números realesgc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13127w/alg...de lo que: 1575=3·3·5·35 ahora...
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Unidad 2
Números reales Objetivos
Al finalizar la unidad, el alumno:
• Aplicará el concepto de número natural y sus propiedades.
• Aplicará el concepto de número entero y sus propiedades.
• Aplicará el concepto de número racional y sus propiedades.
• Aplicará el concepto de número real y sus propiedades.
números reales
43
Introducción
Contar es establecer una relación uno a uno entre dos conjuntos; el conjunto
cuya cantidad de elementos se indaga, y el conjunto de símbolos conocidos
como números. Los números naturales nacieron debido a la necesidad de contar
de nuestros ancestros. En esta unidad se estudiarán algunas propiedades de los
números naturales.
También estudiaremos un método muy útil para demostrar verdades
matemáticas, conocido como inducción matemática, que nos ayudará a establecer
algunas relaciones que existen entre los números.
Terminando de estudiar los números naturales estudiaremos el conjunto
de los números enteros. Estos números incorporan los números negativos al conjunto
de los números naturales. Se estudiarán sus propiedades así como su orden y su
representación en la recta numérica.
Continuando con el estudio de las propiedades de los números enteros,
lo primero que notamos es la existencia de números pares, es decir, existen
números que son exactamente divisibles entre 2; también hay números que
son exactamente divisibles entre 3, etc. Esta clasificación de los números nos
habla de una noción que se encuentra en la base del estudio de los números: la
divisibilidad. En forma general, ésta se refiere a aquellos casos en que un entero
“cabe” un número exacto de veces en otro.
En esta unidad revisaremos también el estudio de la división para definir
un nuevo conjunto de números llamados racionales, Q; estudiaremos sus
operaciones y sus propiedades.
Por último, estudiaremos el último conjunto de números: los irracionales.
Después, con la ayuda de todos los conjuntos de números conocidos, podremos
definir un conjunto de números con el nombre de reales.
2.1. Concepto de número natural
Los números que nos sirven para contar los elementos de un conjunto
son los números naturales y se designan por N ={0,1,2,3,4,...}.
Álgebra superior
44
Consideraremos en este texto al cero como el primer número natural,
siendo importante resaltar que muchos autores no lo consideran así.
¿Existirá el último número natural?
Los números naturales se encuentran ordenados de manera “natural” y
gráficamente se representan en la recta numérica, cuyo origen es el cero y se
extiende hacia el 1, luego el 2, luego el 3, etcétera.
Nótese que los números naturales aunque tienen primer elemento no
tienen último.
Existen dos operaciones básicas que pueden realizarse con los números
naturales: la suma y el producto.
Estas operaciones cumplen con las propiedades que enlistaremos a
continuación:
Propiedades de la suma y el producto de números naturales
1. Cerradura de la suma.
Cuando se suman dos números naturales, a y b, se obtiene otro
número natural, c
a+b=c
2. Conmutatividad de la suma.
Para todo a y b en N,
a+b=b+a
3. Asociatividad en la suma.
Para todo a, b y c en N,
(a+b)+c=a+(b+c)
4. Elemento neutro aditivo.
El elemento neutro para la adición es el cero. Para todo a en N,
a+0=a
números reales
4�
5. Cerradura de la multiplicación.
Cuando se multiplican dos números naturales, a y b, se obtiene otro
número natural c:
ab=c
6. Conmutatividad de la multiplicación.
Para todo a y b en N,
ab=ba
7. Asociatividad en la multiplicación.
Para todo a, b y c en N
(ab)c=a(bc)
8. Elemento neutro multiplicativo.
El elemento neutro para la multiplicación es el 1. Para todo a en N,
a1=a
9. Distributividad.
La multiplicación es distributiva respecto a la suma. Para todo a,b y
c en N se tiene que
a(b+c)=ab+ac
Más adelante estudiaremos otros tipos de números y descubriremos que
cada uno tiene sus propiedades características que los diferencian de los demás.
2.1.1. Definición de números primos
Dentro de los números naturales existen algunos que sólo pueden ser
divididos entre ellos mismos y la unidad. A estos se les conoce con el nombre de
números primos.
Un número natural p es llamado primo cuando tiene como únicos
divisores a 1 y a p.
Álgebra superior
4�
Un número natural que no es primo es llamado compuesto.
Ejemplos de números primos son 11, 2 y 7.
Ejemplos de números compuestos son 4, 9 y 10.
Al número 1 no se le considera ni primo ni compuesto.
De importancia fundamental son los números primos ya que cualquier
número natural puede expresarse como producto de números primos. A esta
propiedad de los naturales se le conoce como el teorema fundamental de la
aritmética.
Este resultado es intuitivamente muy claro, ya que un número, si no es
primo, se puede descomponer sucesivamente hasta que todos sus factores lo
sean.
Ejemplos de descomposición de números naturales en factores primos,
llamada también descomposición canónica, son:
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅
180 2 2 3 3 5
3087 3 3 7 7 7
15 3 5
Para encontrar la descomposición canónica de un número no existe un
método fácil y rápido, pero sí existe un método infalible aunque laborioso: ir
dividiendo el número entre todos los primos menores que él y hacer lo mismo
con sus divisores hasta que ya no se puedan dividir más que por ellos mismos o
por la unidad.
Por ejemplo, encontremos la descomposición canónica de 1575.
Empecemos dividiendo 1575 entre 2, cuyo resultado no es un número
natural, entonces el 2 no divide a 1575.
Ahora dividimos 1575 entre 3 y obtenemos el entero 525.
Entonces 1575 se puede escribir como:
1575=3·525·
Repetimos el proceso para el 525.
Empezamos a dividir por el último divisor que se encontró, o sea el 3.
Encontramos que 525 si se divide entre 3 arroja un cociente de 175. De lo
que:
números reales
4�
1575=3·3·175
Ahora dividamos a 175 entre 3 y encontramos que el cociente no es entero.
Por lo que dividimos al 175 entre 5, el primo que sigue al 3, y encontramos que
175=5 ⋅35. De lo que:
1575=3·3·5·35
Ahora el 35 también se divide entre 5 con cociente entero, 7, de lo que:
1575=3 ⋅3 ⋅5 ⋅5 ⋅7Como 7 también es primo, entonces ya terminó el proceso. Por lo que la
descomposición canónica de 1575 es:
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1575 3 3 5 5 7
La descomposición canónica de un número es única; este resultado
garantiza que no encontremos dos formas de escribir a un número en factores
primos.
2.1.2. Método de inducción matemática
La inducción matemática nos ayudará a establecer, de manera general,
ciertas propiedades que observamos suceden de manera particular para algunos
números naturales o conjunto de ellos.
Por ejemplo, si se suman los números naturales del 1 al 5 se obtiene:
1+2+3+4+5=15
y 15 se obtiene de multiplicar a 5 por 6 y dividirlo entre 2.
Si se suman los números naturales del 1 al 10 se obtiene:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
y 55 se obtiene de multiplicar 10 por 11 y dividirlo entre 2.
Álgebra superior
48
Entonces, ¿podrá demostrarse que la suma de los número naturales del 1
al n es igual a la mitad del producto de n y n+1? Esto se verá más adelante.
Cualquier proposición puede clasificarse como general o particular. Por
ejemplo, son proposiciones generales:
• Todos los alumnos de esta universidad estudian.
• Todos los números terminados en 2 son pares.
• Todos los círculos tienen un centro.
Y son proposiciones particulares:
• El alumno de esta universidad, Pedro López, estudia.
• 22 es un número par.
• El círculo A tiene su centro en (h,k).
El proceso por el cual pasamos de las proposiciones generales a las
particulares se llama deducción.
Del hecho de que todas las personas sean mortales se deduce que si Juan
es persona, entonces Juan es mortal.
El proceso de obtener proposiciones generales de proposiciones particulares
se llama inducción. De ver que un cuervo es negro, y luego ver otro cuervo
negro y así sucesivamente se induce que todos los cuervos son negros.
El razonamiento inductivo puede llevar a concluir proposiciones verdaderas
o falsas.
Por ejemplo:
1. El número 10 es divisible entre 5, el número 20 es divisible entre 5,
el número 30 es divisible entre 5, por tanto se induce que todos los
números terminados en cero son divisibles entre 5. En este caso la
proposición general obtenida de la particular es correcta.
2. El número 120 es divisible entre 5, el número 935 es divisible entre 5, el
número 460 es divisible entre 5, por tanto todos los números naturales
de tres cifras son divisibles entre 5. En este caso la proposición general
obtenida a partir de las particulares es falsa.
números reales
4�
Entonces, ¿cómo puede aplicarse la inducción en matemáticas para que las
proposiciones generales siempre sean verdaderas?
La inducción matemática nos dice que una proposición matemática
se cumple para todo número natural n si se satisfacen las condiciones
siguientes:
Condición 1. La proposición se cumple para el primer elemento del
conjunto, en este caso para n=1.
Condición 2. La veracidad de la proposición para cualquier número natural
n=k implica su veracidad para el siguiente número natural n=k+1.
Una demostración por inducción matemática necesariamente consta de
dos partes, es decir, necesitamos verificar que la proposición satisfaga las dos
condiciones independientes dadas anteriormente.
Un ejemplo del uso de la inducción matemática es verificar que la suma:
= + + + +• • • +1 1 1 1
....1 2 2 3 3 4 ( 1)
Snn n
(1)
es igual a = +1
nSn
n (2)
Condición 1. El primer elemento del conjunto es n=1. Veamos si se cumple
para n=1. Para la relación (1) S1 es igual a:
= =•1
1 1
1 2 2S
y para la relación (2) se tiene: = =+1
1 1
1 1 2S
por lo que sí se cumple la igualdad para la condición 1.
Condición 2. Aquí trataremos de demostrar que si la hipótesis es verdadera
para n=k esto es:
Álgebra superior
�0
= + + + + =• • • + +1 1 1 1
...1 2 2 3 3 4 ( 1) 1
k
kS
k k k,
donde k es cualquier número natural, entonces debe cumplirse para
n=k+1, es decir:
++= +1
1
2k
kS
k
Tenemos por hipótesis que se cumple para n=k, esto es:
= + + + + =• • • + +1 1 1 1
...1 2 2 3 3 4 ( 1) 1
k
kS
k k k
ahora sumándole el término:
+ +1
( 1)( 2)k k
se obtiene la expresión para k+1, así:
+ = + + + + + =+ + • • • + + +1 1 1 1 1 1
...( 1)( 2) 1 2 2 3 3 4 ( 1) ( 1)( 2)
kSk k k k k k
Desarrollando la última igualdad:
+ = ++ + +1
1
1 ( 1)( 2)k
kS
k k k
++ += + +1
( 2) 1
( 1)( 2)k
k kS
k k
++ += + +
2
1
2 1
( 1)( 2)k
k kS
k k
++= + +
2
1
( 1)
( 1)( 2)k
kS
k k
++= +1
( 1)
( 2)k
kS
k
números reales
�1
Queda demostrado que sí se cumple la propiedad.
Otro ejemplo sería demostrar que la suma de los n primeros números
naturales es:
+( 1)
2
n n
Es decir,
+= + + + + = ( 1)1 2 3 ...
2
n nS n
Condición 1. La hipótesis se cumple para n=1 ya que:
+= = =1
1(1 1)1 1
2S
Condición 2. Suponiendo que:
+= + + = ( 1)1 2...
2k
k kS k
demostremos que:
1
( 1)( 2)
2k
k kS +
+ +=En efecto, porque:
1
( 1)( 1) 1 2 ... ( 1) ( 1)
2k k
k kS k k k S k+
++ + = + + + + + = = + +de lo que:
1
( 1) 2( 1) ( 1)( 2)
2 2 2k
k k k k kS +
+ + + += + =por lo que sí se cumple la propiedad.
Álgebra superior
�2
Ejercicio 1
1. Verifica que se cumplan las propiedades de los números naturales para
una terna de números distintos.
2. ¿Por qué la resta y la división no son una propiedad de los naturales?
¿Qué condiciones no cumplen?
3. Demuestra que la suma de los primeros n números impares es Sn=n2.
4. Demuestra que la suma de los cuadrados de los n primeros números
naturales es ( 1)(2 1)
6n
n n nS
+ +=
2.2. Números enteros: definición a partir de los naturales
Los números naturales no son suficientes para realizar muchas de las
operaciones elementales como la resta. Para poder restar dos números cualesquiera
es necesario tener otro conjunto de números, este conjunto se llama el conjunto
de los números enteros y se define de la siguiente manera.
Los números enteros son la unión del conjunto de los números naturales
{0,1,2,3,...} y el conjunto formado por sus inversos aditivos {–1,–2,–3,…}.
El conjunto de números enteros se representa con letra Z.
Z={...–3,–2,–1,0,1,2,3,...}
números reales
�3
2.2.1. Operaciones fundamentales y sus propiedades
Los números enteros cumplen con las nueve propiedades que ya conocíamos
de los números naturales. (Véase subtema 2.1) y tienen una propiedad
adicional:
10. ParatodonúmeroaenZ existesuinverso aditivoenZ,quese
denotapor–a,talque:
a +(–a)=0
Con esta nueva propiedad podemos incluir a la resta dentro de las
operaciones que realizamos con los números que hasta ahora conocemos. Nótese
que el conjunto de los números naturales, N, son un subconjunto propio de los
enteros, Z.
⊂N Z
2.2.1.1. Orden en los enteros
¿Podemos decidir si un entero es mayor que otro?
Sí, y para ello tenemos lo siguiente:
Dados dos números enteros, a y b, a es mayor que b siempre que a–b sea
un número natural. En símbolos:
a b a b> ⇔ − ∈NDonde los símbolos ⇔ y > quieren decir si y sólo si y mayor que,
respectivamente.
Por ejemplo, verifiquemos que 8 es mayor que 5.
Tenemos que 8–5=3, ahora como 3 es un número natural, entonces 8 es
mayor que 5.
El orden en los números enteros también tiene propiedades que son muy
útiles.
Álgebra superior
�4
Por ejemplo, supongamos que sabemos que un número a es mayor que
b, y a su vez sabemos que b es mayor que c. ¿Podremos afirmar que a es mayor
que c?
Para resolver este problema utilizaremos los siguientes pasos:
1. Por la propiedad 1 de los números naturales, su cerradura bajo la suma,
sabemos que si (a–b) es un número natural y si (b–c) es un número natural,
entonces:
(a–b)+(b–c)
también es un número natural.
Ahora, de lo anterior se tratará de llegar al resultado que (a–c) es un
número natural usando diversas propiedades de los números enteros.
Primero, por la propiedad asociativa se tiene:
(a – b)+(b – c) = a+[– b+(b – c)]
y usando otra vez la propiedad asociativa se llega a:
= a+[(–b+b) – c)]
Usando la propiedad del inverso aditivo obtenemos:
= a+[0 – c]
y finalmente, usando la propiedad del neutro aditivo, se puede escribir
como:
= (a – c),
que es un número natural.
2. Como (a–c) es un número natural, entonces a es mayor que c.
Esta propiedad se le conoce como transitividad de la relación de orden.
números reales
��
Ejercicio 2
1. ¿Se podrá afirmar que el cuadrado de cualquier entero distinto de cero
es positivo? ¿Por qué?
2. Demuestra que si a,b,c son enteros tales que a>b y c>0, entonces
ac>bc.
2.3. Números racionales
Una operación básica que no hemos estudiado es la división. Para estudiarla,
primero necesitamos definir qué se entiende por división.
Sean a y b enteros. Decimos que a (divisor) divide a b (dividendo) si
existe un entero q tal que:b=aq
También es común decir, “a es factor de b”, “a es divisor de b” o bien “b es
múltiplo de a” o “b es divisible entre a”.
¿Existirá algún entero que no tenga divisores? No, todo entero a tiene al
menos a 1, –1, a y –a como divisores.
La división tiene las siguientes propiedades importantes:
1. a divide a 0 para todo entero a.
2. Si a divide a b y b divide a c, entonces a divide a c.
3. Si a divide a b y b divide a a, entonces a=±b.
Álgebra superior
��
4. Si a divide a b, entonces a divide a bc para todo entero c.
5. Si a divide a b y a divide a c, entonces a divide a b+c.
La demostración de las primeras tres propiedades es inmediata a partir
de la definición. No así las propiedades 4 y 5 que demostraremos a modo de
ejemplo.
4. Como a divide a b, entonces, por definición, existe un entero q tal
que:
b=qa,
ahora multiplicando ambos lados de la igualdad por un entero c cualquiera,
tenemos:
bc=qac,
aplicando la propiedad asociativa y conmutativa resulta:
bc=(qc)a,
de donde concluimos que a divide al producto bc.
5. Como a divide a b y a divide a c, entonces, por definición, existen
enteros m y n tales que:
b=mayc=na,
sumando ambas expresiones tenemos:
b+c=(m+n)a,
de donde a divide a b+c.
2.3.1. Algoritmo de la división
En los enteros no siempre es posible dividir de tal suerte que el resultado
sea de nuevo un número entero (esto sólo sucede cuando el dividendo es múltiplo
del divisor). Sin embargo, lo que sí es cierto es que al dividir cualesquiera dos
números reales
��
enteros siempre obtenemos, en forma única, un cociente y un residuo, que sí son
enteros. Por ejemplo:
213 29
3
En este caso el cociente es 2 y el residuo es 3.
Otra forma de expresar la división anterior es a través del algoritmo de
la división:
29=13·2+3
Es evidente que el residuo siempre es menor que el divisor, puesto que
en el caso contrario seguiríamos dividiendo. El hecho de que siempre es posible
dividir dos enteros positivos cualesquiera para obtener un cociente y un residuo
únicos, lo podemos enunciar en forma general como sigue:
Sean a y b enteros positivos con a≠ 0, entonces existen enteros q y r
únicos tales que:
b aq r= + y 0 r a≤ <
A este enunciado se le conoce con el nombre de algoritmo de la
división.
Obsérvese que b es el dividendo, a el divisor, q el cociente y r el residuo.
Veamos algunos ejemplos de cómo funciona el algoritmo de la división.
Consideremos:
a=13 y b=29,
en este caso:
q=2 y r=3,
de lo que:
29=13·2+3
Álgebra superior
�8
Sin embargo, también sucede que
29=13·1+16
29=13·0+29
29=13·1+16
29=13·2+3
29=13·3+(–10)
29=13·4+(–23)
Nótese que los residuos siempre difieren consecutivamente en 13 y que
el único que es no negativo y menor que el divisor es el mínimo de todos los
residuos no negativos, que en este caso es 3.
Veamos otro ejemplo.
Sean a=8, b=35, entonces 35=8·4+3 de donde q=4 y r=3.
Sin embargo,
35=8·2+19
35=8·3+11
35=8·4+3
35=8·5+(–5)
35=8·6+(–13)
Aquí volvemos a observar el mismo fenómeno: el menor de los números no
negativos que aparecen hasta la derecha es el único residuo que simultáneamente
es no negativo y menor que el divisor. Modificando ligeramente las listas
anteriores podemos escribir los residuos de la siguiente manera:
29–13·0=29 35–8·2=19
29–13·1=16 35–8·3=11
29–13·2=3 35–8·4=3
29–13·3=–11 35–8·5=–5
29–13·4=–24 35–8·6=–13
números reales
��
Con lo que hemos visto podemos afirmar el caso general: que dados los
enteros a y b:
1. Hay una multitud de enteros q y r tales que:
b = aq+r
2. Todos los residuos son de la forma:
b – ax,
donde x es algún entero. Además, la diferencia entre cualesquiera dos
residuos siempre es múltiplo de a.
3. El menor de todos los residuos tal que:
0b ax− ≥es un número r que satisface
0 r a≤ <Conviene notar que aunque hemos establecido el algoritmo de la división
para enteros positivos, éste se puede generalizar a todos los enteros.
En efecto, en este caso tenemos:
Seanaybenteroscon 0a ≠ entoncesexistenenterosqyrúnicos
talesqueb=aq+rcon0 r a≤ <En el algoritmo de la división siempre que se divida un residuo distinto de
cero entre el divisor nos encontramos con número que no es entero. Como r <
a, entonces r/a no es un número entero:
rZ
a∉
Para poder incluir a este tipo de números en la recta numérica necesitamos
definirlos y establecer sus propiedades.
Álgebra superior
�0
Los números que tienen forma a
b se llaman racionales o fraccionarios y
forman el conjunto de números que se denota con la letra Q.
Se deine a Qcomoelconjuntodetodoslosnúmerosa
btalesquea
esunenteroyb esotroenterodistintodecero.Esdecir:
Q Q = ∈ ∈ ≠{ }a
ba Z/ y b Z pero b 0
Notaremos con Q+ al subconjunto de los racionales positivos y por Q– al
subconjunto de los negativos.
Si dado un racional a/b se tiene que b=1, como a/1=a y a∈ Z , entonces
el racional a/1 es un número entero.
Esto es, los números enteros son un subconjunto propio de los números
racionales.
Es evidente que hay muchas maneras de representar a un mismo número
racional, por ejemplo 1/2 y 2/4, entonces, ¿cuándo dos números a/b y c/d son
iguales?
Diremos que dos números racionales a/b y c/d son iguales siempre que
ad=bc. Incluso la aseveración puede ser más fuerte y decir que:
a cad bc
b d= ⇔ =
Entonces también se cumple que si ad = bc, los números racionales a/b y
c/d son iguales.
A veces es necesario representar los números racionales en forma decimal.
Para escribir un número racional en forma decimal basta hacer la división
indicada. El decimal así obtenido puede ser finito, como en el caso de:
30.75
4=
O bien puede tener un grupo de dígitos que se repiten sin fin, como es el
caso de:71
1.09230769230769230769230769230769...65
=donde el grupo de dígitos que se repite es el 923076.
números reales
�1
Al grupo de números que se repite se les llama periódicos o con periodicidad
infinita.
Existe una manera de indicar que los números son periódicos. Para esto, se
escribe una barra encima de los números que se repiten, así:
1.09230769230769230769230769230769 1.0923076=Donde la barra sobre el 923076 indica que se repite indefinidamente.
¿Cómo saber si un número con decimales es un racional? El criterio para
saber si un número decimal es un racional es el siguiente:
Siempre que se tenga un número cuyos decimales tienen una periodicidad
infinita, se trata de un número racional escrito de manera decimal. También son
números racionales aquellos cuyos decimales distintos de cero terminan después
de un número finito de ellos.
Por ejemplo, el número 1.465
se escribe como el racional 1465
1000
y por la igualdad en Q, se puede escribir como: 293
200
Supongamos que al término de algunas operaciones, con ayuda de una
calculadora, nos encontramos con un número cuyos decimales son periódicos y
estamos interesados en conocer el número racional que representa.
Entonces, ¿cómo convertir un número con decimales periódicos a una
fracción?
Para escribir un número con decimales periódicos en forma de fracción se
realizan varios pasos que se explicarán con el siguiente ejemplo.
Convertir en forma de fracción el número 25.3564
Primero contemos el número de cifras que tiene el periodo decimal del
número.
En este caso el números de cifras es 3 (5, 6 y 4).
Álgebra superior
�2
Después se multiplica el número por 10n, donde n es el número de cifras
decimales periódicas, en este caso por 103.
3(25.3564)(10 ) 25356.4564=Se obtiene un número que tiene los mismos decimales periódicos que el
número con el que empezamos.
Ahora, si se restan estos dos números es de esperarse que los decimales
periódicos se cancelen y quede un número sin decimales periódicos:
25356.4564 25.3564 25331.1− =y el resto es sólo aritmética.
Convirtiendo en base 10 a 25356.4564 , se escribe como 325.3564(10 ),
entonces:325.3564(10 ) 25.3564 25331− =
Factorizando 25.3564 se tiene:
( )25.3564 − − =(103 –1)( )1 1 2533.1− − =despejando:
25331.125.3564
999=
y finalmente, eliminando el punto decimal en el numerador:
25331125.3564
9990=
lo que representa al número 25.3564 como racional.
números reales
�3
Ejercicio 3
1. ¿Serán iguales las fracciones 2/3 y 616/924? ¿Por qué?
2. Construye dos fracciones iguales a 11/17
3. Encuentra el número decimal equivalente a:
a)53
11
b)23
17
Utiliza la notación periódica de los decimales.
4. Encuentra el número racional equivalente a:
a) 2.3478
b)3.48745
2.3.2. Operaciones fundamentales y sus propiedades
Ahora, si se tienen dos números racionales a/b y c/d necesitamos definir
dos operaciones básicas, suma y multiplicación. La suma se define como:
a c ad bc
b d bd
++ =y la multiplicación como:
a c ac
b d bd⋅ =
Álgebra superior
�4
Los números racionales, en las operaciones anteriormente definidas, tienen
las siguientes propiedades:
1. Cerradura de la suma. Cuando se suman dos números racionales, a/b y
c/d, se obtiene otro número racional e/f.
a c e
b d f+ =
2. Conmutatividad de la suma. Para todo a/b y c/d en Q:
a c c a
b d d b+ = +
Demostración:
a c ad bc bc ad cb da c a
b d bd db db d b
+ + ++ = = = = +Nótese que (ad+bc) es igual a (cb+da), así como bd es igual a db,
apoyándonos exclusivamente en la propiedad de conmutatividad de los números
enteros.
En otras propiedades también se manipularán los números enteros
que constituyen a los números racionales y se tendrá siempre en cuenta sus
propiedades sin hacer mención de ellas.
3. Asociatividad en la suma. Para todo a/b, c/d y e/f en Q:
a c e a c e
b d f b d f
+ + = + + Demostración:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
ad bc f e bd ad f bc f e bda c e ad bc e
b d f bd f bd f b df
+ + + ++ + + = + = = ( ) ( )
( )
a df b cf ed cf eda a c e
b df b df b d f
+ + += = + = + +
números reales
��
4. Elemento neutro aditivo. El elemento neutro para la adición es el 0/1.
Para todo a/b en Q: 0
1
a a
b b+ =
Demostración:
0 1 0
1 1
a a b a
b b b
⋅ ++ = =⋅5. Cerradura de la multiplicación. Cuando se multiplican dos números
racionales, a/b y c/d, se obtiene otro número racional, g/h.
ga c
b d h⋅ =
6. Conmutatividad de la multiplicación. Para todo a/b y c/d en Q:
a c c a
b d d b⋅ = ⋅
Demostración:a c ac ca c a
b d bd db d b⋅ = = = ⋅
7. Asociatividad en la multiplicación. Para todo a/b, c/d y e/f en Q:
a c e a c e
b d f b d f
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Demostración:
( )
( )
ac ea c e ac e a ce a c e
b d f bd f bd f b df b d f
⋅ ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅
Álgebra superior
��
8. Elemento neutro. El elemento neutro para la multiplicación es el 1/1.
Para todo a/b en Q:
1
1
a a
b b⋅ =
Demostración:
1 1
1 1
a a a
b b b
⋅⋅ = =⋅
9. Distributividad. La multiplicación es distributiva respecto a la suma,
para todo a/b, c/d y e/f en Q se tiene que:
a c e ac ae
b d f bd bf
⋅ + = + Demostración:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
cf de a cf de a cf a de ac f ae da c e a
b d f b df b df b df db f
+ + + +⋅ + = ⋅ = = = ( ) ( )
( ) ( )
ac f ae d ac ae
bd f bf d bd bf= + = +
10. Para todo número a/b en Q existe su inverso aditivo en Q, denotado
por –a/b, tal que:
00
a a
b b bb
−+ = =
Demostración:
( ) 00
ab aba a
b b bb bb
+ −−+ = = =
Nótese que se definió al neutro aditivo como 0/1 y ahora obtenemos 0/bb,
es fácil darse cuenta que 0/1=0/bb, es cuestión de aplicar el criterio de cuándo dos
números racionales son iguales. En este caso 0/1=0/bb ya que 0·(bb)=0=0·1.
números reales
��
Aparte los racionales cumplen con otra propiedad: todo racional 0≠
tiene inverso multiplicativo (otro racional que al ser multiplicado por él da el
producto igual a la unidad).
11. Inverso multiplicativo. Todo número 0
1
a
b≠ que pertenece a Q tiene un
solo inverso multiplicativo denotado por b/a tal que:
1 1 1a b ab ab a b
b a ba ab a b⋅ = = = ⋅ = ⋅ =
El número racional ab/ab es igual a 1/1, esto se sigue del criterio de
igualdad expuesto antes.
2.3.2. Concepto de orden en Q
A partir de las definiciones de orden que se han dado con anterioridad,
definiremos el orden en Q.
Sean a/b y c/d elementos de Q, decimos que:a c
b d>
si
+a c
b d− ∈Q
Por ejemplo, 3/4 es más grande que 2/3 ya que:
+3 2 9 8 1
4 3 12 4
−− = = ∈Q
¿La relación de transitividad se cumple con los racionales?
Sí, la definición de orden en los racionales también cumple con la relación
de transitividad.
Sean a/b, c/d y e/f elementos de Q, entonces si:
a c
b d> y
c e a e
d f b f> ⇒ >
Álgebra superior
�8
Veamos un ejemplo:
2/5 es mayor que 3/8:
+2 3 16 15 1
5 8 40 40
−− = = ∈Q
y 3/8 es mayor que 1/3,
+3 1 9 8 1
8 3 24 24
−− − = = ∈Q
de lo que 2/5 es mayor que 1/3:
+2 1 6 5 1
5 3 15 15
−− = = ∈Q
La relación de orden en los racionales tiene propiedades que sólo se
cumplen en éstos. Una de ellas es la siguiente:
Sean a/b y a/c elementos de Q+ tal que a, b, c >0 y a/b>a/c, entonces
c>b.
Para demostrar esta propiedad fijémonos en que si:
+a a
b c− ∈Q
implica que:
+ac ab
bc
− ∈Q
y dado que bc>0, entonces: ac – ab>0
factorizando a tenemos: ( ) 0a c b− > ,
y como a>0: ( ) 0c b− >de lo que: c>b
números reales
��
Ejercicio 4
1. Dados los números 43 y 5, encuentra q y q´ distintas, y r y r´ distintos
tales que:
43=5q+rcon0≤ r<|5|
y
43=5q´+r´con0≤ r´<|5|
2. Encuentra cinco formas distintas de escribir el número 34 en múltiplos
de 7.
3. Encuentra la forma de escribir el número 46 en múltiplos de 4 con el
residuo mínimo no negativo.
2.4. Números reales
En la sección anterior se estudiaron los números racionales que se pueden
identificar porque su expresión decimal es finita o bien infinita periódica. Sin
embargo existen algunos números que tienen una expresión decimal infinita no
periódica, como 2 1.414213562...= y 3.141592654...π = . Estos números
no son racionales, ni enteros ni naturales. ¿Qué tipo de número son?
2.4.1. Números Irracionales
Los números irracionales son aquellos cuyos decimales son infinitos y
sin periodicidad. Se representan con la letra I.
Son irracionales también además de: 2 1.414213562...=
y 3.141592654...π = , e= 2.718281828459...
cos 45º= 0.7071067811865..., entre otros.
Álgebra superior
�0
Si incorporamos los números irracionales a los racionales tenemos un
conjunto llamado números reales.
Los números reales, representados por la letra R, son el conjunto de
números que es resultado de la unión del conjunto de los números racionales
con el conjunto de los irracionales.
Ahora, con los números irracionales podemos incluir entre las operaciones
a realizar con los números reales, además de las que ya estudiamos a la raíz.
Si n es un entero y si a es un número real no negativo entonces se dice
que b es la n–ésima raíz de a si bn=a
Los números reales satisfacen todas las propiedades de los conjuntos
anteriores, además de tener un orden que se puede definir de igual manera que
con los otros conjuntos de números.
2.4.2. Recta numérica
Ahora que hemos incrementado bastante la cantidad de números que
conocemos; podemos localizarlos en la recta numérica de la siguiente manera:
Los naturales y los enteros se localizan así:
Con los números racionales, la recta numérica se representa de la siguiente
manera:
números reales
�1
Al colocar en la recta numérica los números racionales, pareciera que se ha
llenado, sin embargo todavía hay espacios.
Esos espacios que quedan se terminan de llenar con los números
irracionales, de este modo todos los puntos de la recta numérica tienen asignado
un número real y a todos los números reales les corresponde un punto en la recta
numérica.
Si se cree que el estudio de los números y sus propiedades ha terminado,
obsérvese que, con los números reales, no podemos conocer un número que
sea igual a 1− . Esto sucede debido a que en los números reales no hay tal que
multiplicado por sí mismo dé un número negativo. Para poder hacer este tipo
de operaciones necesitamos otro tipo de números, los imaginarios. Los números
imaginarios se estudiarán en la unidad 4 de este libro.
Ejercicio 5
1. Indica uno de los conjuntos de números a los que pertenecen los
siguientes:
a) 3
b)–8
c) 4.567343434343434...
d)1.236390486829263...
2. Verifica que se cumplan las 11 propiedades de los números racionales
para los números reales –4, 3.1415926... y 1/2.
3. Haciendo una analogía con la relación de orden para los números
enteros, indica la relación de orden para los números reales.
Las matemáticas se aprenden haciendo ejercicios. A continuación se
presenta una serie de problemas resueltos y otra de problemas propuestos para que
observes, en los ejercicios resueltos, la manera como se plantean y solucionan, con
el propósito de que las pongas en práctica al resolver los problemas propuestos.
Álgebra superior
�2
Problemas resueltos
1. ¿La media aritmética cumple con las propiedades de los números
naturales? (La media aritmética entre dos números a y b se define como 2
a b+).
Respuesta: no, ya que no cumple con la cerradura, dos números naturales
cuya suma es impar, su media aritmética no es un número natural.
2. Demuestra por inducción matemática que la suma de los cubos de los
primeros n números naturales es:
( )22 1
4
n n +Respuesta:
Condición 1. La hipótesis se cumple para n=1 en tanto:
31 1 1S = =
y además: ( )22
1
1 1 1 41
4 4S
+= = =Por lo que sí se cumple la condición 1.
Condición 2. Suponiendo que:
( )223 3 3 1
1 2 ...4
k
k kS k
+= + + + = ,
demostremos que:
( ) ( )2 2
1
1 2
4k
k kS +
+ +=
números reales
�3
En efecto, como:
( ) ( ) ( ) ( )223 3 33 3 3
1
11 1 2 ... 1 1
4k k
k kS k k k S k+
++ + = + + + + + = = + + entonces: ( ) ( )22
3
1
11
4k
k kS k+
+= + +( ) ( )2 32 1 4 1
4
k k k+ + +=( ) ( )2 21 4 1
4
k k k + + + =( ) ( )2 21 4 4
4
k k k+ + +=( ) ( )2 2
1 2
4
k k+ += ,
por lo que sí se cumple la propiedad.
3. ¿Podremos afirmar que si a<0, a ∈ Z entonces –a es un número
natural?
Respuesta: sí, ya que si a<0, entonces 0>a, y esto quiere decir que 0–a
es un número natural. Pero 0 es el neutro aditivo, de lo que 0 – a = –a, por lo
que –a es un número natural.
4. Demuestra que si a>c y b>d entonces a+b>c+d.
Respuesta: para realizar la demostración se utilizará la proposición:
si q>w entonces q+s>w+s
demostrada anteriormente. Si a>c entonces se tiene que:
a+b>c+b
Álgebra superior
�4
Por otro lado, si b>d se tiene que:
b+c>d+c
Ahora, como c+b=b+c, por transitividad se tiene:
a+b>b+c>d+c
a+b>d+c
Con lo que queda demostrada la propiedad.
5. Encuentra los números primos entre el 30 y el 40.
Respuesta: primero desechemos a todos los números pares entre el 30 y
el 40, ya que serían divisibles entre 2 y entonces ya no serían primos. Ahora, el
33 se puede escribir como 311, el 35 como 75 y el 39 como 313 de lo que
los únicos primos entre el 30 y el 40 son el 31 y el 37.
6. Encuentra ejemplos de números enteros tales que a<b y a2>b2.
Respuesta: los números que necesitamos encontrar no pueden ser los
dos positivos debido a la propiedad de los números naturales de que si c y d
pertenecen a los naturales y si c<d, entonces c2<d2. Entonces busquemos que
uno de ellos sea negativo. Como cualquier número negativo es menor que uno
positivo, y como el cuadrado de un número negativo es uno positivo, entonces
encontremos un número negativo cuyo cuadrado sea mayor que el cuadrado del
positivo y ya se tienen los números buscados. Por ejemplo, el 1 y el –2. También
se cumple la propiedad si los dos son números negativos.
7. Encuentra la forma de escribir al 50 en múltiplos de 9 con el residuo
mínimo no negativo.
Respuesta: 50=(9)(5)+5
números reales
��
8. Encuentra tres maneras de escribir al 38 en múltiplos de 4.
Respuesta: 38=(4)(9)+2
38=(4)(11)–6
38=(4)(5)+18
9. Construye una fracción igual a 34/22
Respuesta: dividiendo al numerador y denominador entre 2 se tiene:
17/11
10. Encuentra el número decimal equivalente a:
a) 11/15 Respuesta: 0.73
b) 22/7 Respuesta: 3.142857
11. Indica el conjunto al que pertenecen los números:
a) –56.7 Respuesta: números racionales.
b) 3.81736402948573759183... Respuesta: números irracionales.
Problemas propuestos
1.¿Se podrá afirmar que la suma de dos números cualesquiera al cuadrado
es mayor o igual que cero? ¿Por qué?
2. ¿Es la resta una operación que cumple con las propiedades de los enteros
pares? ¿Y de los impares?
3. Demuestra por inducción que:
12 3 1
1 3 3 ... 32
nn
+ −+ + + + =
Álgebra superior
��
4. Encuentra la descomposición canónica de 363 y de 6825.
5. Encuentra los números primos que existen entre el 70 y el 80.
6. ¿Existen números primos pares? ¿Cuántos?
7. ¿Los números primos cumplen con la cerradura bajo la suma? Esto es,
siempre que se sumen dos primos, ¿el resultado es otro primo?
8. Indica la manera de escribir al 35 en múltiplos de 8 de tal forma que su
residuo sea 3.
9. Indica si son iguales las fracciones 35/22 y 70/46
10. Encuentra el número decimal equivalente de las siguientes
fracciones:
a) 12/30
b)56/18
11. Encuentra el número racional equivalente a:
a) 31.6
b) 0.30434782608695652173913
12. Indica a qué conjunto pertenecen los siguientes números:
a) 1.3529411764705882352941176470588235294117647...
b) 4.56
números reales
��
Autoevaluación
1. De las siguientes operaciones, ¿cuáles no cumplen con las propiedades
de los números naturales?
a) Suma.
b) Neutro aditivo.
c) Resta.
d) Neutro multiplicativo.
2.Delassiguientesoperaciones,¿cuálesnocumplenconlaspropiedades
delosnúmerosnaturales?
a) Multiplicación.
b) División.
c) Asociatividad en la suma.
d) Asociatividad en la multiplicación.
3. ¿Cuántas condiciones se tienen que cumplir en una prueba por
inducción?
a) 2
b) 1
c) 3
d) 4
4. c2>0implicaque:
a) c no puede ser negativo.
b) c no puede ser positivo.
c) c es distinto de cero.
d) c es igual a cero.
Álgebra superior
�8
5.Sia>0yb>0cona2<b2,entonces:
a) a<b
b) b<a
c) a2–b2<0
d) a2b2<0
6.Alapropiedadquedice“sia>byb>c,entoncesa>c”seleconocecomo:
a) Cerradura.
b) Conmutatividad.
c) Asociatividad.
d) Transitividad.
7.El–21yel7sonejemplosdenúmeros:
a) Enteros.
b) Primos.
c) Naturales.
d) Compuestos.
8. Ladescomposicióncanónicade330es:
a) 2 ⋅3 ⋅55
b) 2 ⋅3 ⋅5 ⋅11
c) 6 ⋅5 ⋅11
d) 2 ⋅5 ⋅33
9. Los números compuestos cumplen con la propiedad de cerradura en la:
a) División.
b) Resta.
c) Suma.
d) Multiplicación.
números reales
��
10. El mínimo residuo distinto de cero que se emplea para escribir al 59
en términos de 6 es:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 1
11. Las fracciones 45/7 y 945/147 son:
a) Iguales, ya que (45)(147)=(7)(945)
b) Iguales, ya que (45)(945)=(7)(147)
c) Distintas, ya que (45)(147)¹(7)(945)
d) Distintas, ya que (45)(945)¹(7)(147)
12. El número decimal equivalente a 34/7 es:
a) 4.857142
b) 4.857142
c) 4.85714286
d) 4.85714285
13. El número racional equivalente a 2.142857 es:
a) 1.5/7
b) 214285/1000000
c) 2.14285/1000000
d) 15/7
14. El número 3.258946317823649824056... pertenece a:
a) Los números enteros.
b) Los números racionales.
c) Los números naturales.
d) Los números irracionales.
Álgebra superior
80
15. De las siguientes airmaciones indica la correcta:
a) Todoslosnúmerosracionalessonnúmerosenteros.
b) Todoslosnúmerosenterossonracionales.
c) Todoslosnúmerosirracionalessonracionales.
d) Algunosnúmerosirracionalessonracionales.
números reales
81
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. Tomemos la terna de números naturales 18, 124 y 52.
a) Cerradura de la suma
18+124=142 que también es natural. Lo mismo sucede con la adición de
cualquier otro par de números, incluso con la adición de los 3: 18+124+52=194,
que también es un número natural.
b) Conmutatividad de la suma
18+52=70=52+18, lo mismo pasa para cualquier otro par de números.
c) Asociatividad en la suma
(18+124)+52=142+52=194=18+176=18+(124+52). También la
propiedad se cumple si se toman los números en distinto orden.
d) Elemento neutro
El elemento neutro es el cero, por ejemplo 0+18=18. Lo mismo sucede
con los otros dos números naturales.
e) Cerradura de la multiplicación
Por ejemplo (18)(52)=936, que también es un número natural. Lo mismo
pasa con la multiplicación de otros números cualesquiera.
f) Conmutatividad de la multiplicación
(18)(124)=2232=(124)(18). Lo mismo sucede con cualquier otra
multiplicación de dos números.
Álgebra superior
82
g) Asociatividad en la multiplicación
Por ejemplo:
(18)[(124)(52)]=(18)(6448)=116064=(2232)(52)=[(18)(124)](52).
h) Elemento neutro
El elemento neutro para la multiplicación es el 1. Por ejemplo, (1)(18)=18.
Lo mismo sucede con los otros números.
i) Distributividad
1. La multiplicación es distributiva respecto a la suma. Por ejemplo:
(18)(124+52)=(18)(176)=3168=2232+936=(18)(124)+(18)(52).
Se sugiere al alumno que verifique todas las propiedades para la terna de
números naturales que eligió.
2. La resta no cumple con la condición de la cerradura en los naturales. Por
ejemplo, si a 4 se le resta 9 se tiene –5, que no es natural. La división tampoco
cumple con la cerradura en los naturales. Por ejemplo, el cociente 4/5 es igual a
0.8, que no es natural.
3. Condición 1. El primer elemento del conjunto es n=1. De lo que veamos
si se cumple para n=1. Por un lado S1 es igual a:
S1=1
y por otro
S1=12=1,
por lo que sí se cumple la igualdad para la condición 1.
números reales
83
Condición 2. Aquí trataremos de demostrar que la hipótesis es verdadera
para n=k esto es:
Sk=1+3+5+7+9+...+2k–1=k2,
donde k es cualquier número natural, entonces debe cumplirse para
n=k+1, es decir:2
1 ( 1)kS k+ = +Tenemos por hipótesis que se cumple para n=k:
21 3 5 7 9 ... 2 1kS k k= + + + + + + − = ,
ahora, el siguiente término de la serie se obtiene sumándole 2 al último,
por lo tanto el siguiente término es:
2k+1,
se obtienen la expresión para k+1, así:
212 1 1 3 5 7 9 ... (2 1) (2 1) 2 1k kS k k k S k k++ + = + + + + + + − + + = = + +
Ahora, reacomodando términos Sk+1
, queda como:
21
2
2 1
( 1)
kS k k
k
+ = + += +
Con lo que queda demostrado que se cumple la propiedad.
4. Condición 1. El primer elemento del conjunto es n=1. De lo que veamos
si se cumple para n=1. Por un lado S1 es igual a:
21 1 1S = =
y por otro
1
(1)(2)(3) 61
6 6S = = =
por lo que sí se cumple la igualdad para la condición 1.
Álgebra superior
84
Condición 2. Aquí trataremos de demostrar que si la hipótesis es verdadera
para n=k esto es:
2 2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 4 ...
6k
k k kS k
+ += + + + + + = ,
donde k es cualquier número natural, entonces debe cumplirse para
n=k+1, es decir:
1
( 1)( 2)(2 3)
6k
k k kS +
+ + +=Tenemos por hipótesis que se cumple para n=k:
2 2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 4 ...
6k
k k kS k
+ += + + + + + = ,
ahora, el siguiente término de la serie es
(k+1)2,
por lo que la expresión para k+1 es:
2 2 2 2 2 2 2
21
( 1) 1 2 3 4 ... ( 1)
( 1)(2 1)( 1)
6
k
k
S k k k
k k kS k+
+ + = + + + + + + + =+ += + +
Ahora, Sk+1
se puede escribir como:
21
( 1)(2 1)( 1)
6k
k k kS k+
+ += + +2( 1)(2 1) 6( 1)
6
k k k k+ + + +=( 1)[ (2 1) 6( 1)]
6
k k k k+ + + +=2( 1)(2 6 6)
6
k k k k+ + + +=2( 1)(2 7 6)
6
k k k+ + +=
números reales
8�
( 1)[( 2)(2 3)]
6
k k k+ + +=
Con lo que queda demostrado que se cumple la propiedad.
Ejercicio 2
1. Si c>0 entonces, por la definición de multiplicación c2 es sumar c veces
c. Como c>0 entonces sólo se suman números mayores que cero, de lo que la
suma es mayor que cero. Por lo que:
c2>0
Ahora, si c<0 entonces c lo podemos escribir como c=(–1)(c´) donde
c’>0. Ahora como c´>0, entonces:
c’2>0,
ahora se puede multiplicar a c’2 por 1 y manipular algebraicamente para
obtener:
c’2>0
(1)c´2>0
(–1)(–1)c´2>0
(–1)(–1)c´c´>0
(–1)c´(–1)c´>0
Como (–1)c´=c
cc>0
c2>0
Por lo que el cuadrado de cualquier entero distinto de cero es mayor a
cero.
2. La demostración se hará usando inducción sobre c.
Condición 1. El primer valor que puede tomar c es 1, entonces:
(1)a>(1)b
Álgebra superior
8�
a>b
sí se cumple la primera condición.
Condición 2. Ahora se pide demostrar que si:
ca>cb
entonces:
(c+1)a>(c+1)b
Tenemos que:
ca>cb
sumándole a a los dos miembros de la desigualdad se tiene:
ca+a>cb+a
Ahora, como a>b entonces:
cb+a>cb+b
Y por transitividad se tiene:
ca+a>cb+b
Que se puede escribir como:
a(c+1)>b(c+1)
Por lo que la propiedad se cumple.
Ejercicio 3
1. Sí, porque 2(924)=1848=3(616)
2. 11 33 77
17 51 119= =
3. a) 4.81
b) 1.3529411764705882
números reales
8�
4. a) La periodicidad es 2, por lo tanto:
2
2
234.78 2.3478 232.44
2.3478(10) 2.3478 232.44
2.3478(10 1) 232.44
2.3478(99) 232.44
232.442.3478
995811 1937
2.34782475 825
− =− =− ==
== =
b) La periodicidad es 4, por lo tanto:
4
4
34874.58745 3.48745 34871.1
3.48745(10 ) 3.48745 34871.1
3.48745(10 1) 34871.1
3.48745(9999) 34871.1
34871.13.48745
999910567
3.487453030
− =− =− ==
==
Ejercicio 4
1. No se pueden encontrar los dos q y q´, y r y r´ distintos debido a la
unicidad de los números q y r del algoritmo de la división. Por lo que si existieran
dos q y q´ y dos r y r´ tendrían que ser iguales.
Álgebra superior
88
2. 34=7(1)+27
34=7(2)+20
34=7(3)+13
34=7(4)+6
34=7(5)–1
3. 46=4(11)+2
Ejercicio 5
1. a) Números naturales.
b) Números enteros.
c) Números racionales.
d) Números irracionales.
2. Verifiquemos las 11 propiedades de los números racionales:
1. Cerradura de la suma. Los números –4 y 1/2 son reales y la suma
–4+1/2=–3.5 también es un real.
2. Conmutatividad de la suma. Los números reales 3.1415926... y 1/2
cumplen con
3.1415926...+1/2=3.6415926=1/2+3.1415926...
3. Asociatividad en la suma. Los números reales –4, 1/2 y 3.1415926...
cumplen con:
(–4+½)+3.1415926...=–3.5+3.1415926...=–0.3584074...
y por otro lado:
–4+(1/2+3.1415926...)=–4+3.6415926...=–0.3584074...
números reales
8�
4. Elemento neutro. El elemento neutro para la adición es el cero. Para el
número real 3.1415926...
3.1415926...+0=3.1415926...
5. Cerradura de la multiplicación. Cuando se multiplican los números reales
–4 y 1/2 se obtiene otro real:
(–4)(1/2)=–2
6. Conmutatividad de la multiplicación. Para los números reales 79123 y
–0.00005 se cumple que:
(–4)( 3.1415926...)= –12.5663704=( 3.1415926...) (–4)
7. Asociatividad en la multiplicación. Para los números reales –4, ½ y
3.1415926... se tiene que:
[(–4)(½)](3.1415926...)=(–2)(3.1415926...)= –6.2831852
por otro lado:
(–4)[(½)(3.1415926...)]=(–4)( 1.5707963)= –6.2831852
8. Elemento neutro. El elemento neutro para la multiplicación es el 1. Para
el número real –4
(–4)1=–4
9. Distributividad. La multiplicación es distributiva respecto a la suma.
Para los números reales –4, ½ y 3.1415926... se tiene que:
(–4)(½+3.1415926...)=(–4)(3.6415926...)=–14.5663704...
por otro lado:
(–4)(1/2)+(–4)(3.1415926...)=–2–12.5663704...=–14.5663704...
Álgebra superior
�0
10. Para el número real 1/2 existe su inverso aditivo, que se denota por
–1/2, tal que:
1/2+(–1/2)=0.
11. Inverso multiplicativo. Para el número real –4 existe su inverso
multiplicativo –1/4 tal que:
3. El número real a será mayor que el número b siempre que (a–b) sea
un número real positivo.
Respuestas a los problemas propuestos
1. Sí, porque el cuadrado de cualquier número siempre es mayor o igual
a cero.
2. De los pares sí, de los impares no (no cumple la cerradura, dos números
impares que se restan pueden resultar en un entero par. Por ejemplo, 5–3=2)
3.
4. 363=3 ⋅112
6825=3 ⋅52 ⋅7 ⋅13
5. 71, 73 y 79.
6. El único primo par es el 2, ya que todos los demás pares tienen como
divisor al 2 y por tanto no son primos.
7. No, por ejemplo, los primos 5 y 7 al sumarlos obtenemos un número
par: el 12.
8. (8)(4)+3=35
9. No son iguales ya que (35)(46)=1610 ⋅1540=(70)(22)
números reales
�1
10. a) 0.4
b) 3.1
11. a) 95/3
b) 7/23
12. a) Números racionales.
b) Números racionales.
Respuestas a la autoevaluación
1.1. c)
2. b)
3. a)
4. c)
5. a)
6. d)
7. a)
8. b)
9. d)
10. c)
11. a)
12. b)
13. d)
14.d)
15. b)