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Números primos y códigos cifrados:Criptografía
Francisco Jesus Castro Jimenez
Departamento deAlgebra
Universidad de Sevilla
ESTALMAT-Andalucıa, actividades 2009-10
7 de noviembre de 2009
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 1/24
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Mensajes ocultos(o secretos)
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Mensajes ocultos(o secretos)
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Mensajes ocultos(o secretos)
Mi banco y yonos comunicamos por internet
(y no nos llevamos bien).
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Mensajes ocultos(o secretos)
Mi banco y yonos comunicamos por internet
(y no nos llevamos bien).
¿Cómo hacer una transacción segura? ¿Es seguro
mandar a mi banco mi código secreto (o el número de mi
tarjeta de crédito, por ejemplo)?
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Mensajes ocultos(o secretos)
Mi banco y yonos comunicamos por internet
(y no nos llevamos bien).
¿Cómo hacer una transacción segura? ¿Es seguro
mandar a mi banco mi código secreto (o el número de mi
tarjeta de crédito, por ejemplo)?
¿Es seguro comprar un billete de AVE por
internet? Hay que dar el número de una tarjeta
de crédito...
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Mensajes ocultos(o secretos)
Mi banco y yonos comunicamos por internet
(y no nos llevamos bien).
¿Cómo hacer una transacción segura? ¿Es seguro
mandar a mi banco mi código secreto (o el número de mi
tarjeta de crédito, por ejemplo)?
¿Y si unhacker/pirataintercepta mi
comunicación?
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Mensajes ocultos(o secretos)
Mi banco y yonos comunicamos por internet
(y no nos llevamos bien).
¿Cómo hacer una transacción segura? ¿Es seguro
mandar a mi banco mi código secreto (o el número de mi
tarjeta de crédito, por ejemplo)?
¿Quién (o quiénes) responde(n) a estas
preguntas?
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Mensajes ocultos(o secretos)
Mi banco y yonos comunicamos por internet
(y no nos llevamos bien).
¿Cómo hacer una transacción segura? ¿Es seguro
mandar a mi banco mi código secreto (o el número de mi
tarjeta de crédito, por ejemplo)?
¿Quién (o quiénes) responde(n) a estas
preguntas?
Entre otros:los matemáticos.
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Mensajes ocultos(o secretos)
Mi banco y yonos comunicamos por internet
(y no nos llevamos bien).
¿Cómo hacer una transacción segura? ¿Es seguro
mandar a mi banco mi código secreto (o el número de mi
tarjeta de crédito, por ejemplo)?
¿Quién (o quiénes) responde(n) a estas
preguntas?
Entre otros:los matemáticos.¿Cómo?
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Criptografía
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Criptografía
Cripto (=oculto), grafía (=escritura).
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Criptografía
Cripto (=oculto), grafía (=escritura).El diccionario de la Lengua Española definecriptografíacomo
arte de escribir con clave secreta o de un modo enigmático
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Criptografía
Cripto (=oculto), grafía (=escritura).El diccionario de la Lengua Española definecriptografíacomo
arte de escribir con clave secreta o de un modo enigmático
... los chinos escriben de forma enigmática ...
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Criptografía
Cripto (=oculto), grafía (=escritura).El diccionario de la Lengua Española definecriptografíacomo
arte de escribir con clave secreta o de un modo enigmático
Hecho constatado: Loshackers/crackers
existen y actúan (los segundos siempre
maliciosamente).
Idea: Envío el número de mi tarjeta
"encriptado" de alguna forma.
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Criptografía
Cripto (=oculto), grafía (=escritura).El diccionario de la Lengua Española definecriptografíacomo
arte de escribir con clave secreta o de un modo enigmático
Para unhacker/crackerdebe ser imposible (o
muy, muy, muy, muy, muy difícil)
"desencriptarlo".
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Criptografía
Cripto (=oculto), grafía (=escritura).El diccionario de la Lengua Española definecriptografíacomo
arte de escribir con clave secreta o de un modo enigmático
Para unhacker/crackerdebe ser imposible (o
muy, muy, muy, muy, muy difícil)
"desencriptarlo".
Mi banco debe "desencriptarlo" fácilmente.
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Criptografía
Cripto (=oculto), grafía (=escritura).El diccionario de la Lengua Española definecriptografíacomo
arte de escribir con clave secreta o de un modo enigmático
Para unhacker/crackerdebe ser imposible (o
muy, muy, muy, muy, muy difícil)
"desencriptarlo".
Mi banco debe "desencriptarlo" fácilmente.
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Criptografía
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Criptografía
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Criptografía
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Criptografía
–Papá, déjame tu tarjeta de crédito. Tengo que comprarun libro por Internet.
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Criptografía
–Papá, déjame tu tarjeta de crédito. Tengo que comprarun libro por Internet.
–¿Qué libro es?–le dije–. Quizás puedas comprarlo encualquier librería del centro.
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Criptografía
–Papá, déjame tu tarjeta de crédito. Tengo que comprarun libro por Internet.
–¿Qué libro es?–le dije–. Quizás puedas comprarlo encualquier librería del centro.–No. Es unmangajaponés. Y, sí, lo podría comprar enuna librería pero me tendrías que llevar a Japón.
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Criptografía
–Papá, déjame tu tarjeta de crédito. Tengo que comprarun libro por Internet.
–¿Qué libro es?–le dije–. Quizás puedas comprarlo encualquier librería del centro.–No. Es unmangajaponés. Y, sí, lo podría comprar enuna librería pero me tendrías que llevar a Japón.(Maldita sea; creo que lleva razón, pensé. Como no medoy por vencido tan fácilmente, pregunté:)
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Criptografía
–Papá, déjame tu tarjeta de crédito. Tengo que comprarun libro por Internet.
–¿Qué libro es?–le dije–. Quizás puedas comprarlo encualquier librería del centro.–No. Es unmangajaponés. Y, sí, lo podría comprar enuna librería pero me tendrías que llevar a Japón.–¿Qué tal si le pido a alguno de mis colegas de Kobe quelo compre y que lo mande por correo?
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Criptografía
–Papá, déjame tu tarjeta de crédito. Tengo que comprarun libro por Internet.
–¿Qué libro es?–le dije–. Quizás puedas comprarlo encualquier librería del centro.–No. Es unmangajaponés. Y, sí, lo podría comprar enuna librería pero me tendrías que llevar a Japón.–¿Qué tal si le pido a alguno de mis colegas de Kobe quelo compre y que lo mande por correo?–¿De verdad te gustaría que tu amigo japonés te pidieraque compraras y le mandaras por correo un cómicespañol? ¿No crees que tu amigo lo compraría porInternet?
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Criptografía
–Papá, déjame tu tarjeta de crédito. Tengo que comprarun libro por Internet.
–¿Qué libro es?–le dije–. Quizás puedas comprarlo encualquier librería del centro.–No. Es unmangajaponés. Y, sí, lo podría comprar enuna librería pero me tendrías que llevar a Japón.–¿Qué tal si le pido a alguno de mis colegas de Kobe quelo compre y que lo mande por correo?–¿Tienes miedo de darme el número? Creo que lo delabrecha tecnológicaes cierto.– dijo el sabihondo.
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Criptografía
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Criptografía
Decidí darle el número de la tarjeta. Al fin y al caboestaba razonablemente convencido de que comprar con
tarjeta de crédito por Internet era bastante seguro.Aunque, claro, siempre te queda la duda. Escribí el
número en un papel y le dije:
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Criptografía
–Y que sepas que esto lo hago porqueFACTORIZAR
CIERTOS NUMEROSes una tarea muyLENTA YTEDIOSA.
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Criptografía
–Y que sepas que esto lo hago porqueFACTORIZAR
CIERTOS NUMEROSes una tarea muyLENTA YTEDIOSA.Tomó el papelito y salió corriendo a hacer su compra porInternet. Al poco volvió, también corriendo, a pedir otrodato de la tarjeta.
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Criptografía
–Y que sepas que esto lo hago porqueFACTORIZAR
CIERTOS NUMEROSes una tarea muyLENTA YTEDIOSA.
No le dio importancia a mi alusión a laFACTORIZACION
DE NUMEROS.
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Criptografía
–Y que sepas que esto lo hago porqueFACTORIZAR
CIERTOS NUMEROSes una tarea muyLENTA YTEDIOSA.
Sin embargo algo debió quedar,en espera, en algunaparte de su cerebro. Unos días después me preguntósobre “eso de la factorización".
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Criptografía
–Y que sepas que esto lo hago porqueFACTORIZAR
CIERTOS NUMEROSes una tarea muyLENTA YTEDIOSA.
Para entender cómo se hacen las compras (o lastransacciones) seguras por internet hay que hablar unpoco de números (matemáticas)
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Números primos
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Números primos
Euclides (Alejandría; 325-265 a.C.) Seguramente elmatemático más conocido, junto con Pitágoras, de todos
los tiempos.
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Números primos
Euclides (Alejandría; 325-265 a.C.) Seguramente elmatemático más conocido, junto con Pitágoras, de todos
los tiempos.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 6/24
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Números primos
Euclides (Alejandría; 325-265 a.C.) Seguramente elmatemático más conocido, junto con Pitágoras, de todos
los tiempos.Euclides: Un número mayor que 1 esprimosi sólo esdivisible por él mismo y por la unidad y un número es
compuestosi no es primo.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 6/24
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Números primos
Euclides (Alejandría; 325-265 a.C.) Seguramente elmatemático más conocido, junto con Pitágoras, de todos
los tiempos.Euclides: Un número mayor que 1 esprimosi sólo esdivisible por él mismo y por la unidad y un número es
compuestosi no es primo.Euclides: Cualquier número (compuesto o primo) es
divisible por algún número primo.
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Números primos
Euclides (Alejandría; 325-265 a.C.) Seguramente elmatemático más conocido, junto con Pitágoras, de todos
los tiempos.Euclides: Un número mayor que 1 esprimosi sólo esdivisible por él mismo y por la unidad y un número es
compuestosi no es primo.Euclides: Todo número es igual a (o se descompone
como) un producto de ciertos números primos.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 6/24
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Números primos
Euclides (Alejandría; 325-265 a.C.) Seguramente elmatemático más conocido, junto con Pitágoras, de todos
los tiempos.Euclides: Un número mayor que 1 esprimosi sólo esdivisible por él mismo y por la unidad y un número es
compuestosi no es primo.
24 = 2 × 2 × 2 × 3.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 6/24
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Números primos
Euclides (Alejandría; 325-265 a.C.) Seguramente elmatemático más conocido, junto con Pitágoras, de todos
los tiempos.Euclides: Un número mayor que 1 esprimosi sólo esdivisible por él mismo y por la unidad y un número es
compuestosi no es primo.
Es decir: 24 = 23× 3.
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Números primos
Euclides (Alejandría; 325-265 a.C.) Seguramente elmatemático más conocido, junto con Pitágoras, de todos
los tiempos.Euclides: Un número mayor que 1 esprimosi sólo esdivisible por él mismo y por la unidad y un número es
compuestosi no es primo.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 son los primeros 7
primeros números primos.
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Números primos: Factorización
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Números primos: Factorización
A pesar de su aparente inocencia, los números primosesconden secretos que los matemáticos no han podido
desentrañar aún.
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Números primos: Factorización
Uno de los problemas matemáticos más difíciles ytodavía no resuelto, la llamadahipótesis de Riemann,
trata sobre propiedades de los números primos.
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Números primos: Factorización
Uno de los problemas matemáticos más difíciles ytodavía no resuelto, la llamadahipótesis de Riemann,
trata sobre propiedades de los números primos.Hay un premio deun millón de dólares estadounidenses
para quien lo resuelva.Más información en la página del Instituto Clay
http://www.claymath.org/millennium/Riemann Hypothesis
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Números primos: Factorización
La frasehay unadiabólica malignidadinherente a losnúmeros primosse atribuye al matemático inglés G.H.
Hardy (1877-1947); un comentario dirigido almatemático indio S. Ramanujan (1887-1920).
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Números primos: Factorización
G.H. Hardy (1877-1947) S. Ramanujan (1887-1920)
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Números primos: Factorización
Dios puede que no juegue a los dados con el universo,pero algo extraño está pasando con los números primos.
Paul Erdos (1913 -1996).
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Números primos: Factorización
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Números primos: Factorización
Factorizar números grandes es una tareasimplepero, adía de hoy, en muchos casosmuy lenta/tediosa; muy
difícil .
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Números primos: Factorización
Factorizar números grandes es una tareasimplepero, adía de hoy, en muchos casosmuy lenta/tediosa; muy
difícil .¿A día de hoy?
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 7/24
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Números primos: Factorización
Factorizar números grandes es una tareasimplepero, adía de hoy, en muchos casosmuy lenta/tediosa; muy
difícil .A día de hoy, no se conocen algoritmos rápidos de
factorización.
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Números primos: Factorización
Factorizar números grandes es una tareasimplepero, adía de hoy, en muchos casosmuy lenta/tediosa; muy
difícil .A día de hoy, no se conocen algoritmos rápidos de
factorización.Factorizar un número de 500 cifras puede necesitar (a díade hoy, con el ordenador más potente del mundo), miles
de millones de años.
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Números primos: Factorización
Factorizar números grandes es una tareasimplepero, adía de hoy, en muchos casosmuy lenta/tediosa; muy
difícil .A día de hoy, no se conocen algoritmos rápidos de
factorización.Pero bien pudiera inventarse (seguramente obra de unmatemático) un sistema, un método, que factorizara
números grandes en muy poco tiempo.
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Números primos: Factorización
Factorizar números grandes es una tareasimplepero, adía de hoy, en muchos casosmuy lenta/tediosa; muy
difícil .A día de hoy, no se conocen algoritmos rápidos de
factorización.Pero bien pudiera inventarse (seguramente obra de unmatemático) un sistema, un método, que factorizara
números grandes en muy poco tiempo.Si eso ocurriera todo el comercio electrónico actual
estaría en peligro.¿Por qué?
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 7/24
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Números primos: Factorización
Factorizar números grandes es una tareasimplepero, adía de hoy, en muchos casosmuy lenta/tediosa; muy
difícil .A día de hoy, no se conocen algoritmos rápidos de
factorización.Pero bien pudiera inventarse (seguramente obra de unmatemático) un sistema, un método, que factorizara
números grandes en muy poco tiempo.Si eso ocurriera todo el comercio electrónico actual
estaría en peligro.¿Por qué?
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 7/24
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Números primos: Factorización
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![Page 61: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/61.jpg)
Números primos: Factorización
La seguridad de los métodos criptográficos que
se usan en el comercio electrónico se basan en
la dificultad actual para factorizar números
grandes.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 8/24
![Page 62: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/62.jpg)
Números primos: Factorización
La seguridad de los métodos criptográficos que
se usan en el comercio electrónico se basan en
la dificultad actual para factorizar números
grandes.
¿Cómo funciona este método?
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 8/24
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El método criptográfico RSA
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El método criptográfico RSA
RSA (R.L. Rivest, A. Shamir y L.M. Adleman)
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 9/24
![Page 65: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/65.jpg)
El método criptográfico RSA
ClienteC
tiene que enviar (por internet) el número de su tarjeta de crédito a
VendedorV .
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 9/24
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El método criptográfico RSA
ClienteC
tiene que enviar (por internet) el número de su tarjeta de crédito a
VendedorV .
V dice a TODOS los posibles comparadores:
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 9/24
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El método criptográfico RSA
ClienteC
tiene que enviar (por internet) el número de su tarjeta de crédito a
VendedorV .
V dice a TODOS los posibles comparadores:
Antes de enviar el número hagan primeroDOS
operaciones:
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 9/24
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El método criptográfico RSA
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 10/24
![Page 69: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/69.jpg)
El método criptográfico RSA
Antes de enviar el número hagan primeroDOS
operaciones:
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 10/24
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El método criptográfico RSA
Operación (1): Eleven el número a la potencia
3.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 10/24
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El método criptográfico RSA
Operación (1): Eleven el número a la potencia
3.
Operación (2): Dividan el resultado anterior
entre55 y quédense con elRESTO.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 10/24
![Page 72: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/72.jpg)
El método criptográfico RSA
Operación (1): Eleven el número a la potencia
3.
Operación (2): Dividan el resultado anterior
entre55 y quédense con elRESTO.
Envíenme eseRESTO.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 10/24
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SistemaRSA: Ejemplo trivial.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 11/24
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SistemaRSA: Ejemplo trivial.
Para simplificar, supongamos que el número de
la tarjeta es14.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 11/24
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SistemaRSA: Ejemplo trivial.
Para simplificar, supongamos que el número de
la tarjeta es14.Operación (1):143 = 2744.
Operación (2): El resto de dividir2744 entre55 es:49
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 11/24
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SistemaRSA: Ejemplo trivial.
Para simplificar, supongamos que el número de
la tarjeta es14.Operación (1):143 = 2744.
Operación (2): El resto de dividir2744 entre55 es:49
El clienteC envía aV el número49. Este
número es el número14 CODIFICADO
(encriptado).
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 11/24
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SistemaRSA: Ejemplo trivial.
Para simplificar, supongamos que el número de
la tarjeta es14.Operación (1):143 = 2744.
Operación (2): El resto de dividir2744 entre55 es:49
El clienteC envía aV el número49. Este
número es el número14 CODIFICADO
(encriptado).
IMPORTANTE:Todo el mundo puede saber cómo se codifican los
mensajes enviados aV .Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 11/24
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SistemaRSA: Ejemplo trivial.
Para simplificar, supongamos que el número de
la tarjeta es14.Operación (1):143 = 2744.
Operación (2): El resto de dividir2744 entre55 es:49
El clienteC envía aV el número49. Este
número es el número14 CODIFICADO
(encriptado).
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 11/24
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SistemaRSA: Ejemplo trivial.
Para simplificar, supongamos que el número de
la tarjeta es14.Operación (1):143 = 2744.
Operación (2): El resto de dividir2744 entre55 es:49
El clienteC envía aV el número49. Este
número es el número14 CODIFICADO
(encriptado).
El par de números(3, 55) es laCLAVE
PÚBLICA del vendedorV .Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 11/24
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SistemaRSA: Ejemplo trivial.
Para simplificar, supongamos que el número de
la tarjeta es14.Operación (1):143 = 2744.
Operación (2): El resto de dividir2744 entre55 es:49
El clienteC envía aV el número49. Este
número es el número14 CODIFICADO
(encriptado).
El par de números(3, 55) es laCLAVE
PÚBLICA del vendedorV .
El par(3, 55) (o su equivalente en los casosNumeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 11/24
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SistemaRSA: Ejemplo trivial.
Para simplificar, supongamos que el número de
la tarjeta es14.Operación (1):143 = 2744.
Operación (2): El resto de dividir2744 entre55 es:49
El clienteC envía aV el número49. Este
número es el número14 CODIFICADO
(encriptado).
El par de números(3, 55) es laCLAVE
PÚBLICA del vendedorV .
¿Cómo descodificaV el número recibido?Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 11/24
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El sistemaRSA. Ejemplo trivial.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 12/24
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El sistemaRSA. Ejemplo trivial.
Para descodificar el vendedorV también hace
DOSoperaciones.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 12/24
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El sistemaRSA. Ejemplo trivial.
Para descodificar el vendedorV también hace
DOSoperaciones.
V mantiene en secreto un número:su CLAVE
PRIVADA. En este ejemplo esta clave es27.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 12/24
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El sistemaRSA. Ejemplo trivial.
Para descodificar el vendedorV también hace
DOSoperaciones.
V mantiene en secreto un número:su CLAVE
PRIVADA. En este ejemplo esta clave es27.Operación (1): Eleva49 a27. Obtiene
4318114567396436564035293097707728087552248849
Operación (2): Calcula elRESTOde ese número dividido por55.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 12/24
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El sistemaRSA. Ejemplo trivial.
Para descodificar el vendedorV también hace
DOSoperaciones.
V mantiene en secreto un número:su CLAVE
PRIVADA. En este ejemplo esta clave es27.Operación (1): Eleva49 a27. Obtiene
4318114567396436564035293097707728087552248849
Operación (2): Calcula elRESTOde ese número dividido por55.
EseRESTOes:
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 12/24
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El sistemaRSA. Ejemplo trivial.
Para descodificar el vendedorV también hace
DOSoperaciones.
V mantiene en secreto un número:su CLAVE
PRIVADA. En este ejemplo esta clave es27.Operación (1): Eleva49 a27. Obtiene
4318114567396436564035293097707728087552248849
Operación (2): Calcula elRESTOde ese número dividido por55.
14 !!!!!!!!
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 12/24
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El sistemaRSA. Ejemplo trivial.
Para descodificar el vendedorV también hace
DOSoperaciones.
V mantiene en secreto un número:su CLAVE
PRIVADA. En este ejemplo esta clave es27.Operación (1): Eleva49 a27. Obtiene
4318114567396436564035293097707728087552248849
Operación (2): Calcula elRESTOde ese número dividido por55.
¿Truco?
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 12/24
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El sistemaRSA. Ejemplo trivial.
Para descodificar el vendedorV también hace
DOSoperaciones.
V mantiene en secreto un número:su CLAVE
PRIVADA. En este ejemplo esta clave es27.Operación (1): Eleva49 a27. Obtiene
4318114567396436564035293097707728087552248849
Operación (2): Calcula elRESTOde ese número dividido por55.
Truco no. Matemáticas.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 12/24
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El sistemaRSA. Ejemplo trivial.
Para descodificar el vendedorV también hace
DOSoperaciones.
V mantiene en secreto un número:su CLAVE
PRIVADA. En este ejemplo esta clave es27.Operación (1): Eleva49 a27. Obtiene
4318114567396436564035293097707728087552248849
Operación (2): Calcula elRESTOde ese número dividido por55.
Explicación del “hecho" ... (ningún mago suele
hacer esto).Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 12/24
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Explicación del códigoRSA
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 13/24
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Explicación del códigoRSA
(a)55 = 5 × 11. Pongamosp = 5, q = 11.(b) El número3 elegido es primo.
(c) La clave secreta del vendedor es27.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 13/24
![Page 93: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/93.jpg)
Explicación del códigoRSA
(a)55 = 5 × 11. Pongamosp = 5, q = 11.(b) El número3 elegido es primo.
(c) La clave secreta del vendedor es27.
3 × 27 = 81
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 13/24
![Page 94: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/94.jpg)
Explicación del códigoRSA
(a)55 = 5 × 11. Pongamosp = 5, q = 11.(b) El número3 elegido es primo.
(c) La clave secreta del vendedor es27.
14(3×27) = 1481 da resto14 al dividirlo entre55.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 13/24
![Page 95: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/95.jpg)
Explicación del códigoRSA
(a)55 = 5 × 11. Pongamosp = 5, q = 11.(b) El número3 elegido es primo.
(c) La clave secreta del vendedor es27.
24(3×27) = 2481 da resto24 al dividirlo entre55.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 13/24
![Page 96: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/96.jpg)
Explicación del códigoRSA
(a)55 = 5 × 11. Pongamosp = 5, q = 11.(b) El número3 elegido es primo.
(c) La clave secreta del vendedor es27.
32(3×27) = 3281 da resto32 al dividirlo entre55.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 13/24
![Page 97: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/97.jpg)
Explicación del códigoRSA
(a)55 = 5 × 11. Pongamosp = 5, q = 11.(b) El número3 elegido es primo.
(c) La clave secreta del vendedor es27.
De hecho, para todo númeroM < 55M 3×27 = M 81 da restoM al dividirlo entre55.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 13/24
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Explicación del códigoRSA
(a)55 = 5 × 11. Pongamosp = 5, q = 11.(b) El número3 elegido es primo.
(c) La clave secreta del vendedor es27.
¿Por qué? ¿Qué relación hay entre3 × 27 = 81y 55?
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 13/24
![Page 99: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/99.jpg)
Explicación del códigoRSA
(a)55 = 5 × 11. Pongamosp = 5, q = 11.(b) El número3 elegido es primo.
(c) La clave secreta del vendedor es27.
Teorema de Euler-Fermat:Si M es primo
conn = p × q entonces
M (p−1)×(q−1)≡ 1 mod n.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 13/24
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Explicación del códigoRSA
(a)55 = 5 × 11. Pongamosp = 5, q = 11.(b) El número3 elegido es primo.
(c) La clave secreta del vendedor es27.
¿¿¿Qué ...???
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 13/24
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Explicación del códigoRSA
Si M es un número primo con55 entonces
M 4×10 = M40
≡ 1 mod 55.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 14/24
![Page 102: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/102.jpg)
Explicación del códigoRSA
Si M es un número primo con55 entonces
M 4×10 = M40
≡ 1 mod 55.
Por el Teorema de Euler-Fermat, conM = 14,
se tiene
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 14/24
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Explicación del códigoRSA
Si M es un número primo con55 entonces
M 4×10 = M40
≡ 1 mod 55.
(143)27 = 1481 = 1480× 14 = (14
40)2 × 14
≡ 1 × 14 mod 55
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 14/24
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Explicación del códigoRSA
Si M es un número primo con55 entonces
M 4×10 = M40
≡ 1 mod 55.
Si M es primo con55 (y menor que55)
entoncesM 3×27 = M 81 = M40 ×2
× M da
restoM al dividirlo entre55.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 14/24
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Las claves
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 15/24
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Las claves
El vendedor hace pública suCLAVE
PÚBLICA: (e, n).
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 15/24
![Page 107: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/107.jpg)
Las claves
El vendedor hace pública suCLAVE
PÚBLICA: (e, n).
Eligen = p × q conp, q primos muy grandes:
(de (alrededor de) 250 cifras).El vendedor
mantienep, q en secreto.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 15/24
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Las claves
El vendedor hace pública suCLAVE
PÚBLICA: (e, n).
Eligen = p × q conp, q primos muy grandes:
(de (alrededor de) 250 cifras).El vendedor
mantienep, q en secreto.Cada cliente, antes de enviar el número de tarjetaM realiza las dos
operaciones:
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 15/24
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Las claves
El vendedor hace pública suCLAVE
PÚBLICA: (e, n).
Eligen = p × q conp, q primos muy grandes:
(de (alrededor de) 250 cifras).El vendedor
mantienep, q en secreto.
a) CalculaM e.
b) DivideM e entren y obtiene un restoR.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 15/24
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Las claves
El vendedor hace pública suCLAVE
PÚBLICA: (e, n).
Eligen = p × q conp, q primos muy grandes:
(de (alrededor de) 250 cifras).El vendedor
mantienep, q en secreto.
El cliente envíaR a través de internet.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 15/24
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Las claves
El vendedor hace pública suCLAVE
PÚBLICA: (e, n).
Eligen = p × q conp, q primos muy grandes:
(de (alrededor de) 250 cifras).El vendedor
mantienep, q en secreto.
Si unhackerintercepta el envío, veráR.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 15/24
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Las claves
El vendedor hace pública suCLAVE
PÚBLICA: (e, n).
Eligen = p × q conp, q primos muy grandes:
(de (alrededor de) 250 cifras).El vendedor
mantienep, q en secreto.
El hackersabe queR es el resto de dividir entre
n (número conocido) un cierto númeroM e (e
es conocido peroM es desconocido el para
pirata.) Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 15/24
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Las claves
El vendedor hace pública suCLAVE
PÚBLICA: (e, n).
Eligen = p × q conp, q primos muy grandes:
(de (alrededor de) 250 cifras).El vendedor
mantienep, q en secreto.
¿Y qué más?
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 15/24
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Las claves
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 16/24
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Las claves
El vendedor se ha guardado suCLAVE PRIVADA: d.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 16/24
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Las claves
El vendedor se ha guardado suCLAVE PRIVADA: d.d sirve paradescodificarel número codificado/encriptado
R.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 16/24
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Las claves
El vendedor se ha guardado suCLAVE PRIVADA: d.El vendedor realiza sus dos operaciones sobreR:
a) CalculaRd.
b) halla el resto de dividirRd entren.
¿Y?
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 16/24
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Las claves
El vendedor se ha guardado suCLAVE PRIVADA: d.El vendedor realiza sus dos operaciones sobreR:
a) CalculaRd.
b) halla el resto de dividirRd entren.
¿Y?
Y obtieneM . Cualquier número de tarjetaM verificaM e×d
≡ Rd≡ M mod n. (Gracias a Euler y a Fermat).
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 16/24
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Las claves
El vendedor se ha guardado suCLAVE PRIVADA: d.El vendedor realiza sus dos operaciones sobreR:
a) CalculaRd.
b) halla el resto de dividirRd entren.
¿Y?
Y obtieneM . Cualquier número de tarjetaM verificaM e×d
≡ Rd≡ M mod n. (Gracias a Euler y a Fermat).
Quien disponga ded podrá conocer el número de latarjeta de cualquier comprador (cliente). ¿Cómo se elige
d?
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 16/24
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Las claves
El vendedor se ha guardado suCLAVE PRIVADA: d.El vendedor realiza sus dos operaciones sobreR:
a) CalculaRd.
b) halla el resto de dividirRd entren.
¿Y?
Y obtieneM . Cualquier número de tarjetaM verificaM e×d
≡ Rd≡ M mod n. (Gracias a Euler y a Fermat).
e × d debe dar resto 1 al dividirlo entre(p − 1) × (q − 1).
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 16/24
![Page 121: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/121.jpg)
Las claves
El vendedor se ha guardado suCLAVE PRIVADA: d.El vendedor realiza sus dos operaciones sobreR:
a) CalculaRd.
b) halla el resto de dividirRd entren.
¿Y?
Y obtieneM . Cualquier número de tarjetaM verificaM e×d
≡ Rd≡ M mod n. (Gracias a Euler y a Fermat).
e × d debe dar resto 1 al dividirlo entre(p − 1) × (q − 1).
e = 3, d = 27, n = 55 = p × q = 5 × 11.e × d = 81 da resto 1 al dividirlo entre
(p − 1) × (q − 1) = 4 × 10 = 40.
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Las claves
El vendedor se ha guardado suCLAVE PRIVADA: d.El vendedor realiza sus dos operaciones sobreR:
a) CalculaRd.
b) halla el resto de dividirRd entren.
¿Y?
Y obtieneM . Cualquier número de tarjetaM verificaM e×d
≡ Rd≡ M mod n. (Gracias a Euler y a Fermat).
e × d debe dar resto 1 al dividirlo entre(p − 1) × (q − 1).
Si e es primo con(p − 1) × (q − 1) siempre es posible
encontrar un tald (Gracias a Euclides).
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 16/24
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Las claves
El vendedor se ha guardado suCLAVE PRIVADA: d.El vendedor realiza sus dos operaciones sobreR:
a) CalculaRd.
b) halla el resto de dividirRd entren.
¿Y?
Y obtieneM . Cualquier número de tarjetaM verificaM e×d
≡ Rd≡ M mod n. (Gracias a Euler y a Fermat).
e × d debe dar resto 1 al dividirlo entre(p − 1) × (q − 1).
Si e es primo con(p − 1) × (q − 1) siempre es posible
encontrar un tald (Gracias a Euclides).
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 16/24
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Las claves. Euler y Fermat
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 17/24
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Las claves. Euler y Fermat
Si e es primo con(p − 1) × (q − 1) siempre es
posible encontrar un tald (Gracias a
Euclides).
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 17/24
![Page 126: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/126.jpg)
Las claves. Euler y Fermat
Si e es primo con(p − 1) × (q − 1) siempre es
posible encontrar un tald (Gracias a
Euclides).
e × d = ℓ × (p − 1) × (q − 1) + 1
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 17/24
![Page 127: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/127.jpg)
Las claves. Euler y Fermat
Si e es primo con(p − 1) × (q − 1) siempre es
posible encontrar un tald (Gracias a
Euclides).
e × d = ℓ × (p − 1) × (q − 1) + 1
M e≡ R mod n (M e)d ≡ Rd mod n
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 17/24
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Las claves. Euler y Fermat
Si e es primo con(p − 1) × (q − 1) siempre es
posible encontrar un tald (Gracias a
Euclides).
e × d = ℓ × (p − 1) × (q − 1) + 1
M e≡ R mod n (M e)d ≡ Rd mod n
(M e)d =(
M (p−1)×(q−1))ℓ× M ≡ 1ℓ
× M
mod n
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 17/24
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Las claves. Euler y Fermat
Si e es primo con(p − 1) × (q − 1) siempre es
posible encontrar un tald (Gracias a
Euclides).
e × d = ℓ × (p − 1) × (q − 1) + 1
M e≡ R mod n (M e)d ≡ Rd mod n
(M e)d =(
M (p−1)×(q−1))ℓ× M ≡ 1ℓ
× M
mod n
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 17/24
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Las claves. Euler y Fermat
Si e es primo con(p − 1) × (q − 1) siempre es
posible encontrar un tald (Gracias a
Euclides).
e × d = ℓ × (p − 1) × (q − 1) + 1
M e≡ R mod n (M e)d ≡ Rd mod n
(M e)d =(
M (p−1)×(q−1))ℓ× M ≡ 1ℓ
× M
mod n
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 17/24
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Las claves. Euler y Fermat
Si e es primo con(p − 1) × (q − 1) siempre es
posible encontrar un tald (Gracias a
Euclides).
e × d = ℓ × (p − 1) × (q − 1) + 1
M e≡ R mod n (M e)d ≡ Rd mod n
(M e)d =(
M (p−1)×(q−1))ℓ× M ≡ 1ℓ
× M
mod n
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 17/24
![Page 132: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/132.jpg)
Las claves. Euler y Fermat
Si e es primo con(p − 1) × (q − 1) siempre es
posible encontrar un tald (Gracias a
Euclides).
e × d = ℓ × (p − 1) × (q − 1) + 1
M e≡ R mod n (M e)d ≡ Rd mod n
(M e)d =(
M (p−1)×(q−1))ℓ× M ≡ 1ℓ
× M
mod n
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 17/24
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¿Estamos en buenas manos?
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 18/24
![Page 134: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/134.jpg)
¿Estamos en buenas manos?
Conocerd equivalea conocerp y q.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 18/24
![Page 135: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/135.jpg)
¿Estamos en buenas manos?
Conocerd equivalea conocerp y q.
Factorizarn es, a día de hoy, muy difícil (miles
de millones de años).
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 18/24
![Page 136: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/136.jpg)
¿Estamos en buenas manos?
Conocerd equivalea conocerp y q.
Factorizarn es, a día de hoy, muy difícil (miles
de millones de años).
A día de hoy, el comercio electrónico es seguro.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 18/24
![Page 137: Números primos y códigos cifrados: Criptografíaestalmat/ACT/SESIONES/Curso-09... · 2009. 11. 10. · Euclides: Un número mayor que 1 es primo si sólo es divisible por él mismo](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012008/6127eaff5a4f6e4ee3289f24/html5/thumbnails/137.jpg)
¿Estamos en buenas manos?
Conocerd equivalea conocerp y q.
Factorizarn es, a día de hoy, muy difícil (miles
de millones de años).
A día de hoy, el comercio electrónico es seguro.
Lo hace seguro la incapacidad de los
matemáticos para desarrollar métodos rápidos
de factorización.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 18/24
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¿Estamos en buenas manos?
Conocerd equivalea conocerp y q.
Factorizarn es, a día de hoy, muy difícil (miles
de millones de años).
A día de hoy, el comercio electrónico es seguro.
Se usan números primos grandes (¡no es fácil
encontrarlos!)
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 18/24
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Protocolos
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 19/24
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Protocolos
El intercambio de claves se hace de forma
automática entre
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 19/24
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Protocolos
El intercambio de claves se hace de forma
automática entre
el ordenador del cliente
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 19/24
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Protocolos
El intercambio de claves se hace de forma
automática entre
el ordenador del cliente
y el del vendedor (protocolohttps)
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 19/24
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Más personajes
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Más personajes
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 20/24
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Más personajes
Pierre de Fermat (1601-1665)
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 20/24
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Más personajes
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 21/24
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Más personajes
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 21/24
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Más personajes
Homenaje de Suiza a L. Euler (1707-1783). Un
retrato de Euler aparece en un billete de 10
francos suizos.
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Más personajes
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 22/24
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Más personajes
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 22/24
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Más personajes
Ronald Rivest, derecha; Adi Shamir, centro; LeonardAdleman, izquierda.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 22/24
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Más personajes y una cita
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 23/24
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Más personajes y una cita
La matemática auténtica no tiene efectos sobre la guerra. Nadie ha
descubierto aún un propósito bélico que se sirva de la teoríade
números o de la relatividad, y parece muy poco probable que
alguien vaya a hacerlo en los próximos años.
(G.H. Hardy, Apología de un Matemático)
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 23/24
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Más personajes y una cita
La matemática auténtica no tiene efectos sobre la guerra. Nadie ha
descubierto aún un propósito bélico que se sirva de la teoríade
números o de la relatividad, y parece muy poco probable que
alguien vaya a hacerlo en los próximos años.
(G.H. Hardy, Apología de un Matemático)
El brillantísimo Hardy estaba, en este extremo, totalmente
equivocado.
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 23/24
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Más personajes y una cita
La matemática auténtica no tiene efectos sobre la guerra. Nadie ha
descubierto aún un propósito bélico que se sirva de la teoríade
números o de la relatividad, y parece muy poco probable que
alguien vaya a hacerlo en los próximos años.
(G.H. Hardy, Apología de un Matemático)
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 23/24
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Más personajes y una cita
La matemática auténtica no tiene efectos sobre la guerra. Nadie ha
descubierto aún un propósito bélico que se sirva de la teoríade
números o de la relatividad, y parece muy poco probable que
alguien vaya a hacerlo en los próximos años.
(G.H. Hardy, Apología de un Matemático)
G.H. Hardy (1877-1947) S. Ramanujan (1887-1920)Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 23/24
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Fin
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Fin
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Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 24/24
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Fin
Muchas gracias por su atención
Numeros primos y codigos cifrados: Criptografıa – p. 24/24