num reales _2010

1

EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESEL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

Se llama el Sistema de Números Reales, a un conjunto

no vacío R, dotado de 2 operaciones internas, la adición

y la multiplicación, y se denota así:

< R , + , >

donde se considera una relación de orden mayor denotado

por “ > ” que satisface los siguientes axiomas:

2


Axiomas de Adición

A.1. Si a,b R (a + b ) R ................... ..... Clausura.

A.2. a + b = b + a a,b R .........................Conmutativa.

A.3. (a + b) + c = a + (b + c ) ; a,b,c R ................ Asociativa.

A.4. Existe 0 R / a + 0 = 0 + a= a ; a R .........Elemento neutro aditivo.

A.5. a R ; (-a) R / a + (-a) = (-a) + a = 0 ........... Inverso aditivo.

Axiomas de Multiplicación

M.1. Si a,b R a.b R ........................ Clausura.

M.2. a.b = b.a ; a,b R ........................ Conmutativa

M.3. (a.b).c = a.(b.c) ; a,b R ........................ Asociativa

M4. 1 R / 1.a = a.1 =a ; a R ....................... Elemento neutro mult.

M.5. a R , con a o , a-1 R / a-1.a = a.a-1 =1 ..... Inv. Mult.

3

Axiomas Distributivas respecto a la adición

D.1. Si a,b,c R a.( b + c) = a.b + a.c ......... Distributiva por la izquierda.

D.2. Si a,b,c R ( b + c).a = b.a + c.a ....... Distributiva por la derecha.

Axiomas de Igualdad.

I.1. a = a .................. . (Reflexiva)

I.2. Para a,b R a = b ó a b ................. ( Dicotomía )

I.3. Si a = b b = a ....................( Simetría )

I.4. Si a = b b = c a = c .................... ( Transitiva )

I.5. Si a = b a + c = b + c ; c R ............( Unicidad de adición )

I.6. Si a = b a.c = b.c ; c R .............( Unicidad de la multiplicación)


4

Axioma de Orden

O.1. Si a,b R a = b ; a > b ; a b b > c a > c .............. ( Transitiva )

O.3. Si a > b a + c > b + c ; c R ..............(Consistencia Aditiva )

O.4. a > b c > 0 a.c > b.c ............... ( Consistencia Multiplicativa )

O.5. a > b c < 0 a.c < b.c ............... ( Consistencia Multiplicativa )

5


Definición de sustracción de Números Reales

Dado dos números a y b . Se define la diferencia de a y b , como la suma de a

con el inverso aditivo de b . Es decir :

a - b = a + ( - b ) a , b R

Definición de División de Números Reales

Dado dos números a y b . Se define el cociente de a entre b , como el producto

de a con el inverso multiplicativo de b . Es decir :

0b , R b , a , b . a

b

a 1

6


TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION

Rcb,a, , a.c - a.b c)-a(b :T

Rcb,a, ba 0c , bcac :T

Rcb,a, , b a c b c a :T

Rba, , ab(-a)(-b) :T

Ra , a (-a)- :T

Rba, , (-a)b-(ab)a(-b) :T

Ra , 1)a( a- :T

Ra , 0.a0 a.0 :T

8

7

6

5

4

3

2

1

7



0dy 0c , 0b , b.c

a.d

dcba

:T

0d , 0b , b.d

a.c

d

c

b

a :T

0d , 0b , b.d

b.ca.d

d

c

b

a :T

0a , a)(a :T

0ab , ba(a.b) :T

13

12

11

1-1-10

-1-1-19

8



-ba baba :T

bab)-b)(a(a :T

0b 0a 0ab :T

b-ax 0bax 0a , Rx, ba, Si :T

naa.......aaa generalen , 2aaa :T

2218

2217

16

1-15

14

9


DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS

0.a0 a.0 :T1

0.aa.0 :aconmutativpor y 0a.0 : tantoloPor

aditivo) (Inverso 0

tivo)multiplica (Neutro (-a)a

aditivo) (Neutro (-a)a.1

izquierda) lapor iva(Distribut (-a)1) a(0

tivo)multiplica (Neutro (-a)a.1) a.0(

a)(Asociativ (-a)a) a.0(

aditivo) (Inverso (-a))a ( a.0

aditivo) (Neutro 0 a.0 a.0

10



ba cbca Si :T6

ba

0b 0a

(-c)]c[b(-c)][ca

(-c)cb(-c)ca cbca

I.5

A.3

A.5

A.4

11



ba 0c , b.ca.c Si :T7

I.6

M.3

M.5

M.4ba

b(1)a(1)

)b(c.c)a(c.c

)(b.c)(c)(a.c)(cb.ca.c1-1-

-1-1

12



0ab , .ba(a.b) :T 1-1-19

M.5

M.2 , M.3

M.4

T7

).b(a(a.b)

).b(a.b)(a(a.b)(a.b) :Luego

1(a.b)(a.b) Pero

1).b(a.b)(a

(1) (1).).b(a.b)(a

)(b)(b ).(a)(a).b(a.b)(a

: efectoEn

1).b(a.b)(a quedemostrar bastará

11-1-

11-1

1

11-

11-

11-11-

1-1

13



ba baba :T 2218

T16

T17

A.5

A.5 , A.4

-ba ba

b0a -b0a

b0bb-a (-b)0(-b)ba

0b-a 0ba

0b)-b)(a(a

0ba

)(-bb)b(aba22

222222

I.5

I.5

14

Son conjuntos de números reales que están definidos mediante la condición de que sus elementos satisfacen ciertas desigualdades.Entre estas tenemos:

1) Intervalo Abierto:

Dado a, b R {xR / a < x < b} = < a, b >

- a b

2) Intervalo cerrado:

Dado a, b R {xR / a x b} = [ a, b ]

- a b

LOS INTERVALOSLOS INTERVALOS

15

3) Intervalos Semiabiertos:

i) Dado a, b R {xR / a < x < b} = [ a, b >

ii) Dado a, b R {xR / a < x < b} = < a, b ]

4) Intervalos Infintos:

i) Dado a R {xR / x > a} = [a, + >

+

b

b

a

a

a

16

ii) Dado a R {xR / x > a} = <a, + >

iii) Dado a R {xR / x < a} = < -,a ]

iv) Dado a R {xR / x < a} = < - ,a >

- a

- a

+a

17

OPERACIONES CON INTERVALOSOPERACIONES CON INTERVALOS CONCEPTOS BÁSICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS

1. Reunión de Conjuntos

A B , es el conjunto de elementos que pertenecen a A ó B ó a

ambos.

A B = { x/ x A x B }

AB

U

18

OPERACIONES CON INTERVALOSOPERACIONES CON INTERVALOS 2. Intersección de Conjuntos

A B , es el conjunto de elementos que pertenecen a A y B a la vez, es

decir son elementos comunes a ambos conjuntos.

A B = { x/ x A x B }

A B

U

A B

19

OPERACIONES CON INTERVALOSOPERACIONES CON INTERVALOS 3. Diferencia de Conjuntos

A - B , es el conjunto de elementos de A que no pertenecen a B.

A - B = { x/ x A x B }

AB

U

A -B

20

OPERACIONES CON INTERVALOSOPERACIONES CON INTERVALOS4. Complemento de un Conjunto

A , Es el conjunto de elementos que no pertenecen al conjunto A.

A = { x/ x U x A }

A

U

A

21

OPERACIONES CON INTERVALOSOPERACIONES CON INTERVALOS 3. Diferencia Simétrica de Conjuntos

A B = { x/ x (A - B ) x (B - A ) }

A B = ( A - B) (B - A)

A B = ( A B) - (B A)

AB

U

A B

22

OPERACIONES CON INTERVALOSOPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos:

Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R

a. A B b. B A c. A - B

d. A e. (A C) - B f. ( A B) C

Solución

BA a.

-2 0 2 5

AB

BA b.

-2 0 2 5

5 , -2BA

2 , 0[BA A B

23




d. A e. (A C) - B f. ( A B) C

Solución

B-A c.

-2 0 2 5

AB

A d.

-2 0 2 5

0 , -2B-A

, [2 2]- , A

AA A

24




d. A e. (A C) - B f. ( A B) C

Solución

B- C)(A e.

-2 0 2 5

AB

-2 0 2 5

7] , -2CA

BA

7

C

7

C7] , [5 -2,0B- C)(A

25




d. A e. (A C) - B f. ( A B) C

Solución

CB)A( f.

-2 0 2 5

AB

7] , [2CB)A(

5 , [2BA

C

7

A

26

ECUACIONES E INECUACIONESECUACIONES E INECUACIONES

Una Ecuación es una igualdad que es válida solo para algunos valores.

* Una ecuación Lineal (De primer grado )

se expresa en la forma:

* Una ecuación cuadrática ( De segundo grado)

se expresa en la forma:

Es necesario tener en cuenta las siguientes Reglas:

1.- Si se suma o resta una misma expresión a ambos miembros de una ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la dada.

2.- Si a ambos miembros de una ecuación se multiplica o se divide entre un numero diferente a cero, la ecuación no

varia.

ax + b =0 ; a 0

ax2+ bx + c = 0 ; a 0

27

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do do GRADOGRADO

Sea la Ecuación:

Para su resolución se utilizará los siguientes métodos:

1.- MÉTODO DE LA FORMULA GENERAL

Donde b2 - 4ac se llama discriminante.

- Si b2 - 4ac > 0 ; la ecuación tiene 2 raíces reales y diferentes

- Si b2 - 4ac = 0 ; la ecuación tiene 2 raíces iguales.

- Si b2 - 4ac < 0 ; la ecuación tiene 2 raíces imaginarias.

a2

ac4bbx

2

ax2 + bx + c = 0

ax2 + bx + c = 0

28


2.- MÉTODO DE FACTORIZACION:

Sea la ecuación:

Para su resolución usar el Teorema:

ab = 0 a = 0 ó b = 0

3.- MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS:

Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0


a2 = b2 a = b ó a = - b

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Sea la ecuación:

Si sus Raíces son : x1 y x2 ; entonces se tiene que:

i ) x1 + x2 = ; x1 . x2 =

ii) ( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0

ax2 + bx + c = 0

ax2 + bx + c = 0

a

b

a

c

29


Ejemplo 1 : Dada la ecuación x2 - 6x + 8 = 0 resolver por los tres métodos.

1.- MÉTODO DE LA FORMULA GENERAL

a2

ac4bbx

2

ax2 + bx + c = 0

22

2-6x

42

26x

2

26x

2

46 x

2

8466x

2

1

2

30


2.- MÉTODO DE FACTORIZACION:

x2 - 6x + 8 = 0 ( x - 2) (x - 4) = 0

Aplicamos el teorema a.b = 0 a = 0 b = 0

x - 2 = 0 x - 4 = 0 x = 2 x = 4

3.- MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS:

Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0


a2 = b2 a =b ó a = - b

2 x 4 x

13 x 13x13x

982

66xx

86xx086xx

22

22

22

31

INECUACIONESINECUACIONES Una Inecuación es toda desigualdad donde existen una o mas cantidades

desconocidas llamadas variables.

Las inecuaciones de una variable son proposiciones de la forma:

P(x) > 0 , P(x) < 0 , P(x) 0 , P(x) 0

TEOREMAS

1. Si a - b

3. Si a 0 a . c b . C

5. Si a 0 a2 > 0

6. a-1 tiene el mismo signo que a es decir :

i. a > 0 a -1 > 0 ii. a < 0 a -1 < 0

7. Si a y b tienen el mismo signo y si :

a b-1

8. Si a.b > 0 ( a > 0 b > 0 ) ( a < 0 b < 0 )

9. Si a.b < 0 ( a > 0 b < 0 ) ( a < 0 b > 0 )

32

INECUACIONESINECUACIONES 10. Si , b 0 ( a > 0 b > 0 ) ( a < 0 b < 0 )

11. Si , b 0 ( a > 0 b < 0 ) ( a < 0 b > 0 )

12. Si a 0 b 0 a2 > b2 a > b

13. Si b 0 ; a2 b

15. Si b > 1 bX < bY x < y

16. Si 0 y

0b

a

0b

a

bab ba ba ;

ba ba

33

INECUACIONESINECUACIONES

1. INECUACIÓN LIEAL. Es de la forma :

* Una Inecuación se caracteriza porque tiene n soluciones.

* Para la resolución de una Inecuación lineal es necesario tener en cuenta los siguientes Teoremas:

i) Si a > b donde c R a + c > b + c

ii) Si a > b ; y c > 0 a . c > b . c

III) Si a > b ; y c < 0 a . c 5x -3

2x - 9 -5x + 9 > 5x - 3 -5x + 9

-3x > 6 x < -2 S = { x R / x < -2 } S=< - , -2>

ax + b > 0 ; ax + b 0 ; ax + b < 0 ; ax + b < 0

-2-

34

INECUACIONES INECUACIONES

2. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Es de la forma:

Ó

donde a , b, c son números reales, a 0

Para la resolución, consideramos los siguientes Teoremas :

i ) Si utilizamos el método de Factorización:

Si: a . b > 0 ( a > 0 b > 0 ) ( a < 0 b < 0 )

Si: a . b < 0 ( a > 0 b < 0 ) ( a < 0 b > 0 )

Se utiliza los mismos Teoremas para > ó <

ii ) Si utilizamos el método completar cuadrados:

Si: b > 0 a2 > b a < a >

Si: b > 0 a2 a <

es decir: - < a 0 ax2 + bx +c < 0

35

INECUACIONES INECUACIONES

Ejemplo. Resolver x2 - x - 6 > 0 por el método de factorización.

Se usará el teorema: a.b > 0 (a>0 b > 0 ) ( a <0 b <0 )

)2(x ) 3(x

)2x 3(x )2x 3(x

0)2x 03(x 0)2x 03(x

02)3)(x(x06xx2

-2 3

, 3 2- , x

36

INECUACIONES INECUACIONES Ejemplo. Resolver 3x2 -2 x - 5 < 0 por el método de Completar cuadrados.

Se usará el teorema: a2 < b

-1 5/3

5/3 , 1 x

b a b

3

5x1

3

4

3

1x

3

4

9

16

3

1x

9

16

9

16

3

1x

3

1

3

5

3

1x

3

2x

03

5x

3

2x052x3x

2222

22

37

MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSMÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS

3. INECUACIONES POLINÓMICAS: Son de la forma:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn > 0

El método que facilita la solución de las inecuaciones polinómicas es el

método de los valores críticos.

Pasos a seguir:

- Se halla los valores críticos factorizando el polinomio P(x)

- se ubica los valores críticos en la recta.

- se determinan los signos de los intervalos de variación.

- La solución será la unión de los intervalos positivos si P(x) > 0 y

negativo si P(x) < 0 .

Sea el polinomio P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn > 0 donde P(x)

puede factorizarse tal como:

P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )

entonces se presentan los siguientes casos:

38


PRIMER CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0 , son reales y diferentes, es decir:

i. Si P(x) > 0

o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )> 0

Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así:

La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo positivo.

Ejemplo: Sea P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24 > 0 , Hallar el conjunto solución.

- r1 r2 . . . rn -1 rn +

+ - + + - +

{-2,3,4}PC ; 04)-3)(x-2)(x(x

: dofactorizan 0242x5xx 23

+ +--

, 4 3 , -2x

-2 3 4

39


ii. Si P(x) < 0

o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )< 0

Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así:

La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo negativo.

Ejemplo: Sea P(x) = x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 < 0 , Hallar el conjunto solución.

- r1 r2 . . . rn -1 rn +

+ - + + - +

}{-4,-1,1,2PC ; 02)-1)(x-1)(x4)(x(x

: dofactorizan 082x9x2xx 234

- +-+

2 , 1 1- , -4x

-4 1 2-1+

40


SEGUNDO CASO :

Si alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad

mayor que (1) , se tiene:

suponiendo que el factor ( x - ri ) es el factor que se repite m veces,

entonces:

i. Si m es par , los signos de los intervalos de variación donde figura ri son iguales , es decir no son alterados.

Ejemplo: Sea P(x) = x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8 0 , Hallar el conjunto

Solución.

{-2,1,4}PC ; 04)-(x1)-)(x2(x

: dofactorizan 0814x3x4x2

234

x

- +-+

1 ,4 2- , -x -2 1 4

41


ii. Si m es impar, los intervalos de variación contiguos al valor crítico ri

tienen signos diferentes.

Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 4x4 + 14x2 - 17x + 6 < 0 , Hallar el conjunto

Solución.

{-2,1,3}PC ; 01)-3)(x-2)(x(x

: dofactorizan 0617x14x4xx3

245

+ +--

1,3 2- , -x

-2 1 3

42


TERCER CASO:

Cuando algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales , en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución , se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.

Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 2x4 - x3 - 2x2 - 20x + 24 > 0 , Hallar el conjunto

Solución.

{-2,1,3}PC ; 0)43)(x-1)(x-2)(x(x

: dofactorizan 02420x-2xx2x2

2345

x

+ +--

, 3 1 , -2x-2 1 3

El factor x2 + 4 = 0 no tiene raíces reales , por lo que x2 + 4 > 0 x R ;

podemos prescindir de este factor.

43

INECUACIONES POR EL MÉTODO DE LOS INECUACIONES POR EL MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSVALORES CRÍTICOS

4. INECUACIONES FRACCIONARIAS.

Son inecuaciones de la forma:

( ó con > ó < )

Donde Q(x) 0

Al factorizar P(x) y Q(x) , se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en

cuenta que los valores críticos correspondientes al denominador nunca es

cerrado.

NOTA.- Si al factorizar el polinomio, uno de los factores esta afectado a un exponente par, el valor crítico que le corresponde no se toma en cuenta , este mismo criterio se aplica si el valor crítico es un número imaginario.

0Q(x)

P(x) ó

)x(Q

)x(P 0

44


Ejemplo:

Resolver:

Solución.

07xx

4022xxx2

23

+ +--

[2,4][-5,0 7- , -x -7 0 2

07xx

4022xxx2

23

Multiplicando por (-1) Aplicando Ruffini en el

numerador.

0 1

5- 5-

0 5 1

0

40-

40

1022

10-31

1244

2211

,4}{-7,-5,0,2PC 07)x(x

5)2)(x-4)(x-(x

-5 4

+-

45

VALOR ABSOLUTOVALOR ABSOLUTOEl Valor absoluto de un número real x , denotado por IxI , se define así:

Ejemplo:l -4 l = - ( -4) = 4

l 5 l = 5

ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES MAS IMPORTANTES

1.- l x l = 0 x = 0

2.- l x l =

3.- l x - y l = l y - x l 4.- l x y l = l x l . l y l

5.- l x + y l < l x l + l y l 6.- l x l2 = x2

7.- I x I > I y I I x I2 > l y l2 x2 > y2

0 x si ; x-

0 x si ; xx

2x

46

SOLUCIÓN DE ECUACIONES E SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOINECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

* Para la resolución de ecuaciones con Valor Absoluto, nos apoyamos en

los siguientes teoremas :

i ) Si: l x l = l y l x = y x = -y

ii) Si: l x l = y y > 0 ( x = y x = - y )

* Para la resolución de inecuaciones con valor absoluto, nos apoyamos en los siguientes Teoremas:

iii ) y > 0 ; l x l > y x > y x < - y

iv ) y > 0 ; I x I < y -y < x < y

v ) I x I > I y I x2 > y2 x2 - y2 > 0

vi ) I x I < I y I x2 < y2 x2 - y2 < 0

47


Ejemplos:

1. Resolver: l x - 2 l = 3x - 9 : Aplicamos el teorema:

l x l = y y > 0 ( x = y x = - y )

)4

11x

27

(x3 x

11)4x72x(3x

32 11/4 7/2

2

7CS

9)(3x2x9-3x2(x09-3x9-3x2x

48


2. Resolver: l11 x +3 l = 5

Aplicamos el teorema:

l x l = y y > 0 ( x = y x = - y )

11

8x

11

2 x

811x 211x

5311x 53x115311x

11

8,

11

2CS

49


3. Resolver: l5 x -3 l = l7 + 4 x l

Aplicamos el teorema: l x l = l y l x = y x = - y

94

x 10x

-49x 10x

4x-73-5x 10x

4x)-(73-5x 4x 735x4x73-5x

10,

9

4CS

50


4. Resolver: l x + 3 l 3x - 1

Aplicamos el teorema: l x l y - y x y

2 x 2

1x

-42x- 24x -

1-3x3 x 3x 13x-

1-3x3x 13x-

13313133x

xxxx

,2CS

-1/2 2

51


5. Hallar el conjunto solución l3 x - 11 l 9

Aplicamos el teorema: l x l y x y x - y

32

x 320

x

23x 203x

-911-3x 9113x911-3x

,3/20 3/2,CS

2/3 20/3

52


6. Hallar el conjunto solución de: l5 x + 7 l 8x - 3

Aplicamos el teorema:

l x l y x y x - y

13

4- x

3

10 x

413x 103x-

3)--(8x75x 38x75x38x75x

3/10,CS

-4/13 10/3

53


7. Hallar el conjunto solución de: l x2 -2x -5 | l x2 + 4x +1|

Aplicamos el teorema: l x l l y l x2 y2

01)-2)(x1)(x(x02-xx1x

04-x22x6-6x-

014xx5-2x-x 14xx5-2x-x

014xx5-2x-x

14xx5-2x-x14xx5-2x-x

2

2

2222

2222

222222

1 , 12,CS -2 -1 1- ++-

54


8. Hallar el conjunto solución de: l l x l -2 | < l x |

Aplicamos el teorema: l x l < l y l x2 y2

1x1x

1x4x44x4-

x4x4-xx 2x

x2xx2x

2222

22

,11,CS

-1 1

55


9. Demostrar que : Si l x - 1 | < 2

3/8 , 1/4

9x

3

8

3 ,

4

1

9x

3

8

3

9x

3

4

1

8

3

9x

3

12

3

8

1

9x

1

12

1

129x8

939x91-

3x1-

21221-x

xSi

56


10. Hallar el conjunto solución :

,3S10 3

0x

3x

0,3PC , 0x

3 0 xSi .1

x

+ - +

3,0-PC , 0x

3x 0

x

3x 0 xSi 2.

- ++

-3 0 0, 3S2

0 , 3 , 3SSSG 21

num reales _2010

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