , uzmemo bilo koji drugi interpolacioni polinom, dobićemo, po pravilu, istu kvadraturnu formulu. Meñutim, te formule mogu biti, u odreñenom smislu, praktičnije. Pokažimo to na primeru primene nekih interpolacionih polinoma s konačnim razlikama.

Integralimo li prvi Njutnov interpolacioni polinom u granicama od 0x do

0x nh+ , odnosno od 0 do n, imaćemo

(7)

(0

0

2 30 0 0 0

0

4 50 0

60

( 1) ( 1)( 2)

2! 3!

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)( 4)

4! 5!( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)

,6!

x nh n

x

u u u u uI ydx h y u y y y

u u u u u u u u uy y

u u u u u uy du

+ − − −= = + ∆ + ∆ + ∆ +

− − − − − − −+ ∆ + ∆ +

− − − − − + ∆ +

∫ ∫

…

ili

(8)

0

0

22 3 20

0 0

3 44 5 4 33 2 20 0

56 4 35 2 0

67 6 4 35 2 0

2 3 2 2!

3 113

4 3! 5 2 3 4!

35 502 12

6 4 3 5!

15 225 27417 60 .

7 6 4 3 6!

x nh

x

yn n nydx h ny y

y yn n n nn n n

yn n nn n

yn n n nn n

+ ∆= + ∆ + − +

∆ ∆+ − + + − + − +

∆+ − + − + +

∆+ − + − + − +

∫

⋯

Integralimo li Stirlingov interpolacioni polinom u granicama od 0x h− do

0x h+ , odnosno od –1 do 1, imaćemo

1 21 0

0 11

3 32 2 242 1

2

5 52 2 2 2 263 2

3

2 4 60 1 2 3

( )2 2

( 1) ( 1)

3! 2 4!

( 1)( 4) ( 1)( 4)

5! 2 6!

1 2 1 1 2 1 42 1

3 24 5 3 720 7 3

h

h

y y uI f x dx h y u y

y yu u u uy

y yu u u u u uy du

h y y y y

−−

− −

− −−

− −−

− − −

∆ + ∆= = + + ∆ +

∆ + ∆− −+ + ∆ +

∆ + ∆− − − −+ + ∆ + =

= + ∆ + − ∆ + − + ∆ +

∫ ∫

⋯

⋯

=

112

2 4 60 1 2 3

1 1 12 .

6 180 1512h y y y y− − − = + ∆ − ∆ + ∆ +

⋯

Ova formula daje približnu vrednost integrala u granicama od 0x h− do 0x h+ . Ako uvedemo smenu: x t h= − , onda imamo približnu vrednost integrala u

granicama od 0x do 0 2x h+ . Označimo li tu vrednost sa 20I , imaćemo:

2 2 4 60 1 0 1 2

1 1 12

6 180 1512I h y y y y− −

= + ∆ − ∆ + ∆ +

⋯ .

Približne vrednosti 4 62 4 2, , ..., n

nI I I − računaju se po formulama:

4 2 4 62 3 2 1 0

6 2 4 64 5 4 3 2

2 4 62 1 2 3 4

1 1 12 ,

6 180 1512

1 1 12 ,

6 180 1512

1 1 12 .

6 180 1512nn n n n n

I h y y y y

I h y y y y

I h y y y y− − − − −

= + ∆ − ∆ + ∆ +

= + ∆ − ∆ + ∆ +

= + ∆ − ∆ + ∆ +

⋯

⋯

…………………………………………………………

⋯

Sada dobijamo

(9) [

0

0

0 0 0 0

0 0 0 0

2 4 60 0 2 4 2

2 4 6

2 4 ( 2)

2 2 21 3 5 1 0 2 2

4 4 4 41 1 3 3

6 6 6 62 0 2 4

12 ( ) ( )

61

( )180

1( )

1512

x nhn n

nx

x h x h x h x nh

x x h x h x n h

n n

n

n

I ydx I I I I

h y y y y y y y

y y y y

y y y y

+

−

+ + + +

+ + + −

− −

− −

− −

= = + + + + =

= + + + + =

= + + + + + ∆ + ∆ + + ∆ −

− ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ +

+ ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ +

∫

∫ ∫ ∫ ∫

⋯

⋯

⋯ ⋯

⋯

⋯ ⋯ .

Integralimo li Beselov interpolacioni polinom u granicama od 0x do

0x h+ , odnosno od 1 1

2 2v u= − = − do

1 1

2 2v u= − = , imaćemo

( )

( ) ( )( )

10 2

10 2

2 1 2 241 0 1 1 0

0 0

2 2 2 91 1 4 44 4 43 2 1

1

( )2 2 2

3! 4! 2

x h

x

vy y y yI f x dx h v y

v v v v y yy

+−

−

− −−

−+ ∆ + ∆= = + ∆ + +

− − − ∆ + ∆+ ∆ + +

∫ ∫

113

( )( )

( )( )( ) )

2 2 914 4 5

2

2 2 29 2.51 6 64 4 4 3 2

2 2 40 1 1 0 2 1

6 63 2

5!

6! 241 11

2 12 2 720 2

191.

60480 2

v v vy

v v v y ydv

y y y y y yh

y y

−

− −

− − −

− −

− −+ ∆ +

− − − ∆ + ∆+ + =

+ ∆ + ∆ ∆ + ∆= − + −

∆ + ∆− +

⋯

⋯

Približne vrednosti 2 31 2 1, , ..., n

nI I I − računaju se po formulama:

2 2 4 42 0 1 1 01 21

6 62 1

4 42 23 2 3 0 11 22

6 61 0

2 21 2 1

1

1 11

2 12 2 720 2

191,

60480 2

1 11

2 12 2 720 2

191,

60480 2

1

2 12 2n n n n nn

y y y yy yI h

y y

y y y yy yI h

y y

y y y yI h

−

− −

−

− − −−

∆ + ∆ ∆ + ∆+= − + −

∆ + ∆− +

+ ∆ + ∆∆ + ∆= − + −

∆ + ∆− +

+ ∆ + ∆= − +

⋯

⋯

…………………………………………………………

4 43 2

6 64 3

11

720 2

191.

60480 2

n n

n n

y y

y y

− −

− −

∆ + ∆−

∆ + ∆− +

⋯

Sada dobijamo

(10)

0 31 2

0 0 1 2 1

00 1 2 1

222 2 2 11

0 1 2

444 4 4 22

1 0 3

66 63

2 1

2 2

1

12 2 2

11

720 2 2

191

60480 2

n

n

x nh x xx xn n

nx x x x x

nn

nn

y yI y dx h y y y

yyy y y

yyy y y

yy y

−

+

−

−−−

−−− −

−− −

= = + + + + = + + + + + −

∆∆− + ∆ + ∆ + + ∆ + +

∆∆

+ + ∆ + ∆ + + ∆ + −

∆− + ∆ + ∆ + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫⋯ ⋯

⋯

⋯

⋯

66 3

4 .2

nn

yy −

−

∆∆ + +

⋯

114

Kako po definiciji konačnih razlika imamo: 2

1 0 1

20 1 0

21 1

4 3 32 1 2

4 3 31 0 1

4 3 32 1 2

6 5 53 2 3

6 5 52 1 2

6 5 53 2 3

,

,

,

,

,

,

,

,

, i tako dalje,

n n n

n n n

n n n

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y

− −

− −

− − −

− −

− − −

− − −

− − −

− − −

∆ = ∆ − ∆

∆ = ∆ − ∆

∆ = ∆ − ∆

∆ = ∆ − ∆

∆ = ∆ − ∆

∆ = ∆ − ∆

∆ = ∆ − ∆

∆ = ∆ − ∆

∆ = ∆ − ∆

………………………

………………………

………………………

to formulu (10) možemo zapisati i na sledeći način:

(11)

0 1 00 1 2 1

5 53 33 22 1

3 31 2 1

5 53 2

1

2 2 12 2

11 191

720 2 60480 2

1 11

12 2 720 2

191,

60480 2

n nn

n n n n

n n

y y y yI h y y y

y yy y

y y y y

y y

−−

− −− −

− − −

− −

∆ + ∆ = + + + + + + −

∆ + ∆∆ + ∆− + −

∆ + ∆ ∆ + ∆ − + −

∆ + ∆− +

⋯

⋯

ili

(12)

00 1 2 1

1 1 0

3 3 3 32 1 2 1

5 5 5 53 2 3 2

2 2

1

12 2 2

11

720 2 2

191.

60480 2 2

n nn

n n

n n

n n

y yI h y y y

y y y y

y y y y

y y y y

−

− −

− − − −

− − − −

= + + + + + −

∆ + ∆ ∆ + ∆ − − +

∆ + ∆ ∆ + ∆+ − −

∆ + ∆ ∆ + ∆− − +

⋯

⋯

115

5. TRAPEZNA KVADRATURNA FORMULA

Iz (3.5) i (3.6) za n = 1 dobija se:

(1) ( ) [ ( ) ( )]2

b

a

b aI f x dx f a f b

−= ≈ +∫ ,

11 010

0

1 ( 1) ( 1) 1

1 0!(1 0)! 0 2

t tC dt

t

−− −= ⋅ =− −∫ ,

11 111

0

1 ( 1) ( 1) 1

1 1!(1 1)! 1 2

t tC dt

t

−− −= ⋅ =− −∫ .

Formula (1) se zove trapezna kvadraturna formula; geometrijski smisao je sledeći – površina koja je odreñena integralom I se aproksimira površinom trapeza (sl. 2), odnosno, ( )f x odsečkom prave linije 1( )P x koja sadrži tačke ( , ( ))a f a i ( , ( ))b f b .

0 a

y

xb

P ( )1 x

R ( )1 f

f a( ) f b( )

f x( )

[ ( ) + ( )]f a f bb–a2

Sl. 2

Greška metode – formule (1) je prema (2.3) i (2.6)

1

1( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )( ) "( ξ)

2 2!

b b

a a

b aR f f x dx f a f b x a x b f dx

−= − + = − −∫ ∫ , ξ ( , )a b∈

ili, posle integracije,

(2) 3

1

( )( ) "( )

12

b aR f f ξ−= − , ξ ( , )a b∈ .

Formula za grešku trapezne kvadraturne formule može se dobiti i na

sledeći način. Pretpostavimo da 2( ) [ , ]f x C a b∈ . Posmatrajmo grešku kao funkciju koraka h, tj.

0

0

0 0( ) ( ) [ ( ) ( )]2

x h

x

hR h f x dx f x f x h

+

= − + +∫ .

Diferencirajući ( )R h dva puta po h dobijamo

0 0 0 0

0 0 0

1( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )

2 21

[ ( ) ( )] ( ),2 2

hR h f x h f x f x h f x h

hf x h f x f x h

′ ′= + − + + − + =

′= + − − +

116

0 0 0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

2 2 2 2

h hR h f x h f x h f x h f x h′′ ′ ′ ′′ ′′= + − + − + = − +

Osim toga je (0) 0R = i (0) 0R′ = . Integrišući po h i koristeći teoremu o srednjoj vrednosti nalazimo:

0 10 0 0

2

1 1 0 0

2 21

0 0 03

0 0

1 1( ) (0) ( ) ( ) ( )

2 2

( ), ( , ),4

1 1( ) (0) ( ) ( ) ( )

4 4

( ), ( , ).12

h h h

h h h

R h R R t dt t f x t dt f t dt

hf x x h

R h R R t dt t f dt f t dt

hf x x h

′ ′ ′′ ′′ ′′= + = − + = − ξ =

′′= − ξ ξ ∈ +

′ ′′ ′′= + = − ξ = − ξ =

′′= − ξ ξ∈ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Dakle, greška osnovne trapezne kvadraturne formule je 3

0 0( ) ( ), ( , )12

hR h f x x h′′= − ξ ξ∈ + .

Iz (2) je očigledno da greška bitno zavisi od dužine b – a odsečka [a, b]. Zbog toga, a da bismo dobili tačniji rezultat, podelimo odsečak [a, b] na n

jednakih delova dužine b a

hn

−= . Dalje, ako se uoči odsečak [a + kh, a +

+ (k + 1) n] i na njemu primeni formula (možemo je nazvati osnovnom) (1), onda se dobija

( 1)

1( ) [ ] ( )2

a k h

k k ka kh

hf x dx f f R f

+ +

++

≈ + +∫ ,

gde je ( )jf f a jh= + ( , 1)j k k= + , a greška je

3

( ) (ξ )12k k

hR f f ′′= − , ξ ( , ( 1) )k a kh a k h∈ + + + .

Kako je 2

( 1)

( ) ( ) ( ) ( )b a h a h b

a a a h a n h

f x dx f x dx f x dx f x dx+ +

+ + −

= + + +∫ ∫ ∫ ∫⋯ ,

to je

0 1 1( ) [ 2 2 ] ( )2

b

n na

hf x dx f f f f R f−= + + + + +∫ ⋯ ,

gde je 3

0 1 1 0 1 1( ) [ "(ξ ) "(ξ ) "(ξ )]12n n

hR f R R R f f f− −= + + + = − + + + =⋯ ⋯

117

2 0 1 1"(ξ ) "(ξ ) "(ξ ).

12nf f fb a

hn

−+ + +−= − ⋅⋯

Ako je "( )f x neprekidna funkcija na [a, b], onda postoji tačka ξ ( , )a b∈ takva da je

0 1 1"(ξ ) "(ξ ) "(ξ )"(ξ)nf f f

fn

−+ + +=

⋯,

pa je definitivno greška uopštene trapezne kvadraturne formule

(3) 0 1 1( ) [ 2( ) ]2

b

n na

hf x dx f f f f−≈ + + + +∫ ⋯

jednaka

(4) 2( ) "(ξ)12

b aR f h f

−= − , ξ ( , )k a b∈ .

Primer 1. Koristeći trapeznu kvadraturnu formulu izračunati 0.4

40 1

dxI

x=

+∫ .

Rešenje. Izaberimo korak h = 0.1 i izračunajmo vrednosti integranda. Re-zultati računanja su dati u sledećoj tabeli.

x x4 1 + x4 ( )f x

Prema formuli (3) je

0.0 0.00000 1.00000 1.00000 0.1 0.00010 1.00010 0.99990 0.2 0.00160 1.00160 0.99840 0.3 0.00810 1.00810 0.99196 0.4 0.02560 1.02560 0.97504

0.1[1.00000 2(0.99990

2TI = + +

0.99840 0.99196) 0.97504]+ + + =0.39778=

Procenimo grešku prema formuli (4). Redom računamo: 3

4 2

4'( )

(1 )

xf x

x

−=+

, 2 4

4 3

4 (5 3)"( )

(1 )

x xf x

x

−=+

, [0,0.4]

max | ( )| 0.7x

f x∈

′′ ≤ ,

pa je

20.4| ( )| 0.1 0.7 0.00023 0.0003

12R f ≤ ⋅ ⋅ = <…

i I = 0.3978 ± 0.0003.

Ako bi u zadatku bila zadata tačnost ε, onda bismo iz uslova

22| ( )| ε

12

b aR f M h

−≤ ⋅ ≤ , 2[ , ]

max | "( )|x a b

M f x∈

=

prvo odredili korak 2

12

( )h

b a M

ε≤−

.

118

Primer 2. Odrediti korak integracije h tako da greška približne vrednosti integrala

12

0

sin( )I x dx= ∫ ,

izračunata pomoću trapezne kvadraturne formule, ne bude veća od ε = 0.01.

Rešenje. Redom imamo: 2( ) sin( )f x x= ,

2'( ) 2 cos( )f x x x= ,

2 2 2"( ) 2cos( ) 4 sin( )f x x x x= − ,

2 2 2'''( ) 4 [3sin( ) 2 cos( )]f x x x x x= − + .

Kako je 2 2 2'''( ) [ ''( )]' 4 [3sin( ) 2 cos( )] 0f x f x x x x x= = − + < za (0.1)x∈ , to je ''( )f x na intervalu integracije opadajuća funkcija. Dalje, ''(0) 2f = i

''(1) 2.285f = − … , to je 2max | ''( )| 2.285 2.29f x M= < =… za [0,1]x∈ , pa je

2

12 12 0.010.0524 0.2289

( ) (1 0) 2.29h

b a M

⋅ ε ⋅≤ = = =− − ⋅

…

i možemo uzeti h = 0.2. Tabelirajmo podintegralnu funkciju

x ( )f x Primenom trapezne kvadraturne formule dobijamo 0.0 0.0000 1 0.2 0.0400 2 0.4 0.1593 2 0.6 0.3523 2 0.8 0.5972 2 1.0 0.8415 1

0.23.1391 0.31391

2I = ⋅ = ;

greška približne vrednosti I = 0.31 nije veća od 0.01.

6. SIMPSONOVA KVADRATURNA FORMULA

Iz (3.5) i (3.6) za n = 2 dobija se:

(1)

22 020

022 1

21

022 2

22

0

( ) ( ) 4 ( )6 2

1 ( 1) ( 1)( 2) 1,

2 0!(2 0)! 0 6

1 ( 1) ( 1)( 2) 4,

2 1!(2 1)! 1 6

1 ( 1) ( 1)( 2) 1;

2 2!(2 2)! 2 6

b

a

b a a bI f x dx f a f f b

t t tC dt

t

t t tC dt

t

t t tC dt

t

−

−

−

− + = ≈ + ⋅ +

− − −= ⋅ =− −

− − −= ⋅ =− −

− − −= ⋅ =− −

∫

∫

∫

∫

,

budući da je 2b a h− = , 0a x= , 0 12 2

a b b aa x h x

+ −= + = + = i 0 22b x h x= + = ,

to se formula (1) može zapisati u sledećem obliku

119

(2) 2

0

0 1 2( ) [ ( ) 4 ( ) ( )]3

x

x

hI f x dx f x f x f x= ≈ + ⋅ +∫ .

Formula (1), odnosno (2), se zove osnovna Simpsonova (T. Simpson, 1710–1761) kvadraturna formula; geometrijski smisao je sledeći – površina koja je odreñena integralom I se aproksimira površinom koja je odreñena odsečkom ose Ox, odsečcima pravih x = a i x = b i odsečkom parabole 2( )y P x= koja sadrži

tačke 0 0( , )x y , 1 1( , )x y i 2 2( , )x y , dakle, za 0 2[ , ]x x x∈ funkcija ( )f x se aproksimira odsečkom parabole (zbog toga se formula (1) ponekad zove pravilo parabole) (sl. 3).

0 x = a0

y

xx = b2x =1

a + b2

+

–

R ( )2 f

P ( )2 x

[ ( )+4 ]f x0 f x +f x( ) ( )1 2h3

f x( )

Sl. 3


(3) 2( ) ( ) ( ) 4 ( )

6 2

1( ) ( ) '''(ξ) , ξ ( , ).

3! 2

b

ab

a

b a a bR f f x dx f a f f b

a bx a x x b f dx a b

− + = − + ⋅ + =

+ = − − − ∈

∫

∫

Iz načina izvoñenja Simpsonove kvadraturne formule neposredno sledi da je ona tačna za sve polinome drugog stepena

22 0 1 2( )P x a a x a x= + + .

Meñutim, Simpsonova formula je tačna i za sve polinome trećeg stepena 2 3

3 0 1 2 3( )P x a a x a x a x= + + + ,

što se jednostavno pokazuje. Naime, kako je 3

3 2 3( ) ( )P x P x a x= + , to je

4 43

3 2 3 2 3( ) ( ) ( )4

b b b b

a a a a

b aP x dx P x dx a x dx P x dx a

−= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ;

2 2 2 2( ) ( ) 4 ( )6 2

b

a

b a a bP x dx P a P P b

− + = + +

∫ , 2 2( ) 0R P ≡ ,

a

120

4 43 3 3

3 3 3 ( )/2 3( ) 4( ) ( )4 6 x a x a b x b

b a b aa a x a x a x= = + =

− − = + + ,

pa imamo

3 3 3 3( ) ( ) 4 ( )6 2

b

a

b a a bP x dx P a P P b

− + = + +

∫ , 3 3( ) 0R P ≡ .

Formula za grešku Simpsonove kvadraturne formule može se dobiti i na

sledeći način. Pretpostavimo da je 4( ) [ , ]f x C a b∈ . Posmatrajmo grešku kao funkciju koraka h, tj.

[ ]1

1

1 1 1( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( )3

x h

x h

hR h f x dx f x h f x f x h

+

−

= − − + + +∫ .

Diferencirajući ( )R h tri puta po h dobijamo:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

1 1 1 1 1

1 1 1 1

2

1 1 3

2 4'( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ;

3 3 31

''( ) '( ) '( ) ''( ) ''( ) ;3 3

2'''( ) '''( ) '''( ) (ξ ),

3 3IV

hR h f x h f x h f x f x h f x h

hR h f x h f x h f x h f x h

h hR h f x h f x h f

= − + + − − − − + +

= − − + + − − + +

= − + − − = −

gde smo primenili Lagranževu teoremu na 1 1[ , ]x h x h− + , a 3 1 1ξ ( , )x h x h∈ − + . Osim toga je: (0) 0R = , '(0) 0R = , ''(0) 0R = . Integrišući '''( )R h i koristeći teo-remu o srednjoj vrednosti nalazimo:

23

0 0

2 32 2

0

2''( ) ''(0) '''( ) (ξ )

3

2 2(ξ ) (ξ ),

3 9

h hIV

hIV IV

R h R R t dt t f dt

f t dt h f

= + = − =

= − ⋅ = −

∫ ∫

∫

gde 2 1 1ξ ( , )x h x h∈ − + .

Dalje je

32

0 0

3 41 1

0

2'( ) '(0) ''( ) (ξ )

9

2 1(ξ ) (ξ ),

9 18

h hIV

hIV IV

R h R R t dt t f dt

f t dt h f

= + = − =

= − ⋅ = −

∫ ∫

∫

gde 1 1 1ξ ( , )x h x h∈ − + .

Na kraju je

41

0 0

1( ) (0) '( ) (ξ )

18

h hIVR h R R t dt t f dt= + = − =∫ ∫

121

54

0

1(ξ) (ξ),

18 90

hIV IVh

f t dt f= − ⋅ = −∫

gde 1 1ξ ( , )x h x h∈ − + . Dakle, greška osnovne Simpsonove kvadraturne formule (2) je

(4) 5

( ) (ξ)90

IVhR h f= − , 1 1ξ ( , )x h x h∈ − +

ili 5 41 ( )

( ) (ξ) (ξ)90 2 180

IV IVb a b a hR h f f

− − ⋅ = − = −

, ξ ( , )a b∈ .

Ako se odsečak [a, b] podeli na paran broj n = 2m jednakih delova dužine

2

b a b ah

n m

− −= =

i ako se uoče dva susedna pododsečka [a + (k – 1) h, a + (k + 1) h] ( 1, 1)k n= − tada će Simpsonova kvadraturna formula na tom „dvointervalu“ biti

( 1)

1 1( 1)

( ) [ 4 ]3

a k h

k k k ka k h

hf x dx f f f R

+ +

− ++ −

= + + +∫ .

Kako je 2 4

2 ( 2)

( ) ( ) ( ) ( )b a h a h b

a a a h a n h

f x dx f x dx f x dx f x dx+ +

+ + −

= + + +∫ ∫ ∫ ∫⋯ ,

to je uopštena Simpsonova kvadraturna formula

0 2 4 2 1 3 1( ) [ 2( ) 4( ] ( )3

b

n n na

hf x dx f f f f f f f f R f− −= + + + + + + + + + +∫ ⋯ ⋯ ,

gde je 5

1 2( ) [ (ξ ) (ξ ) (ξ )]90

IV IV IVm

hR f f f f= + + +⋯ ,

Ako je ( )IVf x neprekidna funkcija, onda postoji tačka ξ takva da je

1 2(ξ ) (ξ ) (ξ )(ξ)

IV IV IVIVmf f f

fm

+ + +=

⋯, ξ ( , )a b∈ ,

pa je definitivno greška uopštene Simpsonove kvadraturne formule

(5) 0 2 4 2 1 3 1( ) [ 2( ) 4( ]3

b

n n na

hf x dx f f f f f f f f− −≈ + + + + + + + + +∫ ⋯ ⋯

jednaka

(6) 5 4( )

( ) (ξ) (ξ)90 180

IV IVm h b a hR f f f

⋅ −= − ⋅ = − , ξ ( , )a b∈ .

122

Napomena. Simpsonova kvadraturna formula (5) se može dobiti i iz kva-draturnih formula (4.8) za n = 2.

Primer 1. Koristeći Simpsonovu kvadraturnu formulu izračunati 2

1

0

xI e dx−= ∫ .

Rešenje. Izaberimo korak h = 0.1 i izračunajmo vrednosti integranda. Re-zultati računanja su dati u sledećoj tabeli.

( )f x k xk

2kx

k = 0 ili k = 10 k–neparno k–parno 0 0.0 0.00 1.00000 1 0.1 0.01 0.9905 2 0.2 0.04 0.96079 3 0.3 0.09 0.91393 4 0.4 0.16 0.85214 5 0.5 0.25 0.77880 6 0.6 0.36 0.69768 7 0.7 0.49 0.61263 8 0.8 0.64 0.52729 9 0.9 0.81 0.44486 10 1.0 1.00 0.36788

∑ 1.36788 3.74027 3.03790

Prema formuli (5) je: 0.1 0.1

[1.36788 2 3.03790 4 3.74027] 22.40476 0.746833 3SI = + ⋅ + ⋅ = ⋅ = .

Procenimo grešku prema formuli (6). Kako je (4)max| ( )| 12f x = za [0,1]x∈ , to je

41| ( )| 0.1 12 0.000007

180R f ≤ ⋅ ⋅ ≤

i I = 0.74683 ± 0.000007.

Može se uočiti da je ocena (6) greške Simpsonove kvadraturne formule (5)

povezana s procenom (4)max| ( )|f x za [ , ]x a b∈ a to najčešće nije jednostavno učiniti. Navedimo zbog toga jedan praktičan način ocene greške Simpsonove

kvadraturne formule. Pretpostavimo da se (4)( )f x ne menja mnogo na [ , ]a b . Grešku (6) možemo zapisati na sledeći način

4R K h= ⋅ , gde je K konstanta koja zavisi od funkcije ( )f x i intervala integracije (a, b).

Neka su hI i 2hI približne vrednosti integrala I izračunate pomoću Simpsonove kvadraturne formule za korake h i 2h. Tada imamo

123

4hI I M h= + ⋅ i 4

2 (2 )hI I M h= + ⋅ ,

a odavde

(7) 2| || |

15h hI I

R−

=

i

2| |

15h h

h

I II I

−= ± .

Ocena je poznata kao Rungeova ocena ili Rungeov princip ocene greške.

Primer 2. Koristeći Simpsonovu kvadraturnu formulu izračunati 1

2

0

sinI x dx= ∫

s tačnošću 4110

2⋅ .

Rešenje. Korak h se može odrediti iz uslova 4

4( ) ε180

hb a M− ⋅ < , odnosno

4

4

180ε

( )h

b a M<

−,

tj. korak h je reda 4 ε . Meñutim, procena (4)4max| ( )|f x M= nije baš jedno-

stavna. Lakše je koristiti Rungeovu ocenu (7). Izračunajmo približnu vrednost

0.5I integrala I, tj. uzmimo korak h jednak 0.5. Rezultati računanja su u sledećoj tablici.

x ( )f x 0.0 0.00000 1 0.5 0.24740 4 1.0 0.84147 1

0.5

0.5[0.00000 4 0.24740 0.84147]

30.30518

I = + ⋅ + =

=

Uzmimo korak h jednak 0.5/2 = 0.25. Rezultati računanja su dati u sledećoj tablici.

x ( )f x 0.00 0.00000 1 0.25 0.62460 4 0.50 0.24740 2 0.75 0.53330 4 1.00 0.84147 1

0.25

0.253.71931 0.30994

3I = ⋅ =

Kako je

0.25 0.5| |0.0003173 0.00005

15

I I−⋅ > ,

to nije postignuta zadata tačnost.

Uzmimo korak h jednak 0.25/2 = 0.125. Rezultati računanja su dati u sledećoj tabeli.

124

x ( )f x 0.000 0.00000 1 0.125 0.01562 4 0.250 0.62460 2 0.375 0.14016 4 0.500 0.24740 2 0.625 0.38077 4 0.750 0.53330 2 0.875 0.69299 4 1.000 0.84147 1

0.25

0.1257.44595 0.31025

3I = ⋅ =

Kako je

0.125 0.5| |0.0000206 0.00005

15

I I−= < ,

to je

0.125 0.3102I I≈ = .

7. NJUTN–KOTESOVE FORMULE VIŠIH REDOVA

Iz (3.5) i (3.6) za n = 3 dobija se:

(1) ( ) ( ) 3 3 2 ( )8 3 3

b

a

b a b a b af x dx f a f a f a f b

− − − ≈ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

∫ ,

30

1

8C = , 3

1

3

8C = , 3

2

3

8C = , 3

3

1

8C = ; budući da je 3b a h− = , 0a x= ,

0 13

b aa x h x

−+ = + = , 0 22 23

b aa x h x

−+ = + = , 0 33b x h x= + = to se formula

(1) može zapisati u sledećem obliku

(2) [ ]3

0

0 1 2 3

3( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )

8

x

x

hI f x dx f x f x f x f x= ≈ + + +∫ .

Formula (1), odnosno (2), se zove osnovna Njutnova kvadraturna formula „tri osmine“; geometrijski smisao formule je sledeći – na odsečku [a, b] funkcija ( )f x se aproksimira polinomom 3( )P x čiji grafik sadrži tačke

0 0( , ( ))x f x , 1 1( , ( ))x f x , 2 2( , ( ))x f x , 3 3( , ( ))x f x , odnosno, površina koja je odreñena integralom I se aproksimira površinom koja je odreñena odsečkom ose 0x, odsečcima pravih 0x x= i 3x x= i odsečkom grafika polinoma trećeg ste-

pena 2 33 0 1 2 3( )P x a a x a x a x= + + + izmeñu tačaka 0 0( , )x y i 3 3( , )x y .


(3) 5

(4)3

3( ) (ξ)

80

hR x f

⋅= − , 0 3ξ ( , )x x∈ .

Ako se odsečak [a, b] podeli na n = 3m (m ∈ N) jednakih delova dužine h = (b – a)/n = (b – a)/3m i ako se formula (1) primeni na odsečku [a + kh, a + + (k + 3) h] dužine 3h, tada će Njutnova kvadraturna formula na tom „trointervalu“ biti

(3) [ ]( 3)

1 2 3 1

3( ) 3 3

8

a k h

k k k k ka kh

hf x dx f f f f R

+ +

+ + + ++

≈ + + + +∫ .

125

Na isti način kao kod Simpsonove kvadraturne formule dobijamo uopštenu Njutnovu kvadraturnu formulu

(4) [

]0 3 6 3

1 2 4 5 2 1

3( ) 2( )

83( ) ( ),

b

n na

n n

hf x dx f f f f f

f f f f f f R f

−

− −

= + + + + + +

+ + + + + + + +

∫ ⋯

⋯

gde je

(5) 4 (4)( ) (ξ)80

b aR f h f

−= − , ξ ( , )a b∈

Primedba. Uporeñivanjem Simpsonove i Njutnove kvadraturne formule može se zaključiti sledeće. Ako je odsečak [a, b] podeljen na 6m (m ∈ N) delova, mogu se primeniti obe formule, ali je greška Njutnove formule veća oko dva puta; dakle, treba primeniti Simpsonovu formulu. Njutnovu formulu treba primeniti u slučaju neparnog broja čvorova (3m), kada se Simpsonova formula ne može primeniti.

Navedimo samo još neke Njutn–Kotesove kvadraturne formule. One su zapisane samo za „osnovni interval“.

(6) n = 4: [ ]

4

0

0 1 2 3 4

7(6)

0 4

2( ) 7 32 12 32 7

45

8( ), ( , );

945

x

x

hf x dx f f f f f

hf x x

= + + + + −

− ξ ξ ∈

∫

(7) n = 5: [ ]

5

0

0 1 2 3 4 5

7 (6)0 5

5( ) 19 75 50 50 75 19

288

275( ), ( , );

12096

x

x

hf x dx f f f f f f

h f x x

= + + + + + −

− ξ ξ ∈

∫

(8) n = 6: [

]

6

0

0 1 2 3

4 5 6

6( ) 41 216 27 272

840

27 216 41 ( ).

x

x

hf x dx f f f f

f f f R f

= + + + +

+ + + +

∫

Ako stavimo n = 6 u kvadraturnu formulu (4.8), dobićemo

0

0

62 3

0 0 0 0

4 5 60 0 0

6 18 27 24

123 33 41.

10 10 140

x h

x

ydx h y y y y

y y y

+

= + ∆ + ∆ + ∆ +

+ ∆ + ∆ + ∆

∫

i ako umesto koeficijenta 41

140 uz 6

0y∆ uzmemo 3

10, učinjena greška je

126

6 60 0

41 3 1

140 10 140y y

− ∆ = − ∆

i kvadraturna formula postaje znatno jedno-

stavnija

(9) [ ]0

0

6

0 1 2 3 4 5 6

35 6 5

10

x h

x

hy dx y y y y y y y

+

= + + + + + +∫ .

Za sledeći interval integracije od 6x do 12x imali bismo

[ ]12

0

6 7 8 9 10 11 12

35 6 5

10

x

x

hy dx y y y y y y y= + + + + + +∫ .

Na taj način se dobija kvadraturna formula

(10)

[

]

0

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12

6 5 4 3 2 1

0

35 6 5 2 5

106 5 22 5 6 5

3,

10

x nh

x

n n n n n n nn

hI y dx y y y y y y y y y

y y y yy y y y y y y

hky

+

− − − − − −

= = + + + + + + + + +

+ + + + + ++ + + + + + + =

=

∫

∑

⋯

gde je k = 1, 5, 1, 6, 1, 5, 2, 5, 1, 6, 1, 5, 2 i tako dalje. Kvadraturna formula (9) je osnovna a (10) uopštena Vidlova (Weddle T.)

kvadraturna formula.

Primer 1. Funkcija ( )y f x= je zadata tablično

x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 y 0.00000 0.24428 0.59673 1.09327 1.78043 2.71828 3.98414

Izračunati približnu vrednost integrala funkcije ( )f x koristeći Simpsonovu i Njutnovu kvadraturnu formulu. Ako je tačna vrednost I = 1.66402, izračunati i uporediti greške dobijenih približnih vrednosti.

Rešenje. Primenom Simpsonove kvadraturne formule dobijamo

0.224.96178 1.66412

3SI = ⋅ = ;

primenom Njutnove kvadraturne formule dobijamo 3 0.2

22.18984 1.664248NI

⋅= ⋅ = .

Očigledno je ( ) : ( ) ( 0.00010) : ( 0.00022) 5 :11S NI I I I− − = − − = , dakle, SI je tačnija 2.2 puta.

Primer 2. Izračunati približnu vrednost integrala 1.4

0.2

(sin ln )xx x e dx− +∫

primenom: a) Simpsonove, b) Vidlove kvadraturne formule.

127

Rešenje. Podelimo interval integracije na dvanaest jednakih delova uzima-jući h = 0.1. Vrednosti podintegralne funkcije date su u sledećoj tabeli.

x y x y 0.2 3.02951 0.9 3.34830 0.3 2.84936 1.0 3.55975 0.4 2.79754 1.1 3.80007 0.5 2.82130 1.2 4.06984 0.6 2.89759 1.3 4.37050 0.7 3.01465 1.4 4.70418 0.8 3.16605

(a) Simpsonova kvadraturna formula: 0.1

[3.02951 4.70418 4(20.20418) 2(16.49077)] 4.051063SI = + + + = .

(b) Vidlova kvadraturna formula: 0.03[21.05841 5(13.58281) 6(6.62137) 2(3.16605)] 4.05098WI = + + + = .

Tačna vrednost integrala: 1.4 1.4

0.20.2

(sin ln ) cos (ln 1) 4.05095.x xI x x e dx x x x e= − + = − − − + =∫

Greške su: 0.00011SE = − ,

0.00003WE = − .

Greška Njutn–Kotesovih kvadraturnih formula s n + 1 ordinatom za dovoljno glatke funkcije ( )y f x= ima red

2 22( )n

R O h + = ,

gde je 2n celi deo razlomka

2

n. (Videti, na primer, – Berezin, Židkov:

„Numerička analiza“, Beograd, 1963.)

8. NJUTN–KOTESOVE KVADRATURNE FORMULE OTVORENOG TIPA

Prethodno posmatrane Njutn–Kotesove kvadraturne formule su kvadratur-ne formule zatvorenog tipa; integral se uzima u granicama od a do b (ili od 0x

do nx ) a u same formule ulaze vrednosti podintegralne funkcije (integranda) na

krajevima odsečka [a, b], tj. ( )f a i ( )f b (odnosno, 0 0( )f f x= i ( )n nf f x= ). Osim ovih formula mogu se izvesti tzv. Njutn–Kotesove kvadraturne formule otvorenog tipa. One se razlikuju od prethodnih jer se kod njih ne pojavljuju vrednosti podintegralne funkcije na krajevima intervala integracije. Navedimo neke od njih:

128

(1) 3

0

3

1 2

3 3( ) ( ) ''( )

2 4

x

x

h hf x dx f f f= + + ξ∫ , 0 3( )x x< ξ < ;

(2) 4

0

5 (4)1 2 3

4 14( ) (2 2 ) ( )

3 45

x

x

hf x dx f f f h f= − + + ξ∫ , 0 4( )x x< ξ < ;

(3) 5

0

5 (4)1 2 3 4

5 95( ) (11 11 ) ( )

24 144

x

x

hf x dx f f f f h f= + + + + ξ∫ , 0 5( )x x< ξ < .

Formula (1) se dobija kada se konstruiše interpolacioni polinom (prvog stepena) čiji grafik sadrži tačke 1 1( , )x f , 2 2( , )x f i integrali od 0x do 3x . Prema

tome, za integraciju se koriste ekstrapolacioni segmenti 0 1[ , ]x x i 2 3[ , ]x x . Dakle, kako je prvi Njutnov interpolacioni polinom koji sadrži tačke

1 1( , )x f i 2 2( , )x f jednak

1 1 1( )P x f u f= + ∆ , 1x xu

h

−=

to će biti

[ ]

3

0

2

1 1 11

22

1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1 2

( ) ( )

12 2

2 2

3 3 33 2 ( ).

2 2 2

x

x

P x dx h f u f du

uh f u f h f f f f

h f f h f f h f f

−

−

= + ∆ =

= + ∆ = + ∆ + − ∆ =

= + ∆ = + ∆ = +

∫ ∫

Greška formule (1) je 3

0

2 221 1

1 22 21

22 3 2

2 2 2 21 1 1 1

1 1

( ) ( )( ) ( 1)2! 2!

( 1) 3 3;

2 2 3 2 2 2 4

x

x

f fR h x x x x dx hu h u h du

h h

u u h u u hh f du f f h f

−

− −

∆ ∆≈ ⋅ − − = ⋅ ⋅ − ⋅ =

−= ⋅ ∆ = − ⋅ ∆ = ⋅ ∆ ⋅ = ⋅ ∆

∫ ∫

∫

uzimajući da je 2 21 ''( )f h f∆ ≈ ξ dobijamo

33''( )

4R h f≈ ξ , 0 3x x< ξ < .

9. ČEBIŠOVLJEVA KVADRATURNA FORMULA


(1) ( )b

a

I f t dt= ∫ .

129

Smenom

2 2

b a a bt x

− += +

integral (1) se transformiše u sledeći integral 1 1

1 1

( )2 2 2

b a a b b aI f x dx F x dx

− −

− + − = + =

∫ ∫ ,

pa opštost izlaganja neće biti smanjena ako budemo razmatrali integral

(2) 1

1

( )I F x dx−

= ∫ .

Potražimo kvadraturnu formulu u sledećem obliku

(3) 1

1 1 2 21

( ) ( ) ( ) ( )n nF x dx A F x A F x A F x−

= + + +∫ ⋯ ,

gde su koeficijenti 1 2, , ..., nA A A i apscise 1 2, , ..., nx x x neodreñeni parametri.

Ako koeficijente iA i apscise ix ( 1, )i n= odredimo tako da budu ispunjeni uslovi:

1) svi koeficijenti su jednaki, tj. 1 2 ( )nA A A A= = = =⋯ ,

2) formula (3) je tačna za sve polinome kx , 0,k n= , onda se dobija Čebišovljeva kvadraturna formula.

Dakle, formulu tražimo u obliku

(4) 1

11

( ) ( )n

ii

F x dx A F x=−

= ∑∫ .

Ako je ( ) 1F x ≡ , onda je 1

11

1 1n

i

dx A=−

⋅ = ∑∫ ili 2 n A= ⋅ ,

pa je 2

An

= i

1

11

2( ) ( )

n

ii

F x dx F xn =−

= ∑∫ .

Ako je ( ) kF x x= , 1,k n= , onda je 1

11

2 nk k

ii

x dx xn =−

= ∑∫ ,

ili 1

1

1 ( 1)

2 1

knki

i

nx

k

+

=

− −= ⋅+∑ , 1,k n= ,

odnosno

130

(5)

1 2

2 2 21 2

1

0,

,3

1 ( 1).

2 1

n

n

nn n n

x x xn

x x x

nx x x

n

+

+ + + =

+ + + =

− −+ + + = ⋅+

⋯

⋯

……………………………………

⋯

Apscise Čebišovljeve kvadraturne formule se odreñuju iz sistema nelinear-nih algebarskih jednačina (5).

Za n = 1 se dobija kvadraturna formula

(6) 1

1

( ) 2 (0)F x dx F−

= ⋅∫ ;

za n = 2 imamo

1 2 0x x+ = , 2 21 2

2

3x x+ = ,

odakle je 2 1

1

3x x= − = , pa je kvadraturna formula

(7) 1

1

1 1( )

3 3F x dx F F

−

= − +

∫ ;

za n = 3 imamo

1 2 3 0x x x+ + = , 2 2 21 2 3 1x x x+ + = , 3 3 3

1 1 3 0x x x+ + =

odakle je 2 0x = , 3 1

1

2x x= − = , pa je kvadraturna formula

(8) 1

1

2 1 1( ) (0)

3 2 2F x dx F F F

−

= − + +

∫ .

Za veće n dobijamo formule veće tačnosti. Navodimo tablicu apscisa Čebi-šovljeve kvadraturne formule za razne vrednosti n.

n i xi n i xi 1 1 0 1,7 K 0.883 861 700 8 2 1,2 K 0.577 350 269 1 7 2,6 K 0.529 656 775 3 3 1,3 K 0.707 106 781 2 3,5 K 0.323 911 810 5 2 0 4 0 4 1,4 K 0.794 654 472 3 1,9 K 0.911 589 307 7 2,3 K 0.187 592 474 1 9 2,8 K 0.601 018 655 4 1,5 K 0.832 497 487 0 3,7 K 0.528 761 783 1 5 2,4 K 0.374 541 409 6 4,5 K 0.167 906 184 2 3 0 6 0 1,6 K 0.866 246 818 1 6 2,5 K 0.422 518 653 8 3,4 K 0.266 635 401 5

131

Primećujemo da su apscise simetrično rasporeñene u odnosu na 0, središte odsečka [–1, 1], a za neparno n jedna je apscisa 0.

Za n = 8 i n ≥ 10, kako je pokazao Bernštajn (С.Н. Бернштейн, 1880–1968) tridesetih godina dvadesetog veka, sistem jednačina (5) nema realna rešenja; dakle, za n = 8 i n ≥ 10 ne postoji Čebišovljeva kvadraturna formula. To predstavlja suštinsko ograničenje za ovu formulu.

Primer 1. Koristeći Čebišovljevu kvadraturnu formulu za n = 3 i n = 5 izračunati

1

0

sin(1)

tSi dt

t= ∫ .

Rešenje. Uvedimo novu promenljivu 1 1

2 2t x= + ; tada imamo

1

1

sin 0.5(1 )(1)

1

xSi dx

x−

+=+∫ .

Izračunajmo vrednosti integranda u čvorovima 1 2 3, ,x x x ; rezultati raču-nanja su dati u sledećoj tabeli.

i xi 1 + xi 1

(1 )2 ix+

1sin (1 )

2 ix+ ( )iF x

1 –0.707 107 0.292 893 0.146 447 0.145 924 0.498 216 2 0 1 0.500 000 0.479 425 0.479 425 3 –0.707 107 1.707 107 0.853 554 0.753 621 0.441 461 1.419 102

Približna vrednost za n = 3 je 2

(1) 1.419102 0.9460683

Si = ⋅ = .

Na potpuno isti način formiramo sledeću tabelu.

i xi 1 + xi 1

(1 )2 ix+

1sin (1 )

2 ix+ ( )iF x

1 –0.832 497 0.167 503 0.083 752 0.083 654 0.499 418 2 –0.374 541 0.625 459 0.312 730 0.307 637 0.491 890 3 0 1 0.500 000 0.479 425 0.479 425 4 –0.374 541 1.374 541 0.587 270 0.634 429 0.461 557 5 –0.832 497 1.832 497 0.916 248 0.793 323 0.432 919 2.365 209

Približna vrednost za n = 5 je 2

(1) 2.365209 0.9460845

Si = ⋅ = . Radi pore-

ñenja, tačna vrednost (1) 0.946083Si = , gde su sve cifre sigurne u užem smislu.

Greška Čebišovljeve kvadraturne formule je za:

132

1n = : 1

1( ) ''( )

3R f f= ξ , 5n = : (6)

5

13( ) ( )

544320R f f= ξ ,

2n = : (4)2

1( ) ( )

135R f f= ξ , 6n = : (8)

6

1( ) ( )

3969000R f f= ξ ,

3n = : (4)3

1( ) ( )

360R f f= ξ , 7n = : (8)

7

281( ) ( )

1959552000R f f= ξ ,

4n = : (5)4

2( ) ( )

42525R f f= ξ , 9n = : (10)

9

74747( ) ( )

11200 9 11!R f f= ξ

⋅ ⋅,

( 1,1)a ξ∈ − .

10. GAUSOVA KVADRATURNA FORMULA


(1) ( )b

a

I f t dt= ∫ .

Smenom

2 2

b a a bt x

− += +

integral (1) se transformiše u integral

(2) 1

1

( )I F x dx−

= ∫ ,

gde je ( )2 2 2

b a a b b aF x f x

− + − = +

, i opštost izlaganja neće biti smanjena.

Potražimo kvadraturnu formulu u sledećem obliku

(3) 1

1 1 2 21

( ) ( ) ( ) ( )n nI F x dx A F x A F x A F x−

= = + + +∫ ⋯ ,

gde su koeficijenti 1 2, , ..., nA A A i apscise 1 2, , ..., nx x x neodreñeni parametri.

Ako koeficijente iA i apscise ix ( 1, )i n= odredimo tako da kvadraturna formula (3) bude tačna za polinome što je moguće višeg stepena, onda se dobija Gausova kvadraturna formula. Kako u jednakosti (3) imamo 2n nepoznatih parametara (n koeficijenata iA i n apscisa ix ), to ćemo uzeti da formula (3)

bude tačna za sve polinome ( ) kF x x= , 0, 2 1k n= − . Dakle, imaćemo

(4)

1 2

1 1 2 2

2 2 21 1 2 2

2 ,

0 ,

2,

3

n

n n

n n

A A A

A x A x A x

A x A x A x

= + + += + + +

= + + +

⋯

⋯

⋯

⋮

133

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2

2 1 2 1 2 11 1 2 2

2,

2 1

0 .

n n nn n

n n nn n

A x A x A xn

A x A x A x

− − −

− − −

= + + +−

= + + +

⋯

⋯

Jasno je da se ovaj sistem od 2n jednačina sa 2n nepoznatih teško rešava; sistem je nelinearan po ix a linearan po iA . Razmotrimo, za početak, način rešavanja sistema (4) za n = 1, 2, 3.

Za n = 1 sistem (4) postaje

12 A= , 1 10 A x= ,

odakle je 1 2A = i 1 0x = . Prema tome, Gausova kvadraturna formula u ovom slučaju glasi

1

1

( ) 2 (0)F x dx F−

=∫ ;

formula je tačna za sve polinome nultog i prvog stepena. Za n = 2 sistem (4) postaje

1 2

1 1 2 2

2 21 1 2 2

3 31 1 2 2

2,

0,

2,

3

0,

A A

A x A x

A x A x

A x A x

+ =+ =

+ =

+ =

odakle se dobija 1 2 1A A= = , 2 1

1

3x x= − = . Prema tome, Gausova kvadraurna

formula u ovom slučaju glasi 1

1

1 1( )

3 3F x dx F F

−

= − +

∫ ;

formula je tačna za sve polinome nultog, prvog, drugog i trećeg stepena. Za n = 3 sistem (4) postaje

1 2 3

1 1 2 2 3 3

2 2 21 1 2 2 3 3

3 3 31 1 2 2 3 3

4 4 41 1 2 2 3 3

5 5 51 1 2 2 3 3

2,

0,

2,

3

0,

2,

5

0.

A A A

A x A x A x

A x A x A x

A x A x A x

A x A x A x

A x A x A x

+ + =+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

Dokazano je (videti, na primer, Kaiser S. Kunz – Numerical analysis, Lon-don, 1957.) da su čvorovi ix simetrično rasporeñeni u odnosu na koordinatni

134

početak, tj. dokazano je da je 1i n ix x − += , a u slučaju neparnog broja n = 2s – 1

0sx = . Iskoristivši ovo svojstvo sistem se svodi na

1 2 3

1 1 3 1

2 21 1 3 1

2,

0,

2,

3

A A A

A x A x

A x A x

+ + =− =

+ =

3 31 1 3 1

4 41 1 3 1

5 51 1 3 1

0,

2,

5

0.

A x A x

A x A x

A x A x

− =

+ =

− =

Kako je 1 0x ≠ , to se iz druge jednačine dobija 1 3A A= , a iz treće i pete se

dobija 3 1

3

5x x= − = . Zatim, imamo da je 1 3

5

9A A= = i 2

8

9A = . Prema tome,

Gausova kvadraturna formula u ovom slučaju glasi

1

1

5 3 8 5 1( ) (0)

9 5 9 9 3F x dx F F F

−

= − + +

∫ ,

formula je tačna za sve polinome kx , k ≤ 5. Da bismo rešili sistem jednačina (4) u opštem slučaju, navešćemo bez

dokaza neke stavove o Ležandrovim (A. M. Legendre, 1752–1833) polinomima.

Ležandrov polinom n–tog stepena je

(5) 21( ) ( 1)

2 !

nn

n n n

dL x x

n dx = − , 0,1, 2, ...n =

Tako imamo:

0

1

22

33

4 24

5 35

6 4 26

( ) 1,( ) ,

1( ) (3 1),

21

( ) (5 3 ),21

( ) (35 30 3),81

( ) (63 70 15 ),81

( ) (231 315 105 5), ...16

L xL x x

L x x

L x x x

L x x x

L x x x x

L x x x x

==

= −

= −

= − +

= − +

= − + −

135

Za Ležandrove polinome važi:

1) Ležandrovi polinomi obrazuju na segmentu [–1, 1] ortogonalan sistem, tj.

1

1

0, ,( ) ( ) 2

, ; , 0,1, 2, ...2 1

n m

m nL x L x dx

m n m nn−

≠⋅ = = = +

∫

2) Ležandrov polinom ( )nL x za n ≥ 1 ima n različitih realnih korena

( 1,1)ix ∈ − , 1,i n= ; 3) Za Ležandrove polinome važi rekurentna formula

(6) 1 1( 1) ( ) (2 1) ( ) ( ) 0n n nn L x n xL x nL x+ −+ − + + = , 1, 2,n = … ;

4) Normirani Ležandrovi polinomi 2 1

( ) ( )2n n

nL x L x

+=

, n = 0, 1, 2, ...

obrazuju na segmentu [–1, 1] ortonormiran sistem polinoma, tj. 1

1

0,( ) ( )

1,n m

m nL x L x dx

m n−

≠⋅ = =

∫

.

5) Ako je ( )kQ x proizvoljan polinom stepena k < n, onda je 1

1

( ) ( ) 0n kL x Q x dx−

⋅ =∫ ;

6) Nepoznate 1 2, , ..., nx x x sistema (4), odnosno čvorovi kvadraturne for-

mule (3), su nule Ležandrovog polinoma ( )nL x . Prema tome, imajući u vidu

osobine 2) i 6), pri rešavanju sistema (4) najpre se iz jednačine ( ) 0nL x =

odrede koreni 1 2, , ..., nx x x , a zatim se rešava sistem jednačina (4) koji je

linearan po koeficijentima iA ( 1, )i n= . Ako uzmemo prvih n jednačina sistema

(4), dobićemo sistem od n linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih iA

( 1, )i n= . Determinanta tog sistema je Vandermondova determinanta

1

( ) 0i jn i j

D x x≥ > ≥

= − ≠∏ .

Dakle, koeficijenti kvadraturne formule (3) jednoznačno su odreñeni i jed-naki su

2

2 21

12

( )i

in i

xA

n L x−

−= , ( 1, )i n= .

Greška Gausove kvadraturne formule je (videti, na primer, Kaiser S. Kunz – Numerical analysis, London, 1957.)

(7)

22 1 2(2 )2 ( !)

( ) ( )(2 1)(2 )! (2 )!

nn

n

nR F F

n n n

+ = ξ +

( 1 1)− < ξ < .

136

Očigledno je da se Gausovom kvadraturnom formulom postiže velika tač-nost i za relativno mali broj čvorova integracije. Na primer, za n = 5 je

10 (10)5( ) 8.08 10 ( )R F F−≈ ⋅ ξ ,

a za n = 7 je 15 (14)

7( ) 2.13 10 ( )R F F−≈ ⋅ ξ . Meñutim, primena formule za grešku (7) je komplikovana jer je računanje

vezano za izračunavanje izvoda visokih redova (naravno, ako izvodi podintegra-lne funkcije uopšte postoje).

Navedimo tablicu čvorova i koeficijenata Gausove kvadraturne formule za razne vrednosti n.

n i xi Ai 1 1 0 2 2 1,2 K 0.577 350 269 1 1 3 1,3 K 0.774 596 669 2 5/9 2 0 8/9 4 1,4 K 0.861 136 311 6 0.347 854 845 1 2,3 K 0.339 981 043 6 0.652 145 154 9 1,5 K 0.906 179 845 9 0.236 926 885 1 5 2,4 K 0.538 469 310 1 0.478 628 670 5 3 0 0.568 888 888 9 1,6 K 0.932 469 514 2 0.171 324 492 4 6 2,5 K 0.661 209 386 5 0.360 761 573 0 3,4 K 0.238 619 186 1 0.467 913 934 6 1,7 K 0.949 107 912 3 0.129 484 966 2 7 2,6 K 0.741 531 185 6 0.279 705 391 5 3,5 K 0.405 845 151 4 0.381 830 050 5 4 0 0.417 959 183 7 1,8 K 0.960 289 856 5 0.101 228 536 3 8 2,7 K 0.796 666 477 4 0.222 381 034 5 3,6 K 0.525 532 409 9 0.313 706 645 9 4,5 K 0.183 434 642 5 0.362 683 783 4

Primer 1. Koristeći Gausovu kvadraturnu formulu za n = 4 izračunati / 4

20 11 sin

4

dtI

t

π

=−

∫ .

Rešenje. Uvedimo novu promenljivu 8 8

t xπ π= + ; tada imamo

137

1

1 28 11 sin

4 8 8

dxI

x−

π=π π − +

∫ .

Izračunajmo vrednosti integranda u čvorovima 1x , 2x , 3x , 4x ; rezultati ra-čunanja su dati u sledećoj tabeli.

i xi 8 ( 1)i it xπ= + sin it 2sin it 211 sin

4 it− ( )iF x

1 –0.861136 0.054532 0.054505 0.002971 0.999257 1.000372 2 –0.339981 0.259189 0.256297 0.065688 0.983578 1.008314 3 –0.339981 0.526209 0.502259 0.252264 0.936340 1.033107 4 –0.861136 0.730866 0.667514 0.445575 0.888606 1.060829

[ ]0.347855(1.000372 1.060829) 0.652145(1.008314 1.033107)8

2.048301 0.804366. 8

Iπ= + + + =

π= ⋅ =

Primer 2. Neka je dat integral 1

1

| |nnI x dx−

= ∫ , 1, 2, ...n =

Izračunati približnu vrednost integrala koristeći trapeznu, Simpsonovu i Gausovu kvadraturnu formulu i uporediti tačnost dobijenih rezultata. Podinte-gralnu funkciju računati u tri tačke.

Rešenje. Za n = 1 i h = 1 dobijamo:

1 1

1

1 1 2(1 2 0 1) 1, (1 4 0 1) ,

2 3 3

5 3 3 8 10 3(0) 0.86066

9 5 5 9 9 5

T S

G

I I

I F F F

= + ⋅ + = = + ⋅ + =

= − + + = =

…

Kako je tačna vrednost integrala 1

0

22

1n

nI x dxn

= =+∫ , to je za 1n = 1 1I = .

Dakle, redom imamo 1 1| | 0TI I− = – trapeznom formulom dobijamo tačnu vred-

nost, 1 1

2 1| | 1

3 3SI I− = − = – greška rezultata dobijenog primenom Simpsonove

formule, 1 1| | 1 0.86066 0.1393 0.14GI I− = − = <… … – greška rezultata dobije-nog primenom Gausove formule.

Za n = 2 i h = 1 dobijamo:

2 2

1 1 2(1 2 0 1) 1, (1 4 0 1) ,

2 3 3T SI I= + ⋅ + = = + ⋅ + =

138

2

5 3 3 8 5 3 3 8 2(0) 0 .

9 5 5 9 9 5 5 9 3GI F F F = − + + = + + ⋅ =

Tačna vrednost integrala je 2

3I = ; greška trapezne formule je 2| |TI I− =

2 11

3 3= − = , a Simpsonovom i Gausovom formulom se dobija tačna vrednost.

Za n = 3 i h = 1 dobijamo: 3

1

2I = , 3 1TI = , 3

2

3SI = , 3 0.5164GI = ; greške

su redom jednake 0.5, tj. rezultat je 100% pogrešan, 0.167 i 0.0164.

Za n = 4 tačna vrednost je 4

2

5I = , trapezna formula daje rezultat s

greškom 2 3

1 0.65 5

− = = , Simpsonova ima grešku jednaku 2 2

0.2675 3

− = a

Gausova 2 2

05 5

− = .

Ovo uporeñivanje pokazuje, izmeñu ostalog, da se ponekad trapeznom for-mulom mogu dobiti tačniji rezultati nego Simpsonovom i Gausovom formulom. To se dogaña kada podintegralna funkcija nije glatka, kada ima prekidne izvode. Za podintegralne funkcije koje imaju dovoljan broj neprekidnih izvoda Gausovom formulom se dobijaju znatno tačniji rezultati nego Simpsonovom, a ovom tačniji nego trapeznom.

11. KVADRATURNA FORMULA LOBATOA

Gausova kvadraturna formula (10.3), što se lako može uočiti, ne uključuje vrednosti integranda u krajnjim tačkama intervala integracije, dakle, formula je otvorenog tipa. Meñutim, u izvesnim problemima mogu se iskoristiti i te vred-nosti jer su one često date. Lobato je modifikovao Gausovu kvadraturnu formulu uključujući i te vrednosti, a posmatrao je samo slučajeve kada je broj čvorova n neparan.

Dakle, apscise ili čvorovi kvadraturne formule Lobatoa se odreñuju iz jed-načine

(1) 2

2 12

( 1) 0n

nn

dx

dx

−−

− − = , 3, 5, ...n =

Tako je, na primer, za n = 3

2 2( 1) 0d

xdx − = ,

odnosno, 24 ( 1) 0x x − = , pa je 1 1x = − , 2 0x = i 3 1x = . Naravno, to smo una-pred mogli znati: –1 i 1 se uključuju kao krajevi intervala integracije a 0 kao

139

središte tog intervala. Koeficijente 1A , 2A i 3A odreñujemo iz sistema jednačina (prema (9.4))

1 2 3

1 3

1 3

2,

0,

2.

3

A A A

A A

A A

+ + =− + =

+ =

Iz ovog sistema dobijamo koeficijente 1 3

1

3A A= = i 2

4

3A = , pa je kva-

draturna formula Lobatoa za n = 3

[ ]1

1

1( ) ( 1) 4 (0) (1)

3F x dx F F F

−

= − + +∫ .

Za n = 5 imamo 3

2 43

( 1) 0d

xdx

− = ,

odnosno, 2 2( 1)(7 3) 0x x x− − = , pa je 1 1x = − , 2

3

7x = − , 3 0x = , 4

3

7x = i

5 1x = . Koeficijente 1 2 3 4, , ,A A A A i 5A odreñujemo iz sistema jednačina (prema (9.4))

1 2 3 4 5

1 2 4 5

1 2 4 5

3 3

1 2 4 5

1 2 4 5

2,

3 30,

7 73 3 2

,7 7 3

3 30,

7 7

9 9 2.

49 49 5

A A A A A

A A A A

A A A A

A A A A

A A A A

+ + + + =

− − + + =

+ + + =

− − + + =

+ + + =

Iz ovog sistema jednačina dobijamo: 1 5

1

10A A= = , 2 4

49

90A A= = i

3

32

45A = , pa je kvadraturna formula Lobatoa za n = 5

1

1

1 3 3( ) 9 ( 1) 49 64 (0) 49 9 (1)

90 7 7F x dx F F F F F

−

= − + − + + +

∫ .

Na potpuno analogan način se dobijaju kvadraturne formule Lobatoa za n = 7, 9, ...

Kod primene kvadraturne formule Lobatoa računanje je nešto jednostavnije ali je tačnost manja od tačnosti odgovarajuće Gausove kvadraturne formule.

140

Primer 1. Koristeći kvadraturnu formulu Lobatoa za n = 5 izračunati 5

2 ln

dtI

t= ∫ .

Rešenje. Uvedimo smenu 3 7

2 2t x= + ; tada imamo

1

1

33 72

ln2 2

dxI

x−

= +

∫ .

Izračunajmo vrednosti podintegralne funkcije u čvorovima 3

1,7

− − , 0,

3

7, 1. Računanje je dato u sledećoj tabeli.

i xi 3 7

2 2i it x= + ln it ( )iF x Ai

1 –1 2 0.694147 1.442695 9 2 –0.654654 2.518019 0.923472 1.082870 49 3 0 7/2 1.252764 0.798235 64 4 0.654654 4.481981 1.500066 0.666637 49 5 1 5 1.609438 0.621335 9

Približna vrednost integrala je 3 1

155.38914 2.589822 90

I = ⋅ ⋅ = .

12. RUNGEOV PRINCIP PRIBLIŽNE OCENE GREŠKE NUMERI ČKE INTEGRACIJE

Jedan od najvažnijih zadataka u numeričkoj analizi je svakako ocena greške dobijene približne vrednosti. Ovde ćemo razmatrati pitanje ocene greške numeričke integracije. Dakle, ako treba izračunati približnu vrednost integrala

(1) ( )b

a

I f x dx= ∫

primenom neke kvadraturne formule

(2) 1

( )n

n i ii

I A f x=

=∑ ,

onda se postavlja pitanje ocene greške nI I∆ = − ili apsolutne greške

| |n nI I I∆ = − . Ocena razlike nI I− , kao što znamo, po pravilu sadrži izvode vi-sokog reda podintegralne funkcije ili integranda ( )f x . Na primer, imamo:

2( ) ''( )12

b aR h h f

−= − ⋅ ξ , ( , )a bξ ∈ – kod trapezne kvadraturne formule,

141

4( ) ( )180

IVb aR h h f

−= − ⋅ ξ , ( , )a bξ ∈ – kod Simpsonove kvadraturne formule,

2 1 4 (2 )

3

( ) ( !) ( )

[(2 )!] (2 1)

n n

n

b a n fR

n n

+− ξ=+

, ( , )a bξ ∈ – kod Gausove kvadraturne formule.

Ocena tih izvoda najčešće je praktično nemoguća a i kada je moguća, često je vrlo gruba. Osim toga, nije redak slučaj kada analitički izraz funkcije ( )f x nije poznat, pa samim tim ni izvodi ne mogu biti poznati i ocenjeni. U praksi se koristi jedan vrlo jednostavan način približne ocene greške numeričke integracije.

Neka se greška kvadraturne formule može zapisati na sledeći način

(3) ( ) ( )kR h O h= ili ( ) kR h Mh= , gde je h zadata dužina odsečka integracije ili neki njegov deo, k je fiksiran broj a veličinu M za datu funkciju, dati odsečak integracije i datu kvadraturnu formulu možemo posmatrati kao konstantu. Tako, na primer, za trapeznu

kvadraturnu formulu je 22( )R h M h= ⋅ , za Simpsonovu kvadraturnu formulu je

44( )R h M h= ⋅ ili, uopšte, za Njutn–Kotesove kvadraturne formule

22 2( )

n

nR h M h + = ⋅

gde je 2

n

najveći ceo broj koji nije veći od 2

n. Metoda se zasniva na izraču-

navanju približnih vrednosti integrala (1) za korak h i korak 2h. Dakle, imamo:

2 2 2(2 ) (2 ) 2 ,

( ) ,

k k kh h h

kh h

I I R h I M h I M h

I I R h I M h

= + ≈ + = + ⋅ ⋅

= + = + ⋅

odnosno

2 2 ( ),

( ).

kh

h

I I R h

I I R h

= += +

Izjednačavanjem desnih strana ovih jednakosti dobijamo

2 2 ( ) ( )kh hI R h I R h+ = + ,

a odavde je:

(4) 2( )2 1h h

k

I IR h

−≈

−,

(5) 2( )2 1h h

h h k

I II I R h I

−= + = +

−.

Za k = 2 imamo za trapeznu kvadraturnu formulu 2( )

3h hI I

R h−

≈ ;

za k = 4 imamo za Simpsonovu kvadraturnu formulu 2( )

15h hI I

R h−

≈ .

142

Kako ovakav način ocene greške važi u svim slučajevima kada se greška može prikazati u obliku (3), i ne samo kod numeričke integracije, dakle, kako je ovo zakonitost opšteg karaktera, a zakonitosti opšteg karaktera predstavljaju principe, to je poznat pod nazivom Rugeov princip ocene greške (Runge, C.).

13. RIČARDSONOVA METODA EKSTRAPOLACIJE

Ako je za kvadraturnu formulu

(1) 0

( ) ( ) [ ]b n

i iia

I f x dx A f x R f=

= = +∑∫

poznat red greške [ ] ( )kR R f O h= = , k ≥ 1, onda se za ocenu tačnosti približne vrednosti

1

( ) ( )b n

i iia

I f x dx A f x=

= ≈∑∫

može iskoristiti metoda izračunavanja približnih vrednosti integrala 1h

I i 2hI za

dva različita koraka integracije 1h i 2h . Specijalno za 1 22h h= . Dakle, neka je

(2) ( )kR O h= , 1k ≥ ,

gde je b a

hn

−= . Tada je

(3) kR M h= ⋅ ,

gde je za zadatu podintegralnu funkciju ( )f x , zadati interval integracije [a, b] i korak h veličina M konstantna. Izaberimo dva različita koraka integracije

(4) 11

b ah

n

−= i 22

b ah

n

−= , 2 1n n> .

Neka su 1nI i

2nI odgovarajuće približne vrednosti integrala I. Tada je

(5) 1 1

1

k

n n

b aR I I M

n

−= − =

i 2 2

2

k

n n

b aR I I M

n

−= − =

,

pa je

2 1

1 2

1 1( )k

n n k kI I M b a

n n

− = ⋅ − ⋅ −

,

a odavde je

(6) 2 11 2

2 1

kn n

k k

I In nM

b a n n

− = ⋅ − − .

Uvrstimo li (6) u (3), dobićemo

(7) 2 1 2 11 2 1 2

2 1 2 1

k kkn n n nkk k k k

I I I In n n nb aR M h

b a n nn n n n

− −− = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − − − .

143

Ako uzmemo da je 2h h= , tj. 2n n= , onda ćemo imati

2 2 2 1

1

2 1

( )k

n n n nk k

nR I I I I

n n= − = ⋅ −

−.

Kako je 2 2n nI I R= + , to je tačnija približna vrednost integrala I jednaka

(8) 1 2 2 2 1

1,

2 1

( )k

n n n n nk k

nI I I I

n n= + −

−.

Postupak nalaženja tačnije približne vrednosti 1 2,n nI pomoću približnih

vrednosti 1nI i

2nI , pomoću formule (8), naziva se Ričardsonova metoda ekstra-

polacije (Richardson).

Zašto se naziva metoda ekstrapolacije?

Pokazuje se da je za 1 2n nI I≠ tačnija približna vrednost

1 2,n nI , dobijena po-

moću formule (8), izvan segmenta čiji su krajevi 1nI i

2nI .

Zaista, ako je In2> In1

, onda iz (8) imamo

1 2 2 2 1 2 1 2

1,

2 1

( ) max , k

n n n n n n n nk k

nI I I I I I I

n n= + − > =

−,

tj. 1 2 1 2, [ , ]n n n nI I I∉ ; ako je

2 1n nI I< , onda je

1 2 2 2 1 2 1 2

1,

2 1

( ) min , k

n n n n n n n nk k

nI I I I I I I

n n= + − < =

−,

tj. 1 2 2 1, [ , ]n n n nI I I∉ .

Ako je 1 2n nI I= , onda je

1 2 1 2,n n n nI I I= = .

Uvedemo li oznaku 2

1

n

n= α , 1α > , imaćemo

(9) 1 2 2 2 1, ( )n n n n nI I I I= + β − ,

gde je 1

1kβ =

α −. Vrednosti β se mogu tabelirati za različite vrednosti α i k.

Primetimo da je, na primer, kod trapezne kvadraturne formule k = 2, pa je za 1 22h h=

1 21, 2 2 3

I II I

−= + ,

a kod Simpsonove kvadraturne formule je k = 4 i za 1 22h h=

1 21, 2 2 15

I II I

−= + .

Mogu se dobiti i tačnije formule: 1 2 3, ,n n nI ili

1 2, , ..., mn n nI .

144

Primer 1. Zadat je integral 1

2

0

arctg (1 )I x dx= +∫ .

Koristeći trapeznu kvadraturnu formulu za 1 2n = i 2 4n = Ričardsonovom

metodom ekstrapolacije izračunati 2, 4I .

Računati sa šest značajnih decimala. Rešenje.

x ( )f x 0.0 0.785398 1 0.5 0.896055 2

Za n1 = 2, tj. h1 = 0.5:

1.0 1.107149 1

2

0.53.684657 0.921164

3I = ⋅ = ;

x ( )f x

0.00 0.785398 1 0.25 0.815692 2 0.50 0.896055 2 0.75 1.001483 2

Za n2 = 4, tj. 1 0.25h = :

1.0 1.107149 1

4

0.257.319007 0.914876

2I = ⋅ = ;

2

2, 4 4 4 22 2

2( ) 0.912780 [0.914876, 0.921164]

4 2I I I I= + − = ∉

−.

Dakle, I = 0.91278.

Primer 2. Zadat je integral 1

2

0

ln(1 )I x x dx= + +∫ .

Koristeći Simpsonovu kvadraturnu formulu za n jednako 2, 4 i 8 Ričardso-

novom metodom ekstrapolacije izračunati: 2, 4I , 2, 8I i 4, 8I .

Računati sa šest značajnih decimala.

Rešenje.

x ( )f x 0.0 0.000000 1 0.5 0.559616 4

Za n = 2, tj. h = 0.5:

1.0 1.098612 1

2

0.53.337076 0.556179

2I = ⋅ = ;

x ( )f x

0.00 0.000000 1 4

0.256.658896 0.554908

3I = ⋅ = ;

0.25 0.271934 4 0.50 0.559616 2 0.75 0.838329 4 1.00 1.098612 1

2,4

10.554908 (0.554908 0.556179)

150.554823 [0.554908,0.556179]

I = + − =

= ∉

za n = 4, tj. h = 0.25:

145

x ( )f x 0.000 0.000000 1 8

0.12513.315766 0.554824

3I = ⋅ = ;

0.125 0.131576 4 0.250 0.271934 2 0.375 0.415828 4

0.500 0.559616 2

2,8

10.554824 (0.554824 0.556179)

2550.554819 [0.554824,0.556179];

I = + − =

= ∉

0.625 0.700929 4 0.750 0.838329 2 0.875 0.971016 4

za n = 8, tj. h = 0.125:

1.000 1.098612 1

4,8

10.554824 (0.554824 0.554908)

150.554818 [0.554824, 0.554908].

I = + − =

= ∉

14. ROMBERGOVA METODA

Rombergova metoda numeričke integracije omogućava dobijanje kvadra-turnih formula veće tačnosti pomoću kvadraturnih formula manje tačnosti. Pokažimo to na primeru primene trapezne kvadraturne formule.


(1) ( )b

a

I f x dx= ∫ .

Podelom segmenta [a, b] na n, n ∈ N, jednakih delova dužine

n

b ah

n

−=

imamo na osnovu uopštene trapezne kvadraturne formule

0 1 1[ ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )] ( )2n

n n n

hI f x f x f x f x R h−= + + + + +⋯ ,

odnosno (0) ( )n nI T R h= + ,

gde je (0)nT približna vrednost integrala (1), a greška je

2 4 62 4 6( )n n n nR h h h h= α + α + α +⋯ ,

tj. greška je reda 2nh .

Ako udvostručimo broj delova, tj. ako uzmemo 2 2 2n

n

h b ah

n

−= = , onda

imamo

(0) (0)2 2 2( )

2n

n n n

hI T R h T R

= + = +

,

146

gde je greška približne vrednosti (0)2nT integrala (1) jednaka

2 4 6

2 2 4 6( )2 4 16 64n n n n

n

h h h hR h R

= = α + α + α +

⋯ .

Eliminacijom 22 nhα iz jednakosti:

(0) 2 4 62 4 6

4 6(0) 2

2 2 4 6

,

4 4 ,4 16

n n n n

n nn n

I T h h h

h hI T h

= + α + α + α +

= ⋅ + α + α + α +

⋯

⋯

dobijamo (0) (0)

4 624 6

4

3n n

n n

T TI h h

⋅ −= + β + β +⋯ ,

odnosno (1) 4 6

2 4 6n n nI T h h= + β + β +⋯

Dakle, greška približne vrednosti (0) (0)

(1) 22

4

3n n

n

T TT

⋅ −=

je reda 4nh .

Ako broj delova ponovo udvostručimo, tj. ako uzmemo korak 24 2

nn

hh = =

4

b a

n

−= , onda ćemo imati

4 6(1)

4 4 616 64n n

n

h hI T= +β + β +⋯ .

Eliminacijom 44 nhβ iz jednakosti:

(1) 4 62 4 6

6(1) 4

4 4 6

,

16 16 ,4

n n n

nn n

I T h h

hI T h

= + β + β +

= + β + β +

⋯

⋯

dobijamo (1) (1)

6 84 26 8

16

15n n

n n

T TI h h

⋅ −= + γ + γ +⋯ ,

odnosno (2) 6 8

4 6 8n n nI T h h= + γ + γ +⋯


(2) 4 24

16

15n n

n

T TT

⋅ −=

je reda 6nh .

147

Analognim rasuñivanjem dolazimo do Rombergovih formula

(2) 1

( 1) ( 1)( ) 2 2

2

4

4 1

k k

k

m m mm n n

mn

T TT

−− −⋅ −

=−

,

m = 1, 2, 3, ...; k = 1, 2, 3, ...

Izračunavanje integrala (1) se svodi na formiranje tabele u čijoj se prvoj koloni nalaze približne vrednosti dobijene primenom uopštene trapezne kvadraturne formule za: n, 2n, 4n, ... delova. U drugoj, trećoj, ... koloni se nalaze približne vrednosti dobijene pomoću Rombergovih formula (2). Dakle, imamo sledeću tabelu

(0)

(1)2

(0) (2)2 4

(1) (3)4 8

(0) (2)4 8

(1)8

(0)8

n

n

n n

n n

n n

n

n

T

T

T T

T T

T T

T

T

⋱

⋮

⋮

⋮

⋮

Primer 1. Koristeći Rombergove formule, zasnovane na trapeznoj kvad-raturnoj formuli, izračunati približnu vrednost integrala

12

0

sh( )I x dx= ∫ .

Računati sa šest decimala.

Rešenje. Izaberimo početni korak 2 0.5h = , tj. uzmimo n = 2. Tada imamo:

x ( )f x 0.0 0.000000 1 0.5 0.252612 2

h2 = 0.5:

1.0 1.175201 1

(0)2

0.51.680425 0.420106

2T = ⋅ = .

x ( )f x

0.00 0.0000000 1 0.25 0.0625407 2 0.50 0.2526120 2 0.75 0.5926360 2

h4 = 0.25:

1.00 1.1752010 1

(0)4

0.252.9907784 0.373847

2T = ⋅ = ;

(1)4

4 0.373847 0.4201060.358427

3T

⋅ −= = ;

Formirajmo tabelu. (Poloveći korak integracije tabelu ćemo dopunjavati.)

148

T(0) T(1) T(2) T(3) ... n = 2 0.420106

0.358427 2n 0.373847 0.357916 0.357948 0.357914

4n 0.361923 0.357914 0.357916

8n 0.358918 !

x ( )f x

0.000 0.0000000 1 0.125 0.0156256 2 0.250 0.0625407 2 0.375 0.1410890 2 0.500 0.2526120 2 0.625 0.4006350 2 0.750 0.5926360 2 0.875 0.8426470 2

h8 = 0.125:

1.000 1.1752010 1

(0)8

(1)8

(2)8

0.1255.7907716 0.361923;

24 0.361923 0.373847

0.357948;3

16 0.357948 0.3584270.357916;

15

T

T

T

= ⋅ =

⋅ −= =

⋅ −= =

x ( )f x

0.0000 0.00000000 1 0.0625 0.00390626 2 0.1250 0.01562560 2 0.1875 0.03516350 2 0.2500 0.06254070 2 0.3125 0.09781150 2 0.3750 0.14108900 2 0.4375 0.19257700 2

(0)16

(1)16

(2)16

(3)32

0.062511.48537012 0.358918;

24 0.358918 0.361923

0.357916;3

16 0.357916 0.3579480.357914;

1564 0.357914 0.357916

0.357914.63

T

T

T

T

= ⋅ =

⋅ −= =

⋅ −= =

⋅ −= =

0.5000 0.25261200 2 0.5625 0.32171200 2 0.6250 0.40063500 2 0.6875 0.49045300 2 0.7500 0.59263600 2 0.8125 0.70916200 2 0.8750 0.84264700 2 0.9375 0.99651400 2

h16 = 0.0625:

1.0000 1.17520100 1 Dakle,

12

0

sh( ) 0.35791I x dx= ≈∫

Razmotrimo sada primenu Simpsonove kvadraturne formule.

Podelom segmenta [a, b] na n, n je paran broj, jednakih delova dužine

n

b ah

n

−=

imamo na osnovu uopštene Simpsonove kvadraturne formule

149

0 1 2 1[ ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )] ( )3 n n n

hI f x f x f x f x f x R h−= + + + + + +⋯ ,

odnosno (0) ( )n nI S R h= + ,

gde je (0)nS približna vrednost integrala (1), a greška je

4 6 84 6 8( )n n n nR h h h h= β + β + β +⋯ ,

tj. greška je reda 4nh .

Ako udvostručimo broj delova, tj. ako uzmemo 2 2 2n

n

h b ah

n

−= = , onda će-

mo imati

(0) (0)2 2 2( )

2n

n n n

hI S R h S R

= + = +

,

gde je greška približne vrednosti (0)2nS integrala (1) jednaka

4 6 8

2 4 6 8( )2 16 64 256n n n n

n

h h h hR h R

= = β + β + β +

⋯

Eliminacijom 44 nhβ iz jednakosti:

(0) 4 6 84 6 8

6 8(0) 42 4 6 816 16

4 16

n n n n

n nn n

I S h h h

h hI S h

= + β + β + β +

= + β + β + β +

⋯

⋯

dobijamo (0) (0)

6 826 8

16

15n n

n n

S SI h h

−= + γ + γ +⋯ ,

odnosno (1) 6 82 6 8n n nI S h h= + γ + γ +⋯


(1) 22

16

15n n

n

S SS

−=

je reda 6nh .

Ako broj delova ponovo udvostručimo, tj. ako uzmemo korak 24 2

nn

hh = =

4

b a

n

−= onda ćemo imati

6 8(1)4 6 864 256

n nn

h hI S= + γ + γ +⋯

150

Eliminacijom 6nh iz jednakosti:

(1) 6 82 6 8

8(1) 64 6 8

,

64 644

n n n

nn n

I S h h

hI S h

= + γ + γ +

= + γ + γ +

⋯

⋯

dobijamo (1) (1)

8 104 28 10

64

63n n

n n

S SI h h

−= + δ + δ +⋯ ,

odnosno (2) 8 104 8 10n n nI S h h= + δ + δ +⋯ .


(2) 4 24

64

63n n

n

S SS

−=

je reda 8nh .

Analognim rasuñivanjem dolazimo do Rombergovih formula

(3) 1

1 ( 1) ( 1)( ) 2 2

12

4

4 1

k k

k

m m mm n n

mn

S SS

−+ − −

+

−=

−,

m = 1, 2, 3, ...; k = 1, 2, 3, ... Izračunavanje integrala (1) svodi se na formiranje tabele u čijoj se prvoj

koloni nalaze približne vrednosti dobijene primenom uopštene Simpsonove kvadraturne formule za: n, 2n, 4n, ... delova. U drugoj, trećoj, ... koloni se nalaze približne vrednosti dobijene pomoću Rombergovih formula (3). Dakle, imamo sledeću tabelu

(0)

(1)2

(0) (2)2 4

(1) (3)4 8

(0) (2)4 8

(1)8

(0)8

n

n

n n

n n

n n

n

n

S

S

S S

S S

S S

S

S

⋱

⋮

⋮

⋮

⋮

Primer 2. Koristeći Rombergove formule, zasnovane na Simpsonovoj kva-draturnoj formuli, izračunati približnu vrednost integrala

12

0

( )I ch x dx= ∫ .

Računati sa šest decimala.

151

Rešenje. Izaberimo početni korak h2 = 0.5, tj. uzmimo n = 2. Tada imamo:

x ( )f x 0.0 1.000000 1 0.5 1.031413 4

h2 = 0.5:

1.0 1.543081 1

(0)2

0.56.668733 1.111456

3S = ⋅ = ;

x ( )f x

0.00 1.000000 1 0.25 1.001954 4 0.50 1.031413 2 0.75 1.162419 4

h4 = 0.25:

1.00 1.543081 1

(0)4

0.2513.263399 1.105283

3S = ⋅ = ;

(1)4

16 1.105283 1.1114561.104871

15S

⋅ −= = ;

Formirajmo tabelu. (Poloveći korak integrracije tabelu ćemo dopunjavati.)

S(0) S(1) S(2) S(3) n = 2 1.111456

1.104871 2n 1.105283 1.104739 1.104741 1.104738

4n 1.104775 1.104738 1.104738

8n 1.104740

x ( )f x 0.000 1.000000 1 0.125 1.000122 4 0.250 1.001954 2 0.375 1.009904 4 0.500 1.031413 2 0.625 1.077269 4 0.750 1.162419 2 0.875 1.307691 4

h8 = 0.125:

1.000 1.543081 1

(0)8

(1)8

(2)8

0.12526.514597 1.104775;

316 1.104775 1.105283

1.104741;15

64 1.104741 1.1048711.104739;

63

S

S

S

= ⋅ =

⋅ −= =

⋅ −= =

x ( )f x

0.0000 1.000000 1 0.0625 1.000008 4 0.1250 1.000122 2 0.1875 1.000618 4 0.2500 1.001954 2 0.3125 1.004772 4 0.3750 1.009904 2 0.4375 1.018374 4

(0)16

(1)16

(2)16

(3)16

0.062553.027537 1.104740;

316 1.104740 1.104775

1.104738;15

64 1.104738 1.1047411.104738;

63256 1.104738 1.104738

1.104738.255

S

S

S

S

= ⋅ =

⋅ −= =

⋅ −= =

⋅ −= =

h16 = 0.0625:

152

0.5000 1.031413 2 0.5625 1.050475 4 0.6250 1.077269 2 0.6875 1.113797 4 0.7500 1.162419 2 0.8125 1.225933 4 0.8750 1.307691 2 0.9375 1.411751 4 1.0000 1.543081 1

Dakle, 1

2

0

ch( ) 1.10474I x dx= =∫ .

Ako bismo uporedili tačnost Rombergovih formula (2) i (3), onda bismo mogli zaključiti da su formule (3) tačnije od formula (2) – formule (3) su „za je-dan korak“ ispred formula (2).

Napomenimo da se Rombergove formule mogu izvesti polazeći i od drugih kvadraturnih formula.

15. IZRAČUNAVANJE PRIBLIŽNIH VREDNOSTI NESVOJSTVENIH INTEGRALA

Poznato je da je integral

(1) ( )b

a

I f x dx= ∫

svojstven ako su ispunjeni uslovi:

1) interval integracije [a, b] je konačan,

2) podintegralna funkcija (integrand) ( ) [ , ]f x C a b∈ .

U suprotnom slučaju integral (1) je nesvojstven ili singularan integral. Takvi integrali se često pojavljuju u zadacima praktičnog karaktera.

Posmatrajmo nesvojstveni integral

(2) ( )a

I f x dx∞

= ∫ ,

gde je donja granica a konačan broj a ( ) [ , )f x C a∈ ∞ . Ako postoji konačna granična vrednost

(3) lim ( )b

ba

f x dx→∞ ∫ ,

integral (2) je konvergentan i tada je

( ) lim ( )bdef

ba a

I f x dx f x dx∞

→∞= =∫ ∫ .

Ako ne postoji konačna granična vrednost (3), onda je integral (2) diver-gentan i njegovo izračunavanje nema smisla. Dakle, prvo je potrebno ispitati

153

konvergenciju integrala (2) koristeći poznate (iz kursa Analize) kriterijume konvergencije.

Pretpostavimo da integral (2) konvergira. Zapišimo ga na sledeći način

( ) ( ) ( )b

a a b

I f x dx f x dx f x dx∞ ∞

= = +∫ ∫ ∫ ,

gde b treba izabrati tako da bude

2| | ( )2b

I f x dx∞ ε= <∫ ,

Integral

1 ( )b

a

I f x dx= ∫

je svojstven i izračunavamo ga s tačnošću 2

ε primenom neke kvadraturne for-

mule, tj. tako da je

1| | ( )2

b

S Sa

I I f x dx Iε− = − <∫ ,

gde je SI odgovarajuća približna vrednost integrala 1I , a ε > 0 tražena tačnost. Očigledno je

(4) 1 2 1 2 2 2S S SI I I I I I I Iε ε− = + − ≤ − + < + = ε .

Na potpuno sličan način se izračunavaju približne vrednosti integrala oblika

( )b

f x dx−∞∫ i ( )f x dx

∞

−∞∫ ,

gde je f (x) neprekidna funkcija na intervalu integracije.

Dakle, nesvojstveni integral se zamenjuje svojstvenim integralom s kona-čnim granicama, dovoljno širokim, tako da je vrednost „zanemarenog“ dela integrala znatno manja od tražene tačnosti. Inače, nesvojstveni integral s besko-načnom jednom ili obema granicama pogodnom smenom može se svesti na ne-svojstveni integral s konačnim granicama ili čak na svojstven integral.

Primer 1. S tačnošću ε = 0.01 izračunati približnu vrednost integrala

3 2

5 21

1

1

x xI dx

x x

∞ − +=+ +∫ .

Rešenje. Zapišimo dati integral na sledeći način

3 2 3 2

1 25 2 5 21

1 1

1 1

b

b

x x x xI dx dx I I

x x x x

∞− + − += + = ++ + + +∫ ∫

154

Integral 1I je svojstven i možemo ga izračunati s potrebnom tačnošću pri-

menom neke, na primer Simpsonove kvadraturne formule. Integral 2I treba oceniti. Kako je za [1, )x∈ ∞

3 2 3/27/2

5 2 5

10

1

x x xx

x x x−− +< ≤ =

+ +,

to je

7/2 5/2 5/22 5

2 2 2 10 lim

5 5 5bb

I x dx x bb

∞ β− − −

β→∞

< ≤ = − = = ⋅

∫ .

Iz nejednakosti 5

2 10.005

5 2b

ε⋅ ≤ = dobijamo 2/5

4

5b

≥ ε , tj.

2/54

5.770.05

b ≥ =

… , pa možemo uzeti da je b = 6. Za b = 6 je

3 2

2 5 2 56

1 2 10 0.004536 0.00454

51 6

x xI dx

x x

∞ − +< = ≤ ⋅ = <+ +∫ … .

Integral 6 3 2

1 5 21

1

1

x xI dx

x x

− +=+ +∫

izračunaćemo pomoću Simpsonove kvadraturne formule s tačnošću 0.01 – – 0.00454 = 0.00546. Grešku ćemo proceniti koristeći Rungeov princip ocene

greške. Dakle, izračunaćemo približne vrednosti hI i / 2hI uzimajući 6 1

4h

−= =

1.25= . Računanje je dato u sledećoj tabeli.

x 3 2 1x x− + 3 2 1x x− + 5 2 1x x+ + ( )f x h h/2

1.000 001.0000 01.0000 0003.0000 0.3333 1 1 1.625 002.6504 01.6280 0014.9716 0.1087 4 2.250 007.3281 02.7070 0063.7275 0.0425 4 2 2.875 016.4980 04.0618 0205.6872 0.0197 4 3.500 031.6250 05.6236 0538.4688 0.0104 2 2 4.125 054.1738 07.3603 1212.3330 0.0061 4 4.750 085.6094 09.2525 2441.6279 0.0038 4 2 5.375 127.3965 11.2870 4516.2323 0.0025 4 6.000 181.0000 13.4536 7813.0000 0.0017 1 1

Kako je 1;1.25

1.250.5410 0.2254

3I = ⋅ = i 1;0.625

0.6250.9964 0.2076

3I = ⋅ = , to

je greška 1;1.125 1;0.625| | 0.01780.00118 0.00546

15 15

I I−= = <… i možemo uzeti

1 0.21I = , odnosno I = 0.21.

155

Primer 2. Izračunati približnu vrednost integrala

2 21

1 1sinI dx

x x

∞

= ∫ .

Tačnost ε = 0.00005.

Rešenje. Uvedimo novu promenljivu smenom 1

xt

= . Dakle, 2

1dx dt

t= − ,

1

1 0

x

t

∞,

0 12 2 2

21 0

1(sin ) sinI t t dt t dt

t

= ⋅ − =

∫ ∫ , što je svojstven integral. Izraču-

najmo poslednji integral aproksimirajući integrand Tejlorovim polinomom (Taylor, B., 1685–1731):

2 2 2 3 2 5 2 71 1 1sin ( ) ( ) ( )

3! 5! 7!t t t t t= − + − +…

11 3 7 11 15

2

0 0

1 1 1sin

3 6 7 120 11 5040 15

1 1 1 10.310268 0.3103.

3 42 1320 75600

t t t tt dt

= − ⋅ + ⋅ − ⋅ + =

= − + − + = =

∫ ⋯

⋯ …

Neka je interval integracije [a, b] konačan, ali podintegralna funkcija ( )f x ima konačan broj tačaka prekida. Bez smanjenja opštosti izlaganja razmotri-ćemo slučaj kada funkcija ima samo jednu tačku prekida.

Dakle, neka je c ∈ [a, b] tačka prekida funkcije ( )f x .

Ako postoje konačne jednostrane granične vrednosti:

0lim ( ) ( 0)

x cf x f c

→ −= − ,

0lim ( ) ( 0)

x cf x f c

→ += +

tj. ako je c tačka prekida prve vrste, onda se integral

(5) ( )b

a

I f x dx= ∫

svodi na zbir dva svojstvena integrala

(6) 1 2( ) ( ) ( )b c b

a a c

I f x dx f x dx f x dx= = +∫ ∫ ∫ ,

gde je

[ )1

( ), , ,( )

( 0), ,

f x x a cf x

f c x c

∈= − =

( ]2

( 0), ,( )

( ), , .

f c x cf x

f x x c b

+ == ∈

156

Primer 3. Izračunati približnu vrednost integrala 0.5

1/0.5 2 2 x

dxI

−

=−∫ .

Rešenje. Podintegralna funkcija nije definisana za x = 0. Kako je

0

1lim ( )

2xf x

→−= i

0lim ( ) 0x

f x→+

= ,

to ćemo posmatrati funkcije:

[ )1/

1

10.5,0 ,

2 2( )1

, 0,2

xx

f x

x

∈ − −= =

21/

0, 0,

( ) 1 1, 0,

22 2 x

x

f xx

== ∈ −

i integrale 0

1 10.5

( )I f x dx−

= ∫ i 0.5

2 20

( )I f x dx= ∫ .

Izračunajmo ove integrale primenom Simpsonove kvadraturne formule.

x 1( )f x –0.500 0.571429 1 1 –0.375 0.542738 4 –0.250 0.516129 4 2 –0.125 0.500978 4 –0.000 0.500000 1 1

1;0.250

0.2503.315945 0.26132875

3I = ⋅ = ,

1;0.125

0.1256.278551 0.261606291

3I = ⋅ = ,

1;0.250 1;0.1251

| |0.0000185 0.261606

15

I II

−= ⇒ =… .

x 2( )f x 0.000 –0.000000 1 1 0.125 –0.003937 4 0.250 –0.071429 4 2 0.375 –0.229906 4 0.500 –0.500000 1 1

2;0.250

0.250( 0.785716) 0.065476333

3I = ⋅ − = − ,

2;0.125

0.125( 1.578230) 0.065759583

3I = ⋅ − = − ,

2;0.250 2;0.1252

| |0.00001888 0.065760

15

I II

−= ⇒ = −… .

1 2 0.1958I I I= + = ; greška nije veća od 410.00005 10

2−= ⋅ .

Neka je c ∈ [a, b] tačka prekida druge vrste funkcije ( )f x i neka su 1 0δ >

i 2 0δ > . Ako postoji granična vrednost

(7) 1

122

00

lim ( ) ( )c b

a c

f x dx f x dx−δ

δ →+δδ →

+ ∫ ∫ ,

onda je integral

157

( )b

a

I f x dx= ∫

konvergentan, a ako ne postoji, integral je divergentan. Neka postoji konačna granična vrednost (7). Tada pišemo

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )c cb b

a a c c

I f x dx f x dx f x dx f x dx−δ +δ

−δ +δ

= = + +∫ ∫ ∫ ∫ .

Veličine 1δ i 2δ biramo tako da bude

2

1

2 ( )3

c

c

I f x dx+δ

−δ

ε= <∫ ,

a svojstvene integrale 1

1 ( )c

a

I f x dx−δ

= ∫ i 2

3 ( )b

c

I f x dx+δ

= ∫

izračunavamo s tačnostima 3

ε i

3

ε primenom neke kvadraturne formule, tj. tako

da je 1

1 11 ( )3

c

S Sa

I I f x dx I−δ ε− = − <∫ i

3 3

2

3 ( )3

b

S Sc

I I f x dx I+δ

ε− = − <∫ ,

gde su 1SI i

2SI odgovarajuće približne vrednosti integrala 1I i 3I . Očigledno

je tada

(8) 1 3

1 3

1 2 3

1 2 3 3 3 3

S S S

S S

I I I I I I I

I I I I I

− = + + − − =

ε ε ε= − + + − < + + = ε,

a ε > 0 tražena tačnost približne vrednosti SI integrala I.

Ako se tačka c poklapa s jednim od krajeva intervala integracije, izloženi postupak se primenjuje u neznatno izmenjenom obliku.

Meñu metodama približnog izračunavanja nesvojstvenih integrala s kona-čnim granicama značajno mesto zauzimaju multiplikativna i aditivna metoda iz-dvajanja singulariteta.

Multiplikativna metoda sastoji se u sledećem. Neka treba izračunati nesvoj-stveni integral

(9) ( )b

a

I f x dx= ∫ ,

gde funkcija ( )f x ima jedan ili više singulariteta na konačnom odsečku [a, b]. Predstavimo podintegralnu funkciju u obliku proizvoda

(10) ( ) ( ) ( )f x p x x= ⋅ ϕ ,

158

gde se ( ) 0p x > uzima za težinsku funkciju, a ( )xϕ je ograničena funkcija za [ , ]x a b∈ i ima na [a, b] dovoljan broj neprekidnih izvoda. Za približnu

vrednost integrala (9) uzima se približna vrednost dobijena primenom kvadraturne formule izvedene za funkciju ( )xϕ s težinskom funkcijom ( )p x .

Aditivna metoda sastoji se u sledećem. Podintegralna funkcija ( )f x inte-grala (9) predstavićemo u obliku zbira

(11) ( ) ( ) ( )f x x x= ϕ + ψ ,

gde funkcija ( )xϕ nema singulariteta i ima dovoljan broj neprekidnih izvoda, a ( )xψ se može elementarno integraliti. Na taj način imamo

( ) ( ) ( )b b b

a a a

I f x dx x dx x dx= = ϕ + ψ∫ ∫ ∫ ,

pa integral

1 ( )b

a

I x dx= ϕ∫

izračunavamo nekom od poznatih kvadraturnih formula a integral

2 ( )b

a

I x dx= ψ∫

izračunavamo elementarno.

Primer 4. Izračunati približnu vrednost integrala 1

0

xeI dx

x= ∫ .

Rešenje. Predstavimo podintegralnu funkciju na sledeći način

1 1( )

x xe e x xf x

x x x

− − += = + .

Funkcija 1

( )xe x

xx

− −ϕ = se može „dodefinisati“ u tački x = 0 graničnom

vrednošću

0

1lim 0

x

x

e x

x→

− − = .

Integral 1

1 10

( )I x dx= ϕ∫ ,

gde je

1

( ), (0,1],( )

0, 0,

x xx

x

ϕ ∈ϕ = =

je svojstven i izračunavamo ga primenom neke, na primer, Simpsonove kvadra-

159

turne formule.

x 1( )xϕ 0.00 0.000000 1 1 0.25 0.068051 4 0.50 0.210324 4 2 0.75 0.423775 4 1.00 0.718282 1 1

1;0.50

0.501.559578 0.2599296

3I = ⋅ = … ,

1;0.25

0.253.106234 0.2588528

3I = ⋅ = … ,

1;0.50 1;0.251

| |0.0000717 0.25885

15

I II

−= ⇒ =… .

greška nije veća od 0.00008.

Integral 1

20

1 xI dx

x

+= ∫

se može integraliti elementarno i dobija se: 2

8

3I = . Dakle,

1 2

80.25885 2.9255

3I I I= + = + = .

Nesvojstveni integrali se mogu izračunati metodom diferenciranja po parametru. Pokažimo to na sledećem primeru.

Primer 5. Metodom diferenciranja po parametru izračunati integral 2

2

1

0

xxI e dx

∞ − −= ∫ .

Rešenje. Neka je 2

22

0

( )t

xxI t e dx

∞ − −= ∫ ,

gde je t pozitivan parametar. Diferenciranjem dobijamo 2

22

20

1'( ) 2

tx

xI t t e dxx

∞ − −= − ∫ .

Ako uvedemo novu promenljivu smenom t

yx

= , imaćemo

22

2

0

'( ) 2 2 ( )t

yyI t e dy I t

∞ − −= − = −∫ .

Dakle, dobili smo diferencijalnu jednačinu '( ) 2 ( )I t I t= − . Njeno opšte

rešenje je 2( ) tI t Ce−= , gde je C proizvoljna konstanta. Kako je

160

2

0

(0)2

xI e dx∞

− π= =∫ ,

to je 2

Cπ= i

2( )2

tI t e−π= .

Za t = 1 je:

2(1) 0.11993782

I I e−π= = = .

16. OJLER–MAKLORENOVA KVADRATURNA FORMULA

Izvoñenje Ojler–Maklorenove (Euler, L., 1707–1783; McLaurin, G. 1698– 1746) kvadraturne formule potpuno se razlikuje od izvoñenja Njutn–Kotesovih kvadraturnih formula i kvadraturnih formula Gansovog tipa. Za njeno izvoñenje potrebno je nešto reći o Bernulijevim brojevima i Bernulijevim polinomima (Bernoulli, J. 1654–1705).

Posmatrajmo funkciju

(1) ( , )1

tx

x

xet x

eϕ =

−.

Funkcija ( , )t xϕ se može razviti u stepeni red po rastućim stepenima x, koji ravnomerno konvergira za | | 2x ≤ α < π . Dakle, koristeći poznato razlaganje

2 31 1 11

1! 2! 3!xe x x x= + + + +⋯ ,

odnosno

2 31 1 11 ( ) ( ) ( )

1! 2! 3!txe tx tx tx= + + + +⋯ ,

red koji odgovara funkciji (1) može se zapisati u obliku

(2)

2 3

2 3 0

1 1 11 ( ) ( ) ( )

( )1! 2! 3!1 1 1 !1 1 11! 2! 3!

txnn

xn

x tx tx txB txe

xne x x x

∞

=

+ + + + = = − + + + + −

∑⋯

⋯

.

Koeficijenti ( )nB t , n = 0, 1, 2, ..., reda (2) se nazivaju Bernulijevi poli-

nomi. Za t = 0 imamo

(3) 0

( )!1

nnx

n

Bxf x x

ne

∞

== =

− ∑ ,

gde smo stavili da je (0)n nB B= . Koeficijenti nB , n = 0, 1, 2, ..., reda (3) se

nazivaju Bernulijevi brojevi. Odredimo koeficijente nB , n = 0, 1, 2, ...

161

Za x = 0 imamo (4) 0 (0) 1B f= = .

Odredimo ostale koeficijente: 1 2 3, , , ...B B B Na osnovu formule

(5)

2 3

2 0

0

( )1 1 11 1 11! 2! 3!

1 11 1 1 1 !1! 2! 3! ( 1)!

x

nn

n n

n

x xf x

e x x x

Bx

nx x xn

∞

∞=

=

= = = − + + + + −

= = =+ + +

+

∑∑

⋯

⋯

dobijamo identitet

(6) 0 0

11

( 1)! !n nn

n n

Bx x

n n

∞ ∞

= =⋅ ≡

+∑ ∑ .

Pomnožimo li ove stepene redove i izjednačimo li koeficijente uz x s nulom, dobićemo sledeći beskonačni sistem linearnih jednačina

(7) 1 01 1 10

! 1! ( 1)! 2! 0! ( 1)!n nB B B

n n n−⋅ + + + ⋅ =

− +⋯ , 1, 2, 3, ...n = ,

ili, posle množenja sa (n + 1)! i uzimajući u obzir da je

1

( 1)!

( )!( 1)!n kn

nC

n k k−+

+ =− +

, 0,1, 2, ..., 1k n= + ,

imaćemo

(8) 1 21 1 1 1 1 1 0n

n n n n nC B C B C B+ + − +⋅ + ⋅ + + ⋅ + =⋯ .

Ako uvedemo oznaku kkB B= , onda (8) simbolički možemo zapisati na

sledeći način 1 1( 1) 0n nB B+ ++ − = , 1, 2, 3, ...n = ,

ili, zamenjujući n + 1 sa n

(9) ( 1) 0n nB B+ − = , 2, 3, 4, ...n = .

Stavljajući u formulu (9) redom 2, 3, 4, ...n = dobijamo beskonačni sistem linearnih jednačina

(10)

1

2 1

3 2 1

4 3 2 1

5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

2 1 0,

3 3 1 0,

4 6 4 1 0,

5 10 10 5 1 0,

6 15 20 15 6 1 0,

7 21 35 35 21 7 1 0,

B

B B

B B B

B B B B

B B B B B

B B B B B B

+ =+ + =

+ + + =+ + + + =

+ + + + + =+ + + + + + =

……………………………………………………

162

Iz sistema (10) redom nalazimo:

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

1 1 1, , 0, , 0,

2 6 301 1 5

, 0, , 0, ,42 30 66

691 70, , 0, , 0,

2730 63617 43867 174611

, 0, , 0, , ...510 798 330

B B B B B

B B B B B

B B B B B

B B B B B

= − = = = − =

= = = − = =

= = − = = =

= − = = = = −

Može se zaključiti: 1) Bernulijevi brojevi su racionalni brojevi,

2) 2 1 0kB + = , k = 1, 2, 3, ...

Dokažimo osobinu 2).

Zaista, uzimajući u obzir da je 0 1B = i 1

1

2B = − , imamo da je

12

1( ) ( ) 1

2 !1nn

xn

Bxg x f x B x x x

ne

∞

== − = + = +

− ∑

a takoñe je

2 2

2 2

1 1( ) cth

2 2 2 2 21 1

x xx

x x x x

x x e x e e x xg x x

e ee e

−

−

+ += + = ⋅ = ⋅ = ⋅− −

−.

Kako je ( ) ( )g x g x− = , tj. kako je ( )g x parna funkcija, to se u njenom ra-

zvoju pojavljuju samo parni stepeni promenljive x, pa su 0nB = za n = 3, 5, 7, ...

Funkcija

22

2

1( ) 1

2 (2 )!1kk

xk

Bxf x x x

ke

∞

== = − +

− ∑

se naziva generatrisa Bernulijevih brojeva. Koristeći simboličku oznaku k

kB B= generatrisa ( )f x može biti zapisana na sledeći, simbolički način

( )1

Bxx

xf x e

e= =

−.

Funkcija

( , )1

tx

x

xet x

eϕ =

−

naziva se generatrisa Bernulijevih polinoma ( )nB t .

163

Nañimo eksplicitnu formulu za Bernulijeve polinome ( )nB t , n = 0, 1, 2, ...

Poñimo od izraza (2) i (3) kojima su definisani Bernulijevi polinomi i Ber-nulijevi brojevi:

0 0 0

( )! ! !1

jtx i i nj

nxi j n

B xxe t x xB t

i j ne

∞ ∞ ∞

= = =

= ⋅ = − ∑ ∑ ∑ .

Uporeñujući koeficijente uz nx na levoj i na desnoj strani poslednje jedna-kosti dobijamo

10

1 1( )

!( )! !

ni

n ni

B t B ti n i n−

==

−∑ ,

a odavde

0 0

!( )

!( )!

n ni i

n n i n ii i

nnB t B t B t

ii n i − −= =

= = − ∑ ∑ ,

što znači da je Bernulijev polinom n–tog stepena jednak

(11) 0

( )n

in n i

i

nB t B t

i −=

=

∑ .

Nekoliko prvih Bernulijevih polinoma:

0

0 11 1 0

0 1 2 22 2 1 0

2 33

2 3 44

3 4 55

( ) 1,

1 1 1( ) ,

0 1 2

2 2 2 1( ) ,

0 1 2 6

1 3( ) ,

2 21

( ) 2 ,301 5 5

( ) ,6 3 2

B t

B t B t B t t

B t B t B t B t t t

B t t t t

B t t t t

B t t t t t

=

= + = − +

= + + = − +

= − +

= − + − +

= − + − + …

Napomena. Formula (11) može se simbolički zapisati na sledeći način

( ) ( )nnB t B t= + ,

gde u razvoju po binomnoj formuli simbolički stepen iB treba zameniti sa iB .

Bernulijevi brojevi i Bernulijevi polinomi primenjuju se u raznovrsnim za-dacima matematike. Ovde ćemo iskoristiti Bernulijeve brojeve u Ojler–Maklo-renovoj kvadraturnoj formuli.

164

Dakle, neka treba izračunati integral

(12) 0

( )nx

x

I f x dx= ∫ ,

gde je funkcija ( )f x definisana za 0x x≥ . Posmatrajmo operator konačne ra-

zlike ili diferencije

(13) ( ) ( ) ( )f x f x h f x∆ = + − , 0h > i fiksirano.

Pod inverznim operatorom 1−∆ podrazumevaćemo funkciju ( )F x koja za-dovoljava konačno–diferencijsku jednačinu

(14) ( ) ( )F x f x∆ = ,

dakle

(15) 1( ) ( )F x f x−= ∆ .

Izračunajmo inverzni operator 1 ( )f x−∆ u slučaju kada je funkcija ( )f x

zadata vrednostima ( )if x na skupu ekvidistantnih čvorova

0 1 2, , , , ,nx x x x… … , 1i i ix x x h+∆ = − = , 0,1, 2, ...i =

Kako se nalazi inverzni operator? Posmatrajmo konačnu sumu

(16) 1

0

( ) ( )i

i jj

S x f x−

==∑ , 0,1, 2, ...i = ,

gde ćemo uzeti da je 0( ) 0S x = . Očigledno je

(17) 1( ) ( ) ( ) ( )i i i iS x S x S x f x+∆ = − = ,

a kako je, saglasno jednačini (14)

(18) ( ) ( )i iF x f x∆ = ,

to oduzimanjem jednakosti (17) od jednakosti (18) dobijamo

( ) ( ) [ ( ) ( )] 0i i i iF x S x F x S x∆ − ∆ = ∆ − = , 0,1, 2, ...i =

Prema tome, razlika ( ) ( )i iF x S x− ne zavisi od indeksa i, pa možemo staviti da je

0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )i iF x S x F x S x F x− = − = ,

odakle je

0( ) ( ) ( )i iF x F x S x= + ,

gde je 0( )F x proizvoljna konstantna veličina. Dakle,

(19) 10( ) ( ) ( )i if x F x S x−∆ = + ,

što znači da je inverzni operator za konačnu razliku operator konačnog sumira-nja.

165

Uvedimo operator diferenciranja na sledeći način ( )

( )df x

Df xdx

= .

Pod inverznim operatorom 1D− podrazumeva se operator integracije

0

1 ( ) ( )x

x

D f x f x dx− = ∫ .

Koristeći Tejlorov red nalazimo

1 1

( ) ( ) ( ) ( 1) ( )! !

k k kk hD

k k

h h Df x D f x f x e f x

k k

∞ ∞

= =

∆ = = = −

∑ ∑ ,

što znači da je operator

1hDe∆ = − ,

a inverzni operator je

(20) 1 1

1hDe−∆ =

−.

Ako pomnožimo jednakost (20) sa hD, dobićemo

(21) 1

1hD

hDhD

e−⋅ ∆ =

−.

Očigledno, na desnoj strani jednakosti (21) je generatrisa Bernulijevih bro-jeva, pa je

1

0 !kk

k

BhD h D

k

∞−

=⋅ ∆ = ∑

ili

(22) 1 1

0

[ ( )] ( )!

k kk

k

Bdf x h D f x

dx k

∞− −

=∆ = ∑ .

Integraleći jednakost (22) u granicama od 0x do nx , dobijamo

0

1 1 1 ( 1) ( 1)0 0

1

1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]

!

nxk k kk

n nkx

Bf x f x f x dx h f x f x

h k

∞− − − − −

=∆ − ∆ = + −∑∫

ili

0

1

0 00

1 ( 1) ( 1)0

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1( ) [ ( ) ( )].

!

n

n

n n jj

xk k kk

nkx

F x S x F x S x f x

Bf x dx h f x f x

h k

−

=∞

− − −

=

+ − = = =

= + −

∑

∑∫

166

Uzimajući u obzir da je 1

1

2B = − i 2 1 0kB + = , k = 1, 2, 3, ... dobijamo kvad-

raturnu formulu

(23) 0

0 1 2 1

2 (2 1) (2 1)20 2

1

( ) [ ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )]2

[ ( ) ( )] ,(2 )!

nx

n nxm

k k kkn m

k

hI f x dx f x f x f x f x f x

Bh f x f x R

k

−

− −

=

= = + + + + + −

− − +

∫

∑

⋯

gde je 2mR greška kvadraturne formule. Kvadraturna formula (23) je poznata kao Ojler–Maklorenova kvadraturna formula. U formuli (23) umesto beskonač-nog reda uzeta je konačna suma. Naime, beskonačni red ne mora konvergirati, a u slučaju divergencije reda formula ne bi imala smisla.

Ako uvrstimo vrednosti Bernulijevih brojeva, onda imamo

(24)

0

0 1 2 1

2 4

0 0

6(5) (5)

0

2 (2 1) (2 1)20 2

( ) [ ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )]2

[ '( ) '( )] [ '''( ) '''( )]12 720

[ ( ) ( )]30240

[ ( ) ( )] .(2 )!

nx

n nx

n n

n

m m mmn m

hI f x dx f x f x f x f x f x

h hf x f x f x f x

hf x f x

Bh f x f x R

m

−

− −

= = + + + + + −

− − + − −

− − + −

− − +

∫ ⋯

⋯

Greška Ojler–Maklorenove kvadraturne formule je

(25) 2 3 (2 2)2 22 ( )

(2 2)!m mm

m

BR n h f

m+ ++= − ⋅ ⋅ ξ

+, 0ξ ( , )nx x∈

Ojler–Maklorenova kvadraturna formula (24) koristi se za približno izraču-navanje integrala, a može se koristiti i za približno sumiranje vrednosti funkcije za ekvidistantne vrednosti argumenta. Zaista, iz formule (24) nalazimo

(26)

0

00

2 1 (2 1) (2 1)20

1

2 2 (2 2)2 20

1 1( ) ( ) [ ( ) ( )]

2

[ ( ) ( )](2 )!

( ), ( , ).(2 2)!

xn

i ni x

mk k kk

nk

m mmn

f x f x dx f x f xh

Bh f x f x

kB

n h f x xm

=

− − −

=

+ ++

= + + +

+ − +

+ ⋅ ⋅ ξ ξ∈+

∑ ∫

∑

167

Primer 1. Koristeći Ojler–Maklorenovu kvadraturnu formulu izračunati približnu vrednost integrala

21

0

xI e dx−= ∫ .

Računati sa šest decimala i uzeti korak h = 0.25.

Rešenje. Vrednosti podintegralne funkcije u izabranim čvorovima su:

x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 ( )f x 1.000000 0.939413 0.778801 0.569783 0.367879

Imamo:

0.25[1.000000 2(0.939413 0.778801 0.569783) 0.367879] 0.742984

2+ + + + =

Redom izvodi su: 2

'( ) 2 xf x xe−= − , '(0) 0f = , 1'(1) 2 0.735759f e−= − = − ; 22''( ) ( 2 4 ) xf x x e−= − + ;

23'''( ) (12 8 ) xf x x x e−= − , '''(0) 0f = , 1'''(1) 4 1.471518f e−= = ; 2(4) 2 4( ) (12 48 16 ) xf x x x e−= − + ;

2(5) 3 5( ) ( 120 160 32 ) xf x x x x e−= − + − , (5)(0) 0f = , (5) 1(1) 8 2.943036f e−= = .

Približna vrednost integrala je 2 4

6

(0.25) (0.25)0.742984 [ 0.735759 0] [1.471518 0]

12 720

(0.25)[2.943036 0] 0.746824.

30240

I = − − − + − +

+ − =

17. KONVERGENCIJA KVADRATURNIH PROCESA

Kao što znamo, kvadraturne formule su sledećeg oblika

(1) 1 1

( ) ( ) [ ] ( )b n n

i i i ii ia

I f x dx A f x R f A f x= =

= = + ≈∑ ∑∫ ,

gde su iA koeficijenti, ix čvorovi ( 1, )i n= a [ ]R f greške kvadraturne formule. Kvadraturne formule mogu se dobiti na razne načine: podintegralna funkcija

( )f x se aproksimira interpolacionim polinomom ( )nL x , pa se umesto

integracije funkcije ( )f x integrali polinom ( )nL x ; podintegralna funkcija

( )f x se aproksimira Tejlorovim polinomom ( )nT x , pa se umesto integracije

168

funkcije ( )f x integrali polinom ( )nT x ; podintegralna funkcija se zamenjuje

polinomima kx i zahteva se da kvadraturna formula bude tačna za sve polinome do odreñenog stepena, ... Koji način će se primeniti, to zavisi od načina zadavanja funkcije ( )f x , od osobina funkcije ( )f x , od tačnosti koja se želi postići, ...

Ako se n povećava (broj koeficijenata i broj čvorova se povećava), onda se prirodno postavljaju pitanja: Da li se tačnost kvadraturne formule (1) povećava? Ako n → ∞ , da li greška kvadraturne formule teži nuli? Odgovoriti na ova i slična pitanja je važno ali vrlo teško. Primetimo, za početak, sledeće: s pove-ćanjem broja koeficijenata i broja čvorova povećava se i obim računanja, pa se greške polaznih podataka prenose, transformišu i akumuliraju. Očekivano povećanje tačnosti ili se ne ostvaruje u potpunosti ili se uopšte ne ostvaruje.

Zbog svega rečenog potrebno je razmotriti sledeće pitanje. Za funkcional

(2) ( ) ( )b

a

L f f x dx= ∫

odrediti niz funkcionala

(3) ( ) ( )

1

( ) ( )n

n nn i i

i

L f C f x=

=∑ ,

gde su ( )kiC elementi sledeće beskonačne trougaone matrice koeficijenata

(4)

(1)1

(2) (2)1 2

(3) (3) (3)1 2 3

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

k k k kk

C

C C

C C CC

C C C C

=

⋮

⋮

,

a ( ) [ , ]kix a b∈ su elementi sledeće beskonačne trougaone matrice čvorova

(5)

(1)1

(2) (2)1 2

(3) (3) (3)1 2 3

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

k k k kk

x

x x

x x xX

x x x x

=

⋮

⋮

.

Koje uslove treba da zadovoljavaju koeficijenti ( )kiC i čvorovi ( )k

ix , elementi matrica C i X, da bi za proizvoljnu funkciju ( ) [ , ]f x C a b∈ bila tačna jednakost

169

(6) lim ( ) ( ) ( )b

nn

a

L f L f f x dx→∞

= = ∫ ?

Drugim rečima, koje uslove treba da zadovoljavaju koeficijenti ( )kiC i čvo-

rovi ( )kix niza kvadraturnih formula (3) da bi kvadraturni proces konvergirao.

Odgovor daje sledeća teorema.

Teorema. Da bi za proizvoljnu funkciju ( ) [ , ]f x C a b∈ bila tačna jedna-kost (6) potrebno je i dovoljno da jednakost važi za proizvoljan polinom i da je za proizvoljno n

( )

1

| |n

nn i

i

S C M=

= < < ∞∑ .

Dokaz. Dokažimo, prvo, da su uslovi dovoljni. Koristićemo, pri tome, po-znatu Vajerštrasovu teoremu: za svaku funkciju ( ) [ , ]f x C a b∈ i proizvoljno

maleno ε > 0 može se naći takav polinom ( )P x da bude ispunjeno | ( ) ( )|f x P x− < ε za svako [ , ]x a b∈ .

Dakle,

(7)

( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]

( ) ( ) ( ).

b b

n na a

b

n na

L f L f f x dx L f f x P x dx

P x dx L P L f P

− = − = − +

+ − − −

∫ ∫

∫

Redom imamo:

[ ( ) ( )] | ( ) ( )| ( )b b b

a a a

f x P x dx f x P x dx dx b a− ≤ − ≤ ε = ε −∫ ∫ ∫ ,

(koristili smo Vajerštrasovu teoremu);

( ) ( )b

na

P x dx L P− < ε∫ ,

(za dovoljno veliko n na osnovu prvog uslova teoreme);

( ) ( ) ( )

1

( ) ( ) ( )

1

| ( )| [ ( ) ( )]

| | | ( ) ( )| ,

nn n n

n i i ii

nn n n

i i ii

L f P C f x P x

C f x P x M

=

=

− = − ≤

≤ ⋅ − ≤ ε ⋅

∑

∑

pa je

(8) | ( ) ( )| ( ) ( ) ( 1 )b

n na

L f L f f x dx L f b a M− = − ≤ ε − + +∫ ,

170

tj. leva strana ( ) ( )nL f L f− se može učiniti proizvoljno malom što i dokazuje da su uslovi dovoljni.

Dokažimo da su uslovi potrebni. Da je prvi uslov potreban, to je očigledno, jer su polinomi neprekidne funkcije. Da bismo dokazali da je i drugi uslov po-

treban, pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da ( )

1

| |n

ni

i

C=∑ nije ograničeno.

Za svako n konstruišimo funkciju ( )n xϕ sa sledećim osobinama:

1) ( ) [ , ]n x C a bϕ ∈ ,

2) | ( )| 1n xϕ ≤ za [ , ]x a b∈ ,

3) ( )

( )

( )

1, ako je 0,( )

1, ako je 0.

nin

n i ni

Cx

C

− <ϕ = >

Očigledno je

( ) ( ) ( )

1 1

( ) ( ) | | ( )n n

n n nn n i n i i n

i i

L C x C M= =

ϕ = ϕ = =∑ ∑ .

Uočimo neku od formiranih funkcija 1( )n xϕ . Za ovu funkciju mora biti

1 1lim ( ) ( )

b

n n nn

a

L x dx→∞

ϕ = ϕ∫ .

Meñutim, 1

| ( )| 1n xϕ ≤ za [ , ]x a b∈ , pa je

1 1( ) | ( )| 1

b b b

n na a a

x dx x dx dx b aϕ ≤ ϕ ≤ ⋅ = −∫ ∫ ∫

i

1 1 1| lim ( )| ( ) | ( )|

b b

n n n nn

a a

L x dx x dx b a→∞

ϕ = ϕ ≤ ϕ ≤ −∫ ∫ .

Dakle, može se naći takav broj 1N da je za 1n N>

1| ( )| ( )n nL e b aϕ < −

(e = 2.71828... je osnova prirodnih logaritama.)

Dalje, može se naći takav broj 2 1n N≥ da je 2

2.2!nM > Neka je funkcija

2( )n xϕ jedna od konstruisanih funkcija. Posmatrajmo funkciju

1 22

1 1( ) ( ) ( )

1! 2!n nx x xψ = ϕ + ϕ .

171

Ova funkcija je neprekidna i za nju mora važiti

2 2lim ( ) ( )b

nn

a

L x dx→∞

ψ = ψ∫ ,

odnosno

1 2 1 2

1 1 1 1lim ( ) ( ) ( ) ( )

1! 2! 1! 2!

b

n n n n nn

a

L x x x x dx→∞

ϕ + ϕ = ϕ + ϕ

∫ .

Meñutim, 1

| ( )| 1n xϕ ≤ i 2

| ( )| 1n xϕ ≤ za [ , ]x a b∈ , pa je

1 2 1 2

1 1 1 1( ) ( ) | ( )| | ( )|

1! 2! 1! 2!

1 1( ) ( 1)( )

1! 2!

b b b

n n n na a a

x x x dx x dx

b a e b a

ϕ + ϕ ≤ ϕ + ϕ ≤

≤ + − < − −

∫ ∫ ∫

i moguće je naći takav broj 2N da je za 2n N>

1 22

1 1( ) ( ) ( ) ( )

1! 2!n n n nL L x x e b a ψ = ϕ + ϕ < −

.

Postupak se može produžiti. Dakle, moguće je naći takav broj 3 2n N> da

je 3 3 3!Mn > ⋅ Neka je 3( )n xϕ jedna od konstruisanih funkcija. Posmatrajmo

funkciju

1 2 33

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

1! 2! 3!n n nx x x xψ = ϕ + ϕ + ϕ .

Na analogan način se pokazuje da je

1 2 33

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1! 2! 3!n n n n nL L x x x e b a ψ = ϕ + ϕ + ϕ < −

.

Produžavajući ovaj postupak dobijamo red

1 2

1 1 1( ) ( ) ( )

1! 2! ! kn n nx x xk

ϕ + ϕ + + ϕ +⋯ ⋯ .

Ovaj red je ravnomerno konvergentan, pa je njegova suma neprekidna funkcija. Označimo je sa ( )f x . Za proizvoljan broj k, k > 1, predstavimo ovu funkciju u obliku

1

1 1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

! ! !i k i

k

n n ni i k

f x x x xi k i

− ∞

= = += ϕ + ϕ + ϕ∑ ∑

i pri tome je

(9) 1

1 1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

! ! !k k i k k k i

k

n n n n n n ni i k

L f L x L x L xi k i

− ∞

= = +

= ϕ + ϕ + ϕ ∑ ∑ .

172

Ocenimo svaki od tri sabirka prethodne jednakosti.

Kako je 1k kn N −> , to je

1

1( ) ( )

!k in ni

L x e b ai

∞

=

ϕ < − ∑ ,

a kako je

1 1

2

1 1 1 1 1( ) 1

! ! ( 1)! 2 ( 2)( 3)

1 1 1 1 11

1( 1)! 2 ( 1)!( 2) 12

2 1 1,

( 1)!( 1) ( 1)! !

ini k i k

xi i k k k k

k k kkk

k k

k k k k k k

∞ ∞

= + = +

ϕ ≤ = + + + ≤ + + + +

≤ + + + = ⋅ = + + ++ −

++ += < =

+ + + ⋅

∑ ∑ ⋯

⋯

to je

(11) 1

1 1( )

! !k i kn n ni k

L x Mi k k

∞

= +

ϕ < ⋅ ⋅ ∑

Funkcional srednjeg sabirka je

(12) 1 1 1

( ) ( ( ))! ! !k k k k kn n n n nL x L x M

k k k ϕ = ϕ = ⋅

.

Koristeći (10), (11) i (12) na osnovu (9) dobijamo

1

1 11

1 1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

! ! !1 1 1

( ) ( ) ( )! ! !

1 1 1 1( ) ( )

! ! ! !

k k i k k k i

k k k i k i

k k k

k

n n n n n n ni i k

k

n n n n n ni i k

n n n

L f L x L x L xi k i

L x L x L xk i i

M M e b a M e b ak k k k k k

− ∞

= = +− ∞

= = +

= ϕ + ϕ + ϕ >

> ϕ − ϕ − ϕ >

> − − − = − − − > ⋅ ⋅

∑ ∑

∑ ∑

1 1! ( ) 1 ( ),

! !k k e b a k e b a

k k k > ⋅ − − − = − − − ⋅

jer je !knM k k> ⋅ .

Očigledno, desna strana poslednje nejednakosti teži beskonačnosti kada

k → ∞ , pa ( )nL f ne može težiti ka ( )b

a

f x dx∫ , što dokazuje da je i drugi uslov

potreban.

173

Koristeći dokazanu teoremu jednostavno se zaključuje da: Gausov kvadra-turni proces uvek konvergira a Njutn–Kotesov kvadraturni proces ne konvergira

– nije ispunjen uslov: ( )

1

| |n

ni

i

C M=

<∑ za proizvoljno n.

Kako Čebišovljeve kvadraturne formule ne postoje za n = 8 i n ≥ 10, to se pitanje konvergencije ne može postaviti.

18. OPTIMIZACIJA KVADRATURNIH FORMULA

Za izračunavanje približnih vrednosti integrala koriste se mnogobrojne kvadraturne formule, različite po obliku ili po načinu izvoñenja. Tako, na primer, neke kvadraturne formule uključuju vrednosti podintegralne funkcije ili integranda na krajevima intervala integracije i čine klasu kvadraturnih formula zatvorenog tipa a neke ne uključuju te vrednosti i čine klasu kvadraturnih formula otvorenog tipa. Klasa Njutn–Kotesovih kvadraturnih formula se dobija na sledeći način. Podintegralna funkcija se aproksimira nekim interpolacionim polinomom za zadati broj ekvidistantnih čvorova, pa se za približnu vrednost integrala uzima vrednost integrala interpolacionog polinoma. Kvadraturne formule Gausovog tipa se dobijaju na sledeći način. Čvorovi i koeficijenti kvadraturnih formula se odreñuju iz sistema jednačina koji se dobija na osnovu uslova da kvadraturna formula bude tačna za polinome što je moguće višeg stepena. Ojler–Maklorenova kvadraturna formula sadrži, osim vrednosti podintegralne funkcije u čvorovima integracije, i vrednosti izvodâ podintegralne funkcije u krajnjim čvorovima integracije. Ovo može biti izvesno ograničenje u primeni kvadraturne formule. Način izvoñenja, kao što je poznato, bitno je drugačije od načina izvoñenja prethodnih klasa kvadraturnih formula. Naravno, moguće je izvesti i drugačije kvadraturne formule polazeći od sličnih ili potpuno drugačijih zahteva. Meñutim, sledeće pitanje, pitanje koju kvadraturnu formulu primeniti u konkretnom slučaju ostaje bez odgovora. Značaj odgovora na postavljeno pitanje nije potrebno posebno naglašavati. Za numeričku matematiku, kao i za svaku praktičnu nauku, karakteristično je sledeće. Nove tipove zadataka treba rešavati postojećim ili novim metodama. U sledećoj etapi širi se i krug zadataka odreñenog tipa i broj metoda za njihovo rešavanje. Zatim se postavlja pitanje izbora najbolje, optimalne metode. Na kraju, rešavanje zadataka treba svesti na primenu odgovarajućih standardnih programa ili paketa programa. Naravno, čitav tok mora biti praćen teorijskim razmatranjima, pri tome se često postavljaju novi tipovi zadataka i novi problemi. Dakle, postoji izvesna unutrašnja logika razvoja svake nauke i svake oblasti odreñene nauke, pa i numeričke matematike.

U numeričkoj matematici značajno mesto zauzima optimizacija rešavanja zadataka odreñenog tipa, odnosno izbor optimalne metode. Ovde postavljamo pitanje izbora optimalne metode numeričke integracije. Naravno, izbor zavisi od postavljenog kriterijuma optimalnosti. Kriterijum može biti: potreban broj

174

čvorova za postizanje zadate tečnosti, potrebno mašinsko vreme za rešavanje zadatka odreñenog tipa, ...

Razmotrićemo pitanje izbora optimalne kvadraturne formule na odreñenim klasama funkcija.

Neka treba izračunati približnu vrednost integrala

(1) ( ) ( ) ( )I f p P f P dPΩ

= ∫ ,

gde je Ω oblast integracije a ( )p P težinska funkcija. Pretpostavimo da podinte-gralna funkcija ( )f P pripada zadatoj klasi funkcija F. Greška kvadraturne for-mule

(2) 1

( ) ( ) ( )n

n i ii

I f S f A f P=

≈ =∑

na klasi funkcija F naziva se veličina (3) ( ) sup | ( )|n n

f FR F R f

∈= ,

gde je (4) ( ) ( ) ( )n nR f I f S f= − .

Pod optimalnom ocenom greške kvadraturne formule na klasi F podrazu-meva se donja granica

(5) ,

( ) inf ( )i i

n nA P

W F R F= .

Ako postoji kvadraturna formula za koju je

(6) ( ) ( )n nR F W F= ,

onda takvu kvadraturnu formulu nazivamo optimalnom ili najboljom na posma-tranoj klasi funkcija.

Razmotrimo nekoliko primera klasa funkcija i odgovarajućih optimalnih kvadraturnih formula.

Neka je 1( , [0,1])f F C A∈ = , gde 1( , [0,1])C A predstavlja klasu neprekidnih funkcija sa deo po deo neprekidnim prvim izvorom koji zadovoljava uslov | ( )|f x A′ ≤ , [0,1]x∈ . Dakle, treba izračunati integral

(7) 1

0

( ) ( )I f f x dx= ∫ , 1( , [0,1])f C A∈ .

Kvadraturna formula je

(8) 1

10

( ) ( ) ( ) ( )n

n i ii

I f f x dx S f A f x=

= ≈ =∑∫ , 1 20 1nx x x≤ < < < ≤… .

Pokazano je (Н. С. Бахвалов – Численные методы, I, Moskva, 1973, str. 140–146) da je optimalna kvadraturna formula

(9) 1

2 1( )

2

n

ni

iS f f

n=

− =

∑ ,

175

a ocena greške je 4

A

n.

Neka je (1)1 ( , [0,1])f C A∈ , gde (1)

1 ( , [0,1])C A predstavlja klasu neprekidnih funkcija sa deo po deo neprekidnim prvim izvodom koji zadovoljava uslov

1

0

| ( )|f x dx A′ ≤∫ .

Optimalna kvadraturna formula i u ovom slučaju je formula (9), ali ocena

greške je 2

A

n.

Važi uopšte: ako se koristi ograničenost izvoda '( )f x u bilo kom smislu,

ocena greške je 1

On

.

19. NUMERIČKO IZRA ČUNAVANJE VIŠESTRUKIH INTEGRALA

Numeričko izračunavanje višestrukih integrala pokazaćemo na primeru izračunavanja dvostrukih integrala.

Dakle, neka treba izračunati dvostruki integral

(1) ( , )G

I f x y dx dy= ∫ ∫ .

Formule za numeričko izračunavanje dvostrukih integrala nazivaju se kubaturne formule.

Jedan od načina izračunavanja približne vrednosti integrala (1) je uzastopna primena kvadraturnih formula. Pokazaćemo to na primeru primene Simpsonove kvadraturne formule.

Neka je oblast integracije G pravougaonik R (sl. 4) odreñen nejednako-stima a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, tj.

(2) ( , ); , R x y a x b c y d≤ ≤ ≤ ≤ .

0 x = a0

y

xx = b2x1

1 4

4

44 16y1

y = d2

y = c0

1

1 1

Sl. 4

176

Podelimo odsečke [a, b] i [c, d] na po dva jednaka dela dužina – koraka xh

i yh :

2x

b ah

−= i 2y

d ch

−=

Tačke podele označimo na sledeći način:

0x a= , 1 0 xx x h= + , 2 1 0 2x xx x h x h b= + = + = ,

0y c= , 1 0 yy y h= + , 2 1 0 2y yy y h y h d= + = + = .

Na taj način smo oblast integracije – pravougaonik R aproksimirali mrežom čvorova ( , )i jx y , i, j = 0, 1, 2

(3) 0 0( , ); , 0,1, 2; , 0,1, 2h i j i x i yx y x x h i y y jh jω = = + = = + = ,

Neka su ( , )ij i jz f x y= , , 0,1, 2i j = , vrednosti podintegralne funkcije

( , )z f x y= u čvorovima mreže (3). Sada imamo

( , ) ( , )b d

R a c

I f x y dxdy f x y dy dx

= =

∫ ∫ ∫ ∫ .

Primenom osnovne Simpsonove kvadraturne formule, prvo na „unutrašnji“ integral, pa onda na „spoljašnji“ dobijamo

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

0 1 2

0 1 2

0 0 1 0 2 0

0 1 1 1 2 1

0 2 1 2 2 2

( , ) 4 ( , ) ( , )3

( , ) 4 ( , ) ( , )3

( , ) 4 ( , ) ( , )3 3

4 ( , ) 4 ( , ) ( , )3

( , ) 4 ( , ) ( , )3

by

ab b b

y

a a a

y y

y

y

hI f x y f x y f x y dx

hf x y dx f x y dx f x y dx

h hf x y f x y f x y

hf x y f x y f x y

hf x y f x y f x y

= + + =

= + + =

= + + +

+ ⋅ + + +

+ + +

∫

∫ ∫ ∫

[ ]

[ ]

00 20 02 22 11 10 01 21 12

0 1 2

( ) 16 4( )9

4 ,9

x y

x y

h hz z z z z z z z z

h h

=

= + + + + + + + + =

= σ + σ + σ

gde smo, očigledno, koristili oznake: 0 00 20 02 22z z z zσ = + + + , 1 114zσ = i

2 10 01 21 124( )z z z zσ = + + + .

177

Ako je oblast integracije – pravougaonik R velikih dimenzija, onda odsečke [a, b] i [c, d] delimo na 2n i 2m delova, odnosno uzimamo za korake

2x

b ah

n

−= , 2y

d ch

m

−= .

Na taj način pravougaonik R aproksimiramo mrežom (sl. 5)

(4) 0 0( , ); , 0, 2 ; , 0, 2 h i j i x j yx y x x ih i n y y jh j mω = = + = = + = .

Neka su ( , )ij i jz f x y= , 0, 2i n= , 0, 2j m= , vrednosti podintegralne

funkcije ( , )z f x y= u čvorovima mreže (4). Odgovarajuća kubaturna formula – Simpsonova kubaturna formula je

0

y

x

y1

y2

c = y0

d = y2m

y2 1m –

y2 2m –

a= x0 x1 x2 x = b2nx2 2n – x2 1n –

Sl. 5

(5) 2 2

0 0

( , )9

n mx y

ij iji jR

h hI f x y dx dy A z

= == = ⋅∑∑∫ ∫ ,

gde su koeficijenti Aij elementi sledeće matrice koeficijenata

1 4 2 4 2 4 2 4 1

4 16 8 16 8 16 8 16 4

2 8 4 8 4 8 4 8 2

2 8 4 8 4 8 4 8 2

4 16 8 16 8 16 8 16 4

1 4 2 4 2 4 2 4 1

A

=

…

…

…

⋮

…

…

…

.

Umesto Simpsonove kvadraturne formule moguće je koristiti bilo koju dru-gu kvadraturnu formulu.

178

Ako je oblast integracije krivolinijska, onda prvo treba tu oblast aproksimi-rati pravougaonom oblašću (sl. 6), pa, zatim, posmatrati pomoćnu funkciju

1

( , ), ( , ) ,( , )

0, ( , ) \ .

f x y x y Rf x y

x y R

∈= ∈ σ

Na taj način bismo imali

1( , ) ( , )R

I f x y dx dy f x y dx dyσ

= =∫ ∫ ∫ ∫ .

Integral

1( , )R

I f x y dxdy= ∫ ∫

se izračunava primenom kubaturne formule (5).

0 a

y

xb

d

c

s

R

0

y

x

(s)M1

MNM3

M2

Sl. 6 Sl. 7

Drugi način dobijanja kubaturnih formula je sledeći. Neka je, dakle, podin-tegralna funkcija ( , )z f x y= definisana i neprekidna u nekoj ograničenoj oblasti σ (sl. 7). Izaberimo u toj oblasti tačke Mi (xi , yi ) , odnosno čvorove

( , )i ix y , 1,i N= . Da bismo izračunali približnu vrednost dvostrukog integrala

(6) ( , )I f x y dx dyσ

= ∫ ∫

stavljamo da je

(7) 1

( , ) ( , ) [ ]N

i i ii

I f x y dx dy A f x y R f=σ

= = +∑∫ ∫ ,

gde su iA koeficijenti kubaturne formule koje treba odrediti, a [ ]R F je greška

te formule. Koeficijente iA odreñujemo iz uslova da formula (7) bude tačna za sve polinome

(8) ( , ) k ln kl

k l n

P x y c x y+ ≤

= ∑

stepena ne većeg od n, tj. da bude greška [ ( , )] 0nR P x y = . Za to je potrebno i do-voljno da formula (7) bude tačna za sve polinome

179

k lx y , k l n+ ≤ .

Dakle, ako u (7) uvrstimo ( , ) k lf x y x y= , dobićemo sistem linearnih alge-

barskih jednačina za odreñivanje koeficijenata iA :

(9) 1

nk l k l

i i ii

A x y x y dxdy= σ

=∑ ∫ ∫ , k l n+ ≤ .

Primer 1. Izračunati približnu vrednost integrala 0.6 0.4

2 2

0 0

sin( )I x y dx dy= +∫ ∫ .

Uzeti: 0.3xh = i 0.2yh = . Računati sa šest decimala.

Rešenje. Izračunajmo vrednosti podintegralne funkcije 2 2( , ) sin( )f x y x y= + u čvorovima mreže

( , ); 0 0.3, 0,1, 2; 0 0.2, 0,1, 2h i i i jx y x i i y j jω = = + ⋅ = = + ⋅ = .

Preglednosti radi rezultati računanja su dati u sledećoj tabeli.

x y

0.0 0.3 0.6

0.0 0.000000 0.089879 0.352274 0.2 0.039989 0.129634 16 0.389418 0.4 0.159318 0.247404 0.496880

Tražena vrednost je 1

0.3 0.2 6.149376 0.0409969

I = ⋅ ⋅ ⋅ = .

Na potpuno isti način, izvode se formule za približno izračunavanje inte-grala višestrukosti veće od dva. Neka, na primer, treba izračunati trostruki integral

(10) ( , , )fb d

a c e

I f x y z dx dy dz= ∫ ∫ ∫ .

Oblast integracije – kvadar ( , , ); , , K x y z a x b c y d e z f= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

aproksimirajmo mrežom

(11) 0 1 0 1 0 1( , , ); , ; , ; , h i j kx y z x a x b y c y d z e z fω = = = = = = = .

Neka su ( , , )ijk i j kz f x y z= , , , 0,1i j k = , vrednosti podintegralne funkcije

u čvorovima mreže (11). Primenimo osnovnu trapeznu kvadraturnu formulu

1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0

( , , ) ( , , )x y z x y z

x y z x y z

I f x y z dx dy dz f x y z dz dy dx = = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

180

[ ]

[ ] [ ]

1 1

0 0

1 1 1

0 0 0

1

0

1

0

0 1

0 1

0 0 1 0 0 1 1 1

0 0

( , , ) ( , , )2

( , , ) ( , , )2

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )2 2 2

( , , ) (2 2

x yz

x y

x y yz

x y y

xy yz

x

xyz

x

hf x y z f x y z dy dx

hf x y z dy f x y z dy dx

h hhf x y z f x y z f x y z f x y z dx

hhf x y z dx f

= + = = + =

= + + + =

= ⋅ +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

1 1

0 0

1

0

1 0 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0

0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1

000

, , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )2 2

( , , ) ( , , )2

1

8

x x

x x

xyz z

x

x x

x

x y z

x y z dx f x y z dx

hh hf x y z dx f x y z f x y z

h hf x y z f x y z f x y z f x y z

hf x y z f x y z

h h h z

+ +

+ = ⋅ + +

+ + + + +

+ + =

= ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫

[ ]100 010 110 001 101 011 111.z z z z z z z+ + + + + + +

Naravno, umesto trapezne kvadraturne formule može se primeniti bilo koja druga. Moguće je i kombinovati kvadraturne formule.

181

VI NUMERIČ KE METODE REŠAVANJA NELINEARNIH JEDNACINAJEDNAČ

0. UVODNE NAPOMENE

Mnogobrojni su zadaci matematike i njenih primena koji se svode na rešavanje jednačina ili sistema jednačina. Svaka jednačina s jednom nepoznatom može se predstaviti u obliku

(1) ( ) 0f x =

gde je ( )f x funkcija, definisana u nekom konačnom ili beskonačnom intervalu X = x; a < x < b. Skup X ćemo zvati oblašću dopustivih vrednosti posmatrane jednačine.

Rešenje ili koren jednačine (1) je ona vrednost x* ∈ X za koju je ( *) 0f x ≡ (naravno, ako takva vrednost postoji). Rešiti jednačinu znači naći sva njena rešenja ili utvrditi da jednačina nema rešenja, ako ih, zaista, nema. Skup svih rešenja označićemo s Xr; dakle, *; * ; ( *) 0rX x x X f x= ∈ ≡ . Očigledno je

Xr ⊆ X. U zavisnosti od toga kakve funkcije učestvuju u (1) jednačine se dele na

dve osnovne klase jednačina: algebarske i transcendentne jednačine.

Primer 1. a) Sledeće jednačine su algebarske: 1

0 1( ) 0n nn nP x a x a x a−≡ + + + =⋯ , n N∈ , ia R∈ , 0,i n= , 0 0a ≠ ;

10 1

10 1

( ) 0n n

nn m m

m

a x a x aR x

b x b x a

−

−+ + +

≡ =+ + +

⋯

⋯, n N∈ , m N∈ , ia R∈ , 0,i n= , 0 0a ≠ ,

ib R∈ , 0,i m= , 0 0a ≠ ;

3( 1) 2 6 0x x x x+ + + + + = ; 2 7

3 6 8 01

xx

x

−+ + − =+

b) Sledeće jednačine su transcendentne: 2log ( 3 9) 10a x x+ + = ; 3 6 1 0xe x+ − + = ; sin 11x x+ = ;

arctg 2x x x+ + = ; coslog 3 xx e+ = ; 2ln 1 1x x+ = − .

Naći tačno rešenje jednačine (1) moguće je, kao što je poznato, samo u specijalnim slučajevima. Tako za rešavanje kvadratne jednačine

2 0x px q+ + = koristi se poznata formula

182

2

1,2 4

p px q

q= − ± − .

Za rešavanje kubne jednačine 3 0x px q+ + =

primenjuje se fomula

2 3 2 33 3

2 4 27 2 4 27

q q p q q px = − + + + − − + ;

primena ove formule je dosta komplikovana. Za rešavanje jednačine četvrtog stepena postoji takoñe formula, ali se zbog njene složenosti vrlo retko primenjuje. Dokazano je da ne postoji formula koja izražava rešenje algebarske jednačine

10 1( ) 0n n

n nP x a x a x a−≡ + + + =⋯ , n N∈ , 0 0a ≠ , 5n ≥ ,

kao funkciju koeficijenata 0 1, , , na a a… pomoću aritmetičkih operacija i korenovanja. Ovu činjenicu dokazali su norveški matematičar Abel (Nils Abel, 1802–1829) i francuski matematičar Galoa (Everest Galois, 1811–1832).

U mnogim slučajevima koeficijenti jednačina su približni brojevi, pa, zbog toga, o nalaženju tačnog rešenja nema smisla govoriti. Tačnost rešenja je ograničena tačnošću koeficijenata!

Zbog toga su značajne metode za nalaženje približnih rešenja jednačine (1). Zadatak nalaženja rešenja smatra se rešenim, ako je rešenje izračunato s unapred zadatom tačnošću. Ako je x* tačno a x približno rešenje jednačine (1) s tačnošću ε (ε > 0), onda to znači da je | x* – x | ≤ ε.

Za primenu većine metoda za nalaženje približnog rešenja jednačine (1) potrebno je prethodno utvrditi prirodu rešenja, a to znači utvrditi da li su rešenja realna ili kompleksna, zatim da li su jednostruka ili višestruka, itd. Sledeći posao je odreñivanje oblasti (odsečaka [a, b] ili krugova poluprečnika r) koji sadrže jedno i samo jedno rešenje jednačine (1).

Približno rešenje x jednačine (1) nalazimo u dve etape: 1) odreñivanjem dovoljno male oblasti koja sadrži jedno i samo jedno tačno rešenje i 2) izračunavanjem približnog rešenja sa zadatom tačnošću.

1. LOKALIZACIJA REŠENJA

Lokalizacija ili razdvajanje rešenja jednačine (1) sastoji se u odreñivanju odsečaka [a, b] u oblasti dopustivih vrednosti koji sadrže jedno i samo jedno rešenje te jednačine. (Imaćemo u vidu, ako drugačije ne naglasimo, samo realna rešenja.) Ako [a, b] sadrži jedno i samo jedno rešenje, onda ćemo reći da je to rešenje izolovano.

Za dalje izlaganje biće nam potrebne sledeće, opšte poznate, teoreme.

183

Teorema 1. Ako je ( ) [ , ]f x C a b∈ i ( ) ( ) 0f a f b⋅ < , onda jednačina ( ) 0f x =

ima bar jedno rešenje * ( , )x a b∈ (sl. 1).

x1* x2* b xa

y

f x( )

0 x* b xa

y

f x( )

0 Sl. 1 Sl. 2

Teorema 2. Ako je ( ) [ , ]f x C a b∈ i monotona na [a, b] i ako je ( ) ( ) 0f a f b⋅ < , onda jednačina ( ) 0f x = ima jedno i samo jedno

rešenje * ( , )x a b∈ (sl. 2).

Teorema 2'. Ako je ( ) [ , ]f x C a b∈ , ( ) ( ) 0f a f b⋅ < i ako postoji '( ), ( , )f x x a b∈ i konstantnog je znaka, onda jednačina ( ) 0f x = ima jedno i

samo jedno rešenje * ( , )x a b∈ .

Dokazi ovih teorema mogu se naći u svakom kompletnijem udžbeniku matematičke analize.

Proces lokalizacije rešenja jednačine ( ) 0f x = počinjemo odreñivanjem znakova funkcije ( )f x na krajevima oblasti dopustivih vrednosti posmatrane jednačine. Zatim, odreñujemo znakove funkcije ( )f x u nizu tačaka

1 2, ,x a a X= ∈… . Ove tačke se biraju u zavisnosti od osobina funkcije ( )f x

(monotonost, konkavnost, ...). Ako se pokaže da je 1( ) ( ) 0k kf a f a +⋅ < , onda se

na osnovu Teoreme 1. zaključuje da u intervalu 1( , )k ka a + jednačina ( ) 0f x = ima bar jedno rešenje. Da li je to rešenje izolovano ispituje se primenom Teoreme 2. ili Teoreme 2’. ili na neki drugi način. Često je praktično sužavanje intervala 1( , )k ka a + deleći ga na dva, četiri, ... jednakih delova (do nekog koraka) i utvrñivanjem znaka funkcije ( )f x u tačkama podele.

Primer 1. Lokalizovati rešenja jednačine 3 2( ) 8 12 26 15 0f x x x x≡ − − + = .

Rešenje. Sastavimo sledeću tabelu

x –∞ –2 –1 0 1 2 3 +∞ znak ( )f x – – + + – – + +

184

Zaključujemo da jednačina ima tri realna rešenja; ta rešenja su u intervalima (–2, –1), (0, 1) i (2, 3). Koristeći poznatu činjenicu da algebarska, polinomijalna jednačina s realnim koeficijentima n–tog stepena ima n rešenja (računajući i njihovu višestrukost) zaključujemo da su intervali (–2, 1), (0, 1) i (2, 3) u isto vreme i intervali izolacije rešenja posmatrane jednačine.

Primer 2. Lokalizovati rešenje jednačine

( ) 2 5 3 0xf x x≡ − − = .

Rešenje. Oblast dopustivih vrednosti je X = (–∞, ∞). Budući da je

'( ) 2 ln 2 5xf x = ⋅ − , to iz

'( ) 2 ln 2 5 0xf x ≡ ⋅ − = nalazimo da je nula prvog izvoda x = 2.85... Sastavimo sledeću tabelu uzimajući

1 32 2.85... 3a a= < < =

x –∞ 2 2.85... 3 ∞ znak ( )f x + – – – + znak '( )f x – 0 +

Zaključujemo da intervali (–∞, 2.85...) i (2.85..., ∞) sadrže po jedno i samo jedno rešenje date jednačine. Radi preciznijeg lokalizovanja rešenja sastavimo sledeću tabelu

x –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 znak ( )f x + + – – – – – + +

Dakle, precizniji intervali izolacije rešenja su (–1, 0) i (4, 5).

Sledeća teorema daje ocenu približnog rešenja.

Teorema 3. Neka je x* tačno a x približno rešenje jednačine ( ) 0f x = , pri

čemu * [ , ]x a b∈ i [ , ]x a b∈ . Ako je 1| '( ) | 0f x m≥ > za * [ , ]x a b∈ , onda je

(2) 1

| ( ) || * |

f xx x

m− ≤ .

Dokaz. Primenjujući Lagranževu teoremu o srednjoj vrednosti funckije dobijamo

( *) ( ) ( * ) '( ξ)f x f x x x f− = − ⋅ ,

gde je ξ tačka izmeñu x* i x , dakle ξ [ , ]a b∈ . Budući da je x* tačno rešenje, tj.

( *) 0f x = , i 1| (ξ) | 0f m≥ > , to je

1| ( *) ( ) | | ( ) | | * |f x f x f x m x x− = ≥ − a odavde dobijamo

1

| ( ) || * |

f xx x

m− ≤ .

185

Primer 3. Jednačina

( ) 2 5 3 0xf x x≡ − − =

ima izolovano rešenje x* ∈ [–1, 0]. Ako za približno rešenje uzmemo 0.5x = − , proceniti grešku.

Rešenje. Redom imamo:

0.5( ) ( 0.5) 2 5( 0.5) 3 0.2071068...f x f −= − = − − − = ,

'( ) 2 ln 2 5xf x = − , 2''( ) 2 (ln 2) 0xf x = > ,

pa je '( )f x rastuća funkcija na [–1, 0], a kako je '( ) 0f x < , to je | '( ) |f x

opadajuća funkcija. Na taj način zaključujemo da je za x ∈ [–1, 0]

1| '( ) | | '(0) | 4.306852... 4.30685f x f m≥ = > = . Konačno je

10.207107... 1| * ( 0.5) | 0.0480877... 0.5 10

4.306852... 2x −− − ≤ = < = ⋅ ,

što znači da je približno rešenje 0.5x = − tačno na jednu decimalu u užem smislu.

Napomena 1. Ocena (2) može dati grube rezultate, pa je nije uvek pogodno primenjivati. Naime, u relaciji

( *) ( ) ( * ) '( ξ)f x f x x x f− = − ⋅ može se desiti da je:

1) | ( *) ( ) | εf x f x− = , ε 0> i maleno, a | * | εx x− ≫ (sl. 3a),

2) | * | εx x− = , ε 0> i maleno, a | ( *) ( ) | εf x f x− ≫ (sl. 3b).

a) b)

x* x

y

f x( )

0

εf x( )

x x* x

y f x( )

0 ε

f x( )

x

Sl. 3

Očigledno, u prvom slučaju izvod '( )f x je blizak nuli a u drugom beskonačnosti. Dakle, ocena (2) je „neosetljiva” u tim graničnim slučajevima, pa je treba oprezno koristiti.

186

Napomena 2. Pouzdana ocena se dobija sužavanjem intervala izolacije ( , ) *a b x∋ ; na taj način imamo (3) | * |x x b a− < − .

Napomena 3. Približno rešenje x jednačine ( ) 0f x = ne može se oceniti direktnom zamenom. Naime, ako je ( ) εf x = , ε maleno, ne mora x biti blisko tačnom rešenju x* (sl. 3a); isto tako, ako ( ) εf x = nije malo, onda to ne znači da x nije blisko x* (sl. 3b). Naime, jednačina ( ) 0f x = , ( ) 0K f x⋅ = , K je vrlo veliko, i ( ) 0k f x⋅ = , k je vrlo maleno i različito od nule, ekvivalentne su meñu sobom. Sve tri jednačine identički zadovoljava tačno rešenje x*, a za približno rešenje x dobijamo redom ( ) εf x = , ( ) εK f x K⋅ = ⋅ , ( ) εk f x k⋅ = ⋅ .

2. METODA POLOVLJENJA ODSE ČKA

Ideja ove metode sastoji se u sužavanju odsečka [a, b] koji sadrži izolovano rešenje x*.

Neka je data algebarska ili transcendentna jednačina

(1) ( ) 0f x = ,

gde je 0 0( ) [ , ]f x C a b∈ i 0 0( ) ( ) 0f a f b⋅ < . Neka je 0 0* [ , ]x a b∈ izolovano

rešenje jednačine (1). Podelimo odsečak 0 0[ , ]a b na dva jednaka dela 1

0 0 02, ( )a a b + i 10 0 02 ( ),a b b + . Ako je ( )1

0 02 ( ) 0f a b+ = , onda je 1

0 02 ( ) *a b x+ = traženo rešenje jednačine (1). (U opštem slučaju to se vrlo

retko može dogoditi.) Ako je ( )10 02 ( ) 0f a b+ ≠ , onda biramo onaj od odsečaka

10 0 02, ( )a a b + i 1

0 0 02 ( ),a b b + na čijim krajevima ( )f x ima različite

znakove, tj. biramo onaj od odsečaka koji sadrži x*. Označimo taj odsečak sa

1 1[ , ]a b . Podelimo odsečak 1 1[ , ]a b na dva jednaka dela 11 1 12, ( )a a b + i

11 1 12 ( ),a b b + . Ako je ( )1

1 12 ( ) 0f a b+ = , onda je 10 02 ( ) *a b x+ = traženo

rešenje jednačine (1). (U opštem slučaju to se vrlo retko može dogoditi.) Ako je

( )11 12 ( ) 0f a b+ ≠ , onda biramo onaj od odsečaka 1

1 1 12, ( )a a b + i

10 0 02 ( ),a b b + na čijim krajevima ( )f x ima različite znakove, tj. biramo onaj

odsečak koji sadrži x*. Označimo taj odsečak sa 2 2[ , ]a b . Postupak deljenja se nastavlja na isti način. Tako dobijamo beskonačan niz umetnutih (isčezavajućih) odsečaka

0 0 1 1 2 2[ , ] [ , ] [ , ] ... [ , ] ...k ka b a b a b a b⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ takvih da je

(2) ( ) ( ) 0k kf a f b⋅ < , * [ , ]k kx a b∈ , 0 0

1( )

2k k k

b a b a− = − , 0,1,...k =

187

Levi krajevi 0 1 2, , ,..., ,...ka a a a obrazuju monotono neopdajući i ograničeni niz, dakle,

0 1 2 0... ...ka a a a b≤ ≤ ≤ ≤ ≤ < ,

a desni nerastući i ograničeni niz, dakle,

0 1 2 0... ...kb b b b a≥ ≥ ≥ ≥ ≥ > .

Iz monotonosti i ograničenosti ovih nizova sledi

lim kk

a→∞

= α i lim kk

b→∞

= β

i uz to je k ka b≤ α ≤ β ≤ , 0,1, 2,...k = Budući da je

0 0

1lim( ) lim ( ) 0

2k k kk k

b a b a→∞ →∞

− = − = , tj lim( ) 0k kk

b a→∞

− = ,

imamo da jelim limk kk k

a b→∞ →∞

= , tj. *xα = β = je jedinstvena tačka koja pripada

umetnutim odsečcima [ , ]k ka b , 0,1, 2,...k = Kako je ( )f x neprekidna funkcija, to prelaskom na limes u nejednakosti (2) dobijamo

2lim ( ) ( ) ( lim ) ( lim ) ( *) ( *) ( *) 0k k k kk k k

f a f b f a f b f x f x f x→∞ →∞ →∞

⋅ = ⋅ = ⋅ = ≤ ,

odnosno ( *) 0f x = , što znači da je x* rešenje jednačine (1).

Za približno rešenje možemo uzeti kx a= ili kx b= ; pri tome važi ocena greške

0 0

10 * ( )

2k k

x a b a≤ − ≤ − i 0 0

10 * ( )

2k k

b x b a≤ − ≤ − .

Meñutim, bolje je uzeti

(3) 1

( )2k k kx x a b= = + ;

tada je

(4) 0 01

1 1| * | ( ) ( )

2 2k k k

x x b a b a+− ≤ − = − .

Ako x* nije izolovano (dakle, jedino u početnom odsečku) rešenje jednačine (1), onda primenom ove metode možemo odrediti jedno od tih rešenja jednačine (1).

Metoda je veoma jednostavna, ali s povećanjem tačnosti povećava se znatno obim računanja. Zbog toga, ova metoda se primenjuje, po pravilu, kada se ne zahteva velika tačnost. Približna vrednost rešenja dobijena ovom metodom često se uzima za početnu aproksimaciju tačnog rešenja kod primene nekih drugih metoda. Nedostatak metode je, svakako, što je njeno uopštavanje na višedimenzione slučajeve (dakle, na sisteme jednačina) praktično nemoguće.

188

Primer 1. Metodom polovljenja odsečka rešiti jednačinu 2

0.5log ( 1) 1x x+ = .

Tačnost 21ε 10

2−= ⋅ .

Rešenje. Očigledno, x = 0 nije rešenje jednačine. Za 0x ≠ napišimo jednačinu u obliku

0.5 2

1log ( 1)x

x+ =

i konstruišimo grafike funkcija (sl. 4)

0.5log ( 1)y x= + i 2

1y

x= .

Jednačina ima jedno rešenje. Približna vrednost rešenja je –0.7. Iz sledeće tabele

x –0.8 –0.6 znak ( )f x + –

sledi * [ 0.8, 0.6]x ∈ − − . Broj k odreñujemo iz sledeće nejednakosti

21

1 1[ 0.6 ( 0.8)] 10

22k−

+ − − − ≤ ⋅ ;

odavde dobijamo 5k ≥ . Radi preglednosti računanje je dato u sledećoj tabeli.

k ka kb 12 ( )k k kx a b= + znak ( )f x

0 –0.800 –0.600 –0.700 – 1 –0.800 –0.700 –0.750 + 2 –0.750 –0.700 –0.725 – 3 –0.750 –0.725 –0.738 + 4 –0.738 –0.725 –0.731 + 5 –0.731 –0.725 –0.728 – 6 –0.731 –0.728 –0.730

Traženo približno rešenje je 0.73x = − .

Napomena. Radi jednostavnijeg izračunavanja vrednosti funkcije 2

0.5( ) log ( 1) 1f x x x= + − pogodno je preći na dekadne logaritme

2 log( 1)( ) 1

log 0.5

xf x x

+= ⋅ − .

3. METODA SEČICE

Neka algebarska ili transcendentna jednačina (1) ( ) 0f x = , ima na odsečku [a, b] lokalizovano i izolovano rešenje (koren) x*; dakle,

x* x

y

0 1

y = 1x2

y x = log ( + 1)0.5

Sl. 4

189

( ) ( ) 0f a f b⋅ < i ( *) 0f x = . Jedan od nedostataka, inače vrlo jednostavne metode polovljenja odsečka za rešavanje jednačine (1), je što se može desiti da je rešenje x* vrlo blisko jednom od krajeva početnog odsečka [a, b]. U tom slučaju umetnuti odsečci u početku imaju jedan kraj fiksiran (sl. 5):

1 2[ , ] [ , ] [ , ] ...a b a b a b⊃ ⊃ ⊃ , pa je konvergencija u početku nešto sporija. Bilo bi prirodnije početni odsečak (takoñe, i sledeće umetnute odsečke) deliti u razmeri različitoj od 1:1, na primer u razmeri ( ) : ( )f a f b .

x* x

y

f a( ) 0 f a( )1

f b( )

a a1 a2 a3

b

x* x

y

f a( )0

a x1 x2

s0

s1

A a f a( , ( )) A x f x1( , ( ))1 1

B b f b( , ( ))

b

( )f b

Sl. 5 Sl. 6

Neka, dakle, jednačina (1) ima izolovano rešenje * [ , ]x a b∈ i neka je,

odreñenosti radi, ( ) 0f a . Pretpostavimo da je 2( ) [ , ]f x C a b∈ . Ideja metode sečice (u literaturi se sreće i pod nazivima: metoda proporcionalnih delova, metoda linearne interpolacije i metoda pogrešnog pravila („regula falsi”)) sastoji se u tome da na odsečku [a, b] luk krive

( )y f x= aproksimiramo odgovarajućim odsečkom sečice 0s koja je odreñena tačkama ( , ( ))A a f a i ( , ( ))B b f b (sl. 6). Za približnu vrednost rešenja x*

uzimamo apscisu tačke u kojoj sečica 0s seče osu Ox . Neka je '( ) 0f x > i

''( ) 0f x > za [ , ]x a b∈ . Jednačina sečice 0s , tj. sečice ABs je

( )

( ) ( )

y f a x a

f b f a b a

− −=− −

.

Stavimo li y = 0 i 1x x= , dobićemo

1

( )( )

( ) ( )

f xx a b a

f b f a= − −

−

ili za 0x a=

01 0 0

0

( )( )

( ) ( )

f xx x b x

f b f x= − −

−.

Tačka 1x deli odsečak [a, b] u razmeri ( ) : ( )f a f b . Rešenje 1* [ , ]x x b∈ . Kon-

struišimo sečicu 1s koja je odreñena tačkama 1 1 1( , ( ))A x f x i ( , ( ))B b f b .

190

Jednačina sečice 1s , tj. 1A Bs je

1 1

1 1

( )

( ) ( )

y f x x x

f b f x b x

− −=− −

.

Stavimo li y = 0 i 2x x= , dobićemo

12 1 1

1

( )( )

( ) ( )

f xx x b x

f b f x= − −

−.

Tačka 2x deli odsečak 1[ , ]x b u razmeri 1( ) : ( )f x f b . Traženo rešenje

2* [ , ]x x b∈ . Produžimo li ovaj proces na isti način, dobićemo

(2) 1

( )( )

( ) ( )n

n n nn

f xx x b x

f b f x+ = − −−

, 0x a= , 0,1, 2, ...n =

Koristeći rekurentnu formulu (2) polazeći od 0x a= dobija se niz približnih rešenja (približavanja, aproksimacija, iteracija)

(3) 0 1 2 1... ... *n na x x x x x x b+= < < < < < < < < .

Niz (3) je monotono rastući i ograničen; tačka b je nepokretni kraj. Do istog rezultata se dolazi ako je ( ) 0, ( ) 0, '( ) 0f a f b f x> < < i ''( ) 0f x < za

[ , ]x a b∈ ; za to je dovoljno posmatrati ekvivalentnu jednačinu ( ) 0f x− = (sl. 7).

x*x

y

0 x a0 = x1 x2

A a f a( , ( ))

A x f x1( , ( ))1 1

B b f b( , ( ))

f x( ) < 0′f x( ) < 0′′

x* x

y

0x b0 = x1x2

A a f a( , ( ))

B1 B b f b( , ( ))

f x( ) < 0′f x( ) > 0′′

a

Sl. 7 Sl. 8

Neka je sada ( ) 0, ( ) 0, '( ) 0f a f b f x> < za [ , ]x a b∈ (sl. 8). Na potpuno isti način dobija se sledeća rekurentna formula

(4) 1

( )( )

( ) ( )n

n n nn

f xx x x a

f x f a+ = − −−

, 0x b= , 0,1, 2,...n =

i niz približnih rešenja (približavanja, aproksimacija, iteracija)

(5) 1 2 1 0* ... ...n na x x x x x x b+< < < < < < < < = .

Niz (5) je monotono opadajući i ograničen; tačka a je nepokretni kraj. Do istog rezultata se dolazi ako je ( ) 0, ( ) 0, '( ) 0f a f b f x< > > i

"( ) 0f x < za [ , ]x a b∈ ; za to je dovoljno posmatrati ekvivalentnu jednačinu ( ) 0f x− = (sl. 9).

191

Rekurentna formula se bira koristeći sledeće pravilo:

1) nepokretan je onaj kraj odsečka [a, b] za koji ( )f x i ''( )f x imaju isti znak;

2) niz približnih vrednosti nx , 0,1, 2,...n = je s one strane tačnog reše-

nja x* s koje ( )f x ima suprotan znak znaku ''( )f x .

Kako je niz približnih vrednosti , 0,1, 2,...nx n= (bilo da je odreñen

relacijom (2) ili (4)) monoton i ograničen, to postoji

lim *nn

x x→∞

= , *a x b< < .

Ako preñemo na limese, na primer, u relaciji (2), dobićemo

( *)* * ( *)

( ) ( *)

f xx x b x

f b f x= − −

−,

odnosno ( *) 0f x = . Kako jednačina ( ) 0f x = ima na [a, b] izolovano rešenje, to je * *x x= .

Ako za približno rešenje uzmemo nx x= , onda tačnost možemo oceniti na sledeći način

1

| ( ) || * | n

n

f xx x

m− ≤ ,

gde je 10 | '( ) |m f x< ≤ za [ , ]x a b∈ . Najčešće se uzima da je 1 min | '( ) |m f x= , [ , ]x a b∈ .

Izvedimo još jednu ocenu tačnosti približnog rešenja nx . Pretpostavimo

da: 1) 1( ) [ , ]f x C a b∈ ; 2) '( )f x ne menja znak; 3) [a, b] sadrži sve

aproksimacije , 0,1, 2,...nx n= ; 4) važi nejednakost

1 10 | '( ) |m f x M< ≤ ≤ < ∞ . Poñemo li od rekurentne formule

11 1

1

( )( )

( ) ( )n

n n nn

f xx x b x

f b f x−

− −−

= − ⋅ −−

, 1, 2, 3,...n = ,

imaćemo

11 1

1

( ) ( )( ) ( )n

n n nn

f b f xf x x x

b x−

− −−

−− = ⋅ −

−

i, budući da je ( *) 0f x = ,

(6) 11 1

1

( ) ( )( *) ( ) ( )n

n n nn

f b f xf x f x x x

b x−

− −−

−− = ⋅ −

−.

x* x

y

0 x b0 = x1x2

A a f a( , ( ))

B1

B b f b( , ( ))f x( ) > 0′f x( ) < 0′′

a

B2

Sl. 9

192

Primenom Lagranževe teoreme na funkciju ( )f x na odgovarajućim odsečcima dobijamo

1 11 1 1

1

( ) '( )( * ) '( ) ( )n n

n n n nn

b x f xx x f x x

b x− −

− − −−

− ⋅− ⋅ ξ = ⋅ −

−,

1 1( , *)n nx x− −ξ ∈ i 1 1( , )n nx x b− −∈ , odnosno

1 1 1 1( * ) '( ) ( ) '( )n n n n nx x f x x f x− − − −− ⋅ ξ = − ⋅ .

Sada nalazimo

11 1

1

'( )* ( )

'( )n

n n nn

f xx x x x

f−

− −−

= + − ⋅ξ

i

1 11

1

| '( ) '( ) || * | | |

| '( ) |n n

n n nn

f x fx x x x

f− −

−−

− ξ− = ⋅ −

ξ.

Kako je 1 10 | '( ) |m f x M< ≤ ≤ < ∞ za [ , ]x a b∈ , to je

1 1 1 1| '( ) '( ) |n nf x f M m− −− ξ ≤ −

i tražena ocena je

(7) 1 11

1

| * | | |n n n

M mx x x x

m −−− ≤ ⋅ − .

Ako je 1 12M m≤ za [ , ]x a b∈ , onda iz dobijene ocene (3) dobijamo

1| * | | |n n nx x x x −− ≤ − ,

odnosno, tačna je implikacija

1| | ε | * | εn n nx x x x−− < ⇒ − < ,

gde je ε, ε 0> , zadata tačnost. Kaže se da „važi kriterijum poklapanja dveju uzastopnih aproksimacija”.

Napomenimo da se na dovoljno malom odsečku [a, b] uvek može postići da bude ispunjen uslov 1 12M m≤ .

Inače, u opštem slučaju važi

1 11

1

| | ε | * | εn n n

M mx x x x

m −− ⋅ − < ⇒ − < .

Primer 1. Metodom sečice izračunati jedno rešenje jednačine 3( ) 3 1 0f x x x≡ − − = .

Tačnost 41ε 10

2−= ⋅ .

Rešenje. Napišimo jednačinu u obliku 3 3 1x x= +

i konstruišimo u istom koordinatnom sistemu grafike funkcija 3y x= i 3 1y x= + (sl. 10).

193

Na osnovu sledeće tabele x –2 –1 0 1 2

znak ( )f x – + – – +

zaključujemo da rešenja jednačine pripa-daju odsečcima [–2, –1], [–1, 0] i [1, 2]. Izračunajmo rešenje 1* [1, 2]x ∈ .

Kako je (1.5) 2.125 0f = − < , to

1* [1.5, 2]x ∈ . Budući da je: 2'( ) 3 3f x x= − , ''( ) 6f x x= ,

1 max | '( ) | '(2) 9M f x f= = = i

1 min | '( ) | '(1.5) 3.75m f x f= = = za [1.5, 2]x∈ , to imamo da je

1 19 2 3.75 7.5 2M m= ≤ ⋅ = =/ , i ne važi „kriterijum poklapanja dveju uzastopnih aproksimacija”. Zbog toga ćemo koristiti ocenu greške

4

1

| ( ) | 1| * | 10

2n

n

f xx x

m−− ≤ ≤ ⋅ .

Primenimo metodu sečice na odsečku [1.5, 2]. Kako je (2) 1 0f = > i "(2) 12 0f = > , tj. (2) '(2) 0f f⋅ > , primenićemo formulu s fiksiranim krajem

2b = , tj.

1

( )( )

( ) ( )n

n n nn

f xx x b x

f b f x+ = − ⋅ −−

, 0 1.5x a= = , 0,1, 2,...n =

Redom računamo

01 0 0

0

( )( )

( ) ( )

f xx x b x

f b f x= − ⋅ −

− ili 1

(1.5)1.5 (2 1.5) 1.84000

(2) (1.5)

fx

f f= − ⋅ − =

−,

2

(1.84000)1.84000 (2 1.84000) 1.87602

(2) (1.84000)

fx

f f= − ⋅ − =

−. I tako dalje.

Radi preglednosti tok računanja je prikazan u sledećoj tabeli

n nx ( )nf x 4

1

| ( ) | 1| * | 10

2n

n

f xx x

m−− ≤ ≤ ⋅

( )( )

( ) ( )n n

n

f x b x

f b f x

−−

−

0 1.50000 –2.125000 ne 0.34000 1 1.84000 –0.290500 ne 0.03602 2 1.87602 –0.025499 ne 0.00308 3 1.87910 –0.002166 ne 0.00026 4 1.87936 –0.000192 ne 0.00002 5 1.87938 –0.000040 da!

Traženo približno rešenje je 1 5 1.8794x x= = . Inače, tačno rešenje je

1 2cos20 1.879385...x = =

x

y

0 x1*1x2*x3*

y x = 3 + 11y x = 3

Sl. 10

194

Primer 2. Metodom sečice s tačnošću ε 0.0005= izračunati rešenje jednačine

( ) sin 0.25 0f x x x≡ − − =

koje pripada odsečku [0, / 2]π .

Rešenje. Izvod je '( ) 1 cosf x x= − , pa je 1 max | '( ) | 1M f x= = i

1 min | '( ) | 0m f x= = za [0, / 2]x∈ π . Očigledno, 1 11 2 0 2M m= ≤ ⋅ =/ , pa ne možemo primeniti „kriterijum poklapanja dveju uzastopnih aproksimacija”. Da bismo mogli primeniti ovaj kriterijum, suzićemo odsečak izolacije rešenja primenjujući metodu polovljenja odsečka. Računanje je dato u sledećoj tabeli

znak znak

n na nb ( )nf a ( )nf b 1M 1m 1 12M m≤ 2n na b+

2

n na bf

+

0 0.000 1.571 – + 1.000 0.000 ne 0.786 – 1 0.786 1.571 – + 1.000 0.293 ne 1.178 + 2 0.786 1.178 – + 0.617 0.293 ne 0.982 – 3 0.982 1.178 – + 0.617 0.445 da!

Sada je 1 10.617 2 0.445 0.890 2M m= < ⋅ = = , dakle, na odsečku [0.982, 1.178] je ispunjen uslov za primenu „kriterijuma poklapanja dveju uzastopnih aproksimacija”.

Kako je (0.982) 0.099... 0f = − < , ''( ) sinf x x= , ''(0.982) 0.831... 0f = > ,

(0.982) ''(0.982) 0f f⋅ < , to za početnu aproksimaciju uzimamo 0 0.9820x = i primenjujemo iterativnu formulu

1

( )(1.178 )

(1.178) ( )n

n n nn

f xx x x

f f x+ = − ⋅ −−

, 0,1, 2,...n =

( (0.982) ''(0.982) 0f f⋅ < , 1.178b = je fiksni kraj.)

Rezultate računanja zapisujemo u sledećoj tabeli

n nx ( )nf x ( )( )

( ) ( )n n

n

f x b x

f b f x

−−

− 1| | 0.0005n nx x −− <

0 0.9820 –0.09961 0.1881 ne 1 1.1701 –0.00069 0.0011 ne 2 1.1712 –0.00014 0.0002 da! 3 1.1714

Kako je 3 2| | 0.0002 0.0005x x− = < , traženo približno rešenje je 3 1.171x x= = .

195

4. NJUTNOVA METODA

Neka je data algebarska ili transcendentna jednačina (1) ( ) 0f x = .

Pretpostavimo da jednačina (1) ima izolovano tačno rešenje x*, * [ , ]x a b∈ ,

( ) ( ) 0f a f b⋅ < i da je 2( ) [ , ]f x C a b∈ . Neka su '( )f x i ''( )f x za [ , ]x a b∈ konstantnog znaka. Ako je na neki način izračunata n–ta aproksimacija

[ , ]nx a b∈ , 0n ≥ , tačnog rešenja x*, onda se naredna aproksimacija nalazi na sledeći način. Stavimo (2) * n nx x h= + ,

gde je popravka nh mala (jer je nx blisko tačnom rešenju x). Primenom Tejlorove (Brook Taylor, 1685–1731) formule dobijamo

2

0 ( *) ( ) ( ) '( ) ''( ) ...1! 2!

n nn n n n n

h hf x f x h f x f x f x= = + = + + +

ili, budući da je nh malo, uzimajući samo prva dva člana (otuda i naziv metoda linearizacije)

0 ( *) ( ) ( ) '( )1!

nn n n n

hf x f x h f x f x= = + ≈ + .

Pretpostavimo da je '( ) 0nf x ≠ . Na taj način dobijamo popravku

( )

'( )n

nn

f xh

f x= − .

Sada je sledeća, (n+1)–va aproksimacija tačnog rešenja x* jednaka

1n n nx x h+ = + , tj.

(3) 1

( )

( )n

n nn

f xx x

f x+ = −′

, 0,1, 2,...n =

Primenom iterativne metode (3) dobija se niz približnih rešenja (aproksimacija, približavanja, iteracija) 0x , 1x , 2x , ..., nx , 1nx + , ... koji pod odreñenim uslovima konvergira ka tačnom rešenju x*. (Metodu u ovom obliku je dao 1690. godine Rafson (Raphson), ali je Njutn (Isaac Newton, 1643–1727) nešto ranije predložio sličan postupak. U literaturi se sreće i pod nazivom Njutn–Rafsonova

metoda. Inače, sličnim postupkom je Heron izračunao a , 0a > .) Geometrijska interpretacija Njutnove metode je sledeća: u okolini tačke

( , ( ))n nx f x luk krive ( )y f x= zamenjujemo odsečkom tangente nt u toj tački

(sl. 11). Za narednu aproksimaciju 1nx + rešenja x* jednačine (1) uzima se

apscisa presečne tačke tangente nt i ose Ox (otuda i naziv metoda tangente). Odreñenosti radi pretpostavimo da je ( ) 0f a < , ( ) 0f b > i ''( ) 0f x > za

[ , ]x a b∈ . Izaberimo početnu aproksimaciju 0x b= . Primetimo da je

0 0( ) ''( ) 0f x f x⋅ > .

196

Konstruišimo tangentu 0t na grafik krive ( )y f x= u tački 0 0 0( , ( ))B x f x .

Jednačina tangente 0t je jednaka

0t : 0 0 0( ) '( )( )y f x f x x x− = − .

x

y

0A0

x*x b0 = x1x2x3

B1

B2

a

t2 t1 t0t0

x1

Sl. 11

Stavimo li 0y = i 1x x= dobićemo

01 0

0

( )

'( )

f xx x

f x= − , 0'( ) 0f x ≠ .

Konstruišimo tangentu 1t na grafik krive ( )y f x= u tački 1 1 1( , ( ))B x f x .

Jednačina tangente 1t je jednaka

1t : 1 1 1( ) '( )( )y f x f x x x− = − .

Stavimo li 0y = i 2x x= dobićemo

12 1

1

( )

'( )

f xx x

f x= − , 1'( ) 0f x ≠ .

Produžimo li ovaj proces na isti način dobićemo formulu (3). Ako bismo za početnu aproksimaciju izabrali 0x a= , onda bismo imali

0 0( ) ''( ) 0f x f x⋅ < i tačka 1 [ , ]x a b′ ∉ , tj. 0x a= ne bi bila „dobra” početna aproksimacija (v. sl. 11).

Pitanja izbora početne aproksimacije i konvergencije metode rešava sledeća teorema.

Teorema 1. Ako su ispunjeni sledeći uslovi: 1) funkcija ( )f x je definisana i neprekidna za svako [ , ]x a b∈ , 2) ( ) ( ) 0f a f b⋅ < , 3) postoje izvodi

'( )f x i ''( )f x za svako [ , ]x a b∈ pri čemu je '( ) 0f x ≠ , '( )f x i ''( )f x ne

menjaju znak, 4) 0 0( ) ''( ) 0f x f x⋅ > za 0 [ , ]x a b∈ , onda Njutnov iterativni proces definisan formulom (3) konvergira ka tačnom rešenju * [ , ]x a b∈ jednačine (1).

Dokaz. Neka je, odreñenosti radi ( ) 0f a < , ( ) 0f b > , a izvodi '( )f x i ''( )f x su pozitivni za svako [ , ]x a b∈ . (Ostali slučajevi se razmatraju na

197

potpuno isti način.) Izaberimo početnu aproksimaciju 0x b= . Očigledno je tada

0 0( ) ''( ) 0f x f x⋅ > . Metodom matematičke indukcije dokažimo da je *nx x> ,

dakle, ( ) 0nf x > za 0,1,...n =

Za 0n = imamo 0 *x b x= > , jer je *a x b< < . Pretpostavimo da je za

, 0, *kn k k x x= ≥ > , i dokažimo da je 1 *kx x+ > . Stavimo * ( * )k kx x x x= + − i primenimo Tejlorovu formulu na funkciju ( )f x . Na taj način dobijamo

210 ( *) ( ( * )) ( ) '( )( * ) ''( ξ)( * )

2k k k k k kf x f x x x f x f x x x f x x= = + − = + − + − ,

gde je 1ξ [ *, ]x x∈ . Budući da je ''( ) 0f x > , to je

( ) '( )( * ) 0k k kf x f x x x+ − < , odnosno

1

( )*

'( )k

k kk

f xx x x

f x+ = − > .

Kako je nejednakost *nx x> tačna za 0n = i iz pretpostavke da je tačna za , 0n k k= ≥ , sledi da je tačna za 1n k= + , to je na osnovu principa

matematičke indukcije nejednakost tačna za 0,1,...n = Drugim rečima, niz

0x b= , 1x , 2x , ..., nx , ... je ograničen. Monotonost niza sledi iz činjenice da je

1

( )

'( )n

n n nn

f xx x x

f x+ = − < , 0,1,...n =

jer je ( ) 0nf x > i '( ) 0nf x > . Iz ograničenosti i monotonosti niza sledi da postoji

lim nn

x x→∞

= ɶ .

Prelazeći na limes u iterativnoj formuli (3) dobijamo

1

( lim )lim lim

'( lim )

nn

n nn n

nn

f xx x

f x→∞

+→∞ →∞→∞

= − ili ( )

'( )

f xx x

f x= −

ɶɶ ɶ

ɶ,

Dakle, ( ) 0f x =ɶ , što znači da je xɶ rešenje jednačine (1). Kako po pretpostavci jednačina (1) ima jedinstveno rešenje na odsečku [a, b], to je *x x=ɶ , dakle

lim *nn

x x→∞

= .

Za izbor početne aproksimacije 0x rešenja x* važi pravilo: za početnu aproksimaciju bira se onaj kraj odsečka [a, b] u kojem je

0 0sgn ( ) sgn ''( )f x f x= , dakle, 0 0( ) ''( ) 0f x f x⋅ > . Ako je funkcija ( )f x definisana i neprekidna za ( , )x∈ −∞ ∞ ,

( ) ( ) 0f a f b⋅ < , '( ) 0f x ≠ za [ , ]x a b∈ , ''( )f x postoji svuda i konstantnog je

znaka, onda je za početnu aproksimaciju moguće uzeti bilo koje 0 [ , ]x a b∈ .

Specijalno, uzima se 0x a= ili 0x b= .

198

Ako je u okolini rešenja x* '( )f x veliko, onda je popravka

( ) / '( )n n nh f x f x= − mala. Ako je '( )f x malo, onda je popravka nh velika i može doći do gubljenja tačnosti zbog deljenja brojem koji je blizak nuli. Ako je

'( )f x praktično jednako nuli (jednako nuli u granicama u kojim se računa ili stvarno jednako nuli), onda je izračunavanje nemoguće.

Za ocenu tačnosti približnog rešenja nx x= može se koristiti opšta formula

(4) 1

| ( ) || * | n

n

f xx x

m− ≤ , 1

[ , ]min | '( ) |

x a bm f x

∈= .

Izvedimo formulu za ocenu greške približnog rešenja nx x= u zavisnosti

od dveju uzastopnih aproksimacija 1nx − i nx . Stavimo 1 1( )n n n nx x x x− −= + − i primenimo Tejlorovu formulu na funkciju ( )f x . Na taj način dobijamo

(5) 1 1

21 1 1 1

( ) ( ( ))1

( ) '( )( ) ''(ξ)( ) ,2

n n n n

n n n n n n

f x f x x x

f x f x x x f x x

− −

− − − −

= + − =

= + − + −

gde 1ξ ( , )n nx x−∈ . Budući da je iz

11

1

( )

'( )n

n nn

f xx x

f x−

−−

= −

1 1 1( ) '( )( ) 0n n n nf x f x x x− − −+ − = , to je

2 21 2 1

1 1| ( ) | ''(ξ)( ) ( )

2 2n n n n nf x f x x M x x− −= − ≤ − ,

gde je 2 max | ''( ) |M f x= za [ , ]x a b∈ . Sada prema (4) dobijamo

(6) 221

1

| * | ( )2n n n

Mx x x x

m −− ≤ − .

Ako Njutnov iterativni proces konvergira, onda 1 0n nx x −− → kada n → ∞ , pa za n N≥ , N dovoljno veliko, imamo nejednakost

1| * | | |n n nx x x x −− ≤ − ,

dakle, ako je 1| | εn nx x −− < , ε 0> i unapred zadata greška, onda je | * |nx x− < ε , tj. važi „kriterijum poklapanja dveju uzastopnih aproksimacija”. Naglasimo da u opštem slučaju ovaj kriterijum ne važi, tj. u opštem slučaju nije tačna implikacija

1| | ε | * | εn n nx x x x−− ≤ ⇒ − < , što je ilustrovano na sl. 12.

Izvedimo formulu koja povezuje apsolutnu grešku dveju uzastopnih

x* xn – 1

x

yf x( )

0xn

> ε ε

Sl. 12

199

aproksimacija nx i 1nx + . Iskoristićemo, opet, Tejlorovu formulu za funkciju ( )f x . Na taj način iz jednakosti

210 ( *) ( ( * )) ( ) '( )( * ) ''( ξ)( * ) ,

2n n n n n nf x f x x x f x f x x x f x x= = + − = + − + −

ξ ( *, )nx x∈ , dobijamo

2( ) 1 ''(ξ)* ( * )

'( ) 2 '( )n

n nn n

f x fx x x x

f x f x= − − − ,

ili

21

1 ''(ξ)* ( * )

2 '( )n nn

fx x x x

f x+= − − ,

pa je tražena formula

(7) 221

1

| * | ( * )2n n

Mx x x x

m+− ≤ − .

Analizirajući formulu (7) zaključujemo da Njutnov iterativni proces brzo konvergira, ako je početna aproksimacija 0x izabrana tako da bude ispunjen uslov

20

1

| * | 12

Mx x q

m− ≤ < ,

dakle, ako je početna aproksimacija 0x izabrana dovoljno blizo tačnom rešenju x*. (Naravno, teško je reći šta znači – dovoljno blizo.) Specijalno, ako je

2 1/ 2 1M m < i | * | 10 mnx x −− ≤ , onda je 2

1| * | 10 mnx x −

+− ≤ , tj. broj sigurnih

cifara se udvostručuje na svakom koraku. Dakle, ako je | * | εnx x− < , onda je 2

1| * | εnx x +− < .

Primer 1. Njutnovom metodom s tačnošću ε 0.00005= rešiti jednačinu 3( ) 2 5 0f x x x≡ − − = .

Rešenje. Napišimo jednačinu u obliku 3 2 5x x= +

i grafički predstavimo funkcije 3y x= i 2 5y x= + (sl. 13). Jednačina ima jedno realno rešenje * [1.9, 2.1]x ∈ ; (1.9) 1.941 0f = − .

Budući da je 2'( ) 3 2f x x= − , ''( ) 6f x x= , ''(2.1) 12.6f = i (2.1) ''(2.1) 0f f⋅ > ,

uzećemo za početnu aproksimaciju 0 2.1x = . Uzastopne aproksimacije računamo koristeći sledeću formulu

1

( )

'( )n

n nn

f xx x

f x+ = − , 0,1,...n =

200

Rezultati računanja dati su u sledećoj tabeli.

n nx ( )nf x '( )nf x ( )

'( )n

nn

f xh

f x= −

0 2.10000 –0.06100 11.23000 –0.00543 1 2.09457 –0.00021 11.16167 –0.00002 2 2.09455 –0.00002 11.16142 –0.00000 3 2.09455

Traženo približno rešenje je 3 2.0946x x= = . Posmatrana jednačina nazivana je slavnom jednačinom. Rezlog je taj što je

to bila prva jednačina na kojoj je izložena Njutnova metoda. (Valis (John Wallis, 1616–1703) – Algebra, 1685. str. 338.) Dugo se smatralo da je svaki nastavnik numeričke matematike obavezan da je uzme kao jedan od svojih primera. Inače je x = 2.094 551 481 542 326 591 482 386...

x

y

0 x*1

y x = 3

y x = 2 + 5

x

y

0 x*1

y x = – 22

y x = ln

–2

Sl. 13 Sl. 14

Primer 2. S tačnošću ε 0.0005= izračunati veće rešenje jednačine 2( ) ln 2 0f x x x≡ − + = .

Rešenje. Koristeći grafičku metodu (sl. 14)nalazimo da jednačina ima dva rešenja. Veće rešenje se nalazi u [1, 2] , jer je (1) 0f > a (2) 1.30685 0f = − < .

Metodom polovljenja odsečka dobijamo da x* ∈ (1.5625, 1.5664) i pri tome je (1.5625) 0.0048808 0f = > , (1.5664) 0.0048289 0f = − < ''(1.5664) 2.4075629f = − .

Za početnu aproksimaciju ćemo uzeti 0 1.5664x = jer je (1.5664) ''(1.5664) 0f f⋅ > .

Redom računamo:

1

(1.5664) 0.00482891.5664 1.5664 1.5664 0.0019 1.5645

'(1.5664) 2.49439

fx

f

−= − = − = − =−

,

201

2

(1.5645) 0.00009421.5645 1.5645 1.5645 0.0000 1.5645

'(1.5645) 2.48991

fx

f

−= − = − = − =−

.

Iz očigledne jednakosti 2 1x x= zaključujemo da je traženo približno rešenje

2 1.5645x x= = .

5. MODIFIKACIJE NJUTNOVE METODE

Jedan nedostatak Njutnove metode

1

( )

'( )n

n nn

f xx x

f x+ = − , 0,1, ...n =

je što se može desiti da je '( )nf x vrlo malo, pa tada zbog deljenja malim brojevima dolazi do gubljenja tačnosti. Taj nedostatak se može otkloniti sledećom modifikacijom Njutnove metode.

Neka jednačina

(1) ( ) 0f x =

ima izolovano rešenje * [ , ]x a b∈ , ( ) ( ) 0f a f b⋅ < , i neka je funkcija 2( ) [ , ]f x C a b∈ . Ako se izvod '( )f x malo menja na odsečku [a, b], tada se

modifikacija sastoji u primeni iterativne formule

(2) 10

( )

'( )n

n n

f xx x

f x+ = − , 0,1,...n =

Geometrijska interpretacija ovako modifikovane Njutnove metode data je na sl. 15. Tangente nt u tačkama

( , ( ))n n nB x f x , 1, 2,...n = zamenjuju se

pravima , 1, 2,...np n= , koje su para-

lelne tangenti 0t u tački 0 0 0( , ( ))B x f x .

Niz 0 1 1, , ..., , , ...n nx x x x + konstruisan na ovaj način konvergira ka tačnom rešenju x* pod pretpostavkom da '( )f x i "( )f x ne menjaju znak na odsečku

[a, b] i da je početna aproksimacija izabrana tako da je 0 0( ) ''( ) 0f x f x⋅ > . Ova modifikacija se koristi i kada je izračunavanje '( )f x složenije.

Primer 1. Modifikovanom Njutnovom metodom izračunati približno rešenje jednačine

2( ) 1 0xf x x e≡ − − = .

Tačnost 5ε 10−= .

x

y

0

B0( , ( ))x f x0 0

x*x b0 = x1x2x3

B1

B2

a

p2 p1 t0

B3

p3

x4

Sl. 15

202

Rešenje. Budući da je ( 2) 2.865 0f − = > i ( 1) 0.368 0f − = − < , zaključu-jemo da odsečak [–2, –1] sadrži bar jedno rešenje jednačine. Budući da je '( )f x konstantnog znaka na odsečku [–2, –1], to odsečak [–2, –1] sadrži samo jedno rešenje jednačine. Metodom polovljenja odsečka nalazimo da *x ∈

( 1.125, 1.25)∈ − − . Kako je za 1.25x = − " 0f f⋅ > , uzećemo za početnu

aproksimaciju 0 1.25x = − . Redom računamo:

1

( 1.25) 0.2759951.25 1.25 1.25 0.09905 1.15095

'( 1.25) 2.78650

fx

f

−= − − = − − = − + = −− −

,

2

( 1.15095) 0.00834981.15095 1.15095

2.78650 2.786501.15095 0.00300 1.14795.

fx

−= − − = − +−

= − + = −

Radi bolje preglednosti rezultate računanja zapisujemo u obliku sledeće tabele.

n nx ( )nf x 0

( )

'( )n

n

f xh

f x= −

0 –1.25000 0.2759950 0.09905 1 –1.15095 0.0083498 0.00300 2 –1.14795 0.0005026 0.00018 3 –1.14777 0.0000322 0.00001 4 –1.14776 0.0000061 0.00000 5 –1.14776


Jedna druga modifikacija Njutnove metode dobija se na sledeći način. Neka je, naime, 0t tangenta na grafik krive

( )y f x= u tački 0 0 0( , ( ))B x f x , a 0n

prava normalna na 0t iz tačke

0 0( , 0)A x . Za narednu aproksimaciju 1x

uzima se apscisa presečne tačke 0C

tangente 0t i normale 0n (sl. 16). Dakle, iz 0 0 0 0: ( ) '( )( )t y f x f x x x− = − ,

0 00

1: 0 ( )

'( )n y x x

f x− = − −

dobijamo

0 01 0 2

0

( ) '( )

1 ' ( )

f x f xx x

f x= −

+.

x* x0

x

y

0 x1x2

B0

B1

B2

t1 t0

n0n1

A0C0

C1

Sl. 16

203

Na potpuno analogan način dobijamo

1 12 1 2

1

( ) '( )

1 ' ( )

f x f xx x

f x= −

+

i u opštem slučaju

1 2

( ) '( )

1 ' ( )n n

n nn

f x f xx x

f x+ = −

+, 0,1, 2,...n =

Primer 2. S tačnošću 5ε 10−= izračunati približno rešenje jednačine

( ) log 0.5 0f x x x≡ + − = .

Rešenje. Iz (0.5) 0.30103 0f = − sledi da * [0.5,1]x ∈ .

Kako je (0.5) ''(0.5) 0f f⋅ > , to ćemo za početnu aproksimaciju uzeti 0 0.5x = . Računanje je dato u sledećoj tabeli.

n nx ( )nf x '( )nf x 2' ( )nf x 2

( ) '( )

1 ' ( )n n

n

f x f x

f x−

+

0 0.50000 –0.301030 1.86859 3.49163 0.12523 1 0.62523 –0.078730 1.69462 2.87174 0.03446 2 0.65969 –0.020970 1.65833 2.75006 0.00927 3 0.66896 –0.005640 1.64921 2.71989 0.00250 4 0.67146 –0.001520 1.64679 2.71192 0.00067 5 0.67213 –0.000417 1.64615 2.70981 0.00019 6 0.67232 –0.000104 1.64596 2.70918 0.00005 7 0.67237 –0.000022 1.64592 2.70905 0.00001 8 0.67238 –0.000005 1.64591 2.70902 0.00000 9 0.67238


6. KOMBINOVANA METODA SE ČICE I TANGENTE

Metodom sečice i metodom tangente dobijaju se približna rešenja jednačine ( ) 0f x = koja su s različitih strana tačnog rešenja. Zbog toga se ove dve metode mogu primeniti kombinovano i na taj način imamo novu metodu, kombinovanu metodu. Proces približavanja tačnom rešenju je brži, a ocena greške je znatno jednostavnija i pouzdana.

Neka jednačina ( ) 0f x = ima izolovano rešenje * [ , ]x a b∈ , ( ) ( )f a f b⋅ < 0< . Pretpostavimo da postoje izvodi '( )f x i ''( )f x i neka su konstantnog

znaka na segmentu [a, b]. Moguća su sledeća četiri slučaja: 1) '( ) 0f x > , ''( ) 0f x > ; 2) '( ) 0f x < , ''( ) 0f x < ; 3) '( ) 0f x > , ''( ) 0f x < ; 4) '( ) 0f x < , ''( ) 0f x > . Razmotrimo detaljnije prvi slučaj: '( ) 0f x > , ''( ) 0f x > . Pretpo-

stavimo da je ( ) 0f a . Ako bismo primenili metodu sečice, imali

204

bismo slučaj prikazan na sl. 17, a ako bismo primenili metod tangente (Njutnovu metodu), imali bismo slučaj prikazan na sl. 18.

x* x

y

0x2

A0

x0=a x1

B0

b

A1

A2

s1

s0

f x( ) > 0′f x( ) > 0′′

y f x = ( )

x* x

y

0

A0

a x1

B0

t0

f x( ) > 0′f x( ) > 0′′

y f x = ( )

x0=b

t1t2

x2

B1

B2

Sl. 17 Sl. 18

Naizmeničnom primenom metode tangente i metode sečice, dakle, primenom iterativnih formula

(1) 1 0

( ), , 0,1, 2,...

'( )n

n nn

f xx x x b n

f x+ = − = =

(2) 111

( )( )

( ) ( )n

nn n nn n

f xx x x x

f x f x +++

= − −−

,

dobijamo „gornji” niz približnih vrednosti nx i „donji” niz približnih

vrednosti nx . Očigledno, prvo se

primenjuje metoda tangente (1), nezavisno od metode sečice. Zatim se primenjuje metoda sečice (2) na odsečku 1[ , ]nnx x + . Proces približavanja

tačnom rešenju x* je prikazan na sl. 19. Tačno rešenje

1 01 0* ... [ , ] ... [ , ] [ , ]nnx x x x x x x∈ ⊂ ⊃ ⊃ ⊃i pri tome je ( ) ( ) 0nnf x f x⋅ < , 0,1, 2,...n =

Dakle, imamo (3) 0 * nn nx x x x< − < − i 0 *n n nx x x x< − < − .

Kombinovana metoda je vrlo pogodna za primenu zbog jednostavne ocene greške. Proces računanja se prekida kada se postigne da je

| | εn nx x− < ,

gde je ε 0> unapred zadata greška i tada se uzima da je 1

* ( )2n n nx x x x≈ = + .

Napomena. Ostali slučajevi se svode na razmatrani slučaj ako jednačinu ( ) 0f x = zamenimo njoj ekvivalentnim jednačinama: ( ) 0f x− = , ( ) 0f x± − = .

x*x

y

0

A0

B0

t0

x0=b

t1

B1

x2

x1x0=a

A1

x1

s0

x2

Sl. 19

205

Primer 1. Kombinovanom metodom sečice i tangente s tačnošću ε 0.0001= izračunati približno rešenje jednačine

3 2( ) 3 3 0f x x x≡ + − = .

Rešenje. Na osnovu sledeće tabele

x –3 –2 –1 0 1 sgn ( )f x – + – – +

zaključujemo da: 1* [0,1]x ∈ , 2* [ 2, 1]x ∈ − − i 3* [ 3, 2]x ∈ − − . Izračunajmo

približno rešenje 1* [0,1]x ∈ .

Redom imamo: 3 2( ) 3 3f x x x= + − , 2'( ) 3 6f x x x= + , ''( ) 6 6f x x= + ,

(0) 3f = − , ''(0) 6f = , (0) ''(0) 3 6 18 0f f⋅ = − ⋅ = − < , pa je 0 0x = i 0 1x = .

( (1) ''(1) 1 12 12 0f f⋅ = ⋅ = > .)

Uvedimo oznake:

( )

'( )n

nn

f xx

f x∆ = − i 1

1

( )( )

( ) ( )n

nn nn n

f xx x x

f x f x ++

∆ = − −−

, 0,1, 2,...n =

Radi preglednosti računanje je dato u sledećoj tabeli

n nx nx | |n nx x− ( )nf x '( )nf x nx∆ 1nx + ( )nf x 1( )nf x + nx∆

0 0.0000 1.0000 1.0000 1.0000 9.0000 –0.1111 0.8889 –3.0000 0.072790 0.8678 1 0.8678 0.8889 0.0211 0.07279 7.7038 –0.0094 0.8794 –0.08725 0.0001121 0.0116 2 0.8794 0.8794 0.0000

Traženo približno rešenje je 1 1* 0.8794x x≈ = .

7. METODA ITERACIJE

Može se primetiti da su prethodno razmatrane metode: metoda sečice, Njutnova metoda ili metoda tangente, modifikacije Njutnove metode sledećeg oblika

1 ( )n nx F x+ = , 0,1, 2, ...n = ,

gde je 0x početna približna vrednost, početna aproksimacija tačnog rešenja x* jednačine

( ) 0f x = , a funkcija ( )F x u svakom od ovih slučajeva ima odreñeni oblik. Tako je: kod metode sečice

( )( ) ( )

( ) ( )

f xF x x b x

f b f x= − −

− ili

( )( ) ( )

( ) ( )

f xF x x x a

f x f a= − −

−;

kod Njutnove metode ( )

( )'( )

f xF x x

f x= − ;

206

kod modifikacija Njutnove metode

0

( )( )

'( )

f xF x x

f x= − ili

[ ]2

( ) '( )( )

1 '( )

f x f xF x x

f x

⋅= −+

.

Očigledno, funkcija ( )F x je odreñena pomoću funkcije ( )f x ili pomoću funkcije ( )f x i njenog izvoda '( )f x . Jednačine

( ) 0f x = i ( ) 0F x =

su ekvivalentne jednačine. Zbog toga možemo postaviti sledeće, potpuno prirodno pitanje konstrukcije opšte metode ovakvog oblika, dakle, metode čiji bi prethodne metode bile njeni posebni, specijalni slučajevi. Takva metoda je metoda iteracije ili metoda uzastopnih, sukcesivnih aproksimacija. Suština metode se sastoji u sledećem.

Neka je zadata jednačina

(1) ( ) 0f x = ,

gde je ( ) [ , ]f x C a b∈ i neka odsečak [a, b] sadrži tačno jedno rešenje x* jednačine (1). Zapišimo jednačinu (1) u ekvivalentnom obliku

(2) ( )x F x= .

Konstruišimo niz iteracija, niz približnih vrednosti nx rešenja x* koristeći rekurentnu relaciju

(3) 1 ( )n nx F x+ = , 0,1, 2, ...n =

polazeći od početne iteracije, početne približne vrednosti 0 [ , ]x a b∈ .

Očigledno, da bismo izračunali član kx niza nx dovoljno je poznavati samo jedan, njemu prethodni član – kaže se da imamo iterativni proces dužine jedan i metodu zovemo metoda proste iteracije, kraće, metoda iteracije. Nije teško definisati složenije metode iteracije, metode dužine dva, tri, ... Mi ćemo se baviti samo metodom iteracije dužine jedan, tj. metodom proste iteracije.

Ako niz iteracija konvergira, tj. ako postoji

lim *nn

x x→∞

= ,

onda prelaskom na limes u relaciji (3) dobijamo

1lim lim ( )n nn n

x F x+→∞ →∞= ,

odnosno

1lim (lim )n nn n

x F x+→∞ →∞= ,

tj.

* ( *)x F x= ,

što znači da je x* rešenje jednačine (2), odnosno (1) i može biti izračunato s proizvoljnom, unapred zadatom tačnošću pomoću rekurentne formule (3).

207

Metoda iteracije ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Konstrui-šimo u istom pravouglom koordinatnom sistemu Oxy grafike funkcija y x= i

( )y F x= (sl. 20). Tačno rešenje x* je apscisa presečne tačke tih grafika.

Polazeći od tačke 0 0 0( , ( ))A x F x konstruišimo izlomljenu liniju 0 1 1 2 2...A B A B A

na sledeći način. Iz tačke 0A konstruišimo pravu paralelnu osi Ox do preseka s

grafikom prave y x= ; presečna tačka je 1 1 0( , ( ))B x F x . Iz tačke 1B konstrui-šimo pravu paralelnu osi Oy do preseka s grafikom krive ( )y F x= ; presečna

tačka je 1 1 1( , ( ))A x F x . Postupak se nastavlja: iz tačke 1A konstruišimo pravu paralelnu osi Ox do preseka s grafikom prave y x= ; presečna tačka je

2 2 1( , ( ))B x F x . I tako dalje. Temena 0 1 2, , , ...A A A izlomljene linije pripadaju

grafiku krive ( )y F x= , a temena 0 1 2, , , ...B B B pripadaju grafiku prave y x= .

Apscise 0 1 2, , , ...x x x očigledno predstavljaju niz iteracija koji je konstruisan pomoću rekurentne formule (3). Može se primetiti sledeće:

1) niz 0 1 2, , , ...x x x konvergira ka rešenju x*, 2) svi članovi niza su s iste strane x* i 3) 0 '( ) 1F x q< ≤ < , 0q > .

x* x

y

0 x2x0 x1

F x( )1

F x( )0y F x= ( )

y x=–1< ( )<0F x'

x* x

y

0 x2x0 x1

y F x= ( )y x=

F x( )>1'

Sl. 21 Sl. 22

Način približavanja rešenju x* može biti kao na sl. 21. U ovom slučaju članovi niza 0 1 2, , , ...x x x su naizmenično s raznih strana rešenja x*, tj. oscilira

x* x

y

0

A0

B1

x2 x0

A1

F x( *)

B2

F x( )2x1

A2F x( )1

F x( )0

y F x= ( )y x=0< ( )<1F x'

M

x* x

y

0

A0

B1

x2x0

A1

F x( *)

B2

F x( )2

x1

A2

F x( )1F x( )0

y F x= ( )y x=0< ( )<1F x' M

Sl. 20

208

oko x* i pri tome je 1 '( ) 0q F x− < − ≤ < , 0q > . Na sl. 22 je prikazan slučaj konstrukcije niza iteracija pomoću rekurentne

formule (3) kada je '( ) 1F x > . Na osnovu ovih razmatranja može se zaključiti: Iterativni proces konvergira ako je | '( ) | 1F x q= < , 0q > , što, naravno, treba dokazati.

Da bismo utvrdili kada iterativni proces konvergira, uvešćemo pojam sažimajućeg preslikavanja, sažimajuće funkcije ili kontrakcije. Dakle, neka je funkcija

( )y F x= definisana na odsečku [а, b]. Svakoj tački [ , ]x a b∈ odgovara tačka y na ordinatnoj osi Oy – slika tačke x. Ako je

( )F x neprekidna funkcija na odsečku [а, b], onda se na taj način dobija odsečak 1 1[ , ]a b na ordinatnoj osi Oy –

slika odsečka [а, b] i pri tome je 1a

najmanja a 1b najveća vrednost funkcije ( )F x (sl. 23)

Ako ordinatnu osu Oy rotiramo za 90° u smeru kazaljke na satu tako da se ona poklopi s apscisnom osom Ox, odsečak 1 1[ , ]a b će se preslikati takoñe na

istu, apscisnu osu. Ako je 1 1[ , ] [ , ]a b a b⊂ , onda kažemo da funkcija ili preslikavanje ( )F x preslikava odsečak [а, b] u samog sebe. Tako, na primer,

funkcija y x= preslikava odsečak 1

, 44

u njegov deo 1

, 22

.

Definicija . Funkcija (preslikavanje) ( )y F x= , koja odsečak [а, b] preslikava u samog sebe, je sažimajuća funkcija ili kontrakcija ako postoji broj q, 0 1q≤ < , takav da je za bilo koje dve tačke 'x i "x odsečka [а, b] tačna nejednakost

(4) | ( ') ( ") | | ' " |F x F x q x x− ≤ − .

Primer 1. Funkcija y x= , 0x ≥ je sažimajuća funkcija ili kontrakcija odsečka [1, 4]. Dokazati.

Rešenje. Za proizvoljne vrednosti 'x i "x odsečka [1, 4] je ' 1x ≥ i

" 1x ≥ i zbog toga je | ' " | | ' " | 1

| ( ') ( ") | | ' " | | ' " |1 1 2' "

x x x xF x F x x x x x

x x

− −− = − = ≤ = −++

,

što znači da je funkcija y x= kontrakcija odsečka [1, 4] i pri tome je 1

2q = .

Odsečak [1, 4] se preslikava u njegov deo [1, 2].

a

a1

x

y

0 b

b1

a1 b1

y F x = ( )

Sl. 23

209

Primer 2. Da li je funkcija 3y x= kontrakcija odsečka [–8, 8]?

Rešenje. Funkcija 3y x= preslikava odsečak [–8, 8] u njegov deo [–2, 2]. Meñutim, ova funkcija nije kontrakcija odsečka [–8, 8]. Na primer, ako uzmemo ' 0.008x = − i " 0.008x = , onda ćemo imati | ' " | 0.016x x− = i

3 3| ( ') ( ") | | 0.008 0.008 | 0.4 0.016 | ' " |F x F x x x− = − − = > = − .

Dakle, funkcija 3y x= nije kontrakcija odsečka [–8, 8].

Teorema 1. Neka je funkcija (2) sažimajuća ili kontrakcija odsečka [а, b], tj. neka je ispunjen uslov (4). Tada, ako za iterativni proces (3) sve iteracije

[ , ]nx a b∈ , 0,1, 2, ...n = , onda:

1) nezavisno od izbora početne iteracije 0 [ , ]x a b∈ iterativni proces (3) konvergira, tj. postoji

* lim nn

x x→∞

= ;

2) granična vrednosti x* je jedinstveno rešenje jednačine (2), odnosno (1) na odsečku [а, b];

3) važi ocena greške

1 0| * | | |1

n

n

qx x x x

q− ≤ −

−.

Dokaz. 1) Da bismo dokazali konvergenciju iterativnog procesa (3) primenićemo Košijev kriterijum konvergencije nizova. Dakle,

1 1 2 1

1 1 2 1

| | | ( ) ( ) ( ) || | | | | | .

n p n n p n p n p n p n n

n p n p n p n p n n

x x x x x x x xx x x x x x

+ + + +− + − + − +

+ + +− + − + − +

− = − + − + + − ≤≤ − + − + + −

⋯

⋯

Ako iskoristimo uslov kontrakcije, za dve uzastopne iteracije imamo

1 1 1 1 22

1 2 1 0

| | | ( ) ( ) | | | | ( ) ( ) |

| | | |,m m m m m m m m

mm m

x x F x F x q x x F x F x

q x x q x x+ − − − −

− −

− = − ≤ − = − ≤≤ − ≤ ≤ −…

Sada imamo 1 2

1 0 1 0 1 0

1 21 0 1 0

| | | | | | | |

1( 1) | | | |,

1

n p n p nn p n

pp p n n

x x q x x q x x q x x

qq q q x x q x x

q

+ − + −+

− −

− ≤ − + − + + − =−= + + + ⋅ − = ⋅ −−

⋯

⋯

Dakle,

(5) 1 0

1| | | |

1

pn

n p n

qx x q x x

q+−− ≤ ⋅ −−

odnosno

1 0| | | |1

n

n p n

qx x x x

q+ − ≤ −−

.

Kako je 0 1q≤ < , to 0nq → kada n → ∞ , pa na osnovu prethodne nejednakosti zaključujemo da za svako, proizvoljno maleno ε 0> postoji broj

210

0 (ε)n n= takav da za (ε)n n> i 0p > važi nejednakost

| | εn p nx x+ − < ,

što znači da saglasno Košijevom kriterijumu konvergencije iterativni proces (3) konvergira, tj. postoji

* lim nn

x x→∞

= .

2) Dokažimo da je x* rešenje jednačine (2), odnosno (1) na odsečku [а, b]. Kako je funkcija ( )F x neprekidna na odsečku [а, b], prelaskom na limes u rekurentnoj relaciji (3)

1 ( )n nx F x+ = , 0,1, 2, ...n = , 0 [ , ]x a b∈ ,

dobijamo

1lim lim ( )n nn n

x F x+→∞ →∞= ,

odnosno

* ( lim )nn

x F x→∞

= , tj. * ( *)x F x= ,

dakle, x* jeste rešenje jednačine (2), odnosno (1). Da bismo dokazali da je x* jedinstveno rešenje, pretpostavićemo suprotno, tj. pretpostavićemo da jednačina (2) ima na odsečku [а, b] dva rešenja: x* i x**, * **x x≠ , što znači da je

* ( *)x F x= i ** ( **)x F x= .

Oduzimanjem ovih dveju jednakosti i primenom Lagranževe teoreme o srednjoj vrednosti nalazimo

* ** ( *) ( **) ( * **) '( )x x F x F x x x F c− = − = − ⋅ , gde [ , ]c a b∈ , pa je

| * **| | * **|x x x x q− ≤ − ⋅

i | * ** | (1 ) 0x x q− − ≤ .

Kako je 1 0q− > , to zaključujemo da je * ** 0x x− = što je protivrečno pretpostavci * **x x≠ . Na osnovu ove protivrečnosti zaključujemo da je x* jedinstveno rešenje jednačine (2), odnosno (1), na odsečku [а, b].

3) Prelaskom na limes u nejednakosti (5) kada p → ∞ dobija se ocena greške

1 0| * | | |1

n

n

qx x x x

q− ≤ −

−.

Navedimo još jednu ocenu greške približne vrednosti nx tačnog rešenja x*. Potpuno analogno prethodnom slučaju imamo

1 1 2 11

1 1 1

| | | ( ) ( ) ( ) |

| | | | | |n p n n p n p n p n p n n

p pn n n n n n

x x x x x x x x

q x x q x x q x x+ + + − + − + − +

−− − −

− = − + − + + − ≤≤ − + − + + − =

⋯

⋯

211

1 1 21 1

1

( ) | | | | ( 1)

1| | ,

1

p p p pn n n n

p

n n

q q q x x q x x q q

qq x x

q

− − −− −

−

= + + + − = ⋅ − + + + =−= − ⋅−

⋯ ⋯

dakle,

1

1| | | |

1

p

n p n n n

qx x q x x

q+ −−− ≤ − ⋅−

.

Prelaskom na limes u poslednjoj nejednakosti kada p → ∞ dobijamo

(6) 1| * | | |1n n n

qx x x x

q −− ≤ ⋅ −−

.

Ako je 1

02

q≤ ≤ , onda iz (6) dobijamo da važi „kriterijum poklapanja

dveju uzastopnih iteracija”, tj.

(7) 1| | ε | * | εn n nx x x x−− ≤ ⇒ − ≤ .

Napomena 1. U opštem slučaju ne važi „kriterijum poklapanja dveju uzastopnih iteracija”, tj. u opštem slučaju implikacija (7) nije tačna. Naime, može se desiti da je veličina

1| |n nx x −− vrlo malena a da je veličina

| * |nx x− vrlo velika. To se dogaña u slučaju kada je | '( ) |F x blisko jedinici, što je ilustrovano na sl. 24:

1| | εn nx x −− = , | * | εnx x− > . Tačna je sledeća implikacija

1

1| | ε | * | ε

1n n n

qx x x x−

−− ≤ ⋅ ⇒ − ≤ , ε 0> .

Primer 3. Metodom iteracije s tačnošću 4ε 10−= izračunati približno rešenje jednačine

3( ) 5 20 3 0f x x x≡ − + = koje pripada odsečku [0, 1].

Rešenje. Jednačinu ( ) 0f x = treba zapisati u ekvivalentnom obliku ( )x F x= . To je moguće učiniti na bezbroj načina, na primer:

1) 3(5 20 3)x x x= + − + , 2) 35 19 3x x x= − + ’

3) 31(5 3)

20x x= + , 4) 3

20 3

5

xx

−= , ...

Koju funkciju ( )F x treba koristiti za izračunavanje niza iteracija koji konvergira ka tačnom rešenju x*? ( )F x treba izabrati tako da na odsečku [a, b]

x* x

y

0 |x –x |>* n εxn xn–1

y x=

y F x = ( )

F x( )n–1

F x( )n

|x –x |=n–1 εn

Sl. 24

212

bude ispunjen uslov | '( ) | 1F x q= < ; tada će iterativni proces konvergirati. U ovom slučaju uzećemo

31( ) (5 3)

20F x x= + ,

jer je

2

[ , ] [0,1]

3 3max | '( ) | max 1

4 4x a b xF x x

∈ ∈= = < .

Na taj način imamo sledeći iterativni proces

31

1(5 3)

20n nx x+ = + , 0,1, 2, ...n = ,

a za početnu iteraciju moćemo uzeti bilo koju vrednost iz segmenta [0, 1], na

primer 0 0.5x = . Kako je 3 1

4 2q = > , ne važi „kriterijum poklapanja dveju

uzastopnih iteracija”. Iz uslova

1| * | | | ε1n n n

qx x x x

q −− ≤ − ≤−

imamo

1

1| | εn n

qx x

q−−− ≤ ⋅ ,

odnosno

1

1 0.75| | 0.0001 0.000033...

0.75n nx x −−− ≤ ⋅ = ,

pa proces iteracije treba prekinuti kada se postigne da je razlika dveju uzastopnih iteracija 1| | 0.00003n nx x −− ≤ ; tada će biti postignuta zadata tačnost. Računanje je dato u sledećoj tabeli

n nx 1 ( )n nx F x+ = 1| |n nx x −−

0 0.50000 0.18125 0.31875 1 0.18125 0.15149 0.02976 2 0.15149 0.15087 0.00062 3 0.15087 0.15086 0.00001 4 0.15086

Tražemo rešenje je 4* 0.1509x x≈ = .

Napomena 2. Prilikom zaključivanja

1 4 3| | | | | 0.15086 0.15087 | 0.00001 0.00003n nx x x x−− = − = − = < uzeli smo u obzir samo grešku metode a greška zaokrugljivanja je zanemarena, što se često čini. Naime, pretpostavlja se da uzimanjem 1| | 0.00003n nx x −− ≤

umesto 1| | 0.000033...n nx x −− ≤ ima dovoljno „prostora” za zanemarivanje greške zaokrugljivanja.

213

Napomena 3. Zadatu jednačinu ( ) 0f x = moguće je zapisati, kao što je već rečeno, na bezbroj načina u ekvivalentnom obliku ( )x F x= . Izbor funkcije

( )F x ima veliki značaj: u nekim slučajevima | '( ) |F x je maleno a u nekim veliko u okolini tačnog rešenja x*. Za primenu metode iteracije pogodan je onaj oblik za koji je | '( ) | 1F x q≤ < za svako x iz odsečka [a, b] koji sadrži tačno rešenje x*. Konvergencija je brža ako je , 0 1q q< < , manje, a posebno je pogodno ako je 0 0.5q< ≤ .

Neka je

1 10 '( )m f x M< ≤ ≤ < ∞ , [ , ]x a b∈ .

Specijalno možemo uzeti da je 1 min '( )m f x= na odsečku [a, b], pri čemu se pretpostavlja da je '( ) 0f x > . Ako je '( ) 0f x < , onda umesto jednačine

( ) 0f x = možemo posmatrati ekvivalentnu jednačinu ( ) 0f x− = . Dalje,

1 max '( )M f x= , [ , ]x a b∈ . Zamenimo jednačinu ( ) 0f x = njoj ekvivalentnom jednačinom

λ ( )x x f x= − , λ 0> ,

dakle, ( ) λ ( )F x x f x= − . Parametar λ biramo tako da na odsečku [a, b], koji sadrži tačno rešenje x*, bude

0 '( ) 1 λ '( ) 1F x f x q≤ = − ≤ < .

Dakle, imamo

1 10 1 λ 1 λ 1M m q≤ − ≤ − ≤ < .

Prema tome, možemo uzeti

1

1λ

M=

i tada je

1

1

1 1m

qM

= − < .

Primer 4. Metodom iteracije s tačnošću 4110

2−⋅ izračunati jedno rešenje

jednačine 5 3( ) 3 6 7 0f x x x x≡ + + − = .

Rešenje. Kako je (0) 7 0f = − , jednačina ima rešenje

* [0,1]x ∈ . Prvi izvod 2

4 2 2 9 39'( ) 5 9 6 5 0

10 20f x x x x

= + + = + + >

za svako x,

pa je funkcija ( )f x monotono rastuća i, zbog toga, jednačina ( ) 0f x = ima samo jedno realno rešenje, odnosno *x je jedino realno rešenje. Na odsečku

214

[0, 1] min '( ) 6 0f x = > a max '( ) 20f x = . Dakle, uzećemo 1

λ20

= i jednačinu

( ) 0f x = zameniti njoj ekvivalentnom jednačinom

5 31( 3 6 7)

20x x x x x= − + + − .

Kako je

4 21'( ) 1 (5 9 6)

20F x x x= − + +

i

1

1

6 7max | '( ) | 1 1 1

20 10

mF x q

M= − = − = = < ,

iterativni proces

5 31

1( 3 6 7)

20n n n n nx x x x x+ = − + + − , 0,1, 2, ...n =

konvergira. Kako 7 1

10 2q = </ ; ne važi „kriterijum poklapanja dveju uzastopnih

iteracija”. Dakle, iterativni proces treba prekinuti kada se postigne da je

1

1| | εn n

qx x

q−−− ≤ ⋅ , 1| | 0.000021...n nx x −− ≤ ,

odnosno

1| | 0.00002n nx x −− ≤ .

Za početnu iteraciju uzećemo 0 0.5x = . Računanje je dato u sledećoj tabeli

n nx 1 ( )n nx F x+ = 1| |n nx x −−

0 0.50000 0.67969 0.17969 1 0.67969 0.77143 0.09174 2 0.77143 0.80748 0.03605 3 0.80748 0.81910 0.01162 4 0.81910 0.82250 0.00340 5 0.82250 0.82346 0.00096 6 0.82346 0.82373 0.00027 7 0.82373 0.82381 0.00008 8 0.82381 0.82383 0.00002 9 0.82383

Tražemo rešenje je 9* 0.8238x x≈ = .

Da bi se postiglo da važi „kriterijum poklapanja dveju uzastopnih iteracija”, može se potražiti neka druga funkcija ( )F x ili suziti segment koji sadrži traženo rešenje. U prethodnom primeru imamo: (0.75) 0.997... 0f = − < , pa * [0.75,1]x ∈ , Kako je na ovom segmentu

215

1 min '( ) '(0.75) 12.6445...m f x f= = = to je

12.6445...1 0.3677... 0.5

20q = − = < ,

mogli bismo koristiti pomenuti kriterijum, tj. bilo bi dovoljno da se dve uzastopne iteracije poklope u granicama tačnosti ε .

Napomena 4. Metoda iteracije je samokorigujuća metoda, što znači da pogrešno izračunata neka iteracije, ako je u segmentu [а, b], neće uticati na konvergenciju: može se dogoditi da je za postizanje zadate tačnosti potrebno izračunati nekoliko iteracija više, a može se dogoditi da je za postizanje zadate tačnosti dovoljno izračunati nekoliko iteracija manje.

8. POJAM REDA KONVERGENCIJE I KONSTRUKCIJA ITERATIVNIH METODA VIŠEG REDA

Kod iterativnih metoda važna je konvergencija ali i brzina konvergencije niza iteracija, niza približnih rešenja 1( )n nx F x −= , 1, 2, ...n = ka tačnom rešenju x* jednačine ( ) 0f x = .

Uvedimo pojam reda konvergencije iterativne metode

(1) 1( )n nx F x −= , 1, 2, ...n =

za rešavanje jednačine

(2) ( )x F x= .

Pretpostavimo da je ( ) [ , ]kF x C a b∈ , * [ , ]x a b∈ . Reći ćemo da je iterativni proces, zadat iterativnom formulom (1), reda k ako je

(3) ( 1) ( )'( *) 0, "( *) 0, , ( *) 0, ( *) 0k kF x F x F x F x−= = = ≠… .

Koristeći Tejlorovu formulu za funkciju ( )F x oko tačke *x x= imaćemo

(4)

2

( 1) ( )1

'( *) "( *)( ) ( *) ( *) ( *)

1! 2!( *) (ξ)

( *) ( *) ,( 1)! ( )!

k kk k

F x F xF x F x x x x x

F x Fx x x x

k k

−−

= + − + − + +

+ − + −−

⋯

odnosno, s obzirom na (3) i činjenicu da je ( *) *F x x= ,

(5) ( ) (ξ)

( ) * ( *)!

kkF

F x x x xk

− = − .

Stavimo li u (5) 1nx x −= , dobićemo grešku n–te iteracije

(6) ( )

1

(ξ)ε * ( *)

!

kk

n n n

Fx x x x

k −= − = − .

216

Neka je ( )max | ( ) |kkM F x= , [ , ]x a b∈ , tada je

(7) 1|ε | | * | | * |!

kkn n n

Mx x x x

k −= − ≤ − ,

a odavde

(8)

2 1

1

1 2

1

0

1 12 1

1 11

0 0 0

|ε | | * | | * | | * |! ! !

| * |!

| * | | * | | * | .! !

n

n

n nn n

n

kk kk k k

n n n n

k k kkk

k kk k

k kkk k k

M M Mx x x x x x

k k k

Mx x

k

M Mx x x x x x

k k

−

+

− −

+ + + +

− −− +

− −−

= − ≤ − ≤ − ≤ ≤

≤ ⋅ − =

= ⋅ − = ⋅ − ⋅ −

⋯

…

Ako je 0| * | 1x x− < i 0| * | ω 1!kM

x xk

− = < , onda je

(9) 1

1|ε | | * | ω

nk

kn nx x

−−= − ≤ ,

dakle, konvergencija niza nx ka x* je vrlo brza.

Postoji više metoda za konstrukciju iterativnih procesa višeg reda. Jedna od njih je sledeća, a predložio ju je 1838. godine Čebišov. U osnovi ove metode je predstavljanje inverzne funkcije ( )x g y= funkcije ( )y f x= u obliku Tejlorovog reda.

Neka jednačina

(10) ( ) 0f x =

ima rešenje * [ , ]x a b∈ . Pretpostavimo da je 1( ) [ , ]rf x C a b+∈ , 1r ≥ i da je '( ) 0f x ≠ za [ , ]x a b∈ . Funkcija ( )f x ima inverznu funkciju ( )x g y= koja je

definisana na odsečku [c, d] i 1( ) [ , ]rg y C c d+∈ .

Budući da je

(11) [ ( )], [ , ]x g f x x a b≡ ∈ i [ ( )], [ , ]y f g y y c d≡ ∈ ,

to je

(12) * (0)x g= .

Dakle, izračunavanje rešenja x* jednačine (10) se svodi na izračunavanje vrednosti funkcije ( )g y za 0y = . Tu vrednost ćemo izračunati koristeći Tejlorovu formulu za funkciju ( )x g y= . Za [ , ]y c d∈ imamo

(13) ( )

11

( )* (0) ( ) ( 1)

!

krk k

rk

g yx g g y y R

k +=

= = + − +∑ ,

217

gde je ostatak

(14) ( 1)

1 11

(ξ)( 1)

( 1)!

rr r

r

gR y

r

++ +

+ = −+

,

a ξ je izmeñu 0 i y. Budući da je ( )g y x= i ( )y f x= , to je

(15) ( )

11

[ ( )]* ( 1) [ ( )]

!

krk k

rk

g f xx x f x R

k +=

= + − ⋅ +∑ .

Radi jednostavnijeg zapisivanja uvedimo oznake

(16) ( )[ ( )] ( )kkg f x a x≡ ,

1

( )( ) ( 1) [ ( )]

!

rk kk

rk

a xF x x f x

k=≡ + − ⋅∑ .

Budući da je ( *) 0f x ≡ , to je

1

( *)( *) * ( 1) [ ( *)] *

!

rk kk

rk

a xF x x f x x

k== + − ⋅ =∑ ,

što znači da jednačina

(17) ( )rx F x=

ima rešenje x*. Na taj način se dobija iterativni proces

(18) 1 ( )n r nx F x+ = , 0,1, 2, ...n =

( 1)r + − og reda, jer je ( ) ( *) 0krF x = , 1,k r= .

Ako je početna iteracija 0x uzeta dovoljno blizo rešenju x*, onda niz nx dobijen pomoću rekurentne formule (18) konvergira ka rešenju x*. Uslov konvergencije je

| '( ) | 1F x q≤ <

u okolini rešenja x* a , 0,1, 2, ...nx n= , pripadaju toj okolini.

Nañimo funkciju ( )rF x u eksplicitnom obliku. Diferenciranjem jednakosti [ ( )]g f x x= redom dobijamo:

'[ ( )] '( ) 1g f x f x⋅ = , 2"[ ( )] ' ( ) '[ ( )] "( ) 0g f x f x g f x f x⋅ + ⋅ = , 3'''[ ( )] ' ( ) 3 "[ ( )] '( ) "( ) '[ ( )] '''( ) 0g f x f x g f x f x f x g f x f x⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ,

. . . ili

(19)

12

2 13

3 2 1

( ) '( ) 1,( ) ' ( ) ( ) "( ) 0,

( ) ' ( ) 3 ( ) '( ) "( ) ( ) '''( ) 0,. . .

a x f x

a x f x a x f x

a x f x a x f x f x a x f x

⋅ =⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =

a odavde nalazimo

218

1

1( )

'( )a x

f x= , 2 3

"( )( )

' ( )

f xa x

f x= − ,

2

3 5

3 " ( ) '( ) '''( )( )

' ( )

f x f x f xa x

f x

− ⋅= , ...,

dakle, i funkciju ( )rF x u zavisnosti od funkcije ( )f x i njenih izvoda.

Za r = 1 dobijamo

1

1( ) ( )

'( )F x x f x

f x= − ⋅ i 1

( )

'( )n

n nn

f xx x

f x+ = − , 0,1, 2, ...n = ,

što je Njutnova metoda ili metoda tangente.

Za r = 2 2

2 1 3

"( ) ( )( ) ( )

2 ' ( )

f x f xF x F x

f x

⋅= − i 2

1 3

( ) "( ) ( )

'( ) 2 ' ( )n n n

n nn n

f x f x f xx x

f x f x+

⋅= − −

⋅, 0,1, 2, ...n =

što je poznato pod nazivom Čebišovljeva metoda.

Greška iterativne metode ( 1)r + − og reda je

(20) ( 1)

1 11 1

[ (ξ)]ε * ( 1) [ ( )]

( 1)!

rr r

n n n

g fx x f x

r

++ +

+ += − = − ⋅+

,

gde je ξ izmeñu x* i nx . Ako je max | '( ) |L f x= i ( 1)1 max | [ ( )] |r

rM F f x++ = ,

[ , ]x a b∈ , i uzimajući u obzir da je

| ( ) | | ( ) 0 | | ( ) ( *) | | * | | '(ξ) | | * |n n n n nf x f x f x f x x x f L x x= − = − = − ⋅ < − ,

sledi da je, prema (20), 1

111 1| | | * | | * | | * |,

( 1)!

rrr

n n n n

M Lx x x x q x x

r

+++

+ +⋅ε = − ≤ − = −

+

11

( 1)!

rrM L

qr

++ ⋅=+

.

Sada, analogno sa (8), imamo 2 11 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

0( 1) 1 ( 1) ( 1) 1

0 0

| * | | * |

(| * | ) | * | .

k k

k k

r r r rk

r r r

r r

x x q x x

x x q x x

−+ + + + + + + +

+ − + ⋅ − +

− ≤ ⋅ − =

= − ⋅ ⋅ −

⋯

Na taj način, ako je 0| * | 1x x− < i 0| * | ω 1x x q− = < , to je ( 1) 1

| * | ω

kr

rkx x

+ −

− ≤ , što ukazuje da je konvergencija metode vrlo brza. Tako, ako je ω 0.1= i

0| * | 1x x− < za r = 1 imamo (Njutnova metoda): 1

1| * | 10x x −− ≤ , 32| * | 10x x −− ≤ , 7

3| * | 10x x −− ≤ , 154| * | 10x x −− ≤ , ...,

odnosno, konvergencija je reda 2 (kvadratna konvergencije).

Za r = 2 imamo (Čebišovljeva metoda): 1

1| * | 10x x −− ≤ , 42| * | 10x x −− ≤ , 13

3| * | 10x x −− ≤ , 404| * | 10x x −− ≤ , ...,

odnosno, konvergencija je reda 3 (kubna konvergencija).

219

9. NJUTNOVA METODA ZA REŠAVANJE SISTEMA NELINEARNIH ALGEBARSKIH I TRANSCENDENTNIH JEDNAČINA

Posmatrajmo sistem od n nelinearnih jednačina s n nepoznatih

(1)

1 1 2

2 1 2

1 2

( , , ..., ) 0,( , , ..., ) 0,

( , , ..., ) 0,

n

n

n n

f x x xf x x x

f x x x

==

=⋮

gde su , 1,if i n= , realne funkcije svojih argumenata, definisane u oblasti G

n–dimenzionalnog prostora nE . Ako uvedemo oznake

1

2

n

x

xx

x

=

⋮,

1

2

n

f

ff

f

=

⋮,

gde je x n–dimenzionalni vektor a f n–dimenzionalna vektor–funkcija, onda sistem jednačina (1) kratko možemo zapisati u obliku

(2) ( ) 0f x = ,

gde je 0 n–dimenzionalni nula–vektor. Neka sistem jednačina (1) ima lokalizovano i izolovano rešenje

* * * T1 2* ( , , ..., )nx x x x=

u nekoj konveksnoj oblasti ω G⊂ i neka je nañeno približno rešenje ( ) ( ) ( ) ( ) T

1 2( , , ..., )k k k knx x x x=

tačnog rešenja *x . Tačno rešenje se može predstaviti na sledeći način

(3) ( ) ( )* εk kx x= + ,

gde je ( ) ( ) ( ) ( ) T1 2ε (ε , ε , ...,ε )k k k k

n= popravka koju treba odrediti. Pretpostavimo da

je funkcija ( )f x neprekidno diferencijabilna u oblasti ω i da je Jakobijeva

matrica (jakobijan)

(4)

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

'( ) ( )

n

nn

n n n

n

f f f

x x x

f f f

x x xf x W x

f f f

x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⋯

⋯

⋮

⋯

nesingularna, tj. det ( ) 0nW x ≠ , ωx ∈ , i da *x i ( )kx pripadaju toj oblasti.

220

Na osnovu Tejlorove formule imamo ( )

( ) ( ) ( ) ( )'( )0 ( *) ( ε ) ( ) ε

1!

kk k k kf x

f x f x f x= = + = + ⋅ +⋯ ,

ili, za dovoljno malo ( )ε k ,

(5) ( ) ( ) ( )( ) '( ) ε 0k k kf x f x+ ⋅ ≈ .

Kako je det ( ) 0nW x ≠ , to postoji inverzna matrica 1 ( )( )knW x− . Iz (5) dobijamo

približnu vrednost popravke ( )ε k ( ) 1 ( ) ( )ε ( ) ( )k k k

nW x f x−= − ⋅ . Sada imamo

(6) ( 1) ( ) 1 ( ) ( )( ) ( )k k k knx x W x f x+ −= − ⋅ , 0,1, 2, ...k = ,

što predstavlja iterativnu formulu Njutnove metode za rešavanje sistema jednačina (1), odnosno vektorske jednačine (2). Za početno rešenje, nultu iteraciju, možemo uzeti grube približne vrednosti traženog rešenja.

Primer 1. S tačnošću 3110

2−⋅

izračunati jedno rešenje sistema jednačina

21

22

( , ) 2 5 1 0,

( , ) 3log 0.

f x y x xy x

f x y x x y

≡ − − + =≡ + − =

Rešenje. Grafički ćemo predstaviti funkcije definisane jednakostima

1( , ) 0f x y = i 2( , ) 0f x y = (sl. 25).

Sistem jednačina ima dva rešenja: * *1 1( , )x y : *

13 4x≤ ≤ , *12 2.5y≤ ≤ i * *

2 2( , )x y : *21.5 2.5x≤ ≤ , *

20.5 1.5y− ≤ ≤ .

Izračunajmo rešenje * *1 1( , )x y .

Neka je (0) T(3.5, 2.2)x = .

Stavimo li 2

2

2 5 1( )

3log

x xy xf x

x x y

− − +=

+ −

imaćemo:

(0) 0.3000( )

0.2922f x

=

,

2

4 5'( ) ( ) 3

1 log 2

x y xf x W x

e yx

− − − = = + −

, (0)2

6.8000 3.5000( )

1.3723 4.4000W x

− = −

,

x* x

y

0

1

2

3

1 2 43

f x y2( , )=0

fx

y1(

, )=

0

Sl. 25

221

(0)2det ( ) 25.11695 0W x = − ≠ , 1 (0)

2

4.4000 3.50001( )

1.3723 6.800025.11695W x− −

= −− ,

(1) (0) 1 (0) (0)2 ( ) ( )x x W x f x−= + ⋅ .

(1) 3.5000 4.4000 3.5000 0.3000 3.48821

2.2000 1.3723 6.8000 0.2922 2.262725.11695x

− = − ⋅ = −−

;

(1) 0.001328( )

0.003807f x

= −

, (1)2

6.6901 3.4882( )

1.3735 4.5254W x

− = −

,

(1)2det ( ) 25.4843 0W x = − ≠ , 1 (1)

2

4.5254 3.48821( )

1.3735 6.690125.4843W x− −

= −− ,

(2) (1) 1 (1) (1)2 ( ) ( )x x W x f x−= − ⋅ ,

(2) 3.4882 4.5254 3.4882 0.001328 3.48741;

2.2627 1.3735 6.6901 0.003807 2.261625.4843x

− = − ⋅ = − −−

(2) 0.0001863( )

0.00007073f x

− =

, (2)2

6.6880 3.4874( )

1.3736 4.5232W x

− = −

,

(2)2det ( ) 25.4609 0W x = − ≠ , 1 (2)

2

4.8232 3.48741( )

1.3736 6.688025.4609W x− −

= −− ,

(3) (2) 1 (2) (2)2 ( ) ( )x x W x f x−= − ⋅ ,

(3) 3.4874 4.5232 3.4874 0.0001863 3.48741

2.2616 1.3736 6.6880 0.00007073 2.261625.4609x

− − = − ⋅ = −−

.

Dakle, traženo rešenje je * (3) T1 (3.487, 2.262)x x≈ = .

Prethodnim primerom ilustrovali smo formalni aspekt Njutnove metode. Potrebno je razmotriti sledeća pitanja: konvergenciju i brzinu konvergencije, jedinstvenost rešenja sistema nelinearnih jednačina, stabilnost Njutnovog iterativnog procesa, ocenu greške približnog rešenja, dobijenog Njutnovim iterativnim procesom, ...

Teorema 1. Neka je zadat sistem nelinearnih algebarskih ili transcenden-tnih jednačina s realnim koeficijentima

(7)

1 1 2

2 1 2

1 2

( , , ..., ) 0,( , , ..., ) 0,

( , , ..., ) 0,

n

n

n n

f x x xf x x x

f x x x

==

=⋮

odnosno, vektorska jednačina

(8) ( ) 0f x = , gde je

222

1 1 2

2 1 2

1 2

( , , ..., )

( , , ..., )

( , , ..., )

n

n

n n

f x x x

f x x xf

f x x x

=

⋮,

1

2

n

x

xx

x

=

⋮,

0

00

0

=

⋮.

Pretpostavimo da je vektor–funkcija ( )f x definisana i neprekidna, zajedno sa svojim prvim i drugim parcijalnim izvodima u nekoj oblasti ω , tj.

(2)( ) (ω)f x C∈ .

Neka je (0)x tačka koja pripada oblasti ω zajedno sa svojom zatvorenom okolinom

(0) (0)( ) || || ωU x x x= − ≤ ⊂H H , i neka su ispunjeni uslovi:

1) Jakobijeva matrica '( ) ( )nf x W x= za (0)x x= ima inverznu matricu 1 (0)

0Γ ( )nW x−= i pri tome je 0 0||Γ || A≤ ;

2) (0)0 0|| ( ) ||

2f x BΓ ≤ ≤ H ;

3) 2

1

( )ni

k j k

f xC

x x=

∂≤

∂ ∂∑ , , 1,i j n= i (0)( )x U x∈ H ;

4) konstante 0A , 0B i C zadovoljavaju nejednakost

0 0 02 1nA B Cµ = < . Tada Njutnov iterativni proces

( 1) ( ) 1 ( ) ( )( ) ( )k k k knx x W x f x+ −= − ⋅ ,

0,1, 2, ...k = za početnu približnu vrednost (0)x konvergira i granična vrednost ( )* lim k

kx x

→∞=

je rešenje sistema jednačina (7), odnosno vektorske jednačine (2) i pri tome je (0)

0|| * || 2x x B− ≤ ≤H .

Podrazumeva se m–norma: || || max | |ii

x x= i 1

|| || max | |n

iji j

A a=

= ∑ .

Dokaz izostavljamo, a može se videti, na primer, u knjizi Б. П. Демидович, И. А. Марон – Основы Вычислительной математики, Наука, Москва, 1970. str. 461–465.

Teorema 2. Pod pretpostavkama 1.– 4. Teoreme 1. za niz približnih

rešenja ( )kx , 0,1, 2, ...k = , važi nejednakost 1

( ) 2 10 0

1|| * ||

2

kk

kmx x B

−− − ≤ ⋅µ ⋅

.

Dokaz takoñe izostavljamo, a može se naći u citiranoj knizi, str. 465–466.

223

Teorema 3. Pod pretpostavkama Teoreme 1. u oblasti (0)

0|| || 2mx x B− ≤ rešenje sistema (1) je jedinstveno.

Dokaz videti u citiranoj knizi, str. 466–469.

Teorema 4. Pod pretpostavkama Teoreme 1. i 00

2B⋅ ≤

µH Njutnov

iterativni proces ( 1) ( ) 1 ( ) ( )( ) ( )k k k k

nx x W x f x+ −= − ⋅ , 0,1, 2, ...k = konvergira ka jedinstvenom rešenju *x sistema jednačina (1) u oblasti

(0)0|| || 2mx x B− ≤ i za proizvoljan izbor početnog približnog rešenja (0)'x u

oblasti je

(0) (0) 00

0

1|| ' ||

2mx x B− µ

− ≤ ⋅µ

.

Dokaz videti u citiranoj knizi, str. 469–471.

Kod primene Njutnovog iterativnog procesa ( 1) ( ) 1 ( ) ( )( ) ( )k k k k

nx x W x f x+ −= − ⋅ , 0,1, 2, ...k = , u svakom iterativnom koraku neophodno je izračunati inverznu matricu

1 ( )( )knW x− . Obim računanja se može znatno smanjiti ako se ovaj proces

modifikuje. Naime, ako je matrica 1( )nW x− neprekidna u okolini traženog rešenja i ako je početno približno rešenje dovoljno blizo tačnom rešenju *x , onda se može uzeti da je

1 ( ) 1 (0)( ) ( )kn nW x W x− −≈ ,

pa na taj način dobijamo modifikovanu Njutnovu metodu ( 1) ( ) 1 (0) ( )( ) ( )k k k

nx x W x f x+ −= − ⋅ , 0,1, 2, ...k = , Uslovi konvergencije su gotovo isti kao kod izvorne Njutnove metode, a

obim računanja se dosta smanjuje.

Primer 2. Modifikovanom Njutnovom metodom s tačnošću 3110

2−⋅

izračunati približno rešenje sistema jednačina 2 2

2

3,sin 0,

x xy yx y

+ + =− =

koje pripada oblasti ( , ); 0.75 1.25; 0.75 1.25x y x y≤ ≤ ≤ ≤ .

Rešenje. Uzmimo početno rešenje (0) T(1,1)x = , tj. 0 1x = i 0 1y = . Redom imamo:

2 2

2

3( )

sin

x xy yf x

x y

+ + −=

− , (0) 0.00000

( )0.15853

f x

= − ,

224

2

2 2( )

cos 2

x y x yW x

x y

+ + = −

, (0)2

3 3( )

0.54030 2W x

= −

,

(0)2det ( ) 7.62090 0W x = − ≠ ,

1 (0)2

2 31( )

0.54030 37.62090W x− − −

= −− ; (1) (0) 1 (0) (0)

2 ( ) ( )x x W x f x−= − ⋅ ,

(1) 1 2 3 0.00000 1.062411

1 0.54030 3 0.15853 0.937597.62090x

− − = − ⋅ = − −−

;

(1) 0.0038950( )

0.0055439f x

= −

, (2) (1) 1 (0) (1)2 ( ) ( )x x W x f x−= − ⋅ ,

(2) 1.06241 2 3 0.0038950 1.063571

0.93759 0.54030 3 0.0055439 0.935137.62090x

− − = − ⋅ = − −−

;

(2) 0.00022548( )

0.00037292f x

= −

, (3) (2) 1 (0) (2)2 ( ) ( )x x W x f x−= − ⋅ ,

(3) 1.06357 2 3 0.00022548 1.063581

0.93513 0.54030 3 0.00037292 0.934977.62090x

− − = − ⋅ = − −−

.

Dakle, traženo rešenje je (3) T* (1.064, 0.935)x x≈ = .

10. METODA ITERACIJE ZA REŠAVANJE SISTEMA NELINEARNIH ALGEBARSKIH I TRANSCENDENTNIH JEDNAČINA

Neka je zadat sistem nelinearnih algebarskih ili transcendentnih jednačina u sledećem obliku

(1)

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

( , , ..., ),( , , ..., ),

( , , ..., ),

n

n

n n n

x x x xx x x x

x x x x

= ϕ= ϕ

= ϕ⋮

gde su funkcije 1 2, , ..., nϕ ϕ ϕ realne, definisane i neprekidne u odreñenoj oblasti

G n–dimenzionalnog prostora nE . Pretpostavimo da sistem jednačina (1) ima

izolovano rešenje * * * T1 2( , , ..., )nx x x u oblasti ω G⊂ .

Uvedimo sledeće oznake

1

2

n

x

xx

x

=

⋮,

1 1 2

2 1 2

1 2

( , , ..., )

( , , ..., )( )

( , , ..., )

n

n

n n

x x x

x x xx

x x x

ϕ ϕ ϕ = ϕ

⋮ ili

1

2

( )

( )( )

( )n

x

xx

x

ϕ ϕ ϕ = ϕ

⋮.

225

Sistem jednačina (1), pomoću vektora x i vektor–funkcije ( )xϕ , kratko možemo zapisati kao vektorsku jednačinu (2) ( )x x= ϕ .

Da bismo izračunali vektor–rešenje * * * T1 2* ( , , ..., )nx x x x= vektorske jednačine

(2), odnosno rešenje sistema jednačina (1), često se koristi metoda iteracije

(3) ( 1) ( )( )k kx x+ = ϕ , 0,1, 2, ...k = ,

gde početno približno rešenje, početnu iteraciju (0) (0) (0) (0) T1 2( , , ..., )nx x x x=

biramo u oblasti ω , naravno da bude (0) *x x≈ . Pitanje konvergencije iterativnog procesa (3) razmatraćemo nešto kasnije. Sada ćemo primetiti sledeće: ako iterativni proces (3) konvergira, onda je granična vrednost

(4) ( )ξ lim k

kx

→∞=

rešenje vektorske jednačine (2), odnosno sistema jednačina (1). Zaista, prelazeći na limes u relaciji (3) i koristeći činenjicu da je ( )xϕ neprekidna funkcija imamo

( 1) ( )lim (lim )k k

k kx x+

→∞ →∞= ϕ , tj. ξ (ξ)= ϕ .

Dakle, ξ jeste rešenje jednačine (2). Dalje, ako sve iteracije ( )kx , 0,1, 2, ...k = , pripadaju oblasti ω i ako je *x jedinstveno rešenje jednačine (2) u oblasti ω , to je

ξ *x= .

Ako je sistem nelinearnih algebarskih ili transcendentnih jednačina zadat u sledećem obliku

(5)

1 1 2

2 1 2

1 2

( , , ..., ) 0,( , , ..., ) 0,

( , , ..., ) 0,

n

n

n n

f x x xf x x x

f x x x

==

=⋮

onda, koristeći analogne oznake, može biti zapisan u obliku sledeće vektorske jednačine

(6) ( ) 0f x = .

Da bismo mogli primeniti metodu iteracije, traba sistem jednačina (5) zapisati u obliku (1), odnosno vektorsku jednačinu (6) treba zapisati u obliku (2). To se može postići na sledeći način.

Jednačinu (6) zapišimo u sledećem obliku

λ ( )x x f x= + ,

gde je λ nesingularna matrica dimenzijan n× . Ako sada uvedemo oznaku

(7) λ ( ) ( )x f x x+ = ϕ

226

imaćemo oblik (2)

(8) ( )x x= ϕ .

Dakle, dobili smo jednačinu na koju možemo primeniti metodu iteracije.

Ako je funkcija 1( ) [ω]f x C∈ , gde je ω G⊂ i jednačina ( ) 0f x = ima izolovano rešenje * ωx ∈ , onda na osnovu (7) imamo

λ '( ) '( )I f x x+ = ϕ ,

gde je I jedinična matrica dimenzija n n× . Može se pokazati da iterativni proces ( 1) ( )( )k kx x+ = ϕ , 0,1, 2, ...k = ,

brzo konvergira ako je '( )xϕ maleno po normi. Ako je (0) ωx ∈ početna

iteracija i ako je (0)'( )f x nesingularna matrica, onda se uzima da je

(0) 1[ '( )]f x −λ = − .

Ako je (0)'( )f x singularna matrica, tj. ako je (0)det '( ) 0f x = , onda treba

izabrati drugu početnu iteraciju (0)x .

Primenu metode iteracije ilustrovaćemo sledećim primerom. Pitanje konvergencije i ocenu greške približne vrednosti razmatraćemo kasnije.

Primer 1. Izračunati jedno približno rešenje sistema jednačina

2 21 2

2 21 2

1,

5 24 12.

x x

x x

+ =

+ =

Rešenje. Prva jednačina je jedna-čina kružnice a druga elipse. Koristeći grafike (sl. 26) zaključujemo da sistem ima četiri rešenja, u svakom kvadrantu po jedno. Izračunajmo približno rešenje koje pripada prvom kvadrantu.

Za početno približno rešenje uzećemo (0) T(0.8000, 0.6000)x = .

Stavimo da je 2 21 2

2 21 2

1( )

5 24 12

x xf x

x x

+ −=

+ − ;

tada je

1 2

1 2

2 2'( )

10 48

x xf x

x x

=

i (0) 1.6000 1.2000'( )

8.0000 28.8000f x

=

.

x1

x2

0

1

–1

0.5

2.4

( *, *)x x1 2

0.5

2.4

–

–

Sl. 26

227

Kako je (0)det '( ) 36.4800 0f x = ≠ , to je

(0) 1 28.8000 1.20001[ '( )]

8.0000 1.600036.4800f x − −

= − .

Sada možemo uzeti da je 1(0) 28.8000 1.20001

λ ( )8.0000 1.600036.4800

f x− −

= − = − −

i 2 2

1 1 2

2 22 1 2

128.8000 1.20001( ) ( )

8.0000 1.600036.4800 5 24 12

x x xx x f x

x x x

+ −− ϕ = + λ = − ⋅ − + −

.

Sada redom računamo:

(0) (1)0.0000 0.8000 28.8000 1.20001( ) ,

0.1600 0.6000 8.0000 1.600036.48000.0000 0.8000 0.0053 0.7947

;0.1600 0.6000 0.0070 0.6070

f x x−

= = − ⋅ − −

⋅ = − = − −

(1) (2)0.0000 0.7947 28.8000 1.20001( ) ,

0.0005 0.6070 8.0000 1.600036.48000.0000 0.7947 0.0000 0.7947

.0.0005 0.6070 0.0000 0.6070

f x x− −

= = − ⋅ − −

⋅ = − =

Za približnu vrednost rešenja uzimamo T(0.7947, 0.6070)x = . Inače, tačno

rešenje je T* (0.79471..., 0.60697...)x = .

Razmotrimo pitanje konvergencije iterativnog procesta (3). Sistemom (1), odnosno vektorskom jednačinom (2), definisano je preslikavanje oblasti G u neku oblast ' nG E⊂ . Uslove konvergencije i ocenu greške približnog rešenja izrazićemo u terminima kanonske norme || ||x koja, naravno, zadovoljava uobičajene uslove. Na primer, možemo staviti || || max | |m i

ix x= (m – norma),

|| || | |l ii

x x=∑ (l – norma),

1

22|| ||k ii

x x = ∑ (k – norma).

Definicija . Preslikavanje (1), odnosno (2), koje oblast G preslikava u samu sebe, je sažimajuće ili kontrakcija oblasti G ako postoji broj q, 0 1q≤ < , takav da za svake dve proizvoljne vrednosti 'x i "x oblasti G i njihove slike ( ')xϕ i

( ")xϕ važi nejednakost

228

(9) || ( ') ( ") || || ' " ||x x q x xϕ − ϕ ≤ − .

Broj q je koeficijent kontrakcije.

Rešenje *x jednačine (2), naravno ako postoji, je nepokretna tačka preslikavanja (2), dakle i (1).

Važi sledeća teorema.

Teorema 1. Neka je oblast G zatvorena i neka je preslikavanje (1), odnosno (2) sažimajuće ili kontrakcija oblasti G, tj. neka je ispunjen uslov (9).

Tada, ako za iterativni proces (3) sve iteracije ( )kx G∈ , 0,1, 2, ...k = , onda:

1) nezavisno od izbora početne iteracije (0)x G∈ iterativni proces (3) konvergira, tj. postoji

( )* lim k

kx x

→∞= ;

2) granični vektor *x je jedinstveno rešenje jednačine (2) u oblasti G;

3) važi ocena greške

( ) (1) (0)*1

kk q

x x x xq

− ≤ −−

.

Dokaz. 1) Da bismo dokazali konvergenciju iterativnog procesa (3), primenićemo Košijev kriterijum konvergencije. Dakle,

( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( )

( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( )

( ) ( ) ( )

.

k p k k p k p k p k p k k

k p k p k p k p k k

x x x x x x x x

x x x x x x

+ + + − + − + − +

+ + − + − + − +

− = − + − + + − ≤

≤ − + − + + −

⋯

⋯

Ako iskoristimo uslov kontrakcije, onda za dve uzastopne iteracije imamo

( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)

( 1) ( 2) 2 ( 1) ( 2)

(1) (0)

( ) ( )

( ) ( ) ...

.

m m m m m m

m m m m

m

x x x x q x x

q x x q x x

q x x

+ − −

− − − −

− = ϕ − ϕ ≤ − =

= ϕ − ϕ ≤ − ≤ ≤

≤ −

Sada imamo

( ) ( ) 1 (1) (0) 2 (1) (0) (1) (0)

1 2 (1) (0) (1) (0)1( 1) ,

1

k p k k p k p k

pp p k k

x x q x x q x x q x x

qq q q x x q x x

q

+ + − + −

− −

− ≤ − + − + + − =

−= + + + ⋅ − = ⋅ ⋅ −−

⋯

⋯

dakle,

(10) ( ) ( ) (1) (0)1

1

pk p k kq

x x q x xq

+ −− ≤ ⋅ ⋅ −−

,

ili

229

( ) ( ) (1) (0)

1

kk p k q

x x x xq

+ − ≤ −−

.

Kako je 0 1q≤ < , to 0kq → kada k → ∞ , pa na osnovu prethodne nejed-nakosti zaključujemo da za svako, proizvoljno maleno ε 0> postoji broj

0 (ε)k k= takav da za (ε)k k> i 0p > važi nejednakost

( ) ( ) εk p kx x+ − ≤ ,

što znači da, saglasno Košijevom kriterijumu konvergencije, niz ( )kx , 0,1, 2, ...k = , konvergira, tj. postoji

( )* lim k

kx x

→∞=

i *x G∈ zbog zatvorenosti oblasti G.

2) Da je *x zaista rešenje jednačine (2) jednostavno se dokazuje jer je u oblasti G vektor–funkcija ( )xϕ neprekidna. Zaista,

( 1) ( 1)lim (lim )k k

k kx x+ +

→∞ →∞= ϕ ,

tj. * ( *)x x= ϕ .

Dokažimo jedinstvenost rešenja. Pretpostavimo da postoje dva rešenja *x i *1x ,

* *1x x≠ , tj. da je

* *( )x x= ϕ i * *1 1( )x x= ϕ ,

pa je: * * * * * *

1 1 1( ) ( )x x x x q x x− = ϕ − ϕ ≤ − ,

* * * *1 1 0x x q x x− − − ≤ ,

* *1 (1 ) 0x x q− ⋅ − ≤ .

Kako je 1 0q− > , to dobijamo * *1 0x x− = , odnosno * *

1x x= , što protivureči

činjenici da je * *1x x≠ .

Dakle, u oblasti G jednačina (2) ima jedinstveno rešenje.

3) Ako preñemo na limes u nejednakosti (10) kada p → ∞ , dobijamo ocenu greške

( ) (1) (0)*1

kk q

x x x xq

− ≤ −−

.

230

Navedimo јоš jednu ocenu greške priibližne vrednosti ( )kx . Analogno prethodnom slučaju imamo

( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( )

( ) ( 1) 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1)

1 ( ) ( 1)

( ) ( 1) 1 2 ( ) ( 1)

( ) ( ) ( )

( )

1( 1) ,

1


p k k p k k k k

p p k k

pk k p p k k

x x x x x x x x

q x x q x x q x x

q q q x x

qq x x q q q x x

q

+ + + − + − + − +

− − − −

− −

− − − −

− = − + − + + − ≤

≤ − + − + + ⋅ − =

= + + + ⋅ − =

−= ⋅ − ⋅ + + + = ⋅ − ⋅−

⋯

⋯

⋯

⋯

dakle

( ) ( ) ( ) ( 1) 1

1

pk p k k k q

x x q x xq

+ − −− ≤ ⋅ − ⋅−

.

Prelaskom na limes u poslednjoj nejednakosti kada p → ∞ dobijamo

(11) ( ) ( ) ( 1)*1

k k kqx x x x

q−− ≤ −

−.

Ako je 1

02

q≤ ≤ , onda iz (11) dobijamo da važi „kriterijum poklapanja

dveju uzastopnih iteracija”, tj. ( ) ( 1) ( )ε * εk k kx x x x−− ≤ ⇒ − ≤ .

Provera ispunjenosti uslova Teoreme 1. je najčešće složena, pa ćemo navesti njenu nešto promenjenu formulaciju.

Teorema 2. Neka je preslikavanje ( )x x= ϕ kontrakcija zatvorene oblasti G i neka je g ograničena oblast koja pripada oblasti G zajedno sa svojom ρ–okolinom (u smislu uvedene norme), gde je

(12) ρ1

Dq

q≥

−,

a D dijametar oblasti g i q koeficijent kontrakcije. Tada ako (0)x g∈ i (1) (0)( )x x g= ϕ ∈ , onda iterativni proces

( 1) ( )( )k kx x+ = ϕ , 0,1, 2, ...k = , konvergira i važe tvrñenja Teoreme 1.

Dokaz. Dovoljno je pokazati da sve iteracije pripadaju oblasti G, tj. ( )kx G∈ , 0,1, 2, ...k =

Dokaz se izvodi metodom matematičke indukcije.

1) Za k = 0 i k = 1 na osnovu uslova teoreme (0)x G∈ i (1)x G∈ .

2) Pretpostavimo da za k = m, 1m≥ , iteracija ( )mx G∈ .

3) Dokažimo da iteracija ( 1)mx G+ ∈ .

231

Kako je (1) (0)x x D− ≤ ,

i koristeći nejednakost

( 1) ( ) (1) (0)m m m mx x q x x Dq+ − ≤ − ≤

imamo ( 1) (1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) (2) (1)

1 1 2

( ) ( ) ( )

( 1)1

ρ,1 1

m m m m m

m m m m

m

x x x x x x x x

q D q D qD Dq q qq Dq

Dqq q

+ + −

− − −

− = − + − + + − ≤

≤ + + + = + + + =−= ⋅ ≤ =− −

⋯

⋯ ⋯

pa ( 1)mx G+ ∈ . Dakle, na osnovu principa matematičke indukcije ( )kx G∈ , 0,1, 2, ...k =

Primer 2. S tačnošću 410− izračunati približno rešenje sistema jednačina 3 3

13 3

2

( , ) 6 3 0,

( , ) 6 2 0

f x y x y x

f x y x y y

≡ + − + =≡ − − + =

koje pripada prvom kvadrantu.

Rešenje. Zapišimo dati sistem jednačina na sledeći način 3 3

1

3 3

2

1( , ),

6 21

( , ).6 3

x yx x y

x yy x y

+= + = ϕ

−= + = ϕ

Posmatrajmo kvadrat ( , ); 0 1, 0 1K x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤ . Ako tačka 0 0( , )x y pripada kvadratu K, onda je

3 3

1 0 0

3 3

2 0 0

1 1 1 50 ( , ) 1,

6 2 61 0 1 1

0 ( , ) 1.6 3 2

x y

x y

+< ϕ ≤ + = <

−< ϕ ≤ + = <

Kako je 3 30 0 1

06 3

x y+< < i

3 30 01 1

6 6 6

x y−− < < , to za proizvoljan izbor tačke

0 0( , )x y niz ( , )k kx y pripada kvadratu K. I više od toga, tačke ( , )k kx y

pripadaju pravougaoniku 1 5 1 1

( , ); , 2 6 6 2

x y x yΠ = < < < < jer je 1 1

02 2

+ = i

1 1 5

2 3 6+ = ,

1 1 1

3 6 6− = i

1 1 1

3 6 2+ = . U pravougoaniku Π je

232

2 21 1

2 22 2

1 25 1 34 1,

2 2 2 36 4 72 2

34 1.

2 2 72 2

x y

x y

x y

x y

∂ϕ ∂ϕ + = + < + = < ∂ ∂

∂ϕ ∂ϕ+ = + − < <∂ ∂

Dakle, sistem jednačina ima jedinstveno rešenje u pravougaoniku Π i ono može biti izračunato metodom iteracije. Očigledno, važi „kriterijum poklapanja uzastopnih iteracija”. Za početne iteracije ćemo uzeti 0 0.5000x = i

0 0.5000y = . Rezultati računanja su prikazani u sledećoj tabeli

n nx ny

0 0.5000 0.5000 1 0.5417 0.3333 2 0.5327 0.3536 3 0.5326 0.3511 4 0.5324 0.3513 5 0.5324 0.3512 6 0.5324 0.3512

Rešenje sistema je T(0.5324, 0.3512)x = .

11. DOVOLJNI USLOVI KONVERGENCIJE METODE ITERACIJE

Posmatrajmo sistem nelinearnih algebarskih ili transcendentnih jednačina

(1)

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

( , , ..., ),( , , ..., ),

( , , ..., ),

n

n

n n n

x x x xx x x x

x x x x

= ϕ= ϕ

= ϕ⋮



izolovano rešenje * * * T1 2* ( , , ..., )nx x x x= u oblasti nG E⊂ . Sistem jednačina (1),

kao što smo već naveli, možemo kratko zapisati u obliku sledeće vektorske jednačine

(2) ( )x x= ϕ .

Za primenu metode iteracije

(3) ( 1) ( )( )k kx x+ = ϕ , 0,1, 2, ...k = , (0)x G∈ ,

za rešavanje sistem jednačina (1), odnosno vektorske jednačine (2), dobijeni uslov konvergencije, uslov kontrakcije, nije uvek praktičan. Naime, provera ispunjenosti uslova konvergencije je vrlo često obiman posao a ponekad

233

praktično nemoguć. Radi toga ćemo navesti neke dovoljne uslove konver-gencije. Te uslove ćemo dati u terminima norme izvodne funkcije '( )xϕ .

(4)

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

'( )

n

n

n n n

n

x x x

x x xx

x x x

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ ∂ϕ =

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ ∂

⋯

⋯

⋮

⋯

.

Ovde ćemo koristiti sledeće norme:

(5) I 1 1

( )'( ) max '( ) max max

ni

mx G x G i n j j

xx x

x∈ ∈ ≤ ≤ =

∂ϕ ϕ = ϕ = ∂

∑ ,

(6) II 1 1

( )'( ) max '( ) max max

ni

lx G x G j n i j

xx x

x∈ ∈ ≤ ≤ =

∂ϕ ϕ = ϕ = ∂

∑ .

Teorema 1. Neka su funkcije ( )xϕ i '( )xϕ neprekidne u oblasti G i neka je u ovoj oblasti ispunjen uslov

(7) I

'( ) 1x qϕ ≤ < ,

gde je q, 0 1q≤ < , neka konstanta.

Ako niz iteracija

(8) ( 1) ( )( )k kx x+ = ϕ , 0,1, 2, ...k =

pripada oblasti G, onda iterativni proces (8) konvergira i granična vrednost ( )* lim k

kx x

→∞=

je jedinstveno rešenje sistema jednačina (1), odnosno jednačine (2).

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je preslikavanje

( )y x= ϕ

kontrakcija u oblasti G u smislu m–norme.

Zaista, neka su 1 2,x x G∈ i 1 1( )y x= ϕ , 2 2( )y x= ϕ . Tada je

1 2 1 2 1 2 1 2 I( ) ( ) '(ξ) '( )

m m m mmy y x x x x x x x− = ϕ − ϕ ≤ − ⋅ ϕ ≤ − ⋅ ϕ

dakle, 1 2 1 2m my y q x x− ≤ − , 0 1q≤ < .

234

Posledica. Iterativni proces (8) konvergira ako je

1

( )1

ni

ij j

xq

x=

∂ϕ≤ <

∂∑ , 1,i n= , x G∈ .

Tako, u slučaju sistema jednačina

1 1 1 2

2 2 1 2

( , ),( , )

x x xx x x

= ϕ= ϕ

dovoljan uslov konvergencije je

1 11

1 2

2 22

1 2

1,

1.

qx x

qx x

∂ϕ ∂ϕ+ ≤ <∂ ∂

∂ϕ ∂ϕ+ ≤ <∂ ∂

Teorema 2. Neka su funkcije ( )xϕ i '( )xϕ neprekidne u oblasti G i neka je u ovoj oblasti ispunjen uslov

(9) II

'( ) 1x qϕ ≤ <

gde je q, 0 1q≤ < , neka konstanta. Ako niz iteracija

(10) ( 1) ( )( )k kx x+ = ϕ , 0,1, 2, ...k =

pripada oblasti G, onda iterativni proces (8) konvergira i granična vrednost ( )* lim k

kx x

→∞=

je jedinstveno rešenje sistema jednačina (1), odnosno jednačine (2).

Dokaz je potpuno analogan prethodnom dokazu.

Posledica. Iterativni proces (10) konvergira ako je

1

( )1

ni

ji j

xq

x=

∂ϕ≤ <

∂∑ , 1,j n= , x G∈ .

Tako, u slučaju sistema jednačina

1 1 1 2

2 2 1 2

( , ),( , )

x x xx x x

= ϕ= ϕ

dovoljan uslov konvergencije je

1 21

1 1

1 22

2 2

1,

1.

qx x

qx x

∂ϕ ∂ϕ+ ≤ <∂ ∂∂ϕ ∂ϕ+ ≤ <∂ ∂

235

Primer 1. Metodom iteracije izra-čunati jedno rešenje sistema jednačina

1

2

( , ) 2 sin 0,2

( , ) 2 cos 0.2

x yf x y x

x yf x y y

−≡ − =

+≡ − =

Tačnost 3ε 10−= .

Rešenje. Grafičkim načinom nala-zimo oblast koja sadrži rešenje sistema: K = (x, y); |x| ≤ 0.5, 0 ≤ y ≤ 1, (sl. 27).

Zapišimo sistem jednačina u sledećeom obliku

1

1sin ( , )

2 2

x yx x y

−= ≡ ϕ ,

2

1cos ( , )

2 2

x yy x y

+= ≡ ϕ .

Kako je

1 1cos

4 2

x y

x

∂ϕ −=∂

, 1 1cos

4 2

x y

y

∂ϕ −= −∂

,

2 1sin

4 2

x y

x

∂ϕ += −∂

, 2 1sin

4 2

x y

y

∂ϕ += −∂

,

1 1 1 1 1cos cos cos

4 2 2 2 2 2

x y x y x y

x y

∂ϕ ∂ϕ − − −+ = + = ≤ ∂ ∂ ,

2 2 1 1 1sin sin sin

4 2 2 2 2 2

x y x y x y

x y

∂ϕ ∂ϕ + + ++ = + = ≤ ∂ ∂ ,

dakle,

2

1 2 ( , ) 1

1max max 1

2i

i x y K k k

qx≤ ≤ ∈ =

∂ϕ≤ = <

∂∑ ,

proces iteracije konvergira u oblasti K i važi „kriterijum poklapanja dveju uzastopnih iteracija”.

Izaberimo početne približne vrednosti: 0 0.2500x = − , 0 0.5000y = .

1

1

1 1sin ( ),

2 21 1

cos ( ), 0,1, 2, ...2 2

n n n

n n n

x x y

y x y n

+

+

= −

= + =

x

y

0 1 π–π –1

1

f x y1( , )=0

f x y2( , )=0

Sl. 27

236

Rezultati računanja su prikazani u tabeli

n nx ny

0 –0.250 0.500 1 –0.183 0.496 2 –0.167 0.494 3 –0.162 0.493 4 –0.161 0.493 5 –0.161 0.493

Traženo rešenje je 5* 0.161x x≈ = − , 5* 0.493y x≈ = .

12. ZAJDELOVA METODA

Zajdelova metoda je, na odreñen način, modifikacija metode iteracije. Posmatrajmo sistem nelinearnih algebarskih ili transcendentnih jednačina u

sledećem obliku

(1)

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

( , , ..., ),( , , ..., ),

( , , ..., ),

n

n

n n n

x x x xx x x x

x x x x

= ϕ= ϕ

= ϕ⋮



izolovano rešenje * * * T1 2( , , ..., )nx x x u oblasti ω G⊂ . Osnovna ideja ove metode

sastoji se u sledećem: kod izračunavanja (k + 1)–ve iteracije nepoznate ix

koriste se već izračunate (k + 1)–ve iteracije nepoznatih 1 2 1, , ..., ix x x− . Dakle,

neka je na neki način odreñena iteracija ( ) ( ) ( ) T1 2( , , ..., )k k k

nx x x . Tada računamo:

(2)

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( )3 3 1 2 1

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( )1 2 1

( , , ..., , ),

( , , ..., , ),

( , , ..., , ),

( , , ..., , ),

k k k k kn n

k k k k kn n

k k k k kn n

k k k k kn n n n

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

+−

+ +−

+ + +−

+ + + +−

= ϕ= ϕ= ϕ

= ϕ⋮

0,1, 2, ...k =

Pitanje konvergencije Zajdelove metode se razmatra analogno kao kod metode iteracije. Istina, nešto je složenije. Meñutim, dovoljni uslovi su isti.

Oblast konvergencije metode iteracije i Zajdelove metode se ne poklapaju. Može se dogoditi da metoda iteracije konvergira a Zajdelova metoda ne konvergira, i obrnuto, da metoda iteracije ne konvergira a Zajdelova metoda

237

konvergira. Takoñe, može se dogoditi da obe metode konvergiraju i isto tako da obe metode ne konvergiraju.

Primer 1. Zajdelovom metodom s tačnošću 3ε 10−= izračunati rešenje sistema jednačina

1cos ( ) 2 0,

31

sin ( ) 2 0,3

x y y

x y x

− − =

+ − =

koje pripada oblasti ω ( , ); 0 0.25, 0.25 0.75x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤ .

Rešenje. Zapišimo sistem jednačina na sledeći način

1

2

1 1cos ( ) ( , ),

2 31 1

sin ( ) ( , ).2 3

y x y x y

x x y x y

= − ≡ ϕ

= + ≡ ϕ

Dovoljan uslov konvergencije u oblasti ω

1 1 1 1 1 1 1sin ( ) sin ( ) 1

6 3 6 3 3x y x y

x y

∂ϕ ∂ϕ+ = − − + − ≤ <∂ ∂

,

2 2 1 1 1 1 1cos ( ) cos ( ) 1

6 3 6 3 3x y x y

x y

∂ϕ ∂ϕ+ = + + + ≤ <∂ ∂

,

je, očigledno, ispunjen. Važi „kriterijum poklapanja dveju uzastopnih iteracija”. Dakle,

1

1 1

1 1cos ( ),

2 31 1

sin ( ), 0,1, 2, ...2 3

n n n

n n n

y x y

x x y n

+

+ +

= −

= + =

Za početnu vrednosti uzimamo: 0 0.125x = , 0 0.500y = . Rezultati računanja su prikazani u sledećoj tabeli

n nx ny

0 0.125 0.500 1 0.103 0.496 2 0.099 0.496 3 0.099 0.496

Traženo rešenje je 3* 0.099x x≈ = , 3* 0.496y y≈ = .

238

13. OPŠTA SVOJSTVA ALGEBARSKIH JEDNAČINA. GRANICE KORENA

Algebarska jednačina n–tog stepena ( 1)n ≥

(1) 10 1( ) 0n n

n nP x a x a x a−≡ + + + =⋯ , 0 0a ≠ ,

s realnim koeficijentima ia , 0,i n= , kao što je poznato, ima n rešenja ili korena. (Termini rešenje ili koren su, na odreñeni način, ravnopravni. Meñutim, kada govorimo o jednačini, češće ćemo koristiti termin rešenje, a kada govorimo o polinomima češće ćemo koristiti termin koren.) Činjenica da jednačina (1) ima n rešenja formulisana je u 17. stoleću, a prvi strogi dokaz je dao K. Gaus krajem 18. stoleća. Inače, teorema se naziva osnovnom teoremom algebre.

Podsetimo se nekih osnovnih ali važnih činjenica: 1) višestruka rešenja se računaju onoliko puta koliko puta se pojavljuju; 2) kompleksna rešenja se javljaju u parovima; 3) za neparno n jednačina (1) ima bar jedno realno rešenje. Jednačina (1) može se tačno rešiti za 1, 2, 3, 4n = .

Za n = 1 imamo linearnu jednačinu

0 1 0a x a+ = . U ovom slučaju

(2)

10

0

0 1

0 1

za 0 jednačina ima jedinstveno rešenje ,

za 0 i 0 jednačina nema rešenja,

za 0 i 0 jednačina ima beskonačno mnogo rešenja;svako je rešenje jednačine

aa

a

x a a

a ax R

≠ −

= = ≠ = = ∈

Za n = 2 imamo kvadratnu jednačinu 2

0 1 2 0a x a x a+ + = , 0 0a ≠ , i za njeno rešavanje imamo obrazac (formulu)

(3) 1

02

a Dx

a

−= ∓,

gde je 21 0 24D a a a= − diskriminanta kvadratne jednačine.

Za n = 3 imamo kubnu jednačinu 3 2

0 1 2 3 0a x a x a x a+ + + = , 0 0a ≠ .

Ako umesto x stavimo 1

03

ax

a− , onda posle sreñivanja dobijamo tzv. normalni

oblik kubne jednačine 3 0x px q+ + + .

239

Za njeno rešavanje imamo obrazac (formulu)

(4) 3 3

2 108 2 108

q D q Dx

− −= − + + − − ,

gde je 3 24 27D p q= − − diskriminanta kubne jednačine. Obrazac (4) zove se Kardanov obrazac. Ovaj obrazac je objavljen prvi put u delu Hieronymi Cardani artis magnae sive de regulis algebraicis, liber unicus, Norimbergae, 1545. (Knjiga o velikoj veštini ili algebarskim pravilima). Inače obrazac (4) pronašao je Scipione del Ferro 1515. godine, a ponovo Tartalja (Tartaglia) 1535. godine.

Za n = 4 imamo jednačinu četvrtog stepena 4 3 2

0 1 2 3 4 0a x x x a x a x a+ + + + = , 0 0a ≠ ,

ili, posle deljenja koeficijentom uz 4x , 4 3 2 0x px qx rx s+ + + + = ,

što predstavlja jednačinu četvrtog stepena. Ferari (L. Ferrari, 1522–1565, italijanski matematičar) je 1540. godine rešio ovu jednačinu pomoću jednačine trećeg stepena, tzv. Ferarijeve ili kubne rezolvente. Ojler (L. Euler, 1707–1783, švajcarski matematičar) je 1738. godine dao još jednu metodu za rešavanje jednačine četvrtog stepena. (Detaljnije o Ferarijevoj i Ojlerovoj metodi, na primer, u knjizi ð. Kurepa, Viša algebra, knjiga prva, Beograd, 1969.)

Obrasci ili formule za rešavanje algebarskih jednačina prvog, drugog, trećeg i četvrtog stepena imaju jednu, vrlo značajnu, zajedničku osobinu: rešenje x je funkcija koeficijenata jednačine, pri čemu su zastupljene racionalne računske operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje), kvadratni i kubni koreni. Vrlo dugo se tragalo i nastojalo pokazati da se, analogno, i rešenje algebarske jednačine petog stepena može dobiti u funkciji njenih koeficijenata a da pri tome koristimo sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje i korenovanje. Rufini (P. Ruffini, 1756–1822) 1813. godine i Abel (N. H. Abel, 1802–1829) 1826. godine su dokazali da to nije moguće. Dakle, algebarske jednačine stepena većeg od četiri u opštem slučaju ne mogu se tačno rešiti, pa ih moramo rešavati numeričkim, približnim metodama. Ako su koeficijenti jednačine (1) približni brojevi, onda govoriti o njenom tačnom rešavanju nema osnova. Tačnost rešenja je ograničena tačnošću koeficijenata!

Osim metoda za rešavanje algebarskih i transcendentnih jednačina (metoda sečice, Njutnova metoda, ...) prirodno je, s obzirom na činjenicu da su algebarske jednačine jednostavnije od transcendentnih, da postoje i metode koje se primenjuju samo za rešavanje algebarskih jednačina. Te metode su, po pravilu, jednostavnije i efikasnije. Većina ovih metoda pretpostavlja prethodno poznavanje prirode rešenja, broja rešenja u odreñenoj oblasti, oblasti koje sadrže rešenja jednačina (u slučaju realnih rešenja to su intervali, a u slučaju kompleksnih rešenja to su krugovi).

240

Izvesnu ocenu modula rešenja algebarske jednačine (1) daje sledeća teorema.

Teorema 1. Neka je za jednačinu (1)

1 2max| |, | |, ..., | |nA a a a= ,

tada je

(5) 0

| | 1| |k

Ax

a< + ,

tj. rešenje jednačine ξ ηk k kx i= + u kompleksnoj ravni Oξη su unutar kruga

poluprečnika 0

1| |

AR

a= + .

Dokaz. Stavljajući | | 1x > dobijamo

1 1 20 1 0 1 2

1 20 1 2

1 20 0

0

| ( ) | | ( ) | | | (| |)

| | (| | | | | |)

| | 1| | (| | | | 1) | |

| | 1

| | | | ,| | 1

n n n n nn n n

n n nn

nn n n n

n

P x a x a x a a x a x a x a

a x a x a x a

xa x A x x a x A

xA

a xx

− − −

− −

− −

= + + + ≥ − + + + >> − + + + ≥

−≥ − + + + = − ⋅ >−

> − ⋅ −

⋯ ⋯

⋯

⋯

dakle,

0| ( ) | | | | || | 1

nn

AP x a x

x

> − ⋅ −

.

Ako je

0| | 0| | 1

Aa

x− ≥

−,

tj. ako je

(6) 0

| | 1| |

Ax

a≥ + ,

onda je | ( ) | 0nP x > .

Na taj način dobijamo da vrednosti x za koje je tačna nejednakost (6) ne mogu biti rešenja jednačine (1). Prema tome, sva rešenja jednačine (1) zadovoljavaju suprotnu nejednakost

0

| | 1| |k

Ax R

a< + = .

241

Posledica. Neka je 0na ≠ i 0 1 1max| |, | |, ..., | |nB a a a −= , tada je

(7) 1

| |1

| |

k

n

x rB

a

> =+

,

tj. sva rešenja jednačine (1) pripadaju kružnom prstenu | |r x R< < (sl. 28).

Nejednakost (7) se jednostavno dokazuje.

Zaista, ako uvedemo smenu 1

xt

= , 0t ≠ ,

dobićemo 1 1

( ) ( )n n nnP x P Q t

t t

= = ⋅

,

gde je 1

1 0( ) n nn n nQ t a t a t a−

−= + + +⋯ . Koreni

1k

k

tx

= , 1,k n= ,

polinoma ( )nQ t na osnovu dokazane teoreme zadovoljavaju nejednakost

1| | 1

| | | |kk n

Bt

x a= < + ,

a odavde je 1

| |1

| |

k

n

x rB

a

> =+

, 1,k n= .

Napomena. Brojevi R i r su, redom, gornja i donja granica pozitivnih rešenja jednačine (1).

Brojevi –R i –r su, redom, donja i gornja granica negativnih rešenja jednačine (1).

Primer 1. Naći ocenu modula rešenja jednačine 4 3 2

4( ) 2 2 1 0P x x x x x≡ − − − + = .

Rešenje. Kako je

1 2 3 4max| |, | |, | |, | | max| 2 |, | 1|, | 2 |, |1| 2A a a a a= = − − − = , to je

0

2| | 1 1 3

| | 1k

Ax R

a< + = + = = .

ξ

η

0

rR

x1

x2

x3

x4

Sl. 28

242

Na isti način nalazimo

0 1 2 3max| |, | |, | |, | | max|1|, | 2 |, | 1|, | 2 | 2B a a a a= = − − − = , pa imamo

4

1 1 1| |

2 31 1| | 1

kx rB

a

> = = =+ +

.

Dakle, 1

| | 33 kx< < , 1, 4k = , što znači

da su rešenja zadate jednačine u

kružnom prstenu 1

| | 33

x< < (sl. 29).

Inače, jednačinu možemo zapisati na sledeći način

2 2( 1)( 3 1) 0x x x x+ + − + = .

Njena rešenja su: 1 2.6180...x = , 2 0.3819...x = , 3,4 0.5 0.8660...x i= − ± ⋅

Od posebnog interesa je nalaženje granica realnih rešenja jednačine (1).

Jedan od načina nalaženja gornje granice R pozitivnih rešenja x+ jednačine (1) zasniva se na sledećoj teoremi.

Teorema 2. (Lagranževa teorema o granici realnih rešenja) Neka je 0 0a > i ( 1)ka k ≥ prvi negativni koeficijent jednačine

(8) 1

0 1 11 1

1 1

( )

0

n n n kn k

n k n kk k n n

P x a x a x a x

a x a x a x a

− −−

− + − −+ −

≡ + + + ++ + + + =⋯

⋯

onda je gornja granica njenih pozitivnih realnih rešenja jednaka

(9) 0

1 kRa

Β= + ,

gde je B najveća po apsolutnoj vrednosti vrednost negativnih koeficijenata polinoma ( )nP x .

Dokaz. Posmatrajmo jednačinu (8) za x > 1. Ako koeficijente 1a , 2a , ...,

1ka − u jednačini (8) zamenimo nulom, a koeficijente ka , 1ka + , ..., na zamenimo negativnim brojem –B, onda imamo

11

0 0

1( ) ( 1)

1

n kn n k n k n

n

xP x a x B x x x a x B

x

− +− − + −≥ − + + + + = − ⋅

−⋯ .

Odavde za x > 1 dobijamo 1

1 10 0

1 11

0 0

( ) [ ( 1) ]1 1

[ ( 1) ( 1) ] [ ( 1) ].1 1

n kn n k k

n

n k n kk k

B xP x a x x a k x B

x xx x

a x x B a x Bx x

− +− + −

− + − +−

> − ⋅ = − − >− −

> − − − = − −− −

ξ

η

0 x1

x2

x3

x4

313

Sl. 29

243

Prema tome, za

0( 1) 0ka x B− − ≥ ,

odnosno

0

1 kB

x Ra

+≥ + =

imamo da je ( ) 0nP x > , tj. sva pozitivna rešenja x+ jednačine (8) zadovoljavaju

nejednakost x R+ +< .

Napomena 1. Ako jednačina (8), odnosno polinom ( )nP x , nema negativ-

nih koeficijenata, onda je ( ) 0nP x > za sve vrednosti argumenta x, tj. jednačina nema nema pozitivnih rešenja.

Napomena 2. Ako odredimo gornje granice pozitivnih rešenja sledećih

jednačina 1 2 3, ,R R R+ + +

1

2

3

1( ) 0,

( ) ( ) 0,1

( ) 0,

nn

n

nn

P x x Px

P x P x

P x x Px

≡ =

≡ − = ≡ − =

onda za pozitivna x+ , odnosno negativna x− , rešenja jednačine (8) imamo

1

23

1,

1.

x RR

R xR

+ ++

+ −+

< <

− < < −

Primer 2. Naći gornje i donje granice rešenja jednačine 6 4 2

6( ) 14 6 20 5 0P x x x x x≡ − + − + = .

Rešenje. Kako je 0 1 0a = > ,

max| 14 |, | 20 | 20B = − − =

i 2 14ka a= = − , tj. k = 2, to je gornja granica pozitivnih rešenja

201 5.4721... 5.5

1R+ = + = < .

Da bismo našli donju granicu pozitivnih rešenja, zadatu jednačinu ćemo

transformisati smenom 1

xt

= :

244

6 4 2

6 5 4 2

1 1 1 114 6 20 5 0,

5 20 6 14 1 0.t t t t

t t t t

− + − + =

− + − + =

Sada imamo: 0 5 0a = > , max| 20 |, | 14 | 20B = − − = i 1 20ka a= = − , tj. k = 1, pa je

11

201 1 4 5

5R+ = + = + = .

Dakle, 1

5.55

x+< < .

Posmatrajmo sada jednačinu 6 4 2

6( ) 14 6 20 5 0P x x x x x− ≡ − + + + = .

U ovom slučaju je 0 1 0a = > , max| 14 | 14B = − = i 2 14ka a= = − , tj. k = 2, pa je

2

141 4.7416...

1R+ = + =

Stavimo li 1

xt

= u zadatu jednačinu, dobićemo:

6 4 2

6 5 4 2

1 1 1 114 6 20 5 0,

5 20 6 14 1 0,t t t t

t t t t

− + + + =

+ + − + =

0 5 0a = > , max| 14 | 14B = − = , 3 14ka a= = − , k = 3,

33

141 2.4095...

5R+ = + = ,

pa je 1

4.7416...2.4095...

x−− < < − , odnosno 4.75 0.41x−− < < − .

Inače, jednačinu možemo zapisati na sledeći način 2 2 2( 4 1)( 5 5)( 1) 0x x x x x x− + + + − + = .

Njena rešenja su:

1 3.6180...x = − , 2 1.3819...x = − , 3 0.2679...x = ,

4 3.7320...x = , 5,6 0.5 0.8660...x i= ± ⋅

245

14. BROJ REALNIH REŠENJA ALGEBARSKE JEDNA ČINE

Posle nalaženja granice pozitivnih, odnosno negativnih rešenja jednačine 1

0 1 0( ) 0, 0n nn nP x a x a x a a−≡ + + + = ≠⋯ prirodno se postavljaju sledeći

zadaci: Koliko jednačina ima pozitivnih rešenja? Koliko negativnih? Koliko jednačina ima rešenja u zadatom intervalu ( , )a b ? I tako dalje.

Opšta predstava o broju realnih rešenja jednačine ( ) 0nP x = može se

stvoriti na osnovu grafika funkcije ( )ny P x= . Meñutim, konstruisanje grafika svake funkcije, kao što je poznato, je u tesnoj vezi s nalaženjem rešenja odgovarajuće jednačine ( ) 0nP x = .

Radi rešavanja postavljenih zadataka podsetićemo se sledećih činjenica:

1) Ako je ( ) ( ) 0n nP a P b⋅ < , onda u intervalu ( , )a b jednačina ( ) 0nP x = ima neparan broj rešenja uzimajući u obzir i njihovu višestrukost.

2) Ako je ( ) ( ) 0n nP a P b⋅ > , onda u intervalu ( , )a b jednačina ( ) 0nP x = ili nema rešenja ili ih ima paran broj.

Jedan jednostavan način rešavanja zadatka o broju realnih rešenja jednačine ( ) 0nP x = u intervalu ( , )a b je Šturmova metoda.

Uvedimo pojam o broju promene znakova u sistemu realnih brojeva.

Definicija . Neka je zadat ureñen konačan sistem realnih brojeva različitih od nule

(1) 1 2, , ..., nC C C , ( 2)n ≥ .

Za par elemenata 1,k kC C + sistema (1) kažemo da menjaju znak ako je

1 0k kC C +⋅ < , a ne menjaju znak ako je 1 0k kC C +⋅ > . Ukupan broj promena

znakova svih susednih elemenata 1,k kC C + ( 1, 2, ..., 1)k n= − sistema (1) naziva se brojem promena znakova sistema (1).

Za zadati polinom ( )P x s realnim koeficijentima formirajmo sledeći, Šturmov sistem polinoma

1 2( ), ( ), ( ), ..., ( )nP x P x P x P x,

gde je 1( ) '( )P x P x= , 2( )P x ostatak deljenja polinoma ( )P x polinomom 1( )P x

uzet sa suprotnim znakom, 3( )P x je ostatak deljanja polinoma 1( )P x

polinomom 2( )P x uzet sa suprotnim znakom, i tako dalje.

Primer 3. Naći Šturmov sistem polinoma za polinom 5 4( ) 5 5 1P x x x x= + + + .

Rešenje. Redom nalazimo: 4 3 4 3'( ) 5 20 5 5( 4 1)P x x x x x= + + = + + , pa se

246

može uzeti da je 4 31 4 1P x x= + + . Dalje imamo

5 4 4 3 35 5 1 ( 4 1)( 1) 4( )x x x x x x x x+ + + = + + + + − + ,

pa uzimamo da je 32( )P x x x= − . Postupak nastavljamo: 4 3 3 24 1 ( )( 4) ( 4 1)x x x x x x x+ + = − + + + + ,

23( ) 4 1P x x x= − − − ;

3 2( 4 1)( 4) (14 4)x x x x x x− = − − − − + + + ,

4( ) 7 2P x x= − − ;

2 1 26 3( 4 1) ( 7 2)

7 49 49x x x x

− − − = + − − +

,

5( ) 1P x = − . Dakle, Šturmov sistem polinoma je:

5 4( ) 5 5 1P x x x x= + + + , 4 31 4 1P x x= + + , 3

2( )P x x x= − , 2

3( ) 4 1P x x x= − − − , 4( ) 7 2P x x= − − , 5( ) 1P x = − . Označimo sa ( )N c broj promena znakova u Šturmovom sistemu polinoma

za x c= pri čemu se ne uzimaju oni članovi sistema brojeva ( )P c , 1( )P c ,

2( )P c , ..., ( )nP c koji su jednaki nuli.

Šturmova teorema. Ako polinom ( )P x nema višestrukih korena, ( ) 0P a ≠ i ( ) 0P b ≠ , onda je broj realnih korena ( , )N a b u intervalu ( , )a b

jednak (2) ( , ) ( ) ( )N a b N a N b= − .

Dokaz videti, na primer, u knjizi: А. Г. Курош – Курс высшей алгебры, Москва, 1965., str. 248.

Primer 4. Naći broj realnih rešenja jednačine 5 4

5( ) 5 5 1 0P x x x x≡ + + + = u intervalima: ( , )−∞ ∞ , ( 2, 0)− .

Rešenje. Iskoristićemo dobijeni Šturmov sistem polinoma: 5 4( ) 5 5 1P x x x x= + + + , 4 3

1 4 1P x x= + + , 32( )P x x x= − ,

23( ) 4 1P x x x= − − − , 4( ) 7 2P x x= − − , 5( ) 1P x = − .

Šturmov sistem

Granice intervala

( )P x 1( )P x 2( )P x 3( )P x 4( )P x 5( )P x Broj

promena znakova

−∞ – + – – + – 4 +∞ + + + – – – 1 –2 + – – + + – 3 0 + + 0 – – – 1

247

Koristeći formulu (2) nalazimo da je broj realnih rešenja zadate jednačine na pomenutim intervalima: ( , ) ( ) ( ) 4 1 3N N N−∞ ∞ = −∞ − +∞ = − = , ( 2, 0)N − =

( 2) (0) 3 1 2N N= − − = − = . Navedimo još jednu, jednostavnu a praktičnu, teoremu.

Dekartova teorema. Broj pozitivnih rešenja jednačine 1

0 1( ) 0n nn nP x a x a x a−≡ + + + =⋯ , 0 0a ≠ ,

uzimajući u obzir i višestrukost rešenja jednak je broju promena znakova u sistemu koeficijenata

0 1 2, , , ..., na a a a ,

(gde se koeficijenti koji si jednaki nuli ne uzimaju u obzir) ili je za paran broj manji.

Dokaz videti, na primer, u knjizi Б. П. Демидович, И. А. Марон – Основы bычислительной математики, „Наука”, Москва, 1970. str. 174.

Napomena 3. Broj pozitivnih rešenja jednačine ( ) 0nP x− = jednak je broju

negativnih rešenja jednačine ( ) 0nP x = .

Primer 5. Ispitati koliko pozitivnih, a koliko negativih rešenja ima jednačina

4 3 24( ) 2 52 61 10 0P x x x x x≡ + − − + = .

Rešenje. Kako je broj promena znakova u sistemu koeficijenata zadate jednačine

1 2 –52 –61 10

jednak dva, to jednačina ima dva ili nema pozitivnih rešenja. Posmatrajmo jednačinu 4( ) 0P x− = , tj. jednačinu

4 3 22 52 61 10 0x x x x− − + + = .

Broj promena znakova u sistemu koeficijenata ove jednačine 1 –2 –52 61 10

je takoñe dva, što znači da jednačina ima dva ili nema pozitivnih rešenja.

Dakle, zadata jednačina ili ima dva pozitivna rešenja ili nema pozitivnih rešenja. Isto tako, jednačina ili ima dva negativna rešenja ili nema negativnih rešenja.

Inače, jednačinu možemo zapisati na sledeći način 2 2( 7 1)( 9 10) 0x x x x− + + + = .

Njena rešenja su:

1 7.7015...x = − , 2 1.2984...x = − , 3 0.1458...x = , 4 6.8541...x =

248

Sledeća teorema je vrlo zanimljiva.

Teoreme 5. Ako jednačina 1

0 1( ) 0n nn nP x a x a x a−≡ + + + =⋯ , 0 0a ≠ ,

ima realne koeficijente i sva rešenja realna, onda za njene koeficijente važi relacija

21 1k k ka a a− +> ⋅ , 1, 1k n= − .

Dokaz teoreme izostavljamo.

Posledica. Ako je za neko k tačna nejednakost 2

1 1k k ka a a− +≤ ⋅ ,

onda jednačina ( ) 0nP x = ima bar jedan par kompleksnih rešenja.

Primer 6. Ispitati prirodu rešenja jednačine 4 3 2

4( ) 4 16 12 52 5 0P x x x x x≡ + − + − = .

Rešenje. Kako je 2( 12) 16 51− < ⋅ , tj. 144 832< ,

jednačina ima bar jedan par kompleksnih rešenja, a to znači da je broj realnih rešenja najviše jednak dva. Radi toga, ispitajmo koliko jednačina ima realnih rešenja. Broj promena znakova u sistemu koeficijenata jednačine

4 16 –12 52 –5

je tri, dakle jednačina, na osnovu Dekartove teoreme, ima ili tri ili jedno pozitivno rešenje.

Posmatrajmo jednačinu 4( ) 0P x− = , tj. jednačinu

4 3 24 16 12 52 5 0x x x x− − − − = .

Broj promena znakova u sistemu koeficijenata ove jednačine 4 –16 –12 –52 –5

jednak je jedan, što znači da zadata jednačina ima jedno negativno rešenje.

Na taj način zaključujemo da zadata jednačina ima jedno pozitivno, jedno negativno i jedan par konjugovano–kompleksnih rešenja.

15. METODA LOBAČEVSKI–GREFEA ZA SLU ČAJ REALNIH RAZLI ČITIH REŠENJA

Neka su rešenja 1 2, , ..., nx x x algebarske jednačine

(1) 10 1( ) 0n n

n nP x a x a x a−≡ + + + =⋯ , 0 0a ≠ ,

249

realna i takva da je

(2) 1 2| | | | ... | |nx x x≫ ≫ ≫ ,

gde ≫ znači da je svako rešenje kx , 1, 1k n= − , po apsolutnoj vrednosti znatno

veće od sledećeg rešenja 1kx + . Drugim rečima,

(3) 21

1

ε 1x

x= ≪ , 3

22

ε 1x

x= ≪ , ..., 1

1

ε 1nn

n

x

x −−

= ≪ .

Iskoristimo Vietove formule za jednačinu (1):

(4)

11 2 3 1

0

21 2 1 3 1 2 3 1

0

31 2 3 1 2 4 1 2 1 3 4 2 1

0

1 11 2 2 1 1 2 2 1 2 3 1

0

1 2 10

,

,

,

( 1) ,

( 1) ,

n n

n n n

n n n n

n nn n n n n n

n nn n

ax x x x x

a

ax x x x x x x x x x

a

ax x x x x x x x x x x x x x x

x

ax x x x x x x x x x x x

a

ax x x x

a

−

−

− −

− −− − − − −

−

+ + + + + = −

+ + + + + + =

+ + + + + + = −

+ + + = −

= −

⋯

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮

… … ⋯ …

…

imaćemo

(5)

3 12 11

1 1 1 1 0

1 3 1 2 3 1 21 2

1 2 1 2 1 2 1 2 0

1 2 1 3 4 2 1 31 2 41 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0

1 21 2 2 1

1 ,

1 ,

1 ,

1

n n

n n n

n n n n

n n

x x xx ax

x x x x a

x x x x x x x x ax x

x x x x x x x x a

x x x x x x x x x ax x xx x x

x x x x x x x x x x x x a

x xx x x x

−

−

− −

− −

+ + + + + = −

+ + + + + + =

+ + + + + + = −

+

⋯

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮

……

12 2 3 1 1

1 2 2 1 1 2 2 1 0

1 2 10

( 1) ,

[1 0] ( 1) .

nn n n n n

n n n n

n nn n

x x x x x x a

x x x x x x x x a

ax x x x

a

−− − −

− − − −

−

+ + = −

+ = −

…⋯

… …

…

250

S obzirom na (2), odnosno (3), iz prethodnih jednakosti dobijamo:

11

0

21 2

0

31 2 3

0

1 11 2 2 1

0

1 2 10

,

,

,

( 1) ,

( 1) ,

n nn n

n nn n

ax

a

ax x

a

ax x x

a

ax x x x

a

ax x x x

a

− −− −

−

≈ −

≈

≈ −

≈ −

≈ −

⋮

…

…

a odavde nalazimo:

11

0

,a

xa

≈ −

2 2 1 22 1

0 0 0 1

: : ,a a a a

x xa a a a

≈ = − = −

3 3 323 1 2

0 0 0 0

: : ,a a aa

x x xa a a a

≈ − = − = −

⋮

1 11 2 2 1

0 0 0 1

( 1) : ( ) ( 1) : ( 1) .n n nn n n nn n n

n

a a a ax x x x x

a a a a− −

− −−

≈ − = − − = −…

Drugim rečima, ako su rešenja jednačine dovoljno razmaknuta, tj. ako važi (2), onda približne vrednosti rešenja jednačine dobijamo iz sledećeg sistema linearnih jednačina

0 1 1

1 2 2

2 3 3

1

0,

0,

0,

0.n n n

a x a

a x a

a x a

a x a−

+ =+ =+ =

+ =⋮

Tačnost približnih vrednosti rešenja zavisi, nestrogo govoreći, od toga koliko su

veličine εk , 1, 1k n= − , u (3), malene.

Dakle, prirodno se postavlja pitanje kako transformisati zadatu jednačinu u novu jednačinu koja ima dovoljno razmaknuta rešenja.

251

Neka su rešenja 1 2, , ..., nx x x algebarske jednačine

(6) 10 1( ) 0n n

n nP x a x a x a−≡ + + + =⋯ , 0 0a ≠ , realna i takva da je

1 2| | | | ... | |nx x x> > > Polazeći od ove jednačine odgovarajućim transformacijama treba formirati jednačinu oblika

( ) ( ) 1 ( )0 1( ) 0k n k n k

n nP y a y a y a−≡ + + + =⋯ , ( )0 0ka ≠ ,

koja ima rešenja 1 2, , ..., ny y y takva da je

1 1ky x= , 2 2

ky x= , ..., kn ny x= .

Najčešće se uzima da je eksponent k jednak stepenu broja 2, tj. 2pk = , p N∈ .

Na taj način, dovoljno je pokazati kako se jednačina čija su rešenja 1 2, , ..., nx x x transformiše u novu jednačinu čija su rešenja jednaka kvadratima rešenja prethodne jednačine. Odgovarajući postupak nazvaćemo proces kvadriranja rešenja jednačine, odnosno proces kvadriranja korena polinoma. Zapišimo polinom ( )nP x na sledeći način

0 1 2( ) ( )( ) ( )n nP x a x x x x x x= − − −⋯ ; tada je

0 1 2( ) ( 1) ( )( ) ( )nn nP x a x x x x x x− = − + + +⋯

i 2 2 2 2 2 2 20 1 2( ) ( ) ( 1) ( )( ) ( )n

n n nP x P x a x x x x x x⋅ − = − − − −⋯ .

Ako stavimo 2y x= − , dobićemo polinom 2 2 2 20 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )n n n nQ y P x P x a y x y x y x= ⋅ − = + + +⋯ ,

koji, očigledno, ima korene 2

k ky x= − , 1,k n= . Kako je

1 20 1 2 1( ) n n n

n n nP x a x a x a x a x a− −−= + + + + +⋯

i 1 2 1

0 1 2 1( ) ( 1) [ ( 1) ( 1) ]n n n n n nn n nP x a x a x a x a x a− − −

−− = − − + − + − + −⋯ ,

množenjem ( ) ( )n nP x P x⋅ − dobijamo 2 2 2 2 10 1 0 2

2 2 2 1 2 2 22 1 3 0 4 1 2

2 2 1 2 20 1 0 2 2 1 3 0 4

1 21 2

( ) ( ) ( 1) [ ( ) ( 2 )( )

( 2 2 )( ) ( 1) ( 2 ) ( 1) ]

( 1) [ ( ) ( 2 )( ) ( 2 2 )( )

( 1) ( 2 )( ) (

n n nn n

n n nn n n n

n n n n

nn n n

P x P x a x a a a x

a a a a a x a a a x a

a y a a a y a a a a a y

a a a y

−

− −− −

− −

−− −

⋅ − = − − − +

+ − + − + − − + − =

= − − − − − + − + − −

− − − − +

⋯

⋯2

2 2 1 2 2 2 20 1 0 2 2 1 2 0 4 1 2

1) ]

( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ,

nn

n n nn n n n

a

a y a a a y a a a a a y a a a y a− −− −

− =

= + − + − + + + − +⋯

gde smo umesto 2x stavili y− .

252

Na taj način dobijamo jednačinu 1 2

0 1 2 1( ) 0n n nn n nQ y A y A y A y A y A− −

−≡ + + + + + =⋯ , gde je

20 0A a= ,

21 1 0 22A a a a= − ,

22 2 1 3 0 42 2A a a a a a= − + ,

⋮ 2

1 1 22n n n nA a a a− − −= − , 2

n nA a= , koja ima rešenje jednaka kvadratima rešenja polazne jednačine.

Prethodne formule kratko možemo zapisati na sledeći način

2

1

2 ( 1)k

sk k k s k s

s

A a a a− +=

= + − ⋅∑ ,

0,1, 2, ...,k n= ; 0sa = za 0s .

Važi pravilo: Kod kvadriranja rešenja, odnosno korena, svaki koeficijent transformisane jednačine jednak je kvadratu odgovarajućeg koeficijenta prethodne jednačine umanjenom za dvostruki proizvod prvih susednih koeficijenata, pa uvećan za dvostruki proizvod sledećih susednih koeficijenata i tako dalje.

Ako se proces kvadriranja ponovi dovoljan broj puta, dobiće se jednačina koja ima rešenja

1 1ky x= − , 2 2

ky x= − , 3 3ky x= − , ..., k

n ny x= − za koja važi

1 2 3| | | | | | ... | |ny y y y≫ ≫ ≫ ≫ . Neka je to jednačina

1 20 1 2 1 0n n n

n nb y b y b y b y b− −−+ + + + + =⋯ ;

njena rešenja su 2pk

m m my x x= − = − , 1,m n= .

Ako je p dovoljno veliko, rešenja ky su razmaknuta i mogu se izračunati iz sledećeg sistema linearnih jednačina

0 1 1

1 2 2

2 3 3

1

0,

0,

0,

0.n n n

b y b

b y b

b y b

b y b−

+ =+ =+ =

+ =⋮

Dakle, rešenja jednačine 1

0 1( ) 0n nn nP x a x a x a−≡ + + + =⋯ , 0 0a ≠ ,

253

do na znak jednaka su

2

1 1

| | pm mk km mm m

b bx y

b b− −

= − = = , 1,m n= .

Znaci rešenja mx se odreñuju ili direktnom zamenom u jednačinu ili na osnovu veze izmeñu rešenja i koeficijenata jednačine ili primenom Dekartove teoreme ili na neki drugi načina.

Pravilo prekidanja procesa kvadriranja rešenja glasi: Proces kvadriranja rešenja treba prekinuti ako su koeficijenti neke transformisane jednačine u granicama računanja jednaki kvadratima koeficijenata prethodne transformi-sane jednačine, odnosno ako su dvostruki proizvodi „ iščezli”, jednaki nuli u granicama računanja.

Primena metode Lobačevski–Grafea je preglednija ako se računanja zapisuju u tabelu sledećeg oblika.

p 0a 1a 2a ... ka ... 1na − na

20a 2

1a 22a ... 2

ka ... 21na − 2

na

0 22a a− 1 32a a− ... 1 12 k ka a− +− ... 22 n na a−−

0 22a a ... 2 22 k ka a− ++ ... ... ⋮ ... 1 0A 1A 2A ... ... 1nA − nA

⋮

0b 1b 2b ... kb ... 1nb − nb

Primer 1. Metodom Lobačevski–Grafea rešiti jednačinu 4 3

4 6 36 20 0P x x x≡ + − − = . Rešenje. Računanje je dato u sledećoj tabeli.

p 0a 1a 2a 3a 4a

0 1 6 0 –36 –20 1 36 0 1296 400 –0 +432 –0 –40 1 36 392 1296 400 1 1 3.6000·101 3.9200·102 1.2960·103 4.0000·104 1 12.9600·102 15.3664·104 1.6796·106 1.6000·105 7.8400·102 –9.3312·104 –0.3136·106 0.0800·104 2 1 5.1200·102 6. 1152·104 1.3660·106 1.6000·105 1 2.6214·105 3.7396·109 1.8660·1012 2.5600·1010 –1.2230·105 –1.3988·109 –0.0196·1012 0.0003·109 3 1 1.3984·105 2.3411·109 1.8464·1012 2.5600·1010

254

1 1.9555·1010 5.4807·1018 3.4092·1024 6.5536·1020 –0.4682·1010 –0.5164·1018 –0.0001·1024 0.0000·1018 4 1 1.4873·1010 4.9643·1018 3.4091·1024 6.5536·1020 1 2.2121·1020 2.4644·1037 1.1622·1049 4.2950·1041 –0.0993·1020 –0.0101·1037 –0.0000·1049 0.0000·1037 5 1 2.1128·1020 2.4543·1037 1.1622·1049 4.2950·1041 1 4.4639·1040 6.0236·1074 1.3507·1098 1.8447·1083 –0.0049·1040 –0.0000·1074 –0.0000·1098 0.0000·1074 6 1 4.4590·1040 6.0236·1074 1.3512·1098 1.8447·1083 1 1.9883·1081 3.6284·10149 1.8244·10196 3.4029·10166 –0.0000·1081 –0.0000·10149 –0.0000·10196 0.0000·10149 7 1 1.9883·1081 3.6284·10149 1.8244·10196 3.4029·10166 b0 b1 b2 b3 b4

Izračunajmo rešenja jednačine:

81128

1

1.9883 10| |

1x

⋅= , 1

1log | | (log1.9883 81) 0.63514

128x = + = ,

1| | 4.3166x = ;

149128

2 81

3.5284 10| |

1.9883 10x

⋅=⋅

,

2

1log | | (log3.6284 149 log1.9883 81) 0.53329

128x = + − − = , 2| | 3.4142x = ;

196128

3 149

1.8244 10| |

3.6284 10x

⋅=⋅

,

3

1log | | (1.8244 196 log3.6284 149) 0.36485

128x = + − − = , 3| | 2.3166x = ;

166128

4 196

3.4029 10| |

1.8244 10x

⋅=⋅

,

4

1log | | (3.4029 166 log1.8244 196) 0.23226

128x = + − − = − , 4| | 0.58579x = .

Direktnom zamenom nalazimo da su rešenja jednačine: 1 4.3166x = − ,

2 3.4142x = − , 3 2.3166x = i 4 0.58579x = − .

255

16. METODA LOBAČEVSKI–GREFEA ZA SLU ČAJ PARA KONJUGOVANO–KOMPLEKSNIH REŠENJA

Neka su rešenja 1 2 1, , , , , ...,m m nx x x x x+… algebarske jednačine

(1) 10 1( ) 0n n

n nP x a x a x a−≡ + + + =⋯ , 0 0a ≠ , takva da je (2) 1 2 1| | | | | | | | ... | |m m nx x x x x=> > > = > >⋯

i pri tome su 1 2 1 2, , , , , ...,m m nx x x x x− +… realna rešenja, a mx i 1mx + su jedan par konjugovano–kompleksnih rešenja, dakle,

mx u iv= + , 1mx u iv+ = − , , \ 0u R v R∈ ∈ . Primenom procesa kvadriranja rešenja, odnosno korena, dobija se jednačina

1 1 10 1 1 1 0n n n m n m n m

m m m nb y b y b y b y b y b− − + − − −− ++ + + + + + + =⋯ ⋯

koja ima rešenja 2 , 1,

pks s sy x x s n= − = − = .

Za dovoljno veliko p realna rešenja se dobijaju iz sistema linearnih jednačina

0 1 1

1 2 2

2 1 1

1 2 2

1

0,

0,

0,

0,

0;

m m m

m m m

n n n

b y b

b y b

b y b

b y b

b y b

− − −

+ + +

−

+ =+ =

+ =+ =

+ =

⋮

⋮

dakle,

2

1 1

| | , , 1ps sk ks ss s

b bx y s m s m

b b− −

= − = = ≠ ≠ + .

Znaci rešenja ,sx s m≠ i 1s m≠ + se odreñuju ili direktnom zamenom u jednačini ili primenom Dekartove teoreme ili na neki drugi način.

Pravilo prekidanja procesa kvadriranja rešenja glasi: Proces kvadriranja rešenja treba prekinuti ako su koeficijenti

0 1 1 1, , , , , ,m m nb b b b b− +… …

neke transformisane jednačine jednaki kvadratima odgovarajućih koeficijenata prethodne jednačine, u granicama računanja, odnosno ako su dvostruki proizvodi „iščezli”, jednaki nuli u granicama računanja. Kod izračunavanja koeficijenata mb dvostruki proizvodi, uopšte govoreći, ne isčezavaju nego za

dovoljno veliko p postaju dominantni, tj. po apsolutnoj vrednosti su veći od kvadrata odgovarajućeg koeficijenta. Može se desiti da pri tom menjaju znak. Ovakvo ponašanje ukazuje da jednačina ima par konjugovano–kompleksnih rešenja ili par realnih rešenja koja su jednaka po apsolutnoj vrednosti.

256

Rešenja my i 1my + koja odgovaraju kompleksnim rešenjima mx u iv= + i

1mx u iv+ = − približno zadovoljavaju kvadratnu jednačinu 2

1 1 0m m mb y b y b− ++ + = . Kako je

2 2 21 1, | | | |m m m mx x u v r r x x+ +⋅ = + = = = ,

to imamo 2 2 2

1 1( ) ( )p p

m m m my y x x r+ +⋅ = ⋅ = , odnosno

2 2 1

1

( )p m

m

br

b+

−

= , tj. 2 12

1

p m

m

br

b+

−

= .

Realni deo u nalazimo iz sledeće relacije

11 2 1 1 2

0

11 2 1 2

0

( ) ,

2 ,

m m m m n

m m n

ax x x x x x x

aa

x x x u x xa

− + +

− +

+ + + + + + + + = −

+ + + + + + + = −

⋯ ⋯

⋯ ⋯

dakle,

11 2 1 2

0

1( )

2 2 m m n

au x x x x x

a − += − − + + + + +⋯ ⋯ .

Sad jednostavno nalazimo imaginarni deo 2 2v r u= − .

Napomena. Može se primetiti da za primenu metode Lobačevski–Grefea nije neophodno prethodno utvrditi prirodu rešenja jednačine. U procesu kvadriranja rešenja priroda rešenja se na odreñeni način ispoljava.

Primer 1. Metodom Lobačevski–Grefea rešiti jednačinu 4 3 2

4( ) 3 8 5 0P x x x x≡ − + − = . Rešenje. Računanje je dato u sledećoj tabeli.

p a0 a1 a2 a3 a4 0 1 –3 8 0 –5 1 9 64 0 25 –16 –0 80 –10 1 –7 54 80 25 1 1 –7.00000·100 5.40000·101 8.00000·101 2.50000·101 1 4.90000·101 2.91600·103 6.40000·103 6.250000·102 –10.80000·101 1.12000·103 –2.70000·103 0.05000·103 2 1 –5.90000·101 4.08600·103 3.70000·103 6.250000·102 1 3.48100·103 1.66954·107 13.69000·106 3.90625·105 –8.17200·103 0.04366·107 –5.10750·106

257

0.00012·107 3 1 –4.69100·103 1.71332·107 8.58250·106 3.90625·105 1 2.20055·107 2.93547·1014 7.36593·1013 1.52588·1011 –3.42664·107 0.00081·1014 –1.33853·1013 0.00000·1014 4 1 –1.22609·107 2.936528·1014 6.02740·1013 1.52588·1011 1 1.50330·1014 8.62174·1028 3.63296·1027 2.32831·1022 –5.87256·1014 0.00000·1028 –0.08961·1027 0.00000·1028 5 1 –4.36926·1014 8.62174·1028 3.54335·1027 2.32831·1022 1 19.09043·1028 7.43344·1057 1.25553·1055 5.42103·1044 –17.24348·1028 0.00000·1057 –0.00040·1055 0.00000·1057 6 1 1.84695·1028 7.43344·1057 1.25513·1055 5.42103·1044 1 0.03411·1058 5.52560·10115 1.57535·10110 2.93876·1089 –1.48669·1058 –0.00000·10115 –0.00000·10110 0.00000·10115 7 1 –1.45258·1058 5.52560·10115 1.57535·10110 2.93876·1089 b0 b1 b2 b3 b4

Jednačina ima jedan par konjugovano–kompleksnih rešenja i dva realna rešenja.

Prvo računamo realna rešenja.

1103 1281283 1152

1.57535 10| |

5.52560 10

bx

b

⋅= =⋅

,

3

1log | | (log1.57535 110 log5.52560 115) 0.956681

128x = + − − = − ,

3| | 0.90506x = ;

894 1281284 1103

2.93876 10| |

1.57535 10

bx

b

⋅= =⋅

,

4

1log | | (log 2.93876 89 log1.57535 110) 0.83805 1

128x = + − − = − ,

4| | 0.68874x = .

Neposrednom proverom zaključujemo da je 3 0.90506x = i 4 0.68874x = − .

Izračunajmo kompleksna rešenja 1,2x u iv= ± .

1152 2 2 2 128128

0

5.52560 10

1

br u v

b

⋅= + = = ,

258

2 1log (log5.52560 115 0) 0.90424

128r = + − = , 2 8.02116r = ;

13 4

0

1 1(3 0.90506 0.68874) 1.39184

2 2

au x x

a

= − − − = − + =

;

2 2 6.08394 2.46656v r u= − = = , 1,2 1.39184 2.46656x i= ± ⋅ .

17. BERNULIJEVA METODA

Neka algebarska jadnčina

(1) 10 1( ) 0n n

n nP x a x a x a−≡ + + + =⋯ , 0 0a ≠ ,

ima realna rešenja 1 2, , ..., nx x x takva da je

(2) 1 2 3| | | | | | | |nx x x x> > > >⋯ .

Posmatrajmo sledeću diferencnu jednačinu

(3) 0 1 1 0n i n i n ia y a y a y+ + −+ + + =⋯ , 0,1, 2, ...i = ,

koja, ustvari, predstavlja rekurentnu relaciju za izračunavanje članova niza

0 1 2, , , ..., , ...iy y y y

ako je poznato prvih n članova niza: 0 1 2 1, , , ..., ny y y y − ,

(4) 1 1 2 20

1( )n i n i n i n iy a y a y a y

a+ + − + −= − + + +⋯ , 0,1, 2, ...i = ,

Niz ( )iy f i= , 0,1, 2, ...i = , čiji članovi zadovoljavaju diferencnu jednačinu (3) je njeno rešenje.

Iz teorije konačnih razlika poznato je da je opšte rešenje diferencne jednačine (3) sledećeg oblika

(5) 1 1 2 2i i i

i n ny C x C x C x= + + +⋯ , 0,1, 2, ...i = ,

gde su 1 2, , ..., nC C C proizvoljne konstante a 1 2, , ..., nx x x rešenja algebarske jednačine (1). Dakle, jednačina (1) je karakteristična jednačina diferencne jednačine (3).

Ako izaberemo početne vrednosti 0 1 2, , , ..., ny y y y niza ( )iy f i= , onda konkretne vrednosti proizvoljnih konstanata možemo odrediti iz sledećeg sistema nehomogenih linearnih algebarskih jednačina

(6)

0 0 01 1 2 2 0

1 1 11 1 2 2 1

1 1 11 1 2 2 1

,

,

.

n n

n n

n n nn n n

C x C x C x y

C x C x C x y

C x C x C x y− − −−

+ + + =+ + + =

+ + + =

⋯

⋯

⋮

⋯

259

Determinanta ovog sistema je Vandermondova determinanta

1 2

1

1 1 11 2

1 1 1

( ) 0n

i ji j n

n n nn

x x xD x x

x x x≤ < ≤

− − −

= = − ≠∏

⋯

⋯

⋮

⋯

.

Dakle, sistem (6) ima jedinstveno rešenje 1 2, , ..., nC C C , pa je posebno, partikularno rešenje diferencne jednačine, dobijeno iz opšteg rešenja (5), jednako

1 1 2 2( ) i i ii p n ny C x C x C x= + + +⋯ , 0,1, 2, ...i = ,


Teorema. Neka algebarska jednačina (1) ima jedinstveno, po apsolutnoj vrednosti najveće rešenje 1x . Ako je ispunjen uslov (2), onda je

11 lim i

ii

yx

y+

→∞= .

Dokaz. Kako je

21 1 2 2 1 1 1

1 1

i i

i i i i ni n n n

xxy C x C x C x x C C C

x x

= + + + = + + +

⋯ ⋯

i 1 1

1 1 1 1 21 1 1 2 2 1 1 1

1 1

i i

i i i i ni n n n

xxy C x C x C x x C C C

x x

+ ++ + + +

+

= + + + = + + +

⋯ ⋯ ,

to je

(7)

1 1

21 2

1 111

21 2

1 1

i i

nn

ii i

i nn

xxC C C

x xyx

y xxC C C

x x

+ +

+

+ + +

= ⋅

+ + +

⋯

⋯

.

Ako pretpostavimo da je 1 0C ≠ , tada prelaskom na limes u prethodnoj jednakosti kada i → ∞

11 lim i

ii

yx

y+

→∞= .

Napomena 1. Pretpostavka da je 1 0C ≠ nije praktično nikakvo ograni-

čenje. Naime, pogodnim izborom početnih vrednosti 0 1 1, , ..., ny y y − uvek se

može postići da bude 1 0C ≠ . Na primer, ako uzmemo da je 0 1 ...y y= = =

2 0ny −= = i 1 1ny − = , biće 1 0C ≠ .

260

Napomena 2. Ako bi, zbog slučajnog izbora početnih vrednosti 0 1, , ...,y y

1ny − , bilo 1 0C = , onda bismo koristeći relaciju analognu relaciji (7) teorijski

dobili 2x . Meñutim, to se neće dogoditi. Zbog grešaka zaokrugljivanja na nekoj

etapi računanja pojaviće se 1C koje je različito od nule, pa će u daljem procesu

računanja prvi sabirak 1 1iC x postati dominantan u odnosu na ostale sabirke.

Napomena 3. Ako primenimo Bernulijevu metodu na jednačinu 1

0nPx

=

, onda ćemo dobiti najmanje rešenje jednačine ( ) 0nP x = .

Napomena 4. Ako je najveće rešenje, po apsolutnoj vrednosti, približno jednako α, onda je praktično uzeti za početne vrednosti: 1 1y = , 2 αy = , ...,

11 αn

ny −− = .

Primer 1. Bernulijevom metodom izračunati približnu vrednost rešenja 1x jednačine

4 3 24( ) 3 6 9 7 0P x x x x x≡ − − + + = .

Rešenje. Odgovarajuća diferencna jednačina je

4 3 2 13 6 9 7i i i i iy y y y y+ + + += + − − , 0,1, 2, ...i =

Za početne vrednosti uzimamo: 0 1 2 0y y y= = = , 3 1y = . Izračunajmo sledeće

vrednosti 4iy ≥ , koristeći prethodnu diferencnu jednačinu. Rezultati računanja su dati u sledećoj tabeli.

i iy 1

i

i

y

y −

i iy 1

i

i

y

y −

3 1 12 178236 3.8251 4 3 3.0000 13 682740 3.8305 5 15 5.0000 14 2613276 3.8276 6 54 3.6000 15 10005965 3.8289 7 218 4.0370 16 383052·102 3.8282 8 822 3.7706 17 146653·103 3.8285 9 3183 3.8723 18 561444·103 3.8284 10 12141 3.8143 19 214946·104 3.8284 11 46597 3.8380

Dakle, 1 3.828x = .

261

V NUMERI ČKE METODE REŠAVANJA SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNA ČINA

0. UVODNE NAPOMENE

Neka je dat sistem linearnih algebarskih jednačina

(1)

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

,

,

,

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =

⋯

⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯

gde su koeficijenti ija , , 1,i j n= , i slobodni članovi ib , 1,i n= , ili tačni ili

približni brojevi a ix , 1,i n= , nepoznate veličine. Uvedimo sledeće oznake:

matricu sistema (1) označimo sa A, kolonu slobodnih članova sa b i sa x kolonu nepoznatih, tj.

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

=

…

…

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯

,

1

2

n

b

bb

b

=

⋮,

1

2

n

x

xx

n

=

⋮.

Sistem (1) možemo zapisati u matričnom obliku (1') Ax = b, ili u vektorskom obliku

(1'') Ax b= , gde kolonu slobodnih članova i kolonu nepoznatih treba shvatiti kao vektor–ko-lone.

Rešenje sistema od n jednačina (atribute „algebarske“ i „linearne“ najčešće ćemo izostavljati) sa n nepoznatih je ureñena n–torka brojeva, ako takva postoji (odnosno, vektor) koja uvršćena umesto nepoznatih, redom prva komponenta umesto prve, druga umesto druge, ..., n–ta umesto n–te nepoznate, pretvara taj sistem u tačne numeričke jednakosti. Rešiti dati sistem jednačina znači naći sva njegova rešenja, ako sistem ima rešenja ili utvrditi da sistem jednačina nema rešenja ako ih, zaista, nema.

Ako je 0b = , sistem (1) je homogen i ima netrivijalno rešenje tada i samo tada kada je det A = 0. Ako je bar jedna komponenta ib različita od nule, tj. bar jedan slobodni član različit od nule, sistem je nehomogen i ima jedinstveno rešenje tada i samo tada kada je det A ≠ 0. Mi ćemo posmatrati nehomogene sisteme kod kojih je ispunjen uslov det A ≠ 0.

262

Rešenje sistema (1) može se dobiti primenom Kramerovog pravila

ii

Dx

D= , 1,i n= ,

gde je D = det A determinanta sistem a iD , 1,i n= , su determinante nepoznatih

ix , 1,i n= . Nepraktičnost primene Kramerovog pravila dolazi do potpunog izražaja već kod sistema jednačina za relativno malo n. (Npr. za n = 8 broj

množenja i deljenja je reda 510 ). Rešenje sistema (1) se može dobiti i u matričnom obliku

1x A b−= ,

gde je nalaženje inverzne matrice 1A− matrice A povezano s dobro poznatim te-škoćama – broj računskih operacija je takoñe velik.

Numeričke metode rešavanja sistema (1) se dele u dve osnovne grupe: tačne i iterativne. Pod tačnom metodom podrazumeva se metoda koja daje rešenje pomoću konačnog broja elementarnih aritmetičkih operacija. Broj tih operacija zavisi samo od oblika sheme računanja i reda sistema. Iterativna metoda daje rešenje kao graničnu vrednost niza uzastopnih aproksimacija, izračunatih nekim jednakoobraznim procesom računanja. Kod primene iterativnih metoda suštinska je, ne samo konstrukcija iterativnog procesa i konvergencija, nego i brzina konvergencije.

Ako su svi koeficijenti ija , , 1,i j n= , i slobodni članovi ib , 1,i n= , tačni

brojevi, rešenje sistema se može dobiti sa proizvoljnim, unapred zadatim brojem m tačnih decimala. Računanje treba izvesti s m + 1 (a za velik broj nepoznatih sa m + 2 ili m + 3) decimalom. Izračunate nepoznate veličine treba zaokrugliti na m decimala.

Ako su koeficijenti ija , , 1,i j n= , ili slobodni članovi ib , 1,i n= , približni

brojevi s najmanje p tačnih decimala, treba postupiti kao u prethodnom slučaju, gde je m = p.

1. GAUSOVA METODA – SHEMA JEDINSTVENOG DELJENJA

Istorijski je prva metoda; vrlo je jednostavna i prirodna. Sastoji se u uzastopnom eliminisanju nepoznatih (i zato se zove metoda eliminacije), odnosno transformisanju datog sistema u njemu ekvivalentan sistem, koji ima trougaonu matricu sistema – što predstavlja direktan hod. Obrnut hod je

izračunavanje samih vrednosti nepoznatih ix , 1,i n= .

Ne smanjujući opštost pokažimo to na primeru sistema od četiri jednačine s četiri nepoznate, tj. za n = 4. Dakle,

263

(1)

11 1 12 2 13 3 14 4 15

21 1 22 2 23 3 24 4 25

31 1 32 2 33 3 34 4 35

41 1 42 2 43 3 44 4 45

,

,

,

,

a x a x a x a x a

a x a x a x a x a

a x a x a x a x a

a x a x a x a x a

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =

gde je 5i ia b= , 1, 4i = . Neka je a11 ≠ 0 (prvi vodeći element). Podelimo li prvu jednačinu sistema (1) vodećim elementom a11, dobićemo

(2) 1 12.0 2 13.0 3 14.0 4 15.0x b x b x b x b+ + + = ,

gde su koeficijenti

11 .0

11

jj

ab

a= , j > 1.

Pomnožimo li ovu jednačinu redom s 21a , 31a , 41a i oduzmemo redom od druge, treće, četvrte jednačine sistema (1), dobićemo

(1') 22.1 2 23.1 3 24.1 4 25.1

32.1 2 33.1 3 34.1 4 35.1

42.1 2 43.1 3 44.1 4 45.1

,

,

.

a x a x a x a

a x a x a x a

a x a x a x a

+ + =+ + =+ + =

gde su koeficijenti

.1 1 .0ij ij i ija a a b= − , i, j ≥ 2.

Neka je 22.1 0a ≠ (drugi vodeći element). Podelimo li prvu jednačinu

sistema (1') vodećim elementom 22.1a , dobićemo

(2') 2 23.1 3 24.1 4 25.1x b x b x b+ + = ,

gde su koeficijenti

2 .12 .1

22.1

jj

ab

a= , j > 2.

Pomnožimo li ovu jednačinu redom s 32.1a , 42.1a i oduzmemo redom od

druge, treće jednačine sistema (1′), dobićemo

(1'') 33.2 3 34.2 4 35.2

43.2 3 44.2 4 45.2

,

,

a x a x a

a x a x a

+ =+ =

gde su koeficijenti

.2 .1 2.1 2 .1ij ij i ja a a b= − , i, j ≥ 3.

Neka je 33.2 0a ≠ (treći vodeći element). Podelimo li prvu jednačinu

sistema (1'') vodećim elementom 33.2a , dobićemo

(2'') 3 34.2 4 35.3x b x b+ = , gde su koeficijenti

3 .23 .2

33.2

jj

ab

a= , j > 3.

264

Pomnožimo li ovu jednačinu sa 43.2a i oduzmemo od druge jednačine sistema (1''), dobićemo

(1''') 44.3 4 45.3a x a= ,

gde su koeficijenti

.3 .2 3.2 3 .2ij ij i ja a a b= − , i, j ≥ 4.

Neka je 44.3 0a ≠ (četvrti vodeći element). Podelimo li prvu (i jedinu) jednačinu

sistema (1''') vodećim elementom 44.3a , dobićemo

(2''') 4 45.3x b= ,

gde je koeficijent

45.345.3

44.3

ab

a= .

Odgovarajući ekvivalentni sistem sa trougaonom matricom je

1 12.0 2 13.0 3 14.0 4 15.0

2 23.1 3 24.1 4 25.1

3 34.2 4 35.2

4 45.3

,

,

,

.

x b x b x b x b

x b x b x b

x b x b

x b

+ + + =+ + =

+ ==

Nepoznate veličine se izračunavaju na sledeći način: iz poslednje jednačine je

4 45.3x b= ;

zamenimo li izračunatu vrednost 4x u pretposlednju jednačinu, imaćemo

3 35.2 34.2 45.3x b b b= − ;

i tako redom izračunavamo 2x i 1x . Računski proces je pregledniji ako se koristi tzv. shema jedinstvenog delje-

nja. Za kontrolu računanja koristi se tzv. kontrolna kolona (kolona ijaΣ ):

1) zbir elemenata u svakoj vrsti (bez elemenata u kontrolnoj koloni) jednak je elementu u kontrolnoj koloni, koji se dobija primenom istih računskih operacija na element kontrolne kolone, 2) ako u datom sistemu izvršimo smenu

1i ix x′ = + , onda za odreñivanje veličina ix′ dobijamo sistem s istim koeficije-ntima i slobodnim članovima, koji su jednaki elementima u kontrolnoj koloni.

Za direktan hod potreban broj množenja i deljenja (bez kontrolne kolone) je

2 2 2 1( 1) ( 1) 1 2 (1 2 ) (1 2 ) ( 1)( 2)

3n n n n n n n n n+ + − + + ⋅ = + + + + + + + = ⋅ + +⋯ ⋯ ⋯

i isto toliko oduzimanja. Za obrnut hod potrebno je ( 1)

2

n n− množenja i deljenja

i isto toliko oduzimanja. Ukupan broj aritmetičkih operacija je

265

2( 1)( 2) ( 1)

3N n n n n n= ⋅ + + + − ,

dakle broj računskih operacija je reda 3n .

i 1ia 2ia 3ia 4ia 5ia ijjaΣ

1 11a 12a 13a 14a 15a 1 jjaΣ

2 21a 22a 23a 24a 25a 2 jjaΣ

3 31a 32a 33a 34a 35a 3 jjaΣ

4 41a 42a 43a 44a 45a 4 jjaΣ

1 1 12.0b 13.0b 14.0b 15.0b 1 .0jjbΣ

2 22.1a 23.1a 24.1a 25.1a 2 .1jjaΣ

3 32.1a 33.1a 34.1a 35.1a 3 .1jjaΣ

4 42.1a 43.1a 44.1a 45.1a 4 .1jjaΣ

2 1 23.1b 24.1b 25.1b 2 .1jjbΣ

3 33.2a 34.2a 35.2a 3 .2jjaΣ

4 43.2a 44.2a 45.2a 4 .2jjaΣ

3 1 34.2b 35.2b 3 .2jjbΣ

4 44.3a 45.3a 4 .3jjaΣ

4 1 45.3b 4 .3jjbΣ

4 1 4x 4x′

3 1 3x 3x′

2 1 2x 2x′

1 1 1x 1x′

U slučaju simetrične matrice sistema u shemi se mogu izostaviti elementi ispod glavne dijagonale. Veoma je jednostavna i može se primeniti za istovre-meno rešavanje više sistema jednačina koji imaju istu matricu sistema. Ova činjenica može biti iskorišćena i za izračunavanje inverzne matrice. Metoda se veoma jednostavno može primeniti i za izračunavanje vrednosti determinanata.

Ako je neki od vodećih elemenata 0iia = , onda treba permutovati vrste ili kolone tako da element u gornjem levom uglu na toj etapi računanja bude različit od nule. Dakle, celishodno je ovu metodu modifikovati ne odreñujući a priori redosled eliminacije nepoznatih.

266

Ako je neki od vodećih elemenata iia blizak nuli, onda dolazi do velikog gubljenja tačnosti, pa je i u tom slučaju celishodno metodu modifikovati u ranije navedenom smislu.

Primer 1. Gausovom metodom, koristeći shemu jedinstvenog deljenja, rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3.67 0.78 0.89 0.90 2.90,

0.78 3.56 0.67 0.78 3.82,

0.89 0.67 3.45 0.56 2.24,

0.90 0.78 0.56 3.34 3.96.

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =

Rešenje. Rešenje je dato sledećom tabelom

i 1ia 2ia 3ia 4ia 5ia ijaΣ

1 3.67 0.78 0.89 0.90 2.90 9.14000 2 0.78 3.56 0.67 0.78 3.82 9.61000 3 0.89 0.67 3.45 0.56 2.24 7.81000 4 0.90 0.78 0.56 3.34 3.96 9.54000 1 1 0.21253 0.24251 0.24523 0.79019 2.490460000

2 3.39423 0.48084 0.58872 3.20365 7.667440000

3 0.48085 3.23417 0.34175 1.53673 5.59350 (49)

4 0.58872 0.34174 3.11929 3.24883 7.29858 (9) 0

2 1 0.14166 0.17345 0.94385 2.25896

3 3.16605 0.25835 1.08288 4.50728

4 0.25834 3.01718 2.69317 5.96869

3 1 0.081600 0.34203 1.42363

4 2.99610 2.60481 5.60091

4 1 0.86940 1.86940

4 1 0.86940 1.86940

3 1 0.27109 1.27109

2 1 0.75465 1.75465

1 1 0.35086 1.35086

Rešenje sistema je (0.3509, 0.7546, 0.2711, 0.8694).x =

Napomena. Razlika izmeñu sume elemenata jedne vrste i broja dobijenog primenom istog skupa operacija u istom poretku na odgovarajuću sumu u pret-hodnoj etapi računanja je posledica grešaka zaokrugljivanja. Ako ta razlika pre-mašuje maksimalno moguću akumuliranu grešku zaokrugljivanja, ona nije posledica samo grešaka zaokrugljivanja i proces računanja treba proveriti.

267

Primer 2. Gausovom metodom, koristeći shemu jedinstvenog deljenja, rešiti sledeći sistem jednačina

1 2

1 2

0.000100 1.00 1.00,

1.00 1.00 2.00.

x x

x x

+ =+ =


i 1ia 2ia 3ia ijaΣ

1 0.000100 1.00 1.00 2.000100 2 1.00 1.00 2.00 4.00 1 1 10000 10000 20001 2 –9999 –9998 –19997 2 1 1.000 2.000 2 1 1.000 2.000 1 1 0.000 1.000

Rešenje sistema je (0.00,1.00)x = . Meñutim, tačno rešenje zaokrugljeno na odreñen broj decimala je

1

100001.00010

9999x = = , 2

99980.99990

9999x = = .

Velika razlika izmeñu dobijenog i tačnog rešenja je posledica činjenice što je vodeći element 11 0.000100a = vrlo malen. Gubljenje tačnosti se može izbeći permutovanjem prve i druge jednačine. Ako se postupi na taj način i primeni ova metoda, dobiće se rešenje: 1 1.00x = i 2 1.00x = .

2. GAUSOVA METODA – SHEMA S IZBOROM GLAVNOG ELEMENTA

Izaberimo najveći po modulu element, kojeg ćemo zvati glavni element, matrice A sistema jednačina Ax b= . Neka je to element .pqa p–tu vrstu, vrstu

koja sadrži glavni element pqa , nazovimo glavnom vrstom, a q–tu kolonu

glavnom kolonom. Izračunajmo množitelje

iqi

pq

am

a= − , i p≠ .

Izvedimo sada sledeće operacije s elementima proširene matrice sistema: svakoj vrsti, koja nije glavna, dodajmo glavnu vrstu pomnoženu odgovarajućim množiteljem im za tu vrstu. U rezultatu dobićemo novu matricu kod koje su u q–toj koloni nule iznad i ispod glavnog elementa. Odbacivši tu kolonu i glavnu

vrstu dobićemo matricu (1)A koja ima jednu vrstu manje i jednu kolonu manje. Ponovimo li ovaj postupak ukupno n – 1 put, dobićemo niz matrica

268

(1) (2) ( 1), , , ..., nA A A A − , od kojih je poslednja dvočlana matrica–vrsta, koju uzimamo za glavnu.

Glavne vrste, posle izvršene prenumeracije, predstavljaju sistem jednačina s trougaonom matricom ekvivalentan polaznom sistemu. Obrnut hod je potpuno sličan obrnutom hodu kod sheme jedinstvenog deljenja.

Broj množenja i deljenja kod ove metode je takoñe reda n3.

Primer 1. Gausovom metodom, koristeći shemu s izborom glavnog ele-menta, rešiti sledeći sistem linearnih algebarskih jednačina

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

0.36 2.17 1.32 0.92 2.93,

0.45 0.29 1.43 0.24 1.35,

1.41 0.77 0.49 0.37 0.76,

0.92 0.54 2.23 0.97 1.64.

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

− + + =+ + + =+ + + =+ + + =


i im 1ia 2ia 3ia 4ia 5ia ijjaΣ

1 –0.59193 0.36 –2.17 1.32 0.92 2.93 3.36000 2 –0.64126 0.45 –0.29 1.43 0.24 1.35 3.76000 3 –0.21973 1.41 –0.77 0.49 0.37 0.76 3.80000 4 0.92 –0.54 2.23 0.97 1.64 6.30000 1 –0.18458 –2.48964 –0.34583 –1.95923 –0.369160000 2 –0.02261 –0.13996 –0.05628 –0.38202 –0.29833 –0.279930 (4) 3 –0.26162 –1.20785 –0.65135 –0.15686 –0.39964 –2.415700000 2 –0.11710 –0.13579 –0.38984 –0.25403 –0.27160 (58) 3 –1.15956 –0.24734 –0.91221 2.31911 (2) 2 –0.36088 –0.36085 –0.00003 2 1 –0.99992 –0.00008 3 1 –0.99997 –1.99997 1 1 –0.99999 –0.00000 4 1 –0.99998 –1.99998

Rešenje sistema je (1.0000, 1.0000,1.0000, 0.9999)x = − − .

3. ŽORDANOVA SHEMA

Za razliku od Gausove metode – sheme s izborom glavnog elementa, gde smo u svakoj sledećoj etapi računanja imali jednu jednačinu manje, ovde ćemo zadržati uvek isti broj jednačina, ali kod izbora glavnog elementa neće učestvo-vati one vrste koje su već bile glavne.

Broj množenja i deljenja kod ove metode je isto reda n3.

269

Primer 1. Koristeći Žordanovu shemu rešiti sledeći sistem linearnih algebarskih jednačina

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1.48 1.23 1.34 1.45 2.67

1.04 1.52 1.16 1.28 2.44

1.13 1.25 1.58 1.32 2.61

1.26 1.08 1.14 1.36 2.37

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =



1 –0.84810 1.48 1.23 1.34 1.45 2.67 8.17000 2 –0.73418 1.04 1.52 1.16 1.28 2.44 7.44000 3 1.13 1.25 1.58 1.32 2.61 7.89000 4 –0.72152 1.26 1.08 1.14 1.36 2.37 7.21000 1 –0.28206 0.52165 0.16988 0.33051 0.45646 1.47850 (49) 2 0.21038 0.60228 0.31088 0.52379 1.64733 (2) 3 –2.07545 1.13000 1.25000 1.58000 1.32000 2.61000 7.89000000 4 –0.29571 0.44468 0.17810 0.40759 0.48683 1.51720 (1) 1 0.46231 0.24282 0.30872 1.01385 2 –0.45506 0.21038 0.60228 0.31088 0.52379 1.64733 3 –1.49979 0.69337 1.58000 0.67478 1.52290 4.47105 4 –0.82730 0.38247 0.31566 0.33194 1.03007 1 –2.11553 0.46231 0.24282 0.30872 1.01385000 2 –1.74577 0.60228 0.20038 0.38330 1.18596 (7) 3 –2.70605 1.58000 0.31060 1.05988 2.95048 (9) 4 0.11478 0.076536 0.19132 (1) 1 0.46231 0.14681 0.60912 (1) 2 0.60228 0.24969 0.85197 (6) 3 1.58000 0.85277 2.43277 (6) 4 0.11478 0.076536 0.19132000 1 1 0.31756 1.31756000 2 1 0.41457 1.41457000 3 1 0.53973 1.53973000 4 1 0.66681 1.66681 (4)

Rešenje sistema je (0.3176, 0.4146, 0.5397, 0.6668)x = .

4. GAUSOVA METODA – KOMPAKTNA SHEMA *

Ova metoda se zasniva na činjenici da je matricu A sistema jednačina Ax b= moguće predstaviti u obliku proizvoda dveju trougaonih matrica B i C istih dimenzija koje ima matrica A, tj.

* U literaturi se naziva i shemom Haleckog.

270

A = B · C,

pri čemu jedna od njih, npr. matrica C, ima na glavnoj dijagonali fiksirane ele-mente, na primer jedinice (tada je to razlaganje jedinstveno). Formule za izraču-navanje elemenata matrica B i C su

1(2 1) (0) (2 1) (2 )

1

jj k k

ij ij ik kjk

b a b c−

− −

== − Σ , i ≥ j,

1(0) (2 1) (2 )

(2 ) 1(2 1)

jk k

jm jk kmj k

jm jjj

a b cc

b

−−

=−

−=

Σ, m > j;

ove formule se primenjuju i za izračunavanje slobodnih članova i kontrolnih zbirova.

Shema za računanje ima sledeći oblik, npr. u slučaju sistema od četiri jednačine s četiri nepoznate.

i 1ia 2ia 3ia 4ia 5ia ∑

1 11a 12a 13a 14a 15a 1 jaΣ

2 21a 22a 23a 24a 25a 2 jaΣ

3 31a 32a 33a 34a 35a 3 jaΣ

4 41a 42a 43a 44a 45a 4 jaΣ

1 (1)11b 1 (2)

12c (2)13c (2)

14c (2)15c (2)

1 jcΣ

2 (1)21b (3)

22b 1 (4)23c (4)

24c (4)25c (4)

2 jcΣ

3 (1)31b (3)

32b (5)33b 1 (6)

34c (6)35c (6)

3 jcΣ

4 (1)41b (3)

42b (5)43b (7)

44b 1 (8)45c (8)

4 jcΣ

4 100 4x 4x′

3 100 3x 3x′

2 100 2x 2x′

1 100 1x 1x′

Formule za izračunavanje elemenata matrica B i C primenjuju se naizme-nično; redosled primene je naznačen gornjim indeksom, pri čemu je 0–ti indeks u shemi ispušten.

Nepoznate veličine se dobijaju iz sistema jednačina

(2 ) (2 ), 1

1

ni i

i ik k i nk i

x c x c += +

+ =Σ , i = n, n – 1, ..., 1.

271

Primer 1. Gausovom metodom, koristeći kompaktnu shemu, rešiti sledeći sistem linearnih algebarskih jednačina

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3.00 0.19 0.78 0.89 1.77,

0.27 3.28 0.42 0.49 1.65,

0.75 0.76 3.36 0.74 2.39,

0.12 0.34 0.45 3.44 3.40.

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =


i 1ia 2ia

3ia 4ia

5ia ijjaΣ

1 3.00 0.19 0.78 0.89 1.77 6.63000 2 0.27 3.28 0.42 0.49 1.65 6.11000 3 0.75 0.76 3.36 0.74 2.39 8.00000 3 0.12 0.34 0.45 3.44 3.40 7.75000 1 3.00000 1 0.063333 0.26000 0.29667 0.59000 2.21000 2 0.27000 3.262900 1 0.10721 0.12562 0.45686 1.68969 3 0.75000 0.712500 3.08861 1 0.13857 0.52515 1.66372 4 0.12000 0.332400 0.38316 3.30955 1 0.89925 1.89925 4 1 0.89925 1.89925 3 1 0.40054 1.40054 2 1 0.30095 1.30095 1 1 0.20002 1.20002

Rešenje sistema je (0.2000, 0.3010, 0.4005, 0.8993)x = .

5. IZRAČUNAVANJE DETERMINANATA

Gausova metoda za rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina može biti primenjena za izračunavanje determinanata. Ovde ćemo opisati računsku shemu zasnovanu na shemi jedinstvenog deljenja. Neka treba izračunati determinantu

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aD

a a a

=

…

…

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

…

i neka je 11 0a ≠ . Izvučemo li element 11a iz prve vrste, dobićemo

12 1

21 22 211

1 2

1 n

n

n n nn

b b

a a aD a

a a a

=

…

…

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

…

gde je

272

11

11

jj

ab

a= , j ≥ 2.

Ako sada oduzmemo od druge, treće, ..., n–te vrste prvu vrstu pomnoženu redom elementima 21a , 31a , ..., 1na , dobićemo

12 122.1 2 .1

22.1 2 .111 11

2.1 .12.1 .1

1

0

0

nn

n

n nnn nn

b ba a

a aD a a

a aa a

= =

……

…⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯…

…

Dakle, dobili smo determinantu (n – 1)–vog reda. Ako postupak produži-mo, dobićemo da je

11 22.1 . 1nn nD a a a −= ⋅ ⋯ ,

tj. vrednost determinante je jednaka proizvodu vodećih elemenata, gde je bitna pretpostavka da su svi vodeći elementi različiti od nule. Ako je na bilo kojem koraku vodeći element bio jednak nuli, onda treba permutovati vrste i kolone tako da bi element u gornjem levom uglu bio različit od nule. Permutovanje tre-ba izvršiti i kad je vodeći element blizak nuli radi čuvanja tačnosti računanja.

Primer 1. Izračunati vrednost determinante

1.46 1.41 1.29 1.43

1.21 2.40 2.18 2.48

0.29 1.19 2.14 2.33

1.19 1.61 1.70 5.46

D = .

Rešenje. Rešenje je dato sledećom tabelom; korišćena je shema jedinstve-nog deljenja.

i 1ia 2ia 3ia 4ia ijjaΣ

1 1.46 1.41 1.29 1.43 5.59000 2 1.21 2.40 2.18 2.48 8.27000 3 0.29 1.19 2.14 2.33 5.95000 4 1.19 1.61 2.70 5.46 10.96000 1 1 0.96575 0.88356 0.97945 3.82876 (7) 2 1.23144 1.11089 1.29487 3.63720 (7) 3 0.90993 1.88377 2.04596 4.83966 (7) 4 0.46076 1.64856 4.29445 6.40377 (8) 2 1 0.90211 1.05151 2.95362 3 1.06291 1.08916 2.15207 4 1.23290 3.80996 5.04286 3 1 1.02470 2.02470 4 2.54661 2.54661

D = 1.46 · 1.23144 · 1.06291 · 2.54661 = 4.86659.

Dakle, vrednost determinante je 4.8666.

273

Umesto eliminacije po vrstama moguća je eliminacija po kolonama.

Broj množenja i deljenja je 21( 3)

3

nn n

− + + .

Na potpuno analogan način se može uzeti za osnovu i neka druga računska shema, npr. shema s izborom glavnog elementa – vrednost determinante je jed-naka do na znak proizvodu glavnih elemenata. Znak se odreñuje u zavisnosti od broja permutacija vrsta i kolona koje je potrebno izvršiti da bi glavni elementi bili na glavnoj dijagonali vodeći računa da determinanta menja znak ako dve vrste, ili kolone, zamene mesta.

6. ISTOVREMENO REŠAVANJE VIŠE SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNA ČINA. IZRA ČUNAVANJE INVERZNIH MATRICA

Direktne metode za rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina mogu se primeniti za istovremeno rešavanje više sistema linearnih algebarskih jednačina koji imaju istu matricu sistema. Dakle, neka treba rešiti sledeće sisteme linearnih algebarskih jednačina.

(1) (1) (1) (2) (2) ( ) ( ), , , k kAx b Ax b Ax b= = =… , k > 1,

gde je matrica ovih sistema jednačina

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

=

…

…

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

…

i pri tome je det A ≠ 0, desne strane su vektori

(1) (2) ( )1 1 1

(1) (2) ( )(1) (2) ( )2 2 2

(1) (2) ( )

, , ...,

k

kk

kn n n

b b b

b b bb b b

b b b

= = =

⋮ ⋮ ⋮

a nepoznati vektori su

(1) (2) ( )1 1 1

(1) (2) ( )(1) (2) ( )2 2 2

(1) (2) ( )

, , ...,

k

kk

kn n n

x x x

x x xx x x

x x x

= = =

⋮ ⋮ ⋮.

274

Sisteme jednačina (1) s kvadratnom matricom sistema A

...A (1)x

( )kx

(2)x = ...(1)

b(2)

b( )k

b

treba transformisati u ekvivalentne sisteme jednačina s trougaonom matricom

... = ...

što predstavlja direktan hod ili korak. Obrnutim hodom (korakom) nalazimo rešenja sistema jednačina.

Ilustrujmo postupak sledećim primerom.

Primer 1. Rešiti siteme linearnih algebarskih jednačina

1.48x1 + 3.24x2 + 1.27x3 = 1.51, 1.48x1 + 3.24x2 + 1.27x3 = 4.74, 3.45x1 + 1.25x2 + 1.38x3 = 1.47, 3.45x1 + 1.25x2 + 1.38x3 = 4.81, 1.34x1 + 1.42x2 + 3.20x3 = 1.41, 1.34x1 + 1.42x2 + 3.20x3 = 5.03.

Primeniti Gausovu metodu eliminacije, shemu s izborom glavnog ele-menta. Računati sa četiri decimale.

Rešenje. Preglednosti radi računanje je dato u sledećoj tabeli.


1 –0.4290 1.48 3.24 1.27 1.51 4.74 12.2400

2 3.45 1.25 1.38 1.47 4.81 12.3600

3 –0.3884 1.34 1.42 3.20 1.41 5.03 12.4000

1 2.7038 0.6780 0.8794 2.6765 6.9377 (6)

3 –0.3456 0.9345 2.6640 0.8391 3.1618 7.5994 (6)

3 2.4297 0.5352 2.2368 5.2017 (6)

3 1 0.2203 0.9206 2.1409 (6) 1 1 0.2699 07591 2.0290 (1) 2 1 0.2402 0.7509 1.9911 (6)

Rešenje prvog sistema je (0.240, 0.270, 0.220)T, a drugog (0.751, 0.759, 0,921)T.

Ovaj postupak se može primeniti za nalaženje inverznih matrica. Zaista,

polazeći od jednakosti 1A A E−⋅ = , gde je E jedinična matrica, imaćemo n

sistema jednačina i 2n nepoznatih bij, tj.

1

n

ik kj ijk

a b=

= δΣ , , 1,i j n= ,

275

gde je ijδ Kronekerov simbol, tj:

1, ,

0, .ij

i j

i j

=δ = ≠

.

Primer 2. Izračunati inverznu matricu 1A− matrice 1.58 0.46 0.64

0.44 1.66 0.58

0.82 0.42 1.82

A

=

.

Rešenje. Koristićemo Gausovu metodu eliminacije, shemu jedinstvenog deljenja. Računaćemo sa četiri decimale. Računanje je dato u sledećoj tabeli.

i 1ia 2ia 3ia 1iδ 2iδ 3iδ Σ 1 1.58 0.46 0.64 1 0 0 3.6800 2 0.44 1.66 0.58 0 1 0 3.6800 3 0.82 0.42 1.82 0 0 1 4.0600 1 1 0.2911 0.4051 –0.63290 0 0 2.3291 2 1.5319 0.4018 –0.27850 1 0 2.6552 3 0.1813 1.4878 –0.51900 0 1 2.1501 2 1 0.2623 –0.18180 0.6528 0 1.7333 (6) 3 1.4402 –0.48600 –0.11840 1 1.8358 (9) 3 1 –0.33750 –0.08221 0.6943 1.2746 (7) 3 1 –0.33750 –0.08221 0.6943 1.2746 (6) 2 1 –0.09327 0.6744 –0.1821 1.3990 (6) 1 1 –0.79680 –0.16300 –0.2283 1.4055 (6)

Tražena inverzna matrica je

1

0.7968 0.1630 0.2283

0.09327 0.6744 0.1821

0.3375 0.08221 0.6943

A−

− − = − − − −

.

Pomnožimo li matricu A i 1A− , dobićemo

1

1.0000 0.0001 0.0001

0.0000 1.0001 0.0000

0.0000 0.0000 0.9999

A A E−

− ⋅ = =

.

Dakle, 1A A−⋅ je jednako jediničnoj matrici E u granicama računanja, raču-

nanja na četiri decimale. Ponekad, poslednje decimale u rezultatu 1A− odbacu-jemo po pravilima zaokrugljivanja brojeva.

Ako se 1A A−⋅ bitnije razlikuje od jedinične matrice E, što je posedica aku-muliranja grešaka zaokrugljivanja u računskom procesu, onda treba primeniti iterativni proces

1 1 11 (2 )k k kA A E A A− − −

+ = − ⋅ , k = 0, 1, ...,

276

gde za početnu iteraciju 10A− treba uzeti dobijenu vrednost 1A− . Proces treba

produžiti sve dok se ne postigne jednakost 1 11k kA A− −

+= i tada se uzima da je 1 1

1kA A− −+= .

Inverzna matrica se može dobiti tzv. metodom razbijanja na blokove. Sušti-na metode se sastoji u sledećem: nalaženje inverzne matrice se svodi na na-laženje inverznih matrica nižeg reda.

Neka je data matrica

11 12 1 1, 1 1

21 22 2 2, 1 2

( , ) ( , )11 12

1 2 , 1 ( , ) ( , )21 22

1,1 1,2 1, 1, 1 1,

1 2 , 1

k k n

k k n

i k i n k

i i ik i k in n i k n i n k

i i i k i k i n

n n nk n k nn

a a a a a

a a a a a

A Aa a a a aA

A Aa a a a a

a a a a a

+

+

−

+ − − −

+ + + + + +

+

= =

… …

… …

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

… …

… …

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ …

.

Inverznu matricu tražimo u obliku (i = k) ( , ) ( , )11 12

( , ) ( , )21 22

i i i n i

n i i n i n i

D DD

D D

−

− − −

=

.

Iz uslova

A · D = E

dobijamo sledeće obrasce:

( )( )

( )( )

11( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )22 22 21 11 12

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )12 11 12 22

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )21 22 21 11

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,11 11 11 12 21

,

,

,

n i n i n i n i n i i i i i n i

i n i i i i n i n i n i

n i i n i n i n i i i i

i i i i i i i n i n i i

D A A A A

D A A D

D D A A

D A E A D

−−− − − − − −

−− − − −

−− − − −

− − −

= −

= −

= −

= −( )) .

Najčešće uzimamo da je i = n – 1; tada treba izračunati inverznu matricu reda n – 1. Dalje, da bismo izračunali inverznu matricu reda n – 1, razbijanjem na blokove svodimo na izračunavanje inverzne matrice reda n – 2. Proces se produžava sve dok ne dobijemo kvadratnu matricu reda jedan.

Primer 3. Metodom razbijanja na blokove izračunati inverznu matricu 1A− matrice

2 2 3

1 1 0

1 2 1

A

= − −

.

277

Rešenje. Podelimo datu matricu na blokove na sledeći način

(2,2) (2,1)11 12

(1,2) (1,1)21 22

2 2 3

1 1 0

1 2 1

A AA

A A

= − = −

.

Izračunajmo inverznu matricu matrice (2,2)11A podelom na blokove.

(1,1) (1,1)11 12(2,2)

11 (1,1) (1,1)21 22

2 2

1 1A A

AA A

= = −

;

inverznu matricu tražimo u obliku (1,1) (1,1)11 12

(1,1) (1,1)21 22

D DD

D D

=

.

Primenom datih formula redom dobijamo

( )

( )

1 11(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 122 22 21 11 12

1(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 112 11 12 22

1( 1) 1 2 2 ,

21 1

(2) 2 ,2 2

D A A A A

D A A D

− −− −

− −

= − = − − ⋅ ⋅ = −

= − = − ⋅ − =

( ) 1(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 121 22 21 11

1 11 (2) ,

2 4D D A A

− − = − = − − ⋅ ⋅ =

( ) ( )1(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 111 11 11 12 21

1 12 1 2 ,

4 4D A E A D

− − = − = − ⋅ =

pa je

( ) 1(2, 2)11

1 1

4 21 1

4 2

A−

= −

.

Primenom istih formula na matricu A dobijamo

( )

1

11(1,1) (1,1) (1, 2) (2, 2) (2,1)22 22 21 11 12

1 1

4 21 ( 1, 2) (3, 0) 4,1 1

4 2

D A A A A

−

−−

′ = − = − − = −

( ) 1(2,1) (2, 2) (2,1) (1,1)12 11 12 22

1 1

4 2 (3, 0) 4 ( 3, 3) ,1 1

4 2

D A A D−

′ ′= − = − ⋅ = − − −

278

( ) 1(1, 2) (1,1) (1, 2) (2, 2)21 22 21 11

1 1

4 24 (1, 2) ( 1, 6),1 1

4 2

D D A A−

= − = − ⋅ = − −

( ) ( )1(2, 2) (2, 2) (2, 2) (2,1) (1, 2)11 11 11 12 21

1 11 0 1 44 2 (3, 0) ( 1, 6) ,

1 1 0 1 1 5

4 2

D A E A D−

− ′= − = − − = − −

pa je tražena inverzna matrica jednaka

1

1 4 3

1 5 3

1 6 4

A−

− − = − − −

.

Inverzna matrica se može dobiti i na sledeći način: na osnovu date matrice A i jedinične matrice E konstruiše se sledeći niz matrica

(0) (1) (1) (2) (2) ( ) ( ), , , , , ..., ,n nA B A B A B A , gde je

(0) ,A A E= −

( 1)

( ) 1,,, ,

0,,

mijm

ij ijij

i ja i mb

i ji m

− =≠ = δ ≠δ =

( ) ( 1)

( ) ( )( 1)

, , , 1, 2, ..., ;1

m mim mjm m

ij ij mmm

b aa b i j m n

a

−

−= − =+

tada je 1 ( )nA A− = .

Primer 4 Izračunati inverznu matricu 1A− matrice

1 3 1

2 7 2

3 2 4

A

− − = − −

.

Rešenje. Primenom datih formula redom dobijamo

(0)

0 3 1

2 6 2

3 2 5

A

− − = − −

, (1)

1 0 0

2 6 2

3 2 5

B

= − −

, (1)

1 3 1

2 0 0

3 11 2

A

= − −

,

(2)

1 3 1

0 1 0

3 11 2

B

= −

, (2)

7 3 1

2 1 0

25 11 2

A

= −

, (3)

7 3 1

2 1 0

0 0 1

B

=

279

1 (3)

32 14 1

2 1 0

25 11 1

A A−

− = = −

.

7. METODA KVADRATNIH KORENA

Ova metoda se koristi za rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina sa simetričnom matricom sistema. Simetrična matrica A može biti predstavljena u obliku proizvoda dveju meñu sobom transponovanih matrica, tj.

A = T′ · T, gde je

11 12 1

22 20

0 0

n

n

nn

t t t

t tT

t

=

…

…

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

…

i

11

21 22

1

0 0

0

2n nn

t

t tT

t tn t

′ =

…

…

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

…

.

Pomnožimo li matrice T′ i T i izjednačimo li elemente matrice T′ · T sa od-govarajućim elementima matrice A, dobićemo sistem jednačina za odreñivanje elemenata ijt u zavisnosti od elemenata ija . Rešavanjem tog sistema dobijamo

sledeće formule za izračunavanje elemenata ijt :

11 11t a= , 11

11

jj

at

t= , 1j > ;

12

1

i

ii ii kik

t a t−

== − Σ , 1 i n< ≤ ,

1

1

i

ij ki kjk

ijii

a t tt

t

−

=− Σ

= , i j< ; 0ijt = , i j> .

Polazni sistem jednačina ima jedinstveno rešenje, ako je 0iit ≠ , 1,i n= , jer je tada

2 211 22det det det (det ) ( ) 0nnA T T T t t t′= ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ≠⋯ .

Posle odreñivanja elemenata matrice T rešavamo sledeći sistem T y b′ = ;

rešenje ovog sistema je

11

11

by

t= ,

1

1

i

i ki kk

iii

b t yy

t

−

=− Σ

= , 1i > .

Zatim rešavamo sistem T x y= ;

280

rešenje ovog sistema je

nn

nn

yx

t= ,

1

n

i ki kk i

iii

y t xx

t= +

− Σ= , i n< .

Napomena 1. Koeficijenti matrice T su realni, ako je za 1 ≤ i ≤ n, 2 0iit > .

Ako je za neko s 2 0sst < , onda su elementi sjt imaginarni; za primenu ove meto-

de nema nikakvog značaja, računa se s imaginarnom jedinicom kao sa svakom drugom konstantom.

Napomena 2. Kod praktične primene ove metode zbog činjenice da su for-mule za odreñivanje elemenata ijt i formule za izračunavanje veličina iy istog

oblika, direktnim hodom se istovremeno računaju i elementi ijt i veličine iy , a

obrnutim hodom se nalaze nepoznate ix . Ako bismo uveli oznake , 1i i nb a += i

, 1i i ny t += , te formule bi imale isti oblik.

Broj množenja i deljenja kod ove metode je 2( 9 2)6

nn n+ + , a broj kore-

novanja je n. Za kontrolu računskog procesa koristi se na uobičajen način kon-trolna kolona, a čitav proces je pregledniji ako se koristi odgovarajuća shema računanja.


1 11a 12a 13a 14a 15a 1 jjaΣ

2 21a 22a 23a 24a 25a 2 jjaΣ

3 31a 32a 33a 34a 35a 3 jjaΣ

4 41a 42a 43a 44a 45a 4 jjaΣ

i 1it 2it 3it 4it 5it ijjtΣ

1 11t 12t 13t 14t 15t 1 jjtΣ

2 22t 23t 24t 25t 2 jjtΣ

3 33t 34t 35t 3 jjtΣ

4 44t 45t 4 jjtΣ

jx 1x 2x 3x 4x

jx′ 1x′ 2x′ 3x′ 4x′

281

Primer 1. Metodom kvadratnih korena rešiti sledeći sistem linearnih alge-barskih jednačina

4.32 1x + 0.28 2x + 0.57 3x + 0.87 4x = 2.17,

0.28 1x + 384 2x + 0.43 3x + 0.62 4x = 4.36,

0.57 1x + 0.43 2x + 3.42 3x + 0.52 4x = 4.12,

0.87 1x + 0.62 2x + 0.52 3x + 3.30 4x = 4.48.

Rešenje. Rešenje je dato sledećom tabelom; zbog simetričnosti matrice sistema elementi ispod glavne dijagonale matrice nisu upisani u tabelu.


1 4.32 0.28 0.57 0.87 2.17 8.21000 2 3.84 0.43 0.62 4.36 9.53000 3 3.42 0.52 4.12 9.06000 4 3.30 4.48 9.79000

1it 2it 3it 4it 5it ijjtΣ

1 2.07846 0.13472 0.27424 0.41858 1.04404 3.95004 (8) 2 1.95496 0.20105 0.28830 2.15828 4.60259 (8) 3 1.81779 0.19103 1.87027 3.87909 (8) 4 1.73355 176717 3.50072 (0)

jx 0.11973 0.85888 0.92174 1.01939

jx′ 1.11973 1.85888 1.92174 2.01939

Rešenje sistema je T(0.1197, 0.8589, 0.9217,1.0194)x = .

8. METODA ORTOGONALIZACIJE

Posmatrajmo sistem linearnih algebarskih jednačina u sledećem obliku

(1) Ax b= . Uvedemo li smenu

( )

1

nk

kk

x x=

= αΣ ,

gde su kα skalari a ( )kx , 1,k n= , linearno nezavisni vektori koji ispunjavaju sledeći uslov

(2) ( )( ) ( ), 0k rAx x = , za k > r; , 1,k r n= ,

a (·, ·) je oznaka za skalarni proizvod, imaćemo

(3) ( )

1

nk

kk

A x b=

α = Σ ,

ili

282

(4) ( )

1

nk

kk

Ax b=

α =Σ .

Pomnožimo li (4) vektorom ( )rx , 1,r n= , imaćemo

(5) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

, ,r

k r rk

k

Ax x b x=

α =Σ , 1,r n=

jer je

( )( ) ( )

1

, 0n

k rk

k r

Ax x= +

α =Σ .

Dakle, za odreñivanje skalara kα , 1,k n= , imamo sistem jednačina (5) s trougaonom matricom sistema. Determinanta ovog sistema je

( )( ) ( )(1) (1) (2) (2) ( ) ( ), , ,n nAx x Ax x Ax x⋯

i različita je od nule, ako je ( )( ) ( ), 0k kAx x ≠ , 1,k n= .

Specijalno, ako je matrica A simetrična, onda se ovaj sistem svodi na dija-gonalni

(5') ( ) ( )( ) ( ) ( ), ,k k kk Ax x b xα = , 1,k n= ,

jer je zbog simetričnosti matrice A

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 , , ,k r k r r kAx x x Ax Ax x= = =

tj.

( )( ) ( ), 0k rAx x = za r ≠ k, , 1,r k n= .

Dakle, iz sistema jednačina

( ) ( ) ( )( , ) ( , )k k kk Ax x b xα =

nalazimo

(6) ( )

( )( )

( ) ( )

,

,

k

k k k

b x

Ax xα = , 1,k n= .

Odredimo sada vektore ( )kx , 1,k n= , tako da budu linearno nezavisni i da ispunjavaju uvedene uslove. Pretpostavimo da je matrica A simetrična i po-zitivno definitna. Poñimo od bilo kojeg sistema linearno nezavisnih vektora, npr. od

(1) T

(2) T

( ) T

(1, 0, , 0)

(0,1, , 0)

(0, 0, ,1) .n

y

y

y

=

=

=

…

…

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

…

Vektore ( )kx , 1,k n= , odredimo „ortogonalizacijom“ (ili usavršavanjem).

283

Neka je (1) (1)x y= ;

vektor (2)x tražimo u obliku

(7) (2) (2) (2) (1)1x y x= + λ .

Pomnožimo li (7) s (1)Ax dobićemo

( ) ( ) ( )(1) (2) (1) (2) (2) (1) (1)1, , ,Ax x Ax y Ax x= + λ

i iz uslova

( )(1) (2), 0Ax x =

nalazimo da je

(8) ( )( )

(1) (2)(2)1 (1) (1)

,

,

Ax y

Ax xλ = − .

Vektor (3)x tražimo u obliku

(9) (3) (3) (3) (1) (3) (2)1 2x y x x= + λ + λ .

Pomnožimo li (9) redom s (1)Ax i (2)Ax i iskoristimo li uslove

( )(1) (3), 0Ax x = i ( )(2) (3), 0Ax x = dobićemo

(10) ( )( )

(1) (3)(3)1 (1) (1)

,

,

Ax y

Ax xλ = − i

( )( )

(2) (3)(3)2 (2) (2)

,

,

Ax y

Ax xλ = − .

Postupak produžavamo tražeći vektor (4)x u obliku (4) (4) (4) (1) (4) (2) (4) (3)

1 2 3x y x x x= + λ + λ + λ itd.

Proces je moguć jer je ( )( ) ( ), 0i ix Ax ≠ , 1,i n= .

Broj množenja i deljenja kod ove metode u slučaju sistema koji ima sime-

tričnu matricu je ( )2 3 13

nn n+ − .

U slučaju nesimetrične matrice sistema proces ortogonalizacije se izvodi na

isti način. Neka su vektori (1) (2) ( ), , , kx x x… već odreñeni. Vektor ( 1)kx + tražimo u obliku

(11) ( 1) ( 1) ( 1) ( )

1

kk k k i

ii

x y x+ + +

== + βΣ ;

koeficijenti ( 1)ki

+β se odreñuju iz sledećeg trougaonog sistema jednačina

(12) ( ) ( )( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )

1

, ,k

k i j k ji

i

Ax x Ay x+ +

=β = −Σ , 1,j k= .

284

Primer 1. Metodom ortogonalizacije rešiti sledeći sistem linearnih alge-barskih jednačina

3.24 1x + 0.48 2x + 0.54 3x + 0.62 4x = 1.40

0.48 1x + 3.26 2x + 0.42 3x + 0.51 4x = 1.60

0.54 1x + 0.42 2x + 3.24 3x + 0.45 4x = 1.88

0.62 1x + 0.51 2x + 0.45 3x + 3.23 4x = 2.23 Rešenje. Rešenje je dato sledećom tabelom.

A b

3.24 0.48 0.54 0.62 1.40

3.26 0.42 0.51 1.60

3.24 0.45 1.88

3.23 2.23

(1)x 1 –0.14815 –0.16667 –0.19136 ( )1

jλ

(2)x –0.14815 1 –0.10662 –0.13113 ( )2

jλ

(3)x –0.15087 –0.10662 1 –0.097015 ( )3

jλ

(4)x –0.15730 –0.12079 –0.097015 1 (1)Ax 3.24000 0.48000 0.54000 0.62000 (2)Ax 3.18889 0.34000 0.41815 (3)Ax 3.11375 0.30208 (4)Ax 3.02721 ( )( , )ib x

(1) (1)( , )Ax x 3.24000 1.40000 (2) (2)( , )Ax x 3.18889 1.39259 (3) (3)( , )Ax x 3.11375 1.49819 (4) (4)( , )Ax x 3.02721 1.63413

α 0.43210 0.43670 0.48115 0.53981

x 0.20990 0.32020 0.42878 0.53981

Rešenje sistema je T(0.2099, 0.3202, 0.4288, 0.5398)x = .

Primer 2. Metodom ortogonalizacije rešiti sledeći sistem linearnih alge-barskih jednačina

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6.214 2.180 3.184 49.91,

1.351 8.224 5.224 50.17,

2.489 0.459 4.299 32.68.

x x x

x x x

x x x

+ + =− + + =

− + =

285

Rešenje. Rešenje je dato sledećom tabelom.

A b –6.214 –2.180 3.184 49.91 –1.351 –8.224 5.224 50.17 –2.489 –0.459 4.299 32.68 (1)x 1 –0.35082 –0.51239 ( )

1jβ

(2)x –0.35082 1 –0.68019 ( )2

jβ (3)x –0.27377 –0.68019 1

(1)Ax 6.21400 –1.35100 –2.38900 (2)Ax –8.69796 –1.33219 (3)Ax –3.92979 ( )( , )ib x

( ) (1)( , )kAx x –6.21400 –49.91000 ( ) (2)( , )kAx x –3.53100 –8.69796 –32.66057 ( ) (3)( , )kAx x –1.70673 –7.24846 3.92979 –15.10899

α –8.03186 –7.01556 5.60712

x –4.03560 –3.20165 5.60712

Rešenje sistema je T(4.0356, 3.2017, 5.6071)x = .

9. METODA KONJUGOVANIH GRADIJENATA

Neka je matrica A, matrica sistema linearnih algebarskih jednačina

Ax b= simetrična i pozitivno definitna, tj. neka je

(1) ( ) ( ), ,Ay z y Az=

i

(2) ( ), 0y Ay > , ( ), 0y Ay = ako i samo ako je 0y = .

Posmatrajmo sledeću pomoćnu funkciju : nf R R→ , gde je

(3) ( ) ( )( ) 2 , , 2( , )f x Ax b x Ax x b x= − = − .

Funkcija (3) je cela racionalna funkcija promenljivih 1 2, , ..., nx x x , kompo-nenata vektora x , tj. ( )f x je polinom drugog stepena. U n–dimenzionalnom

prostoru nR površi ( )f x c= , c–konstanta,

predstavljaju familiju hiperelipsoida sa zajedničkim centrom u tački koja je od-reñena vektorom

* 1x A b−= .

286

Koristeći simetričnost matrice A imamo da je

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

* * * *

* * * * *

* * * * *

( ) ( ) , 2( , ) , 2( , )

, 2 , , 2 ,

, 2 , , , ( ) .

f x f x Ax x b x Ax x b x

Ax x Ax x Ax x Ax x

Ax x Ax x Ax x x x A x x

− = − − + =

= − − + =

= − + = − −

Zbog pozitivne definitnosti matrice A je *( ) ( ) 0f x f x− ≥ i znak

jednakosti važi samo za *x x= . Dakle, nalaženje rešenja x* sistema jednačina Ax b=

ekvivalentno je nalaženju takvog vektora x da bude

(4) ( ) minf x = , tj. *min ( ) ( )x

f x f x= .

Jedna od metoda rešavanja zadataka (4) je metoda konjugovanih gradijena-ta. Ovde ćemo izložiti jednu varijantu te metode.

Neka je (0)x početno približno rešenje – početni vektor. Polazeći od tačke

odreñene vektorom (0)x , koja pripada hiperelipsoidu (0)( ) ( )f x f x= , kretaće-

mo se ka *x najstrmijim putem. Taj put je odreñen gradijentom, tj. normalom

na hiperelipsoid u tački odreñenoj vektorom (0)x . Vektor, koji je odreñen dodirnom tačkom normale i bilo kojeg drugog hiperelipsoida iz familije

hiperelipsoida ( )f x c= , označimo sa (1)x . Odredimo vektor (1)x . Pokažimo da vektor

(5) (0) (0)r b Ax= −

ima pravac normale na hiperelipsoid (0)( ) ( )f x f x= u tački odreñenoj vekto-

rom (0)x x= . Stvarno, pravac normale se poklapa s pravcem najbržeg opadanja funkcije ( )f x – pravcem gradijenta. Na taj način, treba odrediti takav vektor c da prvi izvod

(6) (0)

0

( )d

f x cd α=

+ α α ,

bude maksimalan uz uslov ( , ) constc c = . Budući da je

(7) (0) (0) (0) (0)

2 (0) (0)

( ) ( , ) 2( , )( , ) 2 ( , ) ( ),

f x c x c Ax Ac b x cc Ac r c f x

+ α = + α + α − + α == α − α +

imaćemo

(0) (0) (0)0

0

( ) 2 ( , ) 2( , ) 2( , )d

f x c c Ac r c r cd α=

α=+ α = α − = −

α,

i, koristeći nejednakost Koši–Bunjakovskog (0) 2 (0) (0)( , ) ( , ) ( , )r c r r c c≤ ⋅ ,

gde jednakost važi za (0)c r= , imamo da je (0)c r= .

287

Odredimo vrednost 0α skalara α za koji je (0) (0)( ) minf x r+ α = .

Iz uslova 0df

d=

α koristeći da je (0)c r= dobijamo

(8) (0) (0)

0 (0) (0)

( , )

( , )

r r

r Arα = .

Na taj način imamo

(9) (1) (0) (0)0x x r= + α .

Posmatrajmo sledeću vektorsku jednačinu

(10) (0) (1)( ) ( , ) 0J x Ar x x= − = . Jednačina (10) odreñuje hiperravan dimenzije n – 1. Očigledno je

(1)( ) 0J x = ; zatim je

* 1 (0) 1 (1) (0) 1 (1)

(0) (1) (0) (1)

( ) ( ) ( , ) ( , ( ))( , ) ( , ),

J x J A b Ar A b x r A A b xr b Ax r r

− − −= = − = − == − =

gde je

(11) (1) (1) (0) (0)

0(0) (0) (0) (0)

0 0

( )

.

r b Ax b A x r

b Ax Ar r Ar

= − = − + α == − − α = − α

Može se pokazati da vektor (1)r ima pravac normale na hiperelipsoid (1)( ) ( )f x f x= u tački odreñenoj vektorom (1)x x= . Zaista. budući da vektor

(0)r dodiruje taj hiperelipsoid u istoj tački, imamo da je (0) (1)r r⊥ , tj. (0) (1)( , ) 0r r = . Dakle, *( ) 0J x = .

Presek hiperravni (10) i hiperelipsoida ( )f x c= , c – konstanta, je dijame-

tralna hiperravan dimenzije n – 1 koja sadrži tačku odreñenu vektorom (1)x . Oz-

načimo sa (1)p projekciju vektora (1)r na hiperravan (10). Odredimo tu projek-ciju u obliku

(12) (1) (1) (0)0p r r= + β .

Budući da je vektor (0)Ar ortogonalan na hiperravan i da vektor (1)p pripada toj ravni, iz (12) dobijamo

(0) (1) (0) (1) (0) (0)00 ( , ) ( , ) ( , )Ar p Ar r Ar r= = + β ,

odnosno

(13) (0) (1)

0 (0) (0)

( , )

( , )

Ar r

Ar rβ = − .

Odredimo vrednost 1α skalara α za koju je (1) (1)( ) minf x p+ α = .

288

Na analogan način, kao u prethodnom slučaju, iz uslova 0df

d=

α dobija se

(14) (1) (1)

1 (1) (1)

( , )

( , )

r p

p Apα = ,

i na taj način dobijamo

(15) (2) (1) (1)1x x p= + α .

Dalje bismo posmatrali hiperravan dimenzije n – 2 koja je odreñena vek-torskom jednačinom

(16) (1) (2)( ) ( , ) 0J x Ap x x= − = i primenili bismo slično rezonovanje.

Na taj način se dobijaju nizovi vektora: ( )kx , ( )kr , ( )kp koji su

definisani sledećim rekurentnim formulama

(17)

(0) (0)

( ) ( )

( ) ( )

( 1) ( ) ( )

( 1) ( ) ( )

( 1) ( )

( ) ( )

( 1) ( 1) ( )

,( , )

,( , )

,

,

( , ),

( , ).

k k

k k k

k k kk

k k kk

k k

k k k

k k kk

p rr p

p Apx x p

r r p

r Ap

p App r p

+

+

+

+ +

=

α =

= + α= − α

β =

= + β

Budući da u n–dimenzionalnom prostoru ne može biti više od n uzajamno

ortogonalnih vektora, to će se u k, k ≤ n, koraka dobiti ( ) 0kr = i tada je ( ) 1kx A b−= . Dakle, u najviše n koraka dobija se tačno rešenje sistema linearnih

algebarskih jednačina Ax b= .

Ako matrica A sistema Ax b= nije simetrična i pozitivno definitna, onda možemo posmatrati sistem A Ax A b′ ′= , gde je A' transponovana matrica matrice A. Matrica ovog sistema je simetrična i pozitivno definitna.

Primer 1. Metodom konjugovanih gradijenata rešiti sledeći sistem linear-nih algebarskih jednačina

2.20 1x + 0.34 2x + 0.36 3x = 0.79,

0.34 1x + 2.43 2x + 0.25 3x = 0.49,

0.36 1x + 0.25 2x + 2.14 3x = 1.03.

Rešenje. Uzmimo za početno približno rešenje sistema jednačina vektor (0)x = (0.36, 0.20, 0.48)'. (Dijagonalni elementi matrice sistema su dominantni i

289

zbog toga smo uzeli (0) 0.79 0.49 1.03, ,

2.20 2.43 2.14x

′ ≈

).

Računanje je dato u sledećoj tabeli:

i A b 1 2.20 0.34 0.36 0.79 2 0.34 2.43 0.25 0.49 3 0.36 0.25 2.14 1.03

(0)x 0.3600 0.2000 0.4800 (0) (0)

0 (0) (0)

( , )

( , )

r p

p Apα = =

(0)Ax 1.0328 0.7284 1.2068 0.1470

0.34500.4261

= =

(0) (0)r p= –0.2428 –0.2384 –0.1768

(0)Ap –0.6789 –0.7061 –0.5254

(1) (0)

0 (0) (0)

( , )

( , )

r p

p Apβ = − =

(1)x 0.2762 0.1178 0.4190 0.01944

0.4261

−= − =

(1)r –0.8580·10–2 0.5204·10–2 0.4463·10–2 30.4562 10−= ⋅

(1)p –0.8691·10–2 0.5095·10–2 0.4382·10–2 (1) (1)

1 (1) (1)

( , )

( , )

r p

p Apα = =

(1)Ap –0.1581·10–1 0.1052·10–1 0.7522·10–2 3

3

0.1206 10

0.2240 10

−

−⋅= =⋅

(2)x 0.2715 0.1205 0.4213 0.5384= (2)r –0.0001 0.0005 0.0004

Rešenje sitema je x = (0.272, 0.120, 0.421)T.

Napomena. Da bi bila obezbeñena tačnost rezultata, treba voditi računa o broju značajnih cifara meñurezultata.

10. METODA NAJSTRMIJEG SPUŠTANJA

Neka je (0)x početni vektor, početno približno rešenje sistema linearnih al-gebarskih jednačina (1) Ax b= .

Odredimo li sledeće aproksimacije ( 1)kx + , k = 0, 1, 2, ... rešenja x kori-steći formulu

(2) ( 1) ( ) ( )k k kkx x r+ = α ,

290

gde je

(3) ( ) ( )k kr b Ax= −

i

(4) ( ) ( )

( ) ( )

( , )

( , )

k k

k k k

r r

r Arα =

dobićemo metodu najstrmijeg spuštanja. Ova metoda je iterativnog tipa i, što nije teško primetiti, predstavlja ponavljanje prve etape računanja kod metode konjugovanih gradijenta.

Iterativni proces se produžava sve dok se ne postigne zadovoljavajuća tač-nost – dok se ne poklope dve uzastopne iteracije u granicama zadate tačnosti. Brzina konvergencije nije manja od brzine konvergencije geometrijske progre-sije.

Primer 1. Metodom najstrmijeg spuštanja rešiti sledeći sistem linearnih algebarskih jednačina

2.00 1x + 0.16 2x + 0.28 3x = 2.37,

0.16 1x + 2.00 2x + 0.30 3x = 2.41,

0.28 1x + 0.30 2x + 2.00 3x = 2,55.

Rešenje. Za početnu iteraciju uzimamo x = (1, 1, 1)'. Rezultati računanja dati su u sledećoj tabeli

i A b 1 2.00 0.16 0.28 2.37 2 0.16 2.00 0.30 2.41 3 0.28 0.30 2.00 2.55

(0)x 1.0000 1.0000 1.0000 (0) (0)

0 (0) (0)

( , )

( , )

r r

r Arα = =

(0)Ax 2.4400 2.4600 2.5800 2

2

0.8300 10

1.9796 10

−

−⋅= =⋅

(0)r –0.07000 –0.05000 –0.03000 0.4193= (0)Ar –0.15640 –0.12020 –0.09460

(1)x 0.9706 0.9790 0.9874 (1) (1)

1 (1) (1)

( , )

( , )

r r

r Arα = =

(1)Ax 2.374312 2.409516 2.540268 4

4

1.1354 10

2.0572 10

−

−⋅= =⋅

(1)r –0.004312 0.0004840 0.009732 0.5519= (1)Ar –0.005822 0.003198 0.018400

(2)x 0.96820 0.979300 0.992800

291

(2)Ax 2.371072 2.411352 2.550486

(2) (2)

2 (2) (2)

( , )

( , )

r r

r Arα = =

(2)r –0.001072 –0.001352 –0.0004860 5

5

0.3213 10

0.7575 10

−

−⋅= =⋅

(2)Ar –0.002496 –0.003021 –0.0016780 0.4242= (3)x 0.96770 0.97870 0.992600 (3)Ax 2.36992 2.410012 0.549766

(3)r 0.0001 –0.0001 0.002

Rešenje sistema je x = (0.968, 0.979, 0.993)T.

11. METODA ITERACIJE

Kod iterativnih metoda rešavanja sistema linearnih algebarskih jednačina (1) Ax b=

uopšte uzevši, polazi se od proizvoljnog, početnog vektora (0)x – približnog re-

šenja ili aproksimacije sistema jednačina (1) i nalaze se vektori (1)x , (2) ( ), ..., , ...kx x – sledeća približna rešenja ili aproksimacije koristeći rekurentnu

formulu

(2) ( 1) (0) (1) ( )( , , ..., )k kkx F x x x+ = , 0,1, 2, ...k = ,

gde je kF funkcija koja, uopšte govoreći, zavisi od matrice A i vektora b siste-

ma (1), rednog broja aproksimacije k i prethodnih aproksimacija (1)x , (2) ( ), ..., kx x . Metoda je prvog reda ako je

( 1) ( )kk kx F+ = α , 0,1, ...k = ,

dakle, ako kF zavisi samo od ( )kx ; ako ne zavisi od k, onda je metoda stacio-narna. Ako funkcija F zavisi linearno od svojih argumenata, metoda je linearna.

Najjednostavniji oblik je metoda proste iteracije, kratko, metoda iteracije. Metoda se sastoji u sledećem. Sistem jednačina (1) ćemo zapisati u sledećem, ekvivalentnom obliku (3) x Bx c= + , gde je

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

b b b

b b bB

b b b

=

…

…

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

…

,

1

2

n

c

cc

c

=

⋮,

1

2

n

x

xx

x

=

⋮.

Neka je na neki način odreñeno početno približno rešenje, početna iteracija (0) (0) (0) (0) T

1 2( , , ..., )nx x x x= . Sledeća približna rešenja, sledeće iteracije nala-

292

zimo koristeći rekurentnu formulu

(4) ( 1) ( )k kx Bx c+ = + , 0,1, 2, ...k =

Na taj način je dobijen niz približnih vednosti: (0) (1) ( ) ( 1), , ..., , , ...k kx x x x + tačnog rešenja x sistema jednačina (3), odnosno (1). Ovaj niz pod odreñenim

uslovima konvergira ka rešenju *x . Potreban i dovoljan uslov konvergencije iterativnog procesa (4) za proiz-

voljno (0)x daje sledeća teorema.

Teorema 1. Da bi iterativni proces (4) za rešavanje sistema jednačina (3) konvergirao potrebno je i dovoljno da su sve sopstvene vrednosti matrice B po apsolutnoj vrednosti manje od jedinice.

Početno približno rešenje (0)x je proizvoljno, a brzina konvergecije nije manja od brzine konvergencije geometrijske progresije.

Dokaz videti, na primer, u knjizi: Фаддеев, Фаддеева – Вычислительные методы линейной алгебры, Moskva, 1960.

Ako niz iteracija (0) (1) ( ), , ..., , ...kx x x ima graničnu vrednost ( )lim k

kx

→∞ξ = ,

tada je ta granična vrednost rešenje sistema jednačina (3), odnosno (1), tj. *xξ = . Zaista, prelaskom na limes u jednakosti (4) dobijamo

( 1)lim limk

k kx B x c+

→∞ →∞= ⋅ + , B cξ = ξ + , tj. * *x Bx c= + .

Ovaj uslov konvergencije ima veliku teorijsku ali malu praktičnu vrednost. Naime, vrlo je teško proveriti da li je uslov ispunjen. Zbog toga ćemo navesti neke dovoljne uslove konvergencije. Ti uslovi će biti iskazani u odnosu na normu iterirajuće matrice B.

Norma vektora i norma matrice može se definisati na više načina a u zavi-snosti od uslova zadatka i cilja ispitivanja. Meñutim, svaka definicija mora za-dovoljavati odreñene uslove ili aksiome norme.

Normom vektora 1 2( , , ..., )nx x x x= naziva se realni broj || ||x koji zadovo-ljava uslove:

1) || || 0x > ako x nije nula–vektor i || || 0x = ako i samo ako je x nula– –vektor;

2) || || | | || ||c x c x⋅ = ⋅ za svaki brojni množitelj c;

3) || || || || || ||x y x y+ ≤ + .

Iz ovih aksioma sledi vrlo jednostavna ali korisna osobina || || || || || ||x y x y− ≥ − .

293

Kao što znamo, pod normom matrice ij n nA a

×= podrazumeva se realan

broj || ||A koji zadovoljava uslove:

1) || || 0A > ako A nije nula–matrica i || || 0A = ako i samo ako je A nula– –matrica;

2) || || | | || ||c A c A⋅ = ⋅ za svaki brojni množitelj c. Specijalno, || || || ||A A− = ;

3) || || || || || ||A B A B+ ≤ + ;

4) || || || || || ||A B A B⋅ ≤ ⋅ .

Ako je ispunjen i uslov | | || ||ija A≤ , norma je kanonska.

Norma matrice A je saglasna s normom vektora ako je za svaki vektor T

1 2( , , ..., )nx x x x= tačna jednakost

(5) || || || || || ||Ax A x≤ ⋅ .

Meñu saglasnim normama matrica često, specijalno kod dobijanja tačnih ocena, treba birati najmanju normu. Kako u nejednakosti (5) slučaj kada je x nula–vektor nije od posebnog interesa, to možemo smatrati da je vektor x takav da je || || 0x ≠ . Sada nejednakost (5) možemo posmatrati u obliku

|| || || ||Ay A≤ , || ||

xy

x= , || || 1y = .

Dakle, minimalna saglasna norma matrice će biti gornja granica norme vektora Ay ako je || || 1y = , pa možemo uzeti da je

(6) || || 1

|| || max || ||x

A Ax=

= .

Za ovu normu matrice kaže se da je indukovana normom vektora. Primetimo da je u relaciji (5) Ax neprekidna funkcija x i da se ona po-

smatra na ograničenom zatvorenom skupu vektora za koje je || || 1x = . Zbog

toga se maksimalna vrednost || ||Ax dostiže i postoji takav vektor 0x za koji je

0|| || 1x = i 0|| || max || || || ||Ax Ax A= = . Navedne aksiome apstraktne norme vektora i matrica omogućavaju široke

mogućnosti izbora i definisanja normi. Najčešće se koriste sledeće norme:

1) || || || || max | |m ii

x x x= =I , m – norma vektora,

1

|| || || || max | |n

m ijji

A A a=

= = ΣI , m – norma matrice;

2) 1

|| || || || | |n

l ii

x x x=

= = ΣII , l – norma vektora,

1

|| || || || max | |n

l ijij

A A a=

= = ΣII , l – norma matrice;

294

3) [ ]1

1 2221

|| || || || | | ( , ) | |n

k ii

x x x x x x=

= = = = Σ III , k – norma vektora,

1

2 2

,|| || | |ij

i jA a = Σ

III , k – norma matrice.

Koriste se i nazivi, redom: kubna, oktaedarska i sferna ili euklidska norma. Može se pokazati da su sve tri uvedene norme kanonske.

Teorema 2. Iterativni proces (4) za rešavanje sistema jednačina (3) za

proizvoljno početno rešenje (0)x konvergira ako je bilo koja kanonska norma matrice B manja od jedinice, tj. || || 1B < je dovoljan uslov konvergencije.

Dokaz. Konstruišimo niz približnih rešenja, niz iteracija (1) (0)

(2) (1)

( ) ( 1)

,

,

.k k

x Bx c

x Bx c

x Bx c−

= +

= +

= +

⋮

⋮

Sada nalazimo da je ( ) ( 1) ( 2) 2 ( 2)

2 ( 3) 3 ( 3) 2

(0) 1 2

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ,

k k k k

k k

k k k

x Bx c B Bx c B x B E cB Bx c B E c B x B B E c

B x B B B E c

− − −

− −

− −

= + = + = + + == + + + = + + + == = + + + + +⋯ ⋯

tj. ( ) (0) 1 2( )k k k kx B x B B B E c− −= + + + + +⋯ .

Kako je || || 1B < , to je lim || || 0k

kB

→∞= , pa je lim 0k

kB

→∞= i

1 2 1 1lim( ) lim( ) ( ) ( )k k k

k kB B B E E B E B E B− − − −

→∞ →∞+ + + + = − ⋅ − = −⋯ .

Na taj način dobijamo * ( ) 1lim ( )k

kx x E B c−

→∞= = − ⋅ ,

pa iz jednakosti * 1( )x E B c−= − ⋅ , det ( ) 0E B− ≠ ,

imamo *( )E B x c− = ili * *x Bx c= + .

Rešenje *x je jedinstveno.

Dovoljni uslovi konvergencije su:

(I) 11

|| || max | | 1n

m ijji

B b q=

= Σ ≤ < ,

295

(II) 21

|| || max | | 1n

l ijij

B b q=

= Σ ≤ < ,

(III)

1

223

, 1|| || | | 1

n

k iji j

B b q=

= Σ ≤ < .

Ako za približno rešenje sistema jednačina x Bx c= + uzmemo iteraciju ( )kx , ocenimo razliku izmeñu tačnog i približnog rešenja: * ( )kx x− . Radi toga

prvo ćemo oceniti razliku izmeñu dve uzastopne iteracije: ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)

( ) ( 1) ( 1) ( )

|| || || ( ) ( ) || || ( ) |||| || || || || || || ||, 1.

m m m m m m

m m m k k k

x x Bx c Bx c B x xB x x B x x m k

+ − −

− − +− = + − + = − ≤

≤ ⋅ − ≤ ≤ ⋅ − > ≥⋯

Za p ≥ 1 imamo ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( )

( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( )

1 ( 1) ( ) 2 ( 1) ( ) ( 1) (

|| || || ( ) ( ) ( ) ||

|| || || || || ||

|| || || || || || || || ||


k p k p k p k p k k

p k k p k k k k

x x x x x x x x

x x x x x x

B x x B x x x x

+ + + − + − + − +

+ + − + − + − +

− + − + +

− = − + − + + − ≤

≤ − + − + + − ≤

≤ ⋅ − + ⋅ − + + −

⋯

⋯

⋯)

( 1) ( ) 1 2

( 1) ( )

||

|| || (|| || || || 1)

1 || |||| || ,

1 || ||

k k p p

pk k

x x B B

Bx x

B

+ − −

+

=

= − + + + =

−= − ⋅−

⋯

dakle,

( ) ( ) ( 1) ( )1 || |||| || || ||

1 || ||

pk p k k kB

x x x xB

+ +−− ≤ ⋅ −−

.

Ako p → ∞ , onda iz prethodne nejednakosti dobijamo

* ( ) ( 1) ( )1|| || || ||

1 || ||k k kx x x x

B+− ≤ ⋅ −

−,

odnosno, za k ≥ 1 imamo

(5) * ( ) ( ) ( 1)|| |||| || || ||

1 || ||k k kB

x x x xB

−− ≤ ⋅ −−

.

Za 1

|| ||2

B ≤ iz (5) dobijamo

* ( ) ( ) ( 1)|| || || ||k k kx x x x −− ≤ − ,

odnosno, tačna je implikacija

(6) ( ) ( 1) * ( )|| || || ||k k kx x x x−− < ε⇒ − < ε .

Dakle, tačnost ε > 0 je dostignuta kada je norma razlike dveju uzastopnih itera-cija manja od ε. Kaže se da važi „kriterijum poklapanja“ dveju uzastopnih itera-cija.

U opštem slučaju ne važi „kriterijum poklapanja“ dveju uzastopnih itera-

296

cija, tj. u opštem slučaju nije tačna implikacija (6). U opštem slučaju važi implikacija

(7) ( ) ( 1) * ( )1 || |||| || || ||

|| ||k k kB

x x x xB

− −− ≤ ⋅ ε⇒ − ≤ ε ,

naravno, || || 1B < . Na potpuno isti način se dobija sledeća ocena greške

(8) * ( ) (1) (0)|| |||| || || ||

1 || ||

kk B

x x x xB

− ≤ ⋅ −−

.

Ako se uzme da je (0)x c= , što se najčešće radi, onda imamo

(8') 1

* ( ) || |||| || || ||

1 || ||

kk B

x x cB

+

− ≤ ⋅−

.

Za primenu metode iteracije značajno je sistem jednačina (1) zapisati u ekvivalentnom obliku (3) tako da bude ispunjen neki od dovoljnih uslova kon-vergencije. To je uvek moguće uraditi. Posebno je pogodan slučaj kada su dija-gonalni elementi matrice A dominantni po apsolutnoj vrednosti.

Primer 1. Metodom iteracije rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina

2.46 1x + 0.28 2x + 0.26 3x = 0.76,

0.38 1x + 3.57 2x + 0.36 3x = 1.72,

0.50 1x + 0.48 2x + 4.68 3x = 3.11. Tačnost 10–5.

Rešenje. Podelimo redom jednačine sistema dijagonalnim elementima 2.46, 3.57, 4.68 i napišimo sistem u sledećem obliku

1 2 3

2 1 3

3 1 2

0.11382 0.10569 0.30894,

0.10644 0.10084 0.48179,

0.10684 0.10256 0.66453.

x x x

x x x

x x x

= − − += − − += − − +

Sabiranjem apsolutnih vrednosti elemenata matrice B, npr. po kolonama, do-bijamo da je norma matrice

|| || max(0.21328, 0.21638, 0.20653) 0.21638 1lB = = < ,

pa će proces iteracije konvergirati. Za početnu aproksimaciju možemo uzeti (0) T(0.30894, 0.48179, 0.66453)x c= = .

Budući da je || || 1.45526lc = , broj iteracija za postizanje zadate tačnosti odreñu-jemo iz nejednakosti

15|| ||

|| || 101 || ||

kl

ll

Bc

B

+−≤

−,

odnosno

297

150.21638

1.45526 101 0.21638

k+−⋅ ≤

−,

odakle je k + 1 ≥ 7.9256..., odnosno k ≥ 6.9256... i možemo uzeti k = 7.

Rezultati računanja su dati u sledećoj tabeli.

1x 2x 3x b A 2.46 0.28 0.26 0.76 0.38 3.57 0.36 1.72 0.50 0.48 4.68 3.11

B 0 –0.11382 –0.10569 0.30894 –0.10644 0 –0.10084 0.48179 –0.10684 –0.10256 0 0.66453 (0)x 0.30894 0.48179 0.66453 (1)x 0.18387 0.38190 0.58211 (2)x 0.20395 0.40352 0.60572 (3)x 0.19899 0.39900 0.60188 (4)x 0.19991 0.39992 0.60225 (5)x 0.19964 0.39978 0.60216 (6)x 0.19979 0.39982 0.60220 (7)x 0.19979 0.39980 0.60218 (8)x 0.19979 0.39980 0.60218

Napomena 1. Primetimo da teorijska ocena broja iteracija za obezbeñi-vanje zadate tačnosti može biti praktično veća! Treba računati sve dok se ne po-klope dve uzastopne iteracije u granicama zadate tačnosti.

Napomena 2. Metoda iteracije je samokorigujuća, što znači da učinjena greška u procesu računanja ne utiče značajnije. Može se jedino dogoditi da treba napraviti nekoliko iterativnih koraka više ili nekoliko manje.

Napomenimo da je u posmatranom zadatku konvergencija sporija zbog cikličnog približavanja rešenju.

Primer 2. Sistem linearnih algebarskih jednačina

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 2 6.11,

5 4 2 2.99,

2 3 8 2 6.65,

4 7 4.64.

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ + + =− − − = −

− + − − = −+ − + =

zapisati u ekvivalentom obliku tako da bude ispunjen dovoljan uslov za konver-genciju metode iteracije.

298

Rešenje. Ako jednačine označimo redom: (1), (2), (3) i (4), onda sledeći ekvivalentni sistem

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

(1) (2) : 6 2 3.12,

3 (1) (3) : 9 4 11.68,

(3) : 2 3 8 2 6.65,

(4) : 4 7 4.64,

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ − + + =⋅ + + + + =

− + − − = −+ − + =

ima dominantne dijagonalne elemente (veće po apsolutnoj vrednosti od zbira apsolutnih vrednosti koeficijenta uz ostale nepoznate: |6| | 2| |1| |1| 4> − + + = , |9| |1|> + |1| |4| 6+ + = , | 8| | 2| |3| | 2| 7− > − + + − = , |7| |1| |1| | 4| 6> + + − = uz nepo-znate, redom x1, x2, x3, x4. Dakle, imamo

1 2 3 4

2 1 3 4

3 1 2 4

4 1 2 3

2 1 1 3.12,

6 6 6 61 1 4 11.68

,9 9 9 92 3 2 6.65

,8 8 8 81 1 4 4.64

.7 7 7 7

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

= − − +

= − − − +

= − + − +

= − − + +

Ponekad je pogodnije ne računati aproksimacije već razlike uzastopnih aproksimacija. Uvedemo li oznake

( ) ( ) ( 1)

(0) (0)

, 1, 2 , ...,

,

k k kx x k

x

−∆ = − =

∆ =

dobićemo iz ( 1) ( )k kx Bx c+ = +

i ( ) ( 1)k kx Bx c−= +

da je za (0)x c= ( 1) ( ), 1, 2, ...,k kB k+∆ = ∆ =

pa je m–ta aproskimacija

( ) ( )

0

mm k

kx

== Σ ∆ , (0) c∆ = .

Slično bismo imali za (0) (0)x c∆ = ≠ : ( ) 1 (1)k kB −∆ = ∆ , 1, 2, ...k =

i

( ) ( ) (0) 1 (1)

0 1

k kk s s

s sx x B −

= == Σ ∆ = + Σ ∆ .

299

12. ZAJDELOVA METODA

Jedna od modifikacija metode proste iteracije je Zajdelova metoda. Osnov-nu ideju je razradio Gaus 1843., a Zajdel je 1874. predložio metodu, pa se, ponekad, i naziva Gaus–Zajdelova metoda. Metoda se sastoji u sledećem: za

izračunavanje (k + 1)–ve aproksimacije komponente ix vektora ( 1)kx + koriste

se već izračunate komponente ( 1) ( 1) ( 1)1 2 1, , ...,k k k

ix x x+ + +− . Naime, iterativni proces

za sistem jednačina

x Bx c= +

je definisan na sledeći način:

(1) 1

( 1) ( 1) ( )

1

i nk k k

i ij j ij j ij j i

x b x b x c−

+ +

= == Σ + Σ + ,

1,i n= , k = 0, 1, 2, ..., (0) (0) (0) (0)1 2( , , ..., )nx x x x= – proizvoljna, početna iteracija.

Sistem jednačina (1) možemo predstaviti u sledećem obliku

(2) ( 1) ( 1) ( )k k kx M x N x c+ += + + ,

gde je

21

1 2 , 1

0 0 0 0

0 0 0

0n n n n

bM

b b b −

=

…

…

… … … … …

…

,

11 12 1

22 20

0 0

n

n

nn

b b b

b bN

b

=

…

…

… … … …

…

.

Iz (2) se dobija

(3) ( 1) 1 ( ) 1( ) ( )k kx E M N x E M c+ − −= − + − ,

što znači da je Zajdelova metoda ekvivalentna metodi proste iteracije s matri-

com 1( )B E M N−= − i slobodnim članom 1( )E M c−− . Na taj način imamo: potreban i dovoljan uslov konvergencije je da su sve

sopstvene vrednosti matrice

(4) 1( )S E M N−= −

po modulu manje od jedinice, tj. da su rešenja jednačine

(5) det ( ) 0S E− λ =

manja od jedinice. Rešenja jednačine (5) se poklapaju s rešenjima jednačine

(6) det ( ( ) ) 0N E M− − λ = .

Dovoljni uslovi konvergencije Zajdelove metode i metode proste iteracije su isti.

300

Teorema. Ako matrica B sistema linearnih algebarskih jednačina

(7) x Bx c= +

ispunjava uslov

(8) || || 1mB < , 1

|| || max | |n

m ijji

B b=

= Σ

tj. ako je m–norma manja od jedinice, onda Zajdelov iterativni proces konver-gira ka jedinstvenom rešenju sistema (7) nezavisno od izbora početnog vektora

(0)x .

Dokaz. Neka je ( ) ( ) ( ) ( ) T1 2( , , ..., )k k k k

nx x x x= k–ta aproksimacija dobijena Zaj-delovom metodom. Dakle,

(9) 1

( ) ( ) ( 1)

1

i nk k k

i ij j ij j ij j i

x b x b x c−

−

= == Σ + Σ + , 1,i n= , k = 1, 2, ...

Pod uslovom (8) sistem jednačina (7) ima jedinstveno rešenje

1 2( , ,x x x= T, )nx… koje možemo izračunati metodom proste iteracije:

(10) 1

n

i ij j ij

x b x c=

= Σ + , 1,i n= .

Ako oduzmemo (9) od (10) dobićemo 1

( ) ( ) ( 1)

1( ) ( )

i nk k k

i i ij j j ij j jj j i

x x b x x b x x−

−

= =− = Σ − + Σ − , 1,i n= ,

a odavde je

(11) 1

( ) ( ) ( 1)

1| | | | | | | | | |

i nk k k


x x b x x b x x−

−

= =− ≤ Σ ⋅ − + Σ ⋅ − , 1,i n= .

Saglasno m–normi ( ) ( )max| | || ||l l

i i mi

x x x x− = −

imamo ( 1) ( 1)| | || ||k k

j j mx x x x− −− ≤ − i ( ) ( )| | || ||k kj j mx x x x− ≤ −

pa iz nejednakosti (11) dobijamo

(12) ( ) ( ) ( 1)| | || || || ||k k ki i i m i mx x p x x q x x −− ≤ − + − ,

gde je 1

1| |

i

i ijj

p b−

== Σ i | |

n

i ijj i

q b=

= Σ .

Neka je ( )s s k= vrednost indeksa i za koji je ( ) ( ) ( )| | max | | || ||k k k

s s i i mi

x x x x x x− = − = − .

301

Stavimo li i = s u nejednakost (12), dobićemo ( ) ( ) ( 1)|| || || || || ||k k k

m s m s mx x p x x q x x −− ≤ − + −

ili

( ) ( 1)|| || || ||1

k ksm m

s

qx x x x

p−− ≤ −

−.

Na taj način je

(13) ( ) ( 1)|| || || ||k km mx x x x −− ≤ µ ⋅ − ,

gde je

(14) max1

i

ii

q

pµ =

−.

Dokažimo da je || || 1mBµ ≤ < .

Kako je

1| | || || 1

n

i i ij mj

p q b B=

+ = Σ ≤ < ,

to je || ||i m iq B p≤ − ,

pa je || || || || || ||

|| ||1 1 1

i m i m i mm

i i i

q B p B p BB

p p p

− − ⋅≤ ≤ =

− − −.

Dakle,

max || || 11

im

ii

qB

pµ = ≤ <

−.

Koristeći nejednakost (13) zaključujemo da je ( ) ( 1) 2 ( 2) (0)|| || || || || || || ||k k k k

m m m mx x x x x x x x− −− ≤ µ ⋅ − ≤ µ ⋅ − ≤ ≤ µ ⋅ −⋯ , dakle,

( ) (0)|| || || ||k km mx x x x− ≤ µ ⋅ − ,

odnosno ( )lim k

kx x

→∞= ,

što znači da Zajdelov iterativni proces konvergira ka rešenju sistema jednačina x Bx c= + , odnosno Ax b= .

Napomena 1. Kako imamo za metodu proste iteracije ( ) ( 1)|| || || || || ||k k

m m mx x B x x −− ≤ ⋅ − ,

a za Zajdelovom metodu ( ) ( 1)|| || || ||k k k

m mx x x x −− ≤ µ ⋅ −

i || ||mBµ ≤ , to pod uslovima ove teoreme sledi da Zajdlov iterativni proces

302

konvergira nešto brže od iterativnog procesa metode proste iteracije.

Napomena 2. Prethodni zaključak treba shvatiti vrlo uslovno. Naime, oblasti konvergencije ovih dveju metoda se ne poklapaju, što ćemo kasnije razmatrati. Postoje slučajevi kada iterativni proces konvergira po jednoj metodi a ne konvergira po drugoj.

Napomena 3. Na potpuno sličan način mogu se razmatrati prethodna pita-nja i u bilo kojoj drugoj normi. Prepuštamo da to uradite, na primer, u l–normi i k–normi.

Ako za približno rešenje sistema jednačina x Bx c= + uzmemo iteraciju ( )kx dobijenu primenom Zajdelovog iterativnog procesa, ocenimo razliku izme-

ñu tačnog i približnog rešenja * ( )kx x− , na primer, u m–normi.

Neka su ( )kx i ( 1)kx + dve uzastopne iteracije dobijene Zajdelovim iterati-vnim procesom. Dakle,

(15) 1

( ) ( ) ( 1)

1

i nk k k

i ij j ij j ij j i

x b x b x c−

−

= == Σ + Σ + ,

(16) 1

( 1) ( 1) ( )

1

i nk k k

i ij j ij j ij j i

x b x b x c−

+ +

= == Σ + Σ + , 1,i n= , 1, 2, ...k =

Ako oduzmemo (15) od (16), dobićemo

1( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)

1( ) ( )

i nk k k k k k


x x b x x b x x−

+ + −

= =− = Σ − + Σ − , 1,i n= ,

a odavde je

(17) 1

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)

1| | | | | | | | | |

i nk k k k k k


x x b x x b x x−

+ + −⋅= =

− ≤ Σ ⋅ − + Σ ⋅ − , 1,i n= .

Saglasno m–normi

( ) ( 1) ( ) ( 1)max | | || ||k k k ki i m

ix x x x− −− = − i ( 1) ( ) ( 1) ( )max | | || ||k k k k

i i mi

x x x x+ +− = − ,

pa iz nejednakosti (17) dobijamo

(18) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)| | || || || ||k k k k k ki i i m i mx x p x x q x x+ + −− ≤ ⋅ − + − ,

gde je 1

1| |

i

i ijj

p b−

== Σ i | |

n

i ijj i

q b=

= Σ .

Neka je ( )s s k= vrednost indeksa k za koji je ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )| | max | | || ||k k k k k ks s i i m

ix x x x x x+ + +− = − = − ,

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1)| | max | | || ||k k k k k ks s i i m

ix x x x x x− − −− = − = − .

Stavimo li i = s u nejednakost (18), dobićemo

303

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)|| || || || || ||k k k k k km s m s mx x p x x q x x+ + −− ≤ ⋅ − + −

ili

( 1) ( ) ( ) ( 1)|| || || ||1

k k k ksm m

s

qx x x x

p+ −− ≤ ≤ −

−.

Na taj način je

(19) ( 1) ( ) ( ) ( 1)|| || || ||k k k km mx x x x+ −− ≤ µ ⋅ − .

Za p ≥ 1 imamo ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2 ( 1) ( )

( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( )

( ) ( 1) 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1)

|| || || ( ) ( ) ( )||

|| || || || || ) ||

|| || || || ||

k p k k p k p k p k p k km m

k p k p k p k p k km m m

p k k p k k k km m

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

+ + + − + − + − +

+ + − + − + − +

− − − −

− = − + − + + − ≤

≤ − + − + + − ≤

≤ µ ⋅ − +µ ⋅ − + + µ⋅ −

⋯

⋯

⋯

( ) ( 1)

||

(1 )|| || ,

1

m

pk k

mx x −

=

µ − µ= ⋅ −− µ

odnosno, kada p → ∞ ,

(20) * ( ) ( ) ( 1)|| || || ||1

k k km mx x x x −µ− ≤ ⋅ −

− µ,

a odavde se dobija i ocena

(21) * ( ) (1) (0)|| || || ||1

kk

m mx x x xµ− ≤ ⋅ −− µ

,

gde je

1

1

| |max || ||

1 | |

n

ijj i

mii

ijj

bB

b

=−

=

Σµ = ≤

− Σ.

Napomena 4. Na potpuno isti način se mogu razmatrati prethodna pitanja i u bilo kojoj drugoj normi.

Primer 1. Zajdelovom metodom rešiti sistem linearnih algebarskih jedna-čina

4.00 1x + 0.16 2x + 0.32 3x = 1.06,

0.15 1x + 5.00 2x + 0.20 3x = 2.15,

0.18 1x + 0.24 2x + 6.00 3x = 3.72.

Rešenje. Napišimo sistem u sledećem obliku

1 2 3

2 1 3

3 1 2

0.04000 0.08000 0.26500,

0.03000 0.08000 0.43000,

0.03000 0.04000 0.62000.

x x x

x x x

x x x

= − − += − − += − − +

Lako se proverava da će proces iteracije konvergirati. Rezultati računanja su dati u sledećoj tabeli.

304

1x 2x 3x b 4.00 0.16 0.32 1.06

A 0.15 5.00 0.20 2.15 0.18 0.24 6.00 3.72 0 –0.0400 –0.0800 0.2650

B –0.0300 0 –0.0400 0.4300 –0.0300 –0.0400 0 0.6200 (0)x 0.2650 0.4300 0.6200 (1)x 0.1982 0.3993 0.5981 (2)x 0.2012 0.4000 0.5980 (3)x 0.2012 0.4000 0.5980

Napomenimo da se oblasti konvergencije metode proste iteracije i Zajdelo-ve metode ne poklapaju. Razmotrimo sledeće primere.

Primer 2. Ispitati konvergenciju metode proste iteracije i Zajdelove meto-de za sistem jednačina

1 1 1

2 2 2

5 5

1 0.1

x x c

x x c

− = +

.

Rešenje. Sopstvene vrednosti matrice B se dobijaju iz jednačine

5 50

1 0.1

− λ − = − λ

,

odnosno

(5 )(0.1 ) 5 0− λ − λ + = ,

ili

2 5.1 5.5 0λ − λ + = ,

odakle je 1 3.551...λ = i 2 1.548...λ = . Dakle, max| | 1ii

λ > , 1, 2i = , pa proces

iteracije ne konvergira.

Za ispitivanje konvergencije Zajdelovog procesa posmatrajmo matricu

1

1 1 0 0 0 5 5 5 5( )

0 1 1 0 0 0.1 5 4.9S E M N

−− − −

= − = − = − .

Sopstvene vrednosti matrice S se dobijaju iz jednačine

5 50

5 4.9

− λ − = − − λ

,

305

odnosno

(5 )( 4.9 ) 25 0− λ − − λ + = ,

ili 2 0.1 0.5 0λ − λ + = ,

odakle je 1, 2 0.05 7.05...iλ = ± ⋅ Dakle, max| | 1ii

λ < , 1, 2i = , pa Zajdelov itera-

tivni proces konvergira.

Primer 3. Ispitati konvergaciju metode proste iteracije i Zajdelove metode za sistem jednačina

1 1 1

2 2 2

2.3 5

1 2.3

x x c

x x c

− = + −

.


(2.3 )( 2.3 ) 5 0− λ − − λ + = ,

ili 2 0.29 0λ − = ,

odakle je 1, 2 0.5385λ ≈ ± . Dakle, max| | 1ii

λ < , 1, 2i = , pa proces iteracije

konvergira. Za ispitivanje konvergencije Zajdelovog procesa posmatrajmo matricu

1 2.3 5( )

2.3 7.3S E M N− −

= − = − .

Sopstvene vrednosti se dobijaju iz jednačine

(2.3 )( 7.3 ) 11.5 0− λ − − λ + = , ili

2 5 5.29 0λ + λ − = , odakle je 1 5.897λ ≈ − i 2 0.897λ ≈ . Dakle, max| | 1i

iλ > , 1, 2i = , pa Zajdelov

iterativni proces ne konvergira.

Primer 4. S obzirom na konvergenciju metode iteracije i Zajdelove metode ispitati sledeći sistem jednačina

1 1 2 1

2 1 2 2

,

,

x px qx c

x qx px c

= + += − + +

gde su 1 2, , ,p q c c zadati brojevi a 1x i 2x nepoznate veličine.


0p q

q p

− λ = − − λ

,

306

odnosno 2 2( ) 0p q− λ + = ,

odakle je

1, 2 p iqλ = ± .

Da bi metoda proste iteracije konvergirala, potrebno je i dovoljno da bude 1 1| | | | 1λ = λ < ,

odnosno 2 2 1p q+ < , što možemo zapisati

na sledeći način 2 2 1p q+ < ,

što u koordinatnom sistemu Opq predstavlja

unutrašnjost kruga 2 2 1p q+ = (to je oblast A

na sl. 1).

Da bismo našli oblast konvergencije Zajdelove metode, formiraćemo matricu

1 0 0 0( )

0 0 1 0

p q p qN E M

p q q p

− λ − − λ = − − ⋅ λ = − − λ − λ

,

pa, zatim, jednačinu

2 2det( ( ) ) ( ) 0p q

N E M p qq p

− λ − − λ = = − λ + λ = − − λ

,

odnosno 2 2 2( ) ( 2 ) 0q p pλ ≡ λ + − λ + =D .

Da bi rešenja jednačine ( ) 0λ =D zadovoljavala uslove 1| | 1λ < i 2| | 1λ < potrebno je i dovoljno da bude (v. А. Г. Курс A. G. Kuroš – Kurs высшей алгебры, Москва, 1969).

2 2| 2 | 1q p p− < + i 2 1p < , a odavde je

| | 1p < i | | 1q p< + (to je oblast B na sl. 1). Očigledno, vrednosti p i q mogu se izabrati tako da:

1) obe iterativne metode konvergiraju (A B∩ – osenčeno na sl. 1);

2) prosta metoda iteracije konvergira, a Zajdelova ne konvergira;

3) Zajdelova metoda konvergira, a metoda proste iteracije ne konvergira;

4) nijedna od ove dve metode ne konvergiraju.

0

q

p

1

1– 1

– 1

A

B

Sl. 30

307

13. OPTIMIZACIJA BRZINE KONVERGENCIJE ITERATIVNIH PROCESA

Da bismo rešili sistem linearnih algebarskih jednačina

(1) Ax b= , [ ]ij n nA a ×= , 1[ ]i nx x ×= , 1[ ]i nb b ×= ,

nekom iterativnom metodom, kao što znamo, treba ga zapisati u ekvivalentnom obliku, pogodnom za primenu iterativnih metoda (2) x Bx c= + ili

(3) ( )x x D Ax b= − = ,

gde je D nesingularna matrica, dakle det D ≠ 0, istih dimenzija kao i matrica A. Posmatrajmo iterativni proces definisan na sledeći način

(4) ( ) ( 1) ( 1)( )k k kx x D Ax b− −= − = , (0)1, 2, ...;k x= – početna iteracija.

Postavimo sledeći zadatak: Kako treba izabrati nesingularnu matricu D da bi iterativni proces (4) najbrže konvergirao? Rešenje ovog zadatka je vrlo složeno, pa ćemo razmotriti njegov specijalan slučaj, slučaj kada je D I= τ , gde je I jedinična matrica istih dimenzija kao i matrica D a τ parametar. Dakle, specijalni zadatak glasi: Kako treba izabrati parametar τ da bi iterativni proces

(5) ( ) ( 1) ( 1)( )k k kx x Ax b− −= − τ − , 1, 2, ...k =

najbrže konvergirao? Pretpostavimo da je matrica A realna, simetrična i pozitivno definitna. Tada

su sve sopstvene vrednosti iλ , 1,i n= , realne i pozitivne. Neka su poznate gra-nice sopstvenih vrednosti

(6) 0 im M< ≤ λ ≤ < ∞ .

Označimo sa *x tačno rešenje sistema. Oduzmemo li *x od obeju strana jedna-kosti (5), dobićemo

( ) * ( 1) * ( 1)( )k k kx x x x Ax b− −− = − − τ − , ili

( ) * ( 1) * ( 1) *( )k k kx x x x Ax Ax− −− = − − τ − , odnosno

(7) ( ) * ( 1) *( ) ( )k kx x I A x x−− = − τ − .

Koristeći (7) nalazimo ( ) * ( 1) * ( 2) *

2 ( 2) * 2 ( 3) *

3 ( 3) * (0) *

( ) ( ) ( )(( ) ( ))( ) ( ) ( ) (( ) ( ))( ) ( ) ( ) ( ).

k k k

k k

k k

x x I A x x I A I A x xI A x x I A I A x xI A x x I A x x

− −

− −

−

− = − τ − = − τ − τ − == − τ − = − τ − τ − == − τ − = = − τ −⋯

dakle ( ) * (0) *( ) ( )k kx x I A x x− = − τ − .

308

Ocenimo prethodnu razliku u normi: 1/ 2

23

1|| ||

n

ii

x x=

= Σ

, * 1/ 2 2 1/ 23|| || (max ( ) (max ( )) max | ( )|A A A A A= λ ⋅ = λ = λ .

Iskoristićemo činjenicu da su sopstvene vrednosti matrice I A= τ jednake

1 i− τλ a matrice ( )kI A− τ jednake (1 )ki− τλ .

Dakle, ( ) * (0) *

3 3 3|| || ||( ) || ||( ) ||k kx x I A x x− ≤ − τ ⋅ − ,

( )31 1

||( ) || max |1 | max |1 |kk k

i ii n i n

I A≤ ≤ ≤ ≤

− τ = − τλ = − τλ ,

pa je

( )( ) * (0) * (0) *3 3 3

1 [ , ]|| || (max |1 | || || max |1 | ||( )||

kk ki i

i n m Mx x x x x x

≤ ≤ λ∈− ≤ − τλ ⋅ − ≤ − τλ ⋅ − .

Znači, treba izabrati vrednost parametra τ da bude

[ , ]max |1 | min

m Mλ∈− τλ = ,

što možemo zapisati na sledeći način

(8) [ , ]

min max |1 |im Mτ λ∈

− τλ .

Posmatrajmo funkciju ( ) |1 |if λ = − τλ . Očigledno je (sl. 2)

[ , ]max ( ) max |1 |, |1 |

m Mf m M

λ∈λ = − τ − τ .

Posmatrajmo sada funkciju ( ) max |1 |, |1 |m Mϕ τ = − τ − τ .

0

f ( )λ

λm Mτ1

0

ϕ τ( )

ττ0M1

1

m1

ϕ τ( )0

Sl. 31 Sl. 32 Treba naći min ( )

τϕ τ . Ako u istom koordinatnom sistemu Oτϕ predstavimo

grafički funkcije: |1 |m− τ i |1 |M− τ ,

onda možemo zaključiti da se minimum postiže u preseku ovih grafika (sl. 3), dakle,

|1 | |1 |m M− τ = − τ ,

309

ili (1 ) 1m M± − τ = − τ ,

odnosno (1 ) 1m M− − τ = − τ ,

a odavde je

0

2

M mτ = τ =

+.

Vrednost minimuma je 0 0( ) ( ) |1 |M m

mM m

−ϕ τ = ϕ τ = − τ =+

. Jasno je da je

0( ) 0M m

M m

−ϕ τ = >+

i 1M m

M m

− <+

.

Dakle,

[ , ]min max |1 |

m M

M mm

M mτ λ∈

−− τ =+

.

Na taj način dobijamo da je najbolja ocena

(9) ( ) * (0) *3 3|| || || ||

kk M m

x x x xM m

− − ≤ ⋅ − + .

Kako je 0 1M m

M m

−< <+

, to je lim 0k

k

M m

M m→∞

− = + . Brzina konvergencije

iterativnog procesa, očigledno, zavisi od veličine M m

M m

−+

. Tako, na primer, ako

je M veliko, onda je M m

M m

−+

blisko 1 i konvergencija je vrlo spora.

Problem precizne ocene veličina m i M je, očigledno, vrlo značajan.

14. OCENA GREŠKE PRIBLIŽNOG REŠENJA SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNA ČINA

Posmatrajmo sistem linearnih algebarskih jednačina

(1) Ax b= ,

gde je [ ]ij n nA a ×= matrica sistema, 1[ ]i nb b ×= jednokolona matrica ili vektor

slobodnih članova i 1[ ]i nx x ×= jednokolona matrica ili vektor nepoznatih. Za rešavanje sistema (1) koriste se dve osnovne grupe metoda: tačne ili dir-

ektne i iterativne metode. Koeficijenti ija i slobodni članovi ib ( , 1,i j n= ) su

tačni ili približni brojevi. Ako su koeficijenti ija i slobodni članovi ib tačni

brojevi, onda je rešenje T1 2( , , ..., )nx x x x= sistema (1) moguće izračunati s

proizvoljnom, unapred zadatom tačnošću. Ako su koeficijenti ija ili slobodni

310

članovi ib približni brojevi, onda je maksimalno moguća tačnost rešenja T

1 2( , , ..., )nx x x x= sistema (1) ograničena tačnošću najnetačnijeg podatka.

Tačno rešenje *x sistema jednačina (1), uopšte govoreći, nije moguće izračunati. Naime, pri rešavanju sistema jednačina (1) tačnim ili direktnim metodama čak i u slučaju kada su i koeficijenti ija i slobodni članovi tačni

brojevi dobija se približno rešenje zbog grešaka zaokrugljivanja. Uticaj grešaka zaokrugljivanja može biti vrlo velik. Osim toga, u procesu računanja može doći do gubljenja tačnosti zbog deljenja brojevima koji su bliski nuli ili zbog gublje-nja značajnih cifara u rezultatu oduzimanja bliskih brojeva. Delimično eliminisanje velikog uticaja grešaka zaokrugljivanja je moguće promenom sheme računanja. Meñutim, potpuno eliminisanje uticaja grešaka zaokrugljivanja, uopšte govoreći, nije moguće. Greške zaokrugljivanja su neotklonjive greške. Ako su koeficijenti ija ili slobodni članovi približni

brojevi, onda se ne može ni govoriti o tačnom rešenju.

Dobijamo približno rešenje x′ sistema jednačina (1) možemo posmatrati kao tačno rešenje nekog drugog sistema jednačina

(2) ' ' 'A x b= ,

gde je

(3) 'A A= + δ , 'b b= + η , * 'x x= + ε .

Prirodno je postaviti pitanje ocene greške *x x′− u zavisnosti od veličina

A A′− = δ i b b′− = η . Ocena greške *x x′− = ε ne može se dobiti zamenom

približnog rešenja x′ u sistemu (1). Naime, ako je veličina r b Ax′= − malena u nekom smislu, u smislu izabrane norme, onda to ne mora da znači da je greška

*x x′− = ε malena. Ako veličine definisane relacijama (3) uvrstimo u (2), imaćemo

*( ) ( )A x b− δ − ε = − η , odnosno

(4) * *Ax x A b− δ − ε + δε = − η .

Oduzimanjem (4) od *Ax b= dobijamo: *

*

,( ) ,

,

x AA xA x

δ + ε − δε = ηε = −δ − ε + η

′ε = −δ + η

a odavde je 1( )A x− ′ε = η − δ ,

odnosno

(5) 1|| || || || (|| || || || || ||)A x− ′ε ≤ η + δ ⋅ .

311

Ako je A A′= , tj. ako je matrica δ nula–matrica, što znači da su koefici-jenti sistema ija tačni brojevi, onda iz (5) sledi da je

(6) 1|| || || || || ||A−ε ≤ ⋅ η ,

a ako su slobodni članovi ib tačni brojevi, tj. ako je 0η = , onda je

(7) 1|| || || || || || || ||A x− ′ε ≤ ⋅ δ ⋅ .

Primer 1. Zadat je sistem jednačina

1 2

1 2

3 2 5,

4 3 7.

x x

x x

+ =+ =

Koeficijenti sistema i slobodni članovi su tačni brojevi. Ako umesto tačnih vrednosti slobodnih članova uzmemo, redom, približne

vrednosti 5.02 i 7.01, dobićemo sistem jednačina

1 2

1 2

3 2 5.02,

4 3 7.01.

x x

x x

+ =+ =

Koeficijenti ovog sistema su tačni a slobodni članovi približni brojevi.

Oceniti razliku izmeñu tačnog rešenja *x zadatog sistema jednačina i pri-bližnog rešenja x′ koje se dobija rešavanjem promenjenog sistema jednačina.

Rešenje. Iskoristićemo formulu (6). Redom nalazimo

1 3 2

4 3A− −

= − , 1|| || max (|3| | 2|, | 4| |3|) max(5, 7) 7mA− = + − − + = = ,

T( 0.02 0.01)b b′η = − = − − , || || max(| 0.02|, | 0.01|) 0.02η = − − = , pa je

1|| || || || || || 7 0.02 0.14m m mA−ε ≤ ⋅ η = ⋅ = .

15. MERA USLOVLJENOSTI MATRICA I SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNA ČINA

Posmatrajmo sistem linearnih algebarskih jednačina

(1) Ax b=

gde je [ ]ij n nA a ×= matrica sistema, 1[ ]i nb b ×= jednokolona matrica ili vektor

slobodnih članova i 1[ ]i nx x ×= jednokolona matrica ili vektor nepoznatih.

Pretpostavimo da je sistem jednačina (1) nehomogen, tj. 0b ≠ . Kao što je poznato sistem jednačina (1) ima jedinstveno rešenje ako i samo ako je det 0A ≠ Ako je det 0A = , tj. ako je matrica A sistema jednačina (1) singularna, onda za neke vektore b sistem jednačina (1) nema rešenje a za neke vektore b sistem jednačina (1) ima beskonačno mnogo rešenja.

312

Kao što smo videli tačno rešenje *x sistema jednačina (1) nije moguće izračunati zbog približnosti koeficijenta ija matrice A ili slobodnih članova ib

( , 1,i j n= ) i zbog uticaja grešaka zaokrugljivanja. Dobijeno približno rešenje

x′ sistema jednačina (1) možemo posmatrati kao tačno rešenje nekog drugog sistema jednačina

(2) A x b′ ′ ′= ,

gde je

(3) A A′= + δ , b b′= + η , *x x′= + ε .

Meñutim, prirodno se postavlja sledeće pitanje: Ako sistem jednačina (1) ima jedinstveno rešenje, da li sistem jednačina (2) ima jedinstveno rešenje? I obrnuto, ako sistem jednačina (2) ima jedinstveno rešenje, da li sistem jednačina (1) ima jedinstveno rešenje? Jasno je da iz činjenice da je det 0A ≠ ne mora slediti da je det 0A′ ≠ . Naravno, iz činjenice da je det 0A = ne mora slediti da

je det 0A′ = . Dakle, možemo zaključiti da je rešenje *x sistema jednačina (1) „osetljivo“ na promene koeficijenata ija i slobodnih članova ib sistema. Na

neki način se nameće zaključak da je ta „osetljivost“ veća ako je matrica A sistema jednačina (1) „bliža“ singularnoj matrici i da bi det A mogla predstavljati neku meru regularnosti matrice A. Na žalost, odstupanje detA od nule ne može se uzeti za meru regularnosti matrice A. Naime, ako svaku jedna-činu sistema pomnožimo konstantom 0C ≠ , karakteristike sistema se neće bit-

nije promeniti ali će determinanta biti veća nC puta.

Pouzdanu meru regularnosti daje tzv. uslovljenost matrice.

Prvo ćemo razmatrati sledeći primer.

Primer 1. Posmatrajmo sistem linearnih algebarskih jednačina

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5 7 6 37,

7 10 8 51,

6 8 9 49.

x x x

x x x

x x x

+ + =+ + =+ + =

Ispitati uticaj malih promena elemenata matrice sistema ili slobodnih čla-nova na postojanje rešenja sistema jednačina.

Rešenje. Determinanta sistema je

5 7 6

det 7 10 8 1 0

6 8 9

A = = ≠ ,

pa sistem jednačina ima jedinstveno rešenje. Inverzna matrica je

313

1

26 15 4

15 9 2

4 2 1

A−

− − = − −

.

Rešenje sistema je

1

2

3

26 15 4 37 1

15 9 2 51 2

4 2 1 49 3

x

x x

x

− − = = − ⋅ = −

.

Na taj način, ako su koeficijenti matrice A tačni brojevi, onda svaki neho-mogeni sistem jednačina Ax b= ima jedinstveno rešenje i to rešenje se jednostavno nalazi. Meñutim, ako se samo element 11 5a = matrice A promeni

za ε, onda ćemo imati

5 7 6

det ( ) 7 10 8 1 26

6 8 9

A

+ εε = = + ε ,

i za 1

0.03846... 0.038526

ε = − = − ≈ − možemo smatrati da je matrica A(ε) sin-

gularna i ne postoji 1( )A− ε . Dakle, ako su elementi ija matrice A zadati s

tačnošću 0.03846... ≈ 0.0385, onda sistem jednačina Ax b= nema rešenje. Drugim rečima, mala izmena koeficijenata sistema dovodi do velike izmene rešenja sistema jednačina. Tako, na primer, determinanta sistema jednačina

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4.9615 7 6 37,

7 10 8 51,

6 8 9 49,

x x x

x x x

x x x

+ + =+ + =+ + =

je D = –0.001, tj. praktično jednaka nuli i sistem jednačina nema rešenja. Rešenje sistema jednačina je „osetljivo“ i na male promene slobodnih čla-

nova. Na primer, rešenje sistema jednačina

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5 7 6 37.1,

7 10 8 51,

6 8 9 49.

x x x

x x x

x x x

+ + =+ + =+ + =

je T(3.6, 0.5, 2.6)x = .

Za kvantitativno karakterisanje zavisnosti greške *x x′ε = − rešenja sistema jednačina od greške b b′η = − vektora slobodnih članova uvodi se pojam uslovljenosti sistema i uslovljenosti matrice sistema.

314

Neka je || ||x norma vektora x i || ||A njom indukovana norma matrice A. Posmatrajmo količnike

(4) *

* *

|| || || ||

|| || || ||

x x

x x

′ε −= i || || || ||

|| || || ||

b b

b b

′η −= .

Količnici (4) su, očigledno, analogoni relativnim greškama. Meru uslovljenosti sistema jednačina definisaćemo jednakošću

(5) * *

|| || || || || || || ||sup : sup

|| |||| |||| || || ||

b

bx xη η

ε η ε µ = = η , || || 1η ≤ .

Budući da je

* *

|| || || || || || || || || ||

|| || || || || |||| || || ||

b

b bx x

ε ε η η≤ ⋅ ⋅ ≤ µ ⋅η

,

to je

(6) *

|| || || ||

|| |||| || bx

ε η≤ µ ⋅ ili *

*

|| || || ||

|| |||| ||

x x b b

bx

′ ′− −≤ µ ⋅ .

Dakle, granica relativne greške približnog rešenja x′ sistema jednačina Ax b= je proporcionalna relativnoj grešci desne strane, a koeficijent propor-cionalnosti je uslovljenost sistema µ .

Kako izračunati uslovljenost sistema µ ? Kako je 1A−ε = ⋅ η , to je

1|| || || || || ||A−ε = ⋅ η i 1|| |||| ||

|| ||A−ε ≤

η,

pa možemo uzeti da je

1|| ||sup || ||

|| ||A−

η

ε ≤η

i zbog toga je

(7) 1*

|| |||| ||

|| ||

bA

x−µ = ⋅ .

U nekim slučajevima pogodno je okarakterisati uočena svojstva sistema sa-mo pomoću svojstava matrice sistema. Radi toga uvodimo meru uslovljenosti matrice A

cond( ) supb

A = µ .

Tada iz nejednakosti

*

|| || || ||

|| |||| || bx

ε η≤ µ ⋅

dobijamo

(8) *

|| || || ||cond( )

|| |||| ||A

bx

ε η≤ ⋅ .

315

Kako je *

* *

|| || || ||sup sup || ||

|| || || ||b x

b AxA

x x= = ,

to je

1 1*

|| ||cond( ) sup sup || || || || || ||

|| ||b b

bA A A A

x− −= µ = ⋅ = ⋅ .

Dakle, uslovljenost matrice A je broj

(9) 1cond( ) || || || ||A A A−= ⋅ . Za jediničnu matricu I je

cond( ) 1I = , a za singularnu matricu uzimamo da je

cond( )A = ∞ . Iz

1 11 || || || || || || || || cond( )I A A A A A− −= = ⋅ ≤ ⋅ = očigledno je

cond( ) 1A ≥ . Ako je cond( )A bliska jedinici, kaže se da je matrica dobro uslovljena.

Ako je cond( ) 1A ≫ , kaže se da je matrica slabo uslovljena, tj. bliska je singu-larnoj matrici.

Vrlo značajna je osobina uslovljenosti matrice cond( ) cond( )C A A⋅ = ,

gde je konstanta 0C ≠ . Dakle, uslovljenost matrice ne zavisi od skalarnog

množitelja. (Prisetimo se da je det ( ) detnC A C A⋅ = ⋅ .) Može se dobiti opštija ocena greške približnog rešenja:

*

* *

|| || || || || || || || || ||cond( ) cond( )

|| |||| || | |||| || || ||

x x b b bA A

Ab bx x

′ ′ ′ε − − δ′= ≤ + ⋅ ⋅ ′ ,

gde je A = A + δ, b b′= + η , *x x′= + ε . Razmotrimo, na primer, treću ili sfernu normu vektora i pretpostavimo da

je matrica A simetrična. Tada je || || max | ( )|A A= λ . Kako su sopstvene vrednosti matrica A i A–1 uzajamno recipročne, to je

1 1 1|| || max

| ( )| min | ( )|A

A A− = =

λ λ

i zbog toga je max | ( )|

cond( )min | ( )|

AA

A

λ=λ

.

316

16. METODA RELAKSACIJE

Sistem linearnih algebarskih jednačina

(1) Ax b=

zapišimo u sledećem obliku

(2) 1

1 10

i n

ii i ij j ij j ij j i

a x a x a x b−

= = +− − Σ − Σ + = , 1,i n= ,

ili, ako je 0iia ≠ (što se može pretpostaviti bez smanjenja opštosti),

(3) 1

1 10

i n

i ij j ij j ij j i

x b x b x c−

= = +− + Σ + Σ + = , 1,i n= .

Neka je (0) (0) (0) (0) T1 2( , , ..., )nx x x x= početno približno rešenje. Izračunajmo

sledeće ostatke

(4) 1

(0) (0) (0) (0)

1 1

i n

i i ij j ij j ij j i

R x b x b x c−

= = += − + Σ + Σ + , 1,i n= .

Ako su svi ostaci (4) jednaki nuli, onda je (0)x tačno rešenje sistema jednačina

(1). Uopšte govoreći takav izbor vektora (0)x je nemoguć. Meñutim, postoje ta-kve metode kod kojih se ostaci iR prelaskom od k–te na (k + 1)–vu aproksi-

maciju minimiziraju tako da ostaci 0iR → , 1,i n= kada k → ∞ . Naime, ako

komponenti (0)sx , 1 ≤ s ≤ n, dodamo veličinu (0)

sxδ , onda se odgovarajući osta-

tak (0)sR umanji za (0)

sxδ a ostali ostaci (0)iR , i s≠ , se uvećaju za (0)

is sb xδ . Na

taj način, da bi sledeći ostatak (1)sR bio jednak nuli, dovoljno je uzeti

(0) (0)s sx Rδ = ,

pa je (1)

(1) (0) (0)

0,

, .s

i i is s

R

R R b x i s

== + δ ≠

Na sledećem koraku dodajemo komponenti (1)tx veličinu

(1) (1)t tx Rδ = , t s≠ ,

tada je (2)

(2) (1) (1)

0,

, .t

i i it t

R

R R b x i t

== + δ ≠

Proces se nastavlja sve dok svi ostaci iR , 1,i n= , ne budu jednaki nuli u grani-cama tačnosti računanja.

317

Od redosleda izjednačavanja s nulom ostataka iR , tj. od „upravljanja“ rela-ksacionim procesom, zavisi koju metodu ćemo dobiti. Najčešće se uzima za kri-

terijum izbora: maksimalni po modulu ostatak iR ili se ostaci iR , 1,i n= , ciklično biraju ili na neki drugi način. Na primer, ako sistem jednačina ima deset jednačina numerisanih brojevima od 0 do 9, tada za „upravljanje“ relaksacionim procesom možemo uzeti npr. dekadni zapis broja π = 3.14159

26535 89793 23846 26433 83279..., tj. na prvom koraku bismo uzeli (1)3 0R = ,

na drugom (2)1 0R = , na trećem (3)

4 0R = , i tako dalje.

O uslovima konvergencije videti u knjizi Д. К. Фаддеев, В. Х. Фаддеева –Вычислительные методы линейной алгебры, Москва, 1960.

Primer 1. Metodom relaksacije rešiti sistem linearnih algebarskih jednači-na.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2.00 0.25 0.35 1.08,

0.22 2.00 0.28 0.87,

0.24 0.26 2.00 0.70.

x x x

x x x

x x x

+ + =+ + =+ + =

Rešenje. Podelimo redom jednačine dijagonalnim elementima i napišimo sistem u sledećem obliku

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0.125 0.175 0.540 0,

0.110 0.140 0.435 0,

0.120 0.130 0.350 0.

x x x

x x x

x x x

− − − + =− − − + =− − − + =

Za početno rešenje uzmimo vektor (0) T(0.540, 0.435, 0.350)x = , a za krite-

rijum izbora izjednačavanja ostatka iR s nulom izaberimo max iR , 1, 2, 3i = .

Rezultati računanja su dati u sledećoj tabeli.

i 1ia 2ia 3ia 4ia

1 2.00 0.25 0.35 1.08 2 0.22 2.00 0.28 0.87 3 0.24 0.26 2.00 0.70 1 –1 –0.125 –0.175 0.540 2 –0.110 –1 –0.140 0.435 3 –0.120 –0.130 –1 0.350 (0)x 0.540 0.435 0.350 (0)

3x (0)R –0.116 –0.108 –0.121 –0.121 (1)x 0.540 0.435 0.229 (1)

1x (1)R –0.0944 –0.0915 0 –0.0944 (2)x 0.446 0.435 0.229 (2)

2x

318

(2)R 0 –0.0811 0.0109 –0.0811 (3)x 0.446 0.354 0.229 (3)

3x (3)R 0.00968 0 0.0215 0.0215 (4)x 0.446 0.354 0.250 (4)

1x (4)R 0.00600 –0.00306 0 0.00600 (5)x 0.452 0.354 0.250 (5)

2x (5)R 0 –0.00372 –0.000 –0.00372 (6)x 0.452 0.350 0.250 (6)R 0.000 0 0.000 x 0.452 0.350 0.250

17. METODA NAJMANJIH KVADRATA

U praksi se često rešavanje nekog problema svodi na tzv. „preodreñene“ si-steme linearnih algebarskih jednačina, tj. na sisteme sledećeg oblika

(1)

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

,

,

,

m m

m m

n n nm m n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =

⋯

⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯

gde je broj jednačina n veći od broja nepoznatih m (n > m). Sistem jednačina (1), uopšte uzevši, nije saglasan, tj. nije moguće naći takve vrednosti nepoznatih

jx , 1,j m= , za koje sve jednačine sistema postaju identiteti. Meñutim,

činjenica da veličine ib , 1,i n= , a ponekad i koeficijenti ija , 1,i n= , 1,j m= ,

nisu tačni nego približni brojevi omogućava da se mogu odrediti vrednosti

nepoznatih jx , 1,j m= , tako da budu sve jednačine sistema (1) zadovoljene s

izvesnom greškom.

Jedna od metoda rešavanja „preodreñenih“ sistema oblika (1) je metoda najmanjih kvadrata. Ova metoda se sastoji u tome da se traže one vrednosti

nepoznatih jx , 1,j m= , za koje je suma kvadrata razlika izmeñu desnih i levih

strana jednačina sistema (1) minimalna, tj. da je

(2) 2

1 1min

n m

i ij ji j

S b a x= =

= Σ − Σ = .

Uslovi minimuma veličine S su

(3) 0k

S

x

∂ =∂

, 1,k m= ,

319

ili

(4) 1 1

2 0n m

i ij j iki j

k

Sb a x a

x = =

∂ = − Σ − Σ = ∂ , 1,k m= .

Sistem jednačina (3), odnosno (4), ima m jednačina i m nepoznatih i zove se normalan sistem jednačina, a sistem (1) se zove sistem uslovnih jednačina. Rešimo li normalni sistem jednačina (4) nekom od poznatih metoda, dobićemo rešenje uslovnog sistema (1) za koje je veličina S minimalna.

Primer 1. Metodom najmanjih kvadrata rešiti sistem linearnih jednačina

1 2

1 2

1 2

1 2

3.00,

3 7.00,

2 0.20,

3 5.00.

x x

x x

x x

x x

+ =+ =− =+ =

Rešenje. Formirajmo sistem normalnih jednačina. Uslovi minimuma sume 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2( 3.00) ( 3 7.00) (2 0.20) (3 5.00)S x x x x x x x x= + − + + − + − − + + − su

[]

1 2 1 2 1 21

1 2

2 ( 3.00) ( 3 7.00) 2(2 0.20)

(3 5.00) 0,

Sx x x x x x

xx x

∂ ≡ + − + + − + − − +∂

+ + − =

[]

1 2 1 2 1 22

1 2

2 ( 3.00) 3( 3 7.00) (2 0.20)

(3 5.00) 0,

Sx x x x x x

xx x

∂ ≡ + − + + − − − − +∂

+ + − =


1 2

1 2

15 5 25.40,

5 12 28.80.

x x

x x

+ =+ =

Rešenje ovog sistema je 1 1.04x = , 2 1.97x = .

Primetimo da smo normalni sistem jednačina mogli formirati na sledeći način: pomnožimo li redom uslovne jednačine brojevima 1, 1, 2, 3 i saberimo li tako dobijene jednačine, dobićemo prvu jednačinu normalnog sistema; pomno-žimo li redom uslovne jednačine brojevima 1, 3, –1, 1 i saberemo li tako dobijene jednačine, dobićemo drugu jednačinu normalnog sistema jednačina.

Dakle, može se uočiti da se k–ta jednačina normalnog sistema dobija tako što se svaka uslovna jednačina pomnoži koeficijentom uz xk te jednačine pa se dobijene jednačine saberu.

Primer 2. Zadat je sistem linearnih algebarskih jednačina 2 5,

1,

2 7.

x y

x y

x y

+ =− = −+ =

320

a) Rešiti sistem metodom najmanjih kvadrata.

b) Formirati sve podsisteme od dve jednačine s dve nepoznate i rešiti ih. U pravouglom koordinatnom sistemu 0xy predstaviti graficima prave koje su odreñene jednačinama zadatog sistema. Naći temena A, B, C trougla ∆ABC koji je odreñen odsečcima ovih pravih. Naći težište T ovog trougla.

Rešenje. a) Da bismo dobili sistem normalnih jednačina, formiraćemo sumu

2 2 2( 2 5) ( 1) (2 7)S x y x y x y= + − + − + + + − ,

pa, zatim, naći njen minimum. Uslovi minimuma su:

2( 2 5) 2( 1) 2 2 (2 7) 0,

2 2 ( 2 5) 2( 1) 2(2 7) 0.

Sx y x y x y

xS

x y x y x yy

∂ ≡ + − + − + + ⋅ ⋅ + − =∂∂ ≡ ⋅ ⋅ + − − − + + + − =∂

Posle sreñivanja imamo sistem normalnih jednačina

2 6,

2 6.

x y

x y

+ =+ =

Rešenje ovog sistema je: x = 2, y = 2.

b) Podsistemi od dve jednačine s dve nepoznate su:

2 5,

1,

x y

x y

+ =− = −

2 5,

2 7,

x y

x y

+ =+ =

2 7,

1.

x y

x y

+ =− = −

Rešenje ovih sistema jednačina su, očigledno, koordinate temena A, B, C trougla ∆ABC (sl. 4).

Dakle, A(1, 2), B(3, 1), C(2, 3).

Težište trougla ima koordinate

1( ) 2,

31

( ) 2,3

T A B C

T A B C

x x x x

y y y y

= + + =

= + + =

dakle, T(2, 2).

Primetimo da je rešenje dobijeno metodom najmanjih kvadrata upravo ureñen par (2, 2).

Da li je ovaj zaključak opšteg karaktera?

0

y

x

1

–1

A

1 3 5

2

3

7

C

BT

x y

+ 2 = 5

2 +

= 7x

y

xy

– =

–1

2.5

3.5

Sl. 33

321

VI NUMERI ČKE METODE REŠAVANJA PROBLEMA SOPSTVENIH VREDNOSTI I SOPSTVENIH VEKTORA MATRICA

0. O PROBLEMU SOPSTVENIH VREDNOSTI I SOPSTVENIH VEKTORA MATRICA

U mnogim zadacima, kako teorijskog tako i praktičnog karaktera, matematike i njenih primena u mehanici, fizici, astronomiji i drugim prirodnim naukama i tehnici potrebno je izračunati sopstvene ili karakteristične vrednosti i odgovarajuće sopstvene ili karakteristične vektore zadate matrice A. Naime, potrebno je izračunati vrednosti parametra λ za koje postoje netrivijalna rešenja sistema homogenih linearnih algebarskih jednačina

(1) Ax x= λ ,

gde je

(2)

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

=

⋯

⋯

⋮ ⋮

⋯

zadata matrica, a T1 2( , , , )nx x x x= … nepoznat vektor.

Sistem jednačina (1) može se zapisati i na sledeći način

(1') ( ) 0A E x− λ = ,

gde je E jedinična matrica istih dimenzija kao i matrica A.

Kao što je poznato, sistem jednačina (1), odnosno (1'), uvek ima trivijalno

rešenje T(0, 0, , 0)x = … . Uslov postojanja netrivijalnog rešenja je da je determinanta tog sistema jednaka nuli, dakle,

(3)

11 12 1

21 22 2

1 2

( ) det( ) 0

n

n

n n nn

a a a

a a aA E

a a a

− λ− λ

λ = − λ = =

− λ

⋯

⋯

⋮ ⋮

⋯

D .

Determinanta (3) je karakteristična determinanta matrice A.

Definicija 1. Vrednosti parametra λ za koje homogeni sistem jednačina (1) ima netrivijalna rešenja nazivaju se sopstvene ili karakteristične vrednosti a odgovarajuća netrivijalna rešenja sopstveni ili karakteristični vektori matrice A.

322

Na prvi pogled zadatak je vrlo jednostavan. Potrebno je karakterističnu determinantu (3) razviti u tzv. karakteristični polinom matrice A

(4) 1 21 2( ) ( 1) [ ( 1) ]n n n n n

n− −λ = − λ − σ λ + σ λ − + − σ⋯D

ili

(4') 1 21 2( ) ( 1) [ ]n n n n

np p p− −λ = − λ − λ − λ − −⋯D ,

rešiti karakterističnu jednačinu matrice A

(5) 1 21 2 0n n n

np p p− −λ − λ − λ − − =⋯ ,

tj. naći nule ili korene karakterističnog polinoma iλ , 1,i n= , sopstvene vrednosti matrice A i, zatim, rešiti n sistema homogenih linearnih algebarskih jednačina oblika

(6) ( ) 0i iA E x− λ = , 1,i n=

tj. naći odgovarajuće sopstvene vektore ix , 1,i n= . Meñutim, već samo razvijanje karakteristične determinante (3) u

karakteristični polinom (4) nije jednostavno za veće vrednosti n (na primer, za n > 4) i osnovna teškoća je što parametar λ figuriše u svakoj vrsti i u svakoj koloni determinante ( )λD . A rešavanje karakteristične jednačine (5) povezano je s dobro poznatim problemima rešavanja algebarskih jednačina n–tog stepena (n > 4). Ovde postoji još jedan veliki problem. Naime, rešavajući karakterističnu jednačinu (5), po pravilu, umesto tačnih sopstvenih vrednostiiλ ,

1,i n= , dobijaju se približne vrednosti iλɶ , pa je karakteristična determinanta

det( ) 0iA E− λ ≠ɶ , a tada, kao što je poznato, sistem homogenih jednačina (1) ima samo trivijalno rešenje 0x = .

Zadaci i metode rešavanja problema sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora matrica dele se u dve osnovne grupe:

1) nalaženje svih sopstvenih vrednosti i odgovarajućih sopstvenih vektora, što zovemo potpunim problemom sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora matrica,

2) nalaženje jedne ili nekoliko, ali ne svih, sopstvenih vrednosti i odgovarajućih sopstvenih vektora matrice, što zovemo delimičnim problemom sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora matrica.

Delimičan problem sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora najčešće se sastoji u nalaženju najveće po apsolutnoj vrednosti sopstvene vrednosti – prve sopstvene vrednosti λ1 i odgovarajućeg sopstvenog vektora 1x .

Najveći broj metoda rešavanja potpunog problema sopstvenih vrednosti matrica sadrži sledeće tri etape:

a) nalaženje karakterističnog polinoma, dakle, koeficijenata ip , 1,i n= , polinoma

1 21 2( ) ( 1) [ ]n n n n

np p p− −λ = − λ − λ − λ − −⋯D ;

323

b) nalaženje sopstevnih vrednosti matrice A, tj. nalaženje korena ili nula

iλ , 1,i n= , karakterističnog polinoma;

c) nalaženje odgovarajućih sopstevnih vektora ix , 1,i n= , matrice A.

Razvijanje karakteristične determinante ( )λD u karakteristični polinom neposredno daje:

11

n

kkk

a=

σ = Σ – suma svih dijagonalnih minora prvog reda matrice A;

2kk km

k mmk mm

a a

a a<σ = Σ – suma svih dijagonalnih minora drugog reda matrice A;

3

kk km kl

mk mm mlk m l

lk lm ll

a a a

a a a

a a a< <

σ = Σ – suma svih dijagonalnih minora trećeg reda matrice

A; ⋮

detn Aσ = . Predstava o obimu računskog procesa može se steći na osnovu činjenice da

je broj dijagonalnih minora p–tog reda jednak

( 1)( 2) ( 1)

!pn

n n n n pC

p

− − − += ⋯, 1,p n=

i da treba izračunati 1 2 2 1n nn n nC C C+ + + = −⋯

determinanata različitog reda (od reda 1 do reda n). Dakle, neposredno razvijanje karakteristične determinante u karakteristični polinom je vrlo komplikovano. Radi toga su konstruisane posebne metode za rešavanje tog zadatka. Takve metode su: metoda Danilevskog, metoda Krilova, metoda Leverijea, metoda interpolacije i mnoge druge metode.

1. METODA DANILEVSKOG

Jedna od metoda rešavanja potpunog problema sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora matrica je metoda Danilevskog. Suština metode sastoji se u transformisanju karakteristične determinante

(1)

11 12 1, 1 1

21 22 2, 1 2

1 2 , 1

( ) det( )

n n

n n

n n n n nn

a a a a

a a a aA E

a a a a

−

−

−

− λ− λ

λ = − λ =

− λ

⋯

⋯

⋮ ⋮

⋯

D

324

u tzv. normalni oblik Frobenijusa

(2)

1 2 3 1

1 0 0 0

( ) 0 1 0 0

0 0 0 1

n np p p p p−− λ−λ

λ = −λ

−λ

⋯

⋯

⋯

⋮

⋯

D .

Iz (2), razvijanjem po elementima prve vrste, dobijamo 1 2 3 1

1 2 3( ) ( )( ) ( ) ( ) ( 1)n n n nnp p p p− − − −λ = − λ −λ − −λ + −λ − + −⋯D


(3) 1 21 2( ) ( 1) [ ]n n n n

np p p− −λ = − λ − λ − λ − −…D .

Dakle, treba zadatu matricu

(4)

11 12 1, 1 1

21 22 2, 1 2

1 2 , 1

n n

n n

n n n n nn

a a a a

a a a aA

a a a a

−

−

−

=

⋯

⋯

⋮ ⋮

⋯

transformisati u njoj sličnu matricu Frobenijusa

(5)

1 2 3 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

n np p p p p

P

− =

⋯

⋯

⋯

⋮

⋯

,

tj. da važi 1P S AS−= , gde je S nesingularna matrica. Budući da slične matrice imaju jednake karakteristične polinome, tj.

det( ) det( )P E A E− λ = − λ gde je E jedinična matrica, dovoljno je pokazati kako se, polazeći od date matrice A, transformacijama sličnosti dolazi do matrice P. To se postiže pomoću (n – 1)–ne transformacije sličnosti matrica. Polazi se od poslednje vrste, dakle, potrebno je umesto vrste

1 2 , 1n n n n nna a a a−…

dobiti vrstu 0 0 1 0… .

Pretpostavimo da je , 1 0n na − ≠ . Podelimo li elemente (n – 1)–ve kolone matrice

A elementom , 1n na − , poslednja vrsta matrice A će imati oblik

1 2 1n n nna a a… .

Ako sada (n – 1)–vu kolonu transformisane matrice A, pomnoženu redom sa

1 2 , 2, , ..., ,n n n n nna a a a− , oduzmemo od svih ostalih kolona, poslednja vrsta

325

dobiće traženi oblik 0 0 ... 1 0.

Jednostavno se može pokazati da se isti rezultat dobija ako matricu A pomnožimo zdesna matricom

(6) 11 2

, 1 , 1 , 1 , 1

1 0 0 0

0 1 0 0

1

0 0 0 1

nn n nn

n n n n n n n n

Ma a a

a a a a

−

− − − −

= − − −

⋯

⋯

⋮

⋯

⋯

.

Dakle,

(7)

11 12 1, 1 1

21 22 2, 1 2

1

1,1 1, 2 1, 1 1,

0 0 1 0

n n

n n

n

n n n n n n

b b b b

b b b b

B AM

b b b b

−

−

−

− − − − −

= =

⋯

⋯

⋮

⋯

⋯

,

gde je

(8) , 1, 1

njij ij i n

n n

ab a a

a−−

= − ⋅ , 1 i n≤ ≤ , 1j n≠ − ; , 1 , 1, 1

1i n i n

n n

b aa− −

−

= ⋅ , 1 i n≤ ≤ .

Kako matrica B nije slična matrici A, to matricu B treba pomnožiti s leve strane matricom

(9) 11

1 2 , 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

n

n n n n nn

M

a a a a

−−

−

=

⋯

⋯

⋮

⋯

⋯

.

Na taj način se dobija

(10)

11 12 1, 1 1

21 22 2, 1 21 11 1 1

1,1 1, 2 1, 1 1,

0 0 1 0

n n

n n

n n n

n n n n n n

c c c c

c c c c

C M B M AM

c c c c

−

−− −− − −

− − − − −

= = =

⋯

⋯

⋮ ⋮

⋯

⋯

,

gde je

(11) 1,1

, 1 2, , 1n

ij ij n j nk kjk

c b i n c a b j n−=

= ≤ ≤ − = ≤ ≤∑ .

326

Očigledno, matrica C ima n–tu vrstu jednaku n–toj vrsti matrice P i slična je matrici A.

Pretpostavimo da je 1, 2 0n nc − − ≠ . Ako izvedemo analogne operacije nad

matricom C uzimajući (n – 2)– gu vrstu za osnovu, u rezultatu ćemo dobiti matricu

(12) 1 1 12 2 2 1 1 2n n n n n nD M CM M M AM M− − −

− − − − − −= = .

Matrica D ima poslednje dve vrste jednake poslednjim dvema vrstama matrice P i slična je matrici A.

Ako proces nastavimo, onda posle (n – 1)–nog koraka dobijamo traženu matricu Frobenijusa, matricu (5), dakle,

(13) 1 1 11 2 1 1 2 1n n n nP M M M AM M M− − −

− − − −= ⋯ ⋯ ,

odakle jednostavno dobijamo karakteristični polinom matrice A. Proces je moguć ako su svi elementi: , 1n na − , 1, 2n nc − − , … različiti od nule. Šta će biti ako

je na nekoj etapi, recimo k–toj, element , 1 0k kd − = ? Tada nije moguće produžiti

proces neposredno, ali ga je moguće produžiti u modifikovanom obliku. 1) Neka je neki od elemenata koji stoji levo od elementa , 1 0k kd − = matrice

11 12 1 1, 1 1

21 22 2 2, 1 2

1 2 , 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

k n n

k n n

k k kk k n kn

d d d d d

d d d d d

D d d d d d

−

−

−

=

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮

⋯ ⋯

različit od nule, na primer 0, 1kld l k≠ < − . Tada treba permutovati (k – 1)–vu i l–tu kolonu matrice D i istovremeno (k – 1)–vu i l–tu vrstu. Na taj način dobijamo matricu D', sličnu matrici D, i proces metode Danilevskog je moguć.

2) Svi elementi koji stoje levo od elementa , 1 0k kd − = matrice D su jednaki

nuli: 0kld = , 1, 2, ..., 1l k= − . Tada je

1

20

D LD

D

=

i 1 1 2 2det( ) det( ) det( )A E D E D E− λ = − λ ⋅ − λ , dakle, proces Danilevskog treba primeniti na matricu D1.

Neka su λ1, λ2, ..., λn rešenja karakteristične jednačine ( ) 0λ =D , tj. neka su λ1, λ2, ..., λn sopstvene vrednosti matrice A. Kako su matrice P i A slične matrice, to su λ1, λ2, ..., λn sopstvene vrednosti i matrice P. Pokažimo kako se nalaze sopstveni vektori matrice A. Prvo ćemo naći sopstvene vektore matrice

327

P. Neka je T1 2( , , ..., )ny y y y= sopstveni vektor matrice P koji odgovara

sopstvenoj vrednosti λ, dakle, y je netrivijalno rešenje vektorske jednačine

( ) 0P E y− λ = ,

odnosno, 1 2( , , ..., )ny y y je netrivijalno rešenje sistema homogenih jednačina

1 1 2 2 3 3

1 2

2 3

1

( ) 0,

0,

0,

0.

n n

n n

p y p y p y p y

y y

y y

y y−

− λ + + + + =− λ =

− λ =

− λ =

⋯

⋱

Zbog homogenosti ovog sistema jednačina jednu nepoznatu možemo izabrati proizvoljno, na primer, možemo uzeti da je 1ny = . Tada redom nalazimo:

1ny − = λ , 22ny − = λ , ..., 1

1ny −= λ , dakle, 1 2 T( , ..., , ,1)ny −= λ λ λ , pa je iz

Py y= λ , tj. 1 1 11 2 1 1 2 1n n n nM M M AM M M y− − −

− − − − = λ⋯ ⋯

sopstveni vektor x matrice A koji odgovara sopstvenoj vrednosti λ jednak

1 2 2 1n nx M M M M y− −= ⋯ .

Primer 1. Zadata je matrica 2.00 2.10 2.20

0.90 3.00 2.20

0.90 1.20 4.00

A

=

.

Metodom Danilevskog rešiti potpun problem matrice A.

Rešenje. Nañimo karakteristični polinom matrice A. Računaćemo sa šest decimala i u rezultatu zadržati pet decimala.

Dakle, redom računamo:

2

1 0 0

0.90 1 4.00

1.20 1.20 1.200 0 1

M

= − −

, 12

1 0 0

0.90 1.20 4.00

0 0 1

M − =

,

2

0.425000 1.750000 4.800000

1.350000 2.500000 7.800000

0 1 0

B AM

− = = − −

,

12

0.425000 1.750000 4.799999

1.237500 8.574999 13.679997

0 1 0

C M B−

− = = − −

,

328

1

1 8.574999 13.679997

1.237500 1.237500 1.2375000 1 0

0 0 1

M

− − − − − −

=

,

11

1.237500 8.754999 13.679997

0 1 0

0 0 1

M −

− − =

,

1

0.343634 4.694949 9.498180

1 0 0

0 1 0

D CM

− − = =

,

11

8.999999 19.489996 11.753998

1 0 0

0 1 0

P M D−

− = =

.

Karakteristični polinom je 3 3 2( ) ( 1) [ 9.00000 19.49000 11.75400]λ = − λ − λ + λ −D .

Da bismo izračunali sopstvene vrednosti, trebamo rešiti karakterističnu jednačinu ( ) 0λ =D .

Posmatranjem date matrice A može se uočiti da ako od dijagonalnih elemenata oduzmemo 1.80, onda će 2. i 3. vrsta biti jednake, a to znači da je

det(A – 1.80E) = 0,

odnosno 1.80 je jedno rešenje jednačine ( ) 0λ =D . Dalje je 3 2 2( 9.00000 19.49000 11.75400) : ( 1.80) 7.20000 6.53000λ − λ + λ − λ − = λ − λ + ,

pa druge dve sopstvene vrednosti nalazimo rešavanjem kvadratne jednačine 2 7.20000 6.53000 0λ − λ + = .

Odavde nalazimo da su druge dve sopstvene vrednosti 6.135744 i 1.064256. Dakle, sopstvene vrednosti su: 1 6.135744λ = , 2 1.800000λ = , 3 1.064256λ = .

Odgovarajući sopstveni vektori su 2 1i ix M M y= , gdje je

2 T( , ,1)i i iy = λ λ , 1, 2, 3i = .

Izračunajmo, na primer, 2x .

2

2

1 8.574999 13.6799971 0 0

1.8000001.237500 1.237500 1.2375000.90 1 4.000 1 0 1.800000

1.20 1.20 1.200 0 1 1

0 0 1

x

− − − − − − = − − ⋅ ⋅ =

329

0.808081 6.929292 11.054543 3.240000 1.200000

0.606061 4.363636 4.957574 1.80000 0.933333 ,

0 0 1 1 1

− − − = − ⋅ = −

dakle, T2 ( 1.20000, 0.93333,1)x = − − .

2. METODA KRILOVA

Ideja metode Krilova sastoji se u transformisanju karakteristične determinante

(1)

11 12 1

21 22 2

1 2

( )

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

− λ− λ

λ =

− λ

⋯

⋯

⋮

⋯

D

u determinantu sledećeg oblika

(2)

11 12 1

221 22 2

1

1 2

( )

n

n

nn n nn

b b b

b b b

b b b

− λ

− λλ =

− λ

⋯

⋯

⋮

⋯

D ,

pri čemu pod odreñenim uslovima karakteristične jednačine ( ) 0λ =D i

1( ) 0λ =D imaju ista rešenja, ekvivalentne su, a 1( ) 0λ =D je jednostavnijeg

oblika. Transformisanje determinante (1) u determinantu (2) Krilov je razmatrao uvodeći odreñene diferencijalne jednačine povezane s datom matricom A. Kasnije je razrañena čisto algebarska varijanta metode (Н. Н. Лузин, И. Н. Хлодовский, Д. К. Фаддеев, …). Ovde ćemo izložiti upravo tu varijantu metode Krilova.

Jednakost

(3)

11 12 1

21 22 2

1 2

( ) 0

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

− λ− λ

λ = =

− λ

⋯

⋯

⋮

⋯

D

je potreban i dovoljan uslov da bi sistem homogenih linearnih jednačina

(4)

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

,

,

,

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x x

a x a x a x x

a x a x a x x

+ + + = λ+ + + = λ

+ + + = λ

⋯

⋯

⋮

⋯

imao netrivijalna rešenja 1 2( , , ..., )nx x x .

330

Transformišimo sistem jednačina (4) na sledeći način. Pomnožimo prvu jednačinu sistema jednačina (4) sa λ:

21 1 12 2 1 1n na x a x a x xλ + λ + + λ = λ⋯ .

Zamenimo li 1 2, , , nx x xλ λ λ… izrazima iz (4), posle sreñivanja dobijamo

(5) 221 1 22 2 2 1n nb x b x b x x+ + + = λ⋯ ,

gde je

(6) 2 11

n

k s sks

b a a=

=∑ , 1,k n= .

Pomnožimo li jednačinu (5) sa λ i zamenimo li, opet, 1 2, , , nx x xλ λ λ… izrazima iz (4), posle sreñivanja dobijamo

331 1 32 2 3 1n nb x b x b x x+ + + = λ⋯ .

Ponovimo li ovaj postupak (n – 1)–an put, dobićemo umesto sistema jednačina (4) sledeći sistem

(7)

11 1 12 2 1 1

221 1 22 2 2 2

1 1 2 2

,

,

,

n n

n n

nn n nn n n

b x b x b x x

b x b x b x x

b x b x b x x

+ + + = λ

+ + + = λ

+ + + = λ

⋯

⋯

⋮

⋯

gde se koeficijenti ikb računaju po formulama:

(8) 1 1

1,1

,

, 2, 3, , , 1, 2, , .

k kn

ik i s sks

b a

b b a i n k n−=

=

= = =∑ … …

Očigledno, determinanta sistema jednačina (7) je oblika (2). Sistem homogenih jednačina (7) ima netrivijalna rešenja za one vrednosti

parametra λ za koje je ( ) 0λ =D . Na taj način, 1( ) 0λ =D za sve one vrednosti

λ za koje je ( ) 0λ =D .

Napomena. Na potpuno isti način determinanta (1) se može transformisati u determinantu kod koje parametar λ figuriše u bilo kojoj drugoj koloni.

Pokažimo da je

(9) 11 12 11

1,1 1,2 1,

1 0 0

( ).

( )n

n n n n

b b bC const

b b b− − −

λ= = =

λ

⋯

⋯

⋮

⋯

D

D

Ako je C ≠ 0, onda je 1( ) ( )Cλ = ⋅ λD D , tj. 1( )λD je jednaka

karakterističnom polinomu ( )λD do na konstantan množitelj. Neka su koreni ( )λD različiti. Kako su svi koreni ( )λD istovremeno i

koreni 1( )λD , to je 1( )λD deljivo sa ( )λD . Osim toga, stepeni 1( )λD i ( )λD

331

su jednaki, njihov količnik je konstantan (ne zavisi od λ). Uporeñivanjem

koeficijenata uz nλ , dobijamo

1( )

( )C

λ=

λD

D.

Ako ( )λD ima višestruke korene, opet važi jednakost

(10) 1( ) ( )Cλ = ⋅ λD D .

Ovu jednakost možemo i neposredno proveriti izračunavanjem odgovarajućih determinanti.

Ako je C = 0, onda je 1( )λD identički jednaka nuli i transformacije nisu

dovele do cilja. Tada je moguće naći neki polinom stepena manjeg od n kojim je deljiv karakteristični polinom, tzv. minimalni polinom. Mi se ovde nećemo tim baviti, a možemo se upoznati sa odgovarajućim postupkom, na primer, u knjizi: Фаддеев, Фаддеева – Вычислительные методы линейной алгебры, Москва, 1960.

Pokažimo sada kako se transformacija može izvesti da na neki način budu obuhvaćena oba slučaja i C ≠ 0 i C = 0. Posmatrajmo vektore

1 2( , , ..., ) 'i i i inb b b b= , Jednakosti (8)

1 1

1,1

, 2, 3, ,

k kn

ik i s sks

b a

b b a i n−=

=

= =∑ …

pokazuju da je

(11) 1'i ib A b−= ⋅ ,

gde je A' transponovana matrica date matrice A. Kako je još i 1 0'b A b= , gde je

0 (1, 0, ..., 0) 'b = , to imamo da je

(12) 0'iib A b= ⋅ , 1, 2, ,i n= … .

Umesto vektora 0 (1, 0, , 0) 'b = … mogli bismo uzeti proizvoljan vektor

0 01 02 0( , , ..., ) 'nb b b b= . Neka je (13) 01 1 02 2 0n nb x b x b x u+ + + =⋯ ,

gde je 1 2( , , ..., )nx x x rešenje sistema jednačina (4). Tada, ponavljajući prethodno rasuñivanje, rasuñivanje kod transformisanja (1) u (2), nalazimo

(14)

01 1 02 2 0

11 1 12 2 1

1 1 2 2

,,

,

n n

n n

nn n nn n

b x b x b x ub x b x b x u

b x b x b x u

+ + + =+ + + = λ

+ + + = λ

⋯

⋯

⋮

⋯

gde je 1 2 0( , , ..., ) ' 'ii i i inb b b b A b= = ⋅ .

332

Posmatrajući (14) kao sistem linearnih homogenih jednačina po nepoznatim x1, x2, ..., xn, u (n + 1 jednačina s n + 1 nepoznatom) dobijamo da je netrivijalno rešenje moguće u tom i samo tom slučaju kada je

(15)

01 02 0

11 12 11

1 2

1

( ) 0

n

n

nn n nn

b b b

b b b

b b b

λλ = =

λ

⋯

⋯

⋮

⋯

D .

Ponavljajući prethodno rasuñivanje nalazimo da je

1( ) ( )Cλ = ⋅ λD D

a

(16)

01 02 0

11 12 1

1,1 1,2 1,

n

n

n n n n

b b b

b b bC

b b b− − −

=

⋯

⋯

⋮

⋯

.

Dakle, i u ovom slučaju transformacije ne dovode do cilja ako je C = 0. Pretpostavimo da je C ≠ 0. Tada iz jednakosti 1( ) ( )Cλ = ⋅ λD D

zaključujemo da su koeficijenti pi karakterističnog polinoma 1

1( ) ( 1) [ ]n n nnp p−λ = − λ − λ − −⋯D

jednaki

( 1)n i ii

Cp

C−= − , 1, 2, ,i n= … ,

gde su Ci algebarski komplementi elemenata n i−λ determinante (15). Dakle, odreñivanje koeficijenata pi karakterističnog polinoma je povezano s izračunavanjem minora ali nije jednostavno zbog velikog obima računanja. Meñutim, imajući u vidu da su vrste determinante (16) upravo komponente vektora 0 1 1, , ..., nb b b − , to uslov C ≠ 0 je uslov linearne nezavisnosti ovih vektora, pa ovi vektori čine bazu prostora. Prema tome,

(17) 1 1 2 2 0n n n nb q b q b q b− −= + + +⋯ .

Pokažimo da su koeficijenti iq , 1,i n= u relaciji (17) upravo koeficijenti karakterističnog polinoma

11( ) ( 1) [ ]n n n

np p−λ = − λ − λ − −⋯D

Zaista, oduzevši od poslednje vrste determinante (15) linearnu kombinaciju prethodnih vrsta s koeficijentima q1, q2, ..., qn dobijamo, koristeći (17), da je

333

01 02 0

1 11,1 1,2 1,

1 21 2

1 21 2

1

( )

0 0 0

( 1) [ ] .

n

nn n n n

n n nn

n n n nn

b b b

b b b

q q q

q q q C

−− − −

− −

− −

λ = =λ

λ − λ − λ − −= − λ − λ − λ − − ⋅

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋯

⋯ ⋯

⋯

D

Zbog toga je

1 1 21 2

( )( ) ( 1) [ ]n n n n

nq q qC

− −λλ = = − λ − λ − λ − −⋯

DD ,


Dakle, i iq p= , 1,i n= . Jednakost (17) povezuje metodu Krilova i Keli–Hamiltonovu teoremu.

Teorema. Svaka kvadratna matrica X anulira svoj karakteristični polinom 1

1( ) ( 1) [ ]n n nnp p−λ = − λ − λ − −⋯D ,

tj. 1

1( ) ( 1) [ ] 0n n nnX X p X p E−= − − − − ≡⋯D ,

gde je E jedinična matrica istih dimenzija kao i matrica X.

Dokaz izostavljamo, a može se naći gotovo u svakom udžbeniku linearne algebre.

Tvrñenje teoreme važi i za odgovarajuću transponovanu matricu.

Dakle, polazeći od relacije 1 2

1 2' ' 'n n nnA p A p A p E− −= + + +⋯

nalazimo 1 2

0 1 0 2 0 0' ' 'n n nnA b p A b p A b p b− −= + + +⋯ ,

odnosno

(18) 1 1 2 2 0n n n nb p b p b p b− −= + + +⋯ .

Vektorskoj jednačini (18) odgovara sistem od n lineranih jednačina sa n nepoznatih: p1, p2, …, pn. Rešavanjem sistema dobijamo koeficijente karakteri-stičnog polinoma.

Umesto vektorske jednačine (18) za nalaženje koeficijenata karakteri-stičnog polinoma može se koristiti jednačina

(19) 1 1 2 2 0n n n nc p c p c p c− −= + + +⋯ ,

gde je 0k

kc A c= , tj. 1 0 01 02 0, 1, 2, , , ( , , , ) 'k k nc Ac k n c c c c−= = =… … – početni, proizvoljni vektor. Vektorskoj jednačini (19) odgovara sistem linearnih algebarskih jednačina

334

(20)

1,1 1 2,1 2 01 ,1

1, 2 1 2, 2 2 02 , 2

1, 1 2, 2 0 ,

,

,

.

n n n n

n n n n

n n n n n n n n

c p c p c p c

c p c p c p c

c p c p c p c

− −

− −

− −

+ + + =

+ + + =

+ + + =

⋯

⋯

⋮

⋯

Za nalaženje koeficijenata pi karakterističnog polinoma pomoću (18) ili

(19) potreban broj množenja i deljenja je 232 ( 1)n n+ a ako se koristi prva

varijanta metode Krilova taj broj je 4 3 213 ( 4 2 3)n n n n+ + − − .

Sistem jednačina (20) možemo rešiti, na primer, Gausovom metodom eliminacije. Ako sistem ima jedinstveno rešenje, karakteristični polinom je jednoznačno odreñen. Ako sistem nema jedinstveno rešenje, onda treba uzeti drugi početni vektor 0c . Ako sistem nema jedinstveno rešenje za proizvoljan

izbor vektora 0c , onda se primenom metode Krilova može dobiti minimalni polinom matrice. Tada će se neke jednačine sistema (20) svesti na oblik 0 = 0. Ako je takvih jednačina m, onda treba odbaciti toliko jednačina sistema i rešivši sistem jednačina sa 0 1 1, , ..., mc c c − i mc kao slobodnim članovima, dobićemo minimalni polinom.

Kako se nalaze sopstveni vektori matrice? Neka su odreñeni koeficijenti p1, p2, ..., pn krakterističnog polinoma. Neka je 0c polazni vektor a

0 1 1, , ..., nx x x − su sopstveni vektori koji odgovaraju sopstvenim vrednostima

1 2, , ..., nλ λ λ koje se nalaze rešavanjem karakteristične jednačine matrice 1

1( ) ( 1) [ ] 0n n nnp p−λ ≡ − λ − λ − − =⋯D .

Sopstveni vektori su linearno nezavisni, dakle, čine bazu, pa se vektor 0c može razložiti na sledeći način

(21) 0 1 1 2 2 n nc x x x= α + α + + α⋯ .

Tada za već izračunate vektore važi

(22)

1 0 1 1 1 2 2 22 2 2 2

2 0 1 1 1 2 2 2

1 1 1 11 0 1 1 1 2 2 2

,

,

.

n n n

n n n

n n n nn n n n

c Ac x x x

c A c x x x

c A c x x x− − − −−

= = α λ + α λ + + α λ= = α λ + α λ + + α λ

= = α λ + α λ + + α λ

⋯

⋯

⋮

⋯

Pokažimo kako se sopstveni vektori mogu naći u obliku linearne kombinacije

(23) 0 1 1 2 , 1 0i i n i n i nx c c c− − −= β + β + + β⋯ , 1,i n=

gde koeficijente ijβ treba izabrati na pogodan način. Dakle, na osnovu (22)

relacija (23) je jednaka

1 1 10 1 1 2 , 1 0 0 1 1 1 2 2 2

2 2 21 1 1 1 2 2 2 , 1 1 1 2 2

( )

( ) ( )

n n ni i n i n i n i n n n

n n ni n n n i n n n

x c c c x x x

x x x x x x

− − −− − −

− − −−

= β + β + β = β α λ + α λ + + α λ ++ β α λ + α λ + + α λ + + β α + α + + α =

⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯

335

1 2 1 21 0 1 1 1 , 1 1 2 0 2 1 2 , 1 2

1 20 1 , 1 1 1 1 2 2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ,

n n n ni i i n i i i n

n nn i n i n i n n n n n

x x

x x x x

− − − −− −

− −−

= α β λ + β λ + + β + α β λ + β λ + + β + ++ α β λ + β λ + + β = α ϕ λ + α ϕ λ + + α ϕ λ

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯

gde je 1 2

0 1 , 1( ) n ni i i nt t t− −

−ϕ = β + β + + β⋯ .

Izaberimo koeficijente 0 1 , 1, , ...,i i i n −β β β redom tako da bude:

1 2

1 2

1 2

1) ( ) 0, ( ) 0, ..., ( ) 0,

2) ( ) 0, ( ) 0, ..., ( ) 0,

) ( ) 0, ( ) 0, ..., ( ) 0.

n

n

nn

ϕ λ ≠ ϕ λ = ϕ λ =ϕ λ = ϕ λ ≠ ϕ λ =

ϕ λ = ϕ λ = ϕ λ ≠⋮

U slučaju 1) dovoljno je uzeti u svojstvu polinoma ( )tϕ polinom

(24)

1 2 32 3

11

1

1 1

( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( 1) ( )

nn

n nnn

t t t tt t t t

t

t p t pt

t t

−

− λ − λ − λ − λϕ = − λ − λ − λ = =

− λ− − −−= =

− λ − λ

⋯⋯

⋯D

gde je ( )tD karakteristični polinom matrice A, a koreni ovog polinoma su ranije izračunati. Koeficijenti količnika se mogu izračunati, na primer, koristeći Hornerovu shemu i jednaki su

10 1 1 1, 11, , 1, 2, , 1j j jp j n−β = β = λ β − = −… .

Na taj način je

(25) 10 1 11 2 1, 1 0 1 1 1( )n n nc c c x− − −β + β + + β = α ϕ λ⋯ ,

što znači da je leva strana jednakosti (25) jednaka sopstvenom vektoru 1x do na konstantan činilac. Na analogan način se postupa i u ostalim slučajevima, pa imamo

(26) 1

10

n

i ij n jj

x c−

− −=

= β∑ ,

gde je

(27) 0 1 , 11, , 1, 2, , 1i ij i j jp j n−β = β = λ β − = −… .

Primer . Metodom Krilova rešiti potpun problem sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora matrice

2 1 3

1 2 3

3 2 1

A

=

.

336

Rešenje. Uzmimo za početni vektor vektor 0 (1, 0, 0) 'c = . Redom računamo

1 0

2 1 3 1 2

1 2 3 0 1

3 2 1 0 3

c Ac

= = ⋅ =

, 2 1

2 1 3 2 14

1 2 3 1 13

3 2 1 3 11

c Ac

= = ⋅ =

,

3 2

2 1 3 14 74

1 2 3 13 73

3 2 1 11 79

c Ac

= = ⋅ =

.

Odgovarajući sistem linearnih algebarskih jednačina je

3 2 1

2 1

2 1

2 14 74,

13 73,

3 11 79.

p p p

p p

p p

+ + =+ =+ =

Rešimo ovaj sistem jednačina, na primer Gausovom metodom eliminacije.

i 0c 1c 2c 3c ∑ 1 1 2 14 74 91 2 0 1 13 73 87 3 0 3 11 79 93 2 1 13 73 87 3 28 140 168 3 1 5 6 3 1 5 6 2 1 8 9 1 1 –12 –11

Rešenje sistema je: p1 = 5, p2 = 8, p3 = –12, pa je karakteristični polinom matrice A

3 3 2( ) ( 1) [ 5 8 12]λ = − λ − λ − λ +D . Koreni polinoma, sopstvene vrednosti matrice, su: λ1 = 6, λ2 = –2, λ3 = 1. Sopstvene vektore nalazimo koristeći formulu

2

2 0 , 10

, 1, , 1, 2, 3i ij j i ij i i j jj

x c p i− −=

= β β = β = λ β − =∑ .

Dakle,

1 10 2 11 1 12 0x c c c= β + β + β ,

10 11 1 10 1 12 1 11 21, 6 1 5 1, 6 1 8 2,p pβ = β = λ β − = ⋅ − = β = λ β − = ⋅ − = − pa je

1 (14,13,11) ' (2,1, 3) ' 2(1, 0, 0) ' (14,14,14) 'x = + − = . Na isti način nalazimo

2 20 2 21 1 22 0x c c c= β + β + β ,

20 21 2 20 1 22 2 21 21, ( 2) 1 5 7, ( 2) ( 7) 8 6,p pβ = β = λ β − = − ⋅ − = − β = λ β − = − ⋅ − − =

2 (14,13,11) ' 7(2,1, 3) ' 6(1, 0, 0) ' (6, 6, 10) 'x = − + = − ;

337

3 30 2 31 1 32 0x c c c= β + β + β ,

30 31 3 30 1 32 3 31 21, 1 1 5 4, 1 ( 4) 8 12,p pβ = β = λ β − = ⋅ − = − β = λ β − = ⋅ − − = −

3 (14,13,11) ' 4(2,1, 3) ' 12(1, 0, 0) ' ( 6, 9, 1) 'x = − − = − − . Budući da su sopstveni vektori odreñeni tačno do na konstantan faktor,

možemo uzeti da su sopstveni vektori 1 (1,1,1) 'x = , 2 (3, 3, 5) 'x = − ,

3 ( 6, 9, 1) 'x = − − ili 1 (1,1,1) 'x = , 52 3(1,1, ) 'x = − , 3 (6, 9,1) 'x = − (vektor ix ima

i–tu komponentu jednaku jedinici).

3. METODA LEVERJEA

Najstarija metoda za rešavanje potpunog problema sopstvenih vrednosti matrica je metoda Laverjea (Leverrier, 1840.). Metoda se zasniva na Njutnovim formulama za zbirove stepena rešenja ili korena algebarskih jednačina.

Neka je

(1) 11( ) det( ) ( 1) [ ]n n n

nA E p p−λ = − λ = − λ − λ − −⋯D

karakteristični polinom matrice A. Ako su 1 2, , ..., nλ λ λ sopstvene vrednosti matrice A (meñu kojima može biti i jednakih), onda važe sledeće, Njutnove formule

(2) 1 1 1 1k k k kkp s p s p s− −= − − −⋯ , 1,k n= , gde je

(3) 1

nk k

k p ii

s S A=

= = λ∑

trag matrice Ak. Dakle, ako su poznate vrednosti sk, onda iz (2) nalazimo koeficijente karakterističnog polinoma (1):

(4)

1 1

2 2 1 1

3 3 1 2 2 1

1 1 2 2 1 1

,1

( ),21

( ),3

1( ).n n n n n

p s

p s p s

p s p s p s

p s p s p x p sn − − −

=

= −

= − −

= − − − −

⋮

⋯

Kako se izračunavaju zbirovi 1 2, , ..., ns s s – tragovi matrica 2, , ..., nA A A ? Pre svega, koeficijent p1 karakterističnog polinoma (1) je jednak zbiru svih

minora prvog reda determinante matrice A, tj.

1 11 22 nnp a a a= + + +⋯ ,

a na osnovu prve od Vietovih formula je

1 1 2 np = λ + λ + + λ⋯ ,

338

dakle

1 1 11 22 nn pp s a a a S A= = + + + =⋯ .

Dokažimo sledeću lemu.

Lema. Ako su 1 2, , ..., nλ λ λ sopstvene vrednosti matrice A (meñu kojima

može biti i jednakih) i 0 1( ) mmf t a a t a t= + + +⋯ zadati polinom, onda su

1 2( ), ( ), ..., ( )nf f fλ λ λ sopstvene vrednosti matrice ( )f A .

Dokaz. Neka su 1 2, , ..., mt t t koreni polinoma ( )f t , tada je

1 2( ) ( )( ) ( )m mf t a t t t t t t= − − −⋯ , pa je

1 2( ) ( )( ) ( )m mf A a A t E A t E A t E= − − −⋯ . Izračunajmo determinantu matrice ( )f A .

1 2 1 2det ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nm m m mf A f A a A t E A t E A t E a t t t= = − ⋅ − − = ⋅⋯ ⋯D D D ,

gde je ( )tD karakteristični polinom matrice A. Karakteristični polinom možemo zapisati na sledeći način

1 2( ) ( )( ) ( )nt t t t= λ − λ − λ −⋯D . Zbog toga je

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ( )) ( )n m n m n

nm i j m i j i

i j i j i

f A a t a t f= = = = =

= λ − = λ − = λ∏∏ ∏ ∏ ∏ ,

dakle,

1 2( ) ( ) ( ) ( )nf A f f f= λ λ λ⋯ .

Poslednja jednakost je identitet u odnosu na koeficijente polinoma ( )f t . Ako primenimo ovaj identitet na polinom ( )f t u− , dobićemo

1 2( ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) )nf A uE f u f u f u− = λ − λ − λ −⋯

a to znači da su sopstvene vrednosti matrice ( )f A jednake

1 2( ), ( ), ..., ( )nf f fλ λ λ .

Specijalno, ako je ( ) kf t t= , dakle, ( ) kf A A= , zaključujemo da su

sopstvene vrednosti matrice Ak jednake 1 2, , ...,k k knλ λ λ , pa je

1 2k k k k

k p ns S A= = λ + λ + + λ⋯ .

Stepeni matrice A se računaju neposrednim množenjem matrica: 1k kA A A−= ⋅ .

Računski proces je vrlo obiman. Potreban broj množenja je

3 21( 1) (2 2 2)

2n n n n− ⋅ − + + .

Meñutim, može se primetiti da za izračunavanje traga matrice Ak nije neophodno računati sve njene elemente, dovoljno je izračunati samo njene dijagonalne elemente.

339

Primer 1. Metodom Leverjea naći karakteristični polinom matrice 7 3 2 1

5 0 3 4

4 3 2 1

1 2 3 4

A

=

.

Rešenje. Izračunajmo tragove matrica A, A2, A3 i A4.

1 7 0 2 4 13ps S A= = + + + = ;

2

7 3 2 1 7 3 2 1 73 29 30 25

5 0 3 4 5 0 3 4 51 32 28 24

4 3 2 1 4 3 2 1 52 20 24 22

1 2 3 4 1 2 3 4 33 20 26 28

A

= ⋅ =

,

22 73 32 24 28 157ps S A= = + + + = ;

3 2

73 29 30 25 7 3 2 1 801

51 32 28 24 5 0 3 4 285

52 20 24 22 4 3 2 1 278

33 20 26 28 1 2 3 4 251

A A A

= ⋅ = ⋅ =

,

33 1615ps S A= = ;

4 2 2

73 29 30 25 73 29 30 25 9193

51 32 28 24 51 32 28 24 3543,

52 20 24 22 52 20 24 22 3268

33 20 26 28 33 20 26 28 2661

A A A

= ⋅ = ⋅ =

44 18665ps S A= = ;

11( ) det( ) ( 1) [ ]n n n

nA E p p−λ = − λ = − λ − λ − −⋯D ,

1 1 1 1, 1,k k k kkp s p s p a k n− −= − − − =⋯ .

1 1 13,p s= =

2 2 1 1

1 1[ ] [157 13 13] 6

2 2p s p s= − = − ⋅ = − ,

3 3 1 2 2 1

1 1[ ] [1615 13 157 ( 6) 13] 116

3 3p s p s p s= − − = − ⋅ − − ⋅ = − ,

4 4 1 3 2 2 3 1

1 1[ ] [18665 13 1615 ( 6) 157 ( 116) 13] 30

4 4p s p s p s p s= − − − = − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ =

4 4 2 2( ) ( 1) [ 13 6 116 30]λ = − λ − λ + λ + λ −D .

340

4. JEDNA MODIFIKACIJA METODE LEVERJEA

Fadejev je dao jednu modifikaciju metode Leverjea (Д. К. Фаддеев, И. С. Соминскй – Сборник задaч по высшей алгебре, 1949, задача 979.). Ova metoda omogućava jednostavnije izračunavanje koeficijenata pi karakteristi-čnog polinoma

(1) 1 21 2( ) ( 1) [ ]n n n n

np p p− −λ = − λ − λ − λ − −⋯D .

Ako je matrica A nesingularna, onda se jednostavno nalazi inverzna matrica 1A− . Isto tako, ako su izračunate sopstvene vrednosti 1 2, , ..., nλ λ λ matice A,

metoda omogućava nalaženje i odgovarajućih sopstvenih vektora 1 2, , ..., nx x x .

Umesto niza matrica 2 3, , , ..., nA A A A treba izračunati niz matrica 1 2, ,A A

3, ., nA A na sledeći način:

(2)

1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 2 2 2

3 2 3 3 3 3 3

1 2 1 1 1 1 1

1

, , ,

1, , ,

21

, , ,3

1, , ,

11

, , .

p

p

p

n n p n n n n n

n n p n n n n n

A A S A q B A q E

A AB S A q B A q E

A AB S A q B A q E

A AB S A q B A q En

A AB S A q B A q En

− − − − − − −

−

= = = −

= = = −

= = = −

= = = −−

= = = −

⋮

Dokažimo da je: a) 1 1 2 2 3 3, , , , n nq p q p q p q p= = = =… ; b) Bn je nula–matrica;

c) 1 1n

n

BA

p− −= ako je A nesingularna matrica.

Dokažimo tvrñenje a) metodom matematičke indukcije. Očigledno,

1 1pp S A q= = . Pretpostavimo da je 1 1, 2k kq p k− −= ≥ i dokažimo da je

k kq p= . Zaista, na osnovu načina konstruisanja niza matrica imamo

1 1 1 2 1 2 2 1

3 2 1 3 3 2 1

1 21 2 1

1 21 2 1

( ) ( ) ( ( ) )

( ( ) ) ( ( ( ) ) )

.

k k k k k k k k k

k k k k k k k

k k kk

k k kk

A AB A A q E A AB q E A A A q E q E

A A AB q E q E A A A A q E q E q E

A q A q A q A

A p A p A p A

− − − − − − − −

− − − − − − −− −

−− −

−

= = − = − = − − == − − = − − − =

= = − − − − =

= − − − −

⋯ ⋯

⋯

Prema tome,

(3) 1 2

1 2 1

1 1 2 2 1 1,

k k k kp k p p p k p

k k k k

S A kq S A p S A p S A p S A

s p s p s p s

− −−

− − −

= = − − − − == − − − −

⋯

⋯

pa je na osnovu Njutnove formule k kkq kp= , tj. k kq p= .

341

Dalje, na osnovu Keli–Hamiltonove teoreme

1 21 2 0n n n

n nB A p A p A p E− −= − − − − =⋯ ,

gde je 0 nula–matrica dimenzija n × n, tj Bn je nula–matrica i tvrñenje b) je tačno.

Na kraju, iz jednakosti (3) imamo da je

1n n n n nAB A B p E p E− = = + = , odnosno

1

1n

n

A B Ep −⋅ = , tj. 1

1

1n

n

A Bp

−−= .

Dakle, tačno je tvrñenje c).

Primer 1. Modifikovanom metodom Leverjea naći karakteristični polinom matrice

3 4 2

2 5 2

2 3 4

A

=

.

Naći inverznu matricu 1A− .

Rešenje. Redom računamo

1

3 4 2

2 5 2

2 3 4

A A

= =

, 1 1 12pp S A= = , 1 1

9 4 2

12 2 7 2

2 3 8

B A E

− = − = − −

;

2 1

15 10 2

4 21 2

4 1 22

A AB

− − − = = − − − − − −

, 2 2

1 1( 58) 29

2 2pp S A= ⋅ = − = − ,

2 2

14 10 2

( 29) 4 8 2

4 1 7

B A E

− − = − − = − − − −

;

3 2

18 0 0

0 18 0

0 0 18

A AB

= =

, 3 3

118

3 pp S A= ⋅ = , 3 3

0 0 0

18 0 0 0

0 0 0

B A E

= − ⋅ =

.

Karakteristični polinom je 3 3 2( ) ( 1) [ 12 29 18]λ = − λ − λ + λ −D . Inverzna matrica je

12

3

14 10 21 1

4 8 218

4 1 7

A Bp

−

− − = = − − − −

.

Jednostavno se proverava da je 1A A E−⋅ = .

342

Neka su 1 2, , ..., nλ λ λ sopstvene vrednosti matrice A i neka su različiti meñu sobom. Konstruišimo matricu

(4) 1 21 1

n nk k k nQ E B B− −

−= λ + λ + +⋯ ,

gde su Bi izračunate matrice (2), a kλ k–ta sopstvena vrednost matice A. Ako Qk

nije nula–matrica, onda se njene kolone sastoje od komponenata vektora kx

koji odgovara sopstvenoj vrednosti kλ . Zaista,

1 21 1

1 21 2 1 1

1 21 2

( ) ( )( )

( ) ( )

0.

n nk k k k k n

n n nk k k nn n nk k k n

E A Q E A E B B

E B A B AB AB

E p E p E p E

− −−

− −−

− −

λ − = λ − λ + λ + + == λ + λ − + λ − + − == λ − λ − λ − − =

⋯

⋯

⋯

Odavde sledi da je ( ) 0kE A uλ − = , gde je u bilo koja kolona matrice Qk, tj.

(5) ku Auλ = ,

što i dokazuje da je u sopstveni vektor matrice A.

Napomena. Za izračunavanje kolone u matrice Qk pogodno je koristiti rekurentnu formulu

(6) ( )0 1 1, k

i k i iu e u u b−= = λ +

gde je ( )kib vektor–kolona matrice Bi a ie odgovarajuća vektor–kolona jedi-

nične matrice.

Primer 2. Izračunati sopstveni vektor matrice iz prethodnog primera.

Rešenje. Rešavanjem karakteristične jednačine 3 212 29 18 0λ − λ + λ − =

nalazimo sopstvene vrednosti: 1 2 31, 2, 9λ = λ = λ = .

Odgovarajuće sopstvene vektore nalazimo pomoću (6). Dakle, za 1 1λ = λ = je

0 1

1

0

0

u e

= =

, (1)1 1 0 1

1 9 8

1 0 2 2

0 2 2

u u b

− − = λ ⋅ + = ⋅ + =

,

(2)2 1 1 1

8 14 6

1 2 4 2

2 4 2

u u b

− = λ ⋅ + = ⋅ + − = − − −

,

T1 (6, 2, 2)x = − − ili T

1 (3, 1, 1)x = − − ;

0 2

0

1

0

u e

= =

, (1)1 2 0 2

0 4 4

2 1 7 5

0 3 3

u u b

= λ ⋅ + = ⋅ + − = −

,

343

(2)2 2 1 2

4 10 2

2 5 8 2

3 1 5

u u b

− − = λ ⋅ + = ⋅ − + = − −

,

T2 ( 2, 2, 5)x = − − ;

0 3

0

0

1

u e

= =

, (1)1 3 0 3

0 2 2

9 0 2 2

1 8 1

u u b

= λ ⋅ + = ⋅ + = −

,

(2)2 3 1 3

2 2 16

9 2 2 16

1 7 16

u u b

− = λ ⋅ + = ⋅ + − =

,

T3 (16,16,16)x = ili T

3 (1,1,1)x = .

5. METODA INTERPOLACIJE

Metoda interpolacije omogućava nalaženje karakterističnog polinoma matrice

(1)

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

=

⋯

⋯

⋮

⋯

.

Dakle, treba naći karakteristični polinom

(2)

11 12 1

21 22 2

1 21

1

( ) det( )

( 1) [ ].

n

n

n n nnn n n

n

a a a

a a aA E

a a a

p p−

− λ− λ

λ = − λ = =

− λ= − λ − λ − −

⋯

⋯

⋮

⋯

⋯

D

Iskoristimo činjenicu da je polinom n–tog stepena 1

1( ) ( 1) [ ]n n nnp p−λ = − λ − λ − −⋯D

odreñen ako su poznati njegove vrednosti za itλ = , 0,i n= , i jt t≠ , i j≠ .

Izračunajmo vrednosti ( )itD , 0,i n= ,

11 12 1

21 22 2

1 2

( )

i n

i ni

n n nn i

a t a a

a a t at

a a a t

−−

=

−

⋯

⋯

⋮

⋯

D .

344

Ako konstruišemo polinom koji je odreñen tačkama ( , ( ))i it tD , 0,i n= , dobićemo karakteristični polinom matrice A.

Primer 1. Naći karakteristični polinom matrice 1.30 0.30 2.10

0.50 0.50 2.30

2.20 2.20 9.80

A

= −

.

Rešenje. Računaćemo sa četiri decimale. Izaberimo čvorove interpolacije:

0 10, 1,t t= = 2 2t = , 3 3t = i izračunajmo sledeće determinante:

1.30 0.30 2.10

(0) 0.50 0.50 2.30 1.8400

2.20 2.20 9.80

= − = −D ; 0.30 0.30 2.10

(1) 0.50 0.50 2.30 0.0000

2.20 2.20 8.80

= − − =D ;

0.70 0.30 2.10

(2) 0.50 1.50 2.30 19.0400

2.20 2.20 7.80

−= − − =D ;

1.70 0.30 2.10

(3) 0.50 2.50 2.30 49.2800

2.20 2.20 6.80

−= − − =D .

Sastavimo tablicu konačnih razlika

λ ( )λD ( )∆ λD 2 ( )∆ λD 2 ( )∆ λD

0 –1.8400 1.8400 1 0.0000 17.2000 19.0400 –6.0000 2 19.0400 11.2000 30.2400 3 49.2800

Prvi Njutnov interpolacioni polinom je

2 3

2 3

1.8400 17.2000 6.0000( ) 1.8400 ( 0) ( 0)( 1) ( 0)( 1)( 2)

1! 1 2! 1 3! 11.8400 8.7600 11.6000 ,

−λ = − + λ − + λ − λ − + λ − λ − λ − =⋅ ⋅ ⋅

= − − λ + λ − λ

D

dakle, karakteristični polinom je 3 3 2( ) ( 1) [ 11.6000 8.7600 1.8400]λ = − λ − λ + λ +D .

Metoda interpolacije je jednostavna, ali je računski proces obiman. Broj množenja i deljenja je

21( 1)( 3)

3

nn n n

+ − + + .

345

Meñutim, metoda je važna jer se može primeniti i za rešavanje opštijeg problema

det( B)A− λ , gde B nije jedinična matrica. Potrebno je znati stepen odgovarajućeg polinoma.

Primer 2. Naći karakteristični polinom uopštenog problema ako su zadate matrice

3 1 8

5 5 9

8 7 0

A

=

i

2 4 9

5 8 3

9 5 0

B

=

.

Rešenje. Izračunajmo vrednosti determinante

3 2 1 4 8 9

( ) det( ) 5 5 5 8 9 3

8 9 7 5 0 0

A B

− λ − λ − λλ = − λ = − λ − λ − λ

− λ − λ − λD za 0,1, 2, 3, 4, 5, ...λ =

3 1 8

(0) 5 5 9 157

8 7 0

= = −D ;

1 3 1

(1) 0 3 6 9

1 2 0

− −= − =

−D ;

1 7 10

(2) 5 9 3 1151

10 3 0

− − −= − − =

− −D ;

3 11 19

(3) 10 19 0 5339

19 8 0

− − −= − − =

− −D ;

5 15 28

(4) 15 27 3 14643

28 13 0

− − −= − − − =

− −D ,

7 19 37

(5) 20 35 6 31133

37 18 0

− − −= − − − =

− −D ,...

Sastavimo tablicu konačnih razlika

λ ( )λD ( )∆ λD 2 ( )∆ λD 3 ( )∆ λD 4 ( )∆ λD

0 –157 166 1 9 976 1142 2070 2 1151 3046 0 4188 2070 3 5339 5116 0 9304 2070 4 14643 7186 16490 5 31133 ⋮

346

2 3

166 976 2070( ) 157 ( 1) ( 1)( 2)

1! 1 2! 1 3! 1λ = − + λ + λ λ − + λ λ − λ − =

⋅ ⋅ ⋅D

2 3157 368 547 345= − + λ − λ + λ .

Metoda interpolacije može se primeniti i u sledećem, najopštijem slučaju. Da bismo našli karakteristični polinom matrice

(7)

11 12 1

21 22 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

λ λ λ λ λ λ λ = λ λ λ

⋯

⋯

⋮

⋯

,

gde su ( )ija λ zadati polinomi, tj. da bismo izračunali det ( )A λ , treba znati

kojeg je najviše stepena karakteristični polinom det ( )A λ . Neka je stepen polinoma najviše jednak m. Tada treba izabati (m + 1)–nu različitu vrednost

0tλ = , 1tλ = , 2tλ = , ..., mtλ = i izračunati vrednosti det ( )iA t , 0,i m= , i kon-

struisati interpolacioni polinonom koji za itλ = ima vrednosti det ( )iA t ,

0,i m= . Na taj način se dobija karakteristični polinom matrice (7).

6. ITERATIVNA METODA ZA REŠAVANJE POTPUNOG PROBLEMA SOPSTVENIH VREDNOSTI MATRICA

Ova metoda omogućava nalaženje svih sopstvenih vrednosti date realne matrice A bez prethodnog nalaženja njenog karakterističnog polinoma. Potrebno je poznavanje karaktera sopstvenih vrednosti, pa se, saglasno tome, razmatraju tri slučaja: a) sve sopstvene vrednosti su realne i meñu sobom različite, b) sve sopstvene vrednosti su realne i meñu njima ima jednakih, c) meñu sopstvenim vrednostima ima konjugovano–kompleksnih. Razmotrimo slučaj a).

Poznato je da važi

(1) 1 2i i i i

i p ns S A= = λ + λ + + λ⋯ ,

gde su si tragovi matrice iA , 1,i n= . Posmatrajmo sledeći sistem nelinearnih algebarskih jednačina

(2)

1 1 2 1 2 1

2 2 22 1 2 1 2 2

1 2 1 2

( , , ..., ) 0,

( , , ..., ) 0,

( , , ..., ) 0.

n n

n n

n n nn n n n

f s

f s

f s

λ λ λ ≡ λ + λ + + λ − =

λ λ λ ≡ λ + λ + + λ − =

λ λ λ ≡ λ + λ + + λ − =

⋯

⋯

⋮

⋯

Ako uvedemo oznake T T

1 2 1 2( , , ..., ) , ( , , ..., )n nf f f fλ = λ λ λ = , onda sistem jednačina (2) možemo kratko zapisati u sledećem obliku (2') ( ) 0.f λ =

347


Teorema 1. Karakteristična jednačina

(3) 11( ) det( ) ( 1) [ ] 0n n n

nA E p p−λ ≡ − λ ≡ − λ − λ − − =⋯D

i sistem jednačina (2), odnosno (2'), su povezani na sledeći način: ako su

1 2, , ..., nλ λ λ rešenja (koreni) jednačine (3), onda sistem jednačina (2), odnosno

(2'), ima n! rešenja (1 2, , ...,

np p pλ λ λ ), gde je 1 2, , ..., np p p proizvoljna

permutacija brojeva 1, 2, ..., n. Drugih rešenja sistem jednačina (2) nema. Važi i obrnuto: ako je 1 2( , , ..., )nµ µ µ rešenje sistema jednačina (2), odnosno (2'), onda

su 1 2, , ..., nµ µ µ rešenja (koreni) jednačine (3).

Dokaz ove teoreme ovde izostavljamo, a može se naći, na primer, u knjizi: Болтянский, Виленкин – Симметрия в алгебре, Наука, Москва, 1967.

Rešenje sistema jednačina (2), odnosno (2'), potražićemo Njutnovom metodom za rešavanje sistema nelinearnih algebarskih ili tanscedentnih jednačina. Neka je

( ) ( ) ( ) ( ) T1 2( , , ..., )k k k k

nλ = λ λ λ

k–ta aproksimacija rešenja T1 2( , , ..., )nλ = λ λ λ sistema jednačina (2), odnosno

(2'). Tada, saglasno Njutnovoj metodi, imamo

(4) ( 1) ( ) 1 ( ) ( )( ) ( ), 0,1,2, ,k k k knW f k+ −λ = λ − λ ⋅ λ = …

gde je

(5) 1 2

1 1 11 2

1 1 1

2 2 2( ) ( )

nn

n n nn

f W

n n n− − −

λ λ λ ′ λ = λ =

λ λ λ

⋯

⋯

⋮

⋯

.

Determinanta Jakobijeve matrice (jakobijana) (5) je

1

det ( ) ! ( ) 0n i jn i j

W n≥ > ≥

λ = λ − λ ≠∏ ,

što znači da postoji 1( )nW− λ . Specijalna struktura matrice (5) omogućava

jednostavno izračunavanje 1( )nW− λ . Za ilustraciju posmatraćemo slučaj n = 3. Tada je

3 1 2 3

2 2 21 2 3

1 1 1

( ) 2 2 2

3 3 3

W

λ = λ λ λ λ λ λ

i 3 3 2 3 1 2 1det ( ) 3!( )( )( ) 0W λ = λ − λ λ − λ λ − λ ≠ , pa je

348

2 3 3 2 2 3 3 2 3 21

3 1 3 3 1 1 3 3 1 3 13

1 2 2 1 1 2 2 1 2 1

2 3 ( ) 1 3( )( ) 1 2( )1

( ) 2 3 ( ) 1 3( )( ) 1 2( )det ( )

2 3 ( ) 1 3( )( ) 1 2( )

WW

−

⋅ λ λ λ − λ − ⋅ λ + λ λ − λ ⋅ λ − λ λ = = − ⋅ λ λ λ − λ ⋅ λ + λ λ − λ − ⋅ λ − λ λ ⋅ λ λ λ − λ − ⋅ λ + λ λ − λ ⋅ λ − λ

Iskoristimo li oznake ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 3( , , )k k k kf f= λ λ λ , ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 3( , , )k k k kf f= λ λ λ ,

( ) ( ) ( ) ( )3 3 1 2 3( , , )k k k kf f= λ λ λ ,

imaćemo prema (4), ali u razvijenoj formi,

(6)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1) ( ) 2 3 1 2 3 2 31 1 ( ) ( ) ( ) ( )

3 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 1) ( ) 1 3 1 1 3 2 32 2 ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 2 1( ) ( ) (

( 1) ( ) 1 2 13 3

6 3( ) 2,

6( )( )

6 3( ) 2,

6( )( )

6

k k k k k k kk k

k k k k

k k k k k k kk k

k k k k

k k kk k

f f f

f f f

f

+

+

+

λ λ − λ + λ +λ = λ −

λ − λ λ − λ− λ λ + λ + λ −

λ = λ −λ − λ λ − λ

λ λλ = λ −

) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3

( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 1

3( ) 2, 0,1, 2,

6( )( )

k k k k

k k k k

f fk

− λ + λ +=

λ − λ λ − λ…

Primer . Naći sve sopstvene vrednosti matrice 3 4 2

2 5 2

2 3 4

A

=

.

Rešenje. Imamo

2

21 38 22

20 39 22

20 35 26

A

=

i 3

183

341

214

A

=

,

pa je s1 = 3 + 5 + 4 = 12, s2 = 21 + 39 + 26 = 86 i s3 = 183 + 341 + 214 = 738. Odgovarajući sistem jednačina je

1 1 2 3 1 2 32 2 2

2 1 2 3 1 2 33 3 3

3 1 2 3 1 2 3

( , , ) 12 0,

( , , ) 86 0,

( , , ) 736 0.

f

f

f

λ λ λ ≡ λ + λ + λ − =λ λ λ ≡ λ + λ + λ − =λ λ λ ≡ λ + λ + λ − =

Uzmemo li za početnu aproksimaciju (0) T(9.5,2.5,0.5)λ = i primenimo li iterativne formule (6), dobićemo:

k ( )1kλ ( )

1kλ ( )

3kλ

0 9.50000 2.50000 0.50000 1 9.03042 2.05060 0.91898 2 9.00009 2.00467 0.99536 3 9.00000 2.00002 0.99998

Dakle, s tačnošću 10–4 imamo: λ1 = 9.0000, λ2 = 2.0000, λ3 = 1.0000. (Inače, sopstvene vrednosti su: λ1 = 9, λ2 = 2, λ3 = 1.)

349

Slučaj b) se razmatra eliminišući jednake sopstvene vrednosti koristeći veze:

λn = λn–1 = … = λn–l > λn–l–1 = λn–l–2 = … = λn–l–m > …

i uzimajući odgovarajući broj jednačina u sistemu (2). Slučaj c) se rešava posmatranjem parova konjugovano–kompleksnih

sopstvenih vrednosti i traženjem veličina: τ1 = (a + ib) + (a – ib) = 2a i τ2 = (a + ib)(a – ib) = a2 + b2.

Napomena. Metoda može biti primenjena i za istovremeno nalaženje svih rešenja (korena) jednačine

11 0n n

nx a x a−+ + + =⋯

posmatranjem matrice

1 2 1

1 0 0 0

0 0 1 0

n na a a a

P

−− − − − =

⋯

⋯

⋮

⋯

.

7. METODA PROIZVOLJNOG VEKTORA

Kao što smo ranije napomenuli, delimičan problem sopstvenih vrednosti matrica sastoji se u nalaženju jedne ili nekoliko, ali ne svih, sopstvenih vrednosti i odgovarajućih sopstvenih vektora. U mnogim zadacima matematike i njenih primena upravo se traži nalaženje najveće, ponekad najmanje, po modulu sopstvene vrednosti i odgovarajućeg sopstvenog vektora date matrice. Radi toga navešćemo nekoliko metoda rešavanja delimičnog problema sopstvenih matrica. Kod većeg broja metoda pretpostavlja se postojanje baze prostora koju čine sopstveni vektori, odnosno pretpostavlja se linearna nezavisnost vektora. Jedna od metoda rešavanja delimičnog problema sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora matrice je metoda proizvoljnog vektora.

Pretpostavimo da je matrica A proste strukture, drugim rečima, neka matrica A

ima n linearno nezavisnih sopstvenih vektora ix , 1,i n= . Dalje, neka su iλ ,

1,i n= , odgovarajuće sopstvene vrednosti.

1. slučaj. Neka za sopstvene vrednosti matice A važi

(1) 1 2 3| | | | | | | |nλ > λ ≥ λ ≥ ≥ λ⋯ ;

neka treba izračunati sopstvenu vrednost 1λ , dakle, najveću po apsolutnoj

vrednosti. Sopstvenu vrednost 1λ zvaćemo prva sopstvena vrednost, a

odgovarajući sopstveni vektor 1x prvi sopstveni vektor.

350

Proizvoljan vektor 0v može biti razložen po sopstvenim vektorima ix ,

1,i n= , tj.

(2) 0 1 1 2 2 n nv x x x= α + α + + α⋯ ,

gde su iα 1,i n= , skalari od kojih je bar jedan različit od nule. Formirajmo niz vektora

(3)

1 0 1 1 2 2

1 1 1 2 2 22

2 0 1 1 1 1 2 2 22 2 2

1 1 1 2 2 23 2 2 2 2

3 0 1 2 1 1 1 2 2 23 3 3

1 1 1 2 2 2

0

,

,

,

n n

n n n

n n n

n n n

n n n

n n n

kk

v Av Ax Ax Axx x x

v A v Av Ax Ax Ax

x x Ax

v A v A v Av Ax Ax Ax

x x Ax

v A v

= = α + α + + α == α λ + α λ + + α λ= = = α λ + α λ + + α λ == α λ + α λ + + α λ= = = = α λ + α λ + + α λ == α λ + α λ + + α λ

= =

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋮

1 1 1 1 2 2 21 1 1 1

1 0 1 1 1 2 2 2

,

,

k k kk n n n

k k k kk k n n n

Av x x Ax

v A v Av x x Ax−

+ + + ++

= = α λ + α λ + + α λ= = = = α λ + α λ + + α λ

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮

Pretpostavimo da je u (2) 1 0α ≠ . Tada imamo:

20 1 1 1 1 2 2

1 1

k k

k k nk k n nv A v Av x x x−

λλ = = = λ α + α + + α λ λ

⋯

i

1 1

1 1 21 0 1 1 1 2 2

1 1

k k

k k nk k n nv A v Av x x x

+ ++ +

+

λλ = = = λ α + α + + α λ λ

⋯ ,

odnosno, za dovoljno veliko k,

21 1 1

1

k

kkv x O

λ = λ α + λ

i 1

1 21 1 1 1

1

k

kkv x O

++

+

λ = λ α + λ

.

Dakle, za dovoljno veliko k vektori kv i 1kv + postaju „bliski” sopstvenom

vektoru 1x matrice A, odnosno, kolinearni su mu, što znači da su odgovarajuće

koordinate proporcionalne. Neka su i–te koordinate vektora kv i 1kv + različite od nule. Tada imamo

351

1 1

21 1 2 2

1 11 2

1 11

21 1 2 2

1 1

( )

( )

k k

nn n k

k ik k

k in

n n

x x xv

Ov

x x x

+ +

+

λλ α + α + + α λ λ λ = λ ⋅ = λ + λ λλ α + α + + α λ λ

⋯

⋯

,

što znači da je

(4) 11

( )lim

( )k i

kk i

v

v+

→∞= λ .

Za dovoljno veliko k je

(5) 1

1 01

0

( ) ( )

( ) ( )

kk i i

kk i i

v A v

v A v

++λ ≈ = .

Naravno, mogu se koristiti količnici i drugih koordinata koje su različite od nule; obično se za 1λ uzima aritmetička sredina količnika koordinata.

Napomena 1. Učinjena pretpostavka (1) ima smisla jer je to ispunjeno, na primer, kod matrica koje imaju realne i pozitivne elemente (Peronova teorema: Ako su svi elementi realne kvadratne matrice pozitivni, onda je najveća sopstvena vrednost pozitivna i jednostruka, a odgovarajući sopstveni vektor ima pozitivne koordinate.)

Napomena 2. Zbog proizvoljnog izbora vektora 0v može se desiti da je u

(2) 1 0α = . Meñutim, u procesu računanja niza vektora (3) zbog grešaka

zaokrugljivanja pojaviće se skalar – koeficijent 1α uz vektor 1x koji je različit

od nule, pa će, opet, prvi sabirak kod vektora kv i 1kv + postati dominantan. Dakle, važiće relacija (4).

Napomena 3. Zbog proizvoljnog izbora vektora 0v konvergencija može

biti spora, što posebno dolazi do izražaja kada je količnik 2

1

λλ

blizak jedinici.

Tada treba izabrati drugi početni vektor.

Napomena 4. Za ubrzavanje iterativnog procesa koristi se sledeća shema:

A, A2, A4, A8, …, A2k, A2k+1 i 22 0

kkv A v= , 2 1

2 1 0k

kv A v++ = , pa se onda traži

približna vrednost sopstvene vrednosti 1λ .

2. slučaj. Neka za sopstvene vrednosti matrice A važi

(6) 1 2 1 2| | | | | | | | | | | |m m m n+ +λ = λ = = λ > λ ≥ λ ≥ ≥ λ⋯ ⋯ .

U ovom slučaju imamo

352

( )

( )

1 1

11 1 2 2 1 1

1 11

1

11 1 2 2 1 1

1 1

( )

( )

k k

m nm m m m n n

k i ik k

k im n

m m m m n n

i

x x x x xv

vx x x x x

+ ++

+ +

+

++ +

λ λ α + α + + α + α + + α λ λ = λ ⋅ λ λ α + α + + α + α + + α λ λ

⋯ ⋯

⋯ ⋯

Za ( )1 1 2 2 0m m ix x xα + α + + α ≠⋯ i 1

1

0k

m+ λ→ λ

kada k → ∞ , pa opet imamo

1 11

1

( )

( )

k

k i m

k i i

vO

v+ +

λ λ = + λ

.

Odgovarajući sopstveni vektor je približno jednak 0 1 1 1k kA v x≈ α λ , tj. 0

kA v

odreñuje sopstveni vektor 1x do na konstantan množilac.

Primer . Naći prvu sopstvenu vrednost 1λ i njoj odgovarajući sopstveni

vektor 1x matrice

8 4 5

1 5 6

4 3 96

A

=

.

Rešenje. Uzmimo za proizvoljan vektor T0 (1,1,15)v = . Redom računamo:

1 0

8 4 5 1 87

1 5 6 1 96

4 3 96 15 1447

v Av

= = ⋅ =

,

(1)1

1 87 96 144793.156

3 1 1 15 λ = + + =

;

2 1

8 4 5 87 8315

1 5 6 96 9249

4 3 96 1447 139548

v Av

= = ⋅ =

,

(2)1

1 8315 9249 13954896.119

3 87 96 1447 λ = + + =

;

3 2

8 4 5 8315 801256

1 5 6 9249 891848

4 3 96 139548 13457615

v Av

= = ⋅ =

,

(3)1

1 801256 891848 1345761596.409

3 8315 9249 139548 λ = + + =

;

353

4 3

8 4 5 801256 77265515

1 5 6 891848 86006186

4 3 96 13457615 1297811608

v Av

= = ⋅ =

,

(4)1

1 77265515 86006186 129781160896.434

3 801256 891848 13457615 λ = + + =

Radi lakšeg računanja za vektor 4v uzećemo kolinearan vektor vektoru

3 4:Av v = T4 (77.2655, 86.0062,1297.8116)v = .

Dakle, dalje imamo

5 4

8 4 5 77.2655 7451.2068

1 5 6 86.0062 8294.1661

4 3 96 1297.8116 125156.9942

v Av

= = ⋅ =

,

(5)1

1 7481.2068 8294.1661 125156.994296.437

3 77.2655 86.0062 1297.8116 λ = + + =

.

Uzećemo T5 (74.5121, 82.9417,1251.5699)v = .

6 5

8 4 5 74.5121 7185.8131

1 5 6 82.9417 7998.6400

4 3 96 1251.5699 120697.5839

v Av

= = ⋅ =

,

(6)1

1 7185.7131 7998.6400 120697.583996.437

3 74.5121 82.9417 1251.5699 λ = + + =

Dakle, 1 96.437λ ≈ . Odgovarajući sopstveni vektor je

T1 6 (7185.7131, 7998.6400,120697.5839)x v≈ = .

Kako je sopstveni vektor odreñen do na konstantan množilac, to možemo uzeti,

na primer, T1 (1,1.113,16.797)x = .

8. METODA TRAGOVA

Jedna od metoda rešavanja delimičnog problema sopstvenih vrednosti matrica je metoda tragova.

Neka realna matrica A ima sopstvene vrednosti iλ , 1,i n= , takve da je

(1) 1 2 3| | | | | | | |nλ > λ ≥ λ ≥ ≥ λ⋯ ;

Neka je, dalje, Am, m = 1, 2, 3, ..., m–ti stepen matrice A. Poznato je da važi

(2) 1 2m m m m

m p ns S A= = λ + λ + + λ⋯ .

354

Relaciju (2) možemo zapisati na sledeći način

321

1 1 1

1m m m

m nms

λ λλ = λ + + + + λ λ λ

⋯ .

S obzirom na relaciju (1) za dovoljno veliko m imamo

(3) 21

1

m

mms O

λ = λ + λ

,

pa je

1 lim mm

ms

→∞λ = ,

odnosno, za dovoljno veliko m, je

(4) 1m

msλ ≈ .

Stepene matrice A praktično je računati po sledećoj shemi: A, A2, A4, A8, …, A2k, …,

pa je

(4') 21 2

kksλ ≈ .

Da bismo izbegli izračunavanje korena visokog stepena, možemo

izračunati sledeći stepen matrice 1m mA A A+ = ⋅ i posmatrati sledeću relaciju

(5)

1 1 1 11 1 2

1 1 1

1 321

1 1 1

1 ,

m m m mm p n

m m m

m n

s S A + + + ++

+ + ++

= = λ + λ + + λ = λ λλ = λ + + + + λ λ λ

⋯

⋯

odnosno, s obzirom na relaciju (1), 1

1 21 1

1

m

mms O

++

+

λ = λ + λ

.

Za dovoljno veliko m je

1 21

1

m

m

m

sO

s+

λ λ = + λ

,

odnosno

(6) 1 2 11

2

k

k

m

m

ss

s s+ +λ ≈ = .

Relacija (6) je, očigledno, praktičnija: nema korenovanja, a ni problema s odreñivanjem znaka sopstvene vrednosti.

Odredimo li na ovaj način dve uzastopne aproksimacije ( 1)1m−λ i ( )

1mλ koje

se poklapaju u granicama zadate tačnosti, imaćemo ( )1 1

mλ ≈ λ , a odgovarajući

sopstveni vektor je 11 0

mx A v+≈ , gde je 0v proizvoljan vektor.

355


vektor 1x matrice

2 1 3

3 4 3

4 4 3

A

=

.

Rešenje. Redom računamo stepene matrice A:

2 1 3

3 4 3

4 4 3

A

=

, 2

19 18 18

30 31 30

32 32 33

A A A

= ⋅ =

,

4 2 2

1477 1476 1476

2460 2461 2460

2624 2624 2625

A A A

= ⋅ =

,

5 4

13286

22144

23619

A A A

= ⋅ =

,

6 4 2

119575 119574 119574

199290 199291 199290

212576 212576 212577

A A A

= ⋅ =

,

7 6

1076168

1793614

1913487

A A A

= ⋅ =

i tragove stepena matrice A:

s1 = 2 + 4 + 3 = 9, s2 = 19 + 31 + 33 = 83, s4 = 1477 + 2461 + 2625 = 6563, s5 = 13286 + 22144 + 23619 = 59049, s6 = 119575 + 199291 + 212577 = 531443, s7 = 4782969.

Primenom obrasca (4) nalazimo: (1)1 9.00000λ = , (2)

1 83 9.11043λ = = ,

(4) 41 6563 9.00069λ = = , (5) 5

1 59049 9.00000λ = = ,

(6) 61 531443 9.00001λ = = , (7) 7

1 4782969 9.00000λ = = ;

primenom obrasca (6) nalazimo:

(1)1

839.22222

9λ = = , (4)

1

590498.99726

6563λ = = ,

(5)1

5314439.00003

59049λ = = , (6)

1

47829698.99997

531443λ = = .

356

Uočavamo da niz oscilira – neparne aproksimacije su veće, a parne manje;

uzećemo 1

9.00003 8.999979.00000

2

+λ ≈ = . Uzmemo li proizvoljan vektor

T0 (1,1,1)v = , onda dobijamo odgovarajući sopstveni vektor

6 T1 0 (358723, 597871, 717729)x A v= = ili (1) T(1,1.66666, 2.00079)x = .

Napomenimo da je trebalo koristiti 7 0A v ; meñutim, imali smo izračunat najviši stepen A6.

9. METODA SKALARNIH PROIZVODA

Ova metoda za rešavanje delimičnog problema sopstvenih vrednosti matrica zasniva se na izračunavanju sledećih skalarnih proizvoda

0 0( , ' )m mA v A v i 10 0( , ' )m mA v A v−

gde je A' transponovana matrica date matrice A, a 0v proizvoljan vektor.

Neka realna matrica A ima sopstvene vrednosti iλ , 1,i n= , takve da je

(1) 1 2 3| | | | | | | |nλ > λ ≥ λ ≥ ≥ λ⋯ .

Neka su ix , 1,i n= , odgovarajući sopstveni vektori matrice A, a ' , 1,jx j n= ,

odgovarajući sopstveni vektori matrice A'. Kao što je poznato, vektori ix i

' jx čine baze u prostoru En i pri tome je

(2) 1, ,

( , ' )0, .i j ij

i jx x

i j

== δ = ≠

Proizvoljan vektor 0v može biti prikazan na sledeće načine:

0 1 1 2 2

0 1 1 2 2

,' ' ' .

n n

n n

v x x xv x x x

= α + α + + α= β + β + + β

⋯

⋯

Formirajmo nizove iteracija

(3) 0 1 1 1 1 2 2 2

0 1 1 1 1 2 2 2

,

' ' ' ' ' ' ' ,

m m m mm m n n n

m m m mm m n n n

v A v Av x x x

v A v A v x x x−

−

= = = α λ + α λ + + α λ= = = β λ + β λ + + β λ

⋯

⋯

1, 2, 3,m= … , pri čemu je 0 0'v v= . Formirajmo sada skalarne proizvode:

2 2 20 0 1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2 11 0 0 1 1 1 2 2 2

( , ' ) ( , ' ) ,

( , ' ) ( , ' ) .

m m m m mm m n n n

m m m m mm m n n n

v v A v A v

v v A v A v− − − −−

= = α β λ + α β λ + + α β λ= = α β λ + α β λ + + α β λ

⋯

⋯

357

Pretpostavimo da je 1 1 0α β ≠ . Tada imamo

2 2

2 21 1 1 2 2 2

1 12

12 1 2 11 12 1 2

1 1 1 2 21 1

( , ' )

( , ' )

m m

m nn n m

m mm m

m m m nn n

v vO

v v − −− −

λλ λ α β + α β + + α β λ λ λ = = λ + λ λλ λ α β + α β + + α β λ λ

⋯

⋯

što znači da je

(4) 11

( , ' )lim

( , ' )m m

mm m

v v

v v→∞ −

= λ .

Za dovoljno veliko m je

(5) 0 01 1

1 0 0

( , ' ) ( , ' )

( , ' ) ( , ' )

m mm m

m mm m

v v A v A v

v v A v A v−−

λ ≈ = .

Ako je matrica A simetrična, onda je

(5') 0 01 1

1 0 0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

m mm m

m mm m

v v A v A v

v v A v A v−−

λ ≈ = .

Napomena. Zbog proizvoljnog izbora vektora 0v može se desiti da je

1 1 0α ⋅β = . Meñutim, u procesu računanja niza vektora mv i ' mv zbog

grešaka zaokrugljivanja pojaviće se skalari – koeficijenti 1α i 1β uz vektore,

redom, 1x i 1'x koji su različiti od nule, pa će, opet, prvi sabirci kod ( , ' )m mv v i

1( , ' )m mv v− postati dominantni. Dakle, važiće relacija (5).

Odgovarajući sopstveni vektor je približno jednak 0 1 1 1m mA v x≈ α λ , tj. 0

mA v

odreñuje sopstveni vektor 1x do na konstantan množilac.


vektor 1x matrice

7 12 5

12 13 1

5 1 4

A

= − −

.

Rešenje. Matrica A je simetrična, tj. A' = A, pa ćemo koristiti (5'). Uzmimo

0 (1,1, 0) 'v = . Redom računamo:

1

7 12 5 1 19

12 13 1 1 25

5 1 4 0 4

v

= − ⋅ = −

,

0 1( , ) 44v v = , 1 1( , ) 1002v v = , (1)1

100222.773

44λ = = ;

358

2

7 12 5 19 453

12 13 1 25 549

5 1 4 4 86

v

= − ⋅ = −

,

1 2( , ) 22676v v = , 2 2( , ) 514006v v = , (2)1 22.667λ = ;

3

7 12 5 453 10189

12 13 1 549 12487

5 1 4 86 2060

v

= − ⋅ = −

,

2 3( , ) 11648140v v = , 3 3( , ) 263984490v v = , (3)1 22.663λ = .

Može se pokazati (što ovde nismo uradili) da je i (4)1 22.663λ = .

Dakle, 1 22.663λ ≈ ; sopstveni vektor je 1 (0.816,1.000, 0.165) 'x ≈ .

10. METODA ISCRPLJIVANJA

Neka realna matrica A ima sopstvene vrednosti iλ , 1,i n= takve da je

(1) 1 2 3 4| | | | | | | | | |nλ > λ > λ ≥ λ ≥ ≥ λ⋯ .

Neka je poznata prva sopstvena vrednost 1λ , odgovarajući sopstveni vektor 1x

matrice A i odgovarajući sopstveni vektor 1'x transponovane matrice A'. Bez

smanjena opštosti možemo uzeti da je 1 1x = i 1' 1x = . Poznato je da važi

1, ,'

0, .i j ij

i jx x

i j

=⋅ = δ = ≠

Posmatrajmo matricu

(2)

11

121 1 1 1 1 11 12 1

1

' [ ' ' ' ]n

n

x

xA A x x A x x x

x

= − λ ⋅ = − λ ⋅

⋯⋮

.

Može se pokazati da matrica A1 ima sopstvene vrednosti: 0 i iλ , 2,i n= .

Pokažimo to. Pomnožimo li relaciju (2) vektorom 1x , dobićemo

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

( ' ) ( ' )1 0 ,

A x Ax x x x Ax x x xAx x x x x

= − λ ⋅ ⋅ = − λ ⋅ ⋅ ⋅ == − λ ⋅ ⋅ = λ − λ = ⋅

što znači da je 0 sopstvena vrednost matrice A1. Pomnožimo li relaciju (2)

vektorima ix , 2,i n= , dobićemo

1 1 1 1 1 1 1 1 1( ' ) ( ' ) 0i i i i i i i i iA x Ax x x x Ax x x x Ax x Ax x= − λ ⋅ ⋅ = − λ ⋅ ⋅ ⋅ = − λ ⋅ = = λ ,

što znači da su iλ , 2,i n= , sopstvene vrednosti matrice A1.

359

Dakle, matrica A1 ima sopstvene vrednosti 0 i iλ , 2,i n= , pa za sopstvene vrednosti matrice A1 važi

2 3 4 1 1| | | | | | | | 0 ( )n Aλ > λ ≥ λ ≥ ≥ λ ≥ = λ⋯ . Primenom bilo koje metode za nalaženje prve sopstvene vrednosti matrice

A1 mi smo našli drugu sopstvenu vrednost matrice A. Na primer, metodom proizvoljnog vektora bismo imali

(3) 1 02 2 1 01

1 0

( ), , 0

( )

kki

ki

A vx C A v C

A v−λ ≈ ≈ ⋅ ≠ ,

gde je 0v proizvoljan vektor.

Primetimo da je za računanje iteracija 1 0, 1, 2, 3, ,kA v k= … pogodno koristiti formulu

1 0 0 1 1 1 0'k k kA v A v x x v= − λ ⋅ ⋅ . Metoda se može primeniti i za nalaženje sledećih sopstvenih vrednosti:

2 1 2 2 2' , ,A A x x= − λ ⋅ … što, na odreñen način, opravdava naziv metode: metoda iscrpljivanja.

Primer . Neći drugu sopstvenu vrednost 2λ i odgovarajući sopsteni vektor

2x matrice

8 1 3

2 7 3

2 4 6

A

=

ako je poznato: 1 12λ = , 1

1 1 1, ,

3 3 3x

=

, 1

1 1 1' , ,

3 3 3x

=

.

Rešenje. Nañimo matricu A1

13

1 1 1 11 1 1 1 3 3 3 3

13

8 1 3 4 3 1

' 2 7 3 12 2 3 1

2 4 6 2 0 2

A A x x

− − = − λ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − − −

.

Primenimo metodu proizvoljnog vektora na matricu A1. Uzmimo 0 (1, 0, 0) 'v = . Redom računamo:

1 1 0

4 3 1 1 4

2 3 1 0 2

2 0 2 0 2

v A v

− − = = − − ⋅ = − − −

,

2 1 1

4 3 1 4 24

2 3 1 2 12

2 0 2 2 12

v A v

− − = = − − ⋅ − = − − − −

.

360

(1)2

1 24 12 126.000

3 4 2 2

− − λ = + + = − − ;

3 1 2

4 3 1 24 144

2 3 1 12 72

2 0 2 12 72

v A v

− − = = − − ⋅ − = − − − −

,

(2)2

1 144 72 726.000

3 24 12 12

− − λ = + + = − − .

Dakle, 2 6.000λ = , a

2 (144, 72, 72) 'x = − − ili

2 (2.000, 1.000, 1.000) 'x = − − .

11. NALAŽENJE DRUGE SOPSTVENE VREDNOSTI I ODGOVARAJUĆEG SOPSTVENOG VEKTORA

Neka su sopstvene vrednosti matrica A takve da je

(1) 1 2 3 4| | | | | | | | | |nλ > λ > λ ≥ λ ≥ ≥ λ⋯ ,

i 0v proizvoljan vektor, dakle

(2) 0 1 1 2 2 3 3 n nv x x x x= α + α + α + + α⋯ ,

gde su 1 2 3, , , ..., nx x x x odgovarajući sopstveni vektori, a 1 2 3, , , ..., nα α α α skalari.

Pomnožimo li relaciju (2) matricom A, dobićemo

1 0 1 1 2 2 3 3 n nv Av Ax Ax Ax Ax= = α + α + α + + α⋯ ,

odnosno, budući da je i i iAx x= λ , 1,i n= ,

(3) 1 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n nv Av x x x x= = α λ + α λ + α λ + + α λ⋯ ,.

Pomnožimo li relaciju (3) matricom A, dobićemo 2

2 1 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n nv Av A v Ax Ax Ax Ax= = = α λ + α λ + α λ + + α λ⋯ ,

odnosno, budući da je i i iAx x= λ , 1,i n= ,

(4) 2 2 2 2 22 1 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n nv Av A v x x x x= = = α λ + α λ + α λ + + α λ⋯ .

Produžimo li ovaj postupak, dobićemo

(5) 1 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3m m m m m

m m n n nv Av A v x x x x−= = = α λ + α λ + α λ + + α λ⋯

i

(6) 1 1 1 1 11 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3

m m m m mm m n n nv Av A v x x x x+ + + + +

+ = = = α λ + α λ + α λ + + α λ⋯ .

Neka je poznata prva sopstvena vrednost 1λ . Eliminacijom prvog sabirka iz

(5') 11 1 1 1 2 1 2 2 3 1 3 3 1

m m m mm n n nv x x x x+λ = α λ + α λ λ + α λ λ + + α λ λ⋯

361

i

(6') 1 1 1 11 1 1 1 2 2 2 3 3 3

m m m mm n n nv x x x x+ + + +

+ = α λ + α λ + α λ + + α λ⋯

dobijamo

(7) 1 1 2 2 2 1 2 3 3 3 1 3 1( ) ( ) ( )m m mm m n n n nv v x x x+ − λ = α λ λ − λ + α λ λ − λ + + α λ λ − λ⋯ .

Definišimo tzv. λ–razlike veličine 1 0m

m mv Av A v−= = na sledeći način

(8) 10 0 0

m m mmv A v A v A v+

λ λ∆ = ∆ = − λ .

Pretpostavimo da je 2 0λ ≠ , tada imamo

(9) 1 0 2 2 2 1 2( )m mA v xλ∆ ≈ α λ λ − λ

i

(10) 1

1 10 2 2 2 1 2( )m mA v x− −

λ∆ ≈ α λ λ − λ ,

pa je

(11) 1

1

10 0 1 0

2 1 10 0 1 0

( ) ( )

( ) ( )

m m mi i

m m mi i

A v A v A v

A v A v A v

+λ

− −λ

∆ − λλ ≈ =

∆ − λ, 1,i n= .

Odgovarajući sopstveni vektor je

(12) 1 12 0

mmx A v vλ λ≈ ∆ = ∆ .

Napomena 1. Ako je imenilac u izrazu (11) malen, onda može doći do gubljenja tačnosti. Tada treba dobijeni izraz transformisati ili, ako to nije moguće, onda možemo odrediti samo grubu približnu vrednost λ2.

Napomena 2. Na sličan način bi bilo moguće odrediti i sledeću sopstvenu vrednost λ3, naravno, ako su poznate sopstvene vrednosti λ1 i λ2. I tako dalje.

Primer . Izračunati drugu sopstvenu vrednosti matrice 3 4 5

6 7 8

5 1 5

A

=

.

ako se zna da je 113 217

13.865462

+λ = ≈ .

Rešenje. Neka je 0 (1,1,1) 'v = . Tada imamo:

1 0 (12, 21,11) 'v Av= = , 22 1 0 (175, 307,136) 'v Av A v= = = .

2(1) 0 1 02

0 1 0

( )

( )i

i

A v Av

Av v

− λλ =

− λ. 2

0 1 0 (8.61448,15.82534, 16.52006) 'A v Av− λ = − ,

0 1 0 ( 1.86546, 7.13454, 2.86546) 'Av v− λ = − − ,

(1)2

1 8.61448 15.82534 16.520061.12183

3 1.86546 7.13454 2.86546

− λ = + + = − − , …

362

12. NALAŽENJE SOPSTVENIH VREDNOSTI I SOPSTVENIH VEKTORA POZITIVNO DEFINITNE I SIMETRI ČNE MATRICE

Poznato je da su sopstvene vrednosti λ1, λ2, ..., λn pozitivno definitne i simetrične matrice A realne i pozitivne vrednosti i da za sopstvene vektore

1 2, , ..., nx x x važi

1

( , ) 0n

j k jk kji

x x x x=

= ⋅ =∑ za j k≠ ,

(uslov ortogonalnosti). Napišimo sistem homogenih linearnih jednačina za nalaženje sopstvenog

vektora 1 11 12 1( , , ..., ) 'nx x x x= , dakle,

11 1 11 12 12 1 1

21 11 22 1 12 2 1

1 11 2 12 1 1

( ) 0,

( ) 0,

( ) 0,

n n

n n

n n nn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

− λ + + + =+ − λ + + =

+ + + − λ =

⋯

⋯

⋮

⋯

što možemo zapisati i u sledećem obliku

11 11 11 12 12 1 11

12 21 11 22 12 2 11

1, 1 1,1 11 1,2 12 1, 11

1 1 11 2 12 11

1( ),

1( ),

1( ),

1( ).

n n

n n

n n n n n n

n n nn nn

x a x a x a x

x a x a x a x

x a x a x a x

a x a x a xx

− − − −

= + + +λ

= + + +λ

= + + +λ

λ = + + +

⋯

⋯

⋮

⋯

⋯

Budući da su koordinate vektora 1x odreñene s tačnošću do na konstantan množitelj, to jedna od njih (isključujući singularan slučaj) može biti uzeta proizvoljno, na primer 1 1nx = ; tada prethodni sistem sadrži n jednačina sa n nepoznatih: x11, x12, ..., x1,n–1, λ1 i može biti rešen, na primer, metodom iteracije

1( 1) ( )1 1( )

111

( 1) ( )1 1

1

1, 1, 1,

, 0,1,

nk ki ij j ink

j

nk k

nj j nnj

x a x a j n

a x a k

−+

=−

+

=

= ⋅ + = − λ

λ = + =

∑

∑ …

Može se, takoñe, koristiti i Zajdlova metoda. Na taj način dobijamo:

( )1 1

kλ ≈ λ i ( ) ( ) ( )1 11 12 1( , , , ) 'k k k

nx x x x= … .

363

Za nalaženje sopstvene vrednosti λ2 i sopstvenog vektora

2 21 22 2( , , , ) 'nx x x x= … imamo sistem homogenih linearnih jednačina:

11 2 21 12 22 1 2

21 21 22 2 22 2 2

1 21 2 22 2 2

( ) 0,

( ) 0,

( ) 0.

n n

n n

n n nn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

− λ + + + =+ − λ + + =

+ + + − λ =

⋯

⋯

⋮

⋯

Koristeću uslov ortogonalnosti 1 2 1 21

( , ) 0n

i ii

x x x x=

= =∑ jednu nepoznatu, na

primer 2nx , možemo eliminisati, a jednu nepoznatu, na primer 2, 1nx − , možemo

uzeti proizvoljno, 2, 1 1nx − = . Na taj način, za odreñivanje ostalih komponenata

sopstvenog vektora 2x i sopstvene vrednosti λ2 imamo sistem od n – 1

jednačine sa n – 1 nepoznatom. Komponentu 2nx nalazimo iz pomenutog uslova ortogonalnosti.

Analogno se nalaze ostali sopstveni vektori i ostale sopstvene vrednosti. Dakle, metoda služi i za rešavanje potpunog problema sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora.

Primer . Rešiti potpun problem sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora matrice

4 2 2

2 5 1

2 1 6

A

=

.

Rešenje. Matrica je simetrična. Kako je:

1 4 4 0∆ = = > , 2

4 216 0

2 5∆ = = > , 3

4 2 2

2 5 1 80 0

2 1 6

A∆ = = = > ,

matrica je pozitivno definitna.

Nañimo 1λ i 1x . Odgovarajući sistem je

11 11 12 131

12 11 12 131

1 11 12 1313

1(4 2 2 ),

1(2 5 ),

1(2 6 ).

x x x x

x x x x

x x xx

= + +λ

= + +λ

λ = + +

Uzmimo: 13 1x = i početne vrednosti (0) (0)11 121, 1x x= = , a iz poslednje jednačine

je (0)1 9λ = . Računanje je dato u sledećoj tabeli

364

k ( )11

kx ( )12

kx ( )13

kx ( )1kλ

0 1 1 1 9 1 0.8900 0.8900 1 8.6700 2 0.8500 0.8300 1 8.5300 3 0.8300 0.8000 1 8.4600 4 0.8100 0.7800 1 8.4000 5 0.8050 0.7700 1 8.3800 6 0.8060 0.7710 1 8.3830 7 0.8070 0.7710 1 8.3850 8 0.8074 0.7715 1 8.3863 9 0.8076 0.7717 1 8.3869 10 0.8076 0.7719 1 8.3871 11 0.8077 0.7720 1 8.3874

Dakle, 1 8.3874λ = , T1 (0.8077, 0.7720,1)x = .

Nañimo 2λ i 2x . Odgovarajući sistem je

21 21 22 232

22 21 22 232

2 21 22 2323

1(4 2 2 ),

1(2 5 ),

1(2 6 ).

x x x x

x x x x

x x xx

= + +λ

= + +λ

λ = + +

Iz uslova ortogonalnosti 1 2( , ) 0x x = nalazimo

21 22 320.8077 0.7720 0x x x+ + = ,

odakle je 32 21 220.8077 0.7720x x x= − + . Uzmimo: 22 1x = ; posle eliminisanja

32x dobijamo

21 212

2 21

1(2.3846 0.4560),

1.1923 4.6280.

x x

x

= +λ

λ = +

Neka su početne aproksimacije: (0)21 1x = , (0)

2 5.42λ = . Računanja su data u sledećoj tabeli

k ( )21kx ( )

22kx ( )

2kλ

0 1 1 5.4200 1 0.5200 1 4.8500 2 0.3500 1 4.6400 3 0.2800 1 4.5600 4 0.2500 1 4.5300 5 0.2300 1 4.5000 6 0.2230 1 4.4900

365

7 0.2200 1 4.4900 8 0.2180 1 4.4880 9 0.2174 1 4.4870 10 0.2131 1 4.4868 11 0.2130 1 4.4867

Dakle, 2 4.4867λ = i T2 23(0.2130,1, )x x= .

23x nalazimo iz uslova ortogonalnosti:

23 0.8077 0.2130 0.7720 0.9473x = − ⋅ + = − .

Dakle, 2 (0.2130,1, 0.9473) 'x = − .

Sopstveni vektor 3x nalazimo samo na osnovu uslova ortogonalnosti.

31 32 33

31 32 33

0.8077 0.7720 0,

0.2130 0.9473 0.

x x x

x x x

+ + =+ − =

Ako uzmemo 31 1x = , tada je 32 0.5673x = − , 33 0.3698x = − , tj. 3x = (1, 0.5673, 0.3698)= − − . Iz jednačine

3 33 31 32 332 6x x x xλ = + +

nalazimo 3 2.1260λ = .

Kontrola: 1 2 3 15.0001 15pS Aλ + λ + λ = = = .

13. METODA REDUKCIJE PROBLEMA SOPSTVENIH VREDNOSTI MATRICA

Ideja metode redukcije za rešavanje problema sopstvenih vrednosti matrica sastoji se u svoñenju problema sopstvenih vrednosti date matrice ij n nA a ×= na

problem sopstvenih vrednosti matrice ( 1) ( 1) ij n nC c − × −= , dakle, u snižavanju

reda problema. Pretpostavlja se da je poznata prva sopstvena vrednost 1λ

matrice A i njoj odgovarajući sopstveni vektor 1x . Neka je data matrica A

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

=

⋯

⋯

⋮ ⋮

⋯

i neka je poznata njena prva sopstvena vrednost 1λ i njoj odgovarajući

sopstveni vektor T1 11 12 1( , , ..., )nx x x x= . Pretpostavimo da je 11 1x = (što ne

smanjuje opštost izlaganja; slučaj 11 0x = razmotićemo posebno). Posmatrajmo matricu

366

21

1

1 0 0

1 0

0 1n

xS

x

=

⋯

⋯

⋮ ⋮

⋯

.

Nije teško proveriti da je det 1 0S = ≠ i da je

211

1

1 0 0

1 0

0 1n

xS

x

−

− = −

⋯

⋯

⋮

⋯

.

Matrica 1B S AS−= je slična matrici A; sopstvene vrednosti su im jednake ( ) ( )A Bλ = λ . Meñutim, koristeći činjenicu da je 1 1 1Ax x= λ jednostavno

dobijamo

11 12 1

21 21 22 2 211

1 1 2 1

1 0 0 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1

n

n

n n n nn n

a a a

x a a a xB S AS

x a a a x

−

− = = ⋅ ⋅ = −

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

1 12 1 1 12 1

21 1 21 22 2 22 21 12 2 21 1

1 1 1 2 2 1 12 1 1

1 0 0

1 0 0

0 1 0

n n

n n n

n n n nn n n nn n n

a a a a

x x a a a x a a x a

x x a a a x a a x a

λ λ − λ − − = = = − λ − −

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

1 12 1 1 12 1

22 2

2

0 0

0 0

n n

n

n nn

a a a a

c c

C

c c

λ λ = =

⋯ ⋯

⋯

⋮ ⋮

⋯

, 1 1ij ij i jc a x a= − , , 2,i j n= .

Na taj način imamo

1 1det( ) det( ) ( )det( )A E B E C E− λ = − λ = λ − λ − λ

gde je 1E jedinična matrica dimenzija (n – 1)×(n – 1).

Sopstvene vrednosti matrice A su 1λ i (n – 1)–na sopstvena vrednost matrice C:

2 3, , ..., nλ λ λ . Da bismo izračunali drugu sopstvenu vrednost 1λ matrice A, treba izračunati prvu sopstvenu vrednost matrice C nekom od metoda za nalaženje prve sopstvene vrednosti matrica.

Neka je 2 1( )λ ≠ λ prva sopstvena vrednost matrice C i njoj odgovarajući

sopstveni vektor T2 22 32 2( , , , )nz z z z= … . Odredimo sopstveni vektor

T2 12 22 2( , , , )ny y y y= … matrice B. Kako je

367

22 23 2 22 22 22 23 32 2 2 2 22

32 33 3 32 32 22 33 32 3 2 2 322 2 2

2 3 2 2 22 3 32 2 2 2

n n n

n n n

n n nn n n n nn n n

c c c z c z c z c z z

c c c z c z c z c z zCz z

c c c z c z c z c z z

+ + + λ + + + λ = = = = λ + + + λ

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯

i

1 12 13 1 12

22 23 2 22

2 32 33 3 32

2 3 2

1 12 12 22 13 32 1 2

22 22 23 32 2 2

32 22 33 32 3 2

2 22 3 32 2

0

0

0

n

n

n

n n nn n

n n

n n

n n

n n nn n

a a a y

c c c y

By c c c y

c c c y

y a y a y a y

c y c y c y

c y c y c y

c y c y c y

λ = = λ + + + + + + += + + +

+ + +

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋯

⋯

⋯

⋯

⋮

⋯

2 12

2 22

2 32 2 2

2 2

,

n

y

y

y y

y

λ λ = λ = λ

λ

⋮

to je dovoljno uzeti

1 12 12 22 13 32 1 2 2 12

2 22 2 22

2 32 2 32

2 2 2 2,

n n

n n

y a y a y a y yy zy z

y z

λ + + + + = λλ = λλ = λ

λ = λ

⋯

⋮

odnosno: 2 2 32 32 22 22, , ,n ny z y z y z= = =… i 12 22 13 32 1 212

2 1

n na z a z a zy

+ + +=

λ − λ⋯

.

Dakle, T

12 22 13 32 1 21 22 32 2

2 1

, , , ,n nn

a z a z a zy z z z

+ + += λ − λ

⋯… .

Sopstveni vektor T2 12 22 2( , , , )nx x x x= … matrice A je

12 12

21 22 21 12 222 2

1 2 1 12 2

1 0 0

1 0

0 1n n n n

y y

x y x y yx Sy

x y x y y

+ = = ⋅ = +

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮

⋯

.

Ako je komponenta 11 0x = vektora T1 11 21 1( , , , )nx x x x= … , a 1 0ix ≠

( 1)i > , onda treba posmatrati matricu 1 T1 1 1 1 1i i i iA E AE E AE−= = koja je slična

matrici A, dakle, ima iste sopstvene vrednosti a sopstveni vektor je 1 1iE x .

368

14. GERŠGORINOVA TEOREMA

O rasporedu sopstvenih vrednosti proizvoljne matrice A govore sledeće dve teoreme. (S. Gerschgorin – Über die Angrenzung der Eigenwerte einer Matrix, 1931.)

Teorema 1. Svaka sopstvena vrednost matrice A pripada u krajnjem slučaju jednom od krugova s centrom akk i poluprečnikom | |k kj

j kr a

≠= Σ , tj.

, | |k kk k kjj k

K a r a≠

= Σ

. (Ki se zovu Geršgorinovi krugovi, a teorema

Geršgorinova teorema.)

Dokaz. Neka je λ proizvoljna sopstvena vrednost matrice A. Tada postoji bar jedan vektor x , 0x ≠ , takav da je (1) Ax x= λ . Pretpostavimo da je k–ta komponenta vektora x najveća po modulu, tada možemo normirati vektor x uzimajući da je

T T1 2 1 1( , , , ,1, , ..., ) , 1,k k n ix x x x x x x i k− += ≤ ≠… ,

pa iz (1) uporeñujući k–te komponente dobijamo

(2) 1

11 1kj j k

ja x x

=Σ = λ = λ ⋅ = .

Sada iz (2) nalazimo

kk kj jj k

a a x≠

λ − = Σ

i

kk kj j kj j kjj k j k j k

a a x a x a≠ ≠ ≠

λ − ≤ Σ ≤ Σ ⋅ ≤ Σ ,

tj. λ pripada krugu , | |k kk kjj k

K a a≠

Σ

.

Teorema 2. Ako s krugova iz teoreme 1 obrazuje povezanu oblast, izolovanu od ostalih krugova, onda se u toj oblasti nalazi tačno s sopstvenih vrednosti matrice A.

Dokaz u knjizi J. H. Wilkinson – The Algebraic Eigenvalue Problem, 1965.

15. LR I QR ALGORITAM

Iterativne metode rešavanja potpunog problema sopstvenih vrednosti matrica su po pravilu bolje od direktnih metoda kod kojih je prvo potrebno naći karakteristični polinom. Naime, poznato je da greške zaokrugljivanja koeficijenata polinoma mogu mnogo uticati na tačnost izračunavanja sopstvenih vrednosti. Većina iterativnih metoda se zasniva na svoñenju date matrice A transformacijama sličnosti na neki specijalni oblik za koji se problem sopstvenih vrednosti jednostavno rešava. Jedna od takvih metoda je LR

369

algoritam koji je razradio Rutishauzer (Heinz Rutishauser) 1958. godine u radu Solution of eigenvalue problems with the LR–transformation, Appl. Math. Ser. nat. Bur. Stand. 1958;49, 47–81; M.R., 19, 770).

Neka je data matrica 1 ij n nA a ×= . Razložimo matricu A1 na proizvod dve

trougaone matrice (leve i desne)

(1) 1 1 1A L R= ⋅

gde je L1 donje trougaona koja ima jedinice na glavnoj dijagonali, a R1 je gornje trougaona matrica, dakle

211

1 2 , 1

1 0 0 0

1 0 0

1n n n n

lL

l l l −

=

⋯

⋯

⋮

⋯

11 12 1, 1 1

22 2, 1 21

0

0 0 0

n n

n n

nn

r r r r

r r rR

r

−

−

=

⋯

⋯

⋮

⋯

Pretpostavimo da smo transformacijama sličnosti 11 1 1L A L− našli sličnu matricu

A2 datoj matrici A1, dakle

(2) 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )A L A L L L R L R L− −= = = .

Drugim rečima, ako smo matricu A1 razložili na proizvod trougaonih matrica L1 i R1, pa ih, zatim, pomnožili u obrnutom poretku, onda se dobija slična matrica matrici A1. LR algoritam se sastoji u beskonačnom procesu razlaganja matrica na proizvode trougaonih i množenje u obrnutom poretku. Dakle, LR algoritam je

(3)

1 1 1

2 1 1 2 2

3 2 2 3 3

1 1

,,,

,k k k k k

A L RA R L L RA R L L R

A R L L R− −

= ⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅⋮

⋮

Očigledno, matrica Ak je slična matrici Ak–1 i, prema tome, po indukciji slična je matrici A1. Rutishauzer je pokazao da pri nekim ograničenjima

(4) kL E→ i

1

2k k

n

X

R A T

O

λ λ → → = λ

⋱, kada k → ∞

Razmotrimo neke relacije izmeñu uzastopnih iteracija. Kako je

(5) 11 1 1k k k kA L A L−

− − −= ,

to je

(6) 1 1 1 1 1 11 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1( )k k k k k k k k k kA L L A L L L L L L A L L L L− − − − − −

− − − − − − − − −= = =⋯ ⋯ ⋯

370

ili

(7) 1 2 2 1 1 1 2 2 1k k k k kL L L L A A L L L L− − − −=⋯ ⋯

Matrice

(8) 1 2k kT L L L= ⋯ i 1 1k k kU R R R−= ⋯

su redom donje trougaone s jedinicama na glavnoj dijagonali i gornje trougaone. Posmatrajmo njihov proizvod

(9) 1 2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1

1 1 2 1 1 2 1 1 1 1

( )

,

k k k k k k

k k k

k k k k

T U L L L L R R R RL L L A R R RA L L L R R R A T U

− −

− −

− − − −

⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋯ ⋯

gde smo iskoristili relaciju (7). Dalje imamo

1 1 2 1 1 2 1

1 1 2 2 1 2 2 121 1 2 2 2 2 1

( )k k k k

k k k

k k

T U A L L L R R RA L L L A R R R

A L L L R R R

− −

− − −

− −

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋯ ⋯

i na kraju

(10) 1k

k kT U A⋅ = ,

što znači da k kT U⋅ predstavlja razlaganje matrice 1kA u proizvod dve trougaone

matrice.

Teorema. Ako sopstvene vrednosti matrice A1 zadovoljavaju uslov (11) 1 2| | | | | |nλ > λ > > λ⋯ ,

onda važi

lim kk

L E→∞

= i

1

2lim limk kk k

n

X

R A

O→∞ →∞

λ λ = = λ

⋱.

Dokaz. Videti u knjizi J. H. Wilkinson – The Algebraic Eigenvalue Problem, 1965.

Razmotrimo teoremu na primeru matrice 3 3 ijA a ×= .

Neka sopstvene vrednosti matrice A zadovoljavaju uslov

1 2 3| | | | | |λ > λ > λ

i neka su sopstveni vektori T1 11 21 31( , , )x x x x= , T

1 11 21 31( , , )x x x x= i T

3 13 23 33( , , )x x x x= . Matricu sopstvenih vektora označimo sa

11 12 13

21 22 23

31 32 33

x x x

X x x x

x x x

=

371

a njoj inverznu matricu sa

11 12 131

21 22 23

31 32 33

y y y

X y y y

y y y

− =

Iskoristimo činjenicu da je

1 1 11 2 12 3 13 11 12 131

1 2 1 21 2 22 3 23 21 22 23

31 32 333 1 31 3 32 3 33

1 11 11 2 12 21 3 13 31 1 11 12 2 12 22 3 13

0 0

0 0

0 0

k k k k

k k k k k

k k k k

k k k k k k

x x x y y y

F A X X x x x y y y

y y yx x x

x y x y x y x y x y x y

−

λ λ λ λ = = λ = λ λ λ ⋅ = λ λ λ λ

λ + λ + λ λ + λ + λ

=32 1 11 13 2 12 23 3 13 33

1 21 11 2 22 21 3 23 31 1 21 12 2 22 22 3 23 32 1 21 13 2 22 23 3 23 33

1 31 11 2 32 21 3 33 31 1 31 12 2 32 22 3 33 32 1 31 13 2 32 23 3

k k k

k k k k k k k k k

k k k k k k k k k

x y x y x y

x y x y x y x y x y x y x y x y x y

x y x y x y x y x y x y x y x y x

λ + λ + λ

λ + λ + λ λ + λ + λ λ + λ + λ

λ + λ + λ λ + λ + λ λ + λ + λ 33 33

.

y

Kako je k kT U⋅ razlaganje matrice 1kA na proizvod trougaonih matrica, to su

elementi prve kolone matrice Tk jednaki: ( )11

( ) 1 21 11 2 22 21 3 23 31 21 221

11 11 11 11 2 12 21 3 13 31

( ) 1 31 11 2 32 21 3 33 31 31 231

11 11 11 11 2 12 21 3 13 31

1,

,

,

k

kk k kk

k k k

kk k kk

k k k

t

x y x y x y xt O

xx y x y x y

x y x y x y xt O

xx y x y x y

= λ + λ + λ λ = = + λλ + λ + λ λ + λ + λ λ = = + λλ + λ + λ

gde se pretpostavlja da je 11 11 0x y⋅ ≠ . Dakle, elementi prve kolone matrice Tk konvergiraju odgovarajućim elementima koji se dobijaju pri razlaganju matrice X u proizvod trougaonih matrica. Za elemente druge kolone matrice Tk imamo:

( )22( )32 11 32 12 31 11 22 12 21

1 2 11 32 31 12 11 22 21 12 11 32 31 12 3

11 22 21 12 21 2 11 22 21 12 11 22 21 12

1,( ) /( )

( ) ( )( ),

( ) ( )( )

k

k

kk

k

t

t f f f f f f f f

x x x x y y y y x x x xO

x x x xx x x x y y y y

== − − =

λ λ − − + − λ = = + − λλ λ − − +

⋯

⋯

gde se pretpostavlja da je 11 22 21 12 11 22 21 12( )( ) 0y y y y x x x x− − ≠ . Dakle, elementi druge kolone matrice Tk konvergiraju odgovarajućim elementima koji se dobijaju pri razlaganju matrice X u proizvod trougaonih matrica.

Na taj način zaključujemo: Ako je X T U= ⋅ , onda uz gornja ograničenja

kT T→ , kada k → ∞ .

Iz (7) i (8) imamo 1 1 1 1 11 1 1 1 diag( )k k k iA T AT T AT UX AXU U U− − − − −

− −= → = = ⋅ λ ⋅ ,

odakle sledi da je granična matrica matrice Ak kada k → ∞ gornje trougaona s

372

dijagonalnim elementima iλ , 1,i n= .

Napomena. 1) Ako su neke sopstvene vrednosti bliske po modulu, onda je konvergencija vrlo spora;

2) Ako matrica ima konjugovano–kompleksnih sopstvenih vrednosti, onda imamo odgovarajuću blok–dijagonalnu matricu;

3) Ako se kod razlaganja zahteva da matrice k kL Q= budu unitarne, tj. *

k kQ Q E⋅ = ili * 1k kQ Q−= ( *

ij jia a= ), a Rk gornje trougaona, onda dobijamo QR

algoritam (Francis i Кублановска, 1961. nezavisno jedno od drugog).

373

L I T E R A T U R A

1. M. Bertolino – NUMERIČKA ANALIZA, Naučna knjiga, Beograd, 1981.

2. B. Jovanović – NUMERIČKA ANALIZA, PMF, Beograd, 1984.

3. D. Radunović – NUMERIČKE METODE, Grañevinska knjiga, Beograd, 1991.

4. I. S. Berezin, N. P. Žitkov – NUMERIČKA ANALIZA, Naučna knjiga, Beograd, 1963.

5. И. С. Березин, Н. П. Жидков – МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ, T. 2, Физматгиз, Москва, 1962.

6. Б. П. Демидович, И. А. Марон – ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ, Наука, Москва, 1970.

7. Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова – ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА, Наука, Москва, 1967.

8. Н. С. Бахвалов – ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, I, Москва, 1973.

9. Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева – ВЫЛИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ, Moskva, 1960

10. J. Scheid – NUMERICAL ANALYSIS, New York, St. Louis, …, 1968.

11. A. M. Cohen, J. F. Cutts, R. Fielder, D. E. Jones, J. Ribbans, E. Stuart – NUMERICAL ANALYSIS, McGraw–Hill Book Company, New York, St. Louis, San Francisco, Düsseldorf, …, 1973.

12. Н. В. Копченова, И. А. Марон – ВЫЧИСЛИТЕЛЬАЯ МАТЕМА-ТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ, Москва, 1972.

13. A. R. Gourlay, G. A. Watson – COMPUTATIONAL METHODS FOR MATRIX EIGENPROBLEMS, John Wiley and Sons, London, New York, Sydney, Toronto, 1973.

14. David L. Powers – BOUNDARY VALUE PROBLEMS, Academic Press, New York, London, 1972.

15. Н. Н. Калиткин – ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, Наука, Москва, 1978.

16. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. Б. Кобельков – ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, Наука, Москва, 1987.

17. Г. И. Марчук – МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ, Наука, Новосибирск, 1973.

18. D. Tošić – UVOD U NUMERIČKU ANALIZU, Naučna knjiga, Beograd, 1978.

374

19. D. Herceg, Z. Stojaković – NUMERIČKE METODE LINEARNE ALGEBRE – ZBIRKA ZADATAKA, Grañevinska knjiga, Beograd, 1981.

20. Z. Stojaković, D. Herceg – NUMERIČKE METODE LINEARNE ALGEBRE, Grañevinska knjiga, Beograd, 1982.

21. Ж. Кунцман – ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, Наука, Москва, 1979.

22. Л. В. Канторович, В. И. Крылов – ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫСТЕГА АНАЛИЗА, ФМ, Москва, 1962.

23. J. B. Scarborough – NUMERICAL MATHEMATICAL ANALYSIS, The John Hopkins Press, Baltimore, 1966.

24. K. L. Nielsen – METHODS IN NUMERICAL ANALYSIS, The MacMillan Company, New York, 1957.

25. Н. И. Данилина, Н. С. Дубровская, О. П. Кваша, Г. Л. Смирнов, Г. И. Феклисов – ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, Висшая школа, Москва, 1976.

26. G. Engeln-Muellges, F. Uhlig – NUMERICAL ALGORITHMS WITH C, Springer–Verlag, Heidelberg, 1996.

27. А. А. Гусак – ЭЛЕМЕНТЫ МЕТОДОВ ВЫЧИСЛЕНИЙ, БГУ, Минск, 1982.

28. Е. А. Волков – ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, Наука, Москва, 1982.

29. Н. Я. Виленкин – МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕ-НИЙ, Наука, Москва, 1968.

30. Josef Stoer – NUMERISCHE MATHEMATIK 1, 7. Auflage, Springer–Lehrbuch, Berlin, Heidelberg, New York, London, …, 1994.

31. J. H. Wilkinson – THE ALGEBRAIC EIGENVALUE PROBLEM, Clarendon Press, Oxford, 1965.

32. E. Durand – SOLUTIONS NUMÉRIQUES ÉQUATIONS ALGÉ-BRIQUES, TOME I, Masson et Cie, Paris, 1971.

33. E. Durand – SOLUTIONS NUMÉRIQUES ÉQUATIONS ALGÉ-BRIQUES, TOME II, Masson et Cie, Paris, 1971.

34. А. Х. Золич – ОДИН ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПОЛНОЙ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦЫ, Математички весник 11 (26), str. 165–177, Beograd, 1974.

35. A. H. Zolić – A NEW VARIANT OF AN ITERATIVE METHOD FOR SOLVING THE COMPLETE PROBLEM OF EIGENVALUES OF MATRICES, Математички весник 56 (2004), str. 17–21, Beograd, 2004.

numericka matematika original

Documents