noção intuitiva de limite
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Noção IntuitivaSucessões numéricas
Dizemos que:
1, 2, 3, 4, 5, ....Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um limite
x + Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor
x 1
1, 0, -1, -2, -3, ...Os termos tornam-se cada vez menor, sem atingir um limite
x - Os termos oscilam sem tender a um limite
,.....65,
54,
43,
32,
21
,...7,76,5,
54,3,
32,1
Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto, possivelmente em x0.
Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, então dizemos que a função f tem limite L quando x tende para x0 e escrevemos:
Definição informal de limite
0x xlim f(x) L
x0
LimitesSeja y = f(x) = 2x + 1Aproximação à direita Aproximação à esquerda
x y
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x y
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que:
3)12(lim)(lim11
xxfxx
Neste caso o limite é igual ao valor da função. f(x) = f(1) = 3
1limx
Limites
No caso da função f(x) = é diferente pois
f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existe
e é igual 3.
Ver gráfico a seguir:
122
xxx
Limites
Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -
Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se calculando o limite lateral direito. x a +
Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:
[f(x)] = [f(x)] axlim
axlim
Limites Laterais
x f(x) = x + 32 5
1,5 4,5
1,25 4,25
1,1 4,1
1,01 4,01
1,001 4,001
1,0001 4,0001
4)(lim1
xfx
4)(lim1
xfx
Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver próximo de 1, mas não for igual a 1.
x f(x) = x + 30 3
0,25 3,25
0,75 3,75
0,9 3,9
0,99 3,99
0,999 3,999
Dada a função f: IR IR, definida por f(x) = x + 3.
4
1 x
yPela esquerdaPela direita
)(lim1
xfx
Determinar, graficamente,
Dada a função f: IR IR, definida por
1,31,1
)(xparaxxparax
xf
4)(lim1
xfx
2)(lim1
xfx
1
Não existe limite de f(x), quando x tende para 1
2
4