notascimpa

Semigrupos de Polinomios Clasicos y

Desigualdades Funcionales

Wilfredo Urbina

Profesor Titular, Escuela de Matematicas, Facultadde Ciencias UCV Apt. 47195 Los Chaguaramos, CaracasDC 1041-A Venezuelaactualmente Profesor Visitante en el Departmento deMatematicas y Estadıstica University of New Mexico,Albuquerque, N.M. 87131 EE.UU.

1991 Mathematics Subject Classification. 42B25, 47D03, 42C10, Secondary60H99, 42A99

Key words and phrases. Teorıa de Semigrupos, Desarrollos en polinomiosortogonales, Analisis Armonico, Hipercontractividad, Desigualdades

funcionales.

Indice

Capıtulo 1. Introduccion 5

Capıtulo 2. Semigrupos de Markov. 71. Definiciones Basicas 72. Tensorizacion. 143. Semigrupos de Markov asociados con polinomios ortogonales. 14

Capıtulo 3. Semigrupos de Markov de polinomios ortogonales clasicos. 171. El semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck. 172. Semigrupo de Laguerre. 373. Semigrupo de Jacobi. 41

Capıtulo 4. La propiedad Hipercontractiva y las desigualdadesfuncionales. 51

1. La propiedad hipercontractiva del semigupo de Ornstein-Uhlenbeck y la desigualdad logarıtmica de Sobolev. 51

2. Aplicacion de la propiedad hipercontractiva a la Teorıa deMultiplicadores de Hermite. 57

3. Las Desigualdades Funcionales. 634. La desigualdad de Sobolev implica la desigualdad logarımica de

Sobolev. 705. Desigualdades de curvatura-dimension. 726. La propiedad Hipercontractiva del semigrupo de Laguerre. 757. Desigualdad de Sobolev para el semigrupo de Jacobi y algunas

consecuencias. 76

Apendice A. La funcion Gamma y funciones relacionadas. 83

Apendice B. Polinomios ortogonales clasicos. 851. Polinomios de Hermite. 852. Polinomios de Laguerre. 883. Polinomios de Jacobi. 90

Apendice C. Los Semigrupos Clasicos del Analisis: el semigrupo delCalor y el semigrupo de Poisson. 95

1. El semigrupo del Calor. 952. El semigrupo de Poisson. 100

3

4 INDICE

Bibliografıa 105

CAPıTULO 1

Introduccion

La Teorıa de Semigrupos de operadores es un punto de confluencia de di-versas areas de las Matematicas, entre las que podemos mencionar el AnalisisFuncional, el Analisis Armonico, la Teorıa de Polinomios Ortogonales, lasEcuaciones Diferenciales y la Teorıa de Control.

En el presente trabajo vamos a estudiar semigrupos de operadores queestan asociados con los polinomios ortogonales clasicos (polinomios de Her-mite, polinomios de Laguerre y polinomios de Jacobi): el semigrupo deOrnstein-Uhlembeck, el semigrupo de Laguerre y el semigrupo de Jacobi,y que para abreviar llamaremos semigrupos clasicos, aunque lo correctoserıa llamarlos semigrupos asociados con polinomios ortogonales clasicos.Las presentes notas estan fuertemente influenciadas en los trabajos de Do-minique Bakry ([9], [10], [11] y [13]), en especial sus notas para el cursoen la Escuela CIMPA, en el Tata Institute, Bombay [11], y por ello va-mos a utilizar un desarrollo desde la Teorıa de Probabilidades desarrollandonuestro analisis basicamente sobre los semigrupos de Markov en un espaciode probabilidades (E,B, µ). Posteriormente estudiaremos varias desigual-dades funcionales como son las desigualdades de Sobolev, las desigualdadeslogarıtmicas de Sobolev, las desigualdades de grieta espectral ası como lasdesigualdades de curvatura-dimension. Dichas desigualdades nos permiti-ran estudiar una propiedad muy importante para estos semigrupos que esla propiedad hipercontractiva y que como veremos permite establecer unteorema de multiplicadores, el famoso Teorema de multiplicadores de P.A. Meyer, para desarrollos en cada uno de estas familias de polinomiosortogonales.

Estas notas estan divididas en cuatro capıtulos. El capıtulo 1 es lapresente introduccion. En el capıtulo 2 damos una introduccion al estudiode los semigrupos de Markov, sus propiedades basicas y varios resultadossobre ellos, en particular estudiaremos los semigrupos de Markov asocia-dos a una familia de polinomios ortogonales, discutiendo sus propiedadesgenerales. En el capıtulo 3 estudiaremos en detalle el caso de los semigruposde Markov asociados con los polinomios ortogonales clasicos: el semigrupode Ornstein-Uhlenbeck, el semigrupo de Laguerre y el semigrupo de Jacobi.Dada su importancia y por el hecho que historicamente el semigrupo deOrnstein-Uhlenbeck ha sido, entre los tres, el semigrupo que ha recibidomas atencion, vamos a hacer un estudio muy detallado de el ası como de susemigrupo subordinado el semigrupo de Poisson-Hermite. En el capıtulo 4

5

6 1. INTRODUCCION

comenzaremos por demostrar que el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck nosolo es contractivo sino hipercontractivo, para ello vamos a probar, tal ycomo lo hizo Leonard Gross [39], que el operador de Ornstein-Uhlenbecksatisface una desigualdad logarıtmica y luego que ello es equivalente a lapropiedad hipercontractiva del semigrupo. Posteriormente estudiaremos endetalle las desigualdades funcionales, que son aquellas desigualdades dondese relaciona la norma Lp(µ) de una funcion con la norma Lq(µ) de su gra-diente en un sentido general, ellas son: las desigualdades de Sobolev, lasdesigualdades logarıtmicas de Sobolev, las desigualdades de grieta espectral;analizaremos en detalle sus caracterısticas, sus propiedades y las relacionesentre ellas. Ademas estudiaremos las desigualdades de curvatura-dimension,que son un desarrollo del famoso criterio para hipercontractividad de Bakry-Emery [12], que permite analizar la estructura local de operadores diferen-ciales y que tiene importantes aplicaciones en Geometrıa Diferencial. Comoveremos la relacion entre las desigualdades de curvatura-dimension y las de-sigualdades funcionales sera clave en los resultados que se obtiene en la partefinal de estas notas.

En un afan de hacer estas notas lo mas autocontenidas posible, hemosincluido un apendice sobre la funcion Gamma y funciones relaciondas , otrodonde se listan las principales propiedades y formulas de los polinomiosortogonales clasicos y finalmente un apendice donde se estudian detallada-mente los semigrupos clasicos del Analisis: el semigrupo del calor y su semi-grupo subordinado el semigrupo de Poisson, de forma de poder compararloscon los semigrupos que son objetos de estudios de estas notas.

El origen de estas notas se remonta a un seminario que durante elsemestre 2004-1, se realizo en la Escuela de Matematicas de la Facultad deCiencias de la UCV sobre la monografıa de D. Bakry [11]. Quiero agradecera todos los asistentes del mismo por su entusiasmo y perseverancia. Ademaslas charlas dadas en los seminarios de Analisis de la Universidad Central deVenezuela, de la Universidad de los Andes, de la Universite de Angers, dela University of Kansas y de la University of Missouri, Columbia, le comen-zaron a dar su forma actual. Quiero agradecer a Piotr Graczyk por multiplesconversaciones que sobre hipercontractividad tuvimos que me ayudaron mu-cho a profundizar la compresion de este tema, ası como tambien a CristinaBalderrama y a Ebner Pineda por su lectura y cuidadosa correccion de ver-siones previas de estas notas, debo decir que sus correcciones y observacionesmejoraron de manera notable la calidad y claridad de las mismas; todos loserrores que quedan son de mi entera responsabilidad.

La redaccion final de estas notas se realizo siendo profesor visitante enla Universidad de Nuevo Mexico, Albuquerque. Quiero agradecer al Depar-tamento de Matematicas de esa Universidad por el apoyo que se me brindoy muy especialmente a Cristina Pereyra. Finalmente mi agradecimiento ymi amor a mi esposa Luisela Alvaray por su infinita paciencia y compresiondurante las largas noches que le dedique a la redaccion de las mismas.

Albuquerque, Enero 2006.

CAPıTULO 2

Semigrupos de Markov.

1. Definiciones Basicas

Vamos a considerar el desarrollo de la Teorıa de Semigrupos de oper-adores desde el punto de vista de la Teorıa de Probabilidades y por ellovamos a desarrollar nuestro analisis sobre los Semigrupos Markovianos enun espacio de probabilidades (E,B, µ).

Definicion 2.1. Una familia de nucleos de probabilidades de transicion{Pt(x, dy)} es una familia de nucleos Pt(x, dy) tal que para todo t ≥ 0

i) Pt(·, B) es una funcion medible, para cualquier B ∈ B.ii) Pt(x, ·) es una medida positiva de probabilidad sobre (E,B), para

cada x ∈ E.

Definicion 2.2. Un semigrupo de Markov en E es una familia de nucleosde probabilidades de transicion {Pt(x, dy)} que satisfacen las siguientes propiedades:

i) Si δx es la delta de Dirac en x,

(2.1) P0(x, dy) = δx(dy).

ii) La ecuacion de Chapman-Kolmogorov

(2.2)∫

EPs(x, dy)Pt(y, dz) = Ps+t(x, dz).

A partir de un semigrupo de Markov en E se puede construir un procesode Markov {Xt} en E, definiendo sus distribuciones finito-dimensionalesmediante la formula

µx{Xt1 ∈ B1, Xt2 ∈ B1, · · · , Xtk ∈ Bk} =∫Bk

· · ·∫

B2

∫B1

Pt1(x, dy1)Pt2−t1(y1, dy2) · · ·Ptk−tk−1(yk−1, dyk)(2.3)

Sin embargo en estas notas no vamos a considerar este aspecto y remitimospara los detalles a cualquier libro de Probabilidades que trate procesos deMarkov, vease por ejemplo [18] o [48], o al curso del Prof. P. Graczyk.

El objeto principal de nuestro interes es la familia de operadores deMarkov {Tt}t≥0 definidos sobre las funciones en E, Borel-medibles que sonpositivas o acotadas, de la siguiente forma,

(2.4) Ttf(x) =∫

Ef(y) Pt(x, dy).

7

8 2. SEMIGRUPOS DE MARKOV.

Esta familia esta identificada entonces con el semigrupo de Markov {Pt(x, dy)}de manera natural. Vamos a pedir ademas que, para cada funcion f ∈ L2(µ),

limt→0+

Ttf = f,

donde el lımite es en sentido L2(µ).Por la ecuacion de Chapman-Kolmogorov, es claro que la familia {Tt}

es un semigrupo de operadores sobre E, ya que

(Tt ◦ Ts)f(x) = Tt(∫

Ef(y)Ps(x, dy)) =

∫E

∫E

f(y)Ps(y′, dy)Pt(x, dy′)

=∫

Ef(y)

∫E

Ps(y′, dy)Pt(x, dy′) =∫

Ef(y)Pt+s(x, dy) = Tt+sf(x).

Ademas, por la propiedad ii) de los nucleos de probabilidades de tran-sicion, el operador Tt claramente preserva la positividad, es decir si f ≥ 0,entonces

Ttf(x) =∫

Ef(y)Pt(x, dy) ≥ 0,

ya que Pt(x, dy) es una probabilidad, y por la misma razon es conservativoTt1 = 1.

En general, diremos que un semigrupo de operadores {Tt}t≥0 satisfacela propiedad de Markov y por tanto que es un semigrupo de Markov, sies conservativo y preserva la positividad.

Dado que Tt esta dado en terminos de una medida de probabilidad, porla desigualdad de Jensen, tenemos que para cualquier funcion convexa φ,

(2.5) Tt(φ ◦ f) ≥ φ(Ttf).

Como ya hemos mencionado, asociado a un semigrupo de Markov {Pt}hay un proceso de Markov {Xt} en el espacio E. Entonces el semigrupo sepuede representar mediante el proceso, por la formula,

(2.6) Ttf(x) = E[f(Xt)|X0 = x].

Definicion 2.3. Decimos que la medida de probabilidad µ es una me-dida invariante (o estacionaria) para el semigrupo {Tt}, si

(2.7)∫

ETtf dµ =

∫E

f dµ,

para toda funcion positiva f ∈ L1(µ) .

En la mayorıa de los casos, dado el semigrupo {Tt}t≥0 la medida invari-ante es unica, salvo una constante multiplicativa. Si la medida µ es finitasiempre la normalizamos de forma que sea una medida de probabilidad.

1. DEFINICIONES BASICAS 9

Observese que si µ es una medida invariante para el semigrupo {Tt},entonces para cualquier f ∈ L1(µ), tenemos∫

ETtf dµ =

∫E

Tt(f+ − f−) dµ =∫

E(Ttf

+ − Ttf−) dµ

=∫

E(f+ − f−) dµ =

∫E

f dµ.

Luego es equivalente definir la condicion de invariancia para todo f ∈ L1(µ),como lo definen en [2].

Por otra parte, si µ es una medida invariante para el semigrupo {Tt} setiene que para cada t ≥ 0, Tt es un operador de contraccion en L1(µ) yaque,

||Ttf ||1,µ =∫

E|Ttf | dµ =

∫E|Tt(f+ − f−)| dµ ≤

∫E(Ttf

+ + Ttf−) dµ

=∫

E(f+ + f−) dµ =

∫E|f | dµ = ||f ||1,µ.

Ademas es tambien es un operador de contraccion en L∞(µ), ya que

|Ttf | ≤∫

E|f(y)|Pt(x, dy) ≤ ||f ||∞.

Entonces por el argumento de interpolacion de Marcinkiewicz, vease[85], Tt se puede extender como un operador de contraccion en Lp(µ), para1 ≤ p ≤ ∞,

(2.8) ||Ttf ||p,µ ≤ ||f ||p,µ,

con 1 0. Luego {Tt}t≥0 es un semigrupo de operadores decontraccion en Lp(µ), 1 < p < ∞, y por el Teorema de Hille-Yosida (ver[101]) existe el generador infinitesimal L de {Tt}, definido como

(2.9) Lf = limt→0+

Ttf − f

t,

en un subconjunto denso Dp(L) de Lp(µ).La descripcion de L y de Dp(L) caracteriza entonces completamente al

semigrupo {Tt}t≥0, por el hecho que, dado f ∈ Dp, la funcion u(x, t) =Ttf(x) es la unica solucion de la ”ecuacion del calor”

∂u

∂t(x, t) = Lu(x, t),

que esta en Dp, para todo t > 0, tomando la derivada en sentido Lp.En general no es facil de describir el dominio Dp. Por ello es usual

suponer que existe una subalgebra A de Dp que es densa en el dominio conla topologıa determinada por la norma

||f ||Dp = ||f ||p + ||Lf ||p.Para simplificar vamos a suponer condiciones bastantes restrictivas sobre A.Supondremos que es un algebra, estable bajo la accion de L, de {Tt} y la


composicion con funciones de C∞ que valen 0 en 0 y que tienen a los mascrecimiento polinomial en infinito junto con sus derivadas. Mas aun vamosa pedir que las funciones constantes pertenezcan a A. Un algebra A queverifique estas propiedades diremos que es una algebra estandard.

En terminos de L, la propiedad de invariancia de la medida de proba-bilidad µ se puede describir, como la solucion positiva de

L∗(µ) = 0,

siendo L∗ el adjunto del operador L actuando sobre las medida. En otraspalabras,

(2.10)∫

ELfdµ = 0,

para toda f ∈ A, ya que∫E

fL∗(dµ) =∫

ELf dµ =

∫E

limt→0+

Ttf − f

tdµ = lim

t→0+

1t

∫E[Ttf − f ] dµ = 0.

No es facil describir condiciones generales en L para que tal solucion seaunica.

De la desigualdad (2.5) obtenemos,

(2.11) L(φ ◦ f) ≥ φ′(f)Lf,

valida para cualquier funcion convexa φ y f ∈ A. En efecto, informalmente1

L(φ(f)) = limt→0+

Ttφ(f)− φ(f)t

≥ limt→0+

φ(Ttf)− φ(f)t

= limt→0+

[φ(Ttf)− φ(f)

Ttf − f][Ttf − f

t] = φ′(f)Lf.

Esta desigualdad es caracterıstica de los generadores de semigrupos deMarkov. De hecho si (2.11) se cumple, dado φ convexa y µ invariante,tenemos,

∂

∂t

∫E

φ(Ttf) dµ =∫

Eφ′(Ttf)LTtf dµ ≤

∫E

L(φ(Ttf)) dµ = 0.

Luego∫E φ(Ttf) dµ es una funcion decreciente en t y por tanto∫

Eφ(Ttf) dµ ≤

∫E

φ(f) dµ.

Observese que esta desigualdad implica la no-negatividad de Tt ya que si sela aplicamos a una funcion f no negativa y φ(x) = |x|, obtenemos,∫

E|Ttf | dµ ≤

∫E

f dµ =∫

ETtf dµ.

Mas aun, si L1 = 0, entonces Tt1 es constante y Tt1 = 1.

1Para dar un argumento formal tendrıamos que considerar una funcion auxiliaranaloga a la que se considera en la demostracion de la regla de la cadena.


Definicion 2.4. Sobre la subalgebra A definimos el operador cuadradode campo como

(2.12) Γ(f, g) =12[L(fg)− fLg − gLf ].

Observese que Γ es una aplicacion bilineal, simetrica y que si 1 ∈ A, ysi L1 = 0, se tiene entonces que

Γ(f, 1) = 0,

para todo f ∈ A.Por otra parte, de la desigualdad (2.11) tomando φ(x) = x2, tenemos

(2.13) Γ(f) = Γ(f, f) ≥ 0,

para todo f ∈ A, y por tanto Γ(f) puede ser interpretado como la “longi-tud” de “∇f”, como veremos mas adelante en estas notas. Ademas de lapositividad se tiene

Γ(f, g)2 ≤ Γ(f)Γ(g).

Otra manera de probar la positividad del Γ(f) se puede obtener de lafomula

2Γ(f) = limt→0+

1t[Tt(f2)− (Ttf)2] dµ,

y esta la ultima cantidad es positiva por (2.5), tomando φ(x) = x2.Ası pues la positividad del operador cuadrado de campo es consecuencia

de la positividad del semigrupo usando la desigualdad de Jensen, es decirque la positividad del semigrupo es condicion necesaria para la positividadde Γ. O. Mazet [59] demostro que el recıproco tambien es cierto, es decir,que la positividad del operador cuadrado de campo es condicion suficientepara la positividad del semigrupo y mas aun para la propiedad de Markov.

Observese ademas que por (2.10), tenemos

(2.14)∫

EΓ(f) dµ =

12

∫E[L(f2)− 2fLf ] dµ = −

∫E

fLf dµ,

y por tanto ∫E

fLf dµ ≤ 0.

El operador cuadrado de campo fue introducido por J. P. Roth [78] comouna herramienta analıtica para estudiar semigrupos de Markov.

Para las desigualdades que vamos a estudiar posteriormente, tenemosque considerar tambien el siguiente operador,

Definicion 2.5. Sobre la subalgebra A definimos el operador cuadradode campo iterado como

(2.15) Γ2(f, g) =12[LΓ(f, g)− Γ(f, Lg)− Γ(g, Lf)].


Observese que Γ2 es tambien una aplicacion bilineal, simetrica. AdemasΓ2 se obtiene de Γ reemplazando en su definicion el producto por Γ. Sepodrıa, de la misma manera, obtener operadores de orden superior Γk, conk ≥ 3, sin embargo hasta ahora no esta claro que puedan tener la utilidadque, como veremos, tienen Γ y Γ2.

Consideremos las siguientes hipotesis adicionales sobre el semigrupo {Tt}t≥0,

1) Propiedad de simetrıa: Vamos a pedir que los operadores Tt seanautoadjuntos o simetricos en L2(µ), es decir, para todo f, g ∈ L2(µ),

(2.16)∫

ETtfg dµ =

∫E

fTtg dµ,

para todo t ≥ 0, lo que es equivalente a pedir

(2.17)∫

ELfg dµ =

∫E

fLg dµ.

Si esta propiedad se verifica diremos que la media µ es simetrica (o re-versible). Observese ademas que, tomando g = 1, la propiedad de simetrıaimplica trivialmente la invariancia de µ, por ser Tt conservativo, Tt1 = 1.

Si (2.17) se verifica L tiene una extension autoadjunta en L2(µ) y portanto el espectro de (−L) esta incluido en [0,∞) ya que por (2.13) si f esuna autofuncion de L asociada al autovalor λ, Lf = λf entonces

0 ≤ Γ(f) =∫

Ef(−L)f dµ =

∫E

f(−λ)f dµ = −λ||f ||2,

lo implica que λ ≤ 0. Por lo tanto L tiene una descomposicion espectral

(2.18) L = −∫ ∞

0λdEλ,

y por tanto Tt tiene entonces una descomposicion espectral

(2.19) Tt =∫ ∞

0e−λtdEλ.

Luego podemos considerar (formalmente) que Tt = etL = e−t(−L).Observese que 0 es un autovalor de (−L), con autofucion cualquier

funcion f no nula.El operador L, y por tanto el semigrupo, esta entonces totalmente deter-

minado por la medida de probabilidad µ y el operador cuadrado de campoΓ, ya que por la simetrıa,

(2.20)∫

EΓ(f, g) dµ = −

∫E

gLf dµ,


dado que∫E

Γ(f, g) dµ =12

∫E[L(fg)− fLg − gLf ] dµ

= −12

∫E

fLg dµ− 12

∫E

gLf dµ = −∫

EgLf dµ.

2) Propiedad de difusion: Suponemos que L es una difusion, es deciroperador diferencial de segundo orden sin termino constante. Esto se puedeexpresar de la siguiente forma,

(2.21) Γ(fg, h) = fΓ(g, h) + gΓ(f, h)

para f, g, h ∈ A. Esto dice que Γ es una operador diferencial de primer ordenen cada uno de sus argumentos.

Si tenemos esta propiedad (2.21), entonces tenemos tambien la formulade la regla de la cadena,

(2.22) L(φ(f)) = φ′(f)Lf + φ′′(f)Γ(f, f)

para todo f ∈ A, por lo menos para polinomios φ y esto se puede extenderpara cualquier funcion suave por aproximacion.(Ejercicio).

Podemos considerar tambien esta ultima formula como la definicion dedifusion.

La version multidimensional de la regla de la cadena es la siguiente,

(2.23) L(Φ(f)) =∑

i

∂iΦ(f)Lfi +∑i,j

∂2i,jΦ(f)Γ(fi, fj),

donde Φ : Rd → R y f = (f1, f2, · · · , fd) ∈ Ad.De la version multidimensional de la regla de la cadena (2.23) se puede

obtener la formula (2.21). (Ejercicio).Dado que el operador Γ puede ser interpretado como el cuadrado de la

longitud del gradiente de la funcion, hay una (pseudo-)distancia naturalasociada al operador Γ y al algebra A, definida como

(2.24) d(x, y) = supf∈A,Γ(f)≤1

{f(x)− f(y)}.

Esta distancia esta bien adaptada en el caso de difusiones. Puede ocurrirque esta distancia sea infinita casi-siempre, pero en situaciones razonablesesta bien definida y da mucha informacion sobre la estructura del semigrupo.Por tanto el diametro de E esta definido como

δ = supf∈A,Γ(f)≤1

{ess-sup(f)− ess-inf(f)}.

Si las funciones en A estan solo definidas casi-siempre, una distanciamas natural entre conjuntos de medida positiva se puede definir como

(2.25) d(A,B) = supf∈A,Γ(f)≤1{ess-supA(f)− ess-supB(f)}.

La mayorıa de las desigualdades funcionales en que estamos interesadosson desigualdades que comparan las normas Lp de una funcion en A a lanorma L1 de Γ(f), y por ello necesitamos la siguiente definicion,

Definicion 2.6. Definimos la forma de Dirichlet asociada al operadorL, respecto a la medida µ, como

(2.26) Eµ(f) = limt→0

< f − Ttf, f >µ

t=< −Lf, f >µ= −

∫E

fLf dµ,

para f ∈ L2(µ).

Observemos que, por (2.20), tenemos,

(2.27) Eµ(f) =∫

EΓ(f) dµ.

2. Tensorizacion.

Por otra parte, observemos que si tenemos dos semigrupos de MarkovT 1

t (x1, dy1) y T 2t (x2, dy2), actuando en (E1, µ1) y en (E2, µ2) respectiva-

mente, podemos entonces considerar el semigrupo

Tt = T 1t (x1, dy1)⊗ T 2

t (x2, dy2)

que actua en el espacio producto (E1 × E2, µ1 ⊗ µ2). Este es de nuevo unsemigrupo de Markov, con medida invariante µ1 ⊗ µ2.

Denotaremos por L1+L2 su generador y su operador cuadrado de campopor Γ1 + Γ2. La notacion L1 + L2 se debe entender de la siguiente manera:si f(x1, x2) es una funcion definida en E1 × E2, entonces L1 actua en lavariable x1, considerando x2 fija y de forma analoga para L2.

Este argumento que se llama usualmente de tensorizacion se puedeextender a d terminos, d ∈ N, lo que nos permitira definir los semigrupos deMarkov para los polinomios ortogonales clasicos en Rd.

Mas aun, el argumento de tensorizacion se puede extender incluso aproductos infinitos, pero ese caso no sera considerado en las presentes notas.

3. Semigrupos de Markov asociados con polinomios ortogonales.

Una importante familia de semigrupos de Markov, que va a ser muyimportante para el desarrollo que nosotros vamos a hacer en estas notas yde la nos vamos a ocupar en el siguiente capıtulo, son aquellas asociadas apolinomios ortogonales clasicos.

Supongamos que la medida µ, definida en R, tiene momentos exponen-ciales, es decir, existe ε > 0 tal que∫

Reε|x|µ(dx) < ∞.

Entonces los polinomios estan contenidos en L2(µ) y mas aun son densosallı. Por el proceso de ortogonalizacion de Gram-Schimidt existe una unicafamilia de polinomios {Pn}, tal que

3. SEMIGRUPOS DE MARKOV ASOCIADOS CON POLINOMIOS ORTOGONALES. 15

i) Pn tiene grado n y su coeficiente principal es positivo.ii)∫

R PnPm dµ = δn,m,

Estos son los polinomios ortogonales respecto a la medida µ.Una pregunta natural es que operadores diferenciales L tiene como aut-

ofunciones a una familia de polinomios ortogonales, es decir existe unasucesion {λn} de numeros reales positivos tal que

(2.28) LPn = λnPn,

para todo n ∈ N. Este problema fue planteado por S. Bochner en 1929[19] para operadores de segundo orden y en dicho artıculo el prueba queesta propiedad la verifican solamente los llamados polinomios ortogonalesclasicos (salvo translaciones y dilataciones), es decir los polinomios de Her-mite, Laguerre y Jacobi, vease [46]. Posteriormente, en 1938 L. Krall [53]planteo el problema general para un operador de cualquier orden y proboque el operador debe ser de orden par. A partir de allı se conoce como poli-nomios de Bochner-Krall a aquellos polinomios ortogonales que son aut-ofunciones de operadores diferenciales, para un detallado recuento historicode este problema de clasificacion vease [30].

Siguiendo la notacion de D. Bakry y O. Mazet [13], consideremos T unoperador de Markov, definido por un nucleo de probabilidad de transicionK(x, dy), sobre las funciones positivas o acotadas en R

(2.29) Tf(x) =∫

Rf(y)K(x, dy).

Supongamos que T es acotado en L2(µ). Decimos que {cn} es sucesion deMarkov asociada a la familia {Pn} si

(2.30) TPn = cnPn.

Luego T es un operador simetrico en L2(µ) y tiene a la familia {Pn} comodescomposicion espectral.

Una sucesion de numeros reales positivos {λn} es una sucesion gener-adora de Markov si para cada t > 0 la sucesion {e−λnt} es una sucesionde Markov,

(2.31) TtPn = e−λntPn,

Es decir que {λn} es la sucesion de autovalores del generador de un semi-grupo de Markov. 2

En el capıtulo siguiente veremos en detalle que en el caso de estas fa-milias de polinomios ortogonales, es posible dar una caracterizacion de lassucesiones generadoras de Markov {λn}. Observese que este problema estarelacionado pero es distinto al problema de Bochner-Krall.

2Es decir para cada t > 0 existe un operador de Markov Tt tal que TtPn = eλntPn.En este caso la familia {Tt} es un semigrupo de Markov y {λn} son los autovalores de sugenerador infinitesimal L, LPn = λnPn.


Para el caso de los semigrupos de Markov asociados con polinomiosortogonales, el algebra A se puede tormar como el algebra de los polinomios(que en este caso no es estable bajo la composicion con funciones suaves sinosolo con polinomios). Mas aun, el semigrupo de Markov {Pt(x, dy)} puedeen este contexto ser escrito como

(2.32) Pt(x, dy) =∑

n

e−λntPn(x)Pn(y)µ(dy),

suponiendo por supuesto que, para cada t la serie∑

n e−λnt es convergente,lo que asegura la convergencia de (2.32) en L2(µ⊗µ). Esto se puede probartomando f ∈ A, que se puede escribir como

f(x) =∑

n

f(n)Pn(x),

donde f(n) =∫

R f(y)Pn(y) µ(dy); y por tanto

Ttf(x) =∑

n

f(n)TtPn(x) =∑

n

∫R

f(y)Pn(y) µ(dy)e−λntPn(x)

=∫

Rf(y)

∑n

e−λntPn(x)Pn(y) µ(dy).

Ademas, en este caso la medida µ es invariante, ya que de nuevo tomandof ∈ A, por la ortogonalidad de {Pn} y por el hecho que el primer autovalorde L es cero, tenemos∫

RTtf(x) µ(dx) =

∫R

∑n

f(n)e−λntPn(x) µ(dx)

=∑

n

f(n)e−λnt

∫R

Pn(x) µ(dx) = f(0) =∫

Rf(x) µ(dx).

En el siguiente capıtulo vamos a estudiar entonces de manera detalladalos semigrupos de Markov para los polinomios ortogonales clasicos, es decirpara el caso de los polinomios de Hermite, de los polinomos de Laguerre yde los polinomios de Jacobi.

CAPıTULO 3

Semigrupos de Markov de polinomios ortogonalesclasicos.

1. El semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck.

Consideremos el espacio de probabilidades (R,B(R), γ1) siendo

(3.1) γ1(dx) =1√π

e−x2dx,

la medida Gaussiana en R, 1 definida sobre B(R), los Borelianos de RConsideremos los polinomios de Hermite (normalizados) {hn}2 que son

los polinomios ortogonales respecto a γ1,

(3.2)∫

Rhn(x)hm(x)γ1(dx) = δn,m,

Ademas los polinomios de Hermite {hn} son soluciones polinomiales dela ecuacion de Hermite (B.5),

h′′n(x)− 2xh′n(x) + 2nhn(x) = 0,

o equivalentemente, para cada n ∈ N, hn es autofuncion del operador deOrnstein Uhlenbeck (unidimensional) u operador oscilador armonico,

(3.3) L =12

d2

dx2− x

d

dx,

asociada al autovalor λn = −n. Ademas L es una difusion dado que es unoperador diferencial de segundo ordensin termino constante.

Usando la formula de Mehler (B.12), por (2.32) tenemos entonces queen este caso el semigrupo de Markov tiene la forma

Pt(x, dy) =∑

n

e−nthn(x)hn(y)γ1(dy)(3.4)

=1

√π(1− e−2t)1/2

e− e−2t(x2+y2)−2e−txy

1−e−2t e−y2dy

1En Probabilidades lo usual es trabajar con la medida Gaussiana standard, que se

define como γ1(dx) = 1√2π

e−x2/2, sin embargo en el contexto de la Teorıa de Polinomios

Ortogonales es mas usual trabajar con (3.1) y nosotros seguiremos esta notacion. En todocaso las formulas entre un caso y el otro difieren en una constante.

2Observese que estos polinomios difieren de los polinomios normalizados {hn}, con-siderados en el Apendice B, en una constante debido a la normalizacion de la medida.

17

18 3. SEMIGRUPOS DE MARKOV DE POLINOMIOS.

Ası pues el semigrupo de operadores definido sobre las funciones Borel-medibles en R, positivas o acotadas, que denominaremos semigrupo deOrsntein-Uhlenbeck se define como

(3.5) Ttf(x) =1

(1− e−2t)1/2

∫R

e− e−2t(|x|2+|y|2)−2e−t〈x,y〉

1−e−2t f(y)γ1(dy).

Observese que en este caso el operador cuadrado de campo (2.12) es,

Γ(f, g)(x) =12[12

d2fg

dx2(x)− x

dfg

dx(x)− 1

2f(x)

d2g

dx2(x)

+xf(x)dg

dx(x)− 1

2g(x)

d2f

dx2(x) + xg(x)

df

dx(x)]

=12

df

dx(x)

dg

dx(x),

y por tanto

(3.6) Γ(f)(x) = Γ(f, f)(x) =12(df

dx)2(x).

Ademas, el operador cuadrado de campo iterado (2.15) es

(3.7) Γ2(f, g)(x) =14

d2f

dx2(x)

d2g

dx2(x) +

12

df

dx(x)

dg

dx(x).

(Ejercicio)

En el caso de los polinomios de Hermite tenemos que las posibles suce-siones de Markov {ck} estan dadas por la formula

(3.8) ck =∫ 1

−1xk µ(dx),

donde µ es una medida de probabilidad en [−1, 1] y las posibles sucesionesgeneradoras de Markov {λk} estan dadas por la formula

(3.9) λk = θk + ρ

∫ 1

−1

1− xk

1− xµ(dx),

donde θ, ρ son constantes positivas y µ es una medida de probabilidad en[−1, 1]. Para los detalles de la demostracion vease [81] o [13].

Por el argumento de tensorizacion tenemos entonces que el semigrupode Ornstein-Uhlenbeck en Rd, por la formula de Mehler d-dimensional(B.15), esta definido, como

Ttf(x) =1

(1− e−2t)d/2

∫Rd

e− e−2t(|x|2+|y|2)−2e−t〈x,y〉

1−e−2t f(y)γd(dy)

=1

πd/2(1− e−2t)d/2

∫Rd

e− |y−e−tx|2

1−e−2t f(y)dy, t > 0.(3.10)

1. EL SEMIGRUPO DE ORNSTEIN-UHLENBECK. 19

Al nucleo

(3.11) Mt(x, y) =1

πd/2(1− e−2t)d/2e− |y−e−tx|2

1−e−2t ,

lo llamaremos tambien nucleo de Mehler.Observese que

Ttf(x) = (K(1−e−2t)/4 ∗ f)(e−tx) = δe−t [K(1−e−2t)/4 ∗ f ](x)

= δe−tT(1−e−2t)/4f(x),

donde δa es el operador dilatacion por a, definido por

(3.12) δaf(x) = f(ax),

y

(3.13) Kt(x, y) =1

(4πt)d/2e−|x−y|2/4t,

es el nucleo del calor y {Tt}t representa el semigrupo del calor, quetiene como generador infinitesimal el operador Laplaciano, vease ApendiceC.

Luego, el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck es una reparametrizaciondel semigrupo del calor precedida de una dilatacion en la variable y, por lotanto, no es un semigrupo de convolucion, ya que antes de convolucionarcon nucleos Kt, debidamente reparametrizados, se toma una dilatacion pore−t en la variable x. Es por esta dilatacion que ninguno de los metodosutilizados para el estudio de semigrupos clasicos son, en forma inmediata,aplicables para este semigrupo. Sin embargo, F. Weissler [100] que denotaes este semigrupo, como semigrupo de Hermite 3 establece la relacionmas detallada entre ambos semigrupos:

Para 1 ≤ p, q ≤ ∞, t ≥ 0 y cualquier ζ ≥ 0 4

(3.14) Tt = (ζet)d/2π(1/2p−1/2q)d(Ξ(q)d )−1MβδζTζ(1−e−2t)/4e−tMαΞ(p)

d

donde

α =1

1− e−2t− 1

p− e−t

ζ(1− e−2t),

β =1

1− e−2t− 1

q′− ζe−t

1− e−2t,

Ξ(p)d : Lp(γd) → Lp(Rd) es el isomorfismo isometrico definido, para cualquier

1 < p < ∞, como

(3.15) Ξ(p)d f(x) = f(x)π−d/2pe−|x|

2/p,

Mα el operador multiplicacion definido por

Mαf(x) = eα|x|2f(x),

3Denotaremos como semigrupo de Hermite a otro semigrupo, vease pag 32.4En realidad Weissler lo define para z ∈ C tal que Rez ≥ 0 y Re(ζez) ≥ 0.

y finalmente δa es el operador dilatacion, definido en (3.12).Mediante esta relacion Weissler no solo extiende analıticamente al semi-

plano Rez ≥ 0 el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck, dado que el semigrupodel calor lo es, sino que obtiene informacion adicional sobre continuidad, enambos sentidos.

Por otra parte, haciendo el cambio de variable u = y−e−tx√1−e−2t

, tenemos

(3.16) Ttf(x) =1

πd/2

∫Rd

f(√

1− e−2tu + e−tx)e−|u|2du.

Mediante esta ultima expresion se ve que el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck tiene una extension natural en infinitas dimensiones, debido aque la medida de Gauss, a diferencia de la medida de Lebesgue, puede serdefinida en espacios de dimension infinita (vease Meyer [60]).

Por el desarrollo dado en el Capıtulo 1 para semigrupos de Markov,sabemos que {Tt} el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck en Rd es un semi-grupo de difusion conservativo, simetrico, fuertememente Lp-continuo decontracciones positivas en Lp(γd), 1 ≤ p ≤ ∞, con generador infinitesimal eloperador de Ornstein-Uhlenbeck

(3.17) Lf(x) =12

d∑i=1

[∂2f

∂xi(x)− xi

∂f

∂xi(x)] =

12∆f(x)− x · ∇f(x).

Sin embargo, por ser el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck de gran importan-cia y siendo el “modelo” de los semigrupos de Markov asociados a polinomiosortogonales, vamos a dar demostraciones analıticas de cada una de estaspropiedades a partir de la definicion del semigrupo (3.10). Ademas haremostambien una discusion analıtica de otras propiedades de este semigrupo.

Teorema 3.1. La familia de operadores {Tt : t ≥ 0} satisface las sigu-ientes propiedades:

i) Propiedad de semigrupo: Para todo t1, t2 ≥ 0, Tt1+t2 = Tt1 ◦ Tt2 .ii) Propiedad conservativa y de positividad: Tt1 = 1 y si f ≥0 entonces

Ttf ≥ 0 para todo t ≥ 0.iii) Propiedad de contractividad: Para todo t ≥ 0 y 1 ≤ p ≤ ∞,

||Ttf ||p,γd≤ ||f ||p,γd

.

iv) Propiedad de Lp-continuidad fuerte: Para todo 1 ≤ p < ∞ y todof ∈ Lp(γd) la aplicacion t → Ttf es continua de [0,∞) en Lp(γd).

v) Propiedad de simetrıa: para todo t ≥ 0, Tt es un operador autoad-junto en L2(γd), es decir:

(3.18)∫

Rd

Ttf(x)g(x)γd(dx) =∫

Rd

f(x)Ttg(x)γd(dx).


En particular tenemos que la medida gaussiana γd es la medidainvariante para {Tt},

(3.19)∫

Rd

Ttf(x)γd(dx) =∫

Rd

f(x)γd(dx),

vi) Generador infinitesimal: el operador de Ornstein-Uhlenbeck L es elgenerador infinitesimal de {Tt : t ≥ 0}, es decir:

(3.20) limt→0

Ttf − f

t= Lf.

Demostracion

i) Por la densidad de los polinomios en LP (γd) la manera mas sencillade probar la propiedad de semigrupo es mediante la representacion(3.26)

(Tt1 ◦ Tt2)f = Tt1(∞∑

k=0

e−t2kJkf) =∞∑

k=0

e−(t1+t2)kJkf

= Tt1+t2f.

Alternativamente se podrıa probar la propiedad de semigrupo direc-tamente de la representacion (3.10) mediante un cambio de variableadecuado (Ejercicio).5

ii) La primera igualdad, que es la propiedad conservativa, se sigue demanera inmediata por un simple cambio de variable, de la invari-ancia por traslacion de la medida de Lebesgue y del hecho que γd

es una medida de probabilidad:

1πd/2(1− e−2t)d/2

∫Rd

e− |y−e−tx|2

1−e−2t 1dy =1

πd/2

∫Rd

e−|y− e−tx√

1−e−2t|2dy

=1

πd/2

∫Rd

e−|y|2dy = 1.

La positividad es clara ya que el nucleo es positivo.iii) Dado que el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck no es un semigrupo

de convolucion, esta propiedad no se obtiene, como en el caso delsemigrupo el calor o de Poisson clasicos, por la teorıa general deaproximaciones de la identidad. Sin embargo, ella se puede obtenerde manera directa usando la desigualdad de Jensen y la propiedad

5Una prueba analoga a la hecha para el semigrupo del calor, en el Apendice C, usan-dola Transformada de Fourier es posible en este caso. Esto probarıa la propiedad para S(Rd),el espacio de las funciones de prueba de Schwartz, que es denso en Lp(γd), 1 ≤ p ≤ ∞.(Ejercicio)

iv):

|Ttf(x)|p ≤ 1πd/2(1− e−2t)d/2

∫Rd

e− e−2t(|x|2+|y|2)−2e−t〈x,y〉

1−e−2t |f(y)|pe−|y|2dy

≤ Tt(|f |p)(x),

luego por v),

||Ttf ||pp,γd=

1πd/2

∫Rd

|Ttf(x)|pe−|x|2dx

≤ 1πd/2

∫Rd

Tt(|f |p)(x)e−|x|2dx

= ||f ||pp,γd.

Luego, para todo t > 0, Tt es una contraccion en Lp(γd), 1 ≤p < ∞. El caso p = ∞ es inmediato, ya que Tt1 = 1, por ii).

iv) Hay que probar que Ttf → Tt0f en Lp(γd) si t → t0. Por lapropiedad de semigrupo basta probar que Ttf → f en Lp(γd) sit → 0. De nuevo, esto no es consecuencia de la teorıa general deaproximaciones de la identidad como en el caso clasico. Por otraparte, se puede verificar facilmente que Lp(γd) no es cerrado portraslaciones 6 por lo cual no tiene sentido hablar de continuidad enla norma Lp(γd) y por tanto, este tipo de argumento no se puedeusar. La prueba alternativa esta tomada de [63]:

|Ttf(x)− f(x)|

≤ 1πd/2(1− e−2t)d/2

∫Rd

e− e−2t(|x|2+|y|2)−2e−t〈x,y〉

1−e−2t |f(y)− f(x)|e−|y|2dy

=1

πd/2(1− e−2t)d/2

∫|x−y|<δ

e− e−2t(|x|2+|y|2)−2e−t〈x,y〉

1−e−2t |f(y)− f(x)|e−|y|2dy

+1

πd/2(1− e−2t)d/2

∫|x−y|≥δ

e− e−2t(|x|2+|y|2)−2e−t〈x,y〉

1−e−2t |f(y)− f(x)|e−|y|2dy.

Sea f una funcion definida en Rd, continua a soporte compactoy sea ε > 0 y δ > 0 tal que si |x−y| < δ entonces |f(x)−f(y)| < ε.Luego, es claro por iii), que la primera integral es menor que ε. Porotra parte, si y esta en el soporte de f , |x− y| > δ y 0 ≤ 1− e−t <

δ e−t

2 (max{y∈sopf} |y|), entonces

e(− |e−t(x−y)−y(1−e−t)|2

1−e−2t +|y|2) ≤ e(− e−2tδ2

4(1−e−2t)+max{y∈sopf} |y|2)

y por tanto la segunda integral es menor que

2||f ||∞,γd

πd/2(1− e−2t)d/2

∫{y∈sopf}

exp(− e−2tδ2

4(1− e−2t)+ max{y∈sopf}

|y|2)e−|y|2dy,

6Considererese, para n = 1, f(x) = e|x|/2

|x| χB(0,1)(x) y sus traslaciones.

la cual tiende a cero si t → t0. Luego Ttf → f uniformemente en xsi t → 0. El caso general se obtiene por el hecho de la densidad delas funciones continuas a soporte compacto en Lp(γd),1 ≤ p < ∞ ypor iii).

v) Para probar (3.18), usando el Teorema de Fubini, tenemos∫Rd

Ttf(x)g(x)γd(dx)

=1

πd/2(1− e−2t)d/2

∫Rd

(∫

Rd

e(− (|y|2+|x|2)−2e−t〈x,y〉1−e−2t

)f(y)e−|y|2dy)g(x)

1πd/2

e−|x|2dx

=1

πd/2(1− e−2t)d/2

∫Rd

(∫

Rd

e(− (|y|2+|x|2)−2e−t〈x,y〉1−e−2t

)g(x)e−|x|2dx)f(y)

1πd/2

e−|y|2dy

=∫

Rd

f(y)Ttg(y)γd(dy).

La propiedad de simetrıa se obtiene entonces de manera inmediatade (3.18) tomando g ≡ 1 y usando la propiedad conservativa.

vi) Sea f ∈ C2b (Rd), una funcion con dos derivadas continuas, usando

la representacion (3.16), tenemos

(Ttf − f

t)(x)− Lf(x) =

1tπd/2

∫Rd

[f(√

1− e−2ty + e−tx)− f(x)]e−|y|2dy

−12

d∑k=1

∂2f

∂x2k

(x) +d∑

j=1

xj∂f

∂xj(x)

=1

tπd/2

∫Rd

[f(√

1− e−2ty + e−tx)− f(x)− t

2

d∑k=1

∂2f

∂x2k

(x)]e−|y|2dy +

d∑j=1

xj∂f

∂xj(x)

=1

tπd/2

∫Rd

[f(√

1− e−2ty + e−tx)− f(x)− td∑

k=1

∂2f

∂x2k

(x)y2k]e

−|y|2dy +d∑

j=1

xj∂f

∂xj(x)

=1

tπd/2

∫Rd

[f(√

1− e−2ty + e−tx)− f(e−tx)− td∑

k=1

∂2f

∂x2k

(x)y2k]e

−|y|2dy

+(f(e−tx)− f(x)

t+

d∑j=1

xj∂f

∂xj)(x).

Ahora bien, por la expansion de Taylor de orden 2 de f , tenemospara algun θ, con 0 ≤ θ ≤ 1

f(√

1− e−2ty + e−tx)− f(e−tx) =

d∑k=1

√1− e−2tyk

∂f

∂xk(e−tx)+

12

d∑i,j=1

(1−e−2t)yiyj∂2f

∂xi∂xj(θe−tx+(1−θ)

√1− e−2ty).


Luego, por la simetrıa de e−|y|2

tenemos,

(Ttf − f

t)(x)− Lf(x) =

1tπd/2

∫Rd

[d∑

k=1

√1− e−2tyk

∂f

∂xk(e−tx)

+12

d∑i,j=1

(1− e−2t)yiyj∂2f

∂xi∂xj(θe−tx + (1− θ)

√1− e−2ty)

− td∑

k=1

∂2f

∂x2k

(x)y2k]e

−|y|2dy + (f(e−tx)− f(x)

t+

d∑j=1

xj∂f

∂xj(x))

=1

πd/2

∫Rd

d∑k=1

[12(1− e−2t

t)∂2f

∂x2k

(θe−tx + (1− θ)√

1− e−2ty)− ∂2f

∂x2k

(x)]y2ke−|y|2dy

+(f(e−tx)− f(x)

t+

d∑j=1

xj∂f

∂xj(x)).

Por lo tanto,

|(Ttf − f

t)(x)− Lf(x)| ≤

1πd/2

∫Rd

d∑k=1

[12(1− e−2t

t)||∂

2f

∂x2k

(θe−tx + (1− θ)√

1− e−2ty)− ∂2f

∂x2k

(x)|e−|y|2dy

|f(e−tx)− f(x)t

+d∑

j=1

xj∂f

∂xj(x)|,

y usando el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue ten-emos que estos terminos tienden a cero si t → 0.

Como ya hemos visto la medida de Gauss γd es la medida invariantepara el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck {Tt}, es decir

(3.21)∫

Rd

Ttf(x)γd(dx) =∫

Rd

f(x)γd(dx),

o equivalentemente

(3.22)∫

Rd

Lf(x)g(x)γd(dx) =∫

Rd

f(x)Lg(x)γd(dx);

ası pues L es el “Laplaciano simetrico” en este contexto. Por tanto γd es lamedida natural para estudiar los operadores asociados a L.

Por otra parte, dado f ∈ L2(γd) definimos, su desarrollo de Hermitecomo

(3.23) f =∞∑

k=0

∑|ν|=k

〈f,~hν〉γd~hν ,

donde

〈f,~hν〉γd=∫

Rd

f(y)~hν(y)γd(dy),

son los coeficientes de Fourier-Hermite.Ahora bien, denotaremos por Ck al subespacio cerrado de L2(γd) gener-

ado por {~hν : |ν| = k}. Ck es un subespacio de dimnesion(k+n−1

k

). Entonces,

por la ortogonalidad de los polinomios de Hermite, tenemos que {Ck} con-stituyen una descomposicion ortogonal de L2(γd) que se llama desarrollo enCaos de Wiener o descomposicion de Ito-Wiener de L2(γd). Dichadescomposicion tiene una interpretacion probabilıstica muy interesante enterminos de integrales estocasticas.

Considerando Jk : L2(γd) → Ck la proyeccion ortogonal de L2(γd) sobreCk, que, para cada k, es continua y autoadjunta en L2(γd), podemos expresarel desarrollo de f ∈ L2(γd) como

f =∞∑

k=0

Jkf.

Ademas, mas adelante probaremos, como consecuencia de la hipercontrac-tividad del semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck, que Jk tiene una extension(restriccion) que es continua en Lp(γd) para 1 < p < ∞.

Sabemos que el polinomio ~hν es una autofuncion de dicho operador,asociado al autovalor λν = −|ν| = −

∑di=1 νi, y por tanto el espectro L2 de

L es {· · · ,−2,−1, 0}. Este coincide con el Lp-espectro para 1 < p < ∞. 7

Por otra parte, si consideramos el dominio de L,

D(L) = {f ∈ L2(γd) :∞∑

k=0

k2||Jkf ||22,γd< ∞},

tenemos que la descomposicion espectral de L,

Lf =∞∑

k=0

(−k)Jkf,

para f ∈ D(L).Observese, ademas, que entonces el operador cuadrado de campo en Rd

es

(3.24) Γ(f, g) =12

d∑i=1

∂f

∂xi(x)

∂g

∂xi(x) =

12∇f(x) · ∇g(x),

7El L1-espectro de L es el semiplano izquierdo cerrado (vease Davies [26]).

y por tanto la forma de Dirichlet (2.27), en este caso es

(3.25) Eµ(f)(x) =∫

Rd

Γ(f)(x) γd(dx) =12

∫Rd

|∇f(x)|2 γd(dx),

cosa que por cierto, se puede probar directamente utilizando integracion porpartes.

Esta relacion dice que N = 2(−L) = −∆ + 2〈x,∇〉, conocido como elOperador de Numero para el Oscilador Armonico de la Mecanica Cuantica,es la forma de Dirichlet asociada a la medida Gaussiana γd.

8

Dado que

Tt~hν = e−t|α|~hν ,

tenemos entonces la representiacion de Tt actuando en una funcion f ∈L1(γd)

(3.26) Ttf =∞∑

k=0

e−tkJkf.

Observese que (3.26) es equivalente a la sumabilidad Abel del desarrollode Hermite de f , con r = e−t. B. Muckenhoupt [63] y C. Calderon [22]definieron, ambos en 1969, lo que llamaron la integral de Poisson-Hermitede esta forma, para el caso n = 1 y n ≥ 1 respectivamente. En esa direcciontenemos el siguiente resultado

Proposicion 3.1. (C. Calderon- B. Mukenhoupt)

i) Si f tiene un desarrollo de Hermite f =∑∞

k=0 Jkf, entonces paratodo t ≥ 0, Ttf tiene desarrollo de Hermite

Ttf(x) =∞∑

k=0

e−tkJkf(x).

ii) Si f ∈ L2(γd) entonces∑∞

k=0 e−tkJkf(x) converge absolutamente aTtf(x) para casi todo x-γd.

iii) Para todo 1 ≤ p < 2 existe una funcion en Lp(γd) y t ≥ 0 tal que∑∞k=0 e−tkJkf(x) diverge para todo x.

Demostracion

i) Para x ∈ Rd fijo se tiene (vease Szego [90], pag 198) que

| ~Hν(x)| ≤ Cν,xν!

8En general, un operador H se dice que es la forma de Dirichlet para una medidaµ si verifica 〈Hf, g〉µ =

RRd ∇f(x) · ∇g(x)µ(dx), vease Gross [40].


donde Cν,x depende de ν por medio de producto de funcionesGamma evaluadas en νi y por tanto, por la desigualdad de Cauchy-Schwartz y la formula de Stirling, obtenemos∫

Rd

e−tν

2βν!| ~Hν(y) ~Hη(y) ~Hν(x)|γd(dy) ≤ e−tν

2νν!(2νν!)1/2(2ηη!)1/2| ~Hν(x)|

≤ e−tν

(2νν!)1/2|| ~Hη||2,γd

Cν,xν!

≤ Cν,xe−tν || ~Hη||2,γd.

Usando esto y el teorema de convergencia dominada de Lebesgue,se tiene

1(1− e−2t)d/2

|∫

Rd

e− e−2t(|x|2+|y|2)−2e−t〈x,y〉

1−e−2t ~Hη(y)γd(dy)|

≤∫

Rd

|∑

ν

e−tν

2νν!~Hν(x) ~Hν(y)etν || ~Hη(y)|γd(dy)

≤∑

ν

∫Rd

e−tν

2νν!| ~Hν(y) ~Hη(y) ~Hν(x)|γd(dy)

≤ C∑

ν

e−tν || ~Hη||2,γd= C|| ~Hη||2,γd

.

Utilizando ahora la formula de Mehler d-dimensional podemos in-tencambiar entonces la serie con la integral y usar la ortogonalidad

1(1− e−2t)d/2

|∫

Rd

e− e−2t(|x|2+|y|2)−2e−t〈x,y〉

1−e−2t ~Hη(y)γd(dy)|

=∫

Rd

(∑

ν

~Hν(x) ~Hν(y)2νν!

e−tν) ~Hη(y)γd(dy)

=∑

ν

e−tν

2νν!

∫Rd

~Hν(y) ~Hη(y)γd(dy) ~Hν(x)

= e−tη ~Hη(x).

Ası pues, tenemos finalmente∫Rd

Ttf(x)~hη(x)γd(dx) =1√2ηη!

∫Rd

∫Rd

Me−t(x, y)f(y)γd(dy) ~Hη(x)γd(dx)

=1√2ηη!

∫Rd

∫Rd

Me−t(x, y) ~Hη(x)γd(dx)f(y)γd(dy)

=1√2ηη!

∫Rd

e−tηf(y) ~Hη(y)γd(dy)

= e−tη

∫Rd

f(y)~hη(y)γd(dy)

= e−tη〈f,~hη〉γd.

ii) Observese que para cada ν multi-ındice, |ν| > 0, tenemos

〈f,~hν〉γd~hν(x)| ≤ 1√

2νν!Cν,xα!||f ||2,γd

≤ Cν ||f ||2,γd.

Luego la sucesion {〈f,~hν〉γd~hν(x)} es acotada para cada x y por

tanto por el Teorema M de Weierstrass, la serie∑∞

k=0 e−tkJkf(x)converge absolutamente para cada x. Dado que L2(γd) ⊂ L1(γd)entonces por i) Ttf(x) tiene expansion

∑∞k=0 e−tkJkf(x), luego este

debe ser el lımite c.s.iii) Dado el caracter multiplicativo de la medida de Gauss γd, basta

verlo para el caso d = 1.Usando el contraejemplo de Pollard [76],podemos hallar, para 1 < p < 2 una funcion, definida en Lp(γ1) ytal que lim supk→∞(〈f,~hk〉γd

|Hk(x)|pe−x2dx)1/n es un numero fijo,

mayor que 1, para cada x. Luego para r suficientemente cerca de1, el desarrollo en serie de Ttf diverge para cada x.

La funcion maximal del semigrupo, se define como,

(3.27) T ∗f(x) = supt>0

|Ttf(x)| .

Por argumentos generales para una clase muy amplia de semigrupos, veaseE. Stein [86], pag 73, se puede probar que T ∗ es Lp(γd) continuo para1 < p ≤ ∞. Ademas T ∗ satisface la desigualdad debil (1, 1) con respecto ala medida γd,

9 vease [83]. En consecuencia,

(3.28) T0f(x) = limt→0+

Ttf(x) = f(x) c.s. x ∈ Rd,

y

(3.29) limt→∞

Ttf(x) =∫

Rd

f(y) dγd(y) c.s. x ∈ Rd,

para todo f ∈ L1(Rd, γd), y por tanto para todo f ∈ Lp(Rd, γd), 1 ≤ p ≤ ∞,ya que Lq(Rd, γd) ⊂ Lp(Rd, γd) para p ≤ q.

Es decir, a diferencia del caso clasico del semigrupo del calor, el semi-grupo de Ornstein-Uhlenbeck no decae en infinito. Esta propiedad expresala ergodicidad del semigrupo.

Por otra parte, tenemos

9Tambien se puede obtener la siguiente desigualdad puntual, [41]:

T ∗f(x) ≤ CdMγdf(x) + (2 ∨ |x|)de|x|2||f ||1,γd ,

donde Mγdf es la funcion maximal de Hardy-Littlewood, respecto a la medida γd quesi bien solo da la desigualdad debil en el caso d = 1; sin embargo permite obtener losresultados lımites, no solo radiales sino tambien tangenciales, vease piu

Proposicion 3.2. Si f ∈ Lp(γd) u(x, t) = Ttf(x) es una funcionC∞(Rd × R+) y es solucion de la ecuacion parabolica

(3.30)∂u

∂t(x, t) = Lu, (x, t) ∈ Rd × R+,

con condicion de frontera u(x, 0) = f(x), x ∈ Rd.

DemostracionPor la teorıa general de semigrupos, dado que L es el generador infinitesimalde {Tt : t ≥ 0}, se tiene que

∂u(x, t)∂t

=∂Ttf(x)

∂t= LTtf(x) = Lu(x, t).

Esto tambien se puede probar haciendo los calculos directamente:

Lu(x, t) =2e−t

πd/2(1− e−2t)d/2+1

∫Rd

[de−t

2+

e−t|y − e−tx|2

1− e−2t− (y − e−tx) · x]

× exp(−|y − e−tx|2

1− e−2t)f(y)dy

=∂u(x, t)

∂t.

La condicion de frontera se verifica por (3.28).

Observaciones

i) Siguiendo los argumentos de S. Bochner [20], se puede introducirformalmente el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck como solucionde la ecuacion (3.30), de la siguiente manera. Sea f ∈ L2(γd), condesarrollo de Hermite ∑

|ν|≥0

aν~Hν ,

y por tanto,∑

|ν|≥0(aν)2 < ∞. Entonces, formalmente, Lf tienedesarrollo

−∑|ν|≥0

|ν|aν~Hν ,

si∑

|ν|≥0 |ν|2(aν)2 < ∞.

Sea ahora u(x, t) una solucion de (3.30), con desarrollo de Hermite∑|ν|≥0

aν(t) ~Hν ,

y por tanto,∑

|ν|≥0(aν(t))2 < ∞, entonces Lu y ∂u∂t tienen desar-

rollos de Hermite

−∑|ν|≥0

|ν|aν(t) ~Hν ,

y ∑|ν|≥0

a′ν(t) ~Hν ,

respectivamente, y supongamos que∑

|ν|≥0 |ν|2(aν(t))2 < ∞ y∑|ν|≥0(a

′ν(t))

2 < ∞.Finalmente, por la unicidad del desarrollo de Hermite, con-

cluimos que−|ν|aν(t) = a′ν(t),

lo que es equivalente a

aν(t) = aνe−|ν|t.

Ası pues, obtenemos el desarrollo (3.1) de la Proposicion 3.1, porlo que se concluye, de nuevo por unicidad, que necesariamenteu(x, t) = Ttf(x).

ii) Por otra parte, como senala S. Perez [72], otra forma de ver queu(x, t) = Ttf(x) es solucion de (3.30) es buscando una dilatacionapropiada que mediante la transformada de Fourier nos proporcioneu como solucion de una ecuacion diferencial de sencilla resolucion.Sea w(x, t) = u(etx, t), se tiene entonces

wt(x, t) = et〈x,∇xu(etx, t)〉+ ut(etx, t),

y

∇xw(x, t) = et∇xu(etx, t),∆w(x, t) = e2t∆u(etx, t).

De este modo w satisface la ecuacion del calor

wt(x, t) =12e−2t∆w(x, t).

Aplicando entonces la Transformada de Fourier en la variable xobtenemos que w cumple la ecuacion diferencial ordinaria

w′(ξ, t) = −2π2e−2t|y|2w(ξ, t),

de lo que se obtiene que

w(ξ, t) = e−π2(1−e−2t)|y|2 f(ξ)

y tomando Transformada de Fourier inversa concluimos que

w(x, t) = Cd

∫Rd

e− |y−e−tx|2

1−e−2t

(1− e−2t)d/2f(y)dy.

iii) De manera analoga a que el movimiento Browniano esta asociado alsemigrupo del calor, el proceso de Ornstein-Uhlenbeck {Xt}t≥0

esta asociado a {Tt}t≥0. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es unproceso gausssiano estacionario con covariancia γ(s, t) = re−a|t−s|,donde X0 es una variable aleatoria gaussiana N(0, r). Este procesodescribe el movimiento de una partıcula en un medio viscoso, dondehay una fuerza de resistencia a su desplazamiento proporcional asu velocidad (vease Breiman [18], Cap 6). Sabemos que el procesose puede obtener del semigrupo utilizando (2.3) y, de acuerdo a(2.6) el semigrupo se puede representar en trminos del proceso,para funciones f ∈ L2L∞(γd), como

(3.31) Ttf(x) = E[f(Xt)|X0 = x].

A partir de esta representacion se pueden dar pruebas probabilis-ticas de las propiedades del semigrupo. Ademas (3.29) expresa laestacionariedad y ergodicidad del proceso.

Ademas, se pueden considerar semigrupos trasladados de Ornstein-Uhlenbeck, {T (κ)

t }t≥0, para κ ≥ 0, que son, en efecto, “ trasladados” delsemigrupo de Ornstein-Uhlenbeck {Tt}t≥0, en el sentido que, se definen como

(3.32) T(κ)t = e−κtTt.

Observese que, por tanto,

T(κ)t

~hν = e−t(|ν|+κ)~hν .

Ademas, su generador infinitesimal es L−κ (Ejercicio) y si f ≥ 0, es claroque

T(κ)t f ≤ Ttf,

para todo t ≥ 0.Estos semigrupos y sus subordinados son de utilidad para el estudio de

las funciones de Littlewood-Paley-Stein.

Finalmente, como ya hemos mencionado, por el hecho que los desarrollosde polinomios de Hermite, en dimension uno, solo convergen en norma parael caso p = 2 y en cambio los desarrollos en funciones de Hermite convergenen norma p para 4

3 1

Ψn(x) = (−1)nex22

dn

dxn(e−x2

).

Es claro entonces que Ψn(x) = Hn(x)e−x2

2 y por tanto {Ψn} es un sistema ortogonal en

L2(R). Ademas, las funciones de Hermite en d variables de ~Ψν se definen como elproducto tensorial de funciones de Hermite unidimensionales.


Rd, que son autofunciones del operador de Hermite

H = −∆ + |x|2,asociadas al autovalor λν = −(2|ν|+ d).

Tenemos entonces asociado el semigrupo de Hermite , {e−tH} definidoen Lp(Rd). Sin embargo, dicho desarrollo conduce a nociones del AnalisisArmonico clasico respecto a la medida de Lebesgue que se sale del ambitode consideracion del presente trabajo.

1.1. Semigrupo de Poisson-Hermite. Estudiaremos ahora el semi-grupo subordinado al semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck. Recordemos queen el caso clasico el semigrupo de Poisson se obtiene por subordinacion delsemigrupo del calor (vease el Apendice C) y dado que en el caso Gaussiano elsemigrupo de Ornstein- Uhlenbeck hace “las veces” del semigrupo del calor,entonces resulta natural definir el semigrupo de Poisson-Hermite comoel semigrupo subordinado del semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck . Es decir,mediante la formula de subordinacion de Bochner, vease E. Stein [85],

(3.33) e−λ =1√π

∫ ∞

0

e−u

√u

e−λ2/4udu,

definimos entonces

Ptf(x) =1√π

∫ ∞

0

e−u

√u

Tt2/4uf(x)du

=1

π(n+1)/2

∫Rd

∫ ∞

0

e−u

√u

exp(−|y−e−t2/4ux|2

1−e−t2/2u)

(1− e−t2/2u)d/2duf(y)dy

=1

2π(n+1)/2

∫Rd

∫ 1

0texp(t2/4 log r)

(− log r)3/2

exp(−|y−rx|21−r2 )

(1− r2)d/2

dr

rf(y)dy,(3.34)

tomando r = e−t2/4u. Escribimos

(3.35) Ptf(x) =∫

Rd

P (t, x, y)f(y)dy,

con

P (t, x, y) =1

2π(n+1)/2

∫ 1

0texp(t2/4 log r)

(− log r)3/2

exp(−|y−rx|21−r2 )

(1− r2)d/2

dr

r

=∫ 1

0T (t, r)M(− log r)(x, y)dr(3.36)

donde Mt(x, y) es el nucleo de Mehler considerado en (3.11) y

T (t, r) =1

2π1/2

t exp(t2/4logr)(−logr)3/2

1r.

Luego, tenemos que Pt se puede representar tambien como

(3.37) Ptf(x) =∫ 1

0T (t, r)T(− log r)f(x)dr.

Vale la pena notar que la definicion que hemos dado del semigrupo dePoisson- Hermite difiere en una constante de la definida por Muckenhoupt[63] para d = 1, dado que en ese caso

T (t, r) =1

(2π)1/2

t exp(t2/2logr)r(−logr)3/2

,

lo que implica relaciones esencialmente analogas pero con diferentes con-stantes.

La subordinacion del semigrupo de Poisson-Hermite se puede expresar,en forma alternativa, de la siguiente manera. Sea µ

1/2t la medida de Borel

en [0,∞) tal que su transformada de Laplace verifica∫ ∞

0e−λsµ

1/2t (ds) = e−λ1/2t.

Es facil ver que las medidas {µ1/2t } forman un semigrupo bajo la op-

eracion de convolucion de medidas [32]. Ademas, mediante la formula desubordinacion de Bochner (3.33) (tomando λ = t

√α y el cambio de variable

s = t2

4u ), se puede hallar la expresion explıcita de la medida µ1/2t :

µ1/2t (du) =

t

2√

πe−t2/4uu−3/2du.

Entonces {Pt} se puede definir, en forma totalmente analoga, como

(3.38) Ptf(x) =∫ ∞

0Tsf(x)µ1/2

t (ds).

El semigrupo de Poisson-Hermite {Pt} es un semigrupo conservativo,simetrico, fuertemente continuo de contracciones positivas en Lp(γd),1 ≤p < ∞, cuyo generador infinitesimal es (−L)1/2. Mas precisamente

Teorema 3.2. La familia de operadores {Pt : t ≥ 0} satisface las sigu-ientes propiedades:

i) Propiedad de semigrupo: Para todo t1, t2 ≥ 0, Pt1+t2 = Pt1 ◦ Pt2 .ii) Propiedad de conservacion y positividad: Pt1 = 1 y si f ≥0 en-

tonces para todo t ≥ 0, Ptf ≥ 0.iii) Propiedad de contractividad: Para todo t ≥ 0 y 1 ≤ p ≤ ∞,

||Ptf ||p,γd≤ ||f ||p,γd

.

iv) Propiedad de Lp-continuidad fuerte: Para todo 1 ≤ p < ∞ y todof ∈ Lp(γd) la aplicacion t → Ptf es continua de [0,∞) en Lp(γd).

v) Para todo t ≥ 0, Pt es un operador autoadjunto en L2(γd), es decir:∫Rd

Ptf(x)g(x)γd(dx) =∫

Rd

f(x)Ptg(x)γd(dx).

vi) Generador infinitesimal: (−L)1/2 es el generador infinitesimal de{Pt : t ≥ 0}, es decir:


(3.39) limt→0

Ptf − f

t= (−L)1/2f.

DemostracionEstos resultados son immediatos de los obtenidos en el Teorema 3.1 para{Tt : t ≥ 0} debido a la formula de subordinacion.

Observese que debido a que el semigrupo de Poisson-Hermite es el sub-ordinado del semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck entonces, del hecho que(−L)1/2 es el generador infinitesimal , tenemos que Pt puede ser definidoen sentido espectral como e−t(−L)1/2

y, por tanto, es claro que

(3.40) Pt~hν = e−t

√|α|~hν ,

por tanto, tenemos

Proposicion 3.3. (B. Muckenhoupt)

i) Si f tiene un desarrollo de Hermite f =∑∞

k=0 Jkf, entonces paratodo t ≥ 0, Ptf tiene desarrollo de Hermite

(3.41) Ptf =∞∑

k=0

e−t√

kJkf.

ii) Si f ∈ L2(γd) entonces∑∞

k=0 e−t√

kJkf(x) converge absolutamentea Ptf(x) casi siempre x.

Demostracion

i) Tenemos, por analogos argumentos a los dados en la Proposicion3.1, y la formula de subordinacion (3.33)∫

Rd

Ptf(x)~hν(x)γd(dx) =∫

Rd

(∫ 1

0T (t, r)T(− log r)f(x)dr)~hν(x)γd(dx)

=∫ 1

0

∫Rd

T(− log r)f(x)~hν(x)γd(dx)T (t, r)dr

= 〈f,~hν〉γd

∫ 1

0rνT (t, r)dr

= e−t√

ν〈f,~hν〉γd.

ii) De nuevo, como la sucesion {〈f,~hν〉γd~hν(x)} es acotada para cada

x, por el Teorema M de Weierstrass la serie∑∞

k=0 e−t√

kJkf(x)converge absolutamente para cada x. Dado que L2(γd) ⊂ L1(γd)entonces por i) Ptf(x) tiene expansion

∑∞k=0 e−t

√kJkf(x), luego

este debe ser el lımite c.s .


B. Muckenhoupt obtuvo este resultado para el caso d = 1, vease [63].El operador maximal del semigrupo

(3.42) P ∗f(x) = supt>0

|Ptf(x)|

satisface la desigualdad debil (1, 1) con respecto a la medida γd, cosa quese deduce de manera inmediata del hecho de ser el semigrupo de Poisson-Hermite un semigrupo subordinado, vease [43].

En consecuencia,

(3.43) P0f(x) = limt→0+

Ptf(x) = f(x) c.s. x ∈ Rd,

y

(3.44) limt→∞

Ptf(x) =∫

Rd

f(y) dγd(y) c.s. x ∈ Rd,

para todo f ∈ Lp(Rd, γd), 1 ≤ p ≤ ∞.Es decir, de nuevo, a diferencia del caso clasico del semigrupo del calor,

el semigrupo de Poisson-Hermite no decae en infinito.Por otra parte, tenemos

Proposicion 3.4. Si f ∈ Lp(γd) u(x, t) = Ptf(x) es una funcionC∞(R+ × Rd) y es solucion de la ecuacion elıptica

(3.45)∂2u

∂t2(x, t) + Lu = 0, (x, t) ∈ Rd × R+,


Es decir, u(x, t) = Ptf(x) satisface la ecuacion:

(3.46) 2∂2u

∂t2(x, t) + ∆xu(x, t)− 2x · 5xu(x, t) = 0,

diremos entonces que u es ∂2

∂t2+ L-armonica.

DemostracionPor la teorıa general de semigrupos, dado que (−L)1/2 es el generador infin-itesimal de {Pt : t ≥ 0}, se tiene que

∂2u

∂t2(x, t) =

∂

∂t[∂Ptf(x)

∂t]

=∂

∂t[(−L)1/2Ptf(x)] = (−L)1/2[

∂

∂tPtf(x)]

= (−L)1/2[(−L)1/2Ptf(x)]= −Lu(x, t).

De forma alternativa, suponiendo en primer lugar que f ∈ L2(γd), como lasucesion {〈f,~hν〉γd

~hν(x)} es acotada para cada x, sabemos que

Ptf(x) =∞∑

k=0

e−t√

kJkf(x) =∞∑

k=0

e−t√

k∑|α|=k

fH(α)~hα(x)

converge absolutamente para cada x y por tanto podemos derivar terminoa termino. Ahora bien como los polinomios de Hermite son autofuncionesde L tenemos

∂2Ptf

∂t2(x) + LPtf(x) =

∞∑k=0

e−t√

k

(2kk!)1/2

∑|α|=k

fH(α)[k ~Hα(x)− k ~Hα(x)] = 0.

Esto implica que el nucleo P (t, x, y) verifica tambien la ecuacion y, por tanto,para cualquier f en general. La diferenciacion bajo el signo de integral estanjustificadas mostrando que las derivadas del nucleo estan acotadas en y parat y x en un entorno de (t0, x0) y esto es facil de verificar estimando lasderivadas de T (t, r)M(− log r)(x, y) e integrando respecto a r.

La condicion de frontera se verifica por (3.43).

Ası pues u(x, t) = Ptf(x), a la que llamaremos tambien Integral dePoisson-Hermite, se puede pensar como la extension ∂2

∂t2+ L-armonica

de una funcion f en Rd al semiplano R(n+1)+ . Como en el caso clasico, de

las funciones armonicas del disco o del semiplano Rd+1+ , se puede plantear

tambien en este contexto el problema de la caracterizacion de funciones∂2

∂t2+ L-armonicas en el semiplano R(d+1)

+ , que son integrales de Poisson-Hermite de funciones en Rd. El resultado es esencialmente analogo al casoclasico, vease [33].

El caso del semigrupo de Poisson-Hermite puede ser generalizado a unafamilia de semigrupos obtenidos del semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck, poruna formula generalizada de subordinacion. Sea µδ

t la medida de Borelen [0,∞) tal que su transformada de Laplace verifica,

(3.47)∫ ∞

0e−λsµδ

t (ds) = e−λδt,

con 0 < δ < 1.Las medidas µδ

t son medidas de probabilidad, que se llaman medidasestables en [0,∞) (unilaterales) de orden δ y forman un semigrupo, indici-ado en δ, bajo la operacion de convolucion de medidas, vease [32]. Definimosentonces el semigrupo de Poisson-Hermite generalizado de orden δ,{Qδ

t} mediante la formula

(3.48) P δt f(x) =

∫ ∞

0Tsf(x)µδ

t (ds).

Analogamente al caso δ = 1/2, se puede probar que, en general, {P δt }t es

un semigrupo conservativo, simetrico, fuertemente continuo de contraccionespositivas en Lp(γd),1 ≤ p < ∞, cuyo generador infinitesimal es (−L)δ. Setiene

(3.49) P δt~hν = e−t|ν|δ~hν ,

por tanto, si f =∑∞

k=0 Jkf entonces P δt f =

∑∞k=0 e−tkδ

Jkf.

2. SEMIGRUPO DE LAGUERRE. 37

Finalmente, asociados a la familia de semigrupos trasladados {T (k)t }

definidos en (3.32), tenemos asociados sus semigrupos subordinados {P (k)t },

definidos mediante la formula de subordinacion de Bochner, que llamaremosSemigrupos de Poisson-Hermite trasladados. Por lo tanto

P(k)t

~hν = e−t√|ν|+k~hν ,

ademas, si f ≥ 0, es claro que P(k)t f ≤ Ptf para todo t ≥ 0.

2. Semigrupo de Laguerre.

Consideremos el espacio de probabilidades (R+,B(R+), µα) siendo R+ =(0,∞) y

(3.50) µα(dx) =1

Γ(α + 1)χ(0,∞)(x) xαe−xdx,

la medida gamma en R+, definida sobre B(0,∞), los Borelianos de (0,∞).11

Consideremos los polinomios de Laguerre (normalizados) {lαn} 12 que sonlos polinomios ortogonales respecto a µα, ,∫

(0,∞)lαn(x)lαm(x)µα(dx) = δn,m.

Los polinomios de Laguerre {lαn} son soluciones polinomiales de la ecuacionde Laguerre,

x(lαn(x))′′ + (α + 1− x)(lαn(x))′ + nlαn(x) = 0,

o equivalentemente, para cada n ∈ N, lαn es autofuncion del operador deLaguerre (unidimensional)

Lα = xd2

dx2+ (α + 1− x)

d

dx,

asociada al autovalor λn = −n. Ademas Lα es una difusion dado que es unoperador diferencial de segundo orden con termino constante cero.

Usando la formula de Hille-Hardy (B.26), tenemos entonces que el semi-grupo de Markov en este caso tiene la forma

Pt(x, dy) =∑

n

e−nt lαn(x)lαn(y)µα(dy)

=C

1− e−te− (x+y)e−t

1−e−t (−xye−t)−α/2Jα(2√−xye−t

1− e−t)

1Γ(α + 1)

yαe−ydy.

11Consideramos µα normalizada adecuadamente de forma que sea una probabilidadsobre R+, esta normalizacion no es usual en la Teorıa de Polinomios Ortogonales.

12Observese que estos polinomios difieren de los polinomios normalizados {lαn}, con-siderados en el Apendice B, en una constante debido a la normalizacion de la medida.


El semigrupo de operadores definido sobre las funciones Borel-mediblesen (0,∞), positivas o acotadas, que denominaremos semigrupo de La-guerre se define entonces como(3.51)

Tαt f(x) =

C

1− e−t

∫ ∞

0e− (x+y)e−t

1−e−t (−xye−t)−α/2Jα(2√−xye−t

1− e−t)f(y)µα(dy).


Γα(f, g)(x) =12[x

d2(fg)dx2

(x) + (α + 1− x)d(fg)dx

(x)− xf(x)d2g

dx2(x)

−(α + 1− x)f(x)dg

dx(x)− xg(x)

d2f

dx2(x)− (α + 1− x)g(x)

df

dx(x)]

= xdf

dx(x)

dg

dx(x),

y por tanto

(3.52) Γα(f)(x) = Γα(f, f)(x) = x(df

dx(x))2.

Ademas, el operador cuadrado de campo iterado (2.15) es(3.53)

Γα2 (f, g)(x) =

12[x

d2f

dx2(x)

dg

dx(x)+x

df

dx(x)

d2g

dx2(x)+2x2 d2f

dx2(x)

d2g

dx2(x)+(α+1+x)

df

dx(x)

dg

dx(x)].

(Ejercicio)En el caso de los polinomios de Laguerre tenemos que las posibles suce-

siones de Markov {ck} estan dadas por la formula

(3.54) ck =∫ 1

0xk µ(dx),

donde µ es una medida de probabilidad en [0, 1] y las posibles sucesionesgeneradoras de Markov {λk} estan dadas por la formula

(3.55) λk = θk + ρ

∫ 1

0

1− xk

1− xµ(dx),

donde θ, ρ son constantes positivas y µ es una medida de probabilidad en[0, 1). Para los detalles de la demostracion vease [13].

De nuevo, por el argumento de tensorizacion y usando la formula deHille-Hardy d-dimensional13, tenemos que para α = (α1, α2, · · · , αd), αi >−1 el semigrupo de Laguerre {Tα}t≥0 en Rd

+ = (0,∞)d esta definido como,

(3.56) Tαt f(x) =

∫Rd

+

Gαt (x, y)f(y) µd

α(dy),

13Vease Apendice B.

2. SEMIGRUPO DE LAGUERRE. 39

donde

Gαt (x, y) =

d∏i=1

C

1− e−texp

(− e−t

1− e−t(xi + yi)

)(e−txiyi) −αi/2Jαi

(2√−e−txiyi

1− e−t

),

y

(3.57) µdα(dx) =

d∏i=1

χ(0,∞)(xi)xαi

i e−xi

Γ(αi + 1)dx,

es la medida gamma en Rd+, que por tanto es la medida invariante para este

semigrupo.El nucleo Gα

t (x, y) es suave y estrictamente positivo para (t, x, y) ∈R2n+1

+ . Usando las estimaciones de B. Muckenhoupt [63] para Jν es facilprobar que la integral en (3.56) es absolutamente convergente.

De nuevo, por el desarrollo dado en el Capıtulo 1 para semigrupos deMarkov, tenemos que el semigrupo de Laguerre {Tα

t } es un semigrupo dedifusion, conservativo, simetrico, fuertemente Lp continuo de contraccionespositivas en Lp(µd

α), con generador infinitesimal el operador diferencialde Laguerre en Rd

+.

(3.58) Lα =d∑

i=1

[xi

∂2

∂x2i

+ (αi + 1− xi)∂

∂xi

],

que por tanto es simetrico en L2(Rn+, µd

α).En particular, tenemos que Tα

t 1 = 1 y

‖Tαt f‖p,µd

α≤ ‖f‖p,µd

α, 1 ≤ p ≤ ∞.

La funcion maximal del semigrupo, se define como

(3.59) Tα,∗f(x) = supt>0

|Tαt f(x)|

Por argumentos generales para una clase muy amplia de semigrupos, veaseE. Stein [86], pag 73, se puede probar que Tα,∗ es Lp(µd

α) continuo para1 < p ≤ ∞. Ademas Tα,∗ satisface la desigualdad debil (1, 1) con respectoa la medida µd

α, vease [27].En consecuencia,

(3.60) Tα0 f(x) = lim

t→0+Tα

t f(x) = f(x) c.s. x ∈ Rd+,

y

(3.61) limt→∞

Tαt f(x) =

∫Rd

+

f(y) µdα(dy) c.s. x ∈ Rd

+,

para todo f ∈ L1(Rd+, µd

α), y por tanto para todo f ∈ Lp(Rd+, µd

α), 1 ≤ p ≤∞, ya que Lq(Rd

+, µdα) ⊂ Lp(Rd

+, µdα) para p ≤ q. Desde el punto de vista

probabilıstico la propiedad de Tαt f cuando t → ∞ reflejan la ergodicidad

del semigrupo de Laguerre.


Mas aun, si f ∈ Lp(Rd+, µd

α), 1 ≤ p ≤ ∞, entonces u(x, t) = Tαt f(x) es

C∞(Rd+ × R+) y satisface la ecuacion parabolica,

(3.62)∂u

∂t(x, t) = Lαu(x, t),

con condicion de frontera u(x, 0) = f(x), x ∈ Rd+. Observese que en este

caso la condicion de frontera esta incompleta ya que falta el dato de fronterau(0, t), t ≥ 0.

Observese, ademas, que entonces el operador cuadrado de campo en Rd

es

(3.63) Γα(f, g) =d∑

i=1

xi∂f

∂xi(x)

∂g

∂xi(x),

y por tanto la forma de Dirichlet (2.27), en este caso es

(3.64) Eµ(f)(x) =∫

Rd+

Γα(f)(x)µdα(dx) =

∫Rd

+

[d∑

i=1

xi|∂f

∂xi(x)|2]µd

α(dx).

Cada polinomio de Laguerre ~lαν es una autofuncion de Lα con autovalor|ν|. Mas aun, {~lαν : ν ∈ Nd} es una base ortonornal de L2(Rn

+, µα), por tantotenemos una descomposicion ortogonal

L2(Rd+, µd

α) =∞⊕

k=0

Cαk ,

donde Cαk es el subespacio cerrado generado por {~lαν : |ν| = k}. Cα

k es unsubespacio de dimension

(k+n−1

k

). Esta descomposicion se llama descom-

posicion de Wiener-Laguerre. Por tanto, dado f ∈ L2(Rd+, dµα), con

desarrollo

f =∑ν∈Nd

〈f,~lαν 〉µα~lαν ,

donde los coeficientes de Fourier-Laguerre estan dados por

〈f,~lαν 〉µα =∫

Rn+

f(y)~lαν (y)µdα(dy),

considerando Jαk : L2(Rd

+, µdα) → Cα

k la proyeccion ortogonal de L2(Rd+, µd

α)sobre Cα

k , que claramente es, para cada k, continua y autoadjunta en L2(Rd+, µd

α),podemos expresar entonces el desarrollo de f ∈ L2(Rd

+, µdα) como

f =∞∑

k=0

Jαk f.

3. SEMIGRUPO DE JACOBI. 41

Tenemos entonces que el operador de Laguerre Lα tiene la siguientedescomposicion espectral

(3.65) Lα =∞∑

k=0

(−k)Jαk f,

f ∈ L2((0,∞)d, µα), con dominio D(Lα) dado por

D(Lα) = {f ∈ L2((0,∞)d, µdα) :

∞∑k=0

(−k)||Jαk f ||22,µd

α< ∞},

y el semigrupo de Laguerre se representa como,

Tαt f =

∞∑k=0

e−tkJαk f.

De nuevo, podemos definir el semigrupo de Poisson-Laguerre, {Pαt }

como el semigrupo subordinado del semigrupo de Laguerre y semigrupos dePoisson-Laguerre generalizados de orden δ. Las propiedades de estos semi-grupos son esencialmente analogas a las estudiadas anteriormente en el casoHermite, por lo que remitimos a estas para los detalles. B. Muckenhouptconsidero el semigrupo de Laguerre y de Poisson-Laguerre para el caso d = 1,vease [63].

El proceso de Markov asociado al semigrupo de Laguerre {Tαt } se llama

proceso de Laguerre, ha recibido cierta atencion en Probabilidades vease[49], y recientemente ha resultado de interes por sus aplicaciones in Matematicasfinancieras [54]. Ademas (3.61) expresa la estacionariedad y ergodicidad delproceso [2].

3. Semigrupo de Jacobi.

Consideremos el espacio de probabilidades ((−1, 1),B((−1, 1)), µα,β) siendo

(3.66) µα,β(dx) =1

2α+β+1B(α + 1, β + 1)χ(−1,1)(x)(1− x)α(1 + x)βdx,

la medida de Jacobi en (−1, 1), definida sobre B((−1, 1)), los Borelianosde (−1, 1), siendo B(z, w) las funcion Beta, vease el Apendice A. 14

Consideremos los polinomios de Jacobi (normalizados) {p(α,β)n } 15 que

son los polinomios ortogonales respecto a µα,β, (vease Apendice B),∫ 1

−1p(α,β)

n (x)p(α,β)m (x)µα,β(dx) = δn,m.

14Consideramos µα,β normalizada adecuadamente de forma que sea una probabilidadsobre (−1, 1), esta normalizacion no es usual en la Teorıa de Polinomios Ortogonales.

15Observese que estos polinomios difieren de los polinomios normalizados {p(α,β)n },

considerados en el Apendice B, en una constante debido a la normalizacion de la medida.


Los polinomios de Jacobi {p(α,β)n } son soluciones polinomiales de la ecuacion

de Jacobi,

(1−x2)(pα,βn (x))′′+(β−α+1−(α+β+2)x)(pα,β

n (x))′+n(n+α+β+1)pαβn (x) = 0,

o equivalentemente, para cada n ∈ N, pα,βn es autofuncion del operador de

Jacobi (unidimensional)

Lα,β = (1− x2)d2

dx2+ (β − α + 1− (α + β + 2)x)

d

dx,

asociada al autovalor λn = −n(n+α+β +1). Ademas Lα,β es una difusiondado que es un operador diferencial de segundo orden con termino constantecero.

Tenemos entonces que el semigrupo de Markov en este caso tiene laforma

Pt(x, dy) =∑

n

e−n(n+α+β+1)tp(α,β)n (x)p(α,β)

n (y)µα,β(dy)

= p(α,β)(t, x, y) µα,β(dy).

Lamentablemente no se conoce una representacion explıcita de p(α,β)(t, x, y).El principal obstaculo es que los autovalores λn no estan linealmente dis-tribuidos. Sin embargo es claro, por el desarrollo dado en el capıtulo 1 quep(α,β)(t, x, y) es un nucleo positivo.

Ası pues el semigrupo de operadores definido sobre las funciones Borel-medibles en (−1, 1), positivas o acotadas, que denominaremos semigrupode Jacobi se define entonces como

(3.67) Tα,βt f(x) =

∫ 1

−1pα,β(t, x, y)f(y)µα,β(dy).


Γα,β(f, g)(x) =12[(1− x2)

d2(fg)dx2

(x) + (β − α + 1− (α + β + 2)x)d(fg)dx

(x)

− (1− x2)f(x)d2g

dx2(x)− (β − α + 1− (α + β + 2)x)f(x)

dg

dx(x)

− (1− x2)g(x)d2f

dx2(x)− (β − α + 1− (α + β + 2)x)g(x)

df

dx(x)]

= (1− x2)df

dx(x)

dg

dx(x),

y por tanto

(3.68) Γα,β(f)(x) = Γα,β(f, f)(x) = (1− x2)(df

dx(x))2.


Ademas, el operador cuadrado de campo iterado (2.15) es

Γα,β2 (f, g)(x) = 2(1− x2)2

d2f

dx2(x)

d2g

dx2(x)− 2x(1− x2)(

d2f

dx2(x)

dg

dx(x) +

df

dx(x)

d2g

dx2(x))

+((1− x2)(2α + 2β + 3)− 2x(β − α + 1− (α + β + 2)x)df

dx(x)

dg

dx(x).

(Ejercicio)En el caso de los polinomios de Jacobi tenemos que las posibles sucesiones

de Markov {ck} estan dadas por la formula

(3.69) ck =1

Pα,βk (1)

∫ 1

−1Pα,β

k (x) µ(dx),

donde µ es una medida de probabilidad en (−1, 1) y las posibles sucesionesgeneradoras de Markov {λk} estan dadas por la formula

(3.70) λk = θk(k + α + β + 1) + ρ

∫ 1

−1

Pα,βk (1)− Pα,β

k (x)1− x

µ(dx),

donde θ, ρ son constantes positivas y µ es una medida de probabilidad en(−1, 1). Esto fue probado por G. Gasper [34] y [35], extendiendo un resul-tado de Bochner [20], en el caso de los polinomios ultresfericos. Siendo elcaso mas sencillo, por tener los polinomios de Jacobi una buena estructurade convolucion, vamos a dar una idea de la prueba. Gasper [34] probo,usando una relacion integral entre funciones de Bessel y las funciones hiper-geometricas ([99], p. 413), que para α > −1/2 y α ≥ β ≥ 1/2, la serie

(3.71) Kα,β(x, y, z) =∞∑

k=0

pα,βk (x)pα,β

k (y)pα,βk (z)

pα,βk (1)

,

es convergente en L2(µ⊗3α,β) y positiva.16 Por construccion este nucleo es

simetrico y por ortogonalidad tiene integral 1 respecto a cualquiera de lasvariables. Luego tenemos una formula producto para los polinomios deJacobi 17

Pα,βn (x)Pα,β

n (y) = Pα,βn (1)

∫ 1

−1Pα,β

n (z)Kα,β(x, y, z) µα,β(dz),

y ∫ 1

−1pα,β

n (x)pα,βk (y)Kα,β(x, y, z) µα,β(dx) µα,β(dy) = δn,k

pα,βk (z)

pα,βk (1)

.

16Gasper trabaja con otra normalizacion de los polinomios de Jacobi, Rα,βk (x) =

Pα,βk

(x)

Pα,βk

(1), sin embargo la expresion del nucleo (3.71) que damos es equivalente a la consid-

erada por el.17A partir de la formula producto se puede definir el operador translacion para los

polinomios de Jacobi y con el entonces se define una nocion de convolucion sobre L1(µα,β)tal que con esa nocion de convolucion los coeficientes de Fourier-Jacobi verifican:(f ∗g)∧(k) = f(k)g(k), vease R. Askey y S. Wainger [7] y G. Gasper [34].


(Ejercicio).El nucleo Kα,β permite definir una convolucion para medidas de proba-

bilidad,

ρ1 ∗ ρ2(dz) = (∫ ∫

Kα,β(x, y, z)ρ1(dx)ρ2(dy))µα,β(dz).

Esta convolucion es conmutativa y δ1 es el elemento identidad

ρ ∗ δ1 = ρ.

Esto se puede ver directamente cuando ρ tiene una L2(µα,β)-densidad frespecto de µα,β. El hecho que el resultado es una medida de probabilidades consecuencia del hecho que la integral de nucleo Kα,β respecto de z es 1.(Ejercicio)

Podemos tambien definir la convolucion entre una medida y una funcionintegrable f , identificando la funcion f con la medida, no necesariamentepositiva, f(y)µα,β(dy),

ρ ∗ f(dz) = (∫ ∫

Kα,β(x, y, z)ρ(dx)f(y)µα,β(dy))µα,β(dz).

Tenemos entonces δ1 ∗ f = f .Si µ es una medida acotada, entonces µ ∗ Pα,β

n = cn Pα,βn , donde

cn =1

Pα,βn (1)

∫ 1

−1Pα,β

n (y)µ(dy),

ya que

µ ∗ Pα,βn (dz) = (

∫ ∫Kα,β(x, y, z)µ(dx)Pα,β

n (y)µα,β(dy))µα,β(dz)

= (∫ ∫

[∞∑

k=0

pα,βk (x)pα,β

k (y)pα,βk (z)

pα,βk (1)

]µ(dx)Pα,βn (y)µα,β(dy))µα,β(dz)

= (∫

pα,βn (x)Pα,β

n (z)

pα,βn (1)

µ(dx))µα,β(dz)

= (1

Pα,βk (1)

∫Pα,β

n (x)µ(dx))Pα,βn (z)µα,β(dz).

Si consideramos ahora T un operador de Markov (2.29), simetrico respectoa µα,β, tal que

(3.72) TPα,βk = ck Pα,β

k ,

entonces podemos definir la accion de T sobre las medidas de probabilidady se puede probar que

T (ρ1 ∗ ρ2) = T (ρ1) ∗ ρ2 = ρ1 ∗ T (ρ2).


Para ver esto podemos restringirnos al caso que ρ1 y ρ2 tienen L2(µα,β)-densidades respecto de µα,β; y en este caso esto es inmediato de verificarsobre la base {Pα,β

k } de L2(µα,β), usando (3.72).Por lo tanto, dado que

Tf = T (δ1 ∗ f) = T (δ1) ∗ f,

tenemos que la medida de probabilidad µ = T (δ1), nos da entonces la rep-resentacion para sucesiones de Markov deseada.

La representacion para las sucesiones generadoras de Markov, es un teo-rema de representacion de Levy-Kintchine, y es inmediato del resultado derepresentacion para sucesiones de Markov, ya que entonces para cada t > 0existe una medida de probabilidad µt tal que

e−λkt =∫

xkµt(dx).

Si definimos la convolucion de medidas en [−1, 1] por

ν1 ∗ ν2(f) =∫

f(xy)ν1(dx)ν2(dy),

entonces {µt} es un semigrupo de convolucion de medidas de probabilidad yel resultado se obtiene de un de un teorema de Analisis Armonico en grupos.

De nuevo, por el argumento de tensorizacion, tenemos que para α =(α1, α2, · · · , αd), β = (β1, β2, · · · , βd) αi, βi > −1, el semigrupo de Jacobi{Tα,β}t≥0 en (−1, 1)d esta definido como,

(3.73) Tα,βt f(x) =

∫(−1,1)d

G(α,β)(t, x, y) µdα,β(dy),

donde

(3.74) G(α,β)(t, x, y) =d∏

i=1

p(αi,βi)(t, xi, yi),

y(3.75)

µdα,β(dx) =

d∏i=1

12αi+βi+1B(αi + 1, βi + 1)

χ(−1,1)(xi)(1− xi)αi(1 + xi)βidxi.

Por el desarrollo dado en el Capıtulo 1 para semigrupos de Markov,tenemos que el semigrupo de Jacobi {Tα,β

t } es un semigrupo de difusion,conservativo, simetrico, fuertemente Lp continuo de contracciones positivasen Lp((−1, 1)d, µd

α,β), con generador infinitesimal el operador diferencial

de Jacobi en (−1, 1)d,

(3.76) Lα,β = −d∑

i=1

[(1− x2

i )∂2

∂x2i

+ (βi − αi − (αi + βi + 2) xi)∂

∂xi

],

que por tanto es simetrico en L2((−1, 1)d, µdα,β) y que es un operador con

importantes aplicaciones en Geometrıa Diferencial.En particular, tenemos que Tα,β

t 1 = 1 y

‖Tα,βt f‖Lp(µd

α,β) ≤ ‖f‖Lp(µdα,β), 1 ≤ p ≤ ∞.

La funcion maximal del semigrupo, se define como

(3.77) Tα,β,∗f(x) = supt>0

∣∣∣Tα,βt f(x)

∣∣∣Por argumentos generales para una clase muy amplia de semigrupos, veaseE. Stein [86], pag 73, se puede probar que Tα,β,∗ es Lp(µd

α) continuo para1 < p ≤ ∞. Por tanto se puede probar que

(3.78) Tα0 f(x) = lim

t→0+Tα,β

t f(x) = f(x) c.s. x ∈ (−1, 1)d,

y

(3.79) limt→∞

Tα,βt f(x) =

∫(−1,1)d

f(y) µdα(dy) c.s. x ∈ (−1, 1)d,

para todo f ∈ L1((−1, 1)d, µdα,β), y por tanto para todo f ∈ Lp((−1, 1)d, µd

α,β), 1 ≤p ≤ ∞, ya que Lq((−1, 1)d, µd

α,β) ⊂ Lp((−1, 1)d, µdα,β) para p ≤ q.

Mas aun, si f ∈ Lp((−1, 1)d, µdα,β), 1 ≤ p ≤ ∞, entonces u(x, t) =

Tα,βt f(x) es C∞((−1, 1)d × R+) y satisface la ecuacion parabolica,

(3.80)∂u

∂t(x, t) = Lα,βu(x, t),

con condicion de frontera u(x, 0) = f(x), x ∈ (−1, 1)d. Observese que eneste caso la condicion de frontera esta, de nuevo, incompleta ya que falta eldato de frontera u(−1, t), t ≥ 0 y u(1, t), t ≥ 0

Observese, ademas, que entonces el operador cuadrado de campo en Rd

es

(3.81) Γα,β(f, g) =d∑

i=1

(1− x2i )

∂f

∂xi(x)

∂g

∂xi(x),

y por tanto la forma de Dirichlet (2.27), en este caso es(3.82)

Eµ(f)(x) =∫

(−1,1)d

Γ(f)(x)µdα,β(dx) =

∫(−1,1)d

[d∑

i=1

(1−x2i )|

∂f

∂xi(x)|2]µd

α,β(dx).

Cada polinomio de Jacobi normalizado ~p(α,β)

ν es una autofuncion de Lα,β

con autovalor [∑d

i=1 νi (νi + αi + βi + 1)].

Lα,β~p (α,β)ν (x) = −

d∑i=1

[(1− x2

i )∂2~p

(α,β)ν

∂x2i

(x) + (βi − αi − (αi + βi + 2) xi)∂ ~P

(α,β)ν

∂xi(x)]

= [d∑

i=1

νi (νi + αi + βi + 1)]~P (α,β)ν (x).

De nuevo, podemos definir el semigrupo de Poisson-Jacobi, {Pα,βt }

como el semigrupo subordinado del semigrupo de Jacobi y semigrupos dePoisson-Jacobi generalizados de orden δ. Las propiedades de estos semigru-pos son esencialmente analogas a las estudiadas anteriormente en el casoHermite, por lo que remitimos a estas para los detalles, vease tambien [71].

Por otra parte, como {~p (α,β)ν : ν ∈ Nd} es una base ortonormal de

L2((−1, 1)d, µdα,β), tenemos una descomposicion ortogonal

L2((−1, 1)d, µdα,β) =

∞⊕k=0

Cα,βk ,

donde Cα,βk es el subespacio cerrado generado por {~P

(α,β)ν : |ν| = k}. Cα,β

k

es un subespacio de dimension(k+n−1

k

). Esta descomposicion se llama de-

scomposicion o caos de Wiener-Jacobi. Por tanto, dado f ∈ L2((−1, 1)d, µdα,β),

con desarrollof =

∑ν∈Nd

〈f, ~p (α,β)ν 〉µd

α,β~p (α,β)

ν ,

donde los coeficientes de Fourier-Jacobi estan dados por

〈f, ~p (α,β)ν 〉µd

α,β=∫

(−1,1)n

f(y)~p (α,β)ν (y)µd

α,β(dy),

considerando Jα,βk : L2((−1, 1)d, µd

α,β) → Cαk la proyeccion ortogonal de

L2((−1, 1)d, µdα,β) sobre Cα,β

k , que claramente es, para cada k, continua yautoadjunta en L2((−1, 1)d, µd

α,β), podemos expresar entonces el desarrollode f ∈ L2((−1, 1)d, µd

α,β) como

(3.83) f =∞∑

k=0

Jα,βk f.

Tenemos entonces que el operador Lα,β tiene la siguiente descomposicionespectral

(3.84) Lα,βf =∑|ν|≥0

[d∑

i=1

νi (νi + αi + βi + 1)] < f, ~p (α,β)ν >µd

α,β~p (α,β)

ν ,

f ∈ L2((−1, 1)d, µdα,β), con dominio D(Lα,β) dado por

D(Lα,β) = {f ∈ L2((−1, 1)d, µdα,β) :

∑|ν|≥0

[d∑

i=1

νi (νi + αi + βi + 1)]2| < f, ~p (α,β)ν >µd

α,β|2 < ∞},

y el semigrupo de Jacobi se representa entonces como

(3.85) Tα,βt f =

∑|ν|≥0

e−[Pd

i=1 νi(νi+αi+βi+1)]t < f, ~p (α,β)ν >µd

α,β~p (α,β)

ν ,

f ∈ L2((−1, 1)d, µdα,β), t ≥ 0.

Lamentablemente, debido a la “no linealidad” de los autovalores, ni ladescomposicion de Lα,β ni la representacion de Tα,β

t se pueden escribir enterminos de las proyecciones Jα,β

k . Sin embargo, se puede consider unadescomposicion de Wiener-Jacobi modificada, vease [16], que si nos permiteescribir Lα,β, Tα,β

t y Pα,βt en terminos de proyecciones y que esta dada de

la siguiente manera. Sea

Rα,β =

{r ∈ R+ : there exists (κ1, . . . , κn) ∈ Nd,with r =

d∑i=1

κi(κi + αi + βi + 1)

}.

Entonces Rα,β es un subconjunto numerable de R+, por lo que se puedeescribir como Rα,β = {rn}∞n=0 con r0 < r1 < · · · y sea

Aα,βn =

{κ = (κ1, . . . , κd) ∈ Nd :

d∑i=1

κi(κi + αi + βi + 1) = rn

},

considerando Gα,βn el subespacio cerrado de L2([−1, 1]d, µd

α,β) generado por

las combinaciones lineales {~p α,βν : ν ∈ Aα,β

n }, tenemos entonces

(3.86) L2([−1, 1]d, µdα,β) =

∞⊕n=0

Gα,βn .

Denotando J α,βk : L2((−1, 1)d, µd

α,β) → Cαk la proyeccion ortogonal de L2((−1, 1)d, µd

α,β)

sobre Gα,βk se tiene entonces que

(3.87) f =∞∑

k=0

J α,βk f

donde

J α,βk f =

∑ν∈Aα,β

k

f(ν)~p (α,β)ν


y por tanto tenemos

Lα,βf =∞∑

n=0

(−rn)J α,βn f,(3.88)

Tα,βt f =

∞∑n=0

e−rntJ α,βn f,(3.89)

Pα,βt f =

∞∑n=0

e−√

rntJ α,βn f.(3.90)

Finalmente, en la literatura lo que se ha estudiado con cierto deten-imiento es lo que se llama la integral de Poisson-Jacobi, para mas de-talles vease [25] o [55]. 18 Definimos la integral de Poisson-Jacobi paraf con desarrollo de Jacobi

(3.91) f(θ) =∞∑

k=0

f(k)ω(α,β)k

Pα,βk (cos 2θ)

Pα,βk (1)

,

donde

f(k) =∫ π/2

0f(ϕ)

Pα,βk (cos 2ϕ)

Pα,βk (1)

µα,β(dϕ)

y

ω(α,β)k = ‖

Pα,βk

Pα,βk (1)

‖−22

= 2−α−β−1 (2k + α + β + 1)Γ(k + α + β + 1)Γ(k + α + 1)Γ(α + 1)Γ(β + 1)Γ(k + β + 1)Γ(k + 1)

como(3.92)

f(r, θ) =∞∑

k=0

r2kf(k)ω(α,β)k

Pα,βk (cos 2θ)

Pα,βk (1)

=∫ π/2

0f(ϕ)P (α,β)(r, θ, ϕ)µα,β(dϕ),

donde

(3.93) P (α,β)(r, θ, ϕ) =∞∑

k=0

r2kω(α,β)k

Pα,βk (cos 2θ)

Pα,βk (1)

Pα,βk (cos 2ϕ)

Pα,βk (1)

,

es el nucleo de Poisson-Jacobi o simplemente nucleo de Poisson.No existe una expresion sencilla para P (α,β)(r, θ, ϕ). W. N. Bailey ([8],

pag 102) obtuvo la siguiente descripcion,

P (α,β)(r, θ, ϕ) =Γ(α + β + 2)(1− r2)

2α+β+2Γ(α + 1)Γ(β + 1)(1 + r2)α+β+2

×F4

(12(α + β + 2),

12(α + β + 3);α + 1, β + 1;

a2

k2,b2

k2

),

18En su tesis de maestrıa, E. Navas [69] hace un estudio detallado de la integral dePoisson-Jacobi y de su conjugada.


donde a = sin θ sinϕ, b = cos θ cos ϕ, y k = 12(r−1/2+r1/2), y F4 es la funcion

hipergeometrica de Appell en dos variables,

(3.94) F4(α, β; γ, γ′;x, y) =∑

n

∑m

(α)m+n(β)m+n

m!n!(γ)m(γ′)nxdym.

El proceso de Markov asociado al semigrupo de Jacobi {Tα,βt } se llama

proceso de Jacobi, y ha recibido cierta atencion en Probabilidades, vease[49]. Ademas (3.79) expresa la estacionariedad y ergodicidad del proceso,vease [2].

CAPıTULO 4

La propiedad Hipercontractiva y las desigualdadesfuncionales.

1. La propiedad hipercontractiva del semigupo deOrnstein-Uhlenbeck y la desigualdad logarıtmica de Sobolev.

Vamos a discutir ahora en detalle el hecho que el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck no es solo contractivo, es decir un semigrupo de contracciones,sino que es tambien hipercontractivo (vease [70]). La propiedad de hiper-contractividad de {Tt} fue probada inicialmente por E. Nelson [70], en elcontexto de la Teorıa Cuantica de Campos y ha sido extensamente discutidaen la literatura. En primer lugar, tenemos

Definicion 4.1. Dado un semigrupo contractivo de operadores {Tt}definido en Lp(E,µ), con 1 ≤ p ≤ ∞, decimos que el semigrupo {Tt}verifica la propiedad hipercontractiva si para cualquier condion inicial1 < q(0) < ∞ existe una funcion estrictamente creciente q : R+ → [q(0),∞),tal que para toda funcion f ∈ Lp(E,µ) y todo t ≥ 0,

||Ttf ||q(t),µ ≤ ||f ||q(0),µ.

La funcion q se llama funcion de contraccion.

Vamos a ver entonces que el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck {Tt} eshipercontractivo con funcion de contraccion,

q(t) = 1 + e2t(p− 1) > p,

es decir, se tiene que para todo f ∈ Lp(γd), 1 < p < ∞, y todo t ≥ 0,

(4.1) ||Ttf ||q(t),γd≤ ||f ||p,γd

.

Como probo L. Gross [39], y veremos mas adelante, dicha propiedadresulta equivalente a que el operador de Ornstein-Uhlenbeck satisface ladesigualdad logarıtmica de Sobolev:

Para cualquier f ∈ L2(γd) con ∇f , en sentido debil, en L2(γd) se cumple(4.2)∫

Rd

|f(x)|2 log |f(x)|γd(dx) ≤ 12

∫Rd

|∇f(x)|2γd(dx) + ||f ||22,γdlog ||f ||2,γd

,

en forma equivalente,

2∫

Rd

|f(x)|2 log |f(x)|γd(dx)−∫

Rd

|f(x)|2γd(dx) log(∫

Rd

|f(x)|γd(dx)) ≤∫

Rd

|∇f(x)|2γd(dx).

51

52 4. DESIGUALDADES FUNCIONALES

La manera en la que vamos a probar que {Tt} verifica la propiedad hiper-contractiva, es ver, en primer lugar, que el operador de Ornstein-Uhlenbecksatisface una desigualdad logarıtmica (4.2) y luego, que ellas son equiva-lentes, tal y como hizo L. Gross [39].

Vamos a probar, pues, que (4.2) se verifica. Para ello, seguiremos laprueba de Adams y Clark [2], que quizas entre las multiples que existen, esla mas sencilla. Luego probaremos la equivalencia siguiendo esencialmenteel argumento de L. Gross [40].

Comenzamos haciendo una serie de reducciones. En primer lugar, por latensorizacion, basta probar la desigualdad logarıtmica solo en el caso d = 1.El caso general se obtiene por induccion en d. Por otra parte, observeseque (4.2) es homogenea respecto a rescalamientos de f , por lo que podemossuponer que ||f ||2,γd

= 1. Ademas, podemos suponer que ||f ′||2,γd< ∞

porque, de otro modo, no hay nada que probar. Bajo estas hipotesis, elcambio de variable f(t) = g(t) exp

(t2/2

)implica la siguiente formulacion

equivalente de la desigualdad

(4.3)

{ ∫R

(12 |g

′ (t)|2 − |g (t)|2 log |g (t)|)

dt ≥√

π2

si∫

R |g (t)|2 dt =√

π.

Como∣∣(|g|′)∣∣ ≤ |g′| c.s., podemos suponer que g es una funcion a valores

reales no negativa. Por razones tecnicas vamos a considerar entonces solo elcaso que g (t) > 0 para todo numero real t; esto se justifica por un simpleargumento de densidad. Finalmente, es conveniente dividir (4.3) en dosproblemas sobre semirrectas, cada uno equivalente a

(4.4)

{ ∫∞0

(12 (g′ (t))2 − (g (t))2 log |g (t)|

)dt ≥

√π

4

si∫∞0 (g (t))2 dt =

√π

2 .

Para s, r > 0 sea V (s, r) ={vs2 + r

(1− v2 − 2 log s

)}/2, donde v (s, r) =

h−1(r/s2

), y h esta dada por

h (t) = et2∫ ∞

te−τ2

dτ.

Es facil verificar que h es estrictamente decreciente en R y que(h−1

)′ (t) ={2th−1 (t)− 1

}−1. Las derivadas parciales de V se pueden calcular:

Vs = vs, Vr = −(v2/2

)− log s.

Si U (s, u) =(u2/2

)− s2 log s, entonces para s > 0 y u real,

(4.5) Vsu− Vrs2 + U (s, u) =

12

(u + vs)2 ≥ 0.

Por lo tanto, si g verifica

(4.6) g (t) > 0,

∫ ∞

0(g (t))2 dt =

√π

2,

∫ ∞

0

(g′ (t)

)2dt < ∞.

1. LA PROPIEDAD HIPERCONTRACTIVA DE O.U. 53

Tenemos entonces, usando (4.6),

d

dtV

(g (t) ,

∫ ∞

t(g (τ))2 dτ

)= Vsg

′ (t)− Vr (g (t))2 ≥ −U(g (t) , g′ (t)

)y∫ ∞

0U(g (t) , g′ (t)

)dt ≥ −

∫ ∞

0

d

dtV

(g (t) ,

∫ ∞

t(g (τ))2 dτ

)dt

≥ V

(g (0) ,

√π

2

)− lim inf

t→∞V

(g (t) ,

∫ ∞

t(g (τ))2 dτ

).

Como h−1 es decreciente y h−1(√

π/2s2)

= 0 solo para s = 1, tenemosV (s,

√π/2) ≥ V (1,

√π/2) =

√π/4 para todo s > 0.

La desigualdad (4.4) estara probada si se cumple la siguiente afirmacion:Si g satisface (4.6), entonces

lim inft→∞

V

(g (t) ,

∫ ∞

t(g (τ))2 dτ

)≤ 0.

Veamos pues esta afirmacion. Es immediato probar que h (τ) < 1/τ paratodo τ > 0. Por tanto h−1 (t) < 1/t para todo t > 0 , y v (s, r) s2 < s4/r.Analogamente, h (τ) <

√πeτ2

para τ ≤ 0 implica h−1 (t) ≤ −√

log (t/√

π)para t ≥

√π y por tanto (v (s, τ))2 ≥ log r− log s2− log

√π para

√πs2 ≤ τ .

Evidentemente (v (s, r))2 ≥ 0 si τ <√

πs2 y ası

τ(1− g2 − log s

)≤ max

{τ(1 + log

√π − log τ

),√

πs2(1− log s2

)}para todo r, s > 0. De allı

(4.7) V (s, r) ≤ s4

2r+

12

max{r(1 + log

√π − log τ

),√

πs2(1− log s2

)}.

Si g satisface (4.6), entonces s = g (t) ,

r =∫ ∞

t(g (τ))2 dτ, y ε =

∫ ∞

t

(g′ (τ)

)2dτ

tienden ambos a cero si t tiende a infinito. Mas aun,

s4 = (g (τ))4 ≤(

2∫ ∞

tg (τ)

∣∣g′ (τ)∣∣ dτ

)2

≤ 4rε,

por la desigualdad de Holder. Por tanto, por (4.7), lim inft→∞ V (s, r) ≤ 0como querıamos.

Comentarios

i) La desigualdad Logarıtmica de Sobolev (4.2) generaliza, para lamedida Gaussiana, la clasica desigualdad de Sobolev la cualafirma que, respecto a la medida de Lebesgue, si una funcion f ∈

L2(Rd) con ∇f ∈ L2(Rd), en sentido debil, entonces f ∈ Lp(Rd)para p−1 = (1

2 −1n). Es decir

||f ||p ≤ Cd

∫Rd

|∇f(x)|2dx.

Como ya hemos mencionado, a diferencia de la medida de Lebesgue,la medida de Gauss se puede definir en espacios de dimension in-finita y como (4.2) es independiente de la dimension, se extiendea este contexto. Mas aun, observese que en la desigualdad clasicade Sobolev p → 2 si n →∞ y en consecuencia hay una perdida deinformacion en dicha desigualdad cuando la dimension crece. Enla seccion 3 estudiaremos con mas detenimiento la relacion entre ladesigualdad Logarıtmica de Sobolev y las desigualdades de Sobolevgenerales.

ii) Se sigue de (4.2) que si f,∇f ∈ L2(γd) entonces f pertenece alespacio de Orlicz L2 log L(γd). Mas aun, no es difıcil de probarque existe una funcion f para la cual el lado derecho de (4.2) esfinito, pero ella no esta en L2 log L log log L(γd) (vease [39]). Enese sentido, dicha desigualdad es optima y las constantes tambienson optimales.

Veamos ahora el resultado de L. Gross ([39] y [40]), para ello necesita-mos, en primer lugar, el siguiente lema tecnico pero clave para la equivalen-cia. Vamos a darlo en toda generalidad para un espacio de probabilidadescualquiera (E,B, µ), que sera de utilidad en las secciones siguientes; porsupuesto su aplicacion en este caso sera para el espacio de probabilidades(Rd,B(Rd), γd).

Lema 4.1. Sea (E,B, µ) un espacio de probabilidades. Supongamos 1 0 y q > p. Sea s(t) una funcion real, continuamente diferenciablede [0, ε) en (1,∞) tal que s(0) = p y sea f(t) una funcion continuamentediferenciable de [0, ε) en Lq(µ) con f(0) = v 6= 0. Entonces ||f(t)||s(t) esdiferenciable en t = 0 y se tiene(4.8)d

dt||f(t)||s(t)|t=0 = ||v||1−p

p [p−1s′(0)(∫

E|v|p log |v|dµ−||v||pp log ||v||p)+Re〈f ′(0), vp〉µ],

donde, vp = (sgn v)|v|p−1.

DemostracionSi g : [0, ε) → C es continuamente diferenciable entoncesd

dt|g(t)|s(t) = [s′(t) log |g(t)|+ s(t)

1|g(t)|2

Reg′(t)g(t)]|g(t)|s(t)

= [s′(t)|g(t)|s(t) log |g(t)|+ s(t)1

|g(t)|2Reg′(t)

g(t)|g(t)|

|g(t)|s(t)−1]

= [s′(t)|g(t)|s(t) log |g(t)|+ s(t)1

|g(t)|2Reg′(t)g(t)s(t)].

1. LA PROPIEDAD HIPERCONTRACTIVA DE O.U. 55

y esto es valido aun cuando g(t) = 0 para algun t ya que s(t) > 1.Si, formalmente, sustituimos g(t) = f(t)(x) integramos con respecto a µ

e intercambiamos la derivacion con la integracion, obtenemosd

dt

∫E|f(t)(x)|s(t)µ(dx) =

∫E

s′(t)|f(t)(x)|s(t) log |f(t)(x)|µ(dx) + s(t)Re〈f ′(t), fs(t)〉µ.

Luego si V (t) =∫E |f(t)(x)|s(t)µ(dx) tenemos que

d

dt||f(t)||s(t) =

d

dtV (t)s(t)

=1

s(t)[V (t)s(t)−1

V (t)]V ′(t)− s′(t)

s2(t)V (t)s(t)−1 log V (t).

Habria que justificar la segunda cadena de igualdades ya que f(t)(x) no esnecesariamente diferenciable en t c.s. x, para ello remitimos a Gross [40].

Teorema 4.1. (L. Gross) La propiedad hipercontractiva del semigrupode Ornstein-Uhlenbeck {Tt} es equivalente a la desigualdad Logarıtmica deSobolev (4.2).

DemostracionEn primer lugar, considemos el operador de Numero

N = 2(−L) = −∆ + 2〈x,∇〉que es la forma de Dirichlet para γd, es decir∫

Rd

∇f(x) · ∇g(x)γd(dx) =∫

Rd

f(x)Ng(x)γd(dx),

y consideremos el semigrupo generado por N , {e−tN}t.1

Suponemos que se verifica (4.2). A partir de ella podemos obtener, paracualquier p > 1, la desigualdad logarıtmica de Sobolev en Lp2

(4.9)∫Rd

|f(x)|p log |f(x)|γd(dx) ≤ c(p)Re〈Nf(t), fp〉γd+ ||f ||pp,γd

log ||f ||p,γd,

con c(p) = p4(p−1) y fp = (sgn f)|f |p−1.

Veamos el esquema de este argumento. Supongamos que p > 1 y sea funa funcion no negativa y acotada definida en el dominio de N en L2(γd).Entonces reemplazando f por fp/2 en (4.2) tenemosp

2

∫Rd

|f(x)|p log |f(x)|γd(dx) ≤ 12

∫Rd

|∇fp/2(x)|2γd(dx)

+12

∫Rd

|f(x)|pγd(dx) log∫

Rd

|f(x)|pγd(dx).

1Este semigrupo es simplemente {T2t}, el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck conparametro 2t.

2En la notacion de Gross [40] esto dice que N es un generador de Sobolev en(0,∞).

Ahora bien, si f es suave y acotada, tenemos, por una parte,

|∇(f(x)p/2)|2 = (p/2)2(f(x)p/2−1)2|∇f(x)|2,mientras que, por otra parte

〈∇f(x),∇(f(x)p−1)〉 = (p− 1)f(x)p−2|∇f(x)|2,luego,

|∇(f(x)p/2)|2 = [(p/2)2

(p− 1)]〈∇f(x),∇(f(x)p−1)〉,

y por tanto,∫Rd

|∇fp/2(x)|2γd(dx) = [p2

4(p− 1)]∫

Rd

〈∇f(x),∇(f(x)p−1)〉γd(dx)

= [p2

4(p− 1)]〈Nf, fp−1〉γd

,

con lo que concluimos (4.9).El dominio de validez de estos calculos puede ser justificado, como lo hace

Stroock, a partir del hecho que e−tN es un semigrupo positivo y contractivoen L∞(γd), vease [40].

Sea ahora g una funcion no-negativa en C∞0 (R) con soporte en (0,∞) y

sea u ∈ L∞(γd). Entonces h :=∫∞0 g(s)(e−sNu)ds existe como integral de

Riemann en Lp(γ1) para cada 1 < p < ∞. Si f(t) = e−tNh, t ≥ 0, entoncesf es una funcion positiva y diferenciable en Lp(γd) para todo 1 < p < ∞, porel lema 4.1 la funcion α(t) = ||f(t)||1+(p−1)e4t,γd

es diferenciable en (0,∞) ytenemosdα(t)

dt=

d

dt||f(t)||1+(p−1)e4t,γd

= ||f(t)||1−pp,γd

[c(p)−1(∫

Rd

|f(t)|p log |f(t)|dγd − ||f(t)||pp,γdlog ||f(t)||p,γd

)

−Re〈Nf(t), f(t)p〉γd]

≤ 0.

Luego ddt log α(t) ≤ 0 y por tanto log α(t) ≤ log α(0) = log ||h||p,γd

, es decir,

(4.10) ||e−tNh||1+(p−1)e4t,γd≤ ||h||p,γd

.

Ahora para cada t y cada funcion g que pertenece a una sucesion gn queconverge a una delta de Dirac (i.e. una aproximacion de la identidad) y talque la correspondiente sucesion hn converge a u en norma Lp(γd) mientrasque e−tNhn, que converge a e−tNu en Lp(γd), tambien converge casi siempre.Aplicando la desigualdad anterior (4.10) a hn y usando el Lema de Fatou,obtenemos

||e−tNu||1+(p−1)e4t,γd≤ ||u||p,γd

,

y como L∞(γd) es denso en Lp(γd) podemos aplicar de nuevo el Lema deFatou para concluir que la desigualdad (4.10) se verifica para todo h ∈Lp(γd).

2. APLICACION DE LA PROPIEDAD HIPERCONTRACTIVA. 57

Finalmente, dado que, Tth = etLh = e−(t/2)Nh, la desigualdad anteriores equivalente a

||Tth||1+(p−1)e2t,γd= ||etLh||1+(p−1)e2t,γd

= ||e−(t/2)Nh||1+(p−1)e4(t/2),γd≤ ||h||p,γd

,

lo que prueba {Tt} verifica (4.1).

Recıprocamente, suponemos ahora que el semigrupo {Tt}, fuertementecontinuo en Lp(γd), 1 < p < ∞, verifica la propiedad hipercontractiva (4.1).

SeaD la capsula lineal del conjunto de las funciones h :=∫∞0 g(s)(e−sNu)ds,

con g una funcion no-negativa en C∞0 (R) con soporte en (0,∞) y u ∈ L∞(γd)

que consideramos en la primera parte de la demostracion. Sea h un elementono nulo de D y pongamos f(t) = e−tNh, t ∈ (0,∞), entonces, para cada t,tenemos

||f(t)||1+(p−1)e4t,γd− ||f(0)||p,γd

t≤ ||h||p,γd

1− 1t

= 0,

por la propiedad hipercontractiva (4.1) y porque e−tNh = T2th. Por el Lema4.1 podemos tomar lımite cuando t ↓ 0 en la desigualdad anterior paraobtener

||h||1−pp,γd

[p−14(p−1)(∫

Rd

|h|p log |h|dγd−||h||pp,γdlog ||h||p,γd

)−Re〈Nh, hp〉γd] ≤ 0

multiplicando por p4(p−1) ||h||

p−1p,γd obtenemos (4.2) en este caso.

Ahora como D es denso en el dominio del generador infinitesimal de{e−Nt} en Lp(γd) y por tanto dado f allı existe una sucesion hn en D talque hn → f en la norma del grafico y c.s. γd. Como xp log x es una funcionacotada por debajo en [0,∞), podemos usar el Lema de Fatou a la izquierdade (4.2) mientras que a la derecha observamos que la aplicacion f → fp escontinua de Lp(γd) en Lp′(γd); ası el lado derecho es una funcion continuade f en la norma del grafico y por tanto las validez de (4.2) para cada hn

implica su validez para f .

2. Aplicacion de la propiedad hipercontractiva a la Teorıa deMultiplicadores de Hermite.

Como consecuencia de la hipercontractividad del semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck {Tt}, se puede probar que las projecciones ortogonales sobre lossubespacios Ck del Caos de Wiener, Jk, son continuas en Lp(γd) para 1 <p < ∞ :

Corolario 4.1. Para todo k ∈ N, Jk|P , la restriccion de Jk a los poli-nomios P, tiene una extension, que denotaremos tambien como Jk, a unoperador acotado en Lp(γd), es decir, se cumple

(4.11) ||Jkf ||p,γd≤ Cp,k||f ||p,γd

.

DemostracionSi p > 2 tomando t0 > 0 tal que p = e2t0 + 1, por la propiedad hipercon-tractiva de {Tt}, tenemos

||Tt0f ||p,γd≤ ||f ||2,γd

.

En particular, utilizando la desigualdad de Holder tenemos

||Tt0Jkf ||p,γd≤ ||Jkf ||2,γd

≤ ||f ||2,γd≤ ||f ||p,γd

.

Ahora bien, como Tt0f =∑∞

k=0 e−t0kJkf tenemos que Tt0Jkf = e−t0kJkf ypor tanto

||Tt0Jkf ||p,γd= e−t0k||Jkf ||p,γd

.

De todo lo anterior, obtenemos entonces que

||Jkf ||p,γd≤ et0k||f ||p,γd

El caso 1 2. Entonces, dado que

la proyeccion Jk es un operador autoadjunto y usando la desigualdad deHolder, tenemos

||Jkf ||p = sup

{∣∣∣∣∫ ∞

−∞Jkf g dγd

∣∣∣∣ : g ∈ Lp′(R, γd) y ||g||p′,γd≤ 1}

= sup

{∣∣∣∣∫ ∞

−∞f Jkg dγd

∣∣∣∣ : g ∈ Lp′(R, γd) y ||g||p′,γd≤ 1}

≤ sup{||f ||p,γd

||Jkg||p′,γd: g ∈ Lp′(R, γd) y ||g||p′,γd

≤ 1}

≤ sup{||f ||p,γd

C||g||p′,γd: g ∈ Lp′(R, γd) y ||g||p′,γd

≤ 1}

≤ C||f ||p,γd,

donde C = et0k, con t0 > 0 tal que p′ = e2t0 + 1.El siguiente es un lema que sera de utilidad en la demostracion del

Teorema de Multiplicadores de P.A. Meyer (vease Teorema 4.2) y que estambien una consecuencia de la hipercontractividad.

Lema 4.2. Si 1 2. Sea t0 tal quep = e2t0 + 1, entonces por la hipercontractividad y la identidad de Parseval

tenemos, para t > t0,

||Tt(I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)f ||2p,γd= ||Tt0Tt−t0(I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)f ||2p,γd

≤ ||Tt−t0(I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)f ||22,γd

= ||∞∑

k=m

e−(t−t0)kJkf ||22,γd≤

∞∑k=m

e−2(t−t0)k||Jkf ||22,γd

=∞∑

k=0

e−(t−t0)(k+m)||Jk+mf ||22,γd≤ e2(t−t0)m

∞∑k=0

||Jk+mf ||22,γd

≤ e−2(t−t0)m||f ||22,γd≤ Ce−tm||f ||2p,γd

,

con C = et0m.Ahora, si t < t0, como Tt es contractivo,

||Tt(I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)f ||p,γd≤ ||(I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)f ||p,γd

≤ (1 +m−1∑k=0

ekt0)||f ||p,γd≤ (m + 1)e2mt0e−mt0 ||f ||p,γd

≤ Ce−mt0 ||f ||p,γd≤ Ce−mt||f ||p,γd

,

con C = (m + 1)e2mt0 .

Ademas, por la representacion de los semigrupos Poisson-Hermite generalizados{P δ

t }t (3.48), tenemos por la desigualdad integral de Minkowski que se puedeobtener un resultado analogo al anterior para estos semigrupos,

Lema 4.3. Si 1 < p < ∞

(4.13) ||P δt (I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)f ||p,γd

≤ Ce−tmδ ||f ||p,γd.

DemostracionPor el Lema 4.2, tenemos

||Tt(I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)f ||p,γd≤ Ce−tm||f ||p,γd

.

Ahora bien, usando la la representacion del semigrupo {P δt }t (3.48) y la

desigualdad integral de Minkowski se obtiene

||P δt (I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)f ||p,γd

≤ ||∫ ∞

0Tsµ

δt (ds)(I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)f ||p,γd

≤∫ ∞

0||Ts(I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)f ||p,γd

µδt (ds)

≤ C

∫ ∞

0e−msµδ

t (ds)||f ||p,γd≤ Ce−mδt||f ||p,γd

.

Considerando los operadores potenciales,

(4.14) Um =∫ ∞

0Tt(I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)dt,

entonces, por el Lema 4.2, se tiene que para 1 < p < ∞,

(4.15) ||Umf ||p,γd≤ C

m||f ||p,γd

.

Considerando ademas los siguientes operadores asociados a Um

(4.16) Um,n =1

(n− 1)!

∫ ∞

0tn−1Tt(I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)dt,

tenemos entonces, por la desigualdad integral de Minkowski, y el lema 4.2,

||Um,nf ||p,γd≤ 1

(n− 1)!

∫ ∞

0tn−1||Tt(I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)f ||p,γd

dt

≤ C

(n− 1)!

∫ ∞

0tn−1e−tmdt||f ||p,γd

≤ C

mn||f ||p,γd

,

es decir,

(4.17) ||Um,nf ||p,γd≤ C

mn||f ||p,γd

.

Ademas, si f ∈ Ck con k ≥ m

Umf =∫ ∞

0TtJkfdt =

1kJkf

y analogamente,

Um,nf =1

(n− 1)!

∫ ∞

0tn−1TtJkfdt =

1kn

Jkf.

De forma analoga, podemos considerar los potenciales asociados a los semi-grupos de Poisson-Hermite generalizados {P δ

t }, en vez de los asociados alsemigrupo de Ornstein-Uhlenbeck {Tt},

(4.18) U δm =

∫ ∞

0P δ

t (I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)dt

y los operadores asociados a U δm,

(4.19) U δm,n =

1(n− 1)!

∫ ∞

0tn−1P δ

t (I − J0 − J1 − . . .− Jm−1)dt,

y obtener similares estimaciones en la norma Lp(γd), usando el lema 4.3,

(4.20) ||U δmf ||p,γd

≤ C1

mδ||f ||p,γd

,

y

(4.21) ||U δm,nf ||p,γd

≤ C1

mδn||f ||p,γd

.

En particular, tenemos que si f ∈ Ck con k ≥ m

U δmf =

∫ ∞

0P δ

t Jkfdt =1kδ

Jkf

y

U δm,nf =

1(n− 1)!

∫ ∞

0tn−1P δ

t Jkfdt =1

kδnJkf.

Consideremos ahora los multiplicadores para desarrollos de Her-mite. Sea f ∈ P(Rd), el conjunto de los polinomios en d-variables. Luego

f =∞∑

k=0

Jkf =∞∑

k=0

∑|ν|=k

〈f,~hν〉γd~hν ,

que, en verdad, es una suma finita. Como ya hemos mencionado, los poli-nomios son densos en Lp(γd) y por tanto, es suficiente trabajar con ellospara definir los multiplicadores.

Dada la funcion φ : N → R, definimos el multiplicador asociado a φcomo:

(4.22) Tφf =∞∑

k=0

φ(k)Jkf,

donde f =∑∞

k=0 Jkf. Observese que Tφ esta bien definida en L2(γd) o enlos polinomios.

Por otra parte, tenemos que si φ es acotado entones Tφ esta trivialmenteacotada en L2(γd), asi pues el problema basico es determinar las condicionessobre φ para que Tφ tenga una extension continua en Lp(γd),1 < p < ∞, esdecir,

||Tφ(f)||p,γd≤ Cp ||f ||p,γd

.

Uno de los resultados mas importante de la Teorıa de Multiplicadorespara desarrollos de Hermite fue el obtenido por P. A. Meyer [62], ha-ciendo uso fundamental de la propiedad hipercontractiva del semigrupo deOrnstein-Uhlenbeck.

Teorema 4.2. (P.A. Meyer) Si para algun n0 tenemos que φ(k) =h( 1

kδ ), para n ≥ n0 y h es una funcion analıtica alrededor de cero, en-tonces Tφ admite una extension continua en Lp(γd), 1 < p < ∞. Mas aunsu norma en Lp es independiente de la dimension.

DemostracionPor los resultados del Corolario 4.1, del Lema 4.2 y la desigualdad (4.21)este resultado es practicamente inmediato. Consideremos

Tφ =n0−1∑k=0

φ(k)Jkf +∞∑

k=n0

φ(k)Jkf = T 1φ + T 2

φ .

Por el Corolario 4.1 el cual establece la Lp(γd)-continuidad de las Jk, es claroque T 1

φ es Lp(γd)-continuo

||T 1φ(f)||p,γd

≤ Cp||f ||p,γd


Luego basta probar que T 2φ es Lp(γd)-continuo,

||T 2φ(f)||p,γd

≤ Cp||f ||p,γd

Por la desigualdad (4.21), tenemos que si h(x) =∑∞

n=0 anxn

T 2φf =

∞∑k=n0

φ(k)Jkf

=∞∑

k=n0

∞∑n=0

an1

kδnJkf =

∞∑k=n0

∞∑n=0

anU δn0,nJkf

=∞∑

n=0

an

∞∑k=n0

U δn0,nJkf =

∞∑k=1

anU δn0,nf.

Luego, de la continuidad Lp(γd) de los operadores U δm,n (4.21), obtenemos

||T 2φf ||p,γd

≤ C(∞∑

n=0

|an|1

nδn0

)||f ||p,γd= Cφ||f ||p,γd

.

Ası pues, la relacion entre la Teorıa de Multiplicadores para desarrol-los de Hermite y la propiedad hipercontractiva del semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck es muy estrecha. El Teorema de Meyer, que como hemos vistoes el resultado mas importante de ella, es consecuencia casi inmediata de lahipercontractividad. Por otra parte, en su trascendente artıculo W. Beckner[17], demostro entre otras cosas, como la hipercontractividad del semigrupode Ornstein-Uhlenbeck es consecuencia de la desigualdad generalizada deYoung que a su vez se obtiene de una desigualdad para multiplicadores dedesarrollos de Hermite. De hecho lo que el prueba es la continuidad Lp(γd)de los operadores Tt pero con t = i

√p− 1 imaginarios puros3, cosa que, por

cierto, esta muy relacionada con la representacion de Weissler [100] dadaen la pagina 20. Ademas de lo interesante de esta prueba, que utiliza demanera decisiva el Teorema Central del Lımite, Beckner deja claro la ıntimarelacion entre el Analisis Armonico Clasico y el Analisis Armonico Gaus-siano, dado que, por ejemplo, este resultado de multiplicadores le sirve paraobtener la mejor constante en la desigualdad de Haussdorf-Young para laTransformada de Fourier.

Diremos que un multiplicador Tφ es un multiplicador de Meyer si φverifica la hipotesis del Teorema 4.2.

El teorema de Meyer admite una extension a operadores de la forma

(4.23) Tφf(x) =∞∑

k=0

φ(k, x)Jkf(x),

3En su tesis de maestrıa, A. Infante [45] hace un estudio detallado de estos resultadosde Beckner.

3. LAS DESIGUALDADES FUNCIONALES. 63

donde f =∑∞

k=0 Jkf. La misma prueba se puede hacer suponiendo que φadmite un desarrolllo de la forma

φ(t, x) =∑

n

an(x)tn,

con |an(x)| ≤ Mn tal que∑∞

n=0 |Mn| 1nδn

0< ∞.

Los operadores de la forma (4.23), que serıan “operadores pseudo-diferenciales”en el contexto gaussiano, requieren de mayor analisis y estudio.

3. Las Desigualdades Funcionales.

La desigualdad logarıtmica de Sobolev estudiada en la seccion an-terior para el operador de Ornstein-Uhlenbeck se puede extender, como ver-emos mas adelante, a otros a los generadores infinitesimales de otros semi-grupos de Markov.

Las desigualdades logarıtmicas de Sobolev pertenecen a una familia dedesigualdades funcionales, donde se relaciona la norma Lp(µ) de unafuncion con la norma Lq(µ) de su gradiente, donde su gradiente se interpretacomo (Γ(f))1/2 siendo µ la medida invariante,

(4.24) ε||f ||2p,µ ≤ A||f ||22,µ + CEµ(f),

para cualquier p ∈ [1, 2n/(n − 2)], siendo Eµ(f) =∫

Γ(f) dµ, la forma deDirichlet asociada a µ.

Las constantes en dichas desigualdades son optimales y el valor maximode p es tambien crıtico. El significado de esas desigualdades es muy diferentecuando p ∈ [1, 2) o si p ≥ 2. Aparte de las desigualdades logarıtmicas deSobolev, que es el caso lımite p = 2, otras desigualdades funcionales quevamos a discutir en estas notas son las desigualdades de grieta espectral,que es el caso p = 1, y las desigualdades de Sobolev, que es el caso p = 2.

3.1. Desigualdades de grieta espectral.

Definicion 4.2. Decimos que el operador L con medida invariante µ,satisface una desigualdad de grieta espectral o desigualdad de Poincarecon constante C si para todo f ∈ A

(4.25)∫|f |2dµ ≤ (

∫E|f |dµ)2 + CEµ(f). GE(C)

Esta desigualdad es equivalente a

(4.26) σ2(f) =∫

E|f |2dµ− (

∫E|f |dµ)2 ≤ CEµ(f),

donde σ2(f) es la varianza de f respecto de µ.La mejor constante C para la desigualdad de grieta espectral se llama

la constante de grieta espectral. Observese que

C = inf{Eµ(f) :

∫E

fdµ = 0, ||f ||22,µ = 1}

.


Si L es un un operador simetrico, la desigualdad de grieta espectral no essino el hecho que el espectro de (−L) esta incluido en {0}∪[1/C,∞), es decirque (−L) tiene una ”grieta” entre 0 y 1/C. Esto se puede ver ya que si λ 6= 0es un autovalor de (−L) con autofuncion f entonces

∫E fdµ =

∫E f1dµ = 0,

y por tanto ∫E

f2dµ =1λ

∫E(−Lf)fdµ =

1λ

∫E

Γ(f)dµ,

y por tanto 1λ ≤ C.

Por otra parte, si −L es simetrico, con espectro en {0} ∪ [1/C,∞) porla descomposicion espectral de −L si

∫E fdµ = 0 entonces

(−L)f =∫ ∞

λtdEt

y por tanto

Eµ(f) =∫ ∞

λtdEt(f, f) ≥ λ

∫ ∞

λdEt(f, f) = λ

∫E

f2dµ.

Es facil de ver que las desigualdades de grieta espectral son establesbajo tensorizacion (Ejercicio) y tambien son estables bajo perturbacionesacotadas, de la medida o del operador cuadrado de campo.

B. Muckenhoupt dio un criterio general que caracteriza las medidas deprobabilidad µ en R qu satisfacen una desigualdad de grieta espectral conΓ(f) = (f ′)2. Este resultado y su prueba se pueden consultar en el libro [2],por ejemplo.

3.2. Desigualdades logarıtmicas de Sobolev.

Definicion 4.3. Dada un medida de probabilidad µ definimos la en-tropıa de una funcion positiva f , como

(4.27) Entµ(f) =∫

E(f log f) dµ−

∫E

fdµ log(∫

Efdµ).

Como µ es una medida de probabilidad entonces, dado que x log x esestrictamente convexa, por la desigualdad de Jensen tenemos que la entropıaes siempre no negativa y entonces solo las funciones constantes tiene entropıacero. Ademas Entµ(cf) = cEntµ(f). (Ejercicio).

Entonces tenemos,

Definicion 4.4. Decimos que el operador L con medida invariante µ,satisface una desigualdad logarıtmica de Sobolev con constantes A,C,si verifica una desigualdad de la forma

(4.28) Entµ(f2) ≤ A

∫E

f2dµ + CEµ(f), LS(A,C)

es decir,∫E(f2 log f2)dµ−

∫E

f2dµ log(∫

Ef2dµ) ≤ A

∫E

f2dµ + C

∫E

Γ(f)dµ.


Una desigualdad logaritmica de Sobolev es ajustada si A = 0.

(4.29) Entµ(f2) ≤ CEµ(f), LS(C)

es decir, ∫E(f2 log f2)dµ−

∫E

f2dµ log(∫

Ef2dµ) ≤ C

∫E

Γ(f)dµ.

La constante C optimal, es decir la menor constante para la cual (4.28)se cumple, se llama constante logarıtmica de Sobolev. Como ya hemosdicho las desigualdades logarıtmica de Sobolev correspondo al caso de unadesigualdad funcional cuando p = 2.

Veamos la relacion entre la desigualdad logarıtmica de Sobolev y la de-sigualdad de grieta espectral,

Proposicion 4.1. Tenemos la siguiente relacion entre la desigualdadlogarıtmica de Sobolev y la desigualdad de grieta espectral:

i) Una desigualdad logarıtmica de Sobolev ajustada con constante Cimplica una desigualdad de grieta espectral con constante C/2.

ii) Recıprocamente, si se verifica una desigualdad logarıtmica de Sobolevno ajustada y una desigualdad de grieta espectral, entonces se cumpleuna desigualdad de Sobolev ajustada.

Por lo tanto en presencia de desigualdad logarıtmica de Sobolev no ajus-tada entonces la desigualdad logarıtmica de Sobolev ajustada es equivalentea la desigualdad de grieta espectral.

Demostracioni) Consideremos la desigualdad logarıtmica de Sobolev ajustada para lafuncion (1 + εf),∫

E[(1+εf)2 log(1+εf)2]dµ−

∫E(1+εf)2dµ log(

∫E(1+εf)2dµ) ≤ C

∫E

Γ(1+εf)dµ,

pero como Γ(1 + εf) = ε2Γ(f), (Ejercicio) tenemos,1ε2

∫E[(1+εf)2 log(1+εf)2]dµ− 1

ε2

∫E(1+εf)2dµ log(

∫E(1+εf)2dµ) ≤ C

∫E

Γ(f)dµ,

desarrollando los cuadrados,1ε2

∫E[log(1 + εf)2 + (2εf + ε2f2) log(1 + εf)2]dµ− 1

ε2log(

∫E(1 + εf)2dµ)

− 1ε2

∫E(2εf +ε2f2)dµ log(

∫E(1+εf)2dµ) ≤ C

∫E

Γ(f)dµ.

reagrupando1ε2

∫E

log(1+εf)2dµ− 1ε2

log(∫

E(1+εf)2dµ)+

∫E(2f +εf2)

1ε

log(1+εf)2dµ

−∫

E(2f + εf2)dµ

1ε

log(∫

E(1 + εf)2dµ) ≤ C

∫E

Γ(f)dµ.


Usando la regla de L’Hopital tenemos que cuando ε → 0,1ε

log(1 + εf)2 → 2f,

y1ε

log(∫

E(1 + εf)2dµ) → 2

∫E

fdµ.

Para el primer termino tenemos, usando la regla de L’Hopital dos veces, quecuando ε → 0,

1ε2

∫E

log(1 + εf)2dµ− 1ε2

log(∫

E(1 + εf)2dµ) → 2(

∫E

fdµ)2 − 2∫

Ef2dµ,

y por tanto obtenemos

2∫

Ef2dµ− 2(

∫E

fdµ)2 ≤ C

∫E

Γ(f)dµ.

ii) Para probar esta implicacion se necesita la desigualdad de Rothaus [79],si f ∈ L2(µ),

Entµ(f2) ≤ 2σ2(f) + Entµ((f −∫

Efdµ)2).

Entonces se aplica la desigualdad logarıtmica de Sobolev a (f −∫E fdµ) en

vez de a f .Si se cambia f por fp/2 en la desigualdad logarıtmica de Sobolev, gracias

a la propiedad de difusion de L, se obtiene una desigualdad Lp,

Entµ(fp) ≤ A

∫E

fpdµ + Cp2

4

∫E

fp−2Γ(f)dµ

= A

∫E

fpdµ− Cp2

4(p− 1)

∫E

fp−1Lfdµ.(4.30)

En el caso de p = 1 la funcion fp−1/(p − 1) hay que remplazarla por lafuncion log f.

En la desigualdad anterior hemos usado que por la propiedad de difusion(2.22)

Γ(fp/2, fp/2) =p2

4fp−2Γ(f),

y la identidad ∫E

φ(f)Lfdµ = −φ′(f)Γ(f)dµ.

(Ejercicio.)Como ya hemos mencionado, la desigualdad logarıtmica de Sobolev fue

introducida por Leonard Gross [39] para probar el resultado de hipercon-tractividad de Nelson [70] del semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck. Luegoresulto que esta desigualdad es valida en contextos muchos mas generales eincluso en infinitas dimensiones.

Recuerdese la desigualdad (4.2), probada en la seccion 1 de este capıtulo,

2∫

Rd

|f |2 log |f |2dγd −∫

Rd

|f |2dγd log(∫

Rd

|f |2 log |f |dγd)

≤∫

Rd

|∇f |2dγd,

lo que implica que el operador de Ornstein-Uhlenbeck L, que tiene como me-dida invariante la medida gaussiana γd, satisface una desigualdad logarıtmicade Sobolev ajustada con constante 1. No tenemos, por ahora, un argumentodirecto para justificar que la constante logarıtmica de Sobolev para L es 2.Observese que 2 es optimal ya que, como hemos visto en la proposicion an-terior, una desigualdad logarıtmica de Sobolev con constante C implica unadesigualdad de grieta espectral con constante C/2 y sabemos que la grietaespectral para el operador de Ornstein-Uhlenbeck (−L) es 1 ya que 1 es suprimer autovalor no nulo.

Ademas, la desigualdad logarıtmica de Sobolev ajustada implica unadecaida exponencial de la entropıa para t tendiendo a infinito.

El resultado mas importante de la desigualdad logarıtmica de Soboleves el teorema de L. Gross [39], que establece la equivalencia de dicha de-sigualdad con la propiedad hipercontractiva para un semigrupo Markoviano{Tt}, con medida invariante µ esencialmente por los mismos argumentos da-dos en la seccion anterior en el Teorema 4.1, en el caso del semigrupo deOrnstein-Uhlenbeck y la medida gaussiana; mas generalmente tenemos,

Teorema 4.3. (Gross) Dado un semigrupo Markoviano {Tt}t≥0 con me-dida invariante µ y generador infinitesimal L, sean A y C dos constantespositiva, p ∈ (1,∞) y sean las funciones q(t) y m(t) definidas por

(4.31)q(t)− 1p− 1

= e4t/C y m(t) =A

16(1p− 1

q(t)),

Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes,i) El operador L y la medida µ satisfacen una desigualdad logarıtmica

de Sobolev con constantes A,C, LS(A,C).ii) El semigrupo {Tt}t≥0 verifica la desigualdad

(4.32) ||Ttf ||q(t),µ ≤ em(t)||f ||p,µ,

para 1 0.

En otras palabras, la desigualdad logarıtmica de Sobolev es equivalenteal hecho que el semigrupo es continuo entre Lp(µ) y Lq(t)(µ), con normacontrolada a traves de la constante A. En particular cuando A = 0 tenemosentonces la propiedad hipercontractiva,

Corolario 4.2. Dado un semigrupo Markoviano {Tt}t≥0 con medidainvariante µ y generador infinitesimal L, entonces las siguientes afirma-ciones son equivalentes,

i) El operador L y la medida µ satisfacen una desigualdad logarıtmicade Sobolev ajustada con constante C, LS(C).

ii) El semigrupo {Tt}t≥0 es hipercontractivo con funcion de contraccionq(t) = 1 + (p− 1)e4t/C , es decir, para todo para 1 0y f ∈ Lp(µ),

(4.33) ||Ttf ||q(t),µ ≤ ||f ||p,µ.

No daremos los detalles de la prueba del teorema de Gross aca, vease[2] o [10], pero basta decir que, analogo al caso del semigrupo de Ornstein-Uhlnbeck, la demostracion se basa en probar que la version Lp de la de-sigualdad logarıtmica de Sobolev (4.30) implica, usando el lema 4.1, que laderivada de em(t)||f ||p,µ es negativa. La desigualdad logarıtmica de Soboleves la derivada en t = 0 de la propiedad hipercontractiva.

En el caso simetrico es suficiente saber para algun t > 0 y para algun q >p, el operador Tt es acotado de Lp(µ) en Lq(µ) para obtener la desigualdadlogarıtmica de Sobolev. Mas aun si la norma en este caso es 1, se obtieneuna desigualdad logarıtmica de Sobolev ajustada, para mas detalles vease[10].

Las desigualdades logarıtmicas de Sobolev tienen las mismas propiedadesque las desigualdades de grieta espectral: son estables por tensorizacion ypor el perturbaciones acotadas, de la medida o del operador cuadrado decampo, vease [2].

3.3. Desigualdades de Sobolev.

Definicion 4.5. Decimos que el operador L con medida invariante µ,satisface una desigualdad de Sobolev, si verifica una desigualdad de laforma

(4.34) ||f ||2p,µ ≤ A||f ||22,µ + CEµ(f). S(A,C)

En general, tomaremos p = 2nn−2 , y diremos que la desigualdad de Sobolev

es de dimension n, S(n, A,C).El principal ejemplo donde una desigualdad este tipo se cumple es en el

caso de una variedad Riemanniana n-dimendional compacta, con la medidade Riemann siendo p = 2n

(n−2) el mejor exponente. Los ejemplo basicos,donde la mejor constante en la desigualdad de Sobolev, se conoce son:

(1) En la esfera S,

||f ||22n/(n−2),µ ≤ ||f ||22,µ +4

n(n− 2)

∫E

ΓS(f)dµS ,

(2) En el espacio euclıdeo E,

||f ||22n/(n−2),µ ≤4

n(n− 2)

∫E

ΓE(f)dµE ,

(3) En el espacio hiperbolico H,

||f ||22n/(n−2),µ ≤ −||f ||22,µ +4

n(n− 2)

∫E

ΓH(f)dµH ,

En la recta real R la desigualdad de Sobolev actuando sobre funcionesradiales en la esfera da la desigualdad de Sobolev para el operador de Jacobi,con la misma constante. La desigualdad permanece cierta para n > 2. Ensecciones siguientes estudiaremos el caso de la desigualdad de Sobolev parael operador de Jacobi con mas detalle.

Si µ es una medida de probabilidad, la desigualdad de Sobolev se diceajustada cuando A = 1, S(n, C).

Como en el caso de la desigualdad logarıtmica de Sobolev, cuando secumple una desigualdad de Sobolev para una probabilidad µ, con constanteC, entonces la condicion de ser ajustada es equivalente a una desigualdadde grieta espectral, con constante C/(p − 1). Este resultado se obtiene denuevo considerando 1 + εf y tomando ε tendiendo a cero.

Las familia de desigualdades de Gagliardo-Niremberg

||f ||r,µ ≤ ||f ||1−θs,µ (A||f ||22,µ + CEµ(f))θ/2,

θ ∈ [0, 1], r, s ≥ y 1r = θ(n−2)

2n + (1−θ)s y la desigualdad de Nash,

||f ||2,µ ≤ ||f ||1−θ1,µ (A||f ||22,µ + CEµ(f))θ/2,

son casos particulares de la desigualdad de Sobolev, vease [13]. Ademas elcaso lımite r = s = 2 si ||f ||2 = 1 entonces

Entµ(f2) ≤ n

2log[A||f ||22,µ + CEµ(f)],

que luce como una desigualdad logarıtmica pero que comparte propiedadescon las desigualdades de Sobolev. Esta desigualdad se llama desigualdadlogaritmica de entropıa-energia y pertenece a una clase muy amplia dedesigualdades de entropıa-energia.

Definicion 4.6. Decimos que el operador L con medida invariante µ,satisface una desigualdad de Sobolev debil si verifica una desigualdadde la forma,

||f ||r ≤ (A||f ||22 + B

∫E

Γ(f)dµ)θ2 ||f ||1−θ

s , Sd(r, s)

r ≥ 1, s ≥ 1, 0 < θ ≤ 1, 1r = θ

p + 1−θs y p = 2n

n−2 .

En verdad estas desigualdades dependen de los parametros r, s, k y θ ytambien de A y B y por ello las vamos a denotar Sd(r, s, n, θ, A, B).

4. La desigualdad de Sobolev implica la desigualdad logarımicade Sobolev.

Para ver que la desigualdad de Sobolev implica la desigualdad logarımicade Sobolev4 es necesario discutir un par de proposiciones previas,

Proposicion 4.2. Una desigualdad de Sobolev S(n, A,C) implica unadesigualdad (mas bien a la familia de desigualdades) de Sobolev debil Sd(r, 2, n, θ, A,C)para r ≥ 1, 0 < θ ≤ 1. r = r(θ, n).

DemostracionPor hipotesis tenemos que se satisface una desigualdad de Sobolev S(n, A,C),

||f ||22nn−2

≤ A||f ||22 + C

∫E

Γ(f)dµ.

Por la desigualdad de Holder tenemos que

||f ||r ≤ ||f ||θt ||f ||1−θs ,

para θ ∈ [0, 1], t, s > 1 y 1r = θ

t + 1−θs . Entonces tomando s = 2 y t = 2n

n−2 ,1r = θ

p + 1−θ2 en esta desigualdad y usando S(n, A,C), tenemos

||f ||2r ≤ ||f ||2θp ||f ||

2(1−θ)2 ≤ (A||f ||22 + C

∫E

Γ(f)dµ)θ||f ||2(1−θ)2 ,

es decir, obtenemos Sd(r, 2, n, θ, A,C) .

Proposicion 4.3. Si µ es una medida que satisface la desigualdad deSobolev tensa de dimension n y constante C, S(n, 1, C) y m > n, entoncessatisface una desigualdad de Sobolev tensa de dimension m con constanteC n

m , S(m, 1, C nm).

DemostracionPor hipotesis tenemos que se satisface una desigualdad de Sobolev S(n, 1, C),por la proposicion anterior para 1

r = θp + 1−θ

2 con θ ∈ [0, 1], se tiene que

||f ||2r ≤ (||f ||22 + C

∫E

Γ(f)dµ)θ||f ||2(1−θ)2

= ||f ||2θ2 (1 + C

∫E Γ(f)dµ

||f ||22)θ||f ||2(1−θ)

2 = ||f ||22(1 + C

∫E Γ(f)dµ

||f ||22)θ.

Para θ = nm ,

1r

=θ

rk+

1− θ

2=

θ(2− rk) + rk

2rk=

θ(2− 2kk−2)

4kk−2

+12

=θ( −4

k−2)4k

k−2

+12

= −θ

k+

12

= − 1m

+12

=m− 22m

4Varias de las siguientes secciones que vamos a discutir en lo que sigue, forman partede la Tesis de Maestrıa de C. Balderrama [?].

4. DESIGUALDADES DE SOBOLEV 71

es decir, r = 2mm−2 , y dado que

(1 + x)θ ≤ 1 + θx

tenemos,

||f || 2mm−2

≤ ||f ||22(1 + C

∫E Γ(f)dµ

||f ||22)θ

≤ ||f ||22(1 + Cθ

∫E Γ(f)dµ

||f ||22) = ||f ||22 + Cθ

∫E

Γ(f)dµ,

y por tanto obtenemos

||f || 2mm−2

≤ ||f ||22 + Cn

m

∫E

Γ(f)dµ S(m, 1, Cn

m).

Ahora si veamos que una desigualdad de Sobolev implica una desigual-dad logarıtmica de Sobolev,

Teorema 4.4. Sea µ una medida que verifica una desigualdad de Sobolevtensa con constante C y dimension n,

||f ||22nn−2

≤ ||f ||22 + C

∫E

Γ(f)dµ, S(n, 1, C)

entonces µ verifica una desigualdad logarıtmica de Sobolev ajustada con con-stante C n

2 ,∫E

f2 log f2dµ−∫

Efdµ log

∫E

fdµ ≤ Cn

2

∫E

Γ(f)dµ. LS(Cn

2)

DemostracionPor la proposicion anterior, para m > n se satisface S(m, 1, C n

m), es decir

||f ||22mm−2

≤ ||f ||22 + Cn

m

∫E

Γ(f)dµ

o, equivalentemente

||f ||2rm− ||f ||22

rm − 2≤ C

n

m

12m

m−2 − 2

∫E

Γ(f)dµ =Cn(m− 2)

4m

∫E

Γ(f)dµ

Estudiemos que pasa cuando se hace m tender a infinito en la desigualdadanterior. En la parte derecha, esto es equivalente a estudiar

limp→2

||f ||2p − ||f ||22p− 2

=d

dp

(||f ||2p

)|p=2 ,(4.35)

lo que es esencialmente el argumento de Gross (vease el lema 4.1). Sea

h(p) = ||f ||2p = (∫

Efpdµ)

2p = (

∫E

ep log fdµ)2p

de donde

log h(p) =2p

log(∫

Eep log fdµ

).


Derivando con respecto a p tenemos

h′(p)h(p)

= − 2p2

log(∫

Efpdµ

)+

2p

∫E log(f)fpdµ∫

E fpdµ

=2p

[∫E log(f)fpdµ

||f ||pp − 1p

log ||f ||pp

],

de donde

h′(p) =2p[∫

Efp log fdµ(

∫E

fpdµ)2p−1 − 1

p(∫

Efpdµ)

2p log(

∫E

fpdµ)]]

=2p

[||f ||2−p

p

∫E

fp log fdµ− 1p||f ||2p log ||f ||pp

].

Ası pues (4.35) es

h′(2) =∫

Ef2 log fdµ− 1

2||f ||22 log(

∫E

f2dµ) =12

[∫E

log(f2)f2dµ− ||f ||22 log(∫

Ef2dµ)

].

Luego, tomando lımite cuando m tiende a infinito en (4.35), tenemos

12

[∫E

log(f2)f2dµ− ||f ||22 log∫

Ef2dµ

]≤ Cn

4

∫E

Γ(f)dµ;

es decir, se satisface la desigualdad logarıtmica de Sobolev ajustada LS(Cn2 ).

5. Desigualdades de curvatura-dimension.

En 1984 D. Bakry y M. Emery [12] desarrollaron un criterio (condicionsuficiente) para que un semigrupo de difusion verifique la propiedad hiper-contractiva, es el famoso criterio de Bakry-Emery que esta dado enterminos del operador cuadrado de campo iterado Γ2 (2.15), definidoen el Capıtulo 1,

Γ2(f, g) =12[LΓ(f, g)− Γ(f, Lg)− Γ(f, Lg)],

para todo f, g ∈ A, el algebra estandard.El criterio de Bakry-Emery ha evolucionado a lo que ahora se llaman de-

sigualdades de curvatura-dimension, que permite estudiar la estructuralocal del generador L y que tienen importantes aplicaciones en la GeometrıaDiferencial.

Definicion 4.7. Decimos que un operador L satisface una desigualdadde curvatura-dimension CD(ρ, n) si para todo f ∈ A,

(4.36) Γ2(f) ≥ ρΓ(f) +1n

(Lf)2, CD(ρ, n)

ρ ∈ R y n ∈ [1,∞].

5. DESIGUALDADES DE CURVATURA-DIMENSION. 73

Proposicion 4.4. Si L es un operador sobre un intervalo real I que sepuede escribir como

(4.37) L(f)(x) = f ′′(x)− a(x)f ′(x),

entonces L satisface la desigualdad CD(ρ, n) si, y solo si, para todo x ∈ I,

(4.38) a′(x) ≥ ρ +a2(x)n− 1

.

DemostracionSi el operador L se puede escribir como (4.37), entonces el operador cuadradode campo es

Γ(f, g) =12[L(fg)− fLg − gLf ]

=12[f ′′g + 2f ′g′ + fg′′ − af ′g − afg′ − (fg′′ − afg′)− (f ′′g − af ′g)]

= f ′g′.

Ademas, como

LΓ(f, g) = f ′′′g′ + 2f ′′g′′ + f ′g′′′ − af ′′g′ − af ′g′′

Γ(f, Lg) = f ′g′′′ − a′f ′g′ − af ′g′′ y Γ(g, Lf) = f ′′′g′ − a′f ′g′ − af ′′g′,

tenemos que el operador cuadrado de campo es

Γ2(f, g) =12[LΓ(f, g)− Γ(f, Lg)− Γ(g, Lf)] = f ′′g′′ + a′f ′g′.

Entonces, se verifica una desigualdad de curvatura-dimension CD(ρ, n),

Γ2(f) ≥ ρΓ(f) +1n

(Lf)2

si y solo si,

(f ′′)2 + a′(f ′)2 ≥ ρ(f ′)2 +1n

(f ′′)2 − 2a

nf ′′f ′ +

a2

n(f ′)2

es decir,

0 ≤ (1− 1n

)(f ′′)2 + (a′ − a2

n− ρ)(f ′)2 + 2

a

nf ′′f ′

Llamando A = 1− 1n , B = 2 a

n y C = a′ − a2

n − ρ, tenemos un polinomio desegundo grado en (f ′′)2

0 ≤ A(f ′′)2 + Bf ′′f ′ + C(f ′)2 = A(f ′′ +B

2Af ′)2 + (C − B2

4A)(f ′)2.

Como A = 1 − 1n = n−1

n ≥ 0, ya que n ≥ 1, esta expresion es positiva si, ysolo si,

0 ≤ C − B2

4A=

4AC −B2

4Alo que es equivalente a

a′ ≥ ρ +a2

n− 1.


Los casos extremos, que son los casos donde hay igualdad en la desigual-dad (4.38), tenemos los siguientes casos, salvo traslaciones, que llamamosmodelos de la desigualdad CD(ρ, n):

i.) CD((n−1), n) entonces a(x) = (n−1) tan x en (−π/2, π/2). Cuandon es un entero, esto es la parte radial del Laplaciano esferico. Cam-biando la variable de x a y = cos x se obtiene el operador ultra-esferico. (Ejercicio).

ii.) CD(0, n) entonces a(x) = −(n−1)/x (Ejercicio). Esta es la parteradial del Laplaciano Euclideo, cuando nes un entero. El operadorasociado se conoce como el operador de Bessel.

iii.) CD(−(n− 1), n). Hay muchas soluciones a(x) = −(n− 1)cotanhxen (0,∞), a(x) = ±(n − 1) en R y a(x) = −(n − 1) tan x enR. Estas soluciones corresponden a distintos casos del Laplacianohiperbolico.

iv.) CD(1,∞) entonces a(x) = 2x (Ejercicio), que representa un multiplodel operador de Ornstein-Uhlenbeck, es la parte radial del Lapla-ciano esferico en una esfera de radio

√n− 1 en dimension n cuando

n tienede a infinito. Observese que esta esfera satisface CD(1, n) yque esta desigualdad CD(1, n) tiende al lımite CD(1,∞).

De lo anterior queda claro entonces que aun en el caso unidimensional lasdesigualdades de curvatura-dimension CD(ρ, n) captura informacion del es-pacio de donde el operador proviene. Veamos entonces las relaciones en-tre las desigualdades de curvatura-dimension CD(ρ, n) y las desiguadadesfuncionales, la prueba de este resultado es tecnicamente complicada, paradetalles vease [10]:

Teorema 4.5. Tenemos las siguientes relaciones entre las desigualdadesde curvatura-dimension CD(ρ, n) y las desigualdades funcionales:

i) Si se verifica una desigualdad CD(ρ, n) para algun ρ > 0 y n > 2entonces la medida invariante µ tiene que ser finita y si la medidaµ es ademas simetrica, se cumple para la probabilidad invarianteuna desigualdad de Sobolev ajustada S(n, C) con C = 4(n−1)

n(n−2)ρ .

ii) Si se verifica una desigualdad CD(ρ,∞) para algun ρ > 0 entoncesentonces la medida invariante µ tiene que ser finita y para la proba-bilidad invariante se cumple una desigualdad logarıtmica de Sobolevajustada con constante C acotada por arriba por 2

ρ .

Corolario 4.3. El semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck satisface una de-sigualdad curvatura dimension CD(ρ,∞) para ρ ≤ 1.

DemostracionDado que, como hemos visto en el capıtulo anterior, en el caso del semigrupode Ornstein-Uhlenbeck tenemos que

Γ(f)(x) =12(f ′(x))2, y Γ2(f)(x) =

14(f ′′(x))2 +

12(f ′(x))2,

6. LA PROPIEDAD HIPERCONTRACTIVA DEL SEMIGRUPO DE LAGUERRE. 75

tenemos entonces una desigualdad de curvatura-dimension con constantes ρy n = ∞,

14(f ′′(x))2 +

12(f ′(x))2 ≥ ρ

2(f ′(x))2,

si y solo si ρ ≤ 1.Observese que el resultado ii) del teorema anterior es optimal para la

medida Gaussiana y el operador de Ornstein-Uhlenbeck. Ası pues, el op-erador de Ornstein-Uhlenbeck es el modelo de operador que satisface unadesigualdad CD(1,∞) y por tanto satisface una desigualdad logarıtmica deSobolev, que se puede pensar como la desigualdad de Sobolev para infinitasdimesiones. Por lo tanto, por el resultado de Gross, Corolario 4.2, obtenemosotra prueba de que el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck es hipercontractivo.

- Como veremos en la seccion siguiente, los operadores de Laguerre satis-facen una desigualdad CD(1/2,∞) y por tanto son hipercontractivos, veasepor ejemplo [51] y [38].

- Los operadores de Jacobi simetricos (vease [9]) son los modelos deoperadores que satisfacen CD(ρ, n) y por tanto satisfacen una desigual-dad de Sobolev d-dimensional. Ademas vamos a probar (vease [2]) que ladesigualdad de Sobolev de los operadores de Jacobi simetricos implica unadesigualdad logarıtmica de Sobolev y por tanto los semigrupos de Jacobi sontambien hipercontractivos. Mas aun de dada las relaciones asintoticas de lospolinomios de Jacobi con los polinomios de Hermite y Laguerre, vease (B.46)y (B.49) en el Apendice B, vamos a probar que de la desigualdad de Sobolevpara los operadores de Jacobi se pueden obtener tambien las desigualdadeslogarıtmicas de Sobolev para los operadores de Ornstein-Uhlenbeck y deLaguerre.

Para una discusion mas amplia de las desigualdades de curvatura-dimensionpuede consultarse [11], seccion 3.

6. La propiedad Hipercontractiva del semigrupo de Laguerre.

Como ya hemos mencionado anterior vamos a probar una desigualdadcurvatura-dimension CD(1/2,∞), para el operador de Laguerre Lα,

Teorema 4.6. Para todo α > −1 el operador de Laguerre Lα satisfaceuna desigualdad curvatura-dimension CD(1/2,∞).

DemostracionPor el argumento de tensorizacion basta considerar el caso unidimensionaly en ese caso, recordemos que, por lo visto en el capıtulo anterior, tenemosque

Γ(f) = x(f ′)2, y Γ2(f) =(

xf ′′ +f ′

2

)2

+(

x + α +12

)(f ′)2

2,

por lo tanto, (xf ′′ +

f ′

2

)2

+(

x + α +12

)(f ′)2

2≥ 1

2x(f ′)2,

si α ∈ [−1/2,∞), es decir, para α ∈ [−1/2,∞) se verifica una desigualdadde curvatura dimension C(1

2 ,∞). Cuando α ∈ (−1,−1/2) Korzeniowskiobtiene el resultado explotando la formula explıcita del nucleo Gα

t (x, y),vease la estimacion (8) en [51] y el Teorema 4.

Por lo tanto, por el resultado de Gross, Corolario 4.2, obtenemos

Corolario 4.4. El semigrupo de Laguerre {Tαt } es hipercontractivo,

para todo α > −1.

Por tanto, de forma analoga a la hecha en la seccion 2 de este capıtulo, enel caso del semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck, podemos obtener una versiondel teorema de Meyer para multiplicadores de desarrollos de Laguerre, vease[38],

Teorema 4.7. Si para algun n0 tenemos que φ(n) = h( 1nδ ) para n ≥ n0,

δ ∈ (0, 1] y h es una funcion analıtica en un entorno del origen, entonces eloperador

Tφf =∞∑

k=0

φ(k)Jαf, f =∞∑

k=0

Jαf,

definido inicialmente en L2(Rd+, µα), o en los polinomios, tiene una en-

tension continua en Lp(Rd+, dµα), 1 < p < ∞. Mas aun, su Lp norma

es independiente de la dimension y del multi-ındice α.

7. Desigualdad de Sobolev para el semigrupo de Jacobi yalgunas consecuencias.

Vamos a probar que el semigrupo de Jacobi satisface una desigualdadde Sobolev ajustada S(n, C), siguiendo artıculo [9] de D. Bakry vamos aver que para ello basta probar, por el Teorema 4.5 i), que el satisface unadesigualdad de curvatura-dimension CD(ρ, n).

7.1. Desigualdad de curvatura-dimension para el operador deJacobi. Siguiendo [9] en esta seccion vamos a trabajar con el operador deJacobi y el semigrupo de Jacobi con parametros α = q−2

2 , β = p−22 , para

p, q > 1, luego α, β > −1/2.Consideramos entonces el operador de Jacobi,

(4.39) Lp,qf(x) = (1− x2)f ′′(x)− 12{(p + q)x + q − p}f ′(x).

Por medio del cambio de x a −x, se ve que el operador Lp,q se transformaen Lq,p , luego, basta considerar el caso p ≥ q.

La medida invariante y simetrica para este operador es,

(4.40) µp,q(dx) =1

Zp,q(1− x)

q−22 (1 + x)

p−22 dx,

7. DESIGUALDAD DE SOBOLEV PARA EL SEMIGRUPO DE JACOBI 77

en (−1, 1) donde

Zp,q = 2p+q−2

2Γ(p

2)Γ( q2)

Γ(p+q2 )

= 2q−22

+ p−22

+1B(p

2,q

2).

Recuerdese que en este caso el operador cuadrado de campo viene dadopor

Γp,q(f, g) = (1− x2)f ′(x)g′(x).Entonces tenemos el siguiente resultado,

Teorema 4.8. El operador de Jacobi Lp,q y la medida µp,q satisfacenuna desigualdad de Sobolev ajustada S(p, C),

(4.41) ‖f‖22p

p−2

≤ ‖f‖22 + C

∫ 1

−1Γ(f)µp,q(dx),

y la mejor constante C = Cp,q que aparece en esta desigualdad satisface

(Zp,q

Zp,p)

2p ≤ Cp,q ≤

16(p− 1)p(p− 2)(p + 3q − 4)

.

DemostracionUsando la Proposicion 4.4, debemos rescribir el operador de Jacobi de laforma (4.37), y para eso vamos a hacer el cambio

x = sin y, y ∈ [−π/2, π/2], y = arcsinx,

en el operador de Jacobi

Lp,q(f)(x) = (1− x2)f ′′(x)− 12{(p + q)x + q − p}f ′(x).

Por la regla de la cadena tenemos,

(f(y))′ = y′f ′(y) =1

cos yf ′(y)

(f(y))′′ = y′′f ′(y) + (y′)2f ′′(x) =sin y

cos2 yf ′(y) +

1cos2 y

f ′′(y),

Aplicando este cambio al operador de Jacobi obtenemos

Lf(y) = f ′′(y)− 12{(p + q − 2) tan y +

q − p

cos y}f ′(y).

En este casoa(y) =

12{(p + q − 2) tan y +

q − p

cos y},

y entonces la desigualdad (4.38) se convierte en

12((p + q − 2)

1cos2 y

+(q − p) sin y

cos2 y) ≥ ρ +

1n + 1

14 cos2

((p + q − 2) sin y + q − p)2.

Devolviendo el cambio de variable,

12(1− x2)

(p + q − 2 + (q − p)x) ≥ ρ +1

4(1− x2)((p + q − 2)x + q − p)2

n− 1


lo que es equivalente a

2(p + q − 2 + (q − p)x) ≥ 4ρ(1− x2) +((p + q − 2)x + q − p)2

n− 1.

Evaluando en x = 1, tenemos que

4(q − 1) ≥ 4(q − 1)2

n− 1,

lo que implica que n ≥ q, y evaluando en x = −1,

4(p− 1) ≥ 4(1− p)2

n− 1

lo que implica quen ≥ p.

Entonces, para que la desigualdad (4.42) se satisfaga, debe ocurrir n ≥sup{p, q} = p. Para el valor extremo n = p, estudiando la ecuacion cuadrat-ica resultante, obtenemos la codicion

ρ ≤ p + 3q − 44

.

Dada la forma de la desigualdad de curvatura-dimension CD(ρ, n), la mejorconstante n es la mas pequena y la constante ρ es la mas grande. Ası,es semigrupo de Jacobi satisface una desigualdad de curvatura-dimensionCD(ρ, p), donde la mejor constante ρ esta acotada por p+3q−4

4 .Ahora, por el Teorema 4.5, tenemos que el semigrupo de Jacobi satisface

una desigualdad de Sobolev ajustada S(p, C) y que la mejor constante C =Cp,q esta acotada por debajo por

Cp,q =4(k − 1)k(k − 2)ρ

=16(p− 1)

p(p− 2)(p + 3q − 4).

Para la estimacion por abajo remitimos al artıculo de Bakry [9], pag 33-34.Ahora, la desigualdad logarıtmica de Sobolev para el semigrupo de

Jacobi, por el Teorema 4.4, se deriva directamente de la desigualdad deSobolev.

Corolario 4.5. El semigrupo de Jacobi satisface una desigualdad logarıtmicade Solovev ajustada LS(C), donde la mejor constante C esta acotada pordebajo por 8(p−1)

(p−2)(p+3q−4) .

Finalmente por el resultado de L.Gross, Corolario 4.2, devolviendo loscambios hechos en los parametros, q = 2α + 2 y p = 2β + 2, tenemosque el operador de Jacobi satisface una desigualdad de curvatura-dimensionCD(ρ, n) con ρ = β+3α+2

2 y n = 2β+2, por lo tanto satisface una desigualdadlogarıtmica de Solovev ajustada LS(C), con mejor constante C acotada pordebajo por 8(2β+1)

2β(2β+6α+8) = 2(2β+1)β(β+3α+4) y tenemos entonces


Corolario 4.6. El semigrupo de Jacobi {Tα,βt } es hipercontractivo, con

funcion de contraccion

q(t) = 1 + (q(0)− 1)e4t/C ,

con C = 2(2β+1)β(β+3α+4) .

De este hecho se puede obtener entonces resultados similares a los obtenidospara el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck en la seccion 2 para culminar enun Teorema de Multiplicadores de Meyer para el caso Jacobi. Debido alproblema de la “no linealidad” de los aultovalores, para obtener una versionde dicho resultado en toda generalidad hay que considerar la descomposicionen caos de Wiener-Jacobi modificada, para mas detalles vease [16].

En las siguientes subsecciones vamos a ver que como consecuencia delas relaciones asintoticas entre los polinomios de Jacobi y los polinomios deHermite y Laguerre,5 se pueden obtener las desigualdades logarıtmicas parasus respectivos operadores a partir de la desigualdad de Sobolev para el op-erador de Jacobi.

7.2. Desigualdad Logarıtmica de Sobolev para el operador deOrnstein-Uhlenbeck. Por la relacion asintotica (B.49), consideremos elcaso Gegenbauer, es decir el caso p = q. El operador de Jacobi (simetrico)se escribe entonces

Lpf(x) = Lp,pf(x) = (1− x2)f ′′(x)− pxf ′(x),

y la medida de Jacobi en (−1, 1),

µp(dx) = µp,p(dx) =1

Zp,pχ(−1,1)(x)(1− x2)

p−22 dx.

En este caso la desigualdad de Sobolev que satisface este operador es

‖f‖22p

p−2

≤ ‖f‖22 +

4p(p− 2)

∫ 1

−1Γ(f)µp(dx).(4.42)

Si aplicamos el cambio de variable x =√

2py,6 en el operador Lp/p

obtenemos

Lpf(y) = (1− 2y2

p)12f ′′(y)− yf ′(y).

Cuando p tiende a infinito, este operador converge al operador de Ornstein-Uhlenbeck,

Lf(y) =12f ′′(y)− yf ′(y).

5Vease Apendice B.6por tanto (f(y))′ = y′f ′(y) =

pp/2f ′(y),(f(y))′′ = y′′f ′(y)+(y′)2f ′′(y) = p/2f ′′(y).


Aplicando el mismo cambio a la medida µp tenemos

µp(dy) =1Zp

χ[−√

p/2,√

p/2](y)(1− 2y2

p)

p2−1dy,

que converge, al hacer p tender a infinito, a la medida Gaussiana

γ1(dy) = µ∞(dy) =1√π

e−y2dy.

Por ultimo, al aplicar el cambio a la forma de Dirichlet,∫ 1

−1Γ(f)(x)µp(dx) =

∫ 1

−1(1− x2)(f ′(x))2µp(dx)

obtenemosp

2

∫ √p/2

−√

p/2(1− 2y2

p)(f ′(y))2µp(dy).

Luego, despues de este cambio la desigualdad de Sobolev (4.42) se trans-forma en

‖f‖22p

p−2

≤ ‖f‖22 +

4p(p− 2)

p

2

∫ √p/2

−√

p/2(1− 2y2

p)(f ′(y))2µp(dy),

lo que implica que,

‖f‖22p

p−2

− ‖f‖22

2pp−2 − 2

≤ 12

∫ √p/2

−√

p/2(1− 2y2

p)(f ′(y))2µp(dy),

es decir

(∫|f(y)|

2pp−2 µp(dy))

p−2p −

∫|f(y)|2µp(dy)

2pp−2 − 2

≤ 12

∫(1− 2y2

p)(f ′(y))2µp(dy).

Por un argumento analogo al utilizado en el Teorema 4.4, al tomar lımitecuando p tiende a infinito obtenemos

12[∫

Rf2 log f2γ1(dy)−

∫R

f2γ1(dy) log(∫ ∫

Rf2γ1(dy))] ≤ 1

2

∫ ∫R(f ′(y))2γ1(dy),

que es la desigualdad logarıtmica de Sobolev para el operador de Ornstein-Uhlenbeck.

7.3. Desigualdad Logarıtmica de Sobolev para el operador deLaguerre. Para obtener la desigualdad logarıtmica para el operador deLaguerre, vamos a proceder de manera analoga que para el caso del operadorde Ornstein-Uhlenbeck, utilizando ahora la relacion asintotica (B.46), porello consideremos el cambio de variable x = 1− 2y

p ,7 en el operador de Jacobi

7por tanto (f(y))′ = y′f ′(y) = − p2f ′(y), (f(y))′′ = y′′f ′(y) + (y′)2f ′′(y) = p2

4f ′′(y).


Lp,q, obtenemos

Lp,qf(y) =1p[(−4

y2

p2+ 4

y

p)p2

4f ′′(y) +

12((p + q)(1− y

p) + q − p)

p

2f ′(y)]

= y(1− y

p)f ′′(y)− 1

2(p + q

py − q)f ′(y),

que al hacer p tender a infinito converge al operador de Laguerre

Lqf(y) = yf ′′(y)− 12(y − q)f ′(y),

la medida µp,q se transforma en

µp,q(dy) =1

Zp,q

χ(0,p](y)yq−22 (1− y

p)

p−22 dy

que al tender p hacia infinito, converge a la medida Gamma,

µq(dy) =1Zq

χ(0,∞)(y)yq−22 e−y/2dy,

y la forma de Dirichlet,∫Γ(f)(x)µp,q(dx) =

∫(1− x2)(f ′(x))2µp,q(dx),

se transforma enp

∫y(1− y

p)(f ′(y))2µp,q(dy).

Por tanto, despues de este cambio, la desigualdad de Sobolev del operadorde Jacobi (4.41) toma la forma

‖f‖22p

p−2

≤ ‖f‖22 +

16(p− 1)p(p− 2)(p + 3q + 4)

p

∫y(1− y

p)(f ′(y))2µp,q(dy),

lo que implica que

‖f‖22p

p−2

− ‖f‖22

2pp−2 − 2

≤ 4(p− 1)(p + 3q + 4)

∫y(1− y


o equivalentemente

(∫|f(y)|

2pp−2 µp,q(dy))

p−2p −

∫|f(y)|2µp,q(dy)

2pp−2 − 2

≤ 4(p− 1)(p + 3q + 4)

∫y(1−y


Tomando lımite cuando p tiende a infinito, y usando de nuevo un argumentoanalogo al argumento del Teorema 4.4, tenemos12[∫

f2 log f2µq(dy)−∫

f2µq(dy) log(∫

f2µq(dy))] ≤ 4∫

(f ′(y))2µq(dy),

que es la desigualdad logarıtmica de Sobolev para el operador de Laguerrecon constante 8.

APENDICE A

La funcion Gamma y funciones relacionadas.

Definicion A.1. La funcion Gamma denotada con Γ, se define como

(A.1) Γ (z) =∫ ∞

0xz−1e−xdx,

para Re z > 0.

Por integracion por partes es facil probar que la funcion Gamma satisfacela relacion de recurrencia

(A.2) Γ (z + 1) = zΓ (z) ,

en particularΓ (n + 1) = n!,

y ademas

Γ (n + 1/2) =(2n)!

√π

22nn!, Γ (−n + 1/2) = (−1)n 22nn!

√π

(2n)!,

Γ (1) = 1, Γ(1/2) =√

π.

Ademas tenemos las formulas de Stirling

(A.3) Γ (z) ∼ (2π)1/2zz−1/2e−z, z →∞,

y

(A.4) n! ∼√

2πn (n

e)n, n →∞.

Tenemos ademas, estrechamente ligada a la funcion Gamma, la funcionBeta

Definicion A.2. La funcion Beta se define como

(A.5) B(z, w) =∫ 1

0tz−1(1− t)w−1dt,

Re z > 0, Re w > 0.

Observese que, por el cambio de variable t = 1−u, se puede probar queB(z, w) es simetrica, B(z, w) = B(w, z). Ademas, por el cambio de variablet = 1+u

2 , tenemos

B(z, w) =1

2z+w−1

∫ 1

−1(1 + u)z−1(1− u)w−1du.

83

84 A. LA FUNCION GAMMA Y FUNCIONES RELACIONADAS.

Por otra parte, tenemos la siguiente relacion entre la funcion Gammay la funcion Beta,

(A.6) B(z, w) =Γ(z)Γ(w)Γ(z + w)

.

Definicion A.3. El sımbolo de Pochammer (α)n, se define como

(A.7) (α)n = α (α + 1) (α + 2) ... (α + n− 1) ,

para n ≥ 0 y(α)0 = 1,

con α 6= 0 un numero real.

Observese que (1)n = n!.Tenemos, por la relacion de recurrencia de la funcion Gamma, la relacion

del sımbolo de Pochammer con la funcion Gamma

(A.8) (α)n =Γ (α + n)

Γ (α).

Ademas los coeficientes binomiales se pueden definir para cualquierα ∈ R como

(A.9)(

α

n

)=

α(α− 1) · · · (α− n + 1)n!

,

y por tanto,(α

n

)=

(α− n + 1)n

n!=

Γ (α + 1)Γ (α− n + 1) Γ (n + 1)

.

APENDICE B

Polinomios ortogonales clasicos.

La referencia obligatoria para el estudio de los polinomios ortogonalesclasicos es el libro de G. Szego [90]. La bibliografıa sobre este tema es muyextensa, entre otras referencias citaremos T. S. Chihara [24], G. E. Andrews,R. Askey, & R. Roy [4], N. N. Lebedev [56], M. Abramowitz & I.A. Stegun[1].

1. Polinomios de Hermite.

Los polinomios de Hermite. {Hn}n∈N, se definen como los polinomiosortogonales asociados a la medida Gaussiana en R,

γ1(dx) =1√π

e−x2dx,

y por tanto se pueden obtener de la base canonica de los polinomios {1, x, x2, · · · , xn, · · · }mediante el metodo de ortogonalizacion de Gram-Schmidt, respecto al pro-ducto interno en L2(γ1). Por tanto la propiedad de ortogonalidad de lospolinomios de Hermite respecto a γ1, es

(B.1)∫ ∞

−∞Hn(y)Hm(y) γ1(dy) = 2nn!δn,m,

con la normalizacion

(B.2) H2n+1(0) = 0, H2n(0) = (−1)n (2n)!n!

.

Previo al estudio de C. Hermite (1822-1901), estos polinomios fueronconsiderados por P.L. Tchebychev y mas aun aparecen por primera vez enla famosa Mecanica Celeste de Pierre Simon Laplace.

Formula de Rodrigues.

(B.3) Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxn(e−x2

).

La relacion de ortogonalidad se puede obtener, de la formula de Rodrigues,usando integracion por partes.

Relaciones diferenciales.

H′n(x) = 2nHn−1(x),(B.4)

H′′n(x) − 2xH

′n(x) + 2nHn(x) = 0.(B.5)

Es decir, los polinomios de Hermite son soluciones polinomiales de la ecuacionde Hermite de parametro n.

85

86 B. POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS.

Representacion explıcita.

(B.6) Hn(x) = n![n/2]∑k=0

(−1)k

k!(2x)n−2k

(n− 2k)!.

Representacion integral

(B.7) Hn(x) =(−2i)nex2

√π

∫ ∞

−∞tne−t2e2ixt dt.

Esta representacion se obtiene de la igualdad,

(B.8) e−x2=

1√π

∫ ∞

−∞e−t2e2ixtdt,

usando la formula de Rodrigues.Funcion Generatriz.

(B.9)∞∑

n=0

Hn(x)n!

rn = e2xr−r2.

Debido a que los polinomios de Hermite son los unicos polinomios que veri-fican esta relacion, ella nos sirve para definirlos en forma alternativa. Estaformula se obtiene, en forma inmediata, considerando el desarrollo de Taylorde la funcion e2xy−y2

alrededor de y = 0 y observando que, por la Formulade Leibnitz para el producto, tenemos que

Hn(x) =dn

dyn(e2xy−y2

)|y=0.

Formula de recurrencia a tres terminos.

(B.10) Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x), n ≥ 0,

con H0(x) = 1, H1(x) = 2x. Esta formula se puede obtener de la formula deRodrigues, para Hn+1 y la formula de Leibnitz para el producto.

Formula de Christoffel-Darboux.

(B.11)n∑

k=0

Hk(x)Hk(y)2kk!

=1

2n+1n!Hn+1(x)Hn(y)−Hn(x)Hn+1(y)

x− y.

A partir de la Funcion Generatriz y utilizando la relacion (B.8) se puedeprobar la Formula de Mehler (F. G. Mehler, 1866)

(B.12)∞∑

n=0

Hn(x)Hn(y)2nn!

rn =1

(1− r2)1/2e− r2(y2+x2)−2rxy

1−r2 ,

Los polinomios de Hermite forman un sistema completo en L2(γ1), yaque si f ∈ L2(γ1) es ortogonal a cada Hn, entonces la funcion f(x)e−x2

, queesta en L1(R), es ortogonal a cada Hn y por tanto ortogonal a cualquier poli-nomio, pero entonces, considerando la transformada de Fourier de f(x)e−x2

,

1. POLINOMIOS DE HERMITE. 87

tenemos∫ ∞

−∞f(x)e−2πixζe−x2

dx =∑

k

∫ ∞

−∞f(x)

(−2πixζ)k

k!e−x2

dx = 0,

donde el cambio de orden entre la integral y la sumatoria se justifica ya quese puede acotar la serie por e|x||ζ|. Ası pues, la transformada de Fourier esidenticamente 0 y por tanto f ≡ 0.

Denotaremos por hn al polinomio de Hermite normalizado respectoa γ1 de grado n, es decir:

(B.13) hn(x) =Hn(x)

(2nn!)1/2

Es inmediato entonces que, quizas con diferentes constantes, los polinomiosde Hermite normalizados satisfacen relaciones similares que las que satis-facen los polinomios de Hermite, por ejemplo

h′n(x) =

√2nhn−1(x),

y

h′′n(x)− 2xh

′n(x) + 2nhn(x) = 0.

El polinomio de Hermite en d-variables de grado ν = (ν1, ν2, · · · , νd) ∈Nd, que denotaremos como ~Hν , se define para x = (x1, x2, · · · , xd) ∈ Rd,como el producto tensorial de polinomios de Hermite unidimensionales, esdecir,

(B.14) ~Hν(x) =d∏

i=1

Hνi(xi),

donde Hνi(xi) es el polinomio de Hermite de grado αi en la variable xi,Por construccion, es claro que el polinomio de Hermite normalizado ~hν

es entonces el producto tensorial de polinomios de Hermite normalizadosunidimensionales,

~hν(x) =d∏

i=1

hνi(xi),

donde hνi(xi) es el polinomio de Hermite normalizado de grado αi en lavariable xi, y por tanto

~hν(x) =~Hν(x)

(2|ν|ν!)1/2,

donde, como es usual, para cualquier multi-ındice ν = (ν1, ν2, · · · , νd), ν! =∏di=1 νi! y |ν| =

∑di=1 νi.


La formula de Mehler en d dimensiones, se expresa como∑|α|≥0

~Hν(x) ~Hν(y)2|ν|ν!

rν =∑|ν|≥0

~hν(x)~hν(y)rν

=1

(1− r2)d/2e− r2(|y|2+|x|2)−2r〈x,y〉

1−r2 ,(B.15)

2. Polinomios de Laguerre.

Los polinomios de Laguerre (o de Sonine-Laguerre) de tipo α > −1,{Lα

n}, se definen como los polinomios ortogonales asociados a la medidaGamma en (0,∞),

µα(dx) = χ(0,∞)(x)xαe−xdx,

y por tanto se pueden obtener de la base canonica de los polinomios {1, x, x2, · · · , xn, · · · }mediante el metodo de ortogonalizacion de Gram-Schmidt, respecto al pro-ducto interno en L2(µα). Por tanto la propiedad de ortogonalidad delos polinomios de Laguerre de tipo α respecto a µα, es

(B.16)∫ ∞

0Lα

n(y)Lαm(y) µα(dy) =

Γ(n + α + 1)n!

δn,m,


(B.17) Lαn(0) =

(n + α

n

)=

(α + 1)n

n!.

Estos polinomios fueron estudiados originalmente por E. N. Laguerre(1834-1886), aunque aparecen en trabajos previos de N. K. Abel, J.L. La-grange y P.L. Tchebychev.

Formula de Rodrigues.

(B.18) Lαn(x) =

1n!

exx−α dn

dxn(xn+αe−x), n ∈ N, x > 0.


(B.19) (Lαn(x))′ = −Lα+1

n−1(x).

(B.20) x(Lαn(x))′′ + (α + 1− x)(Lα

n(x))′ + nLαn(x) = 0.

Es decir, los polinomios de Laguerre son soluciones polinomiales de la ecuacionde Laguerre, con parametro n.


(B.21) L(α)n (x) =

d∑k=0

(−1)k

(n + α

n− k

)xk

k!.

Representacion integral.

(B.22) Lαn(x) =

exx−α/2

n!

∫ ∞

0tn+α/2Jα(2

√xt)e−tdt,

2. POLINOMIOS DE LAGUERRE. 89

siendo Jα la funcion de Bessel de orden α,1 vease Watson [99],

Jα(x) =∞∑

ν=0

(−1)ν

22ν+|α|Γ(ν + 1)Γ(|α|+ ν + 1)xν+|α|, α 6= ±1/2.

Esta representacion se obtiene de la identidad

xn+αe−x =∫ ∞

0(√

xt)n+αJn+α(2√

xt)e−tdt,

usando la formula de Rodrigues.Funcion Generatriz.

(B.23)∞∑

n=0

Lαn(x)rn =

1(1− r)α+1

e−xr

1−r .


(B.24) (n + 1)Lαn+1(x) = [(2n + α + 1)− x]Lα

n(x)− (n + α)Lαn−1(x),

con Lα0 (x) = 1, Lα

1 (x) = −x + α + 1.Formula de Christoffel-Darboux.

(B.25)n∑

k=0

k!Γ(k + α + 1)

Lαk (x)Lα

k (y) =(n + 1)!

Γ(n + α + 1)Ln+1(y)Ln(x)− Ln+1(x)Ln(y)

x− y.

Formula de Hille-Hardy.(B.26)∞∑

n=0

n!Γ(n + α + 1)

Lαn(x)Lα

n(y)rn =1

1− re−

(x+y)r1−r (−xyr)−α/2Jα(

2√−xyr

1− r),

con |r| < 1, α > −1 y Jα(x) la funcion de Bessel de orden α.Conexion entre los polinomios de Laguerre y de Hermite.

H2n = (−1)n22nn!L−1/2n (x2)(B.27)

H2n+1 = (−1)n22n+1n!xL1/2n (x2).(B.28)

Los polinomios de Laguerre de tipo α se definen como

(B.29) lαn (x) =(n!)1/2L

(α)n (x)

(Γ(n + α + 1))1/2.

Es inmediato entonces que, quizas con diferentes constantes, los polinomiosde Laguerre normalizados satisfacen relaciones similares que las que satis-facen los polinomios de Laguerre.

Dado el multi-ındice α = (α1, . . . , αd), α ∈ (−1,∞)d, el polinomio deLaguerre en d-variables de tipo α y de orden ν = (ν1, ν2, · · · , νd) ∈ Nd,

1J−1/2(x) =q

2πx

cos x, J1/2(x) =q

2πx

sin x.

que denotaremos como ~Lαν , se define para x = (x1, x2, · · · , xd) ∈ Rd, como

el producto tensorial de polinomios de Laguerre unidimensionales, es decir,

(B.30) ~Lαν (x) =

d∏i=1

Lαiνi

(xi),

y el polinomio de Laguerre normalizado ~lαν es entonces el producto tensorialde polinomios de Laguerre normalizados unidimensionales,

~lαν (x) =d∏

i=1

lανi(xi),

donde lανi(xi) es el polinomio de Laguerre normalizado de grado νi en la

variable xi, y por tanto

~lαν (x) =(ν!)1/2~Lα

ν (x)

(∏d

i=1 Γ(νi + α + 1))1/2.

La formula de Hille-Hardy en d dimensiones,∑|ν|≥0

ν!∏di=1 Γ(νi + α + 1)

Lαν (x)Lα

ν (y)rν

=d∏

j=1

11− r

e

„−

(xj+yj)r

1−r

«(xjyjr) −αj/2Jαj

(2√−rxjyj

1− r

),

con |r| < 1 y Jα(x) la funcion de Bessel de orden α.

3. Polinomios de Jacobi.

Los polinomios de Jacobi, {P (α,β)n }n∈N, son polinomios ortogonales

respecto a la medida de Jacobi (o medida beta) en (−1, 1), µα,β, α, β > −1,

(B.31) µα,β(dx) = ωα,β(x)dx = χ(−1,1)(x)(1− x)α(1 + x)βdx.

La funcion ωα,β se llama peso de Jacobi.Por tanto los polinomios de Jacobi se pueden obtener de la base canonica

de los polinomios {1, x, x2, · · · , xn, · · · } mediante el metodo de ortogonal-izacion de Gram-Schmidt, respecto al producto interno en L2(µα,β) luego lapropiedad de ortogonalidad de los polinomios de Jacobi respecto a µα,β,es

(B.32)∫ ∞

−∞P (α,β)

n (y)P (α,β)m (y) µα,β(dy) = h(α,β)

n δn,m,

donde

(B.33) h(α,β)n =

2α+β+1

(2n + α + β + 1)Γ (n + α + 1) Γ (n + β + 1)Γ (n + 1) Γ (n + α + β + 1)

,


(B.34) P (α,β)n (1) =

(n + α

n

)=

(α + 1)n

n!=

Γ (n + α + 1)Γ (n + 1) Γ (α + 1)

.

3. POLINOMIOS DE JACOBI. 91

Dado que estamos trabajando en un intervalo simetrico y el peso ωα,β

verifica

(B.35) ωα,β(−x) = ωβ,α(x),

es facil probar entonces que

(B.36) P (α,β)n (−x) = (−1)dP (β,α)

n (x)

y por tanto

(B.37) P (α,β)n (−1) = (−1)d

(n + β

n

)= (−1)d Γ (n + β + 1)

Γ (n + 1) Γ (β + 1)Estos polinomios fueron estudiados originalmente por Karl Gustav Jacob

Jacobi (1804-1851), que los introdujo en 1850. Ellos tienen como casosparticulares:

(1) Los polinomios de Legendre, {Pn}, cuando α = β = 0.(2) Los polinomios de Tchebychev de primera especie, {Tn}, cuando

α = β = −1/2.(3) Los polinomios de Tchebychev de segunda especie, {Un}, cuando

α = β = 1/2.(4) Los polinomios de Gegenbauer o ultraesfericos, {Cλ

n}, cuando α =β = λ− 1/2 > −1/2.

Formula de Rodrigues.(B.38)

P (α,β)n (x) =

(−1)n

2nn!(1− x)−α (1 + x)−β dn

dxn

{(1− x)α+n (1 + x)β+n

}.


(B.39)d

dx

{P (α,β)

n (x)}

=(n + α + β + 1)

2P

(α+1,β+1)n−1 (x) .

(B.40)(1− x2

)y′′ + [β − α− (α + β + 2) x] y′ + n (n + α + β + 1) y = 0.

Es decir, los polinomios de Jacobi son soluciones polinomiales de la ecuacionde Jacobi, con parametro n.


P (α,β)n (x) =

12n

∞∑k=0

(n + α

k

)(n + β

n− k

)(x− 1)n−k(x + 1)k

=n∑

k=0

(n + α

n− k

)(n + α + β + k

k

)(x− 1

2)k

=(

n + α

n

)[1 +

n∑k=1

(−n)k (n + α + β + 1)k

k! (α + 1)k

(1− x

2)k].(B.41)

Representacion integral.

(B.42) P (α,β)n (x) =

12πi

∮ (1 +

x + 12

z

)n+α(1 +

x− 12

z

)n+β

z−n−1dz,


donde suponemos que x 6= ±1, y la integral se extiende en sentido posi-tivo a lo largo de la curva cerrada alrededor del origen, tal que el punto−2 (x± 1)−1 no esta en el interior.

Funcion Generatriz.∞∑

n=0

P (α,β)n (x) rn = 2α+β

(1− 2xr + r2

)− 12

((1− 2xr + r2

) 12 − r + 1

)−α

((1− 2xr + r2

) 12 + r + 1

)−β

.(B.43)

La funcion generatriz se puede obtener mediante esta representacionintegral. Esta formula nos da una forma alternativa de definirlos ya queellos son los unicos coeficientes (que dependen de x) que verifican dichaigualdad.


2(n + 1)(n + α + β + 1) (2n + α + β) P(α,β)n+1 (x)

= (2n + α + β + 1){(2n + α + β + 2) (2n + α + β) x + α2 − β2

}P (α,β)

n (x)

−2 (n + α) (n + β) (2n + α + β + 2) P(α,β)n−1 (x) ,(B.44)

conP

(α,β)0 (x) = 1, y P

(α,β)1 (x) =

12

(α + β + 2) x +12

(α− β) .

Formula de Christoffel-Darboux.n∑

k=0

{h

(α,β)k

}−1P

(α,β)k (x) P

(α,β)k (y) =

2−α−β

2n + α + β + 2Γ (n + 2) Γ (n + α + β + 2)Γ (n + α + 1) Γ (n + β + 1)

×P

(α,β)n+1 (x) P

(α,β)n (y)− P

(α,β)n (x) P

(α,β)n+1 (y)

x− y.(B.45)

Relaciones asintoticas con los otros polinomios ortogonales clasicos.

(B.46) limβ→∞

P (α,β)n (1− 2x/β) = Lα

n(x).

Los polinomios de Gegenbauer {Cλn} se definen como

(B.47) Cλn(x) =

(2λ)n

(λ + 1/2)nP (λ−1/2,λ−1/2)

n (x),

de tal manera que tienen funcion generatriz

(B.48)∞∑

n=0

Cλn(x)rn =

1(1− 2xr + r2)λ

.

Se tiene la siguiente relacion asintotica con los polinomios de Hermite,

(B.49) limλ→∞

λ−n/2Cλn(x/λ) =

Hn(x)n!

.

3. POLINOMIOS DE JACOBI. 93

Los polinomios ortonormales de Jacobi se definen como

(B.50) p(α,β)n (x) =

P(α,β)n (x)

(h(α,β)n )1/2

.

Es inmediato entonces que, quizas con diferentes constantes, los poli-nomios de Jacobi normalizados satisfacen relaciones similares que las quesatisfacen los polinomios de Jacobi.

Dados los multi-ındices α = (α1, ..., αd), β = (β1, ..., βd) ∈ Rd, αi, βi >−1 y ν = (ν1, ν2, · · · , νd) ∈ Nd, el polinomio de Jacobi en d-variablesde tipo (α, β) y de grado ν, que denotaremos como ~Pα,β

ν , se define parax = (x1, x2, · · · , xd) ∈ Rd, como el producto tensorial de polinomios deJacobi unidimensionales, es decir,

(B.51) ~P (α,β)ν (x) =

d∏i=1

P (α,β)νi

(xi),

donde P(α,β)νi (xi) es el polinomio de Jacobi de grado νi en la variable xi.

Por construccion, es claro que el polinomio de Jacobi normalizado ~p(α,β)ν

es entonces el producto tensorial de polinomios de Jacobi normalizados uni-dimensionales,

(B.52) ~p(α,β)ν (x) = (h(α,β)

ν )−1/2d∏

i=1

p(α,β)νi

(xi),

donde h(α,β)ν =

∏di=1 h

(αi,βi)νi , con h

(αi,βi)νi = 2αi+βi+1

2νi+αi+βi+1Γ(νi+αi+1)Γ(νi+βi+1)Γ(νi+1)Γ(νi+αi+βi+1) .

APENDICE C

Los Semigrupos Clasicos del Analisis: elsemigrupo del Calor y el semigrupo de Poisson.

1. El semigrupo del Calor.

Consideremos el nucleo del calor (o de Gauss-Weiertrass),

(C.1) K(x) =1

(4π)d/2e−|x|2

4 , x ∈ Rd,

que es una funcion C∞, integrable, radial, acotada y tal que∫Rd

K(x)dx = 1,

y sea

(C.2) Kt(x) =1

td/2K(

x√t) =

1(4πt)d/2

e−|x|2

4t .

Entonces por las propiedades de K tenemos que {Kt : t > 0} es una aproxi-macion de la identidad en Rd.1

Dado f ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p ≤ ∞, definimos

Ttf(x) = (Kt ∗ f)(x) =1

(4πt)d/2

∫Rd

e−|x−y|2

4t f(y) dy

=1

(4πt)d/2

∫Rd

f(x +√

ty)e−|y|2

4 dy, t > 0.(C.3)

Observese que, por la desigualdad de Young, Ttf esta bien definida paraf ∈ Lp(Rd) , 1 ≤ p ≤ ∞. Por otra parte, si f ∈ L2(Rd), dado que∫

Rd

e−4π2t|ξ|2e−2πx·ξdξ =1

(4π)d/2e−|x|

2/4t,

vease [87] Teorema 1.13, se tiene entonces que Ttf se puede escribir como

(C.4) Ttf(x) =∫

Rd

f(ξ)e−4π2t|ξ|2e2πx·ξdξ.

El semigrupo del calor {Tt} es un semigrupo de convolucion, conserva-tivo, simetrico, fuertemente continuo de contracciones positivas en Lp(Rd),1 ≤ p < ∞, de difusion, cuyo generador infinitesimal es el operador Lapla-ciano ∆. Mas precisamente,

1Para un estudio detallado de las aproximaciones de la identidad en Rd, vease porejemplo E. Stein[85], J. Duoandikoetxea [29] or A. Torchinsky [94].

95

96 C. LOS SEMIGRUPOS CLASICOS DEL ANALISIS

Teorema C.1. La familia de operadores {Tt : t ≥ 0} satisface las sigu-ientes propiedades:

i) Propiedad de semigrupo: Para todo t1, t2 ≥ 0, Tt1+t2 = Tt1 ◦ Tt2 .ii) Propiedad conservativa y de positividad: Tt1 = 1 y si f ≥0 entonces

Ttf ≥ 0 para todo t ≥ 0.iii) Propiedad de contractividad: Para todo t ≥ 0 y 1 ≤ p ≤ ∞,

||Ttf ||p ≤ ||f ||p.

iv) Propiedad de Lp-continuidad fuerte: Para todo 1 ≤ p < ∞ y todof ∈ Lp(Rd) la aplicacion t → Ttf es continua de [0,∞) en Lp(Rd).

v) Propiedad de simetrıa: para todo t ≥ 0, Tt es un operador autoad-junto en L2(Rd), es decir:

(C.5)∫

Rd

Ttf(x)g(x)dx =∫

Rd

f(x)Ttg(x)dx.

En particular, tenemos que la medida de Lebesgue es la medidainvariante de {Tt},

(C.6)∫

Rd

Ttf(x)dx =∫

Rd

f(x)dx.

vi) Generador infinitesimal: el operador Laplaciano ∆ =∑d

i=1∂2

∂x2i

esel generador infinitesimal de {Tt : t ≥ 0}, es decir:

(C.7) limt→0

Ttf − f

t= ∆f.

Demostracion

i) Vamos a probarlo primero para el caso de f ∈ S(Rd), el espacio delas funciones de prueba de Schwartz. Usando las propiedades dela Transformada de Fourier respecto a la convolucion y las dilata-ciones, tenemos entonces que:

(Tt1+t2)∧(ξ) = [Kt1+t2 ∗ f ]∧(ξ) = [Kt1+t2 ]

∧(ξ)f(ξ)

= e(−4π2(t1+t2)|ξ|2)f(ξ) = e(−4π2t1|ξ|2)(e(−4π2t2)|ξ|2)f(ξ))

= Kt1(ξ)Kt2(ξ)f(ξ) = [Kt1 ∗ (Kt2 ∗ f)]∧(ξ)= (Tt1(Tt2f))∧(ξ).

Ahora bien, como S(Rd) es denso en Lp(Rd), 1 ≤ p ≤ ∞ entoncesexiste una extension del semigrupo a Lp(Rd), 1 ≤ p ≤ ∞, queclaramente coincide con la definicion dada.

La propiedad de semigrupo se puede obtener tambien directa-mente completando cuadrado (Ejercicio).

1. EL SEMIGRUPO DEL CALOR. 97

ii) La primera igualdad, que es la propiedad conservativa, se sigue demanera inmediata por un simple cambio de variable, de la invari-ancia por traslacion de la medida de Lebesgue,

1(4πt)d/2

∫Rd

e−|y−x|2

4t 1dy =1

(4πt)d/2

∫Rd

e−| (y−x)√

4t|2dy

=1

πd/2

∫Rd

e−|y|2dy = 1.

La positividad es clara ya que el nucleo es positivo.iii) Dado que el semigrupo del calor es un semigrupo de convolucion,

esta propiedad se obtiene directamene de la desigualdad de Young,

||Ttf ||p = ||Kt ∗ f ||p ≤ ||f ||p||Kt||1 = ||f ||p.Luego, para cada t > 0, Tt es una contraccion en Lp(Rd), 1 ≤ p <∞. El caso p = ∞ es inmediato, ya que Tt1 = 1, por ii).

iv) Hay que probar que Ttf → Tt0f en Lp(γd) si t → t0. Por lapropiedad de semigrupo basta probar que Ttf → f en Lp(γd) sit → 0. Esto es consecuencia de la teorıa general de aproximacionesde la identidad, vease [85].

v) Para probar (C.5), usando el Teorema de Fubini, tenemos∫Rd

Ttf(x)g(x)dx =1

(4πt)d/2

∫Rd

(∫

Rd

e−|y−x|2

4t f(y)dy)g(x)dx

=1

(4πt)d/2

∫Rd

(∫

Rd

e−|y−x|2

4t g(x)dx)f(y)dy

=∫

Rd

f(y)Ttg(y)dy.

Dado que la medida de Lebesgue es la medida invariante de {Tt} lasimetrıa se obtiene entonces de manera inmediata por la propiedadconservativa tomando g ≡ 1.

vi) Sea f ∈ C2b (Rd), usando la segunda representacion de Tt dada en

(C.3), tenemos

(Ttf − f

t)(x)−∆f(x) =

1t(4π)d/2

∫Rd

[f(x +√

ty)− f(x)]e−|y|2

4 dy

−d∑

k=1

∂2f(x)∂x2

k

=1

t(4π)d/2

∫Rd

[f(x +√

ty)− f(x)− t

d∑k=1

∂2f(x)∂x2

k

]e−|y|2

4 dy

=1

t(4π)d/2

∫Rd

[f(x +√

ty)− f(x)− t

2

d∑k=1

y2k

∂2f(x)∂x2

k

]e−|y|2

4 dy


Ahora bien, por la expansion de Taylor de orden 2, tenemos paraalgun θ, con 0 ≤ θ ≤ 1

f(x+√

ty)− f(x) =√

t

d∑k=1

yk∂f

∂xk(x)+

t

2

d∑i,j=1

yiyj∂2f

∂xi∂xj(θx+(1− θ)

√ty).

Luego, por la simetrıa de e−|y|2/4,

(Ttf − f

t)(x)−∆f(x) =

12(4π)d/2

∫Rd

[d∑

i,j=1

yiyj∂2f

∂xi∂xj(θx + (1− θ)

√ty)

−d∑

k=1

y2k

∂2f

∂x2k

(x)]e−|y|24 dy

=1

2(4π)d/2

∫Rd

d∑k=1

y2k[

∂2f

∂2xk(θx + (1− θ)

√ty)− ∂2f

∂x2k

(x)]e−|y|24 dy.

Por lo tanto,

|(Ttf − f

t)(x)−∆f(x)| ≤ 1

2(4π)d/2

d∑k=1

∫Rd

y2k|

∂2f

∂2xk(θx + (1− θ)

√ty)− ∂2f

∂x2k

(x)|e−|y|24 dy,

y usando el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue ten-emos que este ultimo termino tiende a cero si t → 0.


Γ(f, g)(x) =12[∆(fg)(x)− f(x)∆g(x)−∆f(x)g(x)]

= ∇f(x) · ∇g(x),

y por tanto

(C.8) Γ(f)(x) = Γ(f, f)(x) = |∇f(x)|2.

La funcion maximal del semigrupo del calor se define como

(C.9) T ∗f(x) = supt>0

|Ttf(x)|

La funcion maximal T ∗ es debil (1, 1) y fuerte (p, p) respecto a la medidade Lebesgue, mas precisamente,

Proposicion C.1. La funcion maximal T ∗ verificai) Existe una constante C, que depende solo de la dimension tal que

para cualquier f ∈ L1(Rd) tenemos

(C.10) m({x ∈ Rd : |T ∗f(x)| > λ})Cλ||f ||1.

para cualquier λ > 0.

1. EL SEMIGRUPO DEL CALOR. 99

ii) Sea 1 < p ≤ ∞ y f ∈ Lp(Rd), entonces T ∗f ∈ Lp(Rd) y

(C.11) ||T ∗f ||p ≤ Ap||f ||p,donde Ap depende solo de p y la dimension d.

DemostracionEstos resultados son inmediatos por el hecho de ser el semigrupo del calorun semigrupo generado por una aproximacion de la identidad y por tanto

T ∗f(x) = supt>0

|Ttf(x)| = supt>0

|Kt ∗ f(x)| ≤ Mf(x),

donde Mf es la funcion Maximal de Hardy-Littlewood respecto a la medidade Lebesgue, vease E. Stein[85].

Las propiedades i) y ii) son entonces consecuencia de las propiedades deMf .

Existe un interesante resultado de Gian Carlo Rota [77] que prueba,para una clase muy amplia de semigrupos, usando resultados probabilısticosde la Teorıa de Martingalas, que la constante Ap para la funcion Maximaldel semigrupo en verdad no depende de la dimension, vease tambien Stein[86].

Observese que, de la segunda representacion del semigrupo del calor(C.3), se puede probar directamente que

Ttf(x) → 0, cuando t →∞,

es decir que el semigrupo del calor decae a 0 en infinito.Por otra parte, tenemos

Proposicion C.2. Si f ∈ Lp(γd) u(x, t) = Ttf(x) es una funcionC∞(Rd × R+) y es solucion de la ecuacion parabolica

(C.12)∂u

∂t(x, t) = ∆u(x, t), (x, t) ∈ Rd × R+,


DemostracionPor la teorıa general de semigrupos, dado que ∆ es el generador infini-

tesimal de {Tt : t ≥ 0}, se tiene que∂u

∂t(x, t) =

∂Ttf

∂t(x) = ∆Ttf(x) = ∆u(x, t).


∆u(x, t) = ∆[Kt ∗ f ](x) = [∆Kt ∗ f ](x)

=1

2(4πt)d/2

∫Rd

[|y − x|2

2t2− n

t]e−

|y−x|24t f(y)dy

=∂u

∂t(x, t).

La condicion de frontera se verifica por las propiedades de las aproximacionesde la identidad.

De este resultado, decimos que u(x, t) es una extension parabolica def al semi-espacio Rd × R+ .

Por otra parte, semigrupo del calor tiene una estrecha relacion con elmovimiento Browniano en Rd. El movimiento Browniano en Rd es un pro-ceso aleatorio con valores en Rd tal que

i) B0 = 0 c.s.ii) Bt tiene distribucion gaussiana N(0, tId), con covarianza

cov(Bt, Bs) = (s ∧ t)Id,

siendo Id la matriz identidad d× d.iii) Si s < t, Bt −Bs es independiente de Fs = σ({Bu : u ≤ s}).

Este proceso describe el movimiento de una partıcula en Rd sin roce y se

puede construir utilizando pt(x, y) = 1(4πt)d/2 e−

|x−y|24t como densidad de tran-

sicion por el metodo usual de construccion de procesos de Markov. De nuevo,por (2.6), tenemos que el semigrupo del calor ser puede representar por elproceso mediante la formula

Ttf(x) = E[f(Bt)|B0 = x], f ∈ L2(Rd) ∩ L∞(Rd).

2. El semigrupo de Poisson.

El semigrupo de Poisson se obtiene por subordinacion del semigrupodel calor, es decir, mediante la formula de subordinacion de Bochner,vease E. Stein [85]

e−λ =1√π

∫ ∞

0

e−u

√u

e−λ2/4udu,

definimos

(C.13) Ptf(x) =1√π

∫ ∞

0

e−u

√uTt2/4uf(x)du.

Obtenemos entonces la siguiente representacion explıcita

Ptf(x) =1√π

∫ ∞

0

e−u

√uTt2/4uf(x)du

=1√π

∫ ∞

0

e−u

√u

ud/2

(πt2)d/2

∫Rd

e−u|x−y|2

t2 f(y) dy du

=1

tdπ(d+1)/2

∫Rd

∫ ∞

0e−u(

|x−y|2

t2+1)u(d−1)/2 duf(y) dy

=Γ(d+1

2 )tdπ(d+1)/2

∫Rd

1

( |x−y|2t2

+ 1)(d+1)/2f(y) dy

=Γ(d+1

2 )π(d+1)/2

∫Rd

1(|x− y|2 + t2)(d+1)/2

f(y) dy = (Ht ∗ f)(x),

2. EL SEMIGRUPO DE POISSON. 101

donde

(C.14) Ht(x) =Γ(d+1

2 )π(d+1)/2

1(|x|2 + t2)(d+1)/2

=cd

(|x|2 + t2)(d+1)/2,

con cd = Γ( d+12

)

π(d+1)/2 .

Considerando el nucleo de Poisson,

(C.15) H(x) =cd

(|x|2 + 1)(d+1)/2, x ∈ Rd,

que es una funcion C∞, integrable, radial, acotada y tal que∫Rd

Ht(x) = 1,

vease [87], pag 9-10, entonces

Ht(x) =1tdH(

x

t),

Por las propiedades de H, tenemos que {Ht : t > 0} es una aproximacion dela identidad en Rd.

Observese que, por la desigualdad de Young, Ptf esta bien definida paraf ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p ≤ ∞. Por otra parte, analogo al caso del semigrupo delcalor, si f ∈ L2(Rd), dado que∫

Rd

e−2πt|ξ|e−2πx·ξdξ =cd

(|x|2 + t2)(d+1)/2,

vease [87] Teorema 1.14, se tiene entonces que Ptf se puede escribir como

(C.16) Ptf(x) =∫

Rd

f(ξ)e−2πt|ξ|e2πx·ξdξ.

Este resultado se puede obtener tambien de la representacion analoga parael semigrupo del calor (C.4) y la formula de subordinacion.

El semigrupo de Poisson {Pt} es tambien un semigrupo de convolucion,que es conservativo, simetrico, fuertemente continuo de contracciones posi-tivas en Lp(Rd), 1 ≤ p < ∞ y cuyo generador infinitesimal es (−∆)1/2. Masprecisamente,

Teorema C.2. La familia de operadores {Pt : t ≥ 0} satisface las sigu-ientes propiedades:

i) Propiedad de semigrupo: Para todo t1, t2 ≥ 0,Pt1+t2 = Pt1 ◦ Pt2 .ii) Propiedad de conservacion y positividad: P1 = 1 y si f ≥0 entonces

para todo t ≥ 0, Ptf ≥ 0.iii) Propiedad de contractividad: Para todo 1 ≤ p < ∞ y todo f ∈

Lp(Rd) la aplicacion t → Ptf es continua de [0,∞) en Lp(Rd).iv) Propiedad de Lp-continuidad fuerte: Para todo t ≥ 0 y 1 ≤ p ≤ ∞,

||Ptf ||p ≤ ||f ||p.

v) Propiedad de simetrıa: para todo t ≥ 0,Pt es un operador autoad-junto en L2(Rd), es decir:∫

Rd

Ptf(x)g(x)dx =∫

Rd

f(x)Ptg(x)dx.

vi) Generador infinitesimal: (−∆)1/2 es el generador infinitesimal de{Pt : t ≥ 0}, es decir:

(C.17) limt→0

Ptf − f

t= (−∆)1/2f.

DemostracionEstos resultados son immediatos de los obtenidos en el Teorema C.1 para

{Tt : t ≥ 0} debido a la formula de subordinacion.La prueba de que el generador infinitesimal del semigrupo es (−∆)1/2

se puede obtener directamente usando la Transformadade Fourier. (Ejerci-cio).

La funcion maximal del semigrupo de Poisson se define como

(C.18) P∗f(x) = supt>0

|Ptf(x)|

De nuevo la funcion maximal P∗ es debil (1, 1) y fuerte (p, p) respecto a lamedida de Lebesgue, mas precisamente,

Proposicion C.3. La funcion maximal P∗ verificai) Existe una constante C, que depende solo de la dimension tal que

para cualquier f ∈ L1(Rd) tenemos

(C.19) m({x ∈ Rd : |P∗f(x)| > λ})Cλ||f ||1.

para cualquier λ > 0.ii) Sea 1 < p ≤ ∞ y f ∈ Lp(Rd), entonces P∗f ∈ Lp(Rd) y

(C.20) ||P∗f ||p ≤ Ap||f ||p,donde Ap depende solo de p y la dimension d.

DemostracionEstos resultados son inmediatos por el hecho de ser el semigrupo de

Poisson un semigrupo generado por una aproximacion de la identidad y portanto

P∗f(x) = supt>0

|Ptf(x)| = supt>0

|Ht ∗ f(x)| ≤ Mf(x),

donde Mf es la funcion Maximal de Hardy-Littlewood respecto a la medidade Lebesgue. Las propiedades i) y ii) son entonces consecuencia de laspropiedades de Mf .

Sin embargo, como observo Hertz [43] esto se puede obtener tambien porla subordinacion del semigrupo de Poisson al semigrupo del calor usando elTeorema maximal ergodico.

2. EL SEMIGRUPO DE POISSON. 103

Observese que, de la representacion del semigrupo de Poisson, tambiense puede probar directamente que

Ptf(x) → 0, cuando t →∞,

es decir que el semigrupo de Poisson tambien decae a 0 en infinito.Por otra parte, tenemos

Proposicion C.4. Si f ∈ Lp(Rd), u(x, t) = Ptf(x) es una funcionC∞(Rd × R+) y es solucion de la ecuacion elıptica

(C.21)∂2u

∂t2(x, t) + ∆u(x, t) = 0, (x, t) ∈ Rd × R+,


DemostracionPor la teorıa general de semigrupos, dado que (−∆)1/2 es el generador

infinitesimal de {Pt : t ≥ 0}, se tiene que ∂Pt∂t (x) = (−∆)1/2Ptf(x) y por

tanto,∂2u

∂t2(x, t) =

∂2Ptf

∂t2(x) = (−∆)Ptf(x) = −∆u(x, t).


∆u(x, t) = ∆[Ht ∗ f ](x) = [∆Ht ∗ f ](x)

= −∂2u

∂t2(x, t),

ya que Ht es armonica en el semiplano superior Rd × R+, es decir,

∂2Ht

∂t2(x, t) + ∆Ht = 0.

(Ejercicio)La condicion de frontera se verifica por las propiedades de las aproxima-

ciones de la identidad.De este resultado, decimos que u(x, t) es una extension armonica de

f al semiespacio Rd × R+ .

Bibliografıa

[1] Abramowitz, M. and Stegun, I. A. Handbook of Mathematical Functions with Formu-las, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York. Dover (1972).

[2] Adams, R. & Clarke, F. Gross’ Logarithmic Sobolev inequality: a simple proof. Amer.J. Math. 101 (1979) 1265-1269.

[3] Ane C., Blachere, D., Chaifaı D. , Fougeres P., Gentil, I. Malrieu F. , Roberto C., G.Sheffer G. Sur les inegalites de Sobolev logarithmiques. Panoramas et Syntheses 10,Societe Mathematique de France. Paris, (2002).

[4] Andrews, G.E., Askey, R., Roy R. Special Functions. Encyclopedia of Mathematicsand its Applications. Cambridge University Press, Cambridge (2000).

[5] Askey, R. Orthogonal Polynomials and Special Functions. Regional Conf in AppiedMath. 21 SIAM (1975).

[6] Askey, R. & Wainger, S. Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermiteseries. Amer. J. Math. 87 (1965) 695-708.

[7] Askey, R. & Wainger, S. A convolution structure for Jacobi series. Amer. J. Math.91 (1969) 463-485.

[8] Bailey, W. N.Generalized hypergeometric series. Cambridge Tracs in Mathematicsand Mathematical Physics. New York. (1964).

[9] Bakry, D. Remarques sur les semi-groupes de Jacobi. In Hommage a P.A. Meyer etJ. Neveau, volumen 236, pag 23-40. Asterique, 1996.

[10] Bakry, D. L’hypercontractivite et son utilisation en theorie des semigroupes. Lectureson Probability Theory, Lec. Notes in Math. 1581. Springer, 1988.

[11] Bakry, D. Functional inequalities for Markov semigroups. Notas del curso en la Es-cuela CIMPA, en el Tata Institute, Bombay; preprint, Noviembre 2002.

[12] Bakry, D. & Emery, M. Hypercontractivite de semi-groupes de diffusion. C.R. Acad.Sci. 299 (serie I) (1984) 775-778.

[13] Bakry, D. & Mazet, O. Characterization of Markov semigroups on R associated tosome families of orthogonal polynomials. Sem. Prob. XXXVII. Lec. Notes in Math1832 Springer-Verlag, Berlin (2003) 60-80.

[14] Balderrama, C. Sobre el Semigrupo de Jacobi. Tesis de Maestrıa. Facultad de CienciasUCV (2006).

[15] Balderrama, C. & Urbina, W.Fractional Integration and Fractional Differentiationfor Jacobi Expansions. Por aparecer en Digulgaciones Matematicas. (2006).

[16] Balderrama, C. & Urbina, W.Fractional Integration and Fractional Differentiationfor d-dimensional Jacobi Expansions. Pre-print. Enviado a publicacion. (2006). arXiv:math.AP/0608639.

[17] Beckner. W Inequalities in Fourier Analysis. Ann. Math. 102 (1975) 159-182.[18] Breiman, L Probability. Addison-Wesley. Reading (1968).[19] Bochner, S. Uber Sturm-Liouvillesche Polynomsysteme. Math. Z. 29 (1929)730-736.[20] Bochner, S. Sturm-Liouville and heat equations whose eigenfunctions are ultraspheri-

cal polynomial or associated Bessel functions. Proceedings of the Conference on difer-ential equations, Univ. Maryland (1955), 23-48.

[21] Bonami, A. tude des coefficients de Fourier des fonctions de Lp(G). Ann. Inst. Fourier(Grenoble) 20 fasc. 2, (1971) 335-402 .

105

106 BIBLIOGRAFIA

[22] Calderon, C. Some remarks on the multiple Weierstrass Transform and Abel summa-bility of multiple Fourier-Hermite series. Studia Math. 32 (1969) 119-148.

[23] Calderon, C. & Vera de Serio V. On Abel summability of Jacobi type series preprint.[24] Chihara, T. S. An Introduction to Orthogonal Polynomials. Gordon & Breach. New

York (1978).[25] Connett, W., Schwartz, A.. The Littlewood-Paley theory for Jacobi expansions. Trans.

Amer. Math. Soc. 251. (1979) 219-234.[26] Davies, E. B. Heat kernels and spectral Theory. Cambridge Tracts in Math. 92 .

Cambridge University Press. Cambridge (1989).[27] Dinger, U. Weak-type (1, 1) Estimates of the Maximal Function for the Laguerre

Semigroup in Finite Dimensions, Rev. Mat. Iberoamericana 8 (1) (1992), 93–120.[28] Dunford, N. & Schwartz, J.T. Linear Operator. Part I. Interscience. New York (1958)

.[29] Duoandikoetxea, J. Fourier Analysis. Graduate Studies in Math vol 29. AMS. Prov-

idence (2001).[30] Everitt, W. N., Kwon, K. H., Littlejohn, L. L., & Wellman, R. Orthogonal polynomial

solutions of linear ordinary differential equations. J. Comput. Appl. Math. 133 (2001).85-109.

[31] Feinsilver, P. Special functions, probability semigroups and Hamiltonian flows. Lec.Notes in Math 696 Springer-Verlag, Berlin (1978).

[32] Feller, W. Introduction to Probability Theory and its Applications. Vol 2. John Wileyand sons, New York (1971).

[33] Forzani, L. & Urbina,W. Poisson-Hermite representation of solutions of the equation∂2

∂t2u(x, t)+∆xu(x, t)−2x ·∇xu(x, t) = 0. Proceedings 5th International Conference

on Approximation and Optimization in the Caribbean. Approximation, Optimizationand Mathematical Economics. Springer-Verlag (2001). 109-115.

[34] Gasper, G. Positivity and convolution structure for Jacobi series. Ann. of Math. (2)93 (1971), 112-118.

[35] Gasper, G. Banach algebras for Jacobi series and positiviey of a kernel. Ann. of Math.(2) 95 (1972), 261-280.

[36] Garcia-Cuerva, J.& Rubio de Francia, J.L. Weighted norm inequalities and relatedtopics. Math. Studies 116, North-Holland. Amsterdam (1985).

[37] Gorlich, E. & Markett, C. A convolution structure for Laguerre series. Indag. Math.(N.S.) 44 (1982), 161-171.

[38] Graczyck, P., Loeb, J. J., Lopez, I., Nowak, A. & Urbina,W. Higher order Riesztransforms, Fractional differentiation and Sobolev spaces for Laguerre expansions. J.Math. Pures Appl. (9). 84 (2005), no. 3, 375-405

[39] Gross, L. Logarithmic Sobolev inequalities. Amer. J. Math. 97 (1976) 1061-1083.[40] Gross, L. Logarithmic Sobolev Inequalities and Contractivity Properties of Semi-

groups. Lec. Notes in Math. 1593 (1993) Springer-Verlag 54-88.[41] Gutierrez, C. & Urbina, W. Estimates for the maximal operator of the Ornstein-

Uhlenbeck semigroup. Proc. Amer. Math. Soc.113 (1991) 99-104.[42] Guzman de, M. Real variable methods in Fourier Analysis. North-Holland. Amster-

dam (1981).[43] Herz, C. A Maximal Theorem. Proc. Amer. Math. Soc. 12 (1961) 229-233.[44] Hille, E. A class of reciprocal functions. Ann. Math. 27 (1926) 426-464.[45] Infante, A. Sobre Expansiones de Hermite. Tesis de Maestrıa. Facultad de Ciencias

UCV. (1992)[46] Jackson, D. Fourier series and orthogonal polynomials. No. 6 Carus Mathematicas

Monographs series. MAA (1941). Hay una reimpresion de Dover Publications, Mine-ola, NY (2004).

[47] Janson, S. On hypercontractivity for multipliers on orthogonal polynomials. Ark.Math. 21 (1983), 1, 97-110.

BIBLIOGRAFIA 107

[48] Karatzas, I. & Shreve, S. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag,New York (1988).

[49] Karlin, S. & Mc.Gregor, J. Classical diffusion process and total positivity., J. Matht.Anal. Appl. 1 (1960), 163-183.

[50] Koornwinder, T. H. The addition formula for Jacobi polynomials. I. Summary ofresults. Indag. Math. (N.S.) 34 (1972), 188-191.

[51] Korzeniowski, A. On Logarithmic Sobolev Constant for Diffusion Semigroups, J.Funct. Anal. 71 (1987), 363-370.

[52] Korzeniowski, A. & Stroock, D. An example in the theory of hypercontractive semi-groups, Proc. AMS 94 (1985), 87-90.

[53] Krall, H.L. Certain differential equations for the Tchebycheff polynomials. Duke Math.J. 4 (1938), 705-718.

[54] Lamberton, D. and Lapeyre B. Introduction au calcul stochastique applique a la fi-nance, Mathematiques et Applications, Ellipses, Paris, 1991.

[55] Li, Zh.-K. Conjugated Jacobi Series and Conjugated Functions, J. Approx Theory,86, 179-196 (1996)

[56] Lebedev, N. N. Special functions and their applications, Dover Publications, Inc.,New York, 1972.

[57] Markett, C. The Product Formula and Convolution Structure associated with gener-alized Hermite Polynomials. Journ. of Approx. Theory. 73 (1993), 199-217.

[58] Mazet, O. Classification des demi-groupes de diffusion sur R asocie a une famille depolynomes orthogonaux. Seminaire de Probabilites, Lecture Notes in Math, vol. 1655,40-54. Springer-Verlag (1997).

[59] Mazet, O. A characterization of Markov property for semigroups with invariant mea-sure. Potential Analysis 16 (2002) 279-287.

[60] Meyer, P. A. Quelques resultats analytiques sur le semıgroupe d’Ornstein-Uhlenbecken dimension infinie. Lectures Notes in Contr. and Inform. Sci. 49 (1983) Springer-Verlag 201-214.

[61] Meyer, P. A. Demonstration probabiliste de certaines inequalites de Littlewood-Paley.Lectures Notes in Math 511 (1976) Springer-Verlag 125-183.

[62] Meyer, P. A. Transformations de Riesz pour les lois Gaussiennes. Lectures Notes inMath 1059 (1984) Springer-Verlag 179-193.

[63] Muckenhoupt, B. Poisson Integrals for Hermite and Laguerre expansion. Trans.Amer. Math. Soc. 139 (1969) 231-242.

[64] Muckenhoupt, B. Hermite conjugate expansions. Trans. Amer. Math. Soc. 139 (1969)243-260.

[65] Muckenhoupt, B. Mean Convergence of Hermite and Laguerre Series I. Trans. Amer.Math. Soc. 147 (1970) 419-431.

[66] Muckenhoupt, B. Mean Convergence of Hermite and Laguerre Series II. Trans. Amer.Math. Soc. 147 (1970) 433-460.

[67] Muckenhoupt, B. Transplantation theorems and multiplier theorems for Jacobi series.Memoirs Amer. Math. Soc. 356 Providence (1986).

[68] Muckenhoupt, B. & Stein, E.M. Classical Expansions. Trans. Amer. Math. Soc. 147(1965) 17-92.

[69] Navas, E. Espacios de Hardy para desarrollos de Jacobi. Tesis de Maestrıa. IVIC(2005).

[70] Nelson, E. The free Markoff field. Jour. Funct. Anal. 12 (1973) 211-227.[71] Nowak, A. & Sjogren, P. Riesz Transforms for Jacobi expansions. Pre-print.[72] Perez, S. Estimaciones puntuales y en la norma para operadores relacionados con el

semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck. Tesis Doctoral. Universidad Autonoma de Madrid,1996.

[73] Poiani, E. Mean Cesaro sumability of Laguerre and Hermite Series. Trans. Amer.Math. Soc. 173 (1972) 1-31.

108 BIBLIOGRAFIA

[74] Pineda, E & Urbina, W. Non Tangential convergnece for the Ornstein-Uhlenbecksemigroup. Aceptado para publicacion a Divulgaciones Matematicas. (2006)

[75] Pollard, H. Mean Convergence of Orthogonal Series I. Trans. Amer. Math. Soc. 62(1947) 433-460.

[76] Pollard, H. Mean Convergence of Orthogonal Series II. Trans. Amer. Math. Soc. 63(1948) 355-367.

[77] Rota, G. C. An “Alternierende Verfahren” for general positive operators. Bull. Amer.Math. Soc. 68 (1962) 95-102.

[78] Roth, J. P. Operateurs carres du champ et formule de Levy-Khinchine sur les spaceslocalment compacts. C. R. Acad. Sci. Paris Ser A 277, 1103-1106.

[79] Rothaus, O. Logarithmic Sobolev inequalities and the spectrum of Sturm-Lioville op-erators. Jour. Funct. Anal. 39 (1980) 42-56.

[80] Sapiro, R. L. Special functions related to representations of the group SU(n) of classI with respect to SU(n − 1)(n ≥ 3). Izv Vyssh. Uchebn. Zaved. Mathematika. no. 471 (1968) 97-107.

[81] Sarmanov, O. V. & Bratoeva Probabilistic properties of bilinear expasions of Hermitepolynomials. Teor. Verojatnost i Primenen. 12, (1967) 520-531.

[82] Sjogren, P. A remark on the maximal function for measures in Rd. Amer. J. Math.105 (1983) 1231-1233.

[83] Sjogren, P. On the maximal function for the Mehler kernel. Lectures Notes in Math992. Springer-Verlag (1983) 73-82.

[84] Sjogren, P. Operators associated with the Hermite semigroup-a survey. Jour. FourierAnal. Appl. 3 (1997), 813-823.

[85] Stein, E. M. Singular Integrals and differenciability properties of functions. PrincetonUniv. Press. Princeton (1970) .

[86] Stein, E. M. Topics in Harmonic Analysis related to the Littlewood-Paley Theory.Princeton Univ. Press. Princeton (1970).

[87] Stein, E. M. & Weiss, G. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces.Princeton Univ. Press. Princeton (1975).

[88] Stein, E. M. & Weiss, G. On the convergence of Poisson Integrals. Trans. Amer. Math.Soc.140 (1969) 35-54.

[89] Stempak, K. & Torrea, J.L. Poisson Integrals and Riesz Transforms for Hermitefunction expasions with weights. Jour. Funct. Anal. 202 (2003) 443-472.

[90] Szego, G. Orthogonal polinomials. Colloq. Publ. 23. Amer. Math. Soc. Providence(1959).

[91] Thangavelu, S. Sumability of Hermite Expansions I. Trans. Amer. Math. Soc. 314(1989) 119-142.

[92] Thangavelu, S. Sumability of Hermite Expansions II. Trans. Amer. Math. Soc. 314(1989) 143-170.

[93] Thangavelu, S. Lectures on Hermite and Laguerre Expansions. Princeton Univ. Press.Princeton (1993).

[94] Torchinski, A. Real variable methods in Harmonic Analysis. Acad. Press. Pure andApplied Math 123. San Diego (1986).

[95] Urbina, W. Elementos de Analisis Armonico Gaussiano. Trabajo de Ascenso. Facul-tad de Ciencias UCV (1992).

[96] Urbina, W. Analisis Armonico Gaussiano: una vision panoramica. Trabajo de As-censo. Facultad de Ciencias UCV (1998).

[97] Varopoulus, N. Hardy-Littlewood theory for semigroups. J. Funct. Anal. 63 (1985)240-260.

[98] Watanabe, S. Lecture on Stochastic Differential Equations and Malliavin Calculus.Tata Institute. Springer Verlag (1984).

[99] Watson, G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. CambridgeUniv. Press. Cambridge (1980).

BIBLIOGRAFIA 109

[100] Weissler, F. Two-point Inequalities, the Hermite Semigroup, and the Gauss-Weierstrass Semigroup. J. Funct. Anal. 32 (1979) 102-121.

[101] Yosida, K. Functional Analysis. Springer Verlag. Berlin (1965).[102] Zygmund, A. Trigonometric Series. 2nd. ed. Cambridge Univ. Press. Cambridge

(1959).

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