notas de aula_geometria_riemanniana_rodney josué biezuner

Notas de Aula

Geometria Riemanniana

Rodney Josue Biezuner 1

Departamento de MatematicaInstituto de Ciencias Exatas (ICEx)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula do curso Geometria Riemanniana do Programa de Pos-Graduacao em Matematica.

27 de abril de 2015

1E-mail: [email protected]; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.

Sumario

0 Introducao 30.1 Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2 Vetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.2.1 Derivadas Direcionais de Curvas Diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.2 Derivacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.2.3 O Espaco Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.2.4 Diferencial de uma Aplicacao Diferenciavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.3 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.3.1 Diferencial em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.4 Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.5 Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.6 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.7 Colchetes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 Tensores 181.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 Mudanca de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.1 Mudanca de Coordenadas em Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.2 Mudanca de Coordenadas no Espaco Tangente TpM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Covetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1 Covetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 O Espaco Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.3 Covetores Tangentes em Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2 Produto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.3 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.4 Traco de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Fibrados Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6 Campos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Metricas Riemannianas 352.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Comprimentos e Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.1 Comprimentos de Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2 Volumes em Variedades Riemannianas Orientaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Grupos de Lie e Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1


3 Conexoes Riemannianas 493.1 Conexoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Conexoes Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Geodesicas 614.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Exemplos de Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3 Fluxo Geodesico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4 A Aplicacao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5 Propriedades Minimizantes das Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.6 Vizinhancas Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.7 Funcao Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.8 Variedades Completas e Teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Curvatura 815.1 Mais sobre Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.1 O Endorfismo Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2.2 Operacao de Subir ou Descer um Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2.3 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3 Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.4 Curvatura Seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5 Variedades de Curvatura Seccional Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.6 Derivada Covariante de Campos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6 Campos de Jacobi 1206.1 A Equacao de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.2 Calculo de Campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.3 Velocidade de Afastamento das Geodesicas e Curvatura Seccional . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.4 Pontos Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7 Imersoes Isometricas e Subvariedades Riemannianas 1337.1 A Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.2 Equacoes Fundamentais de uma Imersao Isometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.3 Hiperfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.4 Imersoes Totalmente Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8 Formulas de Variacao 1418.1 Formula da Primeira Variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.2 Formula da Segunda Variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.3 Geodesicas nao minimizam apos passarem por pontos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Capıtulo 0

Introducao

0.1 Variedades Riemannianas

0.1 Definicao. Seja M um espaco topologico de Hausdorff com base enumeravel. Um atlas de dimensaon para M e uma famılia

Φ = φα : Uα −→Mα∈A

de aplicacoes contınuas tais que φα : Uα −→ φα (Uα) e um homeomorfismo de um aberto Uα ⊂ Rn

sobre um aberto φα (Uα) de M para cada α ∈ A, satisfazendo as seguintes condicoes:

(i) Os abertos φα (Uα) cobrem M , isto e, ∪α∈A

φα (Uα) =M.

(ii) Para todos ındices α, β ∈ A tais que Vαβ = φα (Uα) ∩ φβ (Uβ) = ∅, as aplicacoes

φαβ = φ−1β φα : φ−1

α (Vαβ) −→ φ−1β (Vαβ) ,

φβα = φ−1α φβ : φ−1

β (Vαβ) −→ φ−1α (Vαβ) ,

sao diferenciaveis de classe C∞.

Cada aplicacao φα e chamada uma parametrizacao ou carta local de uma vizinhanca de M eφα (Uα) e chamada uma vizinhanca coordenada.

Se p = φα (x1, . . . , xn), entao x1, . . . , xn sao chamad as as coordenadas de p na parametrizacao φα.Por este motivo, a aplicacao φα tambem e chamada um sistema de coordenadas locais e o atlas Φe tambem chamado um sistema de coordenadas para M .

Uma estrutura diferenciavel para M e um atlas maximal.

Uma variedade diferenciavel de dimensao n e um espaco topologico de Hausdorff com base enu-meravel munido de uma estrutura diferenciavel.

Observe que o que definimos como variedade diferenciavel tambem e chamado de variedade suave em outroslugares. Tambem denotaremos as vezes uma variedade diferenciavel M de dimensao n por Mn quando fornecessario especificar a dimensao da variedade.

0.2 Definicao. Sejam Mm e Nn variedades diferenciaveis. Dizemos que uma aplicacao F : M −→ N euma aplicacao diferenciavel em p ∈M se existem parametrizacoes φ : U −→M de uma vizinhancade p e ψ : V −→ N de uma vizinhanca de F (p) tais que (F φ) (U) ⊂ ψ (V ) e

ψ−1 F φ : U ⊂ Rm −→ Rn

3


e uma aplicacao diferenciavel de classe C∞. Se f for diferenciavel em todo ponto p ∈ M , diremossimplesmente que F e uma aplicacao diferenciavel.

Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N e um difeomorfismo se F e bijetiva e F−1

tambem e diferenciavel.

0.3 Exemplo. Uma curva diferenciavel em uma variedade diferenciavel M e uma aplicacao diferenciavelγ : I −→M onde I ⊂ R e um intervalo aberto.

0.2 Vetores Tangentes

Para definir a nocao de espaco tangente a uma variedade, consideremos primeiro como definir a nocao devetor tangente a um ponto em uma variedade. Esta nocao nao e obvia, ja que uma variedade e um espacoabstrato que nao se encontra em princıpio imerso em um espaco ambiente, ou seja, em um espaco euclidiano,onde operacoes diferenciais e vetoriais sao naturais. Portanto, precisamos procurar uma caracterıstica devetores tangentes em espacos euclidianos que independa do espaco ambiente. Faremos isso de duas maneirasequivalentes.

0.2.1 Derivadas Direcionais de Curvas Diferenciaveis

Quando γ : I −→ Rn e uma curva diferenciavel em um espaco euclidiano, com γ (t0) = p e γ′ (t0) = v,escrevendo em coordenadas

γ (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) ,

temos queγ′ (t) = (x′1 (t) , . . . , x

′n (t)) ,

e em particularv = γ′ (t0) = (x′1 (t0) , . . . , x

′n (t0)) .

Se f : Rn −→ R e uma funcao diferenciavel em p, entao a derivada direcional de f em p na direcao de v edada pela regra da cadeia por

(f γ)′ (t0) = df (γ (t0)) γ′ (t0) =

n∑i=1

∂if (p)x′i (t0) =

[n∑

i=1

x′i (t0) ∂i

]f (p) ,

o que significa que a derivada direcional na direcao de v pode ser vista como um operador linear sobre funcoesdiferenciaveis que depende apenas do vetor v.

0.4 Definicao. Seja γ : I −→M uma curva diferenciavel com γ (t0) = p. Seja

Dp (M) = f :M −→ R : f e diferenciavel em p

o espaco vetorial das funcoes reais em M diferenciaveis em p. O vetor tangente a curva γ em p e afuncao γ′ (t0) : Dp (M) −→ R definida por

γ′ (t0) f = (f γ)′ (t0) .

0.5 Proposicao. O vetor tangente γ′ (t0) : Dp (M) −→ R e um funcional linear e o conjunto dos vetorestangentes a um ponto p ∈M formam um espaco vetorial real n-dimensional.


Prova: Seja φ : U −→ M uma parametrizacao de uma vizinhanca de p, com φ (x) = p. Se γ : I −→ M euma curva diferenciavel com γ (t0) = p e f ∈ Dp, entao

γ′ (t0) f = (f γ)′ (t0) =(f φ φ−1 γ

)′(t0) = d (f φ) (x)

(φ−1 γ

)′(t0) =

n∑i=1

∂i (f φ) (x)x′i (t0) ,

onde denotamos(φ−1 γ

)′(t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) em coordenadas locais. Segue desta expressao para

γ′ (t0) f em coordenadas locais e das propriedades de linearidade da diferenciacao em Rn que γ′ (t0) :Dp (M) −→ R e um funcional linear.

Para mostrar que o conjunto dos vetores tangentes a um ponto formam um espaco vetorial, precisamosmostrar que combinacoes lineares de vetores tangentes sao vetores tangentes (embora combinacoes linearesde funcionais lineares sejam sempre funcionais lineares, nada garante em princıpio que um tal funcionallinear e um vetor tangente). Melhor ainda, mostraremos que todo vetor tangente e a combinacao linear den vetores tangentes γ′1 (t0) , . . . , γ

′n (t0) que portanto geram todo o espaco vetorial dos vetores tangentes e

que, alem disso, qualquer combinacao linear dos vetores tangentes γ′1 (t0) , . . . , γ′n (t0) e um vetor tangente;

em outras palavras, γ′1 (t0) , . . . , γ′n (t0) formarao uma base para este espaco vetorial. De fato, reescrevendo

a expressao local para γ′ (t0) f na forma

γ′ (t0) f =n∑

i=1

x′i (t0) ∂i (f φ) (x) ,

denotando por B = e1, . . . , en a base canonica de Rn, notamos que

∂i (f φ) (x) = limt→0

(f φ) (x+ tei)− (f φ) (x)t

= (f γi)′ (t0) = γ′i (t0) f,

onde γi e a curva diferenciavel γi : Ii −→M definida por

γi (t) = φ (x+ tei) ,

sendo Ii um intervalo aberto em torno de t0 tal que x+ tei ∈ U para todo t ∈ Ii. Reciprocamente, se v e ofuncional linear

v =n∑

i=1

αiγ′i (t0) ,

entao v e o vetor tangente a curva γ em p definida por

γ (t) = φ

(x+ t

(n∑

i=1

αiei

)).

0.6 Proposicao. (Regra do Produto) O vetor tangente vp : Dp −→ R satisfaz a propriedade

vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .

Prova: Seja γ : I −→M uma curva diferenciavel com γ (t0) = p. Entao

γ′ (t0) (fg) = ((fg) γ)′ (t0) = [(f γ) (g γ)]′ (t0)= (f γ)′ (t0) (g γ) (t0) + (f γ) (t0) (g γ)′ (t0)= [γ′ (t0) f ] g (p) + f (p) [γ′ (t0) g] .


0.2.2 Derivacoes

0.7 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Um funcional linear vp : C∞ (M) −→ R e umaderivacao em p se ele satisfaz a regra do produto

vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .

vp e chamado um vetor tangente a M em p.

Note que nesta definicao o conjunto dos vetores tangentes a um ponto p ∈M forma naturalmente um espacovetorial real, mas a dimensao deste espaco nao e imediatamente obvia. Para provar isso, veja a Proposicao0.16.

0.8 Proposicao. Qualquer vetor tangente vp : C∞ (M) −→ R satisfaz as seguintes propriedades:

(i) Se f e uma funcao constante, entao .

(ii) Se f (p) = g (p) = 0, entao vp (fg) = 0.

Prova: Ambas as propriedades seguem imediatamente da regra do produto. (i) Como vp e linear, bastaprovar para a funcao constante f ≡ 1. Pela regra do produto,

vp (f) = vp (f) f (p) + f (p) vp (f) = 2vp (f) ,

logo vp (f) = 0. (ii) Pela regra do produto, temos

vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) = vp (f) 0 + 0vp (g) = 0 + 0 = 0.

Apesar dos vetores tangentes (derivacoes) estarem definidas no espaco global C∞ (M), o proximo resul-

tado mostra que a sua atuacao e local.

0.9 Proposicao. Seja vp : C∞ (M) −→ R um vetor tangente. Se f, g ∈ C∞ (M) coincidem em umavizinhanca de p, entao vp (f) = vp (g).

(ii) Se f (p) = g (p) = 0, entao vp (fg) = 0.

Prova: Seja h = f − g, de modo que h ∈ C∞ (M) e h = 0 em uma vizinhanca de p. Seja ρ ∈ C∞ (M) umafuncao cujo suporte esta contida em M\ p e que e igual a 1 no suporte de h. Em particular, como ρ = 1onde h e nao nula, segue que ρh = h. Daı, vp (h) = vp (ρh) = 0 pela propriedade (ii) da Proposicao 0.8,donde segue o resultado por linearidade.

0.2.3 O Espaco Tangente

0.10 Definicao. SejaM uma variedade diferenciavel. O espaco vetorial n-dimensional dos vetores tangentesa um ponto p ∈M e chamado o espaco tangente a M em p e denotado TpM .

0.11 Definicao. SejaM uma variedade diferenciavel e φ : U −→M uma parametrizacao de uma vizinhancade um ponto p ∈M . A base obtida na demonstracao da Proposicao 0.5 sera chamada a base do espacotangente TpM associada a parametrizacao φ e denotada por

∂1 (p) , . . . , ∂n (p)

ou por∂

∂x1(p) , . . . ,

∂

∂xn(p)

quando for necessario explicitar as coordenadas da parametrizacao.

Frequentemente, denotaremos um vetor tangente em p por vp.


0.2.4 Diferencial de uma Aplicacao Diferenciavel

Para definir a diferencial (derivada) de uma aplicacao diferenciavel, usaremos a definicao de vetores tangentescomo derivacoes:

0.12 Definicao. Sejam M e N variedades diferenciaveis e F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel emp ∈M . A diferencial de F em p e aplicacao linear

dFp : TpM −→ TF (p)N

definida pordFp (vp) (f) = vp (f F )

para todo f ∈ C∞ (N). Note que como f ∈ C∞ (N) e F e de classe C∞, f F ∈ C∞ (M), dFp e uma aplicacao linear porque vp eum funcional linear e dFp (v) e uma derivacao em F (p) porque

dFp (vp) (fg) = vp ((fg) F ) = vp ((f F ) (g F ))= vp (f F ) g (F (p)) + f (F (p)) vp (g F )= [dFp (vp) (f)] g (F (p)) + f (F (p)) [dFp (vp) (g)] .

0.13 Proposicao. (Regra da Cadeia) Sejam M,N,P variedades diferenciaveis e F : M −→ N,G :N −→ P aplicacoes diferenciaveis. Entao G F :M −→ P e uma aplicacao diferenciavel e

d (G F )p = dGF (p) dFp.

Prova: Provaremos a segunda parte. Por definicao, para todo f ∈ C∞ (P )[d (G F )p (vp)

](f) = vp (f (G F )) = vp ((f G) F ) = dFp (vp) (f G)

=[dGF (p) (dFp (vp))

](f) .

0.14 Corolario. Se F : M −→ N e um difeomorfismo, entao dFp e um isomorfismo para cada p ∈ M e

d(F−1

)F (p)

= (dFp)−1

.

0.15 Lema. Seja M uma variedade diferenciavel. Se V e um aberto de M e i : V −→ M e a inclusao,entao dip e um isomorfismo para todo p ∈M .

Prova: Para provar que dip : TpV −→ TpM e injetivo, suponha que dip (vp) = 0 para vp ∈ TpV . SejaW ⊂⊂ V uma vizinhanca de p. Se f ∈ C∞ (V ) e uma funcao diferenciavel arbitraria, considere uma

extensao f ∈ C∞ (M) tal que f = f em W . Como f e f coincidem na vizinhanca W de p, segue daProposicao 0.9 que

vp (f) = vp

(f |V)= vp

(f i

)= dip (vp)

(f)= 0.

Como f ∈ C∞ (V ) e arbitraria, isso prova que vp = 0, logo dip e injetiva.Para provar que dip e sobrejetiva, seja wp ∈ TpM um vetor tangente qualquer. Defina uma funcao

v : C∞ (V ) −→ R por

v (f) = wp

(f)

onde f e uma extensao definida como no inıcio da demonstracao. Pela Proposicao 0.9, o valor de w(f)

independe da escolha de f , logo v esta bem definida. E facil ver que v e uma derivacao. Para todo g ∈ C∞ (M)temos

dip (v) (g) = v (g i) = wp

(g i

)= wp (g)

onde a ultima igualdade segue do fato que g i e g coincidem em W . Portanto, dip (v) = wp.


0.16 Proposicao. Se M e uma variedade diferenciavel de dimensao n, entao TpM e um espaco vetorialde dimensao n para todo p ∈M .

Prova: Seja φ : U −→ V uma parametrizacao de uma vizinhanca V = φ (U) ⊂ M de p = φ (x). Como φe um difeomorfismo, segue que dφx : Rn −→ TpV e um isomorfismo. Como TpV e TpM sao isomorfos pelolema, segue o resultado.

0.3 Coordenadas

0.3.1 Diferencial em Coordenadas

Denote por B = e1, . . . , en a base canonica de Rn. Seja φ : U ⊂ Rn −→ V uma parametrizacao de umavizinhanca V de p = φ (x) ∈M , entao denotando

∂

∂xi

∣∣∣∣p

= dφx (ei)

segue que∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

formam uma base para TpM que e a base coordenada ou simplesmente a base associada a parametrizacao φ.Observe que se f ∈ C∞ (M), entao

∂

∂xi

∣∣∣∣p

(f) = dφx (ei) (f) = ei (f φ) = ∂ (f φ)∂xi

(x) .

Assim, podemos definir∂f

∂xi(p) =

∂

∂xi

∣∣∣∣p

(f) =∂ (f φ)∂xi

(x) .

Vamos ver agora como e a diferencial de uma aplicacao diferenciavel em coordenadas.Primeiro recordaremos o caso em que as variedades sao espacos euclideanos. Denote por Bm = e1, . . . , em

e Bn = f1, . . . , fn as bases canonicas de Rm e Rn, respectivamente. Observe que se F : U ⊂ Rm −→ Rn

e uma aplicacao diferenciavel, entao dFx : Rm −→ Rn e a derivada usual para cada x ∈ U e pela regra dacadeia

dFx (ei) (f) = ei (f F ) = ∂ (f F )∂xi

(x) =

m∑j=1

∂f

∂xj(F (x))

∂F j

∂xi(x) =

m∑j=1

∂F j

∂xi(x) fj (f) ,

ou seja,

dFx (ei) =n∑

j=1

∂F j

∂xi(x) fj .

Assim, a matriz da diferencial dFx em relacao as bases Bm,Bn e o jacobiano

J =

∂F 1

∂x1. . .

∂F 1

∂xm...

...∂Fn

∂x1. . .

∂Fn

∂xm

=: [dFx]Bm,Bn .


Ou seja, se v =m∑i=1

viei, entao

dFx (v) =

m∑i=1

vidFx (ei) =

n∑j=1

[m∑i=1

vi∂F j

∂xi(x)

]fj ,

isto e,

[dFx (v)]Bn =

∂F 1

∂x1. . .

∂F 1

∂xm...

...∂Fn

∂x1. . .

∂Fn

∂xm

v1

...vm

= J [v]Bm .

No caso geral, se F : Mm −→ Nn e uma aplicacao diferenciavel, sejam φ : U ⊂ Rm −→ φ (U) , ψ : V ⊂Rn −→ ψ (V ) parametrizacoes de vizinhancas de p = φ (x) em M e de F (p) = ψ (y) em N , respectivamente,de modo que

F = ψ−1 F φ : U ⊂ Rm −→ Rn.

EscrevendoF φ = ψ F

temos

dFp

(∂

∂xi

∣∣∣∣p

)= dFp [dφx (ei)] = dψy

[dFx (ei)

]= dψy

n∑j=1

∂F j

∂xi(x) fj

=n∑

j=1

∂F j

∂xi(x) dψy (fj)

=n∑

j=1

∂F j

∂xi(x)

(∂

∂yj

∣∣∣∣F (p)

).

Portanto, se

Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xm

∣∣∣∣p

.

BF (p) =

∂

∂y1

∣∣∣∣F (p)

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣F (p)

,

sao as bases coordenadas de TpM e TF (p)N , respectivamente, entao a matriz que representa a diferencialdFp em relacao a estas bases e

[dFp]Bp,BF (p)=

∂F 1

∂x1. . .

∂F 1

∂xm...

...

∂Fn

∂x1. . .

∂Fn

∂xm

.

0.4 Fibrado Tangente

0.17 Definicao. SejaM uma variedade diferenciavel de dimensao n com um atlas Φ = φα : Uα −→Mα∈Ade classe Ck. O fibrado tangente de M e a variedade diferenciavel de dimensao 2n e classe Ck−1

TM = (p, v) : p ∈M e v ∈ TpM


com um atlasΨ = ψα : Uα × Rn −→Mα∈A

definido por

ψα (x, v1, . . . , vn) =

(φα (x) ,

n∑i=1

vi∂i (x)

).

Na definicao acima, o proprio atlas Ψ define a topologia necessaria em TM de acordo com as Proposicoes0.10-0.11 a seguir.

0.18 Proposicao. Seja X um conjunto e Φ = φα : Uα −→ Xα∈A uma famılia de aplicacoes injetivas deabertos Uα ⊂ Rn em X tais que

(i) Os abertos φα (Uα) cobrem X, isto e, ∪α∈A

φα (Uα) = X.

(ii) Para todos ındices α, β ∈ A tais que Vαβ = φα (Uα) ∩ φβ (Uβ) = ∅, as aplicacoes

φαβ = φ−1β φα : φ−1

α (Vαβ) −→ φ−1β (Vαβ) ,

φβα = φ−1α φβ : φ−1

β (Vαβ) −→ φ−1α (Vαβ) ,

sao diferenciaveis de classe Ck.

Entao existe uma unica topologia em X relativa a qual Φ e um atlas de classe Ck para X.

0.19 Proposicao. A topologia definida em X na proposicao anterior e de Hausdorff se e somente se

(iii) Para cada par de ındices α, β ∈ A tais que Vαβ = φα (Uα) ∩ φβ (Uβ) = ∅, nao existe nenhumasequencia xii∈N ⊂ φ−1

α (Vαβ) tal que

xi → x ∈ Uα − φ−1α (Vαβ)

eφαβ (xi) → y ∈ Uβ − φ−1

β (Vαβ) .

Ela possui uma base enumeravel se e somente se

(iv) A cobertura φα (Uα)α∈A de X admite uma subcobertura enumeravel.

0.5 Fibrados Vetoriais

0.20 Definicao. Um fibrado vetorial de dimensao k sobre uma variedade diferenciavelM e uma variedadediferenciavel E juntamente com uma aplicacao sobrejetiva diferenciavel π : E −→M tal que

(i) cada fibra Ep = π−1 (p) de E sobre p e um espaco vetorial de dimensao k;

(ii) para cada p ∈ M existe uma vizinhanca U de p e um difeomorfismo φ : π−1 (U) −→ U × Rk,chamado uma trivializacao local de E, tal que o diagrama seguinte e comutativo:

π−1 (U)φ−→ U × Rk

π ↓ π1

U


(π1 : U×Rk −→ U e a projecao na primeira variavel) e tal que φ|Ep : Ep −→ p×Rk e um isomorfismode espacos vetoriais.

A variedade E e chamada o espaco total do fibrado, M a base do fibrado e π a sua projecao.

Frequentemente identificamos o espaco total com o fibrado e dizemos simplesmente que E e o fibrado vetorialsobre M . Fibrados tangentes sao exemplos de fibrados vetoriais.

0.21 Definicao. Seja E um fibrado vetorial de dimensao k sobre M . Uma secao de E e uma aplicacaos :M −→ E tal que π s = Id|M .

Em outras palavras, s :M −→ E e uma secao se e somente se s (p) ∈ Ep para todo p ∈M .

0.6 Campos Vetoriais

Considere π : TM −→ M a projecao canonica do fibrado tangente de M sobre M , isto e, π (p, v) = p paratodo v ∈ TpM .

0.22 Definicao 1. Seja M uma variedade diferenciavel. Um campo vetorial diferenciavel em M e umaaplicacao diferenciavel X :M −→ TM tal que se π X = idM .

Podemos pensar em campos vetoriais como aplicacoes que associam a cada ponto p ∈M um vetor tangenteX (p) ∈ TpM ; frequentemente, denotaremos o vetor tangente X (p) simplesmente por Xp. Em termos

de coordenadas locais, se B =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xm

∣∣∣∣p

e a base do espaco tangente TpM associada a uma

parametrizacao φ : U −→M para pontos p ∈ φ (U), entao

Xp =n∑

i=1

Xi (p)∂

∂xi

∣∣∣∣p

e o campo vetorial X e diferenciavel em φ (U) se e somente se as funcoes coordenadas X1, . . . , Xn saodiferenciaveis.

Outra forma de ver um campo vetorial diferenciavel em M e como uma aplicacao que associa a cadafuncao f ∈ C∞ (M) uma funcao Xf ∈ C∞ (M) atraves da expressao

(Xf) (p) = Xpf

onde Xp : C∞ (M) −→ R e um vetor tangente (e restringimos Xp ao subespaco C∞ (M) do espaco Dp (M)).

0.23 Definicao 2. Seja M uma variedade diferenciavel. Um campo vetorial diferenciavel em M e umaaplicacao X : C∞ (M) −→ C∞ (M) que satisfaz as seguintes propriedades

(i) X e linear:X (αf + βg) = αXf + βXg

para todos α, β ∈ R e f, g ∈ C∞ (M).

(ii) X satisfaz a regra do produto:

X (fg) = (Xf) g + f (Xg)

para todos f, g ∈ C∞ (M).

As duas definicoes sao equivalentes. Usando a ultima definicao, podemos definir combinacoes lineares decampos vetoriais de forma natural.


0.24 Notacao. Seja M uma variedade diferenciavel. O espaco vetorial dos campos vetoriais diferenciaveisem M e denotado por X (M).

0.25 Teorema. Seja X ∈ X (M) um campo diferenciavel. Dado p ∈M , existe uma vizinhanca V de p emM , δ > 0 e uma aplicacao diferenciavel

φ : (−δ, δ)× V −→M

tais que φq (t) = φ (t, q) e a unica curva diferenciavel em M que satisfazdφ

dt(t, q) = X (φ (t, q)) para todos t ∈ (−δ, δ) , q ∈ V,

φ (0, q) = q.

Prova: φ e chamado o fluxo local do campo vetorial X. Para t fixado, denotaremos φt (q) = φ (t, q).

0.7 Colchetes de Lie

Embora a Definicao 2 de campos vetoriais permite tambem em princıpio definir a composta de camposvetoriais e, ja que Xf e interpretada como a derivada de f na direcao de X, gostarıamos de interpretarnaturalmente a expressao

X (Y f)

como a derivada segunda de f primeiro na direcao de Y e em seguida na direcao deX, em geral esta compostanao e um campo vetorial porque nao satisfaz a regra do produto:

(X Y ) (fg) = X [Y (fg)] = X [(Y f) g + f (Y g)] = X [(Y f) g] +X [f (Y g)]

= [X (Y f)] g + (Y f) (Xg) + (Xf) (Y g) + f [X (Y g)]

= [(X Y ) f ] g + f [(X Y ) g] + (Xf) (Y g) + (Y f) (Xg) ;

em coordenadas locais (veja Proposicao 0.28 a seguir), a composta realmente envolve derivadas parciais desegunda ordem, as quais nao sao vetores tangentes por nao satisfazerem a regra do produto. Para definircalculo diferencial de ordem superior, e necessario o conceito de derivada covariante, que veremos no Capıtulo3.

Por outro lado, a operacaoX Y − Y X

define um campo vetorial.

0.26 Definicao. Sejam X,Y ∈ X (M). O colchete de Lie de X e Y e o campo vetorial

[X,Y ] = XY − Y X.

Esta expressao deve ser entendida no sentido de

[X,Y ] = X Y − Y X,

ou seja,[X,Y ]p f = Xp (Y f)− Yp (Xf) .


O colchete de Lie e de fato um campo vetorial, pois

[X,Y ] (αf + βg) = X [Y (αf + βg)]− Y [X (αf + βg)]

= X [αY f + βY g]− Y [αXf + βXg]

= αX (Y f) + βX (Y g)− αY (Xf)− βY (Xg)

= α [X (Y f)− Y (Xf)] + β [X (Y g)− Y (Xg)]

= α [X,Y ] f + β [X,Y ] g

e

[X,Y ] (fg) = X [Y (fg)]− Y [X (fg)]

= X [fY g + gY f ]− Y [fXg + gXf ]

= X [fY g] +X [gY f ]− Y [fXg]− Y [gXf ]

= fX (Y g) + Y gXf + gX (Y f) + Y fXg − fY (Xg)−XgY f − gY (Xf)−XfY g

= f [X (Y g)− Y (Xg)] + g [X (Y f)− Y (Xf)]

= f [X,Y ] (g) + g [X,Y ] (f) .

0.27 Proposicao. O colchete de Lie satisfaz as seguintes propriedades:

(i) (Anticomutatividade)[X,Y ] = − [Y,X] .

Consequentemente,[X,X] = 0.

(ii) (Bilinearidade)

[αX + βY,Z] = α [X,Z] + β [Y, Z] ,

[Z,αX + βY ] = α [Z,X] + β [Z, Y ] .

(iii) (Identidade de Jacobi)

[[X,Y ] , Z] + [[Y,Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0.

(iv)[fX, gY ] = fg [X,Y ] + f (Xg)Y − g (Y f)X.

Prova: (i) e (ii) sao imediatas. Para provar (iii), usando (ii) obtemos

[[X,Y ] , Z] = [XY − Y X,Z] = [XY,Z]− [Y X,Z]

= XY Z − ZXY − Y XZ + ZY X.

Logo, usando (i) e novamente (ii), segue que

[[Y, Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = − [X, [Y, Z]]− [Y, [Z,X]]

= − [X,Y Z − ZY ]− [Y, ZX −XZ]

= − [X,Y Z] + [X,ZY ]− [Y,ZX] + [Y,XZ]

= −XY Z + Y ZX +XZY − ZY X − Y ZX + ZXY + Y XZ −XZY

= −XY Z + ZXY + Y XZ − ZY X

= − [[X,Y ] , Z] .


A propriedade (iv) segue da regra do produto: se h ∈ C∞ (M),

[fX, gY ]h = f [X (g (Y h))]− g [Y (f (Xh))]

= f [(Xg) (Y h)] + f [gX (Y h)]− g [(Y f) (Xh)]− g [fY (Xh)]

= fgX (Y h)− gfY (Xh) + f [(Xg) (Y h)]− g [(Y f) (Xh)]

= fg (XY − Y X)h+ [f (Xg)Y ]h− [g (Y f)X]h

= [fg [X,Y ] + f (Xg)Y − g (Y f)X]h.

Uma algebra de Lie e um espaco vetorial em que se define um produto (ou seja, uma aplicacao bilinear)anticomutativo que satisfaz a identidade de Jacobi (veja o Capıtulo 2). Portanto, esta proposicao mostraque X (M) com a operacao colchete e uma algebra de Lie.

0.28 Proposicao. (Expressao do colchete de Lie em coordenadas locais) Se X,Y ∈ X (M) sao camposvetoriais que se expressam em coordenadas locais por

X =n∑

i=1

Xi ∂

∂xie Y =

n∑i=1

Y i ∂

∂xi,

entao

[X,Y ] =n∑

i,j=1

(Xi ∂Y

j

∂xi− Y i ∂X

j

∂xi

)∂

∂xj,

ou, em notacao mais sucinta,

[X,Y ] =

n∑j=1

(X(Y j)− Y

(Xj)) ∂

∂xj.

Em particular, [∂

∂xi,∂

∂xj

]= 0

para todos i, j.

Prova: Temos

X (Y f) = X

(n∑

i=1

Y i ∂f

∂xi

)=

n∑i=1

X

(Y i ∂f

∂xi

)=

n∑i=1

Y iX

(∂f

∂xi

)+

n∑i=1

∂f

∂xiX(Y i)

=n∑

i=1

Y i

n∑j=1

Xj ∂2f

∂xj∂xi

+n∑

i=1

∂f

∂xi

n∑j=1

Xj ∂Yi

∂xj

=

n∑i,j=1

XjY i ∂2f

∂xj∂xi+

n∑i,j=1

Xj ∂Yi

∂xj∂f

∂xi

e, por simetria,

Y (Xf) =n∑

i,j=1

Y jXi ∂2f

∂xj∂xi+

n∑i,j=1

Y j ∂Xi

∂xj∂f

∂xi=

n∑i,j=1

XjY i ∂2f

∂xi∂xj+

n∑i,j=1

Y j ∂Xi

∂xj∂f

∂xi.

Como∂2f

∂xi∂xj=

∂2f

∂xj∂xi,


os termos envolvendo as derivadas parciais de segunda ordem se cancelam ao calcularmos [X,Y ] f = X (Y f)−Y (Xf) e a expressao do enunciado e obtida trocando os ındices i, j.

O colchete tambem pode ser interpretado como uma derivada de Y ao longo das trajetorias de X.

0.29 Teorema. (Colchete de Lie como derivada ao longo de trajetorias) Se X,Y ∈ X (M) sao camposvetoriais, p ∈M e φt e o fluxo local em uma vizinhanca V de p em M entao

[X,Y ]p = limt→0

[dφ−t]φt(p)

(Yφt(p)

)− Yp

t=

d

dt[dφ−t]φt(p)

Yφt(p)

∣∣∣∣t=0

.

Prova: Em outras palavras, usamos o fluxo do campo X para levar os valores do campo Y para TpM onde podemosdiferenciar. Esta e uma solucao para o problema de diferenciar campos de vetores em variedades, ja que naopodemos tomar a diferenca de vetores que moram em espacos tangentes diferente; esta solucao, que consisteem levar o vetor Yφt(p) ao longo da trajetoria φt (p) para o espaco tangente TpM e tomar a diferenca la como vetor Yp, calculando em seguida o colchete de Lie, e chamada a derivada de Lie. A derivada covariante queveremos no Capıtulo 3 e uma solucao diferente para este problema, mais semelhante ao conceito de derivadadirecional.

0.30 Teorema. Se X,Y ∈ X (M) sao campos vetoriais e φt, φs sao os fluxos locais respectivos de X,Y emuma vizinhanca V de M , entao

φt φs = φs φt

se e somente se[X,Y ] = 0

em V .

Prova: Em particular,

φt φs φ−t φ−s = Id.

Isso significa o seguinte, em outras palavras: quando [X,Y ] = 0 em uma vizinhanca V de p ∈M , se a partirde p percorrermos a trajetoria do campo X durante um intervalo de tempo t atingindo um certo ponto p1,e depois percorrermos a partir de p1 a trajetoria do campo Y durante um intervalo de tempo s atingindoum segundo ponto p2, voltarmos a partir de p2 ao longo da trajetorio do campo X durante um intervalo detempo t atingindo um certo ponto p3 e finalmente voltarmos tambem de p3 ao longo da trajetoria do campoY durante um intervalo de tempo s, chegaremos ao ponto original p (obviamente estamos assumindo queem nenhum momento saımos da vizinhanca V , o que sera verdade para deslocamentos s, t pequenos para osquais os fluxos locais de X e Y estao definidos em V ). Se [X,Y ] = 0, isso nao e verdade e terminamos emum ponto q diferente de p. O colchete de Lie portanto mede infinitesimalmente este defeito.

0.31 Teorema. Se E1, . . . , Ek ∈ X (M) sao campos vetoriais linearmente independentes suaves em umavizinhanca de p ∈M tais que

[Ei, Ej ] = 0

para todos i, j = 1, . . . , k, entao existe uma vizinhanca coordenada(x1, . . . , xn

)de p tal que

Ei =∂

∂xi

para i = 1, . . . , k.


Prova: Sem perda de generalidade, podemos assumir atraves de uma parametrizacao adequada que M =U ⊂ Rn, p = 0 e

Ei (0) = ei

para i = 1, . . . , k, onde e1, . . . , en e a base canonica de Rn. Seja φit o fluxo gerado pelo campo Ei. Defina

ψ(x1, . . . , xn

)= φ1

x1 φ2x2 . . . φk

xk

(0, . . . 0, xk+1, . . . , xn

)= φ1

x1

(φ2x2

(. . .(φkxk

(0, . . . 0, xk+1, . . . , xn

)). . .)).

[Note que no caso especial em que k = n, a aplicacao ψ e

ψ (x) = ψ(x1, . . . , xn

)= φ1

x1 . . . φnxn (0)

= φ1x1

(φ2x2 (. . . (φn

xn (0)) . . .)).

Em outras palavras, para calcular ψ(x1, . . . , xn

), percorremos sucessivamente as trajetorias dos campos

En, . . . , E1 a partir da origem durante os intervalos de tempo xn, . . . , x1: primeiro, saindo da origem, per-corremos a trajetoria do campo En durante o intervalo de tempo xn, chegando em um certo ponto φn

xn (0);partindo deste ponto percorremos a trajetoria do campo En−1 durante o intervalo de tempo xn−1, che-gando em um certo ponto φn−1

xn−1 (φnxn (0)); continuamos desta forma sucessivamente ate chegar no ponto

φ1x1

(φ2x2 (. . . (φn

xn (0)) . . .))que definimos como sendo o ponto ψ (x).]

Afirmamos que dψ0 = I. De fato, dada f ∈ C∞ (M), se i = 1, . . . , k

dψ0 (ei) (f) =∂ (f ψ)∂xi

(0)

= limh→0

(f ψ)(0, . . . 0,

16i6k

h , 0, . . . , 0

)− f (ψ (0))

h

= limh→0

f φ10 . . . φk−1

0 φkh φk+1

0 . . . φk0 (0)− f (0)

h

= limh→0

f(φkh (0)

)− f (0)

h

= Ei (0) (f)

= ei (f) ,

enquanto que se i = k + 1, . . . , n, temos

dψ0 (ei) (f) =∂ (f ψ)∂xi

(0)

= limh→0

(f ψ)(0, . . . 0,

k+16i6n

h , 0, . . . , 0

)− f (ψ (0))

h

= limh→0

f φ10 φ2

0 . . . φk0 . . . φk

0

(0, . . . 0,

k+16i6n

h , 0, . . . , 0

)− f (0)

h

= limh→0

f

(0, . . . 0,

k+16i6n

h , 0, . . . , 0

)− f (0)

h

=∂f

∂xi(0)

= ei (f) ,


portantodψ0 (ei) = ei

para i = 1, . . . , n. Segue que ψ (x) =(x1, . . . , xn

)e um difeomorfismo local e portanto uma parametrizacao

para uma vizinhanca de p = 0.Observe que podemos calcular explicitamente dψx (e1) para todo x e nao somente na origem, obtendo

dψx (e1) (f) =∂ (f ψ)∂x1

(x)

= limh→0

(f ψ)(x1 + h, x2 . . . , xn

)− f (ψ (x))

h

= limh→0

f φ1x1+h φ2

x2 . . . φkxk

(0, . . . 0, xk+1, . . . , xn

)− f (ψ (x))

h

= limh→0

f(φ1x1+h

(φ2x2 (. . . (φn

xn (0)) . . .)))

− f (0)

h

= E1 (x) (f) ,

ou seja,

E1 (x) = dψx (e1) =∂

∂x1

∣∣∣∣x

para todo x onde a parametrizacao esta definida. Isso prova o resultado para i = 1.Mas, pelo teorema anterior, como [Ei, Ej ] = 0, temos que os fluxos dos campos E1, . . . , Ek comutam, isto

e,φit φ

jt = φi

t φjt

para todos i, j = 1, . . . , k. Logo, para i = 2, . . . , k podemos escrever

ψ(x1, . . . , xn

)= φi

xi φ1x1 φ2

x2 . . . φixi . . . φk

xk

(0, . . . 0, xk+1, . . . , xn

).

Pelo mesmo argumento anterior no caso i = 1, concluımos que

Ei (x) =∂

∂xi

∣∣∣∣x

para i = 2, . . . , k, para todo x onde a parametrizacao ψ esta definida, terminando a demonstracao doresultado. Assim, o colchete de Lie mede em algum sentido o quanto as trajetorias de campos linearmente independentesE1, . . . , En podem ser usadas para formas as “retas coordenadas” de um sistema de coordenadas (veja[Spivak], Vol. I, pp. 220-221, para uma afirmacao mais precisa deste resultado).

Capıtulo 1

Tensores

1.1 Introducao

Considere o conceito de vetor em Rn, por exemplo o vetor velocidade de uma curva descrita no sistema decoordenadas

(x1, . . . , xn

)por

x (t) =(x1 (t) , . . . , xn (t)

).

Temosdx

dt=

(dx1

dt, . . . ,

dxn

dt

).

Em um outro sistema de coordenadas(y1, . . . , yn

)a curva e descrita por:

y (t) =(y1 (t) , . . . , yn (t)

),

de modo que seu vetor velocidade neste sistema de coordenadas e dado por

dy

dt=

(dy1

dt, . . . ,

dyn

dt

).

A regra da cadeia nos da como o vetor velocidade muda de um sistema de coordenadas para o outro:

dyi

dt=

n∑j=1

dyi

dxjdxj

dt(1.1)

para i = 1, . . . , n.Considere agora o conceito do gradiente de uma funcao, usualmente identificado com um vetor. No

sistema de coordenadas(x1, . . . , xn

), o gradiente e definido por

∇xf (x) =

(∂f

∂x1(x) , . . . ,

∂f

∂xn(x)

)enquanto que no sistema de coordenadas

(y1, . . . , yn

), o gradiente e dado por

∇yf (x) =

(∂f

∂y1(x) , . . . ,

∂f

∂yn(x)

)Novamente, a regra da cadeia nos da como o gradiente muda de um sistema de coordenadas para o outro:

∂f

∂yi=

n∑j=1

dxj

dyi∂f

∂xj(1.2)

18


para i = 1, . . . , n.Comparando as expressoes (1.1) e (1.2), vemos que elas sao diferentes, na verdade inversas. Isso fica

ainda mais claro se considerarmos o Jacobiano da mudanca de coordenadas y = y (x),

J =

[dyi

dxj

](1.3)

ou seja,

J =

∂y1

∂x1. . .

∂y1

∂xn...

...∂yn

∂x1. . .

∂yn

∂xn

.Temos

dy

dt= J

dx

dt(1.4)

enquanto que

∇yf =(J−1

)T ∇xf, (1.5)

pois (consequencia da regra da cadeia)

J−1 =

[dxi

dyj

]=

∂x1

∂y1. . .

∂x1

∂yn...

...∂xn

∂y1. . .

∂xn

∂yn

.

Note que as leis de transformacao nao sao exatamente uma a inversa da outra no sentido matricial, ja que enecessario transpor a matriz de mudanca de coordenadas. Observe tambem que para as formulas concidirem,terıamos que ter

J =(J−1

)T,

isto e, J precisaria ser uma transformacao ortogonal, o que equivale a requerer que os dois sistemas decoordenadas

(x1, . . . , xn

)e(y1, . . . , yn

)sejam ortonormais, o que raramente ocorre.

O fato de que o gradiente de uma funcao sob uma mudanca de coordenadas transformar-se de uma maneiradiferente da de um vetor mostra que ele e um tipo diferente de vetor. Como veremos os motivos na proximasecao, vetores que se transformam de acordo com a expressao (1.1) sao chamados vetores contravariantes,enquanto que vetores que se transforma de acordo com a expressao (1.2) sao chamados vetores covariantes(ou simplesmente covetores).

As coordenadas de um vetor contravariante sao convencionalmente denotadas por superescritos:

v =(v1, . . . , vn

), (1.6)

porque, como nos casos dos vetores deslocamento, velocidade, aceleracao, etc., ou seja, vetores cujas di-mensoes estao diretamente relacionadas as dimensoes das coordenadas, o deslocamento aparece no numera-dor (acima da barra da fracao), enquanto que as coordenadas de um vetor covariante sao convencionalmentedenotadas por subescritos:

v = (v1, . . . , vn) , (1.7)

porque, como no caso do covetor gradiente, o deslocamento aparece no denominador (abaixo da barra dafracao), ou seja, vetores tais como o gradiente tem dimensoes que sao inversas as dimensoes das coordenadas.


1.2 Mudanca de Coordenadas

1.2.1 Mudanca de Coordenadas em Espacos Vetoriais

Dado um espaco vetorial real de dimensao finita V munido de uma base B, denotaremos por [v]B o vetorcoluna cujos elementos sao as coordenadas do vetor v em relacao a base B. Ou seja, se B = e1, . . . , en e

v =n∑

i=1

viei,

entao

[v]B =

v1

...vn

.Tambem abusaremos esta notacao as vezes, escrevendo [v]B =

(v1, . . . , vn

).

1.1 Definicao. Seja V um espaco vetorial real e sejam B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn duas basespara V . A matriz de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2 e a matriz A tal que

[v]B2= A [v]B1

.

Quando necessario, ela sera denotada por AB1→B2 .

1.2 Proposicao. Sejam B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn duas bases para um espaco vetorial real V .Se A = (aij) e a matriz de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2, entao os elementosdesta matriz sao definidos por

ei =n∑

j=1

ajifj

Ou seja, as colunas de A sao as coordenadas dos vetores da base B1 em relacao a base B2.

Prova: De fato, se

ei =

n∑j=1

ajifj ,

entao

v =n∑

i=1

viei =n∑

i=1

vi

n∑j=1

ajifj

=n∑

j=1

(n∑

i=1

ajivi

)fj ,

ou seja,

[v]B2=

a11 . . . a1n...

...an1 . . . ann

v1

...vn

= A [v]B1.

Portanto, enquanto que a lei de transformacao dos vetores da base B2 para a base B1 e

ei =

n∑j=1

ajifj , (1.8)

isto e,

ei =n∑

j=1

(AT)ijfj ,


a lei de transformacao das coordenadas de vetores na base B2 para a base B1 e contraria: se [v]B1=

(v1, . . . , vn) e [v]B2= (w1, . . . , wn), entao

[v]B1= A−1 [v]B2

,

ou seja,

vi =n∑

j=1

(A−1

)ijwj . (1.9)

Esta observacao motiva a seguinte definicao:

1.3 Definicao. Seja V um espaco vetorial real. Os elementos de V sao chamados vetores contravariantes.

1.2.2 Mudanca de Coordenadas no Espaco Tangente TpM

Se φ : U −→ φ (U) e ψ : V −→ ψ (V ) sao duas parametrizacoes de vizinhancas de p = φ (x) =φ(x1, . . . , xn

)= ψ (y) = ψ

(y1, . . . , yn

)em M , entao abusando a notacao frequentemente escrevemos(

ψ−1 φ)(x) =

(ψ−1 φ

) (x1, . . . , xn

)=(y1(x1, . . . , xn

), . . . , yn

(x1, . . . , xn

)),

isto e, denotamos as funcao coordenadas(ψ−1 φ

)j(x) por yj (x).

1.4 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel n-dimensional e φ : U −→ φ (U) , ψ : V −→ ψ (V )duas parametrizacoes de vizinhancas de p = φ (x) = ψ (y) em M . Sejam

Bx =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

e By =

∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

as bases coordenadas de TpM induzidas pelas parametrizacoes φ e ψ, respectivamente. Denote

∂yj

∂xi(x) :=

∂(ψ−1 φ

)j∂xi

(x)

Entao a matriz de mudanca de coordenadas da base Bx para a base By e definida por

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

n∑j=1

∂yj

∂xi∂

∂yj

∣∣∣∣p

. (1.10)

Prova: Por definicao e pela regra da cadeia,

∂

∂xi

∣∣∣∣p

= dφx (ei) = dψy

[d(ψ−1 φ

)x(ei)]= dψy

n∑j=1

∂(ψ−1 φ

)j∂xi

(x) fj

=

n∑j=1

∂(ψ−1 φ

)j∂xi

dψy (fj)

=

n∑j=1

∂yj

∂xi

∂

∂yj

∣∣∣∣p

.

Portanto, se um vetor v ∈ TpM se escreve em coordenadas em relacao as bases Bx e By nas formas

v =n∑

i=1

vi∂

∂xi

∣∣∣∣p

,

v =

n∑j=1

wj ∂

∂yj

∣∣∣∣p

,


entao, pelas Proposicoes 1.2 e 1.4, a lei de transformacao de coordenadas e dada por

wi =

n∑j=1

∂yi

∂xjvj . (1.11)

1.3 Covetores Tangentes

Enquanto que o conceito de vetores tangentes em variedades permite uma interpretacao livre de coordenadasde derivadas de curvas, diferenciais de funcoes reais em variedades (ou seja, o analogo do gradiente em Rn) saointerpretadas de maneira mais natural como covetores tangentes (compare a Proposicao 1.8 com a discussaona introducao deste capıtulo).

1.3.1 Covetores

1.5 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita. Um covetor em V e qualquer funcionallinear ω : V −→ R. O espaco vetorial dos covetores de V , com as definicoes naturais de soma decovetores e multiplicacao de covetores por escalares reais e chamado o espaco dual de V e denotadopor V ∗.

Portanto, covetores em V sao simplesmente funcionais lineares em V .

1.6 Definicao. Seja B = e1, . . . , en uma base para o espaco vetorial V . Definimos a base dual B∗ =e1, . . . , en

de V ∗ por

ei (ej) = δij , i, j = 1, . . . , n. (1.12)

Um covetor arbitrario ω ∈ V ∗ expressa-se em coordenadas com relacao a base dual B∗ na forma

ω =n∑

i=1

ωiei.

Observe que se

v =n∑

i=1

viei,

entaoei (v) = vi. (1.13)

1.7 Definicao. Seja V,W espacos vetoriais. Dada uma aplicacao linear A : V −→W , definimos a aplicacaolinear dual ou transposta A∗ :W ∗ −→ V ∗ de A por

(A∗ω) v = ω (Av)

para todo ω ∈W ∗ e para todo v ∈ V .

1.8 Proposicao. Sejam B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn duas bases para o espaco vetorial V e B∗1 =

e1, . . . , en,B∗

2 =f1, . . . , fn

as respectivas bases duais para V ∗. Se A e a matriz de mudanca de

coordenadas da base B1 para a base B2, entao(A−1

)Te a matriz de mudanca de coordenadas da base

dual B∗1 para a base dual B∗

2. Em outras palavras,

ei =

n∑j=1

(A−1

)ijf j . (1.14)


Prova. Por definicao, a matriz A = (aij) de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2 e definidapor

ei =n∑

j=1

ajifj

(ou seja, a i-esima coluna da matriz A tem como entradas as coordenadas do vetor ei da base B1 em relacaoaos vetores da base B2); assim, se

[v]B1=(v1, . . . , vn

),

[v]B2=(w1, . . . , wn

),

sao as coordenadas de um vetor v ∈ V em relacao as bases B1 e B2, respectivamente, temos (usando aconvencao de escrever as coordenadas de vetores como matrizes colunas)

[v]B2= A [v]B1

.

Analogamente, a matriz B = (bij) de mudanca de coordenadas da base B∗1 para a base B∗

2 no espaco vetorialdual V ∗ e definida por

ek =n∑

l=1

blkfl,

de modo que se [ω]B1, [ω]B2

sao as coordenadas de um covetor ω ∈ V ∗ em relacao as bases B∗1 e B∗

2 ,respectivamente, entao

[ω]B∗2= B [ω]B∗

1.

Daı,

δik = ek (ei) =n∑

j=1

ajiek (fj) =

n∑j=1

aji

n∑l=1

blkfl (fj)

=n∑

j=1

aji

n∑l=1

blkδlj =n∑

j=1

ajibjk

=

n∑j=1

(AT)ijbjk,

ou seja, ATB = I, donde B =(AT)−1

=(A−1

)T.

Portanto, assim como a lei de transformacao dos vetores da base B2 para a base B1 e

ei =

n∑j=1

ajifj , (1.15)

isto e,

ei =

n∑j=1

(AT)ijfj ,

a lei de transformacao das coordenadas de vetores na base B∗2 para a base B∗

1 e a mesma: se [ω]B∗1=

(ω1, . . . , ωn) e [ω]B2= (ω1, . . . , ωn), entao (porque (B)

−1= AT )

[ω]B∗1= AT [ω]B∗

2,


ou seja,

ωi =n∑

j=1

ajiωj . (1.16)

Ou seja, covetores variam (se transformam) da mesma forma como variam (se transformam) os vetores dabase do espaco vetorial. Esta observacao motiva a seguinte definicao:

1.9 Definicao. Seja V um espaco vetorial real. Os elementos de V ∗ sao chamados vetores covariantes.

1.3.2 O Espaco Bidual

1.10 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita. O espaco dual (V ∗)∗do espaco dual

de V e chamado o espaco bidual de V e denotado V ∗∗.

Uma importante identificacao natural (isto e, um isomorfismo definido independentemente de bases)existe entre um espaco vetorial e seu espaco bidual:

1.11 Proposicao. A aplicacao Φ : V −→ V ∗∗ definida por

Φ (v) (ω) = ω (v)

e um isomorfismo natural entre V e V ∗∗.

Prova. Como dimV = dimV ∗∗, para verificar que Φ e um isomorfismo basta mostrar que ele e injetivo, istoe, que seu nucleo e o subespaco nulo. Seja e1 ∈ V um vetor nao nulo qualquer. Estenda este vetor a umabase B = e1, . . . , en para V . Seja B∗ =

e1, . . . , en

a correspondente base dual de V ∗. Entao Φ (e1) = 0

porqueΦ (e1)

(e1)= e1 (e1) = 1.

Em vista desta identificacao, um vetor v ∈ V pode ser visto como um funcional linear em V ∗ cuja acao emcovetores de V ∗ e dada por

v (ω) = ω (v) . (1.17)

Em particular,ei(ej)= δij (1.18)

e se

ω =n∑

i=1

ωiei,

entaoei (ω) = ωi. (1.19)

1.3.3 Covetores Tangentes em Variedades

1.12 Definicao. Seja M uma variedade suave. Para cada p ∈M definimos o espaco cotangente T ∗pM a

M em p porT ∗pM = (TpM)

∗.

Elementos de T ∗pM sao chamados covetores tangentes a M em p.

Assim, o espaco cotangente a M em p e o dual do espaco tangente a M em p.


1.13 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel e φ : U −→ φ (U) uma parametrizacao de umavizinhanca de um ponto p ∈M . A base coordenada

Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

do espaco tangente TpM associada a parametrizacao φ da origem a uma base dual coordenada parao espaco cotangente T ∗

pM associada a parametrizacao φ que denotaremos por

B∗p =

dx1∣∣p, . . . , dxn|p

. (1.20)

Portanto, qualquer covetor ω ∈ T ∗

pM pode ser escrito de maneira unica como

ω =n∑

i=1

ωi dxi∣∣p, (1.21)

onde

ωi = ω

(∂

∂xi

∣∣∣∣p

). (1.22)

Vamos investigar agora como as coordenadas de um covetor tangente se transformam quando ha uma mu-danca de bases coordenadas, de uma parametrizacao para outra.

1.14 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel n-dimensional e φ : U −→ φ (U) , ψ : V −→ ψ (V )duas parametrizacoes de vizinhancas de p = φ (x) = ψ (y) em M . Sejam

Bx =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

e By =

∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

as bases coordenadas de TpM induzidas pelas parametrizacoes φ e ψ, respectivamente. Denote por

B∗x =

dx1∣∣p, . . . , dxn|p

e B∗

y =dy1∣∣p, . . . , dyn|p

as respectivas bases duais. Entao a matriz de mudanca de coordenadas da base B∗

x para a base B∗y e

definida por

dxi∣∣p=

n∑j=1

∂xi

∂yjdyj∣∣p. (1.23)

Prova: Pela Proposicao 1.4, a mudanca de coordenadas da base Bx para a base By e definida por

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=n∑

j=1

∂yj

∂xi∂

∂yj

∣∣∣∣p

.

O resultado segue entao da Proposicao 1.8. Obtemos tambem da discussao que se segue a Proposicao 1.8 que se

[ω]B∗x=(ω1x, . . . , ω

nx

),

[ω]B∗y=(ω1y, . . . , ω

ny

),

entao

ωix =

n∑j=1

∂yj

∂xiωjy.

Podemos agora entender a terminologia antiga em que vetores tangentes eram chamados vetores contrava-riantes, enquanto que covetores tangentes eram chamados vetores covariantes. E importante ressaltar queesta terminologia nada tem a ver com functores covariantes e contravariantes da teoria de categorias.


1.4 Tensores

1.4.1 Definicao

1.15 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita e V ∗ seu espaco dual.

Um k-tensor covariante em V (ou tensor covariante de ordem k) e uma funcao real k-linear

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

−→ R.

Um l-tensor contravariante em V (ou tensor contravariante de ordem l) e uma funcao real l-linear

T : V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→ R.

Um tensor do tipo (k, l) e um tensor k-covariante e l-contravariante, isto e, uma funcao real multili-near

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

× V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→ R.

O espaco vetorial real dos k-tensores covariantes sobre V sera denotado por T k (V ); o espaco vetorialdos l-tensores contravariantes sobre V sera denotado por Tl (V ) e o espaco vetorial dos (k, l) tensoressobre V sera denotado por T k

l (V ).

1.16 Exemplos. Um 1-tensor covariante e simplesmente um covetor. Formas bilineares, entre elas o produtointerno, sao 2-tensores covariantes. Determinantes sao n-tensores covariantes em Rn.

Algumas identificacoes naturais (isto e, independente de especificacao de bases):

• 0-tensores sao numeros reais:T 0 (V ) = R;

• tensores do tipo (k, 0) sao k-tensores covariantes:

T k0 (V ) = T k (V ) ;

• tensores do tipo (0, l) sao l-tensores contravariantes:

T 0l (V ) = Tl (V ) ;

• 1-tensores covariantes sao covetores:T 1 (V ) = V ∗

• 1-tensores contravariantes sao vetores:

T1 (V ) = V ∗∗ = V.

1.17 Proposicao. Seja End (V ) o espaco vetorial dos operadores lineares sobre V . Entao existe um iso-morfismo natural

T 11 (V ) ∼= End (V ) .

Prova. Um isomorfismo natural Φ : End (V ) −→ T 11 (V ) pode ser definido por

Φ (A) (v, ω) = ω (Av) .


1.18 Proposicao. Considere o espaco vetorial L(V k × (V ∗)

l;V)das aplicacoes multilineares

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

× V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→ V.

Entao existe um isomorfismo natural

T kl+1 (V ) ∼= L

(V k × (V ∗)

l;V).

Prova. Este pode ser definido por

(ΦT )(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl, ωl+1)= ωl+1

(T(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl)).

1.4.2 Produto Tensorial

1.19 Definicao. Sejam T e S tensores de tipos (k, l) e (p, q), respectivamente. Seu produto tensorial e otensor T ⊗ S do tipo (k + p, l + q) definido por

(T ⊗ S)(v1, . . . , vk+p, ω

1, . . . , ωl+q)= T

(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl)S(vk+1, . . . , vk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q).

1.20 Exemplo. Sejam ω1, ω2 dois covetores (1-tensores covariantes). Entao

ω1 ⊗ ω2 (v1, v2) = ω1 (v1)ω2 (v2)

e um 2-tensor covariante (uma forma bilinear).

Usando produtores tensoriais, podemos obter uma base para o espaco tensorial T kl (V ):

1.21 Proposicao. Se e1, . . . , en e uma base para o espaco vetorial V ee1, . . . , en

e a correspondente

base dual para V ∗, entao

Bkl =

ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

(1.24)

e uma base para o espaco tensorial T kl (V ). Alem disso, qualquer tensor T ∈ T k

l (V ) se escreve naforma

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ik

ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl , (1.25)

ondeT j1...jli1...ik

= T(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl). (1.26)

Em particular, dimT kl (V ) = nk+l.

Prova. Primeiro mostraremos que Bkl gera o espaco tensorial T k

l (V ). Seja T ∈ T kl (V ) um tensor qualquer

e definaT j1...jli1...ik

= T(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl).

Se v1, . . . , vk ∈ V , ω1, . . . , ωl ∈ V ∗ sao vetores arbitrarios, expressos em coordenadas por

vr =n∑

ir=1

virr eir e ωs =n∑

js=1

ωsjse

js


para r = 1, . . . , k e s = 1, . . . , l, segue da multilinearidade que

T(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl)

= T

n∑i1=1

vi11 ei1 , . . . ,n∑

ik=1

vikk eik ,n∑

j1=1

ω1j1e

j1 , . . . ,n∑

jl=1

ωljlejl

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

vi11 . . . vikk ω1j1 . . . ω

ljlT(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl)

=n∑

i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ik

vi11 . . . vikk ω1j1 . . . ω

ljl

=n∑

i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ik

ei1 (v1) . . . eik (vk) ej1

(ω1). . . ejl

(ωl)

=n∑

i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ik

ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl(v1, . . . vk, ω

1, . . . , ωl).

Para mostrar que Bkl e linearmente independente, suponha que exista uma combinacao linear nula

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ik

ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl = 0.

Como

ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl (er1 , . . . , erk , es1 , . . . , esl)

= ei1 (er1) . . . eik (erk) ej1 (e

s1) . . . ejl (esl)

= δi1r1 . . . δikrkδs1j1 . . . δ

sljl,

segue que0 = T (er1 , . . . , erk , e

s1 , . . . , esl) = T s1...slr1...rk

para todos os ındices r1, . . . , rk, s1, . . . , sl = 1, . . . , n. Este resultado mostra que um tensor e completamente determinado pela sua acao em todas as sequenciaspossıveis de covetores e vetores das bases de V ∗ e V .

Observe que, se F ∈ T kl (V ), G ∈ T p

q (V ) e T = F ⊗G ∈ T k+pl+q (V ), entao

Tj1...jljl+1...jl+q

i1...ikik+1...ik+p= T

(ei1 , . . . , eik , eik+1

, . . . , eik+p, ej1 , . . . , ejl , ejl+1 , . . . , ejl+q

)= F

(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl)G(eik+1

, . . . , eik+p, ejl+1 , . . . , ejl+q

)de modo que

Tj1...jljl+1...jl+q

i1...ikik+1...ik+p= F j1...jl

i1...ikG

jl+1...jl+q

ik+1...ik+p. (1.27)

1.4.3 Mudanca de Base

1.22 Proposicao. Sejam B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn duas bases para o espaco vetorial V eB∗1 =

e1, . . . , en

,B∗

2 =f1, . . . , fn

as respectivas bases duais para V ∗. Sejam A = (aij) a matriz


de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2, e B =(A−1

)Ta matriz de mudanca de

coordenadas da base dual B∗1 para a base dual B∗

2 , isto e,

ei =

n∑j=1

ajifj e ek =

n∑l=1

blkfl.

Sejam

T =n∑

i1,...,ik=1j1,...,jl=1

Ej1...jli1...ik

ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

F j1...jli1...ik

f i1 ⊗ . . .⊗ f ik ⊗ fj1 ⊗ . . .⊗ fjl

as expressoes em coordenadas para um tensor T ∈ T kl (V ) em relacao a estas bases. Entao

Ej1...jli1...ik

=n∑

r1,...,rk=1s1,...,sl=1

ar1i1 . . . arkikbs1j1 . . . bsljlFs1...slr1...rk

. (1.28)

Prova. Segue da ultima proposicao e por multilinearidade que

T j1...jli1...ik

= T(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl)

= T

(n∑

r1=1

ar1i1fr1 , . . . ,

n∑rk=1

arkikfrk ,

n∑s1=1

bs1j1fs1 , . . . ,

n∑sl=1

bsljlfsl

)

=n∑

r1,...,rk=1s1,...,sl=1

ar1i1 . . . arkikbs1j1 . . . bsljlT (fr1 , . . . , frk , fs1 , . . . , fsl)

=n∑

r1,...,rk=1s1,...,sl=1

ar1i1 . . . arkikbs1j1 . . . bsljlFs1...slr1...rk

.

1.23 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Para cada p ∈ M definimos o espaco tensorial

tangente T kl (TpM) a M em p. Seja φ : U −→ φ (U) uma parametrizacao de uma vizinhanca de um

ponto p ∈M . A base coordenada

Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

do espaco tangente TpM associada a parametrizacao φ e sua respectiva base dual

B∗p =

dx1∣∣p, . . . , dxn|p

dao origem a base coordenada associada a parametrizacao φ para o espaco tensorial tangenteT kl (TpM) (

Bkl

)p=

dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

(1.29)


1.24 Corolario. Seja M uma variedade diferenciavel n-dimensional e φ : U −→ φ (U) , ψ : V −→ ψ (V )duas parametrizacoes de vizinhancas de p = φ (x) = ψ (y) em M . Sejam

Bx =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

e By =

∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

as bases coordenadas de TpM induzidas pelas parametrizacoes φ e ψ, respectivamente e

B∗x =

dx1∣∣p, . . . , dxn|p

e B∗

y =dy1∣∣p, . . . , dyn|p

as respectivas bases duais. Sejam

Tp =n∑

i1,...,ik=1j1,...,jl=1

Ej1...jli1...ik

(p) dxi1∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

=n∑

i1,...,ik=1j1,...,jl=1

F j1...jli1...ik

(p) dyi1∣∣p⊗ . . .⊗ dyik

∣∣p⊗ ∂

∂yj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂yjl

∣∣∣∣p

as expressoes em coordenadas para um tensor Tp ∈ T kl (TpM) em relacao a estas bases. Entao

Ej1...jli1...ik

(p) =

n∑r1,...,rk=1s1,...,sl=1

∂yr1

∂xi1. . .

∂yrk

∂xik∂xj1

∂ys1. . .

∂xjl

∂yslF s1...slr1...rk

(p) . (1.30)

Prova: Segue das Proposicoes 1.4, 1.14 e 1.22.

1.4.4 Traco de Tensores

O traco de uma matriz n× n A = (aij) e definido por

trA =

n∑i=1

aii.

A partir disso pode-se definir o traco de um operador linear sobre um espaco vetorial real de dimensao finitacomo sendo o traco de qualquer uma de suas representacoes matriciais com respeito a uma base fixada;prova-se entao que o traco independe da base escolhida, ou seja, que o traco e uma nocao independente decoordenadas. Usando o isomorfismo natural entre o espaco vetorial End (V ) dos operadores lineares sobre Ve T 1

1 (V ), podemos definir o traco para operadores lineares independemente de coordenadas. Antes, observeque da Proposicao 1.21 segue que os produtos tensoriais da forma ω ⊗ v, ω ∈ V ∗, v ∈ V , geram T 1

1 (V ); emoutras palavras, todo (1, 1)-tensor e uma combinacao linear de tais produtos tensoriais.

1.25 Definicao. O traco de (1, 1)-tensores e o funcional linear tr : T 11 (V ) −→ R definido por

tr (ω ⊗ v) = ω (v)

em produtos tensoriais e estendido linearmente a todo T 11 (V ).

Se Φ : End (V ) −→ T 11 (V ) e o endomorfimo natural, entao o traco de um operador linear A ∈ End (V )

e definido portrA = tr (Φ (A)) .


1.26 Proposicao. Se T ∈ T 11 (V ) se escreve em coordenadas na forma

T =n∑

i,j=1

T ji e

i ⊗ ej ,

entao

trT =

n∑i=1

T ii . (1.31)

Se A ∈ End (V ) e Aei =n∑

k=1

akiek, entao

trA =

n∑i=1

aii. (1.32)

Prova: Por definicao,

trT =n∑

i,j=1

T ji tr

(ei ⊗ ej

)=

n∑i,j=1

T ji e

i (ej) =n∑

i,j=1

T ji δij =

n∑i=1

T ii .

Daı, como

trA =n∑

i=1

[Φ (A)]ii ,

e, pela Proposicao 1.17,

[Φ (A)]ji = Φ(A)

(ei, e

j)= ej (Aei) = ej

(n∑

k=1

akiek

)

=n∑

k=1

akiej (ek) =

n∑k=1

akiδjk

= aji,

segue a segunda expressao. O conceito de traco pode ser generalizado para tensores de qualquer tipo, produzindo uma operacao que

diminui a ordem total do tensor em 2, 1 para a parte covariante e 1 para a parte contravariante. Antesobserve que, dado um tensor T do tipo (k, l) e ındices p, q, cada (k − 1, l − 1)-upla fixada(

v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl

)∈ V k−1 × (V ∗)

l−1

define um tensor S ∈ T 11 (V ), que depende da (k − 1, l − 1)-upla escolhida, atraves da expressao

S (v, ω) = T(v1, . . . , vp−1, v, vp+1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωq−1, ω, ωq+1, . . . , ωl).

Em outras palavras, fixados v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl,

T(v1, . . . , vp−1, ·, vp+1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωq−1, ·, ωq+1, . . . , ωl)

e um (1, 1)-tensor.

1.27 Definicao. Dado um tensor T do tipo (k, l) e ındices p, q, o traco de T com respeito aos ındices p, q(ındice covariante p e ındice contravariante q) e o tensor trT do tipo (k − 1, l − 1) definido por

(trT )(v1, . . . , vp−1, vp, . . . , vk, ω

1, . . . , ωq−1, ωq, . . . , ωl)

= trT(v1, . . . , vp−1, ·, vp, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ·, ωq, . . . , ωl

).

Se for necessario explicitar os ındices em relacao aos quais foi tomado o traco, denotaremos trpq T .


1.28 Proposicao. Se T ∈ T kl (V ) se escreve em coordenadas na forma

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ik

ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl .

entao as coordenadas de

trT =n∑

i1,...,ik−1=1j1,...,jl−1=1

(trT )j1...jl−1

i1...ik−1ei1 ⊗ . . .⊗ eik−1 ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl−1

sao dadas por

(trT )j1...jl−1

i1...ik−1=

n∑i=1

Tj1...jq−1ijq...jk−1

i1...ip−1iip...il−1. (1.33)

Prova: Por definicao, se S e o tensor T(ei1 , . . . , eip−1 , ·, eip , . . . , eik−1

, ej1 , . . . , ejq−1 , ·, ejq , . . . , ejl−1), entao

(trT )j1...jl−1

i1...ik−1= (trT )

(ei1 , . . . , eip−1 , eip , . . . , eik−1

, ej1 , . . . , ejq−1 , ejq , . . . , ejl−1)

= trS

=

n∑i=1

Sii

=

n∑i=1

T(ei1 , . . . , eip−1 , ei, eip , . . . , eik−1

, ej1 , . . . , ejq−1 , ei, ejq , . . . , ejl−1)

=n∑

i=1

Tj1...jq−1ijq...jl−1

i1...ip−1iip...ik−1.

1.5 Fibrados Tensoriais

1.29 Definicao. SejaM uma variedade diferenciavel de dimensao n com um atlas Φ = φα : Uα −→Mα∈A.

O fibrado (k, l)-tensorial de M e a variedade diferenciavel de dimensao n+ nk+l

T kl M =

(p, T ) : p ∈M e T ∈ T k

l (TpM)

com um atlasΨ =

ψα : Uα × Rnk+l

−→ T kl TM

α∈A

definido por

ψα

(x,(T j1...jli1...ik

)i1,...,ik=1,...,nj1,...,jl=1...,n

)

=

φα (x) ,

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ik

dxi1∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

.


Note que

T 0M = C∞ (M) ,

T1M = TM,

T 1M = T ∗M,

T k0M = T kM,

T 0l M = TlM.

Fibrados tensoriais sao fibrados vetoriais (veja o Exercıcio 1.3).

1.6 Campos Tensoriais

1.30 Definicao. Um campo tensorial e uma secao do fibrado tensorial. Um campo tensorial dife-renciavel e uma secao diferenciavel do fibrado tensorial.

O espaco vetorial dos campos (k, l)-tensoriais e denotado por T kl M .

Note que

T 0M = C∞ (M) ,

T1M = X (M) ,

T k0 M = T kM,

T 0l M = TlM.

e T 1M e o espaco vetorial dos campos covetoriais.

1.31 Proposicao. Seja T :M −→ T kl M um campo tensorial. Para cada parametrizacao φ : U −→ V uma

vizinhanca V de M , denote a base coordenada associada para o espaco tensorial T kl (TpM) por

(Bkl

)p=

dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

para todo p ∈ V , de modo que nesta base coordenada o campo tensorial T se escreve na forma

Tp =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ik

(p) dxi1∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

. (1.34)

Entao T e um campo tensorial diferenciavel se e somente se para toda parametrizacao φ as funcoesT j1...jli1...ik

: V −→ R sao diferenciaveis para todos os ındices i1, . . . , ik, j1, . . . , jl = 1 . . . , n.

1.7 Exercıcios

1.1 Defina o fibrado cotangente e mostre que ele e um fibrado vetorial. Defina o conceito de campos cove-toriais.

1.2 Mostre que o fibrado tensorial definido pela Definicao 1.26 e de fato uma variedade diferenciavel.

1.3 Mostre que um fibrado tensorial e um fibrado vetorial.

1.4 Demonstre a Proposicao 1.28.


1.5 Seja T : M −→ T kl M uma secao do fibrado tensorial. Mostre que T e diferenciavel (e, portanto, um

campo tensorial diferenciavel) se e somente se para toda vizinhanca V ⊂ M e para todos os camposvetoriaisX1, . . . , Xk e para todas os campos covetoriais ω1, . . . , ωl a funcao T

(ω1, . . . , ωl, X1, . . . , Xk,

):

V −→ R definida por

T(ω1, . . . , ωl, X1, . . . , Xk

)(p) = Tp

(ω1 (p) , . . . , ωl (p) , X1 (p) , . . . , Xk (p)

)e diferenciavel.

Capıtulo 2

Metricas Riemannianas

2.1 Definicao e Exemplos

2.1 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n. Uma metrica riemanniana em M eum campo 2-tensorial covariante diferenciavel g com as seguintes propriedades:

(i) g e simetrico, isto e, gp (v, w) = gp (w, v) para todos v, w ∈ TpM ;

(ii) g e positivo definido, isto e, gp (v, v) = 0 para todo v ∈ TpM .

Uma variedade diferenciavel M com uma metrica riemanniana g dada e chamada uma variedaderiemanniana.

Em outras palavras, uma metrica riemanniana em M e uma aplicacao que associa a cada ponto p ∈ M umproduto interno (isto e, uma forma bilinear simetrica, positiva definida)

gp = ⟨·, ·⟩p

no espaco tangente TpM que varia diferenciavelmente com p no sentido de que se φ : U −→ V e uma

parametrizacao de uma vizinhanca V de M e Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

e a base coordenada de TpM

associada a esta parametrizacao, para cada p ∈ V , entao as funcoes gij : V −→ R

gij (p) =

⟨∂

∂xi

∣∣∣∣p

,∂

∂xj

∣∣∣∣p

⟩p

(2.1)

sao diferenciaveis. De fato, escrevendo o tensor metrica em coordenadas, temos

gp =

n∑i,j=1

gij (p) dxi∣∣p⊗ dxj

∣∣p, (2.2)

e as funcoes componentes gij do tensor metrica g sao diferenciaveis para toda parametrizacao φ se e somentese g e diferenciavel.

Omitindo o sımbolo do ponto de atuacao p, como frequentemente faremos, escrevemos simplesmente

gij =

⟨∂

∂xi,∂

∂xj

⟩(2.3)

e notamos que a simetria do tensor metrica implica que

gij = gji. (2.4)

35


Em particular, quando consideramos a matriz

G = (gij) (2.5)

segue que G e uma matriz simetrica, positiva definida.Usando o produto simetrico de tensores (veja [Lee 1], Cap. 12, p. 315), que no caso de covetores e

simplesmente

ωη :=1

2(ω ⊗ η + η ⊗ ω) (2.6)

e a simetria do tensor metrica, podemos escrever a expressao

g =

n∑i,j=1

gijdxi ⊗ dxj

na forma mais familiar

g =n∑

i,j=1

gijdxidxj , (2.7)

ja que

g =

n∑i,j=1

gijdxi ⊗ dxj =

n∑i,j=1

1

2(gij + gji) dx

i ⊗ dxj

=1

2

n∑i,j=1

gijdxi ⊗ dxj +

1

2

n∑i,j=1

gjidxi ⊗ dxj

=1

2

n∑i,j=1

gijdxi ⊗ dxj +

1

2

n∑i,j=1

gijdxj ⊗ dxi (permutando os ındices i, j)

=n∑

i,j=1

gij1

2

(dxi ⊗ dxj + dxj ⊗ dxi

)=

n∑i,j=1

gijdxidxj .

Estritamente falando, uma variedade riemanniana e um par (M, g), ondeM e uma variedade diferenciavele g a metrica riemanniana, ja que uma mesma variedade diferenciavel pode admitir diferencas metricasriemannianas, como veremos no decorrer deste texto. Contudo, quando nao houver perigo de confusao, nosvamos nos referir a variedade riemanniana simplesmente por M .

2.2 Exemplo. (Metrica Euclidiana) Rn com a metrica euclidiana gij = ⟨ei, ej⟩ = δij .

2.3 Proposicao. Toda variedade riemanniana possui uma metrica riemanniana.

Prova: Seja φα : Uα −→ Vαα um atlas para M e fαα uma particao da unidade de M subordinada acobertura Vαα.

Em cada Vα podemos definir uma metrica riemanniana, aquela induzida pela parametrizacao: dado

p ∈M e vetores v, w ∈ TpM , eles se escrevem em coordenadas com relacao a base Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

associada a parametrizacao φα por

v =

n∑i=1

vi∂

∂xi

∣∣∣∣p

e w =

n∑i=1

wi∂

∂xi

∣∣∣∣p


e definimos o produto interno

⟨v, w⟩αp =n∑

i=1

viwi.

Esta e uma metrica riemanniana na subvariedade Vα, pois gαij = δij . Para definir uma metrica riemanniana

global em M , usamos a particao da unidade,

⟨v, w⟩p =n∑

i=1

fα (p) ⟨v, w⟩αp .

2.4 Exemplo. (Metrica Produto) Se (M1, g1) e (M2, g2) sao duas variedades riemannianas, entao definimosa metrica produto g = g1 ⊕ g2 na variedade produto M1 ×M2 por

g(p1,p2) ((v1, w1) , (v2, w2)) = (g1)p1(v1, v2) + (g2)p2

(w1, w2) (2.8)

para todos (v1, w1) , (v2, w2) ∈ Tp1M1 ⊕ Tp2M2∼= T(p1,p2) (M1 ×M2). Observe que a matriz associada

a metrica G e a matriz diagonal em blocos

G =

[G1 00 G2

]=

[(g1)ij 0

0 (g2)ij

].

2.5 Definicao. Sejam M,N variedades riemannianas. Um difeomorfismo F : M −→ N e uma isometriase

⟨v, w⟩p = ⟨dFpv, dFpw⟩f(p) (2.9)

para todo p ∈ M e para todos v, w ∈ TpM . Se existir uma isometria entre M e N , dizemos que M eN sao isometricas.

Dizemos que M e N sao localmente isometricas se para todo p ∈ M existe uma vizinhanca Vp dep em M e uma isometria local F : Vp −→ F (Vp).

Dizemos que uma variedade riemanniana (M, g) e plana, se ela e localmente isometrica a Rn com ametrica euclidiana.

Observe que o conjunto das isometrias em uma variedade riemanniana possui uma estrutura natural de grupoem que o produto de isometrias e definido como a composicao das aplicacoes. Este grupo e denotado por

Isom (M) .

2.6 Exemplo. O grupo de isometrias de Rn com a metrica euclidiana consiste das aplicacoes ortogonais.No caso de R2 e o conjunto das rotacoes e reflexoes.

2.7 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel, (N,h) uma variedade riemanniana e F : M −→ Numa imersao. A metrica induzida por F em M (tambem chamada a metrica do pullback) edenotada por

g = F ∗h

e definida por⟨v, w⟩p := ⟨dFpv, dFpw⟩f(p) (2.10)

para todo p ∈M e para todos v, w ∈ TpM .


Desta forma, a imersao F se torna uma imersao isometrica. Um difeomorfismo F entre duas variedadesriemannianas (M, g) e (N,h) e uma isometria se

g = F ∗h.

E facil ver que isometria e uma relacao de equivalencia na classe das variedades riemannianas. Geometriariemanniana e principalmente o estudo das propriedades que sao invariantes por isometrias.

2.8 Exemplo. (Superfıcies n-dimensionais em RN ) Seja M ⊂ Rn+k uma variedade diferenciavel de di-mensao n, isto e, uma superfıcie n-dimensional. A aplicacao inclusao i : M −→ Rn+k e uma imersao,logo, assumindo a metrica euclidiana em Rn+k, induz em M uma metrica riemanniana. Neste caso,a inclusao passa a ser uma imersao isometrica. Daı, como a diferencial dip da inclusao e a inclusaonatural de TpM em Rn+k, segue que

⟨v, w⟩p = ⟨v, w⟩Rn+k (2.11)

onde ⟨·, ·⟩Rn+k e o produto interno canonico de Rn+k. Uma demonstracao alternativa de que todavariedade diferenciavel possui uma metrica segue entao do Teorema da Imersao de Whitney: a metricainduzida pela metrica euclidiana em Rn. Diferentes parametrizacoes podem ser usadas para superfıciesn-dimensionais, cada uma dando origem a componentes gij (para a mesma metrica) mais ou menossimples.

a) (Graficos de Funcoes) Se U ⊂ Rn e um aberto e f : U → R e uma funcao, entao o grafico de f

graf (f) =(x, f (x)) : x ∈ Rn+1

e uma variedade diferenciavel com a topologia induzida de Rn+1 de dimensao n. Uma parametrizacaoglobal para o grafico de f e por φ : Rn −→graf(f) definida por

φ(x1, . . . , xn

)=(x1, . . . , xn, f

(x1, . . . , xn

)).

Como

∂φk

∂xj=

δkj se k = n+ 1,∂f

∂xjse k = n+ 1,

ou seja,∂φk

∂xj(x) =

(0, . . . , 0, 1

j, 0, . . . 0,

∂f

∂xj(x)

)segue que

gij (x) =

⟨∂φ

∂xi(x) ,

∂φ

∂xj(x)

⟩(x,f(x))

=

⟨∂φ

∂xi(x) ,

∂φ

∂xj(x)

⟩Rn+1

= δij +∂f

∂xi∂f

∂xj. (2.12)

(2) (Toro Plano)

b) (Superfıcies de Revolucao) Uma superfıcie de revolucao S gerada por uma curva C e uma variedadediferenciavel de dimensao 2 mergulhada em R3 da forma

S =(x, y, z) ∈ R3 :

(√x2 + y2, z

)∈ C

,

ou seja, podemos imaginar S obtida atraves da rotacao de C em torno do eixo z. Uma parametrizacaolocal para a superfıcie de revolucao S gerada por C e φ : I × R −→ R3 dada por

φ (t, θ) = (α (t) cos θ, α (t) sen θ, β (t))


onde γ (t) = (α (t) , β (t)) e uma parametrizacao local para a curva C. Daı,

∂φ

∂t(t, θ) = (α′ (t) cos θ, α′ (t) sen θ, β′ (t)) ,

∂φ

∂θ(t, θ) = (−α (t) sen θ, α (t) cos θ, 0) ,

donde

g11 (t, θ) =

⟨∂φ

∂t(t, θ) ,

∂φ

∂t(t, θ)

⟩φ(t,θ)

=

⟨∂φ

∂t,∂φ

∂t

⟩R3

= [α′ (t)]2+ [β′ (t)]

2,

g12 (t, θ) =

⟨∂φ

∂t(t, θ) ,

∂φ

∂θ(t, θ)

⟩φ(t,θ)

=

⟨∂φ

∂t,∂φ

∂θ

⟩R3

= 0,

g22 (t, θ) =

⟨∂φ

∂θ(t, θ) ,

∂φ

∂θ(t, θ)

⟩φ(t,θ)

=

⟨∂φ

∂θ,∂φ

∂θ

⟩R3

= [α (t)]2.

Portanto

G (t, θ) =

[[α′ (t)]

2+ [β′ (t)]

20

0 [α (t)]2

].

2.9 Exemplo. (Esfera) A metrica euclidiana induz uma metrica na esfera de raio r

Snr =x ∈ Rn+1 : ∥x∥2 =

(x1)2

+ . . .+(xn+1

)2= r2

que chamaremos a metrica canonica de Snr . Denotaremos a esfera unitaria por Sn, simplesmente.Vamos ver os coeficientes gij para diferentes parametrizacoes da esfera.

a) Como grafico de funcao.

O hemisferio superior da esfera e o grafico da funcao f : Br ⊂ Rn −→ R dada por f(x1, . . . , xn

)=√

r2 − (x1)2 − . . .− (xn)

2. Como

∂f

∂xi(x) =

−xir2 − ∥x∥2

,

segue que

gij (x) = δij +xixj√r2 − ∥x∥2

. (2.13)

Similarmente para o hemisferio inferior. Estas parametrizacoes nao cobrem o equador da esfera.

b) Como superfıcie de revolucao.

A parametrizacao da esfera de raio r como superfıcie de revolucao e

(x, y, z) (ϕ, θ) = (r senϕ cos θ, r senϕ sen θ, r cosϕ).

Segue que

G (ϕ, θ) =

[r2 00 r2 sen2 ϕ

].

Esta parametrizacao cobre toda a esfera e e uma imersao isometrica.


c) Atraves da projecao estereografica.

Na projecao estereografica a partir do polo norte N = (0, . . . , 0, r), a reta a partir de N que interceptao plano xn+1 = 0 em um ponto x =

(x1, . . . , xn, 0

), intercepta a esfera em um ponto φ (x). Portanto

a parametrizacao da projecao estereografica a partir do polo norte φ : Rn −→ Snr e definida por

φ (x) = N + t (x−N) =(tx1, . . . , txn, (1− t) r

)onde t > 0 e tal que ∥φ (x)∥ = r. Ou seja, t e tal que

t2 ∥x∥2 + (1− t)2r2 = r2,

donde

t =2r2

r2 + ∥x∥2.

Portanto,

φ(x1, . . . , xn

)=

(2r2x1

r2 + ∥x∥2, . . . ,

2r2xn

r2 + ∥x∥2, r

∥x∥2 − r2

r2 + ∥x∥2

)(2.14)

Daı

∂φk

∂xj(x) =

2r2δkj

r2 + ∥x∥2− 4r2xjxk(

r2 + ∥x∥2)2 se k = n+ 1,

4r3xj(r2 + ∥x∥2

)2 se k = n+ 1.

Segue que as componentes do tensor metrica nas coordenadas dadas pela parametrizacao φ sao

gij (x) =

⟨∂φ

∂xi(x) ,

∂φ

∂xj(x)

⟩φ(x)

=

⟨n+1∑k=1

∂φk

∂xi(x) ek,

n+1∑l=1

∂φl

∂xj(x) el

⟩Rn+1

=n+1∑k,l=1

∂φk

∂xi∂φl

∂xj⟨ek, el⟩Rn+1 =

n+1∑k,l=1

∂φk

∂xi∂φl

∂xjδkl =

n+1∑k=1

∂φk

∂xi∂φk

∂xj

=

n∑k=1

2r2δki

r2 + ∥x∥2− 4r2xixk(

r2 + ∥x∥2)2 2r2δkj

r2 + ∥x∥2− 4r2xjxk(

r2 + ∥x∥2)2+

16r6xixj(r2 + ∥x∥2

)4=

n∑k=1

4r4δkiδkj(r2 + ∥x∥2

)2 −8r4

(δkix

jxk + δkjxixk)(

r2 + ∥x∥2)3 +

16r4xixj(xk)2(

r2 + ∥x∥2)4+

16r6xixj(r2 + ∥x∥2

)4=

4r4δij(r2 + ∥x∥2

)2 − 16r4xixj(r2 + ∥x∥2

)3 +16r4xixj ∥x∥2(r2 + ∥x∥2

)4 +16r6xixj(r2 + ∥x∥2

)4=

4r4δij(r2 + ∥x∥2

)2 − 16r4xixj(r2 + ∥x∥2

)3 +16r4xixj(r2 + ∥x∥2

)3=

4r4δij(r2 + ∥x∥2

)2 .


Vamos anotar este resultado para futura referencia:

gij (x) =4r4(

r2 + ∥x∥2)2 δij . (2.15)

Em termos matriciais, G = (gij) e matriz diagonal multipla da identidade

G (x) =

4r4(r2 + ∥x∥2

)2. . .

4r4(r2 + ∥x∥2

)2

=

4r4(r2 + ∥x∥2

)2 I.

A projecao estereografica e um mergulho. Usando a projecao estereografica a partir do polo sul obtemosduas parametrizacoes que cobrem toda a esfera.

2.10 Exemplo. (Espaco Hiperbolico) Considere o semiespaco superior de Rn

Hn =(x1, . . . , xn

)∈ Rn : xn > 0

.

Com a topologia induzida como aberto de Rn, Hn e uma superfıcie diferenciavel de dimensao n. Sedefinirmos diretamente em Hn a metrica

gij(x1, . . . , xn

)=

δij

(xn)2 , (2.16)

entao Hn e uma variedade riemanniana chamada o espaco hiperbolico n-dimensional. Em termosmatriciais, G = (gij) e matriz diagonal multipla da identidade

G =

1

(xn)2

. . .1

(xn)2

=1

(xn)2 I.

2.11 Exemplo. (Toros) O toro mergulhado em R3 e uma superfıcie de revolucao gerada pelo cırculo.Tomando o cırculo com centro em (R, 0) e raio r < R com parametrizacao γ (t) = (R+ r cos t, r sen t)obtemos a parametrizacao para o toro bidimensional como superfıcie de revolucao

φ (t, θ) = ((R+ r cos t) cos θ, (R+ r cos t) sen θ, r sen t)

cuja respectiva metrica e dada por

G (t, θ) =

[r2 0

0 (R+ r cos t)2

].

Outra metrica induzida de RN importante para o toro, nao localmente isometrica a metrica dadaacima (como veremos depois) e a metrica plana do toro: considerando o toro como a superfıcie


n-dimensional Tn = S1 × . . . × S1 ⊂ R2n, a metrica euclidiana de R2n induz uma metrica no toro daseguinte forma. Escrevendo

Tn = S1 × . . .× S1 =x ∈ R2n :

(x1)2

+(x2)2

=(x3)2

+(x4)2

= . . . =(x2n−1

)2+(x2n)2

= 1,

vemos que uma parametrizacao φ : Rn −→ Tn para este toro e dada por

φ (θ) = φ(θ1, . . . , θn

)=(cos θ1, sen θ1, . . . , cos θn, sen θn

).

Temos, portanto,

∂φk

∂θj(θ) =

− sen θj se k = 2j − 1,cos θj se k = 2j,0 se k = 2j − 1, 2j.

ou seja,∂φ

∂θj=

(0, . . . , 0,− sen θj

2j−1, cos θj

2j, 0, . . . 0

)Daı

gij (θ) =

⟨∂φ

∂θi(θ) ,

∂φ

∂θj(θ)

⟩φ(θ)

=

⟨∂φ

∂θi(θ) ,

∂φ

∂θj(θ)

⟩R2n

= δij , (2.17)

que sao os mesmos componentes da metrica euclideana. Portanto, o toro plano e localmente isometricoao plano Rn. Observe que considerando T2 como uma superfıcie de R3 ou como uma superfıcie de R4

define duas metricas completamente diferentes para a mesma superfıcie.

2.2 Comprimentos e Volumes

2.2.1 Comprimentos de Curvas Parametrizadas

Em variedades riemannianas podemos definir e calcular o comprimento de curvas parametrizadas. Uma curvaparametrizada em uma variedade diferenciavel M e simplesmente uma aplicacao diferenciavel γ : I −→ M ,onde I ⊂ R e um intervalo real; curvas parametrizadas podem possuir autointersecoes e ate mesmo cuspidesou quinas. Um segmento de uma curva parametrizada γ e uma restricao de γ a um intervalo fechado[a, b] ⊂ I. Se M e uma variedade riemanniana, a norma ou comprimento de um vetor v ∈ TpM e a normainduzida pelo produto interno:

∥v∥p =√⟨v, v⟩p. (2.18)

2.12 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana e γ : I −→M uma curva parametrizada. O compri-mento do segmento de γ definido no intervalo [a, b] ⊂ I e definido por

ℓ (γ) =

∫ b

a

∥γ′ (t)∥γ(t) dt. (2.19)

2.13 Exemplo. Considere a curva parametrizada γ (t) = (0, t) no semiespaco positivo R2+; temos γ′ (t) =

(0, 1) = e2. Se R2+ e considerado uma subvariedade riemanniana do plano euclideano, entao

ℓ (γ) =

∫ b

a

∥e2∥(0,t) dt =∫ b

a

dt = b− a.

Se R2+ e o plano hiperbolico H2, entao (para a, b > 0)

ℓ (γ) =

∫ b

a

∥e2∥(0,t) dt =∫ b

a

1

tdt = log b− log a.

Em particular, fixando b = 1 temos ℓ (γ) → +∞ quando a→ 0.


2.2.2 Volumes em Variedades Riemannianas Orientaveis

A metrica riemanniana tambem permite definir uma nocao de volume em variedades orientadas que permiteintegrar funcoes, nao apenas formas diferenciais. Seja M uma variedade riemanniana orientada. Dadop ∈ M , seja Bp = e1, . . . , en uma base ortonormal positiva para TpM . Seja φ : U −→ φ (U) umaparametrizacao positiva (isto e, na mesma orientacao de M ; para detalhes, veja por exemplo [Carmo], p.18) de uma vizinhanca φ (U) de p em M e escreva os vetores da base coordenada de TpM associada aparametrizacao φ em coordenadas em relacao a base ortonormal positiva Bp na seguinte forma:

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=n∑

k=1

akiek

para i = 1, . . . , n. Entao

gij (p) =

⟨∂

∂xi

∣∣∣∣p

,∂

∂xj

∣∣∣∣p

⟩p

=

⟨n∑

k=1

akiek,n∑

l=1

aljel

⟩p

=n∑

k,l=1

akialj ⟨ek, el⟩p =n∑

k,l=1

δklakialj

=n∑

k=1

akiakj .

Ou seja, definindo as matrizes G = (gij) e A = (aij), temos

G (p) = ATA

dondedetG = (detA)

2.

Denotando por vol [v1, . . . , vn] o volume do paralelepıpedo formado pelos vetores v1, . . . , vn, sabemos que

vol

[∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

]= det (aij) vol [e1, . . . , en] = detA =

√detG (p) ,

ja que vol [e1, . . . , en] = 1. Seja ψ : V −→ ψ (V ) outra parametrizacao positiva de uma vizinhanca ψ (V ) dep em M e usando a notacao da Proposicao 1.4 escreva

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

n∑j=1

Jji∂

∂yj

∣∣∣∣p

. (2.20)

com Jji = ∂yj/∂xi. Denote

hij (p) =

⟨∂

∂yi

∣∣∣∣p

,∂

∂yj

∣∣∣∣p

⟩p

eH = (hij) .

Segue que

√detG (p) = vol

[∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

]= det J vol

[∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

](2.21)

= det J√detH (p)

Podemos agora definir


2.14 Definicao. Seja Mn uma variedade riemanniana e Ω ⊂ M um conjunto aberto, conexo e com fechocompacto, tal que Ω esta contida em uma vizinhanca coordenada φ (U) de uma parametrizacao φ :U −→ φ (U) e a fronteira de φ−1 (Ω) tem medida nula em Rn. O volume de Ω e definido por

volΩ =

∫φ−1(Ω)

√detGdx1 . . . dxn. (2.22)

Se Ω ⊂ M e um compacto, tome qualquer cobertura finita Vii=1,...,n de Ω por vizinhancas para-metrizadas de M e considere uma particao da unidade ρii=1,...,n subordinada a esta cobertura; seφi : Ui −→ Vi, i = 1, . . . , n, sao parametrizacoes destas vizinhancas, definimos

volΩ =n∑

i=1

∫φ−1

i (Ω)

ρi√detGdx1 . . . dxn. (2.23)

Se f :M −→ R e uma funcao contınua com suporte compacto Ω, definimos∫M

f dVg =

n∑i=1

∫φ−1

i (Ω)

f(φ−1i (x)

)√detGdx1 . . . dxn. (2.24)

Segue da formula de mudanca de variaveis para integrais multiplas e de (2.21) que o volume esta bem definido,isto e, nao depende da parametrizacao. Na linguagem de formas, o elemento de volume riemanniano

dVg =√detGdx1 . . . dxn =

√detGdx1 ∧ . . . ∧ dxn (2.25)

e uma n-forma (para um tratamento usando formas, veja [Lee 2] e especialmente [Lee 1], Cap. 16, p. 422em diante, que traz o teorema de Stokes e suas varias versoes para variedades riemannianas).

2.3 Grupos de Lie e Algebras de Lie

O grupo de isometrias de uma variedade Riemanniana e um grupo de Lie, como pode ser visto em .

2.15 Definicao. Um grupo de Lie G e uma variedade diferenciavel que possui uma estrutura algebricade grupo tal que a aplicacao

G×G −→ G

(g, h) 7→ gh−1

e diferenciavel.

2.16 Proposicao. Seja G um grupo que e uma variedade diferenciavel. Entao G e um grupo de Lie se esomente se as aplicacoes

G −→ G

g 7→ g−1

e

G×G −→ G

(g, h) 7→ gh

sao diferenciaveis.


Prova: Suponha que G e um grupo de Lie. Entao a primeira aplicacao e diferenciavel porque e a compostadas aplicacoes diferenciaveis

G −→ G×G −→ Gx 7→ (e, g) 7→ eg−1 = g−1

(lembre-se que a inclusao na variedade produto sempre e uma aplicacao diferenciavel). A segunda e dife-renciavel porque e a composta das aplicacoes diferenciaveis

G×G −→ G×G −→ G

(g, h) 7→(g, h−1

)7→ g

(h−1

)−1= gh

(lembre-se que uma aplicacao de G × G em G × G e uma aplicacao diferenciavel se e somente se cadaaplicacao coordenada G ×G −→ G e, e as projecoes da variedade produto sobre suas componentes sempresao aplicacoes diferenciaveis). A recıproca e obvia.

2.17 Exemplos. As seguintes variedades diferenciaveis sao grupos de Lie sob as operacoes indicadas.

(a) Rn, adicao vetorial.

(b) C\ 0, multiplicacao.

(c) S1, multiplicacao induzida de C.(d) G×H, variedade produto de dois grupos de Lie G,H, com estrutura de grupo do produto diretodos grupos (g1, h1) (g2, h2) = (g1g2, h1h2).

(e) Tn = S1 × . . .× S1, variedade produto e produto direto n vezes do grupo de Lie S1.

(f) GL(Rn) (o grupo linear geral das matrizes reais invertıveis n×n, subvariedade de Rn2

), multiplicacaomatricial.

2.18 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Dado g ∈ G, entao as aplicacoes translacao a esquerda por g

Lg : G −→ Gg 7→ gh

(2.26)

e translacao a direita por gRx : G −→ G

h 7→ yg(2.27)

sao difeomorfismos.

Observando que

(Lg)−1

= Lg−1 ,

(Rg)−1

= Rg−1 ,

temos pela regra da cadeia [(dLg)h

]−1=(dL−1

g

)Lgh

=(dLg−1

)gh

(2.28)

e similarmente [(dRg)h

]−1=(dRg−1

)gh. (2.29)

2.19 Definicao. Uma algebra de Lie (sobre R) e um espaco vetorial G munido de uma aplicacao bilinear,chamada o colchete de Lie,

[·, ·] : V × V −→ R


que satisfaz

(i) (anticomutatividade)[X,Y ] = − [Y,X] ; (2.30)

(ii) (identidade de Jacobi)

[[X,Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0 (2.31)

para todos X,Y, Z ∈ G.

2.20 Exemplo. Seja M uma variedade diferenciavel. O espaco vetorial X (M), equipado com o colchete deLie definido na Definicao 0.25 e uma algebra de Lie.

2.21 Exemplo. O espaco vetorial das matrizes reais n× n com a operacao colchete definida por

[A,B] = AB −BA (2.32)

e uma algebra de Lie. De fato, bilinearidade e anticomutatividade claramente valem e

[[A,B] , C] + [[B,C] , A] + [[C,A] , B]

= (AB −BA)C − C (AB −BA) + (BC − CB)A−A (BC − CB)

+ (CA−AC)B −B (CA−AC)

= ABC −BAC − CAB + CBA+BCA− CBA−ABC +ACB

+ CAB −ACB −BCA+BAC

= 0.

Esta algebra de Lie e denotada por gl (Rn).

2.22 Exemplo. R3 com o produto vetorial e uma algebra de Lie.

Veremos agora a relacao entre grupos de Lie e algebras de Lie. Primeiro algumas preliminares. PelaProposicao 2.13, toda translacao a esquerda Lx em um grupo de Lie e um difeomorfismo.

2.23 Definicao. Seja G um grupo de Lie. Dizemos que um campo vetorial X ∈ X (G) e invariante aesquerda se

dLgX = X Lg (2.33)

para todo g ∈ G.

Explicitando a definicao acima, temos que para todo g ∈ G vale

(dLg)hXh = XLgh = Xgh. (2.34)

para todo h ∈ G. Em particular, um campo invariante a esquerda fica completamente determinado pelo seuvalor em algum ponto qualquer de G. Por exemplo, se conhecemos o valor de Xe entao, tomando h = e,segue que

Xg = (dLg)eXe. (2.35)

O proximo resultado garante a existencia de um numero infinito de campos invariantes a esquerda em umgrupo de Lie.

2.24 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Todo vetor tangente Xe no espaco tangente TeG possui umaextensao a um campo invariante a esquerda X ∈ X (G).


Prova: Basta definirXg = (dLg)eXe.

Como Lg e um difeomorfismo C∞, claramenteX ∈ X (G). Para ver que X e um campo invariante a esquerda,seja h ∈ G qualquer. Como

Lh Lg = Lhg

segue que(dLh)gXg = (dLh)g (dLg)eXg = [d (Lh Lg)]eXg = (dLhg)eXg = Xhg.

2.25 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Entao o colchete de Lie de campos invariantes a esquerda einvariante a esquerda.

Em particular, o subespaco dos campos invariantes a esquerda e uma algebra de Lie.

Prova: Sejam X,Y ∈ X (G) campos invariantes a esquerda. Temos, para toda f ∈ C∞ (G),

(dLg)h [X,Y ]h f = [X,Y ]h (f Lg)

= XYh (f Lg)− Y Xh (f Lg)

= X (dLg)h Yh (f)− Y (dLg)hXh (f)

= XYgh (f)− Y Xgh (f)

= [X,Y ]gh f.

Como o subconjunto dos campos invariantes a esquerda e um subespaco vetorial de X (G), segue que elee uma (sub)algebra de Lie.

Podemos agora definir uma operacao colchete de Lie no espaco tangente (espaco vetorial) TeG que otransforma em uma algebra de Lie:

2.26 Definicao. Seja G um grupo de Lie. A algebra de Lie G de G e o espaco tangente TeG munido docolchete de Lie

[Xe, Ye] := [X,Y ]e . (2.36)

onde X,Y ∈ X (G) sao quaisquer extensoes invariantes a esquerda dos vetores tangentes Xe, Ye.

A Proposicao 2.20, juntamente com a observacao anterior de que um campo invariante a esquerda e comple-tamente determinado pelo seu valor em e, garante que o conceito da algebra de Lie do grupo de Lie. Pode-semostrar que a algebra de Lie dos campos invariantes a esquerda e isomorfa ao espaco tangente TeG, emparticular como espaco vetorial ela tem dimensao finita, igual a dimensao de G (veja [Lee 1], Teorema 8.37,e [Warner], p.86, Definicao 3.1).

Podemos agora introduzir uma metrica em G com certas propriedades algebricas.

2.27 Definicao. Seja G um grupo de Lie. Dizemos que uma metrica ⟨·, ·⟩g em G e invariante a esquerdase

⟨v, w⟩h =⟨(dLg)h v, (dLg)h w

⟩Lgh

(2.37)

para todos g, h ∈ G e para todos v, w ∈ TeG. Analogamente, definimos uma metrica invariante adireita.

Uma metrica que e ao mesmo tempo invariante a esquerda e a direita e chamada uma metrica bi-invariante.

Em outras palavras, em uma metrica invariante a esquerda, toda translacao a esquerda Lg e uma isometria,enquanto que em uma metrica invariante a direita, toda translacao a direita Rg e uma isometria. Em umametrica bi-invariante todas as translacoes sao isometrias. A existencia de metricas bi-invariantes para gruposde Lie compactos e estabelecida no Exercıcio 7 de [Carmo]. A existencia de metrica invariantes a esquerdaou a direita em qualquer grupo de Lie e estabelecida atraves da seguinte definicao.


2.28 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Suponha que ⟨, ⟩ e algum produto interno em TeG. Entao ametrica em G definida por

⟨v, w⟩g =⟨(dLg−1

)gv,(dLg−1

)gw⟩e

(2.38)

para todo g ∈ G e para todos v, w ∈ TeG, e invariante a esquerda.

Analogamente, a metrica em G definida por

⟨v, w⟩g =⟨(dRg−1

)gv,(dRg−1

)gw⟩e

para todo g ∈ G e para todos v, w ∈ TeG, e invariante a direita.

Prova: Temos, por definicao,

⟨(dLg)h v, (dLg)h w

⟩Lgh

=

⟨(dL(Lgh)

−1

)Lgh

(dLg)h v,(dL(Lgh)

−1

)Lgh

(dLg)h w

⟩e

=⟨(dLh−1g−1

)gh

(dLg)h v,(dLh−1g−1

)gh

(dLg)h w⟩e

= ⟨(dLh−1)h v, (dLh−1)h w⟩e= ⟨v, w⟩h

lembrando que Lh−1g−1 Lg = Lh−1g−1g = Lh−1 . Analogamente prova-se a invariancia a direita da segundametrica.

Ha uma relacao entre o produto interno e o colchete de Lie em G = TeG que caracteriza as metricasbi-invariantes de G que enunciaremos sem prova.

2.29 Teorema. Seja G um grupo de Lie com algebra de Lie G. A metrica invariante a esquerda definidana proposicao anterior e bi-invariante se e somente se o produto escalar ⟨, ⟩ em G = TeG usado paradefinir a metrica satisfaz

⟨[V,X] ,W ⟩ = −⟨V, [W,X]⟩

para todos V,W,X ∈ G.

2.4 Exercıcios

2.1 Mostre que a metrica produto e de fato uma metrica. Porque

g(p1,p2) ((v1, w1) , (v2, w2)) = gp1(v1, v2) gp2

(w1, w2)

nao define uma metrica na variedade produto M1 ×M2?

2.2 Exercıcios do Capıtulo 1 de [Carmo].

Capıtulo 3

Conexoes Riemannianas

E possıvel definir geodesicas e estudar suas propriedades sem falar de curvatura. Na verdade e ate possıvelfalar em geodesicas sem falar de metrica. Geodesicas sao generalizacoes das retas da geometria euclideana.Embora seja possıvel definir geodesicas como curvas que minimizam distancias, pelo menos localmente (eneste caso a nocao de geodesica estaria tambem fundamentalmente ligada a nocao de metrica) esta proprie-dade e tecnicamente difıcil de trabalhar como definicao. Ao inves, escolheremos uma propriedade diferentedas retas para generalizar: retas sao caracterizadas como curvas com aceleracao nula. Esta propriedade naofaz nenhuma referencia a metrica e pode ser utilizada mesmo em variedades diferenciaveis que nao tenhamuma estrutura riemanniana. Para usar esta propriedade, precisaremos primeiro definir o conceito de deriva-das de campos tangentes a curvas. Como em geral nao existe um espaco ambiente Rn onde a variedade estamergulhada, nao e imediatamente obvio como defini-lo. Se γ : I −→ M e uma curva diferenciavel em umavariedade M nao podemos simplesmente definir

γ′′ (t0) = limt→t0

γ′ (t)− γ′ (t0)

t− t0

porque γ′ (t) ∈ Tγ(t)M e γ′ (t0) ∈ Tγ(t0)M vivem em diferentes espacos vetoriais, logo sua diferenca naofaz sentido. A definicao do conceito de conexao atende esta necessidade de definir uma nocao de derivacaointrınseca para campos vetoriais. O nome conexao se refere exatamente a ideia de conectar localmente osespacos tangentes de uma variedade.

3.1 Conexoes

Consideremos o conjunto X (M) dos campos vetoriais diferenciaveis em uma variedade diferenciavelM comoum modulo sobre o anel C∞ (M) das funcoes suaves definidas em M .

3.1 Definicao. SejaM uma variedade diferenciavel de dimensao n. Uma conexao ∇ emM e uma aplicacao

∇ : X (M)× X (M) −→ X (M) ,

denotada por (X,Y ) 7→ ∇XY que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) ∇fX+gY Z = f∇XZ + g∇Y Z,

(ii) ∇X (Y + Z) = ∇XY +∇XZ,

(iii) ∇X (fY ) = f∇XY + (Xf)Y.

para todos os campos X,Y, Z ∈ X (M) e para todas as funcoes f, g ∈ C∞ (M).

Dizemos que ∇XY e a derivada covariante do campo Y na direcao de X.

49


O sımbolo ∇XY deve ser interpretado como a derivada direcional do campo Y na direcao X. O resultado aseguir reforca esta nocao:

3.2 Proposicao. Seja ∇ uma conexao em uma variedade diferenciavel M . Entao (∇XY )p depende apenasdo valor de X em p e do valor de Y ao longo de uma curva tangente a Xp.

Prova: Sejam

X =n∑

i=1

Xi∂i, Y =n∑

j=1

Y j∂j ,

expressoes locais dos campos X e Y . Entao ∇XY pode ser expressa na forma

∇XY =

n∑i,j=1

XiY j∇∂i∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j . (3.1)

De fato, das propriedades de uma conexao segue que

∇XY = ∇X

n∑j=1

Y j∂j

=n∑

j=1

∇X

(Y j∂j

)=

n∑j=1

Y j∇X∂j +n∑

j=1

X(Y j)∂j

=n∑

j=1

Y j∇∑ni=1 Xi∂i

∂j +n∑

j=1

X(Y j)∂j

=n∑

i,j=1

XiY j∇∂i∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j .

Em particular,

(∇XY )p =n∑

i,j=1

Xi (p)Y j (p) (∇∂i∂j)p +

n∑j=1

[Xp

(Y j)]

(p) ∂j |p .

Os coeficientesX1 (p) , . . . , Xn (p) dependem apenas do valor deX em p; os coeficientesXp

(Y 1), . . . , Xp (Y

n),por definicao de vetor tangente, dependem apenas dos valores de Y ao longo de uma curva passando por pcujo vetor tangente em p e Xp.

Da expressao (3.1), escrevendo os campos vetoriais ∇∂i∂j em termos dos campos base ∂k na forma

∇∂i∂j =n∑

k=1

Γkij∂k, (3.2)

obtemos a seguinte expressao local para o campo ∇XY :

∇XY =

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

∂k. (3.3)

3.3 Definicao. As funcoes suaves Γkij definidas pela expressao (3.3) sao chamadas os sımbolos de Chris-

toffel associados a parametrizacao particular utilizada.

Observe que em princıpio precisamos obter n3 sımbolos de Christoffel para determinar uma conexao. Nocaso de conexoes riemannianas, a simetria diminui o numero de sımbolos diferentes.

3.4 Proposicao. Toda variedade diferenciavel possui uma conexao.


Prova: Se V e uma vizinhanca coordenada deM , dadas n3 funcoes arbitrarias Γkij ∈ C∞ (V ), a formula (3.3)

define uma conexao em V , vista como subvariedade de M . Se Vα e uma cobertura de M por vizinhancascoordenadas, cada uma com uma conexao ∇α, entao podemos definir uma conexao global em M , usandouma particao da unidade ρα subordinada a esta cobertura, por

∇XY =∑α

ρα∇αXY.

As propriedades de uma conexao sao facilmente verificadas; apenas a regra do produto merece atencaoespecial, ja que combinacoes lineares de conexoes nao sao conexoes em geral, exatamente por deixarem desatisfazer a regra do produto. Mas combinacoes lineares convexas de conexoes sao conexoes e no nosso casotemos

∇XY (fY ) =∑α

ρα∇αX (fY ) =

∑α

ρα [(Xf)Y + f∇αXY ]

= (Xf)Y∑α

ρα + f∑α

ρα∇αXY

= (Xf)Y + f∇XY.

3.5 Exemplo. (Conexao Euclideana) Identificando espacos tangentes em Rn com o proprio Rn, vetorestangentes com vetores em Rn e campos vetoriais em Rn com aplicacoes suaves Rn −→ Rn, nos definimosa conexao euclideana ∇ : X (Rn)× X (Rn) −→ X (Rn) por

(∇XY )p = dYp (Xp) , (3.4)

ou seja, a derivada direcional do campo Y em p na direcao de Xp. Em coordenadas, usando a definicaode diferencial em Rn,

dYp (Xp) =n∑

j=1

(n∑

i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)ej ,

ou seja,

∇XY =n∑

j=1

(n∑

i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)∂

∂xj. (3.5)

Outra maneira de obter a mesma expressao em coordenadas, usando a regra da cadeia,

dYp (Xp) (f) = Xp (f Y ) =n∑

i=1

Xi ∂ (f Y )

∂xi=

n∑i=1

Xin∑

j=1

∂f

∂xj∂Y j

∂xi

=n∑

j=1

(n∑

i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)∂

∂xj(f) .

Em notacao mais sucinta, a expressao em coordenadas da conexao euclideana que obtemos a partir de(3.5) e

∇XY =

n∑j=1

X(Y j) ∂

∂xj. (3.6)

E facil verificar que a conexao euclideana satisfaz todas as condicoes da Definicao 3.1:

(∇fX+gY Z)p = dZp

[(fX + gY )p

]= dZp (f (p)Xp + g (p)Yp)

= f (p) dZp (Xp) + g (p) dZp (Yp)

= f (p) (∇XZ)p + g (p) (∇Y Z)p ,


[∇X (Y + Z)]p = d (Y + Z)p (Xp) = dYp (Xp) + dZp (Xp) = (∇XY )p + (∇XZ)p

e

[∇X (fY )]p = d (fY )p (Xp) = f (p) [dYp (Xp)] + dfp (Xp)Yp

= f (p) (∇XY )p +X (f) (p)Yp.

A existencia de uma conexao em uma variedade diferenciavel M permite derivar campos vetoriais aolongo de curvas na variedade. Em particular, e possıvel falar em aceleracao de uma curva e portanto degeodesicas e, eventualmente, curvatura. Na proxima secao veremos que uma metrica riemanniana defineuma conexao unica em uma variedade riemanniana. Conexoes diferentes da conexao induzida pela metricariemanniana permitem a definicao de estruturas geometricas em variedades diferenciaveis mais gerais que adada pela metrica riemanniana; em particular, e possıvel falar de geodesicas sem uma nocao de metrica.

Veremos agora como a conexao permite definir uma nocao intrınseca de derivada de um campo vetorialtangente ao longo de uma curva na variedade.

3.6 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Existe uma unica corres-pondencia que associa a cada campo vetorial diferenciavel V ao longo de uma curva diferenciavelγ : I −→M um outro campo diferenciavel

DV

dt

ao longo de γ tal queD

dt(V +W ) =

D

dt(V +W ) ,

D

dt(fV ) =

df

dtV + f

DV

dt

para todos os campos diferenciaveis V,W ao longo de γ e para toda funcao diferenciavel f : I −→M ,e tal que, se V e induzido por um campo de vetores X ∈ X (M), ou seja, V = X γ, entao

DV

dt= ∇γ′(t)X.

Prova: Observe que para a expressao ∇γ′(t)X fazer sentido, devemos entender o subescrito γ′ (t) nestesımbolo como qualquer extensao local do campo γ′ (t) a um campo em M (o proprio campo X atende esteproposito), ja que pela Proposicao 3.2 so importa o valor da extensao em γ (t), isto e, o vetor tangente γ′ (t),e o valor de X em uma curva tangente a γ′ (t) em γ (t), que pode ser tomada como sendo a propria curva γ.

Vamos provar primeiro a unicidade deDV

dt. Suponha que exista um tal campo

DV

dtsatisfazendo todas

as propriedades do enunciado. Seja

V (t) =

n∑j=1

V j (t) ∂j (t)

a expressao local do campo V , abusando a notacao escrevendo t ao inves de γ (t). Pelas primeiras duaspropriedades do enunciado, temos

DV

dt(t) =

n∑j=1

dV j

dt(t) ∂j (t) +

n∑j=1

V jD∂jdt

(t) .

Pela terceira propriedade,

D∂jdt

(t) =(∇γ′(t)∂j

)(t) =

(∇∑n

i=1dγi

dt (t)∂i∂j

)(t) =

n∑i=1

dγi

dt(t)∇∂i∂j (t) .


Portanto, temos que localmente o campoDV

dtse escreve na forma

DV

dt(t) =

n∑k=1

dV k

dt(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γk

ij (t)Vj (t)

∂k (t) , (3.7)

o que mostra que o campoDV

dte unicamente determinado.

Para determinar a existencia deDV

dt, dada uma parametrizacao φ : U −→ M de uma vizinhanca de γ

em M , defina o campoDV

dtem φ (U) pela expressao (3.7); e imediato verificar que um campo definido desta

forma satisfaz todas as propriedades do enunciado. Alem disso, se ψ :W −→M e uma outra parametrizacao

de uma vizinhanca de γ em M e um campoDV

dte definido por (3.7), entao em φ (U)∩ψ (W ) as expressoes

produzem o mesmo valor a menos de uma mudanca de coordenadas, logoDV

dtesta bem definido.

3.7 Definicao. O campo diferenciavelDV

dte chamado a derivada covariante de V ao longo da curva γ.

3.8 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Um campo vetorial diferenciavel

V ao longo de uma curva diferenciavel γ : I −→M e chamado um campo paralelo ao longo de γ se

DV

dt≡ 0.

Um campo vetorial X ∈ X (M) e chamado um campo paralelo se ele e paralelo ao longo de qualquercurva.

E facil ver que um campo vetorial X ∈ X (M) e paralelo se e somente se

∇YX = 0

para todo campo Y ∈ X (M).

3.9 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Seja γ : I −→ M uma curvadiferenciavel e V0 um vetor tangente em γ (t0), t0 ∈ I. Entao existe um unico campo paralelo Vdefinido ao longo de γ tal que V (t0) = V0.

Prova: Usando a expressao (3.7) obtida na Proposicao 3.6, o campo derivada covarianteDV

dtem coordenadas

locais se escreve na forma

DV

dt(t) =

n∑k=1

dV k

dt(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γk

ij (t)Vj (t)

∂k (t) , (3.8)

Logo, a existencia local do campo V (t) satisfazendoDV

dt= 0 para todo t e V (t0) = V0 corresponde a uma

solucao do sistema linear de n equacoes diferenciais

dv1dt

(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γ1

ij (t) vj (t) = 0

...

dvndt

(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γn

ij (t) vj (t) = 0


com condicao inicialV 1 (t0) = V 1

0 , . . . , Vn (t0) = V n

0 .

Se γ (I) esta inteiramente contida em uma vizinhanca parametrizada, entao o teorema de existencia e uni-cidade para equacoes diferenciais lineares garante a existencia de um unico campo V definido em todo ointervalo I. Caso contrario, como γ (I) e um conjunto compacto, ela pode ser coberta por um numero finitode vizinhancas parametrizadas, em cada uma das quais V pode ser definido de maneira unica usando oraciocınio acima e esta unicidade garante que o campo e o mesmo nas intersecoes das vizinhancas.

3.10 Definicao. O campo V obtido na Proposicao 3.9 e chamado o transporte paralelo de V0 ao longode γ.

3.2 Conexoes Riemannianas

Como metricas riemannianas e conexoes definem cada uma uma estrutura geometrica particular, o caso maisrelevante de variedade riemanniana dotada de uma conexao e quando a estrutura geometrica definida porelas coincide. Para isso a conexao deve satisfaz duas condicoes. A primeira delas e a chamada compatibilidadeda conexao com a metrica, que pode ser definida de qualquer um dos tres modos equivalentes a seguir.

3.11 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao ∇. Entao as seguintes afirmacoessao equivalentes:

(i) Para todos os campos paralelos V e W ao longo de qualquer curva diferenciavel γ em M vale

⟨V,W ⟩ ≡ constante. (3.9)

(ii) Para todos os campos vetoriais V e W ao longo de qualquer curva diferenciavel γ em M vale

d

dt⟨V,W ⟩ =

⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩. (3.10)

(iii) Para todos os campos X,Y, Z ∈ X (M) vale

X ⟨Y,Z⟩ = ⟨∇XY, Z⟩+ ⟨Y,∇XZ⟩ . (3.11)

Prova: (ii) ⇒ (i) Se V e W sao campos paralelos, entao

d

dt⟨V,W ⟩ = ⟨0,W ⟩+ ⟨V, 0⟩ = 0

e portanto ⟨V,W ⟩ e constante.(i) ⇒ (ii) Seja γ : I −→ M uma curva diferenciavel qualquer e para um ponto fixado t0 ∈ I escolha umabase ortonormal

B0 = E1 (t0) , . . . , En (t0)

para Tγ(t0)M . Usando a Proposicao 3.9, estenda cada um dos vetores E1 (t0) , . . . , En (t0) paralelamente acampos E1, . . . , En ao longo de γ. Segue da definicao de compatibilidade que

Bt = E1 (t) , . . . , En (t)

e uma base ortonormal para Tγ(t)M para cada t ∈ I. Dados campos diferenciaveis V e W ao longo de γ,podemos entao escrever

V =n∑

i=1

V i (t)Ei (t) e W =n∑

j=1

W j (t)Ej (t)


com as funcoes V i,W j diferenciaveis, pois

V i (t) = ⟨V,Ei⟩ e W j (t) = ⟨W,Ej⟩ .

Como os campos E1 (t) , . . . , En (t) sao paralelos ao longo de γ, temos

DE1

dt= . . . =

DEn

dt= 0,

logo

DV

dt(t) =

n∑i=1

dV i

dt(t)Ei (t) +

n∑i=1

V i (t)DEi

dt(t) =

n∑i=1

dV i

dt(t)Ei (t) ,

e, similarmente,

DW

dt(t) =

n∑j=1

dW j

dt(t)Ej (t) .

Daı, ⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩=

⟨n∑

i=1

dV i

dtEi,

n∑j=1

W jEj

⟩+

⟨n∑

i=1

V iEi,n∑

j=1

dW j

dtEj

⟩

=

n∑i,j=1

dV i

dtW j ⟨Ei, Ej⟩+

n∑i,j=1

V i dWj

dt⟨Ei, Ej⟩

=n∑

i,j=1

(dV i

dtW j + V i dW

j

dt

)δij

=

n∑i=1

(dV i

dtW i + V i dW

i

dt

)=

d

dt

n∑i=1

V iW i

=d

dt⟨V,W ⟩ .

(ii) ⇒ (iii) Seja p ∈ M e γ : I −→ M uma curva diferenciavel com γ (t0) = p e γ′ (t0) = Xp. Entao, pordefinicao de vetor tangente,

Xp ⟨Y, Z⟩ =d

dt⟨Y (γ (t)) , Z (γ (t))⟩

∣∣∣∣t=t0

=

⟨DY

dt(t0) , Z (t0)

⟩+

⟨Y (t0) ,

DZ

dt(t0)

⟩= ⟨(∇γ′Y ) (γ (t0)) , Z (t0)⟩+ ⟨Y (t0) , (∇γ′Z) (γ (t0))⟩= ⟨(∇XY ) (p) , Z (p)⟩+ ⟨Y (p) , (∇XZ) (p)⟩ .

(iii) ⇒ (ii) Se Y, Z sao campos paralelos ao longo de uma curva diferenciavel γ em M , entao

d

dt⟨Y (γ (t)) , Z (γ (t))⟩ = Xp ⟨Y,Z⟩

= ⟨(∇XY ) (p) , Z (p)⟩+ ⟨Y (p) , (∇XZ) (p)⟩= ⟨(∇γ′Y ) (γ (t0)) , Z (t0)⟩+ ⟨Y (t0) , (∇γ′Z) (γ (t0))⟩

=

⟨DY

dt(t0) , Z (t0)

⟩+

⟨Y (t0) ,

DZ

dt(t0)

⟩= 0

para qualquer campo X ∈ X (M), logo ⟨Y, Z⟩ e constante ao longo de γ. A condicao ⟨V,W ⟩ ≡ constante justifica o nome campos paralelos.


3.12 Definicao. Seja M uma variedade Riemanniana com uma conexao ∇. Dizemos que a conexao ecompatıvel com a metrica, quando ela satisfaz qualquer uma das condicoes da proposicao anterior.

A segunda condicao para que a estrutura geometrica definida pela conexao seja a mesma definida pelametrica e a seguinte:

3.13 Definicao. SejaM uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. O tensor de torcao da conexao∇ e a aplicacao

τ : X (M)× X (M) −→ X (M)

definida porτ (X,Y ) = ∇XY −∇YX − [X,Y ] .

Dizemos que a conexao ∇ e simetrica se τ ≡ 0, isto e, se para todos os campos X,Y ∈ X (M) vale

∇XY −∇YX = [X,Y ] . (3.12)

Apesar da conexao nao ser um tensor, sua torcao e de fato um (2, 1)-tensor, conforme a discussao no inıciodo Capıtulo 5. Em coordenadas, como

∇XY =

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

∂k,

∇YX =n∑

k=1

Y (Xk)+

n∑i,j=1

Y iXjΓkij

∂k,

[X,Y ] =n∑

k=1

(X(Y k)− Y

(Xk))∂k,

o tensor torcao e dado por

τ (X,Y ) =n∑

k=1

n∑i,j=1

(XiY j − Y iXj

)Γkij

∂k, (3.13)

de onde vemos que τ (X,Y ) e linear em relacao a X e a Y , separadamente.

3.14 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao simetrica ∇. Entao

Γkij = Γk

ji. (3.14)

Prova: Como

[∂i, ∂j ] = ∇∂i∂j −∇∂j

∂i =n∑

k=1

(Γkij − Γk

ji

)∂k

e [∂i, ∂j ] = 0, segue o resultado. Em particular, para conexoes riemannianas o numero de sımbolos de Christoffel potencialmente diferentescai para

n2 (n+ 1)

2.


3.15 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao simetrica ∇, compatıvel com a metricade M . Entao, para todos campos X,Y, Z ∈ X (M), vale

⟨∇YX,Z⟩ =1

2(X ⟨Y, Z⟩+ Y ⟨X,Z⟩ − Z ⟨X,Y ⟩ − ⟨[X,Y ] , Z⟩ − ⟨[X,Z] , Y ⟩ − ⟨[Y, Z] , X⟩) . (3.15)

Em particular, uma conexao simetrica compatıvel com a metrica e unicamente determinada pelametrica.

Prova: Pela Proposicao 3.11,

X ⟨Y,Z⟩ = ⟨∇XY, Z⟩+ ⟨Y,∇XZ⟩ ,Y ⟨X,Z⟩ = ⟨∇YX,Z⟩+ ⟨X,∇Y Z⟩ ,Z ⟨X,Y ⟩ = ⟨∇ZX,Y ⟩+ ⟨X,∇ZY ⟩ .

Logo, por simetria,

X ⟨Y, Z⟩+ Y ⟨X,Z⟩ − Z ⟨X,Y ⟩ = ⟨∇XY, Z⟩+ ⟨Y,∇XZ⟩+ ⟨∇YX,Z⟩+ ⟨X,∇Y Z⟩− ⟨∇ZX,Y ⟩ − ⟨X,∇ZY ⟩= ⟨X,∇Y Z −∇ZY ⟩+ ⟨Y,∇XZ −∇ZX⟩+ ⟨∇XY, Z⟩+ ⟨∇YX,Z⟩= ⟨X, [Y, Z]⟩+ ⟨Y, [X,Z]⟩+ ⟨∇XY −∇YX,Z⟩+ 2 ⟨∇YX,Z⟩= ⟨X, [Y, Z]⟩+ ⟨Y, [X,Z]⟩+ ⟨[X,Y ] , Z⟩+ 2 ⟨∇YX,Z⟩ ,

donde segue o resultado. 3.16 Teorema. Seja M uma variedade riemanniana. Entao existe uma unica conexao simetrica ∇ com-

patıvel com a metrica de M .

Prova: O lema anterior mostra como definir uma conexao simetrica compatıvel com a metrica atraves daexpressao (3.15). Alem disso, pelo lema, qualquer conexao simetrica compatıvel com a metrica satisfara aidentidade (3.15), o que estabelece a unicidade. 3.17 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. A unica conexao simetrica ∇ compatıvel com a

metrica de M e chamada a conexao riemanniana (ou conexao de Levi-Civita) de M . 3.18 Exemplo. (Conexao riemanniana em Rn) A conexao euclideana definida no Exemplo 3.4 e a conexao

riemanniana de Rn com a metrica usual. De fato, a conexao e compatıvel com a metrica pois seγ : I −→ Rn e uma curva diferenciavel e V,W campos ao longo de γ induzidos pelos campos vetoriaisX,Y , respectivamente, entao segue da regra da cadeia que

d

dt⟨V (γ (t)) ,W (γ (t))⟩ =

⟨d

dtV (γ (t)) ,W (γ (t))

⟩+

⟨V (γ (t)) ,

d

dtW (γ (t))

⟩=⟨dXγ(t) (γ

′ (t)) ,W (γ (t))⟩+⟨V (γ (t)) , dYγ(t) (γ

′ (t))⟩

=⟨(

∇γ′(t)X)γ(t)

,W (γ (t))⟩+⟨V (γ (t)) ,

(∇γ′(t)Y

)γ(t)

⟩=

⟨DV

dt(γ (t)) ,W (γ (t))

⟩+

⟨V (γ (t)) ,

DW

dt(γ (t))

⟩.

e ela e simetrica porque, conforme (3.5),[(∇XY )p − (∇YX)p

](f) =

n∑j=1

(n∑

i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)∂f

∂xj−

n∑j=1

(n∑

i=1

Y i ∂Xj

∂xi

)∂f

∂xj

=n∑

j=1

n∑i=1

(Xi ∂Y

j

∂xi− Y i ∂X

j

∂xi

)∂f

∂xj

= [X,Y ]p .


ou tambem, de forma mais sucinta, conforme (3.6),

∇XY −∇YX =n∑

j=1

X(Y j) ∂

∂xj−

n∑j=1

Y(Xj) ∂

∂xj

=

n∑j=1

(X(Y j)− Y

(Xj)) ∂

∂xj

= [X,Y ] .

A matriz G = (gij) e uma matriz positiva definida, logo admite uma inversa, que denotaremos por

G−1 =(gij). (3.16)

3.19 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao ∇. Entao

⟨∇∂i∂j , ∂k⟩ =n∑

m=1

Γmij gmk. (3.17)

Prova: Segue imediatamente da definicao dos sımbolos de Christoffel:

∇∂i∂j =

n∑m=1

Γmij∂m.

3.20 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇. Entao

⟨∇∂i∂j , ∂k⟩ =1

2(∂igjk + ∂jgik − ∂kgij) . (3.18)

Prova: Por (3.15) temos que

⟨∇∂i∂j , ∂k⟩ =1

2(∂j ⟨∂i, ∂k⟩+ ∂i ⟨∂j , ∂k⟩ − ∂k ⟨∂j , ∂i⟩ − ⟨[∂j , ∂i] , ∂k⟩ − ⟨[∂j , ∂k] , ∂i⟩ − ⟨[∂i, ∂k] , ∂j⟩)

=1

2(∂jgik + ∂igjk − ∂kgij) ,

ja que [∂m, ∂l] = 0.

3.21 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇. Entao

Γkij =

1

2

n∑m=1

(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) gmk. (3.19)

Prova: Pelos lemas temosn∑

l=1

Γlijglm =

1

2(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) .

Logon∑

m=1

gmkn∑

l=1

Γlijglm =

1

2

n∑m=1

(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) gmk.


O lado esquerdo desta equacao e

n∑l=1

n∑m=1

gkmgmlΓlij =

n∑l=1

δklΓlij = Γk

ij .

3.22 Corolario. Se ∇ e a conexao riemanniana de Rn entao

Γkij = 0 (3.20)

Consequentemente,

∇XY =n∑

k=1

X(Y k)∂k (3.21)

e∇∂i∂j = 0. (3.22)

3.23 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇. Entao

∂kgij =

n∑p=1

gipΓpjk +

n∑p=1

gpjΓpik (3.23)

e

∂kgij = −

n∑p=1

gipΓjpk −

n∑p=1

gpjΓipk. (3.24)

Prova: Para provar a primeira identidade, escreva

Γpjk =

1

2

n∑m=1

(∂jgkm + ∂kgjm − ∂mgjk) gmp,

Γpik =

1

2

n∑m=1

(∂igkm + ∂kgim − ∂mgik) gmp.

Logo,

n∑p=1

gipΓpjk =

1

2

n∑m=1

(∂jgkm + ∂kgjm − ∂mgjk)n∑

p=1

gmpgip

=1

2

n∑m=1

(∂jgkm + ∂kgjm − ∂mgjk) δmi

=1

2(∂jgki + ∂kgji − ∂igjk) .

Analogamente,n∑

p=1

gpjΓpik =

1

2(∂igkj + ∂kgij − ∂jgik) .

Somando e usando a simetria da metrica, obtemos o resultado.Para provar a segunda identidade, primeiro diferenciamos a identidade

n∑p=1

glpgpj = δjl ,


obtendon∑

p=1

glp∂kgpj = −

n∑p=1

(∂kglp) gpj .

Como

n∑l=1

giln∑

p=1

glp∂kgpj =

n∑p=1

n∑l=1

gilglp∂kgpj

=n∑

p=1

δip∂kgpj

= ∂kgij ,

segue da primeira identidade que

∂kgij = −

n∑l=1

giln∑

p=1

(∂kglp) gpj = −

n∑p=1

n∑l=1

gilgpj∂kglp

= −n∑

p=1

n∑l=1

gilgpj

(n∑

m=1

glmΓmpk +

n∑m=1

gmpΓmlk

)

= −n∑

p=1

n∑m=1

gpjn∑

l=1

gilglmΓmpk −

n∑l=1

n∑m=1

giln∑

p=1

gpjgmpΓmlk

= −n∑

p=1

n∑m=1

gpjδimΓmpk −

n∑l=1

n∑m=1

gilδjmΓplk

= −n∑

p=1

gpjΓipk −

n∑l=1

gilΓjlk.

3.3 Exercıcios


Capıtulo 4

Geodesicas

De agora em diante, sempre que nos referirmos a uma variedade riemanniana, estaremos supondo que elaesta munida da sua conexao riemanniana.

4.1 Definicao

4.1 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Dizemos que uma curva diferenciavel γ : I −→ M euma geodesica se

D

dtγ′ (t) = 0

para todo t ∈ I.

Em outras palavras, uma geodesica e uma curva cujo campo velocidade e paralelo ao longo da curva. Asvezes, por abuso de linguagem, a imagem γ (I) de uma geodesica γ tambem e chamada geodesica.

Note que o conceito de geodesica pode ser definido para qualquer variedade diferenciavel dotada de umaconexao. O resultado seguinte, no entanto, depende da compatibilidade da metrica com a conexao, ou seja,requer uma conexao riemanniana.

4.2 Proposicao. Se γ : I −→M e uma geodesica, entao

∥γ′ (t)∥ ≡ constante. (4.1)

Prova: Pois, como a conexao e compatıvel com a metrica e o campo velocidade γ′ e paralelo ao longo de γ

∥γ′ (t)∥2 = ⟨γ′ (t) , γ′ (t)⟩ ≡ constante.

4.3 Definicao. Uma geodesica γ : I −→M e normalizada se

∥γ′ (t)∥ ≡ 1.

Toda geodesica que nao e um ponto (ou seja, ∥γ′ (t)∥ = 0) pode ser normalizada atraves de uma para-metrizacao por comprimento de arco: se γ : I −→ M , t ∈ I, e uma parametrizacao qualquer para umageodesica, ela pode ser reparametrizada para se tornar uma geodesica normalizada escolhendo-se um pontot0 ∈ I e definindo o parametro comprimento de arco

s (t) =

∫ t

t0

∥γ′ (t)∥ dt. (4.2)

61


De fato, pela regra da cadeia

∥γ′ (s)∥ = ∥γ′ (t)∥ |t′ (s)| = ∥γ′ (t)∥ 1

|s′ (t)|= ∥γ′ (t)∥ 1

∥γ′ (t)∥= 1.

4.4 Teorema. (Teorema de Existencia e Unicidade de Geodesicas) Seja M uma variedade riemanniana.Entao para todos p ∈ M e v ∈ TpM , e para cada t0 ∈ R, existe um intervalo aberto I ⊂ R contendot0 e uma unica geodesica γ : I −→M tal que γ (t0) = p e γ′ (t0) = v.

Prova: Seja V uma vizinhanca coordenada de p, com(x1, . . . , xn

)suas coordenadas. Pela expressao em

coordenadas locais da derivada covariante de um campo ao longo de uma curva obtida no capıtulo anterior,uma curva γ (t) = x (t) =

(x1 (t) , . . . , xn (t)

)e uma geodesica se e somente se as suas componentes satisfazem

o sistema de equacoes diferenciais ordinarias de segunda ordem nao linear (chamado a equacao geodesica)

d2xk

dt2(t) +

n∑i,j=1

Γkij (x (t))

dxi

dt(t)

dxj

dt(t) = 0, k = 1, . . . , n. (4.3)

Este sistema de segunda ordem pode ser transformado num sistema de primeira ordem introduzindo as nequacoes de primeira ordem

vk (t) =dxk

dt(t) , k = 1, . . . , n,

de modo que estas equacoes juntamente com

dvk

dt(t) +

n∑i,j=1

Γkij (x (t))

dxi

dt(t)

dxj

dt(t) = 0, k = 1, . . . , n,

formam um sistema de primeira ordem equivalente ao primeiro. O resultado segue entao do teorema deexistencia e unicidade para solucoes de sistemas de equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem. Note que este teorema permanece valido para geodesicas definidas em variedades diferenciaveis dotadas deuma conexao nao necessariamente riemanniana.

4.2 Exemplos de Geodesicas

Vamos calcular as geodesicas para algumas variedades riemannianas. Lembramos que os sımbolos de Chris-toffel da conexao riemanniana sao dados por

Γkij =

1

2

n∑m=1

(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) gmk.

4.5 Exemplo. (Geodesicas de Rn) Como o tensor metrica de Rn e gij = δij , temos

Γkij ≡ 0,

donde a equacao geodesica e simplesmente

d2xk

dt2= 0, k = 1, . . . , n.

As solucoes para esta equacao diferencial sao

x (t) = tv + x0

onde v, x0 ∈ Rn sao vetores fixados. Em outras palavras, as geodesicas de Rn sao retas.


4.6 Exemplo. (Geodesicas de S2r) Enxergando a esfera S2r de centro na origem e raio r como uma superfıciede revolucao com parametrizacao

(x, y, z) (ϕ, θ) = (r senϕ cos θ, r senϕ sen θ, r cosϕ),

segue do Exemplo 2.9 que

G (ϕ, θ) =

[r2 00 r2 sen2 ϕ

],

G−1 (ϕ, θ) =

1

r20

01

r2 sen2 ϕ

Logo,

Γϕϕϕ = Γ1

11 =1

2

[(∂1g11 + ∂1g11 − ∂1g11) g

11 + (∂1g12 + ∂1g12 − ∂2g11) g21]= 0,

Γθϕϕ = Γ2

11 =1

2

[(∂1g11 + ∂1g11 − ∂1g11) g

12 + (∂1g12 + ∂1g12 − ∂2g11) g22]= 0,

Γ112 = Γϕ

ϕθ = Γ121 = Γϕ

θϕ =1

2

[(∂1g21 + ∂2g11 − ∂1g12) g

11 + (∂1g22 + ∂2g12 − ∂2g12) g21]= 0

Γ212 = Γθ

ϕθ = Γ221 = Γθ

θϕ =1

2

[(∂1g21 + ∂2g11 − ∂1g12) g

12 + (∂1g22 + ∂2g12 − ∂2g12) g22]

=1

2(∂1g22) g

22 =1

2

(2r2 senϕ cosϕ

) 1

r2 sen2 ϕ=

cosϕ

senϕ,

Γ122 = Γϕ

θθ =1

2

[(∂2g21 + ∂2g21 − ∂1g22) g

11 + (∂2g22 + ∂2g22 − ∂2g22) g21]

=1

2(−∂1g22) g11 =

1

2

(−2r2 senϕ cosϕ

) 1

r2= − senϕ cosϕ,

Γ222 = Γθ

θθ =1

2

[(∂2g21 + ∂2g21 − ∂1g22) g

12 + (∂2g22 + ∂2g22 − ∂2g22) g22]= 0.

Apenas os sımbolos Γ212 = Γ2

21 e Γ122 sao nao nulos. Portanto a equacao geodesica para a esfera e

d2x1

dt2+ Γ1

22

dx2

dt

dx2

dt= 0,

d2x2

dt2+ 2Γ2

12

dx1

dt

dx2

dt= 0,

ou seja, d2ϕ

dt2− senϕ cosϕ

(dθ

dt

)2

= 0,

d2θ

dt2+ 2

cosϕ

senϕ

dϕ

dt

dθ

dt= 0.

Resolver este sistema de equacoes diferenciais nao lineares acopladas nao e facil. Por outro lado, e facilverificar por substituicao direta que qualquer meridiano da forma

ϕ = t,

θ = θ0,


e uma solucao para este sistema. Observe agora que rotacoes sao isometrias da esfera: rotacoes doespaco euclideano R3 sao transformacoes ortogonais e portanto isometrias de R3; como a restricao deuma rotacao de R3 a esfera e uma rotacao da esfera e esta tem a metrica induzida de R3, ela e umaisometria da esfera. Uma vez que geodesicas sao preservadas por isometrias (Exercıcio 4.1), concluımosque os grandes cırculos da esfera (isto e, cırculos cujos centros sao o centro da esfera, que podemtambem ser obtidos intersectando a esfera com planos passando pela origem) sao suas geodesicas, jaque dado um ponto p da esfera e um vetor tangente v a esfera neste ponto existe um grande cırculopassando por p com a direcao de v.

4.7 Exemplo. (Geodesicas de Sn) Um argumento envolvendo isometrias pode ser usado para obter direta-mente que as geodesicas de Sn ⊂ Rn+1 sao os grandes cırculos, sem passar pela equacao geodesica.

Primeiramente, provamos que a geodesica γ (t) =(x1 (t) , . . . , xn (t) , xn+1 (t)

)que passa pelo polo

norte γ (0) = en+1 com velocidade γ′ (0) = e1 e o meridiano x2 = . . . = xn = 0. De fato, suponhapor absurdo que xi (t0) = 0 para algum t0 e para algum ındice 2 6 i 6 n. Considere a isometriaϕ : Sn −→ Sn definida por

ϕ(x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn+1

)=(x1, . . . , xi−1,−xi, xi+1, . . . , xn+1

)(ϕ e a restricao da transformacao ortogonal correspondente de Rn+1, logo e uma simetria da esfera,como observado no final do exemplo anterior). Como isometrias preservam geodesicas e

ϕ (γ (0)) = ϕ (en+1) = en+1,

ϕ (γ′ (0)) = ϕ (e1) = e1,

segue que ϕ leva γ em γ. Mas ϕ (γ (t0)) = γ (t0), uma contradicao.

Como rotacoes da esfera que deixam o eixo xn+1 fixado transformam este meridiano em qualquer outromeridiano passando pelo polo norte, abrangendo todas as direcoes tangentes possıveis, obtemos queas geodesicas passando pelo polo norte sao os meridianos. Como qualquer grande cırculo da esferapode ser transformado em um meridiano passando pelo polo norte atraves de uma rotacao da esfera,concluımos o resultado.

4.8 Exemplo. (Geodesicas de H2) Como vimos no Exemplo 2.10, temos

G (x, y) =

1

y20

01

y2

,G−1 (x, y) =

[y2 00 y2

].

Portanto,

Γ111 =

1

2

[(∂1g11 + ∂1g11 − ∂1g11) g

11 + (∂1g12 + ∂1g12 − ∂2g11) g21]= 0,

Γ211 =

1

2

[(∂1g11 + ∂1g11 − ∂1g11) g

12 + (∂1g12 + ∂1g12 − ∂2g11) g22]

=1

2(−∂2g11) g22 =

1

2

(2

y3

)y2 =

1

y,

Γ112 = Γ1

21 =1

2

[(∂1g21 + ∂2g11 − ∂1g12) g

11 + (∂1g22 + ∂2g12 − ∂2g12) g21]

=1

2(∂2g11) g

11 =1

2

(− 2

y3

)y2 = −1

y,


Γ212 = Γ2

21 =1

2

[(∂1g21 + ∂2g11 − ∂1g12) g

12 + (∂1g22 + ∂2g12 − ∂2g12) g22]= 0

Γ122 =

1

2

[(∂2g21 + ∂2g21 − ∂1g22) g

11 + (∂2g22 + ∂2g22 − ∂2g22) g21]= 0

Γ222 =

1

2

[(∂2g21 + ∂2g21 − ∂1g22) g

12 + (∂2g22 + ∂2g22 − ∂2g22) g22]

=1

2(∂2g22) g

22 =1

2

(− 2

y3

)y2 = −1

y.

A equacao geodesica para o plano hiperbolico ex′′ − 2

yx′y′ = 0,

y′′ +1

y(x′)

2 − 1

y(y′)

2= 0,

Para resolver este sistema, consideraremos dois casos.

(i) Caso x′ = 0.

Neste caso, x (t) ≡ x0, enquanto que y (t) satisfaz a equacao

y′′ − 1

y(y′)

2= 0

que escrevemos na forma

yy′′ − (y′)2= 0

que e equivalente a (y′

y

)′

= 0,

ou seja,y′ = ky

para alguma constante k ∈ R. A solucao desta equacao e

y (t) = y0ekt

para alguma constante c > 0. Portanto, neste caso as geodesicas sao γ (t) =(x0, y0e

kt), as semi-retas

superiores do plano hiperbolico.

(i) Caso x′ = 0.

Neste caso podemos calcular(yy′

x′

)′

=x′yy′′ + x′ (y′)

2 − x′′yy′

(x′)2

=x′yy′′ + x′ (x′)

2 − x′ (y′)2 − x′′yy′ + 2x′ (y′)

2 − x′ (x′)2

(x′)2

=x′[yy′′ + (x′)

2 − (y′)2]− y′ [x′′y − 2x′y′]− (x′)

3

(x′)2

=x′0− y′0− (x′)

3

(x′)2

= −x′.


Isso implica que (yy′

x′+ x

)′

= 0

ou seja,yy′

x′+ x = a

para alguma constante a ∈ R. A solucao implıcita desta equacao, equivalente a

xx′ + yy′ = ax′

pode ser obtida integrando-se em relacao a t:

x2

2+y2

2= ax+ b,

ou(x− a)

2+ y2 = R2

onde R > 0. Portanto, neste caso as geodesica sao semicırculos superiores centrados em pontos (a, 0)do eixo x.

4.3 Fluxo Geodesico

O resultado obtido pode ser melhorado, no sentido de que em uma vizinhanca de qualquer ponto da variedadepodemos garantir que os intervalos de definicao das geodesicas passando por pontos na vizinhanca, indepen-dente da velocidade inicial, possuem um comprimento comum mınimo. Isto segue do seguinte resultado parao fluxo induzido por um campo vetorial:

4.9 Teorema. (Fluxo de um Campo Vetorial) Sejam N uma variedade riemanniana e V uma vizinhancade P ∈ N . Seja X ∈ X (V ). Entao existem um aberto V0 ⊂ V contendo P , δ > 0 e uma aplicacaodiferenciavel

φ : (−δ, δ)× V0 −→ V

tais que φq (t) = φ (t, q) : (−δ, δ) −→ V e a unica trajetoria de X tal que φ (0, q) = q para todo q ∈ V0.

Os resultados acima nos permitem definir:

4.10 Definicao. O campo geodesico no fibrado tangente TM e o unico campo cujas trajetorias sao daforma t 7→ (γ (t) , γ′ (t)) onde γ e uma geodesica em M .

Seu fluxo φ e chamado o fluxo geodesico de TM .

4.11 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana. Entao, para cada p ∈M existem uma vizinhanca Vde (p, 0) em TM tal que π (V) = U e uma vizinhanca coordenada de p em M , δ > 0 e uma aplicacaodiferenciavel

φ : (−δ, δ)× V −→ TU

tais queφ(q,v) (t) = φ (t, q, v) : (−δ, δ) −→ TU

e a unica trajetoria do campo geodesico que satisfaz a condicao inicial φ (0, q, v) = (q, v) para todo(q, v) ∈ V.

Prova: Basta aplicar o Teorema 4.9 ao campo geodesico, elemento de X (TM), e ao ponto P = (p, 0) ∈ TM .Uma reinterpretacao do resultado acima que vai ser mais util e facil de usar na sequencia:


4.12 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Entao, para cada p ∈ M existem uma vizinhancaV de p em M , δ, ε > 0 e uma aplicacao diferenciavel

γ : (−δ, δ)× V −→M

ondeV = (q, v) : q ∈ V e v ∈ TqM, ∥v∥ < ε

tais queγ(q,v) (t) = γ (t, q, v) : (−δ, δ) −→M

e a unica geodesica de M que satisfaz as condicoes iniciais γ (0) = q, γ′ (0) = v para todo q ∈ V e paratodo v ∈ TqM tal que ∥v∥ < ε.

Este resultado afirma que se ∥v∥ < ε, a geodesica γ (t, q, v) existe no intervalo (−δ, δ). Podemos de fatoaumentar a velocidade da geodesica, mas ao preco de diminuir o seu intervalo de definicao (e vice-versa).Para isso basta reparametrizar a geodesica:

4.13 Proposicao. Se a geodesicaγ (t, q, v)

esta definida no intervalo (−δ, δ), entao a geodesica

γ (t, q, cv)

esta definida no intervalo

(−δc,δ

c

). Alem disso,

γ (t, q, cv) = γ (ct, q, v) . (4.4)

Prova: Seja β :

(−δc,δ

c

)−→M a curva definida por

β (t) = γ (ct, q, v) ,

de modo que β (0) = γ (0, q, v) = q e β′ (0) = cγ′ (0, q, v) = cv. Temos, estendendo o campo β′ (t) a umavizinhanca de β (t) em M ,

D

dtβ′ (t) = ∇β′(t)β

′ (t) = ∇cγ′(ct,q,v) (cγ′ (ct, q, v)) = c2∇γ′(ct,q,v) (γ

′ (ct, q, v)) = c2D

dtγ′ (ct, q, v) = 0.

Logo, por unicidade, β (t) = γ (t, q, cv).

4.14 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana. Entao, para cada p ∈M existem uma vizinhanca Vde p em M , ε > 0 e uma aplicacao diferenciavel

γ : (−2, 2)× V −→M

ondeV = (q, v) : q ∈ V e v ∈ TqM, ∥v∥ < ε

tais queγ(q,v) (t) = γ (t, q, v) : (−2, 2) −→M

e a unica geodesica de M que satisfaz as condicoes iniciais γ (0) = q, γ′ (0) = v para todo q ∈ V e paratodo v ∈ TqM tal que ∥v∥ < ε.


4.4 A Aplicacao Exponencial

4.15 Definicao. Se v ∈ TpM e tal que existe uma geodesica γ : [0, 1] −→ M satisfazendo γ (0) = p eγ′ (0) = v, definimos a exponencial de v ou a exponencial de (p, v) por

expp (v) = exp (p, v) = γ (1) .

Assim,

exp (p, v) = γ (1, p, v) = γ

(||v|| , p, v

||v||

)e geometricamente expp (v) e o ponto de M obtido percorrendo a partir de p a geodesica com velocidadeinicial v durante um intervalo de tempo unitario ou, equivalentemente, percorrendo a geodesica que parte de pcom velocidade unitaria igual a v/ ||v|| um comprimento igual a ∥v∥. Em particular, se γ : (−2, 2)×V −→Me a aplicacao diferenciavel dada pelo Corolario 4.14, a aplicacao exponencial exp esta definida em todo V epara todo q ∈ V a aplicacao exponencial

expq : Bε (0) ⊂ TqM −→M

esta definida em uma bola Bε (0) ⊂ TqM .

4.16 Proposicao. Dado p ∈ M , existe ε > 0 tal que expp e um difeomorfismo de Bε (0) sobre um abertode M .

Prova: Temos

d(expp

)0v =

d

dtexpp (tv)

∣∣∣∣t=0

=d

dtγ (1, p, tv)

∣∣∣∣t=0

=d

dtγ (t, p, v)

∣∣∣∣t=0

= v,

o que mostra que d(expp

)0: TpM −→ TpM e a aplicacao identidade, onde identificamos o espaco tangente

a TpM na origem com o proprio TpM , isto e, T0 (TpM) = TpM . Pelo teorema da funcao inversa, expp e umdifeomorfismo local em uma vizinhanca de 0.

4.17 Definicao. Se expp e um difeomorfismo de uma vizinhanca U da origem em TpM sobre uma vizinhancaV de p em M , dizemos que V e uma vizinhanca normal de p.

Nestas condicoes, se Bε (0) e tal que Bε (0) ⊂ V , entao nos chamamos

Bε (p) := expp (Bε (0)) (4.5)

a bola geodesica de centro em p e raio ε.

Em uma vizinhanca normal, podemos definir um sistema de coordenadas com propriedades especiais.

4.18 Definicao. Seja V = expp (U) uma vizinhanca normal de p em M . Seja E1, . . . , En uma base

ortonormal para TpM e E : Rn −→ TpM o isomorfismo E (x) =n∑

i=1

xiEi. Considere a parametrizacao

φ : E−1 (U) −→ V definida por

φ (x) =(expp E

)(x) = expp

(n∑

i=1

xiEi

).

As coordenadas desta parametrizacao sao chamadas as coordenadas normais centradas em p.


Devido as propriedades especiais de coordenadas normais enumeradas na proposicao a seguir, elas constituemuma ferramenta vital em geometria riemanniana.

4.19 Proposicao. Seja V uma vizinhanca normal de p e x1, . . . , xn coordenadas normais em p. Nestascoordenadas temos que

gij (p) = δij ,

∂gij∂xk

(p) = 0

eΓkij (p) = 0

para todos os ındices i, j, k. Alem disso, para cada v =n∑

i=1

vi∂

∂xi

∣∣∣∣p

∈ TpM , a geodesica γv partindo

de p com velocidade inicial v e representada em coordenadas normais por um segmento radial, isto e,

γv (t) = expp(tv1, . . . , tvn

)enquanto ela estiver dentro de V .

Prova: A condicao gij (p) = δij e consequencia imediata da definicao de coordenadas normais. O resultadosobre a geodesica γv segue do fato de que γ (t, p, v) = expp (tv). Isso implica por sua vez que Γk

ij (p) = 0,pois as geodesicas que passam por p sao todas dadas por equacoes lineares. Para provar a condicao sobre asderivadas das componentes da metrica lembramos que no final do capıtulo anterior obtivemos a formula

∂gij∂xk

=n∑

p=1

gpjΓpik −

n∑p=1

gipΓpjk.

Logo

∂gij∂xk

(p) =n∑

p=1

gpj (p) Γpik (p)−

n∑p=1

gip (p) Γpjk (p) = 0.

Por causa deste resultado, as geodesicas dentro de uma vizinhanca normal que partem de p sao chamadasgeodesicas radiais.

4.5 Propriedades Minimizantes das Geodesicas

Para estudar as propriedades minimizantes das geodesicas, precisamos de algum conceitos geometricos e doisresultados preliminares.

4.20 Definicao. Uma curva diferenciavel por partes em M e uma aplicacao contınua c : [a, b] −→ Mtal que existe uma particao do intervalo [a, b]

a = t0 < t1 < . . . < tN−1 < tN = b

tal que as restricoes c|[ti,ti+1] sao curvas diferenciaveis para i = 0, . . . , N − 1.

Cada ponto c (ti) e chamado um vertice da curva c.

O angulo da curva no vertice c (ti) e definido como sendo o angulo entre os vetores

limt→t−i

c′ (t) e limt→t+i

c′ (t)


4.21 Definicao. Seja A ⊂ R2 um conjunto conexo tal que ∂A e uma curva diferenciavel por partes tal queos angulos da curva nos vertices sao diferentes de π. Uma superfıcie parametrizada em M e umaaplicacao diferenciavel F : A −→M .

Lembre-se que dizer que F e diferenciavel e equivalente a dizer que existe um aberto U ⊂ R2 contendo Ae uma extensao diferenciavel F : U −→ M , isto e, F |A = F . A condicao sobre os angulos dos verticesde A (que evita a formacao de cunhas estreitas) garante que a diferencial de F nao depende da extensaoconsiderada.

Seja F : A ⊂ R2 −→M uma superfıcie parametrizada e denote por (t, s) as coordenadas cartesianas emR2. Fixado s0, considere o conjunto Is0 ⊂ R definido por Is0 = t ∈ R : (t, s0) ∈ A; apesar de A ser conexopor definicao, Is0 nao e necessariamente um intervalo em R. De qualquer modo, restringindo a nossa atencaoa cada uma das componentes conexas de Is0 , as aplicacoes Fs0 (t) = F (t, s0) sao curvas diferenciaveis em Me

∂F

∂t(t, s0) = dF(t,s0)

∂

∂u(4.6)

e um campo de vetores diferenciavel ao longo desta curva. Variando s0, isso eventualmente define∂F

∂t(t, s)

para todo (t, s) ∈ A. Analogamente, definimos

∂F

∂s(t0, s) = dF(t0,s)

∂

∂s(4.7)

e∂F

∂s(t, s) esta tambem definido para todo (t, s) ∈ A. De forma natural podemos definir as derivadas

covariantes destes campos vetoriais ao longo dessas curvas:

4.22 Definicao. Definimos as derivadas covariantes de um campo vetorial V ao longo de uma superfıcieparametrizada F : A −→M

DV

dte

DV

ds

como sendo as derivadas covariantes da restricao do campo vetorial V ao longo das curvas F (t, s0) eF (t0, s), respectivamente.

Assim, as derivadas covariantes estao definidas para todo (t, s) ∈ A.

4.23 Lema. (Lema de Simetria) Seja F : A ⊂ R2 −→M uma superfıcie parametrizada. Entao

D

ds

∂F

∂t=D

dt

∂F

∂s.

Prova: Escrevendo F em coordenadas de uma parametrizacao na forma

F (t, s) =(x1 (t, s) , . . . , xn (t, s)

),

segue da regra da cadeia que

∂F

∂t=

n∑i=1

∂xi

∂t

∂

∂xi,

∂F

∂s=

n∑i=1

∂xi

∂s

∂

∂xi.


Daı, usando a simetria da conexao e a regra de Schwartz, temos que

D

ds

∂F

∂t=D

ds

(n∑

i=1

∂xi

∂t∂i

)

=

n∑i=1

∂2xi

∂s∂t∂i +

n∑i,j=1

∂xi

∂s

∂xj

∂t∇∂i∂j

=n∑

i=1

∂2xi

∂t∂s∂i +

n∑i,j=1

∂xj

∂t

∂xi

∂s∇∂j∂i

=D

dt

(n∑

i=1

∂xi

∂s∂i

)

=D

dt

∂F

∂s.

No que se segue, identificaremos o espaco tangente a TpM no vetor v com o proprio TpM , isto e,

Tv (TpM) = TpM .

4.24 Lema. (Lema de Gauss) Seja M uma variedade riemanniana, p ∈M e v ∈ TpM tal que expp (v) estadefinido. Entao ⟨

d(expp

)vv, d

(expp

)vw⟩= ⟨v, w⟩

para todo w ∈ TpM .

Prova: Se w e paralelo a v, isto e, se w = αv para algum escalar α = 0, entao o resultado e facil: como

d(expp

)vv =

d

dtexpp ((t+ 1) v)

∣∣∣∣t=0

=d

dtγ (1, p, (t+ 1) v)

∣∣∣∣t=0

=d

dtγ (t+ 1, p, v)

∣∣∣∣t=0

= γ′(p,v) (1) ,

segue que ⟨d(expp

)vv, d

(expp

)vw⟩= α

⟨d(expp

)vv, d

(expp

)vv⟩

= α∥∥∥γ′(p,v) (1)∥∥∥2

= α∥∥∥γ′(p,v) (0)∥∥∥2

= α ⟨v, v⟩ ,

pois a norma do vetor tangente a uma geodesica e constante. Decompondo o vetor w em componentes nadirecao de v e ortogonal a v, podemos portanto assumir que w e ortogonal a v.

Como w ⊥ v, em particular ⟨v, w⟩ = 0 e para terminar a demonstracao do lema temos que provar que⟨d(expp

)vv, d

(expp

)vw⟩= 0.

Para algum ε > 0, considere a curva v : (−ε, ε) −→ TpM com v (0) = v, v′ (0) = w e ∥v (s)∥ ≡ constante= ∥w∥, ou seja, a parametrizacao com velocidade escalar constante de um pequeno arco do cırculo centradona origem de TpM e raio ∥v∥ de de tal forma que o ponto medio do arco esteja localizado em v, comecandoem v e com velocidade inicial w. Definimos a superfıcie parametrizada F : [0, 1]× (−ε, ε) −→M

F (t, s) = expp (tv (s)) .


Em particular, as curvas Fs (t) = F (t, s) para cada s fixado sao geodesicas, mais especificamente a geodesicaγ (1, p, tv (s)) = γ (t, p, v (s)) que passa por p com velocidade v (s). Como

dF (t, s) = d(expp

)tβ(s)

[v (s) tv′ (s)

],

segue que

∂F

∂t(1, 0) = dF (1, 0) e1 = d

(expp

)vv,

∂F

∂s(1, 0) = dF (1, 0) e2 = d

(expp

)vw,

de modo que ⟨d(expp

)vv, d

(expp

)vw⟩p=

⟨∂F

∂t(1, 0) ,

∂F

∂s(1, 0)

⟩p

.

Pela compatibilidade da conexao riemanniana com a metrica, temos para todo (t, s),

∂

∂t

⟨∂F

∂t,∂F

∂s

⟩=

⟨D

dt

∂F

∂t,∂F

∂s

⟩+

⟨∂F

∂t,D

dt

∂F

∂s

⟩=

⟨∂F

∂t,D

dt

∂F

∂s

⟩,

poisD

dt

∂F

∂t= 0

ja que Fs (t) sao geodesicas e∂F

∂tseu campo velocidade. Pelo Lema de Simetria,⟨

∂F

∂t,D

dt

∂F

∂s

⟩=

⟨∂F

∂t,D

ds

∂F

∂t

⟩=

1

2

∂

∂s

⟨∂F

∂t,∂F

∂t

⟩= 0

porque ⟨∂F

∂t,∂F

∂t

⟩= ∥v (s)∥ ≡ constante.

Isso mostra que o produto interno ⟨∂F

∂t(t, s) ,

∂F

∂s(t, s)

⟩e independente de t. Em particular,⟨

∂F

∂t(t, s) ,

∂F

∂s(t, s)

⟩=

⟨∂F

∂t(1, 0) ,

∂F

∂s(1, 0)

⟩para todo t. Como

limt→0

∂F

∂s(t, 0) = lim

t→0

[d(expp

)tvtw]= 0,

e

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥ e limitado, segue o resultado. [Observe que nao podemos calcular

∂F

∂s(0, 0) porque essencialmente

estamos trabalhando com coordenadas polares, logo F nao e diferenciavel na origem.]O significado geometrico do lema de Gauss e que as geodesicas radiais que partem de p sao ortogonaisa fronteira de qualquer bola geodesica Bε (p) (a qual e uma subvariedade de codimensao 1 em M). Talhiperfıcie sera denotada Sε (p) e chamada a esfera geodesica. Veremos agora que localmente as geodesicasminimizam o comprimento de arco.


4.25 Definicao. Se γ : I −→M e uma geodesica e [a, b] ⊂ I, a restricao γ|[a,b] e chamada o segmento degeodesica ligando γ (a) a γ (b).

Denote o comprimento de uma curva c emM ligando os pontos p e q por ℓ (c). Dizemos que o segmentode geodesica γ : [a, b] −→M e minimizante se ℓ (γ) 6 ℓ (c) para toda curva c ligando γ (a) a γ (b).

4.26 Proposicao. (Geodesicas minimizam distancias localmente) Sejam M uma variedade riemanniana,p ∈ M e B (p) uma bola normal centrada em p. Seja γ : [0, 1] −→ B um segmento de geodesica comγ (0) = p.

Se c : [0, 1] −→M e qualquer curva diferenciavel por partes ligando γ (0) a γ (1), entao

ℓ (γ) 6 ℓ (c)

e se ℓ (γ) = ℓ (c) necessariamente c ([0, 1]) = γ ([0, 1]).

Prova: Suponha em primeiro lugar que c ([0, 1]) ⊂ B (p). Como expp e um difeomorfismo em B (p), podemosescrever c (t) de forma unica em “coordenadas polares” na forma

c (t) = expp (r (t) v (t)) (4.8)

para t ∈ (0, 1], onde v e uma curva diferenciavel por partes em TpM com ∥v (t)∥ = 1 para todo t er : (0, 1] −→ R e uma funcao diferenciavel por partes; de fato, basta considerar β (t) = exp−1

p (c (t)) e definir

v (t) =β (t)

∥β (t)∥e r (t) = ∥β (t)∥ .

[Se c retorna ao ponto p, de modo que β (t1) = 0 para algum t1 > 0, redefinimos c eliminando todo osegmento c ([0, t1]), e mostraremos que a curva resultante ainda assim possui comprimento maior que ageodesica.] Observe que, para t0 fixado, expp (rv (t0)) e simplesmente a geodesica radial partindo de p comvelocidade v (t0)). Defina

F (r, t) = expp (rv (t)) . (4.9)

Pela regra da cadeia temos, exceto possivelmente para um numero finito de pontos,

c′ (t) =∂F

∂rr′ (t) +

∂F

∂t.

Como

∂F

∂r= d

(expp

)c(t)

v (t) ,

∂F

∂t= d

(expp

)c(t)

(rv′ (t)) ,

segue do lema de Gauss que ⟨∂F

∂r,∂F

∂t

⟩= ⟨v (t) , rv′ (t)⟩ = r ⟨v (t) , v′ (t)⟩ = 0. (4.10)

Tambem pelo lema de Gauss temos ∥∥∥∥∂F∂r∥∥∥∥ = ∥β (t)∥ = 1 (4.11)

pois ∥∥∥∥∂F∂r∥∥∥∥2 =

⟨d(expp

)c(t)

v (t) , d(expp

)c(t)

v (t)⟩= ⟨v (t) , v (t)⟩ = ∥β (t)∥2 = 1.


Logo,

∥c′ (t)∥2 =

∥∥∥∥∂F∂r∥∥∥∥2 |r′ (t)|2 + ∥∥∥∥∂F∂t

∥∥∥∥2 = |r′ (t)|2 +∥∥∥∥∂F∂t

∥∥∥∥2 > |r′ (t)|2 .

Daı,

ℓ (c) >∫ 1

ε

∥c′ (t)∥ dt >∫ 1

ε

|r′ (t)| dt >∫ 1

ε

r′ (t) dt = r (1)− r (ε) = ℓ (γ)− r (ε) .

Fazendo ε→ 0, como r (ε) −→ 0, segue o primeiro resultado.Para que tenhamos ℓ (γ) = ℓ (c) e necessario que

∂F

∂t= 0,

ou seja,v′ (t) = 0

e portanto v ≡ constante. Como r′ (t) > 0, c e entao uma reparametrizacao monotona de γ, donde c ([0, 1]) =γ ([0, 1]).

Se c ([0, 1]) ⊂ B (p) = Bρ (p), consideramos o primeiro instante t1 ∈ (0, 1] tal que c (t1) ∈ ∂B (p). Entao,

ℓ (c) > ℓ(c|[0,t1]

)> ρ > ℓ (γ) .

O resultado vale apenas localmente: um segmento de geodesica suficientemente grande pode nao ser mini-mizante. Por exemplo, as geodesicas de uma esfera (cırculos maximais) que partem de um ponto p deixamde ser minimizantes depois que passam pelo antıpoda de p.

Vale a recıproca da Proposicao 4.26 e ela e ate mais forte. Antes uma definicao e um resultado preliminar.

4.27 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana.

Se V e uma vizinhanca em M que e uma vizinhanca normal para todos os seus pontos, dizemos que Ve uma vizinhanca totalmente normal.

Dizemos que uma vizinhanca V em M e uma vizinhanca uniformemente normal se existe δ > 0tal que para todo q ∈ V a bola geodesica Bδ (q) = expq (Bδ (0)) contem V .

Observe que em uma vizinhanca uniformemente normal, dois pontos quaisquer da vizinhanca sao ligados poruma geodesica radial. Toda vizinhanca uniformemente normal e em particular totalmente normal.

4.28 Lema. Seja M uma variedade riemanniana. Para cada p ∈ M existe uma vizinhanca W de p que euma vizinhanca uniformemente normal.

Prova: Sejam ε > 0, V e V como na Proposicao 4.8. Defina F : V −→M ×M por

F (q, v) =(q, expq v

).

Temos F (p, 0) = (p, p) e

dF (p, 0) =

[I ∗0 I

]pois d

(expp

)0= I. Portanto, F e um difeomorfismo local em uma vizinhanca de (p, 0), logo existe uma

vizinhanca V ′ ⊂ V de (p, 0) em TM tal que F aplica V ′ difeomorficamente sobre uma vizinhanca W ′ de(p, p) em M ×M . Escolha V ′ da forma

V ′ = (q, v) : q ∈ V ′ e v ∈ Bδ (0) ⊂ TqM


onde V ′ e uma vizinhanca de p em M para algum δ > 0. Escolha a vizinhanca W de p em M de tal formaque W ×W ⊂W ′. Entao, para todo q ∈W e Bδ (0) ⊂ TqM temos

F (q ×Bδ (0)) ⊃ q ×W

o que implica, pela definicao de F ,Bδ (q) = expq (Bδ (0)) ⊃W.

4.29 Corolario. (Curvas que minimizam distancias sao geodesicas) Seja M uma variedade riemanniana.Se c : [a, b] −→ M e uma curva diferenciavel por partes com parametro proporcional ao comprimentode arco que tem comprimento menor ou igual a qualquer outra curva diferenciavel por partes ligandoc (a) a c (b), entao c e uma geodesica.

Em particular, c e diferenciavel.

Prova: Sejam t ∈ [a, b] e V uma vizinhanca uniformemente normal de c (t). Seja I = [a′, b′] ⊂ [a, b] umintervalo fechado tal que c (I) ⊂ V . Entao a restricao c|I e uma curva diferenciavel por partes ligando doispontos de uma bola normal. Pela Proposicao 4.26, ℓ (c|I) e igual ao comprimento da geodesica radial ligandoc (a′) a c (b′) (caso contrario obterıamos outra curva diferenciavel por partes com comprimento menor que cligando c (a) a c (b), contrariando a hipotese). Segue da mesma proposicao que a imagem de c|I e a imagemdesta geodesica. Como c|I esta parametrizada por um parametro proporcional ao comprimento de arco,segue que c|I e ela propria uma geodesica. Observe que este resultado e global, nao apenas local: dados dois pontos quaisquer de uma variedaderiemanniana, se existir uma curva ligando eles que minimiza distancias, entao ela e uma geodesica. Por outrolado, dados dois pontos arbitrarios em uma variedade riemanniana pode nao existir nenhuma geodesica queos ligue: considere Rn com a bola centrada em zero e raio 1 removida; para δ > 0 suficientemente pequeno,nao existe nenhuma geodesica que une os pontos

(−1− δ, 0, . . . , 0) e (1 + δ, 0, . . . , 0) ,

por exemplo, e esta afirmacao vale para quaisquer dois pontos antıpodas muito proximos ao bordo da bolaremovida.

4.30 Exemplo. (Geodesicas de H2 usando isometrias) Como no Exemplo 4.7, para determinar as geodesicasdo plano hiperbolico usaremos isometrias.

Primeiramente, usando o Corolario 4.29 mostraremos que o semieixo y superior e uma geodesica. Defato, seja γ (t) = (0, t), t > 0, uma parametrizacao por comprimento de arco deste semieixo e considereum segmento γ|[a,b]. Temos

ℓ (γ) =

∫ b

a

∥γ′ (t)∥γ(t) dt =∫ b

a

1

tdt = log b− log a.

Se c : [a, b] −→ H2, c (t) = (x (t) , y (t)) , e qualquer curva diferenciavel por partes com c (a) = γ (a) =(0, a) e c (b) = γ (b) = (0, b), entao

ℓ (c) =

∫ b

a

∥c′ (t)∥c(t) dt =∫ b

a

√[x′ (t)]

2+ [y′ (t)]

2

y (t)dt >

∫ b

a

√[y′ (t)]

2

y (t)dt =>

∫ b

a

y′ (t)

y (t)dt = ℓ (γ) .

Observe que, diferentemente da esfera, variedade compacta, esta geodesica de H2 tem comprimentoinfinito, como as retas do plano R2.


As isometrias do plano hiperbolico sao dadas pelas transformacoes de Mobius

T (z) =az + b

cz + d, ad− bc = 1,

onde z = x + iy ∈ C. Estas isometrias transformam o semieixo y em semicırculos superiores ou emsemi-retas superiores x = x0, y > 0. Estas sao as geodesicas de H2, pois por todo ponto p ∈ H2 passaum tal semicırculo ou uma tal semi-reta, em todas as direcoes possıveis. A demonstracao de todosestes detalhes e deixada ao leitor (Exercıcio 4.3).

4.6 Vizinhancas Convexas

Em uma vizinhanca uniformemente normal, como a considerada no Lema 4.28, dados dois pontos q1, q2 ∈Wexiste uma unica geodesica minimizante de comprimento menor que 2δ ligando q1 a q2. Por outro lado, nadagarante que esta geodesica esteja contida em W (as duas geodesicas radiais, uma partindo de q1 e outrapartindo de q2 podem se ligar atraves de um ponto p fora de W ⊂ Bδ (q1) ∪Bδ (q2).

4.31 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Dizemos que uma vizinhanca V em M e uma vizi-nhanca convexa se para todos os pontos p, q ∈ V existe uma unica geodesica minimizante ligando pa q cuja imagem esta inteiramente contida em V .

O raio de uma bola geodesica pode ser escolhido de tal forma que ela se torne convexa.

4.32 Lema. Seja M uma variedade riemanniana. Para todo p ∈M existe R > 0 tal que qualquer geodesicade M que e tangente a esfera geodesica Sr (p) de raio r < R em q ∈ M esta fora da bola geodesicaBr (p) numa vizinhanca de q.

Prova: Seja V uma vizinhanca totalmente normal de p. Restringindo convenientemente o intervalo dedefinicao, podemos assumir que todas as geodesicas de V tem velocidade 1. Podemos portanto nos restringirao fibrado tangente unitario

T1V = (q, v) ∈ TM : q ∈ V , v ∈ TqM e ∥v∥ = 1 .

Seja γ : (−ε, ε)× T1V −→ M a aplicacao diferenciavel tal que γ (t, q, v) e a geodesica que no instante t = 0passa por q com velocidade v, ∥v∥ = 1. Definimos

u (t, q, v) = exp−1p (γ (t, q, v))

e F : (−ε, ε)× T1V −→ R por

F (t, q, v) = ∥u (t, q, v)∥2 ,

ou seja, F mede o quadrado da distancia a q de um ponto que se desloca sobre a geodesica γ. Temos

∂F

∂t= 2

⟨u,∂u

∂t

⟩,

∂2F

∂t2= 2

⟨u,∂2u

∂t2

⟩+ 2

∥∥∥∥∂u∂t∥∥∥∥2 .

Seja agora r > 0 tal que Br (p) = exppBr (0) ⊂ V e γ uma geodesica tangente a esfera geodesica no pontoq = γ (0, q, v). Pelo lema de Gauss, ⟨

u (0, q, v) ,∂u

∂t(0, q, v)

⟩= 0


ja que γ (t, q, v) e uma geodesica radial passando que parte de q (veja a afirmacao em seguida a demonstracaodo lema de Gauss). Em particular,

∂F

∂t(0, q, v) = 0.

Se mostrarmos que para r suficientemente pequeno o ponto crıtico (0, q, v) de F e um mınimo estrito, demodo que os pontos de γ estao a uma distancia de p maior que r, a demonstracao estara concluıda.

Para provar isso, basta observar que para q = p temos u (t, p, v) = tv e portanto

∂2F

∂t2(0, p, v) = 2 ∥v∥2 = 2,

logo existe uma vizinhanca W ⊂ V de p tal que

∂2F

∂t2(0, q, v) > 0

para todo q ∈ W . Escolha R > 0 tal que Br (p) = exppBR (0) ⊂ W . Entao, se r < R, F tem um mınimoestrito em (0, q, v).

4.33 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Para todo p ∈ M existe ε > 0 tal que a bolageodesica Bε (p) e convexa.

Prova: Seja R > 0 como no lema. Escolha W e δ < 0 como no Lema 4.27 com δ < R/2. Tome ε < δ talque Bε (p) ⊂W . Afirmamos que Bε (p) e convexa.

De fato, sejam q1, q2 ∈ Bε (p) e γ a unica geodesica minimizante de comprimento menor que 2ε < 2δ < Rligando q1 a q2; em particular, γ esta contida na bola BR (p). Suponha por absurdo que o interior de γ naoesta contido em Bε (p). Entao existe um ponto q no interior de γ onde a distancia maxima r < R de p aγ e atingida. Logo γ e tangente a esfera geodesica Sr (p) em q, mas os pontos de γ numa vizinhanca de qestarao no fecho de Br (p), contradizendo o lema.

4.7 Funcao Distancia

4.34 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana conexa. Dados p, q ∈ M , a distancia entre p e q edefinida por

dist (p, q) = inf ℓ (c) : c e uma curva diferenciavel por partes ligando p e q .

4.35 Proposicao. Se existe uma geodesica ligando p e q, entao dist (p, q) = ℓ (γ).

Prova: Segue do Corolario 4.29.

4.36 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Com a funcao distancia definida acima, M e umespaco metrico.

Alem disso, a topologia de M como espaco metrico coincide com a topologia inicial de M como varie-dade diferenciavel.

Prova: De fato, a funcao distancia satisfaz as tres propriedades da funcao distancia de um espaco metrico:(i) Simetria:

dist (p, q) = dist (q, p) .

(ii) Desigualdade triangular:dist (p, q) 6 dist (p, r) + dist (r, q) .


(iii) Positividade:dist (p, q) > 0

edist (p, q) = 0 se e somente se p = q.

Todas as propriedades seguem imediatamente da definicao (a desigualdade triangular segue da definicao deınfimo) exceto a afirmacao que dist (p, q) = 0 implica p = q. Suponha o contrario e considere uma bolanormal Bε (p) que nao contem q. Como dist (p, q) = 0, existe uma curva c ligando p a q com comprimentomenor que ε, contradizendo a Proposicao 4.23.

Segue da definicao que se existir uma geodesica minimizante γ ligando p e q (o que nem sempre aconteceglobalmente, mas sempre acontece localmente) segue que

dist (p, q) = ℓ (γ) .

Em particular, dado p ∈ M , se ε > 0 e suficientemente pequeno, a bola geodesica Bε (p) de raio ε coincidecom a bola metrica de centro em p e raio ε definida pela funcao distancia:

B (p; ε) = q ∈M : dist (p, q) < ε .

Logo, bolas geodesicas contem bolas metricas e vice-versa, portanto as topologias sao as mesmas. De agora em diante, variedades riemannianas serao vistas tambem como espacos metricos com a nocao dedistancia definida acima.

4.8 Variedades Completas e Teorema de Hopf-Rinow

4.37 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Dizemos que M e geodesicamente completa separa todo p ∈M as geodesicas radiais γ (t) partindo de p estao definidas para todo t ∈ R.

Equivalentemente, M e geodesicamente completa se para todo p ∈M a aplicacao exponencial esta definidaem todo TpM (Exercıcio 4.4).

Lembramos que um espaco metrico e completo se toda sequencia de Cauchy e convergente.

4.38 Lema. Se expp esta definida em todo TpM , entao qualquer ponto q ∈ M pode ser ligado a p por umsegmento geodesico γ tal que

ℓ (γ) = dist (p, q) .

Prova: Seja r = dist (p, q). Tome uma bola geodesica fechada Bδ (p). Se q ∈ Bε (p), entao existe umageodesica radial minimizante ligando p a q e nao ha nada a provar. Se q /∈ Bδ (p), lembrando que a funcaodistancia e contınua e conjuntos fechados limitados sao compactos em espacos metricos, seja x0 ∈ Sε (p) =∂Bε (p) onde a funcao

f (x) = dist (x, q)

atinge um mınimo em Sε (p). Seja γ (s) = expp (sV ) a geodesica radial unitaria ligando p a x0. Por hipotese,γ esta definida para todo t ∈ R. Para provar o lema, basta mostrar que

γ (r) = q.

Para provar isso, considere o conjunto nao vazio (pois 0 ∈ A)

A = s ∈ [0, r] : dist (γ (s) , q) = r − s .

A e fechado pela continuidade da funcao distancia e de γ. Se provarmos que para todo s0 ∈ A vale s0+ε ∈ Apara todo ε > 0 suficientemente pequeno, isso implicara que supA = r; como A e fechado, r ∈ A, o queimplica dist (γ (r) , q) = r − r = 0, equivalente a γ (r) = q.


Seja entao s0 ∈ A e considere uma bola geodesica fechada Bε (γ (s0)). Temos

r − s0 = dist (γ (s0) , q) = ε+ miny∈Bε(γ(s0))

dist (y, q) = ε+ dist (y0, q)

onde y0 ∈ Sε (γ (s0)) = ∂Bε (γ (s0)) e o ponto onde a funcao

g (y) = dist (y, q)

atinge um mınimo em Sε (γ (s0)). Para provar a afirmacao, basta entao mostrar que y0 = γ (s0 + ε), poisneste caso

r − s0 = ε+ dist (γ (s0 + ε) , q) ,

dondedist (γ (s0 + ε) , q) = r − (s0 + ε) .

De fato, temosdist (p, y0) > dist (p, q)− dist (q, y0) = r − [r − (s0 + ε)] = s0 + ε.

Por outro lado, a curva quebrada que liga p a y0 constituida do segmento geodesico γ que vai de p a γ (s0)e do raio geodesico que vai de γ (s0) a y0 tem comprimento s0 + ε. Portanto,

dist (p, y0) = s0 + ε

e esta curva quebrada e uma geodesica (logo, nao e quebrada), donde y0 = γ (s0 + ε), o que termina ademonstracao.

4.39 Teorema. (Teorema de Hopf-Rinow) Uma variedade riemanniana e geodesicamente completa se esomente se ela e completa como um espaco metrico.

Prova:1. M variedade riemanniana completa como espaco metrico =⇒M variedade riemanniana geodesicamentecompleta.

Suponha por absurdo que exista uma geodesica unitaria γ : [0, a) −→ M que nao se estende a umintervalo [0, a+ ε) para nenhum ε > 0. Seja ti uma sequencia crescente tal que ti → a; em particular, tie uma sequencia de Cauchy. Seja qi = γ (ti). Como γ e parametrizada por comprimento de arco, segue que

dist (qi, qj) 6 |ti − tj |

e (qi) e uma sequencia de Cauchy em M . Logo qi → q ∈M . Seja V uma vizinhanca uniformemente normalde q e δ > 0 tal que V esta contido em qualquer bola geodesica de raio δ centrada em um ponto de V .Para j suficientemente grande temos qj ∈ V e tj > a − δ. O fato que Bδ (qj) e uma bola geodesica implicaque toda geodesica partindo de qj existe por um intervalo de tempo pelo menos igual a δ. Em particularisso vale para a geodesica σ satisfazendo σ (0) = qj e σ′ (0) = γ′ (tj). Por unicidade de geodesica, esta euma reparametrizacao de γ, isto e, σ (t) = γ (t+ tj), logo γ (t) = σ (t− tj) e uma extensao de γ alem de a,contradizendo a hipotese inicial. M variedade riemanniana geodesicamente completa =⇒M espaco metricocompleto.2. M variedade riemanniana geodesicamente completa =⇒M espaco metrico completo.

Para provar a recıproca, demonstraremos um resultado mais forte:Se existe p ∈M tal que expp esta definida em todo TpM , entao M e um espaco metrico completo.Seja qi ⊂M uma sequencia de Cauchy. Para cada i, seja γi (s) = expp (sVi) a geodesica radial unitaria

que liga p a qi, e sejadi = dist (p, qi) ,

de modo que pelo lemaqi = expp (diVi) .


Alem disso, di e uma sequencia de Cauchy em R, pois

|di − dj | = |dist (p, qi)− dist (p, qj)| 6 dist (qi, qj) .

Como sequencias de Cauchy sao limitadas, di e limitada; alem disso ∥Vi∥ = 1 para todo i, logo diVie limitada em TpM . Portanto, uma subsequencia dikVik converge para V ∈ TpM . Por continuidade daaplicacao exponencial,

qik = expp (dikVik) → expp (V ) .

Como a sequencia original qi e de Cauchy, ela converge para o mesmo ponto para o qual sua subsequenciaconverge. Em particular, o conceito de variedade riemanniana geodesicamente completa e equivalente ao conceito devariedade riemanniana completa como espaco metrico e podemos nos referir simplesmente a uma variedaderiemanniana completa, implicando ambos os conceitos.

4.40 Corolario. Toda variedade riemanniana compacta e geodesicamente completa.

Prova: Pois todo espaco metrico compacto e completo.

4.41 Corolario. Uma subvariedade fechada de uma variedade riemanniana completa e geodesicamente com-pleta na metrica induzida.

Prova: Pois todo subconjunto fechado de um espaco metrico e completo.

4.42 Corolario. Os conjuntos fechados e limitados de uma variedade riemanniana geodesicamente completasao compactos.

Prova: Este resultado vale em espacos metricos completos.

4.43 Corolario. Se existe p ∈ M tal que expp esta definida em todo TpM entao M e geodesicamentecompleta.

Prova: Segue da demonstracao do teorema de Hopf-Rinow.

4.44 Corolario. Uma variedade riemanniana conexa M e completa se e somente se quaisquer dois pontosp, q ∈M podem ser ligados por um segmento geodesico γ tal que

ℓ (γ) = dist (p, q) .

.

Prova: Segue do lema e da demonstracao do teorema de Hopf-Rinow.

4.9 Exercıcios

4.1 Prove que isometrias preservam geodesicas.

4.2 Mostre que as transformacoes de Mobius introduzidas no Exemplo 4.28 sao isometrias do plano hi-perbolico e complete os outros detalhes.

4.3 Mostre que M e geodesicamente completa se e somente se para todo p ∈ M a aplicacao exponencialesta definida em todo TpM

4.4 Exercıcios do Capıtulo 3 (todos) e 7 (aqueles relativos a variedades completas) de [Carmo].

Capıtulo 5

Curvatura

5.1 Mais sobre Tensores

Observe que o espaco vetorial real X (M) = T1M = T 01 M dos campos diferenciaveis de uma variedade

diferenciavel M tambem pode ser considerado como um modulo sobre o anel C∞ (M). Pensando destaforma, estamos considerando a estrutura linear de X (M) quando tomamos as funcoes reais diferenciaveisem M como escalares. Da mesma forma o espaco vetorial real T 1M = T 0

1 M dos campos covetoriais e ummodulo sobre C∞ (M).

Um campo tensorial T ∈ T kl M entao induz naturalmente uma aplicacao multilinear sobre C∞ (M)

T : T 1M × . . .× T 1M × T1M × . . .× T1M −→ C∞ (M) (5.1)

definindoT (X1, . . . , Xk, ω1, . . . , ωl) (p) = Tp

(X1|p , . . . , Xk|p , ω1|p , . . . , ωl|p

). (5.2)

De fato, a funcao T (X1, . . . , Xk, ω1, . . . , ωl) ∈ C∞ (M) e diferenciavel (Exercıcio 1.5) e claramente multi-linear. Alem disso, pode-se provar que toda aplicacao multilinear (5.1) sobre C∞ (M) e induzida por umcampo tensorial em T k

l M (Exercıcio 5.1). Em particular, observe que se a base coordenada associada parao espaco tensorial T k

l (TpM) e

(Bkl

)p=

dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

para todo p ∈ V , de modo que nesta base coordenada o campo tensorial T se escreve na forma

Tp =n∑

i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1,...,jli1,...,ik

(p) dxi1∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

,

entao se os campos vetoriais e covetoriais se escrevem localmente na forma

Xr|p =n∑

ir=1

Xir (p)∂

∂xir

∣∣∣∣p

, r = 1, . . . , k,

ωs|p =n∑

js=1

ωjs (p) dxjs∣∣p, s = 1, . . . , l,

81


temos

T (X1, . . . , Xk, ω1, . . . , ωl) (p) =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

Xi1 . . . Xikωj1 . . . ωjlTj1,...,jli1,...,ik

(p) . (5.3)

Ou seja, o valor de T (X1, . . . , Xk, ω1, . . . , ωl) em p depende apenas das componentes do campo tensorial Tem p e dos valores dos campos vetoriais e de 1-formas em p. Neste sentido, dizemos que tensores sao puntuais.Contraste isso com a conexao (Proposicao 3.5), a qual nao e um tensor pois ao inves da linearidade satisfaza regra do produto.

5.2 O Tensor Curvatura

Sera que todas as variedades riemannianas sao localmente isometricas? Uma maneira de responder issonegativamente e atraves da nocao de curvatura, que mede o quanto uma variedade riemanniana deixa de sereuclideana. Precisamente para responder a pergunta se variedades riemannianas sao localmente isometricasao espaco euclideano foi que Riemann introduziu a nocao de curvatura.

5.2.1 O Endorfismo Curvatura

Para motivar a definicao de curvatura, considere Rn com a metrica usual e campos vetoriaisX,Y, Z ∈ X (Rn).Observe que

∇X∇Y Z −∇Y ∇XZ = ∇Y (∇XZ)−∇X (∇Y Z)

=

n∑j=1

X (∇Y Z)j ∂

∂xj−

n∑j=1

Y (∇XZ)j ∂

∂xj

=n∑

j=1

X[Y(Zj)] ∂

∂xj−

n∑j=1

Y[X(Zj)] ∂

∂xj

=

n∑j=1

(X[Y(Zj)]

− Y[X(Zj)]) ∂

∂xj

=n∑

j=1

(XY − Y X)(Zj) ∂

∂xj

= ∇[X,Y ]Z.

Esta relacao e valida para qualquer variedade riemanniana localmente isometrica a Rn (Exercıcio 5.2).

5.1 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. O endorfismo curvatura de M e o campo tensorialde ordem (3, 1)

R : X (M)× X (M)× X (M) −→ X (M)

definido porR (X,Y )Z = ∇Y ∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z. (5.4)

O fato de termos identificado R com um tensor do tipo (3, 1) segue da Proposicao 1.18 e pelo fato de R sermultilinear sobre C∞ (M), conforme e demonstrado na proposicao a seguir.

5.2 Proposicao. R e multilinear sobre C∞ (M).


Prova: Temos

R (X,Y1 + Y2)Z = ∇Y1+Y2∇XZ −∇X∇Y1+Y2Z +∇[X,Y1+Y2]Z

= ∇Y1∇XZ +∇Y2∇XZ −∇X∇Y1Z −∇X∇Y2Z

+∇[X,Y1]Z +∇[X,Y2]Z

= R (X,Y1)Z +R (X,Y2)Z

e

R (X, fY )Z = ∇fY ∇XZ −∇X∇fY Z +∇[X,fY ]Z

= f∇Y ∇XZ −∇X (f∇Y Z) +∇f [X,Y ]+(Xf)Y Z

= f∇Y ∇XZ − f∇X∇Y Z − (Xf)∇Y Z + f∇[X,Y ]Z + (Xf)∇Y Z

= f(∇Y ∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z

)= fR (X,Y )Z.

A linearidade em relacao a primeira variavel e imediatamente estabelecida uma vez que se observa que

R (X,Y )Z = −R (Y,X)Z. (5.5)

De fato,

R (Y,X)Z = ∇X∇Y Z −∇Y ∇XZ +∇[Y,X]Z

= −∇Y ∇XZ +∇X∇Y Z +∇−[X,Y ]Z

= −∇Y ∇XZ +∇X∇Y Z −∇[X,Y ]Z

= −R (X,Y )Z.

Para estabelecer a linearidade em relacao a terceira variavel, temos

R (X,Y ) (Z1 + Z2) = ∇Y ∇X (Z1 + Z2)−∇X∇Y (Z1 + Z2) +∇[X,Y ] (Z1 + Z2)

= ∇Y ∇XZ1 −∇X∇Y Z1 +∇[X,Y ]Z1

+∇Y ∇XZ2 −∇X∇Y Z2 +∇[X,Y ]Z2

= R (X,Y )Z1 +R (X,Y )Z2

e

R (Y,X) (fZ) = ∇Y ∇X (fZ)−∇X∇Y (fZ) +∇[X,Y ] (fZ)

= ∇Y (f∇XZ) +∇Y ((Xf)Z)−∇X (f∇Y Z)−∇X ((Y f)Z)

+ f∇[X,Y ]Z + [X,Y ]Z

= f∇Y ∇XZ + (Y f)∇XZ + (Xf)∇Y Z + Y (Xf)Z

− f∇X∇Y Z − (Xf)∇Y Z − (Y f)∇X (Z)−X (Y f)Z

+ f∇[X,Y ]Z + [X,Y ]Z

= f∇Y ∇XZ +−f∇X∇Y Z + [Y (Xf)−X (Y f)]Z + f∇[X,Y ]Z + [X,Y ]Z

= f∇Y ∇XZ +−f∇X∇Y Z + f∇[X,Y ]Z + [Y,X]Z + [X,Y ]Z

= f(∇Y ∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z

)= fR (Y,X)Z.


5.3 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Temos

R (∂i, ∂j) ∂k =(∇∂j∇∂i −∇∂i∇∂j

)∂k. (5.6)

Em particular, os componentes do tensor endomorfismo curvatura sao

Rlijk =

n∑m=1

(ΓmikΓ

ljm − Γm

jkΓlim

)+∂Γl

ik

∂xj−∂Γl

jk

∂xi. (5.7)

Prova: A primeira afirmacao segue de [∂i, ∂j ] = 0.A segunda afirmacao segue da primeira por calculo direto, observando primeiramente que os componentes

do tensor R sao definidos da forma usual, usando a multilinearidade do tensor, por

R (X,Y )Z =n∑

i,j,k,l=1

RlijkX

iY jZk ∂

∂xl, (5.8)

de modo que

R (∂i, ∂j) ∂k =n∑

l=1

Rlijk

∂

∂xl. (5.9)

Logo, lembrando que

∇∂i∂j =

n∑m=1

Γmij∂m,

segue que

R (∂i, ∂j) ∂k

= ∇∂j (∇∂i∂k)−∇∂i

(∇∂j∂k

)= ∇∂j

(n∑

m=1

Γmik∂m

)−∇∂i

(n∑

m=1

Γmjk∂m

)

=

n∑m=1

∇∂j (Γmik∂m)−

n∑m=1

∇∂i

(Γmjk∂m

)=

n∑m=1

Γmik∇∂j∂m +

n∑m=1

∂Γmik

∂xj∂m

−n∑

m=1

Γmjk∇∂i∂m −

n∑m=1

∂Γmjk

∂xi∂m

=n∑

m=1

Γmik

n∑l=1

Γljm∂l +

n∑l=1

∂Γlik

∂xj∂l

−n∑

m=1

Γmjk

n∑l=1

Γlim∂l −

n∑l=1

∂Γljk

∂xi∂l

=

n∑l=1

[n∑

m=1

ΓmikΓ

ljm −

n∑m=1

ΓmjkΓ

lim +

∂Γlik

∂xj−∂Γl

jk

∂xi

]∂l.

5.4 Proposicao. Em Rn,R = 0. (5.10)


Em particular, a derivada covariante comuta

∇∂i∇∂j = ∇∂j∇∂i . (5.11)

Prova: Na introducao a esta secao vimos que R ≡ 0 para Rn (de fato, foi o que nos levou a definir R emprimeiro lugar; este resultado e trazido aqui apenas para referencia e enfase). Como [∂i, ∂j ] = 0, segue que

∇∂i∇∂jZ = ∇∂j∇∂iZ

para todo campo vetorial Z ∈ X (Rn). Assim, a curvatura mede tambem o quanto a derivada covariante deixa de comutar.

5.5 Teorema. Uma variedade Riemanniana Mn e localmente isometrica a Rn se e somente se R = 0.

Prova: Vamos mostrar que se R = 0 entao M e localmente isometrica ao espaco euclideano, ja que arecıproca e obvia (a curvatura e um invariante isometrico local; Exercıcio 5.2).

Dado p ∈M , escolha uma base ortonormalE1|p , . . . , En|p

para TpM . Sejam

x1, . . . , xn

um sistema

de coordenadas para uma vizinhanca de p tal que ∂i|p = Ei|p para todo i (por exemplo, uma vizinhancanormal). Diminuindo a vizinhanca se necessario, podemos assumir que o domınio da parametrizacao e umpequeno cubo

Cδ =x ∈ Rn :

∣∣xi∣∣ < δ, i = 1, . . . , n.

Para cada i faca um transporte paralelo do vetor Ei|p ao longo de todas as imagens parametrizadas doseixos do cubo, cobrindo todos os pontos da vizinhanca parametrizada pelo cubo: por exemplo, comece trans-portando paralelamente o vetor Ei|p ao longo da imagem parametrizada do eixo x1; entao, a partir de cada

ponto da imagem parametrizada do eixo x1, transporte paralelamente ao longo da imagem parametrizadado segmento paralelo ao eixo x2; entao, sucessivamente, transporte paralelamente ao longo das imagensparametrizadas dos segmentos paralelos aos eixos x3, . . . , xn. Deste modo, obtemos n campos vetoriais orto-normais E1, . . . , En definidos na vizinhanca parametrizada pelo cubo Cδ. Alem disso, estes campos vetoriaissao suaves pela aplicacao sucessiva do teorema da dependencia suave das solucoes de EDOs nas condicoesiniciais (os campos paralelos Ei sao as solucoes da EDO DEi/dt = 0).

Afirmamos que os campos E1, . . . , En sao paralelos em Cδ. Para provar isso, basta provar que

∇∂iEj = 0

para todos i, j. Fixe j. Por construcao, ∇∂1Ej = 0 ao longo do eixo x1, ∇∂2Ej = 0 no plano(x1, x2

)e, em geral, ∇∂k

Ej = 0 no plano k-dimensional(x1, . . . , xk

), isto e, na fatia k-dimensional do cubo Mk

correspondente a xk+1 = . . . = xn = 0. Provaremos por inducao que

∇∂1Ej = . . . = ∇∂kEj = 0 (5.12)

em Mk para todo k; em particular, para k = n, obtemos a afirmacao. Ja vimos que o caso k = 1 e valido.Assuma a validade de (5.12) para algum k. Em Mk+1 temos ∇∂k+1

Ej = 0 por construcao e

∇∂1Ej = . . . = ∇∂kEj = 0

em Mk por hipotese de inducao. Resta apenas mostrar que ∇∂iEj = 0 para i = 1, . . . , k no resto da fatia(k + 1)-dimensional xk+2 = . . . = xn = 0. Para isso, como ja temos ∇∂iEj = 0 na fatia k-dimensionalxk+1 = xk+2 = . . . = xn = 0, por paralelismo basta provar que

∇∂k+1(∇∂iEj) = 0.

Mas, como R = 0, temos

∇∂k+1(∇∂iEj)−∇∂i

(∇∂k+1

Ej

)+∇[∂i,∂k+1]Ej = 0


ou seja, usando o fato que [∂i, ∂k+1] = 0,

∇∂k+1(∇∂iEj) = ∇∂i

(∇∂k+1

Ej

)= 0.

Porque a conexao riemanniana e simetrica,

[Ei, Ej ] = ∇EiEj −∇EjEi = 0

para todos i, j. Portanto, como vimos na Introducao, existem coordenadasy1, . . . , yn

para uma vizinhanca

possivelmente menor de p, tais que

Ei =∂

∂yi.

Nestas coordenadas,

gij =

⟨∂

∂yi,∂

∂yj

⟩= ⟨Ei, Ej⟩ = δij ,

logo a parametrizacao das coordenadas yi define uma isometria entre esta vizinhanca parametrizada de p eRn. Para a demonstracao original deste resultado por Riemann, comentada e em notacao moderna, veja [Spivak],Vol. II, pp. 179-204. Observe que a demonstracao acima mostra que se pudermos encontrar camposE1, . . . , En linearmente independentes e paralelos na variedade M , entao ela e localmente isometrica a Rn.Consequentemente, tais campos em geral nao existem. Isso significa que o transporte paralelo de vetores aolongo de curvas com extremidades coincidentes em geral da resultados diferentes (como exemplo, considereo transporte paralelo de um vetor na esfera do polo norte ao polo sul, ao longo de dois meridianos fazendoum angulo reto). Este fenomeno tambem pode ser descrito dizendo-se que o transporte paralelo de um vetorao longo de uma geodesica fechada geralmente leva ele em um vetor diferente.

5.6 Proposicao. (Simetrias do Tensor Endomorfismo Curvatura) O tensor endomorfismo curvatura satisfazas seguintes propriedades:

(a) R (X,Y )Z = −R (Y,X)Z.

(b) (identidade de Bianchi) R (X,Y )Z +R (Y,Z)X +R (Z,X)Y = 0.

Em termos dos componentes do tensor endomorfismo curvatura, estas identidades sao respectivamenteequivalentes a

(a) Rlijk = −Rl

jik.

(b) Rlijk +Rl

jki +Rlkij = 0.

Consequentemente,Rl

iik = 0.


Prova: A primeira propriedade segue diretamente da definicao, como ja vimos. A segunda propriedadesegue da simetria da conexao, aplicada duas vezes, e da identidade de Jacobi para o colchete de Lie:

R (X,Y )Z +R (Y, Z)X +R (Z,X)Y

= ∇Y ∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z

+∇Z∇YX −∇Y ∇ZX +∇[Y,Z]X

+∇X∇ZY −∇Z∇XY +∇[Z,X]Y

= ∇Y (∇XZ −∇ZX) +∇Z (∇YX −∇XY ) +∇X (∇ZY −∇Y Z)

+∇[X,Y ]Z +∇[Y,Z]X +∇[Z,X]Y

= ∇Y [X,Z] +∇Z [Y,X] +∇X [Z, Y ] +∇[X,Y ]Z +∇[Y,Z]X +∇[Z,X]Y

=(∇Y [X,Z]−∇[X,Z]Y

)+(∇Z [Y,X]−∇[Y,X]Z

)+(∇X [Z, Y ]−∇[Z,Y ]X

)= [Y, [X,Z]] + [Z, [Y,X]] + [X, [Z, Y ]]

= [Y, [X,Z]] + [X, [Z, Y ]] + [Z, [Y,X]]

= 0,

A ultima propriedade e consequencia de (a).

5.2.2 Operacao de Subir ou Descer um Indice

Uma propriedade importante da metrica riemanniana e que ela permite converter vetores em covetores evice-versa. De fato, ela permite definir um isomorfismo entre os espacos T1M de campos vetoriais de Me T 1M de campos covetoriais de M , chamado o isomorfismo musical. A escolha deste nome se refere aossımbolos escolhidos para denotar o isomorfismo e seu inverso, conforme veremos na definicao a seguir.

5.7 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Definimos o isomorfismo bemol

: T1M −→ T 1MX 7→ X

que leva X no covetor X definido por

X (Y ) = g (X,Y ) = ⟨X,Y ⟩ (5.13)

para todo Y . Seu inverso e o isomorfismo sustenido

♯ : T 1M −→ T1Mω 7→ ω♯

que leva o covetor ω no vetor ω♯ definido por

g(ω♯, Y

)=⟨ω♯, Y

⟩= ω (Y ) (5.14)

para todo Y .

Em coordenadas,

X (Y ) = g

n∑i=1

Xi ∂

∂xi,

n∑j=1

Y j ∂

∂xj

=n∑

i,j=1

XiY jg

(∂

∂xi,∂

∂xj

)

=

n∑i,j=1

gijXiY j =

n∑i,j=1

gijXidxj (Y ) ,


ou seja,

X =n∑

i=1

gijXidxj . (5.15)

Escrevendo os componentes do covetor X em coordenadas na forma

X =n∑

j=1

Xjdxj , (5.16)

segue que

Xj =n∑

i=1

gijXi. (5.17)

Diz-se que o covetor X e obtido a partir do vetor X descendo um ındice. Por este motivo esta operacao edenotada pelo sımbolo bemol, porque em partituras musicais o sımbolo bemol e usado para abaixar a alturada nota musical que lhe segue. Ja no caso do isomorfismo inverso, escrevendo em coordenadas o vetor ω♯ naforma

ω♯ =

n∑i=1

ωi ∂

∂xi, (5.18)

segue que

g

(n∑

k=1

ωk ∂

∂xk,∂

∂xj

)= ω

(∂

∂xj

),

donde

ωj =n∑

k=1

gkjωk.

Multiplicando pela matriz inversa gij , como

n∑i=1

gijn∑

k=1

gjkωk =

n∑k=1

(n∑

i=1

gijgjk

)ωk =

n∑k=1

δikωk = ωi,

segue que

ωi =

n∑j=1

gijωj . (5.19)

Diz-se que o vetor ω♯ e obtido a partir do covetor ω subindo um ındice. Por este motivo esta operacaoe denotada pelo sımbolo sustenido, porque em partituras musicais o sımbolo sustenido e usado para subir aaltura da nota musical que lhe segue.

O vetor gradiente e definido a partir da operacao de subir um ındice:

5.8 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Dada uma funcao f ∈ C∞ (M), definimos o campogradiente de f por

grad f = df ♯.

Em outras palavras, o vetor gradiente e definido por

⟨grad f, Y ⟩ = df (Y )

para todo Y .


Em coordenadas, como

df =n∑

i=1

∂f

∂xidxi,

temos

grad f =n∑

i,j=1

gij∂f

∂xi∂

∂xj. (5.20)

A operacao de subir ou descer um ındice pode ser aplicada a qualquer tensor:

5.9 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Se T ∈ T kl M , entao T ∈ T k+1

l−1 M e o tensor definidopor

T (X1, . . . , Xk, Xk+1, ω

1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl)= T

(X1, . . . , Xp, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωq−1, Xk+1, ω

q+1, . . . , ωl)

e T ♯ ∈ T k−1l+1 M e o tensor definido por

T ♯(X1, . . . , Xp−1, Xp+1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl, ωl+1)= T

(X1, . . . , Xp−1,

(ωl+1

)♯, Xp+1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl).

Note que ao aplicar a operacao de subir ou descer um ındice de um tensor teremos que explicitar qual ındiceestamos subindo ou descendo. Em geral isto e feito em palavras, sem o uso de um sımbolo especial. Emcoordenadas, descendo o ultimo ındice, as componentes do tensor resultante sao dadas por

Tj1...jl−1

i1...ikik+1= T

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik,

∂

∂xik+1, dxj1 , . . . , dxjl−1

)= T

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik,

∂

∂xik+1, dxj1 , . . . , dxjl−1 ,

(∂

∂xik+1

))

= T

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik,

∂

∂xik+1, dxj1 , . . . , dxjl−1 ,

n∑p=1

gik+1pdxp

)

=n∑

p=1

gik+1pT

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik,

∂

∂xik+1, dxj1 , . . . , dxjl−1 , dxp

)

=

n∑p=1

gik+1pTj1...jl−1pi1...ik

,

que escrevemos para futura referencia

Tj1...jl−1

i1...ikik+1=

n∑p=1


. (5.21)


Subindo o ultimo ındice, as componentes do tensor resultante sao dadas por

Tj1...jljl+1

i1...ik−1= T ♯

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik−1, dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1

)= T

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik−1,(dxjl+1

)♯, dxj1 , . . . , dxjl

)= T

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik−1,

n∑p=1

gjl+1q∂

∂xq, dx1, . . . , dxl

)

=n∑

p=1

gjl+1qT

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik−1,∂

∂xq, dx1, . . . , dxl

)

=n∑

q=1

gjl+1qT j1...jli1...ik−1q

,

que escrevemos para futura referencia

Tj1...jljl+1

i1...ik−1=

n∑q=1

gjl+1qT j1...jli1...ik−1q

. (5.22)

Outra aplicacao importante do isomorfismo musical e estender a operacao de tomar o traco de tensores.Enquanto que o traco de tensores elimina um ındice covariante e um ındice contravariante, o traco em relacaoa metrica definido a seguir elimina dois ındices covariantes.

5.10 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Se T ∈ T kl M , entao o traco de T em relacao a

metrica g e o tensor trg T ∈ T k−2l M = C∞ (M) definida por

trg T = tr(T ♯).

Em coordenadas, o traco de T em relacao a metrica g em relacao aos dois ultimos ındices, subindo o ultimoındice antes de tomar o traco, e dado por

(trg T )j1...jli1...ik−2

=n∑

i=1

(T ♯)j1...jlii1...ik−2i

=n∑

i=1

gijT j1...jli1...ik−2ij

.

Por exemplo, se T ∈ T 2M e um tensor simetrico, de forma que nao importa qual ındice escolhemos subir,entao trg T ∈ T 0M = C∞ (M) e a funcao definida por

trg T =

n∑i=1

(T ♯)ii=

n∑i,j=1

gijTij .

5.2.3 O Tensor Curvatura

5.11 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. O tensor curvatura de M e o campo tensorialcovariante de ordem 4

R : X (M)× X (M)× X (M)× X (M) −→ C∞ (M)

definido porR (X,Y, Z,W ) = ⟨R (X,Y )Z,W ⟩ .


Em outras palavras, o tensor curvatura e obtido atraves de descer o ındice do tensor endomorfismo curvatura.Usaremos a mesma letra R para denotar os dois tensores; ficara claro dentro do contexto a qual tensor estamosnos referindo. Enquanto que o tensor endomorfismo curvatura e dado localmente por

R = Rlijkdx

i ⊗ dxj ⊗ dxk ⊗ ∂l, (5.23)

o tensor curvatura e dado localmente por

R = Rijkldxi ⊗ dxj ⊗ dxk ⊗ dxl. (5.24)

5.12 Proposicao. As componentes do tensor curvatura sao

Rijkl =n∑

m=1

gmlRmijk. (5.25)

Em particular,

Rlijk =

n∑m=1

gmlRijkm. (5.26)

Prova: Pois o tensor curvatura e obtido atraves do tensor endomorfismo curvatura pela operacao de descero seu unico ındice contravariante, enquanto que o tensor endomorfismo curvatura e obtido atraves do tensorcurvatura pela operacao inversa, isto e, subir o seu ultimo ındice. Tambem podemos provar diretamente: aprimeira identidade segue de

Rijkl = R (∂i, ∂j , ∂k, ∂l) = ⟨R (∂i, ∂j) ∂k, ∂l⟩

=

⟨n∑

m=1

Rmijk∂m, ∂l

⟩

=n∑

m=1

Rmijk ⟨∂m, ∂l⟩

=

n∑m=1

gmlRmijk,

enquanto que a segunda identidade segue de

n∑m=1

gmlRijkm =n∑

m=1

gmln∑

p=1

gpmRpijk =

n∑p=1

n∑m=1

gpmgmlRp

ijk =

n∑p=1

δplRpijk = Rl

ijk.

Potencialmente, o tensor curvatura tem n4 componentes. A presenca de simetrias reduz bastante o

numero de componentes nao nulas e de componentes independentes:

5.13 Proposicao. (Simetrias do Tensor Curvatura) O tensor curvatura satisfaz as seguintes propriedades:

(a) R (X,Y, Z,W ) = −R (Y,X,Z,W ) .

(b) R (X,Y, Z,W ) = −R (X,Y,W,Z) .

(c) R (X,Y, Z,W ) = R (Z,W,X, Y ) .

(d) (identidade de Bianchi) R (X,Y, Z,W ) +R (Y, Z,X,W ) +R (Z,X, Y,W ) = 0.

Em termos dos componentes do tensor curvatura, estas identidades sao respectivamente equivalentes a


(a) Rijkl = −Rjikl.

(b) Rijkl = −Rijlk.

(c) Rijkl = Rklij .

(d) Rijkl +Rjkil +Rkijl = 0.

Prova: (a) Segue imediatamente de

R (X,Y )Z = −R (Y,X)Z.

(b) Como

R (X,Y, Z +W,Z +W ) = R (X,Y, Z, Z) +R (X,Y, Z,W ) +R (X,Y,W,Z) +R (X,Y,W,W ) ,

a identidade segue se provarmos queR (X,Y, Z, Z) = 0. (5.27)

A identidade (5.27) segue da compatibilidade da conexao riemanniana com a metrica. De fato, temos

R (X,Y, Z, Z) = ⟨R (X,Y )Z,Z⟩= ⟨∇Y ∇XZ,Z⟩ − ⟨∇X∇Y Z,Z⟩+

⟨∇[X,Y ]Z,Z

⟩.

Daı, pela compatibilidade da metrica,

⟨∇Y ∇XZ,Z⟩ = Y ⟨∇XZ,Z⟩ − ⟨∇XZ,∇Y Z⟩ ,⟨∇X∇Y Z,Z⟩ = X ⟨∇Y Z,Z⟩ − ⟨∇Y Z,∇XZ⟩ ,⟨∇[X,Y ]Z,Z

⟩=

1

2[X,Y ] ⟨Z.Z⟩ .

Logo, novamente pela compatibilidade da metrica,

R (X,Y, Z, Z) = Y ⟨∇XZ,Z⟩ −X ⟨∇Y Z,Z⟩+1

2[X,Y ] ⟨Z.Z⟩

=1

2Y (X ⟨Z,Z⟩)− 1

2X (Y ⟨Z,Z⟩) + 1

2[X,Y ] ⟨Z.Z⟩

=1

2[(Y X −XY ) ⟨Z,Z⟩+ [X,Y ] ⟨Z.Z⟩]

=1

2[[Y,X] ⟨Z,Z⟩+ [X,Y ] ⟨Z.Z⟩]

= 0.

(d) A identidade de Bianchi para o tensor curvatura segue da identidade de Bianchi para o tensor endomor-fismo curvatura.(c) Segue da identidade de Bianchi aplicadas as quatro permutacoes cıclicas dos quatro vetores:

R (X,Y, Z,W ) +R (Y,Z,X,W ) +R (Z,X, Y,W ) = 0,

R (Y,Z,W,X) +R (Z,W, Y,X) +R (W,Y,Z,X) = 0,

R (Z,W,X, Y ) +R (W,X,Z, Y ) +R (X,Z,W, Y ) = 0,

R (W,X, Y, Z) +R (X,Y,W,Z) +R (Y,W,X,Z) = 0.


Somamos estas 4 identidades. Aplicando (a) cancelamos todos os termos das primeiras duas colunas ((1, 1)cancela com (4, 2), (2, 1) cancela com (1, 2), (3, 1) cancela com (2, 2) e (4, 1) cancela com (3, 2)). Quanto aostermos da ultima coluna, segue de (a) e (b) que

R (Z,X, Y,W ) = R (X,Z,W, Y ) ,

R (W,Y,Z,X) = R (Y,W,X,Z) ,

logo a soma das 4 identidades e

2R (Z,X, Y,W ) + 2R (W,Y,Z,X) = 0.

Daı,R (Z,X, Y,W ) = −R (W,Y,Z,X) = R (Y,W,Z,X) .

5.14 Corolario. ValeR (X,X,Z,W ) = R (X,Y, Z, Z) = 0.

Em termos dos componentes do tensor curvatura,

Riikl = Rijkk = 0. (5.28)

Alem disso, qualquer soma de tres componentes do tensor curvatura obtidos atraves da permutacaocıclica de tres ındices e igual a zero.

Prova: A validade das duas primeiras identidades foram vistas na demonstracao da proposicao; de qualquermodo, Riikl = 0 segue da propriedade (a) e Rijkk = 0 segue da propriedade (b). A prova da ultima afirmacaoe deixada como exercıcio (Exercıcio 5.3).

5.15 Corolario. Se M e uma variedade riemanniana de dimensao 2, entao das 24 = 16 componentes dotensor curvatura, existem 12 componentes nulas e apenas uma componente independente.

Prova: Pelo corolario temos

R1111 = R1112 = R1121 = R1122 = 0,

R2211 = R2212 = R2221 = R2222 = 0,

R1211 = R2111 = 0,

R1222 = R2122 = 0.

As componentes potencialmente nao nulas sao apenas R1212, R1221, R2112, R2121. E possıvel escolher umadentre estas quatro e escrever as tres outras em funcao dela usando as relacoes de simetria. Por exemplo,escolhendo R1212, temos

R1221 = −R1212,

R2112 = −R1212,

R2121 = −R2112 = R1212.

Observe que a simetria da identidade de Bianchi nao desempenha nenhum papel, porque no caso n = 2,como tambem no caso n = 3, ela e consequencia de (a)-(c). De fato, como no maximo 3 ındices sao diferentesnestes casos, pelo menos um dos coeficientes na soma cıclica (d) sera da forma Rijkk e portanto nulo, logoela se reduzira a uma ou duas das propriedades (a)-(c). Basta ver isso no caso k = l:

Rijkk +Rjkik +Rkijk = 0


e equivalente a (Rijkk = 0)Rjkik +Rkijk = 0

ou seja,Rjkik = −Rkijk,

que corresponde a aplicar (c) e depois (a). As propriedades de simetria do endomorfismo curvatura reduzem um pouco o numero de componentes acalcular, mas nao tanto quanto o tensor curvatura, ja que nao tem tantas simetrias. Pela Proposicao 5.6temos imediatamente 8 componentes nulas

R1111 = R2

111 = R1112 = R2

112 = 0,

R1221 = R2

221 = R1222 = R2

222 = 0,

e da propriedade (a) apenas 4 componentes independentes:

Rlkii = −Rl

iki.

Basta entao calcular R1121, R

1212, R

2121, R

2212, ja que

R1211 = −R1

121,

R1122 = −R1

212,

R2211 = −R2

121,

R2122 = −R2

212.

5.16 Exemplo. (Curvatura da Esfera) Considerando a esfera como uma superfıcie de revolucao com para-metrizacao

(x, y, z) (ϕ, θ) = (r senϕ cos θ, r senϕ sen θ, r cosϕ),

vimos no Exemplo 4.6 que

g11 = r2,

g12 = g21 = 0,

g22 = r2 sen2 ϕ,

e

Γ111 = Γ2

11 = Γ112 = Γ1

21 = Γ222 = 0,

Γ212 = Γ2

21 =cosϕ

senϕ,

Γ122 = − senϕ cosϕ.

Primeiro calcularemos as componentes do tensor endomorfismo curvatura. Como observado antes,basta calcular as 4 componentes independentes R1

121, R1212, R

2121, R

2212. Para isso usamos a formula

Rlijk =

2∑m=1

(ΓmikΓ

ljm − Γm

jkΓlim

)+∂Γl

ik

∂xj−∂Γl

jk

∂xi

=(Γ1ikΓ

lj1 − Γ1

jkΓli1

)+(Γ2ikΓ

lj2 − Γ2

jkΓli2

)+∂Γl

ik

∂xj−∂Γl

jk

∂xi.

Fazendo k = i, segue que

Rliji =

(Γ1iiΓ

lj1 − Γ1

jiΓli1

)+(Γ2iiΓ

lj2 − Γ2

jiΓli2

)+∂Γl

ii

∂xj−∂Γl

ji

∂xi.


Veremos que ha apenas 2 componentes independentes nao nulas.

No caso l = 1, temos que calcular R1121 e R1

212. O unico sımbolo de Christoffel Γ1ij nao nulo e Γ1

22 e

Γ2ii = 0 para todo i, logo para i = j temos

R1iji =

(Γ1iiΓ

1j1 − Γ1

jiΓ1i1

)+(Γ2iiΓ

1j2 − Γ2

jiΓ1i2

)+∂Γ1

ii

∂xj−∂Γ1

ji

∂xi

= −Γ2jiΓ

1i2 +

∂Γ1ii

∂xj.

Daı,

R1121 = −Γ2

21Γ112 +

∂Γ111

∂θ= 0

e

R1212 = −Γ2

12Γ122 +

∂Γ122

∂ϕ

= − cosϕ

senϕ(− senϕ cosϕ) +

∂ (− senϕ cosϕ)

∂ϕ

= cos2 ϕ− cos2 ϕ+ sen2 ϕ

= sen2 ϕ.

No caso l = 2, temos que calcular R2121 e R2

212. Para i = j temos

Rliji =

(Γ1iiΓ

2j1 − Γ1

jiΓ2i1

)+(Γ2iiΓ

2j2 − Γ2

jiΓ2i2

)+∂Γ2

ii

∂xj−∂Γ2

ji

∂xi

= Γ1iiΓ

2j1 − Γ2

jiΓ2i2 −

∂Γ2ji

∂xi.

Daı,

R2121 = Γ1

11Γ221 − Γ2

21Γ212 −

∂Γ221

∂ϕ

= 0− cosϕ

senϕ

cosϕ

senϕ− ∂

∂ϕ

(cosϕ

senϕ

)= − cos2 ϕ

sen2 ϕ− − sen2 ϕ− cos2 ϕ

sen2 ϕ

= 1

e

R2212 = Γ1

22Γ211 − Γ2

12Γ222 −

∂Γ212

∂θ= 0.

Portanto,

R1212 = −R1

122 = sen2 ϕ,

R2121 = −R2

211 = 1,

enquanto que as demais 12 componentes sao todas nulas.

Para calcular as 24 = 16 componentes do tensor curvatura da esfera, pelo Corolario 5.15 basta calcularuma componente nao nula. Como

Rijkl =

2∑m=1

gmlRmijk = g1lR

1ijk + g2lR

2ijk


segue queR1212 = g12R

1121 + g22R

2121 = r2 sen2 ϕ.

Portanto, as 4 componentes nao nulas do tensor curvatura da esfera sao

R1212 = r2 sen2 ϕ,

R1221 = −R1212 = −r2 sen2 ϕ,R2112 = −R1212 = −r2 sen2 ϕ,R2121 = R1212 = r2 sen2 ϕ.

5.17 Exemplo. (Curvatura do Plano Hiperbolico) Como vimos no Exemplo 4.8, temos

g11 = g22 =1

y2,

g12 = g21 = 0,

e

Γ111 = Γ1

22 = Γ212 = Γ2

21 = 0,

Γ211 =

1

y,

Γ112 = Γ1

21 = Γ222 = −1

y.

Primeiro calcularemos as componentes do tensor endomorfismo curvatura:

Rliji = Γ1

iiΓlj1 − Γ1

jiΓli1 + Γ2

iiΓlj2 − Γ2

jiΓli2 +

∂Γlii

∂xj−∂Γl

ji

∂xi.

No caso l = 1, para i = j,

R1iji = Γ1

iiΓ1j1 − Γ1

jiΓ1i1 + Γ2

iiΓ1j2 − Γ2

jiΓ1i2 +

∂Γ1ii

∂xj−∂Γ1

ji

∂xi

= −Γ1jiΓ

1i1 + Γ2

iiΓ1j2 −

∂Γ1ji

∂xi.

Daı

R1121 = −Γ1

21Γ111 + Γ2

11Γ122 −

∂Γ121

∂x= 0

e

R1212 = −Γ1

12Γ121 + Γ2

22Γ112 −

∂Γ112

∂y

= − 1

y2+

1

y2+

1

y2= − 1

y2.

No caso l = 2, para i = j,

R1iji = Γ1

iiΓ2j1 − Γ1

jiΓ2i1 + Γ2

iiΓ2j2 − Γ2

jiΓ2i2 +

∂Γ2ii

∂xj−∂Γ2

ji

∂xi

= Γ1iiΓ

2j1 − Γ1

jiΓ2i1 + Γ2

iiΓ2j2 − Γ2

jiΓ2i2 +

∂Γ2ii

∂xj.


Daı,

R2121 = Γ1

11Γ221 − Γ1

21Γ211 + Γ2

11Γ222 − Γ2

21Γ212 +

∂Γ211

∂y

= 0 +1

y2− 1

y2+ 0− 1

y2

= − 1

y2

e

R2212 = Γ1

22Γ211 − Γ1

12Γ221 + Γ2

22Γ212 − Γ2

12Γ222 +

∂Γ222

∂x= 0.

Portanto,

R1122 = −R1

212 = −R2121 = R2

211 =1

y2

e as demais 12 componentes sao todas nulas.

Para calcular as componentes do tensor curvatura do plano hiperbolico, basta calcular a componentenao nula

R1212 = g12R1121 + g22R

2121 = − 1

y4.

Portanto, as 4 componentes nao nulas do tensor curvatura do plano hiperbolico sao

R1212 = − 1

y4,

R1221 = −R1212 =1

y4,

R2112 = −R1212 =1

y4,

R2121 = R1212 = − 1

y4.

5.18 Corolario. Se M e uma variedade riemanniana de dimensao n, entao das n4 componentes do tensorcurvatura, existem

n2(n2 − 1

)12

(5.29)

componentes independentes.

Prova: Pela Proposicao 5.13 (c), temosRijkl = Rklij .

Portanto, denotandop = ij, q = kl,

podemos considerar R como uma matriz simetrica

Rpq = Rqp,

cada ındice p, q compreendendo uma matriz antisimetrica, pois pela Proposicao 5.13 (a), (b), temos

Rjikl = −Rijkl,

Rijlk = −Rijkl.


A dimensao do subespaco das matrizes simetricas n × n, ou seja, o numero de componentes independentesde uma matriz simetrica n× n, e

n (n+ 1)

2,

enquanto que a dimensao do subespaco das matrizes antisimetricas n× n, isto e, o numero de componentesindependentes de uma matriz antisimetrica n× n, e

n (n− 1)

2.

Portanto, Rpq vista como uma matriz simetrica tem m (m+ 1) /2 componentes independentes com m =n (n− 1) /2 componentes independentes. Logo, sem levar em conta a simetria da identidade de Bianchitemos

n (n− 1)

2

(n (n− 1)

2+ 1

)2

=n2 (n− 1)

2+ 2n (n− 1)

8=n4 − 2n3 + 3n2 − 2n

8.

componentes independentes. A identidade de Bianchi nao desempenha um papel para n = 2 e n = 3, comovimos no fim da demonstracao do Corolario 5.15, e note que

n4 − 2n3 + 3n2 − 2n

8

∣∣∣∣n=2

=n2(n2 − 1

)12

∣∣∣∣∣n=2

= 1,

n4 − 2n3 + 3n2 − 2n

8

∣∣∣∣n=3

=n2(n2 − 1

)12

∣∣∣∣∣n=3

= 6.

A partir de n > 4, identidade de Bianchi reduz o numero de componentes independentes. Para ver isso deforma concreta no caso n = 4, primeiro observe que seguindo o raciocınio acima restam apenas

n2(n2 − 1

)12

∣∣∣∣∣n=3

= 21

componentes independentes, que sao exatamente as componentes da parte triangular superior ou inferior damatriz

kl →ij ↓

12 13 14 23 24 34

12 R1212 R1213 R1214 R1223 R1224 R1234

13 R1312 R1313 R1314 R1323 R1324 R1334

14 R1412 R1413 R1414 R1423 R1424 R1434

23 R2312 R2313 R2314 R2323 R2324 R2334

24 R2412 R2413 R2414 R2423 R2424 R2434

34 R3412 R3413 R3414 R3423 R3424 R3434

No caso n = 4 a identidade de Bianchi desempenha um papel, reduzindo de 21 para 20 o numero decomponentes independentes. De fato, como visto no final da demonstracao do Corolario 5.15, qualquer novacondicao deve envolver 4 ındices distintos. As componentes com 4 ındices diferentes ocupam a antidiagonalda matriz acima, logo so ha 3 componentes independentes com 4 ındices diferentes; por exemplo, na partetriangular superior da matriz acima estas componentes sao: R1234, R1423 = R2314 e R1324 = −R3124. Aidentidade de Bianchi

R1234 +R2314 +R3124 = 0

permite escreverR1234 = −R2314 −R3124,

o que elimina R1234 como componente independente.


No caso geral, a identidade de Bianchi elimina(n4

)componentes independentes, ja que este e o numero

de modos que podemos escolher 4 ındices diferentes dentre n ındices e a identidade de Bianchi elimina umdestes (no caso n = 5, a identidade de Bianchi eliminara R1234, R1345, R1245, R1235, R2345 como componentesindependentes). Portanto, o numero total final de componentes independentes e

n4 − 2n3 + 3n2 − 2n

8−(n

4

)=n4 − 2n3 + 3n2 − 2n

8− n!

(n− 4)!4!

=n4 − 2n3 + 3n2 − 2n

8− n (n− 1) (n− 2) (n− 3)

24

=3n4 − 6n3 + 9n2 − 6n−

(n4 − 6n3 + 11n2 − 6n

)24

=2n4 − 2n2

24

=n2(n2 − 1

)12

.

Assim, existem 6 componentes independentes para o tensor curvatura de variedades de dimensao 3 dentre34 = 81 componentes, e 20 componentes independentes para o tensor curvatura de variedades de dimensao4 dentre 44 = 256 componentes, como as que sao estudadas em relatividade geral.

5.3 Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar

Porque 4-tensores sao tao complexos, como vimos na secao anterior, e frequentemente util construir tensoresmais simples que resumem alguma informacao contida no tensor curvatura. Obviamente, ao simplificar otensor curvatura, estamos perdendo informacao, os tensores mais simples contem menos informacao que otensor original. O mais importante dentre estes tensores e o tensor de Ricci.

5.19 Definicao. SejaM uma variedade riemanniana. O tensor curvatura de Ricci deM , denotado Ric,e o campo tensorial covariante de ordem 2 definido como o traco do tensor endomorfismo curvatura emrelacao ao seu ındice contravariante e segundo ındice covariante ou, equivalentemente, como o tracoem relacao a metrica do tensor curvatura no seu segundo e ultimo ındices. Portanto, os componentesda curvatura de Ricci sao dados por

Rij =n∑

k=1

Rkikj =

n∑k,m=1

gkmRikjm. (5.30)

5.20 Proposicao. A curvatura de Ricci e um campo tensorial simetrico, isto e,

Rij = Rji. (5.31)

Prova: Temos

Rij =n∑

k,m=1

gkmRikjm =n∑

k,m=1

gkmRjmik =n∑

k,m=1

gmkRjmik = Rji.

O segundo tensor e a curvatura escalar, que e uma funcao real.


5.21 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. A curvatura escalar de M , denotada S, e a funcaoreal S :M −→ R definida como o traco em relacao a metrica do tensor de Ricci:

S = trg Ric =n∑

i,j=1

gijRij . (5.32)

5.22 Exemplo. (Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar da Esfera) Para variedades riemannianas de di-mensao 2 a curvatura de Ricci e

Rij =2∑

k=1

Rkikj = R1

i1j +R2i2j .

Referindo aos calculos efetuados no Exemplo 5.16, segue que

R11 = R1111 +R2

121 = 1,

R12 = R21 = R1112 +R2

122 = 0,

R22 = R1212 +R2

222 = sen2 ϕ.

Para variedades riemannianas de dimensao 2 a curvatura escalar e

S =

2∑i,j=1

gijRij = g11R11 + 2g12R12 + g22R22.

Logo, a curvatura escalar da esfera de raio r e

S =1

r2+

sen2 ϕ

r2 sen2 ϕ=

2

r2.

Ou seja, a curvatura escalar da esfera tende a 0 (curvatura escalar do plano euclideano) quando r → ∞.

5.23 Exemplo. (Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar do Plano Hiperbolico) Referindo aos calculosefetuados no Exemplo 5.17, segue que

R11 = R1111 +R2

121 = − 1

y2,

R12 = R21 = R1112 +R2

122 = 0,

R22 = R1212 +R2

222 = − 1

y2.

Logo, a curvatura escalar do plano hiperbolico e

S = y2(− 1

y2

)+ y2

(− 1

y2

)= −2.

Como o tensor metrica e a curvatura de Ricci sao ambos 2-tensores covariantes simetricos, e natural seperguntar se existe uma relacao mais direta entre eles.


5.24 Definicao. Uma variedade riemanniana M e chamada uma variedade de Einstein se existe umafuncao f :M −→ R tal que

Ric = fg. (5.33)

Neste caso, dizemos tambem que g e uma metrica de Einstein.

Pela proposicao anterior, variedades de curvatura seccional constante sao variedades de Einstein. Observeque como

S = trg Ric = f trg g = nf,

pois

trg g =n∑

j,k=1

gjkgjk = n,

onde usamos o fato que se A,B sao matrizes simetricas, entao

tr (AB) =

n∑k=1

(AB)kk =

n∑k=1

n∑j=1

akjbjk =

n∑k,j=1

ajkbjk,

segue que

f =S

n.

Logo M e uma variedade de Einstein se e somente se

Ric =S

ng. (5.34)

O nome variedades de Einstein vem do seguinte fato. Na teoria da Relatividade Geral, a equacao deEinstein e

Ric−1

2Sg + Λg = T,

onde T e um 2-tensor simetrico (o tensor de tensao-energia) que descreve a densidade, momento e tensaoda materia e energia presentes em cada ponto do espaco-tempo e Λ e a constante cosmologica. No vacuo,T = 0 e a equacao de Einstein se torna

Ric−1

2Sg + Λg = 0

(e assim, a constante cosmologica mede a densidade de energia do vacuo). Tomando o traco desta equacaocom respeito a metrica, como trg Ric = S e trg g = n = 4 para o espaco-tempo 4-dimensional, segue que

S − 2S + 4Λ = 0

ou seja,S = 4Λ

(curvatura escalar do vacuo). Segue que a equacao de Einstein para o vacuo e

Ric = Λg,

ou seja, a metrica do vacuo e uma metrica de Einstein no sentido da Definicao 5.31. Vale a pena observarque Einstein considerou como o seu maior erro a introducao da constante cosmologica na sua equacao darelatividade geral. Ele a introduziu para poder produzir um universo estatico; quando Hubble observou aexpansao do universo atraves do afastamento mutuo das galaxias, Einstein removeu a constante cosmologicada sua equacao (o que equivale efetivamente a considerar Λ = 0). Quando no final da decada de 90 foiobservada a aceleracao da expansao do universo, ela foi reintroduzida, com valor positivo a ser determinadoatraves de experimentos (correntemente, o valor e bem proximo de zero).


Matematicamente, o interesse em metricas de Einstein provem de um resultado provado por Hilbert:metricas de Einstein sao pontos crıticos para o funcional curvatura escalar

S (g) =

∫M

S dV

no espaco de todas as metricas de M com volume constante.

5.4 Curvatura Seccional

5.25 Definicao. Dado um espaco vetorial real V com produto interno ⟨·, ·⟩ e vetores v, w ∈ V linearmenteindependentes, a area do paralelogramo determinado por v, w e

|v ∧ w| =√∥v∥2 ∥w∥2 − ⟨v, w⟩2. (5.35)

5.26 Proposicao. v, w ∈ V sao linearmente independentes se e somente se

|v ∧ w| = 0.

Prova: Mostraremos que |v ∧ w| = 0 se e somente se v e w sao linearmente dependentes. Se w = αv, entao

|v ∧ w| =√∥v∥2 ∥αv∥2 − ⟨v, αv⟩2 = α

√∥v∥4 − ⟨v, v⟩2 = 0.

Reciprocamente, se |v ∧ w| = 0 implica que vale a igualdade na desigualdade de Cauchy-Shwarz:

⟨v, w⟩ = ∥v∥ ∥w∥ .

Assuma w = 0, caso contrario v e w sao automaticamente linearmente dependentes e nao ha nada que preciseser provado. Considere o vetor

z = v − ⟨v, w⟩∥w∥2

w.

Temos

∥z∥2 = ⟨z, z⟩ =

⟨v − ⟨v, w⟩

∥w∥2w, v − ⟨v, w⟩

∥w∥2w

⟩

= ⟨v, v⟩ −

⟨v,

⟨v, w⟩∥w∥2

w

⟩−

⟨⟨v, w⟩∥w∥2

w, v

⟩+

⟨⟨v, w⟩∥w∥2

w,⟨v, w⟩∥w∥2

w

⟩

= ∥v∥2 − ⟨v, w⟩2

∥w∥2− ⟨v, w⟩2

∥w∥2+

⟨v, w⟩2 ∥w∥2

∥w∥4

= ∥v∥2 − ∥v∥2 − ∥v∥2 + ∥v∥2

= 0.

logo

v =⟨v, w⟩∥w∥2

w.


5.27 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana e σ um plano de TpM . A curvatura seccional deM associada a σ e definida por

K (X,Y ) =R (X,Y,X, Y )

|X ∧ Y |=

R (X,Y,X, Y )

∥X∥2 ∥Y ∥2 − ⟨X,Y ⟩2. (5.36)

onde X,Y ∈ TpM sao quaisquer vetores que formam uma base para σ.

A curvatura seccional esta bem definida, isto e, independe da base escolhida para o plano σ. De fato, sejamX,Y e Z,W duas bases para σ, de modo que existe uma matriz invertıvel A = (aij)2×2 tal que

X = a11Z + a21W,

Y = a12Z + a22W.

Temos, usando as simetrias do tensor curvatura (em primeiro lugar, o fato que R (Z,Z, ·, ·) = R (W,W, ·, ·) =R (·, ·, Z, Z) = R (·, ·,W,W ) = 0),

R (X,Y,X, Y ) = R (a11Z + a21W,a12Z + a22W,a11Z + a21W,a12Z + a22W )

= R (a11Z, a22W,a11Z, a22W )

+R (a11Z, a22W,a21W,a12Z)

+R (a21W,a12Z, a21W,a12Z)

+R (a21W,a12Z, a11Z, a22W )

= a211a212R (Z,W,Z,W ) + a11a21a12a22R (Z,W,W,Z)

+ a221a222R (W,Z,W,Z) + a11a21a12a22R (W,Z,Z,W )

=(a211a

222 − 2a11a12a21a22 + a212a

221

)R (Z,W,Z,W )

= (detA)2R (Z,W,Z,W ) ,

e

|X ∧ Y |

= ∥X∥2 ∥Y ∥2 − ⟨X,Y ⟩2

= ∥a11Z + a21W∥2 ∥a12Z + a22W∥2 − ⟨a11Z + a21W,a12Z + a22W ⟩2

=(a211 ∥Z∥

2+ 2a11a21 ⟨Z,W ⟩+ a221 ∥W∥2

)(a212 ∥Z∥

2+ 2a12a22 ⟨Z,W ⟩+ a222 ∥W∥2

)−[a11a12 ∥Z∥2 + (a11a22 + a21a12) ⟨Z,W ⟩+ a21a22 ∥W∥2

]2= a211a

212 ∥Z∥

4+ 4 (a11a21a12a22) ⟨Z,W ⟩2 + a221a

222 ∥W∥4 +

(a211a

222 + a221a

212

)∥Z∥2 ∥W∥2

+ 2(a211a12a22 + a212a11a21

)∥Z∥2 ⟨Z,W ⟩+ 2

(a221a12a22 + a222a11a21

)∥W∥2 ⟨Z,W ⟩

− a211a212 ∥Z∥

4 −(a211a

222 + 2a11a12a21a22 + a212a

221

)⟨Z,W ⟩2 − a221a

222 ∥W∥4 − 2 (a11a12a21a22) ∥Z∥2 ∥W∥2

− 2(a211a12a22 + a212a11a21

)∥Z∥2 ⟨Z,W ⟩ − 2

(a221a12a22 + a222a11a21

)∥W∥2 ⟨Z,W ⟩

=(a211a

222 − 2a11a12a21a22 + a212a

221

) [∥Z∥2 ∥W∥2 − ⟨Z,W ⟩2

]= (detA)

2 |Z ∧W | .

Logo,R (X,Y,X, Y )

|X ∧ Y |=R (Z,W,Z,W )

|Z ∧W |.

O conhecimento da curvatura seccional para todos os planos σ determina o tensor curvatura:


5.28 Proposicao. Se R1 e R2 sao dois tensores covariantes de ordem 4 em um espaco vetorial V quesatisfazem as propriedades de simetria listadas na Proposicao 5.12 tais que

K1 (X,Y ) = K2 (X,Y )

para todos vetores linearmente independentes X,Y ∈ V , entao

R1 = R2.

Prova: Por hipotese, para quaisquer vetores X,Y ∈ V ,

R1 (X,Y,X, Y ) = R2 (X,Y,X, Y ) (5.37)

(pois se X,Y sao linearmente dependentes, um e multiplo escalar do outro e a identidade e trivial, ja quecada lado e igual a zero). Daı,

R1 (X + Z, Y,X + Z, Y ) = R2 (X + Z, Y,X + Z, Y ) . (5.38)

Como

R1 (X + Z, Y,X + Z, Y ) = R1 (X,Y,X, Y ) +R1 (X,Y, Z, Y )

+R1 (Z, Y,X, Y ) +R1 (Z, Y, Z, Y )

= R1 (X,Y,X, Y ) + 2R1 (X,Y, Z, Y ) +R1 (Z, Y, Z, Y )

e analogamente para R2 (X + Z, Y,X + Z, Y ), concluımos que

R1 (X,Y, Z, Y ) = R2 (X,Y, Z, Y ) . (5.39)

Desta identidade segue que

R1 (X,Y +W,Z, Y +W ) = R2 (X,Y +W,Z, Y +W ) . (5.40)

Como

R1 (X,Y +W,Z, Y +W ) = R1 (X,Y, Z, Y ) +R1 (X,Y, Z,W )

+R1 (X,W,Z, Y ) +R1 (X,W,Z,W )

e analogamente para R2 (X,Y +W,Z, Y +W ), segue que

R1 (X,Y, Z,W ) +R1 (X,W,Z, Y ) = R2 (X,Y, Z,W ) +R2 (X,W,Z, Y ) . (5.41)

Defina agoraR = R1 −R2. (5.42)

Entao R e um 4-tensor covariante que satisfaz as mesmas propriedades que R1, R2 satisfazem. A identidade(5.41) implica que

R (X,Y, Z,W )−R (X,W,Z, Y ) = 0;

como R (X,W,Z, Y ) = R (Z, Y,X,W ) = −R (Y, Z,X,W ), segue que

R (X,Y, Z,W ) +R (Y, Z,X,W ) = 0.

Pela identidade de Bianchi,

−R (Z,X, Y,W ) = R (X,Y, Z,W ) +R (Y, Z,X,W )


logo concluımos queR (X,Z, Y,W ) = 0

para todos os vetores X,Z, Y,W , o que implica que R e o tensor nulo e portanto R1 = R2. Usando a curvatura seccional, pode-se dar uma interpretacao geometricas para as curvaturas de Ricci

e escalar. Seja X um vetor unitario em TpM e complete ele ate uma base ortonormal X,E2, . . . , En deTpM . Entao

Ric (X,X) = R11 =n∑

k,m=1

gmkR1k1m =n∑

k,m=1

δmkR (X,Ek, X,Em) =n∑

k=1

R (X,Ek, X,Ek)

=

n∑k=2

R (X,Ek, X,Ek) =

n∑k=2

R (X,Ek, X,Ek)

|X ∧ Ek|,

ou seja,

Ric (X,X) =n∑

k=2

K (X,Ek) . (5.43)

Em outras palavras, para cada vetor unitario X ∈ TpM , Ric (X,X) e a soma das curvaturas seccionais deplanos gerados por X e os outros vetores de uma base ortonormal. Por outro lado, como Ric e bilinear esimetrico, ele e completamente determinado pelos seus valores Ric (X,X) em vetores unitarios X: se X,Ysao vetores tais que X + Y,X − Y = 0,

Ric (X,Y ) =1

4(Ric (X + Y,X + Y )− Ric (X − Y,X − Y ))

=1

4

[∥X + Y ∥2 Ric

(X + Y

∥X + Y ∥,X + Y

∥X + Y ∥

)− ∥X − Y ∥2 Ric

(X − Y

∥X − Y ∥,X − Y

∥X − Y ∥

)]=

1

4

[∥X + Y ∥2

n∑k=2

K (X + Y,Ek)− ∥X − Y ∥2n∑

k=2

K (X − Y, Fk)

],

onde X,E2, . . . , En , X,F2, . . . , Fn sao bases ortonormais de TpM ; se X + Y = 0 ou X − Y = 0, oresultado continua valendo, ja que o termo correspondente e nulo.

Ric (X,Y ) = ∥X∥ ∥Y ∥Ric(

X

∥X∥,Y

∥Y ∥

).

Similarmente, a curvatura escalar e

S =

n∑i,j=1

gijRij =

n∑i,j=1

δijRij =

n∑i=1

Rii =

n∑i=1

Ric (Ei, Ei) ,

ou seja,

S =∑i =j

K (Ei, Ej) . (5.44)

Em outras palavras, a curvatura escalar e a soma de todas as curvaturas seccionais de planos gerados porpares de vetores de uma base ortonormal.

5.29 Exemplo. (Curvatura Seccional de Variedades de Dimensao 2) No caso de variedades riemannianasde dimensao 2 existe apenas um plano em TpM : o proprio. Para estas variedades, a curvatura seccionalpode ser considerada uma funcao K :M −→ R. Alem disso, se E1, E2 e uma base ortonormal paraTpM , segue da discussao anterior que

K (p) = K (E1, E2) = S (p) ,

ou seja, para variedades riemannianas de dimensao 2 a curvatura seccional e a curvatura escalar.


5.5 Variedades de Curvatura Seccional Constante

Variedades riemannianas que possuem curvatura seccional constante desempenham papel fundamental emGeometria Riemanniana. Algumas das mais importantes (os espacos modelo) serao estudadas em maiordetalhe mais tarde, mas veremos alguns resultados gerais agora.

5.30 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com curvatura seccional constante K0 ∈ R. Entaoas curvaturas de M sao dadas pelas formulas

R (X,Y )Z = K0 [⟨X,Z⟩Y − ⟨Y, Z⟩X] . (5.45)

R (X,Y, Z,W ) = K0 [⟨X,Z⟩ ⟨Y,W ⟩ − ⟨X,W ⟩ ⟨Y, Z⟩] . (5.46)

Ric = (n− 1)K0g. (5.47)

S = n (n− 1)K0. (5.48)

Reciprocamente, se (5.45) ou (5.46) valem, entao a curvatura seccional e constante.

Em particular, variedades com curvatura seccional constante sao variedades de Einstein.

Prova: Para provar (5.46) defina um 4-tensor covariante R em M por

R (X,Y, Z,W ) = K0 [⟨X,Z⟩ ⟨Y,W ⟩ − ⟨X,W ⟩ ⟨Y, Z⟩] . (5.49)

Entao R satisfaz todas as propriedades de simetria da Proposicao 5.13. De fato,

R (Y,X,Z,W ) = K0 [⟨Y, Z⟩ ⟨X,W ⟩ − ⟨Y,W ⟩ ⟨X,Z⟩]= −K0 [⟨X,Z⟩ ⟨Y,W ⟩ − ⟨X,W ⟩ ⟨Y, Z⟩]

= R (X,Y, Z,W ) ,

R (X,Y,W,Z) = K0 [⟨X,W ⟩ ⟨Y, Z⟩ − ⟨X,Z⟩ ⟨Y,W ⟩]= −K0 [⟨X,Z⟩ ⟨Y,W ⟩ − ⟨X,W ⟩ ⟨Y,Z⟩]

= R (X,Y, Z,W ) ,

R (Z,W,X, Y ) = K0 [⟨Z,X⟩ ⟨W,Y ⟩ − ⟨Z, Y ⟩ ⟨W,X⟩]= K0 [⟨X,Z⟩ ⟨Y,W ⟩ − ⟨X,W ⟩ ⟨Y,Z⟩]

= R (X,Y, Z,W )

e

R (X,Y, Z,W ) + R (Y, Z,X,W ) + R (Z,X, Y,W )

= K0 [⟨X,Z⟩ ⟨Y,W ⟩ − ⟨X,W ⟩ ⟨Y, Z⟩+ ⟨Y,X⟩ ⟨Z,W ⟩ − ⟨Y,W ⟩ ⟨Z,X⟩+ ⟨Z, Y ⟩ ⟨X,W ⟩ − ⟨Z,W ⟩ ⟨X,Y ⟩]= 0.

Como

K (X,Y ) =R (X,Y,X, Y )

∥X∥2 ∥Y ∥2 − ⟨X,Y ⟩2=K0 [⟨X,X⟩ ⟨Y, Y ⟩ − ⟨X,Y ⟩ ⟨X,Y ⟩]

∥X∥2 ∥Y ∥2 − ⟨X,Y ⟩2= K0, (5.50)

segue da Proposicao 5.27 que R = R e a recıproca segue entao de (5.50).


(5.45) e equivalente a (5.46): claramente (5.46) segue de (5.45) pela definicao da curvatura a partir doendomorfismo curvatura; reciprocamente, se (5.46) vale, entao

⟨R (X,Y )Z,W ⟩ = R (X,Y, Z,W ) = K0 [⟨X,Z⟩ ⟨Y,W ⟩ − ⟨X,W ⟩ ⟨Y,Z⟩] ,

para todo vetor W e como tambem

⟨K0 [⟨X,Z⟩Y − ⟨Y, Z⟩X] ,W ⟩ = K0 [⟨X,Z⟩ ⟨Y,W ⟩ − ⟨X,W ⟩ ⟨Y,Z⟩]

para todo vetor W , segue que

R (X,Y )Z = K0 [⟨X,Z⟩Y − ⟨Y,Z⟩X] .

Se X,Y sao vetores nao nulos, como vimos na discussao no final da secao anterior, temos

Ric (X,Y ) =1

4

[∥X + Y ∥2

n∑k=2

K (X + Y,Ek)− ∥X − Y ∥2n∑

k=2

K (X − Y, Fk)

]

=1

4

[∥X + Y ∥2 (n− 1)K0 − ∥X − Y ∥2 (n− 1)K0

]= (n− 1)K0

1

4

[∥X + Y ∥2 − ∥X − Y ∥2

]= (n− 1)K0 ⟨X,Y ⟩ ;

se um dos vetores e nulo, o resultado vale trivialmente. Alem disso,

S =∑i =j

K (Ei, Ej) =(n2 − n

)K0 = n (n− 1)K0.

5.31 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana. Para cada ponto p ∈M escolha uma base ortonormalE1, E2, . . . , En de TpM e defina

Rijkl = R (Ei, Ej , Ek, El) .

Entao M possui curvatura seccional constante K0 se e somente se

Rijij = −Rijji = K0 para todo i = j e

Rijkl = 0 nos outros casos,

para todo p ∈M .

Prova: Pela proposicao, M possui curvatura seccional constante K0 se e somente se

R (X,Y, Z,W ) = K0 [⟨X,Z⟩ ⟨Y,W ⟩ − ⟨X,W ⟩ ⟨Y, Z⟩] .

Como um tensor e determinado pelos seu valores em uma base, esta equacao e valida se e somente se

R (Ei, Ej , Ek, El) = K0 [⟨Ei, Ek⟩ ⟨Ej , El⟩ − ⟨Ei, El⟩ ⟨Ej , Ek⟩]= K0 (δikδjl − δilδjk)

=

1 se i = k e j = l e i = j−1 se i = l e j = k e i = j0 caso contrario.

.

Vemos que em uma variedade riemanniana de curvatura seccional constante o tensor curvatura pode serexpresso diretamente em funcao de metrica.


5.6 Derivada Covariante de Campos Tensoriais

Por definicao, uma conexao em uma variedade diferenciavel M e uma maneira de calcular derivadas covari-antes de campos vetoriais. Esta conexao permite tambem definir derivadas covariantes para todos os campostensoriais de M .

5.32 Lema. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇. Entao existe uma unicaconexao

∇ : X (M)× T kl M −→ T k

l M

em cada fibrado tensorial T kl M tal que

(i) Em T1M = X (M), ∇ coincide com a conexao dada.

(ii) Em T0M = C∞ (M),∇Xf = Xf.

(iii) ∇ satisfaz a regra do produto com relacao a produtos tensoriais:

∇X (F ⊗G) = (∇XF )⊗G+ F ⊗ (∇XG) .

(iv) ∇ comuta com todos os tracos: se tr denota o traco com relacao a qualquer par de ındices, entao

∇X (trF ) = tr (∇XF ) .

Alem disso, esta conexao satisfaz tambem as propriedades adicionais:

(a) Para todos T ∈ T kl M , Xi ∈ X (M) e ωj ∈ T 1M vale

(∇XT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)= X

(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑

i=1

T(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl

)(b) Para todos Y ∈ X (M) e ω ∈ T 1M vale

∇X [ω (Y )] = (∇Xω) (Y ) + ω (∇XY ) .

Prova: Exercıcio 5.4. De agora em diante, quando nos referirmos a uma conexao em uma variedade diferenciavel M , estaremosnos referindo a conexao do lema, definida em todas os fibrados tensoriais da variedade.

5.33 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana e ω um campo covetorial em M . Entao

∇Xω =n∑

k=1

n∑i=1

Xi ∂ωk

∂xi−

n∑i,j=1

XiωjΓjik

dxk. (5.51)

Em particular,

∇∂idxj = −

n∑k=1

Γjikdx

k. (5.52)


Prova: De fato,

(∇Xω) (Y ) = ∇X [ω (Y )]− ω (∇XY )

= ∇X

[ω

(n∑

k=1

Y k∂k

)]− ω

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

∂k

= X

[n∑

k=1

Y kω (∂k)

]−

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

ω (∂k)

= X

[n∑

k=1

Y kωk

]−

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

ωk

=n∑

k=1

[X(Y k)ωk + Y kX (ωk)

]−

n∑k=1

X(Y k)ωk +

n∑i,j,k=1

XiY jωkΓkij

=n∑

i,k=1

Y kXi ∂ωk

∂xi−

n∑i,j,k=1

XiY jωkΓkij

=

n∑i,k=1

Y kXi ∂ωk

∂xi−

n∑i,j,k=1

XiY kωjΓjik

=n∑

k=1

n∑i=1

Xi ∂ωk

∂xi−

n∑i,j=1

XiωjΓjik

Y k

=n∑

k=1

n∑i=1

Xi ∂ωk

∂xi−

n∑i,j=1

XiωjΓjik

dxk (Y ) .

5.34 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇. Dado um campo (k, l)-tensorial T ∈ T k

l M , a derivada covariante total de T e o campo (k + 1, l)-tensorial

∇T : T 1M × . . .× T 1M × T1M × . . .× T1M −→ C∞ (M)

definido por∇T

(Y1, . . . , Yk, X, ω

1, . . . , ωl)= ∇XT

(Y1, . . . , Yk, ω

1, . . . , ωl). (5.53)

O nome derivada covariante pode ser agora compreendido: a derivada covariante total de um tensor aumentaem um a sua ordem covariante.

5.35 Exemplo. (Hessiana e Laplaciano) Se f ∈ C∞ (M), entao a derivada covariante total ∇f de f esimplesmente o covetor (1-forma) df , isto e, a diferencial de f . De fato, ambos os tensores tem omesmo efeito sobre campos vetoriais:

df (X) = Xf = ∇Xf = (∇f) (X) .

O 2-tensor∇2f = ∇ (∇f)


e chamado a hessiana (covariante) de f . Por definicao,

∇2f (X,Y ) = ∇Y (∇f) (X) = Y ((∇f) (X))−∇f (∇YX) ,

ou seja,∇2f (X,Y ) = Y (Xf)− (∇YX) f. (5.54)

O laplaciano de f e definido por∆f = − trg ∇2f. (5.55)

5.36 Exemplo. (Derivada Covariante Total do Tensor Metrica) A derivada covariante total do tensormetrica g e o tensor identicamente nulo. De fato, devido a compatibilidade da conexao com a metrica,temos

∇g (X,Y, Z) = ∇zg (X,Y ) = Z [g (X,Y )]− g (∇zX,Y )− g (X,∇zY )

= Z ⟨X,Y ⟩ − ⟨∇zX,Y ⟩ − ⟨X,∇zY ⟩= 0.

5.37 Notacao. Seja

T =n∑

i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ik

dxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ ∂

∂xj1⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

um campo (k, l)-tensorial. Entao temos duas notacoes bastante difundidas para escrever a expressaoem coordenadas da derivada covariante total de T :

∇T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

n∑m=1

∇mTj1...jli1...ik

dxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ dxm ⊗ ∂

∂xj1⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl(5.56)

e

∇T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

n∑m=1

T j1...jli1...ik;m

dxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ dxm ⊗ ∂

∂xj1⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl(5.57)

Isto e, cada componente do campo (k + 1, l)-tensorial derivada covariante total e denotado por

∇mTj1...jli1...ik

= T j1...jli1...ik;m

. (5.58)

Por exemplo, se

X =

n∑i=1

Xi ∂

∂xi,

entao

∇X =n∑

i,j=1

∇jXidxj ⊗ ∂

∂xi=

n∑i,j=1

Xi;jdx

j ⊗ ∂

∂xi. (5.59)


5.38 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇. Entao as componentesda derivada covariante total em um sistema de coordenadas sao dadas por

∇mTj1...jli1...ik

= T j1...jli1...ik;m

=∂T j1...jl

i1...ik

∂xm+

l∑s=1

n∑p=1

T j1...js=p...jli1...ik

Γjspm −

k∑r=1

n∑p=1

T j1...jli1...ir=p...ik

Γpirm

. (5.60)

Em particular, em coordenadas normais,

∇mTj1...jli1...ik

(p) =∂T j1...jl

i1...ik

∂xm(p) .


T j1...jli1...ik;m

= ∇T(

∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik,∂

∂xm, dxj1 , . . . , dxjl

)=(∇ ∂

∂xmT)( ∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik, dxj1 , . . . , dxjl

)=

∂

∂xmT

(∂

∂xi1, . . . ,

∂


)−

k∑r=1

T

(∂

∂xi1, . . . ,∇ ∂

∂xm

∂

∂xir, . . . ,

∂


)

−l∑

s=1

T

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik, dxj1 , . . . ,∇ ∂

∂xmdxjs , . . . , dxjl

)

=∂T j1...jl

i1...ik

∂xm−

k∑r=1

T

(∂

∂xi1, . . . ,∇ ∂

∂xm

∂

∂xir, . . . ,

∂


)

−l∑

s=1

T

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik, dxj1 , . . . ,∇ ∂

∂xmdxjs , . . . , dxjl

)

=∂T j1...jl

i1...ik

∂xm−

k∑r=1

T

(∂

∂xi1, . . . ,

n∑p=1

Γpmir

∂

∂xp, . . . ,

∂


)

−l∑

s=1

T

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik, dxj1 , . . . ,−

n∑p=1

Γjsmpdx

p, . . . , dxjl

)

=∂T j1...jl

i1...ik

∂xm−

k∑r=1

n∑p=1

T j1...jli1...ir=p...ik

Γpirm

+

l∑s=1

n∑p=1

T j1...js=p...jli1...ik

Γjspm.

Lembre-se que em coordenadas normais, os coeficientes de Christoffel em p se anulam. Por exemplo, para uma funcao real:

∇if = f;i =∂f

∂xi;

para um campo vetorial (campo 1-tensorial contravariante)

∇jXi = Xi

;j =∂Xi

∂xj+

n∑p=1

XpΓipj ;


para um campo covetorial (campo 1-tensorial covariante)

∇jωi = ωi;j =∂ωi

∂xj−

n∑p=1

ωpΓpij ;

para um campo 2-tensorial covariante:

∇kTij = Tij;k =∂Tij∂xk

−n∑

p=1

TpjΓpik −

n∑p=1

TipΓpjk;

para um campo (3, 1)-tensorial:

∇mRlijk = Rl

ijk;m =∂Rl

ijk

∂xm+

n∑p=1

RpijkΓ

lpm −

n∑p=1

RlpjkΓ

pim −

n∑p=1

RlipkΓ

pjm −

n∑p=1

RlijpΓ

pkm;

e para um campo 4-tensorial covariante:

∇mRijkl = Rijkl;m =∂Rijkl

∂xm−

n∑p=1

RpjklΓpim −

n∑p=1

RipklΓpjm −

n∑p=1

RijplΓpkm −

n∑p=1

RijkpΓplm.

5.39 Proposicao. (Regra do Produto) Seja M uma variedade riemanniana. Entao

∇m

(F j1...jli1...ik

Gjl+1...jl+q

ik+1...ik+p

)=(∇mF

j1...jli1...ik

)G

jl+1...jl+q

ik+1...ik+p+ F j1...jl

i1...ik⊗(∇mG

jl+1...jl+q

ik+1...ik+p

).

Prova: Seja T = F ⊗G, de modo que

Tj1...jljl+1...jl+q

i1...ikik+1...ik+p= F j1...jl

i1...ikG

jl+1...jl+q

ik+1...ik+p.

Temos, usando a notacao∂

∂xir= ∂ir ,

∇mTj1...jljl+1...jl+q

i1...ikik+1...ik+p

= ∇T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p, ∂m, dx

j1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q)

= ∇∂mT(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p, dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)=

∂

∂xmT(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p, dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)−

k+p∑r=1

T(∂i1 , . . . ,∇∂im

∂ir , . . . , ∂ik , ∂ik+1, . . . , ∂ik+p

, dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q)

−l+q∑s=1

T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p, dxj1 , . . . ,∇∂im

dxjs , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q)


=∂

∂xm

(F j1...jli1...ik

Gjl+1...jl+q

ik+1...ik+p

)−

k∑r=1

F(∂i1 , . . . ,∇∂im

∂ir , . . . , ∂ik , dxj1 , . . . , dxjl

)G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p, dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)−

k+p∑r=k+1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)G(∂ik+1

, . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik+p

, dxjl+1 , . . . , dxjl+q)

−l∑

s=1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂imdxjs , . . . , dxjl

)G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p, dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)−

l+q∑s=q+1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p, dxjl+1 , . . . ,∇∂im

dxjs , . . . , dxjl+q)

=∂F j1...jl

i1...ik

∂xmG

jl+1...jl+q


i1...ik

∂Gjl+1...jl+q

ik+1...ik+p

∂xm

−k∑

r=1

F(∂i1 , . . . ,∇∂im

∂ir , . . . , ∂ik , dxj1 , . . . , dxjl

)G

jl+1...jl+q

ik+1...ik+p

−k+p∑

r=k+1

F j1...jli1...ik

G(∂ik+1

, . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik+p

, dxjl+1 , . . . , dxjl+q)

−l∑

s=1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂imdxjs , . . . , dxjl

)G

jl+1...jl+q

ik+1...ik+p

−k+p∑

r=k+1

F j1...jli1...ik

G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p, dxjl+1 , . . . ,∇∂im

dxjs , . . . , dxjl+q)

=

[∂F j1...jl

i1...ik

∂xm−

k∑r=1

F(∂i1 , . . . ,∇∂im

∂ir , . . . , ∂ik , dxj1 , . . . , dxjl

)−

l∑s=1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂imdxjs , . . . , dxjl

)]G

jl+1...jl+q

ik+1...ik+p

+ F j1...jli1...ik

[∂G

jl+1...jl+q

ik+1...ik+p

∂xm−

k+p∑r=k+1

G(∂ik+1

, . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik+p

, dxjl+1 , . . . , dxjl+q)

−k+p∑

r=k+1

G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p, dxjl+1 , . . . ,∇∂im

dxjs , . . . , dxjl+q)]

=(∇mF

j1...jli1...ik

)G

jl+1...jl+q


i1...ik⊗(∇mG

jl+1...jl+q

ik+1...ik+p

).

Este resultado justifica a notacao ∇m.

5.40 Lema. Seja M uma variedade riemanniana. Entao

∇kgij = gij;k = 0

e∇kg

ij = gij;k = 0

para todos os ındices i, j, k.


Prova: Embora ja tenhamos demonstrado a primeira afirmacao no Exemplo 5.35, forneceremos outra de-monstracao que a derivada covariante total do tensor metrica g e o tensor identicamente nulo usando aformula para as componentes da derivada covariante. De fato, como vimos na demonstracao da Proposicao4.15,

∂kgij =n∑

p=1

gipΓpjk +

n∑p=1

gpjΓpik.

Logo,

∇kgij = gij;k = ∂kgij −n∑

p=1

gipΓpjk −

n∑p=1

gpjΓpik = 0.

Para calcular ∇kgij , primeiro observamos que

∇kδji = δji;k = ∂kδ

ji +

n∑p=1

δpi Γjpk −

n∑p=1

δjpΓpik

= δiiΓjik − δjjΓ

jik

= 0.

Portanto,

∇k

(n∑

p=1

gipgpj

)= ∇kδ

ji = 0.

Mas, pela regra do produto,

∇k

(n∑

p=1

gipgpj

)=

n∑p=1

gpj∇kgip +

n∑p=1

gip∇kgpj =

n∑p=1

gip∇kgpj

pela primeira afirmacao. Concluımos que

n∑p=1

gip∇kgpj = 0.

Contraindo esta expressao atraves da inversa da metrica,

n∑i=1

gli

(n∑

p=1

gip∇kgpj

)= 0,

segue que

0 =

n∑p=1

n∑i=1

gligip∇kgpj =

n∑p=1

δlp∇kgpj = ∇kg

lj .

Em vista dos resultados acima, a derivada covariante se comporta bem com a operacao de subir ou descer

um ındice:

5.41 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Entao

∇mTj1...jl−1

i1...ikik+1= ∇m

(n∑

p=1


)=

n∑p=1

gik+1p∇mTj1...jl−1pi1...ik

, (5.61)

e

∇mTj1...jljl+1

i1...ik−1= ∇m

(n∑

p=1

gjl+1pT j1...jli1...ik−1p

)=

n∑p=1

gjl+1p∇mTj1...jli1...ik−1p

. (5.62)


Prova: Segue das Proposicoes 5.40 e 5.41. No caso de um (1, 1)-tensor, as formulas sao

∇mTji = ∇m

(n∑

k=1

gikTkj

)=

n∑k=1

gik(∇mT

kj),

∇mTji = ∇m

(n∑

k=1

gkjTik

)=

n∑k=1

gkj (∇mTik) .

5.42 Exemplo. (Hessiana e Laplaciano em coordenadas) As componentes de ∇f sao

∇f =

n∑i=1

∂f

∂xidxi.

E comum denotar

fi =∂f

∂xi, (5.63)

de modo que

∇2f =

n∑i,j=1

∇jfidxi ⊗ dxj =

n∑i,j=1

fi;jdxi ⊗ dxj .

Temos

∇jfi = fi;j =∂fi∂xj

−n∑

p=1

fpΓpij =

∂2f

∂xi∂xj−

n∑k=1

Γkij

∂f

∂xk. (5.64)

Ou seja,

∇2f =

n∑i,j=1

(∂2f

∂xi∂xj−

n∑k=1

Γkij

∂f

∂xk

)dxi ⊗ dxj . (5.65)

Tambem e comum escrever

fij =∂2f

∂xi∂xj, (5.66)

de modo que

∇2f =n∑

i,j=1

(fij −

n∑k=1

fkΓkij

)dxi ⊗ dxj . (5.67)

Daı obtemos a formula do laplaciano em coordenadas:

∆f = − trg ∇2f = −n∑

i,j=1

gij(∇2f

)ij

=n∑

i,j=1

gij∂2f

∂xi∂xj−

n∑k=1

gijΓkij

∂f

∂xk.

5.43 Proposicao. (Identidade de Bianchi Diferencial) Seja M uma variedade riemanniana. A derivadacovariante total do tensor curvatura satisfaz a seguinte propriedade:

∇R (X,Y, Z, V,W ) +∇R (X,Y, V,W,Z) +∇R (X,Y,W,Z, V ) = 0. (5.68)

Em termos de componentes,

Rijkl;m +Rijlm;k +Rijmk;l = ∇mRijkl +∇kRijlm +∇lRijmk = 0. (5.69)


Prova: Em primeiro lugar, devido a propriedade de simetria 5.12 (c) do tensor curvatura, a identidade doenunciado e equivalente a identidade

∇R (Z, V,X, Y,W ) +∇R (V,W,X, Y, Z) +∇R (W,Z,X, Y, V ) = 0. (5.70)

A vantagem desta identidade e que o campo na quarta posicao e o mesmo (isto e, Y ) em todos os termos.Por multilinearidade, basta provar que

∇R (∂i, ∂j , ∂k, ∂l, ∂m) +∇R (∂j , ∂m, ∂k, ∂l, ∂i) +∇R (∂m, ∂i, ∂k, ∂l, ∂j) = 0

para todos os campos vetoriais ∂i, ∂j , ∂k, ∂l, ∂m. Para facilitar os calculos consideravelmente, consideramoscoordenadas normais em p. Por definicao e compatibilidade da metrica,

∇R (∂i, ∂j , ∂k, ∂l, ∂m) = ∇∂mR (∂i, ∂j , ∂k, ∂l)

= ∇∂m ⟨R (∂i, ∂j , ∂k) , ∂l⟩= ∂m ⟨R (∂i, ∂j , ∂k) , ∂l⟩= ⟨∇∂mR (∂i, ∂j , ∂k) , ∂l⟩+ ⟨R (∂i, ∂j , ∂k) ,∇∂m∂l⟩ .

Em coordenadas normais em p,

∇∂m∂l (p) =

n∑q=1

Γqlm (p) ∂q = 0

e

R (∂i, ∂j , ∂k) = ∇∂j∇∂i∂k −∇∂i∇∂j∂k +∇[∂i,∂j ]∂k

= ∇∂j∇∂i∂k −∇∂i∇∂j∂k

porque [∂i, ∂j ] = 0. Logo, em p,

∇R (∂i, ∂j , ∂k, ∂l, ∂m) = ⟨∇∂mR (∂i, ∂j , ∂k) , ∂l⟩=⟨∇∂m∇∂j∇∂i∂k −∇∂m∇∂i∇∂j∂k, ∂l

⟩.

Daı, em p,

∇R (∂i, ∂j , ∂k, ∂l, ∂m) +∇R (∂j , ∂m, ∂k, ∂l, ∂i) +∇R (∂m, ∂i, ∂k, ∂l, ∂j)

=⟨∇∂m∇∂j∇∂i∂k −∇∂m∇∂i∇∂j∂k +∇∂i∇∂m∇∂j∂k −∇∂i∇∂j∇∂m∂k

+∇∂j∇∂i∇∂m∂k −∇∂j∇∂m∇∂i∂k, ∂l⟩

=⟨∇∂m∇∂j∇∂i∂k −∇∂j∇∂m∇∂i∂k +∇∂i∇∂m∇∂j∂k −∇∂m∇∂i∇∂j∂k

+∇∂j∇∂i∇∂m∂k −∇∂i∇∂j∇∂m∂k, ∂l⟩

=⟨R (∂j , ∂m,∇∂i∂k) +R

(∂m, ∂i,∇∂j∂k

)+R (∂i, ∂j ,∇∂m∂k) , ∂l

⟩ja que ∇∂i∂k = ∇∂j∂k = ∇∂m∂k = 0 em p.

5.44 Definicao. Dado um campo 2-tensorial covariante T , a divergencia de T e o traco com respeito ametrica de ∇T .

div T = trg ∇T.

Em coordenadas,

(div T )i =n∑

j,k=1

gjk∇kTij .


A divergencia pode ser definida de maneira analoga para tensores de qualquer tipo.

5.45 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Entao

∇S = 2divRic . (5.71)


(div Ric)i =n∑

j,k=1

gjk∇kRij .

Pela identidade de Bianchi diferencial, temos

∇mRijkl +∇kRijlm +∇lRijmk = 0.

Daı,n∑

j,l=1

gjl (∇mRijkl +∇kRijlm +∇lRijmk) = 0,

donde, pela regra do produto e pelo fato que ∇pgrs = 0,

∇m

n∑j,l=1

gjlRijkl

+∇k

n∑j,l=1

gjlRijlm

+n∑

j,l=1

gjl∇lRijmk = 0. (5.72)

Como

Rpq =n∑

r,s=1

grsRprqs,

Rijlm = −Rijml,

Rijmk = Rmkij ,

o primeiro termo desta soma e∇mRik,

enquanto que o segundo termo e−∇kRim.

Logo a identidade (5.72) e equivalente a

∇mRik = ∇kRim −n∑

j,l=1

gjl∇lRijmk.


Daı,

n∑i,k=1

gik∇mRik =

n∑i,k=1

gik∇kRim −n∑

i,k=1

gikn∑

j,l=1

gjl∇lRijmk

= (divRic)m −n∑

j,l=1

gjl∇l

n∑i,k=1

gikRijmk

= (divRic)m +

n∑j,l=1

gjl∇l

n∑i,k=1

gikRjimk

= (divRic)m +

n∑j,l=1

gjl∇lRjm

= (divRic)m + (divRic)m= 2 (div Ric)m .

Portanto,

∇mS = ∇m

n∑i,k=1

gikRik

=

n∑i,k=1

gik∇mRik = 2 (divRic)m .

5.46 Proposicao. Se Mn e uma variedade de Einstein conexa e n > 3, entao M tem curvatura escalarconstante.

Prova: Temos

Ric =S

ng,

donde

Rij =S

ngij

e, portanto,

∇kRij =1

ngij∇kS.

Logo,

(div Ric)i =n∑

j,k=1

gij∇kRij =1

n

n∑j,k=1

gkjgij∇kS =1

n

n∑k=1

δik∇kS =1

n∇kS.

Segue da proposicao anterior que∇S2

=∇Sn.

Se n = 2, esta identidade implica que∇S = 0

e portanto S ≡ constante, se M e conexa.


5.7 Exercıcios

5.1 Mostre que toda aplicacao

T : T 1M × . . .× T 1M × T1M × . . .× T1M −→ C∞ (M)

multilinear sobre C∞ (M) e induzida por um campo tensorial em T kl M .

5.2 Mostre que a curvatura e um invariante isometrico local. Conclua que

R (X,Y )Z = 0

para qualquer variedade riemanniana localmente isometrica a Rn.

5.3 Usando (a)-(d) da Proposicao 5.13, prove o Corolario 5.14.

5.4 Prove o Lema 5.32. Sugestao: mostre que as propriedades (i)-(iv) implicam (a) e (b) e use estas paraprovar a existencia.


Capıtulo 6

Campos de Jacobi

Neste capıtulo estudaremos como a curvatura afeta as geodesicas. Em um ponto p, as geodesicas radiaispartem deste ponto e se irradiam. Veremos que em uma regiao de curvatura positiva as geodesicas convergem,enquanto que em uma regiao de curvatura negativa as geodesicas se espalham. Este fato tem consequenciastopologicas. Para obte-las, e necessario medir quantitativamente o efeito da curvatura no fluxo geodesico.

6.1 A Equacao de Jacobi

Seja F : [0, 1]× (−ε, ε) −→M a variacao atraves de geodesicas (superfıcie parametrizada) que consideramosna demonstracao do Lema de Gauss no Capıtulo 4: dado p ∈ M e v ∈ TpM tal que expp (v) esta definido,F e a aplicacao

F (t, s) = expp (tv (s))

onde v (s) e uma curva de TpM partindo de v (0) = v com velocidade v′ (0) =: w. Para cada s fixado,Fs (t) = F (t, s) e um segmento geodesico, especificamente a geodesica que passa por p com velocidade v (s).Vimos que

d(expp

)vw =

∂F

∂s(1, 0) .

Em particular, o escalar ∥∥∥d (expp)v w∥∥∥indica intuitivamente a velocidade de afastamento das geodesicas Fs (t) que partem de p (veremos que eleesta associado ao valor da curvatura seccional em p). Isso nos leva ao estudo do campo

d(expp

)tvtw =

∂F

∂s(t, 0) (6.1)

definido ao longo da geodesica γ : [0, 1] −→M,

γ (t) = expp (tv) . (6.2)

Denotaremos

J (t) =∂F

∂s(t, 0) . (6.3)

Este campo satisfaz uma equacao diferencial, chamada a equacao de Jacobi, conforme veremos a seguir.

6.1 Lema. Seja F : A ⊂ R2 −→ M uma superfıcie parametrizada e V um campo vetorial ao longo de F .Entao

D

dt

DV

ds− D

ds

DV

dt= R

(∂F

∂s,∂F

∂t

)V.

120


Prova: Escolha um sistema de coordenadas para uma vizinhanca de p ∈M e escreva

V =

n∑i=1

V i (t, s) ∂i.

EntaoDV

ds=D

ds

(n∑

i=1

V i∂i

)=

n∑i=1

∂V i

∂s∂i +

n∑i=1

V iD

ds∂i,

dondeD

dt

DV

ds=

n∑i=1

∂2V i

∂s∂t∂i +

n∑i=1

∂V i

∂s

D

dt∂i +

n∑i=1

∂V i

∂t

D

ds∂i +

n∑i=1

V iD

dt

D

ds∂i.

Trocando t por s,

D

ds

DV

dt=

n∑i=1

∂2V i

∂s∂t∂i +

n∑i=1

∂V i

∂t

D

ds∂i +

n∑i=1

∂V i

∂s

D

dt∂i +

n∑i=1

V iD

ds

D

dt∂i.

Logo,

D

dt

DV

ds− D

ds

DV

dt=

n∑i=1

V i

(D

dt

D

ds− D

ds

D

dt

)∂i. (6.4)

EscrevendoF (t, s) =

(x1 (t, s) , . . . , xn (t, s)

),

de modo que

∂F

∂t=

n∑j=1

∂xj

∂t∂j ,

∂F

∂s=

n∑k=1

∂xk

∂s∂k,

temosD

ds∂i = ∇∑

∂xk

∂s ∂k∂i =

n∑k=1

∂xk

∂s∇∂k

∂i.

Daı,

D

dt

D

ds∂i =

D

dt

(n∑

k=1

∂xk

∂s∇∂k

∂i

)

=

n∑k=1

∂2xk

∂s∂t∇∂k

∂i +

n∑k=1

∂xk

∂s

D

dt(∇∂k

∂i)

=n∑

k=1

∂2xk

∂s∂t∇∂k

∂i +n∑

k=1

∂xk

∂s∇∑

∂xj

∂t ∂j(∇∂k

∂i)

=n∑

k=1

∂2xk

∂s∂t∇∂k

∂i +n∑

k,j=1

∂xk

∂s

∂xj

∂t∇∂j∇∂k

∂i.


Da mesma forma, trocando t por s,

D

ds

D

dt∂i =

n∑k=1

∂2xk

∂t∂s∇∂k

∂i +n∑

k,j=1

∂xk

∂t

∂xj

∂s∇∂j∇∂k

∂i

=n∑

k=1

∂2xk

∂s∂t∇∂k

∂i +n∑

k,j=1

∂xj

∂t

∂xk

∂s∇∂k

∇∂j∂i.

Portanto,

D

dt

DV

ds− D

ds

DV

dt=

n∑i=1

V in∑

j,k=1

∂xk

∂t

∂xj

∂s

(∇∂j∇∂k

∂i −∇∂k∇∂j∂i

)=

n∑i=1

V in∑

j,k=1

∂xk

∂t

∂xj

∂sR (∂k, ∂j) ∂i

=n∑

i=1

V iR

n∑k=1

∂xk

∂s∂k,

n∑j=1

∂xj

∂t∂j

∂i

= R

(∂F

∂s,∂F

∂t

) n∑i=1

V i∂i

= R

(∂F

∂s,∂F

∂t

)V.

6.2 Teorema. (Equacao de Jacobi) Temos

D2J

dt2+R (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t) = 0. (6.5)

Prova: Como γ (t) = Fs (t) e uma geodesica e

∂F

∂t(t, s) = γ′ (t) ,

valeD

dt

∂F

∂t= 0.

Segue do lema anterior e do lema de simetria do Capıtulo 4 que

0 =D

ds

(D

dt

∂F

∂t

)=D

dt

(D

ds

∂F

∂t

)−R

(∂F

∂s,∂F

∂t

)∂F

∂t

=D

dt

(D

dt

∂F

∂s

)+R

(∂F

∂t,∂F

∂s

)∂F

∂t

=D2

dt2∂F

∂s+R

(∂F

∂t,∂F

∂s

)∂F

∂t.

6.3 Definicao. Seja γ : I −→ M uma geodesica. Qualquer campo vetorial ao longo de γ que satisfaz aequacao de Jacobi e chamado um campo de Jacobi ao longo de γ.


Um campo de Jacobi e determinado por suas condicoes iniciais:

6.4 Proposicao. (Existencia e Unicidade de Campos de Jacobi) Seja γ : I −→ M uma geodesica. Dadot0 ∈ I e X,Y ∈ Tγ(t0)M , existe um unico campo de Jacobi ao longo de γ tal que

J (t0) = X,

DJ

dt(t0) = Y.

Prova: Sejam E1 (t) , . . . , En (t) campos ortonormais paralelos ao longo de γ. Escrevendo

J =n∑

i=1

J iEi,

temosD2J

dt2(t) =

n∑i=1

d2J i

dt2Ei,

e

R (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t) = R

n∑j=1

dγj

dtEj ,

n∑k=1

JkEk

n∑l=1

dγl

dtEl

=n∑

j,k,l=1

dγj

dt

dγl

dtJkR (Ej , Ek)El

=n∑

j,k,l=1

Rijkl

dγj

dt

dγl

dtJkEi,

de modo que a equacao de Jacobi e equivalente ao sistema de equacoes diferenciais lineares de segundaordem:

d2J i

dt2+

n∑j,k,l=1

Rijkl

dγj

dt

dγl

dtJk = 0

para i = 1, . . . , n. Como o sistema e linear, a existencia e unicidade de solucoes esta garantida em todo ointervalo I, dadas condicoes iniciais.

6.5 Exemplo. Existem sempre dois campos de Jacobi triviais ao longo de uma geodesica γ :

J0 (t) = γ′ (t) (6.6)

que satisfaz as condicoes iniciais

J0 (0) = γ′ (0) eDJ0dt

(0) = 0

eJ1 (t) = tγ′ (t) (6.7)

que satisfaz as condicoes iniciais

J1 (0) = 0 eDJ1dt

(0) = γ′ (0) .


O primeiro e um campo de Jacobi porque

D2J0dt2

=D

dt

Dγ′

dt=D

dt0 = 0,

R (γ′, J0) γ′ = R (γ′, γ′) γ = 0,

lembrando que o tensor endomorfismo de Riemann e antisimetrico nas primeiras duas variaveis; osegundo e um campo de Jacobi porque

D2J1dt2

=D

dt

DJ1dt

=D

dt

(γ′ + t

Dγ′

dt

)=Dγ′

dt= 0,

R (γ′, J1) γ′ = R (γ′, tγ′) γ′ = tR (γ′, γ′) γ′ = 0.

De fato, J0 e a derivada covariante da superfıcie parametrizada F (t, s) = γ (t+ s), enquanto que J1 ea derivada covariante da superfıcie parametrizada F (t, s) = γ (tes). Como eles sao apenas reparame-trizacoes das geodesicas γ, eles nao podem dizer mais nada do que a propria γ.

Devido ao visto no exemplo anterior, consideraremos apenas campos de Jacobi ao longo de γ normais a γ′.Nos referiremos a tais campos como campos de Jacobi normais, enquanto que campos de Jacobi ao longo deγ paralelos a γ′ serao chamados simplesmente campos de Jacobi tangenciais.

6.6 Lema. Seja γ : I −→M uma geodesica e t0 ∈ I. Entao um campo de Jacobi ao longo de γ e normal aγ′ se e somente se

J (t0) ,DJ

dt(t0) ⊥ γ′ (t0) .

Alem disso, qualquer campo de Jacobi ortogonal a γ′ em dois pontos e um campo normal.

Prova: Pela compatibilidade da metrica,

d2

dt2⟨J, γ′⟩ = d

dt

(⟨DJ

dt, γ′⟩+

⟨J,Dγ′

dt

⟩)=

d

dt

⟨DJ

dt, γ′⟩

=

⟨D2J

dt2, γ′⟩+

⟨DJ

dt,Dγ′

dt

⟩=

⟨D2J

dt2, γ′⟩

= −⟨R (γ′, J) γ′, γ′⟩= −R (γ′, J, γ′, γ′)

= 0,

pelas simetrias do tensor curvatura. Logo,

f (t) = ⟨J (t) , γ′ (t)⟩

e uma funcao linear de t. Como

f (t0) = ⟨J (t0) , γ′ (t0)⟩ ,

f ′ (t0) =

⟨DJ

dt(t0) , γ

′ (t0)

⟩,

segue que f ≡ 0 se e somente se J (t0) ,DJ

dt(t0) ⊥ γ′ (t0). Da mesma forma, se J se anula em dois pontos,

entao f e a funcao linear nula. Consequentemente, o subespaco dos campos de Jacobi tangenciais tem dimensao 2, enquanto que o subespacodos campos de Jacobi normais tem dimensao 2n−2. Todo campo de Jacobi pode ser decomposto de maneiraunica como a soma de um campo de Jacobi tangencial e um campo de Jacobi normal.


6.2 Calculo de Campos de Jacobi

6.7 Lema. Dados p ∈ M , v ∈ TpM tal que expp (v) esta definido e w ∈ TvTpM = TpM , considere avariacao por geodesicas

F (t, s) = expp (tv (s)) ,

onde v (s) e uma curva em TpM com v (0) = v e v′ (0) = w. Entao

J (t) =∂F

∂s(t, 0) = d

(expp

)tvtw

e um campo de Jacobi J ao longo da geodesica radial γ : [0, 1] −→ M dada por γ (t) = expp (tv) quesatisfaz

J (0) = 0,

DJ

dt(0) = w.

Prova: Vimos no inıcio do capıtulo que J e um campo de Jacobi. E facil ver que

J (0) = 0.

Para mostrar queDJ

dt(0) = w,

calculamos

DJ

dt(t) =

D

dt

[d(expp

)tvtw]=D

dt

[td(expp

)tvw]

= d(expp

)tvw + t

D

dt

[d(expp

)tvw].

Logo,DJ

dt(0) = d

(expp

)0w = w.

Em coordenadas normais, e facil calcular campos de Jacobi:

6.8 Lema. Sejam p ∈ M ,(x1, . . . , xn

)coordenadas normais centradas em p e γ : I −→ M uma geodesica

radial partindo de p. Entao, para cada vetor V ∈ TpM , o campo de Jacobi ao longo de γ tal que

J (0) = 0,

DJ

dt(0) = V,

e dado por

J (t) = tV i ∂

∂xi.

Prova: Se J (t) e um campo ao longo de γ definido pela formula acima, temos

J (0) = 0


e (usando a formula da derivada covariante em coordenadas normais)

DJ

dt(0) =

n∑k=1

dJk

dt(0) +

n∑i,j=1

dγi

dt(0) Γk

ij (0) Jj (0)

∂

∂xk(0)

=n∑

k=1

dJk

dt(0)

∂

∂xk(0)

=

n∑k=1

V k ∂

∂xk(0)

= V.

Pelo teorema de existencia e unicidade, basta provar que J e um campo de Jacobi. Se W = γ′ (0), como γe uma geodesica radial, ela e dada por

γ (t) = exp (tW ) ;

em coordenadas, podemos escrever simplesmente γ (t) = tW . Defina a superfıcie parametrizada

F (t, s) = exp (t (W + sV )) ;

em coordenadas, podemos escrever simplesmente F (t, s) = t (W + sV ). Observe que v (s) =W +sV satisfazv (0) =W e v′ (0) = V . Segue do lema anterior que

∂F

∂s(t, 0)

e um campo de Jacobi. Mas,∂F

∂s(t, 0) = tV i ∂

∂xi,

o que termina a demonstracao. Para metricas com curvatura seccional constante, temos uma formula explıcita para campos de Jacobi de

um tipo diferente, expressando um campo de Jacobi como o multiplo escalar de um campo vetorial paralelo.

6.9 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com curvatura seccional constante K e γ : I −→ M umageodesica unitaria. Os campos de Jacobi normais ao longo de γ que se anulam em t = 0 sao dadospor

J (t) = ρ (t)E (t) ,

onde E e um campo paralelo normal ao longo de γ e

ρ (t) =

t se K = 0,

R sent

Rse K =

1

R2> 0,

R senht

Rse K = − 1

R2< 0.

Prova: Como M tem curvatura seccional constante K, seu endomorfismo curvatura e dado por

R (X,Y )Z = K [⟨X,Z⟩Y − ⟨Y,Z⟩X] ,

conforme vimos no capıtulo anterior. Logo, como ∥γ′∥ = 1, se J e um campo de Jacobi normal temos que

R (γ′, J) γ′ = K [⟨γ′, γ′⟩ J − ⟨γ′, J⟩ γ′] = KJ.


Portanto, a equacao de Jacobi para um campo normal de Jacobi ao longo de uma geodesica unitaria em umavariedade com curvatura seccional constante K e

D2J

dt2+KJ = 0.

Escolhendo um campo vetorial paralelo normal E (t) ao longo de γ e substituindo J (t) = ρ (t)E (t) naequacao de Jacobi podemos obter uma solucao para esta equacao para quaisquer condicoes iniciais; peloteorema de existencia e unicidade ela e a unica solucao para a equacao. De fato, temos

D2 (ρE)

dt2=D

dt

D (ρE)

dt=D

dt

(dρ

dtE + ρ

DE

dt

)=D

dt

(dρ

dtE

)=d2ρ

dt2E +

dρ

dt

DE

dt

=d2ρ

dt2E,

logo, substituindo J (t) = ρ (t)E (t) na equacao de Jacobi produz(d2ρ

dt2+Kρ

)E = 0

e a equacao linear de segunda ordemd2ρ

dt2+Kρ = 0

tem as solucoes dadas no enunciado para as condicoes iniciais ρ (0) = 0 e ρ′ (0) = 1. Combinando as formulas destes dois lemas, obtemos nossa primeira aplicacao dos campos de Jacobi: uma

formula explıcita para metricas de curvatura constante em coordenadas normais:

6.10 Proposicao. Seja (M, g) uma variedade riemanniana com curvatura seccional constante K. Sejamp ∈ M ,

(x1, . . . , xn

)coordenadas normais centradas em p e r a funcao distancia radial. Denote por

∥·∥g a norma de um vetor tangente na metrica g e por ∥·∥e a norma euclidiana de um vetor tangentenestas coordenadas. Para cada q nesta vizinhanca normal de p e para cada V ∈ TqM escreva

V = V ⊤ + V ⊥,

onde V ⊤ e tangente a esfera r = constante que passa por q e V ⊥ e ortogonal a ela. Entao a metricag pode ser escrita

∥V ∥g =

∥∥V ⊥∥∥2e+∥∥V ⊤

∥∥2e

se K = 0,∥∥V ⊥∥∥2e+R2

r2sen2

t

R

∥∥V ⊤∥∥2e

se K =1

R2> 0,

∥∥V ⊥∥∥2e+R2

r2senh2

t

R

∥∥V ⊤∥∥2e

se K = − 1

R2< 0.

Prova: Pelo lema de Gauss, a decomposicao V = V ⊤ + V ⊥ e ortogonal, logo

∥V ∥2g =∥∥V ⊥∥∥2

g+∥∥V ⊤∥∥2

g.

Como a distancia radial e a distancia euclideana (tambem consequencia do lema de Gauss) temos que∥∥V ⊥∥∥g=∥∥V ⊥∥∥

e.


Falta apenas calcular∥∥V ⊤

∥∥g.

Considere a geodesica radial unitaria de p a q. Pelo Lema 6.8, o campo

J (t) =t

r

(V ⊤)i ∂

∂xi

e um campo de Jacobi J (t) que se anula em p e tal que J (r) = V ⊤. Em particular, J e normal a γ′ em p eq e portanto J e normal ao longo de γ. Logo, J possui a representacao dada no lema anterior. Segue que

∥∥V ⊤∥∥2g= ∥J (r)∥2 = |ρ (r)|2 ∥E (r)∥2 = |ρ (r)|2 ∥E (0)∥2 = |ρ (r)|2

∥∥∥∥DJdt (0)

∥∥∥∥2 ,ja que ρ′ (0) = 1. Mas

DJ

dt(0) =

1

r

(V ⊤)i ∂

∂xi

∣∣∣∣p

.

Como g = e em p, segue o resultado.

6.11 Proposicao. (Unicidade Local de Metricas de Curvatura Constante) Sejam (M, g) e(M, g

)vari-

edade riemannianas com curvatura seccional constante K. Entao (M, g) e(M, g

)sao localmente

isometricas.

Prova: Sejam p ∈M e p ∈ M pontos quaisquer e Bε (p) , Bε (p) bolas geodesicas, em particular vizinhancasnormais parametrizadas por

φ = expp : Bε (0) −→ Bε (p) ,

φ = expp : Bε (0) −→ Bε (p) .

Como as metricas na bola Bε (0) ⊂ Rn, onde identificamos Rn com ambos os espacos tangentes TpM e TpMsao identicas pela proposicao anterior, segue que φ φ e uma isometria.

6.3 Velocidade de Afastamento das Geodesicas e Curvatura Sec-cional

Se r (t) e tal que

limt→0

r (t)

tk= 0,

denotaremos este fato porr (t) = o

(tk).

6.12 Lema. Sejam p ∈M e γ : I −→M a geodesica radial partindo de p com velocidade inicial γ′ (0) = V .Seja W ∈ TpM com ∥W∥ = 1 e considere o campo de Jacobi J tal que

J (0) = 0,

DJ

dt(0) =W.

Entao

∥J (t)∥2 = t2 − 1

3R (V,W, V,W ) + o

(t4).


Em particular, se γ e uma geodesica unitaria,

∥J (t)∥2 = t2 − 1

3K (V,W ) + o

(t4)

e

∥J (t)∥ = t− 1

6K (V,W ) t3 + o

(t3).

Prova: Para simplificar a notacao, denotaremos

J ′ (t) =DJ

dt(t) ,

J ′′ (t) =D2J

dt2(t)

e, em geral,

J (k) (t) =DkJ

dtk(t) .

Para provar o resultado, aplicaremos a formula de Taylor a funcao real f : I −→ R definida por

f (t) = ∥J (t)∥2 = ⟨J (t) , J (t)⟩ .

Temos

f ′ (t) = 2 ⟨J (t) , J ′ (t)⟩ ,f ′′ (t) = 2 ⟨J ′ (t) , J ′ (t)⟩+ 2 ⟨J (t) , J ′′ (t)⟩

= 2 ∥J ′ (t)∥2 + 2 ⟨J (t) , J ′′ (t)⟩ ,

e

f (0) = ∥J (0)∥2 = 0,

f ′ (0) = 2 ⟨J (0) , J ′ (0)⟩ = 0,

f ′′ (0) = 2 ∥J ′ (0)∥2 + 2 ⟨J (0) , J ′′ (0)⟩ = 2 ∥J ′ (0)∥2 = 2.

Como

f ′′′ (t) = 2 ⟨J ′′ (t) , J ′ (t)⟩+ 2 ⟨J ′ (t) , J ′′ (t)⟩+ 2 ⟨J ′ (t) , J ′′ (t)⟩+ 2 ⟨J (t) , J ′′′ (t)⟩= 6 ⟨J ′ (t) , J ′′ (t)⟩+ 2 ⟨J (t) , J ′′′ (t)⟩

eJ ′′ (0) = −R (γ′ (0) , J (0)) γ′ (0) = −R (V, 0)V = 0,

segue quef ′′′ (0) = 6 ⟨J ′ (0) , J ′′ (0)⟩+ 2 ⟨J (0) , J ′′′ (0)⟩ = 0.

Falta apenas calcular a ultima derivada. Temos

f (4) (t) = 6 ⟨J ′′ (t) , J ′′ (t)⟩+ 6 ⟨J ′ (t) , J ′′′ (t)⟩+ 2 ⟨J ′ (t) , J ′′′ (t)⟩+ 2⟨J (t) , J (4) (t)

⟩= 6 ∥J ′′ (t)∥2 + 8 ⟨J ′ (t) , J ′′′ (t)⟩+ 2

⟨J (t) , J (4) (t)

⟩,

de modo quef (4) (0) = 8 ⟨J ′ (0) , J ′′′ (0)⟩ = 8 ⟨W,J ′′′ (0)⟩ .


Mas

⟨J ′′′ (0) ,W ⟩ =⟨D

dtJ ′′ (t)

∣∣∣∣t=0

,W

⟩= −

⟨D

dtR (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t)

∣∣∣∣t=0

,W

⟩.

Afirmamos que ⟨D

dtR (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t)

∣∣∣∣t=0

,W

⟩= R (V,W, V,W ) .

De fato, como

⟨R (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t) , J ′ (t)⟩ = R (γ′ (t) , J (t) , γ′ (t) , J ′ (t))

= R (γ′ (t) , J ′ (t) , γ′ (t) , J (t))

= ⟨R (γ′ (t) , J ′ (t)) γ′ (t) , J (t)⟩ ,

segue qued

dt⟨R (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t) , J ′ (t)⟩ = d

dt⟨R (γ′ (t) , J ′ (t)) γ′ (t) , J (t)⟩ ,

donde ⟨D

dtR (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t) , J ′ (t)

⟩+ ⟨R (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t) , J ′′ (t)⟩

=

⟨D

dtR (γ′ (t) , J ′ (t)) γ′ (t) , J (t)

⟩+ ⟨R (γ′ (t) , J ′ (t)) γ′ (t) , J ′ (t)⟩ .

Calculando em t = 0, como J (0) = J ′′ (0) = 0 e J ′ (0) =W , temos que⟨D

dtR (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t)

∣∣∣∣t=0

,W

⟩= ⟨R (V,W )V,W ⟩ = R (V,W, V,W ) .

Consequentemente,f (4) (0) = −8R (V,W, V,W ) .

Segue portanto da formula de Taylor que

f (t) = t2 − 1

3R (V,W, V,W ) + o

(t4).

Quando, ∥V ∥ = ∥W∥ = 1, temos R (V,W, V,W ) = K (V,W ) e portanto

f (t) = t2 − 1

3K (V,W ) + o

(t4).

Para provar a ultima expressao do enunciado, seja

g (t) = ∥J (t)∥ =√f (t).

Entao f (t) = [g (t)]2e

f ′ (t) = 2g (t) g′ (t) ,

f ′′ (t) = 2 [g′ (t)]2+ 2g (t) g′′ (t) ,

f ′′′ (t) = 6g′ (t) g′′ (t) + 2g (t) g′′′ (t) ,

f (4) (t) = 6 [g′′ (t)]2+ 8g′ (t) g′′′ (t) + 2g (t) g(4) (t) .


Daı

g (0) = 0,

f ′′ (0) = 2 [g′ (0)]2+ 2g (0) g′′ (0) =⇒ 2 = 2 [g′ (0)]

2+ 0

=⇒ g′ (0) = 1,

f ′′′ (0) = 6g′ (0) g′′ (0) + 2g (0) g′′′ (0) =⇒ 0 = 6g′′ (0) + 0

=⇒ g′′ (0) = 0,

f (4) (0) = 6 [g′′ (0)]2+ 8g′ (0) g′′′ (0) + 2g (0) g(4) (0) =⇒ −8K (V,W ) = 0 + 8g′′′ (0) + 0

=⇒ g′′′ (0) = −K (V,W ) .

Segue da formula de Taylor que

g (t) = t− 1

6K (V,W ) t3 + o

(t3).

Este resultado produz a relacao entre a aproximacao ou espalhamento das geodesica em um ponto de acordocom a curvatura seccional neste ponto. De fato, considere

F (t, s) = expp (tv (s)) ,

onde v (s) e uma curva de TpM com v (0) = v, v′ (0) = w e ∥v (s)∥ = ∥w∥ = 1. Considere os raios partindoda origem, eles se afastam do raio tv com velocidade absoluta∥∥∥∥∥ ∂

∂stv (s)

∣∣∣∣(t,s)=(0,s)

∥∥∥∥∥ = ∥tv′ (0)∥ = t ∥w∥ = t.

Agora considere as geodesicas radiais Fs (t) partindo de p. Como

J (t) = d(expp

)tvtw =

∂F

∂s(t, 0)

e um campo de Jacobi que satisfaz

J (0) = 0,

DJ

dt(0) = w,

ele satisfaz as hipoteses do enunciado do lema e portanto∥∥∥∥∂F∂s (t, 0)

∥∥∥∥ = t− 1

6K (V,W ) t3 + o

(t3).

Isso significa que as geodesicas radiais Fs (t) se afastam da geodesica radial F0 (t) = expp (tv) com velocidadeque difere de t por uma termo de terceira ordem cujo sinal e o oposto do sinal da curvatura seccional davariedade em p associada ao plano σ gerado por v e w. Isso significa que se Kp (σ) > 0 as geodesicas seafastam menos que os raios do espaco tangente TpM , enquanto que se Kp (σ) < 0 as geodesicas se afastammais que os raios do espaco tangente TpM .

6.4 Pontos Conjugados

Agora vamos estudar as singularidades da aplicacao exponencial atraves dos campos de Jacobi. A existenciade uma tal relacao e sugerida pelo Lema 6.7 e pode ser vista de maneira concreta na esfera SnR. Todas as


geodesicas que saem de um ponto p se encontram no seu ponto antipodal −p, que esta a uma distancia πRde p ao longo de qualquer uma destas geodesicas. A aplicacao exponencial e um difeomorfismo sobre a bolageodesica BπR (0) ⊂ TpM mas deixa de ser um difeomorfismo na fronteira da bola. E pelo Lema 6.9, oscampos de Jacobi normais ao longo destas geodesicas que se anulam em p tem o seu proximo zero exatamenteem −p. Por outro lado, o Lema 6.8 mostra que em uma vizinhanca normal (ou seja uma vizinhanca que e aimagem de um conjunto onde expp e um difeomorfismo) nenhum campo de Jacobi que se anula em p pode seanular em qualquer ponto da vizinhanca. Assim deve se esperar existir uma relacao entre as singularidadesda aplicacao exponencial e os zeros de um campo de Jacobi.

6.13 Definicao. Seja γ : I −→M uma geodesica. Dizemos que o ponto q = γ (t0) e conjugado a p = γ (0)ao longo de γ se existe um campo de Jacobi J ao longo de γ nao identicamente nulo que se anula emp e q, isto e, tal que

J (0) = J (t0) = 0.

A multiplicidade do ponto conjugado q e a dimensao do subespaco dos campos de Jacobi que seanulam em p e q.

Pelo teorema de existencia e unicidade, a dimensao do espaco dos campos de Jacobi que se anulam em p en; como o campo de Jacobi J (t) = tγ′ (t) so se anula em p, a multiplicidade de um ponto conjugado e nomaximo n − 1. Este numero e atingido na esfera pelo Lema 6.9, ja que para pontos antipodais existe umcampo de Jacobi que anula neles para cada campo paralelo normal.

6.14 Proposicao. Sejam p ∈ M , v ∈ TpM e q = expp (v). Entao expp e um difeomorfismo local em umavizinhanca de v se e somente se q nao e conjugado a p ao longo da geodesica γ (t) = expp (tv).

Alem disso, a multiplicidade de q e igual a dimker d(expp

)v.

Prova: Como vimos no Lema 6.7, todo campo de Jacobi ao longo de γ tal que J (0) = 0 e da forma

J (t) = d(expp

)tvtw.

para algum vetor w ∈ TpM e J ′ (0) = w. Portanto, q e conjugado a p se e somente se

J (1) = d(expp

)vw = 0,

isto e, se e somente se w e ponto crıtico de expp. Como os campos de Jacobi J1, . . . , Jk sao linearmenteindependentes que se anulam em p se e somente se

J ′1 (0) = w1, . . . , J

′k (0) = wk

sao linearmente independentes em TpM , isso conclui a demonstracao.

6.5 Exercıcios


Capıtulo 7

Imersoes Isometricas e SubvariedadesRiemannianas

Seja(M, g

)uma variedade riemanniana de dimensao m = n+ k. Se M e uma variedade diferenciavel com

dimensao n, existe uma imersaoı :M −→M

e M e dotada da metrica induzida por esta imersao, entao dizemos que ı e uma imersao isometrica de (M, g)em

(M, g

). Se M e compacta, uma imersao injetiva e um mergulho (isto e, M e difeomorfa a sua imagem

em M). Caso contrario, se M nao for compacta mesmo uma imersao injetiva de M em M pode produziruma imagem que nao e uma subvariedade topologica de M .

7.1 Definicao. Seja(M, g

)uma variedade riemanniana de dimensao m = n + k. Se M e uma variedade

diferenciavel com dimensao n e existe um mergulho

ı :M −→M

entao (M, g) onde g e a metrica induzida por esta imersao e chamada uma subvariedade riemannianade M .

Nash [Nash] provou em 1956 que toda variedade riemanniana Mn e uma subvariedade riemanniana de RN .O resultado foi bastante simplificado e melhorado por Gunther [Gunther] em 1989. Ele mostrou que a menordimensao N satisfaz:

N 6 max

n (n+ 5)

2,n2 + 3n+ 10

2

.

Nao se sabe se esta e a menor dimensao possıvel. Para uma demonstracao destes resultados veja [HH], pp.1-31.

Em ambos os casos em que ı e um mergulho ou apenas uma imersao injetiva (uma imersao isometrica),dizemos que M e a variedade ambiente de M . Para imersoes isometricas, cada ponto de M possui umavizinhanca V cuja imagem V = ı (V ) sob a imersao isometrica e uma subvariedade riemanniana de M (jaque toda imersao e localmente um mergulho). Para simplificar a notacao, identificaremos V com V , pontosp ∈ V com p = ı (p) e os vetores v ∈ TpM com os vetores dıp (v) ∈ TpM . A conexao, derivadas covariantese curvaturas de M serao denotadas da forma usual, enquanto que os correspondentes conceitos referentes aM serao denotados com uma barra em cima.

7.2 Definicao. Sejam (M, g) uma variedade riemanniana e(M, g

)sua variedade ambiente. Para cada

p ∈M o produto interno em TpM decompoe este espaco na soma direta

TpM = TpM ⊕ TpM⊥

133


onde TpM⊥ e o complemento ortogonal de TpM em TpM . Logo, se v ∈ TpM , podemos escrever

v = v⊤ + v⊥

onde v⊤ ∈ TpM e chamada a componente tangencial de v e v⊥ ∈ TpM⊥ e chamada a componente

normal de v.

Desta forma podemos definir o conceito de fibrado normal a M ; ele sera denotado por N (M).

7.3 Proposicao. Seja ∇ a conexao riemanniana de M . Se X,Y ∈ X (M), entao

∇XY =(∇XY

)⊤, (7.1)

onde X,Y sao quaisquer extensoes locais de X,Y a M , define a conexao riemanniana associada ametrica induzida de M .

Prova: Exercıcio 7.1.

7.1 A Segunda Forma Fundamental

Nesta secao compararemos a conexao riemanniana de M com a conexao riemanniana de M atraves dasegunda forma fundamental (a “primeira forma fundamental” era usada classicamente para se referir ametrica induzida de M ; ambas sao formas bilineares simetricas associadas unicamente a M no caso em queesta tem codimensao 1 como veremos mais tarde). Se X,Y ∈ X (M), entao

∇XY =(∇XY

)⊤+(∇XY

)⊥= ∇XY +

(∇XY

)⊥,

de modo que (∇XY

)⊥= ∇XY −∇XY ∈ N (M) .

7.4 Definicao. Sejam (M, g) uma variedade riemanniana e(M, g

)sua variedade ambiente. A segunda

forma fundamental de M e a aplicacao

II : X (M)× X (M) −→ N (M)

definida por

II (X,Y ) =(∇XY

)⊥, (7.2)

onde X,Y sao quaisquer extensoes locais de X,Y a M .

Observe que a segunda forma fundamental e uma medida da diferenca entre a conexao riemanniana intrınsecade M e a conexao riemanniana ambiente de M .

7.5 Proposicao. A segunda forma fundamental esta bem definida e e uma aplicacao bilinear simetrica sobreC∞ (M).

Prova: De fato, a segunda forma fundamental nao depende das extensoes X,Y : se X e outra extensao deX a M , entao (

∇XY)⊥ −

(∇XY

)⊥=(∇XY −∇XY

)−(∇XY −∇XY

)= ∇XY −∇XY

= ∇X−XY


e(∇X−XY

)p= 0 para p ∈M , pois X − X = 0 em M ; usando o provado, se Y e outra extensao de Y a M ,

entao (∇XY

)⊥ −(∇X Y

)⊥=(∇XY −∇XY

)−(∇X Y −∇XY

)= ∇XY −∇X Y

= ∇X

(Y − Y

)= 0

pois Y − Y = 0 ao longo de uma curva tangente a Xp que podemos escolher inteiramente contida em M .Para provar a bilinearidade de II, usando a linearidade da conexao, temos

II (X + Z, Y ) =(∇X+ZY

)⊥=(∇X+ZY

)⊥= ∇X+ZY −∇X+ZY = ∇XY +∇ZY −∇XY −∇ZY

= ∇XY −∇XY +∇ZY −∇ZY

= II (X,Y ) + II (Z, Y ) ,

II (fX, Y ) =(∇fXY

)⊥= ∇fXY −∇fXY = f∇XY − f∇XY

= fII (X,Y ) ,

e

II (X, fY ) =(∇XfY

)⊥= ∇XfY −∇XfY

= f∇XY +(Xf)Y − f∇XY − (Xf)Y

= f∇XY − f∇XY

= fII (X,Y ) ,

pois f = f , Xf = Xf e Y = Y em M .A simetria de II segue da simetria da conexao riemanniana. Temos

II (X,Y )− II (Y,X) =(∇XY

)⊥ −(∇YX

)⊥=(∇XY −∇XY

)−(∇YX −∇YX

)=(∇XY −∇YX

)− (∇XY −∇YX)

=[X,Y

]− [X,Y ] .

Como[X,Y

]= [X,Y ] em M , segue que

II (X,Y ) = II (Y,X) .

Como a segunda forma fundamental e bilinear sobre C∞ (M), exprimindo II em um sistema de coordenadasvemos que o valor de II (X,Y ) depende apenas de Xp e Yp.

7.2 Equacoes Fundamentais de uma Imersao Isometrica

Embora a segunda forma fundamental seja definida em termos de derivadas covariantes de campos vetoriaistangentes a M , ela tambem pode ser usada para calcular derivadas covariantes de campos vetoriais normaisa M :


7.6 Proposicao. (Equacao de Weingarten) Sejam X,Y ∈ X (M) e N ∈ N (M). Entao, em M vale⟨∇XN,Y

⟩= −⟨N, II (X,Y )⟩ , (7.3)

onde X,Y ,N sao quaisquer extensoes locais de X,Y,N a M .

Prova: Como⟨N,Y

⟩= 0 em M e X e tangente a M , temos

X⟨N,Y

⟩= 0.

Mas, em M ,

X⟨N,Y

⟩=⟨∇XN,Y

⟩+⟨N,∇XY

⟩=⟨∇XN,Y

⟩+⟨N, II (X,Y ) +∇XY

⟩=⟨∇XN,Y

⟩+⟨N, II (X,Y )

⟩+⟨N,∇XY

⟩=⟨∇XN,Y

⟩+⟨N, II (X,Y )

⟩,

pois ∇XY e tangente a M . A segunda forma fundamental desempenha um papel importante na descricao da diferenca entre os

tensores curvatura de M e M :

7.7 Proposicao. (Equacao de Gauss) Para todos X,Y, Z,W ∈ TpM vale

R (X,Y, Z,W ) = R (X,Y, Z,W ) + ⟨II (X,W ) , II (Y, Z)⟩ − ⟨II (X,Z) , II (Y,W )⟩ . (7.4)

Prova: Estenda X,Y, Z,W a campos vetoriais emM e depois considere extensoes X,Y , Z,W de X,Y, Z,Wa M . Em M temos

R (X,Y, Z,W )

=⟨∇Y ∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z,W

⟩=⟨∇Y (∇XZ + II (X,Z)) ,W

⟩−⟨∇X (∇Y Z + II (Y, Z)) ,W

⟩+⟨(∇[X,Y ]Z + II ([X,Y ] , Z)

),W⟩

=⟨∇Y ∇XZ,W

⟩+⟨∇Y II (X,Z) ,W

⟩−⟨∇X∇Y Z,W

⟩−⟨∇XII (Y, Z) ,W

⟩+⟨∇[X,Y ]Z,W

⟩,

ja que a segunda forma fundamental II ([X,Y ] , Z) e normal a M enquanto que W e tangente a M . Pelaequacao de Weingarten, ⟨

∇Y II (X,Z) ,W⟩= −⟨II (X,Z) , II (Y,W )⟩ ,⟨

∇XII (Y, Z) ,W⟩= −⟨II (Y,Z) , II (X,W )⟩ .

Como

∇Y ∇XZ =(∇Y ∇XZ

)⊤+(∇Y ∇XZ

)⊥= ∇Y ∇XZ +

(∇Y ∇XZ

)⊥,

∇X∇Y Z =(∇X∇Y Z

)⊤+(∇X∇Y Z

)⊥= ∇X∇Y Z +

(∇X∇Y Z

)⊥,

segue que ⟨∇Y ∇XZ,W

⟩= ⟨∇Y ∇XZ,W ⟩ ,⟨

∇X∇Y Z,W⟩= ⟨∇X∇Y Z,W ⟩ .


Portanto,

R (X,Y, Z,W ) = ⟨∇Y ∇XZ,W ⟩ − ⟨∇X∇Y Z,W ⟩+⟨∇[X,Y ]Z,W

⟩− ⟨II (X,Z) , II (Y,W )⟩+ ⟨II (Y, Z) , II (X,W )⟩= R (X,Y, Z,W ) + ⟨II (X,W ) , II (Y,Z)⟩ − ⟨II (X,Z) , II (Y,W )⟩ .

7.8 Corolario. Se p ∈M e X,Y ∈ TpM sao vetores ortonormais, vale

K (X,Y ) = K (X,Y ) + ∥II (X,Y )∥2 − ⟨II (X,X) , II (Y, Y )⟩ . (7.5)

Prova: Basta lembrar que se X,Y sao ortonormais, entao

K (X,Y ) = R (X,Y,X, Y ) .

e usar a formula de Gauss.

7.3 Hiperfıcies

7.9 Definicao. Seja p ∈M e N ∈ TpM⊥. A forma bilinear simetrica

HN : TpM × TpM −→ R

definida porHN (X,Y ) = ⟨II (X,Y ) , N⟩ (7.6)

e chamada a segunda forma fundamental segundo o vetor N .

Associamos a HN de modo natural um operador linear autoadjunto

SN : TpM −→ TpM

definindo⟨SN (X) , Y ⟩ = HN (X,Y ) (7.7)

para todos X,Y ∈ TpM . Ele e chamado o operador forma segundo o vetor N .

O resultado a seguir expressa o operador forma em termos da derivada covariante.

7.10 Proposicao. Vale

SN (X) = −(∇XN

)⊤, (7.8)

onde X,N sao quaisquer extensoes locais de X,N a M com N normal a M .

Prova: Segue imediatamente da equacao de Weingarten. O caso particular em que a codimensao de M e 1 merece atencao especial.

7.11 Definicao. Se a codimensao da imersao isometrica ı :M −→M e 1, dizemos queM e uma hiperfıcie.


Hiperfıcies podem ter autointersecoes.Quando M e uma hiperfıcie, existem apenas 2 escolhas para o vetor unitario normal. Se M e M

sao ambas orientaveis e escolhemos orientacoes para M e M entao temos uma escolha unica para o vetorunitario normal: se E1, . . . , En e uma base ortonormal orientada de TpM , escolhemos N de tal formaque E1, . . . , En, N e uma base ortonormal orientada de TpM . Isso produz um campo vetorial normaldiferenciavel em M . Esta escolha fixa a segunda forma fundamental e podemos nos referir simplesmente asegunda forma fundamental H de M e ao operador forma S de M .

Como S e autoadjunta, existe uma base ortonormal orientada E1, . . . , En de TpM formada por auto-vetores, isto e,

S (Ei) = κiEi, i = 1, . . . , n,

onde κ1, . . . , κn sao os autovalores de S. Neste caso dizemos que E1, . . . , En sao as direcoes principais daimersao e λ1, . . . , λn as curvaturas principais. Esta nomenclatura e justificada entre outras coisas pelaequacao de Gauss:

7.12 Proposicao. Se M e uma hiperfıcie,

K (Ei, Ej)−K (Ei, Ej) = κiκj . (7.9)

Alem disso, podemos escrever a segunda forma fundamental de M como

H (X,Y ) =n∑

i=1

κiXiY i.

Prova: Como

H (Ei, Ei) = ⟨S (Ei) , Ei⟩ = ⟨κiEi, Ei⟩ = κi ⟨Ei, Ei⟩ = κi,

H (Ei, Ej) = ⟨S (Ei) , Ej⟩ = ⟨κiEi, Ej⟩ = κi ⟨Ei, Ej⟩ = 0,

e como

H (X,Y ) = ⟨II (X,Y ) , N⟩ = ⟨∥II (X,Y )∥N,N⟩ = ∥II (X,Y )∥ ⟨N,N⟩= ∥II (X,Y )∥ ,

segue do Corolario 7.8 que

K (Ei, Ej) = K (Ei, Ej)− ⟨II (Ei, Ei) , II (Ej , Ej)⟩= K (Ei, Ej)− ∥II (Ei, Ei)∥ ∥II (Ej , Ej)∥ ⟨N,N⟩= K (Ei, Ej)− κiκj .

A expressao para a segunda forma fundamental de M segue imediatamente por bilinearidade e ortonorma-lidade.

7.13 Definicao. Se M e uma hiperfıcie, definimos a curvatura de Gauss de M por

κ = detS = κ1 . . . κn

e a curvatura media de M por

h =1

ntrS =

κ1 + . . .+ κnn

.


7.14 Teorema. (Teorema Egregium de Gauss) Se M2 e uma hiperfıcie em R3, entao para qualquer p ∈Me para quaiquer vetores linearmente independentes X,Y de TpM

κ (p) = K (X,Y ) .

Portanto, a curvatura de Gauss e um invariante isometrico de (M, g).

Prova: Segue imediatamente da Proposicao 7.12, ja que K = 0 para R3 e a curvatura seccional e uminvariante do plano gerado pelos vetores.

7.4 Imersoes Totalmente Geodesicas

7.15 Definicao. Se M e uma variedade riemanniana e α : I −→ M e uma curva diferenciavel unitaria,definimos a curvatura de α em α (s) por

κ (s) =

∥∥∥∥Dα′

dt(s)

∥∥∥∥ .

Se M = Rn, esta definicao coincide com o conceito classico de curvatura. Note que α e uma geodesica se esomente se a curvatura de α e identicamente nula.

Se ı :M −→M e uma imersao isometrica injetiva, entao uma curva α : I −→M possui duas curvaturas κe κ; em particular, geodesicas deM nao sao necessariamente geodesicas deM . A relacao entre as curvaturase dada pela segunda forma fundamental.

7.16 Lema. (Formula de Gauss ao longo de uma curva) Sejam (M, g) uma variedade riemanniana e(M, g

)sua variedade ambiente. Se α : I −→ M e uma curva diferenciavel, para qualquer campo vetorial Vtangente a α vale

DV

dt=DV

dt+ II (α′, V ) .

No caso especial em que V = α′, obtemos a seguinte formula para a aceleracao de uma curva em M :

Dα′

dt=Dα′

dt+ II (α′, α′) .

Em particular, se α tem velocidade unitaria,

κ (s) = κ (s) + ∥II (α′, α′)∥ .

Prova: Seja E1, . . . , En um referencial ortonormal ao longo de α. Escrevendo

V (t) =n∑

i=1

V i (t)Ei (t) ,


segue que

DV

dt=

n∑i=1

dV i

dt(t)Ei (t) +

n∑i=1

V i (t)DEi

dt(t)

=n∑

i=1

dV i

dt(t)Ei (t) +

n∑i=1

V i (t)∇α′Ei (t)

=n∑

i=1

dV i

dt(t)Ei (t) +

n∑i=1

V i (t)∇α′Ei (t) +n∑

i=1

V i (t) II (α′, Ei)

=n∑

i=1

dV i

dt(t)Ei (t) +

n∑i=1

V i (t)DEi

dt(t) + II (α′, V )

=DV

dt+ II (α′, V ) .

Assim, obtemos a seguinte interpretacao geometrica para a segunda forma fundamental: para cada vetorV ∈ TpM , II (V, V ) e a aceleracao com relacao a metrica de M em p da geodesica radial em M partindo dep; se V e unitario, ∥II (V, V )∥ e a curvatura com relacao a metrica de M em p da geodesica radial em Mpartindo de p.

7.17 Definicao. Dizemos que uma imersao isometrica ı : M −→ M e totalmente geodesica se todageodesica de M e uma geodesica de M .

7.18 Proposicao. ı : M −→ M e totalmente geodesica se e somente se a segunda forma fundamental deM e identicamente nula.

Prova: Como as geodesicas sao caracterizadas como sendo curvas de curvatura nula, segue do lema anteriorque uma geodesica radial α : I −→ M partindo de p ∈ M com velocidade V = α′ (0) e tambem umageodesica de M , se e somente se II (V, V ) = 0. Como para cada V ∈ TpM existe uma tal geodesica emM , segue que ı : M −→ M e totalmente geodesica se e somente se II (V, V ) = 0 para todo vetor unitarioV ∈ TpM . Mas para uma forma bilinear simetrica, isto implica que II ≡ 0 em TpM , pois

II (V,W ) =1

4(II (V +W,V +W )− II (V −W,V −W )) .

7.5 Exercıcios

7.1 Prove a Proposicao 7.3.

7.2 Mostre que se α : I −→ M e uma curva regular (isto e, α′ (t) = 0 para todo ), entao a curvatura deα em α (t) e

κ (t) =1

∥α′ (t)∥2Dα′

dt(t)− 1

∥α′ (t)∥3

⟨Dα′

dt(t) , α′ (t)

⟩.


Capıtulo 8

Formulas de Variacao

Como geodesica minimizam distancias, elas podem ser caracterizadas como mınimos do funcional compri-mento no espaco das curvas diferenciaveis, ou seja, solucoes de um problema variacional. Ao inves de lidarcom espacos de funcoes, no entanto, nos nos restringiremos a considerar variacoes de curvas, o que simplificarabastante a maquinaria necessaria.

8.1 Definicao. Seja γ : [a, b] −→ M uma curva diferenciavel por partes. Uma variacao de γ e umaaplicacao

F : (−ε, ε)× [a, b] −→M

tal que

(i) F (0, t) = γ (t) ;

(ii) existe uma particao de [a, b] por pontos

a = t0 < t1 < . . . < tk < tk+1 = b

tal que F |(−ε,ε)×[ti,ti+1] e diferenciavel para i = 0, . . . , k.

Para cada s fixado, a curva Fs (t) = F (s, t) : [a, b] −→ M e chamada uma curva principal davariacao. Dizemos que uma variacao tem extremidades fixas ou e uma variacao propria se ascurvas da variacao possuem o mesmo ponto inicial e final, isto e, Fs (a) = γ (a) e Fs (b) = γ (b) paratodo s. Para cada t fixado, a curva Ft (s) = F (s, t) : (−ε, ε) −→M e chamada uma curva transversalda variacao.

Um campo vetorial ao longo de F e uma aplicacao V : (−ε, ε) × [a, b] −→ TM tal que V (s, t) ∈TF (s,t)M para cada (s, t) e V |(−ε,ε)×[ti,ti+1] e diferenciavel para i = 0, . . . , k. Se F e uma variacao deγ, entao o campo de variacao de F e o campo vetorial ao longo de γ

V (t) =∂F

∂s(0, t) .

Um campo de variacao e proprio se V (a) = V (b) = 0; claramente, o campo de variacao de umavariacao propria e proprio.

Observe que se a curva γ e diferenciavel por partes e deixa de ser diferenciavel nos pontos t1, . . . , tk, entaopor definicao as curvas principais da variacao Fs (t) : [a, b] −→M tambem sao em geral apenas diferenciaveispor partes para cada s e podem deixar de ser diferenciaveis nos pontos t1, . . . , tk. Ao contrario, as curvastransversais da variacao Ft (s) : (−ε, ε) −→ M sao diferenciaveis (suaves) em todo ponto para todo t,inclusive para t = t1, . . . , tk, de modo que o campo de variacao de F esta definido tambem nestes pontos.

141


8.2 Proposicao. Dado um campo vetorial diferenciavel por partes V (t) ao longo de uma curva diferenciavelpor partes γ : [a, b] −→M , existe uma variacao F de γ tal que V e o campo variacional de F .

Alem disso, se V e proprio, entao podemos escolher tambem F propria.

Prova: Basta definirF (s, t) = expγ(t) (sV (t)) .

Como γ ([a, b]) e compacto, podemos cobri-lo por um numero finito de vizinhancas uniformemente normais,assegurando que expγ(t) esta definida para todo W ∈ Tγ(t)M tal que ∥W∥ < δ para algum δ > 0; logo, existeε > 0 tal que expγ(t) (sV (t)) esta definida para todo |s| < ε. Alem disso, temos

F (0, t) = expγ(t) (0) = γ (t)

e∂F

∂s(0, t) =

∂

∂sexpγ(t) (sV (t))

∣∣∣∣s=0

= d(expγ(t)

)0V (t) = V (t) .

Se V (a) = V (b) = 0, entao

F (s, a) = expγ(a) (sV (a)) = expγ(a) (0) = γ (a) ,

F (s, b) = expγ(b) (sV (b)) = expγ(b) (0) = γ (b) .

Note pela demonstracao que se γ e uma curva regular por partes, entao F tambem e uma variacao regularpor partes, no sentido obvio.

8.1 Formula da Primeira Variacao

Para comparar o comprimento de γ com os comprimentos das curvas vizinhas de uma variacao de γ intro-duziremos o funcional comprimento de arco:

8.3 Definicao. Sejam γ : [a, b] −→ M uma curva diferenciavel por partes e F : (−ε, ε)× [a, b] −→ M umavariacao de γ. Definimos o funcional comprimento de arco de F

L : (−ε, ε) −→ R

por

L (s) =

∫ b

a

∥∥∥∥∂F∂t (s, t)

∥∥∥∥ dt.Denotamos tambem

L (γ) = L (0) =

∫ b

a

∥γ′ (t)∥ dt.

Do ponto de vista computacional, e mais conveniente em geral usar o funcional energia:

8.4 Definicao. Sejam γ : [a, b] −→ M uma curva diferenciavel por partes e F : (−ε, ε)× [a, b] −→ M umavariacao de γ. Definimos o funcional energia de F

E : (−ε, ε) −→ R

por

E (s) =

∫ b

a

∥∥∥∥∂F∂t (s, t)

∥∥∥∥2 dt.


Denotamos tambem

E (γ) = E (0) =

∫ b

a

∥γ′ (t)∥2 dt.

8.5 Proposicao. Se γ : [a, b] −→M e uma curva diferenciavel por partes, entao

[L (γ)]2 6 (b− a)E (γ) .

Prova: Basta tomar f = 1 e g = ∥γ′ (t)∥ na desigualdade de Schwarz:(∫ b

a

fg dt

)2

6∫ b

a

f2 dt

∫ b

a

g2 dt.

8.6 Lema. Sejam p, q ∈ M e γ : [a, b] −→ M uma geodesica minimizante ligando p a q. Entao, para todacurva diferenciavel por partes α : [a, b] −→M ligando p a q, vale

E (γ) 6 E (α) ,

com a igualdade E (γ) = E (α) valendo se e somente se α e uma geodesica minimizante e portanto elae diferencıavel. Em particular,

dE

ds(0) = 0.

Prova: Temos(b− a)E (γ) 6 [L (γ)]

2 6 [L (α)]2 6 (b− a)E (α) ,

donde segue o resultado. Tambem desta desigualdade segue que se E (γ) = E (α) entao L (γ) = L (α)tambem, o que implica que α e uma geodesica, como vimos no Capıtulo 4. A recıproca e obvia.

Denotaremos

γ′(t+0)= lim

t→t+0

γ′ (t) ,

γ′(t−0)= lim

t→t−0

γ′ (t) .

A primeira derivada de um funcional e chamada a primeira variacao.

8.7 Teorema. (Formula da Primeira Variacao da Energia) Sejam γ : [a, b] −→M uma curva diferenciavelpor partes, F : (−ε, ε)× [a, b] −→M uma variacao de γ e V (t) o campo variacional de F . Entao

1

2

dE

ds(0) = ⟨V (b) , γ′ (b)⟩ − ⟨V (a) , γ′ (a)⟩ −

∫ b

a

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt

−k∑

i=1

⟨V (ti) , γ

′ (t+i )− γ′(t−i)⟩.


E (s) =

∫ b

a

⟨∂F

∂t(s, t) ,

∂F

∂t(s, t)

⟩dt =

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂t(s, t) ,

∂F

∂t(s, t)

⟩dt.


Logo, usando o Lema da Simetria do Capıtulo 4,

dE

ds(s) =

k∑i=0

∫ ti+1

ti

d

ds

⟨∂F

∂t,∂F

∂t

⟩dt

= 2k∑

i=0

∫ ti+1

ti

⟨D

ds

∂F

∂t,∂F

∂t

⟩dt

= 2k∑

i=0

∫ ti+1

ti

⟨D

dt

∂F

∂s,∂F

∂t

⟩dt

= 2k∑

i=0

∫ ti+1

ti

d

dt

⟨∂F

∂s,∂F

∂t

⟩dt− 2

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂s,D

dt

∂F

∂t

⟩dt

= 2k∑

i=0

⟨∂F

∂s,∂F

∂t

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

− 2k∑

i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂s,D

dt

∂F

∂t

⟩dt.

Daı,

1

2

dE

ds(0) =

k∑i=0

⟨∂F

∂s(0, t) ,

∂F

∂t(0, t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

−k∑

i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂s(0, t) ,

D

dt

∂F

∂t(0, t)

⟩dt

=k∑

i=0

⟨V (t) , γ′ (t)⟩|ti+1

ti−

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt

=k∑

i=0

⟨V (t) , γ′ (t)⟩|ti+1

ti−∫ b

a

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt.

Como

k∑i=0

⟨V (t) , γ′ (t)⟩|ti+1

ti

=⟨V (t1) , γ

′ (t−1 )⟩− ⟨V (a) , γ′ (a)⟩+⟨V (t2) , γ

′ (t−2 )⟩− ⟨V (t1) , γ′ (t+1 )⟩+ . . .+

⟨V (tk) , γ

′ (t−k )⟩− ⟨V (tk−1) , γ′ (t+k−1

)⟩+ ⟨V (b) , γ′ (b)⟩ −

⟨V (tk) , γ

′ (t+k )⟩= ⟨V (b) , γ′ (b)⟩ − ⟨V (a) , γ′ (a)⟩ −

k∑i=1

⟨V (ti) , γ

′ (t+i )− γ′(t−i)⟩,

isso termina a demonstracao.

8.8 Corolario. Uma curva diferenciavel por partes γ : [a, b] −→ M e uma geodesica se e somente se, paratoda variacao propria de γ vale

dE

ds(0) = 0.

Prova: Se γ e uma geodesica, o resultado segue do Lema 8.6, mas tambem segue diretamente da formulada primeira variacao da energia, pois

Dγ′

dt= 0,

γ′(t+i)= γ′

(t−i)= γ′ (ti) ,


logodE

ds(0) = 2 ⟨V (b) , γ′ (b)⟩ − ⟨V (a) , γ′ (a)⟩ = 0

porque V (a) = V (b) = 0 ja que V e propria.

Reciprocamente, suponha quedE

ds(0) = 0 para toda variacao propria de γ. Seja f : [a, b] −→ R uma

funcao diferenciavel por partes satisfazendo

f (ti) = 0,

f (t) > 0 se t = ti,

para i = 0, . . . , k + 1. Defina

V (t) = f (t)Dγ′

dt(t)

e construa uma variacao propria F de γ tal que V e o campo variacional proprio de F (Proposicao 8.2).Entao

0 =1

2

dE

ds(0) = −

∫ b

a

⟨f (t)

Dγ′

dt(t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt =

∫ b

a

f (t)

∥∥∥∥Dγ′dt(t)

∥∥∥∥2 dt,de modo que

Dγ′

dt= 0

em cada intervalo (ti, ti+1).

Para calcularDγ′

dtnos pontos ti, defina

V (t) =

g (t) γ′ (t) se t = t1, . . . , tk,g (ti)

[γ′(t+i)− γ′

(t−i)]

se t = t1, . . . , tk,

onde g : [a, b] −→ R e uma funcao suave tal que

g (a) = g (b) = 0,

g (t) > 0 se t = a, b,

e construa uma variacao propria G de γ tal que V e o campo variacional proprio de G. ComoDγ′

dt= 0 nos

intervalos (ti, ti+1), segue que

0 =1

2

dE

ds(0) = −

k∑i=1

⟨V (ti) , γ

′ (t+i )− γ′(t−i)⟩

= −k∑

i=1

g (ti)∥∥γ′ (t+i )− γ′

(t−i)∥∥2 ,

dondeγ′(t+i)= γ′

(t−i)= γ′ (ti) ,

ou seja, γ e uma curva diferenciavel, pelo menos de classe C1. LogoDγ′

dt(ti) = 0 para todo i. Consequen-

temente, γ satisfaz a equacao geodesica. Por unicidade de solucoes, γ e de classe C∞ e e portanto umageodesica. Assim, geodesica sao caracterizadas como pontos crıticos da funcao energia de variacoes proprias, logo saosolucoes de um problema variacional.

Podemos tambem caracterizar as geodesicas como pontos crıticos da funcao comprimento de arco, o quee mais natural. Apenas alguns detalhes tecnicos adicionais sao necessarios, tais como considerar curvas comvelocidade unitaria por partes (e nos referimos a observacao apos a demonstracao da Proposicao 8.2. Aformula da primeira variacao do comprimento de arco a seguir pode ser usada para produzir uma demons-tracao alternativa de que curvas que minimizam o comprimento sao geodesicas e mostrar que geodesicas saopontos crıticos do funcional comprimento de arco (veja [Lee 2], Teorema 6.6 e Corolario 6.7).


8.9 Teorema. (Formula da Primeira Variacao do Comprimento de Arco) Sejam γ : [a, b] −→M uma curvaunitaria diferenciavel por partes, F : (−ε, ε)× [a, b] −→M uma variacao regular de γ e V (t) o campovariacional de F . Entao

dL

ds(0) = ⟨V (b) , γ′ (b)⟩ − ⟨V (a) , γ′ (a)⟩ −

∫ b

a

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt

−k∑

i=1

⟨V (ti) , γ

′ (t+i )− γ′(t−i)⟩.

Prova: Temos

L (s) =

∫ b

a

⟨∂F

∂t(s, t) ,

∂F

∂t(s, t)

⟩1/2

dt =k∑

i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂t(s, t) ,

∂F

∂t(s, t)

⟩1/2

dt.

Logo, usando o Lema da Simetria do Capıtulo 4,

dL

ds(s) =

k∑i=0

∫ ti+1

ti

d

ds

⟨∂F

∂t,∂F

∂t

⟩1/2

dt

=k∑

i=0

∫ ti+1

ti

1

2

⟨∂F

∂t,∂F

∂t

⟩−1/2

2

⟨D

ds

∂F

∂t,∂F

∂t

⟩dt

=k∑

i=0

∫ ti+1

ti

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥−1⟨

D

dt

∂F

∂s,∂F

∂t

⟩dt

=k∑

i=0

∫ ti+1

ti

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥−1

d

dt

⟨∂F

∂s,∂F

∂t

⟩dt−

k∑i=0

∫ ti+1

ti

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥−1⟨

∂F

∂s,D

dt

∂F

∂t

⟩dt

=k∑

i=0

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥−1 ⟨

∂F

∂s,∂F

∂t

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

−k∑

i=0

∫ ti+1

ti

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥−1⟨

∂F

∂s,D

dt

∂F

∂t

⟩dt.

Daı, como ∥∥∥∥∂F∂t (0, t)

∥∥∥∥ = ∥γ′ (t)∥ = 1,

dL

ds(0) =

k∑i=0

∥∥∥∥∂F∂t (0, t)

∥∥∥∥−1 ⟨∂F

∂s(0, t) ,

∂F

∂t(0, t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

−k∑

i=0

∫ ti+1

ti

∥∥∥∥∂F∂t (0, t)

∥∥∥∥−1⟨∂F

∂s(0, t) ,

D

dt

∂F

∂t(0, t)

⟩dt

=

k∑i=0

⟨V (t) , γ′ (t)⟩|ti+1

ti−

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt

=

k∑i=0

⟨V (t) , γ′ (t)⟩|ti+1

ti−∫ b

a

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt.


8.2 Formula da Segunda Variacao

Como uma geodesica e um ponto de mınimo para o funcional energia ou funcional comprimento de arco, suaderivada primeira e zero, como vimos na secao anterior. Em particular, qualquer informacao sobre a energiade curvas vizinhas e dada pela derivada segunda. Esta informacao sera usada na proxima secao para obtero comportamento das geodesicas quando elas passam por um ponto conjugado.

8.10 Teorema. (Formula da Segunda Variacao da Energia) Sejam γ : [a, b] −→ M uma geodesica, F :(−ε, ε)× [a, b] −→M uma variacao propria de γ e V (t) o campo variacional de F . Entao

1

2

d2E

ds2(0) = −

∫ b

a

⟨V (t) ,

D2V

dt2(t) +R (γ′ (t) , V (t)) γ′ (t)

⟩dt−

k∑i=1

⟨V (ti) ,

DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i)⟩

> 0.

Prova: Na demonstracao da formula da primeira variacao vimos que

1

2

dE

ds(s) =

k∑i=0

⟨∂F

∂s(s, t) ,

∂F

∂t(s, t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

−k∑

i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂s(s, t) ,

D

dt

∂F

∂t(s, t)

⟩dt.

Logo,

1

2

dE

ds(s) =

k∑i=0

d

ds

⟨∂F

∂s,∂F

∂t

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

−k∑

i=0

∫ ti+1

ti

d

ds

⟨∂F

∂s,D

dt

∂F

∂t

⟩dt

=

k∑i=0

⟨D

ds

∂F

∂s,∂F

∂t

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

+

k∑i=0

⟨∂F

∂s,D

ds

∂F

∂t

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

−k∑

i=0

∫ ti+1

ti

⟨D

ds

∂F

∂s,D

dt

∂F

∂t

⟩dt−

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂s,D

ds

D

dt

∂F

∂t

⟩dt.

O primeiro termo e nulo:k∑

i=0

⟨D

ds

∂F

∂s(0, t) ,

∂F

∂t(0, t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

= 0.

De fato, como a variacao e propria,∂F

∂s(s, a) =

∂F

∂s(s, b) = 0,

logoD

ds

∂F

∂s(0, a) =

D

ds

∂F

∂s(0, b) = 0.

Alem disso, por definicaoD

ds

∂F

∂se suave, logo

D

ds

∂F

∂s(0, ti)

esta definida e todos os termos da soma se anulam. Usando o Lema de Simetria temos que o segundo termoem s = 0 e

k∑i=0

⟨∂F

∂s(0, t) ,

D

ds

∂F

∂t(0, t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

=

k∑i=0

⟨V (t) ,

D

dt

∂F

∂s(0, t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

=

k∑i=0

⟨V (t) ,

DV

dt(t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

=k∑

i=1

⟨V (ti) ,

DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i)⟩

,


pois a variacao e propria logo seu campo de variacao tambem e proprio e V (a) = V (b) = 0. O terceirotermo tambem e nulo em s = 0, porque γ e uma geodesica:⟨

D

ds

∂F

∂s(0, t) ,

D

dt

∂F

∂t(0, t)

⟩=

⟨D

ds

∂F

∂s(0, t) ,

D

dtγ′ (t)

⟩= 0

Para o quarto termo, usando o Lema 6.1 e o Lema da Simetria obtemos

D

ds

D

dt

∂F

∂t=D

dt

D

ds

∂F

∂t+R

(∂F

∂t,∂F

∂s

)∂F

∂t

=D

dt

D

dt

∂F

∂s+R

(∂F

∂t,∂F

∂s

)∂F

∂t.

Em s = 0 temos que o quarto termo e, portanto,

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂s(0, t) ,

D

ds

D

dt

∂F

∂t(0, t)

⟩dt

=k∑

i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂s(0, t) ,

D2

dt2∂F

∂s(0, t)

⟩dt+

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂s(0, t) , R

(∂F

∂t(0, t) ,

∂F

∂s(0, t)

)∂F

∂t(0, t)

⟩dt

=k∑

i=0

∫ ti+1

ti

⟨V (t) ,

D2V

dt2(t)

⟩dt+

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨V (t) , R (γ′ (t) , V (t)) γ′ (t)⟩ dt

=

∫ b

a

⟨V (t) ,

D2V

dt2(t) +R (γ′ (t) , V (t)) γ′ (t)

⟩dt,

e segue o resultado.Como 0 e um ponto de mınimo para a funcao energia E (s), segue que

d2E

ds2(0) > 0.

8.11 Definicao. Sejam γ : [a, b] −→ M uma curva diferenciavel. Definimos o forma ındice de γ comosendo a forma bilinear simetrica

I (V,W ) =

∫ b

a

[⟨DV

dt(t) ,

DW

dt(t)

⟩−R (γ′ (t) , V (t) , γ′ (t) , V (t))

]dt

onde V,W sao quaisquer campos diferenciaveis por partes ao longo de γ.

8.12 Corolario. Sejam γ : [a, b] −→M uma geodesica, F : (−ε, ε)× [a, b] −→M uma variacao propria deγ e V (t) o campo variacional de F . Entao

I (V, V ) =1

2

d2E

ds2(0) .

Em particular, I (V, V ) > 0.

Prova: Escrevemos a formula de variacao da energia na forma

1

2

d2E

ds2(0) = −

∫ b

a

⟨V,D2V

dt2

⟩dt−

∫ b

a

R (γ′, V, γ′, V ) dt−k∑

i=1

⟨V (ti) ,

DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i)⟩

.


Comod

dt

⟨V,DV

dt

⟩=

⟨DV

dt,DV

dt

⟩+

⟨V,D2V

dt2

⟩e para uma variacao propria∫ b

a

d

dt

⟨V,DV

dt

⟩dt = −

k∑i=0

⟨V (ti) ,

DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i)⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

,

segue o resultado.

8.3 Geodesicas nao minimizam apos passarem por pontos conju-gados

8.13 Teorema. Se γ e um segmento geodesico ligando os pontos p e q que tem um ponto interior conjugadoa p, entao existe um campo vetorial normal X ao longo de γ tal que

I (X,X) < 0

Em particular, γ nao e minimizante.

Prova: Seja γ : [0, b] −→M uma parametrizacao de γ por comprimento de arco e γ (a) um ponto conjugadoa γ (0) = p para algum 0 < a < b. Isso significa que existe um campo de Jacobi normal J ao longo de γ|[0,a]tal que J (0) = J (a) = 0. Defina um campo vetorial V ao longo de γ|[0,b] por

V (t) =

J (t) se 0 6 t 6 a,0 se a 6 t 6 b.

Este e um campo diferenciavel por partes proprio ao longo de γ, logo e o campo variacional proprio dealguma variacao propria de γ.

Seja W (t) um campo diferenciavel (suave) ao longo de γ tal que

W (a) =DV

dt

(a+)− DV

dt

(a−).

Note que, comoDV

dt

(a+)= 0,

temosDV

dt

(a−)= 0,

pois caso contrario terıamosDJ

dt(a) = 0

e J seria um campo de Jacobi satisfazendo J (a) =DJ

dt(a) = 0 e portanto seria identicamente nulo.

Para ε > 0 pequeno, sejaXε = V + εW.

Entao

I (Xε, Xε) = I (V + εW, V + εW )

= I (V, V ) + 2εI (V,W ) + ε2I (W,W ) .


Como V satisfaz a equacao de Jacobi em cada um dos subintervalos [0, a] e [0, b] e V (a) = 0 segue que

I (V, V ) = −∫ b

0

⟨V,D2V

dt2+R (γ′, V, γ′)

⟩dt−

⟨V (a) ,

DV

dt

(a+)− DV

dt

(a−)⟩

= 0.

Analogamente, comod

dt

⟨DV

dt,W

⟩=

⟨D2V

dt2,W

⟩+

⟨DV

dt,DW

dt

⟩,

temos

I (V,W ) =

∫ b

0

[⟨DV

dt,DW

dt

⟩−R (γ′ (t) , V (t) , γ′ (t) , V (t))

]dt

= −∫ b

0

[⟨D2V

dt2+R (γ′, V, γ′) ,W

⟩]dt+

∫ b

0

d

dt

⟨DV

dt,W

⟩dt

= −⟨DV

dt

(a+)− DV

dt

(a−),W (a)

⟩= −∥W (a)∥2 .

Portanto,I (Xε, Xε) = −2ε ∥W (a)∥2 + ε2I (W,W ) < 0

para ε suficientemente pequeno. A recıproca deste teorema nao e verdadeira: existem geodesicas sem pontos conjugados que nao sao minimi-zantes. Por exemplo, no cilindro nao ha pontos conjugados ao longo de nenhuma geodesica, mas qualquergeodesica que percorrer metade da circunferencia do cilindro deixa de ser minimizante.

8.4 Exercıcios


Referencias Bibliograficas

[Berger] Marcel BERGER, A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer, 2002.

[Borceux] Francis BORCEUX, A Differential Approach to Geometry, Geometric Trilogy III,Springer, 2014.

[Carmo] Manfredo Perdigao do CARMO, Geometria Riemanniana, 2a. Edicao, 1988.

[CLN] Bennett CHOW, Peng LU e Lei NI, Hamilton’s Ricci Flow, Graduate Studies in Mathe-matics 77, AMS, 2006.

[Dodson-Poston] C. T. J. DODSON e T. POSTON, Tensor Geometry: the geometric viewpoint and itsuses, 2nd Edition, Graduate Texts in Mathematics 130, Springer, 1991.

[Fleisch] Daniel FLEISCH, A Student’s Guide to Vectors and Tensors, Cambridge UniversityPress, 2012.

[Gunther] Matthias GUNTHER, Zum Einbettungssatz von J. Nash [On the embedding theoremof J. Nash], Mathematische Nachrichten 144: 165–187, (1989).

[HH] Qing HAN e Jia-Xing HONG, Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Eu-clidean Spaces, American Mathematical Society, 2006.

[Jost] Jurgen JOST, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2nd Edition, Springer,1998.

[Kobayashi] Shoshichi KOBAYASHI, Transformation Groups in Differential Geometry, Classics inMathematics 70 (Reprint of the 1972 Edition), Springer, 1995.

[Lee 1] John M. LEE, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd Edition, Graduate Texts inMathematics 218, Springer, 2012.

[Lee 2] John M. LEE, Riemannian Manifolds: an Introduction to Curvature, Graduate Textsin Mathematics 176, Springer, 1997.

[MTW] Charles W. MISNER, Kip S. THORNE e John Archibald WHEELER, Gravitation,Freeman, 1973.

[Moore] Thomas A. MOORE, A General Relativity Workbook, University Science Books, 2013.

[Nash] John NASH, The imbedding problem for Riemannian manifolds, Annals of Mathema-tics, 63: 20–63, 1956.

[Spivak] Michael SPIVAK, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. I, II,2nd Edition, Publish or Perish, 1979.

[Warner] Frank W. WARNER, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Gra-duate Texts in Mathematics 94, Springer, 1983.

151

notas de aula_geometria_riemanniana_rodney josué biezuner

Documents