novo enem v
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CADERNO DE MATEMÁTICA
NOVO ENEM (V)
•Conhecimentos algébricos/geométricos: plano cartesiano; retas; circunferências;paralelismo e perpendicularidade, sistemas de equações.
GEOMETRIA ANALÍTICA – PONTO
1. Sistema Cartesiano Ortogonal
O eixo horizontal se chama eixo x, eixo Ox ou eixo das abscissas.
O eixo vertical se chama eixo y, eixo Oy ou eixo das ordenadas.
Todo ponto P do plano cartesiano é formado por duas coordenadas (uma para x e outra para y), que será representada
na forma PP yxP ; .
Se um ponto P está sobre o eixo Ox ele possui 0Py
e, se um ponto P está sobre o eixo Oy ele possui 0Px .
2. Quadrantes
OBSERVAÇÃO
Os pontos localizados sobre os eixos cartesianos não pertencem a nenhum quadrante.
Exercícios de Aula
01) Determine os valores de k reais, de modo que o ponto:
a) kkA 5;2 pertença ao 1º quadrante.
b) 1;1 kkB pertença ao 2º quadrante.
02) Determine o valor de k real, de modo que o ponto:
a) kkA 3 ;3 pertença ao eixo das abscissas.
b) kkB 23 ;1 pertença ao eixo das ordenadas.
3. Distância entre dois pontos
Sejam AA yxA ; e BB yxB ; dois pontos
distintos do plano cartesiano. A distância ABd entre os pontos
A e B é o comprimento do segmento AB .
O triângulo ABC mostrado na figura acima é retângulo em C.
Os seus catetos são:
ABAC xxd e ABBC yyd .
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
222
BCACAB ddd
222
ABABAB yyxxd
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22
ABABAB yyxxd
Exercícios de Aula
03) Calcule a distância entre os pontos:
a) 3;1A e 2;5B
b) 1;1A e 2;4 B
04) Calcule o valor de k de modo que a distância entre
1;kA e 2;1B seja 2 .
05) Sejam 0;aA , 1;1B e 2;2C vértices de um
triângulo ABC . Determine o valor de a , de modo que o
triângulo seja retângulo em C .
4. Classificação de um triângulo
Quanto ao tamanho dos lados
a) Eqüilátero: possui os três lados iguais.
b) Isósceles: possui dois lados iguais (todo triângulo eqüilátero é isósceles).
Na figura, o lado BC é chamado de base.
c) Escaleno: possui os três lados diferentes
Quanto aos ângulos internos
a) Retângulo: possui um ângulo de 90º.
222 cba
b) Acutângulo: possui os três ângulos internos agudos
(menores que 90º).
222 cba
c) Obtusângulo: possui um dos ângulos obtuso (maior que 90º).
222 cba
Exercício de Aula
06) Classifique quanto ao tamanho dos lados e quanto a
medidas dos seus ângulos internos o triângulo ABC ,
com vértices nos pontos 2;1A , 3;0B e
2;2 C .
5. Ponto Médio de um segmento
Consideremos o segmento orientado AB com origem no
ponto AA yxA ; e extremidade no ponto BB yxB ; .
Vamos calcular as coordenadas do ponto M que divide o
segmento AB ao meio.
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Se M é o ponto médio de AB , então MBAM e, portanto:
2
BAMAMMB
xxxxxxx
2
BAMAMMB
yyyyyyy
Portanto, as coordenadas do ponto médio do segmento
AB são as médias aritméticas das abscissas e ordenadas de
A e B .
2;
2
BABA yyxxM
OBSERVAÇÃO
Se M é o ponto médio do segmento AB ,
podemos dizer que o ponto B é simétrico do ponto A , em
relação à M , e vice-versa.
Exercícios de Aula
07) Uma das coordenadas de um segmento é o ponto
13;7A e a outra é o ponto pB ;2 . Sendo
5;qM o ponto médio desse segmento, determine os
valores de p e q .
08) Num paralelogramo ABCD , 2;1M é o ponto de
encontro das diagonais AC e BD . Sabe-se que
3;2A e 4,6B . Determine as coordenadas dos
vértices C e D .
09) Calcule a medida da altura relativa à base BC de um
triângulo isósceles de vértices 8;5A , 2;2B e
2;8C .
10) Determine o simétrico do ponto 1;2P em relação:
a) ao eixo 0x. b) ao eixo 0y. c) à origem.
d) ao ponto 3;4 Q .
6. Mediana de um triângulo
É o segmento de reta que liga um dos vértices do triângulo ao ponto médio do lado oposto.
Exercício de Aula
11) Calcule o comprimento da mediana relativa ao vértice C
do triângulo ABC , tal que 6;2 A , 2;4B e
4;0C .
Baricentro, mediacentro, centro de massa ou centro de gravidade de um triângulo
É o ponto de encontro das três medianas do triângulo.
As coordenadas do baricentro do triângulo ABC
são calculadas por:
3;
3
CBACBA yyyxxxG
Exercícios de Aula
12) Do triângulo ABC , com 2;1A , 3;2B e
1;5 C . Calcule o ponto de encontro de suas
medianas.
7. Área de um triângulo
A área do triângulo ABC cujos vértices são os pontos
AA yxA ; , BB yxB ; e CC yxC ; é calculada
através da fórmula:
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DAABC2
1 , onde
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
D .
Exercícios de Aula
13) Calcule a área do triângulo formado pelos vértices
2;1A , 1;3B e 1;0 C .
14) Determine a área do quadrilátero ABCD , cujos vértices
são os pontos 0;0A , 0;2B , 4;3C e 3;1D .
15) (FAAP-SP) Os pontos 3;0A , 1;1kB e
0;kC são os vértices de um triângulo de área 4 .
Determine o valor da constante k .
8. Condição de alinhamento de três pontos
Os pontos AA yxA ; , BB yxB ; e CC yxC ;
estarão alinhados se e somente se:
0
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Exercícios de Aula
16) (FATEC-SP) Os pontos 2;1A , B e 2;5 C estão
numa mesma reta. Determine o ponto B , sabendo que o mesmo é do eixo x .
17) Determine o valor de m para que os pontos 4;0A ,
2;mB e 6;2C sejam os vértices de um
triângulo.
ATIVIDADES
01) Considere, no plano cartesiano com origem O, um triângulo cujos vértices A, B e C têm
coordenadas (-1,0), (0,4) e (2,0), respectivamente. Se M e N são pontos médios
de AB e BC , respectivamente, a área do triângulo OMN será igual a
a) a.u35
b) a.u58
c) 1 u.a
d) a.u23
02) A área do quadrilátero abaixo, em unidades de área, é:
A
D
B
C
-1 2 4
3
5
8
y
x
a) 20
b) 25
c) 15/2
d) 15
e) 25/2
03) Observe a figura.
y
x
C
A
B
11
5-1/2
.
..
Nessa figura, a reta AC intercepta o eixo das abscissas no ponto ( -1/2, 0 ) , e a área do triângulo de vértice A,B e C é 10. Então , a ordenada do ponto B é:
a) 20/11
b) 31/11
c) 4
d) 5
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e) 6
04) Considere a figura abaixo, em que as retas r e s são tangentes à circunferência de raio 2 cm.
C
sy
t
B
rx
60º
-2
A
2
A área do triângulo ABC é igual a
a) 6 cm2
b) 2cm36
c) 2cm34
d) 2cm33
05) A área do triângulo ABC da figura é:
..
.
A
B
2
4 x
-1
C -2
y
a) –18
b) –9
c) 9
d) 15
e) 18
06) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de
coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a,0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:
a) 15
b) 225
c) 25
d) 52
e) 225
07) Considere a figura abaixo:
y
45º
MN
1 x
O comprimento do segmento MN é:
a) 2/12
b) 2
12
c) 12
d) 2
21
e) 12
08) Um programa de rádio é gerado em uma cidade plana, a partir de uma central C localizada 40 km a leste e 20 km a norte da antena de transmissão T. C envia o sinal de
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rádio para T, que em seguida o transmite em todas as direções, a uma distância máxima de 60 km. O ponto mais a leste de C, que está 20 km a norte de T e poderá receber o sinal da rádio, está a uma distância de C, em km, igual a
a) )12(20 .
b) )13(30 .
c) )12(40 .
d) )13(40
e) )22(50 .
GABARITO
01-D 05-C
02-E 06-B
03-D 07-E
04-B 08-C
9. Equação geral da reta
Queremos calcular a reta que passa pelos pontos
AA yxA ; e BB yxB ; .
Suponha um terceiro ponto yxP ; que pertença
a essa reta. Já sabemos que:
0
1
1
1
BB
AA
yx
yx
yx
. Desenvolvendo teremos:
0...... yxxyyxyxyxxy ABABBABA
0.... ABBAABBA yxyxyxxxyy
Fazendo:
cyxyx
bxx
ayy
ABBA
AB
BA
..
teremos:
0.. cybxa
Exercícios de Aula
01) (FEI-SP) Os pontos 1;aA e bB ;2 pertencem à reta
02: yxr . Calcule a distância entre eles.
02) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos
1;2A e 2;3 B .
03) Encontre a equação da reta suporte da mediana relativa ao
vértice A , do triângulo ABC , tal que 1;3 A ,
5;2B e 1;6C são:
04) (UFRN) As retas 0byaxr e
0123 byaxs intersectam-se no ponto 3;1 .
Portanto a e b são respectivamente:
10. Inclinação da reta
Toda reta r tem um ângulo que forma ao cortar o eixo x . Esse ângulo formado partindo do eixo x até a reta em seu
sentido anti-horário é chamado ângulo de inclinação da reta.
OBSERVAÇÃO
Retas horizontais têm ângulo de inclinação de 0º. 11. Coeficiente Angular
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Observe que o triângulo ABC é retângulo em C
e possui o mesmo ângulo (inclinação da reta r ). Do
triângulo podemos dizer que:
AB
AB
xx
yy
tg
A esse valor numérico chamamos de coeficiente angular e simbolizamos por m .
Assim:
AB
AB
xx
yym
ou tgm
Exercícios de Aula
05) Determine o coeficiente angular (ou declividade) da reta que passa pelos pontos:
a) 2;3A e 1;3 B
b) 3;2 A e 3;4B
OBSERVAÇÕES
Retas verticais não possuem coeficiente angular, pois
2
.
Para que três pontos A , B e C sejam colineares, basta
que o coeficiente angular da reta suporte de AB seja o
mesmo da reta suporte de BC .
Exercícios de Aula
06) Os pontos 3;2 A , 3;4B e
2;5k
C estão
numa mesma reta. Determine o valor de k .
12. Equação Reduzida da Reta
Tendo a equação 0.. cybxa iremos
desenvolvê-la da seguinte maneira:
0.. cybxa
cxayb ..
b
cx
b
ay .
Porém sabemos que ayy BA e bxx AB
Assim
mxx
yy
xx
yy
b
a
AB
AB
AB
BA
.
b
am
E chamaremos de coeficiente linear o quociente
b
c, simbolizando-o por p .
Assim a equação geral 0.. cybxa pode
ser escrita como:
pmxy ; onde
linear ecoeficient
angular ecoeficient
p
m
Exercícios de Aula
07) Determine o coeficiente angular das retas:
a) 032 yx
b) 013 yx
c) 0423 yx
08) Determine o coeficiente linear da reta de equação
132 yx .
13. Cálculo da equação da reta
Já sabemos como calcular a equação da reta quando conhecidos dois pontos A e B dela. Iremos agora aprender uma outra maneira de calcular equação de reta, quando conhecidos um ponto e seu coeficiente angular.
AB
AB
xx
yym
0
0
xx
yym
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00 xxmyy
Usaremos essa fórmula sempre que for conhecido um
ponto 00; yxP qualquer, que pertence à reta, e seu
coeficiente angular m .
Exercícios de Aula
09) Determine a equação da reta que passa pelo ponto
5;2 A e tem coeficiente angular 2m .
10) Uma reta passa pelo ponto 1;2A e forma com o eixo 0x
um ângulo de 45°. Ache os coeficientes angular e linear dessa reta.
11) Ache a equação da reta que passa pelo ponto 3;1P
e tem inclinação igual a 120°.
OBSERVAÇÕES.
Se a reta r for vertical, então todos os seus pontos têm a mesma abscissa ( x ). Nesse caso, a reta r tem equação:
kx , onde k é um número real.
Se a reta r for horizontal, então todos os seus pontos têm a mesma ordenada ( y ). Nesse caso, a reta r tem
equação: ky , onde k é um número real.
14. Duas retas importantes
Bissetriz dos quadrantes ímpares
É a reta que divide ao meio o primeiro e terceiro
quadrantes. Notação: 13b . Também é chamada de 1ª bissetriz.
Um ponto P pertence à primeira bissetriz se, e somente se, suas coordenadas são iguais, isto é:
aaPbP ;13
Exemplos: 2;2A , 3;3 B , 5;5C , 0;0O
Bissetriz dos quadrantes pares
É a reta que divide ao meio o segundo e quarto quadrantes.
Notação: 24b . Também é chamada de 2ª bissetriz.
Um ponto P pertence à segunda bissetriz se, e somente se, suas coordenadas são simétricas, isto é:
aaPbP ;24
Exemplos: 2;2A , 3;3 B , 5;5 C , 0;0O
Exercício de Aula
12) Determine o valor de k real, de modo que o ponto:
a) 5 ;32 kA pertença à primeira bissetriz;
b) 3 ;2 kB pertença à segunda bissetriz.
15. Intersecção entre retas
Resolvemos o sistema formado pelas equações das duas retas.
Exercícios de Aula
13) Calcule o ponto de intersecção das retas
032 yx e 013 yx .
14) (FUVEST-SP) As retas de equações 034 ayx ;
095 yx e 0423 yx se intersectam
em apenas um ponto. Determine a e o ponto de
interseção das retas.
OBSERVAÇÕES
Retas paralelas distintas não têm pontos de intersecção.
Retas paralelas iguais possuem infinitos pontos de intersecção
16. Condição de paralelismo entre duas retas
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Duas retas não verticais, r e s , são paralelas se, e
somente se, seus coeficientes angulares são iguais, ou seja:
r // s sr mm
OBSERVAÇÕES.
Se além dos coeficientes angulares iguais, os lineares também forem, as retas são paralelas iguais. Caso os coeficientes lineares forem distintos, as retas são paralelas distintas.
Se sr mm , então as retas r e s são concorrentes,
têm um único ponto comum.
Exercícios de Aula
15) (MAPOFEI-SP) Para que valores de k as retas
0161 yxk e 0114 ykx
são paralelas?
16) (FAAP-SP) Ache a equação da reta r que é paralela à reta
0123 yx e que passa pelo ponto 5;2A .
17. Condição de perpendicularismo entre duas retas
Duas retas r e s , não verticais, são perpendiculares se,
e somente se, o produto de seus coeficientes angulares é igual a
1 , isto é:
r s 1sr mm
s
rm
m1
Exercícios de Aula
17) Mostre que as retas 0123: yxr e
0364: yxs são perpendiculares.
18) Obtenha a equação da reta perpendicular a
0175: yxr que passe pelo ponto
5;6 P .
19) Sendo o triângulo com vértices nos pontos 1;0 A ,
3;2B e 4;1C . Calcule a equação da reta-suporte
da altura relativa ao vértice A .
OBSERVAÇÃO
Chamamos de ortocentro de um triângulo ao ponto de encontro de suas três alturas.
Mediatriz de um segmento
A mediatriz do segmento AB é a reta perpendicular a
AB e que passa pelo seu ponto médio.
Exercícios de Aula
20) (FUVEST-SP) São dados os pontos 3;2A e 5;8B ,
determine equação da mediatriz de AB .
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Simetria em relação a uma reta
Dizemos que o ponto B é simétrico do ponto A em relação a uma reta r , quando r é a mediatriz do segmento
AB .
Projeção ortogonal
Chamamos de projeção ortogonal de um ponto A sobre
uma reta r , ao ponto médio do segmento AB , do qual a reta r é mediatriz.
Exercícios de Aula
21) (FEI-SP) Determine o ponto 'P , simétrico do ponto
1 ;2P , em relação à reta s , de equação xy 2 .
22) (MAPOFEI-SP) São dados a reta r , de equação
01 yx , e o ponto 2;3P . Determine as
coordenadas da projeção ortogonal de P sobre a reta r .
18. Ângulo entre duas retas Consideremos duas retas concorrentes, r e s , ambas
não-verticais e não perpendiculares entre si, de coeficientes
angulares rm e sm respectivamente.
A tangente do ângulo agudo formado pelas retas r e s é
dada por:
sr
sr
mm
mm
1 tg
OBSERVAÇÕES
O ângulo obtuso é o suplemento de , isto é,
º180 .
Caso Particular: se a reta s for vertical, então:
rm
1 tg
Exercícios de Aula
23) Calcule o ângulo agudo formado entre as retas
053: yxr e 032: yxs .
24) Calcule o menor ângulo formado pelas retas
0124: yxr e 4: xs .
25) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto
4;0A e forma com a reta 023: yxs um
ângulo de º45 .
19. Distância de um ponto à uma reta Consideremos uma reta r cuja equação geral é
0 cbyax e um ponto 00; yxP fora da reta r . A
distância do ponto P à reta r é dada por:
22
00
,
ba
cbyaxd rP
Exercícios de Aula
26) (UFAC) Dê a menor distância entre a reta 2 xy e o
ponto 1;3 .
27) (CESGRANRIO-RJ) O ponto 2;1A é um vértice de
um triângulo eqüilátero ABC , cujo lado BC está sobre
a reta de equação 052 yx . Determine a medida
h da altura desse triângulo.
Distância entre retas paralelas
Dadas duas retas paralelas
0: 1 cbyaxr e 0: 2 cbyaxs . A
distancia entre elas é dada por:
22
21
,
ba
ccd sr
Exercícios de Aula
28) (FUVEST-SP) Calcule a distância entre a reta r de
equação 243 xy , e a reta s , de equação
843 xy , sabendo que r // s.
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ATIVIDADES
01) Sejam (r) e (s) retas de equações 04y2x e 032yx , respectivamente.
Em relação ao losango ACBD, sabe-se que:
- os vértices A e B são os interceptos de (r) com os eixos cartesianos;
- o vértice C pertence à reta (s) e dista 6 unidades da reta (r);
- os vértices C e D não são consecutivos.
Em tais condições, a área do losango ACBD é:
a) 512
b) 56
c) 54
d) 24
e) 25
02) Ao observar, em seu computador, um desenho como o apresentado abaixo, um estudante pensou tratar-se de uma curva.
5
2
1 8 x
y
Porém, após aumentar muito a figura, verificou que a tal "curva" era, de fato, um polígono, com o menor perímetro possível, formado por uma quantidade finita de lados, todos paralelos ao eixo x ou ao eixo y. Verificou ainda que esse polígono possuía um lado em cada uma das seguintes retas: x = 1, x = 8, y = 2 e y = 5. Se foi utilizada a mesma unidade de comprimento em ambos os eixos, a medida do perímetro desse polígono é:
a) 10
b) 13
c) 18
d) 20
03) (ENEM) O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa a absorção de potássio pelo tecido da folha de um certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de luminosidade.
1 2 43
2
4
12
16 no c
laro
no esc
uro
PO
TÁ
SS
IO A
BS
OR
VID
O
tempo (h)
Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m como a taxa de absorção
(geralmente medida em moles por unidade de peso por hora). Com base no gráfico, se m1 é a taxa de absorção no claro e m2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é:
a) m1 = m2
b) m2 = 2 m1
c) m1 . m2 = 1
d) m1 . m2 = -1
e) m1 = 2 m2
04) Um termômetro descalibrado indica 10ºC quando a temperatura real é 13ºC. Quando indica 20ºC, a temperatura real é de 21ºC. Porém, mesmo estando descalibrado, a relação entre a temperatura real e a temperatura indicada é linear. Assim sendo, a única temperatura em que a leitura do termômetro descalibrado corresponderá à temperatura real é:
a) 22ºC.
b) 23ºC.
c) 24ºC.
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d) 25ºC.
e) 26ºC.
05) Considere a reta r, representada na figura abaixo.
Sua equação é:
a) 31yx3
b) 31yx3
c) 31yx3
d) 31yx3
e) 3yx3
06) Sejam x – y = 4, x + y = 0 e y = 2 as equações das retas r, s e t representadas num sistema de eixos cartesianos ortogonais, como mostra o gráfico abaixo.
Se as retas dadas interceptam-se, duas a duas, nos pontos A, B e C, a área do triângulo ABC, em unidades de superfície, é:
a) 6
b) 8
c) 12
d) 14
e) 16
07) Na figura abaixo o quadrado ABCD, de
24 cm de lado, tem os vértices A e D situados, respectivamente, sobre os eixos coordenados x e y.
A reta que contém o lado AB do quadrado tem a equação indicada na alternativa:
a) 2x + y 2 = 0
b) x 2y = 0
c) x + 2y 4 = 0
d) x y 4 = 0
e) x + y + 4 = 0
08) Na figura abaixo estão construídos os gráficos de uma reta e de uma parábola, contendo os pontos indicados. Os pontos
)y,x(P 11 e )y,x(Q 22 são as interseções das
duas linhas representadas.
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O valor do produto 2211 yxyx é:
a) 3.430
b) 4.340
c) 43.400
d) 34.300
09) Numa “caça ao tesouro” promovida por uma escola, a equipe azul recebeu a seguinte instrução:
“A próxima pista se encontra numa das cartas numeradas fixadas no edital da cantina. A referida carta tem o número correspondente à distância entre os pontos A e B da figura a seguir”.
s
r :
C (10;-7)
A
B (1;5)
3x-2y-27 = 0
O número contido na carta era:
a) 14.
b) 52 .
c) 15.
d) 10.
e) 5.
10) Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(2,1), B(3,5) e C(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km², é de:
a) 2
17
b) 17
c) 172
d) 174
e) 2
17
GABARITO
01-A 06-E
02-D 07-D
03-E 08-D
04-D 09-D
05-A 10-A
20. Equação Reduzida da Circunferência
A equação reduzida da circunferência de centro no
ponto 00; yxC e raio R é:
22
0
2
0 Ryyxx
Exercícios de Aula
1) Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 5 unidades.
2) Determine a equação da circunferência com centro no ponto
3;2C e que passa pelo ponto 2;1P .
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3) (MACK-SP) Determine a equação da circunferência cujo
diâmetro é o segmento de extremidades 8;2A e
0;4B .
4) Determine a equação da circunferência que passa pelos
pontos 4;1A e 2;5B e tem centro sobre a reta
092 yx .
5) Determine a equação da circunferência que passa pelos
pontos 2;1 , 2;3 e 0;3 .
OBSERVAÇÃO
Chamamos de pontos de ordenada e abscissa máxima e mínima de uma circunferência aos pontos.
Ordenada Máxima: RyxOmáx 00;
Ordenada Mínima: RyxOmín 00;
Abscissa Máxima: 00 ; yRxAmáx
Abscissa Mínima: 00 ; yRxAmín
6) Calcule os pontos de abscissa e ordenada máxima e mínima
da circunferência cujo centro é o ponto 1;2 C e raio 2.
21. Equação Geral da Circunferência
A equação geral da circunferência de centro no ponto
00; yxC e raio R é:
022 CByAxyx
onde: 02xA , 02yB e 22
0
2
0 RyxC
22. Cálculo do Centro e do Raio da Circunferência
O centro da circunferência de equação
022 CByAxyx é o ponto:
2,
2
BAC
e o raio é dado por:
CyxR 2
0
2
0
OBS: As fórmulas acima só podem ser usadas quando os
coeficientes de 2x e
2y são iguais a 1.
Exercícios de Aula
7) Determine a equação geral da circunferência com centro no
ponto 2;1 e raio 3r .
8) Determine o centro e o raio da circunferência de equação
0198422 yxyx .
9) Calcule o centro e o raio da circunferência gerada pela
equação 098444 22 yxyx , caso ela
gere uma circunferência.
23. Condições para a validade da equação da Circunferência
A equação 022 CByAxyx
representa uma circunferência se:
a) Os coeficientes de 2x e
2y são iguais e não nulos.
b) 02
0
2
0 Cyx
c) Não pode existir termo em xy .
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Exercícios de Aula
10) Determine o maior inteiro k para que a equação
06422 kyxyx represente uma
circunferência.
11) (UFPB) Sabendo que a equação
094322 yCxyByx representa uma
circunferência, calcule o valor de CB3 .
24. Posições relativas entre ponto e circunferência
Dados o ponto PP yxP , e a circunferência
de equação 22
0
2
0 Ryyxx , três
casos podem ocorrer:
CASO I) O ponto P é externo à circunferência . Nesse
caso, a distância do ponto P até o centro C da circunferência
é maior do que o raio, isto é:
RdPC
CASO II) O ponto P pertence à circunferência . Nesse caso,
a distância do ponto P até o centro C da circunferência é
igual ao raio, isto é:
RdPC
CASO III) O ponto P é interno à circunferência . Nesse caso,
a distância do ponto P até o centro C da circunferência é
menor do que o raio, isto é:
RdPC
Exercícios de Aula
12) Quais as posições dos pontos 3;2A , 6;4B e
2;4C em relação à circunferência
020822 xyx .
13) Determine m de modo que o ponto 3;4A seja externo à
circunferência de equação
02422 myxyx .
OBSERVAÇÃO
Seja a circunferência 22
0
2
0: Ryyxx :
Os pontos do plano interiores a ela são definidos pela expressão:
22
0
2
0 Ryyxx
Os pontos do plano exteriores à ela são definidos pela expressão:
22
0
2
0 Ryyxx
25. Posições relativas entre reta e circunferência
Dadas uma reta 0 : cbyaxr e uma
circunferência de centro no ponto 00; yxC e raio R,
três casos podem ocorrer:
CASO I) A reta r é externa à circunferência . Nesse caso, a
distância do centro C à reta r é maior do que o raio R, isto é:
Rd rC ,
A reta r e a circunferência não têm ponto comum.
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CASO II) A reta r é tangente à circunferência . Nesse caso,
a distância do centro C à reta r é igual ao raio R, isto é:
Rd rC ,
A reta r e a circunferência tem um ponto comum.
CASO III) A reta r é secante à circunferência . Nesse caso,
a distância do centro C à reta r é menor do que o raio R, isto é:
Rd rC ,
A reta r e a circunferência têm dois pontos comuns.
OBSERVAÇÃO
Podemos também encontrar a posição relativa entre reta e circunferência resolvendo a equação gerada pelo sistema entre a equação da reta e a equação da circunferência.
Exercícios de Aula
14) Determine a posição da reta 03 : yxr em
relação à circunferência
01324 : 22 yxyx .
15) Determine os valores de m de modo que a reta de
equação 034 myx , e a circunferência de
equação 042422 yxyx sejam
tangentes.
16) Determine a equação da circunferência com centro no ponto
3;1C e que é tangente à reta s , de equação
02 yx .
17) Ache o comprimento da corda determinada pela reta
04 yx sobre a circunferência 1622 yx .
18) Determine as coordenadas dos pontos de intersecção da
circunferência de equação 09822 xyx com
os eixos coordenados. Determine também o comprimento das cordas determinadas pelos eixos nas circunferências.
19) Determine a equação da reta tangente em 2;5T à
circunferência de equação
0276222 yxyx .
20) Determine as equações das retas tangentes à circunferência
de equação 42122 yx e que são
paralelas à reta de equação 0243 yx .
21) Determine as equações das retas tangentes à circunferência
de equação 44 22 yx e que são
perpendiculares à reta de equação 0243 yx .
ATIVIDADES
01) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado
no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = - 2x e o ponto D pertence
à circunferência de centro na origem e raio 5 .
Então, as coordenadas de C são:
a) (6, 2)
b) (6, 1)
c) (5, 3)
d) (5, 2)
e) (5, 1)
02) Na figura abaixo tem-se o hexágono regular ABCDEF, inscrito na circunferência de equação x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0.
x
y
. A
BC
D
E F
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A medida do segmento CF é igual a
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
03) A circunferência de centro no ponto (-2,-2) e tangente aos eixos coordenados é interceptada pela bissetriz do 3o quadrante, conforme a figura abaixo.
.P
x
y
-2
-2
O ponto P, assinalado na figura, tem coordenadas:
a) x = -2 3 ; y = -2 3
b) x = -2 - 3 ; y = -2 - 3
c) x = -2 2 ; y = -2 2
d) x = -2 - 2 ; y = -2 - 2
04) (ENEM) No chamado meio ambiente
urbano, as praças públicas são bens de uso
comum, contribuindo para o embelezamento das
cidades, auxiliando sobremaneira na melhoria das
condições sanitárias e higiênicas dos núcleos
urbanos e promovendo o intercâmbio social e
cultural. Na figura abaixo, observa-se que algumas
ruas atravessam a praça, outras a tangenciam em
um único ponto e outras nem passam por ela.
Considere uma praça circular delimitada por uma
circunferência de equação 016y8x4yx 22 e
uma das ruas representada pela equação
0 4 3y 4x .
De acordo com os textos e seus
conhecimentos, é correto afirmar que a rua
representada pela equação acima
a) tangencia a praça no ponto A(2, 4).
b) tangencia a praça no ponto A(4, 8).
c) não atravessa a praça.
d) tangencia a praça no ponto A(2, 4).
e) atravessa a praça.
f) I.R.
05) Dados os pontos A (1,1), B o vértice da parábola cuja equação é dada por y = – x2 + 8x – 15 e C o centro da circunferência cuja equação é dada por x2 + y2 – 2x – 10y + 22 = 0. Então, a área do triângulo ABC, em unidades de área, é igual a:
a) 12.
b) 6.
c) 8.
d) 16.
e) 4.
06) A equação da circunferência cuja representação cartesiana está indicada pela figura abaixo é:
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40
-3
y
x
a) x2 + y2 – 3x – 4y = 0
b) x2 + y2 + 6x + 8y = 0
c) x2 + y2 + 6x – 8y = 0
d) x2 + y2 + 8x – 6y = 0
e) x2 + y2 – 8x + 6y = 0
07) O esboço que melhor representa a figura obtida ao girar o gráfico da equação
0yx2x 22 , x1, em torno do eixo das
abscissas, é
a)
b)
c)
d)
08) Analise as afirmações abaixo, considerando
a figura que representa uma circunferência de centro C(1,3) e raio 5r , escrevendo V para verdadeira e F para falsa.
( ) O ponto P(4,7) pertence à circunferência
.
( ) Os pontos de intersecção de com o eixo x são M(5,0) e N(-3,0).
( ) O ponto Q(3,8) é interior à circunferência
.
( ) O ponto de que possui ordenada máximo é A(1,8).
( ) A equação da circunferência é
5 3) (y 1) (x 22 .
3
0 1 x
y
C
A seqüência correta, de cima para baixo, é:
a) F - V - F - V - V
b) V - V - F - V - F
c) V - F - V - V - F
d) V - V - V - F - F
e) F - V - F - V - F
GABARITO
01-E 05-B
02-A 06-C
03-D 07-A
04-E 08-B
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
ATIVIDADES
01-Um fazendeiro comprou vacas de duas raças diferentes, a um custo total de R$ 10.000,00. Se cada vaca de uma das raças
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custou R$ 250,00 e cada uma da outra raça custou R$ 260,00, o total de vacas compradas pelo fazendeiro foi:
a) 25
b) 30
c) 32
d) 41
e) 39
02-(ENEM)Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em volta de seu castelo, conforme a planta abaixo, com uma ponte para atravessa-lo. Em um certo dia, ele deu um volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno. Esse trajeto foi completado em 5320 passos. No dia seguinte, ele deu duas voltas completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno, completando esse novo trajeto em 8120 passos. Pode-se concluir que a largura L do fosso, em passos, é:
fosso
ponte
muro externo
muro interno
LL
L
L
a) 36
b) 40
c) 44
d) 48
e) 50
03-Um pai realizou duas festas de aniversário para seus filhos e, entre salgadinhos e refrigerantes, gastou R$ 250,00 em uma festa e R$ 150,00 em outra. A festa que teve menor custo foi realizada com 50% dos salgadinhos e 75% dos refrigerantes da outra. Sabendo-se que o preço unitário do salgadinho e do refrigerante foi o mesmo para ambas as festas, qual foi o total gasto com refrigerantes nas duas festas?
a) R$ 225,00
b) R$ 200,00
c) R$ 150,00
d) R$ 175,00
04-Abaixo há um quadrado mágico incompleto. Nele, a soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre 34.
x y15 14
6 7x
10 11 5
13
Preenchendo-se corretamente o quadrado, o número que deve ser colocado na célula sombreada é
a) 12
b) 11
c) 10
d) 9
e) 8
05-No alvo representado pela figura abaixo, uma certa pontuação é dada para a f lecha que cai na região sombreada S e outra para a flecha que cai no círculo central R.
3
R
S
Diana obteve 17 pontos, lançando três flechas, das quais uma caiu em R e duas em S. Guilherme obteve 22 pontos, lançando o mesmo número de flechas, das quais uma caiu em S e duas em R. Considerando-se o desempenho dos dois arremessadores, pode-se afirmar que o número
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de pontos atribuídos a cada flecha que cai na região S é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
06- (ENEM) Um comerciante gastou R$250,00, adquirindo as mercadorias A e B para revender. Observando a tabela abaixo, calculou e comprou o número de unidades de A e B para obter o lucro máximo.
MercadoriaPreço por unidade(R$)
de custo de venda
máximo de unidades liberado para o comerciante
A
B
1,00
2,00
2,50
3,00 200
100
Com a venda de todas unidades compradas, o lucro máximo, em reais, foi:
a) 225
b) 250
c) 275
d) 325
07-Numa determinada empresa, vigora a seguinte regra, baseada em acúmulo de pontos. No final de cada mês, o funcionário recebe: 3 pontos positivos, se em todos os dias do mês ele foi pontual no trabalho, ou 5 pontos negativos, se durante o mês ele chegou pelo menos um dia atrasado. Os pontos recebidos vão sendo acumulados mês a mês, até que a soma atinja, pela primeira vez, 50 ou mais pontos, positivos ou negativos. Quando isso ocorre, há duas possibilidades: se o número de pontos acumulados for positivo, o funcionário recebe uma gratificação e, se for negativo, há um desconto em seu salário. Se um funcionário acumulou exatamente 50 pontos positivos em 30 meses, a quantidade de meses em que ele foi pontual, no período, foi:
a) 15.
b) 20.
c) 25.
d) 26.
e) 28.
08-João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João?
a) R$ 20.000,00
b) R$ 22.000,00
c) R$ 24.000,00
d) R$ 26.000,00
e) R$ 28.000,00
09-A linha poligonal com extremidades nos pontos P e Q é formada por segmentos horizontais e segmentos verticais. Se cada segmento horizontal mede 3m e cada segmento vertical mede 3,2m, a medida do segmento cujas extremidades são P e Q é:
a) 28m
b) 24m
c) 20m
d) 16m
10-A fim de arrecadar fundos para obras sociais, um grupo de amigos promoveu um almoço beneficente em que adultos pagaram R$6,00 e crianças somente R$3,00. Entre adultos e crianças, compareceram 100 pessoas e o total arrecadado foi de R$555,00. Compareceram ao almoço um total de:
a) 20 crianças.
b) 15 crianças.
c) 25 crianças.
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d) 30 crianças.
11-Estados Unidos, China, Rússia, Austrália e Japão foram, nesta ordem, os cinco países mais bem colocados nas Olimpíadas de Atenas/2004.
- O total de medalhas de Estados Unidos, China e Rússia foi 258.
- O total de medalhas de China, Rússia e Austrália foi 204.
- Estados Unidos e Austrália somaram 152 medalhas.
O total de medalhas conquistadas pela Austrália foi:
a) 37
b) 45
c) 49
d) 51
e) 63
12-Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de:
a) R$ 17,50.
b) R$ 16,50.
c) R$ 12,50.
d) R$ 10,50.
e) R$ 9,50.
13-(ENEM) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta
com extremidades em DF e em 4.
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135o graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em: A) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. B) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. C) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. D) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. E) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
GABARITO
01-E 02-B 03-D 04-D 05-C 06-A
07-C 08-A 09-A 10-B 11-C 12-D
13-B