LICEO TÉCNICO BICENTENARIO “JUANITA FERNÁNDEZ SOLAR” PROFESOR: CÉSAR TAPIA GATICA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA LOS ÁNGELES

1

GUÍA Nº6 DE MATEMÁTICA de SÍNTESIS DE CONTENIDOS

NOMBRE:

CURSO: 4ºMEDIO FECHA: /10/2020

Objetivo • Resolver inecuaciones lineales con una incógnita.. • Resolver sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. • Caracterizar las funciones y sus elementos, identificando funciones inyectivas, sobreyectivas,

biyectivas e inversa. • Analizar la función potencia.

Habilidades Analizar, conocer, interpretar.

Contenido Inecuaciones lineales y Funciones.

INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

1) Intervalos en ℝ � Una desigualdad corresponde a una relación de comparación entre cantidades o expresiones algebraicas mediante los

símbolos menor que (<), mayor que (>), menor o igual que (≤) y mayor o igual que (≥). � Al considerar �, � ∈ ℝ, con � < �, es posible definir los siguientes subconjuntos en ℝ, llamados intervalos.

� La unión (∪) de dos o más conjuntos corresponde a otro conjunto en el que se considera a todos los elementos de cada

conjunto. � La intersección (∩) de dos o más conjuntos corresponde a otro conjunto en el que se considera a todos los elementos

comunes entre ellos. Ejercicios resueltos 1) Sean A = ]-2, 4[ y B = [0, 8[. Determina A ∪ B y A ∩ B.

Por lo tanto, A ∪ B = ]-2, 8[ y A ∩ B = [0, 4[

2) Inecuaciones de primer grado con una incógnita � Una inecuación de primer grado es una desigualdad que se puede escribir de la forma �� + � < 0, donde �, � ∈ ℝ, con

� ≠ 0 (el símbolo menor que < puede sustituirse por ≤, ≥ o >, según corresponda). � Para resolver una inecuación lineal de primer grado se utilizan las propiedades de las desigualdades para despejar la

variable involucrada, y a partir de esto se determinan los valores de la incógnita que satisfacen la inecuación. Propiedades de las desigualdades en ℝ � Si �, �, � ∈ ℝ, se cumplen las siguientes propiedades:

i) Si � ≤ � y � ≤ �, entonces � ≤ � ii) Si � ≤ � y � ∈ ℝ, entonces � ± � ≤ � ± � iii) Si � ≤ � y � > 0, entonces � · � ≤ � · � iv) Si � ≥ � y � < 0, entonces � · � ≥ � · �

v) Si 0 < � ≤ �, entonces �

≥

�

�

LICEO TÉCNICO BICENTENARIO “JUANITA FERNÁNDEZ SOLAR” PROFESOR: CÉSAR TAPIA GATICA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS LOS ÁNGELES

2

Ejercicios resueltos: Resuelve las siguientes inecuaciones. A) 4(�-1) + 4 > 12

Gráficamente, el conjunto solución se puede representar de la siguiente manera:

B) 7� + 1 ≤ -10�

3) Sistemas de inecuaciones con una incógnita � Un sistema de inecuaciones con una incógnita corresponde a un conjunto de dos o más inecuaciones en las cuales el

conjunto solución verifica simultáneamente a cada una de ellas. � Para resolver un sistema de inecuaciones se puede utilizar los siguientes pasos:

1º Se resuelven cada una de las inecuaciones involucradas. 2º Se obtiene la solución del sistema, intersectando los intervalos solución de las inecuaciones que componen el sistema.

Ejercicios resueltos Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones

Para resolver el sistema de ecuaciones se puede realizar el siguiente desarrollo.

Luego, la solución está dada por:

CONCEPTOS CLAVES - FUNCIONES Es una relación entre dos variables tal que para cada valor de � se obtiene un único valor de �(�).

Conceptos generales de funciones

Sea � una función que relaciona elementos del conjunto � con elementos de �: • Variable independiente: Valor que no depende de otra variable. Se denota con

la letra �. • Variable dependiente: Valor que depende de otra variable. Se denota con la

letra �. Se dice que “� depende de �” o que “y está en función de x”. • Dominio de �: conjunto de todas las preimágenes, es decir, de todos los

elementos que pertenecen al conjunto de partida (�) que tienen imagen. En el diagrama sagital adjunto, ��� � = �.

• Recorrido de �: conjunto de todas las imágenes, es decir, de todos los elementos que pertenecen al conjunto de llegada (�) que tienen preimagen. En el diagrama sagital adjunto, ��� � = {�, !, "}.

LICEO TÉCNICO BICENTENARIO “JUANITA FERNÁNDEZ SOLAR” PROFESOR: CÉSAR TAPIA GATICA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS LOS ÁNGELES

3

Evaluación de una función Ejemplos:

Gráfico de una función Está formado por todos los pares ordenados (�, �) que se obtienen al evaluar la función para distintos valores de �.

Análisis de biyectividad

Sea � una función que va de � a �. Para que � sea biyectiva se debe cumplir que sea inyectiva y sobreyectiva (o epiyectiva) a la vez.

• � es inyectiva si se cumple que cada elemento del recorrido tenga una única preimagen. Es decir: �(�) = �(�) ⟹ � = �

• � es sobreyectiva o epiyectiva si se cumple que el recorrido de la función es igual al conjunto de llegada. Es decir: ��� � = �

Gráficamente, se puede identificar una función inyectiva trazando rectas paralelas al eje �. Si estas cortan en un

solo punto a la gráfica, entonces la función es inyectiva.

En síntesis, una función es biyectiva si cada elemento del conjunto de llegada tiene una y solo una preimagen. Similar a la definición de función, pero de manera “inversa" Función inversa Sea � una función y �%� su función inversa. Si �: � → �, entonces: �%�: � → �, tal que �%�((�(�)) = �. Es decir, ��� � = ��� �%( y ��� � = ��� �%( Determinación de la función inversa Expresar la variable independiente (�) en función de la variable dependiente (�). Luego, intercambiar las variables.

Ejemplo: �()) =*%)

+) ⟹ , =

*%)

+) ⟹ ) =

*

+, - ( ⟹ �%(()) =

*

+)-(

Definición Es de la forma �(�) = � · �/ , con 0 número entero mayor que 1 y a un valor real distinto de cero.

Dominio y recorrido

Su dominio son todos los números reales, mientras que el recorrido depende de � y de 0: • Si 0 es par y � es positivo, entonces el recorrido de la función es 234

-. • Si 0 es par y � es negativo, entonces el recorrido de la función es 234

% • Si 0 es impar, independiente del signo de �, el recorrido de la función es 23

Gráfico

LICEO TÉCNICO BICENTENARIO “JUANITA FERNÁNDEZ SOLAR” PROFESOR: CÉSAR TAPIA GATICA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS LOS ÁNGELES

4

ITEM 1: SELECCIÓN ÚNICA: Las siguientes 9 preguntas corresponden al tema de Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales. Léelas con atención y marca la alternativa correcta.

1) El intervalo que representa al conjunto {x ∈ ℝ: 2x + 1 < 3x + 5} es a) ]-∞, -4[ b) ]-4, +∞[

c) ]- ∞, 5

6 [

d) ]-6, +∞[ e) ]-∞, 4[

2) ¿Cuál de los siguientes intervalos es igual a [-1, 2[ ∩ [0, 3]? a) [-1, 3] b) ]0, 2[ c) ]-1, 3[ d) [0, 2[ e) [0,2]

3) ¿Cuál de los siguientes intervalos es igual a [-1, 2[ ∪ [0, 3]? a) [-1, 3] b) ]0, 2[ c) ]-1, 3[ d) ]-1, 3] e) [0,2]

4) El conjunto solución de la inecuación -2x + 3 < -4 es

a) {x ∈ ℝ: x > 7

8}

b) {x ∈ ℝ: x < 7

8}

c) {x ∈ ℝ: x < �

8}

d) {x ∈ ℝ: x > �

8}

e) {x ∈ ℝ: x < (%�)

8}

5) Si A es el conjunto solución de -2x > -10 y B es el conjunto solución de 2x + 3 > 2, entonces el conjunto A ∩ B es igual a a) {x ∈ ℝ: x > 5} b) {x ∈ ℝ: 1 < x < 5} c) ℝ d) Ø e) {x ∈ ℝ: -1 < x < 5}

6) ¿Cuál de las siguientes inecuaciones tiene el mismo conjunto solución que x + 3 ≤ -2x - 8? a) x -2x ≤ -11 b) 7x - 11 ≤ 4x c) -8x - 1 ≤ -5x + 10 d) x -2x ≤ -5 e) -7x -13 ≥ -4x-2

7) El intervalo que representa el conjunto solución del sistema -2x - 5 ≥ x + 3 es: 2x + 3 < x - 8 a) ]-∞, 11[ b) ]-∞, -5[

c) ]-∞, - 9

: [

d) Ø

e) ] (%9)

: , ∞[

8) ¿Cuál de los siguientes sistemas de inecuaciones tiene como solución el conjunto representado en la figura?

9) ¿Cuál es el mayor número entero que satisface el siguiente sistema de inecuaciones?

-1 + x < 2x + 7 2x - 6 < 8

a) -9 b) 0 c) 6 d) 7 e) -8

Soluciones 1) B 2) D 3) A 4) A 5) E 6) E 7) A 8) D 9) C

LICEO TÉCNICO BICENTENARIO “JUANITA FERNÁNDEZ SOLAR” PROFESOR: CÉSAR TAPIA GATICA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS LOS ÁNGELES

5

ITEM 2: SELECCIÓN ÚNICA: Las siguientes 9 preguntas corresponden al tema de Funciones y Función Potencia. Léelas con atención y marca la alternativa correcta.

10) ¿Cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) una función?

a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo III. d) Sólo I y III. e) I, II, y III.

11) De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) �(-1) + �(1) = �(0) II) 3•�(-2) - �(0) = 2•�(2) III) �(-2) - �(1) = �(2) - �(-1) a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo I y II. d) Sólo II y III. e) I, II y III.

12) El dominio de la función �(x) = √� + 3 es a) ℝ b) ℝ - {3} c) ℝ - {-3} d) [-3, ∞[ e) ]-3, ∞[

13) El dominio de la función �(x) = >-6

√>-6 es

a) ℝ - {6} b) ℝ - {5, 6} c) ]-5, +∞[ d) ]-∞, -5[ e) [0, +∞[

14) Si �: ℝ - {4} → ℝ está dada por: �(x) = >-6

>%5, entonces

�⁻¹(5) es igual a

a) 5

86

b) 86

5

c) 10

d) �

�4

e)(%86)

5

15) Si �: ℝ - {6} → ℝ está dada por: �(x) = :>%8

>-@, ¿Cuál es

el dominio de �⁻¹?

a) ℝ - {8

:}

b) ℝ c) ℝ - {-6} d) ℝ - {3} e) ℝ - {6}

16) Un estacionamiento cobra $500 los primeros 30 minutos y luego $200 más cada diez minutos adicionales, con un cobro máximo de $1.100. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la función �(�), donde � es el tiempo de estadía y �(�) la cantidad de dinero a pagar?

17) ¿Cuál o cuáles de las funciones que se presentan tienen su gráfica en el segundo y cuarto cuadrante? I) �(�) = 3�³ II) �(�) = -5�⁴ III) �(�) = -6�⁵ a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo III. d) Sólo I y III. e) Sólo II y III.

18) ¿Cuál es el recorrido de la función �(�) = -2(�⁸ + 7) en el conjunto de los números reales? a) ]-∞, -14] b) ]-∞, -7] c) [7, +∞[ d) [14, +∞[ e) ℝ

Soluciones 10) D 11) E 12) D 13) C 14) B 15) D 15) D 17) C

18) A