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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS – DCE
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática
Vitória da Conquista 2009
APRESENTAÇÃO
Caro estudante,
A nossa experiência na docência das disciplinas de Laboratório pertencente ao curso de
Licenciatura em Matemática da UESB tornou possível a realização deste trabalho.
Nessa perspectiva, apresentamos a você este modesto resumo das nossas aulas as quais
foram desenvolvidas de várias formas: oficinas, aulas investigativas, lista de problemas,
curiosidades, trabalhos apresentados em seminário com a participação dos alunos. Este conteúdo
está composto por matéria teórica seguida de atividades e/ou exercícios sendo que uma parte foi
extraída da referência básica que consta no final de cada matéria. Assim você educando poderá
notar que o mesmo é apenas uma alternativa para que seja feita uma consulta simplificada da
matéria exposta.
Portanto esperamos que este trabalho de alguma maneira possa apontar mais um caminho
no favorecimento de um ambiente sócio-afetivo e de conhecimento intelectual que resultem
numa direção proveitosa para aprendizagem da matemática, acrescentando à sua vida estudantil
um incentivo para que prossiga nos estudos, cada vez desenvolvendo a sua capacidade de
raciocínio e ampliando seu conhecimento.
Prof.ª Ms.Eridan da Costa Santos Maia Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia
SUMÁRIO
1. Aulas Investigativas 03
8. Sequência de Fibonacci 09
3. Jogo das Diagonais 15
4. Oficina: Quadrados Mágicos 16
5. Oficina: Construindo Poliedros Regulares com Esqueletos 21
6. Poliedros Regulares: Quantos Existem? 27
7. Planificação dos Poliedros Regulares 30
8. Poliedros Regulares, Semi-Regulares E Irregulares 32
9. Problemas de Matemática 42
10. Áreas de Superfícies Planas 48
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1. AULAS INVESTIGATIVAS
Estas atividades pretendem propiciar um momento de discussão e reflexão juntamente
com vocês futuros professores, tendo o objetivo de estudar as possibilidades, buscar caminhos e
enfrentar os desafios da utilização de Investigações Matemáticas nas nossas docências.
Como trabalhar na sala de aula com investigação matemática? Qual o papel do
professor? Como preparar as aulas com atividades de investigação? Como avaliar as aulas de
investigação? De que forma surge à aula investigativa?
Para responder essas questões e demais questionamentos sobre as investigações
matemáticas têm-se atualmente vários estudos e pesquisas entre os quais destaca-se o trabalho do
professor João Pedro da Ponte que disse: “A realização de investigações matemáticas, pelo aluno,
pode contribuir de modo significativo para a sua aprendizagem da Matemática e para desenvolver
o gosto por essa disciplina”. (Ponte, 2003, pg.142).
Essa afirmação motiva-nos a aplicação de investigações em nossas salas de aula.
Para a realização de uma investigação matemática precisa-se:
1) Reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a formulação de questões;
2) Processo de formulação de conjecturas;
3) Realização de testes (e reformulação) e o eventual refinamento das conjecturas;
4) argumentação, à demonstração e avaliação do trabalho realizado (justificação e avaliação).
Em relação ao papel do professor lhe compete:
Desafiar os educandos para raciocinar matematicamente;
Incentivar o desempenho dos alunos;
Apoiar o progresso dos discentes;
Avaliar o crescimento dos alunos;
Buscaremos algumas respostas mediante a realização das atividades propostas:
Atividades 1: Construção de Triângulos quanto aos lados
Com vários pedaços de canudos medidos procure formar triângulos.
Que triângulos foi possível formar?
Qual a condição de existência do triângulo?
Atividade 2: Construção de Polígonos
Construa alguns polígonos com pedaços de canudos;
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Manuseando esses polígonos o que aconteceu com eles?
Explique caso haja transformação;
Explique caso não haja transformação;
Numa aplicação prática, por exemplo: numa porteira de roça, como você justifica a
presença da travessa (ripa de madeira que é pregada atravessada em relação a fila das
demais ripas)?
Havendo transformação, essa transformação do polígono preserva a igualdade de seus
lados?
Preserva o seu perímetro?
Conserva a sua área?
É possível construir figuras com o mesmo perímetro, porém, com diferentes áreas? E
vice-versa?
Atividade 3: Número de Diagonais de um Polígono
Desenhe numa folha de papel polígonos regulares (de forma crescente).
Ligue todos os respectivos vértices (fora os lados).
Construa uma tabela contendo nº de lados, nº de segmentos de cada vértice (sem os
lados), nº de segmentos de todos os vértices e nº de diagonal.
Se for um polígono de 24 lados, como saber quantas diagonais é possível traçar?
NOTAS SOBRE A EXPLORAÇÃO DA ATIVIDADE:
A intenção dessa atividade é levar o aluno a raciocinar logicamente de forma que consiga
estabelecer relações entre os dados coletados, possibilitando a construção de uma regra geral para
calcular o número de diagonais de um determinado polígono regular.
Atividade 4: Soma dos Ângulos Internos dos Polígonos
Desenhe numa folha de papel polígonos regulares
(de forma crescente).
Decomponha os polígonos em triângulos, a partir de um
ponto no interior da figura.
Observando como o polígono ao lado foi decomposto em triângulos.
Construa uma tabela contendo nº de lados e nº de triângulos.
Se for um polígono de 08 lados, como saber a soma dos seus ângulos internos?
Figura 01
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Atividade 5: Soma dos Âgulos Externos de um Polígono
Utilizando a atividade anterior demonstrar que a soma S e dos ângulos externos de um
polígono é dada por: S e = 360o.
Atividade 6: Relação importante de um triângulo
Material: Geoplano ou papel ponteado (uma folha de papel A4 com pontos separados de 3 cm.).
Desenhe um quadrado de área 4;
Desenhe um quadrado de área 9.;
Desenhe um quadrado de área 5.;
Existe outro quadrado diferente com a mesma área?
Existem conjunto de dois quadrados cuja área adicionada seja igual a do quadrado de
área 5? Registre-os;
Procure outros conjuntos de três quadrados que estejam relacionados daquela forma;
Observando cada conjunto de três quadrados, encontre uma regra que exprima o que
observastes.
Atividade 7: Demonstrando o Teorema de Pitágoras
Qual a demonstração de Pitágoras para o seu teorema?
Muitas conjecturas tem sido feitas, a mais provável é a demonstração por decomposição.
Assim façamos a demonstração geométrica e a algébrica o discente fará.
Denotemos por a, b e c os catetos e hipotenusa de 1 triângulo retângulo, e consideremos
os 2 quadrados, cada um de lados iguais a a+b. O 1º quadrado está decomposto em 6 partes, o 2º
quadrado está decomposto em 5 partes. Subtraindo iguais de iguais, conclui-se que o quadrado
sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os catetos.
a
b a
a
b
b b
a b
b
b
b
a
a
a
c
c
c
c
Figura 02
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Atividade 8: Uma demonstração do teorema de Pitágoras
Com 9 triângulos retângulos isósceles (por exemplo lado igual a 5 cm) mostrar o teorema
de Pitágoras – em todo triângulo retângulo o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.
Atividade 9: Outra demonstração do Teorema de Pitágoras
Observando a demonstração cinematográfica que se encontra na outra folha, faça uma
análise do ponto de vista matemático – ou seja, a demonstração feita por Euclides.
Atividade 10: Construção dos números da forma n
A partir de um triângulo retângulo isósceles de cateto igual a um, construa
n...,5,4,3,2.
Atividade 11: Responda justificando – As medidas dos lados de um triângulo retângulo
podem ser números primos?
Atividade 12: Construa os Ternos Pitágoricos
Figura 03
Atividade 13: Investigações com números
Com a disposição dos números na forma ao lado:
Descubra as possíveis relações entre os mesmos.
Registre as conclusões que for obtendo
NOTAS SOBRE A EXPLORAÇÃO DA ATIVIDADE:
Através da tabela, o aluno tem a possibilidade de trabalhar diversos
conteúdos solidificando, assim, seu conhecimento.
Atividade 14: Seqüência dos Quadrados Perfeitos
Desenhe um quadrado de 1 cm de lado
A partir do quadrado unitário formar uma seqüência de quadrados.
Investigue possíveis relações entre eles.
Anote todos os dados observados.
Como se obtém um quadrado de lado n+1?
NOTAS SOBRE A EXPLORAÇÃO DA ATIVIDDE:
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
16 17 18 19
... ... ... ...
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O objetivo desta atividade é levar o aluno a dar sentido geométrico à relação (n+1)2 =
n2+2n+1.
Figura 04
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Atividade 15: Uma mesa de sinuca
Seja uma mesa de sinuca com apenas quatro buracos (nos cantos da mesa) e o tampo está
dividido em quadrados todos iguais. A mesa é retangular. Imagine que, jogamos a bola de um dos
cantos no ângulo de 45º com as tabelas e ela só pare quando caia num buraco. Responda:
Quantos quadrados a bola atravessa até cair em uma das caçapas?(considere que a bola
sempre forma um ângulo de 45º)
Quantas vezes a bola bate na tabela? (considere entrar na caçapa como uma batida).
Para isso deverá investigar que relação tem a dimensão da mesa com aquilo que acontece com a
bola.
NOTAS SOBRE A EXPLORAÇÃO DA ATIVIDADE:
A intenção desta atividade é levar o aluno a descobrir, através do processo investigativo,
relações entre o divisor e o múltiplo de números.
Referências Bibliográficas:
BARALDI, Ivete Maria. Matemática na Escola: que ciência é esta?
BROCARDO Joana - As investigações na aula de matemática: um projecto curricular no 8º ano.
Tese de Doutor em Educação. Dpto de Educação da Faculdade de Ciências. UNIVERSIDADE
DE LISBOA, 2001.
BRUNHEIRA, Lina; Fonseca, Helena. Investigar na aula de matemática. Educação e
matemática, 35. 3º trimestre de 1995.
CARBONELL, Jaume. A aventura de inovar: a mudança na escola. trad. Fátima Murad. Porto
Alegre: Artmed Editora, 2002.
DEMO, Pedro. Saber e pensar. 3a edição - São Paulo: Cortez: Instituto Paulo Freire, 2002.
(guia da escola cidadã).
FONSECA, Helena Lina Brunheira, João Pedro da Ponte. As actividades de investigação, o
professor e a aula de Matemática. Departamento de Educação, F.C.U.L.
PONTE João Pedro da e outros. Investigações matemáticas na sala de aula: Tendências em
educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
Endereço eletrônico: http://ia.fc.ul.pt
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2. SEQUÊNCIA DE FIBONACCI Figura 05
Leonardo de Pisa (1170, 1240?), conhecido por Fibonacci, era
matemático e comerciante da Idade Média. Viajou pelo
Mediterrâneo, com seu pai, Bonaccio, que tinha negócios em Pisa,
na Itália e Bugia, no norte da África, atual Bejaia, na Nigéria. Nessas
viagens, teve oportunidade de conhecer os algarismos hindu-
arábicos, em que percebeu a facilidade dos cálculos que esse sistema
de numeração oferecia quando comparados com os números romanos.
Em 1202 publicou o Liber Abaci, ou Livro do Cálculo e as primeiras palavras do Liber
abaci são: "Estes são os nove símbolos dos Hindus: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Com eles, mais o símbolo 0, que
em árabe é chamado Zéfiro, qualquer número pode ser escrito."
O “Livro do Ábaco” trata-se de um manual completo que mostrava a utilidade prática do
sistema de numeração hindu-árabe no comércio, na conversão de pesos e medidas, nos cálculos
de câmbios e noutras áreas aplicadas. Serviu de modelo a praticamente todas as aritméticas
comerciais da época medieval e remascentista, o livro está dividido em 15 capítulos, sendo o 12º
dedicado à resolução de diversos problemas. Aí aparece uma questão célebre que deu origem à
ainda mais célebre sucessão de Fibonacci.
Eis o problema:
Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses de vida e, a partir de então, produz um novo casal a cada mês. Começando com um único casal de coelhos recém-nascidos, e supondo-se que nenhum coelho morre, quantos casais de coelhos existirão ao final de um ano?
A sua obra mais avançada o Liber Quadratorum (1225) trata da Teoria dos Números.
Fibonacci não percebeu que uma das maiores vantagens do sistema decimal é a facilidade
que ele permite no trabalho com frações.
Atividade 1:
Resolver o problema encontrando a seqüência e sua relação de recorrência.
A Seqüência de Fibonacci é famosa por conter belíssimas sincronias com fenômenos
naturais:
as pétalas das flores têm geralmente um número de F.
nas folhas das cabeças das alfaces, couve-flor, nas camadas das cebolas ou nos padrões de saliências dos abacaxis e das pinhas.
as sementes do girassol formam espirais quer para a direita, quer para a esquerda. Se
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contarmos ambas as espirais, teremos dois números consecutivos de F.
o nautilus, um molusco que possui uma concha em forma de espiral com compartimentos que utiliza para flutuar. O número de compartimentos pertence à série de F.
Esta espiral não é inocente, ela também ela está relacionada com a sucessâo de F. Veremos a
espiral mais adiante.
Algumas aplicações da seqüência de Fibonacci em campos do conhecimento humano:
Estudo genealógico de abelhas;
Crescimento de plantas;
Na música;
Nas espirais;
No Triângulo de Pascal;
Atividade 2:
Calcule: a) MDC (f6, f9) b) MDC (f9, f12); c) MDC (f4, f10); d) generalize
Atividade 3:
Encontrar a relação entre os ternos pitagóricos e série de F. Observando a série de F.
(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, ... ) nota-se que os nº em negritos já apareceram em ternos
pitagóricos e sempre como elemento correspondente à hipotenusa. Então é bem possível que os
elementos correspondentes a catetos também aí estejam.
Dica: Indicando com Fn o nº de F. que ocupa a ordem n na série temos:
Para o 1º grupo F 1 F 2 F 3 F 4 obtivemos 5 = F 5
Para o 2º grupo F 2 F 3 F 4 F 5 obtivemos 13 = F 7
CURIOSIDADE: a área dos triângulos obtidos para cada grupo é igual ao produto dos
quatros números.
Atividade 4:
Represente os números 50, 75 e 100 como soma de números de Fibonacci distintos.
Dica: Utilizar a seguinte propriedade: Todo número inteiro positivo pode ser escrito de
maneira única como soma de números de Fibonacci distintos e não consecutivos.
Vamos construir uma tabela onde a 1ª linha é formada pelos primeiros números naturais
e a 2ª linha é formada pelos primeiros números de Fibonacci e depois dado o número vamos
representá-lo por sequências binárias finitas (sequências de termos 0 e 1).
Exemplo: 10 = 8 + 2 = F6 + F3 = 1 F6 + 0 F5 + 0 F4 + 1 F3 + 0 F2.
Assim 10 = (10010)F A razão para F 1 não ser incluído está no fato que estamos
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interessados em nº de F. distintos e F1 = F2 =1, logo somente um deles pode ser usado.
Atividade 5:
Efetue a multiplicação 16 X 63.
Dica: A decomposição de números como soma de números de F. distintos pode ser
usada em um método que permite multiplicar dois números inteiros usando adições. Vamos
construir uma tabela onde a 1ª coluna é formada por 1 e um dos números, digamos 63. A 2ª
coluna é obtida da primeira dobrando-se os números e, a parir daí, toda coluna da tabela é obtida
pela soma das duas anteriores. A tabela é construída até que na 1ª linha seja atingido um nº maior
ou igual ao outro nº, no caso, a 16. A seguir considera-se uma decomposição de 16 em nº de F.
Para obter o produto basta tomar os números correspondentes a 3 e 13 na tabela e somá-los.
Atividade 6:
Demonstrar que são verdadeiras:
(a) F 1 + F 2 + F 3 + .... F n = F n + 2 – 1
(b) F 1 + F 3 + F 5 + .... F 2n – 1 = F 2n
(c) F 2 + F4 + F 6 + .... F 2n = F 2n + 1 – 1
(d) F 12 + F 2
2 + F 32 + .... F n
2 = F n F n + 1 .
Considerando (b) e (c) juntas podemos escrever:
(e) F k – 1 = Fk – 1 + F k – 3 + + .... F a ,onde a =3 se K é par ou a=2 se k é ímpar.
A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI E A RAZÃO ÁUREA
Esta seqüência é tão bela que se relaciona até mesmo com o chamado "número de ouro", o número Phi, uma constante matemática conhecida desde a Grécia antiga, conhecida também como número da beleza, número da perfeição, etc... Que inspirou e inspira até hoje muitos matemáticos, escultores, pintores e arquitetos, como Leonardo da Vinci, Michelangelo, Phídias (escultor grego que muito utilizou a razão áurea em seus trabalhos, e por isso ela recebe o nome de Phi), etc... Essa constante é dada por:
Phi = φ = 1,618033988749895... (fi = nº áureo = nº de ouro)
Quanto maior a seqüência de Fibonacci, cada vez mais a razão de cada termo pelo seu antecessor aproxima-se de φ. Em linguagem matemática:
n 1
n
n
f1 5
Phi lim 1,618033988749895... , razão áureaf 2
Dividindo cada número de Fibonacci pelo seu sucessor. Exemplos: 3 / 2 = 1,5
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5 / 3 = 1,666666... 8 / 5 = 1,6 13 / 8 = 1,625 21 / 13 = 1,61538461... 34 / 21 = 1,61904761... 55 / 34 = 1,61764705... 89 / 55 = 1,61818181... 144 / 89 = 1,61797752... 233 / 144 = 1,6180555... E assim sucessivamente.
Como exemplo da divisão áurea, temos o pentagrama – estrela de 5 pontas, símbolo da
seita pitagórica, a interseção de 2 de suas diagonais divide qualquer delas numa razão áurea.
Atividade 7:
“Verificar se a pessoa é bela”.
Efetuar as medidas, tirar a razão entre elas (para facilitar utilize uma casa decimal) e
observar os resultados:
a) altura de uma pessoa pela medida do umbigo ao chão b) medida do queixo até a testa pela medida dos olhos até a testa
Onde houver “harmonia” lá encontraremos o nº de ouro = 1 5
2
= 1,61803...
Atividade 8:
Efetuar a divisão áurea de um segmento, ou divisão em média e extrema razão.
Para efetuar a divisão áurea de um segmento, ou divisão em média e extrema razão.
Desenhar numa folha de papel um segmento AB, tal que a medida (AB) = x
unidades.
Com um ponto C dividir este segmento em duas partes. De quantas maneiras
pode-se dividir este segmento?
Encontrar a única posição – posição de ouro – onde o ponto C divide o
segmento AB em dois segmentos proporcionais, tal que, o quociente entre as
medidas do segmento todo (x) pela parte maior (a) é igual ao quociente entre as
medidas da parte maior com a parte menor.
Número áureo – com régua divide o segmento em 2 partes tais que a diferença entre seus
quadrados seja igual ao seu produto.
A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI NA GEOMETRIA
Atividade 9:
Justificar na identidade (d), a possível interpretação: a decomposição de um retângulo de
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lados F n e F n + 1 em n quadrados de lados F 1 , F 2 , F 3 , .... F n . Ex. 13 X 8 = 1 2 + 1 2 + 2 2
+ 3 2 + 5 2 + 8 2 .
Atividade 10:
Construir a espiral composta por arcos de 900 de circunferências cujos raios são os termos
consecutivos da serie de Fibonacci .
Atividade 11:
Justificar que multiplicando a identidade (d) por ¶, obtemos:
I) o 1º membro da identidade representa a soma das áreas de n círculos de raios:
F 1 , F 2 , F 3 , .... F n
II) o 2º membro da identidade representa a área de uma elipse de semi-eixos F n e F n + 1 .
Atividade 12
Justificar que multiplicando a identidade (a) por ¶ /2, temos que: a soma dos
comprimentos dos n primeiros arcos de circunferência é igual a ¼ da circunferência de raio F n + 2
– 1.
Atividade 13:
Como construir um retângulo áureo:
Faça um quadrado, no ponto médio da base trace um segmento até o vértice superior do quadrado. Use esse segmento como raio e trace um arco até o encontrar o prolongamento da base, nesse ponto de encontro trace uma perpendicular à base até encontrar o prolongamento do lado superior do quadrado.
Verifique A propriedade que pode ser vista no símbolo da SBM: Se de um retângulo
áureo é retirado um quadrado, o retângulo menor é também áureo.
Atividade 14:
Que relação pode existir entre a seqüência e a razão áurea?
Referências BARBOSA, Ruy Madsen. 1993. Descobrindo padrões pitagóricos: geométricos e numéricos. São Paul: Atual. BOYER, Carl B. História da Matemática, revista por Uta C. Merzbach; tradução Elza F. Gomide – 2ª ed. – São Paulo: Edgard Blucher, 1996. BURTON, David M. Elementary number theory, Allyn Bacon and Bacon, Inc, 1976. CARVALHO, João B. P. Euclides, Fibonacci e Lamé, RPM – SBM, nº 24, 1993, 32-40. STRUICK, Dirk J. História Concisa das Matemáticas, Gradiva, 1989.
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YOUNG, Robert M. Excursions Calculus: An Interplay of The Continous and the Discrete, Dolciani Mathematical Exposition, MAA, 1992. ZECKENDORF, E. Representation des nombres natureals par une somme de nombres de Fibonacci ou de Lucas, Bull de la Soc. Royale des Sci de Liege, 41 (1972) 179- 182. BASTOS, Débora – Números de Fibonacci. <http://www.cti.furg.br/~debora/fibonacci.htm> acesso em 15/10/2007. [ALBUQUERQUE, Carlos – Fibonacci e as Sucessões Recorrentes. <http://www.lmc.fc.ul.pt/~albuquer/fibonacci/trabalho/mundo.htm> acesso em 15/10/2007. GONÇALEZ, Rodrigo – A Seqüência de Fibonacci. <http://rrgoncalez.blogspot.com/> acesso em 15/10/2007. SODRÉ, Ulysses – Matemática Essencial: Seqüência de Fibonacci – Aplicações. <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm> acesso em 14/10/2007. WIKIPÉDIA: A enciclopédia livre – Número de Fibonacci. <http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci> acesso em 14/10/2007. Resposta da Atividade 1:
Obs: Todo este problema considera que os coelhos estão permanentes fechados num certo local e que não ocorrem mortes.
Então é fácil ver que, um casal nasce no primeiro mês, totalizando-se dois casais. No
segundo mês, o primeiro casal produz um novo casal. No terceiro mês, o primeiro casal e o casal que nasceu no primeiro mês, produzem novos casais. Assim, já são existentes três casais adultos e dois casais filhotes. E assim sucessivamente. Veja o quadro abaixo:
Mês Casais Adultos Casais Filhotes Total de Casais 1º 00 01 01
2º 01 00 01
3º 01 01 02
4º 02 01 03
Portanto está claro que durante um ano a seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
responde a pergunta do problema dos coelhos. Estes números são os doze primeiros termos da Seqüência de Fibonacci.
Denotamos os números da seqüência de Fibonacci por: f 1 = 1, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 = 13, f 8 = 21, f 9 = 34, f 10 = 55, … Com essa notação, é de fácil verificação que: f 3 = f 1 + f 2; f 4 = f 2 + f 3; f 5 = f 3 + f 4; f 6 = f 4 + f 5 e assim por diante.
De maneira geral, f n = f n – 2 + f n – 1, para 3n , isto é, em que cada termo após os dois primeiros é a soma dos dois imediatamente precedentes. Assim, descreve-se a seqüência de Fibonacci como uma seqüência recursiva.
f 1 = f 2 = 1, f n = f n – 2 + f n – 1, para 3n Alguns livros definem a seqüência de Fibonacci como:
f n = f n – 1 + f n – 2, para 2n , em que, f 0 = 0, f 1 = 1.
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 2 1, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765.....)
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3. JOGO DAS DIAGONAIS
Adaptado da Revista do Professor de Matemática nº 7.
Às vezes, na Matemática, estudamos certos assuntos, resolvemos certos problemas, simplesmente com a intenção de vencer desafios, brincar com a Matemática, divertir-se com ela. Esta dimensão também deve ser mostrada ao aluno: é possível sentir prazer brincando com a Matemática. (RPM 7 pág. 39).
Material:
Pedaço de madeira de forma quadrada de 30 cm de lado, 2 rolos de linha de cores diferentes, uns
90 pregos, compasso, transferidor e régua.
Procedimentos:
– Trace na madeira uma circunferência de raio 13,5 cm;
– Desenhe um polígono regular inscrito de n lados. Pode usar o texto “construção com régua e
compasso” onde vimos os polígonos de n lados ou então através de ângulos centrais de
medida 360º / n.
– Para cada vértice do polígono fixe um prego, e depois passe uma das linhas por eles formando
desta forma o polígono;
– Construa com a outra linha todas as diagonais do polígono, não vale construir a mesma
diagonal duas vezes, isto é, não vale ir e vir pelo mesmo caminho. Também não vale amarrar a
linha num prego, cortá-la e amarrá-la novamente em um outro prego. A linha só pode ser
cortada quando a última diagonal tiver sido construída.
Atividades:
1) Quantas diagonais partem de cada vértice? Quantas diagonais têm o polígono?
2) Por que se n é ímpar o jogo dá certo e quando é par, não?
3) Observando todos os trabalhos construídos o que você vê de diferente? Explique.
4) Quando n é par quantas são as diagonais que passam pelo centro? Quando n é ímpar quantas
são as diagonais mais próximas do centro?
5) O que é esse núcleo vazio? Se for figura, quantos lados possui?
6) Quantos segmentos de reta determinados pelos vértices há em cada um dos trabalhos?
7) Quantas são as diagonais que precisam ser cortadas por n par?
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4. OFICINA: QUADRADOS MÁGICOS
Sobre o quadrado mágico conta-se, não se sabe se história ou lenda, que ele surgiu na
China há uns 4000 anos quando o Imperador Yu em um passeio às margens do rio Amarelo
encontrou uma tartaruga divina e observou que o seu casco era dividido em forma de linhas e
colunas. E em cada uma delas havia pontos. O mais interessante é que em todas as filas sejam
linha, coluna ou diagonal continham a mesma quantidade de pontos.
Esse arranjo chamado quadrado mágico foi associado a um significado místico,
acreditando-se que o uso de um quadrado mágico gravado numa placa de prata protegia contra a
peste. E até hoje serve de amuleto para alguns países tais como Tibet, Índia e Sudeste da Ásia.
História ou lenda, o certo é que o quadrado mágico propagou-se e ao longo do tempo, a
sua construção prendia atenção de um grande numero de curiosos. Sobre isso Gundlach (1992)
disse:
O interesse por quadrados mágicos ressurgiu no final do século XIX, e os quadrados foram aplicados a problemas em probabilidade e análise. O assunto correlato dos quadrados greco-romanos, cujo pioneiro foi Leonhard Euler, produziu recentemente importante aplicações no planejamento de experimentos. Assim, uma idéia que tem raízes profundas no misticismo, freqüentemente consideradas como mero passatempo, acabou se tornando uma parte importante da matemática contemporânea (p. 66).
O quadrado mágico formado pelos primeiros números inteiros positivos é denominado
quadrado mágico normal e neste trabalho trataremos dele. O qual pode ser utilizado de forma
pertinente no estudo de seqüências, (progressão aritmética) e matrizes. E em geral, como jogos –
jogos na aprendizagem – para exploração pelos alunos e até como descontração.
Podemos definir um quadrado mágico de ordem n como sendo uma matriz (a i j ) m x n onde
os elementos a i j são números naturais que são todos diferentes, e a soma dos números de
qualquer linha, coluna ou diagonal é igual a uma constante M chamada de constante mágica do
quadrado M = 2
)1( 2 nn. Como exemplo vejamos as figuras seguintes:
Figura 08
Tartaruga lo-shu representado no I Ching Quadrado de ordem 3
6 1 8
7 5 3
2 9 4
Figura 06 Figura 07
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
17
As construções dos quadrados mágicos de ordem n serão feitas de acordo:
a) ordem ímpar b) ordem 4n c) ordem par não múltipla de 4
Atividade 1: Figura 09
Sabendo que numa abordagem algébrica, o quadrado
mágico de ordem 3 tem a representação ao lado. Explique
porque há somente um quadrado mágico de ordem 3, e que os
7 restantes são as transformações isométricas do mesmo.
Nota: a abordagem algébrica para quadrados mágicos de ordem
maior que 3 é muito trabalhosa, por exemplo, para ordem 4,
teríamos 10 equações com 16 variáveis.
Mostrar as seguintes propriedades para quadrado mágico de ordem 3:
a) a constante mágica é o triplo do número que ocupa a casa central;
b) a soma dos quadrados dos elementos da 1a. linha é a mesma que a soma dos quadrados dos
elementos da 3a. linha. Idem com 1a. e 3a. colunas.
Atividade 2: Figura 10
Para a construção do quadrado de ordem 3: Complete o
quadrado com casas auxiliares de forma que possa ser possível, a
partir da esquerda da primeira casa, traçar três diagonais e em cada
uma delas, a começar da 1ª, escreva a seqüência dos números. O
número que estiver fora do quadrado é colocado na mesma fila na
última casa vazia. Como você explica esta representação.
Atividade 3:
Usando a idéia anterior, construa um quadrado de ordem 5 e um quad. de ordem 7.
Figura 11
Atividade 4: Figura 11
Para a construção de um quadrado mágico de ordem
ímpar, temos a regra devida ao francês De la Loubére:
Em relação ao quadrado faça uma linha auxiliar acima da
sua 1ª linha e uma coluna auxiliar junto a sua última.
Começando com 1 na casa central da 1ª linha, para cima
em diagonal continue a seqüência.
Se o número cair fora do quadrado, coloca o mesmo na última casa da mesma coluna; se
o número cair na coluna auxiliar coloca o mesmo na 1ª casa da mesma linha; Se por acaso o
a b 15– a – b
20–2a– b 5 2a+ b–10
a + b – 5 10 – b 10 – a
3
2 7 6
1 9 5 1 9
4 3 8
7
18 25 2 9 X
17 24 1 8 15 17
23 5 7 14 16 23
4 6 13 20 22 4
10 12 19 21 3 10
11 18 25 2 9
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
18
número cair em X ou a casa já estiver ocupada por um outro número, coloque o número da
seqüência na casa abaixo do número anterior. A partir dele continue com a seqüência e proceda
do mesmo jeito. Com a regra construa um quadrado mágico de ordem 7.
Atividade 5:
Apresentamos outra idéia para construção de um quadrado mágico de ordem ímpar
diferente de 3 através da sua construção em um quadrado mag. de ordem 5.
Figura 12
Escreva os números no quadrado do seguinte
modo: Comece colocando o 1 na casa central da
primeira linha e andamos duas casas para cima e
uma para a direita para colocar os números
seguintes. Se um número cai fora do quadrado,
ficando em um dos três quadrados auxiliares (um à
direita, outro acima e um colado ao anterior),
voltamos com o número na casa correspondente
no quadrado. Se o número cai em uma casa já
ocupada escrevemos o mesmo na casa abaixo do
número anterior.
Atividade 6:
Para a construção de um quadrado mágico de ordem 4n temos a seguinte regra:
i) Divida o quadrado em quadrados 4 x 4. ii)Trace as diagonais de cada um
iii) Escreva a seqüência saltando as casas das diagonais iv) Começando da última casa
escreva a seqüência saltando as casas já preenchidas.
Outra maneira: preencha as casas do quadrado com a seqüência dos números. Subdivida o
quadrado em n/4 quadrados 4 x 4 e, para cada um desses quadrados menores, trocar os
elementos das suas duas diagonais por n 2 + 1 – a i j do 1º quadrado mágico.Conserve os outros
números.
Figuras 13 e 14
Ex.: Ordem 4, M = 34
Construa, utilizando a regra, o quadrado mágico de ordem 8.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
11 19 2 15 23
12 25 8 21 4
10 18 1 14 22 10
11 24 7 20 3 16
17 5 13 21 9 17
23 6 19 2 15
4 12 25 8 16
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
19
Atividade 7:
Para a construção de um quadrado mágico de ordem n par e não múltipla de 4
usamos uma técnica conhecida como técnica de Conway ou método “LUX”. Se n = 4m +2,
m 1, escrevemos uma matriz auxiliar de ordem (2m + 1) x (2m + 1) formada por m + 1 linhas
de L, uma linha de U e m – 1 linhas de X. Troque o U do meio pelo L logo acima dele. Supondo
cada letra L, U ou X no centro de um quadrado 2 x 2, preencha cada um desses quadrados com
números do seguinte modo:
Distribua os números de 1 a n 2 de 4 em 4, levando em consideração o formato de cada letra:
A ordem de escolha das letras para se fazer a distribuição dos números é a mesma da
atividade 4 (construção de quadrados de ordem ímpar).
Como exemplo vamos
construir o quadrado de
ordem 6:
Figuras 15, 16,17
Construa, utilizando a regra, o quadrado mágico de ordem 10.
Algumas curiosidades sobre quadrados mágicos
I) Apesar de que ainda não se tenha resolvido o problema sobre o cálculo da quantidade de
quadrados mágicos de uma determinada ordem n, sabe-se:
a) ordem 3, tem-se 1 quadrado mágico.
b) ordem 4, tem-se 880 quadrados mágicos.
c) ordem 5, tem-se 275.305.224 quadrados mágicos.
II) Construindo os quadrados mágicos abaixo, usando a idéia da atividade 2. Observamos que no
triângulo mágico – a relação de Pitágoras se verifica para:
a) 3 números de casas correspondentes. Ex. 152 + 202 = 252
9 2 x
8 1 6 8
3 5 7 3
4 9 2
32 29 4 1 24 21
30 31 2 3 22 23
12 9 17 20 28 25
10 11 18 19 26 27
13 16 36 33 5 8
14 15 34 35 6 7 U
U
U
4 1 1 4 1 4
2 3 2 3 3 2
L L L
L U L
U L U
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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b) somando dois ou mais valores de casas correspondentes. Ex. (10+25)2 =
(6+15)2+(8+20)2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3
4
5
3
4
5
6
8
10
9
12
15
12
16
20
15
20
25
18
24
30
21
28
35
24
32
40
27
36
45
III) Quadrados mágicos e o teorema de Pitágoras
Referências Bibliográficas:
BOYER, Carl Benjamin. História da matemática; tradução: Elza F. Gomide. São Paulo, Edgar
Blucher, 1974.
EVES, Howard. Introdução à história da matemática / Howard Eves; tradução Hygino H.
Domingues. – Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.
Folhetim de Educação Matemática nos: 78, 79.UEFS.
GUNDLACH, Bernard H. 1992. História dos Números e Numerais – Tradução: Hygino H.
Domingues. São Paulo: Atual.
Revista do Professor de Matemática. Vols. 39, 41 e 51 da Soc. Bras.de Matemática.
Revista de Matemática. Vols. 9, 10 da CG Editora.
Figura 18
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
21
5. OFICINA: CONSTRUINDO POLIEDROS REGULARES COM
ESQUELETOS
Desde a antiguidade são reconhecidos os poliedros regulares, ou seja, poliedros convexos
cujas faces são polígonos regulares iguais e que em todos os vértices concorrem o mesmo
número de arestas. Na última proposição do livro XIII dos “Elementos” de Euclides (cerca de
300 a.C.) prova-se que os poliedros regulares são apenas 5: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o
dodecaedro e o icosaedro.
Tetraedo Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro Figura 19
Estes, freqüentemente são chamados “Poliedros de Platão” ou “sólidos platônicos”
devido à maneira pela qual Platão os aplicou à explicação de fenômenos científicos.
Os gregos acreditavam que havia somente quatro elementos básicos: fogo, terra, ar e água.
Platão relacionou os elementos com os quatro poliedros regulares da seguinte maneira:
Fogo – Tetraedro; Terra – Cubo; Ar – Octaedro; Água – Icosaedro
O fogo foi pensado ser composto de partículas em forma de tetraedro. Para incluir o quinto
sólido regular (dodecaedro), Platão fê-lo símbolo do Universo.
Obs: Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas não vale a recíproca. Ex: tetraedro
cuja face é um triângulo isósceles é de Platão, mas não é regular pois nele o triângulo é eqüilátero.
Objetivo: Construir os Poliedros Regulares de modo mais atrativo e motivador. A
utilização de materiais concretos para a construção de estruturas que representam "esqueletos" de
sólidos geométricos construídos por meio de suas arestas torna a aula de poliedros mais prática e
fácil de visualizar. Os materiais utilizados para as construções são pedaços de canudos de plástico
unidos por meio de um fio de linha e varetas finas de madeira unidas por anéis elásticos. Embora
os "esqueletos" obtidos com as varetas forneçam uma representação grosseira da figura
geométrica, seu uso é indicado devido à sua fácil manipulação, o que permite rapidez na
construção das estruturas.
Nas atividades a seguir, indicaremos por -> o sentido em que a linha deve ser inserida
num canudo vazio e indicaremos por => o sentido em que ela deve ser inserida em um canudo já
ocupado por algum pedaço de linha.
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
22
Atividade 1: Construção de um tetraedro regular
Figura 20
Tome um fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo, construindo um
triângulo e o feche por meio de um nó. Agora, passe o restante da linha por mais dois pedaços de
canudo, juntando-os e formando mais um triângulo.
Finalmente, passe a linha por um dos lados desse triângulo e pelo pedaço que ainda resta,
fechando a estrutura com um só nó. Essa estrutura representa as arestas de um tetraedro regular
e as etapas intermediárias da construção estão representadas na figura acima.
Nas construções das estruturas é importante observar que, para
se dar firmeza aos vértices de uma estrutura, é necessário reforçá-los,
passando o fio de linha mais de uma vez por cada pedaço de canudo,
ligando-o aos outros dois, como na figura ao lado.
Figura 21
Um outro jeito da Atividade 1:
Figura 22
Atividade 2:
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
23
Mostrar os quatro triângulos eqüiláteros das faces do tetraedro.
Atividade 3:
Confirmar que as várias maneiras de ver um tetraedro ou sus projeções sobre um plano
são do desenho:
Figura 23
Atividade 4:
Seguindo o esquema abaixo construa o cubo.
Um outro jeito da Atividade 4:
Com pedaços de canudos da mesma cor construa um cubo de 8 cm de aresta. Para isso,
passe o fio através de quatro canudos e passe a linha novamente por dentro do primeiro canudo,
construindo um quadrado. considerando um dos lados desse quadrado e passando a linha por
Figura 24
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
24
mais três canudos para completar as arestas do cubo. Prenda-os de maneira a completá-lo, como
na figura.
Figura 25
Atividade 5:
Mostrar que, ao contrário do tetraedro, o cubo não fica rígido. Inclinar e mostrar os
losangos das faces.
Observando que a estrutura não é rígida, construiremos suas diagonais
Agora, com pedaços de canudo de cor ( ou diâmetro
diferente da usada para representar as arestas do cubo,
construa uma diagonal em cada face de modo que em cada
vértice que determina a diagonal cheguem mais duas
diagonais. Ao final da construção veremos que construímos
um tetraedro formado por seis diagonais das faces do cubo,
como mostra a figura ao lado.
Figura 26
Atividade 6:
Mostrar os seis quadrados eqüiláteros das faces do cubo.
Atividade 7:
Confirmar que as várias maneiras de ver um cubo ou suas projeções sobre um plano são
os do desenho:
Figura 27
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
25
Atividade 8: Mostrar que, ao contrário do tetraedro, o cubo não fica rígido. Inclinar e mostrar os
losangos das faces.
Atividade 9: Seguindo o exemplo abaixo construa o octaedro, usando pirâmides de
quatro lados.
Figura 29
Podemos construir os poliedros,
fazendo cada face separadamente e ir
amarrando umas às outras, conforme
figura.
Figura 28
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
26
Um outro jeito da Atividade 9:
Figura 30
Com pedaços de canudo e o fio de linha, construa quatro triângulos e os una, dois a dois,
como no esquema apresentado na figura acima.
Atividade 10: Construção de um icosaedro regular
Construa quatro triângulos seguindo o esquema da figura a e os una obtendo uma
pirâmide regular de base pentagonal, como representado na figura b. Repita essa construção,
obtendo mais uma pirâmide. Una cada uma dessas pirâmides através dos vértices das bases por
meio de pedaços de canudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem cinco canudos,
como na figura c.
Figura 31
Atividade 11:
Construir o dodecaedro, da mesma forma que os demais levando em conta que o
polígono é o pentágono.
Referências:
Algumas figuras e atividades foram extraídas da oficina de Poliedros de Canudos de Ernesto
Rosa Neto e da Revista do Professor de Matemática nº 28, pág. 29.
BARBOSA, João Lucas Marques. 1997. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática.
LIMA, Elon Lages.1985. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. nº 8, pg.34; nº 28, pg.29.
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
27
6. POLIEDROS REGULARES: QUANTOS EXISTEM?
Pelo menos três dos cinco sólidos geométricos regulares (tetraedro, cubo, dodecaedro)
foram estudados pelos pitagóricos e os outros dois (octaedro e icosaedro) tornaram-se
conhecidos através de Teaetetus, um amigo de Platão. No entanto, freqüentemente são chamados
“sólidos platônicos” devido à maneira pela qual Platão os aplicou à explicação de fenômenos
científicos.
Qual a razão de serem apenas Cinco os Poliedros Regulares?
Esta pergunta refere ao Teorema – Existem apenas cinco poliedros regulares.
Demonstração: Seja n o número de lados de cada face e seja p o número de arestas que
concorrem em cada vértice. Temos então 2A = nF = pV, ou A = 2
nFe V =
p
nF.
Substituindo na relação de Euler: V– A + F = 2 (vértice – aresta + face), obtemos:
p
nF -
2
nF + F = 2 → F =
pnnp
p
22
4.
Devemos ter 2p + 2n – pn > 0, ou seja 2
2
n
n > p.
n = 3 → F = p
p
6
4→
n = 4 → F = p
p
4
2→ p = 3 → F = 6 (hexaedro)
n = 5 → F = p
p
310
4
→ p = 3 → F = 12 (dodecaedro)
Outra demonstração pode ser feita de forma mais simples e prática que inclusive
pode facilitar a explicação para os alunos em sala de aula, usando apenas polígonos feitos com
cartolina.
Material: cartolina, transferidor, compasso, tesoura e lápis.
Inicialmente construindo poliedros quaisquer, regulares ou não, e unindo-os por um dos
lados perceberemos que são necessários pelo menos três para formar um bico (um ângulo
poliédrico), conjunto formado do vértice e aresta que não estão no mesmo plano.
Podemos também formar um bico com mais de três polígonos, mas, não é possível, por
exemplo, fazer um bico com seis triângulos eqüiláteros, nem com quatro quadrados, nem com
três hexágonos regulares.
p = 3 → F = 4 (tetraedro)
p = 4 → F = 8 (octaedro)
p = 5 → F = 20 (icosaedro)
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
28
Para formar o bico de um poliedro, além de reunirmos pelo menos três polígonos, devemos
cuidar para que a soma dos ângulos internos dos polígonos em torno do bico seja menor que
360º.
Cada ângulo de um triângulo eqüilátero mede 60º. Teremos as seguintes possibilidades:
Nº de triângulos eqüiláteros Soma dos ângulos Poliedros formados
3 180º Tetraedro
4 240º Octaedro
5 300º Icosaedro
6 360º Impossível
Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, então podemos fazer a seguinte união em cada vértice.
Cada ângulo de um pentágono mede 108º. Veja a tabela abaixo:
Nº de pentágonos Soma dos ângulos Poliedro formado
3 324º Dodecaedro
4 432º Impossível
Cada ângulo de um hexágono mede 120º. Juntando três hexágonos a soma dos ângulos
seria 360º, então não é possível nenhum poliedro com faces hexagonais. Similarmente não é
possível nenhum poliedro com faces de sete lados ou mais.
Veremos, como Platão fez a mais de 2000 anos atrás para mostrar que só podem
existir cinco poliedros regulares.
Para isso recortaremos círculos em cartolina e, a partir do centro, marcaremos ângulos
iguais a 60º, 90º, 108º e 120º.
a) Com um ângulo de 60 graus.
Como 6 x 60º = 360º, dá para marcar 6 ângulos de 60º. Cortaremos uma das linhas e
dobraremos as cinco outras. Colocando as faces uma em cima das outras da para verificar que
podemos formar três tipos de bicos:
Um com três arestas
Um com quatro arestas
Um com cinco arestas
Nº de quadrados Soma dos ângulos Poliedro formado
3 270º Cubo
4 360º Impossível
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
29
(Um bico de 6 arestas não existe, pois 6 x 60º = 360º e daria o plano original)
Existe um poliedro regular correspondente a cada um desses bicos? A resposta é sim. Basta
examinar os bicos dos nossos cinco poliedros regulares e constatar que:
O bico de três arestas é o bico do tetraedro regular
O bico de quatro arestas é o bico do octaedro regular
O bico de cinco arestas é o bico do icosaedro regular
b) Com ângulos de 90 graus.
Da mesma maneira dá para marcar quatro ângulos de 90º, já que 4 x 90º = 360º.
Cortaremos uma das linhas e dobraremos as três arestas. Colocando uma face em cima da
outra verificamos que podemos formar um só bico com três arestas. (Um bico de quatro arestas
não existe, pois 4 x 90º = 360º e daria um plano original).
O polígono regular correspondente a esse bico é o cubo.
c) Com ângulos de 108 graus.
Da mesma maneira dá para marcar três ângulos de 108º, já que 3 x 108º + 36º = 324º + 36º
= 360º.
Cortaremos uma das linhas junto do ângulo de 36º e dobraremos as três outras. Colocando
uma face em cima da outra, verificamos que podemos formar um só bico com três arestas (não
existe um bico com quatro arestas, já que 4 x 108º = 432º > 360º)
O poliedro regular que corresponde a esse bico é o dodecaedro regular.
Já encontramos os cinco poliedros regulares conhecidos. Basta, para terminar a
demonstração, mostrar que não pode existir nenhum outro.
Poliedro seguinte é o hexágono regular com o ângulo interno igual a 120º. Como 3 x 120º
= 360º, não podemos formar nenhum bico com ângulo de 120º (pois três ângulos de 120º
formam um plano). Também não poderemos forma nenhum bico cm três ângulos superiores a
120º. Como todos os outros polígonos regulares têm ângulos superiores a 120º fica provado que
não podem existir outros poliedros regulares.
Referências:
BARBOSA, João Lucas Marques. 1997. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática.
LIMA, Elon Lages.1985. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática.
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. nº 8, pg.34; nº 28, pg.29; nº 8.
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
30
7. PLANIFICAÇÃO DOS POLIEDROS REGULARES
Figura 32
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Figura 34
Figura 33
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
31
Hexaedro ou Cubo
Dodecaedro
Planificação do Cubo Figura 37
Figura 36
Figura 35
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
32
8. POLIEDROS REGULARES, SEMI-REGULARES E IRREGULARES
Sabe-se que um plano divide o espaço tridimensional em duas regiões. Admita-se o
poliedro em uma dessas regiões e verifique-se se o mesmo se mantém todo nessa região, qualquer
que seja a face que pertença ao plano. Se isso acontecer, o poliedro chama-se convexo, do
contrário, será côncavo.
Do grego - poly (muitas) + edro (face). Os poliedros fazem parte do pensamento grego,
foram estudados pelos grandes filósofos da antiguidade e tomaram parte nas suas teorias sobre o
universo. Diz-se poliedro todo sólido limitado por polígonos planos. Os polígonos,
chamados faces do poliedro, são colocados lado a lado, não coplanares, definindo um trecho
fechado no espaço. O ângulo entre duas faces é chamado ângulo diedro. Os lados são
chamados arestas do poliedro. Os vértices dos polígonos coincidem com os vértices do poliedro.
As arestas que saem de um mesmo vértice formam um ângulo sólido do poliedro. Os sólidos
geométricos ou poliedros podem ter qualquer configuração desde que fechem um espaço;
criando um volume. Os poliedros são divididos em três grupos:
1 - Os regulares (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro).
2-Os semi-regulares (tetratroncoedro, cuboctatroncoedros, dodecaicositroncoedros, etc.)
3 - Os irregulares (pirâmides e prismas).
1 – OS POLIEDROS REGULARES
São os poliedros cujas faces são polígonos regulares iguais entre si, e cujos ângulos
poliédricos são todos iguais.
A Tabela 1 apresenta uma relação dos poliedros regulares e seus elementos.
Poliedros Regulares Nº de faces por vértice Faces Vértices Arestas
Tetraedro 3 4F3 4 6
Hexaedro 3 6F5 8 12
Octaedro 4 8F3 6 12
Dodecaedro 3 12F5 20 30
Icosaedro 3 20F3 12 30
Os poliedros regulares classificam-se em:
1 - convexos: tetraedro (quatro faces), hexaedro (seis faces), octaedro (oito faces), dodecaedro (doze faces) e icosaedro (vinte faces).
2 - estrelados: dodecaedro e icosaedro.
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
33
OS POLIEDROS REGULARES CONVEXOS
Os poliedros regulares convexos são também conhecidos como platônicos. São assim
chamados por terem sido estudados e divulgados por Platão. São também conhecidos como
regulares, pois todas as faces, ângulos e ângulos entre as faces serem sempre os mesmos.
Veremos a seguir o porquê.
Todo ângulo sólido tem que ter um mínimo de três faces, com ângulos de face cuja
soma seja menor que 360°. Analisando os polígonos regulares vemos que os possíveis geradores
de ângulos sólidos são os de ângulo interno menor que 120°, ou seja: o triângulo (60°), o
quadrado(90°) e o pentágono (108°).
Portanto, os polígonos regulares que formam os cinco poliedros regulares são o triângulo,
o quadrado e o pentágono. Os cinco sólidos platônicos são encontrados na natureza: são as
estruturas das radiarias (plânctons marinhos)
1.TETRAEDRO
Figura 38
O tetraedro é sem dúvida o pai de toda a família de poliedro. A partir dele se fazem
todos os demais. É o primeiro sólido regular, é um sólido nuclear pois não tem uma diagonal
completa.
Figura 39
* Vértices = 4 * Arestas = 6 * Faces = 4 triângulos eqüiláteros * Ângulo diedro = 70°32' * Ângulo central = 109°28' * Altura = 0,8164965 A
* Raio da Insfera = 0,2041 A * Raio da Meiasfera = 0,3536 A * Raio da Circunsfera = 0,6124 A * Superfície = 1,7321 A2 * Volume = 0,1179 A3
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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2. HEXAEDRO OU CUBO
Figura 40
O hexaedro é composto de 6 quadrados. O cubo é um sólido sociável. Ele pode ser aglomerado perfeitamente, isto é, podemos juntar cubos sem que sobrem espaços vazios. É a modulação básica das nossas construções atuais. Isso não quer dizer que seja a maneira mais econômica de aglomeração.
Figura 41
3. OCTAEDRO
O octaedro é composto de seis triângulos eqüiláteros. Pode ser visto como um antiprisma de base triangular, ou como duas pirâmides de base quadrada, acopladas pelas bases.
Figura 42
Vértices = 8 Arestas = 12 Faces = 6 quadrados Ângulo diedro = 90° Ângulo central = 70°32'
Raio da Insfera = 0,5 A Raio da Meiasfera = 0,7071 A Raio da Circunsfera = 0,8660 A Superfície = 6 A2 Volume = A3
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
35
Figura 43
4. DODECAEDRO – o dodecaedro é composto de 12 pentágonos.
Figura 44
Figura 45
Vértices = 12 Arestas = 20 Faces = 12 pentágonos Ângulo diedro = 116°34' Ângulo central = 41°49'
Raio da Insfera = 1,1135 A Raio da Meiasfera = 1,3092 A Raio da Circunsfera = 1,4013 A Superfície = 20,6457 A2 Volume = 7,6631 A3
Vértices = 6
Arestas = 12
Faces = 8 triângulos eqüiláteros
Ângulo diedro = 109°28'
Ângulo central = 90°
Raio da Insfera = 0,4082 A
Raio da Meiasfera = 0,5 A
Raio da Circunsfera = 0,7071 A
Superfície = 3,4641 A2
Volume = 0,4714 A3
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
36
5. ICOSAEDRO
O icosaedro é composto de 20 triângulos eqüiláteros. O icosaedro é usado como base fundamental para geração da ampla maioria das coberturas geodésicas.
Figura 46
Figura 47
Figura 48
SEMI-REGULARES
Também chamado de poliedro arquimediano, é um poliedro convexo constituído por faces regulares (mas de número de lados diferentes) e ângulos sólidos iguais ou simétricos. Estas faces são de dois ou, mesmo, três tipos e os ângulos são triédricos, tetraédricos ou pentaédricos. Uma análise dos polígonos regulares, que combinados, podem formar ângulo sólido, nos leva a concluir que:
1 - cada ângulo sólido tem no máximo três tipos de face; 2 - os de dois tipos de polígono podem ter ângulos sólidos com até cinco arestas; 3 - os de três tipos de polígonos podem ter um máximo de quatro arestas por vértice.
Vértices = 12 Arestas = 30 Faces = 20 triângulos eqüiláteros Ângulo diedro = 138°11' Ângulo central = 63°26'
Raio da Insfera = 0,7558 A Raio da Meiasfera = 0,8090 A Raio da Circunsfera = 0,9511 A Volume = 7,6631 A3 Superfície = 20,6457A2
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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TABELA 2: Poliedros semi-regulares e seus elementos.
Terminologia Moderna Terminologia Antiga Face Face Face Faces Vértices Arestas
Poliedros com dois tipos de faces
Ângulos sólidos triedros
Triaexagonal (4346) Troncotetraedro 4F6 4F3 - 8 36 24
Tetraesagonal (6486) Troncoctaedro 8F6 6F4 - 14 36 24
Pentaexagonal (126206) Troncoicosaedro 12F5 20F6 - 32 90 60
Triatogonal (8368) Troncocubo 6F8 8F3 - 14 36 24
Triadecagonal (2031210) Troncododecaedro 20F10 12F3 - 32 90 60
Ângulos sólidos quadraedros
Triatetragonal (83184) Rombicuboctaedro 18F4 8F3 - 26 48 24
Triatetragonal (8364) Cuboctaedro 8F3 6F5 - 14 24 12
Triapentagonal (203125) Icosidodecaedro 20F3 12F5 - 32 60 90
Ângulos sólidos pentaedros
Triatetragonal (32364) Cubo achatado / rombo
32F3 6F4 - 38 60 24
Triapentagonal (803125)
Dodecaedro achatado / rombo 80F3 12F5 - 92 150 60
Poliedros com três tipos de faces
Ângulos sólidos triedros
Triaexagonal (4346) Troncocuboctaedro 12F4 8F6 6F8 26 72 48
Tetradecapentagonal(3042061210) Troncoicosidodecaedro 30F4 20F6 12F10 62 180 120
Ângulos sólidos quadraedros
Triatetrapentagonal (203304126) Rombicosidodecaedro 30F4 20F3 12F5 62 120 60
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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OS EQUIANGULARES
São poliedros que têm todos os ângulos sólidos iguais entre si, mas as faces não são todas iguais. São gerados pelo truncamento dos 5 poliedros regulares.
Em número de 13 eles se originam:
- 1 do truncamento do tetraedro - t e t r a t r o n c o e d r o -
- 6 do truncamento do cubo ou tetraedro - c u b o c t a t r o n c o e d r o s -
- 6 do truncamento do dodecaedro ou Icosaedro-
d o d e c a i c o s i t r o n c o e d r o s-
Com dois tipos de faces e ângulos
sólidos triedros
Troncotetraedro (tetraedro truncado)
Figura 49
Troncoctaedro (octaedro truncado)
Figura 50
Troncoicosaedro (icosaedro truncado)
Figura 51
Troncocubo (cubo truncado)
Figura 82
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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Troncododecaedro (dodecaedro truncado)
Figura 83
Com dois tipos de faces e ângulos sólidos quadraedros
Rombicuboctaedro
Figura 84
Cuboctaedro (é a intersecção do Cubo como o Octaedro)
Figura 85
Icosidodecaedro ou dodecaicosaedro
Figura 86
Com dois tipos de faces e ângulos sólidos pentaedros
Cubo achatado/rombo ou cuborrombo (snub-cubo)
Figura 87
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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Dodecaedro achatado/rombo ou dodecaedrorrombo(snubdodecaedro)
Figura 88
Com três tipos de faces e ângulos sólidos triedros
Troncocuboctaedro (cuboctaedro truncado)
Figura 89
Troncoicosidodecaedro (icosidodecaedro truncado)
Figura 82 Figura 82
Figura 90
Com três tipos de faces e ângulos sólidos quadraedros
Rombicosidodecaedro
Figura 91
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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OS EQUIFACIAIS
São poliedros que têm todas as faces iguais entre si, mas os ângulos sólidos não são todos iguais.
Em número de 13 eles se originam:
- 1 do truncamento do tetraedro - t e t r a t r o n c o e d r o -
- 6 do truncamento do cubo ou tetraedro - c u b o c t a t r o n c o e d r o s -
- 6 do truncamento do dodecaedro ou Icosaedro - d o d e c a i c o s i t r o n c o e d r o s -
Existem ainda, as pirâmides duplas e os trapezoedros.
4 – OS IREGULARES
São todos os poliedros que não admitem lei de geração que os caracterize com perfeição.
a) PIRÂMIDES
Pirâmide é o poliedro resultante da interseção de um ângulo sólido por um plano inclinado às arestas.
Pode também ser vista como o resultado da ligação dos vértices de um polígono a um ponto fora do plano do polígono.
A pirâmide dita regular tem por base um polígono regular. É chamada reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base. Caso contrário é oblíqua.Quando as faces são triângulos eqüiláteros a pirâmide é regular eqüilátera.
b) PRISMAS
Os prismas são os sólidos geométricos que ficam definidos quando um feixe de paralelas não coplanares é cortado por dois planos.
Quando os planos não são paralelos fica dito que a figura é um "Tronco de prisma".
Os planos são chamados de "bases" e as paralelas são as "arestas laterais".
Pode também ser visto como a figura gerada por um polígono qualquer que se desloca segundo uma reta. Quando a reta é perpendicular ao plano do polígono diz-se que o prisma é
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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reto. Caso contrário diz-se que é oblíquo.
O polígono da base pode ser qualquer, e se for convexo, o prisma também é convexo.
As faces laterais podem ser paralelogramos, retângulos ou quadrados.
Quando o polígono da base é regular e as faces são quadrados o prisma é dito "arquimediano", por ser uma figura semi-regular. O prisma arquimediano de base quadrada é o cubo.
Outros prismas especiais são os chamados paralelepípedos, de bases e faces laterais retangulares as faces opostas são iguais entre si e todos os ângulos diedros são retos.
c) ANTI-PRISMAS
Quando ligamos os vértices de dois polígonos não coplanares, de modo a definir triângulos entre eles, formam-se poliedros conhecidos por:
1. ANTIPRISMÓIDES – quando os polígonos não têm mesmo número de lados. 2. ANTIPIRAMÓIDES – Quando um dos polígonos é substituido por um segmento de
reta. 3. TRONCO-ANTIPRISMAS – Quando os polígonos têm mesmo número de lados e
não são de planos paralelos 4. ANTIPRISMAS – Quando os polígonos têm mesmo número de lados e estão em
planos paralelos.
BIBLIOGRAFIA
LOTUFO, Vitor Amaral e LOPES, João Marcos de Almeida (1982). Geodésicas & CIA. São Paulo: Projeto editores associados. Ltda.
MARTINEZ, Emilio Diaz. Poliedros Semirregulares - I Parte - Poliedros Equiangulos. Sevilla Escuela Tecnica Superior de Arquitectura de La Universidad de Sevilla.
SÁ, Ricardo Cunha da Costa e (1982). Edros. São José dos Campos.
SCHATTSCHNEIDER, Dóris e WALKER, Wallace (1991). Caleidociclos de M. C. Escher. Köln : Benedikt Taschen Verlag GmbH
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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9. PROBLEMAS DE MATEMÁTICA (Anotados por Eridan da C. S. Maia)
01) Extraído de “ O homem que calculava” de Malba Tahan. Um navio que voltava do Ceilão,
trazendo grande partida de especiarias, foi assaltado por violenta tempestade. A embarcação
teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três
marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia. O
comandante, querendo recompensar os denodados marujos, deu-lhes certo número de
moedas. Esse número, superior a duzentos, não chegava a trezentos. As moedas foram
colocadas numa caixa para que no dia seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as
repartisse entre os três corajosos marinheiros. Aconteceu, porém, que, durante a noite, um
dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou: “Será melhor que eu tire a
minha parte. Assim não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos”. E, sem
nada dizer aos companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro,
dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata e que sobrava uma
moeda. “Por causa desta mísera moedinha é capaz de haver amanhã discussão e rixa. O
melhor é jogá-la fora.” E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-se cauteloso.
Levava a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros. Horas depois o
segundo marinheiro teve a mesma idéia. Foi à arca em que se depositara o prêmio coletivo e
dividiu-o em três partes iguais. Sobrava uma moeda. Ao marujo para evitar futuras dúvidas,
veio à lembrança atirá-la ao mar. E dali voltou levando consigo a parte a que se julgava com
direito. O terceiro marinheiro, ignorando, por completo, a antecipação dos colegas, teve o
mesmo alvitre. Levanto-se de madrugada e foi, pé ante pé, à caixa das moedas. Dividiu as
moedas que lá encontrou em três partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou uma moeda.
Não querendo complicar o caso, o marinheiro atirou no mar a moedinha excedente, retirou
a terça parte para si e voltou tranqüilo para o seu leito. No dia seguinte, na ocasião do
desembarque, o almoxarife do navio encontrou um punhado de moedas na caixa. Soube que
essas moedas pertenciam aos três marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada
um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez a divisão não foi exata. Sobrava uma
moeda, que o almoxarife guardou como paga do seu trabalho e de sua habilidade. É claro
que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava convencido de que já
havia retirado da caixa a parte que lhe cabia das moedas. Pergunta-se, afinal: quantas eram as
moedas e com quantas moedas ficou cada um dos marujos?
02) Um macaco caiu num buraco de 20 metros de profundidade, as duas horas de uma fatídica
madrugada. Depois de passar uma hora refazendo-se do susto, começou a subir para sair do
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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maldito buraco. Acontece que, devido a sua massa e as paredes escorregadias, ele conseguia
em uma hora subir continuamente 5 metros, dava uma pequena parada e escorregava 4
metros, retomando imediatamente a subida. A velocidade do escorregamento é o quíntuplo
da velocidade de subida. A que horas o macaco conseguiu sair do buraco?
03) Uma pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas.
Por isso, pagou a mais a importância de R$270,00. Sabendo que os dois algarismos (dezena:
centena) estão entre si como 1 está para 2, determine o algarismo, no cheque, que foi escrito
na casa das dezenas.
04) Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e, depois de retirar 4
garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00, vende pelos mesmos R$ 1.000,00. Qual é
o número original de garrafas de vinho na caixa?
05) Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos quatro
anos. Daqui a cinco anos a soma de nossas idades será 82 anos. Quantos anos eu tenho?
06) Um sábio questionado sobre sua família respondeu: o número de irmã os que tenho é igual
ao dobro do número dos meus netos menos um. Cada filho me deu dois netos e somando
meus irmãos, meus filhos e meus netos obtém-se 19. Determinar a quantidade de irmãos,
filhos e netos do sábio.
07) Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o
seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada rolante juntas, uma subindo um degrau
de cada vez enquanto que a outra subia dois. Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21
degraus enquanto o outro 28. Quantos degraus são visíveis na escada rolante?
08) Numa estante existem dez livros de cem folhas cada, organizados, formando uma coleção.
Uma traça estraçalhou desde a primeira folha do primeiro livro até a última folha do último
livro. Quantas folhas danificou?
09) Se um galo vale 5 reais, uma galinha vale 3 e três frangos valem 1, quantos de cada um se
podem comprar com 100 reais, de modo que sejam 100 aves ao todo e pelo menos 1 de
cada tipo?
10) Determine o menor número natural tal que a divisão por 2 tenha resto 1, a divisão por 3 resto
2, a divisão por 4 resto 3, a divisão por 5 resto 4, a divisão por 6 resto 5 e a divisão por 7 é
exata.
11) Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco de trás. Calcule
o número de alternativas distintas para lotar o automóvel utilizando 7 pessoas, de modo que
uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente.
12) Sejam 3 dígitos x, y e z, diferentes entre si, valendo de 0 a 9. Qual o valor de x, y e z para que
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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valha a igualdade: xx + yy + zz = xyz Obs.: xx, yy, zz e xyz são números e não produtos.
13) Em uma prisão haviam 3 presos. O dono da prisão resolve conceder a liberdade a um deles,
e propõe o seguinte:
- “Tenho aqui 5 bonés: 3 azuis e 2 amarelos. Inicialmente, quero que vocês fiquem os 3 ali-
nhados, um na frente do outro, de forma que o ultimo de trás pode ver os da frente; o do
meio pode ver somente o da sua frente e o da frente não pode ver nenhum dos outros dois.
Em seguida, vou colocar um boné, aleatoriamente, na cabeça de cada um de vocês, sem que
vocês vejam. Aquele que adivinhar a cor do boné que está usando será libertado!”
Após os 3 serem colocados um na frente do outro, os dois de trás até riram do coitado que
ficara na frente, pois ele não conseguia ver o boné de ninguém, e consequentemente não
teria a mínima chance!!! Em seguida, foi feita a pergunta para o ultimo da fila:
- “Qual a cor do seu boné?”
- “Embora esteja vendo os bonés dos meus 2 companheiros, minha resposta infelizmente é:
Não sei!”
Foi feita então a pergunta para o do meio:
- “Qual a cor do seu boné?”
- “Não sei!”
Foi feita então a pergunta para o da frente, que não estava vendo nada:
- “Qual a cor do seu boné?”
- “Eu sei! E serei libertado!”
Qual a cor do boné do felizardo que foi libertado?
14) Um granjeiro, ao ser perguntado quantos ovos as galinhas haviam posto naquele dia,
respondeu: Não sei, mas, contando de dois em dois, sobra um; contando de três em três,
sobra um; contando de cinco em cinco, sobra um; porém, contando de sete em sete não
sobra nenhum. Qual o menor número possível de ovos que as galinhas haviam posto?
15) Três mulheres estão na fila da padaria , a primeira compra 5 pãezinhos, 2 litros de leite e um
pacote de pó de café gastando R$ 6,20. A segunda gasta R$ 9,80 para comprar 6 pãezinhos,
2 litros de leite e 2 pacotes de pó de café. Quanto a terceira mulher gastou para comprar 8
pãezinhos, 3 litros de leite e 2 pacotes de pó de café?
16) Sejam 3 dígitos x, y e z, diferentes entre si, valendo de 0 a 9. Qual o valor de x, y e z para que
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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valha a igualdade: xyz=x.y.z.5 Obs.: O número xyz deve ser igual ao produto do 2º membro.
17) Dois mercadores de vinho conduzindo 64 e 20 barricas respectivamente chegam à fronteira.
Como não tivessem dinheiro suficiente para pagar todo o imposto, combinaram com o
agente alfandegário o pagamento em barricas. Sabendo-se que o primeiro pagou 5 barricas
mais 40 reais e o segundo 2 barricas recebendo uma diferença de 40 reais, pergunta-se qual o
valor de cada barrica e o imposto correspondente.
18) Ao morrer uma pessoa chega numa sala com duas portas, uma que leva para o céu e outra
que leva para o inferno. Não é possível identificar qual porta leva a qual lugar, porém a
frente de cada uma delas tem um guardião. A pessoa sabe que um dos guardiões só diz a
verdade e o outro só diz mentiras e que ela tem direito a fazer uma única pergunta para
apenas um deles. Qual deve ser a pergunta para que a pessoas saiba com certeza qual porta
levará para o céu?
19) Escrevendo todos os números inteiros de 1 a 1111, quantas vezes o algarismo 1 é escrito?
20) Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre dá 8 pulos.
Porém, 2 pulos de cachorro equivalem a 5 pulos de lebre. Sendo a distância entre os dois
igual a 36 pulos de cachorro, qual deve ser o número de pulos que o cachorro deve dar para
alcançar a lebre?
21) Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu
tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades valerá 63. Que idades temos hoje?
22) Um homem estressado demora 28 segundos para chegar ao andar superior, subindo por uma
escada rolante. Para tanto, ele sobe 31 degraus com suas próprias pernas, como se estivesse
numa escada normal. Já uma ofegante senhora, na mesma escada, demora 35 segundos,
subindo 22 degraus com suas próprias pernas. Quantos degraus têm a escada?
23) O capim cresce no pasto com igual rapidez e espessura. Sabe-se que 70 vacas o comeriam em
24 dias e 30 vacas em 60 dias. Quantas vacas comeriam todo capim em 96 dias?
24) A revolta dos Tuaregs: os Ben Azouli, a terrível tribo dos tuaregs do Oásis de Abismalah, tem
o seu acampamento localizado a 45 km a oeste de Taqba. Os Ben Azouli estão indignados
com o governo de seu país, que decidiu construir uma ferrovia, a Trans-zadramath,
cruzando as terras dos Ben Azouli, e ligando Taqba a Mequiba, esta última cidade situada a
60 km. ao norte do Oásis de Abismalah. Achrmed Ben Achmed, o Xeique dos Ben Azouli
decide dinamitar a ferrovia e a frente de seus temíveis guerreiros, parte na calada da noite
em direção ao "caminho de ferro", seguindo a menor distância. Se os camelos dos Ben
Azouli conseguem deslocar-se no deserto a apenas 18 krn/dia, quantos dias levarão os
Tuaregs para chegar até a ferrovia e dinamitá-la?
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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25) Caio gastou todo o dinheiro que tinha no bolso em quatro lojas. Em cada uma gastou um real
a mais do que a metade do que tinha ao entrar na loja. Quanto dinheiro Caio tinha ao
entrar na primeira loja?
26) Numa sala estão 200 pessoas, das quais 99% são homens. Quantos homens devem deixar a
sala para que a percentagem de homens na sala passe a ser de 98%?
27) Uma torneira enche um tanque em 4 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 horas.
Estando o tanque cheio, abrimos simultaneamente a torneira e o ralo. Supondo ambas as
vazões constantes, o tanque estará vazio em quanto tempo?
28) O célebre senador romano corrupto nasceu em 1º. de abril de 45 a.C. e morreu em 1º. de
abril de 45 d.C. Qual a sua idade quando morreu?
29) Existem cinco botes numa margem de um rio; seus nomes são um, três, seis, oito e doze, porque
essas são as quantidades de minutos que cada um deles demora para cruzar o rio. Pode-se
atar um bote a outro, porém não mais de um, e então o tempo que demoram em cruzar é
igual ao do mais lento dos botes. Um só barqueiro deve levar todos os botes até a outra
margem do rio. Mostre como é possível o barqueiro atravessar os cinco botes em 29
minutos.
RESPOSTAS
01) 241 moedas; mar. 1 = 103, 2 = 76, 3 = 58 e 3 jogadas no mar e uma com o almoxarife.
02) O macaco saiu do buraco as 21 horas e 24 minutos
03) O algarismo na casa das dezenas foi o 3.
04) 24 garrafas
05) 40 anos
06) 10 irmãos, 3 filhos e 6 netos
07) 42 degraus
08) 802 folhas
09) 4 galos, 18 gal. e 78 frangos; 8 galos, 11 gal. e 81 frangos e 12 galos, 4 galinhas e 84 frangos.
10) 119
11) 1800 maneiras
12) xyz = 198
13) azul
14) 91 ovos
15) A terceira mulher gastou R$ 11,10
16) xyz = 175
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
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17) Cada vale 110 reais (se obtiver 120 está errado!) – Cada barrica pagou 10 reais de imposto.
18) Se eu perguntasse ao seu colega: qual a porta do céu o que ele responderia?
19) 448
20) R. 100
21) R. Eu = 28 anos, Tu = 21 anos
22) R. 67 degraus
23) 20 vacas comerão todo o capim em 96 dias.
24) R. 36 km
25) R. 30
26) R. 100
27) R. 12 horas 28) R. 89 anos
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10. ÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS
O que é uma área? É a medida de quantas unidades-padrão (quadrado de lado 1) cabem
na figura.
Na ilustração abaixo, encontrar a área de cada figura significa saber quantos quadradinhos de uma unidade de área cabem dentro de cada uma delas.
.
Na primeira figura, vemos que há exatamente seis quadradinhos dentro dela, portanto sua
área é de seis unidades.
Já a segunda figura contém seis quadradinhos completos e outros pedaços que recortados
e colados adequadamente, formam mais quatro quadradinhos. Assim, sua área completa é de dez
unidades de área.
Finalmente a terceira figura apresenta sete quadradinhos completos e outros pedaços que
recortados e colados adequadamente, formam mais dois e meio quadradinhos. Assim, sua área
completa é de nove e meio unidades de área.
Veja que, dependendo da figura analisada, esse processo de encaixar partes e contar o
número de quadradinhos resultantes poderá ser bem complicado.
Usando a malha quadriculada de 1 cm2 e as figuras geométricas, preencha a tabela:
Figura
nº:
Nome da
Figura
A) Quantidade de quadrinhos na vertical
B) Quantidade de quadrinhos na horizontal
C) Quantidade total de quadrinhos da figura
Que nome se dá à quantidade de quadrinhos que cabem em uma figura plana?
Que relação existe entre as colunas A, B e C?
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
50
Abaixo vejamos as expressões das áreas de algumas figuras:
b
Retângulo Área: b.h Leitura: base x altura
Quadrado Área: L 2 Leitura: base x altura
Paralelogramo Área: b.h Leitura: base x altura
Triângulo
a) Área: 2
h.b
b) Área = )cp)(bp)(ap(p (Fórmula de Herão) p é o semiperímetro
c) Área = p.r (Fórmula: dada a circunferência inscrita)
d) Área = r.
c.b.a
4 (Fórmula: dada a circunferência circunscrita)
e) Área = 2
1.b.c. sen α (Fórmula: conhecido um ângulo α qualquer)
f) Área = 2
1.| det D | (Fórmula: dada pela geometria analítica)
D= matriz formada com as coordenadas dos pontos dos vértices do triângulo e com uma fila
composta pelo número um.
Losango Área: 2
d.D
L
h
h
b
b
h
b
d
D
v
Figura 92
Figura 93
Figura 95
Figura 96
Figura 97
Figura 94
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
51
Trapézio
Figura 98
Área: 2
h).bB(
Agora vejamos outra alternativa – a Fórmula de Pick, a qual mostra como calcular a
área de um polígono, isto é, uma figura plana formada por lados retos, por meio de uma
abordagem interessante.
O que Pick criou foi um modo de relacionar a área com os pontos que formam o
contorno da figura, e os que ficam no seu interior.
Assim, vamos apresentar na forma de tabela, essas características para cada figura
anterior. Depois desenhe na malha plana quadriculada que se encontra em anexo, ou então no
papel milimetrado ou no geoplano, outros polígonos, e complete a tabela.
Figura Pontos de Contorno Pontos Interiores Número de quadradinhos = Área
1 10 2 6
2 8 7 10
3 11 5 9,5
4
5
6
A idéia agora é encontrar uma conta usando os números de pontos de contorno, o
número de pontos interiores, e que nos forneça a área de cada figura. É claro que essa conta,
para se tornar uma fórmula, precisa ser sempre a mesma, mudando-se apenas os números
utilizados no cálculo de cada uma delas.
Tente descobrir a conta, ou seja, a Fórmula de Pick, por meio de tentativas e/ou
experimentações.
Também é claro que o raciocínio empregado para se encontrar essa fórmula, precisa ser
provado. Essa fórmula (teorema) foi demonstrada em 1899 pelo matemático vienense Georges
Alexander Pick. Área = (Pontos de contorno : 2) + (Pontos interiores) – 1.
Como aplicação da fórmula de Pick, temos na engenharia florestal a área de uma região
com árvores distribuídas regularmente.
Continuação das expressões das áreas de algumas figuras:
Polígono regular de n lados – a região pode ser decomposta em n regiões limitadas por
triângulos eqüiláteros. Em cada um desses triângulos, a base é o lado (l) e a
altura é o apótema (a) do polígono regular. Assim Área = n 2
.al =
2
nl.a
= p.a. Apótema é o raio do círculo inscrito em um polígono regular.
o a
L
b
h
B
Figura 99
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
52
Polígono qualquer
Para um polígono qualquer, o processo de calcular sua área consiste em
subdividi-lo em triângulos, quadriláteros, ou qualquer outras figuras cujas áreas
sabemos calcular. A área do polígono procurado será a soma das áreas das
figuras em que o compusemos.
Círculo Fórmula: π . r 2 Leitura: produto de pi pelo quadrado do raio
Elipse
Fórmula: π .a .b Leitura: produto de pi pelo produto
dos semi-eixos
Setor Circular
Fórmulas: o
2
360
.r. , sendo α em graus;
A = 2
r. 2, sendo α em radianos ou A =
2
r.l
Coroa Circular
Fórmula: π.(R 2– r 2) Leitura: produto de pi pela diferença dos
quadrados dos raios
Atividade 1: Usando dobradura mostre a área do triângulo.
Atividade 2:
Recorte 8 retângulos (base 18 e altura 12cm), 2 trapézios (base 18 e altura 12cm) e 1 triângulo
(base 18 e altura 12cm).
a) Utilizando 1 retângulo de cada vez mostrar as áreas das figuras: paralelogramo, triângulo,
losango, trapézio e quadrado.
b) Se possível, faça a atividade anterior de outra maneira.
c) Mostre que as áreas das figuras são equivalentes: Trapézio = triângulo; Trapézio = 2 triângulos;
Triângulo retângulo = retângulo.
r
α l
o
r
b
a a
b
Figura 100
Figura 101
Figura 102
Figura 103
Figura 104
R
r
Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia
53
Atividade 3: Um fazendeiro pretende cercar um terreno retangular para a criação de jumentos,
contando com um rio que passa na sua propriedade como um dos lados do retângulo. Para tanto,
dispõe de 180 metros de cerca. Para que se tenha a maior área possível, quais devem ser as
dimensões do terreno? Nesse caso qual a área máxima? R. 45, 90 e 4050.
Atividade 4: Pode-se construir um quadrilátero cujos lados medem a) 1, 2 , 2, 10 cm?
b)2, 2, 5 , 3 cm? Em caso positivo, ache a área. Faça no geoplano e depois algebricamente.
Atividade 5: Encontre todos os retângulos cujos lados tenham por medida números inteiros e
que tenham área e perímetro numericamente iguais.
Atividade 6: Demonstrar a Fórmula de Herão. Dica: use a lei dos cossenos.
Atividade 7: Como um fazendeiro pode dividir três quartos de seu terreno quadrado entre seus
quatro filhos de modo que cada filho receba porção de mesmo tamanho e forma?
Atividade 8: Demonstrar a Fórmula de Pick.
Atividade 9: Para medir um terreno os agrimensores usam o seguinte método:
a) atribui coordenadas a cada vértice. b) calcula a soma dos produtos cruzados
descendentes; c) calcula a soma dos produtos cruzados ascendentes;
d) calcula a semi-diferença destes produtos.
Este resultado é a área da figura. Procure uma justificação para este método. Ex.
Pontos A B C D E A 42
2331A
x 2 3 4 2 1 2
y 1 2 2 4 2 1
Atividade 10: A área de um triângulo é dada pela forma A = (a 2 + b 2) / 4 onde a e b são dois de
seus lados. Determine os ângulos do triângulo.
Referências Bibliográficas:
EVES, Howard. Introdução à história da matemática / Howard Eves; tradução Hygino H.
Domingues. – Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.
Consulta entre números da Revista do Professor de Matemática – S B M.