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Notas de clase r.urban
1 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
CapΓtulo VI. CΓ‘lculo integral.
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CΓ‘lculo integral.
IntroducciΓ³n.
Los antecedentes del CΓ‘lculo Integral se remontan a los aΓ±os 360 A.C. y se deben al matemΓ‘tico griego Eudoxo, quien invento un mΓ©todo llamado βMΓ©todo de exhauciΓ³nβ1. Este procedimiento fue posteriormente perfeccionado por ArquΓmedes y servΓa para encontrar Γ‘reas de figuras planas, o de regiones concretas, como cΓrculos y elipses. El mΓ©todo consistΓa en encerrar un polΓgono en el Γ‘rea a calcular. A medida que se aumentan los lados del polΓgono se delimita mΓ‘s claramente el Γ‘rea de interΓ©s. Por ejemplo para calcular el Γ‘rea de una cΓrculo,
Para encontrar el Γ‘rea, se van a ir inscribiendo polΓgonos de 2n lados, iniciamos con ππ =2,3, .. En la imagen de la izquierda, cuando ππ = 2, se forma un rectΓ‘ngulo que nos da la primera aproximaciΓ³n del Γ‘rea total.. Como segundo paso, aΓ±adimos un polΓgono de 8 lados, trazando triΓ‘ngulos rectΓ‘ngulos en cada lado del cuadrado. De esta manera al Γ‘rea del cuadrado le sumamos los 8 triΓ‘ngulos. Finalmente en la ΓΊltima imagen, repetimos el proceso, inscribimos un polΓgono de 24 = 16 lados y ahora sumamos el Γ‘rea de 16 triΓ‘ngulos. Como podemos observar mientras mΓ‘s lados consideremos en el polΓgono mΓ‘s exacto es el cΓ‘lculo del Γ‘rea y en cada paso aprovechamos el resultado del cΓ‘lculo anterior. El desarrollo del cΓ‘lculo integral en su versiΓ³n moderna, inicia en el siglo XVII, con los aportes de Newton y Leibniz. Ellos introdujeron el concepto de integraciΓ³n que estΓ‘ estrechamente relacionado con el cΓ‘lculo diferencial. Si bien a ciencia cierta no se sabe quiΓ©n fue el que hizo los primeros desarrollos. Incluso hoy en dΓa hay controversia sobre quiΓ©n tiene la paternidad Leibniz o Newton. La verdad probablemente nunca se sabrΓ‘ y de 1 Miguel DΓaz CΓ‘rdenas,β El mΓ©todo de exhauciΓ³nβ, Revista Alternativa. NΓΊmero 19. (Eneroβjunio 2009), Unidad AcadΓ©mica de MatemΓ‘ticas Universidad AutΓ³noma de Guerrero. MΓ©xico. http://www.revistaalternativa.org/numeros/no19/mdiaz19.pdf
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todos modos no creo que importe. Sin embargo; una cosa es cierta, la notaciΓ³n que se usa hasta nuestros dΓas, es la que propuso Leibniz, eso debe tener algΓΊn peso. Definiciones y notaciΓ³n.
El cΓ‘lculo diferencial es ΓΊtil para medir y estudiar tasas de cambio en tΓ©rminos de las pendientes de la funciΓ³n, mientras que el cΓ‘lculo integral se ocupa de determinar las Γ‘reas que se encuentran entre curvas y otras fronteras delimitadas. Ambos conceptos, pendiente y Γ‘rea se pueden calcular por principios geomΓ©tricos. Ya hemos visto que desde griegos estudiaron y resolvieron estos problemas en casos especiales; sin embargo, fue hasta el siglo XVII que se encontrΓ³ una conexiΓ³n entre la derivaciΓ³n y la integraciΓ³n. De hecho, para calcular el Γ‘rea de una figura geomΓ©trica plana, podemos utilizar otras formas conocidas, similar al mΓ©todo de Eudoxo. Por ejemplo, para encontrar el Γ‘rea βaproximadaβ de la siguiente funciΓ³n,
Para encontrar el Γ‘rea achurada, podrΓamos inscribir cuatro figuras geomΓ©tricas, dos rectΓ‘ngulos y dos triΓ‘ngulos, el Γ‘rea de estas figuras serΓan,
π΄π΄ = 2 β 10 = 20; πΆπΆ = 0.86 β 10 = 8.6 Γ‘ππππππππ ππππ ππππππ ππππππππΓ‘ππππππππππππ
π΅π΅ =1.14 β 10
2= 5.7; π·π· =
0.86 β 102
= 4.3 Γ‘ππππππππ ππππ ππππππ πππππ‘π‘Γ‘ππππππππππππ
Γππππππ ππππππππππ = π΄π΄ + π΅π΅ + πΆπΆ + π·π· = 38.6 Por supuesto que tendrΓamos un margen de error, que para reducirlos tendrΓamos que considerar mΓ‘s figuras geomΓ©tricas. Para reducir el error y facilitar el cΓ‘lculo, sobretodo de funciones complejas, utilizamos mejor el cΓ‘lculo integral. Ya hemos visto tΓ©cnicas para encontrar la derivada πΉπΉβ(π₯π₯) de una funciΓ³n ππ(π₯π₯). En muchas ocasiones es necesario proceder al revΓ©s. Se trata de encontrar ππ(π₯π₯) a partir de la derivada πΉπΉβ(π₯π₯). Este procedimiento se llama antiderivaciΓ³n. Por otro lado, el proceso de
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integraciΓ³n puede ser definido como el lΓmite de la suma de tΓ©rminos, cada uno correspondiente a la superficie de una tira delgada subtendido por la grΓ‘fica de la funciΓ³n. Definido de esta manera, la integraciΓ³n ofrece un medio eficaz para calcular el Γ‘rea bajo una curva y el Γ‘rea y volumen de sΓ³lidos, tales como la esfera o un cono. De acuerdo a lo anterior, la integraciΓ³n podemos estudiarla desde dos puntos de vista, que son complementarios.
1) La antiderivada, para encontrar la funciΓ³n primitiva de la derivada de una funciΓ³n. (Integral indefinida)
2) Como el procedimiento para encontrar el Γ‘rea bajo la curva. (integral definida) Antiderivada y funciones primitivas.
El teorema fundamental del cΓ‘lculo establece que la integraciΓ³n y la derivaciΓ³n son operaciones inversas. Es decir, al integrar una funciΓ³n ππβ²(π₯π₯) obtenemos la funciΓ³n original, o primitiva, πΉπΉ(π₯π₯). Si lo vemos desde el punto de vista de la EconomΓa, la integral de una funciΓ³n marginal es igual a la funciΓ³n original. Como veremos mΓ‘s adelante; por ejemplo, la integral de la funciΓ³n de ingreso marginal es igual a la funciΓ³n de ingreso.
Supongamos que ππ(π₯π₯) es una funciΓ³n cualquiera y que πΉπΉ(π₯π₯) es una funciΓ³n cuya derivada es ππ(π₯π₯), esto es, πΉπΉβ²(π₯π₯) = ππ(π₯π₯). Llamamos a πΉπΉ(π₯π₯) como la antiderivada de ππ(π₯π₯).
Ejemplos: Encuentre la antiderivada de las siguientes funciones.
a) ππβ²(π₯π₯) = 2π₯π₯, la antiderivada es πΉπΉ(π₯π₯) = π₯π₯2, entonces πΉπΉ es una funciΓ³n primitiva de ππ
b) ππβ²(π₯π₯) = 1π₯π₯5
+ 2π₯π₯2
Primero rescribimos ππβ²(π₯π₯) = π₯π₯β5 + π₯π₯2, la funciΓ³n primitiva πΉπΉ(π₯π₯) = β14π₯π₯β4 + π₯π₯3
Existen diferentes funciones que resultan de la misma derivada. Si modificamos un poco la funciΓ³n primitiva del ejercicio anterior.
πΉπΉ(π₯π₯) = π₯π₯2 + 5, o bien πΉπΉ(π₯π₯) = π₯π₯2 β 8, o en forma general cualquiera de la forma πΉπΉ(π₯π₯) = π₯π₯2 + ππ,
La derivada sigue siendo la misma. El valor de c es una constante llamada, constante de integraciΓ³n.
Ejemplos: Encuentre la antiderivada y determine la funciΓ³n primitiva.
a) Si ππβ²(π₯π₯) = 2π₯π₯, suponga que un punto de la funciΓ³n πΉπΉ(π₯π₯) es (2,20).
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SoluciΓ³n, La antiderivada por tanteo es πΉπΉ(π₯π₯) = π₯π₯2 + ππ, para encontrar la funciΓ³n primitiva debemos encontrar el valor de la constante ππ. Sustituimos en punto (2,20) en la funciΓ³n primitiva. Tenemos.
πΉπΉ(π₯π₯) = π₯π₯2 + ππ Para (π₯π₯ = 2,πΉπΉ(π₯π₯) = 20) es 20 = 22 + ππ de donde y ππ = 16
Por lo tanto la funciΓ³n primitiva especΓfica es πΉπΉ(π₯π₯) = π₯π₯2 + 16
b) La funciΓ³n de ingreso marginal de una empresa es ππβ²(π₯π₯) = 50 β 0.04π₯π₯. Si el ingreso total es de cero cuando no se vende ninguna unidad ΒΏcuΓ‘l es la funciΓ³n de ingreso total del producto?
SoluciΓ³n, La funciΓ³n de ingreso total es π π (π₯π₯) = 50π₯π₯ β 0.04
2π₯π₯2 + ππ
Por otro lado, si no hay ventas el ingreso es cero; si π₯π₯ = 0,π π (π₯π₯) = 0, sustituimos en la ecuaciΓ³n anterior, nos queda
0 = 50(0) β 0.04(0)2
2+ ππ β΄ ππ = 0
Finalmente π π (π₯π₯) = 50π₯π₯ β 0.04π₯π₯2
c) Si se sabe que la funciΓ³n de costo marginal para la elaboraciΓ³n de un producto es ππβ²(π₯π₯) = 2π₯π₯ + 1.1 y el costo total cuando se fabrican 50 unidades es de $25,000 pesos. Determine la funciΓ³n de costo total.
La antiderivada, por tanteo es πΆπΆ(π₯π₯) = π₯π₯2 + 1.1π₯π₯ + ππ Si π₯π₯ = 50 y πΆπΆ(50) = 25,000, sustituimos estos valores en la ecuaciΓ³n anterior 25,000 = 502 + 1.1(50) + ππ β΄ ππ = 25000 β 2500 β 55 = 22,445 La funciΓ³n de costo total serΓ‘ entonces, πΆπΆ(π₯π₯) = π₯π₯2 + 1.1π₯π₯ + 22,445
Integral indefinida o CΓ‘lculo de primitivas. La simbologΓa utilizada para expresar el cΓ‘lculo de primitivas se denota por la siguiente expresiΓ³n:
οΏ½ππ(π₯π₯)πππ₯π₯ = πΉπΉ(π₯π₯) + ππ
El sΓmbolo β« se llama signo de integral. La notaciΓ³n completa β«ππ(π₯π₯)πππ₯π₯ se lama Integral indefinida. La expresiΓ³n πππ₯π₯ establece la variable de integraciΓ³n y se lee βdiferencial de xβ. Siempre se escribe la variable de interΓ©s en esta expresiΓ³n, si la variable de interΓ©s es ππ, en
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lugar de π₯π₯, tendrΓamos que escribir β« ππ(ππ)ππππ. Esta simbologΓa fue introducida por Leibniz (1646-1716)2.
Para los dos tipos de integraciΓ³n, integraciΓ³n indefinida y definida, la notaciΓ³n que se utiliza es similar. Finalmente, llamamos integral indefinida de una funciΓ³n ππβ²(π₯π₯) a la familia de antiderivadas, o de primitivas, de la funciΓ³n πΉπΉ(π₯π₯). Por otro lado, la integral definida estΓ‘ relacionada con encontrar el Γ‘rea bajo una curva, en esencia como lo hace el mΓ©todo de exhauciΓ³n, aunque expresado en notaciΓ³n de Leibniz. Es decir, dada una funciΓ³n ππ(π₯π₯) buscamos encontrar el Γ‘rea bajo la curva en un intervalo dado [ππ, ππ], en forma grΓ‘fica equivale a,
La integral definida relaciona entonces dos conceptos; el Γ‘rea bajo la curva de una funciΓ³n ππ(π₯π₯) y la antiderivada, su estudio lo veremos mΓ‘s adelante.
Utilizando la notaciΓ³n adecuada de integraciΓ³n, los ejercicios anteriores, los rescribimos de la siguiente manera.
β’ β«2π₯π₯ πππ₯π₯ = π₯π₯2 + ππ de la misma manera
β’ β«( 1π₯π₯5
+ 2π₯π₯2)πππ₯π₯ = β14π₯π₯β4 + π₯π₯3 + ππ
Ejemplo. La funciΓ³n de costo marginal de una organizaciΓ³n de productores artesanales es 0.45π₯π₯2 β 2π₯π₯ + 30, donde π₯π₯ es el nΓΊmero de artΓculos producidos en un dΓa. Los costos fijos son de $ 350 pesos por dΓa.
a) Encontrar el costo total de producciΓ³n por dΓa.
2 βDe acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese dΓa empleΓ³ por primera vez el cΓ‘lculo integral para encontrar el Γ‘rea bajo la curva de una funciΓ³n π¦π¦ = ππ(π₯π₯). Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo "integral" β«, que representa una S alargada, derivado del latΓn "summa", y la letra "d" para referirse a los "diferenciales", del latΓn "differentia". Esta ingeniosa y sugerente notaciΓ³n para el cΓ‘lculo es probablemente su legado matemΓ‘tico mΓ‘s perdurable.β Leibniz paso gran parte de su vida en disputa con newton y otros por la paternidad del cΓ‘lculo; hoy en dΓa se emplea la notaciΓ³n de Leibniz y no la de Newton. Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz
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b) Si el nivel de producciΓ³n es de π₯π₯ = 20. Determine el costo si la producciΓ³n aumenta a π₯π₯ = 40 unidades.
SoluciΓ³n,
a) Sea πΆπΆ(π₯π₯) el costo de producir π₯π₯ unidades por dΓa. La derivada es el costo marginal ππβ(π₯π₯), asΓ para encontrar la funciΓ³n primitiva de costo total.
πΆπΆ(π₯π₯) = οΏ½(0.45π₯π₯2 β 2π₯π₯ + 30)πππ₯π₯ = 0.15π₯π₯3 β π₯π₯2 + 30π₯π₯ + ππ
Los costos fijos de $ 350 pesos se realizan incluso si se producen cero artΓculos, π₯π₯ = 0, esto es πΆπΆ(0) = 350. AsΓ, para encontrar la constante de integraciΓ³n ππ.
350 = 0.15(0)3 β (0)2 + 30(0) + ππ β΄ ππ = 350
b) El costo cuando π₯π₯ = 20 es πΆπΆ(20), y cuando π₯π₯ = 40, el costo es de πΆπΆ(40), el incremento en el costo serΓ‘ entonces la diferencia entre πΆπΆ(40) β πΆπΆ(20)
πΆπΆ(40) = 0.15(40)3 β (40)2 + 30(40) + 350 = 9550 πΆπΆ(20) = 0.15(20)3 β (20)2 + 30(20) + 350 = 1750
El incremento en el costo es πΆπΆ(40) β πΆπΆ(20) = $7,800
Reglas bΓ‘sicas de integraciΓ³n.
En una gran cantidad de casos no es necesario encontrar la antiderivada por tanteo. Similar a la diferenciaciΓ³n, tenemos un grupo de reglas bΓ‘sicas que permiten calcular la integral de una funciΓ³n. Como en las derivadas existen algunas reglas de integraciΓ³n que nos permiten calcular una integral elemental de manera directa. Por supuesto que en muchos casos se requiere aplicar otras tΓ©cnicas, que veremos mΓ‘s adelante, y en otros casos simplemente no es posible su soluciΓ³n. Estas ΓΊltimas se resuelven por medio de mΓ©todos numΓ©ricos y si es posible con el apoyo de computadoras, estas tΓ©cnicas no se incluyen en este libro.
Las reglas mΓ‘s usuales para calcular la integral de funciones elementales son las siguientes. Sean las funciones ππ(π₯π₯) y ππ(π₯π₯) y ππ una constante
1) Regla de la funciΓ³n constante
οΏ½ππ πππ₯π₯ = πππ₯π₯ + ππ
Ejemplos: a) β«2πππ₯π₯ = 2π₯π₯ + ππ b) β«β5πππ₯π₯ = β5π₯π₯ + ππ c) β« 32πππ₯π₯ = 3
2π₯π₯ + ππ
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2) Regla de la potencia
οΏ½π₯π₯ππ πππ₯π₯ =π₯π₯ππ+1
ππ + 1+ ππ ππππππππ ππ β β1
3) La integral del producto de una constante por una funciΓ³n es el producto de la constante por la integral de la funciΓ³n. Si k es una constante
οΏ½πππ₯π₯ππ πππ₯π₯ = πποΏ½π₯π₯ππ πππ₯π₯ =πππ₯π₯ππ+1
ππ + 1+ ππ ππππππππ ππ β β1
Ejemplos:
a) β«4π₯π₯ πππ₯π₯ = 4β«π₯π₯ πππ₯π₯ = 4π₯π₯2
2+ ππ
b) β« 35π₯π₯3 πππ₯π₯ = 3
5 β« π₯π₯3 πππ₯π₯ = 3
5π₯π₯4
(4) + ππ = 3π₯π₯4
20+ ππ
c) β«π₯π₯13πππ₯π₯ = π₯π₯
13+1
13οΏ½ +1
+ ππ = π₯π₯43
43οΏ½
+ ππ = 3π₯π₯43
4+ ππ
d) β«4 π₯π₯3πππ₯π₯ = 4β«π₯π₯3 πππ₯π₯ = π₯π₯4 + ππ
e) β« 5βπ₯π₯πππ₯π₯ = 5β«π₯π₯β
12πππ₯π₯ = 5οΏ½ π₯π₯β
12+1
β1 2οΏ½ +1οΏ½+ ππ = 5οΏ½π₯π₯
12
12οΏ½οΏ½ + ππ = 10βπ₯π₯ +c
4) Linealidad. La integral de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de las integrales de las funciones. Sean f(x) y g(x) funciones integrables.
οΏ½[ ππ(π₯π₯) Β± ππ(π₯π₯)]πππ₯π₯ = οΏ½ππ(π₯π₯)πππ₯π₯ Β± οΏ½ππ(π₯π₯)πππ₯π₯
Ejemplos: a) β«( 2π₯π₯3 β π₯π₯2 β 4)πππ₯π₯ = 2β«π₯π₯3 πππ₯π₯ β β«π₯π₯2 πππ₯π₯ β β«4 πππ₯π₯
= 2π₯π₯4
4βπ₯π₯3
3β 4π₯π₯ + ππ =
π₯π₯4
2βπ₯π₯3
3β 4π₯π₯ + ππ
b) β«(π₯π₯3
+ 12)πππ₯π₯ = 1
3 β« π₯π₯ πππ₯π₯ + β« 12πππ₯π₯ = 1
3π₯π₯2
2+ π₯π₯
2+ ππ = π₯π₯2
6+ π₯π₯
2+ ππ = 1
6π₯π₯(π₯π₯ + 3) + ππ
c) β«( 2βπ₯π₯β 3βπ₯π₯ )πππ₯π₯ = β« 2
βπ₯π₯πππ₯π₯ β β«3βπ₯π₯ πππ₯π₯ = 2β« π₯π₯β
12πππ₯π₯ β 3β«π₯π₯
12πππ₯π₯ =
= 4βπ₯π₯ β 323π₯π₯32 + ππ = 2βπ₯π₯(2 β π₯π₯) + ππ
5) Regla del logaritmo. ExcepciΓ³n de la regla de la potencia.
οΏ½1π₯π₯πππ₯π₯ = ππππ|π₯π₯| + ππ π₯π₯ β 0
6) FunciΓ³n exponencial.
οΏ½πππ₯π₯πππ₯π₯ = πππ₯π₯ + ππ
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7) β«[ππ(ππ)]ππ ππβ²(ππ)π π ππ = [ππ(ππ)]ππ+ππ
ππ+ππ+ ππ
Ejemplos: a) β«(5π₯π₯ β 3)3πππ₯π₯
En este caso ππ(π₯π₯) = 5π₯π₯ β 3 y ππβ(π₯π₯) = 5, para aplicar la regla 7 modificamos la integral,
15οΏ½(5π₯π₯ β 3)3 5πππ₯π₯ =
15
(5π₯π₯ β 3)4
4+ ππ =
(5π₯π₯ β 3)4
20+ ππ
b) β«β2π₯π₯ + 6 πππ₯π₯ Hacemos ππ(π₯π₯) = 2π₯π₯ + 6 y ππβ(π₯π₯) = 2, modificamos la integral
12οΏ½(2π₯π₯ + 6)
12 2πππ₯π₯ =
12
(2π₯π₯ + 6)32
32
+ ππ =(2π₯π₯ + 6)
32
3+ ππ
c) β« 3(6π₯π₯+5)4
πππ₯π₯
Hacemos la transformaciΓ³n, 3β«(6π₯π₯ + 5)β4πππ₯π₯ y ππ(π₯π₯) = 6π₯π₯ + 5) , ππβ(π₯π₯) = 6 efectuamos la modificaciΓ³n y,
36οΏ½(6π₯π₯ + 5)β4 6πππ₯π₯ =
36
(6π₯π₯ + 5)β4+1
β3+ c = β
16(6π₯π₯ + 5)3 + c
8) β« ππβ²(ππ)ππππ(ππ) π π ππ = ππππ(ππ) + ππ
Ejemplos:
a) β« 3 πππ‘π‘5ππππ
Hacemos ππ(ππ) = π‘π‘5 y su derivada ππβ²(ππ) = 1
5, para aplicar regla 8, modificamos la
integral,
3(5)οΏ½πππ‘π‘5 οΏ½
15οΏ½ ππππ = 15ππ
π‘π‘5 + ππ
b) β« 3π₯π₯ πππ₯π₯2πππ₯π₯
La derivada de la funciΓ³n ππ(π₯π₯) = π₯π₯2 y ππβ²(π₯π₯) = 2π₯π₯, se modifica la integral, 32οΏ½2π₯π₯ πππ₯π₯2πππ₯π₯ =
32πππ₯π₯2 + ππ
c) β« 6π₯π₯ ππ3π₯π₯2+2πππ₯π₯ Calculamos la derivada de ππ(π₯π₯)3π₯π₯2 + 2 y ππβ²(π₯π₯) = 6π₯π₯, entonces
οΏ½6π₯π₯ ππ3π₯π₯2+2πππ₯π₯ = ππ3π₯π₯2+2 + ππ
d) β«(5 β 3 ππβ5π‘π‘ + ππ2π‘π‘
4) ππππ
Aplicamos la regla 4 y la regla 8.
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οΏ½(5 β 3 ππβ5π‘π‘ +ππ2π‘π‘
4) ππππ = οΏ½ 5πππ₯π₯ β 3οΏ½ππβ5π‘π‘ ππππ +
14οΏ½ππ2π‘π‘ ππππ
= 5ππ β 3οΏ½ππβ5π‘π‘ ππππ +14οΏ½ππ2π‘π‘ ππππ = 5π₯π₯ +
35οΏ½ππβ5π‘π‘(β5)ππππ +
18οΏ½ππ2π‘π‘ (2)ππππ
= 5ππ +35ππβ5π‘π‘ +
18ππ2π‘π‘ + ππ
e) β« 4ππ2π₯π₯+3
πππ₯π₯
Si modificamos a β« 4 ππβ2π₯π₯β3πππ₯π₯ entonces ππ(π₯π₯) = β2π₯π₯ β 3 y ππβ²(π₯π₯) = β2, asΓ
4β2
οΏ½(β2) ππβ2π₯π₯β3πππ₯π₯ = β2ππβ2π₯π₯β3 + ππ
9) β« ππβ²(ππ)ππ(ππ)
π π ππ = ππππ ππ(ππ) + ππ
Ejemplos:
a) β« πππ₯π₯π₯π₯+10
La funciΓ³n ππ(π₯π₯) = π₯π₯ + 10 y ππβ²(π₯π₯) = 1, entonces
οΏ½πππ₯π₯
π₯π₯ + 10= ln(π₯π₯ + 10) + ππ
b) β« 6π₯π₯2
2π₯π₯3+5πππ₯π₯
Si tomamos ππ(π₯π₯) = 2π₯π₯3 + 5, ππβ²(π₯π₯) = 6π₯π₯2 aplicamos regla 9
οΏ½6π₯π₯2
2π₯π₯3 + 5πππ₯π₯ = ππππ(2π₯π₯2 + 5) + ππ
c) β« 2π₯π₯+33π₯π₯2+9π₯π₯β5
πππ₯π₯
Obtenemos la derivada de ππ(π₯π₯) = 3π₯π₯2 + 9π₯π₯ β 5, ππβ²(π₯π₯) = 6π₯π₯ + 9 de tal manera que,
13οΏ½
3(2π₯π₯ + 3)3π₯π₯2 + 9π₯π₯ β 5
πππ₯π₯ =13
ln(3π₯π₯2 + 9π₯π₯ β 5) + ππ
Ejercicios.
1) β«(π₯π₯2 + 5)6 2π₯π₯ πππ₯π₯ 2) β«β2π₯π₯2 + 6 2π₯π₯ πππ₯π₯
3) β« 1(4β3π‘π‘)4
πππ₯π₯
4) β«6ππ6π₯π₯ πππ₯π₯ 5) β«6π₯π₯ ππβπ₯π₯2 πππ₯π₯
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6) El valor de los activos de un productor agrΓcola es de $3,500,000 pesos y la tasa de cambio que le corresponde es de ππππ
πππ‘π‘= 8ππ0.05π‘π‘, donde ππ es el tiempo en aΓ±os que
tienen los activos y ππ es el valor total. a. Encuentre ππ(ππ) b. Determine el valor de los activos 20 aΓ±os despuΓ©s.
7) Suponga que el costo marginal para un producto estΓ‘ dado por ππβ²(π₯π₯) = 4002π₯π₯+1
, donde π₯π₯ es el nΓΊmero de unidades producidas. a. Encuentre la funciΓ³n costo b. Si producir 5 unidades cuesta $1980 pesos ΒΏcuΓ‘l serΓ‘ el costo de producir 50 unidades?
Integral definida
La integral definida es un concepto utilizado para determinar Γ‘reas limitadas por curvas y rectas. Sea ππ(π₯π₯) una funciΓ³n derivable y continua en el intervalo [ππ, ππ]; y sea πΉπΉ(π₯π₯) una funciΓ³n primitiva de ππ(π₯π₯) sobre el intervalo [ππ, ππ], se llama integral definida de la funciΓ³n entre los puntos a y b al Γ‘rea de la porciΓ³n del plano que estΓ‘ limitada por la funciΓ³n, al nΓΊmero real π΄π΄, que resulta de calcular.
π΄π΄ = οΏ½ ππ(π₯π₯)ππ
ππ πππ₯π₯ = πΉπΉ(π₯π₯)|
ππππ
= πΉπΉ(ππ) β πΉπΉ(ππ)
En forma grΓ‘fica si ππ(π₯π₯) es una funciΓ³n en el intervalo [ππ, ππ]
El Γ‘rea comprendida entre la grΓ‘fica de una funciΓ³n continua positiva ππ(π₯π₯), el eje de las absisas y las rectas π₯π₯ = ππ y π₯π₯ = ππ es igual a,
π΄π΄ = οΏ½ ππ(π₯π₯)ππ
ππ πππ₯π₯
Los nΓΊmeros ππ y ππ se llaman lΓmites de integraciΓ³n, a es el lΓmite inferior y b el
lΓmite superior, usualmente ππ < ππ
Para evaluar estas integrales realizamos dos pasos,
a) Obtenemos la integral utilizando las tΓ©cnicas para evaluar integrales indefinidas y determinar antiderivadas, integrales infinitas. Estos mΓ©todos siguen siendo vΓ‘lidos para evaluar las integrales definidas
b) Se evalΓΊa la integral indefinida para el lΓmite superior de la integral y el resultado se resta del valor que resulte de la evaluaciΓ³n en el lΓmite inferior. El resultado es
Notas de clase r.urban
12 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
un nΓΊmero que es el Γ‘rea bajo la curva. La constante de integraciΓ³n desaparece para este cΓ‘lculo.
Ejemplos. Evaluar las siguientes integrales definidas.
a) β« (4π₯π₯3 β 3π₯π₯2 + 5)πππ₯π₯42
En primer lugar resolvemos la integral indefinida, de acuerdo a la regla 4,
β« (4π₯π₯3 β 3π₯π₯2 + 5)πππ₯π₯42 = β« 4π₯π₯3πππ₯π₯4
2 β
β« 3π₯π₯2πππ₯π₯42 + β« 5πππ₯π₯4
2 = (π₯π₯4 β π₯π₯3 + 5π₯π₯)| 42 Evaluamos la integral definida de acuerdo a los lΓmites de integraciΓ³n. = [44 β 42 + 5(4)] β [24 β 22 + 5(2)] =212 β 18 = 194 El Γ‘rea bajo la curva es 194.
b) β« (π₯π₯2 + 2π₯π₯)β3β5 πππ₯π₯
Aplicamos regla 4,
β« (π₯π₯2 + 2π₯π₯)β3β5 πππ₯π₯ = β« (π₯π₯2 + 2π₯π₯)β3
β5 πππ₯π₯ +
β« (π₯π₯2 + 2π₯π₯)β3β5 πππ₯π₯ = π₯π₯3
3+ π₯π₯2οΏ½ β3β5 =
οΏ½(β3)3
3+ (β3)2οΏ½ β οΏ½(β5)3
3+ (β5)2οΏ½ = 0 β
οΏ½β503οΏ½ = 50
3
Γrea bajo la curva es 503
c) β« πππ₯π₯3π₯π₯2πππ₯π₯1.5
Completamos la diferencial y aplicamos la regla 8.
β« πππ₯π₯3π₯π₯2πππ₯π₯1.5 = β« πππ₯π₯3 3
3π₯π₯2πππ₯π₯ =1
.5 13 β« πππ₯π₯33π₯π₯2πππ₯π₯ = 1
3πππ₯π₯3οΏ½ 1.5 = 1
3ππ(1)3 β 1
3
1.5
= 0.906 β 0.377 β 0.528
d) β« π₯π₯ πππ₯π₯π₯π₯2+3
31
Completamos la diferencial y aplicamos la regla 9.
β« π₯π₯πππ₯π₯π₯π₯2+3
31 = 1
2 β«2π₯π₯πππ₯π₯π₯π₯2+3
31 = 1
2πΏπΏππ(π₯π₯2 + 3)| 31 =
12πΏπΏππ(32 + 3) β 1
2πΏπΏππ(12 + 3) = 1.2425 β
0.693 β 0.55
Notas de clase r.urban
13 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
Propiedades de la integral definida
Sean ππ(π₯π₯) y ππ(π₯π₯) dos funciones integrables en el intervalo [ππ, ππ], y ππ un nΓΊmero real. La integral definida cumple las siguientes propiedades:
β’ La integral extendida en un punto, [a, a], es igual a cero. No hay Γ‘rea.
οΏ½ ππ(π₯π₯)ππ
πππππ₯π₯ = 0
β’ La integral del producto de una constante por una funciΓ³n es igual a la constante por la integral de la funciΓ³n.
οΏ½ ππππ(π₯π₯)ππ
πππππ₯π₯ = πποΏ½ ππ(π₯π₯)
ππ
πππππ₯π₯
β’ La integral de la suma de funciones es igual a la suma de sus integrales individuales. Si β« ππ(π₯π₯)ππ
ππ πππ₯π₯ y β« ππ(π₯π₯)ππππ πππ₯π₯ existen, entonces,
οΏ½ [ππ(π₯π₯) Β± ππ(π₯π₯)]ππ
πππππ₯π₯ = οΏ½ ππ(π₯π₯)
ππ
πππππ₯π₯ Β± οΏ½ ππ(π₯π₯)
ππ
πππππ₯π₯
β’ Si ππ(π₯π₯) es continua en el intervalo [ππ, ππ], al permutar los lΓmites de una integral, Γ©sta cambia de signo.
οΏ½ ππ(π₯π₯)ππ
πππππ₯π₯ = βοΏ½ ππ(π₯π₯)
ππ
πππππ₯π₯
β’ Si ππ(π₯π₯) es continua en el intervalo [ππ, ππ], y sean tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple
οΏ½ ππ(π₯π₯)ππ
πππππ₯π₯ = οΏ½ ππ(π₯π₯)
ππ
πππππ₯π₯ + οΏ½ ππ(π₯π₯)
ππ
πππππ₯π₯
CΓ‘lculo de Γ‘reas
PorquΓ© utilizar el cΓ‘lculo integral y no la geometrΓa para encontrar Γ‘reas, la razΓ³n quizΓ‘ es que la geometrΓa solo nos permite encontrar Γ‘reas de figuras conocidas como rectΓ‘ngulos, cΓrculos, etc.
Anteriormente calculamos Γ‘rea bajo la curva de una funciΓ³n continua delimitado por un intervalo [a, b] y las dos rectas que delimitan los intervalos, de ecuaciones π₯π₯ = ππ y π₯π₯ = ππ.
Notas de clase r.urban
14 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
Este principio puede servir tambiΓ©n para calcular las Γ‘reas comprendidas entre curvas, por simples operaciones aritmΓ©ticas de adiciΓ³n y sustracciΓ³n. Sabemos que para encontrar esta Γ‘rea bajo la curva utilizamos la integral definida β« ππ(π₯π₯)ππππ πππ₯π₯ en el caso de que ππ(π₯π₯) β₯ 0 en ππ β€ π₯π₯ β€ ππ. Es claro que en este caso hablamos
de Γ‘reas positivas, que se encuentran superiores al eje de las π₯π₯`ππ. Por lo contrario, en el caso en que π¦π¦ = ππ(π₯π₯) y las lΓneas π₯π₯ = ππ y π₯π₯ = ππ y el eje π₯π₯`ππ cuando ππ(π₯π₯) β€ 0, el Γ‘rea estΓ‘ situada debajo del eje π₯π₯. El Γ‘rea total de una funciΓ³n estarΓ‘ dada por la expresiΓ³n,
Γππππππ ππππππππππ = οΏ½(Γ‘ππππππππ πππππππππππ‘π‘ππππππππ ππππ ππππππ π₯π₯) β οΏ½(Γ‘ππππππππ π‘π‘πππππππππ‘π‘ππππππππ ππππ ππππππ π₯π₯)
Ejemplos.
a) Hallar el Γ‘rea limitada por la funciΓ³n ππ(π₯π₯) = 5π₯π₯ + 6 β π₯π₯3 β 2π₯π₯2, el eje horizontal y las rectas π₯π₯ = 1 y π₯π₯ = β3
SoluciΓ³n:
El grΓ‘fico nos dice que se trata de dos Γ‘reas una superior y otra inferior al eje horizontal, de esta manera la soluciΓ³n es
β« (5π₯π₯ + 6 β π₯π₯3 β 2π₯π₯2)1β1 πππ₯π₯ β β« (5π₯π₯ + 6 β π₯π₯3 β 2π₯π₯2)β1
β3 πππ₯π₯ =
= οΏ½52π₯π₯2 + 6π₯π₯ β π₯π₯4
4β 2π₯π₯3
3οΏ½ 1β1 β οΏ½5
2π₯π₯2 + 6π₯π₯ β π₯π₯4
4β 2π₯π₯3
3οΏ½ β1β3 =
= οΏ½οΏ½52
12 + 6(1) β 14
4β 2(13)
3οΏ½ β οΏ½5
2(β1)2 + 6(β1) β (β1)4
4β 2(β1)3
3οΏ½οΏ½ β
β οΏ½οΏ½52
(β1)2 + 6(β1) β (β1)4
4β 2(β1)3
3οΏ½ β οΏ½5
2(β3)2 + 6(β3) β (β3)4
4β 2(β3)3
3οΏ½οΏ½ =
οΏ½9112
+ 3712οΏ½ β οΏ½β 37
12β 9
4οΏ½ = 32
3+ 16
3= 16
b) Encontrar el Γ‘rea entre las curvas π¦π¦ = π₯π₯2, π¦π¦ = βπ₯π₯ y las rectas, π₯π₯ = 0 y π₯π₯ = 1 SoluciΓ³n: Recordemos que la integral definida nos da el Γ‘rea bajo la curva de una funciΓ³n. Para encontrar el Γ‘rea que nos piden debemos encontrar el Γ‘rea bajo la curva de la funciΓ³n π¦π¦ = βπ₯π₯ y restar el Γ‘rea de la funciΓ³n π¦π¦ = π₯π₯2 y delimitada por las rectas. AsΓ, el Γ‘rea total serΓ‘,
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15 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
En el caso de Γ‘reas formadas por dos curvas, como en este ejemplo, por consideraciones geomΓ©tricas, el Γ‘rea de la intersecciΓ³n se calcula restando a la integral de ππ(π₯π₯) en el intervalo [β1, 1] el valor de la integral de ππ(π₯π₯) para ese mismo intervalo.
β« βπ₯π₯10 πππ₯π₯ β β« π₯π₯21
0 πππ₯π₯ = β« οΏ½βπ₯π₯ β π₯π₯2οΏ½10 πππ₯π₯ = 2
3π₯π₯32 β π₯π₯3
3οΏ½ 10 = οΏ½2
3(1)
32 β (1)3
3οΏ½ β 0 = 1
3
Ejercicios
1) Calcular el Γ‘rea limitada por la parΓ‘bola y = 20 β 3x2 la recta x = 2 y los ejes coordenados.
Aplicaciones de la integraciΓ³n a la economΓa.
Hasta ahora hemos visto aplicaciones importantes del cΓ‘lculo integral para obtener primitivas y el Γ‘rea bajo la curva de una funciΓ³n, de igual manera es ΓΊtil en la EconomΓa para resolver una gran variedad de situaciones, algunas de las cuales vamos a tratar en lo que sigue.
Excedente del consumidor.
Un problema relevante de la economΓa aplicada es desarrollar una medida de las ganancias o pΓ©rdidas que experimentan los individuos como consecuencia de las variaciones de los precios. Una manera de asignar un costo monetario a esta variaciΓ³n es a travΓ©s del Excedente del Consumidor que permite estimar las ganancias o las pΓ©rdidas de bienestar a partir de la informaciΓ³n sobre la curva de demanda de mercado del bien. Se puede definir este excedente del consumidor como la diferencia entre el precio mΓ‘ximo que estarΓa dispuesto a pagar y el precio que realmente paga. Un consumidor va a una tienda a comprar un litro de leche a un precio de 12 pesos, al llegar la leche cuesta 11 pesos. Puesto que el consumidor estaba dispuesto a pagar 12 pesos tiene un excedente de 1 peso. Si el precio del mercado es π¦π¦0 y la demanda es π₯π₯0, aquellos consumidores que estΓ©n dispuestos a pagar un precio superior al del mercado, ganan. El consumidor estarΓa dispuesto a pagar π¦π¦1 por una cantidad incicial π₯π₯1, un precio de π¦π¦2, por una cantidadπ₯π₯2 y asΓ hasta la cantidad π₯π₯0 en donde coincide el precio que paga y el que estΓ‘ dispuesto a pagar
Notas de clase r.urban
16 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
π¦π¦0. En la grΓ‘fica es la regiΓ³n que muestra la diferencia entre la disposiciΓ³n marginal a pagar y el precio del mercado.
Al aumentar el precio, el consumidor tiene que gastar (π¦π¦1 β π¦π¦0)π₯π₯1 mΓ‘s unidades monetarias para adquirir π₯π₯1 productos, lo mismo tendrΓa que gastar para adquirir π₯π₯2 unidades, (π¦π¦2 β π¦π¦0)π₯π₯2 Pero a su vez el aumento del precio hace que los consumidores reduzcan la demanda, de π₯π₯ππ a π₯π₯1. El Γ‘rea sombreada es la variaciΓ³n del excedente del consumidor y se evalΓΊa como,
πΈπΈπ₯π₯ππππππππππππππ ππππππ πππππππππππππ‘π‘ππππππ = οΏ½ ππ(π₯π₯)πππ₯π₯ β π₯π₯0π¦π¦0π₯π₯0
0
Ejemplo. Si la funciΓ³n de demanda es π¦π¦ = 40 β 6π₯π₯ β π₯π₯2, determinar el excedente del consumidor si π₯π₯0 = 2 y cuando π¦π¦0 = 13
SoluciΓ³n, Si π₯π₯0 = 2, el valor de π¦π¦0 correspondiente es π¦π¦0(2) = 40 β 6(2) β (2)2 = 24. El excedente del consumidor (EC)
πΈπΈπΆπΆ = οΏ½ (40 β 6π₯π₯ β π₯π₯2)πππ₯π₯ β (2)(24) =2
0 οΏ½40π₯π₯ β 3π₯π₯2 β
π₯π₯3
3οΏ½
2
0
= οΏ½80 β 12 β83οΏ½ β 48 =
1963
β 48 =523
Si π¦π¦0 = 13, el valor de π₯π₯0 correspondiente es 13 = 40 β 6π₯π₯0 β π₯π₯02. Los valores que satisfacen esta ecuaciΓ³n son,
40 β 6π₯π₯0 β π₯π₯02 = 13 β π₯π₯0(π₯π₯0 + 6) = 27
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17 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
Los valores que satisfacen la ecuaciΓ³n son, π₯π₯0 = 3 y π₯π₯0 = β9, tomamos el valor positivo. AsΓ, el excedente del consumidor (EC)
πΈπΈπΆπΆ = οΏ½ (40 β 6π₯π₯ β π₯π₯2)πππ₯π₯ β (3)(13) =3
0 οΏ½40π₯π₯ β 3π₯π₯2 β
π₯π₯3
3οΏ½
3
0
= οΏ½120 β 27 β273οΏ½ β 39 = 84 β 39 = 45
Excedente del productor
El excedente del productor es la diferencia entre el precio mΓnimo que percibe el productor y el precio al que estarΓa dispuesto a vender sus productos. El productor obtiene el excedente del productor cuando los consumidores estΓ‘n dispuestos a pagar mΓ‘s que el precio mΓnimo del productor. Son las ganancias adicionales de los productores, debido a la competencia del mercado. Es la diferencia entre el precio que realmente recibe el productor y el mΓnimo que estΓ‘ dispuesto a recibir.
La ganancia total de los productores o Excedente del productor, estΓ‘ dado por el Γ‘rea entre la curva de oferta y la recta horizontal π¦π¦0. Y se evalΓΊa entonces asΓ,
πΈπΈπ₯π₯ππππππππππππππ ππππππ ππππππππππππππππππ = π₯π₯0π¦π¦0 β οΏ½ ππ(π₯π₯)πππ₯π₯π₯π₯0
0
Ejemplos:
a) Encontrar el excedente del productor para las siguientes ecuaciones de oferta y el nivel de precios π₯π₯0
i. π¦π¦ = 0.01π₯π₯ + 3; π₯π₯0 = 200 Primero calculamos el valor de π¦π¦0 = 0.01(200) + 3 = 5
El Excedente de productor (πΈπΈπΈπΈ)
πΈπΈπΈπΈ = (200)(5) β β« (0.01π₯π₯ + 3)2000 πππ₯π₯ =
= 0.012π₯π₯2 + 3π₯π₯| 2000 = 0 β 0.005π₯π₯2 + 3π₯π₯| 2000 =
= 1000 β 800 β 0 = $200 =
Notas de clase r.urban
18 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
ii. π¦π¦ = π₯π₯2
9+ 1; π₯π₯0 = 3
De la misma manera que en el ejercicio anterior, iniciamos por calcular del valor de π¦π¦0
π¦π¦0 = 32
9+ 1 = 2
El excedente del productor es,
πΈπΈπΈπΈ = (3)(2) β β« οΏ½π₯π₯2
9+ 1οΏ½ πππ₯π₯3
0 =
= 6 β π₯π₯3
27+ π₯π₯| 30 = 6 β 4 β 0 = $2
b) Las ecuaciones de demanda y de oferta de un cierto producto agrΓcola son; π¦π¦ππ y π¦π¦π π .
i) Encontrar los valores de equilibrio. ii) Dibujar y encontrar el excedente del productor de los siguientes modelos,
i. π¦π¦ππ = 12 β π₯π₯50
y π¦π¦π π = π₯π₯20
+ 5 En primer igualamos las ecuaciones para encontrar el punto de equilibrio. 12 β π₯π₯
50= π₯π₯
20+ 5
12 β 5 = π₯π₯50
+ π₯π₯20β 7 = 5π₯π₯+2π₯π₯
100
Despejando tenemos, 700 = 7π₯π₯ β π₯π₯0 = 100 Entonces π¦π¦0 = 100
20+ 5 = 10
El punto de equilibrio es (100,10). Con estos valores encontramos el excedente del productor.
πΈπΈπΈπΈ = (10)(100) β β« οΏ½ π₯π₯20
+ 5οΏ½ πππ₯π₯ = 1000 β1000 οΏ½π₯π₯
2
40+ 5π₯π₯οΏ½100
0 =
= 1000 β 750 = $ 250 ii. π¦π¦ππ = 80 β 2.5π₯π₯2 y π¦π¦π π = 8 + 8π₯π₯
Encontramos el punto de equilibrio. 80 β 2.5π₯π₯2 = 8 + 8π₯π₯
80 β 8 = 2.5π₯π₯2 + 8π₯π₯ 0 = 2.5π₯π₯2 + 8π₯π₯ β 72
Resolvemos la ecuaciΓ³n de 2ΒΊ grado,
π₯π₯0,1 = β8Β±οΏ½64β4(2.5)(β72)2(2.5
Notas de clase r.urban
19 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
π₯π₯0,1 = β8Β±285
= 4,β325
Evidentemente tomamos el valor positivo y entonces π₯π₯0 = 4 con este valor buscamos el valor correspondiente de π¦π¦0 = 8 + 8(4) = 40. El punto de equilibrio se encuentra en (4, 40). AsΓ, el excedente del productor que resulta es,
πΈπΈπΈπΈ = (4)(40) βοΏ½ (8 + 8π₯π₯)4
0πππ₯π₯ = 160 β [8π₯π₯ + 4π₯π₯2]4
0 =
= 160 β 96 = 64
Beneficio mΓ‘ximo.
En general, el beneficio en una empresa y lo que determina su nivel de producciΓ³n en la diferencia entre,
πππππππππππ‘π‘πππ‘π‘ππ = πΌπΌππππππππππππππ ππππππππππππππ β ππππππππππ ππππππππππ
Una decisiΓ³n importante a tomar es ΒΏcuΓ‘nto producir? Y la respuesta tendrΓa que ser cuando el beneficio es mΓ‘ximo. En condiciones de competencia perfecta, el beneficio mΓ‘ximo se alcanza cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal. En un grΓ‘fico tendrΓamos lo siguiente,
De esta manera, el beneficio mΓ‘ximo lo obtenemos,
π΅π΅πππππππππ‘π‘πππ‘π‘ππ ππΓ‘π₯π₯π‘π‘ππππ(πππππππ₯π₯) = οΏ½ [ππβ²(ππ) β ππβ²(ππ)]ππ
0ππππ
Ejemplo.
Si el precio y la cantidad vendida en una organizaciΓ³n, en situaciΓ³n de competencia perfecta, se determinan por la funciones de demanda π¦π¦(π₯π₯) = 9 β 7π₯π₯2 y de costos ππ(π₯π₯) =βπ₯π₯3
3β π₯π₯2 + 5π₯π₯. Determinar el beneficio mΓ‘ximo en este punto.
Determinamos las funciones marginales de ingreso y de costos. En el caso del ingreso tendrΓamos,
Ingreso total= (9 β 7π₯π₯2)π₯π₯ = 9π₯π₯ β 7π₯π₯3 y el ingreso marginal ππβ²(π₯π₯) = 9 β 21π₯π₯2
Notas de clase r.urban
20 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
El costo marginal ππβ²(π₯π₯) = βπ₯π₯2 β 2π₯π₯ + 5 Estas funciones se representan en la siguiente grΓ‘fica,
Para maximizar el beneficio, igualamos las funciones de ingreso y de costo marginal,
9 β 21π₯π₯2 = βπ₯π₯2 β 2π₯π₯ + 5 9 β 21π₯π₯2 + π₯π₯2 + 2π₯π₯ β 5 = 0
β20π₯π₯2 + 2π₯π₯ + 4 = 0
Esta ecuaciΓ³n tiene como soluciΓ³n,
π₯π₯1 =12
π¦π¦ π₯π₯2 = β25
Solo π₯π₯1 tiene sentido econΓ³mico, de esta manera,
π΅π΅πππππππππ‘π‘πππ‘π‘ππ ππΓ‘π₯π₯π‘π‘ππππ = οΏ½ (β20π₯π₯2 + 2π₯π₯ + 4)πππ₯π₯ =1 2β
0οΏ½β
203π₯π₯3 + π₯π₯2 + 4π₯π₯οΏ½ 1 2β
0=
=1712
Curva de Lorenz.
En economΓa se utiliza la curva de Lorenz para describir la distribuciΓ³n del ingreso entre las familias en un paΓs. La curva de Lorenz toma valores reales entre [0,1] con puntos extremos (0,0) y (1,1) y es continua, creciente y cΓ³ncava hacia arriba. En esta curva se relacionan los porcentajes acumulados de poblaciΓ³n, generalmente divididos en porcentajes acumulados de ingreso que esta poblaciΓ³n recibe. En el eje de abscisas se representa la poblaciΓ³n "ordenada" de forma que los percentiles de ingresos mΓ‘s bajos quedan a la izquierda y los mΓ‘s altos a la derecha.
Los puntos en la curva se determinan ordenando todas las familias segΓΊn sus ingresos y se calculan los porcentajes de ellas con respecto al total. No hay familias con ingreso βceroβ y la suma del ingreso de todas las familias es βunoβ. Si la curva coincide con la recta de equidistribuciΓ³n, tendrΓamos una condiciΓ³n de ingreso equitativo. El Γ‘rea entre la curva de Lorenz y la recta π¦π¦ = π₯π₯ mide en cuΓ‘nto difiere la distribuciΓ³n del ingreso del ingreso equitativo. En otras palabras, mientras mΓ‘s se acerque la curva de Lorenz a la recta de equidistribuciΓ³n es mΓ‘s equitativa; por lo contrario, si se aleja serΓ‘ menos equitativa.
Se llama coeficiente de desigualdad a la relaciΓ³n,
Notas de clase r.urban
21 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
πΏπΏ =π΄π΄ππππππ ππππππππππ ππππ ππππππππππ ππππ πΏπΏπππππππΏπΏ π¦π¦ ππππ ππππππππππ ππππ πππππππ‘π‘πππ‘π‘πππππππ‘π‘πππππππ‘π‘Γ³ππ
Γ‘ππππππ ππππππππ ππππ ππππππππππ ππππ πππππππ‘π‘πππ‘π‘πππππππ‘π‘πππππππ‘π‘Γ³ππ.
El Γ‘rea bajo la lΓnea de equidistribuciΓ³n es un rectΓ‘ngulo de base y altura la unidad, entonces el coeficiente es,
πΏπΏ =β« π₯π₯10 πππ₯π₯ β β« ππ(π₯π₯)πππ₯π₯1
01
2οΏ½= 2οΏ½ οΏ½π₯π₯ β ππ(π₯π₯)οΏ½πππ₯π₯
1
0
Cuando este coeficientes cero, la distribuciΓ³n del ingreso es equitativa y mientras se acerque al valor de uno, la distribuciΓ³n serΓ‘ mΓ‘s inequitativa.
Ejemplo:
Encontrar el coeficiente de desigualdad si la curva de Lorenz es π¦π¦ = ππ(π₯π₯) = 1516π₯π₯2 + 1
16π₯π₯,
πΏπΏ = 2οΏ½ οΏ½π₯π₯ β οΏ½1516
π₯π₯2 +1
16π₯π₯οΏ½οΏ½ πππ₯π₯ =
1
02οΏ½ οΏ½β
1516
π₯π₯2 +1516
π₯π₯οΏ½ πππ₯π₯ = 2 οΏ½1516οΏ½οΏ½ (π₯π₯ β π₯π₯2)πππ₯π₯
1
0
1
0
=158οΏ½π₯π₯2
2βπ₯π₯3
3οΏ½1
0 =158οΏ½
12β
13β 0οΏ½ =
516
β 0.312
ΒΏQuΓ© proporciΓ³n del ingreso recibe el 20% de las familias?
ππ(. 2) =1516
(.2)2 +1
16(. 2) = 0.05
El 20% de las familias recibe el 5% del ingreso total.
Ejercicios.
1) Si la funciΓ³n de demanda estΓ‘ dada por la funciΓ³n ππππ = 10/(3π₯π₯ + 25). Encuentre el excedente del consumidor si el precio de venta es de 20 pesos.
2) Encuentre el excedente del productor si la oferta estΓ‘ determinada por la funciΓ³n πππ π = 5 + 0.01(π₯π₯ β 1)2 a un nivel de venta de 25 pesos.
3) En un mercado de competencia perfecta, para un producto dado, si las funciones de demanda y de oferta estΓ‘n determinadas por las funciones ππππ = 10/(3π₯π₯ + 25) y πππ π = 5 + 0.01(π₯π₯ β 1)2 respectivamente. Calcular los excedentes del consumidor y del productor.
4) La distribuciΓ³n del ingreso de un paΓs sigue la curva de Lorenz π¦π¦ = 1920π₯π₯2 + 1
20π₯π₯.
ΒΏQuΓ© proporciΓ³n del ingreso recibe el 12% de las familias?
Notas de clase r.urban
22 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
TΓ©cnicas de IntegraciΓ³n.
Recordemos que la integraciΓ³n es el proceso inverso de la derivaciΓ³n. Sin embargo, la integraciΓ³n es mΓ‘s complicada de llevar a cabo. Si en una funciΓ³n se incluyen funciones elementales, como ππ(π₯π₯) = πππ₯π₯ o ππ(π₯π₯) = π₯π₯ππ, encontrar su derivada es simple. Por otra parte, hemos visto mΓ©todos de cΓ‘lculo que nos permiten diferenciar, casi cualquier funciΓ³n que pueda escribir. Si bien, para muchos de los problemas de integraciΓ³n se tienen fΓ³rmulas que permiten su soluciΓ³n directa, en algunos no tenemos un procedimiento simple. Por ejemplo, para
encontrar la antiderivada de una funciΓ³n elemental como ππ(π₯π₯) = πππ₯π₯2 no es tan simple. Incluso en casos donde la antiderivada existe, la tΓ©cnica para encontrarla es difΓcil. Por esta razΓ³n presentamos estas tres tΓ©cnicas de integraciΓ³n para hacer frente a este tipo de problemas.
IntegraciΓ³n por sustituciΓ³n
Este mΓ©todo de integraciΓ³n por sustituciΓ³n tambiΓ©n se le conoce como mΓ©todo de cambio de variable. Se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. Este mΓ©todo del cambio de variable es la versiΓ³n integral a la regla de la cadena en la derivaciΓ³n.
Por la regla de la cadena sabemos que, dadas dos funciones ππ(π₯π₯) y ππ(π₯π₯) y πΉπΉ(π₯π₯) es la antiderivada para ππ(π₯π₯), la regla de la cadena establece que,
πππππ₯π₯
[πΉπΉ(ππ(π₯π₯))] = πΉπΉβ²(ππ(π₯π₯))ππβ²(π₯π₯)
Sustituimos πΉπΉβ(π₯π₯) por ππ(π₯π₯)
πππππ₯π₯
[πΉπΉ(ππ(π₯π₯))] = ππ(ππ(π₯π₯))ππβ²(π₯π₯)
Si integramos esta funciΓ³n tenemos,
οΏ½πππππ₯π₯
[πΉπΉ(ππ(π₯π₯))] = οΏ½ππ (ππ(π₯π₯))ππβ²(π₯π₯)πππ₯π₯
Finalmente
οΏ½ππ οΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½ππβ²(π₯π₯)πππ₯π₯ = πΉπΉοΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½ + ππ
Para la integral definida tendremos,
Notas de clase r.urban
23 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
οΏ½ ππππ
πποΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½ππβ²(π₯π₯)πππ₯π₯ = πΉπΉ(ππ(π₯π₯))|ππ
ππ
Ejemplos:
a) Sean β«(3π₯π₯2 + 2π₯π₯3 + 3)(6π₯π₯2 + 6π₯π₯)πππ₯π₯
Hacemos ππ = (3π₯π₯2 + 2π₯π₯3 + 3) y su diferencial πππππππ₯π₯
= 6π₯π₯ + 6π₯π₯2
Despejamos y tenemos ππππ = (6π₯π₯ + 6π₯π₯2)πππ₯π₯ sustituimos los valores de ππ y ππππ en la integral original y nos queda
β«ππ ππππ = ππ2
2+ ππ Finalmente remplazamos los valores originales y tenemos la
soluciΓ³n.
β«(3π₯π₯2 + 2π₯π₯3 + 3)(6π₯π₯2 + 6π₯π₯)πππ₯π₯ = οΏ½3π₯π₯2+2π₯π₯3+3οΏ½2
2+ ππ
Una forma alternativa de resolver este problema serΓa multiplicar los polinomios y despuΓ©s realizar la integraciΓ³n; sin embargo, el mΓ©todo de cambio de variable es mΓ‘s rΓ‘pido.
b) β«(3π₯π₯ β 3)2 πππ₯π₯
En este ejercicio hacemos ππ = 3π₯π₯ β 3 la diferencial es ππππ = 3πππ₯π₯ y ππππ3
= πππ₯π₯
sustituimos en la integral original y nos queda,
β«ππ2 ππππ3 = 13 β« ππ
2 ππππ = 13οΏ½οΏ½ππ
3
3οΏ½οΏ½+ ππ si sustituimos el resultado es,
β«(3π₯π₯ β 3)2 πππ₯π₯ = (3π₯π₯β3)3
9+ ππ
c) β«π₯π₯2βπ₯π₯ + 1πππ₯π₯
β« π₯π₯2βπ₯π₯ + 1πππ₯π₯, efectuamos el cambio de variable de manera que
ππ = π₯π₯ + 1, πππππππ₯π₯
= 1 despejamos π₯π₯ = ππ β 1 y elevamos al cuadrado
π₯π₯2 = (ππ β 1)2 Sustituimos y nos queda la integral
β«(ππ β 1)2 βππ πππ₯π₯ = β«(ππ2 β 2ππ + 1)βππ ππππ = β«(βππ β 2ππ32 +ππ
52)ππππ
= 23ππ32 β 4
5ππ52 + 2
7ππ72 + ππ Sustituimos nuevamente y tenemos
οΏ½π₯π₯2βπ₯π₯ + 1πππ₯π₯ =23
(π₯π₯ + 1)32 β
45
(π₯π₯ + 1)52 +
27
(π₯π₯ + 1)72 + ππ
=70(π₯π₯ + 1)
32 β 84(π₯π₯ + 1)
52 + 30(π₯π₯ + 1)
72
105+ ππ
=2(π₯π₯ + 1)
32
105[35 β 84(π₯π₯ + 1) + 30(π₯π₯ + 1)2] + ππ
Notas de clase r.urban
24 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
=2(π₯π₯ + 1)
32
105[8 β 12π₯π₯ + 15π₯π₯2] + ππ
d) β« π₯π₯3
βπ₯π₯2β1πππ₯π₯ para eliminar el tΓ©rmino βπ₯π₯2 β 1, realizamos la siguiente sustituciΓ³n
ππ = π₯π₯2 β 1 de donde ππππ = 2π₯π₯πππ₯π₯ β ππππ2
= π₯π₯πππ₯π₯, asimismo π₯π₯2 = ππ + 1,
Sustituimos en la integral original,
οΏ½ π₯π₯2π₯π₯ πππ₯π₯βπ₯π₯2 β 1
= οΏ½(ππ + 1)ππππ
2βππ=
12οΏ½(ππ + 1)ππβ1 2β ππππ =
12οΏ½(ππ1 2β + ππβ1 2β )ππππ
=ππ3 2β
3+ ππ1 2β + ππ =
13ππ1 2β (ππ + 3) + ππ
Sustituimos hacia atrΓ‘s ππ = π₯π₯2 β 1
=13
(π₯π₯2 β 1)1 2β (π₯π₯2 β 1 + 3) + ππ = (π₯π₯2 β 1)1 2β
3(π₯π₯2 + 2) + ππ
e) β« ππ3π₯π₯+5ππ2π₯π₯
πππ₯π₯ Hacemos la siguiente sustituciΓ³n.
ππ = πππ₯π₯ y ππππ = πππ₯π₯πππ₯π₯ sustituimos y despejamos πππ₯π₯ = ππππππ
οΏ½ππ3π₯π₯ + 5ππ2π₯π₯
πππ₯π₯ = οΏ½ππ3 + 5ππ2.ππ
ππππ = οΏ½ππ3 + 5ππ3
ππππ = οΏ½ππ3
ππ3ππππ + οΏ½
5ππ3ππππ
οΏ½ππππ + 5οΏ½ππππππ3
= ππ β5
2ππ2+ ππ
Sustituimos hacia atrΓ‘s y
οΏ½ππ3π₯π₯ + 5ππ2π₯π₯
πππ₯π₯ = πππ₯π₯ β5
2ππ2π₯π₯+ ππ
f) β« ππβπ₯π₯+5
βπ₯π₯+542 πππ₯π₯
Realizamos el cambio de variable siguiente, ππ2 = π₯π₯ + 5 y su derivada 2ππ ππππ = πππ₯π₯, sustituimos en la integral original, nos queda
οΏ½ππππ
ππ(2ππ)ππππ =
4
22οΏ½ ππππππππ =
4
22ππππ|4
2
Rescribimos la soluciΓ³n,
οΏ½ππβπ₯π₯+5
βπ₯π₯ + 5
4
2πππ₯π₯ = 2ππβπ₯π₯+5οΏ½42 = 2ππ3 β 2ππβ7 β 11.983
g) β« π₯π₯β4 + π₯π₯ πππ₯π₯50
Proponemos el siguiente cambio ππ2 = 4 + π₯π₯ la derivada 2ππ ππππ = πππ₯π₯, despejando tenemos π₯π₯ = ππ2 β 4 y ππ = β4 + π₯π₯, asΓ,
οΏ½ (ππ2 β 4)5
0ππ(2ππ)ππππ = 2οΏ½ (ππ4 β 4ππ2)
5
0ππππ = 2
ππ5
5β 8
ππ3
3οΏ½5
0
Notas de clase r.urban
25 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
=6ππ5 β 40ππ3
15οΏ½ 5
0 =2
15ππ3(3ππ2 β 20)οΏ½ 5
0 =2
15(4 + π₯π₯)
32(3π₯π₯ β 8)οΏ½ 5
0
= οΏ½126
5οΏ½ β οΏ½β
12815
οΏ½ =50615
De los ejemplos anteriores podemos deducir una metodologΓa para la integraciΓ³n de funciones por sustituciΓ³n o cambio de variable.
1) Definir una nueva variable, ππ = ππ(π₯π₯) de manera que el cambio nos permita simplificar la funciΓ³n a integrar.
2) Despejar la nueva variable y obtener su derivada, 3) Modificar la integral y dejarla en tΓ©rminos de la nueva variable. 4) Integrar la funciΓ³n en tΓ©rminos de ππ y rescribir la soluciΓ³n en tΓ©rminos de
π₯π₯ remplazando ππ por la funciΓ³n equivalente ππ(π₯π₯)
Ejercicios.
1. β«2(2π₯π₯ β 1)4πππ₯π₯ = 8π₯π₯(π₯π₯ β 1) + ππ
2. β«(1 + 2π₯π₯)(π₯π₯2 + 3π₯π₯)πππ₯π₯ = π₯π₯2
6(3π₯π₯2 + 14π₯π₯ + 9) + ππ
3. β«3 π₯π₯2βπ₯π₯3 β 3 πππ₯π₯ = βπ₯π₯3 β 3 οΏ½23π₯π₯3 β 2οΏ½ + ππ
4. β« β4π₯π₯(1β2π₯π₯2)
πππ₯π₯ = ln οΏ½π₯π₯2 β 12οΏ½ + ππ
5. β« π₯π₯(π₯π₯2 + 1)310 πππ₯π₯ = 15
8
6. β« π₯π₯
οΏ½2π₯π₯2+1πππ₯π₯2
0 = 1
7. β« π₯π₯βπ₯π₯ β 3 πππ₯π₯ = 1445
73
IntegraciΓ³n por partes
En algunas funciones aplicar la integraciΓ³n directamente no es posible. De acuerdo a la naturaleza de la funciΓ³n, podemos probar su soluciΓ³n por el mΓ©todo de integraciΓ³n por partes para encontrar la funciΓ³n primitiva.
Notas de clase r.urban
26 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
Este mΓ©todo se utiliza cuando tenemos un producto de funciones. Para deducir el mΓ©todo de integraciΓ³n partimos de la derivada de un producto. MΓ‘s precisamente, para dos funciones ππ(π₯π₯) y ππ(π₯π₯) derivables, tenemos
πππππ₯π₯
ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯) = ππβ²(π₯π₯).ππ(π₯π₯) + ππ(π₯π₯).ππβ²(π₯π₯)
Para deducir la fΓ³rmula de integraciΓ³n por partes, integramos esta ΓΊltima, recordemos que la integraciΓ³n es proceso inverso de la derivaciΓ³n.
οΏ½πππππ₯π₯
ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯)πππ₯π₯ = οΏ½ππβ²(π₯π₯) . ππ(π₯π₯)πππ₯π₯ + οΏ½ππ(π₯π₯) . ππβ²(π₯π₯)πππ₯π₯
Nos queda,
ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯) = οΏ½ππβ²(π₯π₯) . ππ(π₯π₯)πππ₯π₯ + οΏ½ππ(π₯π₯) . ππβ²(π₯π₯)πππ₯π₯
Despejamos y tenemos finalmente la fΓ³rmula de integraciΓ³n por partes
οΏ½ππ(π₯π₯) . ππβ²(π₯π₯)πππ₯π₯ = ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯) βοΏ½ππβ²(π₯π₯) . ππ(π₯π₯)πππ₯π₯
Para la integral definida serΓ‘,
οΏ½ ππ(π₯π₯)ππ
ππ. ππβ²(π₯π₯)πππ₯π₯ = ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯)|ππ
ππ β οΏ½ ππβ²(π₯π₯)ππ
ππ. ππ(π₯π₯)πππ₯π₯
Ejemplos.
a) β«π₯π₯ πππππ₯π₯πππ₯π₯ Para aplicar integraciΓ³n por partes tomamos ππ = π₯π₯ su diferencial es ππππ = πππ₯π₯, por el otro lado hacemos ππππ = πππππ₯π₯πππ₯π₯ integramos ambos lados de la ecuaciΓ³n y nos
queda, ππ = πππππ₯π₯
ππ con estos valores realizamos el cΓ‘lculo,
οΏ½π₯π₯ πππππ₯π₯πππ₯π₯ =π₯π₯πππππππ₯π₯ β οΏ½
πππππ₯π₯
πππππ₯π₯ =
π₯π₯πππππππ₯π₯ β
1πποΏ½πππππ₯π₯ πππ₯π₯
=π₯π₯πππππππ₯π₯ β
1ππ2πππππ₯π₯ + ππ =
πππππ₯π₯
ππ2(πππ₯π₯ β 1) + ππ
b) β« ln (π₯π₯)πππ₯π₯
Hacemos ππ = ln (π₯π₯) entonces ππππ = 1π₯π₯πππ₯π₯
ππππ = πππ₯π₯ y ππ = π₯π₯ Aplicamos la formula y tenemos,
οΏ½ ln (π₯π₯)πππ₯π₯ = π₯π₯ ln(π₯π₯) βοΏ½π₯π₯1π₯π₯πππ₯π₯ = π₯π₯ππππ(π₯π₯) β π₯π₯ + ππ = π₯π₯(ln(π₯π₯) β 1) + ππ
c) β« πππ₯π₯ (1 + π₯π₯)2πππ₯π₯
Notas de clase r.urban
27 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
Hacemos ππ = (1 + π₯π₯)2 entonces ππππ = 2(1 + π₯π₯)πππ₯π₯ ππππ = πππ₯π₯ πππ₯π₯ y ππ = πππ₯π₯ Aplicamos la formula y tenemos,
οΏ½πππ₯π₯ (1 + π₯π₯)2πππ₯π₯ = (1 + π₯π₯)2πππ₯π₯ β 2οΏ½(1 + π₯π₯)πππ₯π₯ πππ₯π₯
Necesitamos aplicar nuevamente integraciΓ³n por partes para resolver la nueva integral, ahora hacemos ππ = (1 + π₯π₯) y ππππ = πππ₯π₯ ππππ = πππ₯π₯ πππ₯π₯ ππ = πππ₯π₯ Aplicamos la formula y tenemos,
οΏ½πππ₯π₯ (1 + π₯π₯)2πππ₯π₯ = (1 + π₯π₯)2πππ₯π₯ β 2 οΏ½(1 + π₯π₯)πππ₯π₯ β οΏ½πππ₯π₯ πππ₯π₯οΏ½
= (1 + π₯π₯)2πππ₯π₯ β 2[(1 + π₯π₯)πππ₯π₯ β πππ₯π₯] + ππ = πππ₯π₯(1 + 2π₯π₯ + π₯π₯2 β 2 β 2π₯π₯ + 2) + ππ = πππ₯π₯(π₯π₯2 + 1) + ππ
d) β« π₯π₯31 βπ₯π₯ + 1 πππ₯π₯
Hacemos ππ = π₯π₯ entonces ππππ = πππ₯π₯
ππππ = βπ₯π₯ + 1 πππ₯π₯ y ππ = 23
(1 + π₯π₯)3 2β
Aplicamos la formula y tenemos,
β« π₯π₯31 βπ₯π₯ + 1 πππ₯π₯ = (π₯π₯) 23
(1 + π₯π₯)3 2β β β« 23
(1 + π₯π₯)3 2β πππ₯π₯=
= οΏ½2π₯π₯3
(1 + π₯π₯)3 2β β οΏ½23οΏ½ οΏ½2(1+π₯π₯)5 2β
5οΏ½οΏ½3
1 = οΏ½οΏ½ 215οΏ½ (1 + π₯π₯)3 2β (3π₯π₯ β 2)οΏ½3
1
= οΏ½οΏ½ 215οΏ½ (4)3 2β (7)οΏ½ β οΏ½οΏ½ 2
15οΏ½ (2)3 2β (1)οΏ½ = 112
15β 4β2
15= 7.089
e) β« π₯π₯πππ₯π₯
(1+π₯π₯)231 πππ₯π₯
Hacemos ππ = π₯π₯πππ₯π₯ entonces ππππ = π₯π₯πππ₯π₯ + πππ₯π₯ = πππ₯π₯(π₯π₯ + 1)
ππππ = 1(1+π₯π₯)2
πππ₯π₯ y ππ = β11+π₯π₯
Aplicamos el procedimiento
οΏ½π₯π₯πππ₯π₯
(1 + π₯π₯)23
1πππ₯π₯ = οΏ½π₯π₯πππ₯π₯ οΏ½
β11 + π₯π₯
οΏ½ β οΏ½β1
1 + π₯π₯πππ₯π₯(π₯π₯ + 1)πππ₯π₯οΏ½3
1
= οΏ½βπ₯π₯πππ₯π₯
1 + π₯π₯+ οΏ½πππ₯π₯ πππ₯π₯οΏ½ 3
1 = οΏ½βπ₯π₯πππ₯π₯
1 + π₯π₯+ πππ₯π₯οΏ½3
1 = οΏ½πππ₯π₯(1 + π₯π₯) β π₯π₯πππ₯π₯
1 + π₯π₯οΏ½3
1
= οΏ½πππ₯π₯
1 + π₯π₯οΏ½3
1 = οΏ½ππ3
4οΏ½ β οΏ½
ππ1
2οΏ½ β 3.662
f) β« x3
β1βx2dx
Iniciamos haciendo el siguiente cambio β« x3
β1βx2dx = β« x2 x
β1βx2dx
Hacemos ππ = π₯π₯2 entonces ππππ = 2π₯π₯πππ₯π₯
Notas de clase r.urban
28 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
ππππ = π₯π₯β1βπ₯π₯2
πππ₯π₯ y ππ = β(1 β π₯π₯2)1 2β
οΏ½x3
β1 β x2dx = βπ₯π₯2(1 β π₯π₯2)1 2β β οΏ½β2π₯π₯(1 β π₯π₯2)1 2β πππ₯π₯
= βπ₯π₯2(1 β π₯π₯2)1 2β β23
(1 β π₯π₯2)3 2β + ππ =
β(1 β π₯π₯2)1 2β
3(3π₯π₯2 + 2(1 β π₯π₯2) + ππ
= β(1 β π₯π₯2)1 2β
3(π₯π₯2 + 2) + ππ
Ejercicios.
1. β«(ln π₯π₯)2 πππ₯π₯ = π₯π₯(ππππ2π₯π₯ β 2πππππ₯π₯ + 2) + ππ
2. β«π₯π₯ ππ5π₯π₯πππ₯π₯ = 125ππ5π₯π₯(5π₯π₯ β 1) + ππ
3. β«(2π₯π₯ + 5)(π₯π₯ + 1)1 2β πππ₯π₯ = 25
(2π₯π₯ + 7(π₯π₯ + 1)3 2β + ππ
4. β«(7 β 3x2)eβxdx = eβx(3x2 + 6x β 1)
5. β« x2
βx+4dx2
β1 = 215 βx + 4(3x2 β 16x + 128) = 1.324
6. β« x30 eβ3xdx = β19
eβ3x(3x + 1) = 0.11
7. β« lnxx2
dx =21 0.1534
IntegraciΓ³n por fracciones parciales
Si la funciΓ³n a integrar ππ(π₯π₯) es una fracciΓ³n racional, es posible reducir esta fracciΓ³n en fracciones simples que nos permitan encontrar primitivas. Este mΓ©todo es ΓΊtil para fracciones propias3; es decir, cuando el grado del polinomio del numerador es menor al grado del polinomio del denominador. Si π΄π΄(π₯π₯) y π΅π΅(π₯π₯) son dos polinomios, las fracciones que podemos resolver con este proceso tienen la forma,
ππ(π₯π₯) =π΄π΄(π₯π₯)π΅π΅(π₯π₯)
=ππ0 + ππ1π₯π₯ + ππ2π₯π₯2 + β―+ πππππ₯π₯ππ
ππ0 + ππ1π₯π₯ + ππ2π₯π₯2 + β―+ πππππ₯π₯ππ ππ < ππ
Para reducir esta fracciΓ³n, tenemos que factorizar el denominador para efectuar la descomposiciΓ³n en fracciones parciales equivalentes, de acuerdo a los criterios que se indican en la siguiente tabla.
3 Si la fracciΓ³n es impropia se puede hacer propia al efectuar la divisiΓ³n y despuΓ©s integrar. Por ejemplo, si
tenemos π₯π₯3β2π₯π₯π₯π₯β1
, efectuamos la divisiΓ³n y nos queda π₯π₯3β2π₯π₯π₯π₯β1
= π₯π₯2 + π₯π₯ β 1 β 1π₯π₯β1
Notas de clase r.urban
29 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
Forma del Factor Forma de fracciΓ³n parcial correspondiente Factor lineal simple
ππππ + ππ π΄π΄
πππ₯π₯+ππ donde A es una constante
Factor lineal repetido (ππππ + ππ)ππ
π΄π΄1πππ₯π₯ + ππ
+π΄π΄2
(πππ₯π₯ + ππ)2+ β―+
π΄π΄ππ(πππ₯π₯ + ππ)ππ
Donde π΄π΄1,π΄π΄2, β¦ . ,π΄π΄ππ son constantes
Factor cuadrΓ‘tico simple ππππππ + ππππ + ππ
π΄π΄π₯π₯ + π΅π΅πππ₯π₯2 + πππ₯π₯ + ππ
A y B son constantes
Factor cuadrΓ‘tico repetido (ππππππ + ππππ + ππ)ππ
π΄π΄1π₯π₯ + π΅π΅1πππ₯π₯2 + πππ₯π₯ + ππ
+π΄π΄2π₯π₯ + π΅π΅2
(πππ₯π₯2 + πππ₯π₯ + ππ)2 + β―+π΄π΄πππ₯π₯ + π΅π΅3
(πππ₯π₯2 + πππ₯π₯ + ππ)ππ
Donde π΄π΄1,π΄π΄2, β¦π΄π΄ππ π΅π΅1,π΅π΅2, β¦π΅π΅ππ son constantes a determinar
Ejemplos.
a) β« πππ₯π₯π₯π₯(π₯π₯2β1)
Realizamos una primera correcciΓ³n. π₯π₯(π₯π₯2 β 1) = π₯π₯(π₯π₯ + 1)(π₯π₯ β 1) Expresamos la funciΓ³n en las siguientes fracciones simples,
1π₯π₯(π₯π₯ + 1)(π₯π₯ β 1)
=π΄π΄π₯π₯
+π΅π΅
(π₯π₯ + 1)+
πΆπΆ(π₯π₯ β 1)
Para encontrar los valores de A, B y C establecemos el siguiente sistema de ecuaciones
1 = π΄π΄(π₯π₯ + 1)(π₯π₯ β 1) + π΅π΅π₯π₯(π₯π₯ β 1) + πΆπΆπ₯π₯(π₯π₯ + 1) 1 = π΄π΄(π₯π₯2 β 1) + π΅π΅(π₯π₯2 β π₯π₯) + πΆπΆ(π₯π₯2 + π₯π₯) 1 = π₯π₯2(π΄π΄ + π΅π΅ + πΆπΆ) + π₯π₯(πΆπΆ β π΅π΅) β π΄π΄
Igualamos los factores de lado izquierdo y derecho de la igualdad y deducimos las siguientes ecuaciones
οΏ½π΄π΄ + π΅π΅ + πΆπΆ = 0πΆπΆ β π΅π΅ = 0βπ΄π΄ = 1
β π΄π΄ = β1πΆπΆ = π΅π΅
π΅π΅ + πΆπΆ = 1 β
π΄π΄ = β1π΅π΅ = 1
2οΏ½
πΆπΆ = 12οΏ½
Sustituimos estos valores y nos queda
οΏ½πππ₯π₯
π₯π₯(π₯π₯2 β 1) = οΏ½β1π₯π₯πππ₯π₯ + οΏ½
1 2β(π₯π₯ + 1)πππ₯π₯ + οΏ½
1 2β(π₯π₯ β 1)πππ₯π₯
= β ln(π₯π₯) +12
ln(π₯π₯ + 1) +12
ln(π₯π₯ β 1) + ππ
b) β« 2π₯π₯β1π₯π₯2+5π₯π₯
πππ₯π₯
Primero probamos que sea una fracciΓ³n propia, en nuestro caso lo es, porque el grado del polinomio del denominador es mayor.
Notas de clase r.urban
30 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
Expresamos la funciΓ³n como una suma de fracciones simples 2π₯π₯ β 1π₯π₯(π₯π₯ + 5)
=π΄π΄π₯π₯
+π΅π΅
π₯π₯ + 5 β 2π₯π₯ β 1 = π΄π΄(π₯π₯ + 5) + π΅π΅π₯π₯
Agrupamos de acuerdo a la variable π₯π₯
π΄π΄ + π΅π΅ = 2 π¦π¦ 5π΄π΄ = β1 β΄ π΄π΄ = β15
; π΅π΅ = 2 +15
=115
Finalmente sustituimos los valores de A y B y resolvemos la integral que resulta.
οΏ½2π₯π₯ β 1π₯π₯2 + 5π₯π₯
πππ₯π₯ = β15οΏ½
1π₯π₯πππ₯π₯ +
115οΏ½
1π₯π₯ + 5
πππ₯π₯
= β15ππππ(π₯π₯) +
115ππππ(π₯π₯ + 5) + ππ
c) β« π₯π₯4βπ₯π₯3+π₯π₯2+3π₯π₯β2π₯π₯2+π₯π₯β2
πππ₯π₯
Es una fracciΓ³n impropia, tenemos que resolver primero la divisiΓ³n polinΓ³mica,
De esta manera la integral a resolver nos queda,
β« π₯π₯4βπ₯π₯3+π₯π₯2+3π₯π₯β2π₯π₯2+π₯π₯β2
πππ₯π₯ =
= β« οΏ½π₯π₯2 β 2π₯π₯ + 5 β 6π₯π₯β8π₯π₯2+π₯π₯β2
οΏ½ πππ₯π₯
= β«π₯π₯2πππ₯π₯ β β«2π₯π₯ πππ₯π₯ +β«5 πππ₯π₯ β β« 6π₯π₯β8π₯π₯2+π₯π₯β2
πππ₯π₯
Nos vamos a ocupar por el momento en la ΓΊltima integral, ya que las tres primeras se resuelven por medio de las reglas de integraciΓ³n directa. AsΓ, buscamos las raΓces del polinomio,
π₯π₯2 + π₯π₯ β 2 = (π₯π₯ β 1)(π₯π₯ + 2) Las fracciones parciales correspondientes a la fracciΓ³n son,
6π₯π₯ β 8(π₯π₯ + 2)(π₯π₯ β 1)
=π΄π΄
(π₯π₯ + 2)+
π΅π΅(π₯π₯ β 1)
Es sistema de ecuaciones correspondiente es, π΄π΄ + π΅π΅ = 6 Despejamos en la segunda ecuaciΓ³n y nos da π΄π΄ = 2π΅π΅ + 8, βπ΄π΄ + 2π΅π΅ = β8 Sustituimos. 3π΅π΅ = β2 β΄ π΅π΅ = β2
3 y por consiguiente π΄π΄ = 20
3
Finalmente sustituimos las constantes y nos queda,
οΏ½π₯π₯2πππ₯π₯ β οΏ½2π₯π₯ πππ₯π₯ +οΏ½ 5 πππ₯π₯ β οΏ½20
3(π₯π₯ + 2)πππ₯π₯ + οΏ½2
3(π₯π₯ β 1) πππ₯π₯
=π₯π₯3
3β π₯π₯2 + 5π₯π₯ β
203
ln(π₯π₯ + 2) +23
ln(π₯π₯ β 1) + ππ
d) β« π₯π₯β3π₯π₯2+8π₯π₯+16
πππ₯π₯
En primer lugar, es una fracciΓ³n propia. Buscamos las raΓces del polinomio π₯π₯2 +8π₯π₯ + 16, como es una ecuaciΓ³n de 2ΒΊ grado
Notas de clase r.urban
31 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
π₯π₯1,2 =β8 Β± οΏ½64 β 4(16)
2=β82
= β4 raiz doble
Expresamos la funciΓ³n como una suma de fracciones simples π₯π₯ β 3
(π₯π₯ + 4)2=
π΄π΄1π₯π₯ + 4
+π΄π΄2
(π₯π₯ + 4)2 β π₯π₯ β 3 = π΄π΄1(π₯π₯ + 4) + π΄π΄2
Para encontrar los valores π΄π΄1 y π΄π΄2 partimos de las ecuaciones, π΄π΄1π₯π₯ = 1 y 4π΄π΄1 + π΄π΄2 = β3 β΄ π΄π΄2 = β3 β 4 = β7
AsΓ, sustituyendo las constantes en las fracciones simples, nos queda la integral
οΏ½π₯π₯ β 3
π₯π₯2 + π₯π₯ β 20πππ₯π₯ = οΏ½
1π₯π₯ + 4
πππ₯π₯ β 7οΏ½1
(π₯π₯ + 4)2 πππ₯π₯
= ln(π₯π₯ + 4) +7
(π₯π₯ + 4) + ππ
e) β« 6π₯π₯β5π₯π₯2+π₯π₯β20
πππ₯π₯
En primer lugar, es una fracciΓ³n propia. Segundo, Encontramos las raΓces del polinomio π₯π₯2 + π₯π₯ β 20, como es una ecuaciΓ³n de 2ΒΊ grado
π₯π₯1,2 =β1 Β± οΏ½1 β 4(β20)
2=β1 Β± 9
2= 4,β5
Expresamos la funciΓ³n como una suma de fracciones simples 6π₯π₯ β 5
(π₯π₯ β 4)(π₯π₯ + 5)=
π΄π΄π₯π₯ β 4
+π΅π΅
π₯π₯ + 5 β 6π₯π₯ β 5 = π΄π΄(π₯π₯ + 5) + π΅π΅(π₯π₯ β 4)
Agrupamos de acuerdo a la variable π₯π₯ 6π₯π₯ β 5 = π₯π₯(π΄π΄ + π΅π΅) + (5π΄π΄ β 4π΅π΅)
Tercero, buscamos los valores de A y B, al desarrollar las siguientes ecuaciones
π΄π΄ + π΅π΅ = 6 5π΄π΄ β 4π΅π΅ = β5
Resolvemos el sistema de ecuaciones, multiplicamos por 4 la primera ecuaciΓ³n
π΄π΄ + π΅π΅ = 6 (4) 5π΄π΄ β 4π΅π΅ = β5
________________________________________________________
9π΄π΄ = 19 β΄ π΄π΄ =199
Sustituimos el valor de A en la primera ecuaciΓ³n y nos queda
199
+ π΅π΅ = 6 β΄ π΅π΅ =359
Finalmente sustituimos los valores de A y B y resolvemos la integral que resulta.
οΏ½6π₯π₯ β 5
π₯π₯2 + π₯π₯ β 20πππ₯π₯ = οΏ½
199
1π₯π₯ β 4
πππ₯π₯ + οΏ½359
1π₯π₯ + 5
πππ₯π₯
=199ππππ(π₯π₯ β 4) +
359ππππ(π₯π₯ + 5) + ππ
f) β« 3π₯π₯2+π₯π₯β4π₯π₯3β2π₯π₯2β3π₯π₯
84 πππ₯π₯
Es una fracciΓ³n propia. Las raΓces del polinomio son, π₯π₯3 β 2π₯π₯2 β 3π₯π₯ = π₯π₯(π₯π₯2 β 2π₯π₯ β 3)
Notas de clase r.urban
32 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
Son tres raΓces, la primera es cero, π₯π₯1 = 0 las otras las buscamos por la ecuaciΓ³n de segundo grado y son
π₯π₯2,3 =2 Β± οΏ½4 β 4(β3)
2=
2 Β± 42
= 3,β1
Expresamos la fracciΓ³n como suma de fracciones simples asΓ, 3π₯π₯2 + π₯π₯ β 4
π₯π₯(π₯π₯ + 1)(π₯π₯ β 3)=π΄π΄π₯π₯
+π΅π΅
π₯π₯ + 1+
πΆπΆπ₯π₯ β 3
Agrupamos y encontramos los valores de π΄π΄,π΅π΅ y πΆπΆ 3π₯π₯2 + π₯π₯ β 4 = π΄π΄(π₯π₯ β 3)(π₯π₯ + 1) + π΅π΅(π₯π₯)(π₯π₯ β 3) + πΆπΆ(π₯π₯)(π₯π₯ + 1)
= π΄π΄(π₯π₯2 β 2π₯π₯ β 3) + π΅π΅(π₯π₯2 β 3π₯π₯) + πΆπΆ(π₯π₯2 + π₯π₯) = π₯π₯2(π΄π΄ + π΅π΅ + πΆπΆ) + π₯π₯(β2π΄π΄ β 3π΅π΅ + πΆπΆ) β 3π΄π΄
Resolvemos el sistema de ecuaciones,
β3π΄π΄ = β4π΄π΄ + π΅π΅ + πΆπΆ = 3
β2π΄π΄ β 3π΅π΅ + πΆπΆ = 1 β
π΄π΄ = 43οΏ½
π΅π΅ = 53οΏ½ β πΆπΆ
β3(53οΏ½ β πΆπΆ) + πΆπΆ = 11
3οΏ½
β
π΄π΄ = 43οΏ½
π΅π΅ = β12οΏ½
πΆπΆ = 136οΏ½
Sustituimos estos valores de π΄π΄ = 43, π΅π΅ = β1
2 y πΆπΆ = 13
6 y resolvemos la integral
οΏ½3π₯π₯2 + π₯π₯ β 4π₯π₯3 β 2π₯π₯2 β 3π₯π₯
8
4πππ₯π₯ =
43οΏ½
1π₯π₯πππ₯π₯
8
4β
12οΏ½
1π₯π₯ + 1
8
4πππ₯π₯ +
136οΏ½
1π₯π₯ β 3
8
4πππ₯π₯ =
=43
ln(π₯π₯) β12
ln(π₯π₯ + 1) +136
ln(π₯π₯ β 3)οΏ½ 84
= οΏ½43
ln 8 β12
ln 9 +136
ln 5οΏ½ β οΏ½43
ln 4 β12
ln 5οΏ½ = 5.161 β 1.043 = 4.117
g) β« 2π₯π₯2βπ₯π₯β1π₯π₯3+5π₯π₯2+3π₯π₯β9
πππ₯π₯31
Es una fracciΓ³n propia. Para encontrar las raΓces del polinomio usamos divisiΓ³n sintΓ©tica, Dado el polinomio ππ(π₯π₯) = π₯π₯3 + 5π₯π₯2 + 3π₯π₯ β 9, buscamos raΓces enteras; por lo que iniciamos con divisores de -9 (Β±1, Β±3, Β±9). Una primera raΓz es (π₯π₯ + 3) el polinomio nos queda,
ππ(π₯π₯) = π₯π₯3 + 5π₯π₯2 + 3π₯π₯ β 9 = (π₯π₯+ 3)(π₯π₯2 + 2π₯π₯ β 3)
Son tres raΓces, la primera es cero, π₯π₯1 = β3 las otras las buscamos por la ecuaciΓ³n de segundo grado y son
π₯π₯2,3 =β2 Β± οΏ½4 β 4(β3)
2=β2 Β± 4
2= 1,β3
Tenemos una raΓz doble (π₯π₯ + 3)2 y (π₯π₯ β 1). Expresamos la fracciΓ³n como suma de fracciones simples asΓ,
Notas de clase r.urban
33 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
2π₯π₯2 β π₯π₯ β 1(π₯π₯ + 3)2(π₯π₯ β 1)
=π΄π΄1π₯π₯ + 3
+π΄π΄2
(π₯π₯ + 3)2+
π΅π΅π₯π₯ β 1
Agrupamos y encontramos los valores de π΄π΄,π΅π΅ y πΆπΆ
2π₯π₯2 β π₯π₯ β 1 = π΄π΄1(π₯π₯ + 3)(π₯π₯ β 1) + π΄π΄2(π₯π₯ β 1) + π΅π΅(π₯π₯ + 3)2 = π΄π΄1(π₯π₯2 + 2π₯π₯ β 3) + π΄π΄2π₯π₯ β π΄π΄2 + π΅π΅(π₯π₯2 + 6π₯π₯ + 9)
= (π΄π΄1 + π΅π΅)π₯π₯2 + (2π΄π΄1+π΄π΄2 + 6π΅π΅)π₯π₯ + (β3π΄π΄1βπ΄π΄2 + 9π΅π΅)
π΄π΄1 + π΅π΅ = 2 2π΄π΄1+π΄π΄2 + 6π΅π΅ = β1 β3π΄π΄1βπ΄π΄2 + 9π΅π΅ = β1
Sumamos las tres ecuaciones y π΅π΅ =0
Sustituimos y π΄π΄1 = 2 4+π΄π΄2 = β1 β΄ π΄π΄2 = β5
Sustituimos estos valores
οΏ½2π₯π₯2 β π₯π₯ β 1
π₯π₯3 + 5π₯π₯2 + 3π₯π₯ β 9
3
1πππ₯π₯ = οΏ½
2π₯π₯ + 3
3
1πππ₯π₯ + οΏ½
β5(π₯π₯ + 3)2 πππ₯π₯
3
1
= 2 ln(π₯π₯ + 3) +5
π₯π₯ + 3οΏ½31 = οΏ½2 ln 6 +
56οΏ½β οΏ½2 ln 4 +
54οΏ½
= 4.417 β 4.0226 = 0.394
De la soluciΓ³n de estos ejercicios, deducimos la siguiente metodologΓa para la soluciΓ³n de integrales por el mΓ©todo de fracciones parciales.
1) Verificamos que sean una fracciΓ³n propia. Si es impropia efectuamos la divisiΓ³n y despuΓ©s integramos
2) Encontramos las raΓces del polinomio del denominador. 3) Expresamos la fracciΓ³n en fracciones parciales simples, de acuerdo a la tabla que
se definiΓ³ arriba. 4) Buscamos los valores de las Constantes A, B, etc 5) Sustituimos los valores de las constante en las fracciones parciales e integramos
Ejercicios
1) β« π₯π₯β3π₯π₯3+2π₯π₯2
πππ₯π₯ = 54πππππ₯π₯ β 5
4ln(π₯π₯ + 2) + 3
2π₯π₯+ ππ
2) β« 7+2π₯π₯π₯π₯2βπ₯π₯β2
πππ₯π₯ = 113
ln(π₯π₯ β 2) β 53
ln(π₯π₯ + 1) + ππ
3) β« π₯π₯β3π₯π₯2β2π₯π₯+1
πππ₯π₯ = ππππ(π₯π₯ β 1) + 2π₯π₯β1
+ ππ
4) β« π₯π₯β9(π₯π₯+5)(π₯π₯β2)
πππ₯π₯ = 2 ln(π₯π₯ + 5) β ln(π₯π₯ β 2) + ππ
5) β« π₯π₯π₯π₯2β1
πππ₯π₯ = 12
ln (π₯π₯2 β 1)οΏ½32 = 0.493
2
6) β« π₯π₯+5(π₯π₯+5)2(π₯π₯β1)
πππ₯π₯42 = 1
6ln(π₯π₯ β 1) β 1
6ln (π₯π₯ + 5)οΏ½4
2 = 0.141
Notas de clase r.urban
34 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
CΓ‘lculo de la trayectoria temporal de un factor. El cΓ‘lculo integral permite la resoluciΓ³n de problemas que impliquen la determinaciΓ³n de la trayectoria temporal de alguna variable sobre la base de una forma de cambio conocida, trayectoria temporal Γ©sta que puede calcularse
β’ Sin horizonte finito, mediante integrales indefinidas, o β’ En un intervalo de tiempo concreto, mediante el uso de integrales definidas.
El siguiente ejemplo es muestra de este uso de la integraciΓ³n. Supongamos que el flujo de inversiΓ³n neta esta descrito por la ecuaciΓ³n πΌπΌ(ππ) = 3βππ, y que el stock inicial de capital, en el momento ππ = 0, es πΎπΎ(0). ΒΏCuΓ‘l es la trayectoria temporal del capital K? SoluciΓ³n La trayectoria temporal del capital K buscada viene dada por la integraciΓ³n de I(t) con respecto a t,
πΎπΎ(ππ) = οΏ½πΌπΌ(ππ)ππππ = οΏ½3βππππππ = 2ππ3 2β + ππ
Para determinar el valor de la constante, tenemos en cuenta la hipΓ³tesis de que el stock inicial de capital, en el momento ππ = 0, es πΎπΎ(0), de donde πΆπΆ = ππ(0). En definitiva la trayectoria temporal del capital es
πΎπΎ(ππ) = 2ππ3 2β + +πΎπΎ(0) Asimismo hacemos notar que el concepto de integral definida entrarΓ‘ en escena cuando queramos valorar la formaciΓ³n de capital durante algΓΊn intervalo de tiempo, en vez de la trayectoria temporal de K.
CΓ‘lculo de la utilidad neta.
Esta aplicaciΓ³n estΓ‘ referida a todo tipo de utilidad neta incluyendo el caso del beneficio neto. No olvidemos que el beneficio es la utilidad desde el punto de vita del empresario. Por ejemplo,
Una empresa tiene como funciΓ³n de ingresos πΌπΌ(ππ) = ππ2 β 2ππ + 1 y como funciΓ³n de gastos πΊπΊ(ππ) = 47 + 1. Calcular el beneficio neto acumulado en el intervalo de tiempo [0,5] si consideramos un factor de actualizaciΓ³n de la forma ππβπ‘π‘.
SoluciΓ³n.
Notas de clase r.urban
35 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
El beneficio neto se calcula como ingresos menos gastos, todo ello multiplicado por el factor ππβπ‘π‘ a fin de actualizar el beneficio acumulado:
οΏ½ ππβπ‘π‘[πΌπΌ(ππ) β πΊπΊ(ππ)]ππππ5
0
Integral que se resuelve por partes: ππ = ππ2 β 6ππππππ = ππβπ‘π‘ππππ
La soluciΓ³n final es β(ππβ5 + 4)
Supongamos que dentro de π₯π₯ aΓ±os dos planes de inversiΓ³n generarΓ‘n utilidades a razΓ³n de π π 1(π₯π₯) y π π 2(π₯π₯) pesos al aΓ±o respectivamente, y que para los prΓ³ximos ππ aΓ±os la razΓ³n π π 2(π₯π₯) serΓ‘ mayor que la razΓ³n π π 1(π₯π₯). Por consiguiente la diferencia π π 2(π₯π₯) β π π 1(π₯π₯) representa la razΓ³n a que la utilidad generada por el segundo plan excede al primero; es decir, el exceso de utilidad neta estΓ‘ dado por
οΏ½ [π π 2(π₯π₯) β π π 1(π₯π₯)]πππ₯π₯ππ
0
Ejemplo. Supongamos que dentro de x aΓ±os un plan de inversiΓ³n generarΓ‘ una utilidad a razΓ³n de π π 1(π₯π₯) = 50 + π₯π₯2 pesos al aΓ±o, mientras que un segundo plan lo harΓ‘ a razΓ³n de π π 2(π₯π₯) = 200 + 5π₯π₯ pesos al aΓ±o.
a) ΒΏDurante cuΓ‘ntos aΓ±os serΓ‘ mΓ‘s rentable el segundo plan? b) Calcular el exceso de utilidad neta si se invierte en el segundo plan durante el
perΓodo hallado en el anterior punto c) Interpretar el exceso de utilidad de forma grΓ‘fica
SoluciΓ³n
El segundo plan deberΓa ser el mΓ‘s rentable, hasta que se iguales,
π π 2(π₯π₯) = π π 1(π₯π₯)
Es decir, 50 + π₯π₯2 = 200 + 5π₯π₯ β π₯π₯2 β 5π₯π₯ β 150 β π₯π₯ = 15, π₯π₯ = β10
Como esta ΓΊltima soluciΓ³n no es viable, resulta que son 15 los aΓ±os en los que el segundo plan de inversiΓ³n es mas rentable que el primero. El exceso de utilidad neta es
Notas de clase r.urban
36 Facultad de economΓa MatemΓ‘ticas I
οΏ½ [π π 2(π₯π₯) β π π 1(π₯π₯)]πππ₯π₯15
0= οΏ½ [β50 β π₯π₯2 + 200 + 5π₯π₯]πππ₯π₯
15
0
οΏ½ [β50 β π₯π₯2 + 200 + 5π₯π₯]πππ₯π₯ = 150π₯π₯ +52π₯π₯2 β
13π₯π₯3οΏ½ 15
0 = 1687.5 ππππππππππ15
0
Finalmente, la interpretaciΓ³n grΓ‘fica del exceso de utilidad de forma grΓ‘fica es, simplemente, el Γ‘rea comprendida entre las curvas π π 1(π₯π₯) π¦π¦ π π 2(π₯π₯)
Supongamos que hacemos una inversiΓ³n que promete pagar A dΓ³lares en un tiempo t (donde el presente es el tiempo ππ0. ΒΏCuΓ‘nto debemos estar dispuestos a pagar por este tipo de inversiΓ³n? EstΓ‘ claro que no quiere pagar tanto como unos dΓ³lares. Por si tuviΓ©ramos unos dΓ³lares ahora, podrΓamos invertir a la tasa actual de interΓ©s y, en el tiempo t, queremos volver a nuestros originales Unos dΓ³lares mΓ‘s los intereses devengados. En lugar de ello, sΓ³lo debe estar dispuesto a pagar una cantidad P que, si se invierte en t aΓ±os, darΓa lugar a unos dΓ³lares. Llamamos P el valor actual de una de dΓ³lares en t aΓ±os. Vamos asumir capitalizaciΓ³n continua de interΓ©s. Si la corriente (anual) la tasa de interΓ©s es r, entonces P dΓ³lares invertido en t aΓ±os rendirΓ‘ dΓ³lares PERT
BibliografΓa.
Goldstein, L. J, Lay D. C., Schneider, D. I. CALCULUS AND ITS APPLICATIONS, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey USA, 1993.
Larson R.E., Hostetler R. P. y Edwards B. H. CΓLCULO Y GEOMETRIA ANALΓTICA. Sexta ediciΓ³n, Editorial Mc Graw Hill, Madrid
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