Ejemplo 01

• La figura muestra un cubo en donde se han trazado distintos desplazamientos de un abeja cuando cambia de la posición 1,2,3 y 1.¿Cuanto vale cada uno de los desplazamientos?. ¿Cual es el desplazamiento total?.

Ejemplo 02

En la figura se muestra dos fuerzas actuando sobre un cuerpo puntual. Si los módulos de ellas son 200 N y 100 N, respectivamente. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza resultante?.

Ejemplo 03

• Un avión viaja en la dirección Este con una velocidad de 480 km/h y entra a una región donde el viento sopla en la dirección 30° Norte del este con una velocidad de 160 km/h. Determine la magnitud y dirección de la nave

SOLUCION

EJEMPLO O2La resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y tiene una magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza FB en este cable sea un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación?

Ejemplo• La camioneta es remolcada usando dos cables como se muestra

en la figura. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actúa sobre cada uno de los cables, sabiendo que la superposición de ambas dan una resultante de 90N de módulo dirigida a lo largo de el eje x. Considere que =50°

Ejemplo 04

La figura muestra un triángulo cuyos lados son

Demuestre el teorema de los cosenos

SOLUCION

Ejemplo 05

Sabiendo que el módulo de los vectores D y G son 10 y unidades respectivamente. Determine el vector unitario del vector

20 2

W A B C D E F G

Ejemplo 06

En la figura mostrada, determine el vector x, en función de los vectores A y B. Si PQRS es un cuadrado y PORQ es un cuadrante de círculo

Ejemplo 07

Descomponga el vector fuerza de 400 kN representado en la figura en dos componentes, una según la dirección AB y la otra perpendicular a ella

EJEMPLO O1Determine el ángulo θ para conectar el elemento a la placa tal que la resultante de las fuerzas FA y FB esté dirigida horizontalmente a la derecha. Determine además la magnitud de la fuerza resultante

EJEMPLO O1 Un cable ejerce una fuerza F en el soporte del miembro estructural. Si la componente x de F es 4 kN. Halle su componente y y su módulo

Ejemplo• Utilizar el método de las componentes rectangulares

para determinar el módulo R de a resultante y los ángulos que forma su recta soporte con los semiejes x, y, z de coordenadas.

Ejemplo 08

La resultante de la tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y (b) la resultante del sistema

Ejemplo• Exprese la fuerza en componentes i, j y k y

determine la proyección de F = 800 N sobre BC

Ejemplo

(a) Exprese la fuerza de 250 N de módulo en componentes i, j y k .

(b) halle la proyección ortogonal del vector fuerza sobre la línea CA

EJEMPLO O2

(a) Expresar el vector fuerza F de 400 N en función de los vectores unitarios i, j y k. (b) Hallar la proyección sobre la recta OA.

Ejemplo

• A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que se indica en al figura. Determine: (a) El módulo dirección y sentido de la fuerza resultante R; (b) El ángulo α que forman las fuerzas F1 y F2.

Ejemplo 09

Determine la resultante del sistema de vectores fuerza mostrados en la figura

EJEMPLO O2

Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de 110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la otra es perpendicular a esta línea.

Ejemplo

• La fuerza F tiene una intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine: (a) La proyección FCD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD.

Ejemplo 10

Hallar la distancia del punto P(4, -1, 5) a la línea recta que pasa por los puntos P1(-1, 2, 0) y P2(1, 1, 4)

Ejemplo 10

Calcular la distancia desde el punto P de coordenadas (4, 5, -6) cm, a la recta que pasa por Q(-3, 5, 7) cm y es paralela al vector

ˆˆ ˆ4 3A i j k

Ejemplo 10

Halle el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores

Usando (a) el producto escalar y (b) el producto vectorial.

ˆ ˆ ˆ ˆ2 6 3 4 3A i j k B i j k

Ejemplo 11

Halle la ecuación del plano perpendicular al vector y que pasa por el extremo del vector ˆ ˆ2 3 A i j k

ˆ ˆ5 3B i j k

Ejemplo 11

Demostrar que los vectores

pueden ser los lados de un triángulo y hallar las longitudes de las medianas de dichos triangulo

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 ; 3 4 4 2 6A i j k B i j k y C i j k

Ejemplo 11

Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 ; 3 4A i j k y B i j k

Ejemplo 12

(a) Halle los vectores de posición r1 r2 de los puntos P(2,4,3) Q(1,-5,2) en un sistema de coordenadas trirectangulares en función de los vectores unitarios i, j, k. (b) Determine grafica y analíticamente la resultante de dichos vectores.

Ejemplo 13

Halle un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores

1ˆˆ ˆ2 4 5r i j k

2

ˆˆ ˆ 2r i j k

Ejemplo 14• Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B

es igual al módulo del producto vectorial

Ejemplo 14• Determine el vector unitario perpendicular al plano formado

por los vectores A = 2i - 6j - 3k y B = 4i + 3j - k

Ejemplo

Halle el vector unitario paralelo al plano xy y perpendicular al vector

ˆˆ ˆ4 3B i j k

Ejemplo

Descomponga la fuerza de 1000 N en dos direcciones no perpendiculares a lo largo de las rectas l1 y l2 mostrada en la figura.

Ejemplo

Descomponga la fuerza de 250 N en dos direcciones no perpendiculares a lo largo de las rectas PR y QR mostrada en la figura.

Problemas de aplicación

1) Si F1 = 5i + 6j y F2 = 2i – 3j -4k. Determine F3 tal que la suma de las tres fuerzas sea nula.

2) ¿Cuál es el vector unitario en la dirección de la fuerza F = (2000i - 3000j +600k)lb?.

3) Halle una fuerza a lo largo de y otra fuerza normal a que sumadas resulten en la fuerza

4) Dados los vectores y : Determine:

5) Halle los cosenos directores de la fuerza y úselos para determinar los ángulos que forma la fuerza con los ejes coordenados.

ˆ ˆˆ 0,8 0.6e i j e

ˆˆ ˆ(5 10 3 )F i j k N

ˆˆ ˆ(2 4 0 )A i j k lb

ˆˆ ˆ(0 3 48 )B i j k lb

ˆˆ ˆ0 5 0C i j k

( . )C AC B

ˆˆ ˆ(30 40 120 )F i j k N