nota de aula 9º ano - divisão de segmentos em partes proporcionais
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Apostila de Desenho GeométricoTRANSCRIPT
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NOTA DE AULA DE DESENHO GEOMTRICO
9 ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL.
AL NR __________ NOME ___________________TU ____
DESENHO GEOMTRICO 9 ANO
ASSUNTO: Diviso de um segmento em partes proporcionais
Objetivos: a) Identificar segmentos proporcionais com base no teorema de Thales.
b) Dividir, graficamente, um segmento em partes diretamente proporcionais a nmeros ou a
segmentos.
DESENVOLVIMENTO
1. Quatro nmeros so proporcionais quando a razo de dois deles igual razo dos outros dois.
Ex: 1
2proporcionala
3
6
2. Quatro segmentos so proporcionais quando suas medidas, efetuadas em uma mesma unidade, formam uma proporo.
Ex: . 2 . . 3 . . 4 . . 6 .
2
3=
4
6
3. A verificao da proporcionalidade de quatro segmentos dos quais se conhecem as medidas uma proposio aritmtica.
4. Quando no se conhecem as medidas dos segmentos, a verificao da proporcionalidade constitui uma operao grfica.
5. Teorema de Thales
*A paralela a um dos lados de um tringulo divide os outros dois em segmentos proporcionais. Ou
*A razo entre dois lados de um tringulo igual razo dos segmentos correspondentes neles
determinados por uma paralela ao terceiro lado.
Exemplo:
A
B
C
D
E
EC
DB
AE
AD
AC
AB
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DESENHO GEOMTRICO 9 ANO
Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______
Exerccios
1. Dividir o segmento AB dado em partes proporcionais a 2, 3 e 5. A _____________________________________ B
2. Dividir o segmento MN em partes proporcionais 1
2 , 2
3e
1
4
M ___________________________________________ N
3. Dividir o segmento RS dado em partes proporcionais aos comprimentos a, b, c, d dados.
. a . . b . . c . . d .
R _______________________________________________ S
4. Dividir o um segmento AB = 12 cm em partes inversamente proporcionais a 4, 6 ,8
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5. Construa um tringulo equiltero cujo permetro seja igual medida do segmento PQ .
P ______________________________________________________ Q
6. Dado o segmento AB , determine o ponto P que divide AB na razo 5
3 .
A _______________________________________________ B
7. Dado o segmento RS , construa um tringulo, sabendo que seus lados so congruentes com os
segmentos que resultam da diviso de RS em partes proporcionais a 3, 2, 4.
R _____________________________________________________ S
8. Dado o segmento MN , trace o retngulo que tem permetro igual medida de MN e cujos lados
so proporcionais a 2 e 1.
M __________________________________________________ N
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9. Construa um tringulo ABC sabendo que a = 6
7 ; b = 5
7 e c = 4
7 .
______________________________________________________________
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DESENHO GEOMTRICO 9 ANO
Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______
Assunto: Quarta e terceira proporcional
Objetivo: Construir, graficamente, a quarta e a terceira proporcional de segmentos conhecidos, aplicando
o teorema de Thales.
DESENVOLVIMENTO
1. QUARTA PROPORCIONAL
Chama-se quarta proporcional de trs nmeros, ao quarto nmero, que com eles formam uma
proporo.
a
b=
c
x x = b .c
a
Exerccios:
1. Dados os segmentos a, b, c, obter x tal que a expresso a
b=
c
x forma uma proporo.
_______________________ __________ _____________
a b c
1 Processo (soma) 2 Processo (subtrao)
2. Dados os segmentos p, q, r, construir, utilizando um dos processos, os segmentos x, y, z, tais que:
x = q . r
p y = p . rq z =
p . q
r formem uma proporo.
___________ ____________________ _________________________________
p q r
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2. TERCEIRA PROPORCIONAL Chama-se 3 proporcional proporo na qual se repete os meios.
a
b=
b
x x =
b2
a
Exerccios:
1. Na expresso a
b=
b
x construir o valor de x. Dados
a= 2cm
b= 3cm
{}
2. Construir o inverso do segmento a dado. ________________________
a
3. Dados os segmentos a, b, c, construir graficamente a expresso. X = a
2
b+
b2
a
ab
c
a = 3,0 cm b = 3,5 cm c = 2,5 cm
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DESENHO GEOMTRICO 9 ANO Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______
LISTA DE EXERCCIOS
1. Tenho 5 metros de fita para enfeitar trs presentes. Preciso dividir essa fita em partes proporcionais ao
tamanho de suas caixas. A caixa A duas vezes maior que a caixa B e a caixa C trs vezes maior que a
caixa a caixa A. Pedido: dividir a fita, usando os recursos de diviso de segmentos em partes
proporcionais.
_________________________________________________________________
2. Construa uma circunferncia cujo raio mede r, sendo r = s
2
t.
Dados: s = 24 mm, t = 22mm.
fita
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3. Construa um tringulo equiltero ABC, sabendo-se que seus lados tem a medida da quarta
proporcional entre os segmentos de medida m, n e p.
________________________ _________________ ____________
m n p
4. No trecho da ferrovia que vai de Esmeralda a Prola existem trs estaes: Safira, Topzio e Rubi,
nessa ordem. A distncia de Safira a Esmeralda o triplo da distncia entre Safira e Topzio. Topzio
est equidistante de Esmeralda e Rubi, que dista de Prola a metade da distncia entre Safira e Rubi.
Determine a localizao de cada estao.
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6. Uma patrulha Lobo de escoteiros do CMJF fez
uma jornada na mata e recebeu do chefe uma carta
que dizia o seguinte: Caros lobos
Vocs devero fazer uma caminhada, seguindo
rigorosamente as instrues: Iniciem o trajeto no
ponto onde fixei a bandeirola. Sigam a distncia x =
s2
tkm na direo da seta, virem 60 direita e
caminhem
y = rs
t km. Depois virem 90 a esquerda e
caminhem
x + y km para atingir o local de chegada onde
estarei esperando vocs. No percurso, observem as
regras de segurana e os cuidados com a natureza.
Boa jornada.
Pedido: desenhe o trajeto observando que, ao girar, o ngulo tem o vrtice no ponto onde se parou e
seus lados so o prolongamento da reta por onde se caminhava e a nova direo.
Ateno: cada 1cm no desenho corresponde a 1km no terreno. Executar as operaes grficas no
verso da folha.
Dados: ________________ _____________ _________
r s t
Sada *
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7. A figura que vemos abaixo representa a parte social de uma residncia, composta de uma sala de estar,
uma sala de jantar e uma varanda. Suas dimenses so x = a
2+b .c
a+b e y = a
2
2+
b2
c+
c .a
b
Dados: ________ ______ ______________
a b c
Escala: 1 cm = 2 m
Pedidos: a. Construir o retngulo referente a residncia
b. Determinar sua rea real, considerando a escala dada.
8. Rosngela mora perto de grandes amigas. Sua casa fica a uma distncia L = b
2+a .b
c da casa de
Lucinha e a uma distncia R = b
2
c+
c .a
b da casa de Raquel.
Dados: a = 5 cm, b = 4cm e c = 3cm
Escala: 1cm no papel = 10 m no terreno
Pedido::1. Marcar na figura a posio pontual da casa de Rosngela.
2. Determinar a distncia real, em metros,da casa de Rosngela a Casa das amigas.
Resp ____________________________________________________________
*
Lucinha
*
Raquel
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9. Os alunos do 9 ano planejam fazer uma excurso a Ibitipoca. O ponto de encontro o cruzamento
das ruas A e B, conforme representao abaixo, e a partir desse local faro um passeio pelas
montanhas da regio, caminhando uma distncia x = m .n
p+
m2
n+
n2 np
mkm .
Dados: _____________ __________ ______
m n p
Escala: 1cm = 1km
Pedidos: a. Traar uma reta que represente a distncia percorrida.
b. Determinar a distncia real percorrida. Distncia percorrida ________ km
A
B
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DESENHO GEOMTRICO 9 ANO
Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______
ASSUNTO: 3. Polgonos semelhantes
OBJETIVOS: a. Reconhecer figuras semelhantes.
b.Construir polgonos semelhantes a outros pelos processos do tringulo da proporcionalidade
e da homotetia.
DESENVOLVIMENTO 1. Semelhana de tringulos 2. Semelhana de polgonos. 3. Homotetia
Semelhana de Tringulos
Diz-se que dois tringulos so semelhantes quando tm:
1 ngulos respectivamente iguais
A'=A
B'=B
C'=C
{} {}
2 Lados homlogos proporcionais {a'a =b'
b }=c'
c
A
A
B C B C
A razo constante entre lados homlogos chama-se razo de semelhana ( k )
Quando k < 1 teremos
(a'b
(c'>c
( conclumos que h uma ampliao.
Quando k = 1 teremos
(a'=a
(b'=b
(c'=c
( conclumos que h uma igualdade.
Casos de semelhana
1 caso: Dois tringulos so semelhantes quando tm dois ngulos respectivamente iguais.
2 caso: Dois tringulos so semelhantes quando tm um ngulo igual formado por lados proporcionais.
3 caso: Dois tringulos so semelhantes quando tm os lados proporcionais.
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DESENHO GEOMTRICO 9 ANO
Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______
Exerccios
1. Reduzir o tringulo o tringulo ABC dado na razo k=2
3 .
A
B C
2. Construir o tringulo semelhante ao tringulo PQR dado na razo k= 2.
P
Q
R
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DESENHO GEOMTRICO 9 ANO Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______
SEMELHANA DE POLGONOS
Diz-se que dois polgonos so semelhantes quando tm:
1 ngulos respectivamente iguais
A'=A
B'=B
E'=E
{} {}
2 Lados homlogos proporcionais {AB'AB = BC'BC }= .. . ..
A condio necessria e suficiente para que 2 polgonos sejam semelhantes que possam ser
decompostos em tringulos semelhantes dispostos na mesma ordem.
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DESENHO GEOMTRICO 9 ANO Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______
Exerccios
1. Construir o polgono semelhante ao polgono dado, na razo k=3
5 .
D
E C
A B
2. Ampliar o polgono dado na razo k = 3
2
A B
D C
3. Ampliar um quadrado ABCD de lado = 3 cm na razo k = 5
3
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4.Construir o polgono semelhante ao polgono dado na razo R = 5
7 .
A
B
C
D
5. Construa um losango semelhante ao losango MNOP na razo R = 3, sabendo que a diagonal NP mede
1,6cm.
M * * O
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DESENHO GEOMTRICO 9 ANO Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______
Homotetia Figuras homotticas : so aquelas cujos ngulos homlogos so congruentes e cujos lados homlogos
so proporcionais.
Homotetia = semelhana + paralelismo
Dizemos que o ponto A homottico de A em relao a um centro de homotetia 0 se:
1 O ponto A pertence a reta OA
2 Existe um nmero k ( razo de homotetia ), de modo que OA' = k . AO.
3. Para k > 0, o ponto 0 ( centro de homotetia ) ser exterior a AA' .
4. Para k < 0, o ponto 0 ( centro de homotetia ) ser interior a AA'
Exemplos:
3. Para k = 3
0 A A
4. Para k = -3
A 0 A
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DESENHO GEOMTRICO 9 ANO Al Nr _______________________ Nome _____________________________________ Tu ______
Exerccios 1. Construir o tringulo ABC homottico de ABC de centro de homotetia 0 e razo k = 2
A
0 +
B
C
2. Construir o tringulo ABC homottico do tringulo ABC de centro 0 e k = -1
2
A
0 +
B
C
3. Construir o homottico de um retngulo ABCD de centro 0 e razo k = 3.
A
D B
0 +
-
C
4. Construir o homottico de um BCD de centro 0 e razo k = -2.
B
C
0 +
D
5. Construir o homottico de um quadriltero ABCD de centro 0 e razo k = 1
3 .
A
D
0 +
B
C
-
6. Construir o homottico do polgono ABCDE de cinco lados abaixo na razo k = 7
5 .
0 +
A
E
B
D
C
7.Construir o homottico de um hexgono regular ABCDEF de lado igual a 5 cm, cujo centro de
homotetia 0 o centro da circunferncia circunscrita ao hexgono. k = 5
7 .
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8.Construir a figura homottica da figura dada na razo k = - 2, sendo 0 o centro de homotetia.
A F
0
B E +
C D
Fim do 1 Bimestre