2

Περιεχόμενα

Εισαγωγή

1 Σκέδαση πυρήνων (Ν-Ν)

1.1 Το οπτικό μοντέλο

2 Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου (n-n)

2.1 Μεσονική θεωρία

2.2 Δυναμικό M3Y

2.3 Ενδείξεις για την επάρκεια της περιγραφής

3 Περιγραφή του μοντέλου και αποτελέσματα

3.1 Single-folding potential

3.2 Double-folding potential

3.3 Περιορισμοί του μοντέλου και δυνατές βελτιώσεις

Παράρτημα Α

Αλγόριθμος υπολογισμού single-folding potential

Βιβλιογραφία

3

Εισαγωγή

Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε με την περιγραφή της συνεισφοράς

της πυρηνικής δύναμης στο δυναμικό αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο πυρήνων.

Σκοπός μας είναι η εύρεση και υλοποίηση μιας μεθόδου υπολογισμού του

πυρηνικού δυναμικού που θα βασίζεται όσο το δυνατόν περισσότερο σε

θεμελιώδεις θεωρητικές αρχές. Αφετηρία για αυτή την προσπάθεια θα αποτελέσει

η μεσονική θεωρία της περιγραφής της αλληλεπίδρασης νουκλεονίου-νουκλεονίου,

η οποία αποτελεί μια effective θεωρία που ταλαντεύεται γύρω από το ασαφές όριο

μεταξύ θεωρίας και φαινομενολογίας και θα περιγραφεί ενδελεχώς στην αντίστοιχη

ενότητα.

Με χρήση ενός μοντέλου της προαναφερθείσας κλάσης, το οποίο

προτείνεται στη βιβλιογραφία λόγω της ιδιαίτερα καλής περιγραφής των

πειραματικών αποτελεσμάτων, για την σκέδαση νουκλεονίων, που προσφέρει, θα

υπολογίσουμε αριθμητικά το οπτικό δυναμικό αλληλεπίδρασης 2 πυρήνων με

χρήση των μεθόδων single-folding και double-folding που θα περιγράψουμε

αναλυτικά στο κυρίως κείμενο της εργασίας. Θα γίνει εφαρμογή της προτεινόμενης

διαδικασίας στα συστήματα πυρήνων: - , - και - και τα

αποτελέσματα που θα εξαχθούν θα συζητηθούν εκτενώς και θα συγκριθούν με τα

αντίστοιχα πειραματικά. Επίσης, ιδιαίτερη έμφαση θα δοθεί, όπως άλλωστε

οφείλουμε να κάνουμε, στους περιορισμούς και τα όρια που θέτουν, αναπόφευκτα,

οι απλοποιήσεις που θεωρήσαμε κατά την κατασκευή του μοντέλου, καθώς επίσης

και στις δυνατές βελτιώσεις του.

Η πορεία που θα ακολουθήσουμε θα είναι η εξής: Αρχικά θα αναφερθούμε

στη βασική θεωρία που απαιτείται για την κατανόηση του κυρίως τμήματος της

εργασίας. Αυτή η θεωρία περιλαμβάνει στοιχεία σχετικά με την περιγραφή του

δυναμικού αλληλεπίδρασης μεταξύ πυρήνων με το λεγόμενο οπτικό μοντέλο, που

θα παρουσιαστούν στην Ενότητα 1, καθώς και στοιχεία της μεσονικής θεωρίας της

αλληλεπίδρασης n-n (Ενότητα 2.1). Έπειτα, θα παρουσιαστεί το φαινομενολογικό

δυναμικό M3Y που θα χρησιμοποιήσουμε σε όλη την υπόλοιπη εργασία (Ενότητα

2.2) και θα γίνει μια απόπειρα διαισθητικής τεκμηρίωσης της επάρκειας της

περιγραφής του δυναμικού πυρήνων που εξάγεται με χρήση του μεσονικού

δυναμικού n-n (Ενότητα 2.3). Στη συνέχεια, θα παρουσιαστούν 2 μέθοδοι με τις

οποίες μπορεί να υπολογιστεί το δυναμικό αλληλεπίδρασης 2 πυρήνων με

δεδομένο το δυναμικό n-n (Κεφάλαιο 3) και θα παρουσιαστούν και θα σχολιαστούν

τα αποτελέσματα. Τέλος, στο παράρτημα παρατίθεται ο αλγόριθμος για το single-

folding δυναμικό που κατασκευάσαμε. Στις τελευταίες σελίδες της εργασίας

4

αναγράφεται επαρκής βιβλιογραφία για όποιον ενδιαφέρεται να διεισδύσει

περισσότερο σε κάποιο από τα θεωρητικά ή διαδικαστικά σημεία που

παρουσιάζονται.

5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Σκέδαση Πυρήνων (Ν-Ν)

Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την περιγραφή της σκέδασης

πυρήνων με χρήση του λεγόμενου οπτικού μοντέλου. Για το σκοπό αυτό, αφού

περιγράψουμε το μοντέλο αυτό, θα ακολουθήσουμε την προσέγγιση του Feshbach

στο πρόβλημα της σκέδασης πολλών σωμάτων, μιας και η σκέδαση πυρήνων κατ’

ουσία, αποτελεί σκέδαση των περιεχόμενων, σε αυτούς, νουκλεονίων. Η ανάλυση

που θα πραγματοποιήσουμε θα μας οδηγήσει στο συμπέρασμα ότι μια πρώτης

τάξης προσέγγιση, στο σύνθετο πρόβλημα της σκέδασης πυρήνων, μπορεί να γίνει

με τη χρήση ενός απλού ενεργού δυναμικού, το λεγόμενο folding potential. Στη

συνέχεια, θα σχολιάσουμε τα όρια τις προϋποθέσεις της ισχύος της προσέγγισης

αυτής. Η κατανόηση της περιγραφής της σκέδασης πυρήνων με τη χρήση του

οπτικού μοντέλου, καθώς και της μορφής αυτού, θα αποδειχθεί μείζονος σημασίας

σε επόμενα Κεφάλαια, όπου θα χρησιμοποιήσουμε το folding potential για τον

προσδιορισμό του δυναμικού αλληλεπίδρασης πυρήνων.

1.1 Το οπτικό μοντέλο

Περιγραφή του μοντέλου

Η περιγραφή και μελέτη της σκέδασης πυρήνων αποτελεί, στην πλειοψηφία

των περιπτώσεων, ένα πρόβλημα που είναι αδύνατο να λυθεί με απευθείας

6

προσέγγιση, ούτε αναλυτικά αλλά ούτε και αριθμητικά. Η αδυναμία αυτή έχει τις

ρίζες της στο γεγονός ότι οι πυρήνες είναι σύνθετα σωμάτια, αποτελούμενα, ως

γνωστόν από νουκλεόνια. Επομένως, οι κβαντομηχανικές εξισώσεις για το

πρόβλημα θα ήταν συνολικά , σε κάθε μία από τις οποίες θα υπήρχαν

αλληλεπιδράσεις που θα ενέπλεκαν όλα τα υπόλοιπα νουκλεόνια. Η αναγκαιότητα

εύρεσης άλλης μεθόδου προσέγγισης του προβλήματος γίνεται κατανοητή. Ένας

καθιερωμένος τρόπος της αντιμετώπισης του προβλήματος της σκέδασης βαρέων

πυρήνων είναι με τη χρήση του οπτικού μοντέλου. Στο οπτικό μοντέλο επιχειρείται

η περιγραφή της σκέδασης των 2 πυρήνων με μια και μόνο εξίσωση, αυτής της

σχετικής θέσης των 2 πυρήνων, όπου ως δυναμικό χρησιμοποιείται ένα μέσο,

κεντρικό δυναμικό, ( ), το οποίο είναι, εν γένει, μιγαδικό. Η εξίσωση Schrodinger

για την περίπτωση αυτή λαμβάνει την απλοποιημένη μορφή:

(

( )) ( ) ( ) ( )

Αυτό το μιγαδικό δυναμικό αντικαθιστά, επί της ουσίας, όλες τις

αλληλεπιδράσεις μεταξύ των περιεχόμενων, στους πυρήνες, νουκλεονίων και η

μορφή του καθορίζεται, ως επί το πλείστον, με φαινομενολογικές μεθόδους. Το

οπτικό μοντέλο είναι εμπνευσμένο από την οπτική, εξ’ ου και η ονομασία του, αφού

η εξίσωση που προκύπτει για τη σκέδαση των πυρήνων μοιάζει με την εξίσωση για

τη διάδοση κύματος σε μέσο με μιγαδικό δείκτη διάθλασης. Έτσι, όπως και στην

οπτική, το πραγματικό μέρος σχετίζεται με την ελαστική σκέδαση (ανάκλαση) των

πυρήνων, ενώ το φανταστικό σχετίζεται με σκεδάσεις όπου υπάρχει απορρόφηση

ενέργειας λόγω διέγερσης των πυρήνων κατά την κρούση, πριν αυτή

επανεκπεμφθεί με κάποιο τρόπο, πχ ακτινοβολία.

Τα δυναμικά που χρησιμοποιήθηκαν, αρχικά, σαν το πραγματικό και το

φανταστικό μέρος του δυναμικού ήταν της μορφής του Wood-Saxon και της

παραγώγου του Woods-Saxon, αντίστοιχα. Η μορφή W-S για το πραγματικό μέρος

σχετίζεται με το γεγονός ότι η αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου (n-n) είναι

μικρής εμβέλειας, κάτι που πρέπει να ισχύει, συνεπώς, και για την αλληλεπίδραση

των πυρήνων, η οποία αποτελεί, ουσιαστικά, το άθροισμα των επιμέρους n-n

αλληλεπιδράσεων. Αυτό οδηγεί στο ότι το πυρηνικό δυναμικό θα πρέπει να

μηδενίζεται για αποστάσεις μεγαλύτερες κάποιας απόστασης R, που είναι της τάξης

της ακτίνας των πυρήνων, ενώ για αποστάσεις μικρότερες αυτής θα είναι σχεδόν

ομοιόμορφο αφού τα νουκλεόνια αισθάνονται μόνο τους κοντινότερους γείτονές

τους. Από την άλλη, η μορφή της παραγώγου του W-S για το φανταστικό μέρος (η

οποία είναι μια εντοπισμένη κωδωνοειδής καμπύλη, με μέγιστο σε απόσταση ίση

με R, δικαιολογείται από το γεγονός ότι, τουλάχιστον σε χαμηλές ενέργειες

(<10MeV), η απορρόφηση θα γίνεται στην επιφάνεια του πυρήνα. Η μορφή του

φανταστικού μέρους, όμως, έχει εγγενή εξάρτηση από την ενέργεια σκέδασης.

7

Η προσέγγιση του Feshbach

Πέρα από τη φαινομενολογική εισαγωγή των όρων του οπτικού δυναμικού,

υπάρχει και ένας πιο φορμαλιστικός τρόπος για να προσεγγιστεί η σκέδαση

πυρήνων, ο οποίος προτάθηκε από τον Feshbach, και κάνει χρήση προβολικών

τελεστών στο χώρο Hilbert των καταστάσεων του συστήματος.

Προβολικός τελεστής ονομάζεται ένας τελεστής ο οποίος, όταν δρα πάνω

σε μια κατάσταση του χώρου Hilbert, δίνει την προβολή αυτής σε έναν υπόχωρο

του χώρου των καταστάσεων. Οι προβολικοί τελεστές έχουν εξ’ ορισμού την

ιδιότητα:

Για να προσεγγίσει το πρόβλημα της σκέδασης πυρήνων ο Feshbach

χρησιμοποίησε προβολικούς τελεστές που προέβαλαν την τυχαία κατάσταση του

ολικού συστήματος στον υπόχωρο των ανοιχτών καναλιών της σκέδασης, όπου ως

ανοιχτά κανάλια ορίζουμε τις σκεδάσεις εκείνες που είναι ενεργειακά επιτρεπτές.

Αυτό διευκολύνει την αντιμετώπιση διότι αρκεί, για την περιγραφή των

παρατηρήσιμων αποτελεσμάτων της σκέδασης των πυρήνων, να έχουμε

προσδιορίσει την προβολή της ολικής κατάστασης στον υπόχωρο των ανοικτών

καναλιών, μιας και αυτά είναι που πραγματοποιούνται. Παρακάτω, εξάγουμε την

εξίσωση που ικανοποιεί η προβεβλημένη κατάσταση.

Η εξίσωση Schrodinger για την τελική κατάσταση του συστήματος (δηλαδή

για την σκεδαζόμενη κυματοσυνάρτηση) έχει τη γενική μορφή:

( ) ( )

Έστω, τώρα, ο προβολικός τελεστής , που προβάλει στον υπόχωρο των

ανοιχτών καναλιών της σκέδασης. Τότε αν ορίσω: και δράσω με τον

τελεστή από αριστερά στην 1.1.2, προκύπτει:

⇒ ( )

⇒ ( )

⇒ ( ) ( )

Ομοίως, για την προβολή της κατάστασης στον συμπληρωματικό υπόχωρο

του χώρου Hilbert ( ) ισχύει:

( ) ( )

8

Αντιστρέφοντας την σχέση (1.1.4) και παριστάνοντας συμβολικά τον τελεστή

( )

ως

, έχουμε:

( )

Με αντικατάσταση του συμπληρώματος της , στη σχέση 1.1.3, από τη

σχέση 1.1.5, προκύπτει, τελικά, ότι η προβολή της κατάστασης στα ανοιχτά κανάλια

της αλληλεπίδρασης υπακούει την εξίσωση:

(

) ( )

και εάν θεωρήσουμε ότι [

] , τότε:

(

) ( )

Η τελευταία εξίσωση είναι το βασικό συμπέρασμα της ανάλυσης του

Feshbach και θα αποδειχθεί ιδιαίτερα χρήσιμη στην προσπάθειά μας να

προσδιορίσουμε, με θεωρητικά επιχειρήματα, το δυναμικό που συμμετέχει στο

οπτικό μοντέλο. Είναι καίριας σημασίας η παρατήρηση ότι η εξίσωση 1.1.7 έχει τη

μορφή της εξίσωσης Schrodinger, μόνο που τώρα το δυναμικό έχει αντικατασταθεί

από ένα ενεργό δυναμικό στο οποίο συνεισφέρουν και τα κλειστά κανάλια της

σκέδασης. Αυτό το δυναμικό είναι που θα χρησιμεύσει ως το οπτικό δυναμικό για

τη σκέδαση των πυρήνων και ο προσδιορισμός της μορφής του θα είναι ο σκοπός

της υπόλοιπης ανάλυσης που θα παρουσιαστεί στην εργασία αυτή.

Επομένως:

( )

Οπτικό δυναμικό για σκέδαση 2 πυρήνων

Πλέον, διαθέτουμε όλες τις απαραίτητες θεωρητικές γνώσεις ώστε να

προσεγγίσουμε το πρόβλημα σκέδασης 2 πυρήνων και να προσδιορίσουμε τη

μορφή του οπτικού δυναμικού.

Για το σύστημα των 2 πυρήνων, αν τα προϊόντα της σκέδασης είναι, τελικά,

καλά διαχωρισμένα μεταξύ τους, η ολική κυματοσυνάρτηση ασυμπτωτικά μπορεί

να γραφτεί στη μορφή:

9

[∑ ( )

] ( )

όπου οι «εσωτερικές» (σχετιζόμενες με την εσωτερική δομή του πυρήνα)

κυματοσυναρτήσεις των προϊόντων της σκέδασης, η κυματοσυνάρτηση της

σχετικής θέσης των 2 προϊόντων όταν βρίσκονται στις εσωτερικές καταστάσεις i και

j αντίστοιχα και Α ο τελεστής αντισυμμετροποίησης της ολικής κυματοσυνάρτησης

(στο εξής θα τον ξεχάσουμε μιας και τελικά δεν επηρεάζει ούτε τη διαδικασία ούτε

το αποτέλεσμα της περεταίρω διαδικασίας).

Αν θεωρήσουμε ότι η μόνη επιτρεπτή ενεργειακά σκέδαση, που μπορεί να

λάβει χώρα, είναι η ελαστική και θεωρήσουμε τη σύμβαση ότι οι και είναι

οι κυματοσυναρτήσεις των θεμελιωδών εσωτερικών καταστάσεων των τελικών

πυρήνων, τότε είναι προφανές ότι μια χρήσιμη επιλογή για τον προβολικό τελεστή

που προβάλει την κυματοσυνάρτηση στα ανοιχτά (ενεργειακά επιτρεπτά) κανάλια

είναι:

( )

Και συνεπώς:

∑ ( )

( )

Ο προβολικός τελεστής με τη δράση 1.1.10, μπορούμε εύκολα να δούμε ότι,

αξιοποιώντας την ορθογωγιότητα των καταστάσεων και , στο χώρο

Hilbert παίρνει τη μορφή:

| ⟩⟨ | ( )

ενώ με την ίδια λογική, ο τελεστής Q με τη δράση 1.1.11:

∑| ⟩⟨ |

( )

Χρησιμοποιώντας, λοιπόν, τους προβολικούς τελεστές 1.1.12 και 1.1.13 στη

σχέση 1.1.7 και μετά από λίγες, τετριμμένες πράξεις εξάγουμε μια απλή εξίσωση για

την κυματοσυνάρτηση της σχετικής θέσης των 2 τελικών πυρήνων, η οποία έχει τη

μορφή:

10

(

) ( ) ( )

Όπου τώρα το δυναμικό έχει τη μορφή:

⟨ | | ⟩

∑ ∑⟨ | | ⟩⟨ |

| ⟩⟨ | | ⟩

( )

( ) ( )

Το δυναμικό αυτό είναι το οπτικό δυναμικό, για το οποίο μιλήσαμε

πρωθύστερα. Ο όρος αποτελεί το επονομαζόμενο folded potential και αποτελεί

τη μέση τιμή της συνεισφοράς των διανουκλεονικών αλληλεπιδράσεων, όταν οι

πυρήνες βρίσκονται στη θεμελιώδη εσωτερική τους κατάσταση. Ο όρος (που

στη βιβλιογραφία αναφέρεται ως dynamic polarization potential) είναι πολύ πιο

σύνθετος μιας και αποτελεί απόρροια της ζεύξης των θεμελιωδών καταστάσεων με

τις διεγερμένες μέσω των n-n αλληλεπιδράσεων. Εν γένει αυτός ο όρος είναι

δύσκολο να υπολογιστεί και παίρνει μιγαδικές τιμές.

Εμείς σε αυτή την εργασία ενδιαφερόμαστε για το πραγματικό μέρος του

οπτικού δυναμικού αφού δε μελετάμε διαδικασίες στις οποίες υπάρχει

απορρόφηση ενέργειας κατά τη διάρκεια της «κρούσης». Το πραγματικό μέρος του

δυναμικού, προφανώς θα είναι το άθροισμα του και του πραγματικού μέρους

του . Όμως, έχει δειχθεί ότι ( ) ( ), τουλάχιστον για την περιοχή

κοντά στην επιφάνεια, οπότε ως πραγματικό μέρος του οπτικού δυναμικού θα

θεωρήσουμε το folded potential.

Αυτή η μορφή του οπτικού δυναμικού, που εξάγαμε στο Κεφάλαιο αυτό, θα

χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια της εργασίας για να υπολογιστεί το αριθμητικά, από

τις πληροφορίες που έχουμε για το δυναμικό αλληλεπίδρασης νουκλεονίων, το

οπτικό δυναμικό για τη σκέδαση πυρήνων.

11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

Αλληλεπίδραση Νουκλεονίου-Νουκλεονίου (n-n)

Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την αλληλεπίδραση νουκλεονίου-

νουκλεονίου. Αρχικά, θα περιγράψουμε κάποια στοιχεία της μεσονικής θεωρίας για

την αλληλεπίδραση n-n, όπως αυτή προτάθηκε από τον Yukawa το 1935,

αποφεύγοντας τις πολλές τεχνικές λεπτομέρειες και δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση

στη φυσική ιδέα πίσω από τη θεωρία. Στη συνέχεια, θα αναφερθούμε στο λεγόμενο

μοντέλο M3Y για το δυναμικό αλληλεπίδρασης n-n, που αποτελεί μια ειδική μορφή

δυναμικού Yukawa, περιγράφοντάς το και αιτιολογώντας με επιχειρήματα τη

μορφή του. Τέλος, θα αποπειραθούμε να αναδείξουμε την ισχύ αυτής της

περιγραφής του δυναμικού n-n –παρά την σημαντικά απλοποιημένη μορφή της- και

την αξία της για την περιγραφή των βαρέων πυρήνων, υπολογίζοντας το

συνεπαγόμενο από αυτή πυρηνικό δυναμικό, με την προσέγγιση ότι ο πυρήνας

αποτελείται από συνεχές «πυρηνικό υλικό», και συγκρίνοντάς το με τα

φαινομενολογικά δυναμικά Wood-Saxon.

2.1 Μεσονική Θεωρία

Η μεσονική θεωρία προτάθηκε το 1935 από τον Yukawa με σκοπό ακριβώς

την ερμηνεία της αλληλεπίδρασης μεταξύ νουκλεονίων. Η μεσονική θεωρία,

εμπνευσμένη από την κβαντική θεωρία της Ηλεκτροδυναμικής (QED), η οποία

περιγράφει την αλληλεπίδραση φορτισμένων σωματιδίων (φερμιονίων για την

ακρίβεια) μεταξύ τους μέσω της ανταλλαγής δυνητικών κβάντων του Η/Μ πεδίου

12

(φωτονίων), αποπειράται να δημιουργήσει μια αντίστοιχη εικόνα και για την

πυρηνική αλληλεπίδραση. Συγκεκριμένα, στην (αρχική τουλάχιστον) μορφή της

θεωρίας Yukawa, το πεδίο αλληλεπίδρασης είναι ένα πραγματικό βαθμωτό πεδίο,

το οποίο στην κβαντική του μορφή περιγράφει μποζόνια με spin 0 και μάζα m. Στην

εικόνα αυτή, η πυρηνική αλληλεπίδραση οφείλεται στην ανταλλαγή μποζονίων του

πεδίου μεταξύ των νουκλεονίων. Φυσικά, αυτή η θεωρία δεν αποτελεί θεμελιώδη

περιγραφή της n-n αλληλεπίδρασης αλλά μάλλον μια χαμηλοενεργειακή

σκιαγράφησή της πραγματικής αλληλεπίδρασης (που οφείλεται –όπως είναι γνωστό

σήμερα- σε ανταλλαγή γλουονίων μεταξύ των κουάρκ των νουκλεονίων) που

προσεγγίζει την πραγματικότητα σε σχετικά μεγάλες αποστάσεις.

Η Κλασική Θεωρία Yukawa

Θεμελιώνοντας κάπως πιο φορμαλιστικά και σε κλασικό επίπεδο τη θεωρία

Yukawa αναφέρουμε την δράση του πεδίου Yukawa –σε αντιπαραβολή με αυτή του

ηλεκτρομαγνητικού- και τις συνεπαγόμενες «εξισώσεις κίνησης στο κενό» (ή

εξισώσεις Euler-Lagrange –χωρίς την ύπαρξη πηγών):

∫ (

) ( )

∫

∫( )( ) ( )

Από τη μορφή της δράσης των πεδίων δεν μπορεί κανείς να διαπιστώσει εύκολα

ομοιότητες μεταξύ των δύο. Παρατηρώντας τις αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης στο

κενό, όμως (όπου για το Η/Μ επιλέγουμε τη βαθμίδα Lorentz), έχουμε ότι:

( )

( )

Γίνεται εμφανές τώρα ότι το πεδίο Yukawa, στην ουσία, αποτελεί το βαθμωτό

αντίστοιχο του ηλεκτρομαγνητικού με τη διαφορά ότι το μποζόνιο-φορέας έχει και

μάζα. Ο λόγος που ο Yukawa έδωσε μάζα στον φορέα αλληλεπίδρασης της

πυρηνικής δύναμης ήταν το ότι ήθελε να περιγράψει την πεπερασμένη εμβέλεια

της αλληλεπίδρασης αυτής, που κυμαίνεται γύρω στα 1.4fm. Αυτό θα γίνει εμφανές

μετά το αμέσως επόμενο βήμα.

13

Είναι χρήσιμος ο προσδιορισμός της μορφής του δυναμικού Yukawa που

οφείλεται σε μια σημειακή στατική πηγή φορτίου g (το αντίστοιχο δηλαδή του

πεδίου Coulomb στον Η/Μ). Η εξίσωση για την περίπτωση αυτή γίνεται:

( ) ( )( ) ( )

Αναπτύσσοντας κατά Fourier το πεδίο, η λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης

ανάγεται σε λύση μιας απλής αλγεβρικής σχέσης, της οποίας η λύση είναι:

( )

( )

Συνεπώς, η λύση στον χώρο των θέσεων είναι:

( ) ∫

( )

( )

( )

Όπου: C μια σταθερά που προκύπτει από την ολοκλήρωση και εξαρτάται από τη

μάζα του μποζονίου. Η σταθερά αυτή, ωστόσο, δεν έχει κάποια σημασία αφού

μπορούμε να την απορροφήσουμε στη σταθερά αλληλεπίδρασης g.

Όπως προτρέξαμε να πούμε προηγουμένως, ο ρόλος της μάζας του

μποζονίου είναι ακριβώς το να περιορίζει την εμβέλεια της αλληλεπίδρασης, η

οποία για μάζα m φαίνεται ότι είναι

. Από την απαίτηση η εμβέλεια της

αλληλεπίδρασης να είναι η γνωστή, από πειραματικά δεδομένα, εμβέλεια της

πυρηνικής δύναμης , προκύπτει ότι η μάζα του φορέα πρέπει να είναι

. Λόγω του ότι η μάζα του φορέα βρίσκεται μεταξύ της μάζας ηρεμίας

του ηλεκτρονίου και αυτής των νουκλεονίων, το μποζόνιο της θεωρίας ονομάστηκε

μεσόνιο. Το εντυπωσιακό γεγονός που καθιέρωσε τη θεωρία αυτή ως επιτυχή

(φαινομενολογική) περιγραφή της πυρηνικής αλληλεπίδρασης είναι το ότι το

προβλεπόμενο αυτό μεσόνιο ανιχνεύθηκε πειραματικά το 1947 στην κοσμική

ακτινοβολία και ονομάστηκε π-μεσόνιο.

(Για την ακρίβεια βρέθηκαν 3 π-μεσόνια με φορτία και που αργότερα

αντιστοιχήθηκαν με μια τριπλέτα του ισοσπίν . Αυτό σημαίνει πως το

ανταλλασσόμενο μποζόνιο δεν περιγράφεται απλώς από ένα πραγματικό βαθμωτό

πεδίο, διότι τότε θα υπήρχε μόνο ένα ουδέτερο μεσόνιο. Αυτό, όμως, δε μεταβάλει

σημαντικά την ουσία όσων περιγράψαμε.)

14

Λίγα λόγια για την Κβαντική Θεωρία

Στην προηγούμενη ενότητα, παρότι μελετούσαμε το κλασικό πεδίο Yukawa,

ερμηνεύαμε την αλληλεπίδραση με όρους ανταλλαγής μποζονίων. Αυτό αποτελεί

μάλλον καταχρηστική περιγραφή. Στην πραγματικότητα, το πεδίο Yukawa στην

προηγούμενη ανάλυση πρέπει να ερμηνευθεί σαν το αντίστοιχο του

ηλεκτρομαγνητικού δυναμικού στην κλασική ηλεκτροδυναμική. Ωστόσο, επειδή η

θεωρία Yukawa είναι εν γένει κβαντική θεωρία πεδίου, θεωρήθηκε σκόπιμο να

αποδοθεί στα κλασικά συμπεράσματα η κβαντική ερμηνεία που τους αρμόζει, ώστε

να αποκαλυφθεί το πραγματικό περιεχόμενο της θεωρίας. Διεξοδική ανάλυση της

κβαντικής θεωρίας Yukawa δεν αποτελεί στόχο της παρούσας εργασίας. Στην

ενότητα αυτή, ωστόσο, θα αναφερθούμε πολύ συνοπτικά στο κβαντικό

περιεχόμενο της θεωρίας και θα δείξουμε πως ανακύπτει το κλασικό δυναμικό 2.1.7

από αυτή.

Η πλήρης Lagrangian που πρότεινε ο Yukawa για την περιγραφή της

πυρηνικής αλληλεπίδρασης μεταξύ φερμιονίων μέσω του βαθμωτού μεσονικού

φορέα αλληλεπίδρασης ( ) ήταν η εξής:

( ) ( )

όπου : ένας σπίνορας Dirac που περιγράφει ένα φερμιόνιο (και το αντισωμάτιό

του) και το πεδίο που περιγράφει το μεσόνιο-φορέα.

Οι 2 πρώτοι όροι είναι γνωστοί μας, πλέον, κινητικοί και δυναμικοί όροι του

πεδίου Yukawa, που θα μας παράγουν την εξίσωση κίνησης 2.1.3, όταν

απαιτήσουμε η δράση να είναι στάσιμη σε διαταραχές του και αμελήσουμε τον

τελευταίο όρο αλληλεπίδρασης. Ο τρίτος όρος είναι ο αντίστοιχος όρος για το πεδίο

των φερμιονίων, ο οποίος όμως δεν θα μας απασχολήσει περισσότερο εδώ. Ο

τελευταίος όρος είναι ο όρος αλληλεπίδρασης μεταξύ του φερμιονικού και του

μεσονικού πεδίου και κάνει δυνατή την αλληλεπίδραση 2 φερμιονίων μέσω της

ανταλλαγής μποζονίων.

Η αλληλεπίδραση 2 φερμιονίων μέσω πυρηνικής δύναμης στην κβαντική

θεωρία Yukawa και σε τάξη (δηλαδή στην κατώτερη δυνατή) περιγράφεται από

τα 2 παρακάτω διαγράμματα Feynman (υπάρχουν 2 διαγράμματα διότι δεν

γνωρίζουμε τελικά ποιό φερμιόνιο σκεδάστηκε προς τα πού):

φερμιόνιο (𝑝 )

φερμιόνιο (𝑝 ) φερμιόνιο (𝑝

′ )

φερμιόνιο (𝑝 ′ )

μποζόνιο (��)

15

Από τον όρο αλληλεπίδρασης στην 2.1.8 και σύμφωνα με στοιχειώδεις

γνώσεις κβαντικής θεωρίας πεδίου, που δεν θα αναπτύξουμε εδώ, προκύπτει ότι

για κάθε κόμβο του διαγράμματος Feynman εισάγεται στο αντίστοιχο πλάτος

σκέδασης ένας όρος ανάλογος του g επί μια κατανομή δέλτα του Dirac (κατάλληλη

για να εξασφαλίζει διατήρηση της τετραορμής), ενώ για κάθε ανταλλασσόμενο

μεσόνιο εισάγεται ο αντίστοιχος διαδότης του πεδίου , ο οποίος δεν είναι τίποτε

άλλο από τη συνάρτηση Green της εξίσωσης κίνησης του , που στον χώρο των

ορμών δίνεται από την 2.1.6. Συνεπώς, στο μη σχετικιστικό όριο, όπου οι

παράγοντες που εισάγονται από τα σκεδαζόμενα φερμιόνια (εξωτερικές συμπαγείς

γραμμές) απλοποιούνται αισθητά, και στο σύστημα κέντρου μάζας (

) το πλάτος σκέδασης ανάγεται στην

παρακάτω μορφή:

(

( ′)

( ′) ) ( )

Ύστερα από λίγη άλγεβρα, όμως, κανείς μπορεί να δείξει ότι η σχέση 2.1.9

δεν είναι τίποτε άλλο από το άθροισμα (modulo μια σταθερά κανονικοποίησης):

⟨ | ( )| ⟩ ⟨ | ( )| ⟩

όπου: ( )

το οποίο είναι το πλάτος σκέδασης που προβλέπεται από την κλασική

κβαντομηχανική για την περίπτωση 2 ταυτοτικών σωματιδίων που αλληλεπιδρούν

με δυναμικό Yukawa.

Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η κβαντική θεωρία Yukawa είναι, στην κατώτερη

τάξη διαταραχών, ισοδύναμη με την κλασική μεσονική θεωρία. Αυτή η ισοδυναμία

είναι που αιτιολογεί την κβαντική ερμηνεία που δώσαμε στα κλασικά

αποτελέσματα της προηγούμενης ενότητας. Ωστόσο, θα πρέπει να παρατηρηθεί ότι

σε αρκετά υψηλές ενέργειες (ή ισοδύναμα μικρές αποστάσεις) η πλήρης κβαντική

θεωρία θα λαμβάνει υπ’ όψιν της και διαγράμματα μεγαλύτερης τάξης (δηλαδή

αλληλεπιδράσεις όπου ανταλλάσσονται 2 ή περισσότερα μεσόνια) κάτι που η

φερμιόνιο (𝑝 )

φερμιόνιο (𝑝 ) φερμιόνιο (𝑝

′ )

φερμιόνιο (𝑝 ′ )

μποζόνιο (��)

16

αμιγώς κλασική θεωρία της προηγούμενης ενότητας αδυνατεί να κάνει. Συνεπώς, η

ενεργός κλασική περιγραφή –με την οποία θα ασχοληθούμε σε αυτή την εργασία-

θα πρέπει να τροποποιηθεί καταλλήλως ώστε να συμπεριλαμβάνει και τις

προαναφερθείσες συνεισφορές. Το πώς θα επιτευχθεί αυτό αποτελεί το θέμα της

επόμενης ενότητας.

2.2 Δυναμικό M3Y

Στην ενότητα αυτή θα περιγράψουμε το δυναμικό M3Y, ένα μοντέλο για την

φαινομενολογική περιγραφή της αλληλεπίδρασης n-n, το οποίο στηρίζεται στην

κλασική μεσονική θεωρία Yukawa και φιλοδοξεί να συμπεριλάβει και τις ανώτερης

τάξης διορθώσεις της κβαντικής θεωρίας στο κλασικό δυναμικό, με τον απλούστερο

δυνατό τρόπο. Αυτό το επιτυγχάνει με έναν πρόσθετο όρο στο δυναμικό, με

αισθητά μικρότερη εμβέλεια από τον βασικό όρο –ο οποίος περιγράφει την

ανταλλαγή ενός μεσονίου-, που προσομοιώνει την ανταλλαγή πολλαπλών

μεσονίων. Επίσης, περιλαμβάνει έναν όρο ακόμη μικρότερης εμβέλειας, ρόλος του

οποίου είναι το να εξομαλύνει το δυναμικό στις πολύ μικρές αποστάσεις και να

διευκολύνει τον αριθμητικό χειρισμό του. Ακόμη εξηγούμε πως προσδιορίζονται οι

συντελεστές του κάθε όρου.

Περιγραφή του δυναμικού

Όπως αναφέραμε και προηγουμένως, το δυναμικό M3Y αποτελεί ένα

φαινομενολογικό δυναμικό που προσπαθεί να συμπεριλάβει τη συνεισφορά των

πολλαπλών ανταλλαγών μεσονίων στο κλασικό δυναμικό Yukawa. Η ελάχιστη

αλλαγή με την οποία αυτό μπορεί να επιτευχθεί είναι μέσω της εισαγωγής ενός

όρου με μικρότερη εμβέλεια από 1,4 fm.

Αυτό που πρότεινε ο Bertsch και οι συνεργάτες του ήταν ο επιπλέον όρος να

έχει εμβέλεια 0,4fm. Αυτό μπορεί να ερμηνευτεί σαν την συνεισφορά από

ανταλλαγή ενός μποζονίου μάζας 3 φορές τη μάζα του π-μεσονίου. Αυτή η «ενεργός

μάζα» που εμφανίζεται στον όρο πολλαπλής ανταλλαγής μεσονίων μπορεί να έχει

τη φυσική ερμηνεία ότι είναι η μέση τιμή των μαζών που συμμετέχουν σε κάθε τάξη

διαταραχών, αποδίδοντας όμως στις πρώτες τάξεις σημαντικά μεγαλύτερο βάρος,

μιας και αυτές είναι που θα έχουν τη μεγαλύτερη συνεισφορά σε ενέργειες αρκετά

χαμηλές ώστε η όλη φαινομενολογική περιγραφή να έχει βάση.

17

Επίσης, πέραν αυτού του επιπλέον όρου στο δυναμικό, εισάγεται και ένας

ακόμη, ο οποίος είναι απωστικός και με σημαντικά μικρότερη εμβέλεια από τους 2

προηγούμενους ( ). Παρ’ ότι, εν γένει η εισαγωγή αυτού του όρου γίνεται

όπως προείπαμε για υπολογιστική διευκόλυνση, δεν στερείται φυσικής

αιτιολόγησης: ουσιαστικά το δυναμικό μας επιδιώκει να περιγράψει αφ’ ενός την

έλξη των νουκλεονίων σε μεγάλες αποστάσεις αλλά και την άπωση που φαίνεται να

υπάρχει στις πολύ μικρές. Επομένως, στο οποιοδήποτε υποψήφιο πυρηνικό

δυναμικό θα πρέπει να περιλαμβάνεται ένας απωστικός πυρήνας. Αυτόν ακριβώς

το σκοπό εξυπηρετεί και ο όρος αυτός.

Το δυναμικό M3Y, επομένως, σύμφωνα με τα προηγούμενα θα πρέπει να

είναι της μορφής:

( ) (

) ( )

όπου: σταθερές που πρέπει να προσδιοριστούν ώστε το δυναμικό μας να

είναι φαινομενολογικά επιτυχές.

Οι συντελεστές αυτοί μπορούν να προσδιοριστούν με διάφορους τρόπους.

Οι τιμές που θα χρησιμοποιήσουμε εμείς στην εργασία μας, είναι αυτές που, όπως

και στην εργασία των Satchler και Love που αναφέρουμε στη βιβλιογραφία,

προσδιορίζονται με τρόπο τέτοιο ώστε να αναπαράγονται τα στοιχεία του G-πίνακα

του φαινομενολογικού δυναμικού μαλακού πυρήνα του Reid [Re-68] για τις άρτιες

καταστάσεις και τα αντίστοιχα στοιχεία του δυναμικού του Elliot για τις περιττές.

Οι τιμές για τις σταθερές ισχύος στη σχέση 2.2.1 προκύπτουν, ύστερα από

τους υπολογισμούς που αναφέρθηκαν ότι πρέπει να είναι:

Συνεπώς, το δυναμικό M3Y που θα χρησιμοποιήσουμε στην περεταίρω

ανάλυσή μας θα έχει την ακριβή μορφή:

( )

( )

Το δυναμικό αυτό, όπως γίνεται φανερό, δεν παρουσιάζει εξάρτηση από την

ενέργεια του συστήματος των νουκλεονίων, ούτε και από την πυκνότητα της

18

πυρηνικής ύλης μέσα στην οποία είναι εμβαπτισμένα τα εν λόγω νουκλεόνια, παρά

το γεγονός ότι πειραματικά έχει βρεθεί ότι υπάρχει τέτοια εξάρτηση. Αυτό αποτελεί

απόρροια της μεθόδου προσδιορισμού των σταθερών του δυναμικού μέσω

σύγκρισης των στοιχείων του G-πίνακα που προκύπτουν με τα αντίστοιχα του

δυναμικού Reid. Με αυτή τη διαδικασία οι σταθερές που υπολογίζουμε δεν

αποτελούν παρά τις μέσες τιμές των πραγματικών σταθερών σε ένα δεδομένο

εύρος ενεργειών και σε πυκνότητες που κυμαίνονται από 0 μέχρι την πυκνότητα

πυρηνικής ύλης στους πυρήνες.

Επίσης, εν γένει, το μοντέλο αυτό δε λαμβάνει υπ’ όψιν του

αλληλεπιδράσεις με εξάρτηση από το spin ή το isospin. Συμπεραίνουμε, επομένως,

ότι πρόκειται για ένα ιδιαίτερα απλοποιημένο μοντέλο, το οποίο, όμως, όπως θα

δούμε, περιέχει αρκετή πληροφορία για το σκοπό που το θέλουμε. Τα όρια αυτού

του μοντέλου στην περιγραφή της n-n αλληλεπίδρασης και τα, κατ’ επέκταση,

επαγόμενα στην περιγραφή της αλληλεπίδρασης πυρήνων θα συζητηθούν στο

Κεφάλαιο 3.

2.3 Ενδείξεις για την επάρκεια της περιγραφής

Στόχος μας σε αυτή την ενότητα είναι να δώσουμε, στηριζόμενοι σε απλούς

υπολογισμούς, μια πρώτη ένδειξη ότι η απλή κλασική μεσονική θεωρία Yukawa έχει

τη δυνατότητα να κάνει επιτυχείς προβλέψεις για τους βαρείς πυρήνες.

Συγκεκριμένα, θα υπολογίσουμε αφ’ ενός την ολική δυναμική ενέργεια του πυρήνα,

θεωρώντας ότι η n-n έχει τη μορφή του κλασικού δυναμικού Yukawa, και θα

δείξουμε ότι αναπαράγει τους όρους του ημιεμπειρικού τύπου για την ενέργεια

σύνδεσης, αφ’ ετέρου τη μορφή του δυναμικού στο εσωτερικό του πυρήνα και θα

το συγκρίνουμε με τα καθιερωμένα φαινομενολογικά δυναμικά που

χρησιμοποιούνται, όπως το δυναμικό Wood-Saxon.

Υπολογισμός Ενέργειας Σύνδεσης

Για την εξαγωγή των προαναφερθέντων συμπερασμάτων θα

χρησιμοποιήσουμε:

19

𝑟

𝑟

𝑅

1) Την προσέγγιση ότι στους βαρείς πυρήνες η πυρηνική ύλη είναι ομογενώς

κατανεμημένη με πυκνότητα

2) Ως δυναμικό αλληλεπίδρασης το κλασικό δυναμικό Yukawa με ισχύ και

εμβέλεια .

Για τον υπολογισμό της συνολικής δυναμικής ενέργειας θα ακολουθήσουμε τη

γνωστή από τον ηλεκτρομαγνητισμό τακτική της «κατασκευής» του (σφαιρικού)

πυρήνα με διαδοχικές προσθήκες σφαιρικών φλοιών ύλης. Για τον προσδιορισμό

της ενέργειας σε αυτή την εικόνα ακολουθούμε τα εξής βήματα: υπολογίζουμε το

δυναμικό λόγω ενός σφαιρικού φλοιού ακτίνας σε αποστάσεις και στη

συνέχεια ολοκληρώνουμε ως προς από έως , ώστε να βρούμε το δυναμικό

μιας συμπαγούς σφαιρικής κατανομής μάζας ακριβώς πάνω στην επιφάνειά της.

Έπειτα, με χρήση του προηγούμενου αποτελέσματος, υπολογίζουμε τη δυναμική

ενέργεια μεταξύ της συμπαγούς σφαίρας και ενός σφαιρικού φλοιού με ακτίνα ίση

με την ακτίνα της σφαίρας και ολοκληρώνουμε την ακτίνα (της σφαίρας και του

φλοιού) από 0 έως , όπου η ακτίνα του υπό εξέταση πυρήνα.

-Υπολογισμός δυναμικού σφαιρικού φλοιού:

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται σχηματικά μια τομή της

διάταξης που μελετάμε.

Το δυναμικό σε απόσταση r θα είναι:

( ) ∫ ∫

( )

όπου, από το σχήμα: √ ( )

Η τεχνική δυσκολία του ολοκληρώματος 2.3.1 μετριάζεται με την

παρατήρηση ότι η σχέση 2.3.2 συνεπάγεται:

( )

Το αποτέλεσμα υπολογίζεται ότι είναι:

( )

( )

20

-Υπολογισμός δυναμικού συμπαγούς σφαίρας:

Ολοκληρώνοντας τη σχέση 2.3.4 ως προς από 0 έως , ώστε να εξάγουμε

το δυναμικό μιας συμπαγούς σφαίρας σε απόσταση ίση με την ακτίνα της r, όπως

εξηγήσαμε προηγουμένως, βρίσκουμε το αποτέλεσμα:

( )

{

}

( )

-Υπολογισμός δυναμικής ενέργειας του πυρήνα:

Ο υπολογισμός της ολική δυναμικής ενέργειας του σφαιρικού πυρήνα θα

ολοκληρωθεί αν, με χρήση της 2.3.5 βρούμε τη δυναμική ενέργεια του συστήματος

σφαίρα ακτίνας r-φλοιός ακτίνας r και ολοκληρώσουμε ως προς r από 0 έως R,

όπου, όπως και στη 2.3.5, R είναι η ακτίνα του πυρήνα. Οπότε:

( )

∫

{

}

⇒ ( )

(

) ( )

όπου: (

) ∫ ( )

( )

Το αναλυτικό αποτέλεσμα του ολοκληρώματος 2.3.7 υπολογίζεται ότι είναι:

(

)

(

)

(

)

(

(

)

(

)

)

( )

Πλέον, είμαστε σε θέση να εξάγουμε έναν εύχρηστο τελικό τύπο για τη

δυναμική ενέργεια σύνδεσης. Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τα

αποτελέσματα 2.3.6 και 2.3.8 και το όριο , αφού μας ενδιαφέρουν οι βαρείς

πυρήνες, οι οποίοι από τη σχέση

έχουν και μεγάλη ακτίνα. Πρέπει όμως

να κάνουμε μια παρατήρηση στο αποτέλεσμα 2.3.6 πρώτα: Είναι απαραίτητο το

να αντικατασταθεί από το ( ) ώστε να αποφύγουμε να συμπεριλάβουμε την

ενέργεια αλληλεπίδρασης του κάθε νουκλεονίου με τον εαυτό του. Κάθε ένα από τα

Α νουκλεόνια αλληλεπιδρά με τα υπόλοιπα Α-1 και όχι με το σύνολο των

νουκλεονίων Α, κάτι που είναι προφανές. Εμείς, όμως, έχουμε συμπεριλάβει Α

επιπλέον ιδιο-ενέργειες μεμονωμένων νουκλεονίων τα οποία στην προσέγγιση ότι

είναι σφαιρικές κατανομές μάζας ακτίνας και πυκνότητας ρ έχουν ενέργεια

( ).

21

Με τις παραπάνω παρατηρήσεις προκύπτει το αποτέλεσμα:

( ) ( )

( )

( )

H 2.3.9 αμελώντας τους όρους (

) αφού μελετάμε το όριο παίρνει

τη μορφή:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

-Σύγκριση με ημιεμπειρικό τύπο ενέργειας σύνδεσης:

Συγκρίνοντας τη 2.3.10 με τον γνωστό ημιεμπειρικό τύπο για την ενέργεια

σύνδεσης:

( )

( )

( )

( ) ( )

παρατηρούμε ότι αναπαράγει επιτυχώς τη μορφή των 2 πρώτων όρων της

ενέργειας σύνδεσης των πυρήνων, που έχει προσδιοριστεί φαινομενολογικά. Οι

όροι που δεν περιγράφει είναι ο όρος Coulomb, ο οποίος προφανώς δεν έχει καμία

σχέση με την πυρηνική αλληλεπίδραση των νουκλεονίων, με την οποία εμείς

ασχολούμαστε, αλλά με την ηλεκτροστατική άπωση μεταξύ των πρωτονίων που δεν

έχουμε λάβει υπ’ όψιν στην ανάλυση αυτή, ο όρος ασυμμετρίας, ο οποίος

αποδεικνύεται εύκολα ότι προκύπτει από την ολική κινητική ενέργεια των

νουκλεονίων στον πυρήνα (στην προσέγγιση αερίου Fermi για τον πυρήνα, βλ. N.

Gauthier, Am. J. Phys. 58 (4), 1990), και ο όρος ζευγαρώματος που σχετίζεται με τη

ζεύξη των spin των νουκλεονίων, ο οποίος όμως έχει πολύ μικρή επίδραση στην

ενέργεια σύνδεσης, οπότε δε μας ενδιαφέρει στην χονδροειδή ανάλυση που

κάνουμε.

Υπολογισμός πυρηνικού δυναμικού στο εσωτερικό του πυρήνα

Το εγχείρημα αυτό σχετίζεται σε μεγάλο βαθμό με την προηγούμενη

ανάλυση, αφού για τον υπολογισμό του πυρηνικού δυναμικού σε κάθε απόσταση r,

στην προσέγγιση ότι ο πυρήνας αποτελείται από συνεχές ομογενές «πυρηνικό

υλικό», πρέπει να υπολογίσουμε 2 συνεισφορές: Το δυναμικό λόγω της συμπαγούς

σφαίρας ακτίνας r (υπολογίστηκε προηγουμένως-σχέση 2.3.5) και το δυναμικό λόγω

22

του σφαιρικού φλοιού με εσωτερική ακτίνα r και εξωτερική την ακτίνα του πυρήνα

R (αυτό θα υπολογίσουμε εδώ).

Ο τύπος που θα δίνει το δυναμικό ενός σφαιρικού φλοιού στοιχειώδους

πάχους σε ένα σημείο σε απόσταση μικρότερη της ακτίνας του θα δίνεται από

τη σχέση 2.3.1. Στην περίπτωση αυτή, όμως, το αντίστοιχο σχήμα θα είναι το ίδιο με

το προηγούμενο με τη μόνη διαφορά ότι τα και θα είναι εναλλαγμένα.

Συνεπώς, το τελικό αποτέλεσμα θα είναι το αποτέλεσμα του ολοκληρώματος 2.3.1

με εναλλαγμένα τα και , κάτι που δίνει τελικά:

( )

( )

Με ολοκλήρωση της σχέσης 2.3.12 ως προς από έως την ακτίνα του

πυρήνα , προφανώς, παίρνουμε τη συνεισφορά, στο δυναμικό του σημείου σε

απόσταση , από τον εξωτερικό φλοιό (πεπερασμένου πάχους τώρα) του πυρήνα.

Το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης είναι:

( )

( )

{(

)

(

)

} ( )

( )

Η 2.3.14 είναι τετριμμένη σχέση αφού στην περίπτωση που r>R, δεν υπάρχει

εξωτερικός φλοιός του πυρήνα που να συνεισφέρει στο δυναμικό.

Το συνολικό πυρηνικό δυναμικό για r<R θα δίνεται από το άθροισμα των

συνεισφορών των σχέσεων 2.3.5 και 2.3.13, ενώ για r>R θα συνεισφέρει μόνο η

σχέση 2.3.5. Οπότε τελικά:

( )

( (

)

(

)

( )

) ( )

( )

{

}

( )

Στην επόμενη σελίδα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις του πυρηνικού

δυναμικού που υπολογίσαμε για τους πυρήνες με και αντίστοιχα

και με τις τιμές , και , έτσι ώστε να

αναπαράγεται το βάθος του δυναμικού που επιθυμούμε ( ώστε με τη

23

διόρθωση Coulomb να φτάνει στην τιμή που γνωρίζουμε από τα

πειράματα).

:

:

Παρατηρούμε ότι η μορφή του πυρηνικού δυναμικού, που προσδιορίστηκε

από την θεώρηση ότι το δυναμικό αλληλεπίδρασης μεταξύ των νουκλεονίων είναι

το κλασικό δυναμικό Yukawa, είναι πολύ παραπλήσια με τη μορφή του

φαινομενολογικού δυναμικού Wood-Saxon, που χρησιμοποιείται, ως βελτίωση της

εικόνας του τετραγωνικού πηγαδιού του Fermi, στην προσέγγιση μέσου πεδίου.

24

Με όλη την παραπάνω ανάλυση και τον υπολογισμό της μορφής, αφ’ ενός

της ενέργειας σύνδεσης του πυρήνα και αφ’ ετέρου του δυναμικού μέσου πεδίου

στο εσωτερικό του, που προκύπτει από τη θεώρηση δυναμικού αλληλεπίδρασης

Yukawa μεταξύ των νουκλεονίων, επιχειρήσαμε να δείξουμε την ισχύ αυτής της

θεώρησης για το δυναμικό n-n καθώς και την ευρύτητα και την δύναμη των

συμπερασμάτων, που μπορούν να εξαχθούν από αυτό, για τους βαρείς πυρήνες.

Επομένως, μπορούμε να αναμένουμε ότι το ρεαλιστικότερο δυναμικό M3Y, που

λαμβάνει υπ’ όψιν του και συνεισφορές ανώτερων τάξεων διαταραχών της

κβαντικής θεωρίας Yukawa, έχει τη προοπτική να μας δώσει πολύ ακριβή

αποτελέσματα για το δυναμικό αλληλεπίδρασης πυρήνων. Αυτό θα αποτελέσει το

θέμα των επόμενων Κεφαλαίων.

25

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Περιγραφή του μοντέλου και αποτελέσματα

Στο Κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε 2 μεθοδολογίες με τις οποίες

μπορούμε να προσδιορίσουμε το δυναμικό αλληλεπίδρασης πυρήνων (Ν-Ν) με

χρήση του δυναμικού αλληλεπίδρασης νουκλεονίου-νουκλεονίου (n-n). Θα

αναπτύξουμε, κατ’ αυτόν τον τρόπο, το μοντέλο που εμείς θα χρησιμοποιήσουμε

για τον προσδιορισμό του δυναμικού Ν-Ν. Για κάθε μια μεθοδολογία θα γίνει

συνοπτική περιγραφή του αλγορίθμου που θα χρησιμοποιηθεί για τον αριθμητικό

υπολογισμό του δυναμικού, θα παρουσιαστούν και θα σχολιαστούν τα

αποτελέσματα και θα συζητηθούν τα όρια ισχύος του μοντέλου, οι ατέλειές του και

πιθανές βελτιώσεις που μπορούν να γίνουν.

3.1 Single-folding potential

Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 1, η σκέδαση δύο πυρήνων, παρότι, εν γένει,

δύσκολο πρόβλημα, μπορεί να προσεγγιστεί από μία και μόνο εξίσωση Schrodinger

για τη σχετική θέση των 2 πυρήνων, όπου το εμπλεκόμενο δυναμικό είναι ένα

ενεργό δυναμικό που προκύπτει από τη μέση συνεισφορά των αλληλεπιδράσεων n-

n, για τις διάφορες εσωτερικές καταστάσεις των σκεδαζόμενων πυρήνων. Το

μοντέλο αυτό, όπως περιγράψαμε, ονομάζεται οπτικό μοντέλο και παρά το γεγονός

ότι εισήχθη για φαινομενολογικούς λόγους, η επάρκεια της περιγραφής αυτής

τεκμαίρεται και θεωρητικά, όπως δείξαμε ακολουθώντας τα βήματα του Feshbach.

Το πραγματικό μέρος του οπτικού δυναμικού, το οποίο και μας ενδιαφέρει μιας και

26

θα μελετήσουμε μόνο την ελαστική σκέδαση, όπως αποδείχθηκε λεπτομερώς, έχει

τη μορφή του καλούμενου folded potential, η οποία είναι:

( ) ( )

∫ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

όπου οι είναι οι εσωτερικές κυματοσυναρτήσεις της θεμελιώδους κατάστασης

των δύο πυρήνων και με και , έχουμε συμβολιστικά αντιπροσωπεύσει όλες τις

εσωτερικές συντεταγμένες κάθε πυρήνα, δηλαδή τις συντεταγμένες των

νουκλεονίων του. Η παραπάνω μορφή του οπτικού δυναμικού μας ωθεί να πούμε

ότι, στην προσέγγιση βαρέων πυρήνων (όπου η πυρηνική ύλη είναι κατανεμημένη

σχεδόν συνεχώς με μια πυκνότητα ( )), η 3.1.1 μπορεί να μεταφραστεί ως:

( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( )

Στη σχέση 3.1.2, η συνάρτηση είναι το δυναμικό n-n το οποίο εμείς, από

εδώ και πέρα, θα θεωρούμε ότι είναι της μορφής Μ3Υ. Οι συναρτήσεις είναι οι

συναρτήσεις πυκνότητας της πυρηνικής ύλης στους πυρήνες και θα τις θεωρούμε

κατανομές της μορφής Fermi:

( )

( )

Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος 3.1.2 γίνεται, εκτός από ειδικές

περιπτώσεις, αριθμητικά. Υπάρχουν 2 βασικές μέθοδοι με τις οποίες

αντιμετωπίζεται το ολοκλήρωμα αυτό: το single-folding και το double-folding. Σε

αυτή την ενότητα θα αναπτύξουμε την πρώτη.

Το single-folding δυναμικό προκύπτει από την εξής διαδικασία: πρώτα

υπολογίζεται το δυναμικό αλληλεπίδρασης πυρήνα-νουκλεονίου (N-n) μέσω της

σχέσης:

∫ ( ) ( ) ( )

��

𝑟

𝑟 𝑟

𝜃 𝜃

27

και στη συνέχεια μέσω της σχέσης 3.1.2 υπολογίζεται το δυναμικό αλληλεπίδρασης

N-N:

∫ ( ) ( ) ( )

Με τη μέθοδο του single-folding επιτυγχάνουμε να μειώσουμε την

πολυπλοκότητα του υπολογιστικού προβλήματος, αφού χωρίζουμε το αρχικό 6-

απλό ολοκλήρωμα σε 2 ξεχωριστά τριπλά ολοκληρώματα (τα οποία μάλιστα λόγω

της προφανούς αξονικής συμμετρίας του προβλήματος –φαίνεται στο σχήμα)

ανάγονται σε 2 διπλά), κάνοντας με αυτό τον τρόπο αποδοτικότερη την αλγοριθμική

μέθοδο που θα χρησιμοποιηθεί.

Ο αλγόριθμος που κατασκευάσαμε, αποτελείται και αυτός ουσιαστικά από

2, σχεδόν ανεξάρτητα, κομμάτια: Το πρώτο που υπολογίζει το δυναμικό πυρήνα-

νουκλεονίου (Ν-n), ολοκληρώνοντας αριθμητικά τη σχέση 3.1.4 και το δεύτερο που

χρησιμοποιεί το αποτέλεσμα του πρώτου για να ολοκληρώσει τη σχέση 3.1.5. Ο

κώδικας γράφτηκε με χρήση του λογισμικού Matlab, λόγω της ευκολίας που

προσφέρει στη χρήση μεγάλων στηλών και πινάκων και στην ταχύτητα που το

διακρίνει στην εκτέλεση παράλληλων υπολογισμών διαφορετικών υπορουτίνων. Το

πρόγραμμα αποτελείται από ένα βασικό κομμάτι (main.m) και 5 υπορουτίνες. Οι

υπορουτίνες αυτές περιλαμβάνουν: τη ρουτίνα ορισμού του n-n δυναμικού

(m3y.m), τις ρουτίνες ορισμού των συναρτήσεων πυκνότητας των δύο

αλληλεπιδρώντων πυρήνων (dens1.m και dens2.m), καθώς και 2 συναρτήσεις οι

οποίες εκτελούν την αριθμητική ολοκλήρωση στις γωνίες και και καλούνται

από τη main στα δύο κομμάτια διπλής ολοκλήρωσης, ώστε να καταστήσουν τη

μορφή του βασικού κώδικα πιο απλή και εύχρηστη. Για την αριθμητική ολοκλήρωση

χρησιμοποιήσαμε τη μέθοδο Simpson 1/3. Στο Παράρτημα Α παρατίθεται

αναλυτικά ο κώδικας για κάθε ρουτίνα του προγράμματος.

Αποτελέσματα

Έχοντας περιγράψει πλήρως τη μεθοδολογία για τον υπολογισμό του single-

folding δυναμικού, μπορούμε να παρουσιάσουμε τα αριθμητικά αποτελέσματα που

έδωσε ο αλγόριθμός μας. Εφαρμόσαμε τη μέθοδο για τον υπολογισμό των

δυναμικών - , - και - . Στον υπολογισμό αυτό

θεωρήσαμε ότι η πυκνότητα πυρηνικής ύλης στον πυρήνα είναι

και

ότι η σταθερά διάχυσης στη σχέση για την ακτινική συνάρτηση της πυκνότητας 3.1.3

είναι 0,5fm. Επίσης, πρέπει να παρατηρήσουμε ότι στον αλγόριθμο

αναγκαστήκαμε να χρησιμοποιήσουμε ένα cut off στο δυναμικό M3Y, στις πολύ

μικρές αποστάσεις. Η αναγκαιότητα αυτή προέκυψε από το γεγονός ότι για r->0 οι 2

28

όροι του δυναμικού τείνουν σε αντίθετου πρόσημου άπειρα. Αυτό οδηγεί σε

μεγάλα σφάλματα κατά την εκτέλεση της αριθμητικής μεθόδου από τον υπολογιστή

λόγω του πεπερασμένου αριθμού ψηφίων που μπορεί να αποθηκεύσει στη μνήμη.

Ελέγξαμε, όμως, και επιβεβαιώσαμε ότι η μορφή του υπολογιζόμενου δυναμικού

δεν έχει (αισθητή τουλάχιστον) εξάρτηση από την απόσταση που επιλέγουμε το cut

off, αν αυτή είναι αρκούντος μικρή . Εμείς χρησιμοποιήσαμε .

Στις επόμενες σελίδες παρουσιάζονται αναλυτικά τα αποτελέσματά μας για

το N-n και το N-N δυναμικό, για κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις. Στα

διαγράμματα, ο κάθετος άξονας είναι το βάθος του δυναμικού σε MeV, ενώ ο

οριζόντιος άξονας είναι η απόσταση των κέντρων μάζας των πυρήνων (ή του

κέντρου μάζας του πυρήνα και του νουκλεονίου) σε fm.

1)

N-n potential:

Η γραφική παράσταση του δυναμικού παρουσιάζει μικρές ταλαντωτικές

διακυμάνσεις γύρω από μια μέση συμπεριφορά, η οποία είναι και η ενδιαφέρουσα,

αφού, όπως διαπιστώθηκε με διάφορες δοκιμές, οι διακυμάνσεις αυτές οφείλονται

29

στην αριθμητική μας μέθοδο και συγκεκριμένα στο πλήθος των σημείων που

χρησιμοποιούμε για την αριθμητική ολοκλήρωση της συνάρτησης. Συνεπώς, με

περεταίρω αύξηση του αριθμού των σημείων αυτών η μορφή του δυναμικού θα

εξομαλύνονταν περισσότερο. Ωστόσο, λόγω της μεγάλης καθυστέρησης του

αλγορίθμου (τα αποτελέσματα αυτά εξήχθησαν μετά από ώρα λειτουργίας του

προγράμματος) αρκεστήκαμε στο να επιλέξουμε εκείνον τον αριθμό σημείων ώστε

οι διακυμάνσεις να μην ξεπερνούν το 10-15% της εκάστοτε μέσης τιμής. Η μέση

συμπεριφορά του αριθμητικά υπολογισμένου δυναμικού N-n παρατηρούμε ότι

βρίσκεται σε πολύ καλή συμφωνία με το αποτέλεσμα της παραγράφου 2.3 στην

οποία το ίδιο δυναμικό εξήχθη αναλυτικά με τη θεώρηση ότι η πυκνότητα

πυρηνικής ύλης ήταν σταθερή σε όλη την έκταση του πυρήνα (δηλαδή ). Η

σύμπτωση αυτή αποτελεί και μια πρώτη ένδειξη ότι ο αλγόριθμός μας λειτουργεί

σωστά. Επίσης, η εμβέλεια του δυναμικού είναι, όπως αναμένουμε, περίπου όσο η

ακτίνα του πυρήνα και το βάθος του είναι κοντά στα 30MeV, μια πρόβλεψη πολύ

κοντά στα 38MeV που γνωρίζουμε πειραματικά (και θεωρητικά από το απλοϊκό

μοντέλο του Fermi).

Ν-Ν potential

30

2)

Ν-n potential

Εδώ χρησιμοποιήσαμε μεγαλύτερη ακρίβεια στην αριθμητική μας μέθοδο και

συνεπώς οι διακυμάνσεις είναι σχεδόν ανεπαίσθητες. Η εμβέλεια του δυναμικού

είναι αισθητά μικρότερη από την περίπτωση του ασβεστίου και συγκεκριμένα είναι

σχεδόν όσο η ακτίνα του πυρήνα, κάτι που άλλωστε αναμέναμε θεωρητικά και

ίσχυε και στην προηγούμενη περίπτωση. Ωστόσο, η μέση συμπεριφορά του N-n

δυναμικού αρχίζει να εμφανίζει σημαντικές αποκλίσεις από το δυναμικό που

εξάγαμε αναλυτικά στη 2.3. Επίσης, το βάθος του δυναμικού είναι περίπου 25MeV.

Αυτή η τιμή είναι κοντά στη γνωστή πειραματική, ωστόσο, αρχίζει να εμφανίζει

σημαντική απόκλιση. Το γεγονός της εμφάνισης σημαντικών αποκλίσεων στην

περίπτωση του οξυγόνου, μάλλον μας υπενθυμίζει τα όρια του μοντέλου μας, αφού

εκ κατασκευής του έχει ισχύ για βαρείς πυρήνες, λόγω της προσέγγισης της

συνεχούς κατανομής της πυρηνικής ύλης στο εσωτερικό.

31

Ν-Ν potential

Το δυναμικό αλληλεπίδρασης των πυρήνων οξυγόνου έχει παραπλήσια

μορφή με το αντίστοιχο για πυρήνες ασβεστίου με το βάθος και την εμβέλειά του,

όμως, αισθητά μειωμένα, όπως είναι φυσικό, λόγω του μικρότερου «πυρηνικού

φορτίου» που φέρουν οι πυρήνες αυτοί καθώς και λόγω της μικρότερης ακτίνας

τους.

3)

N-n potential

32

Το δυναμικό αυτό παρατηρούμε επίσης ότι έχει εμβέλεια περίπου ίση με την

ακτίνα του πυρήνα. Το βάθος του επίσης κυμαίνεται στα , που είναι,

ως γνωστόν, πολύ κοντά στην τιμή του βάθους του πυρηνικού δυναμικού. Επίσης, η

μέση συμπεριφορά της συνάρτησης (αυτή τη φορά χρησιμοποιήσαμε μεγαλύτερη

ακρίβεια στον αριθμητικό υπολογισμό μας και, όπως φαίνεται, οι διακυμάνσεις δεν

ξεπερνούν το 5% της μέσης τιμής του δυναμικού) είναι πολύ παραπλήσια με την

αναλυτική μορφή του δυναμικού που προσδιορίσαμε στην ενότητα 2.3. Το καλό

αυτό αποτέλεσμα για το δυναμικό Ν-n ενισχύει την άποψη ότι το μοντέλο μας

λειτουργεί επιτυχώς για βαρείς πυρήνες.

N-N potential

Το βάθος του δυναμικού σε αυτή την περίπτωση εμφανίζεται ιδιαίτερα

αυξημένο, ένα αποτέλεσμα που είναι κάτι παραπάνω αναμενόμενο λόγω του πολύ

μεγαλύτερου πυρηνικού φορτίου του πυρήνα. Επίσης, η μεγάλη ακτίνα του πυρήνα

είχε αντίστοιχη επίπτωση και στην εμβέλεια του N-N δυναμικού το οποίο

εμφανίζεται ιδιαίτερα ισχυρό μέχρι και τα 12 fm.

33

3.2 Double-folding potential

Στην ενότητα αυτή θα περιγράψουμε και θα εφαρμόσουμε τη δεύτερη

μεθοδολογία που αναφέραμε για τον υπολογισμό του οπτικού δυναμικού

αλληλεπίδρασης δύο πυρήνων, με χρήση του δυναμικού της n-n αλληλεπίδρασης. Η

μέθοδος αυτή ονομάζεται double-folding και αποσκοπεί στο να αντιμετωπίσει

απευθείας το υπολογιστικό πρόβλημα της αριθμητικής ολοκλήρωσης της σχέσης

3.1.2 για το οπτικό δυναμικό:

( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( )

Η απόπειρα υπολογισμού του «ακατέργαστου» 6πλού ολοκληρώματος της

3.1.2 θα οδηγούσε στην κατασκευή ενός υπερβολικά βραδύ αλγορίθμου. Ήδη για

την περίπτωση του single-folding δυναμικού που έσπαγε τη διαδικασία σε 2

τμήματα, ο αλγόριθμος της απευθείας ολοκλήρωσης ήταν πολύ αργός. Επομένως,

είναι απαραίτητη η επεξεργασία του ολοκληρώματος 3.1.2 ώστε να έρθει σε μια πιο

προσφιλή μορφή για αριθμητικό υπολογισμό. Για το σκοπό αυτό, στη μεθοδολογία

προσδιορισμού του double-folding δυναμικού αναπτύσσουμε τις υπό ολοκλήρωση

συναρτήσεις κατά Fourier. Το ολοκλήρωμα τότε γίνεται:

∫ ( ) ( )

( )

όπου:

∑

( )

( ) √ ∫ ( )( ) ( )

( )

και η μηδενικής τάξης συνάρτηση Bessel.

Μετά από αυτή την επεξεργασία μπορεί κανείς να διαπιστώσει ότι το αρχικό πολύπλοκο πρόβλημα της 6πλης ολοκλήρωσης μετατράπηκε στο απλούστατο πρόβλημα του υπολογισμού των 2 απλών ολοκληρωμάτων 3.1.6 και 3.1.8. Παρακάτω παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα για το double-folding potential ¨όπως υπολογίστηκαν με τη χρήση του προγράμματος dfmsph.exe που υπάρχει ελεύθερο στο διαδίκτυο στη σελίδα http://www.sciencedirect.com/science/journal/00104655 και περιγράφεται αναλυτικά στην εργασία των I.I Gontchar και M.V Chushnyakova που αναφέρουμε στη βιβλιογραφία. Πραγματοποιήθηκε υπολογισμός του Ν-Ν δυναμικού για τις περιπτώσεις που υπολογίσαμε και το single-folding potential.

34

Αποτελέσματα

1)

Συγκρίνοντας τον υπολογισμό αυτό με τον αντίστοιχο single-folding υπολογισμό

παρατηρούμε πολύ καλή σύμπτωση των 2 αποτελεσμάτων. Η διαφορά των 2

προσεγγίσεων παρατηρείται μόνο στις μεγάλες αποστάσεις όπου φαίνεται

ότι το single folding φθίνει κατά τι πιο αργά από double folding.

2)

35

Η πρόβλεψη του double-folding potential και για την περίπτωση του οξυγόνου

παρατηρούμε ότι σχεδόν ταυτίζεται με την single folding μέθοδο στην κοινή περιοχή

τους.

3)

Στην περίπτωση του πυριτίου, ωστόσο, παρατηρούμε τα 2 δυναμικά εμφανίζουν

σημαντική απόκλιση μεταξύ τους με το double-folding να φθίνει πολύ ταχύτερα του

single-folding. Η συμπεριφορά αυτή έγινε προσπάθεια να ερμηνευθεί, ανεπιτυχώς.

Θεωρούμε, όμως, ότι πρέπει να σχετίζεται με κάποιο σημείο της αριθμητικής

διαδικασίας που δεν έχουμε προσέξει.

3.3 Περιορισμοί του μοντέλου και δυνατές βελτιώσεις

Στην εργασία αυτή, στόχος μας ήταν η παρουσίαση, ανάλυση και χρήση, σε

κάποια ενδεικτικά παραδείγματα, μιας μεθοδολογίας για τον υπολογισμό του

πραγματικού μέρους του δυναμικού που υπεισέρχεται στο οπτικό μοντέλο και

αποτελεί το ενεργό δυναμικό αλληλεπίδρασης των πυρήνων κατά τη σκέδασή τους,

36

με χρήση του πιο θεμελιώδους δυναμικού αλληλεπίδρασης νουκλεονίων. Γι’ αυτό

το σκοπό, χρησιμοποιήσαμε τη μεσονική θεωρία Yukawa για να προσεγγίσουμε το

θέμα της αλληλεπίδρασης νουκλεονίων, προσεκτική ανάλυση της οποίας, μας

οδήγησε στο ότι το δυναμικό θα πρέπει να περιέχει πολλαπλούς όρους Yukawa με

ολοένα και μικρότερες εμβέλειες. Με φαινομενολογικά επιχειρήματα

προσδιορίστηκαν οι σταθερές του μοντέλου γεγονός που εγκαινίασε το δυναμικό

M3Y. Έπειτα, με χρήση του δυναμικού αυτού και με τις γνώσεις που αποκτήσαμε

από την ανάλυση κατά Feshbach της σκέδασης πυρήνων, εξάγαμε τη βασική σχέση

από την οποία το οπτικό πυρηνικό δυναμικό ανακύπτει από το δυναμικό n-n. Τέλος,

για την εκτέλεση του αριθμητικού υπολογισμού χρησιμοποιήθηκαν 2 διαφορετικές

προσεγγίσεις του προβλήματος και προσδιορίστηκαν 2 δυναμικά, το single-folding

και το double-folding. Εκτελέστηκαν οι υπολογισμοί για 3 περιπτώσεις πυρήνων και

συγκρίθηκαν τα αποτελέσματα.

Για την υλοποίηση της ιδέας του μοντέλου αυτού, ωστόσο, έγιναν,

απλοποιήσεις και προσεγγίσεις της πραγματικότητας οι οποίες τώρα έρχονται να

θέσουν περιορισμούς στην ισχύ του μοντέλου, αλλά και να υποδείξουν δρόμους για

τη βελτίωσή του. Έτσι τα όρια του μοντέλου μας είναι τα ακόλουθα:

1) Στην αλληλεπίδραση n-n δεν χρησιμοποιήθηκε κανένας όρος με εξάρτηση

από το spin ή το isospin των εμπλεκόμενων νουκλεονίων, παρότι είναι

πειραματικά και θεωρητικά γνωστό ότι τέτοιου είδους αλληλεπίδραση είναι

υπαρκτή. Αυτό έχει σαν συνέπεια, να προσδιορίζεται ένα οπτικό δυναμικό,

επίσης, ανεξάρτητο από το spin και το isospin των σκεδαζόμενων πυρήνων.

Συνεπώς, το μοντέλο μας δεν μπορεί να περιγράψει τις σκεδάσεις πυρήνων

στις οποίες οι αλληλεπιδράσεις των spin και isospin των πυρήνων παίζουν

σημαντικό ρόλο. Δυνατή βελτίωση του μοντέλου θα μπορούσε να επιτευχθεί

είτε με εισαγωγή τέτοιων όρων στη n-n αλληλεπίδραση, είτε απευθείας και

με φαινομενολογικό τρόπο στο οπτικό δυναμικό.

2) Στην αλληλεπίδραση n-n, επίσης, δεν περιλήφθηκε εξάρτηση της ισχύος από

την ενέργεια των νουκλεονίων και από την πυκνότητα της πυρηνικής ύλης

στην οποία αυτά είναι εμβαπτισμένα, ιδιότητες που είναι επιβεβαιωμένες

πειραματικά. Αυτή η απλοποίηση οδηγεί σε ένα ανεξάρτητο από την

ενέργεια σκέδασης και την πυρηνική πυκνότητα οπτικό δυναμικό. Επομένως,

κανείς αναμένει αποκλίσεις στις σκεδάσεις υψηλής ενέργειας. Διόρθωση

αυτής ατέλειας μπορεί να γίνει εύκολα με εισαγωγή ενός φαινομενολογικού

όρου εξάρτησης από την ενέργεια και την πυκνότητα στη βασική σχέση

υπολογισμού του οπτικού δυναμικού 3.1.2. Αυτή η διόρθωση έχει

συμπεριληφθεί στο πρόγραμμα double-folding που χρησιμοποιήσαμε και

λεπτομέρειες αναφέρονται αναλυτικά στην συνοδευτική εργασία που

αναφέραμε και προηγουμένως και υπάρχει στη βιβλιογραφία.

37

3) Επίσης, για τον πλήρη προσδιορισμό του πραγματικού μέρους του οπτικού

δυναμικού θα πρέπει να συμπεριλάβουμε και τις διορθώσεις που εισάγει το

πραγματικό μέρος του όρου της σχέσης 1.1.15, αφού εμείς

χρησιμοποιήσαμε μόνο τον όρο του folded δυναμικού . Παρότι σύγχρονες

εκτιμήσεις αυτού του όρου υποστηρίζουν ότι είναι μικρός, μια πλήρης και

ακριβής περιγραφή δημιουργεί την ανάγκη εκτίμησής του είτε με θεωρητικό

είτε με φαινομενολογικό τρόπο.

Αντί Επιλόγου

Στην εργασία αυτή επετεύχθη το εγχείρημα του προσδιορισμού του πυρηνικού

δυναμικού αλληλεπίδρασης με χρήση μιας θεωρητικής προσέγγισης του δυναμικού

αλληλεπίδρασης νουκλεονίου-νουκλεονίου. Με τον τρόπο αυτό καταφέραμε να

συνδέσουμε αποδοτικά δυο διαφορετικές κλίμακες αποστάσεων. Η επιτυχία αυτή,

πέρα από το εγγενές ακαδημαϊκό της ενδιαφέρον, μπορεί να αποτελέσει εφαλτήριο

περεταίρω και πιο ενδελεχούς έρευνας των δυνατοτήτων που υπάρχουν σε αυτή

την κατεύθυνση. Η βελτίωση του μοντέλου αυτού, ώστε να γίνει ρεαλιστικότερο και

να διορθωθούν οι ατέλειές του, κρίνεται απαραίτητη. Αλλά και η επέκταση των

ιδεών αυτής της εργασίας και η σύγκριση των θεωρητικών μας συμπερασμάτων με

τα πειραματικά κεκτημένα μπορεί να ανοίξει νέους δρόμους τόσο στην προσπάθεια

κατασκευής μιας γενικής μορφής για το πολύπλοκο δυναμικό αλληλεπίδρασης

πυρήνων, όσο και στην θεωρητική απόπειρα περιγραφής του δυναμικού n-n από

μια χαμηλοενεργειακή προσεγγιστική θεωρία που έχει τη βάση της στην κβαντική

χρωμοδυναμική.

38

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α

Στο παράρτημα αυτό παραθέτουμε αναλυτικά τον αλγόριθμο που

κατασκευάσαμε για τον υπολογισμό του single-folding δυναμικού.

m3y.m

function f=m3y (r) global a1 global a2 global rn1 global rn2 global cutoff global do if r>cutoff f=7999*exp(-4*r)/(4*r)-2134*exp(-2.5*r)/(2.5*r); else f=0; end;

dens1.m

function d1=dens1 (r) global a1 global a2 global rn1 global rn2 global cutoff global do d1=do/(1+exp((r-rn1)/a1));

39

dens2.m

function d2=dens2 (r) global a1 global a2 global rn1 global rn2 global cutoff global do d2=do/(1+exp((r-rn2)/a2));

simp.m

function s=simp (r,d,n) global a1 global a2 global rn1 global rn2 global cutoff global do

et=1/n; s=2*pi*r^2*dens1(r)*(m3y(sqrt(r^2+d^2-

2*r*d))+m3y(sqrt(r^2+d^2+2*r*d)))*et/3.; for l=1:2:(2*n-1) s=s+2*pi*r^2*dens1(r)*(4*m3y(sqrt(r^2+d^2-2*r*d*(1-

l*et)))+2*m3y(sqrt(r^2+d^2-2*r*d*(1-et*(l+1)))))*et/3.; end; s=s-2*pi*r^2*dens1(r)*m3y(sqrt(r^2+d^2+2*r*d))*2*et/3.;

simp2.m

function s2=simp2 (rcmo,vcn,r,d,n2,n3) global a1 global a2 global rn1 global rn2 global cutoff global do

ee=1./n2; tt=linspace(-1,1,2*n2); rr=sqrt(d^2+r^2+2*r*d*tt); for i=1:n3 if (rr(1)>=rcmo(i))&&(rr(1)<=rcmo(i+1)) break; end; end;

for j=1:n3 if (rr(2*n2)>=rcmo(j))&&(rr(2*n2)<=rcmo(j+1)) break; end; end;

40

s2=2*pi*r^2*dens2(r)*(vcn(i)+vcn(j))*ee/3.;

for k=1:2:(2*n2-1) for i=1:n3 if (rr(k)>=rcmo(i))&&(rr(k)<=rcmo(i+1)) break; end; end; for j=1:n3 if (rr(k+1)>=rcmo(j))&&(rr(k+1)<=rcmo(j+1)) break; end; end; s2=s2+2*pi*r^2*dens2(r)*(4*vcn(i)+2*vcn(j))*ee/3.; end;

for j=1:n3 if (rr(2*n2)>=rcmo(j))&&(rr(2*n2)<=rcmo(j+1)) break; end; end; s2=s2-2*pi*r^2*dens2(r)*vcn(j)*2*ee/3.;

main.m

function main (n1,n2,e) global a1 global a2 global rn1 global rn2 global cutoff global do

do=0.17; a1=0.5; a2=0.5; atom1=16; atom2=16; rn1=1.22*atom1^(1/3); rn2=1.22*atom2^(1/3); cutoff=0.08; n3=floor((5*rn1-rn1/10)/e); ro=0.00001;

%N-n potential rc=5*rn1; vc=linspace(1,2,n3); for k=1:n3 vc(k)=0; end;

e1=(2.5*rn1-ro)/(2*n1);

for i=1:n3 vc(i)=(simp(ro,rc,n2)+simp((2.5*rn1),rc,n2))*e1/3.; for j=1:2:(2*n1-1)

41

vc(i)=vc(i)+(4*simp(ro+j*e1,rc,n2)+2*simp(ro+(j+1)*e1,rc,n2))*e1/3; end; vc(i)=vc(i)-2*simp(2.5*rn1,rc,n2)*e1/3.; rc=rc-e; end;

vcn=linspace(1,2,n3);

for i=1:n3 vcn(i)=vc(n3-i+1); end;

rcmo=linspace(1,2,n3);

for i=1:n3 rcmo(i)=rn1/10.+i*e; end;

figure (1) plot(rcmo,vcn,'r') hold on

%N-N potential

v=linspace((rn1/10.+2*rn2+ro),(5*rn1-2*rn2-ro),e); n4=floor((5*rn1-4*rn2-rn1/10.-2*ro)/e); rc=rn1/10.+rn2+ro; dist=linspace(1,2,n4);

e1=(2*rn2-ro)/(2*n1);

for i=1:n4 dist(i)=rc;

v(i)=(simp2(rcmo,vcn,ro,rc,n2,n3)+simp2(rcmo,vcn,(2*rn2),rc,n2,n3))*e

1/3.; for j=1:2:(2*n1-1)

v(i)=v(i)+(4*simp2(rcmo,vcn,ro+j*e1,rc,n2,n3)+2*simp2(rcmo,vcn,ro+(j+

1)*e1,rc,n2,n3))*e1/3; end; v(i)=v(i)-2*simp2(rcmo,vcn,2*rn2,rc,n2,n3)*e1/3.; rc=rc+e;

end;

figure (2) plot(dist,v,'b') hold on

42

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Αναφορές σχετικές με το ευρύτερο θέμα της εργασίας:

1) G.R. Satchler, W.G. Love “Folding model potentials from realistic interactions

for heavy ion scattering”, Physics Reports 55, No. 3 (1979), 183-254

2) I.I. Gontchar, M.V. Chushnyakova “A C-code for the double folding interaction

potential of two spherical nuclei”, Computer Physics Communications 181

(2010), 168–182

3) N. Gauthier “Yukawa potential approach to the nuclear binding energy

formula”, Am. J. Phys. 58 (4), April 1990

4) N. Gauthier, S. Sherrit “Nuclear potential in the Yukawa model”, Am. J. Phys.

59 (12), December 1991

Αναφορές σχετικές με το οπτικό μοντέλο και την ανάλυση του Feshbach:

1) H. Feshbach “Unified theory of nuclear reactions”, Rev. Mod. Phys. 36, 1076–

1078 (1964)

2) H. Feshbach “Unified theory of nuclear reactions II”, Annals of Physics 19,

287-313 (1962)

3) G.R. Satchler, W.G. Love “Folding model potentials from realistic interactions

for heavy ion scattering”, Physics Reports 55, No. 3 (1979), 183-254

Αναφορές σχετικές με τη μεσονική θεωρία:

1) Ε. Μαυρομμάτη «Πυρηνική Φυσική Ι», Προσωπικές Σημειώσεις

2) D. Tong “Quantum Field Theory”, Graduate Lectures

3) M. Peskin, D. Schroeder “An Introduction to Quantum Field Theory (Frontiers

in Physics)”, The Perseus Books Group (1995)

4) www.wikipedia.org