Nonlocal  effects  in  models  of  liquid  crystal  materials  

Nigel  Mo6ram  

Department  of  Mathema:cs  and  Sta:s:cs  

University  of  Strathclyde  

(Ma6  Neilson,  Andrew  Davidson,  Michael  Grinfeld,  Fernando  Da  Costa,  Joao  Pinto)  

Introduc:on  –  liquid  crystal  materials  

The  liquid  crystalline  state  of  ma6er  is  an  intermediate  phase  between  the  isotropic  liquid  and  solid  phases.    

1  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

The  material  can  flow  as  a  liquid  but  retains  some  anisotropic  features  of  a  crystalline  solid.    

Introduc:on  –  liquid  crystal  phases  

The  liquid  crystal  can  exhibit  two  types  of  order:  

•   Orienta:onal  order,  where  molecules  align,  on  average,  in  a  certain  direc:on    

•   Posi:onal  order,  where  density  varia:ons  lead  to  a  layered  structure  

2  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

The  vast  majority  of  liquid  crystal  based  technologies  use  nema:c  liquid  crystal  materials.  

Introduc:on  –  the  director  

The  average  molecular  orienta:on  provides  us  with  a  macroscopic  dependent  variable  which  can  be  used  to  build  a  con:nuum  theory  of  nema:c  liquid  crystals.    

3  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

The  main  dependent  variables  will  therefore  be  the  director  n  and  the  fluid  velocity  v.      

Other  dependent  variables  can  include  the  electric  field  E,  the  amount  of  order  S  and  densi:es  of  ionic  impuri:es.    

Introduc:on  –  elas:city  

One  of  the  main  differences  between  isotropic  fluids  and  liquid  crystals  is  their  ability  to  maintain  internal  stresses,  due  to  elas:c  distor:ons  of  the  director  structure.  

4  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

The  presence  of  such  distor:ons  will  be  modelled  through  the  inclusion  of  an  elas:c  energy.    

Classic  elas:c  distor:ons  include  splaying,  twis:ng  and  bending  of  the  director.  

Introduc:on  –  dielectric  effect  

•  Since  each  molecules  contains  small  dipoles,  or  distributed  charges,  they  are  polarisable  in  the  presence  of  an  electric  field.    

•  This  polarisability  is  different  along  the  major  and  minor  axes  of  the  molecules.    

•  The  difference  in  permiYvi:es  is  measured  by  the  dielectric  anisotropy  

5  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

In  order  to  minimise  the  electrosta:c  energy,  a  molecule,  or  group  of  molecules,  will  reorient  to  align  the  largest  permiYvity  along  the  field  direc:on.  

Introduc:on  –  flexoelectric  effect  

•  The  dielectric  effect  can  reorient  liquid  crystal  molecules  in  one  way  only.  

•  The  flexoelectric  effect  has  different  effects  depending  on  the  direc:on  of  the  electric  field.  

6  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

If  molecules  contain  dipoles  and  shape  anisotropy  then  different  distor:ons  are  produced  depending  on  the  direc:on  of  the  field.    

Introduc:on  –  flow  effects  

•  Director  rota:on  and  fluid  flow  are  coupled,  with  director  rota:on  inducing  flow  and  visa  versa.    

•  The  viscosity  is  also  dependent  on  the  director  orienta:on.    

7  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

In  total  there  are  five  independent  viscosi:es  in  a  nema:c  liquid  crystal.    

(up  to  23  viscosi:es  in  a  smec:c  liquid  crystal)    

Introduc:on  –  surface  anchoring  

•  The  interac:on  between  liquid  crystal  molecules  and  the  bounding  substrates  is  an  extremely  important  aspect  of  liquid  crystal  devices.  

•  Surface  treatments  (mechanical  and  chemical)  can  induce  the  liquid  crystal  molecules  to  align  parallel  or  perpendicular  to  the  substrate  normal.  

8  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

The  strength  of  this  interac:on  is  measured  by  a  surface  anchoring  strength    

Introduc:on  –  liquid  crystal  displays  

Standard  liquid  crystal  displays  consist  of  liquid  crystal  material  sandwiched  between  electrodes,  treated  substrates  and  op:cal  polarisers.    

9  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

The  applica:on  of  an  electric  field  across  the  liquid  crystal  causes  reorienta:on.  

Introduc:on  –  liquid  crystal  displays  

• When  a  field  is  applied  the  director  reorients  to  align  with  the  field.    

• When  the  field  is  removed  the  surface  anchoring  dominates  and  the  director  structure  relaxes  to  the  original  orienta:on.  

10  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

•  This  effect  can  change  the  transmission  of  light  through  the  device.    

• When  this  effect  is  pixellated  (and  with  the  addi:on  of  colour  filters)  a  display  can  be  produced.  

Introduc:on  –  ZBD  display  

•  The  Zenithal  Bistable  Device  contains  a  structured  surface  which  leads  to  two  dis:nct  director  structures,  one  of  which  contains  defects.  

11  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

•  These  two  states  are  op:cally  dis:nct.  •  If  we  can  switch  between  these  two  states  we  can  maintain  a  sta:c  image  without  the  need  to  supply  power.    

Ver:cal     Hybrid  Aligned  Nema:c  (HAN)  

Introduc:on  –  tV  plots  

•  If  we  apply  a  voltage  pulse  of  V  volts  for  τ  milliseconds  we  can  switch  between  the  two  states.      

12  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

•  These  plots  are  known  as  τV  plots  and  are  used  to  op:mise  the  device.        

Ver:cal  to  HAN    HAN  to  Ver:cal  

A  simplified  model  

•  Our  model  simplifies  the  complicated  2d  structure  and  mimics  the  bistable  surface  with  a  surface  energy  which  has  two  stable  states.    

13  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

A  simplified  model  

• We  now  have  an  evolving  1d  distor:on  structure.    

•  The  director  and  electric  field  are  func:ons  of  the  distance  through  the  device  and  :me.    

14  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Solving  Maxwell’s  equa:ons  

The  electric  field  must  sa:sfy  Maxwell’s  equa:ons  

The  first  of  these  introduces  the  electric  poten:al  U(z,t)    

and  the  second,  with  an  appropriate  cons:tuta:ve  equa:on,  leads  to,      

15  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Solving  Maxwell’s  equa:ons  

The  first  term  is  the  due  to  the  dielectric  effect  and  it  is  simply  the  orienta:on  of  the  director  that  enters  this  term    

the  second  is  from  the  flexoelectric  effect  where  gradients  of  the  director  orienta:on  are  important.  

This  equa:on  can  be  solved  to  give,  

where,  

16  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Director  angle  equa:on  

The  director  angle  θ(z,t)  is  governed  by  the  equa:on,  

where  the  leg  hand  side  term  derives  from  the  dissipa:on  due  to  rota:on  of  the  director,  

the  K  terms  are  due  to  elas:city  

the  E13  term  is  due  to  flexoelectricity  the  Δε  term  is  due  to  the  dielectric  effect  

17  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Boundary  condi:ons  

At  the  upper  surface  (z=d)  the  director  is  (usually)  assumed  to  be  fixed,  

whereas  on  the  lower  surface  (z=0)  the  director  angle  obeys,  

where  the  leg  hand  side  term  derives  from  the  dissipa:on  at  the  surface,    

the  K  terms  are  from  elas:c  torques  

the  E13  term  is  due  to  flexoelectricity  the  W0  term  is  due  to  the  bistable  anchoring  (                                  and                          have  the  same  energy)    

18  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Constant  field  approxima:on  

We  first  remove  the  nonlocal  effect  of  the  electric  field  and  consider  a  simpler  set  of  equa:ons  

where  E  is  now  a  constant  electric  field  value.  

The  flexoelectric  term  in  the  boundary  condi:on  at  z=0  is  simply  modifying  the  surface  poten:al.    

If  E>0  this  term  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2.  

19  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Constant  field  approxima:on  

We  now  nondimensionalise  and  rescale,  

20  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Constant  field  approxima:on  

…leading  to  the  following  equa:ons  

We  can  consider  the  linear  stability  of  the  ver:cal  solu:on  u=π/2  and  find  constraints  on  the  stability  which  depend  on  the  flexoelectric  parameter.    

Perhaps  more  interes:ng  is  an  analysis  of  the  sta:onary  problem    

21  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Constant  field  approxima:on  

We  want  to  inves:gate  the  solu:on  structure  as  we  vary  the  electric  field  parameter  η.    

To  do  this  we  remove  the  field  dependence  in  the  interior  equa:on  using    

so  that    

22  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Constant  field  approxima:on  

For  σ=+1  we  consider  the  phase  plane  defined  by      

and  the  intersec:on  of  the  ini:al  manifold  

with  the  isochrone                  which  is  defined  by  the  set  of  points  

which  sa:sfy  

where                                                                              is  the  first  integral  of  the  pendulum  equa:on  above.  

23  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Constant  field  approxima:on,                              ,          ……..    

24  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

(If  E>0  flexo  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2)  

Constant  field  approxima:on,                              ,          ……..    

25  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

(If  E>0  flexo  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2)  

Constant  field  approxima:on,                              ,          ……..    

26  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

(If  E>0  flexo  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2)  

Constant  field  approxima:on,  ………                                

27  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

For  sufficiently  large  β  and  κ    

(If  E>0  flexo  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2)  

Nonlocal  and  dynamic  effects  

We  now  numerically  solve  the  full  equa:ons,  

where,  

with                                                on          on  z=d  

and                                on  z=0  

28  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Nonlocal  and  dynamic  effects  

29  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

A  more  realis:c  voltage  profile  is  a  bipolar  pulse    

Nonlocal  and  dynamic  effects  

30  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

If  we  apply  such  a  pulse  we  obtain  a  more  complicated  τV  diagram  

Since  Δε<0  we  would  assume  that  Ver:cal  to  HAN  switching  is  easier.    However,  if  V<0  flexo  pushes  towards  HAN  and  if  V>0  towards  Ver:cal    

Nonlocal  and  dynamic  effects  

31  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Consider  four  different  voltage  values,  for  long  pulse  :mes,  and  look  at  the  director  profiles  at  points  A,  B,  C,  D  during  the  applica:on  of  the  voltage.  

Nonlocal  and  dynamic  effects  

Start  in  the  HAN  state  and  apply  pulse  

Δε<0  pushes  bulk  to  θ=0.    

for  V<0  flexo  pushes  to  θ(0)=0    

for  V>0  flexo  pushes  to  θ(0)=π/2    

32  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

black  red  

green  

blue  

 nega:ve  V  on                              posi:ve  V  on                

H-­‐>V  

H-­‐>V  

Nonlocal  and  dynamic  effects  

Start  in  the  Ver6cal  state  and  apply  pulse  

Δε<0  pushes  bulk  to  θ=0.    

for  V<0  flexo  pushes  to  θ(0)=0    

for  V>0  flexo  pushes  to  θ(0)=π/2    

33  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

black  red  

green  

blue  

 nega:ve  V  on                              posi:ve  V  on                

V-­‐>H  

The  high  voltage  anomaly  

We  would  expect  the  80V  case  to  behave  as  the  50V  case.    

We  think  the  difference  at  z=d  affects  the  field  at  z=0  through  the  nonlocal  terms  

34  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

black  red  

green  

blue  

 nega:ve  V  on                              posi:ve  V  on                

H-­‐>V  V-­‐>H  

H-­‐>V  

Nonlocal  and  dynamic  effects  

35  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

The  nonlocal  region  can  be  significant  when  elas:city  increases  

or  when  anchoring  at  z=d  decreases  

Nonlocal  and  dynamic  effects  

36  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

Including  flow  can  lead  to  overlaps  (slower  transients)  and  gaps  (other  solu:ons)      

Summary  

37  3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde  

•  Liquid  crystal  devices  offer  a  rich  source  of  interes:ng  (mathema:cal  and  technological)  problems.    

• Most  of  these  stem  from  the  boundary  condi:ons…      

surface  dissipa:on  nonlocal  terms  

bistability  elas:c  torques