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TRANSCRIPT
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /
5th Lecture / 5. Vorlesung
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik
(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Büro: Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer
Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
3-D Electromagnetic Wave Propagation / 3D elektromagnetische Wellenausbreitung
Maxwell’s equations / Maxwellsche Gleichungen
m
e
m
e
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
t t tt
t t tt
t t
t t
ρ
ρ
∂= −∇ −
∂
∂= ∇ −
∂
∇ =
∇ =
B R ×E R J R
D R ×H R J R
B R R
D R R
i
i0
0
( , ) ( , )( , ) ( , )t tt t
µε
=
=
B R H RD R E R
Constitutive Equations for Vacuum / Konstituierende Gleichungen
(Materialgleichungen) für Vakuum
m0 0
e0 0
1 1( , ) ( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , )
t t tt
t t tt
µ µ
ε ε
∂= − ∇ −
∂
∂= ∇ −
∂
H R ×E R J R
E R ×H R J R
Continuity equations / Kontinuitätsgleichungen
mm
ee
( , ) ( , )
( , ) ( , )
t tt
t tt
ρ
ρ
∂∇ = −
∂
∂∇ = −
∂
J R R
J R R
i
i
3-D Electromagnetic Wave Propagation / 3D elektromagnetische Wellenausbreitung
m0 0
e0 0
2
m20 0
2
e20 0
2
e20 0 0
1 1( , ) ( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , )
1 1 1( , ) ( , ) ( , )
t t tt
t t tt
t t tt tt
t t tt tt
t t tt
µ µ
ε ε
µ µ
ε ε
µ ε ε
∂= − ∇ −
∂
∂= ∇ −
∂
∂ ∂ ∂= − ∇ −
∂ ∂∂
∂ ∂ ∂= ∇ −
∂ ∂∂
∂= − ∇ ∇ −
∂
H R ×E R J R
E R ×H R J R
H R × E R J R
E R × H R J R
H R × ×H R J R m0
2
m e20 0 0 0
2
e m20 0 0 0 0
2
m e20 0 0 0 0
1 ( , )
1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1 1 1( , ) ( , ) + ( , ) ( , )
1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( ,
tt
t t t ttt
t t t ttt
t t ttt
µ
ε µ µ ε
ε µ ε µ µ
ε µ ε µ ε
∂− ∂
∂ ∂= ∇ − ∇ − − ∂∂
∂ ∂= − ∇ ∇ ∇ −
∂∂
∂ ∂= − ∇ ∇ − ∇ −
∂∂
J R
E R × ×E R J R J R
H R × ×H R ×J R J R
E R × ×E R ×J R J R )t
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
3-D Electromagnetic Wave Propagation / 3D elektromagnetische Wellenausbreitung
2
0e m2 20
2
0m e2 20
1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t t t ttc t
t t t ttc t
ε
µ
∂ ∂−∇ ∇ − = −∇ +
∂∂
∂ ∂−∇ ∇ − = ∇ +
∂∂
× ×H R H R ×J R J R
× ×E R E R ×J R J R
2=∇ =∆
∇ ∇ =∇∇ −∇ ∇ =∇∇ −∆× × i i i
[ ]
[ ]
2
0e m2 20
2
0m e2 20
1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t t t ttc t
t t t ttc t
ε
µ
∂ ∂− ∇∇ −∆ − = −∇ +
∂∂
∂ ∂− ∇∇ −∆ − = ∇ +
∂∂
H R H R ×J R J R
E R E R ×J R J R
i
i
Vector identity / Vektoridentität
00 0
1cε µ
=
2
e m20 0 0 0 0
2
m e20 0 0 0 0
1 1 1( , ) ( , ) + ( , ) ( , )
1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t t t ttt
t t t ttt
ε µ ε µ µ
ε µ ε µ ε
∂ ∂∇ ∇ + = ∇ −
∂∂
∂ ∂∇ ∇ + = − ∇ −
∂∂
× ×H R H R ×J R J R
× ×E R E R ×J R J R
2∇ ∇=∇ =∆iShort-hand notation /
Abkürzende Schreibweise
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3-D Electromagnetic Wave Propagation / 3D elektromagnetische Wellenausbreitung
[ ]
[ ]
2
0e m2 20
2
0m e2 20
1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t t t ttc t
t t t ttc t
ε
µ
∂ ∂− ∇∇ −∆ − = −∇ +
∂∂
∂ ∂− ∇∇ −∆ − = ∇ +
∂∂
H R H R ×J R J R
E R E R ×J R J R
i
i
2
0e m2 20
2
0m e2 20
m0
e0
1 ( , )
1 ( , )
1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t
t
t t t t ttc t
t t t t ttc t
ρµ
ρε
ε
µ
=
=
∂ ∂∆ −∇ ∇ − = −∇ +
∂∂
∂ ∂∆ −∇∇ − = ∇ +
∂∂
R
R
H R H R H R ×J R J R
E R E R E R ×J R J R
i
i
m
e
( , ) ( , )
( , ) ( , )
t t
t t
ρ
ρ
∇ =
∇ =
B R R
D R R
i
i
m0
e0
1( , ) ( , )
1( , ) ( , )
t t
t t
ρµ
ρε
∇ =
∇ =
H R R
E R R
i
i
0
0
( , ) ( , )( , ) ( , )t tt t
µε
=
=
B R H RD R E R
3rd and 4th Maxwell’s equations / 3. und 4.
Maxwellsche GleichungConstitutive equations /
Materialgleichungen
3-D Electromagnetic Wave Propagation / 3D elektromagnetische Wellenausbreitung
2
m 0e m2 20 0
2
e 0m e2 20 0
2
0 me m2 200
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , )
t t t t ttc t
t t t t ttc t
t t t t ttc t
t
ρ εµ
ρ µε
ε ρµ
∂ ∂∆ −∇ − = −∇ + ∂∂
∂ ∂∆ −∇ − = ∇ + ∂∂
∂ ∂∆ − = −∇ + + ∇
∂∂
∆ −
H R R H R ×J R J R
E R R E R ×J R J R
H R H R ×J R J R R
E R2
0 em e2 200
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )t t t ttc t
µ ρε
∂ ∂= ∇ + + ∇
∂∂E R ×J R J R R
2 2 2
2 2 2
e e e e e ex y z x y zx y z x y z
x y z
∆=∇ ∇
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
i
i
Laplace operator in Cartesian coordinates / Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten
3-D Electromagnetic Wave Propagation / 3D elektromagnetische Wellenausbreitung
[ ]( , ) ( , )
e e e e e e ( , )x y z x y z
t t
tx y z x y z
∆ =∇ ∇
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
E R E R
E R
i
i
[ ]( ) ( )
( , ) ( , )
e e e e e e ( , )x y z x y zx y z x y z
t t
t
∆ =∇ ∇
= ∂ + ∂ + ∂ ∂ + ∂ + ∂
E R E R
E R
i
i
( )e e e ( , )e ( , )e ( , )e
e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )
e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )
e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )
x y z x y zx y z x y z
x x x y x zx x x y x z
y y y y y zy x y y y z
x z z y z zz x z y z z
E t E t E t
E t E t E t
E t E t E t
E t E t E t
∂ + ∂ + ∂ + + = ∂ + ∂ + ∂
+ ∂ + ∂ + ∂
+ ∂ + ∂ + ∂
R R R
R R R
R R R
R R R
x y z tx y z t∂ ∂ ∂ ∂= ∂ = ∂ = ∂ = ∂
∂ ∂ ∂ ∂Short-hand notation /
Abkürzende Schreibweise
3-D Electromagnetic Wave Propagation / 3D elektromagnetische Wellenausbreitung
[ ]( ) ( )( )
( , ) ( , )
e e e e e e ( , )
e e e e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )
e e ( , ) e e ( , ) e e
x y z x y zx y z x y z
x y z x x x y x zx y z x x x y x z
x y y y y zy x y y y z
t t
t
E t E t E t
E t E t E
∆ =∇ ∇
= ∂ + ∂ + ∂ ∂ + ∂ + ∂ = ∂ + ∂ + ∂ ∂ + ∂ + ∂+ ∂ + ∂ + ∂
E R E R
E R
R R R
R R
i
i
i
( , )
e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )x z y z z zz x z y z z
t
E t E t E t + ∂ + ∂ + ∂
R
R R R
[ ]( , ) ( , )
e e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )
e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )
e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )
e e e
x x x x y x zx x x x y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y z zz x z y z z
y xy x x
t t
E t E t E t
E t E t E t
E t E t E t
E
∆ =∇ ∇
= ∂ ∂ + ∂ + ∂+ ∂ + ∂ + ∂
+ ∂ + ∂ + ∂
+ ∂ ∂
E R E R
R R R
R R R
R R R
i
i
i ( , ) e e ( , ) e e ( , )
e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )
e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )
e e e ( , ) e e ( , ) e e ( ,
x x y z zx y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y z zz x z y z z
z x x x y x zz x x x y x z
t E t E t
E t E t E t
E t E t E t
E t E t E t
+ ∂ + ∂+ ∂ + ∂ + ∂
+ ∂ + ∂ + ∂
+ ∂ ∂ + ∂ + ∂
R R R
R R R
R R R
R R Ri )
e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )
e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )
y x y y y zy x y y y z
z x z y z zz x z y z z
E t E t E t
E t E t E t
+ ∂ + ∂ + ∂
+ ∂ + ∂ + ∂
R R R
R R R
3-D Electromagnetic Wave Propagation / 3D elektromagnetische Wellenausbreitung
[ ]
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( , )
( , ) ( , )
e ( , ) e ( , ) e ( , )
e ( , ) e ( , ) e ( , )
e ( , ) e ( , ) e ( , )
= ( , )e ( , )e ( , )e
x x x y x zx y z
y x y y y zx y z
z x z y z zx y z
x y z x y zx y z
t
t t
E t E t E t
E t E t E t
E t E t E t
E t E t E t
=
∆ = ∇ ∇
= ∂ + ∂ + ∂+ ∂ + ∂ + ∂+ ∂ + ∂ + ∂
∂ + ∂ + ∂ + + E R
E R E R
R R R
R R R
R R R
R R R
i
( )2 2 2 ( , )x y z t= ∂ + ∂ + ∂ E R
( )2 2 2
2 2 2
2 2 2
( , ) ( , )
( , )
x y zt t
tx y z
∆ = ∂ + ∂ + ∂
∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂
E R E R
E R
3-D Electromagnetic Wave Propagation / 3D elektromagnetische Wellenausbreitung
2
0 me m2 200
2
0 em e2 200
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t t t t ttc t
t t t t ttc t
ε ρµ
µ ρε
∂ ∂∆ − = −∇ + + ∇
∂∂
∂ ∂∆ − = ∇ + + ∇
∂∂
H R H R ×J R J R R
E R E R ×J R J R R
( )( )
2 2 2
2 2 2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
x y z
x y z
t t
t t
∆ = ∂ +∂ +∂
∆ = ∂ +∂ +∂
E R E R
H R H R
2 2 2 2
0 me m2 2 2 2 200
2 2 2 2
0 em e2 2 2 2 200
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t t t t ttx y z c t
t t t t ttx y z c t
ε ρµ
µ ρε
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − = −∇ + + ∇ ∂∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∇ + + ∇ ∂∂ ∂ ∂ ∂
H R H R ×J R J R R
E R E R ×J R J R R
mm
ee
( , ) ( , )
( , ) ( , )
t tt
t tt
ρ
ρ
∂∇ = −
∂∂
∇ = −∂
J R R
J R R
i
i
2-D EM Wave Propagation – 2-D TM Case and 2-D TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall
mm m
ee e
( , ) ( , , ) ( , , )
( , ) ( , , ) ( , , )y y
y y
t x z t J x z t
t x z t J x z t
= =
= =
J R J e
J R J e
0y∂≡
∂
2 2 2
e 0 m m2 2 2 200
2 2 2
m 0 e e2 2 2 200
1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
y yy y
y yy y
x z t x z t J x z t J x z t x y ttx z c t
x z t x z t J x z t J x z t x y ttx z c t
ε ρµ
µ ρε
∂ ∂ ∂ ∂ + − = ∇ + + ∇ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − = ∇ + + ∇ ∂∂ ∂ ∂
H H × e e
E E × e e
We consider the xz plane and assume that the field is independent of y /Wir betrachten die xz-Ebene und nehmen an, dass das Feld unabhängig von y ist
2 2 2 2
0 me m2 2 2 2 200
2 2 2 2
0 em e2 2 2 2 200
1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
x z t x z t x z t x z t x z ttx y z c t
x z t x z t x z t x z t x z ttx y z c t
ε ρµ
µ ρε
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − = −∇ + + ∇ ∂∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∇ + + ∇ ∂∂ ∂ ∂ ∂
H H ×J J
E E ×J J
Then it follows for the 3-D wave equations / Es folgt dann für die 3D-Wellengleichungen
And we confine the current sources to / Und wir beschränken die Stromquellen auf
This yields for the above given 3-D wave equation / Dies ergibt für die oben gegebenen 3D-Wellengleichungen
2-D EM Wave Propagation – 2-D TM Case and 2-D TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall
mm
ee
( , ) ( , , )
( , ) ( , , )y y
y y
t J x z t
t J x z t
=
=
J R e
J R e
m m m
e e e
( , , ) ( , , ) ( , , ) 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) 0
y y yy x y z y
y y yy x y z y
J x z t J x z t J x z tx y z y
J x z t J x z t J x z tx y z y
∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + = = ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + = = ∂ ∂ ∂ ∂
e e e e e
e e e e e
i i
i i
e
e
e e
e e
( , )
0 ( , , ) 0
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
x y z
x y z
z
z zz x
z zx z
t
J x z t
J x z t J x z tx z
J x z t J x z tz x
∇ = ∂ ∂ ∂
∂ ∂= −∂ ∂∂ ∂
= − +∂ ∂
e e e
×J R
e e
e e
m
m
m m
m m
( , )
0 ( , , ) 0
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
x y z
x y z
z
z zz x
z zx z
t
J x z t
J x z t J x z tx z
J x z t J x z tz x
∇ = ∂ ∂ ∂
∂ ∂= −∂ ∂∂ ∂
= − +∂ ∂
e e e
×J R
e e
e e
Curl and divergence of the current sources / Rotation und Divergenz der Stromquellen
The divergence of the current
sources is in this special case zero, because the
currents are constant in ydirection. / Die Divergenz
der Stromquellen ist in diesem speziellen Fall null, da die Ströme in y-Richtung
konstant sind.
2-D EM Wave Propagation – 2-D TM Case and 2-D TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall
m
e
( , , ) 0
( , , ) 0y y
y y
J x z
J x z
ω
ω
∇ =
∇ =
e
e
i
i
mm
ee
( , , ) j ( , , )( , , ) j ( , , )x z x zx z x z
ω ωρ ωω ωρ ω
∇ =
∇ =
JJ
ii
m
e
( , ) 0( , ) 0
ρ ωρ ω
==
RR
m
e
( , ) 0( , ) 0tt
ρρ
==
RR
mm
ee
( , ) ( , )
( , ) ( , )
t tt
t tt
ρ
ρ
∂∇ = −
∂∂
∇ = −∂
J R R
J R R
i
i
m m
e e
1( , , ) ( , , )j1( , , ) ( , , )j
x z x z
x z x z
ρ ω ωω
ρ ω ωω
= ∇
= ∇
J
J
i
i
2-D EM Wave Propagation – 2-D TM Case and 2-D TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall
2 2 2
e e 0 m2 2 2 20
2 2 2
m m 0 e2 2 2 20
1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
y y yz x y
y y yz x y
x z t x z t J x z t J x z t J x z tx z tx z c t
x z t x z t J x z t J x z t J x z tx z tx z c t
ε
µ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − = − + + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − = − + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
H H e e e
E E e e e
e ee ( , ) ( , , ) ( , , )z zz xt J x z t J x z tx z∂ ∂
∇ = −∂ ∂
×J R e e
m mm ( , ) ( , , ) ( , , )z zz xt J x z t J x z tx z∂ ∂
∇ = −∂ ∂
×J R e e
2 2 2
0e m2 2 2 20
2 2 2
0m e2 2 2 20
1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
x z t x z t x z t x z ttx z c t
x z t x z t x z t x z ttx z c t
ε
µ
∂ ∂ ∂ ∂+ − = −∇ + ∂∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ − = ∇ + ∂∂ ∂ ∂
H H ×J J
E E ×J J
2-D EM Wave Propagation – 2-D TM Case and 2-D TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall
2 2 2
e e 0 m2 2 2 20
1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )y y yz x yx z t x z t J x z t J x z t J x z tx z tx z c t
ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = − + + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ H H e e e
2 2 2
e2 2 2 20
2 2 2
0 m2 2 2 20
2 2 2
e2 2 2 20
1( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , )
x x y
y y y
z z y
H x z t H x z t J x z tzx z c t
H x z t H x z t J x z ttx z c t
H x z t H x z t J x z txx z c t
ε
∂ ∂ ∂ ∂+ − = ∂∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ − = ∂∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ − = − ∂∂ ∂ ∂
2 2 2
m 0 e m2 2 2 20
1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )y y yx y zx z t x z t J x z t J x z t J x z tz t xx z c t
µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = − + + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ E E e e e
2 2 2
m2 2 2 20
2 2 2
0 e2 2 2 20
2 2 2
m2 2 2 20
1( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , )
x x y
y y y
z z y
E x z t E x z t J x z tzx z c t
E x z t E x z t J x z ttx z c t
E x z t E x z t J x z txx z c t
µ
∂ ∂ ∂ ∂+ − = − ∂∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ − = ∂∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ − = ∂∂ ∂ ∂
Decoupled equations / Entkoppelte Gleichungen
Decoupled equations / Entkoppelte Gleichungen
2-D EM Wave Propagation – 2-D TM Case and 2-D TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall
2 2 2
0 e2 2 2 20
2 2 2
e2 2 2 20
2 2 2
e2 2 2 20
1( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , )
y y y
x x y
z z y
E x z t E x z t J x z ttx z c t
H x z t H x z t J x z tzx z c t
H x z t H x z t J x z txx z c t
µ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = − ∂∂ ∂ ∂
2 2 2
0 m2 2 2 20
2 2 2
m2 2 2 20
2 2 2
m2 2 2 20
1( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , )
y y y
x x y
z z y
H x z t H x z t J x z ttx z c t
E x z t E x z t J x z tzx z c t
E x z t E x z t J x z txx z c t
ε ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = ∂∂ ∂ ∂
Separation in 2-D → TM and TE case /Separation in 2D → TM- und TE- Fall
TMy case / TMy-Fall
TEy case / TEy-Fall
TM: transversal magnetic / transversal magnetischTE: transversal electric / transversal elektrisch
( , , )
( , , )( , , )
y
x
z
E x z t
H x z tH x z t
( , , )
( , , )( , , )
y
x
z
H x z t
E x z tE x z t
2-D EM Wave Propagation – 2-D TM Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TM-Fall
2 2 2
0 e2 2 2 20
2 2 2
e2 2 2 20
2 2 2
e2 2 2 20
1( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , )
y y y
x x y
z z y
E x z t E x z t J x z ttx z c t
H x z t H x z t J x z tzx z c t
H x z t H x z t J x z txx z c t
µ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = − ∂∂ ∂ ∂
Separation in 2-D → TM case /Separation in 2D → TM-Fall
TMy case / TMy-Fall
TM: transversal magnetic / transversal magnetisch
( , , )
( , , )( , , )
y
x
z
E x z t
H x z tH x z t
xy z
xz plane / xz-Ebene
ey=n( , , )yE x z t
( , , )xH x z t
( , , )zH x z tSurface normal vector (unit-vector) /Flächennormalenvekt
or (Einheitsvektor)
2-D EM Wave Propagation – 2-D TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TE-Fall
2 2 2
0 m2 2 2 20
2 2 2
m2 2 2 20
2 2 2
m2 2 2 20
1( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , )
1( , , ) ( , , ) ( , , )
y y y
x x y
z z y
H x z t H x z t J x z ttx z c t
E x z t E x z t J x z tzx z c t
E x z t E x z t J x z txx z c t
ε ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = ∂∂ ∂ ∂
Separation in 2-D → TE case /Separation in 2D → TE- Fall
TEy case / TEy-Fall
TE: transversal electric / transversal elektrisch
( , , )
( , , )( , , )
y
x
z
H x z t
E x z tE x z t
xy z
xz plane / xz-Ebene
ey=n
Surface normal vector (unit-vector) /Flächennormalenvekt
or (Einheitsvektor)
( , , )yH x z t
( , , )xE x z t
( , , )zE x z t
FD Method – 2-D TM Wave Equation / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung
22
2 2
22
2 2
22
2 2
( , , ) 2 ( , , ) ( , , )( , , ) [( ) ]
( )( , , ) 2 ( , , ) ( , , )
( , , ) [( ) ]( )
( , , ) 2 ( , , ) ( , , )( , , ) [( ) ]
( )
y y yy
y y yy
y y yy
E x x z t E x z t E x x z tE x z t x
x xE x z z t E x z t E x z z t
E x z t zz z
E x z t t E x z t E x z t tE x z t t
t t
+ ∆ − + −∆∂= ∆
∂ ∆
+ ∆ − + −∆∂= ∆
∂ ∆
+ ∆ − + −∆∂= ∆
∂ ∆
○
○
○
+
+
+
Central FD Operators / Zentrale FD-Operatoren
2 2 2
0 e2 2 2 20
1( , , ) ( , , ) ( , , )y y yE x z t E x z t J x z ttx z c t
µ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = ∂∂ ∂ ∂
Central FD Operators / Zentrale FD-Operatoren
e ee
( . , ) ( , , )( , , ) ( )y yy
J x z t J x z t tJ x z t tt t
− −∆∂= + ∆
∂ ∆○
Backward FD Operator /Rückwärts-FD-Operator
FD Method – 2-D TM Wave Equation / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung
2 2
2 20
e e0
( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )
( ) ( )( , , ) 2 ( , , ) ( , , )1
( )( , , ) ( , ,
y y y y y y
y y y
y y
E x x z t E x z t E x x z t E x z z t E x z t E x z z t
x zE x z t t E x z t E x z t t
c tJ x z t J x z t
µ
+ ∆ − + −∆ + ∆ − + −∆+
∆ ∆+ ∆ − + −∆
−∆− −
= 2 2 2)[( ) ] [( ) ] [( ) ]
tx z t
t∆
+ ∆ ∆ ∆∆
○ ○ ○+ +
2 2 2
0 e2 2 2 20
1( , , ) ( , , ) ( , , )y y yE x z t E x z t J x z ttx z c t
µ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − = ∂∂ ∂ ∂
Explicit FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit
2-D TM wave equation / 2D-TM-Wellengleichung
FD Method – 2-D TM Wave Equation – 2-D FD Grid / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – 2D-FD-Gitter
z∆
x∆
x
zy
1xn = x xn N=1zn =
z zn N=
xn →
zn
↓
( 1) 1, , x x z x zn n N n n N N N N= + − = =…
2-D FD grid / 2D-FD-Gitter
Global grid node numbering /
Globale Gitterknotennummerierung
1, ,1, ,
x x
z z
n Nn N
=
=
……
( , , ) ( , )( , , ) x z t tn n n n ny y yE x z t E E→ →
( , , )
( , )
( , , ) x z t
t
n n ny y
n ny
E x z t E
E
=
=
FD Method – 2-D TM Wave Equation – 2-D FD Stencil / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – 2D-FD-Schablone
z∆
x∆
( ),x zn n
2-D FD stencil in space / 2D-FD-Schablone im Raum
( ), 1x zn n −
( ), 1x zn n +
( )1,x zn n+( )1,x zn n−
x∆
z∆
FD Method – 2-D TM Wave Equation / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung
, 1, ,, 1, ,
, 1, ,
x x x
z z z
t t t
x n x n Nz n z n Nt n t n N
→ ∆ =
→ ∆ =→ ∆ =
………
220 2
220 2
( , , ) 2 ( , , ) ( , , )
( ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )( )
( ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )( )
y y y
y y y
y y y
E x z t t E x z t E x z t t
tc E x x z t E x z t E x x x tx
tc E x z z t E x z t E x z z tz
+ ∆ = − − ∆
∆ + + ∆ − + −∆ ∆
∆ + + ∆ − + −∆ ∆2 2 2 20 0 e e ( , , ) ( , , ) [( ) ] [( ) ] [( ) ]y yc t J x z t J x z t t x z tµ + ∆ − −∆ + ∆ + ∆ ∆ ○ ○ ○+
Explicit 2-D FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter 2D-FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit
Marching-on-in-time algorithm /„Marschieren in der Zeit“-Algorithmus
( , , )
( , , )e e
( , , )
( , , )
x z t
x z t
n n ny y
n n ny y
E x z t E
J x z t J
→
→
FD Method – 2-D TM Wave Equation / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung
x z∆ = ∆
( , , 1) ( , , ) ( , , 1)
2( 1, , ) ( , , ) ( 1, , )0
2( , 1, ) ( , , ) ( ,0
2
2
2
x z t x z t x z t
x z t x z t x z t
x z t x z t x z
n n n n n n n n ny y y
n n n n n n n n ny y y
n n n n n n n ny y y
E E E
c t E E Ex
c t E E Ez
+ −
+ −
+ −
= −
∆ + − + ∆
∆ + − + ∆ 1, )
( , , ) ( , , 1)2 2 2 20 0 e e [( ) ] [( ) ] [( ) ]
t
x z t x z t
n
n n n n n ny yc t J J x z tµ −
+ ∆ − + ∆ + ∆ ∆ ○ ○ ○+
Explicit 2-D FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter 2D FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit
Homogeneous 2-D FD grid of quadratic cells /Homogenes 2D- FD-Gitter aus quadratischen Zellen
( , , 1) ( , , ) ( , , 1)
2( , 1, ) ( 1, , ) ( , , ) ( 1, , ) ( , 1, )0
( , , )20 0 e
2
4
x z t x z t x z t
x z t x z t x z t x z t x z t
x z t
n n n n n n n n ny y y
n n n n n n n n n n n n n n ny y y y y
n n ny
E E E
c t E E E E Ex
c t J Jµ
+ −
+ + − −
= −
∆ + + − + + ∆
+ ∆ − ( , , 1) 2 2e [( ) ] [( ) ]x z tn n ny x t− + ∆ ∆ ○ ○+
FD Method – 2-D TM Wave Equation / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung
Explicit FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit
( , , 1) ( , , ) ( , , 1)
( , 1, ) ( 1, , ) ( , , ) ( 1, , ) ( , 1, )2
( , , ) ( , , 1)e e
ˆ ˆ ˆ2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 4
ˆ ˆ
x z t x z t x z t
x z t x z t x z t x z t x z t
x z t x z t
n n n n n n n n ny y y
n n n n n n n n n n n n n n ny y y y y
n n n n n ny y
E E E
t E E E E E
t J J
+ −
+ + − −
−
= −
+ ∆ + − + + + ∆ −
1for / für 1
1
x x
z z
t t
n Nn Nn N
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
( , , ) ( , , 1) ( , , 2)2
( , 1, ) ( 1, , ) ( 1, , ) ( , 1, )2
( , , ) ( , , 1)e e
ˆ ˆ ˆ2 1 2( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ( )
ˆ ˆ
x z t x z t x z t
x z t x z t x z t x z t
x z t x z t
n n n n n n n n ny y y
n n n n n n n n n n n ny y y y
n n n n n ny y
E t E E
t E E E E
t J J
− −
+ + − −
−
= − ∆ − + ∆ + + +
+ ∆ −
FD Method – 2-D FD Wave Equation – TM Case – Flow Chart / FD-Methode – 2D FD-Wellengleichung – TM-Fall – Flussdiagramm
( , , ) ( , , ) ( , , 1) ( , , 2)e e
ˆ ˆ ˆ ˆx z t x z t x z t x z tn n n n n n n n n n n ny y y yE E t J J− − = + ∆ −
Start
Stop
1t tn n= +
t tn N≥
1tn =
2-D FD TM wave equation: For all nodes nx, nz inside the simulation region:
Excitation: For all excitation nodes nx, nz :
NoNo YesYes
( , , ) ( , , 1) ( , , 2)2
( , 1, 1) ( 1, , 1) ( 1, , 1) ( , 1, 1)2
( , , ) ( , , 1)e e
ˆ ˆ ˆ2 1 2( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ( )
ˆ ˆ
x z t x z t x z t
x z t x z t x z t x z t
x z t x z t
n n n n n n n n ny y y
n n n n n n n n n n n ny y y y
n n n n n ny y
E t E E
t E E E E
t J J
− −
+ − + − − − − −
−
= − ∆ − + ∆ + + +
+ ∆ −
( , , )ˆ 0x z tn n nyE =
Boundary condition: For all PEC boundary nodes nx, nz:
FD Method – 2-D TM Wave Equation – Example / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – Beispiel
Scalar 2-D TM wave equation / Skalare 2D-TM-Wellengleichung
Causality / Kausalitäte
e 0 0
( , , ) ( , , ) 0 0
( , , ) ( ) ( ) ( ) 0y y
y
E x z t J x z t t
J x z t x x z z f t tδ δ
= = ≤
= − − >
(0, , ) 0 ( ,0, ) 0, and / und ,
( , , ) 0 ( , , ) 0y y
y y
E z t E x tz t t x t t
E X z t E x Z t
= = ∀ ∀ ∀ ∀ = =
Initial condition / Anfangsbedingung
Boundary conditions for a perfectly electrically conducting (PEC) boundary / Randbedingung für einen ideal elektrisch leitenden (IEL) Rand
Hyperbolic initial-boundary-value
problem /Hyperbolisches
Anfangs-Randwert-Problem
2 2 2
0 e2 2 2 20
01( , , ) ( , , ) ( , , ) for / für 0
0y y y
x XE x z t E x z t J x z t z Z
tx z c t t Tµ
≤ ≤ ∂ ∂ ∂ ∂ + − = ≤ ≤ ∂∂ ∂ ∂ ≤ ≤
z
0x = x X=0z =
z Z=
PEC / IEL
PEC / IEL
PEC / IEL
PEC / IEL
x
zy
FD Method – 2-D TM Wave Equation – Example / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – Beispiel
x∆
x∆
1xn = x xn N=1zn =
z zn N=
xn →
zn
↓
( 1) 1, , x x z x zn n N n n N N N N= + − = =…
Nodes in the simulation region / Knoten im Simulationsgebiet
Global grid node numbering / Globale
Gitterknotennummerierung
1, ,1, ,
x x
z z
n Nn N
=
=
……
( , ) 0tn nyE ≠
( , ) 0tn nyE =
Nodes at the PEC boundary / Knoten auf dem IEL-Rand
FD Method – 2-D TM Wave Equation – Example/ FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – Beispiel
e ( , , )yJ x z t
PEC boundary / IEL-Rand
FD Method – 2-D FD Wave Equation – TM Case – Validation / FD-Methode – 2D FD-Wellengleichung – TM-Fall – Validierung
0 e( , ) j ( , ) ( , ) dx xz
E z G z z J z zω ωµ ω ω∞
′=−∞
′ ′ ′= −∫ 0 e( , , ) j ( , , ) ( , , ) d dy yz x
E x z G x x z z J x z x zω ωµ ω ω∞ ∞
′ ′=−∞ =−∞
′ ′ ′ ′ ′ ′= − −∫ ∫
0j0
0
0
0
1( , ) j PV ( ) e2
( , )2
k zcG z z
zcG z t u tc
ω πδω
= +
= −
(1) 2 20
0
2 20
2 2 2 2 00
j( , , ) H4
1( , , )2 ( )
G x z x zc
c x zG x z t u tcc t x z
ωω
π
= +
+ = − − +
Green’s function / Greensche Funktion
1-D case / 1D-Fall 2-D case / 2D-Fall
Domain integral representation /(Gebiets-) Integraldarstellung
FD Method – 2-D FD Wave Equation – TM Case – Validation / FD-Methode – 2D FD-Wellengleichung – TM-Fall – Validierung
0 e0
( , ) j ( , ) ( , ) dy yr
E r G r r J r rω ωµ ω ω∞
′=
′ ′ ′= −∫(1)0
0
02 2 2 00
j( , ) H4
1( , )2
G r rc
c rG r t u tcc t r
ωω
π
=
= − −
2-D Domain integral representation /2D-(Gebiets-)Integraldarstellung
(1)0
0
02 02 2
0
j( , ) H4
1( , )2
Gc
cG t u tc
c t
ωω
π
′ ′− = −
′− ′− = − ′− −
r r r r
r rr r
r r
0 e( , ) j ( , ) ( , ) dy yE G Jω ωµ ω ω′′ ′ ′= −∫rr r r r r
FD Method – 2-D FD Wave Equation – TM Case – Validation / FD-Methode – 2D FD-Wellengleichung – TM-Fall – Validierung
2-D Domain integral representation / 2D-(Gebiets-)Integraldarstellung
(1)RC2 RC2 00 20 02 2
0
j 1( , ) RC2( ) H ( , ) RC2( )4 2t
cG G t t u t
c cc t
ωω ωπ
′− ′ ′ ′− = − − = ∗ − ′− −
r rr r r r r r
r r
jjRC2 41 2c RC2( ) e( , ) e
4
k
Gπ
ωωπ ω
′−
′
′−−
r r
r rr r
EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)
The first two Maxwell’s Equations are: / Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten:
m
e
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
t t tt
t t tt
∂= −∇ −
∂∂
= ∇ −∂
B R ×E R J R
D R ×H R J R
0
0
( , ) ( , )( , ) ( , )t tt t
µε
=
=
B R H RD R E R
Constitutive Equations for Vacuum / Konstituierende Gleichungen
(Materialgleichungen) für Vakuum m
e
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
t t tt
t t tt
µ
ε
∂= −∇ −
∂∂
= ∇ −∂
H R ×E R J R
E R ×H R J R
0
0
( , ) ( , )( , ) ( , )t tt t
νε
=
=
H R B RD R E R
Constitutive Equations for Vacuum / Konstituierende Gleichungen
(Materialgleichungen) für Vakuum
[ ] [ ]
m
e
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
t t tt
t t ttε ν
∂= −∇ −
∂∂
= ∇ −∂
B R ×E R J R
E R × B R J R
( ),f H E
( ),f B E
Equations of first order / Gleichungen der ersten Ordnung
EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)
m( , ) ( , ) ( , )t t ttµ∂
= −∇ −∂
H R ×E R J R
e( , ) ( , ) ( , )t t ttε∂ = ∇ −
∂E R ×H R J R
Idea: Outline of a flow chart / Idee: Entwurf eines Flussdiagramms
Field / Feld Sources / Quellen
Faraday’s induction law / Faradaysches Induktionsgesetz
Ampère-Maxwell‘s circuital law /Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz
EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)
m( , ) ( , ) ( , )t t tt∂
= −∇ −∂B R ×E R J R
[ ] e( , ) ( , ) ( , )t t ttε ν∂
= ∇ −∂E R × B R J R
Idea: Outline of a flow chart / Idee: Entwurf eines Flussdiagramms
Field / Feld Sources / Quellen
Faraday’s induction law / Faradaysches Induktionsgesetz
Ampère-Maxwell‘s circuital law /Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz
1-D EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / 1D EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)
The first two Maxwell’s Equations are: / Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten:
m
e
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
t t tt
t t tt
∂= −∇ −
∂∂
= ∇ −∂
B R ×E R J R
D R ×H R J R
m0 0
e0 0
1 1( , ) ( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , )
y x y
x y x
H z t E z t J z tt z
E z t H z t J z tt z
µ µ
ε ε
∂ ∂= − −
∂ ∂
∂ ∂= − −
∂ ∂
0
0
( , ) ( , )( , ) ( , )t tt t
µε
=
=
B R H RD R E R
Constitutive Equations for Vacuum / Konstituierende Gleichungen
(Materialgleichungen) für Vakuum
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
x x
y y
t E z tt H z t=
=
E R eH R e
Ansatz for the electric and magnetic field strength /
Ansatz für die elektrische und magnetische Feldstärke
2
2
(2 2( ) ( ) ]
2 2( ) ( ) ]
t tf t f td f t tdt t
z zf z f zd f z xdz x
∆ ∆ + − − = + ∆
∆∆ ∆ + − −
= + ∆∆
O[
O[
1-D EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / 1D EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)
m0 0
1 1( , ) ( , ) ( , )y x yH z t E z t J z tt zµ µ∂ ∂
= − −∂ ∂
e0 0
1 1( , ) ( , ) ( , )x y xE z t H z t J z tt zε ε∂ ∂
= − −∂ ∂
Idea: Outline of a flow chart / Idee: Entwurf eines Flussdiagramms
Field / Feld Sources / Quellen
1-D EM Wave Propagation – FDTD – Discretization of the 1st Equation / 1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Diskretisierung der 1ten Gleichung
m0 0
1 1( , ) ( , ) ( , )y x yH z t E z t J z tt zµ µ∂ ∂
= − −∂ ∂
21( , ) ( , ) ( ) ]2 2x x x x
z
z zE z t E z t E z E z zz z z∂ ∂ ∆ ∆ → = + − − + ∆ ∂ ∂ ∆
O[
( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )m
0 0
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )z z z zn n n ny x x yH t E t E t J t
t zµ µ+ −∂ = − − − ∂ ∆
Spatial discretization of the 1st equation / Räumliche Diskretisierung der 1ten Gleichung
2z∆
2z∆
zn12zn −
12zn +
( 1/ 2)znxE
− ( 1/ 2)znxE
+( )znyH
( ): , 1, ,
: 1/ 2 , 1, ,y z z z
x z z z
H z n z n N
E z n z n N
→ ∆ =
→ + ∆ =
…
…
( )znxE
1-D EM Wave Propagation – FDTD – Discretization of the 2nd Equation / 1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Diskretisierung der 2ten Gleichung
e0 0
1 1( , ) ( , ) ( , )x y xE z t H z t J z tt zε ε∂ ∂
= − −∂ ∂
( ) ( ) 2
2
1( , ) ( , ) ( ) ]y y y yzzH z t H z t H z z H z zz z z∆
+
∂ ∂ → = + ∆ − + ∆ ∂ ∂ ∆O[
( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)e
0 0
1 1( ) ( ) ( ) ( )z z z zn n n nx y y yE t H t H t J t
t zε ε+ + +∂ = − − − ∂ ∆
Spatial discretization of the 2nd equation / Räumliche Diskretisierung der 2ten Gleichung
2z∆
2z∆
12zn +zn 1zn +
( )znyH
( 1)znyH
+( 1/ 2)znxE
+
( 1/ 2)znyH
+
( ): , 1, ,
: 1/ 2 , 1, ,y z z z
x z z z
H z n z n N
E z n z n N
→ ∆ =
→ + ∆ =
…
…
1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD – Staggered Grid in Space / 1D EM Wellenausbreitung – 1-D FDTD – Versetztes Gitter im Raum
2z∆
2z∆
zn12zn −
12zn +
( 1/ 2)znxE
− ( 1/ 2)znxE
+( )znyH
2z∆
2z∆
1zn + 32zn +
( 3/ 2)znxE
+( 1)znyH
+
2z∆
2z∆
32zn −2zn − 1zn −
( 2)znyH
− ( 1)znyH
−( 3/ 2)znxE
−
2z∆
2z∆
zn12zn −
12zn +
( )znyH
2z∆
1zn + 32zn +
( 1)znyH
+
2z∆
32zn −2zn − 1zn −
( 2)znyH
− ( 1)znyH
−
( 1/ 2)znxE
− ( 1/ 2)znxE
+ ( 3/ 2)znxE
+( 3/ 2)znxE
−
z∆ z∆
z∆ z∆
z∆
z∆
1-D EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / 1D EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)
m0 0
e0 0
1 1( , ) ( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , )
y x y
x y x
H z t E z t J z tt z
E z t H z t J z tt z
µ µ
ε ε
∂ ∂= − −
∂ ∂
∂ ∂= − −
∂ ∂
21( ) ( ) ]2 2
d z zf z f z f z zdz x
∆ ∆ = + − − + ∆ ∆ O[
( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )m
0 0
( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)e
0 0
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) ( )
z z z z
z z z z
n n n ny x x y
n n n nx y y x
H t E t E t J tt z
E t H t H t J tt z
µ µ
ε ε
+ −
+ + +
∂ = − − − ∂ ∆
∂ = − − − ∂ ∆
( )
( 1/ 2)
( ) ?
( ) ?
z
z
ny
nx
H tt
E tt
+
∂=
∂∂
=∂
1-D EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / 1D EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)
( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )m
0 0
( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)e
0 0
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) ( )
z z z z
z z z z
n n n ny x x y
n n n nx y y y
H t E t E t J tt z
E t H t H t J tt z
µ µ
ε ε
+ −
+ + +
∂ = − − − ∂ ∆
∂ = − − − ∂ ∆
( , ) ( , 1)( ) 2
( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2)( 1/ 2) 2
( ) [( ) ]
( ) [( ) ]
z t z tz
z t z tz
n n n ny yn
y
n n n nn x xx
H HH t tt t
E EE t tt t
−
+ + + −+
−∂= + ∆
∂ ∆
−∂= + ∆
∂ ∆
○
○
21( ) ( ( ) ]2 2
d t tf t f t f t tdt t
∆ ∆ = + − − + ∆ ∆ O[
( , ) ( , 1)( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )
m0 0
( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2)( 1) ( ) ( 1/ 2)
e0 0
1 1 1( ) ( ) ( )
1 1( ) ( ) ( )
z t z tz z z
z t z tz z z
n n n ny y n n n
x x y
n n n nn n nx xy y y
H HE t E t J t
t z
E E H t H t J tt z
µ µ
ε ε
−+ −
+ + + −+ +
− = − − − ∆ ∆
− = − − − ∆ ∆
Staggered grid in time / Versetztes Gitter in der ZeitStaggered grid in time / Versetztes Gitter in der Zeit
1-D EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / 1D EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)
( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m
0 0
( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e
0 0
z t z t z t z t z t
z t z t z t z t z t
n n n n n n n n n ny y x x y
n n n n n n n n n nx x y y y
t tH H E E Jzt tE E H H Jz
µ µ
ε ε
− + − − − −
+ + + + + +
∆ ∆ = − − − ∆
∆ ∆ = − − − ∆
( , ) ( , 1)( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )
m0 0
( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2)( 1) ( ) ( 1/ 2)
e0 0
1 1 1( ) ( ) ( )
1 1( ) ( ) ( )
z t z tz z z
z t z tz z z
n n n ny y n n n
x x y
n n n nn n nx xy y y
H HE t E t J t
t z
E E H t H t J tt z
µ µ
ε ε
−+ −
+ + + ++ +
− = − − − ∆ ∆
− = − − − ∆ ∆
Explicit 1-D FDTD algorithm on a staggered grid in space and time / Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit
Explicit 1-D FDTD algorithm on a staggered grid in space and time / Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit
FDTD:FDTD: Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions
on Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.
Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions
on Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.
1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD / 1D EM Wellenausbreitung – 1D FDTD
( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m
0 0
( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e
0 0
z t z t z t z t z t
z t z t z t z t z t
n n n n n n n n n ny y x x y
n n n n n n n n n nx x y y x
t tH H E E Jzt tE E H H Jz
µ µ
ε ε
− + − − − −
+ + + − + +
∆ ∆ = − − − ∆
∆ ∆ = − − − ∆
Explicit 1-D FDTD algorithm of leap-frog type on a staggered grid in space and time / Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus vom „Bocksprung“-Typ auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit
Explicit 1-D FDTD algorithm of leap-frog type on a staggered grid in space and time / Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus vom „Bocksprung“-Typ auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit
FDTD: Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions on
Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.
FDTD: Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions on
Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.
m0 0
e0 0
1 1( , ) ( , ) ( , )
1 1( , ) ( , ) ( , )
y x y
x y x
H z t E z t J z tt z
E z t H z t J z tt z
µ µ
ε ε
∂ ∂= − −
∂ ∂
∂ ∂= − −
∂ ∂
The first two Maxwell’s Equations are: / Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten:
1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD – Staggered Grid in Space / 1D EM Wellenausbreitung – 1-D FDTD – Versetztes Gitter im Raum
32zn
−
xE12zn
−
12zn
+
32zn
+
( )2zn − ( )1zn − ( )zn ( )1zn +
12tn
−
yH ( )tn
32zn
−
xE12zn
−
12zn
+
32zn
+ 1
2tn +
Time plane / Zeitebene
Interleaving of the Ex and Hy field components in space and time in the 1-D FDTD formulation / Überlappung der Ex- und Hy-Feldkomponente in der 1D-FDTD-Formulierung im Raum und in der
Zeit
1-D EM Wave Propagation – FDTD – Normalization / 1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Normierung
( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m
0 0
( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e
0 0
z t z t z t z t z t
z t z t z t z t z t
n n n n n n n n n ny y x x y
n n n n n n n n n nx x y y x
t tH H E E Jzt tE E H H Jz
µ µ
ε ε
− + − − − −
+ + + − + +
∆ ∆ = − − − ∆
∆ ∆ = − − − ∆
( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m
( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e
z t z t z t z t z t
z t z t z t z t z t
n n n n n n n n n ny y x x y
n n n n n n n n n nx x y y x
H H t E E tJ
E E t H H t J
− + − − − −
+ + + − + +
= −∆ − −∆ = − ∆ − −∆
ref refref ref
ref ref
ref ref ref ref ref 0
ref
refref ref
ref ref
ˆ ˆ
ˆ
x x
y y
x xt t t t t tc c
z x z c c c
E E E
EH H H Hc
ε ε ε µ µ µ µ µ
µ
∆ ∆∆ = ∆ ∆ ∆ = ∆ = ∆
∆ = ∆ ∆ = = = =
=
= = ref ref ref refref ref
ref ref ref
refee e ref e ref ref
ref
ref refmm m ref m ref ref
ref ref ref
xx
xx
EE EZ
J J J J Et
EJ J J J Ht t c
ε µ εµ µ
ε
µ
= = =
= =∆
= = =∆ ∆
1-D FDTD – Staggered Grid in Space – Global Node Numbering / 1D-FDTD – Versetztes Gitter im Raum – Globale Knotennummerierung
2z∆
2z∆
zn12zn −
12zn +
( 1/ 2, 1/ 2)z tn nxE
− + ( 1/ 2, 1/ 2)z tn nxE
+ +
( , )z tn nyH
2z∆
2z∆
1zn + 32zn +
( 3/ 2, 1/ 2)z tn nxE
+ +
( 1,, )z tn nyH
+
2z∆
2z∆
32zn −2zn − 1zn −
( 2, )z tn nyH
− ( 1, )z tn nyH
−
( 3/ 2, 1/ 2)z tn nxE
− +
2z∆
2z∆
2z∆
zn12zn −
12zn +
( 1, )tn nxE− ( , )tn n
xE
( , )tn nyH
2z∆
2z∆
1zn + 32zn +
( 1, )tn nxE+
( 1, )tn nyH+
2z∆
2z∆
32zn −2zn − 1zn −
( 2, )tn nyH− ( 1, )tn n
yH−
( 2, )tn nxE−
2z∆
z
z
1-D FDTD Algorithm – Flow Chart / 1D-FDTD-Algorithmus – Flussdiagramm
( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( , )e
ˆ ˆ ˆt t tn n n n n ny y yE E tJ+ += −∆
Start
Stop
1t tn n= +
t tn N≥
1tn =
Compute 1-D Faraday’s FDTD equation: For all nodes n inside the simulation region:
Electric current density excitation: For all excitation nodes n:
NoNo YesYes
( , 1/ 2)ˆ 0tn nyE
+ =Boundary condition: For all PEC boundary nodes n:
( , ) ( , 1) ( , 1/ 2) ( 1, 1/ 2)t t t tn n n n n n n ny y x xH H t E E
− − − − = −∆ −
Compute 1-D Ampère-Maxwell’s FDTD equation: For all nodes n inside the simulation region:( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( 1, ) ( , )
t t t tn n n n n n n nx x y yE E t H H
+ − + = − ∆ −
1-D FDTD Algorithm – Flow Chart / 1D-FDTD-Algorithmus – Flussdiagramm
Start
Stopp
1t tn n= +
t tn N≥
1tn =
Berechne die 1D-Faraday-FDTD-Gleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:
Elektrische Stromdichteanregung: Für alle Anregungsknoten n
NeinNein JaJa
( , 1/ 2)ˆ 0tn nyE
+ =Randbedingungen: Für alle IEL-Randknoten n
Berechne die 1D-Ampère-Maxwell-FDTD-Gleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet::
( , ) ( , 1) ( , 1/ 2) ( 1, 1/ 2)t t t tn n n n n n n ny y x xH H t E E
− − − − = −∆ −
( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( 1, ) ( , ) t t t tn n n n n n n n
x x y yE E t H H+ − + = − ∆ −
( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( , )e
ˆ ˆ ˆt t tn n n n n ny y yE E tJ+ += −∆
FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen
Maxwell’s equations / Maxwellsche Gleichungen
Causality / Kausalitätm
e
e e0 0 0
( , ) ( , ) 0 0
( , ) ( , ) 0 0( , ) ( ) ( ) ( ) 0
y y
x x
x
H z t J z t t
E z t J z t tJ z t K z z z f t tδ
= = ≤
= = ≤
= − >
(0, ) 0( , ) 0x
x
E tt
E Z t=
∀=
Initial condition / Anfangsbedingung
Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material / Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material
Hyperbolic initial-boundary-value
problem /Hyperbolisches
Anfangs-Randwert-Problem
Z
0z = z Z=
( , ) 0xE Z t =(0, ) 0xE t =( , )xE z t
m0 0
e0 0
01 1( , ) ( , ) ( , ) for / für0
1 1( , ) ( , ) ( , )
y x y
x y x
z ZH z t E z t J z t
t Tt z
E z t H z t J z tt z
µ µ
ε ε
≤ ≤∂ ∂= − − ≤ ≤∂ ∂
∂ ∂= − −
∂ ∂
FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen
Causality / Kausalität
0 0
( , ) ( , )m
( , ) ( , )e( ) ( )( , ) ( )
e e
0 1
0 1
1
z t z t
z t z t
z z zz t t
n n n ny y t
n n n nx x t
n n nn n nx x t
H J n
E J n
J K f nδ −
= = ≤
= = ≤
= >
(1, )
( , )
01
0
t
z t
nx
t tN nx
En N
E
= ≤ ≤=
Initial condition / Anfangsbedingung
Discrete hyperbolic initial-boundary-value
problem /Diskretes
hyperbolisches Anfangs-Randwert-
Problemz∆ z∆ z∆ z∆
zZ zN= ∆
1zn = z zn N=
( , ) 0z tN nxE =
(1, ) 0tnxE =
( , ) ( , ),z t z tn n n nx yE H
( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m
( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , )
1 for / für
1
z t z t z t z t z t
z t z t z t z t
n n n n n n n n n n z zy y x x y
t t
n n n n n n n nx x y y
n NH H t E E tJ
n N
E E t H H
− + − − − −
+ + + − +
≤ ≤ = −∆ − −∆ ≤ ≤ = − ∆ −
( 1/ 2, )e z tn nxt J+
− ∆
Discrete 1-D FDTD equations / Diskrete 1D-FDTD-Gleichungen
(2, )tnxE
(2, )tnyH
(1, ) 0tnyH =
( , )z tN nyH
Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material / Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material
FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen
Excitation pulse: RC2(t) – Time Domain / Anregungsfunktion: RC2(t) – Zeitbereich
Excitation pulse: RC2(f) – Frequency Domain / Anregungsfunktion: RC(f) –Frequenzbereich
Mag
ntiu
de|R
C2(f)
| /
Betr
ag|R
C(f)|
Ampl
itude
RC2
(t) /
Am
plitu
de R
C(t)
FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen
FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen
Implementation of Boundary Conditions / Implementierung von Randbedingungen
Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material /
Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material
(1, )
( , )
01
0
t
z t
nx
t tN nx
En N
E
= ≤ ≤=
Absorbing/open boundary condition / Absorbierende/offene Randbedingung
(1, ) (2, 2)
( , ) ( 1, 2)1
t t
z t z t
n nx x
t tN n N nx x
E En N
E E
−
− −
= ≤ ≤=
0.5t∆ =For / Füra plane wave needs two time steps, 2 nt , to travel over one grid cell with the size ∆z /
braucht eine ebene Welle zwei Zeitschritte, 2 nt , um sich über eine Gitterzelle der Größe ∆zauszubreiten
Space-time-extrapolation of the first order / Raum-Zeit-Extrapolation der ersten Ordnung
Space-time-extrapolation of the first order / Raum-Zeit-Extrapolation der ersten Ordnung
FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen
FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen
FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen
FDTD Books / FDTD-Bücher
Taflove, A. (Editor): Advances in
Computational Electrodynamics: The
Finite-Difference Time-Domain Method. Artech
House, 1998.
Kunz, K. S., Luebbers, R. J.: The Finite Difference
Time Domain Method for Electromagnetics. 1993
Taflove, A. (Editor): Computational
Electrodynamics: The Finite-Difference Time-
Domain Method. 2nd Editon,
Artech House, Boston, 2000.
Taflove, A. (Editor): Computational
Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain
Method. Artech House, Boston, 1995.
FDTD Books / FDTD-Bücher
Sullivan, D. M.: Electromagnetic
Simulation Using the FDTD Method. IEEE
Press, New York, 2000.
2-D TM FDTD – Photonic Crystals /2D-TM-FDTD – Photonische Kristalle
2-D TM FDTD – Photonic Crystals /2D-TM-FDTD – Photonische Kristalle
End of Lecture 5 /Ende der 5. Vorlesung