nonlinear aerodynamic corrections to blade element momentum modul

7/28/2019 Nonlinear Aerodynamic Corrections to Blade Element Momentum Modul

1/56

Utah State University

DigitalCommons@USU

All Graduate Reports and Creative Projects Graduate Studies, School of

9-1-2011

Nonlinear Aerodynamic Corrections to BladeElement Momentum Modul with Validation

ExperimentsRobert S. MerrillUtah State University

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N O N L I N E A R A E R O D Y N A M I C C O R R E C T I O N S T O B L A D E E L E M E N T

M O M E N T U M M O D E L W I T H V A L I D A T I O N E X P E R I M E N T S

b y

R o b e r t S . M e r r i l l

A r e p o r t s u b m i t t e d i n p a r t i a l f u l l l m e n t

o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e

o f

M A S T E R O F S C I E N C E

i n

A e r o s p a c e E n g i n e e r i n g

A p p r o v e d :

D r . S t e p h e n W h i t m o r e D r . W a r r e n P h i l l i p s

M a j o r P r o f e s s o r C o m m i t t e e M e m b e r

D r . B a r t o n S m i t h

C o m m i t t e e M e m b e r

U T A H S T A T E U N I V E R S I T Y

L o g a n , U t a h

2 0 1 1


3/56

i i

C o p y r i g h t

c R o b e r t S . M e r r i l l 2 0 1 1

A l l R i g h t s R e s e r v e d


4/56

i i i

A b s t r a c t

N o n l i n e a r A e r o d y n a m i c C o r r e c t i o n s t o B l a d e E l e m e n t M o m e n t u m M o d e l w i t h V a l i d a t i o n

E x p e r i m e n t s

b y

R o b e r t S . M e r r i l l , M a s t e r o f S c i e n c e

U t a h S t a t e U n i v e r s i t y , 2 0 1 1

M a j o r P r o f e s s o r : D r . S t e p h e n W h i t m o r e

D e p a r t m e n t : M e c h a n i c a l a n d A e r o s p a c e E n g i n e e r i n g

B l a d e e l e m e n t m o m e n t u m t h e o r y i s w e l l s u i t e d f o r p r o p e l l e r a n a l y s i s d u r i n g t h e e a r l y

s t a g e s o f d e s i g n . T h e a n a l y t i c b l a d e e l e m e n t m o m e n t u m m o d e l i s p r e s e n t e d a l o n g w i t h

a p r o p o s e d n o n l i n e a r i m p r o v e m e n t . T h e a n a l y t i c a l m o d e l m a k e s s m a l l a n g l e a s s u m p t i o n s

w h i c h a r e k n o w n t o b e i n a c c u r a t e u n d e r s o m e c o n d i t i o n s . T h e n o n l i n e a r m o d e l a v o i d s t h e s e

a s s u m p t i o n s . T h e r e s u l t s o f t h e a n a l y t i c a l a n d n o n l i n e a r m o d e l s a r e c o m p a r e d a g a i n s t e a c h

o t h e r . T h e d i e r e n c e s b e t w e e n t h e s e a r e m o s t p r e v a l e n t o n l o w e r p i t c h p r o p e l l e r s a t h i g h

a d v a n c e r a t i o s . A w i n d t u n n e l v a l i d a t i o n t e s t i s o u t l i n e d . R e s u l t s o f t h e v a l i d a t i o n t e s t a n d

o t h e r p u b l i s h e d d a t a f r o m t h e U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s a t U r b a n a - C h a m p a i g n a r e c o m p a r e d t o

t h e a n a l y t i c a l a n d n o n l i n e a r b l a d e e l e m e n t m o d e l s . T h e t e s t d a t a m a t c h e s t h e n o n l i n e a r

d a t a w i t h r e a s o n a b l e a c c u r a c y a t h i g h a d v a n c e r a t i o s .

( 5 4 p a g e s )
http://-/?-


5/56

i v

P u b l i c A b s t r a c t

N o n l i n e a r A e r o d y n a m i c C o r r e c t i o n s t o B l a d e E l e m e n t M o m e n t u m M o d e l w i t h V a l i d a t i o n

E x p e r i m e n t s

b y

R o b e r t S . M e r r i l l , M a s t e r o f S c i e n c e

U t a h S t a t e U n i v e r s i t y , 2 0 1 1

M a j o r P r o f e s s o r : D r . S t e p h e n W h i t m o r e

D e p a r t m e n t : M e c h a n i c a l a n d A e r o s p a c e E n g i n e e r i n g

M a n y d i e r e n t m a t h e m a t i c a l m o d e l s h a v e p r o v e d t o e s t i m a t e p r o p e l l e r p e r f o r m a n c e . T h i s

s t u d y l o o k s a t a c o m m o n m e t h o d c a l l e d b l a d e e l e m e n t m o m e n t u m t h e o r y . S o m e i n a c c u r a t e

a s s u m p t i o n s a r e m a d e t o c o m p l e t e t h e c a l c u l a t i o n s . A p r o p o s e d m o d e l w i t h o u t t h e s e a s -

s u m p t i o n s i s p r e s e n t e d . P r o p e l l e r p e r f o r m a n c e i s t e s t e d i n a w i n d t u n n e l a n d c o m p a r e d t o

t h e p r e d i c t i o n s m a d e b y b o t h m o d e l s . P u b l i s h e d t e s t d a t a i s a l s o c o m p a r e d t o b o t h m o d e l s .

T h e t e s t d a t a m a t c h e s t h e p r o p o s e d m o d e l w i t h r e a s o n a b l e a c c u r a c y .

( 5 4 p a g e s )
http://-/?-


6/56

v

A c k n o w l e d g m e n t s

I w o u l d l i k e t o a c k n o w l e d g e t h e h e l p a n d s u p p o r t I r e c e i v e d f r o m m y g r a d u a t e c o m m i t -

t e e b y s u p p l y i n g m e w i t h t h e k n o w l e d g e t h a t I n e e d e d t o c o m p l e t e t h i s w o r k . I t w a s s u c h

a n h o n o r t o w o r k w i t h e a c h o f t h e m . I w o u l d e s p e c i a l l y l i k e t o t h a n k D r . W h i t m o r e f o r

a l l o w i n g m e t o c o m p l e t e t h i s w o r k u n d e r h i s g u i d a n c e a n d f o r h i s p a t i e n c e .

I w o u l d l i k e t o t h a n k f e l l o w s t u d e n t s , C a s e y T a l b o t a n d S h a n n o n E i l e r s , w h o s p a r e d

t h e i r o w n t i m e i n h e l p i n g m e t h r o u g h t h e c o u r s e o f t h i s r e s e a r c h .

M o s t i m p o r t a n t l y , I w o u l d l i k e t o t h a n k m y w i f e J e n f o r s u p p o r t i n g m e i n e v e r y i m a g -

i n a b l e w a y . T h i s w o r k w o u l d n o t h a v e b e e n p o s s i b l e w i t h o u t h e r h e l p .


7/56

v i

C o n t e n t s

P a g e

A b s t r a c t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i i

P u b l i c A b s t r a c t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i v

A c k n o w l e d g m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

L i s t o f T a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v i i

L i s t o f F i g u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v i i i

N o m e n c l a t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i x

I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B a c k g r o u n d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

B l a d e E l e m e n t M o m e n t u m T h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

B l a d e E l e m e n t T h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

M o m e n t u m T h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

A n a l y t i c a l B E M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

N o n l i n e a r B E M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

P r o g r a m m i n g I m p l e m e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

A n a l y t i c a l a n d N o n l i n e a r C o m p a r i s o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

E x p e r i m e n t a l P r o c e d u r e s a n d C o n s i d e r a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

A i r s p e e d M e a s u r e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

T h r u s t M e a s u r e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

P o w e r M e a s u r e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

D a t a A c q u i s i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

T e s t P r o c e d u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

D a t a R e d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

U n c e r t a i n t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

R e s u l t s a n d C o m p a r i s o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

R e f e r e n c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

A p p e n d i x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

A p p e n d i x A : M a n u f a c t u r e r S u p p l i e d D a t a F i l e s f o r A P C 8 x 8 a n d 1 1 x 5 . 5 T h i n

E l e c t r i c P r o p e l l e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

A p p e n d i x B : A n a l y s i s C o d e W r i t t e n i n J a v a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


8/56

v i i

L i s t o f T a b l e s

T a b l e P a g e

1 L i s t o f T r a n s d u c e r s a n d T h e i r R e s p e c t i v e F u n c t i o n a n d S p e c i c a t i o n s . . . . . 1 9

2 A e r o d y n a m i c C o n s t a n t s U s e d i n t h e B E M C o d e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
http://-/?-http://-/?-


9/56

v i i i

L i s t o f F i g u r e s

F i g u r e P a g e

1 I l l u s t r a t i o n o f p r o p e l l e r p i t c h a n d i t s e e c t o n t h e a n g l e o f a t t a c k . . . . . . . . 3

2 I l l u s t r a t i o n o f p r o p e l l e r p i t c h l e n g t h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 V e l o c i t i e s e x p e r i e n c e d b y a b l a d e e l e m e n t a n d t h e i r e e c t o n t h e a n g l e o f a t t a c k . 5

4 S t r e a m t u b e e n c o m p a s s i n g c o n c e n t r i c s t r e a m s u r f a c e s . . . . . . . . . . . . . . 8

5 V e l o c i t i e s a n d p r e s s u r e a l o n g t h e s l i p s t r e a m o f t h e p r o p e l l e r . . . . . . . . . . 8

6 U s e r i n t e r f a c e o f t h e B E M c o d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

7 C o m p a r i s o n o f t h r u s t c o e c i e n t s b e t w e e n a n a l y t i c a l a n d n o n l i n e a r B E M m o d -

e l s f o r p r o p e l l e r s w i t h d i e r e n t p i t c h l e n g t h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

8 C o m p a r i s o n o f p o w e r c o e c i e n t s b e t w e e n a n a l y t i c a l a n d n o n l i n e a r B E M m o d -

e l s f o r p r o p e l l e r s w i t h d i e r e n t p i t c h l e n g t h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

9 P h o t o o f p r o p e l l e r i n s t a l l a t i o n , p i v o t a r m a n d l o a d c e l l c o n g u r a t i o n . . . . . . 1 8

1 0 B l o c k d i a g r a m o f m e c h a n i c a l m e a s u r e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

1 1 I n s i t u c a l i b r a t i o n o f l o a d c e l l u s i n g c a l i b r a t e d w e i g h t s . . . . . . . . . . . . . . 2 0

1 2 A v e r a g e d w a k e p r o l e s h i g h l i g h t i n g s o u r c e s o f w a k e s u r v e y s h o r t c o m i n g s . . . 2 5

1 3 C o m p a r i s o n o f l o a d c e l l d e r i v e d t h r u s t a n d p o w e r c o e c i e n t s t o B E M m o d e l s

( A P C 8 x 8 T h i n E l e c t r i c p r o p e l l e r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

1 4 A n g l e o f a t t a c k a t e a c h b l a d e e l e m e n t a t a d v a n c e r a t i o s J = 0 a n d J = 0.45( A P C 8 x 8 T h i n E l e c t r i c p r o p e l l e r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

1 5 C o m p a r i s o n o f t h r u s t a n d p o w e r c o e c i e n t s ( U I U C d a t a ) t o B E M m o d e l s

( A P C 1 1 x 5 . 5 T h i n E l e c t r i c p r o p e l l e r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


10/56

i x

N o m e n c l a t u r e

c C h o r d l e n g t h o f b l a d e , c m ( i n )

CD D r a g c o e c i e n t

CD0 P a r a s i t i c d r a g c o e c i e n t

CD,L D r a g c o e c i e n t c o n t r i b u t i o n p r o p o r t i o n a l t o l i f t

CD,L2 D r a g c o e c e n t c o n t r i b u t i o n p r o p o r t i o n a l t o l i f t s q u a r e d

CL L i f t c o e c i e n t

CL0 L i f t c o e c i e n t a t z e r o a n g l e o f a t t a c k

CL, L i f t s l o p e

CP P o w e r c o e c i e n t

CT T h r u s t c o e c i e n t

dCP D i e r e n t i a l p o w e r c o e c i e n t

dCT D i e r e n t i a l t h r u s t c o e c i e n t

dQ D i e r e n t i a l t o r q u e , N ( l b f )

dr D i e r e n t i a l r a d i u s o f b l a d e , c m ( i n )

dT D i e r e n t i a l t h r u s t , N ( l b f )

dx D i e r e n t i a l n o n d i m e n s i o n a l r a d i u s o f b l a d e

E S u p p l i e d m o t o r v o l t a g e , v o l t s

I S u p p l i e d m o t o r c u r r e n t , a m p s

I0 N o - l o a d c u r r e n t , a m p s

J A d v a n c e r a t i o

Ji

N o n d i m e n s i o n a l i n d u c e d v e l o c i t y

m M a s s o w r a t e , k g / s e c ( s l u g / s e c )

N N u m b e r o f b l a d e s i n p r o p e l l e r

P P o w e r , w a t t s

p P r e s s u r e b e f o r e p r o p e l l e r d i s k , P a ( p s i )

p F r e e s t r e a m a t m o s p h e r i c p r e s s u r e , P a ( p s i )


11/56

x

Q P r o p e l l e r t o r q u e , N - m ( f t - l b f )

r R a d i a l l o c a t i o n a l o n g p r o p e l l e r b l a d e , c m ( i n )

R T i p r a d i u s o f b l a d e , c m ( i n )

Ra A r m a t u r e r e s i s t a n c e , o h m s

Rw I n t e g r a t i o n l i m i t o f t h e w a k e d e f e c t , c m ( i n )

St W i n d t u n n e l t e s t s e c t i o n c r o s s s e c t i o n a l a r e a , m 2

( f t

2

)

T P r o p e l l e r t h r u s t , N ( l b f )

UI S t a n d a r d u n c e r t a i n t y o f c u r r e n t m e a s u r e m e n t , a m p s

UI0 S t a n d a r d u n c e r t a i n t y o f n o - l o a d c u r r e n t , a m p s

UP S t a n d a r d u n c e r t a i n t y o f p o w e r m e a s u r e m e n t , w a t t s

URa S t a n d a r d u n c e r t a i n t y o f a r m a t u r e r e s i s t a n c e , o h m s

Ve S t r e a m t u b e e x i t v e l o c i t y , m / s e c ( f t / s e c )

Vi I n d u c e d v e l o c i t y , m / s e c ( f t / s e c )

V F r e e s t r e a m v e l o c i t y p a r a l l e l t o p r o p e l l e r a x i s , m / s e c ( f t / s e c )

V

C o r r e c t e d f r e e s t r e a m v e l o c i t y

V(r) V e l o c i t y a t r a d i a l l o c a t i o n r , m / s e c ( f t / s e c )

x N o n d i m e n s i o n a l b l a d e r a d i u s

xrN o n d i m e n s i o n a l b l a d e r o o t l o c a t i o n

xt N o n d i m e n s i o n a l b l a d e t i p l o c a t i o n

A n g l e o f a t t a c k , d e g .

i I n d u c e d a n g l e o f a t t a c k , d e g .

P r o p e l l e r b l a d e p i t c h a n g l e , d e g .

p P r e s s u r e j u m p a c r o s s p r o p e l l e r d i s k , P a ( p s i )

R a t i o o f p r o p e l l e r d i s k a r e a t o t u n n e l a r e a

P r o p e l l e r p i t c h l e n g t h , c m ( i n )

A d v a n c e a n g l e , d e g .

A i r d e n s i t y , k g / m 2 ( s l u g / f t 2 )

N o n d i m e n s i o n a l t h r u s t u s e d f o r v e l o c t i y c o r r e c t i o n

C i r c u m f e r e n t i a l l o c a t i o n a r o u n d t h e p r o p e l l e r a x i s

R o t a t i o n r a t e o f p r o p e l l e r , r a d / s e c


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1

I n t r o d u c t i o n

P r e d i c t i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f h i g h s p e e d r o t a t i n g o w e l d s , b e c a u s e o f t h e i n h e r e n t l y

u n s t e a d y o w p r o p e r t i e s , i s o n e o f t h e m o s t c o m p l e x a n a l y t i c a l p r o b l e m s i n m o d e r n u i d

m e c h a n i c s . A d v a n c e s i n c o m p u t e r e x e c u t i o n s p e e d , m e m o r y c a p a c i t y a n d u s e r i n t e r a c t i v i t y

h a v e a l l o w e d n u m e r i c a l t e c h n i q u e s i n c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s ( C F D ) t o g r o w r a p i d l y

i n t h e l a s t d e c a d e . U n f o r t u n a t e l y , e v e n w i t h t h e g r o w i n g c a p a b i l i t i e s o f C F D , s o l u t i o n s

f o r r o t a t i n g p r o p e l l e r s a n d t u r b i n e b l a d e s a r e v e r y d i c u l t t o a c h i e v e . G e n e r a t i n g C F D

g r i d s t h a t a l l o w f o r a c c u r a t e , c o n v e r g e d s o l u t i o n s i s a n e x t r e m e l y d i c u l t p r o b l e m . S m a l l

c h a n g e s i n t h e g r i d l a y o u t o r b o u n d a r y c o n d i t i o n s c a n d r a m a t i c a l l y e e c t t h e e n d r e s u l t s .

T h u s , t h e s h e e r c o s t , v o l u m e o f l a b o r r e q u i r e d f o r g r i d g e n e r a t i o n a n d l o n g c o m p u t a t i o n a l

t i m e s p r e c l u d e t h e u s e o f C F D d u r i n g t h e e a r l y d e s i g n s t a g e s o f i g h t v e h i c l e s t h a t i n c l u d e

p r o p e l l e r s y s t e m s .

F o r c o n c e p t u a l d e s i g n , l o w - o r d e r e n g i n e e r i n g c o d e s a r e s t i l l t h e p r e f e r r e d m e t h o d f o r

d e s i g n e r s . E n g i n e e r i n g c o d e s a r e p o w e r f u l t o o l s w h e n a p p l i e d i n t h e c o n c e p t u a l d e s i g n s t a g e .

T h e i r u s e i n t h e e a r l y s t a g e s o f d e s i g n e n a b l e s h i g h e r d e l i t y C F D c a l c u l a t i o n s o r w i n d t u n n e l

t e s t s t o b e p e r f o r m e d o n m o r e m a t u r e v e h i c l e c o n c e p t s a n d c a n t r i m m a n y m o n t h s o t h e

d e s i g n p r o c e s s . T r a d i t i o n a l l y , o n e o f t h e f o l l o w i n g l o w - o r d e r e n g i n e e r i n g d e s i g n m e t h o d s

h a v e b e e n u s e d t o c a l c u l a t e t h e s t e a d y s t a t e o w p r o p e r t i e s b e h i n d r o t a t i n g p r o p e l l e r s a n d

t u r b i n e b l a d e s . T h e s e a r e m o m e n t u m t h e o r y , G o l d s t e i n ' s v o r t e x t h e o r y a n d b l a d e e l e m e n t

t h e o r y . O f t e n m o m e n t u m t h e o r y i s c o m b i n e d w i t h b l a d e e l e m e n t t h e o r y t o p r o d u c e a s i n g l e

l o w - o r d e r p r e d i c t i o n t o o l r e f e r r e d t o a s t h e c o m b i n e d b l a d e e l e m e n t m o m e n t u m ( B E M )

t h e o r y .

G o l d s t e i n [ 1 ] d e v e l o p e d a p o t e n t i a l o w v o r t e x t h e o r y f o r p r o p e l l e r s w i t h a n i t e n u m b e r

o f p r o p e l l e r s i n a x i a l o w . F o r m o d e r a t e i n o w c o n d i t i o n s , v o r t e x t h e o r y h a s s u c c e s s f u l l y

b e e n u s e d t o d e r i v e t h e p e r f o r m a n c e o f p r o p e l l e r s a n d w i n d t u r b i n e s [ 2 ] . I n t h e m o d e l , t h e

w a k e i s c o n s i d e r e d t o b e a h e l i c a l v o r t e x s h e e t t r a i l i n g t h e p r o p e l l e r a t a c o n s t a n t p i t c h .
http://-/?-http://-/?-


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2

G o l d s t e i n s o l v e s t h e p r o b l e m o f i n t e r - m e s h e d h e l i c a l s u r f a c e s o f i n n i t e a x i a l e x t e n s i o n a n d

n i t e r a d i u s . T h e s o l u t i o n t a k e s t h e f o r m o f a t i p l o a d i n g f a c t o r , a f u n c t i o n o f t h e i n o w ,

t h e n u m b e r o f b l a d e s a n d t h e r a d i a l b l a d e s t a t i o n [ 3 ] .

T h e s i n g l e b i g g e s t d r a w b a c k o f G o l d s t e i n ' s m e t h o d i s t h e r e q u i r e m e n t o f p r e c i s e k n o w l -

e d g e o f t h e b l a d e g e o m e t r y i n c l u d i n g t h e c h o r d p r o l e a n d b l a d e t w i s t p r o l e . G o l d s t e i n ' s

v o r t e x t h e o r y , e s p e c i a l l y f o r s c r e w p r o p e l l e r s i s v e r y s e n s i t i v e t o e r r o r s i n t h e i n p u t g e o m e t r y .

C o n s e q u e n t l y , i t i s u n c l e a r w h e t h e r v o r t e x t h e o r y m o d e l i n g e r r o r r e p o r t e d i n t e c h n i c a l l i t e r -

a t u r e i s a r e s u l t o f e r r o r i n t h e g e o m e t r i c m o d e l o f t h e p r o p e l l e r , e r r o r i n t h e a i r f o i l s e c t i o n

a e r o d y n a m i c p e r f o r m a n c e m o d e l i n g o r e r r o r s i n t h e a s s u m p t i o n s a s s o c i a t e d w i t h G o l d s t e i n ' s

v o r t e x t h e o r y .

W h i l e t h e v o r t e x t h e o r y r e p r e s e n t s a n i m p o r t a n t t o o l f o r a n a l y s i s , t h e g e o m e t r y s e n s i -

t i v i t y m a k e s a d i c u l t t o o l t o u s e f o r i n i t i a l d e s i g n . T h i s p r o c e s s c a n b e q u i t e c u m b e r s o m e

w h e n a d e s i g n e r d e s i r e s t o e m b a r k w i t h o u t a p r e c o n c e i v e d g e o m e t r y . A s a n a l t e r n a t i v e , t h i s

r e s e a r c h i n v e s t i g a t e s t h e B E M t h e o r y a n d i n t r o d u c e s s e v e r a l m o d i c a t i o n s t o e n h a n c e t h e

p r e d i c t i v e a c c u r a c y o f t h e m o d e l . M o m e n t u m t h e o r y p r o v i d e s a s i m p l e m o m e n t u m a n a l y s i s

a c r o s s t h e p r o p e l l e r d i s k . I t g i v e s a g e n e r a l d e s c r i p t i o n o f t h e o w t h r o u g h t h e p r o p e l l e r .

B l a d e e l e m e n t t h e o r y d i s c r e t i z e s a p r o p e l l e r b l a d e a n d e a c h e l e m e n t i s a n a l y z e d i n d i v i d u a l l y .

H o w e v e r , b l a d e e l e m e n t t h e o r y a l o n e l a c k s t h e a b i l i t y o f p r e d i c t i n g t h e p r o p e l l e r i n d u c e d

v e l o c i t y n e e d e d t o c o m p l e t e t h e o w e l d d e s c r i p t i o n . T h e B E M t h e o r y u s e s c o n c e p t s o f

m o m e n t u m t h e o r y t o c o m p l e t e t h e b l a d e e l e m e n t m o d e l .

T h e t r a d i t i o n a l m e t h o d p r e s e n t e d b y M c C o r m i c k [ 4 ] i n c l u d e s s m a l l a n g l e a s s u m p t i o n s

t o o b t a i n a n a n a l y t i c a l s o l u t i o n t o t h e B E M e q u a t i o n s . T h e s e a s s u m p t i o n s a r e k n o w n t o b e

i n a c c u r a t e , e s p e c i a l l y f o r l o w a d v a n c e r a t i o s a n d h i g h a d v a n c e a n g l e s . T h i s p a p e r p r e s e n t s

a n o n l i n e a r s o l u t i o n m e t h o d t h a t a v o i d s t h e s e i n a c c u r a t e s m a l l a n g l e a s s u m p t i o n s a n d a s

s u c h p r o v i d e s a n e n h a n c e m e n t t o t h e w e l l k n o w n B E M m o d e l . T h i s p a p e r c o m p a r e s t h e t w o

B E M s o l u t i o n m e t h o d s t o e a c h o t h e r a n d t o t e s t d a t a c o l l e c t e d f r o m p r o p e l l e r s s i z e d 8 x 8

a n d 1 1 x 5 . 5 .
http://-/?-http://-/?-


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3

F i g . 1 : I l l u s t r a t i o n o f p r o p e l l e r p i t c h a n d i t s

e e c t o n t h e a n g l e o f a t t a c k .

F i g . 2 : I l l u s t r a t i o n o f p r o p e l l e r p i t c h

l e n g t h .

B a c k g r o u n d

P r o p e l l e r s a d d m o m e n t u m t o t h e s u r r o u n d i n g u i d t o p r o p e l a n o b j e c t t h r o u g h t h e

u i d . E a r l y a i r p l a n e p r o p e l l e r s w e r e k n o w n a s a i r s c r e w s a n d a c t a p p r o p r i a t e l y . A p r o p e l l e r

f o r c e s u i d i n o n e d i r e c t i o n , p u s h i n g i t s e l f i n t h e o t h e r . I t c a n a l s o b e t h o u g h t o f a r o t a t i n g

w i n g s u c h t h a t t h e e x p e r i e n c e d v e l o c i t y i s t h e v e c t o r s u m o f t h e r o t a t i o n a l v e l o c i t y a n d t h e

f o r w a r d v e l o c i t y . A s a p r o p e l l e r s p i n s i n a i r , i t e x p e r i e n c e s a d r a g r e s i s t a n c e t o t h e r o t a t i o n a l

m o t i o n . T h e s h a f t p o w e r r e q u i r e d t o o v e r c o m e d r a g a n d k e e p t h e p r o p e l l e r s p i n n i n g a t a

c o n s t a n t r o t a t i o n a l r a t e i s k n o w n a s t h e b r a k i n g p o w e r . T h e s h a p e o f t h e p r o p e l l e r b l a d e

d e t e r m i n e s i t s e e c t i v e n e s s a t p r o d u c i n g t h r u s t . P r o p e l l e r b l a d e s a r e i n c l i n e d t o t h e o w

t o a l l o w b e t t e r a i r c a p t u r e a n d g r e a t e r m e c h a n i c a l e c i e n c y . T h i s i n c l i n a t i o n i s r e f e r r e d t o

a s p i t c h . F i g u r e 1 s h o w s h o w t h e p i t c h a n g l e i s o f t e n v a r i e d a l o n g t h e l e n g t h o f t h e b l a d e

t o k e e p t h e a n g l e o f a t t a c k m o r e c o n s t a n t . P i t c h i s m e a s u r e d a s t h e d i s t a n c e t h e p r o p e l l e r

w o u l d t r a v e l i n o n e r e v o l u t i o n t h r o u g h a s o l i d m e d i u m l i k e a s c r e w t h r o u g h w o o d . F i g u r e 2

s h o w s a n e x a m p l e o f p i t c h l e n g t h . T h e l o c a l p i t c h a n g l e i s e q u a l t o

= tan1

2r ( 1 )

w h e r e i s t h e p i t c h l e n g t h a n d r i s t h e l o c a l r a d i u s o f t h e b l a d e . O f t e n a p r o p e l l e r m a y n o t

h a v e t h e p i t c h p r o l e a s d e s c r i b e d i n E q . 1 . I n t h e s e c a s e s , t h e p i t c h i s m e a s u r e d b y t h e

p i t c h l e n g t h o r a n g l e a t 7 5 % o f t h e r a d i u s o f t h e b l a d e . P r o p e l l e r s i n t h i s s t u d y f o l l o w t h e

p r o l e o f E q . 1 . T y p i c a l l y , p e r f o r m a n c e o f a p r o p e l l e r i s q u o t e d a t a n o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


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4

k n o w n a s t h e a d v a n c e r a t i o . T h e a d v a n c e r a t i o i s t h e r a t i o o f t h e d i s t a n c e a p r o p e l l e r m o v e s

f o r w a r d i n t h e w o r k i n g u i d i n o n e r e v o l u t i o n t o t h e d i a m e t e r o f t h e p r o p e l l e r i t s e l f . T h e

a d v a n c e r a t i o i s e q u a l t o

J =V

R( 2 )

T h e r o o t o f t h e b l a d e i s d e n e d h e r e a s t h e i n n e r m o s t p o r t i o n o f t h e p r o p e l l e r t h a t i s

n o t i n t e n d e d t o p r o d u c e l i f t . T h e t i p o f t h e b l a d e i s t h e o u t e r m o s t p o r t i o n o f t h e b l a d e .

P r o p e l l e r s a r e s i z e d b y t h e i r d i a m e t e r a n d p i t c h q u o t e d i n i n c h e s . F o r e x a m p l e , a 1 0 x 5

p r o p e l l e r h a s a 2 5 . 4 c m ( 1 0 i n ) d i a m e t e r p r o p e l l e r w i t h a 1 2 . 7 c m ( 5 i n ) p i t c h l e n g t h . T h e

p r o p e l l e r n o m e n c l a t u r e g i v e s n o i n d i c a t i o n o f i t s p i t c h p r o l e .

P r o p e l l e r s a r e t h e m a i n m e t h o d o f p r o p u l s i o n f o r s m a l l U A V ' s a n d h o b b y r e m o t e c o n -

t r o l l e d a i r c r a f t . T h e y a r e c o m m o n l y p a i r e d w i t h e l e c t r i c D C m o t o r s . D i r e c t c u r r e n t m o t o r s

a r e e m p l o y e d i n t h i s s t u d y a s t h e m e a n s o f p r o v i d i n g t h e s h a f t p o w e r t o s p i n t h e p r o p e l l e r . A

D C m o t o r c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y i t s n o - l o a d c u r r e n t a n d a r m a t u r e r e s i s t a n c e . T h e n o - l o a d

c u r r e n t i s t h e c u r r e n t t h a t i s d r a w n f r o m a p o w e r s o u r c e w i t h o u t a n y t o r q u e o p p o s i n g t h e

m o t i o n o f t h e m o t o r . T h e t o r q u e o f a m o t o r i s p r o p o r t i o n a l t o t h e c u r r e n t t h a t i s b e i n g s u p -

p l i e d t o t h e m o t o r , t h u s a n y c u r r e n t d r a w n b y a m o t o r o v e r t h e n o - l o a d c u r r e n t c o n t r i b u t e s

d i r e c t l y t o t h e t o r q u e p r o d u c t i o n o f t h e m o t o r . T h e a r m a t u r e r e s i s t a n c e i s t h e e l e c t r i c a l

r e s i s t a n c e t h a t i s s e e n t h r o u g h t h e a r m a t u r e o f t h e m o t o r . T h e v o l t a g e b e i n g s u p p l i e d t o

t h e m o t o r i s p r o p o r t i o n a l t o t h e m o t o r s p e e d . T h e e x c e s s v o l t a g e a b o v e t h e v o l t a g e d r o p

d u e t o t h e a r m a t u r e r e s i s t a n c e c o n t r i b u t e s d i r e c t l y t o t h e s p e e d o f t h e m o t o r .


16/56

5

B l a d e E l e m e n t M o m e n t u m T h e o r y

B l a d e E l e m e n t T h e o r y

B l a d e e l e m e n t t h e o r y e s t i m a t e s t h e p e r f o r m a n c e o f p r o p e l l e r s b y a n a l y z i n g t h e a e r o d y -

n a m i c f o r c e s o n d i s c r e t e e l e m e n t s a l o n g t h e r a d i u s o f t h e b l a d e . A i r f o i l s e c t i o n p r o p e r t i e s a r e

u s e d t o n d t h e s e d i s c r e t e f o r c e s . T h e y a r e i n t e g r a t e d a l o n g t h e p r o p e l l e r t o e s t i m a t e a t o t a l

r e s u l t a n t t h r u s t f o r c e a n d o p p o s i n g t o r q u e . T h i s t o r q u e m u l t i p l i e d b y t h e a n g u l a r r o t a t i o n

r a t e i s t h e b r a k i n g p o w e r . T h e v e l o c i t y t h a t t h e b l a d e e l e m e n t s e x p e r i e n c e i s t h e v e c t o r

c o m b i n a t i o n o f t h e f r e e s t r e a m a x i a l v e l o c i t y , i n d u c e d v e l o c i t y a n d r o t a t i o n a l v e l o c i t y . T h e

i n d u c e d v e l o c i t y i s t h e i n c r e a s e d i n o w c r e a t e d b y t h e p r o p e l l e r . F i g u r e 3 s h o w s a p r o p e l l e r

b l a d e s e c t i o n . T h e l o c a l p i t c h a n g l e o f t h e b l a d e , , i s a f u n c t i o n o f t h e p i t c h l e n g t h a n d

t h e r a d i a l d i s t a n c e f r o m t h e a x i s . T h e a d v a n c e a n g l e , , i s t h e r e d u c t i o n i n a n g l e o f a t t a c k

t h a t r e s u l t s f r o m t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y a n d i s e q u a l t o

= tan1

V

r

( 3 )

T h e i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k i s t h e r e d u c t i o n o f t h e a n g l e o f a t t a c k d u e t o t h e i n d u c e d v e l o c i t y .

A s t h e f r e e s t r e a m a n d t h e i n d u c e d v e l o c i t i e s i n c r e a s e , t h e a n g l e o f a t t a c k d e c r e a s e s . T h e

n e t a n g l e o f a t t a c k i s e q u a l t o

= i ( 4 )

F i g . 3 : V e l o c i t i e s e x p e r i e n c e d b y a b l a d e e l e m e n t a n d t h e i r e e c t o n t h e a n g l e o f a t t a c k .
http://-/?-


17/56

6

T h e l i f t a n d d r a g c o e c i e n t s f o r a s i n g l e b l a d e e l e m e n t a r e t h e s a m e a s t h o s e o f a n

a i r f o i l c r o s s s e c t i o n a t t h e r e s u l t a n t a n g l e o f a t t a c k . T h e l i n e a r l i f t m o d e l a n d q u a d r a t i c

d r a g m o d e l a r e

CL = CL0 + CL,( i ) ( 5 )

CD = CD0 + CD,LCL + CD,L2C2

L ( 6 )

T h e s e m o d e l s p r e d i c t t h e t h r u s t a n d d r a g w e l l f o r m o d e r a t e a n g l e s o f a t t a c k . A t a n g l e s

o f a t t a c k a b o v e 1 0 - 1 5 d e g r e e s , t h e a i r f o i l b e c o m e s s t a l l e d a n d t h e s e m o d e l s a r e n o l o n g e r

a c c u r a t e . T h e t h r u s t a n d t o r q u e c o n t r i b u t i o n s o f e a c h e l e m e n t a r e

dT =1

2

V2

+ (r)2

(CL cos(i + ) CD sin(i + )) N c dr ( 7 )

dQ =1

2

V2

+ (r)2

(CL cos(i + ) CD sin(i + )) N c r dr ( 8 )

I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h e l i f t a n d d r a g c o e c i e n t s a r e n o n d i m e n s i o n a l i z e d w i t h r e s p e c t

t o t h e c o m b i n e d v e l o c i t y V2

+ 2r2 .

T h e t h r u s t c o e c i e n t i s d e n e d b y

CT =T

( 2

)2 (2R)4=

T

R4 42

2

( 9 )

T h e d i e r e n t i a l t h r u s t c o e c i e n t , f o u n d b y c o m b i n i n g E q . 7 a n d E q . 9 , i s

dCT =V2

+ (r)2

R4 42

2

(CL cos(i + ) CD sin(i + )) N cdr ( 1 0 )

a n d i n d i m e n s i o n l e s s f o r m

dCT =J2 + 2x2

8(CL cos(i + ) CD sin(i + )) dx ( 1 1 )

w h e r e
http://-/?-http://-/?-


18/56

7

x =r

R

=N c

R

T h e p o w e r c o e c i e n t i s d e n e d b y

CP =Q

( 2

)3 (2R)5=

Q

R5 43

3

( 1 2 )

T h e d i e r e n t i a l p o w e r c o e c i e n t , f o u n d b y c o m b i n i n g E q . 8 a n d E q . 1 2 , i s

dCP =V2

+ r22

R5 43

3

(CL sin(i + ) + CD cos(i + )) N c r dr ( 1 3 )

a n d i n d i m e n s i o n l e s s f o r m

dCP = J2 + 2x2

8(CL sin(i + ) + CD cos(i + )) x d x ( 1 4 )

D i e r e n t i a l t h r u s t a n d p o w e r a r e s o l v e d f o r a t e a c h b l a d e e l e m e n t . I n t e g r a t i n g t h e s e

d i e r e n t i a l s g i v e t h e t o t a l t h r u s t a n d p o w e r c o e c i e n t f o r t h e p r o p e l l e r .

CT =

xtxr

J2 + 2x2

8(CL cos(i + ) CD sin(i + )) dx ( 1 5 )

CP =

xtxr

J2 + 2x2


T h e i n t e g r a t i o n l i m i t s a r e f r o m t h e p r o p e l l e r r o o t t o t h e p r o p e l l e r t i p a n d w i l l b e d i s c u s s e d

i n m o r e d e t a i l i n t h e p r o g r a m m i n g i m p l e m e n t a t i o n s e c t i o n .

T h e r e q u i r e d p r o p e l l e r g e o m e t r y f o r t h e b l a d e e l e m e n t t h e o r y i s t h e d i a m e t e r , n u m b e r

o f b l a d e s , p i t c h a n d c h o r d v a r i a t i o n a l o n g t h e r a d i u s . T h e p r o p e l l e r b l a d e c r o s s s e c t i o n

i s r e q u i r e d t o s o l v e f o r t h e l i f t a n d d r a g c o e c i e n t s i n E q s . 5 a n d 6 . T h e l a s t p i e c e o f


19/56

8

F i g . 4 : S t r e a m t u b e e n c o m p a s s i n g c o n c e n t r i c s t r e a m s u r f a c e s .

F i g . 5 : V e l o c i t i e s a n d p r e s s u r e a l o n g t h e s l i p s t r e a m o f t h e p r o p e l l e r .

i n f o r m a t i o n r e q u i r e d f o r c l o s u r e o f t h e d i e r e n t i a l t h r u s t a n d p o w e r c o e c i e n t s i s t h e i n d u c e d

a n g l e o f a t t a c k o n e a c h e l e m e n t . T h e i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k i s o b t a i n e d b y m o m e n t u m

t h e o r y .

M o m e n t u m T h e o r y

M o m e n t u m t h e o r y u s e s a s i m p l e o w a n a l y s i s t o c a l c u l a t e t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n o f

a s l i p s t r e a m b y a n a l y z i n g t h e o w t h r o u g h a x i s - s y m m e t r i c d i e r e n t i a l s t r e a m t u b e s . T h e

d i e r e n t i a l s t r e a m t u b e i s m a d e o f s t r e a m s u r f a c e s w h i c h a r e c o m p r i s e d o f a l l s t r e a m l i n e s

t h a t o c c u p y a c o m m o n r a d i a l l o c a t i o n , t h u s t h e v e l o c i t y i s r a d i u s d e p e n d e n t . F i g u r e 4

s h o w s t h e c o n c e n t r i c s t r e a m s u r f a c e s . T h e o w i s a s s u m e d t o b e i n c o m p r e s s i b l e , i n v i s c i d

a n d i r r o t a t i o n a l , e v e n a c r o s s t h e p r o p e l l e r d i s k . M o m e n t u m i s b a l a n c e d f r o m f a r u p s t r e a m

o f t h e p r o p e l l e r t o f a r d o w n s t r e a m . T h e p r o p e l l e r i s t r e a t e d a s a n i n n i t e l y t h i n d i s k w i t h

a n a b r u p t p r e s s u r e i n c r e a s e a c r o s s i t . F i g u r e 5 s h o w s t h e t h e m o m e n t u m o w m o d e l . E a c h

s t r e a m s u r f a c e i n l e t s t a r t s a t t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y . T h e v e l o c i t y c o n t i n u o u s l y i n c r e a s e s
http://-/?-http://-/?-


20/56

9

a l o n g t h e s t r e a m s u r f a c e s a s i t p a s s e s t h r o u g h t h e p r o p e l l e r d i s k t o t h e e x i t o f t h e s t r e a m

t u b e . T h e p r e s s u r e d e c r e a s e s f r o m t h e f r e e s t r e a m c o n d i t i o n t o p j u s t b e f o r e t h e p r o p e l l e r

d i s k . T h e v e l o c i t y a t t h e p r o p e l l e r d i s k i s

V + Vi(r). T h e p r e s s u r e i n c r e a s e s b y

pa c r o s s

t h e p r o p e l l e r d i s k a n d d e c r e a s e s t o t h e f r e e s t r e a m c o n d i t i o n a t t h e e x i t . T h e v e l o c i t y a t

t h e e x i t o f t h e s t r e a m t u b e i n c r e a s e s t o Ve . B e r n o u l l i ' s e q u a t i o n i s a p p l i e d t o t h e s t r e a m

s u r f a c e f r o m t h e f r e e s t r e a m t o t h e p r o p e l l e r a n d f r o m t h e p r o p e l l e r t o t h e e x i t c o n d i t i o n s

w h i c h y i e l d s t h e f o l l o w i n g :

p +V2

2= p +

(V + Vi(r))2

2( 1 7 )

p + p + (V + Vi(r))

2

2= p +

V2e2

( 1 8 )

E q s . 1 7 a n d 1 8 a r e c o m b i n e d a n d t h e p r e s s u r e c h a n g e a c r o s s t h e p r o p e l l e r d i s k i s s o l v e d f o r

p =

V2e V2

2( 1 9 )

K n o w i n g t h e p r e s s u r e d i e r e n c e a c r o s s t h e p r o p e l l e r , a d i e r e n t i a l t h r u s t f r o m t h e p r o p e l l e r

i s f o u n d b y m u l t i p l y i n g i t b y t h e d i e r e n t i a l a r e a a t t h e p r o p e l l e r d i s k

dT =

V2e V2

rdr = (Ve V) (Ve + V) r dr ( 2 0 )

T h e d i e r e n t i a l t h r u s t c a n a l s o b e f o u n d b y a m o m e n t u m b a l a n c e t h r o u g h a s t r e a m

s u r f a c e . T h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e u p s t r e a m a n d d o w n s t r e a m m o m e n t u m i s t h a t w h i c h i s

a d d e d t o t h e o w b y t h e p r o p e l l e r . T h e m o m e n t u m b a l a n c e i s

dT + m(r)V = m(r)Ve ( 2 1 )

T h e d i e r e n t i a l m a s s o w t h r o u g h t h e s t r e a m s u r f a c e , c a l c u l a t e d a t t h e p r o p e l l e r d i s k , i s

m(r) = 2 (V + Vi(r)) r dr ( 2 2 )
http://-/?-http://-/?-


21/56

1 0

T h e m o m e n t u m b a l a n c e i n E q . 2 1 c a n t h e n b e w r i t t e n a s

dT = 2 (V + Vi(r)) (Ve

V) rdr ( 2 3 )

T h e d i e r e n t i a l t h r u s t , E q s . 2 0 a n d 2 3 , a r e e q u a t e d t o p r o d u c e t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n t h e f r e e s t r e a m , i n d u c e d a n d e x i t v e l o c i t i e s

Ve(r) = V + 2Vi(r) ( 2 4 )

U s i n g t h e e x i t v e l o c i t y i n E q . 2 3 g i v e s a d e n i t i o n o f t h e d i e r e n t i a l t h r u s t

dT = 4Vi(r) (V + Vi(r)) rdr ( 2 5 )

w h i c h c a n b e s o l v e d f o r t h e i n d u c e d v e l o c i t y . T h e i n d u c e d v e l o c i t y a t a r a d i a l l o c a t i o n i s

Vi(r) =

V2

4+

dT

4r dr V

2( 2 6 )

T h e p o s i t i v e r o o t i s k e p t m e a n i n g t h a t Vi(r) > 0 w h i c h i s e x p e c t e d w h e n t h r u s t i s p r o d u c e d

o p p o s i t e t h e d i r e c t i o n o f t h e f r e e s t r e a m . T h e n o n d i m e n s i o n a l i n d u c e d v e l o c i t y a t a l o c a t i o n

i s

Ji(r) =

J2

4+

1

x

dCT

dx J

2( 2 7 )

E q u a t i o n s 2 5 a n d 2 6 c a n b e c o m b i n e d t o g i v e a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h r u s t a n d p o w e r . I n

a n o n d i e r e n t i a l a n d n o n d i m e n s i o n a l i z e d f o r m , t h e i d e a l p o w e r c o e c i e n t i s

CP = CTJ2

+J2

4

+2CT

( 2 8 )

E q u a t i o n 2 8 i s c o n s i d e r e d t o b e a n i d e a l i z e d r e l a t i o n s h i p a n d i s t h e u p p e r l i m i t o f p r o p e l l e r

e c i e n c y .

M o m e n t u m t h e o r y h a s c o m e u n d e r h e a v y s c r u t i n y d u e t o i t s n e g l e c t o f o b v i o u s r o t a t i o n

[ 5 ] . A p r o p e l l e r h a s b e e n l i k e n e d t o a r o t a t i n g w i n g a n d a s s u c h , c r e a t e s a t r a i l i n g v o r t i c e s
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


22/56

1 1

a s t h e i n d i v i d u a l b l a d e e l e m e n t s c r e a t e l i f t . T h e v o r t i c e s t r a i l t h e p r o p e l l e r i n a h e l i c a l

f a s h i o n a b o u t t h e p r o p e l l e r a x i s a s i t m o v e s t h r o u g h t h e w o r k i n g u i d . T h e a c t u a l s o u r c e o f

t h e i n d u c e d v e l o c i t y i s f r o m t h i s h e l i c a l v o r t e x s y s t e m . T h e i n d u c e d o w a c t u a l l y o r i g i n a t e s

f r o m b e h i n d t h e p r o p e l l e r a s o p p o s e d t o i n f r o n t a s m o m e n t u m t h e o r y a s s u m e s . A s t h e f o c u s

o f t h i s p a p e r i s o n a n i m p r o v e m e n t o n c o m b i n e d b l a d e e l e m e n t a n d m o m e n t u m t h e o r y , t h e

s h o r t c o m i n g s o f m o m e n t u m t h e o r y a r e a c c e p t e d w h i l e w a r n i n g t h e r e a d e r o f i t s d e c i e n c i e s .

A n a l y t i c a l B E M

T h e m o m e n t u m a n a l y s i s p r o v i d e s t h e n e c e s s a r y o w i n f o r m a t i o n f o r t h e b l a d e e l e m e n t

t h e o r y t o c a l c u l a t e t h r u s t a n d p o w e r . T h e i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k f r o m F i g u r e 3 i s

i = tan1

Vi(r)

V2

+ (r)2

( 2 9 )

a n d d e n e d i n n o n d i m e n s i o n a l t e r m s

i = tan1

Ji(r)

J2 + 2x2

( 3 0 )

M c C o r m i c k a s s u m e s t h e t h r u s t i s m u c h g r e a t e r t h a n t h e d r a g s u c h t h a t i t h a s l i t t l e e e c t

o n t h e i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k , i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k i s s m a l l a n d t h e a d v a n c e a n g l e i s

s m a l l . T h e d i e r e n t i a l t h r u s t o n a b l a d e e l e m e n t , E q . 7 , t h e n b e c o m e s

dT =1

2

V2

+ (r)2

CLN cdr ( 3 1 )

S m a l l a n g l e a p p r o x i m a t i o n o f t h e i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k , E q . 2 9 p r o d u c e s

i =Vi(r)

V2

+ (r)2( 3 2 )
http://-/?-http://-/?-http://-/?-


23/56

1 2

T h e d i e r e n t i a l t h r u s t f r o m m o m e n t u m t h e o r y , E q . 2 5 , c a n b e e q u a t e d t o t h e a p p r o x i m a t e

d i e r e n t i a l t h r u s t , E q . 3 1 . A f t e r s o m e m a n i p u l a t i o n , i t b e c o m e s

2i + i

V

r+

CL,N c

8r

1 +

V

r

2 CL,N c

8r

1 +

V

r

2

() = 0 ( 3 3 )

T h e s o l u t i o n o f t h i s q u a d r a t i c e q u a t i o n i s t h e a n a l y t i c i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k

i = 12

V

r+

CL,N c

8r

1 +

V

r

2( 3 4 )

+1

2

V

r

+CL,N c

8r1 + V

r2

2

+CL,N c

8r1 + V

r2

(

)

T h e i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k i s s o l v e d a t e a c h b l a d e e l e m e n t a n d t h e n u s e d i n E q . 1 5 a n d

E q . 1 6 t o d e t e r m i n e t h e t h r u s t a n d p o w e r c o e c i e n t s .

N o n l i n e a r B E M

T h e p u r p o s e o f t h e n o n l i n e a r B E M m o d e l i s t o p r o v i d e a m o r e a c c u r a t e r e p r e s e n t a t i o n o f

w h a t t h e p r o p e l l e r b l a d e e x p e r i e n c e s b y c h a l l e n g i n g t h e a s s u m p t i o n s t h a t t h e d r a g h a s l i t t l e

e e c t o n t h e i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k , t h e i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k i s s m a l l a n d t h e a d v a n c e

a n g l e i s s m a l l . T h e i n a c c u r a c i e s o f t h e s e a s s u m p t i o n s a r e c l e a r l y s e e n w i t h h i g h p i t c h

p r o p e l l e r s a t l o w a d v a n c e r a t i o s . T h e n o n l i n e a r m o d i c a t i o n o f b l a d e e l e m e n t m o m e n t u m

m o d e l i t e r a t e s t h r o u g h a s e r i e s o f e q u a t i o n s f r o m b o t h b l a d e e l e m e n t a n d m o m e n t u m t h e o r y

u n t i l a c o n v e r g e n c e o n t h e i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k i s r e a c h e d o n e a c h b l a d e e l e m e n t . T h e

i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k a n a l y t i c a l a p p r o x i m a t i o n , E q . 3 4 , i s t h e s t a r t i n g p o i n t f o r t h e

n o n l i n e a r i t e r a t i o n . T h e t h r u s t c o e c i e n t d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o x i s t h e n s o l v e d f o r .

T h i s d e r i v a t i v e i s u s e d t o n d t h e i n d u c e d v e l o c i t y . L a s t , t h e i n d u c e d v e l o c i t y i s u s e d t o

c a l c u l a t e a r e n e d e s t i m a t i o n o f t h e i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k . T h e i t e r a t e d e q u a t i o n s a r e

p r e s e n t e d i n E q s . 3 5 , 3 6 a n d 3 7 .

dCT

dx=

J2 + 2x2

8(CL cos(i + ) CD sin(i + )) ( 3 5 )
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


24/56

1 3

F i g . 6 : U s e r i n t e r f a c e o f t h e B E M c o d e .

Ji(r) =J2

4 + 1x

dCT

dx J

2( 3 6 )

i = tan1

Ji(r)

J2 + 2x2

( 3 7 )

w i t h

= tan1

V

r

( 3 8 )

dCT =

J2 + 2x2

8 (CL cos(i + ) CD sin(i + )) dx( 3 9 )

dCP = J2 + 2x2


f o r c l o s u r e . T h e c o n v e r g e d i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k i s s o l v e d a t e a c h b l a d e e l e m e n t a n d t h e n

u s e d i n E q . 1 5 a n d E q . 1 6 t o d e t e r m i n e t h e t h r u s t a n d p o w e r c o e c i e n t s .

P r o g r a m m i n g I m p l e m e n t a t i o n

T h e c o m p u t e r c o d e f o r t h e c u r r e n t s t u d y w a s w r i t t e n i n J a v a f o r i s e a s e i n G U I p r o g r a m -

m i n g , a b i l i t y t o r u n i n d e p e n d e n t o f p l a t f o r m a n d a s a l e a r n i n g e x p e r i e n c e f o r t h e a u t h o r .

T h e p r o g r a m i n t e r f a c e i s s h o w n i n F i g u r e 6 . T h e g e o m e t r i c i n p u t s t o t h e c o d e a r e t h e

c h o r d / p i t c h p r o l e l e , o p t i o n a l l y p i t c h l e n g t h , n u m b e r o f b l a d e s , l i f t s l o p e , z e r o a n g l e l i f t

c o e c i e n t , a n d t h e d r a g c o e c i e n t s i n t h e p a r a b o l i c r e l a t i o n o f d r a g t o l i f t . T h e c h o r d / p i t c h

p r o l e l e i s f o r m a t t e d i n p l a i n t e x t . E a c h l i n e c o n t a i n s a r a d i a l l o c a t i o n , l o c a l c h o r d l e n g t h
http://-/?-http://-/?-http://-/?-


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1 4

a n d o p t i o n a l l y , t h e l o c a l p i t c h l e n g t h . T h e r a d i u s o f t h e p r o p e l l e r r o o t a n d t i p a r e d e n e d

a s t h e r s t a n d l a s t r a d i u s v a l u e f o u n d i n t h e l e . T h e d i a m e t e r i s t w i c e t h e t i p r a d i u s .

T h e o p e r a t i n g c o n d i t i o n i n p u t s a r e r o t a t i o n a l v e l o c i t y , i n c o m i n g v e l o c i t y , t e m p e r a t u r e a n d

a t m o s p h e r i c p r e s s u r e . T h e p u r p o s e o f t e m p e r a t u r e a n d p r e s s u r e i s t o n d t h e a i r d e n s i t y

f o r d i m e n s i o n a l r e s u l t s . A n a l y s i s i n p u t s a r e a t i p c o r r e c t i o n f a c t o r a n d n u m b e r o f b l a d e

e l e m e n t s . F o r a n i t e w i n g o r l i f t i n g s u r f a c e , t h e l o c a l s e c t i o n a l l i f t c o e c i e n t m u s t a p -

p r o a c h z e r o n e a r t h e w i n g t i p . M a n y d i e r e n t a p p r o a c h e s h a v e b e e n p r o p o s e d t o i m p l e m e n t

t h i s c o n d i t i o n [ 6 ] . T h i s a n a l y s i s u s e s m o s t s i m p l e a c c e p t e d m o d e l f o r i n i t i a l e s t i m a t i o n s b y

a s s u m i n g n o l i f t i s p r o d u c e d b e y o n d x = 0.97 [ 7 ] . T h e b l a d e e l e m e n t c h o r d l e n g t h a n d p i t c h

a r e f o u n d a t t h e c e n t e r o f e a c h b l a d e e l e m e n t . T h e c h o r d a n d p i t c h i s l i n e a r l y i n t e r p o l a t e d

f r o m t h e p r o v i d e d b l a d e p r o l e g e o m e t r y . I f t h e c e n t e r o f t h e b l a d e e l e m e n t i s a t a l o c a t i o n

b e y o n d t h e t i p c o r r e c t i o n , t h e l i f t i n t h e a n a l y t i c a l B E M i s s e t t o z e r o . H o w e v e r , i n t h e

n o n l i n e a r i m p l e m e n t a t i o n , b y s e t t i n g t h e l i f t t o z e r o , t h e d e r i v a t i v e dCT b e c o m e s l e s s t h a n

z e r o . T o a v o i d t a k i n g t h e r o o t o f a n e g a t i v e n u m b e r , i n t h e n o n l i n e a r B E M t h e d i e r e n t i a l

t h r u s t c o e c i e n t i s a l t e r n a t i v e l y s e t t o z e r o . T h e t h r u s t o f a p r o p e l l e r i s p r i m a r i l y a p r o d u c t

o f t h e l i f t o f t h e b l a d e e l e m e n t s a n d t h i s m o d i c a t i o n i s a r e a s o n a b l e a p p r o x i m a t i o n t o t h e

t i p e e c t c o r r e c t i o n d e v e l o p e d b y M c C o r m i c k .

W i t h t h e r e q u i r e d i n f o r m a t i o n , t h e c o d e s o l v e s f o r t h e d i e r e n t i a l t h r u s t a n d p o w e r

c o e c i e n t s f o r e a c h b l a d e e l e m e n t a n d n u m e r i c a l l y i n t e g r a t e s a l o n g t h e l e n g t h o f t h e b l a d e .

A n a l y t i c a l a n d N o n l i n e a r C o m p a r i s o n s

F o r t h e s a k e o f c o m p a r i s o n , t h e g e o m e t r y o f a n A P C 8 x 4 , 8 x 6 a n d 8 x 8 T h i n E l e c t r i c

p r o p e l l e r s a r e u s e d f o r t h e f o l l o w i n g c a l c u l a t i o n s . T h e c h o r d p r o l e s r e m a i n e q u a l b e t w e e n

t h e d i e r e n t p i t c h l e n g t h s . I t w a s h y p o t h e s i z e d t h a t t h e i n a c c u r a c i e s o f t h e t h e a n a l y t i c a l

B E M m o d e l w o u l d o c c u r a t h i g h a d v a n c e r a t i o s w h e r e t h e a d v a n c e a n g l e i s l a r g e a n d w i t h

h i g h p i t c h p r o p e l l e r s . T h e h i g h a d v a n c e r a t i o s w o u l d m a d e t h e a d v a n c e a n g l e l a r g e , r e j e c t i n g

a n y s m a l l a n g l e a p p r o x i m a t i o n s . T h e h i g h e r p i t c h p r o p e l l e r s w o u l d a l s o c r e a t e a g r e a t e r

i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k , a g a i n b e i n g l e s s s u i t e d f o r a s m a l l a n g l e a p p r o x i m a t i o n . F i g u r e s 7

a n d 8 c o m p a r e t h e p o w e r a n d t h r u s t c o e c i e n t s f o r e a c h o f t h e p r o p e l l e r s . I t i s c l e a r t h a t


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1 5

F i g . 7 : C o m p a r i s o n o f t h r u s t c o e c i e n t s b e t w e e n a n a l y t i c a l a n d n o n l i n e a r B E M m o d e l s f o r

p r o p e l l e r s w i t h d i e r e n t p i t c h l e n g t h s .

F i g . 8 : C o m p a r i s o n o f p o w e r c o e c i e n t s b e t w e e n a n a l y t i c a l a n d n o n l i n e a r B E M m o d e l s f o r

p r o p e l l e r s w i t h d i e r e n t p i t c h l e n g t h s .


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1 6

t h e i m p a c t t h a t t h e h i g h a d v a n c e a n g l e h a s o n p e r f o r m a n c e i s m o r e p r o n o u n c e d i n t h e p o w e r

c o e c i e n t t h a n i n t h e t h r u s t c o e c i e n t . I n t e r e s t i n g l y , t h e t h r u s t c o e c i e n t d i e r s m o r e w i t h

t h e l o w e r p i t c h p r o p e l l e r t h a n t h e h i g h e r p i t c h p r o p e l l e r . T h e m o s t r e a s o n a b l e c a u s e f o r t h i s

i s t h e a n a l y t i c a l a s s u m p t i o n t h a t l i f t i s m u c h g r e a t e r t h a n t h e d r a g . T h e a s s u m p t i o n o v e r

p r e d i c t s t h e l i f t a n d t h e r e f o r e , t h r u s t o f t h e a n a l y t i c a l m o d e l . T h e h i g h e r p i t c h a p r o p e l l e r

i s , t h e m o r e l i f t i s p r o d u c e d o n t h e b l a d e , t h u s m o r e t h r u s t . T h i s a s s u m p t i o n i s m o r e

v a l i d o n h i g h e r p i t c h p r o p e l l e r s t h a n i t i s o n l o w e r a s i s e v i d e n t i n t h e t h r u s t c u r v e s . T h i s

d i e r e n c e o u t w e i g h s a n y e e c t t h e i n d u c e d a n g l e o f a t t a c k h a s o n t h e h i g h e r p i t c h p r o p e l l e r s

a s o r i g i n a l l y t h o u g h t .


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1 7

E x p e r i m e n t a l P r o c e d u r e s

T h r e e t y p e s o f e x p e r i m e n t s w e r e p e r f o r m e d . T h e s o l e p u r p o s e f o r t w o t e s t s w a s t o

c h a r a c t e r i z e t h e D C m o t o r u s e d t o p o w e r t h e p r o p e l l e r . T h e r s t , t o m e a s u r e t h e n o -

l o a d c u r r e n t b y m e a s u r i n g t h e c u r r e n t d r a w n b y t h e m o t o r w i t h o u t a r e s i s t i v e l o a d o n

t h e s h a f t . T h e s e c o n d m e a s u r e d t h e a r m a t u r e r e s i s t a n c e b y m e a s u r i n g t h e v o l t a g e a n d

c u r r e n t s u p p l i e d t o t h e m o t o r w h i l e p r e v e n t i n g t h e m o t o r f r o m s p i n n i n g . T h e l a s t , a n d

m o s t i n t e n s i v e e x p e r i m e n t w a s t h e v a l i d a t i o n e x p e r i m e n t i n w h i c h t h e t h r u s t a n d b r a k i n g

p o w e r w a s m e a s u r e d i n s i d e t h e w i n d t u n n e l a t d i e r e n t t u n n e l v e l o c i t i e s . T h e 8 x 8 A P C

T h i n E l e c t r i c p r o p e l l e r w a s t e s t e d i n t h e w i n d t u n n e l , m e a s u r i n g t h r u s t u s i n g b o t h a l o a d

c e l l a n c a l c u l a t i n g a m o m e n t u m i n t e g r a l f r o m t h e w a k e . T h e w a k e w a s m e a s u r e d u s i n g a

s w e e p i n g p i t o t p r o b e . P o w e r b e i n g s u p p l i e d t o t h e m o t o r w a s c a l c u l a t e d t h r o u g h v o l t a g e

a n d c u r r e n t m e a s u r e m e n t s .

V a l i d a t i o n e x p e r i m e n t s w e r e p e r f o r m e d i n s i d e o f a l o w s p e e d n o n r e c i r c u l a t i n g w i n d

t u n n e l o w n e d b y t h e M e c h a n i c a l a n d A e r o s p a c e D e p a r t m e n t a t U t a h S t a t e U n i v e r s i t y . T h e

w i n d t u n n e l t e s t s e c t i o n d i m e n s i o n s a r e 4 0 . 6 4 0 . 6 1 2 1 . 9 c m ( 1 6 1 6 4 8 i n . ) . T h e 8 x 8 p r o p e l l e r w a s i n s t a l l e d t o a m o t o r a n d g e a r b o x a s s e m b l y

1

. T h e m o t o r a s s e m b l y w a s s i t u a t e d

i n t h e c e n t e r o f t h e t e s t s e c t i o n a n d m o u n t e d t o o n e e n d o f a p i v o t i n g a r m . T h e o p p o s i t e

e n d o f t h e l e v e r a r m e x t e n d s o u t t h e b o t t o m o f t h e t e s t s e c t i o n w i t h t h e p i v o t j u s t o u t s i d e

o f t h e w a l l o f t h e t u n n e l . A l o a d c e l l w a s a t t a c h e d t o t h e o u t s i d e e n d o f t h e l e v e r a r m .

T h e p i v o t a l l o w s t h e f o r c e s t o b e i s o l a t e d i n t h e a x i a l d i r e c t i o n a n d a l l o w s a m e c h a n i c a l

a d v a n t a g e t o u s e m o r e o f t h e l o a d c e l l r a n g e . F i g u r e 9 i s a p h o t o o f t h e p r o p e l l e r i n s t a l l e d

i n t h e w i n d t u n n e l t e s t s e c t i o n . A i r s p e e d m e a s u r e m e n t s c o n s i s t o f t o t a l p r e s s u r e p o r t s n e a r

t h e s i d e o f t h e t u n n e l f o r e a n d a f t o f t h e p r o p e l l e r , a s t a t i c p o r t a f t o f t h e p r o p e l l e r a n d

a s w e e p i n g p i t o t p r o b e a f t o f t h e p r o p e l l e r . T h e p i t o t p r o b e i s m o u n t e d t o a t r a v e r s i n g

t r a c k . T h e t r a v e r s i n g t r a c k s l i d e s a l o n g a l i n e a r p o t e n t i o m e t e r f o r a p o s i t i o n m e a s u r e m e n t

1T h e m o t o r a n d g e a r b o x a r e p a r t s o f a r e m o t e c o n t r o l l e d a i r p l a n e , a H o b b y -

Z o n e S u p e r C u b . T h e m o t o r p a r t n u m b e r i s H B Z 7 1 3 4 a n d t h e g e a r b o x , H B Z 7 1 2 9 .

h t t p : / / s e c u r e . h o b b y z o n e . c o m / i n d e x / i n d e x _ p a r k _ y e r s _ r t f / H B Z 7 3 0 0 . h t m l
http://-/?-http://-/?-


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1 8

F i g . 9 : P h o t o o f p r o p e l l e r i n s t a l l a t i o n , p i v o t

a r m a n d l o a d c e l l c o n g u r a t i o n .

F i g . 1 0 : B l o c k d i a g r a m o f m e c h a n i c a l m e a -

s u r e m e n t s .

o f t h e p i t o t p r o b e . T h e v o l t a g e b e i n g s u p p l i e d t o t h e m o t o r i s m e a s u r e d t h r o u g h a v o l t a g e

d i v i d e r c i r c u i t . T h e c u r r e n t b e i n g s u p p l i e d t o t h e m o t o r i s m e a s u r e d t h r o u g h a n i n d u c t i v e

a m m e t e r . F i g u r e 1 0 s h o w s a b l o c k d i a g r a m o f t h e m e c h a n i c a l m e a s u r e m e n t s . T a b l e 1 l i s t s

e a c h t r a n s d u c e r , t h e i r f u n c t i o n , r a n g e s a n d a c c u r a c i e s . T h e t r a n s d u c e r s w i l l b e d i s c u s s e d

i n d i v i d u a l l y i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s .

A i r s p e e d M e a s u r e m e n t s

T h e t o t a l a i r p r e s s u r e i s m e a s u r e d b y p i t o t p r o b e s 4 4 . 5 c m ( 1 7 . 5 i n ) u p s t r e a m a n d

5 4 . 6 c m ( 2 1 . 5 i n ) d o w n s t r e a m o f t h e p r o p e l l e r . T h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e s e m e a s u r e m e n t s

i n d i c a t e s l o s s e s i n t h e t e s t s e c t i o n . A s t a t i c p r e s s u r e p o r t i s a l s o l o c a t e d 5 4 . 6 c m ( 2 1 . 5 i n )

d o w n s t r e a m o f t h e p r o p e l l e r . T h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e d o w n s t r e a m t o t a l p r e s s u r e a n d

t h e d o w n s t r e a m s t a t i c p r e s s u r e i s m e a s u r e d . B o t h m e a s u r e m e n t s a r e p e r f o r m e d b y t w o

O m e g a P X 1 4 3 - 0 1 B D d i e r e n t i a l p r e s s u r e t r a n s d u c e r s . T h e s e t w o m e a s u r e m e n t s g i v e b o t h

a n u p s t r e a m a n d d o w n s t r e a m v e l o c i t y o u t s i d e o f t h e p r o p e l l e r w a k e .

T h e s w e e p i n g p i t o t p r o b e i s o r i e n t e d a t t h e s a m e h e i g h t a n d 5 0 . 8 c m ( 2 0 i n ) d o w n s t r e a m

o f t h e p r o p e l l e r . T h e p r o b e s w e e p s h o r i z o n t a l l y f r o m t h e t u n n e l w a l l t o a p p r o x i m a t e l y 3
http://-/?-http://-/?-


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1 9

T a b l e 1 : L i s t o f T r a n s d u c e r s a n d T h e i r R e s p e c t i v e F u n c t i o n a n d S p e c i c a t i o n s

M a k e / M o d e l

N u m b e r

M e a s u r e m e n t F u n c t i o n R a n g e A c c u r a c y

O m e g a

P X 1 4 3 - 0 1 B D

D i e r e n t i a l

p r e s s u r e

T u n n e l l o s s 6 . 9 k P a ( 1 p s i )

0 . 0 3 %

F S

*

O m e g a

P X 1 4 3 - 0 1 B D

D i e r e n t i a l

p r e s s u r e

F r e e s t r e a m

v e l o c i t y

6 . 9 k P a ( 1 p s i )

0 . 0 3 %

F S

*

S e t r a D a t u m 2 0 0 0

m o d e l 2 2 3 9

D i e r e n t i a l

p r e s s u r e

V e l o c i t y p r o l e 0 - 3 . 7 k P a

( 0 . 5 4 p s i )

0 . 1 4 %

F S

*

O m e g a L C C D - 2 5 F o r c e P r o p e l l e r t h r u s t 1 1 1 N ( 2 5 l b f )

0 . 2 %

F S

*

F l u k e i 3 0 C u r r e n t M o t o r c u r r e n t 0 . 0 3 - 3 0 A 1 % o f

r e a d i n g

S h i m p o D T - 2 0 9 X R o t a t i o n r a t e M o t o r R P M 6 . 0 - 9 9 , 9 9 9

R P M 1 R P M

*

A s m e a s u r e d f r o m c a l i b r a t i o n d a t a

c m ( 1 . 2 i n ) p a s t t h e c e n t e r o f t h e t u n n e l . T h e t o t a l a n d s t a t i c p r e s s u r e f e e d i n t o a S e t r a

D a t u m 2 0 0 0 m o d e l 2 2 3 9 d i e r e n t i a l p r e s s u r e t r a n s d u c e r . T h e p o s i t i o n o f t h e p i t o t p r o b e

i s m e a s u r e d b y a l i n e a r , p r e s s u r e s e n s i t i v e p o t e n t i o m e t e r . T h e c o m b i n e d m e a s u r e m e n t o f

t h e p o s i t i o n a n d a i r s p e e d a l l o w f o r t h e m e a s u r e m e n t o f t h e r a d i a l v e l o c i t y p r o l e f r o m t h e

p r o p e l l e r . E a c h p r e s s u r e s e n s o r w a s c a l i b r a t e d u s i n g a w a l l m o u n t e d M e r i a m G P - 6 m o d e l

4 0 G E 4 m a n o m e t e r .

T h r u s t M e a s u r e m e n t s

T h e p r o p e l l e r t h r u s t i s m e a s u r e d d i r e c t l y b y t h e l o a d c e l l m o u n t e d o p p o s i t e o f t h e

p r o p e l l e r o n t h e p i v o t a r m . O n e e n d o f t h e l o a d c e l l i s a t t a c h e d t o t h e p i v o t a r m , a n d t h e

o t h e r t o a r i g i d m o u n t a t t a c h e d t o t h e o u t e r w a l l o f t h e t e s t s e c t i o n . T h e l o a d c e l l i s a n

O m e g a L C C D - 2 5 . T h e c a l i b r a t i o n w a s p e r f o r m e d i n s i t u w i t h k n o w n w e i g h t s h a n g i n g o n

a c o r d u s i n g a p u l l e y t o a l l o w t h e c o r d t o p u l l s t r a i g h t a l o n g t h e p r o p e l l e r a x i s . F i g u r e 1 1

s h o w s t h i s a r r a n g e m e n t .

W a k e s u r v e y s w e r e a l s o u s e d t o i n d i r e c t l y m e a s u r e t h e t h r u s t o f t h e p r o p e l l e r . T h e w a k e

p r o l e i s a n i n d i c a t i o n o f h o w m u c h m o m e n t u m w a s a d d e d t o t h e o w f r o m t h e p r o p e l l e r .
http://-/?-


31/56

2 0

F i g . 1 1 : I n s i t u c a l i b r a t i o n o f l o a d c e l l u s i n g c a l i b r a t e d w e i g h t s .

P o w e r M e a s u r e m e n t s

T h e c u r r e n t b e i n g s u p p l i e d t o t h e m o t o r i s m e a s u r e d b y a F l u k e i 3 0 i n d u c t i v e c u r r e n t

c l a m p . T h e s p e e d o f t h e p r o p e l l e r i s m e a s u r e d b y a S h i m p o D T - 2 0 9 X l a s e r t a c h o m e t e r . T h e

v o l t a g e s u p p l i e d t o t h e m o t o r i s m e a s u r e d d i r e c t l y t h r o u g h a v o l t a g e d i v i d e r c i r c u i t i n t o t h e

d a t a a c q u i s i t i o n u n i t .

D a t a A c q u i s i t i o n

T h e m e a s u r e m e n t s w e r e t a k e n b y a N a t i o n a l I n s t r u m e n t s D A Q C a r d - 6 0 2 4 P C M C I A c a r d

w i t h a 1 2 b i t r e s o l u t i o n . T h e d a t a a c q u i s i t i o n c a r d w a s c o n n e c t e d t o a N a t i o n a l I n s t r u m e n t s

B N C - 2 1 1 0 c o n n e c t o r b l o c k . T h e s e m a k e u p t h e d a t a a c q u i s i t i o n u n i t ( D A Q ) . S a m p l e s w e r e

t a k e n a t 5 0 0 H z f o r a l l t h e m e a s u r e m e n t s a p a r t f r o m t h e R P M m e a s u r e m e n t w h i c h w a s

t a k e n a t 2 H z .

T e s t P r o c e d u r e

T h e m o t o r n o - l o a d c u r r e n t , I0 , w a s m e a s u r e d b y s i m p l y a l l o w i n g t h e m o t o r t o s p i n f r e e l y

w i t h o u t a n y o p p o s i t i o n . T h e a r m a t u r e r e s i s t a n c e i s c a l c u l a t e d b y m e a s u r i n g t h e v o l t a g e a n d

c u r r e n t s u p p l i e d t o t h e m o t o r w h i l e p r e v e n t i n g t h e m o t o r f r o m s p i n n i n g . M i n u t e s p r i o r t o

p r o p e l l e r t e s t i n g , a t m o s p h e r i c p r e s s u r e a n d t e m p e r a t u r e w e r e m e a s u r e d a n d l o g g e d . A t e a c h

t u n n e l v e l o c i t y , a s e t o f m e a s u r e m e n t s w a s t a k e n w i t h a n d w i t h o u t p o w e r i n g t h e p r o p e l l e r .

T h e a m o u n t o f d r a g c r e a t e d b y t h e m o t o r a s s e m b l y a n d p i v o t a r m w a s m e a s u r e d . T h e

p r o p e l l e r w a s a l l o w e d t o s p i n d u r i n g t h e d r a g m e a s u r e m e n t s . T h i s m e a s u r e d d r a g w a s l a t e r

s u b t r a c t e d f r o m t h e t h r u s t m e a s u r e m e n t . T h e m o t o r w a s t h e n p o w e r e d a n d a n o t h e r s e t o f


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2 1

m e a s u r e m e n t s a r e t a k e n . T h e p i t o t s w e p t f o r w a r d , f r o m t h e t u n n e l w a l l t o j u s t p a s t t h e

p r o p e l l e r a x i s a n d b a c k t o t h e w a l l . I n t o t a l , 3 f o r w a r d a n d b a c k s w e e p s w e r e m a d e a s p a r t

o f e a c h t e s t . T h e d u r a t i o n o f a t e s t w a s a p p r o x i m a t e l y 5 5 t o 6 5 s e c o n d s .

D a t a R e d u c t i o n

M o m e n t u m a n d m a s s a r e b a l a n c e d u p s t r e a m a n d d o w n s t r e a m o f t h e p r o p e l l e r t o y i e l d

t h e t h r u s t m o m e n t u m i n t e g r a l

T =

2

0

Rw0

V2

V(r)2

V2

1

r d r d ( 4 1 )

T h e Rw l i m i t o f i n t e g r a t i o n i s t h e o u t e r l o c a t i o n o f t h e w a k e a n d i s o b s e r v e d f r o m t h e d a t a

w h e r e w a k e r e m a i n s e q u a l w i t h t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y . C o n s e r v a t i o n o f m a s s t h r o u g h t h e

t e s t s e c t i o n d i c t a t e s t h a t

R2w2

=

Rw0

V(r)

Vr dr ( 4 2 )

E q u a t i o n 4 1 i s i n t e g r a t e d w i t h r e s p e c t t o c i r c u m f e r e n t i a l d i m e n s i o n , , a n d c o m b i n e d w i t h

E q . 4 2 s u c h t h a t t h e g r o s s t h r u s t i s e q u a l t o

T = 2V

Rw0

V(r) V(r)

2

V

r dr ( 4 3 )

T h e m e a s u r e d v e l o c i t y p r o l e s a r e b i a s e d i n t h e p o s i t i o n d a t a . I t i s r e a s o n a b l e t o a s s u m e

t h a t t h e v e l o c i t y p r o l e s a r e s y m m e t r i c a b o u t t h e a x i s , t h e r e f o r e , i n s o m e c a s e s , t h e p r o l e

p o s i t i o n d a t a w a s b i a s e d s u c h t h a t t h e m a j o r i t y o f a n y m e a s u r e d a s y m m e t r y w a s r e m o v e d .

T h i s a s y m m e t r y w a s a n a r t i f a c t o f t h e m e a s u r e m e n t s y s t e m . T h e v e l o c i t y d a t a w a s a v e r a g e d

a t e a c h d i s c r e t e m e a s u r e d p o s i t i o n c r e a t e d b y t h e b i t r e s o l u t i o n o f t h e D A Q . A t r a p e z o i d a l

i n t e g r a t i o n w a s p e r f o r m e d u s i n g t h e a v e r a g e d v e l o c i t y p o i n t s t o c o m p u t e t h e w a k e i n t e g r a l i n

E q . 4 3 . T h e d r a g a n d t h r u s t p r o l e w e r e i n t e g r a t e d i n d i v i d u a l l y . T h e d r a g w a s s u b t r a c t e d

f r o m g r o s s t h r u s t t o c a l c u l a t e t h e n e t a m o u n t o f t h r u s t .

T h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y u s e d i n t h e a d v a n c e r a t i o i s a d j u s t e d t o r e e c t a m o r e a c c u r a t e

a p p r o x i m a t i o n o f v e l o c i t y w h e r e m e a s u r e d t h r u s t a n d t o r q u e w o u l d b e p r o d u c e d i n o p e n
http://-/?-http://-/?-http://-/?-


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2 2

a i r . T h e p r o p e l l e r o w i s c o n s t r a i n e d b y t h e t u n n e l . T h e r e f o r e , t h e m e a s u r e d v e l o c i t y i s

d i e r e n t t h a n w h a t w o u l d o c c u r i n a n u n c o n s t r a i n e d o w a t t h e s a m e l e v e l o f p e r f o r m a n c e .

T h i s f r e e s t r e a m v e l o c i t y c o r r e c t i o n i s o u t l i n e d i n G l a u e r t [ 8 ] a n d i s e q u a l t o

V

V= 1

2

1 + 2

( 4 4 )

w h e r e

=T

R2V2

= R2

St

a n d St i s t h e c r o s s s e c t i o n a l a r e a o f t h e w i n d t u n n e l t e s t s e c t i o n . T h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y

w a s c a l c u l a t e d b y t h e f o r e t o t a l p r e s s u r e p r o b e a n d t h e a f t s t a t i c p r e s s u r e p o r t .

U s i n g a m e a s u r e d n o - l o a d c u r r e n t I0 , a n d a r m a t u r e r e s i s t a n c e Ra , t h e b r a k i n g p o w e r

o f t h e m o t o r i s c a l c u l a t e d b y

P = (I I0) (E I Ra) ( 4 5 )

T h e m e a s u r e d p r e s s u r e s , t h e l o a d c e l l t h r u s t m e a s u r e m e n t , p r o p e l l e r s p e e d a n d m o t o r c u r -

r e n t w e r e a v e r a g e d t h r o u g h t h e d u r a t i o n o f t h e t e s t w i t h e x c e p t i o n t o t h e s w e e p i n g p i t o t

m e a s u r e m e n t s .

U n c e r t a i n t y

A n u n c e r t a i n t y a n a l y s i s w a s p e r f o r m e d o n e a c h o f t h e m e a s u r e d v a l u e s . I t w a s f o u n d

t h a t t h e b i t r e s o l u t i o n o f t h e O m e g a p r e s s u r e s e n s o r s i s p r i m a r y c a u s e o f t h e m e a s u r e d

u n c e r t a i n t y . I t w a s , a t l e a s t , a n o r d e r o f m a g n i t u d e g r e a t e r t h a n t h e r a n d o m u n c e r t a i n t y ,

i n s t r u m e n t s p e c i c a t i o n s o r p r o p a g a t e d u n c e r t a i n t i e s f r o m a t m o s p h e r i c p r e s s u r e o r t e m p e r -

a t u r e .

T h e l o a d c e l l e x p e r i e n c e d a n a d d i t i o n a l c a l i b r a t i o n u n c e r t a i n t y t h a t c o u l d n o t b e r e -

m o v e d t h r o u g h s u b s e q u e n t c a l i b r a t i o n s . T h e m e a s u r e d p o i n t s f r o m t h e c a l i b r a t i o n a n d t h e
http://-/?-


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2 3

l i n e a r c a l i b r a t e d c u r v e t w e r e a s m u c h a s 0 . 0 4 4 l b f . a p a r t . T h i s q u a n t i t y w a s a s s u m e d a s a

s t a n d a r d e r r o r a n d r o o t m e a n s q u a r e d w i t h t h e b i t r e s o l u t i o n t o n d t h e t o t a l u n c e r t a i n t y

o f t h e l o a d c e l l m e a s u r e m e n t s .

T h e s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y f o r t h e p o w e r c a l c u l a t i o n s c o m e f r o m t h e b i t r e s o l u t i o n

o f c u r r e n t m e a s u r e m e n t , a m m e t e r i n s t r u m e n t s p e c i c a t i o n a n d u n c e r t a i n t y o f t h e m o t o r

c o n s t a n t s . T h e c u r r e n t b i t r e s o l u t i o n a n d 1 % o f r e a d i n g s p e c i c a t i o n w e r e r o o t m e a n s q u a r e d

t o t o t a l a c u r r e n t s t a n d a r d u n c e r t a i n t y . T h e v a r i a t i o n o f t h e n o - l o a d c u r r e n t a n d a r m a t u r e

r e s i s t a n c e a r e a p p r o x i m a t e d t o b e UI0 = .05 a n d URa = .03 a s f o u n d b y m u l t i p l e t e s t s . T h e

u n c e r t a i n t y o f t h e p o w e r m e a s u r e m e n t w a s r o o t m e a n s q u a r e d a s

UP =

P

I0UI0

2+

P

IUI

2+

P

RaURa

2( 4 6 )

T h e u n c e r t a i n t y o f t h e m e a s u r e d v o l t a g e w a s i n s i g n i c a n t c o m p a r e d t o t h e o t h e r u n c e r t a i n -

t i e s .

T h e u n c e r t a i n t y o f t h e t h r u s t m e a s u r e m e n t c a l c u l a t e d b y t h e w a k e s u r v e y s w a s e s t i -

m a t e d u s i n g a M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n . T h e m e a s u r e d v e l o c i t y a t e a c h d i s c r e t e l o c a t i o n , t h e

p o s i t i o n b i a s e s a n d t h e u p p e r i n t e g r a t i o n l i m i t o f t h e w a k e i n t e g r a l w e r e r a n d o m l y v a r i e d i n

t h e s i m u l a t i o n . A l l q u a n t i t i e s a r e v a r i e d s u c h t h a t t h e y h a v e a n o r m a l d i s t r i b u t i o n w i t h a

s p e c i e d s t a n d a r d d e v i a t i o n . T h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e d i s c r e t e v e l o c i t i e s w a s c a l c u l a t e d

f r o m t h e m e a s u r e m e n t . T h e p o s i t i o n b i a s , u s e d t o c e n t e r t h e w a k e , a n d t h e o u t w a r d i n t e -

g r a t i o n l i m i t w a s v a r i e d s u c h t h a t t h e y h a d a s t a n d a r d d e v i a t i o n o f 0 . 2 5 i n . T h e s i m u l a t i o n

w a s r u n 1 0 0 0 t i m e s a n d t h e v a r i a t i o n i n t h e w a k e i n t e g r a l r e s u l t s w e r e c a l c u l a t e d .


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2 4

R e s u l t s a n d D i s c u s s i o n

A n A P C 8 x 8 T h i n E l e c t r i c p r o p e l l e r w a s t e s t e d i n t h e w i n d t u n n e l a n d c o m p a r e d t o

t h e B E M c o d e c a l c u l a t i o n s . T h e c h o r d a n d p i t c h p r o l e o f t h e p r o p e l l e r w a s s u p p l i e d b y t h e

m a n u f a c t u r e r u p o n r e q u e s t . A i r f o i l g e o m e t r y w a s n o t g i v e n t h e r e f o r e t h e a e r o d y n a m i c l i f t

a n d d r a g c o n s t a n t s w e r e c h o s e n s u c h t h a t t h e y s u c i e n t l y m a t c h e d t h e l o a d c e l l m e a s u r e -

m e n t d a t a . T h e s e c o n s t a n t s a r e i n T a b l e 2 a n d w e r e u s e d t o c h a r a c t e r i z e o t h e r p r o p e l l e r s o f

t h e s a m e m a n u f a c t u r e r a n d s e r i e s .

F i g u r e 1 2 s h o w s a v e r a g e d w a k e p r o l e s a n d a r e r e p r e s e n t a t i v e o f t h e i s s u e s e n c o u n t e r e d .

E a c h p r o l e s h o w s s o m e f o r m o f o - c e n t e r e d a s y m m e t r y . F i g u r e 1 2 ( a ) e x h i b i t s a n a d d i t i o n a l

a s y m m e t r y s u c h t h a t t h e v e l o c i t y i s h i g h e r o n t h e n e g a t i v e s i d e o f t h e r a x i s t h a n o n t h e

p o s i t i v e s i d e . T h e s o u r c e o f t h i s a s y m m e t r y i s u n k n o w n a n d i n c o n s i s t e n t w i t h t h e s y m m e t r i c

w a k e a s s u m p t i o n . F i g u r e 1 2 ( b ) s h o w s a n o i s y l o c a t i o n i n t h e w a k e . T h i s w a s t y p i c a l o f

e a c h w a k e a t h i g h e r t u n n e l v e l o c i t i e s . U p o n c l o s e r i n s p e c t i o n , t h e m e a s u r e d w a k e s a l o n g

i n d i v i d u a l p i t o t s w e e p s v a r i e d . T h i s e e c t w a s u n p r e d i c t a b l e a n d l o c a l i z e d t o t h e 6 c m

( 2 . 5 i n ) t o 1 0 c m ( 4 i n ) r e g i o n . T h e u n c e r t a i n t y w a s a l s o l a r g e , a n d t h e r e f o r e w i l l n o t b e

c o n s i d e r e d i n t h e r e m a i n i n g c o m p a r i s o n s .

F i g u r e 1 3 s h o w s t h e t h r u s t a n d p o w e r c o e c i e n t s w i t h 9 5 % c o n d e n c e i n t e r v a l e r r o r

b a r s . T h e s e m e a s u r e m e n t s a r e c o m p a r e d a g a i n s t t h e B E M m o d e l s p r e d i c t i o n s . T h e t e s t d a t a

m a t c h e s t h e m o d e l s r e a s o n a b l y w e l l , e s p e c i a l l y a t h i g h e r a d v a n c e r a t i o s . A t l o w a d v a n c e

r a t i o s , t h e t h r u s t c o e c i e n t o f t h e B E M o v e r e s t i m a t e s t h e t h r u s t c o e c i e n t . T h e r e a s o n

T a b l e 2 : A e r o d y n a m i c C o n s t a n t s U s e d i n t h e B E M C o d e

Q u a n t i t y V a l u e

CL, 5 . 5

CL0 0 . 2

CD0 0 . 0 2

CD,L 0 . 0

CD,L2 0 . 0 5
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


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2 5

( a ) T h r u s t c o e c i e n t ( b ) P o w e r c o e c i e n t

F i g . 1 2 : A v e r a g e d w a k e p r o l e s h i g h l i g h t i n g s o u r c e s o f w a k e s u r v e y s h o r t c o m i n g s .


F i g . 1 3 : C o m p a r i s o n o f l o a d c e l l d e r i v e d t h r u s t a n d p o w e r c o e c i e n t s t o B E M m o d e l s ( A P C

8 x 8 T h i n E l e c t r i c p r o p e l l e r ) .


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2 6

F i g . 1 4 : A n g l e o f a t t a c k a t e a c h b l a d e e l e m e n t a t a d v a n c e r a t i o s J = 0 a n d J = 0.45 ( A P C 8 x 8 T h i n E l e c t r i c p r o p e l l e r ) .

f o r t h i s d i s c r e p a n c y i s t h e l i n e a r l i f t m o d e l t h a t i s u s e d i n t h e B E M m o d e l s . T h e p r o p e l l e r

b l a d e i s s t a l l e d c l o s e t o t h e r o o t w h e r e t h e l o c a l p i t c h a n g l e , , i s l a r g e . F i g u r e 1 4 s h o w s

t h e B E M - c a l c u l a t e d a n g l e o f a t t a c k a t t w o d i e r e n t a d v a n c e r a t i o s . A s t h e a d v a n c e r a t i o

a p p r o a c h e s z e r o , t h e m a j o r i t y o f t h e b l a d e e x p e r i e n c e s a n a n g l e o f a t t a c k t h a t i s l i k e l y t o b e

o u t o f i t s l i n e a r l i f t r a n g e . I t i s d i c u l t t o d e t e r m i n e e x a c t l y h o w w i d e t h e l i n e a r l i f t r a n g e

i s w i t h o u t d e t a i l e d a i r f o i l i n f o r m a t i o n h o w e v e r , a b o v e 15 i t i s s a f e l y a s s u m e d t h a t t h e b l a d e

i s s t a l l e d . A t t h e h i g h e r a d v a n c e r a t i o t h e a n g l e o f a t t a c k i s c l o s e r t o t h e l i n e a r l i f t r a n g e

f o r m o s t o f t h e b l a d e s p a n .

T h e B E M m o d e l s w e r e a l s o c o m p a r e d t o t e s t d a t a t a k e n o n A P C p r o p e l l e r s b y B r a n d t

a n d S e l i g [ 9 ] o f t h e U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s a t U r b a n a - C h a m p a i g n . F i g u r e 1 5 c o m p a r e s t h e

t h r u s t a n p o w e r c o e c i e n t s f r o m t h e U I U C d a t a b a s e a g a i n s t t h e m o d e l p r e d i c t i o n s f o r

t h e 1 1 x 5 . 5 p r o p e l l e r . F o r a l o w e r p i t c h p r o p e l l e r t h e t h r u s t c o e c i e n t s s h o w v e r y g o o d

a g r e e m e n t s , e s p e c i a l l y a t t h e h i g h e r a d v a n c e r a t i o s . C l e a r l y a t t h e h i g h e r a d v a n c e r a t i o s

w h e r e i s l a r g e t h e n o n l i n e a r B E M m o d e l e x h i b i t s g r e a t e r a c c u r a c y . I n t e r e s t i n g l y a t t h e
http://-/?-http://-/?-http://-/?-


38/56

2 7


F i g . 1 5 : C o m p a r i s o n o f t h r u s t a n d p o w e r c o e c i e n t s ( U I U C d a t a ) t o B E M m o d e l s ( A P C

1 1 x 5 . 5 T h i n E l e c t r i c p r o p e l l e r ) .

l o w e r a d v a n c e r a t i o s , b o t h B E M m o d e l s u n d e r p r e d i c t t h e t h r u s t c o e c i e n t . T h i s r e s u l t

i s i n d i r e c t c o n t r a s t t o t h e d a t a p r e s e n t e d i n F i g u r e 1 3 ( a ) . F o r t h i s c a s e t h e b l a d e p i t c h

i s s i g n i c a n t l y l o w e r t h u s t h e b l a d e r e m a i n s u n s t a l l e d f o r a s i g n i c a n t l y l a r g e r s e g m e n t o f

t h e b l a d e s p a n . T h e U I U C p o w e r c o e c i e n t d a t a a p p e a r s t o b e b i a s e d w h e n c o m p a r e d

t o t h e t h r u s t c o e c i e n t d a t a . I n s u c i e n t i n f o r m a t i o n i s p r o v i d e d b y t h e U I U C a u t h o r s t o

u n d e r s t a n d t h e s o u r c e o f t h i s b i a s . T h e p o w e r c o e c i e n t d a t a w a s r e c a l c u l a t e d u s i n g E q .

2 8 f r o m t h e t h r u s t c o e c i e n t . T h e s e r e c a l c u l a t e d c o e c i e n t s a r e a l s o p l o t t e d o n F i g u r e 1 5

( b ) . T h e r e c a l c u l a t e d d a t a e x h i b i t a c l o s e r r e l a t i o n t o t h e n o n l i n e a r m o d e l .
http://-/?-http://-/?-http://-/?-


39/56

2 8

C o n c l u s i o n

F o r c o n c e p t u a l d e s i g n , l o w - o r d e r e n g i n e e r i n g c o d e s a r e s t i l l t h e p r e f e r r e d m e t h o d f o r

d e s i g n e r s . E n g i n e e r i n g c o d e s a r e p o w e r f u l t o o l s w h e n a p p l i

nonlinear aerodynamic corrections to blade element momentum modul

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