Series de Tiempo: Conceptos basicos

Vıctor Morales OnateUniversidad de Valparaıso,victor.morales@uv.cl

7 de diciembre, 2015

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Contents

1 Introduccion 3

2 Conceptos Fundamentales 32.1 Procesos Estocasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Procesos Estocasticos Estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Procesos Estocasticos no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

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1 Introduccion

Para abordar series de tiempo se deben revisar algnos conceptos basicos:

1. El trabajo con series de tiempo suponen que estas son estacionarias

2. A veces la autocorrelacion se origina porque las series de tiempo no son estacionarias.

3. Es necesario si la relacion entre dos series es verdadera o espurea. Se vera el como apareceuna regresionespurea cuando las series no son estacionarias.

4. Una caminata aleatoria significa que su prediccion depende de su valor actual mas un choque puramentealeatorio, lo que hace inutil su prediccion.

5. Se desea saber si los pronosticos basados en series de tiempo no estacionarias son validos.

6. Las pruebas de causalidad de Granger y Sims asumen estacionariedad. Se debe hacer pruebas deestacionariedad antes de las de causalidad.

2 Conceptos Fundamentales

2.1 Procesos Estocasticos

Definition 1 (Proceso Estocastico:). 1 Coleccion de variables aleatorias (v.a.) ordenadas en el tiempo.

Se denota Y(t) si la v.a. es continua (continua en el tiempo). Por ejemplo, un electrocardiograma. Sedenota Yt si la v.a. es discreta (discreta en el tiempo). Por ejemplo, el PIB, el IPC.

2.1.1 Procesos Estocasticos Estacionarios

Definition 2. Un proceso estocastico es estacionario si su media y su varianza son constrantes en el tiempoy si el valor de la covarianza entre dos periodos depende solo de la distancia o rezago entre dos periodos, yno del tiempo en el cual se calculo la covarianza.

Lo anterior se conoce en la literatura como:

• debilmente estacionario 2

• estacionario covariante

• estacionario de segundo orden

• estocastico en amplio sentido

1estocastico proviene del griego stokhos que significa blanco u objetivo2Una serie de tiempo es estrictamente estacionaria si todos los momentos de su distribucion de probabilidad son invariantes

en el tiempo (no solo en media y varianza, segundo orden). Si el proceso estacionario es normal, tambien es estrictamenteestacionario ya que se especifica completamente por la media y la varianza

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Un proceso estacionario no se aleja demasiado de su media debido a su varianza finita. Regresar alvalor de la media (llamada reversion a la media) es una propiedad (supuesto) de las series estacionarias. Lavelocida de reversion a la media depende de las autocovarianzas:

• es rapida si las covarianzas son pequenas, y

• es lenta si son grandes

Una serie de tiempo no estacionaria tendra una media que varıa con el tiempo o varianza que varıa enel tiempo o ambas.

Un proceso puramente aleatorio o ruido blanco tiene media igual a 0, varianza constante σ2 y no estaserialmente correlacionado3.

2.1.2 Procesos Estocasticos no estacionarios

Un ejemplo clasico es el modelo de caminara aleatoria (MCA). Hay dos tipos:

• Caminata aleatoria sin deriva (sin termino constante o de intercepto)

• Caminata aleatoria con deriva (con termino constante):

Caminata aleatoria sin deriva Suponga que ut es un ruido blanco, con media 0 y varianza σ2. Entoncesdecimos que Yt es caminada aleatoria si

Yt = Yt−1 + ut (1)

Note que tambien es un modelo AR(1), es una regresion en el tiempo t sonre su valor rezagado un periodo.Podemos ver que:

Y1 = Y0 + u1

Y2 = Y1 + u2 = Y0 + u1 + u2

Y3 = Y2 + u3 = Y0 + u1 + u2 + u3

En general se tendrıa (donde Y0 es el valor inicial de la serie):

Yt = Y0 +∑

ut (2)

Por lo tanto

E(Yt) = E(Y0 +∑

ut) = Y0

var(Yt) = E(Y0 +∑

ut) = tσ2

Note que al aumentar t, su varianza aumenta de manera infinita. En la practica Y0 se iguala a 0, entoncesE(Yt) = 0

3Si tambien es independiente se conoce como estrictamente de ruido blanco

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Un MCA tiene memoria infinita porque los errores aleatorios persisten. Al tener la sumatoria en (2), siu2 = 2, todas las Yt de Y2 en adelante seran dos unidades mayores.

La suma∑ut tambien se conoce como tendencia estocastica. Es interesante que si expresamos (1) como:

(Yt − Yt−1) = ∆Yt = ut (3)

donde ∆ es el operador de primeras diferencias, resulta facil probar que, pese a que Yt no es estacionaria,la serie de sus primeras diferencias si lo es.

Caminata aleatoria con deriva Modifiquemos (1) de la siguiente forma:

Yt = δ + Yt−1 + ut (4)

donde δ se conoce como el parametro de deriva. El termino deriva proviene del hecho de que si escribimosla ecuacion anterior como

Yt − Yt−1 = ∆Yt = δ + ut

se demuestra que Yt se deriva o desvıa hacia arriba o abajo, segun δ sea positiva o negativa.Haciendo un proceso similar para hallar la esperanza y varianza anterior, se tiene que:

E(Yt) = Y0 + tδ

var(Yt) = tσ2

en el MCA con deriva, tanto la media como la varianza se incrementan con el tiempo, lo que viola lascondiciones de estacionariedad (debil). El MCA con o sin deriva es un proceso estocastico no estacionario.

Para ejemplificarlo, se simulan las ecuaciones (sin deriva y con dervia)

Yt = Y0 + ut

Yt = δ + Y0 + ut

donde ut son los terminos de error de ruido blanco ut ∼ N(0, 1), se fija Y0 = 0 y δ = 2. Ası tenemos:

> n = 500

> Y0 = 0

> ut <- rnorm(n)

> delta <- 2

> Ytsd <- NULL # Sin deriva

> Ytc <- NULL # Con deriva

> for(i in 1:n)

+ {

+ Ytsd <- c(Ytsd,Y0 + sum(ut[1:i]))

+ Ytc <- c(Ytc,Y0 + i*delta+ sum(ut[1:i]))

+ }

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> par(mfrow=c(1,2))

> plot(Ytsd,t="l",main="Caminata aleatoria sin deriva",

+ xlab = expression(paste(Y[t], "=",Y[t-1],"+" ,u[t])))

> plot(Ytc,t="l",main="Caminata aleatoria con deriva",

+ xlab = expression(paste(Y[t], "=",2,"+",Y[t-1],"+" ,u[t])))

> par(mfrow=c(1,1))

> par(mfrow=c(1,2))

> plot(Ytsd,t="l",main="Caminata aleatoria sin deriva",

+ xlab = expression(paste(Y[t], "=",Y[t-1],"+" ,u[t])))

> plot(Ytc,t="l",main="Caminata aleatoria con deriva",

+ xlab = expression(paste(Y[t], "=",2,"+",Y[t-1],"+" ,u[t])))

> par(mfrow=c(1,1))

0 100 200 300 400 500

−15

−10

−5

05

10

Caminata aleatoria sin deriva

Yt=Yt−1+ut

Yts

d

0 100 200 300 400 500

020

040

060

080

010

00Caminata aleatoria con deriva

Yt=2+Yt−1+ut

Ytc

Figure 1: Caminata aleatoria sin deriva y con deriva

> n = 500

> set.seed(8519)

> ut <- rnorm(n)

> Y0 = 1

> beta1 <- 0.5

> beta2 <- 0.5

> Yt.det <- NULL # Tendencia Determinista

> Yt.est <- NULL # Tendencia estocastica

6

> for(i in 1:n)

+ {

+ Yt.det <- c(Yt.det,beta2*i + ut[i])

+ Yt.est <- c(Yt.est,Y0 + beta1+ ut[i])

+ Y0 <- Yt.est[i]

+ }

>

> plot(Yt.det,t="l",xlab = "Tiempo",ylab = "",col="blue")

> lines(Yt.est,col="red")

> legend("topleft",c("Determinıstica","Estocastica"),col=c("blue","red"),lty=1)

> plot(Yt.det,t="l",xlab = "Tiempo",ylab = "",col="blue")

> lines(Yt.est,col="red")

> legend("topleft",c("Determinıstica","Estocastica"),col=c("blue","red"),lty=1)

0 100 200 300 400 500

050

100

150

200

250

Tiempo

DeterminísticaEstocástica

Figure 2: Tendencia determinista frente a tendencia estocastica

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