notite seminar statistica

NOTITE SEMINAR STATISTICA

Definirea variabilelor

Avem urmatoarele date:

Nume Gen Varsta Scor testP.P. M 35 109G.G. F 27 112A.H. F 44 99A.B. M 18 90M.I. M 25 110M.A. M 32 92A.T. F 45 111T.A. F 23 105D.F. M 39 99F.E. M 19 78

Introducem (definim) variabilele (nume, gen, …) in sheetul Variable View:Name: trecem numele variabileiType: le setam ca si variabile Nominale sau, dupa caz, String (variabila ce contine litere si cifre);Width: nr de caractere ale variabilei, Decimals: nr de zecimale;Labels: va contine explicatia variabilei; Measure:

- Scale(ex: varsta; aici variabila varsta poate fi cuantificata pe intervale);- Ordinal (ex: variabile de genul ‘scala’: foarte multumit, multumit, nemultumit; aceste

variabile se pot pune intr-o ordine, dar distanta dintre ele nu se poate cuantifica); - Nominal (ex: nume, culori, genul, etc.; la acest gen de variabile nu exista distante intre

elementele aceleiasi ctegorii).Apoi introducem datele in sheetul Data View, unde vor aparea ca si capete de coloana variabilele definite anterior.

Minim, maximVom calcula minimul varstei si maximumul scorului, de pe sheetul Variable View:

Analyze -> Descriptive Statistics ->selectam variabila Varsta ->Options : bifam Minim (debifam pe celelalte) -> Ok

Analog,

Analyze -> Descriptive statistics ->selectam variabila Scor (si deselectam variabila varsta) -> options: bifam Max ->Ok

Output-ul va fi de forma (Fig.1):

Indicatorii tendintei centrale

Indicatori: Media aritmetica, Mediana si Modul.

Exemplu sir:

10, 12, 25, 7, 9, 11, 15

Media aritmetica: 12, 7

Pentru stabilirea Medianei, intai se ordoneaza sirul de mai sus in ordine crescatoare:

7, 9, 10, 11, 12, 15, 25

Apoi Mediana va fi numarul de la mijlocul sirului, in cazul de fata: 11.

In cazul in care sirul contine un numar par de numere, Mediana va fi definita de media aritmetica a celor doua numere de la mijlocul sirului.

Intr-un sir de numere, Mediana va exclude extremele (numere prea mari sau prea mici comparativ cu ‘tendinta’ sirului), ceea ce face ca valoarea ei (fie numarul de la mijlocul sirului, fie

media aritmetica dintre numerele de la mijlocul sirului) sa reflecte nivelul multimii de valori pe care o ia variabila respectiva, spre deosebire de Media aritmetica, ce ia in calcul toate valorile variabilei (inclusiv extremele), ceea ce duce la o diferenta (+ sau -) fata de nivelul real al multimii respective.

Modul arata numerele din sir care se repeta.

Exemplu: 7, 9, 10, 11, 12, 15, 25, 25

Mod=25. (serie unimodala)

In cazul in care seria are doua moduri (2 valori care se repeta), se numeste bimodala.

Media aritmetica, Mediana si Modul se mai numesc si Indicatorii tendintei centrale.

Pe tabelul urmator vom aplica Min si Max pe variabila Varsta, vom recodifica variabila Varsta pe intervale, apoi vom calcula Media aritmetica, Mediana si Modul (Fig.2):

Definire categorii de varsta:Intai stabilim Min si Max varsta:Analyze -> Descriptive statistics ->Descriptives -> selectie variabila Varsta, bifam Min si Max -> Continue ->Ok

Apar valorile cerute: Min=18, Max=45.

Observatie: Pentru recodificare calculam intai min si max, scadem min din max si impartim la numarul de unitati la care facem referire, pentru a avea intervale cat mai apropiate ca numar de valori,daca dorim sa avem intervale omogene.

Stiind acum min si max, le putem recodifica pe intervale de varste, carora le artibuim alte valori, ca de exemplu:18-25 ani ->126-35 ani ->2 36-45 ani ->3Pentru a recoda aceste variabile vom face urmatorii pasi:

Transform -> Recode into different variables -> selectam variabila Varsta, apoi denumin Output variable (Name: numele intervalelor varsta, Label: explicatia intervalelor) -> Old and new values -> In cadranul Old value bifam Range: 18 through 25, in cadranul New Value: 1 -> Add.

Analog, introducem toate intervalele, iar la sfarsit -> Continue ->Ok

Rezultatul va fi o noua coloana cu recodarea variabilelor respective, la care trebuie sa mai modificam Decimals =0.

Pentru variabilele Scor, vom aplica Media aritmetica, Mediana si Modul pentru Scor:

Analyze – Descriptive statistics -> Frequencies -> selectam variabila-> debifam Min si Max, si bifam Mean (media aritmetica), Median si Mode. -> Continue ->Ok

Va aparea urmatorul Output (Fig.3):

Analog, putem calcula Media aritmetica, Mediana si Modul si pe Varsta.

Esantionarea

Esantionarea aleatoare urmareste stabilirea unui esantion aleator. Se poate face prin numerotarea elementelor totale , apoi extragerea biletelelor din caciula la intamplare. De cate ori trag un biletel, il bag la loc . Intotdeauna extrag din toate, pana cand extrag unul care nu se repeta. Principalul neajuns este acela ca exista posibilitatea extragerii unui esantion nereprezentativ.

La esantionarea stratificata stabilesc esantionul pe baza de pondere. Asa o sa stiu cate elemente trebuie sa intervievez din fiecare grup . Dupa stabilirea numarului de elemente din fiecare grup, trec la esantionare aleatoare.

Esantionarea cluster: se aplica un studiu asupra a trei blocuri cu cate 10 locatari din aceeasi zona, strazi diferite. Grupez elementele componente ale fiecarui bloc pe strazi si prin esantionare aleatoare aleg strada pe care merg sa studiez.

Esantionarea sistematica presupune existenta unui algoritm . Pasul unu: pornesc de la a doua casa. Regula stabilita : chestionez fiecare a cincea casa. Se numeste pas statistic.

Definitii: Avem 20 de subiecti.Lot – lotul de subiecti nu are reprezentativitate (lot de 20 de subiecti)Esantion – este reprezentativ pentru ca cei 20 de subiecti sunt alesi raportat la populatia supusa cercetarii (din cei 20 de subiecti, alegem: 2 din intervalul a, 3 din intervalul b, etc…)

Estantionarea stratificata – exemplu:Avem impartire pe trei categorii de variabile (valori atribuite fiecarei variabile): A (7 valori), B(5 valori), C (8 valori) = 20 valori existente intr-un sir (aleator) de forma (primul strat de esantionare) :

A A C B C C B A C B C A B A A C C A B C

Apoi esantionam variabilele de mai sus, dup acum urmeaza:3 -> A2 -> B5 -> CI.e., vom avea un esantion reprezentativ pentru multimea anterioara, cu un total de 10 valori.

Variante si abaterea standard

Abaterea standard – medie a imprastieriiAdunand toate elementele unei multimi date, teoretic media aritmetica ar trebui sa fie aceeasi cu valoarea de referinta de la mijlocul multimii.Exemplu:

Caz I: avem sirul cu 5 valori: 7 7 7 7 7Mean: 7, Median: 7 , Mode: 7. Graficul va fi de forma (Fig. 4):

Caz II: avem sirul: 7 6 7 7 8Mean: 7, Median: 7 si Mode:7, dar graficul va fi de forma (Fig. 5):

Abaterea standard – distanta fiecarui punct fata de medie; aceasta se calculeaza prin diferenta intre valoarea luata de variabila si valoarea datei de referinta.(Xi-X¯ )-> ecuatia aceasta reprezinta abaterea standard, adica distanta fiecarei valori luate de variabila fata de valoarea de referinta (media), situate pe o axa (+/-), unde: X¯ - media (valoare de referinta)Xi – valoarea luata de variablia

σ² - varianta (suma totala a imprastierii)n – numarul de elemente XiFormula variantei este: σ²=∑(Xi - X¯)²/n = > σ=√(∑( Xi - X¯)²/n)

Observatii: Cu cat abaterea standard creste, cu atat datele sunt mai imprastiate. Daca abaterea standard este mai mica, imprastierea este mai mica (datele sunt mai

apropiate de valoarea de referinta).

Amplitudinea (Range) – este data de diferenta dintre valoarea maxima luata de variabila si valoarea minima: A = Xmax – Xmin

Unde: A – amplitudinea; Xmax – valoarea maxima a variabilei; Xmin – valoarea minima a variabilei.In SPSS avem functiile :Std Deviation – abaterea standardVariance – varianta (σ)Range – amplitudinea

Analyze -> Descriptive Statstics -> Frequencies -> selectam Variabilele Varsta si Scor -> Statistics -> bifam Std Deviation, Variance si Range, precum si Min, Max. -> Continue ->OK

Am bifat Min si Max alaturi de celelalte functii pentru a evidentia si formula Amplitudinii. Output:

Hystograma- reprezentare grafica a frecventelor

Analyze -> Descriptive Statstics -> Frequencies -> selectam Variabila -> Charts -> bifam Hystogram (with normal curve) -> Continue

Apare un graphic de forma XoY, (axa OX: Valorile luate de variabile; Axa OY: numarul de aparitii), adica Outputul pe variabila Varsta si pe variabila Scor (Fig. 7,8):

Unde: Frequencies – numar de aparitii

Important!!! Calculul abaterii standard, amplitudinii si variantei se aplica doar pentru variabilele de tip Scale!!

Distributii normale si Scorurile Z

Exemplul 1. Presupunem ca avem o populatie cu IQ-ul mediu de 100, avem varianta σ de valoarea 15 si avem doua valori observate ale IQ-ului: 85, respectiv 115. In concluzie, datele problemei sunt: X¯=100σ= 15iar valorile observate X in cele doua cazuri, sunt 85, respectiv 115, adica: a)X=85; b) X=115Histograma este de forma:

Pentru a putea standardiza distributia, vom calcula Scorul Z, dupa formula:

Z = (X-X¯)/σ,

Unde:Z – Scorul Z;X – valoarea observata;X¯ - valoarea medie;σ – varianta.Adica:

a) Pentru X=85, Z=(X-X¯)/σ =( 85-100)/15=-15/15 = -1

b) Pentru X=115, Z=(115-100)/15=15/15= 1

In ambele cazuri, rezultatele +1 si -1 arata ca cele doua valori ale lui X sunt la distanta de o abatere standard fata de X¯ (1S). Pentru aceasta avem notatia 1S cu valoarea 0,3413. In concluzie, din tabele avem:

1S= 0,3413

Pentru a afla in procente cat e abaterea standard, inmultim cu 100 valoarea de mai sus, rezultand: 34,13 % din populatia data in problema de mai sus, are in IQ cuprins intre 85 si 100, respectiv 34.13% din populatia data are un IQ cuprins intre 100 si 115.

Asadar 68,26% din populatia data , are un IQ cuprins intre 85 si 115. Daca facem diferenta intre acest procent si cel de 95%, va rezulta ca procentul de 26,74% din totalul populatiei e reprezentat de presoanele care au un IQ <85 si de cele care au IQ>115.

Exemplul 2. Avem: X¯=100; σ=15; si doua cazuri pentru valoarea observata X, adica 70 si 130, iar histograma este asemanatoare cu cea anterioara:

Calculam:

Z=(X-X¯)/σ =(70-100)/15=-30/15= -2 , iar pentru cea de-a doua valoare: Z=(X-X¯)/σ=(130-100)/15=2

In ambele cazuri, rezultatele +2 si -2 arata ca cele doua valori ale lui X sunt la distanta de doua abateri standard fata de X¯ (2S).

2S = 0,4772Analog, pentru a afla procentajul, inmultim valoarea de mai sus cu 10047,72 % din populatia data in problema de mai sus, are in IQ cuprins intre 70 si 100 (si respectiv 100 si 130).

Observatie: Intr-o distributie normala 95% dintre date se afla in intervalul [-2, +2] abatere standard (2S); intervalul [-3, +3] abatere standard reprezinta 99% din populatia data. Vom explica pe histograma urmatoare:

Exercitiu: Pentru variabila varsta, (din tabelul de date) in SPSS vom calcula Scorul Z:Analyze -> Descriptive Statistics -> Descriptives -> selectam variabila -> bifam Standardized values as variables -> OK Va rezulta Outputul:

In Variable View apare o variabila noua Zvarsta(Zscore Varsta):

Iar in Data View apare coloana Zvarsta (cu valorile abaterilor standard):

Observatii: 1. Media unei distributii Z este intotdeauna 0.2. Abaterea standard a unei distributii Z este intotdeauna 1.

Testul T

Testul T compara mediile unor grupuri, pentru a verifica daca exista diferente semnificative.Statistica descriptiva: descrie datele pe care le avem.Statistica inferentiala: Atunci cand avem un grup de control si unul experimental, le testam si obtinem anumite performante diferite intre cele doua grupuri (in mod normal). Statistica inferentiala verifica daca puteam obtine aceeasi diferenta cu cea pe care o avem in mod concret, daca am fi ales esantioane diferite, sau daca exista diferente seminificative intre aceste doua esantioane.

Pentru a verifica datele de mai sus se foloseste Testul T.

1. Testul T pentru esantioane/variabile independente Esantioanele independente sunt cele care nu au nici o legatura intre ele (ex: barbati/femei, gemeni, etc..). Vom avea doua categorii de rezultate: una din grupul de control si una din grupul experimental. Practic vom avea aceeasi variabila, doar valorile rezultate de la esantioanele respective sunt diferite. Pe noi ne intereseaza diferenta dintre ele, adica schimbarea produsa: mo-me

Definitii:Ipoteza nula (H0) – nu exista diferente semnificative intre media variabilelor grupului de control si cea a grupului supus experimentului.Ipoteza alternativa (HA) – exista diferente semnificative intre mediile variabilelor celor doua grupuri.T = (diferenta dintre abaterile celor doua grupuri)/(varianta intre grupuri)df – degrees of freedom (gradele de libertate) - reprezinta numarul de subiecti din toate grupurile(control+experiment) minus numarul de grupuri (in exemplul de mai jos, vom avea 30 de subiecti, din doua grupuri (M/F), adica: df = 30 – 2 = 28 grade de libertate)

Oricarei valoari luate de T ii corespunde o valoare p (care la randul ei ne spune care dintre cele doua ipoteze se aplica)

Daca p < 0.05 , atunci se aplica Ipoteza alternativa (HA)

Daca p > 0.05 , atunci se aplica Ipoteza Nula (H0)

In SPSS valoarea lui p este reprezentata de Sig. (2-tailed)

Exemplu:Vom verifica daca media de la bac data pe un grup de 30 de persoane difera in functie de gen. Vom define variabilele in SPSS si vom introduce valorile:

Apoi vom urma calea:

Analyze -> Compare Means -> Independent Sample Test -> selectam variabila ‘notebac’ si o mutam in Test variable, selectam variabila ‘gen’ si o mutam in Grouping VariableClick pe Define Groups -> Grup 1 = 1 ; Grup 2 = 2 (aici atribuim valorile grupurilor M/F, ca in figura de mai jos) -> Continue -> OK:

Va rezulta Output-ul de forma:

sig. = 0.094; 0.094 > 0.05 ceea ce inseamna ca se aplica Ipoteza de Nul (H0)df = 28 de grade de libertate

sig-2-tailed -> valoarea lui p ; aici, sig-2-tailed = 0.518 > 0.05 , ceea ce inseamna ca se aplica ipoteza de Nul (H0) , conform careia nu exista diferente semnificative ale mediilor variabilei mediebac intre cele doua grupuri (M/F).

In cazul in care, de exemplu sig-2-tailed ar lua valoarea 0.002, atunci rezulta ca 0.002 < 0.05 deci se ia in considerare Ipoteza alternativa(HA), conform careia exista diferente semnificative intre valorile celor doua grupuri.

2. Testul T pentru esantioane/variabile dependente: Esantioane identice sau aproape identice, de exemplu daca testam aceiasi oameni de doua ori (‘inainte si dupa’)

Vom nota cu d diferenta dintre performanta unui individ la masuratoarea de control si performanta la masuratoarea dupa manipularea experimentala: d=x0-xe

md = media tuturor diferentelor calculate la fiecare individ in parte.

Analog, pentru esantioanele dependente, luam ca exemplu variabilele nume, nota1 (nota inainte de pregatire) si nota2 (nota dupa pregatire):

Apoi vom urma pasii:Analyze -> Compare Means -> Paired Sample T-Test -> Mutam variabila nota1 in Variable1 si nota2 in Variable2 -> OK

Avem tabelul:

Ne apar rezultatele urmatoare:Sig 2-Tailed = 0.000…, ceea ce inseamna ca 0.000… , 0.05 Asadar, vom lua in considerare Ipoteza Alternativa conforma careia exista diferente semnificative intre mediile celor doua valori luate in calcul (inainte si dupa interventia respectiva). Df=29 (grade de libertate).

3. One Sample T Test

Presupunem ca stim media pentru o anumita variabila, pe care vrem sa o comparam cu media aceleiasi variabile din grupul nostru. Pentru tabelul de mai sus, vom avea, de exemplu, media=8.2Vom avea urmatorii pasi:Analyze -> Compare Means -> One Sample T-Test -> selectam mediebac -> o mutam in Test Variables -> la Test Values, trecem valoarea 8.2 -> OK ca in figura de mai jos:

Rezulta Output-ul:

Sig. 2-tailed = 0.775 > 0.05 => acceptam ipoteza de Nul (H0), conform careia nu exista diferente semnificative intre valoarea de referinta si media variabilei din tabelul nostru. Mai avem si df=29 (grade de libertate).

Notiuni de filtrare a datelor in SPSSIn cazul in care avem rapoarte foarte mari cu care trebuie sa operam, avem posibilitatea de le filtra, cu scopul de a folosi doar variabilele care ne sunt necesare.Avem, de exemplu, tabelul SPSS:

Ne propunem sa facem diverse calcule doar pentru datele care intrunesc conditia ca variabila varsta sa fie >=25 (adica luam in calcul doar persoanele mai mari de 25 de ani), iar variabila scor >=99 (luam in calcul persoanele care au un scor mai mare sau egal cu 99) si aplicam pe acel grup diverse formule statistice.

Data -> Select cases -> bifam IF -> IF (if condition is satisfied) -> IF -> selectam variabila varsta -> adaugam criteriul (aici vom folosi >=25) -> imediat adaugam separatorul | ->selectam variabila Scor -> adaugam criteriul >=99 ->Continue ->OK.

Vom inchide Output-ul, si vom vedea pe coloana cu Nr Crt din stanga tabelului o bara diagonala la pozitia care nu intruneste conditiile setate de noi:

Aceasta inseamna ca orice formula am aplica pe acest tabel filtrat, valorile din pozitia 4 si 10 nu vor fi luate in considerare.

Daca dorim, de exemplu, sa suspendam pentru moment , pentru variabila Varsta, unde sunt deja atribuite intervale (prin recodare: 1= 18-24 ani, 2= 25-40 ani si 3=41-50 ani), aplicam:Data -> Select cases -> bifam IF -> IF (if condition is satisfied) -> IF -> selectam variabila Categ -> adaugam criteriul ( categ=2) -> Continue -> OKIn Data view vom avea:

Dupa cum se vede, pozitiile care cunt neluate in calcul sunt taiate, iar la penultima coloana, apare cu 0 si 1 ce nu a fost si ce a fost luat in calcul.

Testul χ²

Testul χ² se foloseste atunci cand ne dorim sa verificam daca exista sau nu diferente intre valorile observate si cele asteptate.Exemplul 1:Avem un zar (cu cifre de la 1 la 6). Ne asteptam ca la 36 de aruncari, fiecare cifra de pe zar sa apara de cate 6 ori. In realitate exista o probabilitate mica sa se intample asa cevaExemplul 2:La un numar de 30 de aruncari ale unei monede ne asteptam sa avem un raport in care in urma a 15 de aruncari sa avem ‘ban’, iar in celelalte 15 sa avem ‘stema’. Valorile observate in urma experimentului pot diferi de valorile asteptate.In SPSS vom avea un tabel in care vom defini variabilele Asteptata si Observata (String, Scale, atribuim 1 pentru ‘ban’, 2 pentru ‘stema’), apoi vom trece pe coloana cu variabila Asteptata ‘ban’ de 15 ori, ‘stema’ de 15 ori. Vom trece rezultatele observate in urma auncarii monedei de 30 de ori si apoi vom calcula Testul χ²:

Analyze -> Descriptive Statistics -> Crosstabs -> Select -> Rows: Observata, Columns: Asteptata -> Click pe Statistics -> bifam Chi-square -> Continue ->OK

Output-ul este:

Valoarea testului χ² este data in SPSS de:

Asymp. Sig. (2-sided) = 0.705 >= 0.05 ceea ce inseamna ca admitem Ipoteza de Nul (H0) conform careia nu exista in acest caz diferente semnificative intre mediile variabilelor Observata si Asteptata.

Corelatii

Avem, spre exemplu, doua variabile: X1 si X2

r – coeficientul de corelatie

Coeficientul de corelatie (r) poate lua valori in intervalul [-1; +1]

Daca r → +1 , atunci exista o corelatie pozitiva intre cele doua variabile, adica:

X1 ↗ => X2↗ (daca variabila X1 creste, atunci variabila X2 creste).

Aici avem:

r ≥ 0.70-0.80 => corelatie pozitiva puternica

r → 0.40-0.70 => corelatie pozitiva medie

r → 0.10-0.40 => corelatie pozitiva slaba

Daca r = 0 , atunci nu exista niciun fel de corelatie intre cele doua X1 si X2

Daca r → -1 , atunci exista o corelatie negativa intre cele doua variabile, adica:

X1 ↗ => X2↘ (daca variabila X1 creste, atunci variabila X2 scade)

Aici avem:

r ≥ -0.70/ -0.80 => corelatie negativa puternica

r→ -0.40/-0.70 => corelatie negativa medie

r → -0.10/-0.40 => corelatie negativa slaba

Concluzie: cu cat r se apropie mai mult de valoarile +1 sau -1, cu atat corelatia (pozitiva/negativa) este mai puternica.

Exemplu: Dorim sa vedem atat daca exista corelatie intre cele doua variabile Varsta si Scor (luate ca exemplu si in situatiile anterioare), cat si cu ce fel de corelatie ne confruntam. In SPSS vom avea urmatoarea cale:

Analyze -> Correlate -> Bivariate Correlations -> selectam variabilele X1 si X2 -> Bifam: Pearson; Two-tailed; Flag significant correlations -> OK

Va rezulta un Output de forma:

Rezultatele vor fi interpretate in felul urmator:

Pearson Correlation = 0.413 => avem o corelatie pozitiva medie

Sig.(Two-tailed) = 0.235 > 0.05 => nu exista diferente semnificative intre cele doua variabile

Concluzie: avem o corelatie pozitiva medie, fara diferente semnificative intre cele doua variabile.

Pentru a verifica daca exista corelatii intre mai multe variabile, se urmeaza aceeasi cale si se selecteaza toate variabilele (tip Scale).

notite seminar statistica

Documents

contine litere si cifre

serie unimodala in cazul

trecem numele variabilei

ok apar valorile cerute

sus in ordine crescatoare

in sheetul variable

bifam min si max