١

آناليزعددی دو

ادکتر رشيدی ني:مدرس

٢

فهرست مطالب

عنوان صفحات

حل سيستمهای خطی : فصل اول 3 – 1 ................................................................................................ مقدمه

5 - 3..... ................................................................................م ی مستقيروشها 7 - 5 .. ............................................................................روش حذفی گاوس

LU................................................... ....................... 7 -13روش تجزيه مثلثی 14-13 .................................................................. استفاده از روش حداقل سازی

16-15 ..................................................................................... تمرینهای فصل : روشهای تکراری

19-16 ..........................................................................روش ژاکوبی 23-19 ..............................................................دل ساي–روش گاوس

SOR...... ....................................................... . 23-31 –ف روش تخفي ز خطا آنالي

35-32 : .................................................................................... مقدمه 39-35 .... .................................................م آناليز خطای روشهای مستقي

44-39 ................................................. ز همگرايی روشهای تکراری آنالي 48-44 ....................................................................... مثالهای حل شده

ژه دارهای وي مقادير و بر: فصل دوم

50-49 ................................................................................................ مقدمه 51-50 ............... .................................................................نان روش بسط دترمي

52-51 ...................................................................................ر روش فاديو لوري

57-52 ..... .................................................................................ای مربوطه قضاي :س برای تعيين مقادير ويژه يک ماتري تکراریروشهای

62-57 .. ............................................................روش به توان رسانی 65-62 .................... .......................................لی ژاکوبی روشهای تبدي

LR .............................................................................. 65-68روش 72-68 ................................................................... روش هاوس هولدر

74-73......................... ................................................نهای فصل تمري

لحل عددی معادالت ديفرانسي: وم فصل س .......................................................................................... مقذمه

75-76

٣

روشهای تک گامی 80-77 ............ .........................................................لر روش تفاضلی اوي

87-81 ............................................................... روشهای رانگ کوتا 89-87 . ...........................................ز خطای روشهای رانگ کوتا همگرايی و آنالي

روشهای چند گامی 95-90 .............................ح آدامز ـ بشفورت گامی صريkروشهای گامی

98- 95 ....................................روشهای چند گامی ضمنی آدامز ـ مولتون 100 – 98 .......................................... ................................شگوی اصالحگر روشهای پي

– 100 ................................................................... حل عددی مسائل مقدار مرزی 101

– 101 ...... .....................................................................روش تفاضلی مرتبه دوم 104 106 – 104............................................................................................ ومرو روش ني

108 – 106 ..................................................ی حل معادالت ديفرانسيل با مشتتقات جزي

. 111 – 109...............................................................................ت روش اسمي

– 111 .................................................................................روش السنن

113 114 – 113 ..................................................................کلسون روش کرانک ني

– 115 ........................................................................ چارد سون روش ري

116 116 ............................. ......................................................مثال های حل شده

– 118 – 118.............................. ....................................................نهای فصل سوم تمري119

٤

فصل اول

حل سيستمهای خطی

:مقدمه

می گيريم مجهول خطی زير را درنظرn معادله و nسيستم

njiبه طوری که )1(1, )( و = ija و ib ، مقادير حقيقی و معلوم باشـند ix خطـی مجهـوالت سيـستم

:اين سيستم را به فرم ماتريسی زير می توان نوشت.هستند که بايستی محاسبه شوند)۱(

bAX

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

nnnnnn

n

n

=

=

2

1

2

1

21

22221

11211

nibiاگر )1(1,0)( ناصـفر باشـد در ايـن ib باشند سيستم را همگن می ناميم و اگر حـداقل يـک ==

دارای جـواب يکتاسـت اگـر و فقـط اگـر )۱(سيستم ناهمگن .صورت سيستم را سيستم ناهمگن خوانند

:شد يعنی صفر نباAدترمينان

nxnnnna

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++

=+++

221

22222121

11212111

)1(

٥

0)det(

21

22221

11211

≠=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

: به صورت زير خواهد بود)۱(در اين صورت جواب سيستم

bAX 1−= )det(0 است اگر X=0 دارای جواب AX=0سيستم همگن ≠Aبنـابراين در مـسائل عملـی . باشد

چـه لـذا چنـان . بـرای مـا عمـال پـذيرفتنی نيـست X=0مواجه هستيم و جواب ما با سيستمهای همگن

به صورت زير بنويسيمλسيستم را برحسب پارامتر

XAX λ= را چنان بيابيم که λو

0)det( =− IA λ

اين مسئله ما را به مبحث مقـادير ويـژه و بردارهـای ويـژه . می يابيم Xاب ناصفر را برای باشد آنگاه جو

.بردار ويژه متناظر با آن می ناميم را X مقدار ويژه و راλ .رهنمون می سازد

)det(0تی برای اينکه جواب ناصفر بگيريم بايس =− IA λ از بـسط دترمينـان يـک چندجملـه ای . باشـد

n از آنجـا کـه سيـستم خطـی . خواهيم داشت که به معادله ويژه معروف است λ ام بر حسب nدرجه

nλλλ ريشه است که nدارای ن معادله ايمجهول دارد nمعادله و ,...,, ايـن ريـشه هـای . مـی باشـند 21

مقدار ويژه ای که . می توانند تکراری و مختلط نيز باشند ،معادله می توانند جملگی مجزا و حقيقی باشند

.نشان داده می شود Aρ)(از لحاظ کمی بيشترين مقدار را داشته باشد شعاع طيفی ناميم و با

)2(0)(0 =−⇒=−⇒= XIAXAXXAX λλλ

٦

: به طور اجمالی به دو دسته کلی تقسيم می شوند که عبارتند از)۱(روشهای حل سيستم

روشهای تکراری-۲ روشهای مستقيم -۱

را بـه دسـت خواهنـد داد و )۱(تم روشهای مستقيم روشهايی هستند که هـم زمـان همـه جوابهـای سيـس

در زيـر . را بايک معيار دقـت تقريـب مـی زننـد )۱(روشهای تکراری روشهايی هستند که جواب سيستم

.ابتدا روشهای مستقيم را بررسی می کنيم

روشهای مستقيم

های سيستم را بـه سيـستم ) تبديالتی(اساس کار روشهای مستقيم اين است که اگر با استفاده از تمهيداتی

. بيابيم هم زمان مشروح زير برگردانيم می توانيم مستقيما تمامی جوابها را

Ι- قطـری را به سيـستم چنانچه بتوانيم ماتريس ضرايب سيستم را به ماتريس قطری يا به عبارتی سيستم

: يعنی→DAتبديل کنيم يعنی اگر

jiifdjiifd

ij

ij

=≠

≠=

0

0

آنگاه

nn

nnnnnn a

bxbxa

abxbxa

abxbxa

=⇒=

=⇒=

=⇒=

22

222222

11

111111

niaاگربه طوری که ii )1(1,0 nxxx باشد می توان ≠= ,...,, . را همزمان يافت21

bAXبرای سيستم داده شده الگوريتم در اين حالت :عبارت است از =

niبرای: مرحله اول -۱ )1(1=.

محاسبه می کنيم : مرحله دوم-۲ii

ii a

bx =.

٧

ΙΙ- چنانچه بتوان سيستم را به سيستم پائين مثلثـی تبـديل کنـيم يعنـی مـاتريس ضـرايب A را بـه يـک

:ماتريس پائين مثلثی برگردانيم

ijiflijiflLA

ij

ij

>=

≤≠⇒→

0

0

nnnnnn bxaxaxa

bxaxabxa

=+++

=+=

2211

2222121

1111

: را به صورت زير به دست آورد1xمی تواناز رابطه اول ابتدا

11

11 a

bx = : را می توان يافت2x را در رابطه دوم قرار دهيم 1xو اگر

22

12122

)(a

xabx −= :يعنی. را يافت nx تا 3x ،4xن طريق سرانجام می توان و به همي

nn

n

jjnjn

n a

xabx

∑−

=

−=

1

1)(

.لذا می توان الگوريتم جايگزينی از باال را به صورت زير بنويسيم

bAXبرای سيستم : باال را به شرح زير می نويسيم الگوريتم جايگزينی از=

nkبرای : مرحله اول-۱ )1(1=.

محاسبه کن : مرحله دوم-۲kk

k

jjkjk

k a

xabx

∑−

=

−=

1

1)(

.

ΙΙΙ-ماتريس ضرايب سيستم را به ماتريس باال مثلثی تبديل کنيم يعنی اگر :

jiifUjiifU

ij

ij

>=

≤≠

00

٨

nnnn

nn

nn

bxa

bxaxabxaxaxa

=

=++=+++

22222

11212111

...

...

)( را nxيگزينی از پائين ابتدا با استفاده از جا nn

nn a

bx را محاسبه می کنيم و در روابط باال قرار می =

الگوريتم اين حالـت را کـه الگـوريتم جـايگزينی از . را محاسبه می کنيم xدهيم و سرانجام همه مقادير

:پائين می ناميم به شرح زير است

=−)1(1برای : مرحله اول-۱ nk .

محاسبه کن : مرحله دوم-۲kk

n

kjjkjk

k a

xabx

∑+=

−= 1

)(.

پـس اسـاس کـار . نتيجه می گيريم که در سه حالت فوق عمال مقدور اسـت جوابهـای سيـستم را بيـابيم

س را در زيـر روش حـذفی گـاو .روشهای مستقيم و هدف آنها تبديل سيستم بـه سـه حالـت فـوق اسـت

.بررسی می کنيم

روش حذفی گاوس

اساس اين روش مستقيم بر حذف ساده مجهوالت و تبديل سيستم به سيستم باال مثلثی است و با اسـتفاده

برای توضيح ايـن روش .از الگوريتم جايگزينی از پائين دستگاه معادالت را می توان به آسانی حل نمود

bAXابتدا فرض می کنيم سيستم nn يک سيستم = را مرتـب مـی سيـستم ابتدا. و خوش وضع باشد ×

می سپاريم و طرف راسـت سيـستم کامپيوتر حافظه تمام ضرايب سيستم را در محلهای مناسب بهکنيم و

پس رابطـه اول را نگـه مـی داريـم و بـه کمـک ايـن رابطـه و سـ .را نيز به حافظه کامپيوتر وارد می کنـيم

)1(همـه ضـرايب مجهـوالت در . را حذف می نمائيم 1xمضربهای مناسب ضريب −n رابطـه باقيمانـده

)1(.تغيير می نمايند و در همان محلهای قبلی به جای ضرايب قبلی به حافظه سپرده می شوند −n رابطـه

٩

دسـتخوش تغييـر را که

مجـددا مرتـب شدند را

در دور بعـد .می کنـيم

)2( را از 2x ضريب ۲به کمک رابطه −n دامـه مـی اعمـل را و ايـن سـازيم رابطه باقيمانده صـفر مـی

.دهيم

kn را از kx ام رسيده ايم يعنی می خواهيم ضريب kحال فرض می کنيم به مرحله رابطه باقيمانـده −

:عبارت است ازمضرب مناسب در اين حالت . سازيمبصفر

nkiankibmbb

nkjnkiamaa

nkiaam

kik

kk

kik

ki

ki

kkj

kik

kij

kij

kkk

kikk

ik

)1(10

)1(1

)1(

)1(1

)1(1

)1(

)()()()1(

)()()()1(

)(

)()(

+==

+=−=

=

+=−=

+==

+

+

+

nkبدين طريق وقتی که . تغيير کند سيستم را به سيستم باالمثلثی تبديل می کنيم=1)1(

تعداد اعمال حسابی قابل تـوجهی اسـت و امل بزرگ باشد اين روش ش يب سيستم اچنانچه ماتريس ضر

را ايـن مـوقعيتی . به کـار مـی بـريم بعد مرحلهاعداد محاسبه شده را در، حاسبات در هر مرحله از روند م

پـس بايـد .می تواند منشاء خطـای بزرگـی شـود انباشتگی خطا محتمل است و در آن کهايجاد می کند

k)(اين کار زمانی عملی است که عنصر محور . سازيمMin سعی شود که خطا را kka بزرگتـرين عنـصر

nianibmbb

njniamaa

niaam

nibb

i

iii

jiijij

ii

ii

)1(20

)1(2

)1(1,)1(2

)1(2

)1(1

)2(1

)1(1

)1(1

)1()2(

)1(1

)1(1

)1()2(

)1(11

)1(1)1(

1

)1(

==

=−=

==−=

==

==

١٠

)(kika در همان ستون برای ki باشد يعنی مضربهای به کار رفته از يـک کـوچکتر باشـند تـا خطـای ≤

. برسد ممکن مقدارمحاسباتی به حداقل

ايـن .يعنی جـای سـطرها را عـوض نمـاييم .هدف ، الزم است که سيستم را مرتب کنيم برای نيل به اين

با محـورگيری جزئـی ممکـن اسـت در حـين عمليـات .محورگيری جزئی می ناميم نوع مرتب کردن را

لوگيری جچنانچه پس از محورگيری جزئی الزم باشد تا از تقسيم بر صفر . تقسيم بر صفر صورت گيرد

. می نامندمحورگيری کلین عمل رايا اييمکنيم آنگاه می توان جای ستونها را عوض نم

.ير توضيح می دهيماين روش را با مثال ز

)3(208208)2(36852161284)1(16128436852

321321

321321

321321

=++=++=++⇒−=−+

−=−+=++

xxxxxxxxxxxxxxxxxx

.سازيم می صفر)3( و )2( روابط را از 1xضريب )1( رابطهبا استفاده از: مرحله اول

4414)3(244641

2446)2(441421

161284)1(161284

3232

3232

321321

=+′=+−=

=+⇒′=+−=

−=−+′−=−+

xxxxm

xxxxm

xxxxxx

)2(با استفاده از معادله :مرحله دوم ′ 2x 3( را از معادله( . حذف می کنيم′

)3(40340

61

)2(2446)1(161284

3

32

321

′′=−=

′′=+

′′−=−+

xm

xxxxx

تم جايگزينی از پائين بنابراين با استفاده از الگوري

1

26

12243

1

2

3

=

=−

=

=

x

x

x

LU روش تجزيه مثلثی

١١

مجهول باشـد و مـاتريس ضـرايب سيـستم نـامنفرد n معادله و n می کنيم که سيستم خطی دارای ضرف بـه مـی تـوان ماتريس ضرايب سيـستم را صورتدر اين .دنباشد و کهادهای اصلی پيشرو آن ناصفر باش

. به صورت زير تجزيه کنيمباال و پايين مثلثی دو سيستم

=

=

=

nn

n

n

nnnn u

uuuuu

U

lll

lll

L

LUA

0

,

0

222

11211

21

2221

11

ضـرب مـی کنـيم و عناصـر حاصـله را بـا درايـه هـای U را در Lبا استفاده از قانون ضرب ماتريسی ،

. مقايسه می کنيمAناظر ماتريس مت

: عبارت است ازU از امjستون وL از امiحاصل ضرب سطر

jiuijl

njiaululul

ij

ij

ijnjinjiji

00

)1(1,...2211

=

=

==+++

لذا برای اين که درايه ) مجهول بيشترn(ط بيشتر است فوق تعداد مجهوالت از تعداد روابدر رابطه :ی به صورت منحصر به فرد بيابيم الزم است کهيها

niuii )1(11 == Lلذا می توان همه سطرهای.معلوم هستند U اولين ستون همه درايه هایمی دانيم کهدر اين صورت

:بنابراين داريم . ضرب کرد Uرا در ستون اول

njlau

nial

jj

ii

)1(2

)1(1

11

11

11

==

==

ين و آنگـاه دومـ Lحـال دومـين سـتون . را تعيـين کـرديم U و سپس اولـين سـطر Lابتدا اولين ستون

. را پيدا می کنيمUسطر

njlulau

niulal

jjj

iii

)1(3)()1(2

22

12122

12122

=−

=

=−=

١٢

و Lو سپس سومين سـتون

:يعنی به ترتيب. را محاسبه می کنيم و ادامه می دهيم Uسومين سطر

.کنيم سيستم را به صورت زير تجزيه میU وLپس از تعيين درايه های

bLUXbAX=

=

.سيستم را به دو سيستم باال و پائين مثلثی تبديل می کنيمو

)2()1(

bLZZUX

==

ايگزينی از بـاال بـا اسـتفاده از الگـوريتم جـ حل کرده و پائين مثلثی است را که سيستم )2(ابتدا سيستم

nzzz ,...,, را با استفاده از الگوريتم جايگزينی از پائين حل می کنـيم و )1(سپس سيستم . را می يابيم 21

nn xxx ,,..., 11 . را به دست می آوريم−

jil

ulau

jiulal

ii

i

kkjikij

ij

j

kkjikijij

<−

=

≥−=

∑

∑−

=

−

=

1

1

1

1

)(

١٣

:۱مثال

.سيستم داده شده زير را با روش تجزيه مثلثی حل کنيد

1,3320,1

12

4

8

33320

212

04

331

008

33320)

3313(

21)

41(2999

3313

433

)41(13

/)(

21)

41(21

433

4118

41

82,

41

82

2,1,8912

381228

10010

1000

12924388228

321

3

2

1

23321331333323321331

2213212323

13313232

12212222

11

1313

11

1212

312111

23

1312

333231

2221

11

321

321

321

===⇒

−=

−

==

=−−−

−=−−=⇒=++

−=−

−×−=−=

=×−=−=

−=×−−=−=

−=−

=====

===

−

−=

=++−=+−=−+

zzz

z

z

z

ZUXbLZ

ululllulul

lulau

ulal

ulal

lau

lau

lll

uuu

lllll

lxxxxxx

xxx

=

=

=

⇒

=

−

−

1

1

1

13320

1

100331310

41

411

1

2

3

3

2

1

x

x

x

x

x

x

١٤

:۲مثال .سيستم داده شده زير را با روش تجزيه مثلثی حل کنيد

105233

51

41)(

1

2351)1(43

111

111

3,4,1100

101

000

353134111

4353634

1

233213313333

22

13212323

11

1313

12313232

12212222

11

3113

11

2112

312111

23

1312

333231

2221

11

321

321

321

−=×−−=−−=

=−

−−=−=

==

=−=−=−=−=−=

===

===

===

=

−

=++=−+

=++

ululall

ulau

lau

ulalulal

lau

lau

lll

uuu

lllll

lxxx

xxxxxx

1,21,

21

2121

100510111

21,2,1

461

1023014001

123

3

2

1

321

3

2

1

==−=⇒

−

−=

⇒=

−=−==⇒

=

−−⇒=

xxxxxx

ZUX

zzzzzz

bLZ

١٥

:۳مثال . حل کنيدLUسيستم داده شده را با روش

111

2,25,21

521

1035

25,4133

52

25011

1013

25

413

3

252

0

41

21

1,2,1,46121

153213210124

1000100

101

000000

3625532

532024

444423421341

434234343324321431

2424221221

333323321331

4232321221

2424221421

2323221321

22221221

11

1414

11

1313

11

1212

41312111

34

2423

141312

44434241

333231

2221

11

4321

4321

4321

321

=⇒−=++

==−=⇒=++

−=⇒=+

=⇒=++

=−=−−=⇒−=+

−=−

−=⇒=+

−=

−

+=⇒=+

−=⇒−=+

==

−==

==

−====

−−−−

−

=

=+−+−−=++−

−=++−=−+

llulul

lluululul

uulul

llulul

lllul

uulul

uulul

llul

lau

lau

lau

llll

uuu

uuu

lllllll

lll

xxxxxxxx

xxxxxxx

١٦

2,6,9,3

21020

10002100

104

101310

041

211

2,10,2,0

355

0

112251

010342

00251

0004

4321

4

3

2

1

3321

4

3

2

1

−===−=⇒

−

=

−

−−

−

−====⇒

−−

=

−

−

−

xxxx

xxxx

zzzz

zzzz

استفاده از حداقل سازی خطا

:يک دستگاه معادالت خطی را می توان به صورت زير نوشت

33333232131

2232322121

11313212111

RbxaxaxaRbxaxaxa

Rbxaxaxa

x

=−++=−++

=−++

و 2x و 1xمـی شـوند کـه اصطالحا باقيمانده ناميده می شوند و هنگامی صفر 3R و 2R و 1Rجمالت

3x طوری با تکرار تصحيح می شوند که بنابراين روشهای حدس اوليه .اشند مقادير دقيق خود را داشته ب

. تا دقت مطلوب به صفر نزديک شوندRمقادير

:مثال

.ا با روش حداقل سازی حل کنيددستگاه زير ر

3321

2321

1321

495293263

185210

RxxxRxxx

Rxxx

=−−−=−+−−

=−+−

)0,0,0(با تقريب اوليه 321 === xxx49,93,185(. شروع می کنيم( 321 −=−=−= RRR

١٧

را طـوری تغييـر مـی 1x بيشترين سهم را در تغييـر آن دارد 1x بزرگترين کميت را داراست و 1Rچون

. مقداری نزديک به صفر داشته باشد1Rدهيم تا

بزرگتر

170

324

4318

33

22

11

==

−=−=

==

Rx

Rx

Rx

ايـن عمليـات را بـه . را تغييـر مـی دهـيم 1x به عنوان بزرگترين باقيمانده ناچـارا 1Rبرای کاهش مجددا

∑همين ترتيب ادامه داده تا 2Rبا دقت مطلوب به صفر نزديک شود .

310

1470

518

33

22

11

−==

−==

−==

Rx

Rx

Rx

١٨

. تجزيه شودLUنشان دهيد که ماتريس زير نامنفرد است اما نمی توان به صورت -۱

− 201142321

022ن وچ[:راهنمايی =l23 نمی توان ] استu010با اين که. را محاسبه کرد ≠=A چون .اتريسی با دترمينان صفر دارد اين روش جواب نمی دهد زيرم

. حل کنيدLUبا روشهای حذفی گاوس و . دستگاه سه معادله و سه مجهول زير را درنظر می گيريم-۲

=−+=++−−=−+

=++=++=++

031223132

33753424

321

321

321

xxxxxx

xxxzyxzyxzyx

.سيستمهای خطی زير را بار وش حذفی گوس با محورگيری جزئی حل کنيد -۳

=−+−=++

=−+

=−+=−+

=++

63233532

2

6423424

44

321

321

321

321

321

321

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

. را بار وش تجزيه مثلثی حل کنيد۳ تمرين سيستمهای -۴

دستگاه زير را با محورگيری جزئی حل کرده و کليه عمليات محاسباتی را تا چهار رقم اعشار انجـام -۵

.دهيد

59.741.1611.102.373.052.811.179.541.243.1

07.1402.341.241.723.194.573.043.123.101.4

4321

4321

4321

4321

=−−+−

=−++=+++=−++

xxxxxxxxxxxxxxxx

١٩

: به صورت زير تعريف شده استB ماتريس -۶

2irAIB += 12هم چنين . بيانگر نرم هيلبرت است. ماتريسی هرميتی و A ماتريس واحد و Iدر اينجا −=i.

.r، 1>B≠0نشان دهيد برای تمام مقادير حقيقی

روشهای تکراری

)(نسبت به خطای گرد کردن اين روشها با توجه به سادگی و عدم حساسيتشان ErrorRound برای

را در مقايـسه بـا روشـهای روشـهای مـستقيم مـی باشـند، زيـ کاربرد با برنامه های کامپيوتری مناسـبتر از

ند عمليات تکرار را تا رسيدن به دقت مورد نظر ادامه فظه کمتری را اشغال می کنند و می توان مستقيم حا

.برای آشنايی با اين روشها ابتدا روش تکرار ژاکوبی را فرامی گيريم.دهند

ژاکوبی تکراریروش )الف

سيستم خطی

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++

=+++

...

......

2211

22222121

11212111

تغيـره اين روش در حقيقت تعميم روش تکرار ساده در حل معادالت غير خطی و يـک م .مفروض است

سيستم خطی را مرتب می کنيم به طريقی که درايه هـای روی قطـر ناصـفر باشـند و از لحـاظ ابتدا .است

دستگاه معادالت خطـی کمی نسبت به ساير درايه های هم سطر آن بيشترين کميت را داشته باشد سپس

ت ديگـر بيـان يکی از مجهوالت را برحسب مجهوالروابط را طوری بازنويسی می کنيم که هرکدام از

.نمايد

٢٠

nnnnnnnn

nn

nn

axaxabx

axaxabxaxaxabx

)...(

)...()...(

11,11

22212122

11121211

−−−−−=

−−−=−−−=

ــواه ــه دلخ ــب اولي ــا تقري ],...,[ب )0()0(1

)0(nxxX ــيم = ــی کن ــروع م ــی ش ــاز م ــراری را آغ و دور تک

سپس اين مقـدار را بـه عنـوان تقريـب در دور . را محاسبه کرده ايم X)1(فرض می کنيم تقريب .نماييم

:پس. را می يابيم و اين عمل را ادامه می دهيم X)2(بعد به کار می گيريم و

nnnnnnnn

nn

nn

axaxabx

axaxabxaxaxabx

)...(

)...(

)...(

)0(11,

)0(11

)1(

22)0(

2)0(

1212)1(

2

11)0(

1)0(

2121)1(

1

−−−−−=

−−−=

−−−=

:داريم. را در رابطه فوق قرار می دهيمX)1(سپس

nnnnnnnn

nn

nn

axaxabx

axaxabxaxaxabx

)...(

)...(

)...(

)1(11,

)1(11

)2(

22)1(

2)1(

1212)2(

2

11)1(

1)1(

2121)2(

1

−−−−−=

−−−=

−−−=

. را به شرح زير می يابيمkX شود سرانجام تکرار مرتبه k−1اگر فرض کنيم اين عمليات

nn

n

j

kjnjnnn

knnn

knn

kn

n

jj

kjj

knn

kk

n

j

kjj

knn

kk

axabaxaxabx

axabaxaxabx

axabaxaxabx

∑

∑

∑

−

=

−−−−

−

≠=

−−−

=

−−−

−=−−−=

−=−−−=

−=−−−=

1

1

)1()1(11,

)1(11

)(

22

21

)1(2222

)1(2

)1(1212

)(2

112

)1(1111

)1(1

)1(2121

)(1

)()...(

)()...(

)()...(

روش ژاکوبیالگوريتم

ــستم bAX سيـ ــده= ــه داده شـ ــب اوليـ ],,,[،يک تقريـ )0()0(2

)0(1

)0(nxxxX = ــی ــاب مـ انتخـ

.دستگاه را مرتب کرده تا تقسيم برصفر صورت نگيرد.کنيم

٢١

.k=0 برای : مرحله اول-۱

ni برای : مرحله دوم-۲ :يمکنمی محاسبه =1)1(

ii

n

ijj

kjiji

ki axabx ∑

≠=

+ −=1

)()1( )(

ــه ســوم -۳ ــر : مرحل )1( اگ +kix ــد ــافی دقيــق باش ــدازه ک ــه معيــار بــه ان ــت يعنــی ب ــل مــسئله دق ح

ξ≤−+ )()1( kk XX 1ر غير اين صورت د. به مرحله چهارم می رويم رسيده باشد+= kk به مرحلـه

.يمدوم برگرد

. روند را متوقف کنيد-۴

بـه حال الگوريتم فوق را با نماد ماتريسی نشان می دهيم که جهت کارهای نظری مانند همگرايـی روش

.آن نياز داريم

:اشت ضرب کنيم خواهيم دiia اگر طرفين رابطه فوق را در

bDXULDX

bXULDX

b

bb

x

xx

aL

aUa

xaxabxa

xaxabxaxaxabxa

kk

kk

nnnn

knnn

knn

knnn

knn

kk

knn

kk

1)1(1)(

)1()(2

1

2

1

22

11

)1(11,

)1(11

)(

)1(12

)1(1212

)(222

)1(1

)1(2121

)(111

)(

)(

...

...

...

−−−

−

−−−

−

−−

−

−−

++−=

++−=⇒

=

−−−=

−−−=

−−−=

1)(که ULD +− bDمعمـوال . می گيرند و ماتريس روش تکراری ژاکـوبی گوينـد H را برابر با − 1−

:پس داريم. می گيرندC را هم برابر با

,...3,2,1)1()( =+= − kCXHX jk

jk

: را هم به صورت زير نوشتjHمی توان

٢٢

)(

)()(1

11

ADIH

ADDULDDDH

j

j

−

−−

−=

+−−=+++−−=

سايدل - گاوس تکراریروش) ب

( در اين روش آخرين مقدار محاسبه شـده بـرای مجهـوالت .است ژاکوبی اين روش اصالح شده روش

عـين حـال ايـن روش در .در معادالت بعدی مورد اسـتفاده قـرار مـی گيرنـد ) رای هريک از مجهوالت ب

زيـرا هـر بـار از .زودتر از روش قبل به جواب می رسد و حافظه کمتری از کـامپيوتر را اشـغال مـی کنـد

حدس اوليه هـيچ گونـه . نمی باشد kx)( و نيازی به ذخيره سازی مقادير کندمتغيرهای جديد استفاده می

. تاثيری بر سرعت همگرايی نخواهد داشت

بزرگتـر باشـد عمليـات سـطر از مجموع سـاير ضـرايب همـان در هر سطر سيستم قطروی ريب ااگر ضر

.خيلی زودتر به جواب خواهد رسيد

:حال اگر سيستم مرتب شده ژاکوبی را درنظر بگيريم

nnnnnnnn

nn

nn

axaxabx

axaxabxaxaxabx

)...(

)...(

)...(

)1(11,

)1(11

)1(

22)0(

2)1(

1212)1(

2

11)0(

1)0(

2121)1(

1

−−−−−=

−−−=

−−−=

:اين بار. مجددا اين روش را ادامه می دهيم. به دست می آيدX)1(که

nnnnnnnn

nn

nn

axaxabx

axaxabxaxaxabx

)...(

)...(

)...(

)2(11,

)2(11

)2(

22)1(

2)2(

1212)2(

2

11)1(

1)0(

2121)2(

1

−−−−−=

−−−=

−−−=

: داريم بار انجام شودk−1فرض کنيم اين عمل . حاصل می شودX)2(و

٢٣

nn

n

j

kjnjnnn

knnn

knn

kn

n

j

kjj

kknn

kk

n

j

kjj

knn

kk

axabaxaxabx

axaxabaxaxabx

axabaxaxabx

∑

∑

∑

−

=−−

=

−−

=

−−−

−=−−−=

−−=−−−=

−=−−−=

1

1

)()(11,

)(11

)(

223

)1(2

)(121222

)1(2

)(1212

)(2

112

)1(1111

)1(1

)1(2121

)(1

()...(

)()...(

)()...(

سايدل- روش گاوس الگوريتم

bAX بـرای سيـستم داده شــده معيـار دقـت ζ و بـا انتخـاب X)0( و بـرای تقريـب اوليـه مفــروض =

:سايدل به شرح زير است -الگوريتم روش گاوس

.k=1 برای : مرحله اول-۱

ni برای : مرحله دوم-۲ : محاسبه کن =1)1(

ii

i

j

n

ij

kjij

kjiji

ki axaxabx ∑ ∑

−

= +=

−−−=1

1 1

)1()()( )(

−≥ζ به اندازه کافی دقيق باشد يا به عبارت ديگر kX)( اگر : مرحله سوم -۳ − )1()( kk XX بـه باشـد

=+1در غير اين صورت . بروچهارممرحله kk برودوم و به مرحله .

. روند را متوقف کنيد-۴

)1( را در طرف چـپ و kx)(برای نشان دادن فرم ماتريسی آن اگر −kx را درطـرف راسـت رابطـه فـوق

.قرار دهيم بدين صورت مرتب خواهد شد

٢٤

bLDCULDH

kCXHXbDLUXDLX

bUXXDL

bxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxa

xaxabxa

xaxabxaxaxabxa

gg

gk

gk

kk

kk

nk

nnnk

nk

n

knn

kkk

knn

kk

knnn

knn

knnn

knn

kk

knn

kk

11

)1()(

1)1(1)(

)1()(

)()(22

)(11

2)1(

2)1(

323)(

222)(

121

1)1(

1)1(

212)(

111

)(11,

)(11

)(

)1(12

)(1212

)(222

)1(1

)1(2121

)(111

)(,)(

,...3,2,1)()(

)(

...

...

...

...

...

...

−−

−

−−−

−

−−

−−

−−

−−

−−

+=+−=

=+=

+++−=

+−=+⇒

=+++

+−−−=+

+−−−=

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−=

−−−=

−−−=

بـرای کـاربرد عملـی ار فـرم زيـر بهتـر .ادامه روش تکرار به صورت فوق برای کارهای نظری بهتر است

است استفاده شود

nia

xaxabx

ii

n

ij

kjij

i

j

kjiji

ki )1(1

)(1

)(1

1

)1(

)1( =−−

=∑∑

+=

−

=

+

+

:مثال

۱۴مراحل تکرار را تـا . سايدل و ژاکوبی حل کنيد-ه سه مجهول زير را با روش گاوس دستگاه سه معادل

.مرحله در نظر بگيريد و درصد خطای نسبی را بيابيد

=+−=−+−=−

121272

32

321

21

xxxxx

xx

:حل به روش ژاکوبی

+=++=

+=

2)1(2)1(

2)7(

23

132

21

xxxxx

xx

٢٥

)0(]0,0,0[حال تقريب دلخواه اوليه =Xپس داريم. را درنظر می گيريم:

]5.0,5.0,5.3[

5.0

5.0

5.3)1(

)1(3

)1(2

)1(1

=⇒

=

=

=

Xxxx

. تقريبی برای مرحله بعدی می شودX)1(حال

)()1(4و اين روند را مجددا ادامه می دهيم تا جايی که 103 −− ×≤− mm XXشود .

: سايدل–حل به روش گاوس

5.3}{max625.12)1(

]625.1,25.2,5.3[25.22)1(

5.3

31

)0()1()1(2

)1(3

)1()0(3

)1(1

)1(2

)1(1

==−=+=

=⇒=++=

=

≤≤ iixXXxx

Xxxxx

375.13125.22625.31

]3125.2,625.3,625.4[625.32

625,1625.41

625.42

5.2.27

)1()2()2(3

)2()2(2

)2(1

=−=+

=

=⇒=++

=

=+

=

XXx

Xx

x

65625.2

3125.4

3125.5

)2(3

)3(2

)3(1

=

=

=

xxx

: داريم۱۳در مرحله باالخره

]75.0,5.2,75.3[

75.0

5.2

75.3)2(

)2(3

)2(2

)2(1

=⇒

=

=

=

Xxxx

9996.2

9993.4

9993.5

)13(3

)13(2

)13(1

=

=

=

xxx

٢٦

:۱۴ودر تکرار

ــال ــق ح ــای مطل )14(13(4 خط 103)0002.0,0003.0,0003.0( −×==− TXX ــای ــد خط ودرص

100نسبی9996.50003.0100

)14(

)13()14(

×=×−

X

XXبه دست می آيد .

:مثال

همگراست؟زير سايدل برای حل سيستم –آيا روش ژاکوبی يا گاوس

−

222111221

حل

14maxچون 3

1== ∑

=jiji

aHروش ژاکوبی واگراست .

15}2,5,4max{

200320220

000100220

011001

)( 1

==

−−

=

−

−

−=+−= −

g

g

H

UDLH

.يعنی اين روش هم همگرا نيست

روش تخفيف

ما در قبل بررسی کرديم که سرعت همگرايی يـک رونـد بـه شـعاع طيفـی مـاتريس تکـراری آن روش

ود کـه شود ،آن است که روشـی انتخـاب شـ می به همگرايی سريع ی که منجر يک راه حل .بستگی دارد

.ن کوچکترين شعاع طيفی را داشته باشدآماتريس تکراری

9998.2

9996.4

9996.5

)14(3

)14(2

)14(1

=

=

=

xxx

٢٧

ام k جواب تقريبی در مرحله چه چنان. سايدل را درنظر می گيريم - روش گاوس ،برای تسريع

Tkn

ki

ki

kkk xxxxxX ),...,,,...,,( )1()1()(1

)(2

)(1

)( −−−=

اگـر در روابـط رتدرغيـر ايـن صـو . جواب دقيق سيستم هستندها ودر روابط صدق نمايد اين جواب باشد

:نمايش می دهيم Rابنابراين بردار مانده را ب.در هر رابطه يک مانده خواهيم داشتصدق نکنند

Tkni

ki

ki

ki rrrR ),...,,( )()(

2)(

1)( =

: ام اين بردارهای مانده عبارت است ازi مولفه

)1()1(1

)1(1

)1(1

1

1 1

)1()()()1(

1

1 1

)1()()1()(

1

1

)1()()(

nixaxabrxa

nixaxabxar

nixaxabr

i

j

n

ij

kjij

kjiji

kii

kiii

i

j

n

i

kjij

kjiji

kiii

kii

i

j

n

ij

kjij

kjiji

kii

=−−=+

=−−=+

=−−=

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

−

= +=

−−

−

= +

−−

−

= =

−

:داريميدل سا- روش گاوساز ما

)()()1()1()2(

1

)1(1

1

)(

)( )2()(

kiii

kii

kiii

in

ii

n

ij

kjij

i

j

kjiji

Ki

xarxaa

xaxabx

=+ →

−−=

−

+=

−−

=∑∑

)3( ii

kiik

ik

i arxx

)()1()( +=∴ −

:داريم ضرب کنيم ωاگر مانده را در يک فاکتورپس

)4( ,...2,1,)1(1)(

)1()( ==+= − kniarxx

ii

kiik

ik

iω

آن که در

10 اگر فاکتور -۱ << ω و می توان آن را جهت به باشد دراين صورت روش را تحت تخفيف گوييم

. سايدل همگرا نيستند به کار برد -دست آوردن همگرايی دستگاههايی که به روش گاوس

٢٨

21 اگر فاکتور -۲ << ω باشـد در ايـن صـورت روش را فـوق تخفيـف يـا SOR مـی نـاميم و بـرای

.کار می رود سايدل همگرا هستند به -که به روش گاوس سرعت بخشيدن به همگرايی دستگاههايی

.سايدل است - باشد روش همان روش گاوس ω=1 اگر -۳

k)(اگر به جایiirقرار دهيم)1( رابطه)4( در :

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑∑

−

= +=

−−

= +=

−−−

−

= +=

−−−

=

−−

=

−

−−+−=∴

−−+−=

−−−+=

==−−+=

1

1 1

)1()()1()(

1 1

)1()()1()1(

1

1 1

)1()1()()1(

)1(1

1

)()1()(

)()1(

)(

)(

)1(1,...2,1)(

i

j

n

ij

kjij

kjiji

ii

ki

ki

i

j

n

ij

kjij

kjiji

ii

ki

ki

i

j

n

ij

kiii

kjij

kjiji

ii

ki

n

ij

kiij

i

j

kjiji

ii

ki

ki

xaxaba

xx

xaxaba

xx

xaxaxaba

x

nikxaxaba

xx

ωω

ωω

ω

ω

SOR روشالگوريتم

bAX سيستم داده شده برای داده شـده عبـارت اسـت ζ و مناسب ω يک تقريب اوليه و انتخاب و =

:از

.k=1برای : ولمرحله ا -۱

ni برای : مرحله دوم-۲ : محاسبه کن=1)1(

)()1(1

1 1

)1()()1()( ∑ ∑−

= +=

−− −−+−=i

j

n

ij

kjij

kjiji

ii

ki

ki xaxab

axx ω

ω

−≥ξ دقيق باشد و يا به عبارت ديگر kX)( اگر -۳ − )1()( kk XX ۴ برو به مرحله.

=+1در غير اين صورت kkبرو۲ مرحله و به .

. متوقف شو-۴

٢٩

:اثبات همگرايی به روش ماتريسی

)()1(1

1 1

)1()()1()( ∑ ∑−

= +=

−− −−+−=i

j

n

ij

kjij

kjiji

kiii

kiii xaxabxaxa ωω

,...2,1

)())1[()(])1[()(

)1(

)1()(

1)1(1)(

)1()(

1

)1()1()(

=+=

++−−+=

+−−=+

−+−=

−

−−−

−

+=

−− ∑

kCXHXor

bLDXUDLDXbXUDXLD

xabxaxa

kk

kk

kk

n

ij

kjiji

kiii

kiii

ω

ωωωωω

ωωωω

ωωω

.بيان می کنيم ابتدا دو قضيه زير را SOR جهت استفاده از روش ωبرای تعيين فاکتور

: قضيه کاهان

nnA، واهدلخماتريس برای هر × 1)( −≥ ωρ ωHاگر روش . استSORآنگاه همگرا باشد

20 << ω )()]1([که در آن 1 UDLDH ωωωω −−+= . استSOR ماتريس تکراری روش−

:اثبات

LDIبرای اثبات قضيه ماتريس 1−+ ωاين يک ماتريس پايين مثلثـی اسـت و قطـر . را درنظر می گيريم

ــابراين بــرای هــر مقــدار دلخــواه .ن واحــد مــی باشــدآاصــلی )}ω،1)}detبن 1 =+ − LDI ω. بنــابراين

: را می توان به صورت زير نوشتωHچندجمله ای مشخصه ماتريس تکراری

)1(])()(det[

))(det()det()(11

1

ω

ωω

ωωλ

λωλλ

HLDILDIHILDIHIP

−−

−

−−+=

−+=−=

: عبارت است ازSORاما ماتريس تکراری

٣٠

)4()1(})1(det{)0()3(})]1(det{[

})1()(det{]})1[())(()(det{)(

)2(])1[()(])1[()()])1(([)]([

])1[()(

1

11

11

11111)1()2(

111

1111

111

1

n

in

UDIPUDLDIUDILDI

UDILDILDILDIPUDILDI

UDIDDLDIUDIDLDID

UDLDH

−=+−−=

++−−=

+−−+=

−−++−+= →

−−+=

−−+=

−−+=

−−+=

−

−−

−−

−−−−−

−−−

−−−−

−−−

−

ωωω

ωλωωλ

ωωωλ

ωωωωωλλ

ωωω

ωωω

ωωω

ωωωω

. استω−1که ماتريسی باالمثلثی است و روی قطر اصلی

nn

ii H 1)(

1−=∏

=

ωλ ω

1)(1)]([

})(max{)(

−≥⇒−≥

=

ωρωρ

λρ

ωω

ωω

HH

HHnn

i

)(1همگرا باشد الزم است داشته باشيم SORحال اگر روش <ωρ H. بنابراين نتيجه می گيريم که:

2011)( ωωρ ω ⇒≤−≤H

:تعريف

nnAماتريس : داشته باشيمX را معين مثبت گوييم هرگاه برای يک بردار ناصفر ×

0

0

1 1

∑∑= =

=n

i

n

jijij

T

T

xxaAXX

orAXX

. ماتريس شبه معين مثبت ناميده می شودAXXT≤0گر ا

:مثال

.نشان دهيد ماتريس زير معين مثبت است

٣١

−−=

410143034

A

حل

Aمتقارن و سه قطری است .

. معين مثبت استAيعنی

:قضيه

nnAهرگاه ماتريس : مثبت و سه قطری باشد آن گاه معين×

1)]([)( 2 <= jg HH ρρ

. ماتريس تکراری روش ژاکوبی استjH سايدل و- ماتريس تکراری روش گاوس gHکه در آن

: عبارت است ازSOR روش ωبهترين انتخاب

03)()(3

42464

44334

][410143

034][

][

0

23

232

221

21

2332

2221

21

32

321

21

321

3

2

1

321

321

3

2

1

xxxxxxxxxxxxx

xxxxx

xxxxx

xxx

xxx

xxxX

xxx

X

T

+−+++=

+−++=

+−−+

+=

−−

=

≠

=

2)]([1121)(

jH

H

ρω

ωρ ω

−+=

−=

٣٢

: از فرمولهای زير محاسبه می گرددoptωو يا در مسائل عملی

1sin1

)sin1(2sin1sin1)(

sin12

−=+

+−=

+−

=

+=

opt

opt

hh

hhH

h

ωπ

πππ

ρ

πω

ω

که n

h+

=1

. گامهايی است که معادله ديفرانسيل با آن حل شده است1

:مثال

2108.0در صـورتی کـه معيـار دقـت . حل کنيد SORدستگاه زير را با روش −×=ζ و تقريـب اوليـه

TX ]1,1,1[)0( . باشد=

−=+−=−+

=+

2443043

2434

32

321

21

xxxxxxx

حل

−−=410143

034A

پس می توان از قـضيه .ماتريس متقارن و سه قطری است و در مثال قبل نشان داديم معين مثبت نيز است

. را محاسبه نمودωر فوق استفاده کرد و فاکتو

)(;)(11

2 1

2ω

ρω ω +−=

−+= − LDH

H

:برای دستگاه داده شده ماتريس تکراری ژاکوبی عبارت است از

٣٣

25.1

161011

2

1610)(

410

00)

1610(

410

41

43

043

0410

410

43

0430

010103030

4100

0410

0041

2

3,2

12

≅−+

=

=⇒

±=

=⇒=−−=

−

−−

−−

=−

−

−

=

−−

−=

ω

ρλ

λλλ

λ

λ

λ

λ jj

j

HIH

H

. مجاز استSOR استفاره از روش ωبا توجه به مقدار

را 3x و 2x و 1xدر انتها . ضرب می کنيم ω=25.1سپس طرفين فوق را در .يمسيستم را مرتب می کن

.در طرف چپ و بقيه را به سمت راست انتقال می دهيم

٣٤

00279.5

98882.3

01341.3

008.0_______________________________

0044703.5

9821186.3

0214577.3

649.6

522.3

313.6

__________________________25.03125.05.7

25.03125.0937.0375.925.0937.05.7

_______________________3125.05.725.1

3125.0937.0375.925.1937.05.725.1

_____________________4

)24(4

)330(4

)324(

)7(3

)7(2

)7(1

)6()7(

)6(3

)6(2

)6(1

)1(3

)1(2

)1(1

323

2312

121

23

312

21

23

312

21

−=

=

=

=−⇒

−=

=

=

−=

=

=

−+−=−+−=

−−=

+−=+−=

−=

+−=

+−=

−=

xxx

XX

xxx

xxx

xxxxxxx

xxx

xxxxx

xx

xx

xxx

xx

٣٥

آناليز خطا

يسینرمهای برداری و ماتر

بعـدی بـا مولفـه هـای حقيقـی ، n يعنی مجموعه تمـام بردارهـای nℜيک نرم برداری روی :تعريف

ℜ بتوی nℜ از .تابعی است مانند

ℜ→ℜn:.

: خواص زير صدق می کند که در

۱- 0: >ℜ∈∀ XX n

۲- 0>X 0اگر و فقط اگر≠X.

۳- XXX n ααα =ℜ∈ℜ∈∀ :,

۴- YXYXYX n +≤+ℜ∈∀ :,

T برای بردارl∞ و 2l و 1lنرمهای : تعريفnxxxX ),,,( 21 =به صورت زير تعريف می شوند :

: نرم اقليدسی -۱

21

1

22

})({∑=

=n

iixX

: نرم ماکزيمم -۲

}{max1 ini

xX≤≤∞

=

: نرم مطلق -۳

∑=

=n

iixX

11

٣٦

∋ℜ∈ℜ به ازای هر :قضيه α,, nXY

۱- 0>∞

X

۲- 0>∞

X 0 اگر و فقط اگر=X

۳- ∞∞

= XX αα

۴- ∞∞∞

+≤+ YXYX

):۴اثبات

∞∞

≤≤≤≤

≤≤≤≤∞

+=

+≤

+≤+=+

YX

yx

yxyxYX

iniini

iiniiini

11

11

maxmax

}{maxmax

∞دنباله : تعريف=1

)( }{ kkx از بردارهای درnℜ همگرا به .م نربت به را نس x گويند اگـر بـه ازای هـر

0ζ عدد صحيحی مانند )(ζN يافت شود به طوری که به ازای هر )(ζNk : داشته باشيم≤

ζ<− xx k)(

ماتريسی نرم تعريف

nnمجموعه تمام ماتريسهای يک نرم ماتريسی بر ايـن کـه بـر . حقيقی تابعی اسـت حقيقـی ماننـد ×

nn و ماتريـسهای ℜ∈αمجموعه تعريف شده باشد و به ازای هر مقـدار ×، A و B ايط زيـر در شـر

:صدق کند

۱- 0>×nnA

۲- 00 =⇔= AA

۳-AAA nn ααα =ℜ∈∀ × :,

۴- BABABA nnnn +≤+∀ ×× :,

۵- BAAB .

٣٧

:قضيه

)(هرگاه ijaA= يک ماتريس nn باشد آن گاه ×

∑=≤≤∞

=n

jijni

aA11

max

:تعريف

nnيک ماتريس )( مانند × ijaA را همگرا ناميم اگر =

0)(lim:)1(1, ==∀∞→ ij

k

kAnji

:نرمهايی که معموال استفاده می کنيم عبارتند از

) :فروبينيوس( نرم اقليدسی ) ۱

21

1,

2})({)( ∑=

=n

jiijaAF

:نرم ماکزيمم) ۲

سطری: الف

}{max1

∑=

∞=

n

jiji

aA

ستونی) ب

}{max1

∑=

∞=

n

iijj

aA

)هيلبرت(نرم طيفی ) ۳)(

2AAA Tρ=

٣٨

:لم

:،آنگاه A>1 هرگاه

AAI

A −≤±≤

+−

11)(

11 1.

)برهان

)(1طــی طبــق تعريفــی در جبــر خA>1اگــر <Aρ 0 آنگــاه≠− AI). 1چــون اگــرλ آنگــاه

0=− AIλ(

)(1 يعنی −− AI پس داريم. موجود است:

nnIAIAI ×− =−− )()( 1

AAA

AIA

AI

AAI

AIAAIAAIAAI

AIIAIAAI

IAIAAIAAIAII

AAif

−=

−≤+ →

−≤−∴

−−≥

−−≥−⇒

−≤−

−−≥−−=−

−−=−

−−−=

−−→−

−

−−

−−

−−−

−−

−−

11)(

11)(

]1[)(1

1)()()()(

1)()()(

)1()()()()(

11

1

11

11

111

11

11

آناليز خطای روشهای مستقيم سيستم خطی

)1(bAX =

bAXرا که دارای جواب منحصر به فرد Aδفـرض مـی کنـيم کـه .مگيـري می را در نظر است =−1

عبـارت Xايـن صـورت جـواب تقريبـی در .باشد bبردار خطای bδ و Aخطای درايه های ماتريس

:است از

٣٩

)4()()()(

)3()()(

)3()(])[()()(

)()()2()()()(

1111111

111

111

111

11

1

−−−−−−−

−−−

−−−

−−−

−−

−

+−+≤+−+=+

′++−+≤−

++−+=

−+++=

−++=−

++=⇒+=+

AAAAAAAAAA

bAAbAAAXXbAAbAAAbAbAAbAA

bAbbAAXXbbAAXbbXAA

δδδ

δδδ

δδδ

δδδ

δδ

δδδδ

)3(در)4(با قرار دادن : داريم′

)5(][*)(

)()(111

11111

bAbbAAA

bAbAAAbAAAXX

δδδ

δδδδ−−−

−−−−−

++−+=

+−++−+≤−

)6()()(

][)(

)(

])(

111111

1111

111

111

AAAAIAAAA

AIAAIAAI

AAAII

AAAII

δδδ

δδ

δ

δ

−−−−−−

−−−−

−−−

−−−

−−≤−+∴

−−−=

−−≤

−−=

11اگر فرض کنيم <− AA δطبق لم داريم :

AAAAI

δδ

111

11)(

−−−

−<−

: قرار دهيم داريم)6(اگر عبارت فوق را در

)7(1

)(1

1111

AA

AAAAAA

δ

δδ

−

−−−−

−≤−+

: قرار می دهيم)5(دررا )7(حال

[ ]1111

1111111

)(

)()()(

−−−−

−−−−−−−

−−=

−−=+−=−+

AAAIA

AAIAAAAAAAA

δ

δδδ

٤٠

)10()(1

)(

)9()(1

)8()(1

][1

1

1

1

1

1

11

11

bb

AA

AAAcond

XXX

XAb

XAAX

AA

AAX

XX

XAbAX

Ab

AAX

AA

AAXX

bAbbAA

AAAXX

δδ

δ

δδ

δ

δδ

δ

δδδ

δ

+−

≤−

+−

≤−

≤=

+−

≤−∴

++−

≤−

−

−

−

−

−

−−

−−

را سيـستم 1condخـوش وضـع و اگـر را سيـستم نزديک به عدد يـک باشـد Acond)(حال اگر

. نامندبدوضع می

بـا خطـای نـسبی درايـه Xنتيجه می گيريم کـه خطـای نـسبی در بـردار جـواب (10)با توجه به رابطه

در ) ۱۰در عمـل بيـشتر از ( باشـد يکبزرگتر ازبسيار چه عدد حالت چنان .در ارتباط است bو Aهای

در ايـن .ين تغييرات را در بردار جواب ايجاد می کنـد ر بزرگت A يا bاينصورت کوچکترين تغييراتی در

لذا سيـستم را سيـستم بـد .ند اطمينان نيست قابل د و صورت جوابهای حاصله با خطای زيادی همراه هستن

.وضع می نامند

هرگونـه تغييـرات در )10( باشد در اينصورت با توجه بـه يککوچکتر از نزديک و چنانچه عدد حالت

A وb در عمـل . مـی نامنـد خـوش وضـع را سيـستم يستم لذا س .تغيير آنچنانی در بردار جواب نمی دهد

چنـان چـه ابعـاد آن Aاستفاده از تعريف عدد حالت به خاطر اين که به دست آوردن معکوس ماتريس

لذا می توان معيارهای ديگـری را جهـت بررسـی کـردن مرسوم نيست بسيار بزرگ باشد مقدور نيست ،

اگـر ميـانگين يکی از اين معيارها اين است کـه .عمال به کار برد خوش وضعی و بدوضعی يک سيستم

٤١

ين صـورت سيـستم را بدوضـع ادرايه های ماتريس نسبت به دترمينان آن ماتريس بسيار بزرگ باشد در

:است از عبارت می توان از معيار بررسی نيومن استفاده کرد که همچنين.می ناميم

min

max)(λλ

=Acond

minλ کوچکترين مقدار ويژه و maxλ چنـان چـه نـسبت ايـن دو . بزرگترين مقدار ويـژه مـاتريس اسـت

امـا از لحـاظ عملـی چنـان چـه سيـستم بـسيار . می نامند بدوضع را سيستم مقدار ويژه بسيار بزرگ باشد

يست، لذا می تـوان سيـستم فـوق را بايـک معيار های فوق الذکر عمال مقدور ن به کار بردن بزرگ باشد

رقم اعشار محاسبه نمود و سپس همين الگـوريتم را بـا معيـار دقـت دو برابـر tالگوريتم و با معيار دقت

چنان چه جوابهای هر دو حالت نزديک هم باشند سيستم را خوش وضع می ناميم در غيـر . محاسبه نمود

.بدوضع می ناميماين صورت سيستم را

:نتايج

خطـای آنگـاه ) bδ=0يعنـی (داشـته باشـد هيچ خطايی وجود ن bبردار در فرض کنيم که اگر ) الف

:نسبی عبارت است از

AA

AAAcond

XXX δ

δ⋅

−≤

−−11

)(

در ايـن ) Aδ=0يعنـی (باشـد داشـته وجـود ن خطايیAدر درايه های ماتريس فرض کنيم که اگر )ب

: بااست خطای نسبی برابرصورت

bb

AcondX

XX δ)((≤

−

مثال

.کنيدبررسی بد وضعی يا خوش وضعی دستگاه های زير را

٤٢

793940)1(

814041

21

21

=+

=+

xx

xx

0000.13333.00000.1)2(

0000.26667.00000.2

21

21

=+

=+

xx

xx

:حل

: عبارت است از)1(جواب دستگاه

121 == xx

.يعنی سيستم بدوضع است. است-۱ و دترمينان ماتريس ضرايب ۴۰در حالی که ميانگين درايه ها

99.8081چــون اگــر 01.7979 و → 19.0,79.1 جــواب دســتگاه → 21 == xxيعنــی . مــی شــود

. در بردار جواب می گرددررين تغيي باعث بزرگتbرکوچکترين تغيير د

: جوابها عبارتند از)2(برای دستگاه

00000.1

2

1

==

xx

جوابها به ۰,۶۶۶۶ به ۰,۶۶۶۷حال با تغيير

kxkx

=−=

2

1 333.01

.پس سيستم بدوضع است.همچنين دترمينان ماتريس به صفر تقليل می يابد.تغيير می يابند

روشهای تکراریهمگرايیآناليز

چنان چه روشهای تکراری را جهت حل آن به کار بگيريم .سيستم خطی ذيل مفروض است

)1(,...3,2,1)1()( =+=

=− kCHXX

bAXkk

٤٣

)(kX پس از جواب تقريبی است که با استفاده از روش تکراری k و شـده اسـت محاسبه مرتبه تکرار

Xفوق هستيم سيستم رفتار جواب بررسی ما درصدد در اين جا . است سيستم جواب واقعی.

.صدق می کندفوق جواب واقعی سيستم است پس در رابطه تکراری Xاز آنجا که

)2(CHXX +=

:کم کنيم)1( را از )2(اگر

)3(

,...2,1,...2,1)(

)0()(

)0(2)1()2(

)0()1(

)1()(

)1()(

ξξ

ξξξ

ξξ

ξξ

kk

kk

kk

H

HHH

kHkXXHXX

=

==

=

==

=−=−−

−

برای اين که خطا k→∞ افزايش بيابد يا به عبارتیk می توان دريافت که اگر )۳ (با توجه به رابطهجهت بررسی همگرايی .ميل نمايد به سمت صفر kHبه سمت صفر ميل کند الزم است که ماتريس

حال جهت اثبات همگرايی . در هر مرحله تکرار ثابت باشدHفرض می کنيم که ماتريس تکراری روشهای تکراری ابتدا چند لم و قضيه زير را درنظر می گيريم و سپس قضايای همگرايی را اثبات می

.کنيم : داريم.pبرای هر نرم : ۱لم

pAA ≤)(ρ

)اثبات

:پس داريم. باشندA مقدار ويژه و بردار ويژه متناظر با آن برای ماتريس λ,xفرض می کنيم

.برای هر مقدار ويژه ای از جمله شعاع طيفی

:۱قضيه

nnAماتريس 0limمفروض است آنگاه× =∞→

k

kA 1 اگر<A 1و اگر و فقط اگر)( <Aρ.

pppp

pppp

AxAx

xAAxxxxAx

≤⇒≤∴

≤==

=

λλ

λλ

λ

٤٤

: قسمت اولبرهان

0lim0lim0lim0limlim

1

=⇒=→⇒→≤

≤⇒<

∞→∞→∞→∞→∞→

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

kk

AAAAA

AAAif

:برهان قسمت دوم

د آنگـاه يـک نبرای آسانی کار فرض می کنيم تمام مقادير ويژه ماتريس مورد نظر مجـزا و حقيقـی باشـ

مـی تبـديل D که ماتريس را به ماتريسی قطری مثل يافت می شود به طوری S انندل متشابه ساز م تبدي

:يعنی.دارد قرار Dی که تمام مقادير ويژه ماتريس موردنظر روی قطر اصلی ماتريس تورصکند به

=

n

D

λ

λλ

0

0

2

1

1max)1(11

0lim0lim0lim

:

0limlim

,...3,2,11)1(1)(

0,1

1

1

<⇒=<≡

= →=≡=

⇐

→=

=<⇒<

∞→

≠−

∞→∞→

∞→

−

∞→

−

ii

k

k

SSk

k

k

k

k

k

k

k

i

ni

DSDSAif

SDSA

iinAif

λλ

λρ

=⇒

=

===

⇒

−

−−−−

kn

k

k

k

kk

D

SDSA

SDSDSSDSSDSSA

λ

λ

λ

2

1

1

2111212 ))(()(:

٤٥

:۲قضيه

32...سری نامتناهی ++++ AAAI 1 به)( −− AI 0همگراست اگرlim =∞→

k

kA.) اين سری بـه سـری

.) استعروفنيومن م

:با توجه به قضيه فوق نتيجه می گيريم )اثبات

01)(0lim 1 ≠−⇒< →=∞→

AIAA theoremk

kρ

)(1يعنی −− AIموجود است .

:۱ همگرايی قضيه

)()2,110...,روش تکراری =+= − kCHXX kk که برای حل سيـستم bAX بـه کارگرفتـه مـی =

.H>1شود عليرغم هر تقريب اوليه ای به مقدار واقعی جواب همگراست اگر

:برهان

)0()0,0,...,0(0 تقريب اوليه اگر برداره بدون خلل به کليت مسئل ==X را انتخاب کنيم داريم:

)()(lim

)(limlim

)())((3)(2

1

1)(

21)(

220()3(

)1()2(

)1(

BCHIX

CIHHHX

CIHHCCIHHCHXXkCIHCHCCHXXk

CXk

k

k

kk

k

k

k−

∞→

−−

∞→∞→

−=

++++=

++=++=+==

+=+=+==

==

:اگر روش تکراری ژاکوبی باشد) ۱حالت

bDCULDH jj11 ;)( −− =+−=

: داريمB)(و با قرار دادن اين عبارت در

1120

112

12

)())(0(

))((lim)(lim))((

−−→

−+

∞→∞→

+

−=−−=+++ →

−−=++++

−=−++++

AIAIIAAI

AIAIAAAIAIAIAAAI

kA

k

k

k

k

kk

٤٦

0limlim

)())](([

))((lim

1)0()(*

1

11

111

111

111)(

→=→

==

=

=

++=

++=

∞→∞→

−

−−

−−−

−−−

−−−

∞→

Hk

k

k

k

k

k

H

XbA

bDDAbDAD

bDLUDD

bDLUDIX

ζζ

: سايدل باشد-اری گاوس اگر روش تکر) ۲حالت

bDLCUDLH gg11 )(;)( −− +=+−=

: داريمB)(با قرار دادن اين عبارت در

0lim))((

)())()((

)())((lim

)(

11

111

111)(

→⇒

=++=

++++=

+++=

∞→

−−

−−−

−−−

∞→

k

k

k

k

XbDLDLAbDLUDLDL

bDLUDLIX

ζ

: باشدSORاگر روش تکراری ) ۳حالت bLDCUDLDH 11 )(;])1[()( −− +=−−+= ωωωωω ωω

: داريمB)(با جايگذاری در عبارت

0lim))((

)(]})1([){(

)(]))1[()((lim

)(

11

111

111)(

→⇒

=++=

++−−++=

+−−+−=

∞→

−−

−−−

−−−

∞←

k

k

k

k

XbLDLDAbLDUDLDLD

bLDUDLDIX

ζ

ωω

ωωωωωω

ωωωωω

:۲قضيه همگرايی

)()1(2,1...,شرط الزم و کافی برای آنکه يک روش تکراری بـه فـرم =+= − kCHXX kk همگـرا

: در رابطه زير صدق کندHباشد آن است که مقادير ويژه ماتريس تکراری

,...2,1;1)( =< iHiλ

٤٧

:برهان

nλλλمقدار ويـژه متمـايز n دارای Hفرض کنيم ماتريس تکراری ,...,, خطـا در ζ)0(اگـر . باشـد 21

تقريب اوليه اين روش باشد از آنجا که مقادير ويژه مجزا هستند نتيجـه مـی گيـريم کـه تمـام بردارهـای

nxxxمتناظر اين مقادير يژه و ,,, 21 يعنـی هـر . مستقل خطی هستند و تشکيل فضای برداری مـی دهنـد

: از بردارهای مستقل خطی نوشتترکيب خطی بردار در اين فضا را می توان به صورت

)2()(limlim

)1(0,

111)0(

22

2221

211

)0(2

222111

2211)0(

2211)0(

nk

nnk

k

k

k

nnn

nnn

XHXnn

iinn

XCXCH

XCXCXCHXCXCXC

HXCHXCHXCHXCXCXCXC

λλζ

λλλζ

λλλζ

ζλ

++=

+++=

+++= →+++=

≠+++=

∞→∞→

=

niCXbecauseorHif kikii

k

k

k

k)1(10lim0,0lim0lim )( ==≠⇔→→

∞→∞→∞→λζ

nii )1(11 =⇔ λ

: تعريف

بـه صـورت را vشد در اين صورت مـی تـوان با روشهای تکراری سرعت همگرايی vکنيمفرض می

:نمودزير تعريف

يعنی.از اين تعريف نتيجه می گيريم که تعداد مراحل تکرار الزم با نرخ همگرايی نسبت معکوس دارد

.و مرتبه همگرايی بيشتر می شود تعداد مراحل کمتر باشد کوچکترHهر چقدر شعاع طيفی ماتريس

:۱مثال

. تا دو مرحله حل کرده و سرعت همگرايی آن را بيابيدSORسيستم را به روش

)(log Hv ρ−=

٤٨

−=+−=−+=+

5.025325.423

zyzyx

yx

:يعنی.مثبت استثابت می کنيم معين .ماتريس ضرايب متقارن، سه قطری است:راهنمايی

[ ] 0)()2(2210132023

22222 yzzxyxyxzyx

zyx −+++++=

−−

1811)(

1811

00

0210

310

32

0320

)(

1871

2)(11

2

2

3,2

11

2

=⇒

±=

=≡=−⇒

−

−

=+−=

+=

−+=

−jjj HIHULDH

H

ρλ

λλ

ρω

bAXاگر سيستم خطی : قضيه روش تکـراری ژاکـوبی همـواره آنگـاه اکيـدا غالـب قطـری باشـد =

.همگراست

:داريم) غالب قطری (بق تعريف ط : برهان

٤٩

−=⇒

=+

=⇒

=

+−=

=

<<

−

−

−

−

≠=

≠=

∑∑

0

0

0

00

10

01

1

0

0

)(;

(*)1

1,1

11

1

11

1,1

11

12

21

221

112

22

11

122

11

1

21

22221

11211

11

nn

nn

nn

n

nn

nn

n

n

nn

nn

nnnn

n

n

n

ijj ii

ijii

n

ijj

ij

aa

aa

aa

aa

aa

H

aa

aaaa

UL

a

a

a

D

a

aa

D

ULDH

aaa

aaaaaa

A

aa

oraa

: را حساب کنيم کهHيمم سطری ماتريس حال کافی است که نرم ماکز

∑≠=

n

ijj ii

ij

aa

1

:يعنی. کمتر از يک می باشد(*)می شود که طبق 0lim0lim1 =≡=⇒<

∞→∞→

k

k

k

kHH ζ

.همگراست) ژاکوبی(يعنی اين روش

:۲مثال

CBA به صورت A فرض کنيم ماتريس C و B و A داده شده است که در آن =−

٥٠

)()1(2,1...,همچنين .نامنفرد هستند =+= − mYCXBX mm شرط الزم و کافی بـرای . مفروض است

YAXآن که m

m

1)(lim −

∞→ ت؟ چيس=

:حل

dIHHXHX

dIHXHddHXHdHXXmdHXXm

dYBHCBifYBCXBX

mmmm

mm

)(

)()(21

,

21)0()(

)0(2)0()1()2(

)0()1(

111)1(1)(

++++=

⇔++=++=+==

⇔+==

==+=

−−

−−−−−

حال اگر فرض کنيم(*)11 CBH −=

در اين صورت

YABdAX

dCBBX

CB

m

m

m

m

m

m

11)(

11)(

1

lim

))((lim

0)(lim

−−

∞→

−−

∞→

−

∞←

==

⇔−=

⇔=

. می باشد(*)يعنی شرط الزم و کافی همان

bAX اگر ماتريس ضرايب سيستم :قضيه سـايدل -وس اکيدا غالب قطـری باشـد آن گـاه روش گـا =

.همگراست X)0(برای هر

)اثبات

)1(

1

)(1

1

)(

1

1

)1(

1

)()(

11)( )()(

−

+=

−

=

−

=

−

+=

−−

∑∑

∑ ∑

+≤

−−=

+−++=

kn

ij ii

ijki

j ii

ijk

i

j

kj

n

ij ii

ijkj

ii

ijk

k

eaa

eaa

e

eaa

eaa

e

bDLUDLXe

٥١

)0()1()(

1

1

1 1

1

)1()(1

1

1

)1(

eee

aa

aa

aa

eaa

eaa

kkn

ijj

i

j

n

ij ii

ij

ii

ij

ii

ij

n

ij

k

ii

ijki

j ii

ij

−

≠=

−

= +=

+=

−−

=⇒

+=

≤−

∑ ∑ ∑

∑∑

.همگراست) سايدل -گاوس (يعنی اين روش

٥٢

فصل دوم

مقادير ويژه و بردارهای ويژه

زيرسيستم خطی

bAX= را ناهمگن ودرغير اين صـورت سيـستم در اين حالت سيستم را باشد b≠0آن را درنظربگيريدکه در

)det(0اگر سيستم همگن باشد و .ندنخوامی همگن ≠A آنگاه تنها جواب دسـتگاه مـی توانـد جـواب،

)0(بديهی =X 0دارای فـوق ناهمگن ولی هرگاه سيستم . باشدdet ≠A باشـد سيـستم دارای جـواب

bAXمنحصر به فرد له بردارهای ويژه ئمنجر به مس همگن برای سيستم غيرصفريافتن جواب . است =−1

:بدين منظور بايد داشته باشيم.گردد مقادير ويژه ميو

0)(det =− IA λ

:يعنی. است λ برحسب nکه عبارت باال چندجمله ای از درجه

0)( 11

1 =++++= −−

nnnn

n aaaP λλλλ

),,,(با حل اين معادله تمام ريشه های آن 21 nλλλ به دست می آيند که همان مقادير ويژه مـاتريس

.موردنظر می باشند

های چندجمله ای مـی تـوان ه س با حل ريشندجمله ای ويژه می يابند و سپ چمستقيمی که ابتدا روشهای

... ير و رمقادير ويژه را يافت عبارتند از روش بسط دترمينان ، روش برداری و روش فاديو لو

.اين روشها را می توان با استفاده از مثال زير بررسی نمود

:مثال

.به دست می آوريم از روش بسط دترمينان ابتدا مقادير ويژه را با استفاده.مفروض است Aماتريس

٥٣

=

213132321

A

:حل به روش بسط دترمينان

±=

=⇒=−++−=

=−−+−−+−−−−

=−

−−

=−

3

601836)(

0))3(32(3))2(23(2]1)2)(3)[(1(

0213

132321

)det(

3,2

1233 λ

λλλλλ

λλλλλ

λλ

λλ

P

IA

هـاميلتون در -روش برداری مبتنی بـر اسـتفاده از قـضيه کيلـی .اين مثال را با روش برداری حل می کنيم

بنـابراين .صه خـود صـدق مـی کنـد که بيان می کند هر ماتريس در چندجمله ای مشخـ است جبر خطی

:عبارت است از آن برای مثال فوق چندجمله ای مشخصه

:يعنی.در رابطه فوق صدق می کند A هاميلتون ماتريس -طبق قضيه کيلی

0)( 322

13

3 =+−+−= IaAaAaAAP

TYحال اگر يک بردار دلخواه ناصفر مانند اب کنيم و در رابطه فوق ضرب نماييم را انتخ=]0,0,1[

:داريم

0322

13 =+−+− YaAYaYAaYA

123رابطه فوق يک دستگاه سه معادله و سه مجهول است که در آن مجهوالت ,, aaa بـا حـل . هـستند

اين دستگاه

6,3,18 123 =−=−= aaa

.تلذا چندجمله ای مشخصه را می توان به فرم زير ياف.می باشند

322

13

3 )( aaaP +−+−= λλλλ

٥٤

01836)( 233 =−++−= λλλλP

که به طرق مختلف چندجمله ای مشخصه را می يابند و با حل چندجملـه اين است هدف دو روش فوق

.ای مشخصه مقادير ويژه را به دست می دهند که از لحاظ محاسباتی مقرون به صرفه نيستند

ير اسـت کـه رود روش فاديو لـو از روشهای مستقيمی که برای تعيين مقادير ويژه به کارمی ر ديگر يکی

.به شرح آن می پردازيم

:يررروش فاديو لو

اين روش با استفاده از اثر ماتريس چندجمله ای مشخصه را محاسبه و با حـل ايـن چندجملـه ای مقـادير

:اثر ماتريس عبارت است از.ويژه را به دست می دهد

nnnn aaaAtr +++=× 2211)(

بعدی باشد آنگاه معادله مشخـصه ايـن مـاتريس را بـه nک ماتريس يAچنان چه فرض کنيم ماتريس

:صورت زير درنظر می گيريم

nnnnn

n aaaP ++++−= −− λλλλ 11

1 ...)1()(

: ماتريس های جديد به شرح زير ساخته می شوندطبق الگوريتم اين روش

)(1)(

)(31)(

)(21)(

)(

11

33223

22112

111

nnnnn Btrn

aIaBAB

BtraIaBAB

BtraIaBAB

BtraAB

=⇒−=

=⇒−=

=⇒−=

=⇒=

−−

٥٥

باحـل ايـن .و جايگزينی آن ،معادله مشخـصه تعيـين مـی شـود چندجمله ای حال با تعيين شدن ضرايب

. می يابيم مقادير ويژه راچندجمله ای

)مثال

.ير بيابيدر لوفاديو روش را توسطAتمام مقادير ويژه ماتريس

=

213132321

A

:حل

−−−

−−=

−−

−

=−=

=++==⇒==+++−=

257541718

621316323261

213132321

)(

6231)(0)1()(

112

111

322

133

3

IaBAB

BtraABaaaP λλλλ

01836)(

18)181818(31)(

180001800018

325753417158

213132321

)(

3)248(21)(

233

33

223

22

=−++−=∴

−=−−−==⇒

−−

−=

−−−−−

−−−

=−=

=+−==⇒

λλλλP

Btra

IaBAB

Btra

.حال کافی است که معادله باال حل گردد و مقادير ويژه به دست آيد

ير ضرايب راحـت ر لو روش در اين است که در و برداری های بسط دترمينان ير بر روش رلوروش مزيت

.دنتر به دست می آي

:۱قضيه

.متعامد هستندويژه بردارهای ه يکسان ودارای مقادير ويژTA و A ماتريس های

٥٦

:اثبات

)det()det(چون TAA . دارندسان يعنی مقادير ويژه يک هستند پس دارای چندجمله ايهای يکسانی=

با مقادير بردارهای ويژه متناظر iuاشد و مجزا ب iλ مقدار ويژه n دارای Aحال فرض می کنيم ماتريس

طبـق . باشـد jv ويـژه هـای بردار وjλ مقـادير ويـژه دارایTAفرض می کنيم مـاتريس و باشد آن ويژه

:تعريف مقدار ويژه داريم

≠=

=≠⇒=−⇒

= →

=

=

==

==

==

0

)7(00)(

)5(

)4(

)3()1(1

)2()1(1

)1()1(1

)5(),4(

iT

j

iT

ji

Tjij

iT

jiijT

j

iT

jiiT

j

iT

jjiT

j

Tjj

Tj

jjjT

iii

uvjiif

uvjiifuv

uvuv

uvAuv

uvAuv

njvAv

njvvAniuAu

λλ

λλ

λ

λ

λ

λ

λ

را طـوری انتخـاب v وuمولفه هـای از آنجا که مولفه های بردارهای ويژه پارامتری هستند لذا می توان

: که ردک

)8(1=iT

j uv

=≠

= →jiji

uv iT

j ;1;0)8(),7( . استTA وAو اين همان متعامد بودن بردارهای ويژه

:۲قضيه

. نسبت به هم معکوس هستند اما بردارهای ويژه يکسانی دارندA−1 و Aمقادير ويژه

٥٧

:اثبات

:پس داريم. باشندAتريس به ترتيب مقادير ويژه وبردارهای ويژه ماiu وiλفرض کنيم

ii

i

iniiiAisthere

iii

uuA

iAisAbecauseuAu

niuAu

λ

λλλλλ

λ

100)det(:;

)1(1

1

21111

=

∀≠⇒≠== →

==

−

−−−

. هستندA معکوس مقادير ويژه ماتريسA−1يعنی مقادير ويژه ماتريس

:تعريف

:ن بيابيم کهنا چS نظيريم هرگاه يک ماتريس نامنفرد را دو ماتريس متشابه گويB وAماتريس

BSSA 1−= . می باشدA و متشابهS تحت متشابه سازBدر اين رابطه

:نتيجه

:چون.نی هستنددو ماتريس متشابه دارای دترمينانهای يکسا

1)det()det()det()det(

)det()det()det()det(

1

1

=

=⇒=

−

−

SSBA

SBSA

:قضيه گرشگورين

:يعنی.شعاع طيفی يک ماتريس نمی تواند از نرم سطری ستونی آن تجاوز کند

AA ≤)(ρ

:۱اثبات

AXXAXAAXX

XAXXAX

XAX

X < →≥⇒≤=

=

=

=

λλλ

λ

λ

λ

0

٥٨

:۲اثبات

niininninin

iininii

iininii

niiiiiii

XXaXaXa

XXaXaXaXXaXaXa

XXXXniXAX

,,2,21,1

2,,22,221,21

1,,12,121,11

,2,1, ),,,()1(1

λ

λ

λ

λ

=+++

=+++

=+++

===

rirkiاگر فرض کنيم که XX ,, max= ابطه باشد رk ام را در نظر می گيريم:

)1()1(1

)1(1

,

,

,

2,2

,

1,1

,

,

,

2,2

,

1,1

,,,2,21,1

niXX

aaXX

aXX

a

niXX

aaXX

aXX

a

XXaXaXaXa

ki

niknkk

ki

ik

ki

iki

iki

niknkk

ki

ik

ki

ik

kiiniknkikkikik

=++++≤

==+++++

=+++++

λ

λ

λ

با توجه به فرض فوق داريم که

)2(1,

, rXX

ki

ri ∀<

:نتيجه می گيريم که ) ۱(با استفاده ازرابطه

)3(1

21 ∑=

=+++++≤n

jkjknkkkki aaaaa λ

اگر جای سطر و ستونها عوض شود مقـادير ۱ قضيهحال طبق .بارت همان تعريف نرم سطری است اين ع

.پس برای نرم ستونی هم رابطه برقرار است. ويژه تغيير نمی کند

:قضيه براور

nnAبرای ماتريس ام بـه جـز درايـه روی قطـر باشـد k سطر حاصلجمع قدر مطلق عناصر kP ، هرگاه ×

nnAآنگاه تمام مقادير ويژه زير داخل يا روی يکی از دواير×

nkPa kkk )1(1=≤−λ

٥٩

.دنقرار دار

:برهان

: داريم در قضيه گرشگورين)3(استفاده از رابطهبا

∑=

=+++++≤n

jkjknkkkki aaaaa

121 λ

:از رابطه فوق می توان نتيجه گرفت که

k

n

kjj

kjknkkkkkkkki Paaaaaaa ==++++++≤− ∑≠=

+−1

1,1,21 λ

):کاربرد قضيه براور(مثال

.حدود مقادير ويژه ماتريس زير را تعيين کنيد

213132321

اجتماع دواير سـطری و سـتونی ماتريس متقارن است از آنجا که .درنظر می گيريم ابتدا دواير ستونی را

.برهم منطبق اند

42

5133

51

≤−

∪

≤−⇒≤−

∪

≤−

λ

λλ

λ

)شکل(

∑≠=

− =+++++≤−n

kjj

kjknkkkkkki aaaaaa1

1,21 λ

٦٠

لـذا بـا .باشندداشته قرار۱ و مرکز ۵رون يا روی دايره ای به شعاع د ها می بينيم که بايد مقادير ويژه در انت

می باشد مقـادير ويـژه نمـی ۶توجه به اين که قبال مقادير ويژه اين ماتريس را يافته ايم و شعاع طيفی آن

.تواند از اجتماع دواير فوق خارج گردد

ادير ويژه يک ماتريسروشهای تکراری برای تعيين مق

)(ن رسانی ااز روشهای تکراری می توان به روش توانی يا تو MethodPowerاشاره کرد .

تعيين مـورد نظـر با معيار دقت راو بردار ويژه متناظر با آن اين روش در هر مرحله بزرگترين مقدار ويژه

بـه صـورت زيـر ه مجزا و حقيقـی باشـند و برای آسانی کار فرض می کنيم که تمام مقادير ويژ . کند می

:مرتب شده باشند

nλλλ >>> 21

انتخاب می کنيم ودر ماتريس مورد نظر ضرب می را v)0( مانندبردار دلخواه ناصفر يک در مرحله اول

:يعنی.کنيم

nnn vcvcvv ++=ℜ∈ 11

)0()0( :

nivAvAvcAvcAvcAv iiinn )1(1;2211)0( ==+++= λ

][1

21

22111

222111)0()1(

nn

n

nnn

vcvcvc

vcvcvcAvv

λλ

λλ

λ

λλλ

+++=

+++==

٦١

])()([

])()([

12

1

22111

)1()(

2

12

2

1

2211

21

)1()2(

nkn

nkkkk

nn

n

vcvcvcAvv

vcvcvcAvv

λλ

λλ

λ

λλ

λλ

λ

+++==

+++==

−

])()([ 1

12

1

1

2211

11

)()1(n

knn

kkkk vcvcvcAvv ++++ +++==λλ

λλ

λ

111)(

1

)(

)1(

1

)1(21

)(lim

vcvnikif

vv

kki

rk

k

k

λλλ

λ

=⇒=<⇒∞→

=+

∞→

ايـن بردارهای حاصله را نرمال سازيم يعنی هر بردار را بر نرم ماکزيمم آن تقسيم کنيم اگردر هر مرحله

kدر مرحله پايانی به جای اينکه که عمل باعث می شود 1λ 1تنهـا را به دست آوريـمλ از.را مـی يـابيم

ايـن .می شوند کوچکتر از يک همه ها kv)( درايه های با نرمال سازی نتيجه می گيريم که طرف ديگر

خطــای باعــث مهــار ود در ضــربهای متــوالی مــی گــرددعــدعمـل باعــث جلــوگيری از حجــم بــزرگ

offRound شود می.

)2)1((سرعت همگرايی اين روش بستگی به نسبت ضمنا 1

nii =λλهرچه اين نـسبت کمتـر باشـد . دارد

.رعت همگرايی بيشتر می شودس

الزم اسـت کـه . بزرگتـرين مقـدار ويـژه اش باشـد 2λبرای مرحله بعد ماتريسی را معرفی می کنيم کـه

يـک مـی 1v اولـين مولفـه در نتيجـه . بر اولين مولفه اش تقـسيم کنـيم در مرحله قبل راحاصله 1vر بردا

. گردد

:حال تعريف می کنيم. باشديک نيز 2vمولفه اول همچنين فرض می کنيم که

21 vvv −=∆

٦٢

:تعريف می کنيمرا به صورت زير 1Aماتريسباشد Aسطر اول ماتريس 1aيم اگر فرض کن

111 avAA −=

.است صفر1A سطر اول ماتريس طريقبدين

. هستند1A به ترتيب بردار ويژه و بزرگترين مقدارويژه ماتريس 2λ و ∆v نشان می دهيم که حال

هستندو با توجه به رابطه فوق نتيجه می همه صفر1A اول طر س می دانيم که1Aبا توجه به تعريف

لذا . همه از مرحله عمليات خارج می شوند1A ستون اول ∆vت صفر بودن اولين مولفهگيريم که به عل

يک را درنظر بگيريم و از اولين سطر و ستون آن صرفنظر کنيم 1Aنتيجه می گيريم که اگر ماتريس

حال روند فوق را روی .. است2λرا خواهيم داشت که بزرگترين مقادير ويژه آن n−1ماتريس با بعد

.ماتريس حاصله تکرار می کنيم

:مثال

)10(.بزرگترين مقدار ويژه ماتريس زير را با روش توانی به دست آوريد 2−=ε

213132321

:حل

.رداری دلخواه اما ناصفر انتخاب می کنيمابتدا ب

vvv

vvvvavavAvAv

vvavAvA

∆=−=

−−−=−−−=

−−=∆

2

212

2112211

2111121

21111

)())1()1((

)())((

λλ

λλλλ

٦٣

=

==

=

=

==

=

141114111

3113

113

14

13231

321

001

123132321

001

)2(

)1()2(

)1(

)0()1(

)0(

normal

normal

normal

V

AVV

V

AVV

V

٦٤

ــداد 0 ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ تعــــ

مراحل

111

1

999832.0999195.0

1

999209.0999424.0

998281.0998271.0

1

99653.993120.

9795497945

175727569

141114111

12131

001

)(kV

ــال نرمــــ

شده

997481.5996476.5992658.5

994833.5990094.5991385.5

975890.597583.598618.5

93835.591780.589750.5

7542975

42975438

147514721469

3113

113

14

321

)(kV ــال نرمــــ

نشده

997481.5 994833.5 98618.5 93835.5

840.

بزرگترين 3 357142.56.4

λ در هر

ــه مرحلـــ

تکرار

[ ]

3011

21

1121

112211000

321111

213132321

2,1*

1

*1111

±=⇒=−−−

−−=−

−−

−=⇒

−−−=

−

=−=

λλ

λλIA

AaVAA

٦٥

ضـمنا بـردار .بزرگترين مقادير ويژه ماتريس زير را تا دو مرحله توسط روش توانی تعيـين کنيـد :تمرين

TXدلخواه اوليه ]1111[)0( . می باشد=

=

2110110110110112

A

فرض کنيم :رينتم

=−=

−

−

−

11

2

2

10000

),det()(

aaaa

aaaaa

AIAP

nn

n

n

n

nnn

λλثابت کنيد :

۱- 221 )()()()( −

− −−−= nnnn aaPaP λλλλ

۲-λλ −= 11 )( aP

۳- ])(4)()[(21,2)1(1 2

222

111 aaaaaania ni +−±+=−== λλ

روشهای تبديلی برای تعيين مقادير ويژه

:روش ژاکوبی

درايه ای است که روی قطـر ikaفرض می کنيم .متقارن به کار می رود اين روش در مورد ماتريسهای

را درنظـر مـی iia و ika و kia وkkaدرايـه هـای .اصلی نيست و از لحاظ کمی بيشترين مقـدار را دارد

: را به صورت زير تشکيل می دهيمA از 1Aگيريم و زير ماتريس

kkki

ikii

aaaa

−=

θθθθ

cossinsincos*S

٦٦

*از حاصل ضرب 1

* 1

SAS جمالت باال و پايين قطر را متحد صفر قرار می دهيم و رابطه زير را می −

:يابيم

0)sin(coscossin)( 22 =−+− θθθθ ikiikk aaa

kkii

ikikiikk aa

aaaa−

=⇒=+−2

2tan02cos2sin)(21

θθθ

kkiikkii

ik aaifaa

a≠

−= − )

2(tan

21 1θ

0,4

>== ikkkii aaaifπθ

0,4

<=−= ikkkii aaaifπθ

−=

10

cossin

sincos

0101

1

θθ

θθS

11

11 ASSB −=

211

11

22 SASSSB −−=

)()( 211

21211

11

21

kkkkk SSSASSSSSASSSSB −−−− ==

ASSBk1−=

مراحل حداکثرضمنا تعداد2

2 nnk − . می باشد=

٦٧

:مثال

.مقادير ويژه ماتريس زير با روش ژاکوبی تعيين کنيد

122

232

221

:حل

=

1221

1A

−

=

−=⇒=

220

22

010220

22

cos0sin010sin0cos

4 1

θθ

θθπ

θ S

−== −

100032023

11

11 ASSB

−

=

100

022

22

022

22

2S

−== −

100010005

211

22 SBSB

.-۱ و ۱ و۵:د ازکه مقادير ويژه عبارت

٦٨

−

−−

==

22

21

21

022

22

22

21

21

21SSS

.دن می باشiλ مقادير ويژه ويژه متناظر باهای بردارS های ستونهالزم به ذکر است ک

LRروش

. اشاره نمودLRروشهای تبديلی برای تعيين مقادير ويژه می توان به روش از جمله

بـه Aاسـاس کـار ايـن روش تبـديل مـاتريس .ورد ماتريسهای نامتقارن هم کـاربرد دارد ماين روش در

حاصل ضرب دو ماتريس باال و پايين مثلثی است که سرانجام ماتريس پايين مثلثی در دنباله تکـراری بـه

ماتريس باال مثلثی به يک ماتريس باال مثلثی همگـرا اسـت بـه طـوری کـه ماتريس واحد همگرا است و

:تعريف می کنيملذا . روی قطر اصلی ماتريس باال مثلثی قرار داردAتمام مقادير ويژه ماتريس

1AA=

nilRLA ii )1(1,1,111 ===

22112 RLLRA ==

33223 RLLRA ==

kkkkk RLLRA == −− 11

RIRRLA kkkkkk===

∞→∞→∞→limlimlim

٦٩

برابـر بـا مقـادير ويـژه مـاتريس آن در اين روش ماتريس به ماتريسی تبديل می شـود کـه مقـادير ويـژه

Aکهچون.است :

11

11 LRA =− 1

111112−== RARLRA

)det()det( 12 AA =

21

22 LRA =− 1

21

1112223−−== RRARRLRA

)det()det( 13 AA =

)det()det( 1AAk =

به سمت يک ماتريس باال مثلثی بايک معيار دقت تبديل می شود که همـه kAيابد می افزايش kوقتی

:يعنی. قرار داردkA روی قطر اصلی Aمقادير ويژه

RA kk → ∞→

offRoundوقتی سيستم بزرگ باشد تعداد عمليات محاسباتی زياد شده و خطای قابل کنترل نيـست −

.که اين مورد از معايب اين روش شمرده می شود

:مثال

. تعيين کنيد تکرار مرحله۶ تا LRمقادير ويژه ماتريس زير را توسط روش

=

2134

A

٧٠

:حل

1920

45

765

165

34

19

19200

34

19

1765

01

010145

165

34

19

141

01

450

34

4523

4114

450

34

141

01

0101

2134

22221221

211121

12

11

22

22

1211

21

112

2222122112

21112111

11

22

1211

211

=⇒=+

=⇒=

=

=

=

=

=

==

=⇒=+=

=⇒==

=

=

=

rrrl

lrl

r

r

RL

rrr

l

LRA

rrrlr

lrlr

RL

rrr

lA

٧١

000426.1,999564.40000568.010

000426.1000568.03999564.4

1000568.001

000426.10399786.4

000426.10399786.4

1000568.001

46947000284.0

399786.4

4964700

394496

144086125

01

9495

8836125

344

469

178618050

31994

11786

2501

01011920

36125

376

376

1765

01

19200

34

19

213

556

55

445

44

334

33

22

1211

21

223

==≡→⇒=

=

==

=

==

=

==

=

=

=

==

− λλεif

LRA

RL

LRA

RL

LRA

RL

rrr

l

LRA

. هستند۱و ۵مقادير ويژه واقعیمی دانيم در صورتی که

):تبديل به ماتريس سه قطری(روش هاوس هلدر nn ماتريسی Aم فرض کني بـه ا رAو متعامد می تـوان با استفاده از تبديالت ماتريسی متقارن . باشد ×

. تغيير کندAماتريس سه قطری تبديل کرد بدون اين که مقادير ويژهn

nT

nT

nn WWWWWIP ℜ∈=−= ×××× ,1,2 1111

PWWIWWIWWIP TTTTTnn

T =−=−=−= ×× )(2)2( 11

. متقارن استPيعنی

٧٢

IWWWWIWWWWWWWWIWWIWWIPP

TT

TTTTTTT

=+−=

+−−=−−=

44)(422)2)(2(

. متعامد استPيعنی فرض کنيم که

],...,,0,...,0,0[1212

1nr

rr

rT

rn

rT

rrr

xxWnrWWWWWIP

−

=−≤≤=ℜ∈−=

TWWiPr 222 22 −=⇒=

niiAiAPAPAAA ≤≤=⇒== 3)1,(),1(, 2221221

niiAiAPAPA ≤≤=⇒= 4)2,(),2( 333233

kkkk PPPAPPPA 32121−=

. يک ماتريس سه قطری خواهد شدk ، kAبا افزايش

فرض کنيم

=

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

A

1],,,0[2 24

23

22224322 =++==⇒= xxxWWxxxWr TT

[ ]

−−−

−−−

−−−=

−=

−

=

243424

432332

423222

243424

432323

423222

432

4

3

22

21220

22120

222100001

0

0

00000

20

0

2

1000010000100001

xxxxxxxxxx

xxxxx

xxxxxxxxxxxxxxx

Ixxx

xxx

P

٧٣

2122 PAPA = )(سطر اول 212 PAP21رابر است با سطر اول بPA.

سطر اول حاصل ضرب برابر است با

)]21(22

,2)21(2,22)21(,[241443134212

431423133212421432

31

221211

xaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaa

−+−−

−−+−−−−

)](2),(2),(2,[

414313212414

41431321231341431321221211

xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaa

++−++−++−

4143132121اگر فرض کنيم که xaxaxaq صورت زير در می آ لذا سطر اول حاصل ضرب به=++

:يد]2,2,2,[ 14141313121211 qxaqxaqxaa −−−

)2(02)1(02

1414

1313

=−=−

qxaqxa

:يعنی.حاصل جمع مجذورات سطرها قبل و بعد از تبديل برابر باشدبايستی 2

1212211

214

213

212

211 )2( qxaaaaaa −+=+++

214

213

2121212 2 aaaqxa ++±=−⇒

)3()(2 2

14213

212111212 aaaSSqxa ++=±=−

±=→=−±=−++→=−

±=−

)4()2(022)1(02

)3(2

2111414

2114143132121313

11212

xSqqxaxSqxaxaxaqxa

Sqxa

: قرار داده شود)3( در رابطه )4(حال کافی است رابطه

)5()22

1(21

122211

2212 S

axSSxa ±=→±=±

قرار می دهيم)1( را در رابطه )4(حال رابطه

)6(2

0)(221

13321313 xS

axxSxa ±=→=±−

٧٤

)7(2 21

144 xS

ax =

:هايتا خواهيم داشتن

)2

)sgn(21(

1

121222 S

aax +=

21

12133 2

)sgn(xSaax =

21

12144 2

)sgn(xSaax =

:مثال .با استفاده از الگوريتم هاوس هلدر ماتريس زير را سه قطری کنيد

−−−−−−−−−

−−

=

411214122141

2214

A

3)2()2()1( 2222

14213

2121 =++−=++= aaaS

]0[ 4322 xxxWT =

3

2)32

)1)(1(21()

2)sgn(

21(

1

121222 =

×−−

+=+=S

aax

61

3232

)1)(2(2

)sgn(

21

12133 =

××

−−==

xSaax

61

3232

)1(22

)sgn(

21

12144 −=

××

−×==

xSaax

٧٥

لذا

]6

1,6

1,32,0[2 −=TW

بنابراين

−

−−

=

32

31

320

31

32

320

32

32

310

0001

2P

−

−==

34

31

310

31

316

320

31

32

3163

0034

222 APPA

]00[ 433 xxWT =

35)

31()

32( 222

242232 =+=+= aaS

9732.0)5

121()

2)sgn(

21( 3

2

232323 =→+=

∗+= x

Saax

2293.01 234 =−= xx

]2293.09732.000[3 =Tw

٧٦

٢نهای فصل يتمر : نشان دهيد-١

∑∞

=

∞

=

==

1

2

1)21(

k

kk An

An

nAA

. نشان دهيد ماتريس زير دارای مقادير ويژه حقيقی است-٢

Ο

Ο

=

21421

421421

42

A

٣-1−A را محاسبه کنيد شعاع طيفی

=

010000101000010100001010000101000010

A

)(0 مفروضند،B×22و A×22اتريسهای م-٤ =Aρ 1 و)( =Bρ. آيا)(ABρ کراندار است؟

فرض کنيم -٥

=

1111

Aو

=

2

1

01β

βB. 1برای چه مقاديری ازβ2 وβ وقتی ∞→k

)(0داريم →kAB. . به يک ماتريس قطری تبديل می شودT به وسيله ماتريس A ماتريس-٦

=

−−−

=

322433101

1410418136

321

T

A

٧٧

. ويژه ماتريس را بيابيد مقادير ويژه و بردارهای . نشان دهيد که ماتريسهای زير معين مثبت هستند-٧

−

−

=

−

−=

113610319619661812

11174092415

6111741412

B

A

nnA ماتريس حقيقی λ با استفاده از قضيه گرشگورين کرانی برای مقادير ويژه -٨ × )3( ≥nبيابيد .

−−Ο

−−Ο−−

−

=

a

aa

a

A

11

1111

1

در يک معادله تفاضلی صدق می نمايند، آنگاه همه X بردار ويژه ix نشان دهيد که مولفه های -٩ .بردارهای ويژه و مقادير ويژه را بيابيد

YAX سيستم -١٠ : مفروض است به طوری که=

=

=

=

21

1232

2

1

Y

xx

X

A

.جواب اين سيستم را با رابطه تکراری زير به دست می آوريم

=

−+=+

11

)(

)0(

)()()1(

X

YAXXX kkk α

را بيابيم تا روند تکراری فوق دارای همگرايی بهينه باشد؟αچگونه پارامتر

]2293.09732.000[3 =TW

٧٨

وليهحل عددی معادالت ديفرانسيل معمولی مرتبه اول با شرايط ا )مسائل مقادير اوليه(

)(.. problemvalueinitialPVI

:مگيريمی مسئله مقدار اوليه زير را درنظر

)1()(,),( α=≤≤=′ aybxayxfy

: زير صد ق نمايدطدر شراي fتابع اگرمسئله فوق دارای جوب منحصر به فرد است

۱- ),( yxfباشد حقيقی

)},(,{ در ناحيه مستطيلی fتابع -۲ ∞∞−= ybxayxD پيوسته باشد و

),(تابع -۳ yxf به ازای جميع مقادير x متعلق به بازه],[ ba 1 و برای هـرy 2 وy لـق بـه ناحيـه کـه متع

D کنديعنی شيتزصدق ليپ شرطردباشد:

2121 ),(),( yyLyxfyxf −−

دارای جواب منحصر بـه فـرد )۱( مقدار اوليه مسئلهآن گاه ز ناميده می شود،شيت ثابت ليپLکه در آن

)(xy کندست که در شرط اوليه صدق میا .

بـرای .دارای جـواب منحـصر بـه فـرد اسـت )۱(اين فصل فرض ما بر اين است که مسئله مقدار اوليـه در

],[توضيح و بيان روشهای تفاضلی برای حل عددی ايـن مـسئله ابتـدا بـازه ba را بـه n بـا گـام بـازه زير

:می کنيم افراز hمساوی

njjhxxbxxax

nabh

j

n

)1(0,,,

0

10

=+===

−=

)2()1(0))(,()( njxyxfxy jjj ==′

٧٩

:برای حل مسئله مقدار اوليه فوق را به دو دسته کلی زير می توان تقسيم نمودروشهای تفاضلی

تک گامیروشهای -۱

چندگامیروشهای -۲

.دن می شو تفکيک صريح و ضمنیبه دو بخش خود اين روشها

تعريـف jyدر هـر مرحلـه توسـط و بدون واسـطه صراحتا jy+1راست يعنی روشهايی که در آن طرف

ضـمنی خوانـده مـی های صريح و درغير اين صورت روش های روش را دنمحاسبه شو شده در مرحله قبل

.دنشو

: می باشد زيرفرم کلی روشهای تک گامی صريح به فرم

),,(1 hyxhyy jjjj φ+=+

.ی باشد مfو h تابع تصحيح ناميده می شود و تابعی از گام φکه در آن

:فرم کلی روشهای تک گامی ضمنی به فرم زير می باشد

),,( 11 hyxhyy jjjj ++ += φ

:يک روش تک گامی) قطع کردن( خطای برشی

:شی را به صورت زير تعريف می کنيمخطای بر

)),(,()()( 1 hxyxhxyxyT jjjjj φ−−= +

:دقت يک روش تک گامی

، رابطـه زيـر برقـرار p است هرگاه به ازای عدد حقيقی و مثبـت pيک روش تک گامی دارای مرتبه

.باشد

)(1 pj hOTh ≤−

٨٠

: اويلر تفاضلیروش

],[که در آن بازه ) ۱(ای حل عددی مسئله مقدار اوليه رابطه بر ba را به n زير بـازه بـا گـام مـساویh

:نظير فوق افراز نموده ايم و معادله ديفرانسيل را در نقاط گره ای در نظر می گيريم

))(,()( jjj xyxfxy =′

.حال در صدد تقريب مشتق مرتبه اول با يک فرمول مشتق گيری دارای دقت مرتبه اول می باشيم

1)1(0))(,()()()(

)( 1 −==+−

=+∆

=′ + njxyxfTh

xyxyT

hxy

xy jjjjj

jj

j

: صرف نظر کنيم داريمjTچنان چه در رابطه فوق از خطای

)3(1)1(0),(1 −=+=+ njyxhfyy jjjj

خطای برشـی ايـن روش .ح می باشد رابطه فوق فرمول روش اويلر است که يک روش تک گامی صري

:عبارت است از

))(,()()( 1 jjjjj xyxhfxyxyT −−= +

: داريمjxاستفاده کنيم و با استفاده از بسط سری تيلور حول ) ۲(چنان چه در رابطه فوق از رابطه

)()(!2

)()()(!2

)()(

22

2

hOyhT

xyxyhxyhxyhxyT

j

jjjjjj

=′′=

−′−+′′+′+=

ε

:با توجه به تعريف مرتبه دقت داريم

)()(2

1 hOyhTh j =′′=− ε . روش اويلر دارای دقت مرتبه اول می باشدبنابراين

٨١

:آناليز خطا و همگرايی روش

. بنماييمEquationTestقبل ازپرداختن به آناليز خطا الزم است اشاره ای به معادله آزمون يا

),(در همسايگی نقطه ای نظير ) ۱(رفتار جواب مسئله مقدار اوليه yx را می توان با در نظر گرفتن فرم

),(لذا تابع غير خطی .پيش بينی نمود) ۱(خطی مسئله yxf را می توان با استفاده از بسط سری تيلور

),(حول yxنهايتا فرم خطی معادله ديفرانسيل فوق عبارت . و قطعذ آن بعد از جمالت اول خطی نمود

:زاست ا

در صورتی که

)()()(),( ),(),( xxxf

yfyyxfc yxyx −

∂∂

+∂∂

−=

حال با انتخاب λcyw : معادله به صورت زير ساده می شود=+

. مطلقا موهومی باشد متناوب خواهد بودλ معادله فوق درصورتی که xw)(جواب

.دهدشکل زير رفتار جواب را نشان می

cyy +=′ λ

),()( yxyf

∂∂

=λ

ww λ=′

٨٢

:با استفاده از تعريف خطای برشی داريم.حال به آناليز خطای اويلر می پردازيم

)1())(,()()( 1 jjjjj xyxhfxyTxy ++=+

را می يابيم اما در عمل jyدر روند محاسبات دقيق و حساب دقيق با استفاده از روش اويلر

را می يابيم jy به دست نمی آيد لذا ما تقريب jyدرمحاسبات به علت تاثير خطای روند کردن عمال

:بنابراين می توانيم تعريف کنيم که.

)2(1)1(0,),(1 −=−+=+ njRyxhfyy jjjjj

کم کنيم ) ۱(را از ) ۲(حال اگر رابطه

)()],()(,([)()( 11 jjjjjjjjjj RTyxfxyxfhyxyyxy ++−+−=− ++

:و از معادله آزمون استفاده نماييم داريم

)(])([)()( 11 jjjjjjjj RTyxyhyxyyxy ++−+−=− ++ λ

jjjبا فرض yxye −= : و قرار دادن آن در رابطه فوق معادله خطا را به صورت زير می يابيم)(

)()1(

1)1(0)(

1

1

jjjj

jjjjj

RTehenjRTehee

+++=

−=+++=

+

+

λ

λ

Ahحال اگر =+ λ1 و BRT jj : فرض کنيم داريم+=

BABBAeAeBAeABBAeABAeej

BAeejnjBAee jj

+++=

++=++=+=⇒=

+=⇒=

−=+=+

20

33

02

012

01

1

)1()(1

01)1(0

Ahe

ABh

eABA

AeABA

AeAe

BAAAeAe

h

jjj

jj

jj

jjj

=+≥

−+=−−

+≤−−

+=

+++++= −

λ

λλ 1

)1(111

11

)1(

000

120

٨٣

1)1(0)(1

max,max;)(10

1

;1

)()1(1)1(0)(

)(

)(

0

)(

0)(

)()(

00

1

1

0

0

00

0

−=+−

≤

==+−

≤=

−+≤∴

≤≤

−≤−=≥⇒=+≥

+++=

−=+++=

−

−

−−

−−

+

+

njhR

hTee

RRTTh

RTeeeif

Bh

eeee

eeA

xxxxjhAeAhe

RTehenjRTehee

xx

j

jjjj

xx

j

xxxx

j

xxxxj

njjhjh

jjjj

jjjjj

n

n

nn

nj

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λλ

λ

λλ

hT 0پس وقتی .است ) خطی ( درجه اول→h ولـی در مـورد . اين عبـارت بـه سـمت صـفر مـی رود

hR 0 وقتی→h به اين خاطر بايد بين اين دو خطا تعـادل برقـرار شـود . خطا به بی نهايت ميل می کند

.بهترين راه انتخاب گام مناسب است. مهار گرددRoundای که خط

:ی روشپايدار

خطای مرحله پايانی به سمت صفر ميـل h→0 وقتی Roundروشی پايدار است که در غياب خطای

.کند

٨٤

: کوتا– رانگ هایروش

موضـعی مرتبـه ی يـا برشـ همانا خطای کهحث شد دارای ويژگی مناسبی هستند تيلور که قبال ب روشهای

),(ولی نياز به محاسبه مشتقات .باالی آنهاست yxf و مـالل آور پيچيده می تواند ری از مسائل ا دربسي

کوتـا را -ی روشـهای رانـگ سـ ما ابتدا اصـول اسا .بنابراين از روش تيلور به ندرت استفاده می شود باشد

:با استفاده از قضيه مقدار ميانگين داريم.يمنبيان می ک

10,))(),()()()()( 1

<<+++=

+′+=+

θθθ

θ

hxyhxhfxyhxyhxyxy

jjj

jjj

به ازای21

=θداريم :

))2

(,2

()()( 1hxyhxhfxyxy jjjj +++=+

2روش اويلر با نصف گام hداريم :

jjj fhyhxy2

)2

( +≈+

:تقريب زير را داريمبنابراين

)2

,2

(1 jjjjj fhyhxhfyy +++=+

:رابطه فوق را می توان به صوت زير نوشت

21

12

1

)21,

2(

kyy

kyhxhfk

hfk

jj

jj

j

+=

++=

=

+

.اين روش را روش اويلر با نصف گام می نامند

با استفاده از روش اويلر می توان روند زير را بررسی کرد حال

٨٥

)],(),([21

)]()([21)

2(

11

1

++

+

+≈

′+′≈+′

jjjj

jjj

yxfyxf

xyxyhxy

:يم داشتبنابراين تقريب ذيل را خواه

))],(,(),([2 11 jjjjjjjj yxhfyxfyxfhyy +++= ++

:اين روش را می توان به فرم زير نيز نوشت

1)1(0,)(21

),(

),(

211

12

1

−=++=

++=

=

+ njkkyy

kyhxhfkyxhfk

jj

jj

jj

. اويلر می نامند-اين روش را روش کوشی

:دو روش قبل را می توان به صورت زير تعبير نمود

hyy)متوسط ضريب زاويه( jj +=+1

کوتا ما ضريب زاويه را در نقطه –عموما در روشهای رانگ .د کوتا می باش –اين اساس روشهای رانگ

jx و ساير نقاط ديگر می يابيم و متوسط اين ضريب زاويه هارا در گام h ضرب می نماييم و به جواب

jyی توان به صورت کلی زير تعريف کرد کوتا را م-بنابراين روشهای رانگ. اضافه می کنيم:

: ضريب زاويه ایv کوتای –روش رانگ

: ضريب زاويه را می توان به صورت زير تعريف کردv کوتای با –روش رانگ

٨٦

=+=

+++++=

+++=

++=

=

∑∑==

+

−−

1,

),(

),(

),(),(

111

11,2211

23213133

12122

1

v

ii

v

iiijj

vvvvvjvjv

jj

jj

jj

wkwyy

kakakayhcxhfk

kakayhcxhfkkayhcxhfk

yxhfk

و تعـداد ديگـر jxاويـه هـا درنقطـه در فرمول فوق تابع تصحيح عبارت است از ترکيب خطی ضريب ز

را بـه آسـانی محاسـبه jy+1بـا دانـستن طـرف راسـت مـی تـوان . قرار دارند jx+1و jxنقاط که در بين

هـا a هـا ، cبرای تعيين . ضريب زاويه ای استv کوتا يک روش صريح –رو ش رانگ بنابراين .نمود

بسط می دهيم به طوری که بـا بـسط سـری h را به صورت سری توانی jy+1 ها در رابطه فوق ما wو

برای آسانی کار در ذيـل نحـوه بـه . معينی از جمالت منطبق باشد ده ديفرانسيل تا تعدا تيلور جواب معادل

. ها را برای روش مرتبه دوم با جزئيات بحث و بررسی می کنيمw ها و a ها ، cدست آوردن

مرتبه دومروش رانگ کوتای

: کوتای دو ضريب زاويه ای را مدنظر قرار می دهيم–انگ روش ر

++=

++=

=

+ 22111

12122

1

),(

),(

kwkwyykayhcxhfk

yxhfk

jj

jj

jj

)( بـه jy+1 را به طريقی می يـابيم تـا 2w و 2c ، 21a ، 1wپارامترهای 1+jxy بنـابراين . نزديکتـر گـردد

)(بسط سری تيلور جواب معادله ديفرانسيل 1+jxyرا به صورت زير داريم :

٨٧

(**)))(

2(!3

)(!2

)()(

))(2(

))()(()(

)()()(

),()(),()(

(*))(!3

)(!2

)()()()(

232

1(*)

2

32

1

++

+++++++= →

++++=

+++++=′′′

+=′′⇒+=′+=+=′′

=′⇒=′

+′′′+′′+′+=+=

+

+

j

j

j

j

j

xyyx

yyxyxxxyxjjin

xyyxyyxyxx

xyyyxyyxxyxxj

xyxjyxyxyxj

jjjj

jjjjjj

ffff

fffffhfffhhfxyxy

fffffffff

fffffffffffxy

fffxyfffyffdxdyffxy

yxfxyyxfxy

xyhxyhxyhxyhxyxy

),( حول fحال با بسط jj yx 2 مقدارkرا حساب می کنيم :

]))(2(!2

1)(),([

),(

22121

22

222212

2122

++++++=

++=

yyxyxxyxjj

jj

fhfaffahcfhchffahfcyxfh

hfayhcxhfk

با جايگزينی

1k 2 وk در

رابطه فوق

:داريم

:داريم*)*(* و(**)حال با متحد قرار دادن

=

=

=

=+

212

212

22

21

21

21

1

ac

aw

cw

ww

*)*(*)2

(!2

)(

222

212122

222

3

212222

211

++

++++++=+

wffaffacw

fcwhffawfcwhhfwhfwyy

yyxy

xxyxjj

٨٨

221جواب دستگاه فوق عبارت است از ca = ، 2

2 21c

w و =2

1 211c

w 02 بـه طـوری کـه =− ≠c

:چنان چه جواب را در رابطه باال قرار دهيم داريم. می باشدپارامتر آزاد

+++++++=+ jj xyyxyxxxyxjjj fffffchfffhhfyy )2(4

)(2

2232

1

:خطای برشی عبارت است از

+

++−++++=

−= ++

]

2(!2

1)(2(!3

1[

)(

22

221

22122

2223

11

yy

xyxxyyxyyxyxx

jjj

ffwa

ffwacfcwfffffffffh

yxyT

++−++−= ])(61)2)(

61

4[( 223

yyxyyxyxx fffffffffch

معموال بين صفر 2cپارامتر آزاد .ه نشان می دهد که روش فوق دارای دقت مرتبه دوم استاين رابط ها صفر w را به طريقی انتخاب می کنيم که يکی از 2cبرخی اوقات .ويک انتخاب می گردد

به عنوان مثال اگر .شوند21

2 =c 01 انتخاب شود =wمی گردد .

)(a اگر 21

2 =cانتخاب شود داريم :

1)1(0,)2

,2

(1 −=+++=+ njfhyhxhfyy jjjjj .اين رابطه همان روش نصف گام اويلر است

)(b 12 اگر =c کنيم داريمانتخاب رامتر آزادبه عنوان پارا:

1)1(0,)],(),([21 −=++++=+ njhfyhxfyxfhyy jjjjjjj

. اويلر است که قبال بحث شد–اين روش همان روش کوشی

)(c اگر 32

2 =c انتخاب شود يعنی ضريب جمالتی از خطای قطع کردن را صفر بسازيم روشی را کـه

. کوتای مرتبه دوم بهينه می باشد–به دست خواهيم آورد، روش رانگ

٨٩

1)1(0,)3(41

)32,

32(

),(43,

41

211

12

1

21

−=++=

++=

=

==

+ njkkyy

kyhxhfk

yxhfk

ww

jj

jj

jj

:کوتای مرتبه سوم- رانگ هایروش

+++=

−=+++=

++=

=

+ 3322111

23213133

12122

1

1)1(0),(),(

),(

kwkwkwyynjkakayhcxhfk

kayhcxhfkyxhfk

jj

jj

jj

jj

چنان چه . ها را محاسبه کردw ها و c ها ، aنظير روش مرتبه دوم می توان 21

2 =c به عنوان پارامتر . کوتای کالسيک مرتبه سوم می باشد–آزاد انتخاب کنيم روشی که می يابيم رانگ

+++=

−=+−+=

++=

=

====−====

+ )4(61

1)1(0)2,(

)21,

21(

),(64,

61,2,1,1,

21

3211

213

12

1

23132313212

kkkyy

njkkyhxhfk

kyhxhfk

yxhfk

wwwaacac

jj

jj

jj

jj

:کوتای مرتبه چهارم-رانگ های روش

++++=

−=++++=

+++=

+=

=

+ 443322111

34324214144

23213133

12122

1

1)1(0),(),(

),,(

),(

kwkwkwkwyynjkakakayhcxhfk

kakayhcxhfkkayhcxhfk

yxhfk

jj

jj

jj

jj

jj

٩٠

رابطه را به ۱۲ فقط ما در اينجا. ها را می يابيمw ها و a ها ، cنظير روند فوق عمل می کنيم و باز همر آزاد برابر ت می باشد، با انتخاب پارام۱۳ مجهوالت ددست آورديم اما تعدا

2 مجهوالت را به صورت 1

: کوتا را خواهيم داشت–هارم رانگ لذا روش کالسيک مرتبه چ. زير می توان محاسبه کرد

62

61

101

0,21

3241

4342414

31323212

====

====

=====

wwww

aaac

aacac

: کوتای کالسيک مرتبه چهارم–روش رانگ

++++=

−=++=

++=

++=

=

+ )22(61

1)1(0),(

)21,

21(

)21,

21(

),(

43211

34

13

12

1

kkkkyy

njkyhxhfk

kyhxhfk

kyhxhfk

yxhfk

jj

jj

jj

jj

jj

کـه در شـرايط اوليـه α=)(ay ازچـون .روشهای فوق صريح ، تک گامی و خودشروع کننده هـستند

.و روشها را راه اندازی نمودمسئله داده شده، می توان استفاده کرد

:همگرايی و آناليز خطای روشهای رانگ کوتا

کوتـا را اثبـات مـی کنـيم –رانـگ ضـريب زاويـه ای وم يـا سـه سـ مرتبـه روش جا ما همگرايی اين در

:بنابراين داريم.

+++=

−=+++=

++=

=

+ )1()

1)1(0),(),(

),(

3322111

23213133

12122

1

kwkwkwyynjkakayhcxhfk

kayhcxhfkyxhfk

jj

jj

jj

jj

٩١

:همچنين می دانيم که فرم کلی روش تک گامی به فرم زير است

)2(),(1 hyxhyy jjjj φ+=+ : کوتا عبارت است از–نتيجه می گيريم که تابع تصحيح روش مرتبه سوم رانگ ) ۲(و ) ۱(از مقايسه

)3(][1),,( 332211 kwkwkwh

hyx jj ++=φ

در fاين مسئله دارای جواب منحصر به فرد اسـت اگـر .را درنظر می گيريم زير حال مسئله مقدار اوليه

:صدق کندشرط ليپ شيتز

2121 ),(),(),(

yyLyxfyxfyxfy

−≤−

=′

و jyلـذا بـه ازای .در شرط ليپـشيتز صـدق کننـد هستند بايستی f توابعی از iki=1)1(3از آنجا که

jy*داريم :

)5()1({

}{

)()()()(

),(),(

)4(),(),(

),(

*21

*21

*

*1121

*

*1121

**121

*121

*121

*21212

*22

***11

1

jjjjjj

jj

jjjj

jjjj

jjjjjj

jj

yyhLahLyyhLayyhL

kkayyhL

kkayyhLkaykayhL

kayhcxfkayhcxfhkk

yyhLyxfyxfhkk

yxhfk

−+=−+−≤

−+−≤

−+−=+−+≤

++−++=−

−≤−=−

=

)6()}1(1{

)1({

}{

)()()(

)()(

),(),(

*213231

*2132

*31

*

*2232

*1131

*

*2232

*1131

*

*232

*131

*232131

*232

*131

*32321313

*33

jj

jjjjjj

jj

jj

jj

jjjj

yyhLahLahLahL

yyhLahLayyhLayyhL

kkakkayyhL

kkakkayyhL

kakaykakayhL

kakayhcxfkakayhcxfhkk

−+++=

−++−+−≤

−+−+−≤

−+−+−=

++−++≤

+++−+++=−

. هم در شرط ليپشيتز صدق می کند)3(رابطه تابع تصحيح h→0وقتی که کنيم ثابت بايستی حال

٩٢

)()()(1

)()(1),,(),,(

*333

*222

*111

*33

*22

*11332211

**

kkwkkwkkwh

kwkwkwkwkwkwh

hyxhyx jjjj

−+−+−=

++−++=−φφ

**

*2221323332313212321

*21323132121

*

)6(),5(),4(*2132

313*

212*

1

*333

*222

*111

0

}))(){(

))}1(1()1({

}))1(

1()1({1

}{1

jj

jj

jj

jj

jjjj

yyLhif

yyLhaawwhLaawawhLwwwL

yyhLahLahLawhLawwL

yyhahLa

hLahLwyyhLahLwyyhLwh

kkwkkwkkwh

−≤−⇒→

−++++++=

−++++++≤−∴

→−+

+++−++−=

−+−+−≤

φφ

φφ

مـی تـوان ر همـين اسـاس بـ .لذا نتيجه می گيريم که جواب محاسبه شده بـه جـواب واقعـی همگراسـت

. بررسی کرد هممگرايی روشهای رانگ کوتای مراتب باالتر راه

:روشهای چندگامی

آن را بـا اسـتفاده truncate)( ناميم هرگاه خطای موضعی Pيک روش چندگامی را دارای دقت مرتبه

:هيم بسط دjxاز سری تيلور حول

)(

)()()()()()2

)1(11

)(2210

+

+++

+

+++′′+′+=P

jPP

PjPP

Pjjjj

hO

xyhCxyhCxyhCxyhCxyCT

00)1(,0ضرايب 1 ≠== +Pi CPiCباشد . :سازگاری روشهای چندگامی

)tan( را سازگار خطی يک روش چندگامی tconsis 1(گوييم اگر دارای دقت مرتبه می(>P باشـد

010يعنی حداقل == CC باشد.

: گامیkروش

: گامی به صورت زير استkفرم کلی روشهای

٩٣

),,,,,,,( 11111

11 hyyxxxhyay kjjkjjj

k

iijij +−++−+

=+−+ ′′+= ∑ φ

: گامی خطیkروش :گامی خطی به فرم زير استkفرم کلی روشهای

∑∑=

+−=

+−+ ′+=k

iiji

k

iijij ybhyay

01

111

)1(][1 1

1101∑ ∑= =

+−++− ′+′+=k

i

k

iijijiji ybybhya

00 ، )1(اگر در رابطه =b باشد روش k ودرغيـر يا روش پيشگو و يا بـاز صريحرا روش گامی خطی

. خوانده می شود يا اصالحگر و يابستهاينصورت روش ضمنی

: بشفورت– گامی صريح آدامز k هایروش

: را درنظر می گيريممسئله مقدار اوليه زير

)2()(,,),( α=≤≤=′ aybxayxfy

],[ابتدا بازه ba را به n زير بازه با گام مساویhافراز می کنيم لذا داريم :

nabh −

=

njjhax j )1(0, =+=

],[ فاصله حال اگر از معادله داده شده در 1+jj xx نسبت به xانتگرال بگيريم داريم:

)3(),()()(

),(

1

11

1 ∫

∫∫+

++

+=

=′

+

j

j

j

j

j

j

x

xjj

x

x

x

x

dxyxfxyxy

dxyxfdxy

را مجهول می باشد نمی توان انتگرال گرفـت لـذا آن yاز آن جا که انتگرال عالمتتابع زير از ) ۳(در

11 نقطـه k يعنـی jx قبـل از نقـاط گـره ای توسط فرمول درون ياب پسرو نيـوتن در ,,, +−− kjjj xxx

:لذا داريم.تقريب می زنيم

٩٤

)(!

)()()!1(

)()(2

))(()(

)(1

11

222

11

cfk

xxxx

fhk

xxxxf

hxxxx

fh

xxfxP

kkjj

jk

kkjj

jjj

jj

jk

+−

−−

+−−−

−−+

∇−

−−++∇

−−+∇

−+=

:بنابراين داريم. می توان حدود انتگرال گيری را ساده نمودحال با تغيير متغير زير

]1,0[:],[: 1 uxxx

hdudxuh

xx

jj

j

⇒

=⇒=−

+

)4()(

!)1()1(

)!1()2()1()1(

21)(

)(

121

cfhk

kuuu

fk

kuuufuufufuP

kk

jk

jjjk

−+++

∇−

−++++∇++∇+= −

−

:قرار می دهيم داريم) ۳(را در رابطه ) ۴(حال رابطه

ducfhk

kuuu

dufk

kuuufuufufhxyxy

kk

jk

jjjjj

∫

∫

+

−+

−+++

∇−

−++++∇++∇++=

1

0

)(1

1

0

121

)(!

)1()1(

])!1(

)2()1()1(21[)()(

jjjjjjjj Tfffffhxyxy ++∇+∇+∇+∇++=+ }720251

83

125

21{)()( 432

1 از اين رابطه می توان خانواده ای از .حال اگر از خطای قطع کردن صرف نظر کنيم رابطه زير را داريم

.ت آن به دست آورد بشفورت را با انتخاب جمالت متفاو-روشهای آدامز)5(}

720251

83

125

21{ 432

1 +∇+∇+∇+∇++=+ jjjjjjj fffffhyy :که خطای آن عبارت است از

)6()()1()1(!

1

0

)(1

ducfkuuuk

hT kk

j ∫ −++=+

را بايـک fتا تفاضل مرتبه اول به عنوان تقريب استفاده کنيم يا به عبارت ديگر تـابع ) ۵(اگر در رابطه

:ورت دوگانی يا مرتبه دوم را خواهيم داشت بشف-روش آدامزچندجمله ای درجه اول تقريب بزنيم

روش آدامز بشفورت مرتبه دوم

٩٥

1)1(1]3[2

)](21[

)21{

11

11

1

−=−+=

−++=

∇++=

−+

−+

+

njffhyy

fffhyy

ffhyy

jjjj

jjjjj

jjjj

: داريمk=2و با انتخاب ) ۶(حال با استفاده از رابطه

10;)1()(!2

1

0

3

<<+′′= ∫ cduuucfhTj

. محاسبه اين انتگرال بايد به نکته زير توجه کنيمبرای

:نکته

و بخواهيم انتگرال باشند دو تابعxg)( وxf)(اگر

∫b

a

dxxfxg )()(

در فاصـله انتگرالگيـری تغييـر عالمـت ندهـد xg)(و تابعی پيوسته باشد xf)(حساب کنيم که در آن

:است ازآنگاه مقدار اين انتگرال عبارت

badxxgfdxxgxfb

a

b

a

<<= ∫∫ ξξ )()()()(

:بشفورت مرتبه دوم عبارت است از–بنابراين خطای برشی روش آدامز

)(

)(125

10;)1()(!2

21

3

1

0

3

hOTh

fh

duuufhT

j

j

=

′′=

<<+′′=

−

∫

ξ

ξξ

٩٦

. مرتبه دوم است دارای دقتيعنی روش

روش آدامز بشفورت مرتبه سوم

)(

10)(83

1)1(2]51623[12

)2(125)(

21[

)125

21{

31

4

211

2111

21

hOTh

ccfhT

njfffhyy

ffffffhyy

fffhyy

j

j

jjjjj

jjjjjjjj

jjjjj

=

′′′=

−=+−+=

+−+−++=

∇+∇++=

−

−−+

−−−+

+

آدامز بشفورت مرتبه چهارمروش

)(

)1,0()(720251

1)1(3]9375955[24

)83

125

21[

41

)4(5

3211

321

hOTh

ccfhT

njffffhyy

ffffhyy

j

j

jjjjjj

jjjjjj

=

∈=

−=−+−+=

∇+∇+∇++=

−

−−−+

+

:مثال

همچنين جواب محاسبه شـده در . حل کنيدh=2.0مساله زير را با کليه روشهای آدامز بشفورت با گام

1=xرا با جواب واقعی مقايسه کرده و قدر مطلق خطا را بيابيد .

=≤≤+=′

1)0(10

yx

yxy

)حل

ز معادالت ديفرانسيل داريم که برای حل معادله خطـی مرتبـه ا.ابتدا جواب واقعی را به دست می آوريم

FIاول بايد يعنی اگر. يا عامل انتگرالساز را بيابيم.

)()( xgyxfy =+′

٩٧

آنگاه

]).([

.)()(

)(

cdxexgey

eFIdxxfdxxf

dxxf

+∫∫=

∫=

∫−

:پس داريم

211)0((*)436564.3)1(21

1

][][

.

=⇒=+−==⇒+−−=⇒

+−−=

+−−=+=

=∫=

∫ −−−

−−

ccyyexy

cexy

cexeecdxxeey

eeFI

x

x

xxxxx

xdx

:ابتدا روش آدامز بشفورت مرتبه دوم

. چون اين روش خودشروع کننده نيستنديم، را محاسبه کرد1y (*) توسط مابل از آنولی ق

242806.1)2.0( 11 === xyy

(**))1(375422.3

))024061.26.0()613714.28.0(3(1.0613714.24613714.2

))575647.14.0()024061.26.0(3(1.0024061.23024061.2

))242806.12.0()575647.14.0(3(1.0575647.12575647.1

))10()242806.12.0(3(1.0242806.1118.0

6.04.02.00

52.001

4)1(1)3(2

5

5

4

3

2

54

32

10

11

===

+−++===

+−++===

+−++===

+−++==

====

==

⇒=−

=

=−+= −+

xy

yj

yj

yj

yjxxxxxx

n

iffhyy jjjj

٩٨

پس قـدر مطلـق خطـا در . استx=1 مقدار محاسبه شده در (**) و x=1 مقدار واقعی در (*)مقدار

:اين نقطه عبارت است از

061142.0)1( 555 ==−= xyye

),,,(ضمنا 510 eee با نرم ماکزيمم گرفتن اين بـردار خطـای حـل مـسئله حاصـل مـی . بردار خطاست

.شود

:روش آدامز بشفورت مرتبه سوم

. محاسبه کنيم(*) را از 2yن بايد ولی قبل از آ

583649.1)4.0( 22 === xyy

0077462.0)1(428818.34646903.23042633.2

)]10(5)242806.12.0(16)583649.14.0(23[583649.12

4)1(2]51623[12

555

5

4

3

211

==−=

=====

+++−+==

=+−+= −−+

xyyeyjyj

yj

jfffhyy jjjjj

:تمرين

.مسئله فوق را با روش آدامز بشفورت مرتبه چهارم حل کنيد

مولتون-روش چندگامی ضمنی آدامز

],[در بازه ) ۲(از معادله ديفرانسيل رابطه 1+jj xxلذا داريم. انتگرال می گيريم:

)1(),()()(

),(

1

11

1 ∫

∫∫+

++

+=

=′

+

j

j

j

j

j

j

x

xjj

x

x

x

x

dxyxfxyxy

dxyxfdxy

٩٩

يعنـی فرمـول درون يـاب پـسرو نيـوتن با استفاده از jx+1 نقطه قبل از k+1را در f چنان چه تابع حال

11در نقاط ,,, +−+ kjjj xxx چنـد جملـه ای درون يـاب درجـه بـزنيم تقريبk ام را بـه صـورت زيـر

:داريم

)()!1(

)())((!

)())((!2

))(()(

)1(111

211

22

11

11

cfk

xxxxxxf

hkxxxxxx

fh

xxxxf

hxx

fxP

kkjjjj

k

kkjjj

jjj

jj

jk

++−++

+−++

++

++

+

−−−+∇

−−−++∇

−−+∇

−+=

u تغيير متغيـر برای آسانی کار و جهت تغيير حدود انتگرال گيری از h

xx j =اسـتفاده مـی کنـيم لـذا −

:داريم

1)(

]1,0[:

1 −=−−

=+−

=−

=

+ uh

hxxh

hxxhxx

uhdudx

jjj

)()!1(

)1()1()1(

!)2()1()1(

!3)1()1(

!2)1()1({)(

)1(1

*

1

13

12

11

cfk

kuuuuh

fk

kuuuu

fuuufuufufuP

kk

jk

jjjjk

++

+

++++

+−++−

+

∇−++−

+

+∇+−

+∇−

+∇−+=∴

: قرار می دهيم)1( رابطهحال اين عبارت را در

ducfk

kuuuuhdxxyxy kkjj ∫∫ ++

+ +−++−

++=1

0

)1(21

01 )(

)!1()1()1()1((*))()(

:حال اگراز خطای برشی اين رابطه صرف نظر کنيم و انتگرال بگيريم و محاسبه کنيم داريم

١٠٠

)2(]1440

2772019

241

121

21[

15

14

13

12

111

−∇−

∇−∇−∇−∇−+=

+

++++++

j

jjjjjjj

f

fffffhyy

: آن عبارت است از خطای برشیکه

)1,0()()1()1()1()!1(

1

0

)1(2

∈−++−+

= ∫ ++

µµkk

j fkuuuukhT

مولتون را بـه دسـت -زلف آدامت روشهای مخ می توان مراتب مختلفبا انتخاب جمالت ) ۲( در رابطه

مولتـون مرتبـه دوم –چنان چه تا تفاضل مرتبه اول را به عنوان تقريب در نظر بگيريم روش آدامز . آورد :و تک گامی را داريم

)تک گامی(روش آدامز مولتون مرتبه دوم -۱

)(

)(12

)1()(!2

][2

1)1(0)](21[

]21[

21

31

0

3

1

11

111

111

hOTh

fhuduufhT

ffhyy

njfffhyy

ffhyy

j

j

jjjj

jjjjj

jjjj

=

′′−=−′′=

++=

−=−−+=

∇−+=

−

+

++

+++

+++

∫ µµ

)دوگامی( روش آدامز مولتون مرتبه سوم -۲

:تا تفاضل مرتبه دوم را به عنوان تقريب استفاده کنيم داريم) ۲(ه در رابطه چچنان

)(

)(24

)1()1()(!3

]85[12

1)1(1)]2(121)(

21[

]121

21[

31

41

0

4

1

111

11111

12

111

hOTh

fhduuuufhT

fffhyy

njffffffhyy

fffhyy

j

j

jjjjj

jjjjjjjj

jjjjj

=

′′′−=+−′′′=

−++=

−=+−−−−+=

∇−∇−+=

−

+

−++

−++++

++++

∫ µµ

١٠١

):سه گامی( روش آدامز مولتون مرتبه چهارم -۳

:ن تقريب استفاده نماييم داريمتا تفاضل مرتبه سوم را به عنوا) ۲(چنان چه در رابطه

)(

)(720

19)2)(1()1()(!4

1)1(2]5199[24

]241

121

21[

41

)4(51

0

)4(5

1

2111

13

12

111

hOTh

fhduuuuufhT

njffffhyy

ffffhyy

j

j

jjjjjj

jjjjjj

=

−=++−=

−=+−++=

∇−∇−∇−+=

−

+

−−++

+++++

∫ µµ

:Pr)( پيشگو اصالحگر های روش MethodCorrectededictedPCM

∑∑=

+−=

+− +=k

iiji

k

iijij fbhyay

P

1

)0(1

1

)0(1

)0(

:

:و به طور کلی

∑∑=

+−++=

+−+

+ =++=k

iiji

rjj

k

iiji

rj rfbhyxfhbyay

C

11

)(110

11

)1(1 ,2,1,0),(

:

می کنيم پيشگويی با استفاده از يک روش چندگامی صريح جواب معادله را ابتدا

)0(1: +jyP

می کنيممحاسبه با استفاده از جواب مرحله پيشگويی جمله ضمنی کننده روش اصالحگر را سپس

),(: )0(11 ++ jj yxfE

را می يابيم تصحيح با استفاده از موارد فوق جواب مرحلهدر مرحله آخر

)1(1: +jyC

: داريمدر نتيجهبار اين عمل را تکرار کرديم nاين عمل را مجددا تکرار می کنيم فرض می کنيم

١٠٢

,2,1)( =≡ nECPECPECECEC n

. بار محاسبه و اصالح می کنيمnيعنی يکبار پيشگويی می کنيم و

:مثال

)1,0(تکرارمرتبه سوم تا دو مرحله ئله زير را با روشهای پيشگو اصالحگرمس =rحل کنيد .

2.01)0(10

==≤≤+=′

hy

xyxy

)حل

====

==

=−

=

18.06.04.02.00

52.001

54

32

10

xxxxxx

n

:ابتدا با روش آدامز بشفورت مرتبه سوم پيشگويی می کنيم

4)1(2)](5)(16)(23[601

]51623[12

:

2211)0(1

211

=+++−++=

+−+=

−−−−+

−−+

jyxyxyxyy

fffhyy

P

jjjjjjjj

jjjjj

:حال با روش آدامز مولتون مرتبه سوم تصحيح می کنيم

583649.1242806.1)2.0(21

)]()(8)(5[12

2.0

]85[12

:

2

11

11)(11

)1(1

111

====⇒+−−=

+−++++=

−++=

−−+++

+

−++

yxyyexy

yxyxyxyy

fffhyy

C

x

jjjjr

jjjr

j

jjjjj

١٠٣

);1;0();4;2(++≤=

++≤=rrrfor

jjjfor

044448.2)]()(8)(5[12

2.0

044309.2)]()(8)(5[12

2.0

042634.2)](5)(16)(23[601

1122)1(

332)2(

3

1122)0(

332)1(

3

0011222)0(

3

=+−++++=

=+−++++=

=+++−++=

yxyxyxyy

yxyxyxyy

yxyxyxyy

حل عددی مسائل مقدار مرزی

:معادله ديفرانسيل مرتبه دوم زير را در نظر می گيريم

)1(),,( bxayyxfy ≤≤′=′′

: مانندهمراه باشد شرايط مرزی نوع اولاين معادله می تواند با

βα == )(,)( byay

:مانند شرايط مرزی نوع دوميا با

βα =′=′ )(,)( byay

651599.2

651433.2)]((8)(5[12

2.0

649430.2)](5)(16)(23[601

)2(4

22)2(

33)0(

44)2(

3)1(

4

1122)2(

33)2(

3)0(

4

=

=+−++++=

=+++−++=

y

yxyxyxyy

yxyxyxyy

437515.3

437308.3)]()(8)(5[12

2.0

434831.3)](5)(16)(23[601

)2(5

)2(33

)2(44

)0(55

)2(4

)1(5

22)2(

33)2(

44)2(

4)0(

5

=

=+−++++=

=+++−++=

y

yxyxyxyy

yxyxyxyy

١٠٤

: مانندشرايط مرزی نوع سومو يا با

243121 )()(,)()( dbycbycdaycayc =+′=+′

. اين موضوع را روشن می سازد و قضيه زير است جواب منحصر به فرددارای) ۱( مقدار مرزی مسئله

:قضيه

است ودريکی از شرايط مرزی داده شده صدق مـی کنـد xy)(صر به فرد دارای جواب منح )1(معادله

),,(اگــر yyxf :)},,(,,{ در ناحيــه ′ ∞′−∞≤≤′ yybxayyxD پيوســته باشــد همچنــين

دارای مــــشتقات نــــسبی اول yf

yf

∂∂

′∂∂ ــته در , ),,(:0 باشــــد وDناحيــــه پيوســ

yfDyyx

∂∂

∈′∀

MوyfDyyx ′∂

∂∈′∀ .باشد),,(:

. باشدخطی ويا غير خطی می تواند ′y و y نسبت به )1(معادله

خطی باشد آن گاه )1(اگر معادله

)2()()()( xryxqyxpy ++′=′′

ه در مورد معادله خطی تعميم قضي

],[ در xr)( و xq)( ، xp)(توابع دارای جواب منحصر به فرد است اگر )1(معادله ba پيوسته باشـند

و

0)( xq وMxp )(.

روش تفاضلی مرتبه دوم

: با شرايط مرزی نوع اول را درنظر می گيريم مرزیمقدارحال مسئله

١٠٥

)1()1(1;

)()(

)()()(

njjhaxn

abh

byay

bxaxryxqyxpy

j =+=−

=

==≤≤

++′=′′

βα

)3()(!4

...................................................................

)(!4

)(!3

)(!2

)()()()(

)2()1(0)()()()()()(

)4(4

)4(432

1

+

+

+=

++′′′+′′+′+=+=

=++′=′′

j

jjjjjjj

jjjjjj

xyh

xyhxyhxyhxyhxyhxyxy

njxrxyxqxyxpxy

1)1(1)())(2

1())(2())(2

1(

)()())((2

2

1)1(1)()()()](122

)()()[()(

!4)()(2)(

)6()(!32

)()()(

)5()(!4

)()(2)()(

)4()(!4

...................................................................

)(!4

)(!3

)(!2

)()()()(

21

21

221111

211)4(

2

211)1()6(),5(

2

211)4()3(

1)4(

2

211)4(),3(

)4(4

)4(432

1

−==−++−+∴

++−=+−

−=++′′′

−−

=−+−

→

′′′−−

=′ →

−+−

=′′ →

+=

−+′′′−′′+′−=−=

+−

−++−

−++−

−+−

+−

−

−

njxrhyxphyxqhyxph

xrhyxqhyyxphyyy

njxrxyxqcy

hh

xyxyxpcyh

hxyxyxy

cyhh

xyxyxy

cyhh

xyxyxyxy

xyh

xyhxyhxyhxyhxyhxyxy

jjjjjjj

jjjjjjjjj

jjj

jjj

jjjin

jjj

jjjj

j

jjjjjjj

−−

+−

=

−−+

−−−+

−−−+

−−−

−−

−

−

−

−

−−

−−−

112

22

32

22

112

1

2

3

4

3

2

1

12

1

222

2

222

2

112

)2

1(

)2

1(

22

1

212

21

212

21

212

nn

n

n

n

n

nn

nnn

phrh

rh

rhrh

phrh

yyy

yyyy

qhph

phqhph

phqhph

phqh

β

α

١٠٦

:مثال

.با روش تفاضلی مرتبه دوم مسئله زير را حل کنيد

2.01)1(2)0(10

)32(23

===≤≤

+++′−=′′

hyy

xxyyy

)حل

02)(3)(

32)(

=−=

+=

xqxp

xxr

پس شرايط قضيه قبل حـاکم اسـت ومـا دارای . مثبت است xq)( کرندار و xp)(.تمام توابع پيوسته اند

.جواب منحصر به فرد هستيم

======

⇒=−

=18.0

6.04.02.00

52.001

54

32

10

xxxxxx

n

.حال ماتريس فوق را تشکيل می دهيم

−+

++

−+

=

−−

−−

3.1)32(04.0)32(04.0)32(04.0

)7.0(2)32(04.0

08.27.0003.108.27.00

03.108.27.0003.108.2

4

3

2

1

4

3

2

1

xxx

x

yyyy

.اين دستگاه توسط روش حذفی گاوس به سادگی حل می شود

١٠٧

روش نيومرو

: زير را درنظر می گيريمبا شرايط مرزی نوع اول مقدار مرزی مسئله

)1()()(

,),(

βα

==

≤≤=′′

byay

bxayxfy

],[بازه baرا به nکنيم زير بازه با گام مساوی افراز می :

nabh −

=

njjhax j )1(0, =+=

: درنظر می گيريم jxمعادله ديفرانسيل داده شده را در

)2()1(1))(,()( njxyxfxy jjj ==′′

تقريب می را در سه نقطه با ضرايب نامعينfحال مشتق مرتبه دوم را با يک فرمول سه نقطه ای و تابع

:زنيم

)3())}(,())(,())(,({)()(2)(

112

11102

11

jjj

jjjjjjj

Txyxfxyxfxyxfhxyxyxy

+

++=+−

++

−−+−

β

ββ

)(اسـتفاده کنـيم و همچنـين ) ۲(از رابطه کافی است که برای تعيين ضرايب نامعين 1−jxy، )( 1+jxy،

)( 1+′′ jxy و )( 1−′′ jxy را حول jx دهيم بسطتيلور با سری .

++′′′+′′+′++

−−+′′′−′′+′−

)(!4

)(!3

)(!2

)()(

)(2)(!4

)(!3

)(!2

)()(:..

)4(432

)4(432

jjjjj

jjjjjj

xyhxyhxyhxyhxy

xyxyhxyhxyhxyhxySHL

١٠٨

j

jjjjj

jjjj

jjjj

T

xyhxyhxyhxyhxy

xyhxyhxyhxyh

xyhxfxyhxyhSHR

+

+++′′′+′′+′′+

++−+′′′

−′′=+++′′

]}

)(!4

)(!3

)(!2

)([)(

])(!4

)(!3

)(!2

)(

)({)(2)(!4

2)([{:..

)6(4

)5(32

21

)6(4

)5(3

)4(2

02)6()4(

4

02

ββ

ββ

. فوق را می کنيمهرابط

jj

jj

jj

Txyh

xyhxyh

xyhxyhSHR

++−+

−++

+′′′−+′′++

)(!4

)(

)(!3

)()(!2

)(

)()()()(:..

)6(6

02

)5(5

02)4(

4

02

302

2210

ββ

ββββ

βββββ

می توان روابط زير را بـه دسـت آورد کـه از ايـن با سمت چپ قرار دادن روابط سمت راست متحد با

. را محاسبه نمودمجهوالتروابط می توان

61

1210,

1210

1

02

12002

210

=+

===⇒=−

=++

ββ

βββββ

βββ

محاسبه شده فـوق کـه اولين جمله ناصفر متناظر با مجهوالت خطای برشی روش نيومرو عبارت است از

:به صورت زير می يابيم

)(144

1)(!46

1 )6(6)6(6

cYhcYhTj ==

)(بنابراين خطای برشی دارای دقت مرتبه 6ho روش نيومرو دارای دقت است لذا نتيجه می گيريم که .باشدم می نجپتبه مر

:الگوريتم روش

١٠٩

1)1(1]10[12

2 11

2

11 −=++=+− +−+− njfffhyyy jjjjjj

:مثال

.مسئله زير را با روش نيومرو حل کنيد

2.00)3()2(

)32(22

===

++=′′

hyy

xyx

y

)حل

4)1(1)]322(

)322(10)322[(30012

38.26.24.22.22

52.023

1121

21121

11

54

32

10

=++

++++++=+−

==

====

⇒=−

=

+++

−−−

+−

jxyx

xyx

xyx

yyy

xxxxxx

n

jjj

jjj

jjj

jjj

:با جايگذاری در معادله باال داريم

=

−

−

3307.03266.0312.0296.0

0085.29990.0009991.00098.29988.0009990.00115.29988.0009988.00137.2

4

3

2

1

yyyy

.اين دستگاه با روش حذفی گاوس به راحتی حل می گردد

١١٠

PDE)(معادالت ديفرانسيل با مشتقات جزئیحل

:به صورت زير استبا مشتقات جزئی معادالت ديفرانسيل فرم کلی

)1(0),,,,(2 2

2

2

2

=∂∂

∂∂

−∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yu

xuuyxF

yuC

yxuB

xuA

هستند يا توابعی از y و xتوابعی از يا Cو B وAکه در آن xu

∂ و ∂

yu

∂∂.

و u يـک تـابع خطـی نـسبت بـه F و y و x تـوابعی از Cو B و Aاگر xu

∂ و ∂

yu

∂ باشـد آن گـاه ∂

),( معادله ديفرانسيل خطـی مرتبـه دوم ناميـده مـی شـود کـه دارای جـواب )1(معادله ديفرانسيل yxu

:يعنی.است

02 2

22

2

2

=++∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ GHu

yuE

xuD

yuC

yxuB

xuA

.y و x هم می توانند ثابت باشند وهم تابعی از Cو B وAکه در آن

.عادله ناهمگن خوانده می شودت م معادله همگن و درغير اين صورG=0اگر در اين معادله

02اگر ) ۱حالت =− ACBاز نوع سهموی است که معادله گرما از جمله اينهاست فوق باشد معادله .

:در اين صورت داريم

AACBB

dxdy −±

=2

02اگر) ۲حالت ACB .ز اين دسته استعادله موج افوق از نوع هذلولوی است که م معادله −

02اگر ) ۳حالت ACB از ) پواسـون (از نـوع بيـضوی اسـت و معادلـه الپـالس فـوق باشد معادله −

.جمله اينهاست

١١١

معادله گرما در فضای يک بعدی

در فضای يک بعد چنان چه تمامی ثابتهای فيزيکی را واحد انتخاب نماييم معادله انتقال حرارت

:عبارت است از

(*))(),()(),()()0,(

)1(0,

2

1

2

2

===

≤≤∂∂

=∂∂

tgtbutgtauxfxu

tbxaxu

tu

),(جواب معادله فوق يعنی يافتن ما هدف txu مـرزی و اوليـه شـرايط در و )1( است که در معادلـه(*)

.صدق کندديريکله معروف است مرزی که به شرايط

:زير استکلی تفاضلی برای حل عددی به صورت روش

],[بازه ba را بهM زير فاصله با گام مساویh 0,[ افراز می کنيم و همچنين بازه[ T را به N زير بازه با

:ريم افراز می کنيم بنابراين داkگام مساوی

NnnktNTk

MmmhaxM

abh

n

m

)1(0

)1(0

==

=

=+=

−=

),(شبکه عمومی نقاط فوق را که عبارت است از nm tx در نظر می گيريم و معادله ديفرانسيل را در اين

برای آسانی کار فرض می کنيم.شبکه نقاط گسسته می سازيم

)(

)(),(

SolutioneapproximatusolutionExactUtxu

nm

nmnm =

١١٢

:در فضای تک بعدیاشميت برای حل عددی معادله گرما صريح روش

:را د رمجموعه نقاط گسسته در نظر می گيريم) ۱(معادله ديفرانسيل رابطه

)2()()( ),(2

2

),( nmnm txtx xu

tu

∂∂

=∂∂

:با استفاده از فرضيات فوق داريم

)3(2

2

xU

tU n

mnm

∂∂

=∂

∂

بـا وtبرای تقريـب مـشتق نـسبی مرتبـه اول نـسبت بـه مرتبه اول از فرمول تفاضلی پيشرو حال با استفاده

:داريم x برای تقريب مشتق نسبی مرتبه دوم نسبت بهفرمول تفاضل مرکزی مرتبه دوماستفاده از

)4()(2

)(

)()(

22

111

22

hOh

UUUkOk

UUhOUkOU

nm

nm

nm

nm

nm

nmx

nmt

++−

=+−

+=+∆

+−+

δ

:ا داريم در طرفين رابطه نهايتkو با استفاده از ضرب ) ۳(دررابطه ) ۴(با استفاده از رابطه

)]([]2[ 2112

1 hkOkUUUhkUU n

mnm

nm

nm

nm +++−=− +−

+

باانتخاب

2hk

=λ

:داريم)]([]2[ 2

111 hkOkUUUUU n

mnm

nm

nm

nm +++−=− +−

+ λ : خطای برشی رابطه فوق صرفنظر کنيم داريمحال اگر از

)5(1)1(1,1)1(0)1(

]2[

111

111

−=−=+−+=

+−=−

+−+

+−+

MmNnuuuuuuuuu

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

λλλ

λ

:برای تعيين دقت روش به شرح زير عمل می کنيم.تفاضلی اشميت می نامندروش را رابطه فوق

١١٣

:خطای برشی روش فوق عبارت است از :دقت روش

)6()21( 122121 n

mnm

nm

nm

nm U

hkU

hkU

hkUT +−

+ −−−−=

),(را با استفاده از سری تيلورحول)۶(حال رابطه nm txبنابراين داريم. بسط می دهيم:

}!3!2

{)21(}!3

!2{

!3!2

3

3

2

22

3

33

2

22

23

33

2

22

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

+−−−+∂

∂

−∂

∂+

∂∂

−−+∂

∂+

∂∂

+∂

∂+=

xUh

xUh

xUhUU

xUh

xUh

xUhU

hk

tUk

tUk

tUkUT

nm

nm

nmn

mnm

nm

nm

nmn

m

nm

nm

nmn

mn

m

λλ

:رابطه فوق را ساده می کنيم

+∂

−∂

∂+

∂∂

−∂

∂=

∗

4

42

2

22

2

2

12!2)(

xUkh

tUk

xU

tUkT

nm

nm

nm

nmn

mα

: داريم) ۳(بطه با استفاده از را

+∂

∂−

∂∂

= 4

42

2

22

12!2 xUkh

tUkT

nm

nmn

m

:بنابراين دقت خطای برشی روش اشميت عبارت است از)( 22 khkOT n

m += : رابطه فوق دقت روش اشميت را به صورت زير می يابيمkبا تقسيم بر

)( 21 hkOTk nm +=−

)(فوق دارای دقت اين روش بنابر 2hko اگـر اين روش مشروط پايـدار اسـت و . است +

21

≤λ روش .واره پايدار استهم

١١٤

:فرم سلولی روش فوق عبارت است از. روش اشميت روشی است دو اليه ای و صريح

)شکل(

:رای حل عددی معادله گرما در يک فضای تک بعدیضمنی السنن بروش

بـا اسـتفاده ازيـک فرمـول مـشتق را ) ۳(طرف چپ رابطه در tحال اگر مشتق نسبی مرتبه اول نسبت به

مرکزی مرتبـه دوم تفاضل فرمول يک وسمت راست اين رابطه را با تقريب بزنيم پسرو مرتبه اول گيری

:داريم زنيمب تقريب

: ضرب کنيم داريمkقرار دهيم و طرفين اين رابطه را در) ۳(را در رابطه ) ۷(حال اگر رابطه

)()2( 2211

1 khkOUUUUU nm

nm

nm

nm

nm +++−=− +−

− λ

: داريمn+1 به nاز خطای برشی رابطه فوق صرفنظر کنيم و هم چنين با تغيير حال چنان چه

)8(1)1(0,1)1(1)21( 11

111 −=−=−++−= +

+++

− NnMmuuuu nm

nm

nm

nm λλλ

رو ش فوق روش السنن ناميده می شود که روشی ضمنی و دواليه ای لست که فرم سـلولی آن عبـارت

:است از

)شکل(

)7()(2)( 22

111

2

hOh

UUUkOkUU

UUnm

nm

nm

nm

nm

nmx

nmt

++−

=+−

=∇

−+−

δ

١١٥

:دقت روش :خطای برشی روش السنن عبارت است از

nm

nm

nm

nm

nm UU

hkU

hkU

hkT −−++−= +

++−

−112

12

112 )21(

),(ه فوق را با استفاده از سری تيلورحول رابط nm txبسط می دهيم داريم:

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nmn

mn

m

UtUk

tUk

UxUh

xtUkh

xtUhk

tUk

xUh

txUkh

tUk

xUh

tUkU

hkT

−+∂

∂+

∂∂

+

+++∂

∂−

∂∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

+

∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

+∂

∂−

∂∂

+−=

]!2

)[21()33(!3

1

)2(!2

1)([

2

22

3

33

2

3

2

32

3

33

2

22

2

2

22

2

λ

:با ساده کردن رابطه فوق داريم

+∂

−∂

∂+

∂∂

−∂

∂= 4

42

2

22

*

2

2

12!2)(

xUkh

tUk

xU

tUkT

nm

nm

nm

nmn

mα

:رابطه فوق به صورت زير ساده می شود) ۳(با استفاده از رابطه

+∂

∂−

∂∂

= 4

42

2

22

12!2 xUkh

tUkT

nm

nmn

m

:يم که خطای برشی روش السنن عبارت است ازلذا نتيجه می گير

:بنابراين دقت روش السنن عبارت است از

)( 21 hkOTk nm +=−

)( 22 khkOT nm +=

١١٦

برای اين روش61

≤λپايدار است لذا رو ش را مشروط پايدار نامند .

:نيکلسون -کروش کران

.اين روش در واقع ترکيبی از دو روش قبلی است

بنـابراين دوروش .رين روش برای اثبات فرمول عبارت است از ميـانگين گـرفتن از دو روش فـوق ساده ت

:فوق را درنظر می گيريم

)9(1)1(1,1)1(0)1( 111 −=−=+−+= +−

+ MmNnuuuu nm

nm

nm

nm λλλ

)10(1)1(0,1)1(1)21( 11

111 −=−=−++−= +

+++

− NnMmuuuu nm

nm

nm

nm λλλ

:و حال ميانگين دو روش فوق

1)1(1,1)1(02

)1(22

)1(2 11

11

111

−=−=

+−+=−++− +−++

++−

MmNn

uuuuuu nm

nm

nm

nm

nm

nm

λλ

λλλ

λ

:فرم اپراتوری اين رو ش عبارت است از)11(1)1(1,1)1(0)

21()

21( 212 −=−=+=− + MmNnuu n

mxnmx δ

λδ

λ فرم سلولی اين روش .اين روش را روش کرانک نيکلسون نامند که روشی دو اليه ای و ضمنی است

:عبارت است از

)شکل(

١١٧

:دقت روش

:خطای برشی روش عبارت است از ميانگين خطای برشی دو روش اشميت و السنن

)(4

)(2

)(2

2322

43

4

4

2

2

22

*

2

2

khkOtx

UkxU

hk

xU

tU

tk

xU

tUkTTT

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nml

nmsn

m

+=+∂∂

∂−

∂∂

−∂

∂−

∂∂

∂∂

+∂

∂−

∂∂

=+

=

:داريم) ۳(با استفاده از رابطه

:ا نتيجه می گيريم که دقت روش عبارت است ازلذ

)( 221 hkOTk nm +=−

. ای روش همگرا می شودλمنا اين روش همواره پايدار است يعنی با انتخاب هرض

:روش ريچاردسون

ک فرمول مشتق گيری نسبی مرتبـه دوم با ي ) ۳(رادر رابطه tبه اول نسبت به تحال چنانچه مشتق نسبی مر

:تقريب بزنيم داريم

)(2

)(2

22

11211

hOh

UUUkOkUU n

mnm

nm

nm

nm +

+−=+

− +−−+

2h ضرب کنيم و با استفاده ازk2چنان چه رابطه فوق را درk

=λداريم :

)()2( 2211

11 khkOUUUUU nm

nm

nm

nm

nm +++−=− +−

−+ λ

:چه از خطای برشی صرفنظر کنيم داريمچنان

)12(1)1(11)1(1)2(2 111

1 −=−=++−= −+−

+ MmNnuuuuu nm

nm

nm

nm

nm λ

)(4

2322

43

4

42 khkO

txUk

xUkhT

nm

nmn

m +=+∂∂

∂−

∂∂

=

١١٨

فـرم سـلولی عبـارت . که روشی سـه اليـه ای و صـريح اسـت روش فوق را روش ريچاردسون می نامند

:است از

)شکل(

:دقت روش

:رو شريچاردسون عبارت است ازخطای برشی

111

1 )2(2 −+−

+ −+−−= nm

nm

nm

nm

nm

nm UUUUUT λ

),(با بسط سری تيلور حول nm tx داريمنهايتا) ۳( و با استفاده از رابطه :

)( 23 khkOT nm +=

:بنابراين دقت روش عبارت است از

)( 221 hkOTk nm +=−

: فرنکل–روش دافورت :اگر در روش ريچاردسون از تقريب زير استفاده کنيم

)1()(

21 11 −+ +≅ n

mnm

nm uuu

:داريم

1)1(11)1(0)21()(2)21( 1

111

−=−=−++=+ −

+−+

MmNnuuuu n

mnm

nm

nm λλλ

:تقسيم کنيم داريم +λ21 فين رابطه را دررحال اگر ط)13(1)1(11)1(1

2121)(

212 1

111 −=−=

+−

+++

= −+−

+ MmNnuuuu nm

nm

nm

nm λ

λλ

λ

١١٩

:روش فوق روشی است سه اليه ای و صريح که فرم سلولی آن عبارت است از

:دقت روش : فرنکل عبارت است از–خطای برشی روش دافورت

111

1 )21()(2)21( −+−

+ −++−+= nm

nm

nm

nm

nm UUUUT λλλ

:نيم داريمچنان چه رابطه فوق را با استفاده از سری تيلور بسط دهيم و ساده ک

)( 23 khkOT nm +=

:لذا نتيجه می گيريم که دقت روش عبارت است از)( 221 hkOTk n

m +=−

.ضمنا اين روش از روش قبلی پايدارتر است

:۱مثال

با استفاده از روش اشميـت و 31,

361

== hk1,0 معادله زير را برای دو اليه=n کنيد حل.

1002

2

≤≤∂∂

=∂∂ xt

xu

tu

===

0),1(0),0(sin)0,(

tutu

xxu π

)حل

١٢٠

33293

329

24

24

2,11

3833

83

233sinsin2sin24

233sinsin2sin24

2,10

);2;1();1;0(24

21)(

41

22

211

312

11

22

12

11

10

21

21

11

32103

02

01

21

21002

01

00

11

111

111

==⇒

++=

++=

==

==⇒

=++=++=

=++=++=

==

++≤=++≤=++=

++=

+−+

+−+

uuuuuuuuuu

mn

uuxxxuuuu

xxxuuuu

mn

mmmfornnnfor

uuuu

uuuunm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

πππ

πππ

:۲مثال

. نيکلسون برای دو اليه حل کنيدله زير را بااستفاده از روش کرانکمسا

==

=

≤≤∂∂

=∂∂

ttuttu

xxu

xtxu

tu

2),1(),0(

sin)0,(

100

2

2

2

π

41

91

361

36101,0

132

310

3)1(0

30131

2

10

32

10

===

==⇒==

==

==⇒==

=⇒−

=

hk

ttnnkt

xx

xxmmhx

MM

n

m

λ

١٢١

)حل

تمرينهاي فصل سوم')sin,()0(1: ست مسئله مقدار اوليه زير مفروض ا-١ =+= yyxy

حل h=0.1 كوتاه با گام -اين مسئله را با روشهاي اويلر پيراسته اويلرروشهاي مراتب مختلف رانگ . را بيابيد y(0.4)كنيد و جواب تقريبي

')(2,)0(2: مسئله مقدار اوليه زير مفروض است-٢ =−+= yxyxy y(0.6 ( جواب تقريبي معادله رادر h=0.15,h=0.2,h=0.3 روش اويلر و گامهايبا استفاده از: الف

) رقم اعشار٥محاسبات تا .(بيابيد . كوتاه و پيراسته اويلر حل كنيد-مسئله را با گامهاي مندرج در فوق با روشهاي مرتبه دوم رانگ :ب

5443.05275.0

])36(

1)18(

1[610

61610

610

610

1812),1(

)361(),0(

912),1(

181)

361(22),0(

2,11

6742.05567.0

22

21

2212

11

22

21

12

11

22

21

13

12

11

23

22

21

12

11

10

22

21

20

1113

2211

10

2223

22

2220

11

12

==⇒

+++=−

++=+−≡

++=−+−

++=−+−

===

===

===

=====

==

==⇒

uu

uuuu

uuuu

uuuuuuuuuuuu

ttuu

ttuu

ttuu

ktttuu

mn

uu

١٢٢

بيابيد x=0.8تقريبي مسئله زير را درجواب چهارم كوتاه مرتبه - با استفاده از روش كالسيك رانگ-٣',)4.0(41.0 .باشد h=0.2به طوريكه =+= yyxy

,)0(1: مسئله مقدار اوليه زير مفروض است-٤

)()(' =

−+

= yxyxyy

. كوتاه مرتبه سوم كالسيك بيابيد- با روش رانگy(0.4) جواب مسئله را درh=0.2با گام بشفورت مر تبه - با استفاده از روش آدامزx=0.3يل زير را در نقطه جواب تقريبي معادله ديفرانس-٥

'2,)0(1 . بيابيدh=0.1 دوم و با گام =−= yyxy . كوتاه مرتبه دوم كالسيك استفاده كنيد-براي شروع روش از روش رانگ.

)(: روش مرتبه چهارم به فرم-٦ 3

'2

'1

''21 −−−−+ ++++= jjjjjj eydycybyhayy

'),(براي حل معادله yxfy . تعيين كنيد و خطاي آنرا بيابيد= 0: براي حل معادله -٧

' )0(),,( yyyxfy == خطاي برشي اين روش را بيابيد و مرتبه دقت آنرا تعييين. روش زير پيشنهاد مي شود

)44(.كنيد194)(

1918

321321 −−+−−+ +++++−= jjjjjjjj ffffhyyyy ٨-b,c,a را بطريقي بيابيد كه روش چند

)1()(:گامي 1''

1'

11 −+−+ ++++−= jjjjjj dycybyhayyay '),(داراي حداكثر مرتبه دقت براي حل مسئله مقدار اوليه yxfy . گردد=

022,]3,2,[)2()3(0: مسئله مقدار مرزي زير مفروض است-٩ ==∈=+−′′ yyxxyyx

. حل كنيدh=0.1,h=0.25با استفاده از روشهاي تفاضلي مرتبه دوم و روش نيومر و با گام

1,]1,0[ده از يك روش مرتبه دوم تفاضلي مسئله مقدار مرزي با استفا-١٠ ∈+=′′ xxyy 1)1(,1)0()0( ' ==+ yyy

.حل كنيدh=0.25 را با گام