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  • Notes de cours : Physique statistique

    Jean-Baptiste Theou

    17 novembre 2009

  • Table des matieres

    1 Introduction 3

    2 Rappel de thermodynamique classique 42.1 Vocabulaire de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2.1.1 Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Equilibre, etat dequilibre dun systeme . . . . . . . . . . 52.1.3 Variables et fonctions detats . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.4 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2.2 Les principes de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Principe 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.4 Troisieme principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.3 Fonction caracteristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.1 Lentropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Lenergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.3 Lenergie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.4 Lenthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.5 Lenthalpie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.6 Potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.4 Notions sur les systemes ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.1 Potentiel chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    3 Introduction a la mecanique statistique 103.1 Description des systemes en mecanique statistique . . . . . . . . 10

    3.1.1 Description classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.2 Description quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    4 Lensemble microscopique 124.1 Les postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    4.1.1 Postulat n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1

  • 4.1.2 Postulat n2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Ensemble micro canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    4.2.1 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.2 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.3 Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.4 Pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    4.3 Application au gaz parfait monoatomique . . . . . . . . . . . . . 14

    5 Ensemble canonique de Gibbs. Statistique de Maxwell-Boltzmann 155.1 Ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    5.1.1 Systeme macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.1.2 Systeme microscopique constitue dune molecule . . . . . 16

    5.2 Representation de Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . 165.2.1 Resolution du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    5.3 Calcul des fonction thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.1 Etude de la repartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.2 Energie totale dun systeme, energie interne U . . . . . . 185.3.3 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.3.4 Energie libre, travail, chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    5.4 Application et statistique de Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . 215.4.1 Fonctions thermodynamique des gaz parfaits . . . . . . . 21

    2

  • Chapitre 1Introduction

    La physique statistique a pour but dexpliquer le comportement et levolutionde systeme physique comportant un grand nombres de particule (systeme macro-scopique) a partir des caracteristique de leurs constituants (atomes, molecules,particules elementaires). Elle peut faire appel a la mecanique quantique (Memesi historiquement la physique statistique a precede la mecanique quantique).On distingue la physique statistique dequilibre (au sens thermodynamique duterme) et la physique statistique hors equilibre. La thermodynamique classiqueraisonne sur des concepts macroscopiquesA. On degage des lois sur levolutionmacroscopique dun systeme sans se preoccuper du detail de ce qui ce passedans ce systeme au niveau microscopique. Au contraire, la thermodynamiquestatistique part du detail et, a partir de concepts degages a ce niveau, cherchea retrouver des donnees macroscopiques. Compte tenu du grand nombre de de-gres de liberte dun systeme macroscopique, le traitement rigoureux du passagemicroscopique -> macroscopique est impossible. On fait appelle a des considera-tions statistiques pour degager des donnees moyennes telles que la Temperature,la pression ou lentropie. Cette approche a permis de realiser des percees majeursdans beaucoup de domaine : Microelectronique, Physique des materiaux.

    APression, Temperature, etc.

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  • Chapitre 2Rappel de thermodynamiqueclassique

    2.1 Vocabulaire de la thermodynamique

    2.1.1 Systeme

    Definition 1. Un systeme est un ensemble dobjets definis (Un bateau, uneporte, etc). Tous ce qui nest pas le systeme est appele milieux exterieur ausysteme.

    Macroscopique

    Definition 2. Un systeme macroscopique est un systeme contenant un tresgrand nombre datomes ( NA).

    Microscopique

    Definition 3. Un systeme microscopique est un systeme contenant un tres petitnombre datomes ( 10)

    Ouvert

    Definition 4. Un systeme ouvert est un systeme qui, bien que defini, peutechanger de la matiere et de lenergie avec le milieu exterieur.

    Ferme

    Definition 5. Un systeme ferme est un systeme qui nechange pas de matiereavec le milieu exterieur. Il peut par contre tres bien echanger de lenergie avecle milieu exterieur.

    4

  • Isole

    Definition 6. Un systeme isole est un systeme qui nechange ni matiere nienergie avec le milieu exterieur.

    2.1.2 Equilibre, etat dequilibre dun systeme

    Definition 7. Un systeme est dit a lequilibre si en moyenne, le nombre demolecule ayant une direction donnee dans un petit volume ne varie pas.

    2.1.3 Variables et fonctions detats

    Il existe des grandeurs physiques qui caracterise letat dun systeme a lequili-bre :

    V, P, T, U, S

    En fixant un certain nombre de ces grandeurs, on obtient que les grandeursrestant sont des variables du systeme.

    Variable intensive, variable extensive

    Considerons deux systemes identiques.

    Definition 8. Soit X une grandeur caracteristique dun des systemes. On jux-tapose maintenant les deux systemes identiques. Si X double, cest une variableappele extensive. Si X reste constant, cest un variable appele intensive.

    2.1.4 Transformations

    Reversible

    Une transformations est reversible si la transformation est quasi-statique,cest a dire si la transformation est une suite continue detat dequilibre.

    Irreversible

    Une transformation est irreversible si les etats intermediaires ne sont pas enequilibre.

    2.2 Les principes de la thermodynamique

    2.2.1 Principe 0

    Soit A et B deux systeme en equilibre thermodynamique avec C. Alors A, Bet C sont en equilibre entre eux. Leur propriete commune est la temperature. Ilfaut donc, pour quil y ait echange, quil existe une difference de temperature.

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  • 2.2.2 Premier principe

    Pour tous systeme, il existe une fonction detat appele energie interne, noteeU. Cest un capital energetique que possede le systeme a une constante pres. Onparle donc de variation denergie interne, sous le bilan suivant :

    U = U2 U1= +Q

    Dans le cas dune transformation cyclique, comme la fonction est une fonctiondetat, la variation denergie interne est nulle sur un cycle.

    2.2.3 Second principe

    Il existe une fonction detat, lentropie, notee S, dont les proprietes sont :1. Cest une fonction externe.2. S croit lors dune transformation irreversible spontanee dans un systeme

    isoleA.3. Il existe une echelle de temperature, appelee echelle thermodynamique

    (T). Pour une transformation reversible, nous avons :

    dS =QrT

    =dU + PdV

    T

    Dou les relations suivantes : (S

    V

    )U

    =P

    T(S

    U

    )V

    =1T

    Enonce de Clausius

    Il nexiste pas de processus donc le seul effet finalB soit de transferer dela chaleur dun corps froid vers un corps chaud. Naturellement, la chaleur vatoujours du corps chaud vers le corps froid.

    Enonce de Kelvin-Carnot

    Il nexiste pas de transformation dont le seul resultat final soit de produiredu travail a partir dune seule source de chaleur a une temperature T constante.Cela signifie quil faut au moins deux sources a des temperatures differentespour realiser une conversion denergie calorifique en energie mecanique.

    ALa relache dune compression par exemple.BPar exemple, dans le cas dun refrigerateur, on doit fournir un travail.

    6

  • 2.2.4 Troisieme principe

    Ce principe, appele principe de Nernst, enonce que lorsque que la tempera-ture tend vers 0 K, lentropie tend vers 0. Ce principe traduit le fait quil estexcessivement difficile de sapprocher du zero absolu, cest a dire davoir un ordreabsolu dans un systeme.

    2.3 Fonction caracteristique

    2.3.1 Lentropie

    Lentropie, notee S(U,V), est definie par :

    dS =dU + PdV

    T

    Nous avons donc : (S

    V

    )U

    =P

    T(S

    U

    )V

    =1T

    2.3.2 Lenergie interne

    Lenergie interne, notee U(S,V), est definie par :

    dU = TdS PdV

    2.3.3 Lenergie libre

    Lenergie libre, notee F, est definie par :

    F = U TS

    F sadapte au systeme dependant de V et T avec :

    dF = PdV SdT

    2.3.4 Lenthalpie

    Lenthalpie, notee H, est definie par :

    H = U + PV

    On peut la caracteriser de deux facons, suivant le systeme :

    dH = dU + PdV + V dP= V dP + TdS

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  • 2